Topografia Triangulacion-Caminos IMPRIMIR

FACULTAD DE MINAS U.N.P.

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ING.CARLOS CALLE G.

CONTENIDO GENERALIDADES PROLOGO

CAPITULO I 1.

TRIANGULACION 1.1. REDES REDES DE DE TRIAN TRIANGULA GULACION CION.. 1.1.1. 1.1.1. RED DE TRIAN TRIANGUL GULOS. OS. 1.1.2. 1.1.2. RED DE CUADR CUADRILA ILATER TEROS. OS. 1.1. 1.1.3. 3. RED RED DE POL POLÍG ÍGON ONOS OS.. 1.2. 1.2. COND CONDIC ICIO ION N DE TRI TRIAN ANGU GULO LO.. 1.3. 1.3. MEDI MEDICI CION ON DE AN ANGU GULO LOS S Y BASE BASE.. 1.4. 1.4. CLAS CLASES ES DE TRIA TRIANG NGUL ULOS OS..

2.

PLANEAMIENTO DE DE UN UNA TR TRIANGULACION 2.1. 2.1. 2.2. 2.2. 2.3. 2.3. 2.4.

INFORM FORMA ACIÓN CIÓN BASI BASICA CA.. RECO RECONO NOCI CIMI MIEN ENTO TO DEL DEL TER TERRE RENO NO.. MONUME UMENTAC TACION ION DE HI HITOS. TOS. MEDICON DE DE LA BA BASE. 2.4.1. 2.4.1. CORRECC CORRECCION ION POR LONGITUD LONGITUD VERDADER VERDADERA. A. 2.4.2. 2.4.2. CORRE CORRECC CCION ION POR TEMPER TEMPERAT ATURA URA.. 2.4.3. 2.4.3. CORRECC CORRECCION ION POR HORIZONT HORIZONTALID ALIDAD. AD. 2.4.4. 2.4.4. CORRE CORRECC CCION ION POR POR CATENA CATENARIA RIA.. 2.4.5. 2.4.5. CORRE CORRECC CCION ION POR POR TENS TENSIÓ IÓN. N. 2.5. MEDICON DE DE AN ANGULOS. 2.6. 2.6. COM COMPEN PENSACI SACIO ON DE BASE. SE. 2.7. 2.7. COMP COMPEN ENSA SACI CIÓN ÓN DE AN ANGU GULO LOS. S. 2.7.1. 2.7.1. RED TRIAN TRIANGU GULOS LOS ASIM ASIMPLE PLES. S. 2.7.2. 2.7.2. RED DE CUADR CUADRILA ILATER TEROS. OS. 2.7.3. 2.7.3. COMPENS COMPENSACIÓ ACIÓN N CON CON PUNT PUNTO O CENTR CENTRAL. AL. 2.8. 2.8. RESI RESIST STEN ENCI CIA A DE DE FI FIGURA URA. 2.9. CALCULO DE LADOS. 2.10 2.10.. CALC CALCUL ULO O DE AZI AZIMU MUTS TS..


2.11. 2.11. 2.12 2.12.. 2.13 2.13.. 2.14 2.14.. 2.15 2.15.. 2.16 2.16..

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CALCUL CALCULO O DE DE COO COORDE RDENAD NADAS. AS. CALC CALCUL ULO O DE DE ARE AREAS AS.. CALC CALCUL ULO O DE DE COT COTAS AS.. DIBU DIBUJO JO DE LA RED. RED. CONF CONFIG IGUR URAC ACIÓ IÓN. N. LIBR LIBRET ETA A DE DE CAM CAMPO PO..

CAPITULO II CAMINOS GENERALIDADES 1. ETAPAS ETAPAS DEL DEL TRAZO TRAZO.. 2. CURVAS CURVAS CIRCULAR CIRCULARES ES HORIZONTA HORIZONTALES. LES. 2.1.ELEMENTOS DE UNA CURVA. 2.2.DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS. ELEMENTOS. 2.3.REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES. 3. REPLANTE REPLANTEO O POR DEFLEXIONES DEFLEXIONES CON VISIBILI VISIBILIDAD DAD DESDE DESDE EL PC. 4. REPLANTEO POR DEFLEXIONES DEFLEXIONES CON PUNTOS PUNTOS DE CAMBIO. 5. SECCION SECCIONES ES LONGIT LONGITUDIN UDINALE ALES. S. 6. SECCION SECCIONES ES TRANS TRANSVER VERSALE SALES. S. 7. RASA RASANT NTES ES.. 8. AREAS AREAS Y VOLÚ VOLÚME MENES NES..


2.11. 2.11. 2.12 2.12.. 2.13 2.13.. 2.14 2.14.. 2.15 2.15.. 2.16 2.16..

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CALCUL CALCULO O DE DE COO COORDE RDENAD NADAS. AS. CALC CALCUL ULO O DE DE ARE AREAS AS.. CALC CALCUL ULO O DE DE COT COTAS AS.. DIBU DIBUJO JO DE LA RED. RED. CONF CONFIG IGUR URAC ACIÓ IÓN. N. LIBR LIBRET ETA A DE DE CAM CAMPO PO..

CAPITULO II CAMINOS GENERALIDADES 1. ETAPAS ETAPAS DEL DEL TRAZO TRAZO.. 2. CURVAS CURVAS CIRCULAR CIRCULARES ES HORIZONTA HORIZONTALES. LES. 2.1.ELEMENTOS DE UNA CURVA. 2.2.DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS. ELEMENTOS. 2.3.REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES. 3. REPLANTE REPLANTEO O POR DEFLEXIONES DEFLEXIONES CON VISIBILI VISIBILIDAD DAD DESDE DESDE EL PC. 4. REPLANTEO POR DEFLEXIONES DEFLEXIONES CON PUNTOS PUNTOS DE CAMBIO. 5. SECCION SECCIONES ES LONGIT LONGITUDIN UDINALE ALES. S. 6. SECCION SECCIONES ES TRANS TRANSVER VERSALE SALES. S. 7. RASA RASANT NTES ES.. 8. AREAS AREAS Y VOLÚ VOLÚME MENES NES..


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GENERALIDADES Triangulación es un sistema de redes de apoyo que sirven para dar mejor coherencia a los levantamientos.I Las triangulaciones son usadas para terrenos relativamente extensos, siendo estos los que tienen menor error con respecto a las poligonales, Para iniciar una red, para ambos casos es necesario hacer un reconocimiento del terreno y diseñar el sistema adecuado teniendo en co cons nsid ider erac ació iónn la na natu tura rale leza za de dell leva levant ntami amien ento to,, de desp spué uéss de la inspección se procede a la monumentación de hitos en cada vértice los cuales deben cumplir las características adecuadas; la medida de los hitos son relativos, dependiendo del grado de precisión.

25 Cm 25 cm

25 cm

60 cm

60cm

TIPOS DE ESTACAS


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PROLOGO Es indudable que actualmente estamos entrando cada vez más a la era de la informática, para el cual debemos estar preparados de acuerdo al avance de la tecnología para desarrollar nuevos modelos matemáticos, esto nos permitirá realizar algoritmos, para el caso especifico del curso desarrollaremos paso a paso como llegar al resultado final del problema. En el presente texto nos ocuparemos exclusivamente al desarrollo práctico de los contenidos, como, TRIANGULACION Y CAMINOS, sabiendo que para hacer un levantamiento topográfico es de vital importancia conocer las principales redes de apoyo para tener el éxito esperado, como es de esperar el estudiante debe estar en la capacidad de desarrollar algoritmos para una Triangulación el cual será un gran aporte dando consistencia al levantamiento topográfico. Dentro de una poligonación veremos desde el reconocimiento del terreno, monumentación de hitos en los vértices, cálculos de ángulos, distancias y llegar al objetivo final de obtener las coordenadas rectangulares y cotas para poder graficar, el mismo que será mediante un programa CAD y realizar la impresión respectiva, de la misma manera estaremos procediendo con la triangulación desarrollando secuencialmente todos los pasos hasta llegar al resultado final, de esta manera contribuyendo con todo los que lleven el curso y los que están relacionados directa o indirectamente a la especialidad. El Autor


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CAPITULO I 1.-TRIANGULACION La red de triángulos es un sistema de apoyo para levantamientos topográficos de terrenos relativamente extensos, la triangulación comprende una serie de procesos, entre ello tenemos el reconocimiento del terreno, monumentación de hitos, medición de base, ángulos, compensación, cálculo de coordenadas y cotas; la disposición de los triángulos son generalmente figuras geométricas que se determinan por principio geométrico con la suma de sus ángulos internos. Así en un triángulo la suma de sus ángulos internos debe ser 180° y los ángulos alrededor de un punto 360°, al realizar una triangulación la longitud de sus lados esta en función al seno de su ángulo opuesto, para calcular los lados de una red de triangulación solamente se mide la base, o sea un solo lado y los siguientes se calcula mediante fórmulas trigonométricas, con el avance tecnológico y los equipos electrónicos (Distanciómetro y Estación total) se miden directamente sus lados y a este método se denomina trilateración.


1.1-

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REDES DE TRIANGULACION. - El tipo de red a emplearse está en función al levantamiento topográfico y la extensión o zonas donde se monumentarán puntos de 1er, 2do. orden u otras de menor precisión, entre ellos tenemos:

1.1.1.- Red de triángulos .- Se determina ese tipo de red cuando no se requiere mucha precisión y es diseñado

generalmente

para

trazos

de

carreteras, canales y ferrocarriles.

6 A

2

4

Carreteras

B

1

3

`

5

7

1.1.2.- Red de Cuadriláteros , sistema que se decide para alcanzar una precisión mayor, y es utilizado para comunicación de túneles, dirección de labores subterráneas.


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7

A C B

E D F

1.1.3.- Red de polígonos con punto central.- Cuando no es preciso hacer un cuadrilátero se puede realizar polígonos con punto central, con la misma precisión que la red de cuadriláteros.

B

G

A C

H

O1 F

O2 E

D I


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1.2- Condición de triángulos.- Para que un programa de triangulación resulte satisfactorio debe tenerse en cuenta que los ángulos deben estar dentro del rango o sea no < de 30° ni > de 150° porque los lados están en función al seno, los ángulos cerca a 0° y 180° tienden a error, y la suma de ángulos internos de un polígono debe cumplir la condición geométrica, 180*(n-2) y sus lados deben estar en función de 1 a 3, en redes de cuadriláteros o polígonos con punto central debe cumplir la condición geométrica y trigonométrica. Dentro de la condición trigonométrica tenemos que: Σ(Lg Sen∠impares) = Σ(Lg Sen∠ pares)

1.3- Medición de ángulos y base.-La medición de ángulos puede realizarse por los métodos ya conocidos, por reiteración o repetición dependiendo de la precisión que se quiere alcanzar, la diferencia vertical se puede medir geométrica ó trigonométricamente dependiendo de la distancia, la medición de base se puede realizar por el método convencional o medición electrónica, dentro de lo tradicional se hará las correcciones respectivas en cada fase de la medición para obtener la distancia más probable,


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1.4.- Clases de triangulaciones. - Las triangulaciones pueden clasificarse por el orden de su precisión de acuerdo a: a).- El error de cierre angular en los triángulos. b).- La discrepancia que resulta de medir la base de cierre y calculada. c).- Precisión de la medición de la base. d).- Longitud máxima de sus lados. De acuerdo a lo mencionado podemos clasificar en triangulaciones de 1er , 2do y 3er . Orden.

DESCRIPCIÓN Error de cierre de base Error de cierre angular en triangulacion.

1er ORDEN 1/25000

2do. ORDEN 1/10000

3er. ORDEN 1/5000

8”

15”

30”

Longitud máx. de lados 50-200Km. 15-40 Km. (Km)

1.5-10 Km.

