solucionario (AntiDemidovich_ Matemática Superior_ Problemas Resueltos) I.I. Liashkó... [et al.] .-Introducción al Análisis. Cálculo Diferencial p

MATE MATICA SUPERIOR PR0BLEMA5 RESUELTOS I. I. Liashko, 4. K. Boiarchuk Id. C. Gai, G. R Colovath Analisis matematico Introduction il analisis Calculo diferencial para hinciones de una variable

TEMATI/IKA URSS

M, HJiuitiM), A. K lioup'iyK, M. f. I . Jl. I oiroim'i Cii|M»o*nmu uocofine iio iibicmcti MaTCivurriiKc* rIV>M I. Macii> 1. M h t c m s i t h m c c k h M i imiuiifi: iiiicjieiiHi 11 u i i u j i h 3 , npoH3uo;uiitH L L L i t i s h k f i , A, K. Haiti

relink,

hi,

G, Gai,

G. R

Golovach

Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico: introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable Traduction de la cuarta edition rusa (1997) Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra, cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial e integral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente detalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich. En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variable compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en la inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticos de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on a las aplicaciones conformes. En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicos del curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimo teorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos de estos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizan toda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de la solution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden no lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion de los criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.). En la edicion de este libro participaron; Director Vicedirector Director de production Director de sistemas Traduction Diseno Enmaquetacion Procesamiento de texto Correction Realization tecnica

Domingo Marin Ricoij Natalia Finoguienova Irina Makieeva Viktor Romanov Viktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria Andridnova Viktor Romanov y Vasili Podobied Natalia Beketova Svietlana Bondarenko y Anna Tiiirina Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez Garcia Natalia Arincheva y Elena Logvinova

Rcservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los pafees del mundo. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacion escrila del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduction total o partial de esia obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografia y el tratamiento in forma tico, y la distribution de ejemplares de ella mediante alquiler o prestamo publico.

Editorial URSS http:// urssjsa.ac.ru

ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa) 5^88417-184-6 (Tomo 1)

€> Editorial URSS, 1999

De la editorial

Los cuatro prinieros iomos que abren la seric "Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil la traduccion al castellano de la obra "Manual de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo de "Anti-Demido vich". Las dos prim eras ediriones fueron rcalizadas durante la existencia de la Union Sovietiea con una tiiada total de mas dc 200 mil ejernplares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us enda en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y el colectivo de autores acordaron no s61o limitar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear ademAs un proyecto que de algiin modo desarrollase en otras rainas de ia matematica el camino ma read o por el "Anti-Demidovich". Asf nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas resueltos", la cual asimismo incktye, por a bora, dos lomos sobre la teorfa de la variable compleja y dos tomos sobre la feorfa de las ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "AntiVoikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a que muchos de los problemas que en el las se presentan aparecen enunciados en las magnificas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviski y A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo de reconocimiento a cstos autores.

Moscil

1999

Capitulo

1

Introduccion al analisis §1. Elementos de la teoria de conjuntos 1.1, Sfmbolos logicos Frecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o "t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llaman fiumtificadores. La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B se deduce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicion neeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A. Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a I menos una de las a firmadones es valida, se denota A V B. 1.2. Opcraciones con conjuntos El concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elemento dado perlencce o no al conjunto. Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notacion general para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos sueten escribirse de la forma A — {a, fe, . . } , donde entre Ilaves van indieados sus elementos. Usaremos las notaciones siguientes: N, conjunto de los numeros naturales; %, conjunto de los numeros enteros; Q, conjunto de los numeros racionales; R, conjunto de los numeros rcales; C, conjunto de los numeros complejos; Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos. La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A. La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A. Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1). N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A

6

Gipilulo I. I i i L i o c U k c i o i i

«i1 <111 i l l

is is

pcTtenive a A. lil conjunto vaeio, es decir, el conjunto quo no contiene ningun elemento, se dcnotnrd con el simbolo 0 . Cualquier con junto contiene a I conjunto vacio como uno de sus subconjuntos*

Be. A Fig.l

Fig. 2.

conjuntos Definition 1, Si A C B A B C A, los conjuntos A y B se denominan iguales, y se escribe A — B. Definicion 2, Sea A C J - El conjunto de elementos del conjunto J no pertenecientes a A, se llama complemento del conjunto A respecto al conjunto J (fig. 2). El complemento del conjunto A respecto al conjunto J se designa con el simbolo C j A ; tambi^n puede escribirse de forma mas simple, C A, siempre que se sepa respecto a que conjunto se toma el complemento. De este mo do, C j A = ^ { x : x

€

J

£

Ax

A},

Si A C J y B C J , el complemento del conjunto B respecto al conjunto A se llama, a veces, diferencia de los conjuntos A y B y se representa por A \ B (fig. 3), es decir, A \ B

^ = { x : x

G A Ax

g

B } .

Sean A y B subconjuntos del conjunto J. Definicion 3. Se denomina union de los conjuntos A

UB

=

{ x : x

A

Vx

£

y

al conjunto (fig. 4)

B

B } .

AnB

AuB Fig. 3.

e

A

Fig. 4.

Por analogia, si Ajf j — mismos es el conjunto

AAB Fig. 6.

Fig. 5.

nt son subconjuntos del conjunto J , la union de los

n ( I

Aj

-

{ x

: X e Al V X e

A2

V . . . V as G

A

n

}.

j-1 Definicion 4, Se denomina

intersecciim

de los subconjuntos

A

y

B

al conjunto

fj 1. IdemontoM do la leorfa
7

11 Por analogfa, nn\liante el simbolo f ) 4/ se designs! Li intersecdon do los mi boon i .1 juntos Aj C J , j — 1,11, es decir, el conjunto it Aj = {a;: x G Ai A x £ A-> A . . . A a; 6 j=i Si cada elemento / t f M s e pone en correspond enda con un cierto conjunto Afl, se dice que esta definida una familia de conjuntos {Ajt}, ji € M. En este caso, el conjunto ( J Ap = {todos los x tales que x t A(1 al menos para algdn [i € M } se denomina unidn KM — [x : x F Afl V/j. Q M } ye de la familiu de conjuntos {A^}, ft
(a ~cAb~

d).

Un par ordenado de elementos a y b se denota con el simbolo (a, 6). De modo analogo se define un sistema ordenado de n elementos a.\, «2) • • •, a„, el cual se designa con el sfinbolo {(ii T 4 - A; 6} 0 U S = S ) # ( A n £ # A ) ; 7) A U 0 = A, A n J - A, A n 0 = 0, A U J = J ) 8) A U CA ~ J , An QA — 0.

K

C'iipftuJo I. (ntroduccion al aruilisis

Si para los elementos de un conjunto a = {A, B} C , . * . } estan definidas las operaciones de union U y do intersection n, las cuales verifican las relaciones l)-8), la lema (cr, U, n) se denomina algebra de Boole. De este modo, si cr es una familia de todas las partes del conjunto J , entonces U, Pi) es un algebra de Boole. 1.4. Principio de dualidad Para cualquier par de conjuntos Ay B del conjunto J se verifican las igualdades

C (A U B) = CA fl CBt

C(Af)B)

= CA U CB.

(1)

Las propiedades expresadas por las igualdades (1) se denominan principio de dualidad. Verbalmente dichas igualdades pueden enunciarse del modo siguiente: el complemento

de la union de los conjuntos es igual a la interseccion de sus complements, y el complemento de la interseccion de los conjuntos es igual a la unidn de sus complementos. El principio de dualidad se extiende sin dificultad alguna a un numero arbitrario de subconjuntos A^; en este caso se escribe /t

fi

$

p

Es decir, al intercambiar entre si el orden en que se escribe el simbolo de complemento C y el simbolo U (o bien el fl), este ultimo se transforms en el fl (en el U, correspondientemente), 1.5* Algebra de conjuntos Sea J un conjunto y P ( J ) , el sistema de todos los subconjuntos del conjunto J . Definicion 1. Una familia no vacfa R C P{J) en donde la union, interseccion y diferencia de conjuntos son operaciones internas, se denomina anillo de conjuntos. Definicion 2* Un conjunto E se llama unidad de la familia de conjuntos £ si E £ S y VA G 2 se verifica la igualdad A n E ~ A. Definicion 3. Un anillo de conjuntos que contiene a la unidad como uno de sus elementos se denomina algebra de conjuntos* Definicion 4. Una familia de conjuntos S C P{J) se denomina semianillo si contiene al conjunto vacio y V4 G S y VAi C A existen conjuntos A2, .., An G S tales que A = At U A2\J . •. U 4 donde el simbolo U designa la union de conjuntos disjuntos. 1*

Demostrar la validez de las afirmaciones l)-8) del p. 1.3.

Solucion. 1) Conforme a la definicion 3 del p. 1.2 se tiene

AUB ^{xe

J :x € AV x € B},

y, por consiguiente, de la inclusion x G A U B se deduce que x G J , es decir, A U B C J . Analogamente, segun la definicion 4 del p, 1.2

Af)B

= {x € J :x e AAx £ B},

por lo cual de la inclusion x G A fl B resulta la inclusion A fl B C 3. 2) Dado que la afirmacion x Q Av x € B e s estrictamente equivalente a la afirmacion x £ B\f x G A, resulta

A\jB = {xeJ:xeAVx£B}

=

La seeunda imialdad se demupstra de modn analnpn.

{xeJ:x€BVx€A}=BuA.

fi i. ElomcntiK) tie l.i teorfn de mnjuiKnu 3) En virhid de las propiedades del sfmbolo fftgicti v, se lieru* A l J {B U D) = fit G J : x G A V x G {B U D)} {.r £ J : (x € 4 V at G If) V x £ D) =

.|g £ J : m fc A V (a 6 BV x G D ) }

-

6 J : a; 6 ( 4 U fl) V ar £ D> = (.A U B) U O.

I a sejjunda igualdad de 3) se dcmuestra de modo ana logo. 4) Tenemos que A U {B D D) = {x € J : x £ A V X £ (B n D)} = {.r £ J : x £ A V (a; 6 B A x £ £>)> = {a; £ J : (as G A V a; G B) A {a £ A V x £ £>)} ~ = { « € J : (x €

U B) A (a: 6 >1 U D)} = {A U B) fl [A U D).

I ,a segunda igualdad se dcmuestra de modo analogo. 5) Sea x £ A U A, entonces ai G A A x G A, es decir, x € A y, por tanto, se verifica la inclusion A U A C A. La inclusion invcrsa A C A U A se deduce inmediatamente de In definition dc union. De las dos ultimas inclusiones se obticne la igualdad A U A = A. La igualdad A n A = A se dcmuestra dc modo analogo. 6) Supongamns Ucita la igualdad A n B = A. Entonces (A n B = A) m (A C A n fl) s> (A C fl). IJtilizando la inclusion obtenida hallamos que A U B ^ {X e J : x £ AV x € B} C {x € J : x (AU B = B).

(I)

Sea ahora A U B = B. Oil este caso son v,ilidas las implicaciones {A U fl = fl) => (A U B C B) ^ (A C B). limpleando la inclusion A c fl obtenemos An B =

€ J : x e A Ax e

3 {« G 3 : X G A A x

= A.

Dado que tambien es v<5Iida la inclusion inversa A D fl C A, entonces A fl B = A y, por consiguiente, (A U B — B) (A n B = A). (2) De (1) y (2) se deduce que (A n B - A) (A U B = B). 7) Si x £ A IJ 0 , se tiene que a.1 € A V x £ 0 . Dcbido a que el conjunto 0 no contiene ningun elemento, dc x € A U 0 sc deduce que a; G A, es decir, A U 0 C A, li> cual conjuntamente con la inclusion A u 0 J A es equivalence a la igualdad A u 0 ~ A. De0CAD0C0se deduce directamente la igualdad Afl0 = 0. Dado que A C 3, Lencmos A n J =-- {x € J : x £ A A x £ J ) D (at £ J : x G A A x C A) = A, lo cual junto con la inclusion A n J C A conduce a la igualdad AC\ J — A. Finalmente, a partir de las inclusiones J C A U J C J se deduce directamente la igualdad A U J = J . 8) De acuerdo con la propicdad 1) A 11 C A f .1

M

10

CiipiLulo I. Iti(ruducti6n a I iinalisis

A, Sea x G J ; entonces, si x G A tendremos que x E A U CA; por otra parte, si x resulta que x £ CA yf do nuevo, x G A U CA. De este modo, de x & J se deduce que x G A u CA, es decir, J C A U CA. (4) De (3) y (4) se obtiene la igualdad

(5)

A U CA = J .

Para demostrar la igualdad A fl CA = 0 probemos que el conjunto A fl CA no contiene ningiin eleme.nto, En e fee to, de acuerdo con la igualdad (5) cualquier elemento del conjunto J pertenece bien a A bien a CA, Si x G At entonces x CA yr por tanto, x g A D CA. Por otro lado, si x G CA, se tiene que x A (pues si fuera x G At resultarfa que x £ CA), y, de nuevo, x g? A Pi CA. Dado que el conjunto A n CA no contiene ningun elemento, este conjunto es vacio, o sea, A fl CA = 0. • • • •

2*

•

• • •

Demostrar el principio de dualidad: C f l U ^ B ) - CA n CB,

(1)

C (A n B) = CA U CB

(2)

(veanse las igualdades (1) del p. 1.4), M Solution. Demostremos la igualdad (1) (la (2) se demuestra analogamente). Sea x G C (A U B), entonces de acuerdo con la igualdad (5) del problema anterior, x S? A U B, es decir, x g A Ax $ B, de donde x G CA Ax G CB, y, por tanto, x G CA (1CJ3. De este modo> C (A U B) C CA n CB. (3) Supongamos ahora que x G C 4 fl CB. Entonces x £CAAx G CB, es decir, x $ A Ax $ B f y, consecuentemente, xgAUB yx EC (A 1) B). Por lo tanto, C ( i U J3)cCAnCJB. De las inclusiones (3) y (4) se deduce la igualdad (1).

(4)

•

• •• • •• • •• •_U

3.

Demostrar las igualdades: AU(AnB)

= An{A\jB)

= A.

(1)

^ Solution. Utilizando las propiedades 4) y 5) del problema 1 obtenemos la primera de las igualdades (1): A U (A H B) = (A U A) n {A U B) = A n (A U B). Queda por demostrar que An (A I) B) — A. Si & G A fl (A U B), resulta x £ A Ax £ A U B y, por consiguiente,

An(AUB)C

A.

Pero si x G A, tendremos x G A U B, y, por tanto, a ; G i O ( i U B), es decir, AcAn(AU B). De las inclusiones (2) y (3) se deduce la segunda de las igualdades (1). 4.

Demostrar las igualdades: a ) C C j I = A;

b) CJ

= 0;

c) C 0 =

J .

(2) (3)

S I. llomcnlo* ili' Id ti'fllf v;1lida la inclu skill A C C C j I . I3e law iiulusio 10* ik-inoHlnntii.H sc deduce la igualdad a). L>) El conjunto CJ es vado, pneslu qui: la negation
Demostrar la validez de la inclusion (A\B)C(A\D)n(D\B).

Solution. Sea x £ (A \ B), entonces x £ A A x g B. Si, ademas, x £ D, resulta quo .»• < (,'1 \ D) y, por consiguiente, x € (A \ D) U (D \ B). Si, por lo contrario, x G D, iiilunces, Co mo x g B, vemos que x £ (D \ B), y, por eso, x £ (A \ D) U (D \ B). De este inoili), tanto para x £ D como para X G D de la con die ion x Q (A \ B) se deduce que .<• i {/I \ D) U (D \ B), lo que es equivalents a la inclusion que se demuestra. • Definir los conjuntos A U B, A 0 B, A \ B, B \ A, A A B si; a) = b) A ^ {x : x2 - 3x < 0}, B = {x : x2 - 4x + 3 > 0}; c) A = {x : |x - l j < 2}, B = {x : jx - 1| + [a: - 2| < 3}. Nohieidn. Haciendo uso de las definiciones de union, interseccion, diferenria y diferencia uinietrica de conjuntos hailamos a) A U B = { x : (0 < x < 2) V (1 ^ x < 3}} = { x : 0 < x ^ 3} ; {s:Ui<2}; J l n 5 = { i : ( 0 < a ; < 2 } A ( H a ; q ) ) = A \ B = {a;: (0 < X < 2) A x [1,3]} = {x : 0 < a: < 1}; B \ A = {x : (1 < x ^ 3) A x <£ JO, 2[} s= { x : 2 < x < 3>; A A B = {x : (A \ B) U (B \ 4 ) } = {a;: (0 < x < 1) V (2 < x < 3)}. b) Dado que x2 -- 3x < 0 para 0 < x < 3, lendremos A — ( i ; 0 < a; < 3}. f,a desiguddad x2 — 4x + 3 p 0 se verifica para —00 < a; S 1 y 3 < i < +oo, Designemos I) ~ {a; : - o o < x < 1}, E = fx : 3 < x < -foe}, entonces B = D U fl. Empleando las j)iopiedades de las operaciones con conjuntos obtenemos AUB

= AU(DUE)=AUDUE

— {x: (Q
3) V

V ( - 0 0 < a ? < l ) V ( 3 < » < +oo)} = {x : - o o < x < -too}; A n & = A n ( d u iE) - (A n jD) u {A n = {x:0
= A\(P

- { » : (0 < x 4X) v'w e 0} =>

1}; U^

= {x ! jE ^ A A (» % D Vx £&)}

= {x : {a; € A A X € D) V (x G A A X £ = B\A

ft1))

=

= (4 \ D ) U U \

=

{x:l
= (DuE)\A

= {x:(x£

DVx£E)Ax
A} =

= {x : (x G D A x g A) V [x € E A x £ J ) } = {D \ A) U (E \ A) = = {x : ( - o o < x < 0 ) v ( 3 ^ x < AAB

= AA{DUE)~(A\(D

foo)};

tj E)) U ((D UE)\A)

=

= [x : (1 < x < 3) V ( - c o < x < 0 ) V ( 3 ^ x < +oo)} = = (x : (—oo < x sZ. 0 W ( 1 < x < +ooH.

C'apitulo I. InlmduiTtrtii a I anrilisis

\2

Fig. 9.

Fig. 8.

Fig. 7.

c) De forma mas explfcita, A = {% : - 2 < x — 1 < 2} = {x : - 1 < x < 3}, Resolviendo la desigualdad \x — 1| -f \x — 2| < 3 hallamos la expresion explfcita tambien para e conjunto B = {x : 0 < x < 3}. De este modo,

A U B = {x : ( - 1 < x < 3) V (0 < x < 3)} - {x : - 1 < x < 3}; A fl B = {x : ( - 1 <

X <

3) A (0 < x < 3)} = {x : 0 < x < 3};

A \ B = {x ; ( - 1 < x < 3) A x g ] 0,3 [} = {x : - 1 < x ^ 0}; B\A = {x\(Q
•

••••• •!—"r- n—•—i n

7.

Dados los conjuntos A = {(a;, y): |ar| -f

(fig. 7), B = {(z,y)

: y^Tf

{(a?,y) : max{|x|, |y|} < 6}

AC

< 6} Vi < 5} (fig. 8), D = 3 (fig. 9). Demostrar que B

BCD.

M Solution, Sea (x,y) € A, entonces x + \y\ < 6. Asf 1 pues,

\fx2 + y2 ^ ^x2 + 2\x\ \y\ +y2 = \x\ + \y\ < 6, 0 es decir, y) € Bf lo que a su vez implica el que se verifique la desigualdad max{|ar|, |y|} < \Jx2 + y2 < tf,

Fig. 10.

y, por consiguiente, la inclusion (a?, y) G D. Por lo tanto, A C B G D. •

• ii• ••i•

—

P

W

^

n

• "

_

8, Sea A = {x : 2 ^ x < 4}, B = {y - 1 ^ y ^ 3}- Representar en el piano xOy el conjunto de puntos A x B. A Solucion. Dado que A x B — {(a;, y) : (2 ^ # ^ 4) A (1 ^ 2 / ^ 3 ) } , entonces A x B constituye el conjunto de los puntos del rectangulo limitado por las rectas x — 2, x = 4, y ~ \ f y —Z (fig. 10). • 9, Demostrar que una familia R en donde la union y la diferencia estan definidas como operaciones internas, es un anillo. Solucion. Sean Ay B conjuntos arbitrarios de la familia R. Dado que A f i J 3 ^ J 4 \ ( J 4 \ J B ) y A C It,, A \ B C R/ entonces A n B C R> Por consiguiente, las operaciones de union, iiUeiHeci-inn y diferencia son operaciones internas en R, o sea, la familia R es un anillo. • •• • —

jj-

ti I. tileninitiM ile Id tMirln iU» riittJmiliiH t*otitj>iJt*Mfn por nil wuijurito no vacfo « y el 10. Demostrnr que una ImiiDia It — {ir, conjunto vacfo 0 , forma un iinllln. j.lto I'nte (inilli) un illgebra? Solution, La union a U 0 a y las difi'ivutiim
{ { « , 7}, { « } , { 7 } , 0 } ,

{{<*,()},0},

{{a,7}(0},

{{/?, 7 1 , 0 } ,

euyas unidades son, respectivamente, los conjuntos {of, fl], {a, 7 } , {(}, 7}, { a , fl}, { a , 7 } , 7 } . Es fadl ver que en cualquiera de estas famllias la union y 5a diferencia son operaciones internas; cuatro Algebras { J , {«>P), {7}, 0 },

{ j , {«• 7 > » i p } > 0 }-

{j,

7}, { « } , 0 },

{ J , 0 },

la unidad de las cuales es el conjunto J . Finalmente, la union de todas las Algebras enumeradas { J , {«,/?>, { a , 7 } , { £ , 7 } , { a } , {/J}, {7}, 0 } tambien es un algebra cuya unidad es 3 • b) Fvidentemente, todas las algebras consideradas en el apartado a) son anillos. Otros anillos 110 existen. c) Todo anillo es un semianillo. Kfectivamente, la condition de que A y Ai C A pertenezcan a un anillo R implica que A=A\UA2,

donde

= ii \ -4i C -R

A demas, en esle caso, podenios construir ejemplos de semianillos que no son anillos. Por ejemplo, las familias {{«},

{Ph 0}.

{{«>, fr>> 0 } ,

{ { « , / ? } , { { « , 7 i A P } ,

0}i

{{/n> {7)1 0 }, {{A7>,{«},0}.

Efectivamentc, en cada ima de las seis familias la interseccion de dos elementos cualesquiera de la familia pertenece a dicha familia. Cada elemento no vacfo de la familia tiene como sub conjunto solo el propio conjunto, dc donde, por ejemplo, para la familia {(Pi 7 } . 0 } sc tiene {P, 7 } = iP, 7 } u 0 - { 0 , 7 } ,

{a} = { « } U 0 = { a } ,

14

QipiLuk) J. Introduction a I an a lis is

es dt'rir, so vorrHra el segundo requisilo do Jo definition de semianillo. Tod a familia que contenga {/*}, {()}, { 7 } , 0 y que no coincida con P{J) constituye un semianillo { { « , £ } , { « } , { W , ( 7 ) , 0 }i

{falhWAPhil},®},

etc.

Por ejemplo, mostremos que la familia S — {{a, j3}, {a}^ {/?}, { 7 } , 0 } es un semianillo. En efecto, la interseccion de dos elementos cualesquiera de la familia S vuelve a ser un elemento de S. Para todo elemento de S es valida la descomposicion en conjuntos disjuntos {a, (3} - { a } U {/?}, {a} = { a } , {/?} = {/?}, { 7 } — { 7 } . Asf pues, la familia S es un semianillo. • 12.

Supongamos que tres numeros a, b y c satisfacen las desigualdades a < c < b, Demostrar que la familia S = {[a, 6], [a, cj, [c, 6], [a, c[, [c, cI ]c, ft], 0 } , compuesta de los segmentos y semisegmentos formados por los puntos a, b y c es un semianillo, mas no un anillo. ^ Solution. La intersection de dos elementos cualesquiera de S es tambien un elemento de familia, es decir, la interseccion es una operation interna en S, Todo elemento de S admite una descomposicion en partes disjuntas pertenecientes a 5 . Por ejemplo,

[a, b] = [a, c] U ]c, 6] = [a, c[ U [c, c] U ]c, 6] = [a,

LI [c,

[a, c] — [a, c[ U [c> c],

etc.

La familia £ no constituye un anillo, pues la union no es una operation interna en S, Por ejemplo, [a, c[ U ]c,fe]no pertenece a • •

^

13.

•

••• I • ••

1

•

Demostrar que

(Ar\B)x(Dr\E)

= (AxD)n(Bx

E).

(1)

< Solution, Sea (a?, y) e (A D B) x (D C\ E), entonces xeAOB eyeDnE, lo que es equivalente a que x £ A A x £ B eytDAyEE. Dado que x£AAy£D,se tiene y) G A x D. Analogamente, d e x G ^ A y G J ^ s e deduce (xf y) G B x E* De este modo, {.x, ?/) E ( 4 x D) n

x £) y

(inB)x(Dn^)c(ixfl)n(5x

(2)

Supongamos ahora que (x7 y) G ((A x D) n (B x £?)). En este caso, (x, j/) G ( A X D ) A (a?, y) 6 (ff x 2?) y, por consiguiente, x E A Ay E D y x E B Ay E E. Por tanto, xEAr\Bey£DnE,es decir, (ar, y) G ((4 fl B) x (Z) fl £?)) y se verifica la inclusion

(A x

I?) n t B X

E)

C

n

B) X (D n E).

De las inclusiones (2) y (3) se obtiene (1). Ejercicios 1. Demostrar las igualdades: b) a) =

=

(veanse las igualdades (2) del p. 1.4), donde /i pertenece a un conjunto arbitrario. 2, Sean A C B y D conjuntos arbitrarios. Demostrar la valhlez de las inclusiones: a) A n D C B n D; b) A U D C B U D.

(3)

J} I. liliHBeiitoa dl" la li'iirtu dr luhjintluu I Jomoslr.ir que si <1 f It A A (. I), entoiKVM 4. ! Jcmtwtrar i[m? si A i I) a // L I), uiiIoihvh IXnTsoslnir h validez dc las Iguaidsdcs: a) A AS ~{AuB)\(A n B); b) A u H it. I >cmostrar que para b diferencia simdrica se A&BC

If)

A < II11 If. /li J It.< It (A A H ) A ( 4 n W ) ; vrriiVa Ja inclusion

i1) A\B=*AA{A

n «).

({AAD)U(BAD)).

L'NiVcRStEM© AUl'OHCMA. DE 7. Demostrar la validez de las indusiones; .1) Mi U Aj)\ (», U Bi) C {A, \ Bi) U {Ai \ B2); B;:) (CA, U C4t) A (CBt UCB;) C C((CA, ACfl,)n(CA 2 ACB 2 )), OfNr.-tAS donde Ai, Aj, Bt, B: son subconjuntos del conjunto J . II. I temestrar: :>) (A, U An) A(JJ] UBi) C (A- AB,)U(yli AB2); 1.) (A, n A.) A (i/j ntf.) C (>1[ A « i ) n ( 4 ; A B?); 0 (/li \ A7) A (B.r \ B2) C (Aj A B,) \ (A, A B2), donde A], A2, B\, Bt son subconjuntos del conjunto J , •I. I kterminar los conjuntos A U B, A ft B, A\B, S \ A , A A if si: ,i) A = {x:-4&&.M 1J ( B 0 0}, B = {x : bx - x2 ^0}; e) A == {x : sen wx - 0), B = : cos " = 0}> lit. I )e terminal los conjuntos A U B, A n B, A \ B, B \ A, A A B sir .1) A = {(*, y) B = {(x, y): \zs| + | y | < l } ; It) A = {(x, y) - mSx(|at|, M) < l } , f l = {(at, y): js| + M ^ I>J e) A = {(s, y): W + |y| < 2}, B = { (at, y): y ^ - 2)' + (y-2f<2}, d) A~ \(x,y)-. y/&Tt?£2}r B= {(a,y):inax(ljt + l|>|ff + l|) ^ 2 } . I I. Determinar el conjunto A x B si: a) A = { * : - 2 < ; c < l > , S = { y : - 3 ^ if < 1}; b) A = {as: 0 ^ w ^ 1}, B = D x B, donde D « ft : 0 ^ y £ 2 } , K = [z : 0 < z ^ 3}; c) A — {a: : -fX> < x < +oq}, B ~ (y; sen Try = 0}; d) >1 = { t : sen ^^ = 0}, B = {y : -oo < y < -t-oo), 12. Sea J un conjunto compuesto de cuatro elementos n, fl, 7, 6, y la fanriiia de todos los subconjunlos del conjunto J , incluido tambien el conjunto vacio. a) Constrnir ejemplos de algebras cuyas unidades scan, iiespectivaiTieiite, los conjuntos {ctj, b) Cotisitruir un ejtmplo de anillo que contenga como elementos a los conjuntos /3,7, (5), {n}, {,3}, {7}, {&). iEs este anillo uli algebra? c) Coastruir un ejemplo de scmianiJlo (que no sea anitlo) que contenga al conjunto (a, /?, 7,6}. 13. Dcmoslrar que el conjunto de todos los segmentos, sentisegmentos e intervales eti una recta numerica cons tit uyf un semiartillo, pero no es un anillo. 14. Demostrar que la famifia de todos los rectangulos de la forma II-

{(2,y):«<*<&,

C
donde u, b, c y d son numeros rsales a < b, c < d, constituye un semianillo, pero no es un anillo. 15. ^Clinics son los conjuntos que se deben aftadir a l.i familia considerada en el problema 14 para que feta se convierta en un anillo? ifi. Demostrar: a) ( , 1 U 1 ? ) X D = ( / I X J ) 1 U ( U X D);

L7. Demostrnr: a) (A\B)x D-{Ax 18. Demostrar: (AuB)x

b) A x (B U D) - (A x B) U (A X D).

D)\(Bx D); b) i x ( B \ f l ) = ( J x B ] ^ J ( x D). (D U E) = (A x D) U (B X D) U (A x E) U (B x E).

16

Lnpflulo I, lulioihittiriu al an^JLsis

§2. Funciones. Aplicaciones 2.1. Funciones Definicion. Se denomina aplicacion de un conjunto E en un conjunto F (o funcion definida en E y de valores en J 1 ) a una regla o ley / que a todo elemento x G E le pone en correspondencia un determinado elemento f[x) G F* El elemento x G E se llama variable independiente o argumento de la funcion /, el elemento f(x) G F se llama valor de la funcion f o imagen; el elemento x G E tambien se denomina preimagen del elemento f{x) G F. Una aplicacion (funcion) suele designarse con la letra / o con el simbolo f : E -+ F, que muestra que / aplica el conjunto E en F. Tambien se emplea la notacion x f(x) que indica que al elemento x le corresponde el elemento f(x). En la mayoria de los casos las funciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencia. Por ejemplo, se puede decir que "la funcion / esta definida mediante la igualdad x G [«) b]'r. Si "y" es la notacion general de los elementos del conjunto F r f(x) = s/x1 + o sea, F = { y } , la aplicacion f : E F se escribe en forma de la igualdad y = f(x), y suele decirse que la aplicacion esta dada explicitamente. 2.2« Imagen y preimagen de un conjunto para una aplicacion dada Sean una aplicacion f : E F y un conjunto DC E. Definicion 1. Sea un conjunto de elementos de F cada uno de los cuales es la imagen mediante la aplicacion / de por lo menos un elemento de D. Este conjunto se denomina imagen del conjunto D y se designa mediante f(D). Evidentemente,

f(D)^{f(x)eF.xED}. Sea dado, ahora, un conjunto Y C JP. Definicion 2. Un conjunto de elementos x G Ef tales que f(x) G Y, se llama preimagen del conjunto Y para la aplicacion / y se designa mediante f ^(Y), Es obvio que

f"}(Y) ~ {x £ E : f(x) G Y"}. Si y G F, entonces f~l(y) = {x G E : f(x) = y}. Si para cada y G F el conjunto f^l(y) se compone como maximo de un solo elemento x G E, entonces / se denomina aplicacion biumvoca de E en F. Se puede definir tambien una aplicacion biunivoca / del conjunto E

sobre F. Definicion 3, Una aplicacion f : E F se denomina: aplicacion inyectiva (inyeccion, o aplicacion biumvoca del conjunto E en F)f si {x ^ a?') (/(x) ^ /(#')), o bien si Vy G F la ecuacion f(x) — y tiene no mas de una solution;

aplicacion sobreyectiva (sobreyeccion, o aplicacion del conjunto E sobre F), si f(E) — F, o bien si V?/ G F la ecuacion f(x) — y tiene al menos una solution; biyectiva (biyeccidnf o apIi acion biunivoca del conjurio E sobre F)f si la aplicacion es inyectiva y sobreyectiva, o bien si Vy G F la ecuacion f(x) = y tiene solution linica, 2.3. Superposici6n de aplicaciones. Aplicaciones inversa, param6trica e implicita Definici6n 1. Sean / ; E —> F y G. Dado que f(E) C F, a todo element f(x) G f(E) C F La aplicuci6n g asigna un elemento determinado g(f(x)) G G, De este mo do, por medio de la regla go f cada x G E se pone en correspondencia con un elemento (*/ o /)(:*;) y(f(x)) G G. Asi pues, queda definida una nueva aplicacion

fj L I'll lie ill lltfl, Apllritfliiiii'h

17

(n una nueva funcion) qui; hc denomina annjttmicWftt, o him tiu^frpoMat'm de tipliaiiiomw, ^Iitoii aplicacuiti a>nii>iii'xtn, Definicion 2. Sea / J E -+ F una aplicaeirtn biyccfrva y F = {y}. fur ser / IriytTtiva, a todo y € F le corresponde una sola imagen x, que designarcmos / '(;;), lal que f(x) — y. fie define de este modo la aplicacion / _ l : F —* E que so denomina iijiliaicum inversa de la aplicacion f , o funcion inversa de la funcidn /. livid en temente, la aplicacion / es inversa a la aplicacion J ~ l . Por eso, las aplieai ioues / y / 1 se denominan aplicaciones reciprocamentc inversus. Para dichas aplicaciones »ie verifican las relaciones: nr\y))

^ V s e f ;

r\j(x))

= % Vz e E.

Definicion 3. Sean >p : Q X, $: Si -* Y, y supongamos que al menos una de cNlas .ip lien clones, por ejemplo, es biyectiva. En este caso existe la aplicacion inversa V 1 : X —* Q, y, por tanto, ipoip 1 : X —* Y. Se dice que una aplicacion definida de este modo esta dada parametricamenlo mediante Ins aplicaciones ip; fl —»X, i>: SI —• Y; ademds, la variable correspond iente a U iie llama yanunetro. Definicion 4. Supongamos que en un conjunto G = X X Y esta definida una iiplicacion T : G — A , donde cl conjunto A contiene al elemento neutro. Adcmrts, mipongamos que existen conjuntos E C X, D C Y tales que \fx 6 E fijo, la ecuacion (/) = 0 tiene una solucion linica y & B. En este caso, en el conjunto E se puede definir (iii.i aplicacion / ; £ ? — » B que a todo x G E le ponga en correspondencia aquel valor II < B que, para el x dado, sea la solucion de la ecuacion Fix, y) = 0, En lo que respecta a la aplicacion y ~ fix), x € E, y £ B, que acabamos de definir, M- dice que la mismo vicne dada impUcilamente. por medio de la ecuaci6n F(z, y) = 0. Definici6n 5. Una aplicacifin F se denomina prolongation de la aplicacion (j : D —* F, y g se llama restriction de la aplicacion / si E D D y f(x) — g(x)\fx £ D. La rcstriccion de la aplicacion / : E —+ F al conjunto D C E sc designa a veces con el simbolo f\o. Definicion 6. Se denomina grdfica de la aplicacion / : E —» F al conjunto G={{x, f(x)):x£E, Eviden temente, G C E X F. 14.

f(x)£F}.

Determinemos la aplicacion / : R - * [ - 1 , 1 ] mediante la expresion f(x) = sen x. Hallar: a) /(£)};

b) / ( f ) ;

0 / (§);

d) / ( f ) ;

0/{]-||[);

s ) / ( [ o , f ] ) ; h) /CO0,2.]); i) f%0);

I)

r'd-hU);

e>/([-f,§]);

j) r x ( | ) |

k ) r ' ( f ) ;

n) / - 1 ( M , 1 [ ) ; ft) / - ' ( [ o , ! ] ) .

Sol ucion. Haciendo uso de las tab las de funciones trigonometricas o bien de la calculadora hallamos a) /(0) = sen 0 = 0; b) / ( f ) = sen f = d)/(f)=«en|-f. c) / ( £ ) = s e n i - f ; e) Tenemos / ( - - j ) = " t r / ( ' ) — U n6tese que cuando el argumento del seno adopta valores en el irtfervalo [ ~ " f ) f ] * I118 valorem del seno varian en [—!,+'!]. Por consiguiente, f ( [ - | j |]) = {sen x : —^
('anfliilo I. Introducdrtn al au
1H

f) / (j - §, § [) ••= {sen ® : « 6 j - f , f [ } = J—I, 1[;

8) / ( [ 0 , | ] ) = { K n ® : « € [ 0 , f ] } = [ 0 , | ] ; h) /(fl), 2jtJ) = { sen x : x 6 [0,2x]} = [ - 1 , 1 ] . i) Dado que sen x — 0, para x = kir, k 6 Z, tenemos

0}.

f'\Q) -{x.senx-

j) Si sen x = \, resulta que x = (-l) n arcsen \ + nic = ( - I f f + nn, n g Z. Por eso

r 1 (I)

( - I f f + »*, n e Z . Analogamente a lo anterior obtenemos sen x = | } = ( - l ) " J + » ^ r i £ Z ;

f

k) / - ! (

sen x ( - I f f + wr, n e Z. 1) m) Segun la definicion 2 del p. 2.2 / " 1 ( [ — l i 1]) = { ® : / ( a : ) = sena?G [ - 1 , 1 ] } Mostremos que / _ 1 ( [ - 1 , 1 ] ) = R. En efecto, sea x G / _ 1 ( [ - 1 , 1 ] ) y a = senx, entonces /(#) = a, a € [-1,1]/ por lo cual x = ((-1)" arcsen a + nn), x G TR, y, consecuentemente, / ^ ( [ - l , 1]) C R. Si ar € M, entonces sen a: G [ - 1 , 1 ] y x G / _ 1 ([—1,1]), es decir, ® C Z" 1 ( [ - l f 1]). De este modo, f"1 ( [ - 1 , 1 ] ) = K. n) A partir de las igualdades sen a: — ±1 obtenemos facilmente el conjunto A — {x :x = | -f nic, n G Z } de valores de a? que no pertenecen a / (]—1,1[). Por eso, en virtud del apartado anterior, / ( ] - 1 , 1 [ ) = E \ j 4 . n) Tenemos f~l ([0, - ] ) = {x : senx G [0, f ] }• Sea x G f ^ ([0, ) y a = sen x; en este caso a G [0, y a? = (*- I f arcsen a: + mtf n G Z. Sea un rc = 2fe fijo, entonces a; = arcsen a + 2k?r, y a medida que a varia de 0 a \f la variable x varia desde

2for

hasta (2fc +

tt,

es decir,

ar

G

2&7T,

(2& +

tt]

.

arcsen a + (2k + l)?r, y si a varia de 0 a ^, la Sea un n = 2fc + 1 fijo; entonces a? variable a: varia desde (2k + l)sr hasta {2k + 65 ) 7T, es decir, x G [(2k + |) tt, (2ft + 1)tt] . De este modo,

/

-l

?7Tt fefe + 2fe?r

C

1

6

(2^ + |)7r)(2fc + l)7r

U

Tambien se verifica la inclusion inversa, puesto que para x G [2&7T, (2k + 7) x] o ® G [(2fe + |)tt, (2ft + 1)tt] el valor de sen x G [0f • Por eso,

/ 15.

-1

0,

1

2\

2fc?r

u

2k +

(2k + 1)*-

•

iez

Demostrar que si f:E^>Fy

AC E,BcE,

entonces se verifica la igualdad

f(A U B) = f(A) U f{B).



£}2.

I'llllCHIIH'H.

A|lll« I I I

4 Kuluctrin. IX1 aeuerdocoii la definicirtn I tie! p.

illtu'K

J"

«<• ilcpn-

/(A U fl) { / ( * ) ;ie t AH /!}. IliM /(:i:) C: /(A U if), entonces x £ (A U fl), es decir, a: <: /( V a: | fl. Pcro si a: ( AV U! ( M, vcmos quo f (x) 6 /(A) V f(x) £ f(B) y J(x) C: (f(A) U f(B)). Dc? este modo, i|iu'iia demostrada la indusi6i\ /(A U B ) C (/(A) U /(B)). Sea /{:r.) G (/(A) U /{fl)), entonces f(x) G f(A) V f(x) £ f(B), -r i A V x £ B, es decir, a: G (A U B), por lo cual f(x) £ f(A U B) y (J(A) U /(fl)) C /{A U B). I It' ('/) y (3) se deduce directamente (1).

(2) de donde (3)

•

I <).

Demostrar que si / : B -+ F y A C F, B C F, entonces se verifican las igualdadcs b) / '(A \B)= fA(A) \ f~l(B); a) f 1 (AH B) = f~'(A) nrl(B); l (B). c) r\AuB)*-f \A)Uf 4 Solucion. a) Dado x 6 / _1 (A D B), entonces f(x) G (A n fl), es decir, f(x) G A A /(;«)< [}. Pero en este caso x G / _1 (A) A ^ 6 /~'(fl), y, por consiguiente, x G (/ ] (A) n f '(If)) . De este modo qucda demostrada la inclusion J-\AnB)c

{f

\A)nr\B)).

Para demostrar la inclusion inversa supongamos que x G (/ '(A) n f~l(B)). Asf pnes, a,' G / *(A) Aa £ / _ 1 (fl) de donde }(x) G A A f(x) £ B, por lo cual f(x) G (A n B) y x t f~ (A fl B). Por consiguiente, (r1(A)n/",(U))c/-1(Anfl). I h- las inclusiones demostradas se deducc la igualdad a). b) Sea x £ f~\A\ B), entonces f(x) £ (A \ B), cs decir, /(«) G A A f(x) g B. Pero en eso caso x e f ' l{A) A x & /~l(fl), y, por consiguiente, x G (/"'(A) \ / ' ' ( £ ) ) . De este modo, rliA\B)c(rl(A)\r\Bj). Si x G (/ _1 {A) \ f~\B)), se tiene x £ f'\A) Ax g f l (fl), de donde f(x) £ A A f(x) (/ B, es decir, f(x) G (A \ B). Pero entonces x £ f l(A \ B), io que dcmuestra la validez de la inclusion {r\A)\fl(B))cr\A\B), i|iia es la inversa a la demostrada anterlormenle, De estas inclusiones se deduce la ij>naldad b). c) Si x £ f~[(A u B), entonces f(x) £ (A IJ fl). Por tanto, f(x) G A V f(x) £ fl, y 11logo x G / - 1 (A) V x £ f '(fl), es decir, x £ (/ - 1 (A) U /~ 1 (B)). Deeste modo, r\A\jB)c(r\A)ur\B)).

Si se supone que x G (/ _1 (A) u /~ ] (fl)), entonces x £ / _1 (A) V x G f~\B) y f(j:) £ A V f(x) G fl, o bien /(x) £ (A U fl), dc donde at £ f~l(A U fl). Par consiguiente, (f

lU)

u f~\B))

C f~\A U B),

lo que junto con la inchisidn inversa, equivale a b).

•

20

t'apiluln L Introduction al andlisis

17. Sim / : /V ••> /'', y sea P una familia de subconjuntos del conjunto PJ, y Q una amiliu de subconjuntos del conjunto F, Designemos:

f(P) - {f(A) £ Q : A€ P } ,

J~\Q) = {S~\B) G P : 5 € Q}. 2

Demostrar que: a) si Q es un anillo, lo serd tambien / f(P) no es necesariamente tambien un anillo,

(Q); b) si P es un anillo,

-4 Solucion. a) Si Q es un anillo, a partir de B\ G Q, B2 G Q se deduce que (I?i U B2) G Q, (B\ \ B2) G Q. Por tanto, de acuerdo con el ejemplo anterior,

u r\B2)=r\By

r\B,)

u B1)E

r

l

rtonr1^)=r^Aft) Gr

m

l

m

o sea, f (Q) es un anillo, b) Dado E = {a, ft, c, d], F = {a', ft', d1}, f(a) = a', /(ft) = /(c) = ft', f(d) = d\ La familia P = {{a,6lc,d}1{flJ6}J{c,d},0} es un anillo, pero / ({a, ft}) \ /({c, d}) = {a\ ft'} \ {&', d'} - {a1} <2 f(P) - { { a ' , ft', d'}, {a', ft'}, {&', c'}, 0 } , 0 sea, f(P) no es un anillo. • •I

18.

^Cual de las funciones / : [0,1] —* [0,3] siguientes: a) d)

a;

3 sen ;

b)

a?i->tg™;

c)

e)

a? »-> 3 - f (x - | ) 2 ;

f)

x^2|z+2|-3

son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas? Construir las graficas de estas funciones. < Solucion- a) Dado que para y G [0, 3] arbitrario la ecuacion y = 3 sen y- tiene una solucion unica x = |arcsen | en el segmento [0,1], la funcion x ^ 3 sen -f es biyectiva (fig. 11). b) Sea y G [0,1], Entonces, la ecuacion KX

2/ = t g

T



tiene una solucion unica x — ™ arctg yf en el segmento [0,1], siempre que y G [0,1], Pero si y G ]1> 3], la ecuacion (1) no tiene soluciones en [0,1]. Por consiguiente, Vy G [0,3] la ecuacion (1) tiene no mas de una solucion x G [0,1], por lo cual la funcion x 1-+ tg ^ es inyectiva (fig, 12). c) Si y G [0,3], la ecuacion y ~ 3>x tiene no mas de una solucion x G [0, 1], A saber, para y G [1,3] la solucion es x ~ log 3 y; para y G [0,1[ no hay soluciones. Por consiguiente, x 1 > 3;r es una inyeccion (fig. 13), d) De la ecuacion y = 12 {x— u'2

\ I

, y G [0,3], se obtlene que x\ — \ ~ \

Ademas, si 0 < y < 3, las dos raices se encuentran en ]0,1]; si y = 0, las

a fees coincidun X\ — x2 — \ y se hallan en [0,1], Por consiguiente, Vj/ G [0, 3J la ecuacion y

12 (;r ) liene al. menos una solucion en [0.1]. Por eso, la funcion en consideration sobtvvectiva (fig, 14).

2!

ti2. 1''unci on en. Aplltntli

e) Sen y £ [0,3], La ecuacion y = 3 - ~ (at - j ) " liene las soluciones siguientes: \ - l-v^Sy,

g<$0,en

[0,

y xz - { +

0 < y < 3, en [ j , l ] . De

i"ill* modo, \/y G [(J, 3] existen una o dos preimagenes, por lo cual la funcion es sobreyectiva (»iiv ir>). f) Sea y £ [0,3], Para y f. [1,3] la ecuacion y — 2\x -f 2| — 3 liene una solucion Ulrica X - ' yi -•; si y € [0,1[, esta ecuacion no tiene soluciones en el segmento [0, 1]. Por 2]x + 2j — 3 es una inyecdon (fig. 36). • iitnsiguiente, x I1),

Sea la funcion /(x) — tgx, ~ < x < y . Hallar la funcion inversa,

Solucion. Mostremos que la funcion dada es una biyeccifin / : ] y , [ -> K. Con este fin designemos x ~2ir + t , < r < j, Por lanto, Vy £ E la ecuaci6n y = tg x adopta la 11Minn y — t g r , t £ \ § [ / de donde t — arctg y. Teniendo en cuenta que x — 2x + t h.illamos x - lis \ arctgy; ademds, si y £ K, resulta que x £ ] y > y [ j es decir, la biyeccion de la funcion queda establecida. Dado que a todo y £ IS le corresponde un itfritro valor x £ ] y , y [ , la funcion inversa f~l : S —• ] y , y [ esta determinada por la eorivspondencia y 2n I arctg x, x £ ] y , y [. 20.

Escribir las expresiones explfcitas dc las funriones dadas en forma parametrica: a ) x = ccosrf,

j/ = ascn£,

b) x = a cos t,

y — a sen t,

0 ^ t ^ tt; ^ t < 2ir (a > 0).

Solucion. a) Dado que la funcion t a cos it, t. £ [0, v], es una biyeccidn [0, ff] —* [—a, a|, entonces Var £ [—fl, de la igualdad x ~ a cos t se determina el valor unico del pant metro I - arccos | en el segmento [0, tt] . Al sustituir este valor en la segimda igualdad obtenemos y ~ a sen ^arccos ^

= a\j 1 - cos3 (arccos

j — a\j 1 ~ -y,

es decir, y — Va2 ~ x2, x £ [ - a , a], b) Deslgncmos x + # = t. Si r € [0, ;rj, entonces t £ [it, 2k], y, en este caso, la prim era igualdad se reduce a la forma x — -a cos r . La lunci6n t h - b cos r es una biyeccion [0, tt] —> [—a, a], por lo cual Vx £ [—a, kJ hallamos r = arccos ( — — x — arccos' v ( = 2rr — arccos - . Al sustituir el valor

{'.ijii'luJu J. Introduction a I jiiillittis delri miMiulo de L en la segunda igualdad obtendremos

y a2 — x

V 21.

x E [—a, a].

•

!• i •in—m

r i m rnn i hi—•••• •—n

I fill tar la expresion explicita para la funcion / :

implfcitamente mediante la igualdad sen x — cos y — 0,

x E

3-tt 5TT

3?r 5tt .

y

l_l_l

L 2 ' 2 J

[4?r, 5tt] definida

y E [4ff, 5tt].

-Y' Y.



Solucion. Como V# E [ y , y ] fijo se tiene sen a; = q, q E [—1,1], entonces (1) es equivalente a la ecuacion cos y ~ q, que en el segmento [47T, 5tt] tiene solucion unica. De este modo, queda demostrada la existencia de la funcion 3?r 57T [47T, 5?T] L2 ' 2J Para escribir otra expresion para la funcion / transformemos la igualdad (1) reduciendola a la forma o sen x — sen y ••

de donde

—

•• •

•

JT

2 sen

« + f

z - j + y

r

cos —

2

—

y

2

0.

Igualando a cero cada factor hallamos dos valores para y: y =X

7T

2

7T

x + — +2wr }

y



+ 2717T, n E Z,

(3)

n E Z.

En el caso (2), de la condici6n x 6 [y> y ] s e deduce que y € [(2n + y no pertenece a [4?rT 5?r] v n E Z, es decir, y — x — + 27i7r no es funcion / para ningun n E Z. En el caso (3), de la condition x £ [ f , f ] V € [(2n 2)tt, (2n — 1)ttJ C [47r, 5tt] para w — 3. Para este valor de n obtiene la expresion explicita de la funcion / : , 13?r

y

x E

1)tt, (2n + 2)7r] un valor de la se deduce que a partir de (3) se

3 7T 5TT

! ! • •• I I III • MB

Ejercicios 19, La aplicacion / : R —* [—1,1] viene dada por la igualdad /(#) = cos a;. Hallar: a) /<0);

b) / ( | ) ;

c) / ( f ) ;

d) / ( f ) ;

g) / ([0, f ] ) ; h)/([0,2?r]); i) / _1 {0); j) n) / " ' ( [ O , ! ] ) ;

n)

([

e) / ( [ - § , § ] ) ;

f)

k ) / _ 1 ( f ) ; D/ _ 1 ( t ) ;

£2 ' 2^

20. Sea / : [O, |] —• R una aplicacion definida mediante las igualdades: a)

f(x) = tg x;

b)

/(a;) = ctg x.

Hallar:

0,

7r

7T 4

6J

/

i

7T 7T

6' 3

f

-i

Z"1 (]0,1]) s

m)

/(]-f,f[);

Z"1 (1-1,01);

2J

fiX Ni'itncroM it'iili'H ) i 1 Vmtwtmr que si / : U — > F, A C M, If c. I'l, enlojiivn: •'} f(A n //) c {[(A)n /(fl)); b) {/<4)\/<«)} t /M WO)). Sim / : H - F , A C fl C F . Demostrar que Hi .4 £ I f , cn tunas / '{/I) C / 11. I Vimwlrar que si / : E -* F y A C E, If C F, cnfoncew: c) 4 C / - ' ( M ) ; .!)

b) / < / " ' ( » ) ) - f l ;

(/(A)

r'(fl) = « ) ;

1

(fl).

4

/(A)n5a/(inr'(B));

e)

(/M) c

fl)

{a c r'(fl))-

J'l. ,'( it,iles de las funriones / : [ -1,1] -»[0,1]: a) m f f l s y ; j j a M i±l.

b) a; h» — x1 -|-1; e)

c) a: t-* |as|; f) X ~

•.on inyectivas, sobreyectivas o biyectivas? Conslruir las graficas. J'i I liiltar la restriction biyectiva de las fundones: a) f(x) = J ! , s e R

b) f(x) = sen x, x £ K;

tl) /(ar) = sen j , a: > 0;

e) f(x) = cos

e) f(x) = 101, xfc"Ej

0

/(*) =

+ * + 1, * £ BU

Hi ) i.ill.ir l;is fund ones inversas corrcspondientes a las funriones: a) /(z) = sen :r,

SCf-^-f];

b) f ( x ) = x n m

* e [f, y ] ;

C) f(x)~cosx,

T £ [2a", 3jt];

d) / W ^ c o s i ,

x £ |-7nr, -6ir];

e)

a t e ] + | , f [;

0

are]"7r,0I.

=

/ t « ) - c tg*,

.'7 I la liar la expresion exph'cita de las fundones definidas parametricamenle: "> *

t & , y - ?T&< 0 ^ t <

b) x -

-oo < t $ 0 (« > 0).

y=

.'H I la liar la expresion explidta de la fundtin / : [sr, 2jt] —» [ y , y ] definida implfdtamente COB(t+senjf = 0,

i f [jr,2jrJ,

I tnliar la expresiyn de la funcion / : [?r, 2ir] —> cosx I sen3/ = 0,

ye [f, y] , definida implicitaraenle

a; £ [it, 2tt],

y 6 [§, y ] .

§ 3. Numeros reales 3.1. ltelaciones binarias y operaciones binarias Definicion 1. Se denomina retncidn binaria en im conjunto E a todo subconjnnto fl del producto E x E. Definicion 2. Una relaei6n binaria 1Z se denomina relation de equivalenaa en el • onjunto E si el subconjunto R es: a) reflexive: (a, a) € K V« £ E; b) simetrico: ({«, t) e K) => ((6, a) € H); C) transitivo: ((«, 6) € R A {b, c) t Tl) -> {(a, c) £ 7t). Rn lugar de («, b) £ TZ a menudo se escribe a ~ b, o bien a = b. Definkidn 3. Una relacion binaria fl se denomina relation de orden en el conjunto E, m la relacion es: a) reflexiva: {a, a) € fl Va £ E; b) transitiva: ((a, b) £ ft A (6, c) £ £2) ((a,c) £ fl); int-iLflmilT-;^-.!. (
CJupilulo I. Introduction al ainlljsis

24

\ln este caso se dice que ft introduce un orden en E . En lugar de (a, ft) E ft se escribe frecuen temente a ^ b 6 a C b. Si Va, b E E se tiene que bien (a, 6) E ft bien (ft, a) E ft, se suele decir que el conjunto E esta totalmente ordenado. Definicion 4. Se denomina operation binaria interna en el conjunto E a toda aplicacion / :E x E —» E. Sean los conjuntos E y F. Definicion 5. Se denomina operation binaria externa en el conjunto E a toda aplicacion / : E x F E. Definicion 6* Un conjunto E que posee una operation binaria interna T se dice

que es un grupo, si: 1) la operacion es asociativa: (a T b) T c ~ a T (ft T c) Va, ft, c E E; 2) existe un elemento neutro: 3 e E E tal que Va E E se verifica la igualdad a T e = e T a = a; 3) todo elemento tiene elemento simetrico: Va E E 3 a E E tal que a T a = a T a — e. Si, ademas, 4) la operacion T es conmutativa, el grupo se denomina conmutativo o abeliano. Si la operacion T es la adicion, el grupo se denomina aditivo, si T es la multiplication, el grupo se denomina muUiplicativo. 3.2. Axiom as del campo de los numeros reales Definicion 1, Un conjunto M — {a, ft, c , . . . } se denomina campo de los numeros reales, si entre sus elementos se establecen relaciones binarias que satisfacen los axiomas siguientes. Axiomas de la adicion A.O. En el conjunto M esta definida una operacion binaria interna, la adici6n M x 3R -+ K : (a, 6) ^ a + ft, la cual pone todo par de elementos a, ft E M en correspondencia univoca con un cierto elemento del conjunto IR, su suma, que se designa mediante el simbolo a + 6. En este caso se cumplen los axiomas siguientes: A.l. (a + ft) + c = a + (ft + c) (ley asociativa). A.2. En 11 existe un elemento denominado cero, y que se designa con el simbolo 0 tal que Va E R a + 0 = a. A,3. Va E R existe un numero (—a) E M que satisface la igualdad a -f (—a) — 0. A.4. Va, b E R a -f ft — ft + a. Asi pues, el conjunto R es un grupo abeliano aditivo. Axiomas de la multiplicacion M,0. En el conjunto E esta definida una operacion binaria interna, la multiplicacion IxR^R

a b,

tj'L NiimrntH wiilwt Li
V
c £ 1R.

Un conjunto {a, b, c,... } que satisface los axiomas A, M y D se denomina catnpo iiintierico. Si este conjunto no satisface el axioma M.4 se denomina cuerpo. Axiomas de or den O.D. En R se define una relaci6n ^ que ordena totalmente R: 0,1. a ^ a V a G K (reflexividad), O.2. (a ^ b A b ^ a) => (a — 6) (antisimetria). O.3. (a < b A b < c) =S- {a < c) (transitividad). OA. Va, b G R bien o ^ b, bien b ^ a, bien am bos simultaneamente. Los dos axiomas siguientes ligan la relacion de orden y las operaciones binarias: OO.l. Si a, b, c G 3R y ft ^ b, entonces a + c < b + c. (X).2. U e 0 ^ a y 0 < 6 s e deduce que 0 ^ ab Vn, 6 £ R . Axioma de la cota superior Definicidn 2. Un conjunto i C R se dice que esta superionnente acofado, si existe un elemento M C IE tal que a ^ M Va G A. El numero M se denomina cota superior del conjunto A. Dcfinicion 3. Una cota superior M~ del conjunto A se denomina supremo del conjunto A, si cualquier otra cota superior M del conjunto /I no es menor que el uiiinero M*. El supremo del conjunto A se designa con el simbolo sup 4 . S.O. Todo conjunto supeiiormente acotado A C R tiene supremo. 3.3. Ampliacidn del conjunto de los numeros reales Definici6n. El conjunto IK = R U { - o o , -t oo}, compuesto de los elementos del conjunto R y de los simbolos —oo y +oo, se denomina ampliation del conjunto de los numeros reales; ademas, se verifican las condiciones siguientes: a) — oo < u < +oo, a — oo — -oo,

a + oo = +oo,

— =

-OO

— =

+00

b) si a > 0, se tierie a • (-oo) = -oo, a • ( |-oo) — -i-oo; c) si ft < 0, se tiene a • ( - o o ) = |-oo, a (+co) - -oo, Rt cfnnholn —rvif4.no) sp denomina menos

(mas)

infinite).

0 Vu G R;

i'api'Uilo L Introduction ill mWilisis 3.4. Caracteristicas principals de un numero real En aras de la simplicidad, mediante M designaremos, segun el contexto, bien el

conjunto de todos los numeros reales, bien el espacio ordenado de los numeros reales o bien el campo ordenado de los numeros reales, Por ejemplo, si se escribe x E R, se hace referenda al conjunto de los numeros reales. Si se dice que a: ^ y en R, por M se entiende el espacio ordenado de los numeros reales. Por ultimo, si escribimos x -f y < z en M, en ese caso R designa el campo ordenado de los numeros reales. Si el contexto no esta completamente claro, utilizaremos una notacion mas sofisticada. Introduzcamos las siguientes caracteristicas de un numero real x : \x\ es el modulo de x, sgn# es el signo de x, x+ es la parte positiva de x y x~, su parte negativa. Dichas caracteristicas se definen mediante las reglas siguientes:

x

si . si

x — s —x X

-i-

=

i

fx „ 0

x ^ 0, , ' x < 0;

f 0 I -x

si si

sgn x = ^ < 6

x > 0, ^ r! x < 0;

si . si

\ -1

si x > 0, si x -••• 0, si x < 0;

1 u0

X

-

—

9

x 0, x < 0.

Entre estas caracteristicas, Va? E M se verifican de forma evidente las expresiones siguientes: x = jx| sgn \x\ — x sgn x1 . x — x^ - x , +

jS/J — £E

_

+

£C -j

3? —

\x\ — x

^7

CO

2 2 En la practica se emplean frecuentemente las desigualdades

^x

> 0,

x > 0,

(2)

Ademas de las caracteristicas mencionadas tambien es util examinar las funciones R —* R : x ^ \x\, x ^ sgn a;, x x*, x >-»• x~ t cuyas graficas se dan en las figs, 17-20 Las dos primeras funciones son aplicaciones multiplicativas, pues de la definicion de estas funciones se deducen las igualdades: \xy\ = M I f f s g n (xy) = (sgn ar)(sgn y)

V(a? E R, y E R).

Cada una de dichas funciones, a exception de "sgn", posee la propiedad siguiente: el conjunto de puntos colocados por encima de su grafica es convexo, es decir, si dos puntos en el piano estan situados por encima de la grafica de la funcion, entonces todos los puntos del segmento que los une tambien lo estan. Tales funciones se denominan concavas. Si una funcion / esta definida en la recta numerica K y es concava, entonces V(#i E R, x2 E R) se verifica que

f

^ /(^i) + f f a ) 2

(3)

Esta desigualdad es obvia: su primer miembro es la ordenada del punto de la grafica de abscisa el segundo, la ordenada del punto del segmento situado por encima de la grafica (fig, 21) correspondiente a la abscisa mencionada. Las funciones concavas se estudiaran detalladamente en el § 5 del cap- 7. Al aplicar la desigualdad (3) a las funciones concavas x ^ x x^, x ^ x" f obtenemos una serie de estimaciones muy utiles: ^ N-HIs/I,

®+ 1

K

—

TTTi

. .

^

TTT)^

+

<®+ + J/fi

{v + y)~

+y~t

(4)

fj;i, Niiiih'KIH ri'iiif!

27

%

0

X

Fig. 18.

Fig. 17.

Vi

X Fig. 19.

M„ M

X, T.+ X-,

'x

0

Fig. 20.

X,

Fig. 21.

i)e todas las caiacterfstkas del numero real mencionadas la mas importante es su modulo, Las principles propiedades del modulo de un numero son: I) Vz £ IK <)a:| = 0) => (x = 0); ?.) V(A € IK, x £ K) |Arc| — jA| |»|; 3) V(at € R, y € R) \x + y\ sf \x\ + \y\. I-a ultima desigualdad se denomina desigualdad triangular, puesto que tiene una iiiliTprebcion geometrica si a: € C, y
Vfc e N))

( i l ( » ) Vrc G N),

Demostrar que en el conjunto R hay solo un cero y solo una unidad.

