UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE-RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES
EJERCICIOS PROPUESTOS UNIDAD 1 Martin Rangel C.I 24.397.946 SAIA A
1.) Represente gráficamente la región factible acotada por el conjunto de restricciones, obtenga los puntos fronteras que den una solución óptima de la función objetivo. a) Función Objetivo: Z
55 X 45Y
Restricciones: 3 X 2Y 19 2 X Y 11 X Y 7 X
0
Y
0
Solución. El primer paso es representar gráficamente las restricciones del problema. Tenemos entonces
Luego buscamos los vértices del polígono sombreado. Para eso resolvemos los siguientes sistemas de ecuaciones. Primer sistema de ecuaciones.
3+2=19 1 {2+=11 2 3 {2+=11 +=7 4
Segundo sistema de ecuaciones.
Tercer sistema de ecuaciones.
5 {+=7 3+2=19 6
Resolviendo el primer sistema de ecuaciones, despejamos Y de la ecuación (1)
= 19−3 2 2+ 19−3 2 =11 =3 =5
Sustituimos en (2) y tenemos el valor de x
Y de la ecuación anterior obtenemos el valor de y
Ya tenemos el vértice (3,5). Procedemos de manera similar para el segundo sistema de ecuaciones. De la ecuación (3) despejamos y.
= 11−2 +11−2=7 =4
Sustituimos en la ecuación (4) y tenemos el valor de x.
Este valor lo sustituimos en la ecuación anterior y tenemos el valor de y.
=3
Obtenemos el vértice (4,3). Procedemos al tercer y último sistema de ecuaciones. De la misma manera, despejamos y de la ecuación (5).
=7− 3+27− =19 =5 =2
Sustituimos en la ecuación (6)
Y obtenemos el valor de x.
Con esto conseguimos el valor de y
Ya tenemos el último vértice (5,2). Ahora evaluamos los puntos o vértices encontrados en la función objetivo para hallar los máximos y minimos. Para el primer punto (3,5), tenemos.
Para el segundo punto (4,3)
=553 +455 =165+225 =390 =554 +453 =220+135 =355 =555+452 =275+90 =365
Por último, para el punto (5,2)
En conclusión, si queremos maximizar la función tenemos que ir con la coordenada (3,5) o por el contrario, deseamos minimizar la función debemos escoger el punto (4,3).
2.) Represente gráficamente la región factible, acotada por el conjunto de restricciones, obtenga los puntos esquinas que den u na solución factible para alcanzar un mínimo en la función objetivo. Restricciones:
2Y X 5 Y 4 X 25 X Y 5 X
0; Y 0
Función Objetivo: Z
3,5 X 5,2Y
Solucion. Representamos gráficamente las restricciones.
Ahora buscamos los vértices del polígono sombreado. Resolvemos los siguientes sistemas de ecuaciones. Primer sistema de ecuaciones.
{2−=5 +4 =25 +=5 {2−=5
12 3 4
{+=5 =0
5 6
Segundo sistema de ecuaciones.
Tercer sistema de ecuaciones
Cuarto sistema de ecuaciones
{+4=25 =0
7 8
Resolviendo el primer sistema de ecuaciones, despejamos X de la ecuación (1)
= 2−5 +42−5 =25 =5 =5
Sustituimos en (2) y tenemos el valor de y
Y de la ecuación anterior obtenemos el valor de x
Ya tenemos el vértice (5,5). Procedemos de manera similar para el segundo sistema de ecuaciones. De la ecuación (3) despejamos x.
=5−
Sustituimos en la ecuación (4) y tenemos el valor de x.
2− 5− =5 = 103 ≈3.3333 = 53 ≈1.6667
Este valor lo sustituimos en la ecuación anterior y tenemos el valor de x.
este sistema ya tenemos el valor de y, asi que solo buscamos el valor de x.
Obtenemos el vértice ( , ) Procedemos al tercer sistema de ecuaciones. En
=5
En el cuarto y último sistema, también tenemos el valor de y, entonces el valor de x es
= 254 =6.25
Cabe destacar que la forma del polígono es tal debido a que los valores de X y Y no pueden ser negativos. Ahora con los puntos encontrados evaluamos la función objetivo. Para el primer punto (5,5) tenemos
=3.55 +5.25 =17.5+26 =43.5 =3.5(53)+5.2103 = 356 + 523 = 1396 ≈23.1666667
Para el segundo punto ( , )
Para el tercer punto (5,0)
=3.55 +5.20 =17.5+0 =17.5 =3.56.25 +5.20 =17.5+0 =21.875
Y para el cuarto punto (6.25,0)
Por tanto para alcanzar un mínimo en la función objetivo es necesario tomar el punto (5,0) 3.) Determinar el modelo matemático prescriptivo de los siguientes enunciados. La producción mensual de cemento en la planta CEMEX es de 10 toneladas dos empresas del ramo de la construcción E 1 y E2 requieren juntar por lo menos 5 toneladas de cemento al mes. El costo de envío del cemento desde la planta a E 1 es de 500 bs/ton. Y 600 bs/ton. Enviarlo a E2. Minimizar los costos totales del transporte sujeta a las condiciones del problema. Solución. Primero debemos buscar la función objetivo, la cual queremos minimizar. La función objetivo seria.
=500 +600
Esta función, representa el costo requerido para mover las toneladas de cemento. Luego buscamos las restricciones, las cuales serian
++ ≤10 ≥5 ≥ 0; ≥0
Esto se debe a que la planta de cemento solo produce 10 toneladas al mes y las constructoras requieren un mínimo de 5 toneladas. Además las toneladas de cemento no pueden ser negativas. Ahora representamos gráficamente.
Es fácil observar que los vértices del polígono son las intersecciones de las rectas con los ejes de coordenadas. Pon tanto los vértices serian (5,0), (10,0), (0,5) y (0,10). Ahora con estos puntos evaluamos la función objetivo. Para el primer punto (5,0)
=5005 +6000 =2500+0 =2500 =50010+6000 =5000+0 =5000
Para el segundo punto (10,0)
Para el tercer punto (0,5)
Para el cuarto punto (0,10)
=5000 +6005 =0+3000 =3000 =5000 +60010 =0+6000 =6000
Entonces, si se desea minimizar el costo de transporte, la mejor opción es llevar las 5 toneladas de cemento necesarias a la fabrica E 1