Los trabajos topográficos están dentro del 3er. orden, 1er y 2do orden para trabajos Geodésicos.


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2.- PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION 1. Información básica....(gabinete) 2. Reconocimiento del terreno (campo) 3. Monumentación de hitos (campo) 4. Medición de base (campo) 5. Medición de ángulos (campo) 6. Compensación de base.(gabinete) 7. Compensación de ángulos.(gabinete) 8. Cálculo resistencia de figura.(gabinete) 9. Cálculos de lados.(gabinete) 10. Cálculo de azimut (magnético, verdadero, U.T.M.) 11. Cálculo de coordenadas (magnéticos, verdadero y U.T.M.) 12. Cálculo de cotas. 13. Dibujo de red. 14. Configuración a partir de la red. 15. Puntos auxiliares. 16. Informe.

2.1- INFORMACION BASICA. Para iniciar una red de triángulos, tenemos que documentarnos, buscando referencias de la zona sobre planos existentes, aerofotografías, datos de triangulaciones anteriores, croquis, en general toda información que nos pueda servir para proyectar la Red.


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2.2.- RECONOCIMIENTO DEL TERRENO. Consiste en hacer una evaluación insitú de la zona donde se proyectará la Red ubicando adecuadamente los puntos o vértices para monumentar los hitos, de tal manera que los puntos deben ser visibles de un vértice a otro.

2.3.- MONUMENTACION DE HITOS . La señalización es una etapa de importancia dependiendo de ella el resultado

final

de

la

Red

de

triángulos,

la

monumentación de hitos se hará con buen criterio, pudiendo ser desde hitos de concreto con placas de metal grabados o con un hierro de acero al centro.

2.4.- MEDICION DE BASE. Dentro del reconocimiento insitú se ubicará la zona adecuada para medir la base, esta distancia puede medirse con métodos convencionales o electrónicos, la medición electrónica se realiza con un distanciómetro o Estación Total, donde nos da directamente la distancia horizontal y la diferencia vertical, con el método tradicional se tiene una serie de etapas, iniciando con un alineamiento entre los dos puntos y el estacado respectivo, luego se mide cuidadosamente tramo por tramo ida y vuelta controlando,

tensión,

temperatura,

catenaria

y


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horizontalidad, para hacer las correcciones respectivas en gabinete.

2.4.1- Corrección por Longitud Verdadera.- La cinta por el constante uso, temperatura, tensión sufre una cierta dilatación aumentando en milímetros su longitud verdadera, al realizar una medición por tramos se está cometiendo un error acumulativo en todo el circuito, la corrección se realiza aplicando la fórmula

Lc

Lm * Lr =

Ln

Donde: Lc = Longitud corregida Lr = Longitud real de la cinta graduada Ln = longitud nominal de la cinta. Lm = Longitud total medida.

Ejemplo.No 1 Con una cinta de 30 mts. Se mide una distancia de 189.80 mts, deseamos saber la longitud corregida, después de contrastar la wincha en un laboratorio con la medida patrón resulta que tenía 29.996 m.


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SOLUCIÓN:

Ln= 30 m. Lm= 189.80 Lc= ¿ Lr= 29.996

Lc =

Lm * Lr Ln

=

189.80 * 29.996 30

= 189.775 mts.

2.4.2- Corrección por Temperatura. - La temperatura de ambiente puede afectar mucho a la cinta, la medición de base debe hacerse a una temperatura aproximada de calibración, generalmente las winchas vienen calibradas a 20° C. Ct = LK*( t – to ) Donde: Ct = Corrección por temperatura. L = Longitud verdadera del tramo. K = coeficiente de dilatación del acero (0.000012). t. = temperatura de campo. to = temperatura graduada de la wincha


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Ejemplo No 2. Con una cinta de 50m graduada a 20ºC se mide dos tramos, AB 50 mts a 23ºC y BC = 38.25 a 18ºc, ¿cual es la corrección por temperatura?

SOLUCIÓN: Si.

Ct = ? L = 50 y 38.25 m. = 88.25 m. K = 0.000012 T = 23º C y 18º C to = 20o C Ct = LK (t-to)

Remplazando valores. Ct (AB) = 50 (0.000012) (23-20)

= 0.00180

Ct (BC) = 38.25 (0.000012) (18-20) = -0.00092 Corrección total AC

= 0.00088

La longitud corregida por temperatura es: 88.25 + 0.00088 = 88.251 m.

2.4.3.- Corrección por Horizontalidad.- Se realiza debido a la pendiente del terreno, no siempre una distancia se mide horizontalmente, para corregir este desnivel se aplica la fórmula. Ch = −

∆h

2

2L


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Donde: Ch = Corrección por horizontalidad. ∆h= Diferencia vertical del tramo

L = longitud del tramo

Ejemplo No 3. Encontrar la corrección de una base de 85.48 m. medido con wincha de 30 mts. Teniendo el desnivel entre AB, 0.08m, BC, 0.25m y CD, 0.15m.

SOLUCIÓN: Ch = ? ∆h = 0.18, 0.25, 0.15m respectivamente.

L = 30, 30, 25.48 respectivamente. Si : Ch

Δh =

2

−

2L

TRAMO LONGITUD ∆h 2L AB 30 0.08 60 BC 30 0.25 60 CD 25.48 0.15 50.96 Corrección total Distancia corregida : 85.48 - 0.00159 =

Ch. -0.00011 -0.00104 -0.00044 -0.00159 85.478m.

2.4.4- Corrección por catenaria.- La cinta al ser suspendida de sus extremos forma una catenaria,


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la corrección será la diferencia que existe entre la cuerda y el arco formado por los extremos, para corregir aplicamos la fórmula: 2

 WL  Cc = −   24  P  L

Donde: Cc = Corrección por catenaria. L = Longitud de catenaria. W = Peso de la cinta en kg/m.l. P = Tensión aplicada en kg.

Ejemplo No 4 Con una wincha de 30 mts se mide una distancia de 80.45m. en tres tamos sabiendo que la cinta pesa 0.750 kg y la tensión aplicada es: AB=10 kg, BC=5 kg, y CD=10 kg.

SOLUCIÓN: Cc= Corrección por catenaria. L= 30, 30, 20.45 m. respectivamente W= 0.75 kg/30 m.= 0.025 kg/m.l. P= 10, 5, 10 kg. Respectivamente. Aplicando la fórmula para cada tramo tenemos: TRAMO LONGITUD

W= Kg/m.l.

p

Cc


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AB BC CD

30 0.025 10 -0.00703 30 0.025 5 -0.02812 20.45 0.025 10 -0.00223 Corrección total -0.03738 Distancia corregida. 80.45 – 0.03738 = 80.413m.

2.4.5- Corrección por Tensión .- Cuando en la cinta se ejerce una fuerza en el momento de la medición esto sufre una variación en su longitud, la corrección que se aplica está en función a la fuerza y las características de la wincha. Cp

L(P

−

=

PO )

AE

Donde: C p

= Corrección por tensión

L

= Longitud del tramo

P

= Tensión de campo

Po

= Tensión Calibrada (Kg)

A

= Sección transversal de la cinta.

E

= Módulo de la elasticidad del acero Kg/mm2

Ejemplo No 5. Del ejemplo anterior encontrar la corrección por tensión si para el tramo AB 8Kg, BC 10Kg, CD 15Kg.


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SOLUCIÓN: C p

= Corrección por tensión.

L

= 30, 30, 20.45m

P

= 8Kg, 10Kg y 15kg.

Po

= 10Kg

A

= 6mm2

E

= 24000 Kg/mm2

Aplicando la fórmula por tramo tenemos:

TRAMO LONG. P Po A E Cp AB 30 8 10 6 24000 -0.0004167 BC 30 10 10 6 24000 0.0000000 CD 20.45 15 10 6 24000 +0.00071 Corrección por Tensión +0.0002933 Distancia corregida 80.45 +0.00029 = 80.4503m cuando se aplica una tensión igual a la calibrada la corrección se hace cero. La base final corregida será el promedio de la corrección de ida y vuelta. Ida + vuelta Base Corregida = 2

Base = LC + CT - CH - CC + CP

2.5-Medición de ángulos.- En el desarrollo de una triangulación es importante determinar el grado de precisión que se requiere y el objetivo de la red, en función a estos


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parámetros se puede fijar el método de medición de ángulos, pudiendo ser por repetición para poca precisión y por reiteración para mayor precisión.

2.6.-.Compensación de Base.- Después de finalizado la medición de una base de triangulación se procede a realizar las correcciones necesarias para luego compensar la base final.

2.7.-Compensación de ángulos.- Es una técnica que consiste en distribuir equitativamente los errores de cierre angular de tal manera que cumpla los principios geométricos de la suma interna de los ángulos, existen diferentes redes para compensar ángulos, los mismos que requieren tratamientos especiales entre ellos tenemos: a) Compensación para redes de triángulos simples. b) Compensación para redes de cuadriláteros c) Compensación para redes de polígonos con punto central.

2.7.1-.Red de Triángulos simples.- Para compensar una red de triángulos podemos realizar de dos formas: a) Compensación de estación, cuando la suma de los ángulos alrededor del punto sea 360º.


b)

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Compensación del triángulo, comparar que la suma de los ángulos internos del ∆ sea 180º.

En el primer caso , se suma los ángulos alrededor del punto, el resultado se resta 360o y la diferencia se divide entre el número de ángulos, luego se suma algebraicamente con el signo cambiado a cada ángulo, quedando compensado.

En el segundo caso, se suman los ángulos internos del triángulo, del resultado se resta 180º esta diferencia

se divide entre

3 y se suma

algebraicamente con el signo cambiado a cada ángulo.

Ejemplo 06. Compensar las siguientes redes de triángulos, los ángulos son promedios de una lectura por repetición. ∠ 1) 38o 20’

6) 58o 07’

11) 255o 29’

2) 72o 40’

7) 46o 25’

12) 238o 43’

3) 69o 02’

8) 93o 14’

13) 321o 39’


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4) 52o 14’

9) 40o 23’

14) 124o 29’

5) 69o 38’

10) 319o 36’

11

E 12

D

6 7

4 3 5 2

B

1

A

8 14

9

10

C

13

SOLUCIÓN: Para compensar una cadena de triángulos, tenemos que iniciar compensando los vértices y luego por triángulos. a) Vértice A 1 + 13

= 360°

38o20’+321o 39’

= 360o

359o 59’

= 360°

Er.C = 359o 59’-360 = -1’ f c C = +1’/2 =30” sumando +30” a los ángulos 1 y 13 38o 20’30’’ + 321o 39’30” =360o 360° =360o Con el mismo procedimiento compensar los demás vértices.


Vert A

B

C D

E

b)

Angulos 1 13 suma 2 5 8 14 suma 9 10 suma 6 7 11 suma 3 4 12 suma

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22

Lect. Campo 38° 20’ 321°39’ 359°59’ 72°40’ 69°38’ 93°14’ 124°29’ 360°01’ 40°23’ 319°36’ 359°59’ 58°07’ 46°25’ 255°29’ 360°01’ 69°02’ 52°14’ 238°43’ 359°59’

Compensado 38°20’30” 321°39’30” 360°00’00” 72°39’45” 69°37’45” 93°13’45” 124°28’45” 360°00’00” 40°23’30” 319°36’30” 360°00’00” 58°06’40” 46°24’40” 255°28’40” 360°00’00” 69°02’20” 52°14’20” 238°43’20” 360°00’00”

Compensando por Σ∠i=180°, Se suma los ángulos internos, la diferencia que existe al restar 180° se divide entre 3, el resultado se suma o resta a cada ángulo.

