OPOSICIONES I.N.E
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 1
TEMA 1: FENÓMENOS ALEATORIO RIOS. CONCEPTO PTOS DE PROBABILI ILIDAD. PROPIEDADES. INDEPENDENCIA DE SUCESOS. TEOREMA DE BAYES. FENÓMENOS ALEATORIOS: El camp campoo de apl aplca cac c!" !" # e$%& e$%&d doo de la E$%a E$%ad' d'$% $%c caa # de $& (&"d (&"dam ame" e"%o %o ma%em)%co* C)lc&lo de P+o,a,ldade$* lo co"$%%e" lo$ llamado$ (e"!me"o$ de a-a+ alea%o+o$ o e$%ad'$%co$. U" (e"!me"o e$ c&al&e+ a$pec%o de la +ealdad &e p&ede $e+ o,$e+/ado a %+a/0$ de epe+me"%o$. U" epe epe+ +me me"% "%oo e$ c&al c&al& &e e++ acc acc!" !" &e &e p&ed p&edee da+ da+ l&2a l&2a++ a +e$& +e$&l% l%ad ado$ o$ c&a"%(ca,le$. S&po"emo$ &e e$ po$,le +epe%+ el epe+me"%o &" 2+a" "3me+o de /ece$ ,a4o la$ m$ma$ co"dco"e$ # &e %odo$ lo$ po$,le$ +e$&l%ado$ $o" co"ocdo$ a"%e$ de la +eal-ac!" del epe+me"%o. Epe Epe+ +me me"% "%oo alea alea%o %o+ +o: o: Lo$ Lo$ +e$& +e$&l% l%ad ado$ o$ del del epe epe+m +me" e"%o %o ,a4o ,a4o la$ la$ m$m m$ma$ a$ co"dco"e$ "cale$ p&ede" $e+ d$%"%o$. No $e $a,e c&al de ello$ apa+ece+) al ("a ("all # $!lo $!lo $e pod+ pod+)" )" ca+a ca+ac% c%e+ e+-a+ a+ de (o+m (o+maa p+o, p+o,a, a,l l'$ '$% %ca ca 5a$o 5a$oc cad adoo a (e"!me"o$ alea%o+o$6. Re$&l%ado$ alea%o+o$. Epe+me"%o$ de%e+m"'$%co$: Lo$ +e$&l%ado$ del epe+me"%o ,a4o la$ m$ma$ co"dco"e$ "cale$ &eda" de%e+m"ado$ 5+e$&l%ado$ $e2&+o$6. A$ocado$ a (e"!me"o$ de%e+m"$%a$. Lo$ "/e$%2ado+e$ c&a"do +eal-a" &" epe+me"%o alea%o+o "%e"%a" o,%e"e+ &" modelo ma%em)%co pa+a p+edec+ lo &e $&cede+) c&a"do $e o,$e+/a ,a4o co"dco"e$ a")lo2a$ 5po+ e$o %e"emo$ modelo$ de%e+m"$%a$ # alea%o+o$6. Podemo$ de("+ la p+o,a,ldad como &"a medda de la "ce+%d&m,+e de &" (e"!me"o alea%o+o. , ,
Características de !s "e#$%e#!s aeat!ri!s:
Se co"oce" de a"%ema"o %odo$ lo$ po$,le$ +e$&l%ado$ del epe+me"%o 5po+ e$o $e +ec&++e a la 7)l2e,+a6 E" cada +eal-ac!" "o $e co"oce el +e$&l%ado &e $e p+e$e"%a+). Se p&ede" +eal-a+ "de("dame"%e ,a4o la$ m$ma$ co"dco"e$. P+opedad de +e2&la+dad e$%ad'$%ca: compo+%ame"%o p+edec,le a la+2o pla-o.
