1.- En bacalaos existen dos formas de hemoglobina determinadas por los alelos a y b de un mismo locus. En una muestra tomada en las proximidades de la costa noruega, las frecuencias de los tres genotipos fueron:
Genotipo Frecuencia
aa
ab
bb
130
763
1698
a) ¿Podría considerarse que estas frecuencias son compatibles con la hipótesis de que la muestra proviene de una población panmíctica? b) ¿Qué sugieren las frecuencias encontradas con respecto a la estructura reproductora de la población?
Genotipo Frecuencia
aa
ab
bb
Total
130
763
1698
2591
Solución: La población de bacalaos debe tener un censo bastante elevado, aunque podría estar subdividida en grupos locales a lo largo de la costa. Supuesto que se cumplan las demás condiciones (ausencia de mutación, migración y selección, etc.), si se reproduce de forma panmíctica, la población estará en equilibrio de Hardy-Weinberg . Por tanto, haremos una prueba de ajuste a las frecuencias de equilibrio. Empezaremos por estimar las frecuencias alélicas:
Total de individuos = 130 + 763 + 1698 = 2591 130 ⋅ 2 + 763 p = frec(a ) = = 0,1974 2591 ⋅ 2 1698 ⋅ 2 + 763 q = frec( b) = = 0,8026 2591 ⋅ 2
p = 0,1974
Genotipo
q = 0,8026
Frecuencia
aa
ab
bb
Total
130
763
1698
2591
Las frecuencias genotípicas esperadas serán:
E[ frec(aa )] = p 2 ⋅ 2591 = 0,1974 2 ⋅ 2591 = 100,96 E[ frec(ab)] = 2 pq ⋅ 2591 = 2 ⋅ 0,1974 ⋅ 0,8026 ⋅ 2591 = 821 E[ frec( bb)] = q 2 ⋅ 2591 = 0,8026 2 ⋅ 2591 = 1669.04 Podemos comparar las frecuencias observadas y esperadas mediante una prueba χ2 de ajuste.
χ2 =
∑ i
(O i − E i ) 2 Ei
2 2 2 130 − 100,96) 763 − 821) 1698 − 1669,04) ( ( ( = + +
100,96
821
1669,04
=
= 12,95 > 3,84 = χ 20,95;1 Es#decir,#la#población#NO#está#en#equilibrio#y,#por#tanto,#NO#debe#ser#panmíc6ca,#sino#que,# probablemente,#estará#organizada#en#grupos#locales.#
2.- En el saltamontes Caledia captiva la síntesis de la enzima málica se encuentra controlada por un locus autosómico (Me) con dos alelos codominantes (c y d). Al analizar una población natural de dicha especie se encontraron 31 individuos de genotipo cc, 62 de genotipo cd y 7 de genotipo dd. a) ¿Difieren estas frecuencias de las esperadas en equilibrio de Hardy-Weinberg? b) Si así fuera ¿Cuál de las condiciones necesarias para el establecimiento del equilibrio será más probable que no se cumpla dando lugar así a la discrepancia observada? c) ¿Cuáles serán las frecuencias génicas y genotípicas en la siguiente generación si se diesen a partir de ahora las condiciones postuladas por Hardy-Weinberg?
