Actividades de la unidad I 1) De la historia de geometría escribe: a) ¿Quiénes desarrollaron desarrollaron la forma forma primitiva de la geometría? geometría? La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo, Euclides, Sículo, Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en Los Elementos. La Civilización Babilónica se les atribuye la invención de la rueda, es por eso que además se les otorga su contribución a la investigación de la longitud de las circunferencias en relación con su diámetro, siendo este el número 3, este descubrimiento permitió a los Babilónicos considerar que la longitud de las circunferencias era un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscrito y circunscrito en una circunferencia. Mediante el uso de la astronomía, ya que el año se dividía 360 días establecieron que la circunferencia se dividía en 360 partes, obteniendo el grado sexagesimal. Se les atribuye el conocimiento de cómo trazar un hexágono regular inscrito, además de hallar el área del trapecio rectángulo. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta" – para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientos concretos y prácticos de tesis. La tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez del razonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles por Aristóteles al crear la Lógica) la Lógica) y y de la veracidad de las hipótesis.
Euclides casi cierra definitivamente la geometría griega y por extensión la del mundo antiguo, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge. Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo en geometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famoso cálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.
El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
b) ¿De dónde se deriva la palabra geometría? Su palabra proviene de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir). La geometría es la parte de las matemáticas que trata de las propiedades y medida del espacio o del plano, fundamentalmente se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos o geométricos . El cuerpo geométrico es un cuerpo real considerado tan solo desde el punto de vista de su extensión espacial.
c) ¿En qué consiste el tratado de Euclides denominado “Elementos” y como está estructurado? Los Elementos de conocido como geometría euclidiana; es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría. En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones (como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas proposiciones se encuentra la primera demostración general conocida del teorema de Pitágoras. A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética. El contenido de los libros es el siguiente:
Libros 1 al 4 tratan sobre geometría plana. Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones. Libros 11 al 13 tratan sobre geometría de los cuerpos sólidos.
2) Describe los postulados de Euclides y cuál es la controversia del V postulados? Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los Elementos , escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos. Los postulados de Los Elementos son: 1. 2. 3. 4. 5.
Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
El postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides es el postulado número cinco del libro Los Elementos (300 a. C.), del matemático griego Euclides. La geometría euclidiana es el estudio de la geometría que satisface todos los axiomas de Euclides, incluyendo el quinto postulado, siendo por su importancia, su proposición distintiva. Una geometría en la que el quinto postulado no se satisface, recibe el nombre de geometría no euclidiana. La geometría que es independiente del quinto postulado (i.e. asume los primeros cuatro) es conocida como geometría absoluta. Parece ser que el matemático pionero de este razonamiento fue sacheri y que nuestro admirado Gauss fue el primero que realmente comprendió el problema. De hecho de parte de su correspondencia se deduce que llegó a resultados verdaderamente interesantes, pero nunca los publicó. Vamos al meollo del asunto: ¿cómo podemos negar el quinto postulado de Euclides? Pues tomando como referencia la reformulación hecha por Playfair (no, no tiene nada que ver con el playfair podemos negarlo de dos maneras:
Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a la dada Estos dos enunciados parecen no tener mucho sentido si atendemos a la geometría que conocemos, la que hemos estudiado y la que vivimos a diario (geometría euclidiana). Pero se da la circunstancia de que considerando cada uno de ellos como postulado nos encontramos ante dos nuevas geometrías perfectamente válidas y sin contradicciones lógicas: la geometría elíptica y la geometría hiperbólica.
Unos 22 siglos después de que se escribieran los Elementos por fin se llega a una conclusión: el V postulado es independiente de los otros cuatro. Y se llega a esta respuesta mediante un camino sorprendente. La prueba de la independencia del V postulado lleva implícita la posibilidad de que existan geometrías en los que no se cumple este postulado. Dicho de otro modo: desde el punto de vista lógico no hay contradicción ninguna en suponer que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela a la recta, o incluso ninguna.
3) Completa correctamente las siguientes cuestionantes: a) ¿Qué son términos primitivos? Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a través de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de ellas.
Espacio Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera. Su símbolo es:
Punto El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor. En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para reconocerlos usaremos
Por ejemplo: A se lee punto A, x M se lee punto M. Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.
Recta La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos. La identificaremos con el dibujo:
Una recta puede tener dirección horizontal, vertical u oblicua:
Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo.
