1
TÍNH TOÁN CỌC MỀM CHỊU LỰ C NGANG CÓ XÉT ẢNH HƯỞ NG NG CỦA LỰ C DỌC TR ỤC BẰNG PHƯƠ NG NG PHÁP MA TR ẬN CHUYỂN TIẾP Ts. Phan Dũ Dũng
1. Giớ i thiệu 1.1 Trong tính toán móng cọc, cọc chịu lực ngang là một bài toán vừa mang tính lý thuyết cơ bản vừa mang tính thực hành thực tế. Những nét chính phát triển các nghiên cứu về bài toán u ốn ngang-dọc của cọc có thể xem trong [2] và [4]. 1.2 Đối tượ ng ng của bài viết này sẽ là các c ọc mềm chịu tác dụng của tổ hợ p tải tr ọng (thẳng đứng, nằm ngang và momen) đóng trong nền biến dạng đàn hồi cục bộ nhiều ơ đồ: lớ p (xem hình 1a). Bài toán như thế có thể đượ c giải theo hai sơ đồ 1. Sơ đồ ơ đồ dầm - g ối: t ươ ng ng tác giữa c ọc – nền khi chịu l ực ngang đượ c r ờ ời r ạc hóa vớ i nền bở i các gối chống chuyển vị ngang và chống chuyển vị xoay đặt tại trung điểm của mỗi đoạn cọc. Bằng cách như thế, cọc chịu lực ngang trong nền đàn h ồi đượ c chuyển v ề dầm liên tục nhiều nh ị p p trên các g ối đàn h ồi nh ư hình 1b. 2. Sơ đồ ơ đồ dầm - nền: tươ ng ng tác giữa cọc – nền khi chịu lực ngang vẫn giữ đượ c tính liên tục nh ưng trong mỗi đoạn c ọc, giá tr ị đặc tr ưng cho hệ số nền là một h ằng số. Bằng cách như thế, cọc chịu lực ngang trong nền đàn hồi là một dầm trên nền đàn hồi vớ i hệ số nền có dạng bậc như hình 1c. Trong quá trình tính toán, cần phân biệt các tham s ố đặc tr ưng cho sự tươ ng ng tác giữa cọc – nền sau đây:
• Hệ số tỷ lệ của hệ số nền, k (kN/m4); • Hệ số phản lực nền, k z (kN/m3); • Mô đun phản lực nền, Esz (kN/m2); • Hệ số độ cứng chống chuyển vị ngang của gối đàn hồi, Cnz (kN/m); • Hệ số độ cứng chống chuyển vị xoay của gối đàn hồi, Cqz (kNm/rad.). 1.3 Cọc ch ịu u ốn ngang-dọc theo sơ đồ ơ đồ dầm -gối đã đượ c nghiên cứu k ỹ trong [2] đối vớ i nền biến dạng tuyến tính cũng như làm việc trong giai đoạn đàn hồi – d ẻo nhờ thuật toán ma tr ận chuyển ti ế p (MTCT). Bài toán uốn ngang – dọc của cọc theo sơ đồ ơ đồ dầm – nền đã đượ c giải bằng phươ ng ng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) [5] [6].
2 Bài báo này giớ i thiệu k ết quả của việc ứng dụng phươ ng ng pháp MTCT để khảo sát các bài toán c ơ bản c ủa c ọc ch ịu l ực ngang có xét ảnh h ưở ng ng c ủa l ực đứng theo sơ đồ ơ đồ dầm – nền.
Es1 Es2 Es3 Es4 Es5
ơ đồ tính toán của cọc chịu lực ngang. Hình 1: Các sơ đồ a. Sơ đồ ơ đồ cọc – đất chịu tổ hợ p tải tr ọng; b. Sơ đồ ơ đồ dầm – gối; c. Sơ đồ ơ đồ dầm-nền.
2. Nội dung cơ bản 2.1
ơ đồ dầm nền [1]: Nội dung cơ bản của phươ ng ng pháp MTCT đối vớ i sơ đồ 1. Các ma tr ận cơ bản.
Xét một nhị p p dầm thứ i, ở bài toán này ta làm quen v ớ i ma tr ận – cột biểu thị tr ạng thái chuyển vị – nội lực tại tiết diện bất k ỳ của dầm, gọi tắt là vectơ tr ạng thái. Tại hai tiết diện đầu mút thanh thứ i là 0 và 1, vec t ơ này có dạng:
ε 0 i = u y 0 i ϕ x 0i M x 0 i Q y 0 u 1
(1)
ε1i = u y 0i ϕ x1i M x1i Q y1u 1
(2)
Trong một nhị p p dầm, quan hệ giữa hai vec tơ tr ạng thái nêu trên đượ c xác định bằng biểu thức sau:
ε1i = L i ε 0i
(3)
p, thực hiện phép biến đổi tuyến tính vec tơ tr ạng Ở đây, L i là ma tr ận chuyển nhị p, thái ε 0i thành vec tơ tr ạng thái ε 1i .
