Suites Exercice 1 :
≥≥
∈ ]0,0,1] + 2 4 ∀∀ ∈∈ ℕℕ,ℕ, >≤ 01 ≥≥
Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu’elles sont évidentes ; évidentes ; Soit la suite de nombres réels définie par et par la relation de récurrence et
1. Montrer que : . 2. Montrer que : , . 3. Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente. 4. Déterminer la limite de la suite . Allez à : Correction : Correction exercice 1 : Exercice 2 :
≥≥
∈ ]1,1,2] 3 + 4 4 ∀∀ ∈∈ ℕℕ,ℕ, >≤ 12 ≥≥ ≥≥ , + 1 0 1 ≥ ≥ , , = − , ∈ ℕ∗ 1 − 1 1 = ∈ ℕ∗ 1 >1 1 1 > ∈ℕ∈ℕ ∞ 0 < < 1 ≥≥
Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu’elles sont évidentes ; évidentes ; Soit la suite de nombres réels définie par et par la relation de récurrence et
1. Montrer que : . 2. Montrer que : , . 3. Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente. 4. Déterminer la limite de la suite . Allez à : Correction : Correction exercice 2 : Exercice 3 :
Soient et trois réels. On considère la suite de récurrence : 1. 2. 3. 4.
de nombres réels définie par
Comment appelle-t-on la suite lorsque ? Lorsque que Exprimer dans les deux cas particulier de la question 1. Dans le cas général, calculer et en fonction de et . Démontrer par récurrence que le terme général de la suite est donné par :
5. On suppose que
7. On suppose dans cette question que a pour limite . 8. On suppose dans cette question que dépend pas de . Allez à : Correction : Correction exercice 3 :
?
. Démontrer que
6. Déduire de ce qui précède que pour tout
.
et que
, montrer que
Exercice 4 :
Soit
et
et la relation
une suite définie par la relation de récurrence une
. Montrer que la limite de la suite converge et que sa limite ne
1 + 2 1 ≤ 2 0 ≤ 2 2 0 2 2 ∑ = l→+im ∈ℕ∈ℕ 2 √ √ 44 1 √ √ 1 2 √ 4 4 √ √ √ 11
Et la donnée de 1. 1.1. Montrer que si alors pour tout , et que la suite est monotone. 1.2. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. 2. 2.1. Montrer que si alors pour tout , et que la suite est monotone. 2.2. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. 3. 3.1. On pose
. Montrer que la suite
3.2. En déduire une expression de premières questions. 3.3. En déduire
est une suite géométrique de raison . est
en fonction de et
. Retrouver le résultat des deux
Allez à : Correction : Correction exercice 4 : Exercice 5 :
1. Déterminer la limite de la suite
dont le terme général est défini par
2. En déduire la limite de la suite de terme général
défini par
Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 :
1. On pose que
2. On pose que
(√ ) ∈ ℕ∗lim 0 →+ ((√ ) ∈ ℕ∗ ; pour tout
; pour tout
, montrer que
∈ℕ∈ℕ∗
, montrer que la suite
déterminer sa limite. Allez à : Correction : Correction exercice 6 : Exercice 7 :
On considère la suite
∈ℕ∈ℕ
converge et
0 1 3 + 6 2 ∗ ∈ ℕ > 0 ∈ℕ∈ℕ ∈ ℕ < 3
définie par
et par la relation de récurrence
1. Montrer que pour tout , . 2. Calculer la limite éventuelle de la suite . 3. Montrer que pour tout , . 4. Montrer que la suite est croissante, que peut-on en conclure ? Allez à : Correction : Correction exercice 7 : Exercice 8 :
On considère la suite de nombre réel définie par son premier terme récurrence :
0
et par la relation de
1 + 2 1 ≤ 2 0 ≤ 2 2 0 2 2 ∑ = l→+im ∈ℕ∈ℕ 2 √ √ 44 1 √ √ 1 2 √ 4 4 √ √ √ 11
Et la donnée de 1. 1.1. Montrer que si alors pour tout , et que la suite est monotone. 1.2. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. 2. 2.1. Montrer que si alors pour tout , et que la suite est monotone. 2.2. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite. 3. 3.1. On pose
. Montrer que la suite
3.2. En déduire une expression de premières questions. 3.3. En déduire
est une suite géométrique de raison . est
en fonction de et
. Retrouver le résultat des deux
Allez à : Correction : Correction exercice 4 : Exercice 5 :
1. Déterminer la limite de la suite
dont le terme général est défini par
2. En déduire la limite de la suite de terme général
défini par
Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 :
1. On pose que
2. On pose que
(√ ) ∈ ℕ∗lim 0 →+ ((√ ) ∈ ℕ∗ ; pour tout
; pour tout
, montrer que
∈ℕ∈ℕ∗
, montrer que la suite
déterminer sa limite. Allez à : Correction : Correction exercice 6 : Exercice 7 :
On considère la suite
∈ℕ∈ℕ
converge et
0 1 3 + 6 2 ∗ ∈ ℕ > 0 ∈ℕ∈ℕ ∈ ℕ < 3
définie par
et par la relation de récurrence
1. Montrer que pour tout , . 2. Calculer la limite éventuelle de la suite . 3. Montrer que pour tout , . 4. Montrer que la suite est croissante, que peut-on en conclure ? Allez à : Correction : Correction exercice 7 : Exercice 8 :
On considère la suite de nombre réel définie par son premier terme récurrence :
0
et par la relation de
+ 2 18
∈ℕ∈ℕ ∈ℕ∈ℕ 2 1 2 1 ⋯⋯ 2 1 3 1 3 2 3 ∈ℕ∈ℕ 1 ×3×…× 2 1 3×6×…× 3 3
Montrer que la suite Allez à : Correction : Correction exercice 8 : Exercice 9 :
Montrer que la suite
est convergente et déterminer sa limite.
