Teoría Del Interés I (E. Court)

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Teoría del interés Métodos cuantitativos para finanzas Tomo I

Teoría del interés

Métodos cuantitativos para finanzas

Teoría del interés. Métodos cuantitativos para finanzas es un libro innovador que propone una visión actual y práctica de las matemáticas relacionadas con la ciencia actuarial (Teoría del interés), que es una materia fascinante. Su parte central es la toma de decisiones con base en comparaciones de valor de las distintas alternativas en evaluación. Las áreas de aplicación del libro, que es al mismo tiempo un manual, son múltiples, y van desde una decisión personal de financiamiento hasta la evaluación de la posibilidad de especular en los mercados financieros, pasando por las áreas corporativas de cualquier tipo de empresa, sin importar su tamaño. Asimismo, las decisiones que permite abordar incluyen todos los niveles de organización en los sectores público y privado. La obra posee un enfoque teórico-práctico, sin que ello signifique que se sacrifica el rigor académico indispensable para estudiar los temas e innovar en forma amena la pedagogía de las matemáticas financieras. Por medio de gráficos ilustrativos, ejemplos y, al desagregar en sus partes cada uno de los componentes principales, se explica el análisis de las diferentes operaciones financieras (interés, descuento, anualidades, tasa de retorno de una inversión y amortizaciones). El punto del cual parten los autores para estudiar los temas son los conceptos básicos de la materia, con la finalidad de favorecer la comprensión de las técnicas específicas, además de que se incluyen problemas de aplicación de dichos conceptos. El libro está dirigido al ejecutivo moderno, al empresario y al estudiante avanzado de pregrado y de posgrado, con el objetivo de que pueda apoyarse en la toma de decisiones y comprender los fundamentos del análisis, lo cual es indispensable en la actualidad para llevar a cabo una gestión financiera moderna y efectiva.

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EDUARDO COURT M. PROFESOR DE CENTRUM CATÓLICA LIMA-PERÚ

ERICK RENGIFO M. PROFESOR DE FORDHAM UNIVERSITY NY-USA

ENRIQUE ZABOS P. PROFESOR DE UNIVERSIDAD NACIONAL DE CUYO-ARGENTINA

Revisión técnica

RICARDO CRISTHIAN MORALES PELAGIO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Teoría del interés Métodos cuantitativos para finanzas Tomo I Eduardo Court M., Erick Rengifo M. y Enrique Zabos P.

Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director editorial, de producción y de plataformas digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez

Court, Eduardo Teoría del interés : métodos cuantitativos para finanzas Eduardo Court ; Erick M. Rengifo ; Enrique Zabos. 1a ed. - Buenos Aires Cengage Learning Argentina, 2013. 552 p.; 19 × 24.5 cm ISBN 978-987-1954-07-0 1. Matemática Financiera. 2. Finanzas. I. Rengifo, Erick M. II. Zabos, Enrique III. Título CDD 332

Gerente de procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona Gerente de manufactura para Latinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel Gerente editorial de contenidos en Español Pilar Hernández Santamarina Gerente de proyectos especiales Luciana Rabuffetti Editores Javier Reyes Martínez Gloria Luz Olguín Sarmiento Diseño de portada Gerardo Larios García Imagen de portada Dreamstime Composición tipográfica Baktun 13 Comunicación Gerardo Larios García Beatriz Mota Ramírez

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en Perú

Acerca de los autores Eduardo Juan Court Monteverde El Dr. Court es Profesor de CENTRUM Católica, Centro de Negocios de la Pontificia Universidad Católica del Perú, desde 2007 a la fecha, profesor de la North Texas University en el área de finanzas corporativas entre 2002 y 2006 y profesor de finanzas de la Universidad del Pacífico entre 1983 y 1995. Desde 2009 es jefe del área académica de finanzas de CENTRUM Católica. Obtuvo su grado de doctorado en finanzas en la Universidad La Sorbonne en París. Asimismo, es Master en economía de la Université Catholique de Louvain en Bélgica y Master en planificación económica de la Universidad DÁnvers, en Bélgica. Cuenta con otros diplomas de maestría de diversas universidades del mundo. En 2006 fue nombrado Economista del Año en la Universidad Ricardo Palma (Lima, Perú) y en 2011 Doctor Honoris Causa de la Universidad Privada de Chiclayo (Perú). Es autor y coautor de numerosos libros y artículos, entre ellos, Finanzas corporativas, 1ª edición (Cengage Learning, Buenos Aires, 2009), Matemáticas financieras, en coautoría con César Aching Guzmán y Jorge Leonid Aching Samatelo (Cengage Learning, Buenos Aires, 2007), Aplicaciones para finanzas empresariales (Pearson, México), Mercado de capitales, en coautoría con Joan Ramón Tarradelas (Pearson, México, 2008), Estadísticas y econometría financiera, en coautoría con Erick Rengifo Minaya (Cengage Learning, Buenos Aires, 2009), Finanzas corporativas, 2ª ed. (Cengage Learning, Buenos Aires, 2011). En fecha reciente publicó “Deposit Dollarization and Its Impact on Financial Deepening in the Developing World”, en colaboración con Erick Rengifo Minaya y Emre Ozsoz, en The Journal of Emerging Markets Finance and Trade, noviembre-diciembre 2012, vol. 48, núm. 6. Es codirector de GARP Perú (Global Association of Risk Professionals) y tiene a su cargo el convenio con la Universidad de Tulane, Estados Unidos, para la elaboración de los reportes financieros Burkenroad. Asimismo, es profesor visitante en escuelas de posgrado de América del Norte, Europa y Asia.

Erick Rengifo El Dr. Rengifo es fundador y director de Spes Nova Inc., empresa sin fines de lucro creada recientemente, cuyo objetivo será otorgar microcréditos y ayudar en el desarrollo de mercados mediante el uso de Internet. Asimismo, es director de Global Network of Business Professionals, Inc. (GNBC), fundador y director del

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Acerca de los autores

Center for International Policy Studies (CIPS) y profesor en el departamento de economía de la Universidad de Fordham, en Nueva York. Es consultor privado en las áreas de microfinanzas, microseguros, inversiones, gerencia de riesgo y econometría. Actualmente, en sociedad con la Universidad de California en los Ángeles (UCLA), realiza una investigación sobre remesas, su coste financiero, la accesibilidad y el uso de la tecnología del teléfono celular para mejorar el estado actual de cómo se realizan las mismas. También forma parte del comité de inversión a cargo del manejo de los fondos de reserva de la Universidad de Fordham (aproximadamente 400 millones de dólares) y está a cargo del certificado avanzado en gerencia de riesgos financieros en dicha universidad. El Dr. Rengifo es un académico activo en la investigación sobre temas de pronósticos econométricos, gerencia de riesgo, seguros, microfinanzas y microseguros. Sus publicaciones más recientes incluyen: "Multivariate Autoregressive Modeling of Time Series Count Data Using Copulas", en Journal of Empirical Finance, 2007, vol. 14, issue 4, págs. 564-583 (en colaboración con A. Heinen); "Multivariate reduced rank regression in non-Gaussian contexts, using copulas", en Computational Statistics and Data Analysis, núm. 52 (2008), págs. 2931-2944 (en colaboración con A. Heinen) y "How Investors Face Financial Risk Loss Aversion and Wealth Allocation with Two-Dimensional Individual Utility —A VaR-application—", en Value-at-Risk Implementation Handbook, Greg N. Gregoriou, editor, McGraw Hill (en colaboración con E. Trifan). "Government Intervention and the CDS Market: A look at the Market’s Response to Policy Announcements during the 2007-2009 Financial Crisis, with Caitlin Greatrex", en The Journal of Applied Finance, 2012, vol. 22, núm. 1, págs. 44-56. "Deposit Dollarization and Its Impact on Financial Deepening in the Developing World", en colaboración con Eduardo Court y Emre Ozsoz, en The Journal of Emerging Markets Finance and Trade, verano de 2012. "Evaluating the Effects of Deposit Dollarization in Bank Profitability", en colaboración con Ali M. Kutan y Emre Ozsoz, en The Journal of Emerging Markets, verano de 2012. Posee más de quince años de experiencia en los campos de la gerencia y presupuestos financieros. Ha sido consultor independiente de inversiones y de manejo de proyectos en el Perú. Cuenta con una amplia experiencia en inversiones en instrumentos de renta fija en América Latina. Se ha desempeñado como controler de Transportes Aéreos Nacionales de Selva (Perú). Ha participado en asesoría económico-financiera sobre impuestos y valuación de empresas. Asimismo, ha sido profesor de la Pontificia Universidad Católica del Perú y de la Universidad Nacional de San Marcos (Perú), así como asistente de cátedra en la Université Catholique de Lovain. Ha impartido clases de econometría, matemáticas, organización industrial, matemáticas financieras, análisis financiero y mercado de capitales. El Dr. Rengifo es PhD en economía, con concentración en finanzas y econometría, del Center for Operations Research and Econometrics (CORE) de la Université Catholique de Louvain. Su formación académica incluye un MA en economía de la Université Catholique de Lovain -Bélgica, una maestría en finanzas de la Universidad del Pacífico y una maestría en métodos cuantitativos en econo-


mía de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Perú). Es economista graduado de la Pontificia Universidad Católica del Perú y ha sido oficial de la Fuerza Aérea del Perú.

Enrique Fernando Zabos Pouler El Lic. Enrique Fernando Zabos es profesor e investigador de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Cuyo. Es contador público nacional, perito partidor, y licenciado en economía, egresado de dicha universidad. Es profesor de grado universitario de ciencias contables y economía de la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad Nacional de Cuyo. Está inscrito para realizar su tesis doctoral en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Cuyo. Es especialista en el área de mercado de capitales y se desempeña en las cátedras de economía y técnica bursátil, desde 1991 a la fecha, y riesgo e incertidumbre, desde 2001 a la fecha. También ha impartido clases de desarrollo económico, análisis económico regional y economía I (fundamentos de economía). Ha participado como docente en cursos de posgrado de especialista en administración financiera y especialista en mercado de capitales en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Cuyo. Ha dirigido trabajos de investigación y tesis doctorales. De igual manera, ha impartido clases en la Facultad de Ciencias Empresariales Marcelino Champagnat, dependiente de la Universidad Católica de Cuyo y en la Escuela Internacional de Negocios (E.I.N.) Desde el 1 de marzo de 2012 es director del Centro Educativo de Nivel Secundario (CENS) 3-454 Atahualpa Yupanqui, y profesor titular de la institución, en la cual labora desde 1998. Es investigador con categoría II, otorgado por el Consejo Nacional de Ciencia y Técnica y evaluador externo de trabajos de investigación del CONICET, Universidades Nacionales de La Matanza, La Pampa, Misiones, Salta y Jujuy, y evaluador interno de trabajos de investigación de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Cuyo. Es miembro de la Asociación Argentina de Economía Política, del Consejo Directivo del Consejo Profesional de Ciencias Económicas de Mendoza, y fue miembro del Comité de Ética de dicha institución. Ha participado en los Congresos de la Federación Argentina de Consejos Profesionales de Ciencias Económicas, Asociación Argentina de Economía Política, Asociación Argentina de Economía Agraria, en Jornadas de Ciencias Económicas y en el Segundo Encuentro Internacional de Finanzas (Santiago de Chile). Ha sido gerente técnico de la Bolsa de Comercio de Mendoza, asesor económico–contable y financiero de numerosas empresas, y auditor externo. Ha colaborado como editor y revisor técnico de los siguientes libros: Matemáticas financieras, de Eduardo Court Monteverde, César Aching Guzmán y Jorge Leonid Aching Samatelo (Buenos Aires, Cengage Learning, 2009); Finanzas corporativas, 1ª edición (Cengage Learning, Buenos Aires, 2010); Estadísticas y

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econometría financiera, de Eduardo Court Monteverde y Erick Rengifo Minaya (Cengage Learning, Buenos Aires, 2011); Finanzas corporativas, 2ª ed. (Cengage Learning, Buenos Aires, 2012); Contabilidad financiera: una Introducción a conceptos, métodos y usos, 1ª ed. de Clyde P. Stickney, Roman L. Weil, Kaherine Schipper, Jennifer Francis y Beatrice Avolio Alecchi (Buenos Aires, Cengage Learning, 2012). Entre sus publicaciones más recientes se encuentran: "Análisis comparativo de la rentabilidad y el riesgo en el Mercado de Valores de Buenos Aires" (XVI Congreso de la Federación Argentina de Consejos Profesionales de Ciencias Económicas), "Aplicación de las redes neuronales al mercado bursátil argentino" (XVII Congreso de la Federación Argentina de Consejos Profesionales de Ciencias Económicas), "¿Es posible ganar en Bolsa?", presentado en las Jornadas de Ciencias Económicas 2010 y organizadas por la Facultad de Ciencias Económicas, dependiente de la Universidad Nacional de Cuyo, 2010.

Dedicatorias

A mi querida esposa Cecilia, que me apoya y acompaña siempre A mis hijos Jean Paul, Michael y Genevieve A mis hijos políticos Iracema y Matt A mis nietos Vanessa, Juan Diego, Michaela, Isabela, Mayla y Ryan A todos los que siempre me han apoyado Eduardo Court

A mi querida esposa Ada A mis hijos Elizabeth y Francisco A mi familia: Carmen, Mirtha, Rita y Lucero A todas las personas que siempre me han apoyado Erick Rengifo

A mis queridos hijos Gabriela, Fernando y Florencia A mi hija política Ruth A mi nieta Selena A mi familia: Hugo, Graciela y José A quienes siempre estuvieron a mi lado Enrique Fernando Zabos

Agradecimientos

Se aprovecha la oportunidad para agradecer a los Magister Miguel Panez y Cindy Acori, de CENTRUM Católica, por su esfuerzo y dedicación; sin su compromiso, esta obra hubiera tomado mucho más tiempo. También se agradece a Cengage Learning por hacer posible la presente edición; al profesor Ricardo Cristhian Morales Pelagio a cargo de la revisión técnica y al editor Javier Reyes Martínez por sus sugerencias y apoyo a la obra. Los autores

Contenido INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I. APROXIMACIÓN A LA TEORÍA DEL INTERÉS MEDIANTE FUNCIONES 1.1. EL INTERÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. LA CAPITALIZACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. EL DESCUENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. FUNCIONES DE CANTIDAD Y ACUMULACIÓN 1.4.1. La función cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. La función de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN LINEAL: EL INTERÉS SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Funciones de acumulación lineal y su relación con el interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. CONVENCIONES DE FECHA BAJO INTERÉS SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. El método real/real: interés simple exacto . . . . 1.6.2. El método 30/360: interés simple ordinario . . 1.6.3. El método real/360: regla del banquero . . . . . 1.6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN EXPONENCIAL: INTERÉS COMPUESTO . . . . . . . . 1.7.1. Postulados sobre la relación entre el interés simple y el compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvii 1 4 8 10 19 20 23 23 23 23 36 39 48 50 51 51 52 54 57 58 62

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1.7.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TASA DE INTERÉS EFECTIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VALOR PRESENTE Y FUNCIONES DE DESCUENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TASA DE DESCUENTO EFECTIVA . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Teorema sobre descuento compuesto . . . . . . . 1.10.2. Primer teorema sobre el descuento simple . . . 1.10.3. Prueba del teorema de descuento compuesto. 1.10.4. Segundo teorema sobre el descuento simple. . 1.10.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TASAS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO NOMINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1. Relación entre las tasas efectiva y nominal . . . 1.11.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TASA DE INTERÉS CONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1. Definición de interés continuo . . . . . . . . . . . . . 1.12.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TASAS DE INTERÉS VARIABLES EN EL TIEMPO . 1.13.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ECUACIONES DE VALOR Y DIAGRAMAS DE TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.2. Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.3. Diagrama de tiempo-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CÁLCULO DE UNA TASA DE INTERÉS DESCONOCIDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.1. El método directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.2. El método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.3. Interpolación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15.4. Métodos de iteraciones sucesivas . . . . . . . . . . . . 1.15.4.1. El método de bisección. . . . . . . . . . . . . 1.15.4.2. El método de Newton-Raphson . . . . . 1.15.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CÁLCULO DEL TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16.1. La regla del 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16.2. El método de tiempo equivalente . . . . . . . . . . . 1.16.3. Teorema sobre tiempo equivalente . . . . . . . . . . 1.16.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . 160 1.17.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

CAPÍTULO 2. LOS FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA ANUALIDAD 173 2.1. ANUALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.1.1. Clasificación de las anualidades . . . . . . . . . . . . . 177 2.1.2. Valores presente y acumulado de una anualidad inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . 177 2.1.3. Valor acumulado de una anualidad inmediata 181 2.1.4. Teorema de la anualidad inmediata . . . . . . . . . 187 2.1.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.2. ANUALIDAD DE PAGO INMEDIATO . . . . . . . . . . . . 193 2.2.1. Cálculo del valor presente de la anualidad de pago inmediato en el tiempo 0 ( an ) . . . . . . 194 2.2.2. Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos ( sn ) 197 2.2.3. Teoremas sobre an y sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 2.2.4. Teorema de la anualidad de pago inmediato . . 200 2.2.5. Primer teorema que relaciona la anualidad inmediata con la anualidad de pago inmediato 203 2.2.6. Segundo teorema que relaciona la anualidad inmediata con la anualidad de pago inmediato 206 2.2.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 2.3. ANUALIDAD DIFERIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 2.3.1. Cálculo del valor presente de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i y (m + 1) periodos antes de la primera fecha de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 2.3.2. Cálculo del valor acumulado de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i, m periodos después de la última fecha de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 2.3.3. Valores actuales entre la primera y la última fechas de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 2.3.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 2.4. ANUALIDADES CON PAGOS INFINITOS . . . . . . . . 222 2.4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 2.5. NÚMERO DE PAGOS DE UNA ANUALIDAD. . . . . 231 2.5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 2.6. TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD . . . . . . . 239 2.6.1. Técnicas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

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2.6.2. Método de la interpolación lineal . . . . . . . . . . . 242 2.6.3. Método de iteración de Newton–Raphson . . . 245 2.6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 2..7 INTERÉS VARIABLE DE UNA ANUALIDAD . . . . . 250 2.7.1. Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 2.7.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 2.8. ANUALIDADES DE DIFERENTES FRECUENCIAS CON INTERÉS CAPITALIZABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2.8.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.9. ANÁLISIS DE ANUALIDADES DE MAYOR FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN A LAS FRECUENCIAS DE PAGO Y QUE LA TASA DE INTERÉS ES CONVERTIBLE . . . . . . . . . . . 264 2.9.1. Caso de una anualidad inmediata . . . . . . . . . . . 264 2.9.2. El caso de una anualidad de pago inmediato . 267 2.9.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 2.10. ANÁLISIS DE LAS ANUALIDADES QUE SE PAGAN CON UNA FRECUENCIA MAYOR AL CASO EN QUE EL INTERÉS SEA CAPITALIZABLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 2.10.1. Teorema sobre anualidades que se pagan con más frecuencia que el caso en que el interés es capitalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 2.10.2. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 2.11. ANUALIDADES CONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 2.11.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 2.12. ANUALIDAD INMEDIATA VARIABLE . . . . . . . . . . . 301 2.12.1. Pagos que varían en progresión aritmética . . . . 301 2.12.2. Caso especial 1: Anualidad creciente . . . . . . . . 302 2.12.3. Caso especial 2: Anualidad inmediata decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 2.12.4. Perpetuidades inmediatas variables . . . . . . . . . 309 2.12.5. Pagos que varían en progresión geométrica . . 311 2.12.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 2.13. ANUALIDAD DE PAGO INMEDIATO VARIABLE. 314 2.13.1. Anualidad de pago inmediato creciente. . . . . . 314 2.13.2. Anualidad de pago inmediato decreciente . . . 317 2.13.3. Perpetuidad de pago inmediato con pagos que forman una progresión aritmética (P > 0 y Q > 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 2.13.4. Pagos que varían en progresión geométrica . . . 321 2.13.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Contenido

2.14. ANUALIDADES VARIABLES CON PAGOS A UNA FRECUENCIA DIFERENTE EN RELACIÓN CON EL CASO EN QUE EL INTERÉS ES CONVERTIBLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.1. Anualidades variables que se pagan con menos frecuencia en relación con el caso en que el interés es convertible . . . . . . . . . . . . . . 2.14.2. Anualidades variables que se suceden al inicio de cada intervalo de k periodos de conversión de intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15. ANUALIDADES VARIABLES QUE SE PAGAN CON MÁS FRECUENCIA EN RELACIÓN CON EL CASO EN QUE EL INTERÉS ES CONVERTIBLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.1. Anualidades que se pagan m-ésimamente . . . . 2.15.2. Anualidades que se pagan por m-ésima vez creciente por n-ésima vez . . . . . . . . . . . . . . . 2.15.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.16. ANUALIDADES VARIABLES CONTINUAS . . . . . . . 2.16.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 3. TASA DE RETORNO DE UNA INVERSIÓN 3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. EL FLUJO DE EFECTIVO DESCONTADO . . . . . . . . 3.2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. UNICIDAD DE LA TASA INTERNA DE RETORNO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Teorema sobre la tasa interna de retorno única. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Prueba del teorema sobre la tasa interna de retorno única. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Teorema de la unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. INTERÉS REINVERTIDO A UNA TASA DIFERENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. CÁLCULO DE INTERESES DE UN FONDO DE INVERSIÓN: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR UNIDAD MONETARIA . . . . . . 3.5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

326

328 329

330 330 334 340 341 347 348

373 375 376 383 385 388 390 391 393 394 399

400 407

xiii

xiv

Contenido

3.6. MEDICIÓN DE INTERESES DE UN FONDO: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR TIEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. ASIGNACIÓN DE LOS INGRESOS DE INVERSIÓN: LOS MÉTODOS DE CARTERA Y DE INVERSIONES . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. El método de cartera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. El método de inversión por año (IYM) . . . . . . . 3.7.3. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. TASAS DE RETORNO EN EL PRESUPUESTO DE CAPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. OTROS CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1. Periodo de recuperación de la inversión . . . . . . 3.9.2. Periodo de recuperación descontado . . . . . . . . 3.9.3. Índice de rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.4. Relación beneficio–costo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.5. Método del valor anual equivalente . . . . . . . . . 3.9.6. Tasa interna de retorno modificada . . . . . . . . . 3.9.7. Proyectos mixtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPÍTULO 4. METODOLOGÍAS DE REPAGO DE PRÉSTAMOS 4.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. SALDO DEL PRÉSTAMO UTILIZANDO LOS MÉTODOS PROSPECTIVO Y RETROSPECTIVO . . 4.2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. CRONOGRAMA DE AMORTIZACIÓN . . . . . . . . . . 4.3.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN . . . 4.4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. AMORTIZACIÓN CON DIFERENTES PLAZOS DE PAGO DE INTERESES Y PERIODOS DE CONVERSIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. AMORTIZACIÓN CON DIFERENTES SERIES DE PAGOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

409 414

415 416 417 421 423 426 427 427 430 431 434 436 438 439 441 442 448

451 453 453 461 462 467 468 478

480 486 486 491

Contenido

4.7. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS . . . . . . . 4.7.1. Cálculo de la cuota periódica . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Cálculo del valor de la amortización en un periodo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. Cálculo de los intereses de un determinado periodo t . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4. Cálculo de la deuda amortizada. . . . . . . . . . . . . 4.7.5. Cálculo de la deuda pendiente de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.6. Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa un pago anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN ALEMÁN. . . . . . . . 4.8.1. Cálculo de la cuota periódica . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Cálculo de los intereses de un determinado periodo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Cálculo del valor de la anualidad R de un determinado periodo t . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4. Variación de la cuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.5. Cálculo de la deuda amortizada. . . . . . . . . . . . . 4.8.6. Cálculo de la deuda pendiente de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.7. Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa un pago anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA . . . . . . . . . . . . . . . BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

492 492 497 500 501 502 505 508 509 509 511 513 514 516 517 518 520 521 526

xv

Introducción

En la actualidad existe una doble interpretación o concepción de las denominadas matemáticas financieras. En muchas escuelas se les conoce con este nombre, sin embargo, debido al rigor del cálculo que se emplea, en otras se les conoce como matemáticas actuariales, bajo cuyo nombre aparece también la ciencia actuarial. La palabra actuario es una derivación de la voz latina actuarius, que se usaba en la época de los romanos para designar a los trabajadores de la intendencia del ejército, sin embargo, el mismo término se utilizaba para designar a los notarios, que en ese entonces eran quienes intervenían en los actos oficiales al registrar y levantar actas de los mismos. Alrededor de 1774, una compañía inglesa de seguros, The Equitable, contrató como actuario a un renombrado matemático de su época, William Morgan, y de ahí parte una costumbre empresarial: las compañías inglesas de seguros llamaban actuario al secretario de la empresa, y éste era el responsable de la contabilidad y el cálculo de tarifas y reservas. Esta costumbre fue regulada en 1819, año en el que se emite en Inglaterra una ley que prohibía a las sociedades mutuales el uso de tablas estadísticas que no hubieran sido aprobadas por dos o más personas designadas con el nombre de actuarios. Esta fue una práctica que se extendió a casi toda Europa, donde se utilizó la palabra actuario, excepto en Alemania y Francia, donde a estos especialistas se les llamaba matemáticos. El actuario (matemático) tenía como función fijar los cálculos de las primas y tablas de riesgo de los seguros. En 1868 se elaboró la primera tabla de mortalidad y se incorporaron a esta las probabilidades.

xviii

Introducción

Entre 1880 y 1895 surgieron los primeros institutos actuariales en Inglaterra, Francia y Bélgica. Pero lo relatado es casi historia moderna, ya que si se asume que la idea del cálculo actuarial es “asegurarse ante hechos inciertos que puedan dar lugar a pérdidas económicas”, uno se podría remontar a la antigua Grecia. Por ejemplo, Demóstenes (300 a.C.) cita acuerdos de pago (más o menos lo que son los seguros en la actualidad) relacionados con la seguridad en el transporte de vinos para prevenir las pérdidas debido a las tormentas. La primera póliza documentada es de 1350, en la que se asegura trigo, con una prima de 18%, para cubrir un retraso en la entrega. Asimismo, el primer reaseguro se hace en 1370, cuando un asegurador llamado Grillo reasegura parte del viaje de un barco que iba de Génova a Brujas. En 1846 surgió la primera compañía de reaseguros. En el siglo XVI Simon Stevin y Jan Trechant, quienes eran matemáticos (de aritmética), comenzaron a dedicarle tiempo a los problemas del interés a solicitud de comerciantes. En 1961 Jan de Witt elaboró el primer documento actuarial en el que se considera un procedimiento para el cálculo de las anualidades vitalicias. En 1963 Edmond Halley elaboró un documento para el cálculo de tablas de mortalidad que permitían determinar anualidades vitalicias. Este desarrollo se convirtió en el inicio de las ciencias actuariales modernas. Estas herramientas desarrolladas, que contenían los conceptos de interés compuesto, teoría de probabilidades, etc., abren la puerta a la teoría actuarial, como se le conoce en la actualidad; el desarrollo de la estadística matemática y la teoría de las probabilidades hicieron posible el desarrollo de la ciencia actuarial. Los primeros en utilizar la ciencia actuarial fueron las compañías de seguros, las cuales calculaban sus primas con base en estos resultados matemáticos, entre ellas, la Society for Equitable Assurances on Lives and Survivorship fue la primera en calcular primas para pólizas de largo plazo en 1762. Además, esta empresa fue la primera en utilizar el término actuario para designar al ejecutivo y ya no al registrador. Poco a poco el resto de las compañías de seguros, que tenían muchos errores de cálculo, comenzaron a usar las formulaciones de la empresa mencionada. A principios del siglo XX (1909), trabajos de la escuela finlandesa acerca de la teoría del riesgo, realizados por Filip Lundberg, incluyen por primera vez el proceso de Poisson compuesto; a este desarrollo se debe la teoría del riesgo colectivo sin hacer referencia al riesgo individual. La originalidad del trabajo de Lundberg es que por primera vez se utilizan procesos estocásticos. Un desarrollo posterior a Lundberg es que hoy el cálculo actuarial ya no actúa solo en el campo de los seguros, se ha concentrado en el campo de las finanzas; se centra en el tema de activos financieros que requieren una valorización de sus riesgos, Markowitz con su teoría de portafolios, Gordon & Shapiro con su teoría de creación de valor y los flujos de efectivo libres, y muchos otros, son la expresión actual de las ciencias actuariales.

Introducción

En la actualidad, los programas académicos en la mayoría de las escuelas que otorgan grados de MBA incluyen, con diferentes nombres, un curso de matemáticas financieras. Y este curso es uno de los que más aporta a los estudiantes de posgrado. Los autores de este libro han escrito buscando que la experiencia del lector sea lo más cercana a la realidad y que al final le permita contar con herramientas para aplicarlas en el ámbito laboral. Las matemáticas que tienen que ver con la ciencia actuarial (teoría del interés) son una materia fascinante, su parte central es la toma de decisiones con base en comparaciones de valor de las diferentes alternativas que se evalúan. Las áreas de aplicación de este libro, que al mismo tiempo es un manual, son múltiples, y van desde una decisión personal de financiamiento, hasta la evaluación de la posibilidad de “especular” en los mercados financieros, pasando indudablemente por las áreas corporativas de cualquier tipo de empresa, sin importar su tamaño. Las decisiones que permite acercar este manual involucran a todos los niveles de organización en los sectores público y privado. El libro cubre hasta el refinamiento de los análisis de sensibilidad y riesgo y el manejo matemático de instrumentos derivados. Con el objetivo de unificar criterios en lo referente a la notación científica de las ecuaciones, se han adoptado los criterios de la Asociación Mundial de Ciencias Actuariales, quienes a través del Consejo de la Sociedad publican el International Actuarial Notation. Asimismo, no se ha querido romper con las estructuras y organización de los libros de este tema que se encuentran en el mercado, por lo que luego de la revisión de dos de los principales: el de Stephen G. Kellison Theory of Interest y el de Marcel B. Finan A Basic Course in The Theory of Interest and Derivatives Markets, es que se tomó la decisión de seguir con algunos cambios, principalmente en el orden de los temas que se analizarán. El libro está estructurado en ocho capítulos divididos en dos tomos: el I, que incluye los capítulos 1 a 4, y el II, que incluye los capítulos 5 a 8, en los que se abordan los principales temas de las matemáticas financieras modernas. En el capítulo 1 se parte de que el interés es el costo del uso del capital, y sus antecedentes se encuentran en las primeras transacciones registradas por la humanidad. Aquí se incluyen los principios básicos involucrados en la medición del interés y del descuento, se hace referencia a las funciones de cantidad y de descuento, las tasas de interés y descuento efectivas, la tasa de interés continua y el valor presente. En el capítulo 2 se abordan los fundamentos de las anualidades, que son los conjuntos de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Muchas operaciones de la vida diaria, como los pagos por rentas de las propiedades, de primas de pólizas de seguros de vida, de hipotecas, las jubilaciones y pensiones, u obtener un capital para una determinada fecha a partir de aportes periódicos, envuelven la base de las anualidades. Se analizan las diferencias de tratamiento entre las anualidades de pago inmediato, las diferidas y las de pagos infinitos, y los distintos casos que se pueden presentar.

xix

xx

Introducción

En el capítulo 3 se estudia la tasa de retorno de una inversión. Se parte de la introducción del concepto de yield rate o tasa de retorno. Se refiere a los intereses o dividendos recibidos de una obligación que normalmente se expresa anualizada como un porcentaje sobre el costo de la inversión, de su valor de mercado actual o de su valor nominal. Se efectúa un análisis de los flujos de efectivo descontados, de la unicidad de la tasa interna de retorno, el interés reinvertido a una tasa diferente, el cálculo de intereses de un fondo de inversión, la asignación de los ingresos de una inversión y los criterios de evaluación del presupuesto de capital. En el capítulo 4 se analizan las distintas metodologías para el repago de un préstamo, el cronograma de amortización, el fondo de amortización, la amortización con diferentes plazos de pagos de intereses y periodos de conversión, la amortización con diferentes series de pagos, el sistema de amortización francés y el sistema alemán. El capítulo 5 trata acerca de los instrumentos de renta fija, comúnmente conocidos como bonos, y de su valoración. En particular se estudia cómo calcular el precio que un inversionista paga por un bono al comprarlo, la tasa de rendimiento del bono, cómo se amortiza, así como el valor de un bono en un momento posterior a la fecha en que se ha comprado. Se da especial énfasis a los riesgos implícitos de la inversión en bonos, las fórmulas para valorizar un bono, la amortización de la prima o descuento, la valuación de bonos entre fechas de pago de cupones, las tasas de rendimiento de los bonos, los bonos redimibles y los bonos en series. En el capítulo 6 se aborda el estudio de las acciones e instrumentos del mercado de dinero. Una de las razones por la cual los inversionistas están interesados en comprar o vender acciones es por la alta rentabilidad que generan. Un instrumento financiero es un medio monetario que tiene una parte de su valor en otro. Se trata de un activo financiero para la persona que compra o lo mantiene, y es una responsabilidad financiera para la empresa o institución que lo emite. El mercado financiero es aquel en el que se negocian activos financieros, los cuales pueden emitirse previamente, permitiendo, además, a prestamistas y prestatarios la venta de una nueva emisión de activos financieros. Por eso se tratan las características de la inversión en acciones, los riesgos implícitos, las acciones preferentes y las acciones comunes, la paridad y el precio de paridad, el cálculo de los rendimientos, la emisión de acciones, la medición del riesgo-retorno de la inversión, la compra de acciones y las ventas en corto. Luego se abordan los instrumentos del mercado de dinero, como los fondos mutuos, los certificados de depósitos, los contratos de inversión garantizados y los mortage backed securities (MBS). En el contexto actual de desarrollo de la crisis económica, la coexistencia de tasas de interés oficiales de política monetaria bajas y tasas a largo plazo muy altas, produjeron un incremento en las utilidades de los bancos, por la acción de conseguir créditos (corto plazo) más baratos e invertir (largo plazo) con rendimientos más altos; con ello lograron incrementar su capital. Este objetivo fue perseguido por los policies makers para que los bancos se recuperaran de las grandes pérdidas financieras y económicas incurridas hasta ese momento. Sin embargo, los bancos podrían subestimar este riesgo de invertir en mayor medida a largo plazo. Por ello,

Introducción

teniendo en cuenta el desarrollo de la actividad financiera actual, y la alta volatilidad de la tasa de interés, resulta imprescindible la identificación, medición y la gestión del riesgo de la tasa de interés. De ahí que en el capítulo 7 se analizan aspectos como la sensibilidad de las tasas de interés, el riesgo y su identificación, formas de medición del riesgo, la gestión del riesgo, el efecto de la inflación, la estructura temporal de las tasas de interés y la curva de rendimiento, la duración modificada y la de Macaulay, la gestión pasiva de cartera y la convexidad de portafolios y, finalmente, la inmunización completa y la dedicación o calce. En el capítulo 8 se introduce al estudio de los derivados financieros, sus características, cómo realizar la diversificación del riesgo y los mercados de derivados, la introducción a los contratos forward, las opciones de compra y de venta, las opciones sobre acciones, las estrategias sobre opciones, las suscripciones cubiertas, el contrato forward, los contratos de futuros, los swaps de tasas de interés y el análisis del riesgo de la gerencia. Un aspecto de interés en el libro surge a partir de que después de cada análisis se incluyen ejemplos y problemas propuestos, cuya resolución estará disponible para los usuarios en el sitio web que acompaña este libro. Para ello, ingrese a latinoamerica.cengage.com y ubique el título correspondiente. La siguiente tabla contiene un resumen de la simbología matemática que se usará a lo largo del libro.

Símbolo A A(t )

Descripción Valor acumulado Valor acumulado en t periodos

P

Principal

t

Tiempo

i

Tasa de interés efectiva

I

Interés

a(t)

Función acumulación

I1

Interés ganado en el periodo 1

in

Tasa de crecimiento

In

Aumento de la función A(t ) en el n-ésimo periodo

k

Inversión original

I ( s ,t )

Interés ganado

n

Número de periodos

F

Pago total

xxi

xxii

Introducción

Fn

Pago total en el periodo n

Yi

Año i

Mi

Mes i

Di

Día i

(a(t ))−1

Función de acumulación inversa

dn

Tasa de descuento compuesta (capitalizable)

In

Interés en el periodo n

a c (t ) d

Función acumulación para interés compuesto Tasa de descuento simple. Esta es igual a d =1− v

PV

Valor presente

FV

Valor futuro

i(m)

Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición

m

Número de periodos de capitalización

d (m)

Tasa de descuento nominal

δ

Fuerza de interés o fuerza de descuento constante. Esta es igual a δ = log(1+ i ) = − log(1− d )

δt

Fuerza de interés o fuerza de descuento variable

a '(t )

Derivada de la función acumulación respecto al tiempo.

A'(t )

Derivada del valor acumulado en t periodos respecto al tiempo

A(0)

Valor acumulado en el periodo 0

ii

Tasa de interés para el periodo i (i = 1, 2, …, n)

δ 't

Tasa de descuento continua

x1

Variable 1

x2

Variable 2

jn

Tasa de interés efectiva en el periodo n

t*

Tiempo equivalente

si

Pago i

ti

Tiempo i

VPN

Valor presente neto

Introducción

v ti

Factor de descuento en el tiempo i

ct

Diferencial entre el retorno y la contribución en el periodo t (en U.M.)

VA sn j o sn

Valor acumulado Valor acumulado de una anualidad inmediata. Es el monto de una anualidad que comprende pagos anuales de 1 U.M. realizados al final de cada año por n años. Es sn =1+ (1+ i ) + (1+ i )2 + ... + (1+ i )n−1

j

Tasa de interés

B

Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1)

A

Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0)

I

Interés (en U.M.)

an

xxiii

Valor presente de una anualidad de pago inmediato. Es el valor de una anualidad de una U.M. por año y por n años, donde los pagos se realizan al inicio de cada año. Es igual a n −1

an = v + v 2 + ... + v n o an = ∑ v r = r =0

1− v n d

v

Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i )

vn

Factor de descuento en el periodo n, que equivale a v n = (1/1+ i )n

an

Valor presente de una anualidad inmediata.

sn

Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato, es decir, de una anualidad que comprende pagos que se realizan al inicio de cada año. Se calcula utilizando: n (1+ i )n −1 r 2 n s = (1 + i ) = o sn = (1+ i ) + (1+ i ) + ... + (1+ i ) ∑ n d r =1

vm

Factor de descuento en el periodo m

m+ n

Factor de descuento en el periodo m + n

m

Número de periodos

n

Número de periodos

v

v n−m

Factor de descuento en el periodo m − n

a∞

Valor presente de una perpetuidad inmediata

xxiv

δ (t ) =

Introducción

a∞

Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato. Esta 1 es igual a a∞ = d

P*

Valor presente de una perpetuidad inmediata diferida

P

Valor presente de una anualidad inmediata (en U.M.)

R

Valor del pago regular

k

Constante

L

Valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de interés de conversión

δ

Fuerza de interés constante

an

Valor presente de una anualidad continua, en particular de una anualidad de 1 U.M. por año pagable continuamente, 1− v n durante n años, es igual a an = δ

sn

Valor acumulado de una anualidad continua, en particular de una anualidad de 1 U.M. por año pagable continuamente, (1+ i )n −1 durante n años, es igual a sn = δ

a∞

Valor presente de una perpetuidad continua. Es igual a 1 a∞ = δ

( Ia )

Anualidad que comienza en 1 y aumenta 1 por año

( Ia )x :n

Anualidad creciente temporal

( I n a)x

Anualidad de vida completa que aumenta n años y después es fija

A(t , s )

Monto en el cual 1 U.M. es invertido en el tiempo t será acumulado por el tiempo s (s > t)

V (t , s )

Monto que debe invertirse en el tiempo t para producir 1 U.M. en el tiempo s

1 dA(0,t ) d = log A(0,t ) A(0,t ) dt dt sn( m ) =

(1+ i )n −1 i(m)

Fuerza de interés en el tiempo t Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, por ejemplo, m veces al año, durante n años

Introducción

an( m ) = sn( m ) =

1− v n i(m)

(1+ i )n −1 d (m)

xxv

Valor presente de una anualidad que se paga con demora con una frecuencia mayor a la anual, por ejemplo, m veces al año, durante n años Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, por ejemplo, m veces al año, durante n años

an( m ) =

1− v n d (m)

Valor presente de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, por ejemplo, m veces al año, durante n años

( Is )n =

sn − n i

Valor acumulado de una anualidad que se paga anualmente con mora por n años, de un monto de n U.M. en el n-ésimo año

( Ia )n =

an − n × v n i sn − n d

Valor acumulado de una anualidad que se paga anualmente por adelantado durante n años, de un monto de 1 U.M. en el n-ésimo año

an − n × v n d

Valor presente de una anualidad de pago creciente que se paga por adelantado durante n años, de un monto de 1 U.M. en el n-ésimo año

( Is)n = ( Ia)n =

( Is )n = ( Ia )n =

sn − n δ

Valor presente de una anualidad continua creciente que crece en puntos del tiempo discretos

an − n × v n δ

Valor acumulado de una anualidad continua creciente que crece en puntos del tiempo discretos

sn − n δ

Valor presente de una anualidad continua creciente que tiene una tasa de pago que crece continuamente, de modo que en el tiempo t la tasa de pago es 1 U.M. por año

an − n × v n δ

Valor acumulado de una anualidad continua creciente que tiene una tasa de pago que crece continuamente, de modo que en el tiempo t la tasa de pago es 1 U.M. por año

( Is )n = ( Ia )n =

Valor presente de una anualidad creciente que se paga anualmente por adelantado por n años, de un monto de 1 U.M. en el n-ésimo año

CAPÍTULO

1

Aproximación a la teoría del interés mediante funciones

Contenido 1.1. EL INTERÉS 1.1.1. Problemas propuestos 1.2. LA CAPITALIZACIÓN 1.2.1. Problemas propuestos 1.3. EL DESCUENTO 1.3.1. Problemas propuestos 1.4. FUNCIONES DE CANTIDAD Y ACUMULACIÓN 1.4.1. La función de cantidad

1.4.2. La función de acumulación 1.4.3. Problemas propuestos 1.5. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN LINEAL: INTERÉS SIMPLE 1.5.1. Funciones de acumulación lineal y su relación con el interés compuesto 1.5.2. Problemas propuestos 1.6. CONVENCIONES DE FECHA BAJO INTERÉS SIMPLE 1.6.1. El método real/real: interés simple exacto 1.6.2. El método 30/360: interés simple ordinario 1.6.3. El método real/360: regla del banquero 1.6.4. Problemas propuestos 1.7. FUNCIONES DE ACUMULACIÓN EXPONENCIAL: INTERÉS COMPUESTO 1.7.1. Postulados sobre la relación entre el interés simple y el compuesto 1.7.2. Problemas propuestos 1.8. TASA DE INTERÉS EFECTIVA 1.8.1. Problemas propuestos 1.9. VALOR PRESENTE Y FUNCIONES DE DESCUENTO 1.9.1. Problemas propuestos 1.10. TASA DE DESCUENTO EFECTIVA 1.10.1. Teorema sobre descuento compuesto 1.10.2. Primer teorema sobre descuento simple 1.10.3. Prueba del teorema de descuento compuesto 1.10.4. Segundo teorema sobre descuento simple 1.10.5. Problemas propuestos 1.11. TASAS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO NOMINALES 1.11.1. Relación entre las tasas efectiva y nominal 1.11.2. Problemas propuestos 1.12. TASA DE INTERÉS CONTINUA 1.12.1. Definición de interés continuo 1.12.2. Problemas propuestos 1.13. TASAS DE INTERÉS VARIABLES EN EL TIEMPO 1.13.1. Problemas propuestos 1.14. ECUACIONES DE VALOR Y DIAGRAMAS DE TIEMPO 1.14.1. Definición 1.14.2. Utilidad

1.14.3. El diagrama de tiempo–valor 1.14.4. Problemas propuestos 1.15. CÁLCULO DE UNA TASA DE INTERÉS DESCONOCIDA 1.15.1. Método directo 1.15.2. Método analítico 1.15.3. Interpolación lineal 1.15.4. Métodos de iteraciones sucesivas 1.15.4.1. El método de bisección 1.15.4.2. El método de Newton–Raphson 1.15.5. Problemas propuestos 1.16. CÁLCULO DEL TIEMPO 1.16.1. La regla del 72 1.16.2. El método de tiempo equivalente 1.16.3. Teorema sobre tiempo equivalente 1.16.4. Problemas propuestos 1.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA 1.17.1. Nomenclatura

4

Cap. 1


1.1

El interés

El interés es el costo de utilizar el capital. Sus antecedentes se encuentran en las primeras transacciones que registra la humanidad. En la antigüedad, el interés se pagaba en especies como semillas, que eran devueltas con un adicional después de haber sido usadas en la siembra. Los agentes económicos, como las familias y las empresas, no prestan dinero de modo gratuito, sino que lo hacen a cambio de algo. Por ejemplo, si una institución financiera presta dinero a una persona o empresa, lo hace a cambio de recibir una renta. Por otro lado, cuando una persona o una empresa presta dinero a una institución financiera, esta última también paga una renta por usarlo por un tiempo determinado. Esta renta se conoce como interés. El interés es el monto de dinero que cobra un agente excedentario de fondos (prestamista) a un agente deficitario de fondos (prestatario) por el uso del dinero que le otorga por un cierto periodo de tiempo. Por ejemplo, un prestatario devolverá 1.050 U.M.1 después de un año por un préstamo de 900 U.M. que recibió hoy. El beneficio de 150 U.M. que obtendrá el prestamista es el interés que gana por prestar su dinero. El stock de dinero que presta el prestamista aumenta con el tiempo, es decir, gana un interés, situación que alude al concepto de valor del dinero en el tiempo. Cuando se calculan intereses se consideran: a)

El principal (P )

b) El tiempo (t ) c)

El interés (I )

d) La tasa de interés (i ) e)

El valor acumulado (A)

Cuando el interés se calcula sólo sobre el principal original, se llama interés simple. En este caso, el interés acumulado de periodos previos no se utiliza en los cálculos de periodos posteriores. Por tanto, el valor acumulado A, en el periodo t, se obtiene de la siguiente expresión: A(t ) = P × (1+ i × t ) donde A(t) P T i 1

Valor acumulado en t periodos Principal Tiempo Tasa de interés

A lo largo de la obra, las siglas U.M. se refieren a unidades monetarias.

(1.1)

1.1 El interés

El interés es el costo de solicitar dinero prestado por un tiempo, y éste considera el riesgo crediticio que surge de la posibilidad de que el prestatario no devuelva el préstamo. Este riesgo puede reducirse si los prestatarios otorgan una garantía, que se ejecutará si no cumplen con reembolsar el préstamo. A continuación se analizan algunos ejemplo sobre el uso del interés simple.

Ejemplo 1.1 Sea A(t) el valor acumulado de una inversión en un plazo de t años. a)

Escriba una expresión que muestre el monto del interés ganado del periodo t al periodo t + s, únicamente en términos de A.

b) Utilice a) para determinar la tasa de interés anual (por ejemplo, la tasa de interés del tiempo t años al tiempo t + 1 años).

Solución Se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión para designar el interés que se ganó durante el periodo de t años y t + s años, que es: Interés ganado = A(t + s ) − A(t )

(1.2)

donde A(t + s) Valor acumulado en t + s periodos A(t) Valor acumulado en t periodos b) Se calcula la tasa de interés anual, que es: Tasa de interés anual =

A(t + 1) − A(t ) A(t )

(1.3)

donde A(t + 1) Valor acumulado en t + 1 periodos A(t) Valor acumulado en t periodos

Ejemplo 1.2 Juan Diego ha depositado 1.500 U.M. en el Banco La Caja. Un año después, la cuenta ha acumulado 2.000 U.M. a)

¿Cuál es el principal de esta inversión?

b) ¿Cuánto es el interés ganado? c)

¿Cuál es la tasa de interés anual?

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6

Cap. 1


Solución Las respuestas son las siguientes: a)

El principal es 1.500 U.M., que corresponde al monto que inicialmente depositó Juan Diego.

b) Para calcular el interés ganado se desarrollan los siguientes pasos: 1.

Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.2).

2.

Se sustituyen los valores en esta expresión y se obtiene: Interés ganado = A(t + 1) − A(t ) Interés ganado = 2.000 − 1.500 Interés ganado = 500 El interés ganado es de 500 U.M.

c)

Para obtener la tasa de interés se desarrollan los siguientes pasos: 1.


2.

Se reemplazan los valores en esta expresión y se obtiene: A(t + 1) − A(t ) A(t ) 2.000 − 1.500 Tasa de interés anual = 1.500 Tasa de interés anual = 0,3333 Tasa de interés anual =

La tasa de interés anual es de 0,3333 o 33,33% Lo anterior se puede graficar de la siguiente manera: Figura 1.1. Relación entre la tasa de interés anual y el tiempo

Tasa de interés anual 0,6 0,4 0,2 2

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Tiempo

Las tasas de interés suelen calcularse para periodos menores de un año, en cuyo caso se aplica la tasa proporcional por el tiempo utilizado del principal

1.1 El interés

Ejemplo 1.3 ¿En cuántos años un capital de 2.000 U.M. alcanzará la suma de 2.300 U.M. si la tasa de interés simple anual es de 2%?

Solución Se desarrollan son los siguientes pasos: 1.

Se identifica la fórmula que se utilizará, que es la ecuación (1.1). A = P × (1+ i × t ) Después, t

2.

1 i

A 1 P

Se reemplazan los datos del enunciado en la determinación de la fórmula derivada en el inciso anterior y se obtiene: t

1 0,02

2.300 1 2.000

t 7,5 Es decir, el monto de 2.300 U.M. se alcanza en siete y medio años. La gráfica es la siguiente: Figura 1.2. Relación entre tiempo y tasa de interés

Años 1,5 1,0 0,5

0,5

1,0 Tasa de interés

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8

Cap. 1


1.1.1

Problemas propuestos

1. ¿Cuál es la tasa de interés anual que ha ganado un individuo al acumular 3.000 U.M. tras invertir 2.400 U.M. hace un año? Respuesta: 25,00% 2. ¿Cuál es la tasa de interés semestral si el padre de Vanessa deposita 8.000 U.M. en una cuenta de ahorros el 1º de enero de 2010 y el monto acumulado al 30 de junio de 2010 es de 9.000 U.M.? Respuesta: 12,50% 3. ¿Cuál es la tasa de interés semestral y el monto de interés que se pagaron sobre un préstamo de 15.000 U.M. a un año cuyo monto devuelto es 15.500 U.M.? Respuesta: 3,33% y 500 U.M. 4. Michaela pide en préstamo 3.500 U.M. que devolverá en su totalidad en un año. El monto a devolver será de 4.000 U.M. Calcule el monto del interés pagado y la tasa de interés anual. Respuesta: 500 U.M. y 14,29%. 5. Michael solicita a un banco un préstamo por 12.000 U.M., el cual será devuelto en un año. El monto a devolver será de 12.780 U.M. ¿Cuál es el monto del interés anual pagado y la tasa de interés semestral? Respuesta: 780 U.M. y 3,25%. 6. Un banco paga 5% anual por los depósitos de ahorro que recibe. Mayla abre una cuenta de este tipo en esta entidad financiera a principios del año por 100 U.M. Calcule el monto acumulado en la cuenta al final del año. Respuesta: 105 U.M. 7. ¿A cuánto ascenderá el valor de un depósito de ahorro al cabo de seis meses si esta cuenta, abierta por Jean Paul en un banco, es creada con 300 U.M. y obtiene una tasa de 6% semestral? Respuesta: 318 U.M. 8. Juan Diego abre una cuenta de ahorros en el banco Mundo Nuevo con 500 U.M. al inicio del año. Esta institución paga 10% anual por los depósitos de ahorro. ¿A cuánto ascenderá el valor acumulado de la cuenta al final del año? Respuesta: 550 U.M.

1.1 El interés

9. Si la tasa de interés que cotiza un banco sobre sus depósitos de ahorro es de 1% mensual, ¿cuál es el valor de una cuenta a medio año abierta por Genevieve con 300 U.M. a inicios del año? Respuesta: 318 U.M. 10. Si la tasa de interés que cotiza un banco sobre sus depósitos de ahorro es de 2% trimestral, ¿cuál es el valor de una cuenta al final del año que fue abierta con un monto de 240 U.M. a inicios del mismo año? Respuesta: 259,2 U.M. 11. Usted tiene un depósito de 500 U.M. Si la tasa de interés que cotiza un banco sobre sus cuentas de ahorros es 4,5% semestral, ¿cuál es el valor de la cuenta al final del año? Respuesta: 545 U.M. 12. El Banco de las Américas paga 4% semestral por los depósitos que recibe. Isabella deposita 700 U.M. en dicho banco. Calcule el valor de la cuenta al cabo de un año. Respuesta: 756 U.M. 13. Ryan acude a un banco y efectúa un depósito de ahorro de 400 U.M. que paga 7% anual. ¿Cuál es el valor de la cuenta al cabo de un semestre? Respuesta: 414 U.M. 14. Cecilia tiene un depósito de ahorro de 1.500 U.M. Si la institución financiera cotiza una tasa de interés de 6% anual sobre este tipo de depósito, calcule a cuánto asciende el valor de la cuenta al final del año. Respuesta: 1.590 U.M. 15. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que una cuenta de ahorro crezca de 500 a 1.000 U.M. si la tasa de interés anual es de 5%? Respuesta: 20 años. 16. ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que 350 U.M. crezcan hasta 500 U.M. si la tasa de interés anual es de 4%? Respuesta: aproximadamente en 10 años, 8 meses y 17 días. 17. ¿En cuántos años 1.000 U.M. acumularán 1.260 U.M. si la tasa de interés anual es de 10%? Respuesta: 2 años, 7 meses y 6 días.

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10

Cap. 1


1.2

La capitalización

Existen dos tipos de capitalización: simple y compuesta. La capitalización simple es un tipo de capitalización en la que el interés no es acumulable. En otras palabras, los intereses que se generan en cada periodo no se agregan al capital (o principal) para calcular los nuevos intereses del siguiente periodo. La capitalización compuesta es un tipo de capitalización en la que el interés acumulado se agrega al principal. Para calcularla se utiliza la siguiente fórmula: A = P × (1+ i )t donde A i P t (1 + i)t

(1.4)

Valor acumulado Tasa de interés Principal Tiempo Factor de capitalización

El interés compuesto puede verse como un conjunto de contratos de interés simple. El interés que se gana en cada periodo se agrega al principal del periodo previo para convertirse en el principal del próximo periodo.

Ejemplo 1.4 Se recibe un depósito de 5.000 U.M. y se paga una tasa de interés anual de 10% capitalizable semestralmente. Calcule: a)

El pago en seis meses.

b) El pago en un año.

Solución a)

Se desarrollan los siguientes pasos: 1.

Primero se calcula la tasa de interés a 6 meses, dada la tasa de interés anual de 10% capitalizable cada seis meses. Esto implica que la tasa de interés de 10% es una tasa de interés nominal. Por tanto, para convertirla en una tasa a 6 meses se realiza lo siguiente: Se plantea la ecuación: i6m =

i12m 2

1.2 La capitalización

Se sustituyen los valores: 0,10 2 6m i = 0,05 i6m =

Para llegar a esta fórmula se aplica una regla de tres simple. 0,10 → 12 meses X → 6 meses Por lo que 0,10 × 6 12 0,10 X= 2 X = 0,05 X=

2.

Se identifican las expresiones que se utilizarán A=P+I

(1.5)

I = P ×i

(1.6)

donde A

Valor acumulado

P

Principal

I

Interés

i Tasa de interés 3.

Se sustituyen los valores en las ecuaciones anteriores. Así, I = 5.000 × 0,05 I = 250 Después, A = 5.000 + 250 A = 5.250 Al cabo de 6 meses, el saldo final será de 5.250 U.M.

11

12

Cap. 1


b) Para calcular el pago a un año, se realizan los siguientes pasos: 1.

Se identifica la expresión que utilizará, que es A(t +1) = i × A(t ) + A(t ) A(t +1) = A(t ) × (1+ i )

(1.7)

donde A(t) P

Valor acumulado en t periodos (t = 1, 2) Principal

i Tasa de interés t 2.

Tiempo

Se reemplazan los valores en la ecuación anterior, como sigue: A = A(2) A = i × A(1) + A(1) A = 0,05 × (5.250) + 5.250 A = 262,50 + 5.250 A = 5.512,50 En el periodo de 1 año se habrán ganado 512,50 U.M. para alcanzar un monto final de 5.512,50 U.M. La tasa de interés anual será: 512,50 5.000 Tasa de interés anual = 0,1025 Tasa de interés anual =

La tasa de interés anual efectiva es de 0,1025, o 10,25%. Se advierte que esta tasa es mayor que la tasa de interés simple de 10% anual. Este será siempre el caso cuando el periodo de capitalización (en este caso semestral) sea menor que el periodo de la tasa de interés simple (en este ejemplo anual). Para entender mejor este tema, se parte de la ecuación (1.5) y se advierte que A(t) es igual a: A(t ) = P + I A(t ) = P + P × i A(t ) = P × (1+ i )


Se reemplaza esta ecuación en (1.5): A × (t +1) = A(t ) × (1+ i ) A × (t +1) = P (1+ i ) × (1+ i ) A × (t +1) = P × (1+ i )2 Como se observa, la tasa de interés simple anual capitalizable semestralmente es equivalente a una tasa anual compuesta mayor (observe que el último término está elevado a la potencia 2). Como se puede apreciar, la última ecuación es exactamente igual a la ecuación (1.4) con t = 2.

Ejemplo 1.5 ¿Cuál es el valor acumulado al final de tres años de un préstamo de 5.000 U.M. a una tasa de interés anual de 180% capitalizable mensualmente?

Solución Se desarrollan son los siguientes pasos: a)

Se calcula la tasa de interés efectiva mensual. Tasa efectiva mensual=

Tasa de interes anual capitalizable mensualmente 12

Por lo tanto, Tasa efectiva mensual =

1,80 = 0,15 o 15% 12

b) Se identifica la fórmula para determinar el valor acumulado, que es la ecuación (1.4). c)

Se sustituyen los valores en la ecuación anterior; para ello se tiene en cuenta que 3 años equivalen a 36 meses. Así, A = 5.000 × (1+ 0,15)36

d) Se resuelve la ecuación del inciso c. A = 765.759,26 El valor acumulado al final de tres años es 765.759,26 U.M.

13

14

Cap. 1


Al graficar se obtiene la siguiente figura: Figura 1.3. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro (en miles de U.M.) 5.000,00 4.500,00 4.000,00 3.500,00 3.000,00 2.500,00 2.000,00 1.500,00 1.000,00 500,00 0

50%

100%

150%

180%

200% 250% Tasa de interés

Ejemplo 1.6 Se invierte un monto de dinero a una tasa de interés anual de 120% capitalizable mensualmente. Se desea tener 4.000 U.M. al final de 4 años. Calcule dicho monto.

Solución Los pasos a desarrollar son los siguientes: a)

Se calcula la tasa de interés efectiva mensual. Tasa efectiva mensual =

Tasa de interes anual capitalizable mensualmente 12

De esta forma, Tasa efectiva mensual =

1,20 = 0,10 o 10% 12

b) Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.4). A = P × (1+ i )t c)

Se sustituyen los valores en la ecuación anterior; para ello se tiene en cuenta que 4 años equivalen a 48 meses. 4.000 = P × (1+ 0,10)48


d) Se despeja P=

4.000,00 (1+ 0,10)48

P = 41,23 El monto, o principal invertido es de 41,23 U.M. La relación entre el valor presente y la tasa de interés se muestra en la siguiente figura: Figura 1.4. Valor presente y tasa de interés

Valor presente (en U.M.) 600,00 500,00 400,00 300,00 200,00 100,00 0

50% 100% 120% 150% 200% 250 Tasa de interés

Ejemplo 1.7 Una inversión de 8.000 U.M. se incrementa a 23.000 U.M. en 2 años. ¿Cuál es la tasa de interés capitalizable mensualmente?

Solución Los pasos a realizar son los siguientes: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.4). A = P × (1+ i )t

b) Al despejar la tasa de interés, i, se obtiene: i= t c)

A −1 P

Se reemplazan los valores en la ecuación anterior. Es necesario tener en cuenta que 2 años equivalen a 24 meses. Así, i = 24

23.000 −1 8.000

i = 24 2,875 − 1 i = 0,04498465

15

16

Cap. 1


d) La tasa de interés capitalizable mensualmente es de 4,498465%. Al graficar se obtiene la siguiente figura: Figura 1.5. Relación entre valor presente y tasa de interés

Valor presente (en U.M.) 20.000,00 18.000,00 16.000,00 14.000,00 12.000,00 10.000,00 8.000,00 6.000,00 4.000,00 2.000,00

4,498465%

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Tasa de interés capitalizable mensualmente

Ejemplo 1.8 Determine el tiempo que se requiere para que una inversión de 10.000 U.M. crezca en cierto periodo de tiempo a 40.000 U.M. si la tasa de interés compuesta anual es de 1%.


Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.4). A = P × (1+ i )t

b) Se despeja la variable tiempo y se obtiene: A P t log(1 i) log

donde log( ) se refiere al logaritmo en base 10. También se puede aplicar el logaritmo natural o neperiano al numerador y el denominador y se obtienen los mismos resultados.


c)

Se reemplazan los valores del enunciado en la expresión anterior.

t

40.000 10.000 log(1+0,01)

log

0,60206 0.00432

t 139,321434 Se requieren aproximadamente 139 años, 3 meses y 26 días. La solución para distintas tasas de interés se muestra en la figura 1.6. Figura 1.6. Relación entre tiempo y tasa de interés

Tiempo (en años) 160,00 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0 1%

3%

5%

7%

9%

11% 13% 15% Tasa de interés anual

Ejemplo 1.9 ¿Usted aceptaría invertir 9.500 U.M. y obtener como valor acumulado 48.070 U.M. después de 5 años, si la tasa de interés de mercado es de 5%? Asuma que la inversión y el mercado tienen riesgos similares.


Se identifica la expresión que servirá para calcular. A = P × (1+ i )t

b) Se despeja la tasa de interés implícita en esta inversión. i= t

A −1 P

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Cap. 1


c)

Se reemplaza y se obtiene: 48.070 −1 9.500 i = 0,3830 i= 5

La tasa de interés es de 38,30%. Como esta tasa es superior a la tasa de mercado de 5%, conviene invertir. En la figura 1.17 se muestra para el ejemplo anterior la relación que existe entre la tasa de interés y el tiempo. Figura 1.7. Relación entre tasa de interés y tiempo

Tasa de interés anual 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0 1 2 3 4

5

6 7 8 9 Tiempo (en años)

Ejemplo 1.10 ¿Cuál es el valor acumulado de una inversión de P al final del n-ésimo año si la tasa de interés anual cambia de un año a otro?


Se identifica la expresión a utilizar, que es una variante de la ecuación (1.4). A = P × (1+ ii )t donde A

Valor acumulado

P

Préstamo

ii Tasa de interés en el i-ésimo periodo


b) Como la tasa de interés varía en el tiempo, se obtiene: A = P × (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × (1+ i3 ) × ... × (1+ in )

(1.8)

donde A Valor acumulado P Préstamo ii Tasa de interés en el i-ésimo periodo (i=1,2,3,4,…, n) c)

Luego, el valor acumulado de una inversión de P al final del n-ésimo año se obtiene al despejar el valor de P. Así, P=

A (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × (1+ i3 ) × ... × (1+ in )

(1.9)

donde A Valor acumulado P Préstamo ii Tasa de interés en el i-ésimo periodo (i=1,2,3,4,…, n) Esta fórmula se conoce como fórmula del valor presente, que se detalla en la siguiente sección.

1.2.1


1. Si la tasa de interés compuesta anual es de 10%, calcule el valor presente de 500 U.M. en 10 años. Respuesta: 192,77 U.M. 2. Calcule el valor presente de 400 U.M. en 3 años si la tasa de interés compuesta es de 5%. Respuesta: 345,54 U.M. 3. Determine el valor presente de 100 U.M. en 5 años si la tasa de interés compuesta anual es de 12%. Respuesta: 56,74 U.M. 4. Mayla invierte 2.000 U.M. en un depósito de ahorro que paga una tasa de interés anual de 7% compuesta mensual. a) ¿Cuál será el saldo de la cuenta al final del año? b) ¿Cuál será el interés que ganará en un año? c) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva? Respuesta: a) 2.144,58 U.M.; b) 144,58 U.M. y c) 125,22% 5. Michael invierte 1.300 U.M. en un depósito de ahorros que paga una tasa de interés anual de 8% compuesta semestral. a) ¿Cuál es el saldo de la cuenta al final del año?

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20

Cap. 1


b) ¿Cuál es el interés ganado en un año? c) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva? Respuesta: a) 1.406,08 U.M.; b) 106,08 U.M. y c) 8,16% 6. Suponga que usted deposita 500 U.M. en una cuenta de ahorro que paga una tasa de interés anual de 9% compuesta trimestral. a) ¿Cuál será el saldo de la cuenta al final del año? b) ¿Cuál será el interés que ganará en un año? c) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva? Respuesta: a) 546,54 U.M.; b) 46,54 U.M. y c) 9,31%.

1.3

El descuento

Descontar es el proceso de determinar el valor presente de una cantidad de dinero futura que está expresada en términos de U.M. El valor presente es el valor acumulado esperado sobre un periodo de tiempo específico, que se obtiene a partir de un principal invertido hoy. Figura 1.8. El proceso de descuento

P 0 P=

A 1

2

t–1

t

A (1+ i )t

En otras palabras, el descuento consiste en calcular un capital equivalente en el pasado a un capital financiero dado. Como es lógico, el capital equivalente debe ser menor, lo que significa que la ley financiera es decreciente respecto al tiempo y, mientras más tiempo se utilice, el monto del capital equivalente será menor. Para determinar el valor presente, se despeja P de la siguiente ecuación conocida como ecuación de valor futuro: A = P × (1+ i )t Entonces, P=

A (1+ i )t

(1.10)

1.3 El descuento

donde A i t P 1 (1+ i )t

Valor acumulado Tasa de interés (tasa de descuento) Tiempo Principal Factor de descuento

Al seguir esta línea, es diferente referirse a “descontar A” que “descuento sobre A”. El primero es el procedimiento mediante el cual se calcula el valor presente, P, de un valor acumulado a una fecha futura determinada, A. Una forma de representarlo es con la siguiente figura: Figura 1.9. Descontar A

Descontar A

P 0

t

En tanto que “el descuento sobre A” es el resultado de la diferencia del valor acumulado A menos el valor presente P. El descuento sobre A es, en buena medida, el interés que se gana sobre el valor presente P. D = A− P

(1.11)

donde D Descuento sobre A A Valor acumulado P Principal o valor presente Esta expresión se puede representar por medio de la siguiente figura: Figura 1.10. Descuento

Descuento

0 A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

t

21

22

Cap. 1


Ejemplo 1.11 Si 2.000 U.M. corresponden al valor descontado de 2.250 U.M. al final de siete meses, el descuento sobre 2.250 U.M. es de 250 U.M. ¿Cuál es la tasa de interés sobre 2.000 U.M. por el mismo periodo de tiempo?

Solución Para su resolución se desarrollan los siguientes pasos: a)


b) Dados los siguientes datos: P = 2.000 U.M. A = 2.250 U.M. t = 7 meses El descuento sobre el valor acumulado de 2.250 U.M. es 250 U.M. Se calcula: D = A− P 250 = 2.250 − 2.000 c)

Luego, el descuento es de 250 U.M. sobre un importe de 2.250 U.M. En términos porcentuales, esto significa que: D P 250 i= 2.000 i = 0,125 i=

d) El resultado se refiere a un periodo de 7 meses. Si se llevara a una tasa anual sería: ianual = (1+ 0,125)12/7 − 1 ianual = 0,2237

1.4 Funciones de cantidad y acumulación

1.3.1


1. Si 800 U.M. es el valor descontado de 1.000 U.M. al final de seis meses, el descuento sobre 1.000 U.M. es 200 U.M. ¿Cuál es el interés sobre 800 U.M. por el mismo periodo? Respuesta: 40% nominal anual. 2. ¿Cuál es el interés sobre 3.000 U.M. por un periodo de tres meses, si 2500 U.M. es el valor descontado de 2.750 U.M. al final de dicho periodo, y el descuento sobre 2.750 U.M. es 250 U.M.? Respuesta: 36,36% nominal anual. 3. Si 400 U.M. es el valor descontado de 750 U.M. al final de dos meses, el descuento sobre 750 U.M. es 350 U.M. ¿Cuál es el interés sobre 1.000 U.M. durante el mismo periodo? Respuesta: 280% nominal anual.

1.4

Funciones de cantidad y acumulación

Suponga que se tiene un fondo, y que éste crece debido a que gana intereses. Sería conveniente contar con una función que permita simbolizar el valor acumulado, por ejemplo, el monto del principal más el interés del principal invertido en un momento determinado. Para fines didácticos se asumirá que el fondo acumula sólo intereses y que no se produce otro tipo de acciones que modifiquen su valor, como retiros o depósitos de dinero en el periodo que dura la inversión.

1.4.1 La función cantidad Si t es la extensión de tiempo, medida en años, en que el principal se ha invertido, la cantidad de dinero existente en dicho momento es A(t ). Observe que A(0) representa al principal P.

1.4.2 La función de acumulación En esta línea de pensamiento, si se quiere comparar varias funciones de cantidad, se requiere definir como sigue la función de acumulación a(t ): a (t ) =

A(t ) A(0)

(1.12)

23

24

Cap. 1


donde a(t ) Función de acumulación A(t ) Valor acumulado en t periodos A(0) Principal (P ) Esta función representa el valor acumulado de un principal de 1 U.M. invertido en el periodo 0, estimada en el periodo t (donde t ≥ 0). Se advierte que la función cantidad A(t ) es sólo un múltiplo constante de la función de acumulación a(t ). Es decir, A(t ) = A(0) × a(t ) , o sea, A(t ) es el valor acumulado de una inversión original de A(0). La función de acumulación a(t ) representa el modo en que el dinero se acumula con el paso del tiempo. La función de acumulación tiene las siguientes propiedades: Propiedad 1:

a(0) =1

Propiedad 2:

a(t ) es creciente

Si t1 < t 2 luego a (t1 ) ≤ a (t 2 ) : una función de acumulación decreciente implica un interés negativo. Por ejemplo, si un inversionista invierte 100 U.M. hoy y el dinero invertido vale 90 U.M. después de un año, habrá perdido valor. A esta pérdida se le conoce como interés negativo. Por otra parte, una función de acumulación constante implica interés cero. Propiedad 3: si el interés se acumula en periodos de tiempo fraccionados, a(t ) es una función continua. Si no existe acumulación de intereses entre fechas de pagos de interés, a(t ) será una función discontinua, es decir, que se caracteriza porque permanece constante por un tiempo, pero dará un salto cuando el interés sea agregado, por lo general al final del periodo.

Ejemplo 1.12 Suponga que A(t ) = γ × t 2 + 5 × ρ , donde γ y ρ son parámetros. Si el valor Y es invertido en el tiempo 0 (o momento 0) y acumula hasta 100 U.M. en el tiempo 5 y 500 U.M. en el tiempo 10, calcule el monto de la inversión original Y.


Se identifican las expresiones con las que se trabajará: A(0) = Y = γ x (0)2 + 5 × ρ = 5 × ρ A(5) =100 = γ × (5)2 + 5 × ρ = γ × 25 + 5 × ρ A(10) = 500 = γ × (10)2 + 5 × ρ = γ ×100 + 5 × ρ


b) Dado que A(0) = Y , las ecuaciones del punto a. se expresan así: Y = 5× ρ 25 × γ + 5 × ρ =100 100 × γ + 5 × ρ = 500 c)

Si se sustituye Y = 5 × ρ en estas ecuaciones se obtiene: 25 × γ + Y =100 100 × γ + Y = 500

d) Se resuelve este sistema como sigue: −100 = −25 × γ − Y 500 = 100 × γ + Y e)

Se suman ambas expresiones y se despeja γ. 400 = 75 × γ 400 75 γ = 5,333333

γ=

f)

Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones. 100 =16 × (5,333333) + Y Y =100 −16 × (5,333333) Y =14,67

g)

Lo único que queda por determinar es el valor de ρ. Para esto se recuerda la primera ecuación y se despeja. Y = 5× ρ Entonces:

ρ=

Y 5

h) Por tanto, Y 5 14,6667 ρ= 5 ρ = 2,93

ρ=

25

26

Cap. 1


Ejemplo 1.13 Demuestre que la siguiente función satisface las tres propiedades de una función de acumulación: a(t ) = t 2 + 2 × t +1 donde t ≥ 0 es un número real.

Solución Los pasos para su demostración son los siguientes: a)

Se calcula el valor de a(0) . a(0) = 02 + 2 × (0) +1 a(0) =1

b) Para demostrar que la función es creciente, se utiliza el concepto de primera derivada. Con base en él, una función será creciente si la primera derivada es positiva. Al aplicar este criterio se tiene que a '(t ) = 2 × t + 2 > 0 para t ≥ 0 Luego, a(t ) es creciente c)

a(t ) es continua y es una función cuadrática. Como ejemplo se analizará con números cómo varía la función de acumulación cuando t varía. t = 0 → a(0) = 1 t = 1 → a(1) = 12 +2 × 1+ 1 = 4 t = 2 → a(2) = 2 2 +2 × 2 + 1 = 9 t = 3 → a(3) = 3 2 +2 × 3 + 1 = 16 ...

Como se puede observar, la función cumple todas las propiedades.

Ejemplo 1.14 En la figura 1.11 se muestran las diferentes funciones de acumulación.

1.4 Funciones de cantidad y acumulación Figura 1.11. Funciones de acumulación

a (t)

a (t) (1)

(3)

1 1

Tiempo

a (t)

Tiempo

a (t) (2)

(4) 1

1

Tiempo

Tiempo

Describa algunas situaciones de la vida real en las que puedan encontrarse esas funciones.

Solución 1. Una inversión que no gana intereses. 2. El interés sobre el principal (interés simple) es sólo estimado. 3. El principal gana intereses sobre intereses (interés compuesto). 4. Función de pasos con segmentos de líneas de extensión de una unidad (el periodo). Si el interés que se paga es constante por periodo, la altura entre todos los pasos será la misma. Sin embargo, si el interés se incrementa con el tiempo, la altura entre los pasos crecerá. Las propiedades 2 y 3 también se aplican en el caso del valor acumulado A(t ) . Por ejemplo, como A(t ) es un múltiplo positivo de a(t ) y a(t ) es creciente, A(t ) también lo será. Esta relación puede ser claramente apreciada a través de la ecuación (1.12). La función cantidad proporciona el valor acumulado de k (U.M.) depositado en el periodo 0. Si k (U.M.) no es depositado en el periodo 0 sino en el periodo s > 0 , se podría formular la siguiente pregunta: ¿Cuál será el valor acumulado de k (U.M.) en el periodo t > s ? Para tener una respuesta analice el ejemplo 15.

27

28

Cap. 1


Ejemplo 1.15 En una cuenta se depositaron 500 U.M. en el periodo 2. ¿A cuánto ascenderá esta cantidad de dinero en el periodo 4?


Se identifica la expresión para k (U.M.). Para ello, primero se plantea la siguiente ecuación basada en la ecuación (1.12): A(t ) A(0) A(t ) → a (t ) = k → a (t ) =

Se sustituye t = 2 A(2) k → A(2) = k × a(2) → a(2) =

Como A(2) = 500 A(2) = k × a(2) A(2) = 500 Luego se despeja el valor de k (U.M.) como sigue: k=

500 a(2)

b) Se identifica la expresión para calcular el valor acumulado en el periodo 4 de una inversión inicial de k, que es A(4) = k × a(4) c)

En la ecuación que se obtuvo en el punto a, se sustituye la expresión para k (U.M.) A(4) k a(4) A(4)

500 a(2)

a(4)


Es decir, A(4) = 500 ×

a(4) a(2)

a(4) en el Por tanto, 500 U.M. invertidas en el periodo 2 crecen a 500 × a(2) periodo 4. En general, si se depositan k U.M. en el periodo s, el valor acumulado de k U.M. en a (t ) . el periodo t (t > s) será k × a( s )

Comentario Se advierte que a(t ) se conoce como el factor de acumulación o de crecia( s ) miento y brinda el valor de 1 U.M. en el tiempo s.

Ejemplo 1.16 Se supone que la función de acumulación es a(t ) = b × (1,1)t + c × t 2 , donde b y c son constantes. a)

Si 100 U.M. invertidas en el periodo t = 0 aumentan a 170 U.M. en el periodo 3, calcule el valor acumulado en el periodo 12 de 100 U.M. invertidas en el periodo 1.

b) Demuestre que a(t ) es creciente.

Solución En relación con la primera parte de la pregunta, el primer paso consiste en identificar los valores de b y c. Así, Se aplica la primera propiedad de la función de acumulación: a(0) =1 Por tanto, b × (1,1)0 + c × (0)2 = 1 b × (1,1)0 + c × (0)2 = 1 b =1

29

30

Cap. 1


Se identifica la ecuación del valor acumulado en el periodo 3, que es: A(3) = A(0) × a(3) En la ecuación anterior se sustituye A(0) por el valor de 100 U.M. y A(3) por el valor de 170 U.M. Así se obtiene: 170 =100 × a(3) → a(3) =1,7 A continuación se evalúa la función de acumulación a(t ) = b × (1,1)t + c × t 2 en el periodo 3. a(3) = [b × (1,1)3 + c × 32 ] → 1,7 = [1 × (1,1)3 + c × 32 ] Se despeja c y se obtiene: c = 0,041 Por consiguiente, la función de acumulación será: a(t ) = (1,1)t + 0,041× t 2 Con esta ecuación se puede calcular el valor acumulado de 100 U.M. invertidas en el periodo 1, acumuladas hasta el periodo 12. Para ello, a)

Se calcula a(1) a(1) = (1,1)1 + 0,041× (1)2 a(1) =1,141

b) Se calcula a(12) a(12) = (1,1)12 + 0,041× (12)2 a(12) = 9,0424 c)

Se identifica el factor de crecimiento o de acumulación, definido en el problema anterior. Recuerde que, en el caso de un capital inicial de k U.M., este factor es: a (t ) a( s )

d) Se multiplica el factor de acumulación por el valor depositado en el periodo 1 (k) y se obtiene: a(12) →k× a(1)


a(12) a(1) 9,0424428377 =100 × 1,141 =100 ×

=100 × (7,925) = 792,50 De esta forma 100 U.M. en el periodo 1 crecen a 792.50 U.M. en el periodo 12. Con este resultado se resuelve la primera parte de este problema. En relación con la segunda parte, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se deriva la función de acumulación respecto al tiempo. Se recuerda que la función de acumulación es igual a: a(t ) = (1,1)t + 0,041× t 2 Se toma la primera derivada de esta función, a '(t ) = (1,1)t × ln1,1+ 0,082 × t

t >0

b) Como se puede apreciar, a '(t ) es una función positiva de t. Es decir, que conforme t aumenta, a '(t ) > 0 . En otras palabras, esto implica que a(t ) también aumenta cuando t ≥ 0 . Se asume que n es un número entero positivo. El n–ésimo periodo se define como el periodo de tiempo entre t = n − 1 y t = n. Esto último se expresa en términos de un intervalo de tiempo n −1 ≤ t ≤ n . En este intervalo, el interés ganado durante n periodos se define como I n = A(n ) − A(n −1)

(1.13)

donde In Interés ganado en el periodo n A(n) Valor acumulado en el periodo n Esta situación se muestra en la figura 1.12. Figura 1.12. El interés ganado

Valor Acumulado en el periodo t

A(n – 1) n–1

Interés en el periodo n(ln)

A(n) n

Tiempo

31

32

Cap. 1


El interés que se gana durante un periodo de tiempo es la diferencia entre las cantidades de dinero al final y al inicio del mismo. En general, el interés ganado sobre una inversión original de k U.M. del periodo s al periodo t es el siguiente: I ( s ,t ) = A(t ) − A( s ) Se conoce que las fórmulas de los valores acumulados A(t) y A(s) son: A(t ) = a(t ) × A(0) A(t ) = a(t ) × k y A( s ) = a( s ) × A(0) A( s ) = a( s ) × k Finalmente, I ( s ,t ) = A(t ) − A( s ) I ( s ,t ) = k × [ a(t ) − a( s )] donde A(i) k I ( s ,t ) a(i)

Valor acumulado en i periodos (i = t,s) Inversión original Interés ganado Función de acumulación hasta el periodo i (i = t, s)

Ejemplo 1.17 Dado A(t ) = t 2 + 2 × t +1 , ¿cuál es el valor de I n en términos de n?



b) Se aplica la ecuación anterior y se obtiene: I n = A(n ) − A(n −1) I n = n2 + 2 × n +1− (n −1)2 − 2 × (n −1) −1 I n = 2 × n +1 La respuesta es 2 × n +1 .

(1.14)


Al graficar se obtiene la siguiente figura: Figura 1.13. Interés y tiempo

Interés (en U.M) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0.5 1

1.5

2

2.5

3 3.5 Tiempo

Ejemplo 1.18 Demuestre e interprete que A(n ) − A(0) = I1 + I 2 + ... + I n .

Solución Se puede descomponer A(n) − A(0), que no es otra cosa que In, en una serie de intereses de un periodo de duración cada uno, es decir A(n ) − A(0) = [ A(1) − A(0)] + [ A(2) − A(1)] + ... + [ A(n −1) − A(n − 2)] + [ A(n ) − A(n −1)] A(n) A(0) I1 I 2 ... I n Por consiguiente, A(n ) = A(0) + I1 + I 2 + ... + I n De modo que: I1 + I 2 + ... + I n La expresión anterior es el interés recibido por invertir un capital de A(0) . Dicho interés equivale a sumar los intereses que se recibieron en cada periodo de tiempo. Observe que para cualquier 0 ≤ t < n se tiene que: A(n ) − A(t ) = [ A(n ) − A(0)] − [ A(t ) − A(0)] n

t

j =1

j =1

A(n ) − A(t ) = ∑ I j − ∑ I j n

A(n ) − A(t ) = ∑ I j j =t +1

33

34

Cap. 1


Es decir, el interés que se ganó entre los periodos t y n será el interés total del periodo 0 al periodo n, menos el interés total ganado del periodo 0 al periodo t. O lo que es lo mismo, será igual a los intereses ganados del periodo t + 1 al periodo n.

Ejemplo 1.19 Calcule el interés recibido entre el periodo t y el periodo n, donde t < n, si el interés que se recibe en el periodo r es igual a r para cualquier número entero positivo r.

Solución Se realizan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión a utilizar, que es: = A(n ) − A(t ) n

= ∑ Ii i =t +1 n

t

i =1

i =1

= ∑i − ∑i Para entender esta fórmula, se observa que: n

A(n ) − A(t ) = ∑ I i i =t +1 n

t

i =1

i =1

A(n ) − A(t ) = ∑i − ∑i A(n ) − A(t ) = (1+ 2 + 3 + ... + t + (t +1) + ... + n ) − (1+ 2 + 3 + ... + t ) que es igual a n

A(n ) − A(t ) = ∑ I i i =t +1 n

t

i =1

i =1

A(n ) − A(t ) = ∑i − ∑i A(n ) − A(t ) = (t +1) + ... + n Asimismo, se puede demostrar que este desarrollo es igual a n

A(n ) − A(t ) = ∑ I i i =t +1 n

t

i =1

i =1

A(n ) − A(t ) = ∑i − ∑i


b) Se reemplazan n y t en la ecuación anterior, de lo cual resulta: A(n ) − A(t ) = Se factoriza

n × (n + 1) t × (t + 1) − 2 2

1 y se obtiene: 2 1 A(n ) − A(t ) = × (n2 + n − t 2 − t ) 2

Como ejemplo, se supondrá que n = 4 y t = 2. 4

A(n ) − A(t ) = ∑ I i i =2+1 4

2

i =1

i =1

A(n ) − A(t ) = ∑i − ∑i A(n ) − A(t ) = (1+ 2 + 3 + 4) − (1+ 2) A(n ) − A(t ) =10 − 3 A(n ) − A(t ) = 7 Cuando se emplea la otra fórmula, n × (n + 1) t × (t + 1) − 2 2 4 × (4 + 1) 2 × (2 + 1) A(n ) − A(t ) = − 2 2 A(n ) − A(t ) = 10 − 3 A(n ) − A(t ) =

A(n ) − A(t ) = 7

Ejemplo 1.20 Calcule el interés recibido entre el periodo t y el periodo n, donde t < n, si el interés que se recibe en cada periodo es constante e igual a I.


Se identifica la expresión a utilizar. En este caso, como los intereses son constantes, n

A(n ) − A(t ) = ∑ I j =t +1 n

t

j =1

j =1

A(n ) − A(t ) = ∑ I − ∑ I

35

36

Cap. 1


b) Se recuerda que n-veces la suma de una constante es igual al producto de n por la constante. Así, A(n ) − A(t ) =

n

∑I

j = t +1 n

t

j =1

j =1

A(n ) − A(t ) = ∑ I − ∑ I A(n ) − A(t ) = n × I − t × I A(n ) − A(t ) = I × (n − t ) c)

En la ecuación anterior se reemplazan n y t. Así, se tiene que: A(n ) − A(t ) =

d) Se factoriza

1 y se obtiene: 2

n × (n + 1) t × (t × 1) − 2 2

1 A(n ) − A(t ) = × (n2 + n − t 2 − t ) 2

1.4.3 Problemas propuestos 1. Una inversión de 1.000 U.M. crece cada año una cantidad constante de 250 U.M. por cinco años. a)

¿A qué se parece la representación gráfica de A(t ) si el interés se paga sólo al final de cada año?

b) ¿A qué se parece la representación gráfica de A(t ) si el interés se paga continuamente y la función de cantidad crece linealmente? Respuesta: a)

Se parece a una función por pasos (step function).

b) Se parece a la función de una línea recta. 2. Calcule el valor acumulado en el periodo 10 de 100 U.M. invertido en el periodo 5, dado a( t ) = a × t 2 + b . Respuesta: 397. 3. Dada A(t ) = t 2 + 2 × t + 3 , determine la función de acumulación. Respuesta: a(t ) =

A(t ) t 2 + 2 × t + 3 = A(0) 3


4. ¿Cuál es el interés que se ganó entre los periodos t y n, donde t < n , si I r = 2r para cualquier número positivo entero r. Recuerde la siguiente suma de cálculo: n 1− r n+1 i ,−1 < r <1 a × r = a × ∑ 1− r i =0 Respuesta: A(n ) − A(t ) =

n

n

∑ I = ∑2

i

i

i = t +1

i = t +1

n

t

t =1

t =1

A(n ) − A(t ) = ∑ 2t − ∑ 2t 5. Se depositan 100 U.M. en el periodo t = 0 en una cuenta cuya función de acumulación es a(t ) =1+ 0,03 × t . a)

Calcule el interés generado al periodo 9.

b) Calcule el interés generado en el periodo 4 y el periodo 9. Respuesta: a)

I s ,t = k × (1,09 −1) = 0,09 × k

b)

I s ,t = k × (1,09 −1,06) = 0,03 × k

6. Dada a(t ) = (1+ 0,3 × i × t ) Usted invierte hoy 1.000 U.M. en esta cuenta. Encuentre i si el valor de la cuenta 9 años desde hoy es de 2.000 U.M. Respuesta: 37,04%. 7. Encuentre el valor acumulado de la inversión en el periodo 10, si sólo se invierten 100 U.M. en el periodo 1 y a(t ) = 0,20 × t 2 + 2 . Respuesta: 1.000 U.M. 8. Calcule el valor acumulado de la inversión en el periodo 5 si sólo se han invertido 300 U.M. y a(t ) = 0,10 × t 2 +1 . Respuesta: 1.050 U.M. 9. Demuestre que la función f (t ) = 225 − (t −10)2 no puede utilizarse como una función de cantidad para t > 0. Respuesta: No se cumplen las propiedades 1 y 2.

37

38

Cap. 1


10. Para el intervalo 0 ≤ t ≤10 , determine la función de acumulación a(t ) que corresponde a A(t ) = 225 − (t −10)2 . Respuesta: a(t ) =

225 − (t −10)2 125

11. Suponga que usted invierte 1.000 U.M. en el periodo 0 en una cuenta 2 de inversión con una función de acumulación a(t ) = α × t + 4 × β . En el periodo 4, su inversión ha acumulado 4.000 U.M. Encuentre el valor acumulado de una inversión en el periodo 10. Respuesta: 12.000 U.M. 12. Dada la siguiente expresión (válida para números enteros no negativos): in =

A(n ) − A(n −1) A(n −1)

Demuestre que A(n −1) A(n ) Respuesta: La demostración se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. (1+ in )−1 =

13. Desarrolle lo siguiente: a)

En caso de la función de acumulación a(t ) =1+ i × t , demuestre que a '(t ) i = a(t ) 1+ i × t

b) En el caso de la función acumulación a(t ) = (1+ i )t , demuestre que a '(t ) = ln (1+ i ) a (t ) Respuesta: Estas demostraciones se presentan en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. a '(t ) 14. Definido δt = a (t ) t δ × dr Demuestre que a(t ) = e ∫ 0 r Respuesta: Esta demostración se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 15. Dadas A(t ) = a × t 2 + b × t + c para 0 ≤ t ≥ 2, y A(0) =100 , A(1) =110 y 1 A(2) =136 . Determine δ 2 . Respuesta: 0,0594.

1.5 Funciones de acumulación lineal: el interés simple

16. Se tienen dos inversiones: la primera por un monto de 500 U.M. y se efectúa en el periodo 0; la segunda por Y U.M. y se realiza en el periodo 4. El valor acumulado total de esas inversiones en el periodo 10 es de 15.000 U.M. Calcule Y. Respuesta: 2.065,22 U.M.

