APÊNDICE 2
TABELAS PARA O CÁLCULO DE LAJES
Curso de Concreto Armado
338
1. Lajes retangulares apoiadas no contorno As tabelas A2.1 a A2.6 correspondem a lajes retangulares apoiadas ao longo de todo o contorno (sem bordo livre) e submetidas a uma carga p uniformemente distribuída. As tabelas fornecem coeficientes que permitem calcular a flecha no centro da laje, os momentos fletores positivos nos vãos, os momentos negativos nos bordos engastados, o momento torçor nos cantos simplesmente apoiados e as reações de apoio. O parâmetro de entrada é a relação entre os lados da laje ( l x l y ou l y l x ). Na fig. A2.1, indicam-se as grandezas correspondentes ao caso da tabela A2.4.
ly
0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000
My
Rx
Mxy
Mxe Mx Mye 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
ly
0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000
Rye
Ry Rxe
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
lx
lx momentos fletores
reações de apoio
Fig. A2.1 - Momentos e reações de apoio Nessas tabelas, adota-se a seguinte convenção:
W c = flecha no centro da laje;
, y = momentos positivos no centro da laje nas direções dos M x M vãos l x e l y , respectivamente;
M xe , M ye = momentos negativos nos engastes nas direções dos vãos l x e l y , respectivamente; M xy = momento torçor nos cantos simplesmente apoiados;
Tabelas para o cálculo de lajes
339
R x = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l x , quando este lado for um apoio simples; R xe = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l x , quando este lado for um engaste; R y = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l y , quando este lado for um apoio simples; R ye = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l y , quando este lado for um engaste. Quando não há necessidade de fazer distinção entre R x e
R xe , as duas reações são denotadas por R x . O mesmo é válido para R y e R ye . Para o emprego das tabelas A2.1 a A2.6, devem-se observar os seguintes casos: Caso 1) l x l y
<
1 : parte superior da tabela
Neste caso, os multiplicadores para os dados numéricos são os seguintes:
para as flechas:
0,001 p l x4
D , onde D
=
Eh 3
(
12 1 − ν
2
para os momentos: 0,001 pl x ; para as reações: 0,001 pl x . Exemplo:
W c M x R x
=
0,001wc
=
=
pl x4 D
0,001m x pl x2 ; M y
0,001r x pl x ; R y
=
=
0,001m y pl x2 ; etc.
0,001r y pl x ; etc.
2
)
;
Curso de Concreto Armado
340
onde os coeficientes wc , m x ,r x , ..., são lidos nas tabelas.
Caso 2) l y l x
<
1 : parte inferior da tabela
Neste caso, os multiplicadores para os dados numéricos são os seguintes: 4
para as flechas: 0,001 p l y D ; 2
para os momentos: 0,001 pl y ; para as reações: 0,001 pl y . Exemplo:
W c M x R x
=
0,001wc
=
=
pl y4 D
0,001m x pl y2 ; M y
0,001r x pl y ; R y
=
=
0,001m y pl y2 ; etc.
0,001r y pl y ; etc.
onde os coeficientes wc , m x ,r x , ..., são lidos nas tabelas.
Coeficientes β x e β y : coeficientes que definem o comprimento do segmento de carga uniforme equivalente, para garantir o equilíbrio dos momentos totais, conforme a fig. 2.6.3 do capítulo 2. Esses coeficientes são fornecidos apenas para o caso da tabela A2.1. Eles podem ser usados como uma aproximação para os casos das tabelas A2.2 até A2.6.
