Lógica matemática
La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpreta interpretacione ciones, s, sin embargo embargo la lógica lógica permite permite saber el signific significado ado correcto. correcto. En las matemáticos matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar realizar cierto cierto procedimie procedimiento nto lógico que permita permita realizar realizar dic!a dic!a tarea. tarea. "i una persona persona desea pintar pintar una pared, este trabajo tiene un procedimi procedimiento ento lógico, lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se manc!aría lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derec!o, él puede pintar de izquierda a derec!a o de derec!a a izquierda seg#n el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones conclusiones de e$perimentos e$perimentos y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. %iertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
&na proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
' continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se e$plica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra min#scula, dos puntos y la proposición propiamente dic!a. Ejemplo. p( q( r( s( t( 9(
La tierra es plana. )*+ - / 0* $ 1 y)2 El 3orelia será campeón en la presente temporada de 4ut)5ol. 6ola 7como estas8 Lava el coc!e por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor
asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente e$presada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut)boll. "in embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conceptos.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, n#meros, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades e$presivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedadesmetalógicas de los mismos.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de a$iomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad e$presiva, y desarrollar métodos computacionales #tiles en sistemas formales. La
teoría de la demostración
y la matemática
inversa
son dos de los
razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. :ebe se;alarse que la lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del mundo físico real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías científicas, muy especialmente a la matemática convencional.
La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento !umano general o del proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante argumentos rigurosos pero !ec!as usando lenguaje informal con algunos signos o diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente formalizados en todos sus aspectos.
"istemas lógicos
La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos(
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La sinta$is de los lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de a$iomas.
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La semántica de los lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las e$presiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
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Los aspectos metalógicos de los lenguajes formales, como por ejemplo la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la e$istencia de modelos de cierto tipo, entre otros.
Los diferentes tipos de sistemas lógicos pueden ser clasificados en(
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Lógica proposicional se lee ?no@ se lee ?y@
∧
se lee ?o@
∨
A se lee ?BimplicaB@ o ?si,BentoncesB,@ C se lee ?Bequivalente conB@ o DBsi, sólo síBD :entro de la lógica proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo restringiendo las posibilidades de interpretación semántica se obtiene la lógica intuicionista y ampliando la complejidad de las interpretaciones semánticas se obtienen las lógicas modales.
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Lógica de predicados( Esta no incluye símbolos para variables proposicionales sino que las proposiciones más elementales son predicados atómicos formados a partir de variables interpretables como objetos singulares, relaciones
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Lógica de primer orden que usualmente es finitaria
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Lógica de segundo orden que a su vez pueden ser de diferentes subtipos.
Feorías a$iomáticasGeditar H &na teoría a$iomática está formada por un conjunto de proposiciones e$presables en un determinado lenguaje formal y todas las proposiciones deducibles de dic!as e$presiones mediante las reglas de inferencia posibles en dic!o sistema lógico. El objetivo de las teorías a$iomáticas es construir sistemas lógicos que representen las características esenciales de ramas enteras de las matemáticas. "i se selecciona un conjunto más amplio o menos amplio de a$iomas el conjunto de teoremas deducibles cambian. El interés de la teoría de modelos es que en un modelo en que satisfagan los a$iomas de determinada teoría también se satisfacen los teoremas deducibles de dic!a teoría. Es decir, si un teorema es deducible
en una cierta teoría, entonces ese teorema es universalmente válido en todos los modelos que satisfacen los a$iomas. Esto es interesante porque en principio la clase de modelos que satisface una cierta teoría es difícil de conocer, ya que las teorías matemáticas interesantes en general admiten toda clase infinita de modelos no isomorfos, por lo que su clasificación en general resulta difícilmente abordable si no e$iste un sistema lógico y un conjunto de a$iomas que caracterice los diferentes tipos de modelos.