De"i#ici!#es &ri#ci&aes:
S&ce$o eleme"%al: cada &"o de lo$ po$,le$ +e$&l%ado$ del epe+me"%o. Se +ep+e$e"%a" po+ a * ,* c* * * #* -* * 8 . Semp+e oc&++e al2&"o # $o" m&%&ame"%e ecle"%e$ 5la oc&++e"ca de &"o mplca la "o oc&++e"ca de lo$ dem)$6. E$paco m&e$%+al: Co"4&"%o de lo$ $&ce$o$ eleme"%ale$* e$ dec+* de %odo$ lo$ +e$&l%ado$ po$,le$ del epe+me"%o. Se de"o%a po+ ! . S&ce$ S&ce$o: o: S&,co" S&,co"4&" 4&"%o %o del del e$pac e$paco o m&e$% m&e$%+al +al.. A& A&'' $e "cl "cle" e" lo$ $&ce$o $&ce$o$$ eleme"%ale$. Se +ep+e$e"%a" co" le%+a$ ma#3$c&la$. ma#3$c&la$. A* B* C* S A e$ &" $&ce$o e"%o"ce$ A 56 5co"4&"%o de %odo$ lo$ $&ce$o$6.
1
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BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 1
S&ce$o mpo$,le : No p&ede oc&+++ "&"ca. E$ &" $&,co"4&"%o &e "o co"%e"e ""23" eleme"%o del e$paco m&e$%+al. S&ce$o $e2&+o : Semp+e oc&++e* co" %oda $e2&+dad. E$ el e$paco m&e$%+al.
O&eraci!#es c!# s'ces!s: Sea" lo$ " $&ce$o$ A1 * * A " . A lo la+2o del de$a++ollo del %ema $e a$mla" lo$ co"cep%o$ de co"4&"%o # de $&ce$o. De("mo$ la$ $2&e"%e$ ope+aco"e$:
U"!": S&ce$o co"$%%&do po+ lo$ eleme"%o$ com&"e$ # "o com&"e$ a lo$ $&ce$o$ A1 * * A " * e$ dec+* apa+ece c&a"do %e"e l&2a+ A1 !*...*! A " . "
A :8 9 co" 8 A ; 1
I"%e+$ecc!": S&ce$o (o+mado po+ lo$ eleme"%o$ com&"e$ a %odo$ ello$. Tam,0" $e 2e"e+al-a pa+a "("%o$ $&ce$o$. "
∩A : 9 A ; 1
D(e+e"ca de $&ce$o$: S&ce$o (o+mado po+ lo$ eleme"%o$ de A &e "o pe+%e"ece" a B. No 2o-a de la p+opedad co"m&%a%/a 5e" 2e"e+al6 A B :8 9 8 A* 8 B;
D(e+e"ca $m0%+ca: S&ce$o &e %e"e l&2a+ c&a"do $&cede &" eleme"%o de &e "o pe+%e"ece a B # /ce/e+$a.
A
AB 5A B6 5B A 6
S&ce$o compleme"%a+o: S&ce$o (o+mado po+ lo$ eleme"%o$ de &e "o pe+%e"ece" a A . A c :8 9 8 A; A Le#e$ de Mo+2a": c " " A Ac ∩ 1 1 c
" " A Ac ∩ 1 1
U"a (amla de $&ce$o$ A 56 e$ &"a )l2e,+a $: . A . A A A c A -
. S
:A " ; " 1 A
A" A
" 1
<
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Pr!&!sici$#: S A e$ &"a )l2e,+a: a6 A -
,6 S
:A " ; " 1 A
∩A " A " 1
Dem: a6 Como A 5po+ .6 5po+ .6 c ,6 S
:A " ; " 1 A
ii 6
:A c" ; " 1 A
iii 6
A
A c" " 1
c A . A" " 1 ii
c
L.Mo+2a"
∩A " A " 1
CONCEPTOS DE PROBABILIDAD: 1. Pr!(a(iidad c)sica de La&ace. Co"dco"e$: S&po"emo$ &e %odo$ lo$ $&ce$o$ $o" 2&alme"%e p+o,a,le$ # ("%o. 5E&p+o,a,ldad p+"cpo de la +a-!" "$&(ce"%e6. P 5$&ce$o6
1 "
co" " $&ce$o$ eleme"%ale$
De("e la p+o,a,ldad de &" $&ce$o como el coce"%e e"%+e el "3me+o de ca$o$ (a/o+a,le$ # el "3me+o %o%al de ca$o$ po$,le$ 5$emp+e &e $e de la e&p+o,a,ldad6 P5S6
N= de ca$o$ (a/o+a,le$ N= de ca$o$ po$,le$
" N
P+opedade$: a6 P5S6 > ,6 P5S6 1 c6 Sea" S1 * S < $&ce$o$ d$4&"%o$ co" d6 P5Sc 6 1 P5S6
S S1 S <
P5S6 P5S1 6 P5S < 6
I"co"/e"e"%e$:
E&p+o,a,ldad 5?ace apa+ece+ el de("do e" la de("c!"6 El "3me+o de ca$o$ %o%ale$ o po$,le$ de,e+ $e+ ("%o. No p&ede +e$po"de+ a ce+%a$ p+e2&"%a$
Se de"om"a %am,0" p+o,a,ldad a p+o+.
