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Structures de g´ enie civil Année Universitaire 2013-14

Master DSME : Dimensionnement des Structures Mécaniques dans leur Environnement

Paolo Vannucci [email protected]

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Avant-propos Ce document est un texte de support au cours de Structures de Génie Civil de la deuxième année du Master DSME - Dimensionnement des Structures Mécaniques dans leur Environnement, de l’UVSQ - Université de Versailles et Saint-Quentinen-Yvelines. En particulier, ce document est divisé en cinq parties principales : – la première partie est une introduction aux structures de génie civil, en particulier, aux bâtiments ; la manière dont les bâtiments sont couramment organisés d’un point de vue structurale, les différents composants structuraux, leurs fonctions structurales et la manière dont ils doivent être distribués sont analysés ; – la deuxième partie est une introduction a` la théorie classique du béton armé ; l’objectif de cette partie, concernant une théorie de calcul aujourd’hui abandonnée, est de fournir aux étudiants un modèle de calcul simple, cohérent, essentiellement basé sur l’équilibre, qui les introduise de manière classique aux structures de béton armé ; l’idée est, en somme, d’opérer une transition logique entre leurs acquis de mécanique des milieux continus, de statique et de résistance des matériaux et la mécanique des structures de béton armé, cette dernière vue comme une application, à un cas particulier, des fondements et des résultats de la mécanique des structures classique ; de cette manière, il sera plus facile de comprendre la méthode moderne, plus élaborée et éloignée des modèles classiques de la résistance des matériaux ; – la troisième partie porte sur le calcul des sections en béton armé par rapport aux états limites ultimes, selon la norme européenne (Eurocode 2, dorénavant indiqué par le sigle EC2) ; on introduit donc ici la méthode courante de calcul des structures en béton armé, en utilisant les données et les prescriptions de la norme européenne, pour les cas de la flexion, simple ou composée, de l’effort tranchant et du poin¸connement ; – la quatrième partie porte sur le calcul des structures par rapport aux états limites de service, toujours selon la norme européenne. – la cinquième partie porte sur les dispositions constructives prescrites par l’EC2. i

On est bien conscients que ce qui est présenté ici est loin d’être exhaustif ; ce document n’est qu’un abrégé de calcul des bâtiments en béton armé pensé pour le master DSME, et pour cause de temps a` disposition des étudiants, des choix s’imposent. En particulier, plutôt que mettre l’accent sur les aspects normatifs, on a privilégié toujours la mise en valeur du modèle mécanique, des équations, conscients que les lois de la Nature sont immuables et aident a` la compréhension, ce qui est rarement le cas des lois que les hommes peuvent se donner. Finalement, l’unique ambition de ce document est de transmettre aux étudiants des fondements simples et solides de mécanique des bâtiments et des structures en béton armé. Si ce but sera atteint, comme on l’espère, alors les étudiants pourront facilement progresser dans le métier et leur progression sera d’autant plus sˆ ure et certaine s’ils n’oublieront pas les peu de notions contenues dans ce document. Versailles, octobre 2013

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Table des mati` eres Avant-propos

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1 Organisation structurale d’un bˆ atiment 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Composantes structurales d’un bâtiment . . . . . 1.3 Typologies courantes des fondations . . . . . . . . 1.3.1 Fondations superficielles . . . . . . . . . . 1.3.2 Fondations profondes . . . . . . . . . . . . 1.4 Types de structures horizontales et de couverture 1.4.1 Structures en acier . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Structures en béton armé . . . . . . . . . . 1.4.3 Structures en bois . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Types de structures verticales . . . . . . . . . . . 1.5.1 Structures en acier . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Structures en béton armé . . . . . . . . . . 1.6 Structures de contreventement . . . . . . . . . . . 1.6.1 Structures en acier . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Structures en béton armé . . . . . . . . . . 1.6.3 Distribution spatiale des contreventements 1.6.4 Contreventement des tours . . . . . . . . . 2 Th´ eorie classique du b´ eton arm´ e 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modèle de calcul . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Matériaux . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Le coefficient d’homogénéisation 2.3 Compression simple . . . . . . . . . . . 2.3.1 Problème de vérification . . . . 2.3.2 Problème de conception . . . . 2.4 Traction simple . . . . . . . . . . . . . 2.5 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . iii

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1 1 1 4 4 10 17 17 24 29 29 29 37 37 37 42 43 46

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53 53 54 55 56 57 57 58 60 61

2.5.1 Modèle de calcul : la poutre d’Euler-Bernoulli . . . . 2.5.2 Problème de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Problème de conception . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Flexion composée d’une section rectangulaire . . . . . . . . . 2.6.1 Problème de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Problème de conception . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Calcul des contraintes tangentielles . . . . . . . . . . 2.7.2 Modèle de calcul des armatures : le treillis de Mörsch 2.8 Le diagramme du moment résistant . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Le diagramme de l’effort tranchant résistant . . . . . . . . . 2.10 Contrôle de l’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites ultimes 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Béton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Acier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Le stress block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Adimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Champs de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Problème de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2 Problème de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Flexion composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Problème de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.2 Problème de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Flexion composée pour une section de forme quelconque . . . . . 3.11 Dimensions des poutres pour l’analyse structurale . . . . . . . . . 3.11.1 Largeur participante de la table de compression . . . . . . 3.11.2 Portée utile des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.1 Eléments pour lesquels aucune d’armature d’effort tranchant n’est requise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.2 Calcul de l’armature pour l’effort tranchant . . . . . . . . 3.12.3 Cisaillement entre la nervure et la table de compression des sections en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 Poin¸connement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Calcul de la résistance au poin¸connement . . . . . . . . . . iv

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61 62 69 70 70 73 74 74 76 80 82 82

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85 85 87 88 88 91 93 94 95 98 99 99 102 103 103 105 106 109 109 110 111

. 113 . 114 . 117 . 119 . 120

3.13.2 Résistance au poin¸connement sans armatures . . . . . . . . 121 3.13.3 Résistance au poin¸connement avec armatures . . . . . . . . 122 4 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites de service 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 ELS de limitation des contraintes . . . . . . . . . . 4.3 ELS de fissuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Sections minimales d’armature . . . . . . . . 4.3.2 Maˆıtrise de la fissuration sans calcul direct . 4.3.3 Calcul de l’ouverture des fissures . . . . . . 4.4 ELS de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Limitation du rapport portée/hauteur . . . 4.4.2 Vérification des flèches par le calcul . . . . . 5 Dispositions constructives 5.1 Enrobage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Armatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Espacement des barres . . . . . . . . . . . 5.2.2 Cintrage des barres . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Ancrage des barres longitudinales . . . . . 5.2.4 Ancrage des armatures d’effort tranchant . 5.2.5 Recouvrements . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Sections min et max d’armature . . . . . . 5.3.2 Autres dispositions constructives . . . . . 5.3.3 Epure d’arrêt des armatures longitudinales 5.3.4 Ancrage des armatures inférieures . . . . . 5.3.5 Armatures d’effort tranchant . . . . . . . . 5.4 Poteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Armatures longitudinales . . . . . . . . . . 5.4.2 Armatures transversales . . . . . . . . . .

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137 137 138 138 138 140 142 142 144 144 144 145 146 147 149 149 150

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Chapitre 1 Organisation structurale d’un bˆ atiment 1.1

Introduction

Dans cette partie, on analyse la manière dont un bâtiment est constitué. On ne s’intéresse ici qu’à sa fonction de structure résistant aux actions, donc à quelles sont les parties fondamentales qui le composent en tant que structure apte à assurer l’équilibre pour toute distribution d’actions possibles et a` comment ces parties s’organisent, travaillent et doivent être distribuées dans le corps du bâtiment. L’objet fondamental de cette partie du cours est constituée par les bâtiment a` structure en ossature portante. On ne s’intéressera pas, donc, aux structures constituées de murs portants, comme les bâtiments en briques et plus en générale en ma¸connerie ; toutefois, on introduira rapidement les bâtiments en béton armé a` structure a` tunnel, correspondant moderne des structures en ma¸connerie. Une distinction fondamentale est faite, pour chaque partie, entre structures en béton armé et structures en acier ; quelques notions de base seront données aussi sur les charpentes en bois les plus communes pour ce qui concerne les structures horizontales et de couverture.

1.2

Composantes structurales d’un bˆ atiment

La structure d’un bâtiment, voir Fig. 1.1, est formé par quatre parties fondamentales, indispensables pour une correcte organisation structurale de l’édifice : – fondations – structures horizontales et de couverture – structures verticales – contreventements 1

Figure 1.1: Schémas des parties structurales fondamentales d’un bâtiment.

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Les structures horizontales servent a` réaliser des surfaces qui accueillent les diverses fonctions d’utilisation du bâtiment. Elles se composent de poutres et planchers, ces derniers s’appuyant sur les poutres. Du point de vue structural, leur fonction est celle de recueillir les actions verticales dues aux charges appliquées (poids propres, portés et d’utilisation) et les ramener aux structures verticales. Dans la plupart des cas, les planchers sont des structures en béton armé ou en béton armé précontraint, mais, essentiellement pour les charpentes métalliques, il est possible aussi de réaliser des planchers avec structure en acier (tôle ondulée) ou mixte (acier + béton armé), voir Sec. 1.4 Les structures de couverture servent aussi à couvrir le bâtiment pour le protéger des intempéries (pluie et neige) ; normalement elles sont des structures semblables aux structures horizontales, mais elles peuvent être inclinées. Dans les cas des structures en acier ou en bois, des structure spéciales de couverture, les fermes, peuvent être employées. Les structures verticales servent a` recueillir les charges verticales transmises par les poutres des structures horizontales. Elles se composent de piliers (structures en béton armé), colonnes (structures en acier) ou murs porteurs (structures en béton armé par murs porteurs ou en ma¸connerie), voir Sec. 1.5. L’opération de calcul qui consiste a` calculer les forces qui, en provenance des structures horizontales, sollicitent les structures verticales, étage par étage, s’appelle la descente des charges. Cette opération peut se faire de manière approximée, en utilisant des critères basées sur la distribution et orientation des planchers et poutres, ou bien par un calcul global, a` travers un modèle numérique global du bâtiment (méthode des éléments finis). Les fondations sont les structures aptes a` transmettre au sol les charges qui arrivent, par descente des charges, en bas des piliers, colonnes ou murs. Les fondations sont toujours des structures en béton armé et elles sont nécessaires parce que la résistance mécanique des sols est toujours nettement inférieure à celle du matériau qui compose la structure, béton, acier ou ma¸connerie. Donc, pour éviter le rupture du sol, il est nécessaire d’augmenter la surface de contact entre structure verticale et sol : c’est le rôle des fondations, qui opèrent donc toujours une transition entre la surface de la section de la structure verticale, par exemple un pilier, et la surface de contact avec le sol, qui est nettement plus grande. Pour fixer un ordre de grandeur, si l’on considère que le béton armé a une compression admissible de l’ordre de 100 daN/cm2 , et qu’un sol moyen a une résistance admissible a` la compression de 1 daN/cm2 , on peut considérer que, en moyenne, la surface de contact avec le sol doit être 100 fois plus grande de la section d’un poteau. Les fondations peuvent être de différentes typologies, cela dépend en grande partie des caractéristiques du sol, de la géométrie de la charpente, de nécessités architecturales particulières. Tout ¸ca est considéré dans la Sec. 1.3. 3

Les contreventements sont des structures nécessaires d’un côté, à faire face aux actions horizontales (principalement le vent, d’o` u leur nom, ou en zone sismique les actions horizontale d’un séisme), de l’autre côté a` assurer la stabilité globale, au sens mécanique, de la structure. Les contreventements sont donc les structures qui assurent la rigidité du bâtiment aux déplacements horizontaux. Ils peuvent être réalisés de différentes manières, cela dépend beaucoup de la typologie de la structure (si elle est en béton armé ou en acier ou en ma¸connerie) et de l’architecture de l’édifice, voir Sec. 1.6. Néanmoins, leur présence est indispensable et elle doit être particulièrement soignée lors de la conception globale de l’édifice : leur dimensionnement et surtout leur nombre et disposition géométrique dans le plan horizontal sont d’une extrême importance pour le bon fonctionnement structural du bâtiment, bref, pour sa sécurité, voir Sec. 1.6.3 Nous ne nous occuperons pas ici du calcul de ces structures, ce qui est fait après dans ce document par certaines d’entre elles, ailleurs dans ce module pour d’autres, mais seulement de leur typologie, conformation, distribution spatiale et usage correct.

1.3

Typologies courantes des fondations

Le transfert des charges, essentiellement celles verticales, de la structure au sol peut se faire de différentes manières, qui correspondent a` deux grandes catégories des structures de fondation, qui a` leur tour se composent de différentes typologies de fondation : – fondations superficielles – isolées : semelles – linéaires : poutres – surfaciques : radiers – fondations profondes – pieux forés – pieux battus – micropieux – puits

1.3.1

Fondations superficielles

Une fondation superficielle transmet la charge au sol essentiellement par contrainte normale a` la surface de contact fondation–sol. Les fondations superficielles ont la caractéristique d’être placées a` une profondeur relativement faible, qui dépend essentiellement de l’architecture du bâtiment (par exemple de la présence ou non d’étages souterrains) et de la constitution du sol. En fait, la partie la plus 4

superficielles du sol, de caractéristiques mécaniques normalement très médiocres, est enlevée, pour atteindre un niveau o` u les couches de terrain ont une résistance mécanique suffisante. Les fondations isolées, souvent appelées semelles, sont utilisées pour transmettre la charge d’un poteau au sol, lorsque la charge n’est pas excessive et lorsque la distance entre poteaux est relativement grande (supérieure a` environ 6-7 m). En cas contraire, il vaut mieux faire appel a` des fondations linéaires. Des formes typiques de semelles isolées sont représentées en Fig. 1.2, avec un schéma commun d’armature. La semelle doit être vérifiée non seulement par rapport a` la résistance des sections armées, et normalement cela se fait a` l’aide de modèles de calcul a` la rupture, ou a` un état limite équivalent, mais aussi a` l’équilibre rigide, en particulier au renversement et au glissement. La résistance au glissement, en particulier, est confiée au seul frottement entre la semelle et le sol.

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Figure 1.2: Formes et armature typiques d’une semelle isolée

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Un autre type de vérification est nécessaire, celle-ci ne concernant pas la structure, mais le sol. En fait, il y a deux phénomènes mécaniques qui doivent toujours être contrôlés dans une fondation : la déformation (enfoncement de la fondation) et la rupture du sol. La déformation du sol est le phénomène classique qui affecte tout solide soumis a` des actions ; en particulier, le sol est soumis a` des actions de contact, en prévalence normales a` la surface de contact. Ces actions, provoquent une déformation élastique et, plus importante, une déformation retardée, de nature visqueuse (le sol peut être modélisé comme un solide visco-élasto-plastique). L’évolution des déformations dans le temps, donc, doit être vérifiée surtout pour les ouvrages importants. Cette évolution dépend essentiellement de l’histoire de chargement et surtout de la composition stratigraphique du sol (rarement le sol est un milieu homogène ; par sa nature même, normalement il est hétérogène et stratifié, par couches sédimentaires successives). Les déformations visqueuses sont particulièrement insidieuses, parce qu’elles se produisent lentement, elles interviennent même après le complètement de l’ouvrage, pendant sa vie et son utilisation, et surtout les tassements du sol peuvent se révéler critiques d’un point de vue statique lorsque ces tassements sont, comme c’est normalement le cas pour les fondations isolées, différentiels, à savoir différents de semelle a` semelle. Ceci peut provoquer, pour les structures isostatiques, comme c’est souvent les cas pour les hangars industriels construit avec des schémas statiques simples, souvent utilisés pour les technologies préfabriquées, des importants problèmes d’utilisation de la structure a` cause des déformations et déplacements qui se produisent, tandis que pour les structures hyperstatiques, ces tassements différentiels provoquent surtout la naissance d’états de contraintes auto-équilibrées dans la structure, qui peuvent être considérables et même amener a` la ruine, totale ou partielle, de la structure. De son côté, la rupture d’une fondation est un phénomène totalement différent : elle correspond à la rupture mécanique du sol sous la fondation, ce qui engendre un caractéristique mécanisme de ruine qui se réalise par une rotation, souvent assez rapide (quelques heures), de la structure plus une partie du sol, sur une surface courbe qui en théorie est un arc de spirale logarithmique, Fig. 1.3. Ce phénomène est toujours causé par un excès de charge verticale, mais ce qui est important est aussi la rapidité de chargement : une trop grande rapidité de chargement ne permet pas à l’eau présente dans le sol de s’évacuer sous le poids appliqué et ceci favorise le phénomène de la rupture. De ce fait, certaines structures sont particulièrement sensibles a` ce phénomène (typiquement, les réservoirs et les silos, Fig. 1.4). Dans certains cas, il y a interaction entre un phénomène de rupture et un phénomène de tassement ; ceci se produit surtout lorsque le temps de construction, et donc d’application des charges sur le sol, est long, ce qui donne le temps au sol 6

Figure 1.3: Mécanisme de rupture d’une fondation selon Terzaghi.

Figure 1.4: Le desastre du silo de Transcona, Canada.

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d’évacuer l’eau, mais pas d’arrêter le mouvement. En Fig. 1.5 un cas très célèbre de ce type de phénomène.

Figure 1.5: La Tour de Pise : l’exemple le plus célèbre d’un problème de fondations.

Les fondations linéaires sont la généralisation de la semelle isolée (elles sont parfois appelées aussi semelles filantes). On réalise, entre les poteaux, une poutre avec semelle pour le contact avec le sol. Cette poutre, normalement calculée comme poutre sur sol élastique (connue aussi sous le nom de poutre sur sol à la Winkler), transmets au sol, tout au long de sa longueur, les forces verticales en provenance des poteaux. La pression de contact dépend de la distribution des charges entre les poteaux, de la géométrie de la poutre, du coefficient de Winkler (caractéristique élastique du sol), et surtout de la rigidité de la poutre. Cette pression de contact change donc le long de la poutre, normalement elle est plus forte sous les poteaux et plus faible à mi-parcours entre deux poteaux consécutifs, à cause de la déformation de la poutre. L’armature de la poutre est de deux types : d’abord, l’armature principale de la poutre, à la flexion longitudinale et à l’effort tranchant. Du moment que la charge repartie provient du bas, par le contact avec le sol, celles-ci ont une disposition typique, inversée par rapport aux poutres ordinaires. Ensuite, il faut disposer aussi l’armature de la semelle, en direction transversale a` l’axe de la poutre, pour résister à la flexion de la semelle. En Fig. 1.6 on peut voir une typique géométrie et armature d’une poutre de fondation. 8

Les semelles filantes sont utilisées aussi comme fondation pour les murs ; dans ce cas, les armatures longitudinales a` la flexion et a` l’effort tranchant ne sont pas nécessaires, évidemment, même si un minimum d’acier est quand même mis en place le long de l’axe, dans la partie inférieure de la poutre, rien que pour des raisons technologiques (constitution de la cage d’armature).

FONDAZIONI SUPERFICIALI -- Trave rovescia

FONDAZIONI SUPERFICIALI -- Trave rovescia

Figure 1.6: Fondations linéaires : géométrie et armature d’une poutre de fondation.

Le dernier type de fondations superficielles est le radier ; il s’agit d’une dalle armée qui réalise un contact surfacique très étendu, normalement couvrant l’entière 9

surface horizontale, du bâtiment. Sa réalisation est très liée à l’architecture du bâtiment : en fait, en cas de bâtiments avec étages en sous-sol, la manière la plus naturelle de construire les fondations est le radier, qui va ainsi constituer aussi le plan de l’étage en sous-sol le plus bas. Evidemment, d’un point de vue mécanique l’avantage d’un radier est le fait que, grâce a` la grande surface de contact, les contraintes dans le sol sont normalement assez petites, et donc cette solution peut aussi être utilisée en cas de sols de faible consistance mécanique. Un autre avantage de cette solution, en cas d’étages en sous-sol, est que la pression de contact sur le sol souvent est inférieur a` celle due au poids du terrain enlevé pour réaliser les étages souterrains. De ce fait, tout tassement du terrain ou rupture de la fondation est impossible. Par contre, en phase de construction on peut avoir, pour des grandes profondeurs, le phénomène de la rupture inverse du terrain (le terrain au niveau du sol de pose de la fondation se casse par excès de chargement du au terrain latéral), ou, phénomène encore plus fréquent et extrêmement dangereux, on peut avoir, en cas de remontée de la nappe phréatique suite à des pluies intenses et rapides, la flottaison de la structure, causée par la poussée d’Archimède. En phase de construction, il faut donc prendre le soin de lester le radier pour éviter ce genre de phénomènes. En Fig. 1.7 on peut voir des typiques fondations sur radier ; l’utilisation d’un radier nervuré est intéressante en cas de fortes charges verticales, pour limiter les déformations. Toutefois, cette solution, à cause de la complication de construction et donc de son coˆ ut, est a` éviter si possible, et c’est éventuellement préférable d’augmenter l’épaisseur du radier. Le modèle de calcul statique du radier est celui d’une plaque sur sol a` la Winkler, sollicitée en correspondance des poteaux.

1.3.2

Fondations profondes

Les fondations profondes sont nécessaires a` chaque fois que les caractéristiques mécaniques du sol sont insuffisantes a` faire face aux charges verticales transmises par les poteaux. C’est toujours les cas des piles des ponts, des tours, des gratteciels mais aussi des bâtiments de moyennes-grandes dimensions lorsque le sol a des caractéristiques mécaniques médiocres. Les fondations profondes les plus couramment utilisées sont les pieux. Ceuxci appartiennent a` deux grandes catégories : les pieux forés et les pieux battus. Les pieux battus sont ceux normalement utilisés dans les bâtiments courants, car moins chers et parce-qu’ils ont l’avantage de consolider le sol. Les pieux forés, de dimensions supérieures à 40 cm de diamètre, sont utilisés pour des constructions de grande envergure : ponts, tours etc. Les pieux peuvent avoir deux types très différents de fonctionnement, Fig. 1.8 : – la charge est transmise au sol essentiellement par frottement latéral ; c’est pratiquement toujours le cas pour les pieux battus, qui ont normalement un bon coefficient de frottement et qui, par tassement latéral du sol, peuvent en10

Figure 1.7: Radiers de fondation : schémas et armature.

Figure 1.8: Modèles de fonctionnement des pieux.

11

gendrer des forces de frottement importantes ; la longueur des pieux n’excède jamais les 12 m, pour des raisons de transport (ces pieux sont préfabriqués) ; leur nombre est calculé en fonction de la charge a` transmettre ; – la charge est transmise par la pointe du pieux a` une couche rocheuse souterraine ; c’est presque toujours le cas des pieux forés, qui sont assimilables a` des colonnes souterraines ; évidemment, la profondeur du pieux dépend de la profondeur de la couche rocheuse souterraine (on peut arriver a` plus de 50 m de profondeur dans le forage des pieux). En Fig. 1.9 on montre différents types de pieux battus ; évidemment, leur usage est lié aussi a` la possibilité de battre le pieu, et ceci dépend essentiellement de deux choses : le type de sol (dans les sols rocheux et dans certains sables on ne peut pas battre un pieu) et la présence de bâtiments existants près du chantier. En fait, battre les pieux peux provoquer des dégâts aux édifices avoisinants le chantier, et ceci doit être pris en considération et parfois peut guider le choix vers les pieux forés, plus chers mais qui provoquent moins de vibrations et de problèmes lors de leur mise en oeuvre.

Figure 1.9: Types de pieux battus.

12

En Fig. 1.10 on peu voir certains types de pieux forés ; il existe différentes technologies pour forer un pieu, et cela affecte la capacité portante du pieu, surtout pour la partie confiée au frottement latéral. Dans tous les cas, le pieu est armé avec des barres en acier. Les diamètres courants vont de 40 a` 120 cm.

Figure 1.10: Types de pieux forés.

La Fig. 1.11 montre des schémas de disposition de pieux utilisés avec des semelles ou des poutres de fondation. Les micropieux, Fig. 1.12 sont des pieux forés de petites dimensions (entre 80 et 250 mm), avec une armature constituée le plus souvent d’un tube en acier. Ils sont utilisés pour renforcer des fondations existantes qui montrent des signes 13

Figure 1.11: Types de disposition des pieux.

de faiblesse ou lorsqu’il faut renforcer les fondations d’un bâtiment sur lequel les charges vont augmenter à la suite d’interventions de restructuration (par exemple par ajout d’autres étages). Leur utilisation est très fréquente dans des circonstances de ce genre, mais ils peuvent être utilisés aussi dans une construction nouvelle. Leur avantage est la souplesse de mise en oeuvre (ils peuvent être placés dans une direction quelconque, non seulement verticale, et la machine de perforation du sol est de dimensions relativement petites, ce qui permet son usage dans des structures déjà existantes) et leur coˆ ut, plus faible par rapport à celui des autres pieux forés.

Finalement, les puits de fondation, Fig. 1.13, sont des structures de grandes dimensions, toujours creusées, utilisées pour faire face à des charge très importantes, comme c’est le cas dans les ponts, certaines tours etc. Normalement, les puits de fondations sont utilisés pour atteindre une couche rocheuse de bonnes propriétés mécaniques, sur laquelle le puits va s’appuyer et transférer la charge verticale. 14

Figure 1.12: Technologie des micropieux.

15

Per morenici; la complessità delle problematiche dell’opera, il dimensionamenreti di spritz-beton dello spessore di 20 cm armato con doppia rete depositi to delle fondazioni è stato preceduto da un’estesa campagna di indaelettrosaldata. Per il corpo spalla, impiantato in sommità del fusto caaccumuli di frana stabilizzati; gini e dall’installazione di un sistema di monitoraggio. vo, si è prevista una configurazione semi-scatolare cava, con setti ir! coltri detritiche; rigidenti, in modo da minimizzare l’entità delle masse “sospese” e del! alti livelli di falda, prossimi al piano campagna nella parte mediaIl viadotto Casaglia, spalle lato Bologna, sull’Autostrada A1 le relative forze di inerzia indotte dalle azioni sismiche. na e al piede del versante; Milano-Napoli: l’adeguamento del tratto appenninico tra Il carico imposto dal rilevato induce dei cedimenti in grado di inne! entità deiSasso carichiMarconi (riferiti allo SLE: carico verticale = 68.000 kN; tae Barberino di Mugello scare fenomeni di attrito negativo. In sostanza, dove il cedimento del glio = 3.600 momento = 152.000 kNm); spalle lato Bologna, innestate nel poderoso rilevato artificiale (H Per lekN; terreno è maggiore del cedimento della fondazione, si ha l’inversione m) coltre realizzato tra il viadotto l’imbocco della galleria di delle forze di attrito, che possono determinare carichi assiali addizio! presenza>di30 una di terreno dello Casaglia spessoree di 10-15 m in conè stata instabilità; prevista una complessa configurazione del tutto originale nali per il pozzo. Per limitare tale fenomeno si è scelto di tenere la strutdizioni diBase, potenziale che prevede una fondazione profonda a pozzo sulla quale è realizzato tura del fusto completamente isolata dal circostante rilevato per mez! scelta progettuale di incrementare i coefficienti di sicurezza del verun plinto in c.a. da cui si diparte il fusto cilindrico cavo dell’elevazione. zo di una cuffia cilindrica in c.a., concentrica al fusto stesso e comsante attraverso interventi di drenaggio profondo; pletamente esterna ad esso alla relativa fondazione. ! difficoltà a creare piste e aree di lavoro per la realizzazione delle Si è inoltre esclusa qualunque interazione tra il corpo spalla e il retrofondazioni. stante rilevato autostradale in terra armata, costruito in sommità del In relazione a tali problematiche le fondazioni del viadotto sono state rilevato di Poggiolino. Questo prevedendo di rendere auto-stabile il previste a pozzo; la particolarità risiede nel fatto che i pozzi hanno sia fronte di quest’ultimo prospiciente al corpo spalla, il quale a sua volta si affaccia verso il rilevato con un fronte aperto e privo di rinterro. La la funzione di trasferire i carichi ai terreni di fondazione stabili sia di percorribilità stradale all’interfaccia tra rilevato e spalla è garantita da consentire la realizzazione al loro interno di tre-quattro ordini di dreni una soletta flottante di transizione in c.a.. suborizzontali da 4”, della lunghezza media di 50 m. Il pozzo di masIn relazione agli elevati carichi in gioco (a testa pozzo N = 107.510 kN, sima lunghezza raggiunge la profondità di 41 m. La parte sommitale M = 85.646 kNm, T = 756 kN (SLU) N = 86.295 kN, M = 519.045 kNm, del pozzo, sino alla profondità di 12 m da testa pozzo, è costituita da T = 19.764 kN (Sisma)) e all’entità dei cedimenti attesi e dei possibiuna coronella del diametro 13,20 m, realizzata con micropali (diameli spostamenti orizzontali, particolare attenzione è stata rivolta alla sceltro di perforazione di 220,00 mm, diametro di armatura di 168,30 mm, ta delle apparecchiature di appoggio (tipo multidirezionale con piastra spessore di 12,50 mm, interasse di 400,00 mm); nella parte inferiore di scorrimento dimensionata in modo da permettere ampi spostamenti è stata realizzata una doppia coronella in jet-grouting sino alla masorizzontali in tutte le direzioni dell’ordine di 50÷60 cm) e all’individuazione di accorgimenti costruttivi tali da consentire alla struttura di sima profondità del pozzo. Sono state realizzate colonne del diametro assorbire cedimenti decimetrici, per esempio, gli appoggi sono stati di 1.200 mm, con la tecnica bi-fluido. Le colonne sono armate con ardotati di spessori a strati di lamiera, collegati mediante bullonatura, in matura tubolare. modo tale da poter intervenire per modificare l’altezza degli stessi in Nella configurazione di esercizio finale i pozzi, nei primi 20 m sono cafunzione dell’entità dei cedimenti. vi con diametro interno di 3,00 m al fine di consentire l’ispezionabilità dei dreni, che scaricano a gravità attraverso perforazioni dal pozzo verLa proposta del viadotto sull’Adda: il collegamento Figura 5 - La sezione verticale del pozzo progetto del viadotto Verrand so i sistemi di raccolta posizionati sul versante. autostradale di connessione tra le dicittà di Brescia e Milano ! !