Por ejemplo:
, se lee recta AB.
b) ¿Qué relación hay entre ellos? Las relaciones entre los conceptos primitivos en los axiomas, primero, y entre los conceptos primitivos y las definiciones y teoremas, después, le otorgan un significado preciso. c) ¿Qué son puntos colineales de un segmento? Punto es una noción que puede referirse a diferentes cuestiones; un signo ortográfico, un círculo, un lugar, un tema o una unidad de tanteo son puntos. Colineal por su parte, se usa para describir dos o más elementos que se encuentran en una misma línea. La noción del punto colineal aparece en la geometría para denominar a los puntos que se sitúan en la misma recta. Con todo esto en claro, resulta sencillo comprende que son los puntos colineales. Aquellos puntos que pueden unirse por una misma recta, son colineales. Dicho de otra forma: los puntos colineales son aquellos que están unidos por una recta (la recta pasa por todos ellos). Aquel punto que queda afuera de la recta en cuestión, no es colineal al resto.
4) Realiza un análisis del enfoque de Birkhoff: George David Birkhoff (21 de marzo de 1884 – 12 de noviembre de 1944) fue un matemático estadounidense, conocido por el denominado teorema ergódico. Fue uno de los líderes más importantes de la matemática estadounidense en su generación, y durante su apogeo fue considerado por muchos como el matemático americano más brillante.1 Su hogar en Cambridge, Massachusetts, ha sido designado Hito Histórico Nacional.
Nació en Overisel Township, Míchigan, hijo de David Birkhoff y Jane Gertrude Droppers.3 El matemático Garrett Birkhoff (1911 –1996) fue hijo suyo.
Vicepresidente de la Sociedad Matemática Americana, 1919. Presidente de la Sociedad Matemática Americana, 1925 –1926. Editor de las Transacciones de la Sociedad Matemática Americana, 1920 –1924.
5) Enuncia los postulados de la recta, rayos, semi-rayos y segmentos:
Postulados Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación. 1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.
2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas.
3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos.
El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos.
4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.
5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.
6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él.
7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.
También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que está incluida en el plano. 8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella.
Definición Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada una de ellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lo llama origen. Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semirrecta: Semirrecta de origen O que pasa por el punto A Semirrecta de origen O que pasa por el punto B
Características de las semirrectas Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el origen. La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen.
La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta.
Definición Dados dos puntos A y B, se llama segmento a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B se denominan extremos del segmento.
Se observa que: Dos puntos pertenecientes a una misma semirrecta determinan un segmento que no contiene al origen.
Dos puntos pertenecientes a distintas semirrectas determinan un segmento que contiene al origen.
Se verifican las siguientes propiedades:
Igualdad de segmentos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva. Relación de orden de segmentos: forman un conjunto ordenado.
Igualdad de segmentos Carácter reflexivo: todo segmento es igual a sí mismo.
Carácter simétrico: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero.
Carácter transitivo: Si un segmento es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primer segmento es igual al tercero.
Relación de orden Si un segmento es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, el primer segmento es mayor que el tercero.
Si un segmento es mayor que otro y éste es igual a un tercero, el primer segmento es mayor que el tercero.
Si un segmento es igual a otro y éste es mayor que un tercero, el primer segmento es mayor que el tercero.
Postulado de las tres posibilidades Dados dos segmentos, debe verificarse una y sólo una de las siguientes tres posibilidades:
6) Describe los postulados de separación del plano y el espacio.
Postulado de la separación del plano Dada una recta m y un plano que la contiene, los puntos del plano que no están en m forman dos conjuntos tales que:
Cada conjunto del plano es un conjunto convexo. Si un punto R está en uno de los conjuntos y un punto S está en el otro, entonces el segmento RS interseca a la recta m.
Postulado de la separación del espacio Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos denominados semiespacios, tales que:
Los dos conjuntos uno a cada lado del plano son convexos. Si un punto R está en uno de los conjuntos y un punto S está en el otro, entonces el segmento RS interseca al plano en un punto.
a) AB, BC y CD son tres segmentos consecutivos de una misma recta. Determine la longitud de cada uno de ellos sabiendo que AB= 5x-10, BC= 3x+6, CD= 2x+4 y AD=200 cm.
b) d) e) f) g) h) i) j) k)
9x + x = 50
=
X=5 BC=5 AB=9(5)=45 AB-BC=45-5=40 3BC=3(5) =15
c)
l) En la siguiente figura el segmento AB= 9 BC y AC= 50 cm. Determine 1/AB, ABBC y 3BC.
9x + x = 50
=
X=5 BC=5 AB=9(5)=45 AB-BC=45-5=40 3BC=3(5) =15
m) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AB=3BC, CD =4AB, AD = 320. Halla BC. 3x
x
A
4(3x)=12x
B
AD=320 AB+BC+CD=320 3x+x+12x=320 16x 16
320 =
16
X=20 AB=3(20)=60 BC=20 CD=4(60)=240
C
D
n) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC es 2 veces AB, CD es dos veces DE y AE es 12. Calcula BD
X
A
2X
B
2Y
C
Y
D
E
8 2x + 2y = 2(x + y) = 2(4) = 8 X + 2x + 2y + y = 12 3x + 3y = 12 X+y=4
Éxitos!!
