TALLER NUMERO DOS DE ESTADISTICA SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
JUAN CARLOS PINTO SALAMANCA CODIGO: 201421354 EDGAR LEONARDO SILVA DOMINGUEZ CODIGO: 201421397 VICTOR MAUEL SIERRA RODRIGUEZ CODIGO: 2014
ESTADISTICA II
PRESENTADO A: JAIME ALBERTO GARCIA
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL FACULTAD SEDE SOGAMOSO BOYACA 2017
Ejercicios de la sección 5-5.
[ 1 .5 ,5 .5 ] .
5-28 Suponga que X tiene una distribución continua uniforme en el intervalo
<
a) ¿Determine la media, la varianza y la desviación estándar de X? b) ¿Cuál es P (X 2,5)
SOLUCION f ( x)
1
b
1 a
1
5.5 1.5
4
0.25
.30 .20 .10
12
3
4
5
6
a) x
2
5.5 1.5
x
2
7 2
(5.5 1.5) 2 12 4
x
b)
P( X
3
3.5
4 3
1.33
1.1547
2.5)
2.5
1.5
1 4
dx
x
2.5
4 1.5
2.5 4
1.5 4
0.25 25%
5-29. Suponga que X tiene una distribución continua uniforme en el intervalo
< <
a) ¿Determine la media, la varianza y la desviación estándar de X? b) Determine el valor de x tal que P ( - x X x) = 0,90 SOLUCION
0,05
0,45 0,45
0,05
-1
f ( x)
1
x
a)
2
x
b)
1
b
x
1 a
1 ( 1)
11 2
12
6
2
0.5
0
(1 (1)) 2
2
1
0.577
p(-x< X
4 12
2 6
0.333
[1,1 ].
r
1
1
2
dx
x
r
1
r
2
2 1
2
0.05
r r 0.05 0.5 0.45 2 2 r 0.45(2) 0.90 x
1
x
2
p ( x X x)
x
2
x
dx x
x
2
x 2
dx 0.90
0.90
x 0.90
<<
5-30 La distribución para el peso neto en libras de un herbecida químico empacado es uniforme para 49,75 x 50.25 libras. a) Determine la media, la varianza y la desviación estándar del peso de los paquetes b) Determine la función de distribución acumulada de del peso de los paquetes c) Determine P (X 50,1) SOLUCION a) f(x) = 2 para 49.75 < x < 50.25 E(x) = (50.25 + 49.75) / 2 = 50 V(x) = (50.25 - 49.75) ^2 / 12 = 0.0208 y x = 0.144 b) F(x) = para 49.75 < x < 50.25
<
F (x) =
∫. 2 299.0,1, 5, 49.7<49. 550.≤2575≤≤50.25
,
c) P(x > 50.1) = F (50.1) = 2(50.1) – 99.5 = 0.7 5-31 El grosor del reborde de un componente aeronáutico tiene una distribución uniforme entre 0,95 y 1,05 milímetros. a) b) c) d)
Determine la función de distribución acumulada del grosor de los rebordes. Determine la proporción de los rebordes que exceden 1,02 milímetros ¿Qué grosor exceden 90% de los rebordes? Determine la media y la varianza del grosor de los rebordes.
a.
Sea S el espacio muestral: s={0.95,0.96,0.97,0.98,0.99,1,1.01,1.02,1.03,1.04,1.05} Donde por ser una distribución uniforme cada uno de los elementos de este espacio tiene un probabilidad de 1/11=0.091 Fx(x)=x1px1+x2px2+x3px3+x4px4+x5px5+x6px6+x7px7+x8px8+x9px9+x10px10 Fx(x)=(0.95 0.091)+(0.96 0.091)+(0.97 0.091)+(0.98 0.091)+(0.99 0.091)+(1 0.0 91)+(1.01 0.091)+(1.02 0.091)+(1.03 0.091)+(1.04 0.091)+(1.05 0.091) Fx(x)=(0.086)+(0.087)+(0.088)+(0.089)+(0.090)+(0.091)+(0.092)+(0.093)+(0.094)+ (0.095)+(0.095)=1 b.
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗∗
∗
P(x)=1/10=0.1 p(x>1.02)=0.01+0.01+0.01=0.3 c.
El 90% corresponden a 9 casillas, por tanto: p(x>90)=0.95+0.1=0.96 d. •
La media de la distribución uniforme está dada por: μ=∑k1xik μ=0.95+0.96+0.97+0.98+0.99+1+1.01+1.02+1.03+1.04+1.0511 μ=1
•
La varianza de la distribución uniforme está dada por: σ2=∑k1(xi−μ)2k 2=(0.95−1)+(0.96−1)+(0.97−1)+(0.98−1)+(0.99−1)+(1−1)+(1.01−1)+(1.02−1)+ (1.03−1)+(1.04−1)+(1.05−1)11 2=(−0.05)+(−0.04)+(−0.03)+(−0.02)+(−0.01)+(0)+(0.01)+(0.02)+(0.03)+(0.04)+ (0.05)11 σ2=011=0
5-32. El espesor del recubrimiento foto protector aplicado a las obleas en la fábrica de semiconductores en un sitio particular de la oblea tiene una distribución uniforme entre 0,2050 y 0,2150 micrones. a) Determine la función de distribución acumulada del espesor del recubrimiento foto protector. b) Determine la proporción de obleas cuyo espesor del recubrimiento foto protector excede 0,2125 micrones. c) ¿Qué espesor exceden 10% de las obleas? d) Determine la media y la varianza del espesor del recubrimiento a) La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua uniforme es: ∫xa1/(b−a)du =x/(b−a)−a/(b−a) al simplificar queda =(x−a)/(b−a) entonces para el problema es : x0.2050(1/(0.2150 ∫=x/(0.2150 0.2050/(0.2150−0.2050) −0.2050− )−0.2050))du =(x/0.0100)−(20.5) =(x−0.2050)/(0.0100)
⎧⎩⎨
Por lo tanto la función de distribución acumulada completa es: F(x)= 0(x−0.2050)/(0.0100)1si x<0.2050si 0.2050≤x<0.2150si 0.2150≤x b) P(X>0.2125)=1−P(X≤0.2125) P(X>0.2125)=1−F(0.2125) Utilizando la FDA hallada en el punto a) tenemos: P(X>0.2125)=1−F(0.2125) P(X>0.2125)=1−((0.2125−0.2050)/(0.0100)) P(X>0.2125)=0.250 c) si P ( X < x) = 0.1 entonces 1 – F(X) = 0.1 y F(X) = 0.9 para eso 100x – 20.50 = 0.9 entonces x = 0.214
d) Su media está dada por μX=1/2(b+a) reemplazando valores μX=1/2(0.2150+0.2050) μX=0.2100 Su varianza está dada por var(X)=1/12(b −a)2 −0.2050)2 var(X)=1/12(0.2150 var(X)=8.333e−6
< <
5-33. La función de densidad de probabilidad del tiempo necesario para terminar una operación de ensamblaje es f(x) = 0,1 para 30 X 40 segundos. a) Determine la porción de unidades ensambladas cuya terminación necesita más de 35 segundos. b) ¿Qué tiempo excedido por 90% de las unidades ensambladas? c) Determine la media y la varianza del tiempo de ensamble. SOLUCION a) P (x < 35) =
∫ 0.1
= 0.1 x
|
= 0.5
b)¿Qué tiempo es excedido por 90% de las unidades ensambladas? P(X>x)=0,90seg P(X>x)=∫40x0,1dx=0,1(40−x)=0,90 de donde se deduce que: x=31 segundos Tiempo excedido = 31 segundos c) Determine la media y la varianza del tiempo de ensamblaje. μ=E[x]=a+b2=E[x]=30+402=E[x]=35seg VARIANZA σ2=v[x]=(b−a)212=(40−30)212=8.33seg2
EJERCICIOS DE LA SECCION 5.6 5.34 Use la tabla II del apéndice para determinar las siguientes probabilidades de la variable aleatoria normal estándar Z. a) P (Z < 1,32) = 0,90685 b) P (Z < 3,0) = 0,99865 c) P (Z > 1,45) tenemos que 1 – 0,92647 = 0,07353 d) P (Z > -2,15) = P (Z < 2,15) = 0,98422 e) P ( -2,34 < Z < 1,76) = P (Z < 1,76) - P (Z > 2,34) = 0,95116 5.35 Use la tabla II del apéndice para determinar las siguientes probabilidades de la variable aleatoria normal estándar Z. a) P (-1 < Z < 1) P (Z < 1) - P (Z > 1) 0,84134 – (1- 0,84134) = 0,68268 b) P (-2 < Z < 2) P (Z < 2) – [1 - P (Z < 2)] = 0,9545 c) P (-3 < Z < 3) P (Z < 3) – [1 - P (Z < 3)] = 0,9973 d) P (Z>3) 1 – P (Z < 3) = 0,00135 e) P (0 < Z < 1) P (Z < 1) – P (Z < 0) 0,84134 – 0,5 = 0,34134
5.36 Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Use la tabla II del apéndice para determinar el valor de z que resuelve cada una de las expresiones siguientes: a) P (Z < z) = 0,9 valor de z = 1,28 b) P (Z
z) = 0,1 si P (Z > z) = 0,1 entonces P (Z > z) = 0,90 por lo tanto z = 1,28 d) P (Z > z) = 0,9 si P (Z > z) = 0,9 entonces P (Z > z) = 0,10 por tanto z = -1,28 e) P (-1,24 < Z < z) = 0,8 tenemos que: P (Z < z) - P (Z < -1,24) P (Z < z) – 0,10749 Entonces P (Z < z) = 0,8 + 0,10749 = 0,90749 por lo tanto z = 1,33 5.37 Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Use la tabla II del apéndice siguientes:para determinar el valor de z que resuelve cada una de las expresiones Como en las tablas no se encuentra el dato exacto debemos realizar una interpolación la cual se halla con la siguiente formula:
= ,65 1,964954 0,950,9495 = 1,64 0,915050,
a) P (-z < Z < z) = 0,95
Luego z = 1,645
b) P (-z < Z
Luego z = 2,327
,33 2,938982 0,990,9898 = 2,32 0,929010,
c) P (-z < Z > z) = 0,68
Luego z = 0,463
,47 0,647726 0,680,6772 = 0,46 0,608680,
d) P (-z < Z > z) = 0,9973 de acuerdo a la tabla el valor de z = 2,78 5.38 Suponga que X tiene una distribución normal con una media de 10 y una desviación estándar de 2. Determine lo siguiente: a) P (X < 13) P (Z < (13 - 10) /2) P (Z < 1,5) = 0,9332 b) P (X < 9) = 1 - P (X < 9) = 1 - P (Z < (9 - 10) /2) = 1 – P (Z< 0,5) = 1 – [1 – P (Z< 0,5)] = P (Z < 0,5) = 0,6915 c) P (6 < X < 14) =
− << −
= P (-2 < Z < 2)
=P (Z < 2) – P (Z < -2) = 0,9777 – 0,0228 = 0,9549 d) P (2 < X < 4) =
− << −
= P (-4 < Z < -3)