1.5

Funciones de acumulación lineal: el interés simple

Existen dos clases de funciones de acumulación: las de interés simple y las de interés compuesto. En esta sección se desarrollarán las primeras, en tanto que las segundas se analizarán más adelante. El interés simple es un cargo directamente proporcional al capital (P) que se presta a un interés i por n periodos, de modo que se gana un interés (en U.M.) que se simboliza con I. Por ejemplo, el interés que se gana a una tasa i en n periodos es: I = P ×i×n

(1.15)

donde I Interés P Capital i Tasa de interés n Número de periodos Figura 1.14. Evolución del interés simple en el tiempo

11.000

12.000

13.000

1.000 10.000 1.000 1.000

0

1

2

10%

3

14.000

1.000

4 Años

Hay que considerar que el interés que se gana en cada periodo es constante, debido a que el capital sobre el que se calcula es fijo; en la gráfica anterior es sobre 10.000 U.M. Por tanto, si un individuo se endeuda con otro, el pago total que el primero, llamado deudor, hará al segundo, llamado acreedor, será F =P+I

39

40

Cap. 1


Se sustituye esta ecuación en (1.15) y se obtiene: F = P + (P × i × n) Se factoriza, F = P × (1+ i × n )

(1.16)

donde F Valor futuro P Valor presente i Tasa de interés n Número de periodos Las tasas de interés simple se clasifican como el interés simple ordinario y el interés simple exacto. El primer caso se refiere al interés que se gana durante un periodo menor de un año, que se supone de 360 días. En el segundo caso, también se aplica a un periodo menor de un año pero, a diferencia del caso anterior, el número de días corresponde a los que tienen lugar en el año calendario.

Ejemplo 1.21 Ryan pide prestadas 2.000 U.M. a una tasa de interés simple ordinaria de 15% durante un periodo de tres meses. Calcule el pago total que Ryan tendrá que efectuar.



b) Se reemplazan los valores y se obtiene: F = P × (1+ i × n ) F = 2.000 × (1+ 0,15 × 3 /12) F = 2.075 El pago total futuro será de 2.075 U.M. Al graficar se obtiene la figura 1.15 cuando se varía la tasa de interés: Figura 1.15. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro en (U.M.) 3.000,00 2.500,00

2.075

2.000,00 1.500,00 500,00 0% 15% 30% 45% 60%75% 90% Tasa de interés


Ejemplo 1.22 Isabella solicita en préstamo 3.000 U.M. a una tasa de interés simple de 10% durante los dos primeros meses del año. Calcule el pago total que deberá realizar si el año es bisiesto.



b) Se reemplazan los valores en esta ecuación y se obtiene: F = P × (1+ i × n ) F = 3.000 × [1+ 0,10 × (31+ 29) / 366] F = 3.049,18

La representación para distintas tasas de interés se muestra a continuación: Figura 1.16. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro 3.200,00 3.150,00 3.100,00 3.050,00 3.000,00 2.950,00 2.900,00 0

5%

10%

15% 20%

25%

30% Tasa de interés

Se observa que, en este caso, enero tiene 31 días y febrero 29 (recuerde que el año es bisiesto). Por tanto, el pago total futuro será de 3.049,18 U.M.

Ejemplo 1.23 Iracema solicita un préstamo de 4.000 U.M. a una tasa de interés simple de 10% durante los tres primeros meses del año. Calcule el pago total que debe realizar si el año no es bisiesto.

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Cap. 1


Solución Para resolver, los pasos a desarrollar son los siguientes: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.16). F = P × (1+ i × n )

b) Se reemplazan los valores en dicha ecuación y se obtiene:

F 4.000 1 0,10

31 28 31 365

F 4.098,63 El pago total futuro será de 4.098,63 U.M. La representación gráfica de este ejemplo, cuando la tasa de interes varía, es la que se muestra a continuación: Figura 1.17. Relación entre valor futuro y tasa de interés

Valor futuro (en U.M.) 4.350,00 4.300,00 4.250,00 4.200,00 4.150,00 4.098,63 4.100,00 4.050,00 4.000,00 3.950,00 3.900,00 3.850,00 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% Tasa de interés

Ejemplo 1.24 Se invierte 1 U.M. El interés que se gana en cada periodo de tiempo es i. De esta manera, el valor acumulado al final del primer periodo será de a(1) =1+ i ; al final del segundo, a(2) =1+ 2 × i y al final del n-ésimo periodo a(n ) =1+ i × n para todo número n mayor o igual que cero ( ∀ n ≥ 0 ). En este caso, la función de acumulación es lineal. Hay que destacar que a la acumulación del interés calculada sobre la base de esta función se le denomina interés simple. Observe que la tasa efectiva de interés i = a (1) −1 es la tasa de interés simple. Esto es cierto sólo cuando el periodo de capitalización del interés simple es el mismo que el del periodo sobre el cual se calcula el interés compuesto. En el caso de una tasa de interés simple i, la tasa de interés efectiva ( in ) equivalente es decreciente en n.


in = in =

a(n ) − a(n − 1) a(n − 1)

[1+ i × n − (1+ i × (n −1))]

1+ i × (n − 1) i , n ≥1 in = 1+ i × (n − 1)

(1.17)

donde in Tasa de interés efectiva i Tasa de interés n Número de periodos Por tanto, in+1 − in =

i i − 1+ i × n 1+ i × (n −1)

in+1 − in = −

i2 (1+ i × n ) × [1+ i × (n −1)]

in+1 − in = −

i2 <0 (1+ i × n ) × [1+ i × (n −1)]

La expresión anterior señala que, aun cuando la tasa de interés simple sea constante en cada periodo de tiempo, la tasa de interés efectiva por periodo, que corresponde a esta tasa de interés simple, no es constante sino decreciente de un periodo a otro y converge a cero en el largo plazo. Es por esto que utilizar la tasa de interés simple favorece menos al inversionista en la medida que el número de periodos aumenta.

Ejemplo 1.25 Calcule la tasa de interés efectiva en el quinto año de un fondo que gana 1% de interés simple.


Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.17). in =

i 1+ i × (n −1)

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Cap. 1


b) Si se reemplazan los datos, se obtiene: 0,01 1+ 0,01× (4) i5 = 0,0096 i5 =

La tasa de interés efectiva, equivalente a la tasa de interés simple en el quinto año, es de 0,96%. Para entender mejor este ejemplo, se asignan números a las variables. Por ejemplo, ¿cuál sería el valor de i1, i2, y siguientes? 0,01 1+ 0,01× (0) i1 = 0,01 i1 =

0,01 1+ 0,01× (1) i2 = 0,0099 i2 =

0,01 1+ 0,01× (2) i3 = 0,0098 i3 =

0,01 1+ 0,01× (3) i4 = 0,0097 i4 =

Se asume que se tiene un capital inicial de 100 U.M. y se coloca a una tasa de interés simple de 1% anual. El monto al final del periodo será A(5) = A(0) × a(5) A(5) = 100 × (1+ 0,01 × 5) A(5) = 105 En consecuencia, la tasa de interés compuesta que genera este monto será la determinada en el ejemplo. Para comprender este resultado, se recuerda que el interés compuesto acumula intereses sobre intereses. A(5) = 100 × (1,01) × (1,0099) × (1,0098) × (1,0097) × (1,0096) A(5) = 105 La cantidad absoluta de interés que se gana en cada periodo de tiempo, representada por I n = a(n ) − a(n −1) , es constante mientras que in disminuye a medida que n aumenta. a(n ) − a(n −1) in = (1.18) a(n −1) donde in Tasa de interés efectiva a(n ) Función de acumulación


La función de acumulación del interés simple ha sido definida para valores enteros de n, donde n ≥ 0 . Si el interés se acumula en periodos enteros y no fraccionados, la función de acumulación será una función de paso. A menos que se mencione lo contrario, se asumirá que el interés se acumula sobre periodos fraccionados bajo interés simple. Con la finalidad de definir a(t ) para números reales t ≥ 0 , se redefinirá la tasa de interés simple, de modo que la definición previa sea una consecuencia de este supuesto general. Desde la perspectiva del concepto de interés simple, el interés que gana por una inversión inicial de 1 U.M. en todos los periodos de tiempo de extensión t + s es igual a la suma del interés ganado en periodos de extensión t y s. Simbólicamente: a(t + s ) − a(0) = [ a(t ) − a(0)] + [ a( s ) − a(0)] O bien, a(t + s ) = a(t ) + a( s ) − a(0)

(1.19)

donde a(n) Función de acumulación para n (n = t, s) a(0) Principal Para toda t y s que pertenecen a los números reales mayores que cero (∀t , sε R y t , s > 0) . ¿Las funciones de acumulación de interés simple son las únicas que cumplen la ecuación (1.19)? Asuma que a(t ) es una función diferenciable que satisface la ecuación (1.19). Por lo tanto, a (t + s ) − a ( t ) a '(t ) = lím s →0 s a(t ) + a( s ) − a(0) − a(t ) a '(t ) = lím s →0 s a( s ) − a(0) a '(t ) = lím (constante) s →0 s Con base en el cálculo elemental, a(t ) = a '(0) × t + C La constante C se calcula asignando el valor de 0 a t. Así, C = a(0) Si se recuerde que la función de acumulación a(t ) , en el periodo 0, es igual a 1, así se tendrá: C = a(0) C =1 Por tanto, a(t ) =1+ a '(0) × t

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Cap. 1


Si se modifica el valor de t desde 1 hasta t, se obtendrá: a(1) =1+ a '(0) ×1 =1+ [a(1) − a(0)] ×1 a(2) =1+ a '(0) × 2 =1+ [a(2) − a(0)] × 2 a(3) =1+ a '(0) × 3 =1+ [a(3) − a(0)] × 3 Si se continúa con este procedimiento, se obtendrá la siguiente expresión: a(t ) =1+ a '(0) × t a(t ) =1+ [a(t ) − a(0)] × t Si se recueda que el interés simple es constante en un intervalo dado y, llamando i = a(t) − a(0), se puede reescribir la ecuación anterior como a(t ) = 1+ i × t , para t ≥ 0

(1.20)

donde a(t) Función de acumulación i Tasa de interés t tiempo Esto será siempre cierto para el caso de las funciones de acumulación de interés simple, es decir, dichas funciones son las únicas que preservan la propiedad expresada en la ecuación (1.19).

Ejemplo 1.26 Calcule el valor acumulado de una inversión a tres meses si el monto invertido fue de 50 U.M. y la tasa de interés simple semestral es de 20%.

Solución Los pasos para resolverlo son los siguientes: a)

Se identifican las expresiones a utilizar, que son las ecuaciones (1.10) y (1.20). A(t ) A(0) → A(t ) = A(0) × a(t ) → a (t ) =

→ A(t ) = A(0) × (1+ i × t ) b)

La función de acumulación del interés simple es continua. Por tanto, A(3 / 6) = 50 × [1+ 0,2 × (3 / 6)] A(3 / 6) = 55


Observe que, en este caso, t es igual al periodo de inversión (3 meses) dividido entre el periodo al que se calcula la tasa de interés simple (6 meses). Sobre esta base, el valor acumulado después de 3 meses es de 55 U.M. Si tal interés es pagado por un banco al final de cada periodo, los depositantes podrían retirar su principal, más los intereses ganados, y de inmediato depositarlo una vez más en una nueva cuenta con un depósito mayor. Esto sería lógico, puesto que los depositantes podrían obtener mayores ganancias, debido a que el nuevo principal es mayor ahora. En ocasiones conviene utilizar el interés simple. Por ejemplo, cuando una persona presta dinero a interés simple, dicho préstamo se caracteriza porque el plazo de maduración es menor que el periodo de capitalización.

Ejemplo 1.27 Juan Diego deposita 200 U.M. por dos años en una cuenta de ahorros que paga 3% de interés simple anual. Al mismo tiempo, Isabella deposita 200 U.M. en el mismo banco y a la misma tasa de interés simple. Sin embargo, al final del primer año, ella retira su saldo (principal más intereses) y cancela su cuenta. Inmediatamente reinvierte por un año más el monto total en una nueva cuenta que ofrece la misma tasa. ¿Quién tiene el mayor valor acumulado al final de los dos años?


Se identifica el valor acumulado de Juan Diego al final de dos años. Así, 200 × (1+ 0,03 × 2) = 212

b) Por su parte, el valor acumulado de Isabella al final de los dos años es el siguiente: Al final del primer año 200 × (1+ 0,03 ×1) = 206 Luego retira ese dinero y lo deposita a la misma tasa de interés. Por tanto, el valor acumulado al final del segundo año es: 206 × (1+ 0,03 × 1) = 212,18 Es importante notar que el mismo resultado se obtiene utilizando la siguiente fórmula: 200 × (1+ 0,03)2 = 212,18

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Cap. 1


El valor acumulado como función de la tasa de interés se representa gráficamente en la figura 1.18. Figura 1.18. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro (en U.M.) 300,00 250,00

212,18

200,00 150,00 100,00 50,00 0

0% 3%

6%

9%

12% 15% 18% Tasa de interés

En conclusión, al final de los dos años, Isabella tiene un valor acumulado mayor.

1.5.1 Funciones de acumulación lineal y su relación con el interés compuesto El interés simple es muy útil como aproximación al interés compuesto en un periodo de tiempo corto. La función de acumulación del interés compuesto i está dada por la fórmula a(t ) = (1+ i )t Para observar esto, se emplea el teorema binomial2 y se procede a escribir la expansión de la serie a(t ) de la siguiente manera: (1+ i )t =1+ i × t +

t × (t −1) 2 t × (t −1) × (t − 2) 3 ×i + × i + ... 2! 3!

Por tanto, para 0 < t <1, la aproximación de primer orden se puede escribir así: (1+ i )t ≈ 1+ i × t 2

(1.21)

El teorema binomial, o binomio de Newton, especifica la expansión de cualquier potencia de un binomio, es decir, la expansión de (a + b)m. Según este, el primer término es am, el segundo m × am–1 × b, y en cada término adicional la potencia de a disminuye 1 y la de b aumenta 1. Mayores referencias en http://www.matetam.com/glosario/teorema/teorema-binomial.


donde i Tasa de interés t Tiempo Se advierte que ésta es sólo una aproximación de primer orden, es decir, la aproximación será buena si los elementos de orden superior a 1 son cero o muy cercanos a cero.

Ejemplo 1.28 Calcule el valor acumulado de una inversión de 5.000 U.M. por tres meses a 13% capitalizable anualmente.


Se identifica la ecuación que se utilizará: A(t ) = A(0) × a(0)

b) En este caso de interés compuesto, se conoce que a(t ) = (1+ i )t . Por tanto, A(t ) = A(0) × (1+ i )t c)

Se calcula A(3 /12) = 5.000 × (1,13)3/12 A(3 /12) = 5.155,13 Si se utiliza la aproximación de Newton (y se consideran sólo los tres primeros términos de la expansión de la serie de (1+i )t ), se obtendrá:

A(1 4) 5.000 1 i t +

t (t 1) 2 i 2!

1 A(1 4) 5.000 1 0,13 4

1 4

2!

3 4

(0,13)2

A(1 4) 5.154,58 Como se puede observar, la aproximación es bastante adecuada.

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Cap. 1


1.5.2 Problemas propuestos 1. Usted invierte 100 U.M. en el periodo 0 a una tasa de interés simple anual de 9%. a)

Encuentre el valor acumulado al final del quinto año.

b) ¿Cuánto interés ganará usted en el quinto año? Respuesta: a)145 U.M. y b) 9 U.M. 2. ¿A qué tasa anual de interés simple un capital de 500 U.M. llegará a 615 U.M. en 2,5 años? Respuesta: 9,2%. 3. ¿En cuántos años 500 U.M. se convertirán en 630 U.M. a una tasa de interés simple anual de 7,8%? Respuesta: en 3,3 años. 4. ¿Qué principal ganará intereses de 100 U.M. en siete años a una tasa de interés simple de 6%? Respuesta: 70,42 U.M. 5. ¿Qué tasa de interés simple es necesaria para que 10.000 U.M. ganen 100 U.M. de interés en quince meses? Respuesta: 0,0667%. 6. Usted invierte hoy 1.000 U.M. a una tasa de interés simple anual de 6%. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés en el quinto año de su inversión? Respuesta: 4,83%. 7. Usted tiene 260 U.M. en una cuenta de ahorros que gana interés simple y no efectúa depósitos subsecuentes en ella en los próximos cuatro años, después de los cuales retira el saldo total y comprará la última versión del iPod a un precio de 299 U.M. Encuentre la tasa mínima de interés simple que el banco debe ofrecer, de modo que usted está seguro de tener suficiente dinero para hacer la compra dentro de cuatro años. Respuesta: 3,75%. 8. El monto total de un préstamo que Juan Diego solicitó a un banco y para el cual el interés ha sido añadido es de 10.000 U.M. El plazo del préstamo fue de 5 años y 6 meses. Además, el dinero acumulado es a interés simple a una tasa de 5%. ¿Cuál es el monto del préstamo? Respuesta: 7.843,14 U.M.

1.6 Convenciones de fecha bajo interés simple

1.6

Convenciones de fecha bajo interés simple

En los problemas de interés simple se trabajó en años, pero ¿qué sucede si el tiempo está dado en días? En esta sección se estudian tres métodos que consideran que el tiempo está definido por la siguiente expresión: Tiempo =

Número de días entre dos fechas Número de días en un año

(1.22)

Se asume que al contar los días, el interés se abona en la fecha de inicio (intereses por adelantado) o en la fecha de término (intereses al vencimiento).

1.6.1 El método real/real: interés simple exacto El interés simple que se calcula utilizando este método, se conoce como interés simple exacto. Este método permite calcular el interés simple con base en el número exacto de días del periodo de inversión: 365 días en un año no bisiesto y 366 días en uno bisiesto. Cuando se aplica este método es importante determinar el número de días que tiene cada mes. Por convención, al contar días entre dos fechas, se incluye la última fecha, pero no la primera. A continuación se proporciona un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1.29 Si se depositan 3.000 U.M. el 8 de marzo, se retiran el 3 de octubre del mismo año, y la tasa de interés anual es de 2%, calcule el interés ganado, si éste es calculado utilizando interés simple exacto. Asuma un año no bisiesto.


Se estima el número de días que transcurren entre el 8 de marzo (no incluido) y el 3 de octubre (incluido). 23 + 30 + 31+ 30 + 31+ 31+ 30 + 3 = 209

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Cap. 1


En total son 209 días. b) Sobre la base del número de días que se calculó en el paso anterior, se determina que el monto de interés ganado utilizando interés simple exacto es igual a 3.000 0,02

209 365

34,36 U.M.

El interés ganado es de 34,36 U.M.

1.6.2 El método 30/360: interés simple ordinario El interés simple que calcula utilizando este método se conoce como interés simple ordinario. Para propósitos de cálculo, este método supone que todos los meses tienen 30 días y todos los años 360. Por ejemplo, para calcular el número de días entre dos fechas cualesquiera, D1 / M1 / Y1 a D2 / M2 / Y2 donde D1 Día de la fecha inicial D2 Día de la fecha final M1 Mes de la fecha inicial M2 Mes de la fecha final Y1 Año de la fecha inicial Y2 Año de la fecha final Si se considera la notación anterior, el número de días, n, se calcula utilizando: n = (Y2 − Y1 − 1) × 360 + ( M2 − M1 − 1) × 30 + (30 − D1 + D2 ) (1.23) La fórmula anterior asume que se tienen fechas en dos años distintos. Si eso no es así, es decir, las fechas se sitúan en el mismo año, la fórmula se simplifica, de modo que n = ( M2 − M1 − 1) × 30 + (30 − D1 + D2 ) donde D1 D2 M1 M2

Día de la fecha inicial Día de la fecha final Mes de la fecha inicial Mes de la fecha final


Finalmente, si se tienen días en un mismo mes, la fórmula sería: n = D2 − D1 donde D1 Día de la fecha inicial D2 Día de la fecha final Por ejemplo, calcule el número de días desde el 25 de febrero al 5 de marzo del mismo año. Si se aplica la fórmula anterior, se obtiene: n = (3 − 2 − 1) × 30 + (30 − 25 + 5) n = 10 A semejanza del interés simple exacto, se cuenta con la fecha de término pero no con la de inicio. A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1.30 El 25 de febrero de 2010 Vanessa solicitó un préstamo por 500 U.M. a un banco a una tasa de interés simple de 5% anual. ¿Cuánto tendrá el 18 de abril de 2010? Utilice el interés simple ordinario.


Se identifica la expresión a utilizar para calcular el periodo de la tasa de interés, que es la ecuación (1.23).

b) Se reemplazan Y1 = Y2 = 2010 , M1 = 2 , M2 = 4 , y D1 = 25 y D2 = 18 en la ecuación (1.21), de modo que: n = (2010 − 2010 − 1) × 360 + (4 − 2 − 1) × 30 + (30 − 25 + 18) n = (4 − 2 − 1) × 30 + (30 − 25 + 18) n = 53 c)

Sobre la base del número de días, se calcula la cantidad de que se dispondrá el 18 de abril de 2010: 53 ⎞ ⎛ 500 ⎜1 0,05 ⎟ 503,68 ⎝ 360 ⎠ 500 (1,00736111) 503,68 En esa fecha Vanessa dispondrá de 503,68 U.M.

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Cap. 1


1.6.3 El método real/360: regla del banquero El método real / 360, también conocido como la Regla del banquero, utiliza el número exacto de días para el periodo de inversión y considera que el año calendario tiene 360 días. Además, el número de días entre las dos fechas se calcula de la misma manera que en el caso del interés simple exacto, es decir, se cuenta el último día pero no el primero.

Ejemplo 1.31 El 5 de febrero de 20X0 Michaela solicita un préstamo a un banco por 500 U.M. a una tasa de interés simple de 10% anual. ¿Cuánto tendrá el 23 de febrero de 20X0?

Solución Los pasos que se desarrollarán son los siguientes: a)

Se identifica la expresión a utilizar para calcular el número de días, que es la ecuación (1.23). n = D2 − D1 n = 23 − 5 n = 18

b) Se resuelve. 500 1 0,10

18 360

502,50

Michaela tendrá 502,50 U.M. A continuación se grafica el valor acumulado o futuro en función de la tasa de interés Figura 1.19. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro 510,00 508,00 506,00 504,00 500,00 500,00 498,00 496,00 494,00

502,50

0% 5% 10%15%20%25%30% 35% Tasa de interés


Ejemplo 1.32 Si una inversión inició el 7 de diciembre de 1941 y finalizó el 8 de agosto de 1945 (recuerde que 1944 fue un año bisiesto), ¿cuántos días estuvo el dinero invertido bajo a)

la base real / real?

b) la base 30 / 360?


Para responder la pregunta a), se calcula el número de días. Del 7 de diciembre de 1941 (no incluido) al 31 de diciembre de 1941 (incluido) transcurrieron 24 días. Del 1° de enero de 1942 al 31 de diciembre de 1944 (incluyendo un año bisiesto) transcurrieron 3 × (365) + 1 = 1.096 días. Del 1° de enero de 1945 al 8 de agosto de 1945 (incluido), el número de días fue 31+ 28 + 31+ 30 + 31+ 30 + 31+ 8 = 220 días. El número total de días es 24 + 1.096 + 220 = 1.340 días reales.

b) Para determinar la respuesta de la pregunta b) se calcula el número de días utilizando el método de la base 30/360. Así, 360 × (1.945 − 1.941) + 30 × (8 − 12) + (8 − 7) = 1.321 Si se aplica la versión larga de la fórmula (1.23), el número de días es n = (1.945 − 1.941 − 1) × 360 + (8 − 0 − 1) × 30 + (30 − 7 + 8) n = 1.321

Ejemplo 1.33 Una empresa debe pagar dentro de dos meses una deuda de 1.200 U.M., pero si paga hoy obtendrá un descuento de 50 U.M. ¿A qué tasa el valor presente de 1.200 U.M. aumenta hasta esta última cifra en el plazo de dos meses?


Se determina el valor presente de 1.200 U.M. 1.200 − 50 = 1.150 La empresa pagaría 1.150 U.M. hoy, en lugar de 1.200 U.M. dentro de dos meses.

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Cap. 1


b) Se calcula la tasa de interés bajo la cual 1.150 U.M. es el valor presente de 1.200 U.M. adeudadas durante dos meses. I = P ×i×t Se despeja i y se obtiene: i=

I P ×t

donde I Interés (en U.M.) i Tasa de interés P Capital inicial o principal t Tiempo c)

Se reemplazan los valores en la ecuación anterior y se obtiene: i

50

2 12 i 0,26087o 26,09% 1.150

A una tasa de 26,09%. A continuación se muestra la gráfica de la tasa de interés en función del tiempo. Figura 1.20. Tasa de interés y valor presente

Tasa de interés 4,500 4,000 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 0

0,2609 800 850 900 950 1000 1050 11001150 1200

Valor presente (en U.M.) A menos que se indique otra cosa, en las siguientes secciones se supondrá que se emplea el método real / real.


1.6.4 Problemas propuestos 1. Calcule el importe de intereses que ganarán 1.000 U.M. depositadas el 17 de junio de 2010 si el dinero se retira el 9 de septiembre del mismo año y la tasa de interés simple es de 5% utilizando: a) interés simple exacto, b) interés simple ordinario, y c) la regla del banquero. Suponga que el año no es bisiesto. Respuesta: a) 11,51 U.M.; b) 11,39 U.M. y c) 11,67 U.M. 2. Una suma de 10.000 U.M. es invertida durante los meses de julio y agosto a una tasa de interés simple de 6%. Calcule el monto de intereses ganado si se aplica: a) Interés simple exacto. b) Interés simple ordinario. c) La regla del banquero. Respuesta: a) 101,92 U.M.; c) 100,00 U.M. y c) 103,33 U.M. 3. El 8 de marzo se depositan 3.000 U.M. y se retiran el 3 de octubre del mismo año, a una tasa de interés de 1%. Calcule el monto de intereses ganado, si este se calcula utilizando: a) El interés simple exacto (asuma que el año no es bisiesto). b) Interés simple ordinario. c) La regla del banquero. Respuesta: a) 17,18 U.M.; b) 17,08 U.M. y c) 17,42 U.M. 4. Se invierten 8.000 U.M. durante agosto, septiembre y octubre a una tasa de interés simple de 5%. Calcule el interés ganado (en U.M.), suponiendo: a) Interés simple exacto en un año no bisiesto. b) Interés simple exacto en un año bisiesto. c) Interés simple ordinario. d) La regla del banquero. Respuesta: a) 100,82 U.M.; b) 100,55 U.M.; c) 100 U.M. y d) 102,22 U.M. 5. El fondo A calcula el interés utilizando el interés simple exacto (real/ real). El fondo B lo hace con base en el interés simple ordinario (30/360). El fondo C lo calcula mediante la regla del banquero (real/360). Todos los fondos ganan un interés simple de 5% y tienen la misma cantidad de dinero depositada el 1º de enero de 2005. Ordene los fondos del más pequeño al más grande sobre la base de la cantidad del 1º de marzo de 2005. Respuesta: Fondo A < Fondo B < Fondo C.

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58

Cap. 1


1.7

Funciones de acumulación exponencial: interés compuesto

El interés compuesto tiene la propiedad de que el interés que se gana al final de un periodo se invierte en el próximo periodo para ganar un interés adicional (intereses sobre intereses). El interés incluye cargos por el interés acumulado, así como el capital no pagado. Para llegar a la ecuación que permita calcular el interés compuesto, se deben seguir algunos pasos. Se supone que se desea calcular el monto acumulado al final de dos periodos. El primer paso es identificar cuál es el pago total que se genera al final del primer periodo. F1 = P + P × i Luego, F1 = P × (1+ i ) donde F1 Pago que se genera al final del primer periodo P Capital inicial o principal i Tasa de interés El segundo paso es calcular el pago total que se debe hacer al final del segundo periodo. Como se gana interés sobre el interés ganado en el periodo anterior más el capital, la expresión es: (P + I ) × i = (P + P × i) × i Entonces, ( P + I ) × i = P × (1+ i ) × i Por tanto, el pago total al final de dos periodos será la suma de las dos expresiones anteriores F1 = P × (1+ i ) y P × (1+ i ) × i . Es decir, F2 = F1 + P × (1+ i ) × i Así, F2 = P × (1+ i ) + P × (1+ i ) × i F2 = P × (1+ i ) × (1+ i ) F2 = P × (1+ i )2

1.7 Funciones de acumulación exponencial: interés compuesto

Si se generaliza la última ecuación para n periodos de interés se obtiene: Fn = P × (1+ i )n

(1.24)

donde Fn Pago total en el periodo n o valor futuro P Capital inicial o valor presente I Tasa de interés n Número de periodos Así, si el capital inicial es de 100 U.M. y el número de periodos es 1, el valor futuro en función de la tasa de interés se puede observar en la figura 1.21: Figura 1.21. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro (en U.M) 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Tasa de interés A continuación se estima la función de acumulación para el interés compuesto. Para ello se supone que se invierte 1 U.M. a la tasa de interés compuesta i. Si se reinvierte de inmediato el interés se tiene que, al final del primer año, el valor acumulado será a(1) = (1 + i); a(2) = (1+ i ) + i × (1+ i ) = (1+ i )2 al final del segundo, y así sucesivamente. En esta secuencia, el valor acumulado después de t periodos estará dado por una función exponencial. a(t ) = (1+ i )t para todo t ≥ 0

(1.25)

donde a(t) Función de acumulación i Tasa de interés t Tiempo Con base en esta función, a la acumulación de intereses se le llama interés compuesto. La tasa de interés compuesta es i.

59

60

Cap. 1


A partir de la función de acumulación citada anteriormente, se puede escribir in =

a(n ) − a(n −1) a(n −1)

(1+ i )n − (1+ i )n−1 (1+ i )n−1 in = i in =

(1.26)

donde in Tasa de interés i Tasa de interés a(n) Función de acumulación hasta el periodo n Por tanto, la tasa de interés efectiva del interés compuesto es constante. La función de acumulación del interés compuesto ha sido definida para números enteros no negativos. Con la finalidad de expandir el dominio a periodos fraccionados, observe que la función de acumulación del interés compuesto a(t ) = (1+ i )t satisface la propiedad a(t + s ) = (1+ i )t + s que es a(t + s ) = (1+ i )t × (1+ i )s

(1.27) donde a(n) Función de acumulación hasta el periodo n (n = t, s) i Tasa de interés n Tiempo (n = t, s) Esta propiedad consiste en que la suma de 1 más la tasa de interés elevada a una “potencia” que expresa el tiempo, como (t + s), se puede descomponer en el producto de dos factores, donde los exponentes de cada factor son el resultado de la suma de los factores. Por tanto, bajo interés compuesto se requerirá que la función de acumulación satisfaga la propiedad: a(t + s ) = a(t ) × a( s ), t , s ≥ 0

(1.28)

donde a(n) Función de acumulación hasta el periodo n (n=t, s) n Tiempo (n = t, s) Es decir, la función de acumulación evaluada utilizando el argumento (t + s) es igual al producto de esta función empleando por separado los sumandos que componen el argumento anterior. En el concepto de interés compuesto, el interés ganado por invertir 1 U.M. sobre (t + s) periodos es igual al interés ganado si la inversión finaliza al término de t periodos y el valor acumulado en ese punto es inmediatamente reinvertido para s periodos adicionales. En este momento cabe preguntar si las funciones de acumulación de interés compuestas son las únicas que satisfacen la propiedad dada por la ecuación (1.28). Si se supone que a(t ) es diferenciable y satisface la propiedad de la ecuación (1.28), se obtiene tomando la primera derivada.


a (t) lím

a(t s) a(t) s

a (t) lím

a(t) a(s) a(t) s

s 0

s 0

a (t) lím a(t)

a(s) a(t) s

a (t) a(t) lím

a(s) 1 s

a (t) a(t) lím

a(s) a(0) s

s 0

s 0

s 0

a (t) a(t) a'(0) de donde a '(t ) = a '(0) a (t ) La expresión de la derecha es la derivada de una función logarítmica. Así, a '(t ) = [ ln a(t )]' a (t ) Luego, a '(t ) = a '(0) a (t ) que es una constante para toda t ≥ 0 . Por tanto, al integrar se obtiene: ln a(t ) = ∫ a '(0) dt ln a(t ) = a '(0) × t + C Como a(0) =1 , C = 0 , de modo que: ln a(t ) = a '(0) × t Se establece t = 1 y se recuerda que: a(n ) − a(n −1) a(n −1) a(1) − a(0) → i1 = a(0)

in =

(1+ i )1 − (1+ i )0 (1+ i )0 1+ i −1 → i1 = 1 → i1 = i

→ i1 =

61

62

Cap. 1


Es decir, a(1) − a(0) = i → a(1) =1+ i De ahí que ln a(1) = ln (1+ i ) ln a(1) = a '(0) Se utiliza esta expresión y se recuerda que k × ln(b) es igual a ln(bk). En consecuencia, ln a(t ) = a '(0) × t ln a(t ) = ln (1+ i ) × t ln a(t ) = ln (1+ i )t Si se exponencian ambos miembros, se obtiene: t

e ln a ( t ) = e ln (1+i )

→ a(t ) = (1+ i )t , ∀t ≥ 0

(1.29)

donde a(t) Valor acumulado i Tasa de interés t Tiempo La figura de una función de acumulación bajo interés simple es una línea recta (una función lineal), mientras que la representación gráfica de una función de acumulación bajo interés compuesto es una función exponencial.

1.7.1 Postulados sobre la relación entre el interés simple y el compuesto Si se supone que i representa una tasa de interés simple para 0 < i <1 , se cumplirán los siguientes postulados: a)

(1+ i )t <1+ i × t para 0 < t <1

b)

(1+ i )t =1+ i × t para t = 0 o t =1

c)

(1+ i )t >1+ i × t para t >1


Demostración a)

Suponga que 0 < t <1 . Además, sea f (i ) = (1+ i )t −1− i × t f (i ) = (1+ i )t − (1+ i × t ) Es decir, la función f(i) es simplemente igual al factor de acumulación utilizando la tasa de interés acumulada menos la tasa de acumulación correspondiente a una tasa de interés simple. Esta función evaluada en i = 0, es decir, f (0) = (1+ 0)t − (1+ 0 × t ) f (0) =1−1 f (0) = 0 Se deriva la función f (i ): f '(i ) = t × (1+ i )t −1 − t . Como i > 0 , entonces 1+ i >1 . Puesto que 0 < t <1 , entonces t −1 < 0 . Por tanto, (1+ i )t −1 <1 y f '(i ) = t × (1+ i )t −1 − t f '(i ) = t × ((1+ i )t −1 −1) Es decir, f '(i ) < 0 para 0 < t <1 Esta condición se cumple para 0 < t <1 .

b) El postulado enunciado en el inciso b se obtiene al sustituir las condiciones t = 0 y t = 1. Cuando t = 0 (1+ i )0 =1+ i × 0 =1 lo que significa que se cumple que la expresión es igual a 1. Cuando t =1 (1+ i )1 =1+ i ×1 =1+ i Es decir, se cumple que la expresión es igual a 1+ i.

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64

Cap. 1


c)

t Suponga que t >1 . Sea g (i ) = (1+ i × t ) − (1+ i ) .

Por tanto, g (0) = 0 y g '(i ) = t − t × (1+ i )t −1 . Ya que la variable i es mayor que cero, se tiene que 1+ i >1 . Asimismo, como t >1 , t −1 > 0 . Por tanto, (1+ i )t −1 >1 y g '(i ) = t − t × (1+ i )t −1 g '(i ) = t × (1− (1+ i )t −1 ) < 0 g '(i ) < 0 Como la derivada primera de la función es negativa, implica que

(1+ i × t ) < (1+ i )

t

Luego, → g (i ) = (1+ i × t ) − (1+ i )t < 0 Por tanto, g (i ) < 0 . Esto significa que el interés simple y el compuesto producen el mismo resultado, si y sólo si el periodo sobre el que se aplica la tasa de interés simple (periodo de capitalización) es el mismo que utiliza la tasa de interés compuesta. El interés compuesto produce un rendimiento mayor que el interés simple en periodos mayores que 1 (periodos mayores que el periodo de capitalización del interés simple) y rendimientos menores en periodos menores que 1 (periodos menores que el periodo de capitalización del interés simple). Al respecto, en la figura 1.22 se presenta esta situación. Figura 1.22. Funciones de interés simple y compuesto

Función de interés simple Función a(t)

1+i

Función de interés compuesto 1 0

1

Tiempo


Se observa que: a)

Con interés simple, la cantidad absoluta de crecimiento es constante, es decir, para un número fijo s, la diferencia a(t + s ) − a(t ) = a( s ) −1 no depende de t.

b) Con interés compuesto, la tasa relativa de crecimiento es constante, es decir, [a(t + s ) − a(t )] = a( s ) −1 no depende de t. para un número fijo s, el ratio a (t )

Ejemplo 1.34 Si se invierten 600 U.M. durante dos años ganarán 264 U.M. por concepto de intereses. Calcule el valor acumulado de 2.000 U.M. invertidas por tres años a la misma tasa de interés compuesto.


Primero se calcula la tasa de interés. 600 × (1+ i )2 = 600 + 264 600 × (1+ i )2 = 864 864 600 2 (1+ i ) =1,44 (1+ i )2 =

1+ i = (1,44)

1 2 1

i = (1,44) 2 −1 i = 0,20 b) Luego se calcula el valor acumulado. 2.000 × (1+ 0,2)3 = 3.456 El valor acumulado de invertir 2.000 U.M. por tres años, a la tasa i = 20%, es 3.456 U.M. En este punto, cabe precisar que el valor futuro cambiará si las tasas de interés cambian, como se muestra en la siguiente gráfica:

65

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Cap. 1

Aproximación a la teoría del interés mediante funciones Figura 1.23. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro (en U.M.) 1.200,000 1.000,00 800,00 600,00 400,00 200,00 0% 7% 14% 21% 28% 35% 42% 49% Tasa de interés

Ejemplo 1.35 Dada una tasa de interés compuesta de 5%, ¿en cuánto tiempo se triplica el dinero invertido? (Proporcione una respuesta en años, a tres decimales.)


Se identifica la ecuación a utilizar, que es: s = (1+ i )t donde s Valor futuro i Tasa de interés t Tiempo

b) Si se supone que el dinero invertido en el momento cero es igual a 1 y si se espera que el dinero se triplique, se debe cumplir que el factor (1+ i )t debe ser igual a 3. 3 = (1+ i )t Al despejar t se obtiene: ln 3 = ln (1+ i )t → ln 3 = t × ln (1+ i ) Por tanto, t=

ln 3 ln(1+ i )


c)

Se reemplaza la variable i por su valor. Así, ln 3 ln(1+ 0,05) 1,0986123 t= 0,0487901 t = 22,517 t=

En la siguiente figura se muestra el tiempo necesario para triplicar el capital frente a distintas tasas de interés. Figura 1.24. Tiempo y tasa de interés

Tiempo 25 20

22,517

15 10 5 0

5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% Tasa de interés

Ejemplo 1.36 Calcule una expresión del número de periodos n en términos de a, b y c si a una determinada tasa de interés compuesta i, 1 aumentará a 2 en a años, 2 aumentará a 3 en b años, y 3 aumentará a 15 en c años, y si 6 crece a 10 en n años.


Si la tasa común es i, las hipótesis son: 1 (1 i)a 2 ln2 a ln(1 i) 2 (1 i)b 3 ln

3 2

b ln(1 i)

3 (1 i)c 15

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68

Cap. 1


ln5 c ln(1 i) 6 (1 i)n 10 ln

5 3

n ln(1 i)

b) Asimismo, por una de las propiedades de los logaritmos se sabe que:

ln

5 3

ln5 ln 3 ln5 c)

ln 2 ln

3 2

Por tanto, n × ln (1+ i ) = c × ln (1+ i ) − a × ln (1+ i ) − b × ln (1+ i ) n × ln (1+ i ) = (c − a − b ) × ln (1+ i ) Esto implica que n = c − a − b

Se advierte que los métodos de conteo de días empleados para calcular el interés simple se aplican también en el caso del interés compuesto.

Ejemplo 1.37 El 1º de abril, Jean Paul invierte 500 U.M. en una cuenta que gana interés compuesto a una tasa efectiva anual de 3%. El 15 de junio del mismo año retira todo su dinero. Se supone que el año es no bisiesto. ¿Cuánto dinero retirará si el banco cuenta los días según a)

el método real/real?

b) el método 30/360? c)

el método real/360?


Cuando se emplea el método real/real, el número de días es 29 + 31+15 = 75 . Por lo tanto, la cantidad de dinero a retirar será: 75

500 × (1+ 0,03) 365 = 503,046


b) Si se utiliza el método 30 / 360 , el número de días es 29 + 30 + 15 = 74. Con esto, la cantidad de dinero a retirar será: 74

500 × (1+ 0,03) 360 = 503,047 c)

Si se aplica el método real / 360 , el número de días será 29 + 31 + 15 = 75. Así, la cantidad de dinero a retirar será: 75

500 × (1+ 0,03) 360 = 503,089

1.7.2 Problemas propuestos 1. Si se invierten 4.000 U.M. a una tasa de interés anual de 6% compuesta anualmente, ¿cuál será el valor final de la inversión después de 10 años? Respuesta: 7.163,39 U.M. 2. Michael ha depositado 1.000 U.M. en una cuenta de ahorros y quiere retirar los fondos cuando hayan crecido a 2.000 U.M. Si la tasa de interés es 4% anual con el interés compuesto anualmente, ¿cuánto tiempo tiene que esperar? Respuesta: aproximadamente 17 años, 8 meses y 2 días. 3. A una determinada tasa de interés compuesto, 300 U.M. que se depositaron el 1º de junio de 2005 han aumentado a 500 U.M. al 1º de enero de 2006. Si se supone que la tasa de interés no cambia y que no hay depósitos subsecuentes, calcule el saldo contable el 1º de enero de 2008. Respuesta: 2.881,47 U.M. 4. ¿Cuál es la tasa de interés compuesta anual necesaria para duplicar su dinero en 25 años? Respuesta: 2,81%. 5. ¿Cuánto tiempo tomará triplicar el saldo de una cuenta que gana dinero a una tasa de interés compuesta anual de 3%? Respuesta: aproximadamente 37,17 años, o bien, 37 años y 2 meses. 6. Una cantidad de dinero es invertida por un año a una tasa de interés de 1% trimestral. Sea D (k ) la diferencia entre la cantidad de interés ganado sobre una base de interés compuesto, y sobre una base de interés simple por cuatrimestre k, donde k = 1, 2 y 3. Calcule el ratio de D(3) a D(2) . Respuesta: 2 U.M.

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Cap. 1


7. Demuestre que el ratio del valor acumulado de 1 U.M. invertida a la tasa i durante n periodos, al valor acumulado de 1 invertido a la tasa j en n periodos, donde i > j es igual al valor acumulado de 1 invertido durante n periodos a la tasa r. Encuentre la expresión para r como una función de i y de j. 1+ i −1 Respuesta: r = 1+ j 8. A una cierta tasa de interés compuesta, una inversión de 1.000 U.M. crecerá a 1.500 U.M. al final de un año. Calcule su valor al final de 5 años. Respuesta: 7.593,75 U.M. 9. A una cierta tasa de interés compuesta, una inversión de 3.000 U.M. crecerá a 4.500 U.M. al final de 12 años. Determine cuándo su valor será exactamente de 4.000 U.M. Presente su respuesta en términos de años, meses y días. Respuesta: 8 años, 6 meses y 5 días.

1.8


La tasa de interés efectiva se define como una medida del interés pagado al final del periodo. Es la tasa de interés de un préstamo o producto financiero que se obtiene al reformular la tasa de interés simple como una tasa de interés compuesta anual que se paga al final del periodo. Esta tasa se puede utilizar para comparar los intereses anuales entre préstamos con diferentes periodos de vencimiento (diario, mensual, anual, etcétera). La tasa de interés efectiva forma parte de los procesos de capitalización y actualización. Es importante notar que esta tasa se puede derivar a partir de una tasa de interés nominal, al dividir esta última entre el número de periodos sobre la base de la siguiente ecuación: i= donde i Tasa de interés efectiva is Tasa de interés nominal o simple n Número de periodos

is n

(1.30)

1.8 Tasa de interés efectiva

De este modo, a medida que el número de periodos aumenta, dada una tasa de interés nominal o simple, la tasa de interés efectiva disminuirá, como se muestra en la figura 1.25 en el caso de una tasa de interés de 20% nominal. Figura 1.25. Tasa de interés efectiva y número de periodos

Tasa de interés efectiva 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0% 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Número de periodos A continuación se desarrollan ejemplos de tasas sin capitalizar que se convierten en tasas de interés efectivas.

Ejemplo 1.38 Si la tasa de interés nominal anual es de 12% y se capitaliza mensualmente, calcule la tasa de interés efectiva mensual.



b) Se aplica la fórmula anterior para calcular la tasa de interés efectiva, equivalente a la tasa de interés simple de 12% anual. 12% 12 i = 0,01 o 1% i=

Ejemplo 1.39 Si la tasa de interés nominal anual es de 8% y se capitaliza trimestralmente, calcule la tasa de interés efectiva trimestral.

71

72

Cap. 1


Solución Los pasos a seguir para su resolución son los siguientes: a)

Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.30). Se advierte que, en este caso, el número de periodos es igual a 12 / 3 = 4.

b) Se aplica la fórmula anterior para calcular la tasa de interés efectiva. La forma de llegar a esta fórmula se basa en el uso de la regla de tres simple (esta regla sólo se aplica al interés simple): 8% →12 meses i % → 3 meses Por lo que, 0,08 × 3 12 0,08 i= 4 i = 0,02 o 2% i=

El interés (en U.M.) se define como: I = A− P

(1.31)

donde I Interés A Valor acumulado P Principal Aquí se introduce la primera medida del interés desarrollada utilizando la función de acumulación: la tasa de interés efectiva. Si i es la tasa de interés efectiva para el periodo 1, esta tasa será i = a(1) − a(0) = a(1) −1

(1.32)

donde i Tasa de interés efectiva a(t ) Función de acumulación Se supone que el principal permanece constante durante el periodo. La tasa de interés efectiva es una medida del interés que se paga al final del periodo, comparada con la tasa de interés de descuento, en la que el interés se paga al inicio del periodo.


La tasa de interés efectiva (i) se puede escribir así: i = a(1) − a(0) a(1) − a(0) a(0) A(1) − A(0) i= A(0) i=

O, alternativamente, i=

I1 A(0)

(1.33)

donde i Tasa de interés efectiva I1 Interés ganado en el periodo 1 A(0) Valor acumulado en el periodo 0 Por tanto, la tasa de interés efectiva de un periodo es la cantidad de interés que se gana en un periodo dividido entre el principal del inicio del periodo. La tasa efectiva de interés en el n-ésimo periodo es: A(n ) − A(n −1) A(n −1) In cn = A(n −1)

cn =

(1.34)

donde

c n Tasa de crecimiento In Aumento de la función A(t) en el n-ésimo periodo A(n −1) Valor acumulado en el periodo n − 1

La tasa de crecimiento c n es el ratio de la cantidad de interés ganado durante el periodo sobre el principal invertido al inicio de este. Advierta que i1 = i = a(1) −1 y que para cualquier función de acumulación debe ser verdad que a(1) =1+ i . A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1.40 ¿Cuál es el valor de i5 dado A(t ) =100 × (1,1)t ?

73

74

Cap. 1



Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.34). i5 =

A(5) − A(4) A(4)

b) Se sustituye y se obtiene: 100 × (1,1)5 − 100 × (1,1)4 100 × (1,1)4 i5 = 0,1 o 1% i5 =

Si se utiliza la definición de in y se resuelve A(n), se encuentra que A(n ) = (1+ in−1 ) × (1+ in−2 ) × ... × (1+ i3 ) × (1+ i2 ) × (1+ i1 ) × A(0) donde A(n) Valor acumulado en el periodo n A(0) Principal in Tasa de crecimiento A continuación se analizan algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 1.41 ¿A cuánto asciende A(7) si A(5) = 500 y in = 0,01× n ?


Se identifica la ecuación que se utilizará. A(7) = (1+ i7 ) × (1+ i6 ) × A(5)

b) Se reemplazan los valores en la ecuación del inciso a. A(7) = (1+ 0,01× 7) × (1+ 0,01× 6) × (500) A(7) = 567,1

(1.35)


Ejemplo 1.42 Demuestre que para todo n ≥1 se cumple que a(n ) = (1+ i )n si in = i .


Se identifican las expresiones con las que se trabajará. A(n ) A(0) a(n ) = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ in ) a(n ) =

b) Si todas las tasas de interés i1, i2, … , in son iguales, la ecuación anterior será: A(n ) A(0) a(n ) = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ in ) a(n ) =

a(n ) = (1+ i )n Se observa que in puede expresarse en términos de a(t ) . Primero, se observa que: a(n ) =

A(n ) A(0)

Con la expresión anterior y la definición de in A(n ) − A(n −1) A(n −1) A(0) × a(n ) − A(0) × a(n −1) in = A(0) × a(n −1) a(n ) − a(n −1) in = a(n −1) in =

(1.36)

donde in Tasa de interés efectiva a(n) Función de acumulación en el periodo n

Ejemplo 1.43 Demuestre que in es una función decreciente de n, dada a(n ) = 1+ i × n , n ≥ 1 .

75

76

Cap. 1



Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.36). a(n ) − a(n −1) in = a(n −1)

b) Se reemplaza en la ecuación anterior y se obtiene: in = in = c)

{1+ i × n − [1+ i × (n −1)]} 1+ i × (n −1) i 1+ i × (n −1)

Se calcula la siguiente diferencia: in+1 − in =

i i i2 − =− <0 1+ i × n 1+ i × (n −1) (1+ i × n ) × [1+ i × (n −1)]

Por tanto, y dado que el resultado tiene signo negativo, a medida que n aumenta, in disminuye, es decir, in es una función decreciente de n. Una función de acumulación decreciente implica tasas de interés negativas, tema que se analizará en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.44 Usted compra una casa a un precio de 100.000 U.M. Un año después la vende en 80.000 U.M. ¿Cuál es la tasa efectiva de retorno sobre su inversión?



b) Se reemplazan los valores y se obtiene: i=

80.000 −100.000 = −20% 100.000

Esta tasa sugiere una pérdida de 20% del valor original de la casa.


1.8.1 Problemas propuestos 1. Dada a(t ) = t 2 + t +1 . a)

Calcule la tasa de interés efectiva i.

b) Calcule in c)

Demuestre que in es decreciente.

Respuesta: a) 200%, b) in =

2 × n −1 2 × n + 2 2 × n −1 , y c) in+1 − in = 2 − <0 2 n − n +2 n + n +1 n2 − n + 2

2. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva para el primer y segundo periodos (entre el tiempo 0 y 1, y 1 y 2) si se depositan 100 U.M. en una cuenta de ahorros en el tiempo cero, con una función de acumulación de a(t ) =1+ 0,03 × t ? Respuesta: 3% y 1,24%. 3. ¿Cuánto es i5 e i10 si A(t ) =100 + 5 × t ? Respuesta: 4% y 3%. 4. Calcule i6 si A(t ) = 225 − (t −10)2 , 0 ≤ t ≤10 . Respuesta: 1% 5. Calcule i1 e i2 si un depósito inicial de 100 U.M. suma 120 U.M. al final del primer año y 140 U.M. al final del segundo. Respuesta: 20% y 16,67%. 6. Un fondo gana 5% de interés simple. Calcule la tasa de interés efectiva en el sexto año. Respuesta: 4%. 7. Dado A(5) = 2.500 e i = 0,05 . a)

¿Cuál es A(7) bajo interés simple?

b) ¿A qué es igual a(10)? Respuesta: a) 2.700 U.M. y b) 1,5. 8. Si A(3) = 1.000, A(n) = 1.500, e i = 0,03. a)

¿Cuál es A(0) bajo interés simple?

b) ¿Qué es n? Respuesta: a) 917,43 U.M. y b) 21,17.

77

78

Cap. 1


9. ¿Cuánto es el valor de i si se supone un interés simple dado A(0) = 500 U.M. y A(10) = 700 U.M.? Respuesta: 4%. 10. Usted invierte 3.542 U.M. a una tasa de interés simple anual de 6%. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés en el quinto año de inversión? Respuesta: 4,84%. 11. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva durante el tercer año si se asume que a(t ) =1,12t − 0,05 t ? Respuesta: 11,37%. 12. Suponga que A(t ) = 200 + 5 × t , donde t está en años. a)

Calcule el principal.

b) ¿Cuál es el valor de la inversión después de 5 años? c)

¿Cuánto se gana sobre esta inversión durante el quinto año?

Respuesta: a) 200 U.M.; b) 225 U.M. y c) 25 U.M. 13. Si 64 U.M. crecen a 128 U.M. en cuatro años a una tasa de interés efectiva anual constante, ¿a cuánto ascenderán 2.000 U.M. en dos años? Respuesta: 32.000 U.M. 14. ¿En cuánto tiempo una inversión se duplicará si in = 2% ∀n ≥1 ? Respuesta: 35 años. 15. Juan Diego tiene 1.000 U.M. que quiere depositar en una cuenta de ahorros. El banco A calcula el valor acumulado de su inversión utilizando la función de monto A1 (t ) =1+ 0,049 × t mientras el banco B utiliza la función de monto A2 (t ) = (1,4)12×t . ¿En cuál de ellos debe depositar su dinero? Respuesta: en el banco B. 16. Dada A(t ) =10 × (1,05)5×t . a)

Calcule el principal.

b) Calcule la tasa de interés anual efectiva. Respuesta: a) 10 y b) 11,76. 17. Calcule el valor de la función de cantidad en el periodo 5, si la tasa de interés efectiva en el periodo 5 es 0,5 y el valor de la función de cantidad en el periodo 4 es 200. Respuesta: 210.

1.9 Valor presente y funciones de descuento

18. Dado i6 = 0,2 y I 6 = 20 , calcule A(5). Respuesta: 100 U.M. 19. Si A(5) = 100 e in = 0,02 × n, encuentre A(6). Respuesta: 112 U.M.

1.9

Valor presente y funciones de descuento

A continuación se calculará el valor presente de un determinado monto de dinero registrado en el pasado o en el futuro. En este punto, además, se utilizará el interés compuesto a(t ) = (1+ i )t . El valor descontado es el valor equivalente en el presente de un valor futuro, que toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo. También se define como la cantidad de efectivo equivalente a otra cantidad o cantidades futuras de efectivo cuando se considera interés compuesto a una tasa dada. En otras palabras, es el valor actual de una cantidad de dinero futura o de un conjunto de flujos de caja (o flujos de efectivo), dada una tasa de rendimiento específica. En relación con este último tema, se puede afirmar que los flujos de caja futuros descontados a una determinada tasa serán menores en la medida que esta última sea mayor. Utilizar una tasa de descuento adecuada es el tema principal para valorar los flujos de caja futuros. Cabe añadir que el valor presente de una cantidad futura disminuye rápidamente a medida que aumenta el tiempo entre hoy y una fecha futura, en particular con tasas de interés más altas. El valor presente es de gran interés en numerosos cálculos financieros, como el valor presente neto, los rendimientos de los bonos, las tasas spot, entre otros. El cálculo del valor presente se aplica cuando, por ejemplo, se requiere ahorrar para comprar un automóvil en un año, una casa en dos años, o pagar las matrículas de la universidad dentro de 5 años. Para concretar estas operaciones se requiere conocer cuánto vale hoy 1 U.M. invertida un periodo atrás a la tasa de interés compuesta i por periodo. Si X es el valor acumulado, se tendrá 1× (1+ i ) . Es decir, que 1 U.M. de hace un periodo vale hoy (1× (1+ i ) = X ) U.M. Al término (1+ i ) se le llama factor de acumulación. De modo similar, si 1 U.M. de un periodo futuro se descuenta a la tasa i, valdrá 1 1 hoy PV =1× se conoce como el factor de descuento, ya que , donde, v = 1+ i 1+ i descuenta el valor de una inversión al final de un periodo a su valor al inicio del periodo.

79

80

Cap. 1


Las ecuaciones anteriores se pueden generalizar a más de un periodo. Por ejemplo, si se invirtió 1 U.M. durante t periodos, el valor presente hoy será igual a (1+ i )t , mientras que 1 U.M. invertida a t periodos en el futuro valdrá hoy 1 . (1+ i )t 1 se le llama función de descuento y representa De nuevo, a la relación (1+ i )t el importe que se debe invertir hoy a una tasa de interés i por periodo para que rinda una cantidad de 1 U.M. al final de t periodos. Esta función puede expresarse en términos de la función de acumulación a(t ) . −1

En realidad, como a(t ) = (1+ i ) y [ a(t )] × a(t ) =1 , la función de descuento es 1 −1 = vt . [ a (t )] = t (1+ i ) La acumulación y el descuento son procesos opuestos. El término (1+ i )t se conoce como valor acumulado de 1 U.M. al final de t periodos de tiempo. El factor de descuento v t se conoce como valor presente o valor de descuento de 1 U.M. que será repagado al final de t periodos. En la siguiente figura se muestran el descuento y la acumulación. Figura 1.26. Descontar y acumular

Descontar A

P 0

t Acumular A

P 0

t

Ejemplo 1.45 ¿Cuál es el valor presente de 8.000 U.M. a pagar al final de tres años si la tasa de interés compuesta anual es de 11%?


Si FV representa el valor futuro y PV el valor presente, en este ejemplo se desea calcular el PV. Se tiene que: FV = PV × (1+ i )3


por lo que: PV = FV × (1+ i )−3 PV =

FV (1+ i )3

b) Se sustituyen los valores en la ecuación y se obtiene: PV =

8.000 (1,11)3

PV ≈ 5.849,53 U.M. El valor presente es de 5.849,53 U.M. Dado el valor futuro de 8,000 U.M., el valor presente cambiará en función de la tasa de interés, como se muestra en la siguiente figura: Figura 1.27. Valor presente y tasa de interés.

Valor presente 9,000.00 8.000,00 7.000,00 6.000,00 5.000,00 4.000,00 3.000,00 2.000,00 1.000,00

5.849,53

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% Tasa de interés

Ejemplo 1.46 Demuestre que el valor presente de un pago de 1 U.M. que se realizó hace n > 1 periodos y de un pago de 1 U.M. que se efectuó n > 1 periodos en el futuro es mayor que 2, si i > 0 .


Se desarrolla el planteamiento y se obtiene:3 (1+ i )n + (1+ i )− n ≥ 2 n

−

n

((1+ i ) 2 − (1+ i ) 2 )2 + 2 ≥ 2 3

Para entender esto, recuerde el desarrollo de una operación cuadrática: ( x − y )2 = x 2 + y 2 − 2 × x − y n

Por tanto: (1 i ) 2 (1 i )

n 2

2

2 (1 i )n (1 i )

n

2 (1 i )n (1 i )

n

2 (1 i )n (1 i )

n

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82

Cap. 1

Aproximación a la teoría del interés mediante funciones n

−

n

b) Esta equivalencia se mantiene si y sólo si (1+ i ) 2 ≥ (1+ i ) 2 . Esto es posible si n > 1 e i > 0 . Si esto se cumple, la desigualdad de la ecuación anterior se cumplirá.

Ejemplo 1.47 Encuentre una expresión para el factor de descuento durante el n-ésimo periodo desde la fecha de inversión, es decir, derive una expresión para (1+ in )−1 en términos de la función de acumulación.


Se identifica la expresión a utilizar, que es in =

A(n ) − A(n −1) A(n −1)

b) Por tanto, 1 1 = 1+ in 1+ A(n ) − A(n −1) A(n −1) 1 A(n −1) = 1+ in A(n )

Comentario t Observe que v t amplía la definición de a(t ) = (1+ i ) para valores negativos de t. Por tanto, la representación gráfica de a(t ) está dada por la figura 1.28. ( x − y )2 = x 2 + y 2 − 2xy

Por tanto, n

−

n

((1+ i ) 2 − (1+ i ) 2 )2 + 2 = (1+ i )n + (1+ i )− n − 2x (1+ i )n x (1+ i )− n + 2 = (1+ i )n + (1+ i )− n Figura 1.28. La función de acumulación

1

a(t ) = (1+ i )t 0

Tiempo


¿Qué le sucede al cálculo de los valores presentes si se supone interés simple en lugar del interés compuesto? En este caso, la función de acumulación será a(t ) =1+ i × t , por tanto, el valor presente de 1, t años en el futuro, es: [a(t )]−1 =

1 , t ≥0 1+ i × t

(1.37)

donde [a(t )]−1 Función de acumulación inversa i Tasa de interés t Tiempo

Ejemplo 1.48 Calcule el valor presente de 5.000 U.M. a pagar al final de 4 años con una tasa de interés simple de 5% anual.


Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.37).

b) Se reemplazan los valores. −1

5.000 × [ a(4)] =

5.000 1+ 0,05 × 4

−1

5.000 × [ a(4)] ≈ 4.166,67 El valor presente es de 4.166,67 U.M.

Ejemplo 1.49 Desarrolle de nuevo el ejemplo anterior, pero ahora utilice interés compuesto en lugar de interés simple.


Se identifica la expresión que se utilizará, que es FV =

PV (1+ i )n

83

84

Cap. 1


b) Se reemplazan los valores. Así, 5.000 = 4.113,51 1.054 El valor presente con interés simple es de 4.113,51 U.M. Como se observa a partir de los resultados de los ejercicios anteriores, cuando se utiliza el interés compuesto, el valor presente será menor que el que se obtuvo con interés simple.

1.9.1 Problemas propuestos 1. A una tasa de interés efectiva de 8% anual, el valor presente de 100.000 U.M. adeudadas en X años es de 65.322 U.M. Determine el valor de X. Respuesta: 5,53 o 5 años, 6 meses y 12 días. 2. ¿Qué depósito efectuado hoy mantendrá un pago de 1.000 U.M. en un año y 2.000 U.M. en tres años, si la tasa de interés efectiva es de 7,5%? Respuesta: 2.540,15 U.M. 3. El monto total de un préstamo al cual se le ha añadido el interés es de 10.000 U.M. y el plazo de 5 años. a)

Si el dinero es acumulado a interés simple a una tasa de 6%, ¿cuál es el monto del préstamo?

b) Si la tasa anual de interés compuesto anual es 6%, ¿cuál fue el monto del préstamo? Respuesta: a) 7.692,31 U.M. y b) 7.472,58 U.M. 4. Una inversión de 10.000 U.M. crecerá a 14.000 U.M. al final de 10 años. Calcule la suma de los valores presentes de tres pagos de 10.000 U.M. cada uno, los cuales ocurrirán al final de 2, 4 y 6 años. Respuesta: 26.261,85 U.M. 5. La suma del valor presente de 1 pagado al final de n periodos y 1 pagado al final de 2n periodos es 1. Encuentre (1+ i )2n Respuesta: (1+ i )2n = (1− (1+ i )− n )−1 6. Vanessa tiene dos cuentas de retiro individuales. La primera gana intereses a una tasa efectiva anual de 8% y la segunda a 10% efectivo anual. Ella no ha hecho contribución alguna desde el 1º de enero de 1985, cuando el monto de la primera cuenta duplicaba el monto de la segunda cuenta.

1.10 Tasa de descuento efectiva

La suma de las dos cuentas el 1º de enero de 1986 ascendió a 10.000 U.M. Determine cuánto había en la segunda cuenta el 1º de enero de 1985. Respuesta: 5.577,25 U.M. 7. La familia Ford compra una casa nueva por 93.500 U.M. el 1º de mayo de 2011. ¿Cuánto valía esta casa el 1º de mayo de 2010 si los precios de los bienes raíces han aumentado a una tasa compuesta de 8% anual durante ese periodo? Respuesta: 86.574,07 U.M. 8. Calcule el valor presente (descontado) de 3.000 U.M. a pagar al final de t2 5 años si la función de acumulación es a(t ) =1+ . 25 Respuesta: 1.500 U.M.

1.10

Tasa de descuento efectiva

La tasa de descuento efectiva, denotada por d, es una medida del interés, en la cual el interés se paga al inicio del periodo.

Ejemplo 1.50 Un préstamo por 1.200 U.M. a un año a una tasa de descuento de 5% implicará que el prestatario pagará 60 U.M.4 de interés al que se denomina cantidad de descuento, al inicio del año y repagará 1.200 U.M. al final del año. Aquí el prestamista obtiene por adelantado el interés que le paga el prestatario. En general, cuando k U.M. (una cantidad de dinero) es solicitada en calidad de préstamo a una tasa de descuento d, el prestatario tiene que pagar un monto de dinero equivalente a k × d a fin de poder utilizar k. Por tanto, en vez de que el prestatario utilice k U.M. al inicio de un periodo, sólo podrá utilizar (k − k × d) U.M. En el ejemplo anterior, advierta que la tasa efectiva de descuento de 5% es sólo el ratio. 1.200 −1.140 = 0,05 o 5% 1.200 A partir de lo anterior se formula la definición de tasa de interés efectiva. 4

Este valor se obtiene de la siguiente ecuación 1.200 × 0,05 = 60 .

85

86

Cap. 1


Ejemplo 1.51 Calcule la diferencia entre las dos siguientes situaciones. a)

Un préstamo de 100 U.M. por un año a una tasa de interés efectiva de 5%.

b) Un préstamo de 100 U.M. por un año a una tasa de descuento efectiva de 5%.

Solución En ambos casos la comisión por usar el dinero es la misma e igual a 5 U.M. Esto es, el monto del descuento es el mismo que el monto del interés. Sin embargo, en el primer caso el interés que se paga al final del periodo de modo que el prestamista pudo usar 100 U.M. por el año. Él puede, por ejemplo, invertir este dinero a una tasa de interés mayor que, por decir, 7% y obtener un beneficio de 2 U.M. al final de la transacción [100,00 × (1 + 0,07) − 100,00 × (1 + 0,05)]. 100,00 × (1+ 0,07) −100,00 × (1+ 0,05) =100 × (1,07 −1,05) = 2,00 En el segundo caso, el interés se paga al inicio del periodo de modo que el prestatario tuvo acceso a sólo 95 U.M. por año. Por ello, si esta cantidad es invertida al 7% a semejanza del caso anterior, solamente podrá obtener un beneficio de 1,65 U.M. según surge del siguiente cálculo [95,00 × (1 + 0,07) − 100,00]. Existen diferencias entre los modelos de interés y de descuento. a)

Bajo el modelo de interés, el pago por usar el dinero se realiza al final del periodo.

b) Las tasas efectivas de descuento pueden calcularse sobre cualquier periodo de medición. La tasa de descuento efectiva dn es el ratio de la cantidad de descuento en el periodo entre el monto al final del periodo y el monto al final del periodo anterior, en relación con el monto al final del periodo. Es decir, dn = donde dn Tasa de descuento efectiva a(n ) Función de acumulación

a(n ) − a(n −1) a(n )

(1.38)


Se conoce que A(n ) = A(0) × a(n ) , entonces se puede escribir: A(n ) − A(n −1) A(n ) I dn = n A(n ) dn =

(1.39)

donde dn Tasa de descuento efectiva I n Interés en n años A(n ) Valor acumulado en n periodos

Ejemplo 1.52 Si a(t ) =1+

t2 , encuentre d3 . 25


Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.38). d3 =

a(3) − a(2) a(3)

b) Si se aplica la fórmula se obtiene:

d3 =

1+

9 4 −1− 25 25 9 1+ 25

5 34 d3 ≈ 14,71% d3 =

De manera análoga, la tasa de interés efectiva in , dn puede variar de un periodo a otro. Recuerde que el interés compuesto implica una tasa de interés efectiva constante. Un concepto paralelo al de interés compuesto es el de descuento compuesto o descuento efectivo. Se dice que d es un descuento compuesto si descuenta 1 U.M. con base en el modelo que se muestra en la figura 1.29, donde t es el número de periodos.

87

88

Cap. 1

Aproximación a la teoría del interés mediante funciones Figura 1.29. Descuento compuesto

Valor presente

(1 − d)t

(1 − d) − d × (1 − d)

...

(1 − d)

1

Descuento compuesto Suponga que ac (t ) es la función de acumulación del descuento compuesto d > 0 por periodo. Al analizar la figura 1.29, se observa que el principal producirá un valor acumulado de 1 U.M. al final de t periodos. Como se puede apreciar, la función de acumulación al final está dada por

[ a (t ) ]

−1

c

= (1− dn )t , t ≥ 0

Por consiguiente, la función de acumulación de un descuento compuesto d es: a c (t ) =

1 , t ≥0 (1− dn )t

(1.40)

donde ac (t ) Función de acumulación para el descuento compuesto dn Tasa de descuento compuesta t Tiempo

Ejemplo 1.53 A un inversionista le gustaría tener 5.000 U.M. al final de 20 años. La tasa de descuento compuesta es de 5% anual. ¿Cuánto debe depositar hoy para lograr ese objetivo?


Se determina el monto que el inversionista debe ahorrar, que es: 5.000 × (1− 0,05)20 ≈ 1.792,43 U.M.

b) Si se utiliza la función de acumulación, se verá que si ahorra 1.792,43 U.M. durante 20 años a una tasa de descuento compuesta de 5% anual obtendrá las 5.000 U.M. iniciales. En otras palabras, 1.792,43 = 5.000 (1− 0,05)20


Advierta que la tasa de descuento efectiva es un interés pagado al inicio de cada periodo. Asimismo, es importante notar la relación entre el interés compuesto y la tasa de descuento compuesto. El interés compuesto y el descuento simple tienen funciones de acumulación iguales. En realidad: t

⎛ d ⎞ (1+ i ) = ⎜1+ n ⎟ ⎝ 1− d n ⎠ 1 (1+ i )t = , ∀t ≥ 0 (1− dn )t t

De aquí se puede ver que: t

⎛ 1 ⎞ (1+ i )t = ⎜ ⎟ ⎝1− d n ⎠ →1+ i = →i =

1 1− d n

dn 1− d n

Esta última ecuación presenta la relación entre la tasa de interés efectiva y la tasa de descuento compuesta. Gráficamente, esta relación se muestra en la figura 1.30. Figura 1.30. Tasa de interés efectiva y tasa de descuento compuesta

Tasa de interés efectiva 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0%

5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% Tasa de descuento compuesta

Ejemplo 1.54 Se desea tener 5.000 UM al final de 20 años, como en el ejemplo anterior. ¿Cuál será el interés compuesto equivalente a la tasa de descuento compuesta de 5% anual?

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90

Cap. 1


Se emplea la ecuación anterior y se calcula la tasa de interés efectiva equivalente. d i= 1− d 0,05 →i= 1− 0,05 → i = 0,0526315 Para demostrar que efectivamente ambas tasas son equivalentes, observe que el monto que debe ahorrar hoy para obtener 5.000 U.M. en 20 años, con base en la tasa de interés compuesta, será: 5.000 = 1.792,43 (1.0526315)20 Como se puede ver, este valor es el mismo que el que se obtuvo en el caso del descuento compuesto. En el siguiente teorema se prueba que el descuento compuesto implica una tasa constante de descuento.

1.10.1 Teorema sobre descuento compuesto Asuma un descuento compuesto d > 0 por periodo. Así, dn = d para todo n ≥1 Demostración Por la ecuación (1.40), se conoce que: a c (t ) =

1 (1− d )t

y por la ecuación (1.38) que: dn =

a(n ) − a(n −1) a(n )

Por tanto, 1 1 − n n −1 dn = (1− d ) (1− d ) 1 (1− d )n dn = d

(1.41)


donde dn Tasa de descuento compuesta d Tasa de descuento simple a(n ) Función de acumulación Igual que al interés y el descuento compuestos, es posible definir el descuento simple de una manera análoga a la de interés simple. Se afirma que d es un descuento simple si descuenta 1 U.M. con base en el modelo que se muestra en la figura 1.31. Figura 1.31. Descuento simple

Valor presente

1−d×t

(1 − d) − d

...

(1 − d)

1

Descuento simple Si as (t ) es la función de acumulación del descuento simple d, luego, de la figura 1.31, el principal original (o valor presente) que producirá un valor acumulado de 1 al final de t periodos está dado por

[ a s (t )]

−1

=1− d × t ,0 ≤ t ≤

1 d

−1

Siempre y cuando se mantenga la condición [ as (t )] > 0 . Así, la función de acumulación del descuento simple d es: a s (t ) =

1 1 , 0≤t ≤ d 1− d × t

donde as (t ) Función de acumulación para el descuento simple d Tasa de descuento simple t Tiempo Como se puede apreciar, se acota el rango de tiempo t.

(1.42)

91

92

Cap. 1


Si la tasa de descuento simple es igual a 10%, la función de acumulación del descuento simple se muestra en la siguiente figura: Figura 1.32. Función de acumulación para el descuento simple

Función de acumulación para el descuento simple 12,000 10,00 8,000 6,000 4,000 2,000 1

2

3

4

5

6

7

8

9 Tiempo

Ejemplo 1.55 Calcule el valor presente de un pago de 5.000 U.M. que se debe efectuar dentro de 10 años, con una tasa de descuento simple de 1% anual.

Solución Para resolver este ejemplo se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión a utilizar, que es: PV = P × (1− d × t )

(1.43)

donde PV Valor presente P Capital d Tasa de descuento simple t Tiempo b) Si se reemplaza, se obtiene: PV = 5.000 × [1− 0,01 × (10)] PV = 4.500 U.M.

Si i y d son tasas de interés simple y de descuento simple, se tiene que: 1+ i × t =

1 , ∀t ≥ 0 1− d × t

(1.44)


donde i Tasa de interés d Tasa de descuento simple t Tiempo Además, la expresión (1+ i × t ) × (1− d × t ) =1 es válida únicamente para t ≥ 0 .

Ejemplo 1.56 Si i y d son tasas equivalentes de interés simple y de descuento simple sobre t periodos, demuestre que i − d = i × d × t .


Puesto que i y d son equivalentes, se debe tener: 1+ i × t =

1 1− d × t

O bien, (1− d × t ) × (1+ i × t ) =1 b) Por tanto, 1+ i × t − d × t − i × d × t 2 =1 c)

Luego, si se reordena se obtiene: t ×i − d ×t = i × d ×t2

d) Por último, se divide entre t y se obtiene i − d = t × i × d . De este modo, si t =1 , entonces la tasa de interés simple, como función de la tasa de descuento simple, se representa del siguiente modo: Figura 1.33. Tasa de interés simple y tasa de descuento simple

Tasa de interés simple 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% Tasa de descuento simple

93

94

Cap. 1


Ejemplo 1.57 a)

Calcule i5 si la tasa de interés simple es de 10%.

b) Calcule i5 si la tasa de descuento simple es de 10%.


Se ha establecido que i = 0,10, entonces i5 =

a(5) − a(4) a(5)

1+ 0,10 × (5) − [1+ 0,10 × (4)] 1+ 0,10 × (5) 1 i5 = 15 i5 =

b) Dado d = 0,10 , por tanto d5 =

a s (5) − a s (4) a s (5)

1 1 − 1− 0,10 × (5) 1− 0,10 × (4) d5 = 1 1− 0,10 × (5) 1 d5 = 6 En el caso del interés simple, in es una función decreciente de n.

1.10.2 Primer teorema sobre el descuento simple Se supone un descuento simple a la tasa de descuento d > 0, donde dn es una función creciente de n para 0 < n − 1 < 1 / d. Prueba 1 . Con interés simple a una tasa de descuento d, se tiene que as (n ) = 1− d × n Por tanto, dn =

as (n ) − as (n −1) a s (n )


1 1 − dn = 1− d × n 1− d × (n −1) 1 1− d × n d dn = 1− d × n + d d dn = 1− d × (n −1) 1 , a medida que n aumenta, el denominador disminuye, de d modo que dn aumenta. En consecuencia, sí se cumple la condición, Puesto que 0 < n −1 <

dn =

d >0 1− d × (n −1)

con lo que el teorema queda demostrado. Así, por ejemplo, con una tasa de descuento simple de 20%, la tasa de descuento compuesto aumentará a medida que aumente el tiempo n. Figura 1.34. Tasa de descuento compuesta y tiempo

Tasa de descuento compuesta 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 1

2

3

4

5

6

7

8 9 Tiempo

Por definición, dos tasas de interés y/o descuento son equivalentes si una cantidad determinada de principal invertido sobre el mismo periodo de tiempo a cada tasa produce el mismo valor acumulado.

1.10.3 Prueba del teorema de descuento compuesto Una tasa de interés efectiva compuesta i es equivalente a una tasa de descuento compuesto d desde que a(t ) = ac (t ) . Para observar esto, recuerde que el valor futuro de ambas funciones es igual a 1. Por tanto, a c (t ) =

1 (1− d )t

95

96

Cap. 1


ac (t ) = (1+ i )t a c (t ) = a (t )

Ejemplo 1.58 Demuestre que (i − d )2 d3 = (1− d )2 1− v donde v es el factor de descuento definido por: vt =

1 (1+ i )t


Se reescribe la ecuación de la pregunta, que es: d3 d (1 d)2

d 1 d

2

b) Se recuerda que: 1 1 d 1 1 i 1 d d i 1 d

(1 i)t =

c)

t

(i)

Entonces, se tiene que: d3 d (1 d)2

d 1 d

2

d3 d i2 (1 d)2 d3 (1 d)2

(i d)2 d

(ii)


d) Si se utiliza (i), i= e)

d → i × (1− d ) = d → i × d = i − d 1− d

(iii)

Además, se obtiene de (i) la siguiente igualdad: d 1− d → i × (1− d ) = d

i=

→i×d+d =i i →d= 1+ i f)

(iv)

Entonces, (i × d )2 d3 = (1− d )2 d (i − d )2 d3 = i (1− d )2 1+ i (i − d )2 d3 = (1− d )2 1− v

g)

La última parte es correcta porque 1− v = 1−

1 1+ i

i 1+ i 1− v = d 1− v =

La relación entre el factor de descuento v y la tasa de descuento simple d se puede representar como lo muestra la figura 1.35. Figura 1.35. Factor de descuento y tasa de descuento simple

Factor de descuento 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 –

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Tasa de descuento simple

97

98

Cap. 1


El descuento simple y el compuesto producen el mismo resultado en un periodo. En un periodo mayor, el descuento simple produce un valor presente menor que el que genera el interés compuesto, mientras lo opuesto es verdadero sobre un periodo menor.

1.10.4 Segundo teorema sobre el descuento simple Si 0 < d <1 , se obtiene: a)

(1− d )t <1− d × t si 0 < t <1

b)

(1− d )t =1− d × t si t = 0 o t =1 Si t = 0,entonces (1− d )t =1 Si t =1,entonces (1− d )t =1− d

c)

(1− d )t >1− d × t si t >1

Prueba a)

Si se desarrolla la expresión (1− d )t , se tiene la siguiente expansión de Taylor: 1 1 (1− d )t = (1− d × t ) + × t × (t −1) × d 2 − × t × (t −1) × (t − 2) × d 3 + ... 2 6 Si t <1 todos los términos después del segundo son negativos. Por tanto, (1− d )t <1− d × t para 0 < t <1 .

b) En este caso existen dos escenarios: t = 0 y cuando t = 1. Cuando t = 0, todos los términos multiplicados por t desaparecen. Por tanto, para t = 0 se tendrá (1− d )t =1 Cuando t = 1, todos los términos que se multiplican por t − 1 desaparecen y quedará (1− d )t =1− d c)

Suponga que t >1 . Sea f (d ) =1− d × t − (1− d )t . Luego, f (0) = 0 y f '(d ) = −t + t × (1− d )t −1 . Puesto que t >1 , se tiene que t −1 > 0 . Como 0 < d <1 , se tiene que 1− d <1 . Por tanto, (1− d )t −1 <1 . En consecuencia, f '(d ) < −t + t = 0 . f '(d ) = − t + t × (1− d )t −1 < 0 f '(d ) = − t + t × (1− d )t −1 = − t × (1− (1− d )t −1 ) < 0


Por tanto, f (d ) < 0 , con lo que se prueba el teorema. La figura 1.36 compara la función de descuento bajo descuento simple y descuento compuesto. Figura 1.36. Descuento simple y descuento compuesto

Descuento 1 Descuento compuesto (1 − d, 1)

Descuento simple

0

Tiempo

1.10.5 Problemas propuestos 1. Sea i un interés compuesto con un descuento equivalente d. Demuestre que 1 1 a) − =1 d i i 2

d 2

b)

d

c)

i × 1− d = d × 1+ i

1

i 1

Clave: Utilice i − d = i × d para las tres identidades. Respuesta: en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 2. Calcule el valor presente de 2.000 U.M. pagaderas a diez años utilizando una tasa de descuento efectiva anual de 8%. Respuesta: 868,78 U.M.

99

100

Cap. 1


3. Calcule el valor acumulado al final de tres años de 15.000 U.M. pagaderas ahora con una tasa de interés equivalente a una tasa de descuento anual de 8%. Respuesta: 19.263,17 U.M. 4. Un inversionista deposita hoy 5.000 U.M. La tasa compuesta anual de descuento es de 3%. ¿Cuál es el valor acumulado de la inversión al final de 5 años? Respuesta: 5.822,52 U.M. 5. A un inversionista le gustaría tener 5.000 U.M.al final de 5 años. La tasa de descuento simple anual es de 2%. ¿Cuánto debe depositar hoy para lograr ese objetivo? Respuesta: 4.500 U.M. 6. Un inversionista deposita hoy 8.000 U.M. La tasa simple anual de descuento es de 2%. ¿Cuál es el valor acumulado de la inversión al final de 7 meses? Respuesta: 8.094,44 U.M. 7. Un fondo gana intereses a una tasa equivalente a la tasa de descuento d. Michaela invierte en el fondo 10 U.M. Once años después ella tiene 30,04 U.M. Calcule d. Respuesta: 9,52%

1.11

Tasas de interés y de descuento nominales

Cuando se analizaron las tasas de interés o de descuento efectivas, se hizo referencia a que el interés era pagado una vez por periodo al final de éste (en el caso de la tasa de interés) o a su inicio (en el caso de la tasa de descuento). En esta sección se consideran situaciones donde el interés se paga más de una vez por periodo, ya sea al final del periodo (en el caso de la tasa de interés) o a su inicio (en el caso de la tasa de descuento). En esos casos, las tasas de interés y de descuento serán nominales. Asimismo se definen las tasas de interés y de descuento nominales, y se determinan las relaciones entre las tasas de interés nominales y efectivas, así como las relaciones entre tasas de interés y de descuento nominales. Por defecto se trabajará con interés o de descuento compuestos, a menos que se especifique lo contrario. Cuando el interés se paga (se reinvierte) con una frecuencia mayor que uno por periodo, se dice que este es interés pagable (capitalizable o compuesto) y a su vez cada fracción de un periodo se llama periodo de conversión de intereses.

1.11 Tasas de interés y de descuento nominales

Se asume que i ( m ) representa la tasa de interés nominal pagadera m veces por periodo, donde m es un número entero positivo que representa m veces la tasa de interés compuesta efectiva que se aplica a cada uno de los m-ésimas partes de un i(m) es la tasa de interés efectiva para cada m-ésima parte de periodo. En este caso, m un periodo. Por tanto, en el caso de una tasa nominal de 12% compuesta mensualmente, la tasa efectiva de interés por mes es de 1% (12%/12), dado que un año está conformado por 12 meses. Suponga que 1 U.M. se invierte a una tasa nominal de i ( m ) capitalizable m veces por periodo de medición. Es decir, el periodo se divide en m fracciones de periodo iguales. i(m) Al final de la primera fracción de periodo, el valor acumulado es 1+ . m 2 ⎛ i(m) ⎞ ⎟ . Al final de la segunda fracción de periodo, el valor acumulado es ⎜1+ ⎝ m ⎠ Si se continúa, se comprueba que el valor acumulado al final de la m-ésima m

⎛ i(m) ⎞ parte de un periodo es ⎜1+ ⎟ , y al final de t años el valor acumulado es ⎝ m ⎠ m t i (m) (1.45) a(t) 1 m donde a(t) Función de acumulación i ( m ) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m Número de periodos de capitalización t Tiempo La figura 1.37 ilustra la acumulación a una tasa de interés nominal para un periodo de medición. Figura 1.37. Acumulación a una tasa de interés nominal para un periodo de medición

Tiempo 0 1

1 m i(m) 1+ m

m −1 m

2 m

1 m −1

2

⎛ i(m) ⎞ ⎜1+ ⎟ ⎝ m ⎠

⎛ i(m) ⎞ ⎜1+ ⎟ ⎝ m ⎠ Saldos

m

⎛ i(m) ⎞ ⎜1+ ⎟ ⎝ m ⎠

101

102

Cap. 1


Ejemplo 1.59 Calcule el valor acumulado de 2.000 U.M. después de tres años a una tasa de interés de 24% anual capitalizable mensualmente.

Solución Los pasos para su resolución son los siguientes: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es: Valor acumulado P donde P i(m) m t

i (m) 1 m

m t

(1.46)

Capital inicial o valor presente Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición Número de periodos de capitalización Tiempo

b) Si se aplica la ecuación que se eligió en el paso anterior, se obtiene: Valor acumulado 2.000 1

0,24 12

12 3

Valor acumulado 4.079,77

Ejemplo 1.60 Calcule el valor acumulado de 3.000 U.M. a pagar al final de 8 años con una tasa de interés nominal de 5%: a)

Anual.

b) Capitalizable trimestralmente. c)

Capitalizable mensualmente.


El valor acumulado es 3.000 1

0,05 1

0,05 b) El valor acumulado es 3.000 1 4

8

8 4

4.432,37 4.464,39


c)

El valor acumulado es 3.000 1

0,05 12

8 12

4.471,76

Como se puede apreciar, a medida que aumenta el número de capitalizaciones por periodo, también lo hace el valor final o valor futuro de la inversión.

1.11.1 Relación entre las tasas efectiva y nominal Si i expresa la tasa de interés efectiva por un periodo de medición equivalente a i ( m ) , se puede afirmar que: 1 i

m

i (m) m

1

En esta ecuación cada lado representa el valor acumulado de un principal de 1 U.M. invertido durante un año. Si se despeja i, entonces i

1

i (m) m

m

1

(1.47)

donde i Tasa de interés efectiva i (m) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m Número de periodos de capitalización Se despeja i (m) y se obtiene: i (m) m

1

(1 i) m 1

(1.48)

donde i Tasa de interés efectiva (m) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición i m Número de periodos de capitalización Para cualquier t ≥ 0 , se tiene que: (1 i)t

1

i (m) m

m t

(1.49)

donde i Tasa de interés efectiva i (m) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m Número de periodos de capitalización t Tiempo

103

104

Cap. 1


Ejemplo 1.61 Calcule la tasa de interés anual efectiva equivalente a una tasa de interés nominal de 10% capitalizable trimestralmente.

Solución Para su cálculo se realizan los siguientes pasos: a)


b) Se sustituyen los valores y se obtiene 0,10 4 i 10,38%

i

1

4

1

Ejemplo 1.62 a)

Calcule la tasa de interés efectiva anual i, equivalente a una tasa de interés compuesta de 8% capitalizable trimestralmente.

b) Calcule la tasa de interés nominal i (2) , equivalente a una tasa de interés efectiva anual de 8%. c)

Calcule la tasa de interés nominal equivalente a una tasa de interés nominal de 8% pagadera semestralmente.


Para calcular la tasa de interés efectiva anual i, se tiene: 1 i

1

0,08 4

4

4

0,08 1 4 i 0,08243216 i

1


b) Para obtener la tasa de interés nominal i(2) , se parte de i (2) 1 2

1 0,08

2

1

i (2) 2 (1,08) 2 1 i (2) 0,078461 c)

Para conseguir la tasa de interés nominal, se realiza i (4) 1 4

4

1

0,08 2

2

1

i (4) 4 (1,042 1 i (4) 0,0792 Del mismo modo en que se define una tasa de interés nominal, se puede definir la tasa de descuento nominal d ( m ) como la tasa de descuento efectiva de d (m) para cada una de las m-ésimas partes de un periodo con interés pagado m al inicio de una m-ésima parte de un periodo. La figura 1.38 ilustra el descuento a una tasa de descuento nominal durante un periodo de medición. Figura 1.38. Descuento para una tasa de descuento nominal durante un periodo de medición

Tiempo 1 m

0 d (m) 1 m

m

d (m) 1 m

...

m −2 m

...

d (m) 1 m

m 1

m −1 m 2

d (m) 1 m

1 1

1

Saldos La función de acumulación con la tasa de descuento nominal d ( m ) es: a (t )

d (m) 1 m

m t

,t 0

(1.50)

105

106

Cap. 1


donde a (t ) d (m) m t

Función de acumulación Tasa de descuento nominal Número de periodos de capitalización Tiempo

Al respecto se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1.63 Calcule el valor presente de 8.000 U.M. a pagar al final de 5 años a una tasa de interés compuesta anual de 7%. a)

Capitalizable semestralmente.

b) Pagado por adelantado y capitalizable semestralmente.

Solución Los pasos a seguir son los siguientes: a)

La solución es: 8.000 5.671,35 5 2 0,07 1 2

b) En este caso, como el interés se paga por adelantado, la fórmula que se debe utilizar es la ecuación (1.50). Con base en ella, se efectúa el cálculo: 8.000 1

0,07 2

5 2

5.602,26

Si d es la tasa de descuento efectiva equivalente a d ( m ) , entonces 1 d

d (m) 1 m

m

Dado que cada lado de la ecuación brinda el valor presente de 1 U.M. a pagar al final del periodo de medición, se despeja d y se obtiene: d 1 1

d (m) m

donde d Tasa de descuento efectiva d ( m ) Tasa de descuento nominal m Número de periodos de capitalización

m

(1.51)


Y, si se resuelve esta última ecuación para d ( m ) , se obtiene: 1

d (m) m 1 (1 d) m

(1.52)

donde d Tasa de descuento d (m) Tasa de descuento nominal m Número de periodos de capitalización A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 1.64 Calcule el valor presente de 500 U.M. a pagar al final de dos años a una tasa de 3% anual, pagable por adelantado y capitalizable semestralmente.



b) Se reemplazan los valores del enunciado. Así, 2×2

0,03 500× 1 2

= 470,67

Existe una relación entre la tasa de interés nominal y la tasa de descuento 1 , se concluye que nominal. Puesto que 1− d = 1+ i i (m) 1 m

m

1+i

1 i (1 d) (1 d)

1

1

d (n) 1 n

n

Por tanto, i (m) 1 m

m

1 i (1 d)

1

d (n) 1 n

n

(1.53)

107

108

Cap. 1


donde i(m) m n d d (n)

Tasa de interés nominal Número de periodos de capitalización del interés nominal Número de periodos de capitalización del descuento nominal Tasa de descuento Tasa de descuento compuesta

Si m = n , entonces la ecuación previa se reduce a i (n) 1 n

d (n) 1 n

1

(1.54)

donde i ( n ) Tasa de interés nominal n Número de periodos de capitalización d ( n ) Tasa de descuento nominal

Ejemplo 1.65 Calcule la tasa de descuento nominal, capitalizable semestralmente, que es equivalente a una tasa de interés nominal de 6% anual, capitalizable trimestralmente.



b) Se sustituye en la ecuación anterior. d (2) 1 2

2

1

0,06 4

4

1,06136355

Se resuelve para d (2) y se obtiene d (2) = 0,0586764 . Observe que, en general, la ecuación (1.54) puede utilizarse para encontrar tasas de interés o de descuento equivalentes, sea efectiva o nominal, convertida con alguna frecuencia deseada.

