Texto Calculo Diferencial - Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia 2011

CALCULO DIFERENCIAL Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Contenido CAPÍTULO 1: PRELIMINARES DEL CÁLCULO ...................................................... 2 CAPÍTULO 2: FUNCIONES DE VARIABLE REAL ................................................ 15 CAPITULO 3: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ............................... 85 CAPITULO 4: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ............................................... 124 CAPÍTULO 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA ............................................. 159 SOLUCIONARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL ................................................. 231

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CAPÍTULO 1: PRELIMINARES DEL CÁLCULO Contenido. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8.

Los números reales. Intervalos. Valor absoluto. Inecuaciones en una variable. El plano cartesiano. Rectas en el plano. Producto cartesiano. Relaciones y funciones.

1.1. Los números reales. El conjunto de los números reales es un campo ordenado para las operaciones suma y producto. A cada número real se le hace corresponder un punto sobre la recta real, tal como lo ilustra la figura 1.1

Figura 1.1 1.1.1. Propiedades de campo de los reales A continuación se establecen las propiedades de campo del conjunto de los números reales. 1. Clausurativa para la suma. El conjunto de los reales es cerrado para la suma, es decir, que la suma de dos números reales es otro número real. En símbolos, se tiene:

x, y  R, x  y  R 2. Asociativa para la suma. Dos o más términos de una suma se pueden asociar sin que el resultado cambie. En símbolos, se tiene:

x, y, z  R, x  y  z  ( x  y)  z  x  ( y  z)

3. Conmutativa para la suma. El orden de los sumandos no altera el resultado. En símbolos, se tiene:

x, y  R, x  y  y  x 4. Elemento neutro para la suma. El cero es el elemento neutro para la suma, es decir, todo número sumado con cero da como resultado el mismo número. En símbolos, se tiene:

!0  R / x  R, x  0  0  x  x 5. Inverso aditivo. A todo número real le corresponde un único número real de tal manera que la suma de ellos es el elemento neutro. En símbolos, se tiene:

x  R, ! x   R / x  ( x)  0 6. Clausurativa para el producto. El conjunto de los reales es cerrado para el producto, es decir, que el producto de dos números reales es otro número real. En símbolos, se tiene:

x, y  R, x  y  R


7. Asociativa para el producto. Dos o más términos de un producto se pueden asociar sin que el resultado cambie. En símbolos, se tiene:

x, y, z  R, x  y  z  ( x  y)  z  x  ( y  z)

8. Conmutativa para el producto. El orden de los factores no altera el resultado. En símbolos, se tiene:

x, y  R, x  y  y  x 9. Elemento neutro para el producto. El uno es el elemento neutro para el producto, es decir, todo número multiplicado por la unidad da como resultado el mismo número. En símbolos, se tiene:

!1 R / x  R, x  1  1  x  x 10. Inverso multiplicativo. A todo número real diferente de cero le corresponde un único número real de tal manera que el producto de ellos es el elemento neutro. En símbolos, se tiene:

x  R, x  0, ! x 1  R / x  x 1  1 11. Distributiva. El producto se puede distribuir sobre la suma. En símbolos, se tiene:

x, y, z  R, x   y  z   x  y  x  z 1.1.2. Propiedades de orden de los reales. El orden de los números reales viene dado por la propiedad de tricotomía, la cual establece que un número real puede ser positivo, negativo o cero. En símbolos, se tiene:

x  R , entonces x  0  x  0  x  0 Las siguientes propiedades, escritas en forma simbólica, son de mucha utilidad en el estudio del cálculo: 1. x, y, z  R, si x  y  y  z  x  z

    2. x, y, z  R, si x  y   x  z    y  z  3. x, y  R  z  0, si x  y   x  z    y  z  4. x, y  R  z  0, si x  y   x  z    y  z 

5. x, y  R, si x  y  0  ( x  0  y  0)  ( x  0  y  0) 6. x, y  R, si x  y  0  ( x  0  y  0)  ( x  0  y  0)

1.2. Intervalos Un intervalo es un subconjunto de los números reales. Los intervalos pueden ser abiertos en ambos extremos, cerrados en ambos extremos o cerrados en un extremo y abiertos en el otro. A continuación se describen los intervalos más comunes tanto de forma constructiva como gráfica. 1. (a, )  x  R / a  x  



2.



[a, )  x  R / a  x  

Figura 1.2


3.

Figura 1.3

(, a)  x  R /    x  a

Figura 1.4 4.

(, a]  x  R /    x  a

5.

(a, b)  x  R / a  x  b

6.

[a, b]  x  R / a  x  b

7.

(a, b]  x  R / a  x  b

Figura 1.5

Figura 1.6

Figura 1.7

Figura 1.8

8. [a, b)  x  R / a  x  b

Figura 1.9

1.3. Valor absoluto Dado un número real x , su valor absoluto se define como la distancia entre dicho punto y el origen. En símbolos, se tiene:

 x si x  0 x   x si x  0 El valor absoluto presenta ciertas propiedades, así: 1. Si

a es un número positivo, entonces: x  a  a  x  a

2. Si

a es un número positivo, entonces: x  a  x  a   x  a 

La figura 1.10 ilustra la situación planteada. La línea sólida corresponde a la primera propiedad y la punteada a la segunda.

Figura 1.10 El estudiante puede verificar que:

x  x 2

1.4. Inecuaciones en una variable


Una inecuación es una desigualdad en la que aparece una incógnita cualquiera. La solución de una inecuación es un subconjunto de los números reales. Para resolver una inecuación se hace uso de las propiedades previamente descritas. Es posible que una inecuación no tenga solución, caso en el cual se dice que el conjunto solución es el vacío. La inecuación x  1  0 , por ejemplo, no tiene solución real. 2

Ejemplo 1.1 Encuentre el conjunto solución para la inecuación: Solución. Transponiendo términos, se puede escribir solución es el intervalo: I  (,5)

2 x  3  3x  2

5  x  x  5 . En consecuencia, el conjunto

Ejemplo 1.2 Encuentre el conjunto solución para la inecuación:

2x  3x  2  0

Solución. La inecuación se puede escribir en la forma: x  3 / 2 x  2  0 La figura 1.11 muestra los signos de cada uno de los factores, teniendo en cuenta que el primer factor se anula en  3 / 2 y el segundo se anula en 2. Para determinar el signo del producto se aplica la conocida regla de los signos. Para el ejemplo, la figura 1.12 muestra los signos del producto.







Con base en la figura 1.12, el conjunto solución de la inecuación es el intervalo: I

  3/ 2, 2 


x2 0 x 1 Solución. Se procede como en el caso anterior pero teniendo en cuenta que el denominador no puede ser cero. La figura 1.13 muestra los signos de cada uno de los factores. Para determinar el signo del cociente se aplica la conocida regla de los signos. Para el ejemplo, la figura 1.14 muestra los signos del cociente. Con base en la figura 1.14, el conjunto solución de la inecuación es el intervalo:

I  (,1)  [2, )



x  2 1

Solución. Aplicando las propiedades del valor absoluto, se tiene:

I  x  R / 1  x  2  1  x  R / 1  x  3  [1,3] EJERCICIOS 1.4 Determine el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones: 1) x( x  1)  0 2) ( x  2)(1  x)  0 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

x 2  2x  8 0 x x3 0 x 2x  1 0 2 x 2 x 0 x 1 x2  4 0 x2  3 x2 1 0 x2 1 x3  8 0 x2 1

10) 11)

x2  4 x2  3

0

2x  3  4

x2 1 x 2 13) x  2 x 1 14) x  x  2  2 12)


15) x  2 x  3 2

1.5. El plano cartesiano. Consideremos dos rectas del plano perpendiculares entre sí que se cortan en un punto al que denominaremos el origen de coordenadas. La recta horizontal recibe el nombre de eje de abscisas mientras que la vertical recibe el nombre de eje de ordenadas. Cualquier punto del plano estará completamente definido por un par de números ( x, y ) , donde: x : es la abscisa del punto y : es la ordenada del punto

Figura 1.15

1.6. Rectas en el plano. Consideremos dos puntos del plano cuyas coordenadas son:

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y 2 ) tal como

se ilustra en la figura 1.16. Por dichos puntos pasa una única recta L que tiene una inclinación con respecto a la parte positiva del eje de abscisas. Dicha inclinación recibe el nombre de pendiente de la recta y es numéricamente igual a la tangente del ángulo que dicha recta forma con la parte positiva del eje de abscisas.

Figura 1.16 1.6.1. Fórmula de la pendiente. De acuerdo con la definición de tangente, la pendiente de la recta viene dada por:


m

RP2 P1 R



y 2  y1 x 2  x1

1.6.2. Fórmula de la distancia. Utilizando el teorema de Pitágoras, la distancia entre los puntos dada por: 2

P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y 2 ) viene

2

P1 P2  P1 R  RP2  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 1.6.2. Fórmula del punto medio de un segmento de recta Las coordenadas del punto medio del segmento de recta P1 P2 vienen dadas por:

x1  x2 2

xm 

ym 

y1  y 2 2

1.6.3. La ecuación de la recta. Para cualquier punto P( x, y ) de la recta de la figura 1.16 se verifica que:

m

y  y1 x  x1

En consecuencia, la ecuación de la recta viene dada por:

y  y1  m( x  x1 ) Una manera alternativa de escribir la ecuación de una recta oblicua es la siguiente:

y  mx  b Dónde: m : es la pendiente de la recta b : es el corte entre la recta y el eje de ordenadas Como casos particulares se tienen los siguientes: 1) Recta horizontal que pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) . La ecuación de la recta es:

y  y1 x  R 2) Recta vertical que pasa por el punto

P1 ( x1 , y1 ) . La ecuación de la recta es: x  x1 y  R

1.6.4. Rectas paralelas. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma inclinación, es decir, tienen la misma pendiente. 1.6.5. Rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando al cortarse forman un ángulo de 90°. En tal caso se puede probar que el producto de sus pendientes es menos la unidad. En símbolos se tiene que: dadas dos rectas de pendientes m1 y m2 , las rectas son perpendiculares sí y solo sí:

m1 m2  1

Ejemplo 1.5 Elabore una gráfica y ubique los siguientes puntos del plano y trace el triángulo que se forma.


A(1,4) B(2,2) C ( 3,2) Con base en lo anterior: a) Determine el perímetro del triángulo b) Determine el área del triángulo c) Calcule el punto medio del segmento AC d) Encuentre la ecuación de la mediana subtendida al vértice B e) Encuentre la ecuación de la mediatriz del lado AC Solución. La figura 1.17 ilustra la situación gráfica.

Figura 1.17 a) Para calcular el perímetro se calculan las longitudes de los lados, así:

AB  (4  2) 2  (1  (2)) 2  5 AC  (4  2) 2  (1  3) 2  20  2 5 BC  5 En consecuencia el perímetro es:

P53 5

b) Para calcular el área se tiene que la medida de la base es 5 y la de la altura es 2, por tanto, el área es: A  5unid

2

c) Para calcular el punto medio del segmento

AC se procede de la siguiente manera:

A(1,4) C (3,2)  x m  1 y m  3 d) Para hallar la ecuación de la mediana se calcula su pendiente, así: m 

32 1  1  (2) 3

En consecuencia, la ecuación de la mediana es:

1 1 8 y  3  ( x  1)  y  x  3 3 3 e) Para hallar la ecuación de la mediatriz se calcula primero la pendiente del segmento

AC ,

24 1   , con lo que la pendiente de la mediatriz es m  2 . Por tanto, la ecuación 3 1 2 de la mediatriz es: y  2 x  1 así m 

Ejemplo 1.6


Considere los puntos de plano: A(1,4) B(1,2) C ( 3,3) a) Represente gráficamente los puntos y dibuje el triángulo que se forma b) Calcule una cualquiera de las tres alturas y determine el área del triángulo Solución. a) La figura 1.18 muestra la gráfica del triángulo y la altura bajada al lado AB b) Para calcular la altura se debe encontrar la ecuación de la recta perpendicular al segmento

AB . Para lograrlo hay que hallar la pendiente de dicho segmento, así:

m( AB ) 

4  (2)  3 11

La pendiente de la recta que contiene a la altura viene a ser m(h)  1 / 3 , con lo que la ecuación de dicha recta es:

1 1 y  3  ( x  3)  y  x  2 3 3 A continuación se determina el punto de corte de la recta hallada con la recta que contiene a la base. La ecuación de la recta que contiene a la base se calcula de la siguiente manera:

y  2  3( x  1)  y  3x  1 Resolviendo simultáneamente, se tiene:

1 10 x  2  3x  1  x  1  x  3 / 10  y  19 / 10 3 3 Finalmente, la altura es la longitud del segmento CD , así:

h

3  3 / 102  3  19 / 102

 h  3.48

Figura 1.18 EJERCICIOS 1.6 Repita el ejemplo 1.5 para los siguientes casos: 1)

A(2,3) B(2,2) C (2,2) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

2)

A(2,2) B(2,2) C (2,0)

Repita el ejemplo 1.6 para los siguientes casos:

A(2,3) B(1,2) C (3,2) 4) A(2,3) B(0,2) C (3,4) 3)

5) Considere el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos:

A(4,1) B(2,2) C(2,2) D(3,0) a) Represente gráficamente b) Calcule el área del cuadrilátero

1.7. Producto cartesiano. Relaciones y funciones. La presentación del tema servirá para complementar el estudio que posteriormente se hará para funciones de variable real. 1.7.1. Producto Cartesiano. Consideremos dos conjuntos finitos que son subconjuntos de los números reales, así:

A  a1 , a2 , a3 , a 4  B  b1 , b2 , b3 , b4 , b5  El producto cartesiano: A  B se define como el conjunto de todas las parejas ordenadas cuyo primer elemento pertenece al conjunto A y cuyo segundo elemento pertenece al conjunto B . Así las cosas, el producto cartesiano correspondiente a nuestro caso tendrá 20 parejas, así:

A  B  (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a1 , b4 ), (a1 , b5 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ),......., (a4 , b5 ) En general, cualesquiera que sean los conjuntos A y B no vacíos, su producto cartesiano viene dado por:

A  B  (a, b) / a  A  b  B

Ejemplo 1.7

Determine y grafique el producto cartesiano A  B para los conjuntos:

A   2,1,0,1,2 B   2,2 Solución. El producto cartesiano pedido es:

A  B  (2,2), (2,2), (1,2), (1,2), (0,2), (0,2), (1,2), (1,2), (2,2), (2,2) La gráfica correspondiente se ilustra en la figura 1.19.


Figura 1.19 1.7.2. Relaciones. Una relación real es un conjunto de parejas ordenadas ( x, y ) del plano

R 2 en la que x  A y

y  B . Tanto A como B son subconjuntos de los números reales. El primero recibe el nombre de conjunto de partida y el segundo es el conjunto de llegada. Los elementos de una relación satisfacen una condición cualquiera.

Ejemplo 1.8

A   3,2,1,0,1,2,3 B   4,3,2,1,0,1,2,3,4 Represente gráficamente la relación que cumpla la condición: y  x  3 Dados los conjuntos:

Solución. La correspondiente relación es el conjunto:

(3,0), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (1,2), (1,3), (1,4), R  (0,3), (0,4), (1,4)  La figura 1.20 ilustra la gráfica de la relación.

Figura 1.20 1.7.3. Funciones. Una función de variable real es una relación en la que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento en el conjunto de llegada. Las funciones de variable real se representan usualmente mediante una gráfica, una tabla o, eventualmente, mediante una expresión matemática que relaciona a las variables. La siguiente es la notación más usada para representar una función:

f :  A  R  B  R  ( x, y) / y  f ( x) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

En adelante se dirá que: A : es el dominio de la función B : es el codominio de la función x : es la variable independiente y : es la variable dependiente El rango de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente.

Ejemplo 1.10 Dados los conjuntos:

A   3,2,1,0,1,2 B  El conjunto de los enteros Represente gráficamente la función que cumpla la condición y  2 x  1 , indicando el dominio y el rango. Solución. La función viene dada por:

f : A  B  (3,5), (2,3), (1,1), (0,1), (1,3), (2,5) El dominio es el conjunto A y el rango es el conjunto

Rango   5,3,1,3,5

Figura 1.21 EJERCICIOS 1.7 Dados los conjuntos:

A  x  N /  5  x  5 B  Z : Conjunto de los números enteros Represente gráficamente las siguientes relaciones, indicando las que sean funciones. Para las funciones, determine el dominio y el rango 1) Re l : A  B  2) Re l : A  B 

( x, y) / y  x

( x, y) / y  x  2


( x, y) / y  x 4) Re l : A  B  ( x, y) / x  y  25 5) Re l : A  B  ( x, y) / y  x  4 6) Re l : A  B  ( x, y) / y  x  7) Re l : A  B  ( x, y) / y  x 8) Re l : A  B  ( x, y) / y   x  4 9) Re l : A  B  ( x, y) / y  x  0 10) Re l : A  B  ( x, y) / y  x  x  3) Re l : A  B 

2

2

2

2

2

2

2

2


CAPÍTULO 2: FUNCIONES DE VARIABLE REAL Contenido. 2.1. Funciones como modelos matemáticos. 2.2. Tipos de funciones. 2.3. Funciones trascendentes. 2.4. Funciones definidas por tramos. 2.5. Transformaciones de funciones. 2.6. Funciones crecientes y decrecientes. 2.7. Operaciones con las funciones. 2.8. Composición de funciones. 2.9. Curvas del plano. 2.10. Inversa de una función. 2.11. Funciones exponenciales y logarítmicas. 2.12. Funciones trigonométricas inversas. 2.13. Funciones hiperbólicas. 2.14. Funciones hiperbólicas inversas.

2.1. Funciones como modelos matemáticos De acuerdo con lo estudiado previamente, una función es un conjunto de parejas ordenadas del plano en la que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada. La definición, sin embargo, es estrictamente matemática y carece de valor si no se contextualiza adecuadamente. Por ejemplo, si nos interesa determinar la posición de una partícula en todo instante a partir del instante t  0 y denotamos por x(t ) dicha posición, entonces x(t ) es la variable dependiente y

t es la variable independiente. La

posición x(t ) es una función ya que para un instante determinado se tiene una única posición.

Figura 2.1 Normalmente una función se puede representar mediante una expresión matemática, una tabla de valores o mediante una gráfica. Un procedimiento usual en ingeniería consiste en encontrar la expresión matemática para una función a partir de una tabla de valores.

Ejemplo 2.1. Consideremos el cuadrado de lado x de la figura 2.2 y definamos las tres funciones siguientes:

Figura 2.2

a ( x)  x b) Perímetro del cuadrado: p( x)  4 x a) Área del cuadrado:

2

c) Longitud de la diagonal: d ( x)  2 x Comentarios. El área es una función cuadrática, mientras que el perímetro y la diagonal son funciones lineales. El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos.


En las figuras: 2.3, 2.4 y 2.5 se representan gráficamente las tres funciones en el dominio [0,2]

Figura 2.3

Figura 2.4

Figura 2.5

Ejemplo 2.2. Se tiene una lámina rectangular de dimensiones a, b . En cada esquina se recorta un cuadrado de lado x para formar una caja sin tapa. Determine el volumen y el área total de la caja en función de: x Solución. La figura 2.6 muestra la lámina, mientras que la caja que se forma al recortar los cuadrados se muestra en la figura 2.7. Por simple inspección se obtienen las funciones para el área y el volumen de la caja, así: a) Volumen: V ( x)  x(a  2 x)(b  2 x) b) Área:

A( x)  ab  4 x 2

Para ambas funciones, el dominio es el intervalo: [0, a / 2] siempre que

a  b . Las figuras 2.8

y 2.9 muestran las gráficas de las funciones para: a  4, b  6

Figura 2.6

Figura 2.7

El área es una función cuadrática y el volumen es una función cúbica; ambas funciones son casos especiales de las funciones polinómicas, funciones de importancia fundamental en ingeniería y ciencias.

Figura 2.8

Figura 2.9

Ejemplo 2.3 Una cantidad de dinero: P se coloca en una corporación de ahorro a una tasa de interés compuesto continuo mensual r . Encuentre una expresión matemática que permita hallar la cantidad futura al cabo de n meses. Solución Hacemos el siguiente razonamiento:


Al cabo de un mes la cantidad inicial ha generado intereses por un monto de rP , con lo que la cantidad disponible al principio del segundo mes es:

F (1)  P  rP  (1  r ) P

Al final del segundo mes se tendrá la cantidad

F (2)  r (1  r ) P  (1  r ) P  (1  r ) 2 P Continuando con el mismo razonamiento, la cantidad de dinero al cabo de los: n meses será:

F (n)  (1  r ) n P Si la variable independiente es el número de meses n , la función encontrada es de tipo exponencial. Las figuras 2.10 y 2.11 ilustran las gráficas de la función para dos tasas de interés diferentes.

Figura 2.10

Figura 2.11

Ejemplo 2.4 Consideremos un triángulo rectángulo con hipotenusa c y catetos cuyas medidas son x, y . De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la medida de uno de los catetos está dada en función del otro, así:

y  c2  x2 Es claro que la longitud de un cateto es menor que la de la hipotenusa, con lo que el dominio de la función es el intervalo 0  x  c . La figura 2.12 muestra la gráfica de la función para una hipotenusa unitaria. Como puede verse, corresponde a un arco de circunferencia en el primer cuadrante.

Figura 2.12

Figura 2.13

Ejemplo 2.5 Considere la figura 2.13. La medida del ángulo BAC es una función de la distancia: AO, así   f (x) . Puesto que el ángulo  es la diferencia entre los ángulos OAC y OAB , tenemos

  OAC  OAB . Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:


tan(   ) 

tan( )  tan( ) 1  tan( ) tan( )

Con base en dicha identidad, resulta:

ab b    x   x  tan( )   a  b  b  1     x  x  Simplificando y despejando el ángulo, se tiene:



 ax   x  (a  b)b 

 ( x)  arctan  Particularmente, con

2

a  1 y b  2 , el ángulo viene dado por:  x  2   x  6

 ( x)  arctan 

La figura 2.14 ilustra la gráfica de la función para a  1 , b  2 en el dominio 0  x  10 . Puede verse que el máximo ángulo de la visual, en radianes, es de aproximadamente 0.2, es decir, de 11.5 .

Figura 2.14.

Ejemplo 2.6 El perímetro de la ventana de la figura 2.15 es una constante P . Determine el área de la ventana como una función de la variable x .

Figura 2.15 Solución. Puesto que la ventana es un rectángulo coronada con un semicírculo, este tendrá un radio R  x / 2 y, en consecuencia, un perímetro x / 2 . Puesto que el perímetro de la ventana es P y suponiendo que la altura del rectángulo es y resulta:


x  2 y  x / 2  P Con base en lo anterior, la altura del rectángulo es una función de x , así:

y

P  x  x / 2 2 P  2 x  x y 2 4

Por tanto, el área de la ventana viene a ser una función de

x , así:



1 1 1 A( x)  xy   ( x / 2) 2  A  x 2  2 Px  2 x 2  x 2 2 8 4



Finalmente, el área se puede escribir en la forma:

A( x) 



1 4 Px  (  4) x 2 8



Sí se toma un perímetro de 6 metros, el área de la ventana viene dado por:

A( x) 



1 24 x  (  4) x 2 8



La función obtenida es una función cuadrática y su gráfica es una parábola. Para calcular el dominio de la función se determinan los puntos en los que el área es cero. Dichos puntos son

24  3.36 . Por tanto, el dominio de la función es 0  x  3.36 . La figura  4 2.16 ilustra la gráfica de la función con P  6 mts

x0 y x

Figura 2.16

Ejemplo 2.7 Se tiene un terreno rectangular de perímetro constante P y se desea cercarlo y hacer una división como se muestra en la figura 2.17. Si el costo unitario del cercado es el doble en la división, determine el costo total del cercado. Suponga que el lindero AB no requiere cerca. Solución. De acuerdo con la figura, se tiene:

2x  2 y  P  y  Sea

P  2x 2

c el costo unitario del cercado exterior, entonces, el costo total es: C ( x)  c(2 x  y)  2cx  c(4 x  y)


Figura 2.17 Sustituyendo el valor de y , resulta:

P  2x   P  6x   C ( x)  c 4 x    c  2   2   EJERCICIOS 2.1 1) Una caja sin tapa en forma de paralelepípedo tiene una longitud x de ancho y Si el volumen de la caja es

200cm

3

2 x de largo.

, determine el área lateral en función de x .

2) Una ventana presenta la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero de lado x . Si el perímetro de la ventana es 4 m , determine el área en función de x . 3) Para la figura 2.18, escriba el ángulo  en función de x 4) Para la figura 2.19, escriba el área de la figura sombreada en función de  5) Se tiene un triángulo isósceles en el que la medida de los lados iguales es x . Determine el área en función de x sabiendo que el perímetro del triángulo es 20 cm .

Figura 2.18

Figura 2.19 2

6) Un grabado rectangular tiene un área de 600 cm . Se desea enmarcarlo de tal forma que tenga márgenes iguales a 5 cm . Determine el área total del cuadro en función de una de las dimensiones del grabado. 7) Un depósito cónico con el vértice hacia abajo tiene un radio en la base 30 cm y una altura

90 cm . El tanque, inicialmente lleno de agua, empieza a vaciarse por un orificio practicado en el vértice. En cierto momento la altura del líquido por encima del orificio es y . Determine el volumen del líquido en función de la altura. 8) Se tiene un depósito cilíndrico sin tapa con radio en la base x . Determine el área total en función de x sabiendo que el volumen del cilindro es una constante V . 9) Para la figura 2.18, determine el área del triángulo ABC en función de

x

10) Un almacén vende diariamente cierto artículo. El precio de venta por artículo es de $100 cuando se venden entre cero y 50 unidades. Para ventas superiores a las 50 unidades el precio unitario es de $80 por artículo adicional. Determine la venta total en función del número de artículos y represente gráficamente.


11) Se desea cercar un terreno rectangular de 600 metros cuadrados de área, con una división como la ilustrada en la figura 2.17. El costo por metro del cercado exterior es 20 mil pesos, mientras que el costo por metro de la división es de 10 mil pesos. Determine el costo total, en miles de pesos, del cercado total en función de x . 12) Un equipo de fútbol juega en un estadio con capacidad para 20.000 espectadores en las tribunas populares. La asistencia promedio es de 14.000 cuando la boleta tiene un costo de $10.000. Un estudio de mercadeo indica que por cada $1.000 que se rebaje a la boleta la asistencia se incrementa en 2000 personas. Determine el recaudo en términos del precio de la boleta.

2.2. Tipos de funciones No es sencillo hacer una clasificación de las funciones de variable real, sin embargo, proponemos la siguiente clasificación que va de lo elemental a lo relativamente más elaborado. 2.2.1. La función constante. Puede decirse que es una de las funciones más elementales del cálculo y se define como:

f ( x)  C ; C  R La gráfica de la función es una línea horizontal que pasa por el punto (0, C ) . El dominio de la función es el conjunto de los números reales, mientras que el rango es el conjunto Rango  C . Un ejemplo de una función constante es la velocidad de una partícula que se mueve con movimiento uniforme.



2.2.2. La función identidad. Es una función en la que los elementos de cada pareja son iguales. Formalmente se define como:

f ( x)  x ; x  R

La gráfica de la función es una línea recta que forma un ángulo de 45° con el eje de abscisas. 2.2.3. La función lineal. Es otra de las funciones elementales del cálculo y viene dada por:

y  mx  b x  R La gráfica de la función es una línea recta de pendiente m que pasa por el punto (0, b) Son ejemplos de funciones lineales, las siguientes: a) y  3x  2 b)

v  V0  gt : Corresponde a la velocidad en todo instante de una partícula que se lanza

verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial

V0 , en ausencia de fricción.

2.2.4. La función potencia cuadrática. Se define como:

f ( x)  x 2 ; x  R La gráfica de la función es una parábola con vértice en el origen que se abre hacia arriba. 2.2.5. La función cuadrática. La función cuadrática viene dada por:

y  ax 2  bx  c ; a  0 , x  R


La gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba si a es un número positivo y hacia abajo en caso contrario. Las raíces de una función cuadrática se encuentran haciendo y  0 , es decir, resolviendo la ecuación cuadrática:

ax 2  bx  c  0 Las dos raíces se obtienen aplicando la conocida fórmula del bachiller, así:

r1 , r2 

 b  b 2  4ac 2a

La cantidad dentro del radical es un número real que recibe el nombre de discriminante. Al calcular las raíces se puede presentar una de las siguientes situaciones: a) El discriminante de la ecuación es positivo. En este caso las raíces son reales y diferentes: r1 , r2 y la gráfica de la parábola corta dos veces al eje de abscisas, tal como se ilustra en la figura 2.20, con a  0 b) El discriminante de la ecuación es cero. En este caso las raíces son reales e iguales: r1  r2  r y la gráfica de la parábola es tangente al eje de abscisas, tal como se ilustra en la

figura 2.21, con a  0 c) El discriminante de la ecuación es negativo. En este caso las raíces son complejas conjugadas: r1 , r2    j y la gráfica de la parábola no corta al eje de abscisas, tal como se ilustra en la figura 2.22, con

Figura 2.20

a0

Figura 2.21

Figura 2.22

La forma canónica de la parábola es y  k  a( x  h) , dónde (h , k ) es el vértice de la parábola. La forma canónica se encuentra por completación del trinomio cuadrado perfecto, así: 2

b   y  ax 2  bx  c  y  a x 2  x   c a   b2 Dentro del paréntesis se suma y se resta 4a 2  b b2 b2  y  a x 2  x  2  2   c  a 4a 4a  

 b b2 y  a x 2  x  2 a 4a 

 b2   c   4a 

b  4ac  b 2  y  a x    2a  4a  2

Es claro que:


b 2a 4ac  b 2 k 2a h

2.2.6. La función potencia cúbica. Se define como:

f ( x)  x 3 ; x  R La gráfica de la función, en el intervalo  2  x  2 , se muestra en la figura 2.23.

Figura 2.23 2.2.7. Funciones Polinómicas Una función polinómica tiene la forma general:

f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ....  an x n Los coeficientes son números reales en los casos de interés. La gráfica de una función polinómica es una curva ‘continua’ en el dominio de los reales. Las raíces reales de un polinomio son los cortes de la función con el eje de abscisas, tal como ocurre con la función cuadrática. La función polinómica de grado n y coeficientes reales siempre se podrá expresar mediante factores lineales y cuadráticos. En tal caso, siempre es posible determinar las: n raíces de la función polinómica. El concepto de continuidad se presentará posteriormente. Intuitivamente, la continuidad implica que la curva no presenta interrupciones.

Ejemplo 2.8 Considere la función cúbica: f ( x)  x  4 x a) Elabore una tabla de 7 valores igualmente espaciados en el intervalo: [-3,3] b) Con base en la tabla de valores hallada, ubique las raíces reales de la ecuación f ( x)  0 . c) Represente gráficamente la función. 3

Solución. a) Se hace la tabla de valores

x f (x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-15

0

3

0

-3

0

15

b) Por simple inspección, las raíces del polinomio son: c) La figura 2.24 ilustra la gráfica de la función.

 2, 0, 2


Figura 2.24

Ejemplo 2.9 Considere la función polinómica:

f ( x)  x 4  2 x 3  x 2  2 x  3

a) Elabore una tabla de 8 valores igualmente espaciados en el intervalo:

 1, 2.5

b) Con base en la tabla de valores hallada, ubique las raíces reales de la ecuación f ( x)  0 . c) Represente gráficamente la función. Solución. a) Hacemos la tabla de valores.

x f (x)

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1.43

-3

-3.94

-5

-5.44

-3

6.06

Figura 2.25 b) A partir de la tabla se observa que hay raíces reales en los intervalos: (-1,-0.5) y (2,2.5). c) La figura 2.25 muestra la gráfica de la función en el intervalo: [1, 2.5] 2.2.8. El inverso multiplicativo de la función identidad. Se define como:

f ( x) 

1 ;x  0 x

Tal como está definida, el dominio de la función es el conjunto:

D f  x  R / x  0

Puede verse que si se toman valores para x cercanos a cero por la izquierda, la función toma valores negativos cada vez más grandes. Por otro lado, si se toman valores para x cercanos a cero por la derecha, la función toma valores positivos cada vez más grandes. Se dirá entonces


que la recta x  0 es una asíntota vertical de la gráfica de la función. También es claro que si x aumenta positivamente, la función se hace cada vez más pequeña y lo mismo si aumenta negativamente. La figura 2.26 muestra la gráfica de la función. 2.2.9. Funciones Racionales. Una función racional es el cociente indicado de dos polinomios, así:

f ( x) 

Q( x) P( x)

La función racional se puede expresar en la siguiente forma:

f ( x) 

b0  b1 x  b2 x 2  .....  bm x m a0  a1 x  a 2 x 2  .....  a n x n

Después de factorizar los polinomios, la función queda de la siguiente manera:

f ( x)  K

( x  z1 )( x  z 2 ).....( x  z m ) ( x  p1 )( x  p 2 ).....( x  p n )

Figura 2.26 Las raíces del numerador se denominan los ceros de la función y las del denominador son los polos de la función. En general, tanto los ceros como los polos son números complejos. Geométricamente, los ceros reales son los cortes de la función con el eje x, mientras que los polos reales son asíntotas verticales de la función. El concepto de asíntota se presentará posteriormente.

Ejemplo 2.10. Represente gráficamente la función racional:

f ( x)  2

x 2  4x  3 x 4  3x 2  4

Solución. El estudiante puede verificar que la función se puede expresar en su forma factorizada, así:


f ( x)  2

( x  1)( x  3) ( x  2)( x  2)( x 2  1)

Como puede verse, los ceros de la función están ubicados en

x  1 x  3 , mientras que las

asíntotas verticales son las rectas x  2 x  2 . La figura 2.27 se obtuvo con la ayuda del paquete Matlab. Es claro que el dominio de la función es el conjunto:

D  R   2,2 2.2.10. La función raíz cuadrada. Se define como:

f ( x)  x  x 1 / 2 ; x  0 Según se verá posteriormente, la función es la inversa multiplicativa de la función potencia cuadrática en el intervalo dado. La figura 2.28 ilustra la gráfica de la función.

Figura 2.27

Figura 2.28

2.2.11. La función raíz cúbica. Se define como:

f ( x)  3 x  x 1 / 3 ; x  R Según se verá posteriormente, la función es la inversa multiplicativa de la función potencia cúbica en los reales. La figura 2.29 ilustra la gráfica de la función. Observe que el eje de ordenadas es tangente a la curva en el origen.

Figura 2.29


2.2.12. Función algebraica. Una función algebraica es la que se obtiene efectuando operaciones algebraicas sobre polinomios. Como se sabe, las operaciones algebraicas son: adición, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Son ejemplos de funciones algebraicas las asociadas a los ejemplos: 2.1, 2.2, 2.4, 2.6 y 2.7. Para estas funciones el dominio es un subconjunto de los números reales y se obtiene imponiendo ciertas restricciones a la variable independiente.

Ejemplo 2.11 Considere la función: f ( x)  4  x a) Determine el dominio de la función b) Represente gráficamente

2

Solución. a) El dominio se determina con la condición: 4  x  0 A partir de la inecuación se hace el siguiente desarrollo: 2

4  x 2  0  x 2  4  0  ( x  2)( x  2)  0 Con base en el procedimiento descrito en el ejemplo 1.2 se encuentra que el dominio es:

D  x  R /  2  x  2 b) La gráfica se ilustra en la figura 2.30

Figura 2.30

Figura 2.31

Ejemplo 2.12 Considere la función:

f ( x)  x 2  2 x a) Determine el dominio de la función b) Represente gráficamente Solución. a) El dominio se determina con la condición: x  2 x  0 A partir de la inecuación se hace el siguiente desarrollo: 2

x2  2 x  0  x( x  2)  0 Con base en el procedimiento descrito en el ejemplo 1.2 se encuentra que el dominio es:

D  x  R / x  0  x  2 b) La gráfica se ilustra en la figura 2.31

EJERCICIOS 2.2


Para cada una de las siguientes funciones: a) Determine el dominio b) Represente gráficamente y determine el rango. 1)

f ( x)  x 2  2 x  8

2)

f ( x)  x 2  4 x  4

3)

f ( x)  x 2  2 x  2

4)

f ( x)  x 3  x 2  x  1

x2  1 x 1 x2  2x  3 6) f ( x)  x2  4 5)

f ( x) 

7)

f ( x)  x 2  1

8)

f ( x)  3 x 2

9)

f ( x)  x 2  x  2

10)

f ( x)  2  x  x 2

2.3. Funciones trascendentes. Son aquellas funciones que no son algebraicas, tales como: funciones trigonométricas y sus inversas, funciones exponenciales y logarítmicas y las funciones hiperbólicas y sus inversas.

2.3.1. La función exponencial

b , el cual es la base de la función, y definamos la

Consideremos un número real positivo función exponencial en la forma:

f ( x)  b x ; x  R Particularmente y por simplicidad tomaremos

b  2 , es decir, trabajaremos con la función:

f ( x)  2 x A continuación se presenta una tabla de valores de la función para valores enteros de la variable independiente:

x f (x)

-2

-1

0

1

2

3

1/4

1/2

1

2

4

8

Es claro que cuando la variable independiente toma valores negativos la función se mantiene positiva pero muy cercana a cero mientras que para valores positivos de la variable independiente la función crece rápidamente. La figura 2.32 ilustra la gráfica de la función en el dominio:  2  x  2 Cuando la base es el número de Euler, cuyo valor aproximado es e  2.718282 , la función recibe el nombre de función exponencial natural y su gráfica se muestra en la figura 2.33. Observe que ambas gráficas pasan por el punto (0,1) .


Figura 2.32

Figura 2.33

Es claro que, en ambos casos, el rango es el conjunto de los reales positivos.

Ejemplo 2.13.

Ti se introduce en un medio que tiene una temperatura T f . Se puede demostrar que la temperatura en todo instante: t  0 está dada Un cuerpo que tiene inicialmente una temperatura inicial por:

T (t )  T f  Ti  T f e at

Represente gráficamente la función de temperatura en los siguientes casos: a) a  1 , Ti  0 y T f  1 b) a  1 , Ti  2 y T f  1 Solución. Usando un paquete, encontramos las gráficas de las figuras 2.34 y 2.35 En el segundo caso el rango viene dado por Rango   1,2 , mientras que en el primero el





rango es Rango  [0,1)

Figura 2.34

Figura 2.35

2.3.2. Función logarítmica. De acuerdo con lo que se estudiará posteriormente, la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y se definirá de la siguiente manera: A partir de la función exponencial

y  b x , se define el logaritmo de y en base b y se escribe: x  log b ( y)

Así las cosas, la función logarítmica se define como:

f ( x)  log b ( x) ; x  0


Cuando la base es el número de Euler, la función logarítmica recibe el nombre de función logaritmo natural y se escribe como:

f ( x)  ln( x) ; x  0

La gráfica de la función se ilustra en la figura 2.36 y puede verse que el rango es el conjunto de los números reales. La figura 2.37 muestra las gráficas de la función logarítmica junto con la exponencial. Puede verse que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y  x Más adelante, después de estudiar la inversa de una función, retomaremos el tema de las funciones exponenciales y logarítmicas e introduciremos algunas propiedades importantes.

Figura 2.36 Figura 2.37 2.3.3. Funciones trigonométricas. Son funciones de importancia fundamental en ingeniería y ciencias y se obtienen al relacionar los lados de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia de radio unitario. Con base en la figura 2.38, sí el radio de la circunferencia es la unidad y la medida del ángulo  es en radianes, las funciones trigonométricas de dicho ángulo, son: 1) Función seno. sen( )  y

Figura 2.38 Puesto que los ángulos pueden ser positivos o negativos, el dominio de la función es el conjunto de los reales. Por otro lado, ya que la medida de un cateto debe ser menor o igual que la medida de la hipotenusa, el rango de la función es el intervalo  1,1 . La figura 2.39 muestra la gráfica de la función seno.





2) Función coseno. cos( )  x Un razonamiento similar al del caso anterior nos permite afirmar que tanto el dominio como el rango de la función coseno son los mismos de la función seno. La gráfica se muestra en la figura 2.40. Es de notarse que ambas funciones se repiten cada 2 Radianes, es decir que las funciones son periódicas con periodo 2 . La periodicidad se expresa de la siguiente manera:

sen( x  2 )  sen( x) cos( x  2 )  cos( x) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Figura 2.39

Figura 2.40 3) Función tangente. Se define como:

tan( ) 

sen( ) cos( )

En el dominio de la función quedan excluidos los valores del ángulo en los que el coseno se anula. Se puede observar que el coseno se anula para los ángulos:   / 2  3 / 2  5 / 2  7 / 2 y así sucesivamente. En la gráfica de la función tangente, dichos ángulos son asíntotas verticales de la función. La figura 2.41 ilustra la gráfica de la función tangente en el intervalo  2 ,2 . El rango de la función es el conjunto de los números reales. Adicionalmente puede verse que la función tangente es periódica con periodo  , es decir, se verifica que:





tan(   )  tan( )

Figura 2.41

EJERCICIOS 2.3 1) Considere la función: f ( x) 

2 2 1 x

a) Determine el dominio de la función. b) Con base en la gráfica indique el rango. x

2) Considere la función: f ( x)  e  1 a) Determine el dominio de la función.


b) Con base en la gráfica indique el rango.

 x 2   x 1 

3) Determine el dominio de la función f ( x)  1  ln 

4) Represente gráficamente las siguientes funciones en el intervalo indicado. a) f ( x)  cot( x) ;   , 0 0 ,   b) f ( x)  csc( x) ; c) f ( x)  sec( x) ;

  , 0 0 ,     / 2 ,  / 2  / 2 , 3 / 2

2.4. Funciones definidas por tramos. Algunas funciones de interés en ingeniería no están definidas por la misma expresión en todo su dominio. Tal es el caso de la función escalón unitario o función de Heaviside, la cual se define de la siguiente manera: 2.4.1. Función de Heaviside.

0 si t  0 H (t )   1 si t  0 La gráfica de la función escalón unitario se muestra en la figura 2.42. Otra función importante es la función rampa unitaria, que está definida como: 2.4.2. Función rampa unitaria.

0 si t  0 R(t )    t si t  0 La gráfica correspondiente se ilustra en la figura 2.43

Figura 2.42

Figura 2.43

2.4.3. Funciones de la forma f ( x)  ax  b Con base en la definición de valor absoluto, la función dada se puede expresar por tramos, así:

ax  b si x  b / a f ( x)    ax  b si x  b / a La figura 2.44 ilustra la gráfica de la recta original (línea punteada) junto con su valor absoluto (línea sólida)


Figura 2.44 2.4.3. Funciones de la forma f ( x)  ax 2  bx  c La función dentro del valor absoluto es una parábola que puede tener una parte negativa, tal como se ilstra en la figura 2.45. Al tomar el valor absoluto resulta la gráfica de la figura 2.46.

Figura 2.45

Figura 2.46

Ejemplo 2.14. Represente gráficamente la función:

 0 si x  0  f ( x)  2  x si 0  x  2   1 si x  2  Solución. En el intervalo 0  x  2 la gráfica es una recta de pendiente -1 que pasa por los puntos (0,2) y (2,0) . La gráfica de la función se muestra en la figura 2.47


0 si x  0   f ( x)   1  x si 0  x  2  0 si x  2  Solución. Con base en la definición de valor absoluto, se tiene:

1  x si 1  x  0 1 x    x  1 si 1  x  0 Así las cosas, se redefine la función, así:


 0 1  x  f ( x)   x  1  0

si x  0 si 0  x  1 si 1  x  2 si x  2

La figura 2.48 ilustra la gráfica de la función.

