EJERCICIOS 2.1. Remítase a la figura 2.3.Calculese a la probabilidad de k eventos independientes en los m intervalos de duración Δt unidades de tiempo, si la probabilidad de un evento en cualquier intervalo es de p, mientras que la probabilidad de no evento es q = 1 - p. Muéstrese como se obtiene la distribución binomial de la ecuación (2.4). DESARROLLO Muéstrese como se obtiene la distribución binomial de la ecuación (2.4). n pn (k) p k q n k ; np; p ; p 1 q n k
n! n si : ; q 1 n k (n k)!k!
nk
n lim p k q n k n y lim 1 n (n k)!k! n n k
n!
lim
n(n 1)(n 2)(n k 1) nk
n
lim
n(n 1)(n 2)(n k 1)
n
n
k
mk
k!
k
1
n
n
1 n
k
1 2 k 1 lim 1 1 .... 1 1 n n n n
k
n
lim 1
1 n
n n n 1 1 1 1 1 lim 1 n n n n n
n
lim1 n
k k!
P (n)
k!
1 e k
e
k k!
e
e
2.2. En el problema 2.1, sea p= Δt, donde es un factor de proporcionalidad. Esto relaciona entonces la distribución binomial con el proceso de Poisson. Sea Δt →0, con T = mΔt fijo. Muéstrese que en el límite se obtiene la distribución de Poisson de la ecuación (2.1). Muéstrese que el valor medio E(k) y la varianza σk2 son iguales a T. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra alguna llegada en el intervalo T? Grafíquese ésta como una función de T. Repítase para la probabilidad de que ocurra al menos una llegada de T. DESARROLLO Muéstrese que el valor medio E(k) = T.
T p (k)
k
e
n
k! si : u T
T
k
pu (k)
u u e k!
p (k) 1 u
u 0
u u uk uk u u E (k) kpu (k) k e k e e u 0 u 0 k ! u 0 k (k 1)! u 0 (k 1)! k
u k 1 E (k) u e u e u e u u e u u u e 0 u u 0 (k 1)! E(k) u T u
E (k) T Muéstrese que la varianza k =T. 2
Grafíquese ésta como una función de T. Repítase para la probabilidad de que ocurra al menos una llegada en T.
P( k , T )
T k!
k
e
T
2.3. Calcúlese y grafique la distribución de Poisson dada por la ecuación (2.1) para los tres casos T= 0.1, 1, 10. En el tercer caso trátese de calcular y graficar para al menos k = 20. (La aproximación de Stirling para el factorial puede ser útil.) ¿ Comienza la distribución a acumularse y a formarse un pico en E(k) como lo predice la razón de cambio
P ( k , T
k/E(k)=
T ) k!
k
e
T
1 ? T
2.4. Llévense a cabo los detalles del análisis que dan como resultado las ecuaciones (2.10) y (2.11), mostrando que la suma do Poisson es también de Poisson.
2.5. Remítase a la ecuación dependiente del tiempo (2.12a) que gobierna la operación de la cola M/M/1. Iníciese en el tiempo t=0 con la cola vacía (¿Cuáles son entonces los valores de pn(0)?). Hágase λ/μ=0.5 para simplificar, tómese Δt = 1 y escójase un λΔt y un μΔt muy pequeñas de manera que puedan ignorase términos de orden (Δt)2 y mayores. Escríbase un programa que recursivamente calcule Pn(t+Δt) conforme t aumenta por Δt y muéstrese que pn(t) finalmente cae en el conjunto de probabilidades de estado estacionario {pn, tómese el valor máximo de n como 5. El conjunto de probabilidades de estado estacionario obtenido deberá concordar con la ecuación (2.20). Nota: La ecuación (2.12a) debe modificarse un poco al calcular p0(t+Δt) y p5(t+Δt). Tal vez se quiera plantear el problema en forma de matriz-vector.