Ejemplo 1.66 Calcule d (4) como una función de i (3) .


Solución a)

Se tiene que: d (4) 1 4

4

3

i (3) 1 3

b) Por tanto, d (4) 1 4 c)

i (3) 1 3

3 4

De modo que: d (4)

i (3) 4 1 1 3

3 4

La fórmula análoga a i − d = i × d se mantiene para tasas de interés y de descuento nominales, como se muestra en el ejemplo 1.67.

Ejemplo 1.67 Pruebe que i(m) d (m) i(m) d (m) − = × m m m m

Solución Se tiene que: 1

i (m) m

1

d (m) m

1

1

i (m) m

1

d (m) m

1

La cual es equivalente a:

Si se expande, se obtiene: 1−

d (m) i(m) i(m) d (m) + − × =1 m m m m

109

110

Cap. 1


Por tanto, i(m) d (m) i(m) d (m) − = × m m m m

Ejemplo 1.68 1

Demuestre que i ( m ) = d ( m ) × (1+ i ) m .

Solución Se conoce que: i(m) d (m) i(m) d (m) − = × m m m m Se multiplica por m y se reordena para obtener: i (m) d (m)

i (m) m

1

1

d (m) (1 i) m

Ejemplo 1.69 a)

Suponga que el interés es capitalizable con una frecuencia menor que un año. ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝m⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝m⎠

y d a las tasas anuales nominales de interés y de descuento Defina i capitalizables una vez cada m años. Encuentre la ecuación análoga a la ecua⎛1⎞ ⎜ ⎟

⎛1⎞ ⎜ ⎟

ción (1.54) que relacione i ⎝ m ⎠ y d ⎝ m ⎠ . b) Calcule el valor acumulado de 100 U.M. al final de dos años si la tasa de descuento anual nominal es de 6% capitalizable una vez cada 4 años.

Solución a)

⎛1⎞ ⎜ ⎟

⎛1⎞ ⎜ ⎟

Si i ⎝ m ⎠ es capitalizable una vez cada m años, luego m × i ⎝ m ⎠ es la tasa de interés efectiva sobre m periodos. Por tanto, por definición de tasas equivalentes, se puede escribir: ⎛1⎞ ⎜ ⎟

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p⎠

1+ m × i ⎝ m ⎠ = (1+ i )m

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p⎠

Además, si d es capitalizable una vez cada p años, luego p × d es la tasa de descuento efectiva sobre p periodos. En consecuencia, por definición de tasas equivalentes se puede escribir: 1− p × d

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p⎠

= (1+ i )− p


donde m Recíproco del número de periodos de capitalización m p Recíproco del número de periodos de capitalización n Se sigue que 1 m i

1 m

1 m

1 p d

1 p

1 p

donde m Recíproco del número de periodos de capitalización m de la ecuación (1.53) p Recíproco del número de periodos de capitalización n de la ecuación (1.53) ⎛1⎞ ⎜ ⎟

i⎝ m ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟

d⎝m⎠

Tasa anual nominal de interés capitalizable una vez cada m periodos de capitalización Tasa anual nominal de descuento capitalizable una vez cada m periodos de capitalización

b) Si i es la tasa de interés efectiva anual, el valor acumulado al final de dos años es: 1 m i

1 m

1 m

1 p d

1 p

1 p

1+m i

1 m

1 i (m)

1 p d

1 p

m p

Al sustituir los valores se obtiene: −

2

100 × (1+ i )2 =100 × (1− 4 × 0,06) 4 =114,71 Como puede verse, las tasas nominales de interés o de descuento no son relevantes bajo el interés simple y el descuento simple. Por ejemplo, si se establece que i ( m ) sea la tasa de interés nominal, e i la tasa de interés equivalente, al final de un año, se encuentra que 1+ i =1+ i ( m ) o i = i ( m ) . De modo similar, se tiene que d = d ( m ) . Cada una de las tasas de interés y de descuento, nominales y efectivas, miden el interés sobre determinados intervalos de tiempo. Las tasas de interés y de descuento efectivas miden el interés sobre un periodo completo de tiempo, mientras las tasas de interés y de descuento nominales miden el interés sobre m-ésimos periodos de tiempo.

1.11.2 Problemas propuestos 1. Una persona pide prestado 1.000 U.M. a una tasa de interés de 24% anual compuesto mensualmente. ¿Cuánto deberá después de tres años? Respuesta: 2.039,89 U.M. 2. Si i (6) = 0,15 , encuentre la tasa de interés nominal equivalente capitalizable semestralmente. Respuesta: 15,38%.

111

112

Cap. 1


3. Exprese i (6) como una función de d (2) . ⎡ d (2) − 62 ⎤ ) −1⎥ . Respuesta: i (6) = 6 × ⎢(1− 2 ⎣ ⎦ (m) 4. Dado que i = 0,1844144 y d (m) = 0,1802608 . Encuentre m. Respuesta: 8,00. 5. Usted deposita 1.000 U.M. en una cuenta A y 750 U.M. en una cuenta B. La primera gana una tasa de interés efectiva anual de 5%. La segunda gana un interés de 5%. La cuenta B gana intereses a una tasa i (4) . Diez años después, las dos cuentas tienen el mismo valor acumulado. Encuentre i (4) . Respuesta: 7,83%.

1.12

Tasa de interés continua

En esta sección se explicará la forma de medir el interés en cualquier momento. Esta medida de interés se conoce como tasa de interés continua. Para empezar, considere el caso de una tasa de interés nominal i ( m ) capitalizable m veces por periodo. Se puede pensar en la tasa de interés continua si se simboliza δ como el límite de i ( m ) , donde el número de periodos del interés compuesto se dirige al infinito. Es decir,

δ = lím i ( m ) m →∞

Si se establece que i sea la tasa de interés efectiva equivalente a i ( m ) , se tiene i (m) m

1

(1 i ) m 1 1

i (m)

(1 i) m 1 1 m

Por tanto,

δ = lím

m →∞

1 m

(1+ i ) −1 1 m

1.12 Tasa de interés continua

0 El límite superior es de la forma , de modo que se puede aplicar la regla de 0 l’Hôpital5 para obtener: 1 d (1 i ) m 1 lím dm m d 1 dm m 1

lím (1 i) m ln(1 i)

m

ln(1 i) 1

Puesto que lím (1+ i ) m =1 m →∞

δ = ln (1+ i )

(1.55)

donde δ Tasa de interés continua i Tasa de interés n Número de periodos

Comentario La tasa de interés efectiva i puede escribirse como una expansión de la serie delta δ2 δn i = e δ −1 = δ + + ... + + ... 2! n! De modo similar, la tasa de interés continua

δ = ln(1+ i ) = i −

i2 in + ... + (−1) + ... n! 2

(1.56)

δ Tasa de interés continua i Tasa de interés n Número de periodos

5

En el cálculo infinitesimal, la regla de l’Hôpital o regla de l’Hôpital-Bernoulli se utiliza para determinar límites que de otra manera serían complicados de calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x), continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite, cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito). La regla de L’Hôpital es una consecuencia del teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de indeterminación del tipo 0 / 0.

113

114

Cap. 1


Ejemplo 1.70 Dada la tasa de interés nominal de 12% compuesta mensualmente, calcule la tasa de interés continua equivalente δ .


Se calcula la tasa de interés efectiva anual. i = (1+ 0,01)12 −1 i ≈ 0,1268250

b) Se identifica la expresión para calcular δ . Por tanto,

δ = ln(1+ i ) c)

Finalmente, se reemplazan los valores del enunciado del problema y del inciso a) en la ecuación enunciada en el inciso b) como sigue:

δ = ln (1,1268250) δ ≈ 0,119404

Comentario De manera intuitiva, δ representa la tasa de interés nominal capitalizada a una frecuencia continua. En teoría, la medida más importante del interés es el interés continuo. Sin embargo, en la práctica, las tasas de interés nominal y efectiva tienden a utilizarse con más frecuencia, debido a que la mayoría de las transacciones financieras implican procesos discretos y no continuos. Aunque, δ puede utilizarse como una aproximación al interés capitalizado con una frecuencia mayor como la diaria. δ e i, así como δ , mantienen relación con otras variables. i (m) 1 m

m

1 i

(1 d )

1

d ( p) 1 p

donde i(m) Tasa de interés nominal i Tasa de interés d Tasa de descuento d (p) Tasa de descuento nominal m Número de periodos de capitalización p Número de periodos de descuento δ Tasa de interés continua

p

e

(1.57)


Ejemplo 1.71 Si se utiliza un interés continuo constante de 3%, calcule el valor presente de una deuda de 5.000 U.M. a pagar en el plazo de 5 años.

Solución Para su resolución se realizan los siguientes pasos: a)

Se reemplaza: 500 × (1+ i )−5 =1.000 × e −5×δ

b)

En la ecuación anterior se reemplaza el valor de δ = 0,03 . Así, = 500 × e −5×0,03 ≈ 430,35

Ejemplo 1.72 Un préstamo por 5.000 U.M. se toma el 23 de junio de 2009. Si el interés continuo es de 10%, calcule: a)

El valor de un préstamo el 23 de junio de 2010.

b) El valor de i. c)

El valor de i (6) .


Se calcula el valor de 5.000 × (1+ i )1 . = 5.000 × e1×(0.10) ≈ 5.525,85

b) Se calcula el valor de i. i = e δ −1 i = e 0,10 −1 i ≈ 0,1052

115

116

Cap. 1


c)

Se tiene que i (6) 1 6

6

1 i e 0,10

d) Si se despeja i(6) i (6) = 0,1008 Se resuelve para i (6) y se encuentra que i (6) = 0,1008 . Si se emplea la función de acumulación de interés compuesto, el interés continuo se expresa como:

δ = ln (1+ i ) Es decir, d a (t ) δ = dt a (t )

(1.58)

donde δ Tasa de interés continua i Tasa de interés

1.12.1 Definición de interés continuo El interés continuo es una tasa de interés efectiva con periodos de capitalización muy cortos. A medida que el periodo de capitalización disminuye, aumenta el número de periodos de capitalización por periodo m. De este modo, si el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca a infinito y la ecuación de la tasa de interés efectiva se puede expresar así: i = e r −1 Para obtener esta tasa de interés efectiva, se realizan los siguientes pasos: Para periodos de interés muy pequeños, la tasa de interés es lím 1

i

m

1 m

m

1

Se reexpresa el argumento del límite y se sustituye en la ecuación. 1 1 m

m

1 i

1 1 m

mr r

1 lím 1 m m

1

mr r

1


Dado que la definición de la base del logaritmo natural es: 1 m

lím 1

m

mr

=e

Se reemplaza: i∞ = lím [ e ]r − 1 m →∞

i∞ = e r − 1 La definición de interés continuo en términos de una función de acumulación de interés compuesta puede extenderse a cualquier función de acumulación. Es decir, para una función de acumulación a(t ) define el interés continuo en cualquier periodo t como:

δt =

a '(t ) a (t )

(1.59)

donde δt Tasa de interés continua en cualquier periodo t a '(t ) Derivada de la función de acumulación respecto al tiempo a(t ) Función de acumulación

Observe con cuidado la siguiente expresión. De la definición de derivada se tiene que: d a(t) dt lím a(t) n

a t

1 a(t) n a(t) 1 n

Ahora observe la expresión: a t

1 a(t) n a(t)

1 Es solamente la tasa de interés efectiva sobre un periodo muy pequeño , de modo n que: a t

1 a(t) n a(t) 1 n

117

118

Cap. 1


es la tasa de interés anual nominal convertida n periodos en un año, de modo que cada periodo tiene una extensión de (1 / n), correspondiendo a aquella tasa efectiva. En general, el interés continuo puede ser una función de t. Sin embargo, en el caso del interés compuesto δt es una constante. Además, observe que, puesto que A(t ) = A(0) × a(t ) , se puede escribir:

δt =

A'(t ) A(t )

(1.60)

donde δt Tasa de interés continua en cualquier periodo t A'(t ) Derivada del valor acumulado en t periodos respecto al tiempo A(t ) Valor acumulado en t periodos

Ejemplo 1.73 Demuestre que, para cualquier función A'(t ) , se tiene: n

∫ A(t ) × δ × dt = A(n) − A(0) = I + I 1

t

2

+ ... + I n

0

Solución Se utiliza la ecuación (1.60) en la integral y se obtiene: n

El término

n

∫ A(t ) × δ × dt = ∫ A'(t ) × dt = A(n)| = A(n) − A(0) = I + I n 0

t

0

1

2

+ ... + I n

0

es la cantidad de interés ganado sobre n periodos. El término δt × dt representa la tasa de interés efectiva sobre el periodo de tiempo infinitesimal dt . Por tanto, A(t ) × δt × dt es el importe de intereses en este periodo. n

∫ A(t ) × δ × dt representa el importe total de intereses ganados sobre n periodos, t

0

que es A(n ) − A(0) .

Ejemplo 1.74 Se conoce que A(t ) = a × t 2 + b × t + c , para 0 ≤ t ≤ 2 y que A(0) =100 , A(1) =110 y A(2) =136 . Determine la tasa de interés continua en el tiempo t =1/ 3 .


Solución Para estimar la tasa de interés continua, lo primero que se tiene que hacer es estimar los coeficientes de A(t), es decir, se debe determinar a, b y c. Para calcularlo, se parte de que A(0) =100 , ello implica que c =100 . A partir de A(1) =110 y A(2) =136 se identifica el sistema lineal de ecuaciones a + b =10 y 4 × a + 2 × b = 36 . Cuando se resuelve el sistema se encuentra que a =8 y b =2. Por tanto, A(t ) = 8 × t 2 + 2 × t +100 . Así, A'(t ) A(t ) 16 × t + 2 δt = 8 × t 2 + 2 × t +100

δt =

Por tanto, 16 × (0,333) + 2 8 × (0,333)2 + 2 × (0,333) +100 7,333 δ0,333 = 0,887 + 0,667 +100 δ0,333 = 0,07221

δ0,333 =

Ejemplo 1.75 Calcule δt en el caso de interés simple, es decir, cuando a(t ) =1+ i × t .

Solución De la ecuación (1.59) se tiene que: a(t ) =1+ i × t a '(t ) a (t ) i δt = 1+ i × t

δt =

119

120

Cap. 1


Es interesante notar que δt es una función decreciente de t. Así, si i = 100%, se puede observar en la siguiente representación gráfica: Figura 1.39. Relación entre tasa de interés continua y el tiempo

Tasa de interés continua dt 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500 –

0

1

2

3

4

5

6

7

8 Tiempo

Lo anterior sirve para calcular δt en función de a(t ) . ¿Qué sucedería si se conoce δt y se espera derivar a(t ) a partir de este? De la definición de δt se puede escribir: d ln a(r ) = δr dr Si se aplica la operación de integrales de 0 a t se obtiene: t

t

d

∫ dr ln a(r )dr = ∫ δ dr r

0

0

Por tanto, t

ln a(t ) = ∫ δr dr 0

Desde esta última ecuación se encuentra que: t

a (t ) = e

∫ δr dr

0

Además, se puede derivar una expresión para A(t ). Puesto que A(t ) = A(0) × a(t ) , se puede escribir: t

A(t ) = A(0) × e donde A(t ) Valor acumulado en t periodos A(0) Valor acumulado en el periodo 0 δr Tasa de interés continua

∫ δr × dr

0

(1.61)


Ejemplo 1.76 Se efectúa un depósito de 10 U.M. por un plazo de dos años. Utilice la capitalización del interés de δt = 0,2 − 0,02 × t y encuentre el valor acumulado de este pago al final de 5 años.


Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (1.61). 5

∫ (0,2−0,02 r )× dr

A(t ) =10 × e 2

b) Se resuelve la integral y el valor acumulado será: A(5) =10 ×

a(5) a(2) ⎡0,2×t −0,01×t 2 ⎤5 ⎦

A(5) =10 × e ⎣

2

A(5) ≈ 14,77 Observe que una tasa de interés compuesta i implica una tasa de interés continua constante e igual a ln(1 + i).

Ejemplo 1.77 Demuestre que si

, t , entonces a(t ) = (1+ i )t para alguna tasa de interés i.

t


Puesto que

t

, t , se obtiene

t

t

0

0

∫ δr × dr = ∫ δ × dr = t × δ .

Ahora, para todo número entero n ≥1 , se tiene que: in =

a(n ) − a(n −1) e n ×δ − e ( n−1)×δ δ = = e −1 = i a(n −1) e ( n−1)×δ

121

122

Cap. 1


b) En este caso se cumple que a (t ) = e δ t a(t ) = (e δ )t a(t ) = (1+ i )t El ejemplo muestra que una tasa de interés continua constante implica una tasa de interés efectiva constante. En la definición de δt (ecuación 1.58) se reemplaza la función de acumulación por la función de descuento, y se obtiene la tasa de descuento continua: d −1 a (t ) ] [ δt' = − dt −1 [ a (t ) ]

(1.62)

donde δt' Tasa de descuento continua a(t ) Función de acumulación en el periodo t El signo negativo es necesario para que la tasa de descuento continua sea una cantidad positiva, puesto que la función de descuento es una función decreciente de t. Es posible dispensar δt' y utilizar sólo δt , con base en el teorema sobre el descuento continuo que se muestra a continuación. Enunciado Para todo periodo t se tiene que δt' = δt . Prueba a)

Se plantea la siguiente ecuación: t

⎡⎣a −1 (t )⎤⎦ δ = − −1 a (t ) ' t

b) Se desarrolla. t

⎡⎣a −1 (t )⎤⎦ δ = − −1 a (t ) ' t

a −2 (t ) × [ a(t )] δ = a −1 (t )

t

' t

δt' =

a −2 (t ) × a(t ) × δt a −1 (t )

δt' = δt


A continuación se realizan algunos ejemplos.

Ejemplo 1.78 Calcule la tasa de descuento continua bajo la tasa de descuento simple d.


Recuerde que en el caso de un descuento simple, la función de descuento está 1 −1 dada por [ a(t )] =1− dt para 0 ≤ t < . d b) Por ello,

δ t = δ t' d −1 a (t ) ] [ δ t = − dt [ a(t )]−1 d (1− d × t ) δ t = − dt 1− d × t d δt = 1− d × t Se demuestra que, con descuento simple, el interés continuo es creciente. A continuación se muestra la representación gráfica de la función de interés continuo a partir del descuento simple cuando d = 30%. Figura 1.40. Tasa de interés continua y tiempo

Tasa de interés continua dt 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 – 0,0 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 Tiempo

Sin embargo, este resultado será válido sólo cuando d × t < 1.

123

124

Cap. 1


Ejemplo 1.79 Calcule δt' en el caso de descuento compuesto.


Se identifica la expresión con la que se trabajará, que es: d (m) 1 m

m

d (m) m

m

1

(1 i)

1

e

b) Se resuelve para d ( m ) y, de este modo, se encuentra que d ( m ) = m × (1− e c)

Se emplea la expansión de serie de poder de e d

(m)

m 1 1

d (m) m d (m)

m

1 2!

2

m

δ − m

1 3!

−

δ m

).

y se obtiene: 3

m

...

2 3 1 1 ... m 2! m2 3! m3 3 1 2 1 ... 2! m 3! m2

en la medida que m

Ejemplo 1.80 Una persona invierte 1.000 U.M. en una cuenta de inversión en el periodo 1. El interés se calcula sobre el siguiente interés continuo: ⎧ 0,02 × t 0 ≤ t < 3 ⎪⎪ 0,025 t ≥ 3 δt = ⎨ ⎪ 0, de otro modo ⎪⎩ a)

Calcule el importe de intereses que se generó entre el periodo 2,5 y 3,5.

b) Calcule la tasa de descuento efectiva durante el tercer periodo ( d3 ).



Se conoce que: a(t) a(1)

A(t) 1.000

t

A(t) 1.000

e1

2,5 r dr

e1

r dr

Pero, 3,5

3

3,5

1

1

3

∫ δt × dt = ∫ 0,02× t × dt + ∫ 0,025× dt

3,5

∫ δ × dt = 0,0925 t

1

y 2,5

2,5

1

1

∫ δt × dt = ∫ 0,02× t × dt

2,5

∫ δ × dt = 0,0525 t

1

Por ello, A(3,5) − A(2,5) =1.000 × (e 0,0925 − e 0,0525 ) A(3,5) − A(2,5) ≈ 43,01 b) Primero se calcula A(3). 3

3

1

1

∫ δt × dt = ∫ 0,02× t × dt 3

0,02 × t 2 ∫ δt × dt = 2 1 1 3

3

∫ δ × dt = 0,01× (3 ) − 0,01× (1 ) 2

t

1

3

∫ δ × dt = 0,08 t

1

2

125

126

Cap. 1


c)

De manera similar se encuentra d3. Finalmente, la tasa de descuento efectiva para el tercer periodo es: d3 =

A(3) − A(2) A(3)

e 0,08 − e 0,03 e 0,08 d3 ≈ 4,877% d3 =

Ejemplo 1.81 Encuentre una expresión de t en términos de δ, de modo que f (t ) = (1+ i × t ) − (1+ i )t sea máximo.


Se toma la primera derivada de f (t). f '(t ) = i −

∂(1+ i )t ∂t

b) Se deriva el segundo miembro de la ecuación anterior aplicando un artificio matemático. ∂(1+ i )t ∂[exp(ln (1+ i )t )] = ∂t ∂t t ∂(1+ i ) ∂[exp(t ln (1+ i ))] = ∂t ∂t t ∂(1+ i ) = ln (1+ i ) × exp(ln (1+ i )t ) ∂t Por tanto, ∂(1+ i )t ∂t f '(t ) = i − (1+ i )t ln(1+ i ) f '(t ) = i −

Puesto que: f '(t ) = i − (1+ i )t × ln(1+ i ) f '(t ) = i − δ × (1+ i )t


Se observa que f '(t ) = 0 cuando (1+ i )t =

i . δ

Se resuelve para t y se encuentra que: t=

ln i − ln δ ln (1+ i )

t=

ln i − ln δ δ

Ahora f ''(t ) = −δ 2 × (1+ i )t < 0 , de modo que el punto crítico de f es un máximo.

Ejemplo 1.82 El 15 de marzo de 2003, Ryan deposita una suma X en una cuenta bancaria que paga interés simple de 7,5%. En la misma fecha, el jefe de Ryan deposita X en una cuenta bancaria diferente, donde el interés abonado es un interés continuo dado por

δt =

2× t ,t ≥ 0 t2 +k

Desde el final del cuarto hasta el final del octavo año, ambas cuentas ganan el mismo importe de intereses en unidades monetarias (U.M.). Calcule k.


El interés que ganó Ryan desde el final del cuarto hasta el final del octavo año es: X × [1+ 0,075 × (8)] − X × [1+ 0,075 × (4)] = 0,3 × X

b) El interés que ganó el jefe de Ryan es 4

8

X e0 8

X e

0

X e X e[

t

dt

X e0

2 t dt t2 k

ln(t 2 k)

4

X e

8 0

dt

t

X e

ln(64 k) l n(k)]

0

2 t dt t2 k ln(t 2 k)

X e

4 0

ln(162 k) l n(k)

127

128

Cap. 1


X e X

ln

64 k k

X e

64 k k

X

ln

16 k k

16 k k

48 X k c)

Por tanto, 48 ×X k 48 ⇒k= 0,3 0,3 × X =

⇒ k =160

Ejemplo 1.83 Demuestre que d < d ( m ) < δ < i ( m ) < i , m > 1 .

Solución Los pasos a efectuar son los siguientes: a)

Se tiene d (m) (i ) e m dm

1

m

e

m

b) A partir de la desigualdad 1− x ≤ e − x para x ≥ 0 se concluye que: δ

δ

d (m) δ − (i ) = e m × (1− − e m ) < 0 dm m c)

Es decir, i ( m ) es una función decreciente de m. Puesto que i (1) = i y i (∞ ) = δ se obtiene:

δ < i(m) < i d) De modo similar, d (m) (d ) = e m × e m 1 > 0 m dm


e)

De modo que d ( m ) es una función creciente de m. Puesto que d (1) = d y d (∞ ) = δ , se puede escribir que: d < d (m) < δ

f)

Al combinar dichas desigualdades se obtiene: d < d (m) < δ < i(m) < i, m >1

1.12.2 Problemas propuestos 1. Si la tasa de interés continua constante es de 6%, ¿cuál es la tasa de interés efectiva constante anual correspondiente? Respuesta: 0,0618 o 6,18%. 2. Suponga que la tasa de interés continua varía con el tiempo y que está b dada por δt = a + . Encuentre la fórmula para la acumulación de una t U.M. desde el periodo t1 al periodo t 2 . t2 b Respuesta: dt 1 . A(t) a t1 t 3. Usted necesita 500 U.M. el 1º de enero de 2011. Para ahorrar esta cantidad, invierte una suma X el 1º de enero de 2008 y 2X el 1º de julio de 2008. La tasa de interés continua es δt = 0.02 × t , donde t es igual a cero el 1ºde enero de 2008. Encuentre X. Respuesta: 158,01 U.M. 4. Durante ocho años, 200 U.M. aumentan a 240 U.M. a una tasa de interés continua constante. Calcule la tasa de interés δ . Respuesta: 0,1823. 5. Juan Diego deposita 100 U.M. en una cuenta bancaria. Se le abonan intereses a una tasa de interés nominal de 4% capitalizable semestralmente. De manera simultánea, Mayla deposita 100 U.M. en una cuenta separada a la que se le abonan intereses a una tasa continua de δ . Después de 7,25 años, el valor de cada cuenta es el mismo. Calcule δ . Respuesta: 0,0396. 6. Jean Paul deposita 100 U.M. en una cuenta bancaria, la cual genera intereses a una tasa de interés nominal de i capitalizable semestralmente. A la vez, Michael deposita 100 U.M. en otra cuenta. A Michael le abonan intereses en su cuenta a una tasa de interés continua de δ . Después de 7,25 años, el valor de cada cuenta es de 200 U.M. Calcule i − δ . Respuesta: 0,0023.

129

130

Cap. 1


7. En el periodo t = 0 se deposita 1 U.M. en el Fondo X y 1 U.M. en el t2 Fondo Y. El Fondo X crece a una tasa de interés continua de δt = . k El Fondo Y crece a una tasa de descuento nominal de 8% anual capitalizable semestralmente. En el periodo 5, el valor acumulado del Fondo X es igual al valor acumulado del Fondo Y. Determine k. Respuesta: 306,21 U.M. 8. En periodo 0, se deposita K en el Fondo X, que crece a una tasa de interés continua de t = 0,006×t 2 . En el periodo m se depositan 2K en el Fondo Y, que crece a una tasa de interés efectiva anual de 10%. En el periodo n, donde n > m, el valor acumulado de cada fondo es 4K. Determine m. Respuesta: 7,2725.

1.13

Tasas de interés variables en el tiempo

En esta sección se consideran casos que implican intereses variables. El primer caso se refiere a un interés continuo que cambia continuamente δt .6 En este caso, el valor acumulado en el periodo t está dado por t

∫ δt ×dt

A(t ) = A(0) × e 0

El motivo por el cual se utiliza el interés continuo en las finanzas empresariales reside en que el flujo de efectivo se aproxima mejor a un patrón continuo en determinadas ocasiones, es decir, las operaciones en efectivo tienden a distribuirse en un año, de modo más o menos equitativo, en lugar de concentrarse en una fecha en particular. Debe considerarse que, en la vida real, las tasas de interés rara vez se cotizan de modo continuo. Cabe añadir que las instituciones financieras, por ejemplo, utilizan el supuesto de composición discreta en lugar de continua. Sin embargo, las tasas de interés continuas son de uso muy recurrente en los mercados de derivados.

6

Observe que en este caso se utiliza δt en lugar de simplemente δ.

1.13 Tasas de interés variables en el tiempo

Ejemplo 1.84 1 Dado un interés continuo de δt = , calcule el valor acumulado de 350 U.M. 8+ t invertidas durante 3 años.



b) Se sustituyen los valores y se calcula: A(3) = 350 × a(3) A(3) = 350 × e [

3

ln(1+t )]0

A(3) =1.400 La segunda situación implica cambios en la tasa de interés efectiva sobre un periodo de tiempo. Si in denota la tasa de interés efectiva en el n-ésimo periodo a partir de la fecha de inversión, el valor acumulado para el número entero t está dado por a(t ) = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ it )

(1.63)

donde a(t ) Función de acumulación ii Tasa de interés para i = 1, 2, …, n El valor presente está dado por

[ a (t )]

−1

= (1+ i1 )−1 × (1+ i2 )−1 × ... × (1+ in )−1

(1.64)

donde a(t ) Función de acumulación ii Tasa de interés del periodo i (i = 1, 2, …, n)

Ejemplo 1.85 Calcule el valor acumulado de 300 U.M. que han sido invertidas por 9 años, si la tasa de interés es de 3% durante los primeros 2 años, 4% en los siguientes 3 años y 1% en los últimos 4 años.

131

132

Cap. 1




b) Se reemplazan los valores y se obtiene: 300 × (1+ 0,03)2 × (1+ 0,04)3 × (1+ 0,01)4 = 372,55 Las fórmulas (1.63) y (1.64) pueden utilizarse como tasas nominales de interés o de descuento.

Ejemplo 1.86 Calcule la cantidad que debe invertirse hoy en un fondo para que después de 5 años se acumulen 3.000 U.M. Si se invierte en este fondo, se ganará una tasa de interés nominal de 3% compuesta trimestralmente durante los primeros dos años, una tasa de descuento nominal de 4% compuesta mensualmente durante los años 3 y 4, y una fuerza7 constante de interés de 3% durante el quinto año.


Se identifica la expresión a utilizar, que es la ecuación (1.64)

b) El importe que debe invertirse es: 3.000 1

0,03 4

8

3.000 1

0,03 4

8

1

0,02 12

24

1

0,02 12

24

e

0,03 1

3.000 (0,942) (0,9608) (0,9704)

e

0,03 1

2.634,85

El importe que debe invertirse hoy es 2.634,85 U.M. En relación con el interés variable, a menudo es importante calcular una tasa equivalente a la tasa que varía. La tasa que se debe calcular dependerá del periodo de tiempo elegido para la comparación.

7

Es el interés compuesto.

1.13 Tasas de interés variables en el tiempo

Ejemplo 1.87 a)

Calcule la tasa de interés efectiva durante un periodo de 4 años desde hoy, si la tasa de interés efectiva es de 10% en los primeros dos años desde hoy, 14% en los próximos tres años y 3% en los últimos tres.

b) ¿Qué hay sobre el periodo de ocho años a partir de hoy?

Solución Los pasos que se deben realizar son los siguientes: a)

Se tiene que (1+ i )4 = (1,10)2 × (1,14)2 . Se resuelve para i, y se obtiene: (1+ i )4 = (1,10)2 × (1,14)2 =1,5725 (1+ i )4 =1,5725 i =1,5725(1/4) −1 i = 0,1198 o 11,98% Por tanto, la tasa equivalente a las tasas de interés efectiva de 10% durante los primeros dos años desde ahora y 14% en los próximos dos años es igual a 11,98%.

b) Se tiene que (1+ i )8 = (1,10)2 × (1,14)3 × (1,03)3 . Se resuelve esta ecuación para i y se encuentra que: (1+ i )8 = (1,10)2 × (1,14)3 × (1,03)3 (1+ i )8 =1,958897 ⎛1⎞ ⎜ ⎟

i = (1,958897)⎝ 8 ⎠ −1 i = 0,08768 o 8,768%

Ejemplo 1.88 Calcule el valor acumulado de 1 U.M. al final de n periodos, donde la tasa de interés efectiva del k-ésimo periodo, 1 ≤ k ≤ n , está definida por ik = (1+ r ) × (1+ i ) −1 k

133

134

Cap. 1



Se conoce que: a(n ) = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ in ) a(n ) = (1+ r ) × (1+ i ) × (1+ r )2 × (1+ i ) × ... × (1+ r )n × (1+ i )

b) Luego, se tiene que: a(n ) = (1+ r )1+2+...+n × (1+ i )n = (1+ r )

n×( n+1) 2

× (1+ i )n

1.13.1 Problemas propuestos 1. Calcule la tasa de interés efectiva sobre un periodo de tres años, la cual es equivalente a una tasa de descuento efectiva de 8% el primer año, 7% el segundo y 6% el tercero. Respuesta: 7,53%. 2. Calcule el valor acumulado de 1 U.M. al final de n años si el interés con1 tinuo es δt = . 1+ t 1

Respuesta: e 1+n . 3. Calcule el valor acumulado de 1 U.M. al final de 19 años si el interés continuo es δt = 0,04 × (1+ t )−2 . Respuesta: 1 U.M. 4. Hace tres años se realizó una inversión de 1.000 U.M. Para los primeros seis meses, la tasa de interés efectiva anual fue de 2%, pero luego creció a 5% y no cambió durante los siguientes dos y medio años. Encuentre la acumulación presente de la inversión. Respuesta: 1.142,66 U.M. 5. La tasa de interés efectiva anual para un determinado año la determina la función in = 0,03 × n , donde n =1,2,3,... . La inversión inicial de Ryan de 400 U.M. gana intereses cada año con base en lo precedente. Encuentre el valor acumulado de su inversión después de seis años. Respuesta: 723,48 U.M.

1.14 Ecuaciones de valor y diagramas de tiempo

6. A un interés continuo de δt = a)

2 (k + 2 × t )

Un depósito de 75 U.M. en el tiempo t = 0 acumulará X en el tiempo t = 3 ; y

b) El valor presente en el tiempo t = 3 de un depósito de 150 U.M. en el tiempo t = 5 es también igual a X. Calcule X. Respuesta: 16,73 U.M. t3 1 7. Asuma que δt = . . Encuentre 100 a(3) Respuesta: 0,6976. 8. En el Fondo X, el dinero crece a una tasa de interés de

δ t = 0,01 × t + 0,1; 0 ≤ t ≤ 20 En el Fondo Y crece a una tasa de interés efectiva anual i. Se invierte 1 U.M. en cada fondo durante 20 años. El valor del Fondo X al final de 20 años es igual al valor del Fondo Y al final de 20 años. Calcule el valor del Fondo Y al final de 1,5 años. Respuesta: 1,0227 U.M. 9. Si la tasa de descuento efectiva en el año k es igual a 0,01× k + 0,06 para k =1,2,3 , calcule la tasa de interés simple equivalente del periodo de tres años. Respuesta: 0,0948.

1.14

Ecuaciones de valor y diagramas de tiempo

1.14.1 Definición Una ecuación de valor representa la equivalencia financiera, expresada en una fecha determinada, entre dos conjuntos de obligaciones o flujos de capitales cuyos vencimientos coinciden o se han hecho coincidir. Cuando se trata de interés compuesto, dos conjuntos de capitales que son equivalentes en una fecha, también lo son en cualquier otra, por lo que, la fecha focal puede fijarse en cualquier periodo. La idea fundamental de la ecuación de valor se basa en que el dinero tiene un valor que depende del tiempo.

135

136

Cap. 1


1.14.2 Utilidad La ecuación de valor es una de las técnicas más útiles en matemáticas financieras, debido a que permite plantear y resolver problemas financieros mediante desplazamientos simbólicos de capitales a través del tiempo. Se aplica, por ejemplo, en casos de transacciones en las que un deudor desea reemplazar un conjunto de pagos que debe efectuar a un determinado acreedor, por otro conjunto que sea equivalente, pero con otros importes y fechas de vencimiento. Para plantear la ecuación: a)

Se realiza una suma financiera de capitales, trasladándolos a una fecha de referencia (fecha focal), tomando en cuenta el aumento o disminución del dinero a través del tiempo.

b) Cuando se hayan llevado todos los capitales a la fecha focal acordada, se puede plantear una ecuación de valor y determinar, a partir de esta, los capitales de monto desconocidos. En este proceso se deben tomar en cuenta las siguientes magnitudes: a)

El principal.

b) La duración del periodo de inversión. c)

La tasa de interés.

d) El valor acumulado. Si una de estas variables no se conoce, se debe estimar sobre la base de las otras tres. En los cálculos que implican tasas de interés, el valor de una cantidad de dinero en cualquier punto en el tiempo depende del tiempo transcurrido desde el momento en que el dinero fue desembolsado hasta que es devuelto. Con frecuencia, este principio se caracteriza como el reconocimiento del valor del dinero en el tiempo. Además, se asume que refleja únicamente el efecto del interés y no incluye el efecto de la inflación. La inflación reduce el poder de compra del dinero en el tiempo, de modo que los inversionistas esperan una tasa de rendimiento más alta para compensarla. En este capítulo se deja de lado el efecto de la inflación cuando se aplique el principio mencionado. Como consecuencia de este principio, distintas cantidades de dinero, pagaderas en momentos distintos, no pueden compararse hasta que la cantidad sea acumulada o descontada a un momento en el tiempo (fecha de comparación). La ecuación que acumula o descuenta cada pago a la fecha de comparación es la ecuación de valor.


1.14.3 Diagrama de tiempo-valor El principal componente del diagrama de tiempo es una línea horizontal que representa el tiempo. A lo largo de ella, se señalan montos de dinero de dos conjuntos de capitales con sus vencimientos. Un conjunto se representa con flechas que se colocan arriba del eje del tiempo del diagrama tiempo-valor y, el otro conjunto, con flechas que se colocan abajo. El diagrama tiempo-valor sirve para facilitar la solución de los problemas financieros que se resuelven al plantear una ecuación de valor. Este diagrama no es una parte formal de una solución, pero ayuda a visualizar la solución de las ecuaciones de valor.

Ejemplo 1.89 En devolución de un pago de 1.200 U.M. al final de 10 años, un prestatario acuerda pagar de inmediato 200 U.M., 400 U.M. al final de 6 años y una cantidad X al final de 15 años. Calcule el pago al cabo de 15 años si la tasa de interés nominal es de 10% convertida semestralmente.


Para este ejemplo, se elije hoy como fecha de comparación.

b) El diagrama que representa estos flujos de caja se muestra en la siguiente figura: Figura 1.41. Diagrama de tiempo

0

6

15

200

400

X

Unidades monetarias c)

La ecuación de valor es la siguiente: 200 + 400 × (1+ 0,050)−12 + X × (1+ 0,050)−30 =1.200 × (1,05)−20 422,73 + X × (0,2314) =1.200 × (0,3769)

d) Al despejar X se obtiene: X ≈ 127,70 Cuando se resuelve la ecuación X, se encuentra que X ≈ 127,70 .

137

138

Cap. 1


Con el interés compuesto, una ecuación de valor producirá la misma respuesta para un valor desconocido, sin tomar en cuenta cuál fecha de comparación se eligió.

Ejemplo 1.90 En respuesta a una promesa de recibir 600 U.M. al final de 8 años, una persona acuerda pagar 100 U.M. de una vez, 200 U.M. al final de 5 años, y un pago adicional al final de 10 años. Calcule el pago al final de los 10 años si la tasa de interés nominal es de 8% capitalizable semestralmente.


La ecuación de valor en el periodo t = 0 es 100 + 200 × (1+ 0.04)−10 + X × (1+ 0.04)−20 = 600 × (1+ 0.04)−16 Cuando se resuelve para X se encuentra que X ≈ 186,75 .

b) La ecuación de valor en t =10 es 100 × (1+ 0,04)20 + 200 × (1+ 0,04)10 + X = 600 × (1+ 0,04)4 Observe que las 600 U.M. corresponden al periodo 8, por lo que sólo se necesitan llevarla dos años en el futuro (al año 10). Así, se obtiene: 219,11+ 296,05 + X = 701,91 X ≈ 186,75 Al resolver para X se encuentra que X ≈ 186,75 . Mientras que la elección de una fecha de comparación no tiene efecto sobre la respuesta que se obtuvo con interés compuesto, éste no es el caso del interés simple o descuento simple. Esta cuestión se analizará en el ejemplo 1.91.

Ejemplo 1.91 Calcule la cantidad a pagar al final de 15 años, equivalente a dos pagos de 500 U.M. cada uno, el primero de inmediato y el segundo al final de los 5 años. Se aplica una tasa de 2% de interés simple, la cual se gana desde la fecha en que cada pago se realiza. Utilice las siguientes fechas de comparación: a)

Al final de 15 años.

b) Al final de 20 años.



Con una fecha de comparación en t =15 , el valor equivalente al final de los 15 años será: 500 × (1+15 × 0,02) + 500 × (1+10 × 0,02) =1.250

b) Con una fecha de comparación en t = 20 , el valor equivalente al final de los 20 años será: 500 × (1+ 20 × 0,02) + 500 × (1+15 × 0,02) =1.350

Ejemplo 1.92 El inversionista A deposita 1.000 U.M. en una cuenta que paga una tasa de interés de 4% anual compuesta trimestralmente. Al final de los tres años, deposita un adicional de 1.000 U.M. El inversionista B deposita X en una cuenta 1 . Después de 5 años, los inversionistas A y B con un interés continuo de δt = 6 +t tienen la misma cantidad de dinero. Determine el valor de X.

Solución a)

Considere la primera cuenta del inversionista A. El importe inicial de 1.000 U.M. crece a una tasa de interés compuesta trimestral de 4% por cinco años; la cantidad acumulada es: 1.000 1

0,04 4

4 5

1.000 (1,01)20

Al tercer año realiza un depósito adicional de 1.000 U.M. El segundo depósito crece a una tasa de interés de 4% anual capitalizable trimestralmente por dos años. 1.000 1

0,04 4

4 2

1.000 (1,01)8

El valor en la cuenta del inversionista A después de 5 años es: A = 1.000 × (1,01)20 + 1.000 × (1,01)8 = 2.303,05 U.M.

139

140

Cap. 1


Entonces, A = 2.303,05 U.M. b) El monto acumulado en la cuenta del inversionista B después de 5 años está dado por 5

∫ 6dt+t

B= X×e 0 B= X×e

5

ln(6+t ) 0

B = X × e ln11−ln6 B= X×e B=

⎛11⎞ ln⎜ ⎟ ⎝6⎠

11 ×X 6

La ecuación de valor en el periodo t = 5 es: 11 × X =1.000 × (1,01)20 +1.000 × (1,01)8 6 Al resolver para X, se encuentra que: X ≈ 1.256,21 U.M.

1.14.4 Problemas propuestos 1. A cambio de pagos de 5.000 U.M. al final de 3 años y 4.000 U.M. al final de 9 años, un inversionista acuerda pagar de inmediato 1.500 U.M. y realizar un pago adicional al final del segundo año. Calcule el monto del pago adicional si i (4) = 0,08 . Respuesta: 5.159,24 U.M. 2. A una tasa de interés determinada, los valores presentes de los siguientes dos patrones de pagos son iguales. a)

200 U.M. al final de 5 años más 500 U.M. al final de 10 años.

b) 400,94 U.M. al final de 5 años. A la misma tasa de interés, 100 U.M. reinvertidas ahora más 120 U.M. invertidas al final de 5 años acumularán un monto P al final de 10 años. Calcule P. Respuesta: 917,77 U.M.

1.15 Cálculo de una tasa de interés desconocida

3. Un inversionista realiza tres depósitos en un fondo al final de los años 1, 3 y 5. El importe del depósito en el periodo t es 100 × (1,025)t . Calcule el monto del fondo al final de los 7 años si la tasa de descuento nominal capitalizable trimestralmente es de 4 / 41. Respuesta: 483,11 U.M. 4. Jean Paul y Michael toman un préstamo cada uno a una tasa de interés (2) determinada i . Michael repagará su préstamo mediante un pago de 800 U.M. al final del año10. Jean Paul repagará su préstamo con un pago de 1.120 U.M. al final del año 10. La tasa de interés nominal semestral que es cargada a Michael es la mitad de la tasa semestral nominal cargada a Jean Paul. Calcule i (2) . Respuesta: 0,069. 5. Ryan tiene la obligación de pagar a partir de hoy 3.000 U.M. en 4 años y 5.000 U.M. en 6 años. Su acreedor le permite descargar esas deudas por pagar a partir de hoy X U.M. en dos años, 1.000 U.M. en tres años, y un pago final de 2 × X U.M. en 9 años. Si se supone una tasa efectiva anual de interés de 6%, calcule X. Respuesta: 3.153,48 U.M. 6. Un prestatario está repagando un préstamo mediante pagos de 1.000 U.M. al final de cada uno de los 3 años. La tasa de interés sobre el préstamo es de 5% compuesta anualmente. ¿Qué pago puede realizar el prestatario al final del primer año con el fin de honrar el préstamo? Respuesta: 2.859,41 U.M.

1.15

Cálculo de una tasa de interés desconocida

En esta sección se calculará la tasa de interés, i, que no se conoce en una ecuación de valor. Los métodos que se utilizarán son el método directo, el método analítico, la interpolación lineal y el método de iteraciones sucesivas. A continuación se explica cada uno de ellos.

1.15.1 El método directo Cuando se considera un solo pago, la mejor manera es calcular i directamente en la ecuación de valor (utilizando funciones exponenciales y logarítmicas). En esta situación, la ecuación de valor adopta cualquiera de las siguientes formas: a)

A = P × (1+ i )n o

b)

A = P × e δ ×n

141

142

Cap. 1


Así, el interés es: A P

1 n

1

(1.65)

A 1 ln P n

(1.66)

i

donde i Tasa de interés A Valor acumulado o valor futuro P Capital o valor presente n Número de periodos δ Tasa de interés continua

Ejemplo 1.93 Si al invertir a plazo fijo un capital de 500 U.M. se logra un monto de 800 U.M. al final de 4 años, calcule la tasa de interés capitalizable semestralmente.

Solución Los pasos a realizar son los siguientes: i (2) la tasa de interés efectiva por 6 meses. 2 b) Se conoce que 500 × (1 + j)8 = 800. a)

Sea j =

c)

Con ayuda de una calculadora se calcula j y se obtiene: j

8 5

1 8

1 0,06051

Por lo tanto, i (2) = 2 × j = 0,121 o 12,1%

1.15.2 El método analítico Cuando se deben realizar múltiples pagos, la ecuación de valor es f (i ) = 0 , una función diferenciable. El objeto es calcular soluciones no negativas para esta ecuación.


Si f (i ) es una función polinomial, el problema se reduce a resolver ecuaciones polinomiales. Se pueden utilizar algunos métodos algebraicos, como la prueba cero de racionalidad,8 la ecuación cuadrática,9 entre otras.

Ejemplo 1.94 ¿A qué tasa de interés efectiva el valor presente de 1.000 U.M. al final de 3 años más 2.000 U.M. al final de 6 años serán iguales a 2.700 U.M.?


La ecuación de valor en el tiempo t = 0 , o valor presente, es 2.000 ×

1 1 + 1.000 × = 2.700 6 (1+ i ) (1+ i )3 2.000 × v 6 + 1.000 × v 3 = 2.700

Si se divide entre 1.000 se obtiene: 2 × v 6 +1× v 3 = 2,7 b) Se utiliza la fórmula cuadrática y el hecho de que v 3 > 0 . Se reescribe la última ecuación de la siguiente manera: 2 × v 2 x 3 +1× v 3 = 2,7 Se hace un cambio de variable y se supone que:

ν3 = a Por lo que, 2 × a2 +1× a − 2,7 = 0

8

9

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. Una ecuación de segundo grado, o ecuación cuadrática, es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a 2. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: ax 2 + bx + c = 0 , donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es n el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en x es de 2n n la forma: a × x + b × x + c = 0 .

143

144

Cap. 1


Ésta es una ecuación cuadrática y al resolverla se obtiene lo siguiente: a=

− (b ) ± (b )2 − 4 × (a ) × (c ) 2 × (a )

a=

−1 ± (1)2 − 4 × (2) × (−2,7) 2 × (2)

Como sólo se busca el valor positivo, se obtiene que a = 0,9385, por lo que, a = v 3 = 0,9385 implica que v ≈ 0,9791. Así, i=

1 −1 ≈ 0,0213 = 2,13% 0,9791

1.15.3 Interpolación lineal Si es imposible resolver la ecuación f (i ) = 0 por métodos algebraicos conocidos, se pueden utilizar métodos de aproximación como la interpolación lineal. Asuma que se conocen los valores de una función f ( x ) en los puntos x1 y x2 , y que f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) . Si x1 − x2 es pequeño, puede ser razonable suponer que la representación gráfica de f es aproximadamente lineal entre x1 y x2 . Esto equivale a asumir que f ( x ) = f ( x1 ) +

f ( x2 ) − f ( x1 ) × ( x1 − x2 ) x2 − x1

(1.67)

para x1 < x < x2 . Si se espera determinar un valor aproximado de x donde f ( x ) tiene un valor específico y 0 , se puede utilizar esta ecuación para dicho propósito y encontrar: x = x1 + ( x2 − x1 ) ×

y 0 − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 )

(1.68)

En particular, si se espera encontrar un cero de f cerca de determinados puntos (por ejemplo, y 0 = 0 ) y si f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , una buena aproximación puede ser: x ≈ x1 − f ( x1 ) × donde x1 Variable 1 x2 Variable 2

x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 )

(1.69)


Cuando se aplican esas fórmulas para puntos entre dos puntos x1 y x2 , se habla de interpolación lineal.10

Ejemplo 1.95 ¿A qué tasa de interés, capitalizable semestralmente, 1.000 U.M. invertidas hoy y 2.000 U.M. en tres años desde hoy, se acumulan hasta alcanzar las 5.000 U.M. dentro de 10 años?

Solución Se realizarán los siguientes pasos: a)


b) Se desarrolla por partes el ejemplo. Así, la ecuación de valor en el tiempo t =10 es 1.000 × (1+ j )2×10 + 2.000 × (1+ j )2×7 = 5.000 , donde j =

i (2) . 2

Se utilizará la interpolación lineal para calcular j. Con este fin, se define: f ( j ) =1.000 × (1+ j )20 + 2.000 × (1+ j )14 − 5.000 Se quiere encontrar j tal que f ( j ) = 0 . Por el método de prueba y error, se trata de encontrar dos valores alrededor de cero. Por ejemplo, f (0,03) = −168,71 y f (0,035) = 227,17 . Como f es continua, y j está entre esos dos valores, se utiliza la interpolación lineal que se presenta en la ecuación (1.69) y se calcula: j ≈ 0,03 − (−168,71) ×

0,035 − 0,030 ≈ 0,0321 227,17 +168,71

Y f (0,0321) = −6,11. Este número es distinto de cero por el redondeo aplicado, y se puede asumir razonablemente que este valor es en realidad es igual a cero.

10

Con el polinomio de interpolación de Newton, se logra aproximar un valor de la función f (x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:

f ( x x1 ; x2 ) = f ( x1 ) +

f ( x2 ) − f ( x1 ) × ( x − x1 ) . ( x2 − x1 )

145

146

Cap. 1


Por tanto, i (2) = 2 × j i (2) = 0,0642 o 6,42%

1.15.4 Métodos de iteraciones sucesivas Estos métodos se utilizan para alcanzar un mayor nivel de precisión. Uno de ellos es el método de la bisección y el otro el de Newton-Raphson.

1.15.4.1 El método de bisección11 Este método se basa en que una función diferenciable f que satisface f (α ) × f (β ) < 0 debe satisfacer la función f ( x 0 ) para alguna x 0 entre α y β . El primer paso consiste en encontrar dos valores iniciales x 0 y x1 , x 0 < x1 tales que f ( x 0 ) × f ( x1 ) < 0 . Por lo general se calculan por prueba y error. Luego se divide el intervalo calculando el punto medio x2 =

x 0 + x1 . 2

Si f ( x 0 ) × f ( x2 ) < 0 se aplica el proceso de división al intervalo x 0 ≤ x ≤ x2 . Si f ( x1 ) × f ( x2 ) < 0 , se aplica el proceso de división al intervalo x2 ≤ x ≤ x1 . Continúa el proceso de división tantas veces como sea necesario para alcanzar el nivel de precisión deseado. A continuación se presenta un ejemplo.

Ejemplo 1.96 ¿A qué tasa de interés capitalizable semestralmente 1.000 U.M. invertidas hoy y 2.000 U.M. a tres años crecen hasta 5.000 U.M. en diez años desde hoy? Utilice el método de bisección.

11

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. Unas cuantas iteraciones del método de bisección aplicadas en un intervalo [a1;b1]. El punto naranja oscuro que interseca con x es la raíz de la función.

f(x) f(a1) a1

f(a2) f(a3) f(b2)

b1 x f(b1)



La ecuación de valor en el periodo t = 10 años es 1.000 × (1+ j )20 + 2.000 × (1+ j )14 = 5.000 , donde j =

i (2) 2

b) Por tanto, se define: f ( j ) =1.000 × (1+ j )20 + 2.000 × (1+ j )14 − 5.000 La regla de signos de Descartes12 sostiene que el número máximo de raíces positivas de una ecuación polinomial es igual al número de cambios de signos en los coeficientes del polinomio. En este caso, la regla de Descartes afirma que existe una raíz positiva para la ecuación f ( j ) = 0 . Ahora, por prueba y error se examina que f (0) = −2.000 y f (0,1) = 9.322,50 . Por tanto, j está entre estos dos valores. Sea j2 =

0 + 0,1 = 0,05 . 2

Luego, f (0,05) =1.613,16 , de modo que f (0) × f (0,05) < 0 . Ahora se bisecciona el intervalo [0;0,05] por medio del punto 0 + 0,05 j3 = = 0,025 y observe que f ( j3 ) = −535,44 . 2 Luego, f (0,025) = −535,44 , f (0,025) × f (0,05) < 0 .

de

modo

que

f (0) × f (0,025) > 0

y

Esto último implica que j está entre estos dos valores [0,025, 0,05]. Sea 0,025 + 0,05 j2 = = 0,0375 2

12

Con base en esta regla: a) El número de raíces positivas es igual al número de variaciones de f(x) o es menor que este número en un número par. b) El número de raíces negativas es igual al número de variaciones de f(−x) o es menor que este número en un número par.

147

148

Cap. 1


Se continúa este proceso para obtener la siguiente tabla: N

f(jn)

jn

−2.000,00

0

0

1

0,1

9.322,50

2

0,05

1.613,16

3

0,025

–535,44

4

0,0375

436,75

5

0,03125

–72,55

6

0,034375

176,02

7

0,0328125

50,25

8

0,03203125

−11,52

9

0,032421875

19,27

10

0,0322265625

11

0,0321289063

12

0,0321777344

3,852 −3,84 0,005

Por tanto, j ≈ 0,032178 ajustado a seis decimales en comparación a 0,0321 que se determinó en el ejemplo 13.3. Así, i 2 = 2 × j = 0,06436 = 6,436% .

1.15.4.2 El método de Newton–Raphson13 Este método utiliza la siguiente fórmula: j n+1 = j n −

f ( jn ) f '( j n )

(1.70)

donde jn Tasa de interés efectiva en el periodo n 13

El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede utilizarse para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.


El problema con el método de la bisección es que la tasa de convergencia es baja. Un método de iteración con una tasa de convergencia más rápida es el método de Newton–Raphson. Este método requiere una tasa de convergencia, la cual indicará cuándo detener la aproximación. El factor de convergencia es la diferencia entre dos aproximaciones. Por ejemplo, si se desea un factor de convergencia de 0,00001, el método se detendrá una vez que la diferencia entre dos aproximaciones sea igual o menor que ese número.

Ejemplo 1.97 ¿A qué tasa de interés capitalizable semestralmente 1.000 U.M. invertidas hoy y 2.000 U.M. en tres años a partir de hoy acumulan 5.000 U.M. diez años desde hoy? Utilice el método de Newton–Raphson suponiendo un factor de convergencia de 0,00001.

Solución f ( j ) =1.000 × (1+ j )20 + 2.000 × (1+ j )14 − 5.000 f '( j ) = 20.000 × (1+ j )19 + 28.000 × (1+ j )13 Por tanto, j n+1 = j n −

(1+ j )20 + 2 × (1+ j )14 − 5 20 × (1+ j )19 + 28 × (1+ j )13

Se establece j o = 0 . Así, j1 = 0 −

1+ 2 − 5 = 0,0416666667 20 + 28

j2 = 0,0416666667 − j3 = 0,0328322051− j 4 = 0,0321809345 −

(1,04165666667)20 + 2 × (1,0416666667)14 − 5 = 0,0328322051 20 × (1,0416666667)19 + 28 × (1,0416666667)13 20 (1,0328322051) + 2 × (1,0328322051)14 − 5

20 × (1,0328322051)19 + 28 × (1,0328322051)13

= 0,0321809345

20 (1,0321809345) + 2 × (1,0321809345)14 − 5 = 0,032177671 19 13

20 × (1,0321809345) + 28 × (0,0321809345)

Como se puede observar, la diferencia entre j3 y j4 es igual a 0,00000326 < 0,00001. Esto indica que se ha alcanzado el factor de convergencia y que el proceso se puede determinar. De esta forma, en sólo cuatro iteraciones se encuentra que j = 0,032178. En consecuencia, i (2) = 6,436%

149

150

Cap. 1


1.15.5 Problemas propuestos 1. Calcule la tasa de interés nominal capitalizable semestralmente a la cual el valor acumulado de 1.000 U.M. al final de 15 años es de 5.000 U.M. Respuesta: 11,02%. 2. Calcule la tasa de interés efectiva exacta a la cual los pagos de 300 U.M. hoy, 200 U.M. al final de un año, y 100 U.M. al final de dos años se acumularán a 700 U.M. al final de dos años. Respuesta: 11,963%. 3. La suma del valor acumulado de 1 U.M. al final de tres años a una tasa de interés efectiva determinada i, y el valor presente de 1 U.M. a pagar al final de tres años a una tasa de descuento efectiva numéricamente igual a i es 2,0096. Encuentre la tasa i. Respuesta: 4%. 4. Isabella puede recibir uno de los dos siguientes flujos de pagos: a)

1.000 U.M. ahora, 2.000 U.M. en el periodo n, y 3.000 U.M. en el periodo 2n.

b) 6.000 U.M. en el periodo 10. A una tasa de interés efectiva anual de i, los valores presentes de los dos flujos son iguales. Dado que v n = 0,5 , determine i. Respuesta: 8,11%. 5. Vanesa recibe hoy un flujo de efectivo de 100 y 200 U.M. dentro de un año, y 100 U.M. en dos años. El valor presente de esos flujos de efectivo suman 364,46 U.M. a una tasa de interés efectiva anual de i. Calcule i. Respuesta: 0,1610 o 16,10%. 6. A una tasa de interés nominal de i capitalizable semestralmente, una inversión de 1.000 U.M. de inmediato y de 1.500 U.M. al final del primer año acumulará 2.600 U.M. al final del segundo año. Calcule i. Respuesta: 0,014 o 1,4%.

1.16

Cálculo del tiempo

El tiempo se puede calcular si se conocen el principal, el periodo de inversión, la tasa de interés y el valor acumulado. Se analizarán algunos ejemplos.

1.16 Cálculo del tiempo

Ejemplo 1.98 Un pago único de 3.938,31 U.M. pagará una deuda cuyo plan de repago original fue de 1.000 U.M. pagable el 1º de enero de cada uno de los próximos cuatro años, comenzando el 1º de enero de 2010. Si la tasa anual efectiva es de 8%, ¿en qué fecha debe realizarse el pago de 3.938,31 U.M.?

Solución La ecuación de valor con fecha de comparación 1º de enero de 2010 es la siguiente: 1.000 × [1+ (1+ 0,08)−1 + (1+ 0,08)−2 + (1+ 0,08)−3 ] = 3.938,31 × (1+ 0,08)−t Cuando se resuelve la ecuación para t, se encuentra que t =−

ln{1.000 × (3.938,31)−1 × ⎡⎣1+ (1+ 0,08)−1 + (1+ 0,08)−2 + (1+ 0,08)−3 ⎤⎦} ln 1,08

≈ 1,25

Se expresan 1,25 años en términos de años, meses y días. Así, 0,25 años equivalen a 12 meses × 0,25 = 3 meses Es decir, 1,25 años equivalen a un año y tres meses. Como se empieza a partir del 1º de enero de 2010, el pago será un año tres meses más adelante, es decir, el 31 de marzo de 2011. En el ejemplo anterior, la solución puede obtenerse con ayuda de una calculadora con funciones logarítmicas y exponenciales. Otra opción es utilizar la interpolación lineal de las tablas de interés, como se ilustra en el ejemplo 1.99.

Ejemplo 1.99 Calcule el tiempo necesario para que 1.000 U.M. se conviertan en 1.500 U.M. si se invierte a una tasa de 6% anual compuesta semestralmente. a)

Por el método directo (por ejemplo, con una calculadora).

b) Por interpolación lineal en las tablas de intereses.

Solución Se realizan los siguientes pasos: Sea t la fecha de comparación. Luego se debe tener que: 1.000 × (1,03)2×t =1.500

151

152

Cap. 1


a)

Se despeja t: 1 ln1,5 t= × 2 ln1,03 t = 6,859 años

b) Si (1,03)13 =1,46853 y (1,03)14 =1,51259 . Por lo tanto, 13 < 2 × t <14 . Si se realiza una interpolación lineal, se encuentra que: 2 × t =13 +

1,5 −1,46853 1,51259 −1,46853

2 × t =13,714 En consecuencia, t = 6,857 años.

1.16.1 La regla del 7214 Para ilustrar esta regla, conviene preguntarse cuánto tiempo se requiere para duplicar una inversión, dada una tasa de interés compuesta específica. Se comienza con 1 U.M. invertida a una tasa de interés compuesta anual i, se establece que n sea el tiempo necesario para que el valor acumulado se convierta en 2. Es decir, (1+ i )n = 2 Si se aplica el logaritmo natural a ambos lados, se obtiene: n × ln (1+ i ) = ln 2 Y al resolver para n se obtiene: n=

ln2 ln (1+ i )

donde n Tiempo i Tasa de interés

14

En finanzas se emplea la regla del 72 para determinar el tiempo necesario para duplicar una inversión aplicando un determinado interés. Se utiliza al dividir 72 entre la tasa de interés, el resultado es el número de años necesario para duplicar la inversión. O bien, a la inversa, 72 dividido entre el número de años es igual al interés necesario para duplicar la inversión.


Interesará calcular una aproximación lo más precisa posible de i = 8% , se empieza x en torno a x = 0,08 a escribir la aproximación de la serie de Taylor de ln(1+ x ) para obtener: x = 1,039486977 + 0,4874162023 × ( x − 0,08) − 0,07425872903 × ( x − 0,08)2 + ... ln(1+ x ) x ≈ 1,039486977 ln(1+ x )

Luego, el tiempo necesario para que el principal se duplique será: ln2 ln(1+ i ) ln2 i t= × i ln(1+ i ) ln2 t≈ × (1,039486977) i 0,72 t≈ i t=

Este procedimiento se llama la regla del 72, por lo que t puede reescribirse en la forma: t=

72 100 × i

(1.71)

donde n Tiempo i Tasa de interés Ahora se presenta una tabla que proporciona el número real de años que se necesitan para duplicar una suma de dinero sobre la base de diferentes tasas de interés, junto con el número que proporciona la regla del 72. Tasa (%)

Real

Regla del 72

1

69,66

72,00

2

35,00

36,00

3

23,45

24,00

4

17,67

18,00

153

154

Cap. 1


5

14,21

14,40

6

11,90

12,00

7

10,24

10,29

8

9,01

9,00

9

8,04

8,00

10

7,27

7,20

…

…

…

15

4,96

4,80

20

3,80

3,60

25

3,11

2,88

30

2,64

2,40

40

2,06

1,80

50

1,71

1,44

75

1,24

0,96

100

1,00

0,72

Existen situaciones en que esta regla del 72 no funciona, como por ejemplo: Si se efectúan aportes periódicos, mensuales, trimestrales, etc., en los planes de pensiones: la regla sólo es válida en el caso de una sola aportación. Si se hacen inversiones con retornos muy variables, como las acciones, los fondos de inversión o los bonos: la regla se aplica sólo cuando la tasa de interés es constante. Si la tasa de interés es superior a 18%, la aproximación no funciona y se aleja cada vez más del valor real; por ejemplo, si fuese de 72% se obtendría que el capital se duplica en un año, cuando ello sólo sería posible para un retorno de 100%, como se observa en el cuadro anterior.


Ejemplo 1.100 Asuma que 2.000 U.M. se invierten a una tasa de 7% compuesta semestral. a)

Utilice la fórmula exacta para calcular cuánto tiempo demorará para que la inversión se duplique.

b) Utilice la regla del 72 y calcule el tiempo que se requiere para que la inversión se duplique.

Solución Los pasos a realizar para su resolución son lo siguientes: a)

Al utilizar la fórmula exacta para el interés compuesto, se obtiene: 2.000 × (1+ 0,035)2×t = 4.000 Al resolver para t, se encuentra que t ≈ 10,074 años.

b) Cuando se emplea la regla del 72, resulta: t=

72 ≈ 10,286 7

1.16.2 El método de tiempo equivalente Con el fin de explicar en qué consiste este metodo, se presenta el siguiente ejemplo. Suponga que las cantidades s1 , s2 ,..., sn son pagadas en t1 ,t 2 ,...,t n dada la tasa de interés anual i. Calcule el tiempo t cuando un pago único de s1 + s2 + ... + sn sería equivalente a los pagos individuales realizados de manera separada. Esta situación se visualiza mediante el diagrama de tiempo de la figura 1.42. Figura 1.42. Diagrama de tiempo

0

s1

s2

s*

sn

T1

T2

T*

Tn T*

n k 1

Sk

155

156

Cap. 1


En este caso, la ecuación del valor en el periodo t = 0 es ( s1 + s2 + ... + sn ) × v t * = s1 × v t1 + s2 × v t2 + ...sn × v t n

(1.72)

donde t* Tiempo equivalente si Pago i ti Tiempo i Si se aplica el logaritmo natural a ambos miembros se obtiene: t * × ln v + ln ( s1 + s2 + ... + sn ) = ln ( s1 × v t1 + s2 × v t2 + ... + sn × v t n ) Se resuelve para t* y se recuerda que ln v = −δ , así se encuentra que: t*

1

ln

s1 v t1 s2 v t2 ... sn v t n s1 s2 ... sn

1

ln(

n k=1

sk ) ln(

n

sk v t k )

k=1

A fin de brindar una aproximación a t*, se debe recordar la expansión de la serie binomial: (1+ x )α =1+

α α × (α −1) 2 α × (α −1)...(α − n +1) n ×x+ × x + ... + × x + ... 1! 2! n!

En esta ecuación

α ∈ R y −1 < x <1 Si se utiliza la expansión15 de series, se puede escribir: *

v t = (1+ i )−t * =1+

(−t * ) (−t * ) × (−t * −1) 2 ×i+ × i + ... ≈ 1− i × t * 1! 2!

De manera similar se tiene: v tk = (1+ i )−tk =1+

(−t k ) (−t k ) × (−t k −1) 2 + × i + ... ≈ 1− i × t k 1! 2!

Si se sustituyen estas aproximaciones en la ecuación, v *t =

15

s1 × v t1 + s2 × v t2 + ... + sn × v t n s1 + s2 + ... + sn

Se refiere a la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a − r, a + r).


Se obtiene que: 1− i × t * ≈

s1 × (1− i × t1 ) + s2 × (1− i × t 2 ) + ... + sn × (1− i × t n ) s1 + s2 + ... + sn

Se resuelve para t* y se obtiene la siguiente aproximación: t* ≈

s1 × t1 + s2 × t 2 + ... + sn × t n =t s1 + s2 + ... + sn

(1.73)

donde t* Tiempo equivalente si Pago i ti Tiempo i t Tiempo medio El cálculo de t* con t se conoce como el método del tiempo equivalente.

Ejemplo 1.101 Los pagos de 100 U.M., 200 U.M. y 500 U.M. son desembolsados al término de los años 2, 3 y 8, respectivamente. Si se asume una tasa de interés efectiva de 5% anual, calcule el punto en el tiempo en que un pago de 800 U.M. sería equivalente utilizando el método del tiempo equivalente.


Cuando se aplica el método se tiene: t=

100 × 2 + 200 × 3 + 500 × 8 = 6 años 100 + 200 + 500

b) Con una aproximación t , el valor presente estimado del pago simple equivalente es: VP = ( s1 + s2 + s3 + ... + sn ) × v t c)

Como se puede apreciar, t sobrestima a t. Cabe agregar que el valor presente real es superior al valor presente dado por el método del tiempo equivalente.

157

158

Cap. 1


1.16.3 Teorema sobre tiempo equivalente Con s1 , s2 ,..., sn ,t1 ,t 2 ,...,t n , t se define: s1 × v t1 + s2 × v t2 + ...sn × v t n > ( s1 + s2 + ... + sn ) × v t Por tanto, t > t . Prueba Considérese que cada pago s1 es igual a v t1 , que cada pago s2 es igual a v t2 y que cada pago sn es igual a v t n . Primero se calcula la media aritmética. s1 × v t1 + s2 × v t 2 + ... + sn × v tn s1 + s2 + ... + sn Luego la media geométrica es:

(v

s1t1

v

s2t2

...v

sn t n

)

1 s1 + s2 +...+ sn

=v

s1t1 + s2t2 +...+ sn t n s1 + s2 +...+ sn

= vt

La media aritmética es siempre mayor que la geométrica. Por tanto, s1v t1 + s2v t2 + ... + sn v t n > ( s1 + s2 + ... + sn ) × v t > vt s1 + s2 + ... + sn s1 × v t1 + s2 × v t2 + s3 × v t3 + ... + sn × v t n > ( s1 + s2 + ... + sn ) × v t El lado izquierdo es el valor presente verdadero y el lado derecho es el valor presente estimado. Advierta que esta última ecuación implica que v t > v t por (1.69). Así, v t − t >1 y puesto que v <1 se debe tener que t > t .

Comentario Es fácil calcular la solución por medio del método del tiempo equivalente, que además brinda un resultado preciso. Es importante notar que la tasa de interés no desempeña rol alguno en los cálculos al utilizar este método.

Ejemplo 1.102 Un prestatario obtuvo un préstamo por el cual recibirá 1.000 U.M. después de 10 años, 2.000 U.M. después de 20 años y 3.000 U.M. después de 30 años. Espera liquidar el préstamo con un pago de 6.000 U.M. Sea T1 el tiempo en que se pro-


duce el pago de 6.000 U.M. calculado al utilizar la ecuación de valor, y sea T2, ¿cuál será el tiempo determinado por el método del tiempo equivalente? Si la tasa de interés i es 0,01, encuentre el valor de T1 – T2.


La ecuación de valor en t = 0 es: 1.000 × v10 + 2.000 × v 20 + 3.000 × v 30 = 6.000 × v T1

b) Se calcula T1. T1 = c)

ln(v10 + 2 × v 20 + 3 × v 30 ) = 23,05 − ln (1,01)

Ahora, al utilizar el método del tiempo equivalente se tiene: T2 =

1.000 ×10 + 2.000 × 20 + 3.000 × 30 = 23,33 6.000

d) Por tanto, T2 − T1 = 23,33 − 23,05 = 0,28

1.16.4 Problemas propuestos 1. El valor presente de un pago de 10.000 U.M. realizado en t años es igual a 9.000 U.M. Si i =10% , calcule t. Respuesta: 1 año, 1 mes y 8 días, aproximadamente. 2. El valor presente de dos pagos de 150 U.M. cada uno que se realizan al término de n y 2n años es 150 U.M. Si i = 0,05, calcule n. Respuesta: 9 años, 10 meses y 9 días, aproximadamente. 3. ¿Cuánto tiempo debe permanecer un depósito de 1.000 U.M. para crecer a 6% efectivo con el objeto que este duplique el valor acumulado de otras 1.000 U.M. depositadas en el mismo tiempo a 4% efectivo? Respuesta: 36 años, 4 meses y 20 días, aproximadamente. 4. Un prestatario requiere un préstamo para repagar 1.000 U.M. después de 1 año, 2.000 U.M. después de 2 años, 3.000 U.M. después de 3 años, y 4.000 U.M. después de 4 años. ¿A qué plazo el prestamista puede hacer un préstamo de 10.000 U.M. con base en el método del tiempo equivalente? Respuesta: 3 años.

159

160

Cap. 1


5. Un fondo gana intereses a una tasa de interés nominal de 12% compuesta mensualmente. Si 1.000 U.M. se invierten en el fondo, crecerá a 5.320,97 U.M. después de n años. Calcule n. Respuesta: 14 años. 6. Un fondo gana intereses a un interés continuo de δt = 0,05 ×t . Pedro invierte 2.000 U.M. en el tiempo t = 0 . Después de n años, él tiene 4.919,20 U.M. Calcule n. Respuesta: 18 años. 7. Un fondo gana intereses a un interés continuo de δt = 0,01×t 2 . Calcule el tiempo que se requiere para que el fondo se triplique. Respuesta: 10 años, 5 meses y 22 días, aproximadamente.

1.17 Nombre Valor acumulado (1.1)

Fórmulas y nomenclatura Fórmula

A(t ) = P × (1+ i × t )

Nomenclatura A(t): Valor acumulado en t años P: Principal t: Tiempo i: Tasa de interés

Interés ganado (1.2)

Interés ganado = A(t + s ) − A(t )

A(t + s): Valor acumulado en t + s periodos A(t): Valor acumulado en t periodos

Tasa de interés anual (1.3)

A (t +1) − A (t ) Tasa de interés anual = A(t )

A(t + 1) Valor acumulado en t + 1 periodos A(t): Valor acumulado en t periodos

Valor acumulado (1.4)

A = P × (1+ i )t

A: Valor acumulado P: Principal i: Tasa de interés t: Tiempo (1 + i)t: Factor de capitalización

1.17 Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Fórmula

Nomenclatura


A=P+I

A: Valor acumulado P: Principal I: Interés


I = P ×i

P: Principal I: Interés i: Tasa de interés

Valor acumulado en el periodo t + 1 (1.7)

A (t +1) = A (t ) × (1+ i )

161

A(t): Valor acumulado en t periodos (t = 1,2) P: Principal i: Tasa de interés t: Tiempo

Valor presente (1.8)

A = P × (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × (1+ i3 ) × ... × (1+ in )

A: Valor acumulado ii: Tasa de interés en el i-ésimo periodo (i = 1, 2,…, n) P: Préstamo


A P= (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × (1+ i3 ) × ... × (1+ in )

A: Valor acumulado ii: Tasa de interés en el i-ésimo periodo (i = 1, 2,…, n) P: Préstamo


Descuento sobre A (1.11) Función de acumulación (1.12)

P=

A (1+ i )t

D = A− P

A(t ) a (t ) = A(0)

A: Valor acumulado i: Tasa de interés en este caso conocida como la tasa de descuento t: Tiempo P: Principal 1 : Factor de descuento (1+ i )t D: Descuento sobre A A: Valor acumulado P: Principal o valor presente a(t): Función de acumulación A(t): Valor acumulado t periodos A(0): Principal (P)

162

Cap. 1


Nombre Interés ganado (1.13)


Fórmula

I n = A(n ) − A(n −1)

I ( s ,t ) = k × [ a(t ) − a( s )]

Pago total (1.16)

Tasa de interés efectiva (1.18) Función de acumulación (1.19)

In: Interés ganado en el periodo n A(n): Valor acumulado en el periodo n I ( s ,t ) : Interés ganado

in =

a(i): Función de acumulación hasta el periodo i (i = t, s) k: Inversión original

I = P ×i×n

I: Interés P: Capital i: Tasa de interés n: Número de periodos

F = P × (1+ i × n )

F: Valor futuro P: Valor presente i: Tasa de interés n: Número de periodos

i , n ≥1 1+ i × (n −1)

in: Tasa de interés efectiva i: Tasa de interés n: Número de periodos

Interés (1.15)

Tasa de interés efectiva (1.17)

Nomenclatura

in =

a(n ) − a(n −1) a(n −1)

in: Tasa interés efectiva a(n): Función de acumulación

a(t + s ) = a(t ) + a( s ) − a(0)

a(n): Función de acumulación

Función de acumulación en función al tiempo t (1.20)

a(t ) =1+ i × t , para t ≥ 0

a(t): Función de acumulación i: Tasa de interés t: Tiempo

Aproximación a la tasa de interés (1.21)

(1+ i )t ≈ 1+ i × t

i: Tasa de interés t: Tiempo


Nombre Cálculo del tiempo (1.22) Método “30/360” (1.23)

Fórmula Tiempo =

Número de días entre dos fechas Número de días en un año

Fn = P × (1+ i )

Valor acumulado después de t periodos (1.25)

Propiedad de la tasa de interés (1.27)

Nomenclatura

n: Número de periodos n = (Y2 − Y1 ) × 360 + ( M2 − M1 −1) × 30 + (30 − D1 + D2 ) Yi: Año i Mi: Mes i Di: Día i

Pago total en el periodo n (1.24)


163

a(t ) = (1+ i )t

in =

Fn: Pago total en el periodo n P: Capital i: Tasa de interés n: Número de periodos

n

a(t): Valor acumulado i: Tasa de interés t: Tiempo

para todo t ≥ 0

a(n ) − a(n −1) (1+ i ) − (1+ i ) = (1+ i )n−1 a(n −1) n

a(t + s ) = (1+ i ) × (1+ i ) t

s

n −1

=i

in: Tasa de interés efectiva i: Tasa de interés a(n): Función de acumulación hasta el periodo n n: Número de periodos a(n): Valor acumulado (n = t, s) i: Tasa de interés n: Tiempo (n = t, s)

Propiedad del interés compuesto (1.28)

a(t + s ) = a(t ) × a( s ), t , s ≥ 0

a(t): Valor acumulado n: Tiempo (n = t, s)

Valor acumulado en el periodo t (1.29)

a(t ) = (1+ i )t , ∀t ≥ 0

a(t): Valor acumulado i: Tasa de interés t: Tiempo

164

Cap. 1


Nombre

Fórmula


i i= s n

Interés (1.31) Tasa de interés efectiva (1.32)

I = A− P

i = a (1) − a (0) = a (1) −1


Tasa de crecimiento (1.34)

Cálculo del valor acumulado (1.35) Tasa de crecimiento en términos de a(t) (1.36) Función de acumulación inversa (1.37)

i=

cn =

I: Interés A: Valor acumulado P: Principal i: Tasa de interés efectiva a(t): Función de acumulación

I1 A(0)

In A(n − 1)

c n : Tasa de crecimiento In: Aumento de la función A(t) en el n-ésimo periodo A(n − 1): Valor acumulado en el periodo n − 1

× (1+ i2 ) × (1+ i1 ) × A(0)

a(n ) − a(n −1) a(n −1)

[ a(t )]−1 =

i: Tasa de interés efectiva is: Tasa de interés nominal o simple n: Número de periodos

i: Tasa de interés efectiva I1: Interés ganado en el periodo 1 A(0): Valor acumulado en el periodo 0

A(n ) = (1+ in −1 ) × (1+ in −2 ) × ... × (1+ i3 )

in =

Nomenclatura

1 , t ≥0 1+ i × t

A(n): Valor acumulado en el periodo n in: Tasa de crecimiento A(0): Principal in: Tasa de interés efectiva a(n): Función de acumulación en el periodo n [(a(t))]−1: Función acumulación inversa i: Tasa de interés t: Tiempo


Nombre Tasa de descuento efectiva (1.38) Tasa de descuento efectiva (1.39) Función de acumulación para un interés compuesto (1.40) Equivalencia entre funciones de acumulación de interés simple y compuesto (1.41) Función acumulación para el descuento simple (1.42) Valor presente (1.43) Función de acumulación inversa (1.44)

Fórmula

dn =

a(n ) − a(n −1) a(n )

I A(n ) − A(n −1) = n dn = A(n ) A(n )

a c (t ) =

1 , t ≥0 (1− dn )t

1 1 − a(n ) − a(n −1) (1− d )n (1− d )n−1 dn = = =d 1 a(n ) (1− d )n

165

Nomenclatura dn: Tasa de descuento efectiva a(n): Función de acumulación dn: Tasa de descuento efectiva In: Interés en n años A(n): Valor acumulado en n periodos ac(t):Función de acumulación para descuento compuesto dn: Tasa de descuento compuesta t: Tiempo

dn: Tasa de descuento compuesta d: Tasa de descuento simple a(n): Función de acumulación

1 1 a s (t ) = , 0≤t ≤ d 1− d × t

as(t): Función acumulación para descuento simple d: Tasa de descuento simple t: Tiempo

PV = P × (1− d × t )

PV: Valor presente P: Capital d: Tasa de descuento simple t: Tiempo

1+ i × t =

1 , ∀t ≥ 0 1− d × t

i: Tasa de interés d: Tasa de descuento simple t: Tiempo

166

Cap. 1


Nombre

Fórmula

Función de acumulación (1.45)


Tasa de interés nominal (1.48)

Equivalencia entre la tasa de interés efectiva y nominal (1.49)

i (m) 1 m

Valor acumulado P


i

i

(m)

i (m) 1 m

m

(1 i)t

1

1

1 m

i (m) m

m t

P: Capital inicial o valor presente i(m): Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m: Número de periodos de capitalización t: Tiempo i: Tasa de interés efectiva i(m): Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m: Número de periodos de capitalización

m

(1 i)

a(t): Función de acumulación i(m): Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m: Número de periodos de capitalización t: Tiempo

m t

i (m) m

1

a(t)

Nomenclatura

1

m t

i: Tasa de interés efectiva i(m): Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m: Número de periodos de capitalización i: Tasa de interés efectiva i(m): Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición m: Número de periodos de capitalización t: Tiempo


Nombre

Fórmula

Función de acumulación con la tasa de descuento nominal (1.50)

a(t)

Tasa de descuento efectiva (1.51)

Equivalencia entre la tasa de interés nominal y la tasa de descuento nominal (1.54)

Nomenclatura

, t 0

d m

d: Tasa de descuento efectiva d(m): Tasa de descuento nominal m: Número de periodos de capitalización

m

d (m) m 1 (1 d)

1

i (m) m

1 i (1 d)

i (n) n

1

1

d (n) n

d: Tasa de descuento d(m): Tasa de descuento nominal m: Número de periodos de capitalización

1 m

m

1

a(t): Función de acumulación d(m): Tasa de descuento nominal m: Número de periodos de capitalización t: Tiempo

m t

(m)

d 1 1

Tasa de descuento nominal (1.52)

Relación entre la tasa de interés nominal y la tasa de descuento nominal (1.53)

d (m) 1 m

167

1

d (n) n

n

1

i(m): Tasa de interés nominal m: Número de periodos de capitalización del interés nominal d: Tasa de descuento d(n): Tasa de descuento nominal n: Número de periodos de capitalización de descuento nominal i(n): Tasa de interés nominal n: Número de periodos de capitalización d(n): Tasa de descuento nominal

Capitalización (1.55)

δ = ln (1+ i )

δ: Tasa de interés continua i: Tasa de interés

Capitalización utilizando una serie (1.56)

i2 in δ = ln (1+ i ) = i − + ... + (−1) + ... 2 n!

δ: Tasa de interés continua i: Tasa de interés n: Número de periodos

168

Cap. 1


Nombre

Relaciones entre tasas de interés y de descuento (1.57)

Tasa de interés continua (1.58) Tasa de interés continua en cualquier periodo t (1.59)

Tasa de interés continua en cualquier periodo t (1.60)

Función cantidad (1.61) Tasa de descuento continua (1.62)

Fórmula

i (m) 1 m

m

1 i

(1 d )

Nomenclatura

d ( p) 1 p

1

d a (t ) δ = ln (1+ i ) = dt a (t )

δt =

δt =

p

e

i(m): Tasa de interés nominal i: Tasa de interés m: Número de periodos d(p): Tasa de descuento nominal δ: Tasa de interés continua d: Tasa de descuento p: Número de periodos de descuento

δ: Tasa de interés continua i: Tasa de interés

a '(t ) a (t )

δt: Tasa de interés continua en cualquier periodo t a’(t): Derivada de la función de acumulación respecto al tiempo a(t): Función de acumulación

A'(t ) A(t )

δt: Tasa de interés continua en cualquier periodo t A’(t): Derivada del valor acumulado en t periodos respecto al tiempo A(t): Valor acumulado en t periodos

t

A(t ) = A(0) × e

∫ δr × dr

0

d −1 [ a (t ) ] δ´t = − dt −1 [ a (t ) ]

A(t): Valor acumulado en t periodos A(0): Valor acumulado en el periodo 0 δr: Tasa de interés continua

δ’t: Tasa de descuento continua a(t): Función de acumulación en el periodo t


Nombre Valor acumulado en función de las tasas de interés (1.63) Valor presente en función a las tasas de interés (1.64) Tasa de interés efectiva (1.65)

Fórmula

Nomenclatura

a(t ) = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ it )

a(t): Función de acumulación ii: Tasa de interés para i = 1,2,…, n

−1

[a(t )] = (1+ i1 )−1 × (1+ i2 )−1 × ... × (1+ in )−1

Expresión para el cálculo de x (1.68) Función para aproximar x (1.69)

1 n

A P

i

Tasa de interés continua (1.66) Función de aproximación (1.67)

169

1

A 1 ln P n

f ( x ) = f ( x1 ) +

f ( x2 ) − f ( x1 ) × ( x1 − x2 ) x2 − x1

x = x1 + ( x2 − x1 ) ×

x ≈ x1 − f ( x1 ) ×

y 0 − f ( x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 )

x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 )

Tasa de interés efectiva j (1.70)

j n+1 = j n −

La regla del 72 (1.71)

t=

f ( jn ) f '( j n )

72 100 × i

a(t): Función de acumulación ii: Tasa de interés para el periodo i (i= 1,2,…,n) i: Tasa de interés A: Valor acumulado o valor futuro P: Capital o valor presente n: Número de periodos

δ: Tasa de interés continua A: Valor acumulado P: Capital n: Número de periodos x1: Variable 1 x2: Variable 2 x1: Variable 1 x2: Variable 2 x1: Variable 1 x2: Variable 2 jn: Tasa de interés efectiva en el periodo n t: Tiempo i: Tasa de interés

170

Cap. 1


Nombre

Fórmula

Nomenclatura

Ecuación de valor en el periodo 0 (1.72)

( s1 + s2 + ... + sn ) × v t * = s1 × v t1 + s2 × v t2 + ...sn × v t n

t*:Tiempo equivalente si: Pago i ti: Tiempo i

Tiempo equivalente (1.73)

s × t + s × t + ... + sn × t n t ≈ 1 1 2 2 =t s1 + s2 + ... + sn

t*:Tiempo equivalente si: Pago i ti: Tiempo i t : Tiempo medio

*

1.17.1 Nomenclatura Símbolo

Descripción

A

Valor acumulado

A(t)

Valor acumulado en t periodos

P

Principal

t

Tiempo

i

Tasa de interés

I

Interés

a (t )

Función de acumulación

I1

Interés ganado en el periodo 1

in


cn

Tasa de crecimiento

In

Aumento de la función A(t) en el n-ésimo periodo

K

Inversión original

I ( s ,t )

Interés ganado

n

Número de periodos

F

Pago total


Fn

Pago total en el periodo n

Yi

Año i

Mi

Mes i

Di

Día i

(a(t ))−1

Función de acumulación inversa

dn

Tasa de descuento efectiva

In

Interés en el periodo n

a c (t )

Función de acumulación para interés compuesto

d

Tasa de descuento simple

PV

Valor presente

i(m)

Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición

m

Número de periodos de capitalización

d (m)

Tasa de descuento nominal

d

Tasa de descuento

δ


n

Número de periodos

δt


a '(t )

Derivada de la función de acumulación con respecto al tiempo

A'(t )

Derivada del valor acumulado en t periodos con respecto al tiempo

A(0)

Valor acumulado en el periodo 0

ii

Tasa de interés para el periodo i (i = 1,2,…,n)

δ´t

Tasa de descuento continua

171

172

Cap. 1


x1

Variable 1

x2

Variable 2

jn

Tasa de interés efectiva en el periodo n

t*

Tiempo equivalente

si

Pago i

ti

Tiempo i

CAPÍTULO

2

Los fundamentos de la teoría de la anualidad

Contenido 2.1. ANUALIDADES 2.1.1. Clasificación de las anualidades 2.1.2. Valores presente y acumulado de una anualidad inmediata 2.1.3. Valor acumulado de una anualidad inmediata 2.1.4. Teorema de la anualidad inmediata 2.1.5. Problemas propuestos

2.2. ANUALIDAD DE PAGO INMEDIATO 2.2.1. Cálculo del valor presente de la anualidad de pago inmediato en el tiempo 0 ( an ) 2.2.2. Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos ( sn ) 2.2.3. Teoremas sobre an y sn 2.2.4. Teorema de la anualidad de pago inmediato 2.2.5. Primer teorema que relaciona la anualidad inmediata con la anualidad de pago inmediato 2.2.6. Segundo teorema que relaciona la anualidad inmediata con la anualidad de pago inmediato 2.2.7. Problemas propuestos 2.3. ANUALIDAD DIFERIDA 2.3.1. Cálculo del valor presente de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i y (m + 1) periodos antes de la primera fecha de pago 2.3.2. Cálculo del valor acumulado de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i, m periodos después de la última fecha de pago 2.3.3. Valores actuales entre la primera y la última fechas de pago 2.3.4. Problemas propuestos 2.4. ANUALIDADES CON PAGOS INFINITOS 2.4.1. Problemas propuestos 2.5. NÚMERO DE PAGOS DE UNA ANUALIDAD 2.5.1. Problemas propuestos 2.6. TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD 2.6.1. Técnicas algebraicas 2.6.2. Método de la interpolación lineal 2.6.3. Método de iteración de Newton–Raphson 2.6.4. Problemas propuestos 2.7. INTERÉS VARIABLE DE UNA ANUALIDAD 2.7.1. Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato 2.7.2. Problemas propuestos 2.8. ANUALIDADES DE DIFERENTES FRECUENCIAS CON INTERÉS CAPITALIZABLE 2.8.1. Problemas propuestos

2.9. ANÁLISIS DE ANUALIDADES DE MAYOR FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN A LAS FRECUENCIAS DE PAGO Y QUE LA TASA DE INTERÉS ES CONVERTIBLE 2.9.1. Caso de una anualidad inmediata 2.9.2. El caso de una anualidad de pago inmediato 2.9.3. Problemas propuestos 2.10. ANÁLISIS DE LAS ANUALIDADES QUE SE PAGAN CON UNA FRECUENCIA MAYOR AL CASO EN QUE EL INTERÉS SEA CAPITALIZABLE 2.10.1. Teorema sobre anualidades que se pagan con más frecuencia que el caso en que el interés es capitalizable 2.10.2. Problemas propuestos 2.11. ANUALIDADES CONTINUAS 2.11.1. Problemas propuestos 2.12. ANUALIDAD INMEDIATA VARIABLE 2.12.1. Pagos que varían en una progresión aritmética 2.12.2. Caso especial 1: Anualidad creciente 2.12.3. Caso especial 2: Anualidad inmediata decreciente 2.12.4. Perpetuidades inmediatas variables 2.12.5. Pagos que varían en progresión geométrica 2.12.6. Problemas propuestos 2.13. ANUALIDAD DE PAGO INMEDIATO VARIABLE 2.13.1. Anualidad de pago inmediato creciente 2.13.2. Anualidad de pago inmediato decreciente 2.13.3. Perpetuidad de pago inmediato con pagos que forman una progresión aritmética (P > 0 y Q > 0) 2.13.4. Pagos que varían en progresión geométrica 2.13.5. Problemas propuestos 2.14. ANUALIDADES VARIABLES CON PAGOS A UNA FRECUENCIA DIFERENTE EN RELACIÓN CON EL CASO EN QUE EL INTERÉS ES CONVERTIBLE 2.14.1. Anualidades variables que se pagan con menos frecuencia que el caso en que el interés es convertible 2.14.2. Anualidades variables que se suceden al inicio de cada intervalo de k periodos de conversión de intereses 2.14.3. Problemas propuestos

2.15. ANUALIDADES VARIABLES QUE SE PAGAN CON MÁS FRECUENCIA EN RELACIÓN CON EL CASO EN QUE EL INTERÉS ES CONVERTIBLE 2.15.1. Anualidades que se pagan m-ésimamente 2.15.2. Anualidades que se pagan por m-ésima vez creciente por n-ésima vez 2.15.3. Problemas propuestos 2.16. ANUALIDADES VARIABLES CONTINUAS 2.16.1. Problemas propuestos 2.17. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA

2.1 Anualidades

2.1

Anualidades

La anualidad es el conjunto de pagos que se realizan en intervalos iguales de tiempo. Al intervalo comprendido entre dos pagos se le conoce como periodo de pago, o simplemente periodo. La anualidad también se define como el efectivo que recibe el beneficiario de un fondo en intervalos de tiempo iguales.