Tabelas para o cálculo de lajes
341
Tabela A2.1 - Laje retangular simplesmente apoiada no contorno com carga uniformemente distribuída
ly lx
p
l x l y
wc
m x
m y
m xy
r x
r y
β x
β y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
10,13 9,38 8,65 7,94 7,26 6,62 6,03 5,48 4,98 4,51 4,06
100,0 93,4 86,9 80,5 74,3 68,3 62,7 57,6 52,8 48,3 44,2
36,7 38,8 40,7 42,3 43,5 44,2 44,6 44,9 45,0 44,7 44,2
52,8 51,8 50,6 49,4 47,9 46,3 44,6 42,8 41,0 39,1 37,1
269 268 267 266 265 263 261 259 256 253 250
366 353 340 326 315 303 291 281 270 260 250
1,00 1,00 1,00 0,97 0,91 0,85 0,81 0,78 0,75 0,72 0,71
0,73 0,72 0,70 0,69 0,68 0,68 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71
l y l x
wc
m x
m y
m xy
r x
r y
β x
β y
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
4,06 4,51 4,98 5,48 6,03 6,62 7,26 7,94 8,65 9,38 10,13
44,2 44,7 45,0 44,9 44,6 44,2 43,5 42,3 40,7 38,8 36,7
44,2 48,3 52,8 57,6 62,7 68,3 74,3 80,5 86,9 93,4 100,0
37,1 39,1 41,0 42,8 44,6 46,3 47,9 49,4 50,6 51,8 52,8
250 260 270 281 291 303 315 326 340 353 366
250 253 256 259 261 263 265 266 267 268 269
0,71 0,70 0,69 0,68 0,67 0,68 0,68 0,69 0,70 0,72 0,73
0,71 0,72 0,75 0,78 0,81 0,85 0,91 0,97 1,00 1,00 1,00
Curso de Concreto Armado
342
Tabela A2.2 - Laje retangular simplesmente apoiada em três lados e engastada no quarto, com carga uniformemente distribuída
ly
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0
0
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0
0
0
0
0
lx
p
l x l y
wc
m xe
m x
m y
m xy
r x
r ye
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
4,85 4,67 4,48 4,28 4,07 3,86 3,65 3,44 3,22 3,00 2,78
-121,4 -118,8 -115,9 -112,6 -108,9 -105,0 -100,8 -96,5 -92,2 -88,0 -83,9
59,6 57,9 55,9 53,7 51,5 49,1 46,5 44,1 41,6 39,2 36,7
17,7 19,5 21,3 22,9 24,6 25,9 27,3 28,5 29,5 30,3 30,7
35,6 35,4 35,2 35,0 34,6 34,2 33,8 33,1 32,4 31,6 30,6
169 168 167 167 166 166 165 165 165 165 166
525 521 507 500 491 482 473 463 454 444 433
307 300 292 284 276 270 263 257 250 242 235
l y l x
wc
m xe
m x
m y
m xy
r x
r ye
r y
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
2,78 3,18 3,62 4,11 4,65 5,26 5,94 6,68 7,50 8,37 9,27
-83,9 -88,1 -92,4 -96,7 -101,1 -105,5 -109,6 -113,3 -116,5 -119,2 -121,5
36,7 38,3 39,5 40,2 40,9 41,6 42,0 41,7 41,0 39,8 38,0
30,7 34,7 38,9 43,5 48,8 54,9 61,5 68,5 76,1 84,0 92,1
30,6 32,7 34,8 37,0 39,3 41,8 44,3 46,6 48,5 50,2 51,8
166 177 188 199 210 223 237 252 268 285 303
433 440 449 460 471 482 492 501 508 514 520
235 240 245 249 253 257 260 262 264 266 268
Tabelas para o cálculo de lajes
343
Tabela A2.3 - Laje retangular apoiada em dois lados opostos e engastada nos demais, com carga uniformemente distribuída
ly
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0
lx
p
l x l y
wc
m xe
m x
m y
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
2,62 2,57 2,52 2,46 2,40 2,34 2,27 2,20 2,12 2,03 1,92
-84,5 -84,3 -83,7 -82,8 -81,6 -80,1 -78,4 -76,5 -74,4 -72,2 -69,8
41,7 41,4 40,9 40,3 39,5 38,4 37,1 35,9 34,6 33,1 31,7
10,0 11,1 12,3 13,6 14,9 16,1 17,3 18,6 19,8 20,7 21,5
98 97 96 97 97 98 98 99 99 100 102
451 447 442 437 432 427 422 417 411 406 398
l y l x
wc
m xe
m x
m y
r x
r y
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
1,92 2,25 2,62 3,05 3,55 4,13 4,80 5,58 6,45 7,41 8,45
-69,8 -74,5 -79,6 -84,9 -90,2 -95,7 -101,1 -106,3 -111,1 -115,4 -119,1
