CÁLCULO 221 Ejercicios Temas de examen CPI- FIUNA Teórico y Práctico Ing. Raúl Martínez
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→
Año 2000
sen 6 0 3
1. Calcular:
2. Hallar la primera derivada de la función:
1
−
= ln 1+
3. Hallar dos números, cuya suma es 48 y tal que la suma de sus cuadrados sea mínima. 4. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación P(5 ; 2) de la misma (GRÁFICO) 5. Hallar:
− 2
+5
2
4 5 = 0 en el punto
8 2 3 +2 3
6. Hallar el área limitada por las parábolas de ecuaciones
− − 2
2
4 y
4 (GRÁFICO)
Año 2001
→ − )
7. Calcular:
01
→ − − )
1
1
− −
8. Hallar la ecuación de la la recta normal a la la curva de ecuación 9 punto P( 5 ; 9/4 9/4) de la misma (GRÁFICO)
−
2
16
2
1 4 4 = 0, en el
9. La base y la altura de un triángulo isósceles miden 20 m y 40 m, respectivamente. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscripto en dicho triángulo, sabiendo que tiene dos vértices consecutivos en la base del mismo. 10. Hallar las coordenadas del punto de inflexión de la curva de ecuación (GRÁFICO) 11. Hallar:
− 9
− =
3
13. Calcular:
→
0
+9 +5
−
sen 2 4
2
14. Hallar la primera derivada de la función: Cursillo π
2
2
12. Hallar el área de la superficie comprendida entre las parábolas de ecuaciones = 2 x (GRÁFICO)
−
+3
− 4
2
+
2 2
+
2
=0 Ing. Raúl Martínez
=2
2
;
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15. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación 1 = 0. (GRÁFICO) perpendicular a la recta de ecuación 2 +
−
=
2
que es
16. Hallar los valores máximo y mínimo y las coordenadas del punto de inflexión de la función: = 4 3 48 2 + 144x (GRÁFICO)
− ∫ −− 3
17. Hallar:
+ 2 23
2
18. Calcular el área comprendida entre la parábola de ecuación los puntos L( 1 ; 2) y M(4 ; 8). (GRÁFICO)
− 2
= 0 y la recta que pasa por
Año 2002
→
19. Calcular:
30°
2sen 2 2cos
−− sen 3
20. Hallar la primera derivada de la función:
− = ln
2
+ 2 + sen2
4
2
21. Calcular el área máxima del rectángulo que tiene dos vértices consecutivos en la recta de ecuación = 9, y los otros vértices en la parábola de ecuación 2 = 16 . (GRÁFICO)
22. Hallar la ecuación de las rectas tangentes y normales a la curva de ecuación el punto de abscisa 2 y ordenada negativa. 23. Hallar:
∫
2 2
+
= 2, en
sen
24. Calcular el área comprendida entre las curvas de ecuaciones (GRÁFICO)
→ −− tg
)
25. Calcular:
=3
2
;
=
2
.
− − →
sen sen
0
− −
2 2 6
)
26. Hallar la primera derivada de la función: cos
2
2
=
2
+4 2 2
+
27. Hallar los extremos relativos, el punto de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función
− − 1
=3
3
2
3 + 4. (GRÁFICO)
28. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva de ecuación de abscisa
Cursillo π
=
6
. (GRÁFICO)
3
= sen , en el punto
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∫
∫ − −
) sen cos
29. Hallar:
)
=
30. Hallar el área limitada por la curva:
2
4 + 3 ;g
=
2
+ 2 + 3 (GRÁFICO)
Año 2003 31. Calcular:
→ − − → −
) lim
3
)
3
2 9
sen 2 0 sen 2
32. Hallar el valor de la pendiente, en el punto de abscisa 3 y ordenada positiva, de la curva de ecuación: 2 + 2 + 1 3 = 0.
33. Determinar el radio y la altura de un recipiente cilíndrico sin tapa, de volumen 8 que la cantidad de chapa necesaria para su construcción sea la menor posible.