3
Đẳng thức (3) về thực chất là công th ức của phươ ng pháp thông s ố ban đầu trong môn Sức bền vật liệu đượ c viết dướ i dạng ma tr ận. 2. Xác định các thông ẩn số ban đầu: Từ (1) ta thấy ở bài toán cọc chịu lực ngang có 04 thông s ố ban đầu. Phụ thuộc vào điều kiện liên k ết ở tại đầu cọc (tiết diện O), thườ ng có 02 thông s ố chưa biết đượ c gọi là thông ẩn số. Vấn đề cốt lõi của giải thuật MTCT là xác định giá tr ị các thông ẩn số này. Cách làm như sau.
Tìm ma tr ận tích ảnh hưở ng tổng thể
Wn :
Nếu áp dụng (3) vào sơ đồ hình 1c vớ i n nhị p thì nhận đượ c:
Vớ i:
ε1n = L n L n −1 ...L i L i −1 ...L 2 L1 ε 01 = Wn ε 01
(4)
Wn = L n L n −1 ...L i L i −1 ...L 2 L1
(5)
Ma tr ận Wn có cấ p giống ma tr ận L i
Theo điều kiện liên k ết ở chân cọc C, lậ p ma tr ận tuyển điều kiện T1 và tính: Wn* = T1Wn
(6)
Theo điều kiện liên k ết tại đầu cọc, lậ p ma tr ận tuyển các thông ẩn số T2 và tìm ma tr ận chứa các phần tử là hệ số của phươ ng trình để xác định các thông ẩn số:
K = Wn*T2
(7)
Theo các thông s ố đã biết tại đầu cọc, lậ p ma tr ận tuyển các số hạng tự do ứng vớ i ma tr ận K, ký hi ệu T3 và tìm ma tr ận cột chứa các số hạng tự do:
W0 = Wn* T3 ε 01
(8)
Trong đó: ε 01 là ma tr ận – cột chứa các thông số ban đầu đã biết tại đầu cọc.
Tìm ma tr ận – cột chứa các thông ẩn số ban đầu cần biết:
ε01 = K −1W0
(9)
Sau khi có k ết quả từ (9), bổ sung các giá tr ị tìm đượ c vào (1) để xác định vec tơ tr ạng thái ban đầu ε 0i của toàn hệ.
2.2
Các ma tr ận chuyển nhị p 1. Đối vớ i phần cọc thuộc chiều cao tự do: Tr ườ ng hợ p uốn – ngang:
4
⎡ ⎢1 ⎢ ⎢0 Li = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣
hi 1 0 0 0
h i2 h 3i * ⎤ uy ⎥ 2EI 3EI ⎥ 2 hi hi ϕ *x ⎥⎥ EI 2EI ⎥ 1 h i M *x ⎥ 0 1 Q *y ⎥ 0 0 1 ⎥⎦
(10)
Tr ườ ng hợ p uốn – nén:
⎡ h i2 1 − cos a h 3i a − sin a sin * ⎤ uy ⎥ ⎢1 h i 2 3 a EI EI a a ⎢ ⎥ 2 h i sin a h i 1 − cos a ⎢ * ⎥ ϕ 0 cos a x ⎥ ⎢ EI a EI a 2 Li = ⎢ ⎥ sin a sin a * ⎢0 Nh i cos a hi Mx ⎥ ⎢ ⎥ a a * ⎢0 0 0 1 Qy ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 ⎦ ⎣0
(11)
Tr ườ ng hợ p uốn – kéo:
⎡ sha h i2 cha − 1 ⎢1 h i a EI a 2 ⎢ ⎢ h i sha 0 cha ⎢ EI a Li = ⎢ ⎢0 Nh sha cha i ⎢ a ⎢0 0 0 ⎢ 0 0 ⎣0
h 3i sha − a * ⎤ uy ⎥ EI a 3 ⎥ 2 h i cha − 1 * ⎥ ϕ x ⎥ EI a 2 ⎥ sha hi M *x ⎥ ⎥ a * ⎥ 1 Qy ⎥ 0 1 ⎦
(12)
Trong đó: cột cuối của các ma tr ận chứa các phần tử chuyển vị – nội lực do tải tr ọng ngoài gây ra; hi: chiều dài nhị p thứ i; 0, 5
a ⎛ N ⎞ =⎜ ⎟ ; h i ⎝ EI ⎠
2. Đối vớ i phần cọc nằm trong đất: Dạng chung của ma tr ận chuyển nhị p như sau:
5
⎡ L 11 ⎢ ⎢L 21 L i = ⎢ L 31 ⎢ ⎢L 41 ⎢⎣ 0
L12 L 22 L 32 L 42 0
L 13 L 23 L 33 L 43 0
L 14 u *y ⎤ ⎥ L 24 ϕ *x ⎥ L 34 M *x ⎥ ⎥ L 44 Q *x ⎥ 0 1 ⎥⎦
(14)