Comp. de Vert. 1 38°20’30” 2 72°39’45” ABE 3 69°02’20” suma 180°02’35” 4 52°14’20” 5 69°37’45” BDE 6 58°06’40” suma 179°58’45” ∆

∠

Vert. Compensado 38°19’38.333” 72°38’53.333” 69°01’28.333” 180°00’00” 52°14’45” 69°38’10” 58°07’05” 180°00’00”


7 8 BCD 9 suma

2.7.2-

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23

46°24’40” 93°13’45” 40°23’30” 180°01’55”

46°24’01.666” 93°13’06.666” 40°22’51.666” 180°

COMPENSACION

DE UNA

RED

DE

CUADRILATEROS. Dentro de la lectura de ángulos de una red de cuadriláteros se tiene los ángulos internos que sumado debe ser 360°, para ello

se

tiene

en

cuenta

las

siguientes

propiedades: a) Propiedad geométrica o de figura. b) Propiedad trigonométrica o de lado.

- Condición Geométrica.- Un cuadrilátero puede descomponerse en varios triángulos, los mismos que se encuentran superpuestos entre sí. En la figura se tiene los siguientes triángulos:

B 4

5 6 7

3

A

2

C


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24 1

8

D B B

C 4

5

5 4

6 7

3

A

2

C

6 7

8

3

1

2

D

A

1

8

D

ABC, ACD, ABD, BCD, en cada uno de ellos la suma de los ángulos debe ser 180°. ⇒ ABC = 3+4+5+6 = 180°

ACD = 2+7+8+1 = 180° ABD = 1+2+3+4 = 180° BCD = 5+6+7+8 = 180° Otras de las condiciones geométricas que debe cumplir, que la suma de sus ángulos del cuadriláteros debe ser 360°. ⇒ ABCD = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 360°

Además geométricamente se dice que los Ángulos opuestos por el vértice y en la intersección de las diagonales deben ser iguales.


⇒

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1+2 = 5+6 3+4 = 7+8

La secuencia para compensar un cuadrilátero es: 1) Las lecturas de los ángulos del cuadrilátero deben ser el promedio de mediciones por reiteración o repetición. 2) La suma de los ángulos debe ser 360°, si existe discrepancia, esta se divide entre 8 y se suma algebraicamente con signo cambiado a cada ángulo. 3) Se compara los ángulos opuestos por el vértice en la intersección de las diagonales, estas deben ser iguales, la discrepancia se divide entre 4, el cociente se compensa a cada ángulo, aumentando a los dos cuya suma es menor, y disminuyendo a cuya suma es mayor. -

Condición Trigonométrica .- Para el cálculo de lados de un triángulo, los lados están en función al seno opuesto, por lo tanto la condición trigonométrica es, la suma de los Logaritmos Seno de los ángulos impares debe ser igual a la suma de los Logaritmos Seno de los ángulos pares. ∑(Lg Sen ángulos imp). = ∑(Lg Sen ángulos par).


26

ING.CARLOS CALLE G.

El procedimiento a seguir después de la compensación Geométrica es como a continuación se indica: 1) An Anot otam amos os los los ángu ángulo loss pares pares e impa impare ress en su colu column mnaa respectiva. 2) Calc Calcul ulam amos os el el Loga Logari ritm tmoo Seno Seno ppar araa cada cada ángu ángulo lo.. 3) Ha Hall llam amos os la dife difere renc ncia ia tabu tabula larr para para un segun segundo do en el sexto lugar decimal.

Ejempo 07 La diferencia tabular de 38°20’18” es: ⇒ Log Sen 38°20’18” = 9.792604541,

la diferencia tabular para un segundo será restando del ángulo inmediato superior ó el inferior. Log Sen 38°20’19” = 9.792607204. ⇒ 9.792607204-9.792604541 = 0.000002663; en el sexto lugar

decimal será 2.66. 4)

Restamos la ∑(Lg Sen ángulo impares) menos ∑(Lg sen

ángulo pares) (β) 5)

Se suma las Diferencias Tabulares para 1” en el sexto lugar

decimal (θ)


6)

ING.CARLOS CALLE G.

27

Dividimos β/θ que vie viene a ser ser el Factor de corrección

expresados en segundos. 7)

El resultado de β/θ, adicionamos a cuya suma de los Log.

Senos es menor y disminuimos a cuya suma de los Log. Sen. es mayor.

Ejemplo 08 Los datos que a conti ntinu nuaación se enu nunncian son de lectura promedios por método reiterativo, calcular y compensar los ángulos del cuadrilátero. ∠

1 2 3 4 5 6 7 8

A

49°43’30” 47°01’24” 39°05’10” 44°09’51” 59°24’51” 37°20’01’ 34°16’34” 48°58’31”

1 8 7 6

2

B

3 4

5

C SOLUCIÓN:

D


ING.CARLOS CALLE G.

28

Para compensar un cuadrilátero se toma en cuenta la condición geométrica y trigonométrica.

A) De acuerdo a la condición geométrica se tiene que: 1)

Σ∠i = 360°

⇒ Σ∠i = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 359°59’52”

Er .C .C = 359°59’52” – 360°= -8” El error es por defecto, por lo tanto la corrección es aditiva. Fc = 8/8 = 1”

Los nuevos valores angulares son:

1 49°43’31”

5 59°24’52”

2 47°01’25”

6 37°20’02”

3 39°05’11”

7 34°16’35”

4 44°09’52”

8 48°58’32”

Σ∠i(1+2+3+4+5+6+7+8) = 360°

2) La segunda segunda propie propiedad dad geométr geométrica ica.. ∠ 1+2 = 5+6

7+8 = 3+4 Del último resultado tenemos: ∠1 + 2 = ∠ 5 + 6


29

ING.CARLOS CALLE G.

∠ 49°43’31” + 47°01’25” = 59°24’52” + 37°20’02”

96°44’56” = 96°44’54” Er .C = 96°44’56” - 96°44’54” Er.C = 2” Fc = 2”/4 = 0.5” cantidad que se aumenta a los ángulos 5 y 6 porque la suma es menor y se disminuye a los ángulos 1 y 2 por ser la suma mayor, siendo los nuevos valores:

1

49°43’30.50”

2

47°01’24.50”

5

59°24’52.50”

6

37°20’02.50”

continuando con: ∠7+8 = 3+4

34°16’35”+48°58’32”=39°05’11” + 44°09’52” 83°15’07”=83°15’03” Er .C = 83°15’07” - 83°15’03 = 4” Fc = 4”/4 = 1” con el mismo principio anterior los nuevos valores de los ángulos serán:

3

39°05’12”

4

44°09’53”

7

34°16’34”

8

48°58’31”


ING.CARLOS CALLE G.

30

En resumen los nuevos valores de los ángulos de la compensación geométrica son:

1

49°43’30.50”

2

47°01’24.50”

3

39°05’12”

4

44°09’53”

5

59°24’52.50”

6

37°20’02.50”

7

34°16’34”

8

48°58’31”

B) Compensación trigonométrica. Con los resultados de los valores anteriores se tiene: Log sen impar 1

49°43’30.50” 9.882497238

2

47°01’24.50”

3

39°05’12.00” 9.799681782

4

44°09’53.00”

5

59°24’52.50” 9.934938363

6

37°20’02.50”

7

34°16’34.00” 9.750648432

Log Sen Par

D.Tx1” 1.78

9.864293305

1.96 2.59

9.843060496

2.17 1.24

9.782802679

2.76 3.09


8

48°58’31.00” 39.36776582

ING.CARLOS CALLE G.

31

9.877616895

1.83

39.36777338

17.42

1) Calculamos el Log Sen Para cada ángulo y luego la diferencia tabular para 1”, como muestra la tabla. 2)

Restamos Σ(Log Sen impar) - Σ(Log Sen Par) =

0.00000756 en el sexto lugar decimal 7.56, (β). 3)

Σ(DTx1”) = 17.42 (θ)

4)

La corrección f c = 7.56/17.42 = 0.43” el

resultado se aumenta a los ángulos 1, 3, 5 y 7 porque la Σ(Log Sen) es menor y se disminuye a los ángulos 2,4,6 y 8

porque la Σ(Log Sen) es mayor, el resultado final de los ángulos será: 1

49°43’30.93”

5

59°24’52.93”

2

47°01’24.07”

6

37°20’02.07”

3

39°05’12.43”

7

34°16’34.43”

4

44°09’52.57”

8

48°58’30.57”

Respuesta

360°00’00.00”

2.7.3- Compensación de polígono con punto central. Se presentan casos cuando el terreno tiene una visibilidad amplia, con un punto central se puede visar los vértices del polígono, y posteriormente se visa desde cada vértice,


ING.CARLOS CALLE G.

32

el método puede ser por reiteración o repetición, la secuencia es la siguiente: a) La suma de ángulos del punto central debe ser 360° si existe discrepancia se suma algebraicamente a cada ángulo si es por exceso o defecto. Σ∠∆ debe ser 180° la discrepancia o diferencia

b)

se distribuye entre 2 ángulos sin considerar el ángulo central. Σ(Log sen ∠ impar) = Σ(Log Sen ∠ par), se

c)

procede con el mismo criterio del cuadrilátero.

Ejemplo 09 Una red de apoyo con punto central se visa a 5 vértices los mismos que son tomados por método reiterativo siendo sus promedios

B A 3 1

2

II

4

I

12

III

11 10

E

13

15 9

14

V

5

IV 8

7

D

6

C


33

1) 59°43’45”

9) 51°58’22”

2) 42°51’55”

10) 41°48’40”

3) 77°09’30”

11) 78°27’25”

4) 77°00’45”

12) 59°58’35”

5) 42°28’20”

13) 60°30’56”

6) 75°22’25”

14) 69°47’05”

7) 34°50’25”

15) 91°16’14”

ING.CARLOS CALLE G.

8) 36°45’20”

SOLUCIÓN: aplicando el principio geométrico y trigonométrico.

A)Compensación Geométrica. Σ∠11+12+13+14+15= 360°

360°00’15” = 360° Er .C = 360°00’15” - 360° = 0°0’15”, el error es por exceso, la compensación será sustractiva f c = -15”/5 =-3” los nuevos valores de los ángulos del punto central será: ∠

11

78°27’22”

12

59°58’32”

13

60°30’53”

14

69°47’02”


15

34

ING.CARLOS CALLE G.

91°16’11” 360°0’00”

Compensando los triángulos independientes. Triángulo I 1+10+11 = 179°59’47” Er .C = 179°59’47” – 180 = -13” La compensación será aditiva, dividiendo entre 2 el Error de Cierre, se suma a los ángulos 1 y 10, el ángulo 11 no es afecto por que se compensó en el proceso anterior. ⇒f c = 13”/2 = 6.5”, la compensación será aditiva porque

el error es por defecto. Los nuevos valores serán: 1) 59°43’45” + 6.5”= 59°43’51.5” 10) 41°48’40” + 6.5”= 41°48’46.5”

Triángulo II ∠ 2+3+12=179°59’57”

Er .C. = 179°59’57” – 180 = -3” Fc. = 03”/2 = 1.5” Compensación aditiva se suma a los ángulos 2 y 3, los nuevos valores serán: 2)42°51’55” +1.5”= 42°51’56.5” 3)77°09’30” +1.5”= 77°09’31.5”


35

ING.CARLOS CALLE G.

Triángulo III ∠4+5+13 = 179°59’58”

Er .C = 179°59’58” – 180 = -02” Fc = 2”/2=1” Compensación aditiva, sumando a 4 y 5. Los nuevos valores serán: 4)77°00’45” +1”= 77°00’46” 5)42°28’20” +1”= 42°28’21”

Triángulo IV ∠ 6+7+14=179°59’52”

Er.C =179°59’52”-180°=-8” Fc = 8”/2=4” Compensación es aditiva, sumando a 6 y 7. Los nuevos valores serán: 6)75°22’25”+ 4” = 75°22’29” 7)34°50’25”+ 4” = 34°50’29” Triángulo V. ∠ 8+9+15 = 179°59’53”

Er .C = 179°59’53”-180°= -07” Fc=7”/2-=3.5” Compensación aditiva, sumando a 8 y 9, los nuevos valores serán: 8) 36°45’20”+ 3.5”=36°45’23.5” 9) 51°58’22”+ 3.5”=51°58’25.5” Resumen de los nuevos valores:


ING.CARLOS CALLE G.

