Suites r

SUITES DE NOMBRES RÉELS

SOMMAIRE SOMMAIRE 1. Co Convergence. Divergence. Généralités

1

1.1. Définition

2

1.2. Propriété : unicité de la limite

3

1.3. Définition : suites de Cauchy

3

1.4. Propriété : (un) converge Þ (un) de Cauchy Þ (un) bornée. Exemple : divergence de la série harmonique

3

1.5. Opérations algébriques sur les suites convergentes

4

1.6. Opérations algébriques sur les suites divergentes vers +¥

5

1.7. Théorème : suites et applications continues. Exemple : x

1

a cos ne peut pas se prolonger par continuité en 0 x

6

1.8. Cas des suites récurrentes

7

1.9. Théorème de Césaro

8

2. Quelques théorèmes de comparaison et d'encadrement

9

2.1. et 2.2. Théorèmes de compatibilité avec l'ordre

9

2.3. Cas des suites divergentes vers +¥ ou -¥. Exemple : divergence vers +¥ de la série harmonique n

2.4. Théorème des "gendarmes". Exercice : å

1 k

k = 0 C n

®2

10 10

2.5. Théorème de la limite monotone

11

2.5.1. Application : constante d'Euler

12

2.5.2. Une suite monotone est soit convergente soit divergente (vers +¥ ou -¥)

12

2.6. Suites adjacentes

13

2.6.1. Application 1 : nombre e

14

2.6.2. Application 2 : moyenne arithmético-géométrique

15

2.7. Théorème des segments emboîtés

16

3. Suites extraites. Valeur d'adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass

16

3.1. Définition : suite extraite et valeur d'adhérence

16

3.2. Théorème : lien entre la limite d'une suite et celle de ses extraites. Exercice : divergence de (cos n)

17

3.3. Propriété : suite extraite des termes pairs et suite extraite des termes impairs

18

3.4. Théorème de Bolzano-Weierstrass

19

3.4.1.  es est complet

20

3.4.2. Théorème de Heine

21

3.4. 3.4.3. 3. Théo Théorème rème : une une suit suitee bo borné rnéee n'a n'adm dmet etta tant nt qu' qu'un unee seu seule le valeu aleurr d'a d'adh dhér éren ence ce conv onverge erge

22

4. Quelques applications

23

4.1. Théorème : fonction continue sur un segment

23

4.2. Théorème spécial à certaines séries alternées

24

Suites de nombres réels

Page 1

G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

1. Convergence. Convergence. Divergence. Généralités 1.1. Définition

· On dit qu'une suite (un) converge vers un réel l si : "e Î  *+ , $ N Î !, "n Î !, (n " N Þ |un - l| # e) Avec les quantificateurs, la divergence s'écrit : "l Î , $e Î *+ , " N Î !, $n Î !, (n " N et |un - l| > e)

· Si un tel réel l n'existe pas, on dit que (un) diverge. · On dit qu'une suite (un) diverge vers +¥ si :

" A Î  *+ , $ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un " A)

· On dit qu'une suite (un) diverge vers -¥ si (-un) diverge vers +¥, autrement dit : " B Î  *+ , $ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un # B)

B = - A

Exemples de manipulation directe de cette définition : 1. Démontr Démontrer er que la suite suite (un) définie par un = (-1)n diverge. Supposons au contraire qu'elle converge vers un certain réel l :

"e Î  *+ , $ N Î !, "n Î !, (n " N Þ |(-1)n - l| # e) Avec e =

1 , cela donne : 2

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

l-

1 1 n ) # (-1) # l + 2 2

Pour un entier n pair tel que n " N , on a : l -

1 1 # 1 # l + 2 2

Donc :

l Î [

Pour un entier n impair tel que n " N : :

l-

1 1 # -1 # l + 2 2 l Î [-

Donc :

1 3 , ] 2 2

3 1 ,- ] 2 2

Absurde, donc (un) diverge. On verra plus loin une autre démonstration à l'aide des suites extraites. 2. Démontr Démontrer er que la suite suite (vn) définie par vn =

(-1)n n

converge.

Le calcul des premiers termes de (vn) nous amène à la conjecture : ( vn) converge vers le réel 0. Montrons-le. Fixons e Î  *+ . On cherche à prouver l'existence d'un entier N tel que :

"n Î !, (n " N Þ |vn| # e) C'est-à-dire :

"n Î !, (n " N Þ 1 # ne) "n Î !, (n " N Þ


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n"

1 ) e G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

æ 1 ö + 1 " 1 ÷ e èeø

N = E ç

On constate qu'il suffit de choisir : Donc (vn) converge vers 0.

1.2. Propriété Unicité de la limite Si (un) converge alors sa limite l est unique Démonstration : Soit e Î  *+ . Supposons :

· (un) converge vers l1 :

$ N 1 Î !, "n Î !, (n " N 1 Þ |un - l1| # e)

· (un) converge vers l2 :

$ N 2 Î !, "n Î !, (n " N 2 Þ |un - l2| # e)

Posons N = max( N 1 ; N 2). Alors :

"n Î !, (n " N Þ |l1 - l2| # |l1 - un| + |un - l2| # 2e) En faisant tendre e vers 0, on obtient :

l1

= l2

Notation : la convergence de (un) vers l se note : lim un = l ou un

¾¾¾¾ ® n®¥

la divergence de (un) vers +¥ se note : lim un = +¥ ou un

¾¾¾¾ ® n®¥

n ®+¥

n ®+¥

l

+¥

1.3. Définition Suites de Cauchy On dit qu'une suite (un) est de Cauchy si :

"e Î  *+ , $ N Î !, "( p, q) Î !2, ( p > q " N Þ |u p - uq| # e) Remarque : par négation, (un) n'est pas de Cauchy lorsque :

$e Î  *+ , " N Î !, $( p, q) Î !2, ( p > q " N et |u p - uq| > e) 1.4. Propriétés (un) converge Þ (un) de Cauchy Þ (un) bornée Démonstration : Supposons que (un) converge vers un réel l. Soit e Î  *+ . On a :