Figura 2.47

Figura 2.48


0 si x  0   f ( x)  sen( x) si 0  x  2  0 si x  2  Solución. La gráfica es la que se ilustra en la figura 2.49

Figura 2.49

Figura 2.50


0 si x  0   x f ( x)  1  e si 0  x  5  0 si x  5  Solución. La gráfica es la que se ilustra en la figura 2.50

EJERCICIOS 2.4 Represente gráficamente las siguientes funciones y escriba el rango de cada una:


0 si x  2   1) f ( x)   1  x si  2  x  1  0 si x  1 

0 si x  2  2) f ( x)  1  x si  2  x  2 2 si x  2  0 si x  2  2 3) f ( x)   x  2 si  2  x  2 3 si x  2   2 si x  2  x si  2  x  1  4) f ( x)    x  2 si 1  x  3  0 si x  3

0 si x  2   5) f ( x)  cos(x) si  2  x 2  0 si x  2    1 si x  1  x si  1  x  1 6) f ( x)  2  0 si x  1  2.5. Transformaciones de funciones Antes de analizar los procesos de transformación de funciones es conveniente introducir algunos conceptos asociados a las funciones y que son relativamente importantes. 2.5.1. Simetrías. Antes de analizar los procesos de transformación de funciones es conveniente introducir algunos conceptos asociados a las funciones y que son relativamente importantes. a) Función par. Se dice que una función f (x) es par si se verifica que f ( x)  f ( x) . Las funciones pares presentan simetría con respecto al eje de ordenadas. Son ejemplos de funciones pares, las siguientes:

f ( x)  x 2  2 g ( x)  x 4  4 La figura 2.51 muestra la gráfica de una función par. b) Función impar. Se dice que una función f (x) es impar si se verifica que f ( x)   f ( x) . Las funciones impares presentan simetría con respecto al origen. Son ejemplos de funciones pares, las siguientes:


f ( x)  x 3  2 x , g ( x) 

x x 1 2

La figura 2.52 muestra la gráfica de una función impar

Figura 2.51

Figura 2.52

2.5.2. Desplazamientos de la gráfica de una función. Una función se puede desplazar tanto de manera horizontal como vertical. a) Desplazamientos verticales. Consideremos una función y  f (x) cuya gráfica es la que se muestra en la figura 2.53. Si c es una constante positiva, la función modificada y  f ( x)  c tendrá una gráfica desplazada c unidades hacia arriba, tal como se muestra en la figura 2.54. Por otro lado, la función modificada y  f ( x)  c tendrá una gráfica desplazada hacia abajo.

Figura 2.53

Figura 2.54

Puede verse que el dominio de la función desplazada es el mismo de la función original, pero el rango sube c unidades. b) Desplazamientos horizontales. Consideremos una función y  f (x) cuya gráfica es la que se muestra en la figura 2.53. Si c es una constante positiva, la función modificada y  f ( x  c) tendrá una gráfica desplazada hacia la derecha, tal como se muestra en la figura 2.55. Por otro lado, la función y  f ( x  c) tendrá una gráfica desplazada hacia la izquierda, tal como lo ilustra la figura 2.56 Puede verse que el dominio de la función desplazada hacia la derecha se corre c unidades hacia la derecha, pero el rango permanece el mismo. 2.5.3. Cambios de escala horizontales. La gráfica de una función se puede alargar o comprimir horizontalmente mediante un cambio de escala. Un cambio de escala se logra modificando la función de la siguiente manera:

g ( x)  f (cx)


Figura 2.55

Figura 2.56

Cuando c  1 la función se comprime horizontalmente un factor c , mientras que si 0  c  1 , la función se alarga un factor c . Los cambios de escala horizontales no afectan el rango de la función, pero el dominio de la nueva función viene a ser:

a b  Dg  x  R /  x   c c  La figura 2.57 ilustra un cambio de escala a la mitad, mientras que la figura 2.58 muestra un cambio de escala al doble.

Figura 2.57

Figura 2.58 2.5.4. Cambios de escala verticales. En el eje de ordenadas, un cambio de escala se logra modificando la función de la siguiente manera:

g ( x)  cf ( x)

Cuando c  1 la función se alarga verticalmente un factor c , mientras que sí 0  c  1 , la función se comprime un factor c . El dominio de la nueva función es el mismo de la función original, pero el rango de la nueva función viene a ser:

R g  y  R / cf (a)  y  cf (b)

La figura 2.59 muestra la gráfica de una función amplificada al doble.


Figura 2.59 2.5.5. Reflexiones de la gráfica de una función. A partir de la gráfica de una función se pueden representar sus reflexiones con respecto a los ejes coordenados, así: a) Con respecto al eje de ordenadas: f ( x) b) Con respecto al eje de abscisas:  f (x) La figura 2.60 ilustra la situación descrita.

Figura 2.60 2.5.6. Prioridades en las transformaciones horizontales. Supongamos que se desea representar gráficamente la función f (2 x  3) a partir de la función y  f (x) Los pasos para llevar a cabo la transformación son los siguientes: 1) Se desplaza la función horizontalmente hacia la izquierda una cantidad 3.

f ( x  3) 2) Se hace un cambio de escala a la mitad:

f (2 x  3) 3) Se refleja con respecto al eje de ordenadas.

f (2 x  3) 2.5.7. Prioridades en las transformaciones verticales. Supongamos que se desea representar gráficamente la función  3 f ( x)  2 a partir de la función y  f (x) Los pasos para llevar a cabo la transformación son los siguientes: 1) Se hace un cambio de escala vertical una cantidad 3.


3 f ( x) 2) Se refleja con respecto al eje de abscisas.

 3 f ( x) 3) Se desplaza verticalmente hacia arriba dos unidades:

 3 f ( x)  2 Ejemplo 2.18 Considere la función:

si  1  x  1 1 f ( x)   2  x si 1  x  3 Represente gráficamente las funciones: a) b) c) d) e) f) g)

f (x) f ( x  1) f ( x / 2  1) f (x / 2  1) 2 f (x / 2  1) 2 f (x / 2  1)  1 2 f (x / 2  1)  1

Solución. a) La figura 2.61 ilustra la gráfica de la función. b) La figura 2.62 ilustra la gráfica de la función desplazada una unidad hacia la izquierda. c) La figura 2.63 ilustra la gráfica de la función anterior aumentada horizontalmente al doble. d) La figura 2.64 ilustra la gráfica de la función anterior reflejada con respecto al eje de ordenadas. e) La figura 2.65 ilustra la gráfica de la función anterior aumentada verticalmente al doble. f) La figura 2.66 ilustra la gráfica de la función anterior bajada verticalmente una unidad. g) Se sugiere al estudiante que represente gráficamente el valor absoluto de la función anterior.

Figura 2.61

Figura 2.62


Figura 2.63

Figura 2.64

Figura 2.65

Figura 2.66

EJERCICIOS 2.5 1) Considere la función:

f ( x)  x2  x  ; 0  x  2

Represente gráficamente las siguientes funciones: a) f (x) b) f ( x) c) f (2 x)  2 d) f ( x / 2)  3 e)  2 f ( x  2)  1 f) f ( x / 2  1) g)  2 f ( x / 2  1)  1 h) 3 f ( x / 2)  2


2) Repita el procedimiento del ejercicio anterior para la siguiente función.

f ( x)  4  x 2 ; 0  x  2


f ( x)  x  x ;  1  x  1



f ( x)  2 x ;  1  x  1


f ( x)  sen(x) ; 0  x  1


2.6. Funciones crecientes y funciones decrecientes.

Consideremos una función y  f (x) definida en cada punto del intervalo cerrado a  x  b . Se dice que la función es: a) creciente en el intervalo si para todos los números x1  x2 en el intervalo se verifica que

f ( x2 )  f ( x1 )

b) decreciente en el intervalo si para todos los números que

f ( x2 )  f ( x1 )

x1  x2 en el intervalo se verifica

 

Una función creciente o decreciente en el intervalo a, b se dice que es uno a uno en el intervalo. Lo anterior significa que a cada valor de y le corresponde un único valor de x .

2.7. Operaciones con las funciones. Con las funciones se pueden hacer operaciones como: sumas, restas, productos y divisiones. A continuación se hace un listado de las operaciones indicando el dominio del resultado. Se supondrá que A es el dominio de f y B es el dominio de g .

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) 2. Resta: ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) 3. Producto: ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) 4. División: ( f / g )( x)  f ( x) / g ( x) 1. Suma:

Do min io  A  B Do min io  A  B Do min io  A  B Do min io  A  B g ( x)  0

2.8. Composición de funciones. Consideremos dos funciones f y g , la primera con un dominio A y la segunda con un dominio B . A partir de ellas se pueden obtener dos funciones a las que denominaremos funciones compuestas f  g (x) y g  f (x) , definidas de la siguiente manera:









 f  g ( x)  f g ( x) g  f ( x)  g  f ( x)

x  R / x  A  f  B f )( x) es el conjunto: x  R / x  B  g  B

El dominio de la función compuesta ( f  g )( x) es el conjunto: El dominio de la función compuesta ( g


Ejemplo 2.23.

Considere las funciones: f ( x)  2 x  1 ; g ( x)  1 / x a) Determine el dominio de cada función b) Encuentre la función compuesta ( f  g )( x) y escriba su dominio c) Encuentre la función compuesta ( g  f )( x) y escriba su dominio Solución. a) Por simple inspección se tiene que el dominio de f es el conjunto de los reales mientras que el dominio de g es el intervalo:

B  x  R / x  0

b) La función ( f  g )( x) se determina de la siguiente manera:

f ( g )  2 g  1  f g ( x)   21 / x   1 

2 x x

El dominio de ( f  g )( x) se encuentra de la siguiente manera:

1   D f  g    x  R / x  0   R  x   De lo anterior se concluye que el dominio de ( f  g )( x) es: D f  g    ,0  0,  c) La función ( g  f )( x) se determina de la siguiente manera:

g( f ) 

1 1  g  f ( x)   f 2x  1

Puede verse que el dominio de la función es el intervalo:

D g f   x  R / x  R  2 x  1  0 El dominio viene a ser:

D g  f    ,1 / 2  1 / 2, 

Ejemplo 2.24. Considere las funciones:

f ( x)  2 x  1 g ( x)  x  2 a) Determine el dominio de cada función b) Encuentre la función compuesta ( f  g )( x) , escriba su dominio y represente gráficamente. c) Encuentre la función compuesta ( g  f )( x) , escriba su dominio y represente gráficamente. Solución. a) Por simple inspección se tiene que el dominio de f es el conjunto de los reales mientras que el dominio de g es el intervalo:

x  R / x  2


f ( g )  2 g  1  f ( g ( x))  2 x  2  1 El dominio de ( f  g )( x) se encuentra de la siguiente manera:






D f  g   x  R / x  2,   x  2  R



De lo anterior se concluye que el dominio de ( f  g )( x) es: D f  g   2,  c) La función ( g  f )( x) se determina de la siguiente manera:

g( f ) 

f  2  g ( f ( x))  (2 x  1)  2  2 x  1


D g f   x  R / x  R  2 x  1 2, 



El dominio se puede obtener al resolver la inecuación: D g  f   1 / 2,  La figura 2.67 ilustra la gráfica de la función ( f  g )( x) , mientras que la figura 2.68 ilustra la gráfica de ( g  f )( x)

Figura 2.67

Figura 2.68


f ( x) 

1 x 1

g ( x)  4  x 2 a) Determine el dominio de cada función b) Encuentre la función compuesta ( f  g )( x) y escriba su c) Encuentre la función compuesta ( g  f )( x) y escriba su dominio Solución. a) Por simple inspección se tiene que el dominio de f es el conjunto dominio de g es el intervalo: 2,2

R  1 , mientras que el


f (g) 

1 1  f  g ( x)   g 1 4  x 2 1

El dominio de ( f  g )( x) se encuentra de la siguiente manera:






D f  g   x  R / x   2,2  4  x 2  R  1 Desarrollando la desigualdad se tiene:

4  x2  1  4  x2  1  x2  3  x   3 De lo anterior se concluye que el dominio de ( f  g )( x) es:



 



D f  g    2, 3  3,2

c) La función ( g  f )( x) se determina de la siguiente manera:

g( f )  4  f

2

 g  f ( x)   4 

1  ( x  1) 2

4 x 2  8x  3 x 1


1   D g f    x  R / x  R  1    2,2 x 1   Resolviendo la inecuación, resulta que el dominio de ( g  f )( x) es: D g  f    ,1 / 2 3 / 2,  Importante. En la práctica, para hallar el dominio de la función compuesta se hace primero la composición y después se halla el dominio, con lo que se gana mucho tiempo.


f ( x)  sen( x) g ( x)  x

a) Determine el dominio de cada función b) Encuentre la función compuesta ( f  g )( x) y escriba su c) Encuentre la función compuesta ( g  f )( x) y escriba su dominio Solución. a) Por simple inspección se tiene que el dominio de f es el conjunto de los reales mientras que el dominio de g es el intervalo:

B  x  R / x  0


 

f ( g )  sen( g )  f g ( x)  sen x El dominio de ( f  g )( x) se encuentra de la siguiente manera:





D f  g   x  R / x  0  x  R




De lo anterior se concluye que el dominio de ( f  g )( x) es: D f  g   0,  c) La función ( g  f )( x) se determina de la siguiente manera:

g( f ) 

f  g  f ( x)  sen( x)


D g f   x  R / x  R  sen( x)  0 Con base en la gráfica de la función seno, la que se ilustra en la figura 2.40, el dominio pedido es:

D g  f   x  R / 2n  x  (2n  1) ; n  Z  Ejemplo 2.27. En este ejemplo se ilustra el método gráfico para determinar el dominio de la función compuesta g  f (x) Dadas las funciones f , g

mostradas en la figura 2.69, para determinar el dominio de

g  f (x) nos remitimos a la figura 2.70, en la que el dominio de

g se traza verticalmente

junto con la función f La traza punteada indica que el valor correspondiente no hace parte del dominio. A partir de la figura 2.69 se establece que:

D f   1,1  1, 5

Dg   2 , 3

A partir de la figura 2.70 se establece que:

Dgof   1.5 ,1  1, 3

Figura 2.69

Figura 2.70

EJERCICIOS 2.7 1) Considere las funciones:


f ( x)  g ( x) 

x2 1 x 1 x

Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( f / g )( x) c) ( g / f )( x) 2) Considere las funciones:

f ( x)  x 2  x g ( x)  x  2 Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( g  f )( x) 3) Considere las funciones:

f ( x)  x 2  9 g ( x)  4  x Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( g  f )( x) 4) Considere las funciones:

2 x  3 si x  2 f ( x)    x  1 si x  2 g ( x)  x Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( g  f )( x) 5) Dadas las funciones:

f ( x)  x g ( x)  2 x a) Determine ( f  g )( x) y su dominio b) Determine ( g  f )( x) y su dominio 6) Repita el numeral anterior para las siguientes funciones:

f ( x)  x g ( x)  tan( x) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

2.9. Curvas del plano. Una curva del plano es una relación de la forma:





Re l : A  B  ( x, y)  R 2 / F ( x, y)  0

Tal como se presentó el tema en el primer capítulo, en una relación a cada elemento del dominio le puede corresponder más de un elemento en el codominio. Un ejemplo de una relación es la ecuación de la circunferencia de radio R que tiene su centro en el origen de coordenadas, así:

x2  y2  R2 A partir de la ecuación de la circunferencia se puede despejar la ordenada, así:

y   R2  x2 El signo positivo corresponde a la parte superior de la circunferencia y el negativo a la parte inferior. La figura 2.71 muestra la gráfica de una circunferencia y se indican las funciones asociadas a la relación.

f ( x)  R 2  x 2

g ( x)   R 2  x 2

Dado que la curva no puede ser descrita mediante una única función, es conveniente describir la abscisa y la ordenada en términos del ángulo  , así:

x  R cos( )

y  Rsen( )

El par de ecuaciones que relacionan a las coordenadas del punto con el ángulo, reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la circunferencia, siendo el ángulo el parámetro de la curva. En general, las cónicas del plano: parábolas, elipses e hipérbolas, son relaciones que se deben describir mediante ecuaciones paramétricas. 2.9.1. Curvas paramétricas. Consideremos una curva cualquiera del plano que empieza a desarrollarse a partir de un punto cualquiera ( x0 , y 0 ) en el instante t  0 . Posteriormente, en el instante t  t1 se ha generado un segmento de la curva de tal manera que se ha pasado al punto ( x1 , y1 ) , tal como lo muestra la figura 2.72. Evidentemente, tanto la abscisa como la ordenada del punto P1 dependen del tiempo transcurrido t 1 y consecuentemente, las coordenadas del punto P( x, y ) deben ser funciones del tiempo transcurrido. En adelante se dirá que t es el parámetro de la curva y que las coordenadas de cualquier punto sobre la curva son funciones de dicho parámetro, así:

x  f (t )

y  g (t )


Figura 2.71

A partir de las ecuaciones paramétricas se puede encontrar la relación entre las coordenadas de cualquier punto, sin embargo, en general no es fácil.

Figura 2.72

Ejemplo 2.28. Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  2t  t 2

y  t 1

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Elaboramos la siguiente tabla de valores: Con base en la tabla de valores se traza la gráfica de la curva mostrada en la figura 2.73 b) Despejamos el tiempo en la segunda ecuación, así t  y  1 y este resultado se sustituye en la primera ecuación, con lo que resulta:

x  2( y  1)  ( y  1) 2  x  2 y  2  ( y 2  2 y  1)  x  4 y  y 2  3 Finalmente, la relación es:

x  y 2  4 y  3


Figura 2.73

Ejemplo 2.29 Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  2 cos(t )

y  sen(t )

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  2 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se procede como en el ejemplo anterior, con lo que resulta la elipse de la figura 2.74. b) Las dos ecuaciones se escriben de la siguiente manera: cos(t )  x / 2 ; sen(t )  y / 1 Elevando cada ecuación a la segunda potencia, resulta:

 x cos (t )    2

2

2

 y sen (t )    1

2

2

Sumando las dos ecuaciones y teniendo en cuenta la identidad trigonométrica, se tiene que la relación viene dada por:

x2 y2  1 4 1

Figura 2.74

EJERCICIOS 2.9 1) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  2t  t 2

y  t 1

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva


2) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  2t  3 y  t 2  2t a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva 3) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  2 cos(t )

y  3sen(t )

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t   b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva 4) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  cos(t )

y  3sen2 (t )

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t   b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva 5) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

xt

y t t

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva

2.10. Inversa de una función. En esta sección se estudiará el concepto de inversa de una función. 2.10.1. Funciones uno a uno. Se dice que una función f : A  B es uno a uno si a cada elemento del codominio le corresponde un único elemento del domino, es decir, para dos elementos cualesquiera del dominio de la función no puede haber una misma imagen en el codominio. En tal sentido, una función es uno a uno en un dominio cualquiera A , la función será estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Una función es creciente en un dominio A si se verifica que para todos los x1  x2 se cumple que f ( x1 )  f ( x2 ) . La función y  x es creciente en los reales positivos y decrecientes en los reales negativos. Más adelante se estudiará el criterio de la primera derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente. Simbólicamente, se tiene: Dada la función f : A  B , se dice que es uno a uno en A si se verifica que la función es 2

creciente o decreciente en A . 2.10.2. Función sobreyectiva. Se dice que la función f : A  B es sobre si el rango de la función es igual al codominio. Simbólicamente, se tiene: Dada la función f : A  B , se dice que es sobre en A si se verifica que: R f  B 2.10.3. Inversa de una función.


Consideremos una función y  f (x) la cual es uno a uno en un dominio A . La inversa de la función es otra función y  g (x) tal que las funciones compuestas son iguales a la función identidad. Matemáticamente, se tiene:

f ( g ( x))  g ( f ( x))  x Otra manera de entender la inversa de una función es la siguiente:





Si f es una función uno a uno y el punto c , f (c)  f , entonces el punto  f (c) , c   f Es claro que es posible representar gráficamente la inversa de una función a partir de la gráfica de la función. La figura 2.75 ilustra la gráfica de una función uno a uno y su correspondiente inversa. Puede verse que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y=x. Es importante el siguiente hecho: Si f y g son funciones inversas entre sí, el rango de g es 1

el dominio de f y el rango de f es el dominio de g .

Figura 2.75 2.10.4. Inversa de una función algebraica. Para algunas funciones algebraicas es posible encontrar una expresión matemática para su inversa en los tramos en que sea uno a uno. Veamos algunso casos de interés: 1) La inversa de una función lineal. La función lineal f ( x)  ax  b es uno a uno en todo el dominio de los reales. Para hallar su inversa se iguala la función a y y se despeja la variable x en términos de y, así:

ax  b  y  x

y b a

Finalmente se intercambian las variables y se excribe la inversa, así:

xb  a 1 b f 1 ( x)  x  a a f 1 ( x) 

Ejemplo 2.30. Una función está definida por tramos de la siguiente manera:


 2x  1 si  2  x  1   3 f ( x)    3x  1 si 1  x  3   2 a) Represente gráficamente la función y su inversa. b) Encuentre la fórmula para la inversa. Solución. a) A partir de una tabla de valores se hace la gráfica de la función y de su inversa.

x f (x)

-2 -1

0 1/3

1 1

2 5/2

3 4

Figura 2.76 b) La inversa se calcula por tramos, así: Para el primer tramo.

2x  1 3y 1  y  2x  1  3 y  2x  3 y  1  x  3 2

Puesto que el dominio de la inversa es el rango de la función, resulta:

f 1 ( x) 

3x  1 si  1  x  1 2

Para el segundo tramo.

3x  1 2y 1  y  3x  1  2 y  3x  2 y  1  x  2 3

Puesto que el dominio de la inversa es el rango de la función, resulta:

f 1 ( x) 

2x  1 si 1  x  4 3

En conclusión, la inversa de la función se puede escribir como:

 3x  1 si  1  x  1   2 1 f ( x)    2 x  1 si 1  x  4   3 2) Inversa de una función cuadrática.


La función cuadrática vértice en el punto

f ( x)  ax 2  bx  c se representa mediante una parábola que tiene su

h, k 





La función es uno a uno en los intervalos:   , h y [h , ) Para determinar la inversa en cualquiera de los tramos se completa el trinomio cuadrado perfecto y se despeja x en términos de y

Ejemplo 2.31 Una función está definida como f ( x)  x  4 x  3 a) Complete el trinomio cuadrado perfecto y escriba el vértice de la parábola. b) Deremine la inversa en cada uno de los tramos. 2

Solución. a) La función se puede escribir como

y x 2  4 x 4  4  3  ( x  2) 2  1  TCP

y  1  ( x  2) 2  V (2 ,  1) b) Se parte de la forma canónica y se extrae la raíz cuadrada, así:

y  1  ( x  2) 2  x  2   y 1  x  2  y 1 Se concluye que: a) En el tramo x  2 la inversa es

2  x 1

b) En el tramo x  2 la inversa es

2  x 1

En ambos casos, el dominio de la inversa es el rango de la función original. La figura 2.77 ilustra las gráficas correspondientes.

Figura 2.77 3) Inversa de una función racional.


Dada la función racional f ( x) 

ax  b , su inversa se puede encontrar fácilmente despejando cx  d

x en términos de y

Ejemplo 2.32 Determine la inversa para la función

f ( x)  Solución.

3  2x 3x  1

3  2x  y  3  2 x  y (3x  1)  3  2 x  3xy  y  3x  1 3 y 3  y  3xy  2 x  3  y  x(3 y  2)  x  3y  2

En consecuencia, la inversa pedida es:

f 1 ( x) 

3 x 3x  2

4) Inversa de una función con radicales de la forma f ( x)  ax  b Se puede encontrar una fórmula para la inversa en el dominio de la función, esto es, en el intervalo x  b / a siempre que a  0

Ejemplo 2.33 Determine la inversa para la función

f ( x)  2 x  3 Solución.

2x  3  y  2x  3  y 2  2x  3  y 2  x 

3  y2 2


f 1 ( x) 

3  x2 2

Es bueno precisar que el dominio de la inversa hallada es el intervalo x  0 , correspondiente al rango de la función original. El estudiante puede verificar que si la función original hubiese sido f ( x)   2 x  3 , la expresión matemática para la inversa es la misma, pero el dominio es el intervalo x  0 La figura 2.78 ilustra la situación.


Figura 2.78

EJERCICIOS 2.10 Determine la fórmula para la inversa para cada una de las siguientes funciones en el dominio dado. 1) f ( x)  1 

x ; x0

2)

f ( x)  1  x 2 ; x  1

3)

f ( x)  1  x 3 ; x  R 1 x f ( x)  ; x0 x x f ( x)  ; x0 1 x 1 f ( x)  ; x0 x2 1 x f ( x)  ; x0 x2 1

4) 5) 6)

7) 8)

f ( x)  x  x 2  1 ; x  R

2 x  1 si x  1  9) f ( x)   x  1 si x  1   2  x  12 si x  1  10) f ( x)   2 x  1 si x  1   x 2.11. Funciones exponenciales y logarítmicas.


Previamente se hizo una presentación de las funciones exponenciales y logarítmicas como casos particulares de las funciones trascendentes. En esta sección se profundizarán algunos aspectos de dichas funciones. 2.11.1. La función exponencial en cualquier base y su inversa. Si b es un real mayor que la unidad, la función exponencial presenta la forma f ( x)  b . El dominio de la función es el conjunto de los números reales. Es claro que la función pasa por los puntos 0 ,1 , 1, b y  1,1 / b La inversa de la función exponencial es la función logarítmica, la cual debe pasar por los puntos 1, 0 , b ,1 y 1 / b ,  1 El símbolo para la función logarítmica es x

    



    



f ( x)  log b ( x) El dominio de la función es el mismo rango de la función exponencial, es decir, es el intervalo 0 x . La figura 2.79 ilustra la gráfica de las dos funciones con b=2. Tal como se mostró previamente, la composición de las funciones es la función identidad, esto es:

 

log b b x  x b

logb ( x )

x

La función logaritmo en base 10 se denota como f ( x)  log( x)

Figura 2.79 2.11.2. La función exponencial natural y su inversa. Tal como vimos previamente, la función exponencial natural presenta la forma;

y  e x ; x  R , e  2.718282 Puesto que la función es creciente en los reales, posee una inversa, cuya tabla de valores es la contraria de la tabla correspondiente a la función exponencial. La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, así: Dada la función exponencial y  e , su inversa es la función logarítmica y  ln(x) , de tal manera que la composición de ellas es la función identidad, así: x

 

e ln(x )  x , ln e x  x


La figura 2.80 muestra las gráficas de la función logarítmica junto con la exponencial. Puede verse que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y  x . Adicionalmente y de acuerdo con lo que se estudiará posteriormente, la función logarítmica presenta una asíntota vertical en x  0 . Es claro que el dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos.

Figura 2.80 La función logarítmica posee algunas propiedades importantes, tales como: 1) ln(ax)  ln(a)  ln( x) 2) ln( a / x)  ln(a)  ln( x)

 

ln x a  a ln( x) 4) Si b es un real positivo, entonces: 3)

log b ( x) 

ln( x) ln(b)

Ejemplo 2.34

Considere la función: f ( x)  ln( 2 x  4) a) Determine el dominio de la función. b) Calcule la inversa de la función y su dominio c) Represente gráficamente la función y su inversa Solución. a) Debe cumplirse que: 2 x  4  0  x  2 b) Para calcular la inversa se procede de la siguiente manera:





y  ln(2 x  4)  2 x  4  e y  x  4  e y / 2 En consecuencia, la inversa de la función es de los reales.





f 1 ( x)  e x  4 / 2 y su dominio es el conjunto

c) La figura 2.81 muestra las gráficas pedidas.


Figura 2.81

Ejemplo 2.35 3 x 1

Considere la función: f ( x)  2 1 a) Determine el dominio de la función. b) Calcule la inversa de la función y su dominio Solución. a) Por simple inspección, el dominio es el conjunto de los números reales b) La inversa se calcula como:

y  2 3 x 1  1  y  1  2 3 x 1   3x  1  log 2 ( y  1)  x 

1 1  log 2 ( y  1) 3


f 1 ( x)  El dominio es el intervalo 1  x  

1 1  log 2 ( x  1) 3

Ejemplo 2.36 Determine el valor o valores de

x de tal manera que se verifique la siguiente igualdad: logx   log( x  15)  2

Solución. Aplicando la propiedad resulta:

logx  ( x  15)  2

Teniendo en cuenta que log(100)  2 , se tiene:

x 2  15x  100  0 Por factorizaciòn directa se tiene:

x  20x  5  0

En principio resultan dos valores, así: x  20  x  5 El valor negativo se descarta (no está en del dominio), con lo que

x  20

Ejemplo 2.37 Determine el valor o valores de

x de tal manera que se verifique la siguiente igualdad:





log 2 x 2  1  log 2 (2 x  2)  1 Solución. Aplicando la propiedad resulta:


 x2 1    1 log 2   2x  2  Teniendo en cuenta que

log 2 (2)  1 , se tiene: x2 1 2 2x  2

Desarrollando resulta:

x2 1 2 2x  2 x 2  1  4x  4  x 2  4x  5  0  ( x  5)( x  1)  0 Se descarta el valor x  1 , con lo que la solución es x  5 Ejemplo 2.38 Determine la inversa de la función:

f ( x)  2e  x  3

Solución. Se siguen los siguientes pasos:

2e  x  y  3 

2 2  y  3  ex   x y 3 e

 2   x  ln   y  3 En consecuencia, la inversa pedida es:

 2  f 1 ( x)  ln  ; x  3  x  3 Ejemplo 2.39 Determine la inversa de la función:





f ( x)  10 log 1  x 2 ; x  0


    y / 10 

y  10 log 1  x 2 



log 1  x 2

1  x 2  10 y / 10  x 2  10 y / 10  1  x   10 y / 10  1 Tomando el signo positivo, se tiene que la inversa pedida es:

f 1 ( x)  10 x / 10  1 Ejemplo 2.40 Determine la inversa de la función:

f ( x)  e x  e  x







1 x e  e x  2 1 e2x  1 2y  ex  x   e ex 2 ye x  e 2 x  1  y

e 2 x  2 ye x  1  0 La última ecuación tiene forma cuadrática, es decir, se puede expresar en la forma:

e 

x 2

 

 2y ex 1 0

Aplicamos la fórmula del estudiante, así:

e  x

2y  4y2  4 2

 y  y2  1

x

El signo negativo se descarta ya que e debe ser positivo. Con base en lo anterior se tiene:

e x  y  y2  1 En consecuencia, la inversa pedida es



f 1 ( x)  ln x  x 2  1



EJERCICIOS 2.11 1) Resuelva para x las siguientes ecuaciones:

2 x 4  4 x2  x  729 b) 3 x2 c) 4  4 x x2 d) 9  3  27 2 25 x e) x  3  125 5 f) log 2 ( x)  3 / 2 g) log 3 x (4)  2 h) log 3 (2 x  1)  1 i) log( x)  log( x  1)  log( 2)  x / 100 j) 40  200e 2

a)

2) Dadas las funciones:

f ( x)  log 2 ( x)  log 2 ( x  2)  1


g ( x)  e x  2e  x  1  x 1 h( x)  ln   1  x  u( x)  ln e x  2e  x





a) Determine el dominio de cada función b) Determine las intersecciones con el eje de abscisas 3) Determine la inversa para cada una de las siguientes funciones





f ( x)  2 log 3 x 2  1 ; x  1

g ( x)  2e  x1  3 ; x  R 10 h( x )  ; x0 1  4e 2 x 4) En una misma figura represente gráficamente las parejas de funciones:

f ( x)  b x ; g ( x)  (1 / b) x ; b  1 b) f ( x)  log b ( x) ; g ( x)  log 1 / b ( x) ; b  1 a)

2.11.3. La función exponencial a partir de modelos matemáticos. La función exponencial resulta a menudo en problemas de crecimiento y de decrecimiento. Veamos algunas de las aplicaciones típicas: 1) Modelo simple para el crecimiento de una población. Cierta población tiene, en un instante determinado t  0 , una canidad Xi de individuos. La cantidad de individuos x(t ) se multiplica por un factor r  1 en intervalos de tiempo T , de acuerdo con la tabla siguiente:

t

0 T 2T 3T

x(t ) Xi Xi  r Xi  r 2 Xi  r 3

Puede demostrarse que la cantidad de individuos en todo instante viene dada por:

x(t )  Xi  r t / T Para determinar el tiempo necesario para que la cantidad de individuos sea Xf se despeja el tiempo en la siguiente ecuación:

Xf  Xi  r t / T Haciendo uso de la inversa de la función exponencial, se tiene:


Xf  Xi  r t / T  r t / T 

Xf t  Xf   log r  Xi T  Xi

  

 Xf  t  T log r    Xi  El tiempo se puede expresar en términos del logaritmo natural, así:

 Xf  ln   Xi   t T ln r  Ejemplo 2.41 Un cultivo de bacterias tiene inicialmente una masa de 200 gramos y se duplica cada 10 horas. Determine: a) La masa del cultivo en todo instante. b) El tiempo necesario para que la masa del cultivo alcance 3000 gramos. Solución. a) De acuerdo con lo establecido previamente, la masa del cultivo en todo instante viene dada por:

x(t )  200  2t / 10 b) El tiempo necesario para alcanzar los 3000 gramos se calcula de la siguiente manera:

3000  200  2 t / 10  15  2 t / 10  t  log 2 (15)  t  10 log 2 (15) 10 El cáculo aproximado en horas es

t  10

ln 15  39 ln 2

2) Modelo simple para el decrecimiento de una variable. Cierto material radiactivo tiene, en un instante determinado t  0 , una masa Xi . El material se desintegra de tal manera que el tiempo de vida media es T , de acuerdo con la tabla siguiente:

t

0 T 2T 3T

x(t ) Xi Xi / 2 Xi / 4 Xi / 8

Puede demostrarse que la cantidad de material en todo instante viene dada por:

x(t )  Xi  (1 / 2) t / T  x(t ) 

Xi 2t / T

Para determinar el tiempo necesario para que la cantidad de material se reduzca al valor Xf se despeja el tiempo en la siguiente ecuación:


Xf 

Xi Xi  2t / T   t /T Xf 2

 Xi t  log 2  T  Xf

  Xi   t  T log 2    Xf

  

El tiempo se puede expresar en términos del logaritmo natural, así:

 Xi   ln  Xf   t T ln 2 Ejemplo 2.42 El tiempo de vida media del Radio es de 1700 años. Determine el tiempo necesario para que una muestra se reduzca en un 2% Solución. De acuerdo con lo establecido previamente, la masa en todo instante viene dada por:

x(t ) 

Xi 2

t / 1700

El tiempo en años necesario para alcanzar el 98%de la masa original se calcula de la siguiente manera:

0.98 Xi 

Xi 2

t / 1700



Xi  0.98 Xi t  1   log 2    t  1700 log 2 (1.0204)  t  49.55 1700  0.98  2 t / 1700 

4) Modelo logístico para el crecimiento de una población. En el crecimiento de una población surgen circunstancias que impiden que su número exceda de cierto máximo M . En consecuencia, la tasa de variación de la población es directamente proporcional al número de habitantes en todo instante y a la diferencia entre el máximo y la población instantánea. Puede demostrarse que si la población inicial es N , la cantidad de habitantes en cualquier instante viene dada por:

x(t ) 

MN N  ( M  N )e kt

En la expresión anterior el tiempo se mide en años y

k es una constante.

Ejemplo 2.43 Una población tiene, en un instante determinado, un millón de habitantes y se espera que que el número máximo de habitantes sea de 4 millones. Sabiendo que k  0.05 , determine: a) El numero de habitantes en todo instante. b) El tiempo requerido para que la población inicial se duplique. Solución. a) El número de habitantes en todo instante viene dado por:


4 1  1  (4  1)e 0.05t 4 x(t )  1  3e 0.05t x(t ) 

b) Se procede de la siguiente manera:

4  2  6e 0.05t  4   0.05t 1  3e  0.05t 6e  2  e 0.05t  3  0.05t  ln(3)  2

t

ln(3)  22 0.05

3) Ley del enfriamiento de Newton. Un recinto tiene una temperatura ambiente Ta . Un objeto con temperatura Ti se intoduce al recinto en el instante t  0 . Si la constante de tiempo del sistema es  , la temperatura del objeto en todo instante viene dada por:

T (t )  Ta  Ti  Tae t / 

Ejemplo 2.44

Se tiene un horno precalentado a 300°C. En el instante t  0 se introduce una torta con una temperatura de 20°C. Si la constante de tiempo es de 15 minutos, determine el tiempo necesario para que la temperatura de la torta sea de 250°C. Solución.

T (t )  300  280e t / 15  250  300  280e t / 15  280e t / 15  50  5.6  e t / 15 

t  ln(5.6)  t  25.84 15

PROBLEMAS 2.11 1) El tiempo de vida media del Radio es de 1700 años. Dada una muestra de dicho elemento, determine el porcentaje de la misma después de 100 años. 2) Un isótopo radioactivo tiene un tiempo de vida media de 25 minutos. Si se tiene una muestra de 100 miligramos, determine: a) La cantidad que se ha desintegrado al cabo de una hora. b) El tiempo requerido para que la muestra se reduzca en un 30%. 3) La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente a la cantidad de habitantes en todo instante. Si en 20 años pasa de 40 mil a 90 mil, determine la población al cabo de 30 años. 4) Un cultivo de bacterias aumenta proporcionalmente a la cantidad presente en todo instante. Si en cuatro horas la cantidad original se incrementa en un 50%, determine el tiempo necesario para que la cantidad original se triplique. 5) En el año 2000 una ciudad intermedia tenía 300 mil habitantes, mientras que en el 2005 la cantidad de habitantes era de 350 mil. Algunos estudios muestran que la la cantidad de habitantes no superará el tope de los 800 mil habitantes. Determine la población proyectada para el 2020.


6) Se desea calentar un cuerpo en un horno precalentado a 300 °C. Si al momento de introducirlo tiene una temperatura de 30 °C y la constante de tiempo es de 20 minutos, determine el tiempo necesario para que el cuerpo alcance los 290 °C.

2.12. Funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas son invertibles en aquellos intervalos en los que son crecientes o decrecientes. 2.12.1. La función seno inverso. A partir de la gráfica de la función f ( x)  sen( x) se puede ver que es creciente en el intervalo

  / 2  x   / 2 . En consecuencia es invertible en ese intervalo. La inversa de la función seno se denotará como: f

1

( x)  arcsen( x)

Puesto que el rango de la función seno es el intervalo [1,1] , la función inversa tendrá como dominio el intervalo [1,1] y como rango el intervalo

  / 2 ,  / 2 .

La figura 2.82 ilustra las gráficas de las funciones f ( x)  sen( x) y acuerdo con la propiedad de las funciones inversas, se tiene:

f

1

( x)  arcsen ( x) . De

senarcsen( x)   x

arcsensen( x)   x

Figura 2.82 2.12.2. La función coseno inverso. De manera similar que para la función seno, la función coseno es decreciente en el intervalo 0  x   y por tanto es invertible en dicho intervalo. La inversa de la función coseno se denotará como

f

1

( x)  arccos( x) . La figura 2.83 ilustra las gráficas correspondientes.


Figura 2.83 De acuerdo con la propiedad de las funciones inversas, se tiene:

cos arccos( x)   x arccos cos( x)   x

2.12.3. La función tangente inversa. La función tangente es creciente en el intervalo 

 2

x

 2

, con lo que es invertible en

dicho intervalo. Puede verse que las asíntotas verticales de la función tangfente se convierten en asíntotas horizontales para la inversa. La figura 2.84 ilustra las gráficas correspondientes.

Figura 2.84 De acuerdo con la propiedad de las funciones inversas, se tiene:


tanarctan( x)   x

arctan tan( x)   x Ejemplo 2.45 Calcule la inversa de las siguientes funciones a) f ( x)  3sen(2 x) b) g ( x)  1  2 cos( x   / 3) c) h( x)    arctan( x) Solución. a) Se aplica el procedimiento, así:

y  3sen(2 x)  y / 3  sen(2 x)  2 x  arcsen( y / 3)  x

1 arcsen( y / 3) 2

Por tanto, la inversa es:

f 1 ( x) 

1 arcsen( x / 3) 2

b) Se aplica el procedimiento, así:

y  1  2 cos( x   / 3)  y  1  2 cos( x   / 3) 

cos( x   / 3)   y  1 / 2   y 1 x   / 3  arccos    2   y 1 x   / 3  arccos    2  Por tanto, la inversa es:

 x 1 g 1 ( x)   / 3  arccos    2  c) Se aplica el procedimiento, así:

y    arctan( x)  arctan( x)  y    x  tan( y   )

Por tanto, la inversa es:

h 1 ( x)  tan( y   ) EJERCICIOS 2.12 1) Considere las funciones:

f ( x)  2sen2 x    g ( x)  arcsenx / 2  1 h( x)  2 cosx    u( x)  tan(x   / 2)  2

a) Determine el intervalo principal de inversión.


b) Calcule la inversa. c) Represente gráficamente las funciones junto con sus inversas. 2) Dadas las funciones:

f ( x)  arcsencos( x) g ( x)  arcsen1  x / 2 h( x)  cos2 arccos( x) u( x)  tan(arcsen( x))

a) Muestre que f (x) se puede escribir en la forma f ( x)   / 2  x b) Determine las intersecciones de g (x) con el eje de abscisas c) Muestre que u (x) se puede escribir en la forma

u ( x)  x / 1  x 2

d) Represente gráficamente u (x) e) Muestre que h(x) se puede escribir en la forma

h( x)  2 x 2  1

g) Represente gráficamente la función h(x)

2.13. Funciones hiperbólicas. Consideremos la hipérbola del plano definida por la ecuación: x  y  1 Con base en lo estudiado previamente, la gráfica de la curva es la mostrada en la figura 2.85. Si t es un parámetro cualquiera que toma valores en el conjunto de los reales, las ecuaciones paramétricas de la curva son: 2

2

e t  e t e t  e t x ; y 2 2

Figura 2.85 2.13.1. Las funciones hiperbólicas elementales. Las funciones hiperbólicas elementales vienen definidas de la siguiente manera: 1. La función coseno hiperbólico.

cosh(t ) 

e t  e t 2

La gráfica se ilustra en la figura 2.86. Puede verse que se trata de una función par.

e t  e t 2. La función seno hiperbólico. senh(t )  2 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

La gráfica se ilustra en la figura 2.87. Puede verse que se trata de una función impar.

Figura 2.86 3. La función tangente hiperbólica.

Figura 2.87

tanh(t ) 

t

e e e t  e t t

La gráfica se ilustra en la figura 2.88. Puede verse que se trata de una función impar.

Figura 2.88 Las otras funciones hiperbólicas se definen de manera similar a las circulares. 2.13.2. La trigonometría hiperbólica. Al igual que con las funciones trigonométricas circulares, las funciones hiperbólicas tienen su correspondiente trigonometría, con sus identidades y fórmulas de adición. Puesto que el propósito de este material no es el de desarrollar dicha trigonometría, me limitaé a presentar las identidades y las fórmulas sin la deducción. Con base en la identidad fundamental

cosh 2 (t )  senh 2 (t )  1 , puden deducirse:

coth 2 (t )  1  csc h 2 (t ) 1  tanh 2 (t )  sec h 2 (t ) De manera similar, las fórmulas de adición:


senh(a  b)  senh(a) cosh(b)  senh(b) cosh(a) cosh(a  b)  cosh(a) cosh(b)  senh(a) senh(b) 2.14. Funciones hiperbólicas inversas. A continuación se definirn las inversas de las funciones hiperbólicas en los intervaloes en los que sean invertibles. 1. La inversaa de la función coseno. Con base en la figura 2.86, la función coseno hiperbólico es invertible en el intervalo 0 ,  . La figura 2.89 muestra la función y su correspondiente inversa.





Figura 2.89 En cuanto a la expresión matemática para dicha inversa, se procede de la siguiente manera:

y

e x  ex ;x  0  2

 

e x  e x  2 y  0  e x

2

 

 2y ex 1  0

Aplicando la fórmula cuadrática, se tiene:

e 

x 2

 

 2y ex 1  0  ex 

2y  4y2  4  y  y2 1 2

En consecuencia, la inversa de la función coseno es:





arccos h( x)  ln x  x 2  1 ; x  1


CUESTIONARIO 1) La expresión

f ( x, y ) 

x y  x , simplificada es: x y 2

2

x( x  y ) x y x( x  y ) B. f ( x, y )  x y y( x  y) C. f ( x, y )  x y y ( y  x) D. f ( x, y )  x y A. f ( x, y ) 

2) La expresión f ( x)  1 

1 , simplificada es: 1  1/ x

1 x 1 1 B. f ( x)  x 1 x C. f ( x)  x 1 x D. f ( x)  x 1 A. f ( x) 

3) Dada la función

f ( x) 

x x  x 1

; x  0 , la afirmación falsa es:

f ( x)  x 2  x  x B. f (1) es un número irracional A.

f (  x)  x 2  x  x D. f (4 x)  f ( x) C.

4) Considere dos rectas del plano cuyas ecuaciones son

 L1 : 3x  4 y  12   L2 : 4 x  3 y  16 La afirmación falsa es: A. Las rectas se cortan en el eje de abscisas. B. Las rectas son perpendiculares entre sí. C. Las rectas son paralelas D. La primera recta pasa por el punto: (0,3) 5) Uno de los siguientes conjuntos es el conjunto vacío: A.

x  R / x

2



3  0


x  R / x



 3x  2 x C. x  N / 2 x  3  0 D. x  N / x( x  1)  0 B.