=P (Z < -3) – P (Z < -4) = 0,00135 e) P (-2 < X < 8) =
− << −−
=P (Z < -1) – P (Z < -6) = 0,15866
5.39 Suponga que X tiene una distribución normal con una media de 10 y una desviación estándar de 2. Determine el valor de x que resuelve cada una de las expresiones siguientes: a) P (X > x) = 0,5 =
> −−
Entonces
= 0,5 = 0 por tanto x = 10
− > −< − − <
b) P (X > x) = 0,95 =
=1-
= 0,95
Entonces =
= 0.05 y
= -1,64 por consiguiente x = 6,72
c) P (x< X > 10) = 0,2 =
− <<0
− <<<−− − −
= P (Z < 0) – = 0,5 -
= 0,2
Entonces
= 0,3 y
= - 0,52 por tanto x = 8,96
d) P (-x < X < 10 < x) = 0,95 P
< Z < ) = 0,95
Entonces x/2 = 1,96 y x = 3,92 e) P (-x < X < 10 < x) = 0,99 P
−
< Z < ) = 0,99
Entonces x/2 = 2,58 y x = 5,16 5.40 Suponga que X tiene una distribución normal con una media de 5 y una desviación estándar de 4. Determine lo siguiente: a) P (X < 11) P
(< −)
b) P (X > 0)
= P (Z < 1,5) = 00,9332
P (Z > (-5/4)) = P (Z > -1,25) = 1- P (Z < 1,25) = 0,8944 c) P (3 < X < 7) P
−
−
)
= P (-0,5 < Z < 0,5) = P (Z < 0,5) - P (Z < -0,5) = 0,383
d) P (-2 < X < 9) P
−−
−
)
= P (-1,75 < Z < 1) = P (Z < 1) - P (Z < -1,75) = 0,8012 e) P (2 < X < 8) = P (-0,75 < Z < 0,75) = P (Z < 0,75) - P (Z < -0,75) = 0,5468 5.41 Suponga que X tiene una distribución normal con una media de 5 y una desviación estándar de 4. Determine el valor de x que resuelve cada una de las expresiones siguientes: a) P (X > x) = 0,5 =
> − > −− − <<1
= 0,5 entonces x = 5
b) P (X > x) = 0,95 =
Luego
= 0,95 entonces =
= -1,64 y x = -1,56
c) P (x< X > 9) = 0,2 =
= 0,2
< −
= 0,05
Entonces P (Z < 1) -
< −
< −
= 0,2 donde P (Z < 1) = 0,84134
= 0,64134 por consiguiente
−
= 0,36 y x = 0,64
d) P (3< X < x) = 0,95
− − − < −
P
) = 0,95 – P (Z < -0,5) = 0,95 y
Entonces
– 0,30854 = 0,95 por consecuencia
< −
= 1,20854
Como una solución o puede ser mayor que 1 no hay solución para x. e) P (-x < X < x) = 0,99 =P =P
−−−
+−
)
< Z < ) = 0,99
Entonces x/4 = 2,58 y x = 11,32 5.42 La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede modelarse mediante una distribución normal con una media de 6000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado.
−
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra sea menor que 6250 kg/ ? P (X < 6250) =
<
=P (Z < 2,5) = 0,9938
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra este entre 5800 y 5900 kg/ ? P (5800 < X < 5900) = P (-2 < Z < -1) = P (Z < -1) – P (Z < -2) = 0,13591
c) ¿Cuál es la resistencia a la compresión que excede 95% de las muestras? =
<−− <− < −
= 0,95
=1=
= 0,95
= 0.05
Entonces
= -1,64 y x = 5836
5.43 La resistencia a la tensión del papel se modela mediante una distribución normal con una media de 35 libras por pulgada cuadrada y una desviación estándar de 2 libras por pulgada cuadrada.
− <
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la tensión de una muestra sea de 40 lb/ ? P (X < 40) =
entonces
= P (Z < 2,5) = 0,9938
−
= 2,5
b) Si las especificaciones requieren que la resistencia a la tensión exceda 30 lb/ , ¿que proporción de las muestras se desecha? P (X < 30) =
< −
= P (Z < -2,5) = 0.0062
entonces
−
= -2,5
5.44 Se supone que la anchura de las rayas espectrales de una herramienta usada para fabricar semiconductores tiene una distribución normal con una media de 0,5 micrones (milésimas de milímetro) y una desviación estándar de 0,05 micrones (milésimas de milímetro).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la anchura de una raya espectral sea mayor que 0,62 micrones (milésimas de milímetro)? P (X > 0,62) = = P (Z > 2,4)
< ,,−,
entonces
,,−,
= 2,4
= 1 - P (Z > 2,4) = 0,0082 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la anchura de una raya espectral este entre 0,47 y 0,63 micrones (milésimas de milímetro)? P (0,47 < X > 0,63) = P (-0,6 < Z < 2,6) = P (Z < 2,6) - P (Z < -0,6) = 0,9953 - 0,2743 = 0,721 c) ¿Debajo de que valor esta el 90% de las anchuras de las rayas espectrales? P (X < x) =
= 0,90 entonces
< −,,
= 1,28 y x = 0,564
−,,
5.45 El volumen de llenado de una maquina automatizada usada para llenar latas de una bebida carbonatada tiene una distribución normal con una media de 12,4 onzas liquidas y una desviación estándar de 0,1 onzas liquidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un volumen de llenado sea menor que 12 onzas liquidas? P (X < 12) =
< −,,
= P (Z < -4) ≈ 0
b) Si se desechan todas las latas con menos de 12,1 onzas o con más de 12,6 onzas ¿Qué proporción de las latas se desecha? P (X < 12,1) =
,−, < ,,,−,
= P (Z < -3) = 0,0013 y P (X > 12,6) =
= P (Z > 2) = 0,02275 entonces la proporción de latas que se desechan es 0,0013 + 0,02275 = 0,0241
c) Determine las especificaciones volumétricas alrededor de la media que incluyen al 99% de las latas. P (12,4 – x < X < 12,4 + x) = 0,99 =P
−,
, < ,
Entonces
) = 0,99 = 0,995 y x = 0,1(2,58) = 0,258
Los limites son (12,142 y 12,658) 5.46 En el ejercicio anterior suponga que la media de la operación de llenado puede agotarse con facilidad, pero la desviación estándar se mantiene en 0,1 onzas. a) ¿En qué valor deberá fijarse la media para que 99,9% de las latas excedan 12 onzas? P (X > 12) = 0,999 entonces Por tanto
−,
µ
< −,
= 0,999
= -3,09 y = 12,309
b) ¿En qué valor deberá fijarse la media ara que 99,9% de las latas exceda 12 onzas si la desviación estándar puede reducirse a 0,05 onzas liquidas? P (X > 12) = 0,999 entonces Por tanto
− ,
µ
< −,
= 0,999
= -3,09 y = 12,1545
5.47 El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución normal con una media de 0,4 segundos y una desviación estándar de 0,05 segundos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una reacción requiera más de 0,5 segundos? P (X > 0,5) = = P (Z > 2)
< ,,−,
= 1 – 0,9772 = 0,0228
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una reacción requiera entre 0,4 y 0,5 segundos? P (0,4 < X < 0,5) = P (0 < Z < 2) = P (Z < 2) – P (Z < 0) = 0,4772 c) ¿Cuál es el tiempo de reacción que se excede 90% de las veces? P (X < x) = 0,90 P
< −,,−,
Entonces
= 0,90
,
= -1,28 y x = 0,336
5.48 La longitud de un estuche de plástico moldeado por inyección para mantener cinta magnética tiene una distribución normal con una longitud media de 90,2 milímetros y una desviación estándar de 0,1 milímetros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de un estuche sea mayor que 90,3 milímetros o menor que 89,7 milímetros? P (90,3 < X) = P = P (1 < Z) = P (Z > 1)
,,−, <
= 1 - P (Z > 1) =1 – 0,8413 = 0,1587 P (X < 89,7) = P
< ,,−,
= P (Z < -5) ≈ 0 por lo tanto la respuesta es 0,1587
b) ¿En qué valor deberá fijarse la media del proceso para obtener el mayor número de estuches con longitud entre 89,7 y 90,3 milímetros?
µ
La media del proceso deberá fijarse en el centro de las especificaciones. Para este caso sería = 90,0
c) Si los estuches que no midan entre 89,7 y 90.3 milímetros se desechan, ¿cuál es el resultado para la media del proceso que se seleccionó en el inciso b? = P (89,7 < X < 90,3) = P = P (-3 < Z < 3) = 0,9974
,,−
,,−
)
5-49. En el ejercicio anterior, suponga que el centro del proceso se establece de tal forma que la media es 90 milímetros y la desviación estándar es 0,1 milímetros. Suponga que se miden 10 estuches y se supone que son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 estuches midan entre 89,7 y 90,3 milímetros? b) ¿Cuál es el número esperado de los 10 estuches que miden entre 89,7 y 90,3 milímetros? 5.50. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes, tiene una distribución normal con una media de 100 horas y una desviación estándar de 20 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de incapacidad del mes próximo este entre 50 y 80 horas? b) ¿Cuánto tiempo deberá proyectarse para incapacidades si esta cantidad deberá ser excedida con una probabilidad de solo 10%? SOLUCION a. Nos indican que:
μ=100horas σ=20horas
Así tenemos que: P(50
b.
