TEMAS 23 ideas del infinito.pdf

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Ideas del infinito 4

El infinito matemático  Javier de Lorenzo El infinito, en sus aspectos potencial y actual, aparece como una conceptualización formal reguladora de la creación matemática.

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Arquímedes ante lo innumerable  Ilan Vardi Arquímedes inventó una notación para contar números muy grandes. Pero sigue abierta la pregunta de por qué se detuvo en su “número más grande”.

    o      i     r     a     m     u      S 14

– bit ibn Qurra y el infinito numérico Tha Tony Lévy Frente a las tesis de Aristóteles, tan largo tiempo dominantes en la filosofía, un sabio árabe del siglo IX  mantuvo sobre el infinito un punto de vista tan original como audaz.

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La ciencia del movimiento en el siglo

XVII

 Michel Blay La descripción fisicomatemática del movimiento permitió eludir las paradojas motivadas por el uso intuitivo e inadecuado del infinito.

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El infinito y la lógica de primer orden

 Josep Pla i Carrera La lógica de primer orden se desenvuelve en medio de una paradoja ante el problema del infinito. En cierto modo lo alcanza y en cierto modo se le escapa.

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Historia del signo infinito

 Maria Reményi El concepto de infinito resultó incómodo a los matemáticos durante dos mil años. John Wallis introdujo un símbolo que los liberó de discusiones filosóficas.

La perspectiva y el infinito geométrico

30  Jean-Pierre Le Goff  En el siglo XVII, gracias a la geometría proyectiva, el infinito geométrico se hizo perceptible y adquirió una “dimensión” humana. El infinito potencial de los filósofos se convirtió en el infinito actual de los geómetras.

El carácter paradójico del infinito

36  Jean-Paul Delahaye

Para resolver la paradoja del todo y las partes o para afrontar la hipótesis del continuo tiene que evolucionar la noción de infinito actual.

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El infinito, piedra de toque del constructivismo  Allan Calder  Los objetos matemáticos no existen más que si es posible construirlos, definición de existencia matemática que enfrenta desde hace un siglo a los matemáticos constructivistas con los formalistas.

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El infinito en geometría  Marcel Berger  Berger  Un geómetra recurre a las cosas que nos rodean para ilustrar el importante papel del infinito en geometría. Un algebrista y un analista acabarán por aceptarlo.

El análisis no estándar

62  Jean-Michel  Jean-Michel Salanskis El análisis no estándar ha conferido un estatuto honorable a los infinitamente pequeños y ha justificado operaciones que, aunque satisfactorias en la práctica, planteaban problemas de principio.

¿Es necesario el infinito?

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Patrick Dehornoy Lo es. Las sucesiones de Goodstein se hinchan y engruesan hasta alcanzar dimensiones gigantescas... para terminar por contraerse hasta llegar a cero. Para la demostración de esta paradójica propiedad es inevitable recurrir al infinito.

El infinito y el universo de los algoritmos Gilles Dowek  No siempre es posible prever el número de operaciones necesarias para efectuar un cálculo. Por ello hay que admitir la posibilidad de que su duración sea infinita.

Lo infinitamente pequeño en física

77  Harald Fritzsch Fritzsch Los físicos, en su descenso por la escala de las dimensiones, han descubierto partículas tan pequeñas que las consideran puntuales. El “modelo estándar”, teoría construida sobre tal hipótesis, acumula éxitos a pesar de haber sido amasado con infinitos.

Lo infinitamente grande

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Gerhard Börner  Parece como si el universo hubiese surgido bruscamente de un estado inicial infinitamente denso, que los físicos tienen dificultades para imaginar y para describir teóricamente.

El infinito como fuente de revelación Patrick Dehornoy El infinito es fuente de inspiración. La exploración de los conjuntos hiperinfinitos, de construcción imposible, pero no imposibles de concebir, ha permitido descubrir objetos matemáticos como las tablas de Laver o las propiedades de las trenzas.

El infinito matemático

Javier de Lorenzo

 El infinito, en sus aspectos potencial potencial y actual,  aparece como una conceptualización conceptualización formal formal  reguladora de la creación matemática matemática

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l hombre es un ser finito, limitado, habitante de una nave, la Tierra, limitada y finita. Es un ser finito que habla del infinito y  juega con él, hasta el punto de que se le hace necesario para obtener conocimiento de la finitud. El hombre estudia y maneja el infinito mediante la creación matemática, que formaliza la reiteración, la comparación, la ordenación y la clasificación, procesos básicos del quehacer matemático. La reiteración y la comparación permiten alcanzar dos conceptos distintos de infinitud.

El infinito potencial

S

i el lector da un paso y después otro y luego otro, sentirá que ese andar puede ser reiterado. En principio, siempre cabe “uno más”. No hay limitación limitación en reiterar una acción desde que la misma se hace posible. Este proceso de iteración se convierte en la intuición intuición primaria de un infinito, el

infinito infinito potencial, de aquello que jamás tiene fin porque siempre hay un más allá. El infinito potencial, ese ir más allá, ha quedado conceptualizado en el número natural. A cada número le sigue siempre otro y nunca hay uno último porque ese último tendría, a su vez, sucesor. El número natural permite responder a la pregunta: ¿cuántos pasos se han dado? Dicho de otro modo, nos indica cuántos objetos hay. Contar y medir son procesos en los que se puede hablar del valor numérico asociado a las magnitudes, porque siempre se puede contar, medir, cualquier magnitud extensa, sea discreta o continua. Se puede contar la cantidad de ovejas de un rebaño, los granos de arena are na del desierto o la longitud de una vara. va ra. Un contar que se regula bajo un principio arquimediano: Para cualesquiera valores numéricos  x,  y  tales que  x < y  se tiene un número natural n tal que nx > y.  A cada magnitud ma gnitud se le asociará un

LA ATRACCIÓN DEL INFINITO. Para Henri Poincaré (1854-1912, izquierda ) la creación creación matemática es un quehacer sobre el inf inito. Para David Hilbert (1862-1943, derecha) el análisis matemático no es sino una sinfonía del infinito.

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número si se la compara con otra magnitud de la misma especie tomada como unidad. Al comparar dos magnitudes, al comparar sus valores numéricos asociados, se obtiene un número natural o uno racional como la octava, la quinta, etcétera. Al adoptar la división para obtener el valor numérico correspondiente en esa comparación aparece que todo número puede ser expresado en forma decimal. decimal. Así 9/10 = 0,9; 1/3 1/3 = 0,333..., 0,333..., donde donde los puntos sucesivos indican que ese desarrollo decimal tiene infinitas cifras, aunque en el mismo se encuentren bloques periódicos de dígitos. Puede también aparecer un valor numérico que no sea razón o proporción entre los valores numéricos asociados a las magnitudes correspondientes, es decir, puede aparecer un número irracional. Lo mismo que el racional, el número irracional tiene infinitas cifras decimales decimales en su desarrollo. Mas a diferencia del número racional, racional, ese desarrollo no muestra ciclos o periodicicarece de dades; así, π = 3,14159... carece grupo alguno de dígitos que se repitan periódicamente. Por fin, todo número real viene expresado por un desarrollo desarrollo decimal con infinitas cifras. Aquí esa infinitud sí se muestra constitutiva del número nú mero real. El infinito surge, pues, del “uno más” ligado a lo ilimitado. También emerge de la idea de aproximación a lo limitado. Tal ocurre cuando nos acercamos a una magnitud conmensurable o inconmensurable dada de antemano, es decir, cuando nos aproximamos a su valor numérico asociado que se muestra –como un límite. Por ejemplo, 2/3, √ 2   son números que están dados, mientras que sus desarrollos decimales, cua cuando ndo no se toman en su totalidad sino en sus diez, cien, mil primeros dígitos, dígitos, constituyen una – aproximación a los mismos. 2/3, √ 2 expresan razones de proporcionalidad: una, conmensurable conmensurable y es número racional; la otra, inconmensurable, es

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el número irracional que manifiesta la relación entre la diagonal del cuadrado y su lado. En ambos casos, y de manera crucial en el segundo, aparece el infinito que se liga a la convergencia hacia un límite de distintas fracciones. Estas  van desgranando valores cada vez más cercanos a dicho límite. El infinito entendido como proceso de reiteración ligado a un límite se manifiesta también en geometría. La superficie del círculo es el límite hacia el cual convergen las superficies de los polígonos inscritos o circunscritos, conforme crece su número de lados. Un crecer cada vez más que podría expresarse indicando que el número de lados de los polígonos inscritos o de los circunscritos tiende a ∞. La propia circunferencia puede identificarse, en el límite, con un polígono de infinitos lados infinitesimales. infinitesimales. En los últimos casos aparece el infinito no ya como proceso, sino como producto de ese proceso. Infinito designa ahora el número que completa la sucesión de los números naturales. Ese número apunta al límite de valores numéricos sucesivos de una misma  variable que crecen cada vez más. Un número, +∞, que completa, junto con el número – ∞, la recta real o del continuo. En geometría, dos rectas paralelas se cortan en el punto punto infinito que se agrega al plano euclídeo. Disponemos así de elementos ideales —número infinito, puntos del plano infinitos—, que, en el caso geométrico, permiten pasar de un espacio métrico a otro proyectivo. Este tránsito obliga a admitir los principios de continuidad y de dualidad. Al agregar elementos infinitos o ideales, se da coherencia a las propiedades proyectivas. Dos puntos siempre determinan una recta recta en el plano euclídeo, pero dos rectas no siempre determinan determinan un punto; no hay simetría. Al admitir que dos rectas paralelas se cortan en un punto único, un punto infinito, se acepta la simetría. La introducción de elementos ideales explicita que la propiedad de infinitud es una propiedad métrica. En cuanto tal, el concepto de infinitud se distingue de la noción de ilimitación; podemos concebir un espacio ilimitado y finito. Sólo en un espacio es pacio métrico euclídeo la ilimitación y la infinitud se identifican. En el cálculo cálcu lo numérico, eso significa que el “uno más”, que caracteriza ca racteriza al infinito potencial, po tencial, se presenta como propiedad métrica, cuantitativa; por cuya razón lo ilimitado sigue aquí identificado con lo infinito potencial.  Vol vam os al inf ini to en cua nto

IDEAS DEL INFINITO

Reducción al absurdo

E

l método por reducción al absurdo aparece ligado a la demostración – – – de la inconmensurabilidad de números como √2 , √3 , √5 ... Platón, en Teeteto , afirma que Teeteto ha demostrado la inconmensurabilidad de esos — primeros números hasta llegar a √17 . No indica cómo lo ha hecho ni por qué — se detiene en √17 . Metafísica , da la demostración de la i nconmensurabilidad de –Aristóteles, en √2  hoy clásica: – Supongamos que √2  es racional, es decir, expresable como razón de dos naturales, a , b , y de tal manera que a  y b   sean primos entre sí. Se tiene – – √2 = a /b . Suprimiendo denominadores, a = b √2 . Elevando al cuadrado, a 2 = 2b 2, lo cual indica que a 2 es par y, por consiguiente, a  también,  también, es decir, a  = 2p . De aquí, 2b 2 = (2p )2 = 4p 2 y, por tanto, b 2 = 2p 2, de donde b  también  también es par. Lo que se ha obtenido es que a  y  y b  son   son ambos pares, luego no pueden ser primos – entre sí, contra la hipótesis. Por Por consiguiente, afirmar que √2  es racional conduce a una contradicción y ha de resultar falso. Hay que observar que los principios de bivalencia, de no-contradicción y de tercero excluido excluido participan de modo implícito en este tipo de demostración.

aproximación a un valor preestable- cantidad propuesta de números pricido. A efectos prácticos, si se mide la mos”. diagonal diago nal de un cuadrado, bastan unos En el argumento de Euclides se cuantos decimales para quedar dentro construye un número primo que no del margen de error de los aparatos estaba entre los primos dados y cabe de medida empleados. Operando así agregarlo a los mismos. Resultaría no se alcanzaría jamás el núme ro irra- otra multitud de números primos, a cional, porque toda medida viene dada la que podría reiterarse el proceso siempre por un número número racional. Lo demostrativo; merced a esa posibimismo cabe decir de los elementos lidad, el enunciado se traduce sin ideales, del infinito potencial. po tencial. problemas desde su formulación oriPero el matemático – va más allá. ginaria a la que hoy se considera cláComprende que √ 2   posee infinitos sica, “el número de números primos dígitos no periódicos en su desarrollo es infinito”. Una traducción que, sin – decimal. Afirma que √ 2  es un número embargo, identifica ilimitación con irracional; cualquier medida que se infinitud actual, lo que quizá sea una tome siempre será inexacta. En ese ir traición a lo expuesto en Euclides. más allá, el matemático crea unos mecanismos que aseguren la coherencia del proceso y del producto producto obtenido. La sinfonía del infinito Idea métodos de demostración que aseguran que, por ejemplo, los eleero es en el dominio del análisis mentos ideales que ha introducido introducido —el infinitesimal donde el infinito número infinito como como identificado con potencial alcanza su esplendor. Con lo ilimitado, la –irracionalidad de palabras de Hilbert en su ensayo números como √ 2 — son coherentes.  Acerca del infinito : “En cierto sentido, Los matemáticos han ido forjando el análisis matemático no es sino una distintos métodos demostrativos en sinfonía del infinito.” el ejercicio de su función: métodos El análisis infinitesimal nace en un enlazados con el “uno más” sin entorno geométrico, ligado al cálculo limitación, li mitación, métodos enlazados de ite- de longitudes, áreas y volúmenes, que ración y convergencia, donde aparece están determinados por una curva, el el método de inducción completa, grafo de la función. Desde una persmétodos unidos a la imposibilidad de pectiva cinemática esa curva es la una conmensurabilidad y que exigen trayectoria de un punto que, en su del método de demostración por movimiento, depende de la variable reducción al absurdo (véase el recuadro re cuadro temporal. El estudio del comportamiento de esa función, que representa de arriba ).  Valg  Va lg a co mo ej em plo pl o de mé todo to do la trayectoria de un cuerpo en movienlazado enlaza do con el “uno más” sin limi- miento, va a realizarse en el intervalo tación la demostración de que no hay infinitesimal de un punto. un último número primo. La propoEl análisis infinitesimal muestra su sición 20 del libro IX de los  Elemen Ele men- potencia para abordar el comportatos   de Euclides establece que “hay miento de cualquier fenómeno físico. más números primos que cualquier Se plantea la ecuación diferencial que

P

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Inducción completa Un ejemplo clásico que nos llevará a entender el método de la inducción completa nos l o ofrece la llamada desigualdad de Bernoulli: (1 + x )n > 1 + nx   para n  ≥ 2. La demostración por inducción completa se escinde en las tres etapas siguientes: 1. Se comprueba que la desigualdad se cumple para el primer número natural, que, por las condiciones dadas, ha de ser n  = 2: (1 + x )2 = 1 + 2x  + x 2 > 1 + 2 x  la hipótesis de recurrencia —en este caso, la desigualdad para un n  = k  cualquiera— se demuestra que se verifica para el sucesor de k : (1 + x )k +1 = ( 1 + x )k (1 + x ) > > ( 1 + kx ) (1+ x ) = 1 + x + kx + kx 2 = 1 + ( 1 + k )x + kx 2 > 1 + ( 1 + k )x 

2. Aceptada

Se ha comprobado que, si se cumple para k , entonces se cumple para k +1. 3. (Cláusula de cierre.) Como k es cualquier número natural, la proposición se aplica a todos los naturales. Conviene distinguir entre inducción simple y completa. En aquélla no hay cláusula de cierre y sólo es válida para los casos encontrados. Pero al ir uno más allá pudiera fallar. No haber encontrado un contraejemplo no significa que no exista; es el clásico problema de la inducción desde Hume. El cierre en la inducción completa indica que esta posibilidad no existe: se hace la afirmación para el total de los números naturales. Lo que exige, evidentemente, que dicho total esté dado en acto.

traduce el comportamiento del fenó- an terioridad que “una cantidad meno y se pasa a integrar dicha ecua-  va ri ab le de vi en e in fi ni ta me nt e ción diferencial en el intervalo aso- pequeña cuando su valor numérico ciado correspondiente. En ese estudio decrece indefinidamente converaparecen los conceptos clave del aná- giendo hacia el límite cero”. En este lisis infinitesimal (derivada, diferen- lenguaje dinámico las cantidades son cial, integral, continuidad, etc.), que magnitudes extensas que aumentan  van a exigir las nociones de límite y o disminuyen; sus valores numéricos de aproximación ilimitada, es decir, el asociados convergen a ∞ o a 0, resinfinito potencial. pectivamente. La idea de continuidad —ejemplifiEn un lenguaje estático, donde lo cada en el trazo que deja un lápiz sobre que ya se tiene dado en acto son los el papel sin levantarlo o en la trayec- puntos del intervalo, las expresiones toria que sigue un móvil en su re- de Cauchy carecen de sentido y puecorrido— quedará formulada del den ser eliminadas en beneficio de siguiente modo por A. L. Cauchy en su conceptos de carácter más aritmético Curso de análisis : “La función ƒ( x) per- como los de mayorar, minorar, aproximanecerá continua respecto de x entre mar. En este caso la formulación para los límites dados si, entre esos límites, la continuidad de una función en un un incremento infinitamente pequeño punto  x0  quedaría en los siguientes de la variable produce siempre un términos: La función ƒ es continua en incremento infinitamente pequeño de  x0 si para cualquier ε > 0 puede hallarse la función.” Es decir, para un incre- un δ > 0 tal que siempre que | x – x0|< δ mento h infinitamente pequeño dado se tiene |ƒ( x) – ƒ ( x0)| < ε. En esta reformulación se ha produa  x, el valor ƒ( x + h) – ƒ ( x) decrece indefinidamente con el valor de h. cido una transformación conceptual. En términos de límites, y admi- Los intervalos dejan de considerarse tiendo que la función ƒ esté definida magnitudes extensas, que disminupara todos los elementos x de un seg- yen o aumentan, para tomarse como mento cerrado [a, b], si para x0 ∈ [a, b], conjuntos de puntos dados en acto. se tiene que Los intervalos podrán hacerse mayores o menores en cuanto a su cardilím f ( x ) = f  ( x 0), nalidad, pero no aumentar o diminuir  x x 0 dinámicamente y, por supuesto, sus la función ƒ se dirá continua en  x0. elementos no varían. Al estar dados Expresión que, puesta en forma quizá en acto, se acepta el infinito en acto más sugerente, quedaría como y no en proceso. Se ha pasado de un infinito potencial a uno actual, de lím ƒ ( x ) = ƒ (lím x ). manera paralela al caso euclídeo.  x x 0 x x 0 El interés de la función no acaba ahí. La noción de función derivada de Cauchy había establecido con una función ƒ en un punto  x0 es 6

ƒ' ( x ) = lím h0

ƒ ( x 0 + h) – ƒ ( x 0) h

siempre que el límite exista. La función es diferenciable en un punto si posee derivada en ese punto. Si la función ƒ es diferenciable en un punto, por definición también es continua en él. Pero no se cumple la recíproca. La gráfica asociada a la función ƒ posee tangente en el punto dado y el valor que toma la derivada en dicho punto es la pendiente de dicha tangente. Por lo cual el comportamiento de la función —si es creciente o decreciente, si posee un máximo o un punto de inflexión— puede estudiarse atendiendo a las sucesivas derivadas de la función en un punto de la misma (véase el recuadro de la página siguiente ). El concepto de comportamiento de una función puede trasladarse al comportamiento de una sucesión, u1, u2,..., un..., siempre que se trate de una función cuya variable recorra la sucesión de los números naturales, es decir, la infinitud de los mismos. De ahí podemos pasar al concepto de serie infinita, constituida por las sucesivas sumas parciales o por los primeros n términos de la sucesión. Las funciones continuas clásicas muestran una regularidad característica. Indefinidamente derivables, poseen una tangente en cada punto. Pero caben funciones continuas que no admitan derivada en ninguno de sus puntos (ni grafo geométrico consiguiente) o que llenen todo un cuadrado, como la curva construida por Peano en 1890. Para abordar estas

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Diferenciabilidad y continuidad de una función a 

b 

 ƒ 

p 

Curva continua

L

a función ƒ de la figura a   posee un diferencial a la izquierda del punto p  y otro a la derecha que son diferentes. La curva posee dos semitangentes en dicho punto. La función no es diferenciable en él. Pero sí es continua. La identificación entre diferenciabilidad y continuidad de una función se mantuvo hasta bien entrado el siglo XIX porque el comportamiento de las funciones estudiadas hasta ese momento era suficientemente regular, es decir, la curva asociada a la función tenía tangente en todos sus puntos o sólo tenía un número finito y bien caracterizado de disc ontinuidades, como lo muestra la función de la figura b , representativa de cualquier función escalonada. Pero aparecieron las funciones llamadas “teratológicas”. Karl Weierstrass publicó en 1872 una función que demostraba de manera concluyente lo incorrecto de las asociaciones empíricas entre continuidad y derivabilidad. Tal función está definida por una serie convergente:

Curva escalonada Como ejemplo de curva teratológica representativa se tiene el copo de nieve   o curva de Helge von Koch ( d ). Es una curva que encierra un área finita, aunque su longitud sea infinita. Se obtiene a partir de un triángulo equilátero —y, por tanto, con tres puntos cuspidales, los vértices, lo que indica la carencia de derivada en ellos, aunque sea continua—, en el cual se construye sobre cada lado otro triángulo equilátero cuyo lado mide un tercio del primitivo. Se reitera el proceso hasta el infinito. Copo de nieve  constituye una curva continua que carece de derivada en todos sus puntos y además no es la gráfica de función alguna. Y aunque fue publicada por von Koch en 1906 se ha convertido en uno de los primeros ejemplos, y muy representativo, de curva fractal ( abajo ), dado que su dimensionalidad es fraccionaria (4/3).

∞

 ƒ(x ) = ∑ a n  cos(πb n x ), n =0

en la que x  es una variable real, b  un entero impar y a  una constante positiva y menor que 1 tal que ab > 1 + 3π /2. Esta función es continua en todos sus puntos y no es derivable en ninguno, no pudiéndosela representar gráficamente. Por el procedimiento de iteración indefinida representado en c  construyó Peano en 1890 una cur va continua que no es derivable en ninguno de sus puntos y que cubre la totalidad del plano de dimensión 2n  “en el infinito”. c

IDEAS DEL INFINITO

d 

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El problema de la homogeneidad espacial

 ƒ(x i +1)

 ƒ

 ƒ(x i )

A = x 0

M

x 1

x 2

x i 

x i +1

antener la idea intuitiva de que una línea es de dimensión uno mientras que el plano es de dimensión 2 implica que, aunque se unan líneas en una cantidad cualquiera, tal unión no engendrará un plano, sino una línea. Es la afirmación de la homogeneidad dimensional. Recíprocamente, al dividir una línea en segmentos y éstos en nuevos segmentos, lo obtenido seguirá siendo un segmento, aunque infinitesimal o diferencial. Es la idea expresada, por ejemplo, por John Wallis en 1671: “Una cantidad finita (como AB ) se puede suponer (por tales bisecciones continuadas) divisible en un número infinitamente grande de partes (es decir, más que cualquier número finito asignado): pues no hay restricción más allá de la cual no se pueda suponer que tal división continúe (pues aun el último, no importa lo pequeño que sea, tendrá dos mitades)”. Y es el gran problema de cómo cualquier magnitud extensa, al dividirla, sigue siendo de la misma dimensión. Es problema que se encuentra en las dificultades del continuo con las que se enfrenta Kant, para quien una recta no es un conjunto de infinitos puntos en acto, sino una magnitud extensa en la cual los puntos únicamente son las marcas de señalización de los extremos de un segmento. Y

B  = x n 

también en Leibniz y en Cauchy, por lo que carece de sentido atribuir al análisis no-estándar de Robinson ser mera actualización del de Leibniz, quien, a la vez, rechazaba la existencia del infinito actual, único campo en el que ese análisis no-estándar tiene sentido... Cuando se trata de definir el área limitada por la curva ƒ, por las ordenadas en A y B  y por el eje de abscisas, el proceso que se utiliza desde Pascal es el de reemplazar el área S  de la curva por la suma de todos los rectángulos de base “infinitesimal”, de tal manera que el área S i  quede acotada por:

(x i + 1 – x i ) ƒ( x i ) < S i  < (x i + 1 – x i )ƒ( x i + 1) y los intervalos (x i , x i + 1) se hacen cada vez más pequeños por reiteración. Por la homogeneidad de Wallis resulta que esta reiteración del proces o, que no termina jamás, tampo co logrará que la magnitud no sea divisible. Lo que se alcanza es el infinitesimal o diferencial, que continúa siendo homogéneo con la magnitud dada, el segmento de abscisa AB . Y el infinitesimal es diferente al indivisible que, en este caso, aparece como un punto, que es de dimensión 0. Punto o marca de los extremos de cada intervalo o infinitésimo o diferencial. Si x i + 1 – x i  tiende a 0, en el límite seguirá siendo un segmento de dimensión 1, por lo cual las áreas de los rectángulos no darán, ni siquiera en el límite, el valor correspondiente al área S  buscada, sino que siempre se cometerá un error. Sólo si x i + 1 – x i  se identificara con el indivisible —con el punto— se tendría la igualdad, pero ello supondría romper con el principio de homogeneidad dimensional de las figuras del espacio, porque ahora ya no se tendrían rectángulos sino líneas.

funciones “teratológicas” hemos de tinua en un intervalo cerrado [ a, b] su escuela los infinitesimales dejaran acudir a la idea de infinito potencial, puede ser aproximada uniformemente de ser un problema, no desapareció el plasmado aquí en la iteración de un en [ a, b] por polinomios”. infinito potencial. Y no podía desapaproceso de aproximación. Puede La convergencia de series se tras- recer porque ese infinito constituye el aproximarse uniformemente en un lada a las funciones de las que se alma del análisis infinitesimal. intervalo acotado la función no conti- intenta que sean, precisamente, desa- Desaparición aparente al ser sustinua por funciones indefinidamente rrollables en serie entera, de la tuido por el infinito actual, según derivadas; se pretende con ello reem- forma:  vimos en el caso de la conceptualizaplazar la función en cada punto por ción de la continuidad de una función • n la media de sus valores en un pequeño en un punto. ƒ ( z) = Σ cn ( z – z 0) n =0 intervalo de ese punto. La idea de iteración de un proceso de aproximación muestra su fecundi- con el segundo miembro convergente El infinito actual dad en todos los campos del análisis en un disco δ contenido en un abierto l infinito actual, originado en un infinitesimal. Me limito a mencionar  D del plano complejo. el proceso de linealizar una función, El manejo que hace el análisis contexto geométrico, es un infilo que supone reemplazarla por una infinitesimal de aproximaciones infi- nito ilimitado, métrico, que permite función polinómica o, en otras pala- nitesimales o diferenciales plantea el la cuantificación y la resolución de bras, sustituir la función por su serie problema de la homogeneidad de esas problemas del mundo real. Viene de Taylor asociada. Y aquí se tiene un particiones en infinitésimos mediante requerido desde el propio proceso e resultado central, como es el teorema un proceso iterativo infinito. Aunque incluye elementos ideales (número de aproximación de Weierstrass, según con la aritmetización del análisis lle- infinito, punto infinito y series con inel cual “toda función compleja ƒ con-  vada a cabo por Karl Weierstrass y finitos elementos). A ese salto del infi-

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nito potencial al actual, que es donde tada la existencia de un infinito actual, encuentra sentido el proceso demos- parece lo más plausible esperar que trativo de la inducción completa, se no hubiera más que un infinito. refería Blaise Pascal cuando afirmaba: Cantor demolió tal suposición al “Conocemos que hay un infinito e igno- demostrar la existencia de toda una ramos su naturaleza. Como sabemos escala de transfinitos. Creó incluso el que los números son infinitos, que es camino, el método de la diagonal, con  verdad que hay un infinito numé- el que se demuestra que, dado cualrico.” quier conjunto, habrá siempre un Ejemplo de infinito actual es el con- conjunto cuyo cardinal es de infinitud  junto de los números naturales, que mayor. supone admitir un nuevo número carEl punto de partida es que los condinal transfinito ℵ 0. Este infinito  juntos tienen que estar dados, pues de actual como conjunto y su número lo contrario no podrían compararse. cardinal transfinito asociado proceden  Ahora bien, si un conjunto está dado, del proceso de la comparación biyec- también lo están sus partes propias, es tiva, otro proceso conceptualizador decir, el conjunto de todos los subconque se une al de la iteración.  juntos de dicho conjunto, lo que se deno Al co mpar ar conj un to s el se r mina su conjunto potencia, cuyo cardihumano determina cuál es mayor o nal es mayor que el correspondiente al posee más elementos. No necesita del conjunto de partida. Y aquí se tiene saber contar. A un pastor analfabeto otro proceso creador de nuevos cardile basta comparar una a una las ove- nales transfinitos junto al aportado por  jas de dos rebaños que entran en el el método de la diagonal. redil para saber cuál es el mayor. Por El infinito actual se muestra como ese método conoce si toda una serie elemento imprescindible de la creade rebaños posee el mismo número de ción matemática. Como elemento ovejas. Para acometer tales compara- regulador, permite establecer propociones biyectivas, los rebaños han de siciones y teoremas que, de otra existir, darse en acto; no se pueden ir manera, serían inviables. Y ello auncreando elemento a elemento. Es que el matemático, en la práctica, decir, hay que admitir como punto de maneje dos tipos de infinito, el numepartida que los conjuntos han de estar rable y el continuo, χ0 y c, conceptuadados en acto, como objetos en sí. No lización de las dos magnitudes básiimporta que a esos conjuntos, una vez cas: lo discreto y lo continuo. dados en acto, se les pueda aplicar un En la pesquisa matemática las proceso de iteración. demostraciones pierden el carácter ¿Hay un solo infinito actual? ¿Hay constructivo que tenían en el dominio muchos? La infinitud aparece ahora del infinito potencial. Las demostracomo concepto derivado y no primiti vo, ciones pasan a tener un carácter exisdefinible en términos de conjunt o y de tencial básico sin que, en muchos casos, aplicación biyectiva entre conjuntos. pueda darse el elemento cuya existenUn conjunto se dirá simplemente infi- cia se ha demostrado. Así ocurre, por nito si se puede poner en correspon- ejemplo, en el manejo del “axioma de dencia biyectiva con una de sus parte s elección” con la afirmación de la exispropias. Así, el conjunto de los núme- tencia de una función de elección de la ros naturales es biyectivo con el con- cual no se puede dar su característica;  junto de los números primos. Lo cual otro tanto sucede con el “axioma de implica que ambos conjuntos poseen buena ordenación”, su equivalente. Se la misma cifra de números y han de trata de demostraciones que utilizan tener el mismo cardinal. el mecanismo de reducción al absurdo. Desde lo iterable, desde el argumento Sin olvidar que, dada su existencia, euclídeo ya señalado, diríase que los quizá pueda hallárselo por otros caminúmeros primos aparecen en menor nos más constructivos. cantidad que los naturales de los que En la naturaleza no hay infinito, ni forman parte y a los que originan. (Todo potencial ni actual. El hombre forma número se descompone de manera única parte de esa naturaleza y parecería, por en sus factores primos.) De ese modo la ello, que no podría manejar lo que no idea de que “el todo es mayor que cual- hay en ella. En todo caso, cabría admitir quiera de sus partes propias” viene a como infinito el potencial o falso infinito, quedar invalidada cuando se manejan el encerrado en el proceso iterativo de ir conjuntos dados en acto. generando, paso a paso, los puntos de ¿Habrá sólo un tipo de infinito una línea. Sin afirmar, por contra, que actual, el asociado con el de los núme- los puntos de la línea estén dados en acto ros naturales dados en acto? En tér- y son en número infinito. minos equivalentes, ¿habrá un único Quizá se busque un objeto, un número cardinal transfinito? Tras- referente a “infinito actual”, como se le pasada la noción de ilimitación y acep- busca al término “mesa”. Pero lo

IDEAS DEL INFINITO

importante no es sustancializarlo como objeto, sino observar lo que subyace al mismo: las nociones mucho más primitivas de conjunto y de aplicación biyectiva entre conjuntos. Lo que importa es el manejo consecuente de esas nociones, consideradas ahora como primigenias, tengan el cardinal que tengan. Quienes rechazan el papel conceptual constitutivo de las nociones de infinito —especialmente del actual— y pretenden un finitismo constructivo, apoyado ahora en el computador, olvidan que las nociones básicas de la teoría de funciones recursivas y de la computabilidad requieren del dato del hacer global (conjuntista) como base. Hay conjuntos recursivos y hay conjuntos recursivamente enumerables. Pero si los conjuntos recursivos son recursivamente enumerables, hay conjuntos recursivamente enumerables que no son recursivos. Y esta última afirmación requiere, al igual que el establecimiento de muchos de los conjuntos que intervienen en esta teoría, de una demostración apoyada en el método de la diagonal. Debe decirse lo mismo del teorema de parada de Turing, con su consecuencia para el problema de la decidibilidad. Los datos previos, básicos, siguen siendo los de conjunto y de función, ahora recursiva y computable. Dar el conjunto, la función, supone aceptar el previo dato de lo actualmente dado, en su totalidad. El infinito aparece como una conceptualización formal reguladora de la creación matemática. Hacer matemático del cual, parafraseando a Poincaré, cabe afirmar que es un hacer del infinito. Aunque haya de quedar bien entendido que ningún matemático ha hecho, ni hará nunca, una derivación ni un cómputo infinitos.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

THE HISTORY OF THE CALCULUS AND ITS CONCEPTUAL DEVELOPMENT.  Carl B. Boyer. Dover, 1959.

REACHING

FOR INFINITY. Stan Gibilisco.

Tab Books, 1990.

INFINI DES MATHÉMATICIENS, INFINI DES PHILOSOPHES . Dirigido por Françoise Monnoyeur. Editions Belin; París, 1992.

ACERCA DEL INFINITO. D. Hilbert, en Fundamentos de las Matemáticas , págs. 93121. Mathema; México, 1993. CURSO DE A NÁLISIS. A.-L. Cauchy (Selección y traducción de Carlos Alvarez; introducción de J. Dhombres). Selección de Análisis Algebraico (1821) y Lecciones de Cálculo infinitesimal (1823). Mathema; México, 1994. FROM HERE TO INFINITY. Ian Stewart. Oxford University Press, 1996.

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 Arquímedes ante lo innumerable

Ilan Vardi

 Arquímedes inventó una notación para contar números  muy grandes. Pero sigue abierta la pregunta de  por qué se detuvo en su “número más grande” 

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lgunos estiman, rey Gelón, que el número de granos de arena es infinitamente grande y yo pienso no sólo e n la arena de los alrededores de Siracusa y del resto de Sicilia, sino también en la repartida por toda la Tierra, habitada o inculta. Otros, aun admitiendo que tal número no es infinitamente grande, piensan que no existe un número expresable lo bastante grande para superar la cantidad de arena. Sin embargo, si quienes son de esta opinión se imaginasen un volumen de arena igual al de la Tierra, comprendidos en este volumen todos los mares y todos los valles de la Tierra, llenos de arena hasta las montañas más altas, es evidente que menos aún reconocerían que se pueda enunciar un número que sobrepase al número de estos granos de arena. Ahora bien, yo trataré de hacerte ver, mediante demostraciones geométricas que tú podrás seguir, que, entre los números que he enunciado y expuesto en mis escritos dirigidos a Zeuxipo, los hay que superan no sólo el número de granos de arena cuyo volumen sería igual al de la Tierra rellena del modo que hemos indicado, sino incluso los que tuvieran un volumen igual al del mundo.” Con estas palabras comienza  Arquímedes (287-212 antes de nuestra era) su obra titulada El Arenario (o contador de arena). Trátase del primer texto de vulgarización científica y, a mi entender, también de uno de los mejores nunca escritos. En este

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artículo, dirigido a su rey, Arquímedes dando para ello un número finito contradice la noción, frecuente en su mayor que el número de los que conépoca, de que el número de granos de tendría un universo repleto de arena. arena sea infinito o demasiado grande Para empezar, se pregunta qué es el para ser evaluado. Esta noción se “universo”. Para asegurarse de no ser halla presente en la literatura griega; refutado eligió el mayor de los modepor ejemplo, en el siglo  V   antes de los conocidos en la época, el sistema nuestra era, Píndaro escribía en su heliocéntrico de Aristarco. Esta parte  Seg und o canto olí mpi co : “Pero la de El Arenario es de naturaleza física arena escapa al cálculo: así, de las y experimental. Arquímedes propone alegrías que este hombre ha dado a luego un sistema de numeración que los demás, ¿quién podrá decir el es capaz de producir números muy número?” La idea se halla presente grandes; ésta es la parte aritmética también en la Biblia, en la que hay del artículo.  veintiuna referencias a la no-denu El Arenario   hace ver igualmente merabilidad de la arena. que no todos los griegos estaban pren Aunque la humanidad haya acep- dados de la abstracción, en contra de tado sin reservas los resultados de lo pretendido por ciertos historiado Arquímedes (todos sabemos que res: la obra describe una experiencia π = 3,14...), su artículo más accesible, astronómica que estipula que la Tierra  El Arenario , apenas tuvo eco en su es redonda y que gira en torno al Sol época. En el Nuevo Testamento, escrito y en ella Arquímedes aborda la cues varios cientos de años después de su tión de los números muy grandes, pero muerte, todavía se lee que la arena es finitos. Examinaremos aquí el sistema infinita: “...tuvo una descendencia de numeración puesto a punto por numerosa como las estrellas del cielo  Arquíme des y su aplicación al proe incontable como las arenas de la blema de la denumeración de la arena. orilla del mar” ( Hebreos, 11:12). El Buscaremos también por qué Nuevo Testamento ignora los progre-  Arquímedes se detuvo en su “número sos de las ciencias: se estima fácil- más grande”. mente que el número de estrellas observables a simple vista es inferior a 10.000, dato conocido ya por los Los números de Arquímedes astrónomos de la época (como lo atestiguan el catálogo de estrellas de Eratóstenes, que data del siglo II antes a enumeración de la arena era de la era cristiana, y el de Ptolomeo, muy difícil en la época de Arquídel siglo II). medes porque el sistema de numera Arquím edes demuestra que el ción griego no permitía representar número de granos de arena es finito, números mayores que 100 millones

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y porque los griegos no disponían de sistemas formales, como la notación algebraica, para escribir y manipular los números grandes. Los griegos contaban sirviéndose de la miríada, igual a 10.000, y su número más grande era la miríada de miríadas. Este número aparece dos veces en la Biblia.  Arquímedes comienza consecuentemente por generar números más grandes que la miríada de miríadas. Denomina “primos números” a los números comprendidos entre 1 y la miríada de miríadas (lo cual creó, incluso en griego, cierta confusión con los números primos, 2, 3, 5,...). A continuación definió los “segundos números”, cuya unidad es la miríada de miríadas, y cuyo número máximo es una miríada de miríada de unidades.  Vienen después los “terceros números”, y así sucesivamente, hasta las miríadas de miriadésimos números. Para el cálculo de los granos de arena estos números bastan y sobran, pero  Arquímedes quiere demostrar que puede ir más lejos y, sobre todo, mucho más lejos de lo que es necesario para las aplicaciones físicas: denomina “números del primer período” a la sucesión de los números construidos hasta la miríada de miriadésimos números. Continúa después llamando “unidad del segundo período” al mayor

número del primer período y así hasta la miríada de miriadésimo período. Se detiene en el número más grande : una miríada de miríadas unidades de miríadas de miriadésimos números de la miríada de miriadésimo período. ¿Cómo calcular el número de granos de arena que caben en un universo repleto de arena, con las hipótesis de Arquímedes y su sistema de numeración? Para encontrar la respuesta hemos de utilizar un método de multiplicación de los “números de Arquímedes”, que él exponía como sigue: “Si los números están en proporción a partir de la unidad, y algunos de los que están en la misma proporción son multiplicados entre ellos, el producto estará en la misma proporción alejado del más grande de los factores en tantos números como el más pequeño factor está alejado, en proporción, de la unidad, y estará alejado de la unidad la suma menos uno de los números de los cuales los factores están alejados de la unidad.” Tal enunciado parece confuso; pone de manifiesto sobre todo la dificultad con que se expresan los conceptos matemáticos cuando no se dispone de la notación simbólica del álgebra. Traduzcámoslo a términos modernos (véase la figura 2 ).

1. LA OBRA DE ARQUIMEDES fue vertida al latín en 1270 por William de Moerbecke (a la izquierda). La traducción de esta obra favoreció su difusión entre los eruditos europeos del siglo  XIII. Le siguieron otras traducciones, por ejemplo, la de Jacobus Cremoniensis, que data de 1458 (en el centro). En 1899 se descubrió en Jerusalén un manuscrito (a la derecha). Se trata

IDEAS DEL INFINITO

Sea Ω la miríada de miríadas, igual a 100.000.000, o sea, 108 en notación científica. Los primos números forman el conjunto {1, ..., Ω}. Los segundos números constituyen el conjunto {Ω, ..., Ω2}, los números terceros son {Ω2, Ω2 + 1,..., Ω3}, y así sucesivamente. Los n-ésimos números, por ejemplo, forman el conjunto {Ωn–1, Ωn–1 + 1, ..., Ωn}. Por esta regla, las miríadas de miriadésimos números forman el conjunto {ΩΩ–1, ΩΩ–1 + 1, ..., ΩΩ}. El mayor de los números así construidos es Ω Ω. Se trata de un resultado general. Dado un nuevo símbolo de numeración A, deberíamos poder contar hasta  A A. Para ello se forma la sucesión A1 = A, A2 = A2, A 3 = A3 ... y el mayor de los números con un solo índice es  A A = A A. Nuestro sistema de numeración moderno para los números grandes se funda en el propuesto por Nicolas Chuquet en 1484, que utilizaba el nuevo símbolo illón. Así,  M = 106 es un millón,  M 2 es un billón,  M 3 es un trillón y así sucesivamente: un n-illón es M n, y el número simple más grande de esta forma es un millón-illón, es decir, M  M . En la segunda etapa Arquímedes introduce los períodos, cuya base es Π = ΩΩ, el mayor de los números construidos hasta ese momento. De acuerdo con la observación precedente debería

de un pergamino en el que está escrito un t exto de Arquímedes titulado “El método”, que se creía desaparecido. El texto original había sido borrado en parte y sobrescrito con un texto religioso. Este palimpsesto, que data del siglo  X , fue recuperado y vendido en subasta en 1998, a un desconocido, por dos millones de dólares.

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El número de granos de arena del universo

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Las hipótesis de Arquímedes

Hay a lo sumo 10.000 granos de arena en una semilla de adormidera (esférica). Hay a lo sumo 40 diámetros de semillas de adormidera en el ancho de un dedo. Entran a lo más 10.000 anchos de un dedo en un estadio (una antigua medida de distancia, del orden de 200 metros). La Tierra es una esfera, cuyo perímetro es inferior a tres millones de estadios. La distancia entre el centro de la Tierra y el centro del Sol es menor que 10.000 diámetros de la Tierra. El universo es una esfera, el Sol se encuentra en su centro y la Tierra gira alrededor del Sol describiendo un círculo. La razón del diámetro del universo al diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es menor que la razón entre el diámetro de la órbita de l a Tierra y el diámetro de ésta. El perímetro de un círculo es mayor que el triple de su diámetro. El volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro. De acuerdo con las hipótesis de Arquímedes, ¿podría usted hallar una cota superior para el número de granos de un universo repleto de arena?  La solución 1. Sea D u  el diámetro del universo, D o  el diámetro de la órbita de la Tierra en torno al Sol y D t  el diámetro de la Tierra. 2. La última hipótesis física se expresa: D u  / D o < D o  / D t . 3. La penúltima hipótesis afirma que D o  / D t  es menor que 10.000, por tanto D u < 10 4 D o . 4. De la hipótesis D o  / D t < 104 vuelve a resultar: D u < 104 × 104 × D t = 108 D t . 5. La hipótesis sobre el perímetro de la Tierra da: D t < 10 6 estadios, en virtud de la penúltima hipótesis. 6. Así pues: D u < 108 × 10 6 estadios=1014 estadios. 7. Puesto que hay menos de 10.000 diámetros de dedo en un estadi o, se tiene: D u  < 10 4 × 1014 × D d  = 1018 D d , siendo D d  el diámetro de un dedo. 8. Puesto que hay menos de 40 diámetros de semilla de adormidera en un dedo: D u  < 40 × 1018 × D p = 4 × 1019 D p , siendo D p  el diámetro de una semilla de adormidera. 9. Según la última hipótesis, el volumen V u  del universo verifica la condición: V u  < (4 × 1019)3 V p = 64 × 10 57 V p < 1059 V p , siendo V p  el volumen de una semilla de adormidera. 10. Según la primera hipótesis, una semilla de adormidera contiene a lo sumo 10 4 granos de arena, luego el número de granos de arena del universo es menor que 10 59 × 104, o sea, 1063. Observemos que el diámetro máximo del universo, según Arquímedes, es de 1014 estadios. Sabiendo que un estadio mide alrededor de 200 metros, se obtiene un radio de unos 10 12 kilómetros, es decir, un año luz.

haber continuado, en principio, hasta  Arquímedes hasta ΠΩ, que es el mayor Π Π. Arquímedes definió los primos de los números que reciben nombre números del segundo período como el en su sistema. conjunto {Π, ..., ΩΠ}, los segundos En notación moderna este número números del segundo período son {ΩΠ, es igual a: 2 8 8 16 ..., Ω2Π} y así sucesivamente. Es decir ΠΩ = (ΩΩ)Ω = ΩΩ =(108)10 × 10 = 108 × 10 , que los n-ésimos números del segundo es decir, 10 elevado a la potencia de período serán {Ω n–1 Π, ..., ΩnΠ}. Y los 80 millones de millardos. La ley de exponentes se complica Ω-ésimos números del segundo período formarán el conjunto {ΩΩ–1Π, ..., bastante en este sistema a causa de las elecciones hechas por Arquímedes; ΩΩΠ}= Π2.  Ahora Π2 es tomado como la unidad  viene a decir que el producto de la de los números del tercer período, que unidad de los m-ésimos números por formarán en consecuencia el conjunto la unidad de los n-ésimos números es {Π2, ..., Π3}. De igual manera los núme- la unidad de los ( m + n – 1)-ésimos ros del n-ésimo período serán el con- números. La demostración que da es  jun to {Πn–1 , ..., Πn }, prosiguiendo una demostración griega, es decir,

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consiste en un ejemplo sencillo en el que figuran todas las ideas de la demostración.

En busca del período perdido l número ΠΩ suele ser citado como el mayor de los números jamás considerados en la antigüedad, pero nadie ha expli cado por qué A rquí medes se detuvo en él; verosímilmente debió haber continuado hasta ΠΠ = (ΩΩ) Ω+1 ΩΩ = ΩΩ , que es muy superior a 10 elevado a 10 elevado a 10 elevado a 8, mientras que el “más grande número de Arquímedes” es menor que 101017. Me parece que el misterio se deduce de las peculiaridades del griego antiguo y de la falta de flexibilidad del sistema de Arquímedes. Señalemos, para empezar, que existe una diferencia sutil, pero importante, entre los números cardinales, que indican la cantidad, y los ordinales, que indican el orden. Estos conceptos de teoría de con juntos existen en todas las lenguas desde hace largo tiempo. El paso del cardinal al ordinal se hace en español añadiendo el sufijo - ésimo  al nombre del número cardinal. El examen de los nombres de los cardinales y de los ordinales griegos no revela que los antiguos dispusieran de un algoritmo semejante. Para comprender la importancia de este concepto volvamos al sistema de numeración de Chuquet. No se trata ya de la sucesión “un-illón, dos-illón, ..., n-illón”, sino de la secuencia “primer-illón, segundo-illón, ..., n-ésimoillón”: un nuevo símbolo A define una sucesión A1,  A2,  A3, ..., en la cual los índices están ordenados. Para definir el último número de esta sucesión es necesario poder decir  primer-illonésimo-illón (por ejemplo, primer millonésimo de millón). El algoritmo transforma un cardinal arbitrario en ordinal. Si admitimos que los griegos carecían de algoritmo para transformar los cardinales en ordinales, se concluye que Arquímedes debió limitarse al número ordinal más elevado en su lengua, o sea, a la miríada de miriadésima. Dicho de otro modo, el número más alto que Arquímedes podía nombrar utilizando su lengua ordinaria habría sido la miríada del miriadésimo período, es decir, ΠΩ. Para sostener esta hipótesis obser vem os que Arq uím ede s no hab ía ideado su sistema pensando en una utilización general, lo cual es todavía más interesante, pues también apa-

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recen números grandes en su problema de las “vacas del Sol”, que, Ω-ésimo período Primer período Segundo período según la Odisea  de Homero, eran 350. Se trata de asociar toros blancos, Primos números Primos números Primos números negros, amarillos y manchados con Π, ..., Ω Π Π Ω – 1, ..., Ω Π Ω – 1 1, ..., Ω  vacas de las mis mas var ied ade s,  verificando condiciones tales como: Segundos números Segundos números Segundos números “El número total de toros blancos o Ω, ..., Ω 2 Ω Π, ..., Ω2 Π Ω ΠΩ 1 , ..., Ω 2 ΠΩ 1 negros ha de ser un número cuadrado”, o bien, “El número total de toros amaTerceros números Terceros números Terceros números rillos o manchados ha de ser un Ω 2, ..., Ω 3 Ω2 Π, ..., Ω3 Π Ω 2 ΠΩ 1 , ..., Ω 3 ΠΩ 1 número triangular, de la forma 1+2+3+...+ m, donde m es un entero positivo”. Este problema se traduce n -ésimos números n -ésimos números n -ésimos números en un sistema de siete ecuaciones con Ω –1 , ..., Ω Ω –1 Π, ..., Ω Π Ω 1 Π Ω 1 , ..., Ω Π Ω 1 ocho variables, más una de las llamadas ecuaciones de Pell. Ω-ésimos números Ω-ésimos números Ω-ésimos números  Al final del  Arenario  Arquímedes –1 –1 2 Ω Ω Ω escribe: “Un volumen miríada de ΩΩ – 1 Π Ω – 1, ..., Ω Ω Π Ω – 1 = ΠΩ Ω Ω Π, ..., Ω Π = Π , ..., Ω = Π miríada de miríada de veces múltiplo del volumen del mundo.” Para ser coherente hubiera debido escribir: “Un 2. EL SISTEMA DE NUMERACION de Arquímedes estaba fundado en la miríada de  volumen de una unidad de terceros miríadas, igual a 100.000.000, y simbolizada Ω. números de veces múltiplo del volumen del mundo.” Este ejemplo ilustra otro problema lingüístico en la inven- ejemplo, si hubiera nombrado ΩΩ al damente que los definidos por ción de nuevos números: es necesario período, entonces ΠΠ hubiera sido  Arquímedes, pero estos nuevos períoinventar también un adverbio para el periodésimo período, al que dos ya no son capaces de expresar cada número (una vez, dos veces...).  Ar químedes hubiera podido dar todos los números. Se podría objetar que los ordinales nombre, extrapolando los ordinales En notación moderna una miríada se leen también “número uno, número griegos existentes. De esta forma se corresponde a µ = 10 4, y una gran dos, etc.” y que la sucesión  A1,  A2... hubiera podido alcanzar el gran miríada a π1 = µµ = 104 × 104; se trata del se lee “ A-sub-uno,  A-sub-dos...”. A número ΠΠ. período π1. Sea π2 el segundo período. mayores, la tabla de los cardinales y Pero Arquímedes hubiera debido Utilizando la fórmula (10a)b = 10ab, se 4 de los ordinales griegos muestra que comenzar por dar directamente nom- encuentra: π2 = π1π1 =  10 4 × 10 4 (10 +1) ,  Arquímedes hubiera podido inventar bres a todos sus nuevos números. Un  valor superior a 10 elevado a la potenfácilmente un método para transfor- método directo habría podido consistir cia 10.000. De igual modo, el tercer mar un cardinal en un ordinal. Es en llamar segunda miríada   a la período sería mayor que 10 elevado a aquí, sin embargo, donde interviene miríada de miríadas; la tercera la potencia 10 elevado a la potencia la debilidad principal de su sistema: miríada  habría sido la miríada de 10.000. En general, el periodésimo  Arquímedes da nombres a los conjun- segundas miríadas; y así sucesiva- período es de un orden de magnitud tos de números y no a los números mente hasta la miriadésima miríada. superior al de los números concebidos propiamente dichos. Así el número Esta notación fue utilizada por por Arquímedes. Así podemos calcular Π = ΩΩ  es la “unidad del segundo Diofanto para casos pequeños. Con que el periodésimo período tiene un período” e incluso en los idiomas ella se simplifica la ley de exponentes:  valor mayor que el de una torre de modernos resulta difícil escribir el el producto de una m-ésima miríada potencias de 10 que tuviera 40.000 ordinal correspondiente. por una n -ésima miríada es una pisos. (m + n)-ésima miríada. Si el propósito consistiera simplemente en dar nombre a los números Un té en el harén de Arquímedes muy grandes, y no en crear un sistema completo de numeración, se podría rquímedes, en Siracusa, se encon- llegar mucho más lejos. Se comienza BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA traba muy aislado, lo que explica dando a la miriadésima miríada el OEUVRES . Arquímedes; texto establecido su originalidad: su invención de núme- nombre de gran miríada. Se continúa y traducido por C. Mugler. Les Belles ros grandes nada tiene en común con con la gran miriadésima gran miríada, Lettres; París, 1970-1971. las matemáticas de su tiempo. Su ais- a la que llamaremos muy grande LE THÉ AU HAREM D’ARCHIMÈDE, película lamiento es probablemente responsa- miríada . La muy grande miriadésima de Mehdi Charef, 1985. ble de las pequeñas incoherencias de muy grande miríada será la  enorme EL A RENARIO. Arquímedes, en Sigma, el su texto: de haber podido discutir su miríada . mundo de las matemáticas; compilación sistema con otros matemáticos es proUtilizamos de nuevo la nomenclade J. R. Newman. Grijalbo, 1997. ARCHIMEDES’ CATTLE P ROBLEM. I. Vardi, bable que hubiera mejorado sus resul- tura de Arquímedes dando a la gran en  Ameri can Mathe matic al Monthl y , tados. Busquemos, pues —sin ofen- miríada el nombre de  período , a la vol. 105, págs. 305-319, 1998. derle demasiado—, las mejoras que muy grande miríada el nombre de ETORCIDA TOPOLOGÍA !  Ian Stewart, en ¡R  Arquímedes hubiera podido aportar segundo período y al enorme período,  Investigación y Ciencia , sección Juegos a su “teorema”. el de tercer período . El procedimiento matemáticos, páginas 86-87; junio Para empezar, hubiera debido dar continúa hasta el periodésimo período. 1999. nombres a sus grandes números. Por Estos períodos crecen mucho más rápi...

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– Thabit ibn Qurra  y el infinito numérico

Tony Lévy

Un sabio árabe del siglo  IX  mantuvo sobre el infinito un punto de vista tan original como audaz

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l pensamiento de Aristóteles que es mayor); y el tiempo, que es finito inicial. Apartándonos un poco se enraíza en una indagación “componible y divisible”. de la letra del texto de Aristóteles, sobre la estructura del mundo. La primera conclusión de Aristó- aunque no de su espíritu, podríamos La ciencia de la naturaleza —la “física”, teles es negativa: el infinito no existe decir que el infinito así concebido es para Aristóteles— y el análisis del como totalidad, como “ente actual”, un rodeo que nos permite volver a movimiento que le sirve de soporte como forma acabada, perfecta. Esta encontrar lo finito (el segmento iniconducen a afrontar la cuestión del imposibilidad vale tanto para una cial), sin nunca agotar, empero, lo infinito: ¿Existe el infinito? En caso totalidad corpórea como para una finito. Sin duda ello nos hará evocar afirmativo, ¿en qué sentido? El movi- totalidad incorpórea, para una sustan- lo que hoy se denomina “convergencia” miento, las magnitudes físicas (la cia como para un principio. En par- de una serie geométrica: cuanto mayor longitud, por ejemplo) o el tiempo ticular el mundo es finito, en cuanto sea el entero n  elegido en la suma constituyen otras tantas nociones magnitud física, está cerrado por la  S n = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + . . . + 1 / 2 n , tanto sometidas a la alternativa de ser limi- “última” de las esferas celestes. más se aproxima a 1 el resultado; tadas o de escapar a la limitación. Sin embargo para Aristóteles el decimos ahora que la suma  Sn  conPuesto que “la naturaleza es principio infinito existe en otra modalidad, a  verge a 1 o que el límite de Sn es igual de movimiento”, dado que el movi- saber, en potencia. Se trata de un a 1. Nos guardaremos, empero, de miento depende del continuo y dado modo de existencia inferior, subordi- atribuir a Aristóteles la idea moderna que la divisibilidad del continuo es nado a la existencia actual, pero no de “límite”, que nada tiene que ver “sin término” (es decir, no tiene fin), por eso menos real. El infinito en con sus palabras. la cuestión del infinito queda plan- potencia, que es posibilidad, virtualiDe tratarse de un número, será llateada. No olvidemos este punto esen- dad, se expresa en esta propiedad de mado “aumentable al infinito en cial, en el que Aristóteles se opone a la magnitud continua: por lejos que potencia”. Basta pensar en el número las escuelas de pensamiento atomís- lleve yo la división, puedo proseguirla de subsegmentos producidos por la tico: la división de una magnitud física todavía. Aristóteles escribe así en su repetida división de un segmento de es “sin término”; es necesario entonces  Física : “Pero el infinito resulta ser lo recta: cualquiera que sea el número dar cuenta de esta propiedad que contrario de lo que se dice. En efecto, (de subsegmentos) que se considere, caracteriza la divisibilidad de una no es que no haya nada exterior a él, todavía podemos aumentarlo. Y lo magnitud como la de una línea, una sino que es aquello a lo que siempre mismo que la división del segmento superficie o un sólido. hay algo exterior: eso es el infinito no finaliza jamás, tampoco podría En una primera descripción, que [...]. Es pues infinito aquello que, haber un número último, un número no es todavía una definición, diremos cuando es tomado según la cantidad, “infinito actual”. con Aristóteles: “es infinito (apeiron)” es siempre posible tomar algo exteEl tercer aspecto del análisis aristotélico concierne al tiempo, definido lo que se puede “por naturaleza reco- rior.” rrer, pero que no se deja recorrer y por el movimiento y asociado a la no tiene fin ( per as )”. La idea de magnitud por este cauce. El tiempo es a la vez divisible y aumentable Lo infinito no lo es “recorrido”, de “travesía”, y la metáfora espacial que entraña nos empupara Aristóteles. El movimiento de sino “en potencia”  jan a ins tal ar el deb ate , siq uie ra las esferas celestes es “sin principio sta divisibilidad “sin término” del y sin fin”, lo que le lleva a hacer apaprovisionalmente, en el terren o de lo cuantificable. Es, en efecto, en la continuo va pareja de otra pro- recer el infinito “en el tiempo y en la categoría de la cantidad, del “cuánto”, piedad. Cabe formularla como sigue: generación de los hombres”. Este en la que Aristóteles entiende que ha divídase en dos un segmento de recta; tema, comúnmente designado como de inscribirse su definición de lo infi- después uno de los subsegmentos así el argumento de “la eternidad del nito. Quien dice cantidad dice mag- obtenidos (cuya longitud vale entonces mundo” (el mundo siempre ha estado nitud o número y para medir o contar la mitad de la del segmento inicial) se ahí), suscitará numerosas objeciones, es preciso distinguir el todo de sus divide a su vez en dos y así sucesiva- sobre todo entre los partidarios de partes y de este modo plantear a mente; esta división o dicotomía no las religiones reveladas, ansiosos por  priori que el todo en cuestión es “par- tiene fin, como se ha dicho. Si, por fundar filosóficamente la idea de la ticionable”, es decir, “divisible”. La otra parte, son reunidos los subseg- creación del mundo por un acto infinitud concierne a tres nociones. mentos sucesivamente producidos por divino. Subrayemos que los primeros La magnitud, que es “divisible hasta esta dicotomía, nos iremos “aproxi- debates provocados por la teoría de el infinito”; el número, que es “com- mando” al segmento inicial; y cuanto  Aristóte les tuvieron un punto de parponible hasta el infinito” (por grande mayor sea el número de segmentos, tida teológico. Juan Filopón, un pensador crisque sea un número, siempre hay otro más nos acercaremos a tal segmento

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tiano de Alejandría (siglo  VI), se encuentra en el origen de numerosos argumentos dirigidos contra la idea de la eternidad del mundo. Estos argumentos, que utilizan las propias definiciones de Aristóteles al respecto del infinito, se proponían infirmar las conclusiones de éste sobre la infinitud del tiempo para justificar la idea de un mundo creado por la voluntad soberana de Dios.

