V-2.3 Resultados del Análisis Estadístico.
177
V-3 Análisis de Resultados.
178
V-4 Conclusiones.
178
Recomendaciones
179
Referencias.
180
viii
GLOSARIO DE PALABRAS Ángulo: figura formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto. Arcillas: Roca sedimentaria formada a partir de depósitos de grano muy fino, compuesta principalmente por silicatos de aluminio hidratados. Área: Superficie comprendida dentro de un perímetro. Arista: Líneas que resulta de la intersección de dos superficies, considerada por la parte exterior del ángulo que forman. Base: Fundamento o apoyo principal en que descansa un muro. Cargas: Refiérase a la acción de fuerzas concentradas o distribuidas actuando sobre un elemento estructural. Coeficiente de Empuje Activo: Relación existente en un punto del terreno entre la tensión efectiva horizontal y la tensión efectiva vertical, cuando actúa el empuje lateral de tierra. Coeficiente de Empuje en Reposo: Relación existente en un punto del terreno entre la tensión efectiva horizontal, para un terreno horizontal en el que las deformaciones laterales son impedidas Coeficiente de Empuje Pasivo: Relación existente en un punto del terreno entre la tensión efectiva horizontal y la tensión efectiva vertical, cuando se fuerza a un muro a moverse contra el terreno. Cohesión: fuerzas de atracción que mantienen unidas las partículas de un suelo, generalmente a las arcillas. Hipótesis: Proposición cuya veracidad es generalmente asumida. Peso Unitario: La relación existente entre el peso de un suelo por unidad de volumen. Planos de Deslizamiento: Es la superficie de falla o de deslizamiento del suelo. Presión Hidrostática: Fuerza de separación entre las partículas sólidas del suelo.
ix
Fricción: Fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra. Tensión: Valor de la distribución de fuerzas por unidad de área.
x
INTRODUCCIÓN Los muros de retención son en la actualidad una de las estructuras más utilizadas ya sea como protección de estructuras o para el mejoramiento de terrenos con topografía irregular, con el propósito de obtener un terreno totalmente estable y que tenga las características para soportar cargas o movimientos fuertes. Existen muchos métodos de diseño, los cuales podrían dividirse en Métodos Clásicos (Coulomb, Rankine, Poncelet, Polígonos Funiculares, entre otros), basados en estimaciones de comportamiento elástico de los suelos; Métodos Modernos (US Army, Sueco y Elementos Finitos), surgidos de resultados experimentales. Se podría elegir cualquiera de los antes mencionados, sin tomar en cuenta los resultados, tanto económicos, cómo, constructivos. Sin embargo, el aspecto más importante es el óptimo que lo económico que influye en una obra de este tipo y de hacer la comparación de ambos métodos (clásicos y modernos). Además, dependiendo del tipo de suelo que soportara el muro, cuál sería el método que mejor se adapta a las condiciones y características reales del suelo.
1
ANTECEDENTES En base a estudios realizados se nos permitió partir de hechos que en la realidad toman bastante relevancia, dentro de nuestro estudio tomaremos en cuenta los códigos vigentes para la aplicación de las teorías. En nuestro estudio no profundizamos en otros estudios, más bien los análisis a realizar se basan en literatura de la cual aplican los reglamentos vigentes.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En nuestro país tenemos un método definido para el diseño de obras de retención, el Reglamento para la Seguridad Estructural de El Salvador menciona el de Coulomb, estos métodos existentes los podemos clasificar en dos grupos como lo son Métodos Clásicos y los Métodos Modernos, estos métodos deben ser comparados entre sí para poder definir cuál de ellos se adapta de mejor forma a las condiciones de de los suelos (granulares y cohesivos) así, también la disipación del empuje activo de estos suelos. Al hablar de obras de retención (Muros) podemos definir los siguientes tipos: Muros de gravedad de mampostería de piedra. Muros en cantilever de concreto armado.
Hacer un estudio comparativo demostraríamos cual método es adecuado y el que resultaría con la estructura mas económica con respecto a su diseño y construcción.
2
JUSTIFICACIÓN De acuerdo con lo expuesto en el acápite anterior consideramos conveniente la realización de este estudio para satisfacer las justificaciones siguientes: Comparar
los métodos clásicos versus modernos para conocer sus ventajas y
desventajas. Encontrar el método que provenga del mejor conocimiento posible del suelo
analizado. Encontrar el método estructuralmente más confiable Encontrar el método que genere el diseño más económico.
3
OBJETIVO GENERAL Lograr un completo entendimiento de los métodos usados para evaluar cargas en los muros, compararlos y determinar cuál es el más cercano a la realidad, el más económico y el que cumple con todos los requisitos de reglamentaciones vigentes, como el Reglamento para la Seguridad Estructural de las construcciones en El Salvador y otros a determinar.
OBJETIVO ESPECIFICO Establecer las ventajas y desventajas que tienen entre si los métodos clásicos versus
métodos modernos. Analizar los métodos para cada tipo de muro (gravedad y cantiliver), con hojas de
cálculo exceptuando el método de Elementos Finitos.
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ALCANCES Y LIMITACIONES DEL ESTUDIO Alcances del Estudio Determinar el método más conveniente, estructuralmente y económicamente, para las condiciones de los suelos analizados (granulares y cohesivos), y que mejor se adapte a las reglamentaciones vigentes de nuestro país.
Limitaciones del Estudio. Al hablar de obras de retención existe una gran variedad de las mismas, nuestra investigación será en las estructuras de retención más usadas en nuestro medio, dentro del análisis estructural estático (sin sismo): 1. Muros de gravedad de mampostería de piedra 2. Muros en cantiléver de concreto armado Y en al menos 2 alturas diferentes, 2 m, y 5 m, bajo la acción de 2 tipos de suelos característicos: granulares y cohesivos, con al menos 3 inclinaciones de suelo sobre la estructura de retención: 0, 15 y 30 grados, exceptuando el método de Elementos Finitos, del cual solo estudiaremos lineamientos generales.
5
CAPITULO I.
ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS CLÁSICOS
I.1. TEORÍA DE COULOMB I.1.1 Historia y Limitaciones a) Historia Charles-Augustin de Coulomb (Angouleme, Francia, 14 de junio de 1736-paris, 23 de agosto de 1806).Físico e ingeniero militar francés. Destacado por muchos aportes que lo llevaron a tener muchas experiencias como ingeniero y dar como resultado fundamentos que sirvieron para la mecánica estructural. Poco más de 200 años atrás su gran aporte a la teoría que hoy se le conoce y que es la que analizáremos en este apartado, (en el año de (1776)), la teoría de empuje de tierra dentro de la cual enfoca la falla en forma de cuña.
b) Limitaciones En su teoría coulomb asumió que la superficie de falla es un plano, y a diferencia de Rankine, el toma en cuenta la fricción entre el suelo y el muro, la cual es proporcionada por una superficie inclinada, en la cual supone que el esfuerzo cortante limite es función de esfuerzo cortante normal en el plano de falla y que existe una ley de variación lineal entre estos dos tipos de esfuerzo, las hipótesis que considera coulomb son: Hay fricción entre el suelo y muro. No hay adherencia entre el suelo y muro. La superficie de falla puede ser horizontal o inclinada. El trazado el muro puede ser vertical o inclinado. El suelo seco o completamente sumergido. La cohesión del suelo aparentemente nula (suelos granulares).
6
A partir de estas hipótesis coulomb genero las condiciones para analizar la estabilidad de taludes y diseño de muros de retención al igual que Rankine y propone las dos formas de análisis que se conocen presión activa y presión pasiva. Presión en reposo: El muro está restringido contra cualquier movimiento a cualquier profundidad figura (1.1 a), es decir la presión es mínima. Presión activa: Se supone una inclinación del muro hacia el suelo retenido, al hacerlo se forma una cuña triangular del suelo detrás del muro, la cual fallara dentro del plano de inclinación. Como muestra la figura (1.1 b). Presión pasiva: En este caso el muro es empujado hacia el suelo donde se forma una cuña de suelo que fallara como muestra al figura (1.1 c).
Figura No. 1.1 Tipos de comportamiento respecto a presiones (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.1)
Puede considerarse como limitantes que no considera coulomb en su teoría, en la cual no considera el estado de tensiones en el interior ni exterior de la cuña, por lo tanto la superficie de plana de falla no satisface las condiciones de equilibrio limite, esto se debe a que la cuña de falla es considerada rígida. 7
El método es considerado muy bueno para el caso de empuje activo, no es muy exacto para el caso de empuje pasivo, puesto que podrían obtenerse datos con valores muy altos. También se puede mencionar que a mayor altura se pude considerar no exacto los valores de carga, por lo general podemos considerar el diseño de muros de hasta 6m.
I.1.2 Fundamentación Teórica I.1.2.1Presión Activa de Coulomb Como vimos en la sección anterior para Rankine el muro no tenía fricción, coulomb en su teoría considera que entre el muro y el suelo si existe fricción, por contener un suelo granular el cual ejerce fricción sobre el muro. Para ello consideremos un muro de retención con espalda inclinada a un ángulo β respecto a la horizontal como se muestra en la figura (1.2 a), el relleno es un suelo granular que se inclina a un ángulo α con la horizontal, δ es el ángulo de fricción entre el muro y el suelo (es decir el ángulo de fricción del muro). Como vimos anteriormente bajo condición activa, el muro se moverá alejándose de la masa de suelo, Coulomb propuso que en tal caso la superficie de falla en el suelo será un plano (BC1,BC2, ….etc.) como lo muestra la figura (1.2 a), entonces para encontrar la fuerza activa en el ejemplo, considérese una posible cuña de falla de suelo ABC1, las fuerzas que actúan sobre esta cuña ABC1,(por unidad de longitud en ángulo recto a la sección transversal mostrada), son las siguientes: 1. El peso W de la cuña. 2. La resultante R, de las fuerzas normales y cortantes resistentes a lo largo de la superficie BC1. La fuerza R estará inclinada a un ángulo Ø respecto a la normal a la superficie BC1. 3. La fuerza activa por longitud unitaria del muro, Pa. La fuerza Pa estará inclinada un ángulo un ángulo δ respecto a la normal del respaldo del muro. 8
Figura No. 1.2 Presión activa de Coulomb (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.12)
Para fines de equilibrio, se dibuja un triangulo de fuerzas como se muestra en la figura (1.2 a) Note que θ1 es el ángulo que BC1 forma con la horizontal. Así como W es conocida las magnitudes de las fuerza son conocidas, el valor de Pa ahora es determinado. Simultáneamente, las fuerzas activas de otras cuñas de prueba, tales como las ABC2, ABC3,…se determinan. El valor máximo de Pa así calculado es la fuerza activa de Coulomb (véase la parte superior de la figura 1.2 a), que se expresa como: Pa
1 K a H 2 2
Donde K a = coeficiente de presión activa de Coulomb Que se expresa como: 9
Ka
sen2
sen sen sen2 sen 1 sen sen
2
H = Altura del muro. El método consiste en proceder por tanteos sucesivos. Eligiendo un punto como posible origen de una cuña de deslizamiento, se calcula el peso P, de la cuña, y en el polígono vertical de la figura se trazan los vectores Pa y R correspondiente, ambos de dirección conocida. El valor de Pa se lleva a partir de un origen convencional como se muestra en la figura (1.2 b). El cálculo se repite para varios puntos, pero generalmente tres puntos son suficientes para determinar la posición del punto correspondiente a la cuña de la presión máxima, que es la presión activa. Al obtener la magnitud y dirección nos permite comprobar la estabilidad al vuelco y deslizamiento del muro y calcularlo como una estructura, que puede ser de hormigón, y de cualquier tipo. Ahora bien si una sobrecarga de intensidad q está situada sobre el relleno como se muestra en la figura (1.9 a) la fuerza activa, Pa se calcula como: Pa
1 K H 2 a eq 2
Donde
sen 2q cos sen H
eq
10
Figura No.1.3 Presión activa de Coulomb con sobre carga sobre el relleno (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.13)
I.1.2.2 Presión Pasiva de Coulomb. Coulomb (1776), también presento un análisis para determinar la presión pasiva de tierra, en muros con fricción que retiene un material granular de relleno igual al visto en la sección anterior. Para entender la determinación de la fuerza pasiva de coulomb, P p, considere el muro mostrado en la figura (1.4 a). Igual que en el caso de la presión activa, Coulomb supuso una superficie potencial de falla en el suelo la cual es un plano. Para una cuña de falla de prueba, como la ABC1, las fuerzas por longitud unitaria del muro que actúan sobre la cuña son 11
1. El peso, W, de la cuña 2. La resultante, R, de la fuerza normal y cortante sobre el plano BC1. 3. La fuerza pasiva, P p.
Figura No. 1.4 Presión pasiva de Coulomb. (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.27)
La figura (1.4 b) muestra el triangulo de fuerzas en equilibrio para la cuña de prueba ABC1. De este triangulo de fuerzas, el valor de P p se determina porque son conocidas las direcciones de tres fuerzas y magnitud de una de ellas. Triángulos similares de fuerzas para varias cuñas de prueba, tales como ABC1, ABC2, ABC3,… pueden construirse y determinarse los correspondientes valores de P p. La parte superior de la figura (1.4 a) muestra la naturaleza de la variación de los valores P p para diferentes cuñas. El valor mínimo de P p en este diagrama es la fuerza pasiva de Coulomb. Matemáticamente, esta se expresa como: 12
1 2
Pp H 2 K p Donde K p= coeficiente de presión activa de Coulomb K p
sen 2
sen sen 1 2
sen sen sen sen
2
Los métodos para calcular las presiones activa y pasiva de de Coulomb, tiene como hipótesis fundamental en su análisis y se basa en considerar la superficie plana. Sin embargo, para muros con fricción, esta hipótesis no es válida en la práctica. La naturaleza de las superficies reales de falla en el suelo para las presiones activa y pasiva se muestran en la figura (1.5 a y 1.5 b) respectivamente (para un muro vertical con relleno horizontal). Note que las superficies de falla BC son curvas y que las de falla CD son planas.
Figura No. 1.5 Naturaleza de la superficie de falla en suelo con fricción de muro para (a) caso de presión activa y (b) caso de presión pasiva (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.28) 13
Aunque la superficie real de falla en el suelo para el caso de la presión activa es algo diferente de la supuesta en el cálculo de la presión pasiva de Coulomb, los resultados no son muy diferentes. Sin embargo, en los casos de presión pasiva, conforme el valor de δ crece, el método de cálculo de Coulomb da valores erróneos crecientes de P p. Resultan más grandes que los de la resistencia del suelo. Es por ello que la teoría de Coulomb para presiones pasivas no es muy fiable, como ya lo mencionamos en el párrafo anterior nos genera valores muy grandes aunque se pueden corregir esta limitante aplicando un factor de corrección al valor de empuje pasivo; basándose en la teoría Coulomb se genera otra teoría la cual propone este factor de corrección, pero esto ya pertenece a otro método. El método de presiones de tierra de Coulomb, tanto activa como pasiva, que se utiliza para el diseño de muros de retención, nos permite considerar el comportamiento del material y del tipo de suelo que se pretende sostener. La descripción del método que Coulomb propuso es prácticamente considerar un plano de falla que esta amarado a las propiedades intrínsecas del suelo, es aquí donde intervienen el peso unitario del suelo (γ), su coeficiente de rozamiento interno, y su capacidad de deformación. El método en sí, es un método grafico el cual considera una o varias posibles direcciones de falla, dentro de las cuales se le ubica las posibles direcciones que podría estar la fuerza resultante como el empuje que genera el talud sobre el elemento de retención, en este caso un muro de retención.
I.1.3 Análisis y Descripción del Método Al presentar la teoría de coulomb, podemos decir que el método que utiliza es conocido como método grafico, el cual se limita las hipótesis siguientes:
El suelo mantiene fricción con el muro.
Cuando crece el ángulo δ de inclinación hay más probabilidad de obtener un dato erróneo. 14
La superficie de falla es plana.
Considera la sobrecarga del relleno.
La representación grafica es un procedimiento de tanteo.
Dentro de las limitantes se puede obtener los factores que esta teoría no considera como probables fallas es por ello que muchos textos recomiendan que esta teoría no es aplicable para el caso pasivo, pues no permite considerar otro tipo de falla como el caso de otros métodos. Para el caso de suelos es aplicable a suelos granulares podemos generar el triangulo en equilibrio de las fuerza que intervienen y así obtener las resultantes y ubicación de la de ellas. El método también considera la sobrecarga del relleno el cual puede estar en su estado seco como con un nivel freático, y tomarlo en cuenta en el cálculo matemático. En conclusión el método nos permite obtener datos bastante cercanos en el caso activo, pero en el caso pasivo no es muy exacto, esto no quiere decir que no se puede usar, si se puede usar pero el ingeniero civil que diseña obras de retención busca hacerlas con el fin de un buen funcionamiento y con el mínimo de costos posibles. Al diseñar muros de retención considerando el caso pasivo de Coulomb, se pueden dar datos del suelo tan grandes que se necesitaría un muro muy grande para sostenerlo.
15
I.2 TEORÍA DE RANKINE. I.2.1 Historia y Limitaciones a) Historia William John Macquorn Rankine nació el día 5 de julio de 1,820 en una familia de Edimburgo, muere el 24 de diciembre de 1,872 su método para el empuje de tierras fue:
1857 – On the Stability in Loose Earth
b) Limitaciones del Método Su Teoría que data de 1857, utiliza las nociones de equilibrio activo y pasivo, está basada en el sistema de tensiones principales aplicadas en un punto del suelo situado a una profundidad, y necesita un cierto número de hipótesis simplificadas: •
El suelo es isótropo;
•
El muro de contención puede pivotar alrededor de su base;
•
La presencia de discontinuidades como muros o una pantalla no modifica la distribución de tensiones verticales en el suelo
•
Supone Muros de paramento interno vertical liso.
•
La superficie del relleno debe ser regular.
•
Las presiones actúan paralelamente a la superficie, teóricamente incorrecto.
•
Las cargas del relleno / efectos de sobrecarga aproximados.
•
Fricción de la pared ignorada, con un efecto beneficioso.
La última hipótesis impone la dirección de las tensiones que actúan sobre el muro que tiene que ser obligatoriamente normal a éste. Esto lleva a despreciar el rozamiento entre el muro y el terreno, es decir, a considerar un ángulo de rozamiento del muro nulo. Ciertamente, esta hipótesis no coincide con la realidad, pero se puede admitir en numerosos casos. (Cuando está del lado de la seguridad). 16
I.2.2 Fundamentación Teórica. I.2.2.1 Presión de Tierra en Reposo. La presión de tierra en reposo se refiere a considerar que el muro (figura 1.6) no tiene ningún movimiento en el sentido horizontal, y que retiene un suelo con un peso especifico γ y que una carga uniformemente distribuida de q/área unitaria, es también aplicada a la superficie del terreno. La resistencia cortante s del suelo es:
s c , tan
Figura 1.6 Presión de tierra en reposo (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.3)
Donde: c = cohesión = Ángulo de fricción. ,
= Esfuerzo normal efectivo
El esfuerzo vertical para el caso estudiado sería a una profundidad z bajo la superficie del terreno: 17
v q z
Como el muro esta en reposo y no se permite que se mueva respecto a la masa del suelo y tomando en cuenta la existencia del nivel freático (es decir, deformación horizontal nula), la presión lateral a una profundidad z es:
h K o , v u Donde: u = presión de poro del agua. K o = coeficiente de presión de la tierra en reposo. Para un suelo normalmente consolidado, la relación para K o es
K o 1 sen La ecuación anterior es una aproximación empírica. Para arcillas normalmente consolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima a
K o 0.95 sen Donde = ángulo de fricción máximo drenado. Para arcillas preconsolidadas, K o(preconsolidadas) ≈ K o(normalmente consolidadas) OCR Donde OCR = Tasa de preconsolidación. Con un valor seleccionado apropiadamente del coeficiente de presión de tierra en reposo, la , ecuación h K o v u se usa para determinar la variación de la presión lateral de la
tierra con la profundidad z. La figura 1.1b exhibe la variación de σh con la profundidad para el muro mostrado en la figura 1.1a. Note que si la sobrecarga q = 0 y la presión de poro 18
u = 0, el diagrama de presión será un triangulo. La fuerza total, Po, por unidad de longitud del muro en la figura 1.1a ahora se obtiene del diagrama de presión dado en la figura 1.6 b como 1 2
Po P1 P2 qK o H H 2 K o
Donde P1 = Área del rectángulo 1 P2 = Área del rectángulo 2 La localización de la línea de acción de la fuerza resultante Po, se logra tomando momentos respecto al fondo del muro. Como sigue: H H P2 2 3 z P1 Po
Si el nivel freático esta a una profundidad
z < H, el diagrama de presión en reposo
mostrado en la figura 1.6 b tendrá que ser modificado un poco, como muestra la figura 1.7. Si el peso especifico efectivo de suelo debajo del nivel freático es γ’ (γsat - γw), En z = 0,
, h K o , v K oq
En z = H1,
, h K o , v K o q H 1
En z = H2,
, h K o , v K o q H 1 , H 2
Note que en estas ecuaciones, σ’v y σ’h son las presiones efectivas verticales y horizontales. La determinación de la distribución de presión total sobre el muro requiere añadir la presión hidrostática. La presión hidrostática u, es cero de z = 0 a z = H1; en z = H2, u = H2 γw. La variación de σ’h y u con la profundidad se muestra en la figura 1.2b. Por lo tanto la fuerza
19
total por longitud unitaria de muro se determina del área del diagrama de presión. Obteniendo: Po A1 A2 A3 A4 A5
Donde A = Área del diagrama de presión.
Figura 1.7 Presión de Tierra en Reposo con Nivel Freático (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.5)
Entonces: Po K oqH1
1 1 1 2 2 K o H12 K o q H1 H 2 Ko , H 2 K o wH 2 2 2 2
20
I.2.2.2 Presión Activa de Tierra de Rankine. Para esta condición sea sume que el muro va a desplazarse una distancia Δx, como se muestra en la figura 1.8, la presión del suelo sobre el muro a cualquier profundidad disminuye. Si además el muro no tiene fricción, el esfuerzo horizontal, σh, a una profundidad z será igual a K oσv (= K oγz) cuando Δx es cero, sin embargo, con Δx > 0 σh será menor que K oσv. Los círculos de Mohr correspondientes a desplazamientos del muro de Δx=0 y Δx > 0 se muestran por los círculos a y b de la figura 1.8 b. Si el desplazamiento del muro Δx, continua creciendo, el correspondiente círculo de Mohr tocara eventualmente la envolvente de falla Mohr-Coulomb definida por la ecuación: s c tan
El circulo marcado con c en la figura 1.3b representa la condición de falla en la masa del suelo; el esfuerzo horizontal es igual entonces a σa y se denomina presión activa de Rankine. Las líneas de deslizamiento (planos de falla) en el suelo forman entonces ángulos
de ± ( 45 ) con la horizontal, como lo muestra la figura 1.8 a. 2 La ecuación que relaciona los esfuerzos principales del círculo de Mohr que toca la envolvente de falla de Mohr-Coulomb:
1 3 tan 2 45
2c tan 45 2 2
21
Figura 1.8 Presión Activa de Rankine (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.7)
Para el círculo mostrado en la figura 1.8 b los esfuerzos principales mayores y menores se describen a continuación: Esfuerzo Principal mayor σ1= σv Y Esfuerzo Principal menor σ3= σa 22
Entonces obteniendo las ecuaciones para los casos donde existe cohesión:
v a tan 2 45
a
v
2c tan 45 2 2
tan 2 45 2
2c
tan 2 45 2
Factorando la ecuación anterior: 2
a v tan 45
2c tan 45 2 2
vK a 2c K a Ka tan 2 45 2
Donde Ka tan 2 45 2 coeficiente de presión activa de Rankine.