*. Pr!(a(iidad "rec'e#tista. Se ,a$a e" do$ pla+e$: 7
P+"cpo de +e2&la+dad. E" &" epe+me"%o alea%o+o* a pe$a+ del compo+%ame"%o ++e2&la+ de lo$ +e$&l%ado$ "d/d&ale$* lo$ +e$&l%ado$ p+omedo$* e" la+2a$ $&ce$o"e$ de epe+me"%o$ alea%o+o$* m&e$%+a" &"a $o+p+e"de"%e +e2&la+dad. @
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Acep%ac!" de la o,4e%/dad de la p+o,a,ldad. E$ &"a p+opedad ('$ca de lo$ o,4e%o$ como la de"$dad* co"d&c%/dad el0c%+ca* e%c # po+ %a"%o de%e+m"a,le # med,le.
La (+ec&e"ca a,$ol&%a de &" $&ce$o e" el de$a++ollo de &" epe+me"%o alea%o+o* +epe%do N /ece$ de (o+ma "depe"de"%e e$ el "3me+o " de apa+co"e$ del $&ce$o. +ec. +ela%/a 5(+6
+ec&e"ca a,$ol&%a N= de /ece$ &e $e +ep%e el epe+me"%o
" N
De("c!" (+ec&e"%$%a: S " e$ la (+ec&e"ca a,$ol&%a del $&ce$o S # N el "3me+o %o%al de /ece$ &e $e +ep%e el epe+me"%o alea%o+o e"%o"ce$: " P 5S6 lm N N
P+opedade$ de la$ (+ec&e"ca$: a6
>
" N
1
,6 S S S 1
(+ 5S6
" N
"
1
N
"1 N
"
(+ 5S1 6 ⋯ (+ 5S 6
N
Toma"do l'm%e$ %e"emo$ la$ p+opedade$ de la p+o,a,ldad: a6 ,6
> P 5S6 1 P5S6 P5S1 6 ⋯ P 5S " 6
e"%a4a$:
No $e e$%a,lece el $&p&e$%o de e&p+o,a,ldad. La %eo+'a (+ec&e"%$%a e$ la 3"ca &%l-a,le e" la p+)c%ca a la ?o+a de e$%ma+ p+o,a,ldade$ de $&ce$o$ +epe%%/o$ 5c&a"%o m)$ $e +ep%a el epe+me"%o* m)$ $e ap+oma+) a la /e+dade+a p+o,a,ldad6.
I"co"/e"e"%e$:
Poco p+ec$o. E$ "ece$a+o +eal-a+ el epe+me"%o pa+a o,%e"e+ la (+ec&e"ca +ela%/a 5a /ece$ "o $e p&ede +eal-a+6. Al &$a+ el l'm%e e" la de("c!" de p+o,a,ldad $e $&po"e &e el "3me+o %o%al del epe+me"%o de,e $e+ "("%o 5"o alca"-a,le e" la p+)c%ca6 la e$%a,ldad de la$ (+ec&e"ca$ e$ &" e"&"cado mpo$,le de demo$%+a+. No e$ &%l-a,le e" el de$a++ollo ma%em)%co de la Teo+'a de la P+o,a,ldad 5+ec&++mo$ a la de("c!" (o+mal de P+o,a,ldad6
+. Pr!(a(iidad $,ica.