Từ k ết quả trong [3] ta có các công th ức cụ thể sau đây: Tr ườ ng hợ p uốn – ngang: L11 = L 22 = L 33 = L 44 = f 1 1 L12 = (f 2 + f 3 ) 2β 1 L13 = L 24 = 2 f 4 2β EI 1 L14 = 3 (f 3 − f 2 ) 4β EI 1 L 23 = (f + f ) 2βEI 2 3 L 31 = −2β 2 EIf 4 L 32 = βEI(f 2 − f 3 ) 1 L 34 = (f 2 + f 3 ) 2β L 41 = −2β 3 EI(f 2 + f 3 ) L 42 = −2β 2 EIf 4 L 43 = β(f 2 − f 3 )
Trong đó: E ⎞ β = ⎛ ⎜ si ⎟ ⎝ 4 EI ⎠
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(15)
0, 25
(16)
ESi : modun phản lực nền có thứ nguyên kN / m 2 . f 1 = chβh i cos βh i ⎫ f 2 = shβh i cos βh i ⎪⎪ ⎬ f 3 = chβh i sin βh i ⎪ f 4 = shβh i sin βh i ⎪⎭
(17)
6 Tr ườ ng hợ p uốn – nén:
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ (18) ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 (a + b ) ⎪ L 31 = L 41 = − EIf 4 ⎪ 2ab ⎪ 2 2 ⎛ b 2 − 3a 2 ⎞ a − 3 b ⎪ L 32 = ⎜⎜ f 3 − f 2 ⎟⎟EI ⎪ 2 b ⎝ 2a ⎠ ⎪ [ ( b 2 − 3a 2 ) + a (a 2 − 3 b 2 )η1 ]f 2 + [a (a 2 − 3 b 2 ) − b( b 2 − 3a 2 )η1 ]f 3 }EI +⎪⎪ L 41 = { b 2 2 ⎪ ⎛ a 2 + b 2 ⎞ + a b ⎜ ⎟ f 2 − f 3 ⎟ + N⎜ ⎪ 2 b 2 a ⎪⎭ ⎝ ⎠ Trong công thức này: L11 = L 44 = f 1 − η1f 4 1 ⎛ f f ⎞ L12 = L 34 = ⎜ 3 + 2 ⎟ 2 ⎝ a b ⎠ L13 = L 24 = η 3 f 4 ⎛ f f ⎞ L14 = η 4 ⎜ 3 − 2 ⎟ ⎝ a b ⎠ a 2 + b 2 a 2 + b 2 L 21 = L 43 = f 2 − f 3 2a 2 b b 2 − a 2 L 22 = L 33 = f 1 + f 4 2ab L 23 = η 3 (af 2 + bf 3 )
⎡⎛ E si ⎞ 0,5 N ⎤ ⎥ a = ⎢⎜ ⎟ + 4EI ⎥⎦ ⎢⎣⎝ 4EI ⎠ ⎡⎛ E si ⎞ 0,5 N ⎤ b = ⎢⎜ ⎥ ⎟ − 4 EI 4 EI ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ b 2 − a 2 η1 = 2ab 1 η3 = 2abEI 1 η4 = 2(a 2 + b 2 )EI f 1 = chbh i cos ah i ⎫ f 2 = shbh i cos ah i ⎪⎪ ⎬ f 3 = chbh i sin ahi ⎪ f 4 = shbh i sin ah i ⎪⎭
0, 5
(19)
0, 5
(20) (21) (22) (23)
(24)
7 Tr ườ ng hợ p uốn – kéo: ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 2 ⎪ a + b a + b L 21 = L 43 = f 2 − f 3 ⎪ 2a 2 b ⎪ 2 2 ⎪⎪ a − b L 22 = L 33 = f 1 + f ⎬ 2ab 4 ⎪ L 23 = η 3 ( bf 2 + af 3 ) ⎪ ⎪ (a 2 + b 2 ) 2 ⎪ L 31 = L 42 = − EIf 4 ⎪ 2ab ⎪ 2 2 ⎛ a 2 − 3 b 2 ⎞ b 3 a − ⎪ L 32 = ⎜⎜ f 3 − f 2 ⎟⎟EI ⎪ 2a ⎝ 2 b ⎠ ⎪ 2 2 2 2 2 2 2 2 L 41 = {[a (a − 3 b ) + b( b − 3a )η 6 ]f 2 + b [ ( b − 3a ) − a (a − 3 b )η 6 ]f 3 }EI +⎪⎪ 2 2 ⎪ ⎛ a 2 + b 2 ⎞ a b + f 2 − f 3 ⎟⎟ + N⎜⎜ ⎪ 2 a 2 b ⎪⎭ ⎝ ⎠ L11 = L 44 = f 1 − η 6 f 4 ⎛ f f ⎞ L12 = L 34 = 0,5⎜ 2 + 3 ⎟ ⎝ a b ⎠ L13 = L 24 = η 3 f 4 ⎛ f f ⎞ L14 = η 4 ⎜ 3 − 2 ⎟ ⎝ b a ⎠
(25)
Trong tr ườ ng hợ p này, các hệ số: a, b, η 3 và η 4 giống như uốn – nén. Các đại lượ ng còn lại tính nh ư sau: a 2 − b 2 (26) η6 = 2ab f 1 = chah i cos bh i ⎫ f 2 = shah i cos bh i ⎪⎪ (27) ⎬ f 3 = chah i sin bh i ⎪ f 4 = shah i sin bh i ⎪⎭ 2.3
Lờ i giải của MTCT đối vớ i ba bài toán c ọc mềm chịu lực ngang:
Dựa vào những n ội dung cơ bản và các ma tr ận chuyển nh ị p đã trình bày trên để giải ba bài toán sau đây: 1. Bài toán thứ nhất: xác định tr ạng thái chuy ển vị – nội lực của cọc chịu lực ngang có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục.
