7.4 Caso generalizado para la presión activa de Rankine 337
0 4
4 5 7 1 6 2 0 9 0 3 7 3 1 1 2 6 3 1 3 7 4 5 0 8 2 0 7 7 7 8 8 9 0 0 2 3 4 6 8 0 2 4 7 0 3 6 0 4 9 3 9 5 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 3
5 6 8 2 7 4 3 3 5 8 4 1 0 2 5 1 0 1 5 3 4 8 7 1 0 5 7 7 7 8 8 9 0 1 2 3 5 7 9 1 3 6 9 2 5 9 3 7 2 8 4 0 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 9 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 3
9 0 2 6 2 9 9 0 2 7 4 2 3 7 2 1 2 6 3 4 9 8 2 2 7 0 7 8 8 8 9 9 0 2 3 4 6 8 0 2 5 8 1 4 8 2 6 1 7 3 9 7 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 9 0 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 3
6 7 9 4 0 8 8 0 4 0 8 8 1 6 4 5 9 6 7 2 1 5 5 1 4 5 8 8 8 9 0 0 1 3 4 6 7 9 2 4 7 0 3 7 1 6 1 6 2 9 6 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 0 0 1 2 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 3
6 7 0 5 1 0 1 4 9 6 6 8 2 0 0 4 1 1 6 6 0 0 6 9 1 1 9 9 0 0 1 2 3 4 5 7 9 1 4 7 0 3 7 1 5 0 6 2 8 5 4 3 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 0 0 1 1 2 3 4 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 3
S
) s o d a r g (
4 3
7 8 2 7 5 5 8 3 0 1 4 0 9 1 8 8 2 1 5 5 1 5 7 8 1 7 2 2 3 3 4 5 6 8 0 2 4 7 9 3 6 0 5 0 5 1 8 5 3 2 3 4 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 0 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 3
8 9 3 9 7 8 2 8 7 9 4 3 4 0 9 3 2 6 5 1 5 7 9 2 8 1 4 4 5 5 6 7 9 0 2 4 7 0 3 7 0 5 0 5 1 8 5 3 2 3 4 8 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 8 9 0 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 3
1 3
. ] ) 9 1 . 7 ( n ó i c a u c e [
0 3
) s o d a r g (
1 2 7 4 4 7 3 2 4 0 0 3 1 4 1 4 2 8 1 2 4 7 4 7 0 9 0 0 0 1 2 3 5 7 9 2 5 8 2 6 1 6 2 8 6 4 3 3 5 8 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 0 1 2 4 6 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 9 7 8 2 9 0 5 3 5 2 3 0 1 9 4 7 8 9 2 9 2 5 4 6 3 3 3 4 5 7 8 1 3 6 9 3 7 2 7 2 9 6 4 3 4 5 9 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 7 7 8 9 0 1 2 3 5 7 9 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 5 6 2 1 3 0 1 6 6 1 2 9 3 5 6 6 9 5 8 1 9 1 9 7 7 7 8 9 1 3 5 8 1 4 8 3 8 3 0 7 5 4 4 6 9 5 2 4 9 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 9 9 0 1 2 3 4 6 8 0 2 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 5 . 5 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 2
0 2 8 7 9 6 6 1 0 4 2 6 6 2 5 6 5 5 7 3 5 8 6 7 4 7 1 1 1 2 3 5 7 0 3 6 0 4 9 5 1 8 6 5 5 7 0 5 3 4 0 2 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 0 0 1 2 3 4 6 7 9 1 4 7 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 5 . 5 . 5 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
a
1 . 7 a l b a T
3 4 8 4 4 5 0 8 9 2 0 1 5 4 7 5 8 8 4 7 9 0 4 0 3 6 7 7 7 8 9 0 2 3 5 8 1 4 7 1 5 0 5 1 8 5 3 3 3 5 8 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 0 1 3 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2
K
e d s e r o l a V
0 1 4 9 6 6 7 1 8 6 8 1 8 8 1 8 8 3 2 6 6 3 6 8 9 1 1 1 1 1 2 3 4 6 7 9 1 4 6 9 3 6 0 5 0 5 1 8 5 3 2 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 0 0 1 1 2 2 3 4 5 6 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
338
Capítulo 7: Presión lateral de tierra
Cara posterior vertical con relleno de suelo c 92f9 Para un muro de retención con cara posterior vertical (u 5 0) y relleno inclinado de suelo c92f9 (Mazindrani y Ganjali, 1997),
sa 5 gzKa 5 gzKa cos a r
r
(7.22)
donde
Ka 5 r
2cos2 a 1 2
1 cos2 f
r
2
c cos f sen f gz r
r
r
c 4 cos2a ( cos2 a2 cos2 f ) 1 4 gz r
r
2
c cos2 f 1 8 cos2 a sen f cos f gz r
r
r
21 r
(7.23)
Algunos valores de K a9 se dan en la tabla 7.2. Para un problema de este tipo, la profundidad de la grieta de tensión está dada como
zc 5
2 c g
r
1 1 sen f
r
1 2 sen f
r
Para este caso, la presión activa está inclinada a un ángulo a con la horizontal.