Solucion. Supongamos que en el conjunto K hay a dus cents Oj y Qj. Entonces, de acuerdo t on los axiomas A.2 y A.4 tenemos 0 t - Oj + 0 2 = 0 2 + 0] Analogamente, si 11 y U son unidades de 1?, segiin M.2 y M.4 tenemos h = 1i

= 12-li = h ,

>

23. Demosti'ar que: a) la ecuacion a-r x — b tiene la solucion unica x — —a + f>; b) la ecuacion ax — b tiene la solucion unica x — —a ]b. Solution. a) El numero -a -\-b satisface la ecuaddn a + x = b. En efecto, a + + b) {a i ( a)) + b - 0 + 6 — b. No hay otras soluciones. Efectivamente, si a; 8 IK es otra solucion, entonces: -a + b — -a + b, ~a + (a + .r) - -a + b, (-a

+ a) -I- x = — a + b, 04-ar = x = — a-t b.

2H

Ciipiluk) I. Iiitroducci6n al antilisit*

b) Andlognmente, cl numcro a

b satis face la ecuacion ax = b:

a(a~xb) = (a • a _ 1 )6 =

6 =

Si x G R es otra solucion de la ecuacion ax ~ b, entonces: a

b~ a

6,

a~1(ax) = a _ I 6,

1 • x = a~6, •••••

24.

T si

1

a; — a

(cTla)x = a 6 ,

b. p>

1 • • III

1

Un elemento a £ E se denomina regular respecto de una operacion binaria interna Vx,yEE (aT x = aT y) A (x T a — yT a) •

Demostrar que todo elemento c G R es regular respecto a la a did on, y que todo elemento no nulo c e R e s regular respecto a la multiplication. M Solucion. Demostremos que un elemento arbitrario c G i e s regular respecto a la adicion. Por ser la adicion conmutativa tenemos (c + a = c + 6 ) o ( a + c = 6 + c). Por ello, basta demostrar que (c + a = c + b) (a = b). Del ejemplo anterior y de la asociatividad de la adicion, podemos escribir a =: -C + (c + b)





+ c) + b = 0 + b = b.

Analogamente se demuestra que Vc G M \ {0} es regular respecto a la multiplication. • 25. Sea E = { / } un conjunto de funriones / : A —> A, A C R, en el que esta definida la operacion binaria interna ExE-*E;(f,g)^

fog.

a) Demostrar que esta operacion es asociativa. b) Determinar los elementos regulares de esta operaci6n, <4 Solucion. a) Para demostrar la igualdad (/ og)oh = f o oft) es suficiente demostrar que las imagenes de cualquier elemento x G A coinciden. Sea x G At u = h(x), v = g(u). Tenemos ((/

(«) = (/ og)(h(xj) = (/ Og)(u) = f (g(u)) = f(v), (g o k)(x) - g(h(x)) = g(u) - v,

por consiguiente, (f G(g o ft)) (a;) = f((go h)(x)) — /(v), es decir, las imagenes de todo elemento x coinciden y la asociatividad queda demostrada. b) Una aplicacion / se llama regular por la izquierda, si (/ o g = / o ft) [g = ft), (g = ft), Y, evidentemente, una aplicacion se y regular por la derecha, si (g o / = ft o /) dice regular, si es regular por la izquierda y por la derecha. Ante todo demostremos que la aplicacion / es regular por la izquierda si y solo si / es inyectiva. En efecto, si / es inyectiva y f ° g = f o h, entonces Vo; G A se tiene

f / t o ) = /fWaO)) =» (six) - h(x)) => fa - ft).

f i x Numeros ro.iIcm Si / no es inyecliv.i, en el conjunto A ex is ten Humerus distintos x v y euyjW 11 mi genes coineidon: f(w) f(y). Scan g y h aplicacioneH talcs que //(«) x, h(a) y para un cierto a £ A. Dado que x y, de fog— f oh no se deduce la igualdad g A, es decir, / no es regular por la izquierda. Demostremos ahora que / es regular por la derecha si y s61o si la funci6n / e.s tiuhrcyecliva. Si / es sobreyectiva, entonces Vs £ A existe un u G A tal que f(u) = x. De este modo, Va; 6 A. ( J ? o / = h o / ) 4 (g(x) = h(x)) Si / no es sobreyectiva, entonces g ° f — h o f para aquellas aplicaciones i nyas restricciones roinciden en el conjunto }{A). Sin embargo, las aplicaciones pin-den ser distintas, puesto que pueden tomar va lores diferentes en el conjunto A De este modo, para que la aplicacion f sea regular es necesario y suficiente mis ma sea biyectiva.

g yA g yA \f(A). que la

26. Un conjunto A C IK se dice que esta inferiormente acotado, si 3 m £ H tal que V« £ A se verifica ia desigualdad m ^ a; en tal caso, el numero m se llama COta inferior. (Jnn cota inferior in* del conjunto ,4 se denomina infimo del conjunto A, si cualquier utra cola inferior rn del conjunto A no es mayor que m'. El frifimo del conjunto A sc designa eon el simbolo inf A. Demostrar que cualquier conjunto A que este inferiormente acotado tiene infimo, y que, adem&s, inf A ~ - sup{--vi}, donde - A = { - a : } , x £ A. 4 Solucion. Segrin el enunciado 3 m 6 IB. tal que x ^ m Va G A, de donde -x K- ~m, es decir, el conjunto —A esta superioimente acotado. De acuerdo con el axioma S.t), Isup{-v4} = M*. En este caso, —x < Mr Va; £ A, por lo que -M* < x Va; £ A, y, consecuentemente, ~M* es la cota inferior del conjunto A. Si N es cualquier otra cota inferior del conjunEo \-A, entonces —JV es la cota superior del conjunto —A, y, por eso, /V ^ M* = sup{j4}, de donde N < ~M. Asi pues, —M* = - s u p { - j 4 } es el supremo del conjunto A. • 27. Demostrar el teorema de Arquimedes: si a > 0 y b es tin numero real entonces 3 n £ Z tal que (n — l)a ^ b pero na > b,

arbitrario,

4 Solucion. En primer lugar, demostremos que 3 n £ Z tal que w b. Para e I lo supongamos lit contrario, es decir, ka ? 6 Vk 6 En tal caso el conjunto {Act} estani superior men te acotado y conforme al axioma S.O tendni supremo sup{fca} = M' ^ b. Dado que el numero M* — a no es la cota superior del conjunto {ka}, entonces 3 pa <= {ka} tal quo lo cual se contradice con W — a < pa ^ M 1 . Por lo tanto, (p + l)a > M*, (p + l) € la definici6n de M4. EI origen de la contradiction reside en la suposicion de que ka <. I> Vfc G Por consiguiente, existe un numero k € Z tal que ka > b. Analogamente sc demuestra que 3 m G 7/J tal que ma < b. Un segmento [mil, que contiene af punto b se divide cn k~ m segmentos mediante los puntos (in + 'L)u, (m + 2 ) a , . . . , (k — l)(t; a uno de estos segmentos pertenece el punto b. Por consiguiente, existe un n £ 'L tal que (n - l)a < b < na. • 28.

Demostrar que para todo numero real positive £ 3 n £ N tal que; n


'H)

(
a — I, obtenemos la desigualdad < Soluci6n. I hiciendo on cl teorema dc Arquimedes 6 -i .. . ^ ry/ . j... I n0 * 1 > £ no C: K. Dado que - > 0, entonces no £ N. Por tanto, Vn > n$r n £ N, es valida t 1 la desigualdad n > «o > o bien n - < e. • 29. Sean a y /? numeros reales arbitrarios dados, a < f3r Demostrar que existe un numero racional r comprendido entre los numeros a y /?, Solucion* Designemos ft = (3 - a . Segun el ejemplo anterior, 3 n G N tal que - < ft.



n De acuerdo con el teorema de Arquimedes, 3 m G % tal que m , 7?i -hi < (X <

n

n

A partir de esta expresi6n y de la desigualdad (1) obtenemos ^ m • |-1

a < De este modo, a = ^

n

<

=

m

n

l

.

,

1—
n

^

a

+ p-

a=j3,

• M Ml

||

. !••

MI

30. Demostrar que en el conjunto de las fracciones racionales propias -r (m5 n G N y 0 < m < n) no existe ni un elemento que sea el mihimo ni uno que sea el maximo. Hallar el supremo y el infimo de este conjunto. < Solucion. Sean m y n (0 < rn < n) numeros naturales arbitrarios. La primera parte del problema se deduce inmediatamente a partir de las evidentes desigualdades m 2m 2m - 1 n m _ 2rn 2m +1 1 — - — > —_ > u, — — —— < < i.

n

2n

In

'

n

2n

2n

Demostraremos quedeinfArquimedes { ™ } — 0 ypara sup e{ — Segun el teorema > }0 =y1.m G N arbitrariamente dados Por tanto, — < e, De esta desigualdad y de — > 0 3 n G N, n > mf tal que n > se deduce que inf { — } = 0. Analogamente, para e > 0 y p G N arbitrariamente dados, 3 m G N tal que m > ~ * Asi pues, > I - e, es decir, para n = p + m se tiene m > 1 - e, lo que conjuntamente con la desigualdad ~ < 1 implica que sup { ^ } — 1. • n ^ ^ m

31.

1

1

•

"•

Sea {x + y} el conjunto de todas las sumas x + yf donde x £ {x} e y £{?/}Demostrar las igualdades: a) inf{# + y} = inf{a?} + inf{y}; b) s u p { x + y} = sup{#} -f sup{i/}.

< Solucion. a) Dado que de x > m, x G {x}, y de y ^ mi, y G {y}, se deduce que x + y ^ m + m^ (x + y) G {x + y}, entonces la existencia de inf {a?} = m* y de inf{j/} = m* implica la existencia de inf{sc + y}. Evidentemente x + y ^ m* + m * . Para un 5 > 0 arbitrario existe un elemento (xf + y') G {ar + j/} tal que m* + m* ^ puesto que existen a;' G Por consiguiente,

-f y < m* + mj 4- e:,

e y* G {i/} tales que m* ^ a;' < m3* + | y mj ^ yf < m* +

inf{x + = x + y = inf{a;} + Dejamos a cargo del lector la demostracion de la igualdad b).

•

fM, iN 11 111 01 < IN iVrilfH

32. Sea \xyJ cl conjunto do todos los pnnlueUw xy, domic x < 1/ 0, I JemoHtrar las igualdades:

a) inf{x;y} = inf{a;} i n f f v } ; b) Hup(j:;/|

y (-{y},

y x > 0,

HUp|tf| s u p { t / | .

4 Solution. Demostremos la igualdad L>) {propone mo,4 al lector demostrar la igualdad a)). Hidu que x ^ M, x € { £ } , x J 0, o j < M\, y (i {?/}, y ^ 0 implica que xy ^ MMX, nnlonees cie la existencia de s u p { i } = M* y de sup{j/j - M* se deduce la existencia de impl xy}. Oe las desigualdades M* - ei < w M*, M* — < V ^ M* se oblicnt1 quo si£2) < xy < M*M*. El valor de la exprestfn CiM," +e2M* - e , f z M'M* -{£XM*+€2M* I nit-do sex arbitrariamente pequerio y, por eilo, supl^t/} ~ M * M f = sup {a:} sup{j/}. •

33.

Sea X =

± 2tH~i}' "

£

Dt:rnostrar

= 0 y sup X =•• 1.


4 Solucion. Sea £ > 0 un mimero arbitrario dado. Dc las desigualdadcs

valid as Vn > ^ r , s e deduce que inf X = 0 y sup X = 1.

•

Demostrar las desigualdades: a) \x-y\>

||s|

b ) \x + xl + x2 + --- + Zn\>

- (l^ll +

+

-'!<5»l).

4 Solucion. a) Apllcando a la suma (x — y) + y la desigualdad triangular obtenemos la 11 i*!figualdad

l»l = | ( s e - y )

| a r - y\ +

de donde hallamos 0)

Jnlereambiando de lugar x e y obtenemos

de donde last - \y\I )e las igualdades (1) y (2) se deduce a). b) Haciendo uso de la desigualdad triangular obtenemos 1#j -

+ xt + x2 + - • • + <

(2)

- {li + xi + • • • + x„)| ^

+ X] 4- x2+ • • • + x„\ + ja!! + x2 + • - • + a; n j ^

^ |re + xi + x2 + • • • + x„\ + |j;ii +• \x2\ -r • • • + de donde se deduce inmediatamente la desigualdad b). 35.

*>

Kesolver la ecuacion Jffil l - i » - l ) + | r - 2 | - 2 , 5 = 0 .

32

Cap ilult) I. In trod uccitfn a I analisig

M Solucion. Tenemos 3a? + 0.5 = 0 si x E ]~oo, 0[, -x + 0,5 - 0 si x E [0,1[, x - 1 , 5 = 0 si x E [1,2[, 3a; — 5,5 = 0 si x E [2, +oo[.

\x\ + \x-l\ + \x-2\ -2,5

Por consiguiente, en los intervalos ] — oo, 0[, [2, +oo[ no hay soluciones; en el intervalo [0,1[ se tiene la raiz x = 0,5, y en el intervalo [1,2[, la raiz x = 1,5. • 1

36.

% • • • ••

Hallar la suma 1

1

1

1

Sn = arctg - + arctg - + arctg — H b arctg 2 18 In Solucion. Apliquemos el me to do de induccidn matematica. Dado que 1

S-

arctg |,

1

i + i

1

2

arctg

>S2 = arctg ^ I arctg

1 _ I . I 2

2

1

?

arctg - + arctg — = arctg

&

_

. 2 arctg - ,

8

+2 ~

8

arctg

3 ' 18 podemos sup oner que Sn = arctg -

n

n+ V

3 4} 

n e N.

Como

n 1 + arctg Sn+i = arctg 2 (n + 1)2 n +1 y la expresion (1) se verifica para

n

arctg

+

1 1

2 (n+l)J

ii

• ••

n+I

• • •

_•

arctg

2 (ra+l):

n +1

n+2

1, entonces, por induccion, esta se verifica Vra. • i ••

••

i

•

•

—•

37. Mediante el metodo de induccion matematica, demostrar que para cualquier numero natural n se verifican las igualdades siguientes: a) l 2 + 22 +

i

i

^

2 _ n(n + 1)(2n -f n

+ 1) a

6 b) 1 + 2 H h n — (1 + 2 + {- ?i)\ Solucion. a) Evidentemente, para rt = 1 la igualdad es valida. Suponiendo la validez de la igualdad para un n arbitrario demostremos su validez para n + 1, En efecto, l 2 + 22 +

4-

4

+ n 2 + (n + I) 2 =

n
+

1)(2

6

" + *> + ( » + I) 2 =

+ 2)<2n +



>

que es lo que habia que demostrar. b) Si n — 1, la validez de la igualdad es evidente, A partir de la suposicion de su validez para un n arbitrario se deduce I3

+

2 3 + ^ . + n 3 + (n + l ) 3 = (1 + 2 +

i

*

• + nf + {n + l)3 = (1 + 2 + * • - +

Teniendo en cuenta la igualdad 1 + 2 + — • + n = I3

+

2

nf + 2

hl *,

obtenemos

2 3 + - - + n3 + (n + l) 3 = ( 1 + 2 + - - • + n + (n

es decir, la formula tambien se verifica para n + 1.

•

— ( » + ! ) + ( » + I) 2 -

+1))2,

J}>1, NiiitiortM reales

.'U

IJemostrar la formula del hint)into de Newton 1 . +I 6)W = 2\_ j ^ frlH 11 II Will) b ' {a m=U • finiilc C'" -- ————— (numero decombinationes de n elementos tornados do m en vi), m!(n

-

my.

I • 2 • • • k, y se supone 0! = 1. 4 Solution. Si n — 1 tenemos (« + ft) = £

C?a}- m b m = ^ a +

= a +

nt-0 i Hioti.i por demostrar que de la validez de la formula para n se deduce que n+i Cn-ia 6 • (0 + 6 ) = m=l Kill livainente, n [a I ft)"11 = (a + 6)(a + 6)" = {a + b) £ C^V'-V/" m-0 it » n 71+1 V + J ] Cn
-I-

C

+ C™-1 )a' !+1 " m 6" i + ft"11. rn-1

I l.ieiendo uso de las relaciones "

-m-i _ n\ ~ m! {Ti - m)!

w! (ft + 1)' _ wii (m - 1)1 (n + 1 - m)! ~ ml ( n + l - n x ) ! ~ n + 1 < O _ wi (-1 * Cn-t-l ~ — A>

ii'iirinos definitivamente que n /_ . k\"+l „"+! i V ^ rint —a + (B + 0) 111=1

n+i n+l-™i m .in 1 \ ^ 0 + 0 — TJI=0

^,71-fl - Bi.tn 'i 1-1^ 0

>

Demostrar la desigualdad de Bernoulli (1 + aj)(l + ®a) - - • (1 + aO ^ 1 + ill>nde

,..,

+

+ •- - + «n,

son numeros de igual signo y superiores a - I -

4 Solucion. Para n = 1,2 la desigualdad es obvia. Supongamos que la desigualdad so veriiica para n. Demostremos su validez para n + 1 . Tenemos (para Xi > - 1 ) II I *i)(l + S2);,»-(l +

+ «*«)

= 1 + a;, + x + 2

(1 + %

+ ^• + «»)tt +

\x„ I- a;, t + (xi + x2 H 1+

^ 1 -I X\ + X2 + Aqirf se utilizo la desigualdad

=

f- *») *n+i > 1 xn + «„.|4-

v iipiuiio I, i m r o u m c i o n .11 a n a n u t s

\ I iicila para cualesquiera Xj dc igual signo,

-l-®„)a;fl,_i 3s U,

Demostrar quo si x > — 1, se verifica la desigualdad

40.

(1+x)

n> 1,

donde la igualdad tiene lugar solo para x = 0. M Solucion. La desigualdad requerida se deduce directamente del ejemplo anterior, si se pone xi = X2 = -'• = xn = x. Si x = G, Vn > 1 se tiene el signo de igualdad. Demostremos que para n > 1 y x > —1 se obtiene la desigualdad (1 + x)n > 1 + nx. Para n = 2 esto es evidente: (1 + xf = 1 + 2x + x2 > 1 + 2®, Si (1 + xf > 1 + nx, tenemos (1 + 41.

2

= (1 + x)n(l + x) > (1 + nx)( 1 + as) = 1 + nx + x + nx* > 1 + (n + l)x.

Demostrar que si X( > 0 Vs = 1, n y X1X2 ... xn = xi+x2-\

•

entonces

K xn > n,

(1)

siendo (a^j + a:2 -I h = n) ^ (a?* = 1 Vi = 1, ra). Solucion. Para demostrarlo apliquemos el metodo de induction matematica. Para n — 1 la desigualdad (1) es valida y solo tiene lugar el signo de igualdad. Si n — 2 y x\x2 = 1, uno de los factores, por ejemplo, el primero es x1 J* 1, y el otro x2 < I. De este modo, de la evidente identidad  xi + x2 = x\x2 -\-l + (xi~ 1)(1 - x2) y de la condicion X[X2 = 1 se deducen la desigualdad x\ + x2 ^ 2 y la condition (x\ + #2 — 2) <=> (a?i — x2 — 1). Supongamos ahora que para k numeros positivos arbitrarios X\, x2,... t x^ cuyo k siendo producto es igual a la unidad, se verifica la desigualdad Y l x i ^ i=1 K [ J ] x, = k\ <•> (Xi = 1 Vi = 1, fe). m

1=1

Consideremos el producto de k + 1 numeros positivos x2}..., acj^.i, para los cuales x - • * k+1 = 1- Si no todos los a?,- son iguales a uno, se encontraran numeros tanto superiores como inferiores a la unidad. Sin perdida de generalidad supondremos que x\ > 1, x2 < 1. Entonces, para los k numeros positivos (X\X2)^ , . . , asjt+i, cuyo producto es igual a la unidad, sera valida, segun las condiciones de partida, la desigualdad (xxx2) + x3 + -- + xM







verificandose tambien h £jfc+i = fc) ^ {X\X2 ~ x3 = * • • = xk + i - 1). (X1X2 Sumando la identidad (2) y la desigualdad (3) obtenemos la desigualdad xi + x2 +

• + xk+i

+ 1 + (a?i - 1)(1 - x2)

(4

A; + 1

y la condicion (xi + x2 + • • * + xM

= k +1 4- (Xi - 1)(1 - x2}) & {{X1X2) = as3 = * - = xM

de la cual se deduce que nrmi-MTr^BrwTTrmT

+ x2 + - •' + xk+i = k + 1) o (Xi = 1 ••••••• • • I •• I

Vi = 1,fe+ 1). •

III

••!••!

••••

• •••• I ••

•I

•

- l),

fc};l. NilIIH"ItW t'l'dll'B 42.

Sim Xi > 0, Xi ( K, V-i

7„ -- —r

1,n, y 1—-—

T + Z +

1

(media iirmrtnitr.ijj

*' I ,


+'"

(media geomfHricft), ( m e dia aritm^tka),

+

I MiuKtfnir quo % < r;„ < & y, ademas, (T« =Vn=> 6>)<=> (x1-xz

= -- - =

4 ^nlneidn. Ill producto de ft numeros posilivos J?..

%

..,.§» %

= 11

(un fjrit, lie acuerdo con el ejemplo anterior, su suma

a+s^.+a.**, Vn

Vn

V"

La igualdad tiene lugar si y solo si = ite di un le ifii ^ -.)•; ==-•• = Segun lo que acabamos de demostrar »ii i,

i . „ri

i

r .

1

= *• • = ^ =

1 1 T — -IT " .* * u --—

«

|

7»'

lie diinde 7„ ^ 17,, y 7„ = jj n si | = ^ = • • • = J - = 1, es decir, t , = x2 = 'll

I lemostrar !a desigualdad de

Cauda/—Buniakovski

t=1

i-l

i=l

diimle a1/, iji £ M (i = 1, n). ^Cuando tiene lugar !a igualdad?

4 Solution. De la evidente desigualdad + y,)2 > 0 obtcncmos el trinomio de segtuido n " A« / J' ir " j'.i.ido t1 £ x) + 2t E xiVi 0/ que es no negativo para cualquier valor de • t i-i i=i i* I Eu,

(i>»)5-(£»0(:c»0
i=l

i=l

i igualdad tiene lugar si y solo si x,t + yj - 0, i ~ 1, n, es decir, cuandoexiste un " ™ \ / 0 tat que y< = As,-, > = X^n, o bien cuando todos los I f , i = 1, n, Q todos los y,, i t, vi, son nu los. • H( I lemostrar las desigualdades: 44.

a) »! < , 1 3 2^ ' 43

c>

ii > 1;

b) ( n f < (

1 27i - 1 < V5T+T 2/t

<

-

+

« > 1;

t \i[>il111<> I. liUr<»cluci'ion al analisis

:u

< Solucion. Las desigualdades a) y b) se dcduceti dt recta me nte a paL'lir de la desigualdad 7jn < del problem a 42 sin mas que hacer xk -- k y •- k (k ^ T? n), rcspecLivamente. Demostraremos la desigualdad c) utilizando el metodo de la induction matematica. Para n — 1, la desigualdad es obvia. Suponiendo que la misma es valida para n, demostremos su validez para n + 1. En efeeto, 1 ^ 2 "4

*

+

In - 1 In + 1

2n + 2 1

In

1

<

V2n + 1 2n + 2 V2n + 3 2n + l

y/2n + 3

45

11 +

l 1 l L V2 V5

+

271 + 1

-

1 4n2 -f 8ft + 3 1 < V2n + 3 V 4n2 + 8ft + 4 V2n + 3 *

V5n + 1 2ft+ 2 1

i-

t-

V^ft

> xfn, n

2

-4 Solucion. Para ft ^ 2 tenemos 1 V2

+

46.

1 +

1 > ft 1 + — y/n \/n

ntt-f-1> (ft + l) n , ft ^ 3

Solucion. Para ft = 3 la desigualdad es evidente. Suponiendo que la desigualdad se verifica. para n demostremos su validez para ft -f 1; es decir, demostremos que si n n+1 > (n +1)", entonces (ft + 1)I?+2 > (ft + 2) n+1 . Al multiplicar ambos miembros de la ultima desigualdad por tenemos 2(n-f-l) n+2 ^    m (ft + i y > fi+1 ft

Jt+l

Dado que

V

n

)

> (ft + 2) n+1 , la desigualdad que buscabamos.

queda demostrada. 47.

sen

71

r—\

<

sen Xk, 0 ^ Xk ^ 7r, fc = 1, n

jt=i ra+l ^ Solucion. Para ft = 1 la desigualdad es valida. Demostremos que sen Y, xk k=1 suponiendo que sea licita la desigualdad de partida. En efecto, vemos que para 0 ^ xk ^ it se verifica ft sen

xk fe=i

sen ^

n x

k=i

y cos x n +i + cos I

j

x k j sen x B + 1 <

k-i n

<

n+1

71

sen } ^ xk | - COS ®„+i + cos XJ3* sena?n^i < fc=l fe=1 n n < sen Xf. + sen xn.Y\ ^ V j sen -f sen x n ±i

tt+1 sen a;*.

k=l

•

Niiitu'mh ri'iilt'K '18.

{Inf, <

'>7

(«!)", w i t .

Mnlinioii. I'iira 71. ss 2 la desigualdad OM evidenle. I'nrtiendn do In suposicidu de qui" t>i di"ii|-iialdad se verifier para u de most return que fa desigualdad es valida tambien jjhii'ii » | I. Tenemos Un l .')!

(2n)< (2n + 1)(2n + 2)< 2 2n (n!) 2 (2n 4 l)(2n. -f 2) < < 27,l(n\)2(2n + 2)1 = 2Zn l 2 {(« + I}!) 2 .

>

l'|i'nicios III. Sim {

e] conjunto de los numeros opuestos a las numeros x £ {a;}. Demostrar:

,i) in!'{ — as) == —sup{i}; b) sup{ a;} — -inffa:). il

Aplicando el me todo de irtiuociAn matemSttea demostrnr las design a Id ad es: ,i) »! > n'i, n > 2;

b) (2n - I)! < li 2 "" 1 , n > 1; c)

<

p€ K

it ,i) Demostrar que para cualquier n-Sgono convexo se verifica la igualdad Dn -donde D„ es el niimero dc diagonal es, l>) Demostrar que para eualquier poliedro convexo se verifica la expresi6n n 4 - P„ 2, ilonde es el numero de vertices, P„ es e! numero de aristas y n es el n u mem de caras. 11, 1 Icmostiar las design aldades: b> L +

••+

+ ^ + " "f*

fcl » alcular las sumas; a) I • 1I + 2-2I + - • +n-n\; t'i I himostrar (jne

>

n2 >

> 0, i = T7«;

b) I 1 + 24 + • • • +

£ k (k + 1) • • • (fc + mk-1

1) = ^n

c) l 5 -f-2" +• • • • + rts.

[» i 1) - • • (n + m),

donde m es un niimero natural, Utiiizando esta formula calcular las sumas: a) i - 2 + 2 - 3 + --- + n(n + l)j b) 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + • • - + n(n + l)
V ^ i-v.J

.'•••. = 1 (X H)...(!'+m) "I

L 1 (BH)|B+2)...(S-| IB-tW '

donde m es un numero natural. Uttlizando esta formula calcular las sumas; "} "pj + jg -I

I-

b) ^

+ ^

+ * • • + n(„+i)(n+2i>

4 TTiTJ "f" 2-J4-:, I nlnllXsMKn-J) ' (7. Kesolvrr las ecuadones: ;i) +1| + |a?| + |jf — 1| = 6;. b) x\xi2]-\x-\

i| - (s + l)lx! + 1 - 0.

•>S

C'.ipilulo 1. hitkkIiiiiicVn ;il antfI\his

§4, Numeros complejos 4.1. Numeros complejos y operaciones con ellos Definicion. Se denomina numero complejo z al par ordenado (a:, y) de numeros reales x e La igualdad, la suma y el producto de pares ordenados, asi como le identification de ciertos pares ordenados con numeros reales, se define de la manerc siguiente: 1) dos mimeros complejos Z\ — y\) y z2~ {x2y jfcLse dicen que son iguales = e jfi = i t ; 2) se llama suma de numeros complejos z\ y z2 al numero complejo

* = (®i + x2y

+ jfe);

3) se llama producto de numeros complejos Z\ y z2 al numero complejo

2 = {xxx2 - yty2, x^y2 + x2yi)} -k

4) el conjunto de numeros complejos 0), x G M, se identifica con el conjunto de los numeros reales R. Se denomina diferencia de dos numeros complejos z\ y z2 a un numero complejo z — x2, ^ — 3/2)tal que z2 + z = z\, de donde se obtiene z — Z\ — z2 = Se denomina cociente de dos numeros complejos zi y z2 a un numero complejo £ tal que z2 - z — Z\. Asi pues, f V

+ gijfa x2y\ -sijfe^ « Z + VL

'

+ »2

'i / *

El numero complejo (071) se denota con el simbolo i — (0,1). Observese que se tiene (031) • (0 7 1) = (—1, 0), es decir, i — —1. Un numero complejo arbitrario z puede sex escrito en la forma

z = (x, y) = (xt 0) + (0, y) - (x, 0) + (0, l)(y, 0) = x + iy, que recibe el nombre de forma algebraica del numero complejo. El numero complejc z = (ar, — y) = x — iy se llama conjugado del numero complejo z = (x1 y) = x + iy. 4.2* Interpretacion geometrica de los numeros complejos Todo numero complejo z = (x}y) puede representarse como punto de un piano coi coordenadas x e y. El piano en el que se representan los numeros complejos se denomin< piano complejo. El eje Ox se llama eje real, y el Oyf eje imaginario. La distancia r entre los puntos £ y cero, es decir, el numero r = y/x2 + y1 == \/zi se denomina modulo del numero complejo z y se denota con el simbolo \z\. El numero arctg 1£X si x > 0, si x < 0, y > 0, arctg JV + 7r 0 arctg £ - 7T si x < 0, y > 0, fsgn y

si

a;—0

se denomina argiimento del numero complejo z y se d esigna con el simbolo 0 — arg z Para an r dado los angulos que se diferencian en 2nx, n £ 2 , corresponden a un mism numero. Esto ultimo se represents mediante la expresion Arg z — arg z + 2nn, n £ S; arg se ronncr con el nombre de valor principal del argumento.

JH-

ii*i

N m n o o r t eimipfe|iiH

I .lis mimeros j' y 0 sc dononiin,in iwnit'itwhir* iwUmw del lilimefo complejo X. Asf [•til"., z

{x7 y) — (r tttft 0, r urn 0)

r(i os 0

i sen 0)

in) ]n lliimada forma trigonometries del iitiincro complejo. z\ = (rj cosfli, sen 6\), Zj, (r2 cos ftj, Ti sen Of), entonces: = (r1j-2cos((?[ +02),rir 2 sen(0i + 0;)), a = ( I I cos(0, - 02), & sen<0, \T2 fz / Z2 ['am elevar a una potencia un numero complejo z ~ (r cos 0, r sen 0) se US3 la ileiiiiiitiiiada/drm«iii de Moivre z" — (r" cos n$, r" sen nO).

111 mi/ n-esima de un numero complejo z se determina mediante la formula vz — \ yrcos V. Demostrar a) ~z\ + z-i = z\ -r zi~,

^rsen

n

b) z-\z2 =

• z2;

n

—

/

I,

0 , n — 1.

k

(I)

c) {zn) = z", n € N.

Solucion. Sean Z\ J/i), z2 = (x2, y2). a) Segun la definicion de numero conjugado tenemos • i fzi =

+

yi + jfe) = (ati + x2, ~yx - y2) = (xu

+ (®2, -jfe) - zx +

%

l>) Tenemos = (JCi«2 - ViVi, x\Vz + ®2jfi) = - 3/12ft, - fcajfi) —Jfe) = * c) tscrihircmos el numero complejo z en forma trigonometric a z — (r cos 0, r sen 0). t >e ejile modo, z — (r cos{-0), r sen(—5}) . Utilizando la formula de Moivre

I'll

(•)"

(r B cos(- nW), r " scn(- n$)) = — {rn cos nO, ~r" sen uO) — (r" cos n9, r" sen 116} — (z").

SO.

Etectuar las siguientes operaciones: a) (2 - 0(2 + if - {3 - 2i) $ 7;

b) (1 I i) 4 ;

c)

(M

K

Solution. l as operaciones de adicion, sustraccion y multiplicacion con numeros complejos r.MTitos en forma algebraica pueden realizarse de la misma forma qiie las operaciones 1 mi biuomios reales; ademas, ha de tenerse en cuenta que i = - 1 , i 3 = i2 • i —i, 1' i^i = - P - 1, etc. a) Tenemos (.'

i)(2 + if - (3 - 2i) + 7 = (2 - i)(2 + if + 4 + 2i = - (2 + i)((2 - i)(2 + i) + 2) = (2 x i)(4 + 1 + 2) = 14 + ft. b) l")t! acuerdo con la formula del binomio cle Newlon, (1 + „\

C>

\

= 1 + 4i H 6i2 + 4i3 + 4 =>. 1 + 4i - 6 - Ai h 1 = - 4 . , A6

» , ,-5W5 M M

135 64

,-60^3 , 45 1 -6V3 64

1 6J ~

,

^

4t) 51.

t'apiluJo I. Introduction a I analisis Ha I tar el cociente de los numeros complejos: , 1

.,

a)

1 i + i;

b)

, \+ i f c) t — i "

2

' 2

4 Solucion. Escribamos la formula del cociente entre z\ y z2 en la forma siguiente =

z2

Z i * z 2 _ Zi >z2

z2 * z2

lz2t2 *

Utilizando esta formula hallamos

. 1 a)

—i

.

1

i ~W ^

_

1 — i _ 1— i _ 1

1 + i " jlTTF "

i

~ 2 ^ 2;

-i—in—it

c

>7 "I

52.

|2 i _ W2l I2

i f2 1 •• •

•

•

W

^

I

• •

I

I

•• •

1 1

1III.

• •

2

2 I I

1

Representar en forma trigonometrica los numeros complejos: a) - 3 ; b) - i ; c) 1 + i; d) - l + i\/3.

•4 Solucion. Tenemos a) | — 3| — 3, 9 = 7r, — 3 = 3 (cos ft + i sen t t ) ; b) | - t| = 1,9 = -§, -i = cos ( - f ) + i sen ( - § ) ; c) |1 + i\ = y/2, 9 = \, 1 + i = V2 (cos f + i sen f ) ; d) | - l + iVS| = 2 , 0 = f , - 1 + »V5 = 2 ( c o s f + i s e n f ) . 53.

•

Calcular: a) (1 + iV3) 30 ; d)

(vl^3 '

/1 _

b) (V2 - i V2) 20 ; ;

e)(2 + 2i)41;

c) '

12

1 +*

Ot^-i)7.

^ Solucion, a) Representemos en forma trigonometrica el numero complejo 1 + iy/3 = 2 ^cos ? -M ^ n aplicando ahora la formula de Moivre obtenemos ft I ' (1 + iV3)

o 3 0 /

307r

.

30tt\

— 2 ^cos ——h z sen

o

30

J —2 .

b) Analogamente a como se hizo en el caso anterior obtenemos vG-.V5 = 2(eos(-J)+isen (a/2 - iV2f

(-*));

= 220 ( c o s ( - ^ ) + i sen ( -

= -2

c) Representando el numerador y denominador de la fraccion en forma trigonometrica calculamos el cociente

l-i TTi

Vl (cos ( ~ f ) + * sen (—f)) =

, V2. (cos f +»sen |)

/ = C0S

ir\ , .

("2)

+ ,8en

/

x

(~2

tj 1. Niinu'iiM ntMi|'li |in.

41

Inii iriidi) rthora uso do la formula do Moivie Imllntinvt

14-i

_

\/Z - ii ~ (

14-i

V

ivfij

v^(cosS-i-iHL-n^)

j_

(cos ( - § ) + i sen { — § ) ) ~

V5

1

1

/

77*

, .

~ 6V§ \cm 12 1

=

U

65V6 V

12

0 0 8

12 J'

77x\

4 sen

g

4- i sen f )

12

(2 4- 2i)41 = (\/8)'n ('cos 1 4 - i sen ^

0

( - 3 - i ) 7 = 27 (cos

=

»

12 /

.•)

+ isen

I

>

f ^ p

65 • 4 \

1

+

\/3

' ). VS

/

-

0

=

f (cos ( - ^ ) + f s e n ( - M * ) )

1 lallar todos los valores de las r a fees a)
b) V - l

«V5.

iiiilm ii'm. a) Escribamos cl numero complcjo 1 en forma trigonometrica 1 = cos  4- i sen  K|ilit';mdo la formula (1) del p.4,2 hallamos v-T _ cos ^ 4- i sen ~ > Jfc = 0,1 f 2, 3. 4 4 I'or consiguiente,

v'"T = cos 0° + i sen 0° = 1 para k = 0,

v T — cos | + i sen | = i para k = 1,

\/l = cos jr + -i sen tt — 1 para k = 2,

v l = cos

+ i sen ~ — —i para k = 3.

b) Al escribir el numero complejo —1 — iy/% en forma trigonometrica - l - i V 3 - 2 ( c o s ( - f ) + i s e n ( ~ f ) )

:

ohlenemos J/

V -1

T^

*/xf

t V 5 = V 2 l cos

Z T*

+ 2fesr

.

4

T

+

+ j sen —•- —

\

J , fe = 0,1,2,

ili' donde < / - ! - b M ^ m (cos ( - f ) - iV5 = iV3 = ^

sen ( - £ ) ) ,

k = 0,

(cos ( f ) + i sen ( f ) ) , (cos ( f ) + i sen

* = 2.

•

Capituln f. hihuduccion al anafisis

42

55, Resolver la coiiation z j 1 — (). Solucion, Tenemos £ -- v^-1. Para calcular todos los valores de la rafz \/- i apliquemoi la formula ( I) del p. 42, I 2&7T , . -7T + 2kn , ^ zk = v - I ~ cos 7 1- % sen , k — 0, 5,

6

6

de donde 7T , . ?r F a z, = cos - + , sen - = — + 2' £ 5tt . . 5tt VS z3 — cos •••• + % sen - - • - ----- | 6 o I I 9tr . 9tt = cos — + i sen —- — • 6 6

f 1r\ . / tt\ a/3 i z0 = c o s ( - - j + * s e n ( - - J = T - - , 7T . „ 7T = cos — 4-1 sen — = 2 2 7n . 7n V3 = cos — + % sen — — — 6 6 2

i 2

Ejercicios 38, Demostrar: a) Z\ — b) ( ~ ) = polinomio algebraico de coeficientes reales. 39. Efectuar las operaciones siguientes:

a) (1 + iy/Sf;

b)

c)

c) P(z) =

donde ^ ^

es uri

+ j,2 + 0).

40* Hatlar las partes real e imaginaria de los siguientes numeros complejos: 41. Demostrar que el conjunto de los numeros complejos en el que se definen las operaciones de adicion y multiplication, forma un campo. 42. Hallar los modules y los argumentos de los numeros complejos siguientes:

a) ( - 4 + 3 i f ; b) (1 + if( 1 - iv^) -6 ;

c) 1 f cos f + i sen £.

Hallar todos los valores de las raices siguientes: 43. 44. v M -h 45. 46, i f U . Hallar las raices de las ecuaciones siguientes; 47, z1 + (5 - i2)z + 5(1 - t) = 0. 48. z2 -j- (1 - i2)z - i2 = 0. 49, (z + if if - 0. 50, Demostrar que el modulo de los numeros complejos es un valor absoluto, es dear, que satis face las condiciories:

1)

J

2) \zyz2\ = N

3) jzj

^ N +N

€ C.

51. Demostrar la desigualdad siguiente: z

\

~

z

2

^ ki ~

§ 5. Espacios vectoriales y metricos 5.1. Espacios vectoriales Definicion 1. Se denomina esparto vectorial sobre un campo IK — {A, i v • - } a un conjunto E = {#> y} z}... } en el que estan definidas: i > a? -H respecto a la cual e I. Una operacion binaria interna E x E —» E : (ar, j/) — conjunto E es un grupo abeliano: 1) 3)

x + (y -I- z) — (x + y) -b z; x + (-x) = 9;

2) x + 9 = x; 4) x + y = y + x

JjS. Espavio.s veclorl.deri y meiikiw II. Una operation binaria externa IK * }>', itljFitiente;: axiomas: fl) 7)

A(z + y) ^ A;<: I A;/; (\p.)x = X(fix);

i /S

43

(A, r.) i > A:tr, que salisfoco lew

6) (A ! p)u: Ax \- fix; x. H) I • j;

I ,os elementos del espacio vectorial E se Hainan vedores (o puntos), y los elementos del 14iiniK> !IC, escaiares. Si X = Iff, el conjunto E se llama espacio vectorial real; si K = C, E se denomina I'xpth jit vectorial complejo. Definicion 1. Todo subconjunto V de) espacio vectorial E que csle dotado de dos ufti'iaeiunes binaries del espacio E y que sea un espacio vectorial sobre el campo X se denomina subespudo vectorial del espacio E. I in un espacio vectorial arbitrario se cumplen las propiedades siguientes: I) Xti = ff; 2) Q-x = 0; 3) { — l ) x = -x. 5.2. Espacios vectoriales normados Ml concepto de valor absoluto se exliende a los espacios vectoriales sobre un campo not tn.itlo K .

Definicion. Se denomina norma en el espacio vectorial E a una aplicacion E

IS"1 : x »-» \\x\\,

I

+

= { a 6 S : 0 < a < +oo},

due •i.itisfacc l o s a x i o m a s siguientes:

1)

flfx||=o)

^(x-oy,

2) IfAajjl - |A| • \\x\\ Va; g E; II®+ !/li ^ IMI "Hijfli Vs, y £ E (desigualdad triangular), 5.3. Espacios eudideos Definicion 1. Sea E un espacio vectorial sobre el campo E, Una aplicacion I'i —> K : ip(x, y) = {x,y} que a todo par de elementos x, y € E le pone oil • iine'pondcncEa un numero real denotado con el simbolo {x,y), se denomina producto . ii alar, si Vx, y, z £ E v VA 6 I se cumplen los axiomas siguientes: 1} {x.y) - (y.x)-, 2) (x f- y, z) = (x,z) + (ytz); 3) {Xx,y) = X{x,y); 4) {x, x) > 0 A ((x, a) = 0) & (ar = 0). Definicion 2• Un espacio vectorial en el que esta definido un producto escalar se ili'iHKiima espado cticlideo. 5.4. Espacios metricos Definicion, Un conjunto E — {x, y, z,... } se denomina espacio metrico, si esta dcliitida una aplicacion E x E -* : (x, y) p (x, y), que a cualesquiera x c y les pone en correspondencia un numero real no negative p que satis face los axiomas siguientes: 1) : ^ y); 2) p {x, y) - p (y, x) Vx, y 6 E (axioma de simetria); 3} p (a:, 3/)< p (x, z) + p (z1 y) Va:, y,z p(x,y), ne ilenomina subespado metrico, y la melrica definida en el, metrica indutida. Ademas, el itiiMiin xiihesnaeio me Irirnos un esnaeio metrico.

•rt

l iipruiJo i, iiuroiuiccion ai iimiJiNiN 53.

Entornow

Definicion Se denomina bola ahierta (ccrrada) con centro en Ltn pun to x$ y radio r en un espacio metrico E al conjunto {x E E :

a?0) < r}

({# € E : p(x7x0)

^

r}).

La bola abierta (cerrada) se designa mediante S(#0) r ) Analogamente se define la bola abierta (cerrada) en un espacio vectorial normado. Definicion 2. Se denomina bola abierta (cerrada) con centro en un punto .tq y radio r en un espacio vectorial normado E al conjunto {x G E : \\x - xQ\\ < r}

({x e E : \\x - a?0ll <

Definicion 3. Una bola abierta con centro en un punto Xq y radio 3 se denomina 6-entorno del punto Xq. En la recta real M una bola abierta (cerrada) de radio 5 es un intervalo ]#o — + (un segmento [xq — ar0 + £]). • •• MM !••

56. Sea R m el conjunto de todos los sistemas ordenados posibles de rn numeros reales (a?t, #2, *. •, xm) y sean definidas en Mm las operaciones siguientes: a) operacion binaria interna R m x WLm Mm, la cual a todo par de elementos x = (a?i, -. ., xm) e y — ( j f i , . . . , ym) del conjunto R m le pone en correspondencia un elemento x + y = (xi + yu , . , , xrn + ym), Ilamado suma de x c y; b) operacion binaria externa RxR™ les pone en correspondencia un elemento

Rm, la cual a todo x E IRm y todo

Ax = ( X x i j . . , , Aa?m) Ilamado producto de A por x. Demostrar que IRm es un espacio vectorial sobre el campo HL Solucion. Demostremos primeramente que el conjunto M es un grupo abeliano aditivo. En efecto, en virtud de la asociatividad de los numeros reales, para x — . . . yXm), y — (Vij * * • j Vm) y % — {z\i — • 3 zm) arbitrarios se tiene x + (y + z ) = (®i + (Vi +

• - •,

+ (ifoi + Zm)) = = ({xi + y\) + zu..-,

(xm + ym) + zm) = (x + y) + z.

Designemos 0 — 0 = ( 0 , . . . , 0), entonces Vx £ M se verifica la igualdad x + 0 = (a;i + 0, £ hagamos ™x — . . . , —»,„); por tanto, + 0) — - • • j x m) = Xx -f (—x) = (x\ — xu * • - j — = (0,., *, 0) = 0. Finalmente, por ser conmutativa la adicion de numeros reales, •

x + y = (®i + yx,...,

xm + ym) - (yi + xu

., ym + xm) = - (VU * • - , Vm) "I"

Como vemosjr los cuatro axiomas del grupo abeliano se verifican.

- • - , a?m) = y + X

;•).>.

itin vt*< lorinipn y uietneon

A parlir tie las delinicinnos (It) oni'iiai hUMp liilfeli iilit ex tenuis t* intern as y tit" las jihtj'trdrulc'H tie Ids mi morns reales w d e d i u v i i dlreilaiiiente las i g u a l d a d e s Mi I y)

A
y,n)

(\(x,

(As, + A j f h . . \ x m + Aj/,„)

| j/,), . .. , A ( % I ?/„,)) = (Aid,... ,

+ (Xm,...,

Xym) -

tcm) + A(j/i,..., ym) <=•• Ax | \\ I /«}*

( A + ^ j f c u - i l >®m) =a ((A + • •,, (A + p p m ) = -•-• + fix-f,..., Aani + /KBm) = (Aasi,..., A« m ) + ( p a r i , . , . , fixm) = - A(xi, .

(VP

+ jBfafl,.-.„»rn) = Ax I ftx;

((A/Oil-1, - • •, (A/*K>) = (-M/ia-j),..., X(ftxm)) = X(fixu

fasm) = A(fix);

1 • x = (1 • id, . . . j 1 • xm) = ( s , , . . . , xm) - x, Vi. v f K*" y VA, p e E . Es decir, sc cumplen los axiomas de espacio vectorial: E'" es un i
Sea

cl conjunto de todas las matrices rectangulares del tipo an A =

«21

tin tyn

a22

duude iiij e E, i = 1,711, j = 1, n. Se denomina suma de dos matrices A =

A + B.=

( «n+&n + &2I

) y B — (6^) a la matriz


\ ami + bnl\ am2 + bm2

••• ai„ + V ... «2n + ^n ...

a„„, + b„

V producto de la matriz A por un mimcro A £ B , a la matriz

XA -

( A an Afi2i

Aoj2

\ Aam(

Xa,n2

Aaln Aa2„ ...

Xa

Demostrar que SJJ£ es un espacio vectorial sobre el campo ffi. Nwhicion. F.I conjunto 931 de matrices A = (a,j) de dimension m x n puede identificarse mn cl espacio ffi"'" de vcctores x — (an, - - • > «)m - • - > a m l , . . . , aTO„) por medio iin.i correspondencia biunivoca (ay) ( a n , , , . , a l n i . , ., a m l , . . . , a, nn ). Ademas, para malesquiera (a,j) £ Kft, (Kj) £3)1 y A £ R tenemos (fly) I- (&,j)

(a, I + ttHj . . . , aln + bin, x--,Oml + i>mlt-• • j amn + A(a,j) ( A a n , . . . , A a j , , , . . . , A a m t , . . . , Aa„m)

decir, el espacio STt es isomorfo al espacio !Km" respecto a la adicion de Ins elementos ile y a la multiplicacion por escalares del campo R). Asi pues, OT es un espacio vectorial 'iiihre el campo IE. •

I'apiLulo I. Inhmiiitrmu .if iinjliuitt

4h

58. Vx =

Demostrar que el espacio se convierte en un espacio vectorial normado, si x x [ j x 2 i — - ) m)f £ / se define -i -r •• i 11

iii

• ii

iii

ii •

*

A

j

i

••• ii i i ii

•i

ii

in

+

(1)

t

Solucion. Para demostrarlo resulta suficiente comprobar que se verifican los axiomas 1) del p. 5.2. 1) Evidentemente, ||x|| > 0 y (||x|| = 0) (x = 0). m 2) Vx € R y VA 6 R tenemos

(Xxx)2 + (Xx2)2 + - • • + (Xxm)2 =

NAx

V^^? •f xi H

\-x2m



e y = (3/1, V2> • • •, Vm) arbitrario

3) Demostremos que para x = (xj

Hx + ylKI|x|| + ||yl|.

(2)

Escribiendo la desigualdad (2) en forma de coordenadas -i"

m

ni

•—i

H

rn

£ + J £ tf >

i=1





i=1

elevando ambos miembros al cuadrado y simplificando, obtenemos la desigualdad

>

•I

m



•

1=1

equivalente a la desigualdad (2). La desigualdad (3) se denomina desigualdad de Cauchy— Buniakovski; su validez ya ha sido demostrada (v, ej.43). Por consiguiente, la igualdad (1) * • define una norma en K™1 rrnrr^HVVTTWWTVTrrmTirnri

59. Demostrar que un espacio vectorial 2ft cuyos elementos estan representados por las matrices de dimension rn x n, es un espacio vectorial normado, si para una matriz arbitraria A = (flrj), i — 1, m, j — 1, n, definimos m n •

•

•

•

Mil



^ Solucion. Es evidente que el primer axioma de norma se cumple. Ademas, VA € M y \/A £ dJl tenemos m n m n m |A| |a aij  1=1 j=i i=1 j=X *=i j=i rc

"IaHWI,

y es decir, el segundo axioma de norma tambien se cumple, Queda comprobar la verification de la desigualdad triangular, Sean A,BQffll matrices arbitrarias de dimension m x n, entonces: tit n I\A + B a^ + bn + IM) *j ] < i=1 j=l m n m n a{j \\A\\ + \\B\ j= 1 j—1 rtj

t i

{?!>. I'HjUHOH vci lurljilcn y hUMiwhh

•F

IV

t idiln qui" lodos Ins axiomas ill' iiurniii tie vrtilinm, (I) ilHino illlii iRjrnia en Utt, y |n«liiivifi'ti' ett mi t'Hpuciu vectorial Jioimadu wilw cl ntnipn IK'. • flit.

Sim C cl conjunto de todas liLS liincinncN nrtiladaH / : [a, h\ -+ R. I Vnioslrar que el conjunto C se hart! un (•Kpitcio m'loiial normado sobre cl cnmpo ItlL, «f jim.i iiri.i funcion arbitraria / se define |1/||= sup |/(a:)J.

(I)

4 huhn li'xt, lis facil convencerse dc que C es un espacio vectorial sobre el campo IK, si hi IfjitiiNlihl if+9M = f(x)+0t\ xe[a,6| tf|i|Un' l.t udicidn en C, y (Af)(x) -

\f(x),

lit iiMilliplicacion por un escalar del campo R . (,)»eda por comprobar que para el numeni ||/|| definido por la formula (I) se i mitplni todos los axiomas de metrica, I) Dado que |/(a;)| > 0, resulta ||/H - sup |/(ie)| > 0; adcmas, ||/|| = 0 si y sdlo si |/(r)| 0, es deck, si / : [a, &] —» 0, que es el elemento neutro del espacio vectorial C, '.') I'ara una funcion arbitraria / € C y para todo A € R tenemos p / | i = sup \\f(x)\ = sup |A|!/(»){= |Aj sup !/(x}j = |A| [|/||. Jtlii.iE'! .() I)e la desigualdad triangular para el valor absoluto y de las propiedndes del httpirnm se deduce la desigualdad I/O 1

< l/(»)H lfl(«)l ^ sup [/(a:)!-sup |fl(3:)| - m + M

6 C, Vz £ [a, M

11iil<* quo el conjunto { \ f { x ) +
ii/

i i«i In cual se finaliza la romprobaci6n de los axiomas de metrica.

•

fl I, Demostrar que para un espacio vectorial normado arbitrario B — fx, y, z, vctilica la desigualdad | i M I - I M | < ll®-!fli-

>se 0>

4 Nnliiiitm. De acuerdo con la desigualdad triangular INI ^Jlt® - $)+p\\ < It® - ffll + lisfll, iii' donde IMMMKffp-»]& Inleivambiando de lugar x e y obtenemos

(2)

llsfll - INI ^ ( i v - ®ll - ll(-i)(® ~ r i l l = 1-11-11®-!/ll = II® - fil Hb-iflKIM-MI )•• $£) y {3} se deduce directamente (1)- •

0)

I jpifulo L Jul rod MiTion iu ; i i i « 1 I i s i h

m

62, I Jeniostmr que un espacio vectorial SJt (v. ej. 59) se convrerte un un i'H|nicio euclideOj si piira dos demon los arbitrarios A -- (atj) y / i -•-) definimos

m

it

(A S ) = Solucion. Para demostrarlo es suficiente comprobar que {A, B) determinado por I igualdad (1) satisface los cuatro axiomas del producto escalar (v. p. 53.). La verificacion d< los primeros tres axiomas se deduce directamente de la definicion del numero ( X B)\ m n m n 1) U,B) = EEOijbij = EEbijOij = (B,A); i-lj—1 i^lj=l 2) para las matrices arbitrarias A = (aij)r B = (b^) y C = (Cij) tenemos m (A + B,C)

m

n

=

Vj4

m

+ t=l j=\

3)

n

n

bij Cij = {A, C) + (B, C); i—1 j=1

i=l j=1

£ 9Jt y V A G M, m

(XA, B)

n

n

m

ajjftjj - A(J4, B);

A CTIJBIJ = A

i=i 4) para toda matriz A G 971 se tiene m

n a

M , A)

?

Ahe*trtrittiu^c1

J u, y — u S1 y solo si todos los"elementos ae la matriz ji son nulos, es decir, si A — 6, donde 0 es el elemento neutro del espacia vectorial OT. Por consiguiente, se cumplen todos los axiomas del producto escalar, es decir, la igualdad (1) define un producto escalar en el espacio vectorial 971 y, por tanto, 3DZ es un espacio euclideo. •

63. Demostrar que un espacio vectorial normado E — {a?, z,... } se convierte en un espacio metrico, si para cualquier par de elementos x e y de E se define p (x> y)

x

~~ y\\-

<4 Solucion. Demostremos que los axiomas de metrica se cumplen (v. p. 5,4). Efectivamente, de las propiedades de la norma se deduce que 1) p (xt y) = \\x - 7/11 ^ 0, con la particularidad de que p (.x, y) — 0 si y solo si x — y es decir, si x = y;  p (x, y) = \\x - y\\ = IK-1 )(y - x)\\ — ] —

z + z - y\\ < \\x - y\\ \\x= yyz € E.

3) p (xt y) -

X

-\\y-x ^ I\y - ®|[ = (y} — z + II* ~ y\\ = /»(a?, + p f o y )

Asi pues, los axiomas de metrica se cumplen: E es un espacio metrico, •

! •

•

I

•

S i. IfcpacitM vtN'inrUlcw y in^ti'lniit r

49

tl|prrk'i(M

f»J. ) It'mnvlrnr (juc el conjunto C. ( f , >/, I t . . . . ) ill' IoiI.ih IiIh t1piici1i.i met; posiblos tic tin eonjunb) I'J cit 1111 ewpacio vectorial f sob it tin campo IK en uit i*np.n:iO vectorial sobre esu mismo rampo, Htl. I h twist far quo. cl conjunto delito numuroH eoiupJujijfi ('J forma un espacio vectorial Hobie el uiiii|Ni ite lbs mmieros reales-K. I li'nitwlfar i[ue un espacio vectorial R se coiwiurte en tin espacio vectorial normado. Hi para niiiJq titer elemento x = (aj, x ^ , . . . , js,„) se define una norma ||x|| por medio de una de Ins lUihiklades siguientes: 1- \x,„\ (norma octaedrka); -i) ||k|| - |«i| 4+ I') ||x|| - max [a*,| (norma cubica). 1

:

m

UJ^Jtit

tr> , < (idles de las igualdades siguientes: m

jm b) \\x\\ = . r£arf,ci>0,i y f-t

..} ||x||

O (]x[l-|*iWW +

= -l,m;

d) Hx|l = max o,'|«i|> > 0; e) 11*11= m i x j;r, | l^i^m 1 ^i?-.!n I ili-iinen una ntimi.i en el espacio vectorial M'"? Ihi I K'CTHMtrar que en un espacio vectorial 9Jt cuyos elementos se represenlan por- las matrices («,;) de dimension m x n, la norma |j4|| puede ser definida mediante una. tie- las ij;iiilldades siguientes: «

h

J rn n P H - J E E 4 ; y '-1 M

b) \\a\\

i) [|4,|| = max E M;

d>

=

max

El«.'jl;

I%1-

\\AW -

fiv Sea 3Jt el conjunto del ejemplo anterior. ^Cutiles de las igualdades Im n 1771-1 n •'I m = , / E E a v a b ' rn > 0> b) im'I ** J y .-I j.^i y m j-t m ii

i ) Pjj = E

aij

>-(,> d) lUtl = max «(,-|ay|, a,-j > 0;

e) ||/1|[ = mdx i*i>|«i/l( a,y, f) jlAj[ — max

ay > 0, m > 2

iletinen una norma en el espacio OT? Ml. A pavtir de la definition de metrica, demostrar que en el espacio Rm la distancia entre dos puntos arbitrarios x — (»tl . . . , i„) e y — (y,, y?,..., ym) puede ser definida;;mediante de las igualdades: Im

,n

V i^i

j^i

c) P (x, y) ^ rnsx

- tfij; d) p (x, y) -

e) p(x, y) ~ E <*i\ i- & x

>

- J/.)2. «. > 0;

0 ^{*.y)= "tix ("ifci-SilK O. >0.

•v. Vlediaiite comprobacion directa de los axiomas que definen una m^lrita, demostrar que en el espacio vectorial W cuyos elementos estan represcntados por las matrices d e dimensi6n m x n , Li distancia entie dos puntos (matrices) arbitrarios A = (a,,) y Ii = ( t , j ) puede ser definida por medio de una de las igualdades siguientes:

u

50

C a p i l u l o f. I n l r o d u c f i r t n ii! jitidlisis m

n) p(A,u)

» P ( ^ i M ) k j ~ M ;

n

-br}?'>

X!Y1

L))

m

c)

max

d)

=

~

R+. 60. Sea E un espacio metric© con una metrica p : E x E Demostrar que si E es, ademas, un espacio vectorial, entonces E es un espacio normado con una norma ||#J| — p(x, 0), donde x es un elemento arbitrario del espacio E y 8 es el elemento neutro de dicho espacio61. Un cierto conjunto de puntos constituye una bola abierta (cerrada) en el espacio metrico M2. Representar dicho conjunto al definir sucesivamente la metrica p mediante cada una de las igualdades siguientes; a) p (x, y) - y/(xt - y\f + (x2 - Jfe)2;

c) e)

p (x, y) - max fe +

Vi \;

b) p (x, y) = \xt - r/i| + \x2 - y2b

d) p (x, y) -

J

V

f) />(x 3 y) =

+

m a x { ^ , ^ }

§6. Limite de una sucesion 6.1. Concepto de sucesion Definicion. Se denomina sucesion de elementos de un conjunto E a una aplicacion N E

:n

xnj

j-v

es decir, a una funcion que a todo numero natural n £ N le pone en correspondencia un elemento xn e E. Para designar sucesiones se usan las notaciones {xn), o bien X\} x2,... T xn,..., o bien xn = f(n), n £ N. Los elementos Hainan terminos de la sucesion y xn/ termino general de la sucesion. El conjunto E puede ser muy variado, por ejemplo: R, Rm, C[a, b], 971, etc. Si E — M, la sucesion se denomina numerical si E — M w , sucesion vectorial; si E ^ C[a, 6], sucesion funcional; si E ~ OH, sucesion matricial, etc. En cada uno de estos casos el conjunto de todas las sucesiones posibles forma un espacio vectorial normado yf por consiguiente, un espacio metrico. 6.2. Sucesiones convergentes y sus propiedades Primeramente consideremos las sucesiones numericas. Definicion. Una sucesion (xn) de numeros reales se llama convergenle, si existe un numero real a y para cualquier £ > 0 existe un numero natural m tal que Vra > m se verifica la desigualdad '

&

|

^

£

\

En este caso el numero a se denomina limite de la sucesion {xn)f y en forma simbolica se escribe: lim xn — a

n—> oo

o bien

xn —> a

para

n —y oo.

Mediante sfmbolos logicos, la definicion se escribe de la manera siguiente: una sucesion (a?n) se dice que es convergente, si 3 « £ ] R A V £ > 0 3m € N : Vn > m => \xn - a\ < e.

tjli. I.lmilr ilt* iniii MUi't'itlOn

f»!

I lua suecsidn i]UO no converge ,se lliimii iliiu-i^nilr. it*o rem a. Si t< fas sucesiones itr mhiicntu mthv (.r„) <• (
u \ h,

n - X'

lim — = ~ yn

lim x„yn = ab,

ii-ioo

(yn j i O V t i G N , b j i 0).

o

(>,3. Criterios de existencia de los limites 1. Si y„ ^ xn < Zn V?i > ti0 y lim y„ — lim z„ ~ a, entonces 3 lim xn = «, 2. Las sucesiones mondtonas y acotadas tienen limite. .1. Una sucesi6n numerica (»„) tiene limite finito si y solo si Ve > 0 3 m € N im

> m a Vjs € N =f- \xn+p - xn\ < e


(l + j ) lim f l +

n -i® \

11/

,

nt

N, tiene un limite finito denomina do

numero

" = e = 2,718 28] 828 459 045 . . . .

6.5. Limite en sentido impropio Definicion I. Se denomina A-entorno del "panto + 0 0 * ("punto — oo") al conjuntti • It* |uinlos de R que satisfacen la desigualdad A < x < -boo

(-oo < x <

A).

Se denomina A-entamo del "punio oo" al conjunlo de puntos de IK que no In'iti'ittscen al segmento [ A, A]. Definicion 2. Una sucesion numerica (ar,,) se dice que tiene por limite +oo( ;x>) ii i| 0 3 m € N J Vn > m => xn > A

(VA > 0 J m £ N s V» > m ^ xn < - A ) .

Una sucesion numerica (sb„) tiene por limite oo si V A > 0 3 m £ N : V n > in > k.,1 •> A. 6.6. Limites parciales. Limites superior e inferior Definicion 1. Si una sucesion parcial (a;„.) converge, su limite se denomina limite I'linitd de la sucesion (x,i). Definicion 2. Un ru'imero a € K se denomina punto limite de una sucesion numerica (.r„) si cualquiera dc sus cntomos conliene un niimero infinito de terminos de la sucesion. HI limite parcial dc una sucesion es tambien un punto limite de la misma. Defiuicidn 3. El limite parcial maximo (minimn) de una sucesion numerica (ai„) se tuiioce como su limite superior (inferior) y sc designa con el simbulo lim xn

n-'X

(Urn xn). 71 *ix:

Teorema. Toda sucesion numerica tiene limites superior e inferior.

