A.
SISTEM PARTIKEL DAN PUSAT MASSA
Hukum kekekalan energi mekanik berkaitan dengan momentum linear, momentum anguler dan energi terapan diberbagai system. Jika sebuah system berisi sejumlah N partikel, dengan symbol bilangan 1,2««N. massa partikel ini adalah m1 , m2 ,««m N dan letaknya pada jarak r 1 , r 2 ,«««.r N dari titik asal O. 2
2
2
kecepatan partikel adalah r 1 , r 2«««..r N (a (a1 , a2 ,««a N ). untuk beberapa system partikel, pusat massa terletak pada jarak R(X,Y,Z) dari titik asal dan didapat hubungan. (m1 , m2 ,««m N )R =m1 r 1 +m2r 2+««.+m N r N atau
Oleh karena itu : R=
= Dalam hal ini M =
(1)
merupakan jumlah dari keseluruhan massa dalam
system tersebut dan penjumlahan dari k = 1 ke k = N. berdasarkan komponen tersebut dapat dituliskan : X=
Kecepatan
(2)
pada pusat massa dapat diperoleh dengan differensi
persamaan (1) terhadap t oleh karena itu,
(3)
Komponen-komponen Komponen-komponen kecepatan pusat massa dapat ditulis :
(4)
Percepatan a didapat dengan mendefferensialkan lagi, yakni :
(5)
B.
KEKEKALAN MOMENTUM LINEAR
Untuk
sebuah partikel tunggal bermassa m bergerak dengan kecepatan
dan
momentum linear , hukum II Newton menyatakan :
(6)
Teorema momentum untuk system partikel : ³ Kekekalan momentum linear : perubahan rata-rata pada momentum linear adalah sama dengan gaya terapan luar total. Jadi bila jumlah semua gaya terapan luar sama dengan nol, maka momentum linear total
dari system ini adalah
konstan.´
= konstan, jika = 0
(7)
Pusat koordinasi massa
(8)
³Pusat massa pada sistem partikel bergerak seperti halnya partikel tunggal bersama m (sistem massa total )bekerja pada gaya tunggal
sama dengan jumlah
semua gaya luar yang bekerja pada sistem.´ Dua buah pendekatan differensial : 1. Hukum II newton 2. Prinsip dari kerja nyatanya
F k i
N
§ F
kl
k !1, k s1
(9)
merupakan gaya dorong pada partikel
K th
menuju partikel
l th
. Sesuai
dengan hukum III newton. F k i ! F k i
Kerja yang dilakukan oleh gaya internal H r untuk HW k
!
(10) i k
pada suatu simpangan sesungguhnya sesungguhnya
partikel ke k th adalah i k
y H r
(11)
Kerja total yang dilakukan oleh seluruh seluruh gaya internal adalah :
« N i » H W ! § H W k ! § F H r ! H r ¬§ F k ¼ k !1 k !1 - k !1 ½ N
C.
N
i k
(12)
KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT
Momentum sudut sudut dari partikel partikel tunggal didefenisikan didefenisikan pada bentuk perkalian perkalian silang yaitu :
L ! r v p ! r v m r ! r v m v
(13)
Pada sistem partikel N, momentum sudut total L dapat dituliskan sebagai jumlah vector : L !
N
§ r
k v
§ ¨©© r ª
p k !
k !1
N
k
v
k !1
¸
mk r ¹¹ ! 0
(14)
º
Gaya total yang bekerja pada partikel k, diperoleh :
« ¨ ¸» N © l ¹ ¬ i ¼ ! § ¬r v © F k § F kl ¹¼ ! § r k v F k e dt k !1 l !1 k !1 ¹ ¬- ©ª l {1 º¼½ N
d L
e k
Dalam hal ini i kl
N
§ § r
k v
F kl i
(15)
k !1 l !1 l {1
merupakan gaya luar total yang bekerja pada partikel k, dan
sebagai gaya dalam yang bekrja pada partikel k th menuju partikel l th . Suku
kedua pada ruas kanan sama dengan nol, dalam hal ini : N N
§ § r F v
i kl
k !1 l !1 l {1
! r k v F kl i
r v
F lk i
l v
(16)
Oleh karena F kl i ! F lk i , maka persamaan N N
§ § r F v
k !1 l !1 l {1
i kl
! r k v F kl i
r v
F lk i ! r k r l v F lk i ! r kl v F kl i
l v
(17)
D.
