Studiul functiilor cu ajutorul derivatelor Rolul derivatei intai in studiul functiilor (intervale de monotonie, puncte de extreme)
Teorema : Fie Fie f: I
R (I
R, inte interv rval al), ), o fun funct ctie ie deri deriva vabi bila la pe I. Daca Daca :
1)
f’ > 0 ( respective f’
0) pe I, atunci f este strict crescatoare (respectiv crescatoare) pe I.
2)
f’ < 0 ( respective respective f’ pe I.
3)
Daca f’ nu se anuleaza pe I, atunci f este strict monotona pe I (f pastreaza semn constant pe I ).
0) pe I, atunci atunci f este strict descrescatoare ( respectiv respectiv descrescatoare)
Observa Obse rva tii. 1)
Daca domeniul de definitie nu este interval, teorema nu mai are loc.
2)
Determinarea intervalelor de monotonie, ale unei functii, se reduce la aflarea intervalelor pe care derivata pastreaza acelasi semn.
3)
Derivata întâi, ne indica monotonia unei functii derivabile si eventualele puncte de extrem.
4)
Punctele de extrem, din interiorul intervalului I ( conform teoremei lui Fermat ) trebuie cautate printre punctele critice. Presupunem f’(x0) = 0; daca pe I :
a)
pentru x < x0, f’(x) > 0 si pentru x > x0, f’(x) < 0, atunci x 0 este punct de maxim al functiei.
b)
pentru x < x0, f’(x) < 0 si pentru x > x0, f’(x) > 0, atunci x 0 este punct de minim al functiei.
Comentari Comentarii. i. Pentru Pentru determi determinarea narea interv intervalelo alelorr de monotoni monotonie, e, ale unei unei functii functii derivabile derivabile f : D se procedeaza astfel :
se determina derivate f’ pe D.
se rezolva rezolva în R, ecuatia ecuatia f’(x) f’(x) = 0, x D (se determ determina ina punctele punctele criti critice ce ).
Se determina intervalele din D, pentru care f’ pastreaza semn constant.
Se aplica teorema.
R,
Rolul derivatei a doua in studiul functiilor (intervale de convexitate, concavitate, puncte de inflexiune)
Definitie Definitie: Functia Functia f : I R, ( I interv interval) al) derivabi derivabila la pe I, se numeste numeste convexa convexa pe pe I ( respecti respectiv v concava ) pe I, daca tangenta în orice punct la graficul functiei, se afa sub ( respectiv deasupra) graficului functiei.
Teorema 1). Fie f : [ a, b ]
R, derivabila de doua ori pe [a,b], a < b. Daca :
1)
f’’
0 pe (a,b), atunci f este convexa pe [a,b].
2)
f’’
0 pe (a,b), atunci f este concava pe [a,b].
Observatie:1) Sunt adevarate si reciprocele. 2) Uneori spunem despre graficul convex, ca “tine apa” si despre cel concav, ca „nu tine apa”. Definitie. Fie f : D
R si fie x 0 un punct din intervalul I
D.
Spunem ca x0 este punct de inflexiune al functiei f, derivabila în x0, daca pe I, f este convexa ( respective concava) de o parte a lui x0 si f este concava ( respectiv convexa) de cealalta parte a lui x 0. Observatie. Tangenta la graficul functiei, într-un punct de inflectiune, Teorema 2). Fie f : D R si fie x 0 x0 si daca a,b V, astfel încât : 1)
a < x0
2)
f’’ (x0) = 0.
3)
f’’
0 pe (a,x0), f’’
traverseaza graficul.
D. Daca f este de doua ori derivabila, într-o vecinatate V a lui
0 pe (x 0,b) sau f’’
0 pe (a,x0), f’’
0 pe(x0,b),
atunci x0 este punct de inflexiune pentru f. Comentarii. 1) Pentru determinarea intervalelor de convexitate(concavitate), eventual si a punctelor de inflexiune, parcurgem etapele : - calculam f’’. - rezolvam ecuatia f’’(x) = 0. - cu ajutorul radacinilor ecuatiei f’’(x) = 0, se determina intervalele pe care derivata a doua pastreaza semn constant. - se aplica teoremele 1) si 2). 2) Conditia f’’(x0) = 0 (singulara) nu implica faptul ca x 0 este punct de inflexiune; exemplu : f : R R, f(x) = 2x 4 – 1. Regulile lui L’Hospital
Teorema ;(cazul
) Fie I un interval (marginit sau nemarginit) si x0 punct de acumulare al lui I (finit sau infinit).
Daca f si g au proprietatile :
a)
=
= 0.
b) f si g sunt derivabile pe I- . c) g(x)
d) exista
0 , pentru x
=
Teorema : ( cazul
x0.
( în
) , atunci exista
) Fie f, g: I
=
.
R, x 0 punct de acumulare pentru I.
Daca f si g au proprietatile :
a)
=
=
( sau -
).
b) f si g sunt derivabile pe I – .
c) g’(x)
d) exista
0 si g(x)
=
Observatii : 1) Cazul
0 într-o vecinatate a lui x0 .
( în
), atunci exista
se reduce la cazul
.
=
.
2) Uneori este nevoie ca regula lui l’Hospital sa se aplice de mai multe ori, de ex.
pentru
,n
N*.
3) Calculul unor limite de siruri se poate reduce la calculul unor limite de functii, ex.
=
=
=
= 0.
Regulile lui L’Hospital, nedeterminari pentru limite de functii
Cazuri de nedeterminare pentru limite de functii.
1) Cazul 0.
x
. Presupunem ca
f(x) = 0,
V – , V vecinatate a lui x0. Atunci f(x).g(x) =
f(x).g(x) =
se ajunge la cazul
g(x) = +
în cazul . Daca ajunge la cazul 0. .
). Presupunem ca g(x)
si limita devine de forma
0,
. Scriind
.
2) Cazul . Presupunem ca f(x) = g(x) = + vecinatate V a lui x 0( cu exceptia lui x 0), atunci f(x) – g(x) =
si limita este în cazul
(sau -
. Daca f(x)
.Daca scriem f(x)-g(x)=f(x)(1-
1,atunci limita data este +
Cazuri de nedeterminare pentru limite de functii.
sau -
0, g(x)
0, într-o
), atunci
. Daca
este
= 1, se
Cazurile : 00 ,
,
0
,
Consideram f(x) > 0, pentru x I – . Daca :
f(x) =
f(x) = 1,
f(x) =
g(x) = 0, atunci f g este în cazul 0 0.
g(x) = +
,
(sau -
), atunci f g este în cazul
g(x) = 0, atunci f g este în cazul
0
.
.
Deoarece f g = eglnf
suntem condusi la calcularea limitei : cele tri cazuri ).
g(x)lnf(x), care conduce la cazul 0.
( în toate