El infinito aristotélico, enfrentado a sus paradojas

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a principal crítica de Filopón, a fin de cuentas pertinente, sacaba partido de la paradoja siguiente: la eternidad temporal afirmada por  Aristóteles ¿no estará dejando que se cuele por la ventana el infinito actual que él pretende expulsar por la puerta? Filopón hizo uso frecuente de uno de los argumentos desarrollados por  Aristóteles para recusar la posibilidad de un infinito actual. Supongamos que existe realmente una sustancia (o un principio, como pensaban, por ejemplo, los pitagóricos) cuya sola esencia sea la de ser un infinito. Para Aristóteles la definición de un ente agota su realidad; dicho de otro modo, la definición y la realidad de una tal sustancia son una y la misma cosa. Si el infinito es una sustancia divisible, ¿cómo definir sus partes? Cabría responder: al igual que ninguna parte de una sustancia como el aire puede ser definida sino como aire, así una parte del infinito-sustancia no puede ser definida, a su vez, sino como lo infinito. Resulta de aquí que el infinito sería divisible en infinitos. Llegado a este estadio, Aristóteles concluye lacónicamente: “Pero es imposible que la misma cosa sea  varios infinitos.” Muchos fueron los autores que entendieron de tal forma el argumento de imposibilidad: si un todo es infinito y una parte de este todo es también infinita, entonces, siendo el todo necesariamente mayor que su parte, tendríamos un infinito más grande que un infinito, lo cual es absurdo. Referido al marco conceptual fijado por Aristóteles, este “absurdo” significa que el infinito no es una enti-

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dad, sino un proceso de incompletitud; que los propios aristotélicos habrán en tal título no tiene sentido alguno de convenir en que el mundo tuvo, darle tratamiento de cantidad, ni la ciertamente, un principio. distinción de diferentes infinitos, ni Las críticas de Filopón tuvieron un la comparación de infinitos, ni, en eco considerable en las tradiciones breve, de su manipulación como griega, árabe, hebrea y latina e forma. hicieron nacer una multitud de arguTodos los que se situaron en el mentos derivados. Por ejemplo, ciertos terreno de la teoría aristotélica, ora teólogos musulmanes opusieron a los para defenderla, ora para recusar filósofos árabes aristotélicos un argudeterminadas conclusiones, invoca- mento que hizo fortuna en la escolásron con frecuencia argumentos de tica medieval. Supongamos que el este tipo. Si el mundo no hubiera mundo no tuviera principio. Entonces tenido principio, escribirá Filopón, el número de almas separadas de sus habríase de afirmar que el número cuerpos tras la muerte, y que sobrede hombres engendrados hasta los  vivirán eternamente a este cuerpo, tiempos de Sócrates tendría que ser constituye un número infinito, e infiinfinito; mas al agregar el número de nito actual; ¿no hay ahí una contrahombres engendrados desde Sócrates dicción en el razonamiento de los hasta hoy se obtendría “algo más filósofos (aristotélicos), que debería grande que el infinito”. Otra de las obligarles a reconocer que la tesis de paradojas enunciadas por Filopón: la eternidad del mundo es (filosóficacuando el Sol completa una revolu- mente) insostenible? Estos teólogos, ción, la Luna ha efectuado 12; supo- esgrimiendo el instrumental lógico y niendo que el mundo no tuviera prin- conceptual del discurso filosófico con cipio, es preciso admitir, de una una eficacia muchas veces temible, manera o de otra, que las revolucio- concluían, por otra parte, la imposines del Sol son infinitamente nume- bilidad de toda especie de infinito, rosas y que, por consiguiente, las tanto potencial como actual. revoluciones de la Luna representan No faltaron, a buen seguro, las répliun infinito doce veces más grande cas de los filósofos, preocupados por que otro infinito, otro “absurdo”. Se legitimar la coherencia del pensamiento adivina la conclusión de Filopón, a de inspiración aristotélica; y los argusaber, que el punto de partida de este mentos desplegados en esta ocasión razonamiento ha de ser rechazado y sirvieron para alimentar el debate sobre el infinito, que se prolongaría en las tradiciones filosóficas y teológicas. La crítica del punto de vista aristotélico se ejerció también en otras direcciones.  Aunque mucho más raros, cierto, pero no con menor rigor, tampoco faltaron quienes adoptasen un infinitismo de principio, que les condujo a poner en tela de  juicio la totalidad del dispositivo conceptual aristoté– bit lico. Tal es el caso de Tha ibn Qurra.  Ab u– ’l-Hassan Tha– bit ibn Qurra al-Harra– ni– (fallecido en 901), de la secta sabea, fue uno de los más prestigiosos representantes de la ciencia árabe del siglo IX . Nativo de la región de Harra– n, en  Anat olia , sus excepcionales dotes fueron reconocidas por los tres hermanos Banu– Mu– sa– , sabios y mecenas de Bagdad, quienes le integraron en los círculos de sabios que alentaba y financiaba el califa. Tra ductor del

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generales: “el” número, “la” magnitud, la inmortalidad del alma), y no los Refutación del argumento “singulares” (cada número, cada “Un infinito no puede ser mayor que otro” tamaño, cada alma por separado)? Interviniendo a la vez en los planos osotros lo hemos también puesto en duda al respecto de la propositeológico y filosófico, y comentando ción invocada por cierto número de comentadores respetables, a saber, un ejemplo astronómico, el de los que un infinito no puede ser más grande que un infinito. El [Tha–bit] nos ha eclipses, Tha– bit juzga oportuno mostrado la falsedad de esta proposición, tomando una vez más el ejemplo subrayar que, de todas maneras, nos del número.”  vemos conducidos a admitir la posi“En efecto, el número en sí es infinito y, en el número, los números pares, bilidad de un infinito numérico tomados por separado, son infinitos; y lo mismo para los números impares; actual: en el curso de su respuesta a ahora bien, estas dos categorías son iguales y cada una de ellas es la mitad la cuestión sobre el problema de las del número en su totalidad. Su igualdad [de las categorías de los números almas (a saber, ¿es su número infinito pares y de los impares] se demuestra partiendo de que, de cada dos números o no?), Tha– bit afirma: “Me causan sucesivos, uno es par y el otro, impar. Que el número [en su totalidad] sea el asombro quienes dicen que Dios —El doble de cada una de ellas [la categoría de los números pares y la de los sea bendito y exaltado— no conoce impares] proviene de que ellas son iguales y entre ellas lo agotan [el número] los particulares, sino que conoce los y que él no contiene ninguna parte fuera de ellas. Cada una de ellas es la universales y yo ignoro lo que El diría mitad del número [en su totalidad].” si se le interrogase sobre su conoci“Está claro también que un infinito puede ser la tercera parte de un infinito miento, por ejemplo, del eclipse: ¿es o la cuarta, o la quinta, o cualquier otra parte del número considerado en sí que sólo conoce su naturaleza y exismismo. En efecto, los números que tienen tercera parte [los enteros múltiplos tencia o bien El conoce los eclipses de 3] son infinitos y representan el tercio del número en su totalidad. Y los que han tenido lugar en el pasado y números que tienen cuarta parte [los múltiplos de cuatro] representan un cuarto los que tendrán lugar y el momento del número en su totalidad; y los números que tienen quinta parte representan determinado en que tendrán lugar y un quinto del número en su totalidad. Y se procede de igual forma para las dónde tendrán lugar. Si El no conootras partes del número. Ello es debido a que nosotros encontramos en toda ciera sino la naturaleza general del terna de números consecutivos, uno que tiene tercera parte [un entero múltieclipse, resultaría que su sabiduría plo de 3]; en toda cuaterna de números consecutivos, uno que la tiene cuarta; sería menor que la sabiduría de los en todo quinteto, uno que la tiene quinta; y en toda sucesión de números astrónomos...” consecutivos, cualquiera que sea su enumeración, encontramos que uno de Se comprende; Tha– bit no acepta los entre ellos tiene una parte designada según la enumeración [en toda sucesión de n  números consecutivos, hay un número que tiene una n -ésima parte, es argumentos de quienes juzgan impodecir, un entero múltiplo de n ]...” sible para el conocimiento divino la aprehensión de los “particulares”. Y nos recuerda que aun aceptando tal tesis, no por ello nos veríamos menos griego al árabe de obras de Euclides, Subrayemos tres aspectos que delimi- conducidos a admitir la idea de un de Arquímedes, de Apolonio, de tan el marco del debate de este impor- infinito actual: “Por otra parte, si Ptolomeo, de Nicómaco de Gerasa, tante texto: la importancia de la con- aceptásemos, por espíritu de conciliael propio Tha– bit fue autor de tratados troversia teológica relativa a la ción, que El no conoce los particulares, innovadores —a veces seminales— enumeración de las almas y al cono- no es por eso menos cierto que existen en diversos dominios de las matemá- cimiento por Dios de la infinidad de cosas universales que constituyen ticas (geometría infinitesimal, álge- seres singulares; la expresión clara especies infinitas y que El las conoce bra, aritmética y teoría de números) de un infinitismo de principio que se por sí mismas, simultáneamente, en y de la astronomía. También le son inspira en las propiedades matemá- acto; por ejemplo, las especies de las atribuidos escritos médicos. Parece ticas del número; y la defensa de una figuras geométricas, de las que El que supervisó traducciones del sirio concepción filosófica del número y de conoce cada una, sus accidentes, sus al árabe. La lengua siria fue un las figuras geométricas que rompe singularidades y todos sus demás importante refugio donde se conservó radicalmente con los principios aris- aspectos; y también las especies de la cultura griega antes del adveni- totélicos. los números; y estas dos especies son miento del Islam; en Harra– n,  Ya de entrada el texto aborda sin infinitas. Es, por lo tanto, posible que importante centro sirio, era domi- preámbulos la controversia cuyas una cosa exista en acto y sea infinita nante la religión sincretista de los posiciones hemos destacado: ¿es con- en número; si esto es posible, entonces sabeos, de la cual Tha– bit pudo haber tradictorio considerar que las al mas no es imposible que igual suceda para sido un dignatario. constituyen una multiplicidad infi- las almas...” – El texto de Thabit que vamos a nita? Aunque el texto no la mencione, comentar da fe de que éste se encon- es seguro que tal cuestión estaba asotraba, amén de sus actividades pro- ciada con la de la eternidad del mundo. La comparación piamente científicas, plenamente No obstante, el ángulo desde el cual de los infinitos numéricos implicado en los debates filosóficos y se presenta aquí corresponde a la teológicos de su tiempo, sobre los cua- naturaleza del conocer divino: si éste l término de largos desarrollos les sostenía y pregonaba con autoridad contemplase a cada ser en su indiviconsagrados a este problema del un punto de vista original. Tal punto dualidad (cada alma), ¿no se estaría conocimiento divino Tha– bit es invide vista ha llegado hasta nosotros en atentando contra la simplicidad abso- tado por su interrogador a comentar forma de respuestas a las cuestiones luta de tal conocimiento? ¿No será el argumento, tan frecuentemente que le plantea uno de sus discípulos, más justo postular que Dios no conoce invocado en los debates sobre el – sa – cIsa – ibn Usayyid. sino los “universales” (los principios infinito, según el cual “un infinito no el cristiano Abu– Mu

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puede ser mayor que un sigue siendo más grande que infinito.” el infinito de los enteros  Aparte de ciertas dificulpares, puesto que es el “doble”. tades de lectura, el arguOtros infinitistas, muy posmento que se expone en este teriores, sabrán orientar sus texto es tan claro como innoreflexiones por reevaluación  vado r. Es la prime ra vez, de la razón del todo a su parte que tengamos conocimiento, cuando intervienen cantidaen que se bosqueja una des infinitas. Richard Dedeauténtica aritmética del kind dará por este método, en infinito a partir de las prola misma época que Cantor, piedades aritméticas del una definición precisa del número entero. No se proconcepto de conjunto infinito, ducirá una formulación que es un conjunto “igual” que ma temáticamente cohealguna de sus partes. rente sino mil años después El lector que conozca la de Tha– bit, con los trabajos definición de transfinito cande Georg Cantor y su teoría toriano se habrá percatado de de los transfinitos. que Tha– bit no llega a aislar, Precisemos el contenido como hizo Cantor, la idea de del argumento, para así una cardinalidad infinita, – medir su audacia. Para Tha propia de todo conjunto bit es del todo evidente que de numerable; en esta “hay un número infinito” y perspecti va todos los conjunque se trata ciertamente de tos infinitos a que hemos aluun infinito actual. No se dido serían “equipotentes”, es enuncia claramente ninguna decir, iguales en el sentido de definición de esta noción, Cantor, lo que no es el caso pero comprendemos, no obspara Tha– bit. Así Tha– bit no tante, que la infinita multidice que haya “tantos” númeplicidad de las especies ros enteros como números numéricas (ahora diríamos, enteros pares, en la medida la infinitud del conjunto de en que podemos hacer correslos números enteros) se ponder biunívocamente un identifica con la naturaleza número par a todo número misma “del número en sí” entero y recíprocamente. Por (hoy diríamos “de la infinitud de lo le jos: al generaliz ar la observación eso mismo no es necesario ver en denumerable”). Dando ahora res- relativa a los números pares y a los Tha– bit un “precursor” de Cantor para puesta como matemático al argumento impares, exhibe un infinito “igual” a  valorar el interés del pensamiento del clásico: “un infinito no puede ser más un tercio del infinito de los enteros sabio árabe. Con tentémonos con resugrande que un infinito” o, con otras (los enteros de la forma 3 p, que tienen mir su originalidad y su audacia teópalabras, “es absurdo enunciar la misma infinitud que los enteros de rica: no sólo “operó” con los infinitos, relaciones de orden al respecto de lo la forma 3 p + 1 y que los de la forma confiriéndoles así un estatuto que la infinito”, Tha– bit replica que es per- 3 p + 2, lo cual permite dividir el con- tradición aristotélica les negaba, sino fectamente posible dar sentido mate-  junto de lo s ente ros en tres infinitos que, al hacerlo, amplió la noción misma mático a una tal relación de orden. La “iguales”); otro infinito “igual” a un de número y el marco conceptual consproeza operatoria de Tha– bit consiste, cuarto de los enteros, ... hasta un titutivo de esta tradición. por hablar en términos modernos, en infinito igual a un n-ésimo del infinito definir la “igualdad” de dos conjuntos de los enteros. infinitos (el de los números pares y el de los impares) por su equipotencia: BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA Operaciones con el infinito el conjunto infinito de los números THA– BIT IBN Q URRA ’ S C ONCEPTION OF pares “es igual” al conjunto de los NUMBER AND THEORY OF THE MATHEMAimpares, porque a cada número par a igualdad ingenua, la que pasa TICAL INFINITE. Shlomo Pines, en Studies se le puede asociar un número impar por la enumeración, inaplicable in Arabic Versions of Greek Texts and in  Med iae val Sci enc e   (The Collected y recíprocamente. A partir de ahí al infinito, ha sido reemplazada por Works of Shlomo Pines), vol. II, págs. Tha– bit puede concluir que los enteros otro tipo de comparación que permite 423-429. Edición Magnes Press; Jerusapares representan la mitad de todos la evaluación de las relaciones de prolén y Brill, Leiden, 1986. los enteros: hay tantos enteros pares porción entre “el número en su totaFIGURES DE L’INFINI. LES MATHÉMATIQUES como enteros impares y mediante esta lidad” y algunas de sus partes, a saber, AU MIROIR DES CULTURES. Tony Lévy. partición quedan agotados todos los los números pares o impares, los múlEditions du Seuil; París, 1987. enteros. tiplos de 3, los múltiplos de 4, ... los THA– BIT IBN Q URRA ON THE I NFINITE AND OTHER PUZZLES. EDITION AND TRANSLA Al afirmar que el infi nito de los múltiplos de n. TION OF HIS DISCUSSIONS WITH IBN USSAenteros es “doble” que el infinito de Tha– bit no llega, al hacerlo, a poner YID. Adelhamid I. Sabra, en  Zeitschrift los enteros pares, Tha– bit invalida el en tela de juicio el axioma según el  für Geschichte der Arabisch-Islamischen célebre argumento en discusión (hay cual “el todo es mayor que cualquiera Wissenschaften, volumen. 11, páginas ciertamente un infinito más grande de sus partes”. El infinito de los núme1-33, 1997. que otro infinito). Va incluso más ros enteros, tomado como un todo,

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La ciencia del movimiento en el siglo XVII

Michel Blay

 La descripción fisicomatemática del movimiento  permitió eludir las paradojas motivadas  por el uso intuitivo e inadecuado del infinito

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n el siglo  V  antes de nuestra era, pretendía en el siglo  XVI con la geome- gar a tal grado de lentitud que no se en la ciudad griega de Elea, el trización de la ciencia del movimiento. pueda descender todavía a una infifilósofo Zenón se topó con una Los físicos deseaban una comprensión nidad de otros, sin caer en el reposo.” grave paradoja al analizar el movi- de los movimientos basada en inter- En lenguaje moderno las cuestiones miento: para alcanzar un punto dado, pretaciones geométricas deductivas, son: ¿qué tratamiento matemático dar un móvil debe primero recorrer la inspiradas en el modelo de los a las velocidades infinitamente pequemitad de la distancia que media hasta  Elementos de Euclides. Las principales ñas? ¿Cómo tratar matemáticamente su destino, después la mitad de la dificultades concernían a la continui-  velocidades infinitamente grande s? distancia restante y luego, la mitad dad de los movimientos, a su comienzo Galileo encuentra las mismas difide la distancia que falta; y así una y y a su final. ¿Cómo explicar la variedad cultades. En su obra  Disc urso s y otra vez, indefinidamente. ¿Cómo de movimientos acelerados? ¿Eran, demostraciones matemáticas en torno recorrer una infinidad de mitades en como habían propuesto ciertos filóso- a dos nuevas ciencias , relacionada un tiempo finito? Este infinito infil- fos, una mezcla de movimientos y de con la mecánica y publicada en 1638, trado en el análisis del movimiento reposos? Tales cuestiones habían pre- hace decir a su amigo y portavoz tuvo trastornados y en discordia a ocupado a Galileo, a Bonaventura Salviati: “No dejaréis, creo yo, de físicos y matemáticos hasta las pos- Ca valieri, a Blaise Pascal y a otros concederme que una piedra que cae trimerías del siglo  XVII. Durante estos sabios del siglo  XVII. desde el estado de reposo adquiere años y los primeros del siglo siguiente En una carta dirigida a Galileo, sus grados sucesivos de velocidad la ciencia del movimiento quedó al fin fechada el 21 de marzo de 1626, según el orden en el que estos mismos en claro. Una parte notable de los Ca valieri subraya la importancia y la grados disminuirían y se perderían progresos fue debida al físico francés dificultad de los problemas que plan- si una fuerza motriz la recondujese Pierre Varignon (1654-1722), que tean el comienzo y la evolución conti- a la misma altura; y si lo negarais, publicó varios artículos en las nua del movimiento en el marco de la no veo yo cómo la piedra, cuya velo Mémoires de l’Académie royale des geometrización: “Cuando llegamos a cidad disminuye y se consume en su sciences en torno a 1700. Varignon se tener que demostrar que el móvil que totalidad en el curso de su ascenso, fundó en los resultados matemáticos del reposo debe llegar hasta un grado podría alcanzar el estado de reposo obtenidos entre 1684 y 1686 por cualquiera de velocidad, [...] por los sin haber pasado por todos lo s grados Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- grados intermedios, no encuentro nin- sucesivos de lentitud.” Galileo 1716) y al poco por Isaac Newton guna razón que me tranquilice, aun- subraya la continuidad que caracte(1642-1727): su “cálculo diferencial e que me parezca por lo general que sea riza, según él, el incremento o el integral” permite la determinación así.” La búsqueda de una razón tran- decremento de la velocidad de un matemática de la pendiente de una quilizadora es a la vez un programa movimiento naturalmente acelerado, curva o del área limitada entre una de trabajo y una actitud del espíritu; como es la caída de un cuerpo pesante curva y un eje. Merced a él Varignon es la voluntad de comprender el (un “grave”). En tal movimiento “un halla una fórmula muy sencilla que comienzo y la evolución continua del grave no permanece en ninguno de describe el movimiento de un cuerpo movimiento; es también la voluntad estos grados de velocidad durante un sometido a fuerzas, especialmente en de explicar el movimiento por medios tiempo finito”. Lo que equivale nueel caso de fuerzas centrales, es decir, matemáticos.  vament e a decir que , en un mov ide fuerzas que se ejercen entre un Tal estudio es muy difícil, porque miento acelerado o retardado, un punto, atractivo o repulsivo, y un el infinito aparece de inmediato en él. cuerpo que parte del reposo, o que móvil que se desplaza a lo largo de Pascal lo menciona explícitamente en retorna a él, pasa por una infinidad una recta. su pequeño tratado titulado De l’esprit de grados de velocidades en un inter géométrique : “Por raudo que sea un  valo de tiempo que, por pequeño que movimiento, podemos concebir otro sea, contiene una infinidad de insLa imposible geometría que lo sea más y apresurar aún más tantes. a este último; y siempre así, hasta el del movimiento Los problemas que este análisis infinito, sin llegar jamás a uno que suscita son de una dificultad extrema: ómo pudo resolver el cálculo sea de tal suerte que nada le podamos si hay una infinidad de grados de lendiferencial las dificultades con añadir. Y al contrario, por lento que titud para alcanzar el reposo, ¿no hará las que hasta entonces venía trope- sea un movimiento, podemos todavía falta un tiempo infinito para que esta zando la ciencia del movimiento? Para retardarlo más y lo mismo a este detención del movimiento pueda cumcomprenderlo repasemos lo que se último; y así al infinito, sin jamás lle- plirse, para que el móvil animado de

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tal movimiento se detenga, pasando sucesivamente por todos los grados de lentitud? A la inversa, para que un movimiento comience, pasando sucesivamente por todos los grados de  velocidad, ¿no hará falta también un tiempo infinito para alcanzar cierta  velocidad, por pequeña que sea? En un caso el reposo es imposible de alcanzar; en el otro es el movimiento el que no puede tener comienzo. Ahora bien, es absolutamente obvio que los movimientos empiezan y concluyen.

Del estado de reposo a una velocidad finita

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na solución consiste en rechazar la idea de un comienzo no finito del movimiento o, mejor dicho, en considerar que el movimiento de caída de los graves comienza no a partir de una velocidad nula y mediante incrementos sucesivos continuos, sino a partir de una velocidad finita. Así fue como Edme Mariotte (1620-1684), en su Traité de la percussion ou choc des corps , publicado en París en 1673, rechaza la idea de que un movimiento acelerado lo sea desde el primer instante. Su argumento se funda en una recopilación de las dificultades engendradas por las paradojas de Zenón sobre el infinito y también sobre di versas experiencias relativas al desagüe de fluidos. Mariotte propone la eliminación del infinito al comienzo del movimiento, considerando que no hay en sentido estricto comienzo del movimiento. Desde el primer instante el cuerpo está animado de una velocidad muy pequeña, pero finita. Por su parte el matemático alemán Hartsocker propone que el reposo se alcanza sin que el móvil pase por todos los grados de lentitud. En una carta dirigida a Leibniz el 6 de enero de 1712 Hartsocker escribe: “Decís, señor, que hay en la Naturaleza una ley que ordena que no haya ninguna transición  per saltum  [por salto]. Yo os lo concedo en un cierto sentido; pero cuando decís que esta ley no permite que haya un punto medio entre lo duro y lo fluido, no veo que exista de tal cosa ninguna necesidad. Si no supierais vos por experiencia, señor, que un cuerpo que se mueve a tan grande  velocidad como os plazca puede permanecer en reposo desde el instante del choque, sin perder poco a poco y por grados su movimiento, ¿no diríais  vos, por vuestra ley, que ello es imposible?”  A estos enfoques podem os añadir los de Pierre Gassendi (1592-1655) o, más adelante, los de su comenta-

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mínimo “implica contradicción”: de existir un mínimo, habría tantos mínimos en el todo como en la parte, puesto que toda parte de la misma especie que el todo sigue todavía siendo infinitamente divisible. Tenemos aquí, como siempre, las paradojas de Zenón: un segmento, por pequeño que lo tomemos, contiene una infinidad de puntos; es un infinito en acto. Leibniz escapa a esta contradicción mediante una adaptación del método de Cavalieri, método orientado a tratar en el seno de las matemáticas euclídeas cuestiones que entrañarían la consideración de sumas infinitas.  A tal fin Cavalieri introdujo la noción  Bonaventura Cavalieri (1598-1647) de agregado (se hablará así del agregado de todas las líneas o de todos los grados de velocidad) y estableció las rista François Bernier, para quienes relaciones entre el agregado de todas el movimiento variado es una mez- las líneas de dos figuras y el de las colanza de reposos y movimientos, no áreas de dos cuerpos. Este enfoque, siendo su continuidad sino aparente, preciso y riguroso en el plano mateen razón de una cierta persistencia mático, será interpretado, con mucha de las imágenes retinianas, por frecuencia, como la realización de una hablar en términos modernos. Todas simple suma de puntos, de líneas, etc., estas aproximaciones no ofrecen, que, con toda evidencia, vuelve a planempero, asidero real a la geometriza- tear claramente la cuestión del contición. La pseudoprueba experimental, nuo y del infinito. la de Mariotte en particular, nada Leibniz está más preocupado por el enseña. análisis del movimiento y de las trayectorias que por las puras cuestiones de geometría, que replantean el proUna primera tentativa blema de la composición del continuo. de Leibniz Introduce una noción, la de “indivisible”, al objeto de resolver el problema unque Leibniz no llegará a desa- del movimiento. “Los indivisibles o rrollar su cálculo diferencial e inextensos están dados, sin lo cual ni integral hasta 1676, en 1670 redactó el comienzo ni el fin del movimiento una Teoría del movimiento abstracto son concebibles.” que tiene por objeto esencial la e recPara Leibniz el comienzo pertenece ción de una teoría puramente racional al espacio, al tiempo, al movimiento, del movimiento. Este trabajo se ins- sin por ello ser divisible. Como hemos pira en resultados matemáticos que  visto, la noción de un comienzo diviCavalieri había expuesto en su sible es contradictoria. Existen pues Geometria indivisibilibus continuo- indivisibles, constitutivos del espacio, rum nova quadam ratione promota , del tiempo y del movimiento y, sin publicada en Bolonia en 1635. embargo, heterogéneos a lo que ellos Leibniz considera que el movi- constituyen. Al proceder así, Leibniz miento es continuo, es decir, que no introduce entes matemáticos que son, está “en modo alguno entrecortado como mínimo, sorprendentes, que son por pequeños reposos”, como a veces “el comienzo del cuerpo, del espacio, habían considerado los “atomistas”, del movimiento, del tiempo (a saber, o sea, quienes aceptaban la idea de el punto, el esfuerzo, el instante)”. Es lo discontinuo en la materia, en el de Thomas Hobbes (1588-1679) de espacio o en el tiempo. Continuo el quien Leibniz toma en préstamo, movimiento lo es; y no solamente transformándolo, este concepto de divisible al infinito, sino efectiva- esfuerzo, para constituir con él su mente dividido, en el sentido de que indivisible de movimiento: “El hay partes dadas en acto en el conti- esfuerzo es al movimiento lo que el nuo y que “éstas son infinitas en punto es al espacio, es decir, como la acto”. Leibniz introduce pues un infi- unidad a lo infinito, es en efecto el nito “en acto”, o “actual”, es decir, principio y el fin del movimiento.” plantea efectivamente un infinito. Existe pues un indivisible de moviPero para él “no hay mínimo en el miento, el “esfuerzo” que, desde un espacio ni en el tiempo”, pues un tal cierto punto de vista, bloquea la regre-

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des lignes courbes (Análisis de los infinitamente pequeños, para la comprenLa memoria de Varignon del 5 de julio de 1698 sión de las líneas curvas). La introducción de los nuevos métodos resultó n ella Pierre Varignon explicita algebraicamente las cantidades figracias a ello grandemente facilinitas o infinitamente pequeñas que req uiere la descripción de los tada. movimientos. La figura central ( en negr o), debida a Varignon, ha sido  A pesar de las vivas polémicas que descompuesta en tres. Una describe las variaciones de la distancia  x estos métodos suscitaron en la Real recorrida en función de la velocidad, que Varignon denota  y ( fondo  Academia de Ciencias de Parí s hasta las postrimerías de los años 1710, verde). Otra describe las variaciones de la distancia  x   recorrida en función del tiempo, que  Vari gnon asimiló rápi dame nte los  Varign on den ota  z ( fon do principales elementos del nuevo amarillo). La tercera describe cálculo y se aplicó a emprender de las variaciones de la velocinuevo el estudio del movimiento entre F       y dad en función del tiempo los años 1695 y 1705. El trabajo de    D    A ( fondo r osa ).  Varignon se efectuó en dos fases: para    D    I    C empezar introdujo el concepto de    O    L dz  “velocidad en cada instante”; después    E D     V TIEMPO z  definió “la fuerza aceleradora en cada A instante”. Observando las fórmulas D  TIEMPO z  A resultantes Varignon dedujo el algo     x      x    A    A ritmo hoy conocido por “algoritmo de dz     S    S    I    I    C    C la cinemática”. dx     S    S    B    B En dos memorias, leídas respecti   A    A  vamente en las sesiones de la Real E   Academia de Ciencias el sábado 5 de C  VELOCIDAD y  B  B   julio y el sábado 6 de septiembre de 1698, Varignon proporcionó un nue vo punto de partida a la ciencia del movimiento, al elucidar ante todo la noción de “velocidad en cada instante”. La primera memoria ofrece una expresión de la velocidad que permite el sión al infinito, que impedía pensar durante el invierno de 1691-1692, tratamiento de todos los movimientos, su comienzo o su fin. Johann Bernoulli inicia en el cálculo en el caso de trayectorias rectilíneas, leibniziano al marqués Guillaume de cualquiera que sea el modo de variaL’Hospital (1661-1704), con sus Leçons ción de la velocidad; lleva el título de  Varignon y el algoritmo  partic ulières . Fue él quien logró eli-  Règle générale pour toutes sortes de de la cinemática minar las indeterminaciones de tipo mouvements de vitesses quelconques 0/ 0. Dichas lecciones, que trataban a variés à discrétion (Regla general para eibniz publica en octubre de 1684 la vez del cálculo diferencial y del toda suerte de movimientos de veloel texto fundacional del nuevo integral, constituyeron la base desde cidades cualesquiera variadas a discálculo diferencial e integral. El título la que L’Hospital redactará el primer creción). de esta memoria indica claramente manual de cálculo diferencial. Esta  Varignon considera como uniforme su propósito: Nuevo método para bus- obra fue publicada a finales del mes la velocidad de un cuerpo durante car los máximos y mínimos, así como de junio de 1696 con el título Analyse cada instante de su movimiento y las tangentes, método que no entorpe- des infiniment petits, pour l’intelligence afirma luego que esta velocidad en cen ni las expresiones fraccionarias ni cada instante puede “ser considerada las expresiones irracionales: “Cuando como uniforme, de suerte que y ± dy = y. se conoce el algoritmo, si así puedo La sola noción de velocidades uniforllamarlo, de este cálculo que yo llamo mes dará como regla  y = dx/dz para diferencial, podemos hallar mediante todos los movimientos, variados como el cálculo ordinario todas las demás se desee, es decir, según la relación ecuaciones diferenciales, los máximos del espacio, del tiempo y de la ve lociy mínimos, así como las tangentes.” dad que se suponga; siendo la La difusión del nuevo cálculo es  velocidad de cada instante siempre y lenta y difícil. Los dos hermanos en todo lugar igual al cociente del Johann (1667-1748) y Jakob Bernouespacio recorrido en este instante, lli (1654-1705), en estrecho contacto dividido por esta misma diferencial epistolar, sobre todo con Leibniz, aplide tiempo” (en nuestros días, las notacarán los nuevos métodos ideados por ciones han cambiado: el tiempo se éste a las cuestiones más diversas a expresa por t, y no por z, y la velocidad partir de los años 1690, presentándopor v y no por  y ). seles muchas veces la ocasión a causa Es importante subrayar, como lo de los desafíos matemáticos que los hará Varignon explícitamente en una sabios de Europa tenían la costumbre memoria fechada el 6 de julio de 1707, de lanzarse. titulada  Des mouvem ents var iés à  Pierre Varignon (1654-1722) En el curso de su estancia parisina, volonté, comparés entre eux et avec les

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TEMAS 23

uniformes  (De los movibajo conceptual: uno mientos variados a volunque consiente, por tad, comparados entre sí superación del debate y con los uniformes), que clásico sobre las mag“por ser el tiempo y el nitudes homogéneas, espacio magnitudes hetela expresión del conrogéneas, en punto alguno cepto de velocidad por son propiamente ellas las medio de un cociente; que son comparadas en el otro que permite la cociente que llamamos fácil aplicación de los  velocidad, sino que lo son conceptos del cálculo tan sólo las magnitudes leibniziano, al introduhomogéneas que las cir la idea de que la expresan, las cuales son  velocid ad pue de ser aquí, y serán siempre en considerada constante lo que sigue, o bien dos durante un instante de líneas, o bien dos númetiempo. El enunciado ros, u otras dos magnitude la regla general des homogéneas que se pone broche a la pridesee”. Varignon da así mera parte de la memoun paso decisivo, haciendo ria del 5 de julio de  ver que se puede superar 1698. La segunda parte el debate sobre la homoestá dedicada a llevar geneidad de las magnitua la práctica esta regla des por el procedimiento general por medio de de no compararlas cinco ejemplos. directamente, sino indiDos meses más tarde, rectamente, a través de el 6 de septiembre de los números que las 1698, Varignon comexpresan en función de pleta este primer estuunidades previamente dio con una segunda definidas. memoria consagrada a El razonamiento que los movimientos que conduce a Varignon al siguen trayectorias curconcepto de velocidad en  vas: “Aplicación de la cada instante se funda Regla general de las directamente en los pro velocidades variadas, cedimientos del cálculo EDME MARIOTTE (1620-1684) estableció, con Robert Boyle, la ley de como se quiera, a los compresión de los gases; aquí le vemos estudiándola experimentaldiferencial, expuestos y mente. Mariotte publicó también un Tratado de la percusión o choque movimientos por toda aplicados sobre todo en el de los cuerpos, donde refuta la idea de que un movimiento acelerado suerte de curvas, tanto ya citado  Análisis de los lo sea desde el primer instante; proponía en cambio que el cuerpo mecánicas como geoméinfinitamente pequeños, estaba animado de una velocidad muy p equeña, pero finita, ya desde tricas. De donde se  para la comprensión de el principio del movimiento. deduce una vez más las líneas curvas, publiotra manera nueva de cado por L’Hospital en demostrar las caídas París en 1696. “Se pide que se puedan del 5 de julio de 1698. No es ésta sino isócronas en la cicloide invertida.” tomar indiferentemente una u otra de una repetición de su caracterización, En posesión del concepto de velodos cantidades que no difieren entre ahora bajo tres aspectos diferentes, cidad en cada instante, Varignon ellas sino en una cantidad infinita- que privilegian sucesivamente, por utiliza el cálculo leibniziano, válido mente pequeña; o (lo que es igual) que manipulaciones algebraicas, las velo- tanto para los movimientos rectilíuna cantidad que no es aumentada o cidades, los tiempos o los espacios: neos como para los curvilíneos. Al disminuida sino en otra cantidad que “Regla general de las velocidades, poco, en 1700, apoyándose en la cones infinitamente menor que ella pueda de los tiempos, de los espacios ( v = dx/ ceptualización de la fuerza aceleraser considerada como si permaneciera dt o dt = dx/v o dx = vdt ).” dora propuesta por Isaac Newton en la misma.” Lo cual llevó a Varignon a De estas tres fórmulas se sigue, el Lema X de la sección I del Libro I confundir v ± dv con v. Esta velocidad evidentemente, que “cualesquiera que de los  Princ ipios mate máticos de la v   puede entonces ser considerada sean en el presente la velocidad de un  filoso fía natural, Varignon obtiene “como si permaneciera la misma” cuerpo (acelerada, retardada, en una la expresión de la “fuerza aceleradora durante el intervalo de tiempo dt en palabra, variada como se quiera), el en cada instante”, a saber, “  y = d dx /  el transcurso del cual ha sido recorrida espacio recorrido y el tiempo empleado dt 2 o  y = dv/dt”. Enuncia entonces las la longitud dx; en consecuencia, “la en recorrerlo, dadas a discreción dos que llama “Reglas generales de los sola noción de velocidades uniformes” de estas tres cosas, siempre será fácil movimientos rectilíneos” (que geneproporciona inmediatamente la encontrar la tercera por medio de esta ralizará poco después al caso de traexpresión de la velocidad v  en cada regla, incluso en las variaciones más yectorias curvilíneas): v = dx/dt y  y = dv/dt = ddx/dt 2. instante: v = dx/dt. insólitas que se puedan imaginar”. Habiendo caracterizado la velociLa construcción del concepto de Las reglas anteriores nos revelan dad en cada instante, Varignon da  velocidad en cada instan te es, en que los conceptos de velocidad en cada una “Regla general” en su memoria definiti va, resultado de un doble tra- instante y de fuerza aceleradora en

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cada instante pueden ser deducidos uno del otro mediante un cálculo sencillo que se vale de los algoritmos leibnizianos. Por usar las palabras de  Auguste Comte (1798-1857): “Todas las cuestiones relativas a esta teoría preliminar del movimiento variado se redujeron inmediatamente a sencillas investigaciones analíticas, que consistirán o en diferenciaciones o, más frecuentemente, en integraciones.”

de una reconstrucción conceptual que condujo a una reorganización del campo de la ciencia del movimiento en torno a los conceptos de velocidad en cada instante y de fuerza aceleradora en cada instante. Esta reconstrucción conceptual es rica en enseñanzas: al utilizar el nuevo cálculo leibniziano para dar una expresión explícita y operativa al concepto de velocidad en cada instante o, con ligera modernización, de “velocidad instantánea”, Varignon Las ambiciones muestra a contrario  que anteriormente no se podía pensar con eficacia de la física matemática en esta velocidad instantánea. Por l principio de este artículo nos otra parte, desde un punto de vista preguntábamos de qué forma la más general, el trabajo conceptual de conceptualización diferencial de la  Varigno n da testimonio asimismo de ciencia del movimiento había que las matemáticas tienen con la fa vor eci do la reo rga niz aci ón y el física una relación constitutiva: los desarrollo de esta ciencia y permitido nuevos conceptos se engendran por  ven cer las difi cult ades anterio res. su acoplamiento, en este caso los de  Varignon aporta respuestas o, cuando  velocidad en cada instante y de fuerza menos, elementos de respuesta. aceleradora en cada instante. Se aprecia con claridad que la conEsta reconstrucción nos permite ceptualización diferencial de la cien- comprender ahora el extraordinario cia del movimiento a principios del desarrollo de la ciencia del movimiento siglo  XVIII  no es el resultado de una a lo largo del siglo  XVIII; un desarrollo mera transposición, en términos dife- que es resultado, por una parte, de la renciales, de los conceptos y progre- gran generalidad de los dos nuevos sos de la ciencia del movimiento en conceptos introducidos por Varignon la forma en que se expresaban pre- y, por otra, de ser las expresiones de  viamente; es más bien el resultado estos conceptos susceptibles de mutua

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INVESTIGACION Y CIENCIA

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LOGISTA, S.A.

deducción por el juego de procedimientos simples y bien regulados de diferenciación y de integración. La ciencia del movimiento adquirió así carácter algorítmico. La obra de Varignon ha sido olvidada con demasiada frecuencia o, en el mejor de los casos, limitada a sus contribuciones a la estática (el polígono de Varignon permite, sobre todo, describir las fuerzas que se ejercen en los sistemas mecánicos en equilibrio). Pero puede decirse que la obra de  Varignon, caracterizada por su nuevo estilo analítico orientado hacia la obtención de conjuntos de leyes o de reglas regidas por procedimientos algorítmicos (estilo que culminará en 1788 con la mecánica analítica de Joseph Louis Lagrange), abrió la vía definitiva hacia la física matemática de los siglos  XVIII y  XIX .

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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA LA NAISSANCE DELA MÉCANIQUEANALYTI QUE. Michel Blay. Presses Universitaires de France, 1992. LES P RINCIPIA DE N EWTON. Michel Blay. Presses Universitaires de France, 1995.

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El infinito y la lógica de primer orden

Josep Pla i Carrera

 La lógica de primer orden se desenvuelve en medio de una paradoja ante el problema del infinito.  En cierto modo lo alcanza y en cierto modo se le escapa

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l primer tratado matemático  Aquí la palabra “todo” —o su sinó- sión del término “todo” —“todo triánestructurado de forma deduc- nimo “cualquiera”— abarca a la familia gulo”— es infinita, pues hay una tiva a partir de unas nociones de los triángulos. Hay, no obstante, una infinidad de triángulos distintos, pero comunes y de unos postulados claros diferencia notable entre el ejemplo de todos sin excepción poseen la propiedad y precisos, basados en unas definicio-  Aristóteles y los teoremas de Euclides. descrita en el enunciado del teorema. nes de los objetos geométricos, son los La extensión del término “todo” en el Esta diferencia entre la universalidad  Elementos  de Euclides. Vivió éste en silogismo presentado es finita, porque primera (todos los animales) y la unila Alejandría del siglo III a. C., de cuyo se limita a la cifra de animales. En cam-  versalidad segunda (todo triángulo) no celebrado Museo fue miembro sobre- bio, en el teorema geométrico, la exten- es, en absoluto, trivial. saliente.  Aparecen en esa obra dos término s que van a centrar nuestra atención: “todo” e “infinito”. Así, en la última de las nociones comunes de los  Elementos, leemos que “el todo es mayor que la parte”. Aunque la palabra “todo” sea menor —tenga menos letras— que la palabra “parte”, no es a la literalidad de las propias palabras a las que se refiere el enunciado, pues las palabras son signos que tienen un referente semántico distinto de sí mismas. ¿A qué totalidad se refiere la palabra “todo” de la noción común anterior? La respuesta no es simple. La palabra “todo” adquiere un significado especial en la silogística de Aristóteles, recogida en el Organon. Se usa allí como adjetivo, función ésta que aclara la extensión de su predica ción. Consideremos, por ejemplo, el silogismo Todo hombre es animal. Todo griego es hombre.  Luego, todo griego es animal.

El referente de esta argumentación se halla bien definido. “Todo” abarca el conjunto del reino animal. Cumple idéntico papel en los teoremas matemáticos, aunque no siempre aparezca explícito el término. Lo observamos en el siguiente teorema de los  Elementos :  En todo triángulo, dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.

IDEAS DEL INFINITO

PÁGINA INICIAL DE LA PRIMERA IMPRESIÓN de los (Venecia, 1482).

 Eleme ntos  de

Euclides

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 A partir de este hecho se demuestra, utilizando el método de la diagonal, Hay más números reales que es imposible enumerar todos los que cualquier cantidad numerable de ellos números reales (véase el recuadro). Resulta, pues, que hay más números upongamos que los números reales que números naturales. Y sin reales que hay entre 0 y 1 se embargo, hay infinitos de ambos. Lo pudiesen enumerar. Puesto que cada que entraña que existan distintos uno de ellos admite un desarrollo decitipos de infinito. Fue ése sin duda uno mal, se les podría representar como de los hallazgos más notables de una colección infinita del tipo Cantor.  A pesar de que haya distintos tipos 0,  a 11 a 12 a 13 ... a 1n ... de infinito, nos limitaremos a exten0, a 21 a 22 a 23 ... a 2n ... siones infinitas del tipo más simple, 0, a 31 a 32  a 33 ... a 3n ... es decir, a las que no superan la tota lidad de los números naturales. 0, a n 1 a n 2 a n 3 ...  a nn  ... Intentaremos ver qué es lo que, sobre  ellos, podemos expresar con el lenguaje de la lógica formal de la aritméSi la totalidad de los números reales tica, L ar. Veremos hasta qué punto el fuese numerable, todos ellos se hallaGeorg Cantor  lenguaje lógico —de potencia sin par rían en dicha lista. No habría más que (1845-1918) en cuanto lenguaje de la matemáéstos. tica— es pobre y limitado. Consideremos, sin embargo, el Euclides nos ofrece también en los número real siguiente: uno de los números de la lista anterior,   un teorema de aritmética  Elementos porque difiere de cada uno de ellos en de gran alcance. Dice así: “Hay más 0, b 1b 2b 3b 4b 5...b n ..., el término del desarrollo decimal que números primos que cualquier cantise halla en la diagonal. En consecuendad propuesta de números primos”; construido de la forma siguiente: b i =1, cia, la lista anterior no contiene todos expresado de otro modo: “el conjunto si a ii  ≠ 1 y, en cambio, b i  = 2, si a ii  = 1. los números. Luego hay más números de los números primos es infinito”. Se Obtenemos entonces un nuevo reales que cualquier cantidad numeencierran en esa expresión dos hechos número real que difiere de todos y cada rable de ellos. muy ilustrativos. En primer lugar, se observa que el teorema está enunciado de forma tal, que no se requie re aludir  Veamos por qué. Leemos en el libro mediante frases finitas elaboradas a al infinito en acto, respetándose así la del Génesis (2, 19-20) que, al princi- partir de un número finito de letras limitación aristotélica según la cual, pio de la existencia del hombre, Dios y otros signos, cuales son el espacio en matemáticas, sólo es aceptable el hizo pasar ante éste todos los anima- en blanco, la coma, el punto, etc. La infinito en potencia o infinito sincateles salvajes y todas las aves para que pregunta se transforma así en esta goremático. les pusiera nombre. Con ello se le otra: ¿cuántas palabras podemos Mucho más curioso es el segundo reconoce su capacidad de generar generar? hecho. El conjunto de los números suficientes nombres para designar, La teoría de conjuntos de Georg primos es una parte propia —distinta de forma singular e independiente, Cantor establece que podemos generar del total— del conjunto de los númetodas y cada una de las criaturas. Se tantas palabras cuantos números ros naturales. Sin embargo ambas, la supone, en ese contexto, que en la naturales hay. Dicho de otra manera, parte y la totalidad, son infinitas. De naturaleza hay una cantidad finita las frases que podemos formar con acuerdo, pues, con la noción común de seres. Alguien podría cuestionar nuestros símbolos lingüístico s se pue- de Euclides, el todo debería ser mayor tal aserto y aludir a una posible infi- den enumerar. Ahora bien, no pode- que la parte. ¿Es posible que haya nitud de la naturaleza. Podríamos mos generar tantas palabras como tantos números primos cuantos  númepreguntarnos, cual nuevos Arquíme- triángulos, porque no podemos gene- ros naturales? des, cuántos granos de arena, partí- rar tantas palabras como números El primer estudioso que se dio culas elementales o quark hay en el reales. En definitiva, no podemos cuenta de lo absurdo —lo paradójico— cosmos. designar, una a una, todas y cada una de esta situación fue Galileo Galilei, Pero la verdad es que aquí no nos de las cosas que somos capaces de quien, en sus Consideraciones y importa tanto saber si existe o no una pensar. demostraciones matemáticas sobre dos infinidad de entes reales, cuanto Richard Dedekind (1831-1916), en nuevas ciencias (1638), establece la determinar si podemos dar nombre la proposición 66 de su obra Was sind siguiente correspondencia: a todo lo que podemos pensar. Más und was sollen die Zahlen?   (1887), en concreto: ¿podemos nombrar todos demuestra que existe un conjunto 1 2 3 4 5 ... n  n  +1 ... los números naturales? ¿Podemos infinito apoyándose, precisamente, en nombrar de forma individualizada que el ser humano puede generar una 1 4 9 16 25 ... n 2 (n  +1) 2 ... todos los triángulos distintos del infinidad de ideas. Pero podemos refeplano? rirnos, de golpe, a todas ellas usando La respuesta a estas preguntas nos la palabra “todo” que, siendo como es Este ejemplo, aun cuando pueda lleva al infinito actual, una cuestión finita, introduce el infinito en acto. parecer paradójico, plantea, cuando nada sencilla. Nuestro lenguaje,  Así podemos afirmar que “todo número tratamos con infinitos actuales, una medio del que nos valemos para gene- real admite una expresión decimal cuestión que debemos aclarar. Cuando rar nombres de objetos, se articula única”. decimos que “el todo es mayor que la

S

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TEMAS 23

parte”, ¿qué se entiende por “mayor”? Para determinarlo viene en nuestra ayuda Cantor y su noción de equipotencia, avanzada en sus contribuciones al fundamento de la teoría de los números transfinitos ( Beiträge zur  Beg rün dung der tra nsfiniten Men  gele hre ): “ Dos conjuntos  A y  B  son equipotentes —tienen la misma cantidad de elementos— cuando es posible —como en el ejemplo de Galileo— establecer una correspondencia entre los elementos de A y los elementos de  B  tal que a cada uno de los elementos del conjunto A corresponda un elemento y uno sólo del conjunto  B y, recíprocamente, cada elemento del conjunto B se corresponda con uno y uno sólo de los elementos del con junto  A.”

 Ante dos conjuntos  A  y  B  equipo-  junt o es infin ito cuando posee una tentes no podemos, según Cantor, parte propia que le es equipotente”. decir que uno de ellos sea mayor que De la noción de equipotencia parte el otro. Por tanto no se cumple en Cantor para descubrir diferencias este caso la noción común de entre conjuntos infinitos. Dos conjunEuclides; y falla porque hemos al fin tos infinitos son distintos —uno es precisado qué debe entenderse por mayor que el otro— cuando no “mayor”, por “menor” y por “igual” podemos establecer una correspondenentre conjuntos de objetos reales o cia uno a uno entre ellos y, sin ideales. Resulta que hay partes de embargo, uno de ellos contiene al otro. conjuntos que no son menores que  Ahora bien, dos partes infinitas y disel todo, sino que son iguale s al todo tintas del conjunto de los números en potencia. Tienen la misma canti- naturales presentan siempre la dad de elementos porque se puede misma cantidad de elementos, son establecer entre ellos una correspon- siempre equipotentes. Ofrecen, pues, dencia uno a uno. el mismo tipo de infinitud. Ambas son Dedekind utiliza esta idea para numerables, que es precisamente el establecer precisamente cuándo pode- tipo de infinitud del conjunto entero. mos decir que un conjunto es infinito.  Así pues, el conjunto de los cuadrados Literalmente nos dice que “un con- de los números naturales, el de los

Infinitos son todos los números, infinitos los cuadrados, infinitas sus raíces... otro lado, cuadrado que tenga más tipo de dificultades de una raíz ni raíz con más de un proviene de los razonamientos que cuadrado. hacemos con nuestro entendimiento SIMPLICIO.  Así es. finito al tratar con los infinitos, otorSALVIATI.  Pero si pregunto cuántas gándoles los mismos atributos que raíces hay, no se puede negar que damos a las cosas finitas y limitahaya tantas como números, ya que das, lo cual pienso que es improno hay ningún número que no sea cedente puesto que creo que las raíz de algún cuadrado. Estando así propiedades de mayor, menor e las cosas, habrá que decir que hay igual no convienen a los infinitos de tantos números cuadrados como los que no se puede decir que uno números, ya que son tantos como es mayor, menor o igual a otro. sus raíces, y las raíces son todos Como prueba de ello, me viene a los números. Decíamos al principio, la memoria un argumento que prosin embargo, que todos los números pondré para ser más claro bajo la son muchos más que todos los cuaforma de interrogaciones al señor drados, puesto que la mayoría de Simplicio, que ha sido quien ha ellos no son cuadrados. Incluso el puesto la dificultad. número de cuadrados va disminuSupongo que sabéis perfectamente yendo siempre a medida que nos cuáles son los números cuadrados Galileo Galilei (1564-1642) acercamos a números más grandes, y los no cuadrados. ya que hasta cien hay diez números SIMPLICIO.  Sé perfectamente que cuadrados, que es tanto como decir un número cuadrado es el que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo; así, cua- que sólo la décima parte son cuadrados; y en diez mil tro, nueve, etc. son números cuadrados, engendrados el sólo la centésima par te son cuadrados, mientras que en uno por el número dos y el otro por el número tres al mul- un millón la cifra ha descendido a la milésima parte. Con todo, en un número infinito, si pudiéramos concebirlo, tiplicarse por sí mismos. habría que decir que hay tantos cuadrados como números SALVIATI.  Muy bien. Sabéis también que así como los productos se llaman cuadrados, los que los producen, es en total. decir, los números que se multiplican, se llaman lados o SAGREDO. En este caso, ¿qué es lo que se deduce? raíces. En cuanto a los números que no son engendrados SALVIATI. Yo no veo que haya otra cosa que decir si no es que infinitos son todos los números, infinitos los cuadrados, por la multiplicación de un número por sí mismo, no son, infinitas sus raíce s; la multitud de los cuadrados no es menor naturalmente, cuadrados. Por tanto, si yo digo que todos los números, incluyendo cuadrados y no cuadrados, son que la de todos los números, ni ésta mayor que aquélla; y más que los cuadrados solos, enunciaré una proposición finalmente, los atributos de mayor, menor e igual no se aplican a los infinitos, sino sólo a las cantidades finitas verdadera, ¿no es verdad? [terminate ]. [...] SIMPLICIO.  Evidentemente. SALVIATI.  Si continúo preguntando cuántos son los números cuadrados, se puede responder con certeza que son Galileo Galilei, Consideraciones y demostraciones matemá-  tantos cuantas raíces tengan, teniendo presente que todo ticas sobre dos nuevas ciencias , 108-109. Editora Nacional, Madrid. cuadrado tiene su raíz y toda raíz su cuadrado; no hay, por SALVIATI.  Este

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3 > 2;

Hay más números primos que cualquier cantidad finita de ellos

C

onsideremos una cantidad finita de números p 1, ..., p n . Sea ahora N  el número natural que se obtiene multiplicando los números p 1, ..., p n  y añadiéndoles una unidad. Es decir, sea N = p 1 ... p n + 1. Este número N  es mayor que cada uno de los números p 1, ..., p n . Si es primo, tenemos un número primo distinto de los p 1, ..., p n . Si es compuesto, tendrá un divisor primo q  que deberá ser distinto de los números primos p 1, ..., p n , con lo cual tenemos un número primo distinto de los números primos p 1, ..., p n , que es lo que queríamos demostrar.

números primos, el de los múltiplos indicar que n ∈ R. Esta expresión, ¿es de 13, etcétera, son, todos ellos, con- aritmética? Es decir, ¿existe un  juntos numerables. número natural ρ ∈  tal que R = Aρ? Cabe preguntarse: ¿cuántos conjun- De ser así, obtendríamos una contos numerables hay? Es decir, ¿cuán- tradicción: tos subconjuntos infinitos de hay? ρ ∈ R si, y solamente si, ρ ∈ Aρ Desde Cantor se responde que hay tantos subconjuntos infinitos de ρ ∈ R si, y solamente si, ρ ∉ Aρ. como números reales, pero el conjunto de los números reales es mayor —e Esto es equivalente a decir que incluso mucho mayor— que el conjunto  Pρ ( ρ ) es falso si, y solamente si, es de los números naturales.  verda dero. De todo lo cual resulta que la expresión “ n es un número natural richarEl poder expresivo diano” es una expresión que carece del lenguaje formal de referente semántico. Y en ello difiere por completo de las anteriores onsideremos la paradoja de Richard expresiones aritméticas. ¿Cómo podey la potencia expresiva del len- mos evitar esta paradoja lingüísguaje lógico L ar. Consideremos todas tica? las expresiones aritméticas monádiLa respuesta es fácil. Hay que recas que se pueden formar en español. currir al lenguaje formal L ar. Dicho Por ejemplo, lenguaje consta de

C

 x es un número primo;  x es igual a tres;  x es múltiplo de dos;  x es un cuadrado perfecto; etcétera.

Como ya hemos indicado, sólo habrá una cantidad numerable de expresiones de este tipo. Enumerémoslas. Dispondremos de una familia numerable de predicados del tipo Pn (x). Para cada expresión  Pn (x) , disponemos de un cierto subconjunto  An de , definido

por

 An = {k ∈ : Pn (k) es verdadero}.

 Ah or a po de mo s co ns id er ar el siguiente subconjunto R de : n ∈ R si, y solamente si, Pn (n) es falso.