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ |un - l| # e) Soient maintenant des entiers p et q tels que :

p > q " N

D'après l'inégalité triangulaire, on a : |u p - uq| # |u p - l| + |uq - l| # 2e Ce qui prouve que la suite (un) est de Cauchy. (On verra, plus loin que, pour les suites réelles, la réciproque est vraie) Suites de nombres réels

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Comme (un) est de Cauchy, on a avec e = 1 et q = N :

$ N 1 Î !, " p Î !, ( p " N 1 Þ |u p - u N | # 1) C'est-à-dire :

p " N 1

Þ

u N - 1 # u p # u N + 1

M = max{|u0| ; ... ; |u N -1| , |u N + 1|}

Posons :

"n Î !, |un| # M

Ainsi : Donc (un) est bornée. Exemple :

Montrer la divergence de la suite (un) définie pour n Î !* par : un

=

n

å 1k

(Série harmonique)

k =1

Pour tout N Î !*, on a : u2 N - u N =

2 N

1

1 1 1 > N = å k - å 1k = N 1+ 1 + ... + 2 N 2 N 2 k =1

Donc, il existe un e (à savoir

N

k =1

1 ) tel que pour tout entier N Î !*, il existe un couple ( p, q) Î !2 (à savoir q = N 2

et p = 2 N ) vérifiant p > q " N et |u p - uq| > e. Ce qui prouve que la suite (un) n'est pas de Cauchy. D'après la contraposée de 1.4., on en déduit que (un) ne converge pas, donc (un) diverge. On verra plus loin que (un) diverge vers +¥.

1.5. Opérations algébriques sur les suites convergentes a) (un) converge vers l1 et (vn) converge vers l2 Þ (un + vn) converge vers l1 + l2. b) (un) bornée et (vn) converge vers 0 Þ (unvn) converge vers 0. c) (un) converge vers l1 et (vn) converge vers l2 Þ (unvn) converge vers l1l2.

æ1ö 1 d) (un) converge vers l Î * Þ ç ÷ converge vers . l è un ø Démonstration : a) Soit e Î  *+ .

$ N 1 Î !, "n Î !, (n " N 1 Þ |un - l1| # e) $ N 2 Î !, "n Î !, (n " N 2 Þ |vn - l2| # e) Posons N = max( N 1 ; N 2). On a alors : n " N Þ

|(un + vn) - (l1 + l2)| # |un - l1| + |vn - l2| # 2e

Ce qui prouve que (un + vn) converge vers l1 + l2. b) Comme (un) est bornée : Suites de nombres réels

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$ M Î  *+ , "n Î !, |un| # M Soit e Î  *+ . Comme (vn) converge vers 0 :

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ |vn| #

e M

)

n " N Þ |unvn| # e

Donc :

Ce qui prouve que la suite (unvn) converge vers 0. unvn - l1l2 = (un - l1)vn + l1(vn

c) On écrit :

- l2)

On a : ® 0 ìï un - l1 ¾¾¾¾ ®¥ í (v ) bornée (car convergente) ïî n D'après b), on déduit (un - l1)vn n

¾¾¾¾ ® n®¥

De même, on montre que l1(vn - l2) Et d'après a), on déduit unvn - l1l2

0

¾¾¾¾ ® n®¥

¾¾¾¾ ® n®¥

0

0 d'où c).

d) Quitte à changer un en son opposé, on peut supposer l > 0. Comme (un) converge vers l :

"e Î  *+ , $ N Î !, "n Î !, (n " N Þ |un - l| # e) En particulier avec e =

l

2

, on obtient :

$ N 1 Î !, "n Î !, (n " N 1 Þ 0 <

l

2

# un)

Soit e Î  *+ . Toujours, comme (un) converge vers l :

$ N 2 Î !, "n Î !, (n " N 2 Þ |un - l| # e) Pour n " max( N 1 ; N 2) on a alors : 1 un

-

1 l

=

l - un

un l

#

2e l

2

æ1ö 1 Ce qui prouve que ç ÷ converge vers . l è un ø

1.6. Opérations algébriques sur les suites divergentes vers +¥

æ1ö a) (un) diverge vers +¥ Þ ç ÷ converge vers 0. è un ø æ1ö b) (un) converge vers 0 et (un) strictement positive Þ ç ÷ diverge vers +¥. è un ø c) (un) converge vers l > 0 et (vn) diverge vers +¥ Þ (unvn) diverge vers +¥.


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Démonstration : a) (un) diverge vers +¥ : Soit e Î  *+ . Pour A =

" A Î  *+ , $ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un " A)

1 , on obtient : e

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un "

1 ) e

Par décroissance de la fonction inverse sur  *+ : 1

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

# e)

un

æ1ö Donc ç ÷ converge vers 0. è un ø b) Fixons A Î  *+ . Comme (un) converge vers 0, on a avec e =

1

:

A

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un #

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

1 un

1 A

)

" A)

æ1ö Donc ç ÷ diverge vers +¥. è un ø c) Comme (un) converge vers l > 0, on obtient avec e =

l

2

:

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ 0 <

l

2

# un )

Comme (vn) diverge vers +¥ :

" A Î  *+ , $ N' Î !, "n Î !, (n " N' Þ Pour tout n " max( N , N' ), on a alors :

vn "

2 A l

)

unvn " A

Ce qui prouve bien que (unvn) diverge vers +¥.

1.7. Théorème Suites et applications continues Soit X une partie non vide de . Soit (un) une suite d'éléments de X convergeant vers un réel l Î X . Soit ¦ une application continue en l et à valeurs dans . La suite (¦(un)) converge vers ¦(l). Démonstration : Soit e Î  *+ . Alors, comme ¦ est continue en l, on a:

$h Î  *+ tel que : (| x - l| < h Þ |¦( x) - ¦(l)| < e) Mais la suite (un) converge vers l. Donc pour ce réel h ci-dessus, on peut trouver N Î ! tel que : n " N Þ |un - l| < h Suites de nombres réels

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On a donc, par transitivité des implications : n " N Þ

|¦(un) - ¦(l)| < e

Ceci prouve que la suite (¦(un)) converge vers ¦(l).

Dans la pratique, on utilise souvent la version contraposée de 1.7, en ce sens : si (un) et (vn) convergent vers l et si les suites (¦(un)) et ((¦(vn)) convergent vers des limites différentes, alors ¦ n'est pas continue en l.

