Tabla Integr Completa

Tabla de integrales

1.

Forma ormass elem elemen ental tales es

    (1) = −   1 (2) = + ; +1   (3) = ln | | +   (4) = +   (5) = + ln   (6) sen = − cos +   (7) cos = sen +   (8) sec = tan +   (9) csc = − cot +   (10) sec tan = sec +   (11) csc cot = − csc + udv

uv

un du

vdu

un+1

n

du

u

u

eu du

a du

C 

au

a

C 

u du

u

u du

u

2

u du

2

u du

 −1

C 

eu

u

n=

C 

u

u du

u

u du

C 

C 

u

C 

u

C 

u

C 

u

C 

1

  (12) tan = ln | cos | +   (13) cot = ln | sen | +   (14) sec = ln | sec + tan | +   (15) csc = ln | csc − cot | +   √ − = sen + (16)   1 (17) = tan + +     1  +  (18) − = 2 ln  −  +     1 √ − = sec   + (19) u du

u

C 

u du

u

C 

u du

u

u

C 

u du

u

u

C 

du

a2

−

u2

−

u2

1

a

C 

u2

du u u2 a2

u

C 

a

du

2.

u a

du

a2

a2

1

u u

a

a a

−

a

1

C 

u a

C 

Formas trigonom´ etricas 2

u du =

1 u 2

2

u du =

1 1 u + sen2u + C  2 4

2

u du = tan u

2

u du =

− cot u − u + C 

3

u du =

− 13 (2 + sen

3

u du =

1 (2 + cos2 u)sen u + C  3

  (20) sen   (21) cos   (22) tan   (23) cot   (24) sen   (25) cos

− 14 sen2u + C 

− u + C  2

u)cos u + C 

2

3

u du =

1 tan2 u + ln cos u + C  2

3

u du =

1 cot2 u 2

3

u du =

1 1 sec u tan u + ln sec u + tan u + C  2 2

  (26) tan   (27) cot   (28) sec   (29) csc   (30) sen   (31) cos   (32) sen   (33) sen   (34) cos   (35) tan   (36) cot   (37) sec   (38) csc

|

− ln | sen u| + C  |

|

− 12 csc u cot u + 12 ln | csc u − cot u| + C  sen(a − b)u sen(a + b)u − 2(a + b) + C ; a = b au sen bu du = 2(a − b) sen(a − b)u sen(a + b)u + + C ; a  =b au cos bu du = 2(a − b) 2(a + b) cos(a − b)u cos(a + b)u − 2(a + b) + C ; a = b au cos bu du = − 2(a − b)   1 n−1 u du = − sen u cos u + u du sen n n   1 n−1 u du = cos u sen u + u du cos

3

u du =

n−1

n

n

n

n

n

n

2

2

2

2

2

n

  (39) sen

|

n−2

n−1

n−2

n

u du =

n

1

n−1

tan

−1 −1 cot u du = n−1 n

n− 1

u du =

1

n−2

sec

−1 −1 csc u du = n−1 n

n−2

m

2

u cos u du =

− n

u

u

  − tan   − cot

n−2

n− 2

u du;

n=1



u du;

n=1



− 2   u tan u + sec n−1   n−2 csc u cot u + n−1

senn

n

n−2

u du;

n=1

n−2

u du;

n=1





u cosm+1 u + n+m

−

1

− 1  sen

n+m

3

n−2

u cosm u du; n =

 −m

n

  (41)   (42)   (43)   (44)

senn+1 u cosm 1 u + u cos u du = n+m n 1 senn u cosm 2 u du; m = n+m −

  (40) sen

m

−

−

u sen u du = sen u

 