Tenemos que encontrar un valor para z, el cual:
P(z)=0.1525+0.10 P(z)=0.2525 Según la tabla de valores de la función de distribución normal estándar: z=−0.67 Con el valor de z,así: podemos encontrar el valor de x despejándola de la fórmula de estandarización, z=(z−μ/σ) x=(z)(σ)+μ x=(−0.67)(20)+100 x=(−13.4)+100 x=86.6horas 5-51. La vida de un láser de semiconductores con una alimentación de energía constante tiene una distribución normal con una media de 7000 horas y una desviación estándar de 600 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un láser falle antes de 5000 horas? b) ¿Cuál es la vida en horas que exceden el 95% del láser? c) Si se usan tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sigan funcionando después de 7000 horas? SOLUCION a)
Operamos:
Despejamos: P (Z < .3.33) = 1 - [0.5 + Φ (3.33)] = 0.5 – Φ (3.33) Buscamos en las tablas de la Normal expuestas en este blog, para dar como resultado final: P (Z < .3.33) = 0.5 – Φ (3.33) = 0.5 - 0.4996 = 0.0004
b) Tenemos: P (X >. x) = 0.95 Operamos: 1 – P (X ≤ x) = 0.95 Despejamos: P (X ≤ x) = 1 - 0.95 = 0.05 = 0.5 +
(z)
Volvemos a despejar: (z) = 0.05- 0.5 = -0.45
Nos da un valor negativo, esto indica que el valor de z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss. Las tablas que dispone Aquer on te , no ofrecen los valores negativos de la curva, pero no hay problema ya que son simétricos, por lo que buscamos en la tabla el valor 0.45 que de un z válido. Es este caso, no está el valor exacto, por lo que realizamos una interpolación lineal: ..1.64.............Z..........1.65 0.4495........0.45.....0.4505 De donde: 0.4495 - 0.4505.-> 1.64 - 1.65 0.4495 - 0.45..-> 1.64 - Z Calculamos:
Teniendo en cuenta que z se encuentra en la parte izquierda de la campana de Gauss, entonces: z = -1.645. Por lo tanto, la duración del láser semiconductor de potencia constante será de:
Despejamos x y obtenemos la solución a este problema: x = 6013 horas. 5.52. El diámetro de los puntos producidos por una impresora matricial tiene una distribución normal con un diámetro promedio de 0.002 pulgadas y una desviación estándar de 0.0004 pulgadas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un punto exceda 0,0026 pulgadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un punto mida entre 0,0014 y 0,0026 pulgadas? c) ¿Qué desviación estándar de los diámetros se necesita para que la probabilidad del inciso b) sea 0,995? SOLUCION μ=0,002 σ=0,0004
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un punto exceda 0,0026 pulgadas? Z=(x−μ)(σ) Z=(0.0026−0.002)(0.0004)=1.5 P(X>0.0026)=P(Z>1.5)=1−P(Z≤1.5) P(X>0.0026)=1−0.9332 P(X>0.0026)=0.0669
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un punto mida entre 0,0014 y 0,0026 pulgadas? P(0.0014
C)¿Que desviación estándar de los diámetros se necesita para que la probabilidad del inciso b) sea 0,995? P(0.0014<0.0026)=0.995P(0.0014<0.0026)=P(0,0014−0,002σ<0,0026−0,002σ)=P( −0.0006σ<0.0006σ) por lo tanto P (Z<−0,0006σ)=0.9975
En consecuencia 2,81=(0,0006)(σ) 2,81σ=0,0006 σ=0,000214
5-53. El peso de un zapato especializado para correr tiene una distribución normal con una media de 12 y una desviación estándar de 0,5 onza. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un zapato pese más de 13 onzas? b) ¿Cuál debe ser la desviación estándar del peso para que el fabricante anuncie que 99,9% de sus zapatos pesan menos de 13 onzas? SOLUCION
∼
a). x N(12,0.5) z=(x−12)/0.5 N(0.1) P(x>13)=P(z>(13−12)/0.5)=P(z>2)
∼
En la tabla de distribución normal: P(z≤2)=0.9772 Por lo tanto: P(z>2)=1−0.9772=0.0228 La probabilidad de que un zapato pese más de 13 onzas es de 0.0228(2.28%) b). P(z≤(13−12)/σ)=0.999
En la tabla el valor de z es: 3.1 3.1=(13−12)/σ σ=(13−12)/3.1=1/3.1 σ=0.32258065 Para que el fabricante pueda anunciar que el 99.9% de sus zapatos pesan menos de 13 onzas, la desviación estándar debe ser 0.32258065
EJERCICIOS DE LA SECCION 5-8 5-58. Suponga que X es una variable aleatoria binomial con n=200 y p=0,4. a) Aproxime la probabilidad de que x sea menos o igual que 70. b) Aproxime la probabilidad de que X sea mayor que 70 y menor que 90. SOLUCION a) La media: E(x)=μ=pn=(0,4)(200)=80 La varianza: σ2=pn(1−p)=(0,4)(200)(1−0,4)=48
La desviación: σ=V(x)−−−−√=48−−√ Z=x−μσ
≅
P(X≤70) P(Z≤70−8048√)=P(Z≤1.44)=0,925066 Esta probabilidad se obtuvo introduciendo el valor de Z en la tabla de DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR ACUMULADA.
≅≅
b) P(X≤70) P(Z≤70−8048√)=P(Z≤1.44)=0,925066 (70
5-59. Suponga que X es una variable aleatoria binomial con n=100 y p=0.1. a) Calcule la probabilidad exacta de que X sea menor que cuatro. b) Aproxime la probabilidad de que X sea menor que 4 y compare con el inciso a). c) Aproxime la probabilidad de que 8
Calcule la probabilidad exacta de que X sea menor que cuatro.
∗ ∗
P(X<4) =(100xi) (0.1)xi (1−0.1)100−xi Podemos utilizar la ayuda en Excel utilizando el comando = Distr.Binom (x,n,p,verdadero) P(X<4) = 0.0078
•
Aproxime la probabilidad de que X sea menor que cuatro y compare con el primer inciso. P(X<4) =P(X−103<3−103) P(X<4) =P(Z<−2.33) La respuesta debemos mirarla en las tablas obteniendo P(X<4)= 0.023 Al comparar con el primer inciso obtenemos que los resultados son diferentes pero son muy parecidos.
•
Aproxime la probabilidad que 8
5-60. En la fabricación de chips semiconductores se producen 2% de chips defectuosos. Suponga que los chips son independientes y que un lote contiene 1000 chip. a) Aproxime la probabilidad de que más de 25 chips estén defectuosos. b) Aproxime la probabilidad de que entre 20 y 30 chips estén defectuosos. SOLUCION B (x;n,p)≈N(x;μ = np,σ = np(1−p)) a)
p=0.02,n=1000P(X>25) Empleando la aproximación de la variable aleatoria estándar Z para una variable aleatoria binomial X, cuya fórmula es: Z = X – np ×(1−0)√Si{np>5n×(1−p)>5 Por lo tanto: P(X>25)=P(X−2019,6√>25−2019,6√)=P(Z>1,129) Ya que: np=1000×0.02=20>5n(1−p)=1000(0.98)=980>5 Lo cual por simetría es lo mismo que: P(Z<−1,129) = 0.1294 b)
P(20
5-62. Un producto electrónico de oficina contiene 200 componentes electrónicos. Suponga que la probabilidad de que cada uno de los componentes opere sin falla durante la vida útil del producto es 0.999, y suponga que los componentes fallan independientemente. Aproxime la probabilidad de que 5 o más de los 200 componentes srcinales fallen durante la vida útil del producto. SOLUCION Aproximación de la variable aleatoria estándar Z para una variable aleatoria binomial Z=X −np/ X: √np×(1−p) Si {np > 5 y n × (1−p) > 5 n=200 p(fallen) = 1- 0.999=0.001
∗
np=200 0.001=0.2 < 5
∗
n(1−p) =200 (1−0.001) =199.8>5 P(X>5) =5−0.20.1998√=10.73
5-63. Suponga que el número de partículas de asbesto en una muestra de un centímetro cuadrado de polco es una variable aleatoria de Poisson con una media de 1000. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 centímetros cuadrados de polvo contengan más de 10000 partículas? SOLUCION Nos indican que: E(X)=1000partes de asbestocm2 polvo
Pero sabemos que la media de una variable aleatoria de Poisson está dada por: E(X)=λ De esta manera: λ=1000partes de asbesto / cm2 polvo Luego afirmamos que: P(X>10000)=1−P(x≤9999) En este punto podemos hacer una aproximación normal a la distribución de Poisson que está dada por: Z=(X−λλ√)
FPoisson(x;λ) ≈ Fnormal(x;μ=λ,σ2=λ) Ahora: P(X>10000)=1−P(x≤9999) P(X>10000)=1−P(z≤(9999−1000010000√)) P(X>10000)=1−0.4960 P(X>10000)=0.504 5-64. Corrección de continuidad. La aproximación normal de una probabilidad binomial en ocasiones se modifica con un valor de corrección 0.5 que mejora la aproximación. Suponga que X es binomial con n=50 y p=0.1. Como X es una variable aleatoria, P(X≤2) = P(X≤2.5). Sin embargo, la aproximación normal de P(X≤2) puede mejorarse aplicando la aproximación a P(X≤2.5) a) Aproxime P(X≤2) calculando el valor z correspondiente a x=2.5. b) Aproxime P(X≤2) calculando el valor z correspondiente a x=2. c) Compare los resultados de los incisos a) y b) con el valor exacto de P(X≤2) para evaluar la efectividad de la corrección de continuidad. d) Use la corrección de continuidad para aproximar P(X<10) SOLUCION
≅
a) P(X≤2)=P(X≤2.5) P(Z≤2.5−54.5√)=P(Z≤−1.18)=1−P(X≤−1.18)=1−0.881=0.119
≅
b) P(X≤2)=P(X≤2) P(Z≤2−2.54.5√)=P(Z≤−0.82)=1−P(X≤0.82)=1−0.794=0.206 c) P(X≤2)=(500)0.100.950+(501)0.110.949+(502)0.120.948=0.118 d) P(X<10)=P(X≤9.5) P(Z≤9.5−54.5√)=P(Z≤2.12)=0.983
≅
5-65. Corrección de continuidad. Suponga que X es binomial con n=50 y p=0.1. Como X es una variable aleatoria discreta, P(X≥2)=P(x≥1.5). Sin embargo, la aproximación normal de P(X≥2) puede mejorarse aplicando la aproximación a P(X≥1.5). La corrección de continuidad de 0.5 se suma o se resta. Una regla fácil de recordar es que la corrección de continuidad siempre se aplica para hacer más grande la probabilidad normal de aproximación. a) Aproxime P(X≥2) calculando el valor z correspondiente a 1.5 b) Aproxime P(X≥2) calculando el valor z correspondiente a 2 c) Compare los resultados de los incisos a) y b) con el valor exacto de P(X≥2) para evaluar la efectividad de la corrección de continuidad. d) Use la corrección de continuidad para aproximar P(X>6). SOLUCION a) Aproxime p(X>=2,0) calculando el valor z correspondiente a 1,5 μ=np=[(50)(0,1)]=5 σ=√ (50)(0,1)(0,9) =2,1213 Z=(x−μ)(σ) Z=(1,5−5)(2,1213)=−1,649 Entonces tenemos: P(X>2.0)=P(X>1.5)=1 ≤1.5)=1 −P(Z≤−1.649) P(X>2.0)=P(X>1.5)=1− [1−P(Z −P(X ≤1.649)] P(X>2.0)=1−[1−0.9505] P(X>2.0)=1−0.045 P(X>2.0)=0.9505 b)Aproxime p(X>=2,0) calculando el valor z correspondiente a 2,0 P(X≥2,0)=1−P(X≤2)=1−P(z≤−1.4142) P(X≥2.0)=1−[1−P(Z≤1.4142)] P(X≥2.0)=1−[1−0.9207] P(X≥2.0)=1−0.0793 P(X≥2.0)=0.9207 c) Use la corrección de continuidad para aproximar p(X>6) P(X>6)=1−P(X≤6) P(X>6)==1−P(Z≤0) P(X>6)=1−0.5 P(X>6)=0.5
5-66. Corrección de continuidad. Suponga que X es binomial con n=50 y p=0.1. Como X es una variable aleatoria discreta, P(2≤X≤5)= P(1.5≤X≤5.5). Sin emb argo, la aproximación normal de P(2≤X≤5) puede mejorarse aplicando la aproximación a P(1.5≤X≤5.5). a) Aproxime P(2≤X≤5) calculando el valor z correspondiente a 1.5 y 5.5. b) Aproxime P(2≤X≤5) calculando el valor z correspondiente a 2 y 5. SOLUCION a).