En otras palabras: n ∈ R si, y solamente si, n  ∉ A n. Ahora podemos introducir la siguiente expresión, referida a los números naturales: n es un número natural richardiano, para

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– las variables x, y, z, ...; – la constante 0; – el símbolo funcional monádico s; – los símbolos funcionales binarios +, .; – el símbolo relacional binario <; – los conectivos lógicos ¬, ^, ∨, →, ↔; – los cuantificadores ∀, ∃; – los signos auxiliares (), [], {}, ...; – la igualdad =.

∃ x∀ y∀ z ( x = y × z → ( y = x ∨ z = x));  x > 5; etc.

Expresiones como ∃ y ( x = 2 + s y ); ∃ y ( x = 3 × y ); ∃ z∃ y (( z = 0 ^ y = 0) → x = y2 + z2);

etc.

son particularmente interesantes puesto que, interpretadas en el conjunto de los números naturales, definen —como antes lo hacían las expresiones aritméticas— subconjuntos de . La primera, por ejemplo, define el conjunto { n ∈ : n > 2}; el segundo, el conjunto de los múltiplos de tres; el tercero, el conjunto de los números naturales que son la suma de dos cuadrados no nulos, es decir, el conjunto {2,5,8, 10,13, ...}. Obviamente, podríamos introducir muchísimas más expresiones formales que definiesen subconjuntos de .  Aho ra bie n, sól o dis ponem os de una cantidad numerable de expresiones formales de ese tenor con la  var iable lib re  x , es decir, expresiones del tipo ϕ ( x ), puesto que el lenguaje L ar  es numerable, ya que tiene una cantidad numerable de variables x ,  y ,  z , ... En consecuencia, con el lenguaje formal L ar  sólo podemos describir una cantidad numerable de subconjuntos de . Y puesto que hay muchísimos más subconjuntos de , cabe preguntarse si se puede presentar algún subconjunto de no definible formalmente. Se puede. Enumeramos todas las fórmulas con la variable libre  x . Tendremos la

familia de fórmulas {ϕ1( x), ϕ2( x), ϕ3( x),..., ϕn( x), ϕn+1( x),...}.

La fórmula ϕn( x) define el subconEl significado de estos símbolos es  junto  An de de la forma siguiente: claro: s formaliza la función de “paso al siguiente número natural”; +, ., las  An ={ n ∈ : ϕn(n) es verdadera leída en }. operaciones de sumar y multiplicar, respectivamente; <, “es menor que”;  Aho ra podem os co nsi derar el cor¬, ^, ∨, →, ↔, las expresiones “no”, respondiente conjunto de Dedekind: “y”, “o”, “si, entonces”, “si, y solamente  R = { n ∈ : n ∉ A n}. Este conjunto no si”, respectivamente; y, por fin, ∀, ∃, puede ser definido por ninguna los cuantificadores “para todo” y fórmula ϕ ( x ) porque, si lo fuera, “existe un”. Nos valemos de esos sím-  vol veríamos a caer en una paradoja, bolos para expresar formalmente que pues a dicha fórmula le corresponde“tres es mayor que dos”, “existe un ría cierto número. Así conseguimos número primo”, “ x es mayor que 5” y un subconjunto de que no es otras frases parecidas. Mas si escri- alcanzable con nuestro lenguaje bimos 1  en vez de s0 , 2  en vez de formal L ar . Este conjunto es abson) ss0 , ..., n en vez de ss ... ss0, entonces lutamente complejo. ¡No sabemos estas mismas frases se convierten en qué números naturales le pertenelas fórmulas: cen y cuáles no!

TEMAS 23

Los conjuntos decidibles

S

e abre así un nuevo frente de reflexión. ¿Acaso lo más importante de un conjunto no es disponer de un algoritmo decisor que nos diga si un elemento dado le pertenece o no? Y más aún, ¿los conjuntos que poseen un algoritmo decisor son descriptibles con el lenguaje formal L  ? ar Disponer de un algoritmo que efectúe algún tipo de proceso significa disponer de una máquina de Turing —así llamada en honor de Alan Tu ring— que lo efectúe. Por consiguiente, disponer de un algoritmo que nos diga si un número n pertenece o no a un subconjunto A  de , equivale a disponer de una máquina de Turing que, cuando recibe la entrada de n, dé como salida sí, cuando n ∈ A, y no, cuando n ∉ A . ¿Es lo mismo disponer del algoritmo anterior que disponer de un algoritmo que vaya generando los elementos del conjunto A ? La respuesta es ahora negativa. Con un algoritmo generador no se garantiza el conocimiento absoluto del conjunto A  y, por tanto, no disponemos de un algoritmo decisor. Para que un conjunto sea manejable necesitamos un algoritmo decisor o, por lo menos, un algoritmo generador. Los conjuntos que admiten un algoritmo decisor se llaman conjuntos recursivos; los que admiten un algoritmo generador, recursivamente enumerables. Todo conjunto recursivo es recursivamente enumerable, pero no es cierto el recíproco. Unos y otros pueden describirse utilizando el lenguaje formal L ar . Nosotros, sin embargo, nos limitaremos a los con juntos con algoritmo decisor, es decir, los recursivos.

El poder expresivo sintáctico del lenguaje formal

L

a descripción que hemos dado de subconjunt os de —mediante fórmulas ϕ ( x) y el conjunto — pertenece al ámbito de la semántica, pues apela al significado que adquieren los símbolos formales del lenguaje aritmético en el conjunto . Pero la matemática prefiere desen volverse en el dominio de la sintaxis, de la vinculación entre premisas y conclusiones, donde la verdad de un aserto nos la da una demostración formal en el seno de una teoría formal. La que ahora nos interesa es la teoría P de Peano, denominada así en homenaje a Giuseppe Peano (véase el recua-

IDEAS DEL INFINITO

Postulado de Peano 1. 1 ∈ . 2. ∀a ∈ (a = a ). 3. ∀a, b ∈ (a = b ↔ b = a ). 4. ∀a,b,c  ∈ ((a = b ^ b = c ) → a = c ). 5. ∀a ∀b ((a = b ^ a ∈ ) → b ∈ ). 6. ∀a ∈ (a +1 ∈ ). 7. ∀a ∀b (a = b ↔ a + 1 = b +1). 8. ∀a (a + 1 ≠ 1). 9. Para cada fórmula ϕ (x ), {ϕ (0) ^ ∀a (ϕ (a )

Giuseppe Peano (1858-1932)

→ ϕ (a +1))} → ∀a ϕ (a ).

Nota: De

hecho Peano formula el postulado usando subconjuntos de , con lo cual se aleja del lenguaje de primer orden.

dro de arriba ). Con los postulados de fiesto que la mayoría de los subconPeano podemos definir sintáctica-  jun tos de no son decidib les. Y, si mente un subconjunto A de . Decimos son no decidibles, se trata de conque A es definible sintácticamente si,  jun tos harto com plej os y poco maney solamente si, existe una fórmula  jab les . ϕ ( x) tal que  Al resultado de marras llegó Göde l en sus investigaciones para demostrar si n ∈ A, entonces ϕ (n) es un P-teorema; que una teoría formal reconocible si n ∉ A, entonces ¬ϕ (n) es un P-teorema. —con un algoritmo para decidir qué fórmulas son postulados de la teoría Pues bien, Kurt Gödel (1906-1982) P y cuáles no—, si además contiene a establecería en 1934 que un conjunto la aritmética de Peano, es indecidible. es definible sintácticamente si, y sólo Esto es, hay una sentencia aritmética si, admite un algoritmo decisor. Con σ tal que ni σ, ni ¬σ son P-demostrables. lo cual resulta que los conjuntos Este es el famoso teorema de incomdecidibles algorítmicamente se pue- pletitud. den describir en el lenguaje aritLo hasta aquí expuesto basta para mético L ar . Mas al haber sólo una  ver hasta qué punto la lógica de pricantidad numerable de fórmulas del mer orden puede alcanzar el infinito tipo ϕ ( x ) y, en cambio, una infinidad y hasta qué punto éste se le escapa, más que numerable de subconjuntos que es precisamente lo que pretendíade , ese resultado pone de mani- mos poner de manifiesto.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

EL ARENARIO. Arquímedes en Científicos griegos, II. Ed. Aguilar; Madrid, 1960. FORMALE LOGIK. I. M. Bochenski. Edición española de Millán Bravo Lozano,  Historia  formal de la lógica. Editorial Gredos; Madrid, 1968.

ARITHMETICES PRINCIPIA NOVA METHODUS EXPOSITA (1889). Giuseppe Peano. Traducción castellana José Peano, Los Principios de la Aritmética. Clásicos Basilisco; Oviedo, 1979.

ÜBER F ORMAL U NENTSCHEIDBARE S ÄTZE DER P RINCIPIA M ATHEMATICA UND VERWANDTER SYSTEME I . Kurt Gödel. Traducción castellana en  Kurt Gödel. Obras completas. Alianza Editorial; Madrid, 1981.

ON UNDECIDABLE PROPOSITIONS OF FORMAL MATHEMATICAL SYSTEMS. Kurt Gödel. Traducción castellana en Kurt Gödel. Obras completas. Alianza Editorial; Madrid, 1981.

DISCORSI E DIMOSTRAZIONE MATEMATICHE SU DUE NUOVE SCIENZE (1638). Galileo Galilei. Traducción castellana en Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas ciencias. Editora Nacional; Madrid, 1981 . ELEMENTOS. Euclides, Libros I-IV. Biblioteca Clásica Gredos. Editorial Gredos; Madrid, 1991. ORGANON, ANALÍTICOS PRIMEROS . Aristóteles. Biblioteca Clásica Gredos. Editorial Gredos; Madrid, 1995. FÍSICA . Aristóteles. Biblioteca Clásica Gredos. Editorial Gredos; Madrid, 1995.

CONTRIBUTIONS TO THE FOUNDING OF THE THEORY OF TRANSFINITE NUMBERS (1895-1897). Georg Cantor. Dover Publications; Nueva York, 1995.

WAS SIND UND WAS SOLLEN DIE ZAHLEN? (1887). Richard Dedekind. Traducción castellana  Richard Dedekind. ¿Qué son y para qué sirven los números? Alianza Editorial; Madrid, 1998.

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Historia del signo infinito

Maria Reményi

 El concepto de infinito resultó incómodo a los matemáticos  durante dos mil años. John Wallis introdujo un símbolo que los liberó de discusiones filosóficas

E

l cálculo diferencial nació en mejor formular las hipótesis y las nito no aparecía con carácter de Europa en el siglo  XVII ; su demostraciones y de obtener conclu- término matemático. Euclides, por sagaz formalismo permitía la siones precisas. ejemplo, no dice: “existe una cantidad manipulación de cantidades infiniUna de las dificultades consistía en infinita de números primos”, sino tesimales. Siendo lo infinitamente descubrir todo lo que oculta la palabra “existe una cantidad de números prigrande recíproco de lo infinitamente infinito. Aristóteles (–384 a –322) hizo mos mayor que cualquier cantidad pequeño, era forzoso que ese mismo los primeros progresos. La palabra dada”. siglo viese la aparición del símbolo ∞. apeiron  que utilizaba este filósofo Fue el matemático británico John griego se caracterizaba ya en la época Reflexión metafísica Wallis (1616-1703) el primero en abre- presocrática por la multitud de sus  viar el concepto de “infinito” mediante sentidos. Significaba sin límite, indeeste símbolo. John Wallis contribuyó finido, inconcebiblemente grande, n la Edad Media, era de oscurimucho al desarrollo de las matemáti- pero designaba también, con una condad para las ciencias, las reflexiocas de su época, tanto en lo referente notación negativa, el caos del que nes sobre la naturaleza del infinito al contenido como a la forma. nació el mundo. No fue hasta el prin- eran esencialmente metafísicas. Las ciencias tenían verdadera nece- cipio de nuestra era cuando “el infi-  Algunas, de todos modos, pueden ser sidad de este progreso conceptual nito” fue identificado con el “Uno” interpretadas como la preparación de para seguir avanzando. La polémica divino. Para Aristóteles el vocablo las consideraciones matemáticas del sobre el sentido que se debe conferir “infinito” estaba asociado a la expre- cálculo infinitesimal del siglo  XVII. Tal a la palabra “infinito” iba a durar sión de la imperfección. es el caso de las reflexiones sobre el hasta nuestros días. A decir verdad, La precisión que Aristóteles aportó infinito actual y el potencial del teólos matemáticos, los filósofos y los al uso de esta palabra, al distinguir logo alemán Nicolás de Cusa (1401teólogos llevaban dos mil años pole- entre infinito actual e infinito poten- 1464). Johannes Kepler (1571-1630) mizando, situación que no tenía más cial, revistió una importancia decisiva se inspiró en ellas, por ejemplo, cuando que inconvenientes. La literatura para todas las discusiones matemáti- abandonó los métodos antiguos para matemática de siglos pasados era, al cas futuras. Un proceso que se repite el cálculo de superficies. menos en primera lectura, más acce- sin fin, como por ejemplo, la producFrancesco Bonaventura Cavalieri sible que en nuestros días; sus autores ción de números naturales por la regla (1598-1647) fue el primero en adoptar se servían de la lengua escrita común “proseguir siempre la numeración”, respecto del infinito una posición que para la descripción de los objetos y no es más que potencialmente infinito, pudiéramos considerar moderna, a las relaciones matemáticas. El len- porque en cada etapa del proceso saber: que las magnitudes infinitas y guaje moderno basado en fórmulas existe tan sólo un número finito de las magnitudes finitas están goberconstituye para muchos profanos un objetos. Por el contrario, un conjunto nadas por leyes diferentes. En su obstáculo insuperable, que contribuye de tamaño infinito, que existe de una método de los indivisibles se preocupó por ello a la impopularidad general  vez por todas, corresponde a un infi- menos de especulaciones filosóficas de la disciplina matemática. Tal for- nito actual. que de hallar un método de resolución mulismo no se debe a una necesidad Señalemos que la matemática de su problema. Para lograrlo elude de conservación cabalística de los griega utilizaba subrepticiamente con gran sagacidad las dificultades secretos matemáticos. La historia de métodos infinitesimales (por ejemplo, que se presentaban en el cálculo de la las ciencias hace ver que la ambición el llamado método de exhaustión) suma de un número infinito de cantide resolver problemas concretos favo- para el cálculo de longitudes de cur- dades. rece la introducción de símbolos y de  vas o el de á reas de superficies limiJohn Wallis, entre otras contribuabreviaturas, con el propósito de tadas por líneas curvas, pero el infi- ciones, prosiguió el desarrollo de los

E

m 1. SE CREE QUE EL SIGNO DE INFINITO fue creado en el siglo  XVI por el matemático británico John Wallis a partir de una versión cursiva de la m (o  M  ) latina, es decir, del número

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1000 en cifras romanas. ¿Cabe en lo posible que Wallis también hubiera pensado en la curva de igual forma (la lemniscata), que se recorre sin fin?

TEMAS 23

métodos de Cavalieri. Tras sus estu- una escritura cursiva utilizada para dios superiores, que no estuvieron denotar 1000 en la numeración romana ciertamente marcados por una intensa y, por extensión, “un número muy actividad matemática, fue ordenado grande”. Un contemporáneo de Wallis, sacerdote en Londres. Durante este el matemático y filósofo holandés período participó en los preparativos Bernhard Nieuwentijt, utiliza por su de la fundación de la Regia Sociedad. parte el símbolo “m” en su  Analysis En 1643, durante la guerra que infinitorum de 1695. El signo m, un enfrentaba a los realistas y a los par- símbolo cercano al futuro ∞, designa lamentaristas, se distinguió al desci- en dicha obra al infinito. Posiblemente frar brillantemente informaciones Wallis pensó también que el bucle que secretas. Cuando Wallis fue nombrado presenta el símbolo ∞ hacía pensar profesor de geometría en Oxford no lo en lo infinito, ya que puede ser refue atendiendo a sus hazañas mate- corrido sin fin. máticas, sino probablemente como En todo caso, la aparición del símresultado sobre todo de sus activida- bolo ∞ contribuyó vigorosamente a des políticas. la modernización, ya en curso, de las Pero la estimación con la que Wallis matemáticas. En período finisecular era apreciado en el mundo científico del  XVII, Isaac Newton (1642-1727) y era merecida. En nuestros días se le Gottfried Wilhelm Leibniz (1646considera uno de los pioneros que 1716) organizaron en una auténtica abrieron la vía del cálculo infinitesi- teoría los conocimientos dispersos mal y como el más eminente precursor sobre cálculo diferencial e integral. de Newton, que fue influido por la Todo estaba listo para que el símbolo principal de las obras de Wallis, la fuera cada vez más utilizado. Viose  Arithmetica infinitorum  (1656). Ante- cada vez con mayor frecuencia a prinriormente sus trabajos se habían cipios del siglo  XVIII  en la literatura orientado hacia las secciones cónicas matemática y filosófica; estuvo no ( De sectio nibus conicis , 1655), obra pocas veces asociado a la noción de lo en la que abandonaba el tratamiento infinitamente pequeño, porque el siggeométrico puro, propio de la mate- nificado y la admisibilidad de esta mática griega, para considerar las noción en el cálculo infinitesimal secciones cónicas como curvas lisas, entonces en curso de desarrollo plancuyas ecuaciones algebraicas estable- teaba un problema tanto matemático ció. De tales ecuaciones dedujo las como filosófico. Tras los trabajos de propiedades de las secciones cónicas Leonhardt Euler (1707-1783), el signo por métodos analíticos puros, sin ape- ∞ se convirtió, en la segunda mitad lar a razonamientos geométricos. del siglo  XVIII , en un elemento permaParticipó así en uno de los desarrollos nente del simbolismo matemático. esenciales de la historia de las mate- Euler, contrariamente a Newton y a máticas: la algebrización de la geo- Leibniz, rechazaba de plano las jusmetría. tificaciones metafísicas de las magniDesde el principio de estos trabajos tudes infinitamente pequeñas y adoptó Wallis propuso una modificación del por fin un punto de vista estrictamétodo de los indivisibles de Cavalieri. mente formal. Mientras que Cavalieri dividía las La teoría de las cantidades infinisuperficies en un número infinito de tesimales, cuyas bases seguían segmentos, Wallis las descomponía siendo vacilantes, fue muy perfecen un número infinito de paralelogra- cionada a lo largo del siglo  XIX  mermos de igual tamaño, tamaño que era ced al proceso de paso al límite y de “una fracción infinitamente pequeña, las nociones de continuidad y de conigual a 1/ ∞  de la superficie total,  ve rg en ci a. Apar ec ía po r fi n un a designando el símbolo ∞   el infi- teoría rigurosa del cálculo diferennito”. cial e integral, que respondía a las exigencias formales y lógicas de las matemáticas. De M al signo infinito En el siglo  XIX  el símbolo ∞ sirvió, lo mismo que hoy, para describir proor qué eligió Wallis esta repre- cesos de paso al límite, especialmente sentación? Es evidente que no en sucesiones y series. Denotaba un se puede aportar a esta cuestión más infinito potencial, en el sentido de que una respuesta especulativa.  Aristóteles. Pero Georg Cantor (1845Mucho antes de comenzar sus activi- 1918), fundador de la teoría de condades matemáticas Wallis se había  juntos y, por ende, de la teoría moderna logrado nombradía como filólogo; es del infinito, prefirió distinguir probable que supiera que el símbolo mediante símbolos diferentes los dos tipos de infinito. Designó al primer ∞ designaba una ligatura latina de m aparecida en el siglo  VII, es decir, número transfinito (un infinito actual)

¿P

IDEAS DEL INFINITO

2. EL BRITÁNICO John Wallis contribuyó a la algebrización de la geometría. Fue el primero en utilizar el símbolo ∞ para describir paralelogramos infinitamente pequeños.

3. EL SIGNO ∞ no tardó en ser utilizado fuera de las matemáticas para simbolizar el infinito. He aquí un naipe de un antiguo juego de tarot.

por la primera letra del alfabeto hebreo, aleph. El empleo de este nuevo signo para denotar lo infinito sólo resulta arbitrario a primera vista, pues desde 1700 el símbolo ∞  fue empleado también fuera de las matemáticas y de la filosofía, con el fin de simbolizar lo infinito o la eternidad. Hizo su aparición en la carta del ta rot, donde es llamado El Mentiroso o El Mago. Y resulta que el signo cabalístico que fue asociado a esta carta fue la letra hebrea aleph .

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La perspectiva  y el infinito geométrico

Jean-Pierre Le Goff 

 En el siglo  XVII  , gracias a la geometría proyectiva, el infinito geométrico se hace perceptible y adquiere una “dimensión”  humana. El infinito potencial de los filósofos se convierte en el infinito actual de los geómetras

P

ara los filósofos y para los geómetras de la Grecia antigua el infinito no tenía una existencia auténtica. Recibía la consideración de un infinito “potencial”, accesible en potencia. Aristóteles, por ejemplo, imponía una visión geocéntrica y “finitista” del cosmos, limitada por la esfera de las estrellas fijas, una especie de bóveda celeste que portaría las estrellas y señalaría los confines del mundo con la nada exterior. La geometría euclídea reconocía e integraba el infinito potencial en este contexto, pero se detenía en los ribazos del infinito “actual”. El infinito inspiraba por aquel entonces desconfianza y circunspección a los geómetras y a sus compatriotas griegos, porque su uso inmoderado o poco atento desemboca en contradicciones. Un objeto elemental tomado de la geometría de Euclides, una “línea recta”, servirá de ilustración a estas contradicciones. Euclides la define como la extensión más “económica” entre un punto y otro. Tal recta, por otra parte, se asemeja más al moderno “segmento” que a lo que un matemático de hoy llama “recta”, con la sal vedad de que, para Euclides y para sus seguidores hasta el siglo  XVII, esta “recta” se puede prolongar cuanto sea necesario para las necesidades de una construcción o de una demostración (por ejemplo, en una figura en la que se trate de determinar el punto donde concurren dos rectas no paralelas). Una “superficie plana” está igualmente limitada por un contorno cerrado; un segmento de parábola, por

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ejemplo, está limitado por la curva y por una de sus cuerdas. Lo mismo vale para un cuerpo o un sólido, volumen finito limitado por una o por varias superficies. La línea recta, el plano y los sólidos de los geómetras estrictamente euclidianos son pues finitos, aunque prolongables a voluntad; no son en cambio soportes rectilíneos, planos o volumétricos de un espacio entendido como infinitamente extenso de entrada.

Del infinito prolongable al infinito sin más

E

l llamado quinto postulado de Euclides, contenido en el Libro I de sus Elementos, fue objeto de polémicas ya desde entonces. Los postulados son proposiciones no demostradas y éste en concreto enuncia que si una secante corta a dos rectas, formando ángulos internos situados a un mismo lado de la secante y cuya suma sea menor que dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente (es decir, tanto como sea necesario), se cortarán en el mismo lado en que se encuentran los ángulos de suma menor que dos rectos. Una versión moderna equivalente de este postulado afirma que, dado un punto exterior a una recta en el plano, por él pasa una paralela a la recta y solamente una. Se suscitó la cuestión siguiente: ¿no sería posible demostrar el quinto postulado a partir de los otros postulados y proposiciones de los Elemen tos ? Las primeras ten-

tativas se fundaron en la prolongación indefinida de las rectas, es decir, en su prolongación potencialmente infinita con conservación de la alineación.  Actualmente se sabe que tales tentativas eran vanas: el quinto postulado de Euclides no puede ser demostrado mediante los demás. También se sabe que esta aventura de las paralelas conduce a la creación de tres tipos de geometrías. Una de ellas, la llamada euclídea, admite el postulado como un axioma. Las otras dos, que se denominan “no euclídeas”, fueron concebidas a finales del siglo  XIX  y adoptan como axioma una de las dos formas que puede tener su negación. La geometría hiperbólica toma como principio que por un punto pasa más de una paralela a una recta dada (y, en consecuencia, se demuestra que pasan por él una infinidad). La geometría elíptica, por su parte, postula que por un punto tal no pasa ninguna paralela a la recta dada. Menos sabido es, sin embargo, que el descubrimiento de las geometrías no euclídeas no fue posible sino tras la aparición de la geometría proyectiva, que habría de servir de marco general a todas ellas. Y que dicha geometría proyectiva nació en el siglo  XVII  como resultado de la conjunción de la ciencia de la perspectiva, fruto a su vez de la geometría práctica, y de la teoría de cónicas de Euclides y, sobre todo, de Apolonio de Pérgamo (262?-180?). Para decirlo brevemente, fueron la invención de la perspectiva central y sus prolongaciones geomé-

TEMAS 23

tricas las que hicieron posible la La perspectiva lineal consiste en irrupción y la consideración desapa- proyectar sobre el plano del cuadro sionada en la geometría euclídea de los rayos rectilíneos e imaginarios que elementos situados en el infinito  van desde el obj eto a repr esentar ( véase la figura 3 ), así como la pos- hasta el ojo del artista o del observaterior invención de un marco geomé- dor, imaginado como un punto. Los trico que permitiera la consideración matemáticos la denominan también de otros sistemas de axiomas y de sus perspectiva central o proyección consecuencias últimas. cónica. El ojo constituye el centro ( O) La evolución de las ideas sobre el de esta proyección y todos los rayos infinito geométrico hubo de pasar por que salgan de puntos situados en el el problema de la perspectiva, es decir, contorno del objeto y que pasen por O por la representación en un plano de forman un cono que tiene a O como la tercera dimensión. Un momento  vértice. seminal y decisivo para esta cuestión Un conjunto de rectas paralelas fue la invención de la “perspectiva situadas en el espacio se proyecta en lineal” en el Renacimiento. el plano del cuadro mediante la perspectiva lineal como otro conjunto de rectas, que en ocasiones también son Una invención paralelas (si lo son al plano del cuadel Quattrocento: dro), pero que en general son conla perspectiva central currentes. Tomemos como ejemplo un haz de rectas paralelas entre sí y perue mediante ella como logró su pendiculares al plano del cuadro, traprimera representación en el zadas sobre el suelo: las representadibujo lineal y técnico el infinito ciones de estas rectas en el cuadro geométrico actual, el espacio infinita- forman un conjunto de rectas que conmente extenso en sentido actual, cosa curren en un punto, “el punto de fuga que sucedió incluso antes de que se central”, que fue definido como tal hubiese pensado en el problema. El hacia 1435 por Leon Battista Alberti infinito se ubica, o sea, se dibuja, en (1404-1472). Fueron los pintores y los el horizonte, aunque muchas veces arquitectos del Renacimie nto italiano quede enmascarado por un muro o por del siglo  XV  —el Quattrocento —, como una puerta.  Alberti, Filippo Brunelleschi (1377-

F

1. ESTA ANUNCIACION, que se conserva en el Museo de Bellas  Artes de Caen, es del pintor manierista Paris Bordone (15001571). El análisis geométrico de este cuadro hace ver que ilustra el procedimiento singular de las “vistas del l ado de acá” ofrecidas por este artista, quien no pinta sólo lo que ve dentro del marco ficticio que rodea la escena representada, y en el que se puede suponer que su base sirve como línea de tierra,

IDEAS DEL INFINITO

1446) y Piero della Francesca (1416?1492), quienes codificaron las normas de las construcciones legítimas en el dibujo en perspectiva. Fueron ellos también quienes inauguraron una utilización habitual y geometrizada de la perspectiva, que se perpetuó por su gran adecuación con la visión humana y por sus consecuencias prácticas.  Al proceder así, por la definición y la utilización en el dibujo de un punto de concurrencia de rectas que en realidad eran paralelas, los artistas italianos del Renacimiento proporcionaron el primer ejemplo de representación visual de un infinito actual: el punto de fuga plasma en el cuadro un punto que está en realidad situado en el infinito, allí donde “se reúnen” las rectas paralelas. No pretendemos decir con ello que se propusieran demostrar la posibilidad geométrica de concebir el infinito actual, ni que tuvieran conciencia alguna de haber participado en su invención. Las ideas geométricas de los teóricos y de los prácticos renacentistas estaban todavía profundamente marcadas por las ideas finitistas que sobre esta materia tenían las autoridades de la Antigüedad. Nociones como las de recta infinita, de plano infinito o de espacio previo

sino también lo que él ve “de este lado”, por delante del cuadro, del mismo lado en que él se encuentra. El ángel anuncia a María, pero las trayectorias visuales de los dos protagonistas no pueden cruzarse: el ángel se encuentra del lado distal de la ventana, mientras que la Virgen se halla del lado proximal, del mismo lado que el pintor y en un plano más elevado que el del observador.

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a la materia que mora en él estaban todavía por llegar. Pero es indiscutible que las obras de arte, pronto difundidas a través de los grabados y de la imprenta, popularizaron las representaciones del infinito. El punto de fuga central no tardó en ir flanqueado de puntos de distancia, que pronto se reconocerán como otros tantos puntos de fuga y, por tanto, representaciones del infinito ( véase la figura 4). Es toda vía el propio horizo nte (la línea horizontal del cuadro situada a la altura de los ojos del espectador) el que constituirá el lugar geométrico de una multitud —de una infinidad— de puntos de fuga; más tarde, hacia 1600, llegará finalmente la idea de que todo punto del cuadro es, en última instancia, un punto de fuga.

Desargues, el paralelismo y la convergencia en el infinito

 verticalmente, sobre un plano geométrico horizontal. No tardaron los artistas en transgredir estas limitaciones iniciales. sta proliferación de represenEn primer lugar se permitieron la taciones visuales del infinito representación de elementos situados actual había de provocar en Francia de su mismo lado respecto a la vena principios del siglo  XVI I  una revo- tana: tímidamente al principio y en lución conceptual en la geometría trampantojo dibujaron el marco del propiamente dicha. Girard Desar- cuadro o de la dicha ventana, tomado gues (1591-1661), un geómetra de ahora en sentido propio, o algún objeto Lyon, convertirá en teoría lo que depositado sobre el reborde de una todos los utilizadores de la perspec- abertura ficticia (en aquel tiempo tiva lineal habían comprobado sin sinónima de pintada). Así en  San dar completo crédito a sus ojos.  Jerónimo en su gabinete, de Antonello Desargues identifica la convergen- da Messina, un pá jaro está posado en cia de rectas o de planos con su el alféizar de una ventana y tras ella, paralelismo. Dicho con otras pala- en el interior, vemos al santo ante su bras, el paralelismo no es otra cosa mesa. Otro ejemplo, más tardío y conque la concurrencia en el infinito y temporáneo de Desargues, es un las rectas paralelas no son sino rec- retrato de Philippe de Champaigne tas que se encuentran en un punto (1602-1674) donde este personaje apasituado en el infinito. rece con la mano caída negligenteDesargues desarrolla mente sobre el borde del marco. e s t a i d e a e n s u Ejemplos enteramente singulares de  Bro uil lon pro jet d’u ne lo que aquí llamaremos “vistas del atteinte aux événemen- lado de acá” fueron creados a mediates des rencontres du dos del siglo  XVI por un pintor maniecône avec un plan , es rista veneciano, Paris Bordone (véase decir, un “ensayo para la figura 1). alcanzar la comprenPor otra parte los pintores se dessión sintética de las embarazan de la plomada y del nivel, diversas apariciones como testimonian los decorados de de curvas cónicas techos y de bóvedas (por ejemplo, el ob tenidas por la sec- Oculus de la cámara de los esposos  de ción plana de un cono  Andrea Mantegna; véase la figura 7 ); de base circular”, del más tarde los decorados barrocos de que se imprimieron 50 la Contrarreforma jesuita (los de ejemplares en 1639.  Andrea del Pozzo, por ejemplo) y por Esta idea rompe con la último los efectos ópticos y las anaconcepción finitista de morfosis pintados en las bóvedas o la línea recta, de la sobre toda suerte de superficies irresuperficie o figura gulares (cuya teorización fue realiplana y del sólido here- zada en Francia a principios del siglo dada de los griegos.  XVII por el jesuita Jean Dubreil o por Desargues tiene tras el grabador Abraham Bosse, amigo de de sí dos siglos de prác- Desargues). Estas obras indican que tica de la perspecti va, un cuadro, y no digamos un fresco, no que contribuyeron a tienen por qué estar necesariamente educar el ojo del obser- situados en un plano ortogonal al  vador occidenta l. Hay suelo. sobre todo dos puntos Tales imágenes no podían dejar de que conviene precisar difundir con fuerza la idea de que la para comprender las  ventana no es un confín y de que el ideas del geómetra. El plano de esta ventana no tiene que primero es que el cua- estar necesariamente aplomado sobre dro en el que el artista la horizontal. Pero quedaba un paso 2. EN EL SIGLO XVI una escena estaba delimitada por trata de plasmar una por franquear, que Desargues dará una “ventana”, a través de la cual se observa. Los pintores fueron progresivamente infringiendo esta restricescena —lo que Alberti no en el ámbito de la representación, ción y sacándole partido. La ventana aparece aquí en llama ba “ u n a sino en el conceptual: cuando un rayo forma de marco: Philippe de Champaigne pinta a Robert  ven tana”— era conce-  visual teórico —que desde Euclides y  Arnauld d’Andilly con una mano posada descuidadabido en los primeros su Optica   se concibe como una mente sobre el alféizar. Notemos que Phili ppe de Chamtiempos como una aber- semirrecta potencial— se extiende paigne le pidió a Desargues que dibujara un esquema hasta el infinito como una línea recta, para la decoración de la bóveda de la antigua iglesia de tura a un más allá que ¿por qué habría de detenerse en el ojo? se tenía que represenlos carmelitas: el Cristo crucificado, flanqueado por la Para Desargues un cono propiamente  Virgen y San Juan, tenía que dar la impresión de hallar- tar. El segundo es que se en un plano vertical (en contrapicado), mientras que dicha ventana estaba dicho es un cono de dos “hojas”, que estaba pintado sobre un plano horizontal. en principio situada se obtiene al prolongar en rectas com-

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E

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Barreño circular, elipse, pletas las semirrectas que parparábola e hipérbola ten de su vértice. De igual manera se pueden prolongar los rayos visuales por detrás ara comprender mejor la del ojo. No importa que éste sea forma en que aparecen las ciego en tal dirección, pues ello diversas cónicas como prono impide imaginar el espacio yecciones de un círculo en el que hay detrás. contexto de la perspectiva, imaDesargues procede entonces ginemos una situación pictóa repensar las “cónicas”, curvas rica anodina, la de un pintor obtenidas al cortar un cono de que observa un barreño circubase circular con un plano, curlar a través de la “ventana” fic vas —la elipse, la parábola, la ticia en la que desea reprehipérbola—que suscitaban un sentarlo, hallándose el cuadro renovado interés gracias a perpendicular al suelo ( véase Johannes Kepler (1571-1630) la figura 6). Podríamos hacer y sus trayectorias planetarias que aparecieran las diversas elípticas, a Athanasius Kircher cónicas variando la inclinación (1601-1680) y sus espejos paradel cuadro con respecto al bólicos y a Descartes y su clasuelo. Pero en vez de hacerlo sificación algebraica de las así, modifiquemos las posiciocurvas de segundo grado. nes relativas del ojo, del cuadro Consideremos los rayos y del barreño.  visuales que unen un ojo punCuando el barreño se sitúa tual con los puntos de un círculo 3. LOS ELEMENTOS SITUADOS EN EL INFINITO más allá de la ventana su imareal. Estos rayos definen un fueron durante mucho tiempo considerados con cir- gen es una elipse o un círculo, cono de base circular, cuyo vér- cunspección. Hoy se sabe que una parábola, que es una de acuerdo con lo que se llama tice es el ojo. Toda sección de curva abierta, puede convertirse en perspectiva en una desde Apolonio el caso del antiun cono por un plano produce elipse, que es una curva cerrada, al unirse las ramas paralelismo. Acerquemos el infinitas en un mismo punto del horizonte, que repreuna curva que es una perspec- senta, a distancia finita, la recta del infinito común a barreño al observador, de modo tiva del círculo. Dicho de otro todos los planos horizontales; este punto del infinito se que al menos una parte del modo, Desargues se ha dado encuentra, pues, a distancia finita del observador, mismo se encuentre entre el cuenta de que una cónica no es dentro del cuadro. ojo y el cuadro; la proyección sino un círculo observado desde del barreño sobre el plano del el punto adecuado. cuadro —un plano supuestaNunca hasta entonces se había parábola no es más que una elipse uno mente ilimitado— sigue siendo una enunciado este hecho en tales térmi- de cuyos focos se ha alejado hasta el curva cerrada (una elipse), aunque nos. No había dificultad en compren- infinito, abriendo la curva sus brazos, parte de ella no aparecerá en el cuader que una elipse —una curva por así decirlo, y convirtiéndose luego dro, pues se encuentra por debajo de cerrada— pudiera ser la imagen de en una hipérbola cuando esta aper- la línea de tierra. Acerquemos todavía un círculo en perspectiva. Por ejem- tura se encuentra limitada por dos más el barreño al observador, hasta plo, Alberto Durero (1471-1528) había rectas asintóticas, conforme el plano el punto de que tenga que ponerse de construido punto por punto las sec- que secciona al cono va girando (el pie sobre su borde; en este caso el rayo ciones planas de un cono recto en cono de Kepler es ilimitado, pero de que une el ojo con la vertical de la todas las situaciones de corte posibles una sola hoja). Esta concepción inno- plomada es paralelo al cuadro y no (perpendicular al eje del cono, lo que  vadora, que integra el movimiento en llegará a cortarlo jamás o, más bien, produce un círculo; paralela a él, lo la definición de las curvas, sirvió sin lo hará en el infinito. Por tener este que produce una hipérbola; paralela duda de inspiración a Desargues, pero punto del círculo una imagen en el a una generatriz, con lo que se obtiene el geómetra lionés fue más lejos, reba- infinito, la imagen del barreño circuuna parábola; y en otra inclinación sando el infinito potencial de Kepler lar se convierte en una parábola cualquiera que corte a todas las gene- y definiendo ya de entrada al cono (geométricamente esta situación ratrices, lo que produce una elipse). como una superficie ilimitada de dos corresponde a un plano de corte paraObser vemos que su dibujo de la elipse hojas. lelo a una generatriz del cono). tiene forma ovoide, como si no diera ¿Qué sucede, por último, cuando el Es más, al asimilar los haces de crédito a sus ojos y esperase, por el rectas paralelas y los de rectas con- observador mete los pies dentro del contrario, que al acercarse al vértice currentes, Desargues viose llevado barreño, de suerte que queda rodeado del cono la curva fuera más afilada, a concluir que una recta no es otra por él? El “plano neutro” —el plano en lugar de una auténtica elipse. cosa que un círculo de radio infini to, paralelo al cuadro que pasa por el Parecía en cambio inconcebible que es decir, un círculo en el que, una observador— corta entonces al círculo se pudieran asimilar al círculo curvas  vez f ija do uno de su s puntos, el ce n- en dos puntos  A y  B. Estando en el no cerradas, con ramas infinitas, tro se aleja indefinidamente. Y que infinito la imagen de ambos en el como la parábola, o que presentaran un cilindro de base circular no es plano del cuadro, la parte del barreño rupturas de la continuidad, como la más que un cono cuyo vértice se circular que se extiende por delante hipérbola, que tiene dos ramas sepa- en cuentra en el infinito, lo que del observador produce una curvaradas tal como se la define actual- explica que las secciones planas de imagen que posee dos ramas infinitas, mente. un cilindro produzcan asimismo es decir, una hipérbola. Con más exacCierto es que Kepler ya había hecho cónicas, que en este caso serán cir- titud se trata de una hipérbola cual observar en su Optica   que una cunferencias o elipses. la definía Apolonio, es decir, de una

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sola de las dos ramas separadas que componen una hipérbola según la defiF d  O'  F  d  O'  nición moderna. En cuanto al arco de barreño que se encuentra por detrás del observador, el hecho de que éste C  D  h  H  h  no lo vea no le impide al geómetra concebir su proyección sobre el plano del cuadro. Se obtiene ésta prolonA B  gando hasta el plano del cuadro los rayos visuales emanados de los puntos 4. UN EMBALDOSADO VISTO DESDE ARRIBA, representado por el arquitecto y del arco que pasan por el ojo. La imateórico italiano Leon Battista Alberti. Para empezar, traza el haz de rectas que gen producida así es la “hipérbola convergen en un punto de fuga principal, F . Sitúa después un punto O’   a un lado, opuesta” de Apolonio, es decir, la a una distancia d del cuadro (d es la distancia entre el ojo del pintor, O, y el punto curva que Desargues adjunta a la pride fuga, F ) y a la misma altura que F . Desde O’  traza los segmentos rectilíneos que van justo hasta los puntos de partida de las rectas concurrentes en F . La intersección mera para definir una sola y misma de estos segmentos con el borde vertical derecho del cuadro proporciona los nivehipérbola. les a los que han de situarse las líneas transversales del enlosado (a). Piero della En la situación descrita ( véase la Francesca simplificó la construcción de Alberti y la demostró geométricamente con  figura 6c), la mirada del observador la imagen perspectiva de una única baldosa (b). alcanza los puntos  A y  B  del círculo mediante rayos paralelos al cuadro, al a  b  que no interceptan sino en el infinito; F d  estos rayos definen la dirección de las asíntotas de la curva. Desargues conD  cibe estas rectas asintóticas como las C  tangentes en los puntos del infinito de E  h  h  la hipérbola, puesto que son las imágenes perspectivas de las tangentes en los puntos A y B del círculo. Nuestro geómetra no se limita, A B  D' D  pues, a demostrar que una perspectiva 5. LOS PUNTOS DE DISTANCIA son los conserva la alineación de los puntos, dos puntos del plano del cuadro en los d  d  que convergen las imágenes de las diagola intersección de las rectas en un nales de un embaldosado de losetas cuapunto o la intersección de los planos d  dradas, visto desde arriba (a). Los puntos en una recta (bien entendido que tal  D y  D’   están situados sobre la línea del punto o tal recta puede hallarse en el horizonte, a uno y otro lado del pu nto de infinito en el caso de haces de figuras fuga principal, F , y a la misma distancia paralelas), sino que evidencia otras O  d que separa al ojo de la línea del horipropiedades invariantes de las prozonte. Piero della Francesca se sirvió del punto de distancia para dar un segundo yecciones. Por ejemplo, la perspectiva LINEA DE TIERRA método de construcción de la imagen Y LINEA DE HORIZONTE, conserva la tangencia a las curvas (si CONFUNDIDAS perspectiva de una baldosa (b). T  es la tangente a una curva C en un a 

b 

E 

a 

b 

CUADRO

c 

CUADRO

B  O/P 

O/P 

A

O/P  F 

F 

CUADRO

O  O  F 

O  B  P 

P  A

P 

6. LA REPRESENTACION CAMBIA según las posiciones relativas del pintor y del objeto que va a dibujar. El ojo del pintor, O, constituye el centro de proyección en la perspectiva central y la representación de un barreño circular ( azul) sobre el plano del cuadro puede ser una elipse (a ),

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una parábola (b) o una hipérbola (c). Se obtiene una elipse cuando el barreño se encuentra más allá del pintor; una parábola, cuando los pies del pintor, P, están sobre el borde del barreño y una hipérbola cuando se mete dentro del barreño.

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punto  P, la imagen perspectiva de T  es la tangente a la curva-imagen de C en el punto-imagen de P, incluido el caso de las asíntotas). Desargues demuestra asimismo que una cierta razón numérica (a la que denomina “una involución” y para la que hoy se prefiere el término de razón doble de cuatro puntos) entre los segmentos definidos por seis puntos de una recta permanece invariable tanto en el caso de una proyección central como en el de una proyección paralela a una dirección dada. Los descubrimientos de Desargues hicieron posible una teoría general de las proyecciones, a la que se aplicaron los geómetras de la primera mitad del siglo  XIX  Gaspard Monge, Jean-Victor Poncelet y Michel Chasles, por no citar más que algunos. La geometría proyectiva construida por estos matemáticos llevará a su vez a atisbar la posibilidad de geometrías no euclídeas y a concebir para ellas modelos euclídeos. En las geometrías no euclídeas  volvemos a encontrar las representaciones del infinito. Por ejemplo, en los modelos de Henri Poincaré y de Eugenio Beltrami para el “plano hiperbólico” el infinito es acercado a distancia finita asimilando los puntos del infinito a puntos de un círculo; el interior de este círculo constituye “el plano” y las “rectas” de este plano son, por definición, arcos circulares ortogonales al contorno. Se trata de un modelo euclídeo de una geometría no euclídea, pues por un punto exterior a una “recta” pasa una infinidad de “rectas” paralelas a la recta en cuestión. Observaremos que las extremidades de las rectas están situadas sobre el contorno, es decir, en el infinito. Parece como si con tal modelo se produjera una especie de resurrección del mundo cerrado de los antiguos.

La perspectiva caballera

L

as proyecciones paralelas, proyecciones en las que los rayos que parten del objeto que se desea representar son paralelos a una dirección dada, fueron conocidas según parece durante mucho tiempo, al menos desde el arquitecto romano Vitruvio (siglo I de nuestra era). Muchos dibu jos, sean de vocación artística o técnica, parecen responder a la que hoy llamamos la perspectiva caballera, es decir, una proyección ortogonal (proyección que se efectúa en una dirección ortogonal al plano del dibujo). En realidad no se trata más que de tentativas empíricas para representar localmente la profundidad de objetos

IDEAS DEL INFINITO

7. LOS FRESCOS DE LAS BOVEDAS de Andrea Mantegna, como el Oculus de la cámara de los esposos  ( arriba), son representaciones en perspectiva en las que el artista adopta un “punto de vista” en que prescinde de la verticalidad.

aislados. No pueden en ningún caso máxima ilusión: la extensibilidad ser fruto de una voluntad de “repre- infinita hacia adelante o hacia atrás.” sentar el espacio” de forma global,  A Lissitzky le parecía que se acababa coherente y homogénea. No se puede así con la pintura subjetiva, que ya hablar cabalmente de perspectiva no existía el punto de vista. El pintor caballera sino desde el momento en toma el papel del Creador, porqu e su que sus reglas hayan sido codificadas mirada viene del infinito. Pero pengeométricamente. Aunque tales reglas samos que el punto de vista siempre sean bastante más sencillas que las está presente en una perspectiva de la perspectiva central, no se for- paralela, por rechazado al infinito mularon hasta después de que lo fue- que se encuentre y justamente porque ran las de la perspectiva central en el es rechazado, pues una exclusión no es una ausencia. Quattrocento. Los primeros dibujos que utilizan sistemáticamente la perspectiva paralela aparecen en los teatros de máquinas (planos de maquinaria) o en obras de ingeniería del siglo  XVI. Los primeros tratados de perspectiva caballera BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA o militar fueron obra de teóricos franL’OEUVRE MATHÉMATIQUE DE GIRARD ceses de comienzos del siglo  XVII. En DESARGUES. René Taton. PUF, 1951, cuanto a los arquitectos, que relegaron (reedición Vrin, 1988). la perspectiva central a los pintores, L A P ERSPECTIVE EN JEU: LE DESSOUS DE no se hicieron sino tardíamente con L’IMAGE. Philippe Comar. Editions Galas perspectivas caballera y axonoméllimard/La Découverte, n. o 138, 1992. trica (la representación de tres dimenMAIS OÙ EST DONC P ASSÉE LA T ROISIÈME siones mediante la proyección sobre DIMENSION ? Didier Bessot y Jean-Pierre Le Goff, en Histoires de problèmes, histres ejes trazados en el plano del toires des mathématiques.  Editions dibujo), a finales del siglo  XIX . Ellipses, 1993. Las perspectivas paralelas consiESARGUES ET LA NAISSANCE DE LA GÉOD deran que los rayos visuales son paraMÉTRIE PROJECTIVE . Jean-Pierre Le Goff, lelos. Como demostró Desargues, en  Desargues en son temps, bajo la ditambién puede decirse que se encuenrección de Jean Dhombres y Joël Sakatran en el infinito. Dicho de otro rowitch. Blanchard, 1994. CAHIERS DE LA PERSPECTIVE . Dirigido por modo, la perspectiva caballera equiDidier Bessot y Jean-Pierre Le Goff.  vale a una perspectiva central en la IREM de Basse-Normandie, Universique el ojo del dibujante es “rechazado dad de Caen, 1981-1996. al infinito”. El pintor ruso Lissitzky PIERO DELLA FRANCESCA. DE LA PERSPEC exclamó en 1925: “El suprematismo TIVE EN P EINTURE . Jean-Pierre Le Goff. hace recular la extremidad de la Prefacio de Hubert Damisch y epílogo punta de la pirámide visual al infide Daniel Arasse, en  Medias Res, 1998. nito... [Al hacerlo] ha inventado la

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El carácter paradójico del infinito

Jean-Paul Delahaye

 Para resolver la paradoja del todo y las partes  o para afrontar la hipótesis del continuo  tiene que evolucionar la noción de infinito actual 

¿E

s posible dominar el infinito matemático? Dicho de otro modo, ¿será posible formular una teoría del infinito que imposibilite toda paradoja y toda incoherencia? Para responder a estas

preguntas convendrá distinguir entre las paradojas y las situaciones que no resultan satisfactorias desde el punto de vista lógico. Una teoría contiene paradojas si en ella cabe demostrar tanto una cosa

como su contraria. En tal situación, y mediante razonamientos fundados sólo en los axiomas de la teoría, resulta posible deducir tanto una cierta afirmación A como la afirmación contraria,  No A. Las paradojas (también

 El infinito se hace largo, sobre todo hacia el final.

Alphonse Allais

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TEMAS 23

llamadas contradicciones e inconsistencias, antinomias) son inaceptables en matemáticas y los lógicos hacen lo imposible por evitarlas. Los matemáticos actuales conocen toda suerte de medios para eludir las paradojas en el seno de las teorías matemáticas del infinito. Mas, ¿logran ¿logran sus fines tales medios?  Aparece una situación insatisfactoria desde el punto de vista lógico cuando una teoría permite enunciar propiedades asombrosas, contrarias en ocasiones a nuestras expectativas, pero sin que surja una auténtica contradicción. Podemos en tal caso proseguir el desarrollo de la teoría, con la esperanza de que la dificultad quedará resuelta más adelante. A veces ve ces se acaba por aceptar la situación incómoda y lo que era percibido como incierto o perturbador pasa a ser

banal, como si se hubiera producido  Arist óteles óte les se nega ba a aceptar acep tar la una metamorfosis de nuestros concep- infinitud infinitud “en acto” (o infinito actual), tos profundos. es decir, tomada de una sola vez. ¿Cuál es la situación actual en lo Negaba al infinito toda existencia relativo a las paradojas del infinito y física, si bien le reconocía una cierta las situaciones insatisfactorias tole- existencia matemática, pues le pareradas y digeridas? cía necesario considerar cantidades Para saberlo vamos a revisar algu- cada vez más grandes; en efecto, cada nas paradojas del infinito matemático, número entero tiene uno que le sigue; paradojas que han determinado su ningún punto de una recta es el último. historia. Y en cada ocasión evocare- Los matemáticos trataron de conformos las soluciones matemáticas pro- marse con este infinito potencial o, en puestas y nos preguntaremos si estas todo caso, de reconducir los problemas soluciones son enteramente satisfac- a él, evitando en todo lo posible el torias o si, por el contrario, dejan infinito actual. zonas de sombra que señalan los límites del dominio que el formalismo de El impensable las matemáticas modernas dice tener infinito actual sobre el infinito. No ha sido el infinito aceptado fáciluclides, por ejemplo, no enuncia mente y durante mucho tiempo se consideró posible prescindir de él. que exista una infinidad de números números primos, sino que “los números primos son más grande cantidad que toda cantidad de números primos propuesta”, lo que demuestra estableciendo que, si se dan por adelantado números primos p1 , p 2 , ..., pk, es posible construir otro (el más pequeño de los divisores primos de  p1 p 2...pk +1), que sería distinto de todos los ya dados. La razón profunda de esta desconfianza al respecto del infinito actual La paradoja del hotel de Hilbert está en la paradoja de la reflexividad: reflexividad: si un conjunto es infinito, resulta posia historia siguiente ilustra por qué los infinitos actuales ble ponerlo en correspondencia uno a han parecido absurdos durante tanto tiempo. Un hotel uno (correspondencia biunívoca, o infinito, cuyas habitaciones están numeradas con los enteros biyectiva, como también se dice) con 0, 1, 2, ... está completo para la noche (cada habitación tiene alguna de sus partes propias (una parte un ocupante). Llega un viajero: “No hay problema”, le responde que no es el total del conjunto). Por el recepcioni sta. “Instálese en la habita ción 0. Yo le pediré a su ejemplo, la relación que a cada número ocupante que pase a la habitación 1, al que ocupa ésta, que  le asocia su cuadrado, n2, establece n pase a la habitac ión número 2, y así s sucesivamente.” ucesivamente.” La recepuna correspondencia biyectiva entre ción dispone, claro está, de un teléfono especial que permite los enteros 0, 1, 2, 3, ... y los números telefonear simultáneamente a todas las habitaciones y solicitar cuadrados perfectos perfectos 0, 1, 4, 9, ... a pesar al ocupante de la habitación n  que   que pase a la habitación n + 1. El nuevo cliente ha podido ser alojado. Diez minutos más tarde de que éstos son obviamente una parte llega un autocar (infinito, claro está) con nuevos viajeros que propia de los primeros. desean pasar la noche en el hotel. “No hay problema”, responde El mismo problema surgió al resel recepcionista al conductor del autocar. Recurre de nuevo a pecto del segmento de los números su teléfono especial para pedir al ocupante de la habitación n  reales comprendidos entre 0 y 1 (que que se mude a la de número 2 n . Después, le indica al conducse denota [0,1]) y el de los reales comtor del autocar que el viajero número núme ro i  de   de su vehículo debe ir prendidos entre 0 y 2 (siendo la corresa la habitación 2i + 1 (que ha quedado efectivamente libre, pues pondencia biyectiva la que, a cada  x, todas las habitacio nes de número impar han sido desalojadas). le asocia 2 x); en general, no hay difiMedia hora más tarde llega un grupo más importante aún, cultad en poner en correspondencia compuesto por una infinidad de autocares, cada uno con infidos segmentos AB y A’B’  cualesquiera  cualesquiera nitos viajeros. “No hay problema, enseguida lo arreglo”, resde una recta. Más molesta todavía ponde el recepcionista. Telefonea al huésped de la habitación resulta la correspondencia que a  x le i  y le ruega que se mude mude a la 2 i + 1 (lo que deja libres libres todas asocia 1/( x  x +1), pues establece una las habitaciones de número par) y le da al responsable del biyección entre el intervalo de los grupo de autocares la siguiente instr ucción: el pasajero número números reales estrictamente mayo+1(2 j + 1). Todo va bien, i  del  del coche j  debe ocupar la habitación habitación 2i +1 res que 0 y menores que 1, denotado pues nunca les es asignada una misma habitación a distintos ]0, +1[, y el conjunto de todos los númeviajeros. ros reales positivos, que se denota ]0, +∞[. ¿Qué tiene de paradójica la reflexi vidad, nos preguntamos hoy? Cons-

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tituye una paradoja, porque el principio del todo y la parte, que afirma “el todo es mayor que cualquiera de sus partes” queda aquí en entredicho. No se nos ocurre renunciar a una verdad tan evidente; tememos que nuestra razón no soporte que se ponga en duda un principio tan inmediato. La reconsideración de este principio del todo y la parte se nos antoja de una audacia temeraria y por eso con frecuencia ha parecido preferible la conclusión de que solamente un ser infinito —Dios, por ejemplo— puede pensar lo infinito. La Iglesia, por otra parte, se oponía a toda tentativa de que los hombres pensasen en el infi-

nito actual. Santo Tomás de Aquino infinito, publicada en 1851, después consideraba que quien intentara con- de su muerte, contempla contem pla con total cebir el infinito actual entraría en con- serenidad correspondencias biyectiflicto con la naturaleza única y absoluta  vas entre ent re una totalidad t otalidad y una de sus su s de Dios. partes propias. Al contrario, Bolzano Dos mil años serán necesarios para propone que se vea en estas corresfranquear este obstáculo. El principio pondencias la caracterización de las del todo y la parte, que, a decir verdad, totalidades infinitas, lo que equivale apenas se usa en matemáticas, tenía a abandonar para ellas el principio que ser reconsiderado: este principio, del todo y la parte. Richard Dedekind eminentemente paradójico, impedía definirá luego que un conjunto es infitodo progreso hacia la comprensión nito si puede ser puesto en biyección del infinito actual. con alguna de sus partes propias. Esta Tal audacia será acometida por el es la definición de conjunto infinito filósofo y matemático checo Bernhard que suele utilizarse ahora en teoría Bolzano, cuya obra  Paradojas  Paradojas de lo de conjuntos.  Ya Leibniz había ha bía defendido la ide a de infinito actual antes de Bolzano: “Estoy tan a favor del infinito actual, e  a  que en lugar de admitir que la natu0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 raleza lo aborrece, entiendo que la afecta por completo, para mejor 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 resaltar re saltar la perfección de su Autor.”        7 (Leibniz, Opera omnia studio Ludov .         6         3 A'  Dutens, tomo II, parte X.) Bolzano         4 b  A         4         3 pone esta cita como exergo de su obra A        5        7         6 revolucionaria.   ,         0 0,86 0,866735532434... Pero el infinito actual que Leibniz A'  defiende es distinto de las totalidades infinitas actuales que se consideran en la paradoja de la reflexividad. Leibniz propone más bien un infinito filosófico, el del mundo físico tomado 0,863523578... B  como un todo. Lo infinitamente pequeño (que tropieza con otras paraB'  dojas, utilizadas en ocasiones para c  atacar los nuevos métodos de cálculo que Leibniz propugna) no logra verA daderamente ocupar un lugar cómodo f  y seguro en matemáticas hasta que se desembaraza de su objetualidad, A'  es decir, cuando se deja de hablar de 0,52 0,5244423163... los infinitésimos como objetos matemáticos y se pasa a considerarlos como A'  límites. A   . d  Los matemáticos del siglo  XX  sabrán  sabrán   .   .         6        5 devolver a los infinitamente pequeños         6         2 1 el estatuto de objetos auténticos. El         4   ,         0 y  =  = 1/(x  +  + 1) método utilizado en el siglo  XIX  para   para conferir rigor al cálculo infinitesimal   5... consistió en renunciar al infinito  6  7  1  4  2  0, 2 actual, que fue sustituido por un infinito potencial, el correspondiente a 0 0,543387... 0 1 2 3 4 unas magnitudes que se aproximan cada vez más a su límite. El príncipe de los matemáticos, 1. LAS PARADOJAS DE LA REFLEXIVIDAD. Si los conjuntos inf initos existen “en Gauss (1777-1855), expresando el senacto” y no potencialmente, como sucede con los que se van completando poco a poco, entonces el conjunto de los números cuadrados es igual que el de los números tir compartido por la comunidad matemática de su época, escribía, por ejementeros, es decir, podemos asociar cada elemento del uno a un elemento del otro plo: “Me opongo a que se utilice un (a). Análogamente, el segmento AB es igual de “grande” que el segmento A’B’ (b), y el semiperímetro de un círculo es de tamaño “igual” que su diámetro (c). Podemos objeto infinito como un todo completo; también poner en correspondencia los puntos reales de un segmento y los de una tal operación está está prohibida en matesemirrecta infinita mediante la relación y = 1/( x + 1) (d). Así fue como Cantor puso máticas; el infinito no es más que una en correspondencia los puntos de una superficie plana con los de una curva cualforma de hablar.” quiera, posibilidad que le sorprendió sobremanera. Para ello se asocia a cada Podemos afirmar, pues, que fue punto el valor obtenido intercalando los decimales de los dos números que repreBolzano, al afrontar la paradoja de la sentan sus coordenadas. Este valor determina un punto de la curva, aquel cuya reflexividad, reflexividad, el primero y el único en distancia al origen (tomada a lo largo de la curva) sea igual al valor obtenido (e).  (f ). De igual forma pueden asociarse los puntos de un volumen a los de una curva  f  ). abrir la senda hacia la concepción

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TEMAS 23

actual del infinito matemático tomado como un todo, a pesar de diversas tentativas previas para fundar una ciencia matemática del infinito.