31,7 33,5 35,2 36,7 38,1 39,5 40,7 41,4 41,3 40,5 39,4
21,5 24,8 28,6 33,0 38,0 43,8 50,6 58,1 66,2 75,0 84,6
102 109 117 126 136 149 162 178 196 215 236
398 412 426 441 455 469 482 495 507 518 528
Curso de Concreto Armado
344
Tabela A2.4 - Laje retangular apoiada em dois lados contíguos e engastada nos demais, com carga uniformemente distribuída
ly
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0
0
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0
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p
l x
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
lx
wc
m xe
m ye
m x
m y
m xy
r xe
r x
r ye
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
4,68 4,44 4,18 3,90 3,60 3,33 3,08 2,83 2,58 2,34 2,10
-117,7 -113,6 -109,3 -104,7 -99,6 -94,0 -88,2 -82,5 -77,3 -72,4 -67,7
-78,2 -77,9 -77,6 -77,3 -76,8 -75,9 -74,6 -73,1 -71,4 -69,6 -67,7
57,6 55,0 52,2 49,3 46,0 42,8 39,6 36,5 33,6 30,8 28,1
19,1 21,1 22,9 24,5 25,6 26,6 27,4 28,0 28,4 28,4 28,1
35,4 35,2 34,9 34,4 33,7 32,9 31,9 30,8 29,6 28,2 26,6
350 350 350 350 350 349 348 346 344 341 338
157 158 158 159 159 160 161 162 163 163 162
484 467 454 436 423 409 394 380 365 352 338
263 252 242 231 220 209 198 189 180 171 162
l y
wc
m xe
m ye
m x
m y
m xy
r xe
r x
r ye
r y
2,10 2,34 2,58 2,83 3,08 3,33 3,60 3,90 4,18 4,44 4,68
-67,7 -69,6 -71,4 -73,1 -74,6 -75,9 -76,8 -77,3 -77,6 -77,9 -78,2
-67,7 -72,4 -77,3 -82,5 -88,2 -94,0 -99,6 -104,7 -109,3 -113,6 -117,7
28,1 28,4 28,4 28,0 27,4 26,6 25,6 24,5 22,9 21,1 19,1
28,1 30,8 33,6 36,5 39,6 42,8 46,0 49,3 52,2 55,0 57,6
26,6 28,2 29,6 30,8 31,9 32,9 33,7 34,4 34,9 35,2 35,4
338 352 365 380 394 409 423 436 454 467 484
162 171 180 189 198 209 220 231 242 252 263
338 341 344 346 348 349 350 350 350 350 350
162 163 163 162 161 160 159 159 158 158 157
l y
l x
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
Tabelas para o cálculo de lajes
345
Tabela A2.5 - Laje retangular apoiada em um lado e engastada nos demais, com carga uniformemente distribuída
ly p
0
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0
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0
0
0
0
0
lx
l x l y
wc
m xe
m ye
m x
m y
r xe
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
2,54 2,49 2,42 2,33 2,24 2,15 2,05 1,94 1,83 1,70 1,57
-83,6 -82,6 -81,3 -79,6 -77,4 -74,8 -72,0 -69,1 -66,0 -62,8 -59,6
-56,3 -56,4 -56,6 -56,9 -57,2 -57,1 -56,8 -56,4 -56,0 -55,6 -55,1
41,5 40,6 39,7 38,5 37,0 35,4 33,8 32,0 30,0 28,1 26,1
11,0 12,1 13,6 14,9 16,1 17,4 18,6 19,6 20,5 21,1 21,3
254 254 255 257 259 260 261 262 263 264 265
100 100 100 100 100 100 101 101 102 103 105
412 405 394 384 375 365 356 347 337 326 315
l y l x
wc
m xe
m ye
m x
m y
r xe
r x
r y
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
1,57 1,80 2,04 2,30 2,57 2,86 3,17 3,50 3,84 4,17 4,50
-59,6 -62,6 -65,5 -68,2 -70,6 -72,7 -74,3 -75,5 -76,5 -77,4 -78,2
-55,1 -59,9 -65,2 -71,0 -77,3 -83,9 -90,7 -97,8 -104,6 -110,1 -114,0
26,1 26,9 27,5 28,0 28,2 27,9 27,2 25,9 24,3 22,5 20,5
21,3 23,9 26,8 30,0 33,4 37,0 40,8 44,6 48,3 51,7 55,5
265 278 293 308 324 342 361 380 397 414 434
105 114 122 131 140 152 164 178 192 206 221
315 320 325 330 334 337 340 342 343 344 345
Curso de Concreto Armado
346
Tabela A2.6 - Laje retangular engastada em todo o contorno, com carga uniformemente distribuída
ly p
0
0
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0