n=50 p=0.1 μ=np=5 σ=√ (np(1−p)) =2.1213 P(X≤1.5)=P(z≤(1.5−5)/σ)=P(z≤−1.65) En la tabla de distribución normal: P(z≤−1.65)=0.0495 P(X≤5.5)=P(z≤(5.5−5)/σ)=P(z≤0.24) En la tabla de distribución normal: P(z ≤0.24)=0.5948 P(1.5 ≤X≤5.5)=0.5948−0.0495=0.5453 b).
P(X≤2)=P(z≤(2−5)/σ)=P(z≤−1.41) En la tabla de distribución normal: P(z≤−1.41)=0.0793 P(X≤5)=P(z≤(5−5)/σ)=P(z≤0.0) En la tabla de distribución normal: P(z≤0.0)=0.5000 P(2≤X≤5)=0.5000−0.0793=0.4207
5-67. Corrección de continuidad. Suponga que X es binomial con n=50 y p=0.1. Como X es una variable aleatoria discreta, P(X=10)=P(10≤X≤10). Usando los resultados para las correcciones de continuidad, puede aproximarse P(10≤X≤10) aplicando la estandarización a normal P(9.5≤X≤10.5). a) Aproxime P(X=10) calculando el valor z correspondiente a 9.5 y 10.5. b) Aproxime P(X=5). SOLUCION n=50 p=0.1 μ=np=5 σ=(np(1−p))−−−−−−−−−√=2.12 a)P(X≥9.5)=P(X−52.12≥9.5−52.12)=P(z≥2.12)
de la tabla P(z≥2.12)=0.983
ahora P(X≤10.5)=P(X−52.12≤10.5−52.12)=P(z≤2.59) de la tabla P(z≤2.59)=0.9952 P(9.5≤X≤10.5)=0.9952−0.983=0.0122
b) P(X≥4.5)=P(X−52.12≥4.5−52.12)=P(z≥−0.236) de la tabla P(z≥−0.236)=0.409
ahora P(X≤5.5)=P(X−52.12≤5.5−52.12)=P(z≤0.2358) de la tabla P(z≤0.2358)=0.590 P(9.5≤X≤10.5)=0.590−0.409=0.181
5-68. Corrección de continuidad. En la fabricación de chips semiconductores se producen 2% de chips defectuosos. Suponga que los chips son independientes y que un lote contiene 1000 chips. a) Use la corrección de continuidad para aproximar la probabilidad de que entre 20 y 30 chips del lote estén defectuosos. b) Use la corrección de continuidad para aproximar la probabilidad de que exactamente 20 chips estén defectuosos. SOLUCION Tenemos que: n=1000p=0,02np=201−p=0,98 Z=X−np / √np(1−p) E(x)=np=(1000) (0,02)=20 V(x)=np(1−p)=(1000)(0,02)(1−0,02)=19,6 a)
P (20
≅
P(X=20)=P(19,5≤X≤20,5) P (20,5 – 20 / √19,6 ≤ Z ≤ 29,5 – 20 / √19,6) P (−0,113 ≤ Z ≤ 0,113) = 0,545 − (1 − 0,545) = 0,09 c) El chips con unaa probabilidad máxima ser defectuosos es X= quenúmero en estedecaso equivale la media el cual es el de intervalo mayor donde se 20. centra la distribución normal. E(x)=np=(1000) (0,02)=20=(μ)
DISTRIBUCION EXPONENCIAL EJERCICIOS DE LA SECCION 5-9 5-69. Suponga que X tiene una distribución exponencial con siguiente:
=2. Determine lo
a) P(X≤0) =
− ∫∫ 22−−=0= = −−||=1=− =0.− =0.01838647 ∫ 2−= − | =− − =0.1170 ∫ 2−= − | =1 − =0.05 =0.0256
b) P(X≥2) = c) P(X≤1) = d) P(1
5-70. Suponga que X tiene una distribución exponencial con media igual a 10. Determine lo siguiente: E(X)=10, entonces =0.1
−.| =− =0.3679 ∫∫ 0.0.11−,−,= = −.| =− =0.1353 ∫ 0.1−,= −.| =− =0.0498 ∫ 0.1−,= −.| =1 −. =0.95 =29.96
a) P(X>10) = b) P(X>20) = c) P(X>30) = d) Encuentre el valor de x tal que P(X
5-71. Suponga que los conteos registrados por un contador Geiser siguen un proceso de Poisson con un promedio de conteos por minuto. X la denotamos para por realizar un conteo. entonces, X es una función variable aleatoriacomo con el tiempo conteos minuto.
=2 ∫. 2−= −|. =− =0.3679
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya conteos en un intervalo de 30 segundos? P(X>0.5) =
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer conteo ocurra en menos de 10 segundos? P(X> )
∫/ 2−= −|/ =1 −/ =0.2835
= c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer conteo ocurra entre 1 y 2 minutos después de encender el contador? P(1
∫ 2−= −| =− − =0.1170 = =0.333 = =0.111 ; =0.3333 ∫ 3− = −| =1 =0.95 ;=0.9986
= 5-72. Suponga que el acceso a una red de computadoras sigue un proceso de Poisson con promedio de 3 conteos por minuto. a) ¿Cuál es el promedio entre los conteos? E(X) = b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo entre los conteos? V(X) = c) Determine x tal que la probabilidad de que ocurra al menos un conteo antes del tiempo x minutos sea 0.95. P(X
= = ∫ − = − | =− =0.1353
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un intervalo de 30 minutos? P(X>30) = b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? La probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos es igual al menos la probabilidad de cero llamadas en 10 minutos tenemos entonces P(X>10).
∫ − = − | =−/ =0.513 ∫ − = − | =−/ −/ =0.2031
P(X>10) = 0.4866 es la respuesta alternativa para P(X<10) = 0.4866.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada se realice dentro de los 5 y 10 minutos después de abrir? P(5
d) Determine la longitud de un intervalo de tiempo tal que la probabilidad de que haya al menos una llamada en el intervalo sea 0.90. P(X
0.90
∫ − = − | =1 −/ =
5-74. La vida de los reguladores de voltaje para automóviles tiene una distribución exponencial con una vida media de seis años. Usted compra un automóvil con seis años de antigüedad que tiene el regulador de voltaje funcionando y planea conservarlo por seis años X es la vida del regulador. Entonces, X es una función exponencial de variable aleatorias con
= = ∫ = | =1 − =0.6321
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle antes de que venda el automóvil? P(X<6) = b) Si el regulador falla después de tres años de haber comprado el automóvil y lo reemplaza. ¿Cuál es el tiempo promedio antes de la siguiente falla? La próxima vez que falle el regulador es E(X) = 6 años 5-75. el tiempo entre las entradas de correos electrónicos en una computadora tiene una distribución exponencial con media de dos horas,
= = ∫ − = − | =− =0.3679
La X será el tiempo en recibir un mensaje. Entonces X es una función exponencial de variables aleatorias y a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se reciba un correo electrónico durante un periodo de dos horas? P(X>2) = b) Si no se ha recibido un correo las últimas 4 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que no se reciba uno en las dos horas siguientes? Es lo mismo de la parte a c) ¿Cuál es el tiempo esperado entre el quinto y sexto correo electrónico? E(X) = 2 horas 5-76. el tiempo para que pase un taxi desocupado por un crucero muy transitado tiene una distribución exponencial con media de 10 minutos. X es el tiempo de llegada de un taxi. Entonces, X es una función exponencial de variables aleatoria con llegadas por minuto.