• Ý ngh ĩ a: T ại một ti ết di ện b ất k ỳ z, tr ạng thái chuyển v ị – n ội l ực bao gồm: chuyển vị ngang yz, chuyển vị xoay ϕ Z , momen uốn Mz, lực cắt Qz, và phản lực đất pz. Những đại lượ ng này đượ c dùng để kiểm tra các tr ạng thái gi ớ i hạn của cọc.
8
• Điều kiện tính: − Liên k ết đầu cọc: tự do. − Tổ hợ p tải tr ọng đầu cọc: lực ngang Q, momen M và lực dọc N (nén hoặc kéo). − Liên k ết chân cọc: tùy thuộc điều kiện thiết k ế. • Các ma tr ận: − Ma tr ận tuyển điều kiện T1 có cấu trúc phụ thuộc vào điều kiện liên k ết ở chân cọc. − Ma tr ận tuyển ẩn T2 phụ thuộc vào điều kiện liên k ết ở đầu cọc: tự do, có cấu trúc: ⎡1 0 ⎤ ⎢0 1 ⎥ (28) T2 = ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎢⎣0 0⎥⎦ − Ma tr ận tuyển các số hạng tự do T3 phụ thuộc hai thông số đã biết ở đầu cọc là M và Q, có c ấu trúc: ⎡0 0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ (29) T3 = ⎢1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢⎣0 0⎥⎦ 2. Bài toán thứ hai: Xác định độ cứng chống chuyển vị ngang và chuyển vị xoay của đầu cọc có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục.
• Ý ngh ĩ a: Độ cứng chống chuyển vị ngang và chuyển vị xoay là các phản lực momen và lực cắt xuất hiện trong liên k ết ngàm tại đầu c ọc khi chịu chuyển vị cưỡ ng b ức đơ n vị. Những đại l ượ ng này là tham số đầu vào để tính toán móng cọc theo sơ đồ khung vớ i tr ụ cọc trong đất. • Điều kiện tính − Liên k ết đầu cọc: ngàm cứng. − Tổ hợ p tải tr ọng đầu cọc: lực dọc N (nén hoặc kéo). − Liên k ết chân cọc: tùy thuộc điều kiện thiết k ế. • Các ma tr ận tuyển: − Ma tr ận tuyển điều kiện T1: giống bài toán th ứ nhất. − Ma tr ận tuyển ẩn T2
9
⎡0 0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ T2 = ⎢1 0⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0⎥⎦ − Ma tr ận tuyển các số hạng tự do T3: ⎡1 0 ⎤ ⎢0 1 ⎥ T3 = ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0⎥⎦
(30)
(31)
3. Bài toán thứ ba: Xác định chiều dài tươ ng đươ ng của cọc khi chịu lực ngang, còn gọi là chiều dài tính toán ch ịu uốn của cọc hay là chiều dài chịu uốn của cọc có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục.
• Ý ngh ĩ a: Chiều dài chịu uốn của cọc là chiều dài một thanh tươ ng đươ ng hai đầu ngàm cứng có độ cứng chống chuyển v ị ngang (nêu ở bài toán thứ hai) bằng của cọc thực. Đại lượ ng này là tham s ố đầu vào để tính móng cọc theo sơ đồ khung có tr ụ tươ ng đươ ng.
• Điều kiện tính: − Liên k ết đầu cọc: ngàm tr ượ t − Tổ hợ p tải tr ọng đầu cọc: lực ngang và dọc tr ục N (nén hoặc kéo). − Liên k ết chân cọc: tùy thuộc điều kiện thiết k ế. • Các ma tr ận tuyển: Ma tr ận điều kiện T1: giống bài toán th ứ nhất. Ma tr ận tuyển ẩn T2: ⎡1 ⎢0 T2 = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣⎢0
0⎤ 0⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ 0⎦⎥
Ma tr ận tuyển các số hạng tự do T3: ⎡0 0 ⎤ ⎢1 0 ⎥ T3 = ⎢0 0⎥ ⎢ ⎥ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0⎥⎦
(32)
(33)
10 Ghi chú: Để bảo đảm k ết quả chính xác, chiều dài đoạn cọc trong đất phải thỏa mãn điều kiện của Babanov và Perov [6].
3. Ví dụ: 3.1
Ví dụ 1: Khảo sát ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N đến chuyển vị-nội lực của cọc chịu lực ngang.
Đầu bài Cho một c ọc ống thép đóng trong n ền đất sét đồng nhất v ớ i các số liệu xu ất phát như trên hình 2a. Yêu c ầu xác định chuyển v ị – n ội l ực trong cọc ch ịu lực ngang vớ i ba tr ườ ng h ợ p: u ốn ngang dướ i tác dụng c ủa Q= 50kN và M=50kNm, u ốn-nén: thêm lực nén dọc tr ục N=1000kN và uốn – kéo: thêm lực kéo dọc tr ục N=1000kN.
z
Hình 2: Các s ơ đồ tính toán của ví dụ 1. a. Số liệu cho tr ướ c của ví dụ; b. Phân chia cọc thành nhiều đoạn vớ i biểu đồ mo đun phản lực nền; c. Sơ đồ dầm-nền để tính cọc chịu lực ngang. Giải 1. Sơ đồ dầm – nền: Trong tr ườ ng hợ p chung, từ kích thướ c cọc và biểu đồ phân bố hệ số nền theo chiều sâu đã cho (H.2a) ta tìm đượ c biểu đồ phân bố mô đun phản l ực n ền t ươ ng ứng (H.2b). Nếu chia phần cọc ngậ p trong đất thành nhiều đoạn nhỏ thì sẽ xác định đượ c giá tr ị E SZ tại hai đầu mỗi đoạn. Hình 2c mô tả sơ đồ dầm nền của ví dụ đã cho vớ i
11 E Si là giá tr ị trung bình cộng của E SZ trong mỗi đoạn. Cách chia đoạn như thế sẽ đượ c đánh giá mức độ chính xác theo điều kiện (30) trong [6] nh ư ở bảng 1.