Exemple : Soit l Î [-1, 1].

¦ :  ® 

Soit :

x

ìïcos 1 si x Î ¡* a í x ïî l si x = 0

Alors ¦ n'est pas continue en 0. En effet, supposons le contraire. Considérons la suite (un) définie pour n Î !* par : un =

1 2pn

Comme on a supposé ¦ continue en 0, le théorème 1.6. permet d'affirmer qu'alors :

¦(un) Or :

¾¾¾¾ ® n®¥

¦(0)

"n Î !*, ¦(un) = 1 et ¦(0) = l l = 1

Donc :

Mais, considérons maintenant la suite (vn) définie pour n Î !* par : 1 + 2pn 2

vn = p

Le même raisonnement que ci-dessus montre que : l = 0 D'où une contradiction. Donc ¦ n'est pas continue en 0.

1.8. Conséquence du théorème 1.7. Soit X une partie non vide de . Soit ¦ continue sur X telle que ¦( X ) Ì X . Soit (un) la suite définie par :

u0 Î X ì íu = ¦ (u ), "n Î ¥ î n +1 n

Si (un) converge vers l alors ¦(l) = l Démonstration : Immédiat en passant à la limite dans l'égalité :


un+1 = ¦(un)

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1.9. Exercice : théorème de CÉSARO Soit (un) une suite convergeant vers un réel l. Alors la suite (vn) définie, pour n Î !*, par :

n

1

åu n

vn =

Autrement dit, le théorème de Césaro k

affirme que la convergence entraîne la

k =1

convergence en moyenne.

converge également vers l. (On dit que (un) converge en moyenne vers l ou converge au sens de Césaro) Démonstration : Fixons e Î  *+ . Comme (un) converge vers l :

$ N Î !, "k Î !, (k " N Þ |uk - l| # e) Pour n > N , on a : vn - l =

|vn - l| #

Posons An = Il est clair An

1 n

N

å| u

k

n

1

å| u

n

k

1 n

1

- l |#

n

k =1

n

å (u

k

- l)

k =1 N

å| u

k

-l |+

k =1

1 n

n

å |u

k

-l|

k = N +1

- l |.

k =1

¾¾¾¾ ® n®¥

$ N' Î !*, "n Î !, (n " N' Þ |An| # e)

0 donc :

Pour n > max( N , N' ), on a alors : |vn - l| # An +

1 n

n

å |u

k

-l|# e +

k = N +1

n - N e # 2e n

Ce qui prouve bien que (vn) converge vers l. Compléments sur le théorème de CÉSARO : 1. Une suite qui converge en moyenne ne converge pas nécessairement. Autrement dit, la réciproque du théorème de Césaro est fausse. Voici un contre-exemple : un

= (-1)n (-1) n

On vu que (un) diverge tandis que (vn) définie par vn =

n

converge vers 0.

2. Le théorème de Césaro admet un prolongement pour les suites divergentes vers +¥ : Soit (un) une suite divergeant vers +¥. *

Alors la suite (vn) définie, pour n Î ! , par :

vn =

1 n

n

åu

k

k =1

diverge également vers +¥. Démonstration : Suites de nombres réels

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Fixons A Î  *+ .

$ N 0 Î !, "n Î !, (n " N 0 Þ

Par hypothèse :

un " 3 A)

Pour n > N 0, on a : vn

=

1

N 0

åu n

k

+

k =1

Posons An =

1

1 n

n

å

uk "

k = N 0 +1

åu n

k

vn " An + 3 A - 3

, ainsi :

N 0

k =1

Il est clair An De même, -3

¾¾¾¾ ® n®¥

N 0 n

0, donc :

® A ¾¾¾¾ n®¥

k

+ 3

n - N 0

k =1

N 0

u n å

N 0

1

n

A

A

n

$ N 1 Î !*, "n Î !, (n " N 1 Þ - A # An # A)

0, donc :

$ N 2 Î !*, "n Î !, (n " N 2 Þ - A # -3

N 0 n

A # A)

Si bien que pour n " max( N 0, N 1, N 2), on a : vn " - A + 3 A - A vn " A

Ce qui prouve bien que (vn) diverge vers +¥. Dans cette version encore, la réciproque du théorème de Césaro est fausse. (Voir 3.3.)

2. Quelques théorèmes de comparaison et d'encadrement 2.1. Théorème compatibilité avec l'ordre

"n Î !, un > 0 (resp. " 0)

Si (un) converge et : Alors :

lim un " 0

n ®¥

Les inégalités deviennent toutes larg es lorsqu'on p asse à la limite

Démonstration : Notons l = lim un et supposons l < 0. n ®¥

l

Pour e = - (noter qu'on a bien e Î  *+ ), la convergence de (un) s'écrit : 2

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un #

l

2

< 0)

Ce qui contredit l'hypothèse de positivité. Donc l " 0.

2.2.Conséquence Si (un) et (vn) convergent et : Alors :


"n Î !, un <

vn (resp. un # vn)

lim un # lim vn

n ®+¥

n ®+¥

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Démonstration : On applique 2.1. à la suite (vn - un).

2.3. Théorème

"n Î !, un #

Soient (un) et (vn) deux suites telles que :

vn

Si (un) diverge vers +¥ alors (vn) diverge vers +¥. Si (vn) diverge vers -¥ alors (un) diverge vers -¥ Démonstration : Fixons A Î  *+ . Comme (un) diverge vers +¥ :

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

un " A)

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ

vn " A)

Et comme vn " un :

Donc (vn) diverge vers +¥. Idem pour le second énoncé. Exemple : Prouver que la série harmonique diverge vers +¥. 1 D'après la décroissance de l'application t a sur ]0 ; +¥[ on a immédiatement : t

"n Î !*,

1 # n +1

ò

n +1 n

1

x

d x #

1 n

(Illustrer)

N

En sommant, pour n allant de 1 à N :

0 # ln( N + 1) #

å 1n n =1

D'où la divergence vers +¥ de la série harmonique.