36

1.- 59°43’51.5” 2.- 42°51’56.5” 3.- 77°09’31.5” 4.- 77°00’46.0” 5.- 42°28’21.0” 6.- 75°22’29.0” 7.- 34°50’29.0” 8.- 36°45’23.5” 9.- 51°58’25.5” 10.- 41°48’46.5” 540°00’00”

11.- 78°27’22” 12.- 59°58’32” 13.- 60°30’53” 14.- 69°47’02” 15.- 91°16’11” 360°0’0”

B) Compensación trigonométrica Si Σ(Log.sen impar)= Σ(Log sen par) La discrepancia se procede a compensar como un cuadrilátero. Vert. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Angulo 59°43’51.5” 42°51’56.5” 77°09’31.5” 77°00’46.0” 42°28’21.0” 75°22’29.0” 34°50’29.0” 36°45’23.5” 51°58’25.5” 41°48’46.5”

Sen Log impar 9.936346907

Sen Log Par 9.832689070

9.9889999998 9.988746282 9.829455757 9.985694903 9.756869237 9.777003113 9.896376617 49.4080485

9.823930789 49.408064156

DTx1” 1.23 2.27 0.48 0.49 2.3 0.55 3.02 2.82 1.65 2.35 17.16

luego:49.4080485-49.408064156 = -0.000015655 en el sexto lugar decimal 15.65 (se considera el valor absoluto)


37

ING.CARLOS CALLE G.

⇒ Σ(DTx1”)= 17.16

Fc = 15.65/17.16 = 0.912” Según la técnica de compensación por aproximaciones sucesivas, 0.912” se aumenta a cuya suma de los Log Seno sea menor, y se disminuye cuya suma sea mayor, entonces sumamos a los ángulos impares y restamos a los pares. Se teniendo como resultado final. Vert. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Angulo 59°43’52.41” 42°51’55.58” 77°09’32.41” 77°00’45.09” 42°28’21.91” 75°22’28.09” 34°50’29.91” 36°45’22.58” 51°58’26.41” 41°48’45.58”

540°00’00” 2.8- RESISTENCIA DE FIGURA . Es una técnica que nos permite encontrar el camino más favorable para llegar al extremo opuesto, en el cálculo de lados de un cuadrilátero también podemos decir que es la ruta con menos error probable, para determinar el recorrido aplicamos la fórmula:


R =

Nd − Nc Nd

ING.CARLOS CALLE G.

38

Σ(dA + dB x dB + dB ) . 2

2

. . . . . (1)

donde: R = Resistencia de figura. dA,dB = Dif. Tabular para 1” en la cadena de triángulos. Nd

= No de direcciones observadas sin considerar el lado conocido.

Nc

= No de ecuaciones de condición.

Para calcular el N° de ecuaciones de condición se puede aplicar las siguientes fórmulas: Nc = 2Z +Z1 – 3S + Su +4. . . . . . . (2) Nc = na – 2(S-2). . . . . . . . . . . . . . . (3) Nc = (Z-S+1) + (Z – 2S +3). . . . . . (4) Si: Z = No total de líneas. Z1= No total de líneas visadas en una sola dirección. S = No total de estaciones. Su = No de estaciones no ocupadas. na = No de ángulos medidos

Análisis de las variables.


ING.CARLOS CALLE G.

39

A

D

C B Nd= 10 (dirección de las flechas). Z= 6 (lados y diagonales). Z1= 0 (todas son visadas) S= 4 (vértices) Su= 0 (todo los vértices son ocupados) na= 8 (ángulos, 1,2,3,...8) Remplazando sus valores en cada una de las ecuaciones de condición: Nc = 2Z + Z1 – 3S + SU + 4 = 2(6)+0-3(4)+0+4= 4 Nc = na-2(S-2)

= 8-2(4-2) = 4

Nc = (Z-S+1)+(Z-2S+3) = (6-4+1)+[6-2(4)+3]= 4 Los resultados son iguales por lo tanto puede utilizarse cualquiera de ellas. Para encontrar el camino más favorable, el cuadrilátero se descompone en todo los caminos o cadenas existentes.

Ejemplo 10 Descomponer el cuadrilátero. A 1

8

D


ING.CARLOS CALLE G.

40

7 6 2

3

5 4

B

C CADENA II

CADENA I A

D 7

8 1

A

6

D 1

6

8

T2

7

T1

T3 T4

2 3

5

2

4

B

3

C

B

CADENA III D A A

7 1

C CADENA IV D

D

8

8

7

T5

5

4

A

6

6

1

T6 T8 T7

2

5

B

C

2 5

B

4 4

3

5

3

C B

C

Para calcular los lados aplicamos la Ley de senos, el lado de un triángulo está en función directa al seno del ángulo opuesto, por lo que es necesario considerar los siguientes ángulos: CADENA I

TRIANGULOS T1 T2

ANGULOS 4, B(2+3) D(7+6), 8


ING.CARLOS CALLE G.

41

T3 T4 T5 T6 T7 78

II III IV

7, A(1+8) C(4+5), 3 7, 2 5, 8 4, 1 6, 3

Ejemplo 11 Calcular la cadena que conduce menor error para llegar al extremo opuesto de la base, con los siguientes datos compensados. Ang. 1. 49°43’31” 2. 47°01’24” 3. 39°05’12” 4. 44°09’53” 5. 59°24’53” 6. 37°20’02” 7. 34°16’34” 8. 48°58’31”

A 1

8

D

7 6

2

3

B

4

5

C

SOLUCION. Partiendo de la fórmula, R =

Nd − Nc Nd

∑( dA2 + dA x dB + dB 2 )

Nd = 10 Nc = na – 2(S-2), Si: na = 8 (No de ángulos leídos). S = 4 (N° de estaciones) ∴ Nc = 8 – 2(4-2) = 4


⇒

ING.CARLOS CALLE G.

42

Nd − Nc Nd

=

10 − 4 10

= 0.6

Para calcular las diferencias tabulares, descomponemos el cuadrilátero en las cadenas posibles.

A

CADENA I

CADENA II

D

D

8

A

7

1

8

6

7 6

1

T2

T3

T1 2

T4

3

5

2

4

B

3

C

5

4

B

CADENA IV

C CADENA III D

A

DA

1

8

7 1

8

T7

D

A

7

6

T8

1

6

T6 2

B

T5

5

C

B

2

3

4

3

4

5

C

C B

En la siguiente tabla se muestra los cálculos de las diferencias tabulares para un segundo.


CADE

VALOR

NA

ANGULAR

I

II

dA2 + dB2

2.16

4.699

B T D

86°06’36” 71°36’36”

0.14 0.70

0.020 0.496

8 2 T 7

48°58’31” 34°16’34”

1.83 3.09

3.390 9.54

A 98°42’02” 3 T C 103°34’46”

-0.32 -0.51

0.10 0.26

3 T 4

39°05’12” 44°09’53”

2.59 2.17

6.72 4.70

1 T 6

49°43’43” 37°20’02”

1.78 2.76

3.18 7.62

3 T 7

39°05’12” 34°16’34”

2.59 3.09

6.72 9.54

2 T 5

47°01’24” 59°24’43”

1.96 1.24

3.85 1.55

8

48°58’31”

1.83

3.36

1

5

7

8

(dA2+dAdB+dB2)

(Nd-Nc) Nd = 0.6

44°09’53”

6

IV

dA x dB

T 4

4

III

ING.CARLOS CALLE G.

43

5.03 10.2 6.10 5.17 8.65 14.3

8.6

5.66 11.7 33.2 19.9 21.5 19.5 26.6 15.1 7.18

En resumen, La resistencia de figura viene a ser: Cadena I = 6.10

Cadena II = 8.60

Cadena III = 19.90

Cadena IV = 15.10

El camino más favorable para llegar al lado opuesto del cuadrilátero es el que tiene menor valor, por que dentro de su configuración de sus ángulos guardan mejor relación entre sí,


ING.CARLOS CALLE G.

44

Cadena I, (T1 y T2), es la más recomendable, las cadenas II, III y IV, sus ángulos son muy discrepantes porque sus valores se encuentran en los extremos, de acuerdo a la condición Geométrica para la formación de triángulos que dice: Los ángulos de un triángulo no deben ser > de 150° ni < de 30°.

2.9.-CALCULO DE LADOS. En un trabajo de triangulación todo se reduce al cálculo de lados de un triángulo aplicando la Ley de Senos.

Ejemplo 12 En el ejemplo anterior tomamos la cadena I para calcular sus lados, si su base mide 543.25 mts.y sus ángulos compensados son: Ang.

1= 49°43’31” 2= 47°01’24” 3= 39°05’12” 4= 44°09’53” 5= 59°24’53” 6= 37°20’02” 7= 34°16’34” 8= 48°58’31”

CADENA I D A

8

7

1

6

T2 T1 2

B

3

5 4

C SOLUCION.


ING.CARLOS CALLE G.

45

Según la Ley de Senos.

En T1 . . . En T2 . . .

AB Sen 4 AC Sen D

En 1,

AC =

En 2

CD =

=

AC

(1)

Sen B

=

CD

( 2)

Sen 8

AB Sen B Sen 4 AC Sen 8 Sen D

= =

543.25 * Sen 86°06'36" Sen 44°09'53" 777.925 * Sen 48°58'31" Sen 71°36'36"

El lado opuesto de la base es CD = 618.472 mts.

2.10- CALCULO DE AZIMUTES. Para el cálculo de azimut de un cuadrilátero se procede con el principio mecánico ó la fórmula nemónica a partir de los datos de la base, el mismo que debe tener una orientación conocida.

Zf = Zi + ∠D 180° Donde: Zf = Azimut a calcular. Zi = Azimut anterior o inicial en el sentido del recorrido. ∠D = Angulo a la derecha. 

180°; (+)180° si la suma de Zi+∠D es menor de 180° y (-)

cuando la suma es mayo yorr de 180° 0°,, para el cálculo es recomendable seguir en sentido antihorario.


46

ING.CARLOS CALLE G.

Ejemplo 13 En la cadena I calcular los azimutes de los lados del cuadrilátero, si la base (BA) tiene un rumbo de S55°28’E

SOLUCION. R BA BA = S 55°28’E

A D

B Convertimos Rumbos a Z.

C

⇒ ZBA = 180° - 55°28’

ZBA = 124°32’ En el ∆ ABC para calcular el azimut de sus lados es recomendable seguir en sentido antihorario; por lo tanto el azimut de la base BA invertimos: Sí ZBA = 124°32’.(directo), ⇒ ZAB= 124°32’+180°= 304°32’.


ING.CARLOS CALLE G.

47

Aplicando la fórmula: Zf = Zi + ∠D



180°, en el triángulo

ABC. Zf = ZBC =? Zi = ZAB = 304°32’ ∠B = 2+3= 86°06’36” ⇒ Zf =Z =ZBC = 304°32’+86°06’36”-180°=210°38’36”.

Se resta 180° por que la suma de los dos primeros ángulos es mayor de 180°. ZCA= 210°38’36” + ∠4 - 180°. = 210°38’36” + 44°09’53” – 180°= 74°48’29” ZAB= 74°48’29”+49°43’31”+180 = 304°32; Al cerrar el circuito, se comprueba que el azimut es igual al inicial. En el triángulo ACD se conoce el ZCA=74°48’ =74°48’29” 29”,, Para Para calcular sus azimuts en sentido antihorario invertimos el ZCA. ⇒ ZCA=74°48’29”,

ZAC=74°48’29”+180°=254°48’29” ∴ ZCD=254°48’29”+59°24’53”-180°=134°13’22”

ZDA=134°13’22”+71°36’36”-180°=25°49’58” ZAC=25°49’58”+48°58’31”+180°=254°48’29”. Con el mismo procedimiento se calcula para cualquier red de triángulos.

