TABEL MORTALITAS
Ratna Novitasari, S.Si., M.Si. Jurusan Matematika Universitas Diponegoro
TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu:
1. Memahami tabel mortalitas 2. Menjelaskan hubungan antara lajur-lajur tabel mortalitas
3. Menjelaskan simbol-simbol yang digunakan dalam tabel mortalitas 4. Menggunakan tabel mortalitas dalam perhitungan peluang hidup atau mati
TABEL MORTALITAS • Digunakan perusahaan asuransi untuk menghitung premi dan jumlah santunan asuransi • Tabel ini berisi peluang seseorang meninggal menurut umur dari kelompok orang yang diasuransikan (pemegang polis asuransi).
• Membuat tabel mortalitas ini amat sulit karena tidak mudah untuk memperoleh data. Salah satu cara pembuatan tabel mortalitas adalah mengamati sejumlah banyak orang yang lahir pada saat bersamaan, kemudian mencatat berapa banyak orang yang meninggal setiap tahun sampai anggota tersebut meninggal seluruhnya.
SIMBOL-SIMBOL TABEL MORTALITAS • x = umur/usia (tahun) • qx = peluang seorang berusia x meninggal antara usia x dan x+1 tahun • dx = jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x+1 tahun
• lx = jumlah orang yang berusia tepat x tahun • ex = harapan hidup ringkas /lama hidup yang dapat dicapai seseorang yang berusia x tahun • ex0 = harapan hidup lengkap, yaitu rata-rata lama hidup yang dapat dicapai oleh
seseorang yang berusia x tahun
• Banyaknya orang yang tepat berusia x dinyatakan dalam simbol lx. Sedangkan jumlah orang yang meninggal dari lx orang sebelum mencapai usia x+1 disimbolkan dengan dx, jadi dx = lx - lx+1 • qx yang menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan meninggal sebelum mencapai usia x+1, atau peluang seseorang yang berusia x meninggal antara usia x dan x+1 tahun, sehingga
d l l qx = x x1 = x lx lx
• Biasanya dalam membuat tabel mortalitas qx ini dianggap telah diketahui, kemudian dipilih l0 sebarang sebesar 100.000, sedangkan lw+1 dibuat sedemikian hingga sama dengan 0, dengan w adalah usia tertinggi.
• Simbol selanjutnya yang terdapat pada tabel mortalitas adalah ex dan exo. ex menyatakan harapan hidup ringkas (curtate expectation of life), yaitu lama hidup yang dapat dicapai seseorang yang berusia x. Jadi ex =
lx1 lx2 ...lw lx
• Sedangkan exo adalah harapan hidup lengkap, yaitu rata-rata lama hidup yang dapat dicapai oleh seseorang yang berusia x. exo ini didefinisikan exo =
1 wl dt lx 0 xt w
=
t
px dt
0
• Atau dengan menggunakan perhitungan aproksimasi exo = ex + ½
Hubungan antara simbol-simbol dalam tabel mortalitas : • qx =
dx lx
=
lx lx1 lx
• lx+1 = lx - dx
lx1 lx2 ...lw lx
•
ex =
•
ex0 = ex + 1/2
Simbol-simbol yang dibutuhkan dalam asuransi : •
nqx
= peluang seseorang berusia x akan
meninggal sebelum berusia x+n tahun • •
l l l d xn x x n n x = =1nqx = lx lx lx npx
= 1 - npx
= peluang seseorang berusia x akan hidup paling sedikit n tahun
•
ndx
= jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x+n tahun
Lanjutan.. •
m|nqx
= peluang seseorang yang berusia x
akan hidup m tahun, tetapi meninggal n tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x+m dan x+m+n tahun
l l d x m xmn n x m | q = = mn x lx lx m|nqx
= mpx . nqx+m
atau
l l l l l x m x m n x m xmn x m = . = lx lx lxm
Tabel Mortalitas CSO 1941 • Contoh tabel mortalitas yang diberikan disini adalah Commissioners 1941 Standard Ordinary Mortality Table (CSO 1941) • Tabel ini dibuat di Amerika pada tahun 1941. • Pada tabel terlihat : • l0 = 1.023.102, berarti jumlah orang yang baru lahir adalah 1.023.102 orang • l21 = 949.172, berarti orang yang berusia 21 tahun sebanyak 949.172 orang • d33 = 3.767, berarti jumlah orang yang berusia 33 tahun meninggal sebelum berusia 34 tahun adalah 3.767 orang
• 1000q65 = 39,64 sehingga q65 = 39,64/1000 = 0,03964 yang berarti peluang orang yang berusia 65 akan meninggal sebelum berusia 66 adalah 0,03964 • e70o = 8,99 berarti rata-rata usia yang akan ditempuh orang yang berusia 70 adalah 8,99 tahun. Ini tidak berarti bahwa anggota kohort hanya akan mencapai usia 78,99 tahun. Sebagian anggotanya akan meninggal sebelum usia tersebut, sebagian lagi sesudahnya. • Usia tertinggi 99 tahun, ini juga tidak berarti di Amerika pada waktu pembuatan tabel tidak ada orang yang berusia 99 tahun, mungkin ada tetapi sangat sedikit sehingga diabaikan.