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Co"$de+a" la p+o,a,ldad como pa+%e de la l!2ca # $e de("e como el 2+ado de c+ee"ca +aco"al a$ocado a cada p+opo$c!" ! 2+&po de p+opo$co"e$. I"co"/e"e"%e$: Lo$ 2+ado$ de c+ee"ca "o $emp+e $o" c&a"%(ca,le$.
-. De". "!r%a de &r!(a(iidad. Ai!%)tica de c)c'! de &r!(a(iidades: Sea &" e$paco m&e$%+al. Sea A &"a 7)l2e,+a $o,+e 5e" pa+%c&la+ p&ede $e+ 56 6. D+emo$ &e la aplcac!" P : A >*1 A P 5A 6
e$ &"a medda de p+o,a,ldad ! $mpleme"%e &"a p+o,a,ldad $ /e+(ca lo$ $2&e"%e$ aoma$: 16 A A P5A6 > <6 P56 1 @6 Pa+a %oda $&ce$!" "&me+a,le de $&ce$o$ d$4&"%o$ < a < de A e$ dec+* $ A1 * A < * A P A " P5A " 6 " 1 " 1 A la %e+"a 5* A * P6 $e le de"om"a e$paco de p+o,a,ldad. Co" e$%o$ @ aoma$ la$ "%e+p+e%aco"e$ de p+o,a,ldad &e ?emo$ /$%o $o" p+o,a,ldade$.
Te!re%as de C)c'! de Pr!(a(iidades: Te!re%a 1:
P 5 6 >
Dem: Tomamo$ A " " 1* * co" A # $o" d$4&"%o$ < a < P 56 P A " P5 A " 6 P 56 P 56 ⋯ 5El > e$ el 3"co "3me+o +eal " 1 A.@ " 1 &e /e+(ca &e la $&ma de 0l "("%a$ /ece$ e$ 0l m$mo6 P56 > O,$: S cam,amo$ el aoma < po+ P56 > "o e$ po$,le demo$%+a+ P56 1 . " " Te!re%a *: S A1 * A < * * A " A $o" " $&ce$o$ d$4&"%o$ < a < P A P5A 6 1 1 Dem: Ba$%a %oma+ A1 * A < * * A " * A " 1 * A " < * A # $o" d$4&"%o$ < a <
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" " P A P A P 5 A 6 P 5 A 6 P5 A 6 A.@ 1 1 1 1 " 1
"
" 1
1
"
P5 A 6 1
Te!re%a +: S Dem: S 1
P56 P56> P5A 6
A A
P5 A c 6 1 P5 A6
A A a l2 e,+a A c P 5 6 P 5 A A c 6
A.<
A A
Dem: > " A "
P5 A 6 P 5 A c 6
A ! Ac
5d$4&"%o$6
P5 A c 6 1 P5 A 6
> P5 A 6 1
> P5 A 6 P 5 6 1
B A B ! Ac
A 5B A6 5d$4&"%o$6 P5A6 P#B A $ P5A6
P5 B6
>
T?.<
Te!re%a 0: Sea"
A* B A
P5 A B6 P5A6 P5 B6 P5A ! B6
A B 5A B6 5 A ! B6 5B A6 So" d$4&"%o$
P5A B6
T? .<
P5A B6 P5A ! B6 P 5B A 6 P5 A 6 P 5B6 P 5A ! B6 % (P5A6 P5A B6 5A ! B6 P5A B6 P5 A ! B6 ' P5B6 P5 B A6 P5A ! B6 &
Te!re%a : De$2&aldad de Bo+el: Te!re%a 2: Sea" :A ;"1 "
#
A* B A * A " B P 5 A6 P5 B6
Te!re%a /: S
Dem:
A A c
T?.<
Te!re%a -: S
Dem:
A co"
"
A
P5 A B6 P5 A6 P5B6
"
"
A 6 P5A 6 P5A ! A 4 6 P5A ! A 4 ! A 6
P5
1
1
) 4
⋯
516 " 1 P5A1 ! A < ! ⋯ ! A " 6
) 4)
Ai!%)ticas e3'i4ae#tes: A.