Tabla 7.2 Valores de Ka. r
9
c
gz f9 (grados)
15
20
25
30
a (grados)
0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15
0.025
0.05
0.1
0.5
0.550 0.566 0.621 0.776 0.455 0.465 0.497 0.567 0.374 0.381 0.402 0.443 0.305 0.309 0.323 0.350
0.512 0.525 0.571 0.683 0.420 0.429 0.456 0.514 0.342 0.348 0.366 0.401 0.276 0.280 0.292 0.315
0.435 0.445 0.477 0.546 0.350 0.357 0.377 0.417 0.278 0.283 0.296 0.321 0.218 0.221 0.230 0.246
20.179 20.184 20.186 20.196 20.210 20.212 20.218 20.229 20.231 20.233 20.239 20.250 20.244 20.246 20.252 20.263
(7.24)
342
Capítulo 7: Presión lateral de tierra
donde
Ka 5 Coeficiente de presión activa de tierra de Coulomb sen 2 ( b 1 f ) r
5
sen 2 b sen ( b2d ) 1 1 r
sen ( f 1 d ) sen ( f 2a ) r
r
r
2
(7.26)
sen ( b2d ) sen ( a 1 b ) r
y H 5 altura del muro. Los valores del coeficiente de presión activa de tierra, K a, para un muro de retención vertical (b 5 90°) con relleno horizontal (a 5 0°) se dan en la tabla 7.3. Observe que la línea de acción de la fuerza resultante ( Pa) actuará a una distancia H y3 arriba de la base del muro y estará inclinada a un ángulo d9 respecto a la normal trazada hasta la parte posterior del muro. En el diseño real de muros de retención, el valor del ángulo de fricción del muro d9 se supone que está entre f9y2 y 23 f9. Los coeficientes de presión activa de tierra para varios valores de f9, a y b con d9 5 12 f9 y 23 f9 se indican respectivamente en las tablas 7.4 y 7.5. Estos coeficientes son consideraciones de diseño muy útiles. Si una sobrecarga uniforme de intensidad q se ubica arriba del relleno, como se muestra en la figura 7.13, la fuerza activa, Pa, se puede calcular con Pa 5 12 KageqH 2 c ecuación (7.25)
(7.27)
donde
geq 5 g 1
sen b
2q
sen ( b 1 a )
H
(7.28)
Tabla 7.3 Valores de K a [ecuación (7.26)] para b 5 90° y a 5 0°. d9 (grados) f9 (grados)
0
5
10
15
20
25
28 30 32 34 36 38 40 42
0.3610 0.3333 0.3073 0.2827 0.2596 0.2379 0.2174 0.1982
0.3448 0.3189 0.2945 0.2714 0.2497 0.2292 0.2098 0.1916
0.3330 0.3085 0.2853 0.2633 0.2426 0.2230 0.2045 0.1870
0.3251 0.3014 0.2791 0.2579 0.2379 0.2190 0.2011 0.1841
0.3203 0.2973 0.2755 0.2549 0.2354 0.2169 0.1994 0.1828
0.3186 0.2956 0.2745 0.2542 0.2350 0.2167 0.1995 0.1831
7.5 Presión activa de tierra de Coulomb 343 Tabla 7.4 Valores de K a [de la ecuación (7.26)] para d 5 r
2 3
f. r
b (grados) a (grados)
f9 (grados)
90
85
80
75
70
65
0
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28
0.3213 0.3091 0.2973 0.2860 0.2750 0.2645 0.2543 0.2444 0.2349 0.2257 0.2168 0.2082 0.1998 0.1918 0.1840 0.3431 0.3295 0.3165 0.3039 0.2919 0.2803 0.2691 0.2583 0.2479 0.2379 0.2282 0.2188 0.2098 0.2011 0.1927 0.3702 0.3548 0.3400 0.3259 0.3123 0.2993 0.2868 0.2748 0.2633 0.2522 0.2415 0.2313 0.2214 0.2119 0.2027 0.4065
0.3588 0.3467 0.3349 0.3235 0.3125 0.3019 0.2916 0.2816 0.2719 0.2626 0.2535 0.2447 0.2361 0.2278 0.2197 0.3845 0.3709 0.3578 0.3451 0.3329 0.3211 0.3097 0.2987 0.2881 0.2778 0.2679 0.2582 0.2489 0.2398 0.2311 0.4164 0.4007 0.3857 0.3713 0.3575 0.3442 0.3314 0.3190 0.3072 0.2957 0.2846 0.2740 0.2636 0.2537 0.2441 0.4585