2.11- CALCULO DE COORDENADAS.


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48

Para reducir los puntos topográficos en su proyección horizontal dentro de un sistema de coordenadas, eje Norte y eje Sur es necesario conocer fundamentalmente su orientación expresado en rumbo ó azimut y su distancia horizontal ó proyectada en planta.

EJEMPLO.14 En el gráfico se tiene las rectas AB y BC; Para iniciar el cálculo de coordenadas se parte de un punto conocido tal como A, cuyas coordenadas totales son (200N y 500E) si los datos de campo de la recta son:

C

NM

290.30

B 385.25

A

LADO

AZIMUT

D.H

AB

43°28’10”

385.25

BC

292°14’22”

290.30


49

ING.CARLOS CALLE G.

Para obtener las coordenadas del punto B y C aplicamos las fórmulas: N = DH *Cos Z. E = DH *Sen Z. Entonces calculamos las coordenadas parciales de los puntos B y C.

Coordenada parcial de B. NPB = DH*Cos Z = 385.25 * Cos 43°28’10” = +279.552 EPB = DH*Sen Z = 385.25 * Sen 43°28’10” = +265.040

Coordenada parcial de C. NPC = DH*Cos Z = 290.30 * Cos 292°14’22” = +109.872 EPC = DH*Sen Z = 290.30 * Sen 292°14’22” = -268.705 Los resultados obtenidos son coordenadas parciales de N y E de los punto B y C. Para obtener las coordenadas totales de B y C sumamos algebraicamente a las coordenadas de A las coordenadas de B y C en forma secuencial.

Coordenada total de B. NTB = NTA + NPB = 200 + 279.552 = 479.552 ETB = ETA + EPB = 500 + 265.040 = 765.040


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50

Coordenada total de C. NTC = NTB + NPC = 479.552 + 109.872 = 589.424 ETC = ETB + EPC = 765.04 - 268.705 = 496.335. El resumen de las coordenadas finales serán:

PTO N A 200.000 B 479.552 C 589.424 Con éstos valores representamos en

E 500.000 765.040 496.335. un sistema de coordenadas

en su proyección horizontal.

N 600N

C

500N

B 400N

300N

200N

A E 500E

600E

700E

800E

900E

Ejemplo 15 Calcular las coordenadas finales de una recta AB y graficar, Si el punto A tiene como coordenada 3500N y 5000E, el alineamiento


51

ING.CARLOS CALLE G.

esta orientado a 275°14’36” azimutales, se mide una distancia taquimétrica de 1615 mts, con un ángulo cenital de 96°09’45”.

SOLUCION. Los datos de la recta son: ZAB

= 275°14’36”

D incl. = 1615 mts. ∠cenit. = 96°09’45”

Según la fórmula NB=DH*CosZ y EB=DH*SenZ es necesario calcular la distancia horizontal. ⇒ DH = D*Cos2α

Sí: D = Distancia inclinada.(1615 mts) α = Angulo vertical.(90°-96°09’45”= - 6°09’45”) ∴ Remplazando en la fórmula:

DH = 1615*Cos2(-6°09’45”) = 1596.39 mts. Teniendo como información la Distancia Horizontal y Azimut podemos calcular las coordenadas parciales del punto B. NPB = DH*Cos Z EPB = DH*Sen Z Remplazando valores tenemos:


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NPB=1596.39*Cos 275°14’36” = 145.887 EPB=1596.39*Sen 275°14’36” = -1589.710

Las coordenadas totales de B será: NTB = NTA + NPB = 3500+145.887 = 3645.887 ETB = ETA + EPA = 5000-1589.71 = 3410.29

Resumen:

PUNTO

N

E

A

3500.000

5000.00

B

3645.887

3410.29

GRAFICANDO. N 4500N

B

4000N

A

3500N

3000N

E 3000E

4000E 3500E

2.12.- CALCULO DE AREAS.

5000E 4500E


53

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La superficie de un terreno se puede calcular por diferentes métodos, como: a) En el plano se desarrolla ó mide a escala todo el perímetro y luego con el planímetro se obtiene el área. b) Dividiendo el terreno en triángulos y rectángulos para aplicar las fórmulas geométricas y luego sumar toda las figuras descompuestas para obtener la superficie del terreno. c) Superficie a partir de coordenadas (abscisas y ordenadas) d) Las superficies de perímetro irregular ó curvo como los causes de Ríos se aplican la fórmula de Simpson ó Poncelet.

2.13.-CALCULO DE COTAS. Para representar un punto tridimensionalmente en el espacio se requiere conocer las coordenadas X, Y y Z, sí: X= E, Y= N y Z= Cota ó elevación sobre el nivel del mar. Las cotas en un levantamiento taquimétrico se calcula a partir de la siguiente relación. Cot B = Cot A + AI  DV – AS. Donde: Cot B = Cota a calcular Cot A = Cota inicial ó conocida. AI = Altura de instrumento. AS = Altura de señal.


54

ING.CARLOS CALLE G.

DV = Diferencia vertical.

AS

DV B

h A.I. A Ejemplo 16 Con un levantamiento taquimétrico se desea saber la diferencia de altura que existe entre A y B, si los datos de campo son: Distancia 322.50 mts, Angulo cenital 83°22’15”, AI= 1.48, AS= 1.95, además se conoce la altura absoluta del punto A, 3248.50 m.s.n.m.

SOLUCION. Según la relación se tiene: Cot B = Cot A + AI  DV – AS. ⇒ Cot B = ?

Cot A = 3248.50 AI = 1.48 AS = 1.95 DV = ? Calculamos DV =  D*Cos2α.


55

ING.CARLOS CALLE G.

α = Ang. Vertical.(90°-83°22’15”= 6°37’45”) ⇒ DV =  322.50*Cos2(6°37’45”) = 36.981 m.

Cot B = 3248.5+1.48+36.981-1.95= 3285.011 m. La diferencia de altura entre A y B será:

Respuesta: ∆h = Cot B – Cot A = 3285.011 – 3248.500 = 36.511 m.

2.14.- DIBUJO DE LA RED. Después de todo el proceso de cálculo de la Red se tiene que plasmar en un plano, una vez obtenido los resultados finales de coordenadas representamos de la siguiente manera: (en el gráfico se explica los pasos a seguir.) 3500 E

3600 E

3700 E

C(4710, 3505) 4700 N

B (4670, 3655)

4600N

A(4580

3485)


56

ING.CARLOS CALLE G.

1. Elegimos la escala adecuada 2. Calculamos el rango en el eje Norte y eje Este entre los valores máximos y mínimos. 3. Reticular las coordenadas de acuerdo a la escala elegida. 4. Graficar las coordenadas de los puntos del triángulo, A, B y C. 5. Unimos los puntos mediante rectas, y queda representado el polígono ó red. 2.15- CONFIGURACION. Después de elaborar la red de una zona, es necesario tomar detalles como casas, ríos, caminos, promontorios, quebradas y toda la información de campo a partir de los vértices de la Red, en caso de que un punto no es visible de ninguno de los vértices, es recomendable jalar un punto auxiliar para levantar los puntos ocultos. Por ejemplo, en el gráfico el Block A no es posible tomar detalles de los vértices, para ello es necesario poner un punto auxiliar de cualquiera de los vértices, tal como Aux-1 jalado del punto B, desde éste lugar se toma los detalles del Block A. A

B D A

C

C B

∃ Aux-1


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57

Desde uno ó varios vértice del triángulo se puede tomar todo los detalles necesarios del levantamiento topográfico, los mismos que deben ser anotados en una libreta de campo.

2.16.- LIBRETA DE CAMPO En una libreta de campo van los siguientes datos: 1 2

3 4 5 6 7

9 8

C

A B D

Detallamos la descripción de los recuadros. 1. Información general.- se anota: Marca del equipo, operadores, fecha, tiempo, y otra información que pueda ser útil. 2. Punto.- En la primera columna se anota los puntos topográficos de acuerdo al avance. 3. Distancia taquimétrica tomada con el Teodolito. 4. Angulo horizontal con respecto a la vista atrás.


58

ING.CARLOS CALLE G.

5. Angulo cenital, lectura del limbo vertical. 6. Altura del instrumento. 7. Altura de señal, se lee en la mira ó estádia desde el piso hasta el hilo estadimétrico central. 8. En la última columna se anota las observaciones de cada punto para identificar con rapidez. 9. Al lado derecho de la libreta se lleva la secuencia del levantamiento mediante un croquis.


59

ING.CARLOS CALLE G.

CAPITULO II CAMINOS GENERALIDADES Para estudio de vías en general es importante realizar ciertos levantamientos Topográficos, el proyectista encargado debe reunir todo los datos necesarios para la formulación del proyecto, dentro de lo primordial es el conocimiento del terreno, Levantamiento Topográfico para determinar todo los detalles y características planimétricas. Antes de iniciar un proyecto de vías se debe fijar y describir el punto inicial y final, estos puntos deben tener la suficiente elasticidad para adaptarse a las modificaciones o variaciones del trazo existente.

1.- ETAPAS DEL TRAZO. -La realización del proyecto obedece a una serie de etapas que comienza con el reconocimiento del terreno en los puntos extremos del proyecto estudiando todo los posibles emplazamientos de la futura vía, seguidamente se realiza un levantamiento detallado del trazo ubicando las estacas que señalan el eje, en algunos casos el levantamiento puede ser bastante completo definiendo el eje del camino sin riesgo a variación posterior, en otros casos es preciso realizar algunas variaciones en el eje, posterior al levantamiento se procesa en gabinete ubicando las estacas para el replanteo que consiste en señalar los puntos por donde seguirá el itinerario para el cual el


proyectista

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60

tendrá los cálculos de perfiles, secciones y

movimientos de tierra.

2.- CURVAS CIRCULARES HORIZONTALES. Dentro del diseño de alineamiento o ejes en caminos, ferrocarriles, canales, tuberías, se enlazan con curvas circulares horizontales, las curvas circulares por su naturaleza pueden ser simples o compuestas alternado con ciertas variantes de acuerdo al relieve del terreno.

2.1.-ELEMENTOS DE UNA CURVA PC

2 G /

R

O

G

N

M

E

I

T

PT

AA’,BB’= Alineamiento ó Dirección. O

= Punto medio.


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61

PC.

= Principio de curva.

PT.

= Principio de tangente.

T

= Tangente.

R

= Radio.

E

= External (M-V)

I

= Angulo de intersección.

V

= Punto de intersección.

G

= Grado de curva.

LC

= Longitud de curva (PC-M-PT)

C

= Cuerda (PC-N-PT)

Por principio Geométrico G = I

2.2.-DETERMINACIÓN DE LOS ELEMENTOS. - TANGENTE.- Dentro del alineamiento AA’ entre el tramo PC y V es la tangente, el mismo que se calcula con T

= R * Tg G 2

- CUERDA.- Tramo comprendido entre PC y PT. C = 2 R * Sen

-

G

2

LONGITUD DE CURVA. - Tramo comprendido entre (PC-M-PT) =

LC . =

ΠGR

180 °

- EXTERNA.- Distancia del punto máximo de la curva al vértice (M-V)


E = T * Tg

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62

G

4

Las fórmulas expuestas de los cuatro elementos de curva circular horizontal es fundamentalmente para hacer cálculos y ubicar los puntos sobre la curva para un posible replanteo.