Figura 7 - La sezione longitudinale della spalla Bologna del viadotto Casaglia

Al fine di poter realizzare all’asciutto gli scavi sotto falda per l’esecuzione dei plinti di fondazione di pile in terreni sabbiosi fini mediamente addensati (NSPT = 30-40 colpi/piede) è prevista la realizzazione di una coronella esterna mediante pannelli realizzati con la tecnologia “cutter soil mixing”. La tecnologia consiste nel miscelare terreno in sito e cemento attraverso due set di ruote fresanti che girano su un’asse orizzontale per produrre pannelli rettangolari. Nel caso specifico, è prevista l’adozione di pannelli con sezione 2,20x0,80 m della lunghezza di 10 m, da quota intradosso plinto, e un trattamento dei terreni all’interno della coronella mediante iniezioni con cementi microfini eseguite da tubi in VTR o PVC valvolati. Questo trattamento, oltre alla funzione impermeabilizzante, unitamente all’esecuzione di alcuni pannelli di CSM a raggiera interni ha anche la funzione di aumentare il modulo di deformazione medio al fine del controllo dei cedimenti della fondazione. La configurazione della pila tipo e della fondazione della singola via di corsa sono riportate nelle Figure 8 e 9. La lunghezza dei trattamenti è stata definita in modo tale da interessare il solo primo strato di terreno caratterizzato da ridotti moduli di deformabilità rispetto alle sottostanti formazioni riscontrabili oltre la profondità di circa 10 m da quota intradosso fondazione. Figure 6A e 6B - Il varo dell’impalcato e lo scavo

del pozzo del viadotto Verrand 134

STRADE & AUTOSTRADE 4-2008

STRADE & AUTOSTRADE 4-2008

Figure 1.13: Puits de fondation. 16

133

1.4 1.4.1

Types de structures horizontales et de couverture Structures en acier

Les structures en acier sont composées de poutres profilées ou composées. Les premières, sont des poutres produites et mises dans le commerce suivant des dimensions standardisées et connues. Les deuxièmes, con¸cues pour un emploi spécifique, sont formées par des sections commerciales disposées selon un schéma statique visant a` réaliser une poutre ou une colonne. Des exemples typiques de sections métalliques commerciales ou composées sont données en Fig. 1.14. Les constructions en acier permettent d’obtenir des solutions très légères, mais nécessitent d’une attention particulière dans la conception et mise en oeuvre. Un problème typique de ces structures est celui des unions. Les trois types fondamentaux sont les unions rivetées, boulonnées et soudées. Si les unions rivetées sont pratiquement abandonnées aujourd’hui, les unions soudées sont toujours a` privilégier, car elles sont très fiables et permettent d’épargner du matériau. Toutefois, l’exécution de soudure en chantier est souvent source de problèmes et surtout le contrôle de qualité du soudage pose problème. C’est pourquoi, dans le constructions en acier on préfère organiser les pièces de sorte a` exécuter en atelier le maximum de soudures possibles, de manière compatible avec le transport et la mise en oeuvre, et on réserve aux unions boulonnées le reste, celles qui doivent être faites en chantier pour assembler la structure. Tout ¸ca affecte considérablement aussi le schéma statique de la structure. En fait, si une union soudée est, de par sa même nature, un encastrement parfait entre les deux parties, réaliser un encastrement boulonné est compliqué, de mise en oeuvre difficile et chère. C’est pourquoi, de préférence on réalise des joints boulonnés qui sont des rotules (même si imparfaites, elles sont modélisées comme des rotules), tandis que les unions soudées sont de préférence des encastrements parfaits. En Fig. 1.15 on montre des exemples typiques d’unions soudées et boulonnées entre colonne et poutre ou entre poutre principale et secondaire. En Fig. 1.16 on voit des unions entre profilés pour la réalisation de treillis. En Fig. 1.17 on montre des typiques solutions pour la liaison entre une colonne et sa fondation. Ls planchers en acier sont normalement réalisés en appuyant, avec des points des soudure pour la fixation, de la tôle ondulée sur les poutres en acier. De telle manière, on réalise un plancher très léger, qui peut avoir, moyennant une hauteur de la tôle suffisamment grande, de portées considérables (même supérieures à 10 m). La solution la plus utilisée, toutefois, est celle d’un plancher à structure mixte 17

Figure 1.14: Sections simples et composées pour poutres et planchers en acier. 18

Figure 1.15: Types d’unions entre poutre et colonne et entre poutre principale et poutre secondaire.

Figure 1.16: Types d’unions entre profilés pour la réalisation de treillis.

19

Figure 1.17: Types d’unions entre colonne et fondation.

acier-béton armé, Fig. 1.18 : au dessus de la tôle ondulée on coule une dalle en béton, souvent du béton léger, armée par une ou deux couches de treillis d’acier. De cette manière, on solidarise parfaitement la tôle, les poutres et le béton, on obtient une structure mixte de forte capacité portante et on a le plan horizontal du plancher sans besoin d’ajouter d’autres éléments secondaires. Des solutions, aujourd’hui abandonnées, de plancher mixte, utilisant une structure en acier et des éléments en terre-cuite (briques ou blocs spécifiques), sont représentées en Fig. 1.19. Ces solutions permettaient de réaliser de planchers de forte capacité portante (la première solution en haut a` gauche est celle qui a été utilisée, entre autres, pour couvrir une grande partie des tunnels et stations du métro parisien). En ce qui concerne les structures de couverture en acier, des solutions classiques, a` l’origine propres aux structures en bois, sont les fermes, voir Fig. 1.20. Un exemple en cours de construction est en fig. 1.21. La couverture de hangars et halls en acier se fait souvent par des treillis avec courants supérieurs inclinés, Fig. 1.22. L’acier est un matériau qui permet des solutions très hardies, innovantes, élégantes ; en Fig. 1.23 un exemple ancien et célèbre. 20

Figure 1.18: Planchers en structure mixte acier–béton armé.

Figure 1.19: Planchers mixtes acier-briques-béton.

21

Figure 1.20: Types classiques de fermes en acier.

22

Figure 1.21: Exemple de couvertures par fermes.

Figure 1.22: Exemple de couvertures par treillis avec courants supérieurs inclinés.

23

Figure 1.23: Une couverture en acier élégante et célèbre : le Grand Palais.

1.4.2

Structures en b´ eton arm´ e

Les structures en béton armé (b.a.) ont la caractéristique d’être monolithe. En fait, la réalisation d’un étage en b.a. se fait normalement par coulage du béton dans des coffres de l’entier étage, poutres, dalles, planchers, Fig. 1.24. A la fin, le résultat est un ensemble monolithe ; une conséquence de ¸ca, d’un point de vue statique, est le fait que les structures en b.a. ont normalement un fort degré d’hyperstatisme, ou, mieux, que la liaison typique et naturelle dans ces structures est l’encastrement : réaliser des liaisons par rotules, dans le b.a., est difficile et cher. Le rapport entre poids et résistance ou poids et rigidité est moins favorable pour le b.a. que pour l’acier, ce qui a comme conséquence des structures plus lourdes que celles en acier. De ce fait, une grande attention a été mise dans la recherche de solutions légères et économiques pour les planchers en b.a. L’idée est celle de ne pas couler des dalles massives, mais plutôt d’insérer dans ces dalles des éléments légers et a` bas prix. Le matériaux que tout naturellement répond à ces requis est la terre cuite. Il existe donc toute une série d’éléments en terre cuite, polystyrène, béton de gravillons ou bois aggloméré, Fig. 1.25, les entrevous ou hourdis, qui donnent de la légèreté a` la structure et qui s’épousent parfaitement, par leur forme, avec le reste de la structure, composée de poutrelles préfabriquées, en b.a. ou en b.a. précontraint, ou de prédalles, Fig. 1.25. Le coulage du béton de compression, complète la structure et la rend monolithe, Fig. 1.26. Les poutrelles ou les prédalles, qui constituent la structure portante du plancher en phase de construction, forment aussi la structure horizontale secondaire ; elles s’appuient sur les poutres principales, portées par les piliers, Fig. 1.27. Les charges verticales sont donc directement supportées par le plancher, qui ensuite les transmets aux poutres principales. La section de calcul d’un plancher et d’une poutre est déterminée par sa géométrie, Fig. 1.28. En Fig. 1.29 on montre un cas typique de poutre a` section 24

Figure 1.24: Construction d’un plancher préfabriqué en b.a. avec coulage monolithe de poutres et parties préfabriquées.

25

Il progetto esecutivo degli edifici in c.a. CAPITOLO 2 – ASPETTI TECNICI DI PROGETTO

e cap 2 - 28 f

sommario | vista precedente |

Rispetto alla soluzione precedente, in questo caso la soluzione non ha caratteristiche di autoportanza. L’impiego di una simile tipologia è particolarmente indicata se vi è necessità di un elevato isolamento termo-acustico tra due piani e resistenza al fuoco. Anche questa tipologia è caratterizzata da una positiva leggerezza strutturale.

2.7.2.3 Elementi di alleggerimento in EPS Altra tipologia presente sul mercato è la pignatta monoblocco in Polistirene Espanso Sinterizzato (EPS) a celle chiuse di dimensione 30x40 cm ed altezza 16-20 cm. Può essere impiegata in alternativa al laterizio per solaio con travetti a traliccio o precompressi.

Esempio di solaio Bovèda ®

Le caratteristiche sono un alto potere coibente, peso molto contenuto (circa 2,00 kg/mq), buona resistenza a compressione dell’elemento, elementi autoestinguenti. Nell’elemento sono presenti dei fori per il passaggio di cavi e tubazioni.

2.7.2.4 Solaio a lastre in cemento armato alleggerite ad armatura lenta Nota: immagini tratte dalle pubblicazioni ASSOBETON - Sezione Solai e Doppia Lastra.

Plancher armé con soletta collaborante inferiore e superiore) viene generalmente La tipologia con sezioneenadbéton ! (nervatura utilizzata:

!

per motivi statici, qualora sia necessaria la resistenza a Momento negativo (es.: lunghi sbalzi); Portfolio per motivi di protezione dell’intradosso, qualora siano da temersi fenomeni di sfondellamento degli alleggerimenti (solai soggetti a forti e cicliche differenze termiche tra intradosso ed estradosso) o per garantire una protezione al fuoco. Se non confezionata tradizionalmente col getto della lastra inferiore, successiva posa degli alleggerimenti e getto di completamento, essa trova applicazione in diversi prodotti della prefabbricazione, principalmente lastre tralicciate con alleggerimenti in genere di polistirolo.

!

Documents joints Documentation générale (PDF - 3 Mo) Poutrelles treillis sans étais (PDF - 118.8 ko) Hourdis isolants (PDF - 248.8 ko) Système coffrant (PDF - 393 ko) Certificat AFNOR - NF (PDF - 177 ko) Avis technique (PDF - 1.1 Mo) Certificat CSTBat (PDF - 308.6 ko)

Travetti con sezione a “!” (lastre “predalles”)

Figure 1.25: Entrevous, poutrelles et prédalles et leur disposition mutuelle. Copyright : droit d'auteur Contact. Site réalisé avec SPIP.

e cap 2 -28 f

26

Il progetto esecutivo degli edifici in c.a. CAPITOLO 2 – ASPETTI TECNICI DI PROGETTO sommario | vista precedente |

Il progetto esecutivo degli edifici in c.a. Il progetto esecutivo degli edifici in c.a. CAPITOLO 2 – ASPETTI TECNICI DI PROGETTO CAPITOLO 2 – ASPETTI TECNICI DI PROGETTO sommario | vista precedente |

e cap

sommario | vista precedente | e cap 2 - 31 f

Sono da evitare interruzioni del getto. Nel caso siano assolutamente necessarie, dovran 2.7.2.5 Solai a lastre alveolari precompresseeffettuate su disposizione del Direttore dei lavori soltanto nelle zone in cui sono previst Altre tipologie possibili di solai monodirezionali in c.a.sollecitazioni. sono costituite da elementi alveolari estrusi

con aitravetti precompressi, da completare con una soletta gettata in opera, simili come aspetto Solaio e funzionalità solai a tralicciati e blocchi interposti (tipo A) La soletta in calcestruzzo, quando richiesta, dovrà poi essere protetta dall'irraggiamento sola lastre ma di maggiori prestazioni statiche.

comunque dovrà essere bagnata a sufficienza per i primi giorni dopo il getto in modo da conte finale del ritiro. Le fasce piene

In prossimità degli appoggi dei solai le sollecitazioni (generalmente il Taglio) sono elevate e un’analisi accurata. Qui infatti vi è la brusca variazione della sezione resistente del solaio (da se o “I” a sezione rettangolare) e, nel caso che la sezione della nervatura risulti insufficiente, sarà aumentarla. Si possono adottare diverse modalità: !

arretramento degli alleggerimenti

Solaio con travetti tralicciati e blocchi interposti portanti (tipo B) Elementi alveolari accoppiati con travi metalliche a fondello pre-gettato

I solai alveolari costituiscono una tipologia prefabbricata di impalcati in solo calcestruzzo con vuoti (alveoli) di alleggerimento e sono generalmente ad armatura precompressa. Vengono pertanto impiegati per esigenze di grandi luci o elevati sovraccarichi consentendo spessori di solaio molto inferiori alle strutture ad armatura lenta. Il pannello è armato con sistema di pre-tensione “a fili aderenti”; la sezione precompressa è costituita dalle nervature con le solettine di intradosso e di estradosso. L'acciaio armonico di precompressione costituisce l'unica armatura della lastra alveolare che risulta pertanto priva di armatura a taglio. La resistenza al taglio La della struttura viene pertanto affidatanell'arretrare al procedura più usata consiste gli elementi di alleggerimento realizzando calcestruzzo Figure 1.26: Miseall'appoggio, en oeuvreuna d’un plancher efabriqué. fascia piena di pr´ calcestruzzo.

Il calcestruzzo impiegato per la costruzione delle lastre (basso rapporto acqua/cemento, Rck 55 MPa) ed i E' opportuno che lache dimensione della fascia piena non sia eccessiva ovvero compara copriferri controllati in stabilimento, la precompressione integrale della sezione impedisce la Travetti precompressi e interposte in laterizio spessore delfanno solaio. valori superiori è necessario rivedere lo spessore del solaio o la fessurazione e rallenta la velocità di carbonatazione del calcestruzzo, dellePer lastre elementi particolarmente protetti agli agenti aggressivi esterni ed al fuoco.delle nervature o il tipo di vincolo.

I banchi di getto in acciaio garantiscono, all'intradosso, una superficie perfettamente lisciaessere con bordi laterali La fascia piena deve adeguatamente armata: superiormente ed inferiormente, nel ben rifiniti, adatta ad essere lasciata a vista o direttamente verniciata.

normale alla tessitura delle nervature, dovranno essere disposte 2.7.1.5 Particolarità di progetto ed esecuzione deiquindi solai

delle armatu

Le lastre possono essere impiegate in associazione con tutti i tipi di strutture 2+2ø10) conportanti staffetradizionali chiuse ogettate a "C" indi diametro minimo ø6 e passo 25 cm, i cui bracci pe opera, prefabbricate ed in acciaio. Nel presente capitolo all'interno vengono della trave. trattate le particolarità di cui è opportuno tenere conto Le lastre hanno in testata apposite delle scanalature in numero adeguata che garantiscono il di esecuzione quanto in fase arretramento die lunghezza Direzione Lavori e alleggerimenti quindi adei pettine degli collegamento con le strutture di contorno in calcestruzzo!gettato, consentono l’assorbimento dei momenti negativi agli appoggi e degli sforzi di taglio-flessione.

della struttura.

Il solaio non deve iniziare con blocchi appoggiati direttamente sul muro parallelo nervature: si deve invece partire con un travetto o con una nervatura.

Prima del getto del calcestruzzo di completamento è necessario verificare la presenza 27 necessari per evitare successivi adattamenti. Bisognerà quindi, ad esempio, individuare le forature per il passaggio delle tubazioni, le asole di aerazione, le eventuali armature gli ancoraggi per i manufatti da inserire successivamente; prevedere smussi, scuretti, go

Scanalaturedel nella getto lastre Prima di calcestruzzo i blocchi devono essere accuratamente e abbonda affinché non assorbano l'acqua di impasto del calcestruzzo. Il getto andrà eseguito qua superficiale sarà stato assorbito e il laterizio si presenterà nella condizione di "sat e cap 2 -31 f asciutta".

Figure 1.27: Organisation d’un plancher en b.a.

28

rectangulaire. L’autre forme géométrique souvent utilisée est celle de la poutre en T, forme qui souvent naˆıt spontanément dans la structure par la collaboration à la résistance de la dalle de compression.

Figure 1.28: Géométries typiques des sections de poutre en b.a.

1.4.3

Structures en bois

Les structures de bois se limitent généralement aux structures de couverture et parfois aux planchers, Fig. 1.30. Les structures de couverture normalement sont les fermes, dont différents types existent, Fig. 1.31, 1.32, 1.33. Anciennement, les constructions avaient souvent une entière structure en bois, Fig. 1.34 ; toutefois, aujourd’hui ce type de constructions en pans de bois est abandonné, tandis qu’une technologie moderne, qui permet des réalisations hardies et de couvrir de grandes portées, est celle du bois lamellé-collé, Fig. 1.35. Dans ce type de technologie, les poutres en bois sont assemblées selon une géométrie données par collage sous pression de lamelles en bois, normalement c’est du bois du sapin. Ceci permet d’obtenir un assemblage très résistant, car les défauts intrinsèques au bois tendent a` être éliminés. La technologie de la construction en bois a été maitrisée depuis très longtemps, avec des réalisations admirables et hardies, dont quelques unes ont duré jusqu’à nos jours ; en Fig. 1.36 on peut voir la charpente en bois de la toiture de la Cathédrale Notre Dame de Paris. Mise en oeuvre en 1220, cette charpente a nécessité l’utilisation de 1300 chênes, pour un total de 21 hectares de forêt !

1.5 1.5.1

Types de structures verticales Structures en acier

Les structures verticales des ossatures en acier peuvent être formées par des colonnes en profilé simple ou par des colonnes composées, Fig. 1.37. Le dimen29

Figure 1.29: Exemple typique d’une poutre en b.a. 30

Figure 1.30: Planchers en bois.

Figure 1.31: Exemples de fermes en bois.

31

Figure 1.32: Toit a` la Mansart.

Figure 1.33: Ferme a` la Palladio.

32

Ossature et structure de l’immeuble

Figure 1.34: Structure Pan de boisen pans de bois.

Pan de bois, pan d Une structure en pan ge de pièces de bois poteaux de bois sont horizontales : les sabl hautes, reposent les de l’étage suivant est poutres. Le bâtiment aussi partie de la stru bois des ouvrages ver suivant les régions et Pour préserver le boi rejaillissement, les bâ des soubassements d Les bâtiments en pan cipe que ceux en pan poutres métalliques.

REGARDER 33

Des modifications du bâtiment ou de sol, construction d’un immeuble mitoy que des fissurations, des déformations constate ces désordres, il est recomm un professionnel. De même, avant to nécessaire de bien connaître l’état du

Figure 1.35: Exemples de structures en bois lamellé-collé. 34

Figure 1.36: Charpente en bois de la Cathédrale Notre Dame de Paris, mise en oeuvre en 1220.

35

sionnement des colonnes doit toujours être fait par rapport a` la charge critique. En fait, en considération du fait que les sections en acier sont très élancées, c’est pratiquement toujours le flambage le phénomène qui dimensionne les colonnes. Les sections composées peuvent être boulonnées ou, plus fréquemment aujourd’hui, soudées. Le calcul au flambage des colonnes composées se fait a` l’aide de formule semi-empiriques, contenues dans les normatives, qui prennent en compte le schéma du motif géométrique de la colonne. Une solution intéressante, est celle des colonnes en structure mixte acier-béton, Fig. 1.38. Dans ce cas, la section transversale est grandement augmentée par la présence du béton, ce qui a comme résultat une forte augmentation de la capacité portante a` la compression et aussi au flambage.

Figure 1.37: Colonnes composées en acier.

Figure 1.38: Colonnes a` structure mixte acier–béton.

36

1.5.2

Structures en b´ eton arm´ e

Les piliers des structures de béton armé sont normalement calculés a` la compression. En fait, pour les dimensions normales des bâtiments courants, rarement le flambage devient dimensionnant pour ces éléments, car les sections sont suffisamment grandes, d’habitude, pour éliminer le problème du flambage. Les poteaux en b.a. ont normalement une section rectangulaire ou circulaire. Il est nécessaire de prévoir au moins 1 barre par chaque coin de la section et il faut disposer des cadres pour éviter le flambage localisé des barres d’armature. En Fig. 1.39 on montre une situation typique d’un poteaux en b.a. Il existe une autre manière de réaliser les structures verticales dans les bâtiments en b.a. Il s’agit de remplacer l’ossature par une structure distribuée. Dans ce cas, les poteaux sont remplacés par des murs, qui on l’avantage de réaliser aussi les parois du schéma architectural. Cette technologie, souvent connue sous le nom de structure à tunnel, Fig. 1.40, a un intérêt surtout en relation au processus de construction : c’est une technologie très standardisée, qui devient rentable lorsque l’organisation du chantier est très industrialisée, ce qui est souvent le cas en France. Une telle technologie implique une forte intégration entre la conception structurale, le processus constructif, l’installation des systèmes techniques. Dans cette typologie, le plus souvent les planchers sont des dalles pleines en b.a. et il n’y a pas de poutres proprement dites. L’armature des murs et des planchers est essentiellement constituée par des treillis de barres soudées.

1.6 1.6.1

Structures de contreventement Structures en acier

La conception et la distribution des contreventements dans les ossatures en acier est une phase essentielle du calcul de la structure. Une mauvaise conception des contreventements conduit inévitablement à la ruine de la structure, souvent par un phénomène d’écroulement rapide. L’objectif des contreventements est de reprendre les actions horizontales et de les transférer aux fondations. Pour cela, il faut des contreventements horizontaux et verticaux. On parlera plus en détail de la distribution des contreventements au paragraphe 1.6.3 ; ici, nous allons considérer les différents schémas pour réaliser des contreventements avec les ossatures en acier. Ces actions horizontales sont essentiellement le vent ou, le cas échéant, le séisme ; toutefois, surtout dans les bâtiments type halls ou hangars, c’est, pour les structures en acier, presque toujours le vent qui est l’action horizontale dimensionnante. Dans les charpentes en acier, les contreventements sont toujours réalisés par des schémas statiques différents, mais l’idée de base est toujours la même : réaliser une 37

Figure 1.39: Schéma typique d’un poteau en b.a.

38

Figure 1.40: Schéma de construction d’une structure a` tunnel.

structure qui est rigide par rapport aux actions horizontales. Il faut donc un schéma statique qui assure le plus possible la rigidité sous les actions horizontales. Il vaut mieux préciser qu’il ne s’agit pas seulement de mettre en place une structure, qu’elle soit isostatique ou hyperstatique, qui assure l’équilibre aux actions horizontales, mais il faut quelque chose de plus, il faut de la rigidité, a` savoir, la propriété de se déformer le moins possible suite a` l’application d’actions horizontales. La rigidité a` l’effort normal étant, avec les dimensions couramment utilisées, nettement plus grande de celle a` la flexion, il faut privilégier les schémas statiques qui font travailler les poutres et colonnes en compression ou traction plutôt qu’en flexion : il vaut mieux utiliser des schémas de type treillis plutôt que de type portique. Pour mieux comprendre, considérons les schémas de Fig. 1.41. Sur la première ligne on a des schémas de portiques, tandis que le schéma e, connu sous le nom de croix de Saint André, est un schéma de teillis, comme le schéma h ; les schémas f et g sont des schémas mixtes, dans lequel l’essentiel du fonctionnement est confiè a` un mécanisme de type treillis, mais la poutre est quand même soumise a` de la flexion. Pour simplifier, considérons la poutre de rigidité infinie ; cette approximation est souvent faite, en raison de la plus grande rigidité a` la flexion que normalement les poutres ont par rapport aux poteaux. Alors, le schéma a est ipo-statique : il ne peut pas garantir l’équilibre sous l’action de la force F , sa rigidité est nulle. Augmenter la rigidité d’un tel schéma est une simple question de changement de 39

Figure 1.41: Schémas possibles de structures de contreventement en acier.

liaisons ; voyons quelques cas typiques. Le cas c est un système qu’on peut assimiler a` deux poutres consoles travaillant en parallèle, chacune prenant sur soi la force F/2. Le déplacement δ dans ce cas est δ=

F h3 , 2 3EJ

(1.1)

6EJ . h3

(1.2)

et donc la rigidité de la structure est K1 =

Le cas b est évidemment identique. Dans le cas d, il suffit un coup d’oeil a` la déformée pour comprendre que la rigidité est 4 fois plus grande que dans les deux autres cas, 24EJ , (1.3) h3 parce que, par les liaisons d’encastrement aux deux extrémités des colonnes, cellesci ont un point de flexion nulle exactement a` mi hauteur. Considérons maintenant le schéma e ; il est seulement en apparence hyperstatique ; en fait, un des diagonaux travaille en compression et l’autre en traction. Mais, en utilisant des profilés minces, le diagonal en compression flambe presque immédiatement, et sa contribution à la rigidité pratiquement disparaˆıt. Finalement, il ne faut considérer que le diagonal en traction dans le calcul, Fig. 1.42. K2 =

40

Figure 1.42: Schémas de fonctionnement statique d’une croix de Saint André.

Le déplacement horizontal δ est alors (Ap est l’aire de la section droite du poteau et Ad celle du diagonal) √ " # h3 F (h2 + l2 ) h2 + l2 + , (1.4) δ= 2 El Ad Ap et donc la rigidité de la structure est K3 =

Ad Ap El2 √ . Ap (h2 + l2 ) h2 + l2 + Ad h3

(1.5)

Selon les dimensions en jeu, on peut avoir K2 > K3 ou le contraire. A titre d’exemple, considérons un portique avec h = 4.5 m, l = 7 m, un diagonal avec une tige de section ronde de 20 mm de diamètre et des poteaux en section tubulaire commerciale de diamètre extérieur 324 mm et épaisseur 6 mm. Dans ces cas on a Ad = 3.14 cm2 , Ap = 59 cm2 et J = 7453 cm4 . Par conséquent, on obtient (E = 2.1 × 106 daN/cm2 ) K1 = 1.030 × 103 daN/cm, K2 = 4.122 × 103 daN/cm et K3 = 5.560 × 103 daN/cm. On a donc que K3 ' 1.35K2 et K3 ' 5.4K1 . Par contre, si par exemple on change d’hauteur et on pose h = 3 m, alors on trouve K1 = 3.478×103 daN/cm, K2 = 1.391×104 daN/cm et K3 = 7.291×103 daN/cm. Dans ce cas il est donc K3 ' 0.52K2 et K3 ' 2.10K1 . On voit bien, donc, que le choix est fonction aussi des dimensions en jeu. Toutefois, il y a aussi d’autres considérations à faire. Par exemple, les unions du système à croix de Saint André sont plus simples a` réaliser que celles du système portique, car elles sont des rotules, facilement réalisables avec des joints boulonnés. Par contre, les forces en fondation sont nettement différentes dans les deux cas : pour le système a` portique, les réactions se traduisent essentiellement par des couples, tandis que pour la croix de Saint André par des forces égales et contraires : 41

une de compression, l’autre de traction. Alors, dans certains cas, surtout pour les halls et hangars, la traction peut être si forte qu’elle peut soulever la fondation. Il faut alors s’assurer que la fondation soit capable d’un côté de transmettre au sol la force de compression, et de l’autre qu’elle soit suffisamment lourde pour résister a` la traction qui tend a` la soulever, et éventuellement il faut la lester. Les rigidités des schémas f , g et h sont plus difficiles a` calculer, mais dans ces cas aussi on trouverait une rigidité plus importante que K2 . La Torre Pirelli fù il primo edificio altro in cemento armato in Europa ed il primo ad utilizzare il criterio per il miglioramento dell’efficienza dei pilastri in cemento armato per gli edifici alti: convogliando le

1.6.2 endi b´ eton arm´ e forze verso pochi Structures elementi verticali dimensioni rilevanti si fa in modo che essi risultino sempre compressi, indipendentemente dall’entità delle azioni orizzontali. Ciò ha inoltre il vantaggio di Dans les structures en b.a., la réalisation des contreventements est assez simple elemininare i pilastri :inelle pianta e disoit consentire spazi et naturelle se fait par desampi syst` emesliberi. portiques, comme ceux de Fig. 1.41d, sont la situation Forma qui e distribuzione dellecourante pareti dans les ossatures en b.a., soit par des parois, souvent utilisées, par exemple pour réaliser les tours escaliers ou ascenseur, Fig. 1.43, 1.44, Le pareti di taglio possono avere sezione rettangolare ma anche ad L, a T, a U, per seguire meglio 1.45. la distribuzione in pianta ed aumentare la rigidezza flessionale.

In pianta le pareti possono collocazione simmetrica o menoenrispetto Figureavere 1.43:una Contreventements d’une structure b.a. alla direzione di applicazione della forza orizzontale. Nel primo caso la forza esterna induce solo traslazione nel piano orizzontale mentre nel secondo induce anche rotazione intorno al “centro di rigidezza”e quindi lo spostamento totale deriva dalla 42 combinazione della traslazione e della rotazione. Il centro di rigidezza è il centro delle rigidezza flessionali (EI) delle pareti

Figure 1.44: Schémas de fonctionnement statique des contreventements d’un bâtiment en b.a. : tour ascenseur, paroi, portiques rigides.

1.6.3

Distribution spatiale des contreventements

La distribution spatiale des contreventements est un aspect fondamental de la conception d’un bâtiment. L’objectif est d’assurer que toutes les possibles distributions d’actions horizontales soient convenablement transférées en fondation. Il faut d’abord faire une distinction entre contreventements horizontaux et verticaux. Les actions horizontales, par exemple le vent qui souffle sur une fa¸cade, sont d’abord reprises par les contreventements horizontaux. Dans les structures en b.a. et aussi celle en acier avec étages en structure mixte acier–b.a., chaque étage est, dans son plan, comme une poutre infiniment rigide. De ce fait, elle est parfaitement apte a` transférer les actions horizontales aux structures verticales de contreventement. C’est d’ailleurs pour cette raison qu’on arme la dalle de compression des planchers avec un treillis en barre d’acier soudées : cette armature distribuée est en fait l’armature du contreventement horizontal. Dans les structures en acier sans étages en structure mixte, comme par exemple les hangars et les halls industriels, dans lesquels on a normalement seulement la couverture, qui elle n’est jamais réalisée en structure mixte, il faut former un contreventement horizontal. La solution presque toujours adoptée est celle de former un treillis, comme par exemple en Fig. 1.46. Les actions reprises par les contreventements horizontaux sont ensuite transmises aux contreventements verticaux, et d’ici en fondation. Il est alors fondamental, pour le bon fonctionnement du corps structural, que chaque action soit convenablement équilibrée par le système. Dans ce but, une modélisation souvent 43

ed in genere sono collocate in corrispondenza dei vani scala oppure costituiscono le pareti di

namento continue fino alla fondazione dell’edificio.

difici fino a 35 piani sono efficienti sia per la resistenza alle azioni orizzontali che verticali ed

nere la loro collocazione in pianta viene effettuata in modo tale che possano attrarre

quota dei carichi verticali tale da annullare la trazione indotta dal momento prodotto dalle

orizzontali.

sto modo si riduce la quantità di armatura necessaria ad assorbire gli sforzi di trazione.

i di edifici con pareti di taglio sono la Torre Pirelli a Milano, la Metropolitan Tower di New

le Petronas Tower, il Taipei 101.

!

"

"

!

olitan Tower, New York, 68Figure piani, 1987 1.45:

Torre Pirelli, Milano, piani, 1961, Ponti, Nervi Un exemple classique de31contreventement d’un bâtiment en b.a. : la Tour Pirelli (Milan) et ses 8 noyaux rigides.

18

44

$%&'(&)' $'&' $& #.#)#' #$%#'#%' 0"#$%& Figure 1.46: Contreventements d’une structure en acier.

45

2$%+/$3&%+#'(#',#0%$

utilisée, est celle d’étages rigides sur des appuis élastiques (les contreventements). Il faut alors s’assurer que chaque étage ne soit pas ipo-statique. En Fig. 1.47 on montre des situations correctes de distribution des contreventements, tandis que la situation de Fig. 1.48 est erronée : seules les actions passantes par le coin en bas a` gauche peuvent être équilibrées, pour toutes les autres il n’y a pas de possibilité d’équilibrer le couple autour de ce point.

Figure 1.47: Dispositions correctes de contreventements.

1.6.4

Contreventement des tours

Les actions horizontales, notamment celles du vent, prennent une importance de tout premier plan dans la conception des bâtiments hauts, tours et gratte-ciels. En fait, l’énorme surface verticale, qui monte a` grande hauteur, induit des forces dues au vent de grande envergure, et surtout de très grands moments fléchissants en fondation. 46

Figure 1.48: Disposition erronée de contreventements.