KEKEKALAN ENERGI e k
Gaya keluar i k
dalam
tergantung pada posisi r k dari partikel k, sedangkan gaya
tergantung pada posisi relatif dari partilkel ±partikel relative lain
terhadap partikel k,yakni r kl ! r k r l dan sebagainya. Jika gaya
k
memenuhi
kondisi :
v
k
! curl
!0
k
(18)
Sehingga dV
F k x !
d xk xk
F k y !
dV d yk yk
, F k z !
dV d zk zk
, dengan k ! 1,2,.... N
(19)
Gerak partikel k th dinyatakan sebagai :
mk r k ! mk v !
(20)
k
Yang merupakan hukum kekekalan energi. Jika gaya luar tidak gayut pada posisi, maka gaya dalam dapat diturunkan dari suatu fungsi potensial, sehingga sehi ngga d dt
N
i
! §
e k
r l
(21)
k !1
Oleh
i
gayut pada posisi relative pasangan partikel, maka
V kl i ! V kl i r kl ! V kl i r k r l
(22)
Dapat diperoleh bahwa : i k
dV i
! i
dx k
E. GERAK
dV i
j
dy k
dV i
k
SISTEM
(23)
d z k
DENGAN
VARIABEL VARIAB
MASSA
:
ROKET
DAN
terhadap roket, sedangkan kecepatan
u+v
SAB SABUK-B UK-BERJALAN DAN SAB SABUK UK B BERJALAN
Kecepatan gas merupakan
u
terhadap sistem koordinat tertentu
pada interval waktu waktu antara
t
dan
t+dt +dt,
sejumlah pembuangan gas adalah |dm|=-dm, sedangkan massa roket adalah m+dm +d m
dan kecepatan
Momentum sistem pada saat saat t yakni (t)=m (t)=m
(24)
Dan momentum sistem pada saat t + dt adalah p t dt ! p roket t dt p gas t dt
= m dm v d v dm v u
(25)
u adalah kecepatan dari gas yang keluar :
m
d v t d t
!u
dm t d t
(26)
Kecepatan akhir v , tergantung pada dua factor, 1.
Besar
nilai u , v kecepatan dari gas yang dikeluarkan dan
2.
Besar
m 0 / m , dala hal ini m0 merupakan massa awal roket dan bahan bakar,
sedang m sebagai massa akhir saat semua bahan ba kar telah digunakan. Untuk
posisi roket dekat permukaan bumi. Maka gaya gravitasi tak dapat
diabaikan sehingga disubstitusi disubstitusi F ! m g dalam persamaan didapat
m
d v t d t
!u
dm t d t
m g
(27)
Dan hasil integrasinya, 1
m
1
1
´ d v ! u ´ m dm g ´ dt 0
m0
v ! v0 u ln
0
m0 m
g t
(28)
Pada saat t = 0 dan besar kecepatan v 0 ! 0 , dan u berlawanan dengan v , maka persamaan (56) menjadi (bentuk saklar)
¨ m0 ¸ ¹ g t ª m º
v ! u ln©
(29)
Momentum toal pada sistem , sabuk dan pasir pada sabuk yakni P ! m M v
(30)
Karena M dan v konstan, sedangkan F !
d p d t t
!v
m berubah
maka
dm
(31)
d t t
Dalam hal ini F merupaka n gaya digunakan digunaka n pada sabuk-sabuk -sa buk berjal berjalan. an. Daya yang disuplai oleh gaya agar a gar sabu-berjalan sabu-berjalan dapat melaju v yakni : Daya = P = F . v = v 2
=2
dm d t t
!
d d t t
mv 2 ! 2
d ¨ 1
2 ¸ © mv ¹ d t t ª 2 º
d ¨ 1
dK 2 ¸ © m M v ¹ ! 2 dt ª 2 dt º
atau
(32)
Ketika pasir mengenai sabuk berjalan maka harus dipercepat dari kelajuan nol sampai kelajuan sabuk berjalan menempuh jarak tertentu. Pada pengamat yang berada pada sabuk ,pasir yang jatuh kebawah harus bergerak horizontal dengan kelajuan v pada arah berlawanan dengan sabuk.
F.
TUMB TUMBUKAN LENTING DAN HUKUM KEKEKALAN
Tumbukan antar partikel dapat dibedakan menjadi tumbukan elastic yang berlaku kekekalan momentum linear dan energy kinetic, dan tumbukan elastic yang hanya berlaku kekekalan momentum linear namun kekekalan energy kinetiknya tak berlaku. Untuk
tumbukan lenting : p i ! p f , dan
Untuk
tumpukan tak lenting : p i ! p f , dan
i
!