2.4. Théorème d'encadrement ou des "gendarmes" Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que :

· $ N 0 Î !, "n Î !, (n " N 0 Þ

un # vn # wn)

· (un) et (wn) convergent vers le même réel l. Alors (vn) converge vers l. Démonstration : Soit e Î  *+ . Par hypothèse :

$ N 1 Î !, "n Î !, (n " N 1 Þ |un - l| # e) $ N 2 Î !, "n Î !, (n " N 2 Þ |wn - l| # e)

Pour n " max( N 0, N 1, N 2), on a :

l - e # un # vn # wn # l + e

Donc (vn) converge vers l. Suites de nombres réels

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Exercice : n

å C 1

un =

Soit (un) la suite définie par :

k n

k = 0

Démontrer que (un) converge vers 2. Pour n " 5, on a : un

=

1

+

0

C n

1 1

C n

+

n- 2

1

1

å C k = 2

+ k

1 C nn -

n

2 C nk " C n "

Or, pour tout k Î 2, n - 2! :

1

+

C nn

1 = 2 æç 1 + ö÷ + è nø

n- 2

å C 1 k = 2

k n

n( n - 1)

2

n-2

Donc :

0#

å C 1 # 2(n(nn -- 1)3) k n

k = 2

D'après le théorème des gendarmes, on déduit : n- 2

å C 1

k n

k = 2

D'où :

un

¾¾¾¾ ® n ®¥

¾¾¾¾ ® n®¥

0

2

2.5 Théorème limite "monotone" Toute suite croissante et majorée converge Toute suite décroissante et minorée converge Démonstration : Soit (un) une suite croissante et majorée. On considère l'ensemble :

{un, n Î !}

Cet ensemble étant non vide et majoré, il admet une borne supérieure l Î  :

Mais comme (un) est croissante : D'où :

"e Î  *+ , $ N Î !,

l - e < u N # l

"n Î !, (n " N Þ

l - e < un # l)

"n Î !, (n " N Þ |un - l| # e)

Donc (un) converge vers l. Même raisonnement pour les suites minorées et décroissantes.


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2.5.1. Application : constante d'Euler On considère la suite u = (un) définie pour n Î !*, par : un

=

n

å 1k - ln n k =1

Nous allons montrer, à l'aide du théorème 2.5. que cette suite converge. On montre que u est décroissante : Pour tout entier n " 2, on a :

un

1

- un-1 =

n

1 + ln æç 1 - ö÷ è nø

" X Î ]-1, +¥[, ln(1 + X ) # X

Et, tenant compte de l'inégalité : 1 On obtient avec X = - Î ]-1, 0[ :

un

n

- un-1 # 0

Ce qui prouve la décroissance de la suite u. On montre que u est positive (i.e. minorée par 0) : Par décroissance de l'application t a

1 t

sur ]0, +¥[, on a :

"k Î 1, n!,

ò

k +1 k

1 t

dt #

1 k

En sommant pour k allant de 1 à n - 1 :

ò

n

1

1 t

n -1

dt #

1

n

å k å 1k k =1

#

k =1

"n Î !*, un " 0

D'où :

Bilan : la suite u est décroissante et minorée (par 0) donc converge. Sa limite, notée g, s'appelle la constante d'Euler.

2.5.2. Conséquence du théorème de la limite monotone (un) croissante Þ ((un) converge ou (un) diverge vers +¥) Démonstration : Soit (un) une suite croissante.

· Si (un) est majorée, alors elle converge, d'après 2.5. · Si (un) n'est pas majorée : Et comme (un) est croissante :

" M Î  *+ , $ N Î !, u N > M "n Î !, (n " N Þ

un " u N " M )

Ce qui prouve bien que (un) diverge vers +¥. On montre de même que : (un) décroissante Þ ((un) converge ou (un) diverge vers -¥)


Page 12


Application : hypothèse supplémentaire pour obtenir la réciproque du théorème de Césaro Soit (un) une suite monotone. *

Soit (vn) la suite définie pour n Î ! par : On suppose que (vn) tend vers l Î

vn =

1 n

n

åu

k

k =1

¡.

Alors (un) tend aussi vers l. Démonstration : Comme (un) est monotone, elle converge ou diverge (vers +¥ ou -¥). Mais alors, d'après le théorème direct de Césaro, (vn) aura le même comportement. Donc (un) se comporte bien comme (vn).

2.6. Définition Suites adjacentes

ì (un ) est croissante ï Lorsque í(vn ) est décroissante , on dit que les suite (un) et (vn) sont adjacentes ï v - u ¾¾¾¾® 0 î n n n ®¥ Remarque : la condition "n Î !, un # vn est inutile dans les hypothèses. Elle découle des trois autres. 2.6. Théorème Suites adjacentes Si (un) et (vn) sont adjacentes, alors (un) et (vn) convergent vers la même limite l. De plus :

"n Î !, un # un+1 # l # vn+1 # vn

Démonstration : Montrons, tout d'abord : Posons, pour tout n Î ! : On a :

"n Î !, un # vn wn

= vn - un

"n Î !, wn+1 - wn = (vn+1 - vn) - (un+1 - un)

Et d'après le sens de variation des suites (un) et (vn) :

"n Î !, wn+1 - wn # 0 Donc (wn) est décroissante. Donc :

"n Î !, "m Î ! tel que m " n on a : wn " wm

Ci-contre, on démontre (et on utilise) qu'une suite décroissante et convergeant

Et par passage à la limite lorsque m tend vers +¥, on obtient :

vers 0 est nécessairement positive.

"n Î !, wn " 0 C'est-à-dire : On en déduit encore :

"n Î !, un # vn "n Î !, u0 # un # vn # v0

On prouve maintenant la convergence des suites (un) et (vn) grâce au théorème de la limite monotone : Comme, (un) est croissante et majorée par v0, elle converge vers un certain réel l. Comme, (vn) est décroissante et minorée par u0, elle converge vers un certain réel l' . En écrivant enfin : un = vn + (un - vn) Un passage à la limite donne :

l = l' + 0 l = l'


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"n Î !, un # l

Enfin, on a nécessairement :

$n0 Î ! tel que l <

En effet, supposons le contraire :

un0

+l . (l' est la moyenne de un0 et de l et comme l < un0 , on a : l < l' < 2 Comme (un) est croissante, on a : "n " n0 , l' < un Et par passage à la limite : l' # l Ce qui contredit l < l'... Donc on a bien : un # l On démontre, de même, que : l # vn D'où : "n Î !, un # un+1 # l # vn+1 # vn Posons l' =

un0

un0

).