2.1.1 Clasificación de las anualidades Las anualidades se pueden clasificar de la siguiente manera: a)

Ciertas. Las que comprenden pagos garantizados sólo por un periodo de tiempo.

b) Contingentes. Las que comprenden pagos que posiblemente se efectúen o no según lo previsto. También pueden clasificarse así: a)

Inmediatas. Anualidades cuyos pagos se realizan al final de cada periodo.

b) De pago inmediato. Anualidades cuyos pagos se realizan al inicio de cada periodo. Primero se efectuarán los cálculos relacionados con la anualidad inmediata.

2.1.2 Valores presente y acumulado de una anualidad inmediata Antes de efectuar los cálculos númericos de los valores presente y acumulado de una anualidad inmediata, conviene representar gráficamente dichos cálculos por medio de un diagrama de tiempo, el cual se muestra en la figura 2.1. Figura 2.1. Diagrama de tiempo de una anualidad inmediata

Pagos de la anualidad (en U.M.) U.M. 1 U.M. 1

0

1

2

U.M. 1 U.M. 1 U.M. 1

...

n−2 n−1

n

Periodos (en unidades de tiempo)

177

178

Cap. 2 Los fundamentos de la teoría de la anualidad

En la figura 2.1 se puede observar que el primer pago se realiza al término del primer periodo (exactamente donde se ubica el número 1) y el último pago al término del último periodo (donde se encuentra el número representado por la letra n). Por inspección gráfica, se puede afirmar que el valor presente de la anualidad inmediata representada en esta figura en el tiempo 0 se puede calcular por medio de la siguiente expresión: an = v + v 2 + ... + v n donde an

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n

vn

Factor de descuento en el periodo n, que equivale a v n =1/ (1+ i )n

El valor presente de una anualidad inmediata, como se observa en la expresión anterior, es igual a la suma de los valores presentes de cada uno de los n pagos futuros de 1 U.M. descontados por el factor de descuento v correspondiente a cada periodo hasta el tiempo n. En este orden de ideas, con el objetivo de llegar a una expresión del valor presente de una anualidad inmediata más sencilla y fácil de aplicar, la expresión anterior puede simplificarse como se muestra a continuación. Primero se multiplican ambos miembros de esta expresión por el factor de descuento v. Así, v × an = v 2 + v 3 + ... + v n + v n+1 donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n v n Factor de descuento en el periodo n, que equivale a v n =1/ (1+ i )n En segundo lugar se sustrae la última ecuación de la inmediata anterior. De esta manera se obtiene: an − v × an = (v + v 2 + ... + v n ) − (v 2 + v 3 + ... + v n + v n+1 ) (1− v ) × an = v − v n+1 (1− v ) × an = v × (1− v n ) an = v ×

(1− v n ) 1− v

2.1 Anualidades

En tercer lugar se reemplaza v =

1 en esta ecuación. De este modo se obtiene: 1+ i 1 1+i

an =

n

1 1+i 1 1 1+i

1

Luego se desarrolla esta expresión.

an

an

1

1 1 i

1

1 1 i

1 1 i i 1 i

n

n

1 1 i 1 i 1 i

Por último, se simplifica.

an

1 1 i

an =

1 i 1 1

1 1+i i

1

1 1 i i

n

n

De este modo, el valor presente de una anualidad inmediata es: an =

1− (1+ i ) i

−n

donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos

(2.1)

179

180


En efecto, an es una función de i. Si n = 2, an es el valor presente de una anualidad y se representa gráficamente en la figura 2.2. Figura 2.2. Valor presente y tasa de interés

Valor presente 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 3%

5%

9% 12% 15% 18% 21% 24% Tasa de interés

A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.1 Una anualidad inmediata remunera anualmente con una tasa de interés de 2% por un periodo de cinco años. Dicha anualidad es por 500 U.M. Calcule el valor presente.



b) Se aplica la ecuación anterior y se multiplica por 500 U.M. Así, se obtiene: 500 a4 500

1 (1,02) 0,02

5

500 a4 2.356,73 El valor presente de la anualidad es de 2.356,73 U.M. La ecuación (2.1) puede reescribirse así: 1 = v n + i × an donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n v n Factor de descuento en el periodo n, que equivale a v n = [1/ (1+ i )] n Número de periodos

(2.2)

2.1 Anualidades

Ésta es la ecuación de valor, en el tiempo 0, de una inversión de 1 U.M. por n periodos durante el cual se reciben los intereses generados a una tasa de interés i al final de cada periodo y reinvertidos a la misma tasa i. Al final de n periodos se devuelve la inversión original de 1 U.M. Dada esta afirmación, el diagrama de tiempo de la ecuación anterior es el que se presenta en la figura 2.3. Figura 2.3. Diagrama de tiempo de una transacción

... 0

1

2

n−3

3

n−2

n−1

n


(1 + i) i

i

i

i

i

i

2.1.3 Valor acumulado de una anualidad inmediata El valor acumulado de una anualidad inmediata, justo después que se realiza el n-ésimo pago, se representa en la figura 2.4. Figura 2.4. Valor acumulado de una anualidad inmediata

sn ... 0

1

2

3

1

1

1

n−3

1

n−2

n−1

n

1

1

1


Pagos de la anualidad (en unidades monetarias) Como se puede apreciar en la figura 2.4, este tipo de anualidad está formado por pagos de 1 U.M. durante n periodos de tiempo. Si la ecuación del valor es evaluada en la fecha de comparación t = n , el valor acumulado de una anualidad inmediata es: sn =1+ (1+ i ) + (1+ i )2 + ... + (1+ i )n−1 donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos

181

182


Si se utiliza la definición de sn y el razonamiento empleado para modelar la ecuación que sirve para calcular an , la ecuación anterior puede reexpresarse así: sn =1+ (1+ i ) + (1+ i )2 + ... + (1+ i )n−1 De esta manera se obtiene: sn =

(1+ i )n −1 (1+ i ) −1

Por último, el valor acumulado de una anualidad inmediata es: sn =

(1+ i )n −1 i

(2.3)

donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos Se puede representar sn en función de i cuando n = 2, como se muestra en la figura 2.5. Figura 2.5. Valor futuro y tasa de interés

Valor futuro 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1,000 0,500

3%

6%

9%

12% 15% 18% 21% 24% Tasa de interés

Hay que tener en cuenta que, de esta ecuación, se deriva la siguiente: 1+ i × sn = (1+ i )n donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos

(2.4)

2.1 Anualidades

Ésta es la ecuación de valor, evaluada en el periodo t = n , de una inversión de 1 U.M. para n periodos durante los cuales los intereses generados (en U.M.) a partir de una tasa de interés i se reciben al final de cada periodo y se reinvierten a la misma tasa i, y al final de n periodos se devuelve la inversión original de 1 U.M. El diagrama de tiempo correspondiente se muestra en la figura 2.6. Figura 2.6. Diagrama de tiempo

... 0

1

2

3

1

1

1

n−3

1

n−2

n−1

n

1

1

(1 + i)


Tasas de interés A continuación se muestran algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.2 Estime el valor acumulado de una anualidad inmediata anual que paga 750 U.M. por 10 años. La tasa de interés es de 10%.

Solución Para resolver este problema se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.3.)

b) Se reemplazan los valores y se multiplica por 750 U.M. Así se obtiene: 750 s10 750

(1 0,10)10 1 0,10

750 s10 11.953,07 El valor futuro de esta anualidad es de 11.953,07 U.M.

Ejemplo 2.3 Demuestre e interprete que am+n = am + v m × an = an + v n × am se cumple.

183

184



Se identifica la expresión que se utilizará: a m+ n = a m + v m × a n donde am+n am an vm n

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo m + n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo m Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n m Factor de descuento en el periodo m, e igual a v m = [1/ (1+ i )] Número de periodos 1− v m 1− v n b) En la ecuación anterior se reemplazan am = y an = i i a m+ n = a m + v m × a n c)

Se descompone esta expresión y se obtiene: 1− v m m 1− v n +v × i i m m m+ n 1− v + v − v = i m+ n 1− v = i

a m+ n = a m+ n a m+ n

d) La expresión anterior equivale a sumar y restar v n , es decir: am + n = e)

1− v n + v n − v n + m 1− v n + v n (1− v m ) = i i

Luego se separa en dos fracciones y se factoriza. De este modo se obtiene: a m+ n =

f)

1− v n n (1− v m ) +v × i i

Se debe considerar que esta expresión equivale a: a m+ n = a n + v n × a m a m+ n = a n+ m

l.q.q.d.

2.1 Anualidades

Asimismo, dada la ecuación a m+ n = a m + v m × a n donde am+n am an vm n

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo m + n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo m Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n m Factor de descuento en el periodo m, e igual a v m = [1/ (1+ i )] Número de periodos

La explicación de la ecuación anterior es la siguiente: a)

El valor presente de los m primeros pagos de la anualidad inmediata de m + n años de 1 U.M. es am .

b) Los n pagos restantes tienen un valor an en el tiempo t = n . En el periodo t = 0 valdrán v m × an . Se presentan algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.4 A una tasa de interés efectiva anual de i, se conoce que: a)

40 U.M. es el valor presente, por n años, de una anualidad inmediata con pagos anuales de 1 U.M.

b) 70 U.M. es el valor presente, por 3× n años, de una anualidad inmediata con pagos anuales de 1 U.M. Dado lo anterior, calcule el valor acumulado de una anualidad inmediata con pagos anuales de 1 U.M. por 2× n años.

Solución Para responder esta pregunta, los pasos a desarrollar son los siguientes: a)

Se emplea la expresión del enunciado del ejemplo 2.3 y, sobre la base de esta, se puede escribir la siguiente fórmula: a3n = a2n + v 2n × an

b) Se descompone el primer término del segundo miembro de la ecuación: a3n = (an + v n × an ) + v 2n × an

185

186


c)

Si se factoriza an , entonces a3n = an × (1+ v n + v 2n ) donde a3n an v 2×n

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo 3 × n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Factor de descuento en el periodo 2 × n, e igual a v 2 × n = [1 / (1 + i )]

2×n

v Factor de descuento, que equivale a v =1/ (1+ i ) n

Número de periodos

d) Se reemplazan los valores de a3n = 70 y de an = 40 en la ecuación anterior, y se despeja v: 70 = 40 × (1+ v n + v 2×n ) Luego se obtiene la ecuación: v 2×n + v n +1 = e)

7 4

Se despeja v n . Se hace v n = x y se reemplaza en la ecuación anterior: 7 4 2 x + x − 0,75 = 0 x 2 + x +1 =

f)

Se aplica el método de las raíces de una función cuadrática: −1± (1)2 − 4 × (1) × (−0,75) 2 × (1) −1± 2 X1,2 = 2 X1,2 =

Se toma el valor positivo: X1 =

−1+ 2 1 = 2 2

Como v n = x , entonces vn = g)

1 2

Se utiliza el ejemplo 2.3 y se puede escribir: a3n = an + v n × a2n

2.1 Anualidades

Se despeja v n × a2n v n × a2n = a3n − an Se reemplazan los valores del enunciado. v n × a2n = 70 − 40 v n × a2n = 30 Se reemplaza v n =

1 y se despeja a2n 2 1 a2n 30 2 a2n 30 (2) a2n

60

h) Por último, en la siguiente expresión se reemplazan los valores de v n y a2n que se hallaron en los pasos anteriores: s2n = v −2×n × a2n Luego se obtiene: s2n = (v n )−2 × a2n Se reemplaza: s2n

1 2

2

(60)

s2n

22 (60)

s2n

4 (60)

s2n

240

La respuesta es 240 U.M. A continuación se establecerá un par de relaciones entre an y sn .

2.1.4 Teorema de la anualidad inmediata Dados an y sn , se realizan las siguientes afirmaciones: a)

El valor acumulado de un principal de an después de n periodos es sólo sn , lo que se puede escribir de la siguiente manera: sn = (1+ i )n × an

187

188


b) El valor de

1 es igual a: an

1 1 = +i an sn

Prueba Para probar lo anterior, se realizan los siguientes pasos: a)

Se establece la primera expresión que se desarrolla: 1 i +i = +i sn (1+ i )n −1

b) Se desarrolla la expresión anterior. Se multiplica al segundo miembro de la segunda ecuación por Así,

(1 i)n 1 (1 i)n 1

i (1 i)n 1 i 1 i (1 i)n 1 (1 i)n 1 sn Luego se desarrolla el segundo miembro de la segunda ecuación: 1 i + i × (1+ i )n − i +i = (1+ i )n −1 sn 1 i × (1+ i )n +i = sn (1+ i )n −1 Se divide entre (1+ i )n : 1 i sn 1 i sn 1 i sn 1 i sn

i (1 i)n (1 i)n (1 i)n 1 (1 i)n i 1 1 (1 i)n i 1 1 (1 i) i 1 vn

n

2.1 Anualidades

Si se toma en cuenta la ecuación (2.2), 1 1 +i = sn an

l.q.q.d.

En la figura 2.7 se muestra la relación entre sn y an si i = 10%. Figura 2.7. Valor acumulado y valor presente de una anualidad inmediata

Valor acumulado 100,00 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 –

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Valor presente A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.5 Dados un valor presente y un valor acumulado determinados an = 5 y sn =10 , calcule i y n.

Solución 1.

Para calcular i se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: 1 1 +i = sn an donde sn Valor acumulado de la anualidad inmediata en el periodo n an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos

189

190


b) Se reemplazan los valores del enunciado y se despeja i. Así, 1 1 +i = 10 5 1 1 i= − 5 10 i = 0,1 La tasa de interés es de 10%. 2.

Para calcular n se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es: sn = (1+ i )n × an donde sn Valor acumulado de la anualidad inmediata en el periodo n an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n Número de periodos

b) Se aplican logaritmos neperianos a ambos lados de la ecuación anterior y se obtiene:

c)

ln sn

ln (1 i)n an

ln sn

ln (1 i)n

ln sn

n ln (1 i) ln an

ln an

Se despeja n y se obtiene: n

ln sn ln an ln (1 i)

d) Se reemplazan los valores y se obtiene: n

n n

[ln10

ln 5] ln (1 0,1)

10 5 ln1,1

ln

ln 2 ln1,1

n 7,27

2.1 Anualidades

El número de periodos es 7,27. Por otra parte, se puede calcular el valor presente de una anualidad inmediata. Para ello se debe utilizar la tasa de interés simple, la tasa de descuento simple o la tasa de interés continua. En primer lugar, para calcular el valor presente de una anualidad inmediata de n periodos donde cada pago se invierte utilizando la tasa de interés simple i, se suma el valor presente de los pagos individuales. an =

1 1 1 + + ... + 1+ i 1+ 2 × i 1+ n × i

(2.5)

donde an Valor presente de la anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés simple n Número de periodos En segundo lugar, para calcular el valor acumulado de una anualidad inmediata de n periodos, donde cada pago se invierte a una tasa de interés simple i, se utiliza la siguiente expresión: sn =1+ (1+ i ) + (1+ 2 × i ) + ... + [1+ (n −1) × i ]

(2.6)

donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés simple n Número de periodos En tercer lugar, para calcular el valor presente de una anualidad inmediata de n periodos, donde cada pago es valorizado a una tasa de descuento simple d, se utiliza la siguiente expresión: an = (1− d ) + (1− 2d ) + ... + (1− n × d ) donde an Valor presente de la anualidad inmediata d Tasa de descuento simple n Número de periodos A continuación se presenta un ejemplo.

Ejemplo 2.6 ¿Cuál es la expresión que permite calcular el valor presente de una anualidad inmediata si se tiene en cuenta que cada pago de 1 U.M. de esta anualidad es valorizado a una tasa de descuento simple d ?

191

192



Se identifica la expresión que se utilizará, que es: an = (1− d ) + (1− 2d ) + ... + (1− n × d ) donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n d Tasa de descuento simple n Número de periodos

b) Se factoriza esta expresión: an = n − d × (1+ 2 + ... + n ) c)

n × (n +1) en la ecuación anterior: 2 n × (n +1) an = n − ×d 2

Se reemplaza 1+ 2 + ... + n =

(2.7)

donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n Número de periodos d Tasa de descuento simple

2.1.5 Problemas propuestos 1. Una inversión remunera una tasa de interés nominal de 3% convertible semestralmente. Esta inversión es de 500 U.M. ¿Cuánto podrá retirar cada semestre de modo que utilizará el fondo al cabo de 10 años? Respuesta: 29,12 U.M. 2. Para adquirir una casa dúplex, se realizan pagos anuales de 18.000 U.M. por espacio de ocho años. Si la tasa de interés es de 3% ¿Cuánto vale la casa dúplex? Respuesta: 140.393,84 U.M. 3. Si la tasa de descuento es de d = 0,10 , calcule el valor de a8 Respuesta: 4,4.

2.2 Anualidad de pago inmediato

4. Calcule el valor presente de 500 U.M. pagadas al final de cada año durante diez años, utilizando una tasa de interés efectiva anual de 10%. Respuesta: 3.702,28 U.M. 5. Si se cumple que an = 2 y que a2n = 3 , calcule el valor de v n en términos de x y y. Respuesta: 0,5. 6. Dado los valores de a7 = 5,153 , a11 = 7,036 y a18 = 9,180 , encuentre i. Respuesta: 0,083. 7. ¿Cuánto debe depositar Michael hoy para poder proveer de cinco montos de dinero anualmente a Mayla, comenzando desde el año 1 a partir de hoy y por un periodo de diez años? Se supone una tasa de interés efectiva anual de 5% y se espera depositar 500 U.M. por año. Respuesta: 3.860,87 U.M. 8. Considere el ejemplo anterior. Si Michael ahorra el ingreso que recibe de Iracema en una cuenta que paga también 5% de interés anual efectivo. ¿Cuánto ahorrará cuando reciba el pago final de 500 U.M.? Respuesta: 6.288,95 U.M. 9. Si la tasa de interés es de 5% convertible trimestralmente, calcule el valor presente de una anualidad que paga 500 U.M. al final de cada trimestre por un periodo de 10 años. Respuesta: 5.290,83 U.M.

2.2

Anualidad de pago inmediato

La anualidad de pago inmediato se define como aquella cuyos pagos se producen al inicio de cada periodo, es, en buena cuenta, una anualidad que se caracteriza porque el pago se realiza por adelantado. Los pagos de esta anualidad pueden ser constantes o no, es decir, pueden cambiar de un periodo a otro, lo cual depende del desempeño de las inversiones realizadas que darán lugar a dichos pagos. En este orden de ideas, un primer aspecto de interés es el flujo de efectivo que sirve para representar este tipo de anualidad, el cual se ilustra mediante el diagrama de tiempo de la figura 2.8.

193

194

Cap. 2 Los fundamentos de la teoría de la anualidad Figura 2.8. Diagrama de tiempo de una anualidad de pago inmediato

an UM 1 UM 1

UM 1

UM 1

...

UM 1

UM 1

UM 1

...

n−3

n−2

n−1

n

1

1

1

1

0

1

2

3

1

1

1

1


Como se puede apreciar en la figura 2.8, el primer pago de una anualidad inmediata se produce en el momento que señala la flecha situada a la izquierda, es decir, en el tiempo 0, mientras que el último pago se efectúa en el momento n, que señala una flecha en el periodo n.

2.2.1 Cálculo del valor presente de la anualidad de pago inmediato en el tiempo 0 (än ) Para calcular el valor presente de la anualidad de pago inmediato en el tiempo 0 ( an ) se elabora el diagrama de tiempo correspondiente. Figura 2.9. Diagrama de tiempo asociado al valor presente de una anualidad de pago inmediato

an UM 1 UM 1

UM 1

UM 1

...

UM 1

UM 1

UM 1

...

n−3

n−2

n−1

n

1

1

1

1

0

1

2

3

1

1

1

1


En la figura 2.9 se observa que los pagos de una anualidad de pago inmediato se producen al final de cada periodo. También se aprecia que los pagos corresponden a un valor de 1 U.M. En relación con la forma de calcular el valor presente de una anualidad de pago inmediato, dada la ecuación del valor en el tiempo 0, la expresión que sirve para calcular dicho valor presente es: an =1+ v + v 2 + ... + v n−1


donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) n Número de periodos La expresión anterior es correcta, pero no es muy práctica al momento de aplicarla, por lo que se procederá a simplificarla mediante los siguientes pasos: a)

Primero se multiplican ambos lados de la ecuación inmediata anterior por el valor de v. Así, v × an = v + v 2 + v 3 + ... + v n−1 + v n

b) Luego se sustrae la ecuación inmediata anterior a la previa a ésta: (1− v ) × an = (1− v n ) c)

Después se despeja el valor de an . Por tanto, el valor es: an =

1− v n 1− v

(2.8)

donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n v n Factor de descuento en el periodo n e igual a v = [1/ (1+ i )] v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) n Número de periodos

n

En la figura 2.10 se representa gráficamente an en función de i cuando n = 2. Figura 2.10. Valor presente de una anualidad de pago inmediato y tasa de interés

Valor presente 2,500 2,400 2,300 2,200 2,100 2,000 1,900 1,800 1,700 1%

3%

5%

7%

9%

11%

13% 15% Tasa de interés

195

196


Además, es interesante notar que, dado que se cumple que 1− v = d , se obtiene: 1− v n an = d donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n v n Factor de descuento en el periodo n e igual a v = [1/ (1+ i )] d Tasa de descuento simple n Número de periodos Además, como v n

(1 i)

1 n

(1 i) n , se cumple en la ecuación anterior, es decir: an =

1− (1+ i )− n d

Pero como 1/ (1+ i ) =1− d , se cumple que (1+ i )−1 =1− d o (1 i) n (1+ i )− n = (1− d ) . De este modo, an =

1 n

[1 d ]

1− (1− d )n d

donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n d Tasa de descuento simple n Número de periodos A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.7 Si la tasa de descuento efectiva es de 1%, calcule a5 .



b) Se reemplazan los valores en dicha ecuación: 1− (1− 0,01)5 0,01 a5 = 4,9 a5 =

El valor presente de la anualidad de pago inmediato es 4,9.

n

o

(2.9)


Ejemplo 2.8 Juan Diego tiene un capital, pero no sabe qué hacer con él. Una empresa financiera le propone gestionar su dinero. Le otorga una tasa de rendimiento de 5% capitalizable anualmente, ofreciéndole 3.000 U.M. al inicio de cada año en un lapso de cinco años. ¿Qué monto en U.M. deberá entregar?



b) Se reemplazan los valores en la ecuación citada en el inciso anterior y se multiplica por 3.000 U.M.

M 3.000

1 1 0,05 1 1 1 0,05

M 3.000

1 (1,05) 5 0,05 (1,05)

5

1

1 1 1 0,05 M 3.000 1 1 1 0,05

1 5

M 13.637,85 La solución es 13.637.85 U.M.

2.2.2 Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos (s¨n ) Por otra parte, para calcular el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos ( sn ), el primer paso consiste en dibujar el diagrama de tiempo.

197

198

Cap. 2 Los fundamentos de la teoría de la anualidad Figura 2.11. Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos

sn ... 0

1

2

3

1

1

1

1

n−3

n−2

n−1

n

1

1

1

1


En la figura 2.11 se observa que el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato al final de n periodos se realiza al inicio de cada periodo. En este orden de ideas, la ecuación del valor correspondiente en el tiempo n se obtiene de la siguiente manera: sn

(1 i) (1 i)2 ... (1 i)n 1 (1 i)n

sn

(1 i)

(1 i)n 1 (1 i) 1

sn

(1 i)

(1 i)n 1 1 i 1

sn

(1 i)

(1 i)n 1 i

sn

(1 i)n 1 1 i 1 i

Es decir, la expresión que sirve para calcular el valor futuro de una anualidad de pago inmediato en el periodo n es: sn =

(1+ i )n −1 i×v

(2.10)

donde sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n i Tasa de interés efectiva v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) n Número de periodos Cuando n = 2, el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato, como función de la tasa de interés, se representa gráficamente como lo indica la figura 2.12.

2.2 Anualidad de pago inmediato Figura 2.12. Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato y tasa de interés

Valor acumulado 3,000 2,800 2,600 2,400 2,200 2,000 1,800 1,600 1,400 1%

3%

5%

7%

9%

11% 13% 15% Tasa de interés

Como v =1− d , el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato es: (1+ i )n −1 i×v (1+ i )n −1 sn = i × (1− d ) sn =

Es decir, la expresión para calcular este valor acumulado es: sn =

(1+ i )n d

(2.11)

donde sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n i Tasa de interés d Tasa de descuento simple A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.9 Se depositan 3.500 U.M. al inicio de cada año por los siguientes dos años. ¿Qué cantidad de dinero se acumulará? Suponga un interés de 1% compuesto anual.



199

200


b) Se reemplazan los valores en la ecuación anterior y se multiplica por 3.500 U.M. Así, la cantidad C de dinero que se acumulará es: C 3.500 s2 (1,01)2 1 0,01 (1,01)

C 3.500

1

C 7.105,35 Vistas las expresiones para an y sn , se plantean los teoremas que se estudian a continuación.

2.2.3 Teoremas sobre än y s¨n Los siguientes teoremas establecen relaciones entre las expresiones que sirven para calcular an y sn .

2.2.4 Teorema de la anualidad de pago inmediato Este teorema señala: i)

sn = (1+ i )n × an

ii)

1 1 = +d an sn

Prueba Para probar que se cumple la igualdad del inciso i), los pasos que se deben dar son los siguientes: a)

Se identifica la expresión inicial que sirve para probar el inciso i): sn =

(1+ i )n −1 d

b) Se factoriza (1+ i )n de la expresión establecida en el inciso a). Así se obtiene: sn c)

Como an

1 (1 i) d

(1 i)n

1 (1 i) d

n

n

, se reemplaza esta última expresión en la ecuación

del inciso b). sn = (1+ i )n × an

l.q.q.d.


Por otro lado, para probar que se cumple la igualdad del inciso ii), los pasos son los siguientes: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es 1 +d sn

b) Se desarrolla dicha expresión. En el caso del primer sumando: 1 sn 1 sn

1 (1 i)n 1 d d (1 i)n 1

En el segundo sumando se realiza la siguiente operación: d d

(1 i)n 1 (1 i)n 1

Se suman ambos sumandos y se obtiene: d 1 d d sn (1 i)n 1 c)

(1 i)n 1 (1 i)n 1

Se suman los dos términos del lado derecho de la ecuación: d d (1 i)n 1 1 d= sn (1 i)n 1

d) Se resuelve el numerador del lado derecho de la ecuación: d d (1 i)n d d (1 i)n 1 d= = sn (1 i)n 1 (1 i)n 1 e)

El lado derecho de la ecuación se divide entre (1+ i )n . Así, d × (1+ i )n n 1 + d = (1+ in) (1+ i ) −1 sn (1+ i )n

201

202


1 d +d = n (1+ i ) 1 sn − n (1+ i ) (1+ i )n d 1 +d = sn 1− (1+ i )− n O, de forma alterna,

g)

1 1 +d = 1− (1+ i )− n sn d −n 1− (1+ i ) Por último, como an = (vea el desarrollo de la ecuación 2.9), se d reemplaza esta expresión en la ecuación inmediata anterior. Así, 1 1 +d = sn an

l.q.q.d.

El resultado se interpreta así: si el valor presente de an en el tiempo 0 se acumula hasta el periodo n, el valor futuro será sn .

Ejemplo 2.10 En el caso de una tasa de interés de 5%, se conoce que an = 9 y sn =15 . Calcule d y n.

Solución Para calcular d se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la ecuación que se utilizará, que en este caso es: 1 1 = +d an sn donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n d Tasa de descuento simple


b)

Se reemplazan los valores en la ecuación anterior. Así, 1 1 = +d 9 15 1 1 d= − 9 15 d = 0,044

Para calcular el número de periodos n se realizan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es: n

s 1 ln n an ln (1+i)

donde sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos b) Se reemplazan los valores en la ecuación anterior: n

15 1 ln 9 ln (1 0,05)

n 10,47 El número de periodos n es 10,47. Por otro lado, es posible relacionar la anualidad inmediata y la anualidad de pago inmediato como se aprecia en el siguiente teorema.

2.2.5 Primer teorema que relaciona la anualidad inmediata con la anualidad de pago inmediato Este teorema sostiene que se cumple que: i)

an = (1+ i ) × an

ii)

sn = (1+ i ) × sn

203

204


Prueba En primer lugar se elabora el diagrama de tiempo que sirve para analizar los flujos de fondos del problema. Figura 2.13. Diagrama de tiempo

0

an

1

1

1

...

1

1

2

3

...

n−3

1

1

n−2

n

an

n+1

sn a)


sn

Para probar la equivalencia del inciso i) se parte de d =

i , y se tiene: i +1

1− (1+ i )− n d 1− (1+ i )− n an = (1+ i ) × i an = (1+ i ) × an an =

i b) Para probar la equivalencia del inciso ii) se parte de d = , por lo cual se i +1 obtiene: (1+ i )n −1 d (1+ i )n −1 sn = (1+ i ) × i sn = (1+ i ) × sn sn =

En el caso de anualidades de pago inmediato, los pagos comienzan a producirse un periodo antes de que se efectúen los pagos que corresponden al caso de las anualidades inmediatas. Es por ello que generarán un periodo de interés adicional y una mayor ganancia.

Ejemplo 2.11 Usted deposita dinero en una cuenta de retiro al inicio de cada año durante los próximos 30 años. Cada uno de los diez primeros pagos es de 200 U.M., en tanto que cada uno de los 20 pagos restantes es de 300 U.M. La tasa de interés efectiva anual es de 9%. Calcule el valor presente de todos los pagos.



Se traza el diagrama de tiempo que corresponde al planteamiento del problema. Figura 2.14. Diagrama de tiempo

... ... 0

1

2

3

... ... 9

300 300 300 300 300 (100) (100) (100) (100) (100)

28

29

30

300

300

300

Periodo (en unidades de tiempo)

b) Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: Valor = A1 × an − A2 × an ' donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n A1 Anualidad de pago inmediato 1 A2 Anualidad de pago inmediato 2 c)

Considere que an = (1+ i ) × an donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva

d) Se reemplazan en la ecuación anterior y se obtiene: Valor A1

(1 i) an

A2

(1 i) an

donde A1 A2 an i

Anualidad de pago inmediato 1 Anualidad de pago inmediato 2 Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Tasa de interés efectiva

205

206


e)

Por último, se reemplazan los valores: Valor 300

(1 0,09) a30

Valor 300

(1,09) a30

100

100

Valor (1,09) 300 a30

(1 0,09) a10

(1,09) a10

(1,09) 100 a10

Valor (1,09) (300 a30 100 a10 ) Valor 1,09 300

1 (1 0,09) 0,09

30

100

1 (1 0,09) 0,09

10

Valor 1,09 [300 10,27 100 6,42] Valor 1,09 [2.440,33] Valor 2.659,96 En los pasos previos se aplicó redondeo, pero el resultado final se ha realizado con todos los dígitos de cálculo. Otras relaciones entre ambas anualidades se muestran a continuación.

2.2.6 Segundo teorema que relaciona la anualidad inmediata con la anualidad de pago inmediato Este segundo teorema establece lo siguiente: i)

an = an −1 + 1

ii)

sn = sn−1 +1

Prueba Para probar la equivalencia del inciso i), los pasos son los siguientes: a)

Se identifica la expresión inicial con la que se trabajará, que es: an =

1− (1+ i )− n d

b) Se desarrolla dicha expresión: an

i 1 1 (1 i) i

an

1 (1 i) i

n1

i

1 (1 i) i an 1 1

n1

i i

an an

n

l.q.q.d.


donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva Para probar la equivalencia del inciso ii), se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión inicial que se utilizará, que es: sn−1 =

(1+ i )n−1 −1 d

b) Se desarrolla dicha expresión: sn 1 sn 1 sn 1 sn 1 sn

i 1 (1 i)n 1 1 i (1 i)n 1 i i n (1 i) 1 i i i sn 1 sn 1 1

donde sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sn Valor de una anualidad inmediata en el periodo n n Número de periodos

Comentario La mayoría de las tablas de interés compuesto no incluyen los valores de las anualidades de pago inmediato. Por tanto, las fórmulas del primer y segundo teoremas que relacionan la anualidad inmediata con la de pago inmediato deben utilizarse para calcular anualidades de pago inmediato. A continuación se presentan ejemplos de aplicación de lo visto anteriormente.

Ejemplo 2.12 Isabella quiere tener 3.000 U.M. al final de 15 años en un fondo que gana una tasa de interés efectiva anual de 10%. Para ello depositará dinero al inicio de cada año y el pago final lo realizará al año del término del periodo de inversión. ¿Cuánto deberá depositar?

207

208


Solución Para responder esta pregunta se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la ecuación del valor en el tiempo t =15 : R × sn = 3.000 donde R Pago al inicio de cada año sn Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato en el periodo n

b) Al resolver la ecuación se obtiene: R s14 3.000 R

3.000 s14

R

3.000 s15 1

R

R

3.000 (1 0,10)15 1 1 0,10 3.000 30,7725

R 97,49 Al inicio de cada año Isabella debe depositar 97,49 U.M.

Ejemplo 2.13 Demuestre que an = an +1− v n .

Solución Para demostrar lo anterior, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión con la que se trabajará, que es: an = (1+ i ) × an


b) Se desarrolla la expresión anterior: an = an + i × an 1− v n i n an = an +1− v an = an + i ×

l.q.q.d.

donde an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n n v Factor de descuento en el periodo n y equivalente a [1/ (1+ i )]

Ejemplo 2.14 Demuestre que sn = sn −1+ (1+ i )n se cumple.

Solución Para su demostración se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se trabajará, que es: sn = (1+ i ) × sn

b) Se desarrolla la expresión del inciso a). sn

sn i sn

sn

sn i

sn

sn (1 i)n

sn

sn

sn

sn

(1 i)n 1 i i i

i (1 i)n i 1 (1 i)n

l.q.q.d.

donde sn sn

Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos

209

210


2.2.7 Problemas propuestos 1. Una anualidad de pago inmediato de 5 años tiene un valor presente de 3.000 U.M. Si la tasa de interés efectiva anual es de 7%, ¿cuál es el valor del pago periódico? Respuesta: 683,81 U.M. 2. Una anualidad de pago inmediato paga una tasa de interés efectiva de 3%. El valor futuro de la anualidad es de 2.000 U.M. en 6 años. Calcule el monto del pago periódico de esta anualidad. Respuesta: 300,19 U.M. 3. ¿Cuál es el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato de 2 años y con pagos regulares de 500 U.M. por año, si la tasa de interés efectiva anual que remunera esta anualidad es de 3%? Respuesta: 1.045,45 U.M. 4. ¿Cuál es el valor presente de una anualidad de pago inmediato con pagos de 500 U.M. cada año por 2 años y la tasa de interés efectiva es de 3%? Respuesta: 985,44 U.M. 5. ¿Qué cantidad acumulará Jean Paul si deposita 3.000 U.M. al comienzo de cada año en una institución financiera durante los próximos 10 años, si se conoce que esta última paga 5% compuesto anual? Respuesta: 37.459,06 U.M. 6. ¿Cuánto debe invertir Vanessa hoy al 1% compuesto anual para poder retirar 10.000 U.M. al inicio de cada año durante los próximos 7 años? Respuesta: 67.959,60 U.M.

2.3

Anualidad diferida

La anualidad diferida se caracteriza porque el primer pago se efectúa después de transcurrido cierto número de periodos. Se deben considerar los siguientes casos: a)

El primero corresponde al valor presente de una anualidad inmediata que se calcula mediante el uso de una tasa de interés periódica i y m + 1 periodos antes de que se produzca la primera fecha de pago.

2.3 Anualidad diferida

b) El segundo caso corresponde al valor acumulado de una anualidad inmediata que se calcula utilizando una tasa de interés periódica i y m periodos después de la última fecha de pago. c)

El tercer caso corresponde al valor presente de una anualidad que se producirá entre la primera y la última fecha de pago.

Todos estos casos se desarrollan a continuación.

2.3.1 Cálculo del valor presente de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i y (m + 1) periodos antes de la primera fecha de pago El planteamiento para resolver este problema comienza al visualizar la situación mediante el uso del diagrama de tiempo que se muestra en la figura 2.15. Figura 2.15. Cálculo del valor presente de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i y (m + 1) periodos antes de la primera fecha de pago

Dinero (en unidades monetarias) ... 0

?

1

2...

1 m

1

m+1

1... 1 ...

1

1 m+n


an

En la figura 2.15 se puede apreciar que el valor presente de una anualidad, (m + 1) periodos antes de la primera fecha de pago, es igual al valor presente de los pagos correspondientes a los periodos (m + 1), (m + 2),…, (m + n), en el periodo m, descontado por m periodos, es decir v m × an donde m v m Factor de descuento en el periodo m e igual a [1/ (1+ i )] an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n

(2.12)

211

212


Lo anterior puede expresarse de la siguiente manera: 1− v m + n 1− v m − i i m m+ n v −v − am = i 1− v n − am = v m × i

a m+ n − a m = a m+ n a m+ n

Luego se tiene que la diferencia am+n − am es: a m+ n − a m = v m × a n donde vm v m+ n an a m+ n

(2.13)

Factor de descuento en el periodo m Factor de descuento en el periodo m + n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Valor presente de una anualidad en el periodo m + n

Conviene utilizar esta ecuación si se conocen las tasas de interés. A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.15 El primero de cuatro pagos anuales de 200 U.M. de una anualidad inmediata se realiza dentro de tres años contados a partir de hoy. Si la tasa de interés efectiva es de 8%, calcule el valor presente de esta anualidad.



b) Se aplican los valores a la ecuación (2.12) y, de este modo, se obtiene: v 2 a4 v 2 a4

1 1 0,08

2

200 200 200 200 2 3 (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)4

(0,8573) (662,43)

v m an 567,90 El valor presente es de 567,90 U.M.


A la anualidad diferida anterior se le conoce como anualidad inmediata. Por otro lado, se puede trabajar con una anualidad de pago inmediato diferida. En este caso se puede ver que el valor presente está dado por: v m × an = am+n − am

(2.14)

donde vm

Factor de descuento en el periodo m an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n am Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo m am+n Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo m+n A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.16 Se considera una tasa de interés efectiva anual de 6%. ¿Cuál es el valor presente de una anualidad de pago inmediato con pagos anuales de 1.200 U.M. durante 12 años con el primer pago dos años a partir de hoy?

Solución Los pasos para su resolución son los siguientes: a)


b) Se reemplazan los valores en dicha ecuación: v1 a12 v1 a12

a1+ 2 a1 1.200 1.200 1.200 1.200 ... (1 0,06) (1 0,06)2 (1 0,06)3 (1 0,06)13

v1 a12 (10.623,22) (1.132,08) v1 a12 9.491,16 El valor presente es 9.491,16 U.M.

1.200 (1 0,06)

213

214


2.3.2 Cálculo del valor acumulado de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i, m periodos después de la última fecha de pago La siguiente figura muestra el diagrama de tiempo para este caso, en el cual el signo de interrogación (?) se refiere al valor acumulado visto. Figura 2.16. Diagrama de tiempo

Pagos (en unidades monetarias) 1

0

1

1

2

1

n−1

1

? Periodos (en unidades de tiempo)

n

m periodos por encima de n El valor acumulado de una anualidad inmediata de n periodos, m periodos después de la última fecha de pago, es el valor acumulado en el periodo acumulado de m periodos, es decir: (1+ i )m × sn

(2.15)

donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva m Número de periodos m n Número de periodos n Este valor acumulado también se puede expresar así: (1+ i )m × sn = sm+n − sm donde Valor acumulado de una anualidad en el periodo n sn Valor acumulado de una anualidad en el periodo m + n s m+ n i Tasa de interés efectiva m Número de periodos m n= Número de periodos n A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

(2.16)


Ejemplo 2.17 Cada pago de una anualidad al final de cada año por un periodo de cuatro años es de 200 U.M. y la tasa de interés anual efectiva de 8%. Calcule el valor acumulado de esta anualidad inmediata tres años después del último pago.

Solución Para responder esta pregunta se desarrollan los siguientes pasos: a)


b) Se aplican los valores del enunciado del problema en dicha ecuación. De esta manera se obtiene: (1+ 0,08)3 × s4 = s7 − s3 Si se desarrollan los dos sumandos del segundo miembro de la ecuación, se obtiene: (1 0,08)3 s4 (1 0,08)3 s4

(1 0,08)7 1 0,08

(1 0,08)3 1 0,08

(8,9228 3,2464)

(1 0,08)3 s4 5,6764 c)

Por último, se multiplica la expresión anterior por el valor de la anualidad de 200 U.M., cuyo resultado es: 200 × 5,6764 =1.135,28 El valor acumulado de esta anualidad es de 1.135,28 U.M. Por otro lado, también es posible trabajar con anualidades de pago inmediato (annuities – due) en lugar de anualidades inmediatas (annuities – inmmediate) si se tiene en cuenta que se cumple: (1+ i )m × sn = sm+n − sm

(2.17)

donde sn

Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sm+n Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo m + n i Tasa de interés efectiva m Número de periodos m n Número de periodos n A continuación se presenta un ejemplo.

215

216


Ejemplo 2.18 Una anualidad de pago inmediato mensual paga 100 U.M. por mes durante 12 meses. Calcule el valor acumulado 24 meses después del primer pago utilizando una tasa de interés nominal de 4% compuesta mensualmente.

Solución Para resolver este ejemplo se desarrollan los siguientes pasos: a)


b) Se reemplazan los valores del enunciado del problema en la ecuación anterior. Así, Valor (1 0,003)12 s12 Valor s24 s12 Valor

(1 0,00333)24 1 1 0,00333 1 0,00333

(1 0,00333)12 1 1 0,00333 1 0,00333

Valor (25,0260307) (12,2632044) Valor 12,7628263 c)

El valor anterior se multiplica por 100 U.M. y se obtiene: 100 × Valor =100 ×12,7628263 100 × Valor =1.276,28

2.3.3 Valores actuales entre la primera y la última fechas de pago Encuentre el valor presente de una anualidad inmediata de n periodos después del pago al final del m–ésimo periodo donde 1 ≤ m ≤ n . La figura 2.17 muestra el diagrama de tiempo para este caso.

2.3 Anualidad diferida Figura 2.17. Diagrama de tiempo


1

1

1

... 0

1

2

1

1

1

n−2

n−1

n

... m−1

an

m

?


sn

El valor presente de una anualidad inmediata de n periodos sobre la m–ésima fecha de pago es el valor presente en el tiempo 0 acumulado durante m periodos de tiempo, el cual es igual al valor acumulado en el tiempo n descontado por n − m periodos de tiempo, es decir: (1+ i )m × an = v n−m × sn donde i an n−m v sn

(2.18)

Tasa de interés efectiva Valor presente de una anualidad inmediata Factor de descuento en el periodo n − m Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n

Se tiene la siguiente ecuación: (1+ i )m × an = v n − m × sn (1+ i )m × an = sn + sn − m donde i Tasa de interés efectiva an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n−m v Factor de descuento en el periodo n − m sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n sn−m Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n − m Es necesario observar que: 1− (1+ i )− n i m (1+ i ) − (1+ i )m−n (1+ i )m × an = i (1+ i )m × an = (1+ i )m ×

(2.19)

217

218


(1+ i )m × an =

(1+ i )m −1 1− (1+ i )m−n + i i

Por tanto, se obtiene: (1+ i )m × an = sm + an−m donde i an sm an −m

(2.20)

Tasa de interés efectiva Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo m Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n − m

Al respecto se presenta el ejemplo 2.19.

Ejemplo 2.19 Una anualidad comprende pagos de 200 U.M. al final de cada medio año durante cuatro años con una tasa de interés de 8% convertible semestralmente. Calcule el valor presente de la anualidad inmediatamente después del quinto pago, es decir, a la mitad del tercer año.

Solución Para resolver este ejemplo, se realizan los siguientes pasos: a)


b) Se reemplazan los valores en dicha ecuación. Así se logra que: (1+ 0,04)5 × a8 = ( s5 + a3 ) c)

Se calculan los valores de s5 y a3 . Así se obtiene: s5 =

(1+ 0,04)5 −1 = 5,4163 0,04

a3 =

1− (1+ 0,04)−3 = 2,7751 0,04

d) Se reemplazan en la expresión del paso b) los valores que se encontraron en el paso c), por lo que: 5,4163 + 2,7751 = 8,1914


e)

Por último, se multiplica por 8,1914 (el valor encontrado) por el valor de la anualidad de 200 U.M. Así se obtiene: 200 × (8,1914) =1.638,28 Luego, el valor presente de la anualidad, inmediatamente después del quinto pago, es de 1.638,28 U.M. En relación con el caso de la anualidad de pago inmediato, se tiene una expresión similar para el valor presente, que es: (1+ i )m × an = v n−m × sn = sm + an−m

(2.21)

donde i Tasa de interés efectiva an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sm Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo m an−m Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n−m A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.20 Calcule el valor presente de una anualidad de pago inmediato al final de dos años la cual, es importante acotar, comprende pagos de 100 U.M. que se realizan al inicio de cada año. Tenga en cuenta que, para fines de calcular el valor presente, se debe utilizar una tasa de descuento de 6%.


A partir de la tasa de descuento se calcula la tasa de interés que se utilizará para calcular el valor presente de la anualidad. De esta manera se obtiene: 1 = 1− d (1+ i ) donde i Tasa de interés d Tasa de descuento simple

219

220


b) Se reemplaza la tasa de descuento en la expresión identificada en el inciso a) y se despeja el valor de i. De esta manera se obtiene: 1 =1− 0,06 (1+ i ) 1 =1+ i 1− 0,06 1,0638 =1+ i c)

Se busca una expresión para calcular el valor presente, que es la ecuación (2.21).

d) Se reemplazan los valores en la ecuación anterior. De este modo,

(1,0638)2 a10 (1,0638)2 a10

1 1,0638

10 2

(1 0,0638)10 1 1 0,0638 1 0,0638

(0,6096) (14,2745)

(1,0638)2 a10 8,7027 e)

Por último, el valor del inciso d) se multiplica por 100 U.M.. Así se obtiene: 100 × (0,94)−2 × a10 = 870,27 Se asume que la fecha es un número entero de periodos.

En el caso de que la fecha no sea un número entero, primero se debe calcular el valor de la anualidad a la fecha que es un número entero y, luego, el valor a esta fecha se le sumará o restará el valor de una fecha fraccionada. A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.21 Cada uno de los pagos de una anualidad de pago inmediato de periodicidad semestral es de 1.000 U.M. en un espacio de tres años. Calcule el valor presente de esta anualidad dos meses antes del primer pago utilizando una tasa de interés nominal de 12% compuesta semestral.

Solución Para resolver este problema, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que servirá para calcular el valor acumulado de la anualidad en el tiempo 0, que es: 1.000 × a6 0,06


b) Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en dicha ecuación. De este modo se obtiene que el valor acumulado en el periodo t = 0 es 1.000 a6 0,06 1.000

1 (1,06) 0,06

6

1.000 a6 0,06 4.917,32 c)

Se establece que j sea la tasa de interés por dos meses. Luego, 1

1+ j = (1+ 0,06) 3 d) El valor presente dos meses antes del primer pago es: 1 2

4.917,32 (1+0,06) 3

5.112,10

El valor presente dos meses antes del primer pago es 5.112,10 U.M.

2.3.4 Problemas propuestos 1. Una anualidad paga 200 U.M. al final de cada medio año con una tasa de interés de 8% convertible semestralmente. Encuentre el valor presente de la anualidad tres meses después del quinto pago (por ejemplo, 9 meses dentro del tercer año). Respuesta: 1.219,31 U.M. 2. Calcule el valor presente de una anualidad inmediata con 20 pagos anuales de 500 U.M. si el primer pago comienza al final del quinto año. La tasa de interés efectiva anual es de 8%. Respuesta: 3.608,32 U.M. 3. Calcule el valor presente de una anualidad de pago inmediato al final de 5 años, realizando pagos anuales de 1.200 U.M. durante 12 años. La tasa de interés efectiva anual es 6%. Respuesta: 7.517,88 U.M. 4. Una anualidad de pago inmediato mensual paga 100 U.M. por mes durante doce meses. Calcule el valor acumulado doce meses después del último pago utilizando la tasa nominal anual de 4% compuesta mensualmente. Respuesta: 1.226,32 U.M.

221

222


5. Las anualidades X e Y brindan los siguientes pagos: Fin de año

Anualidad X

Anualidad Y

1 – 10

1

K

11 – 20

2

0

21 – 30

1

K

Las anualidades X e Y tienen valores presentes iguales y una tasa de interés efectiva anual de i tal que v10 = 0,5 . Determine K. Respuesta: 1,80

2.4

Anualidades con pagos infinitos

La anualidad con pagos infinitos es aquella que comprende un conjunto de pagos que se realizarán en forma indefinida. Estos pagos se caracterizan porque son de magnitud similar y se producirán, como ya se mencionó, en forma indefinida en el tiempo. Estos pagos se pueden realizar de forma inmediata o en una fecha posterior. En el primer caso se habla de una perpetuidad de pago inmediato y, en el segundo caso, de una perpetuidad inmediata. Por otro lado, dado que el número de periodos se extiende al infinito, es razonable afirmar que no existen los valores acumulados de las perpetuidades. A continuación se ilustrará cómo se calcula el valor presente de una perpetuidad inmediata al inicio del primer periodo, antes del primer pago y con pagos periódicos de 1 U.M. al final de cada uno de los periodos por tiempo indefinido. Al valor presente determinado se le denotará con el símbolo a∞ . El diagrama de tiempo se muestra en la figura 2.18. Figura 2.18. Diagrama de tiempo

Pagos (en unidades monetarias) a∞

1

1

1

1

1

1

n−1

n

1

... 0

1

2

3


2.4 Anualidades con pagos infinitos

Si se utiliza la ecuación de valor se obtiene: a∞ = v + v 2 + v 3 + ...∞, donde v <1 v + v 2 + v 3 + ...∞ =

Como

v 1− v

luego, v 1− v v a∞ = i×v

a∞ =

Por tanto, a∞ =

1 i

(2.22)

donde a∞ Valor presente de una perpetuidad inmediata i Tasa de interés efectiva a∞ se puede presentar gráficamente como función de i. Figura 2.19. Valor presente de una perpetuidad inmediata y tasa de interés

Valor presente 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 4% 8% 12% 16% 20% 24% 28% 32% 36% 40% Tasa de interés La expresión (2.22) significa que si la tasa de interés efectiva periódica es i, se 1 puede invertir un principal de 1 U.M. por periodo y obtener un pago de 1 i U.M. al final del primer periodo. En esta fecha se realiza un pago de 1 U.M. y el 1 saldo restante de es reinvertido para el próximo periodo y, así sucesivamente, de i manera indefinida.

223

224


Luego, si se tiene en cuenta que: 1− v n i n n lím v = 0 , para 0 < v <1 an =

n →∞

Se obtiene: an = lím an n →∞

Entonces, an =

1 i

A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.22 El costo de capital de una empresa es de 10% y paga dividendos de 0,09 U.M. al final de cada año. Calcule el valor de la acción al inicio de cada año.

Solución Para resolver este ejemplo, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: Valor presente A a Valor presente A

1 i

donde A Valor de la anualidad inmediata i Tasa de interés efectiva a∞ Valor presente de una perpetuidad inmediata b) Se reemplazan los valores en la ecuación anterior: Valor presente = 0,09 × a∞ Valor presente = 0,09 × (1/ 0,10) Valor presente = 0,90 El valor de la acción es de 0,90 U.M.


De un modo similar a la perpetuidad inmediata, es posible definir una perpetuidad de pago inmediato como una secuencia infinita de pagos iguales, en la que cada uno de ellos se realiza al inicio de cada periodo. Si se sigue este orden de ideas, se llama a∞ al valor presente de una perpetuidad de pago inmediato, donde el primer pago se realiza al inicio de cada periodo. En este contexto, el diagrama de tiempo correspondiente es el siguiente: Figura 2.20. Diagrama de tiempo


1

1

1

1

1

1

a∞ ... ... 0

1

2

1

1


n 1

1

1

1

1

Como se aprecia en la figura 2.20, los pagos de esta perpetuidad de pago inmediato se producen al final de cada periodo, pero de manera indefinida en el tiempo. Si lo que se desea es calcular el valor presente de esta perpetuidad, la ecuación del valor en el tiempo t = 0 será: a∞ =1+ v + v 2 + ... 1 1− v 1 a∞ = d a∞ = lím a∞ a∞ =

n →∞

Por tanto, a a

1 1 v 1 1 1 1 i

donde a∞ Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato i Tasa de interés efectiva v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i )

(2.23)

225

226


En la figura 2.20, a∞ se representa gráficamente como función de i. Figura 2.21. Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato

Valor presente 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 4%

8% 12% 16% 20% 24% 28% 32% 36% 40%

Tasa de interés O, de forma alterna, a∞ =

1 d

(2.24)

donde a∞ Valor presente de una anualidad de pago inmediato d Tasa de descuento simple A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.23 A usted le ofrecen un activo que le dará un flujo anual de 30 U.M. por tiempo indefinido a partir de hoy y la tasa de interés anual es de 10%. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar hoy por este activo?



b) Se reemplazan los valores en la ecuación anterior: a a

1 1 1 1 0,10 11


c)

Por último, la expresión anterior se multiplica por 30 U.M.: 30 × a∞ = 30 ×11 30 × a∞ = 330 Hoy estaría dispuesto a pagar 330 U.M. por el activo.

Comentario Los valores acumulados para las perpetuidades no existen en la medida que los pagos se prolongan de modo indefinido. Si la perpetuidad inmediata tiene un valor acumulado, que se simboliza con s∞ , se espera que se cumpla que s∞ = lím sn . Sin embargo, ocurre que n →∞ la expresión (1+ i )n −1 n →∞ i

lím sn = lím n →∞

no existe, puesto que 1+ i >1 y lím (1+ i )n = ∞ . n →∞

Con las perpetuidades se pueden explicar identidades: 1− v n d 1 vn an = − d d

an =

En consecuencia, an = a∞ − v n × a∞ donde an a∞ vn a∞

Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato n Factor de descuento en el periodo n que equivale a v n = (1/1+ i ) Valor presente de una perpetuidad inmediata

Un ejemplo donde se aplica la teoría mencionada es el 2.24.

(2.25)

227

228


Ejemplo 2.24 El flujo de caja Z genera 10.000 U.M. al final de cada uno de los siguientes 5 años, y el flujo de efectivo Y generará X al inicio de cada año, de manera indefinida. Además, la tasa de interés efectiva anual es de 5%. Dado que usted puede recibir alguno de los dos flujos, calcule el valor de X de modo que le sea indiferente elegir entre estas dos alternativas.


Se identifica la ecuación de valor que se utilizará, que es: 10.000 a5

X

1 1 i

donde Valor presente de una anualidad inmediata i Tasa de interés efectiva b) Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación anterior. Así, a5

10.000

1 (1 0,05) 0,05

5

X

1 1 0,05

43.294,77 X 21 X 2.061,66 El valor de X es igual a 2.061,66 U.M. Por otro lado, el valor presente de una perpetuidad inmediata diferida con pagos periódicos de 1 U.M. que comienza en el periodo n, con un primer flujo de efectivo al inicio del periodo n + 1, está dado por la ecuación del valor en el tiempo t = n . (1+ i )n × P0 = a∞ O, de forma alterna, P0 = (1+ i )− n × a∞ donde P0 i a∞ n

Valor presente de una perpetuidad inmediata diferida Tasa de interés efectiva Valor presente de una perpetuidad inmediata Número de periodos

A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación.

(2.26)


Ejemplo 2.25 Se desea conocer el valor presente de una anualidad de pago inmediato que paga por siempre 30 U.M. a partir del quinto año. La tasa de interés efectiva semestral es de 8%.

Solución Para responder la pregunta anterior, se realizan los siguientes pasos: a)


b) Se reemplazan los valores del enunciado del problema en la ecuación del inciso a). Así, 1 P0 = (1,08)−10 × = 5,7899 0,08 c)

Por último, este resultado se multiplica por 30 U.M. y se obtiene: 30 × (5,7899) =173,70 El valor presente de la inversión es de 173,70 U.M.

Ejemplo 2.26 Una perpetuidad inmediata diferida de 5.000 U.M. mensuales es adquirida por 500.000 U.M. Calcule el periodo diferido si la tasa de interés compuesta mensual es de 5%.


Primero se calcula la tasa de interés mensual: 0,05 = 0,0041667 12

b) Sea n el tiempo que se requiere para que los 500.000 U.M. crezcan a 5.000 × a∞ U.M. Así, 500.000 (1,0041667)n 5.000 a 500.000 (1,0041667)n 5.000

1 0,0041667

229

230


500.000 (1,004)n 1.200.000 (1,0041667)n 2,40 n ln (1,0041667) ln 2,40 n

ln 2,40 ln1,0041667

n 210,55 El periodo diferido es de aproximadamente 211 meses.

2.4.1 Problemas propuestos 1. A usted le ofrecen un activo que le puede proporcionar de manera indefinida un flujo de efectivo anual de 40 U.M., comenzando dentro de un año a partir de hoy. Si la tasa de interés es de 4%, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar por él? Respuesta: 961,54 U.M. 2. Identifique la expresión equivalente a a4 a)

a∞ × (1− v 4 )

b)

a4 −1

c)

v1 + v 2 + v 3 + v 4

Respuesta: la expresión a. 3. La tasa de interés anual efectiva es de 30%. Si la anualidad de pago inmediato remunera 100 U.M. al inicio de cada año por siempre, ¿cuál es el valor presente de la anualidad? Respuesta: 56,52 U.M. 4. La tasa de interés anual efectiva es de 5%. Si una perpetuidad remunera 400 U.M. al inicio de cada año por los primeros 8 años y 200 U.M. al final de cada año de allí en adelante, calcule el valor presente de la perpetuidad. Respuesta: 5.421,92 U.M. 5. Ryan utiliza una cantidad de dinero que asciende a R U.M. para adquirir una perpetuidad de pago inmediato diferida de 1 U.M. pagable anualmente. La tasa de interés efectiva anual es positiva. Encuentre la ecuación que expresa el periodo diferido. Respuesta: n =

ln (1/ i × R ) ln (1+ i )

2.5 Número de pagos de una anualidad

6. Juan Diego compra una perpetuidad que ofrece 500 U.M. mensuales por 50.000 U.M. Calcule la tasa de interés efectiva anual que se utilizó para determinar el precio de esta perpetuidad. Respuesta: 0,01 o 1%.

Número de pagos de una anualidad

2.5

¿Cuál es el número de pagos n, dado el pago regular de R, la tasa de interés por periodo i, y el valor presente o el valor acumulado de una anualidad? Para responder esta pregunta, se supondrá una anualidad inmediata. Un cálculo similar se aplica para una anualidad de pago inmediato. Sea P el valor presente de una anualidad inmediata. El diagrama de tiempo correspondiente es el que se muestra en la figura 2.22. Figura 2.22. Diagrama de tiempo

Pagos (en unidades monetarias) R

R

P

0

R

R

R

R

R

... ... 1

2

n


La ecuación de valor en el periodo t = 0 es: P = R × an i donde P Valor presente de la anualidad R Valor del pago regular i Tasa de interés efectiva n Número de periodos P, R e i son valores conocidos. Sin embargo, n es desconocido.

(2.27)

231

232


Se despeja el valor de n y se obtiene: P R

1 vn i

vn 1 i

P R

Se aplica el logaritmo neperiano en la segunda expresión. P R

n lnv ln 1 i Es decir, n

P R

ln 1 i

(2.28)

ln v

donde n Número de periodos i Tasa de interés efectiva v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) P Valor presente de una anualidad inmediata R Valor del pago regular El número de pagos en función de la tasa de interés, si se asume que P / R = 6, se muestra en la siguiente gráfica: Figura 2.23. Diagrama de tiempo

Número de periodos 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 2%

4%

6%

8%

10% 12% 14% 16% Tasa de interés

La última ecuación no es necesariamente un número entero positivo. Para que n sea positivo se requiere que 1 i P 0. R Ante la necesidad de calcular un periodo fraccionado, se plantea la ecuación P = R × an+k , donde n es un número entero positivo y 0 < k <1 . En este caso es posible escribir: P = R × an + k

i


P R

1 vn k i

P 1 vn k i R P i 1 vn k R

Se reordena: P R

vn k 1 i

Luego, se aplica el logaritmo neperiano a ambos lados de la expresión: ln ( v n k ) ln 1 i

P R

(n k) ln v ln 1 i

P R

En consecuencia, n k

ln 1 i

P R

ln v

(2.29)

donde n Número de periodos (en números enteros) k Número de periodos (en número fraccionado) i Tasa de interés efectiva v Factor de descuento e igual a 1/ (1+i ) P Valor presente de una anualidad inmediata R Valor del pago regular Luego, para que una anualidad tenga un valor presente de P, se deben efectuar n pagos regulares de R y un pago adicional de monto: R

(1 i)k 1 i

Este pago se realizará en el tiempo t = n + k , es decir, en un periodo fraccionado k del (n + 1)–ésimo periodo. En la práctica, el pago más pequeño se realiza al mismo tiempo que el último pago regular o al final del periodo. A continuación se analizará un ejemplo de aplicación.

233

234


Ejemplo 2.27 Se emplean 5.000 U.M. para pagar 3.000 U.M. al final de cada periodo de 4 meses. Si este dinero gana una tasa de interés nominal de 9% capitalizable trimestralmente, calcule cuántos pagos regulares se deben efectuar y la cantidad del pago más pequeño que se debe realizar: a)

Con el último pago regular.

b) Seis meses después del último pago regular.

Solución a)

Para resolver este ejemplo, los pasos que se deben realizar son los siguientes: a.1) Se convierte la tasa de interés nominal de 9% capitalizable trimestralmente en una tasa efectiva trimestral: 0,09 4 j = 0,0225 j=

La tasa efectiva mensual es de 2,25%. a.2) Se plantea la expresión que permitirá calcular el número de periodos. Dicha expresión es: P = A × an + k i

donde P A a n+k i i

Valor presente de la anualidad Valor del pago regular Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n + k Tasa de interés efectiva

a.3) Se reemplazan los valores: 5.000 3.000 1,6667

1 (1,0225) (n+ 0,0225

1 (1,0225) (n k) 0,0225

0,037501 1 (1,0225)

(n+ )

(1,0225)

(n k)

1 0,037501

(1,0225)

(n k)

0,962499

)


1 0,962499 1,0225(n k) 1 1,0225(n k) 0,962499 1,038962 1,0225(n k) ln1,038962 ln1,0225(n k) ln 1,038962 (n k) ln 1,0225 ln1,038962 n k ln1,0225 n k 1,7178 El número de pagos regulares es 1 y la cantidad de pagos fraccionada 0,7178. b) Para responder la pregunta b se realizan los siguientes pasos: b.1) Sea X la cantidad del pago más pequeño que se hará al final del 55º periodo. La ecuación de valor en el tiempo t = 0 es 5.000 = 3.000 × a1 0,0225 + X × (1,0225)−1 b.2) Se resuelve esta ecuación. De este modo, 5.000 3.000

1 (1,0225) 0,0225

1

X (0,977995)

2.066,01 X (0,977995) 2.066,01 0,977995 X 2.112,50 X

El pago será de 3.000 U.M. y el último pago de 5.112,50 U.M. (3.000 + 2.112,50). Una clase similar de cálculo se realizará con el valor acumulado conocido en lugar del valor presente, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.28 Para acumular 10.000 U.M. usted depositará 500 U.M. al final de cada mes. El interés es de 15% compuesto mensual. En este contexto, se requiere saber: a)

¿Cuál es el número de pagos regulares y el periodo (en fracción) que se requieren para acumular 5.000 U.M.?

235

236


b) Si un pago fraccionado final será añadido al último pago regular, ¿a cuánto asciende ese pago fraccionado? c)

Si se efectúa un pago fraccionado final un mes después del último pago regular, ¿a cuánto debe ascender este pago fraccionado?

d) Si el pago fraccionado se realiza durante el mes que sigue al último pago regular, ¿de qué importe es?

Solución a)

Para responder esta pregunta, los pasos que se deben desarrollar son los siguientes: a.1. Se calcula el valor de la tasa de interés mensual: 0,15 = 0,0125 12 a.2. Se utiliza la tasa de interés calculada en el paso anterior y se desarrolla la ecuación de valor en el tiempo t = n + k . Dicha ecuación es: 10.000 500 sn k 0,0125 10.000 500

(1 i)n k 1 i

10.000 500

(1,0125)n k 1 0,0125

Se resuelve para n y k. 10.000 (0,0125) 500 n k ln 1,0125 0,2231 n k 0,0124 ln 1

n k 17,96 De esta forma, el número de pagos regulares es de 17 y un pago en el periodo fraccionado de 0,96. b) Sea X el periodo fraccionado añadido al último pago regular. El diagrama de tiempo se presenta en la figura 2.24.

2.5 Número de pagos de una anualidad Figura 2.24. Diagrama de tiempo


100

100

100

100

14

15

100 100 + x

... ... 0

1

2

16

17

5.000 U.M.


La ecuación de valor en el tiempo 17 es: 10.000 500 s17 0,0125 X 10.000 500

(1 0,0125)17 1 0,0125

X

Se despeja X y se obtiene: X = 594,47 c)

Sea Y un pago. El diagrama de tiempo se presenta en la figura 2.25. Figura 2.25. Diagrama de tiempo

Pagos (en unidades monetarias) 100 100

100

100

100

15

16

100

Y

... ... 0

1

2

17 18 5.000 U.M.

La ecuación de valor en el tiempo t =17 es: 10.000 500 s17 (1,0125) Y 10.000 500

(1 0,0125)17 1 0,0125

(1,0125) Y

10.000 500 (18,81111) (1,0125) Y Y 476,90


237

238


d) En este caso se realizarán 17 pagos regulares de 500 U.M. cada uno y un pago adicional de 500

(1 0,0125)0,96 1 0,0125

479,88

2.5.1 Problemas propuestos 1. Un financista paga hoy 30.000 U.M. por una anualidad de pago inmediato que le pagará 2.000 U.M. al inicio de cada mes durante n meses, realizando hoy el primer pago. Si i (12) =10% , encuentre n. Redondee su respuesta. Respuesta: 16 meses. 2. Genevieve ahorrará 200 U.M. al final de cada mes tanto tiempo como se requiera, con la finalidad de acumular 5.000 U.M. Si la tasa nominal de interés es de i (12) = 5% , ¿cuántos pagos regulares tendrá que hacer para acumular 2.000 U.M.? Respuesta: 10,24 meses. 3. Un préstamo de 1.000 U.M. será repagado con pagos anuales de 200 U.M. comenzando al inicio del quinto año, y para continuar de aquí en adelante tanto tiempo como sea necesario. Determine el tiempo y la cantidad del pago final si este último será mayor que los pagos regulares. Asuma una tasa de interés de i = 5% . Respuesta: 5,9 años y 379,56 U.M. 4. Una anualidad paga 4 U.M. al final de cada año durante 36 años. Otra anualidad paga 5 U.M. al final de cada año durante 18 años. Los valores presentes de ambas anualidades son equivalentes a la tasa de interés efectiva i. Si una cantidad de dinero invertida a la misma tasa i se duplica en n años, encuentre n. Respuesta: 2,266 años.

2.6 Tasa de interés de una anualidad

2.6

Tasa de interés de una anualidad

Dado el valor presente o acumulado de los pagos de una anualidad inmediata, se puede calcular la tasa de interés i. Para este fin, se utilizará la siguiente ecuación: an = k

(2.30)

donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n k Constante O, de forma alterna, utilizando la siguiente ecuación: sn = k

(2.31)

donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n k Constante En este orden de ideas, para calcular esta tasa de interés se pueden utilizar tres métodos: técnicas algebraicas, interpolación lineal y el método de iteración de Newton–Raphson.

2.6.1 Técnicas algebraicas La aplicación de la técnica algebraica implica utilizar el siguiente polinomio en v de grado n: k = an = v + v 2 + v 3 + ... + v n donde an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n k Constante v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) Si las raíces de este polinomio pueden determinarse algebraicamente, puede calcularse i. Es decir, la tasa i se puede calcular por medio de la siguiente ecuación: i = v −1 −1

239

240


O, de forma alterna, se utiliza i

1 v

1

1

(2.32)

donde v Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) i Tasa de interés efectiva La relación entre el factor de descuento y la tasa de interés efectiva se muestra en la figura 2.26. Figura 2.26. Factor de descuento y la tasa de interés

Factor de descuento 1,200 1,000 0,800 0,600 0,400 0,200 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

Tasa de interés Este método sólo es práctico, por lo general, para valores pequeños de n. A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.29 Si se cumple que el valor presente de una anualidad inmediata a dos años es 1,5 ( a2 =1,5 ), encuentre la expresión que sirva para calcular i > 0 .

Solución Para responder este ejemplo se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación: a2 =1,5

b) Se reemplaza a2 = v + v 2 en la expresión del inciso a). Así, v + v 2 =1,5 v 2 + v −1,5 = 0 c)

Se resuelve el polinomio de segundo grado del inciso b), es decir, v=

−1+ 7 = 0,8229 2


Luego, 1 = 0,8229 1+ i 1 1+ i = 0,8229 1 i= −1 0,8229 i = 0,2152 La tasa de interés es 0,2152 o 21,52%

Ejemplo 2.30 Calcule el valor de la tasa de interés i si el valor acumulado de una anualidad inmediata de dos periodos es 4 ( s2 i = 4 ).


Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación: s2 i = 4

b) Se desarrolla la expresión del inciso a). (1+ i )2 −1 =4 i (1+ i )2 −1 = 4 × i 1+ 2 × i + i 2 −1 = 4 × i i2 − 2 × i = 0 i × (i − 2) = 0 i =2 La tasa de interés es 2 o 200%.

Ejemplo 2.31 Michaela deposita 500 U.M. en una cuenta al final de cada año, durante cinco años. Si el valor acumulado de estos depósitos al cierre del quinto año es equivalente al valor presente de pagos por un monto de 250 U.M. que se realizan a perpetuidad al final de cada año, calcule el valor de la tasa de interés efectiva si la cuenta y la perpetuidad utilizan la misma tasa de interés efectiva i.

241

242


Solución Para resolver el ejemplo, se realizan los siguientes pasos: a)

Se determina la expresión que se desarrollará, que es: 500 × s5 = 250 × a∞

b) Se reemplaza s5

1 (1 i)5 1 y a∞ = en la expresión del inciso a). i i 500

c)

(1 i)5 1 i

250

1 i

Se simplifica la expresión del inciso b). De esta manera se obtiene: 500 × ⎡⎣(1+ i )5 −1⎤⎦ = 250 (1+ i )5 −1 = 0,50 (1+ i )5 =1,50 1

i = (1,50) 5 −1 i = 0,0845 La tasa de interés es de 8,45%.

2.6.2 Método de la interpolación lineal Como se analizó en el capítulo 1, la ecuación de valor puede resolverse utilizando métodos de aproximación, por ejemplo, este método. Se verán algunos ejemplos de cómo aplicar el método de interpolación lineal para calcular, entre otros, la tasa de interés efectiva de una anualidad de pago inmediato.

Ejemplo 2.32 Jean Paul paga 400 U.M. al final de cada año durante un periodo de nueve años y él calcula que el valor presente de esta anualidad es de 300 U.M.


Además, dispone de la siguiente tabla de interés: a8

s8

i

7,1701

8,7361

2,5%

7,0197

8,8923

3,0%

6,8740

9,0517

3,5%

6,7327

9,2142

4,0%

6,5959

9,3800

4,5%

6,4632

9,5491

5,0%

6,2098

9,8975

6,0%

5,9713

10,2598

7,0%

Sobre la base de una interpolación lineal de la tasa de interés, calcule la tasa de interés efectiva anual i.


Se elige el método de interpolación lineal para resolver el problema.

b) Se interpola y calcula la tasa de interés. i 0,035 (0,04 0,035)

6,80 6,8740 6,7327 6,8740

i 3,762% La tasa de interés es de aproximadamente 3,762%.

Ejemplo 2.33 El valor presente de una serie de pagos de 2.000 U.M. que se realizan al final de cada trimestre por un espacio de cinco años es de 32.000 U.M. Estime la tasa de interés convertible trimestralmente, implícita en el cálculo de este valor presente.

243

244


Solución Para resolver este ejemplo se realizan los siguientes pasos: a)

Se establece la tasa de interés convertible trimestral, que es: j=

i (4) 4

donde j Tasa de interés efectiva (4) i Tasa de interés nominal trimestral b) Se identifica la ecuación de valor con la que se trabajará, que es: 2.000 × a20 j = 32.000 a20 j =16 c)

Por inspección de las tablas de interés, se observa que: i

a20

1,0%

18,0456

1,5%

17,1686

2,0%

16,3514

2,5%

15,5892

En el caso de una tasa de interés de 2%: a20 0,02 =16,3514 Con una tasa de interés de 2,5%: a20 0,0250 =15,5892 d) Luego, por medio de la interpolación lineal: j 0,02 (0,0250 0,0200)

16 16,3514 15,5892 16,3514

j 0,0223 e)

Lo cual da por resultado i (4) = 4 × (0,0223) = 0,0892 = 8,92% .


2.6.3 Método de iteración de Newton–Raphson Por lo general, este tercer método se utiliza para aproximar ceros de la ecuación f ( x ) = 0 , donde f es la función diferenciable. El método comienza con establecer un valor inicial para x, como x 0 , y continúa con la determinación de la ecuación de la línea tangente en x 0 . Luego se calcula el intercepto x de esta línea, por ejemplo x1 , que tiene un valor cercano a la solución real, que es x 0 . Si se observa la figura 2.27, se puede ver con facilidad que: x1 = x 0 −

f (x0 ) f '( x 0 )

Luego se evalúa la ecuación de la línea tangente en x = x1 , de modo que se obtiene: x2 = x1 −

f ( x1 ) f '( x1 )

Este proceso de iteración continúa, de modo que genera la secuencia x 0 , x1 , x2 ..., x n . De esta manera, la ecuación de la línea tangente en el último punto x = x n es: x n+1 = x n −

f (xn ) f '( x n )

donde x n+1 Valor de la variable en el periodo n + 1 x n Valor de la variable en el periodo n De tal forma que x n converge a la solución de f ( x ) = 0 . Figura 2.27. Método de iteración de Newton-Raphson

f(x) Línea tangente al gráfico de f(x) en el punto (x1, f(x1))

Gráfico de f(x)

x x2

x1

x0

Línea tangente al gráfico de f(x) en el punto (x0, f(x0))

245

246


Se quiere resolver an = k para i utilizando este método. Una forma de plantear el problema anterior es la siguiente: an = k Como an es una función de la tasa de interés efectiva f (i ) = an , la ecuación anterior se puede representar de la siguiente manera: f (i ) = an − k = 0 Si se reemplaza an =

−n

1− (1+ i ) i

en la ecuación anterior, se obtiene: f (i ) =

1− (1+ i )− n −k = 0 i

En estas circunstancias, la fórmula de iteración está dada por is 1 is is 1 is

(1

n (1 is ) 1

(1 is )

n

n 1 is 1

)

is 1 k

1 (1 is )

n

is 2

1 (1 is ) n k is 1 (1 is ) n 1 {1 is (n 1)}

La siguiente pregunta, con base en el tercer método, es la selección del valor inicial de i, i0. De la serie de poder de (1+ i )− n se tiene que an

1 1 (1 i) i

an

1 i

an

n 1

n

1 1 n i n 1 2!

( n) ( n 1) 2 i ... 2! i+

(n 1) (n 2) 2 i ... 3!

Por tanto, 1 1 n

n 1 2!

1 an

1 1 n

n 1 (n 1) (n 2) 2 i i ... 2! 3!

1 an

1 n 1 n2 1 2 n (n2 1) 3 1 i i i ... n 2! 12 24

i

(n 1) (n 2) 2 i ... 3!

1

1 an

n 1 (n 1) (n 2) 2 i i ... 2! 3!


La tasa de convergencia de esta serie es más rápida que aquella para la expansión de la serie de an . Luego, al calcular el valor de la primera prueba, se utiliza la siguiente aproximación: n 1 1 1 1 i0 2 k n donde k Constante n Número de periodos i0 Tasa de interés Se resuelve para i0 y se obtiene: i0 =

2 × (n − k ) k × (n +1)

(2.33)

donde k Constante n Número de periodos i0 Tasa de interés En la práctica, las iteraciones se realizarán hasta que is+1 = is llegue al grado de precisión que se requiere. Para ilustrar lo anterior, se presenta el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.34 Utilice el método de Newton–Raphson y resuelva de nuevo el ejemplo 2.33.


Se identifica la expresión para calcular la tasa de interés inicial, que es: i0 =

2 × (n − k ) k × (n +1)

b) En la ecuación del inciso a) se reemplazan los valores del enunciado del ejemplo 2.33. De este modo se obtiene la tasa de interés inicial: 2 × (20 −16) 16 × (20 +1) i0 = 0,0238 i0 =

247

248


c)

Se determina la expresión que sirve para realizar las iteraciones, la cual es:

is 1 is

1 (1 is ) n k is 1 (1 is ) n 1 1 is (n 1)

1

d) Se itera sobre la base de la ecuación del inciso c). Dado i0 = 0,0238 , se calcula i1 utilizando la ecuación del inciso c):

i1 0,0238 1

1 (1,0238) 20 16 (0,0238) 1 (1,0238) 21 1+0,0238 21

i1 0,022246 Dado i1 = 0,022246 , se calcula i2 utilizando la ecuación del inciso c):

i2 0,022246 1

1 (1,022246) 20 16 (0,022246) 1 (1,0222246)21 1+0,022246 21

i2 0,0222623 Dado i2 = 0,0222623 , se calcula i3 utilizando la ecuación del inciso c):

i3 0,0222623 1

1 (1,0222623) 20 16 (0,0222623) 1 (1,0222623) 21 1 0,0222623 21

i3 0,0222623 Entonces, una tasa de interés nominal trimestral más precisa para el ejemplo 2.33 es: i (4) = 4 × i3 Se reemplaza el valor de i3 en el proceso de iteración en la ecuación anterior. De este modo se obtiene: i (4) = 4 × (0,0222623) i (4) = 0,089049 Por otro lado, considere el problema de encontrar la solución para i a partir de la siguiente ecuación: sn i = k Como sn i es una función de la tasa de interés efectiva, la ecuación anterior se puede representar de la siguiente manera: f (i ) = sn i − k = 0


Se reemplaza sn i =

(1+ i )n −1 en la ecuación anterior: i f (i ) =

(1+ i )n −1 −k = 0 i

En estas circunstancias, las iteraciones de Newton–Raphson estarán dadas por: is 1 is

1

(1 is )n 1 k is (1 is )n 1 1 is (n 1)

1

donde el valor para i0 está dado por: i0 ≈

2 × (k − n ) k × (n −1)

2.6.4 Problemas propuestos 1. Si se realizan depósitos de 100 U.M. al final de cada uno de los primeros n años y de 200 U.M. al final de cada uno de los próximos 2 × n años, se logrará acumular 5.000 U.M. al final de 3 × n años y se sabe que se cumple (1+ i )n = 3 . Determine el valor de la tasa de interés efectiva anual i. Respuesta: 1,32. 2. Calcule la tasa de interés que se utilizó de modo que se cumplan las siguientes igualdades: a) a∞ = X . b) a∞ =1,25 × X . Respuesta: 0,25. 3. Calcule la tasa de interés efectiva anual que ganó una perpetuidad que comprende pagos de 1 U.M. al inicio de cada año y tiene un valor presente de 10 U.M. Respuesta: 0,11. 4. Una anualidad comprende pagos de 500 U.M. mensuales que se realizan a lo largo de 10 años. Además, el valor presente de esta anualidad es de 7,908 U.M. Calcule la tasa de interés efectiva anual utilizada para estimar el valor presente. Respuesta: 0,0675 o 6,75%.

249

250


5. Una perpetuidad de pago inmediato comprende pagos de 2.000 U.M. mensuales. Si el valor presente de esta perpetuidad es de 200.000 U.M., calcule la tasa de interés efectiva anual que se utilizó para este valor presente. Respuesta: 0,0101. 6. Se desea conocer el valor de an+1 si se cumple que sn =10 y sn+1 = 2 × an+1 . Respuesta: 5,5.

2.7

Interés variable de una anualidad

Sea ik la tasa de interés aplicable desde el periodo k −1 al periodo k. Se considera primero el valor presente de una anualidad inmediata de n periodos. En este contexto se debe considerar que: a)

Cuando ik es aplicable sólo en el periodo k, sin considerar cuándo se realiza el pago (la tasa ik se utiliza sólo en el periodo k para descontar todos los pagos). En este caso el valor presente estará dado por la expresión: an = (1+ i1 )−1 + (1+ i1 )−1 × (1+ i2 )−1 + ... + (1+ i1 )−1 × (1+ i2 )−1...(1+ in )−1 (2.34) donde an it

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2, 3,…, k)

b) La tasa ik se utiliza como tasa efectiva por cada periodo i cuando un pago se efectúa en el tiempo k ( i ≤ k ). En este caso, el valor presente se puede calcular por medio de la siguiente expresión: an = (1+ i1 )−1 + (1+ i2 )−2 + ... + (1+ in )− n

(2.35)

donde an it c)

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2, 3,…n)

Por otra parte, el valor presente de una anualidad de pago inmediato se puede obtener por medio de la ecuación: an =1+ an−1

(2.36)

2.7 Interés variable de una anualidad

donde an an−1

Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n − 1

2.7.1 Cálculo del valor acumulado de una anualidad de pago inmediato Si la tasa de interés ik es aplicable sólo por periodos k, sin considerar cuándo se realiza el pago, el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato, es decir, de una cuyos pagos se producen al inicio de cada periodo, estará dado por: sn = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ in ) + ... + (1+ in−1 ) × (1+ in ) + (1+ in )

(2.37)

donde sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n it Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2, 3,…, n) Cuando in es aplicable a todos los periodos i ≥ k , el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato se puede calcular por medio de la siguiente ecuación: sn = (1+ i1 )n + (1+ i2 )n−1 + ... + (1+ in )

(2.38)

donde sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n it Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2, 3,…, n) Por otro lado, este valor se puede obtener mediante la siguiente ecuación: sn+1 = sn +1

(2.39)

donde sn+1 Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n + 1 sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n A continuación se presentan ejemplos donde se ilustra la aplicación de estas fórmulas.

Ejemplo 2.35 Calcule el valor acumulado de una anualidad inmediata. Cada uno de sus pagos se realiza al final de cada año, durante doce años, y es de 500 U.M. La tasa de interés efectiva es de 8% durante los primeros tres años, 6% en los siguientes cinco y 4% para los últimos cuatro.

251

252


Solución Para resolver este ejercicio, los pasos que se deben desarrollar son los siguientes: a)

Se identifica la ecuación que se utilizará para calcular el valor acumulado de una anualidad inmediata, que es: sn =

(1+ i )n −1 i

donde sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos b) Se calcula el valor acumulado de la anualidad inmediata por cada periodo. b.1. Primero se calcula el valor acumulado de los tres primeros pagos. Para ello se plantea la expresión con la que se trabajará: sn = 500 × s3 0,08 Luego, se reemplazan s3 0,08 sn 500

(1 0,08)3 1 en la ecuación anterior: 0,08 (1 0,08)3 1 0,08

sn 500 (3,2464) sn 1.623,20 De esta manera, el valor acumulado de los tres primeros pagos es 1.623,20 U.M. Sin embargo, este valor aún requiere trabajo. Así, el siguiente paso consiste en expresar este valor al final del octavo año con una tasa de interés de 6%. Así, Valor acumulado al 8° año =1.623,20 × (1,06)5 Valor acumulado al 8° año = 2.172,21 Este valor se expresa al final del duodécimo año a la tasa de 4%: Valor acumulado al12° año = 2.172,21× (1,04)4 Valor acumulado al12° año = 2.541,18


El valor acumulado al duodécimo año es de 2.541,18 U.M. b.2. Se calcula el valor acumulado del cuarto, quinto, sexto, séptimo y octavo años al final de este último, a la tasa de 6%. Para ello, primero se establece la fórmula que servirá para calcular el valor acumulado de la anualidad inmediata, que es: sn = 500 × s 5 0 ,06 (1 0,06)5 1 en la ecuación anterior: 0,06

Luego se reemplaza s 5 0 ,06

(1 0,06)5 1 0,06

sn 500

sn 500 (5,6371) sn

2.818,55

Este valor se acumula al final del año 12 a la tasa de 4%. Así, Valor acumulado al año12 = 2.818,55 × (1,04)4 Valor acumulado al año12 = 3.297,30 b.3. Se calcula el valor acumulado del noveno, décimo, undécimo y duodécimo pagos al final del año doce a la tasa de 4%. Para ello se establece la expresión con la que se trabajará para calcular el valor acumulado, la cual es: sn = 500 × s4 0,04 Luego se reemplaza en esta ecuación el valor de s4 0,04 sn 500

(1 0,04)4 1 . 0,04

(1 0,04)4 1 0,04

sn 500 (4,2465) sn c)

2.123,23

Por último, el valor acumulado de la anualidad inmediata a 12 años es: sn = 2.541,18 + 3.297,30 + 2.123,23 sn = 7.961,71 U.M.

253

254


Ejemplo 2.36 Se desea realizar un depósito hoy a cambio de recibir 2.000 U.M. al final de cada año durante los siguientes 15 años. Se desea conocer cuánto se debe depositar si la tasa de interés efectiva es de 7% durante los primeros 5 y 9% para los últimos 10 años.


Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: PV = 2.000 × a5 0,07 + 2.000 × a10 0,09 × (1,07)−5 donde A PV an i an ' i ' i

Anualidad inmediata Valor presente Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Tasa de interés efectiva

b) Se reemplazan los valores: PV = 2.000 × a5 0,07 + 2.000 × a10 0,09 × (1,07)−5 En la ecuación anterior se sustituyen los valores de: a5 0,07

1 (1 0,07) 0,07

5

a10 0,09

1 (1 0,09) 0,09

10

Así, PV 2.000

1 (1 0,07) 0,07

5

2.000

1 (1 0,09) 0,09

10

(1,07)

Se factoriza y se obtiene: PV 2.000

1 (1 0,07) 0,07

5

1 (1 0,09) 0,09

PV 2.000 (4,1002 3,3464) PV 14.893,13 Se deben depositar hoy 14.893,13 U.M.

10

(1,07)

5

5


Ejemplo 2.37 Calcule el valor acumulado de una anualidad inmediata en el año 5 ( s5 ) si se conoce que δt = 0,02 × t para 0 ≤ t ≤ 5 .

Solución Para calcular dicho valor, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la ecuación que se resolverá: ∫ t δt ×dt n

sn = e

∫ t+1δt ×dt n

+e

+ ... +1

donde sn Valor acumulado de la anualidad inmediata b) Se reemplazan los valores y se resuelve. De este modo, ∫1 δt ×dt 5

s5 = e

∫ 2 δt ×dt 5

+e

+ ... +1

∫ t δt ×dt 5

s5 = e

Se reemplaza δ T = 0,02 × t en la última expresión: ∫ t 0,02×t ×dt 5

s5 = e

Se desarrolla el integral que está en el exponente: s5 = e 0,25−0,01×t c)

2

Sobre la base de los resultados que se obtuvieron en el paso anterior, se reemplazan los valores de t (t = 1, 2, 3, 4). Así, 2

2

2

2

s5 = e 0,25−0,01×(1) + e 0,25−0,01×(2) + e 0,25−0,01×(3) + e 0,25−0,01×(4) +1 s5 = e 0,24 + e 0,21 + e 0,16 + e 0,09 +1 s5 = 5,7726 El valor acumulado de esta anualidad inmediata en el año 5 es de 5,7726 U.M.