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0
0
0
0
lx
l x l y
wc
m xe
m ye
m x
m y
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
2,51 2,45 2,35 2,22 2,09 1,97 1,84 1,70 1,56 1,42 1,27
-82,6 -80,6 -78,4 -75,9 -73,1 -69,8 -66,1 -62,0 -58,0 -54,3 -51,1
-56,0 -56,1 -56,2 -56,5 -56,8 -56,4 -55,8 -55,0 -54,0 -52,7 -51,1
40,9 39,6 38,2 36,5 34,5 32,3 30,0 27,7 25,5 23,3 21,1
11,8 13,2 14,9 16,5 17,8 18,8 19,7 20,5 21,1 21,3 21,1
241 242 244 247 249 250 251 251 251 251 250
380 367 353 339 326 313 299 286 275 262 250
l y l x
wc
m xe
m ye
m x
m y
r x
r y
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
1,27 1,42 1,56 1,70 1,84 1,97 2,09 2,22 2,35 2,45 2,51
-51,1 -52,7 -54,0 -55,0 -55,8 -56,4 -56,8 -56,5 -56,2 -56,1 -56,0
-51,1 -54,3 -58,0 -62,0 -66,1 -69,8 -73,1 -75,9 -78,4 -80,6 -82,6
21,1 21,3 21,1 20,5 19,7 18,8 17,8 16,5 14,9 13,2 11,8
21,1 23,3 25,5 27,7 30,0 32,3 34,5 36,5 38,2 39,6 40,9
250 262 275 286 299 313 326 339 353 367 380
250 251 251 251 251 250 249 247 244 242 241
Tabelas para o cálculo de lajes
373
7. Cálculo de lajes retangulares apoiadas em todo o contorno através da Teoria das Grelhas As tabelas A2.22 a A2.32 correspondem a lajes retangulares apoiadas ao longo de todo o contorno (sem bordo livre), submetidas a uma carga p uniformemente distribuída. As tabelas fornecem coeficientes que permitem calcular a flecha no centro da laje, os momentos fletores positivos nos vãos, os momentos negativos nos bordos engastados e as reações de apoio. O parâmetro de entrada é a relação entre os lados λ = l y l x . As tabelas foram elaboradas com base na Teoria das Grelhas. As tabelas A2.22 a A2.27 correspondem à teoria das grelhas para lajes sobre apoios rígidos. As tabelas A2.28 a A2.32 correspondem à teoria das grelhas para lajes sobre apoios flexíveis. Na fig. A2.4, indicam-se as grandezas correspondentes ao caso da tabela A2.25.
Rx 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
My
ly
Mxe
Mx
Mye
lx momentos fletores
ly
0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Rye
Rxe lx
reações de apoio
Fig. A2.4 - Momentos e reações de apoio Nessas tabelas, adota-se a seguinte convenção:
W c = flecha no centro da laje;
Ry
Curso de Concreto Armado
374
M x , M y = momentos positivos no centro da laje nas direções dos vãos l x e l y , respectivamente;
M xe , M ye = momentos negativos nos engastes nas direções dos vãos l x e l y , respectivamente; R x = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l x , quando este lado for um apoio simples; R xe = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l x , quando este lado for um engaste; R y = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l y , quando este lado for um apoio simples; R ye = reação de apoio por unidade de comprimento no lado l y , quando este lado for um engaste. Quando não há necessidade de fazer distinção entre R x e
R xe , as duas reações são denotadas por R x . O mesmo é válido para R y e R ye . Entrando nas tabelas com a relação entre os lados l y l x , obtêm-se os diversos coeficientes com os quais se calculam: 4
Flecha: W c
=
0,001wc
pl x D
, onde D
=
Eh 3
(
12 1 − ν 2
)
Momentos fletores:
M x
=
0,001m x pl x2
; M y
=
0,001m y pl x2 ; etc.
Reações de apoio:
R x
=
0,001r x pl x
; R y
=
0,001r y pl x ; etc.
Tabelas para o cálculo de lajes
375
Tabela A2.22 – Lajes retangulares, simplesmente apoiadas nos quatro lados, com carga uniforme