3,
para
34. Dada la parábola de ecuación = 2 , hallar la ecuación de las rectas tangente y normal en el punto de intersección de la misma con la recta de ecuación = + 6. (Considerar el punto de abscisa positiva) 35. Hallar:
4sen
cos
3
sen 2
36. Hallar el área limitada por la parábola de ecuación (GRÁFICO)
2
=2
y la recta de ecuación
→ − − − ∫ − −
37. Calcular:
→ − −−
)
2 7
9
18
)
3
3
38. Hallar la derivada de la función: 1 3
=3
39. Dada la función
1 2
+2
2
3
0
+
3
= + 4.
cos sen
= 0 .
12 + 4 , hallar los valores máximo y mínimo. Además,
encontrar las coordenadas del punto de inflexión. 40. Hallar la ecuación de la normal en el punto
(4;3) a la curva de ecuación
11=0 41. Hallar:
2
3
+
2
+
cos3
42. Hallar el área limitada por la curva de ecuación = 1. (GRÁFICO)
Cursillo π
−
4
=
2
+2 +1
y la recta de ecuación
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Año 2004 43. Hallar la primera derivada de la función
44. Hallar:
cos 2
= ln
−
2 1 2
2
45. Hallar el área común a los circulo 46. ¿En qué punto de la curva
=2
2
+
2
3
+ 13
2
=4 ; 2
+
2
= 4 . Graficar.
+ 5 + 9 pasa su tangente por el origen?
47. Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la curva = 3 3 2 9 + 9. Construir su gráfico.
−−
Año 2005
48. Definir la primera derivada de la = ( ) y dar la interpretación geométrica de su valor numérico en un punto 0 ( 0 ; 0 ). (GRÁFICO) 49. Calcular:
− → 3 − − lim
2+
2
12 1
50. Hallar las dimensiones del cilindro de volumen dado
que tiene área total mínima.
51. Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la curva de ecuación = 4 3 6 2 72 .
−− ∫ cos3
52. Hallar:
53. Calcular el área limitada por la parábola de ecuación = + 1. (GRÁFICO)
54. Hallar la longitud de la curva de ecuación 55. Calcular:
→
lim
2 3
=3
2
−
2 =
2
en el intervalo 3
≤≤
8.
0
2
trazada por el punto de inflexión de la misma. (GRÁFICO)
Cursillo π
y la recta de ecuación
ln cos
56. Determinar la ecuación de la tangente a la curva de ecuación
57. Hallar
1
−− 1 3
=3
3 2 2
− −− 2 +3 2 2
4 8
5
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10 + 8
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59. Hallar el área de la longitud del arco de la curva
=2
3 2,
− ≤≤ =4
58. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación ordenadas. (GRÁFICO) en el dominio
1 3
2
y el eje de
8 . 9
Año 2006 60. Determinar la ecuación de las tangentes a la curva de ecuación
0 , que tienen pendiente igual a
−
1 . 2
− − 2
+2
+2
2
10
25 =
61. En un tanque de forma de cono de revolución, con vértice hacia abajo, de altura 12 dm y radio de base 6 dm, el agua entra a razón de 8 litros por minuto. ¿Con que rapidez sube el agua cuando su altura es 4 dm?
− − =4
62. Hallar los puntos de la curva
2
que estén más próximos al punto (0;2). (GRÁFICO)
2 3 + 2 +15 +1 2 2+ 1
63. Hallar:
2
64. Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas de ecuación 2 = 32(8 ). (GRÁFICO)
−
65. Hallar la longitud del arco de la curva
− → 0 lim
66. Calcular:
+sen ln 1+
2 3
+
2 3
= 8( + 2)
e
2 3,
= 4 cuando varia de 0 a 4.
1
67. Hallar el valor numérico de la primera derivada de la función abscisa 2. 68. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación la misma de abscisa 1 y ordenada positiva.
