La alarma suena en El Ministerio del Tiempo... ¡Salvador Martí ha sido atacado en su propio despacho! La patrulla formada por Amelia, Julián y Alonso deberá encontrar a los culpables a tr…Full description
La alarma suena en El Ministerio del Tiempo... ¡Salvador Martí ha sido atacado en su propio despacho! La patrulla formada por Amelia, Julián y Alonso deberá encontrar a los culpables a través de...
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Tiempo muerto Introducción
A diferencia de los procesos normales, los procesos con tiempo muerto violan la pri mera condición necesaria de un comportamiento dinámico normal: no responden instantáneamente instantáneamente ante un cambio en la entrada. La mayoría de los procesos de la industria química, presentan comportamientos de este tipo . Podemos identificar a un sistema con c on tiempo muerto observando que su función transferencia t d s posee un término e f (t )
Procesos Primer
L? f (t ) A
y (t )
de
Tiempo Muerto
Orden
¤
K p
? y (t )A
y (t t d )
¥
e
X p s 1
t d s
? y (t t d )A
Proceso con tiempo muerto ³ t d " L[ y (t )]
Para un sistema de primer orden tenemos:
Para el tiempo puerto tenemos:
L[ f (t )]
L[ y (t t d )] L[ y (t )]
!e
K p
!
X p s 1
t d s
La función de transferencia entre el input f (t ) y el retraso de output f (t t d ) está dado por: L[ y (t t d )] L[ f (t )]
!
K p e
t d s
X s 1
Similarmente, la función de transferencia para un sistema de segundo orden con retardo esta dado por: ¢
£
[ y (t t d )] £
[ f (t )]
L[ y (t t d )] L[ f (t )]
!
p
¡
X 1
e
t d s
s 1 X 2 s 1
K p e
t d s
X 2 s 2 2 \ X s 1
Siendo K p la ganancia del controlador; X d es el tiempo muerto; X , X 1 ; X 2 , los atrasos dinámicos y \ la razón de amortiguamiento .
Mediante
una aproximación a la función de transferencia de tiempo muerto, se puede obtener una estimación de la ganancia y frecuencia últimas de un circuito con tiempo muerto . Una aproximación usual es la aproximación de Padé que es una aproximación de la función exponencial para dejarla en forma más manejable (racional). t 1 d s s t 2 Aproximación Padé de Primer Orden: e d } t d 1 s 2
2
Aproximación de Padé de Segundo Orden:
e
s t d
t d s 2 6 t d s 12
"
2
t d s 2 6 t d s 12
Los procesos con tiempo muerto son difíciles de controlar porque el output no brinda suficiente información de lo que en realidad ocurre . Ejemplo: Diagrama de bloque del circuito de Control Proporcional c( s)
#
+
R(s)
§
$
a( s )
#
1
K c
0.8 e
3 s 1
-
p( s )
C(s)
2 s
30 s 1
H ( s) 1 10 s 1
La ecuación característica C ( s ) R( s ) Gc( s ) Ga( s ) Gp( s) C ( s ) Gc( s) Ga( s ) Gp( s ) H ( s ) ¦
p ( s ) ! 1500 s 5 5300 s 4 7015 s 3 (2750 40 Kc ) s 2 (360 12 Kc) s 15 12 Kc
D INAMICA DE
SISTE MAS CON TI E MPO MUER TO
El efecto del tiempo muerto sobre las respuestas paso, rampa y sinusoidal de un sistema es un atraso que analítica mente se observa en los términos de dichas respuestas afectados por el tiempo . A continuación se muestran las respuestas analíticas y grá ficas para un sistema lineal de primer orden .
Respuestas de un Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto R espuesta Paso
Donde u.(t ± t d ) muestra que la respuesta es cero para t < t d . En la ecuación se observa que el término exponencial muestra para un determinado tiempo el valor correspondiente a un tiempo anterior (t ± t d ). La figura muestra la gráfica correspondiente a la respuesta paso de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto . Esta construcción corresponde a la respuesta paso unitario de un sistema con una función de transferencia con una ganancia proporcional de Kc= 5, una constante de tiempo de = 2 segundos y un tiempo muerto t d =2 segundos
Respuesta Paso d e un Sistema d e Primer Or d en con Tiempo Muerto
R espuesta R ampa
La respuesta rampa de pendiente ³r´ para un sistema de primer orden con tiempo muerto es: ( t t ) « » Y (t ) ! u(t t d ) ¬( Kc r X e X Kc r (t t d X )¼ ¬ ¼½ d
Se observa que el efecto del tiempo muerto en la respuesta a largo plazo es que el atraso de la rampa de la respuesta con respecto a la rampa de entrada es la suma del tiempo muerto más la constante de tiempo del sistema . La figura se muestra la gráfica correspondiente a la respuesta rampa de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto . Esta construcción corresponde a la respuesta rampa de pendiente r=5 del sistema utilizado para la respuesta paso.
Respuesta Rampa d e un Sistema d e Primer Or d en con Tiempo Muerto
R espuesta
sinusoidal
La respuesta sinusoidal para un sistema de primer orden con tiempo muerto es: El único efecto del tiempo muerto sobre la respuesta a largo plazo es el aumento en el atraso fase en t d . Este aumento en el atraso fase es proporcional a la frecuencia de la onda sinusoidal de entrada. La figura muestra la gráfica correspondiente a la respuesta seno de un sistema de primer orden sin tiempo muerto y se observa el atraso de la misma respuesta cuando se incluye en la dinámica del sistema un tiempo muerto. Esta construcción corresponde a la respuesta seno de amplitud 5 y frecuencia 0.5 rad/seg , del sistema utilizado para la respuesta paso
Respuesta Seno de un Sistema de Primer Orden con Tie mpo Muerto