. .

« r

1

* I WB + J

0,7. SiKvsioncs convergentes on un espacio metrico Definicitfn, Una sucesion (x„) de elementos de un espacio metrico b) se denomina convergent^, si existe un elemento a £ E y para cualquier e > 0 existe un numero natural m tal que Vn > m se verifica la desigualdad p (xT} a) < e. En esta definicion el numero natural rn puede sustituirse por un numero real positive ear, pues la desigualdad n > a conlleva que n > [a] — rn, Si en R w esta dada una sucesion xn = (xin, • • *, ft €-N, para la que existe lim xm, i = 1, m, dicha sucesion converge y resulta valida la igualdad

x --» yo ip

/

lim xn = (lim xin, lim x2n,..,, n—KXj n—oo «—»oo

lim xmn). n—*oo

Analogamente, si en 9Jt esta dada una sucesion (k)

11 dj2 a <*)

Ak - I

 •

*

|,

a ml

(fc)

k € N,

am2

K , p — 1, n, q = l,m, tal que 3 lim am pq

entonces esta sucesion converge y se verifica la

/ O - M X i

igualdad lim a n fc'->00 •***

lim

*

64.

i

4

J

lim (Jt) jfc—*Q0

fc—s-OO

(A) lim fc^QG

lim a 12 *

*

f

1

h

*

4n

lim Ar-^oo

v

a

i

m

*

*

*

2

+

m

•

^

•

«

•

r

lim (fc) fc—'OO

Demostrar que el Hmite de la sucesion (x„) =

/

es

^ Solucion, Tenemos \xn ~ 2\ ~ ^ ~ 2 j ~ i . Para todo s > 0 3 m G N tal que 1 1 - < c (v. ej. 28). Entonces, Vn > m se verifica la desigualdad ~ < e y, por consiguiente, - 1) < es decir, lim xVl — 2. • n— 65.

Demostrar: 0 para a) lim qn n—»oo

< 1;

b) lim qn — oo para |g| > 1, rc—»oc

^ Solucion. a) Si q - Oy la igualdad a) es obvia. Sea s > 0 arbitrario y 0 < uso de la desigualdad de Bernoulli obtendremos 1 I#

< 1. Haciendo

+

V

M
{)

M?l

/

V|?!

de donde = l«Bl < " i r n ^ < e

Vn> — i i ! — .

b) Sean j'/| > 1 y A > 0 arbitrarios. De este modo, a partir de la desigualdad q\n = (1.+ (M - D) n > 1 + n(\q\ - 1) > rt(|g| - 1) > A hallamos kP > a

V»>_At.

•

tjfr. liitilli 1 ili> wim Mii'ralrtn ^

H3

lliilliii los l i m i t e s s i g u i e n t e s :

*

'

_

4 Inlixion. Iii memos S n = ^ + ^ -f ^ + • - •• -"Ju 1, entonces "

;> "

2

22/

l?

+

V23

23/

S - j H + 1 + ... + .

+

V 2" 2" 1 / 1 1 2 \2 ' ' 2 ?

~ 1_ ! ,

1

1

- z^

/ .

2»" 1 \ 2?t - I 2"- 1 '/ " 2"1)1

2ft - 1

IV esto modo,

= lim 3 -- lim ~ rt—00

Ft — t o o

- 2 lim ~ + Urn - - • 3, K --(Xi

A

71->00

£

mi donde hemos utilkado ei hecho de que n

n

para malquier e > 0 y i i > l + ^ e s decir, lim ^r = 0. ' n— r hi.

lim C - 1 - + J L + . . . +

•1

n™

n(n + 1)^

•2

2-3

n

+••• + !<

f + » 4 ^

' {1 + 1 ) "

=

2 71

r 1< e

-

•

4 Snlucion. Observemos que I 2 + 21-3 I'm tanto,

n(w + l)

Jim f ~ h-hx V1 • 2 (18.

lim(V2- s/2-^/2

4 Solucion.

V

2/

V2

3/

U

. 1 , , ] = lim ( l n(n +1)) n <00 \

2-3

n-f-lV

n +1

— =1. n +1 /

• Vl).

Puesto que yft -
m

=

ji-igH „

2

9SDUD n > 2

?•

( 2 ^ ' f = ( l + f t f * - 1 ) ) % (l + ( 2 ^ - 1 ) ) " = = 1 + n{21'1" — 1).4

1- (21/z" - i f > n{2y'r

- l),

es dock 0 <

entonces 2 !/ " —> 1 para n —)• 00 y el 1 unite de la sucesion es igual a 2.

•

- 1 < ?,

!i'i

('•ipilulo I. InlJodiKviurt al a n a l i s i s

Demostrar Lis igualdades siguientes:

2

lim — o. n -»oo VII

69.

M Solucion- La igualdad se deduce de la desigualdad 0 < Hl-

-

2

?

_

*

.

w! " 1 2

I

3

4

2

- ^ 2 71

/2\

9 /2\ n 2

y del hecho de que (|)w —• 0 para n —> oo (v. ej.65),

•

1 1 1 ! ii i i i b — n a

n n a 0, a > 1. n—*QQ

70.

lim

^ Solucion. Sea m un numero entero

Tenemos — n

Q < —n <

a

m

n

a

n m

V1

i n /

y/a

donde b = yfa > 1. No obstante, n n 0< n (! + (&- 1))" b n 1

para n ( f ) "

1

+ n(b - 1) +

- l ) 2 + - • - + (6 -

l)n

<

In « { » " 1)(6 - I) 2

0

oo; ahora, aplicando el teorema del paso al Kmite en un producto obtenemos que 0 para n —• oo, de donde se deduce el resultado requerido. •

an

lim 0. n—foo 711 <4 Solucion, La igualdad a cero se deduce de la evidente desigualdad 0<

a\ |aj nl

l

«

2

r

t

a

a

m

TTi + 1

i

m a a < n ml V m + 1

4

que es valida \fs > 0 y m + 1 > \a\ si n es lo suficientemente grande, r

72.

•

..

lim nqn - 0 si |o| < 1. oo

A Solucion. La demostracion se deduce de la expresion siguiente: \ngn

73.

n

in X «

n V 1'

b>l

(v.ej.70).

•

lim \/a ~ 1. fi —>CO

M S o l u c i o n . Para

a — 1 la igualdad es obvia* Sea a > a

(1 + (\fa - l))n > 1 + n(y/a-

entonces tfa > 1 y (v,ej.40)

1) > n(
i lr < Ii ii u(t* obtenemos 0 < \/a— 1 < £ < e para n > * (e > 0), es decir, n »

tya

1 para

-

fjit; I imilo ili* tntii nili riinn Si 0 < rt < I, tenemm

> I y, my, tin In demonliadu, '\J\

[im \/7i - • lim r»-n3o Jt -

74.

!»!

' /i \ V «

' : i* «/i I'm \ • ,! O .UV«

> I para n - •> oo, luegt

1.

•

l i m ^ = 0 , « > l . M -au n

< I 4 Nnlueion. I )udo que lim pr — 0, b > 1 (vease la solucion del ej. 70), entonces A < n-*o& o™ e (una Ti lo suficien temente graiide. Sea b — a£, donde c > l y £ > 0 c s arbitrario. EntonceH, 1

ii'"

^

•

~ < 1, o bien 1 < n < a2". a' n Tomando iogaritmos en la ultima desigualdad, tenemos 0 < log(in < s n , de domic loj> a •— < e para n to suficientemente grande. De la ultima desigualdad sc dediuv

p f i i:.amente el resulta do buscado. 75.

lim Jl >00

•

L

4 No I ik'ion. De la desigualdad ev id en to ft

(I I (\/n - I))™ = 1

-«• deduce que 76.

lim

— 1) +

^(v/H — l) 2 +

f

1| < y f ^ < e Vf > 0 y Vn > 1 - 2 e ~ 2 .

•

= 0.

4 Hotucion. Demostremos primeramente que n\ >

(I)"-

Apliijuemos el metodo de induccion matematica. Para n = 1 la desigualdad cs e video to:.[i|ioniendo que la igualdad es valida para n, para n + 1 tendremos

I .i ultima desigualdad es valida, puesto que (I I 1 ) s -:»/

, n Ji{n - 1) n ( n - 1 ) . . . ( n - w -f 1) = 1 -f — + — • » — ij- -,r * ' ' ii 2\ n rs!

1 1 <14-1-4 1U . - < | + 1 -| ^ £f n! 2

[

1

1 1- n 1 2~

1 — f*

<

C'j|.)i'liil(i I. Jntroducdtin AI dn.tlisis 1 a existencia del Ifmite y till vaior igual a cero so deducen tie la dtisiiguAldad 1 1 ^ 0 < —p=- < — = = V7?J

3 ^ —— < n

que se verifica Vs > 0 sierppre que n > i • i • •••

77,

? Demostrar que la sucesion' (as^ )r

creoe mon6tonamente y esta superiormente acotada, y que la sucesion (yn), -j \ nf 1

Vn = ( l + H 1

'

decrece monotonamente y esta inferiormente acotada. Demostrar que arnbas sucesiones tienen el mismo limite / IV" ( l\n+1 lim 1 - f - - I = lim ( 1 - J — ) = e, 71—00 V 71/ n-»oo V 71/

M Solucion, De acuerdo con la desigualdad del ej; 40/ tenemos n+1 V1

Xn

yn fn-i

=

( 1 + ir)

+

"+1) + =

\

1 ) ! L t l (w -f-1) 2 /

a

• n^+rl

+

: >

Y ! \

U

7i;+:a7

m

w + i l _rri3-U--ri2 - to -11

«

™

+

^

es clecirA/rcflyV^(:(oreee.)r:e\ (decrece). Ademas, xtl < yn y 0 < yn - xn = (l + < ~ -^Tft cuaddom—• oo, de donde — —* 0 para n —> oo, • Porl consiguiente, lim xn — lim yn — e, • 7J-+CC ft—>00 78.

'

£ <

Demostrar que 0 < e - f l + —) v

ji/

< —, n

n G N.

^Para que valores del exponente n la expresion (l + menos de 10 ? Solucion. De acuerdo con el ej,77, tenemos ( l 4-

se diferencia del numero e en > e. Por tanto,

/ 1\ 1 e ^ < (1 + - ] - < - < - <

V

n/

n

n

n

-

i

-1000

para m > 3000.

•

tj(>. l i n t i l i ' t l c mitt ^tiii'xiOii

ay

{it'll {p„} una sucesitin nuinerien nihilr.itlM i|in* (lender } (HHiit'i Um arliifraria que tiende a oo. l>eino!ilrar que p«

/

lim f l + — ^ 11- .00 V p„ /

y (
, \ fp.

lim ( l l 1 ) t. \ qn J

• (j.

4 IM(iei(Vii. Sim ftejj) una sucesion de numeros enteros urbitroriji que tiende a -foo. Pn este pfltn, do !,t desigualdad | m< lU'iliii e que j

I ~j

- e < e

para

n > N{e),

e > I),

~ ej < £ para nk > N(e), es decir, lim

+

+

— e.

Si 1111,1 sucesion numerica arbitraria (p*), P* > 1, tiende a +oo, existe una sucesion UpMUlnioms enteros (tt<.) tal que ^'pi; < rc^ -f-1 y n^ —» +oo. Dado que el primer y el j ^ m t i l " miembro dc la cvidcnlc desigualdad

V

l+

V

V

ifcpwiilt'ii a <:, entonces lim ( l + — e. ii-too V P>< J In una sucesion numerica arbitraria {qk),~ qu it,, obtendreraos

Ml.

I Xido que Jim (1 H — J Ji-too \ 71/

nj 1

tiende a — oo, entonces suponiendo

= e, demostrar 1que

A |niiiii de esta expresion deducir la formula 2!

3!

n!

n-n!'

ilnixle (I < <)jt < 1, y calcular el numero e con un error del orden de I d - 6 . | Mill tieJon. Efectuando \

n/ |

el n

t

n(n-

paso al Ifinite

en la

desigualdad

21 71 1 )-••(» - ft 1-1) ,_L fc! Titjt

3! +

.

:

n n(n -!)••-21 n\

itlHeitdioinos para n —> oo la desigualdad + i

+

I + ...

+

l=srft,

1 nu

>

("iipiUilo L hih'udiurion aJ andlisiM

5H

quo sc verifica VA:. Dado quo en cl conjunto (//*) no existe el elemento mtfximo, para A; tendromoH es decir, la igualdad no puede veriffcarse. Ademas, 1\"

1 1 + - + ~ + + n: A = Un* 2! 3! De este modo, xn < yn < e y lim xn — e, de donde se deduce que lim yn ~ e. to—»cx> rt-^oo Efectuando el paso al limite en la desigualdad 1 1 1 < + + Vm+n Vn (71+1)! (tt + 2)! (n + m) 1 1 1 71+2 1 <    < + + (n +1)! n + 1 n * n1 n + 2 (n + 2) (:n + 1)1 \ para un n fijo y m —* oo obtenemos 1 0 < e - yn < n - ni , 0 < 8n < 1. Hemos obtenido, pues, el resultado buscado Designemos 6n ™ La desigualdad 0 < e — y < ^i .< 1 0 es valida para n ^ 8, de donde /

x n — (1 4-

—

T

1-

j

+

«

»

•

1-

t

r

n

^ 2 81.

1 2!

1 31

11 1 1 1 1 4! 5! 6! 7!

8!

Demostrar la desigualdad

n n

< nl< e

Solucion. El primer miembro de la desigualdad es valido para n — 1; por induction s tiene (n + DC?)' 1 . / » + l\ n + 1 n + n \n > (n + 1)1 - nl (n + 1) > (» + 1)'

)

_

|

puesto que la desigualdad (n + 1) (|) (l +

(T)

/

> 1 es equivalente a la desigualda

< e (la validez de la ultima se deduce del ej. 77). El segundo miembro de la desigualdad se deduce de las expresiones (v.ej.42) n" n n n n +1 n nl < • < e 2 2 2 2

-(f)"

82.

Demostrar las desigualdades: 1 / l\ l a) < In ( i |— J < —, donde n es un numero natural arbitrario;

n +1

b) l + a < e

\

ft

n/

77,

, donde a es un numero real distinto de cero.

< Solucion, a) Tomando logaritmos en la desigualdad (v. oj. 77)

K ) " obtenemos n In (l + dad a).

<

e

<

(

1

+

< In e — 1 < (w + 1) In (l +

«

1

)

de donde se deduce la desigual

tj(). [.itnilc df

IIIM

5*J

NIIII'DIIIII

II) Mil primer lugar, demos Ere inns qui1 -

r

I

1

T

< lu(l I r) • r,

(I)

llhiuli' r i's un niimero racional eualquiera distil Uo tie ami y superior a - I. Sea r 11" Initio, en virtud de la desigualdad a), obtenemos

hunt,

V

f + i) + n >

- In

\ n

1

V

nJ

\

=

n+ m ~ 1/

n +1

In ( l + - L - ) + - • • + In ( l +

n +1 /

~ > 0.

V

7i + m -

-) <

I/

< - + — t + ••-+ 1 < — - r, n. tj + 1 rc -i- m — 1 Ji 714-1

TI + 2

ti + m

7i + m

1 + ™

H

T-j

tie iIinide so deduce la desigualdad (1) para r > 0. Mi

I < ri < 0, entonces suponiendo ~T\ = r, 0 < r < 1, tenemos ln(l +

il«i iiitndc -

- ln(l - 7-) m - In

» - In ( i H

,

< l n ( l 1- 7"|) < — t , c s decir j-^r < l n ( l + r i ) <

*hm a un niimero real arbitrario superior a —1 y dislinto de cero. En este caso existe r tin minuTO racional r tal que , f a 2 if+r Ijinj; cji'inplo, cualquier numero racional r que sc cncucntra entre los numeros reales ft y V i r I 4 f Of — 2). De este modo, M , , „ > < ln(l+D - M

ln

(*"+ 2

^

)

+

i) < r

f

2^7 <

-

I'm consiguiente, l n ( l + a ) < a (a > - 1 , a # 0) y 1 + « < ea (a > - 1 , a ^ 0). Si a < --1, In di'.igualdad 1 + a < e.a es evidente, por lo cual la desigualdad 1 + a < e" se verifica piii.i toilo or -f- 0. • +,

Demostrar que

lim n ( « " - 1 ) = Ina,

Ji -*oo

\

/

a > 0,

ilttndc in (i es el logaritmo neperiano (de base e = 2,718 . . .) del numero a. $ Nnliuion. De la desigualdad (l +

< e < j'l -+ ~ j

se ve que 1 < n ( e —

<

1 i ji I, . n > 1. de donde lim 7i [e7' — 1 ) — 1. Si a > I, entonces se tiene y71 — n ^n17 —

= n

—

•= zn

—

In a,

ilonde zn = j^- —' + para n ^ oo. Designemos an = [z„] (parte entera), entonces iv . ^ 'r 1 v —I—• <"" * — . dp dntirip I 'hf (Ml;-11 t^v (11 I)i. I,

Oifiliifo I. I rr(mdu
w

- l ) < yn < Jn a

In a -

H-

l),

-- l ) I In a (an + Ijfe'*" 17 — l ) < yn < In a • an

- Jn

Dado que la sucesion

— l ) -I- Jn a(e*T» — l),

- l ) ) es una subsucesion de la sucesion convergen

(n{e~* ^ l))/ entonces lim - l ) = lim n(eTt - l ) «-+ oo n-^oo Aplicando la afirmacion 1 del p. 6.3 obtenemos

lim yn

1.

_ i j + i n a ( e w«

lim f l n a

1

a>

71 -CC

fl—>00

Si 0 < a < 1, entonces Vn^n ( a »

n( 1 -

1

n

-1)

1

1

b

bn

iW

n(b«

T

-1),

1 y n(b» —l) —> In 6 para re —> oo, tenemos

donde 6 = ^ > 1, Como bft lim yn 71—+00

In 6

In

1

In a,

a

0< a < L

•

84. Utilizando el teorema de existencia del limite de una sucesion monotonamente acotada, demostrar la convergencia de la sucesion (a^), donde xn

l

i +

4

Solucion. Tenemos £ 1 1 -I- y^i > 1; la sucesion es, por tanto, creciente. El caracter acotado se deduce de las desigualdades i

f t

In xn

< •

2

*

4

t

_j 1 < -1 H 1 h 2" 2 4

f

*

1

- I

2"

1

1 .

*

i

i

xn < e

2 A1 ™ I 2

De este modo, de acuerdo con la afirmacion 2 del p. 6.3, la sucesion converge.

•

Haciendo uso del criterio de Cauchy demostrar la convergencia de las sucesiones (x n ) siguientes: sen 1 sen 2 , , senra _ „.T I zz2 r + ^z—• f b G N . 2 2 2" < Solucion. Sea Vs > 0. Tenemos sen(ra + 1) sen(ra + 2) sen (ft { p) — 2^+2 r* + Xfi-bp x n 2» > p

85.

Xn

t

»

W

, sen(rc + 1)| •

j

1

| senfa + 2)\

.

^

MM

I

sen(n fyn IP

* 'l ••

f 1

1

<: - - — | — ^ 2n+1 2n i'2

para n > — log2 e y para todos los p naturales.

I-

•

r

i r IV

1

1 +1 1

2

1

2n

<6

$(). I,finltv (Ii* mill niii i>riliiii Wi.

I•2

'

2-3

I

'

r ' m n(n ( I)

(tl

N.

fittlm ion. I'itta e > U atibitrario y para Indn ntitntiu ii.iUir.ii p tenemos k , ir

N7.

Ji»| •••

cos(n + 1)! (n f 1)(» -I- 2)

con(n | 2)! (n 4- 2)(« I 3)

1 (n + l)(n + 2) I 1 71 + ] 71 + 2

1 t- -) ( » + 2)(n + 3) (» 1 P)(n | p +1) 1 1 1 I 71 + 2 71 + 3 71 + P 71 + p + 1 1 1 < — < e Vti > - - 1 = N(e). 71 + 1 71 + p + l n+ 1 £

cos(n p)\ (71 + pX» + P + 1 ) 1

+ T-

•

Una suce&kSn (a;,,) es de variaci6n acutada si existe un numero c tal que \x2

+

—

H

+ \xn - asn-jl < c,

n e R

I h'utostrar que toda sucesidn de variaci6n acotada converge. Construir un ejemplo de Mno;ion eBnvergente que no sea de variation acotada. 4 -ii>I iii ion. De la definicion se deduce que la sucesion (y„), donde yn ^

~ xt\ + t»3-*2l

+ --'+

K

-

Hiiivrge (pues cs monoUinamente crecienley esta acotada), luego (I), | j, -

| — ^'n 1

^it +

?

^"r. I + * * ' ! "

^ (ajn+j • - fa| + (®n_2 - a;„-il H

Xrl ,

j] ^

+- la^+p - rxn+p-it = \y,n P~y,,\ < e

I mi.i n > jV(c-) Vj> > 0, es decir, la sucesion (xn) converge, livid en temente, la sucesion j -

i on verge; no obstante, dicha suction no es de variacion acotada, pues para cualquier A » 0 la desigualdad I 'V ~ ®i| +

~ Sf?l + ' * • +

2 2 2 ~ *»-i| = 1 + 3 + 5 + • • • +

>

> l + J + i +

es valida para n >e 88.

— 1.

Haciendo USO del eriterio de Cauchy demostrar la divergencia de las sucesiones donde 71 e N; b) a:n = + + • • + J--. n 6 M. a ) « » = l + i + --- + i

67.

( <)|>ilulo I. Inlrmlui'tion

ciMiili^jN

A SoIucuhi, Sim £ un nmnero arbitrario pertuneciente al intervalo |(), }. a) Undo quo 1

n+1

+

n+ 2

+

+

1

">

n+p

P

n+ p

y para p = n ,

1

- ®ni > z > e Vn% entonces la sucesion diverge b) La divergencia de la sucesion se deduce del resultado siguiente: x n+p

X

1

n

1n(n + 1)

1

+

u |_I

A

1

*

ln(» + 2)

ln(n + p) V > ln(n

n—n-

• • • • • •

>

>

1••

•

V •

•

n+p

1

2

para

n

• • • i•

P• 1

• •• •

•

89. Demostrar que una sucesion convergente alcanza o bien su supremo, o bien infimo, o bien ambos, Dar ejemplos de sucesiones de estos tres tipos. A Solucion. Sea lim x - a. Supongamos que xn < a(xn > a) Vn E N. Existe, pues,

n—roo

elemento miramo (maximo) de la sucesion, es decir, el infimo (supremo). Si la sucesi contiene elementos tanto menores que a como mayores que a o algunos element iguales a a, en todos estos casos la sucesion tiene tanto elemento mfnimo como elemen maximo, es decir, alcanza su infimo y su supremo. Demos ejemplos de sucesiones de los tres tipos: 1) (Xn) =

= o - inf {xn};

n

3) (xn) = ( ^ J , xi = -l = inf {xn}, I I

I—I

2) (xn) = ( I ) , ^ = 1 = s u p f e j ; x2 = I = sup{a?„}.

MINI ••

Hallar el termino maximo de la sucesion (x n ) si: 90.

X

n

n 27L

A Solucion. Designemos el termino maximo de la sucesion (xn) mediante el simbolo max xn De la desigualdad 3Tn.fl

valida para n > 2, se deduce que la sucesion tanto, el termino maximo es uno de los elementos 9 8

max xn — • ~r i

•• i ••

91.

in

es monotonamente decreciente. Po x2, x3. Vemos que

• ••

X

Ti

  •

• ™ ~ - —• in •

1000 A Solucion. Dado que x n4^, entonces dicha sucesion para n > 999 es monotonamente decreciente, y para n < 999 es monotonamente creciente. Por consiguiente, X n-i-i 71

•• •

•

•

jP

jjj.ft, Minllc ill- tiitii nilI'liioti max at., '

•

I'ikit I.in sucesiones siguientes •I)

M2.

lIHIll11"" , It UMIt

''' imhi

M

„ ... .','I'J Kl

• lim x n y lim ,r„ n—*c<> n•

dotcMnin.tr inf{ j*„ j ,

,

.r. - : ( - ! ) "

l

(2+|).

$ fttiliniim. Dado que todos los elementos de la sucesion (x„) estan contenidns en las y x2n — ~2 siendo < x2n~i, y, ademSs, mien teas mi.i-'uiKu-s xln I    In i.uit\sion es monotonamente decreciente, la sucesion {x2n) es monotonamento i tm irulr, tenemos lim xH = lim a ^ - i u—.oo re-- ,x>

= sup{a:„} — 5, 7 x 2 — inf{a:H} = — r , 2 111

i

2,

lim x'„ = lim x%,t — - 2 . 71—00 u-*;x:

71

4 Niiliiiidii. Tenemos 1 'in i

< Xjn-i < x,ltl, siendo (2^-2) decrecientey (x\i„) creciente. I'or

inf{as«} = lim xn = lim 71—0£> 71-00 sup{x„} = lim xn = lim x^ 77—oti 11—00 Mull.11 lim xn y lim 7)2

— lim ( l 77—CO \

= 0 , 47J — 17

lim f l + ~ 271—00 V 4n + [J

si:

rt— ft-.®

ltd

=

„ 2fl-n

4 Nuliii'ion. Dado que x$n-Z < ®3r-i < ®3ti y las sucesiones (a.3,^;), {2:3,,-j) y {x 1fl ) son luiivcrgentes, se tiene I ,. -(3n-2)2 hill x„ = hm 2371-2 = lim ——rr^ = - r , Z tj—CO ll—
T —

•

4 Sulucion. Formando a partir de todos los tannines de la sucesion dada oeho subsucesiones

1lacil convencerse de que los limites parciales minimo y maximo son los correspondientea ii las subsucesiones

:%lt

Hn 1 I [• • 8n - 3

.1

•I _

- - | "l I I H •

  8» M -6 J

X-An

f. vT I * u

Bn-6

+ 1,

respective men to. Por eso,

(

/ 1 - J lim xn = lim a:Sfl_3 = lim f — f 1-f \ on — 3/

7Z

l \

1

V5

--CO

lim xn = lim n - xi 96.

-

n xn = —— n+ 1

serL

- lim f f 1 -H

oft — 6/

+ l ) = e +1. /

3

•

2 ww 4

Solucion. Tenemos ar4„ <

<

lim xn -- lim 11

<

de donde „ 4n—2 lun ic4„_2 ~ lim n +00 rt ^-oo 471 — 1

—• 0, lim ti—*cc

1.

•

If Hallar los 1 unites pareiales; 1 1 1 3 97. i i V 2' 4 '

1 7 8' 8'

*

t



 > »>

  2



I

n

2

+

*

•͑

ε͑

< Solution. Formemos a partir de los terminos de la sucesion dada las dos subsucesiones 0, lim x -- lim 2"-1 lim 1 vergentes: xn = ^r y = - Sus lfmites lim xn Tlti,

-

jy

f l

son limit es parciaies. Dado que todas las subsucesiones convergentes forman parte de las dos subsuce siones mencionadas, los lfmites parciales indicados son los unicos que ex is ten, • mm

1 1 1 l + l 1? 15 I 1 4 J 2' ^ 2' 3 3J 2 3J 1 1 1 f i 2 n 1 n'n+1

98.

+

-t

1+

M--

1 1 1 1 4' 2 + 4' 3

1 4' 5 '

1 1. j n _L_ 1Jx JL> ± n„ ?

*

Solucion. A partir de los terminos de la sucesion dada podemos construir las subsucesiones 1 1 1 1 convergentes xn = - y xkn = j + — (ft, n e N), cuyos lfmites son 0 y j (ft € N), respectivamente. > f

HI

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 ' 3 ' 3' 4 ' 4 ' 4 ' 5 ' 5 ' 5 ' 5 ' ^ Solucion. Evidentemente, todos los numeros racionales r (0 < r < 1) son terminos de la sucesion dad a. Sea a un numero real arbitrario tal. que 0 ^ Of < 1; entonces para un numero natural m lo suficientemente grand e, la desigualdad 99.

*

a +

T-

fr

1 <1 n + vi

se verifica Vn € Ff. Para cada numero natural n f entre los terminos do la sucesion dada existe un numero racional rn tal que 1 a < rfl < a 4* n -4 m

p

fjit, l.iiulti' ilt> iniit rtuirumii I'm consign ion to, lim r„ II i>*iiiiiiiM el caso 0 < fir I.

'i.''



1 0 0 . ( nnslruir una sucesion numerica quo tenga como limites pa rein los un conjunto do Niiinonts r i | , . . . , Oj, dados do antemano. k — 1 ,p, n € M. Dado que las sucesiones X^i converged a 4 NuliK'iOn. Sea Xfa — aj. + Inn mi morns a*;, fc£ Pf, la succsidn buscada puede ser, por ejemplo, la sucesion sign ion Id; 1 Z

II, I I.
1

1 /L

1 1 711

I 71

O p + ^ I • - - , « i + —, 02 + —, • • • , <*}> + - , . .

4

la i it. 11 esta com pues ta de los terminos de las sucesiones (.njtn), k £ N.

Tt

•

1 0 1 . Construir una sucesion numerica para la cual todos los terminos dc la sucesion ii | sean sus limites parciales. ^Que otros limites parciales tiene necesariaiiioiiie dicha sucesion? 4 Nittin ii'm. A partir de los terminos de las sucesiones xn - an, x^ = i iili.'tli'uyamos la sucesion a.u ai +

1

1 02, a! + -,

1 +

tt-j,

a, +

1 a2 +

1 1 a3 +

+

(«., A; ti Si)

a4,.

ittio lionc por limites parciales: 1) los limites de Lis sucesiones (x^), es decir, los terminos •lo la sucesifin («„) y 2) los limites parciales de la sucesion (a„). • 1 0 2 . Construir una sucesion a) que no tenga limites parciales finitos; b) que tenga un unico limite parcial finito, pero que no sea convergenle; <:) que tenga un conjunto infinito de limites parciales; d) que tenga por limites parciales todos y cada uno de los numeros reales, 4 Solution. a) Por ejemplo, x„ =- n. h) Sea (En) una sucesion que tienda a un limite finito a, y sea ('?/„} una sucesi<5n do ttinile infinito; en este caso, la sucesion i/[, x2, y?,..., X„, y,n . . . es divergente y tiene no (inico limite parcial finito ft. c) Los ejemplos 99 y 100. d) Construyamos una sucesion que con tenga todos los numeros racionales diuide fi y q son numeros naturales 1

'

'2'

_1 I 2 ' 3'

1 2 _2 3 _3 3 1 1 _1 2 _2 3' 3' 3' 2' V 1* 1 ' n' n* n>"' w—1 n — 1 n n n n n n ' n ' »T="i' " J T ^ T ' " * " ' 2' ~2' T 1 " T ' " ' '

lil lioclio de que todo niimero real es un limite parcial se demuestra de forma antfloga a ionic se hizo en la resolucion del ej.99. • 1 0 3 . Demostrar que las sucesiones (a:n) e ($f„) = (a:,, t'aiviales.

) tienen los mismos limites

('ii|)i[(ilo I. JnlrodlKiirtii A Solucion.

andlisis

Dado que lim tfn • J (v.ej, 75), entonces lim H * OO

^ donde (pn) es una

71—•OO

s Libs u res ion arbitraria de una serie de numeros nalurales. Sen a un limite parcial de la sucesion (#„) y lim xPji = a. Al aplicar el teorema del 71—•OO paso al limite en un producto, hallamos lim n-+oo Vp

lim xPn lim

lim xPn

it

= a,

n — K X >

es decir, a es un limite parcial de la sucesion (yri). Sea ahora /? un limite parcial de la sucesion (yn) y lim yqti — (3. Como ^fn > 0, ft.—'OO queda pues bien definida la subsucesion (xTi) — { y u n " ) / y por tanto, tambien la subsucesion (a?^) =

) que tiene por limite el numero /?,

•

1 0 4 . Sea (ar„) una sucesion convergente y (;yn), divergente. ^Que se puede decir respecto a la convergencia de las sucesiones a) (a?„ +1/„); b) {xnyn)l Proponer un ejemplo para el caso b). A Solucion. a) La sucesion (xn -!•• yn) diverge. Si ella convergiera, la diferencia de sucesiones = — (Vn) (rcn) y (xn+yn) tambien seria convergente, lo cual es imposible pues (xn — (xn y, segun las condiciones de partida, (yn) es divergente. b) La sucesion puede tanto convergir como divergir. Por ejemplo, 1) la sucesion (xn) = (~) converge y la sucesion {y n ) = ((—1)") diverge; sin embargo, su producto (xnyn) = 2) la sucesion

= ( j t j ) converge, e

las mismas (x n y n ) — n*i

r-

•

_

•

•

•

•

••

origina una sucesion convergente;

tambien diverge. i

=

diverge: el producto de

•

•

1 0 5 . Demostrar: a) lim xn -f lim yn < lim (xn + yn) < lim xn + lim yn; Jl 'OO n—>oc n—oo n—»oo b) lim xn + lim yn < lim {xn + yn) ^ lim xn 4- lim yn. »—•-oo n—*oo n—»oo 71—s-oo Poner un ejemplo para el cual tengan lugar las desigualdades estrictas (]) Nota, Si a partir de una sucesion (arj se forma cierta subsucesion (a?^), entonces lim

n--* x

$ lim x^ . M—9-3C

A Solucion. a) Dado que el limite inferior de la sucesion es su punto limite, entonces lim {xn + ytl) = lim {xVn + yrJ, «—>00 71- -00

_]im_ x n—

H

lim x n—*o0

En virtud de la nota tenemos lim xn + lim yn ^ lim xTn + lim yTn — lim x T1--+00

n--+oo

n—*oo

K-+00

n ^ o o

lim yfH ^ lim xtllrn + Hm_ym

Jl —*oo

Dado que (x mr + ymr ) es una subsucesion de la sucesion convergente lim (x,

VrJ - i™(®mp.w

ri—^oc

+ Vr,X en tonces

V'

I finite do una siii'i'skin

Adiinrts, como la suivsidn

()/

J converge, tambien converge la sitivsidii (i/m,„); list puiw

y

lim »—oc:

y ,

= lim M—OO

mr

m

V Li desigualdad obtenida puede esaibirse en la forma

xr

lim

w'

n

+ Hm .

•

y

< lim

n

i'-—-X,'

x

+ nlim-.x: y

m

-

m

lim

n-^cc

(x^

y

+

) = lim

m

it—oo

(x + y, ), u

t

111 priinera parte de la desigualdad a) queda demostrada. Tenlendo en cons iderac ion este le.'iullado y el hecho de que 11—*x>

n -x>

nliiriiomos

y„) ~ 7lim y„ =Jim (x, -f y ) 1—00 71 — 00

Ii"1 (a:,. + 11

t

n

{~y ) <

i-jirn 77-00

B

lim ((s n + 77 *0C

y ) + (~y„)) n

X„,

lim f.—.X

dr lo cual se deduce la segunda parte de la desigualdad a). La desigualdad b) se dcmuestra de una manera analoga. Construyamos un ejemplo para el que iongan lugar las desigualdades estrictas. iVan ••('•HI

«» - M ) I

'

-j

ft 77

'• "7 jiir yn - ( - l f F cos2 y - ,

sen2

osta forma, x„ + jfo =
y

1

x„

lim a:,; = —1, lim = 1, Tl—O 'O 71 —CO lim n—+(xj

 Sean x„ a) lirrL x Ii—CO,

+ y ) = -1,

lim 71 -'00

" I m f o , + y ) = 1. n—00

n

n

n

x •

y„ = 1,

lim i/» — — 1, 17—OC

it 0 e y„ > 0, n € N. Demostrar: • Jim y < lim (stls>„) ^ lim x 71—00 71—oo Ii — 00 n

n € NL

>

• lim y ; 71— 00

n

n

(x„y )

y,

lim lima;,,' lim n b) lim n limjfo n w—ic it—co n—oo it—oo n—oo Poner un ejemplo en cl que se verifiquen las desigualdades estrictas. 4 Solucion. Demostremos el caso a) (la demostracidn del caso b) es analoga). Si x = 0 , n 6 N, o si lim x — 0, la desigualdad a) es evidente. Queda por 71 -OO r\.tminar el caso lim x > 0. Entonces, a partir de cierto numero se verifica que x > 0. 11—00 n

n

u

n

Teniendo en cuenta la observacion del ej. 105 y introduciendo la notacion

(x „y J,

7il —i00 m l i m 77 —CO r

T

Jim 71-00« f n = lim II—ou

x

m

triH-Jnos que

x y„ y „ - lim71—0x„, • lim fa < li m x 0 71-00 71—00 (Vtmo (x„ y,„ ) es una subsucesidn dc la sucesion convergente (x y J, Km (Xj>y„) =i ilim (x y „) lim {x y ). h-*co — n — o o ^ Hm % - lim r lim n - lim U -OO 71 —00 71—no tl—00 h

:

mi

r

ri± t

Tfi r

m

m

• 71— lim OO •(/„!, , entonces

C iipilnJo J. Introduction al .inalisis Dado que la subsucesion converge a un limite distinlo de cero, Ja subsucesion {ymy tambien converge, es decir, lim y/m,. -- 'i m Vvtrn • Por consiguiente, H—>00 ]jm_3r„ • J_i m_ yn ^ lim xmru • Jirn ym OO 71 -HX) TI-^OO —>00

= lim (xm

y^)

ft

tim_(xnyn). —

Asi pues, la primera parte de la desigualdad a) queda demostrada. Si lim yn. — 0 la segurida parte de la desigualdad a) es evidente, pues en tal caso lim yn — 0, y po

n—>oo

lo tanto lim (xnyn)~0. Sea lim yn > 0, De acuerdo con lo demostrado y con el resultad Jl CO l lim - • , obtenemos la desigualdad limp,, H^CX) yn TI —

—*

n

-

- X

1 Jim iton -oo(FnVn) = n— •oo ^ yn - limoo(xnyn) < kHm —>oo(—{x \ 7/nnyn)) lim yn n^oo oo

/= lim n—tooxni

de la cual se deduce la segunda parte de la desigualdad a). Pongamos un ejemplo en el que tengan lugar las desigualdades estrictas, Sean a„ - 2 + (-1)",

yn = 2 - ( - 1 ) " +

1

7f [ n

i

I I

Entonces, x„y„ — 3 + 2-k-D" ( - 1 ) lim xn — 17 n—ti—>oo

lim xn

3f 3

lim (s B y n ) = n—>oo Z

Jim yn -

n—>oq

lim (xnyn) 7i—^oo

1 2

-

g

lim yn n—»oo

z

7 2

•

1 0 7 . Demostrar que si el lim xn existe, entonces para toda sucesion (yn) se tiene 71—•OO lim (xn + yn) = lim xn -f lim yn. n >oci 1W00 n—coo A Solucion. Como se sabe (v, ej. 105) lim (xn + yn)^ lim xn 4 lim yn, ft—*oo 7i—^oo n—*oc + lim yn. lim (®B + pn) ^ lim 7i -oo n—>co n^oo Dado que lim xn J.

1—I I • IB

i f . — K X ;

igualdades.

•

limsn„ = lim xn/ en las expresiones anteriores son solo posibles las 11—•OO 11 >00

1 0 8 . Demostrar que si para una sucesion dada (x n ) y para toda sucesion (yn) tiene lugar a I menos una de las igualdades: a) Hm (xn + yn) - lim xn + lim yn o b) lim (xnyn) - lima,, * lim yn, xn ^ 0, n—foo n->ocn—>00 r; >
F

fin I nnMo ill

Hiiivsion

t»l>

4 Noliuiiin. Supongamos que l 11-co u~x

) ••• 0,

i|i' donde limx rt - lim xn, es decir, lim x„ existe. Supongamos que se outnplo la fl—OO T— l KJO 11-00 tiwulii'ion b); tomemos ententes y„ = —1. En este caso, a partir de b) se deduce que lim lim xn —fl— Ithm ( x„) - - Tlim I—COx„ o bien fl—00 KjO xn, con lo que queda demostrado una vc?, mas iiiit11 fl limite de la sucesion (a;,,) existe,

•

IIW. Demostrar que si xn > 0 y l i m ^ • lim — == 1, tf-'OO tl^fX>Xn i-uloik'es la sucesion

converge.

4 Niilnrion. De las condiciones del problems y de la igualdad rt—co lim ~~ " - ji"" -"• se deduct' qui' lim x„ — Jim xH, es decir, (xn) es una sucesion convergente. PII 'IX' Jl-fCO 1 1 0 . Demostrar quo si una sucesi6n (a:„) estii acotada y lim (xn l j n—*oc

-xH)=0,

nil 1 incus los limites parciales de esta sucesion est&n dislribuidos de modo siemprc denso outre los limites inferior y superior de dicha sucesion i•—lim x„ rl—cc

y

1j — lim xa, 11—00

i"i decir, todo numero del segmento [/, L\ es un limite parcial de dicha sucesion. 4 'inlucion. Demostremos que todo punto a pertcncciente al intervalo J/, L[ es un limite I mi vial de la sucesion (asM); en otras pa la bras, demostremos que eualquier entorno de radio ' |< entorno) del punto a contiene un numero infinito de elementos de la sucesion Sea e > 0 un niimero arbitrario fijo tal que los e-entornos dc los puntos I, a y L 1 tu lionen puntos comunes. Segun Lis condicioncs del probiema, existe un niimero N(e) tal qui* |ik,!+1 - 2:It| < 2s para n > N(t ). Dado que I es un limite parcial, en el s-entorno del punto 1 existe un elemento x p| tic i nd ice Pi superior a N(e). Por esta misma razon en el £-en tor no del punto L existe un • Ii-mento x% de indicc qi superior a j>j, Debido a que para n > N{e) la dislanda entry I'li'tnentos contiguos es inferior a 2c, entre los numeros natuvales n tales que pi < n < qt 1-Male ai menus un numero ?• j tal que el elemento pertenece al s-entorno del punto a. fixiste, 3 demas, un elemento xP, de mdice jh superior a qi y tal que xp. pertenece a! j ontorno del punto I. Por consiguiente, entre los numeros n, para los cuales q\ < n <
70

C.ipilulo 1. lnlrodui'iion al

Iisis

1 1 1 . Constderaremos una sucesion numerica (.tu) que satisface Ja condition siguientc* Q ^ Xtm n ^

4 xn/ m, n 6 N. Demostrar la existencia del lim n^oo 71

A Solucitfn. Tenemos 0 ^ xn ^ xyjr x\ H

x 0 ^ — ^ X\, ti

h X[ = nxi7

n = 2,3,

)

por consiguiente, la sucesion esta acotada y existe fnfimo finito a = inf {^f } - Sea u e > 0 arbitrario, entonces existe un m tal que a ^ ^ < a + |. Todo numero entero n puede ser representado en la forma n = qm + r, donde r e igual a uno de los numeros 0, 1,2, * . . , m - L Suponiendo, para una mayor uniformidad a?o — 0, vemos que 4

£qm+r -- ^. -

qm 4 T X n \

71

*

4~ X

r

4 xm + x m 4 Xr^ m qm X in X 4 n m qm 4 r

qm 4 f qm 3/r £ 4 -- < a 4 - + — n 2 n 2/ qm 4 r X i r

^

Dado que 0 ^ r < m 4 1, resulta que xr esta act acotado y existe un numero N(s) tal que para n > N(e) se verifica n

—

Por tanto, o: ^ ^71 < a + L fj + Zf

2-

<

a 4- s para n > N(e), por lo que lim ™ — a.

•

n—

n

1 1 2 . Demostrar el teorema de Toplitz: Sean 1)

^ 0; 2)

Pnk = 1; 3) lim P^ — 0 it—'•oo ft

para todo k fijo; 4) lim xn — a, Entonces, la sucesion de termino general tn — ^ Pnk^k converge y lim tn = a. A Solucion* De la condicion 4) se deduce la existencia de un ntimero N = N(s) tal que la desigualdad xn a


se verifica Vn > N(s); de la misma condicion se deduce la existencia de un numero M > 0 tal que xn\ ^ Af, \xn - a\ ^ 2M para cualquier n. Finalmente, de la condicion 3) se deduce la existencia de un numero 7i[) — n0{e) > N tal que Pnk <

4 NM1

h - 1 ? Nt

para todos los n > %. De estas desigualdades y de las condiciones l)-2) del teorema obtenemos H P

n

k

X

k

"

a

n

n

22

Y1

n y

j

n Pnk(%k - ^

^

pnk\xk

-

=

w

71

tjii. Liniltc ilr him mhvhMh ''.r[|»l

ttj

!

I ••• I /'„« Jl«tM

"I I I'ntt i ii-''.v 11

u 11,It J lottos los /i > Jin, es dccir, lim („ — lim ^ ii—

t^t

f( l

"I

' ' + /'tmW'n

'

^

=

1 1 3 . a) I Jernoslrar que si una sucesion (ar„) converge, tambien converge la sucesion do IIII'i1m-i aiilmeticas (£„), donde m + '• •+

in =

y liiti (_„ is lim un—ou b) Demostrar que si una sucesion (yn) converge e Du'tliai; armonicas n 7* — i i t - + ~ + - • • -j- - L Jfl 02

> 0 Vti G N, la sucesion dc

litml'teii converge y lim 7„ — lim yn. it—tx>

n—oo

<•) Demostremos que si lim yn — -f oo, entonces It—00

lim 7 b = +oo n—oo i Mi it b 7„ es la media armonica y

y

lim £„ = +oo, n—oo

es la media aritmetica de los numeros yi, y?.,.,.,

4 Nnltn ion. a) Si tomamos Pllk = ~ (k = 1, n; n € N), entonces para PKk y

yn.

se cumplen

ii

littl.iii las condickmcs del ej. 112, verificandose, ademas, que tn = Yh

Por

i iiuMj'.tiicnte, rt—oo lim £„ —it—oo lim b) Sea 1. Pnh = t — y. y;

r y,t

-

x

" = v»-

'it- verifican, pues, todas las condiclones del ej. 112 y, ademas, f„ = j „ . Por consiguiente, Hm U - lim yn. II "«'

«-*tX>

c) Demostremos que si lim n = 0 , tambien lim = 0. Esto ultimo equivale a n =*oo n-foo " i|i»r lim 7» = -|-oo. Usando el ej. 1 1 2 y poniendo

«

(fc =

*n = r - i V»

it libit-nemos t n - £

= ~ V lim §- - lim ~ = 0. Tt—oo If n—oo El resultado lim £„ = H-oo se deduce de la desigualdad (v. ej. 42) -y7, < n—oo lint 7,j ~ +00, •

y de que

('apilulo I. Introduction al

.uijIimis

1 1 4 . Deinoslnir que si una sucesion (y:rt) converge y xn > 0, cntoiKTs

lim s/xixi\ .. x n

n —*rxi

lim xn. n•-•••> oo

4 Solucion, Tenemos (v. ej.42) In :

Xi -f ar2 "I n

n

X + J.+ Xi

Xz

H- ar

VX n

Sn*

II.

(v. ej, 113), entonces

lim n—>oo

Dado que lim yn — lim ft—>00 n—>00

lim xn.

lim v^xx^ - * •x n n —>oo

•

1 1 5 . Demostrar que si Vn E N xn > 0, entonces x lim
• ^ •*3

- lim f

^

1 1 6 . Demostrar que lim n-*oo V^I

—

&

*

X

a:n = lim

(v. ei\ 114),

e.

A Solucion. Observemos que nn 7ll

n

Dado que lim ~ - lim 1 71^00 n--*oo V ejemplo 115 obtenemos el resultado buscado. •

donde xn ~

117.

j - i i - ,

i

yXfi j 71 !

e y teniendo en cuenta el

71 —

Demostrar el teorema de Stolz: Si x ^ J ^ , entonces a ) \ / n £ N yn+1 > yn; b) lim yn - +oo; c) 3 lim n^00 ft^oo yn ~ yn-1 x lim ^

< Solucion. Sea Blim —^00

n^oo yn

=

lim

1

n^00 yn - yn-i

1

a (a es finito), Si consideramos que yo = 0, xq — 0 y Vk y/c-A X« Pnk t k — 1? n, Vn ^ -1 vemos que se cumplen las condiciones del teorema de Toplitz (ej, 112) para Pnj. y Xn, siendo tfl = •Ex yf* Por consiguiente, lim —• — lim tn = Urn Xn — lim a. n—*oo n - - t o o !f» -y»-i Si lim == +oo, repetimos los razonamientos para la sucesion efectuados -

• ' d

f l — i q q

ti—>oo

V "

« — ^ m

H - ^ O O

n — i

^ J J

• • 1

r *

[

anteriormente, asegurandonos para ello previamente de que no
n—•oo

> xn a partir de cierto

!((» I.llilllt'Jr lllltl riluvNIiiii 1 1 8 .

7;i

IX'tncwtrnr cjuo M p cti nn niimrio Ifcllmal, CIIIOIU'L'H: . .. I - 2'1 ! • • • i u" I f V \ 2"-I ••••„>' n \ t v .. a) lira — • (l) lilt) - -* ---• f( HlSj P | j „ irtU V Ul> p -j- | / 2 ' lp +$? -i i u lt) lim —

1-5(2n | 1)" rc>"'1

i

21' p -i-1

4 Holm-ion, Para demostrarlo apliquemos el tL'orema de Stolz (cj. 117). Demostemot; cl iij'.m.ulo b) (los apartados a) y t) se demuestran de manera and log a). -}- •»*) - np+1, y„ - (p + ])•».'', entuilcns l>) Si hacemos x„ = (p + l)(l p -r 2V H

*to (p+T+n):r(":iri+ra"1=

Wt> 11 - Vn

(P + l)((n + 1?- l nP) f (p+ t)(r
= lim I ^ (p +

+

pnv-

|. 1)

+ • • • + 1 - n/>)

i+

~n p + 1 - ( f ;-+1)n' ] - i ^ U i V

l-t-y"

1

\

G> + 1)(77.P + pnr- ] + • • • + Efc^TiP"2 + - • • J-1 A|;m|icmo9 los coeficientes de los terminos con igual potencin de n. Luego, dividamtw el y el denomina dor enlre n p 1 y designemos mediante o ( £ ) la suma do todo* In', li'irninos de potendas no superiores a — I; de este modo, oblcnemos „ , __ X n = (im lim ^ »-•<» lim 1 ~ Vn

EtetU j - o f l ) 2

+

p(p + 1) + O (i)

-

n 1

2

-

Demostrar qtse la sucesion (xn), donde = i + ^ + . ! + * • • + - - in 2 3 n i unviTgu. Rene lugar, pues, Ja formula siguiente: 1 + \ + 5 +•••+-= C + in n + £„, I. 5 n ill >mle C — 0,577216 . . . cs la denomina da constants de Eider, y eH —* 0 para ti —* oo. 4 'iiilni'ion. Dado que x,,^ - x„ = ™ - ln£«+l) + ln u - ~ - t a (I + i ) < 0 (v.ej. 82, a)), lii .tuesion (xu) es monotonamente deeredente, Ademas, die ha si.iccsion esta inferiormente iii i 1n(l + 1) + In ( l +

+lri ( l + i ) + ' ' • + In ( l -I - ) - I n n . /„ 3 4 = In 2 • - •

\ 2 3

™ n ++1l 1*\ ., « + l 1 J = In > ii nt n n+ l

\ Mi.lt!, pues, un limite finito C, y tiene lugar, por tanto, la expresion 1 + ^ + s + • • • + - ~ In n = C + £„, 2 3 n itiuule e n —> 0 para n —> oc.

> 0.

J

'

i. iiptrn To I. In (rod iuttrm a I anjljMiri

1

120. H a l l a r lim (

i

1 n-hi

- I-

*

I 2n -la

*

« I• "

i n | 2 i j- ni Tenemos I -h ~ 4

u -mxj \ n

< Solucion. Sea zn

L_

f

&

•

•i

•

1 1 4 —— 4-- + In ft + 2

•n

z2n

In 2 n 4 e 2n ^ In

ji

en = In 2 + (£2n

€n)

(v.ej. 119) y 1 4 *• * 4 n+2

lim (—n-+oo \ +n 14

1 2 1 . Hallar lim xn para una sucesion

In 2.

•

definida mediante las formulas

Fl—>00

x\ — a,

x2 — 6,

xn —

Xn

1

2

^ Xn

(n = 3 , 4 , . . . )

2

Solucion, Tenemos Xk-i 4

X ~

—

k

X

SPfc-1 - £jfc- 2 2

k L

Sustituyendo estas expresiones en la evidente igualdad

xn - a?i + {x2 - xi) 4- (a?3 - x2) 4 - - + (xn - «„-!), obtendremos, a partir del segundo sumando, una progresion geometrica cuya suma es xn — a 4- (6 - a)

b

a . o— a . 2

+

4

de donde lim xn = lim ( a 4

B—''CO ™

ft—>00

V

r

»

2(6

4

. , _ b—a   o) a 4 + M) 3

a) 3

b-a h— 3

( - 1 )n 2

6-fl 3

(»1) B 2

«

- 2

>

a + 26 3

r-i""-i

1 2 2 . Sea

una sucesion de numeros definida por la formula siguiente

xG > 0,

xTi+l = l (xn + "M, 2 \ XJ n

Demostrar que lim x n

l.

<4 Solucion, Como x0 > 0 y xn 4 — ^ 2, la sucesion (x^) esta inferiorntente acotada por el numero 1. De la desigualdad = \ 4 ^ x n, valida para xn ^ 1, se deduce que dicha sucesion decrece monotonamente. Por consiguiente, existe un limite finito a y, ademas, a ^ 1. Efectuando el paso al limite de la igualdad x 71 + 1 ~ l (xn + —) , 2 \

hallamos que a = | (a 4se tiene a = 1. • xn ^

xH J

es decir, a 1 = 1 o a = ±1. Por otra parte, dado que Va E N

§(>. t.imllt* ilc niiii miichIAh I

7!>

I Ion Hist rn r que las sun'Niniii'M {m„) r (//„) dcHniihs nwifitinlc las formulas a.|

i/j -- l>,

t l w n i);iiiil limite /((«-, l>)

xn 11 It

/"n.'/ti.

lim :r„

Vm i

2

(" - 1 , 2 , . . . )

lim yt) (la dunominada media

MWl

H *C3t) "

arittnetico-geonwltk'ii

lIii hut itiimeros a y b). 4 filillii'liSn. I>e las condiciones de partida sc deduce que V» £ N x„ ^ 0, y,, In tlfiigiiuldad

a ^ 0,

0. Utilizando

0,

irtilt'iii-mt.s Jf-i+l I 'ai It i que ;c rj+! - y/XnVn ^

X>1

2~

y"

~

lAn^.. = J/n+1 =

^ y„, entonces en virtud de que

^ y segun la afirmaei6n 2 del p.6.3 las sucesiones (x n ) e (;/„) ''ii }tn ^ Ift, Vn ^ Hi'in'ii limites finitos: A y B, respect ivamente. Efectuando el pa so a 1 limite en la igualdad _ ih-hl —

j y„ 2 '

iiMcnrmos que A — B. El valor comun de cstos limites se denomina media yi uNif/ncii y se designa mediante el simbolo fi{a, b). •

aritmt'tiah

I ltd l.ti Ins limites:

4 Uttliuitin. Dado que 1 - IX* j k* ~ ' k2 r<> nUiendo los productos en la forma

1

h . i \ ft _ V 22 / \ 32 f hallamos que

1—- 3 • 2— - 4 - •3 3- 52* A7

. . (1 - i . \ n 2)

I)

TH

'

i ) • •v - f 1Ii -/

lim ( l - 2 (l - 2 n-oo \ 2 / v 3 /

2

(n - _ ! ) ( » + 1 ) n2

-

1

n+1 I

n

1 • » +2 I = 1. *

Hm ti-oo2 w

4 Solution. Tenemos 1_

1

- (fe-lXfc+Z)

, _

n~

linlonces

."aO-aHH'-^)_

/ \ I2- 4- 3 32^5 - 4 4 3^6 -5

( n n(n - l ) ( +n 1+) 2)N/ _

31 * w n+ 2 _ 31 '

'/()

Capitulol. Introduction a! analisis

Hallar los Kmitcs dc las sucesiones vectoriales (xM) siguientes; n n+1 < Solucion. Dado que cada una de las sucesiones de las coordenadas converge, segun el p. 6.7 tenemos , lim f ^ - r l J = (e, e *). lim x7l = ( lim V H—>00 \ n J rc—oo \7l + 1/ / n—>oo

(\n +n 1

n +1 Ti + l j • - -1 2n inn < Solucion. Analogamente a como se hizo en el ejemplo anterior, tenemos xn

1

/ n+ i r w+ i lim x„ — ( lim j. hm — — 7 . . . V u->oo n n-*oo 2n

r

1 2 8 . xn - f yr+

2», 7 2 + 2 ^ ,

7

?z + i \ /.i n lim — I — [ 1, ... t — ) . n->QQ inn / V 2 mJ

r

•

V2+2-"

Solucion. Demostremos que existen los lmiites de las sucesiones de cada una de las coordenadas. De las desigualdades 2 < \/2 + 2n < 2 v^2 v de la expresion lim V2 = 1 se 71—>00

deduce que lim v/2 n—>oo

2n

—• 2. De las dcsigualdades

1 <

+

1<

<

<

hallamos que lim \fl + 2~'

= 1.

n

rc—»oo

I)

lim V ^ + T ^ 7 = L

> S

n—

Dado que los lfmites de las sucesiones de coordenadas existen, tambien existe el limite de ] la sucesion vectorial lim x „ = ( lim a/2 + 2", lim y/2 + 2~n, lim ^ 2 + 2 " ^ ) - ( 2 , 1 , 1 ) . ft - + 0 0

\ T?—> DO

Ti —KX)

n—100

•

/

1 2 9 . x„ = (xln) x2ni • • • j scmn), donde 1 1 ——r + — r ^ + ' 71 + 1 71+2

=

r — 71

1

Solucion. Designemos ?/„ — 1 + ^ + • • - +

« = 1, to, « G N . Del ej\ 119 se deduce que

yn = (7 + In» + 7nj donde C es la constante de Euler, y j

= 2/(1 +i)n " Vn y 7»

7(1+£)m

n

— 0 para n

oo. Como

+ ^ ({1 + «)«) + 7(U.,')„ - C - In U ~ 0

= ln(l + z) + 7(1 +1)» - 7m

P a r a ^ ^ oo, entonces lim xin tt—oc;

ln(l + i),

% — 1, m.

Por consiguiente, lim xn = f Hm xini \ n—>oo

n—>oo

lim xln>.. . , lim >00

n—»oo

) — ( in 2) In 3 , . . . , ln(m + 1)). /

|4<>. lim iii' ik' una Miiii'f.iiiii

fl

I,'tO, Sea (\„) una HiiCttiU'wi vectorial do Icrmino general

t tiya norma fiucli'dea tiunde a infinite. Ilis necesario que al nienos una sucesion de alguna dc las coordenadas (x-JH) tienda 11 Inlinito? Considerar el ejemplo siguiente:

_ /(l - ( - i ) V a + ( - i ) ' V \

v

B+ l

'

71 + 1

)'

4 Noli id on. No, no es necesario. En el ejemplo propuesto la norma end id en Y [ O X T O T “ P I ¤ … W R OT“™…• 2ir 2 2 (K + l) 71 + 1 »">•" - y (ji + l) tli'iide a infinito para n -~> co, Sin embargo, ninguna de las sucesiones de las coordenadas a - ( - i ) V

* ®2n

,

II + 1

(i+<-i)V n + 1

tin nl« a infinito. En e fee to, para las sucesiones de las coordenadas limxi,, = +oo,

lim Xm — 0,

Tl—t-OO

JI — CC

lim X2„ — +oo,

lim x ^ = 0,

Co

n -oc

i':i dectr, oo no es el limite de ninguna de estas sucesiones, 1 3 1 . Hallar el h'mite de la sucesion (j1 b ) = n-hiit+l aM tj =

•

i m-=\,p, j = 1, q, donde ^ ii fja

B+in+?. ^

i n \ •1

1

ti±jri+2

si

$

Bi

i

>

''

ra-Hii

4 S»1 iicidn. Demostremos en primer lugar que converge cada una de las sucesiones n>-* a-'! ,

„"> '. - 1 + 1 i

i, p, j = ]. q. Sea, por ejemplo, j > i, En este caso (v. ej. 129),

b + in + 1

7i +in+

(__!_ +

+1

.+

2

+... +

7i + 2

n + jn _

ti + jnJ

donde xin —> ln(l + I) para n aj1 - xJn - Xin

w

1

f-_2_

+

Vw + 1

__L_

+

. . .

+

n | 2

n + inJ

oo. For lo tanto,

- ln(l + j) ~ta(l+ i) = In

Analogamcnte, para i > j obtenemos que jnj , 1 + 1 „„ a-, = Xin ~ Xin ~~> In . , . para JJ J 1 3

=

n --* oo.

.

C ' a p i l u l u I. I n t r o d u c t i o n ,11 iiu.1lisim

7H lJina!menlc,' si i

j , tendremos a)xj -- -n -> 0 rpara n > oo. Asi pues, todas las sucesiones convergcn, por ello 0

In

inf

Inf

0

P_

(

In | \

Q

lim An Ti ' CO

Urn a) -

0

In | In i

f

i

+

+

Inf

Inf 1 3 2 , Hallar

n 71 + 1 1gn w +sen n 2n n

lim

v

f

f

m! %

*

Inf

f

1

I

t

t

^

0

/

l (V2)

4

<4 Solucion. Todos los elementos de la matriz son sucesiones convergentes, por ello

n 71 + 1

lim

n

i 'ifci n+senrc 2n

l lJLH

4

n

lim 1 n^oo

lim ti—•oo 12+1 1g n lim

(Jzr ft—•QC

TO

lim T— l ^OC

n

l

i

m

In

4

1 0

0 0 1 4 2

Ejercicios Demostrar las igualdades siguientes: U

62, lim

i"2'(»i 2H""* — ~ mil' -J— donde m es un numero natural, 1-1)!t yt'ft! _ j 64. lim » , 2 +i t i + \ xAui Jl2 hW / V \/« + l V -i-2 donde p es un numero natural. 65. lim ii ^(th- iy __ n i donde m es un numero natural. ^ lim V k{k ^ | 1)„,(7-1 m f 1) 7"-,, m-mi J6

'

+

A

(b

h

*

*

** - - V

+

J

—

.

=

i

.

it

67.

i i m «_-__ )! —»• x. ^ t: I 69. Sea avf J = \

^ i. fcm

68. iim

l»n>W.p thoa.-«!) n* i ti rt—»x r

i

=

-f j r ) , w G Zo, donde ar0 > 0. Demostrar que lim xn — \fa.

70. Una sucesion (#n) se define mediante las expresiones xn]^ = q, p ^ 0, ^ es arbitrario ^Bajo que condicion la sucesion (#.„) se hace convergente? Si la sucesion converge, hallar s

limite. 71. Demostrar la desigualdad (l + 72. Demostrar las desigualdades: m

2

> e. m k1

1 m n ( A: I "

|jnilb'|li|' uim

7M

lliilliir lim '"v, f>< A < I. li'i.imta cl teorema dc la cxistenciu dd llndlc de una jMicunIAr litondlona y acotada, iiriniistt.il l.t eonveigcncia dc Inn ni£U)rnli'H Hiitv.simu'H [j1 „); «

f-t I FTT + (1 t , / „ ) ( ! I . ^ . . . ( l f ^ j ) . Ulilr/.mdi) id metodo dc C.'aucliy anal tzar la convergcncia dc las siguienles sucesiones

'.i .i /(, 'a gt ^ a3 >. • - -

0. Demostrar que las sucesiones (S„) y (trn), donde

S„ = a. + a2 + • - * H- a„,

an = a, + 2a2 + • • • + Sfoa,,

• i hii'it ambas converge n, o bien ambas divergen. iV I >fnni;;tiar que todn sucesion donde + 3 hi'' 3 "1

=

r In-1' it > » ™ 2, 3, . . . ,

i niivi'i^e si p > 1 y diverge si p ^ 1, Hll 1< que para toda sucesion (a„) de terminos positivos se verifican las desigualdades; ,1) lim — < lim {/«;"; >t

.