Remarque : si (un) et (vn) sont strictement monotones, on a :

"n Î !, un < un+1 < l < vn+1 < vn 2.6.1. Application 1 : le nombre e 1 1 1 1 1 + + + ... + et yn = xn + sont adjacentes. 0! 1! 2! n! nn!

1. Montrer que les suites ( xn) et ( yn) définies par xn = 2. Déterminer sept décimales de leur limite e. 3. Démontrer que e est un nombre irrationnel.

Remarque : on peut également poser yn = xn +

Solution :

1 n!

.

Les calculs sont plus simples mais la convergence (vers e) plus lente.

1. La suite ( xn) est bien sûr strictement croissante. Montrons que ( yn) est strictement décroissante en calculant yn+1 - yn : yn+1 - yn = xn+1 +

1 1 1 1 1 n( n + 1) + n - ( n + 1) 2 - xn = + = (n + 1)(n + 1)! nn! (n + 1)! (n + 1)(n + 1)! nn! n(n + 1)( n + 1)! yn+1 - yn

-1 < 0 n( n + 1)( n + 1)!

=

Donc ( yn) est strictement décroissante. yn - xn =

Enfin on a :

1 nn!

lim ( yn - xn) = 0

Donc :

n ®+¥

Les suites ( xn) et ( yn) sont bien adjacentes donc admettent une limite commune (que l'on notera e) 2. On a donc, pour tout entier n :

xn # e # yn

1

Il suffit de déterminer un entier n tel que : n = 10 convient. Donc e

nn!

< 10-7

x10 à 10-7 près.



On obtient :

e

2,7182818 (à 10-7 près)



3. Supposons e Î $. Alors, il existe des entiers p et q tels que e = On aurait en particulier :

xq <

Réduisons au même dénominateur la somme xq =


p q

p q

.

< yq

1 a 1 1 1 + + + ... + . On peut écrire : xq = où a Î !. 0! 1! 2! q! q!

Page 14


a

D'où :

q!

<

p q

<

a q!

a < p(q - 1)! < a +

En multipliant par q! :

+ 1 q

1 qq!

< a + 1

L'entier p(q - 1)! serait compris strictement entre a et a + 1 qui sont des entiers consécutifs, ce qui est absurde. Donc e Î  \ $. Remarque : ceci prouve au passage, que $ n'est pas complet (il existe des suites de rationnels qui convergent vers des irrationnels) 2.6.2. Application 2 : moyenne arithmético-géométrique Soient a et b deux réels tels que a > b > 0. a0 = a

Soient (an) et (bn) les suites définies par :

"n Î !,

an+1 =

; b0 = b

an

+ bn et 2

an2

+ 2an bn + bn2 - anbn 4

bn+1 =

an bn

Alors (an) et (bn) convergent vers une même limite. Solution : Il suffit de montrer que (an) et (bn) sont adjacentes. 2

"n Î !,

2

an +1 - bn +1 =

2 an - bn ö æ (an+1 - bn+1)(an+1 + bn+1) = ç ÷ " 0 è 2 ø

(1)

Et comme (an) et (bn) sont positives (faire une récurrence), il vient :

"n Î !, an+1 " bn+1 "n Î !, an " bn

Enfin, comme a0 > b0 :

Bien que ce résultat ne soit pas une hypothèse nécessaire du théorème des suites adjacentes, on l'utilise pour prouver les suivants :

· En effet, d'une part :

"n Î !,

an+1 #

an

+ bn 2

#

an

+ an 2

# an

Donc la suite (an) est décroissante.

· D'autre part :

"n Î !, bn+1 - bn = an bn - bn = (par croissance de t a

bn

( an - bn ) " 0

t sur +)

Donc la suite (bn) est croissante.

· On considère maintenant la propriété Ã définie pour n Î ! par : 1 Ã(n) : |an - bn| # n |a - b| 2 * On a bien sûr Ã(0). * Montrons que pour tout n Î !, Ã(n) Þ Ã(n + 1) : 1 Supposons Ã(n) : |an - bn| # n |a - b| 2 Utilisons la propriété : 0 # X # Y Þ 0 # (Y - X )2 # Y 2 - X 2 (Pour le démontrer, il suffit de multiplier l'inégalité 0 # Y - X # Y + X par Y - X " 0)

Comme 0 # bn # an, on a : Suites de nombres réels

Page 15


(1)

a -b |an+1 - bn+1| # | an +1 - bn +1 | # æç n n ö÷ è 2 ø 2

2

2

Et par croissance de t a t sur + : |an+1 - bn+1| #

1 2

n +1

2 Ã( n)

#

| a - b |2 22 n + 2

|a - b|

D'où Ã(n + 1). Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit :

"n Î !, Ã(n) : |an - bn| # D'où, par comparaison :

1 |a - b| 2n

lim (an - bn) = 0

n ®+¥

On a donc prouvé que les suites (an) et (bn) sont adjacentes. Elles convergent donc vers une même limite (appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b. On ne connaît pas d'expression de cette limite mais elle est liée aux intégrales elliptiques de 2ème espèce...)

2.7. Corollaire Théorème des segments emboîtés Soient (an) et (bn) deux suites telles que :

· "n Î !, an # bn · "n Î !, [an+1, bn+1] Ì [an, bn] ·

bn - an

¾¾¾¾ ® n®¥

0

I [an , bn ] = {l}

$l Î ,

Alors :

nÎ ¥

Démonstration : Par hypothèse, les suites (an) et (bn) sont adjacentes, elles convergent donc vers un même réel l tel que :

"n Î !, an # l # bn lÎ

Donc :

I [an , bn ] nÎ ¥

Soit x Î

I [an , bn ] . Alors :

"n Î !, an # x # bn

nÎ ¥

Et par passage à la limite :

l # x # l

x=l

Donc :

3. Suites extraites. Valeur d'adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass 3.1. Définition Suite extraite. Valeur d'adhérence Soit (un) une suite et s : ! ® ! une application strictement croissante. La suite ( us (n) ) s'appelle suite extraite de (un).

Une telle application s s'appelle une extractrice.