Peluang Hidup atau Mati • Dari tabel mortalitas terlihat adanya fungsi antara umur dan waktu. Perhitungan yang menggunakan hubungan antara umur dan waktu disebut life function yang berguna untuk menentukan peluang hidup / mati. Berikut rumus-rumus yang berhubungan dengan peluang hidup / mati. • Peluang Hidup npx
menyatakan peluang seseorang berusia x akan hidup paling sedikit n tahun npx
=
lxn lx
Peluang Mati •
nqx
menyatakan peluang seseorang berusia x akan meninggal sebelum berusia x+n tahun
lxn = nqx = 1- npx = 1 lx
lx lxn = n dx lx lx
• dengan ndx menyatakan jumlah orang yang meninggal antara usia x dan x+n tahun • Sedangkan m|nqx menyatakan peluang seseorang yang berusia x akan hidup m tahun, tetapi meninggal n tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia x+m dan x+m+n tahun m|nqx =
lxm lxmn lx
=
n
dxm lx
Contoh Soal 1 Berapakah peluang seseorang berusia 40 tahun akan meninggal antara usia 55 dan 60 tahun?
l l 754191 677771 55 60 = 0,0865 l40 883342
Jawab: 15|5q40
Contoh 2 • Berapa peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan mencapai usia 50 tahun ? gunakan tabel CSO 1941. • Jawab : •
l50 810900 = = 0,87702 20p30 = l30 924609
• Jadi peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan mencapai usia 50 tahun adalah 0,87702.
Contoh 3 Suatu keluarga mempunyai dua orang anak, masing-masing berusia 1 tahun dan 11 tahun. Carilah peluang tepat seorang anak akan meninggal sebelum usia 50 tahun. Jawab: Walaupun kedua anak tersebut bersaudara, di anggap bahwa peluang meninggalnya salah seorang di antaranya tidak mempengaruhi oleh peluang meninggalnya yang lainnya. Tepat seorang meninggal, itu berarti salah seorang di antara keduanya, tetapi tidak keduanya, meninggal.
• Peluang yang tertua meninggal dan yang muda mencapai usia 50 tahun. Yang tertua meninggal sebelum usia 50 tahun, jadi akan meninggal dalam waktu 50 – 11 = 39 tahun. Maka, peluangnya adalah 39q11 . 49p1 • Peluang yang muda meninggal dan yang tua mencapai usia 50 tahun adalah 49q1 . 39p11 • Jadi, peluang tepat seorang meninggal sebelum mencapai 50 tahun adalah
= 39q11 . 49p1 + 49q1 . 39p11
39q11
. 49p1 + 49q1 . 39p11
= 0,29103
TUGAS 1. Hitung peluang seorang berusia 25 tahun akan mencapai usia 55 tahun.
2. Hitung peluang seorang berusia 20 tahun akan meninggal sebelum berusia 48 tahun
3. Hitung peluang seorang berusia 21 tahun akan meninggal pada usia antara 50 dan 55 tahun.
4. Hitung peluang seorang bayi yang baru lahir akan meninggal sebelum berusia 50 tahun.
Lanjutan.. 5. Sebuah keluarga mempunyai 2 orang anak berusia 4 tahun dan 7 tahun. Hitung peluang a. 1 orang akan mencapai usia 30 tahun. b. Paling sedikit 1 orang akan meninggal sebelum berusia 35 tahun.
DAFTAR PUSTAKA Sembiring, 1986. Buku Materi Pokok Asuransi I, modul I. Penerbit Karunika Jakarta Universitas Terbuka