"

b) lim

ft—X

^ Em'®®11.

• X

• V.

'

11.<11.11 los limites dc Ins sucesiones vectoriales (x„), donde

« * (0 + i)'.0 t i r tt,

„„

0 • ?)")-

(jfli^tt M ^ a , . . . , M t - n r m ^ (

84. x„ = (

•{/,

r

v^+T, VTTV) .

donde C? =

Hallar los (unites de las sucesiones matriciali'S (A„), donde nh. nu

+ ("•Hl?-I.;

(n+zV-n1

-

~t;

(

ii't ) Vtnostrar( -que 11'^ ii

fr-tf-V P

{B-OiW \

, /

n

ft

,

, ' -A (K-aj'-n' J i? /

n

\

1

(l .f i )

j

.•iii}H>niendo que exdsten los llmiles de las sucesiones matridales y asumiendo que todos los k'i'initios de las sucesiones son matrices de una misma dimension. Ul I, Si-an convergentes dos sucesiones mntridnies (A„) y (BTI), donde A„ — B;, = y una sucesion vectorial (x,j), donde x„ = x2n,..., xqj!): lim An — A,

lim B„ — ZJ,

lim x, = x.

:«\in, ademas, C — (Cij), G = (yjk} matrices constantes e y — (j/i,lfe, • • • I'unstante, i — 1, p, j 1, q, k — 1, r. I Vinos tear: a) lim A„nx = Afi; b) lim CB„-=CB; c) Hm AjG = AGi tl 'X tl-t X. X tl) lim - ^ix; e) lim -/l„y = Ay.

un vector

( iliiLo L Intjoduai»m al anjlmiu

ol)

§ 7, Limite de una funcion 7.L Punto limite de un conjunto. Limite de una funcion en un punto Definicion Sea X C R. Un numero G 1 se denomina punto limite del x

t0 X rtniun con)

q

si

Ve>0 3 y e X , y^x0:\y-x0\<€. De la definicion se deduce que todo entorno del punto x0 contiene un punto del El mismo punto Xq puede pertenecer y puede no pertenecer al {Lint0 X distinto de '

coniun

Definicion 2. Se dice que el valor +oo es un punto limite del conjunto X si VM € R 3 y G X : y > M. El valor —oo es un punto limite del conjunto X si VM e R 3 y G X : y < M. Definicion 3+ Un punto x E X que no es punto limite del conjunto X se denomina0 aislado del conjunto X, es decir, j

3 5 > 0 : S{xlS)CiX

= {x}.

"

Definicion 4. Un numero £ R. se denomina punto limite del conjunto X C R/J - a partir de dicho conjunto se puede formar una sucesion (x n ) de distintos puntos quel

S>nveqa a Las definiciones 1 y 4 son equivalentes. Sean f : X Ry im punto limite del conjunto X. (° en e l Definicion 5 (Heine). La funcion / tiene valor limite para x Hjtfotfo)si existe un numero A € M tal que para una sucesion arbitraria (x n ) de valores jL # £ 0a> ^ \ {®o» J convergente al punto x0, la correspondiente sucesion de valores ie [a funcion (f(xn)) converge al punto A. Definicion 6 (Cauchy). La funcion / tiene limite para x 3 v l e R A V e > 0 36 >0;0<\x-xu\<6^

>

\ f(x)

si -A\
El numero A sc llama limite (o valor limite) de la funcion / en el punto escribe A para x —> a;0. lim f(x) — A o bien f(x)

icq

y se

X

Las definiciones de Heine y de Cauchy son equivalentes. Introduzcamos la definicion de limite unilateral. Definicion 7 {Heine). La funcion / tiene en el punto limite por la izquierda (por tofcrcdta),si existe un numero A £ R tal que para una sucesion arbitraria (#„) de valores c o n v erge al punto xq para n — Ae$ia<- Xti ^ < Xn < > oo la correspondiente ceSi6n (f(x»)) de valores de la funcion / converge al punto A. limite por la izquierda Definicion 8 (Cauchy), La funcion / tiene en el punto

M to derecha) si 3 A E R AVe > 0 3 6 > 0 :0 < xQ - x < 6 (0 < x - x{) < 6) => |/(«) - A\ < e. n

HI numero A se denomina limite por la izquierda (por la derecha) de la funcion / punto xo y se designa (f(xl! + 0))

obien

lim

fix)

( Hm

f(®)V

ijV. I.imiti' de una fuiuion

SI

la funciixt / lime If mitt* en cl punto std si y nolo Hi en eslo punto existed y son l^uales uno a olm cl liinile por la izquierda y cl limite por l 0 36 > 0 : (0 < ja? - ar„| < 6 AO < \y - x„| < 5) => |/(x) -

< c.

Un papel especial lo desempenan los dos limites notables: 1)

Hm?SL*=1j 1-^0 x

2)

lim{l •+&)' = e. a-iO

Si lim f(x) — A, lim g(x) — fi, se tiene lim (/(») I g(*)) = A + B;

Hm f(x)
lim ^

= |

(
0, B

/()).

7.2. Supremo e infimo de una funcion Una funcion f : X —> IE, J C I , se denomina acotada en el conjunto X, si existen imiliums m y M tales que m ^ f(x) ^ M, x 6 X . El numero m^ = inf {/(&•)} se llama infimo de la funcion /, y el niimero sup{/(a;)}, supremo de la funcion / en et conjunto M. L.a diferencia Mu — m,i ••<• srejr denomina ovulation de la funcion f en el conjunto X. Si la funcion f : X —>• IS tiene limite finilo cn el punto Xq £ X, la funcion est.) iimidda en cierto entorno de dicho punto. 7.3. Sfmbolos de Landau. Funriones equivalentes Mi,

Sea xv € IS y B = {>Y, V, Z,... } la familia constituida por todos los intervalos del cspario IS para los cuales el punto x<) o bien es un punto interior o bien cs el r\(mmo o solo izquierdo o solo derecho en todos los intervalos del conjunto B. Entonces V.V t B A VK =i- X nT $:B, X £ B & § C X => if € B. Sea J-' — {/ ; g, k,.., } ima familia de funciones numdricas que poseen una de las •nguientcs propiedades: 1) dada una funcion arbitraria / £ T, en el conjunto B existe uu intervalo X qui* pontiene cl punto »o, y la funcion / esta definida en todo este intervalo salvo, quiztis, rl iiiismo punto a^o; 2) para una funcion arbitraria / 6 J en cl conjunto B existe un intervalo que tiene H punto a;c por su extremo y en el cual la funcion / esta definida. Definicion 1. Si lim f(x) = (), se dice que la funcion / es infinilamente pequena t -« in (tnncion infinitesimal) para X —» x0; si hm f(x) = oo, se dice que Li funcion f cs inlinitamentegrande para x —* Definicion 2. Si para las funciones ftg € J : X —•> R, g : Y R , existe uu intervalo Z C X H Y € B, X f B, Y £ B, y un numero finito A > 0 tales que Vx € 'A isulvo, tal vex, el mismo punto arjJ se verifica la desigualdad \g{x)\ ^

4t/(®)|,

fttlonces se escribe i. u:i r —t -r.n 1

a = OW funriones f v a so Unman tuncioni's de un nu'smo onlen nara x —v xn.

82

('.iprLulol. Inlrotliitijon ill JiKilisi.s

Si \/e > t) :l fA L X fl Y E /J tal que Va E X salvo, quizas, el pmpio punto Xq, se verifica la desigualdad

\g(x)\ < £\f(x)\t escribimos 9 = o(f) para x —* Adernas, si <7(0;) 0, f(x) —• 0 para x #0/ se dice que g es una funcion • 00 para x —• x$, se dice que infinitesimal de orden superior al de /; si g(x) —> 00, f(x) el orden de crecimiento de la funcion infmita g es inferior al de /. Si existe un intervalo Z E B tal que Vx E Z \ {x$}f(x} / 0, la notacion g = 0(/) significa que la razon esta acotada para x € Z \ {a?o}/ y la notacion g ^ o (/) significa que ^

0 para x

ar0.

Los simbolos O y o se denominan sfrafeo/os de Landau, Definicion 3. Las funciones g y f se denominan equivalentes si / - g = 0 decir, si V£ > 0 3 Z B tal que Vx E i? \ { x 0 } se verifica la desigualdad

es

\f(x)-g(x)\ 0 Va? E K E I?, entonces f ~ g & lim ®

- 1.

Se verifican, por ejemplo, las igualdades asintotkas siguientes: sen x — x + o (x),

tg x = x + o (x)

para

x —* 0,

L

7.4. Lfmites parciales Si para una sucesion (xn) de valores del argumento de una funcion / convergente a x{) se verifica la igualdad lim f(xn) — A, el numero A se denomina limite parcial de la ri—-oo

funcion • / en el punto ar0. Los lfmites parciales maximo y minimo se designan mediante lim f(x) y _Um_ f(x) y se denominan respectivamente limites superior e inferior de la funcion / en el punto x$. Evidentemente, 3 lim f(x) O lim f(x) — lim f(x). £ C i |J it ^j) i?"— 7.5. Limite de una funcion de una variable compleja Definicion 1. Una sucesion N — C : n t—> zn se denomina convergente si 3 z E C A V e > 0 3 m E N : Vn > m => \zn - z\ < £\ Analogamente, una sucesion de numeros complejos (zn) converge a 00 si ViV 3 m € N : V n > m ^ \zn\ > N. Una sucesion (zn), donde zn = xn + iyn, converge al punto z — a -h ib si y solo si lim xn — at

lim yn — b.

Sea Zq un punto limite del coniunto D C C.

I jG} I Iniifi- tit* mill fun* toil

* •

H. i

I)cflnici6n 2 (IHnr). DIM turn htit • » /(•}, - ( n, I) C C, lienc mi ifmih' para si 3 A 0. C A V(^) i l)\\z»\ : lim -3,1 > lim f(z„) - A. 11 -i 11

tl-

Definicion 3 (CdUtliy). Una (um ion z\ > J{z) tiene un limite para z ->

si

3 A 6 C A Ve > 0 3 6 > 0 : 0 < \z - Zo\ < 6 => \}{z) - 41 < e. 1 3 3 - Demostrar que la funcion ,, 1 ( n si x — —, donde m v n son numeros enteros primos entre si, /(*) = IpSGWG „G zqˍG x es uxaciona] IG ˍG SG i". linita pert) no estd acotada en ningun p unto {es decir, no esta acotada on ningrin en in mo ilr un punto arbitrario). 4 Solution, Sea x — ^ un numero rational arbitrario, Entonces rk — Kf —* 2 pnra k -•> 00, t 1 v I-. i!ei.ir, siempre existe un cntorno del punto x = | tal que contenga a dicho valor, I'or nil,1 parte, como /(r^) = kg —> 00 para fc —> co, fa funcion / no esfa acotada en nirigiin riilumu del punto x. Sea ahora x m a, donde ot cs un numero irrational. Entonces existe una sucesion • le niimcros rationales r, = i t M, tal que lim — or, y se verifica, ademas, t]iu* Inn (ft — )-oo. Dado que, por una parte, / ( £ ) —

—* -r-00 para i

oo, y, por otra, los

punlos dc la sucesion (jjjf;) se encontraran en cualquier enlorno arbitrario del punto <*•, la unit ion no esta acotada. • (Jnn funcion f esta definida y localmente acotada en todo punto: a) dc un interval^, lii tie un segmento. ,;Lstara acotada dicha funci6n en cada uno de los casos considerados? I'iii|mner uri ejemplo para cada uno de los casos. 4 Solution, a) ELI general, la funcion no eslani acotada. Por ejemplo, la funcionG ŸPG TTG …G e il.1 acotada en ef entonio de cualquier punto del intervalo |0; I[, pero no esfa acotada en tin Ito tntervalo, pues f(x„) -* +00 para a;„ = ~ [), y 0 < 3;,, < 1 para n — 2 , 3 , . , . . b) La funcion esta acotada. Para demostrarlo, apliquemos el metedo de reduction >1! itwurdo. Supongamos que la funcion no esta acotada. Ententes para todo numero natural n existe x,s f fa, fr) (donde [a, E>] es un segmento mencionado en las condicion OH i.lel problems) tal que f(xn) > n. I i.idn que a < x„ < b (es decir, (a,'fl) cshi acotada), existe una subsucesion

),

(.'*„) C (^W), tal que lim Xu = c S fa, b], '"•(•.'iio las condiciones del problema, / es una funcion localmente acotada tm el entorno de 1 iialqutcr punto, es decir, existen 6 > 0 y E > U tales que |/(a:)|Jg£,

m]c-6,c+8l

-\tletnas, existe un numeroG u tal queG ’• >Gqz paraG •GeG uG  GŸ…G G ƒŠGˁG]S c +G K‚S pero en •••.ie caso /(«£„) > > E. La contradiccion obtenida deinuestra la proposicion. K

Opilulo I. liilroiliuciOn ;il .niiilisi.s

H'l

135.

Demostrnr

quo la funcion m

1+ x = l+X'

esta acotada en el intervalo ]—oo, +00 Solution. -Es evidente que f(x) > 0, es decir, la funcion esta acotada inferiormentc\ Ademas, de la desigualdad (1 — x ) ^ 0 se deduce que —^ < 1 1 =3 2 4 COnS tenemos Ux ^8 U 1 * e n ^ 0 < f(x) Ira;4 H-a;4 1 fa;4 ^ 1 + 2

dado que 1 + x4 ^ 1, ""3i 00<£E
r

••••••••••

2

•-

••

•

••

m—ri—i • II

1 3 6 . Demostrar que aunque la funcion

m

1 — cos1 — X

X

no esta acotada en ningun entorno del punto x 0/ sin embargo, la misma no es infinitamente grand e para x —* 0. 2_ Solucion. Sea x Ji jitf Es evidente que para n — 0 0 siempre habra un entorno del punto x = 0 que contenga a los valores de xn, La afirmacion a demostrar se deduce del hecho de

que lim \f(xln)\ = 00, y f(x2n~ 1) = 0 , n G N.

•

n—*oo • 111 11

r —n

1

1

IT

1 3 7 . Probar si la funcion

f(x)

1

1Jn x * sen2 — 7T X

esta acotada en el intervalo ]G, < Solucion. Dado que 0 ^ sen ~ ^ 1 y la funcio.u x 1—* In x es monotonarnente creciente, resulta f(x) ^ max{0, lne}, es decir, / esta superiormente acotada. todos los xn estan contenidos en el Sea ahora xn 2 m-p A partir de un cierto 2

intervalo ]0j Entonces f(xn) = In 2n+l In (l + {n + I ) ) > - (ft + 00, es decir, / no esta inferiormente acotada, n • • •

•

-oo para

••••••

1 3 8 . Demostrar que la funcion

m

T+x

tiene en el dominio 0 ^ x < 00 la cota inferior m ™ 0 y la cota superior M = 1. < Solucion. Evidentemente, 0 ^ 0 ^ x < 00. Sea e arbitrario y tal que 0 < e < 1, entonces f{x) = j™; < c para 0 < x < Por consiguiente, inf {/(&)} — 0. Ademas, es evidente que j—; < 1, 0 ^ a? < 00. Por otra parte, para e anteriormente indicado fl*

f(x) = 1 + # > 1 - £ para

£

x

es decir, sup {/(a:)} —1. .r
ftV I Hlt 0 arbitrario y Ml que f{), Mntonccfi existe un x C. 1«, i>\ till que m ^ f W x m fjnir ejemplo, x' = a), es decir,

m

inf (/(x)} = /(a).

Antflogamente, si f(b) - e < f(b), existe x" 6 [ a , t a l que /(/>) - s < f(x") < /(ft) (tJtir ejemplo, x" — b). I'or consiguiente, sup {/(x)} = fib). *• 1 4 0 . Determinar la oscilaci6n dc la funcion f{x) = x1, x͑ ͧ R , en los intervalos a) ! I; 3[; | |J/J; 2,11; c) i 1,99; 2,01 J; d) 11,999; 2,001[. < futliicidn. En cada uno de dichos intervalos las restrictions s de la funcion dada son moiiolonamente crecientes y tienen valores lfmites en los exfremos de estos intervalos en vlrliid de lo cual estan acotadas. Consiguientemente: a) b) c) d)

M,j M0 Mo Mo -

mo mo = in 0 = mo =

/(3 - 0) - /{I + 0) = 9 - 1 = 8; f{2,1 - 0) - /(1.9 + 0) = 4,41 - 3,61 ~ 0,8; /(!2,01 - 0) - /(l ,99 + 0) = 4,0401 - 3,9601 = 0,08; /(2,001 - 0) - f {1,999 -I- 0) = 4,004001 - 3,996001 = 0,008.

•

1 4 L Sean mf/Jjr Af[/] las cotas inferior y superior, respectivamente, de una funcion / en un intervalb la, b\. Demostrar que si /j y f i son funciones defimdas en ]a, b[, se tiene a) m[h + M > mifi \ + mlf2]} b) M\fx - f2] < [/ij + M [ / J . 4 Solution. Demostremos la igualdad a), (La desigualdad b) se demuestra de manera iinaloga). Designemos m\ — inf {/i(x)}; m ; = inf {/^(x)}. Por tanto f\(x) > in. a /da-*) > m\ +m2, x € Jtt, b{, de donde m.[fi + fz\ > mi +TO2•= m[J§]+m[/ 2 i1 4 2 . Demostrar que la funcion f(x) — sen —, x £ ffi \ { 0 } , no tiene limite para x

0.

4 .Solucion. La afirmacion a demostrar se deduce a partir do que la sucesion x„ = — ^ . , ti i N, tiende a cero para n —» oo, y f(xn) = (—1)" no tiene limite en absoluto. 1 1 3 . Demostrar explicit a men te (es decir, por medio del denomina do proccdimiento hth'rvalos "e—ti") que lim x1 = 4. Completer la tabla siguiente:

• dc loa

0,1 0,01 0,001 0,0001

€

6 4 Solucion. Sea £ > 0 arbitrario. Tenemos

\x2 - 4j = \(x - if ~f" 4(x - 2)| < \x - if- + 4\X - 2\ ^ £, m (I < ]x - 2| < y/A i.wdn, si £ VfW+2

£ ~ 1 — ^/y-^L;• £ >

ultima desigualdad se cumplira con mayor £

>

2V^4T4?TF

E =

W+T)

21-

('npjluln L Introduction .il -m^lini'i

NO Sr.i /:

1

v . Unlurux-H A („',,) •••• ,M() "12 J

^ ( i O 1 ) .::^; _ir

- —••

pG pG

pG

pppG

pG

pG

ˍG

pG pG ˍG ˍG

pG

ˍG

pG pG pG pG XG

1 4002'

6( 10" 3 )

^ OO 2 ) - 4 0 2 ;

I 40002

8 ( I.0 4) - --

{{p

1 4 4 . Utitiziiiido el procedimiento de los intervalos "e—6" demostrar que 1 i^i (x — 1)

+00.

Completar la tabla siguiente: • III 11 • m—n

&

—•

1 1 1 • Bill 1 • 1I 1•• I I T I ^ ^ ^ H m V

10 100 1000 10000 1

1

A M Solucion, Sea e > 0 arbitrario. En este caso 1

>£

(X - l)2 una vez que (x - Yf < ~ o bien 0 < \x - 1| < 5(10)

1

Vw'

6

1

(100)

= <5 (s). De aqui hallamos

S (1000)

XWN

— 1

0

(10000) —

6

1

/

1

0

••••

•

1 4 5 . Sea P(x) — UqX + a\X + * - • + aUf donde Demostrar que lim — +00. .C

. 1

1

1

•

1

i_

0

•

0

1 1 11—••• • • •

1 • •• •

— 0, n) son numeros reales.

— ' O O

I

< Solucion. Sin perdida de generalidad consideremos que Gq # 0. Para \x\ lo suficientemente grande tendremos

P{x) Como lim lar|tl * Kl 00

146.

xn

H—* +

*•

*

x

+ Xa nn >

n

X

a0 2

+00, resulta que lim |P(a:)| = +00, as->oo

Sea

R(x)

Or,Xn + CL]Xn 1 + 7JI — 1 + i>m t

+

4

t

fl

-1

x € M,

donde ao ^ 0 y &o ^ 0, Demostrar que si

n > m,

-jr

si

n — mt

< 0

si

n < m,

00 lim R{x)

an

^ Solucion. Sea n > m. Entonces \R(x)\

«0 + ^x +

X n—tn

if.

>

X

n -in «0

26n

para |:e( hi Niificientemente grande, lift vil'lnd tie «|iu> Inn M " "' | [ lim

oo. Si n

m, entonces R(x) = — — - f — — — •

+

Finaimentc, si

, tcnomos

+^

.-

Ar

para x —* oo.

K

< m, para ia;| lo suficientemente gnrnde tenemos

'^SiMv de donde so deduce que lim Ii(x) - 0.

147. Soa x -* 0. Demostrar las igualdades siguientes: b) In x — o (x~'), e > 0;

a) x sen -Jx - x- f ofa:*);

c) (1 + ar)" - 1 + nx + o {«); d) arctg i = O(l). i Solucion. Las igualdades escritas se deducen a partir de que a) lim X ^"r — - - 1 ; b) lim aT* In ® = lim — = 0 , T e->+0 i-J-ll f—f-oo r X} 2 c) (l+ai)" m l+nx+Clx + - • -fx" - l+nx+{C%x+• - + 0;"" V = + a;" -1 —> 0 para x -> 0; donde «{x) = C2x H

148.

d) tCtg |[ljl

\+nx+a(x)x,

*

Sea x —* 0. Determinar el t£rmino principal de la forma Cxn (C es una constante) y los or denes de pequenez de las funciones siguientes respecto a la variable x: a) x (2-x - 3x2 + x 5 ); b) x (\/T~2ar - J l - 3x); c) x ( + x - y/l ~ x); d) x * (tg x - sen x). •4 Solucion. a) A partir de que 2x - 3x? + ar3 = 2x + (-3x + a;'!)a; = 2x h a(x)x, donde a{x) —> 0 para x —» 0, se obtiene 2x - 3x2 -ha:1 ~2x + 0 (x), es decir Cx" — 2x, 11 = 1. b) De la igualdad lim - 1 se deduce que Cx - x, n — 1, es decir, \fi~x - VT- x ~ x. c) Dado que .. lim 0

-, xL

,. (vT — — hm — x—0 \

tenemos Cxn =3 ^x2, n = 2. d) Tenemos lim

1

p0r

io cual Car' =

n =3.

1 4 9 . Sea x —• -)-oo. Determinar el termino principal de la forma Cxn y determinar el orden de crecimiento respecto a una variable infinitamente grandc a: dc las funcioncs siguientes: a j j ^ ^ - i f

y/x;

b) X »-» y i 4- \j 1 + Vx.



\i|>j'lio

 fiiO'oduccion al an.tlihiM

< SoUicitin. a) Dado <[inv

\/x2 ~ a? + y/x /!/: I T . - ?. \ v — ™ Jim I y 1 — x 1 H-a* ' ) --1, lim ~———-2 »foa l \ / por lo tanto Cx

n

~ xJ,

2

n

3"

b) Tenemos \/l + \/l +

+ Va?"1 + 1 ~ xK por lo cual Cxn

=

i

x*

g Resolver los ejemplos que citamos a continuacion (en algunos de ellos se ha de sustituir las funciones infinitesimales por otras equivalentes): 1 -1iScU n . a)v rlim (! + mxf — , {! + n•x ) m ; ^b)r limfl?m —- — c ) \rlim /( -••™

x2

7

(m>

' x^i xn -1

son numeros naturales).

'

-

m

V1 - xm

»

)

1 - a?'*/

^ Solucion. a) Desarrollando segun la formula del binomio de Newton, obtenemos (1 + mxf

- (1 + nx)m

•£• '0

X

(C 2 m 2 - C£tt2)a?z + o (a;2) _

=

x^O

2

X

2

+

= lim ^C^m2 - c}„n2 b) Suponiendo x ~ l+t (t —> 0 para x los infinitesimos obtenemos

xm~l a:—1 x — 1 r

lim - "•••n • —v lim - „

= C*m 2 - <£»

=

2

1) y utilizando la posibilidad de despreciar

mt + o(t) mt m — =v lim — r — —. nt -j- o (r) i—o nt n

,— - = lim — l r

f-+o (1 + ty — 1

c) Sea x — 1 +1, Entonces, t — 0 para x —»1. Tenemos t.

hm

/

m

n

\

f

} = lim ( / oV / jirri |

/—o * \ nt + '

n

m TO

C%tz

+

771

o (t2) ••••

lJ—•

151

n— oo n \\

nJ

\

—

mt + Clfi + o (t2) J

(nCftt - mC}t) t1 + o ( f ) t^o mnt2 -f o{t2) i

I 1 I T !

\1

'

nC^-mCft mn

—

1

•

• •• ii-—

1 1111

m-n 2 •

•

r-

nJ

\

(n — l)a n

M Solucion. Haciendo uso de los resultados del ej. 37, a) obtenemos lim - (nx2 + — v(1 + 2 + • - • + (n ^ 1)) +z ^ ( l 2 + 22 + • - • + (n /- l ) 2 ) ) n J n^oo n \ n 1 / a , 2ax n(n- 1)1 , a2 1(n - l)n{2n - 1)\ , r 2 , ^ lim - rca? H w-'+oo n V w

z

— -f j i

-

6

— ) = x + ax + -—. / 3

•

ji /. I.fmilr ilc uiiti titmtiMi

K*'

.•j| Niiltx'ton. Tenemos I

* + H -

•+

I &

- 4 ( l * + 2* -1

12 + 2 »

+

-

+ (

,

2B)a-BPn

=

+ I

3X

f a + 1>

h ' | 1/, a)). Restando ia primera igualdad de in segunda obtenemos |.32 +

...

+ (2n

_ if

n(2«+

=

!-l)

2»(TI + l)(2n + 1 ) _ 3

3

3

|t|tllHll CS

l-

K l

1" +3~ + • • • + (2n - I) 2 2 2 - H P + . . . + (2ft)2

n(4n2 - 1) 2rc(n+ ! ) ( % + 1 )

'

lim I'1 + 43 + 7 3 -(- • - • -I- (3n - 2)3 ti-«co (1 + 4 + 7 + b ( 3 n ~ 2)f '

| ttiiluciiin. Tenemos (v.ej.37, b)) 11 I i 1 b f 4- • - • -i- (3» - 2)3 - (3 • 1 - i f + (3 • 2 - 2):i -I (3 • 3 - 2)3 H

h (3a - 2)3 ^

.'7 (l 3 + 23 + 3 J + • • • + ti 3 ) - 54 (I 2 4- 2 a + • • • + n2) + 36 (1 + 2 + • - • + n) - - 8n s= = 27 \

z

/

- 54 " ( » + l)(2n + D 6

36

«(» + ! ) _ 2

8n;

I liiilo que en el numerador y en el denominador la potencia superior de ti es igual a 4, cl “  ”  › Œ deG “ ˆ fraccidn es igual a la razdn de los eoefirientes de ii , cs decir, a 3. 154.

lim Vx.

4 hnlncion. Suponiendo que a.'o > 0 consideremos ;c = I'ar.i }/.| < ,Ty hallamos

- 5) <

ili> donde lim
trc nS.

V

x +

x/^v^

X~» hco — . V X + ] lim

+ t = ife^.

-\-t. Es obvio que t —> 0 si x —»• xn.

| < M1+£).

•

.

1 'iitlucion. Al dividir el numerador y cl denominador entre y/x obtendremos

Jx+s/x^Tx lim — — = lim — i—+00 \/X' +1 » <+<»

+

+ fl + ~

i.

^

i iijMlulo I. Inhmlmtion al ,wi.il isiw

w 156.

\/x •••• \/a \ \fx a Six1 a

lim X ™

< Solucion. Tenemos

\fx - y/a + \/x - a x—*a a

,,

/sfx — \fa y/x — a «2 a Vr x—a

lim f — - ? = = = +

“”

lim

1

• 1111 • »m • i ii i

n/Z 1 " 1 ^ (y/x + Va)

V^M

x' — a 1 \ i/S + y/a ]j X + a yjx + & 1

lim

1

+

Via

1- \/977= + 2a - 5 . lC?/. lim " yfx- 2 Solucion. Es evidente que lim z—8

V9 + 2x - 5

r (9 + 2 a r - 2 5 ) ( V ^ + 2Va + 4) 1X11 L *-» (x - 8)(\/9 + 2x + 5)

——-— >/£ — 2

f

• #e* + 2 ^ + 4 •—^ V9 + 2X +5

111 I L

Ml

5 •I • ^ •• I


(n es un numero entero),

x

^ Solucion. Sea \/l + x — 1 = t. Entonces x — (1 + t)n — 1, Considerando que \x\ tenemos 1 - x\ < Vl + x < 1 + \x\, de donde lim y/l + x = es decir, t —• 0 para x —

x—'O

luego lim r—"0 Asf pues, v l + a? = 1 1 5 9 . lim

VxTiVx +

_ u

•

X

1

t

lim

t-,0 (1 +t)n - 1

ft+o (x),

x^O

lim

I

II

I

• • •

t

I I II•

I I W m T W T I

0 nt + o(t)

1 n

•

•

9-2

< Solucion* Para x —• 7 tenemos

VaT+9 - 2a/ 1 +

9



27

81

j + o(x

- 7 j 2 1 + x 64

s-7

16

7)>

+ o (a - 7)

De este modo, lim

\fx + 2 - \fx+ 20 : y •• : V% + 9 - 2

lim 7

3 (1 +



2 (1

)-3(1+^)+o(®-7) x - 7) + o (a - 7) - 2 64 • • -

112 ˍ

X

G

ˍG

27 '

•

}j7 Mini If iii' iiim liMM'Irtii J<)0. 1(111

•

* >11

:

i/I I !w:

Niilut'i6iK Sea |

vi

(1 I .r)

4- 5x

> Usi r

I. bisobyioi|lii'-i

jlln .. • = Inn » v'l 1 5® - (1 + a:) i-u t -

» U. t lo este imxlo a: : '•((.} |

' +- tf - 1) t1 1-o{t2)

TsW\o{t)? lim - — r — —:— — — = lim *-o ( - | p 4- 10i2 + o (£)) M

IM.

X

lim = -^V 1 " - X . y l + !E -.!')

l) y

— i (m y

w gon

+o

{t2)

1

—

'

2'

numeros enteros).

4 fin I ii i-ion. Utilizando el resultado del ej. 158 tenemos ||MI

tyi Tax {/I + px - 1 a,'

V'1 H

= lim

i-o

Sea P[x) = a~ x 4- u-i'X^ 4- — +

0x - 1

+ ax - 1)4-

—-—— ^ i i m - y

-

x

ax

x-o

px

n

1.

m

y sea m un numero entero. Demostrar quo

lim ^ ^ I r i i-i) •X

=

a. m

4 Holiicidn. Dado que F(x) —> 0 para x —> 0, tenemos llitl , II

y/\ +T(xj - 1 t j f r + J P f c ) - 1 P(x) — * - lim ; •— —• • X x—l) P(x.) x \/l 4- P(x) - 1 = hm — hm (ftj i a- 2 xix -0 "{x) i—0

(v. t'j. 158).

>

ft Il.iliar los limites: \/x — 1 m 1 6 3 . hm — ( y i - i
n

son numeros enteros).

4 Solucion. Consideremos x = {1 4 if"1. Entonces, I vx-i

0 si x -# 1 y

o+tr-1

»

i'^-Mii+FT^ (v. ej. 150, b)).

•

1- a„x

JV

)

ttl

t'.tpilirlo !. Introduction M jiuH^Jr. i"*-Hm

^

1

u para x ••' > l) ohlenrmos

(1 ™ \/i)(! - v ^ c ) . . .(I - x/x)

(1 - x) lim o

!-/!-•£

M

£

(se ha utilizado la solucion del ej. 158).

I

1- v f - t t

lV

4

»

VT-I £

1 1 2 '3

1 71

•

'

V

Resolver los ejemplos siguientes (en los ejemplos X65-168 se han de eliminar 1 radicales en el numerador y pasar a expresiones cuyos Umites sean evidentes):

165.

lim x(y/xz + 2x -2\/x2

+ x + x).

< Solucion. Tenemos

lim a?f/ y x1+2x

2 - 2y r^ xz -f x -f x)\ = lim x 2x(Vx•—-f 2x - x•-.- l) v x2 + 2x + x + 2Vx2 + x 2x lim {y/x1 -f 2a? + x+ 2Vx2 + x ) (Vx2 + 2x + x -f l)

lim a;—*+oc

166.

-2 1+1+1+2^1+5

l+i+l+

1 4

lim (>/i3 +3x2 - Vx2 - 2a?)

a?—-'f-CX>

^ Solucion. Sumando y restando a: obtenemos

lim (\fx3 + 3a?2 — y x 2a?) +oo

lim ( v x3 — 3a:2 — x)

lim a;(

x—>+oo 167.

lim (i/f® +

+ ^2)... (a? +

E—> j- oo

1

Solucion. Ponemos - =

entonces £

— 2»)

1 + 1 ~ 2.

- a?) • -{-0 para or

4-oo y

— '{fl + P(i) - 1 tt/r———— y (x -f ai)(x -f 02)... (x + an) - tc = — 7 h a„_\
a 1 + 02 H 71

168.

lim # f 00

(

h o»

+ a-ia2 .,.

•

W

f|V. (.Unfit* lli' tt»>l llllli'lOll

'Ki

Hi hiiliicirin. I e nemos llIM » h-

(x~

[, (at I v V

= lim f — I

+

I)"

4=«==rr )

I lim li + J i - X 1 = 0 + 2 " - 2 " .

1)/

V

,. ( v T T z ^ + z ) " - ( V T T ^ - r ) " 11) /. hm * '11 X

x2 /

, (n cs un numero natural).

| Ntiliuiun. Elevando a la M-esima potencia y agrupando los tdrminos dc! mismo orden, (ihli'iii'inos

. II

X

x-0 X \

'

x

— lim

/

v/T+1?)"1 +

—In.

|| flidl.tr los limites: sen mx  r.^/r lim sen nx t finliu ion. Sea x — TT +1, t sen mx Itin i sen nx

El, entonces

.. sen(m7T + mt) ,, { - 1 ) m sen mt hm - — --- = lim — ~ w i sen(7i7T ~ 7it) i-o ( - 1 ) " sen nt , .vra-nin ,. sen mt nt , -.m-H m - ™ (-]) • —. = (-1) hm ——- • n t-0 mt sen ni n

l m . lim

cos a: = . x-

t Hu)iici6n. Hariendo uso del primer limite notable obtenemos ,. 1 yp cos x ,. 2 sen 2 1 |/sen§\2 [ lim ——= = Jim =—^ = lim —=— = 2 2 s-0 2 V j / j^o xi-0 x I h' i'sle modo, 1 — cos x — y 4- o (x2) para x —* (J.

172.

lim

•

x

4 Hniircidn. De la desigualdad |1 - cos x\~t lim cos x = 1, jr-tO

sen 2 | < |a;| se deduce que

— lim lim x-0 X x—U

I'nt eonsiguientc, tga: — 2 M e (x) para X —* 0, • ryj ,. sen 5x — sen 3x I ( o . hm .

•

X

• —— COS X

... i.

•

('.ipjlulo I. Inhotluivioii
sen 5x — son 3a? Hm x X —0

f

“”GT

j

174.

lim •x -k)

2,

x -f- o (x)

i ^

•

1 -f sen x — cos x 1 + sen px - cos px

*4 Solucion. Dado que para x —•0 se verifica 1 — cos a? — o sen x ™ x + o (x), sen px = px + o (x), hallamos 1 -f sen x - cos x lim o 1 + sen px — cos px

lim

x + o (x) px + o (x)

1 — cos pa? 0( 1

p

•

175. ll Demostrar las igualdades: a) lim sen x -- sen a;

b) lim cos x — cos a;

c) lim tg a: — tg af a ^2n-1fl"; n £

«

-4 Solucion. a) Se verifica 0 ^ sen x - sen al = YGšŒ•

a

x

x+ a

— cos -

2 2 lim sen x — sen a.

^ 2 sen

x- a 2

^ \x - a\y

j

b) Analogamente

x—a

0 < cos a? — cos al — 2 sen — - — sen 2

x+a 2

< | a; a

y lim cos ar = cos a. x-^a

Yim sen x c) lim tg X — lim ' " cos " tf — COS fit = teOa si cos a ^' 0,' es decir,r si a f^ 2n—l 7T, n 6 Z. x-^a -rt

•i

= Hallar los lfmites: sen a? - sen a 1 7 6 . lim a? - a Solucion. Evidentemente, lim

x^fi

sen £ — sen a

sen -7T- cos —r1

lim

x—HI

x- a

sen ^tt i * ttl -h au i» hm —^x " u.2 - Jim cos —' n-i —

x- a

x—*a —— x—>a

(aqui se ha utilizado el hecho de que cos x

1 7 7 . lim ^

X

~ -

cos b si x —> b),

Z

1-cos a

— COS

•

.

a

M Solucion, Utilizando la formula para la diferencia de funciones cotangente obtenemos lim

ctga

x—a

^ lim

"" a?)

Ÿ…ˆG šŒ• xG ˍGšŒ•

~ limf ar—V

a

)

1

x

a

sen(a — x) 1 - • Hm a - x / sen ser a x^a sen x

1 sen 2 a >

a ^ &7T,

k€Z

JjV I.HttMt' ill' ini,i hini inn |7H

lim j -II

[

^

21mi{<» i .r) | iikia x-

Stilinlnit. A! Iransformur la i*xj ires ion en cl minieradtiren bit producto obtenemos

f! I

Itn ij

i »«i {a |-2IE) — 2 c o s ( a + x) I < w a

- £13 h (~2881, fse" {"+f)+2sa> \"" ("+f)

K I

/ \ x x \ Y = Hm I — ^2 • 2 sen — • 2 sen — cos (a + x) ] = - cos a.

R 9 x   9

_

i: ;

f.

|7«)

|im c t 8 ( f l t 2 x ] - 2 c t & ( a t >11 X~

| Unit

+

ctgg

Por analogla con el caso anterior,

. )]•, (« I-2a:) - 2ctg (a + x) + ctg« _ H Ifltl n t «"• XI j = lim - j ((ctg ((! 4- 2x) - ctg (u + x)) - (ctg (a |- x) - ctg «)) = sei — \ - lim —22( - —— z—O »'o sb x Vsen(e \sen(a + 2x) sen(a + x) ' sen(a s£n(a -|f ax) ) sen sen«« /

{ 1 lim I ••-•..r .»\sen(a + x)

.V

I INI).

[ i m

^f

2cos(« + S) \ 2cosa — ; — I = 3—, sen 0 sen(a + 2x)/ seir a

fsenx\2 \ x /

x + senx~1

, , a J- kx,

. _ „ k €

.

r -i 2 sen11 x — 3 sen x 4-1 } ItuliKitin. AI descomponer el numerador y el denominador en fa c tores obtenemos x + sen x - 1 .. (sen x -f 1 )(2 sen x - —1) - lim .. — sen x + 1 = - 3 . 2— acn2 — ,hm• sen* x — 3 sefi x + 1 = hm (sen x — 1)(2 sen — x — 1) seax — I

1

INI. Ifcn ^ - J ^ f , -

'V

COS (a

+ f|

| diiliK r«n. Al descomponer el numerador en factores hallamos = I : ens 0 + I )

*->?

cos(x+|) / jr\ sen (x ~ ; Yz —^ = = lim tg $ I tg X + tg - ) l> 3 / cos x cos | sen ( | — x) \ — lim tga; ( t e x + tg a

|(H'> lim

h

-

6

— = 3 J cos« cos |

-24.

•

t jfiJulo I. JcrMmluaitm iif anafisrs

>

4 Solucion. Iras hi realizacion tie varias hansformaciones evidenles I memos lim

lim

x • •>()

2 ( tg ®

x

2 \ J - tg2 a lg2x ' tg '*)

£

y- tg2X

Inn «

4

ar

a -- 1)

cos 2a cos4 a

tg4a - 1

r-TB

x Vl + x sen x — y/cos x

1 8 3 . lim

-4 Solucion. Eliminando las expresiones irracionales en el denominador obtenemos

x

lim o \/l + x sen x ~ Vcos x

•

•

'• •

x (VT+ x sen x -f y/cos x) lim 1-bx sen x — cos x a^O Si x —* 0, resulta que 1 + x sen z h

M•M

_

__

I

'

X

1, por lo tanto (v. ej, 144)

1 1~ si* a? —^ "0, *Ademas, ** t s ^ - I

Analogamente, ' " • ^fa^Hc ^ * consiguiente

1—i-fi —

v 1 + x sen x -h vcos lim 1—cos a; , s&nx v T s e nX

vT

\ para x

-

0, P

.

lim

v T + x sen x + t/cqs x —

•

I IM M I I '

1—cos x

|

x

M^-1

•- ' •

-

B

-

r

^

4

• _ i m I • i 11

a n

sen x

3

x

"

M 111 I

1 8 4 . lim

r

x

ycosx

sen2

x

-4 Solucion. Restemos y sumemos la unidad en el numerador, entonces obtenemos „ \/cos x - v'cOS X .. / V^OS X 1 lim ~ — iim sen4" x sen^ x >

1 - cos x cos x — 1 — lim r + sen2 x x -^q v sen2 x(y/cos 3i -j-1) ..

-- hm x -q

1 -

COStt { 2 —

x

X

V sen x

^

1 - v^COS X sen* x 1 _.

y

rni

1 + V^COS X + vcos2 X

•J

1

1

Vcos x -r 1

1 + ^/cosx + vcos 2 x, 1

(A

2\ 2

+

l)

3/

JL

12'

Hemos utilizado el hecho de que vcos x ~> 1 para x —> 0, lo que se deduce de los ejemplos 175 y 154. • 1 8 5 . Demostrar que lim (sen vx + 1 - sen \/x ) — 0 jp-H-oo

w

fjV I null.' il<' unit (tuition hi ftfilut'irtn. lin efodo, [•II'II \Z:c

•

L I -

2

I .st'ii V* I I

s e n A/X]

V* ms Vx —— I l' |- Vx

1 Vx + 1 r >/x

2(Vx -l \ + Vx)

m-

4e2

2Vi

| Ili'inostremoa Ins afirmaciones siguientes; A) lim ax — a'% a > 0;

B) Jim In x - In

C) lim («(»))**> = a' a condicion de que Ve > 0 3 6 > 0 : 0 < x—xa (I)

—

< 6••>

M x ) - « | < e) A ( 0 < | ® { « ) - < t r ) .

I Mm 1 ion. A) lis suficiente analizar el caso a > 1 . Se tiene \ax - ax"l - a**\a*-* -1|. j. _i Undo que lim a : ' — lim a « =--1, Ve > 0 existe un nt) tal que +OQ it—*(x •[

£ < a "» 1 < a""i < 1 + -—.

a

a 11

n

AM |>ues, para [at — ajgl < ^ se verifica 1

< a -I < a

a

< a'"' < 1 +

—.

- 1| < e para \x - x u j < J . pudivir, [a1 - ft"1") = a*"\ax B) Para fl > 1 se cumple

< In (l 4- - ) < n +1

\

n/

1 n


n—1

\

jt /

n

I if esie mode, para n > 1 1 < In ( l - 1 ) < in ( l + i ) < i n - 1 \ 7t / V ft J n 1

M > > 0 un numero arbitrario que no super a a ' . Existe, pues, un n^ tal que - € < In f 1 - n~ ) < In f 1 + — ) < e. aJ \ no J

V

'•! lomamos

1_ < a - go "tl Xo

ft,)'

Hidremos la siguiente estimaeidn para la diferencia In x - In X{i — In fl + —z < In f l — ±-)

\

I"I decir, I In x - In Xril < £ si lx —

< In f l 4- ^x 2 . )

V

< .Tdf.

o J

< In f 1 + -1 ) < * ,

V "0 J

:

98

rapiiulo I. Jnlroiluccion ill «itiAllrUtt

& Segun las condicioties del problema y el aparlado Ii) in %t(x) —> b In a

para

x —>

For lo tanto, do acuerdo con el p. A) tenemos lim e

lim (i4(#)) X— U

= e

m ln

•

••• •

tin a

.

a

.

(lim u{x))

lim

•

• • • • • • • • • •

m Hallar los limites:

x+2 186. ifflim f —*oc V2x + l ) " Solucion. A partir de las afirmaciones A)-C) se deduce que

/ x -f 2 X X+2 lim exp \ x1 ln 2x + ] X-+QG \ 2X + £+2 < 0 para x lo suficientemente grande y lim x ~ +00, el liml En virtud de que In 23:-hi lim .

que se busca es igual a 0, ^

—

•

•

Ÿ

•

>00

•! • * * 1 1 ' I ™ *

Nota. 'La resolucion .de los ejemplos 187-192, 200, 201, 208, 209, 210 se basa en una forma m — 1, lim ti(ar) = 00 , entonces a partir de sencilla de resolver la in determination l x : sea lim u(x)

a firm a c ion,C) so deduce que lim im uv = lim ( (l + (« - 1))

187.

)

= exp< lim{« ™ l)v

2 , 1l \ X+ a—t-oo V X2 lim

4 Solucion. En el caso en cuestion u = firf;^ ~ x ; (u — l)u — J z j . Por consiguiente,

x2 + l .t—>00 2v- x 2 lim

3ar — exp < lim #—*CO X 2

e3.

•

• II III III II

188.

limfl+a2)0*'.

a:—0X

'

M Solucion. Por analogia, .2

lim(l + x2)

189.

lim(l

sen nx

)

ct& 9

exp I lim x2ctg2xj

= exp<

^

x

^x— +0 \ tg X

e.

•

ctgirar

M Solucion. Evidentemente, lim(l + sen irx)cts = exps lim sen nx ctg ttx > a : — L a ; — J

exp(lim < lim COS 7TX e "

1

.

•

i\V l.tnille dc mill limcifin 190.

timf H r. d\ I -\ son x f

E: f Nolininn. Escribimos £

( L J J E * ) * * -n \ I -f* sen®/

*

I- sen

m exp

h

m M z ^ . (-c—ii 1+senar

_J_ I = sen £ j Y „ ( 2 sen2 i r } = el) = 1. = exp-! lim — 2 Ii-to cos x (l + sen x))

X/

4 Hnlluion. Basandose en la nota referente a la resolution de la indeterminacion utli i ilar el limite de la expresion *u" consideramos (jtt«i>=

tg x — sen a; 1 + sen x

para

3 j-, sen J x y

I hiilo que para x —* 0 se verifica tgx — sen a; — tg x (1 - cos a*) W y , I + sen x ^ I, urn' x

x 3 , entonces: T I limfw - l)v ~ lim —=3• = - . 0 JI-o sc 2

I V csle modo, X ll)2.

1 + tg® -I- sen x /

lim fseri — + cos —I . x—oo \ x xJ

4 Solucion. On virlud de que sen ^ + cos ^ — A + 1 + o ( ~ ) para x —* oc, hallamos lint (sen ^ + cos J ) = 1. Asf pues, lim (sen - -f- cos x—V a; xJ 103.

= exp < lim ( - 4- o f i ^ ® I - e. i-oo\x \xJ / J

P-

ltaM±*», I—o x

4 .Solucion. De acuerdo con la afirmacion C) , ln(l + x) lim —• 1 —— ' — lim Inf(1 + %)•' | = In e — I. x i—o \ / I k' este modo, ln(l 4 &) — x + o(x) para S ! - > 0 . m .

•

Hm

4 Si>lnci6n. Sacando como factor comttn la potencia mfls alta de x tanto en el numerador i in no en el denomina dor y utilizando la afirmacion 13), obtenemos

(/.iptlulo L Inlrotlmrion al



.huIImim

2 Itt x | In (I A\(X' 'i* i) ,• -1 1 J Tl X •fr*> > ln(xiU -I- x I) x~* ioo 10 In x ; l n (I (1

U '

(Mil

1 9 5 . lim /t-0

"

"

TV.

+ » +

- M•

)

x )

o.

x >

h

r

2

Solucion. Basandose en las propiedades de los logaritmos y haciendo uso de la afirma don B) obtendremos lg (x + ft) + lg (as - h) - 2 Ig x

lim

• I I I ••• Ml

••

n

•"

••

1

"'

lim

h2

1 r»2

h

1

x*

Ige

x-

196.

lim

• lim In h-> o

Igf

1

X2

ln cos ax In cos bx

•< Solucion. Utilizando las igualdades asintdticas (v.ejs.178 y 193) escribimos

1 9 7 . a) lim

2 2 ax

Infl lim—

ln cos ax lim ar—ln cos bx

x

a 2 x2

+ 0 (® 2 »

lim

+ o (x2))

a > Q; b) lim ^

z-G

^

aX 1 x

a 2 ar2 crar

v

b2x: 7+ O (x2)

t In a lim f-o ln(l + 1 )

x) —• 0 para x —> 0, lim

exp

•

lim

0, por eso ln a ln(l + t) l/i

ln a,

iuego ax — 1 -h x ln a + o (x) para x —> 0 {e® = 1 + a? + o (a?)). T -l 1im ^Flff fa*1"1"3^1 /*in(i+a) b) Evidentemente, lim
fi ln(l

a

(a es real).

x

< Solucion. a) Sea ax — 1 = i. Entonces t —• 0 si x lim

+ o (x2)

, "

= 1, lim

fi, puesto qu

— 1 (seeun la afirmacion B)

los ejemplos 197, a) y 193). De este modo, (1 + xy* — 1 + fix + o (#) para x 11 • I •

• i • • • ••—n

II

1 9 8 . lim

0.

•

n-

1 — COS^ X (fi es real). X

< Solucion. A partir del resultado del ejemplo anterior tenemos lim

199.

a)

lirn

1 - cos/J x

lim

vrwn m i

X •

X2

(l + (cos X cos x - 1

X—tQ. Xa

, a > 0;

cos X

1 1

H

X c) lim

r

•

eax~ cos2tt x - 1 —-z , a z

x

0.

^ Solucion. a) Escribimos

X

(cos x)

x

ex • r

2

-

X

1

+ 1-

(cos

X

Basandose en los ejemplos 197, a) y 198, obtenemos que el limite buscado es igual a 1 + s/2

|i'/ I tin In ill1 tut.i funcion

HI!

1)) lias la rcali/ariim dc Viil'ijjft li\ni,'ilormacioiics evidcntes liallamos „ x mt

, . a

a

u:

a

, •—••a

0!-

a ^ — ~~ a

i •

HI limite del primer sumando (v. cj-197, a)) es igual a a" In a. El limite del seguni.lt) tdo {v. ej. 197, b)) es igual a a c . I'or consiguiente, .. m a -'" X — ]i d x - a

a

(j||.| a

—

a

a—

aini

a

c) Se verifica cos2" x - 1 N " ' X4 1 ).ulo que lim

e

- 1) cos'" x + coslit x - 1 _ e"*1 - 1 N ^ X~ ax «

LOS2"

x = a, lim

OK COS

, _ I - aw7" x ^ • "<•—•> ^ :C-

— - — a, el limite de tod a la expresidn es ij>u.

HI I I'R'O.



X — (1

4 Solution. Representemos la funcion ' ^ f

+

=

cn forma de una suma de dos funciones

= V>i(x) + V i f r l Evidentemente, e«lnXfe(z-a)]n3:

M.ido que para x —• a se liene Inn a" Ina. Asimismo,

—> a*1,

j—-• —+ 1, In x -* In a, vemos que

=—2 - a a

i-a I'iiiiilmente sc obtiene lim

_ ^

i->«

«

a

= a" In a + a" — «" ln(ae).

x 1

a

2 0 1 . lim ( .i—D y I 4- sen x cos px j

4 So I u dun. Buscaremos cl limite de In cxpresi6n u1' correspond iente. Tenemos (para x

0)

cosfix iix serr cosr 3zxa; s — I -+ asen x cos ft- l)w - 7cos

(1

+ (x + « (x))

(1 -

+

0 ( ^ ( S

2

+

0 (X2))

*

\

+

C

(X1) ~ '

for consiguiente,

^

l

+ senxcos/jJ

=

~

~

*

'

*

102

C'a|>iluk> I. Introduction .il iinjlfNh

r%rxf\ ..

MOT

MCU^x'1)

M Solucion. ,, senfirsu®) lim — J — ~ x^i sen(Trar)

sen Mx** - 1) + 1) „ sen - 1) ,, 7r(xa - 1) lim — ' = lim , ' - lim - — s — — = H as-*! sen w{(xp — 1)4-1) x^i sernr(xP — 1) x^i ir(xp — 1)

lt

-Tim

at

na+ty-1

£*pt

Aquf hemos utilizado el resultado de la soluci6n del ej. 197, b). •• •

203.

l

i

m

m(cos (ir2x))

+ 0(t)

+ o(t)

=

«

w

•

m <

.

<4 Solucion. Denotemos sen2(7r2^) — i t entonces t.

Sen2(flr2*)

..

t

t

hm - . — — lim tj — lim -•, = -2ln(cos (?r2*)) t^o I ln(l - t) <-o ~\ + o (t) Aquf hemos usado la formula In{l — t) — — i + o (t)>

•

xa a01 a > 0. « x — qP

2 0 4 . lim —f7^

Solucion, Suponiendo x — a — t y haciendo uso del resultado del ej. 197, b) obtenemos

xP - a?

205.

i

x- h

lim h --> o

t-^0

+ -y - 1

fi

' JJ + o (t)

p

r* x a >

hr

0

4 Solucion. A partir del resultado del ej. 197, a) se deduce x-\-h . ^j:—h n , „h lim - •l — — lim a [ — r — J — a In a.

h

206.

h^ o

lim > +

\ h

/

.

4 Solucion, Utilizando el segundo limite notable y realizando ciertas transformaciones evidenies hallamos !" f # a-^+oo (a? + a +

207.

lim

ft)2®^6 -





$ V

+

+

) f  / \A

L

   x + bJ

x > 0,

ti—KX>

•4 Solucion. Tenemos (v. ej. 197, a)) 2/ tu— hm n (vx v

ri-^oo

-f-1 va?) = vkm xin r •—--j

n—*oo

—•

n \-n 2

n2 —=

71 + 71

= Ina;,

•

!| V I Imilf dr una hincion 20H. Jim ( ^ l ii

y

fl,

MB

h ,<).

J

2

Nuliicion. For ana log i a con el ejemplo anterior, se tiene

2(W. lim (a*+1 s-o \

] ", a > 0, b > 0, c > 0. /

+ft7 + — a+ b+ c

4 Solucion. DesigneEfioS f{x) ~ —a7?Tt h'urmos

T-n \

I t H C

1

ev^enle

1IK- / w

[i—o

/

I para x

x

0, lucgo

)

Mir vUtud de que lim

.II

f{x) - 1 x

1 .. /
A

a+ b+

>1 limite es igual n {a°b c*j» b

2 ( 0 . lim f 41 ± r r V , » > 0 , E ! z-«0 I B T 6 I

4 Solucion. Tenemos l i m fx < ± ^ V

\a

donde f(x)

^ ev x p j l i m ^ } ,

\ i -o

x

J '

P«es lima*' = 1, limb1* = 1, lima 1 = 1, limb 1 = I i - LU x-*0 ss-0 x -0 (yease la afirmacion A)), Dado que =

a i tf

-» t

+ b*J

r

.. Oa' } - - ax — bx f(x) — 1 hm — " hm -—-;-—--• ji (i x i-.n xta1 + fr) =

f t

el limite buscado es igual a

+

=

k

r

-

)

=

~2(l11

n + l n h)>

iiri

('.ijMlnfo I. Jnlnxliiivion jl *nijlhiri

a itm z x .ii {ti

b.ir ¥) if- 1

1 Jw


> I

iy'r - x 2 Jn I •I - o (x2),

< Solucion, lin virtud dc que (v, ej. 197, a)) ax (x In ~

o {x)j

bXx\2 )

= x1 In2 ~ + o (x2), se verifier

x2 In 7 + o (x2) x^o x2 In2 I + o (x 2 )

b* aX x-a (ax - hPf

lim

lim

212.

(aX

lim ln(l + 2X) In ( l +

lim

-1

a:2 I n ? 6

x2 In2 §

•

K

)

3

x

< Solucion* Utilizando la igualdad asintotica del ej. 193 obtenemos Hm In(l+2*)ln ( l + | )

lim (x In 2 -f In(l + 2"*)) In (1 + x—»+oo \ XJ X 3 1 x lim {x In 2 -f 2 ~ + o (2~x)) ( X x f OO

+

2 1 3 . Demostrar que lim

xk (IX

0,

a > 13

= 3 In 2 = In 8,

•

k > 0,

Solucion. Puesto que lim ^ — 0, a > 1 (v.ej.70), asimismo se cumple ft—»oo lim < Z ± j l n—^00 a

0.

=

Por consiguiente, dado un £ > 0, existe un numero natural N tal que para n > N se verifica la desigualdad (« + 1)

< e.

an

Sea x > N + 1 y sea n = [#] (parte entera de x), Entonces, n>Nyn^x
¥

a*

c

(n + l? an

Asi pues, la afirmacion queda demostrada.

< €.

•

2 1 4 . Demostrar que loe x lim ^ 0, a-M oo X 4 Solucion. Designemos x£

a > 1,

e> 0.

Tenemos lim

#->-|-QO

-1 rJim Ha —" *£ i +oo t

x

•

Hn virtud do la igualdad (v. ej. 74) lim - n n—>00

0 tenemos

lim ^ > 1 1 )

n —> oo

n

=

n

+ l

T

fl V* I Hit Mi* tit1 tin.i liiiiciiiii

lO.'i

HIM 11 > 0 arbitrario, lixlNle, onlnim'n, itri liiuiicrft natural Af tal qui' para w > N n

'.i I • N I 1, to mem os T| — jfj. Por tan to, » > iV y a ^ f < n + 1 , de lo cual

0 <

~~T

n

< £

"

dii ir, lim ' ° 7 ' - U, y, por consiguiente, tambien lim

*•

tj' Nul.i. I'ara la resolution de los ejemplos 215, 216 se utilizan ias formulas sha:-

e1 - e~x —, 2

, ex + e~* sha; , cl>:r = —tha: — 2 chz

tn>i > omo las formulas dc la trigonometria hiperbdlica, P Itcsolver los ejemplos siguientes: 215.

a) lim

b) lim

i-(Q x

% — c ) lim — - .

a—a

xs

i-»o X

4 Solucion. a) De acuerdo con el ejemplo 197, a) escribiremos .. -x e?* - 1 . .. shfc .. ex~e~x — lim e urn — lim - — • — = 1, x o 2x r-.ll 2x de donde s h x — x + n (x) para x —* 0. b) Basandose en a), obtenemos ch^-1 .. 2sh^ r2 — = lim — ~ 2

lim *—0

I-D X

X

l/Sh|V 1 - Lm = -. 2

V

§

/

2

Asf pues, ch x = 1 + y + o (a*2) para x —* 0. c) Haciendo uso del resultado dc la soluci6n a) y de la afirmacidn A) hallamos lun



216.

tli a; .. sha: I ~ lim - — • —— — 1. X x-0 X Cha:

lim r~7T § a—u ln(ch 3x)

« Solucion. Utilizando los resultadosdel ej.215 tenemos sh2a: ,. (as + a {x))2 (as + o (as))2 .. x2 2 lim 7-•-•••• - - - lim •———=—-•— - 2—- — hm „— — = lim —- = -, * -ii ln(ch 3®) |n (\ + 2 x* + 0 (a; )) »-
lim arctg a: - arctg

I(l<1

( <]|>iUi[o I. JnlmiluirJon til mniliMlri 0 y sea x > I) Designemos aivlg x

SoluciAn. StM SO tiriK)

arctg x •-- arctg a?o

mrl}1,

a; - Xd

M

1 + XX{)

L l'am t- > 0 arbitral1

< \x - x{)\ < e

si \x — x{}\ < S (e) ~ e. De este modo, la relacion queda demostrada para x0 > 0, Si a?o < la demostracion se reduce at caso ya estudiado, pues, arctg (—a?) = -arctg x. Para = 0 la validez de la relacion a demostrar se deduce de la evidente desigualdad 0 ^ (arctg x - arctg 0| — |arctg a;| < \x\. 218.

lim arcctg x — arcctg '

.

X ii )

Solucion. Haciendo uso de la identidad arctg x + arcctg x — valores dc xt obtenemos

7T

lim arcctg x = lim ( ^ - arctg ar]

219.

valida para todos 1

arctg xq — arcctg x$.

2

•

lim arcsen x ~ arcsen x$, — 1 < Xq ^ 1.

M Solucion. Observemos que si 0 ^ x < 1, se tiene arcsen a? = arctg j* entonces arcsen x — arcctg X , Por eso, para a?o £ lim arcsen x = lim arctg X— VI ii-

x

si 0 < x < 1,

1 [ tenemos

arctg

X

2;

x0

arcsen xq .

1 — x02

En el punto a?0 = 1 se cumple (v>ej.218) lim arcsen x — lim arcctg 1-0

X

vT

x

IT

— = arcctg 0 — — = arcsen 1

El caso de que —1 ^ a?o < 0 se reduce al caso ya analizado, pues arcsen(-#) — - arcsen x. Dado que en el punto xG — 0 los valores lfmites izquierdo y derecho son nulos, la demostracion queda concluida. • J—

•J..

220.

lim arccosa; = arccosa?o, II

^

^ 1*

M Solucion. Procediendo de una manera analoga al ejemplo anterior y usando la identidad VT

arcsen x + arccos x obtenemos la relacion requerida. 2 2 1 . a)

lim arctg x — 7-; X -fOO 2 c) lim arcctg x = 0;

OO

V

•

b)

lim arctg a; X—I— OO d) lim arcctg x

X

7T 7

;i'/ 111 ii 1111' tlt< i (liit I nil i'kin

10/

| Snhuii'in. a) Stffl e > 0 ;irl>lltwln. Kii etileeu'iu, dc l,i desigualdad X > t^ ( hi' ili duee que arctg a; > * r, in decir, 0 < *

arctg x < c

I?) Tenemos lim arctg x=I

—

f)

l'J(e)

Vx > E{e).

Jim arctg x ~ - j .

I

—

c) Utilizando la igualdad arcctg

? — arctg x obtenemos

lim arcctex = lim — arctg X) = ~ — x = 0 6 J-+00 a-+00 V2 ° ) 2 2 d) Ana log a men te, lim arcctg a: = lim - arctga;} j—xj i—V2 /

— ( - — ) — ff. 2 \ 2 /

| t l.ill.ir los lfmites: •Vim LLL.

.. arcsen ax hm •—, a / 0. x

Solucion. Puesto que lim arcsen a; = 0 y lim 1 i-tO i—0

*

- li m T . ,0 seHfrresen as)

,, arcsen ax .. arcsen ax lim — = Jtm — — •ft= a. jr—n x i-'O ax iryri

J.Z3.