EJEMPLO 1: Calcular los elementos de curva de un radio de 95 m, conociendo los alineamientos AA’=343°20’ Y BB’=295°35’, El PC. se encuentra en el alineamiento AA’

SOLUCION. 1) Croquis Por principio geométrico A Se tiene que G=I. ⇒ calculamos I en función de los Azimuts de AA’ Y BB’ I=180°-(343°20’-295°35’) I=132°15’ G=I=132°15’ 2) cálculo de elementos

343°20’ PC R=95m

B’ V

O

I PT 295°35’

B

A’


T = R * Tg

G

C = 2R * Sen LC =

ΠGR 180°

E = T * Tg

= 95 * Tg

2

G

=

G 4

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63

132°15' 2

= 2 * 95 * Sen

2 Π *132°15'*95 180° = 214.632 * Tg

= 214.632 m.

132°15' 2

= 173.742 m.

= 219.279 m.

132°15' 4

= 139.717 m.

EJEMPLO 2. En el problema anterior ubicar las estacas sobre la curva cada 30 mts. replanteando desde el PC.

SOLUCION. 1) La longitud de curva en el problema anterior es 219.279 mts, se pide replantear cada 30 mts. ⇒ N° de estacas = 219.279 / 30 = 7.3093.

se tiene 7 tramos cada 30 mts y un tramo de 9.279 mts. 2) Calculamos el grado de curva (G) para 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 y 219,279mts, Si para 219.279mts es 132°15’, entonces para 30mts será 18°05’36.2”; (se obtiene por regla de tres simple), con igual procedimiento se calcula para las demás distancias.


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64

G / 2 G 7 G / 2 6 / 2

G

G 5 / G 4 2 / 2

3 /

2 G 2 / 2 G 1 / 2

4

3

2

5 6

1 7

PC

PT G

7 G

6 G

5 G

m. 5 9 = R

4 G

3 G

2 G

1 G

O

3) Cálculo de cuerdas para cada punto. Por la fórmula C = 2R * Sen G/2

LONGITUD CUERDA GRADO DE DE CURVA (m). CURVA PC-1 30 29.875 18°05’36.2” PC-2 60 59.008 36°11’12.4” PC-3 90 86.672 54°16’40.6” PC-4 120 112.180 72°22’24.8” PC-5 150 134.897 90°28’01” PC-6 180 154.257 108°33’37.2 PC-7 210 169.781 126°39’13.4” PC-PT 219.279 173.742 132°15’00” 2.3.-REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES PUNTO

HORIZONTALES.


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65

Conociendo los elementos de curva circular horizontal podemos calcular el estacado del tramo sobre la longitud de la curva, existen diferentes métodos para replantear las curvas circulares, por condición del terreno enunciaremos los dos métodos más usuales por ángulo de deflexión; el primero es cuando la visibilidad es total de la curva desde el PC. y el segundo método es cuando no es visible la curva desde el PC. (con puntos de cambio). 3.-REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIÓN CON

VISIBILIDAD DESDE EL PRINCIPIO DE CURVA (PC.)

I

G / 2

T A N G E N T E

G 3 / 2

G 2 / 2 G 1 / 2

2

1

3 PC PT

G

O D I R A

3

G

2

G

1

G

O

Por principio básico para replantear una curva circular debemos tener como información el grado de curva para una determinada longitud de arco y cuerda, por geometría tenemos que G = I para ubicar el punto 1 se debe calcular la cuerda PC-1 en función al


66

ING.CARLOS CALLE G.

grado de curva G1, de igual manera para ubicar el punto 2 calcular la cuerda PC-2 en función del grado de curva G2, así sucesivamente hasta la cuerda mayor PC-PT. Para replantear se estaciona el teodolito en PC con el limbo horizontal en el alineamiento o Tangente con 0°0’0”, desde el cual giramos al punto 1 con un ángulo de G1/2 (mitad del grado de curva para la longitud del arco.) y con una distancia de PC-1 (cuerda). Para el punto 2 medimos un ángulo de G2/2 y una cuerda de PC-2, de ésta manera procedemos para los demás puntos.

EJEMPLO 3. Se tiene una curva circular de 90 m. de radio y un ángulo de intersección de 130°, se quiere replantear cada 60 m.

SOLUCION 1) Graficamos y calculamos los elementos de curva. Si G=I ⇒ G = 130°


T = R * Tg

G 2

= 90 * Tg

C = 2 * R * Sen

ING.CARLOS CALLE G.

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G

130° 2

= 193 .006 m.

= 2 * 90 * Sen

130 °

= 163 .135m.

2 2 ΠGR Π *130 ° * 90 LC = = = 204.204 m. 180 ° 180 ° G 130° E = T * Tg = 193.006 * Tg = 122 .958 m. 4 4

T = 1 9 3 . 0 0 6 m .

6 5 7 5 ° ° 1 0 0 ' 7 ' 4 0 0 3 8 4 . " ° 1 1 3 " 1 9 ' 4 ° 0 9 . 5 ' 5 " 5 4 . 8 "

204.204

m. 5 9 9 8 8. m. 5 6 0 3 1. 1 m. 1 5 6 4 1. 5 1

163.135

° 0 3 " 1 5 = G 8. " 2 9 ' 3 5 " ' 3 5 3 ° . 2 4 9 ° 1 4 6 1 ' 7 = 1 = 3 1 2 G ° G 8 3 = 1 G

2) Se pide replantear cada 60 mts. ⇒ No de estacas = LC/60m.= 204.204/60 = 3.4034

Se ubicará 3 puntos cada 60 mts y un tramo de 24.204m.


68

ING.CARLOS CALLE G.

3) Calcular el grado de curva (G) y cuerda para una longitud de arco de 60, 120, 180 y 204.204m.de acuerdo al cálculo de estacas. Si para una longitud de arco de 204.204m. corresponde un ángulo de 130° y para 60m de arco corresponderá 38°11’49.5”(regla de tres simple), con el mismo procedimiento se calcula para 120, 180m. Para calcular la cuerda aplicamos su fórmula: C=2RSenG/2. Del punto PC-1= 2*90*Sen38°11’49.5”/2 = 58.895m. PC-2= 2*90*Sen76°23’39”/2 = 111.306m. de esta manera calculamos las cuerdas.

RESUMEN. PTOS

LONG. DE CURVA.

GRADO DE CURVA.

CUERDA (m)

ÁNG. DEFLEX. G/2

PC-1 60 38°11’49.5” 58.895 19°05’54.8” PC-2 120 76°23’39” 111.306 38°11’49.5” PC-3 180 114°35’28.5” 151.465 57°17’44.3” PC-PT 204.204 130°00’00” 163.135 65°00’00” Para replantear, seguir el siguiente procedimiento: Estacionar el teodolito en el Principio de Curva (PC) con 0°00’00” en el alineamiento (V), giramos al punto 1 con un ángulo de 19°05’54.8” y una distancia (cuerda) de 58.895m. Para el punto 2 medimos un ángulo de 38°11’49.5” y una cuerda de 111.306m, para el punto 3 se mide un ángulo de 57°17’44.3” y una distancia (cuerda) de 151.45m. y al PT tenemos la mitad


ING.CARLOS CALLE G.

69

del grado de curva (G) 65° y una cuerda principal de 163.135m. de esta manera queda demostrado.

4.- REPLANTEO POR ANGULOS DE DEFLEXIÓN CON PUNTOS DE CAMBIO. Por principio geométrico tenemos que el ángulo de PC al punto 1 es igual a G/2, o sea la mitad del grado de curva G. En el gráfico para la longitud de arco PC-1 el ángulo de deflexión será G1/2, mitad del grado de curva G1, El ángulo de deflexión en el punto 1 será (G1+G2)/2, La deflexión para el punto 2 será (G2+G3)/2, así sucesivamente hasta el último punto.

/ 2 1 G

G ( G 1+

2

)/ 2

( G 2 + G 3 )/ 2

EJEMPLO.4.


ING.CARLOS CALLE G.

70

En el problema anterior, replantear con puntos de cambio suponiendo no existe visibilidad al extremo opuesto desde PC.

SOLUCION. 1) En el problema anterior tenemos ubicado tres puntos cada 60 mts. y un tramo de 24.204 mts. 2) El grado de curva calculado para 60 mts. es 38°11’49.5” 3) El grado de curva para 24.204 mts. es 15°24’31.4” 4) Las cuerdas calculadas para 60 mts. de arco es 58.895 mts. y para 24.204 mts. es 24.131 mts. 5) Calculamos la deflexión para cada punto de acuerdo al principio geométrico. Angulo de deflexión en PC = G1/2 Angulo de deflexión en 1 = (G1+G2)/2 Angulo de deflexión en 2 = (G2+G3)/2 Angulo de deflexión en 3 = (G3+G4)/2

RESUMEN. PTOS

LONG. DE CURVA

GADO DE CURVA

CUERDA (m)

ÁNG. DE DEFLEXION

PC-1 1-2 2-3 3-PT

60 60 60 24.204

38°11’49.5” 38°11’49.5” 38°11’49.5” 15°24’31.4”

58.895 58.895 58.895 24.131

19°15’54.8” 38°11’49.5” 38°11’49.5” 26°48’10.45”


ING.CARLOS CALLE G.

71

V

.

G

/ 2

1

.

T

1

I

/ 2 2 ) G 1 + ( G 2 .

T

(G2+G 3 )/2

58.895

5 8 .8 9 5

5 8 9 . 5 8

3 2 4 . 1 3

PC G

G2

R

1

G

G 3

G

4

R=90m.

PT .

( G 3 + G 4 ) / 2

O

Para replantear se procede de la siguiente manera: Estacionar el teodolito en el PC. Con el limbo horizontal en 0°00’00” en el alineamiento o vista al vértice V , luego se gira hacia el punto 1 con un ángulo G1/2 = 19°15’54.8” y una distancia de 58.895 mts (cuerda), Se traslada el teodolito al punto 1 y se visa al PC con 0°00’00” basculando el anteojo 180° quedando en su alineamiento o proyección, luego se gira hacia el punto 2 con un ángulo de (G1+G2)/2 = 38°11’49.5” con una distancia igual al anterior de 58.895 mts. trasladamos el equipo al punto 2 con vista atrás a 1 y 0°00’00” en el limbo horizontal, basculamos 180° y giramos al punto 3 con un ángulo de (G2+G3)/2=38°11’49.5” y una distancia


72

ING.CARLOS CALLE G.

de 58.895 mts. y finalmente ubicamos el equipo en el último

punto 3, con el mismo procedimiento medimos un ángulo (G3+G4)/2=26°48’10.45” y una distancia de 24.131 mts, de esta manera queda replanteado los tres puntos sobre la curva.

EJEMPLO 5. En el levantamiento del eje de una carretera se tiene el rumbo del PC al punto de intersección V N68°32’E y del punto de intersección al PT S16°44’W, de acuerdo a las características del terreno pide diseñar una carretera de 120 mts de radio y replantear cada 35 mts. desde el PC. SOLUCION.

N68°32 'E I

128°12'

w ' 4 4 ° 6 1 S

G

O

1 2 0 m .

Realizamos su croquis y calculamos G a partir de sus orientaciones. 1) I=128°12’ (calculado en función a sus rumbos.) 2) Cálculo de sus elementos de curva.


T = R * Tg

G 2

= 120 * Tg

C = 2 * R * Sen LC =

ΠRG 180°

E = T * Tg

=

G 4

ING.CARLOS CALLE G.

73

G

128°12' 2

= 2 *120 * Sen

2 Π *120 *128°12' 180°

= 247.13 * Tg

= 247.130 mts. 128°12' 2

= 215.894 mts.

= 268.501 mts.

128°12' 4

= 154.724 mts.