2 2
2
+3
+3
+
= 10, en el punto de
2
= 5, en el punto de
69. Hallar la altura del cono de revolución de volumen máximo que puede inscribirse en una superficie esférica de radio igual a R unidades. 70. Hallar los valores máximo y mínimo, el punto de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función = 3 3 2 . (GRÁFICO)
71. Hallar: )
cos 2 sen 2
3
− ∫ )
ln
72. Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas 4 = Cursillo π
6
2
y 8 =
2
+ 16. (GRÁFICO)
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Año 2007 73. Hallar los valores máximo y mínimo, el punto de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función . =
−
74. Utilizando el concepto de derivada de una función, hallar la ecuación de las rectas tangentes a la elipse de ecuación
+ =1 2
2
30
24
75. Hallar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación inflexión de la misma. (GRÁFICO)
− → − 1
0
77. Hallar:
lim
=
2
3
6
1 3 = 0. GRÁFICO
2
+ 9 en el punto de
∫
+2 +1
)
76. Hallar :
− − −
, paralelas a la recta de ecuación 4
)
2 ln
tg
0
sen
−
2 y la recta de 78. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación =2 ecuación = , que se encuentra en el semiplano de las ordenadas positivas. (GRÁFICO)
79. El cable de un puente colgante se ha dispuesto según una parábola. La calzada horizontal, tiene una longitud de 60 . De los cables de suspensión el más largo mide 18 y el más corto 7 . Hallar la longitud del cable situado a 10 del extremo de la calzada.
10
7
60
18
≡ − − −
80. Determinar la ecuación polar de la parábola 2 = 4 con el eje de abscisas y el vértice coincide con el polo. 3
+ 3 2 + + , con , reales y sabiendo que y . 1 es divisible por 1, hallar los valores de
81. Dado el polinomio divisible por + 1 y
82. Hallar la función inversa de
y verificar para
83. Hallar la derivada de:
= sen cos sen1 2
84. Hallar la derivada de:
= cos arcsen
Cursillo π
+ 2 , sabiendo que el eje polar coincide
1
, dada
=
3 +2
3 +3.
2
7
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+ 1 es
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= cos2 cos cos2
85. Hallar la derivada de 86. Hallar la derivada de:
= aecsen 5
→ 0 − lim
87. Hallar:
2
Año 2008
2 cos
cos
1
88. Hallar los puntos de la curva de ecuación de abscisas.
−
∫ − → − − − 2
89. Hallar:
2
2
= 2 donde la tangente es paralela al eje
sen
90. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola de ecuación ecuación =2 4. (GRÁFICO)
lim 91. Hallar: )
)
2
=4
y la recta de
sen 2 3
0
2
1+
92. Determinar la ecuación de las rectas tangentes a la curva de ecuación 6 2 12 + 3 2 4 + 4 5 = 0, paralelas a la recta de ecuación 6 + 3
−
5 = 0.
93. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscripto en el área limitada por el arco de la parábola 2 = 4 y la recta de ecuación = 3. (GRÁFICO)
94. Hallar el área de la superficie limitada por las parábolas de ecuación 2 = 32(8 ). (GRÁFICO)
Cursillo π
8
2
= 8 + 16 e
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Año 2011 95. Utilizando las propiedades de la derivada, de las siguientes igualdades:
′′ ∈ ℜ ′′ − − −
= , =0 3) arcsen = 1) 2)
4) arcsen
=
1 1 + 2 1 2 1
Es/son correcta/s: A) Sólo 1 B) Sólo 3 C) Sólo 4 D) 1 y 4 E) 3 y 4
→∞ −
96. El límite lim
∞−∞
a) + b) c) 0 d) 1 e)
1
cuando
es un número entero y positivo mayor que 1, vale:
97. La función 1) Algebraica 2) Trascendente 3) Exponencial 4) Irracional
= cosh es:
Es/son correcta/s: A) B) C) D) E)
Sólo 1 Sólo 2 1 y 4 2 y 3 2 y 4
− −
98. La función 3 2 2 2+3 A) Paramétricamente B) En coordenadas polares C) Tácitamente D) Explícitamente E) Implícitamente Cursillo π
3
4
+ 2 4 = 0 está expresada:
9
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99. La función
=
− 2
presenta:
1) Discontinuidad evitable en 2) Continuidad en = 0
3) Discontinuidad infinita en
=± 3
2
3
=0
=± 3
4) Discontinuidad de segunda especie en Es/son correcta/s: A) B) C) D) E)
Sólo 2 Sólo 3 Sólo 4 2 y 4 2 y 3
100. Para cualquier función = ( ), si curva representativa de la función con el eje dicha recta tangente, se verifica siempre que: a) = + b) = × c) = d) e)
− = =
101. 1) 2) 3) 4)
+
Dadas dos funciones
= = = =
∪∩ × 1+ 1
es el ángulo que forma la recta tangente a la en un ángulo formado por el radio vector y
2
→ℜ →ℜ ∶→ℜ :
1
y
:
2
, si
=
, se cumple que:
2
1
2
1
2
Es/son correcta/s: A) B) C) D) E)
Sólo 1 Sólo 2 Sólo 3 Sólo 3 2 y 4
102. a) b) c) d) e)
∞ = →∞ ∞
Si lim
1 1
2 2
1
Cursillo π
1 2
el teorema de Stolz puede aplicarse cuando:
es una función creciente y divergente. es una función creciente y convergente. es una función estrictamente creciente y divergente. es una función estrictamente decreciente y divergente. y 2 son funciones estrictamente decrecientes y convergentes. 10
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103. La función 1) Inyectiva 2) Intrayectiva 3) Sobreyectiva 4) Biyectiva
− − = 2
2
3
3
2 es:
Es/son correcta/s: A) B) C) D) E)
Sólo 1 Sólo 2 Sólo 3 Sólo 4 2 y 4
ℜ→ℜ
104. El teorema del incremento finito de Lagrange, para una función : continua y con derivada finita en un intervalo y 0 < < 1, puede expresarse , , siendo = como: = + × + A) + = + × + B) = × + C) + = × + D) + = + × E)
− −
105.
