Tema 7: Números decimales y fraccionarios.
ÍNDICE 1. TIPOS DE DECIMALES 2. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES A PARTIR DE LA FRACCIÓN 3. PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL
2 2 3
3.1. Expresión de una fracción como un decimal .................................................................................... 3 3.2. Tabla – Resumen ...................................................................................................................................... 4
4. PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN
4
4.1. Fracción Fracci ón generatriz generat riz ................................................................................................................................. 4 4.2. Decimal exacto ......................................................................................................................................... 4 4.3. Decimal periódico periódi co puro pur o .......................................................................................................................... 4 4.4. Decimal periódico periódi co mixto mi xto ........................................................................................................................ 5 4.5. Tabla – Resumen ...................................................................................................................................... 5
5. DECIMALES NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS 6. OPERACIONES DE FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES
6 6
6.1. Introducción Introd ucción .............................................................................................................................................. 6 6.2. Reglas de prioridad priori dad ................................................................................................................................. 6 6.3. Tipos de decimales decimal es.................................................................................................................................. 6
7. EJERCICIOS
Gema Isabel Marín Caballero
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1. TIPOS DE DECIMALES Los números decimales se clasifican en:
1) Decimal exacto: tiene un número limitado de cifras decimales. Ejemplos: 1,7 24,089 1.234,56789 1,101001000100001 2) Decimal periódico: tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Pueden ser: a) Decimal periódico puro: el período empieza inmediatamente después de la coma. Ejemplos: Número decimal
Período
5,4
4
6, 207
207
b) Decimal periódico mixto: el período no empieza justo después de la coma. Ejemplos: Número decimal
Anteperíodo
Período
2,563
5
63
0,07324
07
324
3) Decimal no exacto y no periódico: tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente.
Ejemplos:
2
1,414213562...
3,141592654...
2,2020020002 00002...
2. CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES A PARTIR DE LA FRACCIÓN Dada una fracción, podemos determinar qué tipo de número decimal será . Para ello, tomamos el denominador y lo descomponemos en factores.
Si aparece sólo el 2, o sólo el 5, o el 5 y el 2, la fracción es un número decimal exacto .
Ejemplos:
,
3
,
3
,
9
20 125 16 200
Si no aparece ningún 2 ó ningún 5, la fracción fr acción es un número periódico puro .
Ejemplos:
7
2 5 4 2 , , , 3 11 17 21
Si aparecen otros factores además del 2 ó el 5, la fracción es un u n número periódico mixto .
Ejemplos:
7 1 3 5 , , , 6 14 35 12
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3. PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL 3.1. Expresión de una fracción como un decimal Una fracción es una división indicada. indicada. Para transformar o expresar una fracción en un número decimal , se divide el numerador entre el denominador. 2
Ejemplo:
5
2 : 5 0,4
Dos
quintos es lo mismo que cuatro décimas.
Toda fracción como expresión de una división puede ser exacta o no exacta.
Si es exacta su valor es un número entero. Ejemplo:
12
3
Y si no es exacta su valor es un número decimal. Ejemplo:
12 3 4
15 4
15 4 3,75
Cuando la división no es exacta , se nos pueden presentar dos casos:
1) Que la división termine siendo exacta (resto es igual a cero, r = 0) con uno o varios decimales (tiene un número limitado de cifras decimales) deci males) y se le llama decimal exacto (o limitado) . Ejemplo:
15 4
3,75
2) Que la división no termine siendo exacta (resto es distinto de cero, r ≠ 0) con infinitos decimales (tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente) y se le llama decimal periódico. Ejemplo:
5 6
0,8333...
La cifra o el grupo de cifras que se repite indefinidamente en la parte decimal se llama período. En el ejemplo 0,8333… el período es el 3. La cifra o el grupo de cifras que no se repite en la parte decimal entre la coma y el período se llama anteperíodo. En el ejemplo 0,8333… el anteperíodo es el 8. Los números periódicos son de dos clases: periódico puro y periódico mixto.
a) Periódico puro: Un número es periódico puro, si el período comienza inmediatamente después de la coma. La parte decimal está está formada por el período .
Ejemplo:
1 3
0,333...
b) Periódico mixto: Un número es periódico mixto, si el período no comienza inmediatamente después de la coma. La parte decimal está está formada por el anteperíodo y y el período .
Ejemplo:
5 6
0,8333...
Los números periódicos se simbolizan escribiendo el número y poniendo una sola vez el período y sobre él un arco (o gorrito).
Ejemplos:
0,333... 0,3 ; 0,8333... 0,83 ; 6,32171717 ... 6,3217
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3.2. Tabla – Resumen En la tabla siguiente, se presenta un resumen del paso de fracción a decimal.
Paso de fracción a decimal 15 4
1 3 5 6
3,75
Tipo de decimal Decimal exacto
0,33333... 0,3
Decimal periódico puro
0,833333... 0,83
Decimal periódico mixto
4. PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN 4.1. Fracción generatriz Cualquier número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción irreducible, llamada fracción generatriz. Para transformar o expresar un número decimal en una fracción , se sigue un método.
4.2. Decimal exacto Si el número es decimal exacto (o limitado), se siguen los siguientes pasos: 1º Se multiplica dicho número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. 2º El resultado es el numerador de la fracción y por denominador se pone la misma unidad seguida de ceros. 3º Se simplifica la fracción y es la fracción generatriz.
Ejemplos: Calcula la fracción generatriz de los números 1,375 y 1,7. 1,375 1.000 1.375 ;
1.375 1.000
11 8
1,7
17 10
4.3. Decimal periódico puro Si el número es decimal periódico puro , se siguen los siguientes pasos: 1º Se escribe el número sin coma, hasta el final del período y se le resta su parte entera. 2º Se cuenta el número de cifras que tiene el período. 3º Se escribe una fracción cuyo numerador es el resultado del primer paso y el denominador es el número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. 4º Se simplifica la fracción y es la fracción generatriz.