Si la suite ( us (n) ) converge vers l, on dit que l est une valeur d'adhérence de la suite (un) Remarque : comme s est strictement croissante, une simple récurrence montre que :

"n Î !, s(n) " n Suites de nombres réels

Page 16


3.2. Théorème Si une suite (un) tend vers l Î

¡ alors

toute suite extraite tend vers l

Démonstration :

Par "(un) tend vers l Î

Cas où l Î 

¡

", il faut entendre :

"(un) converge vers l Î  ou (|un|) diverge vers +¥"

Soit e Î  *+ . Comme (un) converge vers l : Et comme s(n) " n :

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ |un - l| # e) n " N Þ

s(n) " N Þ | us ( n ) - l| # e

Ce qui prouve que la suite ( us(n) ) converge vers l. Cas où l = +¥ Soit A Î  *+ . Comme (un) diverge vers +¥ : Et comme s(n) " n :

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ n " N Þ

s(n) " N Þ

un " A)

us ( n) " A

Ce qui prouve que la suite ( us(n) ) diverge vers +¥. Cas où l = -¥ Analogue au précédent. L'intérêt du théorème 3.2 est sa contraposée : S'il existe deux suites extraites de (un) qui convergent vers des limites différentes, alors (un) diverge. On retrouve ainsi la divergence de la suite (un) définie par un = (-1)n. En effet, pour tout p Î ! :

u2 p = 1

et u2 p+1 = -1

Les suites extraites (u2 p) et (u2 p+1) convergent vers des limites différentes, donc (un) diverge. Exercice : divergence de la suite (cos n). Supposons que la suite (cos n) converge vers un certain réel l. D'une part : Par passage à la limite : Et comme cos 1 ¹ 0 : D'autre part : Par passage à la limite :

cos(n + 2) + cos n = 2cos(n + 1)cos 1 2l = 2lcos 1

Rappel : A + B A - B cos A + cos B = 2cos cos 2 2

l = 0

cos(2n) = 2cos2 n - 1 2

l = 2l

- 1

Ce qui contredit l = 0. Donc la suite (cos n) diverge. On montre, par des techniques similaires la divergence de la suite (sin n)


Page 17


La réciproque du théorème 3.2. est vraie. Elle découle, par exemple, du résultat suivant : 3.3. Propriété (un) tend vers l Î ¡ Û les deux suites extraites (u2 p) et (u2 p+1) tendent vers l. Démonstration : Le sens Þ est le théorème 3.2. Montrons la réciproque. Cas où l Î  Soit e Î  *+ .

$ N 1 Î !, " p Î !, ( p " N 1 Þ |u2 p - l| # e) Comme (u2 p+1) converge vers l : $ N 2 Î !, " p Î !, ( p " N 2 Þ |u2 p+1 - l| # e) Posons N = max(2 N 1, 2 N 2 + 1). Comme (u2 p) converge vers l :

Soit n " N . Si n = 2 p, alors p " N 1 et :

|un - l| # e

Si n = 2 p + 1, alors p " N 2 et :

|un - l| # e

Dans tous les cas, on a :

n " N Þ |un - l| # e

Ce qui prouve que la suite (un) converge vers l. Cas où l = +¥ Soit A Î  *+ . Comme (u2 p) diverge vers +¥ :

$ N 1 Î !, " p Î !, ( p " N 1 Þ

u2 p " A)

Comme (u2 p+1) diverge vers +¥ : $ N 2 Î !, " p Î !, ( p " N 2 Þ u2 p+1 " A) Posons N = max(2 N 1, 2 N 2 + 1). Soit n " N . Si n = 2 p, alors p " N 1 et :

un " A

Si n = 2 p + 1, alors p " N 2 et :

un " A

Dans tous les cas, on a :

n " N Þ un " A

Ce qui prouve que la suite (un) diverge vers +¥. Cas où l = -¥ Analogue au précédent. Remarques :

· On peut étendre ce résultat à des familles de suites extraites dont les images des extractrices forment une partition de ! (et a fortiori un recouvrement de !). Par exemple (u3 p), (u3 p+1) et (u3 p+2).

· Soit (un) une suite telle que toute suite extraite converge vers l. Alors les suites extraites (u2 p) et (u2 p+1) convergent vers l. D'après 3.3. on en déduit que (un) converge vers l ce qui prouve la réciproque de 3.2.

Application : contre-exemple à la réciproque du théorème de Césaro, version "divergence vers +¥" Suites de nombres réels

Page 18


ì n si n est pair í î0 si n est impair

un =

Il est clair que (un) diverge (considérer les suites extraites (u2 p) et (u2 p+1) et utiliser 3.2.) Montrons, cependant, que (un) diverge vers +¥ au sens de Césaro : Posons, pour n Î !* :

vn =

1 n

n

åu

k

k =1

On a, pour tout p Î !* : 1 v2 p = 2 p 1 v2 p+1 = 2 p + 1

2 p

1 uk = 2 p k =1

å

2 p +1

1 uk = 2 p + 1 k =1

å

2 p

1 uk = 2 p

å

k =1 k pair

2 p +1

å

p

1 u2 j = 2 p j =1

å

1 uk = 2 p + 1

k =1 k pair

p

p

å 2 j = p2+ 1 j =1

1 u2 j = 2 p + 1 j =1

å

p

å 2 j = p2( pp ++11) j =1

Les suites extraites (v2 p) et (v2 p+1) divergent toutes deux vers +¥, donc la suite (vn) aussi.