= =0.1 ∫ 0.1−.= −. | =− =0.0025
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de una hora por un taxi? P(X>60) =
b) Suponga que una persona ha esperado ya una hora por un taxi. ¿Cuál es la probabilidad de que pase uno los siguientes 10 minutos? P(X<10) =
∫ 0.1−.= −.| =1 − =0.6321
5-77. Continuación del ejercicio 5-76.
a) Determinar x tal que la probabilidad de que una persona aguarde más de x minutos sea 0.10. P(X>x) = b) Determinar x tal que la probabilidad de que una persona aguarde menos de x minutos sea 0.90. P(Xx) = 0.1 esta respuesta es la misma de la parte a. c) Determinar x tal que la probabilidad de que una persona aguarde menos de x minutos sea 0.50. P(X
∫ 0.1−. =−.| =0.1 =23.03 ∫ 0.1−. =−.| =0.5 =6.93
5-78. La distancia entre las grietas grandes de una carretera sigue una distribución exponencial con media de 5 millas.
= =0.2 ∫ 0.2−. = −. | =− =0.1353
X es la distancia entre las grietas grandes. Entonces x es una función exponencial de variable aleatoria con a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grandes en un tramo de 10 millas de carretera? P(X>10) = b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos grietas grandes en un tramo de 10 millas de la carretera? Y es el número de grietas grandes en 10 millas. Porque la distancia entre grietas es exponencial y es una función poisson de variable aleatoria con
100.2=2 10 . =2= ! =0.2707 = 1 =5
=
c) ¿Cuál es la desviación estándar de la distancia entre las grietas grandes?
5-79. Continuación del ejercicio 5-78.
a) ¿Cuál la probabilidad que de la primera grieta grande se presente entre 12 y 15esmillas después deldeinicio la inspección? P(12
∫ 0.2−. = −.| =−. − =0.0409
∫ 0.2−. = −.| =− =0.3679.
P(X>5) = porque independientemente de los intervalos en una función poisson la respuesta es 0.36792 = 0.1353. alternativa a la respuesta P(X>10) = e-2 = 0.1353. c) Dado que no hay grietas grandes en las primeras 5 millas inspeccionadas, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en las siguientes 10 millas inspeccionadas? Por la propiedad esta respuesta es P(X>10) = 0.1353 de la parte b. 5-80) La vida de un ensamblaje mecánico en una prueba de vibración tiene una distribución exponencial con una media de 400 horas.
= = ∫ − = − | =1 −. =0.2212 ∫ − = − | = −/ =0.2865
X es el tiempo de vida de un ensamblaje. Entonces x es una función exponencial variable aleatoria con a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamblaje sometido a prueba falle en menos de 100 horas? P(X<100) = b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamblaje opere durante más de 500 horas antes de fallar? P(X>500) = c) Si un ensamblaje se ha sometido a prueba durante más de 400 horas sin fallar, ¿Cuál es ladeprobabilidad de falla las 100 horas siguientes? De la propiedad la exponencial estaen respuesta es la misma de la parte a. 5-81) Continuación del ejercicio 5-80. a) Si se someten a prueba 10 ensamblajes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno falle en menos de 100 horas? Suponga que los ensamblajes fallan independientemente. U es el número de ensamblajes antes de que 10 fallen antes 100horas. Por la propiedad del proceso de poisson U es una distribución binomial con n =10 y p= 0.2212 del ejercicio 80. Entonces P (U
1 ()0.2212 10.2212 =0.9179
≥1=1=0=
b) Si se someten a prueba 10 ensamblajes. ¿Cuál es la probabilidad de que todos hayan fallado en 800 horas? Suponga que lo ensamblajes fallan independientemente. V será el número de ensambles antes de 10 fallen ates de 800 horas. Entonces, V es una variable aleatoria con n=10 y p= P(X<800) donde X denota la vida de un ensamblaje. Ahora, P(X<800) = Para, P(V=10) =
− =0.8647 ∫()0.8647 −10.|8=1 647 =0.2336
5-82) Cuando una línea de autobuses reduce sus tarifas, un viaje en particular de la ciudad Nueva York a Albany, Nueva York, se vuelve muy popular. Un autobús pequeño puede transportar cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas telefónicas para comprar boletos tiene una distribución exponencial con una media de 30 minutos. Suponga que en cada llamada se compra un boleto. ¿Cuál es la probabilidad de que el autobús se llene en menos de 3 horas después de haberse iniciado la reducción de tarifas? X será el número de llamadas en 3 horas. Porque el tiempo entre llamadas es una variable aleatoria exponencial, el número de llamadas en 3 horas es una función poisson variable aleatoria. Ahora, e tiempo entre llamadas es 0.5 horas y = 1/0.5 = 2 llamadas por hora = 6 llamadas en 3 horas.
≥4=1 ≤3=1 −0! −1! −2! −3!=0.8488
5-83) El tiempo entre el aterrizaje de avionetas en un aeropuerto local tiene una distribución exponencial con una media de una hora. ¿Cuál es la probabilidad de que aterricen más de tres avionetas en una hora? Y será el número de llegadas en una hora. El tiempo entre llegadas es exponencial, entonces la llegada es función variable aleatoria exponencial y
1 ℎ ≤3=1 −0!1 −1!1 −2!1 −3!1=0.3528= >3=1 5-84) Continuación del ejercicio 5-83.
a) Si se eligen 30 intervalos separados de una hora ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los intervalos contenga más de tres aterrizajes? Del ejercicio 5-83, P(Y>3) =0.3528. W será el numero de una hora intervalos de 30 que contiene más de 3 llegadas. Por la propiedad de poisson W es una función binomial aleatoria con n=30 y p= 0.3528.
30 − =0= 0 0.3528 1 0.3528 =2.15 ×10 =3 ℎ
b) Determine la longitud del intervalo de tiempo (en horas) tal que la probabilidad de que no haya ningún aterrizaje durante el intervalo sea 0,1. X será el tiempo entre llegadas. Entonces X es una función aleatoria con
>=0.=1 3>−= − | =− =0.1, =0.768ℎ
5-85) El tiempo entre llamadas telefónicas a una oficina corporativa tiene una distribución exponencial con una media de 10 minutos.
X será el número de llamadas en 30 minutos. Porque el tiempo entre llamadas es una función exponencial aleatoria, X es una función poisson aleatoria con
=0.1 30 .
= PX >3= 1–P X ≤3=1 −0!3 −1!3 −2!3 −3!3=0.3528 =0= −0!3 =0.04979
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres llamadas en media hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en media hora?
c) Determine x tal que la probabilidad de que no haya llamadas en x horas sea 0,01. Y será el tiempo entre llamadas en minutos. Entonces y
0.01≥= =46.∫050.1−.= −.| =−..
≥=0. −. 0=1 >120 = ∫ 0.1−.| = − =6.14∗10 − Donde para
5-86) Continuación del ejercicio 5-85
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un intervalo de dos horas? Del ejercicio 5-85
b) Si se seleccionan cuatro intervalos no traslapados de media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en ninguno de estos intervalos haya llamadas? Porque las llamadas están en un proceso poisson, el número de llamadas en los intervalos es independiente. Del ejercicio 5-85 parte b, la probabilidad de no llamadas en una hora es e -3=0.04979. para la respuesta es Alternativamente, la respuesta es la probabilidad de no llmadas en dos horas. De la parte a. de este ejercicio, esto es
6.14∗10 −
− [−]= − =
c) Explique la relación entre los resultados de los incisos a) y b).
Porque es una función poisson, la probabilidad que no depende de que los intervalos estén consecutivos. Para las partes a y b tenemos la misma respuesta.
5-87) Si la variable aleatoria X tiene una distribución exponencial con media , determine lo siguiente: a)
b)
c)
>
>0= 1 −/= −/ | = − =0.3679
>> 23>2= 1 −/= −/ | = − =0.1353 >3= 1 −/= −/ | = − =0.0498
d) ¿En qué forma dependen los resultados de ? Los resultados no dependen de
5-88) Suponga que los defectos en una cinta magnética siguen una distribución de Poisson con una media de 0,2 defectos por metro. Sea que X denote la distancia entre dos defectos sucesivos. X es una función exponencial aleatoria con a) ¿Cuál es la media de X?
=0. 2 = 1 =5 >10= 0.2 −. = − =0.1353
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos en 10 metros consecutivos de cinta?
c) ¿La respuesta del inciso b) cambia si los 10 metros no son consecutivos? No, ver ejercicio 5-87 parte c. d) ¿Cuántos metros de cinta es necesario inspeccionar para que la probabilidad de encontrar al menos un defecto sea de 90%?
<=0.9=0.0.9 =11. 51<= −.| =1 −. 1−.
5-89) Continuación del ejercicio 5-88. (Preguntas más difíciles)
>8= ∫ 0.2−.= − =0.2019
>8=0.2019
la distancia entre sucesiones de defectos no exceda 8 metros. La distancia es independiente .Y será el número de defectos no exceda la distancia 8 metros. Entonces Y es una función geométrica aleatoria con p= 0.2019 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera ocasión en que la distancia entre dos defectos exceda 8 metros ocurra en el quinto defecto?
=5=10.2019 0.2019=0.0819
b) ¿Cuál es el número promedio de defectos antes de que la distancia entre dos defectos exceda 8 metros? E(Y)= 1/0.2019 = 4.95
5-90) Deduzca la fórmula de la media y la varianza de una variable aleatoria exponencial.
= ∫ −. − = −−| ∫ − = | =1/ = − VX= x λ−| 2∫ − = ∫ − 1 = Usando integración por partes u=x y dv=
Entonces,
usando integración por partes con u=
Tenemos, =
y dv=
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 5-10 5-91) Las llamadas a un sistema telefónico siguen una distribución de Poisson con una media de 5 llamadas por minuto. a) ¿Qué nombre se aplica a la distribución y a los valores de los parámetros del tiempo hasta la décima llamada? b) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta la décima llamada? c) ¿Cuál es el tiempo promedio entre la novena y la décima llamada? SOLUCION a) ¿Qué nombre se aplica a la distribución y a los valores de los parámetros del tiempo hasta la décima llamada? La distribución que se aplica es la distribución de Erlang, ya que la variable aleatoria x que es igual a las llamadas a un sistema telefónico hasta que ocurra r conteos en un proceso de Poisson. b) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta la décima llamada? μ=[E(x)]=r/λ μ=[E(x)]=10/5 =[E(x)]=2 minutos
c) ¿Cuál es el tiempo promedio entre la novena y la décima llamada? μ=[E(x)]=r/λ μ=[E(x)]=9/5 μ=[E(x)]=1,8 minutos Entonces tenemos que el promedio es: T=1,9 minutos
5-92) Continuación del ejercicio 5-91. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran exactamente cuatro llamadas en un minuto? b) Si se escogen 10 intervalos separados. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los intervalos contengan más de dos llamadas? SOLUCION a).