−−
′′ ′′ ′ −
−
Hallar por métodos diferenciales aproximados el valor de 1
cos 60° = 2 y sen 60° =
3 2
106.
Hallar la enésima derivada de la función: =
107.
Hallar:
a)
0
b)
cos62°, sabiendo que
− lim→ lim→ 0
108.
4 1/
Hallar el ángulo que forma el radio vector con la recta tangente a la curva representativa
de la función
=
109. La función A) Creciente B) Decreciente C) Par D) Impar E) Periódica Cursillo π
2
en el punto donde
=
2
= 6 radianes.
+ 5 es:
11
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ℜ→ℜ
110. Si : A) 2 B) + C) ± D) ± E) No existe
=
es
2 , su función inversa es:
111. Si es una función biyectiva diferente a la función identidad, al componer dicha función con su función inversa se obtiene: A )La misma función
.
.
B )La función inversa de C) El argumento . D) 1 E) 0
112. A) B) C) D) E)
Si la primera derivada de una función , , en dicho intervalo la función es: Creciente. Decreciente. Discontinua. Nula. No existe.
∞ ′′ ∞−∞ ′
113. A) B) C) D) E)
= =0 = = =0
ℜ→ℜ :
:
Cursillo π
es tal que
tiene un máximo relativo en
ℜ→ℜ
12
+
′ ≤
0, en un intervalo
= , entonces, necesariamente:
→ () =
Si una función : es tal que: lim = la función posee: Una discontinuidad evitable. Una discontinuidad infinita. Una discontinuidad finita. Una discontinuidad asintótica. Una discontinuidad de segunda especie.
114. A) B) C) D) E)
Si la función
ℜ→ℜ
→− ()
y lim
no existe, en
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115. 1) 0 2) 0 3) 4)
∞ ∞ ∞0
De las siguientes expresiones, no es una indeterminación matemática:
0
0
Es/son correcta/s: A) B) C) D) E)
Sólo 1 Sólo 3 1 y 3 1 y 4 3 y 4
, ambas continuas y con derivadas en un intervalo Dadas dos funciones ( ) y , , para poder aplicar el teorema de Cauchy en dicho intervalo con ( ) como denominador, siendo < < , no debe ocurrir que:
′ ′ ′ − − ∙ ∙ ∙
116.
A) B) C) D) E)
=0 =0 =0 =0 =0
117. 1) 2) 3) 4)
Dadas tres funciones cualesquiera
=
,
( ) y ( ), de las siguientes afirmaciones:
= 0
0
+
=
0
0
=
+
Es/son correcta/s: A) B) C) D) E)
Sólo 1 Sólo 4 1 y 3 1 y 4 3y4
() = −∞ > →∞∈ℜ
118. Se verifica que: lim < 0 existe un A) Para todo B) Para todo > 0 existe un C) Para todo > 0 existe un D) Para todo < 0 existe un E) Para cada existe un
∈ℜ
Cursillo π
∈ℜ ∈ℜ ∈ℜ − si: < tal que implica que tal que > implica que > tal que < implica que > < tal que < implica que > 0 tal que si 0 < < implica
13
. . . . que
<
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.