2

6) Una relación está definida como

 x  R B. ( x  R / y   x  R





R  ( x, y)  R 2 / y 2  x , la afirmación falsa es:

A. ( x  R / y 

C. La relación es una función. D. El dominio de la relación es: 7) Dada la desigualdad

 1, 0  1,  B.  1 , 0  1 ,  C.   ,  1  0 , 1 D.   ,  1  0 , 1

D  x  R / x  0

x  0 , el conjunto solución es: x 1 2

A.

8) Dada la ecuación

x 2  ax  a  0 ; a  0 , la afirmación falsa es:

A. Si a  2 la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas. B. Si a  0  a  4 la ecuación tiene raíces reales y distintas. C. Si a  0 la ecuación tiene raíces reales y distintas. D. Si a  4 la ecuación tiene raíces reales e iguales. 9) Con referencia a la función f ( x)  sen( x) , es Falso que: A. f ( x   )   f ( x) B. f (2 x) es periódica con período



C. f (x) es invertible en el intervalo

 1 , 1

D. El rango de 2 f ( x)  1 es el intervalo  1  y  3 10) Con referencia a la función f ( x)  cos( x) , es Falso que: A. f ( x)   f ( x) B. f (2 x) es periódica con período



C. f (x) es invertible en el intervalo

0 , 1

D. El rango de 2 f ( x)  1 res el intervalo  1  y  3 11) Con referencia a la función A. B. C. D.

f 1 ( x)  ln x / 2  1 / 2

f ( x)  1  2e x , su inversa es

f 1 ( x)  ln x / 2  1 / 2 f 1 ( x)  ln x  1 / 2

f 1 ( x)  ln x  1 / 2

12) Con referencia a la función f ( x)  3  ln(2 x  1) , su inversa es A. B.

 ( x)  e

  1/ 2

f 1 ( x)  e 3 x  1 / 2 f

1

3 x


 ( x)  e

  1/ 2

C.

f 1 ( x)  e 3 x  1 / 2

D.

f 1

3 x

Las preguntas 13-17 hacen referencia a las funciones f ( x) 

1 ; g ( x)  x 2 x 1

13) El dominio de f / g es

x  R / x  0 B. x  R / x  1 C. x  R / x  0  x  1 D. x  R / x  0  x  1 A.

14) La función compuesta f  g viene dada por A.





1/ x 2  1

B. 1 / x  1 C. x  1 / x

2

2

D. x  1 / x 2

15) La función compuesta g  f viene dada por A.





1/ x 2  1

B. 1 / x  1 C. x  1 / x

2

2

D. x  1 / x 2

16) El dominio de la función compuesta f  g es

x  R / x  1 B. x  R / x  1 C. x  R / x  1 D. x  R / x  1  x  0 A.

17) El dominio de la función compuesta g  f es

x  R / x  1 B. x  R / x  1 C. x  R / x  1  x  0 D. x  R / x  1 A.

Las preguntas 18-20 hacen referencia a las funciones

f ( x)  2  e  x ; g ( x)  ln( x)

18) La función compuesta f  g viene dada por A. (2 x  1) / x B. (1  2 x) / x C. 2 x /( x  1) D. 2 x /(1  x)


19) El dominio de la función compuesta g  f es

x  R / x  0 B. x  R / x  ln(2) C. x  R / x   ln(2) D. x  R / x  ln( 2) A.

20) El dominio de la función compuesta f  g es

x  R / x  0 B. x  R / x  ln(2) C. x  R / x   ln(2) D. x  R / x  ln( 2) A.

Las preguntas 21-22 hacen referencia a la función definida como:

0 si x  0   f ( x)   x(4  x) si 0  x  4  0 si x  4  21) De las siguientes proposiciones, la Falsa es: A. f ( x  2) es una función par

1/ 2  x  5 / 2 C. El rango de 3  2 f ( x) es el intervalo  5  y  3 D. El dominio de 2 f (2 x) es el intervalo 0  x  2 B. El dominio de f (2 x  1) es el intervalo

22) De las siguientes proposiciones, la verdadera es: A. El dominio de f (x / 2) es el intervalo 0  x  2 B. El dominio de f (2 x) es el intervalo

0 x4

C. El rango de f (2 x  3) es el intervalo 0  y  4 D. El rango de 2 f (2 x  3) es el intervalo 0  y  2 23) La función g (x) de la figura de la derecha, comparada con f (x) , es: A. g ( x)  f ( x  c) B. g ( x)  f ( x  c) C. g ( x)  f ( x  c)  c D. g ( x)  f ( x  c)  c

24) Las ecuaciones paramétricas de una curva del plano vienen dadas por:


x(t )  t ,

y(t )  t 2  1 ;  1  t  2

La afirmación falsa es: A. La curva es una función B. La curva es un segmento de parábola C. Los puntos: (0,1) y (1,0) hacen parte de la curva D. La relación es invertible en su dominio

25) Las ecuaciones paramétricas de una curva del plano vienen dadas por:

x(t )  sen(t ) , y(t )  2 cos(t ) ; 0  t   La gráfica de la relación es: A. La mitad superior de una elipse B. La mitad inferior de una elipse C. La mitad de la derecha de una elipse D. La mitad de la izquierda de una elipse Las preguntas 26-27 se refieren al siguiente problema. Una de las tribunas de un estadio de Fútbol tiene capacidad para 10 mil espectadores. Normalmente el precio de la boleta es de $10.000 y la asistencia promedio es de 6 mil personas. Se hace la siguiente proyección: Precio de la boleta: x en miles de pesos 10 9 8 7 6

Asistencia: A(x) en miles de personas 6 7 8 9 10

Recaudo: R(x) en millones de pesos 60 63 64 63 60

26) El número de asistentes en función del precio de la boleta es A(x)  A. 20  x B. 18  x C. 16  x D. 14  x 27) El recaudo en función del precio de la boleta es R(x)  A. 14 x  x

2

B. 16 x  x

2

C. 18 x  x

2

D. 20 x  x

2

Las preguntas 28-29 se refieren al siguiente problema. Se desea construir un depósito sin tapa en forma de cilindro circular recto que tenga un volumen de  metros cúbicos. El radio de la base es x y la altura es y . El material para construir la base cuesta 100 pesos el metro cuadrado mientras que el requerido para la superficie lateral cuesta 50 pesos el metro cuadrado.


28) El costo total de fabricación en función del radio de la base es C (x) 





50 x 2  1 / x 2 B. 100 x  1 / x  2 C. 150 x  1 / x  2 D. 200 x  1 / x  A.

29) El costo total de fabricación en función de la altura del depósito es: C ( y ) 

 y  1/ y B. 150  y  1 / y  C. 100  y  1 / y  D. 50  y  1 / y  A.

200

Las preguntas 30-31 se refieren a la siguiente figura:

30) Con respecto al figura, es FALSO que A. f ( x  1) es una función par B. f ( x)  g ( x) en el intervalo

2,3

C. El rango de f ( x) es igual al rango de f (x) D. El rango de 3g ( x) está incluido en el rango de f (x) 31) Con respecto a la figura es FALSO que A. El rango de g ( x)  1 es igual al rango de g (x)

 2,2 g (2 x) es el intervalo  1,3 / 2

B. El dominio de f ( x  1) es el intervalo C. El dominio de

D. El rango de f (x) / 2 es el intervalo 0,2

Las preguntas 32-33 se refieren a la función: 32) En el intervalo A.

f ( x)  x  x  2

 ,0 la expresión matemática para la función es

f (x) 

2x  2 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

B. C. D.

2x  2  2x  2  2x  2

33) El rango de la función es R f 

 ,  2 B.  ,2 C. 2,   D.  2,   A.

Las preguntas 34-35 se refieren a la función:

f ( x)  4 x  x 2

34) Para la función dada es FALSO que A. El dominio de la función es el intervalo

0,4 B. El rango de la función es el intervalo 0,  

0,4 / 3 f ( x  2) es el intervalo  2,2

C. El dominio de la función f (x / 3) es el intervalo D. El dominio de la función

35) El dominio de la función f (4  3x) es

 ,4 / 3  8 / 3,  B.  ,4 / 3  8 / 3,  C. 4 / 3,8 / 3 D. 0 , 4 / 3 A.

36) El vértice de una parábola es el punto

 1,2 . Si la parábola pasa por el punto 1,1 , la

ecuación de la parábola es f (x)  A.  x / 4  x / 2  7 / 4 2

B.  x / 4  x / 2  7 / 4 2

C.  x / 4  x / 2  7 / 4 2

D.  x / 4  x / 2  7 / 4 2

37) El vértice de una parábola es el punto

 1,2 . Si la parábola pasa por el punto 1,0 , la

ecuación de la parábola es f (x)  A. x / 2  x  3 / 2 2

B. x / 2  x  3 / 2 2

C. x / 2  x  3 / 2 2

D. x / 2  x  3 / 2 2

Las preguntas 38-39 hacen referencia al siguiente problema: En el crecimiento de una población surgen circunstancias que hacen que dicha población no pueda exceder un máximo M . La tasa de crecimiento de la población es conjuntamente proporcional al número de habitantes y a la diferencia entre el máximo y el número de habitantes, es decir, si x es el número de habitantes y k es una constante de proporcionalidad, se verifica que la tasa de crecimiento viene dada por:


T ( x)  kx(M  x) 38) El máximo número de habitantes de un poblado es M  10000 y en el momento en que hay 5000 habitantes la tasa de crecimiento es de 500 habitantes por año. La tasa de crecimiento para cualquier número de habitantes es A.

 x10 x10 x10

  x  x  x

2  10 3 x 10 4  x 4

B.

2  10

C.

2  10 5

D.

2  10 6

4 4 4

39) Un cultivo de bacterias tiene capacidad para un millón de ellas. En el momento en que hay cien mil bacterias, estas crecen a razón de nueve mil bacterias por minuto. La tasa de crecimiento para cualquier número de bacterias es

   

   

10 7 x 10 6  x 6 6 B. 10 x 10  x 5 6 C. 10 x 10  x 4 6 D. 10 x 10  x A.

Las preguntas 40-41 hacen referencia al siguiente problema: En cierto país el impuesto sobre la renta se cobra de acuerdo a la siguiente tabla: x: Ingresos en millones

r (x) :Tasa impositiva en %

0  x  50

0

50  x  100

10

100  x  150

15

x  150

20

40) Los ingresos de una persona ascienden a 80 millones de pesos. El total de impuestos a pagar, en millones de pesos, es A. 0.8 B. 8.0 C. 1.2 D. 12 41) Los ingresos de una persona ascienden a 160 millones de pesos. El total de impuestos a pagar, en millones de pesos, es A. 1.6 B. 16.0 C. 3.2 D. 32.0 Las preguntas 42-45 hacen referencia a la siguiente figura:


42) La función g en términos f de viene dada por g (x)  A. 2  f ( x  2) B.  2  f ( x  2) C. 2  f ( x  2) D.  2  f ( x  2) 43) El dominio de f (2 x  4) es

 3,1 B.  2,0 C.  1,1 A.

D. 0,2

44) El rango de 2 f ( x)  1 es

 1,2 B.  2,2 C.  1,3 D. 1,5 A.

45) El rango de

 1,2 B. 1,2 C.  1,3 D. 1,3

1 g ( x)  3 es 2

A.

Los numerales 46-50 hacen referencia a la figura siguiente.


46) El valor de (gof )(2)  A. 0 B. 1 C. 2 D. No existe 47) El valor de ( fog )(2)  A. 0 B. 1 C. 2 D. No existe 48) El valor de (gog )(1)  A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 49) El valor de (gof )(0)  A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 50) El valor de ( fof )(2)  A. 0 B. 1 C. 2 D. No existe Las preguntas 51-55 hacen referencia a las funciones:

f ( x)  sen(2 x   ) ; g ( x)  arcsen( x  2) 51) El intervalo principal de inversión de f es

  / 4,  / 4 B.  / 4,3 / 4 C.   / 4,3 / 4 A.


D.

 / 4,5 / 4

52) El intervalo principal de inversión de g es

 3,1 B.  2,0 C. 1,2 D. 2,3 A.

53) Una fórmula para la inversa de f es

f

1

( x) 

 / 2  arcsen( x / 2) B.  / 2  arcsen( x / 2) C.  / 2  arcsen( x) / 2 D.  / 2  arcsen( x) / 2 A.

54) Una fórmula para la inversa de g es

g 1 ( x) 

A.  2  sen( x) B.  2  sen( x) C. 2  sen( x) D. 2  sen( x) 55)

 fog (1.5) 

A. - 3 / 2 B. -1/2 C. 1/2 D. No existe

HOJA DE RESPUESTAS.



CAPITULO 3: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Contenido. 3.1. Introducción. 3.2. Noción intuitiva de límite. 3.3. Cálculo de límites por acercamiento. 3.4. Pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función. 3.5. Definición de límite de una función. 3.6. Cálculo de límites de funciones algebraicas. 3.7. Leyes de los límites. 3.8. Límites laterales. 3.9. Teorema de la compresión. 3.10. Continuidad en un punto. 3.11. Continuidad en un intervalo. 3.12. Teorema del valor intermedio. 3.13. Límites infinitos y asíntotas verticales. 3.14. Límites en el infinito y asíntotas horizontales. 3.15. Asíntotas oblicuas. 3.16. La forma indeterminada    3.17. Límites de funciones trigonométricas. 3.18. Límites de funciones exponenciales y logarítmicas.

3.1. Introducción. En los capítulos previos se ha presentado un tratamiento de las funciones de variable real. Se insistió en el tema de las funciones que resultan al elaborar modelos matemáticos de ciertas aplicaciones físicas y geométricas, así como un estudio descriptivo de las funciones y sus gráficas. El cálculo, tanto diferencial como integral, consiste de la manipulación de dichas funciones y sus aplicaciones en la solución de problemas concretos de ingeniería y ciencias. Se empezará por presentar el concepto intuitivo de límite de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor cualquiera.

3.2. Una noción intuitiva de límite. Consideremos dos funciones: 3.1 y 3.2.

y  f (x) y y  g (x) cuyas gráficas se ilustran en las figuras

Figura 3.1

Figura 3.2

Al analizar la figura 3.1 se observa que: 1) La función no está definida en x  c 2) Cuando x se acerca al valor c por la izquierda la función se acerca al valor L Se utiliza el símbolo:

lim  f ( x)  L

x c 

3) Cuando x se acerca al valor c por la derecha la función se acerca al valor L Se utiliza el símbolo:


lim  f ( x)  L

x c 

Se establece entonces que el límite existe a pesar de que la función no está definida en x  c En este caso se escribe:

lim f ( x)  L x c

En adelante se dirá que x  c es una discontinuidad removible de la función. Al analizar la figura 3.2 se observa que: 1) La función está definida en x  c 2) Cuando x se acerca al valor c por la izquierda la función se acerca al valor L1 Se utiliza el símbolo:

lim g ( x)  L1

x c 

3) Cuando x se acerca al valor c por la derecha la función se acerca al valor L2 Se utiliza el símbolo:

lim g ( x)  L2

x c 

Se establece entonces que el límite no existe a pesar de que la función está definida en x  c En este caso se escribe:

limg ( x)  no existe x c

En adelante se dirá que x  c es una discontinuidad esencial de la función. Puede darse el caso de una función h(x) para la que se verifique que: 1) La función está definida en x  c 2) Cuando x se acerca al valor c por la izquierda la función se acerca al valor L Se utiliza el símbolo:

lim h( x)  L

x c 

3) Cuando x se acerca al valor c por la derecha la función se acerca al valor L Se utiliza el símbolo:

lim h( x)  L

x c 

Se establece entonces que el límite existe y la función está definida en x  c En este caso se escribe:

limh( x)  L x c

En adelante se dirá que la función es continua en x  c

3.3. Cálculo de límites por acercamiento. En esta sección se estudiará lo que ocurre con una función al evaluarla a la izquierda y a la derecha de un número x  c

Ejemplo 3.1 Consideremos la función:

f ( x) 

x2  4 x2

Solución.


Es claro que x  2 no hace parte del dominio de la función, sin embargo, podemos evaluar la función en valores cercanos a x  2 , tanto por la izquierda como por la derecha. La tabla siguiente ilustra la situación. x 1.99 1.999 2.001 2.01 3.99 3.999 4.001 4.01 f (x) Es claro que entre más cerca de 2 se evalúe la función más cerca de 4 estará el resultado. La conclusión intuitiva es:

 x2  4 lim  4 x 2  x2  De acuerdo con lo establecido previamente, x=2 es una discontinuidad removible. Esto se pone de presente en la figura 3.3, la que resulta de redefinir la función de la siguiente manera:

x 2  4 x  2x  2   x2 x2 f ( x)  x  2 si x  2 f ( x)  Ejemplo 3.2 Consideremos la función:

g ( x) 

x3  8 x2

Es claro que x  2 no hace parte del dominio de la función, sin embargo, podemos evaluar la función en valores cercanos a x  2 , tanto por la izquierda como por la derecha. La tabla siguiente ilustra la situación.

x g (x)

1.99 11.9401

1.999 11.9940

2.001 12.0060

2.01 12.0601

Es claro que entre más cerca de 2 se evalúe la función más cerca de 12 estará el resultado. La conclusión intuitiva es:

 x3  8 lim    12 x 2  x2  De acuerdo con lo establecido previamente, x=2 es una discontinuidad removible. Esto se pone de presente en la figura 3.4, la que resulta de redefinir la función de la siguiente manera:


Figura 3.3



Figura 3.4



x  8 x  2 x  2 x  4   x2 x2 g ( x)  x 2  2 x  4 si x  2 g ( x) 

3

2


x2 2 x2

f ( x) 


x f (x)

1.99 0.250156

1.999 0.250016

2.001 0.249984

2.01 0.249844

Es claro que entre más cerca de 2 se evalúe la función más cerca de 1/4 estará el resultado. La conclusión intuitiva es:

 x  2  2 lim    1/ 4 x 2 x  2   De acuerdo con lo establecido previamente, x=2 es una discontinuidad removible. Esto se pone de presente en la figura 3.5, la que resulta de redefinir la función de la siguiente manera:

f ( x)  f ( x) 

x2 2  x2 1 x22

x2 2 x2 2 x24    x2 x  2  2 ( x  2) x  2  2





si x  2


f ( x) 

x2 3

x6 2



x f (x)

1.99 11.9949986

1.999 11.999499986

2.001 12.000499986

2.01 12.0049986


 x2  lim  3   12 x 2  x  6  2 De acuerdo con lo establecido previamente, x=2 es una discontinuidad removible. Esto se pone de presente en la figura 3.6, la que resulta de redefinir la función de la siguiente manera: 2 3 3 x  62  23 x  6  4 ( x  2) x  6  2 f ( x)  3   x 68 x  6  2 3 x  62  23 x  6  4 2 f ( x)  3 x  6  23 x  6  4 si x  2

x2

3

Figura 3.5

x  6  4  

Figura 3.6


f ( x) 

sen( x) x


x f (x)

-0.01

-0.001

0.001

0.01

0.9999833

0.999999833

0.999999833

0.9999833



 sen( x)  lim   1 x 0  x  La figura 3.7 ilustra la gráfica de la función.


ex 1 f ( x)  x Es claro que x  0 no hace parte del dominio de la función, sin embargo, podemos evaluar la función en valores cercanos a x  0 , tanto por la izquierda como por la derecha. La tabla siguiente ilustra la situación.

x f (x)

-0.01 0.9950166

-0.001 0.999500

0.001 1.000500

0.01 1.0050167


 e x  1 lim   1 x 0  x  La figura 3.8 ilustra la gráfica de la función.

Figura 3.7

Figura 3.8

3.4. Pendiente de la recta tangente de la gráfica de una función. La figura 3.9 ilustra la gráfica de una función y la recta secante que pasa por los puntos

(a, f (a)) y ( x1 , f ( x1 )) La pendiente de dicha recta secante viene dada por:

msec 

f ( x1 )  f (a) ;x  a x1  a

Por otro lado, la figura 3.10 ilustra la curva y la recta tangente en el punto (a, f (a))


Figura 3.9

Figura 3.10

En general, para cualquier punto P( x, f ( x)) , lo más cercano posible al punto (a, f (a)) , la pendiente de la recta secante viene dada por:

msec 

f ( x)  f ( a ) ;x  a xa

Cuando x está lo suficientemente cercano a a la recta secante se aproxima a la recta tangente a la curva en el punto (a, f (a)) . En consecuencia usaremos la siguiente notación:

limmsec   mtan x a

De otra manera:

 f ( x)  f (a )  lim    mtan x a xa   Ejemplo 3.7 Por aproximación sucesiva, determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

y  x 2 en el punto (1,1).

Solución. La pendiente de la recta secante entre el punto dado y cualquier punto por:

msec 

( x, x 2 ) , viene dada

x2 1 ;x 1 x 1

A partir del punto (1.1,1.21) nos empezamos a acercar al punto (1,1) y se calcula la pendiente de la secante, tal como se ilustra en la siguiente tabla:

x

f (x)

m sec

1.1 1.01 1.001 1.0001

1.21 1.0201 1.002001 1.0002

2.1 2.01 2.001 2.0001

x tiende a 1 la función tiende a 1 y la pendiente de la recta secante 2 tiende a 2. En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a la parábola y  x en el Observe que cuando

punto (1,1) es 2. Analizando la expresión matemática para la pendiente de la recta secante se observa que dicha función no está definida en x  1 , sin embargo, cuando x  1 , la pendiente de la recta secante se puede escribir en la forma:


x 2  1 ( x  1)( x  1) m sec    x 1 x 1 ( x  1) De la última expresión es claro que cuando decir:

x  1 la pendiente de la secante tiende a dos, es

 x 2  1 lim    limx  1  2 x 1  x  1  x1 EJERCICIOS 3.4 De manera intuitiva, determine la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado. 1)

f ( x)  x 3 ; P(1,1)

2) f ( x)  x ; P(4,2) 3) f ( x)  x 2 ; P(1 / 2,4) 4) f ( x)  2 cos( x) ; P( / 3,1) 3.5. Definición de límite de una función.

Supongamos que una función y  f (x) está definida en cada punto de un dominio, excepto, posiblemente, en el punto x  a , tal como se ilustra en la figura 3.11. Cuando la variable independiente se acerca al valor a y simultáneamente la función se acerca al valor L , se dice que el límite de la función cuando x tiende a a existe y es igual a L . En símbolos, se tiene:

lim f ( x)  L x a

La definición anterior se puede presentar en los siguientes términos: Sea I  R un intervalo abierto que contiene al punto a y sea f (x) una función definida en I, pero no necesariamente en es el número L y escribimos:

a . Decimos que el límite de f (x) cuando x tiende al punto a ,

Figura 3.11

lim f ( x)  L , sí y solo sí para todo real   0 , existe un real   0 , tal que para todo x  I x a

se cumple la siguiente implicación.

0  x  a    f ( x)  L   La implicación anterior se puede escribir en los siguientes términos:

   x  a      f ( x)  L  


Alternativamente, se tiene:

   a  x    a    L  f ( x)    L El significado preciso de la implicación, manifiesta en la figura 3.11, es el siguiente: Si a está ubicado en una franja del eje horizontal de anchura 2 , el número L estará ubicado en una franja del eje vertical de anchura 2 . La definición presentada se conoce comúnmente como definición épsilon- delta. Con base en dicha definición se puede demostrar, por ejemplo, que:





lim x 2  1  2 x 1

Empezamos haciendo

f ( x)  L   , en este caso, se tiene x 2  1  2   . Se procede de

la siguiente manera:

x 2  1  2    x 2  1    ( x  1)( x  1)    x  1  Ahora, puesto que

x  1, resulta: x  1 

El resultado nos dice que para cada



 x 1

2

  0 , por pequeño que sea, existe un    / 2 .

EJERCICIOS 3.5 Usando la definición épsilon-delta, demuestre la existencia de los siguientes límites: 1) lim x 2

x

2



3 1

2) lim1 / x  1 / 2 x 2

3) lim x 2

 x  2  2  x  1   1/ 2  x 

4) lim  x 2

3.6. Cálculo de límites de funciones algebraicas. Supongamos que f (x) se puede expresar como el cociente de dos funciones elementales, es decir, no definidas por tramos, así: f ( x)  p( x) / q( x) Se desea calcular el siguiente límite:

 p( x)  lim  L x a q ( x)   Pueden presentarse cuatro casos, así: a) p(a)  0 , q(a)  0 . En este caso el límite existe y es cero, así:

 p( x)  0 lim   0  x a q( x)   q(a) b) p(a)  0 , q(a)  0 . En este caso el límite existe y es:

 p ( x)  p (a ) lim   x a q ( x)   q(a) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

c) a) p(a)  0 , q(a)  0 . En este caso el límite no existe y, según veremos, es:

 p ( x)  p ( a ) lim     x a q ( x) 0   d) p(a)  0 , q(a)  0 . En este caso el límite es una forma indeterminada, así:

 p( x)  0 lim   x a q ( x)   0 Tal expresión se conoce como una forma indeterminada y para eliminarla se requiere recomponer la función de tal manera que desaparezca la forma indeterminada. Usualmente, una forma indeterminada se elimina mediante un artificio matemático. 3.6.1. Eliminación de una forma indeterminada por factorización. Se desea calcular

 p( x)  lim   , en el que tanto el numerador como el denominador son x a q ( x)  

polinomios. En caso de resultar la forma indeterminada se factorizan, con la certeza de que ( x  a) es un factor de ambos. En caso de persistir la forma indeterminada se factoriza de nuevo.

Ejemplo 3.8. Calcule los siguientes límites:

 x 3  1 1) lim   x 1  x 1   x  1 2) lim   x 1  x 1   x3  x2  2  3) lim   x 1 2 x 3  x  1   Solución. Se puede observar que en todos los casos, al sustituir el valor de a en la función, resultan formas indeterminadas. En consecuencia es necesario recomponer la función, así:





 x 3  1  ( x  1) x 2  x  1  lim   lim x2  x 1  3  x1    lim x 1 x  1 x 1  x 1     x  1    1  x 1 2) lim   lim   lim      1/ 2 x 1 x 1 x 1  x  1  x 1   x 1 x 1  1)











3) En este caso es necesario aplicar división sintética, con lo que:

 

 

 

 

 x3  x 2  2   ( x  1) x 2  2 x  2   x 2  2x  2  lim  3  lim   lim    2  1 2 x 1 2 x  x  1   x1  ( x  1) 2 x  2 x  1  x1  2 x  2 x  1  3.6.2. Eliminación de una forma indeterminada por multiplicación por el conjugado.


A continuación se muestran los conjugados de algunos binomios notables y el resultado de la multiplicación. La idea es que si un binomio no es racional, al multiplicarlo por el conjugado, el producto sea racional.

a  b y el producto es a  b a  b y el producto es a  b

a  b . El conjugado es a  b . El conjugado es

1) 2) 3)

3

a  3 b . El conjugado es

4)

3

a  3 b . El conjugado es

3 3

a 2  3 ab  3 b 2 y el producto es a  b a 2  3 ab  3 b 2 y el producto es a  b

Ejemplo 3.9 Calcule los siguientes límites:

 x  4  2  x 0 x  

1) lim 

3 x  2   x 8  x 8 

2) lim 

3)

 x2  lim  3  3 x 2  x  2

Solución. 1) Diferencia de cuadrados.

   x2  4  2   lim   lim   x 0 x  0 x      

x

2

 x



 42  x2    lim  x0  2   x x2  4  2 x x  4  2 

4 2



2





  0  



2) Diferencia de cubos.





  lim  x 8    x  8 x  2

 3 x  2 3 x 2  23 x  4 3 x  2 lim   lim  x8  x8  ( x  8) 3 x 2  23 x  4  x 8   1 lim  2 3 x8  3  x 2 x 4





x8

 x 3

2

3







   lim  x  2 x  2x  4   x2   

 x  2 3 x 2  3 2 x  3 4  x2  lim  3  lim   3 x 2  x  2  x2 (3 x  3 2 3 x 2  3 2 x  3 4 lim

2

   1 / 12 

3) Suma de cubos.

x 2

3

  x  4 





3

2

3

3

x 2

 3 2 x  3 4  33 4

EJERCICIOS 3.6 1) Calcule los siguientes límites:

 x 3  1  x 1 x  1  

a) lim 

  x  1  x 1  x 1 

b) lim 


 x3  x 2  2   x 1 2 x 3  x  1  

c) lim 

  x2  4  2  lim   2 x 0 x     3 x  6  2 e) lim   2 x 2  x 4   x2 1  f) lim   x 1 3 x  1   d)

2) Dadas las funciones: f ( x)  x Calcule:

2

; g ( x)  x 2 ; u( x)  x ; w( x)  3 x

 f ( x  h)  f ( x )   h    g ( x  h)  g ( x )  b) lim   h0 h    u ( x  h)  u ( x )  c) lim   h0 h    w( x  h)  w( x)  d) lim   h0 h   a) lim  h 0

3.7. Leyes de los límites. Consideremos dos funciones

f ( x)

y g ( x) tales que los siguientes límites existen: lim f ( x)  L1 x a

limg ( x)  L2 x a

1) La primera ley de los límites establece que el límite de una suma o de una diferencia es la suma o la diferencia de los límites, así:

lim f ( x)  g ( x)  L1  L2 x a

2) La segunda establece que el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función, así:

limcf ( x)  cL1 x a

3) El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites, así:

lim f ( x)  g ( x)  L1  L2 x a

4. El límite del cociente de dos funciones es el cociente de los límites, siempre que el límite del denominador no sea cero, así:

lim f ( x) / g ( x)  L1 / L2 x a

5. El límite de función compuesta.

lim f  g ( x)  lim  f ( x) x a

x  L2


Ejemplo 3.10 Dadas las funciones:

x 1 x2 1 x2  x g ( x)  x 1 f ( x) 

Calcule los siguientes límites: a) lim f ( x) x1

b) limg ( x) x1

c) lim f ( x) / g ( x) x1

d) lim f  g ( x) x 1

Solución. Aplicando los conceptos y métodos desarrollados, tenemos: a) lim f ( x)  1 / 2 x 1

b) limg ( x)  1 x 1

c) lim f ( x) / g ( x)  1 / 2 x 1

d) limg  f ( x)  lim g ( x)  1 / 2 x 1

x 1 / 2

EJERCICIOS 3.7 Dadas las funciones: f ( x)  x ; g ( x)  Calcule, si existen, los siguientes límites:

x 1

2

 g ( x)  lim   x 1 f ( x )  1   b) lim( f ( x)  2 g ( x) a)

x 2

 f ( x)  4    g ( x  1) 

c) lim  x 2

d)

 f ( x)  g 2 ( x  3)  lim   x 1 f ( x)  1  

3.8. Límites laterales.

x se acerca al valor a por la izquierda, la función se acerca al valor L1 y cuando x se acerca al valor a por la derecha, la función se acerca al valor L2 . Independientemente de que la función esté o no definida en a , se dice que Consideremos una función f (x) tal que cuando

los límites laterales existen y vienen dados por:

lim  f ( x)  L1

x a 

lim  f ( x)  L2

x a 


La figura 3.11a ilustra la situación planteada. Es claro que si los límites laterales son iguales, es decir si L1  L2  L , entonces el límite bilateral de la función existe y en tal caso se dice que el límite existe y se escribe:

lim f ( x)  L x a

Figura 3.11a

Figura 3.11b

Ejemplo 3.11 Dada la función:

 0 si x  0   1 f ( x)   si 0  x  2 x  1   x2  4 si x  2   x2 Calcule los siguientes límites: a) lim  f ( x) x 0

b) lim  f ( x) x 0

c) lim  f ( x) x 2

d) lim  f ( x) x 2

Solución. Teniendo en cuenta los conceptos descritos previamente, se tiene: a) lim  f ( x)  0 x 0

b) lim  f ( x)  1 x 0

c) lim  f ( x)  1 / 3 x 2

d) lim  f ( x)  4 x 2

Ejemplo 3.12 Calcule, si existen, los siguientes límites:

  x 3  1   x 1  x  1   

a) lim 


 x  1   2 x 1  x  1 

b) lim 

Solución. En ambos casos hay que redefinir la función, así: a) Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto se tiene:

 x3 1   f ( x)    3x  1  x 1   x 1









 x  1 x 2  x  1 si x  1    ( x  1)  f ( x)    x  1 x 2  x  1  si x  1  x  1 

si si

x 1 x 1

Con base en lo anterior se tiene:

 x 3  1 lim    3 x 1  x  1     x 3  1 lim    3 x 1  x  1    Se deduce que el límite no existe. b) Con base en la definición de valor absoluto se tiene:

 x 1  2 f ( x)    x  1 x 1  2  x 1

si si

x 1 x 1

x  1     ( x  1)( x  1)  f ( x)   x  1    x  1( x  1)

si si

x 1 x 1

Con base en lo anterior, resulta:

 x 3  1 lim    1 / 2 x 1  x  1     x 3  1 lim    1 / 2 x 1  x  1    Se deduce que el límite no existe.

EJERCICIOS 3.8 1) Calcule, si existen, los siguientes límites:

  x 3  1     x 1  

a) lim  x 1

  x 1    2   x 1  

b) lim  x  1



x   x  x 

c) lim  x 0




x 1   x 1  x  3  2  x2  e) lim   2 3 x 2  x 4  x2 1  f) lim   x 1  1 x  d) lim 

2) Considere la función:

1  x  1 si  2  x  2  f ( x)   x si 2  x  4  1  5  x si 4  x  6  a) Haga una gráfica de la función b) Calcule los siguientes límites: i) lim  f ( x) x 2

ii) lim  f ( x) x 2

iii) lim  f ( x) x 2

iv) lim  f ( x) x 4

v) lim  f ( x) x 4

3.9. Teorema de la compresión o del emparedado. Consideremos tres funciones f ( x) , g ( x) , h( x) tales que, en las inmediaciones de

x  a se

verifica que f ( x)  g ( x)  h( x) . Si lim f ( x)  limh( x)  L , entonces: limg ( x)  L x a

x a

x a

Ejemplo 3.13 Usando el teorema del emparedado muestre que:

lim xsen(1/ x)  0

x0

Solución. Puesto que la función seno está en el intervalo  1  sen(1/ x)  1 , tenemos:

 x  xsen(1/ x)  x ; x  0 Puesto que los límites de las funciones de los extremos son iguales a cero, el límite de la función emparedada será cero.

EJERCICIOS 3.9 Usando el teorema del emparedado, calcule los siguientes límites: a) limx cos(1 / x) x0

b) lim x arctan(1 / x) x0


c) lim x 0

 xe  cos(x )

d) lim sen( x) cos(1 / x) x 0

3.10. Continuidad en un punto.

Se dice que una función f (x) es continua en un punto x  a si dicha función esta definida en dicho punto y los límites laterales son iguales a la función evaluada en el punto. En símbolos, se tiene:

lim  f ( x)  lim  f ( x)  f (a)

x a 

x a

Cuando los límites laterales son iguales pero la función no está definida en el punto o tiene un valor diferente al límite, se dice que la discontinuidad es removible y en tal caso se puede redefinir la función en el punto.


f ( x) 

x3 1 x 1

Muestre que en x  1 hay una discontinuidad removible y redefina la función. Solución. Evidentemente la función no está definida en son iguales, así:

x  1 , sin embargo, los límites laterales existen y

x 3  1 ( x  1)( x 2  x  1) f ( x)    sí x 1 x 1 En consecuencia, tenemos:

x 1

f ( x)  x 2  x  1

lim  f ( x)  lim  f ( x)  3

x 1

x 1

La función se puede redefinir de la siguiente manera:

 x 2  x  1 si x  1 f ( x)   si x  1 3 Cuando una discontinuidad no es removible se dice que es esencial. La discontinuidad de la función de la figura 3.4a es esencial, mientras que la discontinuidad de la figura 3.4b es removible.


 x  a si x  1 f ( x)   2 1  x  1 si x  1

a) Determine un valor de a de tal manera que x  1 sea una discontinuidad removible. b) Redefina la función de tal manera que sea continua en su dominio.

 x 2  ax si x  1 2) Repite el ejercicio anterior para la función: f ( x)   2 2  x  1 si x  1


1 si x  1   3) Considere la función: f ( x)  1  2  x si 1  x  3  ax si x  3  a) Muestre que x  1 es una discontinuidad esencial b) Determine el valor de a de tal manera que x  3 sea una discontinuidad removible c) Represente gráficamente la función. 4) Muestre, de manera intuitiva, que cualquier función racional f ( x) 

p( x) es continua en q( x)

cualquier intervalo exceptuando aquellos en los que q( x)  0 5) Considere la función: a) Muestre que b) Muestre que

f ( x) 

x3 1 x2  x

x  1 es una discontinuidad removible de la función y redefínala. x  0 es una discontinuidad esencial de la función.

3.11. Continuidad en un intervalo. Una función f (x) es continua en un intervalo (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. En los puntos extremos los límites son laterales, es decir, se deben calcular los límites:

lim  f ( x)  L1

x a 

lim  f ( x)  L2

x a 

Son ejemplos de funciones continuas: en cualquier intervalo de los reales: 1) Las funciones polinómicas 2) Las funciones sen(x) y cos( x) 3) La función exponencial e

x


f ( x)  4  x 2 a) Muestre que su dominio es el intervalo:  2  x  2 b) Muestre que la función es continua en su dominio Solución. a) En cuanto al dominio, se hace el siguiente procedimiento:

4  x 2  0  x 2  4  0  ( x  2)( x  2)  0  2  x  2 b) Puede verse que para cada valor de la variable en el intervalo la función es continua y, además, se cumple que:

lim  f ( x)  0

x  2 

lim  f ( x)  0

x 2 

3.12. Teorema del valor intermedio.

Consideremos una función y  f (x) que es continua en el intervalo cerrado [a, b] de tal manera que f (a)  f (b) . Supongamos que existe un número M en el intervalo abierto


( f (a), f (b)) . El teorema del valor intermedio establece que existe al menos un c  (a, b) tal que f (c)  M . La figura 3.12 ilustra el caso en el que el teorema se cumple para un único valor de c , mientras que en la figura 3.13 el teorema se cumple para tres valores de c .

Figura 3.12

Figura 3.13

Una de las aplicaciones más importantes del teorema es la de determinar las raíces reales de una ecuación en un intervalo, así: Si f (x) es continua en un intervalo y si f (a)  f (b)  0 [a, b] , entonces en el intervalo hay, al menos, una raíz real de la ecuación f ( x)  0 . Particularmente, si la función es uno a uno en el intervalo, la ecuación tiene una solución real.

Ejemplo 3.16 Determine, si es posible, dos valores de la variable independiente tales que la gráfica de la función

y  x 2  2 x corte a la recta y  3 .

Solución.

x 2  2 x  3  x 2  2 x  3  0  ( x  3)( x  1)  0  x  1, x  3 La figura 3.14 ilustra la gráfica correspondiente.

Ejemplo 3.17 Determine si la ecuación x  2 x  3  0 tiene alguna raíz en el intervalo [1,2] 3

Solución. Puesto que las funciones polinómicas son continuas en cualquier intervalo de los reales, basta con evaluar la función en los puntos dados, así f (1)  4 f (2)  1 . Se concluye que sí hay raíces en dicho intervalo. La figura 3.15 muestra la gráfica de la función en el intervalo

Figura 3.14

Figura 3.15


Ejemplo 3.18 Determine si la ecuación

0 ,  / 2 b)  / 2 ,  

x 2  cos( x)  4 tiene una solución en el intervalo:

a)

Solución. Puesto que la función es continua en los reales, se tiene: a) f (0)  0 y f ( / 2)  0 , con lo que no se garantiza solución b) f ( / 2)  0 y f ( )  0 , con lo que si se garantiza solución

EJERCICIOS 3.12 1) Considere la ecuación f ( x) 

x 1 x2

a) Muestre que x  2 es una discontinuidad esencial b) Determine, sí es posible, un valor de x tal que la función evaluada en el punto sea tres. 2) Considere la función:

f ( x)  x 3  2 x 2  3 x  4

a) Elabore una tabla de valores de la función en el intervalo:  3  b) Ubique las raíces reales de la ecuación: f ( x)  0

x3

x3  x 2  3 x4 x4 1 4) Repita el mismo procedimiento para la ecuación: f ( x)  x4 3 x  x 2  3x 5) Repita el mismo procedimiento para la función: f ( x)  x4 3) Repita el ejercicio anterior para la función:

f ( x) 

6) Determine, sí es posible, dos valores de la variable independiente tales que la gráfica de la función

y  2 x  x 2 corte a la recta: y  3

7) Determine sí la ecuación x cos( x)  2  0 tiene una solución en el intervalo:

0 ,  / 2 b)  / 2 ,   a)

3.13. Límites infinitos y asíntotas verticales.

Consideremos una función y  f (x) tal que cuando x tiende a un valor finito: a por la izquierda o por la derecha, la función crece sin límite hasta el infinito, sea éste positivo o negativo, es decir:

lim  f ( x)  

x a 

lim  f ( x)  

x a 

En este caso se dice que la recta x  a es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Las asíntotas verticales son propias de algunas funciones racionales. En general puede verificarse que si r  0 , entonces:


1 lim  r    x 0  x   1     si r par lim  r    x 0  x    si r impar Ejemplo 3.19 Dada la función:

f ( x) 

x2  4 x2 1

Determine los siguientes límites:

lim  f ( x)

x  1

lim  f ( x)

x  1

lim  f ( x)

x 1

lim  f ( x)

x 1

Solución. 

Cuando x  1 significa que toma un valor menor que -1, digamos -1.001. Esto significa que el denominador se acerca a cero positivo, así:

 x2  4 5 lim  2      x 1  x 1  0 De manera similar se obtienen los otros límites.

 x2  4 5 lim  2      x 1  x 1  0  x2  4 5 lim  2      x 1 x  1   0  x2  4 5 lim  2      x 1  x 1  0 Ejemplo 3.20 Dada la función:

f ( x) 

x2  4 x2

a) Determine el dominio de la función b) Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)

x2

lim  f ( x)

x2

Solución. a) El dominio de la función viene dado por: D f





 x  R / x2  4  0  x  2




De lo anterior se sigue que: D f    ,  2  2 ,  b) El primer límite es:

   x2  x2  4    ( x  2)( x  2)   lim   lim   lim       x 2 x 2  x 2 x  2 x  2 x  2          

Para el otro límite, puesto que x  2 no hace parte del dominio de la función, se tiene que:

  x2  4   lim     no existe x 2 x  2     EJERCICIOS 3.13 1) Dada la función:

f ( x) 

x2  4 x2 1


lim  f ( x)

x  1

lim  f ( x)

x  1

lim  f ( x)

x 1

lim  f ( x)

x 1

2) Dada la función:

f ( x) 

4  x2 x2


lim  f ( x)

x  2 

lim  f ( x)

x  2 

3.14. Límites en el infinito y asíntotas horizontales. Consideremos dos funciones f ( x) ; g ( x) de tal manera que menos infinito.

x pueda tender a infinito o a

3.14.1. Límites en más infinito. Cuando la variable independiente tiende a más infinito, pueden presentarse las siguientes situaciones: a) La función f (x) crece más rápidamente que la función g (x) . Esta situación se ilustra en la figura en la figura 3.16 para las funciones f ( x)  e ; g ( x)  valores de x la exponencial está por encima de la cúbica. x

x 3 . Es claro que para grandes


Figura 3.16 Intuitivamente, el cociente f ( x) / g ( x) aumentará al aumentar x, mientras que el cociente

g ( x) / f ( x) se acercará a cero al aumentar x. Las figura 3.17 y 3.18 ilustran la situación.

Figura 3.17

Figura 3.18

b) Las funciones crecen a ritmos similares, tal es el caso de de dos funciones algebraicas del mismo grado. Esta situación se ilustra en la figura 3.19 para las funciones

f ( x)  2 x 2  3 x  2 ; g ( x)  x 2  4 x  1 El límite cuando x tiende a infinito del cociente existe, es decir:

 f ( x)  lim  L x  g ( x )   En tal caso se dice que la recta y  L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función. La figura 3.20 muestra la gráfica del cociente f ( x) / g ( x) . Se observa que la recta y  2 es una asíntota horizontal de la gráfica del cociente.