Les solutions peuvent être différentes ; en Fig. 1.49 on montre une série de solutions typiques pour les tours. La solution a fait usage de contreventements de type croix de Saint André ou similaires ; elle a été utilisée pour la réalisation de l’Empire State Building (1931), 381 m, 443.2 avec l’antenne, qui a été pendant longtemps le plus haut bâtiment du monde, Fig. 1.50. Une solution qui améliore celle-ci, parce qu’elle permet d’utiliser, pour le contreventement, aussi les colonnes qui ne font pas partie du contreventement, est celle de Fig. 1.49b : les grandes poutres console font travailler en compression ou en traction aussi les autres poteaux de la structure, outre ceux du contreventement. On peut voir en Fig. 1.51 le schéma de fonctionnement d’une telle solution, et en fig. 1.52 une des premières réalisations de ce type, il First Wisconsin Center de Milwaukee (1973), 183 m. Une solution souvent adoptée est celle dite du tube − in − tube, Fig. 1.49c : on réalise un noyau rigide central et au même temps les parois sont formées par une charpente rigide, qui forme comme un tube extérieur. Cette solution a été adoptée aussi pour les Tours Jumelles du World Trade Center de New York (1973–2001), 417 m, 526.8 avec l’antenne, Fig. 1.53. La solution de Fig. 1.49d est un mixte entre les deux précédentes ; finalement, la solution de Fig. 1.49e est celle d’un tube − in − tube avec le tube extérieur formé par un énorme contreventement en treillis. La fig. 1.54 montre le John Hancock 47

Figure 1.49: Solutions possibles pour le contreventement des tours.

Center de Chicago (1969), 344 m, 457 avec l’antenne, o` u la structure en treillis est bien visible sur les fa¸cades de la tour. Une autre solution, très intéressante, est celle des bâtiments suspendus, Fig. 1.55. Un noyau rigide central, normalement en b.a., porte une poutre très rigide en haut, a` laquelle on attache de tirants qui portent les étages. Toute la charge verticale arrive donc en fondation a` travers le noyau central, avec l’avantage d’avoir a` la base une forte compression pour le moment fléchissant produit par le vent, ce qui est bénéfique pour l’équilibre d’ensemble. Il est aussi possible de placer différentes poutres rigides, a` plusieurs hauteurs, et de ne leur suspendre qu’une partie des étages, voir toujours Fig. 1.55.

48

Figure 1.50: L’Empire State Building, New York.

49

Figure 1.51: Contreventement avec noyau rigide, poutres console et colonnes. Marina City Twin Towers, 1962, Goldberg

Place Victoria Office Tower, Moretti

Wisconsin Center, Milwaukee, 1973, Fazlur Kahn FigureFirst 1.52: First Wisconsin Center, Milwaukee. (SOM)

50

11 settembre - OSSERVAZIONI DI UN INGEGNERE SUL CROLLO DEL WTC.

Mistero.

Il crollo dei grattacieli del World Trade Center.

Premessa: Per svolgere riflessioni che siano in linea di principio accettabili da tutti, partiamo dalle analisi svolte dal NIST (ente pubblico statunitens e la tecnologia), dalle sue omissioni e, per il pubblico italiano, dalle notizie che ha elargito sull'argomento il sito internet di Attivissimo (g recensito e sbugiardato qui, qui e qui). Debbo anzi alla solerzia di questo autore se mi sono imbattuto in un aspetto che credo sia stato trascurato dai tanti che hanno criticato

World Trade Center, NY, 110 piani,

Inoltre l’uniformità di questo sistema consente l’utilizzo di tecniche di prefabbricazione che Vista di una torre del WTC in costruzione. riducono notevolmente i tempi ed i costi di costruzione. Per strutture in acciaio questo si realizza

1.53: NY, Les Tours Jumelles dueWorld Trade Center,die come New York. L'immagine chiarisce come la struttura fosse largamente dimensionata la parte più resistente fosse posta al centro. In tal modo World Figure Trade Center, 110 piani, mediante l’assemblaggio in officina successiva installazione intere porzioni di facciata. Per che l'impatto di un aereo danneggiasse gravemente le strutture portanti principali. struttureIl in cemento armato la ripetitività consente il riutilizzo delle casseforme ai diversi piani particolare di cui parleremo è quello della prima fase del crollo della Torre Sud.

A differenza della Torre Nord, che crollò in modo perfettamente verticale sin dalla prima fase, mostrando stranamente il cedimento iniz dell’edificio. nucleo di pilastri centrali, quelli con maggior resistenza, la Torre Sud invece iniziò il crollo con una vistosa inclinazione del blocco supe quelli sopra gli 8 piani incendiati direttamente dall'aereo (figura 7), ricordando che i piani delle due torri erano 110. trave alta di trasferimento

Inoltre l’uniformità di questo sistema consente l’utilizzo di tecniche di prefabbricazi

riducono notevolmente i tempi ed i costi di costruzione. Per strutture in acciaio questo si

mediante l’assemblaggio in officina successiva porzioni di facc La presenza di colonne ravvicinate ine facciata può creareinstallazione problemi al piano di terraintere dove spesso vi

sono negozi oarmato ampi spazila aperti al pubblico. Questo problema essere risolto mediante travi di strutture in cemento ripetitività consente il può riutilizzo delle casseforme ai dive

51 trasmesso dai pilastri ravvicinati e lo trasferiscono ad un trasferimento che raccolgono il carico

dell’edificio.numero più modesto di pilastri maggiormente spaziati. In alternativa si possono utilizzare pilastri inclinati per convogliare il carico verticale verso un numero limitato di pilastri al piano terra. La Torre Sud complessivamente ha impiegato circa 10 secondi per le fasi del crollo.

Il tubo intelaiato diventa inefficiente superiori ai 60la piani perché inizia richiede dimensioni Nella prima fase, al momento in cui è per stataaltezze scattata questa fotografia, parte superiore a crollare con una vistosa rotazione attor A di figura 3). Per raggiungere questo assetto si può valutare trave altail tempo impiegato in circa un secondo. eccessive di travi e pilastri per ridurre lo shear-lag.

di trasferimento

37

In questo caso le pareti del tubo sono realizzate mediante travature reticolari. Questo tipo di struttura presenta una maggiore rigidezza delle pareti a telaio a parità delle dimensioni degli elementi strutturali. La travatura reticolare si può realizzare sostituendo o affiancando le colonne esterne mediante aste diagonali in entrambe le direzioni. Il primo edificio per il quale si è realizzata questo tipo di struttura è il John Hancock Center di Chicago progettato da Fazlur Khan per SOM.

Onterie Center, 1985 Figure Skimore, Owings, Merril (SOM Architects)

John Hancock Center, Chicago

1.54: Le John Center, Chicago. Skimore,Hancock Owings, Merril (SOM Architects)

L’Onterie Center di Chicago progettato anch’esso da Khan (SOM) nel 1985 utilizza una struttura in cemento armato a tubo intelaiato analoga a utilizzata per il John Hancok Center con la differenza che, mentre per la struttura in acciaio di quest’ultimo era stato possibile realizzare delle diagonali continue in acciaio, nel caso della struttura in cemento armato dell’Onterie Center le diagonali sono create riempiendo le aperture con un getto di calcestruzzo. Per capire il funzionamento ed i vantaggi di queste diagonali su più piani consideriamo separatamente l’effetto delle forze verticali ed orizzontali. 38

Figure 1.55: Schémas de bâtiments suspendus.

52

Chapitre 2 Th´ eorie classique du b´ eton arm´ e 2.1

Introduction

La raison pour laquelle on présente ici la théorie classique du b.a. est que cette théorie constitue un modèle mécanique simple, cohérent, basé directement sur les notions élémentaires de la résistance des matériaux et de la mécanique des milieux continus. Dans cette théorie, tout est basé sur l’équilibre et la grandeur directement contrôlée est la contrainte. La connaissance de ce modèle aide a` avoir une vision d’ensemble, synthétique, efficace, du comportement statique des membrures en b.a., ce qui est quelque peu perdu dans la méthode moderne aux états limites, essentiellement basée sur le contrôle des déformations. Voici la liste des symboles utilisés dans la suite : – σb : contrainte normale dans le béton – σa : contrainte normale de traction dans l’acier – σa0 : contrainte normale de compression dans l’acier – εb : déformation normale dans le béton – εa : déformation normale dans l’acier – σb0 : contrainte admissible dans le béton – σa0 : contrainte admissible dans l’acier – τb : contrainte tangentielle dans le béton – τb0 : contrainte tangentielle admissible dans le béton – n : coefficient d’homogénéisation – Ab : aire de la section de béton – Aa : aire de la section des barres d’acier en traction – A0a : aire de la section des barres d’acier en compression – Aid : aire de la section idéale homogénéisée – Jid : moment d’inertie de la section idéale homogénéisée – Eb : module d’Young du béton 53

– – – – – – – – – – – – –

2.2

Ea : module d’Young de l’acier N : effort normal T : effort tranchant M : moment fléchissant b : largeur d’une section rectangulaire ou en T h : hauteur totale d’une section rectangulaire ou en T c : hauteur de l’enrobage en traction c0 : hauteur de l’enrobage en compression t : hauteur effective d’une section rectangulaire ou en T l : largeur de la dalle de compression dans une section en T s : épaisseur de la dalle de compression dans une section en T x : hauteur de la zone comprimée Rck : résistance cubique caractéristique du béton

Mod` ele de calcul

La théorie classique du béton armé est basée sur les hypothèses classique de la résistance des matériaux et de la mécanique des milieux continus, adaptées au contexte du b.a. Ces hypothèses sont : 1. hypothèse des petites perturbations (h.p.p.) ; 2. comportement élastique linéaire des deux matériaux ; 3. modèle de poutre à la Euler-Bernoulli ; 4. adhérence parfaite entre acier et béton ; 5. béton ne résistant pas à la traction. La première hypothèse nous place, avec la seconde, dans le contexte de la théorie linéaire de l’élasticité. La troisième hypothèse nous permet d’établir, comme nous verrons, un modèle de variation des déformations sur la section droite d’une poutre et, avec la deuxième hypothèse, un lien avec les contraintes. La quatrième et la cinquième hypothèse sont celles qui permettent de spécialiser la théorie classique des poutres élastiques au cas du b.a. En fait, une poutre en b.a. est composée par l’acier et le béton, ce qui donne déjà une particularité par rapport aux cas classiques : l’hétérogénéité. Il faut alors spécifier comment ces deux phases interagissent, et ceci est spécifié par l’hypothèse 4. Ensuite, il faut introduire la caractéristique fondamentale du béton, du point de vue de la résistance. E fait, le béton est un matériau qui a une très faible résistance a` la traction, et de surcroˆıt, cette résistance peut être très aléatoire, même a` l’intérieur d’une même membrure. Alors, le choix est fait de négliger complètement cette faible résistance, ce qui est a` avantage de la sécurité. C’est d’ailleurs celle-ci la raison qui a conduit a` l’invention du b.a. : si le béton est un 54

matériau qui ne résiste pas bien à la traction, l’idée est celle de mettre de l’acier, matériau, lui, très bien résistant a` la traction dans les zones o` u le béton est en traction. Alors, les contraintes de traction que le béton n’est pas en mesure de supporter, sont transférées a` l’acier, par le mécanisme de l’adhérence. La structure se présente donc comme un ensemble hétérogène, avec les deux phases qui sont chargées l’une, le béton, de faire face aux contraintes de compression, l’autre, l’acier, de prendre en charge les contraintes de traction. La théorie classique du b.a. est une construction théorique cohérent avec ces hypothèses, et donc elle n’est que l’adaptation de la théorie classique des poutres au cas o` u la poutre soit composée par deux matériaux, parfaitement adhérents, avec l’un d’eux qui n’est pas capable de résister a` la traction.

2.2.1

Mat´ eriaux

Il faut souligner que, par l’hypothèse 2, les deux matériaux ne sont pas censés avoir une phase post-élastique quelconque, par exemple, on exclue la possibilité que l’acier aie une phase plastique. En fait, dans cette théorie, il est implicitement admis que les deux matériaux soient sollicités de telle manière que la contrainte ne dépasse jamais leur limite élastique. Ceci, évidemment, est contrôlée en phase de calcul par les limites imposées sur les contraintes admissibles des matériaux. Les normes spécifiaient les caractéristiques des deux matériaux ; en particulier, l’acier pour les armatures doit appartenir a` une des catégories autorisées par la loi et mises dans le commerce. Au delà de ces catégories, qui peuvent varier dans le temps et d’un pays a` l’autre, comme ordre de grandeur les barres d’acier, toutes désormais a` haute adhérence, ont une contrainte admissible σa0 ∼ 2500 daN/cm2 .

(2.1)

En ce qui concerne le module d’Young, il ne change pas d’un acier a` l’autre et sa valeur reste Ea = 2100000 daN/cm2 . (2.2) Pour le béton, il faut comprendre que le béton est un matériau a` concevoir selon les besoins, et ses caractéristiques physiques peuvent varier considérablement. Du point de vue mécanique, ce qui nous intéresse sont sa résistance admissible et son module d’Young. Ces deux grandeurs peuvent être mises en relation avec ce qu’on appelle la résistance cubique caractéristique, que nous indiquerons ici par Rck , à savoir la résistance a` la compression mesurée, selon une procédure standardisée, sur des échantillons de forme cubique. Le Rck varie, pour les applications courantes, entre 200 et 500 daN/cm2 , une valeur de 300 daN/cm2 étant normale pour la plupart des cas. Pour avoir un ordre de grandeur, pour un tel béton la contrainte admissible à la compression est de l’ordre de 55

σb0 ∼ 100 daN/cm2 ,

(2.3)

et le module d’Young pour des actions rapides (de durée d’application courte) Eb ∼ 300000 daN/cm2 .

(2.4)

Celles-ci sont, grosso modo, les valeurs des contraintes admissibles et du module d’Young de l’acier et du béton ; de ces valeurs on a immédiatement l’idée que l’acier a des caractéristiques nettement meilleures que le béton, ce qui influencera beaucoup la géométrie des sections de b.a., en particulier la quantité d’acier, qui sera toujours nettement inférieure à celle du béton. Ceci aussi explique le succès du b.a. : l’acier, un matériau cher, est employé en quantité nettement moindre que le béton, un matériau beaucoup plus bon marché et de mise en oeuvre relativement facile.

2.2.2

Le coefficient d’homog´ en´ eisation

La condition d’adhérence parfaite entre acier et béton a une conséquence importante. En fait, si l’on considère un point de l’interface acier-béton, l’adhérence complète implique que la déformation dans le béton et dans l’acier doit être la même : σa σb = εb = εa = , (2.5) Eb Ea ce qui implique σa = n σ b (2.6) avec

Ea . (2.7) Eb Le coefficient n s’appelle coefficient d’homogénéisation, et il représente le rapport entre les modules d’Young de l’acier et du béton mais aussi, comme conséquence de l’adhérence parfaite, le rapport entre les contraintes normales pour deux particules adjacentes dans l’acier et dans le béton. Il permet donc de calculer la contrainte normale dans l’acier une fois connue celle dans le béton. Avec les valeurs des modules d’Young vues au paragraphe précédent, n ∼ 7. Néanmoins, les anciennes normes prenaient en compte une valeur légale de n = 15, et ceci pour prendre indirectement en compte le fait que le béton a en réalité un comportement visqueux. Etant donné que le module d’Young de l’acier est bien connu et fixe, prendre une valeur de n = 15 implique prendre une valeur du module d’Young pour le béton Eb = 140000 daN/cm2 , donc un matériaux environ deux fois moins rigide que la réalité. De cette manière, on peut calculer les déformations finales du béton, une fois la phase visqueuse terminée, de manière simple et plus ou moins correcte. n=

56

2.3 2.3.1

Compression simple Probl` eme de v´ erification

Considérons à présent le cas d’une poutre soumise a` effort normal simple de compression (c’est le cas des poteaux, par exemple). L’équilibre impose que l’effort normal N , appliqué a` la section droite de la poutre, soit équilibré par l’effort normal résistant interne, égal a` l’intégral surfacique des contraintes normales de compression sur la section entière, donc sur la section en béton, Ab , plus celle en acier, Aa . Ces deux quantités sont connues dans un problème de vérification. Comme, par hypothèse d’effort normal simple, la distribution des contraintes sur la section est uniforme, l’équilibre impose donc que N = σb Ab + σa Aa ,

(2.8)

N = σb Aid ,

(2.9)

Aid = Ab + n Aa ,

(2.10)

et par la (2.6) on a alors avec appelée aire de la section idéale, au sens de section homogénéisée. On voit dans la (2.10) que la section d’acier compte, dans le calcul, comme n fois celle de béton, comme conséquence de l’hypothèse de l’adhérence parfaite. De la (2.9) on tire la valeur de la contrainte normale dans le béton σb =

N Aid

(2.11)

et ensuite, en utilisant la (2.6), celle dans l’acier : σa = n σ b = n

N . Aid

(2.12)

L’aire idéale est l’aire d’une section homogénéisée, au béton, statiquement équivalente a` l’aire de la section hétérogène efficace. Pour que la section soit vérifiée, il faut évidemment contrôler que σb ≤ σb0 ,

(2.13)

tandis que le contrôle sur la contrainte de l’acier est inutile ; en fait, par la (2.6), on a que la contrainte dans l’acier est n fois, donc 15 fois, celle dans le béton. Or, avec les valeurs vues pour les contraintes admissibles dans le béton et dans l’acier, on voit bien que c’est pratiquement impossible d’obtenir la contrainte admissible dans l’acier, car la limitation sur la contrainte dans le béton est plus forte. Dit dans d’autres termes, c’est toujours le béton qui dimensionne a` la compression. 57

2.3.2

Probl` eme de conception

Dans ce cas, il faut déterminer Ab et Aa . Une possible approche, est de fixer le rapport Aa , (2.14) α= Ab qui varie, pour des situations normales, entre 0.005 et 0.05 (ce qui veut dire qu’en conditions courantes, dans une section en compression il n’y a que le 5% au maximum de la section géométrique qui est section d’acier, le reste est constitué de béton ; on voit donc que la quantité d’acier dans les poteaux est, d’habitude, très faible). Alors Aid = Ab (1 + n α) . (2.15) D’ailleurs, pour un évident critère d’économie, en phase de conception on calcule la section pour travailler à son taux maximum de contrainte, c’est à dire qu’on prévoit de faire monter la contrainte jusqu’à la contrainte admissible : Aid =

N , σb0

(2.16)

et donc de la (2.15) et (2.16) on tire Ab =

σb0

N , (1 + n α)

(2.17)

σb0

αN . (1 + n α)

(2.18)

et par la (2.14) Aa =

Les formules ci-dessus ne donnent que les valeurs des aires Ab et Aa , mais ne disent rien sur leur géométrie ni sur leur disposition mutuelle. Les normes spécifient en tout cas des valeurs inférieures des Aa , pour éviter des sections trop faiblement armées, ce qui pourrait arriver en cas de faibles sollicitations. Certaines règles de bonne réalisation doivent aussi être suivies, les normes les spécifient. Sans entrer dans le détail des normes, voyons ici quelques règles pratiques à suivre. D’abord, les barres doivent être noyées a` l’intérieur de la section de béton, pour deux raisons fondamentales : d’abord, parce que l’hypothèse fondamentale de fonctionnement mécanique d’une section en b.a. est l’adhérence entre l’acier et le béton. Donc, cette adhérence doit pouvoir se réaliser, exister. Pour cela, c’est nécessaire que chaque barre d’acier soit complètement enrobée de bétons. Ceci impose d’abord une épaisseur d’enrobage, a` savoir une distance minimale entre la surface extérieure de la membrure et la surface de chaque barre. De manière générale, et comme ordre de grandeur, il faut que l’enrobage soit d’au moins 2 cm, pouvant descendre a` 1 cm dans des cas particuliers, comme les dalles. 58

L’autre raison pour laquelle l’enrobage est absolument indispensable, est la protection des barres d’acier contre l’oxydation. Cette protection est justement assurée par le béton d’enrobage : si l’eau entre dans la section, véhiculée par des micro-fissures qui sont souvent présentes dans le béton pour différentes raisons, et arrive a` contact avec les barres d’armature, l’oxydation de celles-ci commence et a comme effet une augmentation très importante du volume de l’acier oxydé. Ceci porte, par effet mécanique, à la rupture progressive de l’enrobage, avec donc création de voies d’eau plus importantes, qui ne font qu’augmenter le processus d’oxydation de l’acier. Bref, c’est tout un phénomène d’oxydation de plus en plus rapide qui se met en place, avec comme effet final la progressive et importante disparition de la section résistante d’acier, ce qui est évidemment intolérable pour la sécurité de la structure. La seule solution est d’assurer un bon enrobage aux barres ; en milieux très oxydant, par exemple en bord de mer, il est conseillé d’augmenter l’épaisseur de l’enrobage. Ensuite, la disposition des barres d’armature doit suivre d’autres règles : d’abord, pour chaque coin de la section il faut disposer au moins une barre longitudinale ; ensuite, si plusieurs barres sont placées adjacentes, il faut toujours assurer, dans ce cas aussi, l’adhérence acier–béton. C’est pour ¸ca que les barres longitudinales ne sont jamais placées a` contact direct, mais espacées d’une certaine quantité, normalement de l’ordre du diamètre de la barre, mais en tout cas d’une quantité supérieure a` la dimension maximale prévue pour l’agrégat (gravier) utilisé pour faire le béton, de sorte a` pouvoir couler le béton partout autour de la cage d’armature. Les barres longitudinales ne peuvent pas être disposées seules dans la membrure. Il faut toujours réaliser une cage d’armature, en liant les barres avec des cadres, disposés en sens transversale à la poutre, dans le plan de la section. La cage d’armature peut donc ainsi être préparée a` pied d’oeuvre et ensuite être soulevée et mise en place dans les coffrages. Elle sert aussi a` tenir en place les barres durant l’opération de coulage du béton. Finalement, les cadres, dans le cas des poteaux comprimés, ont aussi une autre fonction, de type mécanique : ils doivent empêcher le flambage des barres longitudinales. En fait, celles-ci sont des tiges très élancées sollicitées a` la compression, donc soumises au phénomène du flambage. Si celui-ci ne peut pas se produire vers l’intérieur du poteau, par la présence du béton, elle peut quand même se produire vers l’extérieur, par expulsion explosive du béton d’enrobage. Le flambement des barres longitudinales est un phénomène très dangereux, capable de produire la ruine instantanée de la structure. Pour l’éviter, il faut réduire la longueur libre d’inflexion des barres d’armature. Les cadres assurent cette fonction : ils réduisent la longueur de flambage des barres a` tel point que le flambage de celles-ci ne peut plus se produire. Dans la disposition des cadres il faut suivre au moins trois critères : 59

1. chaque cadre doit retenir les barres longitudinales par traction sur le même cadre : il faut donc disposer les barres longitudinales dans les angles des cadres, ou sinon ajouter un crochet transversal supplémentaire, Fig. 2.1 ; 2. l’espacement des cadres doit être inférieur a` une valeur maximale, imposée par les normes en fonction du diamètre des barres longitudinales et de la géométrie de la section ; pour avoir un ordre de grandeur, l’espacement ne doit pas dépasser 40 cm ou 15 fois le diamètre minimum des barres longitudinales, Fig. 2.1 ; 3. l’ancrage des cadres doit être efficace, par exemple en pliant vers l’intérieur les extrémités des cadres, Fig. 1.39 et 2.1.

Figure 2.1: Dispositions possibles des cadres et crochets dans un poteau.

2.4

Traction simple

Dans le cas d’un poutre en traction pure, selon l’hypothèse fondamentale de béton non résistant à la traction, la seule section efficace est celles de l’acier,e t donc a` Aa est confié tout l’effort de traction N . Par conséquent, il faudra vérifier que ce soit N (2.19) σa = ≤ σa0 , Aa 60

tandis qu’en phase de projet on calculera l’aire minimale des barres d’acier comme Aamin =

2.5 2.5.1

N . σa0

(2.20)

Flexion simple Mod` ele de calcul : la poutre d’Euler-Bernoulli

Le modèle cinématique de poutre en flexion adopté dans la théorie classique du b.a. est celui de poutre à la Euler-Bernoulli. L’hypothèse fondamentale de ce modèle est que chaque section droite de la poutre reste, dans la déformation de la poutre, droite et orthogonale à la ligne d’axe déformée de la poutre. La conséquence fondamentale d’une telle hypothèse est que la distribution des déformations normales εzz a` la section droite est linéaire, Fig. 2.2.

Figure 2.2: Poutre à la Euler-Bernoulli : distribution des déformations et contraintes normales.

Alors, par l’hypothèse de comportement élastique linéaire du matériau, même la distribution des contraintes normales σzz est linéaire. Ceci a comme conséquence l’existence d’une corde par le barycentre de la section, l’axe neutre, qui divise la section en deux parties, une en compression et l’autre en traction, et le fait que les contraintes maximales sont atteintes aux extrémités supérieure et inférieure de la section (et elles sont égales en valeur absolue si la section est symétrique par rapport a` l’axe neutre). Celle-ci est la situation caractéristique des poutres métalliques, qui ont la caractéristique d’avoir une égale rigidité et résistance à la traction et a` la compression. Voyons par contre comment cette situation doit être modifiée dans le cas des poutres en b.a. 61

2.5.2

Probl` eme de v´ erification

Section rectangulaire Considérons d’abord le cas d’une section rectangulaire, plus simple et très important dans les constructions en b.a. Comme déjà dit, le béton n’est pas capable de faire face a` des contraintes de traction, qui sont donc absorbées par les barres d’acier. Par contre, celles-ci ne sont pas uniformément distribuées sur la section, mais concentrées normalement ers l’extrémité de la section, là o` u nous savons avoir lieu les contraintes de valeur extrême, et elles une influence n fois supérieure a` celle du béton. Les barres d’acier sont donc placées dans la partie en traction de la section (et son emplacement dépend essentiellement de la distribution du moment fléchissant), et elles vont absorber l’entier effort de traction engendré dans la section par le moment fléchissant. Suite a` l’hypothèse que le béton ne résiste pas a` la traction, la section est divisée en deux parties : une formée par le béton en compression, l’autre, qui ne peut pas être formée par le béton en traction, et formée simplement par les barres d’acier, soumise à la traction. Le concept mécanique essentiel pour l’équilibre de la section est que la résultante Fc des toutes les contraintes de compression agissantes sur la béton comprimé doit être égale et contraire à la résultante Ft des tractions dans les barres d’acier, de sorte a` former ainsi un couple interne qui équilibre le couple externe qui sollicite la section. La situation est donc celle de Fig. 2.3, o` u l’on a symboliquement indiqué aussi les deux résultantes Fc et Ft .

b

σb

x

h t c

x

Fc

Ft

Αa

σa/n

y

Figure 2.3: Section rectangulaire en b.a. soumise a` la flexion : schéma de calcul. Dans un problème de vérification, la géométrie de la section est connue ; donc les quantités b, h, c, t = h − c et Aa en Fig. 2.3 sont connues, outre au moment fléchissant M . Il faut calculer la contrainte maximale dans le béton, σb , et dans les 62

barres, σa . Pour cela, il faut d’abord connaˆıtre la géométrie de la section efficace, donc il faut calculer la position de l’axe neutre, a` savoir l’hauteur x de la zone comprimée : les inconnues du problème sont donc trois. On peut les trouver de deux manières différentes et équivalentes. Nous voyons ici une première méthode, tandis que l’autre, plus générale, est présentée au paragraphe suivant, pour une section de forme quelconque. D’abord, la linéarité du diagramme de la contrainte normale σzz nous permet d’exprimer σa en fonction de σb : σa = n σ b

t−x x

(2.21)

Pour déterminer alors les deux inconnues qui restent, x et σb , il nous faut deux équations : l’équilibre de la section à la translation selon l’axe de la poutre et l’équilibre a` la rotation de la section. Voyons la première équation : étant donné que l’effort normal N appliqué a` la section est nul, car nous sommes en cas de flexion simple, la résultante des contraintes normales sur la section doit être nulle (voire, il faut que Fc = Ft ) : σb x b − σa Aa = 0. 2

(2.22)

L’équilibre a` la rotation autour de Aa impose que le moment résultant interne doit être égal au moment externe, le moment fléchissant M appliqué a` la section : x σb x b t− = M. 2 3

(2.23)

Si l’on remplace la (2.21) dans la (2.22) on obtient l’équation qui permet de calculer la position de l’axe neutre x : b x2 + 2n Aa x − 2n t Aa = 0.

(2.24)

On remarque que x ne dépend ni de σb , ni de M , mais seulement des caractéristiques géométriques de la section homogénéisée ; nous verrons pourquoi au prochain paragraphe. Finalement, x est la seule solution positive d’une équation de deuxième degré :   s 2bt  Aa  −1 + 1 + . (2.25) x=n b nAa L’équation d’équilibre à la rotation, la (2.23), permet ensuite de calculer σb : σb =

6M , bx (3t − x) 63

(2.26)

et finalement, par la (2.21), on calcule σa : σa = n σ b

t−x t−x = 6nM 2 . x bx (3t − x)

(2.27)

La vérification consiste, évidemment, a` contrôler que σa ≤ σa0 , σb ≤ σb0 .

(2.28)

Il faut dire que normalement, si une section est bien calculée, c’est toujours la vérification côté acier qui est la plus critique, contrairement à ce qui se passe pour les poteaux en compression. En fait, l’objectif est toujours celui d’employer le moins d’acier possible, pour des raisons économiques. C’est donc l’acier qui normalement se trouve a` être le plus sollicité. Dans d’autres termes, dans une poutre en b.a. sollicitée en flexion, la crise se produit côté acier.

b

σb

Α'a h

c’

σ’a/n

x

t c

x

Αa

σa/n

y

Figure 2.4: Section rectangulaire en b.a. a` armature double soumise à la flexion : schéma de calcul.

Souvent, pour différentes raisons, la section est armée par des barres en compression aussi, dont l’aire est A0a , Fig.2.4. Dans ce cas la seule chose qui change aux équations ci-dessus est la présence de l’armature en compression. A l’équation (2.21) il faut ajouter aussi celle qui exprime σa0 , la contrainte dans les barres en compression, en fonction de σb : σa0 = n σb

x − c0 , x

(2.29)

tandis que les (2.22) et (2.23) deviennent respectivement σb x b + σa0 A0a − σa Aa = 0 2 64

(2.30)

et σa0 A0a (t − c0 ) +

σb x x b t− = M, 2 3

(2.31)

ce qui donne x=

−n (Aa +

σb =

A0a )

+

6n (x −

q

n2 (Aa + A0a )2 + 2nb (Aa t + A0a c0 ) , b

c0 ) (t

6M x , − c0 ) A0a + bx2 (3t − x)

(2.32)

(2.33)

et par les (2.21) et (2.29) on récupre la valeur de σa et σa0 respectivement. La vérification consiste encore à contrôler que σa ≤ σa0 , σa0 ≤ σa0 , σb ≤ σb0 .

(2.34)

Section de forme quelconque Une autre méthode pour arriver au même résultat, que nous allons voir ici pour une section de forme quelconque, est celle qui se base sur le fait que l’axe neutre passe par le barycentre de la section efficace, composée par le béton en compression et par les barres d’acier homogénéisée au béton. En fait, nous avons vu plus haut que la section d’acier peut être remplacée par une section équivalente de béton, obtenue en la multipliant par n. A ce point, la section est homogène, et de béton. Un résultat général, valable pour toute section homogène, soumise a` la flexion dans les hypothèses classiques du paragraphe 2.2, est que l’axe neutre passe par le barycentre de la section. D’ailleurs, nous pouvons facilement démontrer ce résultat directement sur une section de forme quelconque en b.a., Fig. 2.5. L’équation d’équilibre a` la translation selon l’axe longitudinale z stipule que la résultante des contraintes normales σzz est nulle : Z Z σb (y)dA + σa (y)dA = 0. (2.35) Ab

Aa

D’ailleurs, par la linéarité des contraintes, si σb1 est la contrainte dans le béton a` une distance unitaire de l’axe neutre, alors la contrainte dans le béton et dans l’acier à la distance y de l’axe neutre sont respectivement σb (y) = σb1 y

(2.36)

σa (y) = nσb1 y.

(2.37)

et

65

σb x t x

Αa σa/n y

Figure 2.5: Section de forme quelconque en b.a. soumise a` la flexion : schéma de calcul.