(33)
f
i
{
f
(34)
Sebuah benda bermassa m1 bergerak dengan kecepatan v1i , dan mengenai sebuah partikel lain bermassa m2 pada keadaan diam yang keduanya berada di sepanjang sumbu x. Setelah tumbukan, massa m 1 bergerak dengan kecepatan v1 f membentuk sudut U dengan sumbu x, dan massa m2 bergerak dengan kecepatan
v 2 f , membentuk sudut N dengan sumbu x. Untuk
kasus (a) U = 0, tumbukan satu dimensi yang merupakan tumbukan
tepat pusat massa
v1 f v1i
vi f
! 1 atau
m1 m 2
!
v1i
m1
(35)
m2
Tidak terjadi bertumbukan v i f
v2 f = 0, jika
v1i
!1
(36)
Pada kasus (b) m1> m2, maka 2
2
cos U u
m1 m2 m1
2
(37)
2
Dan untuk U ! U m 2
cos U ! 2
m1 m2 m1
2
2
! 1
m2
2
m1
2
, 0 eU m e
T
(38)
2
Sudut hamburan U harus lebih kecil daripada U m , jika U > U m dan
T
2
eU eU ,
nilai dibawah tanda akar mejadi negatif. Dalam hal ini U m merupakan sudut maksimum = U maks, U
dan 0 U
U maks maks ,
T 2
untuk kasus (c) m1
T 2
maka dihasilkan hamburan balik. Jika U =0
dan J =0 kasus pertama (a) yakni, J =0 maka akan didapatkan seperti kasus
v1 v2
!
m1 m2 m1
Untuk
m2
dan
v 2 f v1i
!
m1 m 2 m1 m 2
tumbukan pusat massa maka
(39)
1
m1 m2
!
2 k 1i k 2 f
«¨ 2k 1i ¸ » 2 1 s ¬© 1¹ 1¼ © k ¬-ª 2 f º¹ ¼½
(40)
Kasus (d) m1= m2, cos U dan sin U , didapat : v1i cos U ! v1 f v 2 f . cos U J
(41)
Karena m1 =m2, persamaan (39) menjadi v 1i ! v1 f . cosU G.
(42)
TUMB TUMBUKAN TAK LENTING
Jika energy kinetic awal adalah K i dan energy kinetic akhir adalah K f f, maka energy disintegrasi () dapat dinyatakan sebagai = K f f -K i
(43)
jika >0 exoergic, exoergic, tumbukan tak lenting jenis dua
(44a)
<0 endoergic, endoergic, tumbukan tak lenting jenis pertama
(44b)
=0 tumbukan lenting
(44c)
Ditinjau sebuah objek bermassa m1 bergerak dengan kecepatan
menabrak
sebuah objek lain yang diam bermassa m2 dan kemudian kedua objek menempel setelah tumbukan dan kecepatannya
.
(45)
Dalam hal ini energy kinetk tidak tida k kekal, sehingga
(46)
Yang bernilai negative dan tumbukannya bersifat endoergenik. Jadi energy minimumnya (energy ambang) dinyatakan dengan persamaan, (K 1)ambang = Untuk
reaksi endoergic K 1 harus menjadi
(47)
(K ) ambang. 1
H.
SISTEM KOORDINAT PUSAT MASSA DUA BENDA
Suatu sistem berisi 2dua objek bermassa m1 dan m2 pada jarak r 1 dan r 2 dari titik
dan merupakan gaya luar yang bekerja pada m dan m , sedangkan adalah gaya dalam yang bekerja antara m dan m , dan sebagai gaya
asal O.
1
1
2
2
dalam yang bekerja antara m2 dan m1, sesuai dengan hokum III Newton
= -
(48)
Sedangkan gaya luar total yang bekerja pada suatu system
(49)
Koordinat pusat massa
Total momentum linear system yakni p ! m1 r 1
m 2 r 2 ! M R
(50) Total momentum sudut sistem yakni L ! m1 ( r 1 x r 1 ) m2 (r 2 x r 2 )
(51) I.