de terme général
définie par :
Est convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction : Correction exercice 9 : Exercice 10 :
Montrer que la suite
de terme général
définie par :
Est convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction : Correction exercice 10 :
∈ ℕ∗ 1 1 1 1 1 1 1 ∈ℕ∈ℕ∗ > 0 = 11 1 1 ×1 2 2 ×1 3 ⋯⋯ 1 1 ∈ℕ∈ℕ∗ ∈ℕ∈ℕ ∀ ∈ ℕ , 2 5 2 0 + + ∈ℕ∈ℕ ∈ℕ∈ℕ 3 3 et 3 3∈ℕ 2 + 4 2 + ∈ℕ∈ℕ ∈ℕ∈ℕ 2 ∈ℕ∈ℕ
Exercice 11 :
1. Montrer que pour tout
2. Soit
la suite réelle définie pour tout
A l’aide de la question 1. Montrer que Allez à : Correction : Correction exercice 11 :
par
est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 12 :
Soit
Soient
la suite à valeurs réelles définie par la donnée de et
1. Montrer que
,
et la relation de récurrence
les suite à valeurs réelles définies, pour tout
, par
est une suite géométrique de raison . En déduire une expression de
en
fonction de , de et de . 2. Montrer que est une suite géométrique de raison . En déduire une expression de en fonction de , de et de . 3. Calculer de deux façons différentes et en déduire en fonction de , de et de . 4. Selon les valeurs de et de déterminer si la suite converge et le cas échéant déterminer sa limite. Allez à : Correction : Correction exercice 12 : Exercice 13 :
On considère la suite de nombres réels définie par son premier terme récurrence :
et par la relation de
∈ℕ
Montrer que la suite Allez à : Correction exercice 13 :
+ 52 74
est bien définie, convergente et déterminer sa limite.
Exercice 14 :
1 √ l i m →+ 2 2 √ ∈ℕ 0 < < 1 et − − 1 1
1. Calculer, si cette limite existe.
2. Etudier la suite
de nombres réels définie par la donnée de :
Allez à : Correction exercice 14 : Exercice 15 :
Calculer, si elle existe, la limite, lorsque
tend vers l’infini, de l’expression
Allez à : Correction exercice 15 : Exercice 16 :
Calculer 1.
lim ln →+ l→+im 1
2.
Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 :
On considère les suites
≥ 11 ≥1 ⋯ 1 et 1 1 2 3 et
de nombres réels définies pour tout
par
Montrer que ces deux suites sont convergentes et ont la même limite (que l’on ne cherchera pas à calculer). Allez à : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
Soient
et
< 2 ++ 332 ∈ℕ
deux réels tels que
. On définit par récurrence les suites
∈ℕ ∈ℕ et
1. Montrer que la suite est une suite géométrique, et l’exprimer en fonction de , 2. Montrer que ces suites sont adjacentes. 3. En calculant
, montrer qu’elles convergent vers
Allez à : Correction exercice 18 : Exercice 19 :
+
.
par
et
.
On considère la suite posant :
≥ 2 et 2 1 + ∈≥ℕ 1 ≤ ≥
de nombres réels dont le terme général est défini par récurrence en
1. Montrer que, pour tout 2. Montrer que la suite 3. En déduire que la suite Allez à : Correction exercice 19 : Exercice 20 :
On considère la suite
≥
, . est décroissante. est convergente et déterminer sa limite.
1 √ 1 (√ )
de nombres réels définie pour tout
par :
Montrer qu’elle est convergente et préciser sa limite. Allez à : Correction exercice 20 :
(1 1 ) + ∈ℕ
Exercice 21 :
1. Montrer que la relation de récurrence
permet de définir une suite de nombres réels appartement à l’intervalle 2. Montrer que la suite est décroissante. 3. Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 21 :
∈ ]0,1[
Exercice 22 :
Soit
.
0 + 1 ∈ ℕ 0 < < 1 ∈ ℕ 1 1 + 1 ∈ ℕ 1 1 ! 0! 1 > 0 : [0,1] → ℝ 1 ] [ ∈ 0 , 1 0 + ≥ ≥ <1
un réel. On considère la suite
1. Montrer que pour tout , 2. Montrer que la suite est croissante. 3. Montrer que pour tout ,
4. Montrer que pour tout
définie par
, et pour tout
,
.
,
On rappelle que Allez à : Correction exercice 22 : Exercice 23 :
]0,1[
et la donnée initiale
Pour tout entier , on considère la fonction définie par 1. Dans cette question, l’entier est fixé. a) La fonction est-elle strictement monotone ? b) Montrer qu’il existe un unique tel que . c) Quel est le signe de ? 2. On considère la suite de terme général . a) Montrer à l’aide de la question précédente que la suite est croissante. b) En déduire que la suite est convergente, on notera sa limite. c) supposons que . i) Montrer qu’alors
ii) A l’aide de la relation Allez à : Correction exercice 23 :
∈ℕ∗
l i m 0 →+ 0 1 0 , en déduire que
, conclure.
Exercice 24 :
Soit
la suite de nombres réels définie par
Montrer que la suite
1 1 1
∈ℕ∗ ∈ℕ∗ 1 1 1 ⋯ 1 ∗ 1 2 3 2 ∈ℕ∈ℕ∗ 12 ≤ ≤ 1 ∈ℕ∗ 1 1 ⋯ 1 3 |sin1|√1 3 |sin2|√2 3 |sin|√ lim ∞ →+ ∈ℕ 0 + 161 4 ∈ℕ∗ 1 sin 2 1 sin 3 2 < 4 converge et que sa limite est .
Allez à : Correction exercice 24 : Exercice 25 :
On considère la suite
1. Montrer que la suite 2. Montrer que la suite
de nombres réels définie par
est croissante. est convergente et que sa limite vérifie
Allez à : Correction exercice 25 : Exercice 26 :
On considère la suite
Montrer que
de nombres réels définie par
Allez à : Correction exercice 26 : Exercice 27 :
On considère la suite de nombres réels définie par la donnée de son premier terme par la relation de récurrence
Montrer qu’elle est croissante, convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 27 : Exercice 28 :
On considère la suite
de nombres réels définie par
1. Montrer qu’il existe un entier naturel
, tel que pour tout
2. Montrer que la suite converge et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 28 :
, on ait :
et
Exercice 29 :
Montrer que la suite
∈ℕ
Est convergente et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 29 : Exercice 30 :
Montrer que la suite
∈ℕ ∈ℕ∈ℕ
et par la relation de récurrence
est strictement décroissante. est divergente.
Allez à : Correction exercice 30 :
∈ℕ
et par la relation de récurrence
définie par la donnée de
1. Montrer que la suite 2. Montrer que la suite 3. Montrer que
Exercice 31 :
∈ ℝ + 2 − 1 + 3
définie par la donnée de
lim ∞ →+
> 1 1l n + ∈ ℕ [1 ,>∞1[ ln 1 ] [ 1 , ∞ ∈ℕ
Soit la suite définie par un réel et par la relation de récurrence 1. Montrer que pour tout , 2. Etudier la fonction définie sur par et en déduire son signe sur 3. Montrer que la suite est monotone. 4. En déduire qu’elle converge, et déterminer sa limite. Allez à : Correction exercice 31 :
.
Exercice 32 :
Pour chacune des assertions ci-dessus :
1. 2. 3. 4.