La variación de la presión activa con la profundidad para el muro mostrado en la figura 1.8 a se da en la figura 1.8 c. Note que σv = 0 en z = 0 y σv = γ H en z = H. la distribución de presión muestra que en z =o, la presión activa es igual a -2c
Ka , que indica un
esfuerzo de tensión, el cual decrece con la profundidad y es cero a la profundidad denominada Z = Zc, o Zc K a 2c K a 0
Y Zc
2c K a
La profundidad Zc se llama profundidad de la grieta de tensión, porque el esfuerzo de tensión en el suelo causará eventualmente una grieta a lo largo de la interfaz suelo-muro. 23
Podemos definir la fuerza activa total de Rankine por unidad de longitud del muro antes de que ocurra la grieta de tensión por la siguiente ecuación:
1 2
Pa H 2 K a 2cH K a Después de que ocurre la grieta de tensión, la fuerza sobre el muro será causada solo por la distribución de presión entre las profundidades Z= Zc y Z= H, como muestra el área sombreada en la figura 1.8, esta se expresa como: Pa
1 H Zc HK a 2c K a 2
O
1 2c P a H HK a K a 2 K a Se considera para facilitar los cálculos en algunos problemas de diseño de muros de retención, reemplazar un relleno de suelo cohesivo por un suelo supuesto granular con un diagrama de presión activa triangular de Rankine con σa = 0 en Z = 0 y σa = σvKa – 2c Ka en Z = H. en tal caso, la fuerza activa supuesta por unidad de longitud de muro es
Pa
1 1 H HK a 2c K a H 2 K a cH K a 2 2
Sin embargo la condición de presión activa de la tierra se alcanzara solo si se permite que el muro ceda suficientemente.
24
I.2.2.3 Presión de Tierra Activa de Rankine para Terraplén Inclinado. Para los casos en que el relleno del muro tiene un terraplén inclinado como el que se muestra en la figura 1.9 y además el muro no tiene fricción y es granular (C=0), la dirección de la fuerza es paralela al ángulo de inclinación del terraplén y el coeficiente de presión activa de la tierra K a, se expresa en la forma:
Ka cos
cos cos
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
Donde ángulo de fricción interna del suelo. Ángulo de inclinación del terraplén con respecto a la horizontal.
Para encontrar la presión activa a cualquier profundidad z, la formula es: a zK a
La fuerza total por unidad de longitud del muro es: Pa
1 H 2 K a 2
Figura 1.9 Presión Activa de Rankine para Terraplén Inclinado (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.10) 25
La posición de la fuerza es a
H
3
de la base del muro.
Cuando necesitamos estudiar un suelo que además tenga cohesión la ecuación sería aumentando el término K’a cuya ecuación se obtendrá más adelante: a zK a zK , a cos
Donde: 1 , K a cos
c 2 cos 2 2 cos sen z 1 2 c c 4 cos 2 cos 2 cos 2 4 cos 2 8 cos 2 sen cos z z
La profundidad de la grieta de tensión está dada por: Zc
2c 1 sen 1 sen
I.2.2.4 Presión Pasiva de Tierra de Rankine La figura 1.10 a muestra un muro de retención vertical sin fricción con un relleno horizontal. Este caso asume que el muro va a ejercer una fuerza contra la masa del suelo desplazándolo una distancia Δx como se muestra en la figura 1.10 a, si el muro no cede en absoluto, el esfuerzo lateral a esa profundidad será σh= K o σv o presión en reposo. El estado de esfuerzo es ilustrado por el circulo de Mohr a en la figura 1.10 b. Si el muro es empujado hacia la masa de suelo una cantidad Δx, el esfuerzo vertical a la profundidad z 26
permanecerá igual; sin embargo, el esfuerzo horizontal también se incrementará. Entonces,
σh será mayor que K o σv. El estado de esfuerzo se representa en el circulo de Mohr b en la figura 1.10 b. Si Δx aumenta, el esfuerzo a la profundidad z alcanzará el estado representado por el circulo de Mohr c (figura 1.10 b). Note que este círculo de Mohr toca la envolvente de falla de Mohr-Coulomb, lo que significa que el muro fallará siendo empujado hacia arriba. El esfuerzo horizontal σh, en este punto se llama Presión Pasiva de Rankine, o σh = σ p.
Figura 1.10 Presión Pasiva de Rankine. (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.25) 27
Para el circulo de Mohr c en la figura 1.10 b, el esfuerzo principal mayor es σ p y el esfuerzo principal menor es σv. lo que resulta en la siguiente ecuación: 2
p v tan 45
2c tan 45 2 2
K p = Coeficiente de presión pasiva de Rankine tan 2 45 2
y sustituyendo en la ecuación obtenemos: Sustituyendo: p v K p 2 c
K p
Esta ecuación produce la figura 1.10 c, que da el diagrama de presión pasiva para el muro z 0
mostrado en la figura 1.5a. Nótese que en v 0
K p
y
p 2c
y
p HK p 2c
y en z = H v H
K p
La fuerza pasiva por unidad de longitud del muro se determina del área del diagrama de presión, o Pp
1 2 H K p 2c K p 2
28
I.2.2.5 Presión Pasiva de Tierra de Rankine Relleno Inclinado. Para el caos del empuje pasivo pero en un muro con terraplén inclinado, además sin fricción y con relleno granular (c = 0) la presión pasiva de Rankine a una profundidad z pude determinarse de una forma similar a la que se determina para la presión activa con la ecuación siguiente: p zK p
Y la fuerza pasiva 1 2
Pp H 2 K p
Donde K p cos
cos cos^2 cos^2 cos cos^2 cos^2
Figura 1.11 Presión Pasiva de Rankine para Relleno Inclinado (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 6.10) 29
Igual que en el caso de la fuerza activa, la fuerza resultante, P p, esta inclinada a un ángulo α con la horizontal y cruza el muro a una distancia de H/3 desde la base del muro. Si el relleno del muro de retención vertical sin fricción es un suelo cohesivo y granular entonces: a zK p zK , p cos
Donde: c 2 2 cos 2 cos sen 1 z K p' 1 2 cos 2 c c 2 2 2 2 2 4 cos (cos cos ) 4 cos 8 cos cos sen z z
I.2.3 Análisis del método La pared vertical del muro soporta una carga equivalente a la suma de los empujes en reposo, activo y pasivo con constantes para cada uno de estos empujes (K o, K a, K p) que dependen del valor del ángulo de fricción interna ( ) y de los planos de falla perpendiculares que el método contempla (Tan 45° -
2
y tan 45° +
2
), actuando en el
tercio medio de altura del muro y permite usarse en suelos con y sin cohesión.
I.2.4 Descripción del método. El método supone que el paramento interno vertical del muro es liso y que el muro soporta una fuerza determinada a partir de los empujes y de que el punto de aplicación de la fuerza es un tercio de la altura del muro, esta es paralela a la superficie del terreno y la superficie de falla es plana.
30
I.3 MÉTODO GRAFICO DE CULMANN I.3.1 Historia y Limitaciones a) Historia Karl Culmann (Bergzabern, 1821-Riesbach 1881) Ingeniero alemán, especializado en la construcción de puentes. Profesor de la escuela politécnica de Zúrich, realizo importantes innovaciones en los análisis de los sistemas reticulares, donde se le considera el fundador de la grafostática, expuso el resultado de su trabajo en la obra Estática Grafica. Quien baso la grafostática con el polígono funicular, mediante la aproximación de un polígono de fuerzas que gráficamente dan como resultado la obtención de la resultante en un punto de aplicación.
b) Limitaciones El método toma en cuenta las características del suelo, al igual que Coulomb, supone una cuña de falla, pero, en este método solo toma en cuenta el empuje activo, la gran ventaja es que retoma las hipótesis de Coulomb, pero los resultado son mas analíticos que científicos, Otra de sus limitantes es que no se puede considerar la localización y dirección de la aplicación de la fuerza resultante, por lo que también se supone gráficamente. Como, lo veremos más adelante.
I.3.2 Fundamentación Teórica Como ya se indico la teoría de Coulomb se basa en encontrar un plano de rotura que de un empuje activo máximo, así como un como un plano de rotura que del empuje pasivo mínimo. Recuérdese que el empuje activo es el que gravita directamente sobre el muro y para cuyo fin se construye este, mientras que el empuje pasivo es la resistencia que ofrece el terreno a un muro próximo a el que está soportando otra acción y que transmite al terreno. Como la teoría de Coulomb se presta mejor a una interpretación práctica que analítica, muchos han sido los actores que dieron métodos analíticos para la solución del 31
problema; este consiste precisamente en encontrar el plano de deslizamiento que según la teoría de Coulomb proporcione el empuje activo máximo. Culmann (1875) dio un método conveniente para crear una solución grafica de la teoría de presiones de tierra de Coulomb. La solución de Culmann se basa en la comparación de un polígono de fuerzas con el polígono funicular el cual presenta en un modelo a escala la aplicación de la fuerza en un punto y que establece que la relación que hace entre el polígono funicular y el polígono de fuerzas es intercambiable. Para cualquier fricción de muro, despreciando las irregularidades del relleno y sobrecargas. De aquí que provee una técnica muy poderosa para estimar la presión lateral de tierra. Se puede considerar que el método de Culmann es una técnica muy poderosa, para estimar el empuje activo dentro de un relleno irregular y con un suelo de granular (c=0). El método de Culmann sigue el siguiente proceso. Fig. (1.12).
Figura No. 1.12 Representación grafica del Método Culmann
32
a) Define la línea del talud natural como la que partiendo del vértice B del trasdós del muro, forma un ángulo φ (que es el de rozamiento interno del terreno) con la horizontal. b) Define la línea de dirección como aquella que pasando por B forma un ángulo φ + δ como el parámetro del muro. El método de Culmann dice que si a partir del punto B, que hemos considerado como origen de coordenadas, levamos sobre la línea de talud natural BD, la magnitud del peso del prisma ABC a una determinada escala, nos dará el punto J . SI ahora por JBe traza una paralela a la línea de dirección cortara a la línea BC en el punto N . Este valor JN representa a la escala indicada para la fuerza el valor del empuje activo producido por el prisma ABC . BJ = Valor del peso del prisma ABC . JN = Valor del empuje sobre el muro producido por el prisma ABC .
En vista de esto podemos indicar que como lo que aquí se pretende es determinar el empuje máximo ( E a) se consideran tantos puntos C como sean necesarios para describir una curva en la que podemos determinar el E a máximo. Los pasos en la solución de Culmann del empuje activo con relleno granular (c = 0) se describen a continuación con referencia a la figura (1.13). Dibujar las características del muro de retención y del relleno a una escala
conveniente. Determinar el valor de ψ (en grados) = 90 – θ – δ, donde θ = la inclinación de la
superficie del respaldo del muro de retención con la vertical, y δ = ángulo de fricción de la pared. Dibujar la línea BD que forma un ángulo con la horizontal. Dibujar la línea DB que forma un ángulo ψ con la línea BD. Para considerar alguna cuñas de falla de ensayo, dibujar las líneas BC 1 , BC 2 , BC 3 ,….., BC n .
Encontrar las áreas de ABC 1 , ABC2, ABC3,…..ABC n.
33
Determinar el peso de suelo W , por unidad de ancho de muro de retención en cada
una de las cuñas de falla de ensayo: W 1 = (área de ABC 1 ) x ( γ ) x (1) W 2 = (área de ABC 2 ) x ( γ ) x (1) W 3 = (área de ABC 3 ) x ( γ ) x (1) W n = (área de ABC n ) x ( γ ) x (1)
Adoptar una escala de carga conveniente y el plotear los pesos W 1 , W 2 , W 3 ,…W n
determinados del paso 7 sobre la linea BD (nótese que: Bc1= W 1 , Bc2 =W 2 , Bc3 = W 3 ,…….,Bcn = W n).
Dibujar c1c1', c2c2', c3c3',…., cncn' paralelo a la línea BE , (nótese que c1', c2', c3',….,
cn c1', c2', c3',…., cn' están localizados sobre las líneas BC 1 ,
BC 2 , BC 3 ,…..BC n,
respectivamente). Dibujar una curva suave a través de los puntos c1', c2', c3',…., cn'. Están es la
llamada línea de Culmann. Dibujar la tangente B'D' a la curva suave dibujada en el paso 10. B'D' es paralela la
línea BD. c3' es el punto de tangencia. Dibujar la línea c3c3' paralela a la línea BE. Determinar la fuerza activa por unidad de ancho del muro: E a = (largo de carga') x (escala de la carga)
Dibujar una línea Bca'C a donde ABC a es la cuña de falla deseada.
Nótese que el procedimiento de construcción consiste en esencia, en dibujar un número de polígonos de fuerza para un número de cuñas de ensayo y encontrar el valor máximo de la fuerza activa a que el muro puede estar sujeto. Por ejemplo, la figura (1.13 b) muestra el polígono de fuerza para una cuña de falla ABC a (similar a la figura (1.13 b) en la cual: W = Peso de la cuña de falla del suelo ABC a. P a = Fuerza activa del muro. F = Resultante de las fuerzas normales y de corte actuando a lo largo de BC a.
β = Ángulo C a BF ( que la cuña de falla forma con la horizontal).
El triangulo de fuerzas (figura 1.13 b) esta rotado simplemente en la figura (1.13 a) y está representado por el triangulo de fuerzas
BC aC a' .
Similarmente, los triángulos de fuerza 34
Bc1c1', Bc2c2', Bc3c3',…… Bcncn'
corresponden
a cuñas de ensayos ABC 1 ,
ABC 2 ,
ABC 3 ,…….ABC n .
Figura No. 1.13 Solución de Culmann para presiones de tierra activa I.3.2.1 Punto de Aplicación de la Fuerza Resultante. Como hemos visto, la solución de Culmann solo provee de la magnitud de la fuerza activa por unidad de ancho del muro de retención más no con el punto de aplicación de la resultante. El procedimiento analítico usado para encontrar el punto de aplicación de la resultante puede ser tedioso por esa razón puede usarse el método sin sacrificarse mucha exactitud. Esto se demuestra en la figura (1.14) en la cual ABC es la cuña de falla determinada por el método de Culmann. O es el centro de gravedad de la cuña ABC. Si una línea OO' se dibuja paralela a la superficie de deslizamiento BC , el punto de intersección de esta línea con la superficie del respaldo del muro dará el punto de aplicación de P a. Así P a actúa en O' inclinada en un ángulo δ con la normal dibujada para la superficie de respaldo del muro.
35
Figura No. 1.14 Método aproximado para encontrar el punto de aplicación de la resultante de la fuerza activa. I.3.3 Descripción del Método El método de Culmann se desarrolla a través de las hipótesis que coulomb estableció en su método, puesto que el supone un plano de falla mediante el cual una cuña se desprende provocando el deslizamiento del talud el cual ejercerá un empuje estrictamente activo, el cual retoma Culmann y lo desarrolla aplicando el método grafico, e decir el desarrollado a través de la comparación que él hizo con el polígono funicular, este método es la representación grafica de las fuerzas que actúan en el muro pero a diferencia de Coulomb este lo hace a una escala conocida para obtener posteriormente el valor de la fuerza resultante como se describió anteriormente.
I.3.4 Análisis del Método El método comprende toma en cuenta las mismas hipótesis de Coulomb, es decir supone una cuña de falla del suelo, también, retoma las características del suelo para luego establecer las fuerzas actuantes en el muro, estas fuerzas son el peso de la cuña, el empuje generado por la cuña y la reacción o resultante esta última es la incógnita a encontrar. 36
Ahora bien lo que el método lo que el método ofrece para el diseño de muros es una arma muy poderosa puesto que la resultante se encuentra mediante la grafica correctamente desarrollada, la desventaja es que no ofrece la localización exacta de la aplicación de la fuerza resultante el cual supone mediante un grafica donde interviene el cetro de masa de la cuña que nos genero el máximo empuje activo. Al igual no podemos encontrar el empuje pasivo ya que el método se desarrollo para encontrar nada mas el empuje activo, es por ello que el método solo muestra el proceso de obtención del empuje activo.
1.4 MÉTODO GRAFICO DE PONCELET 1.4.1 Historia y Limitaciones a) Historia Jean-Victor Poncelet (1 de julio de 1788, Metz – 22 de diciembre de 1867, Paris) fue un matemático e ingeniero francés que hizo mucho por recuperar la geometría proyectiva, su obra con respecto al empuje de tierras fue: Mémories sur la stabilite des revestiments et de lur foundations (1,840)
Limitaciones Poncelet (1840) uso una aproximación del equilibrio límite de Coulomb para obtener los coeficientes de la presión de tierra activa y pasiva con las hipótesis siguientes: Relleno tras del muro seco, homogéneo y sin cohesión con un ángulo de fricción
interna El relleno puede estar o no inclinado con la horizontal en un ángulo α. Toma en cuenta la fricción de la pared 0 Paramento interno inclinado un ángulo con la vertical.
37
1.4.2 Fundamentación Teórica Un método gráfico para la colocación directa de la más peligrosa superficie de ruptura de Coulomb y para la determinación de la presión lateral de tierra, fue dada por Poncelet en 1,840. El método es derivado para una pared con paramento interno recto ininterrumpido y para una superficie de suelo plana, este último puede ser inclinado y podría contener una sobrecarga uniformemente distribuida. El método gráfico de Poncelet es adecuado para la determinación tanto de la presión de tierra activa como pasiva.
1.4.2.1 Presión de Tierra Activa. El método gráfico de Poncelet está basado en la construcción de un triángulo 1 W para encontrar loas valores f, ABC fn ACS 2
n y e (figura 1.15).
La construcción comienza trazando la línea de pendiente natural ( – línea), AD, con un ángulo con la horizontal, entonces la línea de posición es trazada a través del punto A de la pared. La línea de posición hace un ángulo de 1 con el paramento interno de la pared AB. A través del punto B, otra línea BK es trazada, paralela a la línea de posición para darnos un punto K en la línea de pendiente natural, AD. Los puntos B, C y D deben recaer en una línea continua ininterrumpida. La línea BK forma un ángulo AKB = , con la línea AD. Por geometría, desde el triángulo ABK, el valor de este ángulo es: AKB 180 1 90
90 1 .
(P.1)
El cuál es el ángulo entre la línea de posición y la línea de suelo natural. Por lo tanto BK es paralela a CS. Asumiendo que la posición del punto S es conocido, trace también SV paralela a AC. El triángulo ACD ≈ SVD y BDK ≈ CDS. Además, el triángulo ACS = ACV
38
porque de su base común AC = L, e igual altura, h. por lo tanto como el triángulo ACS = ABC, también ACV = ABC. Estos últimos y iguales triángulos tienen la misma altura hd, por tanto sus bases, BC y CV deben ser de igual longitud. BC = CV = d
(P.2)
Asumir AK = a, y AD = b. basados en la semejanza de triángulos, ACD y SVD, (Figura 1.12) las siguientes relaciones de radios pueden ser escritas.
b c d n d
(P.3)
En los triángulos semejantes KBD y SCD la relación de lados es: b n c d n a d
(P.4)
Al igualar estas ecuaciones (P.3 y P.4) obtenemos lo siguiente: b b n n n a
(P.5)
Reescribiendo: n2 ab
(P.6)
n ab
(P.7)
ó
Por lo tanto, si n es conocido, la posición del punto S y por tanto la posición de la más peligrosa superficie de falla, AC, puede ser determinado y el peso de la cuña de deslizamiento de suelo, W y la presión activa de suelo Ea, puede ser calculada. Por tanto la ecuación P.6 es la relación de Poncelet y existe cuando la presión lateral de tierra, Ea, es la máxima. Ahora podría trazarse una línea a través del punto S, CS, paralela a la línea de posición para darnos el punto C (figura 1.12); CS determina la magnitud de e. entonces una 39
perpendicular es bajada del punto C a AD para darnos el punto M en AD. La magnitud de CM = f, la cual es la altura del triángulo, NCS es pues determinada. Con e, f y n conocidos, Y
W
1 fn , 2
Ea
1 fe . 2
Note que la cantidad n = ab representa la media geométrica entre las dos cantidades, a y b, la cuál puede ser construida gráficamente. En la disciplina de la teoría de la media geométrica de la presión de tierra, n = ab , es denominado la regla Poncelet. Demostración: desde la geometría, figura 1.15 n b a n
(P.8)
Ó n = ab . Además 2
2
n2 as AZ h2 a2 ab a a2 ab a a ab (P.9)
Y n = ab Pasos para el método gráfico. Para encontrar n y la presión activa de tierra, siga los pasos siguientes (figura 1.15):
40
Fig. 1.15 Construcción de Poncelet para la Presión Activa de Tierra. (Referencia J umikis Alfreds R. New J ersey “Soil Mechanics” figura 21.7)
Trace AB para representar la cara interna de la pared. Trace BD para representar la superficie del suelo. Trace la línea de pendiente natural, AD, con un ángulo con la horizontal. En el punto B trace la línea de posición, BK, con un ángulo de 1 con la línea,
AB, la cara interna de la pared. Esta línea corta la línea AD en K, y nos da AK = a. En AD = b como diámetro, describa un semicírculo, AZD. desde el punto K levante una perpendicular, KZ a AD, cortando el semicírculo en el
punto Z. 41
con la cuerda AZ = n, como radio, con su centro en el punto A, trace el arco, ZS,
cortando la línea, AD, en el punto S. Entonces AS = AZ = n. Aquí n es la media geométrica de a y b. Trace SC paralelo a la línea, BK, cortando la línea de la superficie del suelo en el
punto C. Entonces CS = e. Una A y C. esta línea representa el plano de ruptura más peligroso de Coulomb, y
define el tamaño de la cuña de deslizamiento de los suelos, esta cuña, ABC, se desliza sobre el plano de ruptura, AC, daría el máximo valor de la presión activa de tierra, Ea. Desde el punto C levante una perpendicular a AD para darnos el punto M. Entonces
CM = f. El área triangular ACS, = ½ fn, la cuál es el área del peso de la cuña de deslizamiento de suelos. Desde el punto S como un centro, y con un radio de SC = e, trace el arc, CN,
cortando AD en el punto N. Así NS = e. Una los puntos C y N para obtener el área 1 triangular, NCS 2 fe. Las áreas triangulares,
1 1 fn y fe, cuando se multiplican por el peso unitario del 2 2
suelo, γ, da el peso de la cuña de deslizamiento y la presión activa de tierra respectivamente. 1 fn 2
W
(P.10)
y E
a
1 fe 2
(P.11)
42
I.4.2.2 Sobrecarga Si la superficie del suelo está sobrecargada con una carga uniformemente distribuida siendo la intensidad de la misma p, entonces W
1 fn 2 1
1 2 pcos fn , 2 h
(P.12)
1 2
1 2 pcos fe . 2 h
(P.13)
Y Ea 1 fe
I.4.2.3 Presión Pasiva de Tierra (Resistencia de Tierra) La determinación de presión pasiva de tierra de Coulomb por el método gráfico de Poncelet es similar al caso de la presión activa de tierra, excepto que los signos de os ángulos de fricción, y 1 , tienen que ser cambiados al opuesto. Gráficamente esto es realizado construyendo la línea de posición a través de los puntos A o B bajo un ángulo de (-)
1 con la línea AB, de la cara interna de la pared, o en otras palabras, el ángulo (-) 1 es construido en el lado opuesto de la línea – pared, AB, en comparación con el caso activo, ver figura 1.13. así mismo, la línea- va a ser tazada a través del punto A bajo el ángulo (-) .