TUMB TUMBUKAN DALAM SYSTEM KOORDINAT MASSA
Sebuah partikel bermassa m1 di x 1 bergerak dengan kecepatan v1i , sementara sebuah partikel bermassa m 2 di x2 diam. pusat massa xc diberikan oleh : (m1+m2 )xc = m1 x1 +m2 x2
(52)
Kecepatan pusat massa diperoleh dari defferensial persamaan (50) yaitu
Dimana v =dx dt, (m1 +m2 )vc = m1 c
c/
(53) dan
, sehingga kecepatan pusat massa v
c
terhadap SKL diberikan oleh
(54)
Dimana
adalah massa tereduksi. Misalkan tumbukan antara m1 dan m2 diamati
oleh pengamat yang berada dalam SKPM yang bergerak dengan kecepatan vc. ¶
kecepatan m1 dan m2 terhadap SKPM v 1i dan v¶2i (tanda aksen menunjukkan bahwa besaran digambarkan dalam dala m SKPM).
(55) (56)
Momentum tiap partikel sebelum tumbukan dalam SKPM adalah
(57)
(58)
Jadi momentum linear total dari system dalam SKPM sebelum tumbukan adalah
Untuk
tumbukan tak lenting
(59)
(60)
Untuk
tumbukan lenting,
(61)
Ditinjau beberapa kasus khusus khusus untuk tumbukan tumbukan lenting: Kasus (a) : Jika
, seperti dalam kasus tumbukan antara neutron
dan proton dapat di tuliskan sebagai:
Sehingga
(62)
(63)
dapat memiliki nilai antara 0 dan , maka dapat memiliki nilai maksimum . Kasus (b): Jika , (64) Sehingga (65) Kasus (c): Jika ,partikel yang menumbuk lebih berat dibandingkan partikel sasaran. Dalam kasus ini, harus sangat kecil, tidak peduli berapa nilai Hal ini bersesuaian dengan persamaaan (90) yang menyatakan bahwa tidak dapat lebih besar nilainya dibandingkan nilai maksimum . Karena dalam SKPM
J.
GAYA
TOLAK
KUADRAT
TER BALIK:
HAMB HAMBURAN
RUTHER FORD
Lintasan dari hamburan seperti ini adalah hiperbolik. Partikel bermuatan positif q, bermassa m 1 dan memiliki kecepatan vo bergerak menuju sebuah inti sasaran yang bermuatan positif Q dan bermassa M yang diam. Gaya tolak kuadrat terbalik antar kedua partikel adalah
Dimana k=8,99x
(66)
dan K= kQq bernilai positif sehingga F merupakan
gaya tolak. Dengan K bernilai positif. Dari persamaan persamaan eksentrisitas eks entrisitas e, yaitu
(67)
Menyarankan agar e>1 sehingga lintasan partikel alpha yang datang berbentuk hiperbolik. Sudut hamburan
merupakan sudut antara kedua a simptot
adalah
(68)
Dalam persamaan hiperbolik
Untuk
(69)
partikel yang berada di tak hingga r=
, persamaan di atas
menjadi
Sudut hamburan
(70)
dapat ditentukan secara eksperimen, ketika b membesar,
akan mengecil, atau semakin kecil parameter tumbukan, sudut hamburannya akan membesar. Jumlah partikel alpha dN yang dihamburkan melelui sudut U +d U sebanding dengan pusat hamburan n dan jumlah partikel yang datang N, yaitu dN=nN d W
(71)
dimana d W didefenisikan sebagai tampang lintang (cross section) untuk hamburan melalui sudut U dan U +dU +d U dapat dibayangkan sebagai daerah efektif yang mengelilingi tiap pusat hamburan dimana partikel yang dapat harus menumbuk agar terhambur, sehingga sehingga daerah sensitive s ensitive total untuk hamburan dalam satuan daerah target adalah n dW . Tampang lintang dalam hal ini adalah W dan sama dengan daerah piringan berjari-jari b, dengan pusat di F
W = T b 2
(72)
Sehingga W = 2 T b d b d W
b dan db dapat dinyatakan dalam
(73)
dan d (74)
Rhuterford menggunakan rumus tersebut untuk tersebut untuk menganalissa hasil ekperimen hamburan partikel alfa (q= 2e) oleh inti target (Q=Ze) pada lempeng tipis. Penyimpangan dari rumus hambu ha mburan ran Rhuterford terjadi jika energy kinetic K dari partikel yang datang lebih besar daripada energy potensial minimum pada -14
jarak r min bahwa jari-jari jari-jari inti adalah 10 m. min. Rhuterford menyimpilkan bahwa
sehingga
(75)
Pada kasus m1= m2 maka
(76)