255

256


2.7.2 Problemas propuestos 1. Vanessa deposita 1.000 U.M. en una cuenta al final de los siguientes 5 años, la cual le permite ganar 5% de interés anual. También deposita 1.000 U.M. al final de cada uno de los años 6 a 9 en otra cuenta que gana 2,5% anual. Calcule la cantidad total que Vanessa tendrá en ambas cuentas al final de 9 años. Respuesta: 8.175,52 U.M. 2. Si una persona deposita sus ahorros en una cuenta, ganará 2,5% anual durante los próximos cuatro años y 5% anual del quinto al séptimo años. Si Toño deposita 1.000 U.M. en esta cuenta en este momento, calcule a cuánto ascenderá el valor acumulado de este depósito al cabo de siete años. Respuesta: 7.959,56 U.M. 3. Si un inversionista extranjero deposita su dinero en un fondo, ganará 8% anual durante los próximos cinco años y 5% anual del sexto al noveno años. Si Isabella deposita 100 U.M. en este fondo, ¿cuánto sumará el valor acumulado después de 9 años? Respuesta: 1.144,10 U.M. 4. Se conoce que X es el valor presente en el tiempo 2 de una anualidad de pago inmediato a 20 años de 1 U.M. por año. La tasa de interés efectiva 1 . ¿Cuál es el valor de X? anual por año t es 8+ t Respuesta: 12,81 U.M. 5. Calcule el valor presente de una anualidad de pago inmediato, que comprende pagos de 1 U.M. al final de cada medio año durante 5 años. Además, la tasa de interés es de 8% anual convertible semestralmente durante los primeros 3 años y 7% anual convertible semestralmente en los últimos 2 años. Respuesta: 9,23 U.M. 6. ¿Cuál es el costo de una anualidad de 300 U.M. por año durante 15 años donde la tasa de interés futura durante los 5 primeros es de 4%, la tasa para los siguientes 5 es de 5% y la tasa durante los últimos 5 es de 6% anual? Respuesta: 3.358,87 U.M.

2.8 Anualidades de diferentes frecuencias con interés capitalizable

2.8

Anualidades de diferentes frecuencias con interés capitalizable

Estas anualidades se caracterizan porque los periodos de pago y de conversión de intereses son distintos. Para calcular el valor presente de este tipo de anualidades: a)

Se calcula la tasa de interés capitalizable a la misma frecuencia que la de los pagos. Por ejemplo, la tasa de interés capitalizable mensual, equivalente a la tasa de interés de 10% capitalizable trimestral, se calcula así: i

(12)

0,10 1 4

12

4 12

1

i (12) 0,0992 o 9,92% La tasa de interés capitalizable mensualmente es de 9,92%. b) Se utiliza esta tasa de interés y se calcula el valor de la anualidad. A continuación se desarrollan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.38 Usted quiere reunir a la brevedad 250.000 U.M. y, para ello, deposita 2.000 U.M. en una cuenta de ahorro a inicios de cada mes. ¿Cuánto tiempo requiere para reunir esa cantidad si la tasa de interés capitalizable trimestral es de 12%?

Solución Para resolver este ejemplo, los pasos que se desarrollarán son los siguientes: a)

Se establece la expresión que servirá para calcular la tasa de interés equivalente por mes, j, que es: (1 j)12

1

0,12 4

4

b) Se despeja el valor de j: 1

j = (1,03) 3 −1 j = 0,009901634 o 0,99%

257

258


c)

Una vez determinado el valor de la tasa de interés j en el inciso b), se plantea la igualdad propuesta en el enunciado de la pregunta: 2.000 × sn j = 250.000 Se despeja sn j y se obtiene: sn j =125

d) Se desarrolla el lado izquierdo de la expresión identificada en el inciso c): (1 j)n 1 125 1 j 1 j (1 j)n 2,22557 Se despeja n. ln 2,22557 ln1,009901634 n = 81,196 n ≈ 81 n=

Se requieren 81 meses para reunir el dinero.

Ejemplo 2.39 Juan Diego recibe un préstamo de 3.000 UM, que tendrá que devolver mediante pagos al final de cada tres meses durante un periodo total de cinco años. Si la tasa de interés nominal anual capitalizable semestralmente es de 10%, calcule a cuánto asciende cada pago trimestral.

Solución Para responder esta pregunta, se desarrollan son los siguientes pasos: a)

Se identifica la tasa de interés efectiva semestral j. Para ello, primero se establece la expresión que se utilizará para calcular dicha tasa, que en este caso es: j=

i (2) 2

donde j Tasa de interés semestral (2) i Tasa de interés nominal anual convertible semestralmente


Una vez establecida la ecuación, se reemplaza este valor: 0,10 2 j = 0,05 j=

La tasa de interés efectiva semestral es de 5%. b) Se calcula la tasa de interés efectiva trimestral, que equivale a la tasa de interés efectiva semestral que se calculó en el paso anterior. Para ello, primero se plantea la expresión para lo afirmado, que es: (1+ j )4 = (1+ 0,05)2 Una vez hecho esto, se despeja la tasa efectiva trimestral j: j = (1+ 0,05)2/4 −1 j = 0,024695 La tasa efectiva trimestral que se utilizará en los siguientes cálculos es de 2,4695%. c)

Si R denota el pago trimestral, la ecuación del valor en el tiempo 0 es: R × a20 j = 3.000 Se reemplaza a20 j

1 (1 0,024695) 0,024695 R

20

1 (1 0,024695) 0,024695

en la ecuación anterior y se obtiene: 20

3.000

R 15,63 3.000 R 191,94 Cada pago trimestral tiene un valor de 191,94 U.M.

Ejemplo 2.40 Calcule el valor acumulado de una anualidad inmediata en la última fecha de pago. Esta anualidad comprende pagos mensuales de 50 U.M. durante cinco años y la tasa de interés nominal convertible semestralmente es de 6%.

259

260



Se determina la tasa de interés semestral. Para ello, primero se establece la expresión que servirá para calcularla: j=

i (2) 2

donde j Tasa de interés semestral (2) i Tasa de interés nominal anual convertible semestralmente Luego, se reemplaza el valor de la tasa en esta ecuación: 0,06 2 j = 0,03 j=

La tasa de interés efectiva semestral es de 3%. b) Se calcula la tasa de interés mensual equivalente a la tasa de interés efectiva semestral que se calculó en el paso anterior. Así, (1+ j )12 = (1+ 0,03)2 1

j = (1,03) 6 −1 j = 0,0049386 La tasa de interés efectiva mensual es de 0,49386%. c)

Por último, el valor acumulado en el mes 60 es: 50 s60 j 50

(1 j)60 1 j

50 s60 j 50

(1 0,0049386)60 1 0,0049386

50 s60 j 3.481,90 El valor acumulado de la anualidad inmediata en la última fecha de pago es de 3.481,90 U.M.


Ejemplo 2.41 Ryan paga 100 U.M. al final de cada trimestre. Estos pagos acumulan 2.500 U.M. al final de cinco años. Calcule la tasa de interés efectiva mensual que determina que este valor acumulado sea tal.

Solución Para responder esta pregunta, los pasos a desarrollar son los siguientes: a)

Se calcula la tasa de interés efectiva trimestral j. Para ello, el primer paso consiste en establecer la expresión que permitirá determinarla, que es: 100 × s20 j = 2.500 (1 j)20 1 en esta ecuación: j

En segundo lugar, se reemplaza s20 j 100

(1 j)20 1 j

2.500

Se simplifican ambos miembros de la ecuación: (1 j)20 1 j

25

(1 j)20 1 25 j b) La última ecuación del inciso a) se expresa como una función de la tasa de interés efectiva j, f ( j ) = (1+ j )20 − 25 × j −1 , y se reemplaza. c)

Se aplica el método de prueba y error para estimar esta tasa. Así, se reemplazan j = 0,02 y j = 0,024 en la ecuación del inciso b) y se obtiene lo siguiente: f (0,02) = −0,014053 f (0,024) = 0,006938

d) Si se emplea interpolación lineal, la tasa de interés efectiva trimestral tiene un valor aproximado de: j ≈ 0,02 + 0,014053 × j ≈ 0,02268

0,024 − 0,02 0,006938 + 0,014053

261

262


e)

A partir de la tasa de interés efectiva trimestral, se calcula la tasa de interés efectiva anual. Para ello, se establece la expresión que precisamente permitirá calcular esta tasa: 4 1 (1+ i ) = (1+ j )

Se despeja i: 1+ i = (1+ j )

4/1

i = (1+ j ) −1 4/1

donde i Tasa de interés efectiva (anual) j Tasa de interés efectiva (trimestral) Luego, se reemplaza el valor de j. Así, i = (1+ 0,02268)4 − 1 i = 0,0939 o 9,39%

De forma alterna, se puede utilizar el método Newton–Raphson para estimar j. En primer lugar, se calcula el valor de j 0 . Para ello, se busca la expresión que servirá para calcular esta tasa: j0 =

2 × (k − n ) k × (n −1)

Se reemplazan los valores de j 0 . Así, j0 =

2 × (25 − 20) 25 × (20 −1)

j 0 ≈ 0,021053 Luego, sobre este valor inicial de las iteraciones se calculan las primeras tres iteraciones del método de Newton–Raphson. Para j1 j1 0,021053 1 j1 0,02288

1,02105320 1 25 (0,021053) (1,021053)19 (1 0,021053 19) 1


Para j2 j2 0,02288 1

1,0228820 1 25 (0,02288) (1,02288)19 (1 0,02288 19) 1

0,022854

j2 0,022854 Para j3 j3 0,022854 1

1,02285420 1 25 (0,022854) (1,022854)19 (1 0,022854 19) 1

j3 0,022854 Luego, j3 = 2,2854% y, en consecuencia, i = (1,022854)4 − 1 i = 0,0946 o 9,46%

2.8.1 Problemas propuestos 1. Calcule el valor presente de una anualidad de pago inmediato que paga 500 U.M. por mes durante 10 años. La tasa de interés efectiva anual es de 6%. Respuesta: 45.582,96 U.M. 2. Calcule el valor presente de una anualidad inmediata de 100 U.M. por trimestre durante 6 años, utilizando la tasa de interés nominal de 9% compuesta mensual. Respuesta: 1.877,04 U.M. 3. Calcule el valor acumulado de una anualidad, la cual paga 2.000 U.M. al inicio de cada año durante 5 años. Utilice una tasa de interés de i (12) = 0,08 . Respuesta: 8.580,26 U.M. 4. Una perpetuidad paga 800 U.M. al inicio de cada trimestre. Calcule el valor presente utilizando una tasa de interés efectiva anual de 10%. Respuesta: 33.976,16 U.M. 5. Una perpetuidad de pago inmediato paga 6.000 U.M. al inicio de cada año. Calcule el valor presente utilizando i (4) = 0,06 . Respuesta: 103.777,91 U.M.

263

264


Análisis de anualidades de mayor frecuencia de capitalización a las frecuencias de pago y que la tasa de interés es convertible

2.9

Entre los diferentes tipos de anualidades, se pueden distinguir aquellas que tienen frecuencias de capitalización mayores a las de pago.

2.9.1 Caso de una anualidad inmediata El primer caso corresponde a la anualidad inmediata y, para ello, se realizará una serie de supuestos. Dado el número de periodos de conversión de intereses en un periodo de pago k, se considera una anualidad inmediata. Esta anualidad comprende pagos de 1 U.M. que se producen al final de cada periodo de pago. Sea i la tasa por periodo de conversión y n el número total de periodos de conversión por el plazo de una anualidad. Se asumirá que cada periodo de pago contiene un número entero de periodos de conversión de intereses de modo que n y k son números enteros positivos y además n es divisible entre k. Luego, el número total de pagos de la anualidad realizados es n / k. Sea L el valor presente de una anualidad inmediata que paga 1 U.M. al final de cada k periodos de conversión de intereses por un total de n periodos de conversión de intereses. El diagrama de tiempo de esta situación se muestra en la figura 2.28. Figura 2.28. Diagrama de tiempo


1

... 0

L

1

...

2 ... k (k + 1)

...

1

... 2k

...

1

... n−k

...

n


Se emplea la ecuación del valor en el tiempo t = 0 . De este modo, plantea la siguiente expresión para L. n

L = v k + v 2×k + ... + v k

×k

2.9 Análisis de anualidades de mayor frecuencia de capitalización a las frecuencias de pago...

Se factoriza y, de esta manera se obtiene: L vk

1 v k v 2 k ... v

n 1 k k

Se desarrolla el paréntesis del segundo miembro de esta ecuación: n

L v

1 (v k ) k 1 vk

k

1 vn 1 vk

L vk L

1 vn (1 i)k 1

L

1 vn i (1 i)k 1 i

Luego, el valor presente de la anualidad inmediata es: L=

an

(2.40)

sk

donde L Valor presente de una anualidad inmediata que paga 1 U.M. al final de cada k periodos de conversión de intereses por un total de n periodos de conversión de intereses an Valor presente de una anualidad inmediata sk Valor acumulado de una anualidad inmediata

Comentario La anualidad con pagos de 1 U.M. al final de cada uno de los k periodos de n conversión de intereses por un total de pagos equivale a la anualidad con k pagos periódicos de 1 por n periodos. sk El valor acumulado de esta anualidad inmediatamente después que el último pago se realiza es: (1 i)n

an sk

sn sk

(2.41)

265

266


donde i Tasa de interés efectiva n Número de periodos an Valor presente de una anualidad inmediata sk Valor acumulado de una anualidad inmediata

Comentario La anualidad con pagos de 1 U.M. al final de cada uno de los k periodos de 1 conversión de intereses por un total de pagos es equivalente a la anuask lidad con pagos periódicos de 1 por n periodos. sk El diagrama de tiempo de la figura 2.29 ilustra esta anualidad. Figura 2.29. Diagrama de tiempo

K pagos 1 sk

1 sk

K pagos 1 sk

1 sk

... 0

L

1

2

K pagos

1 sk

1 sk

1 1 sk sk

... k

(k+ 1)

1 sk

...

2k

1 1 sk sk

1 sk

... n−k+1

n

En la figura 2.29 se observa que los pagos se producen en los periodos 1, 2, 3 hasta el periodo n, pero también se producen k pagos en determinados intervalos de tiempo. A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.42 Cada uno de los pagos de una anualidad inmediata es de 1.500 U.M., que se realizan cada cuatro años, desde el año 4 hasta el 40. Si el interés ganado es de 8% capitalizable anualmente, calcule: a)

El valor presente de la anualidad inmediata.

b) El valor acumulado de esta anualidad.


Solución a)

Para calcular el valor presente, los pasos que se realizarán son los siguientes: a.1) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.40): a L= n sk a.2) Se reemplazan los valores en la ecuación del inciso a.1): a L 1.500 40 s4 1 (1 0,08) 40 0,08 (1 0,08)4 1 0,08

L 1.500

L 1.500

11,9246 4,5061

L 3.969,48 El valor presente es de 3.969,48 U.M. b) Se calcula el valor acumulado. Para ello se desarrollan los siguientes pasos: b.1) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.41): (1 i)n

an sk

sn sk

b.2) Se reemplazan los valores en la ecuación señalada en el inciso b.1): VA = (1+ 0,08)40 × (2,6463) b.3) El resultado del inciso b.2) se multiplica por 1.500 U.M.: VA = 1.500 × (1+ 0,08)40 × (2,6463) VA = 86.235,05 El valor acumulado es de 86.235,05 U.M.

2.9.2 El caso de una anualidad de pago inmediato Sea L el valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de intereses de conversión. El primer paso para calcular el valor presente de la anualidad de pago inmediato de estas características es representar los flujos en el siguiente diagrama de tiempo:

267

268

Cap. 2 Los fundamentos de la teoría de la anualidad Figura 2.30. Diagrama de tiempo


1

1

... 0

1

2 ... k

1

... (k + 1)

...

... 2k

...

... (n − k)

n

Tiempo L

Con la finalidad de obtener una expresión simplificada que permita calcular el valor presente de este tipo de anualidad, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se establece la ecuación del valor en el tiempo t = 0 : L =1+ v k + v 2k + ... + v n−k L =1+ (v k ) + (v k )2 + ...(v k )

n −k k

b) Se simplifica esta última expresión: n −k

1− ( v k ) k L = 1− v k 1− v n L = 1− v k 1− v n L = i k 1− v i a L = n ak

+1

Es decir, el valor presente de los pagos de una anualidad de 1 U.M. que se realizan al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de intereses de conversión es: a L = n ak

(2.42)


donde L Valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de intereses de conversión de intereses an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k Por otra parte, el valor acumulado de esta anualidad de k periodos de conversión de intereses después del último pago es: (1+ i )n ×

an ak

=

sn ak

(2.43)

donde i Tasa de interés efectiva sn Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k

Comentario La anualidad presentada en la parte superior es equivalente a la anualidad que consiste de n pagos de 1 al final de cada periodo de conversión de intereses. ak A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.43 Se desea conocer los valores presente y acumulado de una anualidad. Cada uno de los pagos es de 1.000 U.M. y se producen en los tiempos 0, 3, 6 y así sucesivamente hasta el vigésimo pago. La tasa de interés efectiva anual de 6% es la que se debe utilizar para calcular los valores solicitados.


Se calcula el valor presente de esta anualidad. Para ello, a.1) Primero se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.42).

269

270


a.2. Segundo, se reemplazan los valores del enunciado del problema en la ecuación precisada en el inciso a.1. y se multiplica por 1.000 U.M. De este modo, a 1.000× L =1.000× 60 a3

Se reemplazan

a60 a3

1 (1 0,06) 60 0,06 en la ecuación anterior. 1 (1 0,06) 3 0,06

1.000 L 1.000

1 (1 0,06) 60 0,06 1 (1 0,06) 3 0,06

Se desarrolla y se obtiene: 1.000 L 1.000

16,16142771 2,67301194

Se despeja L y se obtiene: 1.000 × L = 6.046,15 6.046,15 L = 1.000 L = 6,04615 b) Se calcula el valor acumulado de esta anualidad. Para ello, se desarrollan los siguientes pasos: b.1) Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.43): a s (1+ i )n × n = n ak ak b.2) Se reemplazan los valores del enunciado del problema en la ecuación anterior y se multiplica por 1.000 U.M. Así, Valor acumulado =1.000 × (1+ 0,06)60 × (6,04615) =199.448,48 El valor acumulado de esta anualidad es de 199.488,48 U.M. En el caso de la perpetuidad inmediata, el valor presente de la anualidad es:

a∞ = v k + v 2k + ... vk a∞ = 1− v k


1 (1+ i )k −1 1 a∞ = i × sk a∞ =

a∞ = lím n →∞

an sk

Es decir, a∞ =

1 i × sk

(2.44)

donde Valor presente de una perpetuidad inmediata Valor acumulado de una anualidad inmediata i Tasa de interés efectiva A continuación se desarrolla un ejemplo de aplicación. a∞ sk

Ejemplo 2.44 Calcule la tasa de interés de una perpetuidad, la cual paga 1 U.M. al final de cada tres años y su valor presente es de 125/91.

Solución Para resolver esta cuestión, los pasos que se desarrollarán son los siguientes: a)

Se plantea la ecuación que se desarrollará: 1 125 = i × s3 91

b) Se reemplaza s3 de i. Así,

(1 i)3 1 en la ecuación del inciso a) y se despeja el valor i

i

1 (1 i)3 1 i

1 125 (1 i)3 1 91

125 91

271

272


(1 i)3 1 91 i 1 125 i 0,20

91 125 1 3

1

La tasa de interés es de 20%. Por otro lado, en el caso de una perpetuidad de pago inmediato, el valor presente de esta anualidad es: 1 1+ v k + v 2k + ... = 1− v k i 1 1+ v k + v 2k + ... = × i 1− (1+ i )− k 1 1+ v k + v 2k + ... = i × ak 1+ v k + v 2k + ... = lím n →∞

sn ak

Es decir, PV =

1 i × ak

(2.45)

donde PV Valor presente i Tasa de interés efectiva ak Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.45 Una perpetuidad, que paga 1 U.M. al inicio de cada año, tiene un valor presente de 20 U.M. Esta perpetuidad se intercambia por otra que paga R U.M. al inicio de cada dos años. Si la tasa anual efectiva de ambas perpetuidades son las mismas, calcule el monto de R U.M., de modo que los valores presentes de las dos perpetuidades sean iguales.


Solución Primera perpetuidad: a)

Se identifica la ecuación del valor, que es: 1 = 20 d Se reemplaza d =

1 en la ecuación anterior. Así, 1 1+ i 1

20

1 1 1 i 1 1 20 i 1 19 i 1 i o 5,26% 19 La tasa de interés efectiva que se utilizó en la primera perpetuidad es de 5,26%. b) Se identifica la ecuación que servirá para calcular el valor de R, que es: R = 20 i × a2 Se reemplaza a2

1 (1 i) i

i

2

en la ecuación anterior: R 1 (1 i) i

R 1 (1 i)

2

2

20

20

273

274


R 20 2 1 1 1 i R 20 1 v2 R 20 (1 v) (1 v) c)

Se reemplazan los valores en la ecuación inmediata anterior. R 1 1 1 0,05

1 1 1 0,05

20

R 20 (0,04762) (1,95238) R (20) (0,04762) (1,95238) R 1,8594 El valor de los pagos de la segunda perpetuidad es de 1,8594. Por otro lado, también interesa calcular el valor de un conjunto de pagos a una determinada tasa de interés continua δ . A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.46 Determine la expresión del valor presente de una anualidad. Esta anualidad comprende pagos de 100 U.M. que se efectúan trimestralmente por un periodo de cinco años, sólo antes que el primer pago se realice, si δ = 0,08 .


Se identifica la ecuación que permitirá calcular la tasa de interés trimestral j equivalente a δ, que es: (1+ j )4 = e 0,08


donde j Tasa de interés efectiva b) Se determina la ecuación que permitirá calcular el valor presente: PV 100 a20 j 1 (1 j) 20 1 (1 j) 1

PV 100 c)

Se calcula (1+ j )−20 y (1+ j )−1 en función de v: (1 j)4 e 0,08 (1 j)4 (1 j)

5

20

e 0,08 e

5

0,40

y, por otra parte, (1 j)4 e 0,08 (1 j)4 (1 j)

1

1 4

e

e 0,08

1 4

0,02

d) Por último, se reemplazan los valores equivalentes de (1+ j )−20 y de (1+ j )−1 en la ecuación del inciso b): PV 100

1 e 1 e

0,40 0,20

PV 100 [1,8187] PV 181,87 El valor presente es igual a 181,87 U.M. Por otra parte, cuando el número de periodos de conversión en un periodo de pago no es un número entero, se suman los valores presentes o acumulados de los pagos individuales para calcular el valor presente o el valor acumulado. A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

275

276


Ejemplo 2.47 Determine la expresión que permitirá calcular el valor presente de una anualidad con pagos de 1 U.M. al inicio de cada periodo de 4 meses durante 12 años. Se supone una tasa de interés por periodo de tres meses.

Solución Los pasos que se deben desarrollar son: a)

Dadas las tasas de interés efectivas por periodos de 3 y 4 meses, j e i respectivamente, se plantea la siguiente equivalencia: (1+ j )3 = (1+ i )4

b) El valor presente de la anualidad estará dado por la siguiente expresión: a36 j = c)

1− (1+ j )−36 1− (1+ j )−1

Se expresa (1+ j )3 y (1+ i )4 en función de v: (1 j)3 (1 i)4 (1 j)3 (1 j)

36

(1 j)

36

(1 j)

36

12

(1 i)4

(1 i)

12

48

1 (1 i)

48

v 48

y (1 j)3 (1 i)4 (1 j)3 (1 j)

1

(1 j)

1

(1 j)

1

1 3

(1 i)4

(1 i) 1 1 i 4

v3

4 3 4 3

1 3


d) En la ecuación anterior se reemplazan las dos expresiones que se obtuvieron en el inciso b). De este modo se obtiene: a36 j = a36 j =

1− (1+ j )−36 1− (1+ j )−1 1− v 48 4

1− v 3

La aproximación que se utilizó se puede generalizar para calcular anualidades que se pagan con menos frecuencia que en el caso en que el interés se capitaliza en cualquier momento. Esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.48 Determine el valor presente de una anualidad inmediata que comprende cinco pagos de 1 U.M. y se realizan con base en el siguiente orden: el primero al final de 7 años, y los 4 restantes con intervalos de 3 años. La tasa de interés efectiva anual es de 6%.

Solución Para resolver este ejemplo, los pasos que se realizarán son los siguientes: a)

Se presenta el diagrama de tiempo del enunciado del problema. Figura 2.31. Diagrama de tiempo


0

1

2

3

1

1

1

1

1

7

10

13

16

19 20 21 22

Tiempo

277

278


b) Se identifica la ecuación a que se utilizará, que es: PV = v m ×

an sn'

donde PV Valor presente v m Factor de descuento en el periodo m an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n sn ' Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n c)

Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en la ecuación anterior. De este modo, se obtiene: PV v 4

a15 s3

PV (1,06)

4

1 (1,06) 15 (1,06)3 1

PV 2,416

2.9.3 Problemas propuestos 1. Una anualidad comprende los siguientes pagos de 1.000 U.M. en el tiempo 0, el tiempo 3, el tiempo 6, y así sucesivamente hasta el vigésimo pago. Calcule el valor acumulado inmediatamente después del último pago con base en una tasa de interés anual de 6%. Respuesta: 1.674,61 U.M. 2. Una anualidad inmediata a 30 años comprende pagos de 2.000 U.M. que se efectúan al final de cada 6 meses otra, también a 30 años, comprende pagos de 10.000 U.M. que se realizan al final de cada 6 años. Ambas pueden reemplazarse por una perpetuidad que paga un monto de R U.M. cada 3 meses. Si se sabe que i (4) = 0,08 , calcule R. Respuesta: 1.542,59 U.M. 3. Los pagos que usted recibió de una anualidad inmediata a 20 años que paga 500 U.M. cada 6 meses se han acumulado en un fondo y ahora valen 40.000 U.M. Si i (12) = 0,06 es la tasa que gana su fondo, calcule cuánto tiempo ha transcurrido desde que se realizó el último pago de la anualidad. Respuesta: 40,69 años.

2.10 Análisis de las anualidades que se pagan con una frecuencia mayor al caso en que el interés...

4. Una perpetuidad de 1.000 U.M. que se pagan al final de cada 6 meses y una perpetuidad de 10.000 U.M. que se pagan al final de cada 6 años son reemplazados por una anualidad de 30 años que paga R cada 3 meses. Se conoce que i (4) = 0,08 . Encuentre R. Respuesta: 43.420,57 U.M.

2.10

Análisis de las anualidades que se pagan con una frecuencia mayor al caso en que el interés sea capitalizable

Se considera el caso de una anualidad inmediata. Sea m el número de pagos por periodo de conversión de intereses. Sea n el número de periodos de conversión en el plazo de una anualidad. Si se considera lo anterior, el número total de pagos para el plazo de la anualidad será igual a m × n . Se asume que i es la tasa de interés por periodo de conversión y que el número de pagos por periodo de conversión es un número entero. Además, los pagos de 1 U.M. de la anualidad se realizan por periodo de conver1 U.M. que se realizan al final de cada m–ésimo sión de intereses, con pagos de m periodo de conversión de intereses. Se estima que el valor presente de cada anualidad se puede denotar como an( m ) . El diagrama de tiempo se presenta en la figura 2.32. Figura 2.32. Diagrama de tiempo

Pagos (en unidades monetarias) 1/m

0

1/m

1/m 1/m

1/m 1/m

...

...

...

...

2/m 1

1 + 1/m n − 1/m Tiempo

1/m

1/m

279

280


La ecuación para determinar el valor presente se obtiene de: an(m)

1 m

an(m)

vm m

1

an(m)

1

2

v m v m ... v

n

1 m

vn

1 m n

1 vm

1

1 vm 1 vn

m

(1 i)

1 m

1

Luego, an( m ) =

1− v n i(m)

(2.46)

donde an( m ) Valor presente de una anualidad que se paga con demora con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años n v Factor de descuento en el periodo n i ( m ) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición El valor acumulado de esta anualidad, inmediatamente después que se efectuó el último pago, está dado por: sn( m ) = (1+ i )n × an( m ) es decir, sn( m ) =

(1+ i )n −1 i(m)

(2.47)

donde sn( m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año durante n años i Tasa de interés efectiva n Número de periodos i ( m ) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición Finalmente, es útil saber que las ecuaciones de an( m ) y de sn( m ) expresadas en términos de an y sn se pueden expresar como: an( m ) =

i i

(m)

× an


es decir, an( m ) = s1(m ) × an

(2.48)

donde an( m ) Valor presente de una anualidad que se paga con demora con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y durante n años s1(m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, por ejemplo m veces al año y por 1 año an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Por otra parte, sn( m ) =

i i

(m)

× sn

donde sn( m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años s1(m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y por 1 año sn Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n es decir, sn( m ) = s1(m ) × sn

(2.49)

donde sn( m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año durante n años (m) s1 Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, por 1 año sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n 1 U.M., mientras que el coeficiente de an( m ) es 1. m En general, el coeficiente apropiado es la cantidad total que se paga durante un periodo de conversión de intereses, y la cantidad de cada pago real. La cantidad total que se paga durante un periodo de conversión de intereses se conoce como renta periódica de la anualidad. A continuación se presentan ejemplos de aplicación. Cada pago efectuado es de

Ejemplo 2.49 Un préstamo por 3.000 U.M. es devuelto mediante pagos trimestrales al final de cada trimestre durante cinco años. Si la tasa de interés aplicada es de 10% capitalizable semestralmente, ¿a cuánto asciende cada pago trimestral?

281

282


Solución Para responder esta pregunta, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.46). 2 × R × a (2)

10 0,05

= 3.000

b) Se despeja R: R=

1.500 (2) a10 0,05

(2) Se reemplaza el valor de a10 0,05

R

1.500 1 (1 0,05)

10

1 (1 0,05) 10 2 (1,05)0,5 1 R 191,89 Cada pago trimestral es de 191,89 U.M.

Ejemplo 2.50 Se depositan 100 U.M. al final de cada mes durante 30 años. Determine el valor acumulado de todos los pagos si estos depósitos ganan un rendimiento efectivo anual de 10%.


Se determina la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.47), y se plantea así: (12) Valor =12 ×100 × s30


b) Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación del inciso a): (1,1)30 1

Valor 12 100

1

12 (1,1)12 1 Valor 12 100

16,4494 0,0957

Valor 206.284,33 El valor acumulado es igual a 206.284,33 U.M.

Ejemplo 2.51 El valor acumulado de una anualidad inmediata, que comprende pagos trimestrales de R U.M. por espacio de 7 años, es 3.317,25 U.M. Calcule el valor de R si i (1) = 0,05 .

Solución Los pasos que se realizarán son los siguientes: a)

Se identifica la ecuación de valor, que es: R × s7(4) = 3.317,25 donde R Valor del pago regular s7(4)

b)

Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, por ejemplo 4 veces al año, durante 7 años

Se reemplaza s7(4) =

i i

(4)

× s7 en la ecuación anterior: R

c)

i i

(4)

s7

3.317,25

Se calcula el valor de i (4) : i (4) 1 4

4

1,05

283

284


1

1 i (4) (1,05) 4 4

1 i (4) (1,05) 4 1 4 1

i (4) 4 (1,05) 4 1 i (4) 0,0491 d) Se calcula el valor de s7 : s7

(1 i)n 1 i

s7

(1 0,05)7 1 0,05

s7 8,1420 e)

Por último, se reemplazan los valores que se encontraron en los incisos c) y d), en la ecuación del inciso b): R R

i i

(4)

s7

3.317,25

0,05 (8,1420) 0,0491

3.317,25

R [8,2913] 3.317,25 R

3.317,25 8,2913

R 400,09 El valor de cada pago trimestral es de 400,09 U.M. En el caso de una anualidad de pago inmediato, la cantidad de 1 m U.M. se paga al inicio del m-ésimo periodo de un periodo de conversión de intereses para un total de n periodos de conversión de intereses. El valor presente se indica con an( m ) y el diagrama de tiempo está en la figura 2.33.

2.10 Análisis de las anualidades que se pagan con una frecuencia mayor al caso en que el interés... Figura 2.33. Diagrama de tiempo

an( m ) 1/m

0

1/m

1 + 1/m n − 1/m

1/m 1/m

1/m

2/m

...

...

...

... 1

1/m 1/m

n

Tiempo Como se observa en la figura 2.33, cada uno de los pagos es de 1/m U.M. El valor presente de esta anualidad es: a

(m) n

an(m)

an(m)

1 m 1 m

1 v 1

1 m

v

2 m

... n v

n

1 m

m n

1

vm 1

1 vm 1 vn

m 1 (1 i)

1 m

Luego, el valor presente de esta anualidad de pago inmediato es: an( m ) =

1− v n d (m)

(2.50)

donde an( m ) Valor presente de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años v n Factor de descuento en el periodo n e igual a v n = (1/ (1+ i ))n d ( m ) Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo De forma complementaria, el valor acumulado de esta anualidad en el m-ésimo de un periodo de conversión de intereses después que el último pago se realiza, está dado por: sn( m ) = (1+ i )n × an( m )

285

286


De este modo, el valor acumulado que se menciona es: sn( m ) =

(1+ i )n −1 d (m)

(2.51)

donde sn( m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años i Tasa de interés efectiva n Número de periodos (m) d Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo Finalmente, de las ecuaciones de an , sn , an( m ) y sn( m ) se cumple que: an( m ) =

i ×a d (m) n

an( m ) = s1( m ) × an y sn( m ) =

i d

(m)

× sn

sn( m ) = s1( m ) × sn Luego, el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato de este tipo es: sn( m ) = s1( m ) × sn

(2.52)

donde sn( m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años s1( m ) Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y por 1 año sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.52 ¿Cuál es el valor presente de un pago de 150 U.M. por trimestre durante 10 años si la tasa de interés anual efectiva es de 6% y el primer pago se realiza hoy?



Se identifica la ecuación que se calculará, que es: R = 600 × an i × 1

b) Se reemplaza an i

1 1 i i

d (n)

n

en la ecuación anterior: 1 1 i i

1 R 600 c)

i

n

i d (4)

Se reemplazan los valores del enunciado del problema en la ecuación precisada en el inciso b): 1 1 0,06

1

10

0,06 0,06 0,057847 R 600 7,36009 1,03722

R 600

R 4.580,42 El valor presente de la anualidad es de 4.580,42 U.M.

Ejemplo 2.53 Exprese an(12) en términos de an(2) con un factor de ajuste.


Se realizan las siguientes operaciones con ecuaciones: De la siguiente ecuación se despeja an : an(2) = an =

i i

(2)

× an

i (2) (2) × an i

287

288


Este valor se reemplaza en an(12) =

i d

(12)

×[an ]

Así, an(12)

i d (12)

i (2) (2) an i

Por último, se simplifica y se obtiene: an(12) =

i (2) × an(2) (12) d

Las siguientes identidades implican que an , sn , an( m ) y sn( m ) son análogas a la an , sn , an y sn , tema que se explicó en las secciones previas.

2.10.1 Teorema sobre anualidades que se pagan con más frecuencia que el caso en que el interés es capitalizable a)

1 1 = + i(m) an( m ) sn( m )

b)

1 1 = (m) + d (m) (m) an sn

c)

an( m ) = (1+ i ) m × an( m )

1

an(m)

i i

i m

(m)

an

1

d)

sn( m ) = (1+ i ) m × sn( m ) sn(m)

i i

(m)

i m

1 (m) +a m n− m1

e)

an( m ) =

f)

sn(m) = s (m)1 − n+

m

1 m

sn


1 U.M. al final del m-ésimo periodo de conm versión de intereses, el valor presente a∞( m ) se determina así: Si se considera un pago infinito de

a (m)

1 m

a (m)

1 m

a (m)

1

2

p

vm p 1 1

1 m

vm 1 v

1 m

1

a (m) a (m)

3

v m v m v m ...

1

1

m (1 i) m (1 v m ) 1 1

m [(1 i) m 1] Por tanto, el valor presente de la perpetuidad inmediata es: a∞( m ) =

1 i

(2.53)

(m)

donde a∞( m ) Valor presente de una perpetuidad inmediata con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año i(m)

Tasa de interés nominal

El diagrama de tiempo que representa lo anterior se encuentra en la figura 2.34. Figura 2.34. Diagrama de tiempo

an( m )

0

1/m

1/m

1/m 1/m

1/m 1/m

...

...

...

...

2/m

1

1/m 1/m Tiempo

En la figura 2.34 se aprecia que cada uno de los pagos de 1/m U.M. se distribuye en el tiempo. A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

1/m

n

289

290


Ejemplo 2.54 Una anualidad comprende pagos de 100 U.M. que se producen de manera indefinida al final de cada mes. Calcule el valor presente de esta anualidad si la tasa de interés efectiva anual es de 10%.

Solución Para calcular esto se realizan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que en este caso es: 12 ×100 × an( m ) =12 ×100 × a∞(12)

b) Se resuelve la ecuación: 1

12 100 a (12) 12 100 12

1

(1,08)12 1

12 100 a (12) 12 100 (12,95197) 12 100 a (12) 15.542,36 Por otra parte, ahora considere que la anualidad comprende la realización de un pago infinito de 1 m al inicio del m-ésimo periodo de conversión de intereses. De este modo, el valor presente de esta anualidad estará dado por: a (m)

1 m

a (m)

1 m

a (m)

1

2

3

1 v m v m v m ... p

vm p 0 1

1 1

, vm 1

m 1 vm 1

1 , vm 1 d (m) A continuación se presenta un ejemplo de aplicación. a (m)

Ejemplo 2.55 Calcule la tasa de interés efectiva anual que se utilizó para calcular el valor presente de una anualidad que comprende de manera indefinida pagos de 1 U.M. cada seis meses, de modo que el primer pago es por 10 U.M. y se realiza hoy.


Solución Para calcular esto, se realizan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión con la que se trabajará, que es: (2)

10 = 2 × a∞ b) Se desarrolla la expresión anterior:

1 d (2) 2 d (2) = 10

10 = 2 ×

d (2) = 0,2 c)

Se reemplaza el valor de d (2) : 0,2 2 i 0,2346 i

1

2

1

Por otra parte, cada periodo de conversión no contiene un número entero de pagos (por ejemplo, m >1 pero m no es un número entero). En este caso se utilizan los principios básicos para calcular el valor presente y el valor acumulado, y se escribe la suma de los valores presentes o acumulados de los pagos individuales. Al respecto se presenta el ejemplo 2.56.

Ejemplo 2.56 Calcule el valor presente de una anualidad, la cual comprende pagos de 1 U.M. al inicio de cada periodo de 3 meses durante 12 años. Asuma una tasa de interés por periodo de 4 meses.


Se identifica la expresión con la que se trabajará, que es: (4)

4 × a12 = 4 ×

1− (1+ i )−12 d (4)

291

292


b) Sin embargo, (1 i) c)

d (4) 1 4

4

d (4) 4 1 (1 i)

1 4

Por tanto, (4)

4 a10

(4)

4 a10

4

1 (1 i) 1 (1 i) 1

1 v4 1 v 48 j 1 vj

(4)

1 vk36

4 a10

1 4

1 v12

4 a10

(4)

12

3

1 vk4

donde j Tasa de interés efectiva por 3 meses k Tasa de interés efectiva por 4 meses Por último, es posible generalizar esta aproximación identificando valores de la anualidad sobre alguna fecha, como se explicó en la sección 9, a anualidades que se pagan con más frecuencia que cuando el interés es convertible, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.57 Una anualidad comprende pagos de 400 U.M., cada uno de los cuales se realiza al final de cada mes durante 10 años. Encuentre la expresión para: a)

El valor presente de esos pagos dos años previos al primer pago.

b) El valor acumulado tres años después del pago final. Utilice símbolos sobre la base de una tasa de interés efectiva i.

Solución Los pasosque se realizarán son los siguientes: a)

(12) El valor presente está dado por 12 × 400 × v × a10 .

(12) b) El valor acumulado está dado por 12 × 400 × s10 × (1+ i )3 .


2.10.2 Problemas propuestos 1. El valor presente de una anualidad se simboliza por 120 × an(12) , estime la cantidad de pagos mensuales de esta anualidad. Respuesta: 10. 2. El valor presente de una anualidad que paga 100 U.M. al final de cada año durante n años, con una tasa de interés efectiva anual de 10,25%, es 1.000 U.M. Calcule el valor presente de una anualidad que paga 100 U.M. al final de cada seis meses durante n años, con la misma tasa de interés. Respuesta: 1.025 U.M. 3. Usted deposita 300 U.M. por mes al final de cada mes en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual efectiva de 6%. ¿Cuánto tendrá en la cuenta después de 10 años? (Por ejemplo, sólo después de que usted realice el depósito número 120). Respuesta: 48.742,03 U.M. 4. Un préstamo de 200.000 U.M. es devuelto por medio de pagos iguales al final de cada mes, durante 25 años. Dado que la tasa de interés anual nominal, convertible semestralmente, es de 8%, calcule la cantidad del pago mensual. Respuesta: 1.526,42 U.M. 5. Suponga que usted deposita 400 U.M. al final de cada tres meses durante 10 años en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés efectiva anual de 4%. ¿Cuál es la cantidad acumulada después de 10 años? Respuesta: 19.495,56 U.M. 6. Si 3 × an(2) = 2 × a2(2)n = 45 × s1(2) , ¿cuál es el valor de i? Respuesta: i = 21/ n −1 7. Encuentre el valor presente de una anualidad de 10 años que paga 400 U.M. al inicio de cada trimestre durante los primeros 5 años, aumentando a 600 U.M. por trimestre de aquí en adelante. La tasa de interés efectiva anual es de 12%. Redondee su respuesta. Respuesta:27.682,84 U.M.

293

294


2.11

Anualidades continuas

Este tipo de anualidades se caracterizan porque tienen un plazo finito y una frecuencia infinita de pagos. En este sentido, esta anualidad se refiere a una que comprende un número muy pequeño de pagos dt que se realizan en el tiempo t y de manera continua durante n periodos de conversión. En este orden de ideas, si i es la tasa de interés periódica, la cantidad total pagada durante cada periodo es: k

∫ dt = [t ]

k k −1

k −1 k

∫ dt =1

k −1

si n

an = ∫ v t × dt 0

n

an =

vt ln v 0

v n −1 ln v v n −1 an = − ln (1+ i ) an =

an =

1− v n δ

Como lím i ( m ) = δ

m →∞

hay que notar que el valor presente de una anualidad continua es: an =

v n −1 − ln (1+ i )

donde an Valor presente de una anualidad continua en el periodo n v n Factor de descuento en el periodo n i Tasa de interés efectiva

(2.54)

2.11 Anualidades continuas

De modo similar,

an = lím a(nm ) m →∞

an = lím

m →∞

an =

1− v n d (m)

1− v n δ

puesto que, lím d ( m ) = δ

m →∞

Además, i an = × an δ d an = × an δ En consecuencia, an

1−e −n δ δ

(2.55)

donde an Valor presente de una anualidad continua en el periodo n n Número de periodos δ Fuerza de interés constante A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.58 Si se cuentan tres años desde hoy, usted recibirá pagos anuales continuos de 1.500 U.M., los cuales terminarán de efectuarse dentro de diez años a partir de hoy. Calcule el valor presente de esta anualidad continua si δ = 0,01 .


Se determina la expresión con la que se trabajará: PV 1.000 e

n

1 e

n

295

296


b) Se reemplazan los valores del enunciado del problema en la ecuación anterior. Así, PV 1.500 e

3 0,01

1 e 7 0,01 0,01

PV 1.000 (0,97) (6,76) PV 6.557,20 El valor presente de esta anualidad continua es de 6.557,20 U.M. El siguiente ejemplo muestra la situación cuando la tasa de interés constante en la parte superior es reemplazada por una tasa de interés variable.

Ejemplo 2.59 Encuentre una expresión para an si δt =

1 . 1+ t

Solución Para encontrar esa expresión, los pasos que se realizarán son los siguientes: a)

El valor presente del pago dt en el tiempo exacto t, con tasa de interés variable, es: e e

t ∫ δr × dr 0 t ∫ δr × dr 0

× dt = e − ln(1+ t ) × dt × dt = (1+ t )−1 × dt

Por tanto, n

dt 1+ t 0

an = ∫

n

a n = ln (1+ t )|0 b) En consecuencia, a n = ln (1+ n ) Por otro lado, sea sn el valor acumulado al final del plazo de una anualidad que se paga en forma continua durante n periodos de conversión de intereses. De esta manera 1 U.M. es la cantidad total que se paga durante cada periodo de conversión de intereses. Lo anterior se puede expresar así:


sn = (1+ i )n × an sn =

∫

sn = −

n 0

(1+ i )n−t × dt

(1+ i )n−t ln(1+ i )

n 0

En consecuencia, el valor acumulado es: sn =

(1+ i )n −1 δ

(2.56)

donde sn Valor acumulado de una anualidad continua en el periodo n i Tasa de interés efectiva n Número de periodos δ Fuerza de interés constante Además, se cumple que: sn = lím sn( m ) m →∞

sn = lím sn( m ) m →∞

e n ×δ − 1 δ i sn = × sn δ sn =

Es consecuencia,

donde

d sn = × sn δ

(2.57)

sn Valor acumulado de una anualidad continua en el periodo n d Tasa de descuento simple δ Fuerza de interés constante sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.60 El valor acumulado de una anualidad que comprende pagos anuales continuos de 1 U.M. durante 8 años es equivalente a cuatro veces el valor acumulado de otra anualidad que comprende pagos anuales continuos de 1 U.M. durante cuatro años. Calcule la fuerza de interés constante.

297

298



Se determina la expresión con la que se trabajará, que es: s8 = 4 × s4

b) Con fines didácticos, se desarrolla esta igualdad. e4 δ 1 e 8 δ −1 4 δ δ e 8×

4×e 4 δ 3 0

e4 δ 3 c)

e4 δ 1

0

Si e 4 δ 3 , entonces la fuerza de interés es igual a: ln 3 ≈ 0,0275 = 2,75% 4 1 , entonces la fuerza de interés es igual a δ = 0 .

δ=

Si e 4 δ

Ejemplo 2.61 Calcule el valor acumulado después de 6 años de una anualidad que ofrece pagos de 1.000 U.M. por año, convertible de modo continuo por 5 años. Después de 5 años, los pagos terminan, pero el saldo aún gana intereses durante el sexto año. La tasa efectiva anual es de 5%.


Se identifica la expresión con la que se trabajará, que es: FV 1.000 s5 (1,05) FV 1.000 FV 1.000

i

(1 i)n 1 i

(1 i)n 1

(1,05)

(1,05)

b) Dada la tasa de interés i, el valor de la fuerza de interés constante es:

δ = ln(1+ i ) = ln1,05 = 0,0487902


c)

En la ecuación del inciso a) se reemplaza la tasa de interés y la fuerza de interés constante encontrada en el inciso b): FV 1.000

(1,05)5 1 0,0487902

(1,05)

FV 5.945,78 Luego, el valor acumulado después de 6 años será de 2.945,78 U.M. Por otra parte, el valor presente de una perpetuidad que paga continuamente 1 U.M. por periodo está dado por: a∞ = lím an n →∞

En consecuencia, a∞ =

1 δ

(2.58)

donde a∞ Valor presente de una perpetuidad continua δ Fuerza de interés constante A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.62 Una perpetuidad paga 100 U.M. anualmente de manera continua. Si el valor presente de esta perpetuidad es igual a 800 U.M., calcule la tasa de interés efectiva anual que se utilizó para determinar el valor presente.

Solución Para realizar este cálculo, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Se identifica la ecuación del valor en el periodo t = 0 , que es: 800 =

100 δ

b) Se desarrolla la ecuación anterior y se expresa en términos de i: 100 ln (1+ i ) 100 ln (1+ i ) = 800

800 =

299

300


⎛ 100 ⎞ ⎟ ⎜

e ln (1+i ) = e ⎝ 800 ⎠ 1

1+ i = e 8 1

i = e 8 −1 c)

Por tanto, la tasa de interés es: i = 0,133 o 13,3%

2.11.1 Problemas propuestos 1. Calcule el valor presente de una anualidad que comprende pagos anuales continuos de 500 U.M. por espacio de cuatro años a: a)

Una tasa de interés efectiva anual de 2%.

b) Una fuerza de interés constante de 2%. Respuesta: a) 1.922,84 U.M. y b) 1.922,09 U.M. 2. Calcule la fuerza de interés que cumple con la siguiente igualdad s20 = 3 × s10 . Respuesta: 0,06931 y 0. 3. Si sn =16 y an = 8 , calcule el valor de la fuerza de interés constante δ . Respuesta: 0,0625. 4. Existen 20.000 U.M. en un fondo que crece a una tasa de 2% anual convertible continuamente. Si el dinero es retirado todos los años a una tasa de 1.200 U.M. por año, ¿cuánto tiempo durará el fondo? Respuesta: 20,27 años. 5. La anualidad A comprende pagos anuales continuos de 500 U.M. durante los próximos tres años. En cambio, la anualidad B ofrece X U.M. al final de cada año durante cinco años. Si la tasa de interés efectiva anual i es de 4%, calcule X, de tal manera que sea indiferente escoger entre ambas. Respuesta: 311,68 U.M.

2.12 Anualidad inmediata variable

Anualidad inmediata variable

2.12

Una anualidad inmediata variable comprende una serie de pagos variables y en los que se asume que los periodos de pago y de conversión coinciden. No obstante, existen varios tipos de anualidades variables que se pueden expresar en forma sencilla, como se verá a continuación.

2.12.1 Pagos que varían en progresión aritmética En este caso, los pagos de esta anualidad varían en progresión aritmética. Esto no es otra cosa que pagos como los que siguen: el primer pago es P y los siguientes pagos crecen en una magnitud de Q en adelante, por un espacio de n años. Lo anterior se visualiza en el siguiente diagrama de tiempo. Figura 2.35. Diagrama de tiempo

Pagos P

P+2×Q

P+Q

P +(n − 2) × Q P +(n − 1) × Q

...

0

1

2

...

3

n−1

Periodos de tiempo En la figura 2.35 se aprecia cómo está compuesto este tipo de anualidad. Básicamente, por pagos como P, (P + Q), (P + 2 × Q), y así sucesivamente. Para calcular el valor presente de esta anualidad variable e inmediata, primero se establece la expresión que permitirá calcular este valor: PV = P × v + ( P + Q ) × v 2 + ( P + 2 × Q ) × v 3 + ... + [ P + (n −1) × Q ] × v n Segundo, se multiplica la ecuación anterior por (1 + i): (1+ i ) × PV = P + ( P + Q ) × v + ( P + 2 × Q ) × v 2 + ... + [ P + (n −1) × Q ] × v n−1 Tercero, se resta la ecuación previa a la inmediata anterior y se obtiene: i × PV = P × (1− v n ) + (v + v 2 + ... + v n ) × Q − n × v n × Q

n

301

302


O bien, PV P an Q

an n v n i

(2.59)

donde PV Valor presente P Pago (en U.M.) an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Q Pago (en U.M.) i Tasa de interés efectiva n Número de periodos v n Factor de descuento en el periodo n De manera complementaria, el valor acumulado de los pagos en el periodo n es: FV = (1+ i )n × PV

(2.60)

donde FV Valor acumulado PV Valor presente i Tasa de interés efectiva n Número de periodos O, de forma alterna, FV P sn Q donde FV P sn Q n i

sn n i

(2.61)

Valor acumulado Pago (en U.M.) Valor acumulado de una anualidad inmediata Pago (en U.M.) Número de periodos Tasa de interés efectiva

2.12.2 Caso especial 1: Anualidad creciente Cuando los pagos de la anualidad son crecientes, se cumple que P = Q = 1. En este caso, el diagrama de tiempo es el que se muestra en la figura 2.36.

2.12 Anualidad inmediata variable Figura 2.36. Diagrama de tiempo

Pagos

0

1

2

3

...

n−1

n

1

2

3

...

n−1

n

Periodos de tiempo Como se observa en la figura 2.36, los pagos crecen 1 U.M., 2 U.M., 3 U.M. y así sucesivamente. En este caso, el valor presente de la anualidad creciente es: ( Ia )n = an + ( Ia )n =

an − n × v n

i (1+ i ) × an − n × v n i

Es decir, ( Ia )n = donde ( Ia )n an n n v i

an − n × v n i

(2.62)

Valor presente de una anualidad creciente en el periodo n Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Número de periodos Factor de descuento en el periodo n Tasa de interés efectiva

También es cierto que el valor presente en el tiempo n está dado por: ( Ia )n = an + donde ( Ia )n an n vn i

an − n × v n i

(2.63)

Valor presente de una anualidad creciente en el periodo n Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Número de periodos Factor de descuento en el periodo n Tasa de interés efectiva

303

304


Por otro lado, el valor acumulado en el tiempo n está dado por: ( Is )n = (1+ i )n × ( Ia )n ( Is )n =

sn − n i

es decir, ( Is )n =

sn+1 − (n +1) i

(2.64)

donde ( Is )n Valor acumulado de una anualidad creciente en el periodo n an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n Número de periodos n v Factor de descuento en el periodo n i Tasa de interés efectiva A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

Ejemplo 2.63 Genevieve recibirá 500 U.M. al final del primer año, 520 U.M. al final del segundo; 540 U.M. al final del tercero y así sucesivamente hasta que, en el último año, recibirá 800 U.M. Si la tasa de interés efectiva anual es de 2%: a)

Calcule el valor presente de los pagos en el periodo t = 0.

b) Calcule el valor acumulado de los pagos en el periodo del último pago.


Primero se determina el número de pagos totales. Para ello se plantea la expresión para calcular el pago que se recibirá dentro de n años. 500 + 20 × (n −1) Como el último pago es igual a 800, se debe cumplir que: 500 + 20 × (n −1) = 800 En segundo lugar se despeja el valor de n: 20 × (n −1) = 300 n −1 =15 n =16 El número total de pagos es 16.


b) Los pagos pueden verse como la suma de anualidades inmediatas de igual magnitud de 480 U.M. y una anualidad inmediata creciente como sigue: 20 U.M., 40 U.M.,…, 320 U.M. Luego, el valor presente en el tiempo t = 0 es ( Ia )n = 480 × a16 + 20 × ( Ia )16 ( Ia )n = 480 × (13,5777) + 20 × (109,7065) ( Ia )n = 8.711,43 en tanto que el valor acumulado en el tiempo t = 16 es: ( Is )n = 480 × s16 + 20 × ( Is )16 ( Is )n = 480 × (18,6393) + 20 × (150,6035) ( Is )n =11.958,93

Ejemplo 2.64 n −1

Demuestre que se cumple la siguiente igualdad ( Ia )n = ∑ v t × an−t . t =0

Solución La demostración comprende los siguientes pasos: a)

Se plantea la expresión con la que se trabajará: n −1

( Ia )n = ∑ v t × an−t t =0

b) Se desarrolla la ecuación que se planteó en el inciso a): n −1

( Ia )n = ∑ v t × t =0

1− v n − t i

1 n−1 v n n−1 ( Ia )n = × ∑ v t − × ∑1 i t =0 i t =0 ( Ia )n = ( Ia )n =

an

n × vn i i an − n × v n −

i n −1

( Ia )n = ∑ v t × an−t t =0

305

306


2.12.3 Caso especial 2: Anualidad inmediata decreciente Aquí se cumple que P = n, Q = −1, lo cual se puede apreciar en la figura 2.37. Figura 2.37. Diagrama de tiempo

0

n

n-1

n−2

...

1

2

3

...

2

1

n−1

n

Periodos de tiempo En la figura 2.37 se observan pagos de n, n − 1, n − 2 y así sucesivamente, es decir, se trata de pagos decrecientes, de modo que el último pago, en el periodo n, es igual a 1. Para calcular el valor presente un año antes del primer pago (t = 0) de este tipo de anualidad se debe desarrollar la siguiente expresión: ( Da )n = n × an −

an − n × v n i

n − n × v − an + n × v n n

( Da )n =

i

Así, ( Da )n =

n − an i

(2.65)

donde ( Da )n Valor presente de una anualidad inmediata decreciente en el periodo n n Número de periodos an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i Tasa de interés efectiva En tanto que el valor acumulado en el tiempo n es: ( Ds )n = (1+ i )n × ( Da )n ( Ds )n =

n × (1+ i )n − sn i


es decir, ( Ds )n = (n +1) × an − ( Ia )n donde ( Ds )n n an ( Ia )n

(2.66)

Valor acumulado de una anualidad inmediata decreciente en el periodo n Número de periodos Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Valor presente de una anualidad creciente en el periodo n

En otros términos, ( Ds )n = donde ( Ds )n n sn i

n × (1+ i )n − sn i

(2.67)

Valor acumulado de una anualidad inmediata decreciente en el periodo n Número de periodos Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n Tasa de interés efectiva

Ejemplo 2.65 Se desea determinar el valor presente de todos los pagos que Michael recibe. El primer pago es de 400 U.M. y lo recibe al final del primer año, el segundo es de 350 U.M. y lo recibe al final del segundo año, el tercero es de 300 U.M. y lo recibe al final del tercer año, y así sucesivamente, hasta el pago final de 50 U.M. La tasa de interés efectiva anual es de 3,5%.

Solución Para resolver este problema, se realizan los siguientes pasos: a)

Se determina que el último pago se produce en el año n. 400 − 50 × (n −1) = 50 400 − 50 = 50 × (n −1) 350 = 50 × (n −1) 7 = n −1 n =8 El último pago se produce al final del octavo año.

307

308


b) Luego, el valor presente es: 50 (Da)8 50

8 a8 0,035 8

50 (Da)8 50

1 (1 0,035) 0,035 0,035

8

50 (Da)8 1.608,63 En consecuencia, el valor presente es de 1.608,63 U.M.

Ejemplo 2.66 Calcule el valor acumulado en el ejemplo 2.65.



b) Se aplica la ecuación. 50 (Ds)8 50

8 (1,035)8 s8 0,035 8 (1,035)8

50 (Ds)8 50

(1 0,035)8 1 0,035 0,035

50 (Ds)8 2.118,27 El valor acumulado asciende a 2.118.27 U.M.

Ejemplo 2.67 Demuestre que ( Ia )n + ( Da )n = (n +1) × an .


Se identifican las ecuaciones que se utilizarán para reemplazar los dos sumandos del primer miembro de la ecuación del enunciado, que son las ecuaciones (2.63) y (2.65).


b) Se reemplazan las ecuaciones anteriores en la ecuación del enunciado. (Ia)n (Da)n

an n v n i

an

(Ia)n (Da)n

an n an

(Ia)n (Da)n

(n 1) an

n an i

2.12.4 Perpetuidades inmediatas variables Las perpetuidades inmediatas variables son perpetuidades inmediatas que comprenden pagos que forman una progresión geométrica. Estos pagos son de P > 0 y de Q > 0. Luego, el valor presente de la perpetuidad con el primer pago al final del primer periodo es: an n v n

PV lím P an Q

i

n

PV P lím an Q lím n

an n v n

n

PV P lím an Q

lím an lím n v n n

n

PV P a Puesto que a∞ =

Q

i n

i

a i

1 y lím n × v n = 0 , de acuerdo con la regla de L’Hopital. i n→∞

Es decir, el valor presente de una perpetuidad inmediata con pagos que forman una progresión geométrica es: P Q PV = + 2 i i donde PV Valor presente P Cantidad (en U.M.) Q Cantidad (en U.M.) i Tasa de interés

(2.68)

309

310


PV = P × a∞ + Q ×

a∞ i

(2.69)

donde PV Valor presente P Pago (en U.M.) Q Pago (en U.M.) a∞ Valor presente de una anualidad inmediata i Tasa de interés efectiva En el caso especial en que se cumple que P = Q =1 , el valor presente de la perpetuidad inmediata creciente es: 1 1 ( Ia )∞ = + 2 i i

(2.70)

donde ( Ia )∞ Valor presente de la perpetuidad inmediata creciente i Tasa de interés efectiva

Ejemplo 2.68 Calcule el valor presente de la perpetuidad inmediata cuyos pagos sucesivos son de 1, 2, 3, 4,… a una tasa efectiva de 6%.


Se identifica la ecuación que se utilizará, que es la (2.70).

b) Se reemplazan los valores: 1 1 ( Ia )∞ = + 2 i i 1 1 ( Ia )∞ = + 0,06 0,062 ( Ia )∞ = 294,44 El valor presente de la perpetuidad inmediata asciende a 294,44 U.M.


2.12.5 Pagos que varían en progresión geométrica Se considera el caso de una anualidad inmediata con un plazo de n periodos, en el que la tasa de interés es i por periodo, el primer pago es 1 U.M., y los pagos sucesivos aumentan en progresión geométrica con el ratio común (1 + k). El valor presente de esta anualidad es: PV v v 2 (1 k) v 3 (1 k)2 ... v n (1 k)n 1 PV v

PV

1 1 i

1 [(1 k) v ] 1 (1 k) v 1 k 1 1 i 1 k 1 1 i

n

n

En consecuencia,

PV

1

1 k 1 i i k

n

(2.71)

donde PV Valor presente k Constante i Tasa de interés efectiva n Número de periodos Dado que k ≠ i Si k = i , luego la suma original es el resultado de la suma de n términos de v, lo cual se iguala a n × v.

Ejemplo 2.69 Los primeros 30 pagos de 500 U.M se producen dentro de exactamente un año; los pagos aumentan de modo que cada uno es 5% mayor que el anterior. Calcule el valor presente de esta anualidad utilizando una tasa de interés efectiva anual de 8%.

311

312


Solución Para resolver esta cuestión, se realizan los siguientes pasos: a)


b) Se reemplazan los valores: 1,05 1 1,08

PV 500

30

[0,08 0,05]

PV 9.508,28 El valor presente de los pagos realizados asciende a 9.508,28 U.M. Por otra parte, en el caso de una anualidad inmediata con un plazo de n periodos, la tasa de interés es i por periodo, el primer pago es 1 y los pagos sucesivos disminuyen en progresión geométrica con ratio común (1 − k), el valor presente de la anualidad es: Si k ≠ i :

PV v+v 2 (1 k) v 3 (1 k)2 ... v n (1 k)n 1 PV v

PV

1 1 i

1 [(1 k) v ] 1 (1 k) v 1 k 1 i 1 k 1 1 i

n

n

1

En consecuencia, 1 PV

1 k 1 i

n

[i k ]

donde PV Valor presente k Constante i Tasa de interés efectiva n Número de periodos Si k = i , PV = v + v 2 × (1− i ) + v 3 × (1− i )2 + ... + v n × (1− i )n−1

(2.72)


En consecuencia, PV

(1 i)2 2 i

1

1 i 1 i

n

(2.73)

donde PV Valor presente i Tasa de interés efectiva n Número de periodos Por último, se considera una perpetuidad con pagos que forman una progresión geométrica, donde 0 <1+ k <1+ i . El valor presente de la perpetuidad con el primer pago al final del primer periodo es: v + v 2 × (1+ k ) + v 3 × (1+ k )2 + ... =

v 1− (1+ k ) × v

En consecuencia, PV =

1 i −k

(2.74)

donde PV Valor presente i Tasa de interés efectiva k Constante Observe que el valor de esas perpetuidades no puede existir si 1+ k ≥1+ i . A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 2.70 ¿Cuál es el valor presente de un flujo de dividendos anuales, el cual empieza en 1 U.M. al final del primer año y crece a una tasa anual de 2%, dada la tasa de interés de 6%?

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (2.74): 1 PV = i −k

b) Se reemplazan los valores:

1 0,06 − 0,02 PV = 25 Por ello, el valor presente del flujo de dividendos anuales será de 25,00 U.M. PV =

313

314


2.12.6 Problemas propuestos 1. Mayla recibe 500 U.M. en un año y recibirá 1.000 U.M. dentro de 2 años, 1.500 U.M. dentro de 3 años y así sucesivamente hasta 7.500 U.M al final de un determinado número de años. Si la tasa de interés efectiva es de 5%, calcule el valor presente de esos pagos en t = 0. Respuesta: 36.833,84 U.M. 2. Calcule el valor presente de una perpetuidad inmediata cuyos pagos son de 10 U.M., 15 U.M., 20 U.M. y así sucesivamente. La tasa de interés efectiva anual es de 5%. Respuesta: 13.000 U.M. 3. Una perpetuidad comprende pagos de 500 U.M. al final del primer año y pagos posteriores. Si cada pago anual subsecuente crece 100 U.M., calcule el valor presente a una tasa de interés efectiva anual de 5%. Respuesta: 50.000 U.M. 4. Un negocio paga un beneficio anual al final de cada año durante 10 años. Si los pagos crecen a una tasa anual de 1%, el primer pago es de 500 U.M., calcule el valor presente del flujo de pagos a una tasa de interés efectiva anual de 2%. Respuesta: 490,20 U.M. 5. Calcule el valor presente de una anualidad inmediata a 10 años, con intereses de 5%, en la que el primer pago es de 35 U.M. y cada pago sucesivo aumenta 4%. Respuesta: 319,40 U.M.

2.13

Anualidad de pago inmediato variable

Las anualidades de pago inmediato variable se pueden dividir en crecientes y decrecientes.

2.13.1 Anualidad de pago inmediato creciente Las anualidades de pago inmediato se caracterizan porque el primer pago se produce al final del primer año y los pagos posteriores crecen una magnitud constante durante n años. El diagrama de tiempo de este tipo de anualidad se muestra en la figura 2.38.

2.13 Anualidad de pago inmediato variable Figura 2.38. Diagrama de tiempo

Pagos P

P+Q

P+ 2 × Q

...

P +(n − 2) × Q

0

1

2

...

n−2

P +(n - 1) × Q

n−1

Periodos de tiempo Como se observa en la figura 2.38, el primer pago tiene un valor de P y los pagos subsiguientes crecen en magnitud de Q. De este modo, los pagos toman los valores de P, (P + Q), (P + 2 × Q), y así sucesivamente. En este orden de ideas, el valor presente de esta anualidad de pago inmediato variable creciente se puede calcular utilizando la siguiente ecuación: PV = P + ( P + Q ) × v + ( P + 2 × Q ) × v 2 + ... + [ P + (n −1) × Q ] × v n−1 Con la finalidad de simplificar esta expresión, de manera que se puedan realizar fácilmente los cálculos, la ecuación anterior se multiplica por v: v × PV = P × v + ( P + Q ) × v 2 + ( P + 2 × Q ) × v 3 + ... + [ P + (n −1) × Q ] × v n Luego se resta la ecuación anterior a esta última, de modo que: (1− v ) × PV = P × (1− v n ) + (v + v 2 + ... + v n ) × Q − n × v n × Q O, de forma alterna, PV P an Q

an n v n d

donde PV Valor presente P Monto inicial (en U.M.) an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Q Cantidad que crece el monto inicial (en U.M.) an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n Número de periodos n v Factor de descuento en el periodo n d Tasa de descuento simple

(2.75)

n

315

316


De manera complementaria, el valor acumulado de esos pagos en el periodo n se puede calcular con ayuda de la siguiente expresión: FV = (1+ i )n × PV En consecuencia, el valor acumulado de una anualidad de pago inmediato es: FV = P × sn + Q ×

⎡⎣sn − n⎤⎦ d

(2.76)

donde PV Valor acumulado P Monto inicial (en U.M.) sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Q Cantidad que se incrementa el monto inicial (en U.M.) sn Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n n Número de periodos d Tasa de descuento simple Cuando P = Q = 1, el valor presente de la anualidad de pago inmediato es: ( Ia)n = donde ( Ia)n an n vn d

an − n × v n d

(2.77)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato creciente Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Número de periodos Factor de descuento en el periodo n Tasa de descuento simple

Y, el valor acumulado de una anualidad que se paga anualmente por adelantado durante n años, de un monto de n U.M. en el n-ésimo año es: ( Is)n = ( Is)n =

sn − n d

sn+1 − (n +1) d

donde ( Is)n

(2.78)

Valor acumulado de una anualidad que se paga anualmente por adelantado durante n años, de un monto de 1 U.M. en el n-ésimo periodo sn Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sn+1 Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n + 1 n Número de pagos d Tasa de descuento simple


2.13 Anualidad de pago inmediato variable

Ejemplo 2.71 Calcule el valor presente y el valor futuro de pagos de 75 U.M. en el periodo 0, 80 U.M. en el periodo 1, 85 U.M. en dos años y así sucesivamente hasta 175 U.M. en 20 años. La tasa efectiva anual es de 4%.

Solución Para calcular el valor presente: a)


b) Se reemplazan los valores: PV = 70 × a21 + 5 × ( Ia)21 PV = 1.720,05 El valor presente es igual a 1.720,05 U.M. Para calcular el valor futuro: a)

Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: FV = (1+ i )n × PV donde FV Valor acumulado i Tasa de interés efectiva PV Valor presente n Número de periodos

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: FV = (1,04)21 × (1.720,05) FV = 3.919,60 El valor futuro es igual a 3.919,60 U.M.

2.13.2 Anualidad de pago inmediato decreciente En este tipo de anualidad se cumple que el pago inicial es de n y los pagos subsecuentes decrecen a –1. Con fines prácticos, se dirá que el valor presente en el tiempo 0 se puede calcular con ayuda de la siguiente expresión: ( Da)n =

n − an d

(2.79)

317

318


donde ( Da)n Valor presente de una anualidad de pago inmediato decreciente n Número de periodos an Valor presente de una anualidad inmediata d Tasa de descuento simple Mientras que el valor acumulado de este tipo de anualidad en el tiempo n se podrá calcular así: ( Ds)n = (1+ i )n × ( Da)n

(2.80)

donde ( Ds)n

Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato decreciente i Tasa de interés efectiva ( Da)n Valor presente de una anualidad de pago inmediato decreciente

O, de forma alterna, se puede utilizar: ( Ds)n =

n × (1+ i )n − sn d

(2.81)

donde ( Ds)n Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato decreciente n Número de periodos i Tasa de interés efectiva sn Valor acumulado de la anualidad inmediata en el periodo n d Tasa de descuento simple

Ejemplo 2.72 Calcule el valor presente y el valor acumulado de la serie de pagos de 100 U.M. hoy, 90 U.M. dentro de un año, 80 U.M. dentro de 2 años y así sucesivamente, baja a 10 U.M. en el año 9, utilizando la tasa de interés efectiva anual de 3%.

Solución Para calcular el valor presente: a)

Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: an =10 × ( Da)10 donde an ( Da)10

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato decreciente


b) Se reemplazan los valores: (Da)10 10

10 8,530203 0,03 1,03

(Da)10 504,63 El valor presente es igual a 504,63 U.M. Para calcular el valor acumulado: a)


b) Se reemplazan los valores: ( Ds10 ) = (1,03)10 × (504,63) donde ( Ds)n

Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato decreciente ( Ds10 ) = 678,18

El valor acumulado es igual a 678.18 U.M.

2.13.3 Perpetuidad de pago inmediato con pagos que forman una progresión aritmética (P > 0 y Q > 0) El valor presente de la perpetuidad con el primer pago en el periodo 0 es: PV lím Pan Q

an n v n d

PV P lím an Q lím n

n

PV P lím an Q n

PV P a

Q a d

an n v n d

lím an lím ( n v n ) n

n

d P Q (1 i) d i2

Es decir, P Q × (1+ i ) PV = + d i2 donde PV Valor presente P Monto inicial (en U.M.) d Tasa de descuento simple Q Cantidad que se incrementa el monto inicial (en U.M.) i Tasa de interés efectiva

(2.82)

319

320


1 1 Puesto que a∞ = , a∞ = y lím n × v n = 0 por la regla de L’Hopital. d n→∞ i En el caso especial en que P = Q = 1, ( Ia)∞ =

1 d2

(2.83)

donde ( Ia)∞ Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato creciente d Tasa de descuento simple

Ejemplo 2.73 Calcule el valor presente de una anualidad que comprende los siguientes pagos: 10 U.M. en el tiempo 0, 20 U.M. en el tiempo 1, 30 U.M. en el tiempo 2 y así sucesivamente. Suponga una tasa efectiva anual de 5%.


Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación: PV = 10 × ( Ia)∞ donde PV Valor presente ( Ia)∞ Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato creciente

b) Se realizan los cálculos: PV 10 (Ia) PV

10 d2

PV 10

1,05 0,05

PV 4.410 El valor presente es igual a 4.410 U.M.

2


2.13.4 Pagos que varían en progresión geométrica Dada una anualidad de pago inmediato que comprende pagos de 1 U.M. en el periodo 0 y pagos sucesivos que crecen a una progresión geométrica con ratio común (1+ k). El plazo es de n periodos y la tasa de interés es i. Calcule el valor presente. El valor presente de esta anualidad es: PV 1 v (1 k) v 2 (1 k)2 ... v n 1 (1 k)n 1 PV

PV

1 [(1 k) v ] 1 (1 k) v 1 k 1 i 1 k 1 1 i

n

n

1

En consecuencia, 1 PV (1 i)

1 k 1 i i k

n

(2.84)

donde PV Valor presente i Tasa de interés efectiva k Constante n Número de periodos Esto es válido si k ≠ i . Si k = i , la suma original es la suma de n términos de 1 U.M., que equivale a n.

Ejemplo 2.74 Una anualidad de pago inmediato de periodicidad anual paga 1 U.M. al inicio del primer año. Cada pago subsecuente es 5% mayor que el pago precedente. El último pago es al inicio del décimo año. Calcule el valor presente: a)

A una tasa de interés efectiva de 4%.

b) A una tasa de interés efectiva de 5%.

321

322




b) Se reemplazan los valores:

PV (1 0,04)

1,05 1 1,04

10

0,04 0,05

PV 10,44 Por tanto, el valor presente es de 10,44 U.M. c)

Si k = i PV = n = 10 Para una anualidad de pago inmediato con n pagos, en la que el primer pago es 1 en el tiempo 0 y los pagos sucesivos disminuyen en progresión geométrica con ratio común 1 − k, el valor presente de esta anualidad es PV 1 v (1 k) v 2 (1 k)2 ... v n 1 (1 k)n 1 1 [(1 k) v ] 1 (1 k) v

PV v

PV

1 k 1 i 1 k 1 1 i

n

n

1

1 PV (1 i)

1 k 1 i

n

[i k ]

En consecuencia, 1 PV donde PV k n i

1 k 1 i

n

i k

Valor presente Número de pagos por periodo Número de periodos Tasa de interés efectiva

A continuación se presentan ejemplos de aplicación.

(2.85)


Ejemplo 2.75 Michaela realiza una serie de pagos al inicio de cada año durante 20 años. El primer pago es por 100 U.M. Cada pago subsecuente, hasta el décimo año, crece 5% en relación con el pago previo. Después del décimo, cada pago disminuye 5% en relación con el pago anterior. Calcule el valor presente de esos pagos en el momento en que el primer pago se realiza, utilizando para ello una tasa de interés efectiva anual de 7%.


El valor presente en el tiempo 0 de los primeros 10 pagos es: 1,05 1,07

1 PV 100

10

0,07 0,05 PV 859,76

b) El valor del undécimo pago es 100 × (1,05)9 × (0,95) =147,38. El valor presente del último pago es: 10

1,05 1,07 0,07 0,05

1 PV 147,38

(1,07) (1,07)

10

PV 689,23 c)

El valor presente total de los 20 pagos es 859,76 + 689,23 = 1.548,99 U.M. Por último, el valor presente de una perpetuidad con el primer pago de 1 U.M. en el tiempo 0 y si los pagos sucesivos crecen en progresión geométrica con ratio común 1 + k es: PV =1+ v × (1+ k ) + v 2 × (1+ k )2 + ... 1 PV = 1− (1+ k ) × v 1+ i PV = i −k Observe que el valor de esas perpetuidades no puede existir si 1+ k ≥1+ i .

323

324


Ejemplo 2.76 La perpetuidad A tiene la siguiente secuencia de pagos anuales que comienzan el 1º de enero de 2005: 1, 3, 5, 7,… Los montos de la perpetuidad B son de la misma magnitud (1 U.M. por año), y también comienzan el 1º de enero de 2005. La perpetuidad C tiene la siguiente secuencia de pagos anuales que comienzan el 1º de enero de 2005: 1, (1 + r), (1 + r)2,… El 1º de enero de 2005 el valor presente de la perpetuidad A es 25 veces tan grande como el valor presente de la perpetuidad B, y el valor presente de la perpetuidad A es igual al valor presente de la perpetuidad C. Sobre la base de la información suministrada, calcule r.

Solución Los pasos que se desarrollan son los siguientes: 1 2 × (1+ i ) + d i2 1 b) Se determina que el valor presente de la perpetuidad B es d a)

Se calcula que el valor presente de la perpetuidad A es

c)

Se determinar que el valor presente de la perpetuidad C es Luego, se afirma que: 1+ i 2 × (1+ i ) 25 × (1+ i ) + = i i2 i Esto equivale a 12 × i 2 +11× i −1 = 0 . Se resuelve para i y se obtiene i =

1 . 12

También se afirma que: 1+ i 2 × (1+ i ) 1+ i + = i i2 i−r o: 1 25 (12) 1 12

1 12 1 r 12

1

Se resuelve para r y se obtiene: r = 0,08 = 8%

1+ i i−r


2.13.5 Problemas propuestos 1. Una anualidad de pago creciente a 15 años paga 70 U.M. al inicio del año 1, 75 U.M. al inicio del año 2, 80 U.M. al inicio del año 3 y así sucesivamente. Calcule el valor presente de esta anualidad a una tasa efectiva anual de 1%. Respuesta: 1.457,39 U.M. 2. Una perpetuidad paga 500 U.M. al inicio del primer año. Cada pago posterior equivale a 520 U.M., 540 U.M., y así sucesivamente. Calcule el valor presente de esta perpetuidad con una tasa de interés efectiva anual de 10%. Respuesta: 7.700 U.M. 3. Determine el valor presente de pagos de 150 U.M. en el tiempo 0, 155 U.M. en el tiempo 1, 160 U.M. en el tiempo 2 y así sucesivamente hasta 200 U.M. en el tiempo 10. La tasa efectiva anual es de 3%. Respuesta: 1.653,73 U.M. 4. Determine el valor futuro de pagos de 200 U.M. en el tiempo 0, 205 U.M. en el tiempo 1, 210 U.M. en el tiempo 2 y así sucesivamente hasta 250 U.M. en el tiempo 10. La tasa efectiva anual es de 2%. Respuesta: 2.758,36 U.M. 5. Se pagan 300 U.M. ahora, 290 U.M. dentro de un año, 280 U.M. dentro de 2 años, y así sucesivamente hasta 230 U.M. dentro de 7 años. Calcule el valor presente si la tasa de interés efectiva es de 1%. Respuesta: 351,81 U.M. 6. Se pagan 500 U.M. hoy, 480 U.M. dentro de un año, 460 U.M. dentro de 2 años y así sucesivamente hasta 400 U.M. dentro de 5 años. Calcule el valor acumulado si la tasa de interés efectiva es de 1%. Respuesta: 438,16 U.M. 7. Calcule el valor presente en el tiempo 0 de pagos de 100 U.M. realizados en el tiempo 0, 120 U.M. en 1 año, 140 U.M. en 2 años, y así sucesivamente, con una tasa efectiva anual de 2%. Respuesta: 52.020 U.M.

325

326


2.14

Anualidades variables con pagos a una frecuencia diferente en relación con el caso en que el interés es convertible

Ahora se considerarán las anualidades variables con pagos realizados con una mayor o menor frecuencia en relación con el caso en que el interés es convertible. El análisis se circunscribirá a las anualidades crecientes, en tanto que las decrecientes pueden manejarse de modo similar.

2.14.1 Anualidades variables que se pagan con menos frecuencia en relación con el caso en que el interés es convertible Sea k el número de periodos de conversión de intereses en un periodo de pago, n el plazo de la anualidad medido en periodos de conversión de intereses e i la tasa de interés por periodo de conversión. Se sigue que el número de pagos sobre el plazo de la anualidad está dado por n / k, un número entero positivo. Sea PV, el valor presente de una anualidad inmediata creciente generalizada con pagos de 1, 2, 3, etc., que se suceden al final de cada intervalo de k periodos de conversión de intereses. Así, PV v k 2 v 2k 3 v 3k ...

n n nk 1 vn k v k k

Ahora, PV

k (1 i ) 1 1 v k v 2k ... v n k

PV

k (1 i ) 1

an ak

n n vn k

n n v k

Por tanto, PV =

an n n − ×v ak k i × sk

donde PV Valor presente an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k n Número de periodos

(2.86)

2.14 Anualidades variables con pagos a una frecuencia diferente en relación con el caso...

v n Factor de descuento en el periodo n k Constante i Tasa de interés efectiva sk Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo k El valor acumulado en t = n.

donde FV i PV n

FV = (1+ i )n × PV

(2.87)

Valor acumulado Tasa de interés efectiva Valor presente Número de periodos

Ejemplo 2.77 Una anualidad inmediata a 10 años paga 1 U.M. en dos años, 2 U.M. dentro de cuatro años, 3 U.M. dentro de seis años, 4 U.M. dentro de ocho años, y 5 U.M. dentro de diez años. Con base en una tasa de interés anual efectiva de 5%, encuentre el valor presente y el valor acumulado de esta anualidad.


El valor presente es: PV =

a10 − 5 × (1,05)−10 a2 0,05 × s2

7,721735 − 5 × (1,05)−10 1,85941 PV = (1,05)2 −1 PV =10,57 b) El valor acumulado es: 10,57 × (1,05)10 =17,22 En consecuencia, el valor presente es de 10,57 U.M. y el valor acumulado de 17,22 U.M.

327

328


2.14.2 Anualidades variables que se suceden al inicio de cada intervalo de k periodos de conversión de intereses Ahora considere una anualidad de pago inmediato creciente con pagos 1, 2, 3, etc., que se suceden al inicio de cada intervalo de k periodos de conversión de intereses. Luego, PV =1 2 v k 3 v 2k ...

n n nk 1 v n 2k v k k

Se multiplica por v k la ecuación anterior y se obtiene: v k PV v k 2 v 2k 3 v 3k ...

n n n 1 vn k v k k

Se resta la penúltima ecuación de esta última. a n n PV × ⎡⎣1− v k ⎤⎦ =1+ v k + v 2k + ... + v n−k − × v n = n − × v n k ak k Por tanto, PV =

an n n − ×v ak k i × ak

(2.88)

donde PV Valor presente an Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k n Número de periodos k Constante n v Factor de descuento en el periodo n i Tasa de interés efectiva El valor acumulado en t = n:

FV (1 i)n donde FV Valor acumulado i Tasa de interés efectiva

an ak

n n v k i ak

(2.89)

2.14 Anualidades variables con pagos a una frecuencia diferente en relación con el caso...

an ak vn n k

Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k Factor de descuento en el periodo n Número de periodos Constante

Ejemplo 2.78 Calcule el valor presente y el valor acumulado de una anualidad a 5 años en la que los pagos se realizan al inicio de cada medio año, con el primer pago de 50 U.M., el segundo de 100 U.M., el tercero de 150 U.M., y así sucesivamente. El interés es de 10% convertible trimestralmente.


Se identifican las ecuaciones que se utilizarán, que en este caso son la (2.88) y la (2.89). b) Se reemplazan los valores:

PV 50

PV 50

a20 10 v 20 a2 0,025 a2 15,58916 10 (1,025) 1,9274242 1 (1,025) 2

20

PV 2.060,13 El valor acumulado en el periodo t = 20 es: FV = (2.060,13) × (1,025)20 FV = 3.375,76 Por tanto el valor presente es de 2.060.13 U.M. y el valor acumulado en el periodo t = 20 es de 3.375,76 U.M.

2.14.3 Problemas propuestos 1. Una anualidad inmediata a 10 años paga 10 U.M. en dos años, 20 U.M. en cuatro años, 30 U.M. en seis años, 40 U.M. en ocho años, y 50 U.M. en diez años. Con base en una la tasa de interés anual efectiva de 8%, encuentre el valor presente y el valor acumulado de esta anualidad. Respuesta: Valor presente 86,95 U.M.; valor acumulado, 187,72 U.M.

329

330


2. Calcule el valor presente y el valor acumulado de una anualidad a 5 años en la que los pagos se realizan al inicio de cada medio año, con el primer pago de 30 U.M., el segundo de 60 U.M., el tercero de 90 U.M., y así sucesivamente. El interés es de 8% convertible trimestralmente. Respuesta: Valor presente 1.307,26 U.M. y valor acumulado 1.942,52 U.M.

Anualidades variables que se pagan con más frecuencia en relación con el caso en que el interés es convertible

2.15

Ahora se analizarán anualidades crecientes que comprenden pagos realizados con más frecuencia que en el caso en que el interés es convertible. El primer caso es la anualidad m-ésima creciente, en la que el aumento sucede una vez por periodo de conversión. El segundo es la anualidad m-ésima creciente, en la que el aumento toma lugar con cada m-ésimo pago.

2.15.1 Anualidades que se pagan m-ésimamente Primero se considera una anualidad inmediata creciente que comprende pagos constantes durante cada periodo de conversión de intereses y en la que los aumentos ocurren sólo una vez por periodo de conversión de intereses y se permite que la anualidad se pague cada m veces, donde el pago en el primer periodo es 1 m , en el segundo periodo 2 m y en el n-ésimo periodo n / m . Figura 2.39. Diagrama de tiempo

Pagos 1 1 m m

k −1 k k m m m

1 1 m m

k k m m

n −1 n n m m m

n n m m ...

0

...

1

...

k−1

k ... n − 1

...

n

Periodos de tiempo Sea i la tasa por un periodo de conversión e i ( m ) la tasa de interés nominal que se paga m veces por periodo de conversión de intereses. Si los m-ésimos pagos de k m en el periodo k son iguales a un pago idéntico al valor acumulado de los m-ésimos pagos al final del periodo, es decir, un pago de: k k (1+ j )m −1 i × sm j = × = k × (m) m m j i

(2.90)

2.15 Anualidades variables que se pagan con más frecuencia en relación con el caso...

donde j =

i(m) m

en la cual k Número de pagos por periodo m Número de periodos sm j Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo m a la tasa j j Tasa de interés efectiva i Tasa de interés efectiva i ( m ) Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo El diagrama de tiempo de este caso se presenta en la figura 2.40. Figura 2.40. Diagrama de tiempo

i i

k×

(m)

i i

n×

(m)

i i

(m)

Pagos 1 1 m m

0

k −1 k k m m m

1 1 m m

...

i

...

k k m m

k−1

n −1 n n m m m

k ... n − 1

n m

...

n m

n

Periodos de tiempo En consecuencia, una anualidad creciente que se paga en m veces es igual a una i anualidad creciente con P = Q = ( m ) , lo cual implica que el valor presente es: i i ( Ia )( mn ) = ( m ) × ( Ia )n i a − n × v n (2.91) ( Ia )( mn ) = n ( m ) i donde ( Ia )(nm ) an n n v (m) i

Valor presente de una anualidad inmediata creciente Valor presente de una anualidad de pago inmediato Número de periodos Factor de descuento en el periodo n Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo

331

332


En tanto, el valor acumulado es: ( Is )(nm ) = (1+ i )n × ( Ia )(nm ) ( Is )(nm ) = donde ( Is )(nm ) i n ( Ia )(nm ) sn (m) i

sn − n

(2.92)

i(m)

Valor acumulado de una anualidad inmediata creciente Tasa de interés efectiva Número de periodos Valor presente de una anualidad inmediata creciente Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo

Ejemplo 2.79 Calcule el valor presente y el valor acumulado de 1 U.M. al final de cada trimestre en el primer año, 2 U.M. al final de cada trimestre en el segundo año, 3 U.M. al final de cada trimestre en el tercer año, 4 U.M. al final de cada trimestre en el cuarto año y 5 U.M. al final de cada trimestre en el quinto año. La tasa de interés efectiva anual es de 4%.

Solución Para resolver este problema, se desarrollan los siguientes pasos: Para el valor presente: a)

Se determina la expresión del valor presente: ( Ia )5(4) = 4 ×

a5 − 5 × v5 i (4)

b) Se desarrolla: 1

i (4) 4 (1,04) 4 1 i (4) 0,039414 o 3,9414% a5

1 (1,04) 5 0,04 1,04

a5 4,629895 (Ia)5(4)

4,629895 5 (1,04) 0,039414

5


(Ia)5(4) 13,199996 4 (Ia)5(4) (4) (13,1999996) 4 (Ia)5(4) 52,80 Para el valor acumulado: a) Se determina la expresión del valor acumulado:

( Is )(nm ) = (1+ i )n × ( Ia)(nm ) b) Se desarrolla

(1,04)5 ×52,80 = 64,24 En el caso de una anualidad de pago inmediato, se puede demostrar que: ( Ia)(nm ) =

an − n × v n d (m)

(2.93)

donde ( Ia)(nm )

Valor presente de una anualidad que se paga con mora por adelantado durante n años, de un monto de X U.M. en el n-ésimo año an Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n Número de periodos n v Factor de descuento en el periodo n (m) d Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo

Además, si se considera que: ( Is)(nm ) =

sn − n d (m)

(2.94)

donde ( Is)(nm ) sn n d (m)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato creciente Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Número de periodos Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo


Ejemplo 2.80 Calcule el valor presente y el valor acumulado de 10 U.M. al inicio de cada trimestre en el primer año, 20 U.M. al inicio de cada trimestre en el segundo año, y así sucesivamente, durante 5 años. La tasa de interés efectiva anual es de 4%.

333

334


Solución Para efectuar el cálculo, se realizan los siguientes pasos: a)

Se determina la expresión con la que se trabajará: 40 × ( Ia)5

(4)

b) Se reemplazan los valores del enunciado en el inciso a): a5 5 v5 d (4)

(4)

40

(4)

40

(4)

533,20

40 ( Ia )5 40 ( Ia )5 40 ( Ia )5

4,629895 5 (1,04) 0,039029

5

donde d (4) 4 1 (1,04) c)

1 4

0,039029

El valor acumulado es: (1,04)5 × 533,20 = 648,72

2.15.2 Anualidades que se pagan por m-ésima vez creciente por n-ésima vez Considere que los pagos varían en cada periodo de conversión de intereses. Figura 2.41. Diagrama de tiempo

Pagos 1 2 m2 m2

0

...

(k −1) × m

m −1 m m m2

1

m

...