0.4007 0.3886 0.3769 0.3655 0.3545 0.3439 0.3335 0.3235 0.3137 0.3042 0.2950 0.2861 0.2774 0.2689 0.2606 0.4311 0.4175 0.4043 0.3916 0.3792 0.3673 0.3558 0.3446 0.3338 0.3233 0.3131 0.3033 0.2937 0.2844 0.2753 0.4686 0.4528 0.4376 0.4230 0.4089 0.3953 0.3822 0.3696 0.3574 0.3456 0.3342 0.3231 0.3125 0.3021 0.2921 0.5179
0.4481 0.4362 0.4245 0.4133 0.4023 0.3917 0.3813 0.3713 0.3615 0.3520 0.3427 0.3337 0.3249 0.3164 0.3080 0.4843 0.4707 0.4575 0.4447 0.4324 0.4204 0.4088 0.3975 0.3866 0.3759 0.3656 0.3556 0.3458 0.3363 0.3271 0.5287 0.5128 0.4974 0.4826 0.4683 0.4545 0.4412 0.4283 0.4158 0.4037 0.3920 0.3807 0.3697 0.3590 0.3487 0.5868
0.5026 0.4908 0.4794 0.4682 0.4574 0.4469 0.4367 0.4267 0.4170 0.4075 0.3983 0.3894 0.3806 0.3721 0.3637 0.5461 0.5325 0.5194 0.5067 0.4943 0.4823 0.4707 0.4594 0.4484 0.4377 0.4273 0.4172 0.4074 0.3978 0.3884 0.5992 0.5831 0.5676 0.5526 0.5382 0.5242 0.5107 0.4976 0.4849 0.4726 0.4607 0.4491 0.4379 0.4270 0.4164 0.6685
0.5662 0.5547 0.5435 0.5326 0.5220 0.5117 0.5017 0.4919 0.4824 0.4732 0.4641 0.4553 0.4468 0.4384 0.4302 0.6190 0.6056 0.5926 0.5800 0.5677 0.5558 0.5443 0.5330 0.5221 0.5115 0.5012 0.4911 0.4813 0.4718 0.4625 0.6834 0.6672 0.6516 0.6365 0.6219 0.6078 0.5942 0.5810 0.5682 0.5558 0.5437 0.5321 0.5207 0.5097 0.4990 0.7670
5
10
15
(continúa)
344
Capítulo 7: Presión lateral de tierra Tabla 7.4 (continuación) b (grados) a (grados)
20
f9 (grados)
90
85
80
75
70
65
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
0.3881 0.3707 0.3541 0.3384 0.3234 0.3091 0.2954 0.2823 0.2698 0.2578 0.2463 0.2353 0.2247 0.2146 0.4602 0.4364 0.4142 0.3935 0.3742 0.3559 0.3388 0.3225 0.3071 0.2925 0.2787 0.2654 0.2529 0.2408 0.2294
0.4397 0.4219 0.4049 0.3887 0.3732 0.3583 0.3442 0.3306 0.3175 0.3050 0.2929 0.2813 0.2702 0.2594 0.5205 0.4958 0.4728 0.4513 0.4311 0.4121 0.3941 0.3771 0.3609 0.3455 0.3308 0.3168 0.3034 0.2906 0.2784
0.4987 0.4804 0.4629 0.4462 0.4303 0.4150 0.4003 0.3862 0.3726 0.3595 0.3470 0.3348 0.3231 0.3118 0.5900 0.5642 0.5403 0.5179 0.4968 0.4769 0.4581 0.4402 0.4233 0.4071 0.3916 0.3768 0.3626 0.3490 0.3360
0.5672 0.5484 0.5305 0.5133 0.4969 0.4811 0.4659 0.4513 0.4373 0.4237 0.4106 0.3980 0.3858 0.3740 0.6714 0.6445 0.6195 0.5961 0.5741 0.5532 0.5335 0.5148 0.4969 0.4799 0.4636 0.4480 0.4331 0.4187 0.4049
0.6483 0.6291 0.6106 0.5930 0.5761 0.5598 0.5442 0.5291 0.5146 0.5006 0.4871 0.4740 0.4613 0.4491 0.7689 0.7406 0.7144 0.6898 0.6666 0.6448 0.6241 0.6044 0.5856 0.5677 0.5506 0.5342 0.5185 0.5033 0.4888
0.7463 0.7265 0.7076 0.6895 0.6721 0.6554 0.6393 0.6238 0.6089 0.5945 0.5805 0.5671 0.5541 0.5415 0.8880 0.8581 0.8303 0.8043 0.7799 0.7569 0.7351 0.7144 0.6947 0.6759 0.6579 0.6407 0.6242 0.6083 0.5930
Tabla 7.5 Valores de K a [de la ecuación (7.26)] para d 5 f > 2 . r
r
b (grados) a (grados)
0
f9 (grados)
28 29 30 31 32 33 34 35 36
90
85
80
75
70
65
0.3264 0.3137 0.3014 0.2896 0.2782 0.2671 0.2564 0.2461 0.2362
0.3629 0.3502 0.3379 0.3260 0.3145 0.3033 0.2925 0.2820 0.2718
0.4034 0.3907 0.3784 0.3665 0.3549 0.3436 0.3327 0.3221 0.3118
0.4490 0.4363 0.4241 0.4121 0.4005 0.3892 0.3782 0.3675 0.3571
0.5011 0.4886 0.4764 0.4645 0.4529 0.4415 0.4305 0.4197 0.4092
0.5616 0.5492 0.5371 0.5253 0.5137 0.5025 0.4915 0.4807 0.4702
7.5 Presión activa de tierra de Coulomb 345 Tabla 7.5 (continuación) b (grados) a (grados)
5
10
15
f9 (grados)