Genotipo Frecuencia observada
cc 31
cd 62
dd 7
En esa población las frecuencias genotípicas son:
P=
31 = 0,31 100
y las frecuencias génicas:
H=
62 = 0, 62 100
62 2 = 0,62 p = frec(c) = 100 31 +
Q=
7 = 0, 07 100
62 2 = 0,38 q = frec(d) = 100 7+
#Si#la#población#se#encontrara#en#equilibrio#de#Hardy
E[ H ] = 2 pq ⋅ 100 = 2 ⋅ 0,62 ⋅ 0,38 ⋅ 100 = 47,12 individuos cd E[Q] = q 2 ⋅ 100 = 0,38 2 ⋅ 100 = 14,444 individuos dd
Estas frecuencias observadas se comparan con las esperadas a través de una prueba χ2 de ajuste: χ2 =
∑ i
(O i − E i ) 2 Ei
Genotipo Frecuencia observada Frecuencia esperada
cc 31 38,44
2 2 2 31 − 38,44) 62 − 47,12) 7 − 14,44) ( ( ( = + +
38,44
47,12
14,44
cd 62 47,12
dd 7 14,44
= 14,43 > 3,84 = χ 20,95;1
llegándose a la conclusión de que la población no está en equilibrio. b) En principio, es obvio que existe una anomalía en las frecuencias las observadas, porque la frecuencia de heterocigotos es mayor del 50%. Al enfrentar las frecuencias observadas y esperadas vemos que el aumento en la frecuencia de los heterocigotos es la consecuencia de la reducción de las frecuencias de ambos homocigotos. Como consecuencia deducimos que la población no debe estar en equilibrio de Hardy-Weinberg. La causa más probable del desequilibrio podría ser: 1. La existencia de selección a favor de heterocigotos ó 2. El apareamiento discriminativo negativo ó 3. Si la muestra estuviera exclusivamente compuesta por los hijos de n parejas c) Después de que la población se reproduzca en condiciones de Hardy-Weinberg, las frecuencias alélicas serán las mismas que las anteriores y las frecuencias genotípicas serán las esperadas en la generación anterior. 38,44% cc : 47,12% cd : 14,44% dd
3.- En una población de Drosophila melanogaster hay un 10% de individuos con ojos color sepia (determinado por el gen autosómico recesivo se, y el 90% restante con ojos normales. ¿Se puede comprobar si el locus se mantiene en equilibrio de Hardy-Weinberg? ¿Cuál sería la respuesta si supiésemos que dicha población se ha formado recientemente por el cruzamiento de machos sepia con hembras normales?
Se trata de un gen con dominancia completa lo cual ya es un problema para este tipo de análisis. Para empezar, no podemos calcular las frecuencias alélicas porque no conocemos las frecuencias de los genotipos sino las de los fenotipos.
q = frec(se) = frec(se se) +
frec(+ se) ?? = 0,1 + 2 2
La única solución es suponer que existe equilibrio y que, por tanto, la frecuencia de individuos de fenotipo recesivo es igual al cuadrado de la frecuencia del alelo recesivo.
Q = q 2 ⇒ q = Q = 0,1 = 0,316 La cuestión es que, ahora, no podemos comprobar si la población está en equilibrio.
No obstante, podemos comparar la población tal como la describe el enunciado con la que resultaría del cruce inicial: Si empezamos cruzando machos sepia por hembras normales (y suponemos que ambos tipos son homocigotos), la descendencia estará formada exclusivamente por heterocigotos (se +). Los descendientes de la segunda generación filial deben de tener segregación genotípica: 0,25 sese : 0,50 se+ : 0,25 ++ y segregación fenotípica: 0,75 + : 0,25 se Esta población SÍ está en equilibrio y que, por tanto, la frecuencia de individuos de fenotipo recesivo es igual al cuadrado de la frecuencia del alelo recesivo.
Q = q 2 ⇒ q = Q = 0, 25 = 0,5 Como vemos, la frecuencia calculada del alelo se es distinta en la población en equilibrio y en la población analizada. Esto puede deberse a dos causas: 1. Las dos poblaciones están en equilibrio pero la frecuencia alélica está cambiando… por ejemplo debido al efecto de la selección natural. 2. La frecuencia es la misma, pero la población en estudio no está en equilibrio.