1, se tiene

•

arctg ax h m — 3 ~ — , « # 0. a— 0 X

So 11 lei oil. Puesto que lim arctg x = 0, entonces lim i—H 224

lim h—0

arctir ax , arete ax — - — lim — r - a = a. x i—o tg (arctg ax)

§ ^ t,h) ~ a i c t g h

>

x

Solucion. A partir de que lim (arctg (x + h) — arctgx) — 0 tenemos ,'i -ii ^ arctg (as + k) - arctg x _ ^ tg (arctg (x + h) ~ arctg x) h -ii h h -o h = hm

2 2 5 . a) lim — — r ; S-.-0 i + e j

1 1 \-x2

x + h~ x h (1 +X1 +hx)

b) lim — - — - . i -f ei

Solucinn. a) Si x —* - 0 , entonces ~ —* —oo, y e * —> 0, por lo cual lim —W- = 1. x—-0 1 b) En cambio, si x —* -rfl, entonces -1 oo v —^—> 0. es decir, el limite buscado I ]t-Ct cm igual a 0. • x

1

IDS 2 2 6 .

C a p i ' l u i o J. l i m KtMl(7Tvw/

Ji

F n t r o d u c c i o n a I -tihWmiri

I I).

Solucion, Escribiremos yn ~ son(?vV + 1) en la forma yn --= sen entonces lim sen(7v\/n 2

— lim s e n ( ( 7 r \ / n 2 Tt—>oo

+ 1)

wn) +

1 -

l i m s e n % t ^ + 1 n—»oo •

227.

sen2(7T

lim n—co

v

(>/n2 4-1 — n -I-

ttn)

n))= lim ( -1)" sen

,

tt

"

Vn2 + 1 + Jl

— 0.

1 •• i—IWW^B^^^^^^H

n2

+ n),

M Solucion. Por analogia con el ej.226 tenemos •• ii •

lim sen' (7TV n ft—>00

^

n) = lim sen n^ oo

——•

((tr\/n 2

1—•

+ n - mr) + mr) |

•

• • I

lim sen ( 7 r ( \ / n 2 + n — t i ) )

TI —* OO

re—3-00

228.

lim sen

TT

1

1 + Tl~ + 1

Sean lim tp(x) — A y lim ij){x) = B. ^Se podria deducir de estas igualdades qu

lim i){ip{x)) = B? 1 Analizar un ejemplo;
donde p y # son numeros prima

entre si y 0. M Solucion. De las condiciones de partida se deduce que para un e > 0 arbitrario existe cj — a(c) > 0 tal que | f(u) - B\ < e, (1 si 0 < \u - A\ < a,

0

es decir, la desigualdad (1) se verifica para todos los valores de u pertenecientes al <7-entorno del punto Af salvo el propio punto A. Ahora, segun las condiciones del problema, Ver > 0 (incluido tambien el a que interviene en la desigualdad (2)) existe un <5j( 0 tal que para cualquier x que satisface la condicion 0<\x-a\< 6(e), (3) la funcion u — tp(x) satisface la desigualdad

|
(4)

Notese que el caso de que (p(x) = A no se excluye. Sin embargo, puede ocurrir que para u — (
•

f

(i'/. Unitle dc him fiimlnn

22M. SupongJHTKW que pant (tidiiM

iiimij'Il'ii Lis condieionesr 0

Ijiri

!<)'>

ir i |.jr,i,(( [ l|- mviuIo a.'u iliido dc nnteilumo,

i*

l,»;

2) V I ' M

I;

k I 3) lim P„ii(%) — 0 pam cada k fiju; Ii—»[5D

4) lim n„(x) - I, 1J--O0 t II Demostrar que lim tn — I, donde t,, = > ttt(s), fc = l 4 Nulmmn. Sea £ > G arbitrario. De la condicion 4) se deduce la existencia de un numero N iV(f, x) > 0 tal que [«„{a:) < | Vn > N. De la misma condicion tambien se tli dme la existencia de un numero M > 0 tal que |M®)I & M,

|ut!(;c) - i| < 2M

Vft £ N.

I .i nmdicion 3) conlleva la existencia de un numero »n = n0(£, x) > N tal que <

Vn > no.

k=*lfN,

I h' estas desigualdades y de las condiciones 1)/ 2) se deduce la desigualdad n l'„

n

V P„,(x)uk{x) - I V k=l

ii PniW

^ X] ^WM®) fe^t

- %=

- Pnl(ai)j«l(®) - t| + P»Ax)\u2(x)+ + PnN

- if +

~ i| + ••'••' + Ptm{x)\"tln(£) ~ *( <

<

+ \

hir consiguiente, lim f„ — I.

1(») + • • • +

<|+ |= e

Vn > rtB.

>•

11-'IX

2 3 0 . Demostrar ios leoremas de Cauchy: si una funcion f : ja, +oc[ —> K esta acotada at todo intervale finito ]«, ty, se tiene a) lim

= lim (f(x 4-1) - /(»));

b) lim { f W = lim Z—>+,'X)

/(x)

X— + 3 0

>c>Q,

J { X )

mij)oniendo que existcn los limites en los segundo$ miembros de la igualdad. c) Demostrar que si lim {f(x +1) - /(s)) = +oo u f esta inferiormente acotada en Z—+00 loth intervalo finito \a, b[, entonces lim I —+ 00

X

= foo.

4 Solucion. a) Para demostrarlo Utilicemos el ej. 229 tomando -

%

|

x+n

,

i %;(«) = ——, x+ n

- ~x±}li x i

k = 2,n,

&< xo
un(%) = fix + n) - f{x +

+1, n = 2,3,... .

> a,

( a|>jluIi> I, liilioiliailOn *il finAlhjiN

I 10

u En d caso considenido t n • a

r

/«

. 7I V"J - Todns las i iiiufii iotics del leorem

quedan cumplidas, por lo tanto

lim tn — hm — Urn (fix + n) - /(a? + n - 1)) = i. »—• oo n-^oo # -|- Tl rz-voo Puesto que / no depende de x, de la ultima igualdad se deduce que lim (f(x + 1) - f(x)) = I.

lim

.r—+00 X

b) Dado que f(x) ^ c > G, queda definida la funcion F(x) — In f{x). Se — L En este caso, utilizando el teorema del apartado a) y la posibilidad de pasa

lim a?--too al lfmite en el argumento de la exponential, obtenemos el resultado requerido

lim {f{x))'

S —«4-00

In m

11m exp

, .. In fix) \ exp < lim > 3->+oo X J

|

X—i* -rCX)

exp

M lim

(ln fix + 1) - In fix))

lim

c) Para cualquier E > 0 existe un numero x$ > 0 tal que para x > Xq

m

= f

fix + 1) - f(x) > 2E. Por lo tanto, f(x + n) - f(x) > 2nE y

*

f{x + n) x+n

f{x) + 2 nE x+n

Dado que f(x) J? c > 0 para Xo < x ^ xq + 1, luego existe un numero no tal que

fix + n) >E x+n para Vn >

m

es decir, si t — x +

n > 71$, se tiene


t

> B,

lo que es equivalente a la afirmacion requerida. 2 3 1 . Hallar los limites: a)

lim (lna?)1;

X^+CQ

b)

lim f-^} .

x —' f oo \X /

Solucion. a) Utilizaremos el resultado del ej-230, b). Obtenemos lim {In x) £ —' f 00

.r

in(® + 1 ) lim x^+oo In x •• 1

l n x + l n

lim

x~~* foo

(1 + I ) lim

In a?

ˁe f-OO

b) Por analogia con a) tenemos

Hm ay

sc-»foo \X /

lim + OQ

1 j; +1 —



1.



In (1 + ; ) ln x

1.

J|7. Miniitt lit' mi;) fuudon

II I

2 3 2 . Demostrar q u e m : I) nn.i fttncion / twtii definida en cl d o m i n i o a; > a ; 2) / e s t f inula da en a < x < b} ,t) existe el I (mile

lim /(* + ! ) - / < « ) , , lliiilo o infinito, entonces I Hm /(») _ m +1 t-^+do a:"1"'"1 Solucion. Sea Z finito. De Jas condiciones de parlida se deduce que

+

l i m

—oo (x +

+

Ti)m+1

I

=

~(x + n~

l)" 111

m + 1'

I ilili/amos el ej. 229. Suponiendo que

0 < xD < x ^ Xu + 1, , v _ /fa d 1) ~ p +1}"'+''

a;0 > u,

, v_ /(3i-fw)-/(a;-l-w-1) ~ (« + *)»«-(x + n- I ) - " -

_ ~ 4 - V • •.

nlt.k'nemos tn = ./i.*") "ii. Todas las condiciones del ej.229 se ctimplen, poi* lo cual li

v , k-w.

f(x + " ) + fl)m+1

r H .or,

i \

1

m+1

I )ado que el limite — n o dependc de x, la ultima igualdad es equivalente a que lim m i-M* tmn

•

i m + T

Sea I = +oo. De la condicion 3) se deduce que .. ( s - j - - ( E I n -1)"'+1 _ «—to f(x 4- n) - /(x + n •• T) Kn virtud de que la sucesidn

lietide a |-oo creciendo monotonarnente, la sucesion

tambien goza de dicha propicdad. Al to mar

Pl(v)-

/(«+n

f¥±jo

Pt(x ,

0 <

< i ^

. , (a: -j- l) m *1 i W - T S + i T i

,

--

wtt*m k

+ 1, ( £ + n ) " " 1 ~ {ir + n - i) m + 1

jj. = 2 , 3 , . . , ,

< \ipiJulo j. Inlrtulin* ((HI

1

y utili/iir el i^22{> obiendromos ti

V^ tn

(x -f n)m 11

"

= "T^r^-

0

P'™

»

OO,

<

0n

do donde se deduce la afirmacion requerida. 2 3 3 . Demostrar que lim n sen(27rexi!) = 2tt,

71—>0O

Solucion. Tenemos (v.ej.80) * = 1 + 1 + ± + -• - + ± +

On

=

Vn

— I — =

I

< h

sie ndo

n' nl(e - yn)

TZ-71!

+ l + i + 2!

v

n-

——— f

A(n + 1)!

+

n!

+ ....

•

1

(n +1)1 ^_

(n + 1 ){n + ljr J ~

(n + 1 )(n + 1)!

n

n

+1

I

+

n0n+i

(n + If

Vn

1

para

U

oo

Utitizando este hecho obtendremos lim n sen(27rerc!) = lim n senf 2irnl yn + 7!—»00 — fi >CO \

27v$n

)

71 /

2nO ,. n sen 2wQ*n - hm sen " n . 2?r0 - 2tr, lim ra 27r

n-s-oo

71

oo

^-

ti

•

^

S Construir las graficas de las funciones:

2 3 4 . y = lim \/l -\-xnf X>0. n-^oo \fl, y, como lim = 1, entonces ft --+00 «lim — oo• y i T i ^ = 1. En cambio, si 1 < z < +oo, tenemos VTTx" = x { / J + 1 y "/i + 1

1 para n ^ oo, por lo cual lim

n—*oQ

=

For consiguiente, y — {

0 < au ^ 1, si 1 < x < Proponemos al lector dibujar la propia grafica.

Ix

2 3 S

*

^ J ™

) l 1 + *n + ( f

V ^ o .

^ Solucion. Tenemos K

l +

+

Xz

\n < v^

si

OtZztZl;

•

r

ij'/ l.uuilc tic urtii Inmion

11 > '

si

2 ^ a; < -|-.

M a d o q u e lim \/3 = 1, tendremosfinaimenfce

n >co

si

0 ^ x < 1,

x

si

1 < x < 2,

Y

si

2 < ar < f oo.

Le dejamos al lector la construccion dc la grafica.

•

2 Mr, Construir la grafica lim

VkF+W=l-

Dado que 0 < J f f j , " ^ < 2 si \x\ ^ 1,

S J".'! y j J

S

=

1 (v ' e i" 73 >-

lim V W 5 + ii—oo

1, \x\ +

/ 0, tcndrenww

?> P° T consiguiente,

- I™ ™x(\x\;\y\){ =mix(\x\,\y\), n^oo y tnax (|!tj , Isl")

••'•decir, max (fx), |y[) = 1 y la grafica se rep resent a mediante el coutorno del cuadrado con u Mices en los puntos ( i i , i l ) . Esto se deduce del hecho de que los puntos -4(±1, jv/|), [(f| ; 1, B(\x\. ±1), I a: | < 1, pertenecen a la grafica. • I : M.illar los lfmites siguientes: 237.

lim ((1 + ®)(1 | a r ) ( l + x 4 ) , . . (1 + a: 2 ")) si \x\ < 1 . H—OO

4 Solucion. Dividiendo y multiplicands por (1 — x) la expresion que se encuentra bajo el mj'.ho dc limite ob tendremos lim({l + 3§1 + X2)(l + » 4 ) . . . a T a>)) =

It

t.Xil

.. (1 - S 2 )(l +3^X1 + — lim 1— X 2,38.

. (1 + s 2 " )

.. 1 — 1)111 — n-voo 1 — x

1 1~ x

} , x ^ 0. lim [cos — cos ~ . . . cos fi--ca \ 2 4 i f

4 Solucion. Dividiendo y multiplicando por 2" sen ^ la expresi6n cuyo limite se busca tiUencmos cos J cos ~ . , . cos • 2" / X X X\ (tin (cos — cos t . . . cos — ) — lim OO 2" sen ~ fi *ix< \ I 4 2 / n—tx: sea -x .. sen x = lim — i - = lim n-'ixi 2 sen ~ ?i—co x

sen jttt sen a: 2" 7- — , sen x

J 14

(,'apiUiJo I, lnl((KUniiot} 4»I JMillifji i C I' V^) Sea hm

239

at i 0, m ( N, pa ni w • oo (es decir 1, donde i/>(w) > 0 y inn

a mn < e para tn £ N y n > Demostrar que

lim (tp(ahl) +

+ • • • +
7— i OO

H-

n-s-oo

-f - • • 4-

suponiendo que existe el limite en el segundo miembro de la igualdad (1). ^ Solucion* Dado que lim ,, , = 1 y amn =t 0, entonces Ve > 0 3 N =

tal qu

V n > JV ffttmn) de donde, en virtud de la condicion 1- £ <

> 0, tenemos

+ + - • • + (aln) + i>{a2n) + • - + i?{ann)

Partiendo de esta desigualdad y de la condicion de existencia del limite en e segundo miembro de la igualdad (1), deducimos que el limite del numerador existe y e igual al limite del denominador. •

(jJ

11 Utilizando la igualdad (1) del ejemplo anterior hallar los limites siguientes:

240.

J™,

k -1 n

 

.

11

Jl/ 1

1

in + 71 ^ Solucion* Dado que lim — K—+00 JL2 ˍ

X

G

— 1 (v. ej. 158) y

ˍG

k

0 para n —> oo, resulta

3n

" / lim V ( 71—*00 ' \ V fc—1

n

241.

n

k n2

1

k=i

k 3n

1

r

lirn 6 n^oo

n{n + 1)

1

n

ͧ

;

ka

lim > sen 2 ' tl—>00 n 41

kr-1

i / V i

X

i

m

Solucion. Evidentemente, lim

sen

n—^ooka n

n

ka

lim V sen n—> oo n I

• • • • • • • • • • •• ••

•

i j V i

/ •

• •

n

242.

= lim

lim V \ fc^l

7).—'OO *

- l), a > 1 /

ka n2

—m—wm

ka l yJ n -y l =4 0 si

ka

oo. Por eso se tiene

an(n H-1)

Itm ) lim h—oo A—' Tt1 n—<00 2
a 2

•

i;V I.unite dc uitu luiuiou r

I IS

* * fiohtcion. 'lenumos lim ".' '

ir liia

I (v. oj. 197, a)) v *

tan 5 (&«- - l l — lim n-..™^—' \ / j—-ob

243.

'

111 para

> <50.

, n(n !> 1) — 1r .'n 0. —=— = In a~ lim K ?[-•*«>

oslo modo,

•

limfffl + 4 ) i-1

t Solution. Tenemos

it=i ln(l~£) 1 Mi In que lim k

m .

t=i =1 y

,

*

para u -+ oo, entonces

lim T T g o s - ^ . nioo11 v jt=i

4 Huluc.'ibn, Es facil convcncerse de que .. -i'X'

,

k2a2

>n

5?

Tor eso Inn I T cos -- expl lim y In cos 1 = " " j _i iWn ~—J Bv'n J / .. - A k2a1 \ = exp< - lim > J — 2,t f r l u - c o ^ In J jfcrsl

f ,. n(n + l)(2n + l)a2 \ exp^ - hm — >= e *, 1 1 Tt—>oo 2-6-w3 J '

•

Rn los ejemplos 245 y 246, basandose en la afirmacion A), pasar al limite en el i".|'onente de la funcion potential. 2 4 5 . I.a sucesion i'i

esta definida mediante las igualdades x\ = \f&, X2 — yf a f \>,r(i,

y a + y a H- \/a,,.., V

donde a > 0. Hallar lim x,t. n—™

4 'lolucion. Vemos que xn ~ + ti — 2,3,... . Aplicando cl mdtodo de induccidn nuilcmMca nos cercioramos dc que la sucesion xn = x/a + es monotonarnente i ii'i jcnley cstil superiormente acotada, por ejemplo, por e! numero A ~> \ + \ /-. •(- a, luego

h

C'.ipilulo I.G qœ“ mdiKiionG ˆ“ anrflisiH lim xtl

•ii

y, iiiiomas, /

/

nvj

0

sfa \ lt dc donde resulta que

Via H-1 + 1

I 2 4 6 . Si el numero

i m i i n i i i M ' • ••

•

Y

^ ft, ft > 0,

es la oscilacion de una funcitfn / en el segmento \x «--• 0

se denomina oscilacion de la funcion f en el punto Determinar la oscilacion de la funcion / en el punto x - 0 si: 1 1 2 1 a) f(x) — sen b) fix) = —r cos —;

x

c) f{x) — x

x

X

j sen ^ ;

d) f(x) — ~ arctg X 7T Solucion. De acuerdo con la definicion de oscilacion de una funcion en un punto, tenemos 11 ^ 11 1 — (—1) — 2, a) w j / ] = sup {sen - inf {sen

xKh

h

wolf] = lim wA[/] = lim 2 = 2;

h-> 0

b) wh[f]

-

sup { ^ c o s 2 ± } -

inf { ^ c o s 2

£

sup

.2 1 { J cos ia;}J

re -I

donde At son numeros enteros tales que \k\7c ^ j, Por eso "J/1 1 } C) 0 < uh[f] = sup {x (2 + sen +

O

0

,

=

W

[

0

/

]

=

+

0

0

;

inf {a; (2 + sen I ) }

6ft,

3ft - (-3ft)

wot/] = 0;

d) wft[/I - sup { I arctg 1 } - inf { ^ arctg 1 } = 1 - ( - 1 ) - 1; L

/] = limw/J/] = lim 1 • • • ••

•

•

2 4 7 . Determinar I - M / ( « ) y ^ — lim/(a;) si Y X

Y

X

f(x) = sen — I — arctg — 4 & a: x i r M Solucion. Dado que inf {sen 2 inf { - arctg

= 0 para x = xn

2 1\ f sen2 - + - arctg 2 7r • #/

lim f sen nir H— arctg (-rcTr)J ir

Analogamente, dado que sup {sen 2

L

'

~ —1, entonces

( -- lim y lim \ arctg

1 § arctg lift, n 6 N, y lim —OO "

2

2

— 1 para x

xn

L

7r(l-h2n}' n G N,

^ sup { f arctg - } = 1, se tiene

2 1 2 1\ /M2T(l+2n) lim (sen — H— arctg — J — um I sen — 4rc^?r(1+2n) -I—2 aarctg x^Q \ x ft X  UD ̾!RR 9 t 2 Y

1.

•

Ji V. I.finite ilo una funcion 2 4 8 . IJcfinamos in Itmciiin

11

*

sii*nilo z c*=

I 17

3ji I i f / , mediate Iii igualdad

lim

+

U^oq \

fl)

n/

i ifmustrar que e*~'v = er(cos y + * sen y).

(2)

I Vducjr de esta exp res ion la formula de Euler: eiy + e~'v cosy = — ,

scn^ =

fhj - e-"J — .

Solucion. Representemos la slices i6n «!-»• A +

((M ~ + ~ i londe

en forma trigonometrica

j'NlH-**"^) I

, y apliquemos luego la formula de Moivre, Tenemos 2x x2 + y2\r n t-t [ 1 + — -| I (cos n

1 t.ido que (l + ~ + o ( i ) ) *'/"•••(>/») - f t, |

[Mm n

+ 0 ( £ ) ) -> x para » — oo, obtenemos

oo. Ademas, de acuerdo con el ej.223, 1- o —y + o{ ]) nip - n arctg — - — = n (— ° n+x \n + x \nf /

para ji —t oo. Por eso {v. ej. 175, a), b)) cos n

cos y, semap De este modo, / x + iy\n j, , . v —> e ( c o s ^H 1 ) + * s e n y>

sen y para n

oo.

para 7i, —< oo, lo que dcmuestra la igualdad (2). Suponiendo x = 0 en la igualdad (2) obtenemos e"J = cos y + i sen y.

(3)

At sustituiren la ultima igualdad y por - y, tenemos e'iy I )e las igualdades (3) y (4) hallamos

— cos

y —% s e n y.

(4)

118

<\i|NluloL Inlroiluttiuii j l jMjIisis rcicitiH .n ol supremo y til inffmo de Ja funcion f : E —• F cspccifk:;ul«i [)o(oimiiun los puntos y £ E (si ellos existen) en los cuales f(x) /to)

contuutacitin sup {fix}}

inf{/(x')J.

IS

K

91. f(.c) =••

| it | ^ 1. 92. /(*) =

J—l, 1[ \ {0}. 93. /(x) --=x2,l
99, Determinar la oscilacion de la funcion f(x) = a) I10- 7 ,l(r 6 [;

b) ]10-"" i ,10™ B [;

c) ]KT\ lO^f;

d)

107[;

e) ]10", 10B+1[.

100. Determinar la oscilacion de la funcion f(x) -- sen ^ en los intervalos:

[; b ) l 40JT ' 39?r b o ] 27J7T + 7T T W A T Demostrar: 101. (1 + = 1 + nar 4f o (x2 ) para x 0. 102. x + cos x = 0(1) para ar 0. 103, e ^(1 + x~l)x = 1 - \x~x + 0{aT 2 ), ® ^ 2. 104. (l + a? + 0(x'x)Y = ear* + O^'" 1 ) para x 106, a)

^ l + o (ar), a?

oo. 105. (ae 2 * - ")* = O ( e ^ ) , k > 0.

b) o(f(x) • g(x)) - o (/(a?)) • O (
0;

107. y® = ffi^ -j- 1 y^xjj n(x - Xfj)-ho(x - Xq), X -+ Xq. Hallar los limites: frTT*-^ 11)8. lim v J I g j a M ^ , 1 0 9 , l i m m 111. Um .sus^-.

112. lim

s l t t͑

rt

Ω

ΣΥ͑

113. lim

1 . 115. lim 116. lim E sen

nt

]im

(

„

ͺ͑

.

Ξ͑

> 0.

͑͠

t - 1 V p 6 Ff.

117. lim n (l + i^r), P € N.

Jh]

118. Demostrar las desigualdades:

n n 1 1—r x yr—^ - — ^ 11 v < ^ a;*; A-l donde xk > 0, 0 ^

n

^ 1 (A: = T, rc), E

~

119. Sean: 1) 0 ^ \kTl ^ 1; 2) £ Aj^ = 1; 3) lim ABt - 0 Vfc fijo; 4) arn > 0, n G N; n 4=1 n 5) lim xu — L Entonces lim

Hallar los lfmites: 120. lim

1 2 1

tfj

.

T-+-

124. lim ( i i f ) ' . X — » X

™

I i m !

W

I22.limr:l™-1.

j: —>IJ

125. lim, 03

J-'X.

Inflfa1)*

l

126. lim' VI f I ' ^ l )

c

123. —

h

Um ( ) )

i ^.

'(K (nuliniiidad tit- una I tntcinn Hallar f ;-: Jim /(;r) y h H »iv

lint J'(.i:) ,si: tl "V

l.!7. f(x) sen* \ cok(:iV.!) I2B. f{x) seiv<>. f(x) - senfyv£) (I 1 - W x f , 130. f{x) = (l 4 ; ) ' » r / . til. ](x) =

+

+sen z a:.

132./^) =

! ^ .

§8. Continuidad de una funcion 8.1. Definicion de continuidad dc una funciun X C IK, se denomina amtinua en un panto Definici6n 1. Una funcion / : X —> i'o C: X si se cumple una de las condiciones equivalentes: 1 ) V £ > ( ) D<5 > 0 : (V® € X)(\x - aru| <6)=>

| f(x) - f(xQ)\ < t;

(I)

2) sea (a;„) una sucesion arbitraria de valores xn £ X convergente al punto a."(; si n ca, entonces la sucesidn correspondiente (/(a;,,}) dc valores de la funcion converge a /(®fl) si n —«• oo; 3) lim f(x) =2 /(xq) O bien f(x) — f{x$) 0 para x — Xg —> 0; •I-'^Xu 4) Ve > 0 3 6 > 0 tal que /(]x () - <5,ffu+

C J/fa-'n) - €, f(x0) + c[

0 bten, que es lo mismo, / : ]x0 - S, x0 +

-1 |/{;co) ~I(xo)

+ «[•

1 Je la dcfinicidn de continuidad de la funcion f en el punto a:u se deduce que lim /(*) = /( lim a;}, Dcfinicidn 2. Si una funcion / cs contitliia en todo punto de un intervalo Ju, (>(, la funcion / se denomina continua en este intervalo. IK) se llama continua en i'l Definition 3. Una funcion / : ]a, a:,]] —* fi (/ : [xa, b[ punto a;0 por la izquierda (por la derecha), si se cumple una de las condiciones equivalentes; 1) Ve > 0 5 S > 0 tal que la desigualdad (1) es valida siempre que Xy - <5 < x ^ a;,, (a;,i x < + 6); 2) sea (»'„) una sucesion arbitraria de valores x„ € ]«, j; 0 ] (:r„ 6 [:cu, b[) convergente al punto x0, la sucesioi; correspondiente (/(a;,,)) converge a /(a.-0); 3) lim (f{xo+0) 4)

f{U

"II

f(x) - f(xn) ( lim f{x) = /(aj 0 )) o bien, para abreviar, f(xa-0)

= /(»o)); Ve > 0 3 S >

\J! — I j II)

0

tal

/

— /(.To)

q u e

- 6, stnl) C ]/(®o) - er f(xa) + e[

(/([a*, x0 +

C

~ e, /(x 0 ) r eft.

Una funcion f : X —* % es continua cn un punto interior z<\ € X si y solo si la luncion es continua en este punto por la izquierda y por la dcrecha. Teorema 1. Si una funcion g:T—*X,TcR,XC 3R, es continua en un punto la t T, y una funcion f : X R es continua en un punto x0 € X tal que xa — g^u). In funcion compuesla f og i T —» R es continua en el punto 11).

l/t)

( ajnlnln I. InliniJtict iriii af iiiiitliMM

Scan J : X • K \j /jj/ywccs, las funciones

T e o r e m a 2, :/: t i

(.: >V,

f -I-

// : A

> Jtt, Ar t

f fg y -

IR,

m/tf/Mrtra (.7/ «//

^ 0,

l J

sort co/ifzuHos ch el punto x{), Todas las funciones elementales son continuas en su dominio. 8*2. Continuidad de funciones vectoriales y de matrices funcionales Definicion, Una funcion vectorial x

continua en un punto

f(#), f(:r) = (fi(x), - • -, /«(#))/ ® £ X, es

E X, si lim f(a?) =• f(ar0). J? H1P(>

Una matriz funcional x — i > A(x), donde A(x) = (&ij(x)), i — 1, m^ j ~ 1, ft, es

continua en un punto xq E X si lim A(x) — a?—i•£() Una es continua Una si en dicho

funcion vectorial f es continua en un punto a'o E X si y solo si en este punto cada una de las funciones x i—^ fi(x). matriz funcional x ^ A{x) — es continua en un punto E X si y solo punto son continuos todos los elementos de la matriz x i—» &ij{x)f i — l , m ,

3 =17H. 8,3, Puntos de discontinuidad de una funcion y su clasificacion. Puntos especiales de una funcion Definicion. Si una funcion / : X —> R no es continua en un punto x$ E X f se dice que dicha funcion presenta una discontinuidad en este punto. En tal caso, el punto Xq se denomina punto de discontinuidad de la funcion /. Los puntos de discontinuidad de la funcion / se clasifican del modo siguiente: L Sea a ; 0 G l t i n punto de discontinuidad de la funcion / y existe Hm f(x), sea IEJ '-SJ^

finito o infinito, entonces:

a) si lim f(x) es finito, x$ se denomina punto de discontinuidad evitable de la u;—*l!x funcion /; se denomina punto de discontinuidad de tipo polo, b) si lim f(x) = oo, 2, Si lim f(x) no existe, el punto

£ X sc llama punto de discontinuidad esencial

de la funcion /. En este caso: a) si existen los limites finitos siguientes f(x() - 0), f(x$ + 0) (J{XQ ~ 0) ^ fixo + 0))/ el punto X[) se denomina punto de discontinuidad de primera especie de la funcion /; b) todos los demas puntos de discontinuidad esencial se Ha man puntos de discontinuidad de segunda especie de la funcion /. Dado que en un punto aislado x0 E X la funcion f : X R es continua, solo los puntos limites x E X pueden ser puntos de discontinuidad de /.

ijti i 'tmliiumlad dc una luui'iini H.4. I'ropied.idcN limtlamen tales de las funciuncs continu.is DefinkUn I. Una luncidn / : [a, il£ se denotniiia continua en ol sogmonlo |K, hi si es continua en el intervalo |e, b[ y si es continua pur la derecha en
Utilizando el procedimiento de los intervalos "e—6" demostrar la conlinuidad de Li-- luncioncs siguientes: a) x >-* ax + 6, a ^ 0, x G iR;

b) x >-> x2, i G E ;

c) x

d) x i-»- JS,

e) x t—> Jx,

f) x>~* sen X, a; € Hi;

x > 0;

x 6 E;

x3, x G IK;

j;) x »-* cos a:, x £ l ; h) X t-* arctg a:, x E K. Solucidtt. a) Sea £ > 0. Para todo a^ € R fijo se tiene \n.x + b - aa: 0 - t>| = (o.| j® - Kcl < e ,

si [a; - cp0f < — = 6.

b) Sea e > 0 y sea % € R. Entonces

\x - Xq\ = |{aj - Za) + 2x (x - ar0)| < ]x - a^j2 -f 2[%( |a: - x0| < s, 2

2

0

'.1 |a: - x0\ < v'Jx'ot'- + £ - |x0| - 6. c) Elijnrnos 0 < s < 1, Se tiene que la;3 — .t,)| = |a;2 4- a:a: 1) y

-6.

> 0, | a; — a:o! A)

= -si f;R - a:()| < e) Para todo 5 > 0 y i l , E i \ {0}, |x - xQ\

[a; -

I. Sen

I1

(',i|>iliilo J. Introduction ,iJ au-dlrtiu

i.

J • .} • }

La ronlinuid.ul tit1 la funcion on el punto y/\x\ < c, quo se verifica para f) Para todo e > 0,

0 so deduce dirrclanu-nlr de la desigualdil = 6.

<

_ a; x 42 sen — - — cos 2

sen x - sen

£ 2

2

x Y

- |a? - ®o| < £

para \x — | < <5 = g) Por analogia, cos x - cos a?o

- 2 sen

x

x + x0

Xq

2

— sen —

2

< \x - xQ\ < e

para h) Sea

> 0 y

h

t

i

'

-

y

'

— \x - #0| < l^ol* Si arctg .

.

-

h

* i

i . I

^ 'tg

c o m o

para

7T

<

arctg (ar0 + h) - arctg xq\ - \t\ < |tg t\

si La continuidad de la funcion x

\h\

X

+ h) --- arctg xq — t, entonc

^


reSLllta

k ˍG

ˍ ˍ ˍ HG

ˍ

^mG

ˍ H ˍ ˍ ˍ ˍG

\h\

ˍ ˍ ˍ ˍ ˍ ˍ

14-

hxo

< X R xl -


£‰£G£ˆšW£

1. 4- Fol £

arctg x en el punto x — 0 se deduce de la desigualdad
arctg x — arctg 0| = jarctg *

• ! •

•

!

•

| •

i) Estudiar la continuidad de las funciones siguientes: 2 5 0 . /(*) = ( - 1 ) L Solucion. Sea

:!' -Wt+ff I x — ic/4 + 7T1 * J (cos x 4 sen x) + 2V2

x

•

7T

r

••

i

11 •

11 •

7T

_

n , entonces x E [(n - 1)tt + j , mr + | [. La restriction d 7T la funcion / a cada uno de los semintervalos [(n - 1)7r 4 nir 4 ^ [, n E Z, • i

ar

(-l) r i (cos a? 4 sen ar) + 2V2 n

(i> i

es continua, Queda por comprobar la continuidad de la funcion / en los puntos mr 4 7 , n E De (1) hallamos 7T 4 2V2 n = V2 {In 4 1) mr 4 lim (—l)n(cos £ sen 4

n

l)ir +

7T 4

( - 1 ) " ^cos

7T

sen ( ( n - l ) r + 7 ) )

+2v^{n-l)

(2)

Si en (2) se substituye n = n + 1 f se obtiene n*K +

= (—l)fii 1 Tcos (nit + | ) + s e n (nx + J

2V5(n + l) = V2(2» + l).

Asi pues, en los puntos n?r + n E Z, los valores de la funcion / son iguales a sus valores limites por la izquierda correspondientos. Por eso, la funcion / es continua en cada uno de los puntos niz -f n E Dado que la continuidad de la funcion en todos los puntos intermedios ha sido establecida anteriormente, Ilegamos a la conclusion de que la funcion es continua en toda la recta numerica.

fill ( l»itlinuid<)d tli- iin.i linit idti 2 5 1 . /(at) ^ arctg

In j

11

/ wt

f (tw l

m, n C %, x r R.

Nttliiciun, Si H y / UX + u £ Z, se tiene x € ] nn - f , > tir ! * [. I,a i i'!i|rieciun de la funcion / a cada uno de los intervalos J n% — \ , nn -]• " j, n (• Z, cs una litiii'ion continua tg3 x i—* arctg —pr + nx. v2 UUi-da por demostrar ia continuidad dela funcion / en los puntos Jix-b n £ Z. lenemos j

+

o)

+

* I ).• este modo, / (nw +• | loulinua en R, •

(arctg ^

+ mr) = fl*- I-

§

+

^

0) = / (?i7i + ~ + 0) V?i 6

2 5 2 . f(x) - [x](|a;J - ( - i f 1 cos™),

y, por tanto, la funcion / es

a; 6 R.

Knlueidn. Sea \x] — n, entonces n <_ x < n + 1, rc £ Z. La restriction dc la funcion / a lu!< semintcrvalos [ j i , n +1[, n £ Z, a? i-v

— ( - 1 ) " cos ?ra:)

continua. Dado que el valor de f(n) - n(n - 1) es igual ai valor limite por la izquierda fin y) — lim (n 1)(n - 1 ( l ) " - 1 coswa?) -- n(n — 1), la funcion f es continua en x in  fl i-onjunto R. • 253.

f(x) ^ [x], x e r .

Solucion. Si k < a; < k + I, k £ Z, se tiene [x\ -- k, y, por consiguiente, f cs continua. Si a.'o — k, entonces f(k) = k, f(k - 0) = lim [a:] = k - 1, es deeir, la funcion / presenta jt—k-13 iin.i discontinuidad en xq — k, k £ Z. • Determinar los puntos de discontinuidad y analizar el caracter dc estos puntos para las funciones siguientes: 254. fix) = ^ f - ^ r x / - l , H - l ) Solucion. Se tiene

x |tor consiguiente, x ~ 2 5 5 . f(x)^

1 \

lim

1-0

f(x) = —oo;

lim

x—14-0

/(a;) = —oo,

'

cs un punto de discontinuidad dc iipo polo. , x e r \ { - 1 , 0 , 1 } , / ( - i ) = /[o>= /(i) = o.

I :m

t'jiprlulo J. Inlioifuttion al .malisis

M Solucion. I'or ser elemental ki funcion / es eonlinu.i para x (• Hi \ { 1 , 0 , I}. Dado que lim

f(x)

X lim -> - h L ( ) x H- 1 •m .

K

lim f(x)

lim

lim f(x)

lim

-

- -

"f oo;

l,i

x 1 X+ l

1;

ar- 1

0,

x-A X + 1

x ~ — 1 es un punto de discontinuidad de tipo polo, x = 0 es un punto de discontinuida de primera especie y cn el punto x — 1 la funcion / es continua. • 256.

f(x)

cos2

/(0) = 1.

3s

Solucion, Sean xn no obstante, f{xn)

«7T/ Vn 1 y f(yn)

2 (2n+

n E N, entonces xn —* 0, yn — 0 para n 0 para n oo. Por consiguiente, lim f(x) no existe t

£->0

x = 0 es un punto de discontinuidad de segunda especie. 2 5 7 - f{x) = arctg

x £ 0, /(0) ~ 0. — e), de dond

Solucion, Sea e > 0 arbitrario, entonces existe a?o > 0 tal que ~ > tg L!

e. Dado que la funcion arctg es creciente para 0 < x < xq, con mayor razo 1 tg ° -xit > 2f arctg ~ > f es decir, lim arctg ^x 2* 1

.

=

-

De una manera analoga se demuestra que lim arctg ~

f . Por consiguiente

x — 0 es un punto de discontinuidad de primera especie. 258.

f{x)

l , a? ^ 0, a ^ 1, /(0) = /(l) - 0. 1 - e 1- r • Ml I

< Solucion, Tenemos X

lim

£->±0 I

1 1- x .,• — lim j: eI X—»i0 I — (9 1-;. x

es decir, ar — 0 es un punto de discontinuidad de tipo polo. Ademas, lim ——-j- = 0, tf^l-0 l — e1 J-

lim

1 -o \ — e i —

por lo cual x = 1 es un punto de discontinuidad de primera especie.

•

2 5 9 . f(x) = x[x], x E K. 4 Solucion. Si = rc, resulta que x E [n, n 1[ y las restricciones de la funcion / a los seminterva los [n, n -f 1[ nxy x E [n, n + 1[ x son continuas Vn E

Dado que f{n) — n

t

f(n - 0) — lim {n - l)a? = {n - 1 )nf resulta

que los puntos x = n son puntos de discontinuidad de primera especie.

•

jiII ('milinuidad do uim fiiiwiiin 2 ( ) 0 . /(®)

Jx|JttMl AX, :r I IK.

4 Solucion. Sen [y:J — u, entonces u [ « . » I If xi-m fiim

!.>'.

x < n | I v las reslrieekmes de la funcion / a

sen 7TX, x € [n, n + I (,

I'onlimtas. Queda por demostrar la continuidad en los pnntos x — n, n f(n) — nsen irn = 0,

7L. Tenemos

0) = tc lim -'H-0(n — l)*^en 7rx = (n — 1) sen irn — 0,

f{n

i-> decir, f(n) = f[n — 0) y la funcion / es continua en R . 2 6 1 . f(x) = x[^\,x^Ql

G

•

f(0)=l.

4 Solution. La funcion / es continua en cada uno de los semintervalos

< x ^

w i Z \ {()}, puesto que sus restricciones x

nx a dichos semintervalos son continuns.

Ademas, / ( ~ ) - 1, / ( - + 0 ) =

-

lim x

por lo cual en los puntos x •-• '

ip 1 'A \ (0}, la funcion / presents una discontinuidad de primera especie. Examinemos la desigualdad 1 1

i|iie se verifica para x
~ J", n £ N. Si n —+ 00, entonces x —+ -! 0, v dc (1) se deduce

line lim f(x)— lim x HI Si [ I ] = - n , entonces - t t ^

-11 +1 '>i n

00, entonces x


< - » I I, < * 1 ] < ixl


-n

- 0 , y de (2) hallamos que lim f(x) -- lim x ^

— 1. Ue cslc

modo, /(E)} — /(+D) = /(—0) — 1, es decir, en el punto x — 0 la funcion es continua. 262

K

fix) / sen rsr.i1: para x racional, • JT J — S 0 para x irrational,

4 Solucion. Sea xt) 11, n £ h, un punto arbitrario. Sea (ar„) una sucesion de numeros i.«ionales convergente a aij y (£„} una sucesion de numeros irrationales que converge al punto a-p. De las igualdades lim f(xn) = lim sen vxn = sen 7TX0 / 0 y lim f(t„) — 0 se cc 11-+0Q n - *rt> deduce que lim f(x) no existe, es decir, Xq es uri punto de discontinuidad de segunda 1'specie. Si % = n, ft 6 %, tenemos f(x0) ~ /(«)| ^ I sen irx\ = |sen(7m + ir(x - n))| — |COS JT'ft sen T\{x — m)| == |sen Jr(x — x())] < 7r\x - !ru| < e, siempre que \x — »Q| < J = 6. Por consiguiente, XQ = n son puntos de continuidad dc la funcion /. >

< ',i|'iluln L JntrndiKiidii al analisiH

>

2 6 3 * I Vnmslrar que Ja fumioH th* Ricnttwn i donde m y n son numeros primos on fee si, n si x f(x) 0 si x es racional cs discontinua para cada valor racional de x y continua para cada valor irrational de x t • ana

Solucion. Sea x{) — ^ un numero rational, por lo tanto f(xo) — Es evidente que lj / n»+l ion \—— de numeros rationales converge al punto sucesion x'o para n oo. Dado qu| l im / ( ny+l - 0, todo punto rational ^ es un punto de discontinuidad. nq Sea a un numero irrational arbitrario y sea — ^^M una sucesion arbitraria d numeros rationales que converge a dicho a. Entonces lim qn — oo y 71—+OO lim ™

lim / (at,i) = Hm / 1 P n fi—tOO Ti—+00 \ Qn

n^oo qn

0 - /(a)

Puesto que f(x) — 0 para x irrational, la igualdad lim f(xn) = f(a) — 0 es valida par

71—>OQ

cualquier sucesion de terminos arbitrarios que converge al numero irracional a . As pues, la funcion / es continua para cada valor irracional de x,

264.

Estudiar la continuidad de la funcion TI i X si x es una fraction irreducible T* \x\ si a? es un numero irracional.

n > 1,

Solution. Supongamos que x$ es rational, es decir, xq — ji n ^ 1. Segun las conditioned fcra+1 + m del problema tenemos f(xo) oo y n ~ x$ para k tf+i Dado que xk hi i = <« / lim f(zt) = lim f(xo), la funcion / presenta una discontinuidad para • ••• • •

ti

f

^

n + l

todo valor racional del argumento. Sea ahora Xy irrational y sea (a?*)

nk

una sucesion arbitraria de numeroS1

rationales convergente a xq, Entonces lim |m&| — oo, lim \nk\ — oo y

k -' (X)

Ji—TOO

Bjl

Hm f(xk) = lim

h >oo

fc-*oo

71 fc 1

lim h— O -O 1 1

si ®0 ^ 0, -\x0\ si x() < 0,

= f&o)



De aqui se deduce que la funcion es discontinua para los valores irracionales negativos del argumento. Si xk -5- X() para k ^ oo, siendo x^ 5s 0 numeros irracionales, se tiene

lim f(xk) = lim \xk\ - \x0\ = /(a?0).

h—>oo k—> oo Asi pues, la funcion / es continua solo para los valores irracionales positivos del argumento. • 1 I II l.MM

1

1

2 6 5 . Sea / una funcion continua y acotada en el intervalo ]x 0j +oo[. Demostrar que para todo numero T existe una sucesion xn —-boo tal que

Hm (f(xn + T) - f(xn}) — 0.

ri—»oo "

r

'["

< 'oiiliniiidad d c u n a tunc Inn

I'.'/

| Solution. Sea '/' > (l arliiltiino. lisiudiemos la difntvurw f(x \ T) fix). Jinn ponibkw itn'i ciusns: 1) existe un numero linilo x' > x v tal que el signo tie ia diferencia f(x -| 7') fix) in- ui.miiene constants V;r ^ x ; 2) para todo E xa existe un x* > B tal q u e f(x* + T) - f(x') — film el primer caso la sucesion (f(x' + nT)) es monotona y acotada, por lo lanto I'Miilf un limite finito lim f(x' + nT) — I, de modo que If—>cx> lim ( f ( x + (n + 1) T)

f(x

nT))

m1 - / = 0,

xlemto x,t = x' + nT —> +oo para n oo. En el segundo caso existe una sucesion infinita dc valores de qui* r.„ -f-oo para »—>oo y f(xn -f T) - f(xn) = 0, es decir, lim [f{xn It —*00

+ T)~

x, x > xa,

tal

0.

f(x;l))=

I I >*aso T < 0 se reduce al caso va examinado realizando la SUStitucion x + T — t. 2 6 6 , Sean tpy ij> unas funciones periodic as con turn as definidas para x € IS que satisfneen l.i i tindicion

lim (
= i>{x), x € R .

| Solucion. Sean Ti el periodo de la funcidn

{x), es deciij existe un punto x —t tal que [fit)

-

= M>

».

(1)

Sea 0 < s < ---. Por scr la funcidn <{> conlinua en el punto x = t, para dicho e > 0 t'M'.le un 6 > 0 tal que Wit) - f i t + h)\ < £ ,

(2)

|/(| < j5. Segun las condiciones del problema, existe un numero natural k tal que y(/ [• kT2)

- i>(t + ftr2)| < e, luego Vm g M tenemos + mkTz)

(3)

- ipit + mftT2)\ < e.

Inniando en consideration el caracter periddico de las funciones

-
+ pit + mkT2)

- ib{t + mkT,)\

« \y(t) - (pit + m&jT2)| + \ip(t + mkT2) = \pit + mkT2

-

+ [fU + mkl't)

<

- ip{t + mkT2)\ - i>{i + mkT2)\

= < e

c - 2s,

(4)

•a Ill valor de £ que hemos elegido es tal que 2l < M. De este modo, la desigualdad (4) tradice la igualdad ({}. Esta contradiction se debe a la hipdtesis de que existe un punto t. en el que \(t)j = M > 0. Por consiguientc, tal punto no existe, es decir, i/)(x) para - o o < x < +oo. Queda por demostrar que para los numeros T\, kT2 y 6 dados cxisten numeros ri ilems m > 0 y n que satisfacen la desigualdad (5).

Y'(tf) =

2H

{ iipilulo J. Inh'ocluifi
Si 7 2 y T\ son rationales, esto ok evidon(t\ kT. Scan 72 y 7'j irracionales. Introduciendo las notacioncs 7', la desigualdad (5) en la forma

I *r e,

a, escribiremd

|ml — n\ < a.

(i

Para demostrar la ultima desigualdad, dividamos el intervalo [0,1] en + partes iguales ([a] es la parte entera del numero a) de Iongitud t , y a cada uno de loj intervalos parciales le asignemos su extremo izquierdo y no el derecho. Corisideraremos el conjunto de numeros siguiente: o, / —

2/ — [21], 31 - [3i],. ..

s

n ( : +1 LaJ

I

F

+ i

cada uno de los cuales pertenece a uno de los intervalos parciales construidos. Dado que 1| cantidad de los intervalos parciales es [ j ] + 1 y la de los numeros (7) es igual a -f 2j existe/ pues, al menos un intervalo que contiene dos numeros

pi - [pi] y

ql- [ql],

p < q,

del conjunto (7). Ademas, ya que la Iongitud del intervalo es igual a

L J

la diferencii

f.k

entre los numeros (8) es inferior a esta Iongitud, es decir, If* - [ji] - pi + [pi]I = I(q - p)l - {[ql] - [pi])f <

1

i

i •
a

Designando q — p = rn (m > 0), [gl] - \pl] — nf y sustituyendo los valores de I y obtenemos kT m— 2 n < —, o bien \rnkT2 - nTi \ < 6. Tl c

!••• I

l_

2 6 7 . Demostrar la igualdad arcsen x + arccos x ~ ^ Solucion. Tenemos

Tv , 3ir — ^ arcsen x -3- arccos x ^ —

Dado que sen(arcsen x + a r c c o s = 1, resulta arcsen x + arccosx — K 4- 2k?r. De esta; igualdad y de la desigualdad anterior se deduce que A; — 0,

268.

Demostrar la formula para la adicion de funciones arcotangente: arctg x -f arctg y = arctg

x+y 1 - xy

donde e puede tomar uno de los tres valores 0 , — 1.

i

< Solucion. Tenemos tg (arctg x + arctg y)

a?-I-y 1 — xy

tg (arctg

~

x-\-y 1 ~ xy*

por eso arctg x + arctg y = arctg

x + 1y

—b en

a)/

j.|H ( imliiHiuLnl dc ((ii.i ftinelnit f

Dado ([III' |iil,l,;:r: | ilft'tg y\

-mildo E &

l."'

( i i r . % * 1 ^ I ilf\

JI, y |aj*lg

| •,

vemos que E puede lom.ii solo Ires valores: 0, I, —1. Al ciileuliii' los eosenos do amhos iiiii'inbros de la Igualdad (I), oblcnemos I I ••••• ••••• • —; 2 Vl + X ^i + y*

x

y I : • ••••; —— — _ vTTF y / T - \ J i + ( f ^ f

COS 67T,

ill* modo que _

y/(1 4-X 2 ){1 + y2) _

1-xy

~ v^TT^joTipj'

H -

l-xy

_ f

" u - m

~ \

1 ~1

si

xy < I,

si

xv>

For consiguiente, la funcion (a:, y) E(X, y) tiene una discontinuidad si y donde x es un numero fijo arbitrario. Cabe setialar que si xy < i , se tiene e —0, mien Iras qui- para xy > 1 se verifica e — ± 1 (puesto que e puede tomar solo tres valores 0, I, - I). Scan xy > 1 v x > 0. Entonces, y > 0 y arclg x > 0,

arctg y > 0,

y

arctg

jj

fj — < 0.

1 — xy

i n el primer miembro de la igualdad (1) interviene una funcion positiva continua, por lo m i.i I en el segundo miembro tambien debe fig mar la funcion positiva y, por eso, £% > 0, es dear, c = +1. Analogamentc, si xy > 0 y x < 0 (y < 0), resulta que e = —1. • 2 6 9 . Estudiar la continnidad dc la funcion vectorial i s ! ] , \

x

x

x

^ o ,

J

f(0) = (1, 1, 0). 4 Solucion. Para x / 0 la funcidn f es continua, puesto que sus coordenadas son continuas | him estos valores del argumento. Ademas, lim f(x) = (lim x—0 0

X

lim e I - '0 X

lim - — — ) = (1, J. (J). X—IS X )

1'iir lo cual la funcion x >--> f(x) tambien es continua para x — 0,

•

2 7 0 . Estudiar la conlinuidad de la matriz funcional A(x) 4 Solucion. Dicha matriz funcional es continua en IK, puesto que todos sus elementos son liiticioncs continuas en M, > ^ 1 jcrcicios [\studiar la continuidad dc las funciones siguientes: l,U f(z) = ;ircsen x, |a:| ^ 1.

134. f(x) = arccos as, |a;j

I H>. f(x) = arcctg x, x £ !R. 137. f(x) = i m . /(r) l^li*!, x > - \ , x m , /(0) - 0,

I.

j + 0, /([)) == 1.

135. f(x) - arclg x, x € !R,

tapHiilu J. IntnulilirjiMi al aiirfliulr*

:mj

ar /- \ \-kir, f (£ I Ar/r)

139, /(ar) .: ardg

\ x

sen df, ar € Q; 0, a?Gl\Q.

144, f{x) = ^ arctg ^

9$

x ^ | | Arvr, / (§ 4 Att) - - 0, k £ 25. 141. /(a) f- M,2

140. /(ar) - sen ar arcsen 142. /(or)

i), k (

143. /(ar) = ( - l ) [ I ^ ] ( s e n x + cosx) + 2v/2 [ ^ E ] , are

+ § sgn ar, ar £ 0, f(0) = 0. 145. /(ar) - -

146, f{x) = [ar] In or - ln([ar]!), ar 5> 1. 147. /(ar) = -ar 148. /(ar)

ar - [ar], ® e Q, 0, sen x ar < 0,

y

M>U \x\ ^ L

^+

1

+1+£ ++ t

t

t

+ SJT'

>

® e ]0, l].

149. fix) = [ar] sen srar, ar € K.. <1+3)^-1

ar > 0, a? -f :1, a: ^ 0. V2 + ar ar < 0. Determinar los puntos de discontinuidad y analizar el caracter de los mismos: 152. /(ar) = sen \ 9 j x #"0, /(0) - 0.

150. /(ar)

x

>

151. f{x) =

153. fix) = arctg t/2 +' tt " L 2T , ar ^ f + ror,/ ( | + nir) - 0, n 6 Z. 154. /(ar) =• arctg3lg(*/2)+l « ± (2n + 1)tt, /((2n + l)sr) = 0, n € Z. VS + ar £ ±1, /(±1) = §. 156. /(ar) = tg2a-21tg— * ^ § + l M r , / ( f + 157. fix) - tg ar, ar ^ f +fcar,/ ( f + kw) = 0, A € Z. 155. /(ar) - arctg

158. /(ar) = arcsen (sen ar) arctg

tar)=0.

ar ^ rtt, /(nx) = 1, n € Z.

159. /(ar) - In arcctg ar ^ 0, /(0) = 0. 160. f{x) - tg /(0) - 0. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales: 161. f(ar) = (cos a;, sen a?, 1), sen X x sen X . sen 162. £(x) (1,0, ...,0), ar =-0. ( S ^ l a l . c o s s ) , a; ^ 0, 163, f(ar) (1, 0,1), a? = 0.

(

164. f(ar) = ( mV2).

7

7

fH-2a;)/2-l x

X

(t f-mx^-l) si ar e ]-l,+oo[\{0} y f(0) = (V5, 2\/2, * -.

*J

165. f(ar) = ((1 + , (1 + 2 a ) * , . . . , (1 + mar)-) si x € J - l , +oo[ \{0} y f(0) - (e, e 2 ,... 3 em). Estudiar la continuidad de las siguientes matrices funcionales: sen x ar 1 1 166, A(ar) =r 1 1 — ar ar € R. 167, A{x) - ([^y ]), a? € K, t = 1, m, i = l,n \ cos x 168. A(ar) = (fly(a)), donde a^ar) = (1 + «ar)* ,1 = 1, m, j = 1, n# ar e J—1, oo[ \{0} y A{0) = i-i^

169. .4(ar) = (<3.^(3;)), donde ajj(x) 170.

1 ji(ar) ^

x j= 0 y A(0) - £

1 4-

0

0

1

0

0

i

-ft

i

*.

4

-1

1-

»

0

0 X

u

\

x

7

A(0) =

f

J|*>. < 'iiultiiuliliiil uniforms §9.

Continuiilad

urn fnmUm

uniforme de una

l.'l I

funcion

9.1. Definicion de ctinlinuidad uniforme Definition. Una funcidn / : X --> K se dice que es uniformemente continua en cl Hiiijitnlo X si V e > 0 = t t > 0 : V x , j / € X A l a ; - y l < f i = > |/(a?) - /(y)| < e, Si una funcion f no es unifonncmente continua, esto significa lo siguientc: > 0 V<5 > 0 : Bx,y € X A j s - fll < S

|/(a;) - /(y)[ ^ e.

9.2. Teorema de Cantor Teorema. Si una funcion f : [a, ft) —* R es continua en el segmento |a, f>j, esta en utiiformemenle continua en dicho segmento. 2 7 1 • Demostrar que la funci6n f{x) =

££

x 6 ]0, 1 [ , es continua en el intervalo JO, If,

I >••• 11 no es uniformemente continua en dicho intervalo. i Hulucidn. La funcidn f es continua como toda funcidn elemental. Demostremos que esta un es uniformemente continua en el intervalo JO, 1[. yn = n e W. Entonces Sean x n

P-a

+

.»••—* 00,

ivi decir, la diferencia \xn — yn\ puede ser menor que cualquier numero positivo fijado de anli'innno. Sin embargo, |/(a;tl) - f(yn)\ = |rt + 1 - ji — 1 — e| = e Vs > 0. Por consiguiente, In luncion f no es uniformemente continua en el intervalo j0; 1[. • 272.

Demostrar que la funcion f(x) = sen ~ es continua y estA acotada en el intervalo

uliicrto JO, 1[, pero no es uniformemente continua en dicho intervalo. | Nolucidn. EI caricter acotado de la fimcion / es evidente, y la continuidad se deduce a piirlir del hecho de que las funciones y t-> sen y, y £ l y 11—> x & JO, 1[, son continuas, j>m' lo cual su composici6n tambi&i es continua. Sean x,< = ^ e n e N. Entonces, J ^ - jfaj ^ ^ J ; , , , , , 0 para a » oo, mientras que \f(xn) — f(yn)\ — I > e Me E JO, 1], For consiguiente, la funcion / no cs uniformemente continua cn JO, If.

2 7 3 . D e m o s t r a r q u e la funcion f{x) — sen a r , continua y acotada en la recta n u m e r i c a Iff, un es u n i f o n n e m e n t e continua en esta recla. I Solucion. F.l caracter acotado y la continuidad son evidentes. No obstante, la continuidad uniforme no tiene lugar, en virtud de que \m») - /(to) | =l>e Va:„ = \/n~7r

y

yn = Jnx

Vs £ JO, 1], +

n £

|ii*sc a que

I«h nara n —* oo.

-y,t

I =ywr

—

2

/mr + yjmr + ~

i:\2

( ii|>iliilo I. Inlindutrlon al

ImIh

2 7 4 . IVmnslrar que si una funcion /. esL'i delimda y es conlhm.i rn un dominio 't* -t'I oo, y, ii tie maw, existe un I finite finito lim fix), la funcion / rs mulormemontti

i i

i n

'

•

t i f

..,

X

continua en dicho dominio. Solucion. La existencia del limite implica que RR> => |/(ar) - /(»)| < e.

Ve > 0 3 £? > a : Va?, yϗ

͙͚͢

Fijemos dkho E > 0 y consideremos el segmento [a, 2£?]. Conforme al teorema de Cantor, la funcion / es uniformemente continua en [a, 2E], es decir, Ve > 0, en particular, para cl € elegido anteriormente 3 6 > 0 tal que Va:, y € [a, 2E] A \x - y\ < 6 => |fix) - fiy)| < e> Sin perdida de generalidad, consideraremos que 6 < E. Entonces, a partir de \x - y\ < 6 se deduce que o bien ambos numeros x e y son mayores que E o bien son menores que IE* En ambos casos, Va;, y > a, de la condicion \x — y\ < 6 se deduce la desigualdad \f(x) — f(y)| < e, lo que establece la continuidad uniforme de la funcion / en [a, +oo[. • • •II II •• I I !•• II • ••••• I I

2 7 5 . Demostrar que la funcion no acotada f(x) = x + sen a? es uniformemente continua en toda la recta numeriea M. M Solucion. Para todo e > 0 se tiene |/(a?) — f{y)| = \x — y - (senx — seny)\ ^ \x — y \ + [ senx — seny

x-y

|+2

x-y

sen — t - 2 - cos

« + 3/

2

ls-jfl+2

2

para todos los x e y que satisfacen la desigualdad \x — y\ <2£

• • 11

•

•

•

TI

••

2 •

6.

1—III

2\x-y\
Ь

Ь

Ь

2 7 6 . ;Son uniformemente continuas las funciones a) m xZ, x G ]-l, l[; b) f{x) - x2, x € R? M Solucion. a) Sea e > 0 u n numero real arbitrario fijo. Tenemos

\m - fiy)I = k2 - y para Var, t/ £ ]-l)l[h\x

\x + y\\x -

- y\ < ^ =

{\x\ + \y\)\x - y\ < 2l\x -y\<£

es decir, / es uniformemente continua en ] -l7l[.

b) La funcion / no es uniformemente continua, puesto que para xn - n + l I yn = nf n G N, se tiene \xn - Vn 71 0 si n oo, y j f(xn) - fiyn)\ = 2 + ~ > 2 ^ e VeG]0,2]. • ••

I •••!!• ••••

il Estudiar la continuidad uniforme de las funciones siguientes: 277.

=

[_i,i].

< Solucion. La funcion es continua en [ - 1 , 1] y, por esoy segun el teorema de Cantor es uniformemente continua. • • •••• I • I III

• II

IB I I

I

III

I I I I • I I • •• •••••••••• llllllll

2 7 8 . fix) = In x, x 6 10, II.

-n-1 Solucion. La continuidad uniforme no tiene lugar, puesto que si xn = e -n yn n G N, entonces \xn~yn\ = -+ 0 para n oo, y \f(xn)~f{yn)\ = 1 > € Vs e ]0,1],

>

fj'l, I <>ntutuid.id uniforme de una iumidn

279. fix)

XI |»,7T|.

4 Solucion. Considerammos la iuncion Fix) = f(x) para x C |0. tt[, /''(()) — I, /''(?r) 0. I )ado que la funcidn f cs continua en el segmento [0,1], entonces segun el teorema de i .uitor la funcion es uniformemente continua en este segmento y, por tanto, en el intervalo

(I), jr[.

280.

•

f{x) = e" cos

x e ]0,1[.

4 Solucion. Sean xn = ~ ii -* oo. Sin embargo,

e yn =

n G N. Fntonces \xn - yn\ - ^ ^ ^

f/(®n) - f(Vu)| - c'-"* + e > 2

-» ti para

Vtt G K.

I'or consiguiente, la funci6n no CS uniformemente continua.

•

2 8 1 . fix) = arctg a:, x e ffi. 4 Solucion. I.a continuidad uniforme se deduce a partir de que (v.ej. 268) |arctg x - arctg y\ -

arctg * J 1 + xy

^

x - y 1"' | ••-] < \x - y\ < e I + xy

para |a: ~ y\ < 6 —e.

282.

fix) - x sen xr 0 < x < +oo.

4 SoIuci6n, Scan xn — nx, yH — n-K —

n G N, entonces \zn — jfoj = jHf-fl para b -> oc, 1 + * V !/(*») - f(Vn)I = ( « * H- ,1) | sen (»jt + I ) | ^ fwr + 4 ) s e n | = Tt

para n —> oo. Memos, pues, que |/{;t;.,) - /(j/„)| > | V/i > m, y la funcion no es uniformemente continua. • 2 8 3 . Para e > 0 hallar algdn 6 > 0 que satisfaga la condici6n de continuidad uniforme I >,irn la funcidn / siguiente: a) fix) = x2 - 2x - 1,

~2 < x < 5;

b> fix) =

0 < x < +oo.

