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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS
CÁLCULO III ECUACIONES DIFERENCIALES
=
ING. JOSE ALBERTO HILARIO BERRIOS HUANCAYO-PERÚ 2016
I ng° Jose H i l ar i o Be B er r i os
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PROLOGO
Las ecuaciones diferenciales vienen a ser uno de los temas más antiguos en las matemáticas modernas. No fue mucho después de que Newton y Leibniz inventaran el cálculo que Bernoulli, Euler y otros comenzaran a estudiar la ecuación de calor y la ecuación de onda de la física matemática. Newton mismo resolvió ecuaciones diferenciales en el estudio del movimiento planetario y asimismo en sus análisis de óptica. El presente manual está dirigido a los estudiantes del III semestre de la facultad de Ingeniería de Minas de la UNCP, está elaborada en forma bastante clara de manera que el estudiante no tenga dificultades en la comprensión de los tópicos que se tocan en el texto. La obra contiene los elementos teóricos básicos, se presentan ejercicios desarrollados desarrollados y ejercicios propuestos para que el estudiante desarrolle sus habilidades y destrezas para alcanzar la competencia necesaria como lo establece el silabo de la asignatura. Esperamos que la presente obra ayude a consolidar el proceso de enseñanzaaprendizaje en los estudiantes y que sirva de soporte para la comprensión de asignaturas futuras que requieran un rigor matemático.
EL AUTOR
I ng° Jose H i l ar i o Be B er r i os
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PROLOGO
Las ecuaciones diferenciales vienen a ser uno de los temas más antiguos en las matemáticas modernas. No fue mucho después de que Newton y Leibniz inventaran el cálculo que Bernoulli, Euler y otros comenzaran a estudiar la ecuación de calor y la ecuación de onda de la física matemática. Newton mismo resolvió ecuaciones diferenciales en el estudio del movimiento planetario y asimismo en sus análisis de óptica. El presente manual está dirigido a los estudiantes del III semestre de la facultad de Ingeniería de Minas de la UNCP, está elaborada en forma bastante clara de manera que el estudiante no tenga dificultades en la comprensión de los tópicos que se tocan en el texto. La obra contiene los elementos teóricos básicos, se presentan ejercicios desarrollados desarrollados y ejercicios propuestos para que el estudiante desarrolle sus habilidades y destrezas para alcanzar la competencia necesaria como lo establece el silabo de la asignatura. Esperamos que la presente obra ayude a consolidar el proceso de enseñanzaaprendizaje en los estudiantes y que sirva de soporte para la comprensión de asignaturas futuras que requieran un rigor matemático.
EL AUTOR
I ng° Jose H i l ar i o Be B er r i os
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CONTENIDO Pag
CAPITULO I: Ecuaciones diferenciales, diferenciales, conceptos y definiciones definiciones fundamentales
4
CAPITULO II: Ecuaciones diferenciales diferencia les de primer orden y primer grado Ecuaciones diferenciales diferencia les de variables separables Ecuaciones diferenciales diferencia les homogéneas Ecuaciones diferenciales diferencia les reducibles a homogéneas Ecuaciones diferenciales exactas Uso de factores integrantes Ecuaciones diferenciales diferencia les lineales Ecuaciones diferenciales diferencia les reducibles a lineales
17 17 23 28 33 37 44 47
CAPITULO III: Aplicaciones Aplicaciones de ecuaciones diferenciale diferenciales s de primer orden orden y primer grado
52
CAPITULO IV: Ecuaciones diferenciales diferencia les de orden superior Solución por integración sucesiva Variable dependiente faltante Variable independiente independiente faltante Ecuaciones diferenciales diferenc iales lineales de orden “n” Ecuaciones diferenciales diferenc iales lineales homogéneas de 2do orden Con coeficientes coeficient es constantes Ecuaciones diferenciales diferencia les lineales no homogéneas Método de coeficientes coeficient es indeterminados indeterminad os Método de variación de parámetros parámetr os Ecuaciones diferenciales diferenc iales de coeficientes coeficiente s variables
64 64 65 65 66 67 70 71 76 79
CAPITULO V: Solución de ecuaciones diferenciales diferenciale s mediante series de potencia
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CAPITULO VI: La transformada transfor mada de Laplace Solución de ecuaciones ecuacion es diferenciales diferenciale s mediante Transformación Transform ación de Laplace
BIBLIOGRAFÍA
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81 82 84
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CAPITULO I CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los temas más antiguos en las matemáticas modernas. Actualmente las ecuaciones diferenciales constituyen el eje de una buena parte de la Ingeniería, la física, química, biología y de muchas otras que tienen que ver con el diseño de modelos matemáticos. En Ciencias e Ingeniería con frecuencia aparecen las Ecuaciones Diferenciales en el estudio de los fenómenos naturales, por ejemplo en problemas relativos a la desintegración radiactiva, crecimientos de población, reacciones químicas, ley del enfriamiento de Newton, Mezclas, Fuerza Gravitatoria, etc. 1. Definiciones Definiciones Fundam entales. entales. Una Ecuación Diferencial es toda igualdad en la que interviene una función desconocida y una o varias de sus derivadas, Ej. dy a) b) y 2 dx x 2 dy 0 c) my' ' mg ky' etc etc 5 x 3 3 dx 1.1. Clasi fic ación . Ecuacion es Diferenciales Diferenciales Ordinarias. Ordinarias. Es cuando la función incógnita depende de una sola variable independiente, o sea sólo aparecen derivadas ordinarias. Ej. dy 5 x 2 3 x 2 dx
m L
d 2 x
kx ( Ec Dif del movimiento armónico simple)
dt 2 d 2 q
R
dq
1
q 0 ( Ec Dif de la corriente eléctrica , R resistenci a en Ohm dt C dt 2 q c arg a eléctrica en Coulombs , L induc tan cia en Henrios, C capacidad
en Faradios (1 x ) 2
2
2
x
2
2
t
y
2
y
dx 2
2 x
dy dx
p( p 1) y 0
(ec .dif Legendre) etc etc
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Parciales. Es cuando la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales. Ej.:
d 2 y
a
2
2
2
0
; y
2
z
;
f ( x, y , z )
( Ec. Dif de Laplace Laplace )
2
y
x
2
f (t , x )
( Ec Dif de la onda uni dim ensional )
1.2 1.2 Orden d e una Ecuación Diferenc ial. Viene dado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.