En la tabla de distribución de Poisson tenemos: α=5 P(x≥4) = 0.734974 P(x≥5) = 0.559507 P (x ≥ 4 ) – P (x ≥5 ) = 0.734974 − 0.559507 = 0.175467 b).
n= 10; p=0.5 Siα=np=5
Aplicando la distribución Binomial (dado que n es pequeño y no tiende a infinito, no podemos aplicar la distribución Poisson), en la tabla, con los siguientes datos tenemos: n=10 p=0.5 x=2 Tenemos una probabilidad de: 0.9892578 5-93) Se estudia la contaminación de una materia prima. Suponga que el número de partículas de contaminación por libra de material es una variable aleatoria de Poisson con una media de 0,01 partículas por libra. a) ¿Cuál es el número esperado de libras necesarias de materia prima para obtener 15 partículas de contaminación? b) ¿Cuál es la desviación estándar de las libras necesarias de materia prima para obtener 15 partículas de contaminación? SOLUCION a) r = 15 λ = 0.01 μ = r/λ =15 / 0.01=1500
b) r = 15 λ = 0.01 σ = √r / λ2 = √15 / 0.0001 = 387.29 5-94) En un sistema de comunicación de datos, varios mensajes que llegan a un nodo, se agrupan en un paquete antes de transmitirse en la red. Suponga que los mensajes nodo siguen proceso Poisson con por minuto.que Sellegan usan 5almensajes paraunformar un de paquete.
=30
mensajes
a) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta que se forma un paquete, es decir, hasta que llegan 5 mensajes al nodo? b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo hasta que se forma un paquete? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se forme un paquete en menos de 10 segundos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que se forme un paquete en menos de 5 segundos? SOLUCION
10
5-95) Los errores causados por contaminación en discos ópticos ocurren a razón de un error cada bits. Suponga que los errores siguen una distribución de Poisson. a) ¿Cuál es el número promedio de bits hasta que ocurren 5 errores? b) ¿Cuál es la desviación estándar del número de bits hasta que ocurren 5 errores? c) El código de corrección de errores podría fallar si hay 3 o más errores en bits. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?
10
SOLUCION a) r=5 λ=10^5 E[x] = r/λ E[x]=5 / 10^5 b) E[x]=0.00005 r = 5 λ = 10^5 V[x] ^2 = r / λ^2 entonces σ=√r / V[x] ^2 σ=√5 / 10^5 σ = 0,0000224 c) r = 1 λ = 10^5 ¡P [ X ≥ x] = ∫ ( ^rX (r−1) exp (λx) (r−1)! /d) x P [ X ≥ 3] = ∫ ((10^5) ^ r X (1−1) exp (10^5x) (1−1)! /d) x
5-96) El tiempo entre llegadas de clientes a un cajero automático es una variable aleatoria exponencial con una media de 5 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de tres clientes en 10 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta que llegue el quinto cliente sea menor que quince minutos? SOLUCION a.
E(X)=5min/ cliente → λ = 1 / (5min/cliente) = 0,2 cliente / min = 2min / cliente El punto a, lo resolvemos por distribución de Poisson: P (X > 3 min/cliente) = 1 – P (X ≤ 3min/cliente) = 1−∑ (e−λ λi / i!) P (X > 3 min/cliente) = 1 −∑ e − 2 2i / i! = 1 − (0,135+0,271+0,271+0,180) P (X > 3 min/cliente) =1 − (0,857) = 0,143
∗
∗
b.
E(X)=5min/cliente→λ=1/ 5min/cliente = 0,2 cliente/min = 2min / cliente 5-97) El tiempo entre los problemas de procesamiento en una línea de producción tiene una distribución exponencial con una media de 30 días. a) ¿Cuál es el tiempo esperado hasta el cuarto problema? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta el cuarto problema exceda 120 días? SOLUCION
5-98) Use las propiedades de la función gamma para evaluar lo siguiente: a) b) c)
6
SOLUCION
∗
Γ(6) Γ(6) = (6−1)! Γ(6) = 120
Como es un entero trabajamos con (r-1)! Γ(5/2) Γ(5/2) = π exp (5/2) Γ(5/2) = 17.5
∗∗
Γ(9/2) Γ(9/2) = π exp (9/2) Γ(9/2) = 172.7
5-99) Use la integración por partes para demostrar que
= 1;, 1
5-100) Demuestre que la integral de la función de densidad gamma uno. SOLUCION La función gamma es la siguiente: Γ(r)=∫ x ^ r−1 e ^ −x dx , r > 0 Γ(1)=1 Γ(1)=∫ x^1−1 e ^ − x dx Γ(1)=∫ e ^ −x dx Γ(1)=lim n→∞ ∫ e ^ −x dx Γ(1)=lim n→∞ (−e ^ −x)| Γ(1)=lim n→∞ −e ^ −n +1 Γ(1)=1
, es
=7/2.
5-101) Use el resultado para la distribución gamma para determinar la media y la varianza de una distribución con SOLUCION λ=1/2, r=7/2 μ = E(x) = r / λ = 7/2 / ½ = 7 σ2 = V(x) = r / λ^2= 7/2 / (1/2) ^2 = 14 5.102 suponga que X tiene una distribución de Weibull con Determinar la media y la varianza de X.
SOLUCION
= 0,2 y = 100 horas.
La media de una variable aleatoria de Weibull está dada por: μ=δΓ( 1+ 1 / β) Así: μ=(100)Γ(1+1 / 0.2) μ=(100)Γ(6) μ=(100)(5!) μ=12000 horas La varianza de una variable aleatoria de Weibull está dada por: σ^2=δ^2Γ (1+2/β) − δ^2 [ Γ (1+1/β) ] ^ 2 Así: σ^2 = (100) ^2 Γ(1+2 / 0.2) − (100) ^2 [Γ(1+1/0.2) ] ^ 2 σ^2=(100) ^2Γ(11)− (100) ^2 [ Γ(6) ] ^ 2 σ^2=[(10000) (10!)]−[(10000) (5!) ^2] σ^2=3.61 10^10
∗∗
∗
5.103 Suponga que X tiene una distribución de Weibull con parámetros con y = 100 horas. Determine lo siguiente: a) P (X b) P (X
10.000) 5.000)
><
SOLUCION
= 0,2
5.104 Suponga que la vida de un rodamiento de rodillos sigue una distribución de Weibull con parámetros = 2 y = 10.000 horas a) Determine la probabilidad de que un rodamiento dure menos de 8.000 horas. b) Determine el tiempo promedio hasta la falla de un rodamiento. c) Si están en uso 10 rodamientos y las fallas ocurren de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de que los 10 rodamientos duren al menos 8.000 horas? 5.105 Considere vida de undedisco magnético expuesto gases corrosivos, tiene que una la distribución Weibull con =empacado, 0,5 y la vida mediaaes 600 horas.
a) Determine la probabilidad de que los discos empacados duren al menos 500 horas. b) Determine la probabilidad de que los discos empacados fallen antes de 400 horas. SOLUCION a).
α=1/600 β=0.5 P(x≥500) = 1−e^−(500/600) ^0.5
P(x≥500) = 0.59862974
∗
b).
∗
P(x=400) = ((0.5/600^0.5) 400^−0.5 e ^ −(400/600) ^0.5) P(x=400) = 0.000451091
5.106 La vida de una bomba de recirculación sigue una distribución de Weibull con parámetros = 2 y = 700 horas. a) Determine la vida media de una bomba. b) Determine la varianza de la vida de una bomba. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una bomba dure más que su media? SOLUCION δ=700 β=2 a) E(x)=δΓ(1+1/β) E(x)=700Γ(1+1/2)=700Γ(1.5)=700(0.5)Γ(0.5)=350(√π)=620.35 NOTA: en esta última expresión se utilizó el hecho que
Γ(r)=(r−1)Γ(r−1)
b) V(x) = δ^2 Γ (1+2/β) − δ^2 (Γ(1+1/β)) ^2 V(x)=700^2 Γ (1+2/2) − 700^2 (Γ(1+1/2)) ^2 =490000Γ(2)−490000(Γ(1.5))2 =490000(1!)−490000(0.25)Γ(0.5) ^2 =490000−122500(π) =490000−384845.10 =105154.89 c) P (x > 620.35) = exp (−(620.35/700) ^2) = exp (−0.78)=0.455
5.107 si X es una variable aleatoria con distribución de Weibull, con = 1 y 1.000. ¿Cuál es el otro nombre de la distribución de X y cuál es la media de X?