 −n

−

− u cos u + C 

u cos u du = cos u + u sen u + C  n

u sen u du un cos u du

  = − cos +   = sen − n

u

u

un

u

n

un

un

n

1

−

1

−

cos u du

sen u du

√ 3. Formas que involucran u2 ± a2     √ √ √ (45) = ± ± ± 2 ln  + ±  + 2     √ √ ± = ln  + ±  + (46) √ +  +√ +    √ (47) = + − ln + √ −   √ − − (48) = sec +    √ √ √ (49) = (2 ± ) ln  + ± ± − 8 8     √ √  √ ± = 2 ±  2 ln + ±  + (50) √ ±   √ ± = (51) + √ ± √ ±     √ ± + (52) =− + ln  + u2

a2

u

du

du

u2

u2 a2 du u a2

u

2

u

u2

du

a2

du

u2 du

u2

u

a2

u2 u2 u2

u2

a2

a2

du

a2

u2

a2

a

u2

a2

a

u

2

2

u

u2

a2 u u2

a2

u2 u

a

−

1

u

C 

u2

u

a2

C 

C 

a

a2

a2

u2

u

C 

a

a2

u2

du

a2

a2

u2

u

a2

u2

u2

a4

a2

u2

u

a2

C 

C 

a2

u

u

4

u2

a2

C 

u2

±

a2

 +

C 

  (53)

(u2

  (54) (

2

√± ±

du u = + C  a2 )3/2 a2 u2 a2

±

2 3/2

±a )

u

du =

u

8

2

2

(2u

± 5a )

√

u2

3a4 2 a + ln u + 8



±

√

u2

√ 4. Formas que involucran a2 − u2   √ √ − − + sen + (55) = a2

√   (56)

u2

a2

2

u

2

√

a2

−

du =

u2

√ u a −u   √a − u 2

2

√

a2

u

−2

du =

u

8

2

a2

u2

2

√

a2

2

(2u

−

u2

2

 ln 

−a )

√a − u =−

√a − u   + C  2

2

u

a2

+

√

a+

C 

2 a2

sen

−

1

−

u2



u + C  a

+

a4

8

sen

1

−

u a

+ C 

2

+ C 

a2 u

√a − u u − du = − sen + C  u u a   √ du = − 1 ln  a + √a − u  + C  a u u a −u 2

2

2

2

1

−

2

2

(61)

u a

1

−

2

−u −a

2

du

  (59) (60)

du =

−u

a2

2

2

−u

u2

a2

  (58)

du

u

  √ (57)

u

  (62)

2

(a2

  (63) (

a2

2

2

du u = u2 )3/2 a2 a2

√ −u

−

2 3/2

−u )

du =

u

8

(5a2

2

+ C 

2

− 2u )

√

5

a2

2

−u

+

3a4 sen 8

−

1

2

±a

u + C  a

 +

C 

5.

Formas exponenciales y logar´ıtmicas

  (64) e = ( − 1)e +     (65) e = e − e   (66) ln = ln − +   (67) ln = ln − + +1 ( + 1)   e (68) e sen = ( sen − cos +   e (69) e cos = ( cos + sen u u du

u

un

un

u

u

u

u

du

u du

n

u

u du

C 

un

n

−

u

1 u

du

C 

un+1 n

un+1 n

u

C 

2

au

au

bu du

a2

b2

a

bu

b

bu) + C 

a

bu

b

bu) + C 

au

au

6.

u

bu du

a2 + b2

Formas trigonom´ etricas inversas

  (70) sen   (71) tan   (72) sec   (73) sen   (74) tan   (75) sec   (76) sen   (77) tan   (78) sec −

1

1

−

1

−

u du = u sen

−

−

1

u

−

u

n

u

n

u

1

√

1

2

−u

+ C  2

u

−

−

n

u+

− 12 ln(1 + u ) + C  √ u du = u sec u − ln |u + u − 1| + C  1 u√ 1−u u du = (2u − 1)sen u + 4 4 u du = u tan

u

u

1

1

2

2

1

2

−

+ C 

1 2 u (u + 1) tan 1 u + + C  2 2 u2 1 2 1 sec 1 u + 1 + C  u du = u 2 2 1 un+1 un+1 1 1 sen u u du = du; n+1 n+1 1 u2 1

u du =

−

−

√

−

−

−

−

−

−

1

1

un+1 tan u du = n+1

1

−

u du =

un+1 n+1

sec

1

−

u

u

−

  √ −   1 +1 1+   √ 1

−n

− n+1 6

un+1 du; u2 un

u2

− 1 du;

si n =

 −1

si n =

 −1

si n =

 −1

7.