7
P5 A6 >
A A
" 1
" 1
7 S A " d$4&"%o$ < a < P5 A " 6 1 So" aoma$ e&/ale"%e$ a lo$ aoma$ 16*<6 # @6.
B. Aom)%ca de Folmo2o+o/. G
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A A P 5 6 1
. . . /.
S
P5 A6 >
S A* B A # $o" d$4&"%o$ < a < P5A B6 P5A6 P5B6 S :A " ;" 1 A e$ &"a $&ce$!" de $&ce$o$ &e co"/e+2e de$ce"de"%eme"%e al 5$&ce$o$ cada /e- m)$ pe&eHo$ # co" "%e+$ecc!" el /ac'o6 e$ dec+:
A1
P5 A " 6 > * A < * ⋯ co" ∩A " "lm " 1
Lo$ aoma$ 16*<6 # @6 $o" e&/ale"%e$ a e$%o$ c&a%+o.
PROBABILIDAD CONDICIONADA: Sea 5* A * P6 &" e$paco p+o,a,l'$%co. Sea" A* B A $&ce$o$ "o d$4&"%o$ co" P5 B6 + > 5$a,emo$ &e P 5B6 > B $e+'a &" $&ce$o mpo$,le* "o ?a poddo oc&+++6. De("mo$ la p+o,a,ldad co"dco"ada del $&ce$o A a B # $e de"o%a po+: P5A ! B6 P5 A 9 B6
P5 B6 > *
$
P 5 B6
amo$ a /e+ &e la p+o,a,ldad co"dco"ada /e+(ca lo$ %+e$ aoma$ de p+o,a,ldad co" lo &e 5 B * B* PB 6 2e"e+a &" e$paco de p+o,a,ldad $emp+e &e P 5 B6 + > co" B ! B . 16
P5A 9 B6 > A!B " B
<6
Como: > P5A ! B6 P5B6 > P5A 9 B6 1 %?.E
P5 9 B6 1
Como
P5 ! B6 P5B6
P 5 ! B6 P 5B6
P5B6 P5B6
1
@6 Sea" :A " ;" 1 &"a $&ce$!" de $&ce$o$ d$4&"%o$ < a < : 1 . 1 . P / A " ! B, P / #A " ! B$, d$4&"%o$ /0 " 1 ,/0" 1 ,- A " P 5B6
5A " ! B6 %am,0";
P 5 B6 P5 A " ! B6 " 1 P 5B6
P5 A "
" 1
! B6
P 5 B6
P5A " 9 B6 " 1
SUCESOS INDEPENDIENTES: Do$ $&ce$o$ A* B A $o" "depe"de"%e$ $ el co"ocme"%o de la oc&++e"ca de &"o "o mod(ca la apa+c!" de o%+o* e$ dec+: P 5A ! B6 P 5A 6 2 P5 B6
J
OPOSICIONES I.N.E
BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 1
O,$e+/aco"e$: La "depe"de"ca e$ &"a p+opedad $m0%+ca 5S A "dep. de B B lo e$ de A6 No e$ &"a p+opedad %+a"$%/a No ?a# &e co"(&"d+ "depe"de"ca co" "compa%,ldad 5d$4&"%o$6 5p&ede" $e+ "o d$4&"%o$ e "depe"de"%e$6.
Te!re%a: A # B $o" $&ce$o$ "depe"de"%e$ 3 P5A 9 B6 P5A6 $&po"emo$ po+ $me%+'a P5B 9 A6 P5B6 $&po"e"do P5A6 + > . Dem: 6 S P5 A ! B6 P5A6 2 P5B6 PP55AA 6!2P5BB66 P5 A 9 B6 2 P5B6
P5B6 + >
!
P5 A 9 B6 P5A6
P5 B6 +>
46 S
P 5A 9 B6 P5A 6
P5A ! B6 P5B6
P5A ! B6 P5A6 2 P5B6 A # B "dep.