=
SOLUCION Con δ=1
=1 la distribución de Weibull es idéntica a la distribución exponencial
β=1000
E(x) = δΓ (1+1/β) E(x)=1000Γ (1+1/1) = 1000 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 5.108 Suponga que f(x) = 0,5x -1 para 2
<2>3 < <3,5
a) P (X b) P (X c) P (2,5 SOLUCION
< <4
. Determine lo siguiente:
5.109 encuentre la función de distribución acumulada de la variable aleatoria del ejercicio 5.108 SOLUCION La solución es esta: Función de distribución acumulada. F(x)=∫f(x)dx F(x)=∫
0.5 x − 1dx
F(x)=∫
0.5 x dx − ∫ dx
F(x)=0.5(x
F(x)=0.5(16 / 2 F(x)= 0.5 ( 8
F(x)=
−4 / 2)−(4−2)
–2)−2
F(x)= 0.5 ( 6 ) F(x)= 3 −
∣ ∣
^ 2 / 2 4,2) − ( x 4,2)
−2
2
1
5.110 determine la media y la varianza de la variable aleatoria del ejercicio 5.108. SOLUCION 5.111 El tiempo entre llamadas telefónicas tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 10 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta la primera llamada sea que minutos? de que el tiempo de la segunda a la tercera llamada b) menos ¿Cuál es la 5probabilidad este entre 5 y 15 minutos? c) Determine la longitud del intervalo de tiempo tal que la probabilidad de al menos una llamada en el intervalo sea 0,90. SOLUCION
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo hasta la primera llamada sea menor que 5 minutos? P(X<5) = 1−e ^ −5/10 = 1 − 0,6065 = 0,3935 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de la segunda a la tercera llamada esté entre 5 y 15 minutos? P (5 < X < 15) = F (15) − F(5) =[1−e−^15/10] − [1 –e ^−5/10] = [ 1 − 0,2231] − [ 1 − 0,61 ] = 0,38346 c)Determine la longitud del intervalo de tiempo tal que la probabilidad de al menos una llamada en el intervalo, sea 0,90 P ( X < x ) = e ^ − x/0,1 = 0,90 x=1,053 5.112 Continuacion del ejercicio 5.111. a) Si no ha habido ninguna llamada en 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de el es tiempo hasta la siguiente menorenque minutos? de 10:00 b) que ¿Cuál la probabilidad de que llamada no haya sea llamadas los5intervalos a 10:05, de 11:30 a 11:35 y de 2:00 a 2:05? 5.113 continuación del ejercicio 5.111 a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cuatro llamadas en un minuto? b) ¿Cuál es el tiempo promedio hasta la quinta llamada? 5.114 la CPU de una computadora personal tiene un periodo de vida con una distribución exponencial con una vida media de seis años. Usted ha sido dueño de esta CPU por tres años. ¿Cuál es la probabilidad de que la CPU falle en los próximos tres años? 5.115 continuación del ejercicio 5.114. Suponga que la compañía para la que usted trabaja ha tenido 10 CPU por tres años, y suponga que las CPU fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas falle en los próximos tres años? 5.116 se identifican fibras de asbesto en una muestra de polvo con un microscopio electrónico, después de preparar la muestra. Suponga que el número de fibras es
una variable aleatoria de Poisson y que el número promedio de fibras por centímetro cuadrado de superficie de polvo es 100. Se analiza una muestra de 800 centímetro cuadrados de polvo. Suponga que una celda de una malla particular bajo el microscopio representa 1/60.000 de la muestra. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se localice al menos una fibra en la celda de la malla? b) ¿Cuál es la media del número de celdas de la malla que es necesario observar para localizar 10 que contengan fibras? c) ¿Cuál es la desviación estándar del número de celdas de la malla que es necesario observar para localizar 10 que contengan fibras? 5.117 sin un sistema de riego automático, la altura de las plantas dos semanas después de germinar tiene una distribución normal con una media de 2,5 centímetros y una desviación estándar de 0,5 centímetros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la altura de una planta sea mayor que 3,5 centímetros? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la altura de una planta este entre 2?0 y 3.0 metros? c) ¿Qué altura excede 90% de las plantas?
5.118 del ejercicio 5.117. con dos un sistema riego automático, una planta continuación crece a una altura de 3,5 centímetros semanasdedespués de germinar. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una planta de esa altura o mayor a partir de la distribución de las alturas del ejercicio 5.117? b) ¿considera usted que el sistema de riego automático incrementa la altura de las plantas a la segunda semana después de la germinación? SOLUCION a) P(x≥3.5) =P(z≥(3.5−2.5) /05)=P(z≥2) En la tabla de la distribución normal: P(z≥2)=1−P(z≤2)=1−0.9772=0.0228 b).
No puede sacarse una conclusión a partir de la información recibida. El enunciado dice que con un sistema de riego automático una planta crece a una altura de 3.5 cm y no sabemos la distribución de probabilidades ni los
resultados de una muestra representativa con el sistema de riego, solo nos dan un dato aislado de una planta y no tenemos una desviación estándar que nos permita hacer una prueba de hipótesis o aplicar cualquier otro criterio de decisión. 5.119 el espesor de un recubrimiento laminado para superficies de madera, tiene una distribución normal con una media de 5 milímetros y una desviación estándar de 0,2 milímetros. a) ¿Cuál la probabilidad de que el espesor de un recubrimiento sea mayor que 5,5esmilímetros? b) Si las especificaciones requieren que el espesor este entre 4,5 y 5,5 milímetros, ¿Qué proporción de los requerimientos no cumplen con las especificaciones? c) ¿Abajo de que valor está el espesor del recubrimiento de 90% delas muestras? SOLUCION a) P(X>5.5)=P(Z>5.5−5/0.2)=P(Z>2.5)=0.0062 b) P(4.5 x – 5/0.2)=0.90 x−5/0.2 = 1.65 de donde se deduce que: x=5.33 5.120 el diámetro de los puntos producidos por una impresora matricial tiene una distribución normal con un diámetro promedio de 0,002 pulgadas. Suponga que las especificaciones requieren que el diámetro de los puntos este entre 0,0014 y 0,0026 pulgadas. Si la probabilidad de que un punto cumpla con las especificaciones debe ser 0,9973, ¿Qué desviación estándar se necesita? 5.121 continuación del ejercicio 5.120. Suponga que la desviación estándar del tamaño de los puntos es 0,0004 pulgadas. Si la probabilidad de que un punto cumpla con las especificaciones debe ser 0,9973, ¿Qué especificaciones es necesario establecer? Suponga que las especificaciones van a escogerse simétricamente alrededor de la media de 0,002.
5.122 la vida de un láser de semiconductores con una alimentación de energía constante tiene una distribución normal con una media de 7.000 horas y una desviación estándar de 600 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un láser falle antes de 5.800 horas? b) ¿Cuál es la vida en horas que excede 90% de los laser? SOLUCION a.
ν=7000 horas σ=600 horas
Para tablas, se realiza la conversión: z=x−ν/σ Por tanto: p(x≤5800 horas)=(p[x−7000/600]
p(X≤x)=(p[x−7000/ 600] < p [x−7000/600]) p(X≤x)=(Z < p [x−7000/600]) p(X≤x)=0.90 La tabla II se utiliza para encontrar para encontrar el valor de Z, tal que P(Z
5-125 una pulgada cuadrada de alfombra contiene 50 fibras del tejido. La probabilidad de una fibra dañada es 0.0001. Suponga que las fibras dañadas ocurren de manera independiente. a) Aproxime la probabilidad de una fibra dañada en una yarda cuadrada de alfombra b) Aproxime la probabilidad de cuatro o más fibras dañadas en una yarda cuadrada de alfombra 5-126 una aerolínea hace 200 reservaciones para un vuelo con capacidad para 185 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero llegue para el vuelo es de 0.9 y se supone que los pasajeros son independientes. a) Aproxime la probabilidad de que haya asientos para todos los pasajeros que lleguen b) Aproxime la probabilidad de que haya asientos vacíos c) Aproxime el número de reservaciones que debería hacer la aerolínea para que la probabilidad de que haya asientos para todos los pasajeros que lleguen sean 0.95 5-127 Los incisos de este ejercicio llevan la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria de Erlang X con parámetros r,yf(x)= rxr-1e-λx/(r-1) !,x>0,r=1,2,… a) Use la distribución de Poisson para expresar p(X>x). b) Use el resultado del inciso para determinar la función de distribución acumulada de X. c) Derive la función de distribución acumulada del inciso y simplifique para obtener la función de densidad de probabilidad De X 5-128 Un juego de rodamientos se compone de 10 rodamientos. suponga que los diámetros de los rodamientos son independientes y que tienen una distribución normal con una media de 1,5 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que el rodamiento con el diámetro más grande en el ensamble exceda 1,6 mm? SOLUCION Nos indican que: μ=1.5 mm σ=0.025 mm Con estos parámetros podemos decir que: P(X>1.6)=1−P(X≤1.6) Utilizando la estandarización, dada por: Z=(X−μ/σ)
Tenemos que: P(X>1.6)=1−P(Z≤(1.6−μ/σ)) P(X>1.6)=1−P(Z≤(1.6−1.5/0.025)) P(X>1.6)=1−P(Z≤4)=3.1671e−0 5-129 sea que la variable x denote la medición de un producto manufacturado. Suponga que el valor especificado para la medición es m .por ejemplo X denotaría una longitud dimensional, y el valor especificado podrá ser 10mm .la pérdida de calidad del proceso para fabricar el producto se define como el valor esperado de $k(X-m)2, donde k es una constante que relaciona una desviación del valor especificado con una pérdida cuantificada en unidades monetarias ($). a) Suponga que x es una variable aleatoria continua con E(X)=m y V(X)=2. ¿Cuál es la pérdida de calidad del proceso? b) Suponga que X es una variable aleatoria continua con E(X) =µ y V(X)= 2. . ¿Cuál es la pérdida de calidad del proceso? 5-130 la vida de un amplificador electrónico se modela como una variable aleatoria exponencial. Si el 10% de los amplificadores tienen una vida media de 50000 horas, ¿Qué proporción de los amplificadores falla antes de 60000 horas? 5-131 demuestre que para una variable aleatoria exponencial x 1 P(X t1) = P(X t1 ) = P ( X < t2 , X < ti + t2 ) / P ( X > t1 ) P( X < t1 + t2 | X > t1 ) = P ( X < ti + t2 ) / P ( X > t1 ) En el caso exponencial será así: P( X < t1 + t2 | X > t1 ) = 1 −e^−α(ti+t2) / e−αt1 P( X < t1 + t2 | X > t1) = 1−e ^ −αt2 e^−αt1 / e−αt1 P( X < t1 + t2 | X > t1 ) = 1 −e^−αt2 P( X < t1 + t2 | X > t1 ) = P (X
cumpla con las especificaciones se calcula después de suponga que el proceso se corre. Se la media del proceso colocada como se indica en el inciso, cambia a 1.5 desviaciones estándar hacia arriba. ¿cuál es la probabilidad de que un producto no cumpla con las especificaciones? Exprese la respuesta en partes por millón.
EJERCICIOS DEL SEGUNDO LIBRO (ESTADISTICA APLICADA UNA VISON INSTRUMENTAL) 6.12.1 calcular el valor de
, sabiendo que es positivo, para que la función
= 210 = 1 − ∀
Sea la función de densidad de la variable aleatoria X.
6.12.2 la función de densidad de una variable aleatoria continua X es:
Calcular a) El valor de la constante
b) La función de distribución. 6.12.3 la variable aleatoria continua X tiene función de densidad de la forma:
Se pide: a) Calcular el valor de f(x) =
β
0<≤2 06 2<≤6
para que f(x) sea su función de densidad.