Formas hiperb´ olicas

  (79) senh = cosh +   (80) cosh = senh +   (81) tanh = ln | cosh | +   (82) coth = ln | senh | +   (83) sech = tan | senh | +   (84) csch = ln | tanh | + 2   1 (85) senh = senh2 − + 4 2   1 (86) cosh = senh 2 + + 4 2   (87) tanh = − tanh +   (88) coth = − coth +   (89) sech = tanh +   (90) csch = − coth +   (91) sech tanh = − sech +   (92) csch coth = − csch + u du

u

C 

u du

u

C 

u du

u

C 

u du

u

C 

u du

−

1

u

u

u du

C 

C  u

2

u du

u

2

u du

u

2

u du

u

u

C 

2

u du

u

u

C 

2

u du

2

u du

u

u

C 

C 

C 

u

C 

u

u du

u

C 

u

u du

u

C 

7

8.

Formas algebraicas varias

  (93) (   (94) (   (95) (

a au + b)

1

−

u au + b)

du =

2

−

du =

u a

− ab ln |au + b| + C 

1

 ln |

a2

2

b

au + b +

|

au + b

(au + b)n+1 au + b u au + b) du = a2 n+2

  (96)



n

du

(a2

2 n

±u )

=

1

a2

n

b

− n+1

C 

+

C  si n =

 −1, −2

u

 2 ( − 1) (   +(2 − 3) a2 n

+

2 n−1

±u ) du

(a2

2 n− 1

±u )



si n = 1



  √ + = 2 (3 − 2 )( + ) + (97) 15       √ √ 2 (98) + = ( + ) − + (2 + 3)   √ + = 32 ( − 2 )√ + + (99)       √ 2 √ + (100) √ = + − (2 + 1) + √ + −√     1 √ + = √ ln  √ + + √  + si 0 (101)     + √ + = √2− tan (102) − + si 0 √ +   (2 − 3)   √ + = − ( − 1) − (2 − 2) √ + si = 1 (103)   √ − √2 − + sen − + (104) 2 − = u au

b du

u au

b du

au

a2

b

b

un du au

n

a n

b

du

u au

b

b

du

u au

b

au

b

au

C 

au

b

b

au

b

b

1

au

u2 du

b

b

un

b n u

−

a

2

b

3/2

u2

au

8

C 

un

1

−

1

au

b du

du

b

b>

b<

a b

2

−

au

C 

a2

un

nb

C 

n n

1

3/2

nb

b

b

b

b

au

au

b

un au

u

−

du

un au

b au

a n

udu

au

au

a2

du

un

−

1

−

u

1

a

a

au

C 

b

n

  − + (105) √ = sen 2 −     √ √ (2 − ) (2 + 1) (106) 2 − = + 2 − +2 +2   √ (2 − 1)   √2 − (107) √ =− 2 − + 2 − √2 −   √ − + (108) = 2 − + sen √2 − √2 −     − (2 − ) 3 (109) = + (3 − 2 ) (2 − 3) √2 −     − 1 √2 − = (1 − 2 ) + (2 − 1) √2 − (110)     √ √ − (111) ( 2 − ) = (2 − ) + ( 2 − ) du

−

u

un du

un

un n

−

au

u2

au

u2

u

du

au

( 2au

u2

−

un

−

n

n aun

n

2 n/2

u

−

1

1

u

a

au

u2 du

du

u2

au

n n

C 

au un

a

u2

−

1

du

du

a

un

1

−

na2 n+1

au

u2

au

u2

n−2

du

− a √2au − u  (n − 2)a   n−3 du √ + (n − 2)a ( 2au − u ) 2−n

2

2

2

9.

un

a

a

u

=

2 n

−u )

1

a

au

a

n

u2

u a n+1

n n

n

u2 3/2 n aun

u2

du

3/2

u2

au

au

u2 n du

u2

au n

1

au

du

  √ (112)

1

−

au

au u2 du un

au

C 

a

u2 du

au

un

a

u2

au

n

u

1

2 n−2

Integrales definidas ∞

  (113)   (114)   (115) 0

un e

∞

0

e

π/2

0

−

u

−

au2

n

= n!; (n 1 = 2

π

 

sen u du

a

≥ 0)

; a>0 π/2

  = 0

n

cos u du =

9



1·3·5·...·(n−1) π si n es par y n 2·4·6·...·n 2 2·4·6·...·(n−1) si n es impar y n 3·5·7·...·n

≥2 ≥3