Figura 3.19

Figura 3.20

En este caso, el límite se calcula dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia de la variable independiente. Para nuestro ejemplo se tiene:

 2 x 2  3x  2  2  3/ x  2 / x2  lim  2  lim 2   2  x   x  4 x  1  x   1  4 / x  1 / x  3.14.2. Límites en menos infinito. Supongamos que el límite cuando x tiende a menos infinito existe, es decir:

 f ( x)  lim  L x   g ( x )   En tal caso se dice que la recta y  L es una asíntota horizontal de la función. Para calcular los límites en menos infinito de una función se aconseja hacer lo siguiente:

lim  f ( x)  lim  f ( x)

x 

x 


f ( x) 

x 2  4x x2 1


lim  f ( x)

x 

lim  f ( x)

x 

Solución. Para el primer límite, se tiene:

 x 2  4x   1 4 / x  lim  2 1   xlim  2 x    1  1 / x   x 1  Para el segundo límite se tiene:

 x 2  4x   x 2  4x  lim  2  lim   2  1 x   x  1  x x  1  Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Del ejemplo se sigue que la recta y  1 es una asíntota horizontal de la función, mientras que las asíntotas verticales son las rectas:

x  1


f ( x) 

2x 2  3 x x2 1

Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)

x 

lim  f ( x)

x 

Solución. Para el primer límite, se tiene:

 2x 2  3   2  3/ x2  lim    xlim  2 2 2 x    x x 1  1  1/ x  Para el segundo límite, se tiene:

 2x 2  3   2x 2  3  lim   lim  x   2 2 2 x  x x  1  x x  1     Ejemplo 3.23 Calcule los siguientes límites:

  x3 lim  2  x  x  3 x  4   2 2   x x  3x   lim   4 3 x    x x  3x  5   Solución. a) El grado del numerador es 3 y el del denominador es 2, con lo que el límite es:

  x3 lim  2    x  x  3 x  4   b) Primero que todo se aplica la regla, así: 2 2 2 2    x x 3    x x 3   lim   lim    3 2 3 2 x  x      x x  3 x  5  x x  3 x  5    

El grado del numerador es 3 y el del denominador es 7/3, el límite es: 2 2   x x 3   lim     3 2 x    x x  3 x  5  

EJERCICIOS 3.14 1) Dada la función:


f ( x) 

x2  4 x2 1


lim  f ( x)

x  

lim  f ( x)

x  


f ( x) 

x2  5 x2


lim  f ( x)

x  

lim  f ( x)

x  


f ( x) 

x 2  3x  1 xx2


lim  f ( x)

x  

lim  f ( x)

x  

3.15. Asíntotas oblicuas. Consideremos una función racional en la que la diferencia entre el grado del numerador y el del denominador es la unidad, es decir, funciones de la forma:

f ( x) 

N ( x) D( x)

En tal caso, la fracción se puede escribir en la forma:

f ( x)  mx  b  

R( x) D( x )

Puesto que el grado del residuo es menor que el grado del denominador, se verifica que:

 R( x)  lim  0 x   D( x )   Lo anterior significa que la recta y  mx  b es una asíntota oblicua de la función y se escribe:

lim  f ( x)  mx  b

x 

En general, cuando la función no es racional, las asíntotas oblicuas de la misma se calculan de la siguiente manera:


a)

x  

 f ( x)  m  lim   x   x  b  lim  f ( x)  mx b)

x 

x  

 f ( x)  m  lim   x   x  b  lim  f ( x)  mx x 

Ejemplo 3.24 Determine las asíntotas oblicuas para la siguiente función:

f ( x) 

x 3  2 x 2  3x x2  4

a) Efectuando la división b) Aplicando la definición Solución. a) Al efectuar la división se obtiene:

f ( x)  x  2  Por tanto, la asíntota oblicua es: y  x  2 b) Usando el otro método se tiene: i) Cuando x  

 7x  8 x2  4

 x 2  2x  3  f ( x)  m  lim   lim    1 2 x   x  x  x  4   x 3  2 x 2  3x    2x 2  7x  b  lim f ( x)  mx  lim   x  lim  x    2 2 2 x  x  x  4 x  4     y  x  2 Por tanto, la asíntota oblicua es: ii) Cuando

x    x 2  2x  3  f (  x)  m  lim   lim    1 2 x    x  x  x  4 

  x 3  2 x 2  3x    2x 2  7 x  b  lim f ( x)  mx  lim   x  lim  x    2 2 x  x  x2  4    x 4  Se concluye que la función tiene una sola asíntota oblicua: y  x  2

Ejemplo 3.25 Aplicando la definición, calcule las asíntotas oblicuas para la función:

f ( x) 

x2  4 x 1

Solución.


En primer lugar se redefine la función, así:

 x2  4 si x  0   x  1 f ( x)   2  x  4 si x  0  x  1

i) Cuando x   El estudiante puede verificar que la asíntota es: y  x  1

ii) Cuando x   El estudiante puede verificar que la asíntota es: y   x  1

EJERCICIOS 3.15 Determine las asíntotas oblicuas para las siguientes funciones:

x 3  2 x 2  3x x2  4 2x 2  4 b) f ( x)  x 1  2 a)

f ( x) 

3.16. La forma indeterminada:   

Eventualmente, al calcular un límite, aparece la forma indeterminada:    Para calcular el límite se debe recurrir a un artificio matemático que convierta la forma indeterminada dada en otra de la forma:  /  Normalmente se recurre a multiplicar arriba y abajo por el conjugado de la función.

Ejemplo 3.26 Aplicando la definición, calcule las asíntotas oblicuas para la siguiente función:

f ( x)  Solución. i) Cuando

x2 4x 2  3

x    x  f ( x)  m  lim   lim     1/ 2 x   x  x  4 x 2  3 

  x2 x  2x 2  x 4x 2  3   b  lim f ( x)  mx  lim     lim   2 2 x  x  x     4x  3 2   2 4x  3   Aplicando el procedimiento de multiplicar por la conjugada, resulta:





  2x 2  x 4x 2  3 2x 2  x 4x 2  3 b  lim  x   2 4x 2  3 2x 2  x 4x 2  3 





  lim   





  0 2 2 2 x    2 4 x  3 2 x  x 4 x  3   4x 4  x 2 4x 2  3





Por tanto, la asíntota oblicua es: y  x / 2


ii) Se deja como ejercicio que el estudiante demuestre que cuando x   , la asíntota oblicua es la misma recta.

Ejemplo 3.27 Aplicando la definición, calcule las asíntotas oblicuas para la función: Solución. i) Cuando

f ( x)  x  x 2  1

x  2   x  x 1   f ( x)  m  lim   lim    x  x  x  x     

Multiplicando por la conjugada, se tiene:







   1  x  x2 1 x  x2 1     m  lim   lim   0 2 2 x  x      x x  x  1 x x  x  1    









Puesto que la pendiente es cero, la asíntota es horizontal. En cuanto al corte con el eje de ordenadas, se tiene:





  1 b  lim  f ( x)  mx  lim x  x 2  1  lim  0 2 x  x  x   x  x 1 En consecuencia, cuando x   , la asíntota es horizontal: y  0 ii) Cuando

x   2 2    x  x 1   x  x 1   f (  x)  m  lim   lim  lim      x  x  x x   x  x         

Aplicando el procedimiento, se tiene:

 1  1  1 / x 2   x  x2 1   m  lim   lim  x  2 x  x 1       En cuanto al corte con el eje de ordenadas, se tiene:









b  lim f ( x)  mx  lim  x  x 2  1  2 x  lim x  x 2  1  0 x

x

x

Multiplicando por la conjugada, resulta:

  1 b  lim  0 2 x  x  x  1   En consecuencia, cuando x   , la asíntota es oblicua: y  2 x EJERCICIOS 3.16 1) Calcule, si existen los siguientes límites:


a)





lim 5x 2  2 x  3 x 4

 x 1 x 2   x2  lim c) x 3  b) lim 

x2    4x  3 

 x  12   x  3 

 2 x  2    x 0  x  

d) lim 

 x4 1  lim  3 x 1 x  1     x  3  f) lim  x 9  x  9    e)

g)



lim 5  x 

4/3

x 3



 3 x 1  x 1  x  1     x  1 3x   i) lim   x 1  x  1    x  1 3x   j) lim   x 1  x  1   h) lim 


f ( x)  2  3 x  6

Determine lim f ( x) x2


2 x  3 si x  1  f ( x)  2 si x  1 7  2 x si x  1  Determine los límites siguientes, si existen y represente gráficamente la función. a) lim  f ( x) x 1

b) c)

lim  f ( x)

x 1

lim f ( x) x1


 x  1 si x  1  f ( x)   x 2 si  1  x  1 2  x si x  1  Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Determine los siguientes límites, si existen y represente gráficamente la función. a) lim  f ( x) x 1

b) c)

lim  f ( x)

x 1

lim  f ( x)

x 1

d) lim  f ( x) x 1

e) lim  f ( x) x 1

f) lim f ( x) x1

5) Evalúe los siguientes límites:

1  x 0  2 x   3  b) lim   x 2  x  2  a) lim 

 x2  3  lim  3 2 x 0 x  x    x2  9   d) lim   x 3 x  3     2   x 9  e) lim   x 3   x 3   2  x  3x  2  f) lim   3 x 0  x  4x  c)

  6  5 x 2  11x  6   g) lim   x 0 x      x4  h) lim  2  x  x  2 x  5   i)

 1  4 x 2 lim  x   4  x

j)

lim 2 x  x 2  2 x x 



  



6) Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las gráficas de cada una de las funciones siguientes y haga un gráfico aproximado.

x 2x  4 x3 b) f ( x)  x2 a) f ( x) 


x 2  49 x 2  5 x  14 x2  4 d) f ( x)  2 x 2 2x 2 e) f ( x)  x2  3 x2 x f) f ( x)  2 x 2 c)

f ( x) 

g)

f ( x)  x  x 2  2 x

h)

f ( x)   x  4 x 2  1

3.17. Límites de funciones trigonométricas A partir de las funciones elementales seno y coseno, cuyas gráficas se ilustran n la figura 3.21, se pueden calcular límites que involucran funciones trigonométricas.

Figura 3.21

3.17.1. Límites elementales. A partir de la figura 3.21, es claro que:

lim sen( x)  lim sen( x)  lim  sen( x)  0 

x 0 

x 

x  2

lim* sen( x)  lim sen( x)  lim  sen( x)  0 

x 0

x 

x  2

lim  cos( x)  lim

cos( x)  0  x 3 / 2 

lim  cos( x)  lim



x  / 2

 cos( x)  0  x 3 / 2

x  / 2

Ejemplo 3.27 Por simple inspección de la figura 3.21 se puede establecer que:

lim csc( x)  lim cot( x)  

x 0 

x 

x 0*

x 

lim csc( x)  lim cot( x)  

lim  sec( x)  lim

tan( x)   lim sec( x)  lim tan( x)   x  / 2 x 3 / 2 x 3 / 2 

x  / 2





3.17.2. Límites trigonométricos especiales. Una importante función es la definida como:


f ( x) 

sen( x) x

Es claro que el dominio de la función excluye el valor x=0. Sin embargo, dado que la función es par, el límite cuando x tiende a cero por la derecha debe ser igual al límite cuando x tiende a cero por la izquierda. En el ejemplo 3.5 se mostró de manera intuitiva que dicho límite es la unidad, es decir:

 sen( x)  lim   1 x 0  x  Demostraremos en esta sección, usando la figura 3.22 y el teorema del emparedado, que el límite a la derecha de cero es la unidad.

Figura 3.22 Con base en la figura se tiene:

AB  BC  CD  sen( )    tan( )

En virtud de lo anterior se pueden dividir los diferentes miembros de la desigualdad por sen( )  0 sin que cambie el sentido de la desigualdad, es decir, se puede escribir:

sen( )  tan( )   sen( ) sen( ) sen( ) De manera equivalente se tiene:

1

 sen( )



1 cos( )

Con base en el teorema del emparedado, los límites de las funciones de los extremos son iguales a la unidad, con lo que:

   lim   1  0 sen( )    1  1 Ahora bien, puesto que lim  , se sigue que:  x a f ( x)  f ( x)   lim x a  sen( )  lim   1  0    Ejemplo 3.28 Usando el resultado anterior, calcule el siguiente límite:

1  cos( x)  lim   x 0 x  


Solución. El límite se puede calcular de la siguiente manera:

 1  cos 2 ( )  1  cos( ) 1  cos( )  1  cos( )  lim   lim   lim   0      0   1  cos( )   0  1  cos( )     Aplicando la identidad trigonométrica, se tiene:

 sen 2 ( )   sen( ) sen( )  1  cos( )  lim     lim    lim    0 1  0  0   0   0       1  cos( )   1  cos( )  Se hizo uso de la propiedad de que el límite de un producto es el producto de los límites

Ejemplo 3.29 Evalúe los siguientes límites:

 sen(4 )      1  cos( )  b) lim    0  sen( )  a) lim   0

 sen(2 x)  lim   x 0  tan( x)   5x  d) lim   x 0 sen( 2 x )   c)

 / 2    lim   x  / 2  cos( )  1  cos( )  f) lim   2  0    e)

Solución. a) Como el argumento del seno es resulta:

4 x , se hace el cambio de variable t  4 x , con lo que

 sen(4 x)   sen(t )  lim    lim  4 x 0 t  0  x   t/4  b) En este caso se tiene:

 1  cos( x)    0 1  cos( x)    x lim   lim    0 x 0  sen( x)  x0  sen( x)  1   x   c)


    sen2 x   2sen( x) cos( x)  lim   lim 2 cos 2 ( x)  2   lim   x 0 x  0 x 0 sen( x)  tanx     cos( x)   d)

   5/ 2    5x   5 2x   lim   lim   lim      5/ 2 x 0 sen2 x    x0  2 sen2 x  x0  sen2 x     2x   e) Si evaluáramos directamente éste límite obtendríamos una forma indeterminada de la forma

0 0

Se sugiere el cambio de variable

t   / 2   , con lo que resulta:

   2       t  t lim    lim    lim   1  0 cos    0 cos( / 2  t )  0 sen(t )         En la expresión anterior se hizo uso de la identidad:

cos( / 2  t )  cos( / 2) cos(t )  sen( / 2)sen(t )  sen(t ) f) En este caso la forma indeterminada se elimina multiplicando por el conjugado del numerador, así:

 1  cos 2     1  cos 1  cos  1  cos  lim    lim    lim  2  2  0  2 1  cos     0   0  1  cos  Haciendo uso de la identidad trigonométrica

1  cos 2 ( x)  sen 2 ( x) , resulta:

  sen( )  2      sen 2 ( )      1  cos  lim    lim  2   lim    1/ 2 2  0    0  1  cos( )   0  1  cos( )    EJERCICIOS 3.17 Determinar los siguientes límites. 1) limtanx  x 0

2) 3)

lim sec( x)

x  / 2 

lim2  cot x  x 0

 sen(5 x)  lim   x 0 sen(3 x )   1  sen ( x)   5) lim    x  / 2    2 x  4)


 cos(x / 2)   x 1  1 x  1  cos( x)  7) lim   x  / 3    3x  1  cos( x)  8) lim   x 0  x2    sen( x  h)  sen( x)  9) lim   h 0 h   6) lim 

 t  tan(t )  lim   t 0  sen(t )   x  sen(2 x)  11) lim   x 0  sen(3x)  10)

12)

  1  sen( x)  1  sen( x)   lim   x 0 x    

3.18. Límites de funciones exponenciales y logarítmicas. 3.18.1. Función Exponencial. Consideremos una función exponencial

f ( x)  a x ; a  0 . Los límites elementales son:

 si a  1 lim a x   x  0 si 0  a  1 0 si a  1 lim a x   x   si 0  a  1

 

 

3.18.2. Función logarítmica. Consideremos la función f ( x)  log b ( x) 1. lim  f ( x)  

; b  1 . Los límites elementales son:

 0

2. lim  f ( x)    

3. lim  f ( x)  0  1


5  3e  x si x  0 f ( x)   0 si x  0 a) Muestre que la función no es continua en b) Calcule lim f ( x)

x0

x 

c) Haga una gráfica de la curva Solución. a) Se calculan los límites laterales, así:


lim  f ( x)  0

x 0 





lim  f ( x)  lim 5  3e  x  2

x 0

x 0

Puesto que los límites laterales son distintos, la función no es continua en b) Se calcula el límite, así:



x0



lim f ( x)  lim 5  3 / e x  5 x 

x 

Lo anterior significa que la recta y  5 es una asíntota horizontal de la función. c) La gráfica de la función se ilustra en la figura 3.23

Figura 3.23


e x si x  0 f ( x)    ln( x) si x  0 a) Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)

x 

lim  f ( x)

x 0 

lim  f ( x)

x 0 

b) Analice la continuidad de la función. c) Represente gráficamente la función. Solución. a) Los límites pedidos son:

lim  f ( x)  0

x 

lim  f ( x)  1

x 0 

lim  f ( x)  

x 0 

b) Puede verse que la función no es continua en c) La gráfica se muestra en la figura 3.24

x0


Figura 3.24 EJERCICIOS 3.18 1) Calcule los siguientes límites:

  b) lim 6  3e  c) lim 6  3e  a)

lim 6  3e  x x 0

x

x 

x

x 

 2  ex  lim d)   x 0 1  2e x    2  ex  e) lim   x   1  2e x    2  ex  f) lim   x   1  2e x   2) Considere la función:

f ( x) 

1  e x x

x : x  0.1 x  0.01 x  0.001 b. Intuitivamente calcule el límite de la función cuando x  0 a. Evalúe la función para los siguientes valores de

c. Con base en lo anterior redefina la función y represente gráficamente.

 1/ x si x  0  x si 0  x  1 3) Considere la función: f ( x)  2  ln( x) si x  1  a) Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)

x 

lim  f ( x)

x 0 

lim  f ( x)

x 0 

lim  f ( x)

x 1

lim  f ( x)

x 1

b) Analice la continuidad de la función.


c) Represente gráficamente la función. 4) Considere la función: f ( x)  ln  x 



x 2  1 

a) Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)

x 1

lim  f ( x)

x 

lim  f ( x)

x 

b) Represente gráficamente la función. 5) Considere la función:

f ( x)  x  3  e  x

a) Muestre que la función tiene una raíz en el intervalo

 2,3

b) Muestre que la recta y  x  1 es una asíntota oblicua de la gráfica de la función cuando

x 


CAPITULO 4: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Contenido. 4.1. Introducción. 4.2. Derivadas laterales. 4.3. La derivada como función. 4.4. Derivadas de funciones elementales. 4.5. Reglas de derivación. 4.6. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) 4.7. Derivación implícita. 4.8. Derivadas de funciones inversas. 4.9. Derivadas de orden superior. 4.10. Derivación logarítmica.

4.1. Introducción. En el capítulo anterior se abordó el problema de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto determinado. Con base en el concepto de límite, la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (a, f (a)) , la cual denotaremos como m , viene dada por:

 f ( x)  f (a )  m  lim   x a xa   Lo anterior es válido en la medida que el límite exista, es decir, los límites laterales deben ser iguales. En símbolos, se tiene:

 f ( x)  f ( a)   f ( x)  f ( a )  lim    xlim     a xa xa    

x a 

En consecuencia, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (a, f (a)) viene dada por:

y  f (a)  m( x  a)

4.2. Derivadas laterales.

Sea f una función continua en x  a . Se definen las derivadas laterales de la función como: 4.2.1. Derivada por la izquierda. Se define como:

 f ( x)  f ( a )  f ' (a  )  lim   x a  xa  4.2.2. Derivada por la derecha. Se define como:

 f ( x)  f ( a )  f ' (a  )  lim   x a  xa  4.2.3. Diferenciabilidad. Se dice que f es diferenciable o derivable en son iguales y se escribe:

x  a si es continua y las derivadas laterales

 f ( x)  f ( a )  f ' (a)  lim   x a xa   Puede ocurrir que una función sea continua pero no diferenciable en curva no es suave, es decir, presenta un cambio brusco en x  a

x  a . En este caso la


Ejemplo 4.1. Considere la función:

 x 2 si x  1 f ( x)    x si x  1 a) b) c) d)

Verifique que es continua Determine las derivadas laterales en x  1 Diga si la función es o no derivable en x  1 Represente gráficamente la función.

Solución. a) lim  f ( x)  lim  f ( x)  f (1)  1 x 1

x 1

b) Derivadas laterales. i) Derivada por la izquierda:

 x 2  1  f ( x)  f (1)   ( x  1)( x  1)  f ' (1 )  lim   lim  x1    xlim 2  x 1   1 x 1  x  1 x  1     ii) Derivada por la derecha:

 x  1   ( x  1)  f ( x)  f (1)  f ' (1 )  lim   lim   lim      1/ 2 x 1  x  1  x1  x  1  x1  ( x  1) x  1  c) f no es diferenciable en x  1





d) La representación gráfica se muestra en la figura 4.1. 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -2

-1

0

1

2

3

4

Figura 4.1 Puede observarse que en x  1 la curva sufre un cambio brusco en su pendiente, cambio que se debe justamente a que no es diferenciable en el punto.


si 0  x  1 1 / x f ( x)   2 2 x  1 si x  1 a) Verifique que es continua. b) Determine las derivadas laterales en x  1 c) Diga si la función es o no es diferenciable en d) Represente gráficamente la función.

x 1



si x  1 x  2 f ( x)   2 5 x  2 x si x  1 a) Verifique que es continua. b) Determine las derivadas laterales en x  1 c) Diga si la función es o no es diferenciable en d) Represente gráficamente la función.

x 1

4.3. La derivada como función. Supongamos que una función f es diferenciable en cada

x de un intervalo abierto a, b  . En

tal caso se dice que f es suave en el intervalo, tal como se ilustra en la figura 4.2.

Figura 4.2 En general, la primera derivada de f en el punto ( x, f ( x)) viene dada por:

 f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x)  lim   h 0 h  

 x , f ( x) 

es la

a , b . En este caso se dice que

f es

b, c  . En este caso se dice que

f es

Geométricamente, la primera derivada de una función suave en el punto pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. Se pueden presentar los siguientes casos: a) La pendiente f ' ( x) es positiva en un intervalo creciente en el intervalo.

b) La pendiente f ' ( x) es negativa en un intervalo decreciente en el intervalo.









c) Cuando la primera derivada pasa de negativa a positiva en el punto a , f (a) es porque la curva pasa de ser decreciente a creciente. En este caso se dice que el punto es un punto de mínima relativo. d) Cuando la primera derivada pasa de positiva a negativa en el punto a , f (a) es porque la curva pasa de ser creciente a decreciente. En este caso se dice que el punto es un punto de máxima relativo.

Ejemplo 4.2 Usando la definición, determine la primera derivada de la función represente, en una misma figura, la función y la derivada. Solución. La derivada viene dada por:



 

f ( x)  x 2  2 x y



 ( x  h) 2  2( x  h)  x 2  2 x  f ' ( x)  lim   h0 h   Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Desarrollando el numerador se tiene:

 x 2  2 xh  h 2  2 x  2h  x 2  2 x   2 xh  h 2  2h  f ' ( x)  lim    lim   h 0 h h   h 0    h2 x  h  2 f ' ( x)  lim    2x  2 h 0 h   La figura 4.3 ilustra la representación gráfica de la función y su primera derivada.

Figura 4.3 Puede verse que: a) f ' ( x)  0 si x  1 la función es decreciente b) f ' ( x)  0 si x  1 la función es creciente Por tanto, el punto

0 ,  1 es un mínimo relativo.

Ejemplo 4.3 Usando la definición, determine la primera derivada de la siguiente función y represente, en una misma figura, la función y la derivada.

x  2 f ( x)   2 4  x Solución. A la izquierda de

si x  1 si x  1

x  1, la derivada es:  f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x  1)  lim   h 0 h    x  h   2  ( x  2)  h  lim   lim    1  h 0 h   h 0  h 

A la derecha de

x  1, la derivada es:  f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x  1)  lim   h 0 h  





 4   x  h 2  4  x 2    2 xh  h 2   lim    lim    2 x h 0 h 0 h h     Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Es claro que la función no es diferenciable en La expresión matemática para la derivada es:

x 1

x f ' ( x)    2 x

si x  1 si x  1

La figura 4.4 ilustra la gráfica de la función y de su primera derivada. Observe que la primera derivada es discontinua en x=1. En dicho punto la derivada pasa bruscamente de positiva a negativa, lo que significa que la función presenta un máximo relativo en dicho punto.

Figura 4.4 4.3.1. ¿Qué nos dice f ' acerca de f ? A partir de la gráfica de la primera derivada se pueden establecer algunas características de la función original. Consideremos la figura 4.5, la cual representa la primera derivada f ' de una función derivable f .

Figura 4.5 Con referencia a la figura se puede afirmar que f :

0 , 2 Es creciente en el intervalo   , 0  2 ,  Presenta un mínimo relativo en el punto 2 , f (2)  Presenta un máximo relativo en el punto 0 , f (0) 

a) Es decreciente en el intervalo b) c) d)


e) En los puntos

 1, f (1) y 3 , f (3) la pendiente de la recta tangente es m  3

Ejemplo 4.4

Para la función cuya primera derivada se muestra en la figura 4.5 se conoce f (3)  1 . Determine la ecuación de la recta tangente en el punto. Solución. Con base en lo presentado, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto es f ' (3)  3 , con lo que la ecuación de la recta tangente es:

y  1  3( x  3)  y  3x  8 4.3.2. La segunda derivada de una función. Dada una función f continua y derivable en cada punto de un intervalo (a, b) , si la primera derivada es diferenciable en cada punto del intervalo, se define la segunda derivada de f como la derivada de la primera derivada y se denota como:

 f ' ( x  h)  f ' ( x )  f ' ' ( x)  lim   h 0 h   Geométricamente, la segunda derivada de una función representa la concavidad de la gráfica de f y se pueden presentar las siguientes situaciones: a) La concavidad f ' ' ( x) es positiva en un intervalo cóncava hacia arriba en el intervalo. b) La concavidad f ' ' ( x) es negativa en un intervalo cóncava hacia abajo en el intervalo.

a , b . En este caso se dice que

f es

b, c  . En este caso se dice que

f es





c) Cuando la segunda derivada cambia de signo en el punto a , f (a) es porque la curva cambia de concavidad en el punto. En este caso se dice que el punto es un punto de inflexión de la gráfica de la función.

Ejemplo 4.5 La figura 4.6 ilustra la gráfica de una función f en el intervalo

4 x  4

Figura 4.6 Puede afirmarse que:


 4 ,  1  2 , 4 b) f es cóncava hacia abajo en el intervalo  1, 2 c) La gráfica de f presenta dos puntos de inflexión, a saber:  1, f (1)  y 2 , f (2)  a) f es cóncava hacia arriba en el intervalo

4.3.3. ¿Qué nos dice f ' ' acerca de f ' y de f ? A partir de la gráfica de la segunda derivada se pueden establecer algunas características de la función original y de su primera derivada, así. Consideremos la figura 4.7, la cual representa la segunda derivada f ' ' de una función doblemente derivable f . Con referencia a la figura se puede afirmar que f :

 1, 2 Es cóncava hacia arriba en el intervalo   ,  1  2 , 

a) Es cóncava hacia abajo en el intervalo b) c) Presenta dos puntos de inflexión.

Figura 4.7

EJERCICIOS 4.3 1) Usando la definición, determine la primera derivada de la función represente, en una misma figura, la función y la derivada.

f ( x)  x  x

y

2) La primera derivada de una función continua: f viene dada por:

 x  1 si x  1  f ' ( x )   1 si 1  x  3  x  4 si x  3  a) Represente gráficamente la primera derivada b) Si la función: f pasa por el origen, determine la ecuación de la recta tangente. c) A partir de la gráfica de la primera derivada, determine los intervalos en los que la gráfica de la función: f es cóncava hacia arriba. 3) La primera derivada de una función continua: f viene dada por:

x    f ' ( x)  1  cos 2   1

si x  1  x 

si  1  x  1 si x  1


a) Represente gráficamente la primera derivada b) Si la función: f pasa por el punto 2 , 3 , determine la ecuación de la recta tangente. c) A partir de la gráfica de la primera derivada, determine los intervalos en los que la gráfica de la función: f es cóncava hacia abajo.

4.4. Derivadas de funciones elementales. En adelante aprenderemos unas fórmulas prácticas para determinar la derivada de una función derivable sin necesidad de usar la definición. Se presentan a continuación unas fórmulas de derivación para evitar el innecesario cálculo de límites. Para referirnos a la primera derivada de una función usaremos la notación:

f ' ( x) 

d  f ( x) dx

4.4.1. Derivada de una función constante. Dada la función f ( x)  C , su derivada es la función nula, es decir:

d C  0 dx La regla se puede deducir de la siguiente manera:

 f ( x  h)  f ( x )  C  C f ( x)  C  f ' ( x)  lim   0, h  0  h 0 h h   Geométricamente la función constante es una recta horizontal cuya pendiente es cero. 4.4.2. Derivada de la función identidad. Dada la función identidad f ( x)  x , su derivada es la función constante unitaria, así:

d x  1 dx La regla se puede deducir de la siguiente manera:

 f ( x  h)  f ( x )   x  h)  x  h f ( x)  x  f ' ( x)  lim   lim      1, h  0 h 0 h h   h0   h Geométricamente la función identidad es una recta que forma un ángulo de abscisas cuya pendiente es la unidad.

 /4

con el eje de

4.4.3. Derivada de la función inversa de la función identidad Dada la función

f ( x)  x 1 ; x  0 , su derivada es:

 

d 1 x   x 2 ; x  0 dx La regla se puede deducir de la siguiente manera:


f ( x)  x 1

1  1     ( x  h)  x     f ' ( x)  lim   lim  x  h x    h 0 h h   h 0       1

1

 h  2 f ' ( x)  lim     x si h  0 h 0 hx ( x  h)   4.4.4. Derivada de la función potencia natural. Dada la función

f ( x)  x n ; n  N , su derivada es la función: d n  x   nx n1 ; x  0 dx

La regla se puede deducir de la siguiente manera:

 ( x  h) n  x n  f ( x)  x  f ' ( x)  lim   h 0 h   n

Haciendo uso del teorema del binomio, se tiene:

( x  h) n  x n  nx n1h 

n(n  1) n2 2 x h  ...  h n 2

Sustituyendo en el límite, resulta:

  n1 n(n  1) n2  h nx  x h  ...  h n 1    2     nx n1 ; h  0 f ' ( x)  lim    h 0 h       4.4.5. Derivada de la raíz cuadrada. Dada la función f ( x) 

x , su derivada viene dada por:

d dx

 x  2 1 x ; x  0

Haciendo uso de la definición, tenemos:

 xh  x  xhx  f ( x)  x  f ' ( x)  lim   lim    h 0 h 0 h h x  h  x   





  h 1  lim   ;h  0  h 0 h xh  x  2 x 





Se ha encontrado la fórmula de derivación:

 

d 1 / 2 1 1 / 2 x  x ;x  0 dx 2 4.4.6. Derivada de la función potencia real.


Los resultados pueden generalizarse a cualquier potencia real de la variable independiente, así:

d  x  x 1 dx 4.4.7. Derivada de la función exponencial. Dada la función exponencial natural

f ( x)  e x , su derivada viene dada por:

 

d x e  ex dx Haciendo uso de la definición, tenemos:





 e xh  e x  e x eh 1  x f ( x)  e x  f ' ( x)  lim   lim  h0    e ;h  0 h0 h h     Se usó el límite básico:

 e h  1 lim   1 h 0  h  En la expresión anterior se calcula el límite de manera intuitiva, así: Si aproximamos el número de Neper por e  2.71828 , se tiene que calcular el límite de la

2.71828 h  1 función g (h)  cuando h  0 . Se procede a llenar la siguiente tabla: h h g (h)

0.1 1.05171

0.01 1.00502

0.001 1.0005

0.0001 1.00005

0.00005 1.00001

Es claro que el límite tiende a la unidad, con lo que la derivada de la función exponencial es la misma función, es decir:

 

d x e  ex dx Adicionalmente puede verse que:

 

d x e  e  x dx

4.4.8. Derivada de la función logarítmica.



Dada la función logaritmo natural f ( x)  ln x ; x  0 , se demostrará posteriormente que, por ser la inversa de la función exponencial natural, su derivada viene dada por:

d ln( x)  1/ x ; x  0 dx 4.4.9. Derivada de la función seno. Dada la función f ( x)  sen( x) , su derivada es la función coseno, es decir:

d sen( x)  cos( x) dx Para hallar su derivada se parte de la definición, así:


f ( x)  sen( x)   sen( x  h)  sen( x)   sen( x) cos(h)  sen(h) cos( x)  sen( x)  f ' ( x)  lim    lim   h 0 h  0 h h     Reorganizando términos, se tiene:

 sen( x)[cos(h)  1]  sen(h) cos( x)  f ' ( x)  lim   h 0 h    cos(h)  1   sen(h)   lim  sen( x)   cos( x)   h 0 h   h     sen(h)  1  cos(h)   1 y lim     0 , con h 0 h0 h  h   

Previamente se presentaron los límites notables lim  lo que:

d sen( x)  cos( x) dx 4.4.10. Derivada de la función coseno. Dada la función f ( x)  cos( x) , su derivada es el negativo de la función seno, es decir:

d cos( x)  sen( x) dx Para hallar su derivada se parte de la definición, así:

f ( x)  cos( x)   cos( x  h)  cos( x)   cos( x) cos(h)  sen(h) sen( x)  cos( x)  f ' ( x)  lim    lim   h0 h  0 h h     Reorganizando términos, se tiene:

 cos( x)[cos(h)  1]  sen(h) sen( x)  f ' ( x)  lim   h 0 h    cos(h)  1   sen(h)   lim  cos( x)   sen( x)   h 0 h   h    De manera similar al caso anterior, resulta:

d cos( x)  sen( x) dx

4.4.11. Resumen de fórmulas.

f (x) C x ex ln( x) ; x  0

f ' ( x) 0 x 1 ex 1/ x ; x  0


sen(x) cos(x)

cos(x)  sen(x)

4.5. Reglas de derivación. A continuación se presentarán algunas reglas útiles para derivar funciones sin aplicar la definición. 4.5.1. Propiedad de linealidad. Consideremos una función de la forma h( x)  af ( x)  bg ( x) , en la que reales. La propiedad de linealidad establece que:

a y b son constantes

h' ( x)  af ' ( x)  bg ' ( x) La regla anterior es extensiva a un número finito de funciones, es decir, dada la función:

h( x)  a1 f1 ( x)  a2 f 2 ( x)  ...  an f n ( x) La regla de derivación es:

h' ( x)  a1 f1 ' ( x)  a2 f 2 ' ( x)  ...  an f n ' ( x) 4.5.2. Derivada de un producto. Consideremos dos funciones diferenciables en algún intervalo I de los números reales y definamos el producto de las funciones así: w( x)  f ( x)  g ( x) Se puede demostrar que la derivada del producto de las funciones viene dada por:

w' ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x) Para demostrar la propiedad se parte de la definición, así:

d  f ( x  h)  g ( x  h)  f ( x )  g ( x )   f ( x)  g ( x)  lim   h 0 dx h   A continuación se usa un artificio matemático consistente en sumar y restar una misma cantidad en el numerador, así:

d  f ( x  h )  g ( x  h)  f ( x )  g ( x )  f ( x  h ) g ( x )  f ( x  h ) g ( x )   f ( x)  g ( x)  lim   h0 dx h   Agrupando términos, resulta:

d  f ( x  h)  g ( x  h)  g ( x)   f ( x  h)  f ( x)g ( x)   f ( x)  g ( x)  lim   h 0 dx h   La expresión anterior se puede escribir en la forma:









  g ( x  h)  g ( x     f ( x  h)  f ( x   d  f ( x)  g ( x)  lim  f ( x  h)  lim    limg ( x  h)  lim     h 0 dx h h   h 0   h 0   h0  Con base en la definición de la derivada de una función, resulta:

d  f ( x)  g ( x)  f ( x)  d g ( x)  g ( x)  d  f ( x) dx dx dx


Observación. Algunos textos, entre ellos el Stewart, presentan una demostración de tipo geométrico de la regla de derivación de un producto. 4.5.3. Derivada de un cociente. Consideremos dos funciones diferenciables en algún intervalo de las funciones así:

w( x) 

I  R y definamos el cociente

f ( x) ; g ( x)  0 g ( x)

Se puede demostrar que la derivada del cociente de las funciones viene dada por:

w' ( x) 

f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)

g ( x)2

Para demostrar la regla se partirá de la regla de derivación del producto, así:

f ( x)  g ( x)  w( x) Con base en la regla del producto, resulta:

d  f ( x)  g ( x)  d w( x) w( x)  d g ( x) dx dx dx Teniendo en cuenta que w( x)  f ( x)  g ( x) , se tiene:

d  f ( x)  g ( x)  d  f ( x)   f ( x)  d g ( x) dx dx  g ( x)  g ( x) dx Despejando la derivada de la función cociente, se tiene:

d  f ( x)    dx  g ( x) 

g ( x) 

d  f ( x)  f ( x)  d g ( x) dx dx 2 g ( x)

Ejemplo 4.6 Calcule la derivada de la función:

f ( x)  xe x  x 2 sen( x)

Solución. De acuerdo con lo presentado, se tiene:

 

d x d e  e x  x 2  sen( x)  2 xsen( x) dx dx x x 2  xe  e  x cos( x)  2 xsen( x)

f ' ( x)  x 

Ejemplo 4.7 Encuentre las derivadas de las funciones: tan(x) , cot( x) , sec( x) , csc( x) Solución. Para la función tangente se tiene:


d tan(x)  d  sen( x)   cos( x)  cos( x)  25sen( x)  (sen( x)) dx dx  cos( x)  cos ( x) Finalmente, teniendo en cuenta la identidad trigonométrica, se tiene:

d tan(x)  sec 2 ( x) dx Se deja al estudiante la prueba de las otras tres fórmulas, así:

d cot(x)   csc 2 ( x) dx d sec( x)  sec( x) tan(x) dx d csc( x)   csc( x) cot(x) dx Ejemplo 4.8 Usando las diferentes reglas, determine la derivada de cada una de las siguientes funciones:

f ( x)  e x sen( x) sen( x) b) f ( x)  x c) f ( x)  x ln( x) a)

1 ex 1 ex x e) f ( x)  2 x 4 d)

f ( x) 

Solución. a) En primera instancia se aplica la regla de derivación del producto, así:

 

d sen( x) sen( x)  d e x  e x cos( x)  sen( x)e x  dx dx x f ' ( x)  e cos( x)  sen( x)  f ' ( x)  e x 

b) En primera instancia se aplica la regla de derivación del cociente, así:

d sen( x)  sen( x) d x dx f ' ( x)  dx x2 x cos( x)  sen( x)  x2 x

c) En primera instancia se aplica la regla de derivación del producto, así:

f ' ( x)  x 

d ln( x)  ln( x)  1  ln( x) dx

d) En primera instancia se aplica la regla de derivación del cociente, así:


1  e  dxd 1  e   1  e  dxd 1  e  f ' ( x)  1  e  1  e  e   1  e e    e  e  e  1  e  1  e  x

x

x

x

x 2

x

x

x

x

x

2x

x 2

 e2x

x

x 2



 2e x

1  e 

x 2

e) En primera instancia se aplica la regla de derivación del cociente, así:

f ' ( x) 

x 2  4  x2 x 

x

2

4



2



 x2  4

x

2

4



2

Ejemplo 4.9

Considere la función: f ( x)  2 x  1e a) Encuentre la derivada de la función

x

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto

0 ,  1

Solución. a) Aplicando las reglas de derivación, resulta:

f ' ( x)  2 x  1e x  e x  2  e x 2 x  1 b) Evaluando la derivada en

x  0 encontramos que la pendiente de la recta tangente es

m  1 , con lo que la ecuación de la recta tangente en el punto es: y  (1)  1( x  0)  y  x  1

Ejemplo 4.10

Considere la función: f ( x)  x tan( x) a) Encuentre la derivada de la función b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

x  /4

Solución. a) Aplicando las reglas de derivación, resulta:

f ' ( x)  x sec 2 ( x)  tan(x)

x   / 4 es m  1   / 8 Por otro lado, la ordenada del punto se obtiene a partir de la función, haciendo x   / 4 , así: b) La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa

f ( / 4) 

 4

tan( / 4)   / 4

Así las cosas, la ecuación de la recta tangente en el punto dado es:

y   / 4  1   / 8x   / 4  y   / 4  1   / 8x   / 4 EJERCICIOS 4.5 1) Usando las diferentes reglas, determine la derivada de cada una de las siguientes funciones:


f ( x)  e  x cos( x) cos( x) b) f ( x)  x c) f ( x)  ( x  1) ln( x) a)

ex  2 1 ex x2 1 e) f ( x)  2 x 4 d)

f ( x) 

f)

f ( x)  x ln( x) 

g) f ( x) 

1 x ln( x)

x cos( x)

f ( x)  x 2  1 ln( x) x i) f ( x)  xe sen( x) h)

j)

f ( x) 

e x sen( x) x 1

2) Considere la función: f ( x)  (2 x  3)e a) Encuentre la derivada de la función

x


0 ,  3

3) Considere la función: f ( x)  x cos( x) a) Encuentre la derivada de la función b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

x 

4.6. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena)

f (x) y g (x) diferenciables en un dominio cualquiera. La derivada de la función compuesta  fog (x) , si es diferenciable, viene dada por: Consideremos dos funciones

 f  g ' ( x) 

f ' ( g ( x))  g ' ( x)

Otra notación usada a menudo es la siguiente:

y  f (u ) 

dy df du   dx du dx

4.6.1. Fórmulas de derivación usando la regla de la cadena. Con base en la regla de la cadena se pueden generalizar las derivadas de las funciones elementales, tal como se muestra en la siguiente tabla:

f (x) C u

eu

f ' ( x) 0

u  1 eu

du dx

du dx


ln(u) ; u  0

1 du ;u  0 u dx du cos(u) dx du  sen(u ) dx du sec 2 (u) dx du  csc 2 (u) dx

sen(u ) cos(u ) tan(u ) cot(u ) sec(u )

sec(u ) tan(u )

csc(u )

du dx

 csc(u ) cot(u )(u )

du dx

Ejemplo 4.11 Encuentre la derivada con respecto a a)



y  2 x  3x 2

y  x2 1 2 c) y  ln x  4 b)



 



x de las siguientes funciones:

3



y  sen x  x 1 e) y  ln   x  2  x x f) y  ln e  e  d)

Solución. a) Se hace el cambio de variable u  2 x  3x , con lo que resulta que y anterior, se tiene: 2

 



 

 u 3 . Con base en lo



2 dy d 3 d d  u  u  3u 2  2 x 2  3x  3 2 x 2  3x  4 x  3 dx du dx dx

1/ 2 b) Se hace el cambio de variable u  x  1 , con lo que resulta que y  u . Con base en lo anterior, se tiene: 2

 









1 / 2 dy d 1 / 2 d 1 d 2 1  u  u  u 1 / 2  x 1  x2 1  2x dx du dx 2 dx 2

Simplificando se tiene:

dy  dx

x x 1 2

c) Se hace el cambio de variable u  x  4 , con lo que resulta que y  ln(u ) . Con base en lo anterior, se tiene: 2






dy d ln(u) d u  2 1  d x 2  4  22 x  dx du dx x  4 dx x 4 d) Se hace el cambio de variable u anterior, se tiene:

 x , con lo que resulta que y  sen(u) . Con base en lo

dy d sen(u) d u  cos( x )  d  dx du dx dx Simplificando se tiene:

 x  cos x  2 1 x

 

dy cos x  dx 2 x x 1 e) Se hace el cambio de variable u  , con lo que resulta que y  ln(u ) . Con base en lo x2 anterior, se tiene:

dy d ln(u) d u  1  d  x  1   x  2  d  x  1   x  1 dx  x  2  x  1 dx  x  2  dx du dx x2 Aparte se determina la derivada del cociente, así:

d  x  1  x  2( x  1)'( x  1)( x  2)' x  2  ( x  1) 1     2 2 dx  x  2  x  2 x  2 x  22

Con lo anterior se tiene que:

dy x  2 1 1    2 x  1x  2 dx x  1 ( x  2)

f) Se hace el cambio de variable u  e  e lo anterior, se tiene: x

x

, con lo que resulta que y  ln(u ) . Con base en

dy 1 d x 1 e x  ex x x x  x  e  e   e  e  dx e  e  x dx e x  ex e x  ex









EJERCICIOS 4.6 Encuentre la derivada con respecto a 1)

y  ( x  1) e

2) y

2

 x 2e x

3) y 

2

xe 2 x  e 2 x

4) y  e 5) y

x para cada una de las siguientes funciones:

2x

3 x



3x  1



 2 x 2  1 ln(2 x)

6) y  e

1/ x

e

1 / x

y  e  x tan(x) 8) y  ln2 cos( x) 7)

e2x x  e2x x 10) y  sec 1  e 9) y





 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

11) y  x

2



ln 1  x



x ln 1  2 x  2  ln( x) 13) y  1  ln( x) 12) y 

14)

y

e x ln( x) e x  ln( x)

y  x ln 2 ( x) 2 3 16) y  x ln ( x) 17) y  senx cos(x) 15)

y  sen 2 ( x) cos( x) 19) y  tancos( x) 18)





y  ln x  x 2  1 1 2 21) y  ln( x)  ln x  1 2 1 1 2 2 22) y  ln( x)  ln x  1  ln x  1 2 2 2 23) y  tan sen( x) 20)

24) y

 1  cos( x)    ln   1  cos( x) 

4.7. Derivación implícita.

Consideremos una curva del plano F ( x, y)  0 . De acuerdo con lo que se ha planteado, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P( x, y ) es la derivada de y con respecto a la variable independiente x . Cuando no sea posible despejar y explícitamente en términos de x se procede por derivación implícita, tal como se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.12 Considere la curva del plano y  2 xy  2 x  4  0 a) Determine, por derivación implícita, la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto P( x, y ) b) Encuentre los puntos en donde la recta tangente es horizontal. c) Encuentre los puntos en donde la recta tangente es vertical. d) Encuentre los puntos de abscisa x  1 e) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos hallados previamente. f) Exprese la curva mediante dos funciones explícitas de x g) Represente gráficamente la curva y las dos rectas halladas en f) 2

Solución. a) Se indica la derivada, así:

2





d 2 y  2 xy  2 x 2  4  0 dx Aplicando la propiedad de linealidad, resulta:






 

 

d 2 d 2 d d 2 y  2 xy  2 x 2  4  y  2 xy  2 x 0 dx dx dx dx dy  dy  2 y  2 x  y   2  2 x  0  dx  dx  dy dy 2 y  2x  2 y  4x  0 dx dx dy Sí usamos la notación y '  , se tiene: dx 2 y  4x y  2x 2 yy '2 xy '2 y  4 x  0  y'   2 y  2x yx En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto es:

y' 

y  2x yx

Analizando la ecuación de la recta tangente se observa que: b) La pendiente de la recta tangente se hace cero en todos los puntos sobre la recta y  2 x , es decir, en todos aquellos puntos de la curva, si los hay, en los que la ordenada es el doble de la abscisa, la recta tangente es horizontal. Los puntos se determinan sustituyendo y  2 x en la ecuación de la curva, así:

4x 2  4x 2  2x 2  4  0  x   2 En consecuencia, los puntos de recta tangente horizontal son:

P1



 

2 , 2 2 ; P1  2 ,  2 2



c) La pendiente de la recta tangente se hace infinita en todos los puntos sobre la recta y  x , es decir, en todos aquellos puntos de la curva, si los hay, en los que la ordenada es igual a la abscisa, la recta tangente es vertical. Los puntos se determinan sustituyendo en la ecuación de la curva, así:

x 2  2 x 2  2 x 2  4  0  x  2 En consecuencia, los puntos de recta tangente horizontal son:

P1 2 , 2 ; P1  2 ,  2 d) Reemplazando

x  1 en la ecuación de la curva resulta: y 2  2 y  2  0  y1 , y 2 

Por tanto, los puntos de abscisa uno son:

2 48  1 3 2

  P 1,1  3  P1 1,1  3 2

e) Analicemos la situación en cada punto, así:





1) En el punto P1 1,1  3 la pendiente de la recta tangente es:


m

y  2x 1  3  2  1  3 3    1 y  x 1 3 1 3  3

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:



2) En el punto P2 1,1 

 3 x  1 y  1  3  1   3  



3 la pendiente de la recta tangente es:

m

y  2x 1  3  2  1  3 3    1 y  x 1  3 1 3 3

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es:

 3 x  1 y  1  3  1  3   f) Para expresar la curva mediante dos funciones explícitas de la variable independiente se procede de la siguiente manera:





y 2  2 xy  2 x 2  4  0  y 



2x  4x 2  4 2x 2  4 2



Simplificando resultan las dos funciones:

f ( x)  x  4  x 2 g ( x)  x  4  x 2





Para ambas funciones, el dominio viene a ser: D f  Dg   2 , 2

g) La figura 4.7 muestra las gráficas correspondientes. Puede verse que hay dos puntos de tangente vertical y dos de tangente horizontal.