Teoria das Grelhas (apoios rígidos)
ly lx
p l y l x
wc
m x
m y
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
0,77 1,09 1,49 1,97 2,52 3,13 3,78 4,47 5,16 5,84 6,51 7,74 8,78 9,64 10,33 10,87 11,30 11,63 11,89 12,09 12,25
7,4 10,5 14,3 18,9 24,2 30,0 36,3 42,9 49,5 56,1 62,5 74,3 84,3 92,6 99,2 104,4 108,5 111,6 114,1 116,1 117,6
29,4 34,6 39,8 44,8 49,4 53,4 56,8 59,3 61,1 62,2 62,5 61,4 58,6 54,8 50,6 46,4 42,4 38,6 35,2 32,2 29,4
235 252 266 276 282 285 284 279 272 262 250 223 195 169 145 124 106 91 78 68 59
29 42 57 76 97 120 145 171 198 224 250 297 337 370 397 418 434 447 457 464 471
Tabelas para o cálculo de lajes
381
Tabela A2.28 - Laje retangular simplesmente apoiada em três lados e engastada no quarto, com carga uniformemente distribuída
Teoria das Grelhas (apoios flexíveis)
ly
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lx
p
l y l x
wc
m xe
m x
m y
r x
r ye
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
0,74 1,03 1,39 1,79 2,23 2,70 3,17 3,63 4,08 4,50 4,88 5,54 6,06 6,46 6,76 6,98 7,16 7,29 7,39 7,47 7,53
-7,9 -11,0 -14,8 -19,1 -23,8 -28,8 -33,8 -38,8 -43,5 -48,0 -52,1 -59,1 -64,6 -68,9 -72,1 -74,5 -76,3 -77,7 -78,8 -79,7 -80,3
7,9 11,0 14,8 19,1 23,8 28,8 33,8 38,8 43,5 48,0 52,1 59,1 64,6 68,9 72,1 74,5 76,3 77,7 78,8 79,7 80,3
28,3 32,8 37,0 40,7 43,7 46,0 47,5 48,3 48,4 47,9 46,9 44,0 40,4 36,7 33,1 29,8 26,8 24,2 21,9 19,9 18,1
226 239 247 250 250 246 238 227 215 201 187 160 135 113 95 79 67 57 49 42 36
55 77 104 134 167 201 237 271 305 336 365 414 452 482 505 522 534 544 552 558 562
39 55 74 96 119 144 169 194 218 240 260 296 323 344 360 373 382 389 394 398 402
Curso de Concreto Armado
382
Tabela A2.29 - Laje retangular apoiada em dois lados opostos e engastada nos demais, com carga uniformemente distribuída
Teoria das Grelhas (apoios flexíveis)
ly
0
0
0
0
0
0
0
0
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0
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0
0
0
0
0
0
lx
p l y l x
wc
m xe
m x
m y
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
0,70 0,97 1,27 1,61 1,95 2,30 2,64 2,95 3,24 3,49 3,72 4,09 4,37 4,57 4,72 4,83 4,91 4,97 5,02 5,05 5,08
-8,4 -11,6 -15,3 -19,3 -23,4 -27,6 -31,6 -35,4 -38,8 -41,9 -44,6 -49,1 -52,4 -54,8 -56,6 -57,9 -58,9 -59,6 -60,2 -60,6 -61,0
8,4 11,6 15,3 19,3 23,4 27,6 31,6 35,4 38,8 41,9 44,6 49,1 52,4 54,8 56,6 57,9 58,9 59,6 60,2 60,6 61,0
27,0 30,8 34,0 36,5 38,3 39,3 39,5 39,2 38,3 37,2 35,7 32,5 29,1 26,0 23,1 20,6 18,4 16,5 14,9 13,4 12,2
216 224 227 225 219 209 198 184 170 156 143 118 97 80 66 55 46 39 33 28 24
68 93 122 154 188 221 253 283 311 335 357 393 419 439 453 463 471 477 482 485 488
Tabelas para o cálculo de lajes
383
Tabela A2.30 - Laje retangular apoiada em dois lados contíguos e engastada nos demais, com carga uniformemente distribuída
Teoria das Grelhas (apoios flexíveis)
ly
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
l y
0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
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0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lx
wc
m xe
m ye
m x
m y
r xe
r x
r ye
r y
0,46 0,65 0,90
-4,9 -7,0 -9,6
-19,6 -23,1 -26,6
4,9 7,0 9,6
19,6 23,1 26,6
275 294 310
196 210 221
34 49 67
25 35 48
1,18 1,51 1,88 2,27 2,68 3,10 3,51 3,91 4,64 5,27
-12,6 -16,1 -20,0 -24,2 -28,6 -33,0 -37,4 -41,7 -49,5 -56,2