Bảng 1: K ết quả kiểm tra điều kiện (30) trong [6]. αi hi E si Số thứ tự αh i Đánh giá −1 phần tử ( m ) (m) (kPa) 2
1.2
5766
0.259
0.31
Th ỏa
3
2.4
23064
0.366
0.878
Th ỏa
4
2.4
46128
0.435
1.044
Th ỏa
5
2.4
69192
0.481
1.155
Th ỏa
6
24
92256
0.517
1.241
Th ỏa
7
4.2
123616
0.557
2.337
Không th ỏa
8
6
179980
0.605
3.631
Không th ỏa
9
3
216225
0.64
1.92
Không th ỏa
2. Tr ườ ng hợ p uốn ngang (chỉ trình bày ma tr ận k ết quả): Các ma tr ận chuyển nhị p ⎡1 14,8 0,00034 0,00168 0⎤ ⎢0 1 0,00005 0,00034 0⎥ L1 = ⎢0 0 1 14,8 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 0 ⎢ ⎥ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 2.35256 0.00000887 0.00000713 0⎤ ⎡ 0.90124 ⎢ − 0.16437 0.90124 0.0000073 0.0000089 0⎥ L 2 = ⎢− 65986.552 52989.339 − 0.90124 2.35256 0⎥ ⎢ ⎥ − − − 54259 . 525 65986 . 552 0 . 16437 0 . 90124 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 1.19963 0.00000223 0.00000089 0⎤ ⎡ 0.99845 ⎢ − 0.00515 0.99845 0.0000037 0.0000022 0⎥ L 3 = ⎢− 4151.092 − 1660.535 0.99845 1.19963 0⎥ ⎢ ⎥ 0.99845 0⎥ ⎢ − 6917.061 − 4151.092 − 0.00515 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 2.30520 0.00000882 0.00000711 0⎤ ⎡ 0.80275 ⎢ − 0.32782 0.80275 0.0000072 0.0000088 0⎥ L 4 = ⎢− 131098.394 − 105678.622 0.80275 2.30520 0⎥ ⎢ ⎥ − − − 106334 . 335 131098 . 394 0 . 32782 0 . 80275 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1 ⎣⎢ ⎦⎥
12 2.25791 0.00000879 0.00000709 0⎤ ⎡ 0.70455 ⎢ − 0.49033 0.70455 0.0000070 0.0000088 0⎥ L 5 = ⎢− 195336.762 − 158068.120 0.70455 2.25791 0⎥ ⎢ ⎥ 156229 . 583 195336 . 762 0 . 49033 0 . 70455 0 − − − ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 2.21070 0.00000870 0.00000707 0⎤ ⎡ 0.60662 ⎢ − 0.65191 0.60662 0.0000069 0.0000087 0⎥ ⎢ L 6 = − 258702.894 − 210158.104 0.60662 2.21070 0⎥ ⎢ ⎥ − − − 203950 . 419 258702 . 894 0 . 65191 0 . 60662 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0.17642 0.00001848 0.00003293 0⎤ ⎡ − 3.63433 ⎢ − 4.08221 − 3.63433 0.0000005 0.0000185 0⎥ L 7 = ⎢− 738551.977 − 1315987.500 − 3.63433 0.17642 0⎥ ⎢ ⎥ 21871 . 020 738551 . 977 4 . 08221 3 . 63433 0 − − − − ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ − 21.09484 − 0.00003757 0.00002717 0⎤ ⎡ − 16.67252 ⎢ − 4.69954 − 16.67252 − 0.0000654 − 0.0000376 0⎥ L 8 = ⎢2094913.772 − 1514994.807 − 16.67252 − 21.09484 0⎥ ⎢ ⎥ 3648985 . 736 2094913 . 772 4 . 69954 16 . 67252 0 − − ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1⎦⎥ ⎣⎢ 1.66609 0.00001188 0.00001306 0⎤ ⎡ − 1.19085 ⎢ − 2.82442 0.0000052 0.0000119 0⎥ − 1.19085 L 9 = ⎢ − 827749.631 − 910511.116 − 1.19085 1.66609 0⎥ ⎢ ⎥ − − − − 360250 . 270 827749 . 631 2 . 82442 1 . 19085 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 17.2142244 92.89576767 ⎡ 40459.45311 673653.6804 ⎢ 33873.40471 622967.5525 17.7272925 107.8820448 Wn = ⎢ 3267369280 78673148905 2754607.455 19893471.77 ⎢ ⎢− 4725091697 − 63115362308 − 1135765.885 − 2905918.644 0 0 0 0 ⎢⎣
0⎤ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥⎦
Bốn phần tử đầu của cột cuối cùng ở tất cả các ma tr ận này đều bằng không do không có tải tr ọng ngoài tác động trên nhị p. Vì chân cọc liên k ết tự do nên ma tr ận tuyển điều kiện T có dạng: 0 0 1 0 0 ⎞ T1 = ⎛ ⎜0 0 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ 3267369280 7867314890 2754607.455 19893471.77 0 ⎞ Wn* = T1 Wn = ⎛ ⎜ − 4725091697 − 6311536230 − 1135765.885 − 2905918.644 0 ⎟ ⎝ ⎠ 3267369280 78673148905 ⎞ K = Wn*T2 = ⎛ ⎜ − 4725091697 − 62115362308 ⎟ ⎝ ⎠ 1
1132403961.250 ⎞ Q = Wn*T3 = ⎛ ⎜ − 4041684.529 ⎟ ⎝ ⎠
13 0.33576 ⎞ X = K −1Q = ⎛ ⎜ − 0.02834 ⎟ ⎝ ⎠
Vec tơ tr ạng thái tại các tiết diện đượ c chia:
ε 01 = {0.33576 − 0.02834 50 50 1} ε 02 = L1ε 01 = {0.01714 − 0.00906 790 50 1} ε 03 = L 2 ε 02 = {0.00806 − 0.00608 792.6443 − 35.120 1} ε 04 = L 3 ε 03 = {− 0.00025 − 0.00133 422.0203 − 198.1350 1} ε 05 = L 4 ε 04 = {− 0.00096 0.00029 55.7750 − 96.0994 1} ε 06 = L 5 ε 05 = {− 0.00022 0.00022 − 35.8538 − 1.3136 1} ε 07 = L 6 ε 06 = {3.0454E − 05 2.064E − 05 − 13.5046 10.9109 1} ε 08 = L 7 ε 07 = {2.6794E − 06 − 5.08462E − 0 1.3513 − 0.4349 1} ε 09 = L 8 ε 08 = {4.66648E − 09 9.43176E − 08 − 0.03915 0.02588 1} Tr ườ ng hợ p uốn ngang-dọc: Cách tính cọc chịu uốn-nén, uốn-kéo cũng giống như đối vớ i uốn ngang. Một s ố k ết quả chính yếu v ề chuyển v ị-nội lực khi cọc ch ịu u ốn ngang – d ọc ghi ở bảng 2 và đượ c v ẽ thành các biểu đồ trên hình 3. Những con số từ ví d ụ này cho thấy r ất rõ ảnh hưở ng của lực dọc tr ục đến tr ạng thái chuyển vị-nội lực của cọc như đã nêu trong [2], [5] và [6]. Bảng 2: Chuyển vị-nội lực khi cọc chịu uốn Tr ườ ng hợ p chịu uốn Chuyển vị – nội lực và vị Uốn – kéo Uống ngang Uốn-nén trí xuất hiện N=1000Kn N=0kN N=1000kN u y (m) 0.23869 0.33576 0.56702 Đầu cọc ϕ x (rad) -0.01999 -0.02834 -0.04832 u y (m) 0.0128 0.0174 0.02723 Mặt đất ϕ x (rad) -0.00664 -0.00906 -0.01772 Mặt đất 564.11 790 1329.79 M z (kNm) Z=-1,2m 574.44 792.64 1313.8 Z=-1,2m 45.458 59.966 93.372 p z (kN / m 2 ) Z=-6,0m -26.04 -35.712 -59.892 3.2
Ví d ụ 2: Khảo sát ảnh hưở ng c ủa l ực d ọc tr ục N đến độ cứng chống chuyển v ị ngang của đầu cọc:
Đầu bài
14 Sử dụng lại số liệu về cọc và đất nền cho trên hình 2 để xác định giá tr ị các độ cứng chống chuyển vị ngang của đầu cọc có xét đến lực dọc tr ục cọc N theo nguyên lý nêu trong [7]. Giá tr ị của lực dọc tr ục N không vượ t quá sức chịu tải nén cho phép Pan = 3000kN và sức chịu tải kéo cho phép Pak = 1300kN . a)
b)
c)
d)
Hình 3: Biểu đồ chuyển vị – nội lực của cọc chịu lực ngang có xét ảnh hưở ng lực dọc. a_ Chuyển vị ngang; b_ Phản lực nền*; c_ Momen uốn; d_ Lực cắt. :
uốn – kéo, : uốn – ngang, : uốn – kéo.
*: giá tr ị đồ thị tăng 1,55 l ần.
15
Hình 4: Sơ đồ xác định độ cứng chống chuyển vị đầu cọc có xét ảnh hưở ng lực dọc tr ục.
a. Sơ đồ dầm – nền; b. Sơ đồ xác định Mu và Qu; c. Sơ đồ xác định Mφ và Qφ. Giải 1. Hình 4 mô tả sơ đồ dầm-nền để giải bài toán th ứ hai cùng vớ i hai sơ đồ nguyên tắc để xác định một bộ gồm 04 phản lực trong liên k ết ngàm đầu cọc do các chuyển vị cưỡ ng bức đơ n vị gây ra dướ i tác dụng của lực dọc tr ục; tóm tắt như sau:
• Khi u=1 và ϕ = 0 thì thu đượ c các phản lực liên k ết, ký hiệu: Mu và Qu (H.4b) • Khi u=0 va ϕ = 1 thì thu đượ c các phản lực liên k ết, ký hiệu Mφ và Qφ (H.4c). 2. Để khảo sát ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N đến giá tr ị các độ cứng chống chuyển vị đầu cọc Mu, Qu, Mφ và Qφ, ta chia ra ba tr ườ ng hợ p chịu uốn.