43
I.4.2.4 Pasos Para La Construcción Para Presión Pasiva de Tierra. Los pasos a seguir para la construcción de Poncelet para la presión pasiva de tierra son mostrados en la figura 1.16
Figura 1.16 Construcción de Poncelet para la Presión Activa de Tierra (Referencia J umikis Alfreds R. New J ersey “Soil Mechanics” figura 21.8)
1. Trace la pared, la cara interna la cuál es AB. 2. Trace la superficie del suelo. Extienda la línea de la superficie del suelo a través del punto B a la izquierda de la pared. 44
3. Trace la línea (-) , AD, a través de A con un ángulo de (-) con la horizontal. 4. Intercepte la superficie del suelo, AD con la línea (-) , BD, para obtener el punto D. 5. A través del punto B, trace la línea de posición, BK, con un ángulo de (-) 1 con la línea AB. BK corta AD en el punto K. Entonces AK = a 6. En AD = b como diámetro, describa el semicírculo, AZD. 7. Trace una perpendicular KZ a AD para dar el punto Z en el semicírculo. 8. Con AZ = n =
ab como un radio cuyo centro es el punto A, trace el arco ZS,
cortando la línea, AD, en el punto S. Entonces AS = AZ = n = ab 9. Trace SC paralela a BK: SC corta la línea de superficie del suelo, DBC, en el punto C. CS = e. 10. Desde el punto C, establezca una perpendicular, CM = f, a la línea AD para darnos el punto M en la línea AD. Entonces el área triangular, ACS = ½ fn, es el área del peso de la cuña deslizante de suelo, ABC. El peso de la cuña deslizante es W
1 fn 2
(P.14)
11. Una A y C. La línea AC es la superficie de ruptura más peligrosa de Coulomb, y define el tamaño de la cuña de deslizamiento de suelo. Esta cuña se desliza sobre la superficie de ruptura, AC, podría darnos el valor de la resistencia del suelo (presión pasiva de tierra), Ep. 12. Desde el punto S como centro, y con un radio de de SC = e trace el arco, CN, cortando AD en el punto N: NS = e, y uniendo C y N, el área triangular, SCN = ½ fe, es encontrada. La magnitud de la presión pasiva de tierra es E
p
1 fe 2
Ó
45
1 2
E p e2 sen
Si la superficie es sobrecargada, entonces en vez de γ, γ1 debe ser usado: 1
2 pcos h
,
Donde h es la distancia perpendicular desde el punto del talón, A, a la superficie del suelo, BC o su extensión BD. Note que la magnitud en el caso cas o de d e la presión pasiva es más grande que la magnitud en el caso activo. El punto de aplicación de Ep es determinado por la posición del centroide del diagrama de distribución del esfuerzo lateral del suelo.
I.4.3 Descripción del Método El método al igual que Coulomb considera las hipotesis descritas en las limitaciones de este mismo y se basa en la suposición que el muro soporta una cuña triangular determinada a partir de semejanzas de triángulos y que esta se desliza por una superficie de falla f alla plana con un ángulo
δ
con la horizontal, obteniendo los valores de Empuje Activo y Pasivo
proyectados en el muro.
I.4.4 Análisis del Método La pared interna del muro soporta los valores del empuje activo y pasivo del suelo regidos por las formulas siguientes: el peso de la cuña c uña es ½ γfn y el empuje activo es ½ γfe y el punto de aplicación de la fuerza es determinado de terminado a partir del diagrama de presiones.
46
Cuadro Comparativo de los Métodos Clásicos
Coulomb
Rankine
Culmann
Poncelet
Tipos de suelo que se analizan.
Granulares.
Granulares y Cohesivos.
Granulares y Cohesivos.
Granulares y Cohesivos.
Tipo de Terraplén en la corona del talud.
Planos o inclinados.
Planos o inclinados.
Planos o inclinados.
Planos o inclinados.
Clases de empujes calculados.
Empuje activo y pasivo.
Empuje activo, Pasivo y en Reposo.
Empuje activo.
Empuje activo y pasivo.
Sobrecarga.
Toma en cuenta la sobrecarga.
Toma en cuenta la sobrecarga.
No toma en cuenta la sobrecarga.
Toma en cuenta la sobrecarga.
Tipo de análisis
Analítico
Analítico
Grafico
Grafico
47
CAPITULO II.
ANÁLISIS DE LOS MÉTODOS MODERNOS.
II.1 METODO SUECO (FELLENIUS). II.1.1 Historia y Limitaciones. a) Historia. Bengt H. Fellenius es un consultor en geotecnia especializado en estudios de fundaciones, ha publicado más de 250 artículos y libros, en su mayoría relacionados con pilotes y fundaciones, su libro estudiado es: Basics of Foundation Design, Fellenius, Bengt H., electronic edition, Canada,
Marzo 2009.
b) Limitaciones del Método. El método no es práctico, no se puede usar en el campo. Hecho para usar con computadora, aunque representa mejor el suelo no todas las
propiedades son obtenibles. Analiza el suelo como un elemento elástico.
II.1.2 Fundamentación Teórica. Fuerza de Tierra es el término ocupado para referirse a las fuerzas del suelo ejercidas contra un muro.
II.1.2.1 Fuerza de Tierra Desarrollada desde un Cuerpo Retenido. Las cargas son soportadas sobre o en el cuerpo del suelo, cerca del muro podría añadirse la fuerza de tierra. La magnitud de la fuerza es determinada por parámetros físicos, tales como la interacción entre el suelo y el muro, la dirección, magnitud y tipo de movimiento del muro (este puede ser inclinarse o tener un movimiento de traslación). Si la pared se mueve hacia el lado externo, alejándose del suelo, por el suelo empujando el muro. Una condición activa ha comenzado y la fuerza de tierra se llama fuerza activa. Si en lugar del movimiento
48
antes descrito el muro se mueve hacia el suelo, empujando el muro contra el suelo, la fuerza de tierra se llama fuerza pasiva. En términos de magnitud la fuerza activa contra el muro es mucho más pequeña que la fuerza pasiva y en términos de movimiento la fuerza activa requiere un movimiento más pequeño para desarrollarse que el requerido por la fuerza pasiva. Para suelos sin cohesión normalmente la unidad de fuerza en un punto es proporcional a la fuerza de sobrecarga en el suelo inmediatamente más externo al muro. El factor de proporcionalidad es llamado coeficiente de fuerza de tierra y se simboliza con la letra K. El coeficiente K es una función de algunos parámetros físicos, tales como la resistencia del suelo expresada como el ángulo de fricción interna, la rugosidad de la superficie del muro en contacto con el suelo, la inclinación de la pared y la fuerza de sobrecarga efectiva.
II.1.2.2 Coeficiente de Fuerza Activa. La figura 2.1 muestra un muro de retención por gravedad inclinado con superficie rugosa, sujeto a fuerzas de tierra desde un suelo no cohesivo con una superficie inclinada. La fuerza activa actúa contra el muro a un ángulo δ formado por un ángulo medido a partir de una normal a la superficie del muro y con un sentido contrario a las agujas del reloj. Esta fuerza se calcula como K a veces la fuerza efectiva de sobrecarga, y el coeficiente se calcula con la formula siguiente: K a
Seno ' Seno Seno Seno 'Seno '
Seno
2.1 a
Donde: Inclinación de la superficie del talud medido desde la horizontal en sentido contrario a
las agujas del reloj.
49
Inclinación de la superficie de la pared medida desde la base en sentido contrario a las
agujas del reloj. ´ Angulo de fricción interna efectiva del suelo.
Figura 2.1 Fuerza de tierra contra la pared de un Muro por gravedad desde un suelo con un talud inclinado. Imagen tomada del documento Basic of Foundation Design, Bengt H. Fellenius pagina 5-2.
La componente horizontal de la fuerza de tierra activa K ah es: K ah K a Seno
2.1 b
Si el muro es vertical y su superficie lisa, quiere decir que β= 90° y δ=0°, entonces las ecuaciones 2.1a y 2.1b se reducen a la ecuación K ah K a
1 Seno ' 1 Seno '
2.1c
50
La figura 2.1 muestra también la fuerza de tierra pasiva, esta es medida desde la normal a la superficie del muro y en sentido horario, el coeficiente de fuerza de tierra pasiva se denomina K p y se calcula con la ecuación: K p
Seno ' Seno Seno Seno 'Seno '
Seno
2.2a
La componente horizontal está dada por: K ph K p Seno
2.2b
En el caso de la pared vertical y lisa las ecuaciones anteriores se reducen a: K ph K p
1 Seno ' 1 Seno '
2.2c
II.1.2.3 Fuerzas de Tierra Activas y Pasivas. Para un suelo que exhibe tanto fricción como cohesión la fuerza activa de tierra se calcula con la formula siguiente: Pa K a ' z 2 c' K a
Donde:
2.3
´ z Fuerza efectiva de sobrecarga .
c´ Intercepto de cohesión efectiva.
Para los casos descritos anteriormente (c’>0, Ø’>0) la fuerza pasiva esta dada por la formula siguiente: Pp K p ' z 2 c' K p
2.4
51
Para los casos donde existe tabla de agua, la presión de agua bajo la misma debe ser añadida a las fuerzas activas y pasivas con las ecuaciones siguientes: Pa K a ' z 2 c' K a u
Pp K p ' z 2 c' K p u
2.5
2.6
Donde u= presión de poro de agua. Un análisis de fuerzas completo puede ser aplicable a suelos cohesivos con Ø ≠ 0, al hacerlo las ecuaciones 2.1a y 2.1b se reducen a 2.7a y las ecuaciones 2.1b y 2.2b se reducen a 2.7b K a K p
1
2.7a
Seno
K ah K ap 1
2.7b
Donde β= Ángulo de Inclinación del Muro. Para el caso que se cuente con los datos del esfuerzo cortante no drenado las ecuaciones 2.5 y 2.6 se reducen a: Pa z 2 u
Pp z 2 u
2.8a 2.8b
Donde σz= Fuerza Total de Sobrecarga. En la figura 2.2 se muestra una pared inclinada con superficie rugosa, la cual tiene un relleno a lado derecho (Lado activo) y en el otro lado un suelo con una altura menor (Lado Pasivo), el suelo del lado activo está saturado y la tabla de agua esta a media altura de la pared, el suelo del lado activo es retenido por la pared y por lo tanto se encuentra en estado 52
activo. La capa de suelo en el lado pasivo ayuda a la pared en la retención y por tanto se encuentra en estado Pasivo.
Figura 2.2 Presiones y fuerzas contra una pared inclinada. Imagen tomada del documento Basic of Foundation Design, Bengt H. Fellenius pagina 5-5.
Para los suelos retenidos que son dominantemente cohesivos y la ecuación 2.3 resulta en una fuerza de tierra activa negativa cerca de la superficie del terreno. El signo negativo implica una fuerza de tensión dentro del muro, lo cual no es posible, por tanto al calcular fuerzas de tierra los valores negativos deben ser despreciados.
II.1.2.4 Sobrecargas, Cargas Puntuales y Cargas Distribuidas. Una sobrecarga sobre una superficie del terreno incrementa la fuerza de tierra que retiene la pared. Una sobrecarga uniforme puede ser considerada completamente simple por la inclusión de su efecto cuando se calcula la fuerza efectiva de sobrecarga. De igual forma otras fuerzas en la superficie del terreno tales como cargas distribuidas, líneas de carga y cargas puntuales, también causan fuerzas de tierra. Estas cargas producen contribuciones no uniformes a la fuerza de sobrecarga efectiva y por lo tanto su contribución a la fuerza de tierra es difícil de determinar. Terzaghi (1954) aplico la distribución de fuerzas de Boussinesq para calcular la fuerza de tierra desde cargas lineales y cargas distribuidas esta aceptación ha sido comúnmente aceptada en códigos y manuales. De acuerdo con Terzaghi la fuerza de tierra contra la pared es 2 veces la fuerza de Boussinesq. 53
Esfuerzo desde una carga lineal q: h
2q
2.9a
x2 z 2
x2 z2
Esfuerzo desde una carga uniforme distribuida, q h
q
seno cos eno 2
2.9b
Fuerza desde una carga uniforme distribuida variando de cero en un lado a q en el otro lado: R12 seno2 q x z ln 2 h 2 R2
2.9c
La ecuación 2.9a no es válida para una carga lineal actuando a una distancia de la pared de 40% de su altura. Para esas cargas lineales la fuerza de tierra debe ser asumida igual a la fuerza de tierra a una distancia de 40% de la altura. La fuerza resultante en la pared es 55% de la carga lineal y su punto de aplicación cae alrededor del 60% de la altura de la pared sobre la base. Para un muro cimentado con una base o una zapata y con una superficie cargada, también actúa contra la superficie horizontal de la fundación (figura 2.3). La fuerza vertical en la base puede ser determinada desde las ecuaciones 2.10a y hasta la 2.10c y ecuaciones 2.9a hasta 2.9c. Esfuerzo desde una carga lineal q: v
2q
z3
x2 z2 2
2.10a
Esfuerzo desde una carga uniforme distribuida, q 54
v
q
seno cos eno 2
2.10b
Fuerza desde una carga uniforme distribuida variando de cero en un lado a q en el otro lado: v
q x seno2 2
2.10c
a)
b)
Figura 2.3 a) Fuerzas de tierra en un muro desde cargas lineales y distribuidas; b) Fuerza vertical de tierra en la base de un muro cantiléver, desde cargas lineales y distribuidas en la superficie por distribución de Boussinesq. Imágenes tomadas del documento Basic of foundation design, Bengt H. Fellenius páginas 5-6, 5-8. 55
II.1.3 Análisis del Método. El método asume que el muro tiene la flexibilidad suficiente para moverse o rotar y desarrollar las condiciones activa, pasiva y en reposo, se calculan factores de proporcionalidad (K) o coeficientes de fuerza de tierra, las fuerzas actuando contra el muro son el producto de los factores de proporcionalidad y las fuerzas de sobrecarga, las fuerzas actúan en los centroides de los diagramas de fuerza y el cálculo de esfuerzos horizontales y verticales debidos a sobrecargas se hace basado en las distribuciones de Boussinesq.
II.1.4 Descripción del Método. El método se basa en la suposición de que los muros se mueven lo suficiente para desarrollar los estados activo, pasivo y en reposo, que los muros no tienen superficie lisa, las fuerzas horizontales activas y pasivas no son perpendiculares a la superficie del muro, el método también toma en cuenta las fuerzas verticales desarrolladas por las cargas en la base del muro y que tienen un efecto estabilizante en la misma.
56
II.2 MÉTODO DEL CUERPO DE INGENIEROS. II.2.1 Historia y Limitaciones. a) Historia. El Cuerpo de Ingenieros nace como organización gubernamental a partir de un decreto aprobado por el Congreso de los Estados Unidos de América en junio de 1775. Encargados del planeamiento, diseño, supervisión y construcción de obras federales tales como carreteras y presas, además realiza publicaciones técnicas sobre ejecución, diseño y supervisión de diferentes obras civiles, el manual que se estudiará en este capítulo será: Engineering and Design, Retaining and Flood Walls, Manual de Ingeniería EM
1110-2-2502, edition 1989.
b) Limitaciones del Método. El método no es práctico no se puede usar en el campo. Hecho para usar con computadora aunque representa mejor el suelo no todas las
propiedades son obtenibles. Analiza el suelo como un elemento elástico, aunque para algunos casos lo hace
como un material viscoso elástico.
II.2.2 Fundamentación Teórica. Los muros de retención tienen un lado activo y un lado pasivo, en el lado activo de la pared las fuerzas laterales exceden a las opuestas (lado pasivo), las fuerzas pueden ser ocasionadas por gravedad, tabla de agua, olas, viento y terremotos; en este cápitulo describiremos los métodos necesarios para calcular presiones y fuerzas resultantes en los lados activo y pasivo de los muros postulados por el Cuerpo de Ingenieros de Los Estados Unidos de América. Por este método pueden calcularse la magnitud y la posición de la fuerza resultante, para los análisis de volteo y capacidad de soporte, aunque también son requeridos para el diseño de elementos estructurales del muro. 57
II.2.2.1 Análisis de Equilibrio Límite. Las fuerzas y presiones actuando en un muro son de hecho altamente indeterminadas, las ecuaciones de equilibrio estático no son suficientes para obtener la solución para fuerzas laterales, suposiciones adicionales deberán hacerse en el método de análisis para materiales tales como suelos, estos son comúnmente hallados asumiendo que un estado límite o de falla existe a lo largo de una superficie y que la fuerza resistente a lo largo de la superficie corresponde al esfuerzo resistente del material, con estas suposiciones las ecuaciones de equilibrio pueden ser resueltas, con el fin de asegurar que la falla supuesta no ocurra se aplica un factor de seguridad o de esfuerzo de movilización es aplicado a la resistencia del material, este método no calcula las deformaciones de los materiales lo que implica que las deformaciones son suficientes para inducir a la condición de falla, estas también son limitadas por la elección de un factor de seguridad.
II.2.2.2 Relación Entre Fuerzas y Análisis de Deslizamientos. Las fuerzas calculadas son iguales a las que se calcularán en el análisis de deslizamientos (Capítulo 3) el método fue intuido para producir estimaciones razonables y conservadoras de la fuerza operativa del muro. Estas pueden ser usadas para desarrollar una revisión rápida en el análisis de deslizamiento, las fuerzas laterales calculadas en el análisis de deslizamientos son una función del factor de seguridad por deslizamiento.
II.2.2.3 Materiales Sin Cohesión.
Presión Activa de Tierra: materiales sin cohesión tales como arenas limpias son los recomendados como relleno en muros de contención, las presiones horizontales dependen en gran manera de la magnitud y dirección del movimiento del muro. La condición de presión mínima horizontal o presión activa de tierra se desarrolla cuando una pared rota alrededor de su base, cuando la pared se mueve los esfuerzos horizontales en el suelo son reducidos y los esfuerzos verticales debidos al peso del relleno son llevados a incrementar el esfuerzo cortante hasta que el esfuerzo de falla es inminente. (Figura 2.4a)
58
Figura 2.4 Desarrollo de Presiones de Tierra para Suelos sin Cohesión. Imagen tomada de documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls pagina 3-3.
Presión Pasiva de Tierra: Si un muro se mueve hacia el relleno los esfuerzos horizontales se incrementan y los esfuerzos cortantes cambian de dirección, primero decreciendo y luego incrementando hasta llegar a un máximo de falla (figura 2.4b) para el desarrollo de la presión pasiva se requiere de rotaciones más largas en el muro que para el caso activo. 59
Presión en Reposo: Si el movimiento del muro no ocurre, la condición de presión lateral es llamada presión en reposo.
Coeficiente de Presión Lateral K: Es la relación entre el esfuerzo efectivo horizontal y el esfuerzo efectivo vertical en una masa de suelo sin cohesión puede ser expresado por el coeficiente de presión de tierra K. El valor de K puede ser obtenido para las condiciones activa (K a) y pasivas (K p), para determinar el valor en reposo existen ecuaciones empíricas.
Condiciones afectando la Presión de Tierra: Para condiciones de relleno especiales la fuerza en reposo puede ser calculada utilizando el método general de dovelas combinado con parámetros del suelos factorados, si el muro se mueve de modo diferente a la rotación en su base la presión de tierra y su distribución pueden diferir de manera considerable, también la compactación puede producir presiones horizontales en exceso de la presión en reposo cerca de la corona del muro.
II.2.2.4 Materiales Cohesivos. a) Propiedades de Resistencia: Los llamados materiales cohesivos, típicamente son suelos de granos finos como las arcillas, exhiben esfuerzo cortante bajo fuerzas de confinamiento cero cuando se cargan rápidamente, el esfuerzo sin confinamiento es expresado por el parámetro c, estos materiales por lo general son saturados, cuando se dan los cambios en las fuerzas (movimiento de la pared), el suelo experimenta cambios de volumen. b) Uso como Material de Relleno: completamente recomendado usar materiales no cohesivos en rellenos de muros, estos materiales tienen propiedades más predecibles que los materiales cohesivos, son menos susceptibles al congelamiento, y poseen mejor drenaje, existen instancias en las que el relleno con arcillas es inaplicable. c) Análisis a Corto plazo y a Largo Plazo: cuando se usan materiales arcillosos se requieren estos dos tipos de análisis con diferentes entradas de parámetros de
60
resistencia en orden de las condiciones del modelo a que podría levantarse durante la vida útil del muro.
1. Análisis a Corto plazo: En este modelo prevalece las condiciones antes que la presión de poro ocurra, para estos casos los parámetros de la prueba no consolidada – no drenada (Q) son los apropiados, generalmente esta prueba resulta en valores altos de c y bajos o cero de Ø. Si en esta zona hay agrietamientos el agua entrando en las grietas ejerce presión horizontal significativa en el muro, por lo tanto este análisis debe incluir una revisión del efecto de la presión de agua en las grietas de tensión. 2. Análisis a Largo Plazo: las condiciones que prevalecen son después del corte inducido por el exceso de presión de poro, para este caso los parámetros de la prueba consolidada – drenada (S) son los apropiados estas pruebas normalmente producen un valor alto de Ø y un relativamente bajo o cero valor de c.
Sobreconsolidación o Hinchamiento en Suelos Arcillosos: Para suelos altamente consolidados y con abundamiento, las presiones calculadas pueden ser desarrolladas en exceso de aquellas calculadas usando parámetros drenados y sin drenar. Estas presiones no pueden ser determinadas usando técnicas de equilibrio límite, el uso de tales suelos alrededor de muros de retención debe ser evitado.
II.2.2.5 Presiones en Sistemas Suelo Agua. Los suelos granulares son capaces de transmitir esfuerzos cortantes, el agua no. Las presiones efectivas en el suelo pueden diferir en los planos horizontal y vertical, pero las presiones de agua no. Por tanto, los cálculos deben efectuarse de forma separada. Si el valor de K es obtenido, la fuerza horizontal efectiva puede ser calculada multiplicando la fuerza vertical efectiva en cualquier punto por el correspondiente valor de K (figura 2.5) para
61
obtener la presión efectiva horizontal, la presión efectiva horizontal es añadida a la presión de agua, la combinación de estas se expondrá más adelante.
Figura 2.5 relaciones entre la Presión de tierra y Movimientos de la Pared. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-4.
