Tableau Laplace+TD

Transformées de Laplace usuelles :

Quelques propriétés de la transformée de Laplace :

Image symbolique Image temporelle 1 Échelon p 1

Dirac

1 p2 1 pa w 2 p  w2 w 2 p  w2 w

Rampe

f t  une fonction causale (Nulle sur   , 0 ), alors la   pt f t dt . On transformée de Laplace de f est F  p    e Soit

0

suppose que F  p  et G  p  sont les images de f t  et g t  , deux fonctions causales. Unicité Toute fonction temporelle f t  possède une image unique

F  p  ; et réciproquement.

e  at

Linéarité - L’image de 0 est 0. - L’image de k. f t  est

sin wt 

k.F  p  . L’image de f t   g t  est F  p   G  p  .

Dérivation – Intégration - L’image de f t  , la dérivée de f est

sinh wt  e  at sin wt 

 p  a 2  w 2 p p  w2 p 2 p  w2 pa

le plus souvent, -

coswt 

2

e

 p  a 2  w 2

 f u du , la primitive de f est t

0

1 F  p p

Facteur d’échelle

coshwt   at

L’image de

f 0   0 .

pF  p   f 0 avec

L’image de

f a.t  est

1  p F  . a a

Retard et Amortissement

coswt 

-

L’image de

f t    est e p F  p  .

- L’image de e f t  est F  p  w . Théorème des valeurs finales et initiales wt

n! p n 1 1 p 1  p  1

tn 1 e



t

-



f 0  lim f t   lim pF  p  p 

t 0

lim f t   lim pF  p 

t 

p 0

te  at

 p  a 2

Rappels des notions mathématiques utiles pour le cours:  Nombres complexes : Soit z un nombre complexe z = a+ib = |z|(cos (θ) +i sin (θ)) = |z|

=√

(

√

√

)

Le module de z : |z|=√ L’argument de z : arg(z) = θ = arctan(b/a) Arg (z*z’) = arg (z) + arg (z’) *2π+ Arg (z²) = 2*arg (z) Arg (z/z’) = arg (z) – arg (z’) *2π+

 Logarithmes : Le logarithme de x en base b noté logb(x) est la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir x. 3 Exemple : log10(1000) = 3 car 10 = 1000

 Trigonométrie : Cos(a+b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b) Sin(a+b) = sin(a).cos(b) + cos(a).sin(b) Cos(2θ) = 2.cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ) Sin(2θ) = 2sin(θ).cos(θ) Sin(ωt) =

ω

ω

Sin(ωt) =

ω

ω

Exemples de cours : Identification des systèmes - A partir de la courbe de réponse du système, identifier sa fonction de transfert par la méthode de Strejc

On trouvera que : H(p)=(

)

- A partir de la même courbe de réponse, identifier la fonction de transfert par la méthode de Broida

On trouvera que : H(p)=

Travaux dirigés : Exercice 1: Réduction de schémas-bloc Trouver la fonction de transfert du système représenté par le schéma-bloc ci-dessous :

Même chose pour :

Exercice 2 : Transformée de Laplace On considère le signal x(t) défini par : () { () () Représenter le signal x(t) dans un repère orthonormal On note X(p) la transformée de Laplace du signal causal x(t).

}

Montrer que X(p)= Le signal x(t) est envoyé en entrée dans un circuit intégré. Il y subit une transformation. Le signal de sortie y(t) est tel que sa transformée de Laplace vérifie : ( )Calculer Y(p) Y(p)= Décomposer

(

)

en éléments simples

En déduire la valeur de y(t) sur ]- ∞,0[ ;[0,10[ ;[10,+

∞[

Exercice 3 : Calcul d’une transformée de Laplace inverse Calculer la transformée de Laplace inverse de l’expression F(p)=

Exercice 4 : Calcul d’une fonction de transfert simple-pôles-zéros On considère un système régi par l’équation différentielle ( )

( )

Calculer la fonction de transfert de ce système et calculer ses pôles et zéros.

Exercice 5 : Calcul de la réponse d’un système du second ordre à une rampe On considère un système régi par l’équation différentielle : ( )

( )

Calculer la réponse de ce système à une entrée en rampe e(t)=t

Exercice 6 : Mise en équation d’un système électrique du second ordre On considère le montage électrique représenté par la figure. On injecte dans ce système un signal d’entrée e(t) correspondant à un échelon de tension de 0 à 5V. Déterminer l’équation différentielle sui lie e(t) à la tension de sortie s(t). En déduire la fonction de transfert du système.

Exercice 7 : Identification des systèmes En vue d’identifier 2 systèmes, on les soumet à une entrée en échelon. La sortie suit alors les variations définies par les graphiques suivants :

Pour chaque graphe, donner, à l’aide d’une méthode d’identification, la fonction de transfert du système (modèle de comportement).