37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35
90
85
80
75
70
65
0.2265 0.2172 0.2081 0.1994 0.1909 0.1828 0.3477 0.3337 0.3202 0.3072 0.2946 0.2825 0.2709 0.2596 0.2488 0.2383 0.2282 0.2185 0.2090 0.1999 0.1911 0.3743 0.3584 0.3432 0.3286 0.3145 0.3011 0.2881 0.2757 0.2637 0.2522 0.2412 0.2305 0.2202 0.2103 0.2007 0.4095 0.3908 0.3730 0.3560 0.3398 0.3244 0.3097 0.2956
0.2620 0.2524 0.2431 0.2341 0.2253 0.2168 0.3879 0.3737 0.3601 0.3470 0.3342 0.3219 0.3101 0.2986 0.2874 0.2767 0.2662 0.2561 0.2463 0.2368 0.2276 0.4187 0.4026 0.3872 0.3723 0.3580 0.3442 0.3309 0.3181 0.3058 0.2938 0.2823 0.2712 0.2604 0.2500 0.2400 0.4594 0.4402 0.4220 0.4046 0.3880 0.3721 0.3568 0.3422
0.3017 0.2920 0.2825 0.2732 0.2642 0.2554 0.4327 0.4185 0.4048 0.3915 0.3787 0.3662 0.3541 0.3424 0.3310 0.3199 0.3092 0.2988 0.2887 0.2788 0.2693 0.4688 0.4525 0.4368 0.4217 0.4071 0.3930 0.3793 0.3662 0.3534 0.3411 0.3292 0.3176 0.3064 0.2956 0.2850 0.5159 0.4964 0.4777 0.4598 0.4427 0.4262 0.4105 0.3953
0.3469 0.3370 0.3273 0.3179 0.3087 0.2997 0.4837 0.4694 0.4556 0.4422 0.4292 0.4166 0.4043 0.3924 0.3808 0.3695 0.3585 0.3478 0.3374 0.3273 0.3174 0.5261 0.5096 0.4936 0.4782 0.4633 0.4489 0.4350 0.4215 0.4084 0.3957 0.3833 0.3714 0.3597 0.3484 0.3375 0.5812 0.5611 0.5419 0.5235 0.5059 0.4889 0.4726 0.4569
0.3990 0.3890 0.3792 0.3696 0.3602 0.3511 0.5425 0.5282 0.5144 0.5009 0.4878 0.4750 0.4626 0.4505 0.4387 0.4272 0.4160 0.4050 0.3944 0.3840 0.3738 0.5928 0.5761 0.5599 0.5442 0.5290 0.5143 0.5000 0.4862 0.4727 0.4597 0.4470 0.4346 0.4226 0.4109 0.3995 0.6579 0.6373 0.6175 0.5985 0.5803 0.5627 0.5458 0.5295
0.4599 0.4498 0.4400 0.4304 0.4209 0.4177 0.6115 0.5972 0.5833 0.5698 0.5566 0.5437 0.5312 0.5190 0.5070 0.4954 0.4840 0.4729 0.4620 0.4514 0.4410 0.6719 0.6549 0.6385 0.6225 0.6071 0.5920 0.5775 0.5633 0.5495 0.5361 0.5230 0.5103 0.4979 0.4858 0.4740 0.7498 0.7284 0.7080 0.6884 0.6695 0.6513 0.6338 0.6168 (continúa)
346
Capítulo 7: Presión lateral de tierra Tabla 7.5 (continuación) b (grados) a (grados) f9 (grados)
36 37 38 39 40 41 42 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
20
90
85
80
75
70
65
0.2821 0.2692 0.2569 0.2450 0.2336 0.2227 0.2122 0.4614 0.4374 0.4150 0.3941 0.3744 0.3559 0.3384 0.3218 0.3061 0.2911 0.2769 0.2633 0.2504 0.2381 0.2263
0.3282 0.3147 0.3017 0.2893 0.2773 0.2657 0.2546 0.5188 0.4940 0.4708 0.4491 0.4286 0.4093 0.3910 0.3736 0.3571 0.3413 0.3263 0.3120 0.2982 0.2851 0.2725
0.3807 0.3667 0.3531 0.3401 0.3275 0.3153 0.3035 0.5844 0.5586 0.5345 0.5119 0.4906 0.4704 0.4513 0.4331 0.4157 0.3991 0.3833 0.3681 0.3535 0.3395 0.3261
0.4417 0.4271 0.4130 0.3993 0.3861 0.3733 0.3609 0.6608 0.6339 0.6087 0.5851 0.5628 0.5417 0.5216 0.5025 0.4842 0.4668 0.4500 0.4340 0.4185 0.4037 0.3894
0.5138 0.4985 0.4838 0.4695 0.4557 0.4423 0.4293 0.7514 0.7232 0.6968 0.6720 0.6486 0.6264 0.6052 0.5851 0.5658 0.5474 0.5297 0.5127 0.4963 0.4805 0.4653
0.6004 0.5846 0.5692 0.5543 0.5399 0.5258 0.5122 0.8613 0.8313 0.8034 0.7772 0.7524 0.7289 0.7066 0.6853 0.6649 0.6453 0.6266 0.6085 0.5912 0.5744 0.5582
Sobrecarga = q
C
a
A
g f c = 0
H
Pa
b B K ag H sen b
sen sen (b + ) a)
b)
Figura 7.13 Presión activa de Coulomb con una sobrecarga sobre el relleno.