Si vous estimez qu’elle est vraie, donner en justification.
ℝ ∈ℕ ∈ℕ∈ℕ
∞ ∞
Si vous estimez qu’elle est fausse, justifiez-le en exhibant un contre-exemple. Si une partie de est non vide et minorée, sa borne inférieure est un élément de Si est une suite de nombres réels telle que la limite de en est , alors elle est croissante à partir d’un certain rang. Si est une suite de Cauchy de nombres réels, alors est bornée. Si est une suite de nombres réels ne vérifiant pas
lim || ∞ →+
Alors elle est bornée. Allez à : Correction exercice 32 : Exercice 33 :
On considère la suite par :
≥
la suite de nombres réels dont le terme général
Montrer que
≥
On pourra montrer que Allez à : Correction exercice 33 : Exercice 34 :
12 13 ⋯ 1 lim ∞ →+
n’est pas une suite de Cauchy.
est défini pour
2
∈ ℕ∗ 1 1 1 1 ⋯ √ 2 √ 3 √ ∈ ℕ∗≥ √ 1 ∈ ℕ∗ 1√ 1 ≤ 2(√ 1 √ ) ≤ √ 1 ∈ ℕ2√ ∗ 12 ≤ ≤ 2√ 1 ≥ () ∀ ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ∗, 1 ⋯ 1 < 1 1 1 ( ) ≥ = 1 1 21 31 ⋯ 1 ≥
Pour tout
, on pose :
1. Montrer que 2. Pour tout
est une suite divergente. , on pose :
a) Montrer que, Pour tout
:
b) En déduire que, pour tout c) Montrer que Allez à : Correction exercice 34 : Exercice 35 :
1.
Soit
Montrer 2. Soit
:
est convergente et précisez sa limite.
la proposition suivante.
par récurrence sur .
la suite définie par :
Montrer que la suite est convergente et on ne cherchera pas à déterminer la limite de cette suite. On pourra montrer que cette suite une suite de Cauchy. Allez à : Correction exercice 35 :
CORRECTIONS
] ] ∈ 0 , 1 > 0 > 0 + > 0 + 2 4 > 0 ∈ ℕ > 0 [ ] ∈ 0 , 1 ≤ 1 ≤ 1 + ≤ 1 ≤ 1 1 3 ≤ 1 + 2 4 2 4 4 ∈ ℕ ≤ 1 + 2 4 2 4 4 2 0 < ≤ 1 2 ≤ 2 ≤ 1 < 0
Correction exercice 1 : 1. Faisons un raisonnement par récurrence, que .
donc
. Montrons que
entraine
Donc pour tout , . 2. Faisons un raisonnement par récurrence, que .
donc
. Montrons que
entraine
Donc pour tout 3. Calculons
Comme
,
.
, on a
, par conséquent
+ 4 2 < 0 + + 2 4 12 4 ≤ 12 14 < 1 0 [ ] 0 , 1 2 4 ⇔ 0 2 4 ⇔ 2 0 ⇔ 2 0 ⇔ { ou 02 0 Ce qui montre que la suite est strictement décroissante. Autre méthode, comme la suite est à valeur strictement positive, on peut regarder le quotient de par :
Ce qui montre aussi que la suite est strictement décroissante. 4. La suite est strictement décroissante et minorée par donc elle converge vers une limite notée , cette limite appartient à et cette valeur vérifie
Par conséquent Allez à : Exercice 1 :
.
] ] ∈ 1 , 2 1 > 1 + > 1 + 4 34 > 14 34 1 ∈ ℕ > 1 ∈ ]1,2] ≤ 2 ≤ 2 + ≤ 2 3 ≤ 2 3 7 ≤ 2 + 4 4 4 4 4 ∈ ℕ ≤ 2 + 4 34 14 4 3 14 1 3 1 < ≤ 2 1 > 0 2 1≤1 <10 3 < 0 + 4 1 + + 4 34 4 43 : ]1,2] → ℝ 3 4 4 ′ 14 43 4 3 ′ 1 0 √ 3 1 √
Correction exercice 2 : 1. Faisons un raisonnement par récurrence, que .
donc
. Montrons que
entraine
Donc pour tout , . 2. Faisons un raisonnement par récurrence, que .
donc
. Montrons que
entraine
Donc pour tout 3. Calculons
Comme
,
, on a
.
et
, par conséquent
Ce qui montre que la suite est strictement décroissante. De plus elle est minorée par donc elle converge. Autre méthode, comme la suite est à valeur strictement positive, on peut regarder le quotient de par :
Il faut alors étudier la fonction
définie par
2
−
Cela montre que
∀ ∈ ]1,2], < 1 ∀ ∈ ℕ, + < 1 1 3 [1,2] 3 1 4 4 ⇔ 0 4 4 ⇔ 4 3 0 ⇔ { ou 2 1 01 +1 + ∈ℕ∈ℕ 01 1 1 1 1 1 1 2 3 3 1 − ( − ⋯ 1) + + = + + + ⋯ + + +− ∗ ⋯ 1 = ∈ℕ = − − − − ⋯ 1 1 ⋯− 1 1 1 1 = ′ − −1 ′1 1 1 ′ 0 = = 1 1 4 1 − 1 1 1 = 1 1 1 1 > 1 7 → ∞ →→ ∞∞ > > 0
Et que donc
Ce qui montre aussi que la suite est strictement décroissante. De plus elle est minorée par converge. 4. On note cette limite, elle appartient à et cette valeur vérifie
donc elle
Par conséquent Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 : 1. Lorsque Lorsque 2. Lorsque Lorsque 3.
alors et alors et
alors
, la suite , la suite
alors
est une suite arithmétique de raison . est une suite géométrique de raison ,
(remarque, si
4. Pour l’égalité est vérifiée (c’est même la définition de relation est aussi vérifiée pour et d’après . Montrer que l’égalité au rang entraine celle au rang
Donc pour tout
5.
cela ne change rien).
), on peut aussi remarqué que la
, on a
Autre méthode, on pose
, si
alors
et si
alors
6. D’après . Pour tout
7. Comme , lorsque l’expression du . Il est clair que
et
équivaut à
, on reprend
8. Comme
0 < < 1 → 0 lim → → ∞ →+ 1 ,
donc
lorsque
Et effectivement cette limite ne dépend pas de Allez à : Exercice 3 : Correction exercice 4 : 1. 1.1. Par récurrence
par conséquent
.
