3P,45613768" &* P3&9 : ,*P,*0*"T3 ,*P,*0*"T3768" 768" *" 13TL3; 0er#io 3le/andro 3le/andro 7antillo Luna.
DESARROLLO CONCEPTUAL Las Las aprox aproxim imaci acione oness de Padé Padé son un tipo tipo parti particul cular ar de aprox aproxim imaci ación ón en fracc fraccio iones nes racionales respecto al valor de una función f(x). La idea es que dicha aproximación coincida con el desarrollo en serie de Taylor de la misma función en la medida de lo posible esto quiere decir que este método selecciona los par!metros haciendo cumplir c umplir que la función y las " primeras derivadas sean i#uales en el ori#en$ y adicionalmente que sea una función racional propia$ partiendo desde la ecuación #eneral de las aproximaciones racionales%
&onde el #rado " de una función racional es n ' m y el nmero de par!metros es i#ual a "' Padé hace que% ( k ) ( k ) ) f ( 0 ) R ( 0 ) para k=0,1, 2…N =
la expresión anteriormente descrita quiere decir que%
*sto quiere decir que f(x) + ,(x) ser! nulo y con multiplicidad "' en x-. *sta es la condición principal para el c!lculo de los coeficientes p / y q / a partir de los coeficientes a / que provienen de la 0erie de 1claurin de la misma función$ de aqu2 se obtiene%
>
*sto facilitara que al i#ualar términos del mismo orden sea mucho m!s simple encontrar los coeficientes de la función en s2 para ello primero se deben encontrar los coeficientes q / para posteriormente encontrar los coeficientes p /
La aproximación de Padé tiene me/ores resultados tanto en funciones representadas como series conver#entes como en funciones representadas como no conver#entes se#n la serie de Taylor por este motivo esta aproximación es la m!s utili
APROXIMACIÓN DE PADÉ EN SISTEMAS DINÁMICOS Trasladando la aproximación de Padé como tal a sistemas din!micos y la determinación de su respuesta temporal$ la aproximación de Padé se reduce al a/uste a una función racional propia de la expansión en serie de una sola función trascendental$ la exponencial e=Ts$ donde T es la cantidad de tiempo que se toma el sistema anali? orden). Padé permite representar el retardo como polos y ceros permitiendo considerar sus efectos al anali
B
Figura 1.Error en la aproximación de Padé
Para ilustrar el proceso y consideraciones anteriormente descritas$ se emplear! una expresión de orden tanto en numerador como en denominador$ y un retraso unitario (T-)$ se esco#er!n los coeficientes b$ a y a de modo que el error sea peque@o por lo explicado anteriormente en la #r!fica
Para aproximarlo con Padé se expande e=s y la función racional en series de 1claurin y por el método de coeficientes resolver de la si#uiente manera%
7omo se puede apreciar por la definición de serie$ se pueden tener un nmero infinito de ecuaciones$ sin embar#o$ solo se tienen B par!metros$ as2 que no se hace necesario emplear una cantidad mayor$ Padé se determina cuando son hallados dichos par!metros$ al tratarse de un sistema de ? orden se obtiene lo si#uiente%
G
Figura 2.Aproximación de Padé (1° Orden)
0i suponemos este mismo e/emplo para un sistema de >? orden$ se tendr2an C par!metros o coeficientes diferentes$ que al hallarlos se obtendr2a la aproximación de Padé para este orden de sistema$ el cual es mucho m!s aproximado a lo esperado%
Figura 3.Aproximación de Padé (2° Orden)
7omo se puede apreciar$ al aumentar el orden a la aproximación de Padé$ el resultado adquiere exactitud$ pero también incrementa su comple/idad como se puede apreciar en su expresión #eneral un dato no menor$ al in#resarlo con la función de transferencia de la planta$ la planta incrementar! su orden.
REPRESENTACIÓN DE LA APROXIMACIÓN DE PADÉ EN MATLAB 1atlab para representar las aproximaciones de Padé$ utili comandos de traba/o$ el primer comando directo es la expresión de función de transferencia es decir el comando Dtf el cual al insertar en su tercer par!metro Einputdela!F y en el si#uiente par!metro una cantidad numérica reali
C
Posteriormente$ para apreciar las EnF aproximaciones en forma racional$ se emplea el se#undo comando$ que se llama D pade donde en su primer par!metro recibe la función de transferencia con el respectivo retraso como se reali<ó con el comando anterior$ y en el si#uiente par!metro se coloca el orden de la aproximación de Padé que se desea traba/ar$ como se expresa en la si#uiente fi#ura
Lue#o al aplicar la instrucción D "tepH o respuesta al escalón a las G primeras aproximaciones$ as2 como la función de transferencia retrasada aun no racionalmente$ se puede evidenciar que al incrementar el orden de la aproximación de Padé$ se incrementa su similitud a la función de transferencia sin la aproximación$ pero también al tener un nmero mayor de oscilaciones hace m!s dif2cil su control en comparación%
M
*sto quiere decir que$ si se conoce el tiempo que toma el elemento de orden " en reaccionar$ es posible emular sistemas de orden superior mediante retrasos$ y dichos sistemas comportarse como sistemas de primer o se#undo orden se#n se requiera. ;6;L64I,3A63 JK&in!mica y 7ontrol de Procesos = 3proximación de Padé para el tiempo muerto$ Facultad de #ngenier$a % &ni'er"idad de la epulica$ >M. J*n l2neaK. &isponible en% https%NNOOO.fin#.edu.uyNiqNcursosNdcpNteoricoNQAR"764"Q&*QT,3"0A*,*" 763Q4,&*"*0Q13:4,*0.pdf. JAecha de 3cceso% a#osto M de >MK. J>K
3. S2ctor 1$ "R*S30 3P,45613764"*0 &*L T6*1P4 1R*,T4 P3,3 *0TR&640 &* 74"T,4L$ e'i"ta" &ni'er"idad de *o"ta ica$ >B. J*n l2neaK. 3vailable% http%NNrevistas.ucr.ac.crNindex.phpNin#enieriaNarticleNvieOAileNMNM. JAecha de 3cceso% U de a#osto de >MK.
JBK
V. 4#ata$ 0. &ormido 7anto$ ,. &ormido 7anto and 0. &ormido ;encomo$ 6n#enier2a de control moderna. 1adrid% Prentice Wall$ >B.