348
Capítulo 7: Presión lateral de tierra
7.6
Presión lateral de tierra debida a una sobrecarga En varios casos se utiliza la teoría de la elasticidad para determinar la presión lateral de tierra sobre estructuras de retención sin cedencia causada por varios tipos de sobrecargas, como carga en línea (figura 7.14a) y carga en franja (figura 7.14b). De acuerdo con la teoría de la elasticidad, el esfuerzo en cualquier profundidad, z, sobre una estructura de retención causada por una carga en línea de intensidad qylongitud unitaria (figura 7.14a) se expresa con
s5
2q
a2b
pH ( a2 1 b 2 ) 2
(7.29)
donde s 5 esfuerzo horizontal a la profundidad z 5 bH (Consulte el significado de los términos a y b en la figura 7.14a).
Carga en línea qylongitud unitaria aH
z = bH
s
H
a)
b
a qylongitud unitaria
b z H
P
a
z
s
b)
Figura 7.14 Presión lateral de tierra causada por a) carga en línea y b) carga de franja.
7.6 Presión lateral de tierra debida a una sobrecarga 349
Sin embargo, debido a que el suelo no es un medio perfectamente elástico, se pueden esperar algunas desviaciones de la ecuación (7.29). Las formas modificadas de esta ecuación generalmente aceptadas para emplearlas con suelos son las siguientes:
s5
a 2b
4a
pH ( a2 1 b 2 )
para a . 0.4
(7.30)
para a # 0.4
(7.31)
y
s5
q
0.203b
H ( 0.16 1 b 2 ) 2
En la figura 7.14b se muestra una carga de franja con una intensidad de qyárea unitaria ubicada a una distancia b9 de un muro de altura H . Con base en la teoría de la elasticidad, el esfuerzo horizontal, s, a cualquier profundidad z sobre una estructura de retención es
s5
q ( b 2 sen b cos 2a ) p
(7.32)
(Los ángulos a y b se definen en la figura 7.14b.) Sin embargo, en el caso de suelos, el lado derecho de la ecuación (7.32) se duplica para tomar en cuenta la cedencia de la masa de suelo, o
s5
2q ( b 2 sen b cos 2a ) p
(7.33)
La fuerza total por longitud unitaria ( P) debida sólo a una carga de franja (Jarquio, 1981) se puede expresar como
P 5
q 90
H ( u2 2 u1 )
(7.34)
donde
u1 5 tan
2
u2 5 tan
21
b9 H
( grados)
a 9 1 b 9 H
(7.35)
( grados)
(7.36)
La ubicación z– (consulte la figura 7.14b) de la fuerza resultante, P, se puede obtener con
z 5 H 2
H 2 ( u2 2 u1 ) 1 ( R 2 Q ) 2 57.3a H r
2H ( u2 2 u1 )
(7.37)
7.7 Presión activa de tierra para condiciones sísmicas 353 Tabla 7.6 Valores de K ae [ecuación (7.43)] para b 5 908 y kv 5 0. f9(grados) k h
d9 (grados)
a (grados)
28
30
35
40
45
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
0
0.427 0.508 0.611 0.753 1.005
0.397 0.473 0.569 0.697 0.890
0.328 0.396 0.478 0.581 0.716
0.268 0.382 0.400 0.488 0.596
0.217 0.270 0.334 0.409 0.500
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
5
0.457 0.554 0.690 0.942 —
0.423 0.514 0.635 0.825 —
0.347 0.424 0.522 0.653 0.855
0.282 0.349 0.431 0.535 0.673
0.227 0.285 0.356 0.442 0.551
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0
10
0.497 0.623 0.856 — —
0.457 0.570 0.748 — —
0.371 0.461 0.585 0.780 —
0.299 0.375 0.472 0.604 0.809
0.238 0.303 0.383 0.486 0.624
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f >2
0
0.396 0.485 0.604 0.778 1.115
0.368 0.452 0.563 0.718 0.972
0.306 0.380 0.474 0.599 0.774
0.253 0.319 0.402 0.508 0.648
0.207 0.267 0.340 0.433 0.522
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f >2
5
0.428 0.537 0.699 1.025 —
0.396 0.497 0.640 0.881 —
0.326 0.412 0.526 0.690 0.962
0.268 0.342 0.438 0.568 0.752
0.218 0.283 0.367 0.475 0.620
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f >2
10
0.472 0.616 0.908 — —
0.433 0.562 0.780 — —
0.352 0.454 0.602 0.857 —