Figura 4.7

EJERCICIOS 4.7


1) Encuentre la derivada y ' para cada una de las funciones siguientes. a)

x 2  3xy  y 2  y  3  0

b)

x 2  y  e xy  3  0

x 2  y 2  sen( xy )  x  0 d) xsen( y)  y cos( x)  2  0 c)

e)

xsen( y 2 )  y cos( x)  2  0

f)

x  y  e sen( y )

ln( x  y)  x 2  y 2 h) sen( xy )  cos( xy )  1 i) sen( x / y)  cos( x / y)  1 j) sen( y)  2 xy  y g)

2) Considere la curva del plano 2 x  2 xy  y  10 a) Determine, por derivación implícita, la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto P( x, y ) b) Encuentre los puntos de abscisa uno c) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos hallados previamente. d) Exprese la curva mediante dos funciones explícitas de x e) Represente gráficamente la curva y las dos rectas halladas en c) 2

2

4.8. Derivadas de funciones inversas. A continuación se determinarán las derivadas de las inversas de las funciones elementales. 4.8.1. La función logaritmo natural. Se trata de determinar la derivada de la función: y  ln(u) ; u  u( x) Puesto que la inversa de la función es la exponencial, resulta: u  e Derivando con respecto a x se tiene:

y

du dy dy 1 du dy 1 du  ey   y    dx dx dx e dx dx u dx Se llega a la fórmula:

d ln(u)  1  du dx u dx 4.8.2. La función seno inverso. Previamente se estudió que la función y  sen(x) es invertible en el intervalo

 / 2  x   / 2 La función seno inverso se definió como:

y  arcsen( x) ;  1  x  1 Es decir, que la función y  arcsen(x) es una función tal que: x  sen( y) Para determinar la derivada de la función seno inverso se parte de la última expresión, así:

d x  cos( y) dy  cos( y) dy  dy  1 dx dx dx dx cos( y ) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Haciendo uso de la identidad trigonométrica cos( y)  1  sen ( y) , resulta: 2

dy 1 1 1    2 dx cos( y ) 1  sen ( y ) 1 x2 Hemos demostrado que:

d arcsen( x)  1 2 ;  1  x  1 dx 1 x

El resultado anterior puede extenderse a la derivada de la función y  arcsen(u) ;  1  u  1 , así:

d arcsen(u)  1 2 ;  1  u  1 dx 1 u 4.8.3. La función coseno inverso. De manera similar, la función y  cos(x) es invertible en el intervalo 0  x   Procediendo como en el caso anterior, se encuentra la regla de derivación para la función coseno inverso, así:

d arccos(u)   1 2 ;  1  u  1 dx 1 u

4.8.4. La función tangente inversa. Tal como se estudió previamente, la función

y  tan(x) es invertible en el intervalo

 / 2  x   / 2 La función tangente inversa se definió como:

y  arctan( x) ;    x   Es decir, que la función y  arctan(x) es una función tal que: x  tan(y) Para determinar la derivada de la función tangente inversa se parte de la última expresión, así:

d x  tan( y) dy  sec 2 ( y) dy  dy  12 dx dx dx dx sec ( y) Haciendo uso de la identidad trigonométrica sec

2

( y)  1  tan 2 ( y) , resulta:

d 1 1 x  12   2 dx sec ( y ) 1  tan ( y) 1  x 2 Hemos demostrado que:

d arctan( x)  1 2 dx 1 x

El resultado anterior puede extenderse a la derivada de la función y  arctan(u) , así:

d arctan(u)  1 2  du dx 1  u dx Para las otras funciones trigonométricas inversas puede verificarse que:


d arc cot(u)   1 2  du dx 1  u dx d arc sec(u)  12  du ; u  1 dx u u  1 dx

d arc csc(u)   12  du ; u  1 dx u u  1 dx Ejemplo 4.13 Halle la derivada para cada una de las siguientes funciones:

y  arcsen( x 2 ) 2) y  lnarctan( x) 3. y  arctan(arccos( x)) 1)



4) y  1  arcsen( x)

3

Solución. Usando las diferentes reglas, resulta: 1)

 

dy 1 d 2 2x   x  2 2 dx 1  ( x ) dx 1 x4

dy 1 d 1 1 1   arctan( x)    2 2 dx arctan( x) dx arctan( x) 1  x 1  x arctan( x) dy 1 d 1 1   arccos( x)   3) 2 2 dx 1  (arccos( x)) dx 1  (arccos( x)) 1 x2



2)

Simplificando resulta:

dy 1  dx 1  (arccos( x)) 2 1  x 2



4)





dy d 1 2 2  31  arcsen( x)  1  arcsen( x)  31  arcsen( x)  dx dx 1 x2


dy 31  arcsen( x)  dx 1 x2

2

EJERCICIOS 4.8

dy para cada una de las siguientes funciones: dx 1) y  arcsen x  1 Calcule





y  lnarcsen( x) 3) y  arctanln( x)  2)

4)



y  arcsen e x  e  x

y  arccos( x ) 6) y  lnarctan( x) 5)

7.



2





y  arctan e x  1


8)

y  arccos(1  e  x )

9.

y  arctan cos e x

10)

  

y  arctan( sen(e  x ))

4.9. Derivadas de orden superior Tal como se ha estudiado previamente, la operación de diferenciación a una función f (x) produce una nueva función f ' ( x) . Si derivamos de nuevo, obtenemos otra función denotada por f ' ' ( x) y se denomina la segunda derivada de f (x) . De manera sucesiva se pueden calcular las derivadas de tercer orden, cuarto orden, etcétera. En general, dada la función y  f (x) , las diferentes formas de denotar las derivadas hasta de orden 3, son:

dy  Dy dx d2y f ' ' ( x)  2  D 2 y dx d3y f ' ' ' ( x)  3  D 3 y dx f ' ( x) 

Ejemplo 4.14 Determine las dos primeras derivadas para cada una de las siguientes funciones:

y  5x 3  2 x 2  x 2) y  x cos(2 x) x 3) y  e sen(2 x) 4) y  arcsen( x  1) 1)

Solución. Aplicando las diferentes reglas, resulta:

y'  15x 2  4 x  1  y' '  30 x  4 2) y'  x 2sen(2 x)  cos(2 x)  2 xsen(2 x)  cos(2 x) El estudiante puede verificar que y' '  4sen(2 x)  4 x cos(2 x) 1)

3)

y'  2e x cos(2 x)  e x sen(2 x)  e x 2 cos(2 x)  sen(2 x)

El estudiante puede verificar que 4) y ' 

1 1  ( x  1)

2



y' '  e x 4 cos(2 x)  3sen(2 x))

1  x 2  2x

El estudiante puede verificar que:

y' ' 

 x

x 1 2

 2x



3/ 2

EJERCICIOS 4.9 Determine las dos primeras derivadas para cada una de las siguientes funciones: 1)

y  arctan( x 2 )



y  ln x  x 2  1 3/ 2  2 x1 / 2 3) y  5x 2 4) y  x sen( x) 2)

 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

y  e 2 x sen( x) 6) y  arccos(x) 7) y  x arctan(x) 5)

y  e x sen( x)  cos( x)  x  2 9) y  ln    x2 10) y  ln arctan( x)  8)

4.10. Derivación logarítmica. Se presentan dos situaciones en las que se usa la derivación logarítmica.



4.10.1. Funciones de la forma: y  f ( x)

g ( x)

Para determinar la primera derivada de la función se procede de la siguiente manera:

y   f ( x) 

g ( x)

 ln( y)  g ( x) ln f ( x)

Aplicando derivación implícita se tiene:

1 d y '  g ( x) ln f ( x)  g ' ( x) ln f ( x) y dx Derivando y despejando la primera derivada, resulta:

  f ' ( x) y '  y g ( x)  g ' ( x) ln f ( x) f ( x)   En consecuencia, la primera derivada es:

 g ( x)  f ' ( x)  y'  [ f ( x)] g ( x )   g ' ( x) ln f ( x) f ( x)   4.11.2. Funciones de la forma: y 

f ( x)  g ( x) h( x )

Aplicando el logaritmo, resulta:

ln( y)  ln f ( x)  lng ( x)  lnh( x) Derivando, se tiene:

y ' f ' ( x ) g ' ( x ) h' ( x )     y f ( x ) g ( x ) h( x ) y' 

f ( x ) g ( x )  f ' ( x ) g ' ( x ) h' ( x )    h( x)  f ( x) g ( x) h( x) 

Ejemplo 4.15 Determine la derivada de las siguientes funciones: 1)

y  x sen( x )

2)

y  xe



x

3) y  cos( x)

x Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

4)

y

5)

y

sen 2 ( x)  tan( x) x 1

x 2  1  e 2 x  sen( x) x 1

Solución. Procediendo según lo indicado previamente, se tiene: 1)

y  x sen( x )  ln( y)  sen( x) ln( x) 

y' 1  sen( x)   cos( x) ln( x) y x


 sen( x)  y '  x sen( x )   cos( x) ln( x)  x 

y  x e  ln( y)  e x ln( x)  x

2)

y' 1  e x   e x ln( x) y x

Simplificando resulta: x ex  1  y'  x   e x ln( x)  x e e x   ln( x) x  x 

ex

3)

y  cos( x)  ln( y)  x lncos( x)  x


y'  sen( x)  x  lncos( x) y cos( x)

y'  cos( x)  x tan(x)  lncos( x) x

sen 2 ( x)  tan( x)  ln( y)  2 lnsen( x)  lntan( x)  lnx  1 4) y  x 1 Aplicando la derivada se tiene:

y' cos( x) sec 2 ( x) 1 2   y sen( x) tan( x) x  1 Simplificando se tiene:

y' 

5)

y

sen 2 ( x) tan( x)  sec 2 ( x) 1  2 cot( x )     x 1 tan( x) x  1 





x 2  1  e 2 x  sen( x)  ln( y)  ln x 2  1  ln e 2 x  ln sen( x)   ln( x  1) x 1

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene:

ln( y) 





1 ln x 2  1  2 x  ln sen( x)   ln( x  1) 2

Aplicando la derivada se tiene:

y' x cos( x) 1  2 2   y x 1 sen( x) x  1 y' 

x 2  1e 2 x sen( x)  x 1   2  2  cot( x)   x 1 x 1  x 1 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

EJERCICIOS 4.10 Usando derivación logarítmica, determine la primera derivada para cada una de las siguientes expresiones: 1)

y  x cos(x )

2)

y  sen( x) cos(x )

y  x 1sen( x ) x 1 4) y  ( x  1) 3)

cos 2 ( x)  cot( x) x2 1 x 2 e 2 x cos( x) 6) y  1  sen( x) 5)

7) 8)

9) 10)

y

y  sen( x)  x sen( x ) x sen( x ) y sen( x) x y  x 2 e 2 x tan( x) 1  sen( x) y  ln( x) x sen( x)

RESUMEN DEL CAPÍTULO Definiciones. Si y  f (x) es continua en

x  a , entonces: 1) La derivada lateral izquierda de f (x) viene dada por:  f ( a )  f ( a  h)  f ' (a  )  lim   h 0 h   2) La derivada lateral derecha de f (x) viene dada por:  f ( a  h)  f ( a )  f ' (a  )  lim   h 0 h     Se dice que la función es diferenciable en x  a si f ' (a )  f ' (a ) 3) La primera derivada de f (x) viene dada por:  f ( x  h)  f ( x )  f ' ( x)  lim   h 0 h   Geométricamente la primera derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x, f ( x)





4) La segunda derivada de f (x) viene dada por:

 f ' ( x  h)  f ' ( x )  f ' ' ( x)  lim   h 0 h   Geométricamente la segunda derivada es la concavidad de la gráfica de la función en el punto x, f ( x) Reglas.



1) Linealidad.



d af ( x)  bg ( x)  af ' ( x)  bg ' ( x) dx


d  f ( x)  g ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x) dx d  f ( x)  g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x) 3) Cociente.   dx  g ( x)  g ( x)2 2) Producto.

4) Cadena.

d  f ( g ( x)  df dg dx dg dx

Fórmulas. 1) 3) 5) 7) 9)

d C  0 dx d sen(u)  cos(u) du dx dx d tan(u)  sec 2 (u) du dx dx d sec(u)  sec(u) tan(u) du dx dx d u du e  eu dx dx

 

 

d log b u   1 du dx u ln(b) dx d  1 du cos 1 (u )  14) dx 1  u 2 dx

d ln u   1 du dx u dx d 1 du sen 1 (u )  13) 2 dx 1  u dx d 1 du 15) tan 1 (u )  dx 1  u 2 dx 11)









 

d  du u    u  1 dx dx d 4) cos(u)  sen(u) du dx dx d 6) cot(u)   csc 2 (u) du dx dx d 8) csc(u)   csc(u) cot(u) du dx dx d u du 10) b  b u ln(b) dx dx 2)

12)





CUESTIONARIO Los numerales 1-4 hacen referencia a una función continua cuya primera derivada se ilustra en la siguiente figura.

1) f (x) es decreciente en el intervalo

 1,1 B. 1, 4 C. 2 , 4 D. 1, 2 A.

2) Si f (3)  2 , la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto es A. y  x  1


B. y  x  1 C. y   x  1 D. y   x  1 3) La gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo

 1,1 B. 1, 4 C. 2 , 4 D. 1, 2 A.

4) Si f (0)  1 , la figura que corresponde a la gráfica de f es

Los numerales 5-7 hacen referencia a una función continua cuya primera derivada se ilustra en la siguiente figura.

5) Con respecto a la gráfica de f se puede afirmar que tiene un máximo relativo en el punto cuya abscisa es x  A.  4 B.  2 C. 0


D.

3

6) Con respecto a la gráfica de f se puede afirmar que tiene un cambio de concavidad en el punto cuya abscisa es x  A.  4 B.  2 C. 0 D. 3 7) Con respecto a la gráfica de f’’ se puede afirmar que pasa por el punto A.  4 , 3

 2 ,  2 C. 0 , 3 D. 1, 2 B.

Los numerales 8-12 hacen referencia a las funciones f y g definidas a continuación.

8)

 f  g ' (1) 

f ( x)  ln( x  2) ; x  2 g ( x)  arcsen( x / 2) ;  2  x  2

A.   / 6 B.  / 6 C.  1 /

3

D.

1/ 3

9)

 f  g ' (0) 

A.  1 / 4 B. 1 / 4 C.  1 / 2 D. 1 / 2 10) g  f ' (1)  A.  1 / 4 B. 1 / 4 C.  1 / 2 D. 1 / 2 11) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto

 1, 0 es

A. y  x  1 B. y   x  1 C. y  x  1 D. y   x  1 12) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto

 1,   / 6 es

A. y   / 6  ( x  1) / 3 B. y   / 6  ( x  1) / 3 C. y   / 6  ( x  1) / 3


D. y   / 6  ( x  1) / 3 Los numerales 13-16 hacen referencia al siguiente problema: Una partícula se mueve a lo largo del eje de abscisas de tal manera que su posición en metros, en todo instante viene dada por:

x(t )  t 2  t cos(t )

m / s de la partícula en todo instante es v(t )  2t  tsen(t )  cos(t ) 2t  tsen(t )  cos(t ) 2t  tsen(t )  cos(t ) 2t  tsen(t )  cos(t )

13) La velocidad en A. B. C. D.

14) La aceleración en m / s de la partícula en todo instante es a(t )  2

A.

2  2sen(t )   2 t cos(t )

B.

2  2sen(t )   2 t cos(t )

C.

2  2sen(t )   2 t cos(t )

D.

2  2sen(t )   2 t cos(t )

15) La velocidad en A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

m / s de la partícula al cabo de 3 segundos es v(3) 

16) La aceleración en m / s de la partícula al cabo de 3 segundos es a(3)  2

A. 2  3

2

B. 2  3

2

C.  2  3

2

D.  2  3 Los numerales 17-18 hacen referencia a la curva del plano definida mediante la ecuación cartesiana: 2

y2  2y  x2  4  0 17) La pendiente de la recta tangente a la curva en cada punto P( x, y ) es y' ( x, y) 

x 1 y x B. 1 y x C. 1 y x D. 1 y A.

18) La concavidad de la curva en cada punto P( x, y ) es y' ' ( x, y) 


A.

B.

C.

D.

x 2  ( y  1) 2

1  y 3

x 2  ( y  1) 2

1  y 3

x 2  ( y  1) 2

1  y 3

x 2  ( y  1) 2

1  y 3

Los numerales 19-21 hacen referencia a la curva del plano definida mediante la ecuación cartesiana:

y 2  2 xy  2 x 2  4  0 Sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la curva en todo punto P( x, y ) viene dada por:

y ' ( x, y ) 

y  2x yx

19) La curva presenta una recta tangente vertical en el punto A. (2,2) B. (2,2) C. ( 2 ,2 2 ) D. ( 2 ,2 2 ) 20) La curva presenta una recta tangente horizontal en el punto A. (2,2) B. (2,2) C. ( 2 ,2 2 ) D. ( 2 ,2 2 ) 21) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto A. B. C. D.

0,2 es

y

x2 x2 x2 x2

Los numerales 22-23 hacen referencia a las funciones:

 

 x  2 f ( x)  tan 1   , g ( x)  arcsen x x  1   22) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x, f ( x)  es f ' ( x)  1 A. 2 2x  2x  1


1 2x  2x  1 1 C. 2 2x  2x  1 1 D. 2 2x  2x  1 B.

2

23) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de g en el punto A.

B.

C.

D.

x, g ( x) es

g ' ( x) 

 2x 1 x4 2x 1 x4  2x

1 x4 2x 1 x4

Los numerales 24-25 hacen referencia a las funciones:

f ( x)  xe x / 2 , g ( x)  sen 1 (2 x) 24) La concavidad de f en el punto A. B. C. D.

2 , 2e es

0.5e e 1.5e 2e

25) La concavidad de g en el punto A.

4 3 /9

B.

8 3 /9

1 / 4 ,  / 6 es

12 3 / 9 D. 16 3 / 9 C.



CAPÍTULO 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA Contenido. 5.1. Introducción. 5.2. Trazado de la gráfica de una función. 5.3. Definiciones y teoremas. 5.4. Pautas para representar gráficamente una función. 5.5. Aplicaciones a la dinámica de una partícula. 5.6. Razones de cambio de variables relacionadas. 5.7. Problemas de optimización. 5.8. Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital. 5.9. Diferenciales y aproximaciones lineales.

5.1. Introducción. El cálculo diferencial es una herramienta de importancia fundamental en diversas aplicaciones de ingeniería y ciencias. Siempre que se quiera describir la tasa de variación o rata de cambio de una variable cualquiera resulta la derivada. Las siguientes son algunas de las aplicaciones típicas de la derivada. 1) La velocidad en todo instante de una partícula es la tasa de variación de la posición con respecto al tiempo, de tal manera que si la posición en todo instante es s (t ) , la velocidad instantánea viene a ser

v(t ) 

d s(t )  s' (t ) dt

2) La aceleración en todo instante de una partícula es la tasa de variación de la velocidad con respecto al tiempo, de tal manera que si la velocidad en todo instante es v(t ) , la aceleración instantánea viene a ser

a(t ) 

d v(t )  s' ' (t ) dt

3) La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto x, f ( x)  es la tasa de variación de la ordenada con respecto a la abscisa, así:

d  f ( x)  f ' ( x) dx

p ( x) 

4) La concavidad de una curva en el punto x, f ( x)  es la tasa de variación de la pendiente con respecto a la abscisa, así:

d p( x)  f ' ' ( x) dx

c( x) 

5) La tasa de variación de la temperatura T (t ) de un cuerpo en estado transitorio es la derivada de la temperatura con respecto al tiempo, así:

r (t ) 

d T (t )  T ' (t ) dt

6) La rata de variación de la temperatura en una varilla delgada en estado estacionario con respecto a la distancia a un punto dado es la derivada de la temperatura con respecto a la distancia, así:

r ( x) 

d T ( x)  T ' ( x) dx


7) La tasa de variación (crecimiento o decrecimiento) de una población con respecto al tiempo es la derivada de la población con respecto al tiempo, así:

r (t ) 

d P(t )  P' (t ) dt

8) La corriente en un circuito es la variación de la carga eléctrica circulante con respecto al tiempo, es decir, la corriente es la derivada de la carga con respecto al tiempo. Si la carga se mide en Culombios y el tiempo en segundos, la corriente se mide en amperios y viene dada por:

d q(t )  q' (t ) dt

i(t ) 

9) La potencia es la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo, es decir, la potencia es la derivada del trabajo con respecto al tiempo. Si el trabajo se mide en Julios y el tiempo en segundos, la potencia se mide en Vatios y viene dada por:

P(t ) 

d W (t )  W ' (t ) dt

10) El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional. Matemáticamente se expresa como la derivada del costo total respecto a la cantidad. Si C es el costo total y x es la cantidad, el costo marginal viene dado por:

CM ( x) 

d C ( x)  C ' ( x) dx

El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos. El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos. La derivada se usará también en problemas de optimización de funciones de una variable, en el trazado de curvas del plano, en el cálculo de límites mediante la regla de L’Hopital, entre otros.

5.2. Trazado de la gráfica de una función.

Consideremos una función: y  f ( x) a la que se desea trazar su gráfica. De acuerdo con lo estudiado previamente, estamos en capacidad de determinar: a) El dominio de la función b) Los puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes coordenados c) Las asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas, si las tiene. d) Elaborar una tabla de valores de la función en su dominio e) Hacer una gráfica aproximada. Con las dos primeras derivadas se puede obtener información que nos permita hacer una gráfica más adecuada de la función.

5.2.1. Pendiente de la recta tangente a una curva. La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto x, f ( x)  es una función que viene dada por:

p ( x) 

d  f ( x)  f ' ( x) dx


A partir de la primera derivada se pueden determinar, entre otros: a) Los puntos en los que la recta tangente es horizontal b) Los intervalos en los que la gráfica de la curva es creciente o decreciente. 5.2.2. Concavidad de una curva. La concavidad de una curva en cualquier punto x, f ( x)  es una función que viene dada por:

c( x) 

d p( x)  f ' ' ( x) dx

A partir de la segunda derivada se pueden determinar, entre otros: a) Los puntos de inflexión, es decir, los puntos en los que la concavidad es cero b) Los intervalos en los que la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

5.3. Definiciones. Las siguientes definiciones nos ayudarán en el proceso de representar gráficamente una función. 5.3.1. Números críticos de una función. Consideremos una función y  f (x) definida en cada punto de un dominio D f . Se dice que

c  D f es un número crítico de la función si la primera derivada en dicho punto es cero o no existe.


 1  x si 0  x  2  f ( x)   1 2 7  x  x  6 si 2  x  5 2 2 a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada. Solución. a) Aplicando la definición de valor absoluto, resulta:

 1  x si 0  x  1  f ( x)   x  1 si 1  x  2 1 7  x 2  x  6 si 2  x  5 2 2 Puede verse que:

lim  f ( x)  1

x 2 

lim  f ( x)  1

x 2 

b) En cuanto a la primera derivada, se tiene:


  1 si 0  x  1  f ' ( x)   1 si 1  x  2  7  x  si 2  x  5 2  Puede verse que:

lim  f ' ( x)  1

x 1

lim  f ' ( x)  1

x 1

lim  f ' ( x)  1

x2

lim  f ' ( x)  3 / 2

x2

De lo anterior se concluye que los números críticos son: x  1, x  2, x  7 / 2 En los dos primeros números la derivada no existe y en el último la derivada es cero. c) La figura 5.1 ilustra la gráfica de la función y la 5.2 muestra la gráfica de la primera derivada.

Figura 5.1

Figura 5.2

5.3.2. Puntos de máxima relativos. Un punto c, f (c)  de la gráfica de una función continua es un punto de máxima relativo o máximo local de la función en un intervalo abierto I si se verifica que:

f (c)  f ( x) ; x  I Puede verse, en la figura 5.1, que el punto 2 ,1 es de máxima relativo en el intervalo abierto

1, 3

5.3.3. Puntos de mínima relativos. Un punto c, f (c)  de la gráfica de una función es un punto de mínima relativo o mínimo local de la función en un intervalo abierto I si se verifica que:

f (c)  f ( x) ; x  I


Puede verse, en la figura 5.1, que el punto 1, 0 es de mínima relativo en el intervalo abierto

0 , 2

De manera similar, el punto 7 / 2 ,  1 / 8 es de mínima relativo en el intervalo

3 , 4

5.3.4. Puntos de máxima absolutos. Un punto c, f (c)  de la gráfica de una función continua en un intervalo cerrado es un punto de máxima absoluto o máximo global de la función en el intervalo cerrado I si se verifica que:

f (c)  f ( x) ; x  I Puede verse, en la figura 5.1, que los puntos que la función presenta el mismo máximo absoluto en los puntos: 0 ,1 , 2 ,1 , 5 ,1

     

5.3.5. Puntos de mínima absolutos. Un punto c, f (c)  de la gráfica de una función continua es un punto de mínima absoluto o mínimo global de la función en un intervalo cerrado I si se verifica que:

f (c)  f ( x) ; x  I Puede verse, en la figura 5.1, que el punto 7 / 2 ,  1 / 8 es de mínima absoluto. 5.3.6. Teorema del valor extremo. Consideremos una función y  f (x) que es continua en el intervalo cerrado

a , b . El teorema

establece que la función tendrá, necesariamente, un mínimo absoluto en el punto c, f (c)  y un máximo absoluto en el punto d , f (d )  siempre que:

c  a , b ; d  a , b Ejemplo 5.2 Considere la función cuya gráfica se muestra en la figura 5.3. Haga un análisis de la gráfica.

Figura 5.3 Solución. Con base en la gráfica se tiene: a) La función es continua en el intervalo cerrado:

a , b

b) El punto a, f (a)  es un punto de máxima absoluto. c) El punto b, f (b)  es un punto de mínima absoluto

 c, f (c)  es un punto de mínima relativo e) El punto d , f (d )  es un punto de máxima relativo d) El punto


5.3.7. Teorema de Fermat. Dada la función y  f (x) tal que f ' (c) existe. Si la función tiene un máximo local o un mínimo local en  c,

f (c)  , entonces se cumple que f ' (c)  0 . Se debe ser muy cuidadoso

con este teorema ya que a menudo el estudiante tiende a confundirse. Lo que el teorema establece es que: si la función es diferenciable en el punto y dicho punto es un extremo relativo, entonces la recta tangente a la curva es horizontal. Puede ocurrir que la recta tangente a la curva sea horizontal y el punto no es un extremo relativo, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.3 Considere las siguientes funciones:

f ( x)  x 3 ;  2  x  2 g ( x)  xsen( x) ; 0  x  2 a) A partir de una tabla de valores represente gráficamente cada función b) Muestre que f ' (0)  0 y sin embargo el origen no es un extremo relativo. c) Determine g ' ( x) y muestre, con base en el teorema del valor intermedio, que la función posee un máximo relativo en el intervalo

3 / 2  x  2 .

 /2 x 

y un mínimo relativo en el intervalo

Solución. a) Las figuras 5.4 y 5.5 muestran las gráficas de las funciones

Figura 5.4

Figura 5.5

b) Calculamos la primera derivada de f (x) , así:

f ' ( x)  3x 2  f ' (0)  0 A partir de la primera derivada se muestra que el origen no es un extremo relativo y que la curva es siempre creciente. c) Calculamos la primera derivada de g ( x) , así:

g ' ( x)  x cos( x)  sen( x)


En el primer intervalo se tiene:

g ' ( / 2)  1 ; g ' ( )  

El cambio de signo y la gráfica nos dicen que en el intervalo hay un punto de máxima En el segundo intervalo se tiene:

g ' (3 / 2)  1 ; g ' (2 )  2

El cambio de signo y la gráfica nos dicen que en el intervalo hay un punto de mínima relativo. 5.3.8. Teorema de Rolle. Consideremos una función y  f (x) la cual es continua en el intervalo cerrado

a xb y diferenciable en el intervalo abierto a  x  b . Si f (a)  f (b) , existe al menos un c  a , b  tal que f ' (c)  0 . La función de la figura 5.1 por ejemplo, es continua en el intervalo 2 , 5 , diferenciable en el intervalo 2 , 5 y cumple que f (2)  f (5)  1 . Por tanto, tiene un punto de tangente horizontal en el intervalo. El punto tiene abscisa 7/2 y la ordenada se calcula evaluando la función en dicho número, resultando que f (7 / 2)  1 / 8 Como se desprende de la gráfica, el punto función.

7 / 2 ,  1 / 8

es un punto de mínima relativo de la

5.3.9. Método práctico para hallar los máximos y los mínimos absolutos. Consideremos una función y  f (x) la cual es continua en el intervalo cerrado a  x  b . Para determinar los máximos y mínimos absolutos se procede de la siguiente manera: a) A partir de la primera derivada se determinan los números críticos de la función. b) Se evalúa la función en los números críticos y en los extremos del intervalo c) Se lee el máximo absoluto y el mínimo absoluto. Para la función de la figura 5.1 por ejemplo, el valor máximo es: ymax  1 mientras que el valor mínimo es

ymin  1/ 8

5.3.10. Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange. Consideremos una función y  f (x) la cual es continua en el intervalo cerrado diferenciable en el intervalo abierto a 

c  a , b tal que f ' (c) 

a xb y

x  b . El teorema establece que existe al menos un

f (b)  f (a) ba

El significado del teorema se pone de presente en la figura 5.6. De acuerdo con la interpretación geométrica, existen dos puntos: c, f (c)  y d , f (d )  en el intervalo en los que la pendiente de la recta tangente a la curva es igual a la pendiente de la recta que une a los puntos extremos a, f (a)  y b, f (b)  .


y  f ( x)  x 3  1





Determine todos los puntos en el intervalo  1,1 en los que la pendiente de la recta tangente a la curva sea igual a la pendiente de la recta secante que une a los extremos del intervalo.


Figura 5.6 Solución. Los puntos extremos del intervalo son:  1,  2 y 1, 0 La pendiente de la recta secante viene a ser:

f (1)  f (1)  1  (1) 0  (2) m sec  1 2 m sec 

La pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto es:

f ' ( x)  3 x 2 Se sigue que:

3x 2  1  x  

3 3

En consecuencia, los puntos del intervalo en los que la pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de la recta secante son:





P1  3 / 3 ,  3 / 9  1

P2





3 / 3, 3 / 9  1

5.3.11. Funciones crecientes y decrecientes. Recordemos las definiciones presentadas en el capítulo 2, así: a) Una función y  f (x) es creciente en un intervalo I 

R si para todos los números

x1  x2 se verifica que f ( x1 )  f ( x2 ) b) Una función y  f (x) es decreciente en un intervalo I  R si para todos los números x1  x2 se verifica que f ( x1 )  f ( x2 ) Teniendo en cuenta la primera derivada y a partir del teorema del valor medio, estableceremos los siguientes hechos: a) Si la primera derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente en dicho intervalo. En símbolos, se tiene:

x  I  R: f ' ( x)  0  f ( x) es creciente Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

b) Si la primera derivada de una función es negativa en un intervalo, entonces la función es decreciente en dicho intervalo. En símbolos, se tiene:

x  I  R: f ' ( x)  0  f ( x) es decrecient e La demostración de la parte a) se sigue directamente del teorema del valor medio, así: Supongamos dos números en el intervalo

x1  x2 y se sabe que para todo c en el intervalo se

cumple que f ' (c)  0 . Con base en el teorema del valor medio, se tiene:

f ' (c ) 

f ( x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )  f ( x1 )  0 x2  x1

Ejemplo 5.5 Considere la función: f ( x)  x  2 x Determine los intervalos en los que la función es creciente y los intervalos en los que es decreciente. 4

2

Solución. Tomando la primera derivada, se tiene: f ' ( x)  4 x  4 x Para averiguar el signo de la primera derivada se procede a determinar los números críticos que, en este caso, son los valores de x en los que se anula la primera derivada. 3

f ' ( x)  4 xx  1x  1 Con base en lo anterior resulta la gráfica de la figura 5.7.

Figura 5.7 En consecuencia, se tiene:

 1, 0  1,  b) La función es decreciente en el intervalo:   ,  1  0 ,1 a) La función es creciente en el intervalo:


f ( x)  sen 2 ( x)  sen( x) ;    x   Determine los intervalos en los que la función es creciente y los intervalos en los que es decreciente. Solución. Tomando la primera derivada, se tiene:

f ' ( x)  2sen( x) cos( x)  cos( x) Para averiguar el signo de la primera derivada se procede a determinar los números críticos que, en este caso, son los valores de x en los que se anula la primera derivada.

f ' ( x)  2sen( x)  1cos( x) Los valores de

x , en el intervalo, en los que se anula la primera derivada son: Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

  / 2 ,  / 2 ,  / 6 , 5 / 6 Con base en lo anterior resulta la gráfica de la figura 5.8.

Figura 5.8 En consecuencia, se tiene:

  ,   / 2  / 6 ,  / 2  5 / 6 ,   b) La función es decreciente en el intervalo:   / 2 ,  / 6   / 2 , 5 / 6 a) La función es creciente en el intervalo:

5.3.12. Máximos y mínimos relativos. Criterio de la primera derivada. Supongamos que la función y  f (x) es continua en el intervalo cerrado





a xb

y

derivable en el intervalo abierto a  x  b . Sea c  a , b un número crítico de la función. El criterio de la primera derivada establece que: a) Si f (x) es creciente en el intervalo a  x  c y decreciente en el intervalo c  x  b entonces el punto

c , f (c) es un punto de máxima relativo de la función.

b) Sí f (x) es decreciente en el intervalo entonces el punto

a  x  c y creciente en el intervalo c  x  b

c , f (c) es un punto de mínima relativo de la función.

Ejemplo 5.7 Para la función del ejemplo 5.5. a) Determine los puntos de máxima y de mínima relativos b) Represente gráficamente la función en el intervalo  2 

x2

Solución. a) Aplicando el criterio anteriormente expuesto y con base en la figura 5.7, resulta:

0 , f (0)  0 , 0 2) Puntos de mínima relativos:  1, f (1)   1,  1 ; 1, f (1)  1,  1 1) Punto de máxima relativo:

b) La gráfica de la función se ilustra en la figura 5.9.

Figura 5.9

Ejemplo 5.8


Para la función del ejemplo 5.6. a) Determine los puntos de máxima y de mínima relativos b) Represente gráficamente la función en el intervalo    x   Solución. a) Aplicando el criterio anteriormente expuesto y con base en la figura 5.8, resulta: 1) Puntos de máxima relativos:

  / 2 , f ( / 2)    / 2 , 2 ;  / 2 , f ( / 2)   / 2 , 0 2) Puntos de mínima relativos:

 / 6 , f ( / 6)   / 6 ,  1/ 4 ; 5 / 6 , f (5 / 6)  5 / 6 ,  1/ 4 b) La gráfica de la función se ilustra en la figura 5.10. 5.3.13. Concavidad y puntos de inflexión. Consideremos una función y  f (x) continua en el intervalo cerrado

a  x  b y dos veces

diferenciable en el intervalo abierto: a  x  b La concavidad de la curva se define como la variación de la pendiente con respecto a

c( x) 

x , así:

d  f ' ( x)  f ' ' ( x) dx

Con base en la definición, resulta: a) La curva es cóncava hacia arriba en el intervalo si la primera derivada es creciente en el intervalo, es decir, sí se verifica que f ' ' ( x)  0 b) La curva es cóncava hacia abajo en el intervalo si la primera derivada es decreciente en el intervalo, es decir, sí se verifica que f ' ' ( x)  0 c) Punto de inflexión es el punto

 c, f (c) 

tal que

c   a, b y en dicho punto se presenta un

cambio de concavidad. Es pertinente aclarar que si la segunda derivada de la función está definida en x  c , se verifica que f ''(c)  0 . Desafortunadamente, es posible encontrar funciones para las que la segunda derivada en un punto es cero y sin embargo no hay cambio de concavidad. Puede ocurrir también que se presente un cambio de concavidad en puntos donde la segunda derivada no esté definida. El siguiente ejemplo ilustra los casos previamente referenciados.

Figura 5.10

Ejemplo 5.9 Analice las concavidades y represente gráficamente las funciones:


f ( x)  x 4 ;

g ( x)  3 x

Solución.

f ( x)  x 4 , su segunda derivada es f ' ' ( x)  12 x 2 . Como puede verse, f ' ' (0)  0 y sin embargo la gráfica de f es cóncava hacia arriba en x  0 2 5 / 3 1/ 3 b) Para la función g ( x)  x , su segunda derivada es f ' ' ( x)   x . Como puede 9 verse, f ' ' (0) no existe y sin embargo la gráfica de f presenta un cambio de concavidad en x0 a) Para la función

La figura 5.11 ilustra las gráficas correspondientes.

Figura 5.11 5.3.14. Criterio de la segunda derivada para extremos relativos. En un punto de máxima relativo  c,

f (c)  , la curva es cóncava hacia abajo, es decir,

f ' ' (c)  0 En un punto de mínima relativo  c,

f (c)  , la curva es cóncava hacia arriba, es decir,

f ' ' (c)  0 Ejemplo 5.10

y  x 4  2x 2 y verifique con la

Determine los puntos de inflexión para la gráfica de la función gráfica de la figura 5.9. Solución. Se calcula la segunda derivada, así:

y  x 4  2 x 2  y'  4 x 3  4 x  y' '  12 x 2  4 Igualando a cero la segunda derivada se tiene:

12 x 2  4  x   3 / 3 En consecuencia, los puntos de inflexión son:





3 / 3,  5 / 9 ; 3 / 3, 5 / 9



Ejemplo 5.11


Considere la función:

yx x

a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y represente gráficamente b) Encuentre la primera derivada y grafique. Muestre que f '(0)  0 y sin embargo el origen no es un extremo relativo c) Encuentre la segunda derivada y muestre que no está definida en cero y sin embargo hay un cambio de concavidad en el origen. Solución. a) Con base en la definición del valor absoluto, resulta:

 x 2 si x  0 y 2  x si x  0 La figura 5.12 ilustra las gráficas de: la función y su primera derivada. b) La primera derivada viene dada por

 2 x si x  0 y'    2 x si x  0 Observe que la primera derivada está definida en

x0

c) En cuanto a la segunda derivada, tenemos:

 2 si x  0 y' '    2 si x  0

Figura 5.12 Es evidente que la segunda derivada no está definida en cero y sin embargo hay un cambio de concavidad en el origen.

EJERCICIOS 5.3. 1) Considere la función:


 x si 0  x  1 f ( x)   2 2 x  8 x  7 si 1  x  7 / 2 a) Muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada d) Encuentre los extremos absolutos de la función. 2) Considere la función

 x 3 si  1  x  1 f ( x)    3x  4 si 1  x  2 a) Muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada d) Encuentre los extremos absolutos de la función. 3) Considere la función

f ( x)  x 4  2 x 3 ;  1  x  2 a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es creciente. c) Determine los puntos de inflexión de la gráfica de f. d) ¿habrá puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente sea -1? 4) Considere la función:

f ( x)  cos 2 ( x)  cos( x) ; 0  x   a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. c) Calcule la concavidad de la curva en el punto de abscisa

x  /4


f ( x)  x 2 e  x ;  1  x  3 a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. c) Determine la abscisa de los puntos de inflexión en el intervalo. 6) Considere la función:

f ( x)  ln(4 x 3  21x 2  36 x  1) ; 1  x  2.5 a) Determine los extremos absolutos de la función. b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. 7) Considere la función:

 1  1  x si 0  x  2 f ( x)   2  x  6 x  8 si 2  x  5 a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y muestre que es continua en su dominio b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los puntos críticos. c) Represente gráficamente la función y la primera derivada. d) Determine los extremos absolutos de la función.


8) Considere la función: y  x  8 x a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente 4

b) Determine la concavidad de la curva y muestre que no tiene puntos de inflexión.

