BAB II PEMBAHASAN
Suku tambahan Ĥ‟ pada perator Hamiltonian Ĥ sering kali muncul pada beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu. Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu. A. Teori Gangguan Bergantung Waktu
Proses dinamika yang berkaitan dengan perubahan keadaan suatu sistem kuantum biasa dilukiskan sebagai proses peralihan atau transisi dari suatu keadaan ke keadaan kuantum yang lain. Proses transisi ini dapat diselesaikan dengan persamaan Schrodinger. Apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai berikut:
Pers.1 Dengan sebagai gangguan kecil terhadap dan memenuhi
syarat-syarat:
a) Tak bergantung pada waktu b) Memiliki solusi lengkap bagi persamaan nilai eigen
〉 〉 Pers. 2 Dengan perangkat vector eigen yang ortonormal. Deskripsi perubahan waktu dari setiap keadaan stasioner secara umum diberikan sebagai superposisi linear berikut.
〉 ∑ 〉
Pers. 3
tidak konstan, maka persamaan eigen tidak berlaku lagi untuk . Persamaan gerak yang berlaku adalah 〉 〉 Pers. 4 Karena
2
Solusi untuk persamaan 4 pada saat tertentu masih dapat dianggap sebagai hasil gangguan tertentu pada keadaan eigen superposisi vector-vektor eigen
yang dituliskan dalam bentuk
dengan koefisien C yang berlaku untuk saat k
tersebut. Hal ini berarti bahwa deskripsi perubahannya diungkapkan oleh variasi
waktu dari koefisien-koefisien kombinasi linear menurut persamaan Schrodinger. Dalam bentuk umum, solusi persamaan 4 dapat ditulis sebagai berikut.
〉 ∑ 〉 Pers. 5 Dengan notasi ringkas 〉 〉 dan syarat awal 〉 〉 Pers. 6 Untuk menentukan persamaan yang memenuhi {C (t)} sesuai dengan persamaan 5 maka 〉 dari persamaan 5 subtitusikan ke persamaan 4. Kemudian ambil produk skalar dengan vektor eigen 〉, sehingga diperoleh persamaan berikut. ⟨⟩ Dengan menggunakan sifat ortonormal vector eigen ⟨ ⟩ , akan diperoleh elemen matriks sebagai berikut. || ⟨⟩ Sehingga, persamaan menjadi ∑ Pers. 7 k
dengan d/dt merupakan diferensial eksplisit terhadap t dan
|| Pers. 8 Untuk setiap dapat ditulis dalam bentuk deret seperti ∑ Pers. 8 Dengan syarat awal: Deret C (t) pada persamaan 8 disubtitusikan pada persamaan 7 dengan menambahkan koefisien λ pada . Dengan menyamakan koefisien-koefisien k
k
λn, diperoleh dua order aproksimasi pertama sebagai berikut.
̇
Pers. 11 3
̇ ∑ Sehingga koreksi order ke- secara umum dapat ditulis ̇ ∑
Pers. 12
n
Pers. 13
Persamaan order terendah setara dengan persamaan 3 yang solusinya
dengan syarat . Sehingga persamaan order pertama untuk menjadi Pers. 14 Persamaan 14 juga dapat langsung diperoleh dengan pendekatan C (t)<
k
m 0
l
Gangguan nonstasioner dibedakan menjadi dua jenis yaitu: a. Gangguan transien (terbatas dalam waktu)
b. Gangguan terus menerus atau tetap
1. Keadaan Transien
Keadaan transien terjadi pada sistem dengan gangguan awal dan akhir berada pada keadaan stasioner. Keadaan ini digambarkan seperti dibawah ini.
t1
t2
-∞
∞
〉 〉
〉 〉
〉 ∑ 〉 4
∑ , maka probabilitas transisi dari 〉 〉 diberikan oleh suatu konstanta pada keadaan yang bersifat stasioner yaitu = 0. Konstanta pada kasus ini adalah . Karena bersifat transien, maka integral dari persamaan 15 menjadi : Dengan menggunakan transformasi fourier, integral di atas dapat ditulis menjadi Dimana ∫ Harga dapat diperoleh melalui perhitungan transformasi fourier pada frekuensi dengan syarat . Berdasarkan sifat hermitivitas , diperoleh bahwa . Dari hubungan tersebut, diperoleh pula bahwa . Sehingga amplitude probabilitas untuk transisi balik 〉 〉 dapat dituliskan sebagai berikut. ,- Dari penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa transisi antara dua keadaan, yaitu keadan 〉 dan 〉 memiliki probabilitas yang sama dan tidak bergantung arah transisinya. Sifat ini dikenal dengan prinsip keseimbangan terinci ( ) yang diakibatkan oleh sifat hermitisitas . Sifat ini Apabila
t
detail balance
berlaku untuk suatu sistem kuantum tertentu seperti sebuah atom.