0.285 0.371 0.487 0.656 0.944
0.230 0.303 0.400 0.531 0.722
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2 3f r
0
0.393 0.486 0.612 0.801 1.177
0.366 0.454 0.572 0.740 1.023
0.306 0.384 0.486 0.622 0.819
0.256 0.326 0.416 0.533 0.693
0.212 0.276 0.357 0.462 0.600
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2 3f r
5
0.427 0.541 0.714 1.073 —
0.395 0.501 0.655 0.921 —
0.327 0.418 0.541 0.722 1.034
0.271 0.350 0.455 0.600 0.812
0.224 0.294 0.386 0.509 0.679
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2 3f r
10
0.472 0.625 0.942 — —
0.434 0.570 0.807 — —
0.354 0.463 0.624 0.909 —
0.290 0.381 0.509 0.699 1.037
0.237 0.317 0.423 0.573 0.800
r
r
r
364
Capítulo 7: Presión lateral de tierra Tabla 7.8
Coeficiente de presión pasiva de tierra K p [de la ecuación (7.67)]. f9 (grados) S
Ta (grados)
28
30
32
34
36
38
0 5 10 15 20 25
2.770 2.715 2.551 2.284 1.918 1.434
3.000 2.943 2.775 2.502 2.132 1.664
3.255 3.196 3.022 2.740 2.362 1.894
3.537 3.476 3.295 3.003 2.612 2.135
3.852 3.788 3.598 3.293 2.886 2.394
4.204 4.136 3.937 3.615 3.189 2.676
40
4.599 4.527 4.316 3.977 3.526 2.987
Igual que en el caso de la fuerza activa, la fuerza resultante, P p, está inclinada a un ángulo a con la horizontal e interseca el muro a una distancia H y3 desde el fondo del muro. Los valores de K p (el coeficiente de presión pasiva de tierra) para varios valores de a y f9 se dan en la tabla 7.8.
Suelo c 92f9 Si el relleno del muro de retención vertical sin fricción es un suelo c92f9 (consulte la figura 7.10), entonces (Mazindrani y Ganjali, 1997)
sa 5 gzKp 5 gzKp cos a r
r
(7.68)
donde
K p 5 r
2 cos2 a 1 2
1 cos2 f
r
1
r
c cos f sen f gz r
c 4cos a ( cos a 2 cos f ) 1 4 gz 2
2
2
r
r
2
r
r
c cos f 1 8 cos2a sen f cos f gz 2
r
r
21 r
(7.69) La variación de K p9 con f9, a y c9yg z se indica en la tabla 7.9 (Mazindrani y Ganjali, 1997).
Tabla 7.9 Valores de Kp . r
9 , gz
c
f9 (grados)
a (grados)
0.025
0.050
0.100
0.500
15
0 5 10 15 0 5 10 15 0 5 10 15
1.764 1.716 1.564 1.251 2.111 2.067 1.932 1.696 2.542 2.499 2.368 2.147
1.829 1.783 1.641 1.370 2.182 2.140 2.010 1.786 2.621 2.578 2.450 2.236
1.959 1.917 1.788 1.561 2.325 2.285 2.162 1.956 2.778 2.737 2.614 2.409
3.002 2.971 2.880 2.732 3.468 3.435 3.339 3.183 4.034 3.999 3.895 3.726
20
25
(continúa)
7.12 Presión pasiva de tierra de Coulomb 365 Tabla 7.9 (continuación) 9 , gz
c
7.12
f9 (grados)
a (grados)
0.025
0.050
0.100
0.500
30
0 5 10 15
3.087 3.042 2.907 2.684
3.173 3.129 2.996 2.777
3.346 3.303 3.174 2.961
4.732 4.674 4.579 4.394
Presión pasiva de tierra de Coulomb Coulomb (1776) también presentó un análisis para determinar la presión pasiva de tierra (es decir, cuando el muro se mueve hacia la masa de suelo) para muros con ángulo de fricción (d9 5 ángulo de fricción del muro) y conteniendo un material de relleno granular similar al analizado en la sección 7.5. Para comprender la determinación de la fuerza pasiva de Coulomb, P p, considere el muro que se muestra en la figura 7.25a. Igual que en el caso de la presión activa, Coulomb supuso que la superficie potencial de falla en el suelo era un plano. Para una cuña de falla de prueba de suelo, como la ABC 1, las fuerzas por longitud unitaria del muro que actúan sobre la cuña son: 1. El peso de la cuña, W 2. La resultante, R, de las fuerzas normal y cortante sobre el plano BC 1 y 3. La fuerza pasiva, P p Fuerza pasiva
P p(mín)
a Movimiento del muro hacia el suelo
C 2
C 3
C 1
A P p R f W
P p
H
b d
d H y3
u1
b
g c 0 f
R W
u1 f
B
a)
Figura 7.25 Presión pasiva de Coulomb.