Si suponemos que lo cierto es lo segundo, entonces podemos calcular cuál es la segregación genotípica de la población.
frec(+ se) ⇒ 2 frec(+ se) = 2 [q − frec(se se) ] = 2 [0,5 − 0,1] = 0,8
q = frec(se) = frec(se se) + ⇒
frec(++) = 1 − frec(se se) − frec( + se) = 1 − 0,1 − 0,8 = 0,1 Genotipo Frecuencia Fenotipo Frecuencia
++ 0,1
+se 0,8 + 0,9
sese 0,1 se 0,1
4.- Con respecto a una pareja de loci independientes, una población experimental panmíctica de un determinado organismo se constituyó a partir de homocigotos en las frecuencias siguientes: Genotipo Frecuencia
AABB
aaBB
AAbb
aabb
0,4
0,1
0,2
0,3
a) ¿Podría decirse que esta población está en equilibrio Hardy-Weinberg? ¿Por qué? b) ¿Cuáles serán las frecuencias genotípicas, gaméticas y alélicas en la generación filial? ¿Y al cabo de muchas generaciones?
Genotipo
AABB
aaBB
AAbb
aabb
0,4
0,1
0,2
0,3
Frecuencia
La población se funda a partir de cuatro genotipos dobles homocigotos cada uno de los cuales produce un único tipo de gametos, todos ellos diferentes entre sí. Así pues, las frecuencias gaméticas serán: Gameto
AB
aB
Ab
ab
Frecuencia
0,4
0,1
0,2
0,3
! 0, 4 0, 2 " G =# $ 0,1 0,3 % &
Para comprobar si la población está en equilibrio necesitamos calcular las frecuencias alélicas:
p = frec(A) = frec(AABB) + frec(AAbb) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6 r = frec(B) = frec(AABB) + frec(aaBB) = 0, 4 + 0,1 = 0,5 Por tanto:
p = 0, 6 ! & ⇒ D = frec(AB) − p ⋅ r = 0, 4 − 0, 6 ⋅ 0,5 = 0, 4 − 0,3 = 0,1 ≠ 0 r = 0,5 ' Es decir, que la población NO está en equilibrio.
En la siguiente generación, obtenida en condiciones de equilibrio, la población tendrá las mismas frecuencias alélicas que la generación anterior:
p = frec(A) = frec(AABB) + frec(AAbb) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6 ⇒ q = 0, 4 r = frec(B) = frec(AABB) + frec(aaBB) = 0, 4 + 0,1 = 0,5
⇒ s = 0, 5
Las frecuencia genotípicas serán las que correspondan a la unión aleatoria de los gametos de la generación anterior:
Z = f (G t −1 ) 2 " g11 $ Z = $ 2g11g 21 $ g 221 &
! g11 g12 " ! 0,4 0,2 " G=# $=# $ g g 0,1 0,3 % & % 21 22 & 2 # 2g11g12 g12 % 2 ( g11g 22 + g12 g 21 ) 2g12 g 22 % = 2 % 2g 21g 22 g 22 '
" 0, 42 = 0,16 2 ⋅ 0, 4 ⋅ 0, 2 = 0,16 0, 2 2 = 0, 04 # $ % = $ 2 ⋅ 0, 4 ⋅ 0,1 = 0,8 2 ( 0, 4 ⋅ 0,3 + 0, 2 ⋅ 0,1) = 0, 28 2 ⋅ 0, 2 ⋅ 0,3 = 0,12 % 2 $ 0,12 = 0, 01 % 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,3 = 0, 06 0,3 = 0, 09 & '
Al cabo de muchas generaciones, obtenidas en condiciones de equilibrio, la población tendrá las mismas frecuencias alélicas que las generaciones precedentes:
p = frec(A) = frec(AABB) + frec(AAbb) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6 ⇒ q = 0, 4 r = frec(B) = frec(AABB) + frec(aaBB) = 0, 4 + 0,1 = 0,5 ⇒ s = 0, 5 Las frecuencia gaméticas y genotípicas serán las correspondientes al equilibrio de HardyWeinberg:
! p2r 2 # Zˆ = # 2pqr 2 # q2r 2 %
2p2rs p2s2 " $ 4pqrs 2pqs2 $ = 2q2rs q2s2 $&
ˆ = " pr ps # = " 0,6 ⋅ 0,5 = 0,30 0,6 ⋅ 0,5 = 0,30 # G $ % $ % qr qs 0,4 ⋅ 0,5 = 0,20 0,4 ⋅ 0,5 = 0,20 & ' & ' ˆ = 0,3 ⋅ 0,2 − 0,3 ⋅ 0,2 = 0 ⇒ G