II.2.2.6 Presiones de Tierra y Fuerzas de Diseño, lado Activo. a) Uso de la Presión de Tierra en Reposo: el lado activo de un muro de retención es aquel lado en el cual suelo o agua ejercen una fuerza horizontal para causar inestabilidad, muchas veces la presión activa es asumida debido
a que los
movimientos para desarrollarla son pequeños y que se asigna factores de seguridad, 62
las estructuras hidráulicas son diseñadas con valores muy conservadores lo que resulta en muros relativamente rígidos, los muros cimentados en roca o suelos muy rígidos podrían no ceder lo suficiente para desarrollar presiones activas de tierra. Cuando se desarrolla el ceder inicial y las presiones activas, las presiones horizontales podrían regresar al valor en reposo. b) Estimación de Presiones Operativas: el análisis para diseño requiere una estimación de la presión operativa esperada (sin falla) del muro por tanto los muros deben ser diseñados para ser seguros contra volteo y capacidad de soporte del suelo para condiciones en reposo y los elementos estructurales deben ser diseñados asumiendo presión en reposo en el lado activo. c) Efectos de la Compactación y Sobrecarga: Cuando la fuerza de compactación especificada es significativa, la presión de tierra de diseño debe ser incrementada más allá de los valores en reposo, para profundidades sobre una profundidad crítica descrita posteriormente. Cuando se esperan sobrecargas sobre el relleno (rieles, fundaciones, etc.) la presión de tierra horizontal adicional debida a la sobrecarga debe ser determinada como se describe en el párrafo II.2.2.13 y sobre puesta en el diagrama de presiones en reposo.
II.2.2.7 Presiones de Tierra y Fuerzas de Diseño Lado Pasivo. Superficie Posterior: El lado pasivo de un muro es aquel donde el suelo provee una
reacción lateral que resiste la inestabilidad. La máxima fuerza desarrollada es el empuje pasivo, para un muro en equilibrio la fuerza pasiva es más pequeña que las fuerzas en el lado activo, la base y el lado pasivo analizados juntos deben satisfacer el equilibrio estático. Estimación de la Resistencia Pasiva: Un conservador y conveniente diseño
aproximado es asumir la fuerza del lado pasivo como cero para análisis de volteo, capacidad de soporte y diseño estructural. En algunos casos como en los muros con fundaciones relativamente profundas, podría ser deseable considerar alguna resistencia lateral para este análisis, para justificar asumir una fuerza diferente de 63
cero el material no debe perder sus características de resistencia con cambios en la humedad o el ambiente, si esto es justificable las condiciones en reposo pueden ser conservativamente asumidas en el lado pasivo. Las fuerzas y presiones del lado activo no deben ser asumidas para exceder las condiciones en reposo cuando se usa para calcular la resultante y su colocación en la base y para diseño de componentes estructurales, si la fuerza activa excede la suma del lado pasivo, la fuerza en reposo y la máxima fuerza cortante calculada usando parámetros sin facturar, la resistencia adicional requerida debe ser asumida para ser provista por `presión adicional en el lado pasivo. En ningún caso la fuerza pasiva podrá exceder 1.5 veces la presión pasiva calculada, usando esfuerzos cortantes sin facturar para los análisis antes indicados.
Localización de la Fuerza Horizontal: localización de la fuerza horizontal para análisis de volteo, capacidad de soporte y diseño de componentes estructurales debe ser calculado en la forma siguiente:
Calcule la fuerza efectiva en reposo en el lado activo como se explicara en los capítulos II.2.2.8 a II.2.2.10, efectos de la sobrecarga si existe (II.2.2.13) y presión de agua.
Asuma que la fuerza pasiva es cero o calcule y aplique la fuerza pasiva en el lado pasivo del muro, si justificable (II.2.2.8 a II.2.2.10) y añada si existen la fuerzas de agua.
Asuma que la componente horizontal que la resultante de la base es igual a la diferencia entre las fuerzas obtenidas en 1 y 2.
Si la fuerza cortante máxima disponible en la base es excedida, asuma que la fuerza horizontal remanente es resistida por el desarrollo de una fracción más grande de presión pasiva, no más grande que 1.5 veces la fuerza pasiva disponible que será usada. (esto puede ocurrir donde el suelo del lado pasivo es relativamente fuerte comparado a los suelos del lado activo y de la base). 64
Chequeo de Estabilidad a al Deslizamiento: esta parte será desarrollada en el capítulo 3 de esta tesis.
II.2.2.8 Diseño de las Fuerzas y Presiones de Tierra en la Base. a) Cálculo de la Fuerza Resultante en la Base: Para esta fuerza su dirección y colocación deben ser de tal manera que para las cargas operativas el muro se encuentre en equilibrio estático (Figura 2.6).
Figura 2.6 Fuerzas en la Base de un Muro. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-10.
65
En la figura 2.6a, la componente vertical de la resultante es igual y opuesta a la suma de los pesos de la dovela estructural y la componente horizontal es igual a la diferencia entre las fuerzas activa y pasiva. La figura 2.6b, muestra un ejemplo más complicado incluyendo agua, base inclinada y un diente, los componentes vertical y horizontal de la parte levantada de la base son calculados con base a las presiones de agua obtenidas por medio de un análisis de cantidad de agua en los poros. El remanente de las fuerzas horizontales y verticales requeridas para el equilibrio son provistas por componentes de la fuerza cortante en la base T y la fuerza normal efectiva N’. Un análisis de volteo sería lo más indicado para determinar la fuerza efectiva normal y su colocación. b) Cálculo de Presiones en la Base: esta presión se asume que varía linealmente y que será aplicada en el centroide de presiones, cuando esta cae en el tercio medio de la base puede calcularse con la fórmula siguiente: N' 6e q' 1 B B
2.11
Donde: N’ = Fuerza Normal efectiva en la base de la estructura. B = Ancho de la base de la estructura. e= Excentricidad de N’ desde el centro de la base. Esto es mostrado en la figura 2.7 a y b si la resultante cae fuera del tercio medio de la base y la excentricidad es mayor de B/6, como en la figura 2.7 c, la distribución de presiones es de forma triangular y la presión máxima se calcula con la fórmula siguiente: 4 N' q' max 3 B 2e
2.12
La base podría estar trabajando a compresión a una distancia b calculada desde el extremo inferior como: 66
b 3 / 2B 2e
2.13
Figura 2.7 Presiones en la base de un Muro. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-12.
II.2.2.9 Ecuaciones para Presión de Tierra en Reposo. a) Relleno Horizontal: Para el caso de un relleno horizontal superficial y un relleno normalmente consolidado (sin compactación o otros efectos de preesfuerzos) el coeficiente de presión en reposos puede ser estimado con la ecuación: K o 1 seno '
2.14
La presión lateral de tierra se calcula con la fórmula: 67
Po ' K o z
2.15
Donde: , Ángulo de Fricción Interna Drenado
= Presión Unitario Efectivo (Húmedo o Saturado sobre la tabla de agua, Sumergido o boyante bajo la tabla de agua). z Profundidad bajo la superficie del relleno a lo largo del plano vertical.
b) Relleno Inclinado: Los resultados obtenidos de estudios realizados para medir K o para rellenos inclinados y normalmente consolidados son muy variables el método del Cuerpo de Ingenieros recomienda usar la ecuación del Código Danés: K o K o 1 Seno
2.16
Sustituyendo la ecuación 2.14 en la ecuación 2.16 se obtiene la ecuación: K o 1 seno '1 Seno
2.17
Y la presión lateral de tierra es: Po ' K o z
2.18
Donde β es el ángulo de inclinación desde la horizontal. Β será positivo para una capa de suelo que se levanta y aleja de la estructura. c) Condiciones Generales: Para muros con superficies de terrenos irregulares, rellenos no homogéneos, con sobrecargas y otras condiciones especiales, no hay expresiones empíricas para la presión en reposo. Para diseños rutinarios se recomienda utilizar el método de Coulomb’s o el Método General de Dovelas con valores de c y tan Ø multiplicados por un factor de resistencia a la movilización, pero por ser una aproximación empírica puede diferir ligeramente de los cálculos usando las ecuaciones 2.14 hasta 2.16.
68
d) Lado Pasivo: El método recomienda usar la ecuación de Jaky’s y la del código de Danés, pueden ser usadas para calcular presiones en reposos del lado pasivo para superficies de suelo horizontales e inclinadas respectivamente.
II.2.2.10 Factor de Movilización de la Fuerza. a)
Definición: El factor de movilización de la fuerza (SMF) es definido como
la supuesta relación de movilizar el esfuerzo cortante τ a lo largo de una superficie de deslizamiento asumida hasta el máximo esfuerzo cortante τf del suelo y la falla del material. Si un valor apropiado de SMF es asumido (como muestra la figura 2.8), y se aplica a C y Ø, permitirá calcular presiones de tierra más grandes que la presión activa, usando el método general de dovelas párrafo II.2.2.9. Alternativamente, la seguridad contra deslizamiento puede ser evaluada calculando el promedio SMF a lo largo de una superficie de deslizamiento asumida desde un análisis de equilibrio y comparándolo al recomendado valor máximo. La ecuación de SMF se expresa así: SMF
2.19
f
Figura 2.8 Aplicación del factor de movilización de la fuerza. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-15. 69
b)
Esfuerzo Cortante Desarrollado: De acuerdo al criterio de falla de Mohr-
Coulomb (figura 2.9) el esfuerzo cortante en el plano de falla es definido como: f ' n Tan c
2.20
Donde: σ’n= esfuerzo normal efectivo. Ø, c= Parámetros de resistencia cortante del suelo (en la ecuación anterior son esfuerzos drenados (Ø = Ø’, c=c’) para análisis a largo plazo y sin drenar (Ø = 0, c=Su) para análisis a corto plazo de materiales cohesivos.
Figura 2.9 Criterio de Falla de Mohr – Coulomb. Imagen tomada del documento Engineering and Desing Retaining and Flood Walls página 3-16.
El plano de falla es inclinado a 450 + Ø/2 desde el plano del mayor esfuerzo principal. Para análisis de equilibrio límite es válido, asumir la superficie a la inclinación de este ángulo relativo al esfuerzo principal. Asumiendo que la
70
superficie de deslizamiento aproximada es válida y esta relativamente orientada a los esfuerzos principales, este esfuerzo cortante es: SMF (c) ' n Tan ( )
2.21
De esta ecuación se deduce que el esfuerzo cortante está en función de los parámetros de esfuerzo cortantes, el esfuerzo normal efectivo y el factor de movilización de fuerza. 4. Parámetros de esfuerzo cortante desarrollados: Si los parámetros de esfuerzo cortante se multiplican por un SMF apropiado, estos se reducen a los valores de desarrollo (Cd y Tan Ød) suponiendo que son operativos en condiciones de equilibrio. Los parámetros de esfuerzo cortante, los parámetros actuales de esfuerzo cortante y el SMF se relacionan con la siguiente fórmula: Tan d cd SMF Tan c
2.22
Para estimar presiones en reposo para diseño, usando el método general de dovelas, el SMF debe ser ocupado como 2/3 de los valores de K o, se debe tener en cuenta que si Tan ß/ Tan Ø es mayor de 0.56 podrían obtenerse valores conservadores de las fuerzas de tierra en reposo.
II.2.2.11 Cálculo de la Fuerza de Tierra por el Método General de Dovelas. El propuesto por Fellenius y que US Army retoma para la obtención de las fuerzas de tierra. a) General: Se refiere al análisis de equilibrio límite de un conjunto asumido de cuerpos rígidos. Las fuerzas horizontales tanto activas como pasivas pueden ser estimadas, las ecuaciones de Coulomb proveen soluciones directas para encontrar las fuerzas antes mencionadas, aunque cuando existen variables como suelos estratificados, tabla de agua y sobrecargas no uniformes estas fórmulas no pueden ser utilizadas, se recomienda realizar de forma general una solución de prueba y error con la ecuación general de dovelas. 71
b) Uso práctico: Cuando se calcula sin factorar los parámetros (c, Tan Ø) la ecuación proporciona las fuerzas operativas activas y pasivas. Cuando los parámetros son factorados con un valor de SMF de 2/3, la ecuación para el lado activo provee un estimado del empuje de tierra en reposo. Para calcular las fuerzas resistentes para volteo, capacidad de soporte y diseño estructural del muro, puesto que podría obtenerse una fuerza mayor a la real. En el capitulo II.2.2.6 se describe el procedimiento recomendado para obtener la fuerza resistente para volteo, capacidad de soporte y diseño del muro. c) Empuje Activo, Método General de Dovelas. 1. Geometría de las Dovelas y Fuerzas: La geometría de una típica dovela del lado activo y su diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 2.10, el ángulo de fricción de la pared y las fuerzas resistentes entre los bordes verticales de las dovelas son asumidos cero la inclinación de la superficie (α) es la que maximiza la fuerza, el cálculo de α se explica en el capitulo II.2.2.10 c (2) y II.2.2.10 c (4). Si el equilibrio de fuerzas es satisfecho, las fuerzas en la cuña forman un polígono cerrado de fuerzas como se muestra en la figura 2.11. La ecuación para la fuerza de tierra recomendada por este método para la fuerza de tierra ejercida por el lado activo en un muro o dovela adyacente es: PEE
2 n 2.19 W V 1 Ta Cot Tan d
1 Tan d Tan
UTan d
Cd L
Cos 1 Tan d Tan
HL
HR
Pw
2.23
Donde: PEE= Fuerza horizontal efectiva ejercida por la dovela o segmento de dovela. W= Peso total de la dovela incluyendo agua.
α= Angulo de inclinación. U= Fuerza boyante y normal del plano de deslizamiento. 72
L= Longitud del plano de deslizamiento. HL= Cualquier fuerza horizontal externa aplicada desde la izquierda actuando a la derecha. HR = Cualquier fuerza externa aplicada desde la izquierda y actuando a la izquierda. Pw= Fuerza interna de agua actuando al lado interno del cuerpo libre de la dovela (igual diferencia neta de la fuerza de agua para segmento de dovelas con el agua en dos lados verticales como se muestra en la figura 2.10.
Figura 2.10 Método de Dovelas en el lado Activo. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-27. 73
Los parámetros de resistencia desarrollados Tan Ø y Cd se definirán como se explica en el párrafo II.2.2.9. La ecuación 2.23 es desarrollada para una falla que ocurre de la izquierda a la derecha. Todos los valores son positivos en las direcciones indicadas en la figura 2.10.
Figura 2.11 Polígono de fuerzas para método de las dovelas en el lado activo. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-28. •
Valores críticos para el ángulo del plano de deslizamiento. A.
Para una dovela activa con una superficie sin terraplén, y una
sobrecarga uniforme o sin sobre carga, α
se calcula con la siguiente
fórmula: 45 o
d
2
74
2.24 B.
Para un relleno con terraplén plano o inclinado, sin sobrecarga y una
sobrecarga distribuida V, α se calcula con la ecuación siguiente: C. C1 2.25 C12 4C2 Tan 2 1
La ecuación anterior se asume si el relleno esta dentro o fuera de la tabla de agua aunque puede ser usada si la tabla de agua está en cualquier posición del relleno con suficiente precisión para diseño la sobrecarga puede tener cualquier forma arbitraria pero debe ser completamente contenida dentro de la dovela activa, las ecuaciones para C1 y C2 son: i. Para un Relleno sin cohesión y sin sobrecarga 2.26
C1 2 Tan d
2.27
Tan C2 1 Tan d Tan Tan d
ii.
Para un suelo con o sin cohesión con una sobrecarga
2 4Cd Tan d Tan 4VTan 1 Tan d 2 Tan d h dc (h2 dc2 ) 2
C1
2.28
A
2 2 2Cd 1 Tan d Tan 2VTan 1 Tan 2.29 Tan d 1 Tan d Tan Tan h dc (h2 dc2 )
C2
A
Donde: A Tan d
2Cd 1 Tan d Tan
( h dc )
2V 1 Tan2 d
( h2
2.30
2
dc ) 75
Estas ecuaciones al ser aplicadas a suelos de alta plasticidad presentan limitaciones en su uso para presiones en reposo. C.
Para rellenos irregulares la obtención de la inclinación critica de la
superficie de deslizamiento del lado activo puede requerir iteraciones, para hacerlo la superficie del terreno se bordea por dos líneas inclinadas originadas desde lo alto de la pared y el valor de α usando un promedio β como se muestra en la figura 2.12
Figura 2.12 Análisis de dovelas para relleno irregular. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-30. •
Limitaciones de las ecuaciones para el plano crítico de falla: las ecuaciones
para calcular C1 y C2 son válidas excepto para cuando la sobrecarga V es muy grande o cuando la inclinación del terraplén es muy grande. El valor máximo de sobrecarga puede ser determinado introduciendo el denominador de la ecuación para C1 o C2 igual a cero y resolviendo para V, la ecuación es: V max
h2
2
dc Tan d
2Cd h dc )(1 Tan d Tan
2.31
2(1 Tan2 d ) 76
Cuando el valor de V es mayor de V máximo el valor de α estará dado por la ecuación: Tan1
) h dc ( S Tan S
2.32
Cuando C12 +4C2<0, α es indeterminado y indica que la superficie superior del muro es muy grande y que no podrá ser soportada por el muro. •
Suelos Estratificados: Cuando hayan suelos estratificados la dovela debe ser
dividida en segmentos de dovela, α coincidiendo cada una con un estrato, la inclinación de la base de las dovelas α es diferente para cada estrato, el cálculo de una solución optima (fuerza de tierra máxima) para el juego de valores α es tedioso. El Cuerpo de Ingenieros recomienda usar de los métodos siguientes: •
La inclinación crítica en cada capa puede ser calculada de acuerdo a la ecuación 2.25, usando los parámetros del esfuerzo cortante desarrollados por el suelo a lo largo de la base de la dovela y usando el ángulo del terraplén β en la parte alta de cada dovela (figura 2.13 a).
•
La base de los segmentos de las dovelas puede ser asumida para tener una inclinación α constante de todos los materiales y el valor crítico (que sería la fuerza máxima del lado activo) puede ser calculado, iterando la ecuación 2.23 (figura 2.13 b).
Si las superficies de todas las capas son horizontales el plano de deslizamiento crítico puede ser determinado usando la ecuación 2.24. •
Sobre Cargas: el método toma en cuenta los efectos de la
sobrecarga en la fuerza de tierra añadiendo al peso de la dovela la sobrecarga. De cualquier modo es preferible calcular las presiones horizontales por las sobrecargas por separado. Por las razones siguientes:
77
a) La sobrecarga no uniforme altera las direcciones de las fuerzas principales, incrementando la curvatura de la superficie de deslizamiento y a la vez se incrementa el error asociado a la suposición de la superficie. b) La manera en que en que son aplicadas las sobrecargas en la masa del suelo puede alterar el punto de aplicación y la distribución de la presión de tierra como se describe en el párrafo II.2.2.13. las teorías de equilibrio límite y el concepto de presión de tierra no predicen con exactitud tales distribuciones. c) Las presiones adicionales dependen del movimiento de la pared y podrían ser dos veces más grandes para paredes rígidas (no ceden) que para paredes cediendo
Figura 2.13 Análisis de dovelas para suelo estratificado. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-33.
78
Este método considera paredes relativamente rígidas y para diseño condiciones en reposo, por lo que las presiones y fuerzas debidas a sobrecarga deberán calculadas de acuerdo al párrafo II.2.2.13. Coeficientes de presión:
•
La mayoría de ingenieros estructurales utilizan las ecuaciones de Coulomb para la determinación de los coeficientes de presión de tierra y con ellas determinan las fuerzas actuando contra muros de retención, se recomienda usar la ecuación del método general de dovelas ya que estas pueden calcular la fuerza lateral aunque la geometría sea complicada y tenga sobrecarga en la superficie, al derivar los coeficientes de la ecuación general de dovelas estos pueden ser usados para resolver problemas complejos de presión de tierra.
Las presiones de tierra pueden ser calculadas por el método general de dovelas, asumiendo piezas de forma lineal y que la pendiente del diagrama de presiones son el producto de densidades y coeficientes de presión K. Las pendientes pueden ser consideradas la densidad de un fluido equivalente cargando la pared. Los coeficientes de presión dependen de la geometría del problema y que podrían diferir al estar bajo la tabla de agua y al estar sobre ella. a) Fuerza de Tierra en el Lado Pasivo, Método General de Dovelas: b) Geometría de las dovelas y fuerzas: La geometría de las dovelas y su diagrama de cuerpo libre se muestran en la figura 2.13, el ángulo de fricción en la pared y la fuerza cortante entre las paredes de dovelas adyacentes son asumidas cero. Si el equilibrio es satisfecho las fuerzas en la dovela forman un polígono de fuerzas cerrado como se muestra en la figura 2.13, la ecuación para la fuerza efectiva lateral en la pared es:
PEE
W V 1 Tan d Cot Tan 1 Tan d Tan
UTan d Cd L H L H R Pw Cos 1 Tan d Tan 2.33 79
Figura 2.14 Método de las Dovelas para la dovela del lado pasivo. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-36.
En esta ecuación los términos son los mismos que para el caso activo. Todos los valores deben ser positivos.
80
Valores críticos del ángulo del plano de deslizamiento. 4. Para una dovela pasiva con una superficie sin terraplén.
45º
d
2.34
2
5. El ángulo cuando existe un terraplén plano o inclinado y con o sin sobrecarga distribuida V es: 2.35
C12 4C2 Tan C1 2 1
Para una dovela pasiva las ecuaciones para C1 y C2 son: 2 Tan2 d C1
d Tan 4VTan 1 Tan2 d 4Cd Tan
h
2.36
h2
A
Tan d 1 Tan d Tan Tan
2 2 2Cd 1 Tan d Tan 2VTan 1 Tan d
h
C2
h2
2.37
A
A Tan d
2 2Cd 1 Tan d Tan 2V 1 Tan d
h
h2
2.38
3. Sobrecargas: Además de lo expuesto en el párrafo II.2.2.10 c 5 las sobrecargas en las dovelas pasivas tienden a aumentar la estabilidad y es conservador despreciarles en el análisis. 4. Coeficientes de presión: Las presiones son calculadas como presiones de fluidos equivalentes de la misma manera que en el lado activo ver párrafo II.2.2.10 c 6.
81
II.2.2.12 Cálculo de Presión de Tierra Incluyendo la Presión de la Pared. a)
Lado activo: La fricción entre el relleno y el muro o en un plano del relleno,
de hasta una mitad del ángulo de fricción interna del material de relleno (sin factorar) puede ser usado para el diseño. b)
Lado Pasivo: Cuando se incluye en el análisis se asume que la superficie de
deslizamiento será una espiral logarítmica u otra superficie curva ya que esto provee valores bajos y más razonables para la fuerza pasiva y el coeficiente de presión. Se recomienda que el ángulo de fricción se tome como cero en términos generales, se asuma mayor a cero en los casos donde se espera movimiento y asentamiento del muro dentro de lo permisible, la figura 2-14 provee los coeficientes de presión de tierra horizontales.