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a solución de la paradoja de la reflexividad propuesta por Bolzano, que ha dejado perfectamente clara el ulterior desarrollo de la teoría de conjuntos, se enuncia así en términos modernos: la relación “está contenido en” entre conjuntos no debe confundirse con la relación “tener menor menor tamaño que”. Los números cuadrados están contenidos en el conjunto de los enteros, pero una y otra totalidades tienen el mismo tamaño. Es cierto que si el conjunto A está contenido en el conjunto B, entonces el tamaño de A es menor o igual que el de B, pero queda así claro que puede ser el mismo. En lugar de “tamaño” suele utilizarse el término técnico “cardinal”. Pero ello no tiene importancia; importancia; la idea en que se basa la solución de la paradoja consiste sólo en admitir que un conjunto A estrictamente contenido en otro B puede tener, muchas veces, el mismo tamaño de éste. Es necesario aceptar lo que parecía paradójico y decretar que la paradoja desaparece por un desdoblamiento conceptual: “estar contenido en” no implica “tener menor tamaño que”. Dado este paso, ¿no caeremos en contradicciones que lleven a una matemática matemática inconsistente y por ello insostenible? in sostenible? El envite merece la pena, pero pero no es fácil de jugar y no fue Bolzano, sino otros, quienes lo efectuaron, pues, hay que decirlo, Bolzano, como agotado por la audacia de su proposición inicial, no llevó a cabo el desarrollo matemático que exigía. La exploración matemática del álgebra de las biyecciones será larga y tortuosa. Bolzano abrió un período de inestabilidad grave, de controversias a veces acerbas. El trabajo principal lo realizaría el matemático matemáti co alemán Georg Cantor, quien descubriría numerosas nu merosas propiedades de los tamaños de los conjuntos infinitos que le parecerían, muchas veces, al borde mismo de la paradoja. Cantor distinguió tamaños en los conjuntos. De haber sido cierto lo contrario, es decir, si cada conjunto infinito pudiera quedar en correspondencia biyectiva con cualquier otro, la teoría del tamaño de los conjuntos se hubiera distinguido por su falta de interés.

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La solución actual de la paradoja de la reflexividad

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2. EL CONJUNTO INFINITO de los números racionales (es decir, el conjunto de números que son el cociente de dos números enteros) parece mayor que el conjunto de los números enteros. Cantor demostró que los números racionales se pueden disponer en un retículo rectangular ilimitado y asociar a cada uno de ellos un número entero trazando el camino en zigzag indicado en color en la figura. El conjunto de los números racionales es numerable

Cantor se percató percató en 1874 de que el conjunto de los números reales no puede quedar en correspondencia biyectiva con el de los números enteros; es de tamaño estrictamente mayor. ma yor. El razonamiento diagonal, que descubrió al simplificar su razo-

namiento de 1874, constituye el método prototípico para la demostración de resultados de imposibilidad en matemáticas. En dicho teorema se supone supone que lo que queremos demostrar es falso (en este caso, que exista una biyección entre el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números reales). Después se opera con la diagonal de la tabla qu e la biyección define (la i-ésima cifra del número real ƒ(i)) y se deduce una contradicción. Mejor (o peor) todavía, Cantor demostró, usando de nuevo un procedimiento diagonal, que los conjuntos infinitos pueden tener una infinidad de tamaños diferentes. Dicho con mayor precisión: un conjunto E no puede ser puesto jamás en correspondencia biunívoca con el conjunto de sus partes, que se denota  P( E  E ). El conjunto P( ) de todo todoss los subc subconj onjununtos de (que está compuesto por el conjunto de todos los números pares, por el de los números primos, etc.) no puede ser biyectivamente coordinado con . D De e igual igual modo, el conjunto conjunto P( P  P( )) (conjunto de todas las partes del conjunto  P( )), no no puede puede ser ser pues puesto to en biyección con  P( ); etc. Estos resultados constituyen una primera incursión hacia la comprensión del infinito actual y la demostración de que lo que se está descubriendo es digno de interés; dichos

La paradoja de Russell

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x ∉ x }. ea E  el   el conjunto de los x  que   que no son elementos de sí mismos: E ={ ={ x ; x ∉ }. E ∈ E , entonces, por definición, E  no Si E ∈  no pertenece a E . Si E  no  no pertenece a E , entonces, por definición, E  pertenece  pertenece a E . Esto es contradictorio. La paradoja del conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos (paradoja de Russell) queda hoy correctamente resuelta en teoría de conjuntos como sigue. Se definen los métodos que per miten crear nuevos conjuntos a partir de conjuntos ya existentes (unión, conjunto de partes, etc.), no siendo suficiente la consideración de una propiedad (por ejemplo, x  no   no pertenece a x ) para poder afirmar que exista un conjunto que reúna a todos los objetos que x ∉ x } no designa necesariamente poseen tal propiedad. La notación E = { x ; x ∉ un objeto legítimo de la teoría de conjuntos sobre el cual se pueda razonar como se hace en la paradoja; si deseamos utilizarla, es preciso establecer que se trata de un conjunto valiéndonos de los axiomas que establece la x ∉ x } no es posible hacerl o. En la teoría Zerme loteoría. En el caso E = {x ; x ∉ Fraenkel Fraenkel (que es designada ZF ), ) , la presentación correcta de este razonamiento es: Supongamos que existe un conjunto definido por E = {x ; x ∉ }. x ∉ x }. Si E  pertenece   pertenece a E , entonces, por definición, E  no   no pertenece a E . Si E  no  no pertenece a E , entonces, por definición, E  pertenece  pertenece a E , lo que es contradicx ∉ x }. torio, luego no existe un conjunto definido por la igualdad: E = {x ; x ∉ }. Por razones análogas, no existen ni el conjunto de todos los conjuntos, ni el conjunto de todos los cardinales, ni el conjunto de todos los ordinales. Esta solución clásica a las paradojas de la teoría de conjuntos, descubiertas a principios del siglo XX, funciona bien. Hasta el presente no ha sido descubierta ninguna nueva paradoja en la teoría ZF .

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resultados erigen una jerarquía de totalidades infinitas, en la cual la mente encuentra referencias. Estos primeros resultados no dejan de suscitar reprobaciones y críticas. Particularmente severo es el célebre matemático Kronecker, que llegará a bloquear un manuscrito de Cantor, retardando su publicación en el  Journa l de Crelle , una de las revistas de matemáticas de mayor prestigio, a la cual, en lo sucesivo, Cantor rehusará proponer sus trabajos.

a pesar del malestar que suscita. dera “en bruto”, sin tener en cuenta Como en los cálculos y razonamientos, una posible ordenación de sus eleque Cantor elaboró con cuidado, no mentos. Cantor introdujo en 1893 aparecía ninguna contradicción autén- la notación ℵ 0  para el cardinal del tica, hay que tener la audacia de ace p- conjunto de los números enteros, tar lo que nuestras facultades de 2ℵ0  para el cardinal del continu o (el razonamiento producen y, por descon- conjunto de los números reales), que certante que sea esta nueva realidad es el mismo que el de  P ( ) , e l co ndel infinito actual, es necesario pro-  junto de toda s las par tes de . Can ℵ seguir su exploración. tor utilizó 2 2 0  para el cardinal de  A decir verdad, ciertas contradic-  P ( P ( )), etc. El otro tipo de números infinitos ciones (que serán llamadas antinomias) parecieron hacer insostenible de Cantor, los ordinales, sirve para la construcción cantoriana en los medir el tamaño de los conjuntos albores del siglo  XX . Pero pudieron cuando sus elementos están bien Cantor descubre un resulser eludidas en el plazo de pocos años ordenados (es decir, están dotados de tado asombroso (proponiéndose incluso varios méto- una ordenación en la que toda parte dos) y lo que a algunos pareció el no vacía del conjunto posee un elel artículo cuya publicación fue fracaso de la teoría matemática del mento mínimo). Más allá de los ordiretardada por Kronecker con- infinito proporcionaría, en definitiva, nales finitos, que podemos identificar tiene un resultado de Cantor verda- la ocasión para que esta teoría se con números enteros, se encuentra deramente asombroso, que, si bien forjase una armadura que nada ha el primer ordinal transfinito, ω, y a no constituye una paradoja, en su podido rasguñar seriamente hasta el continuación, ω +1, ω + 2, etc., que se momento no hubo duda de que crea ba día de hoy. obtienen añadiendo unidades, una a una situación poco satisfactoria desde una, a omega. Más lejos todavía el punto de vista lógico. Cantor, encontramos 2ω, 2ω + 1, ... y después incansablemente ocupado en clasifiLa hipótesis del continuo ω2, ωω, etc. car los infinitos, había descubierto Cantor descubrió entonces un procon estupor que el conjunto de puntos olvamos a Cantor, quien, teórico blema que finalmente se revelaría de de una superficie (de un cuadrado, concienzudo, desarrolló una tal dificultad que ni siquiera hoy ha por ejemplo) es de igual tamaño que aritmética del infinito, es decir, una sido totalmente dominado: la llamada el conjunto de puntos de un segmento extensión a los números que le sir- hipótesis del continuo. de recta. Una recta y un plano (e  ven par a la medic ión de lo infin ito El cardinal del conjunto de los incluso un espacio de dimensión n) de las reglas de cálculo aplicables números reales , que se denomina son idénticos desde el punto de vista a los enteros, los que sirven para la “el continuo” y que está medido por del tamaño de su infinitud. A este medición de lo finito. En esta oca- 2ℵ0, es estrictamente mayor que el respecto le escribirá a Dedekind: “Lo sión Cantor se vio obligado a dis- cardinal de los enteros (llamado “infi veo, pero no lo cre o.” tinguir dos tipos de números infi- nito numerable” y medido, como ya Cantor adopta la actitud temeraria nitos, los cardinales y los ordinales. se ha dicho, por ℵ0). Ahora bien, ¿no que consiste en aceptar esta nueva Los cardinales son los tamaños de existirá un cardinal intermedio? La  verdad y en no decretarla paradójica, los conjuntos cuando se los consi- hipótesis del continuo afirma que entre estos dos tamaños de conjuntos infinitos, ℵ0 y 2ℵ0, no existen otros. 3. CANTOR demostró que existen infinitos más grandes que el infinito numerable Como Cantor denota ℵ 1   al más pequeño de los cardinales mayores (un conjunto en el que podemos enumerar todos sus elementos). Examinemos para empezar un conjunto finito compuesto por tres elementos: podemos enume- que ℵ0, la hipótesis del continuo se rar ocho subconjuntos (23) distintos (a). Si el conjunto tuviera N  elementos, existraduce, sencillamente, en 2 ℵ0 = ℵ1. N tirían 2  subconjuntos distintos (pues cada elemento puede formar, o no, parte (La hipótesis del continuo gedel conjunto). Construyamos los subconjuntos de un conjunto infinito numerable neralizada es la afirmación de que de elementos (b). Se demuestra por reducción al absurdo que es imposible nume2ℵs = ℵs+1 , para todo s.) rar cada elemento de este conjunto y, por lo tanto, que el conjunto infinito de los Cabe considerar dos posibilidades: subconjuntos de un conjunto numerable no es numerable. Pues supongamos que o bien (a) no existen tamaños interfuera posible numerarlos. Cada subconjunto está representado por un conjunto medios entre y , lo que equivale a de naipes, que se extiende hacia la derecha hasta el infinito. Numeremos ahora los subconjuntos de arriba abajo. ¿Los habremos numerado todos de esta forma? decir que “todo subconjunto infinito No. Examinemos el subconjunto constituido por las cartas de la diagonal y supon- de puede ser puesto en biyección gamos que le damos la vuelta a todas esas cartas: este conjunto es distinto del con o con ” (un enunciado simple primer subconjunto, pues la primera carta es diferente; tampoco es igual al sey, en apariencia, muy concreto); o gundo, pues la segunda carta, a la que hemos dado la vuelta, es diferente; y así bien (b) existen otros y entonces sería sucesivamente. El n-ésimo subconjunto se diferencia del nuevo subconjunto, pues a la carta número n se le ha dado la vuelta. Hemos confeccionado así un subcon- necesario saber cuántos son y cómo  junto que n o forma part e de la lista . Por lo tanto , el conjun to de los subc onjuntos se obtienen. No se puede pretender no es numerable... Este “razonamiento diagonal” de Cantor sirve para demostrar tener una idea clara de los números que el conjunto de los números reales (los números racionales más los números reales si no se dispone de una resirracionales) no es numerable. Examinemos los números reales del segmento de puesta precisa al problema de la hipólongitud unidad (c): la distancia de cada punto al origen está escrita en la forma tesis del continuo. Cantor se agotó binaria 0,011010010111... El punto cuya distancia al origen esté medida por las cifras invertidas de la diagonal no figurará en la enumeración. Resulta pues im- en sus esfuerzos por resolverlo, lo que no consiguió, a pesar de haber creído posible numerar todos los números reales del segmento unidad... El conjunto de erróneamente lo contrario en varias los números reales tiene la potencia 2ℵ0  y es un infinito mayor que el infinito numerable. ocasiones.

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IDEAS DEL INFINITO

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La indecidibilidad no resuelve nada

somos nosotros quienes decidimos si Una primera vía consiste en un número es par o impar, primo o re visa r críticam ente la teoría ordicompuesto, etc. ¿Por qué, pues, habría naria de conjuntos. Esta teoría, de serlo el mundo de los números rea- denominada ZF (en honor de los dos les y ofrecernos la posibilidad de deci- matemáticos E. Zermelo y A. Fraendir, según nuestras preferencias, que kel, que la definieron a principios existe una parte infinita de que es del siglo  XX ), puede ser tenida por imposible de poner en biyección con insatisfactori a por diversas razones. o con , o, por el contrario, que tal En particular porque engendra parte no existe? situaciones contrarias a la intuición, El propio Cantor pensaba, y lo concernientes a la existencia de objemismo le sucedía a Gödel, que la hipó- tos matemáticos que no podemos tesis del continuo tiene que ser verda- construir. Han sido propuestas dera o falsa y la teoría de conjuntos diversas eventualidades, como la tiene que permitirnos averiguarlo, a teoría de tipos, la teoría de conjuntos menos que se trate de una ilusión, lo constructivista, teoría de conjuntos que significaría que la comprensión con conjunto universal, etc., que no que la teoría nos proporciona del infi- han logrado, sin embargo, retener nito actual es ficticia, artificial. La  verdaderame nte la atenció n de los situación creada por los resultados de matemáticos, que siguen aferrados Gödel y de Cohen sobre la hipótesis a la sencillez de Zermelo-Fraenkel y del continuo es insatisfactoria lógica- no parecen encontrar muy grave la mente, pero lo que se pone en tela de situación creada por la hipótesis del  juicio es todo el significado de la teoría continuo. Cierto es que estas otras del infinito actual propuesta por teorías obligan a reevaluar todo el Cantor y lo que está en juego en última trabajo matemático ya realizado, instancia es la idea misma de una pese a no haber aparecido en él ninteoría del infinito actual. guna auténtica contradicción. Lo que impulsa a algunos a querer abandonar Zermelo-Fraenkel no es más que  Vías para ir más lejos una insatisfacción filosófica. La segunda vía consiste en admitir a indecidibilidad de la hipótesis que Zermelo-Fraenkel es satisfactodel continuo no sólo no resuelve ria, es decir, que no enuncia sobre los la cuestión del infinito sino que la conjuntos sino cosas aceptables, pero exacerba. Pues si la teoría de con- que es incompleta. Faltan en ella cier jun tos proporcion a verda dera mente tos axiomas y el trabajo del lógico y una comprensión del infinito a ctual del matemático habría de consistir en y no se reduce a un mero juego gra- buscarlos, para añadirlos. De ser destuito entre símbolos matemáticos, cubiertos estos axiomas (o al menos sin contrapartida en el mundo real, algunos de ellos) la hipótesis del conha de ser posible seguir avan- tinuo, o su negación, se tornaría zando. demostrable.

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ás adelante, una vez formalizada la teoría de conjuntos, se demostraron otros dos resultados importantes concernientes a la hipótesis del continuo. El matemático austríaco Kurt Gödel demostró en 1938 que si la teoría de conjuntos habitual es consistente (no lleva a una contradicción), entonces la misma teoría completada con el axioma que afirma que la hipótesis del continuo es verdadera tampoco llevará a una contradicción. La admisión de la hipótesis del continuo no puede ser responsable, pues, del hundimiento de la teoría de conjuntos habitual. Paul Cohen irá más lejos en 1963: si la teoría de conjuntos es consistente, entonces esa misma teoría, completada con la afirmación de que la hipótesis del continuo es falsa, tampoco llevará a contradicciones. Los dos resultados anteriores agrupados permiten decir que quien admita la teoría ordinaria de conjuntos puede tomar la hipótesis del continuo o su negación sin riesgo adicional de contradicción. La teoría de conjuntos deja a los matemáticos la opción de considerar a la hipótesis del continuo como  verdadera o como falsa. Esta indecidibilidad de la hipótesis del continuo no es una paradoja: la teoría no se contradice; al contrario, no dice nada. Pero tal subdeterminación es muy insatisfactoria desde el punto de vista lógico y profundamente inquietante. En efecto, tomemos el mundo de los números enteros: no es arbitrario; no

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4. LA DIFERENCIA entre ℵ0 y 2ℵ0 es importante en geometría cuando aparecen conjuntos infinitos. Así el número de vértices de una pavimentación hexagonal del plano es ℵ0, porque podemos construir una espiral (en rojo ) con la que

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enumerar todos los vértices. En cambio el número de círculos que podemos situar sobre una hoja de tamaño finito es un infinito 2ℵ0, porque el centro de cada círculo es un punto del plano.

TEMAS 23

Esta segunda vía no es enteramente absurda y al insistir sobre la actual incompletitud de la teoría de conjuntos no estaríamos sino tomándonos en serio los teoremas generales de incompletitud demostrados por Kurt Gödel en 1931, una manifestación de los cuales en la teoría de conjuntos sería la indecidibilidad de la hipótesis del continuo. Esta segunda vía conduce a un programa de investigación encaminado a encontrar nuevos axiomas que añadir a la teoría de conjuntos, un programa que el propio Kurt Gödel defendió.

Los cardinales grandes

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os trabajos realizados en lógica matemática sobre los denominados “cardinales grandes” constituyen el dominio de investigación del que podría provenir la solución del enigma de la hipótesis del continuo (toda parte infinita de , ¿es siempre biunívocamente coordinable con o con ?), siendo al mismo tiempo un dominio en el que los matemáticos se topan con nuevos conjuntos infinitos cuyo impresionante tamaño habría hecho retroceder al propio Cantor. Los axiomas de cardinales grandes constituyen afirmaciones alusivas a conjuntos monstruosamente grandes.  Aunque su definición es delicada, emanan de principios análogos al que consiste en afirmar que no sólo ,  P( ),  P( P( )), ... son infinitos actuales legítimos, sino que existen otros mayores todavía, algunos de los cuales contienen a la vez a , P( ), P( P( )), ... Los axiomas de los cardinales grandes ocupan, con respecto a la teoría Zermelo-Fraenkel, una situación casi igual que la hipótesis del continuo: podemos optar, sin riesgo de introducir una contradicción, por adjuntarlos o por adjuntar su negación (en teoría, al adjuntarlos podría introducirse una contradicción, pero nadie en la práctica la ha encontrado jamás). Empero, y contrariamente a lo que sucede con la hipótesis del continuo, resulta natural considerarlos verdaderos. En efecto, adoptar su negación sería limitar el tamaño de los conjuntos posibles, lo que no es natural. Además esta misma negación contradice a un principio de apertura y tolerancia, que indica que sean aceptados todos los objetos que no introduzcan incoherencias. Se dice que los cardinales grandes son verdaderos a priori. Hay otra razón que lleva a aceptarlos. De una forma que asombra a los matemáticos, estos axiomas de cardinales grandes se sitúan linealmente unos respecto de otros como si

IDEAS DEL INFINITO

La hipotesis del continuo y la notación de los aleph Cantor propuso la siguiente notación para los infinitos: — El infinito de los números enteros se denota ℵ0 (que se lee aleph0) — El infinito siguiente se denota ℵ1, etc. Por otra parte, el infinito de los números reales (el continuo) es denota do 2ℵ0. La justificación de esta notación es que está demostrado, por una parte, que el conjunto de los números reales tiene el mismo tamaño que el conjunto de las partes de ℵ y, por otra, que en el caso finito el número de par tes de un conjunto de n   elementos es 2n  (y así, por analogía, se denota 2 a  al tamaño del conjunto de las partes de un conjunto de tamaño a ). La escala de los infinitos dados por el teorema fundamental de Cantor se ℵ denota: ℵ0, 2 ℵ0, 2 2 0, etc. La cuestión de saber si existe algo intermedio entre ℵ0 y 2ℵ0 se expresa: ¿Es ℵ1 = 2 ℵ0? La afirmación de que ℵ1 = 2ℵ0 se denomina hipótesis del continuo y ℵi +1 = 2ℵi  se conoce como hipótesis generalizada del continuo. Se ha demostrado que estas afirmaciones son independientes de los axiomas clásicamente aceptados para la teoría de conjuntos: nunca será posible establecer, partiendo solamente de ellos, su veracidad o falsedad. Ello no significa que deba perderse toda esperanza de saber si son verdaderas o falsas: es posible que se hayan dejado de lado ciertos axiomas relativos a los conjuntos y que, cuando se descubran y se adjunten a l os axiomas conocidos, la hipótesis del continuo se tor ne demostrable.

5. LA PARADOJA DE BANACH-TARSKI. Se demuestra que una esfera puede ser descompuesta en un número finito de piezas, las cuales, por desplazamientos sin deformación, permiten recomponer dos esferas idénticas a la esfera de partida. Con mayor generalidad, una esfera puede ser transformada en un cubo, sin ninguna condición sobre los volúmenes de la esfera inicial ni del cubo final. Y con mayor generalidad todavía, si dos partes A y B del espacio son de tamaño acotado y cada una de ellas contiene al menos una esfera de radio positivo, entonces se puede descomponer A en un número finito de piezas que, tras desplazamiento, reconstruirán  B. Estas descomposiciones paradójicas fueron descubiertas en 1924 por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, que trabajaban en teoría de la medida (la teoría abstracta de las áreas y los volúmenes). A pesar de que estas descomposiciones chocan profundamente con el sentido común, que espera que el desplazamiento de porciones de un objeto no modifique su volumen, no constituyen “paradojas” en sentido estricto: no se introduce ninguna contradicción en la teoría de conjuntos. Lo único que estas descomposiciones hacen ver es que el mundo del continuo matemático y las consecuencias del axioma de elección no se corresponden con nuestras ideas intuitivas.

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Un axioma que define un cardinal grande

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na aplicación sobreyectiva, o suprayección, de A sobre B  es una aplicación F  que llega a todo punto de B : para todo elemento β del conjunto B , existe al menos un elemento α del conjunto A tal que F (α) = β.  JUN T  O     O  N A     C

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 N JUN T  O  B     C  O

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b c

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d 3 e

Si existe una suprayección del conjunto A sobre el B , se dice que A es más grande que B . Si además no existe ninguna suprayección de B   sobre A, se dice que A es estrictamente más grande que B . Cantor demostró que el conjunto P(A)   de las partes de un conjunto A es siempre estrictamente mayor que el conjunto A. De aquí se sigue la existencia de una infinidad de conjuntos cada vez más grandes, N , P(N) , P(P(N))  y, accesoriamente, que no existe el conjunto de todos los conjuntos. P(P(N))

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CONJUNTO

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8 1 0 12 ...

...

DE LOS ENTEROS

CONJUNTO DE LOS SUBCONJUNTOS DE N 

La posibilidad de hallar vínculos entre los axiomas de los cardinales grandes y la hipótesis del continuo es real, habiéndose obtenido ya resultados parciales: ciertas partes infinitas de para las que no se sabe demostrar en Zermelo-Fraenkel que sean coordinables con o con , sí pueden ser puestas en biyección con o con gracias a los axiomas de cardinales grandes. La teoría creada por Cantor parecería, pues, tenerse en pie y, lo que es mejor, progresar por adjunción de nuevos axiomas naturales. El infinito actual ni es paradójico ni es lógicamente insatisfactorio (como nos hizo temer por un momento la indecidibilidad de la hipótesis del continuo), sino que, por el contrario, es coherente y verosímil. Lo mismo que en la física, donde nuestra concepción del tiempo y del espacio ha tenido que ser revisada a la luz de la teoría de la relatividad (la cual, pese a las primeras apariencias, no es en modo alguno paradójica), la concepción del infinito actual obliga a reconstruir nuestra idea de los objetos matemáticos y a revisar la forma en que concebimos la realidad matemática. A quien acepte esta profunda reforma de los conceptos no se le puede confrontar con ninguna paradoja. Podemos incluso pensar que las situaciones lógicamente insatisfactorias que todavía creemos percibir se irán disipando a medida que nuestro entendimiento vaya aceptando plenamente el nuevo universo conceptual propuesto por estas matemáticas del infinito actual, que los matemáticos continúan refinando y perfeccionando en nuestros días.

CONJUNTO DE LOS SUBCONJUNTOS DE LOS SUBCONJUNTOS DE N 

He aquí un ejemplo de axioma de cardinales grandes: existe un conjunto no numerable A tal que, si A es estrictamente mayor que B , entonces A es también estrictamente mayor que el conjunto P(B)  de las partes de B , estrictamente mayor que el conjunto P(P(B))   de las partes de P(B) , etc., y con mayor generalidad, mayor que todo conjunto definible a partir del conjunto B . El cardinal de A es un cardinal grande. Pero estos axiomas son, en la mayor parte de los casos, indecidibles de Gödel: con los axiomas habituales de la teoría de conjuntos no es posible demostrar ni que son verdaderos ni que son falsos. Es necesario, pues, aceptarlos sin más, sin esperanza de demostrarlos a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos. A pesar de lo cual son útiles.

designasen verdaderamente una jerarquía de infinitos (que trasciende y completa la que Cantor sacó a la luz). Si no se tratase más que de un juego formalizado y gratuito de los lógicos, no habría explicación para que unos se ordenen respecto de los otros como lo hacen. Para los lógicos K. Kanamori

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y M. Magidor “este aspecto jerárquico de la teoría de grandes cardinales es un poco misterioso, pero es también un argumento poderoso en favor de la adopción de axiomas de cardinales grandes y del hecho de que proporcionen las extensiones naturales de Zermelo-Fraenkel”.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

GEORG CANTOR: HIS MATHEMATICS AND PHILOSOPHY OF THE INFINITE. Joseph W. Dauben. Harvard University Press, 1979.

INFINI DES MATHÉMATICIENS, INFINI DES PHILOSOPHES . Dirigido por Françoise Monnoyeur. Belin, 1992.

LES PARADOXES

DE L ’I NFINI . Bernhard Bolzano. Introducción, traducción del alemán y notas de Hourya Sinaceur. Seuil, 1993. THE HIGHER INFINITE. Akihiro Kanamori. Springer-Verlag, 1994. THÉORIE DES ENSEMBLES. Jean-Louis Krivine. Cassini; París, 1998.

JUEGOS INFINITOS CON CONJUNTOS GRANDES . Jean-Paul Delahaye en  Jeux Ma-

thématiques et Mathématiques des Jeux , capítulo 7. Belin/Pour la Science, 1998.

TEMAS 23

El infinito, piedra de toque del constructivismo

Allan Calder

 Los objetos matemáticos no existen más que si es posible construirlos,  definición de existencia matemática que enfrenta desde hace un siglo a los matemáticos constructivistas con los formalistas  La más elevada de las perfecciones de Dios es la posibilidad de crear un conjunto infinito y su inmensa bondad le llevó a crearlo. Georg Cantor

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os matemáticos realistas piensan que si los seres humanos llegaran a comunicarse con otros seres vivos del universo, ambas civilizaciones tendrían en común una forma elemental de matemáticas de la que podrían servirse para dialogar. Muchos han sido los matemáticos y los filósofos que han opinado desde tiempos de Platón que las matemáticas poseen existencia extrínseca, una existencia aparte del conocimiento que de ellas tengamos, lo que les confiere una especie de verdad absoluta. La tarea del matemático consiste en el descubrimiento de esta verdad. Pero no todo el mundo comparte tal creencia en una matemática “preexistente”. Leopold Kronecker, matemático alemán del siglo  XIX , estaba persuadido de que Dios había creado los números enteros, mientras que “todo lo demás es obra del hombre”. Según este punto de vista, el matemático no descubre las matemáticas sino que las inventa. La cuestión de si las matemáticas se descubren o se inventan no es baladí, pues los matemáticos orientan de uno u otro modo sus trabajos según la opción filosófica que elijan. Las matemáticas constructivas, en las que la existencia de un objeto matemático no queda establecida sino cuando se ha mostrado la forma de construirlo, se fundan concretamente en la idea de que las matemáticas son inventadas.

Las consecuencias que esta elección tiene sobre asuntos tan importantes como la validez de las demostraciones matemáticas o el significado de la existencia matemática quedan ilustradas por los métodos y los conceptos de los matemáticos griegos, que son los que han guiado la evolución de las matemáticas durante los últimos veinticinco siglos. Para los griegos las matemáticas se reducían prácticamente a la geometría. Su obra más emblemática fueron los Elementos  de Euclides. Los métodos deductivos de la escuela eleática de filosofía (Parménides, Zenón, etc.), la lógica aristotélica y el idealismo platónico se fundaban todos en un sistema axiomático. Euclides partió de objetos no definidos, como el punto, la recta y el plano, así como de cierto número de axiomas, es decir, de ciertas ideas a ellos concernientes, y aplicando las reglas de la deducción aristotélica obtuvo nuevas proposiciones, es decir, teoremas.  A pes ar de que objet os com o el punto (que no tiene dimensión) y la recta (que tiene longitud, pero no anchura) no existen en el mundo real, solemos tener la impresión de que sabemos lo que son. Los teoremas de Euclides tienen además confirmación empírica: con lápiz y papel se puede comprobar, por ejemplo, que dos triángulos cuyos lados son iguales tienen ángulos iguales. Los matemáticos de la época moderna han seguido adoptando el método axiomático. Pero en buen número de casos lo han aplicado a objetos carentes de las virtudes intuitivas o “constructibles” de la geome-

tría euclídea. Para los constructivistas tales aplicaciones han falseado el sentido de las matemáticas. Por esta razón se han presentado determinadas propuestas durante los cien últimos años tendentes a reanudar la tradición intuitiva. Examinaremos aquí esta larga controversia, cuyos aspectos más importantes aparecen en el curso de la evolución matemática del concepto de infinito.

La construcción del infinito

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as paradojas de Zenón sobre la divisibilidad hasta el infinito y sobre la continuidad escaldaron a los matemáticos griegos, que se volvieron en extremo prudentes sobre la utilización de infinitos. El objeto fundamental de las matemáticas griegas era la longitud y Euclides, por ejemplo, no se refería a rectas sin fin, sino a segmentos de recta extensibles a longitudes arbitrarias. Esta noción de infinito “potencial” —las rectas consideradas son finitas, reservándose la posibilidad de extenderlas al infinito— constituye una extrapolación razonable de la experiencia. La noción opuesta, la de infinito “actual”, según la cual existen realmente rectas de longitud infinita, es metafísicamente diferente; exige a la imaginación un vuelo vertiginoso. Por esta razón los matemáticos evitaron los infinitos actuales y se limitaron a los potenciales. René Descartes y Pierre de Fermat, al introducir las coordenadas cartesianas en el siglo  XVII, transformaron los problemas sobre figuras y objetos

? IDEAS DEL INFINITO

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geométricos en problemas sobre perla a finales del siglo  XIX : la teoría números. Esta numerización de conjuntos. —“aritmetización”— de la geometría  A partir de Georg Cantor, a quien confirió al número, más que a la lon- se deben los primeros bocetos de la gitud, el lugar preponderante en teoría de conjuntos, se define un conmatemáticas. Las bases de los traba-  junto como una colección de objetos,  jos de Newton y de Leibniz sobre el reales o abstractos, provisto de una cálculo infinitesimal se plantearon ley que determina la pertenencia o no bajo la forma de un conjunto de leyes al conjunto de cada objeto dado. Esta para la manipulación de unos objetos sencilla idea tuvo profundas consenuméricos que eran infinitamente cuencias sobre el concepto de infinito. pequeños sin ser nulos. Conjuntos como el de los números Este concepto de cantidad infinita- reales son, por su misma naturaleza, mente pequeña fue en extremo per- infinitos actuales. El estudio de tales turbador en una época en la que los objetos llevó a Cantor a extraer la objetos matemáticos ostentaban una conclusión desconcertante de que, al realidad del mismo grado que la que igual que se puede determinar la carpuedan tener hoy los electrones, por dinalidad de los conjuntos finitos (su ejemplo. Hubo de pasar algún tiempo número de elementos), también puede hasta que la innegable utilidad del medirse la de los conjuntos infinitos, cálculo diferencial obligase a los con el sorprendente resultado de que matemáticos a aceptar de mejor o peo r ciertos conjuntos puede n ser más infigrado los infinitos actuales que tal nitos que otros, para decirlo concisacálculo entrañaba. Se forjaron con mente. éxito las técnicas del cálculo infiniCantor definió entonces toda una tesimal, al tiempo que se ponían en  jerarquía de conjunto s infinitos: el tela de juicio sus bases filosóficas. Este conjunto de los números racionales, irritante grano de arena incrustado el de los números irracionales en la ostra matemática produjo una (números reales que no son fraccio-

1. EN LA ESCUELA DE ATENAS, un cuadro de principios del siglo  XVI, Rafael retrató a los grandes filósofos y matemáticos de la Grecia clásica. En el centro están Platón (con la mano alzada) y Aristóteles; abajo, a la izquierda, Pitágoras medita sobre su sistema de proporciones, mientras que Euclides traza un círculo sobre una pizarra (abajo a la derecha). Para los griegos las matemáticas se limitaban casi exclusivamente a la geometría y fue en su tratado de geometría, los Elementos,

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 Jan Brouwer (1881-1966)

nes), el de los números trascendentes (números reales que no son raíz de ninguna ecuación polinómica, del tipo an xn + an– 1 xn–1 + . . . + a1 x + a0 = 0, cuyos coeficientes a n   son enteros), etc. Según Cantor, dos conjuntos tienen el mismo tamaño, o cardinalidad, cuando todos los elementos de uno de ellos pueden ser biunívocamente asociados, uno a uno, con los elementos

donde Euclides sentó por primera vez las bases de un sistema axiomático. En tal sistema ciertas afirmaciones evidentes, iniciativas o axiomas, permiten obtener, gracias a las reglas de deducción aristotélicas, nuevos resultados, los teoremas. Los matemáticos constructivistas proponen una reedificación de las matemáticas en la que no se recurra a conceptos no intuitivos, como el infinito actual, introducidos en matemáticas desde hace algunos siglos.

TEMAS 23

del otro. Este modo de poner en correspondencia a dos conjuntos se llama una “biyección”.  Así se dice que un conjunto es numerable si tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales 0, 1, 2, 3, ... (los enteros no negati vos). Muchos matemáticos contemporáneos de Cantor consideraron que la idea de conjunto infinito era absurda. El propio Cantor admitió que se había visto forzado a considerar conjuntos infinitos con carácter de entidades únicas “casi contra su  voluntad”. Tal supresión de la diferencia entre infinito potencial e infinito actual estaba “en contradicción con tradiciones apreciadas”. Y todavía más chocante que la noción de con junto era el uso que Cantor les daba; los matemáticos quedaron escandalizados por su demostración de que el conjunto de los números trascendentes es infinito y no numerable.

Demostracione no constructivas

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n número es trascendente si no es algebraico y un número  x es algebraico si es solución de alguna ecuación polinómica de coeficientes enteros. Los números racionales, por ejemplo, son números reales expresables en la forma p/q, siendo p y q enteros y q no nulo; por ello todo número racional es algebraico, pues verifica la ecuación q x – p = 0. Cantor demostró la existencia de ciertos números, los números trascendentes, que no verifican estas condiciones; demostró sobre todo que los números trascendentes lo son en número infinito, comenzando por precisar que el con junto de los números algebraicos es un infinito numerable. Dicho de otro modo, Cantor puso de manifiesto una biyección entre el conjunto de los enteros naturales y el conjunto de los números algebraicos. Por no ser numerable el conjunto de los números reales, deberían existir números “no tomados en cuenta”, es decir, números que no son algebraicos. Supongamos ahora que el con junto de los números trascendentes fuera numerable. No es difícil demostrar que el conjunto formado por la unión de dos conjuntos numerables es numerable (ello no plantea ningún problema si uno de los conjuntos, o ambos, son finitos; para demostrar que su unión es numerable es suficiente con poner a uno de ellos en biyección con el conjunto de los números impares y al otro con el de los números pares). Entonces, si la hipó-

IDEAS DEL INFINITO

72 70 68 66

¿ES ESTE NUMERO SUMA DE DOS NUMEROS PRIMOS? EN CASO AFIRMATIVO, INSCRIBIR 0 EN CASO NEGATIVO, INSCRIBIR 1

 0

 0

  0

 0

  0

  0

  0

     0

   0

    0

     0         0         0           0 

          0

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2. LA CONJETURA DE GOLDBACH enuncia que todo número natural par mayor que 2 es suma de dos números primos. Aunque esta proposición sigue sin ser demostrada, existe un procedimiento fiable para saber si un número par es suma de dos números primos. Podemos, pues, programar un ordenador para que examine por separado cada número par e inscriba un 0, si es suma de dos primos, o un 1, si no lo es. Por ser infinito el conjunto de los números pares, la cadena de ceros (con, posiblemente, algún 1) lo es también. ¿Será correcto aplicar la ley aristotélica del tercio excluso a esta cadena infinita y decir que o bien contiene un 1 o bien no lo contiene? El problema es que, faltos de una demostración, tal vez no lleguemos  jamás a saber cuál de las dos hipótesis es l a correcta.

tesis fuese verdadera, el conjunto de los números reales (que está constituido por la unión de los números algebraicos y de los números trascendentes) sería numerable, lo que es una contradicción. Por consiguiente, la hipótesis de que el conjunto de los números trascendentes es numerable es falsa: este conjunto es, pues, infinito y no numerable. La demostración de Cantor utiliza el método clásico de reducción al absurdo, con el que se demuestra una proposición haciendo ver que su negación conduce a una contradicción. Matemáticos como Kronecker quedaron escandalizados por semejante demostración, porque en la tradición matemática no había existencia sin construcción: para establecer la existencia de un objeto matemático se debe especificar el método por el que se le puede construir, al menos en principio. No es necesario que esta construcción se realice verdaderamente, ni siquiera que tenga que ser realizable en un tiempo “razonablemente” breve, con tal de que el proceso entrañe un número finito de etapas y de que se explicite el paso de cada etapa a la siguiente. La demostración de Cantor no atendía a tales requisitos; no permitía la cons-

trucción de números trascendentes y mucho menos de toda una infinidad de ellos. La demostración de Cantor constituyó uno de los primeros ejemplos de demostración de existencia pura. No indica cómo obtener un número trascendente, sino que establece la existencia de tales números haciendo ver la contradicción que entrañaría su no-existencia.

La demostración de existencia pura

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l espectro del infinito esboza aquí su silueta. Los razonamientos por reducción al absurdo que establezcan la existencia de un objeto en un conjunto finito son aceptados por todos los matemáticos, pues siempre cabe (en principio) exhibir el objeto buscado confeccionando una lista completa de los elementos del conjunto. Este razonamiento no es aplicable a los números trascendentes, que son elementos del conjunto infinito de los números reales. Por esta razón fueron muchos los matemáticos que rechazaron la demostración de Cantor, arguyendo que una contradicción no reemplaza a un objeto tangible.

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La controversia estaba lejos de cuales al menos se conocían algunos haberse apaciguado cuando David ejemplos, pues unos treinta años Hilbert publicó en 1889 una demos- antes se habían descubierto ya ciertración de existencia pura todavía tos números trascendentes. Ahora más litigiosa. La demostración con- Hilbert sostenía haber establecido cernía a un problema propuesto por la existencia de objetos que jamás el matemático alemán Paul Gordon. había visto nadie y que nadie sabía Este problema, una de las cuestiones construir. “¡Esto ya no son matemámás candentes de la época, conjetu- ticas!”, exclamó Gordon. “¡Esto es raba la existencia de conjuntos (fini- teología!” tos) de objetos que presentasen proPero en manos de Hilbert la demospiedades particulares en cierto tración de existencia pura hacía número de casos. Hilbert demostró, maravillas y como la teoría de conrazonando por reducción al absurdo,  juntos estab a empez ando a aportar que los conjuntos en cuestión exis- resultados importantes a las matetían siempre. Cantor había demos- máticas, las objeciones se fueron trado la existencia de objetos de los difuminando. El propio Gordon llegó

a reconocer que “también la teología tiene sus méritos”. Tras la muerte de Kronecker, en 1891, decayó la intensidad de la oposición a los métodos no constructivos, hasta que el matemático holandés Luitzen Brouwer le insufló nuevo aliento en 1907. Según Brouwer, las matemáticas perderían todo su sentido si no se estableciera una distinción clara entre la existencia real, o constructiva, y la existencia pura. Estas dos nociones habían quedado confundidas al extender los mét odos de la lógica clásica desde lo finito a lo infinito, sobre todo en lo tocante al principio del tercio excluso.

Infinitos cada vez mayores: los ordinales

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os primeros números conocidos fueron los números enteros naturales (o sea, los enteros no negativos) 0, 1, 2, 3, ... que permiten la enumeración de conjuntos de objetos discontinuos, individuales: corderos, sacos de trigo, etc. Estos números naturales pueden quedar representados por puntos regularmente repartidos sobre una semirrecta, siendo la distancia entre el origen y un punto de la semirrecta la expresión de un número natural. Los egipcios, los griegos, los árabes y los europeos del Renacimiento generalizaron el concepto de número entero natural y definieron los números racionales, o fracciones, merced a las operaciones “algebraicas”, a saber, la suma, la resta, la multiplicación y la división de dos números enteros naturales. Después de los números racionales, los griegos, por razo— nes geométricas, introdujeron los números reales: √ 2 por ejemplo es la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1. Con estas generalizaciones todos los puntos de una recta se corresponden con un número real y recíprocamente. Las operaciones algebraicas aplicadas a estos números dieron lugar a diversas generalizaciones, como son los números complejos. Georg Cantor quiso generalizar el concepto de número a finales del siglo XIX, pero no de manera algebraica, como sus predecesores, sino desde el punto de vista de su ordenación. Dicho de otro modo, Cantor quiso, a partir del principio de enumeración utilizado en la construcción de los números naturales, generalizar la relación “es mayor que” (por ejemplo, 7 es mayor que 4) y conservar el acto de contar, en el cual se sitúa un nuevo número a continuación de los ya definidos. Los números infinitos, o “transfinitos”, inventados por Cantor permiten seguir contando más lejos que con los enteros naturales. Los ordinales son, pues, o bien los números enteros naturales o bien los números transfinitos. ¿De qué modo propuso Cantor superar el infinito de los números enteros naturales? Podemos imaginárnoslo tomando de nuevo la interpretación geométrica de los números mediante puntos de una semirrecta: para rebasar el infinito representado por esta infinidad de puntos basta yuxtaponer una segunda semirrecta al lado de la primera, luego una tercera y así sucesivamente (véase la figura ). Se yuxtaponen así 10 o 100 semirrectas y, como su número no está limitado, se obtendrá finalmente un cuadrante del plano completamente lleno de semirrectas. ¿Por qué detenerse ahí y no tratar seguidamente de apilar los planos? Las posibilidades de yuxtaposición son ilimitadas; los objetos obtenidos son los ordinales.

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Tomemos de nuevo la imagen intuitiva de las semirrectas y examinemos los ordinales sucesivos que hemos ido creando por el procedimiento anteri or. Después de haber contado todos los números naturales (en número infinito), se introduce el número transfinito ω, que representamos en el origen de la segunda semirrecta. Después, desplazándonos a lo largo de esta semirrecta, vamos contando ω +1, ω +2, ω + 3... Cuando finalmente hayamos contado todos los números de la forma ω + k , donde k  es un número natural, se introduce el número ω + ω, que se denota también ω × 2, y que constituye el origen de la tercera semirrecta. Por fin, cuando ya han sido contados todos los números de la forma ( ω × p ) + k   (donde p  y k   son enteros naturales cualesquiera), se introduce el número trascendente ω2: en este estadio ha quedado lleno el cuadrante de plano antes mencionado. De este modo el número ordinal 2 ω , que es consecutivo a todos los números de este retículo regular plano, se sitúa por encima de 0 en un plano superpuesto al primero. Seguiremos apilando nuevos planos para crear 2 2 ω × 2, ω × 3, etc. Tomando un espacio de dimensión n  mayor que 3, el ordinal ωn  sería todavía representable, pero incluso así la representación de los ordinales tiene sus límites: el ordinal ωω, que es posterior a todos los ωn , no admite una representación tan sencilla. El estribillo fundamental de la construcción de los números transfinitos es “posterior”: dado un conjunto X  de ordinales, se define un nuevo ordinal x   por la condición de que sea más grande que (o “posterior a”) todos los elementos del conjunto X . En este estadio todavía no hemos definido rigurosamente los ordinales. La definición más sencilla está fundada en el concepto de “buena ordenación”, es decir, de una forma de clasificar (léase: de ordenar) los números naturales. La buena ordenación más sencilla es la habitual, la usada al ir enumerando los números naturales: su principio consiste en “ser el siguiente de”. Pero caben también otras buenas ordenaciones muy distintas. Por ejemplo, optemos por comparar dos a dos los números enteros no nulos utilizando su descomposición en factores primos. Todo número natural no nulo es un producto de los números pr imos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... afectados de exponentes adecuados. Por ejemplo, 84 es el producto 22 × 31 × 50 × 71. Podemos obtener una buena ordenación si, para comparar dos números naturales, se considera su descomposición en factores primos y se busca el mayor de los factores que no tenga el mismo exponente en los dos números, conviniendo en que sea posterior aquel número en el que tal exponente sea más grande. Por ejemplo, en el caso de los números 11.191

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El tercio excluso... excluido

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a ley aristotélica del tercio excluso postula que toda proposición es ora verdadera, ora falsa. A falta de este principio no es posible, evidentemente, la demostración por reducción al absurdo. Por ejemplo, la hipótesis de que todo número es algebraico conduce a contradicción en la demostración de existencia de números trascendentes ofrecida por Cantor; luego tienen que existir números trascendentes, según el principio del tercio excluso. La lógica aristotélica está tan integrada en la vida cotidiana que ponerla en duda parece una extrava-

gancia. La mayor parte de la gente llegar jamás a examinarlas todas. Si está persuadida de que el principio bien puede afirmarse que la bolsa del tercio excluso está bien fundado: contiene al menos una manzana roja si una bolsa contiene un número finito en cuanto se haya sacado una, no se de manzanas, nadie dudará de que o puede en cambio concluir que no hay bien hay una manzana roja en la bolsa ninguna roja en tanto no las hayamos o no la hay. Nadie tiene necesidad de retirado todas, lo que es imposible, sacar las manzanas de la bolsa para pues su número es infinito. saber de cierto que uno de los dos aserComo el infinito actual no se presenta tos anteriores es exacto (y si deseamos en la naturaleza, los matemáticos saber cuál lo es, podemos averiguarlo carecen de idea intuitiva de él. Para en un tiempo finito). aplicar la ley del tercio excluso a conLa situación es diferente cuando se  juntos infinitos han de extrapolar a aplica el principio del tercio excluso partir de sus conocimientos sobre los a un conjunto infinito, por ejemplo a conjuntos finitos. Esta extrapolación una bolsa que contuviera una infini- parece de justificación tanto más delidad de manzanas, porque no se puede cada habida cuenta de que los griegos,

y 32.984, se buscan para empezar las des2 ω 2 2 + ω 5 ω 2 2 + ω 4 + 1 ω  2 + ω 3 + 2 composiciones 192 × 31 y 23 × 7 × 19 × 31. ω 2 2 + 4 ω 2 2 + ω + 3 2 Como el factor 31 tiene el mismo exponente ω 2 2 + ω 4 ω 2 2 + ω 3 + 1 ω  2 + ω 2 + 2 en las dos descomposiciones, comparamos 2 ω 2 2 + ω 2 + 1 ω  2 + ω + 2 ω 2 2 + 3 ω 2 2 + ω 3 los exponentes de 19; el mayor está en ω 2 2 + 2 11.191, por lo que este número será situado ω 2 2 + ω + 1 ω 2 2+ω 2 2 ω  +ω5+1 después del 32.984. De igual manera, esta ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω  ω 2 + 5 ω 2 + ω + 4 ordenación (que es una buena ordenación) 2 2 ω  + ω 4 + 1 ω  + ω 5 sitúa a 2100 por delante de 5. ω 2 2 ω 2 + 4 ω 2 + ω + 3 2 ω  + ω 3 + 1 2 La buena ordenación anterior permite ω  + ω 4 ω 2 + ω + 2 ω 2 + 3 ordenar todos los enteros no nulos del modo ω 2 + ω 2 + 1 ω 2 + ω 3 2 3 4 2 siguiente: 1, 2, 2 , 2 , 2 , ... , 3 × 2, 3 × 2 , ω 5+1 ω 2 + 2 ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω 2 3 × 23, ... , 3 2, 32 × 2, ... siendo posible asociar ω+4 5 ω 4+1 2 ω 5 2 un ordinal a cada número de esta sucesión: ω  + 1 ω  + ω  4 ω+3 le asociamos el ordinal 0 al 1, el ordinal 1 al ω 3+1 2 ω 4 ω  2, el ordinal 2 al 2 2, el ordinal 3 al 23, ... , el 3 ω+2 ω 2+1 ω 3 ordinal ω a 3, el ordinal ω + 1 a 3 × 2, el ordi2 ω+1 nal ω × 2 a 32, etc. Esta relación de buena ω 2 ordenación permite una representación de ω  1 todos los números ordinales hasta el ωω (no incluido). 0 Los ordinales fueron causa del gran temor que padecieron los matemáticos de principios De este modo se conocen al menos dos buenas ordede siglo XX. El matemático italiano Cesare Burali Forti (1861naciones para el conjunto de los enteros naturales: la que se 1931) puso de manifiesto la paradoja si guiente. Por definición, utiliza corrientemente para ordenar los números (0, 1, 2, 3, todo elemento de un ordinal es un ordinal y la relación de pertenencia entre ordinales es una buena ordenación. El conjunto ...) y la que se construye a partir de la descomposición en de los ordinales es, pues, un ordinal x , y x   es elemento de x  factores primos (0, 1, 2, 2 2, 23, ..., 3, 3 × 2, 3 × 22...). La primera (porque x  está formado por todos los ordinales). Ahora bien, el de estas buenas ordenaciones está asociada al ordinal ω, y punto x   del conjunto x   de los ordinales verifica la proposición la segunda, al ordinal ωω. El más pequeño de los ordinales asociados a un conjunto “x  pertenece a x ”, lo que contradice la irreflexividad de la relaes el “cardinal” (o número de elementos) del conjunto. Esta ción de pertenencia sobre x . Para eliminar esta paradoja el definición permite generalizar a conjuntos infinitos una noción lógico británico Bertrand Russell (1872-1970) y otros matemáticos impusieron una definición ad hoc : una “clase” de elemen- familiar en el caso de los finitos. Se demuestra fácilmente que los números enteros naturales son cardinales; los cardinales tos definidos por una propiedad común solamente es un conjunto infinitos se pueden enumerar en la llamada “sucesión de los bajo ciertas condiciones y, en concreto, la clase de todos los aleph”. Así, aleph-cero es el cardinal del conjunto de los ordinales no es un conjunto. De este modo ya no se puede llegar a la conclusión “x   pertenece a x ” en la demostración de números naturales; es también el más pequeño de los cardinales infinitos y se confunde con el ordinal ω. Cantor demosla paradoja. Hemos visto que las buenas ordenaciones y los ordinales tró, por otra parte, que el cardinal del conjunto de los números son dos vías para describir una misma realidad: a toda buena reales es mayor o igual que aleph-uno (la denominada paradoja de Cantor). Cantor perdió la salud tratando de demostrar ordenación le corresponde un ordinal único. Ernst Zermelo (1871-1953) demostró (utilizando el axioma de elección, motivo que el cardinal del conjunto de los números reales era exactamente igual a aleph-uno (hipótesis del continuo). En realidad de controversia) que para todo conjunto existe una relación de buena ordenación que ordena los elementos del conjunto. la hipótesis del continuo no es decidible partiendo exclusivaSi olvidamos los nombres de los elementos y retenemos mente de los axiomas de la teoría de conjuntos. JEAN-YVES G IRARD solamente la forma de ordenarlos, se asocia, pues, al menos Instituto de Matemáticas (CNRS), Marseille-Luminy un ordinal a un conjunto.

IDEAS DEL INFINITO

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La definición de los números reales constructivos

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a cuestión es: ¿por qué no definir los números constructivos a partir de desarrollos decimales? La idea más natural para definir un número constructivo consiste en afirmar que es un número real para el que se dispone de un procedimiento numérico (vale decir, algorítmico) para calcular tantas de sus cifras decimales como se desee. De tal número se dirá que es “decimalmente constructivo”. He aquí dos ejemplos, x  e y : x  es igual a 1, definido como el número cuya sucesión de cifras decimales es 1,0000... y  es igual a 0 si todo número par es suma de dos números primos (conjetura de Goldbach, no demostrada hasta la fecha); en caso contrario y   es igual a 1/10n , tomando para n   el mínimo entero tal que 2n   no pueda ser expresado como suma de dos números primos. El número y   es “decimalmente constructivo” pues, si se desease conocer sus diez primeras cifras decimales, es suficiente comprobar que 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 son todos ellos expresables como suma de dos números primos (por sencillez, se incluye al 2 en la lista; la comprobación de la conjetura para estos diez números se hace en pocos minutos). Por consiguiente y  es menor que 1/10 10 y se escribe 0,0000000000...: conocemos con certeza las diez primeras cifras decimales de y . Tomemos ahora z = x – y . ¿Puedo conocer sus diez primeras cifras decimales? No. Sin saber si la conjetura de Goldbach es verdadera o falsa, no podemos saber ni siquiera la primera cifra decimal de z . En efecto, si la conjetura de Goldbach es verdadera, entonces z = 1, mientras que, si fuese falsa, z = 0,99999...99990000..., prolongándose los 9 hasta la cifra n correspondiente a un contraejemplo, 2n , de la conjetura. Lo anterior demuestra que la diferencia de dos números “decimalmente constructivos” no es por fuerza otro número “decimalmente constructivo”. Ello se debe a que para definir los números constructivos se adopta un método que no se refiere a las cifras decimales. Esta definición consiste en decir que x  es un número real constructivo si se conoce un método numérico de aproximarlo tanto como se desee mediante números racionales. Los números x  e y  propuestos arriba son números reales constructivos según esta definición, lo mismo que z = x – y   (pues verificando la conjetura de Goldbach hasta 20, se deduce que 0 ≤ 1 – z <1/1010). Con mayor generalidad, con la definición adoptada, la suma de dos números constructivos lo es también, así como su diferencia, su producto, etc. Resulta curioso que Alan Turing, en su artículo fundacional de la informática teórica de 1936, introdujera la noción de número real calculable refiriéndose a los decimales (como hemos hecho nosotros para los números “decimalmente constructivos”). Algunos meses después, dándose cuenta de que su noción era incómoda (la diferencia de números calculables no necesariamente lo es), proponía una modificación de su definición.

a quienes se la debemos, tenían la cado en la formulación de paradojas. mayor desconfianza hacia los infinitos Por ejemplo, dado que para todo conactuales. Brouwer señaló incluso que  junto es posible hallar un conjunto de los resultados de tales extrapolaciones cardinalidad estrictamente mayor, podrían no ser “constructivamente” Cantor había indicado que debía exis justos, pues cabría demostrar la exis- tir un conjunto V   de cardinalidad tencia de objetos “ideales”, imposibles mayor que la del conjunto universal de construir. Brouwer sostuvo que al U  que contiene a todos los conjuntos; otorgar a tales objetos ideales la misma por otra parte, dado que U  contiene a “realidad” que a los constructibles se todo conjunto, todos los elementos de atentaba contra la certeza matemá- V  deberían pertenecer a U  y la carditica. Unos objetos ideales darían ori- nalidad de V  tendría que ser menor o gen a otros y pronto dejaría de saberse igual que la de U . Este género de parasi las matemáticas tienen fundamento dojas socavaban los cimientos mismos real o no. de las matemáticas conjuntistas y, Las críticas de Brouwer llegaron en según Brouwer, tales errores proveun momento en que la teoría de con- nían de la introducción de objetos  juntos era vulnerable. Poco después ideales en las matemáticas. de 1900 la reorganización conjuntista Brouwer estaba convencido de que de las matemáticas había desembo- la crisis de las paradojas quedaría

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resuelta rechazando los objetos y razonamientos ideales, es decir, vol viendo a edificar las matemáticas por métodos exclusivamente constructi vos. Como este programa , llam ado intuicionismo, habría supuesto derribar casi la totalidad del edificio, no fue bien recibido, ni siquiera por los matemáticos proclives a la causa de Brouwer. Estaban mucho más dispuestos a seguir el plan de Hilbert, que no buscaba la purificación de las matemáticas desde su interior, sino su justificación desde el exterior. De este modo los matemáticos no resultarían expulsados del paraíso que Cantor les había abierto, según las propias palabras de Hilbert. Hilbert creía que, incluso si los ob jetos ideales carecieran de significación propia, sería posible deducir objetos y teoremas importantes y útiles. Según él podía esperarse que la noción de certeza volviera a tener sentido transformando las matemáticas en un sistema axiomático puramente formal: una especie de juego cuyo interés residiera no ya en los objetos que se manipulan, sino en las reglas y en las relaciones que éstas crean entre dichos objetos. Hilbert se aventuraba incluso a decir que las matemáticas tendrían sentido el día en que quedara claro que el sistema es coherente, es decir, desprovisto de contradicciones.