-29,9 -32,9 -35,6 -37,8 -39,6 -40,8 -41,4 -41,7 -40,9 -39,0
12,6 16,1 20,0 24,2 28,6 33,0 37,4 41,7 49,5 56,2
29,9 32,9 35,6 37,8 39,6 40,8 41,4 41,7 40,9 39,0
322 329 332 331 326 317 305 292 260 228
230 235 237 236 233 226 218 208 186 163
88 113 140 170 200 231 262 292 347 394
63 81 100 121 143 165 187 208 248 281
5,79 6,20 6,52 6,78 6,98 7,13 7,26 7,35
-61,7 -66,1 -69,6 -72,3 -74,4 -76,1 -77,4 -78,4
-36,5 -33,7 -30,9 -28,2 -25,8 -23,5 -21,4 -19,6
61,7 66,1 69,6 72,3 74,4 76,1 77,4 78,4
36,5 33,7 30,9 28,2 25,8 23,5 21,4 19,6
197 169 144 124 106 91 79 69
140 120 103 88 76 65 56 49
432 463 487 506 521 533 542 549
309 331 348 362 372 380 387 392
l x
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
Curso de Concreto Armado
384
Tabela A2.31 - Laje retangular apoiada em um lado e engastada nos demais, com carga uniformemente distribuída
Teoria das Grelhas (apoios flexíveis)
ly
0
0
0
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0
0
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0
0
p
lx
l y l x
wc
m xe
m ye
m x
m y
r xe
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
0,45 0,63 0,85 1,10 1,38 1,68 1,98 2,29 2,58 2,86 3,13 3,58 3,94 4,22 4,44 4,60 4,73 4,82 4,90 4,95 5,00
-5,4 -7,5 -10,2 -13,2 -16,5 -20,1 -23,8 -27,4 -31,0 -34,4 -37,5 -42,9 -47,3 -50,7 -53,3 -55,2 -56,7 -57,9 -58,8 -59,5 -60,0
-19,0 -22,2 -25,1 -27,8 -30,0 -31,8 -33,0 -33,8 -34,0 -33,9 -33,3 -31,5 -29,2 -26,7 -24,2 -21,8 -19,7 -17,8 -16,1 -14,6 -13,3
5,4 7,5 10,2 13,2 16,5 20,1 23,8 27,4 31,0 34,4 37,5 42,9 47,3 50,7 53,3 55,2 56,7 57,9 58,8 59,5 60,0
19,0 22,2 25,1 27,8 30,0 31,8 33,0 33,8 34,0 33,9 33,3 31,5 29,2 26,7 24,2 21,8 19,7 17,8 16,1 14,6 13,3
267 282 293 299 300 297 289 278 265 249 233 201 170 144 121 102 86 73 63 54 47
190 202 209 214 214 212 206 199 189 178 167 143 122 103 86 73 62 52 45 39 33
43 60 81 106 132 161 190 220 248 275 300 344 378 405 426 442 454 463 470 476 480
Tabelas para o cálculo de lajes
385
Tabela A2.32 - Laje retangular engastada em todo o contorno, com carga uniformemente distribuída
Teoria das Grelhas (apoios flexíveis)
ly p
0
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lx 0
0
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0 0
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0
0
0
0
l y l x
wc
m xe
m ye
m x
m y
r x
r y
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
0,31 0,44 0,60 0,79 1,01 1,25 1,51 1,79 2,06 2,34 2,60 3,09 3,51 3,86 4,13 4,35 4,52 4,65 4,76 4,84 4,90
-3,7 -5,2 -7,2 -9,5 -12,1 -15,0 -18,2 -21,4 -24,8 -28,1 -31,3 -37,1 -42,2 -46,3 -49,6 -52,2 -54,2 -55,8 -57,1 -58,0 -58,8
-14,7 -17,3 -19,9 -22,4 -24,7 -26,7 -28,4 -29,7 -30,6 -31,1 -31,3 -30,7 -29,3 -27,4 -25,3 -23,2 -21,2 -19,3 -17,6 -16,1 -14,7
3,7 5,2 7,2 9,5 12,1 15,0 18,2 21,4 24,8 28,1 31,3 37,1 42,2 46,3 49,6 52,2 54,2 55,8 57,1 58,0 58,8
14,7 17,3 19,9 22,4 24,7 26,7 28,4 29,7 30,6 31,1 31,3 30,7 29,3 27,4 25,3 23,2 21,2 19,3 17,6 16,1 14,7
235 252 266 276 282 285 284 279 272 262 250 223 195 169 145 124 106 91 78 68 59
29 42 57 76 97 120 145 171 198 224 250 297 337 370 397 418 434 447 457 464 471
APÊNDICE 3
TABELAS PARA DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
388
Curso de Concreto Armado