• Uốn ngang: N=0 • Uốn-nén:lực dọc tr ục N biến thiên trong khoảng từ 0 đến 3000kN.
16
• Uốn-kéo: lực dọc tr ục N biến thiên trong khoảng từ 0 đến 1300kN. K ết quả tính toán ghi ở bảng 3 và vẽ nên đồ thị hình 5: tất cả cho thấy, đối vớ i cọc chịu lực ngang đượ c xét, lực dọc tr ục ảnh hưở ng r ất đáng k ể đến độ cứng chống chuyển vị đầu cọc. Bảng 3: Giá tr ị các độ cứng chống chuyển vị đầu cọc có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N.
N (kN) 0 200 400 600 800 1000 1300 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000
Mu (kN.m/m) Kéo Nén -5792.05 -5792.05 -5811.09 -5774.83 -5830.08 -5757.55 -5849.02 -5740.21 -5867.9 -5722.82 -5886.72 -5705.37 -5914.85 -5679.1 -5652.71 -5635.04 -5617.32 -5599.55 -5581.71 -5563.82 -5545.87 -5527.87
Qu (kN/m) Kéo Nén 637.769 637.769 650.738 625.114 663.698 612.444 676.65 599.762 689.594 587.068 702.529 574.361 721.917 555.277 536.165 523.408 510.638 497.855 485.059 472.251 459.429 446.594
Mφ (kN/rad) Kéo 5792.048 5811.03 5829.958 5848.832 5867.651 5886.417 5914.465
Nén 5792.048 5774.821 5757.53 5740.186 5722.788 5705.336 5679.057 5652.654 5634.983 5617.257 5599.475 5581.637 5563.743 5545.792 5527.748
Qφ (kN.m/rad) Kéo -70390.2 -70873.5 -71354.3 -71832.4 -72308.1 -72781.3 -73486.5
Nén -70390.2 -69914.8 -69436.8 -68956.3 -68473.3 -67987.6 -67254.2 -66514.7 -66018.3 -65519.2 -65017.2 -64512.4 -64004.7 -63494.1 -62980.5
17 a) -5500
-5550
-5600
uốn – nén ) m / m N k (
-5650
-5700
uốn – ngang: Mu = -5792.048 kNm/m
u
M
-5750
-5800
-5850
uốn – kéo
-5900
-5950 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
N (kN)
b) 750
uốn – kéo 700
uốn – ngang: Qu = 637.769 kN/m 650
) 600 m / N k ( u
Q 550
uốn – nén 500
450
400 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
N (kN)
Hình 5: Đồ thị quan hệ giá tr ị độ cứng chống chuyển vị ngang đầu c ọc phụ thuộc vào lực dọc tr ục N. a_ Phản lực momen uốn Mu;
b_ Phản lực lực cắt Qu.
18 3.3
Ví dụ 3: Khảo sát ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N đến chiều dài chịu uốn của cọc:
Đầu bài Vẫn sử dụng số liệu về cọc và đất nền đã cho ở hình 2 để tìm giá tr ị của chiều dài chịu uốn Lu và momen ngàm M ng có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N theo nguyên lý nêu trong [7]. Giải 1. Hình 6 mô tả sơ đồ dầm – nền để giải bài toán th ứ ba cùng vớ i sơ đồ nguyên tắc để xác định chuyển vị ngang của đầu cọc liên k ết ngàm tr ượ t dướ i tác dụng của lực ngang Q = 50kN có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N.
Hình 6: Sơ đồ xác định chiều dài chịu uốn có xét ảnh hưở ng lực dọc tr ục. a. Sơ đồ dầm-nền, b. Sơ đồ xác định chiều dài chịu uốn và momen ngàm. 2. Cách khảo sát ảnh hưở ng của lực dọc tr ục đến giá tr ị của chiều dài chịu uốn Lu và momen ngàm M ng cũng giống như ở bài toán thứ hai. K ết quả tính toán thu
đượ c ghi ở bảng 4 và vẽ nên các đồ thị ở hình 7 và 8. Các con số từ ví dụ này một lần nữa cho thấy, lực dọc tr ục có ảnh hưở ng đáng k ể đến Lu và M ng .
19 Bảng 4: Giá tr ị của Lu và M ng có xét ảnh hưở ng của lực dọc tr ục N (kN)
Tr ườ ng hợ p chịu lực dọc tr ục Nén Kéo M ng (kN.m) Lu (m) Lu (m) M ng (kN.m)
0 200 400 600 800 1000 1200 1300 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000
18.24 18.36 18.49 18.61 18.75 18.89 19.03 19.1 19.17 19.32 19.48 19.64 19.81 19.98 20.16 20.34 20.54
-454.09 -461.902 -470.047 -478.541 -487.407 -496.672 -506.362 -511.376 -516.507 -527.142 -538.303 -550.03 -562.367 -575.364 -589.075 -603.562 -618.892
18.24 18.12 18 17.88 17.77 17.66 17.55 17.5
-454.09 -446.5 -439.212 -432.204 -425.46 -418.966 -412.708 -409.663
20 21
20.5
uốn – nén 20
) m ( 19.5 u
L n ố u u 19 ị h c i à d u ề i 18.5 h C
uốn – ngang: Lu = 18.24 m
18
uốn – kéo
17.5
17 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
N (kN)
Hình 7: Đồ thị quan hệ giá tr ị chiều dài chịu uốn phụ thuộc vào lực dọc tr ục N. -400
uốn – kéo uốn – ngang: Mng = -454.09 kNm
-450
) m N -500 k ( g n
M m à g n n e m-550 ô M
uốn – nén
-600
-650 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
N (kN)
Hình 8: Đồ thị quan hệ giá tr ị momen ngàm phụ thuộc vào lực dọc tr ục N ứng vớ i Q = 50kN.