4 Solucion. a) Tenemos |M ~ Siv)\ =

-2x-l-y

2

+ 2y + i\ = \xz-if-2ix~

g\x + y\ | # - J f | + 2 [ a f - y K ( M + M I

< frl+2)|a;-y\

< 12\x-y\


x-y\ 0 arbitrario. Si los numeros x e y son tales que fKyCi-",

(1)

tiene 0 < tyx < e, 0 < •ifjj < e y \x - y\ < e" = />, de donde se deduce quo 1/(1) - /(y)| = | v ^ - {/y| < £ para \x - y| < e - 6. En cambio, si (1) no sc'cumple, es dear, si al menos uno de los numeros x, y no es menor que e", entonces "

/

I

/

^

>, /".. , n

r, /TT -

,1^1

M

CapiUiln I. Itihodualoii al iinnlisis

lucyo

-f pa ra x

y| < e7t - 6.

x - 2/1 + fan-3y2

+

— y\

< "/j^l

^ . .+

Tl—

1

<€

•

2 8 4 . Demostrar que la suma y el producto de un numero finito de funciones uniformemente continuas en un intervalo J a, son uniformemente continues en dicho intervalo. A Solucion. Es suficiente examinar el caso de dos funciones /, g uniformemente continuas en ]a, For definicion,

Ve > 0 3 Si > 0 : Va, y e ]a3 b[A\x-y\<

6l

Ve > 0 3 S2 > 0 : V®, y € ]a, i>[ A \x - y\ < 62

e - f(y)\ < 2% e - m I< 2

m

m

(1) (2)

Si \x — y\ < 6f siendo 6 = min{$i, £2}/ entonces se verifican ambas desigualdades (1) y (2), La continuidad de la suma se deduce de la desigualdad

f(x) +g(x) - fiy) - giy)| < \f(x) - fiy)\ + \g(x) - g(y)\ <

2

2

que es valida Vie, y G 6[ si \x - y\ < 6. La continuidad uniforme del producto se deduce a partir del hecho de que

f(x)g(x)

~ f(v)g(y)\

- \f(x)g(x)-f(x)g(y)

+f(x)g{y)-f(y)g(y)\

^\m\\g(x)-g{y)\ si \x ™

< <5, a? £

b[, y G

&I, donde L

<:

+ \g(3/)\\f(x)- f(y)\

sup j/(a)|, Af = sup ^(se)

+ •

2 8 5 . Demostrar que st una funcion monotona acotada f : ]a,b[ —• K es continua en el intervalo ]a, b[ finito o infinite, esta funcion es uniformemente continua en dicho intervalo. i Solucion. De las condiciones de partida se deduce que existen los limites finitos /(a + 0 ) = lim /(«),

fib-

0)-

lim

f{x).

Si a y 5 son finitos, entonces considerando que f{a) — /(a + 0), fib) — fib — 0), obtenemos una funcion / continua en el segmento [a1 b\. En virtud del teorema de Cantor, / es uniformemente continua en b]. Si uno de los numeros a, 6 o ambos numeros son iguales a —00 o -hoc, respecti-. vamente, entonces a partir de los razonamientos analogos a los del ej.274 vemos que la funcion / es uniformemente continua. •

286.

Se denomina modulo de continuidad de una funcion / :

-+ R a la funcion •

donde sup |/(#) — fiy)j, x e y son puntos arbitrarios de 6[ que satisfacen la condicion \x ^ S. Demostrar que para que la funcion / sea uniformemente continua en ]a, b[ es nwncarin \r ciiiftripntp niip lim = 0.

i)1' t (Hitiiitiidiul uniforme do uiui him'ioii

lit.'i

Solucion. Net wit Itnl, Sen iim «>/(#) - 0 . Kntonaw a . i ii We > 0 3 i, > 0 : V®, y € la, b{ A Vt> < 6y Dado que w/(6) =

wf(6) < s.

sup \f(x) —f(y)j, se tiene |r-lf|<
l/(») ~ f(y)\ < £

decir> la funcion / es ttniformemente continua cn ]«, Suficiencia. Sea / uniformemente continua en ja, Ve >()

por tanto

> U : V s , ; v e \aM /\\x - y\ < <5 => f/fcr) - f(y)\ <

Sin embargo, bajo las mismas condiciones paiai x c y se vtrifoa v f {6) - sup

es dear. lim ujf(6) ~ C. 6 ->+0 lijercicios Kstudiar la continuidad uniforme do las funciones siguientes: 171. f{x) = V a ? T T 173. f[x) 175. /(*) =

172. f(z) =i/x*\nx,

x, 0 < x < 1. 0<

177. /(*) = ^

a; S R .

ISO. f(x}=e-*\

x € R.

+00.

I < a: < +oc.

174. f{x) - y/x,$
-HOC.

~l < x < 0.

178. /(»>=* +in®, J . ^ jt < -foe. ITS. f[x) = xbix, 181. /(»>=

183. f(x) = x cos x, x € JR.

x €

t £ JO, If.

1BZ. /(*) = i * In a-, x ^ 1.

184. /(s) - ar o w * , » 6 [0, *].

185. /(a;) = x3 + x7 + I, x
Capitulo 2 •• • i •

Calculo diferencial para funciones de una variable § 1. Derivada de una funcion explfcita 1.1. Definiciones fundamentals Definicion l r Dada una funcion / : Ja, &[ —» R. La diferencia Ax = x — b[) se denomina incremento del argumento en el punto Definicion 2. La diferencia Af(x$) ™ f(x0 -f Aa?) - /(#q) se denomina incremento del valor de la funcion / en el punto x 0 . Definicion 3. Si existe el limite (sea finito o infinito) ( x

7

x q

€

Af(x0) A rr, a^O Ax }

i m

, ™ /

^

este ultimo se llama derivada (finita o infinita) de la funcion / en el punto Xq, Definicion 4. Los limites (finitos o infinitos) '-<*>=

Ax-^-0 AX

ton

Ax^bO Ax

^

se denominan, respectivamente, derivada por la izquierda y derivada por la derecha de una funcion / (finita o infinita) en un punto En todas estas definiciones el limite infinito se entiende como uno de los sfmbolos +oo o —oo. Definicion 5. Si una funcion / presenta una discontinuidad de primera especie en un punto Xq, las expresiones

f'_{xo - 0) = lim Aa;->-0

+

-f(*o AX

- 0)

f>(xo + 0 ) =

/(«0 + lim Att^fO

- /(»0 + 0) Ax

se denominan respectivamente derivada por la izquierda y derivada por la derecha en sentido ampliado de la funcion / en el punto x{). Debe recordarse que en todas estas definiciones el incremento Ax tiende a cero de una manera arbitraria, En general los incrementos Aa: y Af(xo) pueden scr tan grandes (o pequenos) como se quiera.

r

fj I. I V r i m t i i dc uttji luinii'in I'xplitil.i

I'X/

1.2. KeglaH para cl o.-flt'idti tic derivadas Si dos funciones / y y tieiien dcrivadas finitas para x c |(t, b\, un tun cos: 1) fa | / 4 a 2 y)' <*\f' + a?//, donde or; y a 2 sun cons (antes; 2) (fg)' - fg' + f'u)

3) ( 0 ' =

g(x) / 0.

1.3. Derivada de una funcitfn compuesta Si dos funciones f : u »-+ f(u), ^ : a? t-t tt — ^(ck) tienen derivadas finitas /,', y enlonces {/(^(ss))),. = f'u{tp{x))ip'^. HI submdice designa la variable respecto a la que se i ali ula In derivada. 1.4. Tabla de derivadas Sea x una variable in depend i en te. So verifican las formulas siguientes: I) (xa)' = axa~\ ') n

-

(sen x)' — cos x;

4)

(tgtf-d*'*

6)

'/) (arctga:)' = =

I'i)

(ch:«)'= sha:;

I'i) (cth Xf = - 3 ^ ; 17) (arth a:)' = I'))

=

senx;

(arrctgs)' = -

10) (arccos®)' = a > D, a / 1, (In atf = l j

(log^y

(cos rr}' =

a> 0,

(rtg'^-sk;

8)

»J) (arcsen w)' = 11)

(a1)' =a*\aa,

2)

< 1;

12)

(sh * ) ' - ch

14)

(tha;)' -

͚ͧ͢

(arshx)'(|«|)' = sgna!,

18)

xf-ty

<[xj)"=0, a-^Jfc, & 6 Z . 1.5. Derivada de una funcion elevada a otra funcion Si dos funciones u : x <--> ti(jf) y v : x i-* v(x) tienen derivadas finitas, results ((«(«)) t ( i ) )' = (umf^

(*'(*> in m

)

+

,

m

> o.

1.6. Derivada de una funcidn vectorial y de una funcion matricial Si las components de una funcidn vectorial f : x derivadas finitas, entonces

(/i(ai), f2(x),.

.., fn(x))

tienen

I'ur analogfa, si los elementos de una funcion matricial A : x i-» (
««(») aLtfc)

A' = («l/(a)) = \ n'

n.' Jnt\

a'm(s) \ • • • <*Qn(x) a' (ai\ /

(apilulo

(ViliuJo tliloriMU'iiil para

funcmiH'N
L7. Dcrivada de una funcion compleja de argumento encalar Si w : x ^ > u(x) I- iv(x) y Ins funciones u ; x t—• u(x), v : x i > v(x) tienen derivad finitas, la derivada de la funcion w se calcula segun la formula f

r

.

.

t

w =u H- %v . 1. Determinar ef incremento maximo A a: del argumento x y el incremento correspo diente A/(^0 ) de la funcion / : x »-> lg x en el punto x0 — si x varia de 1 a 1000, ^ Solucion. Haciendo uso de las definiciones 1 y 2 del p. 1.1 tenemos Aa; = 1000 - 1 = 999,

A/(ar0) = lg 1000 - lg 1 = 3.

•

2,

Determinar el maximo valor absolute del incremento Ax, y el incremento cor 1 spondiente A/(x 0 ) de la funcion / : x *-+ - j en el punto Xq — 0,01 al variar x desde 0, hasta 0,001. < Solucion. Por analogia con el caso anterior obtenemos A/(a?0)

Aa = 0,001 - 0,01 = —0,009,

1

1

(0,001)

(0,01)

99 • 104.

•

Nota, Los ejemplos 1 y 2 muestran que los increments Ax y A/(ar0) pueden tomar cualquier valo

3.

A una variable x le comunican un incremento Ax en un punto x0f es de x Xq. Determinar el incremento A/(xq) si: x & f {x) = (x7 sen x} e );

c)

Ax

^1

b) }{x) =

1+x

+% 4— x

»€N-

>'

^ Solucion. Conforme a la definicion 2. del p. 1.1 tenemos a) Af (£ 0 ) = f (x) - f (a?0) =

— ^o, sen x - sen

e

Ax, 2 sen ^

ex») cos(x0 +

, e*»(eA*

£ 4- j./[ x 2+ v4 —Ή 3 Ax 4 Aa; Xq ^ + i (2 + aro)(2 + xQ + Ax) (4 - ar0)(4 - Xq - Aa;)1 n In x" - x0n x" In x In1 sh shx 1 sh X — sh XN 0

b) A/(a?0) - f{x) -

c) A / ( X 0 )

f(x0)

3 2+ x

3

0

X q

Ax ^ 4.

x q

(So + Ax)'1 - x"

In ( l + - f )

2 sh Y ch ( x 0 + • I •••• I MM I M ^m ^m !!••••• Mil •• I I

4.

•••

I

0

II 111 I

Hallar /'(1) en los casos siguientes:

x x+Y

a)

fix) — {x - 1) arcsen

c)

f{x) — cos x -f i sen(x - 1);

i

b)

f (ar) = (arctg ar, 2*, In a:);

d)

/<*) =

X

Ihx

tg x

X arcsen {x

i)

X

{j I. Oriiv.ni.i (if una funcion CXpMVltd

IjIM

: 4 Solucion. Hatfpndo uso do ia definicion 3 del p. 1.1 obleiicmus v a)

,vn f W

b) m

.. m ± As)-/(1) - tlo Aai

A

ton

+

"

=

-1),

= Hm ( « S f f l i £ f c ! 5 * i t

c) /'(I) =

arc,on Ax

r =

i

=

V tg (1 + Ax) - tg I

„

V

„ ( I i 2 J n 2 ) 1); s e n l +

%

arcsen A®

J

\ ^

\ ) '

{J • Nofa. ejemplo que viene a continuacion poi.e dc relieve la importances del hecho dc que on lo iii'litiidon dc la derivada el incremento Ax tienda a eero de cualquier manera arbitraria.

•r>.

Demostrar que la funcidn vectorial sen x, i>{x), e~x' j ,

f : x t-t J icsen donde mx) = < * \ 0,

' n o tiene derivada en el punto x = 0. F « = 0,

4 Solucion. Para que una funtidn vectorial tenga derivada finita es necesario y suficiente i (He cada una de sus componentes tenga una derivada finita. Demostremos que la funcion t/1 no tiene derivada en el punto x — 0. De acuerdo con la definicion 3 del p. LI tenemos •j #'(0) — lim sen -r—. Ax-o Ax Iii tomamos Ax ibstante, si Ax — no existe.

~

—> 0, ft —> oc, k G N, tendremos sen ~ — sen2fcir - Q. No ^, entonces para k —* oo sen -£- -+ 1. Por tanto, la derivada i>!(0)

ll.iliar las derivadas de las funciones siguientes: ().

f (a) = ( V r 2 + « z V s e n

(cos7'(sen3 4jr 5 )), e " 4 1 ' ) .

4 Solucion. Cada componente de la funcion vectorial tiene derivada finita; por eso, do .ii uerdo con el punto 1.6 hallamos !'(.,) -

( s e n ( c o s W 4 ® 5 ) ) ) ' , (e"4*1}') -

+ - f . * VVTT^

+

+ j l +

, - cos (cos 2 (sen 3 4 s 5 ) ) x tf—7? (v^Tx1)2 V >

x sen(2 sen3 4®5) - 60 sen 1 4® 5 • cos 4a:5 • x*, -12xle~4*').

*

( apilulo 2. ( ^Itulo difeinidal |Mf,i hnuiunes de mi.i variable

I'

4 Solucion. Do acuerdo con o! punto 1.7 Ivnenios

f'(x) -- (sen(cos x)) -f-i(cos(sena;)) — - sen x cos(cos a?) - i cos x sen(sen x) I II I I I I B " ™ • •• • ••• •

•

8.

••••••••

i

sen 2 a? cos 2x sh 3x ch 3x

m

M Solucion. Haciendo uso del punto 1.6 hallamos (sen 2x)f (sh 3x)'

/'(a)

(cos 2x)' (ch

2 cos 2x

2 sen 2x

3ch3x

3sh 3a?

• • • ••••

9.

•

•••

•

Hallar la derivada de la funcion vectorial f :x

^arcsen —7, [ar] sen2 nx\.

^ Solucion, Para \x\ > 1 y x ^ k, k £

{•(x)

f ^arcsen

( M sen 7xx -1

, ([#])' sen2 7rx +7r[ar] sen27ra?

x Vx2 - 1

X

, tt[X] sen2fl"£

En el caso de |a;| > 1 y x = hf k G Z, examinemos las derivadas por la izquierda y por la derecha de la funcion y : x [x] sen ttx. Segun la definicion 4 del p. 1.1 tenemos j4(*)

[x] sen2 nx .. [k + hhr2h2 lim • •_• — lim 1 r^ — 0. h ar-*kfcQ X - k v

Dado que yf(k) = 7r[&] sen2?r& — 0, resulta y\x) = tt[rc] sen 2ttx para todo x, Por consiguiente, i = , 7r[a?] sen 2ttxj, x > 1. • T

10.

I

I

I-

Hallar la derivada de la funcion matricial i^ fix —

donde an (a?)

arctg a; si sr j sgn a; + ^ si

® 12 0*0 - 021 (®) anrf(x) — larl.

2 are

A

i

si si

a? £ 1

x\ > 1, ^ 1,

\x\ > ? 1

»| I i i n Iv.iii.i tie mill Sniurtm I'xpllillii

I'll

Solucion. lin jiiinn'i* loj^it^ < .ilnikiwis las derivadas dc Ins eleini'iilos do la matrix dada. I'.It.l ;x*| / I y ;):/() li'IM'rtUW

(

2

SI

\x\ > 1,

Wn(x) = sgn u1. I H-ternunemos ahora las derivadas uni later ales de las funciones «y(:v) eri los puntos x --- 1, x - —1 y x = 0: flji+(-l)

= lam A—+o

ou-(-l) = >m fr-t-0 ft W D = A->+0

—

r

to

a „ _ ( l ) = tun fi-.-o

f e-trm ^

=

-2h

i Utn^

— = +«>; =2

i =

ft

= Hm

+ h

~-

-f ft

—, (_t

fl„+M>

• = -; 2

ft

a ! 2 _ - l ) = lim h—o

2

h

= 0;

__ i — =

+ h2)(l+M-

h2

+ of/i )}-l) = 0 . 2

De manera analoga hallamos que a' 12 -(l) - 0, fl 221(A) = ± 1 . De este modo, nlitenemos finalmente tt-s / ' ( » ) =J

\ 2®$

ft

2xe~*\l - x7) \ x2)

*»-(! l)>

sgnx ( J \ 0

si

0<|»|<1,

si

\x\ > 1;

/

° . ) sgn® /

«)•

I'orcuanto On_(—1) = +oo, la funcion malricial no tiene derivada finita en el punto x — - 1 . V.n el punto x - 1 sc verifica la igualdad f'+( 1) = f'_(l), por lo run I /'(J) = f\(!) = fl( 1). lin el punto x — 0 las derivadas unilaterales existen pero no son iguales entre si, por consiguiente /'{0} no existe. • i t

Demostrar que si las funciones «y = ay (x), i,j -- I , tienen derivadas fin it <15, l,i derivada del determinante D (x) = det (<(tJ(a:)) puede caleukrse mediante una de las [lirmulas siguientes:

I <12

i\i|>iliilo 2, < ^Jrtj|(» diforcnrhil «i„(iif)

I?(x)

p i i n t

Itiiit ioiH1^ de

M

•

F A I

-

+

k

)

j

1

I

t

t

a2i(x)

V-

(1

J

*

a\k(x) ...

fl-nfap)

D'(x)

variable

i

f!„i(x) an2(x)

tt2i

I

ihi*i

£

1

I

>

ata(®) 02n(®)

(

•

fc=l

<*»i(ai)

»

»

*

*

͙ͣ͒

*

4

Solucion. A partir de la definicion de determinante

D(x)

<*n(«)

«a12(se)

4i

#

*

<*2i(®)

022(3;)

fr

i

*

«

+

•

donde s es el numero de inversiones en la permutacion [ilT i2j...

> in], hallamos que

Df(x) = ( ^(-l)*af T l Oi 2 2 . . . aintl 8

$

a-[2 Ct22 •* a2n

Oil "12 * '

-

/

a22

+

• '• a2n

an

al2

a-N

a2 2

/ )

an2 ..

an2

--

i

an2

nn

es decir, obtenemos la formula (2)* Por analogia, partiendo de la representation D

obtenemos la formula (1).

0*) = ^2(-1Ya\i[a2i2

•--

•

2 Consideremos algunos ejemplos de calculo de la derivada de una funcion arbitraria en un punto y en un entorno de dicho punto. 12.

Demostrar que la funcion

/ :x

tiene derivada discontinua.

x 2 sen X10

X 2

si

x -fi 0,

0 1

si

x =0,

X

0 0

I) I DimIvimIii
N'l

Noluririn. Si x / I), los t'ii'im'JtliW ill; la mailt/. dada lie m-it drrivailas qm* W aiicitiau hi"j;i1ti lbs ruglas nlitit'tonattri en ins pun los 1.2 y 1.3. txiiiforme al punto !.(>, para x / 0 IrlUfnOS , f 2x sen - - cos \ I \ * " I. f m: a: t~M V 0 2xe J I

acuerdo con la definicion 3 del p. 1.1, en el punto x = 0 se tiene

A-D

h


an(x)

(a) = 0,

~ x,

x f 0, x   ct&(x) — e

,

t ><• este modo,

/':

x


(

2x sen i - cos -

V

0

1

f

2xe* (

0

\ ) 0 )

si

ar # 0, '

Si

* = °

Estudiemos ahora la functfn matricial

BCn

* 0

C°S 1

^ _z 2xe*

I . )

lin virtud de que el limite lim (2x sen — - cos - ) V a; x/ no existe, tampOCO exisle Um fix). i—u punto x — ti. 13.

Por consiguiente, la funcion
^Bajo que condici6n la derivada de la funcion |«Psenj^p

7

/(0) = 0,

m > 0,

a) esta acotada en un entorno del o rig en de coordenadas; b) no esta acotada en dicho cnlorno? Solucion. a) St x / 0, la derivada se calcula segtin la regla 2) del p. 1.2: /': a n

sgn®-sen ^

1

- m l w r - 1 7 1 - sgnas- cos

1

(a)

Si x — ti, la funcion x (-» sen ~ no tiene derivada, por lo tanto no se le puede • iplicar la regla anteriormente mencionada. Utilizando la definicion 3 del p. 1.1, obtenemos <[iie la derivada |7i|n sen t ~ , ( / (0) — lim — ! S - = lim ( s e n * ' ft-o h 6-oV

i v. 777— sgn A I \h\m b )

v mj mi iii( >• /.. v iin itin uiirrrntun pniii ninutim'N nr mim viiriium'

I 'I'I

riiiJc stilo para n I y i>s igiiiil a rem. For nniMi^uirnle, I'M fl rnloriio del origen d i uonli'iuidits' la derivada cxisle si n > i. Km evidenlr qui: la derivada esla acotada pat n w J > 0, es decir, para n £ I m. b) Como podemos vor a partir de a), la derivada no esta acotada, si n — 1 < 0 o bid n m - I < 0/ de donde n < 1 o bien n < 1 -f rn, es decir, cs suficiente que se cumpla desigualdad n < 1 -j- rn. Por otro lado, para que exista /'(0), es necesario que se vcrifiqi u - L De este modo, para 1. < n < m la derivada f no esta acotada en el entorno que 4 I'Mimina. • I i llhril

14. Demostrar que en todo entorno del origen de coordenadas se tienen puntos en lo cuales la funcion ' x2 fcos X- 1 , x ^ 0, i—> 0, x = 0t

/ :®

no posee derivada finita, sin embargo, en el punto x — 0 la derivada de la funcion si e finita. x COS 5~T' <4 Solucion, La funcion x f—> x tiene derivada en todos los puntos. La funcion i— tiene derivada en todos los puntos, salvo los puntos x = 0 y x = xk 2 A:-1-1, k e Z. Po eso, para x ^ 0 y x ^ x^ la derivada de la funcion / puede calcularse como derivada de; producto x2 j cos ^ j. En los puntos x = 0 y x = Xk la derivada de / se calcula a partir d A/(0) h cos JhT , se tiene las definiciones 3 y 4 del p, 1,1. Dado que ft

lim h

/'(0)

cos

7T h

0,

es decir, en el punto x = 0 la funcion / tiene derivada. Calculemos ahora

2 }t±

\2k

+1

1 / 2 lim - —r—

h->±o h \2k +i 4

(2k +

l)2

lim

1

oh

k + 1) cos 2 tt(2 + (2k + 1)A

2 1

)

+ f t

cos

ir(2k + 1) 2 4

(2k + l)2

Hm

+ 1

h

ir(2 k + 1 )

2 + (2fc+ sen

2

(2ft + 1 )

tt{2& -f 1)

?r(2ft + 1 ) 2 • ••—"

2 + (2fc + 1 )h

. i • . .

d=7T,

6 ^ : < 6:, en todo es decir, la derivada f{xjt) no existe. Por cuanto Ve1 > 0 £™entorno del origen de coordenadas se encuentran puntos en los cuales la derivada no existe. 15.

Demostrar que la funcion

f i x i-+

sen2 x, 0,

x e Q, « e K\Q

tiene derivada solo en los puntos xk — kw, k € Z, Solucion. En los puntos x ^ xu la funcion / es discontinua y por eso no puede tener derivada en dichos puntos. Ahora, de acuerdo con la definicion 3 del p. LI, en tos puntos x --- Xk tenemos lim ffak+h)h a—o

f(Xk)

lim

h^i}

f { X k

+

h

h )

'i I IHi'iiviitla! tic uriii liint'iun vxpifipfibi

'ii xk I h C <]), jvsipll.t ijilt /(.V. i A). 1

I'lS

scn' (x*, + h) s e n ' h y lim > ' % " " !

k

III c a m b i o , Si xk I h ( IK\<1>, e n t o n c e s f(xk -j- h) — 0 y lim ;'(«*) = o.

lim ^ "

;

tt.

. I). D c este m o d o ,

•

| Determinar la derivada por la izquierda fL y la derivada por la derecba f'+ para las funciones siguienlcs: 16.

f: s

([a;] sen jrx, - - ^ " t ) /

x

^

7

f

(°) = (°>

4 Solucion. Segun la definicion 4 del p. 1.1, se tiene f ± : x f->(/j±(x),

/?-, (?•)), Dado que para

j• / k, k £ X, existe /{(ar) - tt[:k] cosvt;1', resulta f[,.(») - /[_(ar) = jr|ar] cos %x para % •/ k.

1 1'or analogia, para x ^ 0 se tiene f^x) - — ^ — — t f - „ poreso l+e* ifj-l-di J piira x ^ 0. C a l c u i e m o s ahora f{±{k) y (0). T e n e m o s

- fL(x)

•••• f{(x)

fc

fi+fA;) = lim — ft-±o

h

—•••

— bm ft^to

• • . ft

sen -nh.

Ji- donde - ( - D * attt,

m

=(-if(fc -

A-±fl

/i

/j-iai+es

jhvi' lo tanto /2+(^ = 0,

/ t ( 0 ) = 1.

I )c este m o d o , f'_(a:) = f\(ar) = ( \

cos7T£, — — r \, ) 1 +e= (1 + e s j /

f,(ft) =

y

V

l+

L ? 

(1 + e r ) -

si

ar ^

fe,

k £ Z,

y

!

Wr

I [k)~. I ( - ! ) ( & — 1Ki ~ — + ~r l + er (1 + , i.iendo k £ 0, Si Ar

0, tenemos f + (0) = (0,0),

17.

/ : X t->

fl(0) = (-ir, 1).

•

Vv-r^.

La funcion : « ^ \/w tiene d e r i v a d a finita para los valores « > 0. La f u n c i o n ij>: x i-» u = 1 •- e~ tiene d e r i v a d a p a r a t o d o s los x. Por eso, si a: 0, la f u n c i o n / tiene derivada q u e p u e d e ser calculada c o m o d e r i v a d a d e u n a funci6n c o m p u e s t a , Asi p u e s , |Wra x / 0 t e n e m o s

I Solucion.

l',(x) - K(X) - /'(ar) =

( iipihiloZ (Mlcufo dilvivmial para Jtmdones tie una9,m r/i!>lc

M6 En el punto x

0 para los valores /.' (0) y i lim f V l

r sm

e -A*

/i->±o h

(0) hallamos

w.

lim

h

e h2

• • — •• •• I ••• I •

/i->±o h

A^

- ± lim

L.

•••••

• •

h

±1.

mn

—•—I

18.

•

2

Demostrar que la funcion

/

arcsen— af sen I- x^O X

-x

tV

0,

X

0

=

es continua en el punto x — 0, pero en dicho punto no tiene derivada por la izquierda derivada por la derecha. Solucion. Dado que lim ^ ^ ^

*^

sen

0,

=

f(Q) = 0, a partir de la definicion

continuidad de la funcion en un punto se deduce que la funcion / es continua en cero. pues, t « arcsen h 1 m - m lim hm sen —, f±( 0) l

h

A->±0

l i Ik-a y h

k

t ±oo,

h

. v a— rcseun—it], entonces lim sen JL"

k-^+.oo

h

j

0; no obstante, si h ~ h^

fir

arcsen h

Jzoo, tenemos lim sen 1. hn 2for+j r/2 Y ft™* ±00hi Por consiguiente, las derivadas unilaterales no existen k

••••

19. Determinar las derivadas en sentido ampliado /_(xo) y /.'.(#o) de la funcion / 3 sus puntos de discontinuidad Xq si: a) / : x

Vx2 -f x — x

b) / : x i-+ sgn (x — x ).

^ Solucion. a) xQ = 0 es un punto de discontinuidad de primera especie. Hallemq primeramente /(±0). Tenemos /(±0)

lim a—±o

Vhz + h3 \h\ ,—— = hm — h h—±o h

±1.

Ahora, conforme a la definicion 4 del p. 1.1 /4(o)

lim

h2

Vh2 + h2 h -* i-.O

\h\

lim

M

lim o

1

1—Hr^H

Vl + 1 1

h-l

--

lim

\h\

VTTh h

1 r ft - * hm -TV a-±o ft|

b) X\ — 0, #2,3 = ±1 son puntos de discontinuidad. Tenemos /(±0) - lim sgn h( 1 - h2) = ±1,

h—>±0

/<1 ± 0) = ttm sgn ((1 + h)(l - (I + hf))

= T'l,

/ ( - 1 ± 0) = lim sgn f ( - l + h)( 1 - ( - 1 + ft)2)) = ^1.

2

Ji I I

iv.ttJ.1 il>- un.i luiu idn eSpliVIlii

J'17

Dc aeuetxio t'ltn b ileliniWi'm 4 del p. 1.1 obliwmtw i j

.. sgn//.{I M0) = linn — h - i.o h

I

sgn {(l+h)(l 1 — /id) = .lim;

I ± U I = lim — — ft-iJ-o h

h,l)-v

h

—

G,

(I-\-h.?))±l — = lim li — A—>±0 h-

:

/'( 1 ) = Hm it^±a

, h

— lim — — — - 0, h—n) a

sgn ( { - 1 f/!.)(! - ( - 1 + h f ) ) ± l h

„ sgn ( - 2 h ± 3h2-- lim — ; ft—+o ft

hJ)±l j l ± 1 rt = lim — - - — =•-• 0. ft—±o n

*•

20. lEs posible que una funcion / en su punto tie discontinuidad tenga derivada finita (ilcrivada infinita)? fl Snlucion. Como es sabido, una funcion que tiene derivada finita en cierto punto es mci esa riamente continua en este punto. Pot consiguiente, una funcion de este tipono puede Ii'siit derivada continua en su punto de discontinuidad. fin lo que se rcficrc a la derivada infinita, como se muestra en el ejemplo siguicnte, l.i tespuesta es afinnativa. Enefecto, consideremos f(x) — sgn x para x — 0. Tenemos fx0) = lim ^ h—o h

- - lim J - 1 oc, ft-oh

f'+{0) -

lim h—io

-

ft

lim I = +oo.

•

11. ^Se puede afirmar que la suma P(x) = f(x) + g(x) no tiene derivada en el punto •i si: a) la funcidn / tiene derivada en el punto xo, mientras que la funcion (/ no Ui tiene Cn cl mismo punLo x0; b) ambas funciones / y g no tienen derivadas en el punto fl Sol mi on. a) Partiendo de la definicion 3 del p. 1.1 tenemos = lim >i-.o

h

= lim

h-~o \

h

,

h

. '

m

Supongamos que la funcion / tiene derivada en el punto so y la funcion g no la lime. Kntonces lim = f'(xc), mientras que Jim no existe. Entonces, empleando h—U " ft—3 " rl inetodo de reduction al absurdo se puede establccer con facilidad que el limite dc (1) no im -Ii; es decir, la derivada ^f(a;o) no existe. b) tin ciertos casos ia derivada F'(a.'o) puede existir pese a que ambas funciones f v }i no la tienen. Por ejemplo, si Fix) — ip{x) + ( tiene derivada en rl punto y i> n o tiene. • 22. -Sc puede afirmar que el producto F(x) = f(x) g(x) no tiene derivada en el punto >i :i!n si: a) ia funcidn f tiene derivada en el punto Xn, y la funcion g no la tiene; b) ambas J ; / ,. „ — t\ , 4 I „1 > ->

IN

t '.ijiilulo

( 'illi'(ilo d i forviicjal para luiniimrN de una variable

< Sol Lie ion. a) I'or lo general, no. Segun la definition .'I del p. I.I, Irnmios

h—»0 V

tl

fl

( i )

Al analizar (I), llcgamos, en particular, a la conclusion siguiente. Si la funcion g estd definida para \x -

Ag(xt})^ M (M = const), entonces h

< S (6 > 0), f(x0) = 0,

Xq — 0, resulta que F'{0) = 0. no existen, pero se verifican, por ejemplo, las

existe. Por ejemplo, si f{x) = xt g(x) — A/(g„) y Um b) Si los limites lim a condiciones: 9(&Q) = 0,

(aty)

/(#o) = 0,

k

I

y las funciones y y g son continuas en el punto x — entonces el limite (1) existe. EstO |a;|, Ambas ultimo queda bien ilustrado en el ejemplo de las funciones f : x ^ \x\ y g : x funciones no tienen derivadas en el punto x — 0, sin embargo, su producto f(x) g(x) = x\ evidentemente, posee derivada igual a cero. • M, siendo xq £ E un punto limite del conjunto E. Denominemoi

23. Sea / : E C al Kmite finito

lim

/(X)

~f

= f ' M

M

͙͚͢

derivada de la funcion f en el punto

respecto al conjunto E , Hallar la derivada de la funcion / en el punto xq respecto al conjunto E si: 1 1 \ x 0,® = 1 a) f{x) - 1 en E

b) /(*)

ar,

3 € Q,

en

0, x e M\Q,

,E7 = Q.

Solucion, a) El conjunto E posee un unico punto limite x{) = 0. Utilizando la formula (1) obtenemos

1 — 1= 0,

- lim

[xtm y

X

b) Todo punto del conjunto R es punto limite del conjunto Q. De acuerdo con (1) veamos solo aquellos puntos limites que pertenecen a Q. Sea xq £ Q. Tenemos f s f a o ) = lim (ae© A-

M

:qi

m

f(x X — Xq -

Ь ЬЬЬ Ь

24.

m-J-J

0

)

•-

Ь

Sean a,b : W. —* En, siendo a = («i(aO,

x

x\

lim 2Xq, X — UXn (*€Q) —

n

•

r^

• - . , om{x))f b = (fri(®)>fefaO,•

ti[. Las components a*, fr* tienen derivadas finitas en ]ctd[. Demostrar1 ^n(^))/ x que el producto escalar (a, b) tambien tiene derivada que puede ser calculada mediante la formula {a, b)' - (a', b) + (a, b').

Ii I I tciiv.nl,i dc una funcion t-\j>hril,t

I'I"

4 Solucion. Stalin la drill rjtttirtil ,i del |). 1.1 lenemits

(a, !>)' = lim yt ((a(a:„ -I h), b t e + h)) - (a(«o), b(;c„))) = lim l{^(a(sCo T h ) - a(a'o), b(ito 1- h)) + (a(«o), b(a u + A) ~ b{:c<,))) » Lim ( ( ^ ( ^ b f o + A)) + (

a

(

®

4

=

'

( a ' { « 0 ) , b W ) + ( a f o ) , b'(ift,)) •

I'.tra obtener este resultado h e m o s utilizado las afirmaciones siguientes: a) Las d e r i v a d a s a' y b ' existen, d a d o que, s e g u n las condiciones d e p a r lid a, existed Us d e r i v a d a s d e sus componcntes, b) El p r o d u c t o escalar es continuo, p o r ello el paso al limite p u e d e rcalizarse bajo <•! sij;no del p r o d u c t o escalar. c) hil p r o d u c t o escalar goza d e caracter h o m o g e n e o , p o r e s o el factor h~l p n e d e inlrodudrse bajo el signo del producto escalar. d) La funcidn vectorial y cs continua en el punto XQ.

•

2 5 . Sea f : J a, 6[ —* E, d o n d e E cs u n espacio euclideo. D e n o m i n e m o s , p o r definicion, derivada d e la funcion f en el p u n t o x0 d]a, al limite f'{x ) = lim ^ - ( f ^ o + A i J - f ^ o ) ) .

tO

D

Demostrar q u e si Ylfa), y(x) son, respectivamerite, u n a matriz funcional y una funcidn vectorial q u e tienen d e r i v a d a s finitas e n ]«, b[, la derivada d e A(x) y(.r) s e c a i c u l a m e d i a n t e la formula ( 4 ( a ) y(»))' = A\x) y(x) + A(x)

y'(x).

4 S o l u c i o n . H a c i e n d o uso de la definicion (1) t e n e m o s (4(«)y(a!))

= lim - ( 4 ( s 0 + h)y(Xo + h) - 4fc 0 )y{sfo)) , i ~ti> ft—0 n,

t Jado q u e existen las derivadas y lim (A(x) y(x))'

A'(xa), y'(xo),

x0

{%)

tambien existen los limites lim — = h—(I

A'i-.r.))

i= y'(3~|)). Entonces efectuando el p a s o al limite, a partir d e (2) o b t e n e m o s

X=Xq

.

lim ^ «—0

ti

y(x0

+

h) + l i m A^) A— 0

^

II

=

= A'(xa) y{xt)) + A(X ) y'(xa). q

•

2 6 . Sea A(x) una matriz c u a d r a d a que p o s e e derivada finita y para la '~ua! existe la matriz inversa Demostrar q u e = -A~l(x)A'(x)A

\x).

4 S o l u c i o n . Utilizando la definicion (1) del ej.25 establccemos p r i m e r a m e n t e q u e p a r a el producto dc d o s matrices .4 y JJ cuvas d e r i v a d a s son finitas se verifica la f o r m u l a

( apiliiJo

CUJ

t'.fJcufo dtlcrcnnjl pat.i hincmfU'rt tie mili variable

(A(x)li(x)y • : A'(x)l?(x) I i1{:i:)//'(ar) on virtud do la cual

= A'(x)A^(x) + A(x)(A Por consiguiente, a partir de la identidad A(x)A

[(x))\

(a?) = / (matriz unidad) se tiene

A'(x)A~l(x) + A(X)(A~1(X)Y

= 0

i

(matriz nula).

Finalmente, multiplicand o por la izquierda ambos miembros de esta igualdad por A { llegamos a la formula requerida. • 27.

Sea A(x) una matriz que tiene derivada finita. Comprobar si es valida la f6rmula

(An(x))' = nAn~\x)A'(x),

n
(1

M Solucion. Ya para n — 2 vemos que, en general, la formula examinada no se verifica. Ei e fee to,

(A2(x)Y

- A!{x)A{x)

= (A(x)A(x)Y

+

A(x)A*(x).

A partir de esta formula podemos tambien concluir que (1) es valida si las matrices A(x) A*(x) son conmutativas. Resulta que el caracter conmutativo de las matrices A{x)r Af(x) e tambien suficiente en el caso general para que se verifique la formula (1). En efecto, debid a (1) se tiene

{Anl-\x))r ^ (An(x)A(x)Y - (.An(x))'A(x) + An(x)A'(x) = nAn~1(x)At(x)A(x) + An(x)A'(x) = = nAn^(x)A(x)Af(x) + An(x)A'(x) - (» 4- l)An(x)A'(xjl Por tanto, segun el metodo de induccion matematica, la formula (1) es valida Vn £ N 28.

•

Hallar la suma l 3 + 23 + 33 + • • * + rc3.

M Solucion. Dado que l 3 + 2^x 4- 33xz -i n2xn+2 •••

nm ^ ^ ••

._ pn2

+ 2n ~

+ n?xn~l - {xQn[x)Yf siendo

_ jj^+1 .1

+

I•

^2zn _

+

. IMIMM1I '

II^JJl" ~

x

_ j

JM^MM

(x - l)3 entonces I 3 + 23 + 3 3 +

n3.= lim {xQn(x))f = lim Qn{x) + lim Qfn{x) ar—+1

x 1

n(n + 1)(2n + 1)

•

j i•

n(n2 - l)(3n + 2)

n2(n + 1):

12

4

i laiBBi

I•

ͧ

29.

Sea

A(x)

sen ufx cos — cos wx sen u?x ix)X

j

u) ~ const

Demostrar que la matriz A(x) satisface la ecuacion diferencial

A"(x) + J*A(x)  

A"(x) = (Al(x))'

•

ji i I tn i v.nl.i ilc una iuncion rxpliclla

I fit

Solucion. lenemoft ( COS U>X M'll WX \ ui ( , I st*n (j r. cos u>x J

,!, . A y(a;) '

. ,> / M'flWST COS WX \ A (.t) -- - w 1 , ' I cos wx win J

)(<• donde so deduce la ecuacion examirada.

a Sea S„ (rr) — I+ xA-Y •

„ 30.

2 x

n x"A 1 — d o n d e A es u n a matriz constante. I folia

2

|

2!

tt!

I,i ivuaci6n diferencial q u e satisface 5 ,{a;). 7

fl S o l u c i o n . C al cu l ando la d e r i v a d a o b t e n e m o s +

f

Multiplicando la expresion de S„(x) por A y restando lo obtenido de S'n(x), tenemos

+ que es precisamente ta ecuacidn requerida,

= 0, •

| lijercicios Hdllar las derivadas de las funciones siguientes:

f'x,~'

isHfrH

2. f : x ^ i y / 7 r - r ? .

l-2\/2arctg y ^ ^ i + l.

1 , eT + y ' f e . + 1 f

,x

ta

1 ei-1 + - = arctg — r - e « {2

e T.-^eT+l

81/2

5. / : x i-t arctg v/cos 2x — Vcos ?.x. 7-

f '* -

TT^-

S"

/'* "

6. f

S S "

(fl. / : « n

n

-

+1))

„ + 3.

sen2(w cos oar) +- cos3 (oj sen nx). 9"

lit. / : i h sen (arcsen ox 4- arccos ax), 11. / f : * > - * TTjfci-

j

/: * -

+

arcsen

d sen" {(ix + 7).

« . / :rEcitg(«tg(6orctg(car))),

y ^ )

.

16. / : * M

fi^^^'1.

17. / : x

In" (in4(In' x)).

18. / : Xf x™* + {senx) 1 , 19. 20. / : x .is* x°" z f . Hallar las derivadas de las siguientes funciones vectoriales:

21. f : x •-» (arccos j , arcsen (sen x)t sen n.

{e^*',thu^ie),chu*£x),sh tf^at)).

23. f ; X t-t (Tlx, 3 ( - X3, sen wt, cos mx).

25. f: ip

cos i ] (x)). 24. f : ( Hf (e a ' cos t, e11' sen t, u (|) , u {sen t)).

[p{
26. f : p t-» (p sen tp(p), p cos
27. (.x f (senffi ), c 11

28. f : « «

W

r

, v-fsen x),
arctg

^ p T ^ v

k apiluJo ?. CMJcuTo tlilVieiuial jMi.i fuiiciones dc una variable

i t/

21). f : x « ' (/' (W

>

11 (*(*)))) .

•• j •• •t ,'t

<

a

n-

30. a) f

:x

I ,

a? ) ;

A- - 1

b) f : x

> (^

sen xi x?'cos

•

31. En un espacio eudideo E dc dimension finita se determina una curva y un vector cons tan tc A* La curva se describe en forma para metrica mediante el vector de posicion. Hallar los punto en los cuales la tangente a la curva es paralela al vector constante para cada uno de los cas siguientes: {3 cos t, 4 sen t, 5t), 0 ^ t < 2x, a - (0, 4, 5); a) f r t b) f : t ^ <<, t2, J3), 0 ^ t^ 4, a ^ (2,4, 6); sh t), - o o < f < -foe, a = (1, 0). ~ c) f : t m- (e1, 32. Hallar la velocidad de un punto material que se mueve por una curva cuyo vector de position • viene dado por la expresion; a) f {t) = (sen t, 3 cos t) en el instante t = ?r; b) f (f) = (sen <2} 3 cos i 2 ) en el instante t ~ y/tl en el instante t = ^, c) f (t) — (sen cos

-1,

33. Hallar los puntos de reposo en las trayectorias definidas por las funciones vectoriales siguientes! a) (: t w (senf*2*), cos(/a?)f ch i ) ;

b) f : ^

(\f + (1 - x)t, It2 - xt -1-1, £ +

- 17/);

c) f 2 i 2 + | f 2 + 3). 34. Demostrar que las trayectorias definidas por las funciones vectoriales que citamos a continuation son ortogonales \1'—* (t sen f, t cos t> 1) y f2: t^ (t cos t, —f sen £,2); a) b) I,

«*((), u2<*)) y

(^.-S-1)^

35. Determinar la energfa cinetica de un sistema de puntos materiales de masas m?. que se mueven a lo largo de las siguientes trayectorias; a) fj. : t

(k — 1? n; m^ — 1);

b) f* ; 11—s- (arcsen (sen kt)t arccos (cos kt)) (k — 1, n; nt}. — hp). 36. Hallar las derivadas de las siguientes funciones de valores complejos: a) / : x f-n- x In x + ie ; b) / r a w e"^(cos aar + £ sen ax); c) / : x cos2(# + iar3); d) / : or In3(2x -f ix2).

Hallar las derivadas de las siguientes funciones matriciales: LC sen J' 37. f : z » [ 1 ' 39. / : x ^

41. / : $ • - * (

42. / : x

^ X'2 thx"1

X\ ) . ctha;'1 /

son y

tory

V® +

38, / '

( \ cbW

uen*(®y) \ .. / " v T' • 40. f : ar h^

seti(^)

a:2 +

7

u(ex) ||/{»)|

senwa;

\ COS &X

X

+ 1 sen^fsen1 a;) ln'(Inr x)

orccos {arctg (arsh x*))

1

— |x||

«(«... u(x))

JfL

In [u(x) In «(a))

0

Eln|cos^|

E^(af)

Para las funciones / que citamos a continuacion calcular sus derivadas respecto al conjunto. 43. f(x) = ^

para a? =

n € N.

44. f(x) = sen 2a? para x £ Er E — {l T 5, 5, 3? 51 |i ** • } •

45, /(a?) - x I n ( l + x3) para x 6 E, E - { l , V 5 , 5, ^ 3 ,

46. /(ar) - ^

para x £ E, E = Q,

v ^ , . . . }.

|| l I v . t i l . i d o u n a l u n c i d n e x p l t e i l a I7 ,'ican n a(;r)r It h(,r), i * (-'") lierLis {undone:! vtvlnri.tli'.'i ( j {•<-), li(a:)» e(-/r) r Iii lien derivation lliiiliut. I JruuKlou'que

.1) [ a { * > , b ( * ) f

Ii')

| u ' ( * ) t lt.(«)J I- [ a ( s ) , b ' ( x ) ] ;

hj (a •111. H.illat: las derivadas de los deter mi nantes siguientes: X2 x 3 e1 e2* cos x~ sen x 4 2* x e •0 ; b) ; c) e. X e f* sen x sen 2x sen ox sen 4x sen 5x sen2x sen 3a; sen 4a; •1) sen sen 4x sen 5ar sen 6at sen 4x sen 5» sen Gx sen 7x •I'' Sean .4(a.'), f!(x) unas matrices funcionales que tienen derivadas finitas. Demostrar que (det (A(x)B(a:}))' = (del A(x})' det B(x) + det vi(x)(det Biz))'. lallar las derivadas de las funciones / si:

,, ,

f sen2 nx,

x x € R\Q. x.

I 0; 'ti it) /(as) = inf {eos£}; b) /(«) = sup {cosf}. 'tl. 4 fW =
f x = ( X2

si |rj ^ 1, si \x\ > 1,

M. /(*) = lira n < ^ T .

52. f{x) = cos f • lira a-2"1"'1.

c) f(x) - W
= tf (gar)), donde

f fi-1 si 0 ^ x < +oo, = i 1 si - o o < * < 6.

55. a) /fx) = lim £ In arctg

b) /(*) = lim { [ {l + sen ^ );

c) f{x) = lim £ sen

( * + s 2 ).

Calcular las derivadas por ta derecha y por la izquierda de las funciones siguientes:

>«>. a) / i x • l

) ' donde r(t) es la d is l and a hasta el numero entero mas proximo;

t>) / : x >~* minftgx. 2 — sen 2x), - f < x < f ; •>V. / : x »-» [ar]| sen irx2).

58. a) / : i h x j f 1, /(I)

1"1'3; >«. a) / : x i—lime' t->x

1

c) / : x <-> m i x ^ 1 ' , a ^ ) .

—, x f 1, /(I) = 1; -

2

"

= 0.

b) / : « « lim t .X 1

0,

x €

t:.'. (latlar /i(xu) v f'+ixn) en los puntos de discontinuidad

de la funcion / si:

('. i iBnjo qtt£ condtridn Iii funcidn f:x<~> l-rf" tiene derivada finita para x .= 0?

,

x-tQ,

y /(0)

-0

I ,J I

t Jiflllo (IlIoiVIK'Ull |>,1M f U Mt'lOJlCH de Mil,I variable

v -IplHJlO

Sim

/*(*> • E (£)'<•>'(' i i)

*>"

sen

Obtener la relacion dc recurrenrin para Ins funciones fk. 65, Hallar los numeros de Dim

V* fix) - lim ti£±itm

V± f(x) = lim h-*±0

de las funciones siguientes: t

ff sen £, a) fix 0, 66. Determinar D^{x) si

x > 0, ar ^ 0;

i > b) / : x —

ax setr2 ~\ -f bx cos2 •f

k - 1, 19,

At-n 0») Indicacitin, Buscar la funcion

D

JC

^

x ^ 0, '

0, x = 0.

= 1,

D,

1 2

en Ja forma

k

donde ^ a> £i son funciones a determinar.

Calcular las derivadas de las funciones / si: 67. f i x * - *

/

#

si

X + 5Sgnar

si

M < i, 68. / : ^ ^ M \x\ > 1.

„ (—1)^1 cosnx),

0.

69.

70. Demostrar que el conjunto de puntos donde la derivada por la izquierda de una funcion f es igual a la derivada por la derecha a lo sumo es numerable. 71. Demostrar con ejemplos que por lo general

f+M * /'fro + 0) y f l (So) ^ /'(*,, - 0). 72. i$e puede afirmar que si f(x0 + 0) - f(x0 - 0), la funcion / es continua en el punto xQ? 73. Dado que la derivada de una sucesion [Q se determina mediante la formula

xn. hallar a) (anyn)'; f)

(ft)'<

b) (In xj;

8) P")';

c)
dof

Ή

d) (xn + yj;

e) (
h)

0 (arctg n)\ 74 Determinar la ecuacion de la tangente a la curva que se describe mediante el vector de posicid siguientc:

a) f(t) - (sen i, cos t,At), en el punto b) f (0 = (arctg t 2 , arcsen f, sh i, ch t), en el punto M{0,0,0,1). 75. Determinar h ecuacion del piano normal a la curva que describe mediante el vector de posicid siguiente: a) f (f) = (t911, f ) en el punto Af(l, 1,1); b) f {«) -

In |/(f)|, ai 2 , f ch

sh*) para t = 1, donde a =

- e~2 - 1.

76 Hallar el angulo formado por dos curvas en el punto de su interseccion, si los vectores d posicion de las curvas f,(*) y £2(t) se definen mediante las formulas:

a) fi(0 -

b) f,(f) = (i,

jj.T, th i) , f,(0 = (/ + 1, sen 3*, fesJl');

t\ t\t5), t2{t) = (sen t, sen 2f, sen 3i, sen 4f, sen 5f).

J i l hii-ivnci.d de una fuiuidn

(!>;>

r 'ft I >eiii«slr
salL'SfiltV lit ivtfiuk)

x'(t>- Mi) m i f(0. siendo /

.! '

I

-sent \

A(i)*= ( cost seni \ lnft| tgtln|£|

(

<4 . , t. j

f(0-

2cos*

V

sent-fe ' ). V M> /

VS. i l.ill.ir una funcion vectorial f tal que la funcion vectorial X : t m ( / , t 2 , f 1 ) satbfaga la ecuaeti'in

/ —2t X'(0 = .1(f) X(t) + £ ((),

donde A{t) =

\

0 r1

2 -i 0

T)

v>. Demostrar que para la funcion vectorial X : t )-•' diag vl(f) se verifica la ecuacion

donde

,,,,

/ sent

cos I

\

i(t)= \ sen - c o scomplejos t )' Hll. Demostrar que las funciones d« fvalores

f : x t-* cos Ae -j-1 sen Az

y

( cos t -I- cos 21 \ V Stti<-1 ) ' 1 x + 3i / : x i -> s

satisfacen las ecuaciones respectivas: = 0. a) f(x) - »A/(x) - 0; b) (X s + 3i)/'(:i') + Uxif(x) It I. 1 Inllar las derivadas de los valores propios de la matriz

/

1 t t2 \ t t* t1 } ;

c) /t(t) =

\ tl

t3

si:

/ sen f cos t 0 \ d) A(t)= 1 - c o s t sen* - 1 . \ 0 1 t J

lA )

H2. Hollar el angnto rump rend id o entre las posicioncs limites de las tangentes a una curva continua en el punto de su inflexion si la curva esta definida por la funcidn vectorial: (sen y , cos y , |f — 1|); hw ' *

,

f i t , ? + 1,1? \

( 2 f , e W

X # f

)

J

si͑ ͡

~oc
§2. Diferencial dc una funcion 2.1. Definiciones fundamentals Definicion 1. Una funcion / : E —>• E so d e n o m i n a diferenciable en un ft unto t:,i 6 E el cual es un p u n t o limite del conjunto E si el incremento d e la funcidn A/(a: } correspondiente a u>i incremento del argumento x p u e d e representarse en la forma [}

A/(» 0 ) = ^(KoX® - ®o) +

- ^o),

(1)

donde ut{x - ^u) =s o - aig) para x —* Definicion 2. La aplicacion d : h A{x^)h, h € K, se d e n o m i n a diferencial d e la l u n d o n / en el p u n t o y la expresion A{xa)h se llama valor de la diferencial e n dicho ]>unto.

!)><>

( '.i|>ihifi> ?. (nltulo tliIricntMl |mi,i luiuimics de 1111.1 variable

Para i1! valor de la differencial dc In lutuinii / sc sucle usar In nolacion dj o df(:nq si so nercsiln indicnr en que punto se ealcula In dileivnciaL Asf pues,

df(x(j) : /I ))//,. Dividientdo ambos miembros de la igualdad (1) por x — x$ y haciendo tender A = f{xFor eso, Vft G IK so tiene n x{)r obtenemos

df(x o) = /'(®0)fc.

(2

Comparando (1) y (2) vemos que el valor de la diferencial df(x[)) (si f { x o ) ^ 0) es t parte principal del incremento de la funcion / en el punto Xq, que tambien es lineal homogenea respecto al incremento h ~ x — xq .

2.2. Criterio de diferenciabilidad de una funcion Para que una funcion / sea diferenciable en un punto dado xG es condicion necesnri y sufidente que en dicho punto la funcion tenga derivada finita .

2.3. Invariancia de la forma de la diferencial de primer orden Sea x es una variable independiente, entonces dx ~ x caso se verifica

x^ (incremento fijo). En est

df(x0) = f(x0)dx.

(3

Si x = ip(t) es una funcion diferenciable, se tiene dx =

dfmo))

dt.

consiguiente,

= (/(<^o))K dt = f'A
es decir, la forma de la diferencial de primer orden es invariante respecto al cambio d argumento.

2.4. Formula de los incrementos finitos Sustituyendo (2) en (1) y despreciando u(x — xq), obtenemos la formula de lo| incrementos finitos

A f(x0) & df(x0) o bien

f{x) n f(x0) + f'(x0)(x - ar0),

(4

que para x — x§ pequenos permite calcular aproximadamente los valores de la funcion / e los puntos x proximos al punto xQ en los cuales se conocen los valores de la funcion / y su derivada.

2.5. Reglas de diferenciacion de las funciones Si u y v son funciones escalares diferendables, se verifica b) d{nv) — udv + v du; a) d(u ±v) = du± dv; Si u y v son funciones vectoriales diferenciables, entonces: a)
d(u ± iv) — du±i dv,

i = —1.

Si A, B son funciones matriciales diferenciables y u, una funcion vectorial diferenciable, tenemos a) d{A ± B) = dA ± dB; b) d(Au) = (dA)u + A du; c) d(AB) = (dA)B + AdB.

N. del T.: Notese que para funciones de una sola variable los terminos derivalnltdad y diferenciabilid son suirinimos, por lo cual suelcn ser utilizados indistintnmentc. Para las funciones de varins variables la situation cambiara radlcaimente, y dichos terminos dejnn do ser equivalentes.

f i I Ii k'li'iiii.il ili< mi.i I Min ion

|| Ih'tcffllinarsi son tlt^rciidables las funciones f siguientes: 1.

A f(x{)) =- 2 sen(a: — ^u) 4- (\/l + (a; — £o)2 — l ) tp(x - a'o), donde* I'#®o,

f In \x [

[],

x -

x0.

4 Solucion. Dado que existe el limite finito siguiente:

A / ( x 0 ) — |.. l m I(2 [un —i ,t—a-0V i m„ a; —

y/l + -»

sen(x 5 --

+ (x- x0)2 - _1[ n

x — ajj)

x — aty

\= \x —ftpM / /i—d

l.i fi i nri6n / os diferenciable e n el p u n t o

x$

y

df{x$)

= 2 dx.

h

k

4 S(iIut V

l f H - oo, /

!>i funcion / no es diferenciable en el punto x — 1. 33.

Af (fe0)

(sen — — • ln(l - (x ~ a;,,)2), e ^ 1 " - l ) . \ / x — JL xo

4 Sohici6n. Estudiemos el limite ,. A f fio) ln(l + (s - z Q ) 2 ) •••"• • = I lim — 1 X — XQ - sen lim X — T'-ttn Xq

1 ex~x° - 1 limX—Xu X—— XQ X — X(I"

1 l.ido que It}(l + ( » ~ « o f ) - = 0, hm — 1 fcr., X — X^

-1 , lim — 1, J- ''"n X — XQ

: x isle la derivada finita de b funcion vectorial f:

I'or consiguiente, la funcion vectorial f es diferenciable y df(ino) = (0, \)dx = (Q, dx).

/

arcsen(iT^)

•

\x ~ 30|3 + x - a:0 \

(.'.iPilufo ?. ( Vtli itln dilriviic-laf

fw

hnnioiU'N do tin.i variable

Solucion. AI cafcular los I unites lim ™ arcsen c h

lim e ^h~'1

h >o

0.

\im(- ^ -l j ) / /t_*oV h

/sen sen ft — A— J lim -—0 \ hh J

sen h

\h\

1,

lim h sgn k->rD

= 0.

(* -

v

lim

I )

0,

a—•()

obtendremos /'(a?o) = lim

0 0

A/(s 0 ) XQ

1 0

es decir, la funcion matricial / es diferenciable en el punto 0
1 0

dx

y

͡

dx

0

0

•

m Hallar: 35.

a) d(xex );

b) d\ arcsen

M Solucion. 1-' metodo. Segun la definicion 2 del p. 2.1 tenemos + 1) a) d{xex2) = (^e^y da; = arcsen

arcsen

da?

2- metodo. a) A partir de las formulas b) del p. 2.5 se tiene */ a?2 ). d(xe ) = e J? dx 4.- x__ d(e r

De acuerdo con la formula d) del p. 25 tenemos d{e )~e

-ii

d{x ) — e 2x dx, luego i ;

d(xex

ii

2

dx +

2

2xzex

ex (2x" + 1 )dx.

dx

b) Recurriendo a la formula d) del p. 2.5 tendremos d I arcsen ;

1

(arcsen u)!

x

u

1

du^= d

x

1

x

JL d{ M) a2

sgn x

x

dx

por eso, final men te,

x

36.

sgn x

-1

d ( arcsen t™

x

1

i

i ii

x

dx -

dx xVx2 — 1

X'

d(uv ).

M Solucion. De acuerdo con la regla de diferenciacion de una fraccion (v. p. 2.5, c)) hallamo

d 37,

d (arctg

u v

v du~ u d{v ) v

du v

2u dv v

v^O.

*

fl ' I iiteivnci.tl de una liuuidn 4 Nolucidit. I larieiido firm dr Iii:: Idimulas c) y d) del p. 2 5 11'nemos ,/ 4 11

m

.

d

.i

u\

E

. f W\

v thi

ti. do

J - , ..(^mJ""-^

&

9,

t-% d

-

/senx\

4 Solucion. Dado que

• livndo u es una funcidn diferenciable de cicrta variable, se puede resolver los ejemplos dados mediante dos metodos. a) Designando u — x3 y utiiizando la primera igualdad de (!) tenemos d

t/(.r')v

.. 2x6 - x") = # v(u - 2u2 ' du

J

=

= (tt - 2«" - t i 3 ) ' = 1 - 4u - 3u2 = 1 - 4x~ - 3xb,

x / tl.

El mismo resultado puede obtenerse utilizando la segunda igualdad de (1): d ,3 ' ,, ^-{a: — 2x6 J)r i/(a:

9\ d(3? 2a6-E9) (3a 3 — 12a;5 — 9:eb) dx X)— —.—tt — = ——-—_ 3x72dx • — l — 4x3 —dxs , J) d((t

a: -/ U.

b) introduciendo la notacion u = x2 y utilizando la primera igualdad de (1) tenemos t/ _/senar\ d /seny/«\ du \ Ju y/u ) x ) ~ du\

TjM

/sen y'ltV _ \/it Ju ) - v^f c a s

~ sen-y/tt _ x cos x - sen x

2u\/u

~

2s3

1

Si utilizamos la segunda igualdad de (i), obtendremos d f sen 2 d(x ) \ X

j / ski x \ _a ) _ 2 ) ~ d{x )

x to; g--sen za x p—~ _ £ cos a1 sen x Zx dx ~ " 2xy '

39.

Hallar el valor aproximado de sen 29", sustituyendo el incremento de la funcion por la diferencial. 4 Solucidn. En valor de sen29" se diferencia relativamente poco de sen3G J , pues a — 29'' l.nnbien dificrc poco de an ~ 30° - Por eso, para calcular aproximadamente sen 29" hagamos It.'.o de la formula (4) del p. 2.4, tomando /fie) = sen x. Tenemos sen 29° St sen -

6

40.

- (sen x)'

Demostrar la formula Jl^

180 " 2

\x —a + ~

360 ~

, v

"

'

- r, a > 0, x > 0, donde 0 < r <

( (i|>it(ilo

IN)

2.

C tiIt'tdo dilrrviuiV para Jiij ni oiios dc tin.i variable fi

SoluciAn* Si obtenemos

&'), a parlir t le Li formula de los UKTementos finito

es pequeno (:/:

I

V a2 h x ~~ a -|»

'if

a

1

2Vi\t a

->

X

+ 2a

El error r dc dicha formula aproximada

x

r —a + 2tt

\fc?

-

1 Va 2 + x

x

Va2-^ x - a 2a (y/a2 + x + a)

X

x 2a (Va2 + a + a) 2

(ljf

es tanto menor cuanto menor sea x > 0; no obstante, para cualquier x > 0 el error 01 2

f*—n

menor que ^

1

41.

•—r-• 1—• i •

rm

y como se deduce de (1) v a2 + x = a + r- — r , c. q. d • •

•

••

Demostrar la formula aproximada Van 4- x & a H

r , a > 0, donde \x\
nan~l

<4 Solucion. Por cuanto \x\ a11, a la funcion / : y ^ aplicar la formula de los incrementos finitos

de donde

siendo

~ , se le puedt;

1+y

n

Entonces,

x~ a • •

1

•••••••••••••• • ™ ••••••

c) f(x)

(

3

x2 + i - 3 x + 3ix + 4i + 5'

x T

3kx 2 e

kx\

b) f(x) = e arcsen (fa; )

arctg x

0

^/'(O)^1

2ax co$(ax2),

sen(a£4), £ ch ( f )J
2x

d) df(x)

0

0

l+x*

\f\—i"£

sen(ax z ) + i cos(a^ z )) dx;

-a;4J-2sc(5+4*)-h3 dx;

(p^E&Ts)'dx 1

1 sen u s

— f'(x) dx tenemos

b) df(x) = (cos(arc z ) -f i sen(a:£ 2 ))' dx = 2ax

=

lax7.