La teoría de la demostración

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l programa de Hilbert —el formalismo— tenía como primer objetivo la representación de las matemáticas en forma de un sistema axiomático formal. Hilbert confiaba en que al transformar de este modo los datos matemáticos en cadenas de símbolos abstractos, combinados según las reglas de la lógica, quedaría desenmascarado todo razonamiento portador de paradojas en germen. Todavía mejor, una vez formalizadas las matemáticas se podría emprender la tarea de demostrar su coherencia. A tal fin introdujo una nueva teoría, la teoría de la demostración, en la que era posible formular enunciados significantes a partir de signos y configuraciones del sistema axiomático carentes de sentido. Esta metamatemática tendría que ser enteramente constructiva, vale decir, “finitista”, por esencia. En consecuencia resultaría impensable poner en duda la demostración metamatemática de la coherencia de las matemáticas.

TEMAS 23

Brouwer se negó a aceptar que bastase con demostrar la coherencia de Leibniz y el infinito actual las matemáticas para volver a dotarlas de sentido y dedicó la mayor parte “Estoy tan decididamente en pro del infinito actual, que en lugar de admitir de su vida a tratar de demostrar que que la naturaleza lo aborrece sostengo que la afecta en todo, para mejor era posible “construirlas”. Su proresaltar la perfección de su autor. Así pues, yo no creo que haya parte ninguna grama tuvo escasa popularidad. Las de la materia que no sea, no digo divisible, sino actualmente dividida y por tentativas intuicionistas eran pesaconsiguiente la más mínima partícula debe ser considerada como un mundo das, artificiosas y difíciles de utilizar. lleno de una infinidad de criaturas diferentes.” Cuando Brouwer emprendió la tarea LEIBNIZ de desembarazar a las matemáticas de nociones ideales, tratando de conservar al mismo tiempo ciertos aspectos de probado valor desde hacía traciones constructivas de los mismos Bishop aborda la “constructivización” mucho, recurrió a nociones que pare- resultados) y rara vez se pone en tela de las matemáticas desde una óptica cieron igual de idealistas que aquéllas de juicio que tales matemáticas estén totalmente diferente. Su objetivo no que eliminaba. bien fundadas. Todavía subsisten es dar nuevos cimientos a las mateEn resumen, no fue la intensidad algunas querellas acerca de la teoría máticas, sino practicarlas de forma de su fe en las matemáticas lo que de conjuntos (especialmente sobre el constructiva; por ello su punto de llevó a los matemáticos a rechazar el axioma de elección, del que se tratará partida es el conjunto de los número s intuicionismo, sino más bien su falta más adelante), pero la controversia racionales, dotado de las operaciones de tal fe. Muchos sintieron temor al sobre los métodos de la teoría con- clásicas, progresando de modo “rea ver que su disciplina perdía su ver-  juntista de Cantor y Hilbert ha ter- lista” a partir de ahí. Según Bishop dadero sentido; les pareció que la minado. en matemáticas puede alcanzarse la única manera de mantener la nave a certeza rechazando toda noción “ideaflote sería la aceptación de ciertas lista” y comprobando permanentenociones ideales. Volvamos a citar a mente que los objetos y los teoremas Retorno al construccionismo Hilbert: “Comparados con el inmenso obtenidos conservan un sentido intuiauge de las matemáticas modernas, tivo. Gran número de resultados ¿qué sentido tendrían esos lamentaric Bishop reavivó el interés por importantes pueden obtenerse por bles vestigios, resultados magros y las matemáticas constructivis- este método directo. aislados, incompletos y desvincula- tas al publicar en 1967 un libro sobre La definición de los números reales dos, que han sido obtenidos por los sus fundamentos. Al contrario que o la de las funciones han de ser reconintuicionistas?” El formalismo de sus predecesores, se dedicaba a poner sideradas de modo radical en la mateHilbert les ofrecía a muchos un com- de manifiesto que los resultados obte- mática constructiva de Bishop. Al promiso atractivo. Si era posible nidos por métodos constructivos pue- igual que en la no constructiva, un demostrar que las matemáticas no den ser tan elegantes y potentes como número real está bien definido si contenían ninguna contradicción, se los obtenidos por métodos formalis- puede ser aproximado por números tendría la seguridad de que, si dos tas. Mientras que Brouwer quería racionales tan cercanos como se personas (o la misma, en ocasiones construir las certidumbres matemá- quiera. Desde un punto de vista consdiferentes) jugaban a las matemáti- ticas a partir de un sistema de axio- tructivo, para que la definición de cas, no acabarían con dos respuestas mas intuitivos para la aritmética, número real sea considerada como a un tiempo exactas y opuestas. re montándose luego desde ellos,  válida, se ha de dar un procedimiento Kurt Gödel demostró en 1931 que el programa formalista de Hilbert estaba condenado al fracaso, pues no hay ninguna metamatemática que permita demostrar que un sistema formal axiomático sea coherente en cuanto tal sistema sea lo suficientemente rico para incluir una aritmética elemental; lo único que podrá determinarse, en el mejor de los casos, es su incoherencia. Entre tanto la teoría de conjuntos y el formalismo habían alcanzado tan gran preponderancia en el ámbito matemático que ya no era cosa de rechazarlos con el pretexto de que su meta fundamental era una causa perdida. Fue así como el formalismo se con- 3. EL AXIOMA DE ELECCION, uno de los axiomas más utilizados y más controver virtió en uno de los motores del pe n- tidos de la teoría de conjuntos, estipula que siempre es posible, a partir de una samiento matemático y el intuicio- colección de conjuntos no vacíos, elegir en cada conjunto un elemento represennismo en una curiosidad matemática tante. Dicho de otro modo, para cada una de las colecciones representadas aquí, debería ser posible indicar una regla para elegir elementos, de suerte que personas caída en desuso. Los matemáticos diferentes efectúen las mismas elecciones. Por ejemplo, para la colección infinita optan por la elegancia de las demos- de pares de zapatos, la ley “Tómese el zapato izquierdo de cada par” es suficiente, traciones de existencia pura (incluso porque los dos zapatos son disímiles. No existe en cambio una ley tal para una cocuando tienen a su disposición demos- lección infinita de calcetines todos iguales.

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efectivo (finito) para aproximarlo por números racionales con el grado de precisión deseado. Dicho de otro modo, debe ser posible, tras un número finito de etapas, obtener un número racional que se aproxime al número real en cuestión con la precisión exigida. Ello no es siempre tan fácil como pueda parecer; por ejemplo, si nos refiriéramos solamente a los desarrollos decimales aparecerían dificultades insuperables. Otra consecuencia de la definición constructiva de conjunto que da Bishop es sorprendente: es imposible descomponer el conjunto de los números reales en dos conjuntos no vacíos que no tengan ningún elemento en común. Esta restricción sobre el recubrimiento del conjunto de los números reales tiene repercusiones sobre el tipo de funciones con valores reales que es posible definir constructivamente. La construcción propuesta por Bishop se funda en las funciones escalonadas (véase la figura 4 ). Por ser los criterios de aceptabilidad de las matemáticas constructivas más rigurosos que los de las no constructivas, todo teorema verificado constructivamente lo es también no constructivamente. Pero dos teoremas constructivamente distintos pueden tener la misma interpretación no constructiva. Por otra parte puede transformarse cualquier teorema no constructivo en un teorema constructivo, a condición de añadir como hipótesis “suponiendo válido el principio de tercio excluso”. Ciertas demostraciones no constructivas pueden reinterpretarse además constructivamente. Bishop afirmó que, una vez extraídas las enseñanzas positivas de su programa, las matemáticas usuales saldrían de su aislamiento para convertirse en una rama de las matemáticas constructivas. Pero la mayoría de los matemáticos no ha encontrado toda vía razones suficientes para cambiar radicalmente la concepción de sus investigaciones. Las matemáticas han progresado tanto que nadie puede afirmar que la falta de realidad que los constructivistas les reprochan esté  justificada. Después de todo, ya no hay que demostrar la utilidad de las matemáticas en el mundo real. Esta “batalla entre gatos y perros matemáticos”, como decía Albert Einstein, carece de interés para gran número de científicos. Por otra parte, los problemas importantes que provoca la evolución de las matemáticas son de orden casi puramente intuitivo, lo que prohíbe grandes alejamientos con respecto a la realidad: la convicción de que las

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4. LAS FUNCIONES ESCALONADAS son funciones utilizadas con gran frecuencia en la teoría de variables reales, pero no pueden ser definidas constructivamente. En matemática constructivista, una función definida sobre los números reales es una ley que le asocia a todo número real r  otro número real, ƒ(r ). Por ejemplo, la ley que define la función escalonada de la figura es: si r  es menor que 1, ƒ(r ) vale 0; si r  es mayor o igual que 1, ƒ(r ) vale 1. En ciertos casos es posible definir un número real y al mismo tiempo es imposible decidir, en un número finito de etapas, si el número es mayor, igual, o menor que 1. Por consiguiente es imposible atribuir a la representación de este número el valor 0 o el valor 1.

matemáticas no constituyen un juego carente de sentido parece, pues, quedar confirmada. Incluso aunque la revolución constructiva no sea verdaderamente una revolución, no cabe duda del papel determinante que desempeñarán en el futuro las matemáticas constructivas en la evolución de la disciplina. El reciente entusiasmo por la “constructivización” de ciertos resultados indica que hay casos en los que existen grandes ventajas al enfocar los problemas desde este nuevo ángulo. No sólo se logra así un análisis de mayor calidad, sino también teoremas más potentes; por ejemplo, cuando ha quedado clara la existencia constructiva de un número, se le puede calcular, tanto en la práctica como en la teoría. La mayor parte de los matemáticos actuales, formados en los moldes formalistas desde hace varias generaciones, no dudan de la correcta fundamentación de las matemáticas sino cuando son informados de las formidables contradicciones inherentes a su sistema axiomático formal. Aunque piensen que tales contradicciones puedan aparecer de cuando en cuando, se sienten seguros de poder ponerlo todo en orden mediante modificaciones de poca monta de los axiomas. La cues-

tión de si las matemáticas abstractas tienen o no sentido real no puede ni siquiera formularse en tales condiciones. A los matemáticos aquejados de dudas sobre la validez de su ciencia se les repite el consejo que, plagiando a Pascal, daba el filósofo francés Jean d’Alembert a quienes desconfiaban del cálculo diferencial: “Perseverad y la fe vendrá.” Pero Jean-Paul Delahaye ha hecho notar que la física de nuestros días utiliza sin pudor las matemáticas no constructivas y en particular los números reales, que no tienen realidad física, pues ninguna medida física es infinitamente precisa. Las matemáticas del continuo son, pues, un instrumento formal mal ajustado a las auténticas necesidades del físico. Mejor le irían las matemáticas constructivas, pues no manipulan sino objetos finitamente definidos y en ellas el infinito es, de algún modo, siempre potencial, como en el mundo físico. Es de prever por consiguiente que en un futuro más o menos lejano los físicos vendrán a utilizar matemáticas constructivas (o algunas de sus  variantes) para evitar tener que utilizar los formalismos sobredeterminantes (que declaran más de lo necesario) de las matemáticas usuales no constructivas. Preocupados por otras muchas cosas y amedrentados por la dificultad de las matemáticas constructivas, son muy pocos los físicos que hoy han estudiado la posibilidad de refinar su instrumental teórico.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA T HE F OUNDATIONS ANALYSIS.

OF

C ONSTRUCTIVE

E. Bishop. McGraw-Hill,

1967. A RENAISSANCE

OF

EMPIRICISM

IN THE

RECENT PHILOSOPHY OF  MATHEMATICS .

I. Lakatos, en Mathematics, Science and  Epist emolog y . Cambridge University Press, 1978. FOUNDATIONS MATICS :

OF

CONSTRUCTIVE MATHE-

METAMATHEMATICAL STUDIES .

M. J. Beesson. Springer-Verlag; Berlín/ Heidelberg/Nueva York, 1985. CONSTRUCTIVE ANALYSIS . E. Bishop y D. Bridges. Springer-Verlag, Berlín/Heidelberg/Nueva York, 1985. CONSTRUCTIVISM

IN

MATHEMATICS : AN

INTRODUCTION.

A. S. Troelstra y D. Van Dalen. North-Holland, 1988. COMPUTABILITY IN ANALYSIS AND PHYSICS. M. B. Pour-El y J. I. Richards. SpringerVerlag, 1989. WHAT IS A R EAL N UMBER ? John Myhill, en The American Mathematical Monthly, vol. 79, n. o 7, páginas 748-754.

TEMAS 23

El infinito en geometría

Marcel Berger

Un geómetra recurre a las cosas que nos rodean para ilustrar el importante papel del infinito en geometría. Un algebrista y un analista acabarán por aceptarlo

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n algebrista, un analista y un Nuestros tres matemáticos cruzan demostrar el teorema de Pappus se geómetra, dignos represen- el umbral de “El albergue de los tres le asigna este papel a la recta ( ab ), tantes de la trinidad de los faisanes” y aguardan pacientemente cosa que siempre se puede conseguir matemáticos, reflexionan a la salida en el pasillo a que la maestresala les mediante una proyección adecuada. de una conferencia sobre la frase de acomode. Al fondo, en el bar, tres nota-  Así, en su nueva confi guraci ón, las Hermann Weyl: “Las matemáticas son rios matan el tiempo. El geómetra no rectas (AC’) y (A’C), por una parte, y la ciencia de lo infinito.” El algebrista, puede desperdiciar semejante ocasión. las (BC’) y (B’C), por otra, son paramuy seguro de sí, declara que en álge- “Verán, señores. A modo de introduc- lelas. Demostrar que los puntos a, b bra el infinito se halla omnipresente. ción, el hecho de que nosotros tres y c   están alineados equivale a El analista añade que lo mismo ocurre estemos aquí en fila, como lo están demostrar que el punto c se encuenen su disciplina. Después ambos se aquellos otros tres del fondo, en la tra también en la recta del infinito,  vuelven, algo desconcertados, hacia barra, me recuerda el teorema de es decir, que las rectas del tercer par, el geómetra, que les escucha en silen- Pappus (290-350), una de cuyas (AB’) y (A’B), son paralelas. El teocio. Ante la insistencia de sus miradas, demostraciones más sencillas recurre rema de Tales permite demostrarlo también él afirma “¡Ah, sí! Lo mismo al infinito.” fácilmente.” ocurre en geometría.” Y ante el gesto Tras una breve reflexión, el algeinquisitivo de sus colegas, prosigue: brista dice: “Sí, evidentemente, esta El infinito según Pappus “Desde luego la geometría parece bien demostración es mucho más sencilla instalada en las distancias finitas, que la de situarse en una referencia como ilustran los casos de igualdad l algebrista hace memoria: “¿No y calcular las coordenadas de todos afirma ese teorema que , para dos los puntos.” de los triángulos o el de que la longitud de la circunferencia sea 2 π veces ternas de puntos alineados, (A, B y C) Cuando por fin los tres se sientan el radio... ¿Dónde reside entonces el y (A’, B’ y C’), situadas sobre dos rec- a su mesa, la redondez de los platos infinito en la geometría? ¡Por todas tas distintas, los puntos de intersec- y la circularidad de los vasos sirven partes! ¿Me permitirán que se lo ción a, de (BC’) y (B’C), b, de (AC’) y de inspiración para el geómetra. demuestre ante una buena cena?” Los (A’C), y c, de (AB’) y (A’B), están aliotros, picada la curiosidad, aceptan. neados?” (véase la figura 1 ). Superficies y volúmenes El geómetra camina silencioso hacia El geómetra lo confirma: “Exacto. el restaurante, enumerando mental-  Y la dem ostra ció n exige ver este mente los diferentes dominios de su resultado en un plano proyectivo, es stedes conocen un método que disciplina en los que el infinito desem- decir, en un plano afín (en el que no requiere el infinito para peña un papel importante. El infinito se tienen en cuenta las distancias), calcular la longitud de una circunfeestá presente en todos ellos bajo tres al que se adjunta una recta, llamada rencia. Se inscribe en ella un cuaaspectos: cuando se considera un recta del infinito. Los puntos de esta drado, después, sobre este cuadrado, número infinito de objetos; cuando se recta son las direcciones de todas las se construye un octógono regular, del estudian los espacios de dimensión rectas del plano. Ya no existen recta s cual se dividen a su vez en dos cada infinita; y por último, cuando una paralelas: las que antes eran parale- uno de los ocho lados para tener un operación es repetida un número infi- las en el plano ahora son secantes en polígono regular de 16 lados y así una nito de veces. un punto de la recta del infinito. Para y otra vez. Se calculan las sucesivas

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longitudes de estos polígonos y, en el de obtener un rectángulo, cuya área piezas de igual volumen, obtenidas límite, cuando el número de lados es igual al producto de la base por la unas de otras por transformaciones tiende a infinito, se obtiene la longitud altura. De este modo, el área de un isométricas del espacio. Es inútil alendel círculo. Por esta misma técnica triángulo es igual al semiproducto de tar la esperanza de que algún día un iterativa se puede calcular también la base por la altura.” individuo genial descubra una desla longitud de una curva cualquiera: “En cambio el cálculo del volumen composición del otro tipo, porque Max se inscriben en ella polígonos de lados de un poliedro es más sutil. En el espa- Dehn (1878-1952) demostró en 1903 cada vez más pequeños y la longitud cio siempre es posible descomponer que se trata de un sueño imposible. de la curva es el límite, si existe, de un paralelepípedo en tetraedros; pero El caso del plano es excepcional; el la sucesión de longitudes de estos polí- no resulta evidente que éstos vayan espacio exige lo infinito.” gonos.” a tener el mismo volumen, a pesar de “Sin embargo —interrumpe el alge- tener alturas iguales y bases de la ¿Y los círculos? brista— me parece recordar que se misma área, pues no se deducen unos pueden fabricar curvas cuya longitud de otros por mero desplazamiento. sea infinita, incluso entre dos puntos Para demostrar que tienen el mismo a camarera llegó con los aperiticualesquiera de tal curva.”  volumen se recu rre al infinito : los  vos y dio la vuelta a dos vasos. El geómetra replica: “Así es. Pero, tetraedros son cortados en rebanadas  Animado por la abundancia de círculos, en cambio, se sabe que siempre existe horizontales cada vez más finas; cada correspondientes a vasos, platos y plauna longitud finita cuando la curva rebanada contiene un prisma y un titos dispuestos sobre la mesa, el geóes lo suficientemente lisa, si está dada recorte suplementario. Los prismas metra aprovechó la ocasión y prosiguió por funciones de variación suave, es correspondientes a dos rebanadas del su exposición: “Con la demostración decir, si la curva no tiene picos o, como mismo nivel tienen el mismo volumen del teorema de Pappus les he hecho se dice en matemáticas, si es derivable en los dos tetraedros, por tener bases  ver que la adjunción de una recta en en cada uno de sus puntos.” de igual área ( véase la figura 5 ). el infinito se adapta perfectamente a “Para calcular el área de un triángulo Cuando el número de prismas tiende los problemas de la geometría de los en un plano, se le adosa un segundo a infinito, la suma de los volúmenes puntos y las rectas. Pero, en cambio, triángulo igual y, por lo tanto, de la de los retazos sobrantes se torna des- tal recta no es apropiada si nos intemisma área; del paralelogramo obte- preciable; los tetraedros tiene n, pues, resa una geometría del conjunto de nido se corta un triángulo rectángulo, el mismo volumen, porque están todos círculos del plano euclídeo, es decir, que se adosa del otro lado con el fin construidos a partir de un número cuando se tiene en cuenta la distancia. infinito de prismas de iguales volú- Resulta pertinente, a veces, una transmenes.” formación del plano conocida por “Como vemos, no se procede en el inversión. Para definir una inversión espacio de igual modo que en el plano; es necesario elegir un punto del plano, los razonamientos se basan en des- llamado centro de inversión, O. Todo composiciones en un número finito de punto m que no sea el centro de inversión se transforma en otro punto m’ alineado con O  y con m, tal que el producto de las distancias O m × Om’ B sea constan te: esta inversión transC A forma las circunferencias en circunferencias, a excepción de aquellas que pasan por el origen, que se transforman en rectas.

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1. EL TEOREMA DE PAPPUS afirma que los puntos de intersección ( a, b, c) de las rectas que unen convenientemente los puntos de dos ternas alineadas,  (A,  B, C) y ( A’ ,  B’ , C’ ), se encuentran a su vez alineados (a la izquierda). Este teorema se demuestra fácilmente con el infinito: en el llamado plano proyectivo se considera que los puntos de la recta (ab), llamada recta del infinito, son las direcciones de todas las rectas del plano; dos rectas paralelas se cortan, pues, en un punto de la recta del infinito. Puesto que a y b se encuentran sobre esta recta, las rectas (CB’ ) y (C’B), por una parte, y las ( AC’ ) y ( A’C), por otra, son paralelas. Demostrar el teorema de Pappus equivale a demostrar que el punto c se encuentra también en la recta del infinito y, por tanto, que l as rectas  (AB’ ) y ( A’B) son paralelas (a la derecha). El teorema de Tales lo demuestra fácilmente.

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G

racias a esta inversión resulta más sencillo el estudio de los problemas relativos a círculos. Por ejemplo, Jakob Steiner (1796-1863) estudió el comportamiento de los círculos tangentes a otros dos dados, contenido el primero en el segundo (véase la figura 4). Se construye un círculo tangente a los dos primeros; el siguiente ha de ser tangente a los tres precedentes, y así, hasta haber recorrido el perímetro del círculo interior. El último círculo ¿será tangente al primero de los construidos o se superpondrá a él? Una inversión juiciosamente elegida torna en concéntricos a los dos círculos iniciales. Los círculos que se van añadiendo son iguales y el problema consiste en estudiar el comportamiento de la recta

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2. EN “LOS TRES FAISANES” se pasa el tiempo gratamente, pero también se habla del infinito en geometría.

que une el centro común de los círculos concéntricos con el de cada uno de los que van siendo construidos ( véase la  figura 4), pues con cada nuevo círculo la recta gira un ángulo constante.” El sonido de un carillón da el contrapunto al discurso del geómetra; las agujas del reloj atraen su mirada: “Lo mismo que la aguja de este reloj gira cada minuto, podemos proseguir con el estudio de tales iteraciones. ¿Qué efecto produce sobre un punto de la circunferencia la iteración de una rotación de ángulo α  dado. Cuando α = 2π / k (k es un entero), las sucesivas imágenes de un punto de partida dado constituyen los vértices de un polígono regular de k   lados inscritos en el círculo; tal es el caso de la esfera del reloj, en la que k = 60; cuando α = 2π p / q, siendo p y q números enteros primos entre sí, se obtiene un polígono estrellado; tiene q   lados y gira  p  veces (véase la figura 4). Ahora bien ¿qué ocurre cuando k es un número irracional? La trayectoria del punto no se

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cerrará jamás, cualquiera que sea el estos fenómenos en los que el tiempo número de iteraciones, aunque sea es muy largo o, si se quiere, en los que infinito.” el tiempo tiende a infinito?” “Pero podemos saber más. Se “¡Claro que sí! El billar que está allí demuestra que la trayectoria es tam- abajo me da la idea. En mecánica se bién densa e isótropa en todo el círculo; estudia el movimiento de dos partículos puntos ‘que visita’ están uniforme- las de igual masa en un intervalo. mente repartidos; ninguna porción del Cuando chocan, estas partículas rebocírculo es despreciada. En términos tan, moviéndose en sentido contrario matemáticos se dice que un conjunto al que llevaban, cada una con la veloinfinito de puntos de una circunferen- cidad de la otra. Si se representa la cia, {Ci; i = 1, 2, ..., k, ...}, está unifor- posición de las dos partículas mediante memente repartido sobre un arco m un punto del plano (correspondiendo de la misma si el límite de la división a cada uno de los ejes la posición de por k del número de los comprendidos una partícula), la trayectoria de tal en m tiende a L /2π r cuando k tiende a punto, confinada en un triángulo recinfinito, siendo r el radio de la circun- tángulo isósceles, equivale a la de una ferencia y L la longitud de m.” bola de billar que se refleja sobre los El analista tercia en este punto y, lados con un ángulo de incidencia entre bocado y bocado, señala: “Todo igual al ángulo de reflexión respecto eso de las iteraciones está muy bien, de la normal (la recta perpendicular pero éstas siguen siendo operaciones a la banda). Podemos simplificar el discretas. Ahora bien, son muchísimos problema desarrollando la trayectoria los sistemas naturales que evolucio- por simetría: el billar se convierte nan de forma continua en el tiempo. entonces en un cuadrado (véase la ¿También se estudian en geometría  figura 4). Después, al desarrollar la

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3. EL ESTUDIO DE LOS CIRCULOS ( en verde ) que son, por construcción, tangentes a otros dos círculos dados ( arriba), uno de ellos contenido en el otro (en azul y en amarillo), resulta mucho más sencillo tras una inversión. Dicha transformación geométrica vuelve concéntricos los dos primeros círculos. Con ello los círculos construidos son iguales y es suficiente estudiar los giros de ángulo α.

cuadrado: el problema consiste, de nuevo, en la iteración de un mismo procedimiento. Aquí por lo tanto hemos de distinguir dos casos, según que la pendiente, que es la relación de las velocidades iniciales de las dos α partículas, se encuentre en fracción racional o irracional con el lado del cuadrado (la longitud del inter valo).” “En el caso irracional, la trayectoria es densa en todo el cuadrado y está uniformemente repartida, es decir, que las dos partículas ocuparán todas las posiciones posibles, lo que harán simetría sobre la totalidad del plano, de manera equitativamente repartida la trayectoria se convierte en una en el tiempo. Si se utiliza un ordenarecta infinita.” dor, la trayectoria irá ennegreciendo “Se observará que es suficiente la pantalla cada vez más de manera saber lo que sucede allí donde la tra- isotrópica. Lo único que variará es la yectoria intercepta a un borde del rapidez con que se va oscureciendo la

c

d

pantalla. En el caso racional la trayectoria es periódica; al cabo de cierto tiempo el movimiento vuelve a partir de donde empezó, de modo que la pantalla no queda cruzada más que por unas cuantas líneas.” El algebrista y el analista, interesados, preguntan entonces: “¿Y qué ocurre en el caso de partículas de masas diferentes?” La respuesta es inmediata: “Un cálculo del choque elástico de partículas de masas diferentes, basado en la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento, hace ver que en tal caso el problema se convierte en el de un billar dentro de un triángulo rectángulo, pero no isósceles. En este caso los geómetras apenas si tienen resultados, pues ya no pueden desarrollar el triángulo en una pavimentación de cuadrados. El resultado depende esencialmente de la relación de las masas; con mayor exactitud, se trata de saber cuándo un ángulo α (uno de los ángulos del triángulo), cuya tangente es igual al producto de las raíces cuadradas de las masas, está o no en relación racional con π. En el caso racional las trayectorias son de tres tipos: en casos raros son periódicas; en otros, son densas por doquier y bien repartidas, lo que significa que ninguna zona del billar será llenada antes que otra; por último, lo más frecuente es que sean densas por doquier, pero mal repartidas. El número de direcciones que toma una trayectoria en cada punto del billar es finito en todos los casos; el sistema no es, por lo tanto, ergódico respecto de la fase. Sí es, en cambio, ergódico respecto de la posición, porque la trayectoria pasa por todos los puntos. Por otra parte se sabe que el orden de magnitud del número de trayectorias periódicas cuya longitud es menor o

e 

α = 4π/5 a 

b 

α = π/4

4. EL COMPORTAMIENTO de dos partículas que chocan una contra la otra sobre un segmento (a la izquierda, arriba) o las rotaciones de un ángulo en el seno de un círculo (a la derecha) equivalen a iteraciones de una misma operación. En el primer caso la posición de las dos partículas está representada por un punto respecto de una referencia (un eje por partícula). Dado que una partícula no puede pasar por encima de la otra, la trayectoria de este punto se encuentra confinada en un

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triángulo rectángulo isósceles. Se desarrolla este triángulo primero en un cuadrado y después en el plano entero; la trayectoria es una recta infinita que es luego replegada en un solo cuadrado. En el segundo caso nos interesa la trayectoria de un radio del círculo. Ciertas trayectorias son periódicas (a, c y d), es decir, vuelven a pasar por su punto de partida; otras, en cambio, son aperiódicas (b y e) y se acercan cuanto se quiera a todas las posiciones posibles.

TEMAS 23

igual que una distancia dada crece con el cuadrado de la longitud del intervalo.” El analista interrumpe al geómetra: “¿Y en el caso irracional?” “A eso iba. A partir del e studio del caso racional, y aproximando los triángulos de ángulo irracional por una multitud de triángulos de lado racional, se demuestra que la ergodicidad de fase se obtie ne a partir de la mera ergodicidad de espacio del caso racional. ¡Pero se trata de una existencia completamente abstracta! No se conoce ningún par de valores m  y m’ que permita la comprobación de este aserto. Por otra parte tampoco se sabe el orden de magnitud del número de trayectorias periódicas de longitud menor o igual que una distancia dada.” El geómetra, imposible de acallar, rememoraba los distintos dominios de su disciplina en los que las iteraciones son indispensables. “Ya que estamos hablando de iteraciones, aparece otra en la demostración de la igualdad isoperimétrica, que afirma que, entre todas las curvas cerradas de longitud dada, la que encierra mayor área es la circunferencia. La demostración de Wilhelm Blaschke (1885-1952), conseguida en los años 1920, utiliza una operación denominada simetrización de Steiner (véase la figura 8 ). A partir de un dominio cuyo perímetro es una curva cualquiera, esta operación consiste en dividirlo en franjas infinitamente finas, paralelas a una dirección dada del plano, para después alinear las franjas simétricamente en torno a un eje perpendicular a la dirección dada. El dominio obtenido tiene la misma área, pero su perímetro es menor que el del dominio inicial. Esta reducción de perímetro es consecuencia de una propiedad de los trapecios, a los que se asimilan las franjas, y que es la siguiente: el perímetro de un trapecio de área dada es mínimo cuando los dos lados opuestos no paralelos tienen la misma longitud.” El algebrista confirma que un cálculo rápido así lo demuestra.

5. SECCIONANDO EN REBANADAS dos tetraedros de la mi sma altura y cuyas bases tengan igual área, se puede demostrar qu e tienen el mismo volumen. Las rebanadas se componen de un prisma (en azul) y de una pieza sobrante (en amarillo). En cada tetraedro los prismas del mismo nivel tienen igual volumen. Cuando el número de prismas es infinito, el volumen de los restos sobrantes es igual a cero; por consiguiente, los tetraedros tienen el mismo volumen.

6. LAS SUPERFICIES DE ZOLL son superficies de revolución en las cuales, como sucede en la esfera, todas las trayectorias de una partícula lanzada sobre la superficie son geodésicas periódicas.

α

m 

m' 

Iteraciones una y otra vez

E

l geómetra, imperturbable, prosigue: “La iteración de estas simetrizaciones con una infinidad de distintas direcciones tiene límite y este límite es un círculo, porque sólo esta figura es simétrica en todas las direcciones. Por añadidura, la sime-

IDEAS DEL INFINITO

7. SOBRE UNA ESFERA ( a la izquierda) todas las trayectorias de una partícula lanzada sobre la superficie, sin rozamiento ni gravitación, son geodésicas periódicas, los llamados círculos máximos. En una superficie de revolución (a la derecha) como es la de un huevo las trayect orias (en rojo) son geodésicas periódicas siempre y cuando, a partir de un punto m de un paralelo cualquiera (en negro), vuelvan a pasar por un punto m’, desfasado con respecto a m un ángulo α cuya razón con 2π sea un número racional.

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trización funciona en todas las dimen- existencia está demostrada en el siones.” plano. Pero el problema de existencia El analista y el algebrista pregun- se ha de considerar aquí en el espacio tan entonces: “¿Y no existirá un infinito-dimensional de todas las curmétodo más natural para minimizar  vas. Y en el caso de espacios de dimenla razón de la longitud de la curva sión infinita no fue posible disponer frontera con respecto al área interior de ningún teorema de existencia de de un dominio D?” objetos límites en el seno de una famiEl geómetra responde: “En realidad lia de objetos geométricos, como las lo que se estudia es la razón del cua- curvas, o de límites de variables tamdrado de la longitud respecto al área, bién de carácter geométrico, como las para poder manipular números sin áreas de dominios, hasta los años dimensiones. Es necesario, ante todo, 1960. La existencia de tales límites demostrar la existencia de un límite hubo de esperar a los trabajos de —una curva— para esta razón. Tal Herbert Federer, que constituyen la teoría geométrica de la medida. Se pudo concluir entonces, y esto para cualquier dimensión arbitraria, que el límite en dos dimensiones es un disco y, en mayores dimensiones, una bola.” “Y puesto que hemos recordado la demostración de la desigualdad isoperimétrica, podemos pensar también

a 

b 

8. LA SIMETRIZACION de un dominio reduce su perímetro, al tiempo que mantiene constante su área. El dominio inicial es cortado en franjas infinitamente finas (a la izquierda). Estas franjas se reagrupan después simétricamente sobre un eje perpendicular a la dirección de corte de las franjas. Cuando esta operación es iterada un número infinito de veces, el dominio ti ende hacia un círculo, que minimiza el perímetro. Este disminuye en virtud de una propiedad de los trapecios de igual área (a la derecha), a saber, el perímetro del trapecio b, que es simétrico, es menor que el del trapecio a.

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en el aumento de la razón del cuadrado de la longitud al área, pero ya no por la operación de simetrización, sino al aplicar una transformación continua, es decir, la deformación de una curva C en otra curva progresivamente más cercana a una circunferencia. Para hacerlo hemos de recordar que las circunferencias se caracterizan por ser las únicas curvas cuya curvatura es constante.”  A estas alturas los comensale s ya se tutean. El algebrista interrumpe al geómetra: “¿Querrías recordarnos qué se entiende por curvatura en geometría?” “¡Con mucho gusto! Para determinar la curvatura, el geómetra busca el círculo osculador a la curva en un punto. A tal fin se considera un círculo que sea tangente a la curva en el punto estudiado y que pase además por otro punto próximo. Cuando este punto próximo se va acercando al punto de tangencia, el círculo tiene un límite: el llamado círculo osculador; su radio es el radio de curvatura de la curva. La curvatura es, por definición, la inversa de ese radio. A continuación se desplaza la curva en cada punto a lo largo de la normal correspondiente (la recta perpendicular a la tangente en ese punto) una cantidad directamente proporcional a la curvatura. En términos más precisos, lo que se busca es una familia uniparamétrica de curvas, C(t), donde t es un parámetro continuo, como, por ejemplo, el tiempo, tal que la derivada en la dirección de las normales sea directamente proporcional a la curvatura. La ecuación en derivadas parciales que describe a esta familia de curvas admite soluciones para tiempos t suficientemente pequeños. La existencia de solución para tiempos arbitrariamente grandes es un problema difícil.” El analista interrumpe de nuevo al geómetra: “Cuando t tienda hacia infinito, ¿no convergerán las curvas C(t) a un punto, en lugar de tender a un círculo?” “Así es. Ahora bien, renormalizadas convenientemente, es decir, si se modifica la escala de cada curva de modo que se conserve el área del dominio, las curvas C(t) convergen verdaderamente hacia un círculo. Gage logró demostrar por fin en 1986 que la razón isoperimétrica decrece cuando t aumenta. Esta técnica de evolución geométrica puede ser utilizada en contextos más generales, por ejemplo para obtener geodésicas periódicas sobre las superficies. Tema éste que, si me lo permitís, quisiera tratar ahora.”

TEMAS 23

Para postre, geodésicas

“E

studiamos un sistema dinámico continuo que describe el movimiento de una partícula que se mueve sobre una superficie  S  dada, en el espacio, supuestamente sin gravedad. Desde Johann Bernoulli (1667-1748), quien enseñó a su no menos ilustre discípulo Leonhard Euler (17071783), se sabe que tal movimiento sigue una geodésica de la superficie, es decir, una curva cuya aceleración en el espacio es perpendicular a la superficie, o también una curva que hace mínimo el camino recorrido entre dos puntos vecinos. ¿En qué se convierte esta trayectoria, esta geodésica, si la prolongamos indefinidamente? ¿Será periódica? A la inversa, ¿recubrirá esta línea toda la superficie? Todavía más, ¿tomará en cada punto todas las direcciones? Y si existen trayectorias periódicas, ¿será posible evaluar su número en función de su longitud? Henri Poincaré fue el primero en interesarse por este problema en 1905, porque se trata del modelo matemático más sencillo que se aproxima a una descripción del sistema solar.” “En el caso de la esfera, todas las trayectorias, infinita s en número, son periódicas y de igual período: son los llamados círculos máximos (ecuadores, meridianos) de la esfera. Existen, por otro lado, superficies, como las de Zoll, que no son esferas y que poseen también esta propiedad ( véase la  figura 6 ). En toda superficie de revolución existe una infinidad de geodésicas periódicas. La trayectoria de una partícula sobre tales superficies oscilará entre dos paralelos. A causa de la revolución de la superficie, una geodésica que parta de un paralelo retornará a él al cabo de cierto tiempo, pero llegará a un punto desfasado un ángulo α con respecto al punto de partida. Nos encontramos nuevamente en el caso del billar aludido ya: las geodésicas periódicas corresponden a los ángulos α proporcionales a π y su número es infinito.” “En las superficies generales se busca, por una parte, demostrar la existencia de geodésicas periódicas y evaluarlas asintóticamente; por otra, la determinación de la ergodicidad (de espacio o de fase) de las trayectorias no periódicas. Aunque de enunciado sencillo, el problema es verdaderamente arduo. Poincaré no consiguió demostrar la existenci a ni de una sola geodésica periódica. El motivo esencial de tal dificultad era consecuencia, como en el caso de la desigualdad isoperimétrica, de la carencia de un teo-

IDEAS DEL INFINITO

rema de existencia de límites en un espacio geométrico de dimensión infinita, en este caso en el espacio de las curvas cerradas de una superficie. Hubo que esperar a 1917 para que George Birkhoff (1884-1944) demostrase, sin recurrir a un teorema de existencia de formas límite, la existencia de una geodésica periódica para una superficie cualquiera. Birkhoff consideró para empezar todos los tapizados de una superficie, es decir, las familias de curvas que  van desde una curva degenerada en un punto m hasta otra curva m’, también reducida a un punto; esta familia de curvas recubre completamente la superficie estudiada ( véase la  figura 10 ). En cada uno de los tapizados existe una curva de longitud máxima; se busca entonces un tapizado cuya curva maximal sea lo menor posible.” El algebrista se permitió un comentario humorístico: “En cierto sentido, se trataría de buscar un tapizado económico.” “Bueno, con algunas matizaciones, precisamente de eso se trata. La curva maximal de este tapizado óptimo es una geodésica periódica. Ello es debido a la propiedad de minimalidad de las geodésicas.” El analista tercia: “Pero todavía queda por demostrar la existencia de un tapizado económico.” “Aquí es donde interviene la segunda idea de Birkhoff: pasar de un espacio de dimensión infinita a otro de dimensión finita. Birkhoff trató de fabricar, a partir de un tapizado cualquiera, un segundo tapizado cuyas curvas

9. LA CURVA DE PERIMETRO MINIMO capaz de contener una superficie plana de área dada (en azul) es una circunferencia. Uno de los métodos para demostrarlo consiste en desplazar los puntos del perímetro inicial a lo largo de su normal una distancia (en blanco) inversamente proporcional al radio del círculo osculador (en rojo). El dominio tiende hacia un punto en la figura superior, pero cuando los dominios son renormalizados, es decir, cuando se mantiene constante su área, tiende hacia un círculo (abajo).

10. UN TAPIZADO es una familia de curvas que “recubren” totalmente una superficie. A partir de un tapizado cualquiera (a la izquierda), se llega a identificar una geodésica periódica dividiendo las curvas en fragmentos de longitud inferior a una distancia dada. Después se toma el camino más corto entre dos puntos consecutivos (en rojo, a la derecha ); en una esfera se tomarían los segmentos de círculos máximos que pasan por cada par de punt os. Acto seguido se traza un polígono estri ctamente más corto por los puntos medios de los lados del polígono geodésico (en blanco). La curva más larga de un tapizado económico es una geodésica periódica.

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11. CUATRO PUNTOS lanzados al azar sobre un plano definen, bien un cuadrilátero, bien un triángulo (tal vez degenerado) que contiene al cuarto punto. La probabilidad de lo primero depende de la forma del dominio: es maximal en un dominio de forma elíptica y minimal en un dominio triangular. El primer ejemplo de probabilidades geométricas es el famoso problema de Buffon, que estudiaba la probabilidad de que una aguja lanzada al azar quedase a caballo sobre dos tablas de un suelo de tarima (arriba, a la derecha).

fuesen todas estrictamente más pequeñas, con la excepción de las geodésicas periódicas. Un tapizado minimal ha de contener siempre una geodésica periódica; de no ser así, al serle aplicada una vez más la transformación resultaría un tapizado cuyas cur vas serían todas estrictamente más

cortas, por lo que el tapizado de partida no sería minimal. El procedimiento de Birkhoff consiste en cortar las curvas de los tapizados de la superficie en N  piezas de longitudes menores que una distancia dada. A continuación se reemplaza cada pieza por el camino más corto contenido en la superficie que conecta los extremos de esa pieza. La segunda operación consiste en tomar después los puntos medios de los polígonos geodésicos obtenidos y unirlos, formando un nuevo polígono que es estrictamente más pequeño, ya que, independientemente de la superficie, la longitud de un lado de un triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos.

A

12. UN MOSAICO DE PENROSE es una teselación no periódica del plano con dos tipos de losetas (en amarillo y en azul). Las teselas, agrupadas, forman una segunda pavimentación no periódica constituida por losetas más grandes de dos tipos (en rojo). A partir de esta pavimentación se construye otra nueva de orden superior (en verde). En cada pavimentación se asocia a cada tipo de losa una cifra (por ejemplo, 1 para las que sean convexas y 0 para las cóncavas). Se demuestra que el espacio de los mosaicos de Penrose es semejante al de las sucesiones de 0 y 1 que coinciden a partir de cierto lugar de posición y en las cuales un 1 va siempre seguido de un 0. Estas sucesiones se construyen identificando, para cada orden de pavimentación, el tipo de losetas en el que se encuentra un punto inicial cualquiera. Así, por ejemplo, el punto A origina la sucesión 101...

60

El nuevo polígono tendrá una longitud estrictamente menor que la de la curva inicial, a menos que todos los ángulos de los vértices sean llanos (o sea, sumen dos rectos o π radianes).  Ahora bien, eso es exactamente lo que le ocurre a una geodésica periódica. De esta forma la contracción simultánea de todas las curvas del tapizado entraña la convergencia de las curvas en un punto, salvo para una de ellas, una geodésica periódica. Vemos en este caso cómo el paso de una dimensión infinita a una dimensión finita resuelve el problema.” “Pero el procedimiento anterior no proporciona más que una geodésica periódica. Hubo que esperar a 1992 para que J. Franks y Victor Bangert lograsen demostrar que existe una infinidad.” El analista no pudo dejar de exclamar: “¡Admirable!” El algebrista, que había terminado su postre, volvió a tomar la palabra: “Enfrentado a un espacio geométrico de dimensión infinita, Birkhoff consigue eludirlo —con gran elegancia, hay que reconocerlo— aproximando ese espacio (el espacio de todas las curvas planas de una superficie) mediante un espacio de dimensión finita. Pero me da la impresión de que eso no siempre será posible.” “En efecto. Examinemos, por ejemplo, el caso de los mosaicos de Penrose, mosaicos que, construidos a partir de teselas de dos tipos, recubren el plano hasta el infinito, pero lo hacen de modo necesariamente no periódico, gracias a las reglas de construcción (véase la figura 12 ). Robinson demostró en 1975 que es posible dar una clasificación completa de estos mosaicos y señaló que a partir de una pavimentación  P   dada, las teselas se pueden agrupar de modo que formen losetas más grandes de dos tipos solamente. La nueva pavimentación  P1 obtenida es también no periódica. A partir de P1 se obtiene, por el mismo procedimiento,  P 2, después  P 3, y así hasta  Pn, con n tendiendo a infinito. Se trata seguidamente de tomar un punto cualquiera en el interior de la pavimentación inicial y de considerar en qué tipo de loseta se encuentra en  P 1, en  P 2  y así hasta  Pn. Cuando a cada tipo de loseta, a un nive l de iteración dado, le corresponde una cifra 0 o 1, se obtiene una secuencia de 0 y 1. Los mosaicos de Penrose fo rman así un espacio infinito que es seme jante —en matem áticas se dice “isomorfo”— al conjunto de todas las sucesiones de 0 y 1 en las cuales todo 1 va necesariamente seguido de un 0. Las teselaciones son idénticas

TEMAS 23

A A'

a

B

b B'

c

C' C

13. EL TEOREMA DE PAPPUS asocia a dos ternas de puntos alineados ( A, B, C ) y ( A’, B’, C’ ) una tercera terna (a, b, c); el mismo procedimiento crea otras dos ternas a partir de los dos pares de ternas así formadas. El conjunto obtenido por itera-

cuando sus sucesiones coinciden a partir de una cierta posición hasta el infinito: esta característica significa que, en un mismo mosaico, dos puntos iniciales diferentes se encuentran, a partir de un cierto orden, en losetas del mismo tipo.” La cena estaba a punto de terminar.  A la hora del café el algebrista y el analista estaban casi convencidos. En su animación, un palillo olvidado del aperitivo rodó y cayó al suelo... y quedó a caballo entre dos tablillas del entarimado.

ción al infinito de esta operación es fractal y tiene la estructura de grupo modular, que se encuentra en numerosos dominios de las matemáticas (en la figura solamente se han representado cinco, en el orden rojo, violeta, azul, verde y naranja).

otros tres ( véase la figura 12 ). ¿Cuál es la probabilidad de obtener un verdadero cuadrilátero?” El algebrista y el analista estuvieron reflexionando un momento. El primero respondió al fin: “Hablando intuitivamente, supongo que la respuesta depende de la forma del dominio; si fuese un triángulo, en la vecindad de los vértices resultará más difícil tener un cuadrilátero que en la región central. Por el contrario, cerca del borde de un dominio cuya frontera sea una curva lisa será más fácil tener un cuadrilátero.” El geómetra prosiguió: “ExactaLas probabilidades mente. Blaschke demostró en 1930 geométricas que la probabilidad buscada es maximal cuando el dominio es elípl geómetra no estaba dispuesto a tico y minimal cuando es triangular. perder comba: “¿Recordáis el En cambio, cuando nos interesamos problema de las agujas de Buffon? Se por mayor número de dimensiones, trata de calcular qué probabilidad por ejemplo, al lanzar cinco puntos tiene una aguja de caer y quedar a en el espacio tridimensional y, con caballo entre dos tablillas de un enta- mayor generalidad, n + 2 puntos en rimado. Este problema es el primero un espacio n   dimensional, los geóde las conocidas con el nombre de metras estamos in albis . Para la probabilidades geométricas. No nos dimensión 3 se demuestra, con difihemos alejado mucho de las iteracio- cultad, que los elipsoides son los nes, porque, en la práctica, toda pro- dominios más favorables a la formababilidad entraña la posibilidad, ción de un pentaedro. Se ignora, en siquiera hipotética, de repetir una cambio, si para la probabilidad menos operación una infinidad de veces. Os favorable el dominio ha de ser tetraé voy a presentar otro ejemplo. Es inte- drico. Peor todavía, se desconoce el resante porque, aunque su enunciado  valo r exac to de la proba bilidad par a parezca infantil, su comprensión el tetraedro; o lo que es igual, no si gue siendo incompleta todavía sabemos calcular el volumen medio hoy.” de la infinidad de tetraedros conte“Cuando se lanzan cuatro puntos al nidos en un tetraedro dado. A los azar en un dominio del plano, caben geómetras nos queda todavía mucha dos posibilidades: o bien los cuatro tela por cortar.” puntos forman un auténtico cuadriláLos matemáticos se disponen a salir tero, o bien uno de ellos está en el cuando por la calle pasa un acorinterior del triángulo definido por los deonista tocando su instrumento.

E

IDEAS DEL INFINITO

Otra vez Pappus

“A 

migos, antes de despedirnos, y dado que en mi exposición he dedicado mucho tiempo a las circunferencias, quiero terminar por donde he comenzado, a saber, por el teorema de Pappus. R. Schwarz hizo notar en 1993 que el teorema de Pappus le asocia a todo par de ternas de puntos alineados una tercera terna del mismo tipo. Resulta natural, pues, iterar la operación y construir nuevas ternas a partir de cada uno de los dos pares de ternas creados ( véase la fi gura 13). ¿Qué sucede si esta operación se repite al infinito? El conjunto de las rectas obtenidas forma un objeto fractal que, por otra parte, tiene una estructura de grupo modular, una estructura algebraica que aparece por doquier en las matemáticas: en la teoría de números, en la de grupos, en la geometría de las superficies, en la teoría de los números complejos, etc.” “Ya veis —concluyó el geómetra al tiempo que tres taxis se detenían ante ‘El albergue de los tres faisanes’— que, contra lo que se pudiera pensar, el infinito se encuentra omnipresente en geometría y nos permite vincular nuestras tres disciplinas.”  Y los tres se se pararon... convencidos definitivamente de que las matemáticas, todas las matemáticas, son la ciencia de lo infinito.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA GÉOMÉTRIE VIVANTE OU L’ÉCHELLE DE JACOB DE LA GÉOMÉTRIE. Marcel Berger. Cassini, próxima publicación.

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El análisis no estándar

Jean-Michel Salanskis

 El análisis no estándar ha conferido un estatuto honorable  a los infinitamente pequeños y ha justificado operaciones que,  aunque satisfactorias en la práctica, planteaban problemas de principio

¿Q

uién no se ha entretenido en expresiones que reflejan lo que en calcular con la calcula- ha ce, no nos parece mal que la dora e –x  para un valor de x máquina dé a ciertos números el positi vo bastante grande ? En la pan- tratamiento de infinitamente grantalla aparece entonces el resultado 0. des o de infinitamente pequeños y Cuando se aplica la función raíz cua- saque las necesarias consecuencias drada a un número positivo, aunque para el cálculo. sea muy grande, se comprueba tamEstas consecuencias hacen pensar bién que al cabo de cierto núme ro de en un álgebra para los cálculos con repeticiones se obtiene 1. La calcu- los límites. Por ejemplo, se nos ha ladora ha efectuado  e– = 0 y, a fin enseñado que la recíproca de una funde cuentas, √(1 + ε). Extrañas igual- ción que tiende a infinito es una fundades que nos parecen falsas o que, ción que tiende a cero. Se nos ha enseen todo caso, son expresión indebida ñado —correctamente, desde de una propiedad “en el límite”. A luego— que la ecuación 1/ ∞ =0 es pesar de todo, como la calculadora ilícita y hemos sido advertidos sobre calcula, y como nosotros hemos tra- su uso. Pero en la práctica no pocas ducido espontáneamente su cálculo  veces se pasa mentalmente por una ∞

1. LOS MENSURADORES, cuadro del siglo  XVII  atribuido a Hendrick Van Balen (arriba), ilustra el aforismo del poeta latino Horacio de que “Todo tiene su medida”. Cualquiera que

62

de estas ecuaciones ilícitas cuando se resuelve un ejercicio. El análisis no estándar constituye un método matemático riguroso que da justificación a estas ecuaciones ilícitas: autoriza el uso en el discurso matemático de números infinitamente pequeños o infinitamente grandes, tenidos por inexistentes. Georg Cantor enseñó cómo utilizar los cardinales infinitos asociados a con juntos infinitos con el carácter de ob jeto s respetables de la teoría de conjuntos. El análisis no estándar ha definido números reales infinitamente grandes o infinitamente pequeños de manera parecida. En nuestro examen de la historia

sea la precisión de las medidas, las cantidades infinitesimales definidas por el análisis no estándar estarán siempre fuera de nuestro alcance.

TEMAS 23

de lo infinitamente grande o pequeño  vam os a des tac ar cin co eta pas : el cálculo infinitesimal de los pioneros, en el que las magnitudes “muy pequeñas” son despreciadas; el concepto de infinito surgido de la teoría de conjuntos; el análisis no estándar del matemático estadounidense Abraham Robinson, en el cual lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño aparecen merced al “axioma de elección”; la teoría de conjuntos internos, una generalización de la teoría de conjuntos que permite la intro ducción de números infinitamente pequeños o grandes en el seno de los números habituales; y por último, el análisis no estándar de inspiración “constructivista”, propuesto por Georges Reeb, matemático de Estrasburgo recientemente desaparecido, que conduce a la consideración de enteros infinitamente grandes, que trascienden de los enteros perceptibles.

La contradicción infinitesimal

 V 

olvamos al origen del cálculo infinitesimal. Dada la relación  y = x 2 entre dos variables  x e  y, queremos calcular el incremento dy de la variable  y cuando  x es modificada en una cantidad dx, infinitamente pequeña. Calculamos entonces  y + dy = ( x + dx)2, es decir, dy = 2 xd x + dx 2 ; de ahí pasamos a dy = 2 xdx , habiendo despreciado dy = dx2 por ser cuadrado de algo infinitamente pequeño. De este modo, en el cálculo diferencial, se considera lícita la afirmación de que la diferencial de  x2 es 2 xdx. Ello parecería un error, una “ecuación imperfecta”, pero en el fondo, al no estar claramente definida la noción de cantidad infinitamente pequeña, no sabemos muy bien en dónde exactamente reside el error. Para los matemáticos que elaboran este cálculo, “infinitamente pequeña” significa “más pequeña que cualquier cantidad finita dada”. Todos están de acuerdo, en el fondo, en considerar que la noción misma de cantidad real entraña la llamada “propiedad arquimediana”: para toda cantidad positiva que no sea nula, siempre se podrá encontrar otra, del tipo 1/ n (donde n es un entero natural no nulo), que sea menor que la dada. Una cantidad no nula no puede entonces ser “menor que toda cantidad finita dada”, siendo los números del tipo 1/ n (pequeñas) cantidades dadas. Dicho de otro modo, un número real estrictamente positivo no puede ser infinitamente pequeño

IDEAS DEL INFINITO

y 

e –500 e –α  0

0

1

 y   =  

e   x   –  

500

α

x 

2. LA FUNCION e– x decrece muy rápidamente cuando x aumenta. Pero si tomamos un valor finito de x, por ejemplo, 500, al ampliar la curva se observará una diferencia con 0. En cambio si tomamos un valor α infinitamente grande, incluso con una ampliación muy grande, la diferencia se mantendrá imperceptible. Conforme a esta intuición infinitesimal, se escribirá e–α ≈ 0.

en sentido estricto, pues es muy fácil producir otro menor.  Y si n em ba rg o lo s pi on er os desarrollaron un cálculo que utiliza tal tipo de cantidades y en el cual ciertas cantidades son despreciadas.  A pesar de ello, y a pesar del problema de principio, este cálculo se aplica con éxito tanto en el seno de las matemáticas, pues permite la caracterización local de las curvas y concretamente de la pendiente de la tangente en un punto, así como el cálculo de longitudes, áreas, etc., como también fuera de ellas, pues consiente la modelización de fenómenos por integración de “ecuaciones diferenciales” establecidas sobre los datos elementales de la situación. Debe pues existir una racionalidad implícita en el empleo de los infinitamente pequeños y de las “ecuaciones imperfectas”; el “pensamiento infinitesimal” de los pioneros tal vez fuera una empresa sin sólidos cimientos, pero sin duda iba por el buen camino.