! 0,62 ⋅ 0,52 = 0,09 2 ⋅ 0,6 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,18 0,6 2 ⋅ 0,5 2 = 0,09 " ˆZ = # 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 ⋅ 0,52 = 0,12 4 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,24 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 ⋅ 0,52 = 0,12 $ # $ 2 2 2 # 0,42 ⋅ 0,52 = 0,04 2 ⋅ 0,4 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,08 0, 4 ⋅ 0,5 = 0,04 $& % ⇒
Zˆ = 0,09 ⋅ 0,24 ⋅ 0,04 + 0,12 ⋅ 0,08 ⋅ 0,09 + 0,04 ⋅ 0,18 ⋅ 0,12 − − ( 0,09 ⋅ 0,24 ⋅ 0,04 + 0,09 ⋅ 0,12 ⋅ 0,08 + 0,18 ⋅ 0,12 ⋅ 0,04 ) = 0
5.- Supón que disponemos de dos cepas, una de genotipo AABB y otra aabb respecto de dos loci, y que constituimos una población panmíctica grande a partir de un número igual de machos y hembras de cada una. a) ¿Cuál será el desequilibrio de ligamiento D en los gametos producidos en esa primera generación? b) ¿Cuánto esperas que valga D al cabo de 5 generaciones de panmixia si la fracción de recombinación entre A y B es c = 0.1? c) ¿Qué suposiciones has realizado para contestar la cuestión anterior?
Genotipo Frecuencia
AABB
aabb
0,5
0,5
La población se funda a partir de dos genotipos dobles homocigotos cada uno de los cuales produce un único tipo de gametos, diferente en cada caso. Así pues, las frecuencias gaméticas serán: Gameto
AB
ab
Frecuencia
0,5
0,5
En una situación tan simple, las frecuencias alélicas se conocen directamente:
p = frec(A) = frec(AABB) = 0,5
;
q = frec(a) = frec(aabb) = 0,5
r = frec(B) = frec(AABB) = 0,5
;
s = frec(b) = frec(aabb) = 0,5
Por tanto:
p = 0,5! & ⇒ D = frec(AB) − p ⋅ r = 0,5 − 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5 − 0, 25 = 0, 25 ≠ 0 r = 0,5 ' La población, obviamente, NO está en equilibrio.
Si la población se mantiene durante t generaciones en condiciones de equilibrio de HardyWeinberg el desequilibrio de ligamiento irá disminuyendo, en cada generación, en proporción a fracción de recombinación, según la expresión: t
D t = (1 − c ) D0 t =5
" 5 # c = 0,1 & ⇒ D = (1 − 0,1) ⋅ 0, 25 = 0,1476 D0 = 0, 25#'
6.- Pigmy (pg) es un alelo que reduce el tamaño corporal en ratones. En la población McArthur este locus cuenta con dos alelos ( pg y + ) en equilibrio de Hardy-Weinberg. Los pesos a las seis semanas y las frecuencias de los tres genotipos posibles son los siguientes: GenoBpo Peso Frecuencia
+#+ 14 81%
+#pg 12 18%
pg#pg 6 1%
Calcular la media de la población, el efecto medio de los alelos + y pg, los valores mejorantes y desviaciones dominantes de los tres genotipos y las varianzas aditiva, dominante y genotípica del locus. Repítanse los cálculos anteriores para el mismo locus en una población panmíctica en que la frecuencia del alelo pg es 0.4
Genotipo Peso Frecuencia
++ 14 81%
+ pg 12 18%
pg pg 6 1%
La media de la población se calcula, como la de cualquier variable:
X = ∑ x i f i = 14 ⋅ 0,81 + 12 ⋅ 0,18 + 6 ⋅ 0, 01 = 13,56 i
Para calcular los efectos alélicos utilizaremos la definición: Se llama efecto medio del alelo Ai (αi) a la diferencia promedio entre los individuos que portan al menos un alelo Ai y la el conjunto de la población.