DESARROLLO: Realizando iteraciones en la ecuación el sistema se observa en la siguiente tabla T/P(n) P0(T) P1(T) P2(T) P3(T) P4(T) P5(T) 0 1 0 0 0 0 0 1 0,9 0,1 0 0 0 0 2 0,83 0,16 0,01 0 0 0 3 0,779 0,197 0,023 0,001 0 0 4 0,7405 0,2204 0,036 0,003 0,0001 0 5 0,71053 0,23553 0,04784 0,00572 0,00037 0,00001 6 0,686583 0,245492 0,058185 0,008862 0,000833 0,000044 7 0,6670231 0,2521397 0,0670511 0,0121885 0,0014781 0,0001141 8 0,65074873 0,25661032 0,07458744 0,01553268 0,00227634 0,00022768 9 0,63699592 0,25961959 0,08097878 0,01878689 0,00319224 0,00038701 10 0,62522025 0,26162906 0,08640448 0,02188715 0,00419066 0,00059013 11 0,61502403 0,26294326 0,09102347 0,02479958 0,0052402 0,00083216 12 0,60611028 0,26376738 0,09497067 0,0275101 0,00631453 0,00110653 13 0,59825273 0,26424233 0,09835823 0,03001704 0,00739249 0,00140602 14 0,59127592 0,26446655 0,1012784 0,03232625 0,00845765 0,00172347 15 0,58504164 0,26450986 0,10380678 0,03444774 0,00949767 0,00205219 16 0,57943945 0,26442242 0,10600528 0,03639363 0,01050358 0,0023863 17 0,57437999 0,2642407 0,10792467 0,03817679 0,01146913 0,00272077 18 0,56979013 0,26399142 0,10960669 0,03981005 0,01239023 0,00305145 19 0,5656094 0,26369434 0,11108584 0,04130575 0,01326445 0,00337504 20 0,56178733 0,26336415 0,11239067 0,0426755 0,0140907 0,00368897 21 0,55828142 0,26301177 0,11354498 0,04393005 0,01486883 0,00399135 22 0,55505564 0,26264538 0,11456868 0,0450793 0,01559946 0,00428083 23 0,55207915 0,26227106 0,11547847 0,04613227 0,01628372 0,00455653
Sumatoria 1 1 1 1 1 1 0,999999 0,9999946 0,99998319 0,99996042 0,99992172 0,99986271 0,99977949 0,99966884 0,99952824 0,99935589 0,99915067 0,99891204 0,99863996 0,99833482 0,99799731 0,99762842 0,99722928 0,9968012
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
0,54932545 0,54677157 0,54439753 0,54218582 0,54012104 0,53818955 0,53637928 0,53467944 0,53308039 0,53157346 0,53015087 0,52880558 0,5275312 0,52632197 0,52517262 0,52407836 0,52303482 0,52203802 0,52108429 0,52017028 0,51929293 0,51844941 0,51763714 0,51685373 0,51609699 0,5153649 0,51465561
0,26189335 0,26151559 0,26114021 0,26076897 0,2604031 0,26004341 0,25969044 0,25934445 0,25900557 0,25867378 0,25834896 0,25803092 0,25771943 0,25741423 0,25711502 0,2568215 0,25653338 0,25625035 0,25597212 0,25569839 0,25542889 0,25516335 0,25490152 0,25464317 0,25438805 0,25413597 0,25388671
0,11628849 0,11701072 0,11765536 0,11823118 0,1187457 0,11920545 0,11961609 0,11998256 0,1203092 0,12059983 0,12085781 0,12108615 0,12128752 0,12146431 0,12161865 0,12175247 0,12186751 0,12196534 0,12204739 0,12211494 0,12216918 0,12221118 0,12224193 0,12226231 0,12227316 0,12227522 0,12226918
0,04709718 0,0479815 0,04879202 0,04953491 0,05021576 0,05083967 0,05141127 0,05193481 0,05241414 0,05285277 0,05325395 0,05362062 0,05395549 0,05426105 0,05453957 0,05479315 0,05502372 0,05523306 0,05542279 0,05559442 0,05574934 0,05588883 0,05601405 0,05612611 0,05622601 0,05631466 0,05639294
0,01692313 0,0175195 0,01807477 0,01859102 0,01907033 0,01951481 0,01992655 0,02030756 0,02065979 0,02098514 0,02128538 0,02156221 0,02181726 0,02205203 0,02226794 0,02246635 0,02264851 0,02281558 0,02296865 0,02310876 0,02323684 0,02335379 0,02346041 0,02355749 0,02364572 0,02372576 0,02379822
La ultima columna verificando la sumatoria de todas las probabilidades Ahora si calculamos las probabilidades con la ecucaiones 2.20 nos da: P(0) 0,50793651 P(1) 0,25396825 P(2) 0,12698413 P(3) 0,06349206 P(4) 0,03174603 P(5) 0,01587302 Bastante cercano a lo que tenemos en la tabla.