Figura 2.15 Coeficientes de la presión pasiva de tierra. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-37. 82
II.2.2.13 Distribución de la Presión de Tierra Horizontal. a)
Superposición de presiones: La distribución de presiones tanto en lado
activo como en el pasivo se hace por superposición de las distribuciones debidas a la presión de tierra horizontal efectiva, al agua y sobrecargas. Deben tomarse en cuenta también las presiones debidas a los procesos de compactación como se explicará más adelante. b)
Suelos completamente, sobre o bajo la tabla de agua: La distribución de la
presión efectiva puede ser asumida triangular cuando se cumplen todas las condiciones siguientes: 1. El muro podría no moverse o podría pivotar alrededor de la base. 2. La tabla de agua está en o bajo la base del muro, o en o sobre la corona del muro (Suelo sumergido). 3. Condiciones de agua son hidrostáticas (No hay infiltración). 4. No hay estratificación de suelos. 5. Suelos no exhiben cohesión. 6. La superficie del relleno es plana (aunque puede ser inclinada). La distribución está dada por la ecuación siguiente: P ' hz K ' z
2.39
Donde: K=K A en el lado activo, para el lado pasivo varía entre K p y K o o debería tomarse como cero.
γ' = El peso unitario efectivo (total, saturado o húmedo si es sobre la tabla de agua, boyante o sumergido si es bajo la tabla de agua). z= Distancia vertical medida desde abajo a la superficie del relleno. Un ejemplo puede verse en la figura 2.15 83
Figura 2.16 Presiones laterales en un suelo completamente sobre la tabla de agua o completamente bajo la tabla de agua. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-40.
c)
Suelos parcialmente sumergidos: Cuando la tabla de agua esta ubicada entre
la corona y la base del muro y solo hay un tipo de suelo, la parte superior del diagrama de presiones es un triángulo definido por la ecuación 2.39 y la parte inferior es un trapezoide dado por: P ' hz K zw ' z zw
84
2.40 Donde: zw = profundidad de la tabla de agua.
γ’= (γ – γw) bajo la tabla de agua. La figura 2.16 muestra un ejemplo.
Figura 2.17 Presiones laterales por un suelo, agua y una sobrecarga finita. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-41.
d)
Suelos estratificados: Cuando hay diferentes tipos de suelos el diagrama de
presiones es una serie de diagramas subyacentes por una serie de trapezoides dados por la ecuación: P ' hz K i P ' vi ' i zi
2.41
Donde: K i= Coeficiente de presión de tierra horizontal para la enésima capa. P’vi= Presión de tierra vertical efectiva en la corona de le enésima capa. zi= Distancia vertical medida. Ejemplo en la figura 2.17. e)
Rellenos Irregulares: Cuando el relleno es irregular, el diagrama de
presiones puede ser estimado por la ejecución de sucesivos análisis de dovelas, incrementando profundidades desde la corona del muro y aplicando la diferencia de fuerzas desde análisis sucesivos sobre el incremento del área vertical 85
correspondiente. Este procedimiento es aproximado, aunque se incrementen los puntos de prueba no se incrementa la exactitud, un ejemplo es mostrado en la figura 2.18, el diagrama de presiones puede estimarse usando los coeficientes de presiones del párrafo II.2.2.10 c 6.
Figura 2.18 Presiones laterales por tres tipos de suelo y agua. Imagen tomada del documento Engineering and Desing Retaining and Flood Walls página 3-43.
Figura 2.19 Distribución de presiones debida a rellenos irregulares. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-43. 86
f)
Efectos de la cohesión:
Cuando el relleno es horizontal y hay cohesión su efecto teórico es
reducir el lado activo por 2c√dK A, para la profundidad completa de la capa. Esta le pasa tensión para una grieta de profundidad de donde: d' c
2cd ' K A
2.42
La carga en esta región del muro es cero. Una grieta de tensión llena de agua debe ser considerada en la zona de tensión reducida. Cuando la fuerza de tierra horizontal es calculada desde al diagrama de presión y este incluye presión negativa, la fuerza de reducción debida a la reducida zona de presión negativa debe ser tomada como cero. La presión en el lado activo debe ser calculada usando la ecuación: P ' AH K A ' z 2c K A
2.43
Por lo que el segundo término debe ser cero, K A igual a K o.
Para el lado pasivo la teoría indica que no hay grieta de tensión y la
presión debe calcularse de acuerdo a la ecuación: P ' AH K A ' z 2c K pc
2.44
Para condiciones operativas sin movimiento, una grieta de tensión podría formarse debido a perdida de humedad, reduciendo o eliminando la presión del lado pasivo. g)
Efectos de los movimientos de la pared
Cuando el muro es rotación o traslación sobre un punto diferente a la base (tal como muros apoyados) los valores de K varían con la profundidad y la distribución de la presión de tierra horizontal podría ser parabólica en vez de
87
triangular. Los métodos de solución aquí expuestos son menos seguros que aquellos para rotación alrededor de la base.
Cuando se espera que el movimiento del muro sea de traslación o rotación alrededor de la base, la fuerza puede asumirse que es la misma obtenida para rotación alrededor de la base, peor el punto de aplicación debe ser a 45% de la altura del muro sobre la base.
II.2.2.14 Efectos de la Sobrecarga.
Sobrecarga uniforme: Cuando hay sobrecargas uniformes (q) la fuerza
efectiva vertical crece por la sobrecarga y su diagrama de presión de tierra horizontal es un trapezoide con la ecuación: P ' hz K q ' z
2.45
Sobrecargas finitas:
Incremento de la presión debido a sobrecargas finitas.
El incremento en la distribución de la presión horizontal debido a sobrecargas finitas, se calcula usando experimentalmente la teoría elástica modificada, cuando se permita las deformaciones debidas a la carga son pequeñas, presiones debidas a cargas puntuales y lineales se calculan con las figuras 2.19 y 2.20 respectivamente las presiones que se obtienen son alrededor de 2 veces más grandes que las que se obtendrían por medio de cualquier solución elástica sin ajustar o de equilibrio límite. Presiones debidas a cargas distribuidas de tira se calculan usando la figura 2.21. Las presiones debidas a estas cargas generalmente pueden calcularse al aplicar el principio de superposición a estas soluciones.
Fuerzas debidas a sobrecargas finitas.
Las fuerzas puntuales lineales o no uniformes son soportadas por difusión de esfuerzos dentro del material de relleno, el punto de aplicación de la fuerza 88
horizontal resultante debida a estas cargas se muestra en la figura 2.22. Cuando las fuerzas por sobrecarga son incluidas en el análisis por método de dovelas, la diferencia en la fuerza resultante debida a la sobrecarga (ΔPH)
Figura 2.20 Incremento en la presión debida a cargas puntuales. Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls página 3-48.
89
Figura 2.21 Incremento en la presión debida a cargas lineales. I magen tomada del docum documento Enginee Engineering and and Desing Desing Retai Retaini ning ng and and Fl F lood Wal Wallls pági página 3-49.
Figura 2.22 Incremento en la presión debida a cargas Distribuidas. I magen tomada del docum documento Enginee Engineering and and Design Design Retai Retaini ning ng and and Fl F lood Wal Wallls pági página 3-50. 90
Debe ser aplicada en un punto diferente del muro que el de la aplicación de la resultante debida al peso del relleno.
II.2.2.15. Presiones de Tierra Debidas a la Compactación. El uso de maquinaria pesada para compactación en zonas adyacentes a muros puede provocar altas presiones residuales contra el muro. Se recomienda que proveer al relleno r elleno de un grado de compactación adecuado para proveer esfuerzo de resistencia y minimizar asentamientos, la compactación excesiva del relleno debe ser evitada. El diagrama de presiones esta compuesto de 3 segmentos lineales: a)
Desde la corona del muro la presión incrementa linealmente a un valor de
P’hm a una profundidad Zcr . en esta región el esfuerzo es incrementado durante la compactación debido a la presión del rodo (rodo vibrador para compactar), pero también el esfuerzo horizontal es reducido por falla pasiva cuando el rodo es removido.
Figura 2.23 Línea de acción aproximada para cargas lineales. I magen tomada del docum documento Enginee Engineering and and Design Design Retai Retaini ning ng and and Fl F lood Wal Wallls pági página 3-52. 91
b)
La presión horizontal es constante con la profundidad desde Zcr a Zz y es
inducido por la compactación. c)
A la profundidad Zz la presión inducida por la compactación es igual a la
presión horizontal debida al peso del suelo (Presión en reposo) la presión incrementa linealmente bajo esta profundidad de acuerdo a las ecuaciones del párrafo II.2.2.12. Las presiones inducidas por compactación deben considerarse para el diseño estructural, análisis de volteo, capacidad de soporte y deslizamiento.
II.2.3 Análisis del Método. El método se basa en el equilibrio de fuerzas entre dovelas y asume que las fuerzas y fricción entre las paredes adyacentes de las dovelas son cero y que α el ángulo de inclinación de la superficie será el que maximiza la fuerza de tierra, con esto se satisface el equilibrio de fuerzas y se obtiene un polígono de fuerzas cerrado. Para el caso de materiales cohesivos realiza dos análisis, uno a corto plazo y otro a largo plazo, considera la influencia de sobrecargas, tabla de agua y compactación en el muro, los efectos del movimiento de la pared también son analizados, las fuerzas obtenidas para análisis de empujes no siempre son las utilizadas para análisis estructural ya que para el caso de diseño se utilizan los parámetros de resistencia sin factorar. factora r.
II.2.4 Descripción del Método. El método retoma el método general de dovela (Sueco) y le hace correcciones, para asegurar que la falla no ocurrirá, propone factores de seguridad que son aplicados a los parámetros de resistencia de los materiales, el método puede aplicarse a rellenos planos o inclinados y con sobrecarga o sin sobrecarga, así como para suelos bajo y sobre la tabla de agua.
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II.3 MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. II.3.1 Historia. Los métodos de elementos finitos constituyen hoy en día el procedimiento habitual de cálculo en Mecánica Estructural y Mecánica de Sólidos en general. Su uso está también muy extendido en la resolución de problemas de transferencia de calor, y empieza a cobrar importancia en otras tareas, como la Mecánica de Fluidos o el Electromagnetismo. El conocimiento de estas técnicas numéricas resulta actualmente casi imprescindible para aquellos que se desenvuelven en el ámbito de la Ingeniera Civil y la Ingenieria Mecánica, ya que la mayor parte de los análisis de tensiones que se llevan a cabo en la industria están basados en ellas. A pesar de su gran difusión actual, los procedimientos de elementos finitos tal y como los entendemos hoy en día son relativamente modernos. Su nacimiento y desarrollo es una consecuencia de la disponibilidad de herramientas electrónicas de cálculo cada vez más potentes. Puede decirse, por tanto, que estas técnicas son un resultado más de la revolución informática de finales del siglo XX. La reseña histórica del método de los elementos finitos (MEF), la podemos comenzar en los años cincuenta, cuando el recién nacido ordenador digital hacía por fin posible el cálculo automático de estructuras con mayores dificultades de cálculo. El (MEF), nació como una generalización de la idea básica del cálculo matricial, este proceso nace al momento de entender que los elementos de estructuras complejas no se idealizaban bien mediante el entramado de barras, pensó que podía dividir su estructura en zonas o “elementos” más complejos que una simple barra. Estos elementos están conectados entre sí por nodos pero, a diferencia con el cálculo matricial, dentro de ellos solo se conocía la solución de manera aproximada en función de los movimientos nodales. La partida de nacimiento del Método de Elemento Finito, la cual se publica por primera vez la idea anterior, está fechada en 1956. Se trata de un artículo histórico aparecido en una revista de la industria aeronáutica.
93
En un principio se presento como un procedimiento de cálculo más, entre los muchos desarrollados por los ingenieros ocupados en resolver problemas prácticos. Sin embargo, durante los años sesenta los investigadores descubrieron que la esencia de lo que había sido generalizado del cálculo matricial podía utilizarse, no sólo para resolver problemas de cálculo de estructuras, sino también problemas más de campo general, tales como problemas de elasticidad o de conducción de calor. El Método de Elementos Finitos (MEF), ha evolucionado y concebido varias teorías en las cuales se fundamenta, estas teorías se fundamentan con procesos matemáticos de los cuales se comentaran en este capítulo, pero se harán con un enfoque por el cual se entienda y no profundizaremos en esta temática pues esto corresponde a otro tipo de estudio. Por el momento nos corresponde decir que el Método de Elementos Finitos se fundamenta en procesos matemáticos y que se mencionaran para poder hacer el análisis para poder aplicarlo en los programas que ya están en el mercado.
II.3.2 Fundamento teórico. La formulación del Método de Elementos Finitos (MEF), tiene su principio como una aplicación de la ingeniería a problemas prácticos, es decir, aplicados a estructuras complejas, y es de conocimiento que el método fue creado con fines ingenieriles pero en la actualidad podemos establecer que matemáticos a lo largo de los años se dieron a la tarea de considerar los fundamentos matemáticos es por ello que vale la pena mencionar su fundamentación matemáticas y como se ha desarrollado diferentes teorías.
II.3.2.1 Fundamentos Matemáticos. Desde el punto de vista matemático, el Método de los Elementos Finitos (MEF) puede entenderse como un procedimiento para resolver numéricamente problemas planteados mediante ecuaciones diferenciales. En esto es similar a otros procedimientos, como el Método de Diferencias Finitas (MDF) o el Método de los Elementos de Contorno (MEC).La forma más elegante de explicar los fundamentos matemáticos del MEF parte de la teoría de espacios normados y utiliza los conceptos del análisis funcional. Este es el marco en el que hay que situarse si se quieren estudiar con rigor las bases del MEF e investigar sobre sus propiedades matemáticas, pero este ya no corresponde a la temática en 94
análisis, sin embargo, desde el punto de vista pedagógico, iniciar el estudio del MEF situándose en este marco puramente matemático tiene serios inconvenientes para los técnicos y profesionales. Por las razones anteriores, y por limitaciones de espacio, se ha decidido buscar una solución de compromiso para explicar los fundamentos matemáticos del MEF, sin cargar el peso en la generalidad y la elegancia matemática. Se ha elegido una aproximación que muestre la base matemática del MEF en un lenguaje lo menos oscuro posible para el estudiante medio y poniendo énfasis en la línea ingenieril de desarrollo del método. El objetivo es transmitir ideas y conceptos, más que desarrollos y formulaciones. Las ideas permitirán luego al estudioso penetrar en aparatos matemáticos más complicados, que lo único que hacen es generalizar estas ideas y presentarlas de manera más elegante. Dentro de los métodos en los que tiene su fundamentación matemática el MEF, podemos mencionar los siguientes: Método de residuos ponderados. Método de Galerkin. Método de Ritz.
II.3.2.2 Métodos de los Residuos Ponderados. La aproximación clásica por diferencias finitas a la resolución numérica de este problema es muy directa, no requiere apenas elaboración. La “receta” podría ser la siguiente: 1. Tomar n puntos de Ω=] 0,1[. 2. Aproximar el valor de uxx en los n puntos en función del valor de u en esos puntos y de las condiciones de contorno. 3. Particularizar la ecuación de campo uxx + f = 0 en cada uno de los n puntos seleccionados. Se obtiene así un sistema de n ecuaciones lineales cuyas n incógnitas son los valores de u en los puntos seleccionados. 4. La aproximación a la solución u se obtiene interpolando entre los valores de u calculados para los puntos seleccionados. La solución puede refinarse aumentando el número n de puntos.
95
Puede verse que el procedimiento de solución anterior se basa en una aproximación por puntos a la función incógnita. La aproximación se extiende luego a todo el dominio de cálculo por interpolación entre los valores obtenidos para esos puntos.
II.3.2.3 Método de Galerkin. El método de (Bubnov) Galerkin es el método de residuos ponderados que corresponde a la formulación más clásica del MEF. Según este método, siguiendo el razonamiento de la las diferencias finitas, la aproximación uh se construye como:
n
U g C j N j h
h
j 1
El método de Galerkin data de 1915 y constituye una primera manera de justificar el MEF desde el punto de vista matemático. La aportación del MEF moderno al método de Galerkin consiste en una forma sistemática, fácilmente automatizable, de construir las Funciones N j y gh a partir de funciones definidas localmente. A modo de ejemplo, la sistemática anterior se aplica a continuación a la resolución aproximada del problema modelo. El proceso sería el siguiente: 13. Se divide el dominio ]0,1[ en subintervalos o “elementos” 14. Dentro de cada elemento se definen dos funciones locales. 15. La función N j se define cambiando estas dos funciones elementales. Nótese que N j (1) = y que los coeficientes c j cobran el sentido del valor de uh en los puntos o “nodos” que se han utilizado para definir los subdominios o “elementos”. Una vez definidas las funciones elementales, las funciones de aproximación quedan definidas automáticamente.
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II.3.2.4 Método de Ritz. El primer paso en la solución es escoger al conjunto de funciones φi(x). Un procedimiento bien establecido consiste en escoger un subconjunto (por lo general los primeros M términos) de un conjunto infinito de funciones ortogonales el M-esimo términos de la serie de Fourier es un ejemplo típico. Si las funciones ortogonales son las eigenfunciones del operador diferencial L (es decir, soluciones para L ϕ = λ ϕ), entonces podría obtenerse un forma particularmente simple de la solución. Sin embargo, con frecuencia es difícil encontrar un conjunto aceptable de funciones ortogonales, y el método de elementos finitos se basa en funciones de aproximación no ortogonales, las cuales son polinomios simples, por lo general cúbicos como caso extremo. Una vez que se han elegido las funciones de aproximación, el siguiente paso es encontrar el coeficiente ci que dan la mejor aproximación para el conjunto de funciones, y esto requiere de algún criterio para determinar que se entiende por “la mejor”. El Método de Ritz proporciona tal criterio. Este opera no en la ecuación diferencial, pero si en el “principio variacional” equivalente, en el que la solución asociada con el valor estacionario de una integral. Para las ecuaciones diferenciales derivadas de sistemas físicos, esta integral representa con frecuencia alguna forma de energía, de tal manera que si la solución es estacionaria es un mínimo. Ahora bien establecido lo anterior podemos entrar a la descripción del Método de Elementos Finitos (MEF), para ello podemos distinguir que el MEF consiste en dividir en elementos y analizar por nodos coda uno de esos elementos. Dentro del esquema general de la sistemática del MEF para cálculos lineales, una vez construida la matriz de rigidez global y el vector global de cargas por ensamblaje de las contribuciones elementales, el paso siguiente es resolver un sistema de ecuaciones lineales. Ello permite obtener las variables nodales. Los procedimientos numéricos para la resolución de este sistema son, en principio, los mismos que se utilizan en otras ramas de la técnica. Lo que ocurre es que, al ser el tiempo de ordenador dedicado a esta fase del cálculo una fracción muy importante del tiempo total utilizado para resolver el problema, los investigadores han ido creando una serie de técnicas especiales adaptadas a las características de los sistemas de ecuaciones a que da lugar el MEF. 97
Así, se ha desarrollado una rama de especialización dentro del estudio de los métodos de elementos finitos: la que trata de la resolución del sistema de ecuaciones y, en problemas con variación de la solución en el tiempo, del acoplamiento con la integración en el tiempo.
II.3.2.5 Resolución de Sistemas de Ecuaciones de Sistemas Lineales Dentro de la práctica del MEF se emplean dos grandes familias de procedimientos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales a que da lugar el método. Esquemáticamente, estos procedimientos son: 1. Métodos de solución directa, por ejemplo:
Eliminación de Gauss
Factorizaciones (Cholesky, Crout)
Método frontal
2. Métodos iterativos, por ejemplo:
Método de Jacobi
Método del gradiente conjugado
Relajación dinámica
En los métodos de solución directa, dado el sistema de ecuaciones que debe resolverse, se conoce a priori el número de operaciones necesarias para obtener la solución. Son los procedimientos con más tradición dentro de la tecnología del MEF y su rango de aplicación es general, tanto en programas de cálculo lineal como en los de cálculo no lineal. Todos los procedimientos que se utilizan dentro de esta categoría son elaboraciones de la eliminación de Gauss. En los métodos iterativos, por el contrario, no se conoce a priori el número de operaciones necesarias para llegar a la solución. Son procedimientos que están adquiriendo actualmente mucha difusión porque dan lugar a menos necesidades de almacenamiento en el ordenador (memoria, disco) y, por tanto, permiten abordar problemas más grandes manteniendo los mismos recursos. La dificultad con que tropiezan los métodos iterativos es que la velocidad con la que llegan a la solución depende de cada problema concreto, en particular, de las características de la matriz de coeficientes del sistema. Entonces, resulta que a veces son mucho más eficientes 98
que los métodos de solución directa pero por contra, en otros casos, pueden llegar requerir un número bastante mayor de operaciones. Esto es especialmente perturbador cuando se abordan cálculos no lineales, en los que las matrices de coeficientes de los diferentes sistemas de ecuaciones que se resuelven en un mismo problema pueden tener características muy diferentes de una fase a otra del cálculo. De este modo, parece que los métodos iterativos no son procedimientos de propósito tan general como los de solución directa. Es normal que los programas comerciales de cálculo los incorporen como opción. Sea el sistema de n ecuaciones lineales: K a f
Donde K es una matriz de coeficientes de n x n, a es el vector de incógnitas y f es el vector de términos independientes. Dentro de las aplicaciones del MEF, K representa la matriz de rigidez global, f es el vector global de cargas y a es el vector de movimientos nodales. A primera vista parece que la resolución del sistema es un asunto baladí. Se trata simplemente de invertir la matriz de coeficientes, para dar: a
K 1 f
Sin embargo, cuando el orden de K es de varias decenas de miles, se comprende que hay que prestar mucha atención a esta parte del cálculo para obtener la solución del sistema en un tiempo de ordenador razonable y con unos recursos de memoria y disco no demasiado grandes. En particular, la inversión de la matriz de coeficientes sería una forma muy ineficiente de resolver este sistema, ya que no se sacaría ningún partido de la estructura interna de la matriz K derivada de la sistemática del MEF. La sistemática del MEF da lugar a una matriz de rigidez global, en general simétrica, en la que la mayoría de los coeficientes son nulos (matriz dispersa), concentrándose los coeficientes no nulos alrededor de la diagonal principal (estructura en banda). Este es el tipo de matriz de coeficientes en el que estamos interesados.
