Statistik Bose – Einstein:
By E-mail
: Paian Tamba :
[email protected]
Dalam statistik Bose Einstein semua keadaan kuantum dianggap berpeluang sama untuk diisi, g s menyatakan banyaknya keadaan (sel) yang memiliki energi sama єs . Setiap keadaan kuantum bersesuaian dengan satu sel dalam ruang fasa, dan langkah kita yang pertama adalah menentukan banyaknya cara ns partikel tak terbedakan dapat didistribusikan dalam sel gs.
Mempertimbangkan sel gs dari lembaran s yang ditunjukkan pada gambar. di mana sistem dan sel diperlihatkan disusun dalam satu baris. sistem ns harus diatur diantara sel-sel gs. pengaturan jelas harus dimulai, misalnya penyusunan pertama partikel pada sebuah sel di sebelah kiri. sel bagian pertama mungkin memiliki salah satu sistem ns atau salah satu dari (gs-1) sel yang tersisa di sebelah kanan dan sistem ini dapat dipilih dengan total Dari (gs-1+ns) cara. Jumlah total dari cara memposisikan sistem ns ini dan sel gs-1 setelah sel bagian pertama telah dipilih adalah [(gs-1 + ns)]! bersama-sama dengan cara gs dari pemilihan sel bagian pertama, hal ini memberikan cara mengatur sistem ns antara sel-sel gs, yakni: [(gs-1 + ns)]!
Jumlah ini termasuk pengaturan g s!dari sel di antara mereka sendiri dan pengaturan ns! dari sistem takterbedakan. jumlah pengaturan dibedakan, dibedakan, ws, dari sistem di dalam dalam lembar s adalah:
ws
g s [ (ns
1) ] !
gs
ns ! ( g s ) !
[ (ns
gs
ns ! ( g s
1) ] !
1)
1) !
Pengaturan dari sistem dalam lembar yang diberikan adalah selalu independen dari pengaturan dalam setiap lembar lainnya. oleh karena itu setiap pengaturan dari sistem dalam satu lembar dapat diambil bersama dengan salah satu pengaturan dari sistem dalam lembar lain. Jumlah total pengaturan untuk konfigurasi tertentu dari perakitan adalah:
W
ws
( ns
gs !(
1)! 1)!
Banyaknya cara W agar N partikel tak terbedakan dapat didistribusikan diantara sel ialah : ( ns
W
gs
ns ! ( g s
1)!
2)
1)!
Melalui Logaritma Logaritma dari kedua ruas persamaan (2), didapatkan:
log W
log (ns gs 1)!
log ns ! log ( gs 1)!
Rumus Stirling log n!= n log n –n , sehingga:
log W
(ns
g s 1) log (ns
g s 1)
ns log ns
( g s 1) log ( g s 1)
3)
Dari persamaan 3 diperoleh:
log W ns
log (ns
g s 1)
log ns
8)
Diasumsikan bahwa : (ns + gs ) >> 1 , sehingga (n s + gs – 1) dapat diganti dengan (ns + gs ),
log W ns
log
ns
gs
9)
ns
Sama halnya seperti Statistik Maxwell_Boltzmann, Konfigurasi yang paling mungkin ditentukan Dengan:
log W ns
s
dns
0
10) 10 )
Persamaan ini harus bernilai benar untuk semua nilai kecil dari d ns . Oleh karena itu:
log W
0
s
ns Dengan mensubsitusi persamaan 9 diperoleh: log
ns
gs ns
log gs ns
0
s
gs ns 1 gs
1 e e
( (
s
s
(
)
s
)
-1
)
Konfigurasi yang paling mungkin adalah ketika
gs ns
e
(
s
)
-1
11)
Dan bentuk umum dari Distribusi Bose- Einstein untuk assembli dari boson adalah:
ns
gs e
(
s)
-1
12)
Jika pendapat Termodinamika umum kita gunakan, yakni :
1
k T Dan dengan pemisalan A = e α , Persamaan ...... Menjadi:
ns
gs 1 A
e
s / k T
13) -1
jika molekul dalam gas biasanya memiliki momentum sudut yang tidak tidak terpisahka terpisahkan n dalam dalam satuan satuan h/2
maka mereka, mereka, tegasny tegasnya, a, boson boson
dan mereka akan mematuhi bose Einstein statistik. distribusi
molekul
gas
dalam
lembaran
telah
diberikan
oleh persamaan 13. karena masing-masing keadaan
membutuhkan volume h -3 dari
lembaran ruang fasa, keadaan yang dapat dipertimbangkan untuk menempati volume ruang fase dT, akan menjadi
g
d h
3
14)
Volume ruang fase dalam rentang energi
d
2 (2m)
3/2
1 / 2
є
hingga є +d є sebagai
d
.V
.jumlah energy sel yang tersedia sesuai kisaran energi adalah :
g( )d
2 (2m)
3/2 3/2
h
1 / 2
d
.V
15)
3
jumlah molekul yang memiliki energi dalam rentang sesuai persamaan 13 dan dan 15 sebagai:
n( ) d
1 2 (2m)3/2 1 / 2 d 3 1 h / kT e -1 A s
.V
є
hingga є+d є ,
16)
Nilai dari parameter A untuk gas cukup kecil, memungkinkan 1 dalam penyebut pada persamaan 13 dapat diabaikan. Distribusi dari persamaan 13 tersebut menjadi:
gs
ns
1 A
ns
e
s
gs A e
s
17)
Dari kondisi dimana jumlah total sistem adalah:
N
n( )d
18)
0
Maka, N
A
gs e
s
0
A
N gs e
19) s
Telah diperoleh bahwa:
gs
BV.2
(2m) 3/2
1/2
d
Dan nilai B yang proporsional adalah h -3 , maka persamaan 19 menjadi: N
A
20)
3/2
1/2
BV.2 (2m)
e
d
0
1/2
e
3/2
d
0
1/2
(- ) . x 0
e
-x
(- )
3/2
3 2
(- )3/2
2
Persamaan 20 dapat dituliskan: A
Nh
3 3/2
V[2 mkT]
21)
A = eα log A
log
Nh
3 3/2 3/2
V[2 mkT]
21)
PERBEDAAN STATISTIK M.BOLTZMANN & STATISTIK BOSE EINSTEIN
Parameter Partikel Ukuran Ruang sel
Jumlah Sel
Statistik M. Boltzmann Partikel dapat dibedakan
Statistik Bose Einstein Partikel tidak dapat dibedakan
Ukuran dari Ruang Sel dapat lebih kecil dari yang kita butuhkan Jika ni menjadi Banyaknya partikel dan gi bannyaknya sel, kemudian gi>>ni maka ni/gi <<1. Untuk itu, Jumlah Sel dapat dibuat Lebih besar
Ukuran dari Ruang Sel tidak bisa lebih sedikit dari h3 Banyaknya sel adalah kurang dari banyaknya partikel atau perbandingannya: ni/gi ≥ 1 .