αi = Xi − X
En el grupo de individuos que portan al menos un alelo Ai sólo hay dos genotipos: homocigoto Ai Ai y heterocigoto Ai Aj. La frecuencia de cada genotipo será la del alelo variable (extraído al azar de la población total en equilibrio de Hardy-Weinberg). Empezaremos calculando las frecuencias alélicas:
frec(+ pg) p = frec(+) = frec(++) + = 0,81 + 0,18 = 0,9 ⇒ q = 1 − p = 0,1 2
Genotipo
Media
++
+ pg
pgpg
14
12
6
Frecuencias en la población Total
0,81
0,18
0,01
13,56
Frecuencias en Subpoblación con +
0,9
0,1
0
13,80
Frecuencias en Subpoblación con pg
0
0,9
0,1
11,40
Valor genotípico
X + = ∑ x i f i = 14 ⋅ 0,9 + 12 ⋅ 0,1 = 13,80 i
X pg = ∑ x i f i = 12 ⋅ 0,9 + 6 ⋅ 0,1 = 11, 40 i
Por tanto:
α + = 13,8 − 13,56 = 0, 24 α pg = 11, 4 − 13,56 = −2,16
El valor mejorante de un genotipo es la suma de los efectos de sus alelos componentes:
Genotipo Frecuencia Valor aditivo
++
+ pg
pgpg
0,81
0,18
0,01
0,24+0,24 = 0,48
0,24+(-2,16) = -1,92
(-2,16)+(-2,16) = -4,32
Calcularemos el valor genotípico desviado de la media. Genotipo Frecuencia Valor genotípico desviado de la media
++
+ pg
pgpg
0,81
0,18
0,01
14-13,56 = 0,44 12-13,56 = -1,56
6-13,56 = -7,56
La desviación dominante es la diferencia entre el valor genotípico desviado de la media y el valor aditivo Genotipo ++
+ pg
pgpg
Frecuencia
0,81
0,18
0,01
Valor genotípico desviado de la media
0,44
-1,56
-7,56
Valor aditivo
0,48
-1,92
-4,32
0,44-0,48 = -0,04
-1,56-(-1,92) = 0,36
-7,56-(-4,32) = -3,24
Desviación dominante
Genotipo
Las varianzas genotípica, aditiva y dominante se calculan a partir de estos valores según la ecuación:
(
)
++
+ pg
pgpg
Frecuencia
0,81
0,18
0,01
Valor genotípico desviado de la media
0,44
-1,56
-7,56
Valor aditivo
0,48
-1,92
-4,32
Desviación dominante
-0,04
0,36
-3,24
2
Var = ∑ X i − X ⋅ frec i i
2
( ) = ∑ ( A − A ) ⋅ frec = 0,48 ⋅ 0,81+ (−1,92) ⋅ 0,18 + (−4,32) ⋅ 0,01 = 1,0368 = ∑ ( D − D) ⋅ frec = (−0,04) ⋅ 0,81+ 0,36 ⋅ 0,18 + (−3,24) ⋅ 0,01 = 0,1296
VG = ∑ G i − G ⋅ frec i = 0,442 ⋅ 0,81+ (−1,56) 2 ⋅ 0,18 + (−7,56) 2 ⋅ 0,01 = 1,1664 i
VA
2
i
2
2
2
2
2
i
i
VD
2
i
i
2
i
Genotipo
Si q = 0,4 y p = 0,6
Media
++
+ pg
pgpg
14
12
6
0, 36
0,48
0,16
11,76
Frecuencias en Subpoblación con +
0,6
0,4
0
13,20
Frecuencias en Subpoblación con pg
0
0,6
0,4
9,60
Valor genotípico Frecuencias en la población Total
X = ∑ x i f i = 14 ⋅ 0,36 + 12 ⋅ 0, 48 + 6 ⋅ 0,16 = 11, 76 i