0,00481794 0,00506487 0,00529736 0,00551563 0,00572004 0,00591106 0,00608923 0,00625511 0,00640933 0,00655251 0,00668527 0,00680823 0,00692198 0,00702711 0,00712418 0,00721372 0,00729624 0,00737222 0,00744211 0,00750634 0,00756532 0,00761941 0,00766896 0,00771432 0,00775577 0,00779361 0,0078281
0,99634555 0,99586375 0,99535727 0,99482753 0,99427597 0,99370396 0,99311286 0,99250393 0,99187842 0,99123749 0,99058224 0,98991371 0,98923289 0,98854069 0,98783798 0,98712556 0,98640419 0,98567456 0,98493734 0,98419313 0,9834425 0,98268596 0,98192402 0,98115713 0,9803857 0,97961012 0,97883076
2.6. Derívese la ecuación (2.15), la cual gobierna las probabilidades de estado estacionario de la cola M/M/1, de dos maneras: 1. De la ecuación generadora inicial (2.12). K 2. A partir de argumentos debalance deflujos que incluyen transiciones entre estados n1,n, y n + 1, como se indica en la figura 2.11.
2.7. Como una generalización de análisis de la cola M/M/1, considérese un proceso de nacimiento-muerte con llegadas independientes del estado λn y salidas dependientes de estado μn. (Véanse la Figs.2.24 y 2.25.) Muéstrese, aplicando argumentos de balance, que la ecuación que gobierna las probabilidades de estado estacionario está dada por: (n + μn)pn = n-1 pn-1 + μn+1pn + 1
DESARROLLO: 1) Teniendo presente las figuras 2.24, 2.25 y resolviendo por inspección con las siguientes consideraciones: a. Hacia el estado En “cuando el sistema contiene n elementos” se produce un flujo de entrada desde los estados En 1 y En 1 , que dan una tasa global de llegada al estado En de:
n1.Pn1 n1.Pn1 b. Desde el estado En se produce un flujo de salida hacia los estados En 1 y En 1 que dan una tasa global de salida del estado En de:
n .Pn n .Pn c. Para que el sistema esté en equilibrio ambas tasa deben equilibrarse, es decir, ser iguales, de donde se deduce inmediatamente:
n1.Pn1 n1.Pn1 n .Pn n .Pn Simplificando se obtiene la ecuación de las probabilidades de estado estacionario:
(n n ).Pn n1.Pn1 n1.Pn1 2)Demostración de la solución de la ecuación de balance (Ec. 2.40): Para n 0
(0 0 ).P0 1 . P1 1.P1
P1 P0 .
0 .P0 1.P1
1.
0 0 .P0 1 . P0 0 . P0 2 .P2 1 1
2 .
1 1 .P1 2 . P1 1 . P1 3.P3 2 2
0 1
Para n 1
(1 1 ).P1 0 .P0 2 .P2 P2 P0 .
0 1 1 2
Para n 2
(2 2 ).P2 1.P1 3.P3
P3 P0 .
0 1 2 1 2 3
En general n
Pn P0 . i i 0 i 1 n
Pn i 0 P0
i n
i 1
i
2.8. Considéreme el análisis de la cola M/M/1. Muéstrese que la probabilidad de estado estacionario, pn, está dada por pn = ρnp0 ρ ≡ /μ de dos maneras: 1. Muéstrese que esta solución para pn satisface la ecuación (2.15), que gobierna la operación de la cola. 2. Muéstrese que la ecuación de balance pn = μpn+1 o pn+1= ρpn satisface la ecuación(2.15). Itérese entonces n veces. Calcúlese po para la cola finita M/M/1 y muéstrese que pn está dada por la ecuación (2.20).
2.9. Muéstrese que la probabilidad de bloqueo PB de la cola M/M/1 finita está dada por PB=PN mediante la igualación de la tasa neta de llegada λ(1—PB) a la tasa promedio de salida μ(1-P0) y resolviendo para PB.
2.10. Considérese una cola M/M/1 finita capaz de acomodar N paquetes (usuarios). Calcúlense los valores N requeridos por las siguientes situaciones: 1. ρ = 0.5, PB=10-3,1-6 2. ρ =0.8, PB = 10-3,10-6 Compárense los resultados obtenidos.