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Año 2012 119.
Siendo
ℜ→ℜ :
tal que
=
−−
4 2 6 : 2 3 4
−
4 ,4 .
a) Graficar la función con al menos 15 puntos en el intervalo b) Determinar si la función es inyectiva y explicar por qué. c) Determinar si la función es sobreyectiva y explicar por qué. d) Determinar si la función es biyectiva y explicar por qué. e) Clasificar la función según su fórmula analítica. f) Determinar si la función es par o si es impar. g) Determinar si la función es monótona y de qué tipo.
−
→
h) Demostrar por definición de límite que: lim
5
0
+1 = 1
120. Dadas las funciones infinitesimales = (1 cos ) y = 1) Comparar las funciones en = 0 sin substituirlas por funciones equivalentes. 2) Determinar el grado de superioridad de una en función a la otra, si corresponde. 121.
ℜ→ℜ ℜ→ℜ ≤ −
Dadas las funciones
=
122.
Hallar °
123.
Para la función
:
:
y
+ 3 p/ 5 p/
, tales que:
0 >0
=
− ≤ − 3 p/ 2+2 p/
y graficar dicha composición en el intervalo 2+
=5
2
0 >0
3 ,5 .
:
1) Determinar un dominio para que la función sea biyectiva. 2) Hallar su inversa en dicho dominio. 3) Determinar el dominio de la función inversa. 124. a) b) 125.
Hallar:
− lim →−∞ lim →∞ 3
4
+ 2 ln +1
Dada la función:
− ≠−− p/ 2 + 5
=
10 2 + 20 3 p/ 5
1
= 1
a) Hallar los puntos donde la función es discontinua. b) Definir qué tipo de discontinuidad presenta la función en dichos puntos.
Cursillo π
14
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126. a) Siendo la función
− ≈ → − − = log
= 1( ) y
donde
= ln . ln
1 . . ln
=
2( 2.
b) Empleando el concepto de diferencial, demostrar que si respecto a , se verifica que aproximadamente: 2
127.
+
+
), demostrar que:
es un número pequeño con
2
Hallar, empleando la Regla de L’Hospital:
lim
1
1
128.
1 ln
=
Hallar el ángulo que forma la tangente a la curva
con el vector de posición 129.
cos 2 cos
del punto de tangencia.
Hallar el ángulo que forman las curvas representativas de la función
función
+ =1 2
2
36
9
en su punto de intersección en el primer cuadrante.
− 2
130. Hallar un punto de la curva de ecuación segmento subnormal tengan igual longitud. 131.
Siendo la función
=
donde
=
=
1(
= 5 c os = 5 sen
= 8,
y la
= 1 donde el segmento subtangente y el
)y
. ln .
en el punto , donde
=
+
, demostrar que:
2
1.
.
132. Empleando el concepto de diferencial, hallar el valor aproximado de log9 , sabiendo que ln10 2,3
≈
133.
Hallar empleando la Regla de L’Hospital:
→lim
0
134.
135.
− 3
Hallar el ángulo que forma la tangente a la curva
= 8 , con el vector de posición
= 2 .cos2
2
+
2
del punto de tangencia.
= 25 en su punto de intersección en el primer cuadrante.
136. Hallar un punto de la curva de ecuación segmento normal tengan longitud.
15
2
en el punto
Hallar el ángulo que forman las curvas representativas de la función
función
Cursillo π
sen
6
, donde
= 6 c os = 3 sen
= 1 donde el segmento tangente y el
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y la
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→ −
137. Dada la función : tal que = tgh , a) Graficar la función en el intervalo 4 ,4 . Explicar brevemente si la función es o no: b) Inyectiva. c) Sobreyectiva. d) Biyectiva. e) Par. f) Impar. g) Simétrica y con respecto a qué. h) Monótona y de qué tipo. i) Convergente o divergente. j) Continua o discontinua y en qué intervalo. 138.
Hallar los siguientes límites: 5 a) lim , siendo y constantes mayores que cero.
→ − → →∞ − − 0
1
b) lim
0
c) lim
ln
1 2 +1
=
139.
Siendo
=
140.
Dada la función
2
hallar
2.