En rempla¸cant ces deux dernières conditions dans la (2.35) et par le fait que σb1 6= 0, on obtient la condition Z

y dA + n

Z

y dA = 0,

(2.38)

Aa

Ab

et cette équation détermine la position de l’axe neutre, car le premier membre représente le moment statique de la section efficace, et le moment statique est nul seulement lorsqu’il est calculé par rapport à une droite qui passe par le barycentre. Souvent, en considérant que les barres ont une dimension transversale petite par rapport a` celle de la poutre, on utilise l’équation approximée Z Ab

y dA + n

m X

yk Ak = 0,

(2.39)

k=1

o` u yk et Ak sont respectivement la position et l’aire du niveau k des barres, m le nombre total de niveaux de barres. Il est simple de vérifier que cette équation appliquée a` une section rectangulaire en armature simple donne la (2.24), tandis qu’en armature double amène à la (2.32). Le calcul d’une section quelconque se poursuit ensuite de la même manière : on utilise l’équation d’équilibre à la rotation autour de l’axe neutre, avec la linéarité des contraintes, pour calculer σb : " # m X σb Z x 2 2 y b(y) dy + n yk Ak = M. x 0 k=1

66

(2.40)

Le terme entre crochets dans la (2.40) représente le moment d’inertie idéal Jid , a` savoir le moment d’inertie autour de l’axe neutre de la section efficace, homogénéisée au béton ; b(y) est la largeur de la corde de la section a` la distance y de l’axe neutre. Donc, on peut finalement écrire que σb =

M x , Jid

(2.41)

qui est la bien connue formule de Navier pour le calcul des contraintes normales engendrée par la flexion. Ce résultat était a` prévoir, car le modèle classique du b.a. prends les mêmes hypothèses de la théorie classique de la flexion des poutres. La contrainte dans les barres peut être calculée encore en utilisant la (2.21). La (2.40) donne aussi une méthode de calcul numérique du moment d’inertie idéal Jid : la section peut être découpée en un grand nombre de petites bandelettes parallèles, ce qui permet de calculer numériquement Jid . Section en T Dans la technologie du b.a., la section en forme de T est très employée ; en fait, elle s’obtient tout naturellement dans la mise en oeuvre des planchers préfabriqués et des poutres, Fig. 1.28. Cette forme de la section est particulièrement avantageuse, du point de vue mécanique, parce qu’elle permet d’un côté de disposer d’une vaste section en compression et de l’autre côté d’augmenter le bras de levier interne, ce qui augmente le moment résistant. Les normes spécifient la manière dont il faut calculer la largeur de la dalle (table de compression) qui collabore avec la nervure, largeur que nous allons appeler l, tandis que son épaisseur sera indiqué par s, Fig. 2.6. Deux cas sont possibles : 1. l’axe neutre coupe la dalle de compression, à savoir x ≤ s ; la section efficace est alors une section rectangulaire de largeur l ; 2. l’axe neutre coupe la nervure, x > s ; la section efficace est une vraie section en T. D’ailleurs, il n’est pas possible de savoir, sans passer par le calcul, si l’on est dans le premier ou deuxième cas. Il faut donc faire une tentative en calculant x pour le premier cas, donc en utilisant la (2.25) si l’on est en armature simple, la (2.32) si on a une double armature. Si le résultat confirme que x ≤ s, on poursuit le calcul avec la section rectangulaire de largeur l, autrement on passe au calcul de la vraie section en T. Pour ce calcul, il vaut mieux utiliser l’approche générale indiquée au paragraphe précédent ; le moment statique nul donne l’équation s bx2 + s (l − b) x − − nAa (t − x) = 0, 2 2

67

(2.42)

l s

σb

x t x

Αa

σa/n

b y

Figure 2.6: Section en forme de T en b.a. soumise à la flexion : schéma de calcul.

d’o` u la valeur de x :

x=

− [(l − b) s + nAa ] +

q

[(l − b) s + nAa ]2 + 4b [(l − b) s2 + 2nAa t] . b

(2.43)

Ensuite, on peut calculer la contrainte σb en utilisant la formule de Navier (2.41), avec bx3 (l − b) s3 s 2 Jid = + + ls x − + nAa (t − x)2 , (2.44) 3 12 2 et la σa par la (2.21). Dans tous les cas, les contrôles a` effectuer sont toujours les (2.28). Il est ensuite facile de modifier les formules ci-dessus aux cas o` u l’armature de la section se dispose a` plusieurs niveaux, et donc aussi en compression. Deux remarques finales : la première, est que la démarche vue est valable non seulement pour les sections en T, mais aussi pour celles en Γ. La deuxième, est que la forme en T, ou en Γ, est réellement telle si la dalle de compression est en compression. Mais si une poutre a une section en T et elle est encastrée aux extrémités, comme c’est presque toujours le cas dans la technologie du b.a., alors près des encastrements, o` u le moment fléchissant est inversé et prends les valeurs les plus fortes, la partie comprimée de la section est celle en bas. Dans ce cas, la section efficace est une section rectangulaire de largeur b, non pas l. Donc, là o` u le moment fléchissant est le plus important et il faudrait une section en T, la section n’est pas en T, mais rectangulaire : c’est un inévitable inconvénient des poutres en T ! 68

2.5.3


Considérons le cas d’une section rectangulaire en armature simple. Dans un problème de conception, M , σb0 et σa0 sont connus et il faut calculer Aa , b et t. Les équations sont toujours les (2.21), (2.22) et (2.23), dans lesquelles il faut remplacer σb par σb0 et σa par σa0 . Comme x est encore une inconnue, il nous manque une équation, et il faut donc fixer une des inconnues. Normalement, on fixe la largeur b de la section. De la (2.21) on tire alors la valeur de x en fonction de t : x=

n σb0 t ; σa0 + nσb0

(2.45)

en injectant ce résultat dans la (2.23) on a alors la valeur de t : σ 0 + nσb0 t= a n σb0

s

6nM , b (3σa0 + 2nσb0 )

(2.46)

et finalement, en utilisant ces deux derniers résultats dans la (2.22) on obtient σ0 Aa = b0 2σa

s

6nM b . + 2nσb0

3σa0

(2.47)

Toutefois, on peut faire des considérations supplémentaires : si l’on calcule le bras de levier d du couple interne on a, par les (2.45) et (2.46), d=t−

3σ 0 + 2nσb0 x t. = a0 3 3σa + 3nσb0

(2.48)

Or, avec les valeurs communes de σb0 et σa0 , on trouve d ∼ 0.9 t;

(2.49)

si, comme souvent c’est le cas, h, et donc t, est déjà connu comme b, il ne reste qu’à déterminer Aa ; alors, en imposant l’équilibre a` la rotation, on a simplement M = σa0 Aa d ' 0.9 σa0 Aa t,

(2.50)

ce qui donne M . (2.51) 0.9 σa0 t Cette démarche donne presque toujours de bonnes valeurs de Aa , et elle peut être utilisée, avec une bonne approximation, aussi pour des sections d’autre forme, comme les sections en T par exemple ; il faut ensuite vérifier que ce soit aussi σb ≤ σb0 . Aa =

69

2.6

Flexion compos´ ee d’une section rectangulaire

Dans les charpentes en b.a., les poteaux sont pratiquement toujours soumis a` une sollicitation composée de flexion et compression. Nous allons considérer ce cas de flexion composée, en cas de section rectangulaire, qui est la section de plus grand emploi dans les constructions. Les principes de calcul peuvent être appliqués facilement aussi à d’autres sections, notamment a` la circulaire.

2.6.1

Probl` eme de v´ erification

Les données du problème sont M , le moment fléchissant, N , l’effort normal de compression, et les dimensions géométriques de la section, que nous considérons ici dans le cas d’armature double, Fig. 2.7.

_.='---' r{î L,-,.

6x

.È

n-r( + \ 7

*h, lrtz

- âr-

-

À

Figure 2.7: Section rectangulaire soumise à flexion composée : schéma de calcul. En considérant la section homogénéisée au béton, il faut distinguer deux cas possibles : 1. toute la section idéale est soumise a` des contraintes de compression ; 2. une partie de la section idéale est soumise à des contraintes de traction. La section idéale, d’aire

-ÂJ

Aid = bh + n (Aa + A0a ) , (2.52) Aq, est ici toute la section géométrique, avec- l’acier homogénéisé au béton. Alors, le premier cas se produit si l’excentricité e=

t

M N

70

(2.53)

est telle que − w1 ≤ e ≤ w2 ,

(2.54)

o` u w1 et w2 sont les dimensions du noyau central d’inertie de la section idéale, Fig. 2.7 : ρ2 wi = id , (2.55) yi avec ρid le rayon d’inertie de la section idéale : s

ρid =

Jid . Aid

(2.56)

Le barycentre Cid de la section idéale a une ordonnée yid donnée encore par la _.='---' .È condition de moment statique nul autour d’une droite passante par Cid : *h, r{î ! ! L,-,. h h b h yid − nA0a − yid − c0 + nAa + yid − c = 0; (2.57) 2 6x \2

n-r( + 7

lrtz

finalement, le moment d’inertie de eale autour d’une droite horizontale âr-la section id´ par Cid est À 3

bh h 2 Jid = + b h yid − yid − c0 + nA0a 12 2

!2

+ nAa

h + yid − c 2

!2

.

(2.58)

-ÂJ

-

Aq,

Figure 2.8: Section rectangulaire soumise a` flexion composée avec centre de pression interne au noyau central d’inertie.

t

Si la (2.54) est satisfaite, le centre de pression tombe à l’intérieur du noyau central d’inertie de la section idéale, qui est alors entièrement en compression, Fig. 71

_.='---' r{î L,-,.

6x

.È

*h,

n-r( + \ 7

-

lrtz

- âr-

À de la mani` 2.8. Les contraintes se calculent alors ere connue pour toute section homogène : ! M h N + − yid , (2.59) σb = Aid Jid 2

"

σa0

N M =n + Aid Jid "

N M σa = n − Aid Jid

-ÂJ

!#

h − yid − c0 2

,

(2.60)

.

(2.61)

!#

h + yid − c 2

Dans le deuxième cas, la (2.54) n’est pas vérifiée, et la section efficace n’est pas l’entière section géométrique, car il y a des contraintes de traction qui apparaissent. Considérons le schéma de calcul de Fig. 2.9, o` u Cp est le centre de pression, distant p de l’extrados de la section (p < 0 si Cp est interne à la section) : - Aq, h ! − yc . (2.62) p=e− 2

t

Figure 2.9: Section rectangulaire soumise a` flexion composée avec centre de pression externe au noyau central d’inertie. En écrivant l’équilibre a` la rotation autour de Cp , de sorte à faire disparaˆıtre N du calcul, on obtient σb bx x p+ + A0a σa0 (p + c0 ) − Aa σa (p + t) = 0; 2 3

72

(2.63)

d’ailleurs, par la linéarité des contraintes sur la section, on a encore les (2.21) et (2.29), qui insérées dans la (2.63), permettent d’aboutir a` une équation cubique en x : bx3 + 3bpx2 + 6nx [A0a (p + c0 ) + Aa (p + t)] − 6n [A0a c0 (p + c0 ) + Aa t (p + t)] = 0 (2.64) Cette équation a une seule variation de signe et donc une seule racine réelle positive, que normalement on trouve numériquement, par exemple a` l’aide d’une méthode de dichotomie. Une fois x connue, on calcule σb en imposant encore l’équilibre à la rotation, mais cette fois par rapport a` un autre point. Le meilleur choix, est celui de prendre le point de A0a ou Aa , de sorte a` éliminer du calcul σa0 ou σa ; par exemple, en choisissant Aa , on obtient l’équation x σb bx t− + A0a σa0 (t − c0 ) = N (t + p) , 2 3

(2.65)

par laquelle, une fois qu’on y a injecté la (2.29), on obtient σb =

N (p + t) bx 2

t−

x 3

0

(t − c0 ) + nA0a x−c x

.

(2.66)

Finalement, une fois x et σb connues, on calcule σa et σa0 par le biais des (2.21) et (2.29) et on vérifie encore les conditions (2.34).

2.6.2


Les paramètres a` déterminer sont quatre : b, t, Aa et A0a ; en plus, même x est inconnu. Les équations dont on dispose sont trois, les mêmes que dans le cas de la flexion : équilibre a` la translation, a` la rotation et linéarité des contraintes, (2.21). Il faut donc fixer deux variables et déterminer les deux autres. Les cas possibles sont plusieurs, mais le plus important est celui o` u il faut concevoir Aa et A0a , tandis que b et t sont connues. Pour déterminer Aa , on écrit l’équilibre à la rotation autour de A0a ; tout calcul fait, en utilisant le schéma de la Fig. 2.9, on obtient Aa =

6N (p + c0 ) + σb0 b x(x − 3c0 ) ; 6σa0 (t − c0 )

(2.67)

pour déterminer A0a , on fait la même chose, mais autour de Aa : A0a =

6N (p + t) − σb0 b x(3t − x) . 6σa0 (t − c0 ) 73

(2.68)

Dans les (2.67) et (2.68), la valeur de x est celle donnée, en fonction de t, par la (2.21). Si A0a < 0, cela signifie que les valeurs de b et t ne sont pas compatibles avec les valeurs de M et N , a` savoir que la section est sous-dimensionnée. Pour les autres cas, on procède de manière analogue.

2.7

Effort tranchant

L’effort tranchant T produit des contraintes tangentielles dans le béton τb = σyz . Au niveau de l’axe neutre, les contraintes normales dans le béton sont nulles, donc la matière est soumise seulement au cisaillement pur τb , qui fait naˆıtre des contraintes principales de compression et de traction inclinées a` 45◦ sur l’axe z, voir le cercle de Mohr en Fig. 2.10. C’est justement la présence de ces contraintes principales de traction qui rend nécessaire une armature à l’effort tranchant, car encore une fois le béton ne peut pas résister a` la traction.

τ

τb

σΙΙ

45°

0

σΙ

σ

Figure 2.10: Le cercle de Mohr pour un état de cisaillement pur.

2.7.1

Calcul des contraintes tangentielles

Cherchons d’abord une formule pour calculer la contrainte tangentielle maximale dans le béton, τb . Dans les hypothèses prises, voir paragraphe 2.2, le résultat classique est qu’on peut calculer, pour une section rectangulaire homogène, la 74

contrainte tangentielle par la formule de Jourawski, qui appliquée donc a` la section efficace idéale, à savoir homogénéisée au béton, de Fig. 2.11, donne

Figure 2.11: Schéma de calcul des contraintes tangentielles pour une section rectangulaire en armature simple.

τb =

T Sid , b Jid

(2.69)

avec Sid le moment statique de la partie de béton comprimé et Jid le moment d’inertie de la section efficace, calculés par rapport a` l’axe neutre. Pour la section rectangulaire en armature simple on a bx2 , 2

(2.70)

bx3 + nAa (t − x)2 . 3

(2.71)

Sid =

Jid =

D’ailleurs, la position x de l’axe neutre est donnée par la (2.39), qui écrite pour la section de Fig. 2.11 donne bx2 bx2 − nAa (t − x) = 0 → (t − x) − nAa (t − x)2 = 0, 2 2

(2.72)

et en injectant ce résultat dans la (2.71) on obtient bx3 bx2 bx2 x + (t − x) = t− , 3 2 2 3

Jid =

75

(2.73)

ce qui donne finalement, voir la (2.49), T T ' τb = . x 0.9 b t b t− 3

(2.74)

La variation de la contrainte τb sur la section de b.a. est représentée en Fig. 2.12. En fait, dans la partie de béton comprimé, la contrainte augmente, de manière parabolique pour une section rectangulaire, jusqu’à l’axe neutre. En bas de celuici, elle ne peut plus augmenter, car le moment statique Sid ne peut pas changer, car le béton en traction ne fait pas partie de la section efficace idéale. Le moment statique, par contre, s’annule soudainement en correspondance des barres d’acier, car elles ramènent Sid a` zéro. On voit donc que dans ce modèle, il y a toute une zone de béton, comprise entre l’axe neutre et les barres d’armature, soumise à la contrainte de cisaillement maximale, τb , mais pas a` des contraintes normales, car celles-ci, étant de traction, ne peuvent pas être prises en charge par le béton. La situation des contraintes de la Fig. 2.10 est donc celle de tous les points entre l’axe neutre et les barres d’acier. La contrainte τb ainsi calculée est normalement comparée avec deux valeurs limites, une inférieure, τbinf , et une supérieure, τbsup , qui dépendent du type de béton, a` savoir de Rck ; si τ ≤ τbinf alors la contrainte tangentielle dans le béton, et les contraintes normales principales qui en découlent, sont si petites que le béton est capable de les supporter sans besoin d’armature transversale ; toutefois, les normes spécifient un minimum d’armature a` mettre même dans ce cas (p. ex. 3 cadres/m). Si τbinf < τ ≤ τbsup , il est nécessaire de procéder au calcul de l’armature transversale, si finalement τ > τbsup , la section est trop sollicité à l’effort tranchant et il faut la dimensionner a` nouveau, en particulier il faut augmenter b et/ou t. Comme ordre de grandeur, pour un Rck = 300 daN/cm2 , on a τbinf ' 6 daN/cm2 et τbsup ' 10 daN/cm2 .

2.7.2

Mod` ele de calcul des armatures : le treillis de M¨ orsch

Le calcul de l’armature transversale, pour l’effort tranchant, se fait sur un modèle de comportement a` la rupture, le treillis de Mörsch. D’abord, l’armature transversale peut être de deux types : cadres verticaux, obligatoires en toute circonstance, et barres pliées, facultatives. Le modèle du treillis de Mörsch, considère que, a` la suite des contraintes principales de traction provoquées par l’effort tranchant, le béton se fissure le long des lignes isostatiques de compression, orthogonales à celles de traction. Nous avons vu que ces lignes isostatiques, parallèles aux contraintes principales, sont inclinées a` 45◦ sur l’axe horizontal z. Par conséquent, à la suite de l’apparition des fissures dues a` l’effort tranchant, le béton se trouve comprimé selon les isostatiques de compression, qui forment 76

comme des faisceaux, des bielles de matière comprimée. L’équilibre peut être trouvé si l’on forme un treillis, o` u les barres tendus sont les barres d’armature. Ces barres d’armature, donc, doivent suivre les directions des isostatiques de traction, à savoir elles doivent être inclinées a` 45◦ sur l’axe z et orthogonales aux isostatiques de compression. Le schéma du treillis est complété en haut par la partie de la section de béton en compression, qui représente la membrure supérieure en compression du treillis, et en bas par les barres tendues d’acier, qui représentent la membrure inférieure, en traction, du treillis, Fig. 2.12. Les barres pliées a` 45◦ sont souvent de facile utilisation dans les poutres en b.a. : elles sont les barres utilisées a` la flexion a` mi-portée de la poutre, qui ne sont plus nécessaires vers les appuis, o` u le moment fléchissant diminue ou change de signe si la poutre est encastrée. Alors on les plie a` 45◦ et on les remonte vers les appuis, o` u, en cas de poutre encastrée aux extrémités, vont être utilisées pour la flexion aux encastrements, Fig. 2.12.

Figure 2.12: Treillis de Mörsch pour le cas d’une poutre encastrée : schéma de calcul des barres pliées.

De cette manière, la même barre est utilisée trois fois, de manières différentes, dans la même poutre, avec l’avantage d’avoir un ancrage optimal. Les barres pliées qui se trouvent entre les sections z1 et z2 doivent absorber un effort total égal a` S=

Z z2 z1

b τb dz.

(2.75)

D’ailleurs, par la (2.48) et la (2.69) on a aussi 1 Z z2 S= T dz, d z1 et comme, par l’hypothèse de poutre à la Euler-Bernoulli, il est 77

(2.76)

dM → T dz = dM, dz

(2.77)

M (z2 ) − M (z1 ) 1 Z z2 dM = . d z1 d

(2.78)

T = on a finalement S=

Figure 2.13: Treillis de Mörsch pour le cas d’une poutre encastrée : schéma de calcul des cadres. Dans le schéma du treillis de Mörsch cet effort, horizontal, est équilibré par les barres pliées, tendues, et par les bielles de béton, comprimées, Fig. 2.12. Par conséquent, l’effort total Sp dans les barres pliées entre z1 et z2 est M (z2 ) − M (z1 ) S √ ; Sp = √ = 2 d 2

(2.79)

l’aire de la section des barres d’acier nécessaire a` réaliser les barres pliées est donc Ap =

Sp M (z2 ) − M (z1 ) M (z2 ) − M (z1 ) √ √ = ' . 0 0 σa σa d 2 0.9 2 σa0 t

(2.80)

Pour le calcul des cadres, le schéma est similaire, voir la Fig. 2.13 ; on obtient alors, pour l’effort Sc dans les cadres, Sc = S =

M (z2 ) − M (z1 ) ; d

(2.81)

on voit donc que les cadres verticaux sont moins efficaces que les barres pliées à 45◦ . L’aire Ac de la section des cadres nécessaire à réaliser les cadres a` placer entre 78

les sections z1 et z2 sera donc Ac =

M (z2 ) − M (z1 ) M (z2 ) − M (z1 ) Sc = ' . 0 0 σa σa d 0.9 σa0 t

(2.82)

Les aires d’acier des barres pliées et des cadres doivent ensuite être convenablement distribuées entre z1 et z2 . Pour faire ¸ca, d’abord on divise S en deux parties complémentaires M (z2 ) − M (z1 ) S= = Sp + Sc . (2.83) d Donc, on calcule Ap et Ac pour Sp et Sc respectivement, et non pas pour l’entier S. Toutefois, si l’on peut choisir Sp = 0, a` savoir de ne pas utiliser des barres pliées, il n’est pas possible de poser Sc = 0 : une valeur, soit-elle minimale, de S doit être confiée aux cadres, qui sont obligatoires. Grosso modo, comme valeur de référence et de bonne conduite, il est bien d’attribuer au moins la moitié de S aux cadres, a` savoir Scmin ' 0.5 S. (2.84) Une fois établi le diamètre φc des cadres a` mettre entre z1 et z2 , leur nombre nc sera donné par 4 Ac , (2.85) nc = ν π φ2c o` u ν est le nombre de bras d’un cadre (le plus souvent ν = 2). Ensuite, on dispose les cadre à intervalles réguliers. Dans ce faire, il vaut mieux observer des règles pratiques de bonne réalisation : par exemple, la distance mutuelle ne doit pas être inférieure a` 5 cm et supérieure a` t/2. Pour ce qui concerne les barres pliées, normalement leur diamètre φp est celui des barres de flexion ; le nombre np de barres a` plier sera donc np =

4 Ap . π φ2p

(2.86)

Si np est supérieur au nombre de barres en flexion qu’on peut plier, il vaut mieux, plutôt qu’ajouter d’autres barres pliées, réduire la valeur de Ap , à savoir il vaut mieux utiliser plus de cadres. La distribution des barres pliées utilisées en flexion doit d’abord satisfaire le diagramme des moments résistants, voir paragraphe 2.8, car il est impératif de ne pas soustraire de l’armature a` la flexion là o` u elle est nécessaire. Ensuite, une bonne règle est de faire en sorte que chaque barre pliée commence sur la verticale de la précédente, pour faire en sorte que si une fissure se forme, on soit sˆ urs qu’elle soit cousue par au moins une barre pliée, Fig. 2.14. D’autres règles pour l’espacement des barres pliées sont celles de subdiviser l’aire du diagramme de T en parties équivalentes et de placer chaque barre pliée de 79

Figure 2.14: Bonnes règles de distribution des barres pliées.

sorte à ce que son centre co¨ıncide avec le barycentre d’une de ces aires. Néanmoins, la règle fondamentale est que le diagramme de T soit complètement recouvert par le diagramme de T résistant, donné par l’apport des cadres et des barres pliées, ce qui est montré au paragraphe 2.9.

2.8

Le diagramme du moment r´ esistant

Le diagramme des moments résistants est une méthode graphique pour vérifier si une poutre en b.a. est bien dimensionnée partout par rapport a` la flexion. Le moment résistant est le moment limite qu’une section peut supporter ; si l’on assume que c’est l’acier qui entre en crise le premier, a` savoir si l’on est dans le cas de section en acier faible, ce qui est presque toujours le cas, le moment résistant MR est très facile à être calculé : MR = σa0 Aa d ' 0.9 σa0 Aa t.

(2.87)

Pour une poutre à section constante, ce moment ne peut varier que avec Aa ; si le nombre de barres est constant, MR ne varie donc pas. La vérification consiste donc à superposer le diagramme du moment externe, M , et celui de MR : s’il est partout M ≤ MR , alors la poutre est vérifiée, Fig. 2.15. Autrement, il faut changer la disposition des barres là o` u M > MR . Un avantage de cette méthode, est qu’elle peut prendre en compte automatiquement plusieurs conditions de chargement : il suffit d’utiliser dans la comparaison l’enveloppe de tous les moments fléchissants correspondants aux différentes conditions de chargement. 80

Figure 2.15: Diagrammes de MR et de TR : un cas typique.

81

2.9

Le diagramme de l’effort tranchant r´ esistant

Le concept du diagramme de l’effort tranchant résistant, TR , est le même : il s’agit de superposer les diagrammes de T et de TR et de contrôler que ce soit T ≤ TR partout. Dans le cas de présence de barres pliées et cadres, on a TR = TRp + TRc , avec TRp

=

σa0

√ d 2 Ap z2 − z1

(2.88)

(2.89)

l’effort tranchant résistant entre z1 et z2 dˆ u aux barres pliées, et TRc = σa0 Ac

d z2 − z1

(2.90)

celui dˆ u aux cadres. Le diagramme de TRc est évidemment constant o` u l’espacement p des cadres est constant ; la même chose pour TR , Fig. 2.15.

2.10

Contrˆ ole de l’adh´ erence

L’adhérence barre–béton est un présupposé fondamental pour le fonctionnement du b.a. ; il faut donc être sˆ urs que cette adhérence puisse se réaliser et en particulier que la contrainte tangentielle a` la surface des barres ne soit pas trop élevée. Entre les sections z et z + dz le moment fléchissant passe de M a` M + dM et l’effort dans les barres de M F = , (2.91) d a` M + dM F + dF = ; (2.92) d la différence est donc dM T dF = = dz. (2.93) d d Cette force de traction dans les barres existe seulement si T 6= 0, et elle doit être équilibrée par la contrainte tangentielle d’adhérence τad entre l’acier et le béton. Si v est le périmètre de toutes les barres, la force d’adhérence dFad développée sur la distance dz sera dFad = τad v dz. (2.94) 82

Par l’équilibre, dF = dFad , on obtient donc la valeur de la contrainte d’adhérence : τad =

T T ' . vd 0.9 v t

(2.95)

La force de traction dans une barre de diamètre φ augmente avec φ2 , tandis que v augmente avec φ ; ceci implique que avec les barres de grand diamètre on a plus de problèmes d’adhérence qu’avec les barres de petit diamètre. Il faut contrôler la 0 ; comme ordre contrainte τad avec une valeur, donnée par la norme, admissible, τad inf 0 de grandeur, on peut estimer τad ∼ τb . Lorsqu’on arrête une barre en flexion, on peut ainsi calculer la longueur lanc de l’ancrage par adhérence : 2 M πφ4 lanc = 0 . (2.96) τad v d Aa Il est bonne règle d’utiliser une longueur d’ancrage au moins égale à 20φ ; par conséquent, la jonction de deux barres par simple superposition se fait sur une longueur d’au moins 40φ.

83

84

Chapitre 3 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites ultimes 3.1

Introduction

Dans cette méthode, l’idée est celle de continuer à contrôler l’équilibre de la structure, mais pas directement, plutôt à travers le contrôle des déformations : les équations que nous considérerons seront toujours des équations d’équilibre, mais nous déterminerons des situations critiques, pour une raison ou pour une autre, que nous qualifierons d’états limites ultimes (ELU), caractérisées par des valeurs dites limites de la déformations des matériaux : le béton, l’acier ou les deux ensemble. Chacune de ces situations doit être regardée comme une situation mettant la structure dans un danger intolérable pour la sécurité, une situation qui, de manière conventionnelle, est qualifiée d’ultime, d’o` u le nom de la méthode. La connaissance des déformations sur la section permet, par le biais de la loi de comportement, de calculer la distribution des contraintes et a` partir de là, par intégration sur la section, on remonte aux actions internes qui correspondent a` l’état limite ultime considéré : on parle alors, par exemple, de moment fléchissant ultime que la section peut supporter. La vérification de la section se fait alors en contrôlant que la valeur de l’action externe, appliquée à la section, soit inférieure a` celle de l’action ultime supportable par la section. Dans d’autres termes, la vérification se fait dans l’espace des actions internes, et non pas dans celui des contraintes, comme c’est le cas pour la méthode classique des contraintes admissibles. Par rapport a` la méthode classique, les symboles changent, et comme nous sommes bien obligés de prendre les valeurs techniques prescrites dans l’EC2, il va de soit qu’on doit aussi changer de symboles. Voici donc une liste des principaux symboles utilisés dans la suite : 85

– σc : contrainte normale dans le béton – σcp : contrainte de compression dans le béton due à un effort normal – σcu : contrainte de compression dans le béton correspondant à la déformation ultime en compression εcu – σs : contrainte normale dans l’acier – εc : déformation en compression du béton – εc1 : déformation en compression du béton au pic de contrainte fc – εc : déformation ultime en compression du béton – εu : déformation de l’acier sous charge maximale – εuk : valeur caractéristique de la déformation de l’acier sous charge maximale – τc : contrainte tangentielle dans le béton – fc : résistance en compression du béton – fcd : valeur de calcul de la résistance en compression du béton – fck : résistance caractéristique en compression du béton, mésurée sur cylindre a` 28 jours – fcm : valeur moyenne de la résistance en compression du béton, mesurée sur cylindre – fctk : résistance caractéristique en traction directe du béton – fctm : valeur moyenne de la résistance en traction directe du béton – f0,2k : valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle a` 0,2 % de l’acier – ft : résistance en traction de l’acier – ftk : résistance caractéristique en traction de l’acier – fy : limite d’élasticité de l’acier – fyd : limite d’élasticité de calcul de l’acier – fyk : limite caractéristique d’élasticité de l’acier – fywd : limite d’élasticité de calcul de l’acier des armatures d’effort tranchant – Ac : aire de la section de béton – As : aire de la section des barres d’acier en traction – As,min : aire de la section minimale des barres d’acier en traction – A0s : aire de la section des barres d’acier en compression – I : moment d’inertie de la section de béton – Ec : module d’Young tangent a` l’origine du béton – Ec,ef f : module d’Young effectif du béton – Ecd : valeur de calcul du module d’Young du béton – Es : valeur de calcul du module d’Young de l’acier – Nd : valeur de calcul de l’effort normal – Vd : valeur de calcul de l’effort tranchant – Md : valeur de calcul du moment fléchissant – b : largeur d’une section rectangulaire ou de la table de compression d’une

86

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

3.2

poutre en T bw : largeur de l’âme d’une poutre en T h : hauteur totale d’une section rectangulaire ou en T c : hauteur de l’enrobage en traction c0 : hauteur de l’enrobage en compression d : hauteur utile d’une section rectangulaire ou en T s : épaisseur de la table de compression dans une section en T x : hauteur de la zone comprimée e : excentricité A : action accidentelle F : action Fd : valeur de calcul d’une action Fk : valeur caractéristique d’une action Gk : valeur caractéristique d’une action permanente Qk : valeur caractéristique d’une action variable φ : diamètre d’une barre d’acier γA : coefficient partiel relatif aux actions accidentelles A γF : coefficient partiel relatif aux actions F γG : coefficient partiel relatif aux actions permanentes G γQ : coefficient partiel relatif aux actions variables Q γC : coefficient partiel relatif au béton γS : coefficient partiel relatif a` l’acier ψ : coefficients définissant les valeurs représentatives des actions variables : – ψ0 : pour les valeurs de combinaison – ψ1 : pour les valeurs fréquentes – ψ2 : pour les valeurs quasi-permanentes

Hypoth` eses du mod` ele

Les principales hypothèses du modèle de calcul sont : – – – –

hypothèse des petites perturbations (h.p.p.) ; modèle de poutre d’Euler-Bernoulli : conservation des sections planes ; adhérence parfaite entre béton et acier, jusqu’à l’ELU ; résistance à la traction nulle pour le béton ;

Contrairement a` la méthode classique, la loi de comportement du béton n’est pas linéaire, afin de mieux représenter le comportement réel du matériau, voir infra. 87

3.3 3.3.1

Mat´ eriaux B´ eton

Les caractéristiques mécaniques du béton sont données dans le Tableau 3.1 de l’EC2, voir Fig. 3.1, en fonction de fck , qui est donc le paramètre matériau fondamental pour identifier un béton du point de vue du calcul de la structure. La résistance de calcul en compression est définie comme fcd = αcc

fck , γC

(3.1)

o` u: – αcc = 1 est un coefficient tenant compte des effets a` long terme sur la résistance en compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée – γC = 1,5 pour les actions transitoires ou durables ; 1,2 pour les actions accidentelles Donc, par exemple, pour un béton fck = 30, fcd = 20 MPa pour les actions durables ou transitoires et fcd = 25 MPa pour les accidentelles. La résistance de calcul en traction est définie comme fctd = αct

fctk,0,05 , γC

(3.2)

o` u αct = 1 est un coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance en traction et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. Donc, par exemple, pour un béton fck = 30, fctd = 1, 33 MPa pour les actions durables ou transitoires et fctd = 1, 66 MPa pour les accidentelles. La loi de comportement a` utiliser pour le calcul des sections est (les déformations de compression sont a` prendre comme positives) : h

σc = fcd 1 − 1 − σc = fcd ,

εc εc2

n i

,

si 0 ≤ εc < εc2 , (3.3)

si εc2 ≤ εc ≤ εcu2 .