1

9) Considere la función: y 

4  x2

a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente y en los que es decreciente. b) Determine la concavidad de la curva y muestre que no tiene puntos de inflexión. 10) Dada la función

f ( x)  xsen( x) ; 0  x  

a) Muestre que tiene extremos relativos en el intervalo. b) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa c) Determina la concavidad de la curva en el punto de abscisa x   / 2

x  /2

5.4. Pautas para representar gráficamente una función. Las siguientes pautas nos ayudarán a dibujar una gráfica aproximada de una función cualquiera: y  f ( x) 1) Se determina el dominio de la función 2) Se analizan las posibles simetrías 3) Se determinan los cortes de la gráfica con los ejes coordenados 4) Se determinan, sí existen, las asíntotas de la gráfica de la función. 5) Se calcula la primera derivada y, a partir de ella se encuentran los números críticos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. 6) Se calcula la segunda derivada y, a partir de ella se encuentran los intervalos en los que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba y los intervalos en los que es cóncava hacia abajo, así como los puntos de inflexión. 7) Se hace una tabla de valores con la información previa añadiendo otros datos de interés. 8) Se hace la gráfica aproximada.

Ejemplo 5.12 Con base en las pautas presentadas, represente gráficamente la función:

y  x 4  6x 2  8 Solución. 1) Puesto que es una función polinómica, el dominio es el conjunto de los reales. 2) La función es par, por tanto es simétrica con respecto al eje de ordenadas. 3) El corte con el eje de ordenadas es el punto

 0,8 , mientras que los cortes con el eje de

abscisas se determinan de la siguiente manera:













x 4  6 x 2  8  0  x 2  2 x 2  4  0  x  2 x  2 x  2( x  2)  0 De lo anterior se sigue que los cortes con el eje de abscisas, en su orden, son:

 2 , 0 ; 



2 ,0 ;



2 , 0 ; 2 , 0

4) La curva no presenta asíntotas.


5) La primera derivada viene dada por: y'  4 x  12 x Con base en la primera derivada se calculan los números críticos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así: 3





y'  4 x 3  12 x  0  4 x x  3 x  3



La figura 5.13 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Figura 5.13. Con base en lo anterior, resultan un punto de máxima relativo y dos de mínima relativos, así: Punto de máxima:

0 , 8





Puntos de mínima:  3 ,  1 ;



3 , 1

6) La segunda derivada viene dada por: y' '  12 x  12 Con base en la segunda derivada se determinan los intervalos en donde la curva es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo. La figura 5.14 muestra el signo de la segunda derivada. 2

Figura 5.14. Se deduce que los puntos de inflexión de la curva son:

 1, 3 ; 1, 3 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x

0

1

f ( x)

8

3

3

2 0

-1

2 0

8) Con la tabla y teniendo en cuenta la simetría, resulta la gráfica de la figura 5.15


Figura 5.15


f ( x) 

x2  4 x

Solución. 1) Por simple inspección, el dominio es el conjunto: D f    , 0  0 ,  2) La función es impar, por tanto es simétrica con respecto al origen 3) No hay corte con el eje de ordenadas, mientras que los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

x2  4  0   x  2  x  2   0 De lo anterior se sigue que los cortes con el eje de abscisas, en su orden, son:

P1 (2,0), P2 (2,0) 4) La curva presenta dos asíntotas, una vertical y una oblicua. La asíntota vertical es la recta x  0 . Se calculan los siguientes límites:

lim  f ( x)   , lim  f ( x)  

x 0 

x 0

La oblicua es la recta y  mx  b , cuyas constantes se calculan de la siguiente manera:

 x2  4  f ( x)  m  lim   lim  2   1  x   x  x   x   x2  4  b  lim  f ( x)  mx  lim   x  0 x  x   x  Por tanto, la asíntota oblicua es la recta y  x 5) La primera derivada viene dada por:


f ' ( x) 





x2 x   x 2  4 x2  4  x2 x2

Puesto que la primera derivada no se anula para ningún valor de

x0

x , el único número crítico es

La figura 5.16 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. En este caso la curva es siempre creciente. El punto x  0 se denota mediante una cruz para significar que la primera derivada no está definida. Con base en lo anterior se sigue que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos 6) La segunda derivada viene dada por:





x 2 2 x   x 2  4 2 x 8 f ' ' ( x)   3 4 x x Con base en la segunda derivada se determinan los intervalos en donde la curva es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo. La figura 5.17 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.16.

Figura 5.17.

Se deduce que hay un punto de inflexión en el origen. Observe que es un punto de inflexión y sin embargo la segunda derivada no está definida en el punto. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x f ( x)

0 

1/2

1

1.5

2

2.5

3

-15/2

-3

-7/6

0

9/10

5/3

8) Con la tabla y teniendo en cuenta la simetría, resulta la gráfica de la figura 5.18.

Figura 5.18.


x 2  4x f ( x)  2 x 4 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Solución. 1) Por simple inspección, el dominio es el conjunto: D f  x  R / x  2 2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías

3) El corte con el eje de ordenadas es el punto  0, 0  , mientras que los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

x 2  4 x  0  x( x  4)  0 De lo anterior se sigue que los cortes con el eje de abscisas, en su orden, son:

P1 (0,0), P2 (4,0) 4) La curva presenta tres asíntotas, una horizontal y dos verticales. Las asíntotas verticales son las rectas x  2 . Se calculan los siguientes límites:

lim  f ( x)   ; lim  f ( x)  

x 2 

x 2

lim  f ( x)   ; lim  f ( x)  

x 2

x 2

La asíntota horizontal se calcula de la siguiente manera:

 x 2  4x  lim f ( x)  lim  2  1 x  x   x 4  Por tanto, la asíntota horizontal es la recta y  1 5) La primera derivada viene dada por:

f ' ( x) 

x

2



 x  4



 4 2 x  4  x 2  4 x 2 x  2

2





4 x 2  2x  4

x

2

4





2

Puesto que x  2 x  4 es un número positivo para toda x , la primera derivada no se anula 2

para ningún valor de x , por tanto, los números críticos son x  2 . La figura 5.19 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. En este caso la curva es siempre creciente. Los puntos x  2 se denotan mediante cruces para significar que la primera derivada no está definida.

Figura 5.19. Con base en lo anterior se sigue que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos 6) La segunda derivada viene dada por:



 x2  4 f ' ' ( x)  4  

 2 x  4  x  2 x  42x x  4 2

2

2

4

2



 4 2 x   



f ' ' ( x) 



 8 x 3  2 x 2  12 x  8

x

2

4





3

En este caso no es fácil factorizar el numerador, sin embargo se puede aplicar el teorema del valor intermedio a la función g ( x) 

x 3  2 x 2  12 x  8 , así: g (0)  8 ; g (1)  1

Lo anterior significa que en el intervalo:

0  x  1 hay un punto de inflexión.

7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x f ( x)

-5

-4

-3

45/21

8/3

21/5

2 

2 

-1

0

1

-5/3

0

1

2 

2 

3

4

-3/5

0

8) Con la tabla, resulta la gráfica de la figura 5.20.

Figura 5.20.


x2 1

f ( x) 

x2 1

Solución. 1) Por simple inspección, el dominio es el conjunto de los reales 2) La función es par, por tanto presenta simetría con respecto al eje de ordenadas 3) El corte con el eje de ordenadas es el punto abscisas se determinan de la siguiente manera:

0 ,  1 ,

mientras que los cortes con el eje de

x 2  1  0  ( x  1)( x  1)  0 De lo anterior se sigue que los cortes con el eje de abscisas, en su orden, son:

P1 (1,0), P2 (1,0) 4) La curva presenta dos asíntotas oblicuas, así:


a) Cuando

x   la asíntota es la recta y  m1 x  b1 . Las constantes se calculan de la

siguiente manera:

 x 2  1   f ( x)  m1  lim   lim    1 x   x  x   x x 2  1   x 2  1  b1  lim  f ( x)  mx  lim   x  0 x  x   2   x 1 b) Cuando

x   la asíntota es la recta y  m2 x  b2 . Las constantes se calculan de la

siguiente manera:

 x2 1   f ( x)  m2  lim   lim     1 x    x  x x x 2  1   x2 1  b2  lim  f ( x)  mx  lim   x  0 2 x   x   x 1  Por tanto, las asíntotas oblicuas son las rectas 5) La primera derivada viene dada por:

y  x





x 2  12 x   x 2  1 f ' ( x) 

2x 2 x2 1

x 1 2







x x2  3

x

2



1

3/ 2

Puesto que x  3 es un número positivo para toda x , al igual que el denominador de la 2

primera derivada, el único número crítico es x  0 La figura 5.21 muestra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. 6) La segunda derivada viene dada por:

f ' ' ( x) 

x

2

 3x

1

3/ 2

2

  x  1

 3  x 3  3x

f ' ' ( x)  Los puntos de inflexión que son:

x2 1

3

2


 32  2 x

 3( x  1)( x  1)

x

2



1

5/ 2

 1, 0 ; 1, 0

La figura 5.22 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.21

Figura 5.22

7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x

0

1

2

3

4

5


f ( x)

-1

0

3 5 /5

4 10 / 5

15 17 /17

12 26 /13

8) Con la tabla y teniendo en cuenta la simetría, resulta la gráfica de la figura 5.23.

Figura 5.23.


f ( x)  10  12e  x ; x  0 Solución. 1) En este caso el dominio está dado explícitamente: D f  x  R / x  0 2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías

3) El corte con el eje de ordenadas es el punto  0, 2  , mientras que los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

10  12e  x  0  10  12e  x  e x  6 / 5  x  0.182 De lo anterior se sigue que hay un corte con el eje de abscisas: P(0.182,0) 4) La curva no presenta asíntotas verticales, pero presenta una asíntota horizontal, así:





lim f ( x)  lim 10  12 / e x  10 x 

x 

5) La primera derivada viene dada por:

f ' ( x)  12e  x x Puesto que e es un número positivo para toda x , la primera derivada no se anula para x ningún valor de , por tanto la curva no tiene números críticos. Por otra parte, la curva será siempre creciente en su dominio. Con base en lo anterior se sigue que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos 6) La segunda derivada viene dada por:

f ' ' ( x)  12e  x Con el mismo argumento del paso anterior se puede ver que la curva es cóncava hacia abajo en todo su dominio. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:


x f ( x)

0 -2

0.182 0

0.5 2.722

1 5.585

2 8.376

3 9.403

4 9.78

5 9.919


Figura 5.24


f ( x)  4e  x  5e 2 x Solución. 1) En este caso el dominio está dado por: D f  ( , ) 2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) El corte con el eje de ordenadas es el punto (0 ,  1) , mientras que los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

4e  x  5e 2 x  0  4e  x  5e 2 x  e x  5 / 4  x  ln(5 / 4) De lo anterior se sigue que hay un corte con el eje de abscisas: (0.223 , 0) 4) La curva no presenta asíntotas verticales, pero presenta una asíntota horizontal, así:





lim 4 / e x  5 / e 2 x  0 x 


f ' ( x)  4e  x  10e 2 x Los números críticos se determinan de la siguiente manera:

 4e  x  10e 2 x  0  e x  5 / 2  x  ln(5 / 2)  0.916 Para averiguar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se evalúa la primera derivada en un punto cualquiera a la izquierda o a la derecha del número crítico. Sí evaluamos en x  1 encontramos que f ' (1)  0.118 . Lo anterior nos permite decir que la función es creciente en el intervalo ( , 0.916) y decreciente en el intervalo ( 0.916 , ) . Con base en lo anterior se sigue que la función tiene un punto de máxima relativo:

Pmax ( 0.916 , 0.8)

6) La segunda derivada viene dada por:

f ' ' ( x)  4e  x  20e 2 x


El punto de inflexión se calcula de la siguiente manera:

4e  x  20e 2 x  0  e x  5  x  ln(5)  1.609 Con el mismo argumento del paso anterior se puede evaluar la segunda derivada en cualquier punto a la izquierda o a la derecha del punto de inflexión. Evaluando en x  2 , resulta f ' ' (2)  0.175 . Con base en lo anterior, la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo

(1.609 , ) y es cóncava hacia abajo en el intervalo (   ,1.609 ) . El punto de inflexión es: Pi (1.609 , 0.6) 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x

0

0.223

0.5

0.916

1

1.609

2

f ( x)

-1

0

0.587

0.8

0.795

0.6

0.45

3 0.187


Figura 5.25.


f ( x)  x ln( x)  x ; x  0 Solución. 1) En este caso el dominio está dado explícitamente ( 0 , ) , sin embargo, es necesario calcular el límite de la función cuando x tiende a cero por la derecha. Para calcular dicho límite procederemos de manera intuitiva de acuerdo con la siguiente tabla:

x f ( x) Es claro que:

0.1

0.01

0.001

0.33

0.056

0.0079

lim  f ( x)  lim xln( x)  1  0

x 0 

x 0

Más adelante se explica la regla de L’Hôpital para calcular el límite. El procedimiento es el siguiente:

 ln( x)  1  1/ x  lim xln( x)  1  lim   lim  x  0   xlim 1 2   x 0   0 x    x  x0

x 0 


2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) El corte con el eje de abscisas no es fácil de determinar, sin embargo se puede hacer uso del teorema del valor intermedio para ubicar dicho corte, así puede verse que el punto de corte está en el intervalo

 2,3 , en efecto,

f (2)  0.614 y f (3)  0.296 .

4) La curva no presenta asíntotas 5) La primera derivada viene dada por:

f ' ( x)  x  1 / x  ln( x)  1  ln( x) Evidentemente, el número crítico se encuentra como ln( x)  0  x  1 . Para averiguar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se evalúa la primera derivada en un punto cualquiera a la izquierda o a la derecha del número crítico. Sí evaluamos en x  2 encontramos que f ' (2)  ln(2)  0.693 . Lo anterior nos permite decir que la función es creciente en el intervalo (1, ) y decreciente en el intervalo  0,1 . Con base en lo anterior se sigue que la función tiene un punto de mínima relativo:

Pmin (1,  1)

6) La segunda derivada viene dada por:

f ' ' ( x)  1 / x Como puede verse, la segunda derivada es positiva en su dominio, con lo que la curva es cóncava hacia arriba en dicho dominio. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

4

f ( x)

0

-0.847

-1

-0.892

-0.614

-0.209

0.296

1.545


Figura 5.26.


f ( x)  1  ln sen( x) Solución. 1) En este caso el dominio está dado por:

D f  x  R / sen( x)  0


Se sabe que la función seno es positiva en muchos intervalos, tales como (  2 ,   ) , ( 0 ,  ) Para efectos de hacer nuestro trabajo escogeremos el dominio: 0  x   2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) No hay corte con el eje de ordenadas. Los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

1  ln sen( x)  0  sen( x)  e 1  x  arcsen(1 / e) Como se sabe, hay dos ángulos en el intervalo

0  x   que cumplen. Dichos ángulos son:

x1  0.377 ; x2  2.765 Por tanto, los puntos de corte de la curva con el eje de abscisas son:

( 0.377 , 0) ; ( 2.765 , 0) 4) La curva presenta dos asíntotas verticales, así: x  0 ; x   y se calculan los siguientes límites:

lim  f ( x)  lim 1  ln( sen( x)  

x 0 

x 0

x  

x 

lim  f ( x)  lim 1  ln( sen( x)  


f ' ( x) 

cos( x)  cot( x) sen( x)

Evidentemente hay un número crítico en el intervalo abierto 0  x   , el cual es aquel en el que la cotangente se anula, es decir, el que cumple con la ecuación cos( x)  0 . Como se sabe, dicho número es x   / 2  1.571 . A la derecha del número crítico la cotangente es negativa y a la izquierda es positiva, lo que significa que la curva es creciente en el intervalo ( 0 ,  / 2) y decreciente en el intervalo

(  / 2 ,  ) En consecuencia, el punto de máxima es: Pmax (  / 2 ,1) 6) La segunda derivada viene dada por:

f ' ( x)   csc 2 ( x) 

1 sen 2 ( x)

Se observa claramente que la segunda derivada es negativa en el dominio dado, de lo cual se concluye que la curva es cóncava hacia abajo. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x f ( x)

0 

0.377

 /4

 /2

3 / 4

2.765

0

0.653

1

0.653

0





8) Con la tabla, resulta la gráfica de la figura 5.27. Observe que la curva es simétrica con respecto a la recta x   / 2


Figura 5.27.


f ( x)  2 cos 2 ( x)  cos( x) ; 0  x   Solución. 1) En este caso el dominio está dado explícitamente

D f  0,  

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) El corte con el eje de ordenadas es el punto:

 0,1

Los cortes con el eje de abscisas se determinan de la siguiente manera:

2 cos 2 ( x)  cos( x)  0  cos( x)2 cos( x)  1  0  x   / 2  x   / 3 Por tanto, los interceptos con el eje de abscisas son:

(  / 3 , 0) ; (  / 2 , 0) 4) La curva no presenta asíntotas 5) La primera derivada viene dada por:

f ' ( x)  4 cos( x)sen( x)  sen( x)  sen( x) 4 cos( x)  1 De

lo

anterior

se

sigue

que

los

números

críticos

son

aquellos

en

los

que

x  0 , x   , x  cos 1 (1 / 4)  1.318 Puesto que x  0 y x   son los extremos del intervalo, el único número crítico es x  1.318 Puede verificarse que la primera derivada es negativa a la izquierda del número crítico y positiva a la derecha, con lo que el intervalo de crecimiento es (1.318 ,  ) y el de decrecimiento es ( 0 ,1.318 ) . En consecuencia, la curva presenta un punto de mínima, así: Pmin (1.318 ,  0.125) 6) La segunda derivada viene dada por:

f ' ' ( x)  sen( x)4sen( x)  cos( x) 4 cos( x)  1  4sen 2 ( x)  4 cos 2 ( x)  cos( x) Los puntos de inflexión se calculan de la siguiente manera:


4sen 2 ( x)  4 cos 2 ( x)  cos( x)  0  4  8 cos 2 ( x)  cos( x)  0 Aplicando la fórmula cuadrática se encuentra que: cos( x)  0.772  cos( x)  0.647 En consecuencia, los puntos de inflexión vienen a ser:

Pi1 ( 0.689 , 0.42) Pi 2 ( 2.274 ,1.484) La gráfica se ilustra en la figura 5.28

Figura 5.28


f ( x)  e1 / x Solución. 1) En este caso el dominio está dado por

D f  x  R / x  0

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) La curva no corta a los ejes coordenados. 4) Asíntotas. a) La curva presenta una asíntota vertical en x=0 y se calculan los límites siguientes:

  lim e   

lim e1 / x  0

x 0 

1/ x

x 0 

b) La curva presenta una asíntota horizontal, así:

  lim e   1 lim e1 / x  1

x  

1/ x

x  


5) La primera derivada de la función es:

f ' ( x )  e1 / x 

1 e1 / x   x2 x2

Puede verse que la primera derivada es negativa para todo x en el dominio, es decir, la curva siempre es decreciente. 6) La segunda derivada de la función es:

f ' ' ( x) 

e1 / x (2 x  1) x4

Puede verse que la curva tiene un punto de inflexión en x=-1/2. A la izquierda la curva es cóncava hacia abajo y a la derecha es cóncava hacia arriba. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores:

x f ( x)

-5 0.82

-2 0.61

-1 0.37

-1/2 0.14

1 2.72

2 1.65

5 1.22


Figura 5.29


f ( x)  xe1 / x Solución. 1) En este caso el dominio está dado por

D f  x  R / x  0

2) La función no es par ni impar, por tanto no presenta simetrías 3) La curva no corta a los ejes coordenados. 4) Asíntotas. a) La curva presenta una asíntota vertical en x=0 y se calculan los límites siguientes:





lim xe 1 / x  0

x 0

 e1 / x  lim xe1 / x  lim   x 0 x 0 1 / x  






/

El segundo límite es la forma indeterminada Aplicando la regla de L’Hôpital, se tiene:

 1/ x  1  e  2   e1 / x   x   lim e1 / x   lim   lim  x 0    x 0  x 0  1 1 / x      x2  

 

b) La curva no presenta asíntotas horizontales.





lim xe1 / x  

x 

5) La primera derivada de la función es:

f ' ( x)  xe1 / x 

 1 1 / x x  1e1 / x e  x x2

La figura 5.30 muestra el signo de la primera derivada.

Figura 5.30 Puede verse que la curva tiene un punto de mínima relativo, así:

Pmin 1, e

6) La segunda derivada de la función es:

e1 / x (3x  1) f ' ' ( x)   x5 La figura 5.31 muestra el signo de la segunda derivada.

Figura 5.31 Puede verse que la curva tiene un punto de inflexión en x=-1/3. A la izquierda la curva es cóncava hacia abajo y a la derecha es cóncava hacia arriba. 7) A continuación se hace la siguiente tabla de valores: x -5 -2 -1 -1/3 -4.09 -1.21 -0.37 -0.02 f ( x)

1 2.72

2 3.30

4 5.14

8) Con la tabla, resulta la gráfica de la figura 5.32


Figura 5.32

EJERCICIOS 5.4 1) y  x 2) y 

2

 x  1

2

x

 x  1

2

x3 3) y  2 x 1 x2  1 4) y  1  x2 5) y  x  3 x  2 6 6) y  1  2e  z 2 x / 2 7) y  x e 2 8) y  x ln( x) 2 9) y  ln(6  x  x ) 2 10) y  2sen ( x)  sen( x) ; 0  x  2 5.5. Aplicaciones a la dinámica de una partícula. Supongamos por simplicidad que una partícula se mueve de manera rectilínea a partir del punto O  x(0) , tal como se muestra en la figura 5.33.

t1 habrá alcanzado la posición A  x(t1 ) y posteriormente, en el instante t 2 estará en la posición B  x(t2 ) Al cabo de un instante

Figura 5.33 5.5.1. Velocidad media.


Con referencia a la figura 5.33, la velocidad media en el lapso de tiempo transcurrido entre el instante t1 y el instante t 2 se define como el cociente entre el incremento en la posición y el incremento en el tiempo, así:

v

x(t 2 )  x(t1 ) x(t1  t )  x(t1 )  t 2  t1 t

5.5.2. Velocidad instantánea. Con referencia a la figura 5.33., cuando el incremento en el tiempo es muy pequeño, es decir, cuando t 2

 t1 , la velocidad en el instante t1 se calcula como:

 x(t  t )  x(t1 )  v(t1 )  lim  1   x' (t1 ) t 0 t   En general, la velocidad en un instante t cualquiera viene dada por:  x(t  t )  x(t )  v(t )  lim    x' (t ) t 0 t   En el sistema internacional de medidas la posición se mide en Metros y el tiempo en Segundos y, por tanto, la velocidad tendrá unidades de Metros/Segundos. Observación. La velocidad es una cantidad vectorial que tiene magnitud, dirección y sentido. La rapidez se define como la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez siempre es positiva.

Ejemplo 5.23 Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio sin fricción de tal manera que la posición en todo instante es x(t )  Vi t  Dónde:

1 2 gt 2

Vi es la velocidad inicial y g es la aceleración de la gravedad.

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Represente gráficamente la velocidad y la posición c) Determine la altura máxima alcanzada. Solución. a) La velocidad en todo instante viene dada por:

v(t )  x' (t )  Vi  gt Mientras que la aceleración es:

a(t )  v' (t )   g

b) Para la representación gráfica se tomarán los siguientes datos:

Vi  30 m / s ; g  10 m / s 2 La figura 5.34 ilustra las gráficas pedidas. c) Para calcular la altura máxima alcanzada se calcula el instante en el que la velocidad se hace cero, así:

0  Vi  gt max  t max  Vi / g En consecuencia, la altura máxima alcanzada es:


xmax

V 1 V  x(t max )  Vi  i  g  i g 2 g

2

V    i 2g  2

Comentarios. Con base en las expresiones para posición y velocidad, podemos efectuar el siguiente análisis: 1. Posición inicial: x(0)  0 2. Velocidad inicial: v(0)  30 m / s 3. Tiempo de vuelo de la partícula: t f  6 s

xmax  45 m 5. Velocidad de llegada: v f  30 m / s 4. Altura máxima alcanzada:

El signo negativo de la velocidad final se debe a que la velocidad es un vector, es decir, tiene dirección y sentido.

Figura 5.34

Ejemplo 5.24 Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional a la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:



y(t )  10t  110 1  e t



a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Represente gráficamente la velocidad y la posición c) Determine la altura máxima alcanzada. Solución. a) La velocidad en todo instante viene dada por:

v(t )  10  110e t Mientras que la aceleración en todo instante viene a ser:

a(t )  110e t b) La figura 5.35 ilustra las gráficas correspondientes a posición y velocidad en todo instante.


Figura 5.35 c) Para calcular la altura máxima alcanzada se calcula el instante en el que la velocidad se hace cero, así:

0  10  110e t  10  110e t  e t  11  t max  ln(11) En consecuencia, la altura máxima alcanzada es:





y max  y(t max )  10 ln(11)  110 1  e  ln(11)  76 m Comentarios. Con base en las expresiones para posición y velocidad, podemos efectuar el siguiente análisis: 1. Posición inicial: y(0)  0 2. Velocidad inicial: v(0)  100 m / s 3. Tiempo de vuelo de la partícula: t f  11 s

y max  76 m 5. Velocidad de llegada: v f  10 m / s 4. Altura máxima alcanzada:

La velocidad de llegada en este caso recibe el nombre de velocidad límite y se calcula de la siguiente manera:





v L  lim  140  110e t  10 m / s t 

Ejemplo 5.25 Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:

y(t )  

3t 1  ln cos(4t )  100sen(4t )  20 4

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial


Solución. a) La velocidad en todo instante viene dada por:

d d  3t 1  y(t )     ln cos(4t )  100sen(4t )   dt dt  20 4  3 1 d v(t )    ln  cos(4t )  100 sen(4t )  20 4 dt d cos(4t )  100 sen(4t )  3 dt  4sen(4t )  400 cos(4t )    20 4  cos(4t )  100 sen(4t )  4 cos(4t )  100 sen(4t )  v(t ) 


v(t )  

3  sen(4t )  100cos(4t )  20 cos(4t )  100sen(4t )

Mientras que la aceleración en todo instante viene a ser:

a(t ) 

d  3 sen(4t )  100cos(4t )  d  sen(4t )  100cos(4t )     dt  20 cos(4t )  100sen(4t )  dt  cos(4t )  100sen(4t ) 

Al efectuar la derivada y simplificar, resulta:

a(t ) 

4004 9999cos (4t )  200sen(4t ) cos(4t )  10000 2

b) La velocidad inicial es:

v(0)  

3 sen(0)  100cos(0) 3 100 1997      99.85M / S 20 cos(0)  100sen(0) 20 1 20

c) La aceleración inicial es:

a(0) 

4004 4004   4004M / S 2 9999cos (0)  200sen(0) cos(0)  10000 9999  10000 2

Ejemplo 5.26 La posición en todo instante de una partícula viene dada por:

x(t )  t 2  3t cos(t )  1 Sí el tiempo se mide en segundos y la posición en metros, determine la velocidad y la aceleración en todo instante. Solución. De acuerdo con lo planteado previamente, la velocidad en todo instante es la primera derivada de la posición, así:

v(t ) 

d 2 d  d  t  3t cos(t )  1  2t  3 t cos(t )  2t  3 t cos(t )  cos(t )  dt dt  dt 

Evaluando las derivadas indicadas, resulta:


v(t )  2t  3 t  sen(t )  cos(t )   2t  3tsen(t )  3cos(t ) Importante. El ángulo debe ser medido en radianes y no en grados. En cuanto a la aceleración, tenemos:

d d v(t )   2t  3tsen(t )  3cos(t )   dt dt d d  d  2  3 tsen(t )  3 cos(t )  2  3 t sen(t )  sen(t )   3sen(t ) dt dt  dt  a(t ) 

Evaluando las derivadas indicadas, resulta:

a(t )  2  3cos(t )  6sen(t ) Comentarios. Con base en las expresiones para posición, velocidad y aceleración, podemos efectuar el siguiente análisis: 1. Posición inicial: x(0)  1M 2. Velocidad inicial: v(0)  3M / S 3. aceleración inicial:

a(0)  5M / S 2

EJERCICIOS 5.5 1) Una partícula se está moviendo sobre una línea recta de tal manera que la posición, en metros, en todo instante viene dada por:

x(t )  t 3  6t 2  8t a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Determine los instantes en los que la partícula pasa por la posición de equilibrio c) Represente gráficamente la velocidad y la posición 2) Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional a la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo



instante es y(t )  10t  160 1  e

t / 2



a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Represente gráficamente la velocidad y la posición c) Determine la altura máxima alcanzada. 3) Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:

y(t )  3t  ln cos(4t )  10sen(4t ) a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial


4) Un hombre y su paracaídas están cayendo verticalmente de tal manera que la posición en todo instante viene dada por:

y(t )  ln  21e2t  20e2t  a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial 5) Una bola de nieve de masa variable se está moviendo horizontalmente de tal manera que la posición en todo instante viene dada por:

 t  10  y (t )  t 2  10t  (t  10) ln    10  a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial. 6) Una partícula se está moviendo verticalmente hacia arriba en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea de tal manera que la posición en todo instante es:

y(t )  t  ln cos(t )  10sen(t )

a) Determine la velocidad y la aceleración en todo instante b) Calcule la velocidad inicial c) Calcule la aceleración inicial

5.6. Razones de cambio de variables relacionadas. En la sección 5.1 se presentaron algunas aplicaciones en las que la derivada de una función se interpreta como la tasa de variación o razón de cambio de la variable con respecto al tiempo. Luego, en la sección anterior se estudiaron: la velocidad como razón de cambio de la posición y la aceleración como razón de cambio de la velocidad. A continuación se abordarán otras aplicaciones de interés en ingeniería y ciencias. Supongamos que en una aplicación cualquiera resultan dos o más variables, relacionadas entre sí, que dependen del tiempo. En tal caso, las razones de cambio de dichas variables estarán igualmente relacionadas. Por simplicidad, se estudiarán aplicaciones que relacionen dos variable únicamente.

Ejemplo 5.27 Se tiene un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 centímetros y las medidas de sus lados son x, y . De acuerdo con el teorema de Pitágoras, las variables están relacionadas mediante la ecuación x  y  169 . Sí el cateto x está aumentando a una rata de un centímetro por segundo en el instante en el que su medida es de 5 centímetros, determine la tasa de variación del otro cateto. Solución. Puesto que las variables están relacionadas, se procede de la siguiente manera: 2

2

d 2 d dx dy dy  x  y 2   169  2 x  2 y 0  dt dt dt dt dt Ahora bien, puesto que x  5  y 169  25  12 y dado que

dx dt y

x

dx  1cm / s , resulta: dt


dx dy dt  dy  5cm 1cm / s    5 cm / s  dt y dt 12cm 12 5 cm / s . Se concluye que el otro cateto está disminuyendo a una rata de 12 x

Ejemplo 5.28 Un cilindro circular recto tiene un volumen de 2 metros cúbicos. Si el radio decrece a razón de 0.1 metros por segundo en el instante en el que su medida es de 0.5 metros, determine la tasa de variación de la altura. Solución. Supongamos que el radio de la base del cilindro es viene dado por V

x y la altura es y , en tal caso, el volumen

  x y  2 . A partir de la expresión anterior, resulta: 2

d d dx   dy  x 2 y   0    x 2 y     x 2  2 xy   0  dt dt dt   dt dx 2 y dy dx dy 2 dt De lo anterior se sigue que: x  2 xy 0  dt dt dt x 2 2 8 2   Dado que x  0.5 , calculamos y , así:  x y  2  y  2 2  x   0.5 

 x2 y  2 

dx  0.1 , se tiene: dt dx 2  8   1  2 y   dy   10  16  dt    1 dt x 5 2 16  1.02M / S Se concluye que la altura aumenta a una tasa de 5 Con base en lo anterior y teniendo en cuenta que

Ejemplo 5.29 Una esfera de nieve rueda horizontalmente de manera tal que su radio aumenta a una rata de 5 centímetros por segundo. Calcule la tasa de variación del volumen y la tasa de variación del área superficial en el instante en el que el radio de la esfera es de 20 centímetros.

Solución. Se sabe, de la geometría, que: V 

4 3  r y A  4 r 2 3

Para calcular las tasas de variación pedidas se procede de la siguiente manera:

d 4  d  dV dr V    r3    4 r 2 dt 3  dt  dt dt

,

d dr  d  dA A  4  r 2    8 r dt dt dt  dt 

Sustituyendo los datos dados, resulta:


dV dr 2  4 r 2  4  20   5  8000 dt dt

,

dA dr  8 r  8  20  5  800 dt dt

Se concluye que el volumen aumenta a una rata de 8000 cm / s , mientras que el área 3

superficial aumenta a una rata de 800 cm / s . 2

Ejemplo 5.30 A un recipiente cónico con el vértice hacia abajo y abierto en la base se le vierte agua a razón de 100 centímetros cúbicos por segundo. Sí el radio de la base del recipiente es de 50 centímetros y la altura es de 120 centímetros, determine la tasa de variación de la altura del nivel del líquido en el instante en el que dicha altura es de 50 centímetros. Solución. La figura 5.36 muestra al recipiente con sus dimensiones y con las relaciones entre las variables del problema.

Figura 5.36 De acuerdo con la figura y teniendo en cuenta la semejanza de triángulo, resulta:

x y 5  x y 50 120 12 Ahora bien, el volumen de la parte llena del cono es:

1 1 5  25 3 V   x2 y    y  y  y 3 3  12  432 2

Tomando la derivada con respecto al tiempo, se tiene:

V Despejando, resulta:

25 3 dV 75 2 dy dV 25 2 dy y   y   y 432 dt 432 dt dt 144 dt

dV 25 2 dy dy 144 dV  y   dt 144 dt dt 25 y 2 dt

Sustituyendo los datos, resulta:


dy 144 dV 144 144   100   2  2 dt 25 y dt 25  50  625 Se concluye que cuando la altura del nivel del líquido es de 50 centímetros, el nivel del líquido aumenta a una rata de

144  0.073cm / s . 625

Se deja como ejercicio al estudiante que calcule la tasa de variación del radio de la base con respecto al tiempo.

Ejemplo 5.31 Una persona de 1.8 metros de estatura se aleja, a una velocidad de dos metros por segundo, de una lámpara situada a tres metros sobre el nivel del piso. Calcule la tasa de variación de la longitud de la sombra. Solución. La figura 5.37 ilustra la situación planteada.

Figura 5.37 Con base en la figura y por semejanza de triángulos, se tiene:

x 1.8 x    0.6  x  0.6 x  0.6 y  x  1.5 y x y 3 x y dx dy  1.5 Derivando, resulta: dt dt dy  2 , de lo cual se concluye que la Con base en la información suministrada se sabe que dt sombra se alarga a una rata de 3 metros por segundo.

Ejemplo 5.32 Un observador está situado en un acantilado que se encuentra a 60 metros sobre el nivel del mar. Mediante unos binóculos observa que un bote se acerca a la playa hacia un punto localizado directamente debajo del observador, a una velocidad de 18 Kilómetros por hora. Determine la tasa de cambio del ángulo del observador en el instante en que se encuentra a 60 Metros de su destino. Solución. Con base en la figura 5.38, el ángulo de observación es  y la distancia del bote al lugar de destinos es x .Primero que todo expresemos la velocidad en el sistema internacional de medidas, así:

18Km / h  18000 / 3600  M / S  5M / S


Figura 5.38

x  x     arctan   60  60  d d 60 dx  x   arctan    2 Derivando, resulta: dt dt  60  x  3600 dt De acuerdo con la figura, tenemos: tan( ) 

Puesto que el bote se acerca al punto O , la tasa de variación es negativa, con lo que:

d 60 dx 60  2   5  0.03Rad / S 2 dt x  3600 dt  80   3600 La tasa de variación del ángulo, en grados, es:

d 180  0.03Rad / S  0.03  1.72 / s dt  Ejemplo 5.33 Una persona cuyos ojos están a 1.5 metros sobre el nivel del piso se aproxima a un pasacalle de un metro de alto, con una velocidad de 2 metros por segundo. La parte inferior del pasacalle está ubicada a 5.5 Metros sobre el nivel del piso. Determine la tasa de variación del ángulo de la visual en el instante en el que la persona se encuentra a 10 metros del pié de la perpendicular bajada del pasacalle al piso. Solución. La figura 5.39 ilustra la gráfica con la información suministrada. En dicha figura, la distancia de la persona al punto O ' es x y el ángulo de la visual es  . De acuerdo con la geometría del problema, el ángulo de la visual viene dado por:

  OPC  OPB La fórmula para calcular la tangente de la diferencia entre dos ángulos es:

tan(   ) 

tan( )  tan( ) 1  tan( )tan( )

En nuestro caso particular se tiene:

5 4  tan(OPC )  tan(OPB) x x x  tan     2 1  tan(OPC )  tan(OPB) 1  5  4 x  20 x x


Simplificando y despejando el ángulo, se tiene:

 x  2  x  20 

  arctan 

Derivando, resulta:

 2   20  x 2   2  d d 1 d  x    x  20   dx  x   arctan  2  2 2  2  dt dt  x  20   x  dt  x  20   x  dt 1  2 1  2    x  20   x  20  Simplificando, resulta:

 2   20  x 2    x 2  20   d 20  x 2 dx  dx    2 4 2 dt  x  dt x  41x  400 dt 1  2   x  20 

Figura 5.39

dx  2 , resulta: dt d 20  x 2 dx 20  102    2  0.011Rad / S dt x 4  41x 2  400 dt 104  41102  400

Tomando los datos, es decir x  10,

La tasa de variación del ángulo, en grados, es:

d 180  0.011Rad / S  0.011  0.63 / s dt 

EJERCICIOS 5.6 1. Una escalera de 5 metros de longitud está apoyada contra un muro vertical. Su base empieza a deslizarse alejándose de la pared a una velocidad de 0.5 metros por segundo. Determine la velocidad con la que resbala la parte superior en el instante en que ésta se encuentra a 4 metros del nivel del piso. 2. Se lanza una piedra a un pozo de aguas tranquilas de tal manera que se produce una serie de ondas circulares concéntricas. Sí el radio de la primera onda aumenta a una rata de 5 centímetros por segundo, determine la tasa de variación del área del círculo que la onda encierra en el instante en el que el radio es de 80 centímetros.


3. Dos barcos parten simultáneamente de un puerto. Uno viaja hacia el sur a una velocidad de 18 kilómetros por hora y el otro viaja hacia el este a una velocidad de 27 kilómetros por hora. Determine la velocidad con que se están separando al cabo de dos horas. 4. Cada una de las aristas de un cubo está aumentando a una velocidad de dos centímetros por segundo. En el instante en que la arista mide 10 centímetros, determine: a) La tasa de variación del volumen b) La tasa de variación del área lateral. 5. Un reflector en el piso alumbra a un muro ubicado a 12 metros de distancia. Sí un hombre de 1.8 metros de estatura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 2 metros por segundo, determine la tasa de variación de su sombra en el instante en el que el hombre se encuentra a 4 metros del muro. 6. Una canaleta tiene una longitud de 8 metros y sus extremos son trapecios isósceles de 50 centímetros en el fondo, 80 centímetros en la parte superior y 70 centímetros de profundidad. Sí a la canaleta se vierte agua a razón de 1.5 metros cúbicos por minuto, determine la velocidad con la que aumenta el nivel del líquido en el instante en que dicho nivel es de 40 centímetros. 7. Un avión vuela a una velocidad promedio de 300 kilómetros por hora y pasa a 2 kilómetros de altura sobre un radar terrestre. La nave va en ascenso formando un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal. Determine la velocidad con la que aumenta la distancia de la nave al radar al cabo de 2 minutos. 8. Un bote es remolcado hacia un muelle mediante una cuerda atada a su proa y que pasa por una polea ubicada en el borde del muelle. La polea está 2 metros sobre la vertical. Sí la cuerda se recoge a una velocidad de 2 metros por segundo, determine la velocidad con que el bote se acerca al muelle en el instante en el que la distancia al mismo es de 10 metros. 9. Un avión vuela hacia el norte a una velocidad de 640 kilómetros por hora y pasa por encima de una ciudad a las doce del día. Un segundo avión que viaja hacia el este a una velocidad de 600 kilómetros por hora, pasa directamente por encima de la ciudad 15 minutos más tarde. Sí los aviones vuelan a la misma altitud, determine la velocidad con que se están separando al cabo de una hora. 10. Se tiene un tanque cónico con el vértice hacia abajo cuyo radio en la base es 30 centímetros y cuya profundidad es de 40 centímetros. Del tanque se extrae agua a razón de 10 centímetros cúbicos por minuto. Determine la tasa de variación del nivel del líquido en el instante en que dicho nivel es de 20 centímetros. 11. Una partícula se mueve sobre la circunferencia x  y  1 de tal manera que la tasa de variación de la abscisa es numéricamente igual a la ordenada del punto. Determine la tasa de variación de la ordenada. 2

2

12. Un jugador de béisbol está corriendo de la primera a la segunda base con una velocidad de 8 metros por segundo. Determine la velocidad con la que se aleja del plato en el instante en que está a mitad de camino. Suponga que la distancia entre base es de 30 metros. 13. Una persona cuyos ojos están a 1.6 metros sobre el nivel del piso se aproxima a un pasacalle de un metro de alto, con una velocidad de 2 metros por segundo. La parte inferior del pasacalle está ubicada a 5 Metros sobre el nivel del piso. Determine la tasa de variación del ángulo de la visual en el instante en el que la persona se encuentra a 4 metros del pié de la perpendicular bajada del pasacalle al piso. 14. Una canaleta tiene una longitud de 10 metros y sus extremos son triángulos equiláteros de 80 centímetros de lado. Sí a la canaleta se vierte agua a razón de 2 metros cúbicos por minuto,


determine la velocidad con la que aumenta el nivel del líquido en el instante en que dicho nivel es de 40 centímetros. 15. El minutero de un reloj de pared mide 10 centímetros y el horario mide 6 centímetros. Determine la tasa de variación de la distancia entre las puntas a la una de la tarde. 16. Un avión vuela a una velocidad promedio de 360 kilómetros por hora y pasa a 20 kilómetros de altura sobre un radar terrestre. La nave va en ascenso formando un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal. Determine la velocidad con la que aumenta la distancia de la nave al radar al cabo de 2 minutos. 17. Un punto se mueve sobre una de las ramas de la hipérbola 3x  y  12 de tal manera que su ordenada crece a razón de 6 centímetros por minuto. Determine la rata de cambio de la abscisa en el instante en que dicha abscisa mide 10 centímetros. 2

2

18. Un faro está en un islote ubicado a 5 kilómetros del punto P más cercano a una costa recta de tal manera que su rayo realiza 4 revoluciones por minuto. Determine la rapidez con la que se aleja el haz de luz en un punto situado a 2 kilómetros del punto P .

5.7. Problemas de optimización. En diversas aplicaciones de ingeniería y ciencias se hace necesario determinar el valor óptimo de una función de una variable. De acuerdo con lo presentado previamente, el valor óptimo puede ser un máximo o un mínimo dependiendo de la aplicación en particular. Usualmente, para optimizar una función de una variable, es necesario conocer las leyes y principios que relacionan las variables. Supongamos que la función a optimizar es y  f ( x) . Los máximos y mínimos de la función se determinan con base en lo estudiado en la sección 5.2.