•t

d) / ( a )

Solucion. Haciendo uso de la formula df(x)

c> d /<*)

x na n-1 •••• ™ ' ™ " •••• •• I •

~k!c , sen(ofar), cos(ot:e ), sh

a) d f (x)

a+

Tt

• •• I I

Hallar df(x) si: a) i{x) =

1 + —ft* 0(1 + a Ti

l \ f ( 0 ) \ 2

x

I n 2

u

q

q

dx. s

w

x

Designemos mediante \A\f A — (fi^), la expresion siguiente:

n A\ Dado que •• ™

f(P)

0 0

0 In 2

1/(0)1

0

UJ

tenemos

|/'(0)|

ln2 l/'(0)|2 + 4

• •

••

Ji',\ D i f e r e n c i a l d e u u u l u n d i ' m

IhI

tlt< d o n d e | / ( 0 ) | ~ - A — . I'or lo tanto f

(0

n

to? J*-

\

.J* *

ವO I[ 



43. La matriz funcional $W f u e calculada con u n error G$W  S u p o n i e n d o q u e existe l,i matriz inversa $a W  hallar a p r o x i m a d a m e n t e el error correspondiente a G$W q u e se eomete e n el calculo d e (0. 4 S o l u c i 6 n . D a d o q u e $W $aO^W  ಧ J , se tiene ((dA)A + A ^ A ) ) = 0 ) ( d U ) = -- 4" ((iA)A" ). • _1

44.

- 1

_ : !

J

1

i

Sea $W u n a matriz c u a d r a d a funcional d e m o d u l o |A[ = .

X)

d o n d c a "j'( )! )

\

*'

:
 

I'ara eoncretar, consideremos q u e X(i)[ ~ . / V] |z,(/}| = 1. Multiplicando escal a n n e n t e la 2

V'=I

igualdad (1) por ;W obtenemos

 $  W ; ^ W  ;  W A P

(2)

I liferenciando (2) hallamos

G? •=• (d(AX), X) + (AX,
lie d o n d e |(Uj ^ f{dA) Xj |X| + ?$ dX| iX! + ]AX[ |dX[ <

A ?G$? |X|2 + ?$? |SX) jXJ + |A| |X| |
4 5 . Sea S u n a funcion diferenciable tal q u e ISW `  luneidn diferenciable y I \ es distinta d e cero. HallarGWS

W

en [ig, W [ ?  d o n d e

I

•

es una

 S u l u d o n . D a d o q u e las funciones I \ LS son diferendables, la funcion c o m p u e s t a / oWS es tambien diferenciable y   :   WLW 

! IYWSL 

GLS

GW  

GWS

 - 7 A  ವ



*

\

.
* I

v-iiicum airerencial para ruiuionos tic umi variable

Ejercicios Hallar las difcrenciales dc las funcionctf siguieiiUs: y/ar2 -far |-1 l-x l-^Hxi l)/2 83 —Irmn


b) / : a?

85. a) / :

C0S

86. a) / : * c

j?;

)

+

+

/ : * ^ T^ + cos®3

d) / : ® -

91. f ix

jt^+JC2 fl *

v+2-% * eL sen iax

b) f : x ^

w(x)

senx cos a: 1 d) f : * ^ «(«) (C*M

s e n , . . , sen

1

j r + l

X2+l

w{a;)

x) + t,2(ln a).

V]

+ 3); b) + isen3x2; d) / : a?

c) f , a? — j > (sen

ln

2(\n

u

k-i

88, a) f : a ! K ( l j l P y ) ( l i j a f » ) ;

f:x

d)f:$^

b) / :

b) / :

c) / : ar ^

89.

4- 3;

*<*>+aTCts «(*),

C) / : * ^ ln(u2(x) + i,2(a;));

a)

fj

| arctg

84, a)

87.

JT

sgnar [ft]

90. / : x w

sen «(ar)

tg u{x)y u ( x } ) .

r

e w senfasj

[W

^ sh

92. / : a? ^

sen(ia;)

cos(iy)

«n(0

a 1 2 («)... a1n(<)

y)

tg ft*, Chfo/y,p)

x2(t)

93, f : ( n

V *»(<)

94 Sea f(x) - ( / i ( a ) , / 2 ( ® ) , . . . , / , ( * ) ) , donde /,-, i = son funciones diferenciables. Hallar d(\f(x)\). 95. Sea f(x) - (a,j(a?)) j = n, una matriz funcional diferenciable. Hallar d(\f(x)\) # 96. Calcular aproximadamente: a) sen 16*; b) arctg 100; c) arcsen 0,99. 97, Demostrar que para x > xa > 0 arctg x 98. Haciendo uso de las formulas aproximadas cos a; # 1 -

TT

1

2

a;

r s ^

x

hallar el coeficiente a . (!> Indication. Utilizar la identidad ssen a; = 2 sen | cos | Hallar
senx

a» 1, a; = 0.

llcriviuliiN tlr tuM turn innes inverpttiN, p.t raitKMrli'.iN e implfcitas KM). f{x) a (^(ar))^"1, Uu((l> KM. /(ar) = arcsen

.(«(())

f WLiii,

dx, u(O)

Hitx, iiv(0) =

3dx, Jt>(0) - Sldx,

r(t)}

I.

ti(0) - \, «((>)

s/2.

,Q

0,

1-0. wv

101. f(x) = { ^ I«4. f (x) =

' 0,

* x = 0.

x

, ^ 0 , y f ( 0 ) = (0,1).

IDS. f ( * ) = (x'—^K N*. / ( « ) = ( V

]»fs), * £ 0 , y t(0) - (0,0,0). I , SP ^ 0, y /(Of) = ( [,

1

0

J? In

o)'

)

1117. Scan a* = (flii, Hi;?., • , flu), ai- € -E™, ft = l t n , vectores con punto de aplicacion com tin. Denommemos al valor absoluto del deter ntinaHte

vulumat de !a figiira P — {x

«H

• lin

0«1

a«2 ••-«wt -f $2&2 -1

x £ E", x —

f- Sno„, 0 < 0,- < 1, i — Tj~n}.

Die ha figura suele denomina rse paralelotopo. Hallar los volufnenes do los paralelotopos infinitesi males construidos a partir de los vectored tangentes a las curvas que ritamus a continuation en los puntos de intcrseccion de las mismns: b) f,(i) - i f , t\ tJ>, ut) = (i J , t\ t), i3(t) = (sen 1H,t, t*); a) f , (f) - (t, V), (S) = (t\();

c) m o = n , t\ e, t\ m

= ((-, t\ t\ t), ut) -

t\ i, i% u(t)=(f4,

t\ t\ t).

§3. Derivada de la funcion inversa. Derivada de una funcion definida en forma parametrica. Derivada de una funcion definida en forma implfcita 3.1. Derivada de la funcidn inversa

Para una funcion monotona diferenciable / : ja, —• M c o n la d e r i v a d a distinta ill- eero existe la funcion inversa / t a m bi e n diferenciable y su derivada se calculi s e g u n l.i formula

m

3.2. Derivada de una funcidrt definida en forma parametrica

Si una funcion / viene d a d a en forma parametrica x =
y = at),

a
y las funciones

Ax) -

^

(A

(apflulo

Crfkufn diferencia f | m i « i

Iuiu'Ioih-h

3*3. Derivada de una funcidn definida 011 for


implfcita

Sea y f(x) una funcion diferenciable definida por la eciincion F(x1 y) — 0, iintonces, en muchos casos su dcrivnd decir, Fix, f(x)) = 0 en cierto intervalo J a, puede ha I (arse a partir de la ecuacion

d (F(x, f(x))) = 0dx 46,

Demostrar que la ecuacion

0 ^ £ < 1,

y-eseny-x,

determina una funcidn y — f(x). Hallar su derivada M Solucion* La funcion

(p:y\-*x

fix),

= y — € sen y es diferenciable en J—oo, H-oo[ y su derivada (p : y • 1 — € cos y

es positiva, Por consiguiente, siendo estrictamente creciente, la funcidn (p tiene funci6ri inversa / que tambien es diferenciable y monotonarnente creciente, Su derivada es 1

/'(a) 47,

1


•

Determinar el dominio de la funcion inversa x — tp(y) y hallar su derivada si

x

V

In

x

> 0.

x + In x crece de manera Solucion. Dado que (x + ln x)* ~ 1 + ^ > 0 , la funcion / : x estrictamente monotona para x > 0. Por consiguiente, la funcion tiene inversa y

9(v)

x

i f

i

x

)

X

m

1

oo, es decir, la funcion inversa existe en

Para 0 < x < +oo tenemos - o o < y < toda la recta numerica, • ••• ••

+

M

48. Determinar las ramas continuas de funciones inversas x — £piy) y hallar sua derivadas si y = 2x — x\ — x4 es diferenciable y su derivada / ' : x 4x(l — x1) Solucion. La funcion / : x conserva el signo en los intervalos J-oo, —1[, ] - l f 0 [ , ]0, If, ]l>+oo|\ Por consiguiente, en cada uno de los intervalos correspondientes ]-oo, 1[, ] 0,1[, ]0,1[, ]-oo, 1[ existe una funcion inversa diferenciable. Designemos estas funciones mediante Tenemos

Vi : J-oo, 1[ (p3 : ]0,1[

]-oo, —1£, ]0,1[,

*p2 : JO, 1[

J - l , 0[, : ]-<», 1[ JI, +oo[.

Analizando el signo de la derivada /

:V

i

4x fl

-

x2)'

«

JjU: Deiivad.iH ilr lii>i lumiones inversus, patutuelrlc.tM i" impUeilas

Dr^amus a la conclusion i{i> i|iir las f u n d ones tp\ y son m o n o t o n a r n e n t e crecicnll'H, inii'iilras q u o las furii iones y>? y ip4> m o n 6 t o n a m e n t v decrecieulos, Al rusolvcr la oCUut'itin ii1 2x2 + y = 0 respivlo ilc x, SO p u e d e obtener las funciones
x =
- %/^y,

| Hallar las derivadas fix) 49.

1

x =
I = yi->/i.

~ y>

x =
*M

V =

si:

y = \f\ - Ti {y -

/(«)).

I Solucion. Hallemos primeramente 4 = gO - v^r-Mi - VI)' =

-

= 2V1 - w

V^H, ,

1

0
6 v W i - vl

/Nliora, h a c i e n d o u s o d e la formula 3.2 f e n e m o s /'l 50.

y = (c* sen t, e* cos t, e'), x = t + 1 5 (y = f (a;)).

I Solucion. Dado que dy ~(d(el seni), ,tx = (1 + 5f 4 ) dt, resulta

dy _ t e'(scn t + COS t) e (cos t - sen t)

t {X)

St.

cos (), (i(e')) = (senf+cos t, cos t—son 1) e* dt,

1+W

~ dx ~ \

'

1 + 5f4

e'

\

' X + 5t*)"

y = cos5 t + i sen 3 1, x = It - cosi (t = —1; y — f(x)).

I Solucion. Dado que ? 2 dy = ( - 3 cos't sen t + 3?" sen t cos t) dt,

dx ~ (2 -f sent) dt,

irsulta 2 {2 + sen t)

52.

' - j S " ) .

(»-'<"»•

l Solucion. Tenemos dy = (

'"chT4 I -cost JFI1i

(

W tfat i+r

'

l+p h ( f2 3s +

*

U>6

C'iipittikt 2. C alculi) difm'tuial \umi funcioncs de una variable

Hallar las derivadas f de las funcioneg / : 53.

x

4-

// definidas mediante las ecuacion®

2xy - y ~ Ax.

< Solucion. Sea y — f(x) una solucion diferenciable de la ecuacion dada, entonces

x2 + 2®/(as) - (f(x))2 = 4x

(1

en cierto intervalo. Puesto que todos los terminos de la identidad (1) son diferenciable despues de derivar (1) obtenemos

2x + 2 f ( x ) + 2xf(x) - 2 f { x ) f { x ) = j4 de donde

f(x) + x-2 fix) - x

f(x) j^x. • ••

54.

•

•

x* + i / 5 = i

< Solucion. Al sustituir la solucion diferenciable y = fix) en la ecuacion dada obtendremo la identidad a?5 +(/(x))* = 1. Derivandola, vemos que

i

+(/(«)H A®) = o,

my.

de donde hallamos i«iiii

•'"1—1-1—h

55.

<

Hallar / (#) si y — fix)

1—•

y p = a

Solucion. Dado que y = pcos
56.

1

•

_UH

,

IJL.

Las funciones fi y f2 vienen dadas en forma implfcita por el sistema de ecuacione ͤ

ͤ͟

+ iff + 2® = l. HaUar /((a) y £(»). < Solucion. Sustituyendo los valores y\ — f\(x) y y2 =- fiix) en el sistema de ecuacione9 dado llegamos a las identidades /i (*) " Hi*) + & = 2,

/i2(z) + fl(x) + 2x = l. Derivandolas obtenemos

fi(x)f[(x) - f}(x)ti(x) + l=0, Mx)f[{x) + f2(x)fUx) + l = 0.

t}3- Dt'rivtkldn ilr liirt f unci on km iuvuiHan, paraim'1!fU'iifl i< implicilas

I67

I'or tanto, si cl determlmuile fHx)

I

/i(»)

/ 2 (»i

I

'

hallamos f'(±\

= -

1 + AW /i(®)(/j(») 4- /2(x))1

^ v _ i - /i(g) " h{x)(U(X) + /2{s))•

J lijcrdcios HIS. Demostrar que cada una de las ecuaciones siguientes posee solo una solucion real y — f{x)\

a)af = 3 t f + s e n y 2 4 - « B 5 f - l + jy 3 ;

b) x = 12y5 - 30g* + <%:i - 30y2 + 15y + I.

Hallar la derivada unilateral de una funcidn y — fix) 11(9. x = It -

t2,

y = 3i - ( \ en el punto i =s'l.

110. x = t H- 3 v T T T , y = 111. x —

sen 2 1,

Hallar fix)

y —

cos2

- 1 0 ^ + 1, en el punto i = 0. t, en tos puntos t — 0 y f — f •

si y = fix) y:

112. arctg (a1 + y2) - in(xy) - 1 = 0 . 114. pf^Lj + ip{x + y J- y2) = 1 115. i>

definida en forma parametria si:

( f r j ) — 2-

113. sen f + ^ +

h y1 - 0.

cs una funcion diferenciable). 116. W(seny) t-

117. arcsen y(2y + a-2 + 1 ) = arctg {jf3}.

- 3) - te + 4 - 0.

118. e " ^ 1 * ' 4 ^ = 4 - y 2 .

Calcular /'(0) si y - fix) y: 119. x2 sen * + £ sen I = 0, x ^ 0, y / ( 0 ) = 0.

120. a^arctg * + tg (a 4-y) - I = 0, x f. 0,. y /(0) = f . Hallar fix)

y fix)

si

= f\ix). Vt = fiix)

= 1 - x , yf + xyl - x 2 .

IZI. 123. j/, + f(yt

122. ym

m. x =

t1

+ Ji|( y =

+1, At - dt = 1.

— x^—O, y2 ±y2~

4-

+ y2) -1- y2 f senx - 0, j/>(yf + yf + x2) -

Calcular A / ( 0 ) y d/(0) si y = fix)

satis face u las ecu a climes:

x2.

x.

y. 125. x = t* - 4 i \ y = i 5 - 5f, Af = dt = 1.

126. Hallar / ' t e ) si y = /to)

y:

127. y = (sent,cost, f), » = 3 t + (*.

<"•*=(! 133. y

128. y = (sh2f, ch 2 t, fti f), « = sht.

iS. a S3 )*-"+«*.

(scn(y J 4- ( 2 ), cosfy2 + 1 2 ) , t ) , ft = 5t + t s .

IM. y = (^(Ivl), t, I 3 ), * - 2trip).

135. y = {j>{t% f>(t\ 1>l?)}, « = W ')

I6H

( apituli) 2. C-tilciilo iliIViv 11 rinI para fuiicinnes tic una variable

§4, Derivadas y diferenciales de ordenes superiores 4.1. Definiciones fundamental es Definicitin 1. Sea Ja derivada de cierta funcion / tambien derivable. En tal caso, 1| derivada dc la derivada de dicha funcion se denomina derivada segunda de la funci6n / se designa mediante /". Asi pues,

f"(x)

(fix))'.

Definicion 2. Si la (n - l)-esima derivada de una funcion / es diferenciable, a denomina n-esima derivada a la derivada de la (n - l)-esima derivada de la funcion / se designa mediante . Asi pues,

El numero n se denomina orden de la derivada, Definicion 3. Se llama diferencial de n-eshno orden de la funcion / a una diferencial de la diferencial de (n - l)-esimo orden de la misma funcion. De este modo,

dnf{x) d2x

d

"

f

(

x

)

= f{x),

n6R

Si x es una variable independiente, se verifica entonces que dx drx = • • - = dnx = 0, Es valida, pues, la formula


const y

fn(x)(dx)n.

4.2* Derivadas de n-esimo orden de las principales funciones elementales Se verifican las formulas x\ (n)

<«n

(71)

(sen x)

ax In" a, sen ( x +

(n) cos [ X

(cos x)

(x)m\{n)

(In x)

+

a > 0; 717T

nir 2

m—n m(m — 1).. „ (m — n + \)x



n-1 (-i)""l(» - 1 ) X

n

i

•

4.3. Formula de Leibniz Si u y v son funciones n veces diferendables, entonces

n

iuv) 4.4. Derivadas de n-esimo orden de una funcion vectorial, de una funcion de valores complejos y de una funcion matricial Si las componentes de una funcion vectorial f : x (/i(#)) /2(®), - • - 3 /*(#)) son n\ veces diferendables, se tiene

f<"V) = ( / f V ) , f f ( x \ - - - , f j ? \ z % dH (X) = (dnfX(x): dn f2(x), . . . , dnMx)). Por analogia, para una funcion de valores complejos / y una funcion matricial A se verifican las formulas; /w(s)

uin) ix) + ivin)(x);

dnf(x) = dnu(x) + i dnv(x);

fid. I >crl Vtiil.in y difercneialen d c OrdfucN Nitpeiinren

'fl v-l

•

Aln\x)

|

(l.illar f"(x) 57.

f(x) =

I AM

;

d»A{x)

si; smix2).

4 Sofucidn. Segun la definicion I del p. 4.1 tenemos fix) f i x ) =(fix))'

58.

=

(sen(® ))' = 2£cos(:k); 2

2

= (2x casix2))'

= 2 cos ( z 2 )

- 4a; sen(ar). 2

•

/(a;) = (j; + ! ) e i l .

4 Solucion.

D e b i d o a q u e (w{a;) f- iv{a:))' = tt'(x) + iv'ix), e n cl proceso d e la diferenciaeion d e una funcion d e valores complejos el n u m e r o i desempeila el papel d c una const ant s ordinaria, p o r lo cual fix)

- e" + i(x + i) e'x =

fix)

59.

= ie" -

xel*

ieixx;

= e"it - x).

•

f ix) = (sen a: , cos - j - , x ) . 2

2

2

* Solucion.

Para hallar In d e r i v a d a de una f u n c i o n vectorial se d e b e derivar cada una d e sus c o m p o n c n t c s , p o r eso t e n e m o s f (a:) = (2x cos x2, — (2 cos x2 — ix2 sen x2, 1

t"ix)

~2x

s e n a; , 2a;); —2 sen x2 — ix1 cos x , 2). 2

M Solucion.

k

Para hallar la derivada d e una funcidn matricial se d e b e derivar cada e l e m e n t o de la matriz fix)

-

(

( 61.

] Ch!2

'X \ 2x ch cli a; 2

2x

sh

v \ x2

s™ u 2 +f 2x t sh, x'2 char

^ ^ ( i r i ^ . ^ l g l ) .

shz_

ch1* i2 + 2x2 sh x

ch

x2

m

Capi'tulo 2. CMIculo difcmieiai |>jh.i futicioncs de nn.i variable

4 £Milnd6n. Tenemos

i'(x)

In

.(


(In (p(x)) I Mir lo tanto f'(ar) =

',*'(*), (

u \ nv 2

'

u(x) \'

Ϊ

uf(x)v(x) v2(x) ^ "t •i•i

i"

j

11

j . Para la derivada segunda obtenemos

iy. (»•)'.
"rlll-l-

62.

Hallar y

si y =

f(ex).

-4 Solucion. De acuerdo con la regla de derivation de una funcion compuesta tenemos

y' =

f(ex)e*,

donde la prima de / designa la derivada respecto al argumento e*. Para calcular la derivada segunda utiiicemos la definicion 1 del p. 4.1, la regla reci^nmencionada y la regla de derivation de un producto. De este modo obtenemos

)' = f"(ex)e2x + f'(eX)eX(/V) ex\f y De manera analoga hallamos la derivada tercera w z* + f\ex) e*. / V ) e3* + 3 / V ) e2x V • •_

—i

•

11 •

63. Hallar d y de la funcion y = ex si; x es una variable independiente; x no es una variable independiente. -4 Solucion. La forma de la diferencial de primer orden es invariante y, por eso, en ambos casos tenemos

dy = d{ex) — ex dx. Ahora, segun la definicion 3 del p. 4.1,

d y — d(dy) = d{e* dx). Diferenciando el ultimo producto obtenemos

d{ex dx) = d(ex) dx + e* d(dx)

(1)

Si a; es independiente, resulta que dx — const — h. Por consiguiente, se tiene que d(dx) — d x — 0, y de (1) hallamos

d2y = d(ex) dx = e* dx dx = ex(dx)2> Si, en cambio, x no es un argumento independiente, dx no es constante en el caso general, por lo cual d(dx) = drx ^ 0. Entonces, de (1) obtendremos

dLy = ex(dxf + e* d2x - e*((dx? + dlx). . — .. - J l

•

I_

I >«'i Iviitliin 64.

Hallar d!y

y tIJfi'ri'IH'i
171

tuvfjt * , siendo uy v funciones dos veil's diferenciables de dorta

y

variable. * Solucion. Utilizando la invariancia de la diferencial de primer orden tenemos

dy = dj f[arctg tt\ = (( a r c tu\' g d . (u\ (-) =

1

vdu-

^

udv

-

vdu — udv

donde mediante Ja prima se designa la derivada respecto a A partir de la definicion 3 del p. 4.1 tenemos ,2

,/v du - u dv \

de donde, segun la regla de diferenciacion de un cociente, tenemos a

„ d(v du - u dv)(u~ -j- v2) - (v du - u dv)(d(u2 + v2)) y

w+w

~

'

I Jado que du - v. dv) = dv du + v tru - du dv - it d2v ~ v dlu — u (fv, 2 d(w ) + d(v ) = 2tt du + 2v dv, a partir de (1) obtenemos, finalmente, 2 _ v d2u - u d2v _ 2{uv((du)2 - (dv)2) + (v2 ~ u2) du dv) V~ u2 + v> (u7 + v'f '

d(it3 + v2) -

*

65. Hallar las derivadas yx, y^, jfca dc la funcion y = f(x) definida parametricamente si x, = 2t - tl, y = 3t - t 3 . 4 Solucion. Dado que y'x — i(f(x)) s= — tenemos

d(2t — t2)

Vx

Ahora, y"t - ~(y'x) -

2

^

^

por eso,

„ = d(ft+»' =

Vxl

Analogamente, y1" =

( 2 - 2 t)dt

d(2t-tz)

=

2(1 - t)dt

=

4(1-0'

por tanto

3 \ 3jj m _ ^(•tn-ij) 4(1-0' 3__ ~ d(2t - f ) ~ 2 (1 - it) dt ™ 8 (1 - t f ' 66.

Hallar yx, y'^ de la funcion y — f(x) definida por la ecuacion x + y7' — 5xy'\

I //.

I apllulo 7. CitU'ulo d i l e i n u i a l p
Solution.

Sea y

• )'{x)

una solution dos vtws diferenciable de la miaeirin dad

?

*

1

5u: (/(;«)) respecto a x obtenemos 2x \ 2f(x)f'(x)

Derivonclo la identidad x •]• (/(.'«))"

5(f(x)f

+ I5xf(x)f(x),

^

de donde

2x - 5f(x) 15xf2(x) - 2f(x)

15xf (x) - 2f(x)

si

0.

Entonces, segun la definici6n de derivada segunda y por la regla de derivation <1 un cociente tenemos

• M M \ \5xp{x)2

1

v

- 2f(x) /

- 2f(x)) - (2x - 5f3(x)) (l 5xf(x)

(2x - 5f(x))'(l5xf(x) —•

,

—

ii

•••

r-^——

i II

~ 2/(«))' "

.

~ • ,

m —

(I5xf(x)-2f(x))2 .

(20f(x) - 75xf\x) - 60x 2 f{x) + 4x)f'(x) - 4f(x) + 75f{x)

• • •• t

• ii

•

m

^

r

™

-

^

^

1—

(15xf2(x) ~ 2f(x))2 Sustituyendo el valor de f'(x) finalmente obtenemos /'(a)

1500xf°(x) - 120 ar* + 150a: z f(x) - 250f (x)

(15xf(x) - 2? f2(x)

1 Hallar las derivadas y la diferencial del orden indicado:

67.

y

l +x . Hallar y(100) VI X

-4 Solucion. Transformemos la funcion dada en una expresion mas facil de derivar y apliquemos una de las formulas del p. 4.2. Tenemos

y= y

2(1-®)

(100) _

68.

(1-®) 

2((l-a!)-i) -(a (199)!! (l-x) 2"

x)h
2t00

ly y 2

HI • mmm^^

(197)11 2ioo

399 - x

(1 - x)m>*9

x < 1,

(100)

y — x sh x. Hallar y

«4 Solucion. Apliquemos la formula de Leibniz, suporiiendo u — x, v = sh x. Obtenemos

y



ico Jt-0

69.

C?00 a? sh a;

Cmn ch x — x sh x + 100 ch x«

y = u2. Hallar dl0y,

<4 Solucion. Aplicando la formula de Leibniz al producto y — uu obtenemos

•

r

§4, I )<'ilviul! y diicrenriaJeH de Anlrnra NiipeiimvK id

i < 4 d1 u dw '•«

=

I7!t

i -M

•» £

6'ju j u d1"-«-i-

Δ%(,fuf

͞‫ח‬

• I)

= 2u dti]u |-20 du d'u + 90 d2u
(f'u + 252 {j?*,?,

•

70. Expresar las derivadas y e i/ de la funtf&l y = /(x) mediante las difertstciales iiticesivas de las variables a; e y, sin suponer que a; sea una variable independiente. 4 Solucion. Utilizando la definicion 3 del p. 4.1, asf como la regla de diferencia cion de! producto, obtenemos dy = f(x)dx, dzy

= f(x)(dxf

= f"{x){dxf

(!)

+ f(x)

+ 3f"(x)

d2x,

(2)

tfx dx | f(x)

(3)

(fx.

A partir de las formulas (l)-(3) tenemos sucesivamente

„

.„, ,

Ϊ1 = / («) =

d2y~y'd2x (.ixf

dxd2y~dyd2x /-j-,, (dx)

({dx)2 £y - 3 (Px dx £y + 3 (d2x)2 dy - dx dy

y" = /"'(») ~

ft Hallar y { n ) si:

71.

9

1

x2 -3x

+2'

4 Solucion. Reprcsentando la fraccion dada en la forma

y aplicando una de las formulas del p. 4.2 obtenemos (x - 1)"+1) ' n[ ( (a; - 2)n' 72.

'

y — sen3 x.

4 Solucion. Representando y cn la forma 3 1 y -- ~ sen x - - sen 3a; 4 4

y u s a n d o una d c las formulas del p. 42 hallamos

4sen I'+TJ'T*" \

m+t);

73. <

y — s e n a; -f cos a:, Solucion. Al transformar y en la forma 3 1

1 V = j + - oas 4a:

tfx).

174

tapilulo 2, CMkulo diferemial para luiuionCH de una variable

obtenemos

v in)

4 ••I. b.

74,

y

•

„_1

/

71W\

cos ^4ar h ~ j ,

n > 1.

•

•_ • • • •

a + bx In a-bx

-4 Solucion. Escribamos la derivada de esta funcion en la forma

' - G - r + G - r Segun las formulas del p. 4.2 despues de derivar (n — 1) veces obtenemos

HI

y

+x

—n

Ή

+ (»

-n

(« 2

+

+

<

ii "i"11

75.

Demostrar las igualdades:

1) (eaxax sen(bx + c)) /. _

.

_v\ (T0

ax (a2 + ft2) " sen(bx + c + nxp); = e** /

_2

2) (eax cos (bx + c))(n) = e M (a 2 + b2) ? cos(fo + c + np), donde



seny?

cos
a

Va 2 + 6 2 ' Solucion. Multiplicando el primer miembro de la primera igualdad por i y sumandole e' primer miembro de la segunda igualdad, obtenemos = {eax cos(6a? + c)){n) + (ieax sen(bx + c)) («) = eiC(tre<«+w)*)(») e^ z+ic+irap 2\ T ax Z) y (a + 62\ e

(a + 6 )

+ K ) « e<*+*> =

(cos(&e + c +

+ i sen(ta + c + rcy?))

A partir de estas expresiones, segun el axioma de igualdad de numeros complejos s obtienen las formulas deseadas, • 76. Transformando la funcion / : x trigonometrico

sen2/> a? (p es un numero natural) en un polinomio p

f(x) =

cos 2&a;) . i

Jt=0

hallar f{n)(x). Solucion. Recurriendo a las formulas de Euler y al binomio de Newton transformemos, en primer lugar, la funcion / en un polinomio trigonometrico.

2p sen y x

ix 2p 2i

22p

••• • •

Jfc=0

p-1 22p

2p 1I)\ks~ik „2i{k—p)x O2p e + E< k=G k=p+1

+

En la segunda suma entre los parentesis introduzcamos un nuevo fridice de sumacion hf, siendo k ~2p~ kf. Utilizando la igualdad CL — ob tendremos

ti 4. Ih'dviuliM y diforencliilea dt'rtuU-ncHmi pvrlnrcH

w

*)

1

17F>

W

=

Altora, tie acuerdo con una de las formulas del p. 4.2, hallamos iw t-ir (mm* a) 1 * 0 = y f

2n(k ~ vT ,,-t

2 " - ^

77.

4 f )

cos ( 2 (fc "(fc -

#

1 1 / 1 Haciendo uso de la identidad —5-—= — I ——7 X2 +1 2i -1

COS

= (2

(LB -

^

+

H

J

.

1 \ : ) demostrar que 1 £ -J- j /

; 4 Solucion. En primer lugar derivamos n voces la identidad citada

/

1

u

2

\«

/ ( - i y n l _ (-!)"»! \

=

t 1/

2i \ (z -

{® + i ) " + V '

Aplicando a los numeros complejos {a; li'iiemos (

=

*

2

J.

y (a: f i)

0 + x 2 ) - - (cosfn + 1) p + i sen(Ti + 1)

la formula de Moivro -

2_!iii/ v ( - 1 ) " n! - (1 + a: ) : (cos(n -f 1)

Hallar /(n'(0) para la funcidn f{x) — arctg a;.

I Solucion. Derivando / dos veces obtenemos f'(x) -

f"(x) =

1

~2x

-

Z^lL

ile d o n d e (1 + x2)f"(x) + 2xf'(x) = 0 . Aplicando a la identidad obtcnida la formula de Leibniz hallamos ( I I x)fi!l)(x)

+2 (»-

2 )xfin~

+ (n - 2)(n - 3)f!n~2\x) 4 4-2i/ ( "' 1J (a;) + 2 (n - 2)fln

l>(x)

= 0.

Nustiluyendo x = 0 llegamos a la relaciOn de recurrencia /
0, ] , 2 . . . obtenemos

= 0 para n par. Para n = 2k f 1, considerando sucesivamente f2kn\0)

m (-\f(2k)\,

k e Zo.

K

17U

79*

(.'iipilulo 2. I'iili'uio dilvrentiiil para luucioiioN tic una variable

Caleular / (0) para la fund6n /(;/:) i-
«4 Solucion. Derivemos / y elevemos al cuadrado la expresion obtenida. Derivando 1 obtenido una vez mas llegamos a la identidad

(1 - x2)f"(x) - xf(x) + m2f(x) = 0. Derivando esta identidad n — 2 veces y utilizando la formula de Leibniz, hallamos («-1)

in-2)

(1 - x2)}{n\x) - 2x(n - 2)f1l-"(x) -(n-

(X) 2){n - 3)/ 2 An-2) Xf (n-1)(x) - (n - 2)f{n~2\x) + mf-f (X)

Por tanto, para x = 0 obtenemos la formula de recurrencia /(0) = ((n - 2)

m 2 )/
(1

de la cual para n ~ 2kf k £ N, hallamos (teniendo en cuenta el valor initial de /(0) = l)i

fm(0)

= ( - 1 )km2(m2 - 22).,.

(m2 - (2k - 2)2).

Por analogia, suponiendo en (1) n = 2k + 1, k eN,y valor de /'(0) = 0 llegamos a la igualdad

/ (24+D (0) = 0 80.

tomando en consideration

•

Demostrar que la funcion

x2n sen i-

/ :x

0,

x ^ 0, a? = 0,

n € N, tiene en el punto x — 0 derivadas de hast a ra-esimo orden inclusive y no tierv derivada de (n -f l)-esimo orden. Solucion. Dado nque lim ^ = 0, tenemos /'(0) = 0. Suponiendo que para un cierto z-0 * natural k ^ n - 1, (n = 2,3,...) se tiene f{k)(0) 0, demostremos que tambien se verific /(*+1)(0) - 0. En efecto, dado que

k fk\x)

= V c j 2n(2n - 1 ) . . . (2n - Jfc + i + 1) x 2 n ~ M (sen -

(i>

(-0

(1 entonces segun la definition de derivada

/

tk) {k (A+l)(0)=lim f \x) - f>"(o) x 0

X

k =lim V

2n(2n

2n-k+i-\ f lVl - 1) - - - (2k - fc + i + 1) x 2 n ~ k + i ~ l (sen

q

X/

Aquf se toma en consideracion que la funcion (sen contiene terminos del tipo 4/- sen * o bien -jr cos ~ (en dependencia si el indice k es par o impar). Asi pues, mediante el metodo de induccion matematica hemos demostrado qu /W(0) - 0 \fk = T^n.

t}4. i

IviitliiN y »H/t*n!iicialf(t do ^rtlcncn miprilorrN

177

Pinal mei lie, wipnuii'iido eit (I) k — 11, vemos existe, es decir, In 3 •() ill nc ion es disumtinua on cern. F o r consiguiente, [a funcidn n o puede tenor derivada en este punto. *•

| lijercicios Hallar la n-esima derivada de la funcion / :

I36. /(«)=«•".

137.

140. Hallar fix)

si

X38. fix) — x2
/l(») fM jPw

M*\ fox)

139./(a) = z"

fn(*)


/i"^)

^nv>

... /;(»)

/2W(*> . . .

^ .

Hallar la n-esima derivada:

xip(x) =

1

V

1

143.

sh 2x

144. /<*)«#
͟͟͟

2

145, / = a: sen(3x + 2i). 146. f(x) -

΍

...

x *

...

x"

71

1

2

/

147. Sean u — u{w), V = v(x) funciones vectoriales n veces diferencia bles. Demostrar que se verifica H-JIJ

148. Demostrar que la formula de Leibniz (para derivar n veces un producto) tambien se verifica para las funcioncs matriciales A — /t(;c) y Tt — 1i{x), es decir, A^O si A y H son funciones n veces diferenciables. Hallar la n - e s i m a derivada empleando los ejemplos 147 y 14R:

149. i(x) = (v(a;),v(i)) si: e"1); a) «(x) = (sens, sen2x,..., sennx), v(x) — (ez, e*,..., b) u(x) — (cos x, cos 2x,..., cos nx), v(x) = (x, x2,..., x"). 150. f{x) = Aiz)Bix) si: l a \ - (

senna;

-eosnx

cosnx V senna; ) '

/ shnx ~ \ -&nx

( jf = IV

chnx \ shnx

_5_ Hi 4 In x

i3 1 In2 x

151. Demostrar que ta funcion

y = fix) = C\eiu" + C^e"*** (w, Ci, Q

son cons (antes)

satisface la ecuacion y" + ui2y -• 0.

152. Demostrar que la funcidn » = m

= |t In ch ik^gt),

donde k, g son conetantes, satisface la ecuacion m ^ = mg ft ( * { ) " ,

w » const.

178

( iipfltilo 2. C.ilriilo dllVrcm hil |>.im liim iniu-s de un.i variable

153* Demoslrar x :t

Κ΍Ξͯ lo funcirin 2 son t

2 cos t

C\

1

+ a

2 cos I

{ V\ |

3 cos t — sen t

,2sen*

Ci — const,

fl

3 sen t + cos t

satisface la ecuacion ~ ~ Ax, donde dt

1 -2 A—

2

-2

-1

2

-3

-2

3

154. Demostrar que la funcion vectorial

x ; t i-+ Ci

1 1 1

e' + C

1 1 1

1 0 -1

1

e + 1 0 -1

satisface la ecuacion

0 1 1

2t4- Cs

=r Ax, donde

3

A

-1 wl

-1

-1

3 —1

-1 3

155. Demostrar que si una funcion vectorial x = x(t) satisface la ecuacion % = Ax, donde A es un matriz cons tan te, entonces esta verifica tambien la ecuacion

Anx

dtn 156.

Vn£K

w ) / donde A l(x) es la matriz inversa de A( 157. Demostrar que toda solucion del sistema de ecuaciones ^ tambien el sistema HatJar

dt2

158. Hallar f(0)

- 3x5 - 3x'y

— x —V y* dt

x I y3 satisfa

dt1 a;3 - y + 3xy2 + 3y5.

si f(x) - s 3 (sen (lnra |*|) +

C0S

(In™ |*|)), x ^ 0, y f(Q) = 0 , donde t»

2?+i y Comprobar si es continua o no la derivada segunda en el punto a? = 0. ^Pueda nallarse un valor del para metro m tal que exista la derivada tercera / r "(0) ? 159. iCuales deben ser los valores de a para que la derivada segunda de la funcion / x ^ \x\a sen x £ 0, y /(0) = 0, sea continua? 160. Hallar

f(x) si f{x) =
a?|<2, M > 2,

=

cos X)

lx\ > 2.

i

161 Calcular la derivada segunda (en sentido ampliado) de la funcion / discontinuidad si f(x) = 3J

en su punto de

162. Calcular la derivada segunda de la funcidn / " ' : a; ^ y, inversa de la funcion / : y a) « = y + i f ; b) x = y + sen y. 163. Calcular d2f( 0) de la funcion

\x\a arctg

164. Hallar /"(0) si y = f(x) y x = It - t2, y = (* -

x*

0, siendo /(D) - 0.

r

x si:

\7 >

jH. I Jiiiv.id.iM y lUferenc fates de oidem-H Kiipeilores fix) definidfi enforma(>,inmu'li'k\i

KiS. Hal lor f"(x) do urui luiu-ii'm y wn

l

/ 2t> \ l\

« t f w f fotmnji 1+1-ft

' tp 1,

t < 1

KH1, Ji| > ^

Uifi. En el punto x — | caicular !;i derivada segnndii dc la Funcion y = f(x)

definida irnpKcilament!1

mediante la ecuackm sen(^y) - x + y - j , y > 0. I(>7. Hallar /HO(T) si

- Xf„(x),

h(x) -

-

(]

,-j-yr •• -•

168. Caicular /'(0) si la funcion / : x »-* y esta definida mediante la ecuacion y* + x3 -| x2 -y1 y es dos veccs diferenciable t o n confinuidad en un entomo del punto x — 0.

1)

Caicular / W > ( U ) si:

IW. /(®)

170. /(*) =

Hallar ^

171. /(sc) = ^ .

172. y - f(x), X - It-t1,

y = 3t

si:

17.1. /(i) = sen(u{zM»)) - 174. /(») = arcsen

175. J{x) = u{x)

176. /(jf)-ln(a(B(*))). 177. f<*) = («{«)+*<*), § } ) . 1 7 S . / ( i ) = ^ } } 179. y = f(z); a) y(t) ^tsent, x(t.} -tcost; b ) y(
= (

%

t

j,

e

IH2. y = f{i>); 3$) = ( j ^ , }, Caicular

d-

t Qr

+

" « + sen ( + cos t.

en el punto indicado:

1X3- y = f(x), x* -I- y3 -- 3x2if + I en el punto M{0,1). IK4. y — f(x), 3i-5 - ly" - xl + y' + 1 en el punto M(0,1). IBS. y = f(x), y — x Infi® 4- y2) en el punto M{ 1,0). IH6. Supongamos que las componenles /,-(») de una funci6n vectorial f : n - i /„(x)J satisfacen el sistema de ecuaciunes

E /f(*)U + ISRL

= senO'a;)/,(«),

j = I~n.

Hallar f"(a?). IH7. Sea A(z) una matriz funcional que satisface la ecuacion

A2(x)D(x)-r A(x)C(x) - E, donde B(x), Hallar A"(x> IIIH. Hallar

C(x)

son matrices dos veccs diferendables y E es la matriz unidad.

si A(;r) conmuta con su derivada.


IH4. Ha Car drf{-x)

st f(x)

=

donde A, B son matrices funrionales.

!'«!. Hallar d7 f(x)

si /(ar) — jV(«(®))|/ donde tp es una funci&i vectorial.

(

.

.

180

CapUulu 2. CAkuIo difarondai par*i funriones de una variable

§ 5, Teorema de Rolle, teorema de Lagrange y teorema de Cauchy 5.1. Teorema de Rolle i Sea / : [a, b] — R una funcidn continua en el segmento [a, 6], y en el interior d i [a, 6] su derivada es bien finita o bien infinita. Sea, ademas, f(a) = f(b). Entonces, en d interior del segmento [a, b] existe un punto £ tal que

f'(0

= o.

5.2. Teorema de Lagrange Si una funcion / : [a, b] —* R es continua en el segmento [a, 6] y tiene derivad finita o infinita en los puntos interiores de dicho segmento, entonces 3 £ € ]a, 6[ tal que J

f(b) - f(a) - f m

- a).

5.3. Teorema de Cauchy Si cada una de dos funciones / y g es continua en b], tiene derivada finita f infinita en ]ay b[ y, ademas, la derivada g (x) ^ 0 en ]a, b[, entonces 3 £ € fi[ tal que verifica la formula

m

- m

Ao

_

Si, ademas, se exige que g(a) y(b), la condicidn g'(x) £ 0 puede ser sustituida poi una menos estricta: ( / ( * ) ) + ( f l ' ( » ) ) ' V a ; G ]a, 6[. nwwrrn

81. Sea / una funcion cuya derivada / es finita en todo punto de un intervalo finito infinito ]a, &[ y lim f(x) •— lim f(x). Demostrar que f{c) —

donde c es un cierto punto del intervalo j a, b[.

<4 Solucion. Sea el intervalo ]a>b[ finito y

lim f(x) ͡

~

lim f(x)

x—•fi-O

= C, C = consij

C on si d e ra remos la funcion

f(x) C

si si

x g ]a, 6[, x=a y x =

que es continua en el segmento [a,b] y tiene derivada finita en el intervalo ]a, verificandose, ademas, F(a) = F(b). De acuerdo con el teorema de Rolle en el interval \a) i>[ existe un punto c tal que F'(c) = /'(c) = 0. Sea ]a, 6[ infinito. En virtud de que la funcion / es continua, tiene derivada finit| & - 0 existen sus valores limites firiitos iguales entre si, entoncq] y para x - + a - h 0 y x la recta y = C + e o y ^ C — e (para e > 0 lo suficienternente pequeno) cortara a la curvj y — f(x) al menos en dos puntos que designaremos mediante
A<=) = 0.

Examinemos ahora el caso lim f(x) — lim f(x) — 00. Tanto para el interval!

>afO

0

la, b\ finito como para el infinito, la ecuacion f(x) — A (siendo A > 0 un numeri

§5. Too re mil i|«' It idle, I rn iv ma de Lagrange y li'iifema tic C'aucKy

1KI

arbitrario fiiaj paid lim f{x) - lini fix) ~ -l-tx>) o Men la ecuncirtn f(x) - - A (si lim f{x) - lim f(x) -oo) s i e m p r e tiene d o s r a k e s diferentcs q u e designareiniis

-P —a-rO % 'b (> mediante y a 2 . Apllcando el teorema de Rolle a la funcion / en el segmento [ur(, (li'ducimos que en el intervalo q'?L (y, por tanto, en ]«, 6[) existe al menos un punto e tal que f'(c) — 0. •

82. Supongamos que: 1) la funcion f esta definida y tiene derivada continua de (it --1) csimo orden en el segmento [so, x„]; 2) f tiene derivada de n-esimo orden en el intervalo xn[; 3) se verifican las igualdades f(xu) = f{x%) = • - • = f(xu), xa < xl < ,.. < xn. I h'mostrar que en el intervalo Ja^, ®nl existe por lo menos un punto £ tal que / ( l l ) (0 ~ 0. 4 Sulucidn. Jin cada uno de los segmentos fe-i, afiJ, i ~ \.n, se cumplen todas lax inndiciones del teorema de liotle para la funcion f , por consiguiente, existcn, como nifnimo, n puntos ^ € tales que /'(fy) = 0. En cada uno de los segmentos K/s£j+iL j — 1, n*^ 1, para la funci6n /' se cumplen todas las condiriones del teorema df Rolle, por io cual existe por lo menos n — 1 puntos % 6 J«o, tales que /"(%) = 0, k 1,7?— 1. Kazonando annlogamente llegamos a la conclusion de que on n — (n — 2) 2 puntos del intervalo ]a;o,a;nf se verifica /
P , " , . . . , P,'/1"1'

S o l u c i o n . Suponiendo que todos los ceros son diferentes, segiin el teorema de Rolle i it >( enemas que /^(s) tiene n - 1 ceros reales; (x), n — 2 ceros reales, etc. leniendo en cuenta que al derivar im polinomio el grado del ultimo disminuye en una unidac!r resulta que todos los ceros de las derivadas serein reales. Si algun cero del polinomio es multiple, i-slr tambien sera cero de la derivada dei polinomio, es decir, tambien es real.

84.

Demostrar que todos los ceros del polinomio de Legemhc '

2"n!


' '

mm reales y pertenecen al intervalo ]-l, 1[. | 4 Noluci&n. En e! segmento [—1,1] si polinomio t/^fx) = {a;2 - 1)" tiene 2n ceros reales: i j'j - x2 ~ • • • = xn — —1; x n f i = xn+i — * • • = X2n — 1. De acuerdo con el teorema imlerior el polinomio P„(x) liene n ceros reales que estan contenidos, segun el teorema de Kolle, en el intervalo ]—1,1[. *•

85.

Demostrar que todos los ceros del polinomio de it" nositivos.

Chebishev—Laguerre

Capftulo 2.

182

ClUl'IiIo

tlifriviuial

Jimcionctf de una variable

^ Solucion. Constderemos la funcion tp : x ^ > punto

£ ]0j +oo[ tal que

. Como

--

link
0 (v.ej.8l), Es evidente que

=

lim


31-fr-j-OO por eso, en virtud del teorema de Rolle y de la solucion del ejemplo 81, existen l o f puntos £2 € P , i l l y £3 G +oo[ tales que ¥>"(&) - 0, i = 2,3, verificandose, ademdl, ip"{0) — 0. De este modo, 0 tales que (p{n\rik) = 0. Es obvio que ^ 0, Dado que Ln(x) = ex 0, k = n. •

„

nri

al

/ti

Or*

• •••I ! • • II II III

Demostrar que todos los ceros del polinomio de Chibishev—Hermite

86.

Hn(x) son reales. A Solucion. Examinemos la funcion u : x »—• e

x

, Es evidente que lim «k'(ar) — 0, po X-+OQ

lo cual las funciones vS*\ j = 0, n, satisfacen las condiciones del ej-81 en el interval ]—oo1 +co[. Al repetir los razonamientos usados en la solucion del ejemplo anterioiy deducimos que v! se anula por lo menos en un punto de este intervalo; u", en dos puntosj u(n), en n puntos. Dado que Hn(x) — (—l^e* irn\x) es un polinomio de 7i-esim grado que tiene exactamente n ceros, sus ceros coinciden con los ceros de la funcion todos estos ceros son reales, • 87.

Hallar una funcion 6 =

Ax) tal que f(x 0 + Aar) — f(x$) — A xf

a) f(x) = ax + bx + c, a ^ 0; b) f{x)

3 J

x ;

c)/(ar)=±;

+ 0 Ax) sir

d ) f ( x ) = ex

Solucion. Aplicando la formula de incrementos finitos de Lagrange a cada una de lai funciones a)-d), tenemos a) a(x0 + A a:)2 + b(x0 + Ax) + c- (ax2 + bx + c) = Ax (2 a(x0 + 6 Ax) + b), de dondei 1.

e

i*

b) (x0 + Ax)3 - x% = 3 Ax(x0 + 0 Ax)2, de donde Xq >0, Ax > 0; Ax 1 1 t de 2 donde #(#0, A#) c) xi) (x„-Q Ax) Ate( Ax, de donde 6(xo, Aap) d) e ^ii+Aar

AX)

+

^

A a;

'i

+ Aas) > Qi

Asr m Ax

88.

Sea 3-x

f : xi-+

I

x

si

0 ^ x < 1,

si

1 < x < -3-00

ii

§ri. T o o re niii

Itollc, h ' o w m i i di' [ . a g r a n g r y ( w r i ' i n a d c C a u c h y

IKi

IJeterminarel valor injerinrdin <•. tin la formula d o inctvmontus finitos para la f l u x i o n / en rl s e g m e n t o 10,2\. 4 S o l u c i o n . Veamos si la funcion / es diferenciable e n cl p u n t o x = 1. S e g u n lit definicion d c las d e r i v a d a s unilaterales t e n e m o s 1 V *j f l ( l ) - A*lim 0 Ax

2+

/

+

M

=

'

1 t i m Ai—(4 Ax

+U A®

t

141 funci6n f es derivable en el s e g m e n t o [0,2]. Apl i cando la formula d c incremento* linitos a la funcifin / en el s e g m e n t o [0,2] hallamos / ( 2 ) - / ( 0 ) = 2/'(c),

0 < c < 2.

Dado q u e f{2) = jy f{0) — |, j

f - i si - Jy Si

/

0
lencmos _ ( -2c \

"

si 0 < c < 1, si 1 < c < 2,

de d o n d e Cj = \, c2 — *J2 son d o s valores int ennedios.

•

8 9 . Sea / una funcion derivable con continuidad e n u n intervalo ]a, t>[. Est udi ar si p a r a Indo p u n t o £ d e ]a, i»[ se p u e d e hallar otros d o s p u n t o s x\ y x2 p c r t e n e d e n t e s al m i s m o intervalo q u e salisfagan la i g u a l d a d siguiente: Xz - x\

4 S o l u c i o n . Si f'(x) > 0 en el intervalo ]a,b[ y f n o es constants en n i n g u n s e g m e n t o del intervalo ]a. b[, la funcion f es creciente e n ]a, D e este m o d o , p a r a cualesquiera , ( 1 , 1 2 6 \a, 6[, x-i > x\, se tiene f f a ) - /ta?i> > X-2 - X]

Q

I'or lo tanto, en los p u n t o s del intervalo d o n d e f\x) — 0 no p u e d e c u m p l i r s e la igualdad x2 -

I'or ejemplo, para la f u n c i d n / : x w verifica la desigualdad a: - X1 3

Sl

x3,

- 1 ^ x < 1, p a r a cualquier xu x2 £ | - 1 , 1 [ se

3

-—- - = x\ + X-2 — Xi

+ x* > 0.

I'or consiguiente, para cl p u n t o £ = 0 no existen aquellos valores d e ;Ci y x? a ios q u o I lace m e n t i o n el e n u n c i a d o del p r o b l e m a . Sin e m b a r g o , para ciertas clases d e funciones tfue satisfagan todas las condiciones del teorema d c I.agrange n o s e excluye u n a respuesta jlirmativa a la c u e s h o n planteada. •

[M 90.

Gipflulo 2. Oilculo differencial para fiincionrs dc una variable Demostrar las igualdades: a) | sen x - sen y\ ^ \x - y\; b) pyv

(ar - y) < x,f - y pa;'

y p> 1; ^

c) |arctg a - arctg

^ \a - 6|; d) -

< In - < i

a

«

b

a - b ,n

(a - /;) si 0 < y <

.

- si 0 < 6 < a.

Solucion, Segun la formula de Lagrange tenemos a) sen x — sen y — (x — y) cos de donde J sen x — sen y\cosfl \x-y\ ^ y < £ < a,dedonde ^ sP^y? ^ b) xp-yp = pZ^fe-y), c) arctg a - arctg b = f f s (« - ft), de donde larctg a - arctgft|< |a - 6|;

w

i

•i

d) In a - In 6 = 7(0 - 6), a < { < b, de donde

< In § <

•

91. Demostrar que si una funcion / es derivable sin estar acotada en un intervalo finite b[, su derivada /' tampoco esta acotada en el mismo intervalo ]a, 6[. Solucion. Sea la funcion / derivable en \at &[ y no acotada para x —• b — 0. Consideremo una sucesion arbitraria (#„) que converge a b por la izquierda. Existe entonces un numero iV| tal que para Vrc > N se verifica la desigualdad > A, cualquiera que sea A > 0 Fijemos un numero m > N y examinemos la diferencia f(xn) - f(xm) para n > m Aplicando el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [xm, xn], obtenemos

x

Xm

donde xm < £mn < xn. Para n lo suficientemente grand e, en virtud de las condiciones de1 problema, el primer miembro supera a cualquier numero positivo fijado de antemano, dft donde se deduce que la derivada /' no esta acotada para x —> b — 0. La afirmacion inversa no es cierta: del hecho de que la derivada no este acotada en un intervalo no se deduce que la propia funcion tampoco lo este en dicho intervalo, por ejemplo, / : x ^ y/x, 0 < x < a. 92.

Demostrar que si una funcion / es derivable en un intervalo infinito ]xo, +00 f y lim /'(ar) = 0, X—*+00

entonces

lim m

0,

es decir, f(x) — o(x) para x —• +00. <4 Solution. Sea (a;Tl) una sucesion arbitraria de valores del argumento tal que xn De este modo, Vfe > 0 3 N : Vn > N se verifica la desigualdad

\f{Xn)\ < \

+00

(1)

Fijemos > N y para n > nQ apliquemos el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [&„„, xn]\ • • •

a

^

Xfi x n0 donde xntl < £„ „n < xn. nn,,

(2)

§ 5 . T e o r e m a dt'

Itolle, Icoreniii

de

I.a^ninge

y (i-mrni,) d e C a u c h y

IMS

Hn virtud dt1 Lim ilcsigualdades (1), a parlir d o (2) teuemos \f(xn) -

f{xUtl)

Xn

Xi1i&

<1-

(3)

I )c (3) o b t e n e m o s las d e s i g u a l d a d e s ^ •7i

_ (] _

£ < ^k < 2

+

Xn

Xn

fa „ \ x7l /

(4)

Para ?i g r a n d e s es valida, e v i d e n t e m e n t e , la d e s i g u a l d a d _e 2 *

f(x,J s xn~ * V

verificandnse, a d e m a s , ( l - y^H < f s i e m p r e si n > n , D e esle tnodo, h a c i e n d o u s o d e la d e s i g u a l d a d (4), para iiq > N y p a r a n > uq lo suficientemente g r a n d c o b t e n e m o s la desigualdad 0

fir,A > — ' < f, -if < J/(»n)

obien

(5)

f(T„) |

D a d o q u e ( x ) es u n a sucesion infinita arbitraria d e t erm i nos positivos, se tiene n

( f ( x ) = o(a;))

( lim — - = o /)

\x—H-oo X

si ^

-foo.

•

9 3 . D e m o s t r a r q u e si u n a funcion f cs derivable en u n intervalo infinito f(x) ~ o(x) para x —* + o o result a

I oo[ y

r

lim \l'{x)\ = Q. Mn particular, si existe lim f'(x) ~ k, enlonces k — 0. +CO .Solucion.

Sea

J m

l/fcJNA

Z — +CC

A^O,

entonces Vu (fl < £ < A) d B tal q u e para x > B se verifica la d e s i g u a l d a d \f'(x)\^A-e.

(I)

l ijemos X\> B y consideraremos x > x^. Aplicando el teorema d e Lagrungo a la funcidn / en el s e g m e n t o i ] y t o m a n d o e n consideracion la desigualdad (I) hallamos ;

m

-

nxi)

Ή͑ ͑͞ ΉΚ͑

I'asando e n la desi gual dad (2) al limite x —» — oo nblenemos lim

J —-loo

fix)

• A

lo q u e contradict: la condicion f[x) — »(«:). Am' puen, A II, rn d f i i l , lim |/"('HI

II

FHfr

("iipilulo Sea, alioru,

xm

j:

f oo, se tiene

(MJcuIo difeivmlal para fiinrioncs tic un.i variable

lim fix) * hx>

k. lintoneeN para una sucesi6n arbilraria (xFH), xTtl > Of

lim f(xm) ^ A;, rn -* oo es decir, Ve > 0 3 M tal que para m > M se verifica la desigualdad k-E

< f(xm)

<

K





E.

Al tomar too > M , m > m 0 y aplicar el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [xW|)J xm] obtendremos

f&m) ~ /(gmj

Mm),


De la desigualdad (3) se deduce la desigualdad

Pasando al limite en la desigualdad (4) para m —> -f oo, obtendremos lim I & l l ^ k + e. j-oo XM Dado que lim ^Xfti^ = 0, resulta A — s ^ 0, k -f e ^ 0, de donde, por ser e arbitrario, se W— i +00 deduce que k — 0. 94. Demostrar que si una funcion / (que no es lineal) es continua en un segmento [a, 6] y tiene derivada finita en el interior del mismo, entonces en el intervalo ]a, &[ existe por lo menos un punto c tal que m - m i 1/ (C)l > b—a M Solucion. Al dividir arbitrariamente el segmento [a, b\ en n partes mediante los puntos a0 ~ xo < x\ < X2 < .. - < xn ~ b obtenemos n-1 r a-1 |f(b) f(a)| - J2 ~ < ^ I ' i=Q i^. 0 Por la formula de Lagrange tenemos -

fi%i-fi) - f&%) = / (6) Aa?f,

xi < & < xi+ u

i = 0, » - 1 >

donde Axi = a^+i — De este modo, llegamos a la desigualdad

i-0 Dado que la funcion / no es lineal, existe pues una partition del segmento [a, 6] tal que entre los numeros ]/'(&) I hay un numero maximo distinto de cero que designamos mediante [/'(£) Asf, de (1) se obtiene la desigualdad estricta n-1

|/(&)" M \

< 1/(01 Y1Ax*

=

°)|/'K)|.

tJS, Te ore nut de Htillc, leon'iiiii de Lagrange y Iruimiii de Cauchy

IN/

de donde |/'(0| 95. Demostrar que si una funcion / tiene en un segmento [a, b\ derivada segunda y f'(a) —- f'(b) = 0, entonces en el intervalo }a, 6[ existe por lo menos un punto c tal qua

4 Solucion. Si f(x) = const, la afirmaci6n es evidente. Supongamos que ia funcidn / no en constants. La condicion f'(a) — f'(b) = 0 implica que la funcion / no cs lineal. Aplicando la formula de Cauchy de incrementos finitos a las funciones / y

*(/m-/(*>) m {b~af

b

a
-

2

< fe < b.

Sumando las igualdades obtenidas hallamos s ( m - m ) p^a)2

m

^ -o

, /'(ft) 1 6 — ^2

m

Como /'(a) = f'{b) = 0, cl segundo miembro de la ultima igualdad puede eseribirse en la forma

donde « < f/i < ifi, < considemcion (2) vemos que

< 6 , Al estimar el valor absoluto de (1) y al tomar en

8|/<6?-/W| . I , , , , vI , | m. ,, < 1/ M + l/ M (6„nj2 Supongamos que j{b) ^ f(a) (en el caso contrario, la demostracidn es trivial: como c puede servtr cualquier punto del intervalo la, &[}. Por lo tanto, al menos uno de los numeros [/"(??t)| P ]/"{%)| esdistinto de cero. Designemos [/"
(el signo dc igualdad no se oxcluye, pues puede ocurrir que |/"(»?j)[ =

).

•

188

( jipidifo 7. CillcuJo diforriu iii! |Uir
96, Punuwtrar que hi una funcirtn vectorial f : M • Ku liene derivada continua en uri - "wtf^Vrt uli rid- 'i«; u\; serve run:;! ia a esigua I clad |f{6) - f(a)[ s£ (6 - o) ni.ix |f (®)|.

4 Soluci6n. La funcion F :

(i(b) - f(a)) (x -a)-

t(x)(b - a) es derivable en el segmento

[a, 6] y sus valores en los extremos del segmento coinciden. Por eso, segun el teorema da b[ tal que Rolle, 3 £ Q f ( £ ) = 0,

(f(6) - f(«)) 2 - ( f (£), (W) - f («))) (b ~ a).

o bien

A partir de esta igualdad obtenemos Ia desigualdad

\m-m\

|f(£)|(b-a).

(1)

Dado que la funcion |f'| es continua en [a, b], entonces segun el teorema de Weierstrass esta toma su valor maximo max |f'(x)| en cierto punto x £ [a, 6]. Por lo tanto ff'(£)| = y a partir de (1) obtenemos la desigualdad requerida. 97. Demostrar que si una funcion vectorial F : IR —• E 1 a) es continua en [a, &]; b) es derivable en el intervalo ]«, 6[; c) la derivada F'{#) / 0 en ]a, h[, entonces existe un 3 £ £ ]a, b[ tal que - F(«) = AP'tf),

m siendo A una cons tan te,

( f ( x ) , £(£)) £ E . En virtud de las condiciones a) y Solucion. Sea F : x i—* (f(x)}g(x)), b), las funciones / y g son continuas en el segmento [«> b] y derivables en el intervalo 2

2

]a, b[. Ademas, (/'(#)) + ^ 0 segun Ia condicion c). Por consiguiente, de acuerdo con el teorema de Cauchy 3 £ £ ]a7 b[ tal que

(m

- m)g'(0

= f'(0(9(b) - 9(a)).

Si, por ejemplo, /'(£) ^ 0, se tiene F(6) ~ F(a) = (f(b) - /(a), g(b) donde A

9{a)] =

f { h

):{l

m- m

^

1

—

{ a )

{f(o,m

•

—

m

Ejercicios 191. Considerando las funciones / , gf (p siguientes demostrar que ninguna de las tres condiciones del teorema de Rolle es superflua:

Jf tt-r 1+ l

f :x (fix '—*

-1

192, Para una funcion vectorial i:

^ x ^ 1; (x sen

f

c0

si si

a < x < 6,

x

a, x sen a:,

b; 7T 4

0 ^ ar ^

x cos x), x E [O, § ] , hallar un £ € 10, § [ tal que

?r f(0) = A-f(f),

A e R.

§ 5 . Teomini de Kulli', tenienia du Lagrange y leurrinn dts t'aiu'hy m.

Demostrar quo si / i C"" MI (|u,6|), 3 f f. ]a, f ( x ) - Lm(x)

IH'J

tal que ^ f W n t e ) ,

siendo wm+iC»0 = [ x - s e , f a - # ( ) . . . . < « — •

a =

< x , < . , , < xm « 6,

m j=0 <|> Indkaridn. Considerar la funcion 2 : a: mediante la condicion z(S) — 0.

/(;e) - & * ( $ ) - A(®)o»m.H(:e), donde * ( £ ) se define

194, Sea f : iK —> IS*, n ^ 3 r una ftmcidn vectorial derivable con continuidad en un segmento [«, b\, a < b. Comprobar si siempre puede liallarsc un £ 6 la, 6[ Lai que cl vector ((b) - f(a) sea colineal a f ' ( 0 Estudiar el ejemplo [0, f(x) st (cos x, sen a;, a;), x

6

jt].