Ici il est : – n : exposant ; – εc2 : déformation atteinte pour la contrainte maximale ; – εcu2 : déformation ultime ; toutes ces quantités sont données en par le Tableau 3.1 de l’EC2. La loi (3.3) est représentée en Fig. 3.2. Normalement, n = 2, ce qui donne une loi parabolerectangle. 88

Figure 3.1: Caractéristiques mécaniques du béton : Tableau 3.1 de l’EC2. 89

Figure 3.2: Loi de comportement du béton pour le calcul des sections ; figure 3.3 de l’EC2.

En ce qui concerne la résistance moyenne a` la traction en flexion, elle dépend de la résistance moyenne en traction directe et de la hauteur de la section droite. On peut appliquer la formule suivante : (

fctm,f l = max

!

)

h fctm ; fctm , 1, 6 − 1000

(3.4)

avec h l’hauteur de la section, en mm, et fctm est donné par le Tableau 3.1 de l’EC2. Finalement, l’EC2 prend en considération le cas du béton confiné, par exemple par cerclage. Le confinement du béton entraˆıne une modification de la loi de comportement : la résistance et la déformation ultime sont toutes deux supérieures. En particulier, on peut considérer la loi décrite en Fig. 3.3, avec

pour σ2 ≤ 0, 05fck ,

pour σ2 > 0, 05fck ,

fck,c = fck 1, 000 + 5, 0 fσck2 fck,c = fck 1, 125 + 2, 5 fσck2 εc2,c = εc2

fck,c 2 fck

(3.5)

εcu2,c = εcu2 + 0, 2 fσck2 , avec σ2 la contrainte effective de compression latérale a` l’ELU due au confinement. 90

Figure 3.3: Loi de comportement du béton confiné ; figure 3.6 de l’EC2.

3.3.2

Acier

L’acier doit avoir une ductilité adéquate, définie par le rapport k de la résistance en traction a` la limite d’élasticité, k = (ft /fy )k ,

(3.6)

et par l’allongement sous charge maximale εuk . Diagrammes typiques de la loi de comportement de l’acier pour béton armé sont montrés en Fig. 3.4.

Figure 3.4: Lois de comportement typiques pour l’acier ; figure 3.7 de l’EC2. Les calculs sont fait en déduisant les valeurs de calcul de celles caractéristiques données dans le Tableau C2.N, Annexe C de l’EC2, Fig. 3.5. 91

Annexe C (normative) Propriétés des armatures compatibles avec l'utilisation du présent Eurocode C.1 Généralités (1) Le Tableau C.1 donne les propriétés des armatures compatibles avec l'utilisation du présent Eurocode. Les propriétés sont valables pour des températures des armatures dans la structure terminée comprises entre - 40 °C et 100 °C. En outre, il convient de restreindre tout pl iage et tout soudage des armatures effectués sur le chantier aux champs de température tels qu'autorisés dans l' EN 13670 .

Tableau C.1 Propriétés des armatures Figure 3.5: Propri´ et´ es des armatures ; Tableau C2.N, Annexe C de l’EC2.

NOTE Les valeurs d'étendue de contrainte en fatigue avec leur limite supérieure de ! f yk , et la surface projetée des verrous, à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale . Les valeurs recommandées sont données dans le Tableau C.2N . La valeur de ! à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est ! = 0,6.

En ce qui concerne la valeur de εud , l’EC2 prescrit que εud = 0, 9εuk ,

(3.7)

tandis que fyd =

fyk . γs

(3.8)

εyd =

fyd . Es

(3.9)

On pose aussi

Normalement, on peut choisir parmi les deux lois de comportement suivantes, 17/05/2013 12:18 Fig. 3.5 : – branche supérieure inclinée, avec une limite de déformation égale a` εud et une contrainte maximale k fyk /γs pour εuk ; l’équation de la loi de comportement est alors 193 sur 213

σs = Es εs , h

pour 0 ≤ ε ≤ εyd ; E ε−f

i

σs = fyd 1 + (k − 1) Es εsuk −fydyd , 92

pour εyd < ε ≤ εud ;

(3.10)

– branche supérieure horizontale ; dans ce cas l’équation de la loi de comportement est σs = Es εs , pour 0 ≤ ε ≤ εyd ; (3.11) σs = fyd , pour εyd < ε ≤ εud ;

Figure 3.6: Lois de comportement pour l’acier ; figure 3.8 de l’EC2. Le poids de l’acier est 7850 daN/m3 , et le module d’Young Es = 200 GPa. Le coefficient partiel γs vaut 1,15 pour les actions durables ou transitoires, et 1 pour les accidentelles. Si par exemple on prends un acier fyk = 400 MPa, alors fyd = 347, 8 MPa et la déformation de calcul à la limite d’élasticité est fyd /Es = 0, 0017. Etant donné que εcu2 = 0, 0035, on peut avoir de l’armature plastifié aussi en compression.

3.4

Le stress block

Les sections restant planes, le diagramme des déformations est linéaire, mais celui des contraintes non, parce que la loi de comportement ne l’est pas. Toutefois, l’EC2 permet une simplification : les contraintes peuvent être considérées constantes sur une hauteur inférieure a` celle de l’axe neutre x, voir Fig. 3.7. En particulier : η = 1 si fck ≤ 50MPa, η =1−

fck −50 200

si 50 < fck ≤ 90MPa; (3.12)

λ = 0, 8 si fck ≤ 50MPa, λ = 0, 8 −

fck −50 400

si 50 < fck ≤ 90MPa. 93

NOTE Si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée, il de réduire "f cd de 10 %.

Figure 3.7:rectangulaire Le stress-block Figure 3.5 Diagramme

3.5

; figure 3.5 de l’EC2.

3.1.8 Résistance à la traction en flexion (1) La résistance moyenne à la traction en flexion des éléments en béton armé dépend de leur résistance m traction directe et de la hauteur de leur section droite. On peut appliquer la formule suivante :

Adimensionnement

Normalement, on développe les calculs a` l’aide des quantités adimensionnelles suivantes, qui se rapportent au cas d’une section rectangulaire en double armature, 3.8 (tous les développements qui suivent sont relatifs à ce cas) : 29 Fig. sur 213 – ξ = xd : position axe neutre (depuis l’extrados) – δ1 = dd1 : position barres inférieures (depuis l’intrados) – δ2 = dd2 : position barres supérieures (depuis l’extrados) – ρ1 = Abds1 : aire barres inférieures – ρ2 = Abds2 : aire barres supérieures As1 fyd – ω1 = bdf : rapport mécanique des barres inférieures cd – – – –

A f

s2 yd ω2 = bdf : rapport mécanique des barres supérieures cd ω2 χ = ω1 : rapport mécanique des deux armatures s1 : rapport des contraintes pour les barres inférieures α1 = σfyd σs2 α2 = fyd : rapport des contraintes pour les barres supérieures

Nd – νd = bdf : rapport d’effort normal de calcul cd Md – µd = bd2 fcd : rapport de moment de flexion de calcul Nu – νu = bdf : rapport d’effort normal ultime cd – µu = bdM2 fucd : rapport de moment de flexion ultime A remarquer que, par la compatibilité des déformations, a` savoir par leur linéarité sur la section, il est

x εcmax

=

d−x εs1

→ξ=

x 1 = . d 1 + εcεs1 max

94

(3.13)

b d2

Αs2 h d

x

Αs1

d1

Figure 3.8: Section rectangulaire en armature double.

Ici et dans la suite, on a considéré comme positives les déformations εs si de traction, et εc si de compression ; en outre, εs1 indique la déformation dans les barres tendues (les barres inférieures dans les figures qui suivront) et εs2 celle dans les barres comprimées (supérieures).

3.6

Champs de rupture

La méthode de calcul aux ELU des sections de béton armé, par rapport aux contraintes normales, provoquées par la flexion simple ou la flexion composée, se base sur un contrôle des déformations normales, dans le béton et dans l’acier. En fonction de la valeur de ces déformations, on peut définir des conditions limites différentes, chacune définissant ce qu’on appelle un champ de rupture. En particulier, il y a 6 champs de rupture possibles, voir Tableau 3.1. Les champs de rupture sont représentés en Fig. 3.9. Trois points, les pivots, sont indiqués en figure : A, B et C. Un ELU de la section correspond a` une droite, représentant la déformation normale sur la section, qui passe par un de ces trois points. Les pivots correspondent : le pivot A, à la déformation limite dans l’acier, le pivot B à celle dans le béton, et C encore à celle dans le béton mais en cas de compression simple (la norme considère, avec précaution, qu’en cas de compression simple la déformation limite admissible dans le béton doit être inférieure, parce que, contrairement a` ce qui se passe en flexion simple ou composée, o` u la déformation maximale n’est atteinte qu’à l’extrémité de la section, en cas de compression simple la déformation est uniforme sur la section toute entière). Donc, un ELU correspond 95

Table 3.1: Champs de rupture Champ

ξ

εs

εc

Sollicitation

Déf. lim. εud

Crise côté Acier

1

−∞ < ξ ≤ 0

εud

−

2

0 < ξ ≤ ξb

”

0 ≤ εc ≤ εcu2

3

ξb < ξ ≤ ξc

εyd < εs1 ≤ εud

εcu2

Tract. simple ou e petite Flex. simple ou comp. ”

”

”

”

εud et ou εcu εcu

Acier et ou béton Béton

4

ξc < ξ ≤ 1

0 < εs1 ≤ εyd

”

5

1 < ξ ≤ 1 + δ1

<0

”

Flex. comp.

”

”

6

1 + δ1 < ξ

<0

εc2 ≤ εc ≤ εcu2

”

”

”

a` un cas o` u on a la déformation limite ultime dans l’un des deux matériaux, ou dans tous les deux. Voici la situation dans les différents champs de rupture (soit Md ≥ 0, pour fixer les idées) : – Champ 1 : traction simple ou flexion et traction, mais en tout cas avec la section toute en traction ; l’ELU est atteint par traction limite dans l’acier, εs1 = εud , à savoir lorsque la droite de déformation passe par le pivot A ; – Champ 2 : flexion simple ou composée ; l’ELU est atteint par déformation limite dans l’acier, εs1 = εud , pivot A, ou par déformation limite aussi dans le béton, εc = εcu2 , cas limite de la droite b, par les pivots A et B ; le champ 2 peut être divisé en deux parties : – Champ 2’ : acier As2 en phase élastique, |εs2 | ≤ εyd ; – Champ 2” : acier As2 en phase plastique, |εs2 | > εyd ; – Champ 3 : flexion simple ou composée ; l’ELU est atteint par déformation limite dans le béton, εc = εcu2 , pivot B, tandis que l’acier est encore en phase plastique mais pas a` la déformation limite, εyd ≤ εs1 < εud ; – Champ 4 : flexion simple ou composée ; c’est comme le champ 4, mais cette fois l’acier est en phase élastique, εs1 < εyd ; – Champ 5 : l’acier As1 devient comprimé, et ξ ≥ 1 : c’est forcement un cas de flexion composée ; l’ELU est encore atteint par déformation limite dans le béton, εc = εcu2 , pivot B ; – Champ 6 : l’axe neutre sort de la section du côté inférieur, ξ ≥ 1 + δ1 : il s’agit de flexion composée avec centre de pression interne au noyau central 96

!

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B

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1

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2’’

b

c

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C

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f

4 e 5 6’ 6’’

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Figure 3.9: Champs de rupture, droites limites et pivots.

d’inertie de la section, qui est donc complètement comprimée ; dans ce cas, l’EC2 établi que l’ELU correspond au cas de section toute comprimée avec εc = εc2 au niveau du pivot C ; tous les couples (νu , µu ) résultant d’états de déformation du champ 6 s’obtiennent a` partir de droites qui pivotent autour de C, et non pas autour de B ; le champ 6 à son tour peut être divisé en deux parties : – Champ 6’ : acier As1 en phase élastique, |εs1 | ≤ εyd ; – Champ 6” : acier As1 en phase plastique, |εs1 | > εyd . Finalement, les champs de plus grand intérêt sont le 2, 3 et 4, o` u on peut avoir de la flexion simple ou composée ; la droite de travail idéale est la droite b, qui passe par les deux pivots A et B, et qui correspond donc a` un état o` u l’on exploite au maximum les deux matériaux. Toutefois, c’est aussi la droite à laquelle correspond la plus grande rotation de la section, donc la plus grande déflexion de la poutre. On peut calculer la valeur de ξ correspondant a` chacune des droites de frontière entre un champ de rupture et l’autre. Ces valeurs de ξ ne dépendent que des propriétés géométriques et mécaniques de la section. – Droite verticale par A : traction simple ξ = −∞

(3.14)

ξ=0

(3.15)

– Droite a

97

"#!

– Droite b0

– Droite b

– Droite c

εud εyd εud δ2 + εyd = → ξb0 = d−x x − d2 εud + εyd

(3.16)

εud εcu2 εcu2 = → ξb = x d−x εud + εcu2

(3.17)

εcu2 εyd εcu2 = → ξc = x d−x εyd + εcu2

(3.18)

ξd = 1

(3.19)

ξe = 1 + δ1

(3.20)

εc2 h; hc = 1 − εcu2

(3.21)

– Droite d – Droite e – Droite e0 : l’EC2 définit

avec les valeurs recommandées pour εc2 (= 0, 002) et pour εcu2 (= 0, 0035), on a hc = 73 h et en général

c2 εc2 − εyd 1 − εεcu2 (1 + δ1 ) x−d x − hc = → ξe0 = εyd εc2 εc2 − εyd

(3.22)

– Droite f : droite verticale par C, compression simple ξe = ∞

3.7

(3.23)

Equations

Nous allons dans la suite utiliser le stress block et la loi de comportement (3.11) pour l’acier dans l’écriture des équations pour une section rectangulaire en armature double, Fig. 3.8. Les équations dont on dispose sont : – équation de compatibilité des déformations (linéarité des déformations) : x εcmax

=

d−x ; εs1

(3.24)

– équation d’équilibre a` l’effort normal : ληfcd bx − As1 σs1 − As2 σs2 = N ; 98

(3.25)

– équation d’équilibre a` la flexion (écrite ci de suite autour du centre de la section) : !

!

h h 1 ληfcd bx(h − λx) + As1 σs1 − d1 − As2 σs2 − d2 = M. 2 2 2

(3.26)

En utilisant les relations introduites au paragraphe 3.5, on peut facilement écrire les équations en forme adimensionnelle, qui seront, dans l’ordre : εcmax ; (3.27) ξ= εcmax + εs1 ληξ − α1 ω1 − α2 ω2 = ν;

(3.28)

1 [ληξ(1 + δ1 − λξ) + α1 ω1 (1 − δ1 ) − α2 ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] = µ. 2

3.8 3.8.1

(3.29)

Flexion simple Probl` eme de v´ erification

Dans un tel problème toutes les données concernant la section sont connues (géométrie, dimensions, matériaux), et aussi Nd = νd = 0. Il faut calculer le moment ultime que la section peut porter, Mu et le comparer avec le moment de calcul, Md ; la section est vérifiée si Md ≤ Mu ,

(3.30)

µd ≤ µu .

(3.31)

ou, en forme non dimensionnée, si

La vérification se fait donc dans l’espace des sollicitations, non pas dans ce lui des contraintes, ni dans celui des déformations. Le premier pas du processus de calcul consiste a` déterminer dans quel champ de rupture se positionne le diagramme de la déformation ε. Pour ce faire, on compare la valeur de ω1 avec celle des droites limite b0 , b et c (on rappelle que la flexion simple ne peut se situer que dans les champs 2, 3 et 4). Si l’on introduit dans l’équation d’équilibre a` l’effort normal en forme adimensionnée le rapport mécanique des deux armatures χ, quantité connue, alors de celle-ci on peut calculer ω1 : ληξ − ω1 (α1 + χα2 ) = 0 → ω1 =

ληξ . α1 + χα2

En outre, en correspondance des droites b0 , b et c : 99

(3.32)

– pour toutes les droites de pivot A, l’acier As1 est plastifié, et donc α1 = 1 ; – pour toutes les droites entre la b0 et la c, même l’acier As2 est plastifié, mais en compression, donc α2 = −1. Alors, par la (3.32), on a : ω1 (b0 ) =

ληξb0 , 1−χ

(3.33)

ω1 (b) =

ληξb , 1−χ

(3.34)

ω1 (c) =

ληξc . 1−χ

(3.35)

En ce qui concerne la section a` vérifier, la valeur de ω1 est déterminée par la géométrie, et c’est donc une valeur connue : As1 fyd ; bdfcd

ω1 =

(3.36)

on peut donc savoir dans quel champ de rupture se situe la droite des déformations ; quatre cas sont possibles : i. Champ de rupture 2’ : ω1 < ω1 (b0 ) Les droites limites passent par le pivot A. Les inconnues sont µ, ξ et α2 . On va introduire alors une équation de compatibilité de ε dans laquelle α2 apparaˆıt : εs2 εud =− , d−x x − d2

(3.37)

ce qui donne x − d2 d−x = −εs2 , d d est encore en phase élastique, on a εud

et comme en 2’ As2

εud

x − d2 σs2 fyd d − x =− ; d Es fyd d

comme α2 = on obtient α2 = −

σs2 , fyd

εud ξ − δ2 . εyd 1 − ξ

100

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

On injecte ce dernier résultat dans l’équation d’équilibre à l’effort normal (3.28), et on obtient εud ξ − δ2 ληξ − α1 ω1 + = 0; (3.42) εyd 1 − ξ dans cette équation, α1 = 1 ; la (3.42) est une équation de second degré en ξ ; une fois résolue, on injecte la valeur de ξ ∈ [0, ξb0 ] dans la (3.41) ; la valeur de α2 ainsi obtenue est ensuite injectée dans l’équation d’équilibre a` la flexion (3.29), pour finalement obtenir la valeur de µu , et effectuer la vérification (3.31). ii. Champ de rupture 2” : ω1 (b0 ) ≤ ω1 ω1 (b) Les droites limites passent encore par le pivot A. Les inconnues sont µu , ξ et εcmax . Dans ce champ, α1 = 1 et α2 = −1 ; l’équation d’équilibre à l’effort normal (3.28) donne alors ω1 − ω2 . (3.43) ξ= λη On injecte donc cette valeur dans l’équation d’équilibre a` la flexion (3.29), pour obtenir µu ; par l’équation de compatibilité (3.27) on obtient aussi εcmax , en y injectant la valeur (3.43) de ξ et εs1 = εud : εcmax = εud

ξ . 1−ξ

(3.44)

iii. Champ de rupture 3 : ω1 (b) < ω1 ≤ ω1 (c) Les droites limite passent par le pivot B. Les inconnues sont µu , ξ et εs1 ; il est encore α1 = 1 et α2 = −1 et la (3.43) est encore valable. De même, par la (3.29) on a encore µu et comme maintenant εcmax = εcu2 la (3.27) donne εs1 = εcu2

1−ξ . ξ

(3.45)

iv. Champ de rupture 4 : ω1 (c) < ω1 Les droites limite passent par le pivot B. Les inconnues sont µu , ξ et α1 ; on va alors introduire une équation de compatibilité de ε dans laquelle α1 apparaˆıt : εs1 εcu2 σs1 fyd d−x = → = εs1 = εcu2 , d−x x Es fyd x

(3.46)

ce qui donne α1 =

εcu2 1 − ξ . εyd ξ 101

(3.47)

On injecte cette valeur dans l’équation d’équilibre a` l’effort normal (3.28) et en considérant que dans le champ α2 = −1, devient !

εcu2 εcu2 ξ− = 0, ληξ + ω2 + εyd εyd 2

(3.48)

d’o` u on tire la valeur de ξ, ξc ≤ ξ < 1, et on le remplace dans la (3.47) pour avoir α1 ; les deux valeurs ainsi obtenues sont injectées dans l’équation d’équilibre à la flexion (3.29) pour calculer µu .

3.8.2

Probl` eme de dimensionnement

Dimensionner par rapport à un état limite ultime implique la connaissance de Md , le moment de dimensionnement, et des caractéristiques des matériaux, à savoir de fcd et fyd ; les inconnues sont b, d, As1 et As2 . L’avantage par rapport a` la méthode classique, est que avec l’approche a` l’ELU il est possible, et même nécessaire, de choisir la ductilité de la section. Dans d’autres termes, il faut choisir le diagramme limite de ε pour lequel dimensionner la structure. La conséquence de ¸ca, est qu’on perd une équation, celle de compatibilité de la déformation. On reste donc avec 2 équations et 4 inconnues ; on en fixe donc 2, généralement la largeur de la section, b, et le rapport mécanique des armatures, χ. Le meilleur choix (celui qui maximise la ductilité et l’utilisation des deux matériaux), correspond a` la droite b, de séparation entre les champs 2 et 3. Une fois ξ fixé, l’équation d’équilibre a` l’effort normal (3.28) donne (le choix de ξ fixe aussi les valeurs de α1 et α2 ) : ω1 =

ληξ , α1 + α2 ξ

(3.49)

et donc, ayant fixé χ, ω2 = χω1 ;

(3.50)

de ces deux valeurs on calcul aisément les sections d’acier As1 et As2 . Finalement, l’équation d’équilibre à la flexion (3.29) permet de calculer µd (δ1 et δ2 doivent être fixés), et de cette valeur on déduit s

d=

Md . µd b fcd

102

(3.51)

µ P5 P6

P4

P7

µd

P3 P2

P8

P1

νd

ν

Figure 3.10: Courbe d’interaction ultime

3.9 3.9.1

Flexion compos´ ee Probl` eme de v´ erification

La vérification en cas de flexion composée se fait en contrôlant que le point (νd , µd ) soit interne au domaine délimité par la courbe (µu , νu ), la courbe d’interaction ultime : celle-ci est la courbe formée par tous les points qui représentent des combinaisons de νu et µu donnant lieu a` un état limite ultime. Cette courbe se trace par points, et elle est du type en Fig. (3.10). Les points P1 a` P8 indiqués en Fig. (3.10) sont ceux qui correspondent aux droites limites des champs de rupture (on ne considérera que le cas de µd ≥ 0, le cas µd < 0 est analogue). Evidemment, pour améliorer la qualité de la courbe, d’autres points peuvent être tracés. Les équations sont toujours les (3.27), (3.28) et (3.29). Voyons donc comment on peut déterminer les 8 points P1 a` P8 . P1 : c’est le point o` u la courbe coupe l’axe horizontal du côté négatif, donc µu (1) = 0 ; c’est le cas de traction pure. De l’équation d’équilibre a` la flexion (3.29), o` u on ne prend en compte que l’acier car le béton, tendu, ne peut pas être pris en 103

compte, on tire la relation α1 = α2

ω2 1 + δ1 − 2δ2 , ω1 1 − δ1

(3.52)

qui donne α1 en fonction de α2 . L’équation d’équilibre a` l’effort normal (3.28) donne alors 1 − δ2 . (3.53) νu (1) = −2α2 ω2 1 − δ1 En traction simple, a` l’état limite il est α2 = 1, tandis que α1 ≤ 1 ; par exemple, si δ1 = δ2 , alors α1 = ω2 /ω1 . P2 : c’est le point o` u on a la traction la plus grande possible sur la section, qui est encore totalement en traction : P2 ∈ champ 1, le centre de traction est interne aux armatures. La plus grande traction s’obtient lorsque les deux armatures sont en phase plastique : α1 = α2 = 1, ce qui donne, par la (3.28), νu (2) = −(ω1 + ω2 ).

(3.54)

A noter que si ω1 = ω2 , νu (2) = νu (1) : le point de plus forte traction se trouve sur la droite µu = 0, a` savoir en traction pure (ce qui est évident, pour des raisons de symétrie). La (3.29) donne le moment correspondant µu (2) =

1 [ω1 (1 − δ1 ) − ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] . 2

(3.55)

P3 : c’est le point o` u ξ = 0, séparation entre les champs 1 et 2. On considère P3 ∈ champ 1 ; de la (3.41) on obtient α2 = δ2

εud , εyd

(3.56)

qui, injecté avec la valeur α1 = 1 dans la (3.28) et dans la (3.29), donne νu (3) = −ω1 − δ2 ω2 "

εud , εyd

(3.57) #

εud 1 µu (3) = ω1 (1 − δ1 ) − δ2 ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . 2 εyd

(3.58)

P4 : c’est le point de frontière entre les champs 2 et 3 ; ici, α1 = 1 et α2 = −1, tandis que ξ = ξb , (3.17). En injectant ces valeurs dans la (3.28) et dans la (3.29) on obtient εcu2 νu (4) = λη − ω1 + ω2 , (3.59) εud + εcu2 104

1 εcu2 εcu2 µu (4) = λη (1 + δ1 − λ ) + ω1 (1 − δ1 ) + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . 2 εud + εcu2 εud + εcu2 (3.60) P5 : c’est le point de frontière entre les champs 3 et 4. Encore, α1 = 1 et α2 = −1, tandis que ξ = ξc , (3.18). Donc, en procédant de la manière usuelle, on obtient εcu2 − ω1 + ω2 , (3.61) νu (5) = λη εyd + εcu2

"

#

εcu2 εcu2 1 λη (1 + δ1 − λ ) + ω1 (1 − δ1 ) + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . µu (5) = 2 εyd + εcu2 εyd + εcu2 (3.62) P6 : c’est le point de frontière entre les champs 4 et 5. Maintenant, ξ = 1, α1 = 0 et α2 = −1. On a donc νu (6) = λη + ω2 ,

(3.63)

1 [λη(1 + δ1 − λ) + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] . (3.64) 2 P7 : c’est le point de frontière entre les champs 5 et 6. Maintenant, ξ = 1 + δ1 , α2 = −1 tandis que α1 est donné par l’équation de compatibilité : µu (6) =

εs1 = −εcu2

δ1 εs1 Es εcu2 δ1 → α1 = =− , 1 + δ1 fyd εyd 1 + δ1

(3.65)

d’o` u, par les équations d’équilibre (3.28) et (3.29), νu (7) = λη(1 + δ1 ) + ω1

εcu2 δ1 + ω2 ; εyd 1 + δ1

"

(3.66) #

1 εcu2 δ1 (1 − δ1 ) µu (7) = λη(1 − λ)(1 + δ1 )2 − ω1 + ω2 (1 + δ1 − 2δ2 ) . (3.67) 2 εyd 1 + δ1 P8 : c’est le point de compression pure : µu (8) = 0 et ξ → ∞ ; il vaut mieux donc passer par l’équation d’équilibre a` la compression (3.25) dans laquelle on insère x = h = d + d1 . Acier et béton sont plastifiés, α1 = α2 = −1, et donc on obtient νu (8) = 1 + δ1 + ω1 + ω2 . (3.68)

3.9.2

Probl` eme de dimensionnement

On se borne a` considérer le cas de projet des armatures : b, d, d1 et d2 sont fixés à priori, comme le choix des matériaux. Les courbes d’interaction sont les mêmes pour toutes les sections ayant les mêmes caractéristiques géométriques, et 105

on les trouve déjà tracées (p. ex. pour le cas de section symétrique, Fig. 3.11). De la (3.28) on peut calculer la valeur de ξ : ξ=

νd + α1 ω1 + α2 ω2 ; λη

(3.69)

en rempla¸cant cette valeur dans la (3.29) on obtient : 1 [(νd + α1 ω1 + α2 ω2 )(1 + δ1 − λξ) + α1 ω1 (1 − δ1 ) − α2 ω2 (1 + δ1 − 2δ2 )] . 2 (3.70) Cette dernière équation montre que, pour une valeur choisie de ξ, µd est une fonction linéaire de νd ; par conséquent, les droites du plan (ν, µ) représentent des diagrammes de ε pour une valeur choisie de ξ, à savoir de la position de l’axe neutre, Fig. 3.11. Les courbes d’interaction sont parametrées en fonction de ω1 , pour une valeur de χ donnée ; donc, une fois fixé ξ (encore une fois on choisit la ductilité de la section), pour le point (νd , µd ) donné, on trouve sur les graphiques, éventuellement par interpolation, ω1 , et donc ω2 . Finalement, µd =

Asi = bdωi

3.10

fcd , fyd

i = 1, 2.

(3.71)

Flexion compos´ ee pour une section de forme quelconque

Considérons a` présent le cas le plus général possible : le calcul de vérification d’une section de forme quelconque, soumise a` de la flexion composée droite, avec plusieurs niveaux (lits) d’armature possibles ; nous considérons aussi le diagramme parabole rectangle pour le béton et le diagramme avec écrouissage pour l’acier. Dans ce cas, n’ayant pas a` disposition des grandeurs significatives bien déterminées, on ne peut pas introduire des grandeurs adimensionnelles. D’une manière générale, le principe de calcul ne change pas : la courbe d’interaction ultime s’obtient par points, chacun correspondant a` la crise produite par un des mécanismes de crise, à savoir par une droite de la déformation qui passe par un des trois pivots, A, B ou C. Il est nécessaire d’organiser le calcul de manière numérique : la section doit être divisée en n bandelettes horizontales, d’égale hauteur (petite) ∆y ; pour chaque bandelette i, grâce à la géométrie de la section, on calcule sa position yi , sa largeur bi et donc l’aire de sa surface, bi ∆y ; ensuite, chacun des m lits d’armature est caractérisé par son aire Aj et sa position sur la verticale, yj . 106

Figure 3.11: Abaques de calcul pour une section rectangulaire en armature symétrique

Ensuite, chaque point de la courbe d’interaction correspond à une valeur choisie de la position de l’axe neutre x. On fait donc progresser x de −∞ a` +∞, avec une scansion ∆x choisie. Dans ce faire, on commence par les droites de déformation qui passent par le pivot A et on progresse jusqu’à atteindre l’inclinaison de la droite qui passe par le pivot B. Ici, on continue à faire évoluer x mais en pivotant autour de B, jusqu’à arriver a` la droite qui passe par le pivot C. A ce point, on continue a` incrémenter x, mais en faisant tourner la droite des déformations autour de C. En se rapportant a` la Fig. 3.12, les équations sont donc : – compatibilité (linéarité) de la déformation : x εcmax

=

ym − x ; εsm

(3.72)

– équilibre à l’effort normal N=

Z x 0

σc (y)b(y)dy +

m X j=1

107

σsj Aj ;

(3.73)

try

OJ

>*:

"rI

*V - '- l

\

I

r , - +I :; I

'Jl

rl

I

I

l

l

-t

' --l \tl

I

I

!