3.4. Théorème Bolzano-Weiestrass Soit (un) une suite bornée de réels. Alors, on peut extraire de (un) une sous-suite convergente. (Variante : toute suite bornée de réels admet une valeur d'adhérence) Démonstration : L'idée générale : Notons a0 (resp. b0) la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble {un, n Î !}. (Existent car (un) bornée) Posons I 0 = [a0, b0] et c0 le centre de I 0. L'un, au moins, des deux intervalle [a0, c0] et [c0, b0] contient une infinité de termes de la suite ( xn). (On a bien dit une infinité de termes ; ce n'est pas forcément une infinité de valeurs) Notons I 1 cet intervalle et c1 son centre. On réitère le procédé ci-dessus avec le segment I 1. On construit ainsi une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. L'intersection de tous ces segments est donc un certain réel l. En outre, par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite (un). On peut donc construire une suite extraite en choisissant à chaque fois l'un de ces termes et cette suite converge nécessairement vers l. Mise en forme : Soient a0 = inf{un, n Î !} et b0 = sup{un, n Î !}. Ainsi :

"n Î !,

a0 # un # b0

Pour tous réels a et b tels que a0 # a < b # b0, notons : N (a, b) = {n Î ! | a # un # b}

( N (a, b) est l'ensemble des indices n pour lesquels a # un # b) On sait que N (a0, b0) est infini. Posons c0 = Suites de nombres réels

a0

+ b0 . 2 Page 19


Comme N (a0, b0) = N (a0, c0) È N (c0, b0), l'un, au moins, des deux ensembles N (a0, c0) ou N (c0, b0) est aussi infini. Si N (a0, c0) est infini alors on pose a1 = a0 et b1 = c0. Si N (c0, b0) est infini alors on pose a1 = c0 et b1 = b0. Le segment [a1, b1] ainsi construit est ainsi tel que N (a1, b1) soit infini. Supposons maintenant [an, bn] construit tel que N (an, bn) soit infini. Posons cn =

an

+ bn . 2

Comme N (an, bn) = N (an, cn) È N (cn, bn), l'un, au moins, des deux ensembles N (an, cn) ou N (cn, bn) est infini. Si N (an, cn) est infini alors on pose an+1 = an et bn+1 = cn. Si N (cn, bn) est infini alors on pose an+1 = cn et bn+1 = bn. On a ainsi construit, par récurrence, une suite ([an, bn]) de segments emboîtés : [a0, b0] É [a1, b1] É ... É [an, bn] É ... De plus, par construction, la longueur de [an, bn] est

b0

- a0 . 2n

Les segments [an, bn] ont donc des longueurs qui tendent vers 0. Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes. Notons l leur limite commune. Reste à montrer qu'il existe une application s strictement croissante de ! dans ! telle que la suite ( us(n ) ) converge vers l. Posons s(0) = 0. Puis, pour tout n Î !*, on choisit s(n) égal à un indice strictement supérieur à s(n - 1) qui est situé dans N (an, bn). (Il en existe nécessairement puisque N (an, bn) est infini : on peut, par exemple, choisir le plus petit)

La suite ( us (n) ) est extraite de (un) et an # us ( n) # bn donc ( us(n ) ) converge vers l.

La réciproque du théorème de Bolzano-Weierstrass est bien sûr fausse. Considérons la suite (un) définie par : un =

ì n si n est pair í î0 si n est impair

La suite extraite (u2 p+1) est constante (égale à 0) donc converge, cependant, (un) n'est pas bornée. Le théorème de Bolzano-Weiestrass admet de très nombreuses applications. Nous allons en donner quelques unes.

3.4.1 Théorème

est complet

Dans , toute suite de Cauchy converge. Démonstration : Soit (un) une suite de Cauchy. Fixons e Î  *+ .


Page 20


Comme (un) est de Cauchy, elle est bornée (1.4.). D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut donc en extraire une sous-suite convergente : Il existe s : !

® ! strictement croissante telle que ( us(n) ) converge vers un certain réel l : $ N 1 Î !, "n Î !, (n " N 1 Þ | us ( n) - l| # e)

En outre, comme (un) est de Cauchy :

$ N 2 Î !, "( p, q) Î !2, ( p " q " N 2 Þ |u p - uq| # e) Posons N = max( N 1, N 2). Ainsi, d'après l'inégalité triangulaire :

"n Î !, (n " N Þ |un - l| # |un -

us ( n) | + | us( n) - l|

s ( n)"n" N 2

#

2e)

Ce qui prouve bien que (un) converge vers l.

3.4.2. Théorème de Heine Toute fonction numérique continue sur un segment I est uniformément continue sur ce segment I . On rappelle qu'un segment est un intervalle fermé borné. Démonstration : Soit ¦ une fonction continue sur I . Supposons ¦ non uniformément continue sur I . Alors : $e Î  *+ tel que :

"h Î  *+ , $( x ; y) Î I 2 tel que : (| x - y| < h et |¦( x) -¦( y)| " e) En particulier, en choisissant h =

1 n

(n Î !*),

"n Î !*, $( xn ; yn) Î I 2 tel que : (| xn - yn| <

1 n

et |¦( xn) -¦( yn)| " e)

(1)

Comme I est borné, les suites ( xn) et ( yn) ainsi définies le sont également. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut donc en extraire des sous-suites qui convergent. Soit s : !* ® !* une application strictement croissante telle que la suite ( xs (n) ) converge. Notons l sa limite. (On a nécessairement l Î I puisque I est fermé). Fixons e' Î  *+ . On a donc :

$ N 1 Î !, "n Î !, (n " N 1 Þ |xs(n) - l| #

e¢ ) 2

Mais, d'autre part, pour tout n Î!*, on a d'après (1) : | xs( n) - ys (n) | < Comme

1 s(n)

1 tend vers 0, on a : s(n)


Page 21


$ N 2 Î !, "n Î !, (n " N 2 Þ

1 e¢ # ) s(n) 2

Pour tout n " max( N 1, N 2) , on a alors : |ys(n) - l| # | ys(n) - xs(n)| + | xs(n) - l| #

e¢ e¢ + 2 2

# e'

Ceci prouve que la suite ( ys( n) ) converge également vers l. Or, ¦ étant continue sur I , on peut affirmer que les suites ( ¦ ( xs ( n) ) ) et ( ¦ ( ys (n) ) ) convergent vers ¦(l).

$ N Î !, "n Î !, (n " N Þ ¦( ys( n) ) - ¦( xs( n) ) < e)

Donc : Ce qui contredit (1).

Conclusion : ¦ est uniformément continue sur le segment I .

3.4.3. Théorème Une suite bornée admettant une unique valeur d'adhérence l converge vers l Démonstration : Par l'absurde. Soit (un) une suite bornée admettant une unique valeur d'adhérence l. Supposons que (un) ne converge pas vers l :

$e Î  *+ , " N Î !, $n Î !, (n " N et |un - l| > e) Alors l'ensemble A = {n Î ! | |un - l| > e} est infini. Soit s : !