Eksitasi Atom “H” dengan Radiasi Elektromagnetik (E.M)
Sesuai perumusan klasik, Hamiltonian untuk atom “H” bebas tanpa medan magnet luar dirumuskan sebagai.
5
Dengan Z adalah jumlah muatan efektif teras ( core) “H” dalam satuan e (harga mutlak muatan elektron). Jika terdapat suatu medan radiasi
̅ dan medan listrik , maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut. ̅ ̅ dengan potensial vektor dan potensial skalar φ melalui medan magnet
Pada medan elektromagnet yang tak mengandung komponen statik
atau biasa disebut sebagai radiasi murni, hubungan antara medan raiasi
̅ Dimana medan radiasi ̅ memenuhi persamaan gelombang bebas. ̅ ̅ Sesuai dengan kaidah substitusi minimal dengan syarat invariant ̅, dengan adalah momentum yang berkonjugasi
dengan medan listrik menjadi:
gauge
local
dengan koordianat umum bagi suatu sistem yang bersangkutan, dapat
didapatkan interaksi elektromagnetik antara electron yang bermuatan – e dan medan radiasi yang dilaluinya. Sehingga persamaan 19 dapat dituliskan dalam bentuk
. ̅/ . Dengan Pada mekanika kuantum, operator berharga serta dijabarkan sesuai aturan gugus kuadratik mengganti dengan ̅ ̅ ̅ , diperoleh persamaan dan persamaan operator , ̅ ̅- engan menggunakan syarat Coulomb dan pendekatan untuk intensitas radiasi yang lemah, maka persamaan di atas menjadi
6
̅ Dari persamaan di atas, maka ̅ Persamaan 27 dapat disubstitusikan pada persamaan 16 sehingga diperoleh ̅ yang dapat didefinisikan. Gangguan transien terjadi jika medan radiasi yang hanya berlangsung pada waktu tertentu yang terbatas. Oleh karena itu, potensial vektor ̅ tidak mungkin bersifat monokromatik. Akan tetapi potensial vector ̅
dianggap sebagai gelombang monokromatik yang bersuperposisi linear dan dengan rumus transform Fourier dapat definisikan sebagai:
̅ ̅ Untuk mediun nondispersif, harga potensial vector ̅ bernilai ̅̅ ̅ ̅ Dengan || ⁄ . Persamaan 23 dan persamaan 29 mengakibatkan sifat transversalitas ̅ tampak pada Hamiltonian sehingga dapat dituliskan dalam bentuk ̅ ̅ Amplitude untuk probabilitas transisi 〉 〉 menurut persamaan 16 dan definisi di atas, maka dapat dicari harga . | | | ̅ ̅ | 7
̅ | |̅ Dengan representasi Dirac, diperoleh | ̅ | ̅() Sehingga besar probabilitas diperoleh || || ̅ | ̅()| Misalkan ̅ ̂ ̂ dan panjang gelombang radiasi yang ditinjau cukup besar ̅ maka perlu digunakan pendekatan dipole yang berlaku untuk sistem atom dengan ukuran beberapa Å. Dengan aproksimasi ̅ ̅ maka akan didapat rumus aproksimasi ⟨ ⟩̂( ) Dengan menggunakan matriks identitas operator untuk tiga dimensi
̅ ̅ ,̅- dan persamaan 26, hubungan komputasi sebagai berikut. [ ̅ ] [̅ ] Sehingga diperoleh persamaan ⟨ ⟩ |[̅ ]| ⟨ ̅⟩
maka
diperoleh
Dengan menggunakan operator momen dipole listrik ̅ ̅ , maka persamaan 33 menjadi: ⟨ ⟩ ⟨ ̂⟩ () Dan didapat rumus aproksimasi dipole || ⟨ ̂⟩|()| Pers. 37 2. Keadaan Tetap
Gangguan stasioner untuk keadaan tetap sering ditemukan pada kasus hamburan partikel oleh suatu potensial tetap,
̅, yang memiliki jangkauan 8
interaksi terbatas. Karena jangkauan interaksinya terbatas, maka keadaan awal
yang berbeda. Untuk kasus ini, gangguan stasioner dituliskan sebagai. Sesuai rumus aproksimasi, persamaan untuk C (t) dapat dituliskan Dengan mengintegralkan langsung persamaan 39 dengan batas 0 sampai t dan memenuhi syarat awal maka diperoleh () Dan probabilitas untuk keadaan di atas adalah sebagai berikut. dan akhir pada kasus ini memiliki nilai eigen
l
Pada keadaan yang terjadi di daerah spectrum kuasikontinu misalnya pada
proses Auger atom berat dan proses hamburan terjadi proses konservatif
. Selama keadaan tersebut sehingga dapat diabaikan. Persamaan diatas menjadi: ers 43 Pada kasus ini, laju transisi total 〉 * 〉+ karena probabilitas transisi dalam kasus ini merupakan fungsi waktu. Dengan persamaan 41 dengan * 〉+ dengan
mencangkup seluruh keadaan yang mungkin ditempati pada akhir transisi, maka persamaan tersebut menjadi.