Ejemplo 5.34 Se tiene una lámina cuadrada de 50 centímetros de lado. En cada esquina se recorta un cuadrado de lado x para formar una caja sin tapa. Determine las dimensiones de la caja de volumen máximo que se puede formar. Solución. La figura 5.40 muestra la lámina, mientras que la caja que se forma al recortar los cuadrados se muestra en la figura 5.41. De acuerdo con la geometría del problema, el volumen de la caja viene dado por:

V ( x)  x  50  2 x   x  2500  200 x  4 x 2   2500 x  200 x 2  4 x3 2

Derivando, resulta:

d d V ( x)   2500 x  200 x 2  4 x3   2500  400 x  12 x 2 dx dx Los puntos críticos de la función se determinan de la siguiente manera:

dV 400  160000  120000  0  2500  400 x  12 x 2  0  x1 , x2  dx 6


Figura 5.40

Figura 5.41

Resolviendo las operaciones resultan dos valores para x , así:

x1  25 / 3 , x2  25

El segundo valor se descarta ya que el volumen sería cero, con lo que la función tiene como punto crítico: x  25/ 3 Para saber sí el punto es de máxima o de mínima usamos el criterio de la segunda derivada, así:

d2 d V ( x)  2500  400 x  12 x 2   400  24 x 2 dx dx Evaluando la segunda derivada en el punto, resulta:

d2 V (25 / 3)  400  24  25 / 3  200 dx 2 Puesto que la segunda derivada en el punto es negativa, dicho punto es de máxima, con lo que resulta que el volumen máximo es:

Vmax  V  25 / 3   25 / 3 50  25 / 3  9.26 103 cm3 2

Ejemplo 5.35 Se desea inscribir un rectángulo en un semicírculo de radio R de tal manera que uno de los lados del rectángulo coincida con el diámetro del semicírculo. Calcule las dimensiones del rectángulo de área máxima. Solución. De la figura 5.42 es claro que el dominio de la función es el intervalo:

0 x R

Figura 5.42 Con base en la misma figura, el área del rectángulo es: A  2 xy Ahora bien, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, resulta: Combinando las dos expresiones, se tiene: Tomando la primera derivada, se tiene:

x2  y 2  R2

A( x)  2 x R 2  x 2


d d  d  A( x)   2 x R 2  x 2   2  x R2  x2  R2  x2     dx dx  dx     x2  2 x 2  R 2  dA( x) 2 x 2 2  2 2   2 x  R  x   2  R  x   2  2 2 2 2 2 2 dx  2 R x   R x   R x  A partir de la primera derivada se tiene que los números críticos son: R, R / 2 Se descarta el primero de los números críticos ya que se obtendría un rectángulo de área cero. En cuanto al otro número crítico, es necesario hallar la segunda derivada, así:

d A( x) d  2 x  R   2  2 dx 2 dx  R 2  x 2  2

2

Simplificando, resulta:

2

R 2  x 2  4 x    R 2  2 x 2 

x R2  x2

R2  x2

2 2 d 2 A( x) x  2 x  3R   3/ 2 dx 2  R2  x2 

Evaluando en el número crítico, resulta:



d2A R / 2 dx 2

  R / 2 R

2

 3R 2 

 R2  R2 / 2

3/ 2

 8

Se concluye que el rectángulo de área máxima es aquel cuya base es: altura es y  R /

2 . De lo anterior se sigue que el área máxima es: Amax

2 x  R 2 y cuya  R2

Ejemplo 5.36 Un cartel de forma rectangular debe tener 0.08 metros cuadrados de zona impresa. Si los márgenes: superior e inferior son de cinco centímetros y los laterales son de 4 centímetros, determine las dimensiones del cartel de área mínima.

Solución. La figura 5.43 ilustra las variables del problema.

Figura 5.43 Con base en la figura, el área de la zona impresa es: Aimp

  x  8 y  10   800

La función a maximizar es el área total del cartel, es decir: A  xy A partir del dato del área impresa, resulta:


 x  8 y  10  800  xy  10 x  8 y  80  800  y 

10 x  720 x 8

Combinando las dos expresiones, resulta:

A( x)  x

10 x  720 10 x 2  720 x  A( x)  x 8 x 8

Observe que el dominio de la función es el intervalo:

x 8

Tomando la primera derivada, resulta:

d d 10 x  720 x  A( x)    dx dx  x 8  2

 x  8

2 dA( x) 10  x  16 x  576   2 dx  x  8

Los números críticos son

d 10 x 2  720 x   10 x 2  720 x  dx   2  x  8

x1  8 y los que resulten de igualar a cero el numerador, así:

x 2  16 x  576  0  x2 , x3 

16  256  2304  8  8 10 2

Con base en lo anterior, los números críticos son: x1

 8, x2  8  8 10, x3  8  8 10

Los dos primeros números críticos están por fuera del dominio. En consecuencia, el único número crítico en el dominio es

x3  8  8 10  32.3

El estudiante puede verificar que la segunda derivada de la función es:

A ''( x) 

12800 ( x  8)3

Evaluando la segunda derivada en el punto crítico, resulta:

A ''( x) 

12800  A ''(32.3)  0.892 ( x  8)3

Dado que la segunda derivada es positiva, el área se hace mínima cuando x  32.3 . Sustituyendo el valor de

x en la ecuación y 

10 x  720 , se obtiene que y  42.9 x 8

En conclusión, para que el área sea mínima, el cartel debe tener las dimensiones halladas previamente. En tal caso, el área total del cartel es:

A  xy  32.3  42.9  1385.67cm2 Ejemplo 5.37 Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene su base sobre el eje de abscisas y los vértices del lado opuesto están sobre la parábola y  8  x . 2


Solución. La figura 5.44 ilustra gráficamente la situación planteada.

Figura 5.44 Con base en la figura, las dimensiones del rectángulo son: Base  2 x

;

Altura  y

El área del rectángulo es A  2 xy . Ahora bien, puesto que y  8  x , se tiene que: 2

A( x)  2 x 8  x 2   16 x  2 x3 Tomando la primera derivada, resulta:

d d A( x)  16 x  2 x3   16  6 x 2 dx dx

Igualando a cero se encuentra que los números críticos son:

x1 

8 8 , x2   3 3

Se desecha el segundo número crítico. Al calcular la segunda derivada y evaluarla en el número crítico se tiene:

A ''( x) 

d 16  6 x 2   12 x  A '' dx





8 / 3  12



8/3



Dado que la segunda derivada es negativa, el punto es de máxima. En consecuencia, las dimensiones del rectángulo de área máxima son:

Base  2 8 / 3 ;

Altura  8  8 / 3  16 / 3

Ejemplo 5.38 Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado L . Solución. La figura 5.45 muestra la situación planteada en un sistema de coordenadas. De la geometría se sabe que la altura del triángulo equilátero de lado L viene dada por H  L 3 / 2 , con lo que la pendiente de la recta que contiene al lado del triángulo en el primer cuadrante es:


Figura 5.45

m

H 0 2H L 3/2   2  3 0L/2 L L

y   3  x  L / 2 Con base en la figura, las dimensiones del rectángulo son: Base  2 x ; Altura  y Con base en lo anterior, la ecuación de la recta es:

El área del rectángulo es A  2 xy . Ahora bien, puesto que

y   3  x  L / 2  , se tiene que:

A( x)  2 xy  2 x 3  x  L / 2   2 3x 2  L 3x dA( x) d    2 3x 2  L 3x   4 3x  L 3 dx dx Igualando a cero se encuentra que el número crítico es: x  L / 4 Tomando la primera derivada, resulta:

Al calcular la segunda derivada y evaluarla en el número crítico se tiene:

A ''( x)  4 3 , x Dado que la segunda derivada es negativa, el punto es de máxima. En consecuencia, las dimensiones del rectángulo de área máxima son:

Base  L / 2 ;

Altura  L 3 / 4

Ejemplo 5.39 Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en un cono circular recto de radio en la base: R y altura: H Solución. La figura 5.46 ilustra la situación planteada.


Figura 5.46 La ecuación de la recta en la que está ubicado el punto P( x, y ) viene dada por:

y

H xH R

Con base en la figura, el volumen a maximizar es V recta, resulta:

  x 2 y . Sustituyendo la ecuación de la

H 3  H  V ( x)   x 2   x  H    x   Hx 2 R R  

Derivando, resulta:

V '( x) 

d  H 3 3 H 2   x   Hx 2    x  2 Hx  dx  R R 

Los números críticos se encuentran de la siguiente manera:

 Es claro que número.

3 H 2 2R  3  x  2 Hx  0   Hx   x  2   0  x1  0, x2  R 3  R 

x  0 no puede ser el un valor aceptable, con lo que se debe chequear el otro

La segunda derivada viene dada por: V ''( x) 

d  3 H 2 6 H   x  2 Hx    x  2 H  dx  R R 

Al evaluar la segunda derivada en el número crítico, se tiene:

V ''(2 R / 3)  

6 H 2 R  2 H  2 H  R 3

Dado que la segunda derivada en el punto es negativa, dicho punto es de máxima. Con base en lo anterior, las dimensiones del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en el cono son:

Radio de la base  2R / 3

Altura  

H 2R  H  H /3 R 3

Ejemplo 5.40


La iluminación de un objeto debida a una fuente luminosa es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional a la distancia que los separa. Se colocan horizontalmente dos fuentes luminosas, una de las cuales es ocho veces más intensa que la otra, separadas una distancia de 6 metros. Determine la distancia a la que se debe colocar un objeto de tal manera que su iluminación sea mínima. Solución. La figura 5.47 ilustra la situación planteada.

Figura 5.47 Supongamos que la fuente A es ocho veces más intensa que la otra, en tal caso, aplicando el principio de superposición, la intensidad de la iluminación del objeto ubicado en el punto O viene a ser:

I

k 8k  x2 y 2

En la expresión anterior, k es una constante de proporcionalidad. Con base en la geometría del problema, se tiene:

 6  x   8x 2  k 36  12 x  9 x 2 k 8k k 8k I ( x)  2  2  2   k 2 2 x y x  6  x 2 x2  6  x  x2  6  x  2

Tomando la primera derivada, se tiene: 2  2 2 d 2 2   x  6  x   12  18 x    36  12 x  9 x  dx x  6  x   I '( x)  k   4 x4  6  x     

Simplificando, se tiene:

 x3  2 x 2  12 x  24  I '( x)  18k   3 x3  6  x    Es claro que los números críticos: x  0 y x  6 no deben ser tenidos en cuenta ya que están por fuera del dominio de la función. Por tanto, se encontrarán los números críticos que anulen la primera derivada, así:

x3  2 x2  12 x  24  0 Usando el teorema del factor, puede verse que sintética, resulta:

x  2 es una raíz del polinomio. Por división

x3  2 x2  12 x  24   x  2   x 2  12   0

De la expresión anterior es claro que la función es decreciente en el intervalo

x  2 y creciente

en el intervalo x  2 , con lo que el punto es de mínima. Se concluye que la iluminación es mínima cuando el objeto se coloca a dos metros de la fuente más luminosa.


Ejemplo 5.41 Se desea construir un depósito en forma de cilindro circular recto, abierto en la parte superior, de tal forma que su volumen sea una constante V . Calcule las dimensiones del cilindro que demande la mínima cantidad de material. Solución. Sea x el radio de la base y sea y la altura del cilindro. Con base en la información dada, dichas variables están relacionadas de la siguiente manera:

 x2 y  V  y 

V  x2

La función a maximizar es el área lateral del cilindro sumada con el área de la base, así:

Area  2 xy   x 2 Teniendo en cuenta la relación dada, se tiene:

V 2V   x2    x2 2 x x 3 2V 2 x  2V  x3  V  2 Derivando, resulta: A '( x)  2  2 x  x x2 x2 A( x)  2 x

x  0 está por fuera del dominio de la función, con lo que, al igualar a cero la primera derivada se obtiene el número crítico: x  3 V /  El número

La segunda derivada de la función es:

A ''( x)  2

d   x3  V  dx  x 2

 d 2 3   2  x  Vx   2   2Vx  dx 

Puede verse que la segunda derivada evaluada en el número crítico es positiva, con lo que el punto es de mínima. Se concluye que las dimensiones del cilindro de área mínima son:

x  3 V / , y 





V 3

V /



2

 3 V /

Puede verse que el radio de la base es igual a la altura.

Ejemplo 5.42 Determine un punto sobre la rama de la hipérbola

y  x 2  4 cuya distancia al punto  3, 0 

sea mínima. Solución. La distancia entre los dos puntos viene dada por:

d ( x)  ( x  3)2 



x2  4  0



2

 ( x  3) 2  x 2  4  2 x 2  6 x  13

Tomando la primera derivada de la función, resulta:


d '( x) 

d 4x  6 2 x 2  6 x  13  dx 2 2 x 2  6 x  13

Es claro que el número crítico es x  3/ 2 y que dicho punto es de mínima ya que la función es decreciente a la izquierda del punto y creciente a la derecha. Por tanto, el punto sobre la curva cuya distancia al punto

 3, 0 

es mínima, es  3/ 2,5 / 2  .

Figura 5.48 La distancia entre dichos puntos es:

d ( x)  2  3/ 2   6  3/ 2   13  17 / 2  2.92 2

La figura 5.48 ilustra gráficamente la situación.

Ejemplo 5.43 Una persona cuyos ojos están a 1.5 metros sobre el nivel del piso se aproxima a un pasacalle de un metro de alto. La parte inferior del pasacalle está ubicada a 5.5 Metros sobre el nivel del piso. Determine la distancia a la que se debe ubicar de tal manera que el ángulo de la visual sea máximo. Solución. Refiriéndonos a la figura 5.37, el ángulo de la visual es:

 x  2  x  20 

 ( x)  arctan  Tomando la primera derivada, resulta:

 '( x) 

d  x  arctan  2  dx  x  20 

d  x   2   x  dx  x  20  1  2   x  20  1

2

Simplificando, resulta:

 '( x) 

20  x 2 x 4  41x 2  400


20 metros.

Se concluye que debe ubicarse a una distancia de

Ejemplo 5.44 Se tiene una hoja de papel rectangular cuyo lado menor mide a centímetros y se desea hacer un doblez como el mostrado en la figura 5.49. Determine el valor de x de tal manera que la longitud del doblez sea mínima. Solución. Sea y  BE la longitud del doblez De acuerdo con la geometría del problema se tiene que Con base en lo anterior, se tiene:

sen   

x y

BD  x y CBD  2

, cos  2  

ax x

Ahora bien, de la trigonometría se tiene que el coseno del ángulo doble se puede expresar como.

cos  2   1  2sen2  

Combinando las dos expresiones anteriores resulta: 2

x ax ax 2x2 2x2 ax  1 2    1 2  2  1 x x y y x  y

Figura 5.49

Despejando la función a minimizar, se tiene:

y

2 x3 2x  a

Tomando la primera derivada, se tiene:

y' 

d 2 x3  dx 2 x  a

1 2 x3 2 2x  a

d  2 x3    dx  2 x  a 



y' 

x  4 x  3a  2  2x  a 

3/ 2

Dado que los números críticos x  0, x  a / 2 son inaceptables, se toma el otro valor, es decir

x

3 a . Fácilmente el estudiante puede verificar que se trata de un punto de mínima. Se 4

concluye que la longitud mínima del doblez viene dada por:

2  3a / 4  3 3   a 2  3a / 4   a 4 3

ymin Ejemplo 5.45

La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional al producto entre su anchura y el cuadrado de la profundidad. Determine las dimensiones de la viga más resistente que se puede cortar de un tronco cilíndrico circular de radio R . Solución. Con base en la figura 5.50, se tiene:

Figura 5.50 A partir de la ecuación de la circunferencia, se tiene:

y  R2  x2

La función a maximizar la denotaremos como W ( x) y viene dada por:

W ( x)  k  2 x  2 y   8kxy 2 2

Dónde

k es una constante de proporcionalidad. Combinando las dos ecuaciones, resulta: W ( x)  8kxy 2  8kx  R 2  x 2   8k  R 2 x  x3 

Tomando la primera derivada, se tiene:

d  R2 x  x3   8k  R2  3x2  dx R Al igualar a cero, resultan dos números críticos, así: x   3 W '( x)  8k

El valor negativo se desecha, con lo que las dimensiones de la viga más resistente son:

anchura  2 x 

2R 2 3  R 3 3

profundidad  2 y  2 R 2  R 2 / 3 

2 6 R 3


EJERCICIOS 5.7 1. Determine las dimensiones del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio R . 2. Se desea construir un depósito en forma de cilindro circular recto, cerrado en ambos extremos, de tal forma que su volumen sea una constante V . Calcule las dimensiones del cilindro que demande la mínima cantidad de material. 3. La base de un rectángulo está sobre el eje de abscisas y los vértices del lado opuesto están ubicados sobre la parábola y  9  x . Determine las dimensiones del rectángulo de área máxima. 4. Se dispone de 1200 metros de cable para cercar un terreno rectangular en el que uno de los linderos es la orilla de un río recto. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que encierre la máxima área. 2

5. Se desea cercar un terreno rectangular de 320 metros cuadrados de área de tal manera que se requiere una cerca intermedia que divida el terreno en dos partes iguales. Sí el costo unitario de la cerca intermedia es la mitad del costo unitario de la cerca perimetral, determine las dimensiones del terreno de tal manera que el costo total del cercado sea mínimo. 6. A 16 kilómetros mar adentro del punto más cercano a la playa A , se conecta un equipo de perforación con el objeto de transportar el crudo a una refinería ubicada a 40 kilómetros del punto A . La tubería submarina tiene un costo unitario de 1000 dólares, mientras que el costo unitario de la tubería terrestre es de 600 dólares. Determine el punto sobre la playa en el que arranca la tubería terrestre de tal manera que el costo total de tubería sea mínimo. Como ayuda, se suministra la figura 5.51.

Figura 5.51 7. Se desea construir una pista de atletismo de 400 metros de longitud. La pista debe tener la forma de la figura 5.52. Determine las dimensiones de la pista de tal manera que encierre la máxima área.

Figura 5.52 8. Un triángulo rectángulo de de hipotenusa L gira alrededor de uno de sus catetos. Determine las dimensiones del cono de mayor volumen que se puede generar.


x y altura y está coronado por un domo semiesférico para formar un contenedor. Sí el área del contenedor es una constante A , 9. Un cilindro circular recto de radio en la base

determine las dimensiones del contenedor de volumen máximo. 10. Se tiene una ventana rectangular en la parte inferior y coronada por una semicircunferencia. El perímetro de la ventana debe ser de 6 metros. Determine las dimensiones de la ventana de área máxima. 11. Dos pasillos, uno de tres metros de ancho y otro de dos metros de ancho confluyen en una esquina formando un ángulo recto. Determine la longitud máxima de una varilla rígida que ha de transportarse de un pasillo al otro. 12. Determine un punto sobre la gráfica de la función

 5, 0 

y  x 2  2 x  8 cuya distancia al punto

sea mínima.

13. La rigidez de una viga rectangular es proporcional al producto entre su anchura y el cubo de su profundidad. Determine las dimensiones de la viga más rígida que se puede obtener de un tronco circular recto de radio en la base R . 14. En una pared hay un cuadro de altura h cuya parte inferior está un metro directamente por encima del ojo de un observador. Determine la distancia a la que se debe ubicar el observador de tal manera que el ángulo de la visual sea máximo. 15. Una pileta tiene la forma de la figura 5.53.

Figura 5.53 Determine el lado mayor máximo volumen.

x del trapecio isósceles de tal manera que la pileta pueda contener el

5.8. Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital. Consideremos una función racional de la forma:

f ( x) 

p( x) q( x)

Cuando al calcular el límite de la función cuando x  a , puede presentarse una de las siguientes formas indeterminadas:

 p ( x)   p ( x)  lim   0 / 0  lim     / x a q ( x) x a q ( x)     Estudiaremos una manera de eliminar la forma indeterminada usando la derivación. Consideremos el siguiente límite:


 p( x)  lim    0/0 x a q ( x)   La única forma de que una función cualquiera evaluada en el número a sea cero es que x  a sea un factor de dicha función. Así las cosas, la función f ( x) se puede escribir en la forma:

f ( x) 

p( x) ( x  a) pc ( x)  q( x) ( x  a)qc ( x)

pc ( x) es el cociente de dividir p( x) por ( x  a) y qc ( x) es el cociente de dividir q( x) por ( x  a) . Puesto que x  a , el límite quedará como: En la expresión anterior,

 p ( x)  p ( a )  p ( x)  lim   lim  c   c  x a q ( x)   x a  q c ( x)  q c ( a ) La expresión anterior es válida en la medida en que Hemos establecido que se tiene:

pc ( x) y qc ( x) estén definidas en x  a .

p( x)  ( x  a) pc ( x) , de manera que si tomamos la primera derivada,

p '( x)  ( x  a) pc '( x)  pc ( x)  p '(a)  pc (a)

q '( x)  ( x  a)qc '( x)  qc ( x)  q '(a)  qc (a) De lo anterior se sigue que, sí p '( x) y q '( x) están definidas en x  a , entonces: De manera similar, se tiene que:

 p ( x)   p ' ( x)  p ' (a ) lim   lim    x a q ( x)   x a  q ' ( x)  q ' ( a ) Sí después de aplicar el procedimiento anterior persiste la forma indeterminada, es decir, sí p '(a)  0 y q '(a)  0 , se procede a derivar de nuevo, y así sucesivamente. La regla presentada recibe el nombre de regla de L’Hôpital. La regla es aplicable a formas indeterminadas del tipo:

 p ( x)  lim    / x a q ( x)   Ejemplo 5.46 Usando la regla de L’Hôpital, calcule los siguientes límites:

 x 6  1 a) lim  5  x 1 x  1   m  x  1 b) lim  n  x 1 x  1   1  e  x  c) lim   x 0 1  e x  


 e h  1 lim   h 0  h   x2  e) lim  x  x  e   d)

 tan( x)  x   x3    tan( x)  g) lim   x 0 1  cos( x)   f) lim  x 0

 ln( x)   x   x   2x 3  6x 2  5  i) lim  3  x   x  2x  9  h) lim 

j)

 1  ex  lim   x 0 1  cos( x)  

Solución. a)

 x 6  1 6x 5  lim  5   lim  4   6 / 5 x 1 x  1   x1  5 x  b)

 x m  1  mx m1  lim  n  lim  x1  n 1   m / n x 1 x  1    nx  c)

1  e  x   ex  lim   lim  x0  x   1 x 0 1  e x    e  d)

 e h  1 eh  lim   lim    1  h 0  h  h 0  1  e)

 x2   2x  2 lim  x   lim  x   lim  x   0 x  e   x    e  x   e  f)

 sec 2 ( x)  1  tan 2 ( x)   tan( x)  x  lim    lim    lim   2 2 x 0 x3   x 0  3 x  x 0  3 x   2 tan( x) sec 2 ( x)   tan( x) sec 2 ( x)  lim   lim  x 0   x 0 6x 3x      tan( x)  2 sec 2 ( x) tan( x)  sec 4 ( x)  lim   1 / 3 x 0 3   Una alternativa para calcular eñ límite es la siguiente:


 tan 2 ( x)   sen 2 ( x)   tan( x)  x  lim    lim    lim  2  2 2 x 0 x3   x0  3x  x0  3x cos ( x)  2  1  sen( x)   lim      1/ 3 x 0 3 cos 2 ( x )   x  

g)

 sec 2 ( x)   tan( x)  lim    lim   x 0 1  cos( x)   x0  sen( x)  h)

 ln( x)  1 / x  lim    lim  0 x  x    x   1  i)

 2x 3  6x 2  5   6 x 2  12 x  12 x  12  12  lim  3  lim  lim   lim    2     2 x   x  2 x  9  x    3 x  2  x    6 x  x   6  j)

 1  ex   ex  lim   lim    x 0 1  cos( x)   x0  sen( x)  5.8.1. Formas indeterminadas del tipo:    Supongamos que se desea calcular el límite de la diferencia de dos funciones y que cada una de ellas tienda a infinito, es decir:

lim f ( x)  g ( x)     x a

Una manera de convertir la forma indeterminada encontrada en la conocida rescribir la diferencia de la siguiente manera:

0 / 0 , consiste en

1 1  g ( x) f ( x) f ( x)  g ( x)  1 f ( x) g ( x) Existen, sin embargo, otras maneras de efectuar la conversión.

Ejemplo 5.47 Calcule el siguiente límite:

limcsc( x)  1 / x     x 0

Puesto que ambas funciones tienden a infinito, la aplicamos el artificio previamente descrito, así:


 1  x  sen( x)  1 lim     lim    0/0  x 0 sen( x ) x  x0  xsen( x)    x  sen( x)   1  cos( x)    sen( x) lim   lim   lim     x 0  xsen( x)  x0  x cos( x)  sen( x)  x0  cos( x)  xsen( x)  cos( x)    sen( x) lim    0/2  0 x 0 2 cos( x )  xsen ( x )  

5.8.2. Formas indeterminadas del tipo 0  Supongamos que se desea calcular el límite del producto de dos funciones y que resulta la forma indeterminada bajo estudio, es decir:

lim f ( x)  g ( x)  0   x a

Una manera de convertir la forma indeterminada encontrada en la conocida invertir g ( x) . Igualmente, si se invierte f ( x) resulta la forma indeterminada

0 / 0 , consiste en / .

Ejemplo 5.48 Calcule los siguientes límites: a) lim x  ln(1 / x) x 0

b)



lim x 2  e  x x 

c) lim



x   / 2  tan(x)

x  / 2

Solución. a)

  x 1   ln(1 / x)  lim x  ln(1 / x)  lim  1   lim  2   lim x  0 x 0 x 0  x  x 0   x  x 0 b)



lim x  e x 

c)

2

x



 x2   2x  2  lim  x   lim  x   lim  x   0 x  e x  e x  e      

 x   / 2  sen( x)   x   / 2  cos( x)  sen( x)  lim    xlim    1   / 2 cos( x)  sen( x)    

x  / 2



5.8.3. Formas indeterminadas de los tipos: 0 ,  ,1 Supongamos que se desea calcular el límite siguiente: 0



0

lim f ( x) g ( x ) x a



Si el resultado es una cualquiera de las formas indeterminadas bajo estudio, se procede de la siguiente manera:


h( x)  f ( x) g ( x )  ln h( x)   g ( x) ln( f ( x))  h( x)  e g ( x ) ln( f ( x ))  lim g ( x ) ln( f ( x )) 

limh( x)  e x  a xa

Ejemplo 5.49 Calcule los siguientes límites: a) b) c)



lim 1  x 

x 0

1/ x



   lim tan( x) lim x sen( x )

x 0

cos(x )

x  / 2

Solución. a)

h( x)  1  x 

1 ln 1  x   x  1     ln 1  x   lim ln h( x)   lim   lim  1  x   1   x 0 x 0  x  x 0  1    1/ x

lim 1  x 

1/ x

x 0 

b)

 ln h( x)  

 e 1  1 / e

h( x)  x sen( x )  ln h( x)   sen( x) ln( x)   ln x     1/ x lim ln h( x)   lim sen( x) ln x   lim   lim    x 0 x 0 x 0  csc( x)  x 0   csc( x) cot( x)   sen 2 ( x)   2sen( x) cos( x)  0 lim   lim  0   x 0   x cos( x)  x0  xsen( x)  cos( x)   1 lim x sen( x )  e 0  1 x 0

c)





h( x)  tan( x) cos(x )  ln h( x)   cos( x) ln tan( x)    ln tan( x)  lim ln h( x)   lim cos( x) ln tan( x)   lim   x  / 2 x  / 2 x  / 2  sec( x)   sec 2 ( x)     cos( x)  0  tan( x)  lim    xlim   0 x  / 2 sec( x ) tan( x )  / 2 sen 2 ( x )   1     lim tan( x) cos(x )  e 0  1



x  / 2



EJERCICIOS 5.8


Calcule los siguientes límites:

 x6  x2  1. lim  5  x 1  x x   x 2  2x  2. lim  2  x 2  x 4 

1  e  x  3. lim   x 0 1  e 2 x   4.

1  e x 1  lim   x 1  1 x 

 x3  lim   x  1  e 2 x     4x   6. lim   x  / 4 sen( x)  cos( x)   5.

 sen( x)  1  lim   x  / 2 1  cos( 2 x)    ln(1  1 / x)  8. lim   x x   e  3 2  2x  6x  5  9. lim   x  x  ex   7.

 sen( x)  lim   x  1  cos( 2 x)   1 1  11. lim   x  x 0 x e   12. limln( x  1)  ln( x) 10.

x 

13. 14. 15. 16. 17.







lim ln x 2  5  2 ln( x) x 

lim x ln( x)

x 0 

lim sec( x)  tan( x)

x  / 2

limxsen(1 / x) x 

lim ln( x) sen( x)

x 0 

 cos( x)  lim    x  / 2  2 x    19. lim x ln( x) 18.

x 0

20. 21.







lim x  xe1 / x x 



lim 1  2 x 

x 0 



2/ x

 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

22. 23. 24.



lim x csc( x )

x 0 





lim tan( x) cos(x )

x  / 2 



lim 1  e x x 





1/ x



  x lim   x 0 arcsen( x)     x  1  26. lim  x ln   x    x  25.

  x lim   x x  ln 1  e    x  1  x  lim 28.    x   x   tan( x ) 29. lim  sen( x) 



27.

x  / 2

30.







lim x  e x x 0



1/ x





5.9. Diferenciales y aproximaciones lineales. La notación

dy , conocida como notación de Leibniz, se ha usado hasta el momento para dx

representar la primera derivada de una función. En la presente sección estudiaremos las interpretaciones geométricas de las cantidades dx y dy por separado. Refiriéndonos a la figura 5.54, en el punto P( x, y ) de la gráfica de una función se traza la recta tangente a la curva. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto viene dada, aproximadamente, por:

m

 x0 , y0 

y  f '  x0  x

Dónde: x : es el incremento de la variable independiente y : es el incremento de la variable dependiente Puede verse que hay una diferencia entre

y0  y y f ( x0  x) , la cual se pone de presente

en la gráfica. Se puede, sin embargo, hacer la siguiente aproximación:

f ( x0  x)  y0  y


Figura 5.54 De la expresión para la pendiente de la recta tangente se sigue que:

y  f '  x0  x Combinando las dos expresiones, resulta:

f ( x0  x)  y0  f '  x0  x

x  h , con lo que:

Usualmente se utiliza el símbolo

f  x0  h   f  x0   hf '  x0  En general, para cualquier punto aproximación:

 x, f ( x) 

de una función, se puede hacer la siguiente

f  x   f  x0   f '  x0  x  x0 

La expresión encontrada se conoce como aproximación lineal de la función en un entorno de x  x0 . Dicha aproximación es adecuada sí la función es derivable en x  x0 y sí x está muy

x0 . El significado del resultado anterior es que cualquier función que posea la primera derivada continua en x0 se puede aproximar mediante su recta tangente en las inmediaciones de x0 . cercano a

Ejemplo 5.50 Considere la función exponencial:

f ( x)  e x

a) Encuentre la aproximación lineal de la función en

x0  0

b) Con base en el resultado anterior, encuentre un valor aproximado para e

0.2

f ( x)  e x  f '( x)  e x a) Aplicando la fórmula, resulta:

f  x   f  0  f '  0  x  0   f  x   1  x  e x  1  x b) Evaluando en el punto, se tiene

f  0.2   1.2 . Con una calculadora, usando una

aproximación de tres dígitos, el valor de la función es: e

0.2

 1.221

Ejemplo 5.51


Considere la función seno: f ( x)  sen( x) a) Encuentre la aproximación lineal de la función en

x0  0

b) Con base en el resultado anterior, encuentre un valor aproximado para sen( /10)

f ( x)  sen( x)  f '( x)  cos( x) a) Aplicando la fórmula, resulta:

f  x   f  0  f '  0  x  0   f  x   0  x  sen( x)  x b) Evaluando en el punto, se tiene

f  /10    /10  sen  /10   0.314 . Con una

calculadora, usando una aproximación de tres dígitos, el valor de la función es:

sen  /10   0.309

Ejemplo 5.52 Considere la función seno: f ( x) 

x

a) Encuentre la aproximación lineal de la función en

x0  25

b) Con base en el resultado anterior, encuentre un valor aproximado para

f ( x)  x  f '( x) 

26

1 2 x

a) Aplicando la fórmula, resulta:

f  x   f  25  f '  25 x  25  x  2.5  0.1x b) Evaluando en el punto, se tiene

f  26  2.5  0.1 26  26  5.1 . Con una calculadora,

usando una aproximación de tres dígitos, el valor de la función es:

26  5.099

Ejemplo 5.53

Considere la función seno: f ( x)  arctan( x) a) Encuentre la aproximación lineal de la función en

x0  0

b) Con base en el resultado anterior, encuentre un valor aproximado para arctan(0.5)

f ( x)  arctan( x)  f '( x) 

1 1  x2

a) Aplicando la fórmula, resulta:

f  x   f  0  f '  0  x  0   f  x   0  x  arctan( x)  x f  0.5  0.5  arctan(0.5)  0.5 . Con una calculadora, usando una aproximación de tres dígitos, el valor de la función es: arctan(0.5)  0.464 b) Evaluando en el punto, se tiene

5.9.1. Incremento de una función.


Consideremos la función y  f ( x) , definimos el incremento y de dicha función, cuando se incrementa la variable independiente en una cantidad x , así:

y  f '( x)x De hecho, el incremento puede ser negativo o positivo.

Ejemplo 5.54

Se mide el radio de una circunferencia y se obtiene como resultado r  1.25 cm . Si se comete un error de 0.1 cm , determine el error en la medida del área de la circunferencia. Solución. Se sabe que el área es una función cuadrática del radio, así: A   r Los datos del problema son: r  1.25 cm y r  0.1 cm . Los signos significan que el error puede ser por exceso o por defecto es decir, que la medida del radio está en el intervalo: 2

1.24  r  1.26

Aplicando la fórmula, resulta:

A  A '(r )r  2 r r  A  2  1.25   0.1  0.785 cm2 Dado que el área de la circunferencia es A   1.25  4.909 cm , el resultado se puede 2

2

interpretar en el sentido en que la medida del área de la circunferencia está en el intervalo:

4.124  A  5.694

Una medida de la magnitud de un error es la del error relativo, definido como: Sí en la medida de una variable v se comete un error absoluto v , el error relativo se define como: vr 

v 100% v

Para nuestro ejemplo, los errores relativos en las medidas del radio y el área, son:

r 0.1 100%  100%  8% r 1.25 A 2 r r  r  100%  100%  2    16% Para el área: Ar  2 A r  r  Para el radio: rr 

5.9.2. Raíces de una ecuación por el método de Newton. Consideremos la función y  f ( x) continua en el intervalo a  x  b . Sí la primera derivada de la función es continua en el intervalo a  x  b , admitirá una aproximación lineal en el intervalo, es decir, para cualquier punto

x0   a, b  se verifica que:

f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  Adicionalmente, sí f (a) y f (b) tienen signos diferentes, de acuerdo con el valor intermedio, la ecuación f ( x)  0 tendrá una raíz real en el intervalo abierto. La figura 5.55 ilustra la situación descrita.


Figura 5.55 La figura muestra la gráfica de la función y la gráfica de la recta tangente a la curva en el número x  x0 . Puede verse que la recta tangente corta al eje de abscisas en x  x1 valor que está muy cercano a la raíz de la ecuación: El valor

x  xE

x1 se calcula de manera precisa, así: f  x0   f '  x0  x  x0   0   x  x0   

Supongamos ahora que en el punto

f  x0  f  x0   x1  x0  f '  x0  f '  x0 

x  x1 se efectúa una nueva aproximación lineal, es decir,

se traza la recta tangente a la curva en el punto  x1 ,

f ( x1 )  . La nueva aproximación es:

f  x   f  x1   f '  x1  x  x1  La nueva recta cortará al eje de abscisas en un punto de la raíz El valor

x  x2 el cual estará mucho más cerca

x  xE .

x1 se calcula de manera precisa, así: f  x1   f '  x1  x  x1   0   x  x1   

f  x1  f  x1   x2  x1  f '  x1  f '  x1 

Se puede proceder de manera iterativa para calcular una raíz aproximada de la ecuación f ( x)  0 a partir de una semilla x0 y con la fórmula de recurrencia:

xk 1  xk 

Se genera así una sucesión de la forma la ecuación, es decir:

limxn   x E

f  xk  , k  0,1, 2,... f '  xk 

x0 , x1, x2 ,...., xn  , la cual debe converger a la raíz de

n

Ejemplo 5.55 Considere la ecuación: x  x  3  0 3

1 x  2 b) A partir de la semilla x0  1.5 , elabore una tabla con x1 , x2 , x3 a) Muestre que la ecuación tiene una raíz real en el intervalo

Solución. a) Evaluando la función en los extremos del intervalo, se tiene: f (1)  3 y f (2)  3 Con base en el teorema del valor intermedio, la ecuación tiene una raíz real en el intervalo.


b) Para generar la sucesión se parte de la función, así:

f ( x)  x3  x  3  f '( x)  3x 2  1 La fórmula de recurrencia en este caso queda como:

xk 1  xk  A partir de

xk 3  xk  3 3xk 3  xk  xk 3  xk  3 2 xk 3  3   3xk 2  1 3xk 2  1 3xk 2  1

x0  1.5 , se obtiene:

2 x03  3 2 1.5  3 x1    1.696 3x0 2  1 3 1.52  1 3

2 x 3  3 2 1.696   3 x2  12   1.672 3x1  1 3 1.696 2  1 3

2 x23  3 2 1.672   3 x3    1.672 3x2 2  1 3 1.672 2  1 3

Puede afirmarse que

x  1.672 es un valor aproximado de la raíz.

Ejemplo 5.56 Usando el método de Newton encuentre una expresión para calcular la raíz cuadrada de cualquier número positivo. Solución. Para generar la sucesión se procede de la siguiente manera:

f ( x)  x 2  N  f '( x)  2 x  xk 1  xk  xk 1 

xk 2  N  2 xk

2 xk 2  xk 2  N xk 2  N  2 xk 2 xk

Para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada de 26, se parte de la semilla sucesión xk 1



x0  5 y se genera la

xk  26 , obteniéndose 2 xk 2

x1 

x0 2  26 52  26   5.1 2 x0 25

x 2  26  5.1  26 x2  1   5.099 2 x1 2   5.1 2

x2 2  26  5.099   26 x3    5.099 2 x2 2   5.099  2

Ejemplo 5.57

Considere la ecuación: x  cos(2 x)  0 a) Muestre que la ecuación tiene una raíz en el intervalo:

0 x  /4


b) A partir de la semilla

x0  0.5 encuentre x1 , x2

Solución. a) Evaluando la función en los extremos del intervalo, se tiene: f (0)  1 y f ( / 4)   / 4 Con base en el teorema del valor intermedio, la ecuación tiene una raíz real en el intervalo. b) Para generar la sucesión se parte de la función, así:

f ( x)  x  cos(2 x)  f '( x)  1  2sen(2 x) La fórmula de recurrencia en este caso queda como:

xk 1  xk 

xk  cos  2 xk  xk  2 xk sen  2 xk   xk  cos  2 xk  2 xk sen  2 xk   cos  2 xk    1  2sen  2 xk  1  2sen  2 xk  3xk 2  1

A partir de x0

 0.5 , se obtiene:

x1  x2 

2 x0 sen  2 x0   cos  2 x0  2  0.5  sen 1  cos 1   0.515 2 3x0 2  1 3  0.5  1

2 x1sen  2 x1   cos  2 x1  2  0.515 sen  2  0.515  cos  2  0.515   0.515 2 3x12  1 3  0.515  1

Puede afirmarse que

x  0.515 es un valor aproximado de la raíz.

Ejemplo 5.58 Considere la ecuación: 2 x  e

x

0

a) Muestre que la ecuación tiene una raíz en el intervalo: b) A partir de la semilla

0  x 1

x0  0.5 encuentre x1 , x2

Solución. a) Evaluando la función en los extremos del intervalo, se tiene: f (0)  1 y f (1)  1.632 Con base en el teorema del valor intermedio, la ecuación tiene una raíz real en el intervalo. b) Para generar la sucesión se parte de la función, así:

f ( x)  2 x  e x  f '( x)  2  e x La fórmula de recurrencia en este caso queda como:

xk 1  xk  A partir de

2 xk  e xk 2 xk  xk e xk  2 xk  e xk xk e xk  e xk   2  e xk 2  e xk 2  e xk

x0  0.5 , se obtiene:

0.5 0.5 x0e x0  e x0  0.5 e  e x1    0.349 2  e x0 2  e0.5 0.349  e0.349 x1e x1  e x1  0.349  e x2    0.352 2  e x1 2  e0.349

Puede afirmarse que

x  0.342 es un valor aproximado de la raíz. Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

EJERCICIOS 5.9 Para los ejercicios 1-8 a) Encuentre la aproximación lineal de la función en

x0

b) Con base en el resultado anterior, encuentre un valor aproximado para 1.

f ( x)  e

2. f ( x)  e

x

, x0  1

sen ( x )

, x0  0

 x, x

3.

f ( x)  cos

4.

f ( x)  ln 1  x  , x0  0

5.

f ( x)  arctan

6.

f ( x)  arcsen( x  1) , x0  0

7.

f ( x0  0.5)

0



0



x  1 , x0  0

f ( x)  sen  ln(2 x  1)  , x0  0

8. f ( x)  e

arctan( x )

, x0  0

9. Se mide el radio de una esfera y se obtiene como resultado r  5 cm . Si se comete un error de 0.1 cm , determine el error relativo en la medida del área de la superficie de la esfera y el error relativo en la medida del volumen de la esfera. 10. Se tiene un cilindro circular recto herméticamente cerrado cuya altura es igual al radio de la base. Se mide el radio y se obtiene como resultado r  5 cm . Si se comete un error de

0.1 cm , determine el error relativo en la medida del área de la superficie del cilindro y el error relativo en la medida del volumen. 11. Considere la ecuación: x  x  1  0 3

2

1  x  0 b) A partir de la semilla x0  0.5 , elabore una tabla con x1 , x2 , x3 a) Muestre que la ecuación tiene una raíz real en el intervalo

12. Considere la ecuación:

x2  cos( x)  3  0

1 x  2 x  1.5 x , x b) A partir de la semilla 0 , elabore una tabla con 1 2 , x3 a) Muestre que la ecuación tiene una raíz real en el intervalo

13. Considere la ecuación: x  arctan( x)  1  0

2 x3 b) A partir de la semilla x0  2.5 , elabore una tabla con x1 , x2 , x3 a) Muestre que la ecuación tiene una raíz real en el intervalo

14. Considere la ecuación: xe

x/ 2

1  0

1  x  0 b) A partir de la semilla x0  0.5 , elabore una tabla con x1 , x2 , x3 a) Muestre que la ecuación tiene una raíz real en el intervalo

15. Usando el método de Newton encuentre una expresión para calcular la raíz cúbica de cualquier número positivo y encuentre la raíz cúbica de 36.



SOLUCIONARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL EJERCICIOS 1.4 Determine el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones: 1) x( x  1)  0

R/   ,  1  0 , 

2) ( x  2)(1  x)  0

R/  2 ,1

x  2x  8 0 x x3 4) 0 x 2x  1 5) 0 2 x 2 6) x  0 x 1 x2  4 0 7) 2 x 3 x2 1 0 8) 2 x 1 x3  8 9) 2 0 x 1 x2  4 0 10) x2  3 11) 2 x  3  4

R/  2 , 0  4 , 

2

3)







R/   , 0  3 , 



R/   ,  1 / 2  2 ,  R/  1, 0  2 , 





R/  2 , 2

R/  1,1



R/   ,  2   1,1









R/   ,  2   3 , 3  2 ,  R/  7 / 2 ,1 / 2

12)

x2 1 x

R/  1, 0  0 , 

13)

x2  4 3 x

R/   ,  4   1, 0  0 ,1  4 , 

14)

x x2  4

R/   , 3

15) x  2 x  3 2



 

 

 

R/   ,  1  3 , 

EJERCICIOS 1.6 Repita el ejemplo 1.5 para los siguientes casos:


1)

A(2,3) B(2,2) C (2,2)

a) Determine el perímetro del triángulo. b) Determine el área del triángulo

R/ R/

c) Calcule el punto medio del segmento AC

R/

9  41

10 xm  0 ; y m  1 / 2 5 1 d) Encuentre la ecuación de la mediana subtendida al vértice B R/ y   x  4 2 4 1 e) Encuentre la ecuación de la mediatriz del lado AC R/ y   x  5 2 2) A(2,2) B(2,2) C (2,0) a) Determine el perímetro del triángulo.

R/

44 5

8 c) Calcule el punto medio del segmento AC R/ xm  0 ; y m  1 3 d) Encuentre la ecuación de la mediana subtendida al vértice B R/ y   x  1 2 e) Encuentre la ecuación de la mediatriz del lado AC R/ y  2 x  1 b) Determine el área del triángulo

R/

Repita el ejemplo 1.6 para los siguientes casos: 3) A(2,3) B(1,2) C (3,2) a) Represente gráficamente los puntos y dibuje el triángulo que se forma b) Calcule una cualquiera de las tres alturas y determine el área del triángulo R/

5

4) A(2,2) B(0,1) C (2,0) a) Represente gráficamente los puntos y dibuje el triángulo que se forma b) Calcule una cualquiera de las tres alturas y determine el área del triángulo R/ 4 5) Considere el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos:

A(4,1) B(2,2) C(2,2) D(3,0) a) Represente gráficamente b) Calcule el área del cuadrilátero

R/ 14

EJERCICIOS 2.1 1) Una caja sin tapa en forma de paralelepípedo tiene una longitud x de ancho y Si el volumen de la caja es R/

200cm

3

2 x de largo.

, determine el área lateral en función de x .