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II.3.2.6 Métodos iterativos. El sistema de ecuaciones que se trata de resolver puede escribirse: r K a f 0
Y puede interpretarse desde el punto de vista mecánico como la búsqueda del equilibrio entre las fuerzas exteriores, f , aplicadas sobre los nodos y las fuerzas interiores, Ka, generadas por los movimientos nodales a. En este sentido, el vector r o vector de residuos representa el desequilibrio entre fuerzas interiores y fuerzas exteriores para un conjunto de movimientos nodales diferente de la solución del sistema de ecuaciones. Un procedimiento iterativo general para resolver el sistema 9.3 puede ponerse como: ai 1 ai ni i i i K a1 ri i i 1
Donde el índice i corresponde al número de iteración. Los distintos procedimientos iterativos se obtienen particularizando las expresiones. El vector δi tiene el sentido de un vector de mejora de la solución en la iteración i . El escalar ni seria un optimizador de la corrección a lo largo de la dirección dada por δi. La matriz Ka es una aproximación a la matriz de coeficientes del sistema K. Se conoce con el nombre de matriz precondicionadora y puede ser cualquier matriz, normalmente definida positiva, comprendida c omprendida entre la matriz identidad I y la matriz de coeficientes c oeficientes del d el sistema K . Para que el procedimiento sea en realidad un procedimiento iterativo, la matriz Ka ha de ser más fácilmente invertible (factorizable) que K . El escalar αi se introduce a veces para intentar acelerar la convergencia y el escalar βi sirve para introducir en el vector v ector de corrección c orrección de la solución δi una corrección relacionada con la corrección en la iteración anterior. El procedimiento iterativo recogido en las relaciones se detiene en cuanto se alcanza el criterio de convergencia elegido. Existen dos categorías de criterios de esta clase: 1. Criterios en desplazamientos. Son criterios de la forma: t
i i i i 1 a 1
o
100 t
t
i i i i K a 2 a 1 K a a 1
2. Criterios en fuerzas, de la forma: r i r i r i 3 max R , f t
Donde R es el vector de reacciones. Los escalares 1, 2, 3 se conocen con el nombre de tolerancias. Lo que hace atractivo un procedimiento iterativo como el descrito en los párrafos anteriores es que para calcular el vector de residuos ri no es necesario llegar a ensamblar la matriz de coeficientes K . El vector de residuos puede obtenerse ensamblando las contribuciones de los elementos al equilibrio de cada nodo: r i K eaei f e . e
Esto hace que un procedimiento iterativo requiera menos recursos de memoria y disco que un procedimiento de solución directa cuando se programa en el ordenador. Teniendo en cuenta lo anterior retomamos las aplicaciones de (MEF), dentro de la desplazam azamientos entos y la formulación de tecnología de estos se encuentran la formulación de despl fuerzas.
La formulación más clásica del MEF recibe el nombre de formulación en desplazamientos. La formulación toma el nombre de su aplicación a problemas de elasticidad, que fue una de las primeras áreas en las que se utilizo el MEF y de donde se ha extraído mucho de su lenguaje. En otros campos de aplicación, habría que llamarla formulación en temperaturas (problemas de transferencia de calor), en velocidades (mecánica de fluidos), etc. La formulación se basa en la aproximación de un solo campo independiente: los desplazamientos en sentido generalizado. Dentro de cada dominio elemental o elemento finito, el campo independiente se aproxima o interpola mediante funciones de forma que cumplen las condiciones siguientes:
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Cada función de forma está asociada a un punto dentro del elemento, de manera que
vale 1 en ese punto y se anula en los puntos asociados a las otras funciones de forma. Estos puntos especiales dentro de cada elemento reciben el nombre de nodos. Las funciones de forma correspondientes a cada elemento están definidas de manera
que hay continuidad del campo independiente al pasar de un elemento a otro, es decir, al agregar las aproximaciones locales para construir la aproximación extendida al dominio completo se obtiene una función continua. Las funciones de forma son capaces de representar de manera exacta campos con un
mínimo orden de variación, el cual depende del tipo de problema. Por ejemplo, en elasticidad las funciones de forma son capaces de representar exactamente campos de desplazamientos con variación lineal en el espacio; en problemas de flexión de placas, campos de flechas con variación cuadrática, etc. Las funciones de forma dentro de cada elemento son suficientemente lisas o
“suaves” como para permitir el cálculo de las derivadas que sean necesarias para el planteamiento de la forma débil del problema. La primera condición no es estrictamente necesaria, pero facilita la interpretación de los resultados y se ha convertido en algo que muchas veces se sobrentiende. Las otras tres condiciones derivan del fundamento matemático del método y, en conjunto, son una condición suficiente para la convergencia hacia la solución exacta del problema al aumentar el número de elementos o grado de discretización. La tecnología de elementos finitos produce ecuaciones lineales complejas de las cuales resolverlas sin ayuda de una computadora sería un trabajo exhausto es por ello que en este capítulo se ha tratado de dar las bases necesarias para poder entender la aplicación de software, diseñados para las áreas especializadas en nuestro caso el diseño de muros de retención.
102
II.3.3 En Que Consiste el Método. El MEF, consiste en su idea general en encontrar las ecuaciones que representan las modelaciones de los elementos y así tener una aproximación del comportamiento de la estructura en general. Es decir, dividir en tantos elementos infinitos como su nombre lo dice. Para el caso el método se basa en el comportamiento elástico del elemento, en la mayoría de los suelos se comportan de forma elástica y es de esa forma que se analizan para su mayor comprensión. Para su mayor comprensión existen varios paquetes de software, de los cuales toman en cuenta en su mayoría estos parámetros y a la vez desarrollan el cálculo con fundamentos del Método de Elemento Finito (MEF). Podemos mencionar algunos de ellos como lo son: Geo 5, Plaxis 8.2 y el Lisa. Estos son software que con los que podemos diseñar muros de retención y dentro de los cuales toman todas las características del suelo y del material que está hecho el muro.
II.3.4 Ejemplo de Modelación con el Programa Geo5 A manera de ejemplo daremos a conocer el paquete (Geo 5), con un problema sencillo: Datos: Muro de retención de gravedad: H= 10.0 m Suelo Limo Arenoso:
γ = 20 KN/m3
φ = 30 c=5
δ =10
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Primero de desarrolla el proyecto nombre, ubicación, tipo de análisis y el sistema de unidades:
El segundo pasó: generar la geometría del elemento:
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Tercer paso: generar o asignar el tipo de material.
Cuarto paso: asignar el perfil del terreno y la interfaz con la cual se quiere que analicé el programa al diseño.
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Quinto paso: generar el tipo de suelo del cual está conformado el talud
Sexto paso: asignar el suelo al perfil
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Séptimo paso colocar el tipo de terraplén.
Octavo paso: asignar la sobrecarga en el terraplén
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Noveno paso: comprobación del diseño.
108
Estabilidad
109
Análisis
El último paso es generar el dibujo
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CUADRO COMPARATIVO DE LOS METODOS MODERNOS. FELLENIUS TIPO DE SUELO QUE
CUERPODE INGENIEROS
ELEMENTOS FINITOS
Granulares y cohesivos
Granulares y cohesivos
Granulares y cohesivos
Planos o inclinados
Planos o inclinados
Planos o inclinados
Reposo, Activo y Pasivo
Reposo, Activo y Pasivo
Reposo, Activo y Pasivo
Toma en cuenta la
Toma en cuenta la
Toma en cuenta la
sobrecarga.
sobrecarga.
sobrecarga.
TIPO DE ANALISIS
Analítico
Analítico
Analítico
NIVEL DE AGUA
No lo toma en cuenta
Si lo toma en cuenta
No lo toma en cuenta
ANALISA TIPO DE TERRAPLEN EN LA CORONA DEL MURO CLASE DE EMPUJE CALCULADO SOBRECARGA
111
CAPITULO III
Estabilidad Global
III-1 INTRODUCCIÓN. Dentro de los capítulos anteriores hemos venido hablando de la importancia de la obtención de las fuerzas actuantes y resistentes que se producen al momento que interactúan el suelo y el muro. Para la cual se desarrollaron las diferentes teorías de análisis y comparamos los métodos clásicos vrs. Los modernos. Los muros de contención tienen como finalidad resistir las presiones laterales ó empuje producido por el material retenido detrás de ellos, su estabilidad la deben fundamentalmente al peso propio y al peso del material que está sobre su fundación. Los muros de contención se comportan básicamente como voladizos empotrados en su base, para ello designamos con el nombre de empuje, las acciones producidas por las masas de suelo que se consideran provista de cohesión, fricción, suelos arenosos, suelos arcillosos, etc. En general los empujes son producidos por terrenos naturales, rellenos artificiales o materiales almacenados.
III-2 METODOLOGÍA PARA ANÁLISIS DE MUROS DE CONTENCIÓN. III-2.1 Obtención de las Fuerzas Actuantes. Los muros de contención se utilizan para detener masas de tierra u otros materiales sueltos cuando las condiciones no permiten que estas masas asuman sus pendientes naturales. Estas condiciones se presentan cuando el ancho de una excavación, corte o terraplén está restringido por condiciones de propiedad, utilización de la estructura o economía. Por ejemplo, en la construcción de vías férreas o de carreteras, el ancho de servidumbre de la vía es fijo y el corte o terraplén debe estar contenido dentro de este ancho. De manera similar, los muros de los sótanos de edificios deben ubicarse dentro de los límites de la propiedad y contener el suelo alrededor del sótano. Para proyectar muros de sostenimiento es necesario determinar la magnitud, dirección y punto de aplicación de las presiones que el suelo ejercerá sobre el muro. El proyecto de los muros de contención consiste en: 112
Selección del tipo de muro y dimensiones.
Obtención de fuerzas actuantes y fuerzas resistentes.
Análisis de la estabilidad del muro frente a las fuerzas que lo solicitan, y revisar su estabilidad ante momentos de volteo, de deslizamiento, hundimiento y capacidad de carga de suelo portante. En caso que la estructura seleccionada no sea satisfactoria, se modifican las dimensiones y se efectúan nuevos cálculos hasta lograr la estabilidad y resistencia según las condiciones mínimas establecidas.
Diseño de los elementos o partes del muro.
El análisis de la estructura contempla la determinación de las fuerzas que actúan por encima de la base de fundación, tales como empuje de tierras, peso propio, peso de la tierra, cargas y sobrecargas con la finalidad de estudiar la estabilidad al vuelco, deslizamiento, presiones de contacto suelo-muro, hundimiento, capacidad de carga del suelo portante, falla global del talud. Como vimos en los capítulos anteriores se han comparado diferentes métodos para la obtención de las fuerzas actuantes en los muros, producidas por la masa de suelo que se está sosteniendo, los cuales clasificamos como métodos clásicos (Coulomb, Rankine, Culmann, Poncelet), y los métodos modernos (Fellenius, Cuerpo de Ingenieros de la Armada de los Estados Unidos, Elementos Finitos), de los que se obtuvieron las ecuaciones para que se consideraran considerar an en este capítulo. En un muro actúan fuerzas producidas tanto por el suelo como por el peso propio de la estructura, de esto partiremos para definir estas fuerzas que actúan y las fuerzas que resistan tales como el empuje de tierra, peso propio, peso de la tierra del relleno, cargas y sobrecargas en la corona del muro. Las fuerzas actuantes las definimos como: las fuerzas que actúan sobre la estructura y que tienden a producir esfuerzos y momentos, que pueden hacer fallar a un elemento, en este caso un muro de contención. Dichos fuerzas se representan el la figura 3.1.
113
Figura 3.1 Fuerzas actuantes en un muro de contención.
W: peso del muro aplicado en el centro de gravedad.
Ws: peso del suelo actuante sobre la pata.
Ea: Empuje activo.
E p: Empuje pasivo.
Reacción del suelo en la base.
Para mayor entendimiento nos referimos al capítulo 1 y capitulo 2, donde se definieron las ecuaciones para la obtención de las fuerzas antes mencionadas, con los diferentes métodos: Métodos clásico y Métodos modernos. Métodos clásicos: Teoría de Coulomb.(analítico) Teoría de Rankine.(analítico) Teoría de Poncelet. (grafico) Teoría de Culmann.(grafico)
114
Métodos Modernos: Método Sueco (Fellenius). Método de la Armada de los Estados Unidos (US Armi). Método de Elementos Finitos (MEF).
Para el caso de los métodos clásicos y modernos las fuerzas actuantes para las teorías en general se pueden obtener como sigue:
Figura 3.2. Representación grafica de las fuerzas actuantes y fuerzas resistentes (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 7.6)
115
Para el caso de la figura 3.2 las fuerzas actuantes son: 5. La componente horizontal y vertical de la presión activa que se obtiene así: ( Ph Pa cos ). 6. El peso de las diferentes áreas formadas por el suelo que sostiene el talud como el peso del muro los cuales se pueden obtener multiplicando el peso especifico correspondiente a cada material (suelo, block o concreto) por el área formada de ese material, así ( wn n xAn ). En general podemos decir que tanto para los métodos clásicos como los métodos modernos, la obtención de las fuerzas actuantes radica en generar el equilibrio dentro de los estados límites tanto del suelo como del muro de retención, y que estas fuerzas que tratan de mover o generar un tipo de movimiento se les llama fuerzas actuantes.
III-2.2 Obtención de las Fuerzas Resistentes.
Las fuerzas resistentes son las que se oponen a los efectos que producen las fuerzas actuantes, en general, las fuerzas resistentes para ambos métodos (clásicos y modernos), son: Componente horizontal del empuje pasivo. La sumatoria de las aéreas que generan el peso propio de la estructura,
( wn n xAn ). La componente vertical de la presión activa, ( Pv Pa sen ). La resistencia cortante de la base con respecto al suelo de apoyo, s tan ca
Teoría general para la obtención de las fuerzas actuantes y fuerzas resistentes, como hemos visto en los capítulos anteriores la importancia que tiene la generación de un diagrama de cuerpo libre donde se colocan las fuerzas que intervienen en un talud, de la mayor 116
interpretación de cómo están colocadas estas fuerzas depende la buena generación de este diagrama y así la clasificación de las fuerzas resistentes y actuantes.
III-3 VERIFICACIÓN DE LA ESTABILIDAD DEL MURO. III-3.1 Momento de Volteo. III-3.1.1 Momento de Volteo para Métodos Clásicos.
Figura 3.3 Revisión de volteo y deslizamiento. (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 7.6)
En la figura 3.3 se representas las fuerzas sobre un muro de retención, de esta representación grafica se obtiene la revisión por volteo que es el cociente de la suma de los momentos de volteo por la sumatoria de los momentos resistentes es decir: 117
FS( volteo)
M M
R o
Donde:
M
O
La suma de los momentos que tienden a voltear el muro con respecto al
punto C.
M
R
La sumatoria de los momentos que tienden a resistir el volteo con respecto al
punto C. El momento de volteo se obtiene con la expresión siguiente:
M
O
H´ Ph 3
Donde: Ph Pa cos
Para el cálculo de los momentos resistentes se suman todos los productos generados las aéreas de cada sección multiplicada por el peso específico, y donde se desprecia el empuje pasivo, de modo que el peso de la cuña arriba del talón, el peso del concreto o mampostería y la fuerza Pv, contribuye las fuerzas resistentes, donde Pv Pasen Una vez obtenido los valores de momentos se aplica la siguiente ecuación,
118
FS( volteo)
M1 M 2 M 3 M 4 M 5 M v H´ Pa cos 3
El valor mínimo de factor de seguridad contra volteo según el reglamento de la seguridad estructural de la construcción de el salvador está entre 1.2-1.5, dependiendo de las fuerzas que se analicen. Los comentarios se explicaran en las notas de dicho reglamento el cual comentaremos más adelante.
III-3.1.2 Momento de Volteo para El Método de Fellenius.
Con frecuencia, se encuentra en el libro de texto y los códigos que la estabilidad de un pie se expresa como un coeficiente de vuelco: "Factor-de-seguridad contra el vuelco". Esta es la relación entre el momento de rotación alrededor de la punta del pie de tomar como el cociente entre las fuerzas que tratan de derrocar a (anular) la base y las fuerzas que contrarrestan el vuelco. Comúnmente, el recomendado "factor de la seguridad contra el vuelco" es de 1,50. Sin embargo, mientras que la relación entre los momentos calculado puede ser de 1,50, el factor de seguridad, FS, no es de 1,50. Por el concepto de factor de seguridad para ser válido, un valor cercano a la unidad F debe ser posible, que no es el caso cuando se mueve la resultante más allá del punto tercero. Por tal situación, la combinación de estrés extremo en aumento y el progresivo desarrollo de la no-linealidad hacen que el punto de rotación para mover hacia adentro (ver fig. 6.2). En una relación de vuelco de alrededor de 1,2, es el fracaso inminente. Bailarinas de danza en los pies, las zapatas de verdad no sé, y la relación de vuelco no debe ser considerado como siendo la misma como un factor de seguridad. De seguridad contra el vuelco no puede ser un factor de seguridad. Lo mejor es prevenido por mantenimiento de la resultante en el interior del tercio medio de la zapata. 119
El diseño geotécnico para la capacidad de carga de vuelco requiere el cálculo de la resultante de todas las cargas que actúan sobre un cuerpo libre formada por la pared y pie y el suelo apoyado en el talón. El estrés de la Tierra (P4) para incluir en el cálculo de la fuerza resultante de los actos en contra de los límites del cuerpo libre, que es un aumento normal del talón, es decir, su coeficiente de estrés de la Tierra se determina de un β igual a 90 °. Observe también que la altura de la normal (H4) se utiliza en la determinación de la sobrecarga de tensión aplicada en el cálculo de P4.
III-3.1.3 Momento de Volteo para el Método del Cuerpo de Ingenieros. III-3.1.3.1 Colocación de la Resultante. Cálculos generales: Para estimar la estabilidad contra volteo de un muro como el mostrado en la figura 3.4, con base horizontal todas las fuerzas operativas deben ser aplicadas al diagrama de cuerpo libre de la dovela estructural del sistema suelo – muro. Los momentos de estas fuerzas son sumados en el punto O como se muestra en la figura 3.4 y la distancia XR es calculada con la formula:
XR
M V
o
Donde:
∑ V = Fuerza resultante en la base requerida para equilibrio vertical. ∑ Mo = Sumatoria de momentos con respecto a O
120
Figura 3.4 Fuerzas para análisis contra volteo para un muro con base horizontal, (Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls pagina 4-8).
Una ecuación para la relación resultante está definida como:
RR
M
o
F .E.N.B., N'
Donde: RR= Relación Resultante. F.E.N.B., N’ = Fuerza efectiva normal en la base. Las ecuaciones anteriores pueden usarse para muros con o sin diente y para muros con base inclinada y con diente, cuando un muro tiene la base inclinada y sin diente como en la figura 3.5, XR se calcula así:
XR
M
o
A.B.I .
Donde: A.B.I.= Ancho de la base inclinada.
121
Figura 3.5 Fuerzas para análisis contra volteo para un muro con base inclinada. ( I magen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls,
pagina 4-9).
La relación resultante se refiere al porcentaje de la base en compresión, como se muestra en la figura 3.6. El porcentaje de la base de la estructura en compresión debe cumplir con el criterio de estabilidad contra volteo el cual dice que el área de la base en compresión debe ser del 100%
122
Figura 3.6 Relaciones entre el ancho de la base en compresión y la colocación de la resultante. (Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls, pagina 4-11).
Muros con dientes Para este análisis se requiere determinar las fuerzas pasivas que actúan a lo largo de la cuña y a lo largo de la base. Pero como estas fuerzas son indeterminadas y no pueden ser determinadas por medio de equilibrio, se hacen suposiciones para poder calcular la estabilidad contra volteo. Para un muro con una base horizontal y diente la resistencia cortante de la base se asume cero y el empuje pasivo horizontal actuando en el diente es la fuerza requerida para el equilibrio, como se muestra en la figura 3.7.
123
Figura 3.7 Fuerzas para análisis contra volteo en un muro con base horizontal y diente. (Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls, pagina 4-12).
Para un muro con base inclinada y un diente, la fuerza horizontal requerida para el equilibrio se asume que actúa en la base y en el diente como s muestra en la figura 3.8. En ambos casos el empuje pasivo bajando hasta la punta del diente en el fondo se calcula usando el empuje en reposo, si se tiene la certeza de que el material que genera el empuje pasivo no pierde sus características resistentes con cualquier cambio como en el contenido de agua y condiciones ambientales, además de asegurar que no será excavado ni erosionado durante el periodo de vida útil del muro. Antes de desarrollar el análisis de volteo, la profundidad del diente y el ancho de la base deben ser determinados por medio de un análisis de estabilidad contra deslizamiento.
124
Figura 3.8 Fuerzas para análisis contra volteo en un muro con base inclinada y diente (Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls, pagina 4-13).
Rellenos inclinados: Para el análisis de volteo la fuerza cortante adicional generada por la pendiente ascendiente debe ser aprovechada, el cálculo de esta fuerza se muestra en la figura 3.9. La magnitud de esta fuerza es tan grande que hace que las fuerzas horizontales sean iguales a la parte de la dovela horizontal que cae sobre el talón del muro. Fuerzas de empuje vertical en muros con dientes: el suelo se asume que siempre permanece en contacto con el diente aunque el análisis contra volteo resulte en menos del 100% del área de la base en compresión.
125
Figura 3.9 Fuerzas cortante en rellenos inclinados y ascendentes. (Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls, pagina 4-14).
III.3.1.3.2 Criterios de Estabilidad Contra Volteo. Estos criterios están dados por porcentajes mínimos de las bases en compresión, la figura 3.6 ilustra la relación entre el porcentaje de la superficie de la base en compresión y la colocación de la resultante.
126
III-3.2 Deslizamiento. III-3.2.1 Deslizamiento para los Métodos Clásicos. Para la obtención del factor de seguridad contra deslizamiento se expresa por la ecuación:
FS( deslizamiento)
F ´ F R
d
Donde: FR´ Suma de las fuerzas horizontales resistentes.
F
d
Suma de las fuerzas horizontales de empuje.
Figura 3.10 Revisión por deslizamiento a lo largo de la base. (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 7.7)
127
En la figura 3.10 se representan gráficamente las fuerzas que actúan al DESLIZAMIENTO, donde se indica que la resistencia cortante inmediatamente debajo de la losa de base se representa como: s tan ca
Donde: Ángulo de fricción entre el suelo y la losa base.
ca Adhesión entre el suelo y la losa base.
La fuerza resistente máxima que se obtiene del suelo por unidad de longitud del muro a lo largo del fondo de la losa base es entonces, R´ s(área de la sección transversal) sBX1 B tan Bca
Sin embargo: B Suma de fuerzas verticales V
Por lo que:
R´ V tan Bca
En la figura 3.10 se muestra que la presión pasiva Pp es también una fuerza resistente horizontal, la cual definimos en el capítulo 1, por consiguiente:
FR´ V tan Bca Pp
128
La única fuerza horizontal que tendera a generar un deslizamiento (fuerza de empuje) es la componente de la horizontal de la fuerza activa Pa por lo que:
F
d
Pa cos
Entonces tenemos que el factor de seguridad contra deslizamiento es:
FSdeslizamiento
V tan Bca Pp Pa cos
III-3.2.2 Deslizamiento para el Método de Fellenius. El cálculo de la estabilidad base debe incluir la verificación de que la seguridad contra deslizamiento horizontal es suficiente. El cálculo es simple y consiste en determinar la relación entre la suma de la resistencia horizontal y la suma de todas las cargas horizontales,
R Q h
h
en la interface entre el plano inferior y el suelo. Esta relación
se considera como el factor de seguridad para evitar el deslizamiento. Por lo general, la de seguridad para evitar el deslizamiento se considera satisfactoria si el factor de seguridad se encuentra en el rango de 1,5 a 1,8. La resistencia horizontal se compone de la fricción
Qvtan ´
y la cohesión de los componentes de c´BL
129
III-3.2.2.1 Cálculo Combinado de un Muro de Contención y de Losa. Fig. 3.11 ilustra el caso general de la tierra que actúa sobre un muro en voladizo regordetes. La capacidad de carga de la zapata tiene que considerar las cargas de fuentes no se muestran en la figura, tales como el peso de la pared del mismo y las fuerzas externas que actúan sobre la pared y el suelo. La tensión de la tierra que regulan el diseño estructural de la pared (P1) se determina a partir del producto de la tensión de la tierra activa coeficiente (Ka) y la eficaz sobrecarga de estrés. Los cálculos deben considerar el ángulo interno del suelo de fricción (φ), la inclinación de la pared (β), la fricción de la pared (Tan δ), así como la pendiente de la superficie del suelo (α). Cuando el talón de la losa y / o la superficie del terreno está en pendiente, la altura media (H1) se utiliza en el cálculo de los efectivos sobrecarga de tensión utilizadas para P1, como se muestra en la figura. Aviso, los códigos de muchos postulados que el suelo de relleno pared más cercana madre no puede relajarse en condición activa total. Estos códigos por lo tanto requieren un mayor coeficiente de estrés de la Tierra (más cerca de Ko) en el cálculo de la tierra, el estrés que actúan directamente en el tallo. La componente vertical de la tensión de la tierra es muchas veces ignorada, ya que incluso sería necesaria la correspondiente reducción de peso de la tierra de reposo en la base.