9
Persamaan di atas hanya berlaku pada spectrum dengan kadaan akhir,
*〉+, bersifat diskrit. W merupakan jumlah dari fungsi-fungsi harmonik tanpa ada pembatasan untuk . Untuk keadaan diskrit, W berbanding t
lurus dengan t .
Dalam peristiwa fotolistrik, emisi electron Auger, serta proses-proses radiatif lain, proses transisi biasanya akan berakhir pada kumpulan energy yang berdekatan. Dapat dikatakan bahwa keadaan akhir dari proses-proses tersebut memiliki distribusi E kontinu. Karena distribusi keadaan berlangsung kontinu terhadap waktu maka kerapatan keadaan diberikan berupa fungsi
. Selang energi antara dan dapat dirumuskan. ././ Dengan penyesuaian operasi penjumlahan ∑ ∫ ∑ ∫ , diperoleh laju reaksi Fungsi , - berosilasi dengan puncak yang menonjol di sekitar . Amplitudo yang dihasilkan mengecil dengan cepat pada seperti pada gambar di bawah. Hal ini dapat mengakibatkan kontribusi integral luar dapat diabaikan. Besar dan di sekitar adalah konstan sehingga persamaan 46 waktu,
menjadi
10
Dengan mengingat bahwa
dan lebar
sangat besar, maka batas integral di atas disamakan antara - ∞ sampai ∞ Sehingga persamaan menjadi Jika diketahui bahwa ∫ , integral di atas menghasilkan *+ ⟨⟩ Persamaan di atas dikenal dengan kaidah emas Fermi yang menyatakan laju transisi konstan. Hasil penjumlahan dari | | merupakan hasil penjumlahan dari proses konservatif dan proses konservatif . || karakteristik distribusi
Sedangkan untuk hasil penjumlahan yang lain merupakan hasil
penjumlahan dari fungsi-fungsi harmonik yang berubah terhadap waktu menurut persamaan 42. Resultan dari distribusi fungsi harmonik tersebut menghasilkan probabilitas total yang berbanding lurus dengan t . Jika V lm = 0 untuk semua keadaan akhir maka V lm berada pada orde kedua, yaitu
Gangguan Medan Harmonik
Gangguan medan harmonik terjadi pada potensial yang bersifat harmonik, misalnya pada medan yang berasal ari sumber gelombang
11
monokromatik dengan modus gelombang kontinu (CW). Hermitian pada keadaan ini dapat dituliskan sebagai berikut.
V adalah potensial yang tak bergantung pada waktu t . Untuk harga koefisien Cl(t) perlu mensubtitusikan syarat di atas pada persamaan 15 dengan memperhatikan syarat awal
akan diperoleh
[{( )}] [{( )}]
Persamaan di atas dapat dijelaskan melalui gambar berikut.
serta memperhatikan bahwa , diperoleh koefisien C (t) dari suku kedua persamaan 52 dalam bentuk: ,*+ Dengan
syarat
l
Hal tersebut menghasilkan probabilitas yang sama dengan persamaan
42 dengan perubahan sebagai berikut.
12
|| Dengan menggunakan rumus Fermi untuk proses emisi radiasi dan absorbsi radiasi dimana , diperoleh lagi jumlah dari fungsi-fungsi harmonik sebesar: *+ ||( ) Penurunan rumus Fermi digunakan untuk dua pengandaian penting,
yaitu.
|| untuk mendekati nol. Berlaku syarat ||
a. Dasar keberlakuan aproksimasi pertama
b. Penyederhanaan integral terhadap energi keadaan akhir dimana
lebar maksimum utama harus jauh lebih kecil dari lebar distribusi spektral (
).