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1.3 Grado de un a Ecuación Diferencial. algebraico de la derivada de mayor orden Diferencial Ejemplos: Determine el orden y grado Diferenciales: a ) ( y ' ' ) 3 3( y ' ) 4 5 x 0 R : Orden 2
b)
dy dx
P ( x) y Q( x) 2
de las siguientes Ecuaciones
;
Grado 3
R : Orden 1 ;
Grado 1
4
d 3 y dy c) 3 2 xy 0 dx dx d )
Está determinado por el grado que se encuentra en la Ecuación
dy 4 y dx 2 dx
d 2 y
R : Orden 3 ;
Grado 2
2
Sol : En este caso se tiene que racionaliz ar
4
2
d 2 y dy Entonces se tiene : 2 y Orden 2 ; Grado 4 dx dx 2u 2u e) 0 R : Orden 2 ; Grado 1 ( Ec Dif en derivadas parciales ) x 2 y 2 Nota: No todas las Ecuaciones Diferenciales se pueden clasificar por grado, por ejemplo, si la derivada de orden más alto está afectada de funciones logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas o exponenciales, entonces el grado no se aplica,Ej.: 5 y ' ' ( y ' ) 2 Ln y ' ' '
d 2 y dy Sen 2 4 y dx dx dy log log x 2 y etc . dx 1.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales. Son aquellas que pueden ser escritas en la forma: a o ( x) y n a1 ( x) y n 1 a n ( x) y ' a o ( x) y F ( x) , donde :
F ( x) , a o ( x) , a1 ( x) , a n ( x) son funciones de x
Una Ecuación Diferencial que no puede escribirse en esa forma es una Ecuación Diferencial no lineal. Ejemplos:
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6
x
2
d 2 y dx
2
x
dy dx
1 cos x Ec. Dif lineal
( y ' ' ) 2 3 yy'2 xy 0
Ec. Dif no lineal
y ' '3 y '12 y e x
Ec. Dif lineal
3
d 3 y dy 3 2 x y 0 Ec. Dif no lineal dx dx 1.5 Soluc ión de u na Ecu ación Diferencial Ordin aria. Una solución de una Ecuación Diferencial es cualquier función que satisface la ecuación diferencial, esto es la reduce a una identidad. Ejemplo: la función y e 2 x ( I ) es una solución de la ecuación diferencial: y'2 y 0 (II ) , ya que derivando la expresión (I) se tiene: y' 2
2
x
2e
2 x
, y reemplazando en
x
2e 0 0 0 , por lo tanto decimos que la la expresión (II) : 2e expresión (I) es solución de la ecuación diferencial(II) Las soluciones de una Ecuación Diferencial pueden ser: Solución General. Es el conjunto de todas las soluciones y por lo tanto contiene constantes de integración. Solución Particular. Es una solución que se obtiene de la solución general dándole valores específicos llamados condiciones iniciales o de frontera. Solución Singular . Es una solución que no puede obtenerse de la solución general, es decir no proviene de asignar valores a las constantes arbitrarias de una solución general. Geométricamente la solución general de una ecuación diferencialde 1er orden representa una familia de curvas conocida como curva solución puesto que cada “c” puede tomar cualquier valor real. La gráfica de la solución particular es una sola curva dentro del sistema coordenado rectangular o polar y se llama curva integral. Isóclinas d e una Ecuación Diferencial. Es el lugar geométrico de puntos en los que las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma dirección. E j e m p l o : Una curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en
cualquier punto (x;y) de ella es
1 2
x
. Halle la ecuación de la curva.
Solución: La pendiente de una curva está dada por
dy dx
1
1
2 1
2
x dy xdx , int egrando
dy
dy dx
obtenemos :
1 xdx y x 2 c ( solución general ) 2 4
Esta solución representa una familia de curvas.
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, entonces:
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¿Cuál será la solución particular que pasa por el punto (2,3)? Solución: En la solución general reemplazamos el valor inicial y =3 cuando x = 2 y obtenemos: 1 1 3 (2) 2 c c 2 y x 2 2 ( solución particular ) 4 4
Esta solución particular representa una sola curva. Gráfica:
1.6
Origen de las Ecuaciones Diferenciales Ordinari as. Podemos considerar: De las funciones prim itivas . En este caso el número de constantes de integración determina el orden de la ecuación diferencial, o sea que para hallar la ecuación diferencial correspondiente se tiene que derivar tantas veces como constantes se tenga. Ejemplo: 1) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general es:
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