2.11. La probabilidad pn, de que una cola infinita M/M 1 se halle en estado n está dada por: pn=(1— ρ)pnρ =λ/ μ A. Muéstrese que la ocupación promedio de la cola está dada por E(n)=
nPn / (1 ) n
B. Grafíquese pn como una función de n para ρ = 0.8. C. Grafíquese E(n) contra ρ y compárese con la figura 2.17. P(n) (1 ) n
0.8
E (n)
(1 )
2.12. La ocupación promedio del área de almacenamiento temporal de un multiplexor estadístico (o concentrador de datos) se calcula para varios casos. (En un dispositivo de este tipo los paquetes de entrada de las terminales conectadas a él se almacenan en orden de llegada en un área de almacenamiento temporal y después se leen con una política de servicio "primero que llega-primero en ser atendido" sobre un enlace de transmisión de salida.) Se usara un modelo de área de almacenamiento infinita M/M/1 para representar el concentrador. 1. Diez terminales están conectadas al multicanalizador estadístico. Cada una genera, enpromedio, un paquete de 960 bits, que se suponen con distribución exponencial, cada 8s. Se usa una línea de salida de 2400 bits/s. 2. Repítase si cada terminal genera ahora en promedio un paquete cada 5 s. 3. Repítase el punto 1 anterior si se conectan 16 terminales. 4. Ahora se encuentran conectadas 40 terminales y se usa una línea de salida de 9600 bits/s.Repítase 1 y 2 para este caso. Auméntese ahora la longitud promedio del paquete a 1600 bits. ¿Cuál es la ocupación promedio del área de almacenamiento temporal si se genera un paquete cada 8 s en cada terminal? ¿Qué pasaría si se permitiera a cada terminal aumentarsu tasa de generación de paquetes a 1 por cada 5 s en promedio? (Sugerencia: Seria apropiado usar un modelo de la cola M/M/1 finita dejando a la propia elección el tamaño del área de almacenamiento temporal.)
2.13. Considérese la cola M/M/1 finita con capacidad máxima para N paquetes. A. Muéstrese que la probabilidad de bloqueo es PB = 1/(N + 1) para ρ=1. B. Grafíquese PB= PN para todos los valores de ρ, 0 ρ∞ para N = 4 y N =19. c. El rendimiento se define como ɣ=λ(1—PB). Grafíquese ɣ/μ (el rendimiento normalizado) como función de ρ = λ/μ (carga normalizada) para 0 ρ∞ N = 4 y N =19. Compárese. PB ( N , )
(1 ) N
1 N 1
(1 ) N ( N , ) 1 N 1 1
0
0
N 4 N 19
N 4 N 19
2.14. Remítase al problema 2.12. Encuéntrese el retardo medio E(T) y el tiempo promedio deespera E(W) en cada caso.
2.15. Úsese la figura 2.23 para probar que la fórmula de Little se aplica en la política de servicio UEPS.
2.16. Dibújense diagramas de llegada-salida propios para un sistema arbitrario de formación de colas, como en las figuras 2.22 y 2.23, comparando las políticas de servicio PEPS y UEPS. Llévese a cabo una prueba propia para la fórmula de Little.
2.17. Considérese en cola M/M/2 analizada en el texto. Derívese la ecuación (2.43), la expresión para la probabilidad de ocupar un estado y la ecuación (2.44), la del promedio de ocupación de la cola. Grafíquese μE(T) (tiempo normalizado de retardo) contra λ, la tasa promedio de llegada (carga en el sistema) para la cola M/M/2, y compárese con dos casos de servidor único: una cola M/M/1 con tasa de servicio μ y una cola M/M/1 con tasa de servicio 2μ. Verifíquese la figura 2.27.
E (T ) M / M /1
E (T ) M / M /1,
1 1
2
E (T ) M / M /2
1 1
1 1 2
0 1
0 1
2
0 1
2
2.18. Remítase a los ejemplos de servidor múltiple (0 amplio) y de cola con desaliento analizados en el texto. Muéstrese que la distribución de probabilidad de estado y la ocupación promedio de la cola están dadas, en ambos ejemplos, por la ecuación (2.47) con la ecuación (2.48), y la ecuación (2.49), respectivamente. Sin embargo, el tiempo promedio de retardo y desempeño son diferentes en ambos casos. Calcúlense estas dos cantidades en los dos casos y compárense.
2.19. Considere una cola con un proceso general de salida (servicio) dependiente de estado μ. N
A. Explíquese porqué el rendimiento promedio está dado por =
1 nPn n 1
B. Tómese el caso especial de la cola M/M/2. μn = μ, n = 1; μn =2μ, n 2. Muéstrese que =μp1+2μ(1-p0-p1). Muéstrese que justamente = λ, si p1 y p0 se calculan de manera explícita usando la ecuación (2.41).