b)
366
Capítulo 7: Presión lateral de tierra Tabla 7.10 Valores de K p [de la ecuación (7.71)] para b 5 90° y a 5 0°. d9 (grados) f9 (grados)
0
5
10
15
20
15 20 25 30 35 40
1.698 2.040 2.464 3.000 3.690 4.600
1.900 2.313 2.830 3.506 4.390 5.590
2.130 2.636 3.286 4.143 5.310 6.946
2.405 3.030 3.855 4.977 6.854 8.870
2.735 3.525 4.597 6.105 8.324 11.772
En la figura 7.25b se muestra el triángulo de fuerzas en equilibrio para la cuña de prueba ABC 1. A partir de este triángulo de fuerzas, se puede determinar el valor de P p, debido a que se conoce la dirección de las tres fuerzas y la magnitud de una fuerza. Se pueden elaborar triángulos similares para varias cuñas de prueba, como ABC 1, ABC 2, ABC 3, . . . , y determinar los valores correspondientes de P p. En la parte superior de la figura 7.25a se muestra la variación de los valores de P p para cuñas diferentes. El valor mínimo de P p en este diagrama es la fuerza pasiva de Coulomb, cuya expresión en forma matemática es
Pp 5 12 gH 2Kp
(7.70)
donde
Kp 5 coeficiente de presión pasiva de Coulomb sen 2 ( b2f ) r
5
sen 2b sen ( b 1 d ) 1 2 r
sen ( f 1 d ) sen ( f 1 a ) r
r
r
2
(7.71)
sen ( b 1 d ) sen ( b 1 a ) r
Los valores del coeficiente de presión pasiva, K p, para varios valores de f9 y d9 se indican en la tabla 7.10 ( b 5 90°, a 5 0°). Observe que la fuerza pasiva resultante, P p, actuará a una distancia H y3 desde el fondo del muro y estará inclinada a un ángulo d9 con la normal trazada hasta la cara posterior del muro.
7.13
Comentarios sobre la suposición de la superficie de falla para los cálculos de la presión de Coulomb Los métodos de cálculo de la presión de Coulomb para la presión activa y pasiva se analizaron en las secciones 7.5 y 7.12. La suposición fundamental en estos análisis es la aceptación de la superficie de falla plana. Sin embargo, para muros con fricción, esta suposición no es válida en la práctica. La naturaleza de la superficie de falla real en la masa de suelo para la presión activa y pasiva se muestra en la figura 7.26a y b, respectivamente (para un muro vertical con un relleno horizontal). Observe que la superficie de falla BC es curva y que la superficie de falla CD es un plano. Si bien la superficie de falla real en el suelo para el caso de presión activa es un poco diferente de la supuesta en el cálculo de la presión de Coulomb, los resultados no son muy diferentes. Sin embargo, en el caso de presión pasiva, conforme aumenta el valor de d9, el método de cálculo
368
Capítulo 7: Presión lateral de tierra 18
16 d 1 f 14 0.8
12
0.6 10 0.4
p
K
8 0.2 6 0 4
2
0 20
25
30 35 40 ángulo de fricción del suelo, f (grados)
45
Figura 7.27 K p basado en el análisis de Shields y Tolunay.
A
′
C
45 – f y2 ′
45 – f y2 ′
u Suelo granular g
H
′
f
′
d H 3
C
B
Figura 7.28 Solución de la presión pasiva mediante el método de rebanadas triangulares. ( Nota: BC es un arco de una espiral logarítmica)
7.13 Comentarios sobre la suposición de la superficie de falla para los cálculos de la presión de Coulomb 369
Las variaciones de K p(d9 5 0) se indican en la tabla 7.11 y los valores interpolados de R en la tabla 7.12.
Tabla 7.11 Variación de K p(
0) [consulte
la ecuación (7.73) y la figura 7.28]*. (grados)
(grados)
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 *
30
25
20
15
10
5
0
1.70 1.74 1.77 1.81 1.84 1.88 1.91 1.95 1.99 2.03 2.07 2.11 2.15 2.20 2.24 2.29 2.33 2.38 2.43 2.48 2.53 2.59 2.64 2.70 2.76 2.82
1.69 1.73 1.77 1.81 1.85 1.89 1.93 1.98 2.02 2.07 2.11 2.16 2.21 2.26 2.32 2.37 2.43 2.49 2.55 2.61 2.67 2.74 2.80 2.88 2.94 3.02
1.72 1.76 1.80 1.85 1.90 1.95 1.99 2.05 2.10 2.15 2.21 2.27 2.33 2.39 2.45 2.52 2.59 2.66 2.73 2.81 2.89 2.97 3.05 3.14 3.23 3.32
1.77 1.81 1.87 1.92 1.97 2.03 2.09 2.15 2.21 2.27 2.34 2.41 2.48 2.56 2.64 2.72 2.80 2.89 2.98 3.07 3.17 3.27 3.38 3.49 3.61 3.73
1.83 1.89 1.95 2.01 2.07 2.14 2.21 2.28 2.35 2.43 2.51 2.60 2.68 2.77 2.87 2.97 3.07 3.18 3.29 3.41 3.53 3.66 3.80 3.94 4.09 4.25
1.92 1.99 2.06 2.13 2.21 2.28 2.36 2.45 2.54 2.63 2.73 2.83 2.93 3.04 3.16 3.28 3.41 3.55 3.69 3.84 4.00 4.16 4.34 4.52 4.72 4.92
2.04 2.12 2.20 2.28 2.37 2.46 2.56 2.66 2.77 2.88 3.00 3.12 3.25 3.39 3.53 3.68 3.84 4.01 4.19 4.38 4.59 4.80 5.03 5.27 5.53 5.80
Basada en Zhu y Qian, (2000).