X + = ∑ x i f i = 14 ⋅ 0, 6 + 12 ⋅ 0, 4 = 13, 20 i
X pg = ∑ x i f i = 12 ⋅ 0, 6 + 6 ⋅ 0, 4 = 9, 60 i
Por tanto:
α + = 13, 20 − 11, 76 = 1, 44 α pg = 9, 60 − 11, 76 = −2,16
Si q = 0,4 y p = 0,6 El valor mejorante de un genotipo es la suma de los efectos de sus alelos componentes:
Genotipo Frecuencia Valor aditivo
++
+ pg
pgpg
0,36
0,48
0,16
1,44+1,44 = 2,88
1,44+(-2,16) = -0,72
(-2,16)+(-2,16) = -4,32
Calcularemos el valor genotípico desviado de la media. Genotipo Frecuencia Valor genotípico desviado de la media
++
+ pg
pgpg
0,36
0,48
0,16
14-11,76 = 2,24
12-11,76 = 0,24
6-11,76 = -5,76
La desviación dominante es la diferencia entre el valor genotípico desviado de la media y el valor aditivo Genotipo ++
+ pg
pgpg
Frecuencia
0,36
0,48
0,16
Valor genotípico desviado de la media
2,24
0,24
-5,76
Valor aditivo
2,88
-0,72
-4,32
2,24-2,88 = -0,64
0,24-(-0,72) = 0,96
-5,76-(-4,32) = -1,44
Desviación dominante
Genotipo
Las varianzas genotípica, aditiva y dominante se calculan a partir de estos valores según la ecuación:
(
)
2
Var = ∑ X i − X ⋅ frec i i
++
+ pg
pgpg
Frecuencia
0,36
0,48
0,16
Valor genotípico desviado de la media
2,24
0,24
-5,76
Valor aditivo
2,88
-0,72
-4,32
Desviación dominante
-0,64
0,96
-1,44
2
( ) = ∑ ( A − A ) ⋅ frec = 2,88 ⋅ 0,36 + (−0,72) ⋅ 0,48 + (−4,32) ⋅ 0,16 = 6,2208 = ∑ ( D − D) ⋅ frec = (−0,64) ⋅ 0,36 + 0,96 ⋅ 0,48 + (−1,44) ⋅ 0,16 = 0,9216
VG = ∑ G i − G ⋅ frec i = 2,242 ⋅ 0,36 + 0,242 ⋅ 0,48 + (−5,76) 2 ⋅ 0,16 = 7,1424 i
VA
2
i
2
2
2
2
2
i
i
VD
2
i
i
2
i
7.-En una población de una especie de hemípteros, la longitud del pico tiene una media de 2.4 mm, una varianza fenotípica Vp = 0.05 mm2 y una varianza aditiva VA = 0.02 mm2. En cierto momento desaparece bruscamente la especie parasitada por estos hemípteros, de modo que tienen que alimentarse picando a una especie diferente. Se observa que la media de la longitud del pico de las hembras que han sobrevivido hasta poder dejar una puesta viable es 2.7 ¿Cuál esperarías que fuese la media de la longitud del pico en la descendencia obtenida de estas puestas, suponiendo que las condiciones ambientales que determinan la longitud del pico son las mismas en ambas generaciones?
X 0 = 2, 4 VA = 0, 02 ! VA 0, 02 2 ⇒ h = = = 0, 4 # VP = 0, 05 $ VP 0, 05 XS = 2, 7 R = h 2S S = XS − X0 R = X1 − X 0
(
)
X1 − X 0 = h 2 ⋅ X S − X 0 ⇒ X1 − 2,4 = 0,4 ⋅ 2,7 − 2,4 = 0,12 ⇒ X1 = 2,52
(
)