Tabela A3.1 - Área da seção de armadura por metro de largura (cm2 /m) espaça Bitola φ mento s (cm) 4,2 5 6,3 8 10 1,98 2,80 4,45 7,18 11,22 7,0 1,85 2,62 4,16 6,70 10,47 7,5 1,73 2,45 3,90 6,28 9,82 8,0 1,63 2,31 3,67 5,91 9,24 8,5 1,54 2,18 3,46 5,59 8,73 9,0 1,46 2,07 3,28 5,29 8,27 9,5 1,39 1,96 3,12 5,03 7,85 10 1,26 1,78 2,83 4,57 7,14 11 1,15 1,64 2,60 4,19 6,54 12 1,07 1,51 2,40 3,87 6,04 13 0,99 1,40 2,23 3,59 5,61 14 0,92 1,31 2,08 3,35 5,24 15 0,87 1,23 1,95 3,14 4,91 16 0,81 1,15 1,83 2,96 4,62 17 0,77 1,09 1,73 2,79 4,36 18 0,73 1,03 1,64 2,65 4,13 19 0,69 0,98 1,56 2,51 3,93 20 0,66 0,93 1,48 2,39 3,74 21 0,63 0,89 1,42 2,28 3,57 22 0,60 0,85 1,36 2,19 3,41 23 0,58 0,82 1,30 2,09 3,27 24 0,55 0,79 1,25 2,01 3,14 25 0,53 0,76 1,20 1,93 3,02 26 0,51 0,73 1,15 1,86 2,91 27 0,49 0,70 1,11 1,80 2,80 28 0,48 0,68 1,07 1,73 2,71 29 0,46 0,65 1,04 1,68 2,62 30
12,5 17,53 16,36 15,34 14,44 13,64 12,92 12,27 11,16 10,23 9,44 8,77 8,18 7,67 7,22 6,82 6,46 6,14 5,84 5,58 5,34 5,11 4,91 4,72 4,55 4,38 4,23 4,09
Tabelas para detalhamento das armaduras
Tabela A3.2 - Área da seção de armadura As (cm2) Bitola Número de barras ou fios 1 2 3 4 5 φ 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 3,4 0,14 0,28 0,42 0,55 0,69 4,2 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 5 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 6,3 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 8 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 10 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 12,5 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 16 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 20 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 25 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 32 Bitola φ
3,4 4,2 5 6,3 8 10 12,5 16 20 22 25 32
8 0,73 1,11 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25,13 30,41 39,27 64,34
9 0,82 1,25 1,77 2,81 4,52 7,07 11,04 18,10 28,27 34,21 44,18 72,38
Número de barras ou fios 10 11 12 0,91 1,00 1,09 1,39 1,52 1,66 1,96 2,16 2,36 3,12 3,43 3,74 5,03 5,53 6,03 7,85 8,64 9,42 12,27 13,50 14,73 20,11 22,12 24,13 31,42 34,56 37,70 38,01 41,81 45,62 49,09 54,00 58,90 80,42 88,47 96,51
389
6 0,54 0,83 1,18 1,87 3,02 4,71 7,36 12,06 18,85 22,81 29,45 48,25
7 0,64 0,97 1,37 2,18 3,52 5,50 8,59 14,07 21,99 26,61 34,36 56,30
13 1,18 1,80 2,55 4,05 6,53 10,21 15,95 26,14 40,84 49,42 63,81 104,6
14 1,27 1,94 2,75 4,36 7,04 11,00 17,18 28,15 43,98 53,22 68,72 112,6
390
Curso de Concreto Armado
Tabela A3.3 - Área da seção de armadura Asw (cm2 /m) para estribos de dois ramos Espaça Bitola φ mento (cm) 5 6,3 8 10 12,5 16 5,61 8,91 14,36 22,44 35,06 57,45 7,0 5,24 8,31 13,40 20,94 32,72 53,62 7,5 4,91 7,79 12,57 19,63 30,68 50,27 8,0 4,62 7,33 11,83 18,48 28,87 47,31 8,5 4,36 6,93 11,17 17,45 27,27 44,68 9,0 4,13 6,56 10,58 16,53 25,84 42,33 9,5 3,93 6,23 10,05 15,71 24,54 40,21 10 3,57 5,67 9,14 14,28 22,31 36,56 11 3,27 5,20 8,38 13,09 20,45 33,51 12 3,02 4,80 7,73 12,08 18,88 30,93 13 2,80 4,45 7,18 11,22 17,53 28,72 14 2,62 4,16 6,70 10,47 16,36 26,81 15 2,45 3,90 6,28 9,82 15,34 25,13 16 2,31 3,67 5,91 9,24 14,44 23,65 17 2,18 3,46 5,59 8,73 13,64 22,34 18 2,07 3,28 5,29 8,27 12,92 21,16 19 1,96 3,12 5,03 7,85 12,27 20,11 20 1,87 2,97 4,79 7,48 11,69 19,15 21 1,78 2,83 4,57 7,14 11,16 18,28 22 1,71 2,71 4,37 6,83 10,67 17,48 23 1,64 2,60 4,19 6,54 10,23 16,76 24 1,57 2,49 4,02 6,28 9,82 16,08 25 1,51 2,40 3,87 6,04 9,44 15,47 26 1,45 2,31 3,72 5,82 9,09 14,89 27 1,40 2,23 3,59 5,61 8,77 14,36 28 1,35 2,15 3,47 5,42 8,46 13,87 29 1,31 2,08 3,35 5,24 8,18 13,40 30