2 +1
3 . ln
. 10 + 24
5 = 0, hallar
y
.
141. Utilizando el Teorema de los incrementos finitos de Lagrange, demostrar que para todo . 142. Hallar la enésima derivada de la función mayores que cero.
Cursillo π
16
=
+
donde
y
≥
1+ ,
son constantes
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Año 2013 143. a) b) c) d) e) f) g)
Siendo
→ − :
=
tal que
1
: 4 Determinar el dominio de definición de . Graficar la función con al menos 20 puntos en el intervalo 5, 5 . Determinar si la función es inyectiva y explicar por qué. Determinar si la función es sobreyectiva y explicar por qué. Determinar si la función es biyectiva y explicar por qué. Determinar si la función es par o si es impar. Determinar si la función es monótona y de qué tipo en el intervalo 3, 5 2
−
→−∞ − → → − ≤ − −≥≤≤ − ∘ 1
Demostrar, por definición de límites, que: lim
144.
+2 =2
145. Dadas las funciones = 1 cos y = a) Comparar las funciones en = 0. b) Determinar el orden de superioridad de una en relación a la otra. c) 146. Dadas las funciones : y : , tales que:
+1 +2
=
Hallar 147.
0 >0
=
=
1
2
4
y graficar dicha composición en el intervalo
Para la función
2
< 2 2 3 3
4, 5 .
1:
1+ 1. Determinar el dominio y el codominio para que sea una función biyectiva. 2. Hallar su inversa. 3. Determinar el dominio de la función inversa.
148.
Hallar:
− → − − − →∞
a) lim
3 2
6
6
b) lim
1 +1
2 +2 3
−− 2
4 1 a) Hallar los puntos donde la función es discontinua. b) Definir qué tipo de discontinuidad presenta la función en dichos puntos.
149.
Cursillo π
Dada la función:
= ln
17
Ing. Raúl Martínez
TAA-CÁLCULO
150.
Dada la función
− − =
5
:
1. Graficar la función en el intervalo 2. Determinar si la función:
5 ,5
a) Es de qué tipo, según su expresión y su forma analítica. b) Es inyectiva c) Es sobreyectiva d) Es biyectiva e) Es par f) Es impar g) Es simétrica y con respecto a qué h) Es monótona y de qué tipo i) Tiene inversa y cuál es, en el dominio
151. 1. lim
<5
Determinar los siguientes límites:
→ sen . ln lim − → lim →∞ 0
2. 3.
tg
0
152.
1
1
Hallar el ángulo que forma la recta tangente a la curva representativa de la curva
2
153.
, en el punto donde
= 6 con la dirección positiva del eje de abscisas.
− → − − −− − = 1 cos . = ln + 1
1
Siendo : R
R, dada por
=
2
3
sen 1
, hallar en
discontinuidad y definir de qué tipo son. 155.
Siendo senh
156.
Demostrar por definición que
Cursillo π
=
Hallar el valor del segmento subnormal, en el punto donde = 4 , de la curva
representativa de la función
154.
=
2
y cosh
=
18
+ 2
−
, demostrar que
1
= log
,
sus puntos de
= argsenh
Ing. Raúl Martínez
1 . 1+ 2
TAA-CÁLCULO
Año 2014 157.
⊂→ − −
+ y
Siendo :
considerando sólo el valor positivo de las raíces cuadradas, tal
2. =+ 3 4 que 1.1. Graficar la función con al menos 10 puntos. 1.2. Determinar si la función es biyectiva y explicar por qué. 1.3. Determinar si la función es monótona y de que tipo en el intervalo
→∞ 3 + = 3
158.
Demostrar, por definición de limite, que lim
159.
Dadas las funciones
1
y :
, tales que:
3
=3
2
<4
=
+2
3.1 Hallar ° 3.2 Graficar dicha composición en el intervalo sen
160.
lim
161.
lim
162.
− lim→
163.
4
1,5 ; 0
.
2
→ → − − − ≥ − − → − →∞ − :
−
4
2 ,10 .
4
2 2cos
3 +2 5 1
0
6
→
Dada la función :
= −− 1
tal que:
2 1
1+4
1
7.1 Hallar los puntos donde la función es discontinua. 7.2 Definir que tipo de discontinuidad presenta la función en dichos puntos.