21
4. K ết luận 4.1 Bài toán cọc ch ịu u ốn t ổng quát đượ c gi ải b ằng phươ ng pháp MTCT theo s ơ đồ dầm – nền ch ủ yếu d ựa trên những chỉ dẫn v ề các phép toán ma tr ận trong cách sử dụng ma tr ận chuyển [1] và các công th ức ma tr ận chuyển nh ị p c ủa các phần tử cọc không ti ế p đất [2] cũng như các phần tử tiế p đất [3]. So sánh vớ i m ột s ố cách giải khác trong [2], [6] và SAP2000, k ết quả tính cọc chịu uốn ngang – d ọc bằng MTCT theo s ơ đồ dầm – nền là chính xác và khối lượ ng tính toán ít h ơ n. 4.2 Dựa vào thế mạnh này, thông qua ví d ụ cụ thể, đã khảo sát ảnh hưở ng của lực dọc tr ục đến tr ạng thái chuyển vị – nội lực của cọc chịu lực ngang đối vớ i ba bài toán cơ bản trong tính toán thi ết k ế móng cọc. K ết quả khảo sát cho phép kh ẳng định: trong nhi ều tr ườ ng hợ p, khi tính c ọc và móng cọc chịu lực ngang không thể bỏ qua ảnh hưở ng của lực dọc tr ục. 4.3 Cọc chịu uốn ngang-dọc đượ c giải bằng phươ ng pháp MTCT theo s ơ đồ dầm nền có thể tìm thấy đượ c nhiều ứng dụng như: 1. Tính cọc đơ n chịu lực ngang phức tạ p hoặc các k ết c ấu có thể chuyển về sơ đồ cọc chịu lực ngang trong n ền biến dạng đàn hồi cục bộ phân lớ p. 2. Nếu chọn dùng một hệ số nền hợ p lý giải thuật nói trên cho phép xét đượ c tươ ng tác đàn hồi – dẻo phi tuyến giữa cọc và đất. 3. Ba bài toán cọc ch ịu l ực ngang có xét đến ảnh h ưở ng của l ực d ọc tr ục s ẽ là c ơ sở để xây dựng cách tính móng c ọc có xét đến lực dọc khi chịu lực ngang.
22
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]
Lều Thọ Trình, Lều Mộc Lan: Cách sử dụng ngôn ngữ ma tr ận trong lý thuy ết hệ thanh. Nhà xu ất bản Xây dựng, Hà Nội, 2007.
[2]
Phan Dũng: Tính toán c ọc mềm chịu lực ngang có xét ảnh h ưở ng c ủa tải tr ọng đứng b ằng phươ ng pháp ma tr ận chuyển tiế p. Luận án Phó Tiến S ĩ Khoa học K ỹ thuật, Hà Nội, 1984.
[3]
Phan Dũng: “Giải bài toán u ốn ngang-dọc của dầm trên nền đàn hồi b ằng phươ ng pháp ma tr ận chuyển tiế p”. Các báo cáo hội nghị k ết cấu xây dựng lần thứ nhất. Tậ p 4: K ết cấu xây dựng công trình giao thông, Hà N ội, 1985, tr.202-207.
[4]
Phan Dũng: Tính toán cọc và móng cọc trong xây dựng giao thông. Nhà xu ất bản Giao thông vận tải, Hà nội, 1987.
[5]
Phan Dũng: “Tính cọc mềm chịu uốn ngang-dọc trong nền nhiều lớ p bằng phươ ng pháp phần tử hữu hạn”. Tậ p san: Khảo sát-Thiết k ế, N0.2, 1986. Vi ện Thiết k ế Giao thông Vận tải, Bộ Giao thông vận tải, Hà Nội, tr33-41.
[6]
Phan Dũng: “Tính toán công trình b ến trên nền cọc theo sơ đồ khung có tr ụ cọc trong đất bằng phươ ng pháp phần tử hữu hạn”. Tạ p chí Khoa học Công nghệ Giao thông Vận tải, No.2, 2008, Tr ườ ng Đại học Giao thông Vận tải Tp. Hồ Chí Minh, tr.88-102.
[7]
Phan Dũng: “Chuyển v ị nằm ngang và chuyển v ị xoay của c ọc ở mức đáy đài theo TCXD 205:1998-M ột dạng khác của công thức tính và các ứng dụng”. Tạ p chí Biển & Bờ , No. 3+4/2009, Hội Cảng – Đườ ng thủy-Thềm lục địa Việt Nam, tr.50-58.