La reformulación conjuntista

E

l pensamiento conjuntista contemporáneo, vale decir, la concepción del infinito nacida de la teoría de conjuntos, suprime las contradicciones al traducir a su nuevo lenguaje el discurso de los pioneros. La ecuación ya citada, dy = 2 xdx + dx 2, se convierte en él en ƒ( x + dx ) – ƒ ( x) = = 2 xdx + dx 2 , siendo “ƒ” el nombre de la función que a cada  x le asocia su cuadrado  x2. La ecuación anterior es ahora considerada como una ecuación exacta, en la que dx es una cantidad finita no nula, ordi-

naria. Después se dividen ambos miembros por dx   y se llega a dy /  dx =(ƒ( x + dx ) – ƒ ( x))/ dx = 2 x + dx . Se comprueba entonces que “cuando dx tiende hacia 0 la tasa de crecimiento, o ‘cociente incremental’, (ƒ( x + dx ) – – ƒ( x))/ dx tiende hacia 2 x”. Ya no es que 2 xdx sea asimilable (o identificable) con dy; es que dy/dx “tiende” hacia 2 x. Ello presupone la definición de “tender hacia”, lo que hicieron Karl Weierstrass, Georg Cantor y Richard Dedekind. Decir que la tasa de crecimiento tiende hacia el número l significa en sustancia que podemos lograr que su diferencia con l sea menor, en valor absoluto, que un valor arbitrario estrictamente positivo, cualquiera que éste sea, a condición de elegir dx menor, en valor absoluto, que un valor umbral estrictamente positivo y adaptado al primero. Esta definición en términos de control satisface a los matemáticos. Pero un teórico de los fundamentos señalaría que la propiedad de convergencia hacia un límite se establece mediante esta definición como el resultado de la resolución de una infinidad de pequeños problemas planteados por cada grado de pequeñez que deseemos realizar. Con mayor sobriedad, es la propiedad de un objeto —una función— presuntamente bien definido, es decir, una aplicación del conjunto de los reales en sí mismo y también, según la concepción conjuntista, un conjunto fabricado a partir de conjuntos infinitos. Es así como la interpretación “moderna” del discurso de los pioneros del análisis infinitesimal lo pone a salvo de la ecuación imperfecta, que era uno de los problemas, pero

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La teoría de conjuntos

F

ue fundamentalmente Georg Cantor (foto adjunta ) quien tuvo la idea de introducir en las matemáticas la noción de conjunto cualquiera de objetos absolutamente arbitrarios, así como la de demostrar resultados generales relativos a ellos. La concepción conjuntista estipula que todos los objetos y todas las nociones de las matemáticas pueden ser expuestos en términos de conjuntos, de suerte que la “teoría de conjuntos” se convierte en la teoría sobre la que se fundan todas las matemáticas. Georg Cantor  Los razonamientos sobre conjuntos efectuados de forma natural desde la intuición de lo que es una colección y de lo que significa para un objeto la pertenencia a una tal colección conducen a paradojas (antinomia de Russell, paradoja de Cantor, etc.). Los matemáticos de principios del siglo XX se vieron obligados a formalizar la teoría de conjuntos, a presentarla como una teoría lógica abstracta que gobernaba el empleo de la relación de pertenencia denotada ∈, símbolo que desde ese momento ya no tiene sentido intuitivo, sino que está sometido a reglas de empleo consignadas en los axiomas. La teoría formal así obtenida, y que constituye la referencia implícita de las matemáticas desde hace un siglo, es la teoría ZFC (Zermelo-Fraenkel con axioma de elección). Las nociones de conjunto infinito   y de conjunto finito   se definen en esta teoría como ya había concebido Cantor: es infinito un conjunto biyectivamente coordinable con una parte propia, diferente de él mismo (así, el conjunto N  de los enteros naturales se puede poner en biyección con el conjunto P   de los números pares mediante la aplicación n  → 2n ); son finitos los conjuntos que no son infinitos. A todo conjunto, incluso a los infinitos, le está asignado un “cardinal”, que, por así decirlo, “contabiliza” el número de sus elementos. El conjunto N , por ejemplo, tiene “aleph 0” elementos, mientras que {0, 1} tiene dos. Una aplicación f : E → F , cuyo original sea el conjunto E , y cuyo final sea el conjunto F , es definida como una terna (E, G, F ), donde G ⊂ F × G   está constituida por los pares del tipo (x , y ), con x ∈ E , e y ∈ F , estando elegida la gráfica G  de modo que a todo x ∈ E  le pueda ser asociado un único y ∈ F  tal que (x, y ) ∈ G   (el y   en cuestión recibe entonces el nombre de imagen  de x ). Cuando E  es infinito, la gráfica G  es también infinita.

no de la referencia a una cantidad  x, si el valor absoluto de  x es menor dudosa. Sólo que ésta, en lugar de que δ, pero no nulo, el valor absoluto ser infinitamente pequeña, es infi- de ƒ( x) – l ha de ser menor que ε) consnita “sin más”. A decir verdad surge tituye, aplicando el principio del terasí una dificultad del orden de la de cio excluso, una proposición que ha de la ecuación imperfecta, pero tal difi- ser o verdadera o falsa. (El principio cultad no es perceptible más que del tercio excluso enuncia que si conpara los especialistas en los proble- sideramos una proposición P concermas de fundamentos. Al aceptar los niente a objetos matemáticos, entonconjuntos infinitos actuales, com- ces o bien P es verdadera o lo es no- P, puestos por puntos, el matemático sin cabida para ninguna otra se ve obligado también a acepta r una posibilidad.) “lógica del infinito” y a extender sisTal proceder no carece de dificultatemáticamente a los infinitos las des, aunque sólo sea porque obliga a reglas lógicas del discurso de los la formalización de las matemáticas casos finitos. y, en consecuencia, a la adopción de  Así es como decide que la frase que un concepto de deductibilidad más expresa que tal función tiende a l esencial que la noción de verdad, ya cuando x tiende a cero, frase que evoca que es precisamente para este conuna infinidad de problemas parame- cepto para el que el principio del tertrizados por un número real estricta- cio excluso ya no es válido, como sabemente positivo (a saber: para todo mos desde que Gödel demostró su número real estrictamente positivo ε célebre teorema de incompletitud. existe un número real estrictamente (Gödel demostró en 1930 que en todo positivo δ, tal que, cualquiera que sea sistema formal suficientemente rico

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se puede siempre construir una proposición  P tal que ni  P ni no- P sean deductibles en el seno del sistema formal: lo que se llama una “proposición indecidible”).

La reconquista de lo indefinido

T

al situación daba pie a suponer que merced al formalismo nacido de la teoría de conjuntos hubiera sido posible justificar mejor el discurso de los pioneros, en lugar de descalificarlo, como en cierta medida hace la concepción conjuntista que acabamos de evocar. Tal rehabilitación fue propuesta, en efecto, en los años 1960 por el matemático estadounidense  Abraham Robin son, un especialista de una rama de la lógica matemática que se denomina teoría de modelos, en pleno auge a la sazón. La reinterpretación del cálculo y del discurso de los pioneros ofrecida por Robinson es, en esencia, la siguiente: deja a salvo la idea de lo infinitamente pequeño, pidiendo a los matemáticos que piensen que hay más números reales de los que pensaban. O mejor dicho, que los números reales se hallan sumergidos en un sistema más vasto al que podríamos llamar “sistema de los hiperreales”, un sistema que contiene elementos estrictamente positivos más pequeños que todo elemento estrictamente positivo del sistema de partida, al que desde ahora llamaremos sistema de los reales estándar. Toda la operación consiste, pues, esencialmente en declarar que el nuevo sistema de números es una “extensión elemental” del primero, es decir, en que hasta cierto punto no es más qu e un duplicado, una ampliación no esencial. En otros términos, los nuevos objetos no pueden ser caracterizados en función de los números reales estándar y de los medios discursivos que los acompañan. Se trata de entidades suplementarias, indeterminadas, elegidas de modo que proporcionen a toda una clase de relaciones definidas sobre el sistema de base objetos-límite que dominen a todos los ob jetos estándar que sigan dichas relaciones. Por dar un ejemplo, digamos que la propiedad = posee la propiedad siguiente: para todo conjunto finito { x1,..., xi,..., xn} de números reales estándar podemos encontrar un real estándar  y mayor que cada uno de los  xi. El proceso de ampliación de Robinson nos garantiza entonces en el sistema *  de los hiperreales la existencia de un µ tal que

TEMAS 23

 x < µ para todo x estándar, es decir, la introducidos por él puede ser intereexistencia de un µ   “infinitamente sante en sí mismo. grande”. El axioma de elección conduce a la Para construir los hiperreales matemática a operar con objetos en Robinson se funda en el axioma de los que no se sigue el protocolo de elección. Este axioma —introducido creación, objetos que se añaden a su explícitamente por Zermelo en 1908— paisaje, que únicamente le son conceafirma, por resumirlo en forma didos por una propiedad milagrosa. cómoda, que “existe” una función que Los infinitamente pequeños de elige exactamente un elemento en Robinson son justamente objetos de todo conjunto de una familia infinita este tipo: su estatuto es definido en de conjuntos no vacíos dados. Dicho términos de la infinidad de objetos de otro modo, si consideramos una estándar, pero, por lo demás, se familia de conjuntos no vacíos ( X i) encuentran indeterminados. Robin—donde i varía en el conjunto de índi- son justifica el discurso de los pioneros ces  I — hay una función que “selec- proporcionando un crédito conjuntista ciona” exactamente un elemento en irrefutable a los infinitamente pequecada conjunto X i, esto es, una función ños (y de paso, a los infinitamente que a cada índice i  del conjunto de grandes), pero lo hace añadiendo al índices I  le asocia un elemento elegido infinito de totalidad la de un infinitoen X i. Pero la “elección” así expresada indefinido, un infinito en cierto modo por la función cuya existencia se indefinido (o mejor dicho, Robinson afirma no está determinada, ni es no añade esta figura, sino que la pone determinable, más allá del axioma de relieve). También será interpreque declara su existencia. No podemos tada en términos suyos la ecuación describir esta función sino por la selec- imperfecta: así, escribiremos con ción que ella efectúa y no podemos Robinson dy / dx ≈ 2 x , donde el signo tampoco expresarla por relación a ≈ expresa que la diferencia es infinitaobjetos ya conocidos de la situación mente pequeña, es decir, menor, en en que interviene.  valor absolut o, que todo núm ero  A pesar de ello, la simple existencia estándar. Se podría decir, de manera de la función es interesante para el filosófica, que dy/dx no difiere de 2 x matemático: garantiza que son posi- más que en un “indefiniblemente bles ciertas construcciones conjuntis- pequeño”. tas, que cabe admitir ciertos objetos cómodos. Por ejemplo, dado un espaLa sintaxis de lo indefinido cio vectorial, cualquiera que éste sea, permite la introducción de una base a la que referir todos los vectores del l matemático estadounidense Edespacio. ward Nelson propuso en los años  A pesar de los servicios prestados 1970 una nueva teoría de conjuntos, por este axioma, fueron varios los a la que llamó teoría de conjuntos matemáticos que a principios del siglo internos, o IST (sigla de Internal Set  XX  se opusieron a él, por estimar que Theory). La teoría IST es una extensión afirmaba una existencia demasiado de la teoría formal de los conjuntos ideal y demasiado incontrolada. ordinarios, la teoría Zermelo-Fraenkel Robinson lo justifica a posteriori , con axioma de elección, abreviada ZFC haciendo ver que el carácter poco con- ( Ze rm el o- Fr ae nkel-Choice ). Esta trolado e indeterminado de los objetos nueva teoría de conjuntos hace inter-

E

–( N  + 1) – N 

–3

–2

–1

0

1

3. EN LOS NUMEROS REALES están contenidos los enteros positivos y los negativos, los números racionales y los números irracionales. Dichos números reales pueden ser representados mediante puntos de una recta, que es llamada “recta real”. El análisis no estándar nos lleva a considerar que el 0 está circundado por un “halo” de números no estándar infinitamente pequeños. Con mayor generalidad, cada número real ordina— rio, como √2 , o el 5 del diagrama, está circundado por uno de

IDEAS DEL INFINITO

2

5 5+ε

 venir, además de los símbolos fundamentales de igualdad (=) y de pertenencia ( ∈ ), un nuevo predicado denominado st   (de estándar). A la inversa que los símbolos = o ∈ que son predicados con dos argumentos ( x = y,  x (∈) y), el predicado st tiene sólo uno, es decir, que afirma una propiedad sobre un objeto (para indicar que el objeto x es estándar, se escribe st( x)). Ello significa que desde ahora vamos a distinguir entre todos los conjuntos que forman el universo de los conjuntos aquellos que son estándar de aquellos que no lo son (un poco como si la televisión conjuntista hubiera pasado de blanco y negro a color, revelándonos nuevas diferencias). El predicado st  no puede ser reducido a nociones conjuntistas clásicas. Su significado está regido por tres nuevos esquemas de axioma que tienen por efecto, más o menos, permitirle expresar la noción de objeto asignable, “asible”, lógicamente conocido dentro del paisaje conjuntista. Este predicado permite distinguir las entidades que desempeñan el papel de los infinitamente pequeños en la teoría de Robinson.  Así, en la mat emá tica nel son ian a, los reales infinitamente pequeños no nulos son números reales q ue no satisfacen al predicado st , de los reales no estándar. La metodología de Nelson pone de relieve una relación entre lo finito y lo estándar. Da a entender que los objetos no estándar están allí “a causa” del infinito de totalidad y que, en un determinado sentido, todo lo que es asignable tiene lugar en lo finito.  Aunque la teoría IST que Nelson propone sea generalización de la teoría clásica y pueda por ello ser considerada portadora del mismo mensaje lógico y ontológico, nos lleva a ver de otro modo la repartición de lo finito y lo infinito en el universo de los con-

N

N  +

1

tales halos, constituido por números de la forma 5+ ε, donde ε es infinitamente pequeño. Pero el análisis no estándar nos hace ver también sobre la recta real números no limitados, como N , – N , N + 1, –( N + 1) en el diagrama, que son mayores que todo número estándar (positivos infinitamente grandes) o menores que todo número estándar (infinitos negativos), a pesar de lo cual no se puede decir que ninguno de estos números sea capaz de “contar” la infinidad de puntos de la recta.

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Recurrencia interna y recurrencia externa

E

l principio de recurrencia nos dice que si una propiedad P (n ) es verdadera para n = 0 y si es hereditaria (esto es, que P (n ) sea verdadera entraña que lo sea P (n + 1)), entonces la propiedad es verdadera para todo n . Este principio (llamado de “inducción matemática”) es también válido en el análisis “nelsoniano”, pero únicamente para las llamadas propiedades internas , que no hacen intervenir sino la noción de objeto estándar (el predicado st ). Para una propiedad externa referida a la misma noción, sabiendo que P (0) es verdadera y que, para el estándar, P (n ) implica P (n + 1), lo único que se podrá concluir es que P (n ) es verdadera para todo objeto estándar, permaneciendo absolutamente indeterminado el valor de verdad de la propiedad P   para los enteros infinitamente grandes.

 juntos, así como la relación entre lo uno y lo otro. Las dos lecciones que la teoría IST nos proporciona sobre lo finito y lo infinito son las siguientes: en primer lugar, que todo conjunto infinito contiene un elemento no estándar y, en segundo, que hay un conjunto finito que contiene a todos los objetos estándar del universo. Estos dos asertos son teoremas que se deducen casi directamente de los axiomas específicos impuestos al predicado st con los que Nelson ha completado la teoría de conjuntos. En el fondo, el primer aserto se comprende muy bien: en un conjunto que nosotros tenemos por infinito, ¿cómo podrían dejar de aparecer objetos que escapasen a nuestro control lógico, es decir, objetos no asignables, no estándar? La conclusión que extrae el teorema parece ser una simple conclusión razonable, dictada por el conocimiento de nuestra finitud (aunque, naturalmente, semejante consideración metafísica no figura para nada entre las  ju sti fic aci ones del dis positiv o de Nelson; dispositivo que, a decir verdad, él no da y en esto precisamente consiste la metodología axiomática). Más sorprendente resulta en cambio el segundo aserto: entre los objetos estándar figuran —Nelson tiene buen cuidado en hacérnoslo notar— todos los objetos definibles en la teoría de base de los conjuntos (clásica) merced a una fórmula que los caracteriza, es decir, todos los objetos que le son familiares al matemático, como por ejemplo, el conjunto de los números reales o el  L2( , ), que es el espacio de las funciones de valores complejos que están definidas sobre y son de cuadrado sumable (las funciones de en cuyo módulo elevado al cuadrado es integrable y tiene integral finita sobre todo ); pero también, desde luego, los enteros “conocidos”, 0, 1, 2 y sucesivos. La colección de los objetos estándar contiene pues toda una fauna, en

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apariencia infinita, de objetos que son ellos mismos susceptibles de ser ideales (es decir, que los podemos pensar, pero no los podemos construir, porque están, por principio, situados más allá de toda percepción inmediata, como o ) y son, tomados de una sola vez, infinitos. Empero, lo que dice el teorema es que la colección total de objetos de esta suerte puede ser integrada a un conjunto finito y, por ello, en cierto sentido, sería justo concederle un tratamiento análogo al de los objetos finitos. Podríamos, por ejemplo, formar la suma finita de una clase de números reales que contuviera a todos los reales estándar. Esta afirmación contradice a la intuición resultante de la construcción de Robinson. Para éste los números reales estándar son los números habituales y no se ha obtenido un sistema con números infinitamente pequeños o grandes sino añadiendo nuevos números a los números habituales; existe pues una infinidad continua de reales estándar. El punto de vista de Nelson es distinto. Tenemos números infinitamente pequeños exclusivamente porque reconocemos que, entre los números reales, figuran necesariamente elementos imperceptibles, “inasibles”, no asignables, porque entramos en la lógica de esta distinción entre asignables y no asignables. Es esta distinción la que diferencia funcionalmente a los números reales entre sí y de ella emana la posibilidad “gramatical” de lo infinitamente pequeño o grande. Es también la que hace aparecer, en el seno de los números reales, una colección de reales estándar, que se deja incluir en una parte de que puede ser tratada como una parte finita. Tengamos presente en este contexto de la teoría denominada IST que finito no significa finito intuitivamente, finito absolutamente, finito en el sentido de los ordenadores y ni siquiera en la intuición ordinaria de los núme-

ros enteros. Finito tiene el sentido que le da la teoría de conjuntos ZFC, es decir, el sentido formal de lo que no puede ser puesto en biyección con una parte propia de sí mismo. Un conjunto finito en este sentido puede no parecer finito a nuestra intuición. Así, cuando µ es un entero infinitamente grande, el segmento [0, µ] es, a nuestro modo de ver, infinito, pero es finito desde el punto de vista de las manipulaciones matemáticas. Tal es toda la dificultad que habían explorado ya los pioneros de la teoría de modelos y de la que Robinson había sacado partido para alumbrar los números reales infinitamente pequeños. Podemos, si queremos, ceñirnos a una significación intuitiva absoluta de finito y denominar “hiperfinito” a lo que sólo es formalmente finito, en el sentido de la teoría de conjuntos. Los objetos estándar se mantienen en el orbe de lo hiperfinito.

 Asignable y constructivo

E

l modo en que la teoría IST vincula la intención justificadora del análisis no estándar al respecto del discurso de los pioneros del cálculo infinitesimal, y a la cuestión de lo finito y lo infinito, prepara y arroja luz sobre la etapa siguiente. Consiste ésta en vincular el análisis no estándar y las ideas “constructivistas”. El constructivismo concede una importancia decisiva a la distinción entre lo que puede ser efectivamente construido (o debería poder serlo, en principio) y lo situado más allá, lo que es “ideal”. En efecto, y ahora empezamos a comprenderlo, lo que permite tener números infinitamente pequeños en la matemática del continuo sin comprometer con paradojas a los cálculos con números reales consiste en disponer de un estatuto de entidad no asignable para ciertos objetos, para ciertos números. Robinson obtiene dicho estatuto haciendo actuar conjuntamente dos modelos de la misma teoría, uno de los cuales es una extensión elemental del otro, y Nelson la obtiene instalando en el lenguaje una noción de entidad asignable. El resultado de tal proceder es vincular lo asignable a lo finito y lo no asignable a lo infinito. En estas condiciones, ¿por qué no tratar de fundarnos sobre lo que parece ser la figura contemporánea de la noción de entidad asignable y enunciar que es asignable lo que está representado por la informática? Pues porque esta noción es demasiado téc-

TEMAS 23

nica y contingente: parece depender del estado actual Infinitos con distinto rostro de la potencia de las máquinas y del tamaño de las a noción de infinito ha evolucionado al mismo tiempo que la memorias, por ejemplo. Las del análisis no estándar. Abraham Robinson (arriba, a la izquierda ) nociones más teóricas de se funda en los conjuntos infinitos de la teoría de conjuntos y en el objetos constructibles en el axioma de elección para producir un conjunto de números “hi perreasentido de Brouwer (es decir, les” en el que encontramos, además de los números reales conocidos, de objetos cuya elaboración números infinitamente grandes e infinitamente pequeños. se le presenta como realizable Edward Nelson (a la derecha ) introdujo la noción de entidad estána la intuición que acompaña dar por reformalización de la teoría de conjuntos: los elementos a la sucesión indefinida de infinitamente grandes o infinitamente pequeños no existen con caráclos números enteros) o en el ter de objetos nuevos “añadidos”, sino porque nos perde calculabilidad (noción catamos de que entre los números reales existen neceintroducida en los años 1930 sariamente elementos imperceptibles (o “inasibles”). por los matemáticos, traSi bien Nelson vincula lo infinito a lo inasible y lo finito a lo asignable, fue tarea de Georges Reeb ( abajo, a la tando de precisar la noción izquierda ) la fundación del análisis no estándar con senintuitiva de cálculo) proporsibilidad constructivista. Dicho con otras palabras, desde cionan exactamente lo que es Reeb se está intentando aproximar los conceptos de natural buscar: unos concepinfinito y de incalculable. Los enteros estándar son entontos de entidad asignable lo ces los enteros “constructivos”, los que son calculables suficientemente generales mediante ordenadores o los que aparecen al hilo de la como para trascender los numeración ingenua. límites contingentes de la técnica, pero que no entren, en cambio, en una idealidad de tipo comparable a la idealidad de los conjuntos infinitos de números o . De aquí la idea Reeb piensa que se tiene que reco- entero que nosotros sepamos consde fundar un discurso de análisis no nocer que la caja que reúne al con- truir. Es, por lo tanto, “más grande” estándar, cuya ecuación de base sería  junto de los ente ros del formalis ta, que todos éstos. el que obedece al principio del terEl entero infinitamente grande se  estándar = constructivo. Corresponde a Georges Reeb el cio excluso, al que podemos definir introduce en el discurso de Reeb mérito de haber tenido la idea general como el más pequeño conjunto infi- mediante un razonamiento extraño, y sistemática de tal enfoque y también nito de la teoría de conjuntos, no que acepta la existencia de la teoría el de haber comprendido que siempre tiene ninguna razón para contener formal de los enteros y contempla se había tratado de eso en el caso del sólo los enteros intuitivos, o sea, los incluso la mítica colección de númeenteros que se van obteniendo al hilo ros que satisfacen a esta teoría, pero análisis no estándar histórico. Se trata de comprender que todo de la enumeración 0, 1, 2, etc. Esto que, al mismo tiempo, debate sobre cuanto requiere el desarrollo del aná- es lo que las incansables objeciones los que esta colección puede y debe lisis no estándar es un entero infini- de Brouwer al naciente formalismo contener como elementos, compatamente grande. Es necesario haberse de principios del siglo  XX   habrían rando la noción formal de entero con provisto, claro está, de una regla de mostrado sin ambigüedad. Brouwer su noción intuitiva. El resultado al  juego que instruya sobre la forma de criticó la matemática conjuntista y que se llega (que el putativo debe razonar y de calcular con él, sobre el formal que estaba tomando forma contener un entero infinitamente tipo de entidades que se pueden cons- ante sus ojos y propuso otra orienta- grande), del que ha habido ne cesidad truir a partir de los números enteros ción, a la que dio el nombre de “intui- al hilo del razonamiento mantenido, de que disponemos, divididos en fini- cionista”. Reeb considera que no puede ser asumido en el formatos e infinitos; por último hay que Brouwer tenía razón al pensar que lismo: si en el formalismo estuviera dotarse de una buena razón “filosófico- una demostración formal de la fal- disponible el predicado “infinitafundacional” que aporte credibilidad sedad de la proposición “cualquiera mente grande”, se obtendría una a todo un montaje intelectual que hace que sea el entero n, la propiedad P( n) paradoja aplicando el esquema de intervenir un número entero infinita- es verdadera” —obtenida, muy pro- inducción a la clase de los enteros mente grande. En estas condiciones bablemente, por reducción al finitos o a la clase de los enteros infiresulta posible introducir un sistema absurdo— no aportaba la garantía nitamente grandes. Por ejemplo, por de números que entrañe elementos de que supiéramos indicar la cons- el principio de buena ordenación, se infinitamente pequeños o infinita- trucción de un entero  N   tal que no- podría afirmar que el conjunto de los mente grandes y que permita hacer  P ( N ) sea verdadera. De todos modos, enteros infinitamente grandes tiene análisis. El texto que enuncia el pro- en estas condiciones, el entero n tal un elemento mínimo α , luego α – 1 grama de una matemática no estándar que no- P ( n) es verdadera, cuya exis- es finito, pero entonces α  también lo fundada sobre el entero infinitamente tencia afirma la teoría por medio de es y de aquí la contradicción. grande, al tiempo que interpreta a tal la demostración formal, parece tener Todos los montajes del nuevo anánúmero como entero no constructivo el estatuto de entero “más allá” de lisis no estándar, que se basan en es el artículo ¿ Tiene ya sesenta años los enteros efectivos: se reputa la un entero infinitamente grande sin la matemática no estándar? ( La “existencia” de tal entero porque está pasar por las horcas caudinas de mathématique non standard, vieille demostrada una frase de la teoría o de la teoría de conjuntos, consisten de soixante ans? ) de Georges Reeb, que afirma su existencia, pero que en transformar el formalismo de la publicado en 1979. no podemos identificar con ningún teoría de los enteros de manera que

L

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Portada:  Henrik Olsen

COLABORADORES DE ESTE NUMERO Traducción:  –  Luis Bou: Arquímedes ante lo innumerable, Tha bit ibn Qurra y el infinito numérico,  La ciencia del movimiento en el siglo  XVII ,  Historia del signo infinito , La perspectiva y el infinito geométrico , El carácter paradójico del infinito , El infinito, piedra de toque del constructivismo, El infinito en geometría ,  El análisis no estándar , ¿Es necesario el infinito? , El infinito y el universo de los algoritmos, Lo infinitamente pequeño en física ,  Lo infinitamente grande  y El infinito como  fuente de revelación

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Página

Fuente

4

Pour la Science (izquierda); Niedersächsische Staats y Biblioteca Universitaria de Göttingen (derecha )

10-11

Pour la Science

15

Biblioteca Nacional

17

Biblioteca Británica/Oriental and Indian Office Collection

19-21

Pour la Science

23-27

Investigación y Ciencia

29

Mary Evans/Explorer Archives (arriba ); D.R. (abajo )

30

Biblioteca de Arte The Bridgeman

31

Peter Willi/Biblioteca de Arte The Bridgeman

32

J. G. Berizzi/RMN

35

Biblioteca de Arte The Bridgeman

36-52

Pour la Science

54-55

Museo de Bellas Artes, Nantes

56

Galería de Arte Cheltenham (reloj); Wingfield Sporting Gallery, Londres ( fotografía)

57

Agnew & Sons, Londres ( fotografía)

58

Museo de Louvre ( fotografía)

60

Museo de Orsay ( fotografía superior )

62-67

Pour la Science

70-76

Pour la Science

77

D.R.

78

CERNI

79-80

D.R.

81-82

Pour la Science

83

Pour la Science (arriba); D. R. (abajo )

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D.R.

86

J. A. Marck/Sygma

87-90

D.R.

91-96

Pour la Science

desaparezcan estas paradojas. El uso del principio de recurrencia deberá, por ejemplo, ser limitado a los predicados no edificados por medio de la noción de entero “finito”, “estándar”, o “limitado”. Resulta entonces de tales dispositivos que los enteros infinitamente grandes aparecen como una clase no situable y se ubican sobre la recta de los enteros “después” de los que son finitos. Son distintos de los enteros estándar, que desde ahora se interpretan como “enteros constructivos ”, por así decirlo, aquellos enteros que se pueden construir mediante ordenadores, suponiéndoles a éstos la potencia suficiente.

Lo infinitamente grande

L

a intención de estas teorías no estándar es, pues, la de asir lo infinitamente grande como el excedente inubicable que está más allá de lo constructivo. Idealizan la intuición de las relaciones entre enteros constructivos y enteros enormes, inaccesibles, relaciones que son “concretamente” bastante imprevisibles. Como explica Jacques Harthong, los enteros constructibles o accesibles son necesariamente definidos con relación a un lenguaje de programación elegido como herramienta de producción o de escritura de referencia. Así el número 10^(10^ (10^(10^ (10^10))), en el que a^b designa ab, puede ser calculado mediante un programa muy sencillo, de una veintena de pasos, en una calculadora programable; este número es, sin embargo, gigantesco. Un número del mismo tamaño, pero que no tuviera la misma estructura simple, no tendría ninguna posibilidad de ser programado en el mismo lenguaje (careciendo de la estructura, no quedaría más recurso que el de escribir sus cifras, pero haría falta un número superior al del de las partículas del universo y un tiempo que supera la capacidad de supervivencia de todo ser vivo). La distribución de números “accesibles a la calculadora programable” es no regular, tributaria de las particularidades del material simbólico y de las operaciones de base de la calculadora considerada. La distribución de los números que aparecen como constructibles en el sentido de tal calculadora programable es una jungla que presenta muchos claros. Desde este nuevo punto de vista, el análisis no estándar es una sistematización teórica, independiente de toda máquina y de todo lenguaje par-

ticulares, de los fenómenos que hemos citado a título de ejemplo al comienzo del artículo, cuando hicimos notar que, para las calculadoras, ciertos enteros finitos desempeñan el papel del infinito. Si se comprende bien el concepto de número finito accesible, constructivo, es de señalar que el pensamiento aritmético contemporáneo torna plausible una teorización cualitativa de los enteros enormes que les confiere un estatuto de infinitud. Por otra parte, en cuanto se dispone de un contexto teórico de aritmética con enteros infinitamente grandes, se puede introducir un cálculo con racionales de denominador infinitamente grande que permite recuperar, en cierta medida, la matemática del continuo a la que nos hemos habituado. Podremos entonces hacer análisis no estándar al  justificar los infinitamen te pequeños y las ecuaciones imperfectas de los pioneros. Para conseguirlo es necesario, una  vez más, hacer valer cierto s obje tos como no asignables o relativamente mal asignados, enteros enormes en esta ocasión. La justificación de este carácter no asignable puede ser más o menos sutil según los estilos intelectuales y puede utilizar la filosofía intuicionista de Brouwer, el teorema de incompletitud de Gödel o un examen preciso de las posibilidades de los lenguajes de programación. Las sucesivas concepciones del análisis no estándar tienen en común el haber intentado además que inter venga una noción de inde finido, de entidad no asignable, junto a o en el lugar de la noción cantoriana de infinito de totalidad. Hasta cierto punto, esta noción presta servicios técnicos comparables a los de las nociones infinitesimales de los pioneros. En todo caso, da una justificación a posteriori del uso intuitivo de lo infinitesimal, concepto con el que los matemáticos y los físicos siguen encariñados.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

ANALYSE NON  STANDARD . F. Diener y G. Reeb. Hermann, 1989.

LOGIQUE , RÉDUCTION , RÉSOLUTION . R. Lalement. Hermès, 1990.

L’OBJECTIVITÉ MATHÉMATIQUE. M. Panza y Jean-Michel Salanskis. Dunod-Masson, 1995. LE CONSTRUCTIVISME N ON STANDARD . Jean-Michel Salanskis. Presses du Septentrion, 1999.

TEMAS 23

¿Es necesario el infinito?

Patrick Dehornoy

 Lo es. Las sucesiones de Goodstein se hinchan y engruesan  hasta alcanzar dimensiones gigantescas... para terminar por contraerse  hasta llegar a cero. Para la demostración de esta paradójica  propiedad es inevitable recurrir al infinito

L

os números enteros son objetos finitos; en consecuencia sería de esperar que todas sus propiedades pudieran ser demostradas sin recurrir al infinito. Error: tan sólo el infinito permite la demostración del teorema de Goodstein, que concierne a ciertas sucesiones in ve nt ad as po r el ló gi co in gl és Reuben Louis Goodstein, sucesiones cuyos elementos son, sin embargo, números enteros. Para comprender esta paradoja veamos cómo se construyen las sucesiones de Goodstein. A tal fin definiremos primero el desarrollo de un entero en base  p y luego lo haremos en base  p iterada. Los enteros se expresan habitualmente en el sistema decimal, en el cual cada número entero se descompone en una suma de potencias de diez multiplicadas por coeficientes enteros comprendidos entre 0 y 9. Al entero que se denota 266 en base 10 le corresponde así la descomposición: 2 6 6 = 1 0 2 × 2 + 1 0 1 × 6 + 1 0 0 × 6 (por definición, a1 es igual a a y a0 es igual a 1). También se utilizan otras bases. Los babilonios utilizaban la base 60, cuya importancia práctica se debe a sus muchos divisores. Los ordenadores efectúan los cálculos en base 2. El entero que se denota 266 en base 10 se descompone del siguiente modo en potencias de 2: 266= 256+ 8 + 2, o sea, 28 + 23 + 21. Si hacemos figurar todas las potencias de 2 se tiene: 266=28 × 1 + 27 × 0 + 26 × 0 + 25 × 0 + 24 × 3 2 1 0 × 0 + 2 × 1 + 2 × 0 + 2 × 1 + 2 × 0. Por ello la representación de 266 en base 2 es 100001010. El desarrollo en base  p iterada es de la misma naturaleza, pero ahora también los exponentes se expresan en base  p , haciéndose después lo mismo con los exponentes de los exponentes, etc. Por ejemplo, el desarrollo de 266 en base 2 es 28 + 23 + 21;

IDEAS DEL INFINITO

para obtener el desarrollo en base 2 iterada se comienza por escribir los exponentes en base 2: 223+ 221+1 + 21. Luego se expresa también en base 2 el entero 3, que es exponente de un 1 exponente: 266 = 22 2 +1 + 2 2 1 +1 + 2 1 . Tal expresión constituye el desarrollo de 266 en base 2 iterada. El desarrollo en base  p   iterada se constru ye de forma similar para cualquier entero  p  mayor que 2. Es una expresión en la que aparecen la

ω 

ω ω  ... 2 ω ω ω = ω ω  ... ω ω + ω = ω ω 2 ... ω ω  ... ω 2 ω = ω 3 ... ω 2 + ω ω = ω 2 2 ... ω 2 + ω  ... ω 2 + 1 ω ω = ω 2 ... ω 2+ω=ω 3 ... ω 2+1 ω+ω=ω 2 ... ω+2 ω+1 ω  ... 3 2 1

adición, la multiplicación por enteros menores que p y la “potenciación de exponente  p”.

La dilatación de los enteros

P

ara construir las sucesiones de Goodstein se define una operación, llamada dilatación  y denotada d p (siendo  p un entero por lo menos igual a 2), que se efectúa en do s etapas

Los ordinales

L

a sucesión de ordinales es una continuación de la sucesión de los enteros 0 < 1 < 2 < 3... Se construye respetando la llamada “propiedad de buena ordenación”, a saber: “En todo conjunto no vacío de ordinales, existe un ordinal que es el más O R pequeño de ese conjunto”. Esta propiedad, válida D I para los enteros positivos, no es verdadera, por N A ejemplo, en el caso de los números reales. Sea, L E por ejemplo, el conjunto de l os números “estrictaS mente comprendidos entre 0 y 5”. El mínimo entero que posee esta propiedad es 1, ¿pero cuál es el más pequeño número real? ¿0,0001? No, pues 0,0000001 es menor, etc. No existe un número real que sea mínimo entre los que verifican dicha propiedad. Consideremos ahora el conjunto de los ordinales infinitos, es decir, aquellos que son más grandes que todos los enteros. En este conjunto, lo mismo que en todo conjunto de ordinales, existe un ordinal mínimo, un primer elemento al que se denomina ω. Se tiene pues 0< 1 < 2 < 3 < ... < ω. De igual manera, existe un mínimo ordinal que es mayor que ω , que se denota ω + 1: E N 0 < 1 < 2 < 3 < ... < < ω < ω + 1, seguido, a su vez, por T E ω +2, ω + 3, etc., hasta el mínimo ordinal mayor R O que todos los ω + n . Este último es denominado S ω + ω, o también ω × 2. Vienen a continuación ω × 2+1, ω × 2 + 2, ..., y después ω × 3, ..., y ω × n ; y al final de éstos, ω × ω, denotado también ω2. La construcción continúa y se llega a ωω, y mucho más ω adelante, a ωω , etc., sin concluir jamás. Para proseguir sería necesario introducir nuevas operaciones, que trascenderían de la exponenciación.

69

a partir de un entero n  cualquiera. El término siguiente  g 3(266) es por roer el crecimiento de la sucesión, Primero se expresa n en base p iterada igual a d3( g2(266)) – 1, o sea, d3 ( 333+1+ hasta el punto de hacerla decrecer y y después se sustituye el número p en + 33+1 +2)– 1= 444+1+ 44+1 +1, que es un alcanzar el valor 0 al cabo de un toda la expresión obtenida por su número de 616 cifras en base 10. número finito de operaciones. 2 siguiente,  p + 1; por ejemplo, 2 es ¿Por qué ir recortando un 1 cada ¿Resulta difícil de creer? Vamos reemplazado por 33.  vez? Las dilatacio nes generan núme- entonces a demostrarlo. Calculemos Efectuemos la dilatación del entero ros tan enormemente grandes que el  g p para las primeras semillas. En el 266. En base 2 se expresa 222+1 + sustraendo 1 no parece a priori  que caso de la semilla 2 tenemos g1(2)=2, + 22+1 +2 (se han omitido los exponen-  vaya a influir mucho en el resulta do. después g2(2)= d2( g1(2))–1=3–1=2, tes 1); su dilatación d2(266) se obtiene  Y sin e mbargo es precisamente este a continuación g3(2)= d3( g2(2))–1=1 reemplazando cada 2 por un 3, o sea: sustraendo el que desempeña un y finalmente g4(2) = 1 – 1 =0. Ya hemos d2(266)=333+1 + 33+1 + 3 = 381 + 84, cuya papel esencial en las sucesiones de obtenido lo que nos proponíamos, pero expresión en base 10 consta de 38 Goodstein y da pie a fenómenos el resultado es poco convincente, cifras. Al reemplazar la “potencia  p” extraños. puesto que la semilla es tan pequeña por la “potencia p + 1” se engendra un Tomemos de nuevo la sucesión de que en el desarrollo no llega a figurar número más grande —mucho más Goodstein de semilla 266. Hemos cal- ninguna potenciación. El caso de n = 3 grande— que el entero inicial. culado ya  g3 (266) = 4 44+1 + 44+1 +1. no es tampoco muy emocionante, ya Provistos de estos útiles, definire- Prosigamos: g4(266)= d4( g3(266))–1= que, por la misma razón, las dilatamos ahora las sucesiones de Goodstein = d4( 444+1+ 44+1 +1)–1=555+1+ 55+1 +1, ciones no llegan realmente a entrar  g p(n). Una de estas sucesiones, g1(n), que tiene alrededor de 10.000 cifras en acción y acabamos otra vez en  g2(n), etc., se construye a partir de un en base 10. No vale la pena continuar.  g6(3)=0. entero cualquiera n, llamado la “semi- Esta sucesión parece tender muy rápiEn cambio el caso de la semilla n = 4 lla”. La regla es la siguiente: se define damente hacia infinito, al igual que ya tiene mayor interés... y mucha más  g 1 ( n) = n , se calcula después  g 2( n) cualquier otra sucesión de Goodstein complicación. La sucesión alcanza mediante la dilatación de g1(n) por la generada a partir de cualquier semi- efectivamente el valor 0, pero al cabo operación d2  y por último se resta 1 lla. Y sin embargo... de un número de etapas gigantesco del resultado; y así sucesi vamente por Un teorema demostrado por Good- ( véase el recuadro de la página la relación de recurrencia g p(n) = d p( g p– stein en 1944 afirma: “Cual quiera que siguiente). En el caso de la semilla 5 sea la semilla de partida, n, la suce- y, a fortiori, en los casos posteriores 1 ( n )) – 1. Por ejemplo, si la semilla fuera n = 266, tendríamos g1(266)=266, sión de Goodstein de semilla n acaba las comprobaciones directas parecen después,  g 2(266)= = d 2(266)–1 = por alcanzar el valor 0.” ser inabordables, pues el número de Este fenómeno, paradójico cuando etapas aumenta fabulosamente al d 2( 2 22+1 + 2 2+1 + 2 ) – 1 = = (3 3 3+1 + 3 3+1 + 3) – 1. Este número menos, se debe obviamente a la pre- crecer el valor de la semilla. ¿Será tiene, como ya se ha dicho, 38 cifras sencia del término –1. A pesar de lo imposible entonces la demostración en base 10. microscópico de su descuento, acaba del teorema de Goodstein?

Goodstein: la demostración por el infinito

L

a dilatación engorda a la rana. La superdilatación, por su parte, transforma a la rana en buey. El buey G 1, obtenido tras la superdilatación de D 2, es idéntico al resultante de la dilatación d 2 seguida de la superdilatación D 3. Se le corta una pata a la rana dilatada d 2(g 1): la rana g 2 es un poco más pequeña que la rana indemne d 2(g 1). Como

Enteros

dilatación d 2

g 1

d 2(g 1)

–1

las superdilataciones conservan la ordenación, el buey G 2 es consecuentemente más pequeño que el G 1. Como en la fábula de La Fontaine, ya puede la rana engordar lo que quiera, que al final se queda en nada...

Gg  22

dilatación d 3

d 3(g 2)

>

Superdilatación D 2

Superdilatación D 3

G 1

Ordinales

70

=

G 1

Superdilatación D 4

D 3(g 2)

>

 

Etc.

g 3

>

Superdilatación D 3

D 3(d 2(g 1))

D 2(g 1)

–1

G 2

Superdilatación D 4

D 4(d 3(g 2))

=

G 2

D 4(g 3)

>

G 3

Etc.

TEMAS 23

No. Existe una demostración, que es válida para todo n, pero en ella es necesario abandonar los límites de la aritmética ordinaria y recurrir a la aritmética de los ordinales. Los ordinales constituyen una prolongación de la sucesión de los enteros y fueron introducidos a finales del siglo  XIX  por el matemático alemán Georg Cantor (véase el recuadro de la página 69 ). Entre ellos están comprendidos los enteros, pero también otros números más grandes que todos los enteros, los ordinales infinitos, también llamados “transfinitos”, situados “más allá de lo finito”. En la demostración de Goodstein hay dos puntos importantes, a saber: a) Los ordinales poseen una aritmética similar a la de los enteros (las cuatro operaciones básicas); y b) toda sucesión decreciente de números ordinales llega al valor 0 en un número finito de etapas (véase el recuadro de la  página 72 ). El teorema de Goodstein se demuestra como sigue. Se introduce para cada entero  p una “superdilatación”  D p, definida análogamente a d p, salvo que, en lugar de reemplazar p por p + 1 en el desarrollo en base  p iterada,  p es sustituido por el primer ordinal infinito ω. De esta forma la relación 266 = 222+1 + 22+1 +2 implica D 2(266)= ω +1 + ωω+1 + ω, que se debe comparar ω con d2(266) = 333+1+ 33+1 +3. Examinemos una propiedad de la superdilatación. La aplicación de D p equivale a la aplicación de d p y después la de  D p+1 , y esto cualquiera que sea el número de partida. En efecto, en la superdilatación directa D p  se desarrolla el número inicial en base p  iterada y después se reemplaza cada  p por el ordinal ω . En el caso de la superdilatación indirecta ( d p seguida de D p+1 ) se empieza dilatando el número, es decir, se le desarrolla en base  p  iterada, se sustituye cada  p   por  p + 1 y luego se efectúa solamente la superdilatación, en la cual los números p + 1 son sustituidos por el ordinal ω . El resultado final es el mismo.  Ve ri fi qu ém os lo to ma nd o 4 co mo número de partida y con  p =2. La superdilatación, calculada directamente, es D 2(4)= ω ω, pues se ha de reemplazar 2 2  por ωω. La superdilatación indirecta lleva a d2 ( 4 ) = 3 3 y después a  D 3( d2(4))= D 3 (3 3 ) = ω ω, lo mismo que antes. Otra propiedad de la superdilatación, que es determinante para la demostración del teorema de Goodstein, es que  D p es función creciente para todo valor de  p. Por ejemplo,  D2(4) es mayor que D2(2). ω

IDEAS DEL INFINITO

La sucesión de Goodstein de semilla 4 Calculemos la sucesión de Goodstein de semilla 4. Tenemos g 1(4)=4. g 2(4)= d 2(4)–1=d 2(22) – 1 = 3 3 –1=26. g 3(4) es igual a d 3(26)– 1, es decir, d 3(32 × 2 + 3 × 2 + 2 ) – 1 = = (42 × 2 + 4 × 2+ 2) –1 =41. Prosigamos: g 4(4)= d 4(41)–1= d 4( 4 2 × 2 + 4 × 2 + 1 ) × 1 = ( 52 × 2 + 5 × 2 + 1 ) – 1 = 6 0 . g 5(4)= d 5(60)–1= d 5(52 × 2 + 5 × 2 ) – 1 = ( 6 2 × 2 + 6 × 2)–1=83. Cualquiera que sea p , g p (4) tiene siempre un desarrollo en base p + 1 de la forma (p + 1) 2 × a p + (p + 1) × b p + c p , con a p ≤ 2, b p = p  y c p ≤ p . Probemos esta fórmula, muy útil para demostrar que la sucesión de semilla 4 llega al valor 0. La fórmula es verdadera para g 2(4)=26=32 × 2 + 3 × 2 + 2. Tenemos aquí a 2 =2, b 2 = 2, y c 2 = 2, que denotamos (2, 2, 2). La fórmula se conserva cuando pasamos de g p (4) a g p +1(4), como lo confirma el estudio de los distintos casos. La evolución de a , b  y c   hace pensar en un reloj retrógrado, en el que a   representase las horas, b  los minutos y c  los segundos, pero este reloj averiado ya no funcion a en base 12, sino en una base p  que va aumentando. Primer caso: c p ≠ 0. La presencia del sustraendo –1 hace disminuir c , dejando invariables a a  y a b . Así, por ejemplo (a 2, b 2, c 2) = (2, 2, 2), (a 3, b 3, c 3)= (2, 2, 1). Se tiene entonces a p +1 = a p , b p +1 = b p , c p +1 = c p –1. Segundo caso: c p  = 0 y b p ≠ 0, como en (a 4, b 4, c 4) = p (a, b, c)   = (2, 2, 0). Entonces, en la iteración siguiente, b  disminuye una unidad y c  reaparece con un valor igual a la 2 (2, 2, 2) base disminuida en una unidad, es decir, p . Se obtiene 3 (2, 2, 1) (a 5, b 5, c 5) = (2, 1, 5). En este caso a p +1 = a p , b p +1 = b p –1, 4 (2, 2, 0) y c p +1 = p . El coeficiente b  disminuye solamente cuando 5 (2, 1, 5) c   es igual a 0, lo cual requiere cada vez más tiempo, 6 (2, 1, 4) porque c  reaparece con el valor p , que es cada vez más 7 (2, 1, 3) grande. ... ... 10 (2, 1, 0) Tercer caso: b p = 0 y c p = 0, como en (a 22, b 22, c 22) = 11 (2, 0, 11) = (2, 0, 0). En la iteración siguiente, se tiene a p +1 = a p –1, 12 (2, 0, 10) b p +1 = p , c p +1 = p , como en (a 23, b 23, c 23) = (1, 23, 23). A 27 ... ... continuación se obtiene (1, 0, 0) para p = 3 × 2 – 2, tras 22 (2, 0, 0) lo cual a   se anula y las expresiones toman la forma 23 (1, 23, 23) (p + 1) × b p + c p . A continuación se obtiene (0, 1, 0), o sea × 227 – 2 27 3 ... ... g p (4)= p + 1, parap = 3 × 2 × 2 – 1; por fin, se obtiene 46 (1, 23, 0) 27+3 × 227 – 1 (0, 0, 0), o sea g p (4)= 0 para p = 3× 2 – 2, es 47 (1, 22, 47) decir, p  = 3 × 2402.653.211– 2, un entero cuya expresión 48 (1, 22, 46) en base 10 tiene alrededor de 130 millones de cifras. ...

...

Las supersucesiones de Goodstein

y hace ver que los ordinales G p(n) forman una sucesión que decrece estrictamente al crecer  p, cualquiera que efinidas las superdilataciones, sea la semilla n. Una sucesión de tal definiremos ahora las sucesiones tipo forzosamente ha de alcanzar el 0 de ordinales G, una especie de super- en un número finito de etapas. Como sucesiones de Goodstein: el elemento G p(n) no puede valer 0 sino cuando la G p(n) es el ordinal D p+1( g p(n)). Veamos propia  g p(n) vale 0,  g p(n) alcanza el algunos ejemplos. Para empezar, con  valor 0 en un número finito de etapas, la semilla 2: lo que concluye la demostración del teorema de Goodstein. G1(2)= D2( g1(2))= D2(2)= ω, G2(2)= D3( g2(2))= D3(d2( g1(2))–1)=  D3(d2(2)–1)= D3( 3 – 1 ) = 2 . ¿Es indispensable Para la semilla 4 encontramos: ω el infinito? G1(4)= D2( g1(4))= D2(4)= ω , G2(4)= D3( g2 (4))= D3(d2( g1(4))–1= = D3(d2(22) – 1 ) = D3(33 –1)= D3(26)= l teorema de Goodstein es una propiedad de carácter aritmético, = D3(32 × 2 + 3 × 2+2)= ω2 × 2 + ω × 2+2. En estos ejemplos se tiene G1(2)> en el sentido de que únicamente inter> G2(2) y G1(4)> G2(4). El esquema del  vienen números enteros y sus cuatro recuadro 2 generaliza este resultado operaciones elementales (suma, resta,

D

E

71

Sucesiones decrecientes de ordinales

T

omemos un entero positivo y a partir de él construyamos una sucesión estrictamente decreciente de enteros positivos. Aunque el entero sea muy grande, por ejemplo 109, es seguro que forzosamente llegaremos a 0 tras, a lo sumo, 109 pasos. Por otra parte, dado que hay una infinidad de enteros menores que el ordinal ω, se podría pensar que a partir de ω se podría descender una infinidad de pasos. Pero no es así, pues para construir una sucesión estrictamente decreciente cuyo primer término sea α 1 = ω, habrá que elegir para α 2 un ordinal estrictamente menor que ω, es decir, un número entero ordinario y si tomamos, por ejemplo, α 2 = 12, llegaremos a 0 a lo sumo 12 etapas más tarde. Si elegimos α 2 = 109, podremos descender 10 9 escalones antes de llegar a 0, que cier tamente son más que 12, pero que siguen siendo un número finito. Así, a diferencia del caso en que partimos de un entero, es imposible dar una cota de la longitud de una sucesión descendente de ω a 0: existen sucesiones de longitud tan grande como se desee, pero  todas y cada una son finitas. El argumento es idéntico si partimos de ordinales más grandes. Por ejemplo, si empezamos en α 1 = ω2, tendremos que elegir α 2 estrictamente menor, lo que nos obliga a un salto infinito: un tal α 2 es de la forma ω × p + q , siendo p  y q  enteros positivos ordinarios. A partir de ahí, un máximo de q  etapas lleva a ω × p  (estamos considerando el caso más desfavorable), y en la etapa siguiente llegamos a un ordinal de la forma ω × (p – 1 ) + q , y así sucesivamente. Al cabo de un máximo de p  saltos del mismo tipo llegaremos a los enteros positivos, y por tanto, a 0. Toda sucesión decreciente de ordinales llega al valor 0 en un número finito de etapas.

recurrencia. Cierto que no todas las demostraciones de un libro de aritmética se dan por recurrencia, pero siempre se podrían reducir a ella, al meno s en teoría.

El teorema de Kirby y Paris

¿ Y

entonces? ¿No será posible, con un poco de astucia, demostrar también por recurrencia el teorema de Goodstein, sin tener que recurrir al infinito? Pues no. Un teorema, demostrado en 1981 por Laurence Kirby y Jeffrey Paris, basado en un método que éste había puesto a punto en 1978 con Leo Harrington, afirma que, por mucha que sea nuestra imaginación, nunca llegaremos a demostrar por recurrencia el teorema de Goodstein, esto es, valiéndonos tan sólo de los enteros y de sus cuatro operaciones elementales. Este resultado es muy notable (y su demostración, muy difícil) y confiere su especificidad al teorema de Goodstein. De forma más precisa, el teorema afirma que la función que a cada semilla n le ... asocia el entero  p para el cual  g p(n) se anula, es una función que alcanza ... ω 2  valores tan fantásticamente grandes ω 2 +1 ... ω +1 ω 2 que acaba por superar cualquier función cuya existencia sea demostrable   Enteros ω  Ordinales por recurrencia. n  La demostración de Goodstein no ... 4 3 En una sucesión decreciente de ordinales, 2 es una demostración por recurrencia, 1 el número de saltos necesarios para llegar a 0 es finito, pues utiliza el ordinal ω, un objeto cualquiera que sea el ordinal de partida. infinito. Observemos que basta agregar al sistema de Peano la hipótesis de que existe un objeto infinito para obtener toda la aritmética de los ordimultiplicación y división), pero la cierta forma de infinito. Observemos, nales (la utilizada en la demostración demostración que acabamos de dar se sin embargo, que pudiera existir otra de Goodstein) sin necesidad de ningún funda en la manipulación de objetos forma de demostración, no analítica, postulado adicional. Desde el punto infinitos. ¿No existirá alguna otra que fundada exclusivamente en los enteros de vista de las hipótesis lógicas subno requiera dar la vuelta por el infi- y en sus cuatro operaciones, aunque yacentes, ello sitúa al teorema de nito? con frecuencia es muy difícil de encon- Goodstein justo por encima de la aritLa demostración de un teorema no trar. Así el célebre teorema de los mética de Peano. Esta adjunción siempre utiliza sólo los útiles con los números primos, demostrado mediante representa exactamente el hiato entre que es enunciado. Numerosos resulta- técnicas de variable compleja por J. el infinito potencial (presente en la dos aritméticos han sido demostrados Hadamard y C. de la Vallée-Poussin aritmética, en la que el principio de merced a técnicas del análisis, es decir, en 1896, no fue demostrado por métodos recurrencia postula la existencia de a técnicas propias de los números rea- puramente aritméticos sino trans- una sucesión de enteros que no tiene les o complejos y de las funciones defi- curridos más de cincuenta años, gracias fin) y el infinito actual (presente en nidas sobre ellos. De aquí nació la teoría a Selberg y Erdös. Y, por otra parte, los ordinales, en el que existe un obje to analítica de números (por contraste con esta demostración es mucho más com- infinito). la teoría algebraica de números, en la plicada que la primera. que sólo se utilizan los enteros). Ahora Precisemos qué se entiende por bien, un número real auténticamente “demostración aritmética”. Las pro... Y Gödel arbitrario no es expresable ni mediante piedades básicas de la aritmética fracciones ni mediante raíces n-ésimas; están descritas por un sistema de axioxiste una estrecha relación entre es un objeto cuyo desarrollo entraña mas propuesto a finales del siglo  XIX  lo anterior y los famosos teoreuna sucesión infinita de cifras decima- por Giuseppe Peano, un matemático mas de incompletitud demostrados les y, con mayor generalidad, en el que italiano fallecido en 1932. Todas las por Gödel en los primeros años todas sus expresiones son infinitas. En propiedades fundamentales de los 1930. cuanto una demostración aritmética enteros pueden ser demostradas en El primer teorema de incompletitud utiliza números reales, hay en ella una el sistema de Peano, vale decir, por enuncia la existencia de una propie-

E

72

TEMAS 23

Hércules contra la Hidra

L

a lucha de Hércules contra la Hidra constituye un ejemplo de propiedad referente a los enteros, pero que no se puede demostrar sin utilizar el infinito, igual que le sucede al teorema de Goodstein. Hércules ha de vencer a la Hidra, pero, cada vez que él le corta una cabeza, a la Hidra le crecen varias más. Las reglas del combate son las siguientes: Hércules sólo puede cortar una cabeza en cada tajo. Si secciona una cabeza directamente unida al cuerpo de la Hidra, esa cabeza ya no vuelve a salir; pero si no está unida directamente al cuerpo, el conjunto de cabezas contiguas a la recién segada, es decir, las emanadas del nudo de ramificación inmediatamente superior, se reproducen, creando n  nuevos ejemplares, siendo n  el n -ésimo tajo que da Hércules en el combate. El número de cabezas de la Hidra parece tender a infinito irremediablemente. Pero hay un teorema que enuncia que, cualesquiera que sean la forma inicial de la Hidra y la forma en que Hércules actúe, acabará por matarla, por haberle cortado todas las cabezas. Lo mismo que el teorema de Goodstein, el teorema de la Hidra se demuestra utilizando ordinales y Kirby y Paris han probado también que tal demostración es imposible en el seno del sistema de Peano, es decir, por recurrencia.

PRIMERA DECAPITACION

En marrón la parte excitada por el tajo. Esta parte se duplica.

SEGUNDA DECAPI TACION

En marrón la parte excitada por el segundo tajo. Esta parte se añade dos veces.

TERCERA DE CAPITACION

En marrón la parte excitada por el tercer tajo. Esta parte se añade tres veces. Si Hércules hubiera cortado la cabeza azul que nace directamente de la Hidra, esa cabeza no volvería a crecer.

dad aritmética que es verdadera, pero que no puede demostrarse por recurrencia. Gödel no proporciona, sin embargo, ningún ejemplo explícito de una propiedad tal. El segundo teorema de incompletitud llena esta laguna, facilitando un ejemplo: se trata de una propiedad que codifica, en el lenguaje de la aritmética, que el principio de recurrencia no está en contradicción consigo mismo. Este resultado, muy notable, sigue siendo fascinante a pesar de los años transcurridos. Pero no acaba de dejarnos satisfechos desde un punto de vista aritmético, pues “la propiedad que codifica en lenguaje aritmético que el principio de recurrencia no está en contradicción consigo mismo” no es algo que esté demasiado claro y no se corresponde apenas con lo que en aritmética suele recibir el nombre de propiedad aritmética... Ha sido necesario esperar más de cincuenta años para hallar propiedades aritméticas más comunes que no sean demostrables por recurrencia. El primer ejemplo fue una propiedad de tipo combinatorio, aislada por Paris y Harrington en 1978; tras él vino el teorema de Goodstein, formulado algunos años después. Se trata del ejemplo más sencillo ofrecido hasta ahora de una propiedad aritmética demostrable con ayuda del infinito y para la que está probado que no se puede demostrar por recurrencia. En cierto sentido, tal resultado constituye un poderoso argumento en pro del infinito en matemáticas, pues demuestra que ciertas propiedades en las que no intervienen más que objetos finitos no son demostrables sin el infinito; mal haríamos, pues, privándonos de esta posibilidad. Por otra parte, el ejemplo de la semilla 4 hace  ver que el teorema de Goodstein pone en juego enteros gigantescos, mucho mayores, por ejemplo, que el número de átomos que pueda haber en el uni verso, y también pudiera uno preguntarse para qué servirán tales enteros y cuál sea su relación con los enteros “de uso diario...”

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA ¿Llegará Hércules a cortar todas las cabezas a la Hidra? En efecto. Este resultado se demuestra mediante los ordinales.

THE RESTRICTED ORDINAL THEOREM. Reuben L. Goodstein, en  Journal Symbolic Logic, n.o 9, págs. 33-41, 1944. BASIC SET THEORY. A. Levy. Springer Verlag, 1979.

ON

ACCESIBLE INDEPENDENCE RESULTS

FOR

PEANO ARITHMETIC.