391
Tabelas para detalhamento das armaduras
Tabela A3.4 - Comprimentos básicos de ancoragem (cm) Aço CA-50 ; f cd = f ck 1,4 ; f yd = f yk 1,15 ancoragem com gancho
ancoragem reta
lbe
lb lbe=0,7l b
Bitola
BOA ADERÊNCIA f ck = 20 MPa f ck = 25 MPa
f ck = 30 MPa
φ
lb
lbe
lb
lbe
lb
lbe
6,3 8 10 12,5 16 20 25
28 35 44 55 70 88 110
19 25 31 38 49 62 77
24 30 38 47 61 76 95
17 21 27 33 43 53 66
21 27 34 42 54 67 84
15 19 23 29 38 47 59
Bitola
MÁ ADERÊNCIA f ck = 20 MPa f ck = 25 MPa
f ck = 30 MPa
φ
lb
lbe
lb
lbe
lb
lbe
6,3 8 10 12,5 16 20 25
40 50 63 79 100 126 157
28 35 44 55 70 88 110
34 43 54 68 87 108 135
24 30 38 47 61 76 95
30 38 48 60 77 96 120
21 27 34 42 54 67 84
392
Curso de Concreto Armado
Tabela A3.5 - Ancoragem em apoios de extremidade
8φ
Δl
R
φ
Rsd
lb,nec
ΔC
lb, nec ≥ lb, min
⎧ R + 5,5φ ; lb, min ≥ ⎨ ⎩ 6cm
R = raio de dobramento Δl = comprimento total da ponta ΔC = acréscimo de comprimento para 1 gancho
φ
Dimensões em cm (Aço CA-50) R Δl ΔC Δl * lb , min
6 6,3 6,4 8 8 10 10 12,5 13 16 19 20 24 25 * Valores práticos
1,60 2,00 2,50 3,15 4,00 8,00 10,00
8 10 12 15 19 26 33
7 8 10 12 15 20 26
10 10 15 15 20 30 35
ΔC * 9 8 13 12 16 24 28
Tabelas para detalhamento das armaduras
393
Tabela A3.6- Largura mínima bsi (cm) para colocação da armadura bsi
bw d max = 12,5 mm
Número de barras 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Diâmetro φ 8 3,6 6,4 9,2 12,0 14,8 17,6 20,4 23,2 26,0
10 4,0 7,0 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 25,0 28,0
d max = 19 mm
Número de barras 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12,5 4,5 7,8 11,0 14,3 17,5 20,8 24,0 27,3 30,5
16 5,2 8,8 12,4 16,0 19,6 23,2 26,8 30,4 34,0
20 6,0 10,0 14,0 18,0 22,0 26,0 30,0 34,0 38,0
25 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
20 6,3 10,6 14,8 19,1 23,4 27,7 32,0 36,2 40,5
25 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5
Diâmetro φ 8 3,9 7,0 10,0 13,1 16,2 19,3 22,4 25,4 28,5
10 4,3 7,6 10,8 14,1 17,4 20,7 24,0 27,2 30,5
12,5 4,8 8,3 11,8 15,4 18,9 22,4 26,0 29,5 33,0
16 5,5 9,4 13,2 17,1 21,0 24,9 28,8 32,6 36,5
394
Curso de Concreto Armado
Tabela A3.6 (cont.) - Largura mínima bsi (cm) para colocação da armadura bsi
bw d max = 25 mm
Número de barras 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Diâmetro φ 8 4,6 8,4 12,2 16,0 19,8 23,6 27,4 31,2 35,0
10 5,0 9,0 13,0 17,0 21,0 25,0 29,0 33,0 37,0
d max = 38 mm
Número de barras 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12,5 5,5 9,8 14,0 18,3 22,5 26,8 31,0 35,3 39,5
16 6,2 10,8 15,4 20,0 24,6 29,2 33,8 38,4 43,0
20 7,0 12,0 17,0 22,0 27,0 32,0 37,0 42,0 47,0
25 8,0 13,5 19,0 24,5 30,0 35,5 41,0 46,5 52,0
20 8,6 15,1 21,7 28,2 34,8 41,4 47,9 54,5 61,0
25 9,6 16,6 23,7 30,7 37,8 44,9 51,9 59,0 66,0
Diâmetro φ 8 6,2 11,5 16,9 22,2 27,6 33,0 38,3 43,7 49,0
10 6,6 12,1 17,7 23,2 28,8 34,4 39,9 45,5 51,0
12,5 7,1 12,9 18,7 24,5 30,3 36,1 41,9 47,7 53,5
16 7,8 13,9 20,1 26,2 32,4 38,6 44,7 50,9 57,0
395
Tabelas para detalhamento das armaduras
Tabela A3.7 - Dimensões dos estribos Δl
Δl Δl
Δl
b
b R
a
a
l=2(a+b)+ΔC
Δl = comprimento total da ponta l = comprimento total da barra R = 1,5φ t , se φ t ≤ 10 ; R = 2,5φ t , se φ t > 10 .
φ t
Valores de Δl e ΔC (em cm) 5 6,3 8 10 12,5
16
Δl ΔC
7 10
22 26
8 11
10 13
13 17
17 20