( n −1) × m

k×m m2

k−1 Periodos de tiempo

m

k

n×m m2

2

... n − 1

...

n


Como se observa en la figura 2.41, los pagos son de 1 / m2, 2 / m2 y así sucesivamente. Se indica el valor presente de una anualidad por ( I ( m ) a )(nm ) y se calcula así: 1

2

1

n− 1 × (v m + 2 × v m + ... + m × n × v m ) 2 m A partir de la expresión anterior se desarrolla:

( I ( m ) a )(nm ) =

1

1 m2

1 v m ... v

1

1 m

an(m) n v n

(I (m)a)(m) n

(1 i) m 1

(I (m)a)(m) n

(1 i) m 1

(I

(m)

(m) n

a)

1

an(m) n v n m

n

1 m

n m vn

an(m) n v n i (m)

1

(1 i) m 1

En consecuencia, el valor presente de esta anualidad es: (I donde ( I ( m ) a )(nm ) an( m ) n vn i(m)

(m)

(m) n

a)

=

an( m ) − n × v n i(m)

(2.95)

Valor presente de la anualidad inmediata que se paga por m-ésima vez creciente por n-ésima vez Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Número de periodos Factor de descuento en el periodo n Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo

Por otra parte, si se considera que: 1− v n d (m) i an( m ) = ( m ) × an d an( m ) =

Luego, el valor acumulado de esta anualidad es: ( I ( m ) s )(nm ) = (1+ i )n × ( I ( m ) a )(nm ) ( I ( m ) s )(nm ) =

sn( m ) − n i(m)

(2.96)

335

336


donde ( I ( m ) s )(nm ) i ( I ( m ) a )(nm ) n sn( m ) i(m)

Valor acumulado de una anualidad inmediata creciente Tasa de interés efectiva Valor presente de una anualidad inmediata creciente Número de periodos Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo

Se debe considerar que: sn( m ) =

(1+ i )m −1 d (m)

Ejemplo 2.81 Calcule el valor presente y el valor acumulado de 1 U.M. al final del primer trimestre, 2 U.M. al final del segundo trimestre, 3 U.M. al final del tercer trimestre y así sucesivamente durante 5 años. La tasa de interés efectiva anual es 4%.

Solución Para determinar el valor presente: a)

Se establece la expresión que se utilizará, que en este caso es: 16 × ( I (4) a)5(4) =16 ×

a5(4) − 5 × v5 i (4)

b) Se reemplazan los valores del enunciado en este inciso: 16 × ( I (4) a)5(4) =16 ×

4,56257 − 5 × (1,04)−5 0,039414

16 × ( I (4) a)5(4) =183,87 Para determinar el valor acumulado: a)

Se multiplica el valor presente por un factor: (1,04)5 ×183,87 = 223,71


Además, en el caso de una anualidad de pago inmediato, el valor presente de este tipo de anualidad se puede calcular directamente por medio de la siguiente expresión: ( I ( m ) a)(nm ) =

an( m ) − n × v n d (m)

(2.97)

donde ( I ( m ) a)(nm )

Valor presente de la anualidad de pago inmediato

a(nm )

Valor presente de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años (m) d Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo n Número de periodos v n Factor de descuento en el periodo n

Mientras tanto, el valor acumulado se puede calcular así: ( I ( m )s )(nm ) =

sn( m ) − n d (m)

(2.98)

donde ( I ( m )s )(nm ) sn( m )

Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años (m) d Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo n Número de periodos A continuación se presentan ejemplos de aplicación de esta teoría.

Ejemplo 2.82 Calcule los valores presente y acumulado de 1 U.M. al inicio del primer trimestre, 2 U.M. al inicio del segundo, 3 U.M. al inicio del tercero y así sucesivamente durante 5 años. Considere una tasa de interés efectiva anual de 4%.

Solución Para calcular el valor presente, los pasos que se realizarán son los siguientes: a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es: 16 × ( I (5) a)5(4)

337

338


b) Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación anterior. 16 (I (5)a)5(4) 16

a5(4) 5 v5 d (4)

16 (I (5)a)5(4) 16

4,56257 5 (1,04) 0,03903

5

16 (I (5)a)5(4) 185,68 El valor presente es de 185,68. Para calcular el valor acumulado, los pasos que se realizarán son los siguientes: (1,04)5 ×185,68 = 225,91 El valor acumulado es de 225,91 U.M.

Comentario Para mostrar el valor de la anualidad como la sumatoria del valor presente o valor acumulado de cada pago, pueden manejarse tipos de anualidades como las que se mostraron, pero que pueden variar en progresión geométrica. Esta sumatoria es una progresión geométrica, la cual puede evaluarse directamente.

Ejemplo 2.83 Calcule el valor acumulado de una anualidad con pagos realizados al inicio de cada trimestre durante dos años. El primer pago es de 1.000 U.M. y cada uno de los otros pagos representa 50% del pago previo. El interés es abonado a una tasa de 2% semestral.


Se calcula la tasa de interés efectiva trimestral: 1

1+ j = (1+ 0,02) 2 1

j = (1+ 0,02) 2 −1 = 0,00995 b) Se reemplazan los valores:

1.000 [(1,00995)8 (0,5) (1,00995)7 (0,5)2 (1,00995)6 … (0,5)7 (1,00995)1 8

1.000 (1,00995)

0,5 1 1 (1,00995)

0,5 (1,00995)

2

…

0,5 (1,00995)

7


Esta última ecuación puede representarse como: 8

1.000 (1,00995)

1

7 m 1

0,5 (1,00995)

m

Se utiliza la fórmula de las series geométricas:

1.000 (1,00995)8 1

0,5 (1,00995)

0,5 (1,00995) 0,5 1 (1,00995)

m

Por último,

1.000 (1,00995)8

0,5 1 (1,00995) 0,5 1 (1,00995)

8

2.146,14

El valor acumulado de la anualidad es de 2.146,14 U.M.

Ejemplo 2.84 Determine la ecuación del valor presente de una perpetuidad. Esta perpetuidad comprende un pago 1 U.M. que se realiza al final del tercer año, de 2 U.M. que se efectúa al final del sexto año, de 3 U.M. que se concreta al final del noveno año y así sucesivamente.

Solución Para determinar esta ecuación, se realizan los siguientes pasos: a)

Se identifica la expresión con la que se trabajará: PV = v 3 + 2 × v 6 + 3 × v 9 + ...

b) Se desarrolla la expresión anterior: PV × (1− v 3 ) = v 3 + v 6 + v 9 + ... = c)

Por tanto, PV =

v3 (1− v 3 )2

v3 1− v 3

339

340


Ejemplo 2.85 Juan Diego deposita 1 U.M. al inicio de cada trimestre en el año 1, 2 U.M. al inicio de cada trimestre en el año 2, y así sucesivamente hasta que efectúa el último depósito de 8 U.M. al inicio de cada trimestre en el año 8. Un trimestre después del último depósito, Juan Diego retira el valor acumulado y lo utiliza para comprar una perpetuidad inmediata con pagos de igual magnitud de X U.M. al final de cada año. Si la tasa de interés nominal es de 10% anual compuesta trimestralmente, calcule X.


Se establece la expresión con la que se trabajará: k × a4 0,025 ×

⎡⎣s9 i − 9⎤⎦ × (1+ i ) =196,77 i

b) Luego, X =196,77 (1,025)4 −1 X = 20,43

2.15.3 Problemas propuestos 1. Una anualidad inmediata a 12 años comprende los siguientes pagos: 1 U.M. en dos años, 2 U.M. en cuatro años, 3 U.M. en seis años, 4 U.M. en ocho años, 5 U.M. en diez años y 6 U.M. en doce años. Si la tasa de interés anual efectiva es de 2%, calcule el valor presente y el valor acumulado de esta anualidad. Respuesta: 17,72 U.M. y 22,47 U.M. 2. Calcule el valor presente y el valor acumulado de una anualidad a 10 años que comprende pagos que se realizan al inicio de cada semestre. El primer pago es de 30 U.M., el segundo de 60 U.M., el tercero de 90 U.M. y así sucesivamente. La tasa de interés para realizar estos cálculos es de 10% convertible semestralmente. Respuesta: 946,54 U.M. y 2.511,45 U.M. 3. Calcule el valor presente de 1 U.M. al final de cada semestre en el primer año, 2 U.M. al final de cada semestre en el segundo año, 3 U.M. al final de cada semestre en el tercer año y 4 U.M. al final de cada semestre en el cuarto año. La tasa de interés efectiva anual es de 2%. Respuesta: 18,9449 U.M.

2.16 Anualidades variables continuas

4. Calcule el valor presente de 1 U.M. al final de cada bimestre en el primer año, 2 U.M. al final de cada bimestre en el segundo año, 3 U.M. al final de cada bimestre en el tercer año. La tasa de interés efectiva anual es de 1%. Respuesta: 35,3210 U.M. 5. Calcule el valor presente de 1 U.M. al final de cada mes en el primer año y 2 U.M. al final de cada mes en el segundo año. La tasa de interés efectiva anual es de 5%. Respuesta: 33,9504 U.M. 6. Calcule el valor presente y el valor acumulado de 1 U.M. al final del primer cuatrimestre, 2 U.M. al final del segundo cuatrimestre, 3 U.M. al final del tercer cuatrimestre y así sucesivamente durante cuatro años. La tasa de interés efectiva anual es de 8%. Respuesta: 101,54 U.M. 7. Calcule el valor presente y el valor acumulado de 1 U.M. al inicio del primer semestre, 2 U.M. al inicio del segundo semestre, 3 U.M. al inicio del tercer semestre y así sucesivamente durante ocho años. La tasa de interés efectiva anual es de 1,5%. Respuesta: Valor presente, 31,58 U. M.; valor acumulado, 35,75 U.M. 8. Calcule el valor acumulado al final de 4 años de una anualidad cuyos pagos se realizan al inicio de cada trimestre. El primer pago es 1.000 U.M. y cada uno de los otros pagos es 50% del pago previo. El interés es abonado a la tasa efectiva trimestral de 0,995%. Respuesta: 2.036,06 U.M.

2.16

Anualidades variables continuas

Las anualidades variables continuas comprenden pagos que se realizan de modo continuo a una tasa de interés variable. De este modo, se considera una anualidad para n periodos de conversión de intereses. Esta anualidad comprende pagos que se realizan de modo continuo a la tasa f (t ) en el momento exacto t y donde la tasa de interés es variable, con la fuerza de interés variable δ r . t

∫

− δr × dr

Luego, f (t ) × e 0 × dt es el valor presente del pago f (t )× dt realizado en el momento exacto t. Así, el valor presente de una anualidad variable continua de n periodos es: PV =

∫

n 0

f (t ) × e

−

∫ 0 δr ×dr t

× dt

(2.99)

341

342


donde PV δr t f (t )

Valor presente Fuerza de interes variable Tiempo Tasa

Ejemplo 2.86 Calcule una expresión para el valor presente de una anualidad que crece de modo continuo. Esta anualidad tiene un plazo de n años, la fuerza de interés es δ y la tasa de pago en el periodo t es t 2 anual.


Se calcula el siguiente integral mediante el método por partes: n 2 0

t

n 2

t 0

n 2 0

t

e

t

e

t

e

t

dt dt dt

t2

e

n2 2 3

2

n 0

t

0

2 n

n

e

n

2

n

n

e

2

t e

2

n

e

dt

t

3

2 n

e

t

n 0

2

2

3

Bajo el interés compuesto, es decir, cuando la fuerza de interés es igual a δ t = ln (1+ i ) , la ecuación anterior se convierte en: PV =

∫

n 0

f (t ) × v t × dt

Si el interés es compuesto, de modo que se cumple que f (t ) = t (una anualidad creciente), el valor presente es: ( Ia )n =

∫

n 0

t × v t × dt n

t n v t × vt ( Ia )n = − ∫0 dt ln v 0 ln v n

t × vt vt ( Ia )n = − ln v 0 (ln v )2 ( Ia )n = −

n

0

n×v v 1 − 2+ 2 δ δ δ n

n


1− v n n × v n − δ2 δ n a −n×v ( Ia )n = n δ ( Ia )n =

De manera complementaria, el valor acumulado en n años es: ( Is )n = (1+ i )n × ( Ia )n ( Is )n =

sn − n

δ

Las dos fórmulas anteriores pueden derivarse de las fórmulas de ( I ( m ) a )(nm ) y ( I ( m ) s )(nm ) . En realidad, ( Ia )n = lím( I ( m ) a )(nm ) m →∞

an( m ) − n × v n m →∞ i(m)

( Ia )n = lím

an( m ) − n × v n ( Ia )n = δ y ( Is )n = lím ( I ( m ) s )n

(m)

m →∞

sn( m ) − n m →∞ i ( m )

( Is )n = lím

sn( m ) − n ( Is )n = δ

Ejemplo 2.87 Michael recibe pagos continuos a una tasa anual de 8 × t + 5 desde el tiempo 0 a 10 años. La tasa de interés compuesta continua es de 9%. a)

Calcule el valor presente en el tiempo 0.

b) Calcule el valor acumulado en el tiempo de 10 años.

343

344



El flujo de pagos puede dividirse en dos partes, de modo que el valor presente es: 8 × ( Ia )10 + 5 × a10

b) Entonces se cumple que: i = e 0,09 −1 = 0,094174 a10 =

1− (1,094174)−10 = 6,5937 0,09

( Ia )10 = c)

6,5937 −10 × (1,094174)−10 = 28,088592 0,09

Se obtiene: 8 × ( Ia )10 + 5 × a10 = 8 × 28,088592 + 5 × 6,59370 = 257,68

d) Por tanto, 257,68 × (1,094174)10 = 633,78 El valor acumulado en el tiempo 10 es igual a 633,78 U.M.

Ejemplo 2.88 Si δ = 0,06 , calcule el valor presente de una anualidad continua a 10 años en el periodo t.

Solución Para realizar este cálculo, los pasos que se realizarán son los siguientes: a)

Se plantea la ecuación que se resolverá: ( Ia )10 =

1− v10 10 × v10 − δ2 δ


b) El valor presente es: ( Ia )10 =

1− e −10×0.06 10 × e −10×0,06 − 0,062 0,06

( Ia )10 = 33,86 El valor presente de esta anualidad continua es de 33,86 U.M. Para una perpetuidad creciente continuamente que se paga de manera continua [donde f (t ) = t ], el valor presente en el tiempo 0 es: an − n × v n ( Ia )∞ = lím n →∞ δ 1− (1+ i )− n − n × (1+ i )− n δ ( Ia )∞ = lím n →∞ δ 1 ( Ia )∞ = 2 δ A continuación se presentan ejemplos de aplicación de estos conceptos.

Ejemplo 2.89 Dado el valor presente: 5 × ( Ia )∞ =

5 [ ln (1,07)]2

5 × ( Ia )∞ = 1.092,25 Se analiza el caso del flujo que se paga de modo continuo y decrece en la misma forma. El pago continuo se recibe del tiempo 0 al tiempo n años. La tasa de pago en el tiempo t es f (t ) = n − t , y la fuerza de interés es constante y es igual a δ . El valor presente es: ( Da )n = n × an − ( Ia )n n 1− v n a n − n × v − δ δ n − an

( Da )n = n × ( Da )n =

δ

345

346


Ejemplo 2.90 Juan Diego recibe un pago a una tasa anual de (10 − t) del tiempo 0 al tiempo 10 años. La fuerza de interés es de 6%. Calcule el valor presente de esos pagos en el tiempo 0.


Se calcula el valor de la tasa de interés i: i = e 0,06 −1 = 0,06184 i = 0,06184

b) Se calcula la tasa a10 : 1− (1,06184)−10 0,06 a10 = 7,5201 a10 =

c)

Luego, el valor presente es: ( Da )10 =

10 − 7,5201 0,06

( Da )10 = 41,33 El valor presente de estos pagos en el momento 0 es de 41,33 U.M.

Ejemplo 2.91 Con base en la información del ejemplo anterior, determine el valor acumulado de los pagos que recibió Juan Diego en el tiempo 10 años.

Solución Para efectuar el cálculo, se realizan los siguientes pasos: a.

Se determina la expresión con la que se trabajará, que es: (1,06184)10 × ( Da )10

b) Se reemplazan los valores y el valor acumulado en 10 años es: (1,06184)10 × ( Da )10 = (1,06184)10 × 41,33 = 75,31 El valor acumulado es de 75,31 U.M.


2.16.1 Problemas propuestos 1. Si la fuerza de interés es δ = 0,1 , calcule el valor presente de una anualidad continua a 5 años en el periodo t. Respuesta: 29,59 U.M. 2. Si la fuerza de interés es δ = 0,03 , calcule el valor presente de una anualidad continua a 3 años en el periodo t. Respuesta: 4,24 U.M. 3. Si la fuerza de interés es δ = 0,0025 , calcule el valor presente de una anualidad continua a 8 años en el periodo t. Respuesta: 31,57 U.M. 4. Michaela recibe un pago a una tasa anual de (10 − t) desde hoy a 8 años. Si la fuerza de interés es de 10%, calcule el valor presente de los pagos hoy. Respuesta: 13,96 U.M. 5. Utilice la información del ejemplo anterior y determine el valor acumulado de los pagos que recibirá Michaela al cabo de 8 años. Respuesta: 31,06 U.M. 6. Ryan recibe pagos continuos a una tasa anual de 3 × t + 2 desde hoy a 5 años. Si la tasa de interés compuesta continua es de 5%, a)

Calcule el valor presente en el tiempo 0.

b) Calcule el valor acumulado en el tiempo de 5 años. Respuesta: Valor presente 40,65 U.M. y valor acumulado 52,19 U.M. 7. Si se tiene que δ = 0,07, calcule el valor presente de una anualidad continua a 5 años en el periodo t. Respuesta: 9,93 U.M. 8. Marcos recibe pagos continuos desde hoy a 12 años, a una tasa anual de 6 × t +1 . Si la tasa de interés compuesta continua es de 7%, calcule el valor acumulado durante los 12 años. Respuesta: 602,11 U.M.

347

348


2.17 Nombre Valor presente de una anualidad inmediata (2.1)

Ecuación de valor en el tiempo cero de una inversión de 1 U.M. (2.2)

Valor acumulado de una anualidad inmediata (2.3)


an =

1− (1+ i ) i

Nomenclatura

−n

1 = v n + i × an

an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos v n : Factor de descuento en el periodo n, que equivale a v n =1/ (1+ i )n i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n: Número de periodos

(1+ i ) −1 i

sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos

Ecuación de valor en el periodo t = n de una inversión de 1 U.M. (2.4)

1+ i × sn = (1+ i )n

sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos

Valor presente de una anualidad inmediata de n periodos en el cual cada pago se invierte a una tasa de interés simple i (2.5)

1 1 1 an = + + ... + 1+ i 1+ 2 × i 1+ n × i

sn =

n

an : Valor presente de una anualidad inmediata i: Tasa de interés simple n : Número de periodos


Nombre Valor acumulado de una anualidad es igual al valor acumulado de los pagos individuales (2.6) Valor presente de una anualidad inmediata en función a la tasa de descuento simple (2.7)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato (2.8)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato (2.9) Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato (2.10)

349

Fórmula

Nomenclatura

sn =1+ (1+ i ) + (1+ 2 × i ) + ... + [1+ (n −1) × i ]

sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés simple n: Número de periodos

an = n −

n × (n +1) ×d 2

an =

1− v n 1− v

1− (1− d )n an = d

sn =

(1+ i )n −1 i×v

an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n: Número de periodos d: Tasa de descuento simple

an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n vn: Factor de descuento en el periodo n e igual a v = [1/(1 + i)]n v: Factor de descuento e igual a v = [1/ (1+ i )] n: Número de periodos an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n d: Tasa de descuento simple n: Número de periodos sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n i: Tasa de interés efectiva v: Factor de descuento e igual a v = [1/ (1+ i )] n: Número de periodos

350


Nombre Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato (2.11) Valor presente de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i y m+1 periodos antes de la primera fecha de pago (2.12) Valor presente de una anualidad inmediata con una tasa de interés periódica i y m+1 periodos antes de la primera fecha de pago (2.13)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato diferida (2.14)

Fórmula

sn =

(1+ i ) d

n

Nomenclatura sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n i: Tasa de interés efectiva d: Tasa de descuento simple

v m × an

v m : Factor de descuento en el periodo m e igual a [1/(1 + i)]m an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n

a m+ n − a m = v m × a n

am+n : Valor presente de una anualidad en el periodo m+n am : Valor presente de una anualidad en el periodo m v m : Factor de descuento en el periodo m an : Valor presente de una anualidad en el periodo n

v m × an = am+n − am

v m : Factor de descuento en el periodo m an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n am : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo m am+n : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo m+n


Nombre Valor acumulado de una anualidad inmediata de n periodos, m periodos después de la última fecha de pago (2.15) Valor acumulado de una anualidad inmediata de n periodos, m periodos después de la última fecha de pago (2.16) Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato de n periodos, m periodos después de la última fecha de pago (2.17) Valor presente de una anualidad inmediata de n periodos sobre la fecha de pago m-ésima (2.18)

351

Fórmula

Nomenclatura

(1+ i )m × sn

sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés efectiva m: Número de periodos m n: Número de periodos n

(1+ i )m × sn = sm+n − sm

sn : Valor acumulado de una anualidad en el periodo n sm+n : Valor acumulado de una anualidad en el periodo m + n i: Tasa de interés efectiva m: Número de periodos m n: Número de periodos n

(1+ i )m × sn = sm+n − sm

sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sm+n : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo m + n i: Tasa de interés efectiva m: Número de periodos m n: Número de periodos n

(1+ i )m × an = v n−m × sn

i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n v n−m : Factor de descuento en el periodo n – m sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n

352


Nombre

Fórmula

Nomenclatura

(1+ i )m × an = sm + sn−m

i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n−m v : Factor de descuento en el periodo n – m sm : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n sn−m : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n – m

(1+ i )m × an = sm + an−m

i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n sn−m : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo m an−m : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n – m

Valor presente de la anualidad de pago inmediato (2.21)

(1+ i )m × an = v n−m × sn = sm + an−m

i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n sm : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo m an−m : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n–m

Valor presente de una perpetuidad inmediata (2.22)

a∞ =

Valor presente de una anualidad inmediata de n periodos sobre la fecha de pago m-ésima (2.19)

Valor presente de una anualidad inmediata de n periodos sobre la fecha de pago m-ésima (2.20)

1 i

a∞ : Valor presente de una perpetuidad inmediata i: Tasa de interés efectiva


Nombre Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato (2.23) Valor presente de una anualidad inmediata que tiende al infinito (2.24)

Valor presente de una anualidad inmediata (2.25)

Valor presente de una perpetuidad inmediata diferida (2.26) Valor presente de una anualidad inmediata (2.27)

Fórmula

a

Nomenclatura

1 1 1 1 i

a∞ =

353

a∞ : Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato i: Tasa de interés efectiva

a∞ : Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato d: Tasa de descuento simple

1 d

an = a∞ − v n × a∞

an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n a∞ : Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato n v : Factor de descuento en el periodo n que equivale a n v n = (1/1+ i ) a∞ : Valor presente de una perpetuidad inmediata

P0 = (1+ i )− n × a∞

P0 : Valor presente de una perpetuidad inmediata diferida i: Tasa de interés efectiva a∞ : Valor presente de una perpetuidad inmediata n: Número de periodos

P = R × an

i

P: Valor presente de la anualidad R: Valor del pago regular i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos

354


Nombre

Número de pagos de una anualidad (2.28)

Número de pagos enteros y fraccionados de una anualidad (2.29)

Fórmula

ln 1 i

n

Nomenclatura

P R

ln v

P R

ln 1 i

n k

ln v

Valor presente de pagos constante (2.30) Valor acumulado de una anualidad (2.31) Cálculo de la tasa de interés utilizando la técnica algebraica (2.32)

i

Cálculo de la tasa de interés (2.33)

i0 =

n: Número de periodos i: Tasa de interés efectiva v: Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i ) P: Valor presente de una anualidad inmediata R: Valor del pago regular n: Número de periodos (en números enteros) k: Número de periodos (en número fraccionado) i: Tasa de interés efectiva v: Factor de descuento e igual a 1/ (1+i ) P: Valor presente de una anualidad inmediata R: Valor del pago regular

an = k

an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n k: Constante

sn = k

sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n k: Constante

1 v

1

1

2 × (n − k ) k × (n +1)

i: Tasa de interés efectiva v: Factor de descuento e igual a v =1/ (1+ i )

i0: Tasa de interés n: Número de periodos k: Constante


Nombre Valor presente de una anualidad inmediata (2.34) Valor presente de una anualidad inmediata (2.35) Valor presente de una anualidad de pago inmediato (2.36) Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato (2.37) Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato (2.38) Valor acumulado de una anualidad inmediata (2.39)

Fórmula

−1

−1

355

Nomenclatura

−1

an = (1+ i1 ) + (1+ i1 ) × (1+ i2 ) + ... + + (1+ i1 )−1 × (1+ i2 )−1...(1+ in )−1

an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n in : Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2,…, k)

an = (1+ i1 )−1 + (1+ i2 )−2 + ... + (1+ in )− n

an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n it : Tasa de interés en el periodo t (t = 1,2,3,… n)

an =1+ an−1

an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n an−1 : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n – 1

+ (1+ in−1 ) × (1+ in ) + (1+ in )

sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n it : Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2, 3,…, n)

sn = (1+ i1 )n + (1+ i2 )n−1 + ... + (1+ in )

sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n it : Tasa de interés en el periodo t (t = 1, 2, 3,…, n)

sn+1 = sn +1

sn+1 : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n + 1 sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n

sn = (1+ i1 ) × (1+ i2 ) × ... × (1+ in ) + ... +

356


Nombre

Valor presente de una anualidad inmediatamente después que el último pago es realizado (2.40)

Valor acumulado de una anualidad inmediatamente después que el último pago es realizado (2.41) Valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de intereses de conversión (2.42) Valor acumulado de una anualidad de k periodos de conversión de intereses después del último pago (2.43)

Fórmula

L=

(1 i)n

Nomenclatura L: Valor presente de una anualidad inmediata que paga 1 U.M. al final de cada k periodos de conversión de intereses por un total de n periodos de conversión de intereses an : Valor presente de una anualidad inmediata sk : Valor acumulado de una anualidad inmediata

an sk

an sk

sn sk

a L = n ak

(1+ i )n =

an sn = ak ak

i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos an : Valor presente de una anualidad inmediata sk : Valor acumulado de una anualidad inmediata

L : Valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de conversión de intereses an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k

i: Tasa de interés efectiva sk : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n ak : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k


Nombre Valor presente de una perpetuidad inmediata (2.44) Valor acumulado de una anualidad inmediata (2.45)



Fórmula

Nomenclatura

1 i × sk

a∞ : Valor presente de una perpetuidad inmediata sk : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo k i: Tasa de interés efectiva

1 i × ak

VP: Valor presente i: Tasa de interés efectiva ak : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k

1− v n i(m)

an( m ) : Valor presente de una anualidad que se paga con demora, con una frecuencia mayor a la anual, m veces por año y durante n años n v : Factor de descuento en el periodo n i ( m ) : Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición

(1+ i )n −1 i(m)

sn( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y durante n años i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos i ( m ) : Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición

a∞ =

VP =

an( m ) =

sn( m ) =

357

358


Nombre



Fórmula

Nomenclatura

an( m ) = s1(m ) × an

an( m ) : Valor presente de una anualidad que se paga con demora, con una frecuencia mayor a la anual, m veces por año y durante n años s1(m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y por 1 año an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n

sn( m ) = s1(m ) × sn

sn( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y durante n años (m) s1 : Valor acumulado de una anualidad que se paga al final de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, por un año sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n


Nombre

Valor presente de una anualidad de pago inmediato (2.50)

El valor acumulado un m-ésimo de un periodo de conversión de intereses después del último pago realizado (2.51)

Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato (2.52)

Fórmula

Nomenclatura

1− v n d (m)

an( m ) : Valor presente de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años vn: Factor de descuento en el periodo n e igual a v n = (1/1+ i )n d ( m ) : Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo

(1+ i )n − 1 d (m)

sn( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos d ( m ) : Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo

an( m ) =

sn( m ) =

359

sn( m ) = s1( m ) × sn

sn( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años s1( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año y por 1 año sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n

360


Nombre Valor presente de la perpetuidad inmediata (2.53) Valor presente de una anualidad continua (2.54) Valor presente de una anualidad continua (2.55) Valor acumulado de una anualidad inmediata (2.56)

Valor acumulado de una anualidad continua (2.57)

Fórmula

a∞( m ) =

an =

i

v n −1 − ln (1+ i )

an =

sn =

1 (m)

− n×δ

1− e δ

(1+ i )n −1 δ

d sn = × sn δ

Nomenclatura a∞( m ) : Valor presente de una perpetuidad inmediata con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año (m) i : Tasa de interés nominal an : Valor presente de una anualidad continua en el periodo n v n : Factor de descuento en el periodo n i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad continua en el periodo n n: Número de periodos δ: Fuerza de interés constante sn : Valor acumulado de una anualidad continua en el periodo n i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos δ: Fuerza de interés constante sn : Valor acumulado de una anualidad continua en el periodo n d: Tasa de descuento simple δ: Fuerza de interés constante sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n


Nombre Valor presente de una perpetuidad continua (2.58)

Valor presente de los pagos (2.59)

Valor acumulado de los pagos en el periodo n (2.60)

Valor acumulado de los pagos en el periodo n (2.61)

Valor presente de una anualidad creciente (2.62)

Fórmula

a∞ =

Nomenclatura

a∞ : Valor presente de una perpetuidad continua δ: Fuerza de interés constante

1 δ

PV P an Q

an n v n i

FV = (1+ i )n × PV

sn n i

FV P sn Q

( Ia )n =

361

an − n × v n i

PV: Valor presente P: Pago (en U.M.) an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n Q: Pago (en U.M.) i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n FV: Valor acumulado de los pagos en el periodo n PV: Valor presente i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos FV: Valor acumulado P: Pago (en U.M.) sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n Q: Pago (en U.M.) n: Número de periodos i: Tasa de interés efectiva ( Ia )n : Valor presente de una anualidad creciente en el periodo n an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n i: Tasa de interés efectiva

362


Nombre

Valor presente de una anualidad creciente (2.63)

Valor acumulado de una anualidad creciente (2.64)

Valor presente de una anualidad inmediata decreciente (2.65)

Valor acumulado de una anualidad inmediata creciente (2.66)

Fórmula

( Ia )n = an +

( Is )n =

Nomenclatura

an − n × v n i

sn+1 − (n +1)

( Da )n =

i

n − an i

( Ds )n = (n +1) × an − ( Ia )n

( Ia )n : Valor presente de una anualidad creciente en el periodo n an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n i: Tasa de interés efectiva ( Is )n : Valor acumulado de una anualidad creciente en el periodo n an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n ι: Tasa de interés efectiva ( Da )n : Valor presente de una anualidad inmediata decreciente en el periodo n n: Número de periodos an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés efectiva ( Ds )n : Valor acumulado de una anualidad inmediata decreciente en el periodo n n: Número de periodos an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ( Ia )n : Valor presente de una anualidad creciente en el periodo n


Nombre

Valor acumulado de una anualidad inmediata decreciente (2.67)

Valor presente de una perpetuidad inmediata con pagos en progresión geométrica (2.68)

Fórmula

( Ds )n =

Nomenclatura

n × (1+ i )n − sn i

PV = P × a∞ + Q ×

Valor presente de una perpetuidad inmediata si P=Q=1 (2.70)

1 1 ( Ia )∞ = + 2 i i

PV

1

1 k 1 i i k

( Ds )n : Valor acumulado de una anualidad inmediata decreciente en el periodo n n: Número de periodos sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n i: Tasa de interés efectiva

PV: Valor presente P: Cantidad (en U.M.) Q: Cantidad (en U.M.) i: Tasa de interés efectiva

P Q PV = + 2 i i

Valor presente de una perpetuidad inmediata con pagos que forman una progresión geométrica (2.69)

Valor presente de la anualidad (2.71)

363

a∞ i

VP: Valor presente P: Cantidad (en U.M.) Q: Cantidad (en U.M.) a∞ : Valor presente de una anualidad inmediata i: Tasa de interés efectiva

( Ia )∞ : Valor presente de una perpetuidad inmediata i: Tasa de interés

n

PV: Valor presente k: Constante i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos

364


Nombre

Fórmula

Valor presente de la anualidad (2.72) Valor presente de la anualidad (2.73) Valor presente de la perpetuidad (2.74)



1 PV

PV

(1 i)2 2 i

PV =

Nomenclatura

1 k 1 i i k 1

PV: Valor presente k: Constante i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos

n

1 i 1 i

n

PV: Valor presente i: Tasa de interés efectiva k: Constante

1 i −k

⎡⎣a − n × v n ⎤⎦ PV = P × an + Q × n d

FV = P × sn + Q ×

PV: Valor presente i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos

⎡⎣sn − n⎤⎦ d

PV: Valor presente P: Monto inicial (en U.M.) an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n d: Tasa de descuento simple FV: Valor acumulado P: Monto inicial (en U.M.) sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n Q: Cantidad en que se incrementa el monto inicial (en U.M.) sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n n: Número de periodos d: Tasa de descuento simple


Nombre

Valor presente de la anualidad de pago inmediato (2.77)

Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato (2.78)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato decreciente (2.79)


Fórmula

( Ia)n =

( Is)n =

an − n × v n d

sn+1 − (n +1) d

365

Nomenclatura ( Ia)n : Valor presente de la anualidad de pago inmediato creciente an : Valor presente de la anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n d: Tasa de descuento simple ( Is)n : Valor acumulado de una anualidad que se paga anualmente por adelantado durante n años, de un monto de 1 U.M. en el n-ésimo periodo sn+1 : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n + 1 n: Número de pagos d: Tasa de descuento simple ( Da)n

( Da)n =

n − an d

( Ds)n = (1+ i )n × ( Da)n

: Valor presente de la anualidad de pago inmediato decreciente n: Número de periodos an : Valor presente de una anualidad inmediata d: Tasa de descuento simple ( Ds)n : Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato decreciente i: Tasa de interés efectiva ( Da)n : Valor presente de una anualidad de pago inmediato decreciente

366


Nombre



Valor presente de la anualidad de pago inmediato (2.83) Valor presente (2.84)


Fórmula

( Ds)n =

PV =

Nomenclatura ( Ds)n : Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato decreciente n: Número de periodos i: Tasa de interés efectiva sn : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo n d: Tasa de descuento simple

n × (1+ i )n − sn d

PV: Valor presente P: Monto inicial (en U.M.) d: Tasa de descuento simple Q: Cantidad en que se incrementa el monto inicial (en U.M.) i: Tasa de interés efectiva

P Q × (1+ i ) + d i2

( Ia)∞ =

1 PV (1 i )

( Ia)∞ : Valor presente de la

1 d2

anualidad de pago inmediato d: Tasa de descuento simple

1 k 1 i i k

1 k 1 1 i PV i k

n

n

PV: Valor presente i: Tasa de interés efectiva k: Constante n: Número de periodos PV: Valor presente k: Número de pagos por periodo n: Número de periodos i: Tasa de interés efectiva


Nombre

Fórmula

an n n − ×v ak k


PV =


FV = (1+ i ) × PV


i × sk

n

PV =

an n n − ×v ak k i × ak

367

Nomenclatura PV: Valor presente an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n k: Constante i: Tasa de interés efectiva sk : Valor acumulado de la anualidad inmediata en el periodo k FV: Valor acumulado i: Tasa de interés PV: Valor presente n: Número de periodos PV: Valor presente an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k n: Número de periodos k: Constante vn: Factor de descuento en el periodo n i: Tasa de interés efectiva

368


Nombre

Valor acumulado en t=n (2.89)

Pago (2.90)

Valor presente de una anualidad inmediata creciente (2.91)

Fórmula

FV (1 i)n

an ak

Nomenclatura

n n v k i ak

k k (1+ j )m −1 i × sm j = × = k × (m) m m j i

) ( Ia )(nm =

an − n × v n i(m)

FV: Valor acumulado i: Tasa de interés efectiva an : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo n ak : Valor presente de una anualidad inmediata en el periodo k vn: Factor de descuento en el periodo n n: Número de periodos k: Constante k: Constante m: Número de periodos sm j : Valor acumulado de una anualidad inmediata en el periodo m a la tasa j j: Tasa de interés efectiva es i(m) igual a j = m i ( m ) : Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo i: Tasa de interés efectiva ( Ia )(nm ) : Valor presente de una anualidad inmediata creciente an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n i ( m ) : Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo


Nombre

Valor acumulado de una anualidad inmediata creciente (2.92)

Valor presente de una anualidad de pago inmediato creciente (2.93)

Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato creciente (2.94)

Fórmula

( Is )(nm ) =

( Ia)(nm ) =

sn − n i(m)

an − n × v n

( Is)(nm ) =

d (m)

sn − n d (m)

369

Nomenclatura ( Is )(nm ) : Valor acumulado de una anualidad inmediata creciente i: Tasa de interés efectiva n: Número de periodos ( Ia )(nm ) : Valor presente de una anualidad inmediata creciente sn : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato en el periodo n ( m ) : Tasa de interés nominal i compuesta m veces por periodo ( Ia)(nm ) : Valor presente de una anualidad que se paga con mora por adelantado durante n años, de un monto de X U.M. en el n-ésimo año an : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n d ( m ) : Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo ( Is)(nm ) : Valor presente de una anualidad de pago inmediato creciente sn : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos d ( m ) : Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo

370


Nombre

Valor presente de una anualidad inmediata que se paga por m-ésima vez creciente por m-ésima vez (2.95)

Valor acumulado de la anualidad inmediata que se paga por m-ésima vez creciente por m-ésima vez (2.96)

Fórmula

( I ( m ) a )(nm ) =

i(m)

( I ( m ) a )(nm ) : Valor presente de la anualidad inmediata que se paga por m-ésima vez creciente por n-ésima vez an( m ) : Valor presente de una anualidad de pago inmediato en el periodo n n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n i ( m ) : Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo

sn( m ) − n i(m)

( I ( m ) s )(nm ) : Valor acumulado de una anualidad inmediata creciente i: Tasa de interés efectiva ( I ( m ) a )(nm ) : Valor presente de una anualidad creciente n: Número de periodos sn( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años i ( m ) : Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo

an( m ) − n × v n

( I ( m ) s )(nm ) =

Nomenclatura


Nombre

Valor presente de la anualidad de pago inmediato que se paga por m-ésima vez creciente por m-ésima vez (2.97)

Valor acumulado de la anualidad de pago inmediato que se paga por m-ésima vez creciente por m-ésima vez (2.98)

Valor presente de una anualidad variable continua (2.99)

Fórmula

( I ( m ) a)(nm ) =

( I s ) (m)

PV =

∫

n 0

(m) n

Nomenclatura

an( m ) − n × v n d (m)

=

f (t ) × e

( I ( m ) a)(nm ) : Valor presente de la anualidad de pago inmediato an( m ) : Valor presente de la anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la anual, m veces al año, durante n años d ( m ) : Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo n: Número de periodos vn: Factor de descuento en el periodo n

d (m)

( I ( m )s )(nm ) : Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato sn( m ) : Valor acumulado de una anualidad que se paga al inicio de cada periodo con una frecuencia mayor a la nidad, m veces al año, durante n años d ( m ) : Tasa de descuento nominal compuesta m veces por periodo n: Número de periodos

∫0

PV: Valor presente δr: Fuerza de interés variable t: Tiempo f (t): Tasa

sn( m ) − n

−

371

t

δr × dr

× dt

CAPÍTULO

3

Tasa de retorno de una inversión

Contenido 3.1. INTRODUCCIÓN 3.2. EL FLUJO DE EFECTIVO DESCONTADO 3.2.1. Problemas propuestos 3.3. UNICIDAD DE LA TASA INTERNA DE RETORNO 3.3.1. Teorema sobre la tasa interna de retorno única 3.3.2. Prueba del teorema sobre la tasa interna de retorno única 3.3.3. Teorema de la unicidad 3.3.4. Problemas propuestos

3.4. INTERÉS REINVERTIDO A UNA TASA DIFERENTE 3.4.1. Problemas propuestos 3.5. CÁLCULO DE INTERESES DE UN FONDO DE INVERSIÓN: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR UNIDAD MONETARIA 3.5.1. Problemas propuestos 3.6. MEDICIÓN DE INTERESES DE UN FONDO: TASA DE INTERÉS PONDERADA POR TIEMPO 3.6.1. Problemas propuestos 3.7. ASIGNACIÓN DE LOS INGRESOS DE INVERSIÓN: LOS MÉTODOS DE CARTERA Y DE INVERSIÓN 3.7.1. El método de cartera 3.7.2. El método de inversión por año (IYM) 3.7.3. Problemas propuestos 3.8. TASAS DE RETORNO EN EL PRESUPUESTO DE CAPITAL 3.8.1. Problemas propuestos 3.9. OTROS CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL 3.9.1. Periodo de recuperación de la inversión 3.9.2. Periodo de recuperación descontado 3.9.3. Índice de rendimiento 3.9.4. Relación beneficio-costo 3.9.5. Método del valor anual equivalente 3.9.6. Tasa interna de retorno modificada 3.9.7. Proyectos mixtos 3.9.8. Problemas propuestos 3.10. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA 3.10.1. Nomenclatura

3.1 Introducción

3.1

Introducción

En ocasiones utilizar la teoría del interés difiere de la realidad en que se vive. En este capítulo se presenta cómo se emplea la tasa de interés. Se comienza por introducir el concepto de yield rate o tasa de retorno. El yield rate es la tasa de retorno de una inversión. Son los intereses o dividendos recibidos de una obligación que por lo general se expresan de manera anualizada como un porcentaje sobre el costo de la inversión, de su valor de mercado actual o su valor nominal. La tasa interna de retorno (TIR) (en inglés, internal rate of return o IRR) es la tasa de rendimiento que mide la rentabilidad económica de un proyecto. También se conoce como tasa de retorno económica, y se calcula al igualar el valor presente de todos los aportes que constituyen la inversión con todos los flujos de efectivo recibidos por esta. Es decir, es la tasa de retorno que se obtiene cuando el valor presente neto (VPN) es cero. VPN(iIRR ) = 0

(3.1)

donde VPN Valor presente neto iIRR Tasa interna de retorno (TIR) Como se infiere de la ecuación (3.1), la tasa interna de retorno (TIR) es la tasa de descuento que iguala a cero el valor presente neto de todos los flujos de efectivo (o de caja) de un proyecto. Mientras más alta sea la TIR de un proyecto, más deseable será emprenderlo. Con esta tasa también es posible elaborar un ranking de los proyectos en cartera en la empresa. Sus posibles usos son los siguientes: Para elegir alternativas entre proyectos. Un proyecto con una TIR más alta que otras opciones disponibles tendrá una mayor probabilidad de rendimiento. Para comparar rendimientos alternativos. La tasa de retorno también puede compararse con la tasa de rendimiento de los mercados financieros (de obligaciones) a los que en inglés se conoce como securities markets. Si una empresa no tiene proyectos que generen rendimientos mayores a los de los securities markets, elegirá invertir sus utilidades retenidas en estos. Como índices para ver qué tan favorable es o no una transacción particular, cuando son bajas, las tasas favorecen al prestatario y, cuando son altas, al prestamista. El efecto de los impuestos no se considera para proponer este enunciado.

375

376

Cap. 3


3.2

El flujo de efectivo descontado

Siempre que se proyecta una inversión se tiene que preguntar acerca de los flujos esperados y de la rentabilidad del proyecto. En específico, se enfocará la atención en el VPN que se obtendrá como resultado de los flujos de efectivo que genere el proyecto. Un proyecto puede considerarse una serie de anualidades con algún patrón de pago y/o retiro. En el capítulo anterior se desarrollaron las anualidades que se definieron como series de pago regulares. Esto significa que se refieren a la manera de calcular el valor presente, objetivo para el cual se aplica la técnica del flujo de efectivo descontado (discounted cash flow, DCF). Se analizan dos formas del DCF: el VPN y la TIR. Para esto se consida un proyecto de inversión donde: a)

Sus contribuciones (salidas) son: C0 ; C1 ; C2 ;...; Cn en los momentos t 0 < t1 < t 2 < t 3 < ... < t n .

b) Sus retornos son R0 ; R1 ; R2 ;...; Rn al mismo tiempo. Si se simboliza como c t = Rt − Ct , es decir, el cambio neto (o flujo de efectivo neto) en el tiempo t, puede ser positivo o negativo, se puede analizar la situación desde el punto de vista del prestamista y del prestatario. Desde el punto de vista del prestamista: Si c t > 0 , existe un depósito de efectivo neto de la inversión en el tiempo t. Si c t < 0 existe un retiro de efectivo neto de la inversión en el tiempo t. Por ejemplo, si Michael deposita 1.000 U.M. en el tiempo 1 y, al mismo tiempo retira 2.000 U.M., luego c1 = 1.000 − 2.000 = −1.000 . En consecuencia, se produce un retiro de efectivo neto de 1.000 U.M. en el tiempo 1. Desde el punto de vista del prestatario: En este caso, los signos de la posición anterior cambian. Es decir, se produce una entrada de efectivo neta de 1.000 U.M. El siguiente ejemplo demuestra estas definiciones.

Ejemplo 3.1 Con el propósito de desarrollar un nuevo producto y colocarlo en el mercado, una empresa: Por el lado de las aportaciones: a)

Debe invertir 80.000 U.M. al inicio del año y 10.000 U.M. en cada uno de los siguientes tres años.

3.2 El flujo de efectivo descontado

b) El producto estará disponible para su venta en el cuarto año. Para que ello sea posible deberá hacer una contribución de 20.000 U.M. en el cuarto año. c)

La empresa incurrirá en gastos de mantenimiento de 2.000 U.M. en cada uno de los próximos 5 años.

Por el lado de las entradas: a)

Se espera que el proyecto proporcione un retorno de inversión, al final de cada periodo, de 12.000 U.M. en el cuarto año, 30.000 U.M. en el quinto, 40.000 U.M. en el sexto, 35.000 U.M. en el séptimo, 25.000 U.M. en el octavo, 15.000 U.M. en el noveno y 8.000 U.M. en el décimo. Después de diez años, el producto será retirado del mercado.

Elabore un cuadro para describir los flujos de efectivo de este proyecto.

Solución a)

Se elabora una tabla donde se aprecien los flujos de efectivo del proyecto. Año

Retorno (R Rt)

Contribuciones (Ct)

Diferencial (ct)

0

0

80.000

−80.000

1

0

10.000

−10.000

2

0

10.000

−10.000

3

0

10.000

−10.000

4

12.000

20.000

−8.000

5

30.000

2.000

28.000

6

40.000

2.000

38.000

7

35.000

2.000

33.000

8

25.000

2.000

23.000

9

15.000

2.000

13.000

10

8.000

0

8.000

b) Ahora se supone que la tasa de interés por periodo es i, a la cual, en ocasiones, se le llama retorno requerido de la inversión o costo del capital. Se utiliza la técnica de flujo de efectivo descontado, por lo que el valor presente neto a una tasa i de la inversión estará definido por: n

VPN(i ) = ∑ v ti × c ti , donde v i = (1+ i )− i t =0

(3.2)

377

378

Cap. 3


donde VPN v ti i ct n

Valor presente neto Factor de descuento Tasa de interés Diferencial entre retorno y contribución en el periodo t Número de periodos

Desde esta perspectiva, el valor presente neto de una serie de flujos de efectivo es el valor presente de los ingresos de efectivo menos el valor presente de las salidas de efectivo. Expresado de otra manera, el VPN es la suma de los valores presentes de los flujos de efectivo netos en n periodos. El valor del VPN(i) puede ser positivo, negativo o cero, lo cual depende de la magnitud del valor de i.

Ejemplo 3.2 Encuentre el valor presente neto de la inversión que se estudió en el ejemplo anterior.

Solución a)

El valor presente neto es:

(0 − 10.000) (0 − 10.000) (0 − 10.000) (12.000 − 20.000) (30.000 − 2.000) + + + + (1+ i ) (1+ i )2 (1+ i )3 (1+ i )4 (1+ i )5 (40.000 − 2.000) (35.000 − 2.000) (25.000 − 2.000) (15.000 − 2.000) (8.000 − 0) + + + + + (1+ i )6 (1+ i )7 (1+ i )8 (1+ i )9 (1+ i )10

VPN(i ) = ( 0 − 80.000 ) +

Como se puede apreciar, se han obtenido tres resultados distintos que hacen que el valor presente neto varíe respecto a cada uno de los resultados que se encontraron. VPN(0,03) = 1.488,70 > 0 VPN(0,032179786) = 0 VPN(0,04) = −5.122,13 < 0 La tasa a la cual VPN(0,032179786) = 0 se le conoce también como tasa interna de retorno (TIR), que es la tasa que hace que la inversión alcance el equilibrio. Con base en la ecuación VPN(i ) = 0 , desde la perspectiva del prestatario la tasa interna de retorno es igual a la del prestamista que, como se observa, son determinadas por los flujos de efectivo de la transacción. Las tasas de retorno se utilizan para medir cuán conveniente es realizar cierta actividad. De este modo, a un prestamista (el que otorga un préstamo), le conviene financiar una actividad si la tasa de retorno de ésta es más alta; por su parte, para el prestatario, una tasa de retorno más baja le favorace una transacción. En buenas


cuentas, el prestamista aprecia esta tasa como un beneficio, y el prestatario como un costo. Todos los proyectos con valor neto presente positivo son aceptables sobre la base de criterios estrictamente financieros, en tanto los que tienen un valor presente neto negativo deben ser rechazados. Cuando tienen un valor presente neto igual a cero, la inversión no ganará ni perderá valor, sólo se recuperará la tasa de interés que se utilizó para el descuento de los flujos. Esto hace que sea indiferente la decisión de aceptar o rechazar un proyecto.

Ejemplo 3.3 Determine el valor presente neto del proyecto de inversión con el siguiente flujo de efectivo, a un costo de capital de 5%. Represente gráficamente los flujos del proyecto. Tiempo Flujo (U.M.)

0

1

2

3

4

5

−500

30

30

30

30

530

Solución a)

La representación gráfica de los flujos del proyecto de inversión se muestra en la figura 3.1. Figura 3.1. Flujos de fondos del proyecto

Flujo de fondos (U.M.) 530

600 400 200 0 –200

0

30

30

30

30

1

2

3

4

5

–400 –600 –500 Tiempo b) Se reemplazan los valores: VPN(0,05) = −500 + VPN(0,05) = 21,65

30 30 30 30 530 + + + + (1+ 0,05)1 (1+ 0,05)2 (1+ 0,05)3 (1+ 0,05)4 (1+ 0,05)5

379

380

Cap. 3


Ejemplo 3.4 Se supone que el flujo de efectivo de la construcción y venta de un edificio de oficinas es el siguiente: Año

0

1

2

Flujo (U.M.)

−150

−100

300

Se conoce que el costo de capital es de 3%. Calcule el valor presente neto.

Solución a)

Se determina la expresión que se utilizará, que es la ecuación (3.2).

b) Se reemplazan los valores en dicha ecuación: VPN(0,03) = −150 −

100 300 + 1 (1+ 0,03) (1+ 0,03)2

VPN(0,03) = 35,69 U.M. Para determinar la tasa interna de retorno se puede requerir utilizar varios métodos de aproximación, ya que las ecuaciones que deben resolverse pueden ser polinomios de alto grado.1

Ejemplo 3.5 Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo en U.M.: Año

1

Retornos

Contribuciones

0

0

200

1

0

400

2

120

20

3

160

20

4

200

20

5

240

10

7

120

0

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.


a)

Calcule el valor presente neto a una tasa de 10%.

b) Calcule la tasa interna de retorno de esta inversión.

Solución Para calcular el valor presente neto: a)


b) Se reemplazan los valores: VPN(10%) = −200 −

400 100 140 180 230 120 + + + + + 1 2 3 4 5 (1+ 0,10) (1+ 0,10) (1+ 0,10) (1+ 0,10) (1+ 0,10) (1+ 0,10)6 VPN(10%) = −42,32

Para calcular la tasa interna de retorno: a)


b) Se aplica la fórmula: −200 −

400 100 140 180 230 120 + + + + + =0 1 2 3 4 5 (1+ i ) (1+ i ) (1+ i ) (1+ i ) (1+ i ) (1+ i )6 i = 7,49%

La tasa de retorno no tiene que ser única, como se demuestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.6 A cambio de recibir 230 U.M. al terminar un año, un inversionista paga hoy 100 U.M. y 132 U.M. dentro de dos años. Calcule la tasa interna de retorno.

Solución a)

Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación siguiente: VPN(i ) =

230 132 − 100 − =0 (1+ i ) (1+ i )2

b) Se despeja el valor de la TIR, dada por la tasa i. Se aplica el siguiente artificio: X =

1 1+ i

381

382

Cap. 3


Esta expresión se reemplaza en la ecuación del inciso a): 230 × X −100 −132 × X 2 = 0 Se reacomodan los términos: −132 × X 2 + 230 × X −100 = 0 Se multiplica por −1 y se divide entre 100: 1,32 × X 2 − 2,3 × X +1 = 0 Se aplica la solución de una ecuación cuadrática con una incógnita: 2,3 ± 2,32 − 4 × (1,32) × (1) X1,2 = 2 × (1,32) X1 = 0,909090 X2 = 0,833333 i1 = 0,10

i2 = 0,20

Ejemplo 3.7 Una institución financiera presta hoy a Genevieve 5.000 U.M. Ella se compromete a devolver el préstamo en partes: desembolsará 600 U.M. al final de cada trimestre por un periodo de tres años. Calcule la tasa de retorno efectiva anual.

Solución a)

Se identifica la ecuación que se utilizará. 5.000 =

600 600 + ... + 1 (1+ i ) (1+ i )12

b) Se emplea el comando de Excel = TIR(valores;estimar) y se obtiene: TIR = 6,11% Se debe tener presente que las tasas de retorno no tienen por qué ser positivas. Así, por ejemplo, si una tasa de retorno es igual a cero, ello significa que la inversión no genera ningún retorno; si la tasa es negativa, el inversor perdería dinero. Se asume que la tasa de retorno negativa cumple con la siguiente expresión: −1 < i < 0 Una tasa de retorno i < −1 implica una pérdida total de la inversión.


Ejemplo 3.8 Calcule las tasas de retorno del ejemplo 3.1.

Solución a)

Se determinan los datos y el comando de Excel que se usarán. Dicho comando es = TIR(valores;estimar), donde los valores son los datos que contiene la columna de datos diferencial, mientras que estimar se refiere a una tasa cualquiera para que el programa inicie los cálculos.

b) Se aplica el comando a los datos identificados, y se obtiene: i ≅ 3,22%

3.2.1 Problemas propuestos 1. Calcule el valor presente neto de un proyecto que requiere de una inversión de 50.000 U.M. y genera ingresos de efectivo de 10.000 U.M. al final de los años 3 a 7. La tasa de interés nominal convertible trimestralmente es de 12%. Respuesta: −21.928 U.M. 2. La tasa interna de retorno de una inversión con retornos de 5.000 U.M. en el tiempo 1 y de 6.000 U.M. en el tiempo 2 y con contribuciones de 5.000 U.M. en el tiempo 0 y 3.000 U.M. en el tiempo 1 se puede representar como 1 / n. Calcule el valor de n. Respuesta: 3,2. 3. Jean Paul llega a un acuerdo para contribuir 5.000 U.M. ahora y 2.000 U.M. al término de 2 años a cambio de recibir 3.500 U.M. al final de un año y 4.500 U.M. al término de 3 años. Calcule el valor presente neto a una tasa de interés de 5%. Respuesta: 406,54 U.M. 4. Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo. Calcule: Año

Retornos

Contribuciones

0

200.000

0

1

10.000

0

2

8.000

20.000

383

384

Cap. 3


a)

3

4.000

20.000

4

0

40.000

5

0

80.000

6

0

120.000

7

0

160.000

El valor presente neto a una tasa de 10%.

b) La tasa interna de retorno de esta inversión. Respuesta: a) −39.683,90 U.M. y b) 13,51%. 5. Usted es el director de la Fábrica XYZ y desea construir una nueva fábrica, la cual requerirá inmediatamente una inversión de 100.000 U.M., además de una inversión adicional de 15.000 U.M. al inicio del segundo año para iniciar la producción. Finalmente, los costos por mantenimiento de la fábrica serán de 5.000 U.M. por año desde el inicio del tercero al sexto años. Se espera que la fábrica genere ganancias de 10.000 U.M. para finales del primer año, 15.000 U.M. al final del segundo, 20.000 U.M. a finales del tercero, y 30.000 U.M. a finales del cuarto al sexto años. Calcule la tasa interna de retorno de la futura fábrica. Respuesta: 0% 6. Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo: Año

Retornos

Contribuciones

0

0

200.000

1

20.000

0

2

40.000

0

3

60.000

0

4

40.000

0

5

20.000

0

Calcule la tasa interna de retorno de esta inversión. Respuesta: −3,425%.

3.3 Unicidad de la tasa interna de retorno

7. ¿Cuál es la tasa interna de retorno de un proyecto que requiere una inversión de 2.000.000 U.M., y 100.000 U.M. en retornos al final de cada año durante un periodo de 15 años? Respuesta: −3,40%. 8. ¿Cuál es el valor presente neto de un proyecto que requiere una inversión de 10.000 U.M. ahora, y 1.000 × (9 − t) en retornos al tiempo t = 1, 2,…, 8? Suponga una tasa de descuento efectiva de 4%. Respuesta: 21.681,38 U.M. 9. Calcule la tasa interna de retorno de un proyecto que requiere hoy una inversión de 5.000 U.M. y que retornará 2.000 U.M. en tres años y 8.000 U.M. en cinco años. Respuesta: 16,46%. 10. Un proyecto tiene los siguientes ingresos y egresos en U.M.: Egresos: 12.000 U.M. en t = 0; 6.000 U.M. en t = 3; 9.000 U.M. en t = 6 y 12.000 U.M. en t = 9. Ingresos: 3.000 U.M. desde t = 2 hasta t = 14 más 12.000 U.M. en t = 15. Si su tasa interna de retorno deseada era de 8%, ¿aceptaría este proyecto? Respuesta: No.

3.3

Unicidad de la tasa interna de retorno

Una tasa interna de retorno puede no ser única. En esta parte se revisan las condiciones bajo las cuales la ecuación (3.1) tiene sólo una solución. Para facilitar el análisis se supone que el tiempo está igualmente espaciado, de modo que VPN(i ) = 0 , lo que significa que la función del valor presente neto es un polinomio de grado n en v. Según el teorema fundamental del álgebra,2 VPN(i ) = 0 tiene n raíces, entre ellas raíces repetidas y complejas.

2

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.

385

386

Cap. 3


Ejemplo 3.9 Considere una inversión con el siguiente flujo de efectivo en U.M.: Tiempo

0

1

2

Contribuciones

0

0,7

2,00

Retornos

1

3,0

3,36

Flujo de efectivo

1

2,3

−1,36

Calcule la tasa interna de retorno.

Solución a)

Se plantea la ecuación con la que se trabajará: VPN = 1+

−1,36 2,3 + =0 1 (1+ i ) (1+ i )2

b) Se calcula la tasa, para lo cual se realiza el siguiente artificio: 1 =X (1+ i ) Luego se reemplaza en la ecuación del inciso a) y se obtiene: −1,36 × X 2 + 2,3 × X +1 = 0 X 2 −1,6912 × X − 0,7353 = 0 Se aplica la solución de una ecuación cuadrática y se obtiene: − (−1,69) ± 2,41 2 ×1 X1 = 2,05 X1,2 =

X2 = −0,36 Se reemplazan X1 y X2 en

1 = X , y resulta: (1+ i )

i1 = 0,51% e i2 = −3,78%


Ejemplo 3.10 Considere una inversión de la cual se proporcionan los siguientes datos: C0 =1; C1 = 0; C2 =1,32; R0 = 2,3; R1 = 0; R2 = 0 Calcule la tasa interna de retorno.

Solución a)

Se determina el flujo de efectivo que se calculará: Tiempo

0

1

2

Contribuciones

1

0,0

1,32

Retornos

0

2,3

0,00

−1

2,3

−1,32

VPN = −1+

2,3 −1,32 + =0 (1+ i ) (1+ i )2

Flujo de efectivo b) Se calcula la tasa:

Si se resuelve esta ecuación con la fórmula cuadrática, i1 = 20% o i2 = 10%, se obtendrán dos tasas internas de retorno.

Ejemplo 3.11 Considere una inversión de la cual se proporcionan los siguientes datos: C0 =1; C1 = 0; C2 =1,2825; R0 = 0; R1 = 2,3; R2 = 0 Calcule la tasa interna de retorno.

Solución a)

El flujo de efectivo es el siguiente: Tiempo

0

1

2

Contribución

1

0,0

1,2825

Retorno

0

2,3

0,0000

−1

2,3

−1,2825

Flujo de efectivo

387

388

Cap. 3


b) La ecuación de valor es: VPN = −1+

2,3 −1,2825 + =0 (1+ i ) (1+ i )2

Se aplica el siguiente artificio: 1 =X 1+ i Se reemplaza: 1 2,3 X 1,2825 X 2 0 X 2 1,7934 X 0,7797 0 X1,2 X1,2 X1

(1,7934)2 4 (1) w (0,7797) 2 (1) 1,7934 0,3119 2 1,0526 ( 1,7934)

Luego se reemplaza: 1 =1,0526 1+ i i = −0,05 y X2 = 0,7407 Después se reemplaza X2 y se obtiene: i = 0,35 Se formulan las condiciones de ct que garantizan una tasa de retorno única i > −1 . Un primer conjunto de condiciones se presenta en el siguiente teorema.

3.3.1 Teorema sobre la tasa interna de retorno única Sea k un entero tal que 0 < k < n . Se supone que: a)

c t ≤ 0 para 0 ≤ t ≤ k y c t ≥ 0 para k +1 ≤ t ≤ n , o

b)

c t ≥ 0 para 0 ≤ t ≤ k y c t ≤ 0 para k +1 ≤ t ≤ n

Luego, hay una tasa de interés única i > −1 tal que VPN(i ) = 0 .


Este teorema establece que una tasa interna de retorno única se da, debido a una operación en la cual los pagos netos son todos de un solo signo en la primera parte de ella y luego tienen el signo opuesto durante el resto de la operación. Para probar el teorema, se requiere el concepto de la Regla de Descartes3 sobre los signos, la cual es una técnica para determinar el número de raíces negativas y positivas de un polinomio. Si los términos de un polinomio con una sola variable, coeficientes reales y un término constante distinto de cero son ordenados con base en el exponente de la variable en forma descendente, el número de raíces positivas de un polinomio f ( x ) puede ser igual al número de cambios de signo entre los coeficientes diferentes de cero adyacentes, o menor que él por un múltiplo de 2. El número de raíces negativas de un polinomio f ( x ) es igual al número de raíces positivas de f (− x ) , por lo que es el número de cambios de signo de f (− x ) o el número disminuido por un entero par. Las raíces complejas vienen siempre en pares, circunstancia que se debe a que el número de raíces positivas o negativas debe disminuir por dos.

Ejemplo 3.12 Utilice la Regla de Descartes sobre las raíces para calcular el número positivo de raíces positivas y negativas del polinomio f ( x ) = x 2 + x +1 .

Solución El polinomio f ( x ) no ha cambiado de signo entre coeficientes adyacentes. Por ello, f ( x ) no tiene raíces positivas. El polinomio f (− x ) = x 2 − x +1 tiene dos cambios de signo entre coeficientes, por lo que, f ( x ) tiene dos raíces negativas o cero raíces negativas. En consecuencia, las dos posibilidades son dos raíces negativas o dos raíces complejas.

Ejemplo 3.13 Utilice la Regla de Descartes sobre los signos para encontrar el número posible de raíces positivas y negativas del polinomio f ( x ) = x 3 + x 2 − x −1 .

3

Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación.

389

390

Cap. 3


Solución El polinomio f ( x ) tiene un cambio de signo entre el segundo y el tercer término. Por consiguiente, tiene como máximo una raíz positiva. Por otro lado, f (−x ) = −x 3 + x 2 + x −1 tiene dos cambios de signo, por lo que f ( x ) tiene dos o cero raíces negativas. Puesto que las raíces complejas se producen en forma conjugada, las dos posibilidades son una raíz positiva o dos raíces negativas y dos complejas. Así, f ( x ) tiene sólo una raíz positiva.

3.3.2 Prueba del teorema sobre la tasa interna de retorno única Con base en los incisos a) o b) del punto 3.3.1, los coeficientes de VPN(i ) cambian de signo una vez. Por tanto, con base en la Regla de Descartes sobre los signos, deberá haber por lo menos una raíz real positiva. Si esa raíz existe, entonces v > 0 implica i > −1. Para tales valores de i se define la función: k

f (i ) = (1+ i )k × VPN(i ) = ∑ c t × (1+ i )k − t + t =0

n

∑c

t

× (1+ i )k − t

t = k +1

Se toma la primera derivada y se encuentra que: k −1

n

t =0

t =k+1

f '(i ) = ∑ c t × (k − t ) × (1+ i )k−t −1 + ∑ c t × (k − t ) × (1+ i )k−t −1 Si la condición a) es satisfecha, entonces se cumple que c t × (k − t ) ≤ 0 para 0 ≤ t ≤ n . Por tanto, f '(i ) ≤ 0 y la función f (i ) es decreciente. Si la condición b) es satisfecha, entonces se cumple que f '(i ) ≥ 0 y f (i ) es creciente. En el caso a), la función f (i ) es decreciente. Además, como i → 1+ la primera suma en f (i ) se aproxima a c k , mientras la segunda suma se aproxima a infinito. En consecuencia, lími →−1+ f (i ) = ∞ . De manera similar, si i se aproxima a +∞ , la primera suma en f (i ) se aproxima a − ∞ , donde la segunda suma se aproxima a 0. Por tanto, lími →∞ f (i ) = −∞ . Puesto que f es decreciente, hay una única i > −1 tal que VPN(i ) = 0 . Un argumento similar se mantiene para el caso b).

Ejemplo 3.14 Un proyecto requiere una inversión inicial de 10.000 U.M. y producirá flujos de efectivo netos de 10.000 U.M. dentro de un año y de 2.000 U.M. dentro de dos años. Demuestre que hay una tasa interna de retorno única.


Solución El valor presente neto es VPN(i ) = 10.000 + 10.000 × v + 2.000 × v 2 . El resultado surge del teorema de la tasa interna de retorno única (i ) con k =1 . El siguiente teorema establece la unicidad de las tasas de retorno bajo un amplio conjunto de condiciones que fueron expuestas en el teorema anterior.

3.3.3 Teorema de la unicidad Al respecto, si se hace que i > −1 sea una solución para VPN(i ) = 0 . Se supone que: B0 = c 0 > 0 B1 = c 0 × (1+ i ) + c1 > 0 B2 = c 0 × (1+ i )2 + c1 × (1+ i ) + c 2 > 0 … Bn−1 = c 0 × (1+ i )n−1 + c1 × (1+ i )n−2 + ... + c n−1 > 0 Luego, a)

Bn = c 0 × (1+ i )n + c1 × (1+ i )n−1 + ... + c n = 0

b) La tasa de interés i es única. Prueba a)

n

Dado que

∑c × v t

t

= 0 , éste es un polinomio de grado n en v y puede escri-

t =0

birse como un polinomio de grado n en i si se multiplican ambas partes por (1 + i)n para obtener: c 0 × (1+ i )n + c1 × (1+ i )n−1 + ... + c n = 0 Por tanto, queda demostrada la asunción de i. b) Se supone que j satisface VPN( j ) = 0 y j > i. Entonces, B'0 = c 0 = B0 > 0 B'1 = B'0 × (1+ j ) + c1 = c 0 × (1+ j ) + c1 > B1 > 0 B'2 = B'1× (1+ j ) + c 2 = c 0 × (1+ j )2 + c1 × (1+ j ) + c 2 > B2 > 0 … B'n−1 = c 0 × (1+ j )n−1 + c1 × (1+ j )n−2 + ... + c n−1 > Bn−1 > 0 B'n = B'n−1× (1+ j ) + c n = c 0 × (1+ j )n + c1 × (1+ j )n−1 + ... + c n > Bn = 0

391

392

Cap. 3


La última desigualdad demuestra que j no es una tasa de retorno, sino una contradicción. Un argumento similar se sostiene en el caso de −1 < j <1. Por tanto, se concluye que j = i .

Comentario Advierta que Bt es el saldo pendiente en el tiempo t. Con base en el teorema anterior, si el saldo pendiente es positivo durante el periodo de inversión, la tasa de retorno será única. Además, note que co > 0 y c n = − Bn−1 × (1+ i ) < 0 , pero que c t para t =1, 2,..., n −1 puede ser positivo, negativo o cero.

Ejemplo 3.15 Demuestre que no se puede garantizar la unicidad de la tasa de retorno si c 0 y c1 tienen el mismo signo.

Solución La conclusión de la unicidad depende de que el saldo pendiente sea positivo en todo momento durante la inversión. Si c 0 > 0 y c n > 0 , entonces el saldo pendiente debe ser negativo anterior a t = n. El saldo negativo pendiente no implica ninguna garantía de unicidad. De igual manera, si c 0 < 0 y c n < 0 , el saldo pendiente al inicio de la inversión es negativo, lo que no garantiza la unicidad de la tasa de retorno. La discusión de esta sección se basa en la existencia de las tasas de retorno. Sin embargo, es posible que no exista ninguna tasa de retorno o que todas sean imaginarias (al respecto, vea el ejemplo 3.9).

Ejemplo 3.16 Un inversionista presta 1.000 U.M. al 8% de tasa efectiva anual e inmediatamente invierte los 1.000 U.M. al 12% de tasa efectiva por el mismo periodo. Calcule la tasa de retorno del inversionista en esta transacción.

Solución La ganancia al final del año es de 40 U.M., pero no hay tasa de retorno, ya que la inversión neta es cero.


3.3.4 Problemas propuestos 1. Utilice la Regla de Descartes sobre los signos para determinar el máximo número de raíces que contiene el polinomio: f (x ) = x5 − x 4 + 3× x 3 + 9 × x 2 − x + 5 Respuesta: 5 2. ¿Cuál es la tasa interna de retorno en una transacción en la cual un inversionista realiza hoy pagos de 100 U.M. y de 101 U.M. dentro de dos años, a cambio de pagos de 200 U.M. que se realizarán al final del primer año? Respuesta: tasa imaginaria. 3. Un inversionista acepta un acuerdo para contribuir con 7.000 U.M. ahora y 1.000 U.M. dentro de dos años a cambio de recibir 4.000 U.M. a finales del primer año y 5.500 U.M. al final del tercer año. ¿Cuál es el número máximo de posibles tasas internas de retorno utilizando la regla sobre signos de Descartes? Respuesta: tres. 4. Determine la tasa interna de retorno de una inversión de 100 U.M. y que pagará 150 U.M. en cuatro años. Respuesta: 10,67%. 5. Un proyecto requiere una inversión inicial de 50.000 U.M. y generará flujos de efectivo netos de 15.000 U.M. a finales del primer año, 40.000 U.M. a finales del segundo, y de 10.000 U.M. a finales del tercero. Demuestre que la tasa interna de retorno existe y que es única. Respuesta: a partir del teorema del punto 3.1.1 con k = 1. 6. Se supone que se harán pagos de 10 U.M. ahora y de 10,92 U.M. dentro de dos años a cambio de 20,90 U.M. dentro de un año. Determine la tasa interna de retorno. Respuesta: la TIR es imaginaria. 7. ¿Cuál es la tasa interna de retorno (en términos de tasa de interés efectiva anual) en un proyecto que requiere hoy una inversión de 500 U.M., que generará retornos de 250 U.M. dentro de un año y de 400 U.M. dentro de dos años? Respuesta: 17,87%.

393

394

Cap. 3


8. Suponga que un proyecto requiere que usted invierta 5.000 U.M. ahora y 10.000 U.M. dentro de un año. El proyecto devuelve 14.500 U.M. dentro de seis meses. Calcule todas las tasas internas de retorno y expréselas como tasas efectivas anuales. Respuesta: 12,98% y 77,02%.

Interés reinvertido a una tasa diferente

3.4

Ahora se consideran las transacciones que se caracterizan porque el interés puede reinvertirse a una tasa que puede o no ser igual a la tasa de inversión original. Se analizan dos situaciones donde las tasas de reinversión se toman en cuenta. Primero se considera una inversión de 1 U.M. por n periodos a la tasa i, donde el interés se reinvierte a la tasa j. El diagrama de tiempo se muestra en la figura 3.2. Figura 3.2. Diagrama de tiempo

1

0

1

2

3

...

n−1

n

i

i

i

...

i

i

El valor acumulado al final de n periodos es igual al capital más el valor acumulado de las anualidades inmediatas con pagos periódicos de i al final de cada periodo y la tasa periódica j. Eso es, VA =1+ i × s n j

(3.3)

donde VA Valor acumulado i Tasa de interés s n j Valor acumulado de una anualidad inmediata Se advierte que en el caso que i = j, la fórmula disminuye a la fórmula familiar VA = (1+ i )n . Eso significa que, en el caso del interés compuesto, la tasa de reinversión es igual a la tasa original.

3.4 Interés reinvertido a una tasa diferente

Ejemplo 3.17 Se invierten hoy 100 U.M. en un fondo A, el cual pagará intereses de 10% anual. Cuando se pague el interés del fondo A, será inmediatamente cobrado e invertido en un fondo B que pagará 8%. Calcule la suma de los montos de ambos fondos luego de 10 años.

Solución Al final de 10 años, el fondo A tendrá el capital inicial de 100 U.M. El fondo B tendrá el valor acumulado de los pagos de intereses a una tasa de 8%. VA 100 (1i s n j ) 100 1 0,10

(1 0,08)10 1 100 2,4487 0,08

Por tanto, el monto total de dinero en ambos fondos es de 244,87 U.M.

Ejemplo 3.18 Isabella deposita 5.000 U.M. en una inversión de 5 años que paga intereses de 8% compuesto bimestralmente. Cuando recibe cada pago de intereses, lo reinvierte en una cuenta que gana 6% compuesto bimestralmente. Determine la tasa de retorno que ganará Isabella en un periodo de cinco años, como tasa de interés nominal compuesta bimestral.

Solución a)

La ecuación de valor luego de 20 bimestres es: i (4) 5.000 1 4

20

5.000 5.000 (0,08) s20 0,015

Al resolver esta ecuación se encuentra que: i (4) 4 1 0,08 s20 0,015

1 20

1 7,68%

Después, considere una inversión de 1 al final de cada periodo por n periodos a una tasa i, donde el interés se reinvierte a una tasa j. El diagrama de tiempo de este caso se muestra en la figura 3.2.

395

396

Cap. 3

Tasa de retorno de una inversión Figura 3.3. Diagrama de tiempo

0

1

1

1

1

1

1

2

3

...

n−1

n

i

2×i

...

(n − 2) × i

(n − 1) × i

El valor acumulado al final de n periodos es la suma de los pagos anuales y del valor acumulado del interés. VA n i (Is)n 1 j n i

sn j n j

(3.4)

donde VA Valor acumulado n Número de periodos i Tasa de interés s Valor acumulado de una anualidad inmediata nj

Se advierte que esta fórmula simplifica los resultados de VA = sn cuando j = i .

Ejemplo 3.19 Una serie de pagos de 1.000 U.M. se invierte al final de cada año durante un periodo de diez años. Los pagos ganan un interés de 7% efectivo y el interés se reinvierte al 5% efectivo. Calcule: a)

El monto en el fondo al final de 10 años.

b) El precio de compra que un inversionista (comprador) debe pagar por una tasa de retorno (al vendedor) de 8% efectiva anual.

Solución a)

El monto en el fondo al término de 10 años es:

1.000

10 0,07

s10 0,05 10 0,05

1.000 10 0,07

12,5779 10 0,05

b) El precio de compra es de 13.609,06 × (1,08)−10 = 6.303,63

13.609,06


Ejemplo 3.20 Vanessa invierte 100 U.M. al final de cada año durante 12 años a una tasa de interés efectiva anual de i%. Los intereses ganados se reinvierten a una tasa efectiva anual de 5%. El valor acumulado al final de los 12 años es de 1.748,40 U.M. Calcule i.

Solución La ecuación de valor al tiempo t = 12 es: s12 0,05 12

1.748,40 1.200 100 i

0,05

Al resolver esta ecuación para i, se encuentra que: i

@1.748,40 1.200B (0,05) 7% 100

s12 0,05 12

Si los pagos de 1 U.M. se realizan al inicio de cada periodo (en vez de al final), el valor acumulado al final de n periodos es: VA n i (Is)n j n i donde VA n i sn+1 j

sn 1 j (n 1) j

(3.5)

Valor acumulado Número de periodos Tasa de interés Valor acumulado de una anualidad inmediata

Ejemplo 3.21 Michaela deposita 1.000 U.M. al inicio de cada año en un fondo que gana 6%. Cualquier interés ganado se reinvierte al 8%. Calcule el total que Michaela tendrá al final de 7 años.

Solución Si los pagos se realizan al inicio del año (anualidad anticipada), la solución es: 8

1,08 1 VA 7.000 1.000 0,06

0,08 0,08

8 8.977,47

397

398

Cap. 3


Un aspecto importante para el prestamista (inversionista) es la tasa que debe pagar el prestatario. Una tasa de pago más rápida para el prestatario resulta en una tasa de retorno mayor para el inversionista, lo cual se demuestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.22 Se analizan tres planes de reembolso para un préstamo de 3.000 U.M. por un periodo de 6 años con una tasa de interés efectiva de 7,5%. Si el reembolso puede reinvertirse a una tasa efectiva de 6%, calcule las tasas de retorno (para el prestamista): a)

Si todo el préstamo más los intereses acumulados son cubiertos mediante un pago balloon al final de 6 años.

b) Si el interés se paga cada año y el capital es reembolsado al final de 6 años. c)

Si el préstamo es reembolsado mediante pagos iguales durante un periodo de 6 años.

Solución a)

La cantidad total es 3.000 × (1,075)6 = 4.629,90 . Debido a que no existe un reembolso que invertir durante los 6 años, la tasa de retorno es 7,5%. Esta solución también puede encontrarse al resolver la ecuación 3.000 × (1+ i )6 = 4.629,90 . Al calcular el valor de i dará 7,5%, por lo que en este caso el riesgo de reinversión desaparece, ya que el tomador del préstamo no realiza ningún pago hasta el vencimiento del mismo.

b) Al final de cada año durante el periodo de 6 años, el pago es de: 3.000 × (0,075) = 225 El valor acumulado de todos los pagos al final del periodo de 6 años es: 3.000 + 225 × s6 0,06 = 3.000 + 225 × (6,9753) = 4.569,44 Para calcular la tasa de retorno se resuelve la siguiente ecuación: 3.000 × (1+ i )6 = 4.569,44 Luego, i = 0,07265 o 7,265% Esta tasa es menor que en el caso anterior debido a la menor tasa efectiva de reinversión de los fondos (6%).


c)

Cada año, durante los 6 años, el pago R donde 3.000 = R × a6 0,075 , luego R = 639,13 . El valor acumulado de todos los pagos al final del periodo de 6 años es: 639,13 × s6 0,06 = 639,13 × (6,9753) = 4.458,12 Para determinar la tasa de retorno, se resuelve la ecuación: 3.000 × (1+ i )6 = 4.458,12 i = 0,06825 o 6,825% En este caso, al reembolsarse más rápido el préstamo que en el caso anterior, la reinversión de los fondos ocasiona una caída de la tasa de retorno para el prestamista.

3.4.1 Problemas propuestos 1. Ryan invierte 2.500 U.M. al final de cada uno de los próximos 8 años y su inversión gana una tasa efectiva anual de 8%. El interés que él recibe al final de cada año lo reinvierte y gana 2,5% de tasa efectiva anual. Calcule el valor acumulado en un periodo de 8 años. Respuesta: 1.747,22 U.M. 2. Jean Paul tiene 50.000 U.M. invertidos en un fondo que gana 2,5%. Cada año Jean Paul reinvierte el interés al 4%. Calcule el monto que tendrá Jean Paul al final de 5 años. Respuesta: 56.770,40 U.M. 3. Genevieve tiene una suma de dinero S invertida en un fondo que le da 5%. Cada año el fondo paga el interés ganado a Genevieve, quien sólo puede reinvertirlo a una tasa efectiva anual de 3%. Luego de 20 años, ella tiene en total 50.000 U.M., suma que incluye el monto del fondo más el interés reinvertido. Calcule S. Respuesta: 32,36 U.M. 4. Isabella invierte 100 U.M. al final de cada año a una tasa de 4% anual, la cual se paga a Isabella, quien la reinvierte al 3%. Calcule cuánto tendrá luego de 4 años. Respuesta: 416,73 U.M. 5. Ryan invierte un monto X en el fondo 1 al inicio de cada año durante 8 años. Este fondo paga anualmente un interés al fondo 2. El fondo 1 gana 4% anual, mientras que el 2 gana 3% anual. Luego de 8 años, Ryan tiene un total de 10.000 U.M. Calcule X. Respuesta: 1.047,62 U.M.

399

400

Cap. 3


6. Isabella invierte 500 U.M. al inicio de cada año en el fondo A, el cual gana intereses a una tasa de 6% nominal compuesta mensualmente. Cada mes, el fondo A le paga intereses a Isabella, que ella reinvierte en un fondo B, que paga 4% efectivo anual. Calcule el monto total en los fondos A y B luego de 5 años. Respuesta: 2.539,56 U.M. 7. Vanessa deposita 500 U.M. al final de cada año en el fondo A que gana intereses a una tasa efectiva anual de i%. Al final de cada año, el interés ganado es transferido al fondo B, que gana 8% . Luego de 7 años, Vanessa tiene 14.000 U.M. Calcule i. Respuesta: 87,37%. 8. Se desea acumular un fondo de 500 U.M. al final de 5 años por medio de depósitos iguales al inicio de cada año. Si los depósitos ganan un interés de 4% efectivo, pero sólo se puede reinvertir al 2% efectivo, demuestre que el depósito necesario es: 500 2 × s6 0,02 − 7 Respuesta: la solución se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro.

3.5

Cálculo de intereses de un fondo de inversión: tasa de interés ponderada por unidad monetaria

Lo primero que se debe definir es el concepto de fondo de inversión. Por lo general, en las legislaciones de los distintos países existen dos tipos de fondos de inversión, fondos comunes o mutuos de inversión: los cerrados y los abiertos. Un fondo de inversión cerrado es una entidad que se forma en un determinado momento con el objetivo de efectuar inversiones en distintos valores o con un propósito determinado. Normalmente, este tipo de fondo de inversión cotiza en las bolsas y mercados de valores. La rentabilidad de estas inversiones se mide como la de las acciones y se analizará en los próximos capítulos. Por el otro lado, un fondo de inversión abierto es una empresa que invierte los fondos de diversos inversionistas a cambio de una comisión. En este caso el fondo tiene un capital variable que aumenta con las nuevas suscripciones, se reduce con los rescates del principal y se incrementa varias veces con las ganancias a lo largo del

3.5 Cálculo de intereses de un fondo de inversión: tasa de interés ponderada por unidad monetaria

periodo. Desde que ello ocurre, a menudo a intervalos de tiempo regulares, se puede interpretar que lo que se busca es obtener una tasa de interés efectiva i sobre un periodo de medición. El monto al final de un periodo es igual a la cantidad al inicio del periodo más las contribuciones del principal más el interés ganado: B = A+C + I donde B Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) C Contribuciones al monto de dinero inicial, que pueden ser positivas o negativas (aportes y rescates, respectivamente) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) Para ser consistentes con la definición de tasa efectiva, se asumirá que todo el interés ganado I se recibirá al final del periodo. Se supone el interés compuesto i a lo largo del periodo, por lo que la ecuación de valor equivalente para el interés ganado sobre el periodo 0 ≤ t ≤1 es: I = i × A+

∑c

t

1t × (1 i) 1

0 ≤ t ≤1

Es decir, la cantidad de interés ganado es la suma de las cantidades de intereses ganados por cada contribución individual, más la cantidad de interés ganado sobre el saldo inicial. Se advierte que (1+i)1t 1 es la tasa efectiva por periodo desde t a 1. Así, A(1) − A(t ) A(1) = −1 = (1+ i )1−t −1 A(t ) A(t ) Al sustituir la ecuación (3.5) en la ecuación (3.4), se encuentra la ecuación de valor: B = A × (1+ i ) +

∑c

t

× (1+ i )1− t

(3.6)

0 ≤ t ≤1

donde B Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) c t Monto neto del principal con sus contribuciones en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t), donde 0 ≤ t ≤1 C = ∑ c t Monto neto total del principal contribuido durante el periodo t (si es negativo, es un retiro neto)

401

402

Cap. 3


El interés i que cumple la ecuación (3.6) se denomina tasa de interés ponderada por unidad monetaria (conocida como dollar-weighted rate of return). Se observa que tasa interna de retorno (internal rate of return), tasa efectiva de retorno (yield rate) y tasa ponderada de retorno por unidad monetaria (money-weighted rate of return, MWRR) representan la misma cantidad.

Ejemplo 3.23 Al inicio del año se establece un fondo de inversión con un depósito inicial de 3.000 U.M. Al término de seis meses, se realiza un nuevo depósito de 1.500 U.M. Se efectúan retiros de 500 U.M. y de 800 U.M. al final del cuarto y octavo meses, respectivamente. El monto en el fondo al final del año es de 3.876 U.M. Establezca la ecuación de valor para calcular la tasa de interés ponderada por unidad monetaria.

Solución a)

La ecuación de valor es: 3.000 (1 i) 1.500 (1 i)0,5 500 (1 i)

1

4 12

800 (1 i)

1

8 12

3.876

Para encontrar i en la ecuación (3.6), se requiere de métodos de aproximación lo cual no es un problema sencillo. Sin embargo, en la práctica se utiliza una aproximación simple de intereses. (1+ i )1−t −1 =1+ (1− t ) × i −1 = (1− t ) × i Se obtiene: I ≈i × A+

∑c

t

× (1− t ) × i

(3.7)

0 < t <1

donde A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) c t Monto neto del principal con sus contribuciones en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t), donde 0 ≤ t ≤ 1 i Tasa de interés simple


Lo que lleva a la aproximación: i≈

I A + ∑ c t × (1− t )

(3.8)

0 ≤ t ≤1

donde i Tasa de interés simple A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) c t Monto neto del principal con sus contribuciones en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t), donde 0 ≤ t ≤ 1 Está demostrado que esta aproximación es muy buena, siempre y cuando las variaciones de c t sean pequeñas en relación con A, que es a menudo el caso en la práctica. Sin embargo, si las c t no son pequeñas en relación con A, el error puede ser significativo. Por lo general, el denominador en la aproximación anterior se denomina exposición asociada con i. De forma alterna, al utilizar la ecuación (3.6) se encuentra i al resolver la ecuación: B A (1i)

ct

@1

(1 t) i B

(3.9)

0 t 1

donde Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) c t Monto neto del principal con sus contribuciones en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t), donde 0 ≤ t ≤ 1 C = ∑ c t Monto neto total del principal contribuido durante el periodo t (si es negativo, es un retiro neto) B

Ejemplo 3.24 Utilice el ejemplo 3.23 y encuentre la tasa de interés efectiva aproximada que ganó el fondo durante el año; utilice la fórmula de la tasa de retorno ponderada por unidad monetaria.

403

404

Cap. 3


Solución a)

El interés ganado I se calcula así: I = 3.876 + 500 + 800 − (3.000 +1.500) = 676

b) La exposición asociada con i es: 3.000 ( 500) 1

1 3

(1.500) 1

1 2

( 800) 1

2 3

3.150

Por tanto, la tasa efectiva aproximada es: 676 = 0,2146 o 21,46% 3.150 Asimismo, se puede resolver la siguiente ecuación para encontrar i: 3.000 (1i) 1.500 (10,5) 500 1

2 i 3

800 1

1 i 3

3.876

La ecuación (3.8) puede calcularse directamente. Sin embargo, es tedioso utilizarla por los términos de suma en el denominador. En consecuencia, conviene estimar la suma y una manera de hacerlo es asumir que las contribuciones principales netas c ocurren en el tiempo k, que puede aproximarse por el promedio ponderado aritmético. k=

1 × ∑ t × ct , 0 ≤ t ≤1 C 0≤t ≤1

Se obtiene una aproximación simple: i≈

I I = A + (1− k ) × C A + (1− k ) × ( B − A − I )

es decir, i≈

I k × A + (1− k ) × B − (1− k ) × I

donde k=

1 × ∑ t × ct , 0 ≤ t ≤1 C 0≤t ≤1

C=

∑c

0 ≤ t ≤1

t

(3.10)


donde i Tasa de interés A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) B Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) c t Monto neto del principal en sus contribuciones en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t), donde 0 ≤ t ≤ 1

Ejemplo 3.25 Un fondo tiene 100.000 U.M. el 1º de enero y 125.000 U.M. el 31 de diciembre. El interés que ganó el fondo durante el año es de 10.000 U.M. Calcule el retorno neto que ganó el fondo, si las contribuciones se depositaron el 1º de abril.

Solución Cuando se utiliza la fórmula i i≈

I , se obtiene: A (1 k) B (1 k) I B k @

10.000 [(1/ 4) ×100.000 + (3 / 4) ×125.000 − (3 / 4) ×10.000]

10.000 111.250 i = 8,9887 i=

Un caso especial es cuando los depósitos principales o retiros ocurren uniformemente durante el periodo. Así, en promedio, se puede asumir que los depósitos principales netos ocurren en el tiempo k =1/ 2 , en cuyo caso se obtiene: i≈

I 2× I = 0,5 × A + 0,5 × B − 0,5 × I A + B − I

es decir, i≈

2× I A+ B − I

(3.11)

donde i Tasa de interés B Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.)

405

406

Cap. 3


Esta fórmula ha sido utilizada durante muchos años por los reguladores de las compañías de seguros en Canadá y Estados Unidos, la cual les ha permitido detectar los retornos por inversiones que obtiene una empresa privada.

Ejemplo 3.26 Usted tiene un fondo mutuo. Su saldo fue de 10.000 U.M. el 31 de diciembre de 2010. Realiza depósitos mensuales de 100 U.M. al inicio de cada mes y el saldo fue de 12.000 U.M. el 31 de diciembre de 2011. ¿Cuál fue el retorno aproximado durante el año?