≤ 2 1 ≤ 21 ≤ 1 ×21+ ≤22 + 2 2 0 ≤ 2 1 1 1 1 2 0 + 2 2 2 2 12 1 ⇔ 12 1 ⇔ 2 2 1 1 1 2×21 2+ 2 + 2 2 0 2 1 1 1 1 2 ≤ 0 + 2 2 2 2 12 1 ⇔ 12 1 ⇔ 2 1 1 1 1 2 12 1 2 + + 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 0 2 1 2 1 2 2− l→+im 2 2− 0 ⇒ →+lim 2 et montrons que
Donc pour tout
Donc la suite
entraine
,
est croissante.
1.2. La suite est croissante et majorée par donc elle converge vers une limite qui vérifie
2.
2.1 Par récurrence
Donc pour tout
Donc la suite
et montrons que
entraine
,
est décroissante.
2.2 La suite est décroissante et minorée par donc elle converge vers une limite qui vérifie
3.
3.1
Donc
est une suite géométrique de raison .
3.2
On déduit de 3.1. que pour tout
Alors pour tout
3.3
:
:
2 2 2 ⋯ 2 ⋯ 2 1 = = 1 1 2 2 ⋯ 21 2 1 1 1 1 1 1 2 ⋯ 22 1 12+12 2 1 2 1 2+1 2 1 2 2 2 1 ∑= 2 2 2 1 2 2 21 → 0 2 2
Ce qui entraine que
Allez à : Exercice 4 :
∞ ( 2 √ 4 1)(2 √ 4 1)( √ 2 √ 4 1 √ 1 ( √ 1)( √ 1)(2 √ 4 1)1) ((4 4 1)1(2)(√ √ 4 1)1) (2( √ √ 4 1)1) 2 √ √ 4 11 1 1 1 2 1 1 2 4 1 2 2 1 4 2 √ 4 1 4 4 √ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 41 1 1 1 4 lim →+lim 2 1 1 1 2 →+ ∞ ∞ ∞∞ ( 2 √ 4 1)(2 √ 4 1)( √ 2 √ 4 1 √ 1 (√ 1)( √ 1)(2 √ 4 1)1) )( √ √ 4 1)1) (2 ((4 4 1)1(2 ( √√ 4 1)1) 2 √ √ 4 11 1
Correction exercice 5 : 1. Le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers indéterminée. Première méthode On va multiplier en haut et en bas par la quantité conjuguée
, il s’agit donc d’une forme
Il s’agit d’une forme encore plus indéterminée que la précédente, il s’agit donc d’une mauvaise idée. Deuxième méthode
2. Le numérateur est une forme indéterminée et le dénominateur est une forme indéterminée , donc est une forme indéterminée. Première méthode On va multiplier en haut et en bas par la quantité conjuguée
Donc la limite de
est
1 1 1 2 1 1 2 4 1 2 2 1 4 2 √ 4 1 √ 1 1 14 1 14 1 1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 0
Deuxième méthode
Le numérateur et le dénominateur tendent vers mauvaise idée. Allez à : Exercice 5 :
donc il s’agit d’une forme indéterminée, c’est une
(≤√ √ )< 1 ≤ < 1 11 < 1 ≤ 1 ) ( > 0 1 √ 1 < ≤ ⇔ (((√ √ ))1) < (√ ) ≤ (√ 1) → ∞ (√ ) → ∞ (√ ) lim 0 0 →+ 11 < 1 ≤ 1 (√ ) 0 (√ ) (√ ) < ≤ ⇔ ((√ )1) < ≤ 1 1 → ∞ (√ ) → ∞ (√ ) lim 1 1 →+ 1 > 0 + > 0 + ∈ 16ℕ∗ 32 > >0 32 > 0
Correction exercice 6 :
1. Pour tout
∈ ℕ∗
il existe un unique
tel que
Donc
D’où l’on déduit que
On multiplie ces dernières inégalités par
Lorsque
,
, car
donc
Puisque les limites des expressions de gauche et de droite tendent vers . 2. Avec les mêmes notations on multiplie les inégalités
Par
Lorsque
,
donc
Puisque les limites des expressions de gauche et de droite tendent vers . Allez à : Exercice 6 : Correction exercice 7 : 1.
On va montrer que pour tout
C’est bien le cas. Donc pour tout
,
entraine que
,
.
∈ℕ 1 3 ⇔ 6 9 0 ⇔ 3 0 ⇔ 3 6 2 0 < 3 < 3 + < 3 1 3 < 1 ×9 3 3 3 3 + 6 2 6 2 2 2 ∈ ℕ < 3 + 1 3 1 6 9 1 3 > 0 + 6 2 6 6 ∈ℕ 3 3
2. Si la suite
admet une limite alors
3. Encore une fois, faisons un raisonnement par récurrence, entraine que .
Donc pour tout 4. Calculons
La suite
,
.
est strictement croissante, comme elle est bornée par , elle convergente vers
la seule valeur qui vérifie Allez à : Exercice 7 :
, montrons que
, c’est-à-dire
.
Correction exercice 8 : On va d’abord voir si la suite est monotone :
L’équation
1 2 + 8 2 Δ 14×2× 0 1 1 1 1 2 8 2 2 16 2 4 1 1 + 2 8 2 4 0 14 0 < < + < 1 1 1 1 1 1 + 2 8 < 2× 4 8 8 8 4 1 1 1 2 8 ⇔ 2 8 0 ⇔ 2 4 0 ⇔ 14 a pour discriminant
, il s’agit donc, à un coefficient près
d’une identité remarquable
Donc
La suite est croissante, montrons par récurrence, qu’elle est majorée par
Montrons que
entraine que
La suite est croissante et majorée, elle converge vers une limite qui vérifie
Allez à : Exercice 8 :
+ + } ∈ 1 , 2 , … , 13 ≤ 31 ≤ 31 1 23 1 321 ⋯ 32 1 ≤ 32 1 1 32 1 2 ⋯ 32 1 ≤ 32 1 1 32 1 1 ⋯ 32 1 1
Correction exercice 9 : Il suffit d’imaginer la tête de pour être décourager à l’avance de calculer de montrer la monotonie de cette suite. On va faire autrement, pour tout
Donc
pour essayer
× 3212 1 ≤ ≤ ×2 32 11 2 lim × 32 1 →+lim 23 23 →+ lim × 3 1 →+lim 3 1 3 →+ l→+im 23
Les termes dans le premier membre sont tous égaux à sont tous égaux à
+ +
, on en déduit que
On en déduit que
Allez à : Exercice 9 :
+ +
. Les termes dans le dernier membre
+ 1 ×3×…× 2 1 × 2 3 1 ×3×…× 2 1 + 3×6× …× 3 33 6 3×6×…× 3 3 × 23 36 × 23 36 × 23 ⇔ 1 23 0 ⇔ 0 > 0 + 23 36 < 23 64 23 22 23 < 1 0
Correction exercice 10 : Ce genre d’exercice ce traite toujours de la même façon, il faut « sentir » que l’on peut exprimer en fonction de :
S’il y a une limite elle vérifie
Il reste à montrer que la suite de terme général Il est plus que clair que
converge.