2.20. Un sistema de formación de colas soporta N paquetes, incluyendo el o los que están en servicio. La tasa do servicio es independiente de estado, con μn = n, 1 nN. Las llegadas son de Poisson, con tasa promedio . A. Muéstrese que la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n es la distribución de Erlang de la ecuación (2.54). B. Muéstrese que el número promedio en el sistema está dado por la ecuación (2.56). C. Muéstrese que el desempeño promedio es =E(n), de dos maneras: 1. Úsese =
N
0 p . n n
n 0
2. = (1-PB), donde PB es la probabilidad del bloqueo. C. El teorema de Little dice que aquí E(T)=E(n)/=1/. Explíquese este resultado (es decir, no hay tiempo de espera).
2.21. Un sistema de formación de cola tiene dos líneas de salida, usadas en forma aleatoria por los paquetes que requieren servicio. Cada una trasmite a velocidad de μ paquetes/s. Cuando ambas líneas estarán transmitiendo (sirviendo) paquetes, éstos son bloqueados a su entrada; es decir, no hay almacenamiento temporal en este sistema. Los paquetes tienen longitud con distribución exponencial; las llegadas son de Poisson, con tasa promedio λρ = λ/μ = 1. A. Encuéntrese la probabilidad de bloqueo PB, de este sistema. B. Encuéntrese el número promedio, E(n), en el sistema. C. Encuéntrese el rendimiento normalizado /μ, con como el desempeño normalizado, en paquete/s. D. Encuéntrese el retardo promedio E(T) a través del sistema, en unidades 1/μ. (De manera alternativa, encuéntrese E(T)/1/μ).
2.22. Un concentrador de datos tiene 40 terminales conectadas. A cada terminal llegan paquetes con longitud promedio de 680 bits. Se agregan a cada paquete 40 bits de información de control antes de que se trasmitan sobre un enlace de salida con capacidad de C = 7200 b/s. A 20 de las terminales llega en promedio un paquete/10 s. A 10 de las terminales llega en promedio un paquete/5 s. A 10 de las terminales llega en promedio un paquete/2.5 s. Las estadísticas de llegada son de Poisson. a. Las unidades de datos transmitidas (llamadas tramas) tienen longitud con distribución exponencial. Encuéntrese (1) el tiempo promedio de espera en la cola, sin incluir el tiempo de servicio, y (2) el número promedio de paquetes en el concentrador, incluyendo al que está en servicio. b. Repítase si todos los paquetes son de la misma longitud. c. Repítasesi el segundo momento de la longitud de la trama es E(τ2) = 3(1/)2; y 1/ es la longitud promedio de la trama.
2.23Remítase a la derivación de las fórmulas de Pollaczek-Kinchine en el texto. A. Derívese la ecuación (2.69), la expresión general para el numero promedio de usuarios en cola. B. Para el caso de llegadas de Poisson, calcúlense E(ν) y σν2, siguiendo el procedimiento del texto, y muéstrese que resultan las ecuaciones (2.74) y (2.76).
2.24. Se transmiten sobre una red datos dos tipos de paquetes. Los de tipo 1, paquetes de control, todos de 48 bits de longitud; los de tipo 2, paquetes de datos, de 960 bits de longituden promedio. Los enlaces de transmisión tienen una capacidad de 9600 b/s. Los paquetes de datos tienen una varianza 22 = 2(1/2)2, siendo 1/μ2 la duración en segundos promedio del paquete. Los paquetes de control del tipo 1 constituyen un 20% del tráfico total. La utilización global de trafico sobre un enlace de transmisión es ρ = 0.5. a. Se usa una política de servicio PEPS (servicio sin prioridad). Muéstrese que el tiempo promedio de espera para ambos tipos de paquetes es E(W) = 148 ms. b. A los paquetes de control (tipo 1) se les asigna prioridad sin interrupción. Muéstrese que el tiempo de espera de estos paquetes se reduce a E(W1)=74.5 ms, mientras que el tiempo de espera de los paquetes de datos (tipo 2) aumenta ligeramente E(W2)=149 ms.
2.25. Muéstrese que el tiempo promedio de espera de clase p en un sistema de prioridad sin interrupción esta dado por la ecuación (2.84).