L\., I

>.r._

-. J

\a

.i

_il

:.* ,. ..)

l (,

Figure 3.12: Schéma de calcul d’une section de forme quelconque

– équilibre à la flexion M=

Z x 0

σc (y)b(y)(yC − y)dy +

m X

σsj Aj (yC − yj ).

(3.74)

j=1

La séquence de calcul est donc la suivante 1. on fixe un pivot, ce qui équivaut a` fixer un point du diagramme de ε ; p. ex. pour le pivot A, εsm = εud , pour B, εcmax = εcu2 , pour C, εc (y = C) = εc2 ; 2. on fixe x ; 3. on calcule la valeur de εci ∀i = 1, ..., n, à travers la (3.72) ; 4. on calcule la valeur de εsj ∀j = 1, ..., m, à travers la (3.72) ; 5. on calcule la valeur de σci ∀i = 1, ..., n, a` travers la loi parabole rectangle, (3.3) ; 6. on calcule la valeur de σsj ∀j = 1, ..., m, a` travers la loi de comportement de l’acier, Fig. 3.6 ; on a la possibilité de choisir entre le diagramme simplifié (3.11), comportement élastique-parfaitement plastique, et le diagramme élastique-plastique avec écrouissage (3.10) ; 108

7. on calcule N par la (3.73), qui peut être réécrite, après discrétisation, comme N = ∆y

n X

σci bi +

i=1

m X

σsj Aj ;

(3.75)

j=1

8. on calcule M par la (3.74), qui peut être réécrite, après discrétisation, comme M = ∆y

n X

σci bi (yC − yi ) +

i=1

m X

σsj Aj (yC − yj ).

(3.76)

j=1

On obtient donc un couple (N, M ) correspondant à un diagramme de ε qui passe par un des pivots, donc un diagramme ultime de la déformation parmi les infinis possibles. Le couple (N, M ) est donc un couple ultime, (Nu , Mu ), bref il est un point de la courbe d’interaction ultime. En répétant la démarche pour toutes les valeurs de x discrétisées, on obtient la courbe. La vérification de la section se fait encore en contrôlant que le point de calcul (Nd , Md ) soit interne au domaine délimité par la courbe d’interaction.

3.11

Dimensions des poutres pour l’analyse structurale

L’EC2 spécifie quelles sont les dimensions a` prendre en compte pour l’analyse structurale, dans le cas des poutres.

3.11.1

Largeur participante de la table de compression

La largeur participante de la table de compression, dans laquelle on peut admettre des conditions de contraintes uniformes, dépend des dimensions de l’âme et de la table, du type de chargement considéré, de la portée, des conditions d’appui et des armatures transversales. Il convient d’établir la largeur participante de la table de compression en fonction de la distance l0 entre points de moment nul, voir Fig. 3.13 Pour la longueur l3 de la poutre console, il convient de ne pas dépasser la moitié de la longueur de la travée adjacente, et il convient de limiter le rapport des deux portées adjacentes entre 2/3 et 1/2. La largeur participante de la table de compression est alors bef f =

X

bef f,i + bw ≤ b,

(3.77)

avec bef f,i = 0, 2 bi + 0, 1 l0 ≤ 0, 2 l0 , bef f,i ≤ bi , 109

(3.78)

5.3.2.1 Largeur participante des tables de compression (pour tous les états-limites) (1)P Dans le cas des poutres en T, la largeur participante de la table de compression - sur laquelle on peut adm des conditions de contraintes uniformes - dépend des dimensions de l'âme et de la table, du type de charg considéré, de la portée, des conditions d'appui et des armatures transversales. (2) Il convient d'établir la largeur participante de la table de compression en fonction de la distance l 0 entre poin moment nul, telle qu'indiquée par la Figure 5.2 .

Reef4 - CSTB3.13: Figure

Définition de l0 pour le calcul de la largeurhttp://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents participante de la table Figure 5.2 Définition pour le calcul de la largeur de compression : Fig.de 5.2l 0de l’EC2. participante de la table de compression

NOTE Pour la longueur l 3 de la console, il convient de ne pas dépasser la moitié de la portée de la travée adjacent et il convient par ailleurs de limiter le rapport de deux portées adjacentes à des valeurs comprises entre 2/3 1,5. (3) La largeur participante b eff d'une poutre en T ou d'une poutre en L peut être prise égale à :

Figure 3.14: Paramètres déterminant la largeur participante de la table de compression :Figure Fig. 5.3 de l’EC2. déterminant la largeur participante 5.3 Paramètres

(4) Pour l'analyse structurale, dans les cas où une grande précision n'est pas requise, on peut admettre (pour les notations, Figures 5.2 ci-dessus et 5.3 ci-après).alors d'adopter la valeur applicable en travée. constante sur voir toute la longueur de la travée. Il convient

voir Fig. 3.13Portée et 3.14 les notations. 5.3.2.2 utilepour des poutres et dalles dans les bâtiments Dans l’analyse structurale, on peut prendre la valeur ainsi calculée de la largeur NOTE participante constante sursont touteessentiellement la longueur de la poutre. Les comme dispositions ci-après prévues pour l'analyse des éléments. Certain simplifications indiquées peuvent être utilisées le cas échéant pour l'analyse de systèmes d'éléments.

3.11.2

Port´ ee utile des poutres

(1) Il convient de calculer la portée utile l

eff d'un

élément de la manière suivante :

La portée utile d’une poutre est donnée par lef f = ln + a1 + a2 , o` u: – –

51 sur 213

où :

(3.79)

1 ln : distance libre entre ; ; l n est la distance libre nus entredes nus appuis des appuis ales a2 a` de chaque mité deextrémité la travédee la peuvent être déêtre termin´ es a` partir de des valeurs app 1 et valeurs a 1 et extr´ a 2 àechaque travée peuvent déterminées à partir ladeFig. 3.15.5.4 , où t est la profondeur d'appui, comme indiqué. la Figure Pour une poutre encastrée, le moment de calcul a` l’appui est celui calculé au nu de l’appui, avec valeur minimale le 65% du moment d’encastrement.

110

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Figure 5.4 (à suivre)

Figure 5.4 (à suivre)

Figure 3.15: Portée utile Figure lef f 5.4pour diff´ rente conditions Portée utile ( leeff ) pour différentes conditionsd’appui : Fig. 5.4 de d'appui l’EC2. (2) Les dalles et poutres continues peuvent généralement être analysées en considérant que les appuis ne créent pas de gêne à la rotation. Figure 5.4 Portée utile ( l eff ) pour différentes conditions (3) Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme d'appui

moment déterminant de calcul le moment au nu de l'appui. Pour le moment et la réaction de calcul transmis à l'appui (2) Les dalles et poutres continues peuvent êtrede analysées considérant que les appuis ne créent pasvaleurs redistribuées. (poteau, voile,généralement etc.), il convient retenir laen plus grande des valeurs élastiques ou des de gêne à la rotation. NOTE (3) Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme Il convient que le moment au nu de l'appui ne soit pas inférieur à 0,65 fois le moment d'encastrement. moment déterminant de calcul le moment au nu de l'appui. Pour le moment et la réaction de calcul transmis à l'appui (poteau, voile, etc.), il convient de retenir la plus grande des valeurs élastiques ou des valeurs redistribuées. (4) Quelle que soit la méthode d'analyse employée, lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui NOTE Edcréer de Ed,sup supposé ne pas gêne à la rotation (au droit d'un voile, par exemple), le moment de calcul sur appuis, Il convient que le moment audéterminé nu de l'appui soitportée pas inférieur 0,65 foisdes le moment d'encastrement. pourne une égale à àl'entr'axe appuis, peut être minoré d'une valeur ! M Ed :

Pour une poutre continue, le moment de calcul sur appui, calculé pour une portée égale a` l’entraxe des appuis, peut être minoré de la quantité ∆M

=F

t/8,

(3.80)

o` u FEd,sup est la valeur de calcul de la réaction d’appui et t la profondeur de l’appui, (4) Quelle que soit la méthode d'analyse employée, lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui Fig. 3.15. supposé ne pas créer de gêne à la rotation (au droit d'un voile, par exemple), le moment de calcul sur appuis, 53 sur égale 213 à l'entr'axe des appuis, peut être minoré d'une valeur ! M déterminé pour une portée

3.12 Effort tranchant 53 sur 213

17/05/2013 12:18

Ed :

17/05/2013 12:18

En vue de la vérification a` l’effort tranchant (abrégé dans la suite par ET), l’EC2 introduit les grandeurs suivantes : 111

Dans les éléments de hauteur variable, on définit également ( voi V ccd est la valeur de calcul de la composante d'effort tran membrure comprimée inclinée V td est la valeur de calcul de la composante d'effort tranc d'une membrure tendue inclinée.

Figure 3.16: Composantes d’ET dans le cas d’une section d’hauteur variable : Fig. 6.2 de l’EC2 Figure 6.2 Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable

(2)effectif, La résistance l'effort tranchant d'un comportant des – VEd : effort tranchant agissant àdans la section consid´ eréeélément ; – VRd,c : effort tranchant résistant de calcul de l’élément en l’absence d’armatures d’effort tranchant ; – VRd,s : effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité ; – VRd,max : valeur de calcul de l’effort tranchant maximal pouvant être repris par l’élément, avant(3) écrasement bielles compression Dans lesdes zones dedel'élément où ;V Ed ! V Rd,c , aucune armat – Vccd : valeur de calcul la composante d’effort tranchant la force de est de l'effort tranchant agissant de calculde dans la section considéré compression, dans lelacas d’une membrure comprim´ e e inclin´ e e (Fig. 3.16) ; précontrainte (armatures adhérentes ou non). – Vtd : valeur de calcul de la composante d’effort tranchant de la force dans (4) Même lorsque aucune armature d'effort tranchant n'est req l’armature tendue, dans le cas d’une membrure tendue inclinée (Fig. 3.16). minimal comme indiqué en 9.2.2 . Ce ferraillage minimal peut êtr La résistance a` l’ET pour un élément avec armature a` l’ET est alors calculée nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale d comme : également être+ omis VRd = VRd,s Vccd +dans Vtd . les éléments secondaires (3.81) (linteaux de

manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble d

Dans les zones o` u VEd ≤ VRd,c , aucune armature d’effort tranchant n’est requise (5) Dans les régions où V Ed > V Rd,c ( V Rd,c étant donné par l' E par le calcul ; un ferraillage minimal à l’ET est en tout cas a` prévoir, voir le Chapitre d'effort tranchant en quantité suffisante de telle sorte que V Ed ! V 5. convient qu'en point de a`l'élément, la somme de l'effort Dans les zones o` u VEd (6) > VIl , il faut pr´ evoir tout une armature l’ET de telle sorte Rd,c que VEd ≤ VRd . membrures, V Ed - V ccd - V td , soit inférieure ou égale à la valeur Il faut que partout dans ce soit (7)une Il poutre convient que les armatures longitudinales tendues s

supplémentaire par. l'effort tranchant (voir 6.2.3 (7)). VEd − Vccd − Vtdgénéré ≤ VRd,max (3.82) (8) Dans le cas des éléments soumis principalement à des charg Pour les éléments soumis a` des charges uniform´ ement réparties, il n’y a pas de vérification à l'effort tranchant à une distance au nu de l'appui lieu d’effectuer de vérification a` l’ET à une distance au nu de l’appui inférieure a` d'effort tranchant requises jusqu'au droit de l'appui. Il convient n'excède pas V Rd,max (voir également 6.2.2 (6) et 6.2.3 (8)). 112 (9) Lorsqu'une charge est appliquée en partie inférieure de l'élé pour reprendre l'effort tranchant, de prévoir des armatures vertic supérieure.

6.2.2 Eléments pour lesquels aucune armature d'effort tranc (1) L'effort tranchant résistant de calcul V Rd,c est donné par :

. La valeur recommandée pour C Rd,c est 0,18/# c , la valeur recommandée pour v Expression (6.3N) et la valeur recommandée pour k 1 est 0,15.

min

est donnée par l'

Figure 3.17: Définition des Asl : Fig. 6.3 de l’EC2

Figure 6.3 Définition de A sl dans l'Expression (6.2)

(2) Dans les éléments précontraints à une seule travée ne comportant pas d'armatures d'effort tranchant, l'effort tranchant résistant des régions fissurées en flexion peut être calculé à l'aide de l' Expression (6.2a) . Dans les régions d, il faut armatures d’ET requises droit l’appui. nonmais fissurées en maintenir flexion (où lales contrainte de traction en flexion jusqu’au est inférieure à f de /# c ), Il il convient de limiter la ctk,0,05 résistance l'effort parsur la résistance en etraction béton. .Dans ces régions, l'effort tranchant résistant est faut aussiàv´ erifiertranchant que l’ET appui n’exc` de pasduVRd,max donné par :

3.12.1

El´ ements pour lesquels aucune armature d’effort tranchant n’est requise

L’effort tranchant résistant de calcul VRd,c est donné par (en N) h

i

VRd,c = CRd,c k(100ρl fck )1/3 + k1 σcp bw d,

(3.83)

76 sur 213

17/05/2013

avec une valeur minimale VRd,c = (vmin + k1 σcp )bw d,

(3.84)

avec : q ≤ 2, d en mm ; – k = 1 + 200 d Asl – ρl = bw d ≤ 0, 02 – Asl : aire de la section des armatures tendues, prolongées sur une longueur non inférieure a` (lbd + d) au-delà de la section considérée, Fig. 3.17 ; – bw : largeur minimale de la section en zone tendue ; < 0, 2 fcd , en MPa ; – σcp = NAEd c – NEd : effort normal de calcul, positif si de compression, en N ; – Ac : aire de la section droite de béton, en mm2 ; – CRd,c : 0, 18/γc ; 1/2 – vmin = (0, 053/γc )k 3/2 fck pour les poutres ; – k1 = 0, 15. Pour le calcul des armatures a` la flexion, il convient de décaler la courbe enveloppe des moments de al = d dans la direction défavorable, voir aussi le paragraphe 5.3.3. 113

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Figure Figure 3.18:6.4Charges appliquées au voisinage des appuis : Fig. 6.4 de l’EC2 Charges appliquées au voisinage des appuis 6.2.3 Eléments pour lesquels des armatures d'effort tranchant sont requises (1) Le calcul des éléments comportant des armatures d'effort tranchant est basé sur un modèle de treillis ( Figure 6.5 ). Les valeurs limites de l'angle ! des bielles inclinées de l'âme sont données en 6.2.3 (2). Les symboles apparaissant sur la Figure 6.5 sont les suivants : " est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et la fibre moyenne de l'élément (mesuré positivement comme v indiqué sur la figure) v ! est l'angle entre la bielle de compression et la fibre moyenne de l'élément F td est la valeur de calcul de l'effort de traction dans les armatures longitudinales F cd est la valeur de calcul de l'effort vde compression dans le béton dans la direction de l'axe longitudinal de l'élément Rd,c b w est la plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée v correspondant au moment z est le bras de levier des forces internes, pour un élément de hauteur constante, fléchissant dans l'élément considéré. Pour les calculs à l'effort tranchant d'une section de béton armé sans effort v normal, on peut normalement adopter la valeur approchée z = 0,9 d Dans les éléments comportant des armatures de précontrainte inclinées, il convient de prévoir des armatures Ed longitudinales dans la membrure tendue pour reprendre l'effort de traction longitudinal dû à l'effort tranchant, tel que défini par l' Expression (7) .

Lorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l’élément, à une distance a du nu de l’appui telle que 0, 5d ≤ a < 2d (ou du centre de l’appareil d’appui s’il est souple), la contribution de cette charge à l’effort tranchant agissant VEd peut être multipliée par β = a /2d. Cette réduction peut être appliquée pour la vérification de V dans la (3.83). Ceci n’est valable que si les armatures longitudinales sont totalement ancrées au droit de l’appui. Pour a ≤ 0, 5d , il convient de prendre la valeur a = 0, 5d. Pour la valeur de V calculée sans appliquer le facteur de réduction β, il convient de satisfaire la condition : VEd ≤ 0, 5 bw d ν fcd ,

(3.85)

avec ν facteur de réduction de la résistance du béton fissuré à l’ET : !

fck , ν = 0, 6 1 − 250

(3.86)

fck en MPa.

3.12.2

Calcul de l’armature pour l’effort tranchant

Le modèle de calcule est encore celui du treillis de Mörsch, voir Fig. 3.19, avec la limite 1 ≤ cot θ ≤ 2, 5 → 21, 8◦ ≤ θ ≤ 45◦ . (3.87) 78 sur 213

17/05/2013 12:18

Concernant la Fig. 3.19, il est – α : angle entre les armatures d’effort tranchant et la fibre moyenne de l’élément (mesuré positivement comme indiqué sur la figure) ; 114

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Figure 3.19: Modèle de treillis pour le calcul de l’armature a` l’ET : Fig. 6.5 de Figure 6.5 Modèle de treillis et notations dans le cas l’EC2 d'éléments comportant des armatures d'effort tranchant (2) Il convient de limiter l'angle ! . NOTE Les– valeurs limitesentre de cot! utiliser de danscompression un pays donné et peuvent être fournies par son Annexe Nationale . Les θ : angle laàbielle la fibre moyenne de l’´ elément ; limites recommandées sont données par l' Expression (6.7N) .

– Ftd : valeur de calcul de l’effort de traction dans les armatures longitudinales ; – Fcd : valeur de calcul de l’effort de compression dans le béton dans la direction de l’axe longitudinal de l’élément ; – bw : plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée ; (3) Dans le cas des éléments comportant des armatures d'effort tranchant verticales, la résistance à l'effort tranchant – z : bras de levier des forces internes ; on peut prendre z = 0, 9 d. V Rd est la plus petite des valeurs ci-dessous : Si l’élément comporte des armatures verticales à l’ET, la résistance a` l’ET VRd est la plus petite entre les valeurs VRd,s =

Asw z fywd cot θ, s

(3.88)

NOTE

etSi on utilise une Expression (6.10) , il convient de réduire la valeur de f ywd à 0,8 f ywk dans l' Expression (6.8) . fcd VRd,max = αcw bw z ν1 , (3.89) cot θ + tan θ et avec – Asw : aire de la section des armatures d’ET ; 115 où : A sw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant s est l'espacement des cadres ou étriers f ywd est la limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant

79 sur 213

17/05/2013 12:18

– s : espacement des cadres ; – fywd : limite d’élasticité de calcul des armatures d’ET ; – ν1 : coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré a` l’ET ; on peut prendre ν1 = ν ; si la contrainte de calcul des armatures d’ET est < 0, 8 fyk , on peut prendre ν1 = 0, 6 pour fck ≤ 60 MPa, ν1 = 0, 9 − fck /200 > 0, 5 pour fck > 60 MPa. – αcw : coefficient tenant compte de l’état de contrainte dans la membrure comprimée ; pour les structures non précontraintes, αcw = 1. L’aire effective maximale de la section des armatures pour l’ET Asw,max , pour θ = 45◦ , est donnée par 1 Asw,max fywd ≤ αcw ν1 fcd . bw s 2

(3.90)

Pour les éléments comportant des armatures a` l’ET inclinées, l’ET résistant est le plus petit entre VRd,s =

Asw z fywd (cot θ + cot α) sin α, s

(3.91)

et

cot θ + cot α , (3.92) 1 + cot2 θ L’aire effective maximale de la section des armatures pour l’ET Asw,max , pour θ = 45◦ , est donnée par Asw,max fywd αcw ν1 fcd ≤ . (3.93) bw s 2 sin α VRd,max = αcw bw z ν1 fcd

Dans les régions o` u il n’y a pas de discontinuité de VEd , la détermination des armatures d’effort tranchant sur une longueur élémentaire l = z(cot θ +cot α) peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur. L’effort de traction supplémentaire ∆Ftd dans les armatures longitudinales, dˆ u a` l’effort tranchant VEd du fait du modèle de calcul en treillis, est donné par ∆Ftd = 0, 5 VEd (cot θ − cot α);

(3.94)

il faut contrôler que ce soit MEd,max MEd + ∆Ftd ≤ , z z

(3.95)

o` u MEd,max est le moment fléchissant maximal le long de la poutre. Lorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l’élément, à une distance av du nu de l’appui telle que 0, 5d ≤ av ≤ 2, 0d , la contribution de cette 116

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Figure 3.20: Armatures d’effort tranchant dans des travées courtes, avec bielle Figure 6.6 Armatures d'effort tranchant dans des travées de transmission directe : Fig. 6.6 de l’EC2 courtes, avec bielle de transmission directe Pour a v < 0,5 d , il convient d'adopter a v = 0,5 d . En outre, pour la valeur de V Ed calculée sans appliquer le facteur de réduction !, il convient toujours d'être inférieur à V rd,max , l'tranchant Expression (6.9) . l’effort agissant V peut être minorée par β = a /2d. Pour la

charge a` Ed v valeur de 6.2.4 l’ETCisaillement VEd ainsientre calcul´ e, iletconvient de satisfaire la en condition l'âme les membrures des sections T

(1) La résistance au cisaillement de la membrure peut être calculée en considérant la membrure comme un système VEd ≤ Aàsw fywd sincorrespondant α, (3.96) de bielles de compression, associées des tirants aux armatures tendues. (2) Il convient de prévoir un ferraillage minimal, comme spécifié en 9.3.1 . o` u Asw fywd est la résistance des armatures qui traversent les fissures d’effort tran(3) La contrainte de cisaillement longitudinale v Ed , développée à la jonction entre un côté de la membrure et l'âme est chant dans la zoneparcharg´ ee, Fig. 3.20. Il (longitudinal) convient dans de ne tenirdecompte arma-: déterminée la variation d'effort normal la partie membruredes considérée

tures d’effort tranchant que dans la partie centrale, sur une longueur de 0, 75av . Il convient d’appliquer la réduction par β pour le seul calcul des armatures d’effort tranchant. Cette réduction est uniquement valable lorsque les armatures longitudinales sont complètement ancrées au droit de l’appui. Pour av < 0, 5d , il convient d’adopteroùa:v = 0, 5d. En outre, pour la valeur de VEd calculée sans appliquer le h f est l'épaisseur de la membrure à la jonction facteur de réduction β, il convient toujours d’être inférieur a` Vrd,max donné par la " x est la longueur considérée, voir Figure 6.7 (3.89). " F d est la variation de l'effort normal dans la membrure sur la longueur " x.

3.12.3

Cisaillement entre la nervure et la table de compression des sections en T

La résistance au cisaillement de la table de compression peut être calculée en la considérant comme un système de bielles de compression, associées à des tirants correspondant aux armatures tendues. La contrainte de cisaillement longitudinale vEd , développée à la jonction entre un côté de la table de compression et la nervure est déterminée par la variation d’effort normal dans la partie de membrure considérée : vEd =

∆Fd , hf ∆x

(3.97)

o` u, Fig. 3.21, 117

82 sur 213

17/05/2013 1

où : h f est l'épaisseur de la membrure à la jonction " x est la longueur considérée, voir Figure 6.7 " F d est la variation de l'effort normal dans la membrure sur la longueur " x.

Figure 3.21: Notations pour la jonction entre aˆme et membrures : Fig. 6.7 de l’EC2 82 sur 213

17/05/2013 12:1

– hf : épaisseur de la table de compression a` la jonction avec la nervure ; – ∆x : longueur considérée ; – ∆Fd : variation de l’effort normal dans la table de compression sur la longueur ∆x. La valeur maximale que l’on peut admettre pour ∆x est la moitié de la distance entre la section de moment nul et la section de moment maximal. S’il y a des charges ponctuelles, ∆x est au maximum la distance entre les charges. L’aire de la section des armatures transversales par unité de longueur, Asf /sf , est donnée par Asf fyd vEd hf ≥ . (3.98) sf cot θf Pour limiter la contrainte de compression dans les bielles comprimées, il faut contrôler que vEd ≤ νfcd sin θf cos θf . (3.99) En outre, pour les membrures comprimées, ¸ca doit être 1 ≤ cot θf ≤ 2 → 26, 5◦ ≤ θf ≤ 45◦ , tandis que pour les membrures tendues 1 ≤ cot θf ≤ 1, 25 → 38, 6◦ ≤ θf ≤ 45◦ . 118

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Figure 3.22: Modèle de vérification à l’ELU de poin¸connement : Fig. 6.12 de Figure 6.12 Modèle pour la vérification au poinçonnement à l’EC2 l'état-limite ultime (4) Il convient de vérifier la résistance au poinçonnement au nu du poteau et sur le contour de contrôle de référence u 1 . Si des armatures de poinçonnement sont nécessaires, il convient de trouver un autre contour u out,ef à partir duquel plus aucune armature de poinçonnement n'est nécessaire. (5) Les règles définies en 6.4 sont formulées en principe pour le cas de charges uniformément réparties. Dans Si le cas cisaillement entrelestable delacompression combin´ e a`àla flexion certains particuliers, comme semelles, charge à l'intérieuretdunervure contour deest contrôle contribue la résistance du système structural et peut être pour pour la détermination de la de calcul la contrainte résistante au transversale, il convient dedéduite prendre l’aire de lavaleur section desdearmatures la valeur poinçonnement.

donnée par la (3.98) ou la moitié de celle-ci plus l’aire requise pour la flexion trans6.4.2 Répartition desainsi charges et contourest de contrôle de référence versale, si l’aire obtenue supérieure. Si vEd ≤ 0, 4fctd , aucune armature (1) On peut normalement admettre que le contour de contrôle de référence u 1 est situé à une distance 2,0 d de l'aire suppl´ e mentaire n’est n´ e cessaire, en plus de celle la flexion. chargée ; il convient de le tracer de manière à minimiser sa longueur (pour voir Figure 6.13 ). La hauteur utile de la dalle est considérée comme constante et peut normalement être prise égale à :

3.13

Poin¸connement

Le poin¸connement résulte d’une charge concentrée sur une aire relativement fondation. Le modèle de calcul pour la vérification au poin¸connement a` l’ELU est esquissé en Fig. 3.22. Il faut vérifier le poin¸connement au nu du poteau et sur le contour de contrôle où d y etl’aire d z sontcharg´ les hauteurs armatures dansou deuxd’une directions orthogonales. petite, ee Autiles , d’une dalle semelle de loaddes

88 sur 213

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(6) La section de contrôle est la section dont la trace coïncide avec le contour de contrôle et qui s'étend sur la hauteur utile d . Pour des dalles d'épaisseur la section contrôle :est perpendiculaire plan moyen de la dalle. Figure 3.23: Contours deconstante, contrôle de réde férence Fig. 6.13 de au l’EC2 Figure 6.13 Contours de contrôle de référence types autour

Pour des dalles ou des semelles d'épaisseur variable, mais pas à redans, la hauteur utile peut être prise égale à d'aires chargées l'épaisseur le long du contour de l'aire chargée, comme indiqué sur la Figure 6.16 . (2) Il convient de considérer des contours de contrôle à une distance inférieure à 2 d lorsque la force concentrée est équilibrée par une pression élevée (pression des terres sur une fondation, par exemple), ou par les effets d'une charge ou d'une réaction à une distance inférieure ou égale à 2 d du contour de l'aire chargée. (3) Dans le cas d'aires chargées situées au voisinage de trémies, si la plus faible distance entre le contour de l'aire chargée et le bord de la trémie est inférieure ou égale à 6 d , la partie du contour de contrôle comprise entre deux tangentes à la trémie issues du centre de l'aire chargée est considérée comme non participante ( voir Figure 6.14 ).

Figure 3.24: Hauteur de la section de contrôle pour une semelle d’épaisseur vaFigure 6.16 Hauteur de la section de contrôle dans le cas riable : Fig. 6.16 de d'épaisseur l’EC2 variable d'une semelle (7) Il convient de donner aux autres contours u i , à l'intérieur ou à l'extérieur de la surface de contrôle, la même forme que celle du contour de la surface de contrôle de référence. (8) Dans le cas des dalles avec chapiteaux circulaires, pour lesquels l H < 2 h H ( voir Figure 6.17 ), une vérification des contraintes poinçonnement selon 6.4.3 exigée` pour une section de contrôlede située à l'extérieur du référence u1 ;depour les semelles, la n'est charge a que l’int´ erieur du contour contrˆ ole chapiteau. La distance de cette section à la ligne moyenne du poteau, r cont , peut être prise égale à :

de contribue a` la résistance du système et peut être déduite. Figure 6.14 Contour de contrôle au voisinage d'une trémie Le contour de contrôle de référence u1 est situé a` une distance 2d de l’aire (4) Dans le cas d'une aire chargée située au voisinage d'un bord ou d'un angle, il convient de choisir un contour de à ceux indiqués sur de la Figure 6.15 dans chargée,contrôle Fig. semblable 3.23 ; l’hauteur utile la dalle est la mesure où le périmètre qui en résulte (bords libres déduits) est inférieur à ceux obtenus selon (1) et (2) ci-dessus. où :

dy + dz , def f = l H est la distance du nu du poteau au bord du chapiteau 2 c est le diamètre du poteau circulaire.

(3.100)

o` u dy et dz sont les hauteurs utiles des armatures dans deux directions orthogonales. La section de contrôle est la surface cylindrique de trace le contour de contrôle et qui s’étend sur la hauteur utile d ; en cas de semelles a` épaisseur variable, on peut prendre d comme en Fig. 3.24.

3.13.1

Calcul de la r´ esistance au poin¸connement

Les vérifications doivent être faites au nu du poteau et sur le contour de contrôle de ré6.15 férence u1de. contrôle Si desdearmatures connement sont nécessaires, il Figure Contours référence pour de des poin¸ airestrouver chargées au bord ou d'un angle a convient de unvoisinage autred'un contour uout,ef ` partir duquel plus aucune armature (5) Dans le cas d'aires chargées situées à proximité d'un bord ou d'un angle, c'est-à-dire à une distance inférieure à d Figure 6.17 Dalle sur chapiteau, l H < 2,0 h H de poin¸ connement n’est nécessaire. , il convient dans tous les cas de prévoir des armatures de rive particulières, voir 9.3.1.4 .

Dans le cas d'un poteau rectangulaire avec un chapiteau rectangulaire et l H < 2,0 d ( voir Figure 6.17 ), de dimensions l 1 et l 2 ( l 1 = c 1 + 2 l H1 , l 2 = c 2 + 2 l H2 , l 1 ! l 2 ), la valeur de r cont peut être prise égale à la plus petite des valeurs 120 suivantes : 89 sur 213 17/05/2013 12:18

(9) Dans le cas de dalles avec chapiteaux tels que l H > 2 h H ( voir Figure 6.18 ), il convient de vérifier les sections de contrôle à la fois dans le chapiteau et dans la dalle. (10) Les dispositions de 6.4.2 et 6.4.3 s'appliquent également aux vérifications effectuées dans le chapiteau, avec d pris égal à d H conformément à la Figure 6.18 .

Les valeurs de calcul des résistances au poin¸connement le long des sections de contrôle sont définies comme : – vRd,c : valeur de calcul de la résistance au poin¸connement d’une dalle sans armatures de poin¸connement le long de la section de contrôle considérée ; – vRd,cs : valeur de calcul de la résistance au poin¸connement d’une dalle avec armatures de poin¸connement le long de la section de contrôle considérée ; – vRd,max : valeur maximale de calcul de la résistance au poin¸connement le long de la section de contrôle considérée. Il faut procéder aux vérifications suivantes : – le long du contour du poteau ou du contour de l’aire chargée vEd ≤ vRd,max ; – aucune armature de poin¸connement n’est nécessaire si vEd ≤ vRd,c ; – si vEd > vRd,c pour la section de contrôle considérée, il faut utiliser des armatures de poin¸connement, voir paragraphe 3.13.3. L’EC2 spécifie aussi la manière dont on modifie la valeur de vEd en cas de réaction d’appui excentrée pour différents cas de figure, cfr. § 6.4.3 de l’EC2.