Solución Se encuentra con la siguiente información: A = 10.000 U.M.; B = 12.000 U.M.; C = 1.200 U.M. Así: I = B − ( A + C ) = 800 U.M. e i=

2 × 800 = 7,54717% 10.000 +12.000 − 800

Ejemplo 3.27 Calcule con la siguiente información la tasa de interés efectiva que ganó una compañía de seguros durante un año calendario: Rubro Activos Ingreso por prima

Monto 10.000.000 1.000.000

Ingreso por inversión bruta

530.000

Beneficios de política

420.000

Gastos de inversión Otros gastos

20.000 180.000


Solución Se conoce que: A =10.000.000 B =10.000.000 +1.000.000 + 530.000 − (420.000 + 20.000 +180.000) B =10.910.000 I = 530.000 − 20.000 = 510.000 Por tanto, i=

2× I A+ B− I

2 × 510.000 10.000.000 + 10.910.000 − 510.000 i = 5% i=

3.5.1 Problemas propuestos 1. Un fondo tiene 5.000 U.M. al inicio del año. Durante el año se agregan 2.500 U.M. y se retiran 1.000 U.M. Los intereses ganados durante el año son de 500 U.M. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera? a)

El monto en el fondo al final del año es de 14.000 U.M.

b) Si se supone que cualquier depósito o retiro se realizó el 1º de agosto, entonces i es aproximadamente 8,33%. c)

Si el depósito fue realizado el 1º de abril y el retiro el 1º de agosto, entonces i es aproximadamente 7,74%.

Respuesta: el inciso c) es verdadero. 2. Al inicio del año los fondos de una compañía de seguros sumaban 250.000 U.M. y al final del año sumaban 680.000 U.M. Los intereses brutos ganados fueron de 30.000 U.M., contra los gastos que hubo por inversión de 2.500 U.M. Calcule la tasa de interés efectiva neta retornada por el fondo. Respuesta: 6,09%. 3. Un fondo que gana 2% efectivo tiene un saldo de 500 U.M. al inicio del año. Si se le agregan 100 U.M. al final de tres meses y si se retiran 150 U.M. al final de 6 meses, calcule el saldo final. Respuesta: 460 U.M.

407

408

Cap. 3


4. Al inicio del año se creó un fondo de inversión con un depósito inicial de 500 U.M. Se realizó un nuevo depósito de 250 U.M. al final del tercer mes. Asimismo se realizaron retiros de 100 U.M. y 50 U.M. al término del cuarto y sexto meses, respectivamente. El monto en el fondo al final del año fue de 636 U.M. Calcule la tasa efectiva aproximada que ganó el fondo durante el año, utilizando la fórmula de la tasa ponderada de retorno por unidad monetaria. Respuesta: 6,04%. 5. Una asociación tiene como saldo 50 U.M. en un fondo el 1º de enero y 120 U.M. el 31 de diciembre del mismo año. Al inicio de cada mes durante el año, la asociación deposita 10 U.M. por honorarios de membresía y se realizan retiros de 5 U.M. Calcule la tasa de retorno ponderada por unidad monetaria del año. Respuesta: 12,50%. 6. Una compañía de seguros dispone de la siguiente información: Rubro Activos, inicio del año

Monto 10.000.000

Ingresos por ventas

3.000.000

Ingreso por inversión neto

2.000.000

Pago de salarios

2.200.000

Otros gastos por pago

750.000

Calcule la tasa efectiva de retorno del año. Respuesta: 19,95%. 7. Al inicio del año se creó un fondo de inversión con un depósito anual de 500 U.M. Al final del cuarto mes se realizó un nuevo depósito de 500 U.M. Al final del tercer y cuarto meses, respectivamente, se realizaron retiros de 100 U.M. y 250 U.M. El monto total al final del año es de 780 U.M. Calcule la tasa de retorno ponderada por unidad monetaria ganada por el fondo durante el año. Respuesta: 21,97%.

3.6 Medición de intereses de un fondo: tasa de interés ponderada por tiempo

8. El 1º de enero, una cuenta de inversiones valía 250.000 U.M. El 1º de mayo el valor aumentó a 265.000 U.M., y se depositaron 60.000 U.M. El 1º de septiembre, el valor de la cuenta disminuyó a 287.500 U.M., y fueron retiradas 125.000 U.M. El 1o de enero del siguiente año, el valor de la cuenta era de 200.000 U.M. Calcule la tasa de retorno ponderada por unidad monetaria. Respuesta: 6,04%. 9. Un fondo tiene 5.000 U.M. al inicio del año y 6.000 U.M. al final del mismo. Se realizaron depósitos netos de 5.000 U.M. durante el año. Calcule el retorno neto que ganó el fondo, asumiendo que los depósitos fueron realizados uniformemente durante el año. Respuesta: 9,52%.

3.6

Medición de intereses de un fondo: tasa de interés ponderada por tiempo

La tasa de interés ponderada por tiempo (time-weighted rate of return) depende del tiempo y monto (U.M.) de los flujos de efectivo. En la práctica, los administradores profesionales que dirigen los fondos de inversión no tienen control sobre el tiempo o monto de los flujos de efectivo externos. Además, si se compara el desempeño de los diferentes administradores de fondos, la tasa de interés ponderada por unidad monetaria no siempre proporciona una comparación justa. En esta parte se revisa una forma de medición alterna para el desempeño, que no depende directamente del tamaño o tiempo de los flujos de efectivo, llamada tasa de interés ponderada por tiempo, también conocida como tasa ponderada de retorno por el tiempo. Considere la siguiente inversión: un monto X se invierte en un fondo al inicio del año. En seis meses el fondo vale X / 2, momento en que el inversionista decide depositar más, hacer retiros, o no hacer nada. Al final del año, el saldo del fondo es el doble que el del sexto mes. Se analizan tres situaciones relacionadas con la inversión anterior. Se consideran tres inversionistas: A, B y C. a)

El inversionista A invierte X =1.000 . Al final de seis meses su inversión vale 500 U.M. Luego decide no retirar ni depositar nada en el fondo, que a finales del año vale nuevamente 1.000 U.M. Puesto que el interés que ganó es de I = 0, la tasa ponderada de interés por unidad monetaria es i = 0.

409

410

Cap. 3


b) Por su parte, el inversionista B invierte inicialmente X =1.000 . De nuevo, después de 6 meses el saldo es de 500 U.M. Luego de 6 meses el inversionista retira la mitad del saldo (250 U.M.). Su saldo al final del año es de 500 U.M. La ecuación de valor en t = 1 para esta transacción es 1.000 × (1+ i ) − 250 × (1+ i )1/2 = 500 . Esta ecuación cuadrática se resuelve para encontrar que (1+ i )1/2 = 0,84307 , lo que implica una tasa de retorno de i = −0,2892 o − 28,92% . c)

Por último, el inversionista C invierte inicialmente X =1.000 y a los 6 meses deposita un monto igual al saldo del fondo (por ejemplo, 500 U.M.). Por tanto, su saldo al final del año es de 2.000 U.M. La ecuación de valor al t =1 1

es 1.000 × (1+ i ) + 500 × (1+ i ) 2 = 2.000 . Esta ecuación cuadrática se resuelve 1

para encontrar que (1+ i ) 2 =1,18614 . Así, en este caso la tasa de retorno es de i = 0,4069 o 40,69% . La tasa de retorno para el inversionista C es mucho mejor que las que les corresponden a los otros inversionistas, debido a las decisiones tomadas por cada uno de ellos. La tasa de interés ponderada por unidad monetaria mide el comportamiento del fondo y las habilidades del inversionista. Si éste no realiza ninguna transacción, dicha tasa puede estar cerca de 0%. Ahora, ¿cómo se pueden evaluar las decisiones que tomó el administrador del fondo? En la explicación anterior se encuentra que la tasa de retorno para los primeros seis meses es de j1 = −50% y para los siguientes seis es de j2 =100% . La tasa de retorno para el año completo es: 1+ i = (1+ j1 ) × (1+ j2 ) = (1− 0,5) × (1+1) =1 Este resultado implica que i = 0 , y que es independiente del momento en que se depositó o retiró el dinero, lo que indica que el administrador del fondo hizo un trabajo deficiente de mantenimiento. Las tasas de retorno calculadas considerando solo los cambios en la tasa de interés con el tiempo (lo que se realizó para evaluar el desempeño del administrador) se llaman tasas ponderadas de interés por tiempo (time-weighted rate of return). Este enfoque se puede generalizar de la siguiente manera. Se supone que (m − 1) depósitos o retiros se realizan durante un año en los momentos t1, t2,…, tm−1 (no hay depósitos en t0 = 0 y tm = 1). Así, el año se divide en m intervalos. En el caso de k = 1, 2,…, m se establece que jk sea la tasa de retorno sobre kt subintervalos. Para k = 1, 2…, m − 1, se establece que Ctk sean los depósitos al momento exacto tk y Btk el valor del fondo antes de los depósitos al tiempo tk. Observe que C0 = Cm = 0 y B0 es la inversión inicial y B1 el valor del fondo al final del año. La tasa de retorno del tiempo tk−1 para el tiempo tk del fondo cumple la siguiente ecuación de valor: Btk = (1+ j k ) × ( Btk−1 + Ctk−1 )


o bien, 1+ j k =

Btk Btk−1 + Ctk−1

,

k =1,2,...,m

(3.12)

donde j k Tasa de retorno del fondo en el tiempo k Btk Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo t k Ctk−1 Monto de dinero (en U.M.) contribuido en el tiempo t k−1 La tasa de retorno total de i de todo el año está dada por: 1+ i = (1+ j1 ) × (1+ j2 ) × ... × (1+ j m ) o i = (1+ j1 ) × (1+ j2 ) × ... × (1+ j m ) −1

(3.13)

donde i Tasa de interés j i Tasa de retorno del fondo en el tiempo i (i = 1, 2,…, m) En este caso se llama i a la tasa ponderada de retorno por tiempo.

Ejemplo 3.28 Se supone que un inversionista realiza la siguiente serie de pagos y retiros: Fecha

a)

Flujo

Saldo anterior

Saldo posterior

01/01/2011

0

100.000

100.000

30/06/2011

+1.000.000

74.681

1.074.681

31/12/2011

0

1.474.081

1.474.081

Calcule la tasa ponderada de interés que el inversionista ha realizado.

b) Calcule la tasa ponderada de interés por tiempo.

411

412

Cap. 3


Solución a)

Se supone que el depósito de 1.000.000 U.M. se realiza exactamente a mediados del año. Se tiene que A =100.000 , B =1.474.081 y C =1.000.000 . Por tanto, I =1.474.081−1.000.000 −100.000 = 374.081 Entonces, i=

2 × 374.081 = 62,35% 100.000 +1.474.081− 374.081

b) Se tiene: i

74.681 100.000

1.474.081 1 2,44% 1.074.681

Sobre la base del ejemplo anterior, se demuestra que el método de ponderación por tiempo no proporciona una medición válida de la tasa de retorno como el método de ponderación por unidad monetaria. Sin embargo, el método de ponderación por tiempo brinda una mejor indicación del desarrollo de la inversión que el método de ponderación por unidad monetaria.

Ejemplo 3.28 Su saldo en el tiempo 0 es de 2.000 U.M. En el tiempo t =1/ 3 , el saldo ha aumentado a 2.500 U.M. y se realiza un depósito de 1.000 U.M. En el tiempo 2 / 3 el saldo ha caído a 3.000 U.M. y se realiza un retiro de 1.500 U.M. Al final del año, el saldo del fondo es de 2.000 U.M. ¿Cuál es la tasa de retorno ponderada por tiempo?

Solución a)

Se plantea el siguiente cuadro: k

tk

Btk

Ctk

jtk

0

0,000

2.000

0

0,00%

1

0,333

2.500

1.000

25,00%

2

0,667

3.000

1.500

−14,29%

3

1,000

2.000

0

33,33%


b) La tasa de retorno ponderada por tiempo es: i = (1,25) × (0,8571) × (1,3333) −1 = 0,428464

Ejemplo 3.29 Se tiene la siguiente información sobre una cuenta de inversión: Fecha

30/06/2010 12.000

Bk Depósito

30/09/2010 10.000

31/12/2010 14.000

2.000

Retiro

2.000

31/03/2011 13.000 2.000

2.000

Si la tasa de retorno promedio ponderada anual del 30 de junio de 2010 al 30 de junio de 2011 fue exactamente de 10%, ¿cuál es la tasa ponderada de retorno por tiempo anual durante el mismo periodo?

Solución Se calcula X: X =10.000 ×1,1+ 2.000 × (1,1)0,75 − 2.000 × (1,1)0,5 + 2.000 × (1,1)0,25 =13.098,81 Si la tasa ponderada de retorno por unidad monetaria efectiva anual desde el 30 de junio de 2010 hasta el 30 de junio de 2011 fue de 10%, ¿cuál fue la tasa ponderada de retorno efectiva anual por tiempo durante el mismo periodo? 13.098,91 −1 =1,309891−1 = 0,309891 o 30,99% 10.000,00 Es preciso señalar que las diferencias de magnitud entre los dos métodos que se muestran aquí no se produce siempre, sino que obedecen a una serie de situaciones como: i=

Si un fondo posee inversiones altamente volátiles, unido a grandes depósitos y retiros a través del tiempo, se puede producir una diferencia grande entre los dos métodos. Sin embargo, cuando las variaciones entre los rendimientos a través del tiempo son más estables (como podría suceder en el caso de un fondo sobre bonos o mixto), unido a depósitos y retiros más pequeños en relación con el saldo de los fondos, no generarían diferencias tan altas entre los dos métodos e incluso podría existir una diferencia insignificante.

30/06/2011 X

413

414

Cap. 3


3.6.1 Problemas propuestos 1. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a)

El método del retorno ponderado por tiempo proporciona un mejor indicador sobre el desempeño del fondo subyacente que el método del retorno ponderado por unidad monetaria.

b) Las tasas de retorno ponderado por tiempo siempre serán mayores que las tasas de retorno ponderado por unidad monetaria. c)

La tasa de retorno ponderado por unidad monetaria proporciona un mejor indicador del rendimiento de la inversión subyacente que la tasa de retorno ponderada por tiempo.

d) Las tasas ponderadas de interés por unidad monetaria proporcionan una medida válida de los resultados de la inversión actual. Respuesta: a) y d). 2. Un fondo tiene 500 U.M. al inicio del año. A mitad del año, el valor del fondo ha aumentado a 600 U.M. y se realiza una inversión adicional de 500 U.M. Al final del año, el fondo tiene un valor de 1.050 U.M. a)

Calcule la tasa ponderada de retorno por unidad monetaria

b) Calcule la tasa ponderada de retorno por tiempo. Respuesta: a) 6,67% y b) 14,54%. 3. Un fondo tiene 50.000 U.M. al inicio del año. Seis meses después tiene un valor de 37.500 U.M., tiempo en el que Jean Paul le agrega 37.500 U.M. Al final del año, el fondo tiene un valor de 100.000 U.M. Calcule la tasa ponderada de retorno por tiempo. Respuesta: 0%. 4. Un fondo tiene 100.000 U.M. al inicio del año. Seis meses después desciende a 75.000 U.M., tiempo en el que Michaela le agrega 75.000 U.M. al fondo. Al final del año, el fondo tiene un valor de 100.000 U.M. Calcule la tasa ponderada de retorno por unidad monetaria exacta y estimada. Respuesta: a) 18,40% y b) 18,18%. 5. Un fondo tiene 5.000 U.M. al inicio del año. Seis meses después tiene un valor de 7.500 U.M., tiempo en el que Iracema retira 2.500 U.M. Al final del año, el fondo tiene un valor de 5.000 U.M. Calcule la tasa ponderada de retorno en unidades monetarias exactas menos la tasa ponderada de retorno por tiempo. Respuesta: 37,14%.

3.7 Asignación de los ingresos de inversión: los métodos de cartera y de inversiones

6. Se le proporciona la siguiente información sobre una cuenta de inversiones: Fecha

Valor inmediatamente antes del depósito

1 de enero

10

1 de julio

12

31 de diciembre

X

Depósito

X

En el año, el retorno ponderado por tiempo es 0%, y el retorno ponderado por unidad monetaria es Y%. Determine Y. Respuesta: −24%. 7. Un inversionista deposita en una cuenta 100 U.M. el 1º de enero. La siguiente tabla resume la actividad de la cuenta en el último año. Fecha

Valor inmediatamente antes del depósito

Depósito

15 de marzo

20,00

10,00

1 de junio

40,00

40,00

1 de octubre

87,50

37,50

El 30 de junio, el valor de la cuenta fue de 87,75 U.M. El 31 de diciembre, el valor de la cuenta es X. Al utilizar el método ponderado por tiempo, el retorno efectivo anual equivalente durante los primeros seis meses es igual al retorno anual (ponderado por tiempo) durante todo el año. Calcule X. Respuesta: 330,47 U.M.

3.7

Asignación de los ingresos de inversión: los métodos de cartera y de inversiones

Se considera un fondo de inversión que involucre a muchos inversionistas con cuentas separadas, por ejemplo, un fondo de pensiones para jubilados donde cada participante tiene una cuenta, pero con una fuente de activos mixta. Todos los inversionistas comparten el fondo. En esta parte se considera la asignación de activos de inversión a varias cuentas. Los métodos que comúnmente se utilizan son el método de la cartera y el método de inversión por año, también conocido como método de dinero nuevo.

415

416

Cap. 3


3.7.1 El método de cartera Cuando se emplea el método de cartera se calcula una tasa promedio sobre la base de las ganancias del total del fondo y se acredita a cada cuenta. Todos los depósitos nuevos ganarán la misma tasa de la cartera. Este es un método contable que acredita a todos los fondos recibidos una tasa de interés corriente (comercial) especificada, independientemente del momento en que el dinero fue colocado en la cuenta. Por lo general esta tasa de interés cambia a través del tiempo. Si i ty es la tasa de interés acreditada en el año t, para t = 1, 2,…, m., si X es el importe invertido al inicio del año t, luego, el balance en la cuenta en el momento n + 1 será: m

X × ∏ (1+ i ty) = X × (1+ i ty) × (1+ i ty+1 ) × ... × (1+ i ty+m )

(3.14)

t =0

donde X Importe invertido m

∏ t =0 y t

i

Símbolo de producto desde el periodo t = 0 hasta n Tasa de interés acreditada en el año t

Ejemplo 3.30 Suponga que un inversionista deposita recursos en un fondo de inversiones que utiliza el método de cartera con las siguientes tasas anuales: Año (tt)

Tasas anuales i yi

2007

4,50%

2008

5,50%

2009

4,00%

2010

6,50%

2011

5,00%

Suponga que se invierten 1.000 U.M. el 1º de enero de 2007. Encuentre: a)

El saldo al 1º de enero de 2008.

b) El saldo al 1º de enero de 2009. c)

El saldo al 1º de julio de 2009.


Solución a)

El saldo al 1º de enero de 2008 es:

(1.000 ) × (1,045) = 1.045 U.M. b) El saldo al 1º de enero de 2009 es:

(1.000 ) × (1,045) × (1,055) = 1.102,47 U.M. c)

El saldo al 1º de julio de 2009 es:

(1.000 ) × (1,045) × (1,055) × (1,04)1 2 = 1.124,31 U.M. Este método tiene desventajas, en particular durante el tiempo de fluctuación de las tasas de interés. Por ejemplo, si se supone que las tasas de mercado han aumentado significativamente durante los últimos años, mientras el promedio de las tasas de cartera ha comenzado a disminuir (por ejemplo, el fondo paga una tasa de 6% y los nuevos depósitos podrían obtener tasas alternas de 8% en otro lugar). El fondo paga una menor tasa que el mercado, debido a que incluye un conjunto de fondos realizados en el pasado a tasas menores. En este caso hay una mayor tendencia a realizar menos depósitos más retiros en el fondo. El método de inversión por año (IYM) es un intento por mejorar este problema y asignar un ingreso por inversión de una manera más equitativa.

3.7.2 El método de inversión por año (IYM) Sobre una base anual, bajo el método de inversión por año, un depósito se acredita durante el año con una tasa de interés igual a la del depósito, a la que se le conoce como tasa de los nuevos fondos (new money rates). Por ejemplo, una cartera del gráfico IYM de un fondo puede verse como el que se muestra en la siguiente tabla: Año de compra

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2002

6,4%

6,8%

7,1%

6,9%

7,3%

5,1%

4,9%

4,8%

4,7%

6,9%

7,0%

7,0%

7,4%

5,0%

4,9%

4,8%

4,7%

7,1%

7,3%

7,3%

5,5%

5,4%

4,8%

4,7%

7,0%

7,4%

5,4%

5,2%

4,6%

4,7%

7,2%

5,7%

5,5%

4,5%

4,4%

5,8%

5,1%

4,3%

4,7%

5,0%

4,1%

4,6%

4,0%

4,5%

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

4,1%

417

418

Cap. 3


Se supone que se invierten 1.000 U.M. el 1º de enero de 2002 y 500 U.M. el 1º de enero de 2003. El total acumulado al 1º de enero de 2011 sería: (1,064) × (1,068) × (1,071) × (1,069) × (1,073) × (1,051) × (1,049) × × (1,048) × (1,047) × 1.000 = 1.688,75 De nuestro depósito de 2003, más: (1,069) × (1,070) × (1,070) × (1,070) × (1,074) × (1,050) × (1,049) × × (1,048) × (1,047) × 500 = 794,31 Luego, el total al 1º de enero de 2011 será: 1.688,75 + 794,31 = 2.483,06 En el cuadro anterior se advierte que las inversiones que se realizaron entre 2002 y 2004 ganaron la misma tasa de retorno en 2009 (4,8%) y 2010 (4,7%). Esto demuestra que bajo el método de inversión por año, se espera que los fondos de inversión mayores de un periodo fijo (5 años en nuestro ejemplo) aumenten a una tasa de retorno general (la tasa de cartera), sin que importe cuándo se realizaron las inversiones. Para indicar mejor el cambio del método de inversión por año al método de cartera, con la información del cuadro anterior se puede construir una tabla bidimensional como la tabla anterior. Si y es el año calendario del depósito, y m el número de años durante el cual se aplica el método de inversión por año, la tasa de interés acreditada para el año t se puede simbolizar como i ty para t = 1, 2,…, m. Para t > m , se puede utilizar el método de cartera, y la tasa de cartera del interés acreditado durante el año calendario y es i y . El método de inversión por año es más complejo que el método de cartera, pero lo utilizan las instituciones financieras, ya que consideran necesario atraer nuevos depósitos y desalentar los retiros durante periodos de incremento de las tasas de interés. Por supuesto, cuando éstas disminuyen, la situación se revierte y el método de cartera es más atractivo que el método de inversión por año. En el siguiente ejemplo se muestra el uso del método de inversión por año.

Ejemplo 3.31 Se observa la siguiente tabla de tasas de interés (en porcentajes). Una persona deposita 1.000 U.M. el 1º de enero de 1997. Calcule el monto acumulado para el 1º de enero de 2000: a)

Por el método de inversión por año.

b) Por el método de cartera.


c)

Cuando el saldo se retira al final de cada año y se reinvierte a una tasa de nueva inversión.

Y

i1y

i 2y

i 3y

i 4y

i5y

i y +5

Año de la cartera

1992

8,25

8,25

8,40

8,50

8,50

8,35

1997

1993

8,50

8,70

8,75

8,90

9,00

8,60

1998

1994

9,00

9,00

9,10

9,10

9,20

8,85

1999

1995

9,00

9,10

9,20

9,30

9,40

9,10

2000

1996

9,25

9,35

9,50

9,55

9,60

9,35

2001

1997

9,50

9,50

9,60

9,70

9,70

1998

10,00

10,00

9,90

9,80

1999

10,00

9,80

9,70

2000

9,50

9,50

2001

9,00

Solución La secuencia de las tasas de interés que comienzan en un año dado se ejecuta horizontalmente durante ese año y luego bajan a la última columna de tasas. Una inversión realizada al inicio de 1992 puede ganar la tasa de inversión anual de 8,25% en 1992, 8,25% en 1993, 8,4% en 1994, 8,5% en 1995 y 1996. Comenzando en 1997, una inversión realizada al inicio de 1992 puede ganar las tasas promedio de cartera. La inversión de 1992 puede ganar la tasa de cartera de 8,35% en 1997, 8,6% en 1998 y así en adelante. Una inversión que se realiza al inicio de 2001 puede ganar la tasa de inversión anual de 9% entre 2001 y 2005. A comienzos de 2006, dicha inversión puede ganar una tasa de cartera de 8,35% en 2006, 8,6% en 2007, y así en adelante. a)

El valor acumulado es 1.000 × (1,095) × (1,095) × (1,096) =1.314,13

b) El valor acumulado es Q =1.000 × (1,0835) × (1,086) × (1,0885) =1.280,82 c)

419

El valor acumulado es 1.000 × (1,095) × (1,1) × (1,1) =1.324,95

420

Cap. 3


Ejemplo 3.32 En enero de 1996 se realiza una inversión de 1.000 U.M. en un fondo de inversión que acredita intereses con base en la tabla del ejemplo 3.31. ¿Cuánto interés se acredita desde el 1º de enero de 1999 al 1º de enero de 2001?

Solución a)

El valor acumulado al 1º de enero de 1999 es: 1.000 ×1,0925 ×1,0935 ×1,095 =1.308,14

b) El valor acumulado al 1º de enero de 2001 es: 1.000 × (1,0925) × (1,0935) × (1,095) × (1,0955) × (1,096) =1.570,64 Así, el valor acumulado de los intereses acreditados es: 1.570,64 −1.308,14 = 262,50

Ejemplo 3.33 Utilice la tabla del ejemplo 3.31 para determinar: a)

Las tasas de interés acreditadas en el año 2000 para los depósitos realizados de 1994 a 2000.

b) Las tasas del dinero nuevo acreditadas en el primer año de inversión para los depósitos realizados entre 1992 y 2001.

Solución a)

Se acredita 9,5% para los nuevos depósitos que se realizaron en el año 2000, 9,8% para los de 1999, 9,9% para los de 1998, 9,7% para los de 1997, 9,6% para los de 1996, 9,1% para los que se efectuaron entre 1994 y 1995. Así, el interés acreditado para el año 2000 aparece en la tabla en una diagonal ascendente.

b) Las tasas del dinero nuevo acreditadas el primer año de la inversión aparecen en la primera columna de la tabla.


3.7.3 Problemas propuestos 1. Utilice la tabla del ejemplo 3.32. ¿Cuáles fueron las tasas de interés acreditadas para el año 1999 para los depósitos realizados en y antes de 1999? Respuesta: 10%, 9,6%, 9,55%, 9,4%. 2. Si se invierten 50 U.M. en un fondo al inicio de 2001, calcule el monto acumulado para finales de 2004 utilizando: a)

El método de inversión por año.

b) El método de cartera. c)

El método de inversión por año si la cantidad es retirada y luego reinvertida a finales de 2002. Y

i1y

i2y

i3y

i4y

i y +4

Año de la cartera

1998

7,0

6,5

6,0

5,8

5,9

2002

1999

6,4

6,1

5,8

5,9

6,0

2003

2000

6,2

6,0

5,9

6,0

6,2

2004

2001

6,1

5,9

6,1

6,4

6,6

2005

2002

6,0

6,1

6,3

6,6

2003

6,4

6,6

6,7

2004

6,8

7,0

2005

7,5

Respuesta: a) 63,42; b) 63,54 y c) 63,90. 3. La siguiente tabla presenta las tasas de interés por el método de inversión por año de los intereses acreditados. Y

i1y

i 2y

i 3y

i 4y

i5y

i y +5

2006

7,00

6,75

6,50

6,25

6,00

5,50

2007

6,00

5,50

5,25

5,10

5,00

2008

5,00

4,80

4,60

4,30

2009

4,00

3,75

3,50

2010

3,00

3,20

2011

4,00

421

422

Cap. 3


Matt invierte 500 U.M. el 1º de enero de 2006 y un adicional de 250 U.M. el 1º de enero de 2010. ¿Cuánto dinero tiene para el 31 de diciembre del 2010? Solución: 942,52 U.M. Utilice el siguiente cuadro de tasas de interés para resolver los problemas 4, 5 y 6.

i2y

i3y

i4y

i y +4

Año calendario de la tasa de portafolio y+4

2004 0,0650

0,0625

0,0600

0,0575

0,0550

2008

2005 0,0600

0,0575

0,0550

0,0525

0,0500

2009

2006 0,0500

0,0475

0,0460

0,0450

0,0450

2010

2007 0,0450

0,0440

0,0430

0,0420

0,0410

2011

2008 0,0400

0,0390

0,0308

0,0370

2009 0,0300

0,0300

0,0325

2010 0,0300

0,0325

Y

i1y

2011 0,0300 4. Juan Diego invierte en un fondo 500 U.M. el 1º de enero de 2006. El fondo utiliza el método de inversión por año de tasas de interés determinadas. Calcule el monto que Juan Diego tendrá a finales de 2009. Respuesta: 601,12 U.M. 5. Isabella invierte en un fondo 800 U.M. el 1º de enero de 2008. El fondo utiliza el método de cartera de tasas de interés determinadas. Calcule el monto que Isabella tendrá a finales de 2011. Respuesta: 964,05 U.M. 6. Ryan invierte en un fondo 300 U.M. a inicios de cada año de 2008 a 2010. El fondo paga intereses utilizando la tasa de interés de inversión por año. Calcule la cantidad de dinero que Ryan tendrá a finales de 2011. Respuesta: 1.000,39 U.M.

3.8 Tasas de retorno en el presupuesto de capital

Utilice el siguiente cuadro de tasas de interés para resolver los problemas 7 a 10. Y

i1y

i2y

i3y

i y +3

2007

3,7%

3,6%

3,5%

6,0%

2008

3,2%

3,1%

3,0%

5,5%

2009

2,7%

2,6%

2,5%

5,0%

2010

2,2%

2,1%

2,0%

4,5%

2011

1,7%

1,6%

1,5%

4,0%

7. Se realiza un depósito de 50 U.M. a inicios de 2011. ¿Cuánto interés se acredita durante 2012? ¿Cuál es el valor acumulado a finales de 2013? Respuesta: 0,8136 y 52,44 U.M. 8. ¿Cuánto interés se acredita entre los años calendario 2008 y 2009 por un depósito de 325 U.M. que se realiza a inicios de 2007? Respuesta: 24,35 U.M. 9. ¿Cuáles fueron las tasas de interés acreditadas en 2009 por los depósitos que se realizaron en 2009, 2008 y 2007? Respuesta: 2,7%; 3,1% y 3,5%. 10. ¿Cuáles fueron las tasas de nuevo dinero acreditadas el segundo año de inversión para los depósitos que se realizaron desde 2007 en adelante? Respuesta: 3.6%; 3,1%; 2,6%; 2,1% y 1,6%.

3.8

Tasas de retorno en el presupuesto de capital

Las tasas de retorno se utilizan también para elaborar el presupuesto de capital. Un inversionista siempre se encuentra con la necesidad de asignar un monto de capital entre varias inversiones para lograr el mayor nivel posible de retorno de una inversión. Este proceso de toma de decisiones financieras se denomina presupuesto de capital. En esta parte se estudia este concepto. Además se asume que en las inversiones alternas que se comparan no existe riesgo alguno. En la práctica, los dos enfoques del presupuesto de capital son el método de la tasa de retorno (TIR o tasa interna de retorno) y el método de valor presente neto.

423

424

Cap. 3


Cuando se utiliza el método de la tasa interna de retorno, el inversionista calcula la(s) tasa(s) de retorno de cada inversión al resolver la ecuación VPN(i ) = 0 . Luego compara estas tasas con la tasa de interés preferente se estableció previamente, por lo general la tasa de retorno mínima aceptada. Todas las tasas internas de retorno menores que la tasa de interés preferente son rechazadas. Las únicas que se consideran son las tasas internas de retorno mayores que la tasa de interés preferente. Están clasificadas y se eligen en orden descendente hasta que se termine el monto de capital disponible para invertir. Cuando se aplica el método de valor presente neto (VPN), el inversionista calcula VPN(i ) = 0 de cada posible inversión, donde i es la tasa de interés preferente. Los valores negativos de VPN(i ) = 0 son rechazados y sólo se consideran los positivos, ya que el valor de retorno actual es mayor que el de los depósitos. El capital se asigna con base en esas inversiones con VPN(i ) positivo, de tal manera que el valor de los retornos presentes de la inversión (calculados a la tasa de intereses preferente) menos las contribuciones sea máximo. En la teoría financiera se ha demostrado que el método VPN proporciona, por lo general, mejores decisiones que otros métodos de proyección del presupuesto de capital.

Ejemplo 3.34 Considere el proyecto de inversión que se presenta en la siguiente tabla: Rendimientos

ct

Año

Contribuciones

0

80.000

0

−80.000

1

10.000

0

−10.000

2

10.000

0

−10.000

3

10.000

0

−10.000

4

20.000

12.000

−8.000

5

2.000

30.000

28.000

6

2.000

40.000

38.000

7

2.000

35.000

33.000

8

2.000

25.000

23.000

9

2.000

15.000

13.000

10

0

8.000

8.000

3.8 Tasas de retorno en el presupuesto de capital

a)

Calcule la tasa interna de retorno de este proyecto.

b) Asuma una tasa de interés preferente de 3%. ¿Aceptaría el proyecto utilizando el método de la tasa interna de retorno? ¿Y con el método del valor presente neto?

Solución a)

Se resuelve la siguiente ecuación:

VPN(i ) = −80.000 − 10.000 × v −10.000 × v 2 − 10.000 × v 3 − 8.000 × v 4 + 28.000 × v5 + 38.000 × v 6 + 33.000 × v 7 + 23.000 × v 8 + 13.000 × v 9 + 8.000 × v10 = 0 Se encuentran dos soluciones: i = −1,714964 < −1 e i = 0,032180. Así, la tasa interna de retorno es de 3,218%. b) Se utiliza el método de la tasa interna de retorno, ya que al ser 3,218% > 3%, el inversionista puede aceptar este proyecto. Si se utiliza el método del valor presente neto, el inversionista también debería aceptarlo, ya que VPN(0,03) = 1.488,04 > 0 .

Ejemplo 3.35 Repita el problema anterior, pero con una tasa de interés preferente de 4%.

Solución Si emplea el método de la tasa interna de retorno, ya que 4% > 3%, el inversionista puede rechazar el proyecto. Si utiliza el método del valor presente neto, también debería rechazarlo, ya que VPN (0,04) = −5.122,13 < 0. Es necesario destacar que se ha adoptado el enfoque desde la perspectiva de un inversionista (o prestamista). Sin embargo este enfoque también se puede analizar desde el punto de vista de un tomador de préstamos, aunque en este caso una transacción favorable es que la tasa de rendimiento fuese baja, y desfavorable sería tener que pagar una tasa de rendimiento alta. Por otra parte, en toda esta temática no se han considerado los riesgos involucrados en las comparaciones de alternativas de inversión. Se parte del supuesto que todas las alternativas presentan un riesgo idéntico. La consideración del riesgo puede modificar el proceso de decisión entre distintas inversiones. Es probable que si se tiene una inversión con un alto riesgo y presenta una tasa de rendimiento proyectada casi similar a la de una inversión de bajo riesgo, pocos inversionistas prefieran tomar un riesgo alto, salvo que la inversión sea marginal.

425

426

Cap. 3


3.8.1 Problemas propuestos 1. Un proyecto de inversión tiene los siguientes flujos de efectivo:

a)

Año

Depósito

Retorno

0

100

0

1

200

0

2

10

60

3

10

80

4

10

100

5

5

120

6

0

60

Utilice el método de valor presente neto con una tasa de interés preferente de 10%. ¿El inversionista debería aceptar o rechazar el proyecto?

b) Resuelva la misma pregunta con base en el método de la tasa interna de retorno. Respuesta: a) y b) deben ser rechazados. 2. Un inversionista acepta un acuerdo para depositar hoy 5.000 U.M. y 500 U.M. al final de dos años, a cambio de recibir 2.000 U.M. dentro de un año y 2.750 U.M. al final de tres años. a)

Calcule VPN(5%) y VPN(8%) .

b) Si la tasa de interés preferente de un inversionista es de 3%, ¿debería aceptar o rechazar el acuerdo? Respuesta: a) −1.173,20 y −1.393,78; b) se debe rechazar. 3. Un automóvil usado se puede comprar por 3.000 U.M. en efectivo o con 1.200 U.M. de inicial y 750 U.M. al final de cada año durante dos años. ¿El comprador debería pagar en efectivo o financiar el automóvil con una tasa de interés preferente de 8%? Respuesta: financiar. 4. Para analizar una inversión en la cual una persona realiza hoy depósitos de 100 U.M. y de 132 U.M. al final de un año. ¿Se debería aplicar el método de la tasa interna de retorno o el método del valor presente neto si la tasa de interés preferente es de 15%? Respuesta: método del valor presente neto.

3.9 Otros criterios de evaluación del presupuesto de capital

5. Considere una inversión en la cual una persona realiza hoy pagos de 100 U.M. y de 101 U.M. al final de dos años a cambio de pagos de 200 U.M. al final de un año. Explique por qué el método de la tasa interna de retorno no es aplicable a este caso. Respuesta: porque no existen tasas internas de retorno. 6. Un empresario necesita 800 U.M. Los fondos pueden obtenerse de dos maneras: a)

Mediante una promesa de pago de 900 U.M. al final del periodo.

b) Por medio de un préstamo de 1.000 U.M. y pagando 1.120 U.M. al final del periodo. Si la tasa de interés preferente del periodo es de 10%, ¿cuál opción debe elegir el empresario? Respuesta: ninguna alternativa le conviene.

3.9

Otros criterios de evaluación del presupuesto de capital

En el punto anterior se analizaron los dos criterios básicos del presupuesto de capital. En esta parte se estudiarán otras técnicas: el índice de rendimiento, el periodo de recuperación de la inversión, la tasa interna de retorno modificada, la relación beneficios/costos, el costo anual uniforme equivalente y lo que sucede con los proyectos mixtos.

3.9.1 Periodo de recuperación de la inversión El periodo de recuperación o payback de una inversión es un criterio de valoración de inversiones que permite seleccionar un proyecto con base en cuánto tiempo se tardará en recuperar la inversión inicial mediante los flujos de efectivo. Es de gran utilidad cuando se quiere realizar una inversión de alta incertidumbre y de esta forma se tiene la idea del tiempo que tendrá que transcurrir para poder recuperar el dinero que se invirtió. Es una técnica que puede producir resultados no óptimos, y es claramente menos sofisticada que la tasa interna de retorno o el valor presente neto. El periodo de recuperación hace especial hincapié en la recuperación del capital, y por eso muchos de sus defensores ponderan su percepción del riesgo. Como toda inversión implica un riesgo, sobre todo cuando se extiende por varios periodos, se podría llegar a afirmar que cuanto más rápido se recupere lo que se invertió es mejor.

427

428

Cap. 3


El resultado que se obtendrá estará relacionado con la frecuencia temporal del flujo. En efecto, si el flujo es mensual, el resultado estará expresado en meses, en cambio, si es anual estará expresado en años. Si los flujos netos de efectivo son constantes, el plazo de recuperación estará dado por la fórmula: P=

A ct

(3.15)

Si los flujos netos de efectivo no son constantes, el plazo de recuperación se calculará acumulando los flujos de efectivo sucesivos hasta que su suma sea igual al desembolso inicial A. Pero cuando además del desembolso inicial A los flujos netos de efectivo de los primeros años son negativos, el plazo de recuperación estará definido por el tiempo que tarda en recuperarse la suma de esos flujos negativos. Si c1 ≠ c 2 ≠ ... ≠ c n , k

P = ∑c t ≥ A

(3.16)

t =1

donde P Periodo de recuperación k Periodo mínimo de tiempo en que se recupera la inversión c t Monto neto del principal aportado en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t, donde 0 ≤ t ≤1) Por ejemplo, una inversión de 1.100 U.M. que devolvió 500 U.M. por año tendría un plazo de amortización de dos años. No se considera el valor temporal del dinero. En igualdad de condiciones, los periodos de amortización más cortos son preferibles a los más largos. A pesar de sus limitaciones, el periodo de recuperación es de uso muy recurrente debido a su fácil aplicación. Se utiliza con frecuencia como herramienta de análisis, ya que es sencillo de aplicar y entender para la mayoría de las personas, independientemente de su formación académica o campo de trabajo. Si las inversiones son a corto plazo, no habría inconvenientes, pero cuando se involucran varios periodos no es un método adecuado. El periodo de recuperación está considerado un método de análisis con serias limitaciones y requisitos de uso, ya que no considera el valor temporal del dinero, el riesgo, la financiación u otros aspectos importantes, como el costo de oportunidad. Un supuesto implícito en el uso del periodo de recuperación es que los retornos de la inversión continúan después del periodo de recuperación. Además no hace ninguna comparación con otras inversiones o incluso de la posibilidad de no hacer ninguna inversión.

Ejemplo 3.36 Suponga que usted está frente al siguiente proyecto de inversión: a)

Inversión inicial de 370.000 U.M. en el año 0; 220.000 U.M. en el año 1.


b) Realiza gastos de mantenimiento de 20.000 U.M. a partir de la puesta en producción en el año 2 y hasta la finalización del proyecto. c)

Se esperan retornos de la inversión de 120.000 U.M. en 2002; 180.000 U.M. en 2003; 230.000 U.M. en 2004; 300.000 U.M. en 2005; 350.000 U.M. en 2006 y 400.000 U.M. en 2007.

Todos los flujos se producen al final de cada año. Calcule el periodo de recuperación de la inversión.

Solución Se procede a calcular los flujos de efectivo neto de cada año y el flujo neto acumulado.

Año

Contribuciones

Flujo neto de efectivo

Retornos

Flujo neto de efectivo acumulado

2000

−370.000

0

−370.000

−370.000

2001

−220.000

0

−220.000

−590.000

2002

−20.000

120.000

100.000

−490.000

2003

−20.000

180.000

160.000

−330.000

2004

−20.000

230.000

210.000

−120.000

2005

−20.000

300.000

280.000

160.000

2006

−20.000

350.000

330.000

490.000

2007

−20.000

400.000

380.000

870.000

P = (k − 1) +

c tAK −1 c tk

P = (5 − 1) +

120.000 280.000

P = 4,43 donde P c tAK −1 c tk k

Periodo de recuperación Flujo neto de efectivo acumulado al periodo (k − 1) Flujo de efectivo del periodo k Periodo mínimo de tiempo en que se recupera la inversión

Es decir, se requieren 4 años y 5 meses, aproximadamente, para recuperar la inversión.

429

430

Cap. 3


3.9.2 Periodo de recuperación descontado El periodo de recuperación descontado (discounted payback period) surge para solucionar la principal crítica que se realiza al método de recuperación de la inversión. Se define como el número de periodos que se requieren para que el valor presente de los flujos de efectivo sea superior o igual al desembolso inicial. Para considerar la diferencia en el vencimiento de los flujos de efectivo que se producen antes del plazo de recuperación, el periodo de recuperación descontado se define como: k

P = ∑v t × c t ≥ A

(3.17)

t =1

donde P Periodo de recuperación k Periodo mínimo de tiempo en que se recupera la inversión v t Factor de descuento c t Monto neto del principal contribuido en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t, donde 0 ≤ t ≤1) Cuando la inversión tiene un VPN positivo a una determinada tasa de rendimiento requerida, luego si se utiliza este método k < n. Si la inversión tuviera un VPN negativo a una determinada tasa de rendimiento requerida, la inversión nunca alcanzaría su punto de equilibrio o break-even point según dicho método. Si bien este método no incluye el costo del capital, se limita a mostrar el año en el que se alcanza el punto de equilibrio una vez cubiertos los costos de la deuda y del capital. Su deficiencia es que no toma en cuenta los flujos de fondos que se producen después del periodo de recuperación y que en algunos proyectos pueden ser importantes, aun cuando al estar descontados estos flujos en el tiempo no tengan tanto atractivo. Si hay algo que valorar respecto al método anterior, es el hecho de que sirve de indicador de riesgo de los proyectos, ya que los flujos esperados en un futuro lejano suelen presentar más riesgo que los que se producen a corto plazo.

Ejemplo 3.37 Suponga que usted está frente al proyecto de inversión del ejercicio anterior. Calcule el periodo de recuperación de la inversión descontado, con una tasa de descuento de 10 % anual.


Solución Se procede a calcular los flujos de efectivo neto de cada año y el flujo neto acumulado.

ct

ct descontado

ct descontado acumulado

0

−370.000

−370.000

−370.000

−220.000

0

−220.000

−200.000

−570.000

2002

−20.000

120.000

100.000

82.645

−487.355

2003

−20.000

180.000

160.000

120.210

−367.145

2004

−20.000

230.000

210.000

143.433

−223.712

2005

−20.000

300.000

280.000

173.858

−49.854

2006

−20.000

350.000

330.000

186.276

136.422

2007

−20.000

400.000

380.000

195.000

331.422

Año

Contribuciones

2000

−370.000

2001

Retornos

En este caso, en los cálculos se toman los flujos netos de efectivo acumulado descontados y el flujo neto de efectivo descontado. c P = (k − 1) + tAK −1 c tk P = (6 − 1) +

49.854 186.276

P = 5,27 donde P c tAK −1 c tk k

Periodo de recuperación Flujo neto de efectivo descontado acumulado al periodo (k − 1) Flujo de efectivo descontado del periodo k Periodo mínimo de tiempo en que se recupera la inversión

Es decir, se requieren 5 años y 3 meses, aproximadamente, para recuperar la inversión.

3.9.3 Índice de rendimiento Otra técnica que se puede mencionar es el índice de rendimiento, que a menudo se utiliza para analizar inversiones en competencia cuando se emplea el método del valor presente neto. Uno de los desafíos al interpretar los valores presentes netos, o valor presente neto, es que el monto de la inversión no está directamente reflejado. Así se podrían tener proyectos que generan distinto VPN y en principio se elegiría el de mayor

431

432

Cap. 3


valor. Si se sigue este ejemplo, el proyecto A tiene un VPN de 7.000 U.M. y el proyecto B de sólo 3.000 U.M. Pero cuando se sigue el análisis, el monto invertido en el proyecto A es de 4.500 U.M. y el del proyecto B de 1.500 U.M. El índice de rentabilidad enfoca este problema mediante la estandarización de que el VPN tendrá un valor calculado por unidad de inversión (I ). En forma general se presenta como: n

FCt

∑ (1+ r )

t

IR = donde IR FCt r VPN I

t =1

I

=

VPN I

Índice de rendimiento Flujo de efectivo del periodo t Tasa de descuento Valor presente neto Monto de la inversión

En el ejemplo anterior se tienen los siguientes valores: IRA =

VPN A 7.000 = = 1,5556 IA 4.500

IRB =

VPN B 3.000 = = 2,0000 IB 1.500

Sin embargo, se plantea el problema de que sólo aquella parte de la rentabilidad que supere la unidad es rentabilidad en sentido estricto, ya que el resto es la recuperación realizada de la inversión. Luego se puede replantear la fórmula anterior como: n

FCt

∑ (1+ r )

t

IR = donde IR FCt r VPN I

t =1

I

−1 =

VPN −1 I

(3.18)

Índice de rendimiento Flujo de efectivo del periodo t Tasa de descuento Valor presente neto Monto de la inversión

En consecuencia, al aplicarlo a los ejemplos anteriores se obtendría: IRA =

VPN A −1 IA

7.000 −1 4.500 IRA = 0,5556 IRA =

IRB =

VPN B −1 IB

3.000 −1 1.500 IRB = 1,0000 IRB =

Por ello se elegiría el proyecto B sobre el A, siempre y cuando sean independientes; si fueran mutuamente excluyentes, el B obtendría una calificación superior al A. En este caso se contradice con lo calculado sólo con base en el VPN.


Ahora bien, esta definición de índice de rendimiento funciona de manera adecuada cuando la inversión total se realiza en el momento t = 0. Si no fuera así, se debería desarrollar una fórmula más general para manejar esta situación. Como el índice de rentabilidad es un coeficiente, no se pueden compensar las contribuciones realizadas con los rendimientos hechos en el mismo momento del tiempo y convertirlo en flujos netos de efectivo como se explicó. Si se toma el ejemplo 3.1,4 se observa que las contribuciones no coinciden con los retornos en el mismo tiempo. Esto puede suceder cuando se comparan proyectos que tienen distintos flujos de contribuciones y retornos, por lo que, para evitar problemas, se modifica la fórmula anterior de la siguiente manera: n

IR =

∑v

t

× Rt −1

t =1 n

∑v

t

(3.19)

× Ct

t =1

Este indicador es muy útil cuando un inversionista tiene varias alternativas de inversión, todas las cuales cumplen el requisito de aceptabilidad para él, pero no posee el suficiente capital para invertir en todas ellas.

Ejemplo 3.38 Calcule el índice de rendimiento de un proyecto de inversión de 1.500 U.M. que produce un flujo de rendimientos de 400 U.M. al final de cada año durante 5 años. Suponga que la tasa anual requerida es de 7%.

Solución Se aplica la fórmula (3.18): 400 × a5 07 −1 1.500 400 × 4,1002 IR = −1 1.500 IR = 0,0934 o 9,34% IR =

Al ser un valor positivo, indica que la tasa interna de retorno de una anualidad que paga 400 U.M. por año durante 5 años, a cambio de un depósito inicial de 1.500 U.M., es mayor que el 7% mencionado. Esto puede confirmarse mediante la siguiente relación: 400 × a5 =1.500

4

Vid infra, pág. 376.

433

434

Cap. 3


O bien, a5 =

1.500 = 3,75 400

De esta forma se obtendrá una tasa interna de retorno del 10,425%, valor que supera la tasa de 7% mencionada.

3.9.4 Relación beneficio–costo La relación beneficio-costo consiste en colocar el valor presente de los beneficios netos y dividirlo entre el valor presente de los costos del proyecto. La tasa que se emplee para calcular el valor presente o actual depende del costo de oportunidad de quien realiza los cálculos. El resultado de la relación beneficio-costo es un índice que representa el rendimiento obtenido por cada U.M. invertida. Las decisiones se toman con base en el siguiente detalle: Si la relación B / C < 1, el proyecto es rechazado, porque no es recomendable. Si la relación B / C = 1, la decisión de invertir es indiferente. Lo único que se alcanza a obtener es la tasa del inversionista, por lo que, es indistinto realizar el proyecto o continuar con las inversiones que normalmente realiza el inversionista. Si la relación B / C > 1, el proyecto es aceptado. El beneficio-costo del proyecto se obtendrá mediante la aplicación de la siguiente fórmula: n

Relación B / C =

∑v

ti

× Rt

t =0 n

∑ v ti × Ct t =0

donde B/C v ti i Rt Ct n

Relación beneficio-costo Factor de descuento Tasa de interés Retorno en el periodo t Contribuciones en el periodo t Número de periodos

− 1, donde v ti = (1+ i )− i

(3.20)


Ejemplo 3.39 Suponga que usted está frente al proyecto de inversión del ejercicio anterior. Calcule el periodo descontado de recuperación de la inversión.

Solución Se procede a calcular los flujos descontados de contribuciones y retornos para cada año.

Año

Contribuciones

Retornos

Ct descontado

Rt descontado

2000

−370.000

0

−370.000

0

2001

−220.000

0

−200.000

0

2002

−20.000

120.000

−16.529

99.174

2003

−20.000

180.000

−15.026

135.237

2004

−20.000

230.000

−13.660

157.093

2005

−20.000

300.000

−12.418

186.276

2006

−20.000

350.000

−11.289

197.566

2007

−20.000

400.000

−10.263

205.263

−649.187

980.609

Total Se aplica la fórmula (3.20): Relación B / C =

980.609 − 1 = 0,51 649.187

La ecuación anterior muestra que por cada U.M. invertida en el proyecto se obtendrán 51 centavos de ganancia, lo que hace viable la inversión, ya que bajo este criterio se confirma una vez más su rentabilidad.

435

436

Cap. 3


3.9.5 Método del valor anual equivalente Este método consiste en convertir todos los ingresos y gastos que ocurren durante un periodo en una anualidad con pagos iguales. Cuando dicha anualidad es positiva, es recomendable aceptar el proyecto. Por lo general este método se utiliza para comparar alternativas. El VAE significa que todos los ingresos y desembolsos (irregulares y uniformes) se convierten en una cantidad uniforme anual equivalente, que es la misma cada periodo. VAE

n

ct t t 1 (1 i)

i (1 i)n (1 i)n 1

(3.21)

c t (1i)n t

i (1 i)n 1

(3.22)

C0

O bien, VAE

t n t 0

Por tanto, si VAE ≥ 0, la inversión se acepta VAE < 0, la inversión se rechaza Es muy útil para resolver los problemas que se presentan cuando las inversiones tienen distinta duración y diferentes valores del capital invertido. Si se suponen dos proyectos que tienen los mismos retornos y distintos montos de inversión, se puede analizar perfectamente con el flujo anual equivalente. Si se analiza la elección entre maquinarias que cumplen una misma función y tienen distintos costos y duraciones (vida útil) desde un punto de vista técnico, se elegiría aquel cuyo valor actualizado de las contribuciones fuera menor. Pero esta decisión podría ser errónea frente a equipos que tienen distinta duración, por ejemplo uno 4 años y otro 5 años.

Ejemplo 3.40 En una empresa se quiere reemplazar una maquinaria y se analizan dos alternativas: la máquina A cuesta 45.000 U.M., tiene una duración de 3 años y costos de mantenimiento de 10.000 U.M. por año. La máquina B tiene un costo de 55.000 U.M., los gastos de mantenimiento son de 8.000 U.M. anuales y tiene una duración de 4 años. La tasa de descuento o costo de capital es de 10%. ¿Cuál máquina se debe elegir?


Solución Se analizan los flujos de contribuciones de los dos proyectos, ya que los retornos son iguales. 10.000 10.000 10.000 VAC A = 45.000 + + 2 + 3 = 69.869 U .M . 1,1 (1,1) (1,1) VACB = 55.000 +

8.000 8.000 8.000 8.000 + + + = 80.359 U .M . 2 3 1,1 (1,1) (1,1) (1,1)4

Con esta información se debería comprar la máquina A, porque el valor presente de las contribuciones es menor. Pero sucede que la máquina B tiene un mayor ciclo de vida útil, de 4 años, en lugar de 3 que tiene la máquina A. En este caso el método del costo anual equivalente consistiría en calcular cuál es la contribución anual equivalente para cada año y, a su vez, que fuera equivalente a la que se realiza en el proyecto. La regla de decisión en este caso es aquel proyecto que posea un flujo anual equivalente menor. En el caso de la máquina A:

69.869 x A xA

3

1,1 1 3 0,1 1,1

69.869 2,4869

x A 28.094,82 En el caso de la máquina B:

80.359 x B xB

4

1,1 1 4 0,1 1,1

80.359 3,1699

x B 25.350,64 Lógicamente, la decisión a tomar sería la máquina B, porque su costo anual equivalente es menor. En el ejemplo anterior se supuso que las dos máquinas tenían exactamente el mismo sistema de retornos, independientemente de la alternativa que se tuviera, y que lo único distinto era el flujo de las contribuciones. En el caso en que los flujos de contribuciones, retornos y duración fueran distintos, se debe trabajar con los flujos anuales, como se planteó en las fórmulas iniciales. La regla de decisión es elegir aquel proyecto de inversión que tenga un flujo anual equivalente mayor. Si las empresas tuvieran las mismas contribuciones pero diferentes retornos y duración, se deben analizar precisamente estos aspectos y la regla de decisión es elegir aquel proyecto que posea el flujo anual equivalente mayor.

437

438

Cap. 3


3.9.6 Tasa interna de retorno modificada Otro método que se utiliza es la tasa interna de retorno modificada (MIRR o TIRM). Este método ha sido desarrollado como una forma de resolver los problemas creados por múltiples tasas internas de retorno. Cuando se aplica este enfoque primero se calcula el valor presente al inicio de las contribuciones a la inversión a una tasa de interés preestablecida j. Por lo general, j sería la tasa de retorno requerida por el inversionista. En efecto, el inversionista prefinancia los flujos futuros de fondos. Este valor presente se iguala entonces al valor presente a la tasa i de los rendimientos, o las entradas de efectivo futuras derivadas de la inversión. La tasa i que se obtiene se llama tasa interna de retorno modificada y será única. n

∑(1+ j )

−1

t =0

n

× Ct' =∑(1+ i )−1 × Rt'

(3.23)

i =0

donde j Tasa de retorno requerida por el inversionista Ct' Contribuciones al proyecto de inversiones en el periodo t i Tasa interna de retorno modificada ' Rt Rendimientos del proyecto de inversiones en el periodo t De esta forma se puede resolver la tasa interna de retorno modificada para una única tasa i. Si i > j será una inversión atractiva, porque la MIRR (TIRM) es mayor que la tasa de retorno requerida por el inversionista. Si i < j, en este caso la inversión no será conveniente.

Ejemplo 3.41 A cambio de recibir 230 U.M. al terminar un año, un inversionista paga de inmediato 100 U.M. y 132 U.M. al término de dos años. Calcule la tasa interna de retorno modificada si la tasa de retorno requerida es de 12%.

Solución Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (3.23): 100 +132 × (1,12)−2 = 230 × (1+ i )−1 Se resuelve el primer miembro y se obtiene: 205,2296 = 230 × (1+ i )−1


Se despeja (1 + i): (1+ i ) =

230 205,2296

(1+ i ) = 1,1207 Por tanto, la única tasa interna de retorno modificada es de 0,1207 o 12,07%, la cual supera apenas la tasa de rendimiento requerida de 12%. Recuerde que cuando se obtuvo la tasa interna de retorno en el ejercicio 3.6, se obtenían dos tasas distintas, una de 10% y otra de 20%.

3.9.7 Proyectos mixtos Ahora se analiza el método de los proyectos mixtos. Se trata de una técnica más sofisticada para resolver las tasas de rendimiento múltiples que el método MIRR (TIRM) descrito anteriormente. En la sección 3.3. se analizó el problema de la unicidad de la tasa interna de retorno y se mostró que si el saldo de la inversión pendiente es positivo durante todo el periodo de inversión, la tasa de rendimiento será única. Se puede generalizar este resultado y definir un proyecto de inversión puro como aquel en el que Bt ≥ 0 para t = 0, 1, 2,..., n. Un proyecto de inversión puro es aquel en el que el inversionista tiene dinero invertido en el proyecto durante todo el periodo de inversión. Ahora se analizará desde la perspectiva de un prestatario y se definirá un proyecto de financiamiento puro como aquel en el que Bt ≤ 0 , para t = 0, 1, 2,..., n. Un proyecto de financiamiento puro es aquel en que el inversionista debe dinero al proyecto durante todo el periodo de la inversión. Por tanto, en este caso el inversionista se ha convertido en un deudor. Las tasas internas de retorno múltiple pueden surgir cuando durante el periodo de inversión algunos saldos son positivos y otros negativos. Este tipo de proyectos presentan, a la vez, aspectos de financiamiento e inversión y la aplicación del criterio TIR supone exigir la igualdad entre el costo del capital y el de reinversión. En este modelo más general se parte de la premisa que hay una tasa de interés diferente que debe utilizarse durante el periodo de inversión, en el cual el inversionista se encuentra como prestamista, a aquella tasa que se utiliza cuando se encuentra en la condición de prestatario.5 Si se simboliza con r la tasa de retorno del proyecto, es la tasa de rentabilidad exigida cuando el inversionista se encuentra en estado de prestamista, es decir, cuando el balance de la inversión es Bt ≥ 0 . Por su parte se denota con f la tasa de rendimiento requerida durante el periodo de inversión en el que el inversionista es deudor, el balance de la inversión es Bt ≤ 0 . Por lo general, r será mayor que f, ya que el inversionista exigirá una mayor tasa de rentabilidad cuando es prestamista que la que tiene como prestatario. 5

Se establece que los periodos de inversión generan flujos que son reinvertidos en el proyecto.

439

440

Cap. 3


El enfoque se generaliza utilizando las fórmulas ya desarrolladas en la sección 3.3. El saldo del balance inicial es: B0 = C0 Los saldos sucesivos se desarrollan como una fórmula recursiva: Bt = Bt −1 × (1+ r ) + Ct , si Bt −1 ≥ 0 o bien, Bt = Bt −1 × (1+ f ) + Ct , si Bt −1 < 0 Y esto es válido para todo t = 0, 1, 2,…, n. El balance final es una polinomial6 en r y f de la siguiente forma: Bn = C0 × (1+ r )m0 × (1+ f )n−m0 + C1 × (1+ r )m1 × (1+ f )n−m1 −1 + ... + Cn

(3.24)

donde r Tasa de rentabilidad exigida por el prestamista f Tasa de rendimiento requerida por el deudor C0 Inversión inicial Ct Flujo de contribuciones del periodo t Bn Balance de la inversión en el periodo n En la ecuación anterior los mj son números enteros tales que: n ≥ m0 ≥ m1 ≥ ... ≥ mn ≥ 0 En la última fórmula, mj es el número total de periodos desde el momento j al n para los cuales se utiliza la tasa de interés r, y la tasa f se utiliza para el resto de los periodos.

Ejemplo 3.42 Un empresario cuenta con una inversión inicial de 100 U.M., el banco le presta a una tasa de 8%, y se busca obtener un flujo de contribución de 100 U.M. por los siguientes dos años. Si el empresario exige una tasa de 12% de interés, calcule el balance de la inversión.

6

El término polinomial se utiliza como adjetivo para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro. Los polinomios se utilizan en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable.


Solución En este caso, el empresario enfrenta problemas de inversión y financiamiento, por lo que se busca aplicar el criterio de TIR, que intuitivamente iguala el costo del capital y el de reinversión. Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (3.24):

Bn = C0 × (1+ r )m0 × (1+ f )n − m0 + C1 × (1+ r )m1 × (1+ f )n − m1 − 1 + ... + Cn Se reemplazan los valores en dicha ecuación, por lo que se obtiene: Bn = 100 × (1+ 0,12)2 × (1+ 0,08)2 + 100 × (1+ 0,12)1 × (1+ 0,08)1 + 100 B = 367,27 U.M. Por tanto, el balance de inversión es de 367,27 U.M.

3.9.8 Problemas propuestos 1. Suponga que usted está frente al siguiente proyecto de inversión: a)

Inversión inicial de 470.000 U.M. en el año 0; 320.000 U.M. en el año 1.

b) Realiza gastos de mantenimiento de 30.000 U.M. a partir de la puesta en producción en el año 2 y hasta la finalización del proyecto. c)

Se esperan retornos de la inversión de 220.000 U.M. en el año 2002; 190.000 U.M. en 2003; 200.000 U.M. en 2004; 300.000 U.M. en 2005; 350.000 U.M. en 2006 y 450.000 U.M. en 2007.

Todos los flujos se concretan al final de cada año. Calcule el periodo de recuperación de la inversión. Respuesta: 5 años. 2. Un proyecto de inversión de 1.600 U.M. produce un flujo de rendimientos de 450 U.M. al final de cada año durante 4 años. Calcule el índice de rendimiento del proyecto, si la tasa anual requerida es de 8%. Respuesta: el índice de rentabilidad es de 20%. 3. En un contexto de caída sucesiva del dólar, una empresa industrial decide renovar parte de su capital a través de la importación de nueva tecnología. El proyecto implica reemplazar dos máquinas, para lo cual tiene dos alternativas: la máquina A cuesta 55.000 U.M., tiene una duración de 3 años

441

442

Cap. 3


y costos de mantenimiento de 15.000 U.M. por año. La máquina B tiene un costo de 55.000 U.M., los gastos de mantenimiento son de 10.000 U.M. anuales y tiene una duración de 4 años. La tasa de descuento o costo de capital es de 9%. ¿Cuál máquina le conviene adquirir? Respuesta: la máquina B. 4. Leticia cuenta con una inversión inicial de 500 U.M., solicita financiamiento a un banco que le presta a una tasa de 9%, y pretende obtener un flujo de contribución de 200 U.M. los siguientes dos años. Si ella espera una tasa de interés de 13%, calcule a cuánto asciende su balance de inversión. Respuesta: 1.049,75 U.M.

3.10

Fórmulas y nomenclatura

Nombre

Fórmula

Tasa interna de retorno (3.1)

VPN(i ) = 0

Valor presente neto a una tasa de interés i (3.2)

Valor acumulado al final de n periodos (3.3)

Nomenclatura VPN: Valor presente neto i: Tasa de interés

VPN(i ) = ∑ v ti × c ti , donde : v i = (1+ i )−i

VPN: Valor presente neto v ti : Factor de descuento i: Tasa de interés c ti : Diferencial entre retorno y contribución en el periodo t n: Número de periodos

VA =1+ i × s n j

VA: Valor acumulado i: Tasa de interés s n j : Valor acumulado de una anualidad inmediata

n

t =0


Nombre Valor acumulado cuando los pagos se realizan al final de cada periodo (3.4) Valor acumulado cuando los pagos se realizan al inicio de cada periodo (3.5)

Monto de dinero en el fondo al inicio del periodo (3.6)

Fórmula

Nomenclatura

VA n i (Is)n 1 j n i

VA n i (Is)n j n i

sn j n j

sn 1 j (n 1) j

c t (1 i)1 t

B A (1 i) 0 t 1

443

VA: Valor acumulado n: Número de periodos i: Tasa de interés sn j : Valor acumulado de una anualidad inmediata j: Tasa de interés

VA: Valor acumulado n: Número de periodos i: Tasa de interés sn+1 j : Valor acumulado de una anualidad inmediata j: Tasa de interés B: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) ct: Diferencial entre el retorno y la contribución en el periodo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) C = ∑ c t : Monto neto total t

del principal contribuido durante el periodo (si es negativo, éste es un indicativo de retiro neto)

444

Cap. 3


Nombre

Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) (3.7)

Tasa de interés del dólar ponderado (3.8)

Monto de dinero en el fondo al inicio del periodo (3.9)

Fórmula

I i A

Nomenclatura

c t (1 t) i 0!t!1

i

I c t (1 t)

A 0 t 1

B A (1i)

ct 0 t 1

@1

(1 t) i B

A: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I: Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) ct: Diferencial entre el retorno y la contribución en el periodo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) i: Tasa de interés t: Tiempo i: Tasa de interés A: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I: Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) ct: Diferencial entre el retorno y la contribución en el periodo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) t: Tiempo B: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I: Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) ct: Diferencial entre el retorno y la contribución en el periodo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) t: Tiempo


Nombre

Tasa de interés ponderado por dólar (3.10)

Fórmula

Nomenclatura

i≈

I k × A + (1− k ) × B − (1− k ) × I

k

1 C

t ct , 0 t 1 0 t 1

C

ct 0 t 1

Tasa de interés de dólar ponderado (3.11)

Tasa de retorno del fondo en el tiempo k (3.12)

i≈

1+ j k =

2× I A+ B − I

Btk Btk−1 + Ctk−1

,

445

k =1,2,...,m

i: Tasa de interés A: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) B: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) I: Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) ct: Monto neto del principal contribuido en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) donde 0 ≤ t ≤1 C: Suma de los montos netos del principal contribuidos B: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) A: Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0) I: Monto de interés ganado durante el periodo (en U.M.) jk: Tasa de retorno del fondo en el tiempo k Btk : Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo tk Ctk−1 : Monto de dinero (en U.M.) contribuido en el tiempo tk–1

446

Cap. 3


Nombre

Fórmula

Nomenclatura

Tasa de retorno de tiempo ponderado (3.13)

i = (1+ j1 ) × (1+ j2 ) × ... × (1+ j m ) −1

i: Tasa de interés jt: Tasa de interés efectiva en el tiempo i (i = 1, 2, …, m) X : Importe invertido

Método de cartera (3.14)

Periodo de recuperación con flujos netos constantes (3.15)

Periodo de recuperación con flujos no constantes (3.16)

Periodo de recuperación descontado (3.17)

m

m

X × ∏ (1+ i ) = X × (1+ i ) × (1+ i ) × ... × y t

y t

A ct

P: Periodo de recuperación A: Desembolso inicial ct: Monto neto del principal contribuido en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) donde 0 ≤ t ≤1

k

P = ∑c t ≥ A t =1

k

P = ∑v t × c t ≥ A t =1

t =0

)

y t +m

P=

∏ : Símbolo de productoria

desde el periodo t = 0 hasta n i ty : Tasa de interés acreditada en el año t

t =0

× (1+ i

y t +1

P: Periodo de recuperación A: Desembolso inicial ct: Monto neto del principal contribuido en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) donde 0 ≤ t ≤1 P: Periodo de recuperación k: Periodo mínimo de tiempo en que se recupera la inversión v ti : Factor de descuento ct : Monto neto del principal contribuido en el tiempo t (entradas menos salidas de efectivo en el tiempo t) donde 0 ≤ t ≤1


Nombre

Índice de rendimiento (3.18)

Fórmula

n

Nomenclatura

FCt

∑ (1+ r )

t

IR =

Índice de rendimiento cuando no coinciden los flujos de contribuciones y retornos (3.19)

t =1

−1 =

I

IR =

∑v

−1

∑v

t

× Ct

t =1

Relación B / C =

∑v

ti

t =0 n

∑v

ti

× Rt × Ct

−1

t =0

donde : v ti = (1+ i )− i

Valor anual equivalente (3.21)

Valor anual equivalente (3.22)

VAE

VAE

C0

t n t 0

n

ct t t 1 (1 i)

c t (1 i)n t

IR: Índice de rendimiento FCt: Flujo de efectivo del periodo t r: Tasa de descuento VPN: Valor presente neto I: Monto de la inversión IR: Índice de rendimiento vt: Tasa de descuento del periodo t t R : Retornos del periodo t Ct: Contribuciones del periodo t

× Rt

t =1 n

n

Relación beneficio/costo (3.20)

VPN −1 I

n

t

447

B/C: Relación beneficio/costo v ti : Factor de descuento i: Tasa de interés Rt: Retorno en el periodo t Ct: Contribuciones en el periodo t n: Número de periodos

i (1 i)n (1 i)n 1

VAE : Valor anual equivalente Ct: Contribuciones netas del periodo t I: Tasa de interés n: Número de periodos

i (1 i)n 1

VAE : Valor anual equivalente ct: Contribuciones netas del periodo t I: Tasa de interés n: Número de periodos

448

Cap. 3


Nombre

Tasa interna de retorno modificada (3.23)

Balance de proyectos mixtos (3.24)

Fórmula

n

∑(1+ j ) t =0

−1

n

× Ct' =∑(1+ i )−1 × Rt' i =0

Bn = C0 × (1+ r )m0 × (1+ f )n−m0 + +C1 × (1+ r )m1 × (1+ f )n−m1 −1 + ... + Cn

Nomenclatura j: Tasa de retorno requerida por el inversionista Ct: Contribuciones al proyecto de inversiones en el periodo t i: Tasa interna de retorno modificada ' Rt : Rendimientos del proyecto de inversiones en el periodo t r: Tasa de rentabilidad exigida por el prestamista f: Tasa de rendimiento requerida por el deudor C0: Inversión inicial Ct: Flujo de contribuciones del periodo t Bn: Balance de la inversión en el periodo n

3.10.1 Nomenclatura Símbolo A A(t) P t i I a(t) I1 in In k I ( s ,t ) n

Descripción Valor acumulado Valor acumulado en t periodos Principal Tiempo Tasa de interés Interés Función acumulación Interés ganado en el periodo 1 Tasa de crecimiento, tasa de interés efectiva Aumento de la función A(t) en el n-ésimo periodo Inversión original Interés ganado Número de periodos


Símbolo

Descripción

F Fn Yi Mi Di −1 ( a (t )) dn In ac (t ) d PV i (m)

Pago total Pago total en el periodo n Año i Mes i Día i Función de acumulación inversa Tasa de descuento efectiva Interés en el periodo n Función acumulación para interés compuesto Tasa de descuento simple Valor presente Tasa de interés nominal compuesta m veces por periodo de medición Número de periodos de capitalización Tasa de descuento nominal Tasa de interés constante Fuerza de interés continua Derivada de la función acumulación respecto al tiempo Derivada del valor acumulado en t periodos respecto al tiempo Valor acumulado en el periodo 0 Tasa de interés para el periodo i (i = 1,2,…,n) Tasa de descuento continua Variable 1 Variable 2 Tasa de interés efectiva en el periodo n Tiempo equivalente Pago i Tiempo i Valor presente neto Factor de descuento en el tiempo i Diferencial entre el retorno y la contribución en el periodo t (en U.M.) Valor acumulado Valor acumulado de una anualidad inmediata Tasa de interés Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al final del periodo (por ejemplo, t = 1) Monto de dinero (en U.M.) en el fondo al inicio del periodo (por ejemplo, t = 0)

m d (m) δ δt a ' (t ) A' (t ) A (0) ii δ 't x1 x2 jn t* si ti VPN v t1 ct VA sn j o s n j B A

449

450

Cap. 3


Símbolo

Descripción

an

Interés (en U.M.) Valor presente de una anualidad de pago inmediato Factor de descuento e igual a v = 1 / (1 − i) Factor de descuento en el periodo n, que equivale a v n = 1 / (1 − i)n Valor presente de una anualidad inmediata Valor acumulado de una anualidad de pago inmediato Factor de descuento en el periodo m Factor de descuento en el periodo m + n Número de periodos Factor de descuento en el periodo m – n Valor presente de una perpetuidad inmediata Valor presente de una perpetuidad de pago inmediato Valor presente de una perpetuidad inmediata diferida Valor presente de una anualidad inmediata (en U.M.) Valor del pago regular Constante Valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al inicio de cada periodo de conversión de intereses por n periodos de interés de conversión Valor presente de una anualidad continua

sn

Valor acumulado de una anualidad continua

a∞

Valor presente de una perpetuidad continua

I an v vn an sn vm v m+ n m v n−m a∞ a∞ P* P R k L

CAPÍTULO

4

Metodologías de repago de préstamos

Contenido 4.1. INTRODUCCIÓN 4.2. SALDO DEL PRÉSTAMO UTILIZANDO LOS MÉTODOS PROSPECTIVO Y RETROSPECTIVO 4.2.1. Problemas propuestos 4.3. CRONOGRAMA DE AMORTIZACIÓN 4.3.1. Problemas propuestos 4.4. MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN 4.4.1. Problemas propuestos

4.5. AMORTIZACIÓN CON DIFERENTES PLAZOS DE PAGO DE INTERESES Y PERIODOS DE CONVERSIÓN 4.5.1. Problemas propuestos 4.6. AMORTIZACIÓN CON DIFERENTES SERIES DE PAGOS 4.6.1. Problemas propuestos 4.7. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN FRANCÉS 4.7.1. Cálculo de la cuota periódica 4.7.2. Cálculo del valor de la amortización en un periodo t 4.7.3. Cálculo de los intereses de un determinado periodo t 4.7.4. Cálculo de la deuda amortizada 4.7.5. Cálculo de la deuda pendiente de amortización 4.7.6. Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa un pago anticipado 4.7.7. Problemas propuestos 4.8. SISTEMA DE AMORTIZACIÓN ALEMÁN 4.8.1. Cálculo de la cuota periódica 4.8.2. Cálculo de los intereses de un determinado periodo t 4.8.3. Cálculo del valor de la anualidad R de un determinado periodo t 4.8.4. Variación de la cuota 4.8.5. Cálculo de la deuda amortizada 4.8.6. Cálculo de la deuda pendiente de amortización 4.8.7. Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa un pago anticipado 4.8.8. Problemas propuestos 4.9. FÓRMULAS Y NOMENCLATURA

4.2 Saldo del préstamo utilizando el método prospectivo y retrospectivo

4.1

Introducción

Un préstamo es un acuerdo entre dos partes mediante el cual una de ellas, la deficitaria de fondos, comúnmente conocida como prestatario, recibe efectivo de otra, la superavitaria de fondos, que se le conoce como prestamista. Esta última, cuando recibe el préstamo, asume el compromiso de devolver este efectivo, así como un monto de efectivo adicional conocido como interés. Para devolver el préstamo, se pueden emplear los métodos de amortización y de fondo de amortización. Con el método de amortización, los préstamos se devuelven mediante pagos que se realizan a plazos y en ciertos intervalos de tiempo. Cada cuota periódica incluye el pago de un monto fijo (amortización) y de intereses (en general, éstos son superiores en las primeras cuotas). De esta forma, se logra una reducción progresiva de la cantidad adeudada. Ejemplo de ello son los pagos por préstamos vehiculares y por reembolso de hipotecas. Si se aplica el método del fondo de amortización, los préstamos se devuelven mediante un pago global al vencimiento (balloom payment). El prestatario sólo paga durante este periodo intereses sobre el préstamo en cuotas, además, puede prepararse para la devolución mediante depósitos en el fondo de amortización (sinking fund) y así acumular dinero para el pago.

4.2

Saldo del préstamo utilizando los métodos prospectivo y retrospectivo

Cuando se aplica el método de amortización, los pagos son una anualidad cuyo valor presente es igual a la cantidad original del préstamo. En esta sección se calculará el saldo pendiente de pago (saldo pendiente del préstamo o principal no pagado), en cualquier momento posterior al inicio del préstamo. Los enfoques para determinar el importe del saldo pendiente de pago son el prospectivo y el retrospectivo. Si se aplica el enfoque prospectivo, el saldo pendiente de pago en cualquier punto en el tiempo será igual al valor presente en dicha fecha. Si se aplica el enfoque retrospectivo, el saldo pendiente de pago en cualquier punto en el tiempo será igual a la cantidad original del préstamo acumulado a esa fecha, menos el valor acumulado en ese día de todos los pagos anteriores.

453

454

Cap. 4 Metodologías de repago de préstamos

Ambos enfoques son equivalentes. Al inicio del préstamo se cumple lo siguiente: Valor presente de todos los pagos = Monto del préstamo Si el saldo pendiente del préstamo se acumula en cada lado de la ecuación a la fecha en que se desea, se obtiene: Valor presente de los pagos acumulados = Valor acumulado del préstamo Sin embargo, los pagos se pueden dividir en pasados y futuros, determinados por: Valor acumulado de los pagos anteriores + Valor presente de los pagos futuros = Valor acumulado del préstamo Como se observa, el lado izquierdo de esta ecuación presenta el enfoque prospectivo y el derecho el retrospectivo. Algebraicamente se puede demostrar que ambos enfoques son equivalentes. Así, Btp y Btr representan los saldos pendientes de préstamos otorgados en el tiempo t, utilizando los métodos prospectivo y retrospectivo, respectivamente. Si se quiere pagar el préstamo mediante pagos de R cada uno durante n periodos, con una tasa de interés periódica i, se debe cumplir que

R=

L an

(4.1)

donde R Pago L Préstamo inicial an Valor presente de la anualidad en el periodo 0 a una tasa de interés i En la ecuación (4.1) se debe considerar que:

an =

1− (1+ i )− n i

(4.2)

donde an Valor presente de la anualidad en el periodo 0 a una tasa de interés i i Tasa de interés Para 0 < t < n, el saldo pendiente del préstamo en el tiempo t calculado después de realizar el t-ésimo pago es:

B tp = P × an − t

(4.3)


donde: Btp Saldo del préstamo pendiente con el enfoque prospectivo P Pago an−t Valor presente de una anualidad inmediata Por el método retrospectivo se tendrá:

Btr L 1 i t P st

(4.4)

donde Btr Saldo del préstamo pendiente con el enfoque retrospectivo P Pago L Préstamo inicial i Tasa de interés t Tiempo st Valor acumulado de una anualidad inmediata Por el método retrospectivo se tendrá que: Btp Btr Btr L 1 i

t

P st

Btr P an 1 i Btr P

t

P st

t n t t

1 i 1 i 1 i 1

i

1 vn t i P an t

Btr P Btr Es decir, se cumple que:

Btr = BtP donde Btp Saldo del préstamo pendiente obtenido con el enfoque prospectivo Btr Saldo del préstamo pendiente obtenido con el enfoque retrospectivo A continuación se desarrollan ejemplos donde se aplica lo anterior en la resolución de problemas.

Ejemplo 4.1 Se recibe un préstamo, el cual se devuelve mediante 20 pagos anuales de 500 U.M. cada uno. En el noveno pago, el prestatario desembolsa una cantidad adicional de dinero de 800 U.M. y luego reembolsa el saldo a lo largo de cinco años con un pago anual recalculado. Si la tasa de interés efectiva es de 5%, calcule el importe del pago anual recalculado.

455

456


Solución Para resolver este problema se realizan los siguientes pasos: a)


b) Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en la ecuación (4.2): B9p 500 a11 B9p 500

1 (1 0,05) 0,05

11

B9p 4.153,21 El saldo que se adeuda después de 9 años, según el enfoque prospectivo, es de 4.153,21 U.M. c)

Si el prestatario paga una cantidad adicional de dinero de 800 U.M., el saldo a pagar será de 3.353,21 U.M.

d) El valor del pago anual recalculado (denotado por R) durante los próximos 5 años se determina considerando el nuevo saldo que se debe pagar. Así, R a5 3.353,21 R R

R

3.353,21 a5 3.353,21 1 (1 0,05) 0,05

5

3.353,21 4,3295

R 774,50 El importe del pago anual recalculado es de 774,50 U.M.

Ejemplo 4.2 Utilice los enfoques prospectivo y retrospectivo para calcular el saldo pendiente de pago de una deuda inmediatamente después de los 7 primeros pagos. Esta deuda se debe reembolsar en 18 cuotas trimestrales, las primeras 9 de 100 U.M. y las últimas 9 de 200 U.M. cada una. La tasa nominal de interés compuesta trimestral es de 5%.



Se calcula la tasa efectiva trimestral que se utilizará para resolver el problema: 0,05 4 i = 0,0125 i=

b) Se expresa el valor de Btp en términos de los valores presentes: B7p =100 × (v + v 2 ) + 200 × v 2 × (v + v 2 + ... + v 9 ) B7p =100 × (v + v 2 ) + 200 × (v 3 + v 4 + ... + v11 ) B7p = 200 × (v 3 + v 4 + ... + v11 ) + 200 × (v + v 2 ) − 200 × (v + v 2 ) +100 × (v + v 2 ) B7p = 200 × (v + v 2 + v 3 + v 4 + ... + v11 ) − 200 × (v + v 2 ) +100 × (v + v 2 ) B7p = 200 × (v + v 2 + v 3 + v 4 + ... + v11 ) −100 × (v + v 2 ) B7p = 200 × a11 −100 × a2 c)

Se reemplazan los valores del enunciado y del inciso a) en la ecuación establecida en el inciso b): B7p 200

1 (10,0125) 0,0125

11

100

1 (10,0125) 0,0125

2

B7p 200 10,2178 100 1,9631 1.847,25 B7p 1.847,25 d) Con el método retrospectivo, la cantidad inicial del préstamo es: L 100 (vv 2 v 3 ... v 9 ) 200 v 9 (v v 2 ... v 9 ) L 100 (v v 2 v 3 ... v 9 ) 200 (v10 v11 ... v18 ) L 100 (v v 2 v 3 ... v 9 ) 200 (v10 v11 ... v18 ) 200 (v v 2 ... v 9 ) -200 (v v 2 .. v 9 ) L 200 (v v 2 v 3 ... v18 ) 100 (v v 2 ... v 9 ) L 200 a18 100 a9 L 200

1 (10,0125) 0,0125

18

100

1 (10,0125) 0,0125

L 200 16,0295 100 8,4623 2.359,68 L 2.359,68

9

457

458


e)

Finalmente, el saldo pendiente de pago es: B7r = 2.359,68 × (1,0125)7 −100 × s7 B7r = 2.574,05 −100(7,268) B7r =1.847,25

El saldo pendiente de pago es de 1.847,25 U.M.

Ejemplo 4.3 Michael compra un automóvil por 20.000 U.M. mediante un préstamo a 30 meses a una tasa de interés de 4% compuesta mensual. Durante los primeros dos años, paga con regularidad el préstamo, pero empieza a cubrir dos veces el pago requerido a partir del primer pago del tercer año. Michael terminará de pagar su préstamo con un pequeño pago final. Determine el número total de pagos que realizará.


Se calcula la tasa de interés efectiva mensual: 0,04 = 0,0033 12

b) Si al pago original requerido se le denomina P, entonces, P × a30 0,0033 = 20.000 1− (1,0033)−30 = 20.000 0,0033 20.000 × 0,0033 P= 1− 1,0033−30 66,667 P= 0,095 P = 701,67 P×


Al final de los dos primeros años, el saldo pendiente del préstamo tiene prospectivamente el siguiente valor: P B24 = 701,67 × a6 0.0033 P B24 = 701,67 ×

(1− 1,0033−6 ) 0,0033

P B24 = 4.161,31

Michael paga cada mes 2 × P = 1.403,34 . c)

Luego, para calcular el número de periodos se plantea la siguiente expresión: 1.403,34 an 0,003 4.161,31 1.403,34

n

1 1,0033 0,0033

1.403,34 1 1,0033

n

4.161,31

4.161,31

0,0033

4.161,31 0,0033

1 1,0033

n

1 1,0033

n

0,0098

1,0033

n

0,99021

1.403,34

1 0,99021 1,0033n 1 1,0033n 0,99021 1,0033n 1,0099 ln1,0033n ln1,0099 n

ln1,0099 ln1,0033

n 2,99 En consecuencia, realizará dos pagos totales y un pago más pequeño para cancelar el préstamo. Esto significa que, si se consideran los dos primeros años de pago y el resto por pagar, habrá efectuado un total de 27 pagos.

459

460


Ejemplo 4.4 Se reembolsa un préstamo de 50.000 U.M. mediante pagos trimestrales, al final de cada trimestre durante un periodo de diez años, a una tasa de 4% compuesta trimestral. Calcule el saldo pendiente de pago al final del segundo año.


Se determina la tasa de interés efectiva: 0,04 = 0,01 4 La tasa de interés efectiva trimestral es de 0,01.

b) Si P es el pago trimestral, entonces: P a40 0,01 50.000 (1 1,01 40 ) 50.000 0,01 50.000 P (1 1,01 40 ) 0,01

P

50.000 32,8347 P 1.522,78 P

c)

El saldo pendiente de pago al final del segundo año es, prospectivamente: B8P =1.522,78 × a40−8 0,01 B8P =1.522,78 × B8P = 41.525,59

(1−1,01−32 ) 0,01


4.2.1 Problemas propuestos 1. Un préstamo se devuelve mediante pagos anuales de 2.000 U.M. Calcule el saldo pendiente de pago si existen 10 pagos pendientes. Se debe considerar que el siguiente pago se realizará dentro de un año a partir de hoy y que la tasa de interés efectiva anual es de 4%. Respuesta: 16.221,79 U.M. 2. Un préstamo de 1.000 U.M. es devuelto por medio de seis pagos anuales desiguales; se cobra una tasa de interés efectiva anual de 1% sobre el préstamo, que se contrajo hace 3 años, y los pagos son de 100 U.M. al final del primer año, 150 U.M. el segundo año, y 200 U.M. al final del tercer año. Calcule el saldo pendiente inmediatamente después del tercer pago. Respuesta: 679,30 U.M. 3. Calcule el saldo pendiente de pago del préstamo descrito en el problema anterior un año después del cuarto pago e inmediatamente antes del cuarto pago. Respuesta: 236,09 U.M. 4. Genevieve compró una casa con una hipoteca de 200.000 U.M. a 20 años. Este préstamo se devolverá mediante pagos al final de cada mes a una tasa de interés de 4% compuesta mensualmente. Calcule el saldo pendiente al final de 10 años inmediatamente después del 120º pago. Respuesta: 266.073,29 U.M. 5. Un préstamo por 10.000 U.M. se devuelve con pagos anuales de 2.500 U.M. al final de cada año. El interés sobre el préstamo es de 4% efectivo anual. Calcule el saldo del préstamo pendiente después del cuarto año. Respuesta: 1.082,43 U.M. 6. La tasa de interés sobre una hipoteca a 20 años es 10% compuesta mensual. Si esta hipoteca es cubierta mediante pagos mensuales de 1.000 U.M., ¿cuál es el saldo pendiente al final de 8 años? Respuesta: 83.678,15 U.M.

461

462


4.3

Cronograma de amortización

Un cronograma de amortización consiste en una tabla donde se presenta cada pago, separado en capital e intereses, así como el saldo pendiente del préstamo después de cada pago. Considere un préstamo que tiene un valor presente de an a la tasa de interés i en un determinado número de periodos n y que se espera sea reembolsado con pagos de 1 U.M. al final de cada periodo durante n periodos. De esta manera: Al final del periodo 1 (es decir, tras el primer pago), el interés pagado es igual a i × an =1− v n , donde el capital reembolsado tiene un valor de v n y el saldo pendiente del préstamo un valor de an − v n = an−1 . Luego, al final del segundo periodo, el interés pagado es i × an−1 =1− v n−1 , de modo que el capital reembolsado es v n −1 y el saldo pendiente del préstamo es an−1 − v n−1 = an−2 . Si se continúa este proceso, se observa lo siguiente: Al final del periodo k, el interés pagado es igual a i × an−k+1 =1− v n−k+1 y el capital devuelto igual a v n−k+1 . El saldo del préstamo es an−k+1 − v n−k+1 = an−k = BkP . A continuación se presenta el cuadro de amortización. Tabla 4.1. Cuadro de amortización

Periodo

Importe del pago

Interés pagado

Amortización

Saldo del préstamo an

0 1

1

i × a n = 1− v n

vn

an − v n = an−1

2

1

i × an−1 =1− v n−1

v n−1

an−1 − v n−1 = an−2

…

…

…

…

…

k

1

i × an−k+1 =1− v n−k+1

v n−k+1

an−k+1 − v n−k+1 = an−k

4.3 Cronograma de amortización

…

…

…

…

…

n−1

1

i × a2 =1− v 2

v2

a2 − v 2 = a1

n

1

i × a1 = 1− v

v

a1 − v = 0

Total

n

n − an

an

Con base en el cuadro anterior: El saldo pendiente del préstamo coincide con el que se obtuvo mediante el método prospectivo. La suma de los reembolsos del principal es igual a la cantidad original del préstamo. La suma de los pagos de intereses es igual a la diferencia entre la suma de los pagos totales y la suma de los reembolsos del principal. En cuarto lugar, la suma de los reembolsos del principal es una progresión geométrica con la razón común (1 + i).

Ejemplo 4.5 Elabore la tabla de amortización de un préstamo de 500 U.M. reembolsado en 2 años, si la tasa de interés efectiva anual es de 5%.

Solución Los pasos que se deben desarrollar son los siguientes: a)

Si R es el pago periódico, entonces: R R

500 a2 500 1 (1,05) 0,05

500 1,8594 R 268,90 R

2

463

464


b) Se aplican las ecuaciones de la tabla 4.1:

Periodo

Cantidad pagada

Interés pagado

Principal desembolsado

0

Saldo por pagar 500,00

1

268,90

25,00

243,90

256,10

2

268,90

12,80

256,10

0,00

Ejemplo 4.6 Elabore la tabla de amortización de un préstamo de 30.000 U.M. desembolsado en diez meses. Considere que la tasa de interés es de 1% efectiva mensual.