, la suite est minorée, de plus il suffit de regarder le quotient
pour
savoir si la suite est monotone (décroissante nous arrangerait bien)
Donc la suite de terme général est décroissante et minorée donc elle converge, comme on l’a vu plus haut la seule limite possible est . Allez à : Exercice 10 : Correction exercice 11 : 1.
2.
1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 = ′1 = 1 ′= = 11 ′ 1 1 +1 ⇒1 2 ⇒ 1 = = ′ ′ 1 + 1 1 = = 1 1 ∈ℕ∗ 1
Première méthode
Dans la seconde somme on pose
Ensuite on change
, alors
en
Car tous les autres termes se simplifient Par conséquent converge et sa limite est . Deuxième méthode
et
1×21 2×31 ⋯1 11 11 1212 13⋯ 11 11 11 1 1 ∈ℕ∗ 1
Car tous les autres termes se simplifient Par conséquent converge et sa limite est . Allez à : Exercice 11 : Correction exercice 12 : 1.
+ 3+ 132 + 33 + 32 152 + 3 154 + 32 34 + 32 3 2 + 2 2 ∈ℕ 1 1 2 2 3 32 + 34 + 32 +3 34 +3 32 523+ 154 34+ 32 3 + 2 22 + 4 2 ∈ℕ 2 2 2 34 32 3 32 + 34 32 + 94 1 2 3 32 2 34 32 4 1 3 3 3 1 9 2 3 2 2 4 2 2 43 13 2 13 23 2 0 0 0 0 52 74 Donc
est une suite géométrique de raison
Donc
2.
Donc Donc
est une suite géométrique de raison
3. D’une part
D’autre part
Donc
4. Comme
tend vers l’infini si
Supposons que
alors
, comme
tend vers l’infini donc ne converge pas.
tend vers , alors pour toutes valeurs de
tend vers . Allez à : Exercice 12 :
Correction exercice 13 : Si la suite de terme général
converge vers une limite alors
Il est clair qu’il va falloir élever au carré quelque chose, mais si on élève au carré ces deux expressions on va avoir un double produit où il y aura encore une racine alors il faut modifier légèrement cette égalité
52 74 5 2 74 25 7 5 4 4 ⇔ 6 8 0 Δ 364×8 4 6 22 2 et 6 22 4 2 2 52 2 74 <44 4 4 < 4 < 4 5 + <7 4 5 7 5 9 5 3 + 2 4 < 2 4 4 2 4 2 2 4 ∈ℕ ∈ℕ4 ∈ ℕ > ∈ ℕ > ⇒ > 0 5 7 5 7 2 4 2 4 5 7 5 7 + 2 4 2 4 52 74 5 2 74 6 8 2 4 52 74 52 74 52 74 52 < ⇒ 2 > 0 < 4 ⇒ 4 < 0 On y va
Mais attention, il faudra faire une réciproque des fois que
soit négatif.
Cette équation du second degré a pour discriminant Et donc comme racines
La solution
ne convient pas car
La solution est la seule possible. Comme , ce qui nous arrangerait maintenant c’est que la suite de terme général soit croissante et majorée par , on pourrait alors conclure que la suite de terme général est convergente et de limite . Montrons ce résultat par récurrence. Pour
c’est clair
Montrons que
.
entraine que
La suite est majorée par . Pour montrer que la suite est croissante on aura besoin de montrer, au préalable que pour tout
, pour ce genre de récurrence on peut dire que c’est trivial, on vérifie a u passage que la suite de
terme général
est définie pour tout
car
Regardons maintenant si la suite est monotone :
52 < ⇒ 52 < 0 ⇒ 52 74 < 0 + ∈ℕ > 0
Par conséquent C’est fait, la suite . Allez à : Exercice 13 :
4
, la suite est croissante est croissante et majorée donc elle converge vers la seule limite possible
Correction exercice 14 : 1. Il s’agit d’une forme indéterminée, on mettre en facteur, au numérateur et au dénominateur les termes qui tendent le plus vite vers l’infini
1 1 1 1 1 1 √ 2√ 12 √ 2 1 2 √ 2 1 2 √ 1 1 √ 1 l→+im 2√ √ 12 →+lim √ √ 2 1 2 11 1 ∈ℕ ⇔ 0 1 − − ≤ 0 0 0 < < 1 1 0 < − < 1 0< − < 1 − −1 − 01 < − < 1 0 1 0 < 01< − < <1 1 ∈ℕ 0 0 0 1 1 1 √ 1√ 11 1 1 12 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 l→+im 1 1 →+lim 1 1 1 2 1 1 1 22 1 2. Si
admet une limite , celle-ci vérifie
Regardons si la suite est monotone, pour tout Donc la suite est décroissante. Montrons par récurrence que pour tout entraine que .
.
, puis montrons que pour tout
entraine que et le produit de deux nombres compris entre et est compris entre et , donc . En particulier est minorée par , comme elle est décroissante, elle converge vers la seule limite possible . Allez à : Exercice 14 : Correction exercice 15 :
Donc cette expression admet une limite et
Allez à : Exercice 15 :
Correction exercice 16 : 1.
ln ×× ×−× −
Donc
Et
2.
ln → 0 et ln → ∞ ln ln → ∞ lim ln 0 →+ 1 2 2 1 1 1 1 √ 1 √ 1 2 1 1 12 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 12 1 → 12
Allez à : Exercice 16 :
Correction exercice 17 : Nous allons utiliser le théorème sur les suites adjacentes
+ 1 21 31 ⋯ 1 11 1 21 31 ⋯ 1 11 > 0 ≥ 1 1 1 1 1 1 1 + + 1 3 3 11 1 31 1 ≥ 1 1 < 0 1 → 0
Donc la suite
est croissante
Donc la suite
est décroissante
Donc les deux suites convergent vers une même limite. Allez à : Exercice 17 : Correction exercice 18 : 1.
+ + 2 3 32 3 13 ∈ℕ 31 < + 2 3 2 3 3 3 3+1 > 0 ∈ℕ 2 1 < 0 + 3 3 3+ < ∈ℕ
Donc la suite
2.
est une suite géométrique de raison , par conséquent
Car Donc la suite
est croissante.