3) Cálculo del número de estacas. Conociendo la longitud de curva calculamos el número de estacas No de estac.= 268.501/35 = 7.671, entonces tenemos 7 tramos de 35 mts y uno de 23.501 m. 4) Cálculo del grado de curva para 35 m. y 23.501 m. Si para 268.501 (LC) corresponde un grado de 128°12’ y para 35 m. será 16°42’40.67”, de igual manera el grado para 23.501 m será 11°13’16.31”.(por regla de tres simple) 5) Cálculo de cuerda para cada tramo desde PC a 1, 2, 3...y PT. con la fórmula C=2R*SenG/2. Luego, de PC-1= 2*120*Sen16°42’40.67”/2=34.876 m. De PC-2= 2*120*Sen33°25’21.34”/2=69.012 m. .......... .......... de PC-PT= 2*120*Sen128°12’/2=215.894 m.


ING.CARLOS CALLE G.

74

RESUMEN DE LOS CALCULOS. PTO

PC-1 PC-2 PC-3

LONG. CURVA (m)

GRADO DE CURVA (° ’ ”)

CUERDA (m)

(G/2) ÁNG. DE DEFLEXIÓN

35 70 105

16°42’40.67” 33°25’21.34” 50°08’02.01”

34.876 69.012 101.682

8°21’20.4” 16°42’40.7” 25°04’01”


ING.CARLOS CALLE G.

75

PC-4 PC-5 PC-6 PC-7

140 66°50’42.68” 175 83°33’23.35” 210 100°16’04.02” 245 116°58’44.69” PC-PT 268.501 128°12’00” 6) Cálculo del ángulo de deflexión.

132.194 33°25’21.3” 164.530 41°46’41.7” 184.211 50°08’02.0” 204.611 58°29’22.3” 215.894 64°06’00” Este ángulo viene a ser la

mitad G/2 del grado de curva G. como muestra en la última columna del cuadro. Si, del PC-1, G es 16°42’40.7” y G/2 es 8°21’20.4”, PC-2, G es 33°25’21.2” y G/2 es 16°42’40.7”, así sucesivamente hasta el último punto.

CONCLUSIÓN. Para replantear ubicamos el teodolito en PC. Visamos el alineamiento ó el vértice V con 0°00’00” en el limbo horizontal luego giramos al punto 1 con un ángulo G1/2 (8°21’20.4”) y una distancia de 34.876 m. (cuerda), para el punto 2 medimos con un ángulo de G2/2 (16°42’40.7”) y una cuerda de 69.012 m. así sucesivamente hasta visar el PT con un ángulo G/2 (64°06’) y una cuerda de 215.894 m.

EJEMPLO 6. En el problema anterior calcular los ángulos de deflexión con puntos de cambio y sus respectivas cuerdas.

SOLUCION. 1) Según el problema anterior se tiene 7 tramos de 35 mts y un tramo de 23.501 mts.


ING.CARLOS CALLE G.

76

2) El grado de curva para 35 y 23.501 mts calculado es 16°42’40.7” y 11°13’15.31” respectivamente. 3) Las cuerdas para los arcos de 35 y 23.501 mts son: 34.876 y 23.464 mts respectivamente. 4) Para calcular el ángulo de deflexión para cada punto se aplica de acuerdo al principio Geométrico de la siguiente manera: V

N68°32' E

PC 1

(G1+G 2)/2

2 3 1 2 0 M .

' 2 1 ° 8 2 1

G 1/2

w ' 4 4 ° 6 1 S

(G2+G3)/2

4 G1

5

G 2 G

3

(G3+G 4)/2

G 4

G 5

6

G 6

O

(G4+G 5)/2

7

G 8

7

G

(G5+G 6)/2

PT (G6+G7)/2

(G7+G 8)/2

Angulo de deflexión. en PC es G1/2= 8°21’20.35” Angulo de deflexión. en 1 es (G1+G2)/2=16°42’40.7” Angulo de deflexión. en 2 es (G2+G3)/2=16°42’40.7 Hasta el punto 6 el valor es el mismo por tener los valores angulares iguales, variando en el último tramo, en el punto 7 de (G7+G8)/2=13°57’58”


ING.CARLOS CALLE G.

77

5) Para replantear se inicia en el PC, desde el cual se visa al vértice o alineamiento con 0°00’00”, luego se gira al punto 1 con un ángulo de G1/2 de 8°21’20.35” y una cuerda de 34.874 mts. queda fijado el punto, luego se traslada el teodolito al punto 1 visando al PC con el limbo Horizontal en 180°00’00”, en ésta basculamos el anteojo 180° quedando en su proyección en 0°0’00”, girar al punto 2 midiendo un ángulo (G1+G2)/2 = 16°42’40.7” y una cuerda de 34.876 mts. así sucesivamente hasta llegar hasta el penúltimo punto con los mismos valores por tener distancias y grados de curvas iguales, en el último tramo,

punto

7

varía

el

ángulo

y

la

cuerda

en

(G7+G8)/2=13°57’58” y una distancia de 23.464 mts. de esta manera queda establecido todo los puntos de la curva.

6) RESUMEN. PUNTO

LONG. DE CURVA

CUERDA (m).

PC-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-PT

35 35 35 35 35 35 35 23.501

34.876 34.876 34.876 34.876 34.876 34.876 34.876 23.464

GRADO DE CURVA

ÁNG. DE DEFLEXIÓN.

16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 11°13’15.31”

8°21’20.35” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 16°42’40.7” 13°57’58”


ING.CARLOS CALLE G.

78

EJEMPLO 7. La ubicación de estacas en un alineamiento que tiene un rumbo de S62°20’E, Llegando al punto de intersección con una longitud del proyecto de 3460 m. o correspondiente a la progresiva Km 3+460m. a partir de ésta, cambia de dirección a S42°51’W, se quiere replantear cada 25 mts. en cantidades enteras con un radio de 80 mts, calcular las progresivas, ángulo de deflexión y cuerdas para cada punto.

SOLUCION.

P C

O

G

10 4 .6 0

m S 62 . ° 20 ' E

V

1 4 6 . 8 6 4

1 2 7 . 0 4 2

I

m .

W ' 1 5 ° 2 4 S

8 0 m

P T

10 5 ° 1 1'


79

ING.CARLOS CALLE G.

1) La distancia del proyecto hasta el punto de intersección “V” es 3460 mts correspondiente a la progresiva Km 3+460 2) El grado de curva “G” es igual a I=62°20’+42°51’=105°11’, entonces G=I= 105°11’ 3) cálculo de los elementos de curva T = RTg

G

= 104.60 m. 2 Π * 80 * 105°11' LC = = = 146.864 m. 180° 180° G 105°11' C = 2RSen = 2 * 80 * Sen = 127.092 m. 2 2 G 105°11' E = T * Tg = 104.60 * Tg = 51.687 m. 4 4 2 ΠRG

= 80Tg

105°11'

4) Al punto de intersección del proyecto se llega con 3460 m. igual a la progresiva Km 3+460, para llegar al PC. restamos la longitud de la tangente (104.60m.) ⇒ 3460m.-104.60m.= 3355.40m. = Km3+355.4 (progresiva) ∴ el PC tendrá como progresiva Km 3+355.4

5) De acuerdo al planteamiento del problema pide ubicar las estacas cada 25 mts. enteros, el siguiente punto sobre la curva estacada cada 25 mts. será 3375= Km3+375, para llegar a éste punto sumamos 19.6 m. que resulta de restar 33753355.40=19.60 m.(la cantidad entera se refiere al múltiplo de 25 en el kilometraje, por lo tanto el inmediato superior de 3355.40 es 3375 m.)


ING.CARLOS CALLE G.

80

6) Los siguientes puntos sobre la curva será: (en el cuadro se muestra desde el punto 1).

PUNTO PC 1 2 3 4 5 6 PT

DISTANCIA 3355.4 3375 3400 3425 3450 3475 3500 3502.264

PROGRESIVA. 3+355.4 3+375 3+400 3+425 3+450 3+475 3+500 3+502.3 V

N62°20' E

PC

105°11'

1

2

3 8 0 m .

G1

W ' 1 5 ° 2 4 S

4

G2 G3 G4 G5

O

G

5

G6

PTOS PC 1

PROGRESIVA 3+355.4 3+375

2 3

3+400 3+425

4

3+450

5 6

3+475 3+500

PT 3+502.3 6

PT

7) Para llegar al PT se suma la Longitud de curva al PC, entonces, 3355.4+146.864=3502.264 (Km 3+502.3), Hasta el momento


ING.CARLOS CALLE G.

81

se ha calculado las distancias sobre la curva y sus progresivas de los seis puntos, del PC al PT. 8) Para replantear es necesario calcular el grado de curva y sus respectivas cuerdas de cada punto, para ello aplicaremos las fórmulas conocidas, para llegar al punto 1 (Km 3+375 m.) se tiene una distancia de 19.6 m. desde el PC(Km 3+355.4); es importante hacer notar que en la longitud de curva existe 3 tramos diferentes el primer tramo (19.6m.), tramos intermedios (25 m.) y el tramo final (2.264m.), por lo tanto calcular el grado de curva y cuerda para cada arco desde PC. 9) Cálculo de G para un arco de 19.6m. (PC-1) Si para 146.864 m. se tiene un ángulo “G” de 105°11’ y para 19.6 m. será 14°02’14.75”; y para el punto 2 (19.6 + 25 m = 44.60), distancia del arco (PC-2) (44.60m.), su grado de curva será 31°56’32.35”, así sucesivamente hasta llegar al último tramo. Para calcular las cuerdas para cada grado de curva aplicamos la fórmula conocida, C=2RSenG/2, para el primer tramo: CPC-1= 2*80*Sen14°02”14.75”/2 = 19.551 m. Para el punto 2 CPC-2 = 2*80*Sen31°56’32.35”/2 = 44.025 m. de esta manera para los demás puntos.

RESUMEN. PTO

LONG. DE CURVA

GRADO DE CURVA (G)

CUERDA (m)

ÁNG. DE DEFLEX.(G/2)


ING.CARLOS CALLE G.

82

PC-1 19.60 14°02’14.75” PC-2 44.60 31°56’32.35” PC-3 69.60 49°50’49.94” PC-4 94.60 67°45’07.53” PC-5 119.60 85°39’25.13” PC-6 144.60 103°33’42.72” PC-PT 146.864 105°11’00” 10) CONCLUSION.

19.551 44.025 67.426 89.184 108.769 125.704 127.092

7°01’07.38” 15°58’16.18” 24°55’24.97” 33°52’33.77” 42°49’42.57” 51°46’51.36” 52°35’30.00”

Después de calcular la cuerda y G/2 para cada longitud de curva se procede a replantear de la siguiente manera: Estacionado el teodolito en PC que corresponde a la progresiva Km 3+355.4 se visa al alineamiento o punto de intersección con el limbo horizontal en 0°00’00”, giramos al punto 1 que corresponde a la progresiva Km 3+375 con un ángulo G/2 de 7°01’07.38” con una distancia de 19.551 equivalente a su cuerda, luego visamos al punto 2 que corresponde a la progresiva Km 3+400. con un ángulo de G/2(para una longitud de curva de 44.60m.) de 15°58’16.18” y una cuerda de 44.025 m. así sucesivamente hasta llegar al PT que corresponde a la progresiva Km 3+502.3 con un ángulo G/2 de 52°35’30” y una cuerda de 127.092m.

EJEMPLO 8. En el problema anterior con los elementos de curva calculados replantear cada 30 mts. en cantidades enteras con puntos de cambio. SOLUCION:


ING.CARLOS CALLE G.

83

1) Graficando el croquis, se tiene calculado los elementos de curva: T = 104.60 mts. LC = 146.864 mts. C = 127.092 mts. E = 51.687 mts.

V PC

N62°20' E

1

29.824

4.599

2

2 9 .8 2 4

(G2+G 3 )/2 3 2 9 . 8 2 4

G 1

G 2

105°11'

G 1/2 (G1+G 2)/2

(G3+G 4)/2 W ' 1 5 ° 2 4 S

4

G

3 2 9 . 8 2 4

G 4

G

O

(G4+G5)/2

5

5 6

G

8 0 m .