Si R es el pago periódico, R R

R

30.000 a10 30.000 1 (1 0,01) 0,01

10

30.000 9,4713

R 3.167,46 b) Se aplican las ecuaciones de la tabla 4.1: Tabla 4.2. Tabla de amortización

Periodo

Cantidad pagada

Interés pagado


0

Saldo por pagar 30.000,00

1

3.167,46

300,00

2.867,46

27.132,54

2

3.167,46

271,32

2.896,13

24.236,40


3

3.167,46

242,36

2.925,10

21.311,30

4

3.167,46

213,11

2.954,35

18.356,95

5

3.167,46

183,57

2.983,89

15.373,06

6

3.167,46

153,73

3.013,73

12.359,33

7

3.167,46

123,59

3.043,87

9.315,46

8

3.167,46

93,15

3.074,31

6.241,15

9

3.167,46

62,41

3.105,05

3.136,10

10

3.167,46

31,36

3.136,10

0,00

Un aspecto de interés es que, si se desea conocer la cantidad del principal e interés de un pago en particular, no se requiere construir toda la tabla. El saldo pendiente de préstamo al inicio del periodo en cuestión puede determinarse por los métodos retrospectivo o prospectivo. Así, se puede obtener el saldo sólo en el mes que interesa.

Ejemplo 4.7 Isabella pide prestado a Mayla 10.000 U.M. y se compromete a pagarle con cuotas trimestrales iguales de principal e intereses, a una tasa de 8% trimestral por nueve años. Al cabo de dos años, Mayla vende el derecho de recibir los pagos futuros a Juan Diego a un precio que produce una tasa de rendimiento de 10% trimestral convertible para Mayla. Determine la cantidad total de los intereses recibidos por a) Juan Diego, y b) Mayla.


Se determina el pago trimestral que debe hacer Isabella: P

10.000 a 0,02 36

P

10.000 1 (1,02) 36 0,02

P 392,33

465

466


Los pagos totales de Mayla a Juan Diego en los últimos siete años son: (28) × 392,33 = 10.985,20 Después de dos años, el precio que Juan Diego paga a Mayla es:

392,33 a28 392,33

0,025 28

1 (1,025) 0,025

7.832,80 El monto de interés recibido por Juan Diego es: 10.985,20 − 7.832,80 = 3.152,40 b) Isabella paga a Mayla por los dos primeros años: (8) × 392,33 = 3.138,63 Después de dos años, el saldo del préstamo es: a28 0,02

392,33

1 (1,02) 0,02

28

8.349,25 Se recuerda que el precio que Juan Diego paga a Mayla después de dos años es de 7.832,80 U.M. El monto total de los intereses percibidos por Mayla es: 7.832,80 + 3.138,63 −10.000 = 971,43

Ejemplo 4.8 Demuestre que si el número de periodos es 100 y el pago periódico tiene un valor de R, se cumple que: P11 + P12 + ... + P50 = B10 − B50 e I11 + I12 + ... + I50 = 40 × R − ( B10 − B50 ) donde It Intereses pagados en el t-ésimo tramo Pt Amortización del préstamo en el momento t Bt Saldo del préstamo en el momento t R Pago periódico


Solución Para su demostración se realizan los siguientes pasos: a)

Si P11 + P12 + ... + P50 se cumple que: P R

50

v100 k 1

k 11 50

P R v101

k

1 i

k 11 50

P R v101

10

k

1 i

k 0

P R

1 i

k 0

50

1 i i R a50

P R a90

k

1 i

90

P B10 B50 b) Si I = I11 + I12 + ... + I50 , entonces: 50

50

j =11

j =11

I = ∑ R − ∑ Pj I = 40 × R − ( B10 − B50 ) donde Pt Amortización del préstamo en el momento t R Pago periódico It Intereses pagados en el t-ésimo tramo k Periodo k Bt Saldo del préstamo en el momento t La amortización programada de las perpetuidades no existe, debido a que el pago completo considera los intereses, por lo que el saldo del préstamo permanece sin cambios.

4.3.1 Problemas propuestos 1. Un préstamo por 30.000 U.M. es repagado con pagos anuales de 3.000 U.M. durante 11 años. Calcule el monto del principal pagado sobre la vida del préstamo. Respuesta: 30.000 U.M.

467

468


2. Un préstamo de 30.000 U.M. es repagado con pagos anuales de 3.000 U.M. durante 11 años. Calcule el monto del interés pagado sobre la vida del préstamo. Respuesta: 3.000 U.M. 3. Un préstamo es repagado con pagos anuales a una tasa de interés efectiva de 5%. Si la cantidad del principal en el décimo pago es de 200 U.M., calcule el monto del principal en el sexto pago. Respuesta: 170,96 U.M. 4. Un préstamo es reembolsado mediante pagos a una tasa de interés efectiva de 5%. Si la cantidad del principal en el décimo pago es de 2.000 U.M., calcule la cantidad de intereses en ese pago. Respuesta: 100 U.M. 5. Un préstamo de 10.500 U.M. es repagado con pagos anuales de 1.000 U.M. durante n años. El principal total pagado en el primer pago es de 680,60 U.M. Calcule la tasa de interés sobre el préstamo. Respuesta: 3,04%.

4.4

Método del fondo de amortización

El método del fondo de amortización se utiliza cuando se trabaja con los pagos de préstamos a plazo. Este enfoque consiste en que un prestatario puede acumular un fondo (F) que es repagado en su totalidad al final de un periodo específico de tiempo. Este fondo se conoce como fondo de amortización (sinking fund)1 y requiere que el prestatario pague periódicamente intereses (i’) sobre el préstamo. El pago periódico por intereses se conoce como servicio. Figura 4.1. Método del fondo de amortización

L

0

F1

F2

F3

1

2

3

...

...

Fn

n

i’ 1

Este sistema de amortización consiste en el pago periódico de los intereses al prestamista (sistema americano – balloom payment), y al mismo tiempo una aportación a un fondo para constituir un capital con el cual cancelar el principal del préstamo sistema americano a su vencimiento.

4.4 Método del fondo de amortización

donde L Cantidad original del préstamo Fn Fondo acumulado al final de n periodos n Tiempo (n = 1, 2,…) i’ Interés del préstamo Algunas veces el pago puede variar irregularmente a discreción del prestatario; sin embargo, en este libro sólo se estudian los fondos de amortizaciones con contribuciones regulares. Debido a que el saldo de un fondo de amortización podría aplicarse contra el préstamo, la cantidad neta de éste es igual a su cantidad original menos el saldo del fondo de amortización. Asimismo, si la tasa de interés que se paga sobre el préstamo es igual a la tasa de interés que gana el fondo de amortización, ambos métodos son equivalentes. Para verificar tal afirmación, suponga que la cantidad del préstamo es de 1 U.M. y que el préstamo es por n periodos de tiempo. 1. Si se aplica el método de amortización, el pago al final de cada periodo será igual a 1 . an 2. Si se aplica el método del fondo de amortización, el prestatario deberá depositar 1 al final de cada año por los siguientes n años para acumular 1 U.M. sn Al mismo tiempo, el prestatario también paga al prestamista i por periodo. Hay que notar que el pago del interés i más el pago 1 son necesarios. Además, se sn conoce que: 1 1 +i = sn an Entonces, si se despeja la expresión anterior, se obtiene: sn =

an 1 − i × an

(4.5)

donde sn Valor futuro de una anualidad inmediata an Valor presente de una anualidad inmediata i Tasa de interés Por tanto, los dos métodos son equivalentes. Un modo de visualizar cómo se aplica el método de amortización consiste en elaborar un cronograma de amortización. De manera similar se aplica a un fondo de amortización.

469

470


Para ello, con el método del fondo de amortización, si se efectúan depósitos al final de cada periodo se obtendría la ecuación (4.6). De este modo, R=

L sn

(4.6)

donde R Pago periódico L Préstamo inicial sn Valor futuro de una anualidad inmediata A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 4.9 Elabore el cronograma de su fondo de amortización de un préstamo de 2.000 U.M. que se reembolsa en un periodo de tres años, si la tasa de interés anual es de 4%.



b) Se reemplazan los datos del enunciado en la ecuación del inciso a): R

L sn

R

2.000 s 3 0,04

R

R

2.000 (10,04)3 1 0,04 2.000 3,12

R 640,6971


c)

471

Sobre la base de lo anterior, se elabora la tabla del fondo de amortización. Tabla 4.3. Tabla del fondo de amortización

Periodo

Depósito al fondo de amortización

Interés ganado sobre el fondo de amortización

Saldo en el fondo amortización

0

Préstamo neto 2.000,0000

1

640,6971

0

640,6971

1.359,3029

80,00

2

640,6971

25,6279

1.307,0221

692,9779

80,00

3

640,6971

52,2809

2.000,0000

0,0000

80,00

d) En la tabla se distingue que la cantidad en el fondo de amortización después de t pagos es el resultado de multiplicar por st / j las U.M. depositada en el fondo de amortización, donde j es la tasa de interés que éste paga. 1.

Monto pagado = Interés pagado (por periodo) + Depósito del fondo de amortización

2.

Amortización del capital = Interés pagado (cada periodo) − Interés ganado por el fondo de amortización

3.

Amortización del capital = Depósito del fondo de amortización (cada periodo) + Interés ganado en el fondo

4.

Interés pagado

de amortización Préstamo pendiente de pago = Monto neto del préstamo (cada periodo)

Se debe considerar que el importe neto del préstamo tiene la misma función para el método del fondo de amortización que el saldo pendiente de pago por el método de amortización. Asimismo, se considera la situación en la cual la tasa de interés del préstamo y la tasa de interés que se gana en el fondo de amortización son diferentes. La tasa en el préstamo es indicada por i y la tasa en el fondo de amortización por j. Por lo general j es menor que i, porque el fondo de amortización no podría tener mayor riesgo que el préstamo. En este caso, una cantidad de i se deducirá del depósito del fondo de amortización y el saldo será invertido en el fondo de amortización a la tasa j. Si an i& j es el valor presente de una anualidad que paga 1 U.M. al final de cada periodo por n periodos, con i y j previamente definidos, entonces en el caso de un préstamo de 1 U.M., mediante el método de amortización, la cantidad del préstamo será reembolsada con pagos de intereses de i × an i& j al final de cada periodo

472


por n años junto con depósitos anuales de 1− an i & j en un fondo de amortización que devenga intereses a la tasa efectiva anual de j. El fondo de amortización debería acumular an i& j al final de n años. Es decir: (1− i × an i& j ) × sn j = an i& j Entonces, a n i& j =

sn j 1+ i × sn j

lo que equivale a la siguiente ecuación: 1 a n i& j donde a n i& j sn j i j

=

1 +i sn j

(4.7)

Valor presente de una anualidad, con i y j previamente definidas Valor futuro de una anualidad inmediata, con j previamente definida Tasa de interés del préstamo Tasa de interés del fondo de amortización

En otras palabras, el préstamo de 1 U.M. puede ser reembolsado al prestamista por 1 en el fondo de amortización al final de pagos de intereses de i, depositando sn j cada año durante n años. Ahora bien, como

1 1 = +j, an j sn j

resulta que: 1 a n i& j

=

1 + (i − j ) an j

o bien: a n i& j =

an j 1+ (i − j ) an j

Cabe señalar que si i = j, entonces: a n i& j = a n i


Ejemplo 4.10 Jean Paul pide prestado 10.000 U.M. por 10 años a una tasa de interés efectiva anual de 10%. Se puede pagar el préstamo utilizando el método de amortización con pagos de 1.627,45 U.M. al final de cada año. Sin embargo, Jean Paul paga las 10.000 U.M. con un fondo de amortización que le paga una tasa de interés efectiva anual de 14%. El depósito al fondo de amortización es igual a 1.627,45 U.M. menos el interés sobre el préstamo, y se realiza al final de cada año durante 10 años. Determine la cantidad de dinero existente en el fondo de amortización inmediatamente después del reembolso del préstamo.

Solución Para resolver el problema, se desarrollan los siguientes pasos: a)

Con el método de amortización, la cuota periódica es de 1.627,45 U.M.

b) El pago de interés periódico sobre el préstamo es igual a 10% de 10.000 U.M., es decir, 1.000 U.M. Por ello, los depósitos en el fondo de amortización son 1.627,45 – 1.000= 627,45. Por tanto, la cantidad de dinero existente en el fondo de amortización después de reembolsar el préstamo es: 627,45 × a10 0,14 − 1,000 = 2.272,85 U.M.

Periodo


Interés ganado en el fondo de amortización

Saldo en el fondo de amortización

0

Préstamo neto

Interés

10.000,0000

1

627,45

0,0000

627,4500

9.372,5500

1.000,00

2

627,45

87,8430

1.342,7430

8.657,2570

1.000,00

3

627,45

187,9840

2.158,1770

7.841,8230

1.000,00

4

627,45

302,1448

3.087,7718

6.912,2282

1.000,00

5

627,45

432,2881

4.147,5099

5.852,4901

1.000,00

6

627,45

580,6514

5.355,6112

4.644,3888

1.000,00

7

627,45

749,7856

6.732,8468

3.267,1532

1.000,00

8

627,45

942,5986

8.302,8954

1.697,1046

1.000,00

9

627,45

1.162,4054

10.092,7507

−92,7507

1.000,00

10

627,45

1.412,9851

12.133,1858

−2.133,1858

1.000,00

473

474


En general, el cronograma del fondo de amortización a dos tasas de interés es idéntico a la programación del fondo de amortización a una sola tasa, es decir, es lo mismo que la tasa de interés devengada por el fondo de amortización, con excepción que una suma constante de (i − j) veces la cantidad del préstamo original se agrega al pago de intereses. Eso se puede observar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.11 Elabore un programa de fondo de amortización de un préstamo de 2.000 U.M. a pagar en 6 años si la tasa de interés efectiva anual es de 10% y el interés del fondo de amortización es de 5%.


Si R es el depósito del fondo de amortización, entonces: R R

R

2.000 s 6 0,05 2.000 (10,05)6 1 0,05 2.000 6,8019

R 294,03 b) Se elabora el cronograma. Periodo




0

Préstamo neto

Interés

2.000,00

100,00

1

294,0349

0,0000

294,0349

1.705,97

100,00

2

294,0349

14,7017

602,7716

1.397,23

100,00

3

294,0349

30,1386

926,9451

1.073,05

100,00

4

294,0349

46,3473

1.267,3273

732,67

100,00

5

294,0349

63,3664

1.624,7286

375,27

100,00

6

294,0349

81,2364

2.000,0000

0,00

100,00


Ejemplo 4.12 Se otorga un préstamo de 1 U.M. que debe pagar en n periodos, que tiene una tasa de rendimiento i. El prestatario construye un fondo de amortización que devenga una tasa de interés de j por periodo. Analice la igualdad 1≤ t ≤ n y explique las expresiones siguientes: a)

Intereses periódicos pagados al prestamista.

b) Depósito periódico al fondo de amortización. c)

Intereses devengados por los fondos de amortización durante el periodo t.

d) Saldo en el fondo de amortización al final del periodo t. e)

Importe neto del préstamo al final del periodo t.

f)

Intereses netos pagados en el periodo t.

g)

Principal pagado en el periodo t.


Se determina la tasa de rendimiento, i, de modo que el prestamista debe recibir una cantidad de i cada periodo.

b) Se precisa que el capital es de 1 U.M., por lo que el prestatario debe depositar con regularidad ( sn j )−1 en el fondo de amortización. c)

Al inicio del n-nésimo periodo, el equilibrio en el fondo de amortización es ( sn j / sn j ) , durante el periodo que gana intereses por la cantidad de j ( st −1 j / sn j ) a pagar al final del periodo, es decir, en el tiempo t.

d) El importe del fondo de amortización al final del periodo t es de ( st j / sn j ) . e)

El importe neto del préstamo al final del periodo t es el exceso de 1 sobre el saldo en el fondo de amortización, es decir, el importe es de1 – ( st j / sn j ) .

f)

El interés neto pagado en el periodo t es el exceso de los intereses pagados sobre los intereses devengados, es decir, el interés es de (i jst1 j / sn j ) .

g)

Al utilizar el valor identificado en el inciso e), el cambio en la cantidad del préstamo entre (t − 1) y el pago t es:

1

si j sn j

1

si 1 j

1i

sn j

sn j

t 1

475

476


Cuando se elabora el programa del fondo de amortización de periodo de pago, el periodo de conversión de interés puede ser diferente. Estos casos pueden manejarse desde los principios básicos, como se ilustra en los siguientes dos ejemplos. Recuerde que debe utilizar la tasa de interés equivalente a la tasa de interés determinada y convertible a la misma periodicidad que los pagos.

Ejemplo 4.13 Michael pide prestado 10.000 U.M. por 8 años a una tasa de 5% convertible trimestral. Pagará todos los intereses devengados al final de esos ocho años, junto con el principal. Calcule el depósito del fondo de amortización anual necesario para liquidar el préstamo al final de ese plazo, si el fondo de amortización gana una tasa de interés de 7% compuesta semestral.


Se calcula la tasa de interés trimestral: 0,05/4 = 0,0125

b) El saldo del préstamo al final de 8 años será: =10.000 × (1+ j )8 =10.000 × (1,0125)32 = 22.037,57 c)

Por tanto, el depósito del fondo de amortización anual se calcula así: R R

22.037,57 s8 j 22.037,57 (10,035)16 1 0,035

22.037,57 20,97103 R 1.050,86 R

El depósito del fondo de amortización anual es de 1.050,86 U.M.


Ejemplo 4.14 Construya la tabla del fondo de amortización de un préstamo de 20.000 U.M. a tres años. Los pagos de intereses se realizarán mensualmente a una tasa de interés nominal de 4% a retirar por un fondo de amortización financiado por depósitos trimestrales que devengan una tasa de interés nominal de 8% compuesta semestral.


Cada seis meses, el interés pagado sobre el préstamo es: 0,02 (20.000) = 400

b) La tasa trimestral sobre el fondo de amortización es: j = (1,04)0,5 −1 j = 0,0198 c)

Luego, el depósito del fondo de amortización trimestral es: R R

R

20.000 s12 j 20.000 (10,0198)12 1 0,0198 20.000 13,40

R 1.492,54 d) Por último, el cronograma de amortización es el siguiente:

Periodo

Interés pagado




0,00

Préstamo neto 20.000,00

0,25

0,00

1.492,54

0,0000

1.492,87

18.507,13

0,50

400,00

1.492,54

29,5647

3.015,30

16.984,70

0,75

0,00

1.492,54

59,7030

4.567,87

15.432,12

477

478


1,00

400,00

1.492,54

90,4438

6.151,18

13.848,81

1,25

0,00

1.492,54

121,7900

7.765,84

12.234,15

1,50

400,00

1.492,54

153,7600

9.412,47

10.587,52

1,75

0,00

1.492,54

186,3700

11.091,71

8.908,28

2,00

400,00

1.492,54

219,6200

12.804,20

7.195,79

2,25

0,00

1.492,54

253,5200

14.550,59

5.449,40

2,50

400,00

1.492,54

288,1000

16.331,56

3.668,43

2,75

0,00

1.492,54

323,3600

18.147,79

1.852,20

3,00

400,00

1.492,54

359,3300

20.000,00

0,00

4.4.1 Problemas propuestos 1. Un préstamo por 20.000 U.M. se devuelve con pagos anuales durante 8 años, utilizando el método del fondo de amortización. El préstamo carga una tasa de interés de 10% para el prestatario y el fondo de amortización gana una tasa de rendimiento de 5%. a)

Calcule el pago anual de intereses.

b) Calcule el depósito al fondo de amortización realizado anualmente. c)

Elabore el cronograma del fondo de amortización para el préstamo.

Respuesta: a) 2.000 U.M., b) 2.094,46 U.M. y c) La solución se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web del libro. 2. Mayla acuerda devolver un préstamo de 25.000 U.M. utilizando el método del fondo de amortización sobre 7 años. El préstamo carga una tasa de interés efectiva anual de 3%, mientras que el fondo de amortización gana 6%. Calcule la cantidad pagada cada año dentro del fondo de amortización menos la cantidad de interés pagada cada año sobre el préstamo. Respuesta: 1.228,38 U.M. 3. Vanessa puede tomar un préstamo de 60.000 U.M. con el banco A o con el banco B. Con el primero, el préstamo se debe repagar con 50 pagos mensuales utilizando el método de amortización con interés de 8% compuesto mensual. Con el segundo el préstamo se puede repagar con 50


pagos mensuales utilizando el método del fondo de amortización. Éste gana 8% compuesto mensual. La tasa de interés a cargar sobre el préstamo del banco B es de 7%. Elabore el cronograma de amortización y del fondo de amortización, respectivamente. Respuesta: La solución se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web del libro. 4. Michael está repagando un préstamo de 200.000 U.M. mediante el método del fondo de amortización. Al final de cada año deposita 5.000 U.M. en un fondo de amortización que gana 7%. Al final de 5 años, paga el préstamo utilizando el fondo de amortización más un pago adicional de X. Calcule X. Respuesta: 171.246,30 U.M. 5. Juan Diego devuelve una deuda de 20.000 U.M. utilizando el método del fondo de amortización. Al final de cada año deposita 4.000 U.M. en un fondo de amortización que gana 4%. Al final del año Y tendrá suficiente dinero en el fondo para devolver el préstamo. Calcule Y. Respuesta: Año 5. 6. Al final de cada año se debe pagar una tasa de interés efectiva anual de 10% sobre un préstamo de 5.000 U.M. El prestatario deposita una cantidad de X U.M. al inicio de cada año en un fondo de amortización que gana una tasa de interés de 7% efectivo anual. Al final de 10 años, el fondo de amortización es de una magnitud tal que sirve para pagar exactamente el préstamo. Calcule el valor de X. Respuesta: 338,21 U.M. 7. Un préstamo de 20.000 U.M. se devolverá utilizando el método del fondo de amortización sobre un periodo de 5 años. El interés sobre el préstamo se paga al final de cada año y es de 15%. El pago al fondo de amortización se realiza al inicio de cada año con el fondo de amortización que gana 10%. Respuesta: 2.978,13 U.M.

479

480


Amortización con diferentes plazos de pago de intereses y periodos de conversión

4.5

Hasta ahora se han considerado préstamos con periodos de pago que coinciden con el periodo de conversión de la tasa de interés. En esta sección se estudiarán préstamos cuyos pagos se realizan con una frecuencia diferente a la conversión de la tasa de interés. Se aplican los mismos métodos de amortización y del fondo de amortización a los préstamos considerados en esta parte. El análisis se limitará a los pagos efectuados al final de un periodo de conversión de interés. Pueden aplicarse los mismos argumentos a los pagos efectuados al inicio de un periodo de conversión de interés. Primero se analizará el plan de amortización de un préstamo con pagos efectuados con una frecuencia menor a la de la conversión de la tasa de interés. a Por ejemplo, considere un préstamo de n a una tasa de interés i por periodo, sk reembolsable mediante pagos de 1 U.M. al final de k periodos de conversión de intereses para un total de n periodos de conversión de interés. Así, el número total de los pagos es n / k. Considere que es un número entero. Si al final de k periodos de conversión de tasas de interés se realiza un pago de a k 1 U.M., el interés pagado será de 1 i 1 n 1 v n para que el capital reembolsk a a sado sea v n , y el saldo pendiente n − v n = n−k . sk sk Luego, al final de 2k periodos de conversión de interés, el interés pagado es k

1i 1

an k

n−k 1 v n k para que el principal devuelto sea v , y el saldo

sk a − k n−k an−2k . −v = pendiente n sk sk

Si se continúa con este proceso, se observará que al final del periodo de mk, el a k interés pagado será de 1i 1 n m 1k 1 v n m 1k y el capital reembolsado sk a a v n−(m−1)k . Por su parte, el saldo pendiente del préstamo es n−(m−a)k − v n−(m−1)k = n−mk . sk sk El cuadro de amortización se muestra a continuación.

481

4.5 Amortización con diferentes plazos de pago de intereses y periodos de conversión Tabla 4.4. Tabla del cuadro de amortización

Periodo

Importe de pago

Interés pagado

Amortización

Saldo del préstamo an

0

sk

k

1

2k

1

…

…

mk

1

…

…

n−k

1

n

1

Total

n k

[(1+ i )k −1] ×

[(1+ i )k −1] ×

an sk

a n −k sk

= 1− v n

= 1− v n − k

… [(1+ i )k −1] ×

sk

=1− v n−( m−1)k

…

sk a n −k

v n−( m−1)k

sk ak sk

n an − k sk

= 1− v 2 k

v 2k

= 1− v k

vk

a n −k

− v n −k =

sk

sk an−2k sk

… an−( m−1)k

− v n−( m−1)k =

sk

…

a2k

[(1+ i )k −1] ×

v n−k

− vn =

…

an−( m−1)k

[(1+ i )k −1] ×

an

vn

an sk

Tenga en cuenta que la columna amortización de capital es una progresión geomék trica con razón común (1+ i ) . A continación se incluyen ejemplos de aplicación.

Ejemplo 4.15 Un préstamo de 22.952,67 U.M. debe reembolsarse mediante cinco pagos anuales de 6.127,93U.M. cada uno. Si la tasa de interés nominal es de 10% capitalizable mensualmente, elabore el plan de amortización de esta transacción.

… a2k sk ak sk

− v 2k =

ak sk

− vk = 0

an−mk sk

482



Se calculan los valores de n, k, R e i: n =12 × 5 n =6 k =12 R = 6.127,93 0,10 i= 12 i = 0,008333

b) Una vez determinados estos valores, se calcula la tasa de interés efectiva anual. En consecuencia, se cumple que: = [(1+ i )12 −1] = [(1+ 0,008333)12 −1] = 0,104713 c)

Se reemplazan los valores en la tabla de ecuaciones y se obtiene: Periodo

Monto pagado

Interés pagado

Principal pagado

0

Saldo 22.952,67

12

6.127,93

2.403,44

3.724,49

19.228,18

24

6.127,93

2.013,44

4.114,49

15.113,69

36

6.127,93

1.582,60

4.545,33

10.568,37

48

6.127,93

1.106,65

5.021,28

5.547,08

60

6.127,93

580,85

5.547,08

0,00

A continuación considere un préstamo por an( m ) a una tasa de interés i por periodo, que implica el reembolso de pagos de 1 / m al final del m-ésimo periodo de conversión de interés durante un total de n periodos de conversión de interés. De esta manera, el número total de los pagos es m × n, que es un número entero.

4.5 Amortización con diferentes plazos de pago de intereses y periodos de conversión

Al final de los primeros m periodos de conversión de interés se realiza un pago i 1 de 1 / m, y el interés pagado será m an(m)

1 v n con un capital reembolsado i m 1 1 de × v n y un saldo pendiente de an( m ) − × v n = a ( m )1 n− m m m Al término del segundo periodo de conversión m de interés, el interés pagado 1

1 n 1 1 n− m m 1 v para que el capital reembolsado sea de ,y v × im n m m m 1 1 n− el saldo pendiente sea a ( m )1 − × v m = a ( m )2 . n− n− m m m

i

es de

a (m)1

Si se continúa este proceso, se observa que al final del periodo de t / n el interés pagado es de

i im

1 m

a (m) t 1 n

m

1 v

El saldo pendiente es a ( mt)−1 − n−

m

n

1 n− ( m ) ×v . m t −1

t 1 m

y el capital reembolsado es de t −1

1 n− m ×v = a ( m )t . n− m m

Ahora se muestra el cuadro de amortización que se obtiene en este caso. Tabla 4.5. Tabla del cuadro de amortización

Periodo

Importe del pago

Interés pagado

Amortización

an

0 1 m

1 m

i 1 × a ( m ) = × (1− v n ) i(m) n m

2 m

1 m

i

…

…

t m

1 m

…

…

n−

1 m

Saldo del préstamo

1 m

i

1 n ×v m

1

× a ( m )1 = (m) n−

m

n− 1 × (1− v m ) m

1

… i

i

× a ( m()t −1) = (m) n−

m

n− 1 × (1− v m

( t −1) m

…

i

× a (2m ) = (m) m

)

1 n− m ×v m

an−1 − v n−1 = an−2

…

…

1 n− ×v m

( t −1) m

… 2

i

an − v n = an−1

1 × (1− v m ) m

an−k+1 − v n−k+1 = an−k …

2

1 m ×v m

a2 − v 2 = a1

483

484


n Total

1

i

1 m

i

× a (1m ) = (m) m

1 × (1− v m ) m

1

1 m ×v m

n − an( m )

n

a1 − v = 0

an( m )

Tenga en cuenta que la amortización de capital es una progresión geométrica con 1

una razón de (1+ i ) m . A continuación se presentan algunos ejemplos que ilustran lo anterior.

Ejemplo 4.16 Una deuda se amortiza mediante pagos mensuales a una tasa de interés efectiva anual de 5%. Si la amortización de capital en el tercer pago es de 5.000 U.M., calcule la amortización de capital en el pago número 33.

Solución Para responder esta pregunta se realizan los siguientes pasos: a)

Recuerde que la amortización del capital es una progresión geométrica con 1

una razón de (1+ i ) m . El intervalo de tiempo del tercer pago respecto del pago 33 − 3 = 2,5 años o, dicho de otra manera, m = 1 / (2,5) = 0,4. 33 es de 12 b) Por tanto, la amortización de capital en el pago 33 será: 5.000 × (1,05) = 5.648,63 2,5

La amortización de capital es de 5.648,63 U.M.

Ejemplo 4.17 Vanessa solicita un préstamo de 2.000 U.M. a dos años a una tasa de interés efectiva anual de 10%. Luego sustituye el principal por medio de depósitos semestrales durante dos años en un fondo de amortización que gana 8% trimestral convertible. Elabore el programa del fondo de amortización de esta transacción.

4.5 Amortización con diferentes plazos de pago de intereses y periodos de conversión

485


El pago de intereses sobre el préstamo al final de cada año es: 1.000 × 8% = 80 U.M.

b) Del ejemplo 4.12, inciso d),2 se tiene que el saldo del fondo de amortización al final de un periodo t es ( st j / sn j ) y del cálculo de R a partir del saldo por amortizar se tiene: R = Préstamo / Saldo fondo de amortización R c)

s8 0,02 s2 0,02

= 2.000

Al resolver esta ecuación con la fórmula (4.6) se obtiene: R = 2.000 × R=

s2 0,02 s8 0,02

2,02 8,5830

R = 470,70 U.M. d) El cronograma del fondo de amortización es el siguiente:

Periodo

Interés pagado




Préstamo neto

0

2

0,25

0,00

0,00

0,00

0,00

2.000,00

0,50

0,00

470,70

0,00

470,70

1.529,30

0,75

0,00

0,00

9,41

480,11

1.519,89

1,00

200,00

470,70

9,60

960,41

1.039,59

1,25

0,00

0,00

19,21

979,62

1.020,38

1,50

0,00

470,70

19,59

1.469,91

530,09

1,75

0,00

0,00

29,40

1.499,31

500,69

2,00

200,00

470,70

29,99

2.000,00

0,00


486


4.5.1 Problemas propuestos 1. Una deuda es amortizada por medio de pagos anuales a una tasa de interés nominal de 10%, compuesta semestralmente. Si el monto del principal en el tercer pago es de 1.000 U.M., calcule la cantidad del principal en el 35º pago. Respuesta: 18.679,19 U.M. 2. Un préstamo de 10.000 U.M. es devuelto mediante cuatro pagos anuales de 3.186,95 U.M. La tasa de interés nominal es de 10% compuesto mensual. Elabore el cronograma de amortización de esta transacción. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 3. Un préstamo de 35.000 U.M. es devuelto mediante tres pagos semestrales de12.258,38 U.M. La tasa de interés nominal es de 5% compuesta trimestral. Elabore el cronograma de amortización de esta transacción. Respuesta: La solución se presenta en el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 4. Una deuda es amortizada por medio de pagos mensuales a una tasa de interés efectiva anual de 8%. Si el monto del principal en el 4° pago es de 500 U.M., calcule la cantidad del principal en el 20º pago. Respuesta: 554,03 U.M. 5. Una deuda es amortizada por medio de pagos trimestrales a una tasa de interés efectiva semestral de 5%. Si la cantidad del principal en el 5° pago es de 300 U.M., calcule la cantidad del principal en el 18º pago. Respuesta: 411,96 U.M.

4.6

Amortización con diferentes series de pagos

En esta parte del libro se desarrollan métodos de amortización con patrones de pagos más generales. Sin embargo, se mantendrá el supuesto de que el periodo de conversión de intereses y el plazo de pago son iguales y coinciden. Considere la posibilidad de un préstamo L con n pagos periódicos (que incluyen capital e intereses) R1, R2,…, Rn. La ecuación de valor en el tiempo t = 0 es: n

L = ∑ v t × Rt t =1

(4.8)

4.6 Amortización con diferentes series de pagos

donde Rt Pago periódico vt Factor de descuento L Préstamo En la mayoría de los casos la serie de pagos Rt sigue un patrón regular (anualidades), de modo que puedan utilizarse los resultados de la variación de la anualidad inmediata. A continuación se presentan algunos ejemplos de aplicación.

Ejemplo 4.18 Un prestatario devuelve un préstamo mediante pagos al final de cada año durante un periodo de 10 años, de modo que el pago del primer año es de 200 U.M., el del segundo de 190 U.M., y así sucesivamente, hasta que cumple con pagar en el décimo año un monto de 110 U.M. Determine una ecuación para calcular el préstamo.


Se identifica la ecuación para calcular el descuento de la anualidad para el final de un periodo n: ( D × a )n = n × a n −

an − n × v n i

n − n × v − an + n × v n n

( D × a )n = ( D × a )n =

i n − an i

b) Luego, el monto del préstamo acordado se puede calcular así: L =100 × a10 +10 × ( Da )10 Por otro lado, para el tipo de tramos considerados en esta parte, se puede programar la amortización con base en el cronograma de amortización. Además, el saldo pendiente del préstamo se puede determinar retrospectiva o prospectivamente, con lo cual es posible calcular el resto de los intereses pagados y el capital reembolsado. A continuación se presentan ejemplos que ilustran lo anterior.

487

488


Ejemplo 4.19 Un préstamo es reembolsado con pagos que comienzan en 200 U.M. el primer año y se incrementarán 50 U.M. por año hasta un pago de 1.000 U.M., en el cual concluye el periodo de pagos. Si el interés es de 4% efectivo, calcule el monto de interés y capital pagado en el cuarto pago.


Se determina la ecuación que permite calcular el incremento de la anualidad. ( Ia )n = n × an + ( Ia )n =

an − n × v n

i (1+ i ) × an − n × v n i

b) Dado que el cuarto pago es de R4 = 350 U.M, el saldo pendiente del préstamo después de pagar la tercera cuota será: B3p = 300 × a14 + 50 × ( Ia )14 c)

El interés pagado luego del cuarto pago será:

(

I 4 = i × B3P = 300 × (1− v14 ) + 50 a14 − 14 × v14

)

I 4 = 300 × (1− 0,57747) + 50 × (10,98565 − 8,08465) I 4 = 271,81 U.M. d) La parte principal del cuarto pago es: P4 = R4 − I4 = 350 − 271,81 = 78,19 U.M. Una forma común de cuotas periódicas se presenta cuando el prestatario efectúa pagos de capital iguales. Un patrón de variación bastante común consiste en que el prestatario realiza pagos de amortización iguales. Dado que los saldos de préstamos pendientes disminuyen sucesivamente, los pagos sucesivos de interés también lo hacen. Así, las cuotas sucesivas que constan del principal y los intereses se reducirán. Lo anterior se ilustra mediante el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.20 Un préstamo de 1.000 U.M. se reembolsa mediante pagos anuales efectuados en más de 10 años. Los pagos que se realizaron en los últimos cinco años son cinco veces los que se efectuaron los primeros cinco años. Si la tasa de interés es de 8%, calcule el principal amortizado en el quinto pago.


Solución Para resolver este ejercicio se realizan los siguientes pasos: a)

Sea K el monto del pago en los primeros 5 años, entonces:

(1−1,08 ) + 5 × K × 1,08 × (1−1,08 ) ( ) 0,08 0,08 −5

1.000 = K ×

−5

−5

K = 56,8842296 b) El saldo pendiente del préstamo después de pagar la cuarta cuota es:

(1−1,08 5 × (56,88422296) + 5 × (56,88422296) × (1,08−1 ) × 1,08 0,08

−5

)

= 1.314,84 c)

El saldo pendiente del préstamo después de pagar la quinta cuota es: 5 × (56,88422296) ×

(1−1,08 ) =1.135,61104 −5

0,08

d) El principal amortizado o amortización de capital en el quinto pago será de: 1.104,16228 − 1.135,61104 = 179,23 U.M. Por otra parte, se consideran diversas series de pagos con el método del fondo de amortización. Se supondrá que los intereses pagados son constantes en cada periodo, de modo que sólo varía el fondo de depósitos de amortización. Los pagos variables se denotan por R1, R2, …, Rn y se supone que i ≠ j . L denota la cantidad del préstamo. De lo anterior se obtiene que el depósito del fondo de amortización del periodo t es Rt − i × L. Debido a que el valor acumulado en el fondo de amortización al final de n periodos debe ser L, L = ( R1 − i × L ) × (1+ j ) n

L = ∑ Rt × (1+ j ) t =1

n−t

n −1

+ ( R2 − i × L ) × (1+ j )

n −2

+ ... + ( Rn − i × L )

− i × L × sn j

donde L Préstamo Rt Pago periódico sn j Valor futuro de una anualidad inmediata, con j previamente definida i Tasa de interés pagada por el préstamo j Tasa de interés devengada por el fondo de amortización

489

490


Luego se despeja L y se obtiene: n

∑ R × (1+ j )

n −t

t

L=

t =1

1+ i × sn j n

L=

∑v

t j

× Rt

t =1

1+ (i − j ) × an j n

Se debe considerar que si i = j, entonces L = ∑ Rt × v t . Por tanto, en este caso en t =1

particular el método de amortización y el método del fondo de amortización son equivalentes. A continuación se verá un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 4.21 Un prestatario reembolsa un préstamo a una tasa de 5% efectivo mediante pagos al final de cada año, durante un periodo de 10 años, de manera que el pago del primer año es de 200 U.M., el del segundo de 190 U.M., y así sucesivamente, hasta el décimo año, que es de 110 U.M. ¿A cuánto asciende el préstamo si el prestatario paga una tasa de interés de 6% efectiva y se acumula un fondo de amortización para reemplazar la cantidad del préstamo a una tasa efectiva de 5%?


La tasa efectiva es de 0,05 y el periodo es de 10 años.

b) Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: n

∑ R (1+ j )

n −t

t

L=

t =1

1+ isn j n

∑v R t j

L= c)

t

t =1

1+ (i − j ) an j

Se reemplazan los valores en la ecuación anterior: L

100 a10 0,05 10 D a10 0,05 1 0,06 0,05 a10 0,05


L

1.227,83 1 0,01 7,7217

L 1.139,82 U.M.

4.6.1 Problemas propuestos 1. Jorge Luis devuelve una deuda con pagos al final de cada año durante 8 años, de modo que el pago del primer año es de 300U.M., el del segundo de 280 U.M., y así hasta el octavo año, que es de 160 U.M. La tasa de interés efectiva anual es de 10%. Determine la ecuación que permite calcular el valor de la deuda y calcule el valor. Respuesta: 1.279,90 U.M. 2. Un préstamo es devuelto en partes, cada tres meses. El primer pago es por 500 U.M., el segundo por 450 U.M., el tercero por 400 U.M. y el cuarto por 350 U.M. La tasa de interés efectiva semestral es de 8%. Determine la expresión que permite calcular el valor del préstamo y calcule su valor. Respuesta: 1.554,25 U.M. 3. Brissa devuelve en partes un préstamo. El primer pago anual es de 500 U.M., y aumenta 300 U.M. cada año hasta que se realiza el pago de 1.700 U.M., momento en el cual salda su deuda. Si la tasa de interés es de 6% efectiva trimestral, calcule la cantidad de interés y el principal desembolsado en el segundo pago. Respuesta: 385,58 U.M. y 414,42 U.M. 4. Juan Diego honra la deuda que asumió con el banco. El primer pago semestral es de 300 U.M., que crece 100 U.M. cada semestre hasta que se realiza un pago de 1.000 U.M., tiempo en el cual los pagos dejan de efectuarse. Si la tasa de interés es de 5% efectiva anual, calcule la cantidad de interés y el principal desembolsado en el tercer pago. Respuesta: 91,30 U.M. y 408,70 U.M. 5. Mayla devuelve un préstamo de 1.600 U.M. mediante 8 pagos iguales al principal. El interés de 5% compuesto trimestralmente es pagado sobre el saldo de cada semestre. Calcule el precio que rinde al inversionista una tasa de interés de 10,25% efectiva semestral. Respuesta: 1.600 U.M. 6. Isabella devuelve un préstamo de 2.000 U.M. por medio de 5 pagos iguales al principal. El interés de 1% compuesto mensual se paga sobre el saldo de cada trimestre. Calcule el precio que rinde al inversionista una tasa de interés de 8% convertible trimestralmente. Respuesta: 1.116,34 U.M.

491

492


4.7

Sistema de amortización francés

En el punto 4.3, cuando se trató el tema del cronograma de amortización, se trabajó con la amortización mediante una renta. A continuación se analizarán algunas particularidades adicionales de este sistema. En él, el deudor se compromete a pagar una cuota constante (anualidad o término de la renta), al final o al inicio de cada periodo de tiempo conviniendo la cuota, que se desglosará en dos partes, la primera para cancelar intereses y la segunda para amortizar una parte del capital tomado en préstamo. En consecuencia, al ser constantes las anualidades al comenzar a amortizar el capital, comenzará a disminuir la parte destinada al pago de intereses y a aumentar la parte destinada a amortizar el capital en cada periodo, por cuyo motivo a este método también se le conoce como sistema de amortización progresiva. La evolución de los intereses y la amortización se observan en el ejemplo 4.6 que se mostró.3 El sistema francés o de amortización progresiva es ampliamente aplicado en los créditos a mediano y largo plazo. Lo que caracteriza a este sistema es que la cuota total se mantiene constante, variando la proporción de capital e intereses de cada cuota. En las primeras cuotas se amortiza proporcionalmente menos capital que en las últimas, o dicho de otra manera, en general, en las primeras cuotas se pagan más intereses que capital. Esto depende del nivel de la tasa de interés pactada: cuanto mayor sea la tasa, menor será la proporción de capital cancelado en las primeras cuotas. A este respecto se puede mencionar que, en un crédito de 1.500 U.M. a 48 meses, con una tasa de interés de 5%, en la primera cuota la amortización del capital representa 82,13% del monto de la cuota, pero si la tasa es de 10%, la cuota de amortización de capital representará 67,51% de ella.

4.7.1 Cálculo de la cuota periódica Se parte de la regla del equilibrio financiero inicial que debe darse, al igualar el capital del préstamo con el valor presente de una renta de término constante R, constituida por n pagos del deudor calculados con la tasa de interés acordada i. Así, L R an

3


L R

(1 i)n 1 (1 i)n i

L R

1 (1 i)n i

4.7 Sistema de amortización francés

donde R Pago periódico L Deuda primaria del préstamo i Tasa de interés n Tiempo an Valor presente de la anualidad en el periodo 0 a una tasa de interés i Si se trata de calcular la cuota periódica, R, que se debe pagar para cancelar el préstamo y con una tasa de interés periódica i, que se supone constante, se despeja R en la ecuación anterior y se obtiene:

R= L an donde R Pago L Préstamo inicial an Valor presente de la anualidad en el periodo 0 a una tasa de interés i Esta expresión es exactamente igual a la fórmula (4.1) que se mencionó. También se puede expresar así: L 1 (1 i)n i

R

R"

L i 1 (1 i)n

(4.9)

donde R Pago periódico L Deuda primaria del préstamo i Tasa de interés n Tiempo De esta manera, mediante el sistema francés, el pago periódico es constante en el tiempo, aunque sí varían los intereses y las cuotas de amortización del principal. En consecuencia, para todos los periodos se analizarán los dos componentes de la cuota, el interés y la amortización del principal. De ahí que: R = Pt + I t → Pt = R − I t Si se particulariza en la primera cuota, su interés es el interés de la deuda inicial, es decir: I1 = L × i I1 = B0 × i

493

494


La primera cuota de amortización del principal resultará de la ecuación: P1 = R − L × i P1 = R − B0 × i P1 = R − I1 En consecuencia, una vez realizado el primer pago, la deuda pendiente de amortización surgirá por la diferencia entre el préstamo original y la amortización del principal efectuado, que es: B1 = L − P1 B1 = B0 − P1 donde R Pago periódico L Deuda primaria del préstamo i Tasa de interés n Tiempo Bt Deuda pendiente de amortización en el momento t Como se observa de la expresión anterior, la deuda primaria u original del préstamo L es igual a la deuda pendiente de amortización en el momento inicial, B0. Si se analiza lo que sucede con la segunda cuota, el interés contenido ahora no se calculará sobre el saldo original de la deuda, sino sobre el saldo pendiente de amortización de la deuda, es decir: I 2 = B1 × i I 2 = ( L − P1 ) × i De ahí que la segunda cuota de amortización sea: P2 = R − I 2 P2 = R − B1 × i Pero, como se cumple que: P2 = R − B1 × i P2 = R − ( B0 − P1 ) × i P2 = R − B0 × i + P1 × i si se reemplaza, R − B0 × i = P1 se obtiene: P2 = P1 + P1 × i P2 = P1 × (1+ i )


Además, si se sigue este razonamiento para las siguientes cuotas, se puede llegar a la conclusión que: Pt = P1 × (1+ i )t −1 Y el saldo pendiente, luego del segundo pago, será: B2 = B1 − P2 B2 = B0 − P1 − P2 Si se continúa con el razonamiento, se puede generalizar para un periodo t tal que 0 < t < n, que el interés de cada cuota t será: I t = Bt −1 × i La amortización en el periodo t será: Pt = R − I t Pt = P1 × (1+ i )t −1 Y el saldo pendiente de pago a ese momento t será: Bt = Bt −1 − Pt donde R Pago periódico Pt Amortización del préstamo en el momento t I Tasa de interés n Tiempo Bt Deuda pendiente de amortización en el momento t t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n A continuación se muestran ejemplos que ilustran cómo se aplica lo que se acaba de explicar.

Ejemplo 4.22 Se compra un inmueble en 10.000.000 U.M., el cual se paga al contado (35%) y el saldo restante (65%), que es de 6.500.000 U.M., se financia por medio de un préstamo a una tasa nominal de 18 % anual. La amortización y el pago de intereses se realizarán en 20 cuotas mensuales constantes vencidas. Determine el valor de la anualidad R y elabore el cuadro de amortización.

495

496



Se identifica la ecuación que servirá para calcular el valor de la anualidad R, que es: R R

L an L 1 1 i i

n

b) Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en la ecuación del inciso a). Al reemplazar los valores se obtiene: R

6.500.000 1 1 0,015 0,015

20

6.500.000 17,16863854 R 378.597,28 R

c)

Sobre la base de lo anterior, se elabora el cuadro de amortización.

Número de cuota

Capital al inicio del periodo

Cantidad pagada


Interés pagado

0

6.500.000,00

1

6.500.000,00

378.597,28

281.097,28

97.500,00

2

6.218.902,72

378.597,28

285.313,74

93.283,54

3

5.933.588,97

378.597,28

289.593,45

89.003,83

4

5.643.995,53

378.597,28

293.937,35

84.659,93

5

5.350.058,18

378.597,28

298.346,41

80.250,87

6

5.051.711,76

378.597,28

302.821,61

75.775,68

7

4.748.890,16

378.597,28

307.363,93

71.233,35


8

4.441.526,23

378.597,28

311.974,39

66.622,89

9

4.129.551,84

378.597,28

316.654,01

61.943,28

10

3.812.897,83

378.597,28

321.403,82

57.193,47

11

3.491.494,02

378.597,28

326.224,87

52.372,41

12

3.165.269,14

378.597,28

331.118,25

47.479,04

13

2.834.150,90

378.597,28

336.085,02

42.512,26

14

2.498.065,88

378.597,28

341.126,30

37.470,99

15

2.156.939,58

378.597,28

346.243,19

32.354,09

16

1.810.696,39

378.597,28

351.436,84

27.160,45

17

1.459.259,56

378.597,28

356.708,39

21.888,89

18

1.102.551,17

378.597,28

362.059,02

16.538,27

19

740.492,15

378.597,28

367.489,90

11.107,38

20

373.002,25

378.597,28

373.002,25

5.595,03

4.7.2 Cálculo del valor de la amortización en un periodo t Dado el cuadro de amortización, para obtener la anualidad de amortización real de un determinado periodo t, es necesario conocer la deuda pendiente de amortización del préstamo al comenzar ese periodo. Por lo general se conoce la anualidad R (término o anualidad de la renta), pero no la deuda pendiente en un determinado periodo. Si se parte de que R es igual a: R R

L an L 1 1 i i

n

497

498


Además, la cuota que se amortiza en el momento t es Pt y lo que se paga es el valor presente de la renta en el momento t, VPt. Así, Pt VP t 1 VP t Pt R an t 1 R an t 1 Pt R an t 1 an t 1 Pt

L i 1 1 i

Pt

L i 1 1 i

Pt

L i 1 1 i

Pt

L 1 1 i

Pt

L 1 1 i

n

n

n

n

n

(n 1 t )

1 (1 i) i 1 (1 i)

1 (1 i) i

(n 1 t )

(n t )

1 (1 i)

(n t )

1 (1 i)

(n t )

i 1 (1 i)

(n 1 t )

i (1 i) (1 i)

(n t )

(1 i)

(n t )

(n 1 t )

1 (1 i)

1

Pero, como se cumple que: 1− (1+ i )−1 =1−

1 (1+ i )

1− (1+ i )−1 =

1 +i − 1 (1+ i )

1− (1+ i )−1 =

i 1+ i

Luego, se obtiene el valor de Pt : Pt =

L i × (1+ i )−( n−t ) × −n 1− (1+ i ) 1+ i

Pt =

L×i − ( n −t +1) − n × (1+ i ) 1− (1+ i )

Pt =

L×i − ( n −t +1) − n × (1+ i ) 1− (1+ i )

Además, si se tiene en cuenta que, por la ecuación (4.9): R=

L×i 1− (1+ i )n


se tendrá: Pt = R × (1+ i )−( n−t +1) En consecuencia, la fórmula que permite calcular el valor de la anualidad de amortización real que se efectúa en el momento t, en función de la anualidad constante R (término de la renta) bajo el sistema de amortización francés es: Pt = R × v n−t +1

(4.10)

donde Pt Amortización del préstamo en el momento t R Pago periódico i Tasa de interés n Tiempo total de la amortización de la deuda t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n A continuación se desarrollan ejemplos en los que se aplica lo anterior.

Ejemplo 4.23 Determine la anualidad de amortización real el periodo 12 de un préstamo de 6.500.000 U.M. a una tasa de interés anual de 18%, la cual se cancelará en 20 meses con base en cuotas vencidas de 378.597,28 U.M.


Se identifica la ecuación que se utilizará para calcular la amortización que se efectúa en el periodo 12 del préstamo, que es: Pt = R × v n−t +1

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: t12 378.597,28

1 (10,015)20 121

378.597,28

t12 378.597,28 0,87459224 331.118,25 t12 331.118,25 La anualidad es de 331.118,25 U.M.

1 (1,015)9

499

500


4.7.3 Cálculo de los intereses de un determinado periodo t En algunas ocasiones se desea conocer a cuánto ascienden los intereses de un determinado periodo, pero ocurre que no se cuenta con el cuadro de amortización. Si se sigue esta línea y se tiene en cuenta que: R = Pt + I t → I t = R − Pt Se puede determinar el interés que contiene cada cuota, tomando en cuenta la ecuación (4.10) para reemplazar el valor de la amortización del préstamo en el momento t, así: I t = R − R × v ( n−t +1) Así se obtiene la ecuación que permite calcular el valor de los intereses correspondientes a un periodo t, en función de la anualidad R, mediante el sistema de amortización francés. I t R 1 v n t 1

(4.11)

donde It Intereses pagados en el momento t R Pago periódico i Tasa de interés n Tiempo total de la amortización de la deuda t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n A continuación se presentan ejemplos.

Ejemplo 4.24 Determine los intereses que se pagarán en el periodo 9 de un préstamo de 350.000 U.M. con una tasa de interés anual de 12 % que se cancela en 24 meses con base en cuotas vencidas de 16.475,72 U.M.



b) Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación del inciso a). I 9 16.475,72 1

1 (10,01)24 9 1


I 9 16.475,72 1

1 (1,01)16

I 9 16.475,72 @1 0,8528212B 2.424,87 Los intereses suman 2.424,87 U.M.

4.7.4 Cálculo de la deuda amortizada Cuando se amortiza un préstamo, también es importante conocer la deuda amortizada al finalizar un determinado periodo. Las amortizaciones acumuladas Z t representan el total amortizado hasta el periodo t. Para determinar su monto, se deben sumar las primeras t amortizaciones: Z t = P1 + P2 + P3 + ... + Pt De este modo se pueden expresar todos los términos en función del primer pago de amortización: Z t = P1 + P1 × (1+ i ) + P1 × (1+ i )2 + ... + P1 × (1+ i )t −1 Como se puede observar, la ecuación anterior es descrita como una progresión geométrica de t términos, el primero igual a P1 y la razón (1 + i). Es decir: (1 i)t 1 i

Z t P1

Z t P1 st i Si se quisiera expresar en función de la cuota constante de pago R, se tiene: P1 = R × (1+ i )− n P1 =

R (1+ i )n

Luego, (1 i)t 1 i

Zt

R (1i)n

Zt

R s (1 i)n t i

donde Zt Deuda amortizada hasta el momento t R Pago periódico i Tasa de interés n Tiempo total de la amortización de la deuda t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n A continuación se presenta un ejemplo.

(4.12)

501

502


Ejemplo 4.25 Determine cuál es la deuda amortizada hasta el periodo 9 de un préstamo de 350.000 U.M. que posee una tasa de interés anual de 12 % que se cancela en 24 meses con base en cuotas vencidas de 16.475,72 U.M.



b) Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en la ecuación identificada en el inciso a) y se obtiene: 16.475,72 (10,01)24

Z9

9

1 0,01 1

0,01

Z 9 16.475,72 0,787566127 9,368527268 Z 9 121.563,34 El valor de la anualidad amortizada hasta el noveno periodo es de 121.563,34 U.M.

4.7.5 Cálculo de la deuda pendiente de amortización Para conocer la deuda pendiente de amortización o deuda insoluta después de cancelar la anualidad de un determinado periodo, se debe calcular la diferencia entre el préstamo tomado L y el capital amortizado hasta ese momento Z t . De esta manera se obtiene: Bt L Z t Bt R an P1 st Bt R

1 (1 i) i

n

R (1 i)

n

(1 i) i

t

1

Luego se factoriza R i : R 1 (1 i) n (1 i) i Se multiplican los términos entre llaves: Bt

Bt

R i

`1

(1 i)

n

(1 i)

n

(n t )

(1 i)

t

(1 i)

1

n

b


Se simplifica y se reagrupan los términos: Bt R

1 (1 i) i

(n t )

Bt R an t

(4.13)

donde Bt Deuda pendiente de amortización en el momento t R Pago periódico i Tasa de interés n Tiempo total de la amortización de la deuda t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 4.26 Determine cuál es la deuda pendiente de amortización hasta el periodo 9 de un préstamo de 350.000 U.M. con una tasa de interés anual de 12% y que se cancela en 24 meses con base en cuotas vencidas de 16.475,72 U.M. Elabore el cuadro de amortización para comprobar la respuesta. Grafique la evolución de los intereses y pagos de amortización de la deuda.


Se calcula la deuda pendiente de amortización: a.1. Se identifica la ecuación que se utilizará, que es la (4.13). a.2. Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación del inciso a.1). Bt 16.475,72 a24 9 0 ,01 Bt 16.475,72

1 (10,01) 24 9 0,01

Bt 16.475,72 13,865048 Bt 228.436,66

503

504


b) Se elabora el cuadro de amortización. Número de cuota

Capital al inicio de periodo

Cantidad pagada


Intereses pagados

0

350.000,00

1

350.000,00

16.475,72

12.975,72

3.500,00

2

337.024,28

16.475,72

13.105,47

3.370,24

3

323.918,81

16.475,72

13.236,53

3.239,19

4

310.682,29

16.475,72

13.368,89

3.106,82

5

297.313,39

16.475,72

13.502,58

2.973,13

6

283.810,81

16.475,72

13.637,61

2.838,11

7

270.173,20

16.475,72

13.773,98

2.701,73

8

256.399,22

16.475,72

13.911,72

2.563,99

9

242.487,50

16.475,72

14.050,84

2.424,87

10

228.436,66

16.475,72

14.191,35

2.284,37

11

214.245,31

16.475,72

14.333,26

2.142,45

12

199.912,05

16.475,72

14.476,59

1.999,12

13

185.435,45

16.475,72

14.621,36

1.854,35

14

170.814,09

16.475,72

14.767,57

1.708,14

15

156.046,52

16.475,72

14.915,25

1.560,47

16

141.131,27

16.475,72

15.064,40

1.411,31

17

126.066,86

16.475,72

15.215,05

1.260,67

18

110.851,82

16.475,72

15.367,20

1.108,52

19

95.484,62

16.475,72

15.520,87

954,85

20

79.963,75

16.475,72

15.676,08

799,64

21

64.287,67

16.475,72

15.832,84

642,88

22

48.454,83

16.475,72

15.991,17

484,55

23

32.463,67

16.475,72

16.151,08

324,64

24

16.312,59

16.475,72

16.312,59

163,13


c)

Se grafica la evolución de los intereses y las cuotas de amortización 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Amortización

Intereses

4.7.6 Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa un pago anticipado En ocasiones uno se pregunta qué sucede en el caso de que, con el pago del periodo k, se anticipan simultáneamente m cuotas. En este contexto cabe preguntar ¿cuál es el importe del anticipo? Cuando se trata de anticipar algunas cuotas impagas, el pago debe imputarse a las últimas cuotas del plan. Luego, si en el periodo t se adelantan m cuotas, el valor del anticipo A es el valor presente de una renta temporaria por m periodos y diferida por (n-t-m) periodos. A R am (1 i) n t A R

1 (1 i) i

m

m

(1 i) n t

m

(4.14)

En la fórmula anterior, el factor (1+ i )−( n − t − m) es el que lleva a valor presente los pagos de la anualidad calculada. ¿Cuál es el saldo pendiente de amortización luego del anticipo? Bt R an t Bt R

m

1 (1 i) i

(n t m)

(4.15)

505

506


donde A Valor del anticipo efectuado Bt Deuda pendiente de amortización en el momento t R Pago periódico i Tasa de interés n Tiempo total de la amortización de la deuda t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n m Número de cuotas que se anticipan A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 4.27 Determine cuál es el importe del anticipo si, junto con la décima cuota se abonan las otras cuatro del préstamo solicitado de 350.000 U.M., con una tasa de interés anual de 12 % que se cancela en 24 meses con base en cuotas vencidas de 16.475,72 U.M. Calcule el saldo pendiente de amortización del préstamo luego del anticipo.


Se calcula el importe del anticipo. De esta manera: a.1 Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (4.14). a.2 Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en la ecuación del inciso a): A 16.475,72

1 (1 0,01) 0,01

4

(1 0,01) 24 10 4

A 16.475,72 3,9019646 0,9052869 A 58.198,79 Esto significa que al anticipar 58.198,79 U.M. más la amortización de 14.191,35 U.M., que se efectúa en el periodo 10, se amortiza la suma de 72.390,14 U.M., como se observa en el siguiente cuadro de amortizaciones. b) Se calcula el saldo pendiente de amortización del préstamo. De esta manera: b.1. Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: Bt R an t Bt R

m

1 (1 i) i

(n t m)


b.2 Se reemplazan los valores en esta ecuación. Bt 16.475,72

1 (1 0,01) (24 10 4) 0,01

Bt 16.475,72 9,4713025 Bt 156.046,52 Por último, el cuadro de amortizaciones quedaría así: Número de cuota


Cantidad pagada


Intereses pagados

0

350.000,00

1

350.000,00

16.475,72

12.975,72

3.500,00

2

337.024,28

16.475,72

13.105,47

3.370,24

3

323.918,81

16.475,72

13.236,53

3.239,19

4

310.682,29

16.475,72

13.368,89

3.106,82

5

297.313,39

16.475,72

13.502,58

2.973,13

6

283.810,81

16.475,72

13.637,61

2.838,11

7

270.173,20

16.475,72

13.773,98

2.701,73

8

256.399,22

16.475,72

13.911,72

2.563,99

9

242.487,50

16.475,72

14.050,84

2.424,87

10

228.436,66

16.475,72

72.390,14

2.284,37

11

156.046,52

16.475,72

14.915,25

1.560,47

12

141.131,27

16.475,72

15.064,40

1.411,31

13

126.066,86

16.475,72

15.215,05

1.260,67

14

110.851,82

16.475,72

15.367,20

1.108,52

15

95.484,62

16.475,72

15.520,87

954,85

16

79.963,75

16.475,72

15.676,08

799,64

17

64.287,67

16.475,72

15.832,84

642,88

18

48.454,84

16.475,72

15.991,17

484,55

19

32.463,67

16.475,72

16.151,08

324,64

20

16.312,59

16.475,72

16.312,59

163,13

507

508


Si se compara esta tabla con la del ejemplo anterior (4.26), se puede observar que el saldo pendiente de pago de 156.046,52 U.M. en el periodo 11 es aquí el que correspondía antes al periodo 15.

4.7.7 Problemas propuestos 1. Una deuda de 10.000 U.M. se cancela con 24 cuotas mensuales, al 2% de interés mensual. Calcule el valor de la cuota y elabore el cuadro de amortizaciones. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 2. Con los datos del ejercicio anterior determine el saldo pendiente de pago del préstamo después del pago número 12. Respuesta: 5.591,30 U.M. 3. Determine la deuda que se puede contraer a una tasa de 3,5% para cancelar mediante 10 cuotas mensuales e iguales de 1.200 U.M. Elabore el cuadro de amortizaciones. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 4. Con los datos del ejercicio anterior determine el saldo pendiente de pago en el periodo 7 y el importe que se debe pagar por concepto de amortización e intereses en la cuota número 8. Respuesta: el saldo pendiente es de 3.574,95 U.M. y el importe que se debe pagar es de 12,51 U.M. 5. Una deuda de 5.000 U.M. se paga por el sistema francés en 8 cuotas al 2% mensual. En el momento del vencimiento de la cuota 3 se efectúa un pago anticipado equivalente a 2 cuotas de amortización. Calcule a cuánto asciende el pago de cada cuota y cuál es el importe del pago anticipado. Asimismo, determine cuál es el saldo pendiente de pago en ese momento. Respuesta: 682,55 U.M., 1.248,78 U.M. y 1.968,39 U.M. 6. En un sistema de amortización francés de 30 cuotas de 2.900 U.M., a una tasa de 1,5% de interés mensual, se desea efectuar un pago anticipado en el periodo 12 equivalente a 6 cuotas de amortizaciones. a)

Calcule a cuánto asciende el préstamo recibido.

b) Determine el importe del principal que se paga en la cuota número 12 y a cuánto ascienden los intereses de dicha cuota.

4.8 Sistema de amortización alemán

c)

Calcule el importe del anticipo que se debe efectuar en ese momento.

d) Calcule el saldo pendiente de amortización una vez efectuado dicho pago. Respuesta: a) 69.645,93 U.M., b) 2.185,46 U.M. y 714,54 U.M., c) 13.818,66 U.M. y d) 31.631,77 U.M.

4.8

Sistema de amortización alemán

El sistema de amortización alemán supone constantes tanto las cuotas de amortización como la tasa de interés. Sin embargo, el pago de los intereses se realiza por anticipado, es decir, al inicio de cada periodo, o bien, vencido, según se contrate. El deudor se compromete a cancelar cantidades variables (anualidades o términos de la renta), al finalizar o comenzar cada periodo de tiempo convenido (por lo general lapsos equidistantes). Cada cantidad se desglosa en dos partes: la primera, constante e igual a la enésima parte del capital tomado en préstamo, se aplicará a la amortización; la segunda, variable, se aplica a la cancelación de intereses sobre el saldo del préstamo. La cantidad que se destina a la amortización real del préstamo es constante. En cada periodo se amortizará una parte del préstamo, con lo cual disminuyen los intereses y la cantidad destinada a la cancelación de éstos también disminuirá, como consecuencia de lo cual, las anualidades o términos de la renta serán variables. Debido a ello la cuota será decreciente, ya que el peso de los intereses será menor en cada una de ellas. A este sistema también se le denomina amortización real constante, pero los pagos Rt que se realicen serán decrecientes y las cuotas de pago varían en progresión aritmética.

4.8.1 Cálculo de la cuota periódica Si se quiere pagar el préstamo mediante pagos de R durante n periodos, con una tasa de interés periódica i, se debe utilizar la siguiente ecuación: L Pt P n donde P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán L Préstamo inicial n Plazo del préstamo (cantidad de cuotas)

(4.16)

509

510


El valor de cada pago periódico Rt será igual a la suma de la cuota de amortización del préstamo más los intereses del periodo. Rt = P + I t

(4.17)

Los intereses de cada periodo se calculan sobre el préstamo pendiente de amortización al inicio del periodo, como sigue: I t = Bt −1 × i donde Rt P It i Bt − 1

(4.18)

Pago periódico Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán Intereses pagados en el momento t Tasa de interés Préstamo pendiente de amortización al momento t − 1


Ejemplo 4.28 Se obtiene un préstamo por 8.000.000 U.M. a una tasa efectiva de 12% anual, que se amortizará mediante 10 anualidades de amortizaciones reales vencidas iguales y consecutivas. Determine el importe de la primera cuota de amortización. Calcule el primer pago periódico, incluyendo amortización e intereses. Elabore el cuadro de amortizaciones con base en el sistema alemán.


La anualidad de la amortización real será la que resulte de aplicar la siguiente fórmula: P=L n

Se reemplazan los valores y se obtiene: 8.000.000 10 P 800.000 P


b) Para calcular los intereses del primer año, cuando se aplica la fórmula se obtiene: I1 8.000.000 0,12 I1 960.000 c)

Se calcula el primer pago periódico: R1 P I1 R1 800.000 960.000 R1 1.760.000

d) Cuadro de amortizaciones con base en el sistema de amortización alemán. Número de cuota



Intereses del periodo

Cantidad pagada

0

8.000.000,00

1

8.000.000,00

800.000,00

960.000,00

1.760.000,00

2

7.200.000,00

800.000,00

864.000,00

1.664.000,00

3

6.400.000,00

800.000,00

768.000,00

1.568.000,00

4

5.600.000,00

800.000,00

672.000,00

1.472.000,00

5

4.800.000,00

800.000,00

576.000,00

1.376.000,00

6

4.000.000,00

800.000,00

480.000,00

1.280.000,00

7

3.200.000,00

800.000,00

384.000,00

1.184.000,00

8

2.400.000,00

800.000,00

288.000,00

1.088.000,00

9

1.600.000,00

800.000,00

192.000,00

992.000,00

10

800.000,00

800.000,00

96.000,00

896.000,00

8.000.000,00

5.280.000

13.280.000

Totales

4.8.2 Cálculo de los intereses de un determinado periodo t Ya se explicó que los intereses de cada periodo se calculan sobre el préstamo pendiente de amortización al inicio del periodo (fórmula 4.18), como sigue: I t = Bt −1 × i

511

512


donde Rt P It i Bt − 1

Pago periódico Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán Intereses pagados en el momento t Tasa de interés Préstamo pendiente de amortización al momento t − 1

Si se desarrolla la fórmula anterior, se obtiene el valor de los intereses de un determinado periodo en función de la deuda inicial y de la anualidad de amortización real bajo el sistema de amortización alemán: Bt −1 = L − (t −1) × P Si se reemplaza, It

@L

(t 1) P B i

(4.19)

donde It Intereses pagados en el momento t L Préstamo inicial t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán i Tasa de interés A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar lo anterior.

Ejemplo 4.29 Calcule los intereses correspondientes al periodo 6 si se obtiene un préstamo por 8.000.000 a una tasa efectiva de 12% anual, que se debe amortizar con base en 10 anualidades de amortizaciones reales vencidas iguales y consecutivas.



b) Se reemplazan los valores del enunciado en la ecuación del inciso a): I6

@8.000.000

(6 1) 800.000B 0,12

I 6 @8.000.000 4.000.000B 0,12 I 6 480.000 Los intereses suman 480.000 U.M.


4.8.3 Cálculo del valor de la anualidad R de un determinado periodo t Para calcular el valor de la anualidad R de un determinado periodo con base en el sistema alemán, se utiliza la fórmula que proporciona el valor de Rt, de un determinado periodo en función de la deuda inicial y de la anualidad de amortización real: Rt = P + I t Si se toma en cuenta el interés determinado en la fórmula (4.19): Rt P

@L

(t 1) P B i

(4.20)

donde Rt Pago periódico en el momento t P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán L Préstamo inicial t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n i Tasa de interés También se puede expresar como: Rt = P + I t = P + ( Bt −1 ) × i Rt = P + [ L − (t −1) × P ] Si: P=

L → L= P ×n n

entonces, Rt = P + [ P × n − P × (t −1)] × i Rt = P + P × [ n − t +1] × i Rt = P × [1+ (n − t +1) × i ]

(4.21)

donde Rt Pago periódico en el momento t P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán T Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n i Tasa de interés n Plazo del préstamo (cantidad de cuotas) El siguiente ejemplo muestra cómo se aplican estas ecuaciones para resolver problemas.

Ejemplo 4.30 Calcule los intereses correspondientes al periodo 8, cuando se toma un préstamo de 8.000.000 U.M. a una tasa de 12% anual pagadero en 10 anualidades.

513

514



Se determina la expresión que se utilizará, que es la ecuación (4.21).

b) Se reemplazan los valores del enunciado de la pregunta en la ecuación (4.20). Rt 800.000

@8.000.000

(8 1) 800.000B 0,12

Rt 800.000 2.400.000 0,12 Rt 1.088.000 Los intereses suman 1.088.000 U.M.

4.8.4 Variación de la cuota Un aspecto interesante para analizar es la variación de la cuota entre un periodo y otro, con la finalidad de conocer el tipo de variación que se produce. Si se toma el periodo (t + 1): Rt +1 = P + Bt × i Rt +1 = P + P × (n − t ) × i y a esta última expresión se le resta la (4.21). Rt 1 Rt P @1 n i t i 1 n i t i i B y luego se simplifican los términos, se obtiene: Rt +1 − Rt = − P × i Como se observa, la diferencia entre dos cuotas sucesivas es independiente de t y, en consecuencia, es la misma entre cualquier par de periodos. De aquí se concluye, por tanto, que las n cuotas del sistema de amortización alemán se comportan como una progresión aritmética de razón P × i , por lo que los intereses disminuyen a través del tiempo en esa proporción y la cuota también. A continuación se presenta un ejemplo que sirve para visualizar cómo se resuelve lo anterior.

Ejemplo 4.31 Si se toma un préstamo de 24.000 U.M. que se cancela en 12 cuotas anuales a una tasa de 18% anual, por el sistema de amortización alemán o de amortización constante, determine cuál es la cuota de amortización constante y elabore el cuadro de amortizaciones del préstamo. Grafique cómo evoluciona la amortización del principal desembolsado y los intereses de cada periodo.




b) Se reemplazan los valores en esta ecuación: 24.000 12 P 2.000 U.M.

P

c)

Se elabora el cuadro de amortizaciones del préstamo. Número de cuota



Intereses del periodo

Cantidad pagada

1

24.000,00

2.000,00

4.320,00

6.320,00

2

22.000,00

2.000,00

3.960,00

5.960,00

3

20.000,00

2.000,00

3.600,00

5.600,00

4

18.000,00

2.000,00

3.240,00

5.240,00

5

16.000,00

2.000,00

2.880,00

4.880,00

6

14.000,00

2.000,00

2.520,00

4.520,00

7

12.000,00

2.000,00

2.160,00

4.160,00

8

10.000,00

2.000,00

1.800,00

3.800,00

9

8.000,00

2.000,00

1.440,00

3.440,00

10

6.000,00

2.000,00

1.080,00

3.080,00

11

4.000,00

2.000,00

720,00

2.720,00

12

2.000,00

2.000,00

360,00

2.360,00

Como se observa en el cuadro anterior, la cantidad pagada en cada cuota disminuye 360,00 U.M., y es igual a P × i = 2.000,00 × 0,18 = 360 .

515

516


d) Representación gráfica de la evolución de los intereses y de las cuotas de amortización 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 0

1

2

3

4

5

6

Amortización

7

8

9

10

11

12

Intereses

A diferencia del sistema de amortización francés, esta línea evoluciona cada vez a mayor ritmo, debido a la disminución más acelerada de la deuda.

4.8.5 Cálculo de la deuda amortizada Si en un determinado momento se quiere efectuar el cálculo de la deuda amortizada, en función de la anualidad de amortización real con base en el sistema alemán, se debe recordar que es constante. Luego se debe calcular según la siguiente fórmula: Zt = t × P donde Zt Deuda amortizada en el momento t P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n Se presenta el siguiente ejemplo de aplicación.

(4.22)


Ejemplo 4.32 Calcule la deuda amortizada hasta el periodo 7, cuando se ha tomado un préstamo por 8.000.000 U.M. a una tasa de 12 % anual pagadero en 10 anualidades con base en el sistema de amortización alemán.


Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: Zt = t × P

b) Se reemplazan los valores: Z 7 = 7 × 800.000 Z 7 = 5.600.000 La deuda amortizada es de 5.600.000 U.M.

4.8.6 Cálculo de la deuda pendiente de amortización La siguiente fórmula proporciona la deuda pendiente de amortización al finalizar un determinado periodo t, en función de la deuda inicial y de la anualidad de amortización real con base en el sistema alemán: Bt = L − (n − t ) × P

(4.23)

donde Bt Deuda pendiente de amortización en el momento t L Préstamo inicial P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán n Tiempo total de la amortización de la deuda t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n A continuación se presenta un ejemplo de aplicación.

Ejemplo 4.33 Calcule la deuda pendiente de amortización en el momento 5, cuando se ha tomado un préstamo por 8.000.000 U.M. a una tasa de 12% anual pagadero en 10 anualidades con base en el sistema de amortización alemán.

517

518



Se identifica la ecuación que se utilizará: Bt = L − (n − t ) × P

b) Se reemplazan los valores y se obtiene: B5 = 8.000.000 − (10 − 5) × 800.000 B5 = 4.000.000

4.8.7 Cálculo del saldo de la deuda si se efectúa un pago anticipado ¿Qué sucede en el caso de que, simultáneamente con el pago del periodo k, se anticipan m cuotas? ¿Cuál es el importe del anticipo? A= P ×m

(4.24)

donde A Valor del anticipo P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán m Cantidad de cuotas de amortización que se anticipan Ahora se debe calcular el saldo pendiente de amortización luego del anticipo: Bt = L − (t × P ) − A Bt = L − (t × P ) − (m × P ) Bt = L − (t + m) × P

(4.25)

donde A Valor del anticipo efectuado P Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán Bt Intereses pagados en el momento t L Préstamo inicial n Tiempo total de la amortización de la deuda m Cantidad de cuotas de amortización que se anticipan t Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n Cuando se efectúa el pago anticipado, la carga de intereses disminuye, debido a que se calcula sobre el saldo impago. Se presenta el siguiente ejemplo de aplicación.


Ejemplo 4.34 Determine cuál es el importe del anticipo si, junto con la décima cuota, se abonan otras cuatro cuotas del préstamo solicitado por 25.000 U.M. a una tasa de interés anual de 12% que se cancela en 20 meses con base en cuotas vencidas por el sistema alemán, con una amortización del capital prestado de 1.250 U.M. Calcule el saldo pendiente de amortización del préstamo luego del anticipo. Elabore el cuadro de amortizaciones.


Para calcular el importe del anticipo: a.1 Se identifica la expresión que se utilizará, que es la ecuación (4.24) a.2 Se reemplazan los valores: A= P ×m A = 1.250 × 4 = 5.000 Ello significa que, al anticipar 5.000,00 U.M. (valor de las 4 cuotas que anticipa) más la amortización de la cuota 10 y los intereses de dicha cuota de 137,50 U.M., se realizará un pago total R10 de 6.387,50 U.M.

b) Para calcular el saldo pendiente de amortización del préstamo: b.1. Se identifica la ecuación que se utilizará, que es: Bt = L − (t + m) × P b.2 Se reemplazan los valores y se obtiene: Bt = 25.000 − (10 + 4) ×1.250 Bt = 7.500 c)

El cuadro de amortizaciones quedaría así: Número de cuota


Cantidad pagada


Intereses pagados

0

25.000,00

—

—

—

1

25.000,00

1.250,00

250,00

1.500,00

2

23.750,00

1.250,00

237,50

1.487,50

3

22.500,00

1.250,00

225,00

1.475,00

4

21.250,00

1.250,00

212,50

1.462,50

519

520


5

20.000,00

1.250,00

200,00

1.450,00

6

18.750,00

1.250,00

187,50

1.437,50

7

17.500,00

1.250,00

175,00

1.425,00

8

16.250,00

1.250,00

162,50

1.412,50

9

15.000,00

1.250,00

150,00

1.400,00

10

13.750,00

6.250,00

137,50

6.387,50

11

7.500,00

1.250,00

75,00

1.325,00

12

6.250,00

1.250,00

62,50

1.312,50

13

5.000,00

1.250,00

50,00

1.300,00

14

3.750,00

1.250,00

37,50

1.287,50

15

2.500,00

1.250,00

25,00

1.275,00

16

1.250,00

1.250,00

12,50

1.250,00

4.8.8 Problemas propuestos 1. Se compra una máquina en 12.000 U.M. que se paga en 3 años, mediante cuotas semestrales vencidas, por el sistema alemán, a una tasa de 16% de interés anual. Elabore el cuadro de amortizaciones y calcule el importe de cada cuota. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 2. Una deuda de 24.000 U.M. se cancela en 10 años, con amortizaciones anuales constantes de 7,5% de interés anual. Elabore un cuadro de amortizaciones que incluya los pagos, intereses y saldos pendientes de amortización. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 3. Suponga un préstamo por 10.000 U.M. a pagar en cuatro cuotas, aplicando el sistema alemán, con una tasa de interés de 2%. Calcule cuál es el saldo pendiente de amortización luego del pago de la segunda cuota. Calcule cuánto se ha amortizado del préstamo y cuál será el importe de intereses de la cuota 3 y a cuánto asciende en ese momento el pago periódico. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro.


4. Para cancelar la compra de vehículos en una empresa, se ha solicitado un préstamo por 54.000 U.M. con una tasa de interés nominal anual de 27% en 36 meses. Calcule a cuánto asciende el pago periódico de la primera cuota y cómo se distribuye entre intereses y amortizaciones. Elabore el cuadro de amortizaciones. Respuesta: Consulte el solucionario que se encuentra en el sitio web de este libro. 5. Con la información del ejercicio anterior, al vencimiento de la cuota 12 se procede a efectuar un pago anticipado de amortizaciones del préstamo equivalente a cuatro cuotas. Determine a cuánto asciende el pago de esas 4 cuotas. Calcule el saldo pendiente de amortización luego del pago de la cuota 12 más los anticipos mencionados. Calcule a cuánto asciende el pago de intereses de la cuota 13. Respuesta: 6.000 U.M., 24.000 U.M. y 675 U.M. 6. Un capital de 3.875.500 U.M. prestado a una tasa de 7% anual se amortiza mediante anualidades constantes. Se conoce que a los 11 años el capital pendiente de amortizar es de 1.705.220 U.M. Determine: a)

La anualidad que amortiza el préstamo.

b) La duración del préstamo. c)

Los componentes del cuadro de amortización en el año 12.

Respuesta: 155.020 U.M., 25 y 306.939,60 U.M.

4.9 Rubro Pagos (4.1)

Anualidad inmediata (4.2)


Nomenclatura

L R= an

P: Pagos L: Préstamo inicial an : Valor presente de la anualidad inmediata

1− (1+ i )− n an = i

an : Valor presente de la anualidad inmediata i: Tasa de interés n: Tiempo

521

522


Rubro Saldo del préstamo pendiente con el enfoque prospectivo (4.3) Saldo del préstamo pendiente con el enfoque retrospectivo (4.4)

Valor futuro de una anualidad inmediata (4.5)

Préstamo (4.6)

Equivalencia valor presente y futuro de una anualidad (4.7)

Amortización con diferentes series de pagos (4.8)

Fórmula

Nomenclatura

B tp = P × an − t

Btp : Saldo del préstamo pendiente, con el enfoque prospectivo P: Pago an−t : Valor presente de una anualidad inmediata

Btr = L × (1+ i )t − P × st

Btr : Saldo del préstamo pendiente, con el enfoque retrospectivo L: Préstamo inicial i: Tasa de interés P: Pago t: Tiempo

Sn =

an 1− i × a n

L R= Sn

1 a n i& j

=

1 +i sn j

n

L = ∑ v × Rt t

t =1

sn : Valor futuro de una anualidad inmediata an : Valor presente de una anualidad inmediata i: Tasa de interés R: Pago periódico sn : Valor futuro de una anualidad inmediata L: Préstamo inicial an i& j : Valor presente de una anualidad, con i y j previamente definidas sn j : Valor futuro de una anualidad inmediata, con j previamente definida i: Tasa de interés del préstamo j: Tasa de interés del fondo de amortización Rt: Pago periódico vt: Factor de descuento L: Préstamo

4.9 Resumen de fórmulas

Rubro

Fórmula R=

Valor anualidad R en sistema francés (4.9)

R=

Valor amortizado por el sistema francés (4.10)

Cálculo de intereses por el sistema francés (4.11)

Deuda amortizada por sistema francés (4.12)

Deuda pendiente de amortización por el sistema francés (4.13)

L ⎡1− (1+ i )n ⎤ ⎢ ⎥ i ⎣ ⎦ L×i 1− (1+ i )n

523

Nomenclatura R: Pago periódico L: Deuda primaria del préstamo i: Tasa de interés n: Tiempo

Pt = R × v n−t +1

Pt: Amortización del préstamo en el momento t R: Pago periódico i: Tasa de interés n: Tiempo total de la amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n

I t = R × (1− v n−t +1 )

It: Intereses pagados en el momento t R: Pago periódico i: Tasa de interés n: Tiempo total de la amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n

(1 i)t 1 i

Zt

R (1i)n

Zt

R s (1 i)n t i

⎡1− (1+ i )−( n−t ) ⎤ Bt = R × ⎢ ⎥ i ⎣ ⎦ Bt = R × an−t

Zt: Deuda amortizada hasta el momento t R: Pago periódico i: Tasa de interés n: Tiempo total de la amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n Bt: Deuda pendiente de amortización en el momento t R: Pago periódico i: Tasa de interés n: Tiempo total de la amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n

524


Rubro

Cálculo del pago anticipado de deudas por el sistema francés (4.14)

Intereses pagados en t por el sistema francés (4.15)

Cálculo de la cuota de amortización por el sistema alemán (4.16) Cálculo del pago periódico por el sistema alemán (4.17) Cálculo de intereses pagados por el sistema alemán (4.18) Cálculo de intereses en función de deuda inicial y anualidad de amortización por sistema alemán (4.19)

Fórmula

A = R × am × (1+ i )−(n−t −m) ⎡1− (1+ i )− m ⎤ −( n −t − m ) A = R ×⎢ ⎥ × (1+ i ) i ⎣ ⎦

Bt = R × an−t −m ⎡1− (1+ i )−( n−t −m ) ⎤ Bt = R × ⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Nomenclatura A: Valor del anticipo efectuado i: Tasa de interés n: Tiempo total de la amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n m: Cantidad de cuotas anticipadas Bt: Deuda pendiente de amortización en el momento t R: Pago periódico i: Tasa de interés n: Tiempo total de amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n m: Número de cuotas que se anticipan

Pt = P = L

P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán L: Préstamo inicial n: Plazo del préstamo (cantidad de cuotas)

Rt = P + I t

Rt: Pago periódico P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán

I t = Bt −1 × i

It: Intereses pagados en el momento t i: Tasa de interés Bt − 1: Préstamo pendiente de amortización al momento t − 1

I t = [ L − (t −1) × P ] × i

It: Intereses pagados en el momento t L: Préstamo inicial t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán i: Tasa de interés

n

4.9 Resumen de fórmulas

Rubro

Valor de la anualidad R en el periodo t por el sistema alemán (4.20)

Valor anualidad R en el periodo t por el sistema alemán (4.21)

Deuda amortizada por el sistema alemán (4.22)

Deuda pendiente de amortización por sistema alemán (4.23)

Cálculo del pago anticipado por el sistema alemán (4.24)

525

Fórmula

Nomenclatura

Rt = P + [ L − (t −1) × P ] × i

Rt: Pago periódico en el momento t P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán L: Préstamo inicial t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n i: Tasa de interés

Rt = P × [1+ (n − t +1) × i ]

Rt: Pago periódico en el momento t P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n i: Tasa de interés n: Plazo del préstamo (cantidad de cuotas)

Zt = t × P

Zt: Deuda amortizada en el momento t P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n

Bt = L − (n − t ) × P

Bt: Deuda pendiente de amortización en el momento t L: Préstamo inicial P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán n: Tiempo total de la amortización de la deuda t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n

A= P ×m

A: Valor del anticipo efectuado P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán m: Cantidad de cuotas de amortización que se anticipan

526


Rubro Deuda pendiente luego del pago anticipado por el sistema alemán (4.25)

Fórmula

Bt = L − (t + m) × P

Nomenclatura P: Cuota de amortización del préstamo en el sistema alemán Bt: Intereses pagados en el momento t m: Cantidad de cuotas de amortización que se anticipan t: Momento en el cual se calcula la deuda, donde 0 < t < n L: Préstamo inicial

Bibliografía AYRES, Frank (Jr.), Matemáticas Financieras (Serie Shawn), trad. de Fernando Ocampo Compean (México, McGraw-Hill, 1971). BACA URBINA, Gabriel, Evaluación de Proyectos (México, McGraw Hill, 2001). BED WORTH, David y RAND HAWA, Sabah, Ingeniería Económica, trad. de Olivia del C. Cárdenas Loera y Marcia González Osuna, 4ª ed. (México, Alfaomega, 2002). BLANK, Leland T. y TARQUIN, Anthony J., Ingeniería Económica, trad. por Javier Enríquez Brito, 6a ed. (México, McGraw-Hill, 2006). BONILLA, Ivars, Matemáticas de las operaciones financieras, teoría y práctica (Madrid, Editorial AC. 1994). COURT MONTEVERDE, Eduardo, ACHING GUZMÁN, César y ACHING SAMATELO, Matemáticas financieras (Buenos Aires, Cengage Learning, 2009). DÍAZ MATA, Alfredo y AGUILERA GÓMEZ, Víctor Manuel, Matemáticas Financieras, 3ª ed. (México, McGraw-Hill, 1999). FINAN, Marcel B., A Basic Course in The Theory of Interest and Derivatives Markets. A Preparation for the Actuarial Exam FM/2 (Arkansas, Arkansas Tech University, 2011). FISCHER ROSSI, Konrad, Casos en Administración de Negocios (México, McGraw-Hill, México, 1972). HONG, Don, A Brief Review of Theory of Interest (Murfreesboro, Middle Tennessee State University). KAFKA KIENER, Folke, Evaluación estratégica de proyectos de inversión (Lima, Universidad del Pacífico, 2006). KELLISON, Stephen G., The Theory of Interest, 3a ed. (Singapur, McGraw-Hill, 2009). MADURA, Jeff M., Administración Financiera Internacional, trad. de Julio S. Coro Pando, 6ª ed. (México, Thomson, 2000). MOORE, Justin H., Manual de Matemáticas Financieras, trad. de Teodoro Ortiz R. (México, UTEHA, 1996). RAMBAUD, Salvador Cruz y VALLS MARTÍNEZ, María del Carmen, Introducción a las matemáticas financieras (Madrid, Ed. Pirámide, 2003). SAPAG CHAIN, Nassir y SAPAG CHAIN, Reinaldo, Preparación y Evaluación de Proyectos, 4ª ed. (México, McGraw-Hill Interamericana, 2000). SAPAG CHAIN, Nassir, Criterios de Evaluación de Proyectos. Cómo medir la rentabilidad de las inversiones (Madrid, McGraw-Hill/Interamericana, 1993). SPRINGER, Clifford H.; HERLIHY, Robert E.; MALL, Robert T. y BEGGS, Robert I., Matemáticas Básicas, Serie de matemáticas para la Dirección de Negocios, Tº II (México, UTEHA, 1965). TAYLOR, George A., Ingeniería Económica. Toma de decisiones, trad. de Ing. Agustín Contín S., 5ª ed. (México, Limusa, 1999).

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Teoría del interés

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Teoría del interés. Métodos cuantitativos para finanzas es un libro innovador que propone una visión actual y práctica de las matemáticas relacionadas con la ciencia actuarial (Teoría del interés), que es una materia fascinante. Su parte central es la toma de decisiones con base en comparaciones de valor de las distintas alternativas en evaluación. Las áreas de aplicación del libro, que es al mismo tiempo un manual, son múltiples, y van desde una decisión personal de financiamiento hasta la evaluación de la posibilidad de especular en los mercados financieros, pasando por las áreas corporativas de cualquier tipo de empresa, sin importar su tamaño. Asimismo, las decisiones que permite abordar incluyen todos los niveles de organización en los sectores público y privado. La obra posee un enfoque teórico-práctico, sin que ello signifique que se sacrifica el rigor académico indispensable para estudiar los temas e innovar en forma amena la pedagogía de las matemáticas financieras. Por medio de gráficos ilustrativos, ejemplos y, al desagregar en sus partes cada uno de los componentes principales, se explica el análisis de las diferentes operaciones financieras (interés, descuento, anualidades, tasa de retorno de una inversión y amortizaciones). El punto del cual parten los autores para estudiar los temas son los conceptos básicos de la materia, con la finalidad de favorecer la comprensión de las técnicas específicas, además de que se incluyen problemas de aplicación de dichos conceptos. El libro está dirigido al ejecutivo moderno, al empresario y al estudiante avanzado de pregrado y de posgrado, con el objetivo de que pueda apoyarse en la toma de decisiones y comprender los fundamentos del análisis, lo cual es indispensable en la actualidad para llevar a cabo una gestión financiera moderna y efectiva.

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