L. Kirby y J. Paris, en Bull. London Math. Soc., n.o 14, págs. 285-293, 1982.

IDEAS DEL INFINITO

73

El infinito y el universo de los algoritmos

Gilles Dowek 

 No siempre es posible prever el número de operaciones  necesarias para efectuar un cálculo. Por ello hay que admitir la posibilidad de que su duración sea infinita

U

n algoritmo descompone un cálculo en secuencias de operaciones elementales. Pero si un algoritmo prescribe un número infinito de operaciones elementales, nunca se llegará a obtener el resultado. Se ha de procurar, pues, o bien expulsar del problema al infinito o, si no, domeñarlo. Para multiplicar 35 por 12 hemos de multiplicar el 5 por el 2, escribir el 0, llevar 1, multiplicar el 3 por el 2, sumar el 1 que se lleva... Al final de nuestros esfuerzos logramos el resultado: 420. Esta “receta”, que describe la concatenación de operaciones elementales necesarias para efectuar una multiplicación se denomina “algoritmo de la multiplicación” o, mejor dicho, es uno de los algoritmos de multiplicación, porque existen otros posibles métodos para realizarla. Por ejemplo podríamos efectuar 35 + 35 + +35+35+35+35+35+35+35+35+ + 35 + 35, que sería uno de los algoritmos imaginables para multiplicar 35 por 12 mediante adiciones sucesivas.  Y existen muchos otros métodos. Los algoritmos anteriores son métodos de cálculo que proporcionan un resultado al cabo de un número finito de operaciones y en un tiempo finito. El infinito no parece desempeñar papel alguno en el mundo de los algoritmos. Pero no es posible definir la noción de algoritmo sin recurrir al infinito. El infinito es indispensable, pero es preciso domeñarlo. SI..., ENTONCES...

ENTONCES... ¿QUE?

La definición de algoritmo

 A 

unque los algoritmos se vienen utilizando desde la Antigüedad y a pesar de que el vocablo algoritmo proceda del nombre del matemático  Al Khwarizmi, que vivió en Bagdad en el siglo IX  de nuestra era, la noción de algoritmo no fue definida con precisión hasta el siglo  XX . Thoralf Skolem (1887-1963) propuso una primera definición del concepto de algoritmo, vinculada a la noción de recurrencia, hacia 1920. Consiste tal procedimiento en definir una función dando su valor en 0 e indicando el procedimiento para pasar de su valor en n al valor correspondiente a n + 1. Sea, por ejemplo, la función  e, que a cada número entero le asocia 2n. Su definición por recurrencia sería: e(0)=1, e(1)=2, e(2)=4,  e(3)=8, e(4) = 16, ..., es decir, la función  e ha sido puesta de manifiesto dando su valor en 0, que es 1, e indicando que se pasa de un valor al siguiente multiplicándolo por 2. Las funciones así definidas se llaman “recursivas primitivas” en la terminología de Rosza Péter. La función  e(n) = 2n  es una recursiva primitiva, pues está definida por e(0) = 1 y e(n +1)= = 2 e(n). Richard Dedekind, que ya en 1888 había estudiado las definiciones por recurrencia, había demostrado que la adición, la multiplicación y la ele vación a potencia eran otras tantas funciones recursivas primitivas.

¿CUANTOS DESEOS PUEDES CONCEDERME?

UNA INFINIDAD ¡COMO! ¿UNA SOLA INFINIDAD?

La definición de una función por recurrencia proporciona un algoritmo para el cálculo de sus valores. Para calcular el valor de la función  e en 10, basta con calcular su valor en 0, después en 1, en 2, ..., en 9 y, por fin, en 10. Se obtiene así  e (0)=1,  e(1)=2, e (2)= 4, ..., e (9)=512, e (10) = =1024. Las funciones recursivas primitivas se programan fácilmente en ordenador por medio de bucles  For . Cada iteración del bucle ejecuta una operación elemental y se puede determinar el número de iteraciones necesarias para el cálculo en función del valor que deseemos calcular. Si le pedimos al programa que calcule la función  e para n igual a 10, en la pantalla del ordenador podremos ver 1024 al cabo de 10 iteraciones. Con esta noción de función recursiva primitiva no es necesario recurrir al infinito y los matemáticos creyeron que tales funciones serían suficientes para definir el conjunto de los algoritmos. Pero Wilhelm  Ackermann descubri ó en 1928 una función de dos variables, m y n, para la que existía una receta de cálculo, pero que no respondía al deseo de predictibilidad del número de etapas de cálculo. La función de Ackermann está definida por  A (0, n ) = n +1;  A( m +1, 0)= A( m, 1) y por  A ( m +1, n + 1 ) = A( m,  A( m +1, n)). Esta función no es recursiva primitiva, pues no se conoce el número de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18...

LE HE DICHO QUE CUENTE HASTA INFINITO... ¡Y LO ESTA HACIENDO! ¿Y DONDE TE PIENSAS ESCONDER?

ES LOGICA FORMAL. TU MISMO.

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TEMAS 23

etapas de cálculo necesarias para pasar de un valor de m  o de n al siguiente, m +1 o n + 1. Esta imposibilidad no se debe a que la función no esté bien formulada, sino a una imposibilidad teórica demostrada por  Ackermann, según la cual el número de iteraciones necesarias para el cálculo de esta función es imprevisible, aunque sea siempre calculable en un número finito de etapas. El cálculo de una función como ésta no puede ser ejecutado por medio de bucles de programación For. Las funciones recursivas primiti vas siempre pueden ser calcula das mediante un algoritmo, pero las funciones calculables mediante un algoritmo no siempre son recursivas primitivas, como lo prueba la función de Ackermann. La definición de Skolem era, por lo tanto, demasiado restrictiva y el desafío lanzado a los matemáticos al comienzo de los años 1930 consistía en superar esta definición y en proponer otra capaz de englobar al conjunto de los algoritmos.

El esquema

S

L

a función de Ackermann es una función perfectamente definida y calculable, pero no es recursiva primitiva. Tomemos el ejemplo del cálculo de la función A (2,2), detallando sus etapas. Si esta función fuera recursiva primitiva, bastaría partir del valor A (0,0), calcular después A (1,0), A (2,0), A (2,1) y por fin A (2,2). Cuatro etapas serían suficientes. El problema principal de la función de Ackermann es que los resultados obtenidos para los valores de m   y de n  inferiores a los solicitados en el cálculo no son suficientes. La descomposición del cálculo de la función A (2,2) exige calcular funciones en las c uales los valores de n  son mayores que el inicial. Tan sólo se consigue el resultado a través de un mecanismo de búsqueda por esquema mu , en el que la condición de detención de iteraciones es la obtención de un solo valor de m   que sea igual a 0. Según la definición A(2,2) RESULTADO de Ackermann, A (2,2) A(1,A(2,1)) A(m,n) CONOCIDO se descompone en A(1,5) = A(m-1,A(m,n-1)) A(2,1) = 5 A(0,A(1,4)) A (1, A (2,1)). Según la A(0,A(0,A(1,3))) hipótesis, A (2,1) es A(0,A(0,A(0,A(1,2)))) SI conocido e igual a 5 y A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,1))))) SUPONEMOS se obtiene entonces la A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(1,0)))))) QUE A(m+1,0) función A (1,5), cuyo A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,1))))) A(1,2) = 4 = A(m,1) A(0,A(0,A(0,A(0,A(0,2))))) ES valor es desconocido. A(0,A(0,A(0,A(0,3)))) CONOCIDO Esta función se desA(0,A(0,A(0,4))) CONDICION compone hasta A (0,n ), A(0,A(0,5)) DE DETENCION cuyo valor es igual a A(0,n) A(0,6) DE LAS = n+1 n +1. Por lo tanto, A (2,2) 7 ITERACIONES es igual a 7.

mu

e propusieron diversas soluciones por Jacques Herbrand, Kurt Gö del, Alonzo Church, Stephen Kleene, Alan Turing, Emil Post... La definición más sencilla, que es la ofrecida por Kleene en 1936, se agrega a la definición por recurrencia un segundo procedimiento de cálculo, que lleva el curioso nombre de esquema mu. Este esquema obliga a proseguir el cálculo hasta que se alcance una cierta condición. De este modo, a partir de una función g, Kleene define un número a, que es el mínimo valor de  x para el cual g( x) es igual a 0 (condición buscada aquí). Por ejemplo, si  g es la función que asocia| x2 –9|a  x, entonces 3 es el mínimo valor de x tal que | x2 – 9| es igual a 0. Es posible calcular una función definida por un esquema mu por medio de un algoritmo, es decir, que se puede calcular el valor de a, a pesar de que este cálculo sea menos sencillo que el correspondiente a una recurrencia. Para calcular a  hay que buscar el número x más pequeño tal que | x2 –9| sea igual a 0, es decir, ha de calcularse sucesivamente g(0), g(1), g(2), g(3),... hasta acertar en un valor que produzcalaanulaciónde g. Contrariamente al cálculo por recurrencia clásica de funciones recursivas primitivas, el número de iteraciones es impredecible. Es posible que encontremos la solución al cabo de algunas iteracio-

IDEAS DEL INFINITO

La función de Ackermann

nes, pero también lo es que sea necesario ensayar gran cantidad de valores antes de encontrar el adecuado. Este tipo de búsqueda de la solución se efectúa en los lenguajes de programación mediante bucles While, que, como los bucles For, ejecutan una operación muchas veces. Pero el bucle  For   solamente está adaptado a las funciones recursivas primitivas, pues lleva aparejada la instrucción que ordena detener el cálculo en cuanto se alcance el número de iteraciones prefijado. El bucle While, en cambio, contiene la instrucción de detener el cálculo sólo cuando se alcance la condición buscada, que en este caso es  g( x) = 0, efectuando para ello tantas iteraciones como sean necesarias. El programa continúa buscando iterati vamente la solución “en tanto que” (en inglés, While) no sea encontrada. Con el esquema mu   se calculan todas las funciones en las que el número de etapas no es conocido a  priori  y en las que la estructura del cálculo se descubre sobre la marcha. El esquema µ permite la elaboración progresiva de la estructura de cálculo de la función de Ackermann (véase el recuadro). Esta noción de descubrimiento progresivo no se encontraba en la definición de Skolem. Las funciones definidas por estos dos procedimientos —a saber, defini-

ciones por recurrencia y esquema mu— son algorítmicamente calculables y existen buenas razones para pensar que, recíprocamente, todas las funciones que sean calculables mediante un algoritmo pueden ser definidas de este modo. El guante lanzado a los matemáticos por la introducción de la función de Ackermann fue, pues, recogido. Las funciones recursivas primitivas y el esquema mu engloban el conjunto de los algoritmos.

El infinito entra en escena

C

ontrariamente a lo que sucede en las definiciones por recurrencia, mediante el esquema mu   no es posible prever el número de iteraciones necesarias para alcanzar el resultado. Es incluso muy posible que el algoritmo no encuentre solución y, en tal caso, el cálculo proseguiría eternamente. Reemplacemos en el ejemplo anterior el valor 9 por el valor 10 y tratemos de calcular el número a, que será el mínimo x tal que | x2 – 10 | sea igual a 0. Como ningún número satisface esta condición, se irán ensayando 0, 1, 2, 3, 4, 5... sin jamás encontrar la solución. Técnicamente se dice que ese número no está definido y el

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cálculo prosigue hasta el infinito. Es lo que Kleene llama el movimiento perpetuo. Este mecanismo de búsqueda hasta el infinito que el esquema mu   permite aparece en los bucles While de los programas de ordenador; el programa ejecuta repetidamente el bucle mientras que | x2 – 10| sea diferente de 0. Un algoritmo consistía tradicionalmente en una receta de cálculo que proporcionaba un resultado al cabo de un número finito de operaciones; con el esquema mu  el universo de los algoritmos se amplía y, en ciertos casos, el cálculo se prolonga hasta el infinito, sin llegar nunca a proporcionar el resultado. A tales algoritmos se les denomina a veces semialgoritmos.

Domeñar el infinito

E

l esquema mu   permite definir semialgoritmos que buscan un cierto objeto en un conjunto infinito, incluso sin saber si tal objeto existe. Un programa informático que buscase la salida de un laberinto podría ser un ejemplo del esquema mu. Por ejemplo, puede buscarse un camino que vaya desde  A hasta B en el laberinto de la figura adjunta y es posible que se encuentre el camino A, D, E, F , G. Pero si lo que buscamos es un camino que  vaya desde  A hasta  J , es seguro que no lo vamos a encontrar. ¿Cómo se procede para encontrar un camino que vaya desde A hasta G? El número de caminos de un laberinto es infinito. Puede uno perderse recorriendo indefinidamente un bucle, como el que lleva desde  A hasta  D , desde D  hasta C  y desde C hasta A , sin tomar nunca el corredor que conduce desde  D  hacia  E. Para encontrar la salida de un laberinto no es suficiente confeccionar la lista de los caminos y avanzar siempre; es necesario enumerarlos de forma sistemática, para no olvidarse de ninguno, tomando, por ejemplo, primero todos los caminos de longitud 1 (cuyo número es finito), luego todos los de longitud 2 (cuyo número es también finito), después todos los de longitud 3... La enumeración de todos los caminos de tamaño finito del laberinto permite hallar la salida, si es que existe y corresponde a un camino de longitud finita, pero tal enumeración proseguirá sin fin si no existe salida. Este riesgo de búsqueda hasta el infinito, en el caso en que el problema carezca de solución, es inevitable en un conjunto infinito.

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I CAMINO

D

C

E

BUCLE

ENTRADA

SALIDA

INACCESIBLE

H

B

J

A

F

mento mal adaptado, por demasiado potente, porque convoca al infinito en su búsqueda. Con el esquema mu Kleene metió al zorro en el gallinero, esto es, introdujo el infinito en la teoría de algoritmos, que se movía a  priori  en el marco de lo finito. ¿Se debió ello a una torpeza de Kleene o es que esta intrusión del infinito en el universo de los algoritmos era inevitable?

SALIDA

¿Podrá ser expulsado el infinito?

G

LA BUSQUEDA DE LA SALIDA de un laberinto puede ser infinita. Para limitar la búsqueda se deben excluir, por ejemplo, los circuitos cerrados, como el  ACDA .

En el caso de un laberinto es posible evitar esta búsqueda en un conjunto infinito. Para recorrer un laberinto no es nunca necesario pasar dos veces por el mismo cruce; si existe un camino que entrañe un bucle, al suprimir el bucle se obtiene otro camino que conduce directamente al mismo sitio. Se limita uno así a buscar una solución entre los caminos sin bucles. Estos caminos constituyen entonces un conjunto finito y, si no existiera solución (como ocurriría si se tratase de ir desde  A  hasta  J ), después de haber enumerado los caminos y comprobado que ninguno es adecuado, se sabría que los puntos no están conectados. Tanto si hay solución como si no, la búsqueda terminará. El problema principal que se presenta cuando se aspira a idear ciertos algoritmos —por ejemplo, los de salida de un laberinto— consiste en restringir de este modo el espacio de búsqueda, con el fin de hacerlo finito sin por ello eliminar la solución. Es lo que se llama “una acotación del esquema mu ”. A veces, como en el caso anterior, ello es posible; pero en otros, sobre todo cuando el problema que se debe resolver es indecidible, no lo es. Cuando el problema es indecidible no siempre se puede predecir si la solución existe o no, tras efectuar un número finito de etapas. El problema requiere una búsqueda en un conjunto infinito y, si el problema no tiene solución, la búsqueda se prolongará sin fin. En ciertas ocasiones no es posible evitar la búsqueda hasta el infinito y en tales casos el esquema mu es el útil adecuado. Pero en otros, como cuando se trata de definir la función de  Ackermann, cuyas etapas son de cierto imprevisibles, pero siempre finitas, el esquema mu   parece ser un instru-

C

hurch y Kleene han demostrado que no se trataba de una torpeza y que esta intrusión era inevitable. En efecto, todos los procedimientos de definición de algoritmos que se limitan a definir funciones que proporcionan siempre un resultado al cabo de un número finito de operaciones (es decir, que excluyen el anterior mecanismo de búsqueda al infinito) son incompletos: siempre se podrá construir una función, calculable en un número finito de etapas mediante un algoritmo, pero no definible mediante este procedimiento. Tal función se construye utilizando el método del procedimiento diagonal introducido por Cantor para estudiar los cardinales infinitos. No existe, pues, una definición que englobe a todas las funciones que proporcionen un resultado tras un número finito de etapas y que las caracterice exclusivamente a ellas. Ciertos procedimientos, como el esquema mu , definen a la totalidad de estas funciones, pero definen también a otras que no proporcionan resultados en un número finito de etapas. Otros procedimientos similares —más comple jos—, como los propuestos por Kurt Gödel en 1941 o por Jean-Yves Girard en 1970, no permiten definir sino funciones que den un resultado en un número finito de etapas. A cambio, no las definen a todas. Echemos fuera al infinito... y se nos  volverá a meter en casa inmediatamente.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

LOGIQUE ET FONDEMENT DE L’I NFORMATIQUE . Richard Lassigne y Michel de Rougemont. Hermès, 1993.

L OGIQUE M ATHÉMATIQUE . René Cori. Masson, 1993.

HISTOIRE

DES A LGORITHMES . Jean-Luc Chabert et al. Belin, París, 1995.

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Lo infinitamente pequeño en física

Harald Fritzsch

 Los físicos, en su descenso por la escala de las dimensiones,  han descubierto partículas tan pequeñas que las consideran puntuales.  El “modelo estándar”, teoría construida sobre tal hipótesis, acumula éxi tos a pesar de haber sido amasado con infinitos

L

o infinitamente pequeño es ubi- más precisa de las elaboradas nunca. hablan de una cantidad infinitamente cuo en la física de partículas.  Animados por este éxito, los físicos pequeña quieren decir que su valor En principio ninguna idea procedieron a forjar sobre el mismo (absoluto) no tiene límite inferior, física debería apelar a nociones infi- modelo otras teorías destinadas a des- salvo el cero. La sucesión de los invernitas. Pero las teorías que utilizan cribir las demás interacciones. sos de los números naturales 1, 1/2, actualmente los físicos que estudian Obtuvieron así el “modelo estándar”, 1/3, 1/4, ... no contiene ningún límite el universo a pequeña escala dan por que da cuenta con éxito de las rela- inferior. Los matemáticos definen los supuesta la existencia de constituyen- ciones entre todas las partículas. Este infinitos, tanto grandes como pequetes elementales puntuales y, por enorme edificio teórico viene resis- ños, merced a un proceso de paso al tanto, infinitamente pequeños. Los tiendo desde hace treinta años a todas límite. investigadores no han adoptado tal las tentativas experimentales por Tampoco faltan en física situaciones idea de repente. Partieron de nuestra echarlo abajo. ¿Serán en verdad pun- que exijan tal tipo de procesos. Los escala macroscópica, regida por las tuales los constituyentes elementa- astrónomos representaban el unileyes de la física clásica, y fueron des- les?  verso a principios del siglo  XX   como cendiendo piso a piso hacia dimensioun espacio lleno de estrellas, una de nes cada vez más pequeñas, adentránlas cuales es el Sol. Descubrieron desNo fueron los físicos dose en los dominios donde reinan las pués que las estrellas eran los conslos inventores del infinito leyes cuánticas. En la exploración de tituyentes elementales de las galaxias las escalas atómica, nuclear y subnuy que el universo contaba con miles clear han tenido que hacer frente a o fueron los físicos los invento- de millones de ellas. El universo había comportamientos cada vez más sorres del infinito; si empezaron a crecido súbitamente varios órdenes prendentes. Por debajo de la milloné- utilizar esta noción propia de los mate- de magnitud. Tal evolución invitó a sima de millardésima de metro (10 –15 máticos fue por necesidad. La noción preguntarse qué otras estructuras metros) todo ocurre como si las partí- de infinito aparece en matemáticas mayores todavía podrían existir. Y se culas que interactúan fuesen infini- de forma “natural”. No hay dificultad termina por preguntarse ¿es infinito tamente pequeñas. Los físicos han en comprender que la sucesión de el cosmos? Estas preguntas siguen sin construido, en consecuencia, teorías números naturales no tiene fin y, por respuesta, aunque hay diversos indifundadas en la hipótesis de que tales tanto, que es infinita. Cuando los cadores que militan a favor de un partículas —los electrones y los matemáticos dicen que una cantidad universo sin límites. quark— son objetos puntuales, que es infinita, lo que pretenden decir es Otro tanto ocurre cuando se trata interactúan de manera puntual. Esta que su valor (absoluto) no tiene limi- de explorar lo infinitamente pequeño. tesis tan extrema suscitó inicialmente tación (o cota) superior o, lo que es La historia de las ciencias revela que enormes dificultades técnicas. Pero la equivalente, que la presunción de que el hombre ha aprendido progresivaprimera de las teorías en ella funda- tal cota existe conduce a una contra- mente a dividir la materia cada vez das —la electrodinámica cuántica, que dicción lógica: n  no puede ser el más. Uno de los primeros en pensar describe las interacciones entre elec- máximo número entero, porque n + 1 en ello fue Demócrito (460-370 antes trones y fotones— ha resultado ser la es mayor que él. A la inversa, cuando de nuestra era). Este filósofo griego

N

IDEAS DEL INFINITO

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1. CUANTO MENOR es un objeto tanto más grandes son los instrumentos necesarios para ponerlo de manifiesto. Sobre estas líneas se ofrecen imágenes del detector  Aleph, merced al cual los físicos del CERN habrían descubierto recientemente una nueva partícula: el bosón de Higgs. Tal descubrimiento, de ser confirmado, sería muy importante, pues el bosón de

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Higgs es el último elemento no descubierto de los previstos por el modelo estándar, la teoría de mayor aceptación en física de partículas. Los experimentadores del CERN han comprobado que las trayectorias reunidas en los haces verde y blanco provienen de la desintegración de una gran partícula. Su masa parece corresponder a la del bosón de Higgs.

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llegó a la conclusión de que la materia puede ser dividida hasta una escala última, la de pequeños constituyentes elementales, que él denominó atomos. Para Demócrito, lo mismo que para los físicos de hoy, el proceso de división de la materia es por ello limitado.  Aunque sea muy pequeño, un átomo no es infinitamente pequeño. Su diámetro es de algunas décimas de nanómetro (1 nanómetro=10–9 metro, una milmillonésima parte de metro), tamaño que una experiencia sencilla pone de manifiesto: una película oleosa sobre agua se extiende y adelgaza hasta un grosor que corresponde al diámetro de una molécula, cuando no de un átomo. Resulta que se ha conseguido observar los átomos merced al microscopio de efecto túnel. ¿Qué es lo que se ve? Diminutas bolitas de tenis, de las que harían falta 100 millones para que, adosadas, llenasen un centímetro.

 Atomos  significa indivisible

L

mente la pared del garaje no es nula, es tan pequeña que, a todos los efectos prácticos, tal suceso es correctamente tenido por imposible.

 Atomos hipotéticos

E

2. WERNER HEISENBERG es uno de los padres de la mecánica cuántica. Los físicos de principios del siglo  XX   inventaron esta teoría, fundamentalmente para explicar mejor la estructura de los átomos.

a palabra atomos  significa indi- partículas eléctricamente cargadas  visible en griego, pero el carácter emiten, al ser aceleradas, radiación indivisible de los átomos fue puesto de energía en forma de ondas e lectroen tela de juicio en los primeros dece- magnéticas. Como los electrones están nios del siglo  XX , época en que se puso permanentemente sometidos a acelede manifiesto que los átomos podían ración y, dado que las partículas carser disociados en constituyentes más gadas y aceleradas pierden su energía, pequeños, el núcleo y la nube electró- emitiendo una “radiación de frenado”, nica. El tamaño de la envoltura ... ¿por qué el electrón del átomo de determina el tamaño del átomo, a hidrógeno no emite ninguna onda elecpesar de que su masa nebulosa cons- tromagnética? ¿Qué mecanismo lo tituya menos de la milésima parte de estabiliza en su órbita? Los físicos la masa atómica. El átomo más sen- tuvieron que rendirse ante los hechos: cillo es el átomo de hidrógeno. Su la física clásica no era suficiente para envoltura no contiene más que un explicar la estabilidad de los átoelectrón, cuya carga eléctrica es nega- mos. tiva, que gira alrededor del núcleo, Para responder a estas cuestiones portador de carga eléctrica positiva. se creó la mecánica cuántica a prinSu incesante giro en torno al núcleo cipios del siglo  XX . La noción esencial evita que la atracción eléctrica de éste de la teoría cuántica es la de probalo absorba. El electrón se comporta en bilidad de los fenómenos. Lo que se realidad como un planeta diminuto, hace es calcular la probabilidad de cuya órbita es estable porque la fuerza que un electrón se encuentre en un centrífuga debida a la rotación equi- instante dado en un lugar determilibra a la atracción eléctrica del nado. Resulta incluso que es imposible núcleo. determinar a la vez la posición y la Cuando comprendieron todo esto,  velocidad de un electrón con precisión los físicos quedaron asombrados por arbitrariamente grande. El físico alelas particularidades de los sistemas mán Werner Heisenberg fue el primero atómicos. Los átomos de hidrógeno, en formular esta propiedad cuántica. cual una infinidad de hermanos geme- Esta “relación o principio de indeterlos, tienen todos la misma estructura. minación” de Heisenberg se aplica a Si el electrón girase más velozmente, todos los sistemas que posean comsegún el modelo planetario se alejaría portamiento cuántico. El cálculo más del núcleo. ¿Por qué el núcleo del demuestra, de todos modos, que la átomo de hidrógeno no liga más que aproximación clásica es excelente a un solo y único electrón, situado para los sistemas macroscópicos. Pues siempre a la misma distancia? si bien la probabilidad cuántica de Misterio. Otro más: se sabe que las que un automóvil atraviese súbita-

IDEAS DEL INFINITO

s precisamente esta incertidumbre sobre la posición del electrón la que determina el tamaño de un átomo. Dicho tamaño es de una décima de nanómetro, magnitud a la que también se llama angstrom, en el caso del átomo de hidrógeno. Supongamos que observásemos un átomo de hidrógeno cuya envoltura fuera mucho más pequeña, digamos que cien veces menor. El electrón estaría entonces localizado con una precisión mayor que en el átomo de hidrógeno normal y, según el principio de indeterminación, la precisión con que podría observarse su velocidad sería en tal caso cien veces menor, de suerte que tendría que desplazarse mucho más rápidamente que en el átomo normal. Una velocidad mayor entrañaría también una energía cinética mayor. Un átomo de hidrógeno que hipotéticamente fuera más pequeño poseería entonces una energía superior a la de un átomo normal. Pero los sistemas evolucionan siempre hacia su estado de mínima energía, tanto en la física clásica como en la mecánica cuántica. Un átomo de hidrógeno más pequeño que el normal no sería estable, sino que perdería energía por radiación de ondas electromagnéticas, con lo que el electrón perdería velocidad, su envoltura aumentaría y se estabilizaría cuando el átomo hubiera alcanzado su tamaño “normal”. Lo mismo le sucedería a un átomo de hidrógeno que fuera, hipotéticamente, cien veces mayor que uno normal; no sería estable. Para fabricarlo sería necesario alejar el electrón del núcleo y, por consiguiente, aportarle energía para contrarrestar la atracción electrostática. Este gran átomo de hidrógeno, al evolucionar hacia su estado de mínima energía, la perdería muy rápidamente y retornaría enseguida a su tamaño normal. Dicho resumidamente, es la relación de incertidumbre entre la posición y la velocidad de los electrones la que determina el tamaño de los átomos. Hablando con mayor precisión, en el principio de indeterminación no interviene la velocidad, sino el momento cinético (o “cantidad de movimiento”). El momento cinético es igual al producto de la velocidad por la masa. Esta es la razón de que el tamaño de la envoltura electrónica

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dependa directamente de la masa del electrón. El tamaño de los átomos está, pues, determinado por la masa del grano ínfimo y elemental de electricidad. Si tal masa fuese cien veces menor que la observada en la naturaleza, los átomos serían cien veces más grandes. Y si fuese 10.000 veces mayor, el diámetro de la envoltura del átomo sería tan pequeño que no superaría unas diez veces el diámetro del núcleo. El comportamiento cuántico de los electrones determina pues el tamaño universal de los átomos. ¿Impone también el tamaño de los núcleos? ¿Y el de los electrones? Desde que se empezó a comprender mejor la constitución de los átomos, se ha querido siempre dar respuesta a estas preguntas. Se penetró entonces en el dominio de la física de las partículas. A pesar del enorme trabajo de exploración que se ha llevado y se sigue llevando a cabo, las preguntas siguen todavía sin respuesta. Para comprender por qué, examinemos lo que se ha descubierto sobre el mundo subnuclear, empezando por los núcleos atómicos. Representan éstos la práctica totalidad de la masa atómica. En el caso del hidrógeno, por ejemplo, el núcleo es 1840 veces más “pesado” que el electrón. El núcleo de hidrógeno está constituido por una única partícula: el protón. Los núcleos de los demás átomos contienen todos protones y neutrones, siendo éstos partículas eléctricamente neutras de masa comparable a la del protón. Los protones y los neutrones están emparentados, pues están sometidos a la interacción fuerte, fuerza que difiere de la interacción electromagnética (atracción eléctrica) que se ejerce entre protones y electrones. Aunque mucho más intensa que ésta, la interacción fuerte no alcanza sino hasta distancias muy cortas: 10–15   metro solamente. Para evaluar dicho alcance se ha medido el diámetro de los protones y de los neutrones del núcleo, partículas a las que se denomina nucleones. Para ello se bombardean los núcleos con electrones y se estudian sus desviaciones. De este modo se ha podido demostrar que la carga eléctrica positiva del protón no está concentrada en un punto, sino repartida sobre una esfera que tiene un diámetro aproximado de unos 10 –15 metro.  A finales del siglo  XIX  se comprobó que ciertos elementos naturales son inestables y que su núcleo emite radiaciones o partículas: son radiactivos. Bombardeados con nucleones, los núcleos reaccionan y se transforman

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en otros núcleos. Otto Hahn (18791968) descubrió en 1938 el primer núcleo que era susceptible de fragmentación (el del uranio 235). El estudio de este fenómeno (la “fisión”) nuclear y el de muchas otras reacciones nucleares ha revelado multitud de nuevas partículas.

la carga del protón y la del quark d es de un tercio de la carga del electrón. Por ser las cargas de los nucleones suma de las de los quark, la carga del protón es 2 e /3 + 2 e /3 – e /3, es decir,  e, y la del neutrón es 2 e /3 – – e /3 – e /3, que es igual a 0. Es decir, las cargas de los quark del neutrón se equilibran eléctricamente. Se pensó al principio que los quark Un bestiario con docenas no eran auténticos elementos constide nuevas partículas tutivos de los nucleones, sino más bien una especie de artimaña desantas fueron las descubiertas, que criptiva. Hasta que surgió esta hipóa mediados de siglo el bestiario tesis, todas las cargas eléctricas estaba compuesto por decenas de par- observadas eran múltiplos enteros tículas distintas, nacidas de reac- de e. Se consideraba que la carga del ciones nucleares. Era necesario poner electrón era elemental (la más orden. ¿Y cómo lograrlo, sino mirando pequeña posible) e inicialmente no a una escala más pequeña todavía? se vio en los quark y en sus cargas Se comprobó que podían describirse fraccionarias (2 e /3, e /3, etc.) sino conde forma sencilla los nucleones, así ceptos prácticos para describir eficomo las partículas de las reacciones cazmente las partículas y su organinucleares, si se admitía que los pri- zación. Pero los experimentos meros estaban formados por tres cons- demostraron pronto que había “objetituyentes, los llamados “quark”. Para tos” en el interior de los nucleones. los protones y los neutrones son nece- En el SLAC, el gran acelerador de sarios dos tipos de quark, designados partículas de la Uni ve rsidad de por los símbolos u (up , arriba) y d Stanford, fueron bombardeados ( down, abajo). El protón está com- núcleos atómicos con electrones prepuesto por dos quark u y por un quark  viame nte ace lerados hasta velo cidad, situación que se denota  p = (uud). des cercanas a la de la luz. Se observó Los papeles de u y d se invierten en que la mayor parte de los electrones el neutrón: n = (ddu). apenas sufrían desviación de su traLas cargas eléctricas de los quark yectoria, pero que había algunos que presentan un especial interés, porque eran desviados muchísimo. Estos no son múltiplos enteros de la carga hechos obligaron a rendirse a la evi+e del protón (opuesta a la carga ele- dencia: todo ocurría como si, al pasar mental –e del electrón). El quark u es a través de la materia nuclear, los portador de una carga igual a 2/3 de electrones experimentasen a veces un choque frontal contra un ob jeto puntual eléctricamente cargado. El análisis fino de estas experiencias reveló que estos objetos eran portadores de cargas eléctricas fraccionarias iguales a 2 e /3 y a – e /3. Se trataba efectivamente de quark, de partículas en apariencia “infinitamente” pequeñas. Las colisiones entre los electrones y los quark tenían que ser extremadamente violentas, a pesar de lo cual no se detectó ningún quark entre los “residuos”, es decir, entre las partículas resultantes de la colisión. Así sucede en todos los choques que hacen intervenir a los quark. Parece claro que las fuerzas de enlace entre quark son tales que hay que considerarlos inseparables. ¿De qué naturaleza son las fuerzas capaces de tal prodigio? La física de partículas no habla de 3. ATOMOS DE UNA MUESTRA de arsefuerzas, sino de interacciones. Para niuro de galio, observados al microscounir los conceptos de la física cuántica pio de efecto túnel. Esta imagen es suma y los de la relatividad se ha tenido que de dos tomas, porque las propiedades crear una nueva teoría, la teoría de eléctricas de los átomos de galio (en azul) campos, en el marco de la cual todas y de los de arsénico (en rojo) impiden su representación simultánea. las fuerzas de la naturaleza se descri-

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ben por intercambio de partículas, ocurre en química, las reacciones trones virtuales. Acaba por aniquillamadas mediadoras. La existencia entre partículas pueden ser reversi- larse con uno de ellos. El electrón de una fuerza entre quark es resultado bles. Y así, cuando un electrón y un  virtual antes emparejado al positrón del intercambio permanente de par- positrón se encuentran, se aniquilan, (virtual) se queda solo y retoma el tículas mediadoras. La importancia con producción de dos fotones. lugar del electrón original ( véase la de esta fuerza resulta de la intensidad La electrodinámica cuántica supone  figura 5). Para un observador exterior de la interacción entre la partícula que ni los electrones, ni los positrones, (al que se ha de suponer tan diminuto intermediaria y la partícula masiva ni los demás fotones poseen estruc- que puede examinar una partícula o eléctricamente cargada con la que tura interna. En esta teoría, un elec- puntual) la trayectoria del electrón interactúa. La primera de las teorías trón, por ejemplo, es una partícula adopta una apariencia extraña. de campos fue la electrodinámica puntual, dotada de masa y de carga Parece desaparecer sin cesar, para cuántica, que describe los fenómenos eléctrica, capaz de participar en inte- reaparecer al pronto en otro lugar (en electromagnéticos. Las fuerzas que racciones electromagnéticas. El elec- realidad, es el electrón virtual el que resultan de la interacción electromag- trón real, es decir, el observable en reaparece). La trayectoria del elecnética corresponden al intercambio los experimentos, es distinto de este trón le parece al observador “desende fotones. Las fuerzas nucleares que “electrón teórico”, porque está rodeado focada”: nuevo ejemplo concreto de la ligan los protones a los neutrones del de una nube de “partículas virtuales”. incertidumbre de la posición en el núcleo corresponden al intercambio  A consecuencia de la relación de incer- sentido de Heisenberg. de partículas mediadoras entre quark: tidumbre de Heisenberg, el “vacío Los físicos dan el nombre de polalos gluones (así llamados porque cuántico” (cual es descrito por las teo- rización del vacío a esta creación per“pegan” fuertemente a los quark entre rías cuánticas) no está verdadera- manente de pares electrón-positrón. sí;  glue , en inglés, es pegamento). Y mente... vacío. La energía fluctúa en El predominio de los positrones virlo mismo ocurre para las interacciones él, lo que hace posible la creación tuales en las vecindades del electrón débiles (los bosones W  y  Z) y la gra- errática de partículas o, más exacta- crea una especie de nube de cargas  vitación (gravitones). mente, de parejas partícula-antipar- positivas que envuelve su carga nega Ahora bien, en el marco de la teoría tícula. Estos pares, que los físicos tiva. Esta última queda así un tanto de campos las interacciones entre las califican de virtuales porque no pue- enmascarada por la nube de partícupartículas mediadoras y las partículas den ser observados en los acelerado- las virtuales que la circunda, lo que materiales poseen una peculiaridad: res, como, por ejemplo, el par electrón- la debilita. No es posible observar son “locales”, es decir, permanecen positrón, tienen una “duración de más que electrones virtuales; suele confinadas en un volumen infinita-  vida” muy breve y no existen más que decirse que están “revestidos” de una mente pequeño (¡un punto!). Puesto en una zona reducida. Aunque no nube de partículas positivas. Los físique la teoría de campos está fundada tengan influencia en los aconteci- cos han medido que la polarización sobre la noción de interacciones locales, mientos macroscópicos, son capaces, del vacío comienza a manifestarse en lo infinitamente pequeño es omnipre- empero, de modificar el entorno de torno a un electrón a una distancia sente en ella. La electrodinámica cuán- los electrones. Supongamos que del orden de la décima parte del tica se ha convertido en la teoría más hemos llevado un electrón real a un tamaño de un átomo. Los electrones precisa de las elaboradas jamás: des- punto determinado del espacio. “con vestimenta” son los únicos obsercribe las interacciones electromagné- Cargado negativamente, repele a  vables en la práctica . La electrodináticas con la precisión más extrema. todos los electrones virtuales presen- mica cuántica supone, pues, que los Pero antes de lograr este éxito sin pre- tes en su ambiente y atrae a los posi- electrones son infinitamente pequecedentes, los físicos tuvieron que recorrer un largo camino.

La antipartícula del electrón

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l éxito de la electrodinámica cuántica no hubiera sido posible de no haberse introducido (y descubierto) una partícula suplementaria: la antipartícula del electrón, o positrón. Los positrones tienen la misma masa que el electrón pero su carga es la opuesta. No existen en la naturaleza, pero son fáciles de obtener en los aceleradores como resultado de la colisión de partículas. La colisión de dos fotones produce un par electrón-positrón, si la energía puesta en juego es lo suficientemente grande. El hecho de que esta colisión entre partículas sin masa (los fotones) engendre partículas masivas proporciona un ejemplo más de la equivalencia entre masa y energía descubierta por Albert Einstein a principios del siglo  XX . Al igual que

IDEAS DEL INFINITO

4. EL ATOMO DE HIDROGENO no contiene más que un solo electrón, que es impulsado hacia el núcleo por la atracción electrostática y hacia el exterior por su rotación alrededor del núcleo. El equilibrio entre estas dos fuerzas lo mantiene en órbita. Pero este “equilibrio” ha de ser entendido en sentido cuántico. El electrón no se manifiesta en forma de una pequeña masa puntual en rotación sobre su órbita, sino bajo la de una presencia probable en el seno de una zona llamada orbital. El orbital del único átomo de hidrógeno está representado a la derecha. El tamaño del orbital determina el tamaño del átomo.

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ños, pero también predice que no pueden ser observados.

cálculos los resultados infinitos. Para conseguirlo ajustaron la carga del electrón “vestido” al resultado obtenido experimentalmente, prescinCuando los cálculos llevan diendo pura y simplemente de la a un resultado infinito carga del electrón nudo, e hicieron otro tanto con la masa del electrón finales de los años 1940 se calcu-  vesti do, imp oni énd ole tam bié n la ló la carga del electrón desnudo, masa medida. Este método, llamado tomando en consideración los efectos de renormalización, es de una eficacia de la polarización del vacío. Se expe- impresionante: las cantidades infinirimentó una desagradable sorpresa: tas quedan eliminadas y los resultalos cálculos llevan a un resultado dos obtenidos para las magnitudes infinito. Y eso no era todo. Calculada físicas medibles son los más precisos por este método, la masa del electrón  jamás obtenidos. desnudo también ha de ser infinita. Estos resultados absurdos estaban engendrados por el carácter puntual, y por tanto infinitamente pequeño, del electrón desnudo. Recordemos que la equivalencia entre la energía y la masa exige que el campo eléctrico de un electrón contribuya a la masa, puesto que la presencia de un campo eléctrico en el espacio implica la presencia de una densidad de energía.  Y puesto que el electrón e s puntual en el marco de la electrodinámica cuántica, el campo eléctrico se vuelve muy intenso a distancias muy cortas (pues varía con la inversa del cuadrado de la distancia), hasta tal punto que su contribución a la masa es infinita, como demuestran los cálculos. La electrodinámica cuántica fundada sobre la hipótesis de electrones desnudos puntuales y en interacción local conduce a una paradoja. ¿Será errónea esta hipótesis? El electrón desnudo presenta una estructura interna, que no resulta perceptible sino a distancias muy pequeñas, de unos 10–20 metros, por ejemplo. De ser así, esta partícula no es infinitamente pequeña, sino que tiene un radio finito. Los cálculos muestran que entonces los valores infinitos desaparecen. Pero a pesar de los intensos esfuerzos realizados, no se han podido hallar jamás indicios experimentales de la existencia de una subestructura 5. TAMBIEN EL VACIO tiene una natuelectrónica. He aquí el único resultado raleza cuántica, hecho manifiesto, sobre obtenido: si el radio del electrón no es todo, en la creación permanente de panulo, ha de ser necesariamente menor res partícula-antipartícula. Estos pares, que una centésima del tamaño de los constituidos por un electrón y un positrón, son “virtuales”, pues no pueden ser nucleones. observados directamente. ConsecuenLa situación seguía siendo paradó- cia: un electrón que se propaga a través  jica en los años cincuenta. La hipóte- del vacío se aniquila frecuentemente sis del electrón desnudo puntual hacía con un positrón emanado de un par virbambolearse a una teoría por demás tual. Todo sucede como si el electrón prometedora. Algunos de los resulta- reapareciera allí donde quedó desempados eran precisos; otros, infinitos. La rejado el par virtual y prosiguiera su trayectoria. A un observador exterior, descripción global que proporcionaba hipotéticamente tan pequeño que pudiela electrodinámica cuántica era ra examinarlo de cerca, el recorrido le correcta. Los físicos se esforzaron parecería impreciso. Tenemos aquí una entonces en separar el grano de la nueva manifestación de la indeterminapaja, es decir, en eliminar de los ción cuántica de la posición.

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Uno de los padres de la renormalización fue el físico estadounidense Richard Feynmann. En un congreso celebrado en los Estados Unidos hizo  ver, por vez primera, la forma en que el método elimina los infinitos que aparecen en los cálculos de la teoría de la electrodinámica cuántica, avance que la convirtió en la más precisa de todas las teorías físicas. El problema de los infinitos en las teorías locales (interacciones puntuales que hacen intervenir partículas puntuales) no se presenta sólo en la electrodinámica cuántica, sino también en otras teorías. Las interacciones entre quark, por ejemplo, son descritas por una teoría similar a la electrodinámica, conocida por cromodinámica cuántica. Esta teoría describe la interacción fuerte, a la que se debe fundamentalmente el ensamblaje de los quark en grupos de tres. Su nombre procede del griego chromos , que significa color, pues a los quark —por ejemplo, al quark u— se les atribuye un nuevo tipo de carga, denominada color, que sólo puede tomar tres valores: rojo, verde o azul. Existen pues un quark u rojo, otro azul y otro verde, lo mismo que hay quark d rojos, verdes y azules. La existencia de tres colores significa que los nucleones están compuestos por tres quark. Hemos subrayado ya que las interacciones entre quark están vehiculadas por partículas de energía llamadas gluones, que son las “intermediarias” de la interacción fuerte (tan intensa que los quark son imposibles de separar). Para observar los quark y los gluones ha sido necesario recurrir a métodos indirectos: se los ha bombardeado con partículas insensibles a las interacciones fuertes, como son los electrones, los neutrinos y los fotones. La existencia de gluones quedó demostrada por  vez primera en el sincrotrón alemán de Hamburgo (DESY) a finales de los años 1970.

Los quark no tienen estructura interna

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os quark y los electrones son partículas elementales, es decir, partículas que no poseen estructura interna, para la teoría actual. Como en el caso del electrón, también se ha intentado descubrir una subestructura en el quark, pero hasta la fecha no se ha tenido éxito. Se ha logrado determinar un límite superior para el radio de tal eventual subestructura en el gran acelerador de partículas LEP del Centro Europeo de Investigación Nuclear (CERN) de Ginebra,

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así como con el sincrotrón DESY y el Tevatrón, el acelerador del laboratorio estadounidense Fermilab, en Chicago. Su tamaño es del mismo orden que el de los electrones, unos 10–18 metro. La electrodinámica y la cromodinámica constituyen dos de los tres pilares de la teoría general de partículas aceptada hoy: el modelo estándar. Esta teoría ha proporcionado un marco teórico coherente en el que se consigue describir todas las interacciones de las partículas elementales. Además del electrón existen en la naturaleza otras cinco partículas sin estructura interna y que no están sometidas a las interacciones fuertes: el muon, la partícula tau, el neutrino electrónico, el neutrino muónico y el neutrino tau. Todas ellas son leptones o partículas próximas a los leptones. El electrón es el más ligero de los leptones dotados de carga eléctrica. Otro de los leptones cargados es el muon, una especie de electrón de gran tamaño, cuya masa en reposo es 207 veces mayor que la del electrón. La partícula tau es un leptón cargado cuya masa es 3536  veces la del electrón. Muones y taus son inestables y se desintegran rápidamente tras ser producidas en las colisiones entre partículas. Hay tres partículas eléctricamente neutras asociadas a los leptones eléctricamente cargados entre las citadas: los neutrinos (neutrino electrónico, neutrino muónico y neutrino tau). El modelo estándar supone que los neutrinos carecen de masa (aunque experimentos japoneses recientes se la atribuyen). Existen tres pares de leptones, constituido cada uno por una partícula cargada y un neutrino.

197 nucleones. Podemos reagrupar en tres pares los seis leptones y quark. Reagrupando cada par de leptones con un par de quark, se obtienen tres familias leptón-quark. La primera, la familia constituida por los quark u y d, el electrón y su neutrino, contiene todos los constituyentes de la materia atómica. Los quark de la tercera familia, t y b  y, sobre todo, la partícula tau, son los objetos más pesados del modelo estándar. La existencia de interacción débil impone por sí sola el reagrupamiento por familias de los leptones y los quark. La interacción débil es responsable de la desintegración radiactiva

6. RICHARD FEYNMAN, uno de los padres de la electrodinámica cuántica. Contribuyó a resolver el problema de los infinitos que aparecían en los cálculos efectuados en el marco de esta teoría.

Seis quark diferentes

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i bien la cromodinámica cuántica describe la materia nuclear (el ensamblaje de los nucleones) a partir de los quark u y d, existen de hecho otros cuatro tipos de quark. Son designados por las letras s  (de stran ge , extraño en inglés), c   (de charm , encanto), b (de bottom, fondo) y t (de top, cima). Los físicos suelen denotarlos por pares de masas comparables. Los quark (c, s ) y (t, b) se crean tras la producción de partículas más pesadas que los nucleones. A semejanza del muon y de la tau son inestables, lo que provoca la rápida desintegración de las partículas constituidas por ellos. El valor de sus masas tiene perplejos a los físicos: mientras que la de los quark u y d es casi nula, la del quark t  es cercana a la del núcleo atómico del oro, que contiene nada menos que

IDEAS DEL INFINITO

7. EL PROTON está constituido por t res quark, cada uno de los cuales puede ser de tres “colores”: rojo, verde y blanco. Las flechas representan sus espines; las barras blancas, los intercambios de gluones, que son las partículas “adhesivas” que mantienen la cohesión de los tres quark del protón.

(llamada desintegración beta) de los núcleos atómicos. Al igual que sucede con las demás fuerzas, la interacción débil también es debida al intercambio de partículas mediadoras, las partículas W  y Z. A diferencia de los fotones y de los gluones de la interacción fuerte, las partículas mediadoras de la interacción débil tienen masas grandes: cerca de 100.000 gigaelectronvolt (un gigaelectronvolt es igual a mil millones de electronvolt). La fuerza débil, vehiculada por las partículas W , opera en el interior de los pares de leptones y quark descritos. Por ejemplo, tras la desintegración radiactiva de un núcleo atómico, un quark d queda convertido en un quark u; se producen simultáneamente un electrón y su neutrino. Las interacciones electromagnética s débiles pueden quedar reunidas en el marco de una teoría unificada, llamada teoría de las interacciones electrodébiles. El modelo estándar actual de las partículas elementales es, pues, la síntesis de las teorías de interacciones electrodébiles y de interacciones fuertes. Esta teoría describe adecuadamente las partículas de nuestro mundo y sus interacciones (la interacción gravitatoria ocupa lugar aparte). Mediante ella se evalúan correctamente las masas de los principales constituyentes de la materia, los nucleones, a partir de las masas de sus constituyentes. La masa del neutrón y la masa, idéntica, del protón corresponden así a la suma de las masas de los quark internos y de la energía cinética de los gluones que se intercambian (nuevo ejemplo de la equivalencia de masa y energía en el sentido de Einstein). Queda pendiente una cuestión: ¿cuál es el origen de las masas de los leptones y de los quark? El modelo estándar no nos da desgraciadamente la respuesta. Para introducirlas en la teoría, con carácter de parámetros, los físicos han apelado a un subterfugio: han introducido una nueva partícula hipotética, cuya única función es la de conferir masa a estas partículas. Se trata del bosón de Higgs, una partícula así nombrada en honor de Peter Higgs, el físico teórico que la propuso. El bosón de Higgs tiene una masa tan grande que todavía no han podido realizarse las hipotéticas colisiones que podrían producirlo. En todo caso, se dispondrá de las energías necesarias cuando entre en servicio el gran acelerador LHC del CERN, actualmente en construcción, cosa que está previsto que suceda en el año 2005. Se debería saber entonces si el

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bosón de Higgs existe o si la masa de los constituyentes elementales tiene otro origen. Tal es la marcha de la física de lo infinitamente pequeño. A principios del siglo  XX  se observó el espectro de los estados de energía del electrón del hidrógeno. A pesar su simplicidad, no fue posible explicarlo hasta el advenimiento de la teoría cuántica. Lo que los físicos quieren explicar en nuestros días es el espectro de los leptones y los quark. En esta ciencia de lo infinitamente pequeño lo más frecuente es que los progresos nazcan de experimentos que proporcionan nuevas estructuras simples, aunque inesperadas. Nada de este jaez se ha producido durante los últimos años. ¿Son satisfactorios los argumentos a favor de los leptones y de los quark que ofrece el modelo estándar? Dichas partículas son puntuales y representan singularidades espaciales. ¿Es posible que tengan masa finita unas partículas infinitamente pequeñas? En caso afirmativo, ¿por qué tiene el muon una masa 207 veces mayor que el electrón, si en todos los demás aspectos ambas son indiscernibles? Tal vez, algún día, nos veamos obligados a renunciar al concepto de partículas puntuales. Se puede suponer que las masas de los leptones y de los quark son resultado de que tengan una subestructura, como es el caso del protón. Tal vez se obtengan nuevos indicios sobre los constituyentes de los leptones y de los quark gracias a las experiencias futuras realizadas en los grandes aceleradores.

El perfeccionamiento del modelo estándar

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ay otra razón que incita a los físicos a perfeccionar el modelo estándar: quisieran añadir la gra vitación a las otras interacciones —electromagnética, débil y fuerte— que el modelo ya describe. En realidad hay dos concepciones contrapuestas. Está, por una parte, el modelo estándar con sus teorías cuánticas y sus interacciones locales entre partículas puntuales y, por otra, la relatividad general, en la que la gravitación es resultado de una deformación del espacio-tiempo. ¿Qué hacer? ¿Considerar la relatividad general como la teoría clásica de una teoría cuántica más general —la gravitación cuántica—, que está por elaborar? Una teoría cuántica de la gravitación sería a la vez una teoría cuántica del espacio y del tiempo.  Ahora bien, el modelo estándar y la mayor parte de las teorías físicas

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tarias. Ello parece contradecir a priori nuestras observaciones, pero es que solamente cuatro de las diez dimensiones tendrían efectos macroscópicos; las restantes no serían perceptibles sino a pequeña distancia, haciendo que la gravitación fuera allí más intensa. Utilicemos una imagen: si enrollamos una hoja de papel, dándole forma cilíndrica, y la vemos desde lejos se asemejará a una recta, con una sola dimensión. La segunda dimensión, la que permite dar la vuelta en torno al cilindro no se percibe sino a corta distancia. Así ocurriría con las dimensiones ocultas del universo. Es posible que existan, pero que sean tan pequeñas que no podamos verlas. Si nuestro espacio poseyese efecti vamente otras dimensiones a pequeña escala, podrían ser puestas en relación con ciertos fenómenos observados en la física de partículas. Ignoramos, por ejemplo, por qué la naturaleza parece tenerle afecto al número tres: hay tres 8. EL MODELO ESTANDAR es la teoría dimensiones en el espacio, pero tammás aceptada en física de partículas. La bién tres familias de leptones y tres experiencia viene confirmándola desde hace treinta años. Está fundado en tres familias de quark; estos últimos tiefamilias, en el seno de las cuales dos quark nen tres colores... El papel concreto están asociados a dos leptones. La matedel número tres pudiera ser conseria y sus manifestaciones más corrientes cuencia de las dimensiones ocultas y son enteramente debidas a la familia (u, de su número. Dicho con otras palad, e, νe), que comprende a los quark u y d, bras: tal vez exista una explicación al electrón e y a su neutrino asociado. Las geométrica de estas estructuras funotras familias contienen partículas de masa mucho mayor, que se manifiestan damentales del modelo estándar. Tal en las desintegraciones de partículas pe-  vez lleguemos alguna vez a comprensadas, observables solamente en los aceder que los leptones y los quark no leradores o en el cosmos son puntuales; tal vez se nos alcance por qué sus masas tienen determinaestán edificadas sobre el espacio y el dos valores. Por el momento, el mistiempo y toda modificación de sus fun- terio subsiste. Sea como fuere, ¿acaso damentos conlleva el riesgo de hacer- no escribió Bertolt Brecht en 1921 en las vacilar. Pero a distancias muy su Diario: “Allí donde no hay misterio, pequeñas (inferiores a 10–35 metros) no hay verdad”? las incertidumbres debidas a la teoría cuántica perturban verosímilmente la estructura del espacio-tiempo. Si un electrón es verdaderamente una singularidad del espacio-tiempo dotada de masa (una partícula infinitamente pequeña), tal singularidad BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA tendría que desaparecer a esta escala. QUARKS. U RSTOFF U NSERER W ELT. Harald ¿A qué se parece, pues, un electrón? Fritzsch. R. Piper; Munich-Zurich, 1992. Lo ignoramos. AN EQUATION THAT CHANGED THE WORLD: Según ciertos teóricos, los leptones NEWTON, EINSTEIN, AND THE THEORY OF RELATIVITY. Harald Fritzsch. University y los quark son manifestaciones de of Chicago Press, 1994. diminutos objetos unidimensionales, V OM URKNALL ZUM ZERFALL . DIE W ELT las “supercuerdas”. Las supercuerdas, ZWISCHEN ANBANG UND ENDE. Harald una especie de pequeñas estructuras Fritzsch. R. Piper; Munich-Zurich, filiformes, serían menos singulares que 1999. un punto, pero la fórmula de la graviNEUTRINO MIXING AND MAXIMAL CP VIOtación cuántica parece menos ardua LATION. Harald Fritzsch y Zhi-zhong Xing en  Acta Phys. Polon., vol. B31, en el marco de una teoría de superpágs. 1349-1364; 2000. cuerdas. En tal caso se debería supoMASS AND FLAVOR MIXING SCHEMES OF ner que el espacio-tiempo, que se QUARKS AND L EPTONS. Harald Fritzsch describe mediante cuatro dimensiones y Zhi-zhong Xing, en Prog. Part. Nucl. (tres espaciales y una temporal), Phys., n.o 45, págs. 1-81; 2000. adquiere diez dimensiones suplemen-

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Lo infinitamente grande

Gerhard Börner

 Parece como si el universo hubiese surgido bruscamente  de un estado inicial infinitamente denso, que los físicos  tienen dificultades para imaginar y para describir teóricamente

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uede que lo infinitamente grande, el universo, haya surgido de lo infinitamente pequeño, es decir, de un punto material, pero nadie puede afirmarlo a ciencia cierta. Hay numerosas teorías que predicen los comportamientos extremos de la materia, como sería la contracción ilimitada de grandes masas por efecto de su propio peso hasta la formación de un punto infinitamente denso. Los físicos consideran imperfectas tales teorías, pues anuncian estados aberrantes, que no están dispuestos a admitir, a pesar de lo cual están convencidos de que estos puntos singulares indican tendencias reales de los sistemas cósmicos, entre ellos y el primero de todos, el propio universo. La observación, cada vez más probable, de agujeros negros y los rastros dejados por lejanas explosiones primigenias, de naturaleza misteriosa, constituyen otros tantos indicios que refuerzan su convicción. Estudian con ahínco las “enfermedades” de sus edificios teóricos, en cuya primera fila se encuentran la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y el modelo cosmológico estándar e inventan teorías nuevas y más generales. Al mismo tiempo observan de cerca las catástrofes cósmicas, como las supernovas, los agu jero s negro s, los cuása res y los torbellinos ultrarrápidos de nubes estelares. Su objetivo es llegar a comprenderlo todo... antes de que el uni verso desaparezca. Parece de lo más evidente que las grandes masas sometidas a la fuerza de la gravitación habrán de tener un destino catastrófico. La gravitación actúa de idéntica forma sobre todas las partículas con masa: las atrae.  Además tiene un alcance infinito, por débil que sea su intensidad, y crece con cada partícula que se añada a una masa cualquiera, por lo que acaba siempre por vencer a cualquier otra fuerza que se oponga a sus efectos,

IDEAS DEL INFINITO

trátese de la presión termonuclear en infinitos”, cualquiera que sea su natuel seno de una estrella, de la repulsión raleza real. interna en los núcleos atómicos o de ¿Son los agujeros negros y la gran la presión de un gas de partículas. A explosión lugares de infinitos? Antes ello se suma que no sólo la materia, de abordar esta cuestión recordemos sino también la antimateria, e incluso algunos aspectos fundamentales de cualquier forma de energía, entraña las teorías de la gravitación. un efecto gravitatorio, lo que implica Isaac Newton, el fundador de la a su vez que toda forma de energía mecánica teórica clásica en el siglo experimenta la pesantez. Esta es la  XVII, admitía la existencia de un esparazón de que aunque una presión cio absoluto, al que atribuía implícitainterna gigantesca pueda —hasta mente las propiedades geométricas cierto punto— mantener una masa que el griego Euclides había deducido en equilibrio, las formas de energía de axiomas fundamentales “intuitique crean esta presión contribuyan a  vos”. Newton suponía que un “tiempo su campo de pesantez y participen universal”, medible sin ambigüedad, finalmente en su contracción gravi- caracteriza a todos los acontecimientatoria. tos que es posible estudiar. Este espacio absoluto, dotado de referencias sólidas e inalterables, determina así Las singularidades el marco en el que evolucionan los del espacio-tiempo cuerpos materiales en el transcurso de un tiempo que se encuentra tamas soluciones de las complejas bién perfectamente definido. Se comecuaciones de la relatividad prueba que todos los objetos tienden general presentan singularidades, a desplazarse uniformemente en línea consideradas durante mucho tiempo recta, salvo cuando fuerzas exteriores como una consecuencia de las hipó- perturban tal desplazamiento. Una tesis de simetría introducidas en los de estas fuerzas es la fuerza de la cálculos para facilitar la resolución. gravedad, que se manifiesta, por ejemLos físicos esperaban que desapare- plo, en la pesantez de los cuerpos. Esta cieran al perturbar ligeramente estas fuerza de atracción mutua entre los soluciones, con el fin de hacerlas cuerpos es proporcional al producto menos simétricas. Pero Roger Penrose de sus masas e inversamente propory Stephen Hawking demostraron cional al cuadrado de la distancia que entre 1965 y 1970 que las singulari- los separa. dades del espacio-tiempo aparecen también en el caso general, no simétrico, y que son, en general, estables  Albert Einstein reformula las ideas de Newton ante pequeñas perturbaciones. Dicho de otro modo, se descubría así que las singularidades constituyen casos lbert Einstein reformuló las ideas límite ineludibles en relatividad genede Newton sobre el espacio y el ral, “enfermedades” cuya naturaleza tiempo. Tras las experiencias de no podrá ser mejor comprendida sin Michael Faraday y las nuevas teorías una extensión cuántica de la teoría de James Clerk Maxwell, los físicos de Einstein. Pero muchos físicos con- empezaron a considerar como objetos sideran que las teorías físicas actua- físicos a los campos electromagnéticos les son suficientes para describir la a finales del siglo  XIX . Fue preciso situación en las proximidades de estas admitir desde entonces que las ondas singularidades, llamadas “lugares de electromagnéticas se propagan a la

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 velocidad de la luz incluso en el vacío y esto con independencia de los movimientos de su fuente. ¿Cómo conciliar esta observación con la física clásica de Newton? Según esta teoría la velocidad aparente de propagación de la luz debería aumentar o disminuir, según que la fuente se estuviese aproximando o alejando del observador. Estas dificultades hicieron que Einstein admitiera en 1905 el fracaso de los conceptos de espacio y de tiempo absolutos, al menos para la descripción de movimientos. Einstein tuvo que postular que no es posible determinar

si dos acontecimientos son simultáneos o no, porque la respuesta depende del sistema de referencia del observador, y descubrió la necesidad de abandonar las nociones de distancia espacial entre dos puntos y de separación temporal entre dos instantes y utilizar en cambio intervalos entre sucesos en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones (véase la figura 4 ). Esta primera ampliación de la física clásica, la “relatividad restringida” (o relatividad especial), proporcionó bases teóricas fiables a todas las ramas de la física en las que la fuerza

de la gravedad pudiera ser despreciada. Resulta imprescindible en la física de partículas. En 1915 y merced a otro perfeccionamiento de la descripción del espacio-tiempo, consiguió tener en cuenta la gravitación. La idea en que se funda su teoría de la gravitación, que recibe el nombre de “relatividad general”, es la de un espacio-tiempo cuya estructura no viene prefijada e impuesta a priori , sino que procede de la repartición de las masas y de las energías presentes. Cada cuerpo deforma —en sus proximidades— el espacio-tiempo en el que evoluciona.  Y la geom etría local del espacio tiempo determina recíprocamente la dinámica de los cuerpo s. El conjunto de las deformaciones del espaciotiempo debidas a la totalidad de los cuerpos define el campo gravitatorio.