2 x 2  600 / x Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

2) Una ventana presenta la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero de lado x . Si el perímetro de la ventana es 4 m , determine el área en función de x . R/

 3 6 2    4 x  2x  

Figura 2.18

Figura 2.19

3) Para la figura 2.18, escriba el ángulo  en función de x R/

 2x  tan 1  2   x 8

4) Para la figura 2.19, escriba el área de la figura sombreada en función de  R/

2sen( )1  cos( )

5) Se tiene un triángulo isósceles en el que la medida de los lados iguales es x . Determine el área en función de x sabiendo que el perímetro del triángulo es 20 cm . R/

210  x  5x  5 2

6) Un grabado rectangular tiene un área de 600 cm . Se desea enmarcarlo de tal forma que tenga márgenes iguales a 5 cm . Determine el área total del cuadro en función de una de las dimensiones del grabado. R/

10x  10x  60 x

7) Un depósito cónico con el vértice hacia abajo tiene un radio en la base 30 cm y una altura

90 cm . El tanque, inicialmente lleno de agua, empieza a vaciarse por un orificio practicado en el vértice. En cierto momento la altura del líquido por encima del orificio es y . Determine el volumen del líquido en función de la altura. R/

y 3 27

8) Se tiene un depósito cilíndrico sin tapa con radio en la base

x . Determine el área total en

x sabiendo que el volumen del cilindro es 400 cm .  x  800 R/ x función de

3

3

9) Para la figura 2.18, determine el área del triángulo ABC en función de R/ x

x

10) Un almacén vende diariamente cierto artículo. El precio de venta por artículo es de $100 cuando se venden entre cero y 50 unidades. Para ventas superiores a las 50 unidades el precio


unitario es de $80 por artículo adicional. Determine la venta total en función del número de artículos y represente gráficamente. R/

100 x si 0  x  50  80 x  100 si x  50

11) Se desea cercar un terreno rectangular de 600 metros cuadrados de área, con una división como la ilustrada en la figura 2.17. El costo por metro del cercado exterior es 20 mil pesos, mientras que el costo por metro de la división es de 10 mil pesos. Determine el costo total, en miles de pesos, del cercado total en función de x . R/

50 x 2  24000 x

12) Un equipo de fútbol juega en un estadio con capacidad para 20.000 espectadores en las tribunas populares. La asistencia promedio es de 14.000 cuando la boleta tiene un costo de $10.000. Un estudio de mercadeo indica que por cada $1.000 que se rebaje a la boleta la asistencia se incrementa en 2000 personas. Determine el recaudo en términos del precio de la boleta. R/ R( x)  2 x17000  x  EJERCICIOS 2.2 Para cada una de las siguientes funciones: a) Determine el dominio b) Represente gráficamente y determine el rango.

f ( x)  x 2  2 x  8 D f    , 

1)

R f   9 , 

f ( x)  x 2  4 x  4 D f    , 

2)

R f  0 , 

f ( x)  x 2  2 x  2 D f    , 

3)

R f  1, 

f ( x)  x 3  x 2  x  1 D f    , 

4)

R f    , 

x2  1 x 1 D f    ,1 1, 

5)

f ( x) 

R f    , 

x2  2x  3 6) f ( x)  x2  4 D f    ,  2  2 , 2 2 ,  Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

R f    , 

f ( x)  x 2  1 D f    ,  1 1, 

7)

R f  0 , 

f ( x)  3 x 2 D f    , 

8)

R f  0 , 

f ( x)  x 2  x  2 D f    ,  1 2 , 

9)

R f  0 , 

f ( x)  2  x  x 2 D f   1, 2

10)

R f  0 , 

EJERCICIOS 2.3 1) Considere la función: f ( x) 

2 2 1 x

D f    , 

a) Determine el dominio de la función. b) Con base en la gráfica indique el rango. 2) Considere la función:

f ( x)  e  x  1

R f  0 , 2

D f    , 

a) Determine el dominio de la función. b) Con base en la gráfica indique el rango.

R f  1, 

 x 2   x 1 

3) Determine el dominio de la función f ( x)  1  ln 

D f    ,  1 2 , 

4) Represente gráficamente las siguientes funciones en el intervalo indicado. a) f ( x)  cot( x) ;   , 0 0 ,  


b) f ( x)  csc( x) ;

  , 0 0 ,  

c) f ( x)  sec( x) ;

  / 2 ,  / 2  / 2 , 3 / 2

EJERCICIOS 2.4 Represente gráficamente las siguientes funciones y escriba el rango de cada una:

0 si x  2   1) f ( x)   1  x si  2  x  1  0 si x  1 

R f  0 , 2


0 si x  2  2) f ( x)  1  x si  2  x  2 2 si x  2 

0 si x  2  2 3) f ( x)   x  2 si  2  x  2 3 si x  2 

R f   1, 3

R f   2 , 2 3


 2 si x  2  x si  2  x  1  4) f ( x)    x  2 si 1  x  3  0 si x  3

R f   2 ,1 2

0 si x  2   5) f ( x)  cos(x) si  2  x 2  0 si x  2 

R f   1,1

  1 si x  1  x si  1  x  1 6) f ( x)  2  0 si x  1 

R f  1 / 2 , 2  1 0



f ( x)  x2  x  ; 0  x  2

Represente gráficamente las siguientes funciones: a) f (x) b) f ( x) c) f (2 x)  2 d) f ( x / 2)  3 e)  2 f ( x  2)  1 f) f ( x / 2  1) g)  2 f ( x / 2  1)  1 h) 3 f ( x / 2)  2


f ( x)  4  x 2 ; 0  x  2



f ( x)  x  x ;  1  x  1


f ( x)  2 x ;  1  x  1



f ( x)  sen(x) ; 0  x  1


f ( x)  g ( x) 

x2 1 x 1 x

Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( f / g )( x) c) ( g / f )( x) Solución. a) ( f  g )( x) 

x2 1 

x 1  D f  g   1, 0  0 ,1 x


b) ( f / g )( x) 

c) ( g / f )( x) 

x2 1 x x2 1   D f / g   1, 0  0 ,1 ( x  1) / x ( x  1) ( x  1) / x x2 1



( x  1) x x2 1

 Dg / f   1, 0  0 ,1

2) Considere las funciones:

f ( x)  x 2  x g ( x)  x  2 Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( g  f )( x) Solución. a) ( f  g )( x) 

x 2  5x  6  D f  g    ,  3  2 , 

b) ( g  f )( x) 

x 2  x  2  Dg  f    ,  1 0 , 


f ( x)  x 2  9 g ( x)  4  x Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( g  f )( x) Solución. a)

( f  g )( x)   5  x  D f  g    ,  5 4  x 2  9  Dg  f   5 ,  3 3 , 5

b) ( g  f )( x) 


2 x  3 si x  2 f ( x)    x  1 si x  2 g ( x)  x Calcule las siguientes funciones, indicando el dominio en cada caso. a) ( f  g )( x) b) ( g  f )( x) Solución.

 2 x  3 si 0  x  2

a) ( f  g )( x)  

  x  1 si x  2

 D f  g  0 ,  


  2 x  3 si 3 / 2  x  2

b) ( g  f )( x)  

  x  1 si x  2

 Dg  f  3 / 2 ,  


f ( x)  x g ( x)  2 x a) Determine ( f  g )( x) y su dominio b) Determine ( g  f )( x) y su dominio Solución. a) ( f  g )( x)  b) ( g  f )( x)  2

2 x  2 x / 2  D f  g    , 

 Dg  f  0 , 

x

6) Repita el numeral anterior para las siguientes funciones:

f ( x)  x g ( x)  tan( x) Solución. a)

( f  g )( x)  tan(x)  D f  g  2n , 2n   / 2 ; n  Z

b) ( g  f )( x)  tan

 x  D

g f

2     2n  1  2   x  R / x         2   

EJERCICIOS 2.9 1) Una curva del plano está definida mediante el par de ecuaciones paramétricas:

x  2t  t 2

y  t 1

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t x y

0 0 -1

1 1 0

2 0 1

3 -3 2

4 -8 3

La figura resultante se ilustra a continuación.


b)

x 2  2x  3  4 y  0


x  2t  3 y  t 2  2t a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t x y

0 -3 0

1 -1 -1

2 1 0

3 3 3

4 5 8


b)

x  y2 1  0


x  2 cos(t )

y  3sen(t )

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t   b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva


Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t x y

0 2 0

 /4

 /2

2 3 2/2

0 3

3 / 4  2 3 2/2

 -2 0


b)

9 x 2  4 y 2  36  0


x  2 cos(t ) ; y  2sen 2 (t ) a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t   b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t x y

0 2 0

 /4

 /2

2 1

0 2

3 / 4  2 1

 -2 0



b)

x2  2y  4  0


xt

y t t

a) Trace el segmento de curva en el intervalo 0  t  4 b) Encuentre la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la curva Solución. a) Se elabora la tabla de valores, así:

t x y

0 0 0

1 1 1

2 2

3 3 3 3

2 2

4 4 8


b)

yx x 0

EJERCICIOS 2.10 Determine la fórmula para la inversa para cada una de las siguientes funciones en el dominio dado. 1) f ( x)  1  2)

x ; x0

f ( x)  1  x 2 ; x  1

f ( x)  1  x ; x  R 1 x 4) f ( x)  ; x0 x x 5) f ( x)  ; x0 1 x 3)

6) f ( x) 

3

1 x2 1

; x0

f 1 ( x)  ( x  1) 2 ; x  1 f

1

( x)  1  x ; x  0

1

( x)  3 x  1 ; x  R 1 f 1 ( x)  ; x 1 x 1

f

2

 x  f 1 ( x)    ; 0  x 1  x 1  1 x2 f ( x)  ; 0  x 1 x 1


x

7)

f ( x) 

8)

f ( x)  x  x 2  1 ; x  R

x2 1

; x0

2 x  1 si x  1  9) f ( x)   x  1 si x  1   2  x  12 si x  1  10) f ( x)   2 x  1 si x  1   x

f 1 ( x) 

x

; 0  x 1 1 x2 x2 1 f 1 ( x)  ; x0 2x  x 1 si x  1  f ( x)   2  2 x  1 si x  1

1   x si x  0  f ( x)   1 si 0  x  2  2  x

EJERCICIOS 2.11 1) Resuelva para x las siguientes ecuaciones: a) b)

2x 3

2

4

x2  x

4

x 6

 729

x  3  x  2 x  1 x  3  x  1

4 4 x x2 d) 9  3  27 c)

x2

2

25 x e) x  3  125 5 f) log 2 ( x)  3 / 2 g) log 3 x (4)  2

x  3 / 2  x  2

log 3 (2 x  1)  1 i) log( x)  log( x  1)  log( 2)  x / 100 j) 40  200e h)

x2 2 x  2/3 x 1 x 1 x  100 ln(5)


f ( x)  log 2 ( x)  log 2 ( x  2)  1

g ( x)  e x  2e  x  1  x  1 h( x)  ln   1  x  u( x)  ln e x  2e  x





a) Determine el dominio de cada función b) Determine las intersecciones con el eje de abscisas Solución.

f ( x)  log 2 ( x)  log 2 ( x  2)  1 a) D f  2 ,   b) x  1

3

g ( x)  e x  2e  x  1


a) D f    ,  b) x  ln( 2)

 x 1 h( x)  ln   1  x  a) D f    ,  1  0 ,  b) x 

1 e 1





u( x)  ln e x  2e  x a) D f  ln( 2) / 2 ,  b) x  ln( 2) 3) Determine la inversa para cada una de las siguientes funciones





f ( x)  2 log 3 x 2  1 ; x  1

g ( x)  2e  x1  3 ; x  R h( x ) 

10 ; x0 1  4e 2 x

f 1 ( x)  1  3 x / 2 ; x  R  x  3 g 1 ( x)  1  ln   ; x  3  2  1  4x  h 1 ( x)  ln   ; 0  x  10 2  10  x 

4) En una misma figura represente gráficamente las parejas de funciones:

f ( x)  b x ; g ( x)  (1 / b) x ; b  2 b) f ( x)  log b ( x) ; g ( x)  log1 / b ( x) ; b  2 a)

PROBLEMAS 2.11 1) El tiempo de vida media del Radio es de 1700 años. Dada una muestra de dicho elemento, determine el porcentaje de la misma después de 100 años. R/ 66.52% 2) Un isótopo radioactivo tiene un tiempo de vida media de 25 minutos. Si se tiene una muestra de 100 miligramos, determine: a) La cantidad que se ha desintegrado al cabo de una hora.


b) El tiempo requerido para que la muestra se reduzca en un 30%. R/ a) 81 gramos b) 12.86 minutos 3) La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente a la cantidad de habitantes en todo instante. Si en 20 años pasa de 40 mil a 90 mil, determine la población al cabo de 30 años. R/ 134812 4) Un cultivo de bacterias aumenta proporcionalmente a la cantidad presente en todo instante. Si en cuatro horas la cantidad original se incrementa en un 50%, determine el tiempo necesario para que la cantidad original se triplique. R/ 10.83 horas 5) En el año 2000 una ciudad intermedia tenía 300 mil habitantes, mientras que en el 2005 la cantidad de habitantes era de 350 mil. Algunos estudios muestran que la la cantidad de habitantes no superará el tope de los 800 mil habitantes. Determine la población proyectada para el 2020. R/ 503000 6) Se desea calentar un cuerpo en un horno precalentado a 300 °C. Si al momento de introducirlo tiene una temperatura de 30 °C y la constante de tiempo es de 20 minutos, determine el tiempo necesario para que el cuerpo alcance los 290 °C. R/ 65.9 minutos


f ( x)  2sen2 x    g ( x)  arcsenx / 2  1 h( x)  2 cosx    u( x)  tan(x   / 2)  2

a) Determine el intervalo principal de inversión. b) Calcule la inversa. c) Represente gráficamente las funciones junto con sus inversas.

f ( x)  2sen2 x    a) I   / 4 , 3 / 4 1 1 b) f ( x)    arcsen( x / 2)  2 c)


g ( x)  arcsenx / 2  1 a) I  0 , 4 1 b) g ( x)  21  sen( x)  c)

h( x)  2 cosx    a) I  1, 2 1 1 b) h ( x)  1  arccos( x / 2)



c)


u( x)  tan(x   / 2)  2 a) I  0 ,   b) c)

u 1 ( x)   / 2  arctan( x  2)


f ( x)  arcsencos( x) g ( x)  arcsen1  x / 2 h( x)  cos2 arccos( x) u( x)  tan(arcsen( x))

a) Muestre que f (x) se puede escribir en la forma f ( x)   / 2  x

sen( / 2  x)  sen( / 2) cos( x)  cos( / 2) sen( x)  cos( x)  sen( x   / 2)  arcsensen( x   / 2)   x   / 2





b) Determine las intersecciones de g (x) con el eje de abscisas en el intervalo 0 , 4 R/

x=2

u ( x)  x / 1  x 2 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

c) Muestre que u (x) se puede escribir en la forma

Subido: [email protected]

arcsen( x)    sen( )  x  tan( ) 

sen( ) x  cos( ) 1 x2

d) Represente gráficamente u (x)

h( x)  2 x 2  1 arccos( x)    cos( )  x

e) Muestre que h(x) se puede escribir en la forma

cos(2 )  2 cos 2 ( )  1  2 x 2  1





g) Represente gráficamente la función h(x) en el intervalo  1 ,1

CUESTIONARIO


EJERCICIOS 3.4 De manera intuitiva, determine la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado. 1)

f ( x)  x 3 ; P(1,1)

R/ 3

2) f ( x)  x ; P(4,2) 3) f ( x)  x 2 ; P(1 / 2,4)

R/ 1/4 R/ --16

4) f ( x)  2 cos( x) ; P( / 3,1)

R/

 3/2


 x 3  1  x 1 x  1  

a) lim 

R/ 3

  x  1  x 1  x 1 

b) lim 

R/ -1/2

 x3  x 2  2   x 1 2 x 3  x  1  

c) lim 

  x2  4  2  lim   2 x 0 x     3 x  6  2 e) lim   2 x 2  x 4 

R/ 1

d)

R/

R/

1/ 4

1 / 48


 x2 1   x 1 3 x  1  

f) lim 

R/

2) Dadas las funciones: f ( x)  x Calcule:

2

6

; g ( x)  x 2 ; u( x)  x ; w( x)  3 x

 f ( x  h)  f ( x )   h    g ( x  h)  g ( x )  b) lim   h0 h    u ( x  h)  u ( x )  c) lim   h0 h    w( x  h)  w( x)  d) lim   h0 h   a) lim  h 0

R/

2x

R/  2 x

3

R/

1/ 2 x

R/

1 2 / 3 x 3

EJERCICIOS 3.7 Dadas las funciones: f ( x)  x ; g ( x)  Calcule, si existen, los siguientes límites:

x 1

2

 g ( x)  lim   x 1 f ( x )  1   b) lim( f ( x)  2 g ( x) a)

R/ No existe R/ 6

x 2

 f ( x)  4   x  2 g ( x  1)  

R/ 0

 f ( x)  g 2 ( x  3)  lim   x 1 f ( x)  1  

R/ 3/2

c) lim 

d)

EJERCICIOS 3.8 1) Calcule, si existen, los siguientes límites:

  x 3  1   x 1  x  1   

a) lim 

  x 1    2   x 1  

b) lim  x  1



x   x 0 x  x   x 1  d) lim   x 1  x  3  2  x2  e) lim   2 3 x 2  x 4 c) lim 

R/ 3

R/ 1/2

R/ -1

R/ No existe

R/ 0


f)

 x2 1  lim   x 1  1 x 

R/ 0


1  x  1 si  2  x  2  f ( x)   x si 2  x  4  1  5  x si 4  x  6  a) Haga una gráfica de la función

b) Calcule los siguientes límites: i) lim  f ( x)

R/ -2

ii) lim  f ( x)

R/ 0

iii) lim  f ( x)

R/ 2

iv) lim  f ( x)

R/ 4

v) lim  f ( x)

R/ 2

x 2

x 2

x 2

x 4

x 4


 2 x  a si x  1 f ( x)   2 1  x  1 si x  1 a) Determine un valor de a de tal manera que x  1 sea una discontinuidad removible. R/ -1 b) Redefina la función de tal manera que sea continua en su dominio.

si x  1  2x  1  R/ f ( x)  1 si x  1 1  x 2  1 si x  1  2) Repite el ejercicio anterior para la función:

 x 2  ax si x  1 f ( x)   2 2  x  1 si x  1 a) R/ 1


x2  x si x  1  b) f ( x)   2 si x  1 2  x 2  1 si x  1  3) Considere la función:

1 si x  1   f ( x)  1  2  x si 1  x  3  ax si x  3 

x  1 es una discontinuidad esencial lim  f ( x)  1

a) Muestre que R/

x 1

lim  f ( x)  2

x 1

b) Determine el valor de R/ 2/3

a de tal manera que x  3 sea una discontinuidad removible


si x  0  1  f ( x)  cos(x) si 0  x  1  ax si x  1  a) Muestre que f es continua en x  0 lim  f ( x)  1 x 0

lim  f ( x)  1

x 0 

f (0)  1 b) Determine el valor de R/ -1

a de tal manera que f sea continua en x  1


f ( x) 

x3 1 x2  x

x  1 es una discontinuidad removible de la función y redefínala.  x  x 1  si x  1 R/ f ( x)   x  si x  1 3 b) Muestre que x  0 es una discontinuidad esencial de la función. lim  f ( x)   a) Muestre que

2

x 0

lim  f ( x)  

x 0 

EJERCICIOS 3.12 1) Considere la ecuación f ( x)  a) Muestre que

x 1 x2

x  2 es una discontinuidad esencial


lim  f ( x)  

x 2 

lim  f ( x)  

x 2 

b) Determine, si es posible, un valor de R/ 5/2 2) Considere la función:

x tal que la función evaluada en el punto sea tres.

f ( x)  x 3  2 x 2  3 x  4

a) Elabore una tabla de valores de la función en el intervalo:  3 

x3

b) Ubique las raíces reales de la ecuación: f ( x)  0

raíz  1, 2

3) Repita el ejercicio anterior para la función:

f ( x)  ( x 3  x 2  3) /( x  4)

raíz  1, 2 4) Repita el mismo procedimiento para la ecuación:

f ( x)  x 2  2 x cos( x)  2

raíz1   1, 0 raíz 2  1, 2 5) Repita el mismo procedimiento para la función:

f ( x)  ln(2  3x  3x 2 / 2)

raíz1 0 ,1 raíz 2  1, 2 6) Determine, si es posible, dos valores de la variable independiente tales que la gráfica de la función

y  2 x  x 2 corte a la recta: y  3

R/ -1,3 7) Determine si la ecuación x cos( x)  2  0 tiene una solución en el intervalo 0 ,   R/ no


x2  4 f ( x)  2 x 1 Determine los siguientes límites:


lim  f ( x)  

x  1

lim  f ( x)  

x  1

lim  f ( x)  

x 1

lim  f ( x)  

x 1


f ( x) 

4  x2 x2

a) Determine el dominio de la función

D f   2 , 2

b) Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)  no existe

x  2 

lim  f ( x)  

x  2 


f ( x) 

x2  4 x2 1


lim  f ( x)  1

x  

lim  f ( x)  1

x  


9  x2 f ( x)  x2 a) Determine el dominio de la función

D f   3 ,  2  2 , 3



x  


x  


f ( x) 

x 2  3x  1 xx2

a) Determine el dominio de la función

D f    , 0 0 , 2  2 , 


lim  f ( x)  1

x  

lim  f ( x)  1

x  

EJERCICIOS 3.15 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

Determine las asíntotas oblicuas para las siguientes funciones:

a)

f ( x) 

y  x2

x 3  2 x 2  3x x2  4

2x 2  4 b) f ( x)  x 1  2

y  2x  2 EJERCICIOS 3.16. MISCELÁNEA 1) Calcule, si existen los siguientes límites: a)





lim 5x 2  2 x  3 x 4

 x 1 x 2   x2 c) lim  x 3  b) lim 

x2    4x  3 

R/ 1/2

 x  12   x  3 

R/ -7

 2 x  2    x  

d) lim  x 0

 x4 1  lim  3 x 1 x  1     x  3  f) lim  x 9  x  9   



lim 5  x 

4/3

x 3

R/ 

2/4

R/ 4 / 3

e)

g)

R/ 75

R/ 1 / 6



R/

 3 x 1

 h) lim   x 1  x 1 

R/ 1 / 3

 x  1 3x    x 1  x  1    x  1 3x   j) lim   x 1  x  1  

i) lim 


3

R/

R/ 

3

f ( x)  2  3 x  6

Determine lim f ( x) x2

16

R/ 4


2 x  3 si x  1  f ( x)  2 si x  1 7  2 x si x  1 


Determine los límites siguientes, si existen y represente gráficamente la función en el intervalo

 1, 3

a) lim  f ( x)  5 x 1

b) c)

lim  f ( x)  5

x 1

lim f ( x)  5 x 1


 x  1 si x  1  f ( x)   x 2 si  1  x  1 2  x si x  1  Determine los siguientes límites, si existen y represente gráficamente la función en el intervalo

 3 , 3

a) b) c)

lim  f ( x)  0

x 1

lim  f ( x)  1

x 1


x 1

d) lim  f ( x)  1 x 1

e) f)

lim  f ( x)  1

x 1

lim  f ( x)  1

x 1

5) Evalúe los siguientes límites:


1  x 0  2 x   3  b) lim   x 2  x  2 

R/  

a) lim 

R/  

 x2  3  lim  3 2 x 0 x  x   x2  9    d) lim   x 3   x 3   2   x 9  e) lim   x 3   x 3    x 2  3x  2  f) lim   3 x 0  x  4x 

R/  

c)

R/  

R/ no existe

R/  

  6  5 x 2  11x  6   lim   x 0 x      x4  h) lim  2  x  x  2 x  5   g)

i)

 1  4 x 2 lim  x   4  x

j)

lim 2 x  x 2  2 x x 



  

R/  11

6 / 12

R/ 0

R/ 2



R/  

6) Determine las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las gráficas de cada una de las funciones siguientes. a) f ( x) 

x 2x  4

R/ Verticales: x  2 Horizontales: y  0 Oblicuas: No tiene b) f ( x) 

x3 x2

R/ Verticales: x  2 Horizontales: y  1 Oblicuas: No tiene

c)

f ( x) 

x 2  49 x 2  5 x  14

R/ Verticales: x  2 Horizontales: y  1


Oblicuas: No tiene

d)

x2  4 x2  2

f ( x) 

R/ Verticales: x   2 Horizontales: y  1 Oblicuas: No tiene e) f ( x) 

2x 2 x2  3

R/ Verticales: x   3 Horizontales: No tiene Oblicuas: y  2 x f) f ( x) 

x2 x x2  2

R/ Verticales: No tiene Horizontales: No tiene Oblicuas: y   x g) f ( x)  x  x  2 x R/ Verticales: No tiene Horizontales: y  1 si x   2

Oblicuas: y  2 x si x   h) f ( x)   x  4 x R/ Verticales: No tiene Horizontales: No tiene

2

Oblicuas:

1

y  x si x   y  3x si x  

EJERCICIOS 3.17 Evalúe los siguientes límites. 1) limtanx  x 0

2) 3)

lim sec( x)

R/  

lim 2  cot( x)

R/  

x  / 2 

x 0 

 sen(5 x)  lim   x 0 sen(3 x )   1  sen( x)  5) lim    x  / 2    2 x  4)

R/ 0

R/ 5 / 3 R/ 0


 cos(x / 2)   x 1  1 x  1  cos(3x)  7) lim   x  / 3    3x   cos( x)  1 / 2  8) lim   x  / 3  x  /3   sen( x  h)  sen( x)  9) lim   h 0 h  

R/ 

6) lim 

10)

/2

R/ 0 R/ 

3/2

R/ cos(x)

 t  tan(t )  lim   t 0  sen(t ) 

R/ 2


  b) lim 6  3e  c) lim 6  3e  a)

lim 6  3e  x

R/ 3

x 0

x

R/ 6

x 

x

R/  

x 

 2  ex  lim d)   x 0 1  2e x  

R/ 1

 2  ex  e) lim   x   1  2e x  

R/ 1 / 2

 2  ex  f) lim   x   1  2e x  

R/ 2

ex 1 2) Considere la función: f ( x)  x a) Complete la tabla de valores:

x f (x)

-0.1 -0.01 0.01 0.1 0.9516 0.9950 1.0050 1.0517

b) Intuitivamente calcule el límite de la función cuando

x0

R/ 1

c) Con base en lo anterior redefina la función y represente gráficamente en el intervalo

 2 , 2

e x 1 si x  0  f ( x)   x 1 si x  0 



si x  0 x  x f ( x)  2 si 0  x  2 log ( x) si 2  x  4  2 a) Calcule los siguientes límites:

lim  f ( x)

R/  

lim  f ( x)

R/ 0

lim  f ( x)

R/ 1

lim  f ( x)

R/ 4

lim  f ( x)

R/ 1

x 

x 0  x 0 

x 2 

x 2 

b) Analice la continuidad de la función. R/ f es discontinua en x  0 , x  2 c) Represente gráficamente la función en el intervalo

4) Considere la función: f ( x)  ln a) Calcule los siguientes límites:

x 

x2  x

lim  f ( x)

R/ 0

lim  f ( x)

R/ 

x 1

x 

 2 , 4




lim  f ( x)

R/  ln( 2)

x 


f ( x)  x  3  e  x

a) Muestre que la función tiene una raíz en el intervalo R/

3 , 4

f (3)  0 ; f (4)  0

b) Muestre que la recta y  x  3 es una asíntota oblicua de la gráfica de la función cuando

x 

 f ( x)   f ( x)  x  3   1 b  lim x   x 

R/ m  lim  x 

CUESTIONARIO


si 0  x  1 1 / x f ( x)   2 2 x  1 si x  1 a) Verifique que es continua.

lim  f ( x)  1

R/

x 1

lim  f ( x)  1

x 1

b) Determine las derivadas laterales en

x 1



R/

f ' (1 )  1 f ' (1 )  4

c) Diga si la función es o no es diferenciable en R/ No d) Represente gráficamente la función.

x 1



si x  1 x  2 f ( x)   2 5 x  2 x si x  1 a) Verifique que es continua.

lim  f ( x)  3

R/

x 1

lim  f ( x)  3

x 1

b) Determine las derivadas laterales en

x 1



R/

f ' (1 )  1 f ' (1 )  1

c) Diga si la función es o no es diferenciable en R/ Si d) Represente gráficamente la función.

x 1

EJERCICIOS 4.3 1) Usando la definición, determine la primera derivada de la función represente, en una misma figura, la función y la derivada. R/

f ' ( x)  1 

1 2 x

f ( x)  x  x

y

; x0



 x  1 si x  1  f ' ( x )   1 si 1  x  3  x  4 si x  3  a) Represente gráficamente la primera derivada

b) Si la función: f pasa por el origen, determine la ecuación de la recta tangente. R/ y  x c) A partir de la gráfica de la primera derivada, determine los intervalos en los que la gráfica de la función: f es cóncava hacia arriba. R/

  ,1 3, 


x     f ' ( x)  1  cos x  2    1

si x  1 si  1  x  1 si x  1

a) Represente gráficamente la primera derivada


b) Si la función: f pasa por el punto 2 , 3 , determine la ecuación de la recta tangente. R/ y  x  1 c) A partir de la gráfica de la primera derivada, determine los intervalos en los que la gráfica de la función: f es cóncava hacia abajo. R/

  , 0

EJERCICIOS 4.5 1) Usando las diferentes reglas, determine la derivada de cada una de las siguientes funciones: a)

f ( x)  e  x cos( x)

f ' ( x)  e  x sen( x)  cos( x) cos( x) b) f ( x)  x  xsen( x)  cos( x)  f ' ( x)   x2 R/

c) f ( x)  ( x  1) ln( x)

x 1  ln( x) x ex  2 f ( x )  d) 1 ex 3e x f ' ( x)  1  e x 2 f ' ( x) 

e)

f ( x) 

f ' ( x) 

x2 1 x2  4  6x

x

2

4



2

1 x ln( x) 1  ln( x) f ' ( x)  1  ln( x)  2 2 x ln ( x)

f)

f ( x)  x ln( x) 

g) f ( x) 

x cos( x)


f ' ( x)  h)

 2 xsen( x)  cos( x) 2 x

f ( x)  x  1 ln( x) 2

f ' ( x) 

x 2  1  x 2 ln( x)

x x2 1 x i) f ( x)  xe sen( x) f ' ( x)  e x x cos( x)  xsen( x)  sen( x) e x sen( x) j) f ( x)  x 1 x e x cos( x)  xsen( x)  cos( x)  f ' ( x)  ( x  1) 2 2) Considere la función: f ( x)  (2 x  3)e a) Encuentre la derivada de la función

x

f ' ( x)  e  x 5  2 x 


0 ,  3

y  5x  3 3) Considere la función: f ( x)  x cos( x) a) Encuentre la derivada de la función

f ' ( x)  cos( x)  xsen( x)

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

y  x

x 

EJERCICIOS 4.6 Encuentre la derivada con respecto a 1)

y  ( x  1) e 2

x para cada una de las siguientes funciones:

2x

y'  2e 2 x x  1( x  2)

2) y

 x 2e x

2





y'  2 xe x x 2  1 2x 2x 3) y  xe  e y'  e 2 x 2 x  3 2

4) y  e

y' 

3 x

 3e

3 x

3x  1

6 x  1

2 3x  1 2 5) y  2 x  1ln( 2 x)

4 x 2  2  4 x 2 ln( 2 x) x 1/ x 1 / x 6) y  e  e y' 


e 1 / x  e1 / x y'  x2 x 7) y  e tan(x) y'  e  x sec 2 ( x)  tan(x) 8) y  ln2 cos( x) y'   tan( x) e2x 9) y  x  e2x e 2 x 2 x  1 y'  2 x  e2x x 10) y  sec 1  e









y'  e x sec(1  e x ) tan(1  e x ) 11) y  x

y' 

2



ln 1  x 1



2x 2 x 1  x



  2 ln 1  x 

x ln 1  2 x 

12) y 

2 x ln 1  2 x   1  2x 2 x 2  ln( x) 13) y  1  ln( x) 3 y'  2 x1  ln( x)  y' 

14)

y' 

y



e x ln( x) e x  ln( x)

e x e x  ln 2 ( x) xx  ln( x) 



2

y  x ln 2 ( x) y'  ln( x)2  ln( x)

15)

16)

y  x 2 ln 3 ( x)

y'  x ln 2 ( x)3  2 ln( x) 17) y  senx cos(x)

y'  cosx cos( x)cos( x)  xsen( x) 2 18) y  sen ( x) cos( x) y'  senx 2 cos 2 ( x)  sen 2 ( x) 19) y  tancos( x) y'  sen( x) sec 2 cos( x)

20)



y  ln x  x 2  1




1

y' 

x2 1

21) y  ln( x) 









1 ln x 2  1 2

2x 2  1 x x2 1

y' 



 



1 1 ln x 2  1  ln x 2  1 2 2 4 2 x  2x  1 y'  x x4 1

22) y  ln( x) 



23)



y  tan 2 sen( x)

y'  2 cos( x) tan(sen( x)) sec 2 sen( x)

 1  cos( x)    ln   1  cos( x)  sen( x) y'  cos 2 ( x)  1

24) y

EJERCICIOS 4.7 1) Encuentre la derivada y ' para cada una de las funciones siguientes.

x 2  3xy  y 2  y  3  0 2x  3 y y'  3x  2 y  1 2 xy b) x  y  e  3  0 a)

 2 x  ye xy y'  1  xe xy 2 2 c) x  y  sen( xy )  x  0  2 x  y cos( xy )  1 y'  2 y  x cos( xy ) d) xsen( y)  y cos( x)  2  0 ysen( x)  sen( y ) y'  x cos( y )  cos( x) 2 e) xsen( y )  y cos( x)  2  0

y' 

   

ysen( x)  sen y 2 cos( x)  2 x cos y 2

x  y  e sen( y ) 1 y'  cos( y )e sen( y )  1

f)

g)

ln( x  y)  x 2  y 2

y' 

2 x 2  2 xy  1 1  2 xy  2 y 2 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

h) sen( xy )  cos( xy )  1

y x i) sen( x / y)  cos( x / y)  1 y y'  x j) sen( y)  2 xy  y  2y y'  cos( y )  2 x  1 y' 

2) Considere la curva del plano 2 x  2 xy  y  10 a) Determine, por derivación implícita, la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto P( x, y ) 2

y' 

2

2x  y x y

b) Encuentre los puntos de abscisa uno

1,  2 1, 4

c) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en cada uno de los puntos hallados previamente.

4 10 x 3 3 2 10 y  x 3 3 y

d) Exprese la curva mediante dos funciones explícitas de

y  x  10  x

x

2

y  x  10  x 2 e) Represente gráficamente la curva y las dos rectas halladas en c)

EJERCICIOS 4.8 dy Calcule para cada una de las siguientes funciones: dx 1) y  arcsen x  1 1 y'  2  x( x  1)





y  lnarcsen( x) 1 y'  arcsen( x) 1  x 2 3) y  arctanln( x)  1 y'  x1  ln 2 ( x)  2)

4)



y  arcsen e x  e  x

 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

y' 

e x  ex

3  e 2 x  e 2 x 2 5) y  arccos( x )  2x y'  1 x4 6) y  lnarctan( x) 1 y'  arctan( x)1  x 2  7.



y'  8)



y  arctan e x  1



e

x



1 ex 1

2

y  arccos(1  e  x )

y' 

 ex

2e  x  e  2 x x 9. y  arctan cos e

  

y'  10)

y' 

e x sen(e x ) 1  cos 2 (e x ) y  arctan( sen(e  x ))

e  x cos(e  x )  2  cos 2 (e  x )

EJERCICIOS 4.9 Determine las dos primeras derivadas para cada una de las siguientes funciones:

y  arctan( x 2 ) 2x y'  1 x4 21  3 x 4  y' '  1  x 4 2

1)





y  ln x  x 2  1 1 y'  1 x2 x y' '  1  x 2 3 / 2 3/ 2  2 x1 / 2 3) y  5x 15 y '  x1 / 2  x 1 / 2 2 15 1 y ' '  x 1 / 2  x 3 / 2 4 2 2 4) y  x sen( x) 2)


y '  x 2 cos( x)  2 xsen( x) y ' '   x 2 sen( x)  2sen( x)  4 x cos( x) 5)

y  e 2 x sen( x)

y '  e 2 x cos( x)  2sen( x)

y ' '  e 2 x 4 cos( x)  3sen( x) 6) y  arccos(x) 1 y'  1 x2 x y' '  3 1 x2 7) y  x arctan(x) x y'   arctan( x) 1 x2 2 y' '  2 1 x2 x 8) y  e sen( x)  cos( x)









y '  2e x cos( x) y ' '  2e x cos( x)  sen( x)  x  2 9) y  ln    x2 4 y'  2 x 4 8x y' '  2 2 x 4 10) y  ln arctan( x)  1 y'  2 1  x arctan( x) 2 x arctan( x)  1 y' '  2 1  x 2 arctan 2 ( x)













EJERCICIOS 4.10 Usando derivación logarítmica, determine la primera derivada para cada una de las siguientes expresiones: 1)

y  x cos(x )

ln( y )  cos( x) ln( x)  y ' / y 

cos( x)  sen( x) ln( x)  x

 cos( x)  y '  y  sen( x) ln( x)   x  cos(x ) 2) y  sen( x) Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

cos( x)  sen( x) ln( sen( x))  sen( x)

ln( y )  cos( x) ln( sen( x))  y ' / y  cos( x)

 cos 2 ( x)  y '  y  sen( x) ln( sen( x))  x   1 sen( x ) 3) y  x 1  sen( x) ln( y )  1  sen( x)  ln( x)  y ' / y   cos( x) ln( x)  x  1  sen( x)  y '  y  cos( x) ln( x)  x   4)

y  ( x  1) x1

ln( y )  x  1 ln( x  1)  y ' / y 

x 1  ln( x  1)  x 1

 x 1  y '  y  ln( x  1)   x 1  2 cos ( x)  cot( x) 5) y  x2 1

 2sen( x) csc 2 ( x) 2x ln( y )  2 ln(cos( x))  ln cot( x)   ln x  1  y ' / y    2  cos( x) cot( x) x  1



2



  2sen( x) csc 2 ( x) 2x   y '  y   2 cot( x) x  1   cos( x) x 2 e 2 x cos( x) 6) y  1  sen( x) ln( y )  2 ln( x)  2 x  ln cos( x)   ln 1  sen( x)   y ' / y 

2 sen( x) cos( x) 2   x cot( x) 1  sen( x)

2 sen( x) cos( x)   y '  y  2   cot( x) 1  sen( x)  x 7)

y  sen( x)  x sen( x )

ln( y )  ln( sen( x))  sen( x) ln( x)  y ' / y 

cos( x) sen( x)   cos( x) ln( x)  sen( x) x

 cos( x) sen( x)  y '  y   cos( x) ln( x)  x  sen( x)  sen ( x ) x 8) y  sen( x) x


ln( y )  sen( x) ln( x)  x ln sen( x)   y ' / y 

sen( x) cos( x)  cos( x) ln( x)  x  ln sen( x)   x sen( x)

 sen( x)  x cos( x) y '  y  cos( x) ln( x)   ln sen( x)  sen( x)  x 

y  x 2 e 2 x tan( x) 9) 1  sen( x) ln( y )  2 ln( x)  2 x  ln tan( x)   ln 1  sen( x)   y ' / y 

2 sec 2 ( x) cos( x) 2   x tan( x) 1  sen( x)

2 sec 2 ( x) cos( x)   y '  y  2   tan( x) 1  sen( x)  x 10)

y  ln( x) x sen( x)

ln) y )  x ln ln( x)   ln sen( x)   y ' / y  x 

1/ x cos( x)  ln ln( x)    ln( x) sen( x)

 1 cos( x)   y '  y  ln ln( x)   sen( x)   ln( x) CUESTIONARIO

EJERCICIOS 5.3. 1) Considere la función:

 x si 0  x  1 f ( x)   2 2 x  8 x  7 si 1  x  7 / 2 a) Muestre que es continua en su dominio

lim  f ( x)  1

x 1

lim  f ( x)  1

x 1

b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos.

1 si 0  x  1 f ' ( x)   4 x  8 si 1  x  7 / 2 Docente: Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Subido: [email protected]

lim  f ' ( x)  1

x 1

lim  f ' ( x)  4

x 1

Los números críticos son: x  1 , x  2 c) Represente gráficamente la función y la primera derivada

d) Encuentre los extremos absolutos de la función. Valor máximo: f (1)  1 Valor mínimo: f (2)  1 2) Considere la función

 x 3 si  1  x  1 f ( x)    3x  4 si 1  x  2 a) Muestre que es continua en su dominio

lim  f ( x)  1

x 1

lim  f ( x)  1

x 1

b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los números críticos.

3x 2 si  1  x  1 f ' ( x)    3 si 1  x  2 lim  f ' ( x)  3

x 1

lim  f ' ( x)  3

x 1

Los números críticos son: x  1 , x  0 c) Represente gráficamente la función y la primera derivada


d) Encuentre los extremos absolutos de la función. Valor máximo: f (1)  1 Valor mínimo: f (2)  2 3) Considere la función

f ( x)  x 4  2 x 3 ;  1  x  2 a) Determine los extremos absolutos de la función. Valor máximo: f (1)  3 Valor mínimo: f (3 / 2)  27 / 16 b) Determine los intervalos en los que f es creciente. Crece en: (3 / 2 , 2] c) Determine los puntos de inflexión de la gráfica de f. Puntos de inflexión: 0 , 0 ; 1 ,  1 d) ¿habrá puntos en la gráfica de f en los que la pendiente de la recta tangente sea -1? Hay 3 puntos de acuerdo con la figura


f ( x)  cos 2 ( x)  cos( x) ; 0  x   a) Determine los extremos absolutos de la función. Valor máximo: f ( )  2 Valor mínimo: f ( / 3)  1 / 4 b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. Crece en: ( / 3 ,  ] c) Calcule la concavidad de la curva en el punto de abscisa

x  /4

f ' ' ( / 4)  2 / 2 5) Considere la función:

f ( x)  x 2 e  x ;  1  x  3 a) Determine los extremos absolutos de la función. Valor máximo: f (1)  e Valor mínimo: f (0)  0


b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. Decrece en:  1, 0  2 , 3





c) Determine la abscisa de los puntos de inflexión en el intervalo.

x  4 2 6) Considere la función:

f ( x)  ln(4 x 3  21x 2  36 x  1) ; 1  x  2.5 a) Determine los extremos absolutos de la función. Valor máximo: f (2.5)  3.1023 Valor mínimo: f (1)  2.9957 b) Determine los intervalos en los que f es decreciente. Crece en: 1,1.5  (2 , 2.5]




 1  1  x si 0  x  2 f ( x)   2  x  6 x  8 si 2  x  5 a) Redefina la función sin la barra de valor absoluto y muestre que es continua en su dominio

x si 0  x  1  y  2  x si 1  x  2  x 2  6 x  8 si 1  x  5  b) Determine la primera derivada de la función y encuentre los puntos críticos.

1  y '   1  2 x  6 

si 0  x  1 si 1  x  2 si 1  x  5

Números críticos:

x 1

x2 c) Represente gráficamente la función y la primera derivada.


d) Determine los extremos absolutos de la función.

Max  1

Min  3 8) Considere la función: y  x  8 x a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente y en los que es decreciente. 4

y'  4 x 3  8



crece : 3 2 , 





decrece :   , 3 2




y' '  12 x 2  0 x 9) Considere la función: y 

1 4  x2

a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto y encuentre los intervalos en los que la curva es creciente y en los que es decreciente.

y' 

x

4  x 

2 3/ 2

crece : 0 , 2 

decrece :  2 , 0 


y' ' 

2x 2  4

 0 x   2 , 2

4  x 

2 5/ 2

10) Dada la función

f ( x)  xsen( x) ; 0  x  

a) Muestre que tiene extremos relativos en el intervalo. Puesto que f (0)  f ( )  0 y la función es diferenciable, la curva debe tener un extremo relativo en el intervalo abierto

0 ,  

b) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa

yx c) Determina la concavidad de la curva en el punto de abscisa x   / 2 y' ' ( / 2)   / 2

x  /2

EJERCICIOS 5.4 Con base en las pautas presentadas, represente gráficamente cada una de las siguientes funciones. 1) y  x

2

 x  1

2


2) y 

x

 x  1

3)

y

x3 x2 1

4)

y

x2  1 1  x2

2


5) y  x  3 x  2

6) y 

7)

6 1  2e  z

y  x 2ex / 2


8)

y  x 2 ln( x)

9)

y  ln(6  x  x 2 )

10)

y  2sen 2 ( x)  sen( x) ; 0  x  2



Texto Calculo Diferencial - Norman Mercado Universidad Nacional de Colombia 2011

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