→ → → −
= ln 1 + 164. Dadas las funciones : y : , tales que: 8.1. Comparar las funciones en = 0 8.2. Determinar el orden de superioridad de una función con relación a la otra. 165. Dada la función : tal que: = 9.1. Graficar la función en 3, 3 9.2 Hallar su inversa y graficarla. 9.3 ¿Qué propiedad presentan ambas gráficas?.
Cursillo π
19
:
Ing. Raúl Martínez
=
3
TAA-CÁLCULO
166.
Dada la función
=
log
= ( ) y
donde
= ( ), demostrar que:
log
log
=
167.
+
10 sabiendo que
Empleando el concepto de diferencial, hallar el valor aproximado de
9 = 3 (Expresar el resultado con tres dígitos decimales).
lim→∞ .
168.
Hallar:
169.
Hallar la ecuación, en coordenadas cartesianas, de la recta tangente a la curva de
ecuación
170.
=
+1
2 cos 2
en el punto donde
=4
Hallar el ángulo entre las curvas
= 10 = 10
intersección situado en el primer cuadrante. 171.
Dada la función
=
−−
3 2 +4 2 3 .
y
− =1 2
2
25
9
, en su punto de
Graficar analizando previamente asíntotas, puntos críticos,
intervalos de crecimientos/decrecimientos e intervalos de concavidad/convexidad. 172.
Dada la función
=
−
2 2 +3
4
2
Determinar: a. Sus asíntotas. b. Sus máximos y mínimos relativos. c. Sus puntos de inflexión. d. Sus intervalos de concavidad y convexidad. e. Su gráfica. 173.
− →∞
Determinar: lim
ln
1
174. Hallar, en coordenadas cartesianas, la ecuación de la recta normal a la curva representativa de la función: = 1 + , en el punto donde = 175.
4
El costo total de producción de x unidades diarias de un artículo es
dólares y el precio de venta de una unidad es 25
− 1 8
1 2 8
+ 35 + 25
dólares. Determinar que le beneficio por
la venta de un artículo tiene un máximo relativo y hallar dicho valor. 176. Deducir la formula, en coordenadas cartesianas, que permite calcular la longitud del segmento normal en un punto de la curva representativa de una función dada en forma explícita. Cursillo π
20
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π
Aplicarla para hallar el valor del segmento normal, en el punto donde t = de la curva
177.
4
representativa de la función
x = t(1 + cos t)
−
y = t(ln t 1)
Ejercicios varios 178. La sección transversal de un bebedero tiene la forma de un triángulo isósceles invertido. Si las longitudes de los lados iguales son 15 pulgadas, determinar el tamaño del ángulo formado por estos dos lados que proporcione al bebedero su máxima capacidad. Justificar mediante algún criterio y enunciarlo. 179. Una ventana consiste en un rectángulo cornado por un semicírculo. Si el perímetro es de 32 pies. Determinar cuánto debe medir el radio del semicírculo y la altura del rectángulo de modo que la ventana admita la mayor cantidad de luz. Justificar mediante algún criterio y enunciarlo. 180.
) Definir: límite de la función
= ( ), en el punto
= .
) Definir: Ecuación de la tangente y de la normal a la curva
=
en el punto
2
) Determinar la acuacion de la tangente y de la normal a la curva
Graficar. 181.
Hallar
si
+
2
0; 0
0
= 25 en
0 (3;
.
4).
= arc.tg(tg 2 )
182. Hallar el triángulo rectángulo de área máxima si la suma de un cateto y su hipotenusa es constante. 183.
Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la curva
184.
Hallar
185.
Definir: ) Punto de inflexión, concavidad y convexidad.
→ − − − lim
1
2
= ln
+
1
3
2
2 4
− −
) Encontrar las distancias mínima y máxima del punto 2 + 2 = 9. Graficar.
186.
) Definir: Continuidad de la función
0 (4;
4) a los puntos de la cia
= ( ) en un punto de su dominio.
) Determinar los puntos de continuidad y los puntos de discontinuidad de la función +2 = 2 7 6.
Cursillo π
21
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187.
) Definir: Función inversa.
) Hallar
si
= + ln senh
− 2
188. Hallar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva punto = 2 y ordenada positiva.
189. Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de volumen superficie sea mínima. 190. Hallar el punto de inflexión convexidad.