PTOS PC 1 2 3

PROGRESIVA 3+355.4 3+360 3+390 3+420

4

3+450 5 3+480 PT 3+502.3

2 9 1 . 2 2

(G5 +G 6)/2

PT

La progresiva de PC es Km 3+355.4 2) La progresiva de PT es Km 3+502.3, ésta se obtiene sumando la Longitud de Curva al PC. 3) El primer punto sobre la curva es Km 3+360 por ser un cantidad inmediata entera que se obtiene sumando 4.60 mts


ING.CARLOS CALLE G.

84

(3355.4 + 4.6 = 3360 = Km 3+360, en la siguiente tabla representamos las distancia y su respectiva progresiva.

PUNTOS DISTANCIA PROGRESIVA PC 3355.4 3+355.4 1 3360 3+360 2 3390 3+390 3 3420 3+420 4 3450 3+450 5 3480 3+480 PT 3502.264 3+502.3 4) Calculamos G y cuerda para cada Longitud de curva aplicando las fórmulas conocidas PTO

LOG. DE CURVA (m)

GRADO DE CURVA (G)

CUERDA (m)

ÁNG. DE DEFLEX.

PC-1 4.60 3°17’40.20” 4.599 1°38’50.1” 1-2 30 21°29’09.11” 29.824 12°23’24.66” 2-3 30 21°29’09.11” 29.824 21°29’09.11” 3-4 30 21°29’09.11” 29.824 21°29’09.11 4-5 30 21°29’09.11” 29.824 21°29’09.11 5-PT 22.264 15°56’43.35” 22.192 18°42’56.23” 5) CONCLUSION. Calculado los ángulos de deflexión para cada punto y sus respectivas cuerdas iniciamos el replanteo estacionar el teodolito en PC, cuya progresiva es Km 3+355.4 desde el cual hacemos la vista atrás al punto de intersección con el limbo horizontal en 0°00’00” luego giramos al punto 1 (Km3+360) con un ángulo G1/2 de (1°38’50.1”) y una distancia de 4.599 equivalente a su cuerda, seguidamente trasladamos el equipo al punto 1 desde el cual hacemos vista atrás al PC con 180°00’00” basculando el anteojo 180° queda en su proyección


ING.CARLOS CALLE G.

85

en 0°0’0”, desde ésta posición medimos un ángulo de 12°23’24.66”(G1+G2)/2

y

su

cuerda

de

29.824

mts.

seguidamente nos ubicamos en el punto 2, con el mismo procedimiento medimos un ángulo de 21°29’09.11” (G2+G3)/2 y su respectiva cuerda de 29.824 mts, así sucesivamente hasta llegar al último punto, quedando fijado las estacas sobre la curva cada 30 m. con progresivas enteras.

EJEMPLO 9. Tomando como datos del último ejemplo es importante conocer sus coordenadas de los puntos estacados sobre la curva cada 25 mts enteros (PC,1,2,3,4,5,6 y PT), para ello se conocen las coordenadas del vértice (2345N, 3425E).

SOLUCION. 1) Croquis, Conociendo la orientación del alineamiento o Tangente PC-V de S62°20”E y su distancio T de 104.60 m. se calcula las coordenadas de PC.


ING.CARLOS CALLE G.

86

V S62°20' E

PC

PTOS PC 1

V(2345, 3425) I

1

105°11' 2

3

PROGRESIVA 3+355.4 3+375

2 3

3+400 3+425

4

3+450

5 6

3+475 3+500

PT 3+502.3

8 0 m .

W ' 1 5 ° 2 4 S

4

G

5

O 6

PUNTOS AZIMUT V V-PC 297°40"00.00" PC-1 124°41'07.38" PC-2 133°38'16.18" PC-3 142°35'24.97" PC-4 151°32'33.77" PC-5 160°29'42.57" PC-6 169°26'51.36" PC-PT 170°15'30.00"

COORDENADAS E N 2345.000 3425.000 2393.569 3332.360 2382.443 3348.437 2363.187 3364.222 2340.012 3373.322 2315.161 3374.856 2291.042 3368.671 2269.991 3355.351 2268.310 3353.865

PT

Calculamos el azimut de V-PC. ⇒ Sí Rumbo de PC-V = S62°20’E

V-PC = N62°20’W ∴Azimut V-PC = 297°40’

2) Coordenadas parciales de PC, N = DH*Cos Z;

E = DH*SenZ.

Remplazando valores. N = 104.60*Cos297°40’ = 48.569 E = 104.60*Sen297°40’ = -92.64

Si DH = T


ING.CARLOS CALLE G.

87

3) Coordenadas totales de PC. N = 2345+48.569 = 2393.569 E = 3425-92.640 = 3332.360 4) Desde PC es posible lanzar las coordenadas a los puntos 1,2,...y PT. Calculando para ellos sus azimutes y cuerdas respectivas. ⇒ ZPC-1 = ZV-PC + Áng.D. ± 180°

Áng.D = Angulo de deflexión para cada punto desde PC. Remplazando valores tenemos: ZPC-1 = 297°40’+7°01’07.38”-180°=124°41’07.38” Con el mismo procedimiento se calcula el azimut para cada punto. 5) La Distancia Horizontal es la cuerda para cada grado de curva calculando con las fórmulas conocidas. 6) Cuadro de valores angulares, ángulo de deflexión, Azimut y distancia horizontal ó cuerda.

PUNTOS V-PC PC-1 PC-2 PC-3 PC-4 PC-5 PC-6

ÁNG. D.= G/2 7°01’07.38” 15°58’16.18” 24°55’24.97” 33°52’33.77” 42°49’42.57” 51°46’51.36”

AZIMUT 297°40’ 124°41’07.38” 133°38’16.18” 142°35’24.97” 151°32’33.77” 160°29’42.57” 169°26’51.36”

DH=C 19.551 44.025 67.426 89.184 108.769 125.704


ING.CARLOS CALLE G.

88

PC-PT 52°35’30.00” 170°15’30.00” 127.092 7) Las coordenadas de los puntos se calcula con el procedimiento indicado anteriormente, obteniendo como resultado.

PUNTO V PC 1 2 3 4 5 6 PT O

NORTE 2345.000 2393.569 2382.443 2363.187 2340.012 2315.161 2291.042 2269.991 2268.31 2322.716

ESTE 3425.000 3332.36 3348.437 3364.222 3373.322 3374.856 3368.677 3355.381 3353.865 3295.214

PROBLEMA PROPUESTO. 1).-En un levantamiento del eje de una carretera se llega al Km 5 cuyas coordenadas son (3248N,2112E), continuando se llega al punto de intersección V, con coordenadas (2950N,2490E), de éste punto cambia de dirección a S63°03’03”W, se desea replantear la curva circular de 75 m. de radio cada 20 mts (en cantidades enteras), indicar sus progresivas, además sus coordenadas de cada punto.

Rspta: PTO PC

PROGRES COORDENADA Km N E 5+267.7 3042.096 2417.395

1

5+280

3051.071

2409.043

2

5+300

3062.432

2392.656


ING.CARLOS CALLE G.

89

3

5+320

3069.074

2373.855

4

5+340

3070.526

2353.968

5

5+360

3066.686

2334.401

6

5+380

3057.826

2316.537

7

5+400

3044.572

2301.640

PT

5+418

3029.654

2291.644

5.- SECCIONES LONGITUDINALES. Los perfiles longitudinales a partir de curvas de nivel

se

obtienen de la siguiente manera: -

Las curvas de nivel están ubicadas en el plano horizontal.

-

Los perfiles se dibujan en el plano vertical.

-

Primero, graficar un sistema de coordenadas X e Y donde X = distancia horizontal y el eje Y = cota o altitud.

-

En el gráfico, X viene a ser la distancia horizontal del eje del perfil AB.

-

En el eje Y representamos desde la cota más baja 3850 hasta la curva 3890 a una escala determinada.

-

La sección AB en el plano horizontal corta a las curvas de nivel en diferentes puntos.

-

De

las

intersecciones

respectivas

se

levantan

perpendiculares hacia el plano vertical hasta cortas su respectiva altura.


-

90

ING.CARLOS CALLE G.

Levantado toda las intersecciones de las curvas, a mano alzada se une los puntos, donde queda representado el perfil longitudinal del eje AB.

-

Con el mismo principio se puede obtener el perfil longitudinal de cualquier sección del plano horizontal.

-

Las secciones transversales se levantan perpendicular al eje a distancias uniformes o de acuerdo a la característica del levantamiento y con el mismo principio anterior se determina su sección para el cálculo de áreas y volúmenes.

SECCION LONGITUDINAL AB n.s.n.m. 3900 3890 3880 3870 3860 3850 S 46°50’40”E 3840


ING.CARLOS CALLE G.

91

A

B

3850

S 46°50’40”E

3860 3860 3870 3880 3890

3850 3870 3880 3890

VISTA EN PLANTA En

los

levantamientos

Topográficos

para

carreteras,

ferrocarriles, canales etc. Se colocan estacas o señales a intervalos regulares a lo largo del eje, estos pueden ser cada 100 m. a veces menores entre 50, 25, 10 mts ó de acuerdo a las características del terreno y necesidad del usuario, en cada estaca se pinta el número de la estación y fracción, por ejemplo si el punto es 1280 se numera de éste modo “1+280” ó si el punto ésta en el Kilómetro 2 y 350 mts, se numera así Km 2+350m


ING.CARLOS CALLE G.

92

5 + 1 4

5 + 1 2

PROGRESIVAS 2 0 + 5

5 + 0 0

Km 5

0 2 0 . 5

4 0 + 5

0 4 0 . 5

6 0 + 5

0 6 0 . 5

5 + 0 8

5 . 1 2 0

5 + 1 0

5 . 1 4 0

5 . 1 0 0 0 8 0 . 5

KILOMETRAJE

6.- SECCIONES TRANSVERSALES. Dentro de un proyecto es frecuente obtener el área y volumen a moverse para una determinada obra por lo que es necesario realizar un corte transversal trazando cada cierto tramo en forma perpendicular al eje de la vía con una longitud promedio de 50 a 60 mts. Obteniendo el perfil de éste corte se puede ubicar la cota del terreno sobre el eje desde el cual se puede calcular la altura de corte o relleno y llegar hasta la rasante.

7.- RASANTE.


ING.CARLOS CALLE G.

93

Es la pendiente regular de la línea sobre el cual se diseña la plataforma de la vía, normalmente la rasante se expresa en % ó sea, si la pendiente es 8% significa que en 100 mts sube 8 mts.

EJE

EJE

RASANTE

EJE

CT CT CR

CR

C.T = COTA TERRENO AREA DE CORTE

CR CT

C.R = COTA RASANTE AREA DE RELLENO

8.- AREAS Y VOLÚMENES. El cálculo de áreas y volúmenes es de vital importancia para determinar el movimiento de tierra y costos, esto se obtiene a partir de las secciones transversales. Para el cálculo de áreas de las secciones de corte y relleno se procede a calcular con las


ING.CARLOS CALLE G.

94

fórmulas geométricas conocidas y el volumen de acuerdo a la explicación siguiente. VC = Volumen de corte VR = Volumen de relleno D = Distancia (eje) de separación de corte a corte AC = Area de corte AR = Area de relleno VC = VR =

AC1 + AC2 2 AR 1 + AR 2 2

*D *D

A. I V E D E J E

E T R O C E D N E M U L O V

AREA DE CORTE

AREA DE RELLENO

E D N E M U L O V

O N E L L E R

T. S I D

E R T N E

S E C C.

B

C. C E S

S E CC .A

En el corte transversal en la sección 5+00 se tiene un área de corte y relleno “AC y AR” igual en la sección 5+02, entre los

Topografia Triangulacion-Caminos IMPRIMIR

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