≤ ββ 22 dx =1=1
para valores entre 0 < x
evaluada de 0 a 2 por tanto
β
2
= 3/8
f(x) =
(6 –x) para valores entre 2 < x
≤
6
β 6 dx =1 β6 dx =1
6x
=1 evaluada de 2 a 6
por consiguiente
β
= 1/8
b) Hallar la correspondiente función de distribución. Función de distribución es
para valores entre 0 < x
2
≤≤
(6 – x) para valores entre 2 < x
Y valores de 0 en otra parte
6
c) Calcular el valor esperado de X para hallar el valor esperado de x ósea la media tenemos
∫ fx x dx ∫xx6–dxx dx 3– E[X]=
evaluada de 0 a 2
=
=
E[X] = 1,5
evaluada de 2 a 6 E[X] = 3,33
6.12.4 calcular el valor de k para que la función
<0 000≤≤5 >5
Sea la función de densidad de una variable aleatoria y determinar la función de distribución correspondiente. f(x) = kx para valores entre 0
k
≤≤ k dx =1 x
5
evaluada de 0 a 5 luego k = 2/25
y su función de distribución es
≤≤ 4120<30≤≤5 04x12>4 dx =1
para valores entre 0
6.12.5 Dada la función
x
5
a) comprobar que f(x) es una función de densidad
2 12=1
evaluada de 0 a 5 tenemos como resultado -60 por tanto no es función de densidad. Para lo cual debemos hallar un valor k. K es igual a -1/10 b) calcular la esperanza matemática de la v.a. X que tiene por función de densidad f(x) 6.12.6 la función de densidad de la variable aleatoria continua X es:
3400<≤1 1<≤4
a) Calcular el valor de k b) Hallar la función de distribución de la variable X c) Calcular la media de X
6.12.7la variable aleatoria y simboliza el tiempo de una llamada telefónica y la función de densidad y es:
{−/0<0>0}
Para un valor de k mayor que cero a) b) c) d)
Determinar el valor de Dar la función de distribución si k=4 m, calcular la probabilidad de que una llamada dure más de 5 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 5 y 10 minutos?
6.12.8 la función de densidad de la variable aleatoria X es:
0 ≤0 0<<2 − ≥2
a) Determinar el valor de c b) Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X. c) Calcular la probabilidad del suceso AUB, siendo A = {x € R I x≤1,5} y B {x € R I x>1,5}
d) e) f) g)
Calcular la probabilidad de que X este comprendida entre 1,5y 3 Hallar p(x>3Ix<2). Hallar la esperanza y la varianza de X Hallar el coeficiente de asimetría de la variable aleatoria X
6.12.9 el cociente intelectual se define como el cociente entre la edad mental y la edad cronológica de una persona. Expresado el cociente intelectual en tanto por uno, su distribución en un grupo de 2000 estudiantes es normal de medio 0,8 y desviación típica 0,5. Calcular el número de estudiantes con cociente intelectual: a) Comprendido entre 0,7 y 1,2 b) inferior a 0,3 c) inferior a 0,9 d) superior a 1,4 6.12.10la función de densidad de una variable aleatoria X es:
a) b) c) d)
{0 −/≥0 }
determinar el valor de para que f(x) sea función de densidad hallar la función de distribución calcular P(x≤12), P(0≤X≤8), P(0≤X≤12IX≥8) calcular la media y la varianza de x
6.12.11 utilizando la tabla de la distribución normal, calcular las siguientes probabilidades, sabiendo Z~N (0,1). a) P(Z>1,76); P(Z<1,05); P(Z>-0,13); P(Z<-1,14) b) P(1,18
6.12.12 para la variable aleatoria Z ῀N (0,1) hallar el área bajo la curva de su función de densidad que está comprendida entre –z y z para los siguientes valores de z Z=1; z=1,96; z=2; z=2,33; z= 2,58; z= 3 6.12.13 hallar el valor de la variable aleatoria Z῀N (0,1) que verifica cada una de las siguientes condiciones a) b) c) d) e) f)
la probabilidad entre 0 y z es 0,4505 el valor de z deja a su derecha probabilidad 0,9292 el valor de z deja a su izquierda probabilidad 0,0307 la probabilidad por debajo de z es 0,6480 el valor de z deja a su derecha probabilidad 0,0392 la probabilidad comprendida entre –z y z es 0,5934
6.12.14 una variable aleatoria tiene una distribución normal de media 57,4 y desviación típica 8,4. ¿Cuál es la probabilidad de qué esta variable aleatoria tome un valor?: a) menor que 70 b) menor que 51,1 c) comprendido entre 59,5 y 76,3 d) comprendido entre 44,8 y 72,42 6,12,15 en una bolsa de trabajo hay 80000 personas cuyo cociente intelectual, expresado en tanto por ciento está distribuido según una normal con media 107 y desviación típica 12. Si cierto trabajo solo lo pueden realizar las personas con un
cociente intelectual de al menos 100 y los que tienen un cociente intelectual superior a 120 se cansan pronto y se aburren con dicha tarea, determinar cuántas personas de la bolsa de trabajo serán idóneas para realizar esa tarea teniendo en cuenta solo la información proporcionada por el cociente intelectual 6.12.16 los gastos anuales por familia en una determinada comunidad autónoma siguen una distribución normal de media 17.655E y desviación típica 27130E. Para esa población a) ¿Qué porcentaje de familias gastan anualmente menos de 12500E? b) porcentaje de familias un gasto anual 18000E? c) ¿Qué Calcular el percentil 90 paratienen la distribución de lossuperior gastos aanuales en esa comunidad autónoma 6.12.17 una población formada por cinco millones de insectos de la misma especia tiene el 52% de hembras. La longitud de los machos, en mm, sigue una distribución normal de media 1,68 y desviación típica 0,2. Determinar cuántos machos mide a) Menos de 1,75 mm b) Más de 1,60 mm c) Menos de 2,05 mm d) Más de 1,20 mm 6.12.18 una variable aleatoria X tiene por función de densidad
= +
si x
≥0
0<0
a) Determinar el valor de k b) Hallar la función de distribución c) Calcular la media, la mediana, el primer cuartil
6.12.19 el tratamiento de un gran pinar atacado por una plaga procesionaria tiene una duración normal de media 8 días y desviación típica 3 días. Calcular la probabilidad de que el tratamiento de ese pinar: a) Sea inferior a siete días b) Sea superior a tres días c) Esté comprendido entre 10 y 12 días d) Esté comprendido entre 1 y 2 días 6.12.20 la variable aleatoria x tiene por unción de densidad de probabilidad:
= ∗1 >0
a) Determinar el valor de la constante a
b) c) d) e)
Hallar la función de distribución de X Calcular el valor esperado de X y su varianza Calcular P (X calcular la probabilidad de que, al tomar veinte valores de x, elegidos aleatoriamente, haya quince de ellos que sean mayores de 0.5
>0,5
6.12.21 la venta anual de la producción de una fábrica es una variable aleatoria x con valores comprendidos entre cero y diez millones de euros. Se ha ajustado
0,10
a la función de densidad de x un modelo de la forma a) b) c) d)
=10
calcular el valor de k dar la función de distribución calcular el valor esperado de la venta anual calcular la probabilidad de que fabricando por valor de µ+ en un año no se puedan atender todos los pedidos de ese año
6.12.22 la variable aleatoria x tiene recorrido es
[0,∞]
y su función de densidad
= + [0,∞] ̅ ᴖ̅ ∈/≤0 ∈/>0 ∈/0<≤1 ∈/1<<2 ∈/3< ≤3.5= 0,4872 ≤7.5= xe
Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos A; ĀᴖB; ĀᴗB; ᴖA; BᴗC; DᴖĒ; Cᴖ(DᴗE);
siendo A=
D=
; B=
; C=
; Y E=
;
;
6.12.23 se sabe que x es una variable aleatoria normal, que p(x y que p(x 0.7540. determinar los parámetros de la distribución de x
6.12.24 la variable aleatoria x tiene por función de densidad Si x
=1 <0≥0 0
si x a) determinar el valor de M b) Hallar la función de distribución c) Calcular la media, el primer cuartil y la mediana
6.12.25 los diámetros de las piezas fabricadas en un taller se distribuyen normalmente con media 18,5 mm y desviación típica 1.2 mm
a) Calcular la probabilidad de que una pieza elegida al zar tenga un diámetro comprendido entre µ-2 y µ+2 b) Se desechan las piezas de diámetros que sean menores de 15 mm y las de más de 20 mm ¿Cuántas piezas se espera desechar de una producción de 2000 piezas? c) Un que los diámetros de las piezas difieran menos de 0.5 mm de lacliente mediaexige ¿Cuántas piezas se pueden seleccionar para este cliente de una producción de 2000 piezas? 6.12.26 la probabilidad de que una variable continua x tome un valor menor o igual que cualquier x de su recorrido [a, b] es lineal en x. hallar a) b) c) d) e)
La función de distribución de x La función de densidad de x El valor esperado, la moda, y la mediana de x La varianza de x Los coeficientes de asimetría y de curtosis
6.12.27 la función de densidad de la variable aleatoria x es
a) b) c) d) e)
=−si00<≥1 <1≤0 ∈/≤1/2 <<2 >2/>1 =3 1.5 1.5 <<3
Determinar el valor de Dar la función de distribución de x Calcular P (0,5 ; P (X ; P(A) siendo A= Hallar la media y la varianza de la distribución Calcular el coeficiente de asimetría
6.12.28 una maquina corta piezas cuyo grosor es una variable aleatoria continua x con función de densidad midiendo x en cm a) Calcular el valor de k b) Hallar la función de distribución c) Se rechazan las piezas con grosor menor que 1,7 cm o mayor que 2,8 cm ¿Cuál es la probabilidad de que no se rechace una pieza tomada al azar de las cortadas por la maquina? d) Si las piezas se empaquetan en cajas de 10, hallar la probabilidad de que en una caja elegida al azar haya menos de dos piezas no admisibles
6.12.29 para la distribución continua uniforme en el intervalo [0, 10] calcular
a) E(X) b) c) Los momentos de orden 3 y 4 respecto a la media d) Los coeficientes de asimetría de curtosis 6.12.30 la función de distribución de la variable aleatoria x es:
√=1si0