C!r!ari!: S A* B A $o" $&ce$o$ "depe"de"%e$ $e /e+(ca &e: A # B c $o" "depe"de"%e$ A c # B $o" "depe"de"%e$ A c # B c $o" "depe"de"%e$
I#de&e#de#cia de tres s'ces!s: T+e$ $&ce$o$ A1* A < # A @ $o" m&%&ame"%e ! $m&l%)"eame"%e "depe"de"%e$ 5! $mpleme"%e "depe"de"%e$6 $ $e /e+(ca:
P 5 A1 ! A < 6 P 5 A1 6 P5 A < 6
P 5 A1 ! A @ 6 P 5 A 1 6 P 5 A @ 6
P5A <
! A @ 6 P5 A < 6 P5 A @ 6 P 5 A1 ! A < ! A @ 6 P 5 A 1 6 P 5 A < 6 P5 A @ 6
El c&mplme"%o de la$ @ p+me+a$ co"dco"e$ "o mplca &e $e c&mpla la c&a+%a. S $!lo $e c&mple" la$ %+e$ p+me+a$ co"dco"e$ $o" "depe"de"%e$ < a <. Ke"e+al-ac!": 5"3me+o ("%o o "("%o "&me+a,le6: Sea 5* A * P6 &" e$paco p+o,a,l'$%co. Sea :A ;I &"a (amla de $&ce$o$ de A . Lo$ $&ce$o$ $o" "depe"de"%e$ c&a"do pa+a %oda colecc!" de $&,'"dce$ $e /e+(ca: P 5A 41 ! ⋯ ! A 4+ 6 P5A 41 6 2 ⋯ 2 P5 A 4+ 6 " (amla ("%a: :A ; 4 co" 1 41 ⋯ 4+ " P5A 41 ! ⋯ ! A 4+ 6 P5A 41 6 2 ⋯ 2 P5A 4+ 6 (amla "("%a "&me+a,le: lo$ $&ce$o$ $o" "depe"de"%e$ $ pa+a " <*@*D* lo$ " $&ce$o$ $o" "depe"de"%e$. T5. RE6LA DEL PRODUCTO 7Ó DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA8:
OPOSICIONES I.N.E
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Sea 5* A * P6 &" e$paco p+o,a,l'$%co. Sea" A1 * * A " A " $&ce$o$ c&ale$&e+a co" E"%o"ce$: P 5 A 1 ! ⋯ ! A " 6 P 5 A1 6 P 5 A < 9 A1 6 P5 A @ 9 A1
P5 A1 ! ⋯ ! A " 1 6 + >
! A < 6 2 ⋯ 2 P5A " 9 A1 ! ⋯ ! A " 1 6
Dem: . Como
P 5A1 ! ⋯ ! A " 1 6 + > * la$
p+o,a,ldade$ co"dco"ada$ e$%)" ,e" de("da$.
<= mem,+o P5A1 6 P5 A < 9 A1 6P5A @ 9 A1 ! A < 6 2 ⋯ 2 P5A " 9 A1 ! ⋯ ! A " 1 6 P 5 A 1 ! A < 6 P 5 A1 ! A < ! A @ 6 P5A1 ! ⋯ ! A " 1 6 P 5 A1 ! ⋯ ! A " 6 P 5 A1 6 2 2 2⋯2 2 P5 A16 P 5 A1 ! A < 6 P 5A1 ! ⋯ ! A " < 6 P5 A1 ! ⋯ ! A " 1 6 P 5 A1 ! ⋯ ! A " 6
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. Sea 5* A * P6 &" e$paco p+o,a,l'$%co. Sea" A1 * * A " A " $&ce$o$ &e co"$%%e" &"a pa+%c!" de * e$ dec+* $&ce$o$ "
d$4&"%o$ < a < %ale$ &e
A .S&po"emo$ &e P5A 6 + >
1* * "
1
Sea B A &" $&ce$o c&al&e+a de la )l2e,+a. E"%o"ce$: -
"
P5 B6
P5 A 6 2 P5 B 9 A 6 1
Dem: "
Tomamo$
B
5A ! B6
co" lo$
5A ! B6
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1
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TEOREMA DE BAYES: Sea 5*
A * P 6 &" e$paco p+o,a,l'$%co.
OPOSICIONES I.N.E
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BLOQUE ESTADÍSTICA TEÓRICA BÁSICA: TEMA 1
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