La gravitación actúa también sobre la luz

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1. DIVERSAS SIMULACIONES de agujeros negros. Los gases interestelares se calientan hasta formar un plasma ultracaliente, el llamado “disco de acreción” (las  zonas más claras), cuando son aspirados por un agujero negro.

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a gravitación actúa también sobre la luz, cuyos rayos son desviados cuando pasan por la vecindad de cuerpos de gran masa (véase la figura 2 ): la forma de propagación de los rayos depende de la distribución de masas. Esta íntima vinculación entre el espacio, el tiempo y la materia no simplifica los cálculos, a pesar de lo cual la relatividad general representa un gran avance hacia una física unificada. La gravitación constituye una parte integrante del espacio-tiempo y no debe ser tratada como un influjo físico independiente, como hacía Newton. Si se admite que la gravitación está inscrita en la estructura que vincula el espacio y el tiempo, ¿cómo se de termina la atracción mutua de los objetos de gran masa y cómo se deducen los movimientos de los cuerpos celestes? Tratemos de representarnos el espacio-tiempo como una fina lámina de material elástico. En este caso los objetos del universo podrían ser bolas de diversas masas depositadas sobre la lámina, en la cual crearían deformaciones más o menos profundas. Una masa importante, como la del Sol, se encontraría en el fondo de un “embudo” profundo y de boca ancha; una masa pequeña, como la de la Tierra, apenas si crearía una leve depresión. Los cuerpos que se aventurasen demasiado profundamente en el embudo del Sol caerían hacia él, arrastrados por la pendiente, equivalente a la atracción solar. Otros, en cambio, que pasaran a mucha distancia, apenas serían perturbados por la deformación que el Sol

TEMAS 23

provoca en la lámina; sus trayectorias serían casi rectilíneas (tales cuerpos no estarían gravitatoriamente vinculados al Sol). La Tierra puede mantenerse sobre un circuito cerrado (la órbita terrestre) moviéndose transversalmente por la pendiente del embudo solar, porque su velocidad está muy exactamente ajustada a su distancia al astro. Es precisamente la deformación del espacio-tiempo en la vecindad del Sol la que determina las trayectorias. ESTRELLA ESTRELLA La existencia de la fuerza gravitatoria en los puntos de la lámina acelera a los astros. La Tierra está sometida a una aceleración centrífuga en su órbita elíptica. Tenemos en ella una ilustración del “principio de equi valencia” entre gravitación y aceleración, uno de los principios fundamentales de la teoría de Einstein, según el cual los efectos de la gravitación se confunden con los de una aceleración. POZO DE GRAVITACION Tal vez lo más sorprendente sea que, PLANO DE PROYECCION a pesar de su formulación en apariencia tan distinta, la teoría de Einstein se confunde con la de Newton mientras los campos de fuerza gravitatoria sean 2. LAS GRANDES MASAS CURVAN EL ESPACIO-TIEMPO en su vecindad según la débiles y sean pequeñas las velocida- teoría de la relatividad general, lo que provoca la desviación aparente de la luz. des consideradas. Obser vemos que la Este fenómeno ha sido demostrado por observaciones realizadas durante eclipses teoría de la gravitación de Newton totales de Sol. Si la luz no fuera desviada por la masa del Sol, habría seguido trayectorias rectilíneas (en color rosa). La presencia del Sol provoca su desviación, de incluye implícitamente el principio de suerte que los observadores ven las estrellas angularmente cercanas al Sol (en azul) equivalencia, pues enuncia la igualdad más apartadas de lo que en realidad están. entre la masa inercial (asociada a la aceleración centrífuga) y la masa pesante (vinculada a la fuerza de gra- torno a una distribución de masas que En cambio los rayos emitidos sufren  vitación.) tenga simetría esférica. una incurvación en las cercanías radio La relatividad general ha superado Imaginemos posible concentrar una de Schwarzschild. Cualquiera que sea todas las pruebas experimentales a bola de materia como el Sol en una su dirección inicial, un rayo próximo que se la ha sometido hasta el esfera cuyo radio vaya siendo cada al radio de Schwarzschild experimomento. Sus éxitos son impresio-  vez menor. Notemos que esto es lo que menta tan fuerte curvatura que no nantes. Explica las aparentes anoma- ya hacía Newton cuando se refería a puede escapar: queda confinado en el lías de la precesión de la órbita de las “masas puntuales”. La solución de interior de la esfera que tiene el radio Mercurio, que se conocían desde 1859. Schwarzschild es válida en los alre- de Schwarzschild. De ser emitida en La desviación de los rayos luminosos dedores de esta bola de materia. Pero el interior del radio de Schwarzschild, próximos al Sol por su campo gravi- si en este proceso se supera un cierto la luz queda sometida por la curvatura tatorio (rayos que normalmente no radio límite, las coordenadas halladas del espacio-tiempo y acaba siempre son observables por ser demasiado por Schwarzschild en el caso estático en el punto singular de radio nulo. intensa la luminosidad solar) fue pro- (es decir, con independencia del nosticada por Einstein y pudo confir- tiempo) pierden legitimidad. El paso El universo escindido en dos marse en 1919 por la observación de al límite no permite pues volver a los rayos luminosos que pasaban por encontrar la masa puntual de Newton la proximidad del Sol durante un y demuestra únicamente que existe i bien la luz exterior penetra sin eclipse solar. Se ha comprobado tam- un radio límite, el “radio de Schwarzdificultad hacia el interior del bién en muchas ocasiones que la gra- schild”. Durante mucho tiempo fue radio de Schwarzschild, ningún rayo  vitación y el movimiento combinados imposible saber lo que ocurría en el luminoso puede salir de él. El radio de producen efectos sobre el tiempo que interior de este radio. Schwarzschild define una estructura miden los relojes. Los teóricos hallaron posterior- especial del espacio-tiempo, en el senEn 1915, a los dos meses de que mente soluciones de las ecuaciones de tido de que constituye un horizonte Einstein publicase la teoría de la rela- la relatividad general que describen que divide al universo en dos partes. tividad general, Karl Schwarzschild el dominio interior al radio de Como ninguna información puede obtuvo una solución de las nuevas Schwarzschild. La estructura del transmitirse a velocidad mayor que la ecuaciones: la “métrica de Schwarzs- espacio-tiempo interior puede anali- de la luz, tanto los fotones como las child”. Esta solución, que se ha conver- zarse estudiando la forma en que se partículas permanecen confinados en tido en el prototipo mismo de “agujero propaga la luz. En el exterior, a gran el interior. El horizonte viene a ser negro”, describe de una forma general distancia, todo funciona como en el como una membrana semipermeable la deformación del espacio-tiempo en espacio de tres dimensiones habitual. ante la energía y las diversas infor-

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IDEAS DEL INFINITO

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maciones, transitable solamente desde el exterior hacia el interior. Toda señal dirigida hacia el interior acaba in fine en la singularidad central. La teoría de la relatividad general estipula en efecto que cualquier masa situada en el interior del horizonte evoluciona en el sentido de convertirse en un punto masivo singular. Tras este desplome, el espacio y el tiempo intercambian sus funciones. Desde dentro del horizonte el espacio “transcurre y pasa” como lo hace el tiempo en nuestra realidad. Las distancias se consumen irremediablemente hasta la singularidad y todo se funde en un único punto. El espacio-tiempo descrito por la solución de Schwarzschild está, por tanto, vacío —desprovisto de materia tanto en el interior como en el exteri or del horizonte— a excepción del centro, donde se encuentra concentrada toda la masa. Un observador situado en el mundo exterior percibe los efectos gravitatorios de este punto masivo. El fenómeno que los astrofísicos denominan “agujero negro” no es ni un objeto material ni la manifestación de una radiación, es un agujero en el espacio-tiempo. La existencia de horizontes (que los físicos llaman fronteras de causalidad) constituye un resultado muy notable de la relatividad general. La singularidad se encuentra en uno de los lados del horizonte y no tiene  vínculo alguno con los posibles obser vadores exteriore s, es decir, no les envía jamás ninguna información. Está, por así decirlo, enmascarada por una especie de “censura cósmica”. Las estrellas habituales, los planetas y los demás objetos cósmicos son sin duda mucho mayores que sus respectivos radios de Schwarzschild. Tal radio

sería de tres kilómetros para el Sol y destello, emitido desde el horizonte, de 0,9 cm tan sólo en el caso de la no llegaría jamás hasta el observador Tierra. La enorme diferencia entre los (véase la figura 5 ). Este desfase temradios de Schwarzschild y los tamaños poral va acompañado de otro fenóreales de los astros significa que, en meno: la longitud de onda de la luz su entorno, el espacio-tiempo es prác- emitida experimenta un fuerte corriticamente plano. Las partículas suba- miento hacia el rojo (es decir, que se tómicas, los protones, por ejemplo, desplaza hacia longitudes de onda tienen 1039 veces el tamaño de su radio cada vez mayores). Esta dilatación de de Schwarzschild. Salta a la vista que la longitud de onda crece exponencialla gravitación no desempeña papel mente a medida que la fuente emisora alguno en el mundo de las partículas se aproxima al horizonte de elementales. Schwarzschild. La luminosidad reciTodo lo contrario ocurre en el caso bida se atenúa rápidamente y la estrede una estrella de neutrones, cuya lla no tarda en hacerse invisible. masa es comparable a la del Sol. Su La solución de Schwarzschild radio es de apenas una decena de kiló- depende únicamente de la masa del metros y no es más que tres veces agujero negro considerado, pero no es mayor que su radio de Schwarzschild.  válida cuando el objeto que se contrae Esta es la razón de que la relatividad gira sobre sí mismo. Ahora bien, la general sea esencial para su caracte- mayoría de las estrellas están girando rización. Cuando una de ellas de masa sobre sí mismas, fenómeno que no suficiente agota su combustible desaparece después de su contracción. nuclear, se hunde por efecto de su En este caso las configuraciones posipropio peso y acaba desapareciendo bles de espacio-tiempo y de horizon tes tras su horizonte de Schwarzschild en se multiplican con respecto al caso la singularidad que ella misma crea. sencillo de Schwarzschild. La situaPara un observador situado sobre su ción se complica todavía más cuando superficie el proceso no dura sino el el agujero negro está dotado de carga tiempo de una caída libre, es decir, eléctrica. Para el mundo exterior, un algunos segundos. En cambio un agujero negro está completamente observador alejado ve que tal super- definido por su masa, su momento ficie se contrae cada vez más lenta- cinético y su carga. mente, no llegando a alcanzar el hori A pesar de que, por definición, los zonte en un tiempo finito. Para este agujeros negros no emiten radiación observador la imagen queda fija en el alguna y no son, por lo tanto, obserhorizonte de Schwarzschild, lo que se  vables directamente, sí pueden reveexplica por la forma en que se propa- lar su presencia en ciertas circunsgan las ondas luminosas en las cerca- tancias, a saber cuando engullen la nías de los horizontes. materia que pasa por sus proximidaSi un cosmonauta suicida decidiera des. Las masas absorbidas de este dejarse caer en un agujero negro, emi- modo no se precipitan al agujero negro tiendo destellos luminosos a interva- en línea recta, sino en espiral. los regulares, un observador detecta- Empiezan por acumularse en un aniría tales impulsos cada vez más llo aplastado, el “disco de acreción”. espaciados en el tiempo; el último  Al hacerlo se calientan tanto que se convierten en intensas fuentes de rayos X, que es posible registrar mediante instrumentos instalados en satélites artificiales. Ha sido localizado ya cierto número de fuentes compactas de rayos X, susceptibles de contener agujeros negros.  Algunas de ellas forman parte de sistemas estelares binarios (dos estrellas que giran una alrededor de la otra) y gravitan en torno de un astro visible, directamente observable ( véase la  figura 6). La medición de los parámetros dinámicos de las órbitas del sistema indica la masa del objeto emisor de rayos X. Cuando tal masa es supe3. UN DISCO DE GAS y de polvo, cuyo diámetro es 3700 años luz, ha sido descubierrior a la masa máxima compatible con to en el corazón de la galaxia elíptica NGC 7052 mediante el telescopio espacial una estrella de neutrones, es posible Hubble. La fotografía la muestra cual aparece en el t elescopio. Los astrónomos han que se trate de un agujero negro. La deducido de la velocidad de rotación de la materia alrededor de su centro que en fuente Cygnus X-1, en la constelación él debe encontrarse una masa de unos 300 millones de masas solares. La única exdel Cisne, es el agujero negro probable plicación plausible de la existencia de un objeto a la vez de tan gran masa y tan pequeño es que se trate de un agujero negro. más conocido.

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TEMAS 23

Un agujero negro desvelado en el corazón de nuestra galaxia

 Agujeros: negros, pero no tanto

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os astrónomos han descubierto también concentraciones sorprendentes de masa y energía en el interior de galaxias activas (en evolución rápida) y de cuásares (núcleos muy luminosos de galaxias lejanas), que sugieren la presencia de gigantescos agujeros negros. Así en el centro de la galaxia Messier 87 hay una masa de gas que gira a una velocidad de unos 750 kilómetros por segundo; se la supone atrapada por un agujero negro que podría tener una masa de casi mil millones de veces la del Sol. Se ha podido incluso desvelar la existencia de un agujero negro en el corazón de nuestra propia galaxia, la Vía Láctea. Ciertas medidas efectuadas en la banda de los infrarrojos, que son capaces de atravesar las pantallas de polvo interestelar que enmascaran el centro galáctico, han demostrado que los movimientos de las estrellas de una región que tiene unos 0,3 años luz de diámetro obedecen a la presencia de una masa de unos tres millones de masas solares. Tal masa no podría ser ni un apiñamiento de estrellas ni una estrella inmensa y única, pues, según indican todos los modelos, tales objetos se habrían transformado en agujero negro en menos de un millón de años. Para describir el desplome o colapso gravitatorio de una estrella y la producción de un agujero negro, es decir, una singularidad, no son suficientes ni la física clásica ni la relatividad general. Sería necesario recurrir a una teoría más general, que englobase la física cuántica y la relatividad general. Aunque tal edificio teórico unificado ya tiene nombre, el de “gravitación cuántica”, y a pesar de la intensa actividad de los teóricos, todavía está por construir. Hay quienes piensan que la gravitación cuántica nacerá de la “teoría de cuerdas”. Los “bloques constructi vos” elementales de esta teoría son “cuerdas”, vale decir, membranas de dimensiones subatómicas, cuyas  vibr aciones habrían engendrado el mundo a partir del vacío cuántico. Las  vibraciones de esta s cuerdas no se conciben sino en espacios de más de diez dimensiones, seis de las cuales se encontrarían confinadas, arrolladas en dominios ínfimos. Si una cuerda se aproximase a una singularidad —tras una contracción gravitatoria, por ejemplo— las dimensiones arrolladas se desplegarían en la ubicación de la singularidad.

IDEAS DEL INFINITO

TIEMPO

ESPACIO

4. A PARTIR DEL PUNTO del espaciotiempo señalado en rojo, únicamente son accesibles las regiones contenidas en el interior del cono de luz. El cono propiamente dicho representa la porción del espacio-tiempo que puede ser alcanzada por una señal luminosa (y la información que transporte) desde tal punto.

5. REPRESENTACION de la contracción gravitatoria de un astro en un espaciotiempo de tres dimensiones (dos de espacio y una de tiempo). El tiempo transcurre hacia lo alto, de manera que los estados sucesivos del astro están representados por cada una de las secciones horizontales. El astro se hunde de forma regular (superficie casi cónica), hasta que su campo de gravedad superficial impide que escape ningún rayo luminoso; aparece entonces un “horizonte de sucesos” (el cilindro gris). El desplome termina en una singularidad (línea roja), es decir, en un estado infinitamente denso e infinitamente pequeño. Los pequeños conos de luz ilustran la propagación de señales luminosas por diferentes puntos del espacio-tiempo. Cuanto más próximo se halla un punto de la singularidad, más es desviada la luz hacia ella y su cono de luz se torna más estrecho.

n lugar de esperar el advenimien- to de una teoría unificada, hay físicos con aspiraciones más modestas. Buscan las relaciones entre la gravitación y el comportamiento cuántico adoptando un punto de vista ecléctico: el de estudiar los campos cuánticos en el marco de un espacio-tiempo fijado a priori . Stephen Hawking consiguió por esta  vía un descub rimiento sor prendente en 1974, a saber, el de que los agu jer os negros pudi eran no ser abs olutamente negros. Emiten una radiación, como si en el radio de Schwarzschild reinara una temperatura bien definida. Cuando S. Hawking hizo su descubrimiento estaba estudiando el comportamiento del vacío en el espacio-tiempo de un agujero negro, es decir, las manifestaciones cuánticas de un estado exento de materia. En este  vacío nacen y de saparecen si n cesa r pares de partículas y antipartículas  virtu ales. Cerca del horizonte ocurre en ocasiones que una antipartícula o que una partícula caiga en el agu jero neg ro, desapa recien do así sin retorno. Como ahora no tiene compañera con la que aniquilarse, la partícula emparejada adquiere entonces existencia real. Puede que llegue a alejarse del agujero negro. El flujo de partículas que así escapan constituye una radiación térmica para un observador externo. Hawking sostiene que la radiación  va retira ndo lentament e energ ía, y por tanto masa, del agujero negro, con lo cual éste “adelgaza”. De todos modos, el tiempo necesario para aniquilar de este modo un agujero negro de la masa del Sol superaría en varios órdenes de magnitud a la edad del universo. ¿Qué quedaría al final? ¿Radiación o una especie de cicatriz en la estructura del espacio-tiempo? Son cuestiones abiertas, pues se ignora de qué modo retroactúe la energía emitida sobre el agujero negro. La moderna concepción del cosmos descansa fundamentalmente en dos observaciones importantes. El astrónomo estadounidense Edwin Hubble descubrió a finales de los años 1920 que la distancia entre la Vía Láctea y la práctica totalidad de las demás galaxias aumenta y lo hace tanto más rápidamente cuanto más alejadas están. Sus dos compatriotas Arno Penzias y Robert Wilson detectaron en 1964 una radiación cósmica en el dominio espectral de las microondas,

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que corresponde a una temperatura de 2,7 grados Kelvin. Un observador situado en un lugar cualquiera del universo apreciaría que las galaxias se alejan unas de otras. No se trataría de meros movimientos de alejamiento en un espacio estático, sino, por el contrario, de una expansión del espacio-tiempo, que arrastra consigo a la materia. Si por medio de cálculos nos remontamos en el tiempo para retrogradar la expansión del universo, se comprueba que hace quince mil millones de años toda la materia estaba extraordinariamente concentrada y era enormemente densa. El universo pasó en sus primerísimos instantes por una fase durante la cual toda la materia que hoy nos rodea en forma de estrellas y de galaxias estaba disuelta en una mixtura caliente, densa y casi uniforme, de radiación y de materia. La radiación cósmica omnipresente existe desde el momento en que la luz y la materia se desacoplaron, unos 300.000 años después de la gran explosión. A medida que se fueron expandiendo, la radiación se fue enfriando, para alcanzar en nuestros días el valor de 2,7 grados K.

6. AL FINAL DE SU EXISTENCIA ciertas estrellas pueden dar nacimien to a agujeros negros. Si uno de estos objetos compactos forma parte de un sistema doble, su inmensa atracción gravitatoria le permite arrancar gas de la superficie de su compañero. El gas se acumula, formando un remolino en un disco de acreción antes de acabar por desaparecer en el agujero negro.

tar de una repulsión cósmica debida siguientes estuvieron marcadas por a una misteriosa densidad de energía el nacimiento de la jerarquía de las del espacio vacío. Esta última interacciones gravitatorias y electrointerviene bajo la forma de la “cons- magnéticas (débil y fuerte). La enertante cosmológica”, que desempeña gía que quedó disponible tras esta Modelos de un papel en las ecuaciones de la re la- transición determina la expansión la gran explosión tividad general. Esta densidad de del universo en nuestros días. Esta energía confiere a la expansión del transición tuvo durante breves insl universo en expansión queda universo su carácter irreversible, por tantes la violencia de una explosión, bien descrito mediante modelos el que proseguirá por siempre que se caracteriza por una acelerasencillos: soluciones particulares de  jamá s. ción exponencial. Después la energía las ecuaciones de Einstein para la  Aunque nuestros conceptos y nues- del vacío se transfirió a la radiación gravitación. Existe de hecho toda tras leyes físicas se vean impotentes y tomó el relevo el tipo de evolución una serie de modelos compatibles para describir la gran explosión pro- previsto en el marco del modelo con los datos astronómicos observa- piamente dicha, resultan aplicables estándar. dos. Los astrofísicos resumen esta desde el primer segundo del universo, El modelo del origen del universo familia de teorías en la expresión a partir del cual el modelo estándar que acabamos de esbozar se denomina “modelo estándar de la gran explo- describe su evolución. “modelo de inflación” y justifica diversión”. Este modelo estándar está sos aspectos del modelo estándar que, caracterizado por varias propiedades si no, hubiera sido necesario aceptar que son comunes a to das las teorías La jerarquía sin demostración. El primero es la de las interacciones ya evocadas. Tras una fase de expanedad del universo, de unos 15.000 sión violenta, comparable a una millones de años. Otro aspecto es que explosión, el universo se fue deué aconteció antes de que se el modelo de inflación implica una sarrollando hasta su estado actual, pueda aplicar el modelo evolución hacia un espacio físico de pasando por un estadio precoz, denso estándar? Las diferencias entre las tres dimensiones, de curvatura nula y caliente. Las galaxias y los cúmulos fuerzas fundamentales conocidas y en expansión perpetua, si bien cada galácticos nacieron de fluctuaciones desaparecen a temperaturas y den-  vez más lenta ; tal uni ver so est á inicialmente ínfimas de la densidad sidades tan elevadas. Estas fuerzas próximo al que nosotros observamos de la materia, bajo la acción de la se fundan, pues, en una sola y misma según los cosmólogos. La inflación gravitación. Los gérmenes de estas fuerza original. Así, en el corazón de habría inflado el universo tan rápidafluctuaciones han dejado su huella los estadios primordiales del de- mente que éste se habría hecho casi en las irregularidades del ruido cos- sarrollo del cosmos, hubo de existir plano. La parte del cosmos que actualmológico de fondo difuso. una transición brusca entre una mente es accesible a nuestras obserMedidas recientes concernientes a “época de gran simetría” y las eras  vaciones habría nacido de un germen las supernovas de galaxias distantes ulteriores de menor simetría. minúsculo, en el cual los vínculos han proporcionado una información Mientras que durante la primera entre acontecimientos estarían deteradicional: la expansión del universo época todo estaba gobernado por una minados por las leyes de la relatividad se acelera. El fenómeno podría resul- única fuerza original, las eras (causalidad).

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¿Q

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TEMAS 23

¿Qué tamaño hubo de y uniforme. Se ha persuaEL AGUJERO PARTICULAS tener este dominio original dido al cuantificar el desorNEGRO Y ANTIPARTICULAS para haber englobado a la den del universo, es decir, su QUE SE ESCAPAN AL totalidad del universo obserentropía. Penrose toma en INFINITO  vable actual? Las caracterísconsideración no sólo el desticas que debió de poseer al orden asociado a la radiación finalizar la era de inflación y a la materia, sino que conse deducen del estado actual sidera también otras fuentes del cosmos —es decir, de su de entropía más raras, disitemperatura (2,7 oK) y su muladas en el seno de un tamaño (igual a la distancia campo de gravitación, en las  PARTICULAS de los objetos más alejados ondulaciones y las curvatuQUE CAEN EN conocidos)— merced al ras del espacio-tiempo, así EL AGUJERO modelo estándar: tuvo que como en los agujeros negros. NEGRO medir entonces unos diez Los valores que obtiene son centímetros. Como la inflagigantescos: las condiciones ción ha multiplicado todas iniciales necesarias para el las dimensiones por un factor nacimiento de nuestro uni1029, el germen del universo  verso no tenían más que una TIEMPO actual debió de estar confiposibilidad entre unos nado en un dominio del orden 10.000 millones elevados a –28 de 10  centímetros. El físico la potencia 120 de produESPACIO ruso Andrei Linde ha procirse. ¿Tiene sentido una puesto generalizaciones de probabilidad tan diminuta? esta idea. Según él, el “Gran 7. EL VACIO CUANTICO es la sede permanente de la creación Todas estas reflexiones universo” estaría compuesto de pares compuestos por una partícula (en verde) y una an- sobre las primeras fracciotipartícula (en rojo). Estos pares se llaman virtuales, porque de burbujas de universo indi- no son observables. Apenas creados, se aniquilan. En la nes de segundo del universo  viduales, separadas unas de proximidad de un agujero negro puede ocurrir que uno de proceden del dominio de la otras, formándose una aquí, los elementos del par (sea partícula o antipartícula) desapa- especulación. Los físicos esfumándose otra allá, rezca en él. Liberado así de su acompañante virtual, el otro están lejos todavía de poder siguiendo evoluciones simul- elemento se convierte en partícula real, que a veces escapa explicar la gran explosión. táneas e independientes. de la atracción del agujero negro. Para un observador exte- Tanto es el placer que la Nosotros nos hallaríamos en rior el fenómeno parece consistir en radiación térmica desde especulación les produce a el agujero negro, la llamada radiación de Hawking. una de estas burbujas, que los cosmólogos, que a veces tendría la particularidad de caen en la tentación de haber proporcionado conditomar como reales a sus ciones compatibles con la vida. Es ‘¿Qué hacía Dios antes de crear el construcciones teóricas. Por decirlo curioso que el principio antrópico, mundo?’, hay quienes sienten la ten- con palabras de Einstein: “A qu ienes según el cual el universo ha sido creado tación de responder: ‘Preparaba el elaboran teorías en estos dominios para que pudiera existir el hombre, Infierno para quienes planteasen esta les resultan tan naturales los frutos tendría en la teoría de Linde una espe - cuestión.’” de su imaginación, que no los ven cie de explicación: entre la multitud  Aunque no dispongamos todavía de como construcciones intelectuales, de burbujas cósmicas, la humanidad la teoría de gravitación cuántica, sino como realidades que quisieran habría encontrado por azar una que podemos especular sobre la natura- que todo el mundo aceptase.” reuniera las condiciones necesarias leza del universo cuántico. S. Hawking para la vida. se ha interesado mucho por esta cuestión. Propone que nos limitemos, para el cosmos cuántico primitivo, a espaEl comienzo del universo cios-tiempo de una estructura muy simple, lisa, de curvatura regular. El BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA uien no quede satisfecho por ex- tiempo no existe todavía en este cosplicaciones de este jaez sobre el mos cuántico constituido por una serie LA COSMOLOGIE QUANTIQUE ET LA CRÉATION DE L’UNIVERS. Jonathan Hallinell, origen de las cosas deberá reflexionar de espacios de cuatro dimensiones, es en Pour la Science, febrero de 1992. más sobre la cuestión de las condicio- decir, de superficies de espacios esféB  HOLES AND BABY UNIVERSES AND LACK nes iniciales del universo y pregun- ricos de cinco dimensiones. THER ESSAYS . Stephen Hawking. BanO tarse: “¿Qué había antes de la gran Nuestro universo, caracterizado por tam Books, 1993. explosión?” Los físicos no saben cómo una evolución temporal, habría emerVELOCIDAD DE EXPANSIÓN Y TAMAÑO DEL responder a esta cuestión metafísica. gido a partir de una parte finita de UNIVERSO. Wendy L. Freedman, en  In¿Podrá hacerlo la gravitación cuán- este universo cuántico intemporal. La vestigación y Ciencia , págs. 12-19; enero, 1995. tica? Será necesario referirse a una cuestión del pasado de este “guisantito EL UNIVERSO INFLACIONARIO AUTORREGEteoría definitiva de todas las interac- original” no tiene sentido en el marco NERANTE. Andrei Linde, en Investigación ciones físicas para analizar la singu- normal del espacio y del tiempo; de  y Ciencia, págs. 16-23; enero, 1995. laridad inicial. ¿Existió al comienzo igual modo que no tendría sentido LA TOPOLOGIE DE L’UNIVERS. Marc Ladel universo una “cuerda” de 10 u 11 preguntar la latitud y longitud de un chièze-Ray y Jean-Pierre Luminet, en dimensiones? San Agustín, en sus punto que no perteneciera a la superPour la Science , diciembre de 1996. Confesiones  (libro 11), responde al ficie de la Tierra. LA REVOLUCIÓN COSMOLÓGICA, Investigación y Ciencia, marzo de 1999. problema del nacimiento del universo También Penrose está convencido con una pirueta: “A la pregunta sobre de que el universo primordial era plano

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El infinito como fuente de revelación

Patrick Dehornoy

 El infinito es fuente de inspiración. La exploración  de los conjuntos hiperinfinitos, de construcción imposible,  pero no imposibles de concebir, ha permitido descubrir objetos  matemáticos como las tablas de Laver o las propiedades de las trenzas

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as tablas de Laver son cuadros de números enteros cuyas propiedades permanecen en el misterio, a pesar de que su construcción con un ordenador es sencilla. Lo más extraño es que lo poco que se sabe sobre estas tablas se basa en una hipótesis indemostrable de existencia de conjuntos “hiperinfinitos”. Tenemos aquí un nuevo tipo de aplicaciones del infinito en matemáticas, consistente en que sirva más para intuir cosas que para proporcionar demostraciones.

Operaciones autodistributivas

que  x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z ). Llamaremos, pues, operación autodistributiva o, simplemente, operación AD a una “multiplicación” (que opere sobre objetos cualesquiera, no necesariamente números) que verifique la condición AD cualesquiera que sean los elementos x, y, z elegidos. La elección al azar de condiciones exóticas y el estudio por puro placer de las operaciones que verificarían tales condiciones (si es que existieran) apenas tendría interés. El interés por las operaciones AD procede de la existencia de ejemplos no triviales en el mundo matemático, vinculados sobre todo a otras estructuras importantes, como los grupos ( véase el recuadro de la página siguiente ).

El papel del infinito en este ámbito reside en que la consideración de con juntos “hiperinfinitos” ha llevado al descubrimiento de ejemplos de operaciones AD de un tipo completamente nuevo (véase el recuadro de la  página 95), que han hecho florecer toda esta rama de la teoría. Ocupémonos aquí de la construcción de operaciones AD, preguntándonos si podemos construir “a mano” una operación AD sobre un conjunto finito cualquiera. El problema equivale a buscar una especie de tabla de Pitágoras que represente una “multiplicación”. Si buscamos una tabla para N  elementos, siempre podremos suponer que los elementos de nuestra tabla son

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as tablas de Laver fueron descubiertas en los años 1980 por Richard Laver, especialista en teoría de conjuntos de la Universidad de Boulder, en Colorado.  Al lado de operacione s habituales, como la adición o la multiplicación, que verifican leyes sencillas, como la conmutatividad ( x * y = y * x) o la asociatividad ( x * ( y * z ) = ( x * y) * z ), los matemáticos estudian también otras operaciones que verifican leyes más exóticas. Entre ellas figuran la autodistributividad, que se expresa por la igualdad x * ( y * z) = ( x * y) * ( x * z), a la que denotaremos AD. El nombre expresa que una operación que  verifique la condición AD es distributiva respecto de sí misma, de igual manera que se dice que la multiplicación habitual es distributiva respecto de la adición, porque se verifica

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TEMAS 23

los enteros 1, 2, ...,  N , y el problema consiste en construir un cuadro de  N  filas y N  columnas en el que cada casilla esté ocupada por alguno de los números que van de 1 a N , de suerte que si denominamos  p * q al número que ocupa la intersección de la fila  p-ésima y la columna q-ésima, entonces la operación * (la “multiplicación”) así definida verifique la condición AD. Si tal es el caso, diremos que hemos obtenido una tabla AD. ¿Existen tales tablas? Ciertamente. Si ponemos  p * q = q, es decir, si construimos nuestro cuadro llenando la primera columna con 1, la segunda con 2, etc., es fácil demostrar que se cumple la condición AD, pues siempre tendremos p * (q * r) = r = ( p * q) * ( p * r).

Las tablas de Laver

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as tablas anteriores no resultan muy apasionantes. Lo son más cuando se fijan de antemano los valores de la primera columna. Supongamos que fijamos los valores siguientes: 1

2

N 

3

 Vamos a ver que existe al menos una forma de completar el cuadro. Supongamos, por ejemplo, que N =4. Empezamos con: 1 1

2

2

3

3

4

4

1

1 1

2

2

3

3

4

4

1

4

2

3

4

2

Para 4 * 3 tenemos, de igual modo: 4 * 3 = 4 * (2 * 1)=(4 * 2) * (4 * 1)=2 * 1=3, lo que da: 1 1

2

2

3

2

3

4

2

3

4

1

3

4

2

3

2

3

4

El lector podrá establecer asimismo que 4 * 4 = 4. Pasamos ahora a la línea de 3. El primer valor a calcular es 3 * 2, y esta vez se tiene 3 * 2 = 3 * (1 * 1)=(3 * * 1) * (3 * 1 ) = 4 * 4 = 4. Llenamos así la línea de 3 y después las de 2 y de 1, para finalmente llegar a:

. . . .

N

3

 Veamos de calcular 4 * 2, es decir, 4 * (1 * 1). Como deseamos la condición de autodistributividad, se ha de tener 4 * (1 * 1)=(4 * 1) * (4 * 1). Ahora, 4 * 1 es 1, luego se ha de tener 4 * 2 = 1 * 1=2 y nuestra tabla se convierte en:

1

N -1

2

N  1

1

2

4

2

4

2

3

4

3

4

3

4

4

4

4

4

1

2

3

4

La construcción es la misma para las tablas de todos los tamaños. Nuestra regla de juego proporciona en cada ocasión una, y sólo una, manera de llenar las casillas de la última línea, luego las de la penúltima, remontándonos así sucesivamente hasta la primera. ¿Serán estas tablas de tipo AD? La construcción efectuada garantiza cierto número de igualdades del tipo  p * (q * r) = ( p * q) * ( p * r), fundamentalmente las que corresponden al caso particular r = 1, pues siempre recurrimos al caso precedentemente calculado. Nada está garantizado para los restantes números de la tabla. La situación es ahora la siguiente. Si el tamaño de la tabla es una potencia de 2, entonces el cuadro construido es efectivamente una tabla AD; si no lo es, no. En resumen, para cada entero n hemos obtenido una tabla  AD de tamaño 2n. Dicha tabla recibe el nombre de n -ésima tabla de Laver.  A pesar de la simplic idad de su construcción, las tablas de Laver son objetos muy complicados y todavía insuficientemente comprendidos; en particular nadie conoce fórmula alguna que proporcione explícitamente el valor del producto  p * q de la n-ésima tabla de Laver y es muy dudoso que tal fórmula exista.

Ejemplos de operaciones autodistributivas a*b = a b a-1 a*(b*c) = a*(b c b-1) = a b c b-1 a-1 (a*b)*(a*c) = (a b a-1)*(a c a-1) = a b a-1 a c a-1 (a b a-1)-1 = a b a-1 a c a-1 a b-1 a-1 = a b c b-1 a-1

Q M = P* Q P

J = P * (Q * R) = (P * Q)*(P * R)

I = Q*R

a 1/2 VUELTA

N = P *R

b 1/4 VUELTA

a-1

b-1

1/2 VUELTA

1/4 VUELTA

= R

S

e define el “producto” de dos puntos P  y Q   en el plano como el punto medio del segmento PQ . Por el teorema de Tales, esta operación verifica la condición de autodistributividad: P * (Q * R ) = (P * Q ) * (P * R ). Otro ejemplo importante de operación autodistributiva resulta del automorfismo de conjugación en un grupo y sobre todo en un

IDEAS DEL INFINITO

grupo de giros: a partir de la multiplicación × del grupo se define una nueva operación, denotada * , por la regla a * b = a × b × a –1 . Es fácil comprobar que a * ( b * c ) y (a * b ) * (a * c ) son iguales a a × b × c × b –1 × a –1. Vemos representado a la derecha un ejemplo de conjugación de giros de un cubo.

93

Las primeras tablas de Laver con 1, 2, 4, 8 y 16 elementos

C

omprobemos que las tablas de Laver cumplen la ley de autodistributividad (condición AD): p * (q * r ) = (p * q ) * (p * r ). En la tabla de 4 elementos tomemos p =4, q =3 y r = 2. El primer número es igual a q * r = 3 * 2=8; y p * (q * r ) = p * 8 = 4 * 8 = 8. Calculemos el segundo miembro: p * r = (4 * 2)=6; (p * q ) = ( 4 * 3)=7; (p * q ) * (p * r ) = 7 * 6 = 8. La igualdad queda comprobada. La programación de tablas de Laver en ordenador no es difícil, si se sigue el orden de cálculo de valores que hemos indicado. Utilizando las propiedades de periodicidad, para no tener que guardar todos los valores en la memoria, se llega sin problemas hasta la tabla de 1024 elementos y, operando con cuidado, se puede llegar hasta 2 20 elementos. q 

q  1

p 

1

1

q 

1

q  1

p 

2

1

2

2

1

1

2

p 

1

2

3

4

1

2

4

2

4

2

3

4

3

4

3

4

4

4

4

4

1

2

3

4

q 

p 

2

3

4

5

6

7

8

9 1 0 1 1 12 13 14 15 16

1

2 12 14 16 2 12 14 16 2 12 14 16 2 12 14 16

2

3 12 15 16 3 12 15 16 3 12 15 16 3 12 15 16

3

4

8 12 16 4

4

5

6

5

6

8 14 16 6

8 14 16 6

8 14 16 6

8 14 16

6

7

8 15 16 7

8 15 16 7

8 15 16 7

8 15 16

7

8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16 8 16

8

9 10 11 12 13 14 15 16 9 10 11 12 13 14 15 16

7

8 12 16 4

8 13 14 15 16 5

8 12 16 4 6

7

8 12 16

8 13 14 15 16

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

4

6

8

2

4

6

8

9 10 12 14 16 10 12 14 16 10 12 14 16 10 12 14 16

2

3

4

7

8

3

4

7

8

10 11 12 15 16 11 12 15 16 11 12 15 16 11 12 15 16

3

4

8

4

8

4

8

4

8

11 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16

4

5

6

7

8

5

6

7

8

12 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16 13 14 15 16

5

6

8

6

8

6

8

6

8

13 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16 14 16

6

7

8

7

8

7

8

7

8

14  15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16 15 16

7

8

8

8

8

8

8

8

8

15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

8

1

2

3

4

5

6

7

8

16 1

p 

Líneas y períodos

N

o obstante, en los ejemplos del primer recuadro (y en los ejemplos adicionales que el lector sin duda ha programado en su ordena-

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

dor...), cabe observar ciertas propiedades, que han sido demostradas con toda generalidad por Richard Laver y por Ales Drapal, un matemático de la Universidad Charles de Praga.

Mencionaremos aquí dos propiedades importantes. La primera es que cualquier tabla se deduce de forma sencilla a partir de tablas más grandes; por ejemplo, obtendremos la tabla de orden 8 a partir de la tabla de orden 16 conservando la cuarta parte superior de la tabla y “proyectando módulo 8” los valores, es de cir guardando los valores entre 1 y 8 y restando 8 de los valores comprendidos entre 9 y 16. La corresponde ncia es la misma en cada nivel: la tabla de 16 elementos se obtiene a partir de la tabla de 32 elementos por proyección módulo 16, etc. La segunda propiedad concierne a las líneas de las tablas. En la n-ésima tabla (la que tiene 2n elementos), la  p-ésima línea (contando desde arriba) comienza, por hipótesis, por el valor  p * 1 = p + 1. A continuación los valores aumentan a lo largo de la línea hasta alcanzar el valor maximal 2n, tras el cual volvemos a encontrar el valor  p + 1 y todos los valores precedentes, de forma periódica. Por ejemplo, en la tabla de 8 elementos, los valores sucesivos de la segunda línea son 3, 4, 7, 8, 3, 4, 7, 8. Hay cuatro valores diferentes, por lo que se dirá que el período de la línea es 4. De este modo, cada línea de cada tabla de Laver tiene un cierto período, del cual sabemos que ha de ser además una pote ncia de 2. Por ejemplo, los perío dos de las líneas 1 a 8 de la tabla de 8 elementos son, respectivamente, 4, 4, 2, 4, 2, 2, 1 y 8.

El teorema de Laver

Los límites de la experimentación

E

l período de la primera línea alcanza el valor 8 en la tabla de Laver de 32 elementos y luego el valor 16 en la tabla de 512 elementos. Si el teorema de Laver es verdadero, existen tablas en las que el período de la primera línea es 32 y podemos buscar cuál es la dimensión N  de la primera tabla en la que tal cosa ocurre, por ejemplo, programando un ordenador. Con tal método se corre el riesgo de no tener éxito... En efecto, un teorema de Randall Dougher ty, de la Universidad de Colum bus, en Ohio, afirma que el número N  ha de ser mayor que A9(A8(A8(255))), donde Ak  es la k -ésima función de Ackermann. Las funciones Ak  son funciones construidas por iteración, definidas sobre los enteros y cuyo crecimiento es cada vez más rápido: A1(n ) es n +1, A2(n ) es 2n +3, A3(n ) es del orden de 2 n , A4(n ) es aproximadamente una torre de exponenciales de 2 y de altura n  y, para todo k , A(k +1)(n ) se obtiene por aplicación n   veces iterada de Ak   al número 1. El número A 8(255) desborda todo lo imaginable, por lo que ¿qué decir de A8(A8(255)) y después, más todavía, de A9(A8(A8(255)))? Sin temor a ser desmentido puede uno afirmar que cualquiera que sea la potencia del ordenador utilizado, o la astucia del programa que se elabore, se encontrará siempre que el período de la primera línea de la tabla de Laver es, a lo sumo, 16. Pero el teorema de Laver nos dice que se alcanza el pe ríodo 32, aunque ciertamente mucho más allá de lo que los ordenadores son, hoy por hoy, capaces de contar...

94

P

restemos especial atención al período de la primera línea. En los ejemplos del recuadro 2 podemos observar que sus valores para las cinco primeras tablas son 1, 1, 2, 4 y 4. Si el lector ha programado las tablas siguientes, encontrará después los  valores 8, 8, 8, 8, 16 y 16, correspondientes a las tablas de 32, 64, 128, 256, 512 y 1024 elementos. ¿Qué observamos? Que estos valores  van crecie ndo o, más exact amente, que nunca decrecen. Ello era previsible, pues sabemos que la n-ésima tabla se obtiene proyectando módulo 2n la n + 1-ésima y, si en la primera línea de esta n + 1-ésima tabla hubiera m  valores distintos, habrá a lo sumo m en la primera línea de la n-ésima tabla.  Vemos también que los períodos a  veces se duplican. Aunque en el caso de un conjunto de valores tan reducido no se observe claramente ninguna ley, resulta plausible que la sucesión de

TEMAS 23

períodos tienda hacia infinito, es decir, que alcance sucesivamente todas las potencias de 2 (es fácil ver que los períodos no pueden superar la duplicación de una tabla a la siguiente y, por lo tanto, no se pueden saltar ninguna potencia de 2). ¿Qué se puede afirmar sobre esto? Richard Laver demostró en 1995 el teorema siguiente: “Si existe una fila autosemejante, entonces la sucesión de los períodos de las primeras líneas de las tablas de Laver tiende hacia infinito.” El recuadro adjunto explica la noción de fila autosemejante. Este resultado es asombroso. Que la sucesión de los períodos tienda hacia infinito apenas nos sorprende; es lo que sugerían los ejemplos. Lo sorprendente aquí es la hipótesis con la que Laver demuestra su resultado, a saber, esta misteriosa existencia de una fila autosemejante. Esta hipótesis de una fila autoseme jante expresa que existen en el mundo matemático conjuntos enormes, los conjuntos “hiperinfinitos”. Según el teorema de incompletitud de Gödel, no cabe esperanza alguna de que pueda demostrarse que tales conjuntos existen, ni tampoco de probar que la hipótesis de que existan no es contradictoria. Lo que resulta entonces sorprendente en extremo es la aparición de un vínculo entre las tablas de Laver, que son objetos finitos, computables por ordenador, cuya existencia lo es en el sentido más concreto, y los con juntos hiperinfinitos, de los cuales nadie sabe, ni sabrá  jamás, si e xisten o no.

Una alternativa

E

sta situación no hace sino refle jar nuestra ignorancia sobre las propiedades de las tablas de Laver. Dos son los casos posibles: – o bien alguien acaba por encontrar una “auténtica” demostración del teorema de Laver, es decir, una demostración que no esté fundada en la existencia de un conjunto hiperinfinito, –o bien se acaba por demostrar que toda demostración ha de utilizar tal existencia de forma ineludible. De ser la correcta esta segunda posibilidad, la situación sería comparable a la del teorema de Goodstein, una propiedad de los enteros para la que se sabe que su demostración es imposible sin una cierta forma de infinito; una diferencia importante, empero, es que la hipótesis utilizada en la demostración del teorema de Goodstein es la existencia de un infi-

IDEAS DEL INFINITO

nito minimal, mientras que la utilizada en la demostración del teorema de Laver es la existencia de un infinito extraordinariamente más grande. En teoría nada impide que esta salida sea la correcta (tal es la esperanza de muchos especialistas en teoría de conjuntos y demás estudiosos del infinito). Parece, sin embargo, que es la primera la que tiene muchas más posibilidades de ser la correcta, incluso aunque los esfuerzos por demostrar “a mano” el teorema de Laver hayan sido hasta el presente

infructuosos o, más exactamente, incompletos.

¿Aplicaciones del infinito?

E

n la situación actual el teorema de Laver es una aplicación de la noción de infinito, puesto que la única demostración que conocemos a él apela. Si un día apareciera una demostración que no lo utilizase, ¿dejaría el teorema de ser por ello una aplicación del infinito? En sentido estricto, podría ser, puesto que ni el enunciado ni la

Los conjuntos hiperinfinitos y los rangos autosemejantes

U

n conjunto infinito es, por definición, un conjunto de tan gran tamaño que posee subconjuntos tan grandes como él. Por ejemplo, el conjunto N  de los números naturales es infinito, porque la función que a c ada n  le asigna el número siguiente, n + 1, define una correspondencia biyectiva entre N   y el subconjunto de N  constituido por los enteros no nulos. La teoría de conjuntos moderna asigna un papel fundamental a diversas ampliaciones de la noción de infinito, haciendo intervenir los que podríamos llamar conjuntos hiperinfinitos (también denominados “grandes cardinales”). Una fila autosemejante proporci ona un ejemplo de tal conjunto. La idea consiste en partir otra vez de la anterior definición de infinito, aunque reforzándola, exigiendo que la c orrespondencia entre el conjunto considerado, X , y uno de sus subconjuntos conserve todas las estructuras adicionales existentes en X . Tomando otra vez el ejemplo de la correspondencia n → n + 1 +

=

0

1

2

3

4

1

2

3

4 +

5

5

6

7

8

9

10

11.................................... p  – 1

p ...

6

7

8

9 10 11.............................................p  p  + 1

=

entre N  y uno de sus subconjuntos, vemos que esta correspondencia conserva la ordenación de los enteros (p  < q   implica claramente que p + 1 < q + 1); por otra parte, la correspondencia no conserva la adición (p  + q  = r no implica que (p + 1 ) + (q +1)= r + 1...). Los matemáticos han demostrado que no existe ninguna correspondencia definida en N   que pueda lograrlo, de modo que, aunque N  es infinito, no es hiperinfinito en el sentido anterior. Esta noción de infinitud fuerte es la que se denomina autosemejanza; N  no es, pues, autosemejante. Para elaborar de forma conveniente una teoría de los conjuntos autoseme jantes (si existie ra alguno) el contexto de la teoría de conjuntos sugiere utili zar conjuntos de un tipo particular, llamados rangos. La existencia de un rango autosemejante constituye uno de los axiomas de la hiperinfinitud, que se estudia en teoría de conjuntos desde los años 1970. El vínculo con las tablas de Laver se debe a que a partir de un rango autosemejante se puede construir una cierta operación AD (de las que las tablas de Laver son proyecciones finitas). Así fue como Laver presentó, antes que nadie, las tablas que hoy llevan su nombre.  T OS

 I N I  R I N F  I P E  H  S   T O   U  N

  J

   N

    O

      C

S  I N I T O  I N F  S   T O

  N   J  U     N

     O       C

RANGO AUTOSEMEJANTE

N 

R 

 I NI TOS

 O S  F   N  T   U   J    N

     O       C

NUMERO DE ELECTRONES DEL UNIVERSO

ALEPH 3

95

El orden de las trenzas

L

a existencia de tablas de Laver y el teorema sobre los períodos no son las únicas aplicaciones de la existencia de un rango autosemejante. Otra aplicación ha sido el descubrimiento del orden de las trenzas. Las trenzas matemáticas son diagramas con hebras que se entrecruzan, basadas en el modelo siguiente:

Las trenzas desempeñan un papel importante, porque aparecen en numerosas ramas de las matemáticas y de la física, asociadas sobre todo a la teoría de nudos, de donde se extienden a una gran variedad de problemas de la física, la química y la biología. Recientemente se han propuesto diversas aplicaciones de las trenzas a l a criptografía. En 1992 se descubrió una notable ordenación de las trenzas, que ha permitido un nuevo algoritmo de comparación de trenzas mucho más rápido que todos los conocidos anteriormente. Lo que aquí nos interesa es la forma en que tal orden fue descubierto. El punto de partida es el estudio de l os rangos autosemejantes efectuado por Laver a finales de los años 1980. Como se ha mencionado en el recuadro previo, dicho estudio desemboca de forma natural en una cierta tabla AD y Laver demostró en 1989 que esa tabla carece de ciclos, l o que significa que no podemos encontrar elementos x 1, ..., x n   tales que cada x i  aparezca en la línea de x i +1 y x 1 aparezca en la línea de x n . Ahora bien, era ya sabido por entonces que la existencia de una sola operación AD sin ciclos era importante para el estudio de la condición AD en general, incluso sin que hubiera ninguna razón para pensar que tal objeto debía existir. El teorema de Laver no demostraba verdaderamente tal existencia, puesto que suponía la existencia indemostrable de un conjunto hiperinfinito, pero al menos sí hacía ver que era plausible y a la vez indicaba que debiera ser posible una construcción directa. Esta pista se ha demostrado válida e incluso ha llevado a aplicaciones insospechadas, como la cons trucción, sin ayuda de un conjunto hiperinfinito, de una operación AD no cíclica, que ha originado de forma natural la consideración de las trenzas y su ordenación de un modo que nadie había imaginado anterior mente. En efecto, no existe ninguna vinculación directa entre las trenzas y los conjuntos hiperinfinitos, salvo que las primeras son utilizadas para reemplazar a los segundos. Ello no es óbice para que, sin los conjuntos hiperinfinitos, hoy supiéramos menos sobre las trenzas.

nueva demostración utilizarían el luego a mano siguiendo el método infinito. explicado aquí. Pero a mi parecer siempre constituirá Resulta tentador comparar en este una de sus aplicaciones. Pues, ocurra punto la contribución de la teoría de lo que ocurra, habrá sido la utilización conjuntos hiperinfinitos con las que del infinito la que permitió descubrir se hacen en física. Los físicos, basánel teorema y es más que probable que dose muchas veces en intuiciones nadie hubiera tenido ni la ocasión ni nacidas de modelos concretos, suelen la curiosidad de buscar una demostra- proponer fórmulas sin demostrarlas ción si el estudio de las filas autose- rigurosamente o, mejor dicho, fórmulas mejantes no le hubiera proporcionado de las que dan una primera justificade entrada un argumento decisivo, a ción que deja de lado problemas tales pesar incluso de estar fundado en un como la convergencia de integrales o principio indemostrable. Otro tanto de series (pensemos, por ejemplo, en fue lo ocurrido hace algunos años con las integrales de Feyn man). el estudio del orden de las trenzas Corresponde entonces a los matemá(véase el recuadro) y también con las ticos encontrar otras demostraciones, propias tablas de Laver, deducidas en esta vez completas y rigurosas. La un principio de la existencia de una situación es parecida cuando los confila autosemejante y reconstruidas  juntos hiperinfinitos permiten adivi-

96

nar y justificar propiedades como la existencia de las tablas de Laver o el teorema sobre los períodos. Lo mismo que antes, lo que hace falta es hallar otras demostraciones, depuradas esta  vez de hipótesis indemostrables. En ambos casos las contribuciones de la física y de lo hiperinfinito son esenciales, pues sin ellas es probable que las propiedades no hubieran sido imaginadas. Estas aplicaciones del infinito son de un tipo nuevo en matemáticas: el infinito sirve de revelador para adivinar nuevas propiedades, para luego desaparecer posteriormente, una vez descubiertas las demostraciones “buenas”. La existencia de tales aplicaciones constituye un poderoso argumento en favor del estudio del infinito (y de la teoría de conjuntos), pues hace ve r que, incluso si uno se siente tentado por una metodología estrictamente constructivista de las matemáticas o si uno siente simplemente la mayor desconfianza y muy escaso interés por los conjuntos infinitos y, a fortiori, por los hiperinfinitos, es preciso reconocerles a estos últimos la capacidad de conducir al descubrimiento de nuevas propiedades de los objetos finitos. Señalemos que, desde este punto de  vista, poco importa que la existencia de los conjuntos infinitos considerados sea muy plausible o poco plausible, pues su vocación es desaparecer del paisaje final. Cabe incluso esperar que los objetos más potentes desde el punto de vista de las aplicaciones sean los menos plausibles, como esas extrañas filas autosemejantes y otros con ju ntos hiperinf initos qu e he mos encontrado en este artículo y que ya han revelado su fecundidad.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA CRITICAL POINTS

IN AN ALGEBRA OF ELE-

. R. Dougherty, en  Ann. P. Appl. Logic, n.o 65, págs. 211241, 1993. MENTARY EMBEDDINGS

ON

THE

ALGEBRA

OF

ELEMENTARY EM-

INTO ITSELF. R. Laver, en  Advances in Math. , número 110, páginas 334-346, 1995. LES G RANDS C ARDINAUX . J.-P. Delahaye, en Pour la science, n.o 224, págs. 60-67,  junio de 1996. L’ORDRE DE DEHORNOY SUR LES TRESSES. C. Kassel. Seminario Bourbaki, ponencia 865, noviembre de 1999. BRAIDS AND SELF-DISTRIBUTIVITY. Patrick Dehornoy, en Progress in Math., volumen 192. Birkhäuser, 2000. BEDDINGS OF A

RANK

TEMAS 23