Ejemplo: Calcula la fracción generatriz del número 1,27. 1º 127 – 1 = 126 2º El período tiene dos cifras. 3º
126 99
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4º Se simplifica
Ejemplos:
5,4
14 11
54 5 9
49
6, 207
9
6.207 6 999
6.201 999
4.4. Decimal periódico mixto Si el número es decimal periódico mixto , se siguen los siguientes pasos: 1º Se escribe el número sin coma, hasta el final del período y se le resta el número que le queda, si le quitamos las cifras del período (su parte entera y anteperíodo). 2º Se cuenta el número de cifras del período y aparte el número de cifras que hay entre la coma y el período. 3º Se escribe una fracción cuyo numerador es el resultado del primer paso y el denominador es el número formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras haya entre la coma y el período. 4º Se simplifica la fracción y es la fracción generatriz.
Ejemplo: Calcula la fracción generatriz del número 0,218. 1º 0218 – 2 = 216 2º El período tiene dos cifras y entre la coma y el período hay una cifra. 3º
216 990
(99, porque el período tiene dos cifras y el 0, porque entre la coma y el período sólo
hay una cifra). 4º Se simplifica =
Ejemplos:
2,563
12 55
2.563 25 990
2.538
0,07324
990
7.324 7 99.900
7.317 99.900
4.5. Tabla – Resumen En la tabla siguiente, se presenta un resumen del paso de decimal a fracción.
Tipo de decimal
Paso de decimal a fracción
5,4
Decimal periódico puro 6, 207 2,563
17
10 54 5
10
0,07324
49
9 9 6.207 6 6.201
999 2.563 25
Decimal periódico mixto
Gema Isabel Marín Caballero
17
1,7
Decimal exacto
Fracción generatriz
990 7.324 7 99.900
999 2.538
49 9
6.201 999 1.269
990 7.317
495 2.439
99.900
33.300
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5. DECIMALES NO EXACTOS Y NO
PERIÓDICOS
Existen algunos números decimales no exactos (o ilimitados) y no periódicos que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente.
Ejemplos: 3,141592654 ...
2
10
1,414213562...
3,16227766 ...
Estos números no son racionales , porque no pueden expresarse mediante una fracción generatriz y reciben el nombre de Números Irracionales y se representan por el símbolo II o R-Q.
6. OPERACIONES DE FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES 6.1. Introducción Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del lenguaje matemático . Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.
6.2. Reglas de prioridad Las reglas para realizar las operaciones de números enteros o prioridad de las operaciones son las siguientes: 1) Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2) Calculamos las potencias y raíces . 3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones) de izquierda a derecha. 4) Realizamos las sumas y restas.
NOTA: Es importante respetar el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto.
6.3. Tipos de decimales Para realizar operaciones con números decimales, primero hay que pasarlas a fracción.
1) Decimal exacto: Ejemplo:
3 1,7
3
17 10
30 17 10
47 10
2) Decimal periódico: tiene infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Pueden ser: a) Decimal periódico puro: Ejemplos:
3 5,4 3
49 9
3 6, 207 3
Gema Isabel Marín Caballero
27 49
6.201 999
9
76 9
2.997 6.201 999
9.198 999
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b) Decimal periódico mixto: Ejemplos: 3 2,563 3
2.538 990
3 0,07324 3
2.970 2.538 990
7.317 99.900
5.508 990
299.700 7.317 99.900
307.017
99.900
7. EJERCICIOS 1) Escribe como número decimal y como fracción: 3
a) Tres décimas.
Solución: 0,3
b) Ocho décimas.
Solución: 0,8
c) Quince centésimas.
Solución: 0,15
d) Cuarenta y cinco centésimas.
Solución: 0,45
10 8 10
15 100 45 100
2) Expresa cada fracción con un número decimal: a) b) c) d) e) f)
1 5 3 5 3 4
1: 5
Solución:
3: 5
Solución:
3: 4
Solución:
7 10 5 8 7 8
7 : 10
Solución:
5 : 8
Solución:
7 : 8
Solución:
Gema Isabel Marín Caballero
1 5 3 5 3 4
1 : 5 0,2
3 : 5 0,6
3 : 4 0,75
7 10 5 8 7 8
7 : 10 0,7
5 : 8 0,625
7 : 8 0,875
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3) Expresa cada decimal con una fracción: 5
a) 0,5
Solución: 0,5
b) 0,25
Solución: 0,25
c) 0,4
Solución: 0,4
d) 0,8
Solución: 0,8
e) 0,7
Solución: 0,7
f) 0,13
Solución: 0,13
10
25 100 4
10 8 10 7 10
13 100
4) Indica si los siguientes números decimales son exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Además, obtén la forma abreviada y la fracción generatriz. 3678
a) 36,78
Solución: Decimal exacto. 36,78
b) 0,75
Solución: Decimal exacto. 0,75
c) 73,06723
Solución: Decimal exacto. 73,06723
d) 3,666…
Solución: Decimal periódico puro. 3,6
e) 0,1666…
Solución: Decimal periódico mixto. 0,16
f) 130,201201201…
Solución: Decimal periódico puro.
100 75
100 7.306.723
100.000 36 3
130, 201
130.201 130 999
9
16 1 90
g) 2,8434343…
Solución: Decimal periódico mixto. 2,843
h) 1,354354354…
Solución: Decimal periódico puro. 1, 354
Gema Isabel Marín Caballero
33
9
11
3
15
90
130.071 999
2.843 28 990
1.354 1 999
1 60
43.357 333
2.815 990
1.353 999
563 198
451 999
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