3.13.2

R´ esistance au poin¸connement sans armatures

Il faut distinguer entre dalles et semelles de fondation. Dalles La résistance au poin¸connement doit être évaluée pour la section de contrôle de référence et elle vaut vRd,c = CRd,c k(100ρl fck )1/3 + k1 σcp ≥ vmin + k1 σcp , o` u: – – – –

– – – – – – –

(3.101)

fck en MPa q ; ≤ 2, d en mm ; k = 1 + 200 d √ ρl = ρly ρlz ≤ 0, 02 ; ρly et ρlz : relatives aux armatures tendues dans les directions y et z, calculées comme une valeur moyenne sur une largeur de dalle égale a` la largeur du poteau plus 3d de part et d’autre ; cz σcp = σcy +σ ; 2 NEd,y N σcy = Acy , σcz = AEd,z ; cz NEd,y , NEd,z : efforts normaux agissant sur les largeurs de dalle participante ; Ac : aire de la section de béton qui correspond a` l’effort NEd pris en compte ; 1/2 vmin = (0, 053/γc )k 3/2 fck ; k1 = 0, 1 ; CRd,c = 0,18 . γc 121

Semelles Pour les semelles, on peut prendre un contour de contrôle a` une distance a < 2d du nu du poteau ; dans ce cas la longueur du contour est indiquée par u. Dans le cas d’une charge centrée, la valeur nette de l’effort vaut VEd,red = VEd − ∆VEd ,

(3.102)

avec : – VEd : effort tranchant appliqué a` la semelle ; – ∆VEd : valeur nette de la force de réaction verticale a` l’intérieur du contour de contrôle considéré, à savoir la réaction du sol moins le poids propre de la fondation. Il faut contrôler que ce soit vEd =

VEd,red ≤ vRd , ud

(3.103)

avec

2d 2d ≥ vmin . (3.104) a a La norme prévoit aussi le cas d’un chargement excentré, voir EC2, § 6.4.4 (2). vRd = CRd,c k(100ρl fck )1/3

3.13.3

R´ esistance au poin¸connement avec armatures

Si des armatures de poin¸connement sont nécessaire, il convient de les calculer a` l’aide de l’expression vRd,cs = 0, 75 vRd,c + 1, 5

d sin α , Asw fywd,ef sr u1 d

(3.105)

o` u: – Asw : aire d’un cours d’armatures de poin¸connement sur un périmètre autour du poteau, en mm2 ; – sr : espacement radial des cours d’armatures au poin¸connement, en mm ; – fywd,ef : limite d’élasticité de calcul efficace des armatures de poin¸connement, avec fywd,ef = 250 + 0, 25d ≤ fywd , en MPa ; – d : moyenne des hauteurs utiles dans les directions orthogonales, en mm ; – α : angle des armatures de poin¸connement avec le plan de la dalle. S’il y a une seule file de barres pliées vers le bas, alors d/sr = 0, 67. Au voisinage du poteau, la résistance est limitée a` : vEd =

βVEd ≤ vRd,max , u0 d

o` u: 122

(3.106)

– – – – –

pour un poteau intérieur, u0 = périmètre circonscrit minimal ; pour un poteau de rive, u0 = c2 + 3d ≤ c2 + 2c1 ; pour un poteau d’angle, u0 = 3d ≤ c1 + c2 ; c1 , c2 : dimensions du poteau, c1 ≥ c2 ; β : coefficient qui dépend de l’excentricité de la charge, de la forme du poteau et de sa position, voir EC2, § 6.4.3 (3), (4) et (5). En ce qui concerne vRd,max , il est vRd,max = 0, 4 ν fcd ,

(3.107)

avec ν donné par la (3.86). Il convient de déterminer le contour de contrôle uout pour lequel aucune armature de poin¸connement n’est nécessaire : uout =

βVEd . vRd,c d

(3.108)

Il faut placer la file périphérique extérieure des armatures de poin¸connement a` une distance ≤ 1, 5d a` l’intérieur de uout . La disposition de l’armature de poin¸connement est donnée en Fig. 3.25. L’armature minimale de poin¸connement est donnée par √ 1, 5 sin α + cos α fck ≥ 0, 08 , (3.109) Asw,min sr st fyk o` u: – α : angle entre les armatures de poin¸connement et les armatures principales ; – sr : espacement des cadres ou étriers dans la direction radiale ; – st : espacement des cadres ou étriers dans la direction tangentielle. Il convient de limiter a` d/2 la distance entre le nu d’un appui et les armatures de poin¸connement les plus proches prises en compte dans le calcul.

123

# voir 6.4.3 (3), (4) et (5) . NOTE La valeur de v Rd,max à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est v Rd,max = 0,4 ! f cd , où $ est donné par l' Expression (6.6N) . (4) Il convient de déterminer le contour de contrôle u out (ou u out,ef voir Figure 6.22 ) pour lequel aucune armature de poinçonnement n'est requise au moyen de l' Expression (6.54) :

Il convient de placer la file périphérique extérieure des armatures de poinçonnement à une distance inférieure ou égale à kd à l'intérieur de u out (ou u out,ef voir Figure 6.22 ). NOTE La valeur de k à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est k = 1,5.

Reef4 - CSTB


Figure 6.22 Contours de contrôle pour les poteaux intérieurs

(5) Lorsque des Produits de Marque déposée sont utilisés comme armatures de poinçonnement, il convient de déterminer v Rd,cs par des essais conformes à l'Agrément Technique Européen correspondant. Voir également 9.4.3 .

6.5 Dimensionnement à l'aide de modèles bielles-tirants

97 sur 213

17/05/2013 12:18

Figure 3.25: Armature de poin¸connement : Fig. 6.22 et 9.10 de l’EC2

Figure 9.10 Armatures de poinçonnement

NOTE La valeur de k est donnée en 6.4.5 (4). (2) Lorsque des armatures de poinçonnement sont exigées, l'aire de l'armature (étrier ou épingle), A donnée par l' Expression (9.11) :

sw,min

, est

où : ! est l'angle entre les armatures de poinçonnement et les armatures principales (c.-à-d. pour des cadres verticaux, ! = 90° et sin ! = 1) 124 s r est l'espacement des cadres ou étriers de poinçonnement dans la direction radiale s t est l'espacement des cadres ou étriers de poinçonnement dans la direction tangentielle f ck est en MPa. Seule la composante verticale des armatures de précontrainte existant à moins de 0,5 d du poteau peut être incluse dans le calcul de l'effort tranchant. (3) Les barres relevées traversant l'aire chargée ou se trouvant à une distance de cette aire inférieure à 0,25 d peuvent être utilisées comme armatures de poinçonnement ( voir Figure 9.10 b) , en haut). (4) Il convient de limiter à d /2 la distance entre le nu d'un appui, ou la circonférence d'une aire chargée, et les armatures de poinçonnement les plus proches prises en compte dans le calcul. Il convient de mesurer cette distance au niveau des armatures tendues. Lorsqu'une seule file de barres relevées est prévue, leur angle de pliage peut être réduit à 30°.

Chapitre 4 Calcul du b´ eton arm´ e aux ´ etats limites de service 4.1

Introduction

Les états limites de service (ELS) sont des situations de calculs dans lesquelles ce n’est pas la résistance ultime de la section qui est prises en compte, mais une condition accessoire qui concerne la durabilité ou la déformation de la structure. Ce n’est donc pas la crise structurale l’objet de ces contrôles, mais plutôt la possibilité que se vérifie une situation capable de compromettre l’utilisation correcte de la structure ou sa durabilité. L’EC2 prévoit trois types d’ELS : 1. ELS de limitation des contraintes ; 2. ELS de fissuration ; 3. ELS de déformation. D’autres EL sont envisageables (p. ex. sur les vibrations). Les combinaisons des actions changent pour les ELS par rapport aux ELU ; en particulier, les coefficients partiels sont différents et en ce qui concerne les matériaux, il est γc = γs = 1. Voyons ci de suite les différents cas.

4.2

ELS de limitation des contraintes

Pour éviter la formation de fissures longitudinales ou une excessive déformation visqueuse (fluage), l’EC2 impose de limiter la contrainte normale à une valeur σcmax ≤ 0, 6fck 125

(4.1)

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Figure 4.1: Classes d’exposition en fonction des conditions d’environnement : Tableau 4.1 de l’EC2.

Tableau 4.1 Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement, conformément à l'EN 206-1

126

(3) En plus des conditions du Tableau 4.1 , il convient de considérer certaines formes particulières d'actions agressives ou d'actions indirectes : attaque chimique due par exemple à : utilisation du bâtiment ou de l'ouvrage (stockage de liquides, etc.)

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pour les structures dans un environnement de type XD, XF ou XS, voir Tableau 4.1 de l’EC2, Fig. 4.1, qui liste les conditions d’exposition des structures. Afin d’éviter des déformations inélastiques, une fissuration ou des flèches inacceptables, il faut que la contrainte dans les armatures soit limitée à σs ≤ 0, 8fyk

(4.2)

sous la combinaison d’actions caractéristiques, Gk + Qk1 + M i=2 ψ0i Qki . Pour l’étude des déformations de fluage l’EC2 prescrit que sous la combinaison P erer le fluage linéaire si quasi permanente, Gk + M i=1 ψ2i Qki , on peut consid´ P

σcmax ≤ 0, 45fck ,

(4.3)

en cas contraire il faut utiliser la théorie du fluage non linéaire.

4.3

ELS de fissuration

La norme prévoit un contrôle de la fissuration, possible, d’une structure, car celle-ci ne doit pas porter préjudice à la durabilité de la construction. Dans ce but, l’EC2 impose de vérifier de vérifier que ce soit wk ≤ wmax ,

(4.4)

o` u wk est l’ouverture calculée des fissures, voir paragraphe 4.3.3, alors que wmax est une valeur limite, précisée dans l’Annexe National, Tableau 7.1 NF, en fonction de la classe d’exposition, Fig. 4.2. Le contrôle (4.4) doit être fait pour la combinaison quasi permanente des P ee, qui permet de ne pas procéder charges, Gk + M i=1 ψ2i Qki . Une option simplifi´ au calcul de wk , consiste a` limiter le diamètre ou l’espacement des barres, voir paragraphe 4.3.2.

4.3.1

Sections minimales d’armature

Lorsque la maˆıtrise de la fissuration est requise, l’EC2 prescrit de disposer une quantité minimale d’armature pour maˆıtriser la fissuration dans les zones o` u l’on prévoit l’existence de contraintes de traction : As,min σs = kc k fct,ef f Act , avec : – As,min : aire de la section minimale d’armature dans la zone tendue – Act : aire de la section droite de béton tendu 127

(4.5)

Clause 6.8.6 (3) NOTE La valeur de k 3 à utiliser est celle recommandée. Clause 6.8.7 (1) NOTES La valeur de N * à utiliser est celle recommandée. La valeur de k 1 à utiliser est celle recommandée. Clause 7.2 (2) NOTE La valeur de k 1 à utiliser est celle recommandée. Clause 7.2 (3) NOTE La valeur de k 2 à utiliser est celle recommandée. Clause 7.2 (5) NOTE Les valeurs de k 3 et k 4 à utiliser sont celles recommandées et la valeur de k 5 à utiliser est 0,8. Clause 7.3.1 (5) NOTE À défaut d'exigences plus détaillées, les valeurs de w max à utiliser sont données dans le Tableau 7.1NF.

Figure 4.2: Valeurs recommandé(1) es de wmax : Tableau 7.1NF de l’Annexe National. Tableau 7.1NF Valeurs recommandées de wmax

(mm)

En l'absence d'exigences spécifiques (étanchéité à l'eau par exemple), on peut admettre que la limitation des ouvertures calculées des fissures aux valeurs wmax du Tableau 7.1NF sera généralement satisfaisante du point de vue de l'aspect et de la durabilité. Pour les dalles et voiles de plus de 0,8 m d'épaisseur et pour les poutres en béton armé de plus de 2 m de hauteur, la maîtrise de la fissuration est définie par la norme NF EN 1992-2 ou la norme NF EN 1992-3 et le cas échéant par des documents spécifiques ou les documents particuliers du marché. Les éléments de fondations profondes et les écrans de soutènement pourront faire l'objet de dispositions

17 sur 27

17/05/2013 13:25

128

– σs : contrainte maximale admise dans l’armature immédiatement après la formation de la fissure ; l’Annexe National fixe σs = fyk – fct,ef f : valeur moyenne de la résistance en traction du béton au moment de la formation des fissures ; l’EC2 prescrit fct,ef f = fctm , si la fissuration ne se produit pas avant 28 jours, sinon il faut prendre une valeur inférieure – k : coefficient qui tient compte de l’effet des contraintes non uniformes auto équilibrées, conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations gênées ; l’EC2 prescrit de prendre k = 1 pour les âmes telles que h ≤ 30 cm ou les membrures d’une largeur inférieure a` 30 cm, sinon k = 0, 65 pour les âmes avec h ≥ 80 cm ou les membrures d’une rageur supérieure a` 80 cm ; pour les cas intermédiaires, on admet une interpolation linéaire – kc : coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section avant la fissuration, ainsi que de la modification du bras de levier. L’EC2 prescrit que, en traction pure, kc = 1, tandis qu’en flexion simple ou composée # " σc ≤ 1, (4.6) kc = 0, 4 1 − k1 (h/h∗ )fct,ef f pour les sections rectangulaires et les aˆmes des poutres en caisson ou en T, sinon Fcr kc = 0, 9 ≥ 0, 5, (4.7) Act fct,ef f pour les membrures des caissons et des sections en T. Dans les (4.6) et (4.7), il est – σc : contrainte moyenne dans le béton régnant dans la partie de la section considérée : Ned σc = , (4.8) bh avec Ned effort normal agissant a` l’ELS dans la partie de la section considérée (positif si de compression) – h∗ = h si h < 1 m – h∗ = 1 m si h ≥ 1 m – k1 : coefficient qui prend en compte les effets de l’effort normal sur la répartition des contraintes : k1 = 1, 5 si Ned > 0, k1 = 2h∗ /3h si Ne d < 0 – Fcr : valeur absolue de l’effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du fait du moment de fissuration calculé avec fct,ef f .

4.3.2

Maˆıtrise de la fissuration sans calcul direct

Pour les dalles sollicitées à la flexion, sans traction axiale significative, aucune disposition particulière n’est nécessaire, si l’épaisseur est inférieur a` 20 cm. 129

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En général, les règles présentées au paragraphe suivant peuvent être présentées Reef4 - CSTB http://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents/print.jsp?code4x sous la forme de tableaux limitant le diamètre a` la valeur φ∗s , Fig. 4.3, ou l’espacement des barres, Fig. 4.4.

Tableau 7.2N Diamètre maximal ! * s des barres pour la maîtrise de la fissuration ¹

NOTE 1 valeurs du tableau sont basées les hypothèses suivantes : ıtrise de la fissuration : Figure 4.3:Les Diam` etre maximal des sur barres φ∗s pour la maˆ * Tableau 7.2N Diamètre maximal ! des s c = 25mm ; f ct,eff = 2,9 MPa ; h cr = 0,5 ; ( h - d barres ) = 0,1pour h ; kla1 = 0,8 ; k 2 = 0,5 ; k c = 0,4 ; k 4 = 1,0 ; k t = 0,4 et Tableau 7.2Nk' =de1,0l’EC2. maîtrise de la fissuration ¹ NOTE NOTE 2 1 du tableau sont basées sur les hypothèses suivantes : SousLes les valeurs combinaisons d'actions appropriées. c = 25mm ; f ct,eff = 2,9 MPa ; h cr = 0,5 ; ( h - d ) = 0,1 h ; k 1 = 0,8 ; k 2 = 0,5 ; k c = 0,4 ; k 4 = 1,0 ; k t = 0,4 et k' = 1,0 NOTE 2 Sous les combinaisons d'actions appropriées.

Figure 4.4: Espacement maximal des barres pour la maˆıtrise de la fissuration : Tableau 7.3N Espacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration ¹ Tableau 7.3N de l’EC2. Pour les notes voir le Tableau 7.2N. Tableau 7.3N Espacement maximal des barres pour la

NOTE maîtrise fissuration ¹ le diam` L’EC2 permet aussi dedela modifier etre des barres : Le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit : Pour les notes voir le Tableau 7.2N. – pour la flexion flexion (une partie de la section au moins est comprimée) fct,ef f kc hcr , φs = φ∗s NOTE 2, 9 2(h − d) Le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit : flexion (une partie de la section au moins est comprimée) – pour la traction hcr ∗ fct,ef f traction (traction axiale) φs = φs , 2, 9 8(h − d)

traction (traction axiale)

115 sur 213

115 sur 213

(4.9)

(4.10)

130

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17/05/2013

o` u – – – –

φs : diamètre maximal modifié de la barre ; h : hauteur totale de la section ; hcr : hauteur de la zone tendue avant fissuration ; d : hauteur utile au barycentre du lit extérieur d’armatures.

4.3.3

Calcul de l’ouverture des fissures

L’ouverture des fissures wk est donnée par wk = sr,max (εsm − εcm ),

(4.11)

o` u – sr,max : espacement maximal des fissures – εsm : déformation moyenne de l’armature ; on en considère que l’allongement relatif au-delà de l’état correspondant a` l’absence de déformation du béton au même niveau ; – εcm : déformation moyenne du béton entre les fissures. En outre, f f (1 + αe ρp,ef f ) σs − kt ρct,ef σs p,ef f ≥ 0, 6 , (4.12) εsm − εcm = Es Es o` u – σs : contrainte dans les armatures tendus, en considérant la section fissurée ; s – αe = EEcm ; As ; – ρp,ef f = Ac,ef f – Ac,ef f : aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, a` savoir l’aire de la section de béton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef = min{2, 5(h − d); (h − x)/3; h/2, voir Fig. 4.5 ; – kt = 0, 6 pour une charge de courte durée ; – kt = 0, 4 pour une charge de longue durée. Si les armatures sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe inférieur à 5(c + φ/2), l’espacement final maximal des fissures peut être calculé comme, voir aussi Fig. 4.6, φ sr,max = k3 c + k1 k2 k4 , (4.13) ρp,ef f o` u – φ : diamètre des barres ; si plusieurs diamètres sont utilisés, on utilise un diamètre équivalent φeq ; si l’on a n1 barre de diamètre φ1 et n2 barres de diamètre φ2 alors n1 φ21 + n2 φ22 φeq = ; (4.14) n1 φ1 + n2 φ2 131

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http://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents/print.jsp?c

Figure 4.5: Sections effectives de béton autour des armatures tendues : Fig. 7.1 Figure 7.1 Sections effectives de béton autour des de l’EC2. armatures tendues (cas types)

7.3.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (1) Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées à la flexion sans tractio axiale significative, aucune disposition particulière n'est nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque l'épaisse totale de la dalle n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3 sont respectées. (2) Comme simplification, les règles données en 7.3.4 peuvent être présentées sous la forme de tableaux limitant diamètre ou l'espacement des armatures. NOTE Lorsque les éléments comportent le ferraillage minimal donné en 7.3.2 , on peut estimer que les ouvertures des 132 fissures ne seront pas excessives : si pour des fissures principalement dues aux déformations gênées, les diamètres des barres ne dépassent pas les valeurs données dans le Tableau 7.2N , la contrainte de l'acier étant égale à la valeur obtenue juste après la fissuration (c.-à-d. ! s dans l' Expression (7.1) ) si pour des fissures principalement dues aux charges, les dispositions du Tableau 7.2N ou bien celles du Tableau 7.3N sont satisfaites. Il convient de calculer la contrainte de l'acier sur la base d'une section fissurée sous la combinaison d'actions considérée. Dans le cas du béton précontraint par pré-tension, lorsque la maîtrise de la fissuration est essentiellement assurée par les armatures de précontrainte adhérentes, les Tableaux 7.2N et 7.3N peuvent être utilisés en prenant la contrainte totale dans ces armatures diminuée de la pré-tension. Dans le cas du béton précontraint

A c,eff est l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, c'est-à-dire l'aire de la section de béton autour des armatures de traction, de hauteur h c,ef , où h c,ef est la plus petite des trois valeurs ci-après : 2,5( h - d ), ( h - x )/3 ou h /2 ( voir Figure 7.1 ) – cqu'indiqué : enrobage armatures $ 1 tel par l'des Expression (7.5) longitudinales ; – k = 0, 8 pour barre ` a haute adh´ rence ; k t est un laecharge 1 facteur dépendant de la durée de – kkt1== 6 pour barres lisses ; 0,61,dans le cas d'un chargement de courte durée – kkt2== 5 pour la d'un flexion ; 0,40,dans le cas chargement de longue durée. – k = 1 pour la traction pure ; (3) Lorsque 2les armatures adhérentes sont disposées dans la zone tendue avec un entraxe suffisamment faible (espacement – k3 %=5(3,c4 +; ! /2)), l'espacement final maximal des fissures peut être calculé au moyen de l' Expression 2/3 (7.11) ( voir 7.2 ) : – kFigure , c en mm. 4 = 0, 425 si c ≤ 25 mm, autrement k4 = 3, 4(25/c)

Figure 4.6: Ouverture des fissures w a` al surface du béton en fonction de la distance aux armatures : Fig. de l’EC2. Figure 7.2 Ouverture des fissures w à7.2 la surface du béton en fonction de la distance aux armatures

Si l’espacement des armatures excède 5(c + φ/2), on peut poser sr,max = 1, 3(h − x).

(4.15)

Dans le cas d’éléments armés dans deux directions orthogonales, si l’angle entre où : les directions des contraintes principales et les directions des armatures est > 15◦ , ! est le diamètre des barres. Lorsque plusieurs diamètres de barres sont utilisés dans une même section, il alors 1 le cas d'une section comportant n 1 barres de diamètre ! 1 convient de retenir un diamètre équivalent . Dans sr,max = ! eq (4.16) cos θ sin θ , et n 2 barres de diamètre ! 2 , il convient d'adopter : + sr,max,y sr,max,z o` u – θ : angle entre les armatures dans la direction y et la direction de la contrainte principale de traction ; – sr,max,y , sr,max,z : espacement des fissures dans les directions y et z. 117 sur 213

133

17/05/2013 12:1

4.4

ELS de d´ eformation

La flèche d’une poutre de portée l doit être inférieure a` l/250, sous les combinaison des charges quasi-permanentes. Il est possible de donner une contre-flèche, mais non supérieure à l/250. La déformation après construction doit être limitée a` l/500, si cette déformation est susceptible d’endommager les éléments de structure avoisinants la poutre en considération, toujours pour les charges quasi-permanentes. L’EC2 permet une dispense du calcul de la déformation, si le rapport portée/hauteur est limité, soit de calculer la déformation et de la comparer avec les limites ci-dessus.

4.4.1

Limitation du rapport port´ ee/hauteur

Si le rapport portée/hauteur l/d ne dépasse pas la valeur 

!3/2 

q q ρ0 ρ0 l = K 11 + 1, 5 fck + 3, 2 fck −1 d ρ ρ

 s

"

q l ρ0 1q ρ0 = K 11 + 1, 5 fck + f ck d ρ − ρ0 12 ρ

si ρ ≤ ρ0 ,

(4.17)

si ρ > ρ0 ,

(4.18)

#

alors deux – – –

il n’est pas nécessaire de calculer explicitement les déformations. Dans ces relations, il est : K : coefficient √ donné en Fig. 4.7 ; −3 fck : pourcentage d’armature de référence ; ρ0 = 10 ρ : pourcentage d’armatures en traction nécessaire à mi-portée (ou a` l’encastrement pour les poutres consoles) ; – ρ0 : pourcentage d’armature de compression nécessaire à mi-portée (ou à l’encastrement pour les poutres consoles) ; – fck en MPa. Les (4.17) et (4.18) ont été établies pour une contrainte dans l’acier de 310 MPa, correspondant à peu près à fyk = 500 MPa. Si l’on admet d’autres niveaux de contrainte, il convient de multiplier les valeurs obtenues par 310/σs . Pour les sections en T, ayant un rapport largeur table de compression/largeur nervure supérieur a` 3, les valeurs obtenues par les (4.17) et (4.18) doivent être multipliées par 0,8.

4.4.2

V´ erification des fl` eches par le calcul

Dans le calcul de la flèche, il convient de faire un calcul en section non fissurée si la charge appliquée ne peut pas provoquer, dans une section quelconque, une 134

Reef4 - CSTB

http://62.23.104.66:8080/reef4/actions/documents/print.jsp?code4x=QNG

Figure 4.7: Coefficient K et rapport limite l/d : Tab. 7.4NF de l’Annexe National Tableau 7.4NF Valeurs de base du rapport portée/hauteur de l’EC2. utile pour les éléments en béton armé, en l'absence d'effort normal de compression

Clause 7.4.3 (2)P NOTE Pour les bâtiments cette méthode s'appelle la « méthode de calcul des flèches nuisibles » et elle tient compte du processus de chargement, conformément au 7.4.1 (3), ainsi que des propriétés données ci après dans le présent document. Clause 8.2 (2) NOTE

5

Les valeurs de k 1 et k 2 à utiliser sont celles recommandées sauf dispositions contraires dans les normes spécifiques à certains types d'ouvrages de fondations profondes (par exemple la norme NF EN 1536 pour les pieux forés, la norme NF P 94-262 5 pour les fondations profondes, la norme NF P 94-282 5 pour les écrans de soutènement). 5)

En préparation.

135

Clause 8.3 (2) NOTE Les valeurs de !m,min à utiliser sont celles données dans le Tableau 8.1N recommandé. Clause 8.5 La clause 8.3 (3) ne s'applique pas aux cadres, étriers et épingles. Clause 8.6 (2) NOTE L'ancrage additionnel à utiliser pour un acier de treillis soudé du fait de ses aciers transversaux soudés, soit F btd , est donné par l'expression (8.8N) recommandée.

traction supérieure à la résistance a` la traction du béton. Si au contraire des fissures peuvent apparaˆıtre alors on peut estimer que la relation suivante estime de manière appropriée leur comportement : α = ζ αII + (1 − ζ)αI ,

(4.19)

o` u: – α : paramètre de déformation considéré (p. ex. une déformation unitaire, une courbure, une rotation, une flèche) ; – αI : valeur du paramètre dans l’état non fissuré ; – αII : valeur du paramètre dans l’état entièrement fissuré ; – ζ = 1 − β(σsr /σs )2 : coefficient de distribution (il tient compte de la participation du béton tendu dans la section) ; ζ = 0 pour les sections non fissurées ; – β : coefficient qui prend en compte la durée du chargement ou sa répétition : β = 1 pour un chargement unique de courte durée, β = 0, 5 pour un chargement de longue durée ou pour un chargement cyclique ; – σs : contrainte dans les armatures, calculée en supposant la section fissurée ; – σsr : contrainte dans les armatures tendues, calculée en supposant la section fissurée sous les conditions de chargement provoquant la première fissure. Pour les conditions de chargement de longue durée, susceptibles de provoquer une déformation de fluage, la déformation totale, inclus le fluage, peut se calculer en utilisant le module d’Young effectif du béton calculé comme Ec,ef f =

Ecm , 1 + ϕ(∞, t0 )

(4.20)

o` u ϕ(∞, t0 ) est le coefficient de fluage pour la charge et l’intervalle de temps considérés. Les courbures dues au retrait peuvent s’évaluer par la relation 1 S = εcs αe , rcs I

(4.21)

o` u: – 1/rcs : courbure due au retrait ; – εcs : déformation libre de retrait ; – S : moment statique de la section d’armature par rapport à l’axe barycentrique ; – I : moment d’inertie de la section ; – αe = Es /Ec,ef f : coefficient d’équivalence effectif. Il convient de calculer S et I pour l’état non fissuré et pour celui entièrement fissuré, l’estimation de la courbure finale étant effectuée au moyen de la (4.19). 136

Chapitre 5 Dispositions constructives L’EC2 prévoit un certain nombre de règles concernant les dispositions constructives des structures en béton armé. Ci de suite on ne rappelle que les principales concernant les poutres et les poteaux.

5.1

Enrobage

L’enrobage nominal, spécifé dans les plans, est cnom = cmin + ∆cdev ,

(5.1)

o` u ∆cdev est une marge de tolérance tandis que cmin est la valeur minimale donnée par cmin = max {cmin,b ; cmin,dur + ∆cdur,γ − ∆cdur,st − ∆cdur,add ; 10mm} ,

(5.2)

o` u: – cmin,b : enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérence, voir Fig. 5.1 ; – cmin,dur : enrobage minimal vis-à-vis des exigences de durabilité, voir Fig. 5.2 et Fig. 5.3 ; – ∆cdur,γ : marge de sécurité ; en France ∆cdur,γ = 0 ; – ∆cdur,st : réduction de l’enrobage minimal en cas d’acier inoxidable ; en France ∆cdur,st = 0 ; – ∆cdur,add : réduction de l’enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire ; en France ∆cdur,add = 0. Pour ce qui concerne les tolérances de fabrication il faut prendre ∆cdev = 10 mm ; dans des situations particulières, notamment en cas de mise en place d’un système de contrôle de la qualité, on peut diminuer la valeur de ∆cdev , selon les spécifications de l’Annexe National. 137

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Figure 5.1: Enrobage pour l’adh´ erence ; Tab. 4.2 de l’EC2. Tableau 4.2 Enrobageminimal minimal c min,b requis vis-à-vis de l'adhérence

5.2

Armatures

5.2.1

Espacement des barres

Les barres

o` u: – – – –

NOTE En ce qui concerne l'enrobage des armatures de précontrainte pré-tendues et l'enrobage des gaines de précontrainte de section circulaire ou plates, pour armatures adhérentes, les valeurs de c min,b à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale . Les valeurs recommandées pour les gaines de précontrainte par post-tension sont les suivantes : gaines de section circulaire : diamètre gaines plates : la plus petite dimension ou la moitié de la plus grande dimension, si celle-ci est supérieure Il n'y a pas d'exigence supérieure à 80 mm pour les gaines de section circulaires ou les gaines plates. doivent être espacées d’une distance libre donnée par Les valeurs recommandées pour les armatures de précontrainte pré-tendues sont les suivantes : 1,5 × diamètre du toron ou du fil lisse 2,5 × diamètre du fil max {kcranté. (5.3) 1 φ; dg + k2 ; 20mm} ,

(4) Il convient de retenir un enrobage minimal de l'ancrage des armatures de précontrainte conforme à l'Agrément Technique Européen concerné. (5) L'enrobage minimal des armatures de béton armé et des armatures de précontrainte dans un béton de masse diam` etre de la barre ; volumique normale, qui tient compte des classes d'exposition et des classes structurales, est donné par c min,dur .

φ: k1 = 1 ; NOTE dg : dimension du plus grand granulat, mm ; dans un pays donné peuvent être fournies par son Les classes structurales et les valeurs de cen à utiliser min,dur Annexe Nationale . La Classe Structurale recommandée (durée d'utilisation de projet de 50 ans) est la classe k2 = 5 mm. S4, pour les résistances indicatives du béton données à l' Annexe E ; le Tableau 4.3N donne les modifications

5.2.2

de Classe Structurale recommandées. La Classe Structurale minimale recommandée est la classe S1. Les valeurs recommandées de c min,dur sont données dans le Tableau 4.4N (armatures de béton armé) et dans le Tableau 4.5N (armatures de précontrainte).