Tabla 7.12 Variación de R [ecuación (7.73)]. R para
(grados)
(grados)
/
30
35
40
45
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.2 1.4 1.65 1.95 2.2 1.2 1.4 1.6 1.9 2.15
1.28 1.6 1.95 2.4 2.85 1.25 1.6 1.9 2.35 2.8
1.35 1.8 2.4 3.15 3.95 1.32 1.8 2.35 3.05 3.8
1.45 2.2 3.2 4.45 6.1 1.4 2.1 3.0 4.3 5.7
5
370
Capítulo 7: Presión lateral de tierra Tabla 7.12 (continuación) R para (grados)
10
15
20
7.14
(grados)
/
30
35
40
45
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.15 1.35 1.6 1.8 2.05 1.15 1.35 1.55 1.8 2.0 1.15 1.35 1.5 1.8 1.9
1.2 1.5 1.85 2.25 2.65 1.2 1.5 1.8 2.2 2.6 1.2 1.45 1.8 2.1 2.4
1.3 1.7 2.25 2.9 3.6 1.3 1.65 2.2 2.8 3.4 1.3 1.65 2.1 2.6 3.2
1.4 2.0 2.9 4.0 5.3 1.35 1.95 2.7 3.8 4.95 1.35 1.9 2.6 3.55 4.8
Presión pasiva en condiciones sísmicas Subba Rao y Choudhury (2005) evaluaron la relación para la presión pasiva de tierra sobre un muro de retención con u n relleno granular y en condiciones sísmicas mediante el método del equilibrio límite utilizando el enfoque seudoestático. En la figura 7.29 se muestra la naturaleza de la superficie de falla en el suelo considerada en este análisis. La presión pasiva, P pe , se puede expresar como
Ppe 5
1 2 2gH Kpg(e)
1 cos d
r
(7.74)
donde K pg(e) 5 coeficiente de presión pasiva de tierra en la dirección normal respecto al muro.
A
D
45 fy2
45 fy2 H 2 H 3 P pe
d C
Suelo granular g f c 0
B
Figura 7.29 Naturaleza de la superficie de falla en el suelo considerada en el análisis para determinar P pe.
Problemas 371 15
10
k y 0
f 40
12
k y k h
f 40
8
k y 0 k y k h
9 ) e (
6
40
4
30
) e (
40
K
K
p
p
6
30
30
30 3
20 2
20 10
20
10 10
d 1 f
10
20
0
d 0.5 f
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0.1
0.2
0.3
k h
k h
a)
b)
Figura 7.30 Variación de K pg(e) : a)
0.4
0.5
d d 5 1, b) 5 0.5. f f r
r
r
r
K pg(e) es una función de k h y k que son, respectivamente, los coeficientes de la aceleración horizontal y vertical debidos a un sismo. Las variaciones de K pg(e) para d9yf9 5 0.5 y 1 se muestran en las figuras 7.30a y b. La presión pasiva P pe estará inclinada a un ángulo d9 respecto a la cara posterior del muro y actuará a una distancia de H y3 arriba del fondo del muro. v
Problemas 7.1
7.2
7.3
Consulte la figura 7.3a. Datos: H 5 3.5 m, q 5 20 kN/m2, g 5 18.2 kN/m3 c9 5 0 y f9 5 35°. Determine la fuerza lateral en reposo de tierra por longitud métrica del muro. Además, encuentre la ubicación de la resultante. Utilice la ecuación (7.4) y OCR 5 1.5. Utilice la ecuación (7.3), la figura P7.2 y los valores siguientes para determinar la fuerza lateral en reposo de tierra por longitud unitaria del muro. Además, encuentre la ubicación de la resultante. H 5 5 m, H 1 5 2 m, H 2 5 3 m, g 5 15.5 kN m3, gsat 5 18.5 kN m3, f9 5 34°, c9 5 0, q 5 20 kN m2 y OCR 5 1. Consulte la figura 7.6a. Dada la altura del muro de retención, H 5 6.4 m y que el relleno es una arcilla saturada con f 5 0°, c 5 30.2 kNym2, gsat 5 17.76 kNym3: a. Determine el diagrama de la distribución de la presión activa de Rankine detrás del muro. b. Determine la profundidad de la grieta de tensión, zc. c. Estime la fuerza activa de Rankine por longitud en pies del muro antes y después de la ocurrencia de la grieta de tensión.