Car Donc la suite
est décroissante.
l→+im →+lim 31 0 2 2 3 3 + + 3 3 3 ∈ℕ ∈ ℕ 2 1 < 1 < + 21 <1> +√ 2 ×1 1 1 < + 2 1 2 1 1 + 2 1 2 1 2 1 2 1 < 0 ∈ℕ 1 √ 2 1 > 0 et √ 2 1√ 2>10 ⇔ 2 1 ⇔ 2 1 0 ⇔ 1 0 ⇔ 1
En appliquant le théorème des suites adjacentes on en conclut que ces deux suites convergent vers une même limite noté . 3.
La suite
En faisant tendre
est constante donc, pour tout
vers l’infini dans cette expression, on trouve que
Ce qui implique que
Allez à : Exercice 18 :
Correction exercice 19 : 1. , montrons que
entraine que
Cela montre que la suite est bien définie car si 2.
alors
n’est pas défini.
Donc la suite est décroissante. 3. La suite est décroissante et minorée par donc elle converge vers une limite qui vérifie donc
Allez à : Exercice 19 :
Correction exercice 20 : On a Donc
(√ ) ≤ √ < (√ )1 ) 1 < ( ≤ √ √ √ √ > 0 √ 1 < (√ ) ≤ √ ⇔ 1 1 < (√ ) ≤ 1 √ √ √ √ √ l→+im (√ √ ) 1 ∀ 0 0 < < 1 [ ] ∉ 0 , 1 + ∈ ]0,1[ ∈ ]0,1[ + ∈ ]0,1[
On divise par
D’après le théorème des gendarmes
Allez à : Exercice 20 :
Correction exercice 21 : 1. Montrons par récurrence que , bien définie pour tout (en effet si , montrons maintenant que
, cela montrer au passage que la suite n’est pas défini. entraine que
est
∀ ∈ ℕ,0 <⇔0 <<1 1⇔(10 < 11 ) <<1 1⇔ ⇒00<< 1 < 1< 1 ⇔ 0 < 1 1 < 1 5 + 5 ∀ ∈ ℕ, ∈ ]0,1[ + 15 (11 1 1) 15 1 15 11 1 1 5 5 1 1 1 5 1 5 1 51 12511 5 5 5 5 1 25 125 1 251 251 1 1259 1 1 259 5 5 1 5 5 1 5 5 1 0 + 15 (1 1 ) 15 (1 11 )(11 1 ) 15 × 11 11 15 × 1 1 < 15 × 10 < ∈ℕ 0 15 (1√ 1 ) ⇔ 5 1 √ 1 ⇔ 5 1 √ 1 5 1 √ 1 < 5 1 1 ⇔ 25 0 10 1 15×01 ⇔ 25 √ 9100 ⇔ 25 259 0 5× 1 1 0 0 0 < < 1 + 0 < < 1 ⇒ 0 < < 1 ⇒ 0 < 1 < 1 0 < + < 1 + 1 1 1 1 1 1 1 > 0 Donc . 2. Nous allons employer la méthode « normale »
Et là cela coince, au numérateur, on connait bien le signe de dénominateur, rien ne nous permet d’affirmer que
mais pas celui de
et au
(cela nous aurait arranger parce
que dans ce cas on aurait pu conclure que le dénominateur est positif). Bref il doit y avoir un « truc ».
Et voilà le travail, la suite est décroissante. 3. La suite est décroissante et minorée par donc elle est convergente vers une limite qui vérifie
Maintenant on peut élever au carré mais on n’aura qu’une implication parce que rien ne garantit que
soit du même signe que
suite est décroissante donc
et la
, mettons que l’on ait rien vu).
Il y a deux limites possibles, convient pas car
, c’est-à-dire négatif (en fait si parce que
convient car
, par contre
ne
et
Finalement la suite est décroissante, minorée par , elle converge vers la seule limite possible . Allez à : Exercice 21 : Correction exercice 22 : 1. On appelle est vraie, il reste à montrer que
Ce qui montre que 2.
entraine
1 >0
Car Donc la suite 3.
est croissante.
1 1 1 1 +− 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 0! 1 1 1+ 1 1 1 1 + 1 1 ⇔+1 1 1 1 !1 1 !1 1 1! 1 1 ! + ′ − 21 1 −[0,1 ] 21 ′∈0 ] >0,10[ − >′01 >10 > 0 ]0 ,1[ ]1,01[ 00∈ ]11,1[ 1 1 ∈ ]0,1[ + 0+⇔ 1 1 +0 ⇔ 1 1 < 0 > 0 1+ < 0 0∈ℕ++ > + ⇔ + > 1 0 < ≤ 0 < ≤ 0≤<1 l→+im 0 0 ⇔ 1 l→+im 1 0 l i m 1 →+ 1 0 < < 1 →+ 0≤≤1 <1 1
4. On appelle
Donc
:
est vraie. Il reste à montrer que
entraine
Ce qui montre Allez à : Exercice 22 :
Correction exercice 23 : 1. a) est définie, continue et dérivable à dérivée continue sur
.
Pour , et donc est strictement croissante. On pourrait vérifier que et que mais même si ces dérivées avaient été nulle cela n’aura pas changer la conclusion. b) et , d’après 1.a) est une bijection croissante de sur , donc admet un unique antécédent , c’est-à-dire tel que . c)
Car et 2. a) La fonction
. est une bijection croissante donc
Par conséquent la suite est croissante. b) la suite est croissante et majorée par , donc elle converge. c) i) La suite est croissante alors Cela entraine que Or, si que
alors la limite de
est nulle, on en déduit, d’après le théorème des gendarmes
ii) On a vu au 1. c) que
Ce qui entraine, d’après 2. c) i) que Autrement dit que
Ce qui signifie que , (comme et que que ), il y a une contradiction avec l’hypothèse
admet une limite entraine , par conséquent .
Allez à : Exercice 23 : Correction exercice 24 :
Avec
1 1 1 1 1 √ 1 1 → 0 0
Si admet une limite lorsque , avec Il s’agit d’une forme indéterminée. Première méthode Règle de L’Hospital, on pose
alors cette limite est la même que celle de
.
√ 1 1 et ℎ ′ 2√ ′11 et1 ℎ′ 1 ′′ 2√ 1 ℎ l→≠im ℎ′ l→≠im 2√ 11 12 ′ 1 1 √ l→≠im l→≠im ℎ′ 12 l→+im 12 1 √ 0 √ 1 1 0 0 √ 1 1 1′0 ′ √ + →l≠im ′0 2 l→+im 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l→+im →+lim 1 1 1 1 12
Alors
On en déduit que
Et alors
Deuxième méthode On pose
Il s’agit du taux de variation, en , de la fonction
Et alors
Troisième méthode
Allez à : Exercice 24 :
, sa limite est
. Comme
:
Correction exercice 25 : 1.