® A strictement croissante. (Existe car A est une partie infinie de !) "n Î !, |us(n) - l| > e

Ainsi :

Comme la suite ( us(n) ) est bornée (car extraite de (un) qui l'est), on peut (Bolzano-Weierstrass) en extraire une sous-suite convergente : Il existe s' : !

® ! strictement croissante telle que ( us o s '(n) ) converge vers un certain réel l'

On a alors : Et par passage à la limite

"n Î !, |us o s'(n) - l| > e |l' - l| " e

Donc l' ¹ l. La suite (un) aurait alors deux valeurs d'adhérences distinctes. Contradiction. Donc (un) converge vers l.


Page 22


4. Quelques applications 4.1. Théorème Fonction continue sur un segment Soit I = [a, b] un segment de  et ¦ : I

®  une application continue.

Alors ¦ est bornée sur I et ¦ atteint ses bornes. C'est une application du théorème des segments emboîtés et du théorème de Bolzano-Weierstrass. Démonstration : 1. Montrons : ¦ bornée sur I Supposons ¦ non bornée sur I . Soit c le milieu de I . Posons a1 = a et b1 = c si ¦ non bornée sur [a, c]. Posons a1 = c et b1 = b sinon. En réitérant ce procédé, on construit, par récurrence, une suite de segments emboîtés : [a, b] É [a1, b1] É ... É [an, bn] É ... Sur chacun de ces intervalles, ¦ est, par construction, non bornée. De plus, par construction, la longueur de [an, bn] est

b-a

2n

.

Les segments [an, bn] ont donc des longueurs qui tendent vers 0. Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes. Notons x0 leur limite commune. Comme ¦ est continue en x0, on a (avec e = 1) :

$h Î  *+ , " x Î I : (| x - x0| < h Þ |¦( x) - ¦( x0)| < 1) C'est-à-dire :

$h Î  *+ , " x Î I : (| x - x0| < h Þ ¦( x0) - 1 < ¦( x) < ¦( x0) + 1)

Donc ¦ est bornée sur ] x0 - h, x0 + h[. Comme les segments [an, bn] ont des longueurs qui tendent vers 0, on a :

"e Î  *+ , $ N Î !* : (n " N Þ

bn

- an < e)

Donc, pour un certain N , les segments [an, bn], n " N , sont contenus dans ] x0 - h, x0 + h[. Or, ¦ n'est pas bornée sur [an, bn] d'où une contradiction. Donc ¦ est bornée sur I . 2. Montrons : ¦ atteint ses bornes On vient de voir que ¦ est bornée sur I . Notons M = sup ¦ et m = inf ¦. I

I

Montrons qu'il existe x0 dans I tel que ¦( x0) = M . Comme M est la borne supérieure de ¦ sur I :

"e Î  *+ , $ x Î I : M - e < ¦( x) # M En particulier, avec e =

1 n

:

$ xn Î I : M -

1 n

< ¦( xn) # M

La suite (¦( xn)) converge donc vers M .


Page 23


En outre, la suite ( xn) est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut donc en extraire une sous suite qui converge vers un certain réel x0. Notons s : !* ® !* une application strictement croissante telle que ( xs(n) ) converge vers x0. La fonction ¦ étant continue en x0, on a : M = lim ¦ ( xs(n) ) = ¦( x0). n ®+¥

Donc ¦ atteint son maximum. On démontre, de même, que ¦ atteint son minimum.

4.2. Théorème Théorème spécial à certaines séries dites alternées Soit

åu

n

une série vérifiant les conditions suivantes :

n"0

i) (un) est à signes alternés : ("n Î !, un = (-1)n |un|) ou ("n Î !, un = (-1)n+1 |un|) ii) la suite (un)n Î ! converge vers 0 iii) la suite (|un|)n Î ! est décroissante. Alors dans ces conditions : la série

åu

n

est convergente et le reste Rn =

åu

k

vérifie : sgn( Rn) = sgn(un+1) et |Rn| # |un+1|

k " n+ 1

n"0

Démonstration : Posons :

S n

=

n

åu

k

k = 0

"n Î !, un = (-1)n |un|

On suppose que :

(Le cas "n Î !, un = (-1)n+1 |un| est analogue) Considérons les deux suites (an) et (bn) définies par : an

= S 2n+1 et

bn

= S 2n

· On a : "n Î !, an+1 - an = S 2n+3 - S 2n+1 = u2n+3 + u2n+2 = -|u2n+3| + |u2n+2| Et comme la suite (|un|)n Î ! est décroissante :

"n Î !, -|u2n+3| + |u2n+2| " 0 "n Î !, an+1 - an " 0

Donc La suite (an) est croissante.

· On a : "n Î !, bn+1 - bn = S 2n+2 - S 2n = u2n+2 + u2n+1 = |u2n+2| - |u2n+1| Et comme la suite (|un|)n Î ! est décroissante :

"n Î !, |u2n+2| - |u2n+1| # 0 Donc


"n Î !, bn+1 - bn # 0 Page 24


La suite (bn) est décroissante.

· On a : "n Î !, bn - an = S 2n+1 - S 2n = u2n+1

¾¾¾¾ ® n®¥

0

Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes. Notons S leur limite commune. On a donc :

"n Î !, S 2n+1 # S 2n+3 # S # S 2n+2 # S 2n De l'encadrement S 2n+1 # S # S 2n, on déduit : u2n+1 # S - S 2n # 0

De l'encadrement S 2n+1 # S # S 2n+2, on déduit : 0 # S - S 2n+1 # u2n+2 On a donc : Ceci prouve déjà :

# R2 n # 0 ìu (S) í 2n +1 î0 # R2n +1 # u2 n + 2

sgn( R2n) = sgn(u2n+1) = négatif sgn( R2n+1) = sgn(u2n+2) = positif

On peut donc affirmer :

"n Î !, sgn( Rn) = sgn(un+1)

De plus, en passant aux valeurs absolues dans (S), il vient :

ì 0 # | R2n | # | u2 n +1 | í0 # | R | # | u î 2 n +1 2n+2 | On peut donc affirmer :


"n Î !, |Rn| # |un+1|

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Suites r

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