Cintrage des barres

Il convient de limiter le diamètre des mandrins de cintrage des barres pliées, afin d’éviter d’un côté la formation de fissures dans les barres, de l’autre côté la rupture du béton situé dans la partie courbe de la barre. Pour éviter d’endommager la barre, le diamètre du mandrin de cintrage doit être non inférieur a` φm,min , spécifié dans le tableau en Fig. 5.4. Il n’est pas nécessaire de vérifier le diamètre du mandrin vis-à-vis de la rupture du bétons si : – le diamètre du mandrin est > φm,min ; – soit l’ancrage nécessaire de la barre ne dépasse pas 5φ au-delà de l’extrémité de la partie courbe, soit la barre n’est pas disposée près de la surface et il existe une barre transversale de diamètre ≥ φ a` l’intérieur de la partie courbe. 138 43 sur 213

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Figure Tableau 5.2: Classification structurale recommandée ; Tab. 4.3NN de l’Annexe Na4.3NF Modulations de la classe structurale recommandée, en vue de la détermination enrobages tional. minimaux cmin,dur dans les Tableaux 4.4N etdes4.5NF

En cas contraire, il faut augmenter le diamètre du mandrin : 1

φm ≥ Fbt ab

+ fcd

1 2φ

,

(5.4)

o` u: – Fbt : effort de traction dˆ u aux charges ultimes dans une barre a` l’origine de la partie courbe ; 10 sur 27 17/05/2013 13:25 – ab : moitié de l’entraxe entre les barres, perpendiculairement au plan de courbure ; si la barre est proche du parement de l’élément, il convient de prendre pour ab l’enrobage majoré de φ/2. 139

Tableau 4.3N Classification structurale recommandée

Figure 5.3:Valeurs Valeurs de l’enrobage minimal cmin,dur ; Tab. 4.4N de l’EC2. Tableau 4.4N de l'enrobage minimal c min,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de béton armé conformes à l'EN 10080

5.2.3

Ancrage des barres longitudinales

L’ancrage des barres doit assurer une bonne transmission des forces d’adhérence au béton, en évitant toute fissuration longitudinale ainsi que tout éclatement du béton ; l’EC2 prévoit différents modes d’ancrage autres que le scellement droit, illustrés en Fig. 5.5. Contrainte ultime d’adh´ erence La contrainte ultime d’adhérence fbd doit être suffisante pour éviter la rupture d’adhérence ; pour les barres HA 44 sur 213

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fbd = 2, 25η1 η2 fctd ,

(5.5)

o` u: – fctd : résistance de calcul en traction du béton ; – η1 : coefficient lié aux conditions d’adhérence et a` la position de la barre, voir Fig. 5.6 ; en particulier, η1 = 1 pour des conditions d’adhérence ”bonnes”, eta1 = 0, 7 dans les autres cas ; – η2 = 1 pour φ ≤ 32 mm ; pour φ > 32 mm. – η2 = 132−φ 100 Longueur d’ancrage de r´ ef´ erence Pour une contrainte d’adhérence constante et égale a` fbd , la longueur d’ancrage de référence lb,rqd nécessaire pour ancrer l’effort As σsd qui règne dans une barre droite vaut φ σsd lb,rqd = , (5.6) 4 fbd 140

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Figure 5.4: Diamètre de cintrage φm,min ; Tab. 8.1N de l’EC2.

Tableau 8.1N Diamètre minimal du mandrin afin d'éviter les dommages aux armatures

Il n'est pas nécessaire de justifier le diamètre du mandrin vis-à-vis de la rupture du béton si les conditions ci-après sont remplies : nécessaire de la barre 5 ! au-delà de l'extrémité de la de partie courbe, soit o` u σsd est soit la l'ancrage contrainte de calcul deneladépasse barrepas dans la section a` partir laquelle onla barre n'est pas disposée près de la surface (plan de flexion proche du parement) et il existe une barre transversale de mesure l’ancrage. diamètre " ! à l'intérieur de la partie courbe ; le diamètre du mandrin est supérieur ou égal aux valeurs recommandées du Tableau 8.1N . Dans le cas contraire, il convient d'augmenter le diamètre du mandrin ! m comme indiqué par l' Expression (8.1) :

Longueur d’ancrage de calcul La longueur d’ancrage de calcul lbd vaut où :

o` u

lbddû=auxαcharges ≥ barre lb,min , (5.7) 1 α2 α3 α 4 α5 ldans b,rqdune F bt est l'effort de traction ultimes ou un groupe de barres en contact à l'origine de la partie courbe a b pour uneαbarre donnée (ou groupe de barres contact), est la moitié l'entraxe les coefficients es en dans le tableau endeFig. 5.8entre et :les barres (ou i , i = 1, ..., 5 sont donn´ groupes de barres) perpendiculairement au plan de la courbure. Pour une barre ou un groupe de barres proches – α1 tient compte de l’effet de de la prendre formepour desa bbarres, du parement de l'élément, il convient l'enrobageFig. majoré5.5 de !; /2. Il convient de limiter f à la valeur de résistance correspondant à la classe de béton C55/67. – α2 tient comptecdde l’effet de l’enrobage minimal, Fig. 5.7 et Fig. 5.8 ; – α8.4 compte de l’effet de confinement des armatures transversales ; 3 tient Ancrage des armatures longitudinales – α4 tient compte de l’influence d’une ou plusieurs barres transversales (φt > 0,8.4.1 6φ)Généralités soudées le long de lbd ; (1)P Les barres, fils ou treillis soudés doivent être ancrés de manière à assurer une bonne transmission des forces – αd'adhérence tient compte l’effettoute defissuration la pression orthogonale plan dedu fendage le au béton, de en évitant longitudinale ainsi que toutau éclatement béton. Un ferraillage 5 transversal est à prévoir si nécessaire. long de lbd (2) Différents modes d'ancrage sont illustrés par la Figure 8.1 (voir aussi 8.8 (3)). – il faut que ce soit α2 α3 α5 ≥ 0, 7 ; – lb,min : longueur d’ancrage minimale : – pour les barres tendues, lb,min > max {0, 3 lb,rqd ; 10φ; 100mm} ; – pour les barres tendues lb,min > max {0, 6 lb,rqd ; 10φ; 100mm}.

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Figure 5.5: Méthodes d’ancrage : Fig. 8.1 de l’EC2.

Figure 8.1 Méthodes d'ancrage autres que le scellement droit

(3) Les coudes et les crochets ne contribuent pas aux ancrages des barres comprimées. (4) Il convient d'éviter la rupture du béton à l'intérieur des coudes en respectant 8.3 (3). (5)Une Lorsque des dispositifs mécaniques sont` il convient que les exigences d'essai soient conformes à la selon Norme simplification consiste autilisés, consid´ erer que l’ancrage des barres tendues de Produit concernée ou à un Agrément Technique Européen. les(6)formes de la Fig. est e si l’on longueur d’ancrage équivalent Pour la transmission des5.5 forces de assur´ précontrainte, on seprend reporteraune à 8.10 .

lb,eq , définie sur la même figure, et telle que : 8.4.2 Contrainte ultime d'adhérence – Lalb,eq = α1ultime lb,rqdd'adhérence pour lesdoitancrages depour type b)laa`rupture d) ; d'adhérence. (1)P contrainte être suffisante éviter (2)–Pour les = armatures à haute la valeur de la contrainte ultime d'adhérence f bd peut être prise lb,eq α4 lb,rqd pouradhérence, les ancrages decalcul typede e). égale à :

Une autre possibilité pour l’ancrage des barres, est de souder une barre transversale en tête de la barre à ancrer ; pour cela on renvoie a` l’EC2, paragraphe 8.6. où : f

ctd

est la résistance de calcul en traction du béton, telle qu'indiquée en 3.1.6 (2)P. Compte tenu de la fragilité

5.2.4croissante Ancrage des armatures tranchant des bétons avec la résistance, il convient ded’effort limiter ici f ctk,0,05 à la valeur correspondant à la classe C60/75, à moins que l'on puisse vérifier que la capacité d'adhérence moyenne augmente au-delà de cette limite lié aux conditions et à lad’ET, position de la barre au cours bétonnage (voir Figure Il !faut récoefficient aliser l’ancrage desd'adhérence armatures ainsi que des du autres armatures 1 est un 8.2 ) : transversales, au moyen de coudes et de crochets, ou a` l’aide d’armatures trans! 1 = 1,0 lorsque les conditions d'adhérence sont " bonnes " et versales !soud´ ees, en prévoyant une barre a` l’intérieur du crochet ou du coude. 1 = 0,7 dans tous les autres cas et pour les barres dans les éléments structuraux réalisés au moyen de à moins que` L’ancragecoffrages doit êglissants, tre conforme al'on la puisse Fig. démontrer 5.10. que les conditions d'adhérence sont " bonnes " ! 2 est lié au diamètre de la barre : ! 2 = 1,0 pour ! " 32 mm

5.2.5

Recouvrements

! 2 = (132 - ! )/100 pour ! > 32 mm

Considérons ici la transmission de l’effort d’une barre a` une autre par simple recouvrement des barres, avec ou sans coudes ou crochets. La disposition des barres doit être conforme à la Fig. 3.11. 142 125 sur 213

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Figure 5.6: Conditions d’adhérence : Fig. 8.2 de l’EC2. Figure 8.2 Illustration des conditions d'adhérence

8.4.3 Longueur d'ancrage de référence (1)P Le calcul de la longueur d'ancrage requise doit tenir compte du type d'acier et des propriétés d'adhérence des Les recouvrements doivent être décalés, disposés hors des zones très sollicitées barres. et manièreunesym´ etrique sur la constante section.égale La àdistance libred'ancrage entre les barres l d’un (2) de En admettant contrainte d'adhérence f bd , la longueur de référence b,rqd nécessaire pour ancrer l'effort A s ! sd qui règne dans une barre droite vaut :

recouvrement doit être limitée a` 4φ ou 50 mm ; il faut espacer longitudinalement les recouvrements voisins d’au moins 0,3 fois la longueur du recouvrement l0 . Dans le cas de recouvrements voisins, il faut respecter une distance libre minimale de 2φ ou 20 mm entre les barres adjacentes. où ! sd est la contrainte de calcul de la barre dans la section à partir de laquelle on mesure l'ancrage. La longueur de recouvrement de calcul vaut Des valeurs de f bd sont données en 8.4.2 . (3) Dans le cas des barres pliées, il convient de mesurer la longueur d'ancrage de référence l b,rqd et la longueur de =α (5.8) 1 α2 α 3 α4).α5 α6 lb,rqd ≥ l0,min , calcul l bd le long de l'axe de la barrel0( voir Figure 8.1a) (4) Lorsque les treillis soudés sont constitués de fils ou barres doubles, il convient de remplacer le diamètre ! de l' avec Expression (8.3) par le diamètre équivalent ! n = ! "2 .

l calcul > max {0, 3α6 lb,rqd ; 15φ; 200mm} . 8.4.4 Longueur d'ancrage de 0,min (1) Lacoefficients longueur d'ancrage : bd vaut Les αi ,dei calcul = 1,l ..., 5 sont ceux donnés par le tableau

(5.9) de Fig. 5.8. Pour le

calcul de α3 il faut prendre As σsd , fyd où # 1 , # 2 , # 3 , # 4 et # 5 sont des coefficients donnés dans le Tableau 8.2 : X

Ast,min = 1, 0

(5.10)

# 1 tient compte de l'effet de la forme des barres, l'enrobage étant supposé correct ( voir Figure 8.1 )

o` u A#s2 tient est compte l’airededel'effet la de section d’une comportant le recouvrement. En ce qui l'enrobage minimalbarre ( voir Figure 8.3 ) concerne le coefficient α6 , il est √ ρ1 α6 = , 1 ≤ α6 ≤ 1, 5, (5.11) 5 126 sur 213

143

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Figure 5.7: Valeurs de cd pour les poutres et les dalles : Fig. 8.3 de l’EC2. Figure 8.3 Valeurs de c d pour les poutres et les dalles

! 3 tient compte de l'effet de confinement des armatures transversales ! 4 tient compte de l'influence d'une ou plusieurs barres transversales (! t > 0,6! ) soudées le long de l bd d'ancrage de calcul) ; voir également avec(longueur ρ1 proportion des barres avec8.6 recouvrement dont l’axe se situe à moins de ! 5 tient compte de l'effet de la pression orthogonale au plan de fendage le long de l bd (longueur d'ancrage de 0, 65l eré, voir Fig. 5.12. 0 de l’axe de recouvrement consid´ calcul). Si φvérifie < 20 mm ou si la proportion des barres avec recouvrement est < 25%, Le produit :

il n’est pas nécessaire de disposer des armatures transversales au recouvrement. Autrement, il faut disposer des barres transversales, dont la section totale doit être égale au moins a` celle d’une des barres de recouvrement, Fig. 5.13. Si plus de 50% des armatures sont ancr´ ees par recouvrement dans une section, et si la distance a l b,rqd est donné par l' Expression (8.3) lentre la longueur d'ancrageadjacents minimale en l'absence de toute autre limitation b,min estrecouvrements dans une section est ≤: 10φ, voir Fig. 5.13, alors les ancrages de barres tendues : armatures transversales doivent être des cadres, étriers ou épingles.

5.3

Poutres

ancrages de barres comprimées :

5.3.1

Sections min et max d’armature

Il faut que la section d’armature longitudinale tendue As soit telle que (2) Une simplification à 8.4.4 (1) consiste à considérer que l'ancrage de barres tendues selon les formes de la Figure As,mind'une ≤A (5.12) 8.1 peut être assuré moyennant la prise en compte longueur d'ancrage s ≤ A s,max , équivalente l b,eq (définie sur cette même figure), qui peut être prise égale à : avec! 1 l b,rqd pour les formes des Figures 8.1b) à 8.1d) (voir Tableau 8.2 pour les valeurs de ! 1 ) ctm ! 4 l b,rqd pour les formes de la Figure 8.1e) f les valeurs de ! 4 ) bt d, 8.2Apour (5.13) As,min = 0, 26 (voir Tableau s,min ≥ 0, 0013bt d, où : fyk ! 1 et ! 4 sont définis en (1) et dans le Tableau 8.2 o` u bl tb,rqdest la largeur moyenne de la zone tendue (pour une poutre en T, c’est la est calculé au moyen de l' Expression (8.3).

largeur de la nervure), et

As,max = 0, 04 Ac .

5.3.2

(5.14)

Autres dispositions constructives

En cas de poutre sur appuis, même si le moment aux appuis est théoriquement nul, il faut prévoir un moment Mappui = 0, 15 Mmax , 127 sur 213

144

(5.15) 17/05/2013 12:18

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Figure 5.8: Coefficients α , i = 1, ..., 5 : Tab. 8.2 de l’EC2.

Tableau 8.2 Valeurs des coefficients !1 , !2 , !3 , !4 et i!5

o` u Mmax est le moment maximum en travée. sur les appuis intermédiaires des poutres continues, il faut repartir l’armature supérieure, en traction, sur la largeur participante de la membrure supérieure, dans le cas d’une poutre en T, voir Fig. 5.14. Figure 8.4 Valeurs de K pour les poutres et les dalles Les armatures comprimées prises en compte dans le calcul, de diamètre φ, doivent être retenues par une armature transversale espacétransversales es de 15φ au plus. 8.5 Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures (1) Il convient normalement de réaliser l'ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales au moyen de coudes et de crochets, ou à l'aide d'armatures transversales soudées, en prévoyant une barre à l'intérieur du crochet ou du coude. (2) Il convient que l'ancrage soit conforme à la Figure 8.5 . Par ailleurs, il convient de réaliser le soudage conformément à l' EN ISO 17660 , les soudures présentant une résistance conforme à 8.6 (2).

5.3.3

Epure d’arrˆ et des armatures longitudinales tendues

Pour des éléments avec des armatures d’ET, il faut calculer l’effort de traction 128suppl´ sur 213 ementaire dans les armatures ∆Ftd , voir (3.94). 17/05/2013 12:18 145

Tableau 8.2 Valeurs des coefficients !1 , !2 , !3 , !4 et !5

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NOTE Pour la définition des angles de courbure voir Figure 8.1 .

Figure 5.9: Valeurs de k pour les poutres et les dalles : Fig. 8.4 de l’EC2. Figure 8.4 Valeurs de K pour les poutres et les dalles

8.5 Ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transversales

(1) Il convient normalement de réaliser l'ancrage des armatures d'effort tranchant et autres armatures transv moyen de coudes et de crochets, ou à l'aide d'armatures transversales soudées, en prévoyant une barre à du crochet ou du coude. (2) Il convient que l'ancrage soit conforme à la Figure 8.5 . Par ailleurs, il convient de réaliser le conformément à l' EN ISO 17660 , les soudures présentant une résistance conforme à 8.6 (2).

128 sur 213

Figure 5.10: Ancrage des armatures transversales : Fig. 8.5 de l’EC2.

Figure 8.5 Ancrage des armatures transversales

8.6 Ancrage au moyen de barres soudées (1) Outre les ancrages indiqués en 8.4 et 8.5 , on peut réaliser un ancrage au moyen de barres transversales soudées Pour éléments armature ` de l’ET, ∆Ftdque peut être des estim´ e en décalant ( voir Figure 8.6 des ) s'appuyant sur sans le béton. Il convienta démontrer la qualité assemblages soudés est la courbe enveloppe des moments d’une distance al = d. Pour les éléments avec correcte.

armature à l’ET, al = z

cot θ − cot α , 2

(5.16)

les angles étant définis en Fig. 3.19. L’effort de traction supplémentaire est montré en Fig. 5.15. La longueur d’ancrage d’une barre relevée pour l’ET soit ≥ 1, 3lbd dans la zone tendue et ≥ 0, 7lbd dans la zone comprimée. Cette longueur est mesurée a` partir du point d’intersection de l’axe de la barre relevée et de celui des armatures longitudinales. Figure 8.6 Barre transversale soudée servant à l'ancrage (2) La résistance à l'entraînement d'une barre transversale (de diamètre compris entre 14 mm et 32 mm) soudée du côté intérieur de la barre principale, vaut F btd . Dans l' Expression (8.3) , ! sd peut alors être réduit par l'intermédiaire du facteur F btd / A s , A s représentant l'aire de la section de la barre.

5.3.4

Ancrage des armatures inf´ erieures

NOTE En de correspondance desunappuis des poutres es ou encastr´ es, La valeur F btd à utiliser dans pays donné peut être appuy´ fournie epar son faiblement Annexe Nationale . La evaleur recommandée : ˆ l’armatureestdoit etre au moins le 25% de celle en travée.

L’effort de traction à ancrer peut être déterminé selon la (3.94), en incluant 146 où : F wd est la valeur de calcul de la résistance au cisaillement de la soudure (donnée comme A s f yd multiplié par un coefficient - par exemple 0,5 A s f yd , où A s est l'aire de la section de la barre ancrée et f yd sa limite d'élasticité de calcul) l td est la longueur de calcul de la barre transversale : l td = 1,16 ! t ( f yd /! td ) 0,5 " l t l t est la longueur de la barre transversale, limitée à l'espacement des barres à ancrer ! t est le diamètre de la barre transversale ! td est la contrainte dans le béton ; ! td = ( f ctd + ! cm )/ y " 3 f cd ! est la contrainte de compression dans le béton perpendiculairement aux deux barres (valeur

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Figure 5.11: Recouvrement : Fig. 8.7 de l’EC2.

Figure 8.7 Recouvrements voisins

8.7.3 Longueur de recouvrement (1) La longueur de recouvrement de calcul vaut :

où : l

b,rqd est

calculé au moyen de l' Expression (8.3)

Les valeurs de ! 1 , ! 2 , ! 3 , ! 4 et ! 5 peuvent être prises dans le Tableau 8.2 ; il convient toutefois, pour le calcul de ! 3 , de prendre " A st,min = 1,0 A s (# sd / f yd ), avec A s = aire de la section d'une des barres comportant un recouvrement. 0,5

! 6 = ($ 1 /25) , limité à l'intervalle défini par les valeurs 1 et 1,5, avec $ 1 , proportion de barres avec recouvrement Figure 5.12: Proportions de recouvrement a` prendre en compte : Fig. 8.8 de dont l'axe se situe à moins de 0,65 l 0 de l'axe du recouvrement considéré ( voir Figure 8.8 ). Le Tableau 8.3 donne Figure 8.8 Proportion de recouvrements à prendre en l’EC2. desune valeurs de !de6 .recouvrement donnée compte dans section 8.7.4 Armatures transversales dans une zone de recouvrement 8.7.4.1 dans casappliquant de barres tendues l’effortArmatures normal,transversales s’il existe, ouleen la règle de décalage suivante : (1) Des armatures transversales sont nécessaires au droit des recouvrements pour s'opposer aux efforts transversaux al de traction. FE = |VEd | + NEd , (5.17) z (2) Lorsque le diamètre ! des barres ancrées par recouvrement est inférieur à 20 mm, ou lorsque, dans une section quelconque, la proportion des barres avec recouvrement est inférieure à 25 %, alors on peut, sans plus de avec NEd considérer l’effort normal agissant, a` ajouter ou soustraire de l’effort de traction. justification, que les armatures transversales nécessaires par ailleurs suffisent pour équilibrer les efforts La longueur d’ancrage (5.7), est ee à partir de la ligne de contact transversaux de traction. bd ,coefficient Tableau 8.3 Valeurs ldu ! 6 mesur´ (3) Lorsque le diamètre ! des barres ancrées par recouvrement supérieur ou égal 20 mm, il pour convient que la entre la poutre et l’appui ; la pression transversale est peut être prise enà compte section totale !A st des armatures transversales (somme de tous les brins parallèles au lit des barres de la jonction) un appui direct, Fig. 5.16. soit supérieure ou égale à la section A s d'une des barres du recouvrement ( "A st " 1,0 A s ). Il convient de disposer les barres transversales perpendiculairement à la direction du recouvrement. Si plus de 50 % des armatures sont ancrées par recouvrement dans une section donnée, et si la distance a entre recouvrements adjacents dans une section est # 10 ! (voir Figure 8.7 ), il convient d'utiliser comme armatures transversales des cadres,d’ET étrierspeuvent ou épinglesˆ ancrés la esection. Les armatures etre desdans barr´ es relevées, des cadres, des épingles (4) Il convient de disposer les armatures transversales prévues selon (3) ci-dessus aux extrémités du recouvrement, ou des étriers. Au moins le 50% des armatures nécessaires a` l’ET soit sous forme comme indiqué sur la Figure 8.9 a) .

5.3.5

Armatures d’effort tranchant

147

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Figure 5.13: Armatures transversales de couture pour les recouvrements : Fig. 8.9 Armatures transversales de couture pour les 8.9 de l’EC2.Figure jonctions par recouvrement

de

8.7.4.2 Armatures transversales dans le cas de barres toujours comprimées (1) En complément aux règles applicables aux barres tendues, il convient de disposer une barre transversale de cadres, etétriers épingles. Leà une taux d’armature d’ET est d'autre ou du recouvrement, distance inférieure à 4! desρw extrémités ( Figure 8.9 b) ).

Asw 8.7.5 Recouvrements des treillis soudés constitués de fils à haute adhérence ρw =

,

(5.18)

s principales bw sin α 8.7.5.1 Recouvrements des armatures (1) Les jonctions peuvent être obtenues par recouvrement des panneaux dans un même plan ou dans des différents ( Figure 8.10 ).

o` u: – Asw : aire de la section des armatures d’ET, mesuré le long de l’axe longitudinal de la poutre ; – bw : largeur de l’âme de la poutre ; – α : angle entre les armatures d’ET et l’axe longitudinal. Il faut que ce soit √ 0, 08 fck . (5.19) ρw ≥ ρw,min = fyk L’espacement longitudinal maximum entre les cours d’armature d’ET ne doit pas excéder sl,max = 0, 75 d(1 + cot α). (5.20)

L’espacement longitudinal maximum entre les barres relevées ne doit pas excéder sb,max = 0, 6 d(1 + cot α).

(5.21)

148 Figure 8.10 Recouvrement des treillis soudés

(2) Il convient d'opter pour un recouvrement des panneaux dans un même plan lorsqu'ils peuvent être soumis à

133 sur 213

1

NOTE 2 La section minimale d'armatures longitudinales définie en 9.2.1.1 (1) s'applique. (2) Aux appuis intermédiaires des poutres continues, il convient de répartir la section totale des armatures tendues A s d'une section transversale en T sur la largeur participante de la membrure supérieure (voir 5.3.2 ). Une partie de ces armatures peut être concentrée au droit de l'âme ( voir Figure 9.1 ).

Figure 5.14: Agencement des armatures tendues dans une poutre en T : Fig. 9.1 Figure 9.1 Agencement des armatures tendues dans une de l’EC2. section en T

(3) Il convient de maintenir toute armature longitudinale comprimée (de diamètre ! ) prise en compte dans le calcul de résistance au moyen d'armatures transversales espacées au plus de 15 ! .

L’espacement desarmatures brins verticaux des cadres, étriers ou épingles ne 9.2.1.3transversal Epure d'arrêt des longitudinales tendues doit pas excé(1) derIl convient, dans toutes les sections, de prévoir un ferraillage suffisant pour résister à traction agissant, comprenant inclinées dans les âmes et les membrures. st,max =l'effet 0, 75des d fissures ≥ 600mm. (5.22)

l'enveloppe de l'effort de

(2) Pour des éléments avec des armatures d'effort tranchant, il convient de calculer l'effort de traction supplémentaire tranchant, ! F td peut être estimé en décalant la courbe enveloppe des moments d'une distance a l = d , conformément à 6.2.2 (5) . Cette " règle de décalage " peut également être employée pour des éléments comportant un ferraillage d'effort tranchant, où :

!Fa 6.2.3 (7)mm, . Pouralors des éléments sans armatures Si la poutre une hauteurà ≤ 250 sl,max = st,max = 0, 9d'effort d. td conformément

5.4

Poteaux

Les dispositions suivantes s’appliquent au cas des poteaux pour lesquels la plus grande dimension h n’excède pas 4 fois la dimension la plus petite b. L'effort de traction supplémentaire est illustré sur la Figure 9.2 . (3) La résistance des barres sur leur longueur d'ancrage peut être prise en compte en supposant une variation linéaire de l'effort, voir la Figure 9.2 . Par sécurité, la contribution de cette longueur d'ancrage peut être négligée. (4) Il convient que la longueur d'ancrage d'une barre relevée contribuant à la résistance à l'effort tranchant ne soit pas à 1,3 l bddoit dans ˆ zone tendue et à 0,7 zone comprimée. Cette longueur est mesurée à partir du Le diamèinférieure tre des barres elatre sup´ erieure a` φlmin = 8la mm. La quantit´ e totale bd dans point d'intersection de l'axe de la barre relevée et de celui des armatures longitudinales. d’armatures longitudinales doit être supérieure a`

5.4.1

Armatures longitudinales

)

(

As,min

0, 10 NEd = max ; 0, 002 Ac , fy d

(5.23)

o` u NEd est la valeur de calcul de l’effort de compression, et inférieure à As,max = 0, 04 Ac .

(5.24)

En correspondance des recouvrements on peut doubler cette dernière limite. 149 143 sur 213

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Figure 5.15: Epure d’arrêt des armatures longitudinales : Fig. 9.2 de l’EC2. Figure 9.2 Illustration de l'épure d'arrêt des armatures longitudinales, tenant compte de l'effet des fissures inclinées et de la résistance des armatures dans leur longueur d'ancrage

Pour les poteaux polygonaux, il faut au moins une barre dans chaque angle, et 9.2.1.4 Ancrage des armatures inférieures au niveau des4appuis d'extrémité pour les poteaux circulaires, il faut au moins barres. (1) Il convient, au niveau des appuis, considérés dans le calcul comme faiblement ou pas encastrés que l'aire des armatures inférieures soit au moins ! 2 fois l'aire des armatures présente en travée.

5.4.2NOTEArmatures transversales La valeur de ! 2 à utiliser pour les poutres, dans un pays donné, peut être fournie par son Annexe Nationale . La

Le valeur diam` etre des armature transversales (cadres, boucles, hélices) doit être non recommandée est ! 2 = 0,25. inférieur a` 6 mm ou au quart du diamètre de la plus grande barre longitudinale. (2) L'effort de traction à ancrer peut déterminé transversales conformément à ne 6.2.3 (7) pas (éléments L’espacement longitudinal desêtre armatures doit excéavec der armatures

d'effort

tranchant), en incluant l'effet de l'effort normal s'il existe, ou en appliquant la règle de décalage :

scl,tmax = min {20 φmin ; b; 400mm} ,

(5.25)

o` u φmin est le diamètre minimal des barres longitudinales. Cet espacement doit être réduit où : – dans toutes sections situ´ es à une distancedeaul'effort plusdeétraction gale à ;la plus grande N Ed est l'effortles normal agissant, àe ajouter ou à soustraire dimension de(2) la .section transversale du poteau au-dessus ou au-dessous d’une a l voir 9.2.1.3 ou d'ancrage d’une dalle (3) poutre La longueur est l ;bd conformément à 8.4.4 , mesurée à partir de la ligne de contact entre la poutre et l'appui. pression transversale peut être prise d’armatures, en compte pour unsiappui direct. eVoir Figure 9.3. des – dansLa les zones de recouvrement le diam` tre lamaximal barres longitudinales est supérieur a` 14 mm. Un minimum de 3 barres transversales régulièrement disposées dans la longueur de recouvrement, est nécessaire. 150

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Figure 5.16: Ancrage des armatures inférieures : Fig. 9.3 de l’EC2.

Figure 9.3 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis d'extrémité

9.2.1.5 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis intermédiaires (1) L'aire de la section des armatures indiquée en 9.2.1.4 (1) s'applique. (2) Il convient que la longueur d'ancrage ne soit pas inférieure à 10! dans le cas des barres droites, au diamètre du mandrin dans le cas des crochets et des coudes avec des diamètres de barre au moins égaux à 16 mm, ou à deux fois le diamètre du mandrin dans les autres cas (voir Figure 9.4 a) ). Ces valeurs minimales sont normalement valables mais une analyse plus fine peut être effectuée, conformément à 6.6 . (3) Il convient de spécifier, dans des documents du contrat, les armatures exigées pour résister à des moments positifs éventuels (par exemple : tassement de l'appui, explosion, etc.). Il convient que ces armatures soient continues, ce qui peut être réalisé au moyen de recouvrements (voir Figure 9.4 b) ou c) ).

Figure 5.17: Armatures d’ET : Fig. 9.5 de l’EC2.

Figure 9.5 Exemples d'armatures d'effort tranchant

(3) Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical situé près de la surface de l'âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la torsion. (4) Il convient qu'au moins ! 3 des armatures d'effort tranchant nécessaires soient sous forme de cadres, étriers ou épingles. NOTE ———————————– La valeur de ! 3 à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est ! 3 = 0,5.

D’autres dispositions concernent les voiles, Figure 9.4 Ancrage au niveau des constructives appuis intermédiaires (5) Le taux d'armatures d'effort tranchant est donné par l' Expression (9.4) :

les dalles pleines, les barres soudées etc. Le lecteur est adressé a` la lecture de l’EC2 pour tous ces sujets.

9.2.2 Armatures d'effort tranchant (1) Il convient que les armatures d'effort tranchant forment un angle a compris entre 45° et 90° avec l'axe longitudinal de l'élément structural. (2) Les armatures d'effort tranchant peuvent être composées d'une combinaison de : où : cadres,"étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée ( voir Figure 9.5 w est le taux d'armatures d'effort tranchant ); " w ne devrait pas être inférieur à " w,min barres relevées ; A sw est l'aire de la section des armatures d'effort tranchant régnant sur la longueur s cadres souverts, échelles,des épingles, etc., façonnés sans entourer lesdearmatures longitudinales mais correctement est l'espacement armatures d'effort tranchant, mesuré le long l'axe longitudinal de l'élément ancrés dans les zones comprimées et tendues. b w est la largeur de l'âme de l'élément # est l'angle entre les armatures d'effort tranchant et l'axe longitudinal ( voir 9.2.2 (1) ).

151 NOTE La valeur de " w,min à utiliser pour des poutres, dans un pays donné, peut être fournie par son Annexe Nationale . La valeur recommandée est donnée par l' Expression (9.5N) :

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17/05/2013 12:18 (6) Il convient que l'espacement longitudinal maximal entre les cours d'armatures d'effort tranchant ne soit pas supérieur à s l,max .

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