12 211 212 + 21 1 31 1 1 4 ⋯ 1 1 1 1 1 21 ⋯ 2 3 2 2 1 2 2 1 1222 112 2 1 1 < 0 1 2 2 1 1 ∈ℕ ∀ ∈ 1,2,…,} 12 ≤ 1 < 11 1⏟2 ⋯ 21 ≤ 11 1 2 31 ⋯ 21 < ⏟ 11 ⋯ 1 1 × × 2 ≤ < 1 12 ≤ < 1 ≤≤∈ℕ1 1
Donc la suite 2.
est croissante.
Donc
Autrement dit
Ce qui entraine que
La suite
est majorée par et croissante donc elle converge vers une limite .
Et on a
.
Allez à : Exercice 25 :
∀ ∈ 1 ,… , }, 3 ∞|sin|√ < 3√ ≤ 3 √ ∀ ∈ 1 ,… , }, 3|sin1|√ 31√ ⏟31√ ×⋯ 31√ 3√ → ∞ lim ∞ →+ 1 4 + 16 4 Δ 1 4×4× 161 0
Correction exercice 26 : On va minorer par une suite qui tend vers Ce qui entraine que
Donc
On en déduit que Allez à : Exercice 26 :
Correction exercice 27 :
Transformons le polynôme Son discriminant est
1 1 1 1 4 16 4 4 64 4 8 1 1 + 4 16 4 8 0 ∈ℕ 0 < < + 1 1 1 1 4 1 1 1 4 < 4× + 16 16 8 16 64 16 16 8 ∀ ∈ ℕ, < ∈ℕ 1 1 1 1 4 ⇔ 4 0 ⇔ 4 0 ⇔ 16 16 8 8 ∈ℕ Donc, à un coefficient près, il s’agit d’une identité remarquable
Alors
La suite
est croissante.
Montrons par récurrence qu’elle est majorée par . Pour
c’est vrai. Montrons que
Donc
,
entraine que
.
vérifie
converge vers la seule limite possible .
Allez à : Exercice 27 :
Correction exercice 28 : 1.
1 sin2 ≤ 1sin2 1 sin2 ≤ 1 12 5 1 ≤ 15 < 14 5 1 sin ≤ 1 1 3 2 4 2 4 5 3 0 < ≤ 4 → 0 lim 0 →+ 13 − > 0 1 > 0 1 >+0 −+ > >0 0 2 1 0 < + − < 2 2 La suite de terme général est décroissante et pour tout
Donc pour tout
2. Pour tout
Donc d’après le théorème des gendarmes :
Allez à : Exercice 28 :
Correction exercice 29 :
Montrons par récurrence que pour tout Pour c’est vrai. Montrons que
C’est une grosse évidence. On en déduit que pour tout
Comme
est croissante et majorée par donc elle converge vers une limite qui
que entraine que
D’après le théorème des gendarmes Allez à : Exercice 29 :
l→+im 2 0 lim + 0 ⇔ →+lim 0 →+
Correction exercice 30 : 1.
3 + ∈ℕ 3 < 0 ⇔ < 3 ⇔ < ln3 < l n 3 < 3 ⇒ ln <
est décroissante il va falloir montrer que
Montrons cela par récurrence que
pour
Montrons que
c’est vrai.
entraine que
Donc pour tout , Cela montre que et que la suite est décroissante. 2. Si la suite est convergente vers une limite alors
Or la suite est décroissante et donc elle ne peut pas converger vers . 3. La suite est décroissante, si cette suite est minorée, elle converge or ce n’est pas le cas, donc elle n’est pas minorée. Une suite décroissante et non minorée tend vers . Allez à : Exercice 30 :
> 1 > 1 ⇒ ln > 0 ⇒ + 1l n >1+ ′ 1 1 1 ≤ 0 ∀ 1, 1 1 l n 1 1 1 0 > 1 < 0 1l n < 0 + ∈ ℕ > 1 1 1 1l n ⇔ 0 > 1 < 0 1 0 1 ]0,1]≥ 0 0 ∉ ]0,1] √ 1 > 0 1 1 √
Correction exercice 31 : 1. On pose , 2.
,
est vraie, il reste à montrer que
entraine
Car La fonction est strictement décroissante, de plus .
3.
donc pour tout
Car pour tout , . Ce qui montre que la suite est décroissante. 4. La suite est décroissante et minorée par donc elle converge vers telle que Or pour tout Allez à : Exercice 31 :
et
donc la seule limite possible est
Correction exercice 32 : 1. C’est faux, par exemple 2. C’est faux, par exemple la suite En transformant
, pour
.
est minorée, sa borne inférieure est et la suite de nombres réels définit par :
:
.
,
l i m ∞ →+ +√ 1( 1√ ) 1 1+(√ √ 1) + 2 1 1 + < − + | | ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ > , < | | 1 < 1 ∃ ∈ ℕ, ∀ > , 1 < < 1 ∃ ∈ ℕ, ∀ > , 1 < < 1 , , …, } ∀ ∈ 0,1,…,}, ≤ ≤ ( ) ) ∀ ∈ ℕ, m i n 1, ≤ ≤ max( 1, ∈ℕ , ∈ ℕ} Il est clair que
Donc pour
,
, ce qui montre que la suite n’est pas croissante même à partir d’un
certain rang. En fait la suite augmente entre
et
et elle diminue un peu moins entre
et
.
3. Une suite de Cauchy à valeurs réelle converge vers une limite donc Prenons
(n’importe quelle valeur convient) alors
ce qui équivaut à
Ou encore à
Ensuite l’ensemble notons les respectivement
est un ensemble fini, il admet donc un minimum et un maximum, et , ce qui signifie que
Par conséquent
Donc la suite est bornée. Remarque : cela signifie nullement que l’ensemble cela peut être le cas ou pas. 4. On fait comme si on n’avait rien vu. Commençons par écrire ce que signifie :
admet un maximum et un minimum,
| l i m | ∞ | | →+ ∀ ∈ ℝ, ∃ ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ, > ⇒ > > , || > ∃ ∈≤ℝ,∀ou ∈|ℕ,|∃ ≤ ∈ ℕ, > et || ≤ 1 ⇒ et non|| ≤ ∈ℕ | | ∃ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℕ, ≤ 2
Puis écrivons la négation de cette proposition, attention, il y a un piège, la négation de « » est « » Car la négation de est : Là, il ne faut pas s’enthousiasmer en se disant que Rappelons ce que signifie qu’une suite est bornée
1
veut bien dire que
∃ ∈ ℕ 2 ∀ ∈ ℕ ∈ℕ ∈ ℕ et 0 + 0||∈ℕ ∈ℕ∈ℕ ∞
est bornée.