Figura 3.11 Ejemplo de fuerzas actuantes en un muro (Referencia Basic of Foundation Desing “Bengt H. Fellenius” figura 6.3)
130
En contraste con el caso de la presión en contra de la madre tierra, la tensión que actúan sobre la tierra normal desde el talón debe calcularse fricción de la pared sin tener en cuenta en el suelo (Tschebotarioff 1978). En resumen, el diseño para la creación de una base consiste en asegurar que los factores de seguridad en la capacidad de carga de una base equivalente cargado uniformemente y deslizamiento son adecuados, y verificando que el estrés extremo no es excesiva.
III-3.2.3 Deslizamiento para El Método del Cuerpo de Ingenieros. III.3.2.3.1 Revisión de la Estabilidad al Deslizamiento Propósito: la finalidad es estimar la estabilidad del muro contra una falla potencial debida a deformaciones horizontales excesivas. La potencial falla por deslizamiento se estima al comparar las fuerzas cortantes resistentes y las aplicadas a lo largo de una superficie de falla asumida. Esta falla es inminente cuando la relación entre las fuerzas cortantes aplicadas y la resistencia a las mismas es 1.
Modelo de Análisis: La forma de la superficie de falla puede ser irregular dependiendo de la homogeneidad de los materiales de relleno y de la fundación. La superficie de falla puede estar compuesta de cualquier combinación de superficies curvas y planas, por simplicidad el método asume que todas las superficies de falla son planas y que estas forman las bases de las dovelas como se muestra en la figura 3.12.
131
Figura 3.12 Típico sistema de suelo estructura con un sistema de falla asumido, ( I magen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls,
pagina 4-16).
Excepto para casos muy simples la mayoría de problemas de estabilidad son indeterminados estáticamente, para poder hacerlo estáticamente determinado el sistema se divide en un numero de dovelas rígidas, se asume arbitrariamente la dirección de las fuerzas de equilibrio de momentos que actúan entre las dovelas y las fuerzas de fricción entre las dovelas se asumen despreciables. La figura 3.12 ilustra como la superficie de falla se divide entre las dovelas, la base de la dovela está formada por la superficie de falla asumida, la interfase entre dovelas se asume vertical y plana. Los bordes de las dovelas están definidos por la interfase vertical de cada lado de las dovelas y la superficie de suelo entra las dos interfaces. Para el análisis de deslizamiento, el muro y el suelo alrededor del mismo se asume que actúan como un sistema de dovelas como el mostrado en la figura 3.12, el sistema se divide en una o mas dovelas activas, una dovela estructural y una o más dovelas pasivas. Las condiciones geológicas del material de fundación si se conocen, deben ser tomadas en cuenta a la hora de la colocación de la superficie de falla asumida. La inclinación de 132
algunos de los planos de falla o la elevación de los planos adyacentes a la estructura pueden ser conocidos debido a limitaciones naturales en el lugar. Procedimiento de análisis del sistema suelo – estructura: puede ocuparse un procedimiento iterativo para encontrar la superficie de falla crítica. Se toma un factor de seguridad asumido con el cual la inclinación de la base de cada dovela varía para producir un empuje activo máximo para una dovela activa o un empuje pasivo mínimo para una dovela pasiva. El factor de seguridad se varía hasta producir una superficie de falla que satisfaga el equilibrio. La superficie de falla resultante será la del más bajo factor de seguridad. Deben probarse muchas inclinaciones como las mostradas en la figura 3.22 para determinar la que tiene el más bajo factor de seguridad.
III.3.2.3.2 Factor de Seguridad Contra Deslizamiento. General: El análisis de equilibrio límite es utilizado para estimar la estabilidad contra deslizamiento. Un factor de seguridad FS se aplica a los factores que afectan la estabilidad contra deslizamiento y que son conocidos con menor grado de certeza. Estos factores son las propiedades resistentes del material, este factor se aplica de manera que las dovelas de suelo estén en equilibrio de fuerzas con las mismas actuando en la estructura. Para los casos donde la resistencia del suelo o roca no son bien conocidos, este factor de seguridad compensa la incerteza de asignar valores a estos parámetros. Definición: Se dice que hay un equilibrio límite cuando los esfuerzos cortantes aplicados son iguales al máximo esfuerzo cortante resistente a lo largo de una potencial superficie de falla, se considera que la estructura es estable cuando el esfuerzo aplicado es menor al resistente. La relación entre la resistencia cortante y el esfuerzo cortante aplicado en una superficie potencial de falla se define como FS y se muestra en la ecuación: FS
f
' tan c 133
Donde:
τf = Máxima resistencia cortante de acuerdo al criterio de Mohr – Coulomb. τ = Esfuerzo cortante aplicado. El factor de seguridad también puede definirse como la proporción ente la fuerza cortante (Tf ) que podría causar la falla en un plano de deslizamiento correspondiente a la fuerza (T), a lo largo del plano en condiciones de servicio (figura 3.23) y la ecuación es:
Tf N' tan cL FS T T
Donde: L=es la longitud de la base en compresión para un pie de pared, cuando los valores de c y Ø son cero las ecuaciones son las siguientes: Para c= 0
FS
' Tan N Tan ' d Tan d N Tan
134
Figura 3.13 Diagrama de cuerpo libre de la enésima dovela. ( I magen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls,
pagina 4-19).
Para Ø= 0
FS
cL c cd L cd
Donde: Tan Ød y cd: son las porciones del esfuerzo cortante que se considera será desarrollado a lo largo del plano de falla. 135
III.3.2.3.3 Suposiciones y Simplificaciones. Superficie de deslizamiento: Se asume que todas las superficies son planas, estas superficies forman las bases de las dovelas, si hay varios planos deberán considerarse todos para encontrar el más crítico. Análisis en dos dimensiones: El análisis se realiza en dos dimensiones a excepción que las características geométricas y cargas críticas afecten la estabilidad contra el deslizamiento de un muro. Se considera solamente equilibrio de fuerzas: Solo se analiza el equilibrio de fuerzas, no se considera el equilibrio de momentos y la fuerza cortante actuando en la interface entre dovelas se desprecia. Esto quiere decir que las dovelas son cargadas directamente por las fuerzas actuantes y la fuerza resultante en la dovela se asume horizontal. Desplazamientos: Para el método de equilibrio límite no se toman consideraciones con respecto a desplazamientos. Relación entre fuerza normal y fuerza cortante: Se asume una relación lineal entre las fuerzas resistentes cortantes y la normal actuando en el plano de deslizamiento bajo cada dovela. Dovela Estructural: La ecuación general de dovelas se basa en la suposición de que las fuerzas cortantes no actúan en los bordes verticales de las dovelas. Por tanto la dovela estructural será la que forma la estructura de concreto ya que está transmite fuerzas cortantes a través de planos verticales. Interface de otras dovelas con la dovela estructural: la interface entre las dovelas activas y la dovela estructural, es un plano vertical colocado en el talón de la dovela estructural , la interface entre un grupo de dovelas pasivas y la dovela estructural se asume que es un plano vertical colocado en la punta inferior de la misma.
136
III.3.2.3.4 Ecuación General de Dovelas. Convención de signos: La geometría y convención de signos de una típica dovela y las dovelas adyacentes son mostradas en la figura 3.14, estas ecuaciones se derivan usando la regla de la mano derecha, su origen en cada dovela es la esquina inferior izquierda, el eje x es horizontal y el eje y vertical.
Figura 3.14 Geometría de la enésima dovela y dovelas adyacentes. (Imagen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls, pagina 4-21).
Los ejes tangentes (t) y normales (n) a un plano de falla son inclinados con un ángulo α con los ejes (±) X y (±) Y. Un ángulo negativo se forma en el sentido de las agujas del reloj y el positivo en sentido contrario.
137
Derivación de ecuaciones. El método determino ecuaciones normales de equilibrio y paralelas al plano de falla para una dovela típica como la mostrada en la figura 3.13, resolviendo para N’i y Ti y sustituyendo en la ecuación para el factor de seguridad de la enésima dovela, se obtuvo la ecuación siguiente: FS
WL
Vi Cos i H Li H Ri Sen i Pi 1 Pi Sen i U i Tan i ci Li H Li H Ri Cos i Pi 1 Pi Cos i Wi Vi Sen i
Resolviendo para (Pi-1 – Pi), se obtienen la ecuación general de dovelas:
Pi1 Pi Wi
Vi Tan di Cos i Sen i U i Tan di H Li H Ri Tan di Sen i Cos i cdi Li Cos i Tan di Sen i
Donde: i = Numero de dovela analizada. (Pi-1-Pi) = Suma de fuerzas aplicadas actuando horizontalmente en la enésima dovela. (Un valor negativo indica que las fuerzas aplicadas en la enésima dovela exceden las fuerzas resistentes al deslizamiento en la base de la dovela. un valor positivo indica que las fuerzas son menores.) Wi = Peso total de agua, suelo, roca o concreto en la enésima dovela. Vi= Cualquier fuerza vertical aplicada arriba de la enésima dovela. Tan Ødi= Tan Øi / FS
αi= Angulo entre la horizontal y la superficie de deslizamiento (+ si es antihorario). Ui= Fuerza de volteo ejercida a lo largo del plano de deslizamiento en la enésima dovela. 138
HLi= Cualquier fuerza vertical aplicada en la corona o bajo el fondo de la dovela del lado izquierdo de la dovela adyacente. HRi= Cualquier fuerza vertical aplicada en la corona o bajo el fondo de la dovela del lado derecho de la dovela adyacente. cdi= c/FS Li= Longitud de la superficie de deslizamiento en la enésima dovela. Esta ecuación se usa para calcular las fuerzas aplicadas actuando horizontalmente para un factor de seguridad asumido que se usa para cada dovela, el sistema de dovelas estará en equilibrio si las fuerzas horizontales calculadas para todas las dovelas con la ecuación anterior suman cero.
III.3.2.3.5 Angulo de la Superficie de Deslizamiento. Definición del ángulo de la superficie critica de deslizamiento: El ángulo α varía de acuerdo al valor del FS. Para una dovela activa este ángulo será aquel capaz de producir la mayor fuerza activa calculada. Para una dovela pasiva el ángulo crítico es aquel que produce la menor fuerza pasiva calculada con la misma ecuación, para este procedimiento hay que realizar iteraciones, la primera prueba para una dovela activa se aproxima con la ecuación: 45º
d
2
Donde: Ød =Tan-1(Tan Ø/FS)
Para una dovela pasiva la aproximación es la siguiente: 45º
d
2 139
Cálculo del ángulo critico de la superficie de deslizamiento: Las ecuaciones para el ángulo crítico de deslizamiento son soluciones exactas para dovelas con terraplén horizontal y con o sin sobrecarga uniforme.
III.3.2.3.6 Análisis Para Una Dovela.
Introducción: una forma fácil de revisar la estabilidad contra deslizamiento de una estructura es desarrollando el análisis para la dovela estructural, usando las mismas cargas obtenidas para el análisis contra volteo, cuando el FS no es mayor de 1.5, si el factor de mayor de 1.5, las fuerzas activas deben ser más grandes que las calculadas para el análisis contra volteo y a las cuales se les aplica un SMF, para este caso el análisis para una dovela podría indicar incorrectamente que la estructura satisface los criterios para un FS mayor. Procedimiento de análisis: Se calcula la resistencia al deslizamiento requerida para el equilibrio en un plano paralelo al plano de deslizamiento asumido, por debajo de la dovela estructural. Se usan las mismas fuerzas calculadas para el análisis contra volteo. La fuerza de resistencia se calcula como se muestra en la figura 3.15. Calcule la resistencia total al deslizamiento total disponible a lo largo del plano de deslizamiento asumido bajo la dovela estructural usando los parámetros de resistencia al corte sin factorar y divida la resistencia al deslizamiento total por el mínimo factor de seguridad para cada caso. Si la resistencia al deslizamiento necesaria, es iguala o menos que la resistencia al deslizamiento dividida por el mínimo factor de seguridad al deslizamiento, el análisis múltiple de dovelas no es necesario. Un análisis múltiple de dovelas podría resultar en un factor de seguridad igual o menor al mínimo requerido. Esta revisión puede se expresada por: 140
T
' cL N Tan FS
Donde: T= Resultante resistente al deslizamiento paralela al plano de falla asumido por el equilibrio. N’= Resultante de fuerzas normales al plano de deslizamiento asumido. TanØ y c= Parámetros de resistencia del material de cimentación a través del cual pasa la superficie de falla. L= Longitud de la superficie de falla bajo la estructura. FS= Mínimo factor de seguridad al deslizamiento requerido.
Figura 3.15 Análisis de una dovela contra deslizamiento. ( I magen tomada del documento Engineering and Design Retaining and Flood Walls,
pagina 4-26). 141
Si el plano de deslizamiento asumido es horizontal, T podría ser igual a la resultante de fuerzas horizontales y N’ será igual a la resultante de fuerzas verticales. Si la ecuación para la revisión de resistencia no se satisface, es necesario realizar un análisis múltiple de dovelas para determinar el factor de seguridad contra deslizamiento. El análisis múltiple de dovelas puede ser obviado, si las fuerzas en las dovelas activas y pasivas son calculadas usando el mínimo factor de seguridad requerido, si la ecuación de revisión es satisfecha el sistema tiene un factor de seguridad igual o más grande que el mínimo requerido.
III.3.2.3.7 Análisis Múltiple de Dovelas.
Procedimiento: Divida la masa deslizante asumida en un número de dovelas, incluyendo la dovela estructural, basándose en la configuración y discontinuidades del relleno, porciones del muro y discontinuidades en la fundación. Estime el factor de seguridad (FS) para la primera estimación. Calcule los ángulos críticos para cada dovela, tomando en cuenta que para una dovela activa el ángulo crítico es el que genera el mayor empuje activo y para la dovela pasiva el que genera el menor empuje pasivo. Calcular presiones de volteo y por tabla de agua. Calcular el peso de las dovelas incluyendo sobrecargas. Calcular las fuerzas laterales a cada dovela, usando la ecuación general de dovelas, cuando los ángulos no pueden calcularse fácilmente debido a las cargas y geometría de la dovela, la ecuación general de dovelas se usa para iterar y encontrar el ángulo crítico, variando el ángulo de la dovela para encontrar el empuje máximo activo y el empuje mínimo pasivo. 142
Sumar las fuerzas laterales de todas las dovelas. Si la suma de las fuerzas laterales se negativa, disminuya el FS y recalcule la suma de fuerzas laterales. Disminuyendo el FS, se desarrolla un porcentaje mayor de esfuerzo cortante actuando a los largo de los planos de deslizamiento. Este procedimiento de prueba y error debe continuarse hasta que la suma de las fuerzas laterales sea aproximadamente cero para el factor de seguridad usado esto podría determinar el factor de seguridad que causa que la masa deslizante este en equilibrio horizontal. Si el factor de seguridad es menor que el mínimo requerido, rediseñe la base o incluya un diente.
III.3.2.3.8 Criterios Para Estabilidad al Deslizamiento.
Los criterios para la estabilidad contra deslizamiento son dados en términos de un mínimo factor de seguridad para varías condiciones de carga en la tabla 3.1. Tabla 3.1 Criterios de estabilidad para muros de retención.
F.S. al desliz.
Estabilidad contra F.S. Esfuerzo cortante volteo Minima área en mínimo prueba requerida compresión en la base. capacidad de Suelo de Fundación Suelo de Fundación soporte fundación en roca fundación en roca
Caso No.
Condición de carga
R1
Usual
1.5
(Q/S)2,1
Corte Directo
100%4
75%4
3.0
R2
Inusual
1.33
(Q/S)2,1
Corte Directo
75%4
50%4
2.0
R3
Sismo
1.1
(Q)
Corte Directo
Resultante Resultante en la base en la base
>1.0 143
III-3.3. Capacidad de Carga del Suelo Portante. III-3.3.1 Capacidad de Carga para Métodos Clásicos. La presión vertical, tal como es trasmitida al suelo por la losa de base del muro de retención debe revisarse por capacidad de carga última del suelo. La naturaleza de la variación de la presión vertical trasmitida por la losa de base al suelo se muestra en la figura (3.16), note que el q punta y qtalon son las presiones máximas y mínimas, que ocurren en los extremos de la sección de la punta y de talón, respectivamente. Las magnitudes de q punta y qtalon se determinan de la siguiente manera
Ahora el momento neto esas fuerzas respecto al punto c es: M neto M R M o
Considere que la línea de acción de la resultante, R, cruza la losa base en E, como se muestra en la figura (), la distancia CE es entonces
CE X
M neto V
Por consiguiente la excentricidad de la resultante se expresa como,
e
B
2
CE
144
Figura (16) Revisión de falla por capacidad de carga. (Referencia Braja M Das. Cuarta edición “Principios de Ingeniería de Cimentaciones” figura 7.10)
La distribución de presiones bajo la losa se obtiene usando los principios de mecánica de materiales.
q
V M A
neto
y
I
Donde: M neto Momento V e 145
1 2
2 I Momento de inercia por unidad de longitud de la sección base 1B
Ahora para obtener las presiones máximas usaremos la expresión:
qmax qpunta
V B1
eV
B
6e 2 V 1
1 3 B 12
B
B
Similarmente:
qmin qtalon
V 1 6e B
B
Para la obtención del factor de seguridad a la capacidad portante se debe de encontrar la carga máxima como la carga ultima ejercida por la estructura y trasmitida por la losa de base al suelo, se necesito obtener la capacidad de carga ultima y la ecuación se representa como: 1 2
qu c2 Nc Fcd Fci qNqFqd Fqi 2 B´N F d F i
Una vez calculada la capacidad de carga última (qu) obtenemos el factor de capacidad, se obtiene así: FS (capacidad de carga)
qu qmax
146
III 3.3.2 Capacidad de Carga `para El método Sueco (Fellenius). Fellenius basa su teoría en las investigaciones hechas por Terzaghi (1,943), esta formula es aplicables para una zapata continua y es la siguiente
ru c´Nc q´Nq 0.5´B ´N
Donde: r u= Resistencia Ultima de la zapata. c’= Cohesión del suelo. B= ancho de la zapata. q’= Sobrecarga efectiva al nivel de la fundación.
γ’= Peso unitario del suelos que soporta la fundación. Nc, Nq, Nγ = Factores de capacidad de carga.
Cuando la tabla de agua se ubica sobre o en la base el peso unitario de suelo que se ocupara es el boyante. Los factores de capacidad de carga se obtienen en función del ángulo de fricción interna del suelo, cada uno de os factores se describe a continuación:
1 sen N q e tan 1 sen
0
Nq 1
147
Nc N q 1cot ´
´ 0
Nc 2 5.14
N 1.5 Nq 1tan ´
´ 0
N 0
Aunque para el caso de Nγ dependiendo del autor podrían ocuparse algunas otras formulas para su obtención, es importante notar que cuando el ángulo de fricción interna del suelo es mayor de 37º, los factores incrementan rápidamente y las ecuaciones anteriores pierden relevancia.
III 3.3.2.1 Factor de Seguridad contra Falla por Capacidad del Suelo Portante.
Para el diseño de zapatas para capacidad del suelo, la carga aplicada no debe exceder la carga ultima de la zapata calculada con la formula de capacidad de carga de Terzaghi, esto quiere decir que los diseños de fundaciones deben incluir un margen de seguridad contra falla, este margen se define como el esfuerzo del suelo dividido resistencia cortante desarrollada. La resistencia del suelo es la cohesión o la tangente de la fricción interna del suelo o ambos. en contraste para problemas de capacidad de soporte del suelo no está definido como la relación entre resistencia y resistencia como se muestra en la ecuación siguiente:
Fs
ru q´ qallow
o alternativamente
Fs
ru qallow
Donde:
148
Fs= Factor de seguridad. r u= Resistencia ultima. q`= Esfuerzo al nivel de la fundación. qallow= permisible presión de soporte (presión de contacto) El factor de seguridad recomendado para aplicarse es no menos de 3.
III.3.3.2.2 Cargas inclinadas y Excéntricas.
Fig. 3.17 a) únicamente carga concéntrica y verticalmente, y b) carga vertical y horizontalmente. (Referencia Basic of Foundation Desing “Bengt H. Fellenius” figura 6.3)
La figura 3.17 muestra una sección cruz de dos cargas distribuidas en una zapata de ancho B, sujetas a carga vertical Q y Qv la carga en la zapata de la izquierda es vertical y concéntrica el esfuerzo de contacto aplicado es q por unidad de longitud (q=Q/B) que desarrolla una igualmente larga resistencia del suelo r. 149
De cualquier forma las cargas en zapatas son normalmente excéntricas e inclinadas, como se muestra en la figura de la zapata de la derecha. al cargar una zapata excéntricamente su capacidad de soporte puede ser reducida una carga que no está aplicada al centro puede incrementar e esfuerzo en un lado y reducirlo al lado opuesto. Un esfuerzo demasiado grande puede ser un punto de comienzo para una falla de suelo portante.
Para no crear tensión en el talón al reducir el esfuerzo de contacto en un lado de la zapata la resultante debe ubicarse en el tercio medio de la zapata, esto quiere decir que la excentricidad no debe ser mayor que B/6 (16.7% del ancho de la zapata) la figura 3.18 ilustra la diferencia entre una zapata cargada dentro del centro medio y fuera del mismo.
Figura 3.18 Distribuciones de tensiones cuando la resultante cae dentro del tercio medio y fuera del mismo. (Referencia: Basic of Foundation Desing. “Bengt H. Fellenius” figura 6.2)
150
III.3.3.2.4 Factores de Inclinación y de Forma
Cuando se combinan cargas verticales y horizontales resulta en una caga inclinada que puede reducir la capacidad de soporte de una zapata, el efecto de la inclinación es expresado por medio de factores de reducción llamados factores de inclinación, i. la inclinación puede tener un efecto indirecto debido a que la resultante de la carga en la mayoría de casos actúa fuera del centro, reduciendo el área efectiva de la zapata.
La forma de la zapata también influencia la capacidad y es expresada por medio de factores de reducción llamados factores de forma s. la formula de capacidad de soporte es derivada a partir de la asunción de una zapata continua infinitamente larga. una zapata con longitud finita , L, podría tener una contribución de la resistencia del suelo a partir de el final de la zapata. esta contribución es que los factores de forma se ajustan para que los factores de capacidad también sean aplicables a zapatas de formas rectangulares.