− =
+2
192.
Determinar el ángulo de intersección de las curvas 2 si
se verifica
− 2
2
+2
= sen ; = cos
Hallar
194.
Inscribir en un círculo en triángulo de perímetro mínimo. Justificar
195.
Hallar la tangente y la normal a
196.
Inscribir en un círculo dado el radio R, un rectángulo de área máxima.
197.
Hallar
=
en 0; 2
=3
193.
en el
. Determinar el intervalo de concavidad y
Inscribir en un círculo de radio R dado, un rectángulo de área máxima.
2
=4
, para que el área de la
191.
2
en el punto
0
=
1 2
→ − − − − − − lim
1
1
1
3 1 3
2 1
198. Analizar la curva = 3 4 10 3 12 2 + 12 7 . Determinando: Punto de inflexión, máximos y mínimos. Concavidad y convexidad (intervalos) Grafica. 199. Determinar las bases del trapecio de área máxima inscripto en un semicírculo de radio R. Supóngase que la base mayor está situada en el diámetro. 200. A las 9 AM un barco B está a 65 millas al este de un barco A. El barco B navega hacia el oeste a 10millas/h y el barco A hacia el sur a 15 millas/h. Si mantienen esos rumbos ¿Cuándo estarán más próximo uno del otro? 201. Hallar el volumen de un cono recto de altura h que tiene por base una elipse de eje mayor 2 y eje menor 2 .
Cursillo π
22
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202.
Hallar las ecuaciones de los tangentes en los puntos de inflexión de la curva
−
6
3
+ 12
2
8
=
3
4
3 =3
Estudiar la continuidad de la función
204.
Conociendo que log 200 = 2,30103 . Hallar el valor aproximado de log 200,2
205.
Hallar
si
=
− …≠ …………
203.
−
2
=
ln
206. Un muchacho se encuentra en una lancha a dos millas de B, el punto más cercano de una playa rectilínea y ve salir humo de su casa que está a 6 millas playa arriba de B. El imagina que puede remar a 6millas por hora y correr a 10 millas por hora. ¿Cómo puede proceder para llegar a su casa en el mismo tiempo? Justificar por algún criterio.
−
207.
Hallar lim (ln
208.
Hallar
si
+1
ln )
=
209. Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo, y 2 pulgadas de margen a los lados; ¿Qué dimensión debe tener el volante para que se gaste la menor cantidad de papel? Justificar por algún criterio. 210.
(2; 211.
−
Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbola 2).
− 2
2
= 16 que pasa por el punto
=3 +
Investigar la concavidad y los puntos de inflexión de la curva.
+2
3 5.
Grafico
212. El radio de una esfera es a los segundos. Hallar el radio cuando los ritmos de crecimiento del área y del radio son nu8mericamente iguales. 213.
Demostrar que la ecuación de la tangente a la elipse 2 2 2 2 0 ( 0 ; 0 ) sobre la elipse es: 0 + 0 =
2 2
+
2 2
=
2 2
en el punto
= tg sec 2
214.
Hallar la primitiva de la función
215.
Demostrar que la suma de los cuadrados de las intersecciones son los ejes coordenados
de toda tangente a la curva 216.
Cursillo π
2 3
+
2 3
=
2 3 es
Hallar la distancia mínima del punto
23
contante.
(4;2) a la parábola
2
= 8 . Graficar
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217.
Aplicando el teorema de
L′Hospital − − − → − . Hallar:
lim 0
+ sen2
2
2
2
218. Es preciso fabricar una caldera, compuesta de un cilindro y de dos fondos semiesféricos con paredes de espesor constante, de modo que con el volumen dado , tenga una superficie exterior mínima.
219. Un hombre en un bote en P, a 5 millas del punto más próximo A de la playa, desea alcanzar el punto B, a 6 millas de distancia de A a lo largo de la playa, en el tiempo más breve posible. ¿Dónde debe tocar tierra (punto C) si navega a 2 millas/h y camina a 4 millas/h? 220.
Hallar
sec
∫ 2
0
221. El papel de un poster ha de tener 18 pies cuadrados de área, las márgenes laterales 6 pies y los márgenes superior e inferior 9 pies; cuales han de ser las dimensiones del papel para hacer máxima el área impresa.
Cursillo π
24
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