Dari penurunan rumus Fermi dengan dua pengandaian penting tersebut, diperoleh bahwa batas validitas rumus laju reaksi untuk gangguan medan harmonik adalah sebagai berikut.
||
B. Teori Gangguan Stasioner 1. Keadaan Nondegenerasi
Apabila terdapat nilai eigen
〉 〉,
dapat digunakan
pendekatan Rayleigh-Schrodinger dengan menguraikan Hermitian dalam
yang memenuhi syarat sebagai berikut. a. Soal nilai eigen yang “tak terganggu” 〉 〉 4 Artinya, nilai eigen yang dapat diselesaikan dengan mudah sehingga perangkat vektor eigen 〉 yang diperoleh dapat digunakan sebagai
bentuk
representasi dalam ruang Hilbert yang ditinjau dan diperoleh
13
b. Menggunakan parameter yang cukup kecil dan biasa disimbolkan dengan λ sehingga suku kecil terhadap
dapat dianggap sebagai gangguan yang
Dalam perumusan selanjutnya, untuk λ yang cukup kecil dapat ditulis dalam bentuk deret konvergen untuk nilai eigen dan vektor eigen sebagai berikut:
∑ 〉 ∑ 〉 dengan syarat „kontinuitas‟
dan
〉 〉
dan syarat „keterpisahan‟ (tidak ada tumpang tindih atau “overlap” ) antara keadaan awal
〉 dan keadaan 〉 dengan n ≥ 1, yaitu
Subtitusi deret konvergen untuk λ ke dalam persamaan Hermitian:
〉 〉 〉 〉 〉
Jika koefisien λn sama untuk setiap n, maka berlaku persamaan berikut:
〉 2. . / . / 〉 1.
14
3.
. / . /〉〉
Untuk orde n ≥ 1, persamaan umum dapat dituliskan
〉〉 〉 Mengingat bahwa 〈 | 〈 , maka diperoleh persamaan untuk suku koreksi energi orde ke n(n≥1) sebagai berikut Mengingat syarat keterpisahan bahwa untuk harga s = n – r ≠ 0 maka diperoleh rumus umum
Berdasar persamaan di atas, koreksi paling rendah (orde pertama) dirumuskan sebagai
dan penyelesaian dijabarkan
seperti di bawah ini.
〉 〉 〉 . /〉 . / Untuk maka . Sehingga suku koreksi 〉 dapat dinyatakan sebagai superposisi linear vektor eigen , yaitu 〉 〉 m=l
15
Penjabaran di atas juga dapat digunakan untuk menjabarkan koreksi pada orde kedua sebagai berikut.
dan besar energi dirumuskan sebagai
2. Keadaan Terdegenerasi
Pada keadaan terdegenerasi, solusi eigen berlaku m=l maupun untuk m≠l dan
baik untuk
〉 〉. Sehingga ruas kanan pada
persamaan ruas kanan menjadi tak hingga saat m=l . Sedangkan untuk m≠l persamaan ruas kanan menjadi
maka pada kelompok keadaan eigen yang terdegenerasi tersebut perlu dilakukan koreksi pada orde terendah dengan superposisi linear yang mendiagonalkan . Hasil diagonalisasi kelompok keadaan eigen yang terdegenerasi ini merupakan suku koreksi pertama terhadap nilai eigen . Sekarang kita tinjau, keadaan yang memiliki sub ruang degerate dengan derajat g. beberapa g keadaan eigen 〉 dengan = 1,2,…,g yang sesuai dengan suatu energi eigen . Keadaan eigen 〉 ini dianggap Karena adanya gangguan
i
sebagai basis ortonormal. Untuk mendiagonalkan keadaan eigen maka dibentuk basis baru sebagai berikut.
dalam sub ruang degenerasi, 16
〉 〉 Dengan dan ∑ ∑ maka dan berlaku persamaan 〉 〉 Diagonalisasi matriks akan menghasilka elemen diagonal yang tidak lagi sama pada . Sehingga pengaruh koreksi adalah
pengurangan atau penghapusan degenerasi dalam spektrum nilai eigen semula. Untuk memperoleh koreksi tersebut, maka dijabarkan sesuai pada keadaan nondegenerated dengan mengasumsikan bahwa eigen berada dalam sub ruang degenerasi.
〉 |〉
Dengan
memperhatikan
syarat
kontinuitas
〉 〉 dan ketentuan ortonormalitas , diperoleh persamaan 〉 〉 . /〉 . /〉 . /〉 . /〉〉 Ketiga persamaan di atas menghasilkan persamaan
Untuk setiap j dalam degenerasi diperoleh persamaan berikut.
17
Suku koreksi pada persamaan di atas bergantung pada indeks i dari vektor eigen yang berdegenerasi sebelumnya. Gangguan
dapat menimbulkan
pemisahan tingkat-tingkat energi yang sebelumnya berimpit, serta mengurangi degenerasi pada spektrum eigen
.