Para representar el caso general de una zapata sujeta a cargas inclinadas y excéntricas se hace con la ecuación siguiente:
ru scicc´Nc sqiqq´Nq s i 0.5B´ ´N
Donde los factores no definidos anteriormente son:
sc , sq, s Factores de forma a dimensionales.
151
ic , iq, i Factores de inclinación a dimensionales
B = Ancho de la zapata.
Cuando la resultante cae en el tercio medio del ancho de la zapata podría asumirse que la distribución de esfuerzos bajo la zapata es aproximadamente lineal, cuando la resultante se mueve mas allá del tercio, o sea más cerca del extremo de la zapata, esto no solo hace que el esfuerzo extremo se incremente rápidamente, la sunción de linealidad no es válida. El requerimiento de tener la resultante en el tercio medio es muy importante en el diseño.
Factores de forma
sc sq 1
s 1 0.4
B´ Nq L´ Nc
B´ L´
Donde: B’= Ancho efectivo de la zapata. L’= Longitud de la zapata. Factores de inclinación Según el manual de ingeniería de fundaciones canadiense 152
ic iq 1 90
i 1 ´
2
2
Donde:
a= Angulo de inclinación de la resultante.
Ø’= Angulo de fricción interna del suelo
Existen diferentes formulas para calcular los factores de inclinación y el método de Fellenius admite usar cualquier autor con la restricción que cuando los valores son mayores que la unidad estas factores deben calcularse por otra fórmula.
153
III-3.3.3 Capacidad de Carga para Métodos de Cuerpo de Ingenieros. III.3.3.3.1 Análisis de Capacidad de Soporte en la Fundación de los Muros. III.3.3.3.1.1 Análisis, Principios y Métodos. El método recomienda utilizar la ecuación de Terzaghi’s siguiente: q CNc Wz Nq Wb Nw
Forma de la falla: esta depende de la compresibilidad relativa del suelo, condiciones de carga y consideraciones geométricas. Los alcances del método son para falla general por cortante de fundaciones superficiales. Una falla general por cortante existe normalmente en arena densa y arcilla rígida, para arena suelta y arcilla blanda la capacidad de soporte debe calcularse basado en las condiciones locales de corte. Factor de Seguridad: El factor de seguridad se calcula como sigue: FS
Q N'
Donde: N’= Fuerza normal efectiva aplicada a la base de la estructura Q= Componente normal a la base de la estructura de la capacidad de carga ultima. Los factores mínimos aceptables de capacidad de soporte para muros se muestran en la tabla 3.1. Para cada caso de carga se ocupan las fuerzas obtenidas para el análisis contra volteo.
154
III.3.3.1.2 Ecuación General de Carga. La ecuación para una zapata superficial es la siguiente: d i t g B N Q B cd ci ct cg cNc qd qi qt qg qo Nq 2
4-15
Donde; Q= Componente normal de la capacidad de carga ultima de la fundación. B= Ancho efectivo de la base. e= Excentricidad de la carga con respecto al ancho de la base geométrica. c= Cohesión de la fundación.
ε= Factores de forma e inclinación. Nc, Nq, Nγ= Factores de capacidad de carga. qo= Sobrecarga efectiva que es transmitida hasta la base de la zapata.
γ= Peso unitario efectivo del material de fundación.
III.4 CONCEPTO DE FACTOR DE SEGURIDAD. En todo diseño ya sea de servicio o de uso de protección se corre el riesgo de que el diseño resulte sobrado o con una incertidumbre de que necesita más refuerzo, lo cual pueda garantizar que no falle. En el caso de nuestro estudio el factor de seguridad se genera esperando que la estructura (el muro), no colapse ante un evento de los expuestos anteriormente. El factor de seguridad nace ante la necesidad de garantizar que lo diseñado sea una estructura segura, y que al momento de se generen fuerzas mayores a las diseñadas no 155
tiendan a colapsar. El uso del Factor de seguridad reduce esa incertidumbre y vuelve más seguro nuestro diseño. El factor de seguridad se define el producto que resulta de relacionar las fuerzas resistentes entre las fuerzas actuantes, las que se generan en los análisis estructurales, dicho factor de seguridad está relacionado con el comportamiento de los materiales del tipo de estructura y el servicio que la estructura ofrezca. En el diseño de muros de retención los factores de seguridad son utilizados para comprobar que la estructura este capacita para soportar las diferentes fuerzas que trataran de hacerlo fallar. Un que siempre, se genere una incertidumbre en cualquier tipo de diseño, en el caso de diseños de elementos de fundación y sostenimiento de masa de suelo y cualquier material que genere empujes a ellas. Es decir que el factor de seguridad nos da la idea de si la estructura será capaz de absorber o resistir las fuerzas que lo llevarían a fallar, como, también para el dimensionamiento de la estructura. En normas y reglamentos se establecen las diferentes condiciones a analizar, los valores que deben cumplir tanto para fuerzas estáticas o sismo.
III-5
NOTAS
DEL
REGLAMENTO
DE
LA
SEGURIDAD
DE
LA
CONSTRUCCIÓN DE EL SALVADOR. Dentro del reglamento se establecen lo requisito para el diseño de estructura las cuales deben cumplirlos, tanto en servicio como en funcionabilidad, estos requisitos los mencionamos a continuación: El artículo 45 del reglamento recomienda que previo al diseño de toda obra, deberá realizarse un estudio geotécnico. Dicho estudio debe contener como mínimo debe contener como mínimo, lo siguiente: La capacidad de carga admisible, identificación y clasificación del suelo, condiciones de humedad, límites de consistencia, presencia de agentes contaminantes y flujos de agua, subterráneos; así como también, la definición de la profundidad mínima de desplante de las 156
cimentaciones, a niveles bajo los cuales no existan cantidades perjudiciales de material orgánico y el suelo posea características mínimas aceptables. Adicionalmente deberán estudiarse todas aquellas propiedades que sean requeridas para el análisis y diseño de la obra. El articulo 51 nos da la forma de análisis para los taludes a tomar en las características de los materiales que componen los estratos, los probables mecanismos de falla y considerar además de las fuerzas gravitacionales y las sísmicas, las fuerzas debidas a la infiltración, presión de poro, sobrecargas. El reglamento establece los factores de seguridad que deben cumplirse para el diseño de un muro de retención estos factores se encuentran en “La norma técnica para el diseño de cimentaciones y estabilidad de taludes”.
Dichos factores se encuentran en el capítulo 6 tabla 5-1de la norma técnica los cuales nos restringe a analizar las diferentes falas que puedan ocurrir, tanto deslizamiento como volteo. En esta tabla se mocionan las dos combinaciones que se analiza como también se menciono antes las fallas a considerar al momento de hacer la comprobación de si la estructura cumple o no con el dimensionamiento que se a planteado, de no ser así se tiene que dimensionar de nuevo y cumplir los requisito mínimos expuesto en el reglamento para la seguridad estructural.
157
CAPITULO IV IV-1 Metodología de la Investigación. Con el fin de poder comparar los métodos clásicos y los métodos modernos para el diseño de muros de retención se consideraron en la investigación la evaluación con cada uno de los métodos de 2 tipos de muro utilizados generalmente en nuestro país, con 2 diferentes alturas y 3 ángulos de inclinación del terraplén. Para este fin también se consideraron dos tipos de suelos (granulares y cohesivos) con sus parámetros de resistencia. Para obtener estos parámetros de resistencia se investigo si existía en nuestro país algún trabajo relacionado con la obtención de los parámetros de resistencia en los suelos de nuestro país y encontramos el articulo Propiedades Mecánicas de los suelos del Área Metropolitana de San Salvador de un número de la revista de la Asociación Salvadoreña de Ingenieros y Arquitectos. El procedimiento para escoger el mejor método de diseño, es la siguiente: Se determinan la altura, inclinación del suelo y tipo de suelo, granular o cohesivo. Se calcula la fuerza activa y pasiva por cada uno de los métodos. Se hace un pre dimensionamiento de los elementos estructurales del muro, basados
en los criterios expuestos en el texto “Principios de Ingeniería de Cimentaciones del autor Braja Das”, tratando de dimensionar la sección mas económica. Con los datos anteriores se determinan por los métodos los factores de seguridad de
Volteo, Deslizamiento y Capacidad de soporte; Si con las predimensiones no se obtiene el factor de seguridad mayores de 1.5 se
redimensiona la estructura hasta cumplir con esos requisitos
Habiendo cumplido con la estabilidad de la estructura se hace la revisión estructural por las ecuaciones establecidas en el ACI-318. se revisan las estructuras para cortante y momento de Flexión. 158
Luego se determina el volumen del los materiales y el costo por metro cubico.
Se tabulan los datos en un cuadro comparativo, el cual compara los factores importantes para determinar el método más adecuado por diseñar muros de contención.
V-1.1 Tipología de muros a utilizar. En nuestro país podemos decir que en la mayoría de casos los muros mas utilizados son: mampostería de piedra y los muros de cantiléver (concreto armado). Para nuestro estudio
realizaremos el análisis de estos muros por los métodos estudiados en los capítulos anteriores. Generalmente la aplicación de estos muros está limitada a su forma geométrica la cual es muy importante, para el logro de un buen análisis, dentro del cual nos hemos puesto los objetivos, ya que buscamos obtener el método que genere la estructura más eficiente, las partes que conforman estos muros y en las cuales nos referiremos en nuestro análisis, se muestran en la figura 4.1
Figura 4.1 Partes de un Muro de Retención. Imagen tomada del documento Muros de Contención y Muros de sótano, 2ª Edición, J Calavera, Intemac, pagina 12, Enero 1987 159
IV-1.1.1 Muros de gravedad. Este tipo de muro está compuesto por piedra cuarta y mortero, su ventaja principal es que no se necesita acero para construirlo, aunque al ser demasiado voluminosos, es mejor ocupar otro tipo de muro, este tipo de muro se muestra en la (figura 4.2).
Figura
4.2 Muros de gravedad, a) Sin diferenciar la cimentación, b) con Cimentación diferenciada. Imagen tomada del documento Muros de Contención y Muros de Sótano, 2ª Edición, J . Calavera, Intemac, pagina 13, España, Enero 1987.
IV-1.1.2 Muros de Concreto Armado. Estos muros son los más usados generalmente ya que se asume que son los mas económicos para alturas de hasta 12 metros, aunque su aplicación depende los costos relativos de excavación, concreto, acero, encofrado y mano de obra, como su nombre lo dice se construye con concreto y acero de refuerzo, (figura 4.3), muestra este tipo de muro.
Figura 4.3 Muros de Concreto Armado. Imagen tomada del documento Muros de Contención y Muros de Sótano, 2ª Edición, J . Calavera, Intemac, pagina 13, España, Enero 1987.
160
IV-1.2 Características Mecánicas de los Muros. Las características mecánicas de los muros dependen de los materiales con que se construyen, para el caso de este estudio, peso de la mampostería de piedra, propiedades del concreto hidráulico y acero. Para el caso del muro de gravedad de mampostería de piedra la única propiedad de los materiales que infiere en el muro es el peso propio de la estructura que es el que se opone al empuje de la masa de suelo retenido. Para el caso de muros de concreto hidráulico las propiedades mecánicas que infieren en el muro son las siguientes:
Resistencia a la compresión del concreto hidráulico
Cortante último del concreto y acero en la sección analizada.
Momento Último del concreto y acero en la sección analizada para revisar la flexión del elemento.
IV-1.2.1 Resistencia a la Compresión del Concreto. A partir de la resistencia a la compresión (f’c) del concreto se calculan los valores de cortante y momento último para realizar la revisión estructural. Para el caso de esta investigación se diseño con una resistencia última a la compresión a los 28 días edad de 210 Kg/cm2.
IV-1.2.2 Revisión del Cortante por Elemento. Para la revisión de cada elemento por cortante y después de haber obtenido el valor de cortante último por estática, se utiliza la formula dada por American Concrete Institute para calcular los cortantes del elemento y realizar la revisión, la formula a utilizar es: Vc s 0.53 f ´cbd
La formula anterior obtiene el cortante del concreto que es el utilizado, ya que el aporte del acero al cortante es despreciable.
161
IV-1.2.2 Revisión de la Flexión del Elemento. Para la revisión de cada elemento por flexión y después de haber obtenido el valor de momento último por estática, se utilizan las formulas dadas por American Concrete Institute para calcular el momento nominal, la resistencia nominal y cantidad de acero requerida, con estos valores se revisa la resistencia a la flexión del elemento. Mu
Mn bd2
2 Rn fy 0.85 f `c Con los valores obtenidos se procede a la comparación de los resultados obtenidos contra Mn
Rn
req
0.85 f `c 1
los valores obtenidos por estática.
IV-1.3 Características de los Suelos. Se utilizaron dos tipos de suelos granulares y cohesivos tomando en cuenta contar con suelos que sean representativos de la mayoría de suelos en nuestro país. Las propiedades de estos suelos tales como cohesión, ángulo de fricción interna y peso unitario húmedo fueron obtenidos de un artículo publicado en la revista de ASIA(referencia 1), estas características se detallan en el cuadro siguiente: Cohesión Aparente (Kg/cm2)
Angulo de Fricción Interna. (º)
Peso Unitario Seco (Ton/m3)
Cohesivo
0.59
27
1.22
Granular
0.20
35
1.24
Tipo de suelo
Estas propiedades se utilizan en los cálculos de los empujes que el suelo retenido ejerce sobre el muro.
162
CAPITULO V. V-1 Resumen de Resultados. Hacer un estudio comparativo demostraríamos cual método es adecuado y el que resultaría con la estructura más económica con respecto a su diseño y construcción. Para obtener el método de diseño de muros de contención más adecuado se ha hecho un estudio comparativo de evaluación de cargas en estructuras de retención con los métodos clásicos de diseño y los métodos modernos. En métodos clásicos están agrupadas las siguientes teorías: Teoría de Rankine, Teoría de Coulomb, Teoría de Poncelet y Polígonos funiculares conocido por la teoría de Culmann. Y en los métodos modernos se agrupan: El método de Sueco o teoría de Fellenius y El método del Cuerpo de Ingenieros (U.S. ARMY). Para realizar la comparativa Se evaluó 12 combinaciones de muros y por los 6 métodos en las siguientes condiciones:
6 muros de 2.00 de altura con ángulo de suelo 0, 15 y 30, así como por dos tipos de suelos granulares y cohesivos. 6 muros de 5.00 de altura con ángulo de suelo 0, 15 y 30, así como por dos tipos de suelos granulares y cohesivos. Obteniendo como resultado 12 por muros por 6 métodos, igual a 72 muros Además de evaluar las configuraciones de cada muro se calculan por 2 tipos de muros: Muros de gravedad de mampostería de piedra. Muro de concreto reforzado Cantiléver 163
Haciendo un total de 144 muros de modelos con los que se espera obtener el método más optimo de diseño de muros. A continuación se presenta la tabla usada para comparar cada uno de los muros.
No.
Altura
1
Inclinación del terreno
Angulo de Tipo de suelo
Fricción Interna.
Granular
35.20
Cohesivo
27
Granular
35.20
4
Cohesivo
27
5
Granular
35.20
6
Cohesivo
27
7
Granular
35.20
Cohesivo
27
Granular
35.20
10
Cohesivo
27
11
Granular
35.20
Cohesivo
27
0
2 3
2.00
15
30
0 8 9
5.00 15
30 12
164
V-1.1 Metodología para el análisis de resultados. La metodología empleada para la comparación y determinación del método que mejor se adapta a las condiciones de los suelos de nuestro país se desarrollara a través de un análisis estadístico para medir la dispersión de datos que serán obtenidos diseñando hojas de cálculo con el programa Excel que calculen los empujes activos, pasivos y en reposo, dependiendo de cada método y que además evalúen la estabilidad de las estructuras ante volteo, ante fuerzas que inducen al deslizamiento, hundimiento y capacidad de carga del suelo portante. Debido a la dispersión de resultados que nos genera el estudio, se hace necesario justificar un intervalo de confianza que se encuentre entre el 15% y el 85% de los datos obtenidos, tomando en cuenta esté intervalo descartamos los datos demasiados alejados de este intervalo. En los datos solo tomaremos en cuenta los factores de seguridad contra vuelco, deslizamiento y capacidad de carga. Con toda la información técnica obtenida de las hojas de cálculo y con los costos de construcción para cada muro se ocupara la metodología siguiente: para la evaluación de los resultados, se realizara la respectiva corrida de cada muro en la hoja de cálculo y se harán correcciones en las dimensiones del muro para que aumente su factor de seguridad ante cualquier tipo de fuerzas, habiendo obtenido todos los factores se hace un análisis estadístico y con este análisis se determina los métodos que están dentro del intervalo de confianza y se compara el costo de muro por metro cubico y se elije el más económico y estable.
165
V-1.2 Determinación del método más adecuado. El método de diseño más adecuado se determinara tabulando los resultados del cálculo de cada muro y comparándolo con los demás métodos; el método que resulte más apegado a los criterios establecidos anteriormente se considerara como el método optimo para el Diseño. Estadísticamente el método que resulte más frecuente en la tabulación comparativa será el método más adecuado para el diseño de muros de retención.
V-1.3 Comparación de Resultados. V-1.3.1 Muros de gravedad de mampostería de piedra.
166
(*) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para los diferentes factores de seguridad, porque el momento actuante es mucho mayor al resistente, por lo que habría que construirlo incluyendo anclas capaces de soportar el momento excesivo de 28 T-m.
(**) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para los diferentes factores de seguridad, porque el momento actuante es mucho mayor al resistente, por lo que habría que construirlo incluyendo anclas capaces de soportar el momento excesivo de 22 T-m.
(***) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para los diferentes factores de seguridad, porque el momento actuante es mucho mayor al resistente, 167
por lo que habría que construirlo incluyendo anclas capaces de soportar el momento excesivo de 5 T-m y corregir el subsuelo para aumentar su capacidad portante o cimentar usando pilotes de concreto reforzado.
(****) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para los diferentes factores de seguridad, porque el momento actuante es mucho mayor al resistente, por lo que habría que construirlo incluyendo anclas capaces de soportar el momento excesivo de 16 T-m y corregir el subsuelo para aumentar su capacidad portante o cimentar usando pilotes de concreto reforzado.
(*****) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para el factor de seguridad de capacidad portante del suelo de apoyo, por lo que habría que mejorar su capacidad portante o cimentar el muro por medio de pilotes de concreto reforzado. (******) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para el factor de seguridad de capacidad portante del suelo de apoyo, por lo que habría que mejorar su capacidad portante o cimentar el muro por medio de pilotes de concreto reforzado.
168
V.1.3.2 Muros de Concreto Reforzado Cantiléver
169
(*) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para los diferentes factores de seguridad, porque el momento actuante es mucho mayor al resistente, por lo que habría que construirlo incluyendo anclas capaces de soportar el momento excesivo de 34 T-m.
(**) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para los diferentes factores de seguridad, porque el momento actuante es mucho mayor al resistente, por lo que habría que construirlo incluyendo anclas capaces de soportar el momento excesivo de 31 T-m y corregir el subsuelo para aumentar su capacidad portante o cimentar usando pilotes de concreto reforzado. (***) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para el factor de seguridad de capacidad portante del suelo de apoyo, por lo que habría que mejorar su capacidad portante o cimentar el muro por medio de pilotes de concreto reforzado.
(****) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para el factor de seguridad de capacidad portante del suelo de apoyo, por lo que habría que mejorar su capacidad portante o cimentar el muro por medio de pilotes de concreto reforzado.
(*****) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para el factor de seguridad de capacidad portante del suelo de apoyo, por lo que habría que mejorar su capacidad portante o cimentar el muro por medio de pilotes de concreto reforzado.
(******) El muro no cumple con el requisito de obtener un resultado mayor de 1.5 para el factor de seguridad de capacidad portante del suelo de apoyo, por lo que habría que mejorar su capacidad portante o cimentar el muro por medio de pilotes de concreto reforzado.
170
V-2 ANÁLISIS ESTADÍSTICOS. V-2.1 Muro de Mampostería. FACTOR DE SEGURIDAD CONTRA VOLTEO
171
FACTOR DE SEGURIDAD DESLIZAMIENTO
172
FACTOR DE SEGURIDAD CAPACIDAD DE SOPORTE
173
V-2.2 Muro de Concreto Reforzado Cantiléver FACTOR DE SEGURIDAD VOLTEO
174
FACTOR DE SEGURIDAD DESLIZAMIENTO
175
FACTOR DE SEGURIDAD CAPACIDAD DE SOPORTE
176
V-2.3 Resultados del Análisis Estadístico. De las tabulaciones anteriores se obtiene el siguiente análisis estadístico:
177
V-3 Análisis de Resultados. A través del análisis estadístico realizado, al comparar los diferentes métodos estudiados y cumpliendo con los objetivos propuestos, consideramos que el método que da resultados más eficientes es el METODO DE COULOMB, también, el método que nos cumple con una frecuencia menor es el método de Rankine, pero este método no cumple con todas las condiciones establecidas en nuestro estudio. Por otra parte en los métodos modernos, tenemos la dificultad para obtener resultados óptimos, debido a las dificultades de la obtención de los datos que requieren estos métodos, como también, generan muros muy sobrados por mismo de los requisitos que estos exigen. Podemos entonces decir que los métodos modernos no pueden aplicarse en la mayoría de los casos, en nuestro país, porque no hay laboratorios de mecánica de suelos, especializados que realicen los diferentes ensayos que requieren estos métodos..
V-4 Conclusiones. Una vez estudiado y hecho un comparativo de evaluación de cargas en estructuras de retención: por métodos clásicos y métodos modernos concluimos lo siguiente: Que al comparar diferentes muros con las mismas dimensiones y características del
suelo y evaluar la seguridad y la economía, se ha obtenido que el método más adecuado para el tipo de suelos de nuestro país es el método de COULOMB, el cual es el más efectivo ya que cumple con los factores de seguridad mínimos y a pesar de que hay métodos con secciones más económicas, no cumplen con los requisitos mínimos de seguridad, por lo que se considera como el método de COULOMB el método más efectivo para el diseño de muros de contención. De nuestra comparativa el empuje activo máximo con un valor de 166.85 T, para
muros de gravedad y 176.8 T para muros de cantiléver, es el Método grafico de POCELET. 178
El empuje más pequeño obtenido fue con el método de US ARMY, con un valor de
1.71 T, en la comparativa de muros de gravedad, y de 1.98 T en los muros de cantiléver. La sección más grande de un muro se obtuvo por el método de CUERPO DE
INGENIEROS. Puesto que este meto genera momentos de vuelco que necesita otro tipo de solución para su estabilidad.
Recomendaciones. En base a los resultados antes expuestos consideramos que el método que mejor se
adapta a las condiciones y tipos de suelo del país es el método de Coulomb ya que además cumple con todos los requisitos del Reglamento de Seguridad Estructural de El Salvador y es el recomendado en el mismo. Para poder tener resultados más sobrados se recomienda los métodos gráficos,
aunque estos métodos generan muros demasiadas enormes. La aplicación de los métodos modernos, en nuestro país, es necesario poder tener
Laboratorios de Mecánica de suelo, que puedan realizar los diferentes ensayos que los métodos modernos exigen.
179