Ou strictement inférieure à si on veut. Dans il y a un « » et dans il y a un « », cela pose pr oblème parce que l’on ne voit pas bien comment on pourrait faire pour transformer le « i l existe » en « pour tout ». Il y a sans doute un truc que l’on a pas vu, et si la proposition 4 était fausse malgré les apparences trompeuses. Si par exemple admettait une sous-suite tendant vers l’infini et que les autres termes restent bornés, on serait dans le cadre de la proposition 4 et pourtant la suite n’est pas bornée, donnons un exemple d’une telle suite : pour tout La limite de la suite constante (et égale à ) et pourtant l’infini. Et voilà ! Allez à : Exercice 32 :
cette suite n’est pas car il existe une sous-suite n’est pas bornée car il existe une sous-suite tendant vers
∈ℕ ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ,∀ ∈ ℕ, ⇒ | | <
Correction exercice 33 : On rappelle qu’une suite
est une suite de Cauchy si elle vérifie
∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ,∀ ∈ ℕ, et 0 ⇒ + < ∃ > 0, ∀ ∈ ℕ, ∃ ∈ ℕ, ∃ ∈ ℕ, et 0 et > 1 + + 12 13 ⋯ 1 1 11 ⋯1 1 112 13 ⋯1 1 11 ⋯ 1 + 1 ⋯ > ⏟ ×⋯ 0 + 1 1 ≥ ≥ 1 ≥ ∞ 2 + 12 13 ⋯ 1 11 11 + > ∞ ≥ ≥ Ou encore
Nions cette proposition
Ensuite on choisit de façon à ce que Revenons à
, prenons
,
ne tende pas vers ,
convient
quelconque (ici il n’y a pas besoin d’en prendre un en particulier, cela
marche avec tous !) et , cela montre que est vrai, autrement dit que n’est pas une suite de Cauchy. Malheureusement cela ne suffit pas pour montrer que tend vers l’infini, par exemple la suite de terme général n’est pas une suite de Cauchy et elle ne tend pas vers . Il faut rajouter que la suite est croissante. Pour tout
Ce qui entraine que
La suite est croissante et elle n’est pas de Cauchy donc elle tend vers . Remarque : Si ce résultat ne vous parait pas évident, démontrons-le, nous savons que si est croissante et majorée alors elle converge, donc c’est une suite de Cauc hy. La contraposée de cette phrase mathématique est Si n’est pas de Cauchy alors elle n’est pas croissante ou elle n’est pas majorée. Comme elle est croissante, elle n’est pas majorée. Allez à : Exercice 33 :
≥≥ ∃ > 0, ∀1∈ ℕ, ∃1 ∈ ℕ, ∃1∈ ℕ, 1 et 0 et1 + 1 > 11 1 |+ | 1 √ 2 √ 3 ⋯ √ √ 1 ⋯ 1 √ 2 √ 3 ⋯ √ √ 11 ⋯ 1 √ 11 ⋯ 1 > ⏟1 ⋯ 1 × + 01 |+ | > √ 2 > √ 2 1 √ 1 ≥
Correction exercice 34 : 1. Nous allons montrer que Pour montrer que la suite
n’est pas une suite de Cauchy. n’est pas une suite de Cauchy on va montrer
Ensuite on choisit de façon à ce que
Revenons à
, prenons
,
ne tende pas vers ,
convient
quelconque (ici il n’y a pas besoin d’en prendre un en particulier,
cela marche avec tous !) et , cela montre que suite de Cauchy. Par conséquent
est vrai, autrement dit que
n’est pas une
lim ∞ →+
2. a)
) )(√ √ 1 1 1 √ √ 1 √ (√ 1√ √ 1 √ 1 √ √ 1 √ √ < √ 1 ⇒ 2√ < √ 1 √ < 2√ 1 ⇒ 2√ 11 < √ 11 √ < 2√ 1 1√ 1 < 2(√ 1 √ ) √ 12 √ < √ 1 ∈ 1,2,…,} 1√ 1 < 2(√ 1√ ) < √ 1 1√ 1 1 < 2(√ 1 1√ 1) < √ 11 1√ 2 1 < 2(√ 2 1√ 2) < √ 12 ⋮ 1 1 < 2 1 1√ 1 < 1 11 < 2(√ 1 √ ) < 1 √ 1 √ √ 1 1 √ 11 < 2(√ 1√ 1) < 2(√ 1 √ 1) < 1 √ 1 1 <122(√ 11√ 1) ⇔ 21< 1 √ 11 2√ 12 √ 1∈ ℕ 1 √ 1 1 2√ 11 < 2√ ⇔ 2 1 < 2 1 ⇔ 2 1 < 4 4 1 1 < 2(√ 1) < 2 1 √ 2√ 1 12 ≤ ≤ 2√ 1 √
D’autre part
Ce qui entraine que
b) On applique le 2.a pour tout Première méthode
Puis on fait la somme de ces lignes
En simplifiant tous les termes qui se simplifient
L’inégalité de droite donne l’inégalité de gauche demandée Et l’inégalité de gauche
Il faudrait montrer que pour tout
,
Seulement voilà, c’est faux ! Alors au lieu de faire la somme des premières lignes on va faire la somme des premières lignes en ne gardant que l’inégalité de gauche. Ce qui entraine que
Et voilà. On a bien pour tout c)
On divise ces inégalités par
.
2√ √ 12 2 1 √ ≤ ≤ √ √ 2 1 √ 2 ≤ ≤ 2 √ 1 lim 2 →+
Ce qui entraine que
D’après le théorème des gendarmes Allez à : Exercice 34 :
1 ∀ ∈ ℕ, 11 < 1 11 1 > 0 1 11 11 1 11 21 1 1 11 < 1 11 ∀ ∈ ℕ, (1) ⋯(+1) 1 < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 11 11[ 11 ] 11 1 > 0 1 1 11 < 1 1 1 11 ⋯ 1 11 < 1 1 1 () (+) ∀ ∈ ℕ, ∀ ∈ ℕ∗, 11 ⋯ 1 < 1 1 ≥
Correction exercice 35 : 1. Pour ,
Pour montrer cela on va calculer
Ce qui montre que
Montrons que
entraine
Il faut montrer que cette expression est majorée par
Pour cela nous allons calculer la différence
Donc
En fait on aurait pu utiliser Par conséquent
Ce qui montre que
en changeant en
entraine
,
Et finalement
2.
On rappelle que
est une suite de Cauchy si