Untuk membuktikan bahwa persamaan di atas setara dengan persamaan
maka perlu dijabarkan sebagai berikut. eigen
Kedua ruas dikalikan dengan a jm kemudian indeks j dijumlahkan dengan
syarat ortonormal sehingga diperoleh
Atau dalam bentuk matriks dapat dituliskan sebagai
Solusi untuk persamaan di atas adalah spektrum nilai eigen dan koefisien superposisi linear { } untuk 〉 yang merupakan vektor eigen simultan dari dan dalam subruang degenerasi sebagai berikut Pendekatan orde pertama dituliskan:
〉 〉
Terjadinya degenerasi dalam suatu spektrum nilai eigen menunjukkan adanya sifat simetri atau invarian dari hamiltonian terhadap operasi transformasi tertentu. Misalkan sistem yang ditinjau itu invarian terhadap
18
rotasi dalam keadaan tak terganggu. Ini berarti antara rotasi l i berlaku hubungan
dan generator
Atau [ ][][] Sehingga 〉 〉 〉 Dari hubungan komutasi , - diperoleh bahwa 〉 〉 Ini membuktikan bahwa energi eigen pada keadaan 〉 sama dengan energi eigen pada keadaan 〉 sehingga spektrum energi eigen tersebut mengandung degenerasi dengan derajat g = 2 l + 1 terhadap bilangan kuantum m.
, perlu merusak simetri yang terdapat di dalam spektrum tersebut. jika komut dengan maka hanya terjadi pergeseran yang berdegenerasi menyeluruh. Jika gangguan masih menyisakan simetri maka akan Untuk menghilangkan kuantum degenerasi spektrum eigen
menghilangkan degenerasi secara partial.
19
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Suku tambahan Ĥ‟ pada perator Hamiltonian Ĥ sering kali muncul pada beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu. Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu. 1. Gangguan stasioner apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai berikut:
Gangguan nonstasioner dibedakan menjadi dua jenis yaitu: c. Gangguan transien (terbatas dalam waktu)
d. Gangguan terus menerus atau tetap
2. Gangguan nonstasioner
c. Gangguan Nondegenerasi
〉〉 〉 d. Gangguan Terdegenerasi
20
DAFTAR PUSTAKA Herbert Kroemer. 1994. Quantum Mechanics. New Jersey: Prentice-hall.inc Ohno. Koichi. 2004. Kimia Kuantum. Tokyo: Iwanami Shoten. Mathews Venkatesan. 1978. A Tekt Book Of Quantum Mechanics . New Delhi: Tata McGraw-hill Publishing Company Limited Richard Liboff. 1997. Introductory Quantum Mechanics Third Edition. USA: Addison-Wesley Publishing Company, inc Sutopo. 2003. Pengantar Fisika Kuantum. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Tjia. M. O., 1999. Mekanika Kuantum. Bandung: ITB Bandung.
21
rotasi dalam keadaan tak terganggu. Ini berarti antara rotasi l i berlaku hubungan
dan generator
Atau [ ][][] Sehingga 〉 〉 〉 Dari hubungan komutasi , - diperoleh bahwa 〉 〉 Ini membuktikan bahwa energi eigen pada keadaan 〉 sama dengan energi eigen pada keadaan 〉 sehingga spektrum energi eigen tersebut mengandung degenerasi dengan derajat g = 2 l + 1 terhadap bilangan kuantum m.
, perlu merusak simetri yang terdapat di dalam spektrum tersebut. jika komut dengan maka hanya terjadi pergeseran yang berdegenerasi menyeluruh. Jika gangguan masih menyisakan simetri maka akan Untuk menghilangkan kuantum degenerasi spektrum eigen
menghilangkan degenerasi secara partial.
19
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Suku tambahan Ĥ‟ pada perator Hamiltonian Ĥ sering kali muncul pada beberapa persamaan dalam mekanika kuantum. Suku tambahan tersebut merupakan sebuah ganguan. Dalam teori gangguan, Hamiltonian diuraikan menjadi dua bagian yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian suku pengganggu. Suku pengganggu dibagi lagi menjadi dua yaitu gangguan yang bergantung waktu dan gangguan stasioner atau tak bergantung waktu. 1. Gangguan stasioner apabila sistem Hamiltonian diuraikan menjadi sebagai berikut:
Gangguan nonstasioner dibedakan menjadi dua jenis yaitu: c. Gangguan transien (terbatas dalam waktu)
d. Gangguan terus menerus atau tetap
2. Gangguan nonstasioner
c. Gangguan Nondegenerasi
〉〉 〉 d. Gangguan Terdegenerasi
20