195. Comprobar si el teorema de Lagrange es aplicable a la funcidn / : x i — \f—T, derivable en el segmento la, 6]. ExaminaT el ejemplo f ; x t-* cos x + i sen x,

x 6

r

f\{x)

-I- ifoix),

donde

JM

196. Sea f una funcion derivable en un intervalo (a, 6[ tal que f(a;) - 0 en ju, 6[. decir sobre la funcidn f ?

podemos

197. Sea A una funcion matricial derivable en un intervalo ]a, fc[ y lal que ji'(ar) = 0, x £ iQue podemos decir sobre la funcidn A?

Jj{.

!98. Sea ip • x>-> x , donde / es una funcion dos veces derivable en [a, b\, siendo f'(x) Para un f? dado hallar un conjunto X C [n, ®] para el cual se veritique la desigualdad

j v W ~ vKjf)|

~

/. 0.

if G

sj: a) / :

x~cosx,

B=

b) / : x

[0, | ] ;

/'"'{O^jf-1

199. Sea

x tsx

- % 9 = 1, x e [0,

§],

~ H x ~ t f , t P. [", x], p > 0, A = const;

la funcion / tiene (n + l)~esima derivada en [a, x], Demostrar que Vp > 0 3 4' g tal que

m

- 1

-

+(f=f)p

x[ y A

M>ts

(formula de TaytOx con Wrmino compiementario en forma general). 200. Sea A : x h > A(x) — a

una funcidn matricial derivable con continuidad en un segmento fa, b\ y l 0 ! ; ^ ) ! 2 ' donde >'ij(x) son elementos de la matrix A(x).

Demostrar que se

Y iJ=i verifica la desigualdad |X(l>HA{«)|

<

maxjj4'(a!)j(b

— a).

201. Demostrar que si las funciones vectoriales f v g son conlinuas en el segmento ja, derivabies cn el intervalo Jn,6[, entonces 3 £ € ]a, £>[ tal que (f{6) - i(a), g ' ( 0 ) - ( g ( i ) - g(«>, f (O) •

y

m

( a pill Ho 2. C "iilculo difiMvtiri.il prim funcioneH Ji* 1111*1 v.imbli 1

202. Supongamos que Jos funciones / y n sus derivadan

Jt^i

= fm ^

- E A-I

'

ip : x tp{x)f siendo
d ) Indicacion. Analizar la funcidn

£„(*) =

9(k) («),

-

a-

- n - ^ - a ) ,

t=l

- fib) - 2^ —rr1^ ~ a) • kl k=l 203* Supongamos que:

2) Vsc, ft 6 K se cumple la identidad

f{x + h) - fix) = hf(x + 0ft); = |; b) si

3) f i x ) Demostrar que: a) si 9 = 0(a?), entonces entonces lim 0(A) = £. 204. Sea

-i+i = ~ (x -f &ix)) u?

ix -f 1)I -

x ^ 0,

< + o o y 0 = 0(A),

n>L

Hallar los valores limites de Six) para x +0 y x -> -foo. 205. Supongamos que dos funciones / y g son derivabies en un segmento [a, b\, verificandose, ademas, gix) ^ 0, gf(x) ^ 0. Demostrar que 3 £ G ]ft> £»[ tal que

t 0(a) 206. Demostrar que la derivada de la funcion / xi sen (5 lnar) ,

/ :x

x ^ 0}

0, x = 0,

es continua para x ^ 0, pero la funcion £ que satisface fix) — /'(£(#))&, 0 < < a?/ es discontinua. 207. Demostrar que si f es continua y monotona en un segmento [0, ft], siendo /(0) 0, la funcion f es continua en este segmento (v. ej. 206). 208. Demostrar las desigualdades: a) k - 2/1 ^

\x2 In x - y2 In y\ ^ 3e\x - t/| Va:, ^ 6 [1, e];

b) arctg a; - y1 arctg y\ ^ 209. Demostrar las desigualdades:

\x - y\ Vie, y G [0,1].

a) 1J 210, Demostrar que las aproximaciones sucesivas definidas por la formula =

"

j

X'q = 1,

convergen a la raiz de la ecuacion x = ee£, si 0 < ee < 1. 211. Demostrar que las aproximaciones sucesivas definidas por la formula

— AXn 4-1} 1 donde A

2

X 0

(i f i f ,

1

(1,0)T-

1

i 1 4

7

convergen en E2 a la solucion de la ecuacion X = AX + 1 si s1 <

Cwliiih'tiftt y tU'mH'tmiciito de una funcidft. DenigujildadeB

I'M

f

§6. Crecimiento y decrecimiento de una funci6iu Dcs igualdades 6.1. Crecimicnto y decrecimiento de una funcion Definicion. Una funcion f se denomina crecientu (decrcdenle) en un segmento , Q [a, 6] y x , < x2. &j, si f(x2) > f(xi) (respectivamente f(x2) < f{xi)) 6J2. Criterio de crecimiento (decrecimiento) de una funcion Para que una funcifin / cuya derivwda es finita o infinita en un intervalo X sea creciente (decreciente) en dicho intervalo, es condici6n necesaria y suficienle que se verifique: a) f'(x) ^ 0 (/'(a:) ^ 0); b) f'(x) no se anule en ningun segmento [a, que este contenido en el intervalo /3j C J ) . R determinar los intervalos dc crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes: 98. 4 Solucion. Dado que /'(x) = x2 'x(2 - x In 2) para x 6 ](), ~ [, !a funci6n / es crccieiUe en el intervalo ]0, r ^ [- Bn los intervalos ] - o o , 0[ y ] +00 [ la derivada de fa funcion / es negativa, por consiguiente, f decrcce en cada uno de dichos intervalos. • 99.

f i x ^ x ( j \ | + sen(lna))^ si a: > 0 y /(0) = 0.

4 Solucion. Derivando f hallamos /<») - J \ +

sen (in x + J ) ,

x > 0,

de donde f'(x) > 0, si sen (in x + |) > — ~. Resolviendo la ultima desigualdad determinnmos los intervalos de crecimiento de la funcion /:

Jin los intervalos /'(•») <0,k€Z.

^ | a f u n c ^-, n j> decrece, puesto que en estos intervalos > v it

1 + - ) es creciente en los intervalos ]—oo, - I] y JO, +oo[. 4 Solucion. Mostremos que en dichos intervalos la derivada de la fund6n es positive. Para x >0 f ¥ ) = /(«)

(Hz

+1) - In® -

Al a plica r la formula de incrementos finitos a la fuodon x obtenemos ln(;r + 1 ) - I n x — luego fix)

= f(x) (l -

donde

> 0 para x > 0.

. In x en el segmento [a', x + J |,

x < £ < a: + 1,

k npnuio JL. CiUi'iilo clifer-eiiriiil jwrt finu'loiieM de una

I v/

Sim -oo < x <

i

1

iahle

1. Tenemos

/'(») = f(x) (ln(< - I) donde t

••I

I nt-

-J

--),

xr 1 < t < +oo. Segun la formula de Lagrange 1

ln(* - 1) - In t donde t - 1 < & < t, por lo tanto f{x)

para 1 < t < +00, o bi

= f(-t)

}'{x) > 0 para -00 < x < —1, 1 0 1 . Comprobar si la derivada de una funcion monotona tambien es monotona. M Solucion. No, en el caso general el enunciado no se verifica. La funcion / : x t-> 2x+sen es una funcion monotonamente creciente en toda Ia recta numerica debido a que su derivad /': x j-* 2 + cos x es positiva Va: E No obstante, la propia derivada no es monotona e el intervalo ]—oo, +oo[, 102. Demostrar que si

entonces se tiene ~
|/(a?) - /(a?0)| <

x ^ x 0,

Interpretar este hecho desde el punto de vista geometrico. A Solucion. Dado que las funciones / y

f'(c) j ^ 1, /(«o) I m tp(x) -
Xq < c < x,

de donde \ f(x) - f(x0)\ < }
1 0 3 . Sea / una funcion continua en un intervalo a ^ a? < +00 y, ademas, f (x) > k > Q para x > a, donde k es una constante. Demostrar que si f{a) < 0, la ecuacion f(x) = 0 tiene una y solo una raiz real en el intervalo 1 a, a

m k

Solucion. Aplicando el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento tenemos +

1M) k

-

/<«) = w

k

- + Oimi f'U k

De Ia condicion f'(x) > k > 0 obtenemos

de donde

+

> 0.

J

0<6<1

tjth ( iininiJi-pild y tlt't'ivt'imii'iilfi dc un.i funiiiin. Di
1*1!

jJii los exlremos del Hi'gint'Hln |«, n \ IJ&'-lj In funci^ji / Ionia valoivs do siguos opuoslos, por lo tanto, scgi'm cl lixm-otii do Cauchy dc los valores intcmnjdioS existe un puntu f C: j a , a -f

| In I que /(£) — 0. Demostremos que dicho punto us tfnico on esle

inlcrvalo. Para eso suponemos que en dicho intervalo existe un punto tal que /(6 i Jn'guu el teorema de Rolle, en el intervalo (si £1 > £) o en el intervalo < 0 debe exist ir un punlo £2 tal que /'{£)) =0, lo que contra dice la condicion f'(x) > k > 0 para x > a. 104. Demostrar que si: 1} dos funciones arbitrarias p y ip son n veces derivabies; ptft>(®o) ~ ^(xa), k = 0, n - 1; 3} ip{n\x) para x > x0l entonces se verifica la desigualdad ip{x) para x > xq. 1 Solucion. Apliquemos, en primer lugar, el teorema de Lagrange del valor medio a la en el segmento [XQ. X], Tenemos funcion = 2)

- U{n~%0)

- u [ n ) (0(* - Xo),

de donde, en virtud de las condiciones 2)-3), hallamos >fl,x > xa. Anilogamente se dcmuestra que tt'" > 0,..,, fi(a;) > t), es decir, ip(x) para x > xq. >• 105. Demostrar las desigualdades siguientes: a) e1 > 1 + x si x / 0 ; c)

e)

b)

X 2 - — < sen x < x si x > 0; 6 1 1 (xa + yay; > (x" + if)i> si 0

d)

- x— < ln(l + a;) < x si 2

x

X tg x > x +• —

x

> 0;

TT 0< x <

si

3

2

0 , !/>0y0<«<)3.

I Solucion. a) Designando (p{x) = ex, i>(x) — 1 f a; y teniendo en cuenta que j?(fl) - f >p'{x) para x > 0, en virtud del ejemplo anterior vemos que tp(x) > 4'(z) para x > 0. Suponiendo x — — t para x £ 0, obtenemos m =

Dado que 1 + x para x < 0. b) Designemos "

x

* > ip\t)

x2 " y'

m=tt~h

t>o.

para t > 0, resulta 1p(t)

^(x) = ln(l + x%

Es evidente que y?(0) = ip(Q) = i)(Q),
7j(x) = x,

< ip'{x) < 7]'(x)

tp(x) < •!p[x) < 7/(2) si

> i>{t.)

x^Q.

para

X > 0.

c) Denotemos
x3 b

-p(x)

= sen x,

para t > 0, es decir,

i](x) — x.

x

> 0, por lo cual, on

m

t'upitiilo 2. CjltuJo diferenditl p.iu ftincioiu's de

iiim

variable

leiienios ^j(O) 'tp{0) //(()), f{x)•< i/(x) para x > 0 y x / 2k%r IX1 acuurtld con e! ejemplo anterior se verifican las desigualdades j

fp(x) < if?(x) < 7}(x)y x>Qt

x^ 2far)

k 6 N.

Para x = 2Jt7r tenemos las desigualdades 2_2 4fc%

2tar f l

6

j < 0 < 2&7T,

es decir, ip(lk-K) < ^(2fc7r) < ?j(2fc7r), fee N. De este modo, cuando ® > 0, se cumplen la| desigualdades

(p{x) ($) < rj(x) d) Designemos (p(x) = tgar,

= ^ +

a;

3

0

7T 2*

x <

i

Evidentemente, ^(0) = ^(0), ip\x) > i?*{x) para 0 < x < | (pues ^'(as) = 1 + tg2®, = 1 + x , tg x > x para 0 < x < - ) , Teniendo en cuenta el ejemplo anterior; podemos afirmar que (p(x) > x) para 0 < x < e) Para todo x > 0 e y > 0 fijados de antemano, y para todo a, fl tales qu > (ar + yr)es

0 < a < p, ia desigualdad (xa + ya)rt

't

x

>

+1

y

X\P y

equivalente a la desigualdad 1 &

-hi

Para demostrar la ultima, designemos ~ = t y examinemos la funcion 1

(f + l) %

Q
Su derivada i z Inf

ip ! Z I—* ^>(2) z( 1 + tz)

ln(l + i 2 ) in

111 ~— (i +

l

i-

+1*)

n

es negativa para 0 < z < +00, luego la funcion

+ y") para x > 0, y > 0, 0 < a < /?, c. q. d. 1

1 1

> {x» + 7/) a

•

1

1 0 6 . Demostrar que para x > 0 se verifica la desigualdad

x

tj(>. t'li'iimloillii y ihriniinicnUi de HIM linn inn I lesij^u.ildades

MJ.'i

Solucion. Si In di^igHaldad cs vdiida, tomando Ingarllinos en ambas paries tie t\sla ilcsigualdad se obiiene fitcilinenlc la desigualdad — p - < In ( l + - ) < i , V xJ x x+ 1 que hay que demostrar. Designando j = t, t > 0, Jlegamos a la desigualdad

I a segunda parte de esta desigualdad se demostrd en la solution del ej. 105. Demostremos ahora la primera parte. Designemos 0. Por consiguiente, a partir de la desigualdad demostrada en el ejemplo 104 llegamos a la conclusion de que 0, es decir, ^ < In ( l + - j para x > 0.

107.

Demostrar las desigualdades: a) a;" - 1 > a(x - 1) para a ^ 2, x > 1; b) v ^ — \/a < Vx - a para w > 1, % > a > 0; c) 1 + 11n x ^ x2 para x > [J.

Solucion. a) AI designer (x) = a(x — 1), se tiene: i>'(x) para a > 2, x > 1. En virfud de la desigualdad demostrada en el ej. 11)4, si

ip(x)

a ^ 2,

x > 1.

b) Por analogia con la demoslradon a), para n > 3, a! > a > 0, tenemos
fp(x) - Vx - a, por eso

(a) = 0,


c) Designemos tp{x) = l + 2 l n a j , — x2. Vemos que para x = 1 los valores de las funciones

1 se cumple la desigualdad ip'(x) < ip'(x), i-iifences en virtud del ej. 101 se verifica la desigualdad 1.. Sea ^ < t < t oo, tenemos II < x < 1. Entonces, denotando t. — vK*) = i - zin t =
=

= Mq,

i>[®,

de donde ^j(f) < tp^t) para 1 < t < +oo, es decir, ip(x) < tp(x) para 0 < x < 1. Tomando en consideration la evidente igualdad = iy>(l), llegamos a la conclusion de > 0, c.q.d. • que (p{x) < 4'ix) lijercicios Hollar los intervalos dc crecimiento dc las funciones siguientes: 212, / !

arccos

213. f : x ^ We.'1',

a > 0.

214. f : x ^ x (l + i')*.

215. / :x h-t arth -y^Vv

216. / : X

217. f:X-*Y,x**

y = exp(\^ir( - sen t2 + cos t2),

f •Y

V

P+l, ^ "

- CPn/l

Y, x = t hxt, y =

it = nf1 - r m H

O
f
19b

( 'apilulo

t'alculo di feiviii'i.iE para I unci ones de tin.i variaMe

219, J : X Y, a; -- a soiVf lf y h t W lf 0 < / ^ 2k. 220. f : if ^ J p , . 221. / : ™ i >
#^

sen ^ p =

cos 92, y =

Yt x = p co$(4p - p3), y ^ p sen(4^ - p3).

224. / : X 225. / : X

Y, x3 + y3 — 3ar?/ = 0 (y > 0, / es una funcion derivable).

226. f

x2y2 - z3 + y3 = 0. 227. /

228.

+

& + p = ac^.

cos (a? + 2y) = 0.

Estudiar la monotonia de las funciones siguientes:

229. / : x

{2 + x) ln(l + x) - 2a?. 230. / : as w

xT [x]l

ar ^ 1.

231. / : X Y, x = senf - J 4y - 4*5 - 5i4 + 1. 232. = > 0 (p)

235.

^ _ ^ ± !

> 0 p a r a a ! > 0

237-

* - !r + fr 238 11 - — -i^o. 2! 4-4! 239.

+

.

i 0,»»e n. • -— X ^ 1 1— (4ft—2)! ^ < coq 21 — ^ + ^ 4(4w)!' " ^n f^N

+^ +

neN.

240. sen x ^ ^(ir - a?), 0 ^ x $ sr. 241. cos a: ^ 1 \x\ ^ f . 242. a) tgar ^ para 0 ^ x ^ b) lgx ^ para f ^ ar <

243. ^Er < « + ^ ^ ( f f 1 245. ar« < 1 +

® > 1, a > 2. 244. senx + tg® > 2x, 0 < x < f .

n para 1 < » < e. 246. ^ ^ ^ > 0, \x\ < tt. 6=1

247. Sean a — (a1} a 2j * • - ?

an)/ b

=

b2) * *., bn) y c vectores de En. Demostrar que

A F E det | F B G | ^ 0} E G C donde A =

B = b\ C -

E = (a, c), F = (a, b), G = (b, c).

248. Sea / una funcion derivable en [a, b], /(a) = 0 y 3 A 6 R tal que ^ A|/(«)| en [a, ft], Demostrar que f{x) = 0 Va? G [tt, &]. 249. Sean x,y 6 Se dice que x > y (x < y), si > yk (xk < yk) Vfe - 1, n (dicha relacion entre ciertos vectores se conoce por el nombre de ordenacion parcial). Basandose en dicha relation, llamaremos a la funcion vectorial h •••i ^ ^ 7 monotonamente creciente (decreciente) en el intervalo T C [a^b], si Vii,^ € I se verifica (h > t2) => (x(t0 > x(f2)) {x(^) < x(fe)). Demostrar que la funcion vectorial x : 11-* (sen t, cos

te

} es creciente en 10, ~ [.

Hallar los intervalos de crecimiento (decrecimiento) de la funcion vectorial f si:

250. f : t ^ (21 cos£| + | cos2t| +4f, 251. f : / t—s- fJL <

+ ^ se n4i -f l) .

t uuveUd.id v eoiii.tvidtld dc lit gi.ifie.i dt

255. Una funcidn matricial A : l

(fi^(O)

(decreciente) en un intervalo |a, (correspondientemente,

{i,j =

I tumii'm

I1)1/

ti) sc denomina mono to nan

em'ieule

si Vi (l ii 6 jn. i)[ si (ii > h) m. {MII) > d(i,)}

}<

Dodas dos matrices A y Ji, se dice que A > D

(/i < B), si a,, > b,}

< h,j), i , j

Determinar los intervalos de monotonia de las funciones matriciales siguientes:

W

,

(

\. fl f

?

i.

*

i i

f

f

v'i]»(

t

\

[t] +t )'

( sen! + I sen f| cos f + | cos t] ^ t + arcseiit2 tsent J'

§ 7. Convexidad y concavidad dc la grafica de una funcion. Puntos de inflexion 7.1. Convexidad y concavidad de la grafica de una funcidn Definicion. Se dice que la grafica de una funcion / ; ]a, —1 IR es o'mcav.i (convex a), si dentro de los jf mites del intervalo mencionado la grafica esta si to a da j^icw ari iba (hacia abajo) de cualquiera de sus tangcntes. Teorema. Seu una funcion cuya derivada segunda es finita cn cada punto dd intervalo Af- Para que la grafica dc esta funcion sea concava (convexa), cs suficiente que se verifiqite  IW lu desigualdad f"(x) >•  (f"(x)   para a
108.

f :x ^ 3x2 - X3, x € R.

Solucion. La derivada segunda f"(x) 6(1 - X) es positiva para x < 1 y negativa par.! x > 1. Por consiguiente, de acuerdo con el teorema del punto 7.1, en el intervalo | on, If la grafica de la funcidn / es concava y en el intervalo ]1, +oo[ es convexa. Scgtin la definition 7.2, el punto MQ(\,2) es un punto de inflexion de la grafica. 109.

f : x ^ x

x

(x > 0).

Solucion. Dado que la derivada segunda f"(x) = x* ((In x + + -7) > (J para x > II, entonces segun el teorema del 7.1, la grafica de la funcion en cuestidn es concava. •

I

M

i apiuuo i. I A leu To dift*rencia I para fuiicioiuns do una variable

'

110. Deterinmar el valor del para metro h para el ami la "curva de pmlnibilidad" y^

h

—

V7T

e

--/iV

i ^

,

h > 0n}

fl

—jpff* \

(

^ ^ 7/T

/'

< Solution. A partir del signo de la derivada segunda f"(x) =

(lk 2 x 2 ~ l)

llegamos

a la conclusion de que en el punto x ~ la curva tiene inflexiones (dado que al pasar estos puntos la derivada segunda cambia de signo). Por tanto, el valor requerido de h su determina de la igualdad = a) {h ~ -J^), 0. • i n . Sea / una funcion dos veces derivable en un intervalo a $ x < +oo, y ademds 1) /(«) = A > 0; 2) /'(a) < 0; 3) /"(#) 0 P a r a ® > Demostrar que la ecuacion f(x) = 0 tiene una y solo una raiz real en el intervalo ]a ; +oo[. -4 Solucion, De acuerdo con la formula de increments finitos de Lagrange para x > a tenemos f(x) - A + (x - a)/'(ft (a:)), f{x) - f(a) + (* ^ a)f (&
a < 6 < x, a < & < a,

(1) (2)

De la condicion / " { £ < 0 se deduce que /'(a?) < 0 para a? > a, por tanto la funcion / decrece en el intervalo ]ar H-oo[. De las formulas (1) y (2) hallamos f(x) - A + (x - a)f{a) + (a - a)(£, - a)/"(6(6))*

(3)

En virtud de las condiciones f ( a ) < 0, /"(&(fi)) ^ 0/ de ^ formula (3) se deduce que para un > a lo suficientemente grande el valor de la funcion es negativo. Dado que la funcion / es continua en el segmento [a, x0], segun el teorema de Cauchy de los valores intermedios existe un x { £ ]a,aro[ tal que / ( x - ) ~ 0. Por ser decreciente en el intervalo ]«, +oo{ la funcion / no puede anularse en ningun otro punto distinto de x\. • 1 1 2 . Una funcion / se denomina concava (convexa) en un intervalo si para cualquier par de puntos Xi y x2 de este intervalo y para dos numeros arbitrarios Ax y A2, Ai > 07 A2 > 0, Ai -3- A2 — 1, tiene lugar la desigualdad /(Aitfi + X2x2) < Aif(xx) + A2f(x2) (respectivamente, la desigualdad inversa f{M®i +

> Aj/^i) + X2f{x2)).

Demostrar que una funcion / es concava en 6[, si f [x) > 0 para a < x < b, y f es convexa en ]a, b[f si f\x) < 0 para a < x < h. 4 Solucion. Sean Ai > 0 , A2 > 0 numeros arbitrarios que satisfacen Ia condicion Aj-fA2 = 1. Supongamos que ff(x) > 0, x E ]a, 6[. Corisideraremos dos puntos arbitrarios X\ y x2 ( Xi < x2) dei intervalo b[. Es obvio que el punto Ai#i -f X2x2 se encuentra entre X\ y xi. Segun el teorema de Lagrange tenemos /(Al*! + X2X2) - f(Xy) ^ \2(X2 - X{)f(b), J

(1)

f

$7, < unvexidnd v concavidad dc la gr.ifua dc uiiii Iuncidn donde x j <

< Ap'i i

I'W

y

f(xj| - /(A,x, -f- X2x2) =

•*i)/(fe),

(2)

< £2 < Multiplicandt) el primer y segundo miembro de Ins donde A^xn + igualdades (2) y (1) por Ai y Ai, respectivamente, y restando de la primera igualdad oblenida la segunda hallamos x2-

A 2 f(x 2 ) + XJixt) donde

- /(Atai + X2x2) + MX2(xz - »i)/"(6),

virtud de las condiciones A] > 0, X2 > 0 y

< ft <

P)

> 0, tenemos

Aj/(« 2 )+ A,/(aj) > /(Xi^+AiiBj), i-s decir, f es cdncava en ]o, b[. Si, en cambio, fix) < 0 eii ]a, b[, segun lo antcriormentt: demos trado la funcion ifi: x — fix) es concava en ]«, b[, por lo tanto se tiene \\ ^(A|X, +X2x2), + X2x2). La desigualdad obtenida muestra que / es

de donde A[/(x;) 1- X2f(x2) < f(X convexa en ]«, >

: x t—' x In *» x'1 (n > 1), 0, son concavas en cl intervalo ]fl, 4oo[, y que las funciones ip-i : x i'i : x In x son convexas en el intervalo 10, +oc[.

4 Solution. Derivando dos veces las funciones dadas hallamos V\(x) = «(»—l)»n"2i


$(x)

= i

tf(x)

= n(n~\)xn~2,

.

I'ara x € JO, -I Oc[ tenemos 0 (j = 173) y ^ ' ( x ) < 0 {fc - 1, 2). Utilizando cl resultado del ejemplo anterior podemos afirmar que las funciones (pj son concavas y las •ipk son convexas en el intervalo ]0, +oo[. 114.

Demostrar que una funcion concava (o convexa) acotada es siempre continua y tiene derivadas unilaterales por la izquierda y por la derecha. M Solucion. Para concrclar, supongamos que la funcion / es concava en un intervalo |«, /if, ['or ser / acotada en b[, He > 0 tal que l/(x)l < c. Sea xo E ]«.('[- Ivlijamos cl incremento del argumento h, > 0 en el punto Xg de modo cjue los juntos Xo h. y + tambien pertenezcan al intervalo ]a, b[. Por ser f concava, se verifica la desigualdad f(x0 + h) + f{x0 - h) > 2/(xn), que escribiremos en la forma f(x) - f(x0 ~h)<

f(x0 + h) - f(xQy

(I)

De la desigualdad (1) obtendrcmos la cadena de desigualdades /(so - kit) - f(xa - (It +• l)h) < f(xQ + ft) - f(xn) < < fix0 + (k h 1)A) - /(jT|> I kh),

k

tl. v

I,

(-.')

si los puntos :£() — (k 4- \)h, a\i + {fc + l)ft (A: — 1, n I) peHenen,u .tl inlei vuln |n. Sumando rcspecto a fc las desigualdades (2) desde II lutsta 11 I. llognmoM <1 lit tlciii^iMlttitd n Hfirif1#i hwipnHn ^n

1p n n l

n ni ttLnlit tli4 Li liiiu It'm W itlditiuumu»

/'(I0

('aplliiln >V (Vikulu diferencial para I un Clones de una variable l /*)'

/ M

<

(4)

J ft

Cualquiera que sea £ > 0, Vn > [ t e n e m o s |/(®o +

ft)-/(as0)|

(S)

si h satisface la condicion

i

, , b — Xn Xn -n n

0 < h < min
Asi pues, la continuidad de la funcion / en cualquier punto del intervalo ]a} &[ estd demos trad a. Demostremos la existencia de las derivadas unilaterales de Ia funcion. Sea h > hi > 0. Entonces se verifican las desigualdades

v /(Xq + fti) - f(x0) hi

<

f(x0 + h)- f(xo) h '

- /(x 0 )

fjxo-h^ -ft!

f(x0 - ft) ^ ~h

fjx0)

En efecto, al escribir hx — 0hf 0 < 0 < 1, vemos que la desigualdad a) es equivalente a la desigualdad

0f(xQ + h) + (1 - 0)f(xQ) > f(x0 - ft^ y Ia desigualdad b) es equivalente a la desigualdad

i

0}{x0 - A) + (1 - 0)f(x0) > f(xo - hi), cada una de las cuales se cumple en virtud de que Ia funcion / es concava, De este modo, la funcion

+0 y esta inferiormente acotada por el numero ^jr, mientras que la funcion : ft —+ /^"^-/foo) crece para h —> +0 y esta superiormente acotada por el numero r-. Por eso, existen los limites lim +oo

lo menos un punto £ tal que f (Q — 0Solucion. Debido a que se cumplen las condiciones del problema 81, en el intervalo para x —> +00, a partir de la ]#(}, +oo[ 3ft tal que /'(ft) — 0. Dado que f(x) — solucion del ej. 93 vemos que lim |/'(x)| = 0.

X —»+oo

De este modo, conforme al ej. 81 en el intervalo jft, +oo[ 3 £ tal que /"(£) = Ejercicios Hallar los intervalos de convexidad y concavidad de las funciones siguientes:

254, fix

«->(! + x2)

+ x.

255. fix

arccos

+ 3a? - 8. 256. / : x

77^= - 5x, v

~e* ™ 1 + 3x. 258. / : X Yt x = {t + I f , y = (t- 1)\ 259. f:X^Y,x = sht-t,y = dkit-l. 260. f \ X —> Y, x ~ t]nt, y ^ -6et - 3 f2. 261. / : X ^ Y, x = (1 + , !/ = (1 + 257. / x

•

r t'iiiivculil.ttt y iiiiu'iivkl.ul 263. / : ip i > />

t[i

y , ji

I.i ^liUiiit tii' ti 11.1 Itmt'ioil

201

• (I (/>,

204, Detoniunnf si es tjiSivcxii o concava la fjrdlica du In funcion / : X -> Y definida irtijilfdUniicjili' mediante In mwcitfn :r;' tj' — ?>x2y — 3y I 1 — 0 un torno nl punto M( [,()). 265. Determiner si Lis grnficos de las funciones siguientes tienen inflexion en <•) punto x

„w / ^ sen 1i) a] f arw < \ 0,

x = 0;

f ac5cosi,1 hi / ; 2 f-+ < ' \ 0,

I):

x f-  x — 0.

266. Se.i / una funcion concava en un intervalo ]«, b[. DemostTar que

donde a < Xi <

= b, n ^ 2.

< ... <

UtiH^ando la desigualdad del ejemplo anterior demostrar las desigualdades:

2tt3.

.

^

+&!i + " • +

> 0, i ~ 1,n.

269. a) l" +2" + ••• +na > n ( S j 1 ) " , b) 1 -f I + - - • 270.

|

(l + £ + • • • +

'' , a ^ 1, n 6 N.

> ( S ^ ) * x>Q, y > 0 , z > 0 , x ^ y ,

Demostrar las desigualdades: n ^L 271. £ tfjT > 5 Para n>nu> 1. k—1 <|> Indication. Utilizar el hecho de que la grafica de la funcion f : x

272. £

i-i

+ -4=, £ > 0, es ^Sncavn,

^ 0 para 0 sS a ^ jr. «

('!)> Indication. AnaHzar la funcion / : i h £

*=i

— p a r a 0 < x < it.

273. .Demostrar que la suma de un numero finito de funciones concavas es una funci6n concnv;>.

274. Demostrar que ia funcion / : x

lim fA'-r),

x

t

siendo /;,/?,--•,/„>..• funciones

concavas en ]a, b{, es c6ncava. 275. Demostrar que si: i ) p,

0 y Pi + p H — • + p~ > 0; 2) la funcion / es continua y concava,

entonces se verifies la desigualdad de fensor. V Jh+Pz+...+Pn

JN

pi+pi-l—+pn

276. Demostrar que si una fundtfn f : |-oo, -h°o[ —> IR es continua y concava, entonces 3

> ax -f b («, 6 6 E) tal que Va; £ ]—oc, 4-oo[ se vcrifica la desigualdad f(x) > ax 4- /). 277. Un niimero A £ Hi se llama mnrn'm derivada segunda de Schwartz, de una funcion / en un punto x, si 3 (£„) tal que liin £n — 0, en > 0, y X - lim 4- (f(x + e . ) - 2f(x) + fix - f „ } ) . n—x " Demostrar que si todos los numeros derivados segundos de Schwartz de una funci6n continue / son no neealivos. esta funcion es concava.

i '.ijtilirlo

( ,il( iiln ifiliMriii iaJ piir.i luiu ioncs tie una variable

27H. Sim / una liincirin concava Lai que a t; j'(x) v, b Vx (. y sea h him iLmdrin cruciontfc.oncnva defimda en (a, Demostrar qtie la Iniu'itm ami pues La • * *, /« funciones concavas en ja, &[. Demostrar que la funcion f :x max I ^i ^n tambien es concava en 6[. 280 Si: I) una funcion / : J-oo, -fool -> R es concava; 2) f(x) > 0

f(0x) — Bvf(x)t x G J—oo, -foo[ y l—oo, -foof. 281 Sea

^ 0, entonces la funcion

Vx ^ 0; 3) 3p > 1 tal qui

h :x

( / ( # ) )pp es concava on

k

^ 0, fl, > 0 (i — fc), ^ 0-t ~ \, Demostrar que

t

<=1

* 4

i-1 De esta desigualdad deducir, en particular, que

aV

< 0a + (1 - 0)b Va, b > 0

1).

282, Tom and o en el ejemplo anterior

i

xV a= n7

y

+

&

I-0

n

j=i obtener la

desigualdad de Holder para las sumas n

Tl

n Ef/

1

5 J xjyj i=i donde

^ 0,



0.

283, Se denomina dominio numerica de una matriz constants A (a.ij), siendo a^ £ C, i, j — 1, n, a un conjunto de todos los numeros del tipo n.

ft

z—

jXiXj,͑

t-i

έ͑x

7

=

donde arj --a.} + ifij, € M (i' X). Demostrar que para tod a matriz A la frontera del dominio numerico G en el piano complejo z es una curva cerrada convexa, es decir, cualquier segmento que une dos puntos arbitrarios de la curva pertenece a G. T-mmwi

= 1, nf se denomina hermftica si A — A (es dear, a^ — 284 Una matriz A — (fly), Demostrar que una matriz A es hermftica si y solo si su dominio numerico es un segmento del eje real. 285. Sean 1 ^ p ^ 2 y a.,-,&.,•> 0 (i — I, n). Demostrar que se verifica

n 5 > + biV

it

E«J i^l

71 !=1 286. Un conjtmto M C

n

E>r + K -1 • i = \

i—1

de vectores f se denomina convexo en En, si Vfi, f2 G M A V^ £ {0,1] 3 f € M : )f2/ G < ^ ^ 1} se llama segmento que une los vectores ft y f2. Demostrar que el conjunto de los vectores siguientes:

JJH O l e u l o d o limites sndelcrmin.idoH M

{ r J f --

(*, y), f G !
ra convexo en I'i' '2.K7. Demostrar que el conjunto M — { f j f en E*. 288. Demostrar que e! conjunto

I}

(senx, cos x), f f E2,0 ^ x ^

af =? { f | i =

,.

fe

no es ntnvexo

Ifl < J }

(esfera unidad en E") es convexo en En, 7.H9. Da da una ftincion J : U C ^ w l l , siendo U un subconjunto convexo, se dice que la funcion f es convexa en XI, si Vx, y £ U A Vt! €>1] se verifica la desigualdad

f(0x + (1 - e) yK Demostrar que la funcifin / : x

em

-y (1 - 6)f (y) %

|X[, X C E", es convexa en E",

290. Demostrar que si / es convexa en V C E", entonces Vx,- 6 U, donde

= (ji,,, x7„

X,- E E" Vt — I , j i , se verifica la desigualdad

\=l

'

i=i

donde ], la funcion F \ x >-> (f(x), A), donde A es no vector constante arbitrario de E", A — (A], A2,. •., A„), Ai 0, tambien es convexa en [a, ft], 293. Demostrar que si Ens elementos de una funcion matricial A : x t-+ (a,-j(a;)), x e [a, 6], son funciones convexas en [«,/>) a y : x •-> entonces para cualquier matriz constante B de elementos no negatives la fundon F : x m B), X £ [a, 6], tambien es convexa. Notese que el producto escalar (A, 8) de las matrices A y ! ) puede calcularse mediante la formula (A, B) — y 2 donde 6,7 son elementos de la m.itriz 7? (comprobar que se verifican los

'.j axiomas del producto escalar en "I'M. Sean a; : x t->

E").

y l>i '• x i-» f>i (2) funciones 110 negativas, convexas y crecientcs en [« ; t>j

Vf - 1, n, Demostrar que la funcion F: a = (ut{K),... ,a„(x)) y b =

x i-> (a, b), que es el producto escalar de los vectores

..,

es convexa en [a,6],

§8. Calculo de limites indeterminados 8.1. Resolution de indetenuinaciones del fipo Primera regia de UHopital Consideraremos dos funciones / y g definidas en un entorno del punto a (x «), siendo a un numero finito 0 el simbolo 00> tales que para x —* a ambas funciones tienden a ccro. Si las derivadas /' y g' existen en todo el entorno mencionado a excepddn, quizas, del propio punto x = a; estas no se anulan sirnultaneamente para x / a; si existe cl limite finito o infinito lim x -a

entonces sc verifica que

*->a g(x)

g'(x)

FFtfc1111 (wtmnnln Hp! mo Tral nchi rlcfintfi/in rnrw;rMmdp a Ta Hnfininrtti rli^ rnnravitlafl

( apt In In

7(M

C'aktjlo cl if i1 iv 11 rial para Jtincioncs de una variable

oo 8.2, Resolution de indctcmiinacioiHw del lipo tx> Segunda regla dc L'Hopital Si para x —> a las funciones / y g tienden a infinito, y para todos los ft pertenecientes a cierto entorno del punto a (x ^ a) existen las derivadas / ' y ()f, 2

2

verificandose, ademas, (/'(#)) + (
0, y existe el limite finito o infinito

lim

*->« g'(x) * entonces l

i

m

m

=

I

i

x^a g(X)

m

m

i

.

gf(x)

VTWTTTWrm

• I I I I • I I I 1M MB I I • • Mil • I • Ml M

• II

• •MIBIBBII I • MM I

m Hallar los limites: 1 1 6 . i i m «* h l (in» + D - « .

a^i

I—X

<4 Solucion. Las funciones / : x >-> xx+r(]rix + 1) - # y g : x satisfacen las condiciones siguientes: 1) lim f(x) = lim g(x) — 0;

1 — x, x > 0, x ^ 1,

x—»1

2) sus derivadas f :x ^ xx^x (In x +1) (l + ~ + In a;) + xx - 1 , gf: x para x > 0;

- 1 existen

3)/ existe el limite lim- tfix) = - 2 ; 4) (/'(*)) 2 + {g'(x))2 * 0 para x > 0. Por consiguiente, podemos aplicar la primera regla de L'Hopital, segun la cual tenemos =]im

^(in. + l)-* m

x^i

I • 11 I •

117.

I

1- x

I

g'(x)

I

•

I I

I

II

• 11

x ' ~ x Hm l In X — X + 1 J.

• •

• • ••

< Solucion. Las funciones f : x ^ x^ — x y g : x lna; — x + 1, or>0, a r ^ l , satisfacen las condiciones siguientes: = 0; 1) lim f(x) — lim 3f-*l ft—>1' 2) las derivadas / ' : x i—a^(In x + 1) — 1 y g' : x • ^ — 1 existen en un entorno lo suficientemente pequeno del punto x — 1; 3) (f'(x)) + {#'(#)) ^ 0, a? ^ l f en el entorno mencionado; 4) en el ejemplo anterior se demostro que existe el limite finito 2

2

lim J• . 1I 1r 1• L^

f ( x ) IV^^VW^^^^^^MMMV^

x^i gf(x)

- lim I• t• iMl • l 1

•• ™

•

I

••••••••III •• . •

|

Mil

M

I • •• I • • i • i

_

i i — - •*

J^

1- x

Por lo tanto se puede aplicar la primera regla de L'Hopital. Tenemos

x • f(x) „ x*+l Qn x + 1) - x Iim — Iim — — — —2. g(X) a:—5-2 1 — X

•

(j tt < aliido ilt< limites I mil1 11*nil in.ttIt»1

118. w

lim ' f , * .ti y; V Hi •>'

lf

•4 Solucion. Al transformar la funcion tl : x >-> ~ a •. x M> iLJEja2igz*!i£S5* j sh i sen X '

IS

011 la forma

— j-'--^, x £

vemos 1 que las funcionesJ / : x

ch a' sen x — sh a: cos 'a;,

(j existe el limite f'(%) 2 sh x sen a; licit —tt—r ~ lim .o g'(x) ®-iU sh x sen x f ®(ch x sen x 4- sh x cos x) — lim entonces conforme a dicha regla w = s. j) Nota. P.ifa hallar lim

1

ch

*

+

cosx

" ;l'

•

podrfaittos apiicar dos veces la regla de L'Hftpital; no Obstante, en este

ejemplo, al igual que en olros ejemplos semejantes, resulta mas cornodo {desde el punto de vis la dc la realization de los calculus) utilizar los limites notables.

m\x*'~l). 119. w= x—HI) lim (e-7x\ /

•4 Solucion. Dado que w = lim ( e - V x - ^ x * ' - 1 ) = ( m x—K) V / V*-.+0

lim x*"~]), ,T - .+0 /

hallamos los limites de cada una de las componentes por separado. Tenemos 50

lim i->0

=

lim 3->+ao e'

= 501 lim e"* y-i+co

=0

(hemos aplicado la segunda regla de L'Hdpilal 50 veces). Para calcular el limite de la segunda component® representemosla en la forma •it" = e " l n " , u > 0, y efectuemos ciertas transformacioncs para que sea posible apiicar la regla de L'Hopital lim x"'"1 = lim a;-.+0

=

i-t+l)

(aquf hemos utilizado la continuidad dc la funcion x t-* ex y el teorema del limite del producto). Para calcular el valor de a =

lim x In2 x = lim ™r? Saplicamos la segunda

regla de L'Hopital, y para determinar b — lim^ ' g ^ g 1 , la primera regla de L'Hopital. Tenemos ,. In2 a; .. Irm — j - = hm

i—40

Asi pues, w = (0,1).

X

1

•

- 2 In ,. n j— — lim — p = 0, 1 i—+0 x—HI X x—»-f0 — X X* eltM - 1 e'-l lim — ; - lim — z — 1. (—-a t x In x -X~L

= lim

120.

lim

W

,r

• | <\>

<< Solucion* Para determinar el limite de la funckm vectorial dada cakulcmos los If mi to de cada una de sus componentes. Dado que las componentes son funciones del tipo , u > 0. Al reducir las indeterminacionos es comodo representarlas en la forma uv — ev correspondientes a la forma jL hacemos uso de la regla de L'Hopital Tenemos x

Iim

"j : — r + - X

277) £ 2ir ttIim KX(7\sen ^ 2t+1 Jim a? In( ~ arctg x)

arctg ar)

lim a;—

• a r — - H X

i l 1+a2 arctg x lim t a:->+oo

donde z

2 Iim /

‫͑ח‬

—

a

r

-^ra sn

1,

a = lim

1 2a? + 1

o,

e

2 7T

‫חחחחח‬

x

a? lim (tha?) a-*+00

e*

lim -7»

ln(th:c)

1

^

i

w

siendo 1

a

Iim #ln(th&)

X

0.

ch2ar

X' 2 lim • ar-»+tx> sh 2x

thx d S lim J_ i2

3 Por consiguiente, w

2 lim

X --++00

•

7T

1 2 1 . Hallar el limite de la funcion matricial ^^ * / (sena:

A:x

refg x \ ar

?

/ Arsh x J *

ar e ]-l> 1[ \{0}

para x —> 0.

os de la matriz lfmites de sus

M Solucion. Puesto que lim A(x) — (lim aij(x)), donde &ij{x) son elemen x—*a \x—fft / funcional A(x), calculemos el limite de la matriz dada determinando lo; elementos. Tenemos sen ar i sen x T. lim i donde z lim ar—0 X x^o ar Apliquemos la regla de L'Hopital

x cos x ••—. — sen x x cos x - sen x x •—.. ii— — lim 2 x~0 2a;3 a?—o 2x sen x x lim _

1

J

j.

—# sen

Por analogia, para todos los demas elementos obtenemos

6 limf

0\

rctg x

mmM

1 3;

3

^)^

X

/

lim

x- -o

x

~— — lim cj—>0 arctg x X' lim

x -(1+

T ^ ~ arctg

g

2x*

x2) arctg x - — = lim

2i

*H< t till till) ilc limites ImlelcnmiMdm / Arsiiflf\ i'> Inn ) * .ij V x /

, /,

,. In l,m .r .ii xL

...

(;iqui st; iisa la notacion u(x) —

t-fl)

e

/

'

A'*ha! .. v hm • >tf Aimar , . , ix' — £ lim - — — x lim 2 a—ii # 2 J- •()

.

. x

3s:2

+ x2 Arsh x);

a—0

X

t—n t o - o k — B m -fi^E. *->o 2x i-o 2

= 1

Asi pues, finalmente obtenemos Jim

122.

Hmfi x .0

! e. f

= (

e

V

e

e

! ) . 5 }

e1 - 1 /

« Solucion. Transformemos la indeterminacion oo - oo en la forma g 1 I ar " e* •-1

=

g* -1 -x xfe1 - 1) '

y, a] aplicar dos veces la regla de L'Hopital, obtenemos .. e'-l „ e* 1 Iim ——• -r- - lim ——— - — -x - hm — — —- = - . i ^o - 1) i- >o e* - 1 + xe * -o e*(2 -f x) 2

1 2 3 . w = lim f i-f0\ 2

/ u

^ Solucion. Escribiremos Ja indeterminacion 1

en la forma e"

Aplicando ahora la regla de UHSpita] obtenemos wMflY lim — = i-»iJ th x i Asi pues, W — e'.

124.

lim i—u ch iS

, = I; 2

•

Determinar si la funcion siguiente tiene derivada en el pirn to x = 0 .

/ s - prr

si

x / 0,

{

si

x — 0.

I

_ ' 2

t .ipnuro 7, i Yilt ulo iiiIViviit'liiJ |Mr,i fumioncs Jo un.i vjnaMr

i ' i

Solution, l\ira comprobar quo la lulicit>n .dm la linn* derivada on v\ pnnUi ar 0 debt*m os est Miliar si existe cl lunik' finito _ i

i /'(0) - lim x—>0

2

L

X

Buscaremos el limite (1) segun la regla de L'Hopital. Para eso hay que demostrar 0. Utilizando una vez mas primeramente que el numerador en (1) tiende a cero para x la regla de L'Hopital hallamos 1 lim x—0 V X e* - 1

2ex

lim x—>0

-

2 - x - x e

2x{ex

-

x

1)

lim •

x

1 —

2 (ex(l

x^o

+

xe

l 2

1 -1

^

2e

lim

X

2x2(e*

-

xe

X

2e

1)

am

1 1

1) +

e*(8x

X

I —

_

x^o 4rX(ex — ex(x +1)

e

X

—

2ex

X

0.

+ are

xe

X

_ ~L ^%

1) +

2x e

1 _ 2

z - o ( 1 2 - f 1 2 a ; + 2x )

+ 2a;2)

xe

Aplicando a (1) la regla de |

t

lim „ ,

X

xe

T;^Imi X o 4{e

- 2 - x -

~ lim 2 x-*o

1)

x) -

Asf pues, la formula (1) es una indeterminacion del tipo L'Hopital tres veces obtenemos l x lim —o

X

e

12'

X

/'(0)

1

•

12'

1 2 5 . Hallar la asintota de la curva x

y

(1

1

x f

X> 0

j

< Solucion. La ecuacion de la asintota oblicua tiene la forma y = kx + b. Para determinar k y b hagamos uso de la ecuacion de la curva x

x

1 ^+00 7(i7 + i\* i)

lim 7, a-»-hcx> (1 + x)X

k

lim . _

b

s^+oo

x

l+x

\ (1 +

1

X

lim

xf

lim t->+o

1

lim

1

x

e - (1 + t)

1

w*

1

lim (1 I t)'

t

t-<+Q

i

Hm L i t 1 f—+o

1 G

X

lim

| oo

x [ e

1

1

t(t + 1)

t2

+ f> ln<1 + <>

t2{ 1 +1)

ln(l +1)

i 2 fan " ^

+

e t—Hj 21 + 312

1 2e

De este modo, obtenemos la ecuacion de la asmtota y — | + j-. Proponemos al lector "justificar" el uso de la regla de L'Hopital en cada paso. • 1

1

r

™

^

——

— — " •1 •

•

—

rr^^^—••• •

n»

1 2 6 . Verificar si se puede apiicar la regla de L'Hopital al limite x 2 sen 1lim —-—•»• !t-»o sen x

jjH i '^li'ula de limited iudelei niin.Kfo'i

20''

4 Solucion. J.jis IliiH'IOtU'M f :r. > > x.' swi i y < sen x, ;t; < il£\ |tl}, i'sl;in deliniilas ll); deriviidas son continuas en un rnliu iu) del punto x — Q (excepfo cl propio punto x j': x — i > 2x sen ' cos ^ y
kiis

f'(x) sen ^ - cos ^ lim - V H - lim ^— . i—-ti g'{x) #—0 cosx Debido a que Sim (2x sen j ) (cosx)" 1 = 0, pero lim (cos

(I)

(cos®)" 1 no existe, el limite (I)

Lampoco existe. Por consiguiente, al ejemplo dado nose le puede apiicar la regla de L'Hopital. Sin embargo, notese que x2 sen x — lim lim #-»0 sena; r-osena:

{ 1\ lim f x sen — = 0. \ xJ

1 2 7 . Hallar / £ V * - l — z — ,im lim r 0 ( x d e t { sha d c

~' J i

sen a; 1 + x2 J —r-. X \ e* )

tf*

•i Solucion. Los de term in antes dados, considerados como t'uncioncs de la variable x, satisfaccn todas las condiciones de la regla de L'Hopital en cierto entorno del punto x 0. Aplicando la regla obtenemos d e t

3 = lim

( 1 [ e1 — 1

cos s \ % + x> )

, . / cos x - x sen x

cos

th>

2

+ d c l

/ je sen x \ { e* 2x )

x \ , , , / x cos x te x \

j J-
{ ) + * . ( ?

m

oh?

0 )

n

~

i.

|| Kjercicios Hallar los limites siguientes:

m

urn S f l g ^ .

300. ^

303-

^(iMi^j +

+

lim X—H-X.

^

- ^

.

30*. hm^(Vx*Tx J -i-2x \ i - V4*:>T7+T+

306. lim J ^ T . X "+0

aFTT).

307. lim ^ r ' • 308. lim sen (a 1 arctg M ^ ) . KX i X » tQO

("iipifulo A (Vilculn difrreticial para ImicioneH de una v,nial>Ji

210

. -r

309. Iim(,Lt0;;r,J;)) - . 3ICK lim ( 7><' ' f v ) i r-li

\

3*12. lim

315. 318.

- 313. lim I^IlJ/ "A -r . ^

^

.2 —if.

322. lim XIn™ x • • • •

••

•

m

x^ii \

S r i l ft"! — C O S

(

2

(z-l)2

sha?

x

cli

1

x

ijtX2

)

V

1), S B g L l l ) .

y

/r

;r

ate>ll 4 !

f] . 325. lim - e r

x

1

SMI "" J" ) - . 321. lim(fg

sen x

arcsen a? - ir2

ar—»I

-

v JJ

3t2)

• 3 2 a ltal(hT7

TCX

n1

324. lim

S T ^ T

3 1 9

0. 323. U

•

.

314. lim

X

ai*SL»n(e:lc-l)

a— ; ^+11

,. ..J

fi

l 2)^ (I+a; 316. lim tg *(1 - a*). 317. lim »-»+0

lim sen^i - x'), «-»+() 11111.

. .111. Jint il 0

i

| lit i \

—

7

1

1

J cos x

x2

tgar 1 sen2 x 1 ln(l + ®) ,

<

x sen x

5

£

327. Iim \ ,„ . x tg # In ( 1 + x) 1 arcsen x 328. Sean / y g funciones derivables hasta el (n + l)-esimo orden inclusive en cierto entorno Ul del punto a, a exception del mismo punto a, que verifican las condiciones: 1) lim f(x) - lim f(x) = Iim fn\x) = 0; 326. Iim .

\x

jb-q

f

i t — *

*

*

*

f

1

o

u /

1

U j

•

JC - f f t

e — M l

2) Iim$(ar) = lim5 (z)

+

*

- lim gw(x) = 0; 3) a lim

•£—m 4) la derivada <7in-H) (#) ^ 0 en el entorno U. a;—mi

sc—m

/ <

H +

(T1,

V )

h l G ffi;

x— f -

Demostrar que se verifica lim

lim-

ai—atf{X)

329. Sean / y g funciones derivables hasta el (n -j- 1)- esimo orden inclusive en cierto entorno U del punto a, a exception del mismo punto a, que verifican las condiciones: 1) lim f(x) - lim f{x) - - • • = lim fn\x) - +00; X — K l

2) l i m - lim^(x) = * - - = lim (n) - -hoc; 3) 3 lim fcrS = t, J € K; 2—>a c;—•a 4) la derivada g^'^ix) ^ 0 en el entorno U. Demostrar que se verifica fix) — lim/""""(a;) lim [7t+l) i

—

t u

x—>a g(x)

g

(x)

§ 9. Formula de Taylor 9.1. Formula de Taylor en un intervalo Sea / : ]a, b[ R tal que 3 fn'll) tal que se verifica la formula siguiente:

en ]a5 6[. Entonces Va,

G ]a, b[ A Vj? > 0 3 6

>

r>

f{x) - fix0) + f(xo)(x - x0)

V

1

W!

siendo

71 lp

f(n+l\x0

+ 8(x-xQ)),

O<0<1,

(1)

jju I'ftmiula (If Liylot

21 [

(tormina wiNpli'HH'nUulo en forma tic Sditiiniildi- -Rothe). Si p obtenemos el t&niiint) toiiipleiiicidariu en farina tie l.a^mn^c

,m=

k

y si S — 1, e l WHUPLQR

Rnnfr)

FRPSOHPHQWDULR

+

FQ IRUPD

u <
-

GH

&DXFK\

- O l T f ^ f a + «2(® - % ) ) ,

=

n I I a partir tip (1)

0 <02<

1.

9.2. Formula dc Taylor en forma local (o formula de Iaylor con term i no complementario en forma de Pea no) Si una funcion / definida en cicrto entorno He! punto se verifica el desarrollo siguiente: IL[

a IL[R , I [ [

a[D

     : A

a

tiene derivada finita

R[



[  

X —* 9.3. Cinco desarrollos bisicos Al turn a r = 0 cn todas las formulas dt: Taylor de los pp. 9.1 y 9.2, llegamos a las formulas correspondientes de Madaurin. Al apiicar la formula de Maclaurin a las cinco funciones nitis utilizadas que citamos a continuation obtenemos los desarrollos: I.

e r - 1 + [  A + • • •  £  o(inn)f

IL

[ -> 0;

D'^'^i+o^2"),

+

in. cbs*= 1 - I + -' • 4- (-1)"U + R[" IV. V.

(1 + x

f

In(l -I- [

'

f

-

•

•

Q

I@



;

- 0;

+

a;_0;

+

;  f + • • • + ( - 1 ) " " 1 - + o(arB)t

;

0.

9.4. Formula de Taylor para una funcion vectorial Sea una funcion vectorial f : la, /j[ —* E con derivadas de (n •)• l)-esimo orden tn @m E? Entonces Vx, ;R £ R i'i A 9SM > 0 d 2M M 1, N tales que se verifica la formula m donde iix) = (Mx),

...,

= i=0

-

mi+iw*),

Mx)) ,

RJII l( a; ) — (^n+li ^ i l. • • • !

1

pj Para las funciones vectoriales se verifica la formula de Taylor en forma local.

( tlul(» Z ('alriilo ilifVrviK'iiil p.n.t hiiKUjnrr; de nn.i variable

21/

fFh 11 Escribirof desarrollodo las funcionessiguientes en nerio de potcncias ciiteras positivaN respecto a ia variable x hasta los terminos del orden indicado inclusive: 1 2 8 . fJ \ x

1-x

hasta un termino de a?4. DeterminarJ / (0).

+ x2

M Solucion. Representando la funcion / en la forma

f(x) = 1 + (2x + 2x2)(l + x3)™1 y haciendo uso del desarrollo IV

(1 + x3)-1 = 1 - x3 + o(x5), obtenemos

fix) ^ 1 + (2a? H- 2X2)(1 - x3 + o(x5)) =^l-\-2x + 2x2 - 2x4 + o(a14), x

0.

Al comparar la expresion obtenida con el desarrollo en forma general (v. p. 9.2) hallamos „ ^ donde AH /(4)(0) 2, de f ' ( 0 ) - -48. • 4! ti

•••

1 2 9 . e 2 *"* hasta un termino de x , O M Solucion. Denotando t — 2x — x y haciendo uso del desarrollo I tenemos ±1

/3

/4

^ = 1 + 4+ * + * + * + *

±5

=

= l + (2x- x2) + ±(2x - x2)2 + • • - + 21 o! r^

T

r

- x2f + o(x5),

x -> 0,

r

(se ha tornado en consideracion que o(t ) — o{2x — x ) — o{x ) para x —> 0). Efectuand despues transformaciones evidentes, escribiremos en el desarrollo todos los terminos hasta los de orden x (los terminos de incluyen en o(cc )). Finalmente obtenemos r

£

.

7

C

= 1 + 2® + x2 - ^x3 - yx4 - - U 5 + o(x5), 3

ii i

6

15

®-»0.

II

1 3 0 . V sen x3 hasta un termino de x . ^ Solucion, Designemos x =t y hagamos uso del desarrollo de la funcion sen t mediante la formula de Maclaurin sen f = t - i f 3 + ^t5 + o(*6), v utilicemos el desarrollo IV. Obtenemos i/

vWi

= i* (i - £ +

+ 0(f5)) * = tl (l + a(t))* = 15 (l + |a - ™a2 + o(a?)) =

•

y

l onmiLi ilo liiyliw'

Ii

131. Id ens ;it li.iMii un lei'miiio fit' x'. •4 Solution. Apluatidu Itu. ik'.'tarrollos V y II obteiiemort

i COS £ -, • /,lit v I •»St'll- :/!I . „~ 'n" ~i ~^ *1)(j , ^i ill '

= —

J ^ ^ x * £ x „_ _ _—l„j

2V

xe

36 3 60 2

2 sen" ' §f , ,

\ x 2 as* a 6 . o[x 7 ) -- —-— - - \-olx ). 1 V 2 12 45 1 h

x6 j —

3

-1 x son sen x

3

a;

.

•

132. sen(sen x) hasta ufi termino de X'. •4 Soluci6n. Aplieando el desarrollo II tenemos 3 sen (sen x) — sen xsen - x— + 4o(sen x) = = (*-§" +

~

+ o(a:4)) + o(sen 4 ft) = x - y

|h^).

•

133. tg x hasta un termino de x~. •4 Solucidn. Dado que la funcion tg x es impar, su desarrollo en un entorno del pu es de la forma t g x - Ax +1)3j3 + CaP + o^ 6 ),

x

0,

(I)

donde A, B, C son coeficientes. Al escribir (1) en la forma sen x — {Ax I- Bx3 + Cx5 + o(xb)) cosx y emplear los dc&arrollos II y M obtenemos i

+

°

{ x ( , )

=

A x

+ (

B

~ i ) *

3

+ ( < ? + ! - f )*s+«(*6).

*-o-

fgualando los coeficientes de los terminos con Igual potencia de x hallamos

^ *4

Asi pues,

X3

2

s

a

tgar = x + y -f — as? + o{x ),

•

134. Hallar tres primeros terminos en cl desarrollo de la funcion f : x > > \/'x « potendas positivas respecto a x - 1. •4 Solucidn. Utilizamos Ia formula de Taylor con termino compk montarin en la forma do Pea no /(£) = /(l) + / ' ( i ) { a : - l } + ^ ( x - l ) 2 . | - ( > ( ( ; r

if),

IB

>1.

Detenninando los valores de las derivadas /(!) = !,

f ( * ) = i ~ >

/'(1)=~;

/"(x)

J,,-*

/"(it

f f

y susfituyendolos en la formula ob tun id a, tenctiws del inil Ivan irnli' I)'' I IV"). .i' * I » /(*) = 1 + 1<* - 1) -

) fH

C'iipiUtld 2. (MIcuTo dilcrvnclal pani himinncu de una varia hie

14

1 3 5 . Hn un eiMorno del punto x una parabola de segundo orden.

0 aproxinw la funcion f i x ' •> ach

tt > 0, por

< Soluckin, Como ch

i

:it

/

\

-r

a ^ \ (e

')

+ C

tenemos f(x) = a -f ~ -f o(x2), x —^ 2a

= 1 +

It?

+

~* 0 t

X

•

1 3 6 . Desarrollar la funcion / : x y 1 + x2 — x, x > 0, en serie de potencias enteras 1 1 positivas de la fraccion — hasta el termino —j.

x

x

^ Solucion. Transformando la expresion v 1 -f x1 — x y utilizando el desarrollo IV obtenemos

X

1 3 7 , Desarrollar la funcion / : x t-* ~ x E ]—oo, +oo[, mediante la formula de 3 + ar Taylor con termino complementario en forma de Lagrange en un entorno del punto #o — 1 Hallar tres primeros terminos del desarrollo. < Solucion. El desarrollo buscado tiene la forma

}{x) = fit) + f'( l)(x - 1) +

- l)2 + f"'°

+

^

~ 1])ix - l)3,

0 < 6 < 1.

Determinemos los valores de la funcion y de sus derivadas en el punto x — 1. Tenemos A i ) = i, /
W

*

» ( . _

n

=

'

1 1

+

III M I

r a + - ! » „ _ „ • •

138. Sea

in,

l-M-l—IM^M- — ~ —•

hn

fix + h) = fix) + hf'ix) + • • • + ^-/<">(» + Oh), donde 0 < 0 < 1, siendo f

± 0. Demostrar que lim 9 -

](x)

h^o

n +1

4 Solucion. Dado que la derivada f^n+l\x) no se anula, apliquemos la formula de Maclaurin con termino complementario en forma de Peano. Tenemos

fix + h) = fix) + hf'ix) + ... + ^f{n\x)

+

+ o(h,l+1), ft ^ 0. (2) I

^f-

Restando la igualdad (2) de la igualdad (1) y simpMcando el termino ~ obtenemos

f{n\x + 9h) ~ f{n\x) h • • • •

de donde

•

•

i

w

w

w

^

rrf—r-1^™

/(x) n-hi ^

—

1 i« M

,

oih) h ' — n ^ ^ ^ H

(1)

IViritiuhi ilr Tuylor

2l/>

/ r' ' " ''" i'(x) p '(-.r.;i oh) ;<•">(*)•> r"w\ t f ) , o{h)\ <>W\ff/ l'%>1 ( « | l h')\ Oh )

"

1

•

Pasando en esta expresion al limite para h —> 0 y teniendo eo cunnta quo / ' " h a l l a m o s lim 0 — - -7.

ft-'O

*+1

'"'(j) /

(I

1

•

1 3 9 . Sea / 6 ^ ( [ O j l j )

y /(0) = / { ! ) = 0. Supongamos, ademits, que 3 A > 0 ;

l/"(®)l < A V . t e JO, 1[. Demostrar que\f'(x)\ ^ j

Vx £ [0,1].

4 Solucion. Conforme a la formula de Taylor tenemos m

= /(«) - * / ' ( * ) + / " ( f l ) ^

/(I) = f(x) + J'(x)( 1

+

0 < 6 < * ^ 1; 0 < * < ft < 1,

2 "

de donde /<*) = | ( / " { 6 ) x 2 - / " f c ) ^ - ) ,

0 < s < 1.

Estimemos el valor absolute de los terminos de esta igualdad

|/V)I< ~{2x2 - 2x + I), 0 < x ^ 1. Dado que 0 ^ 2xJ ~ 2x + 1 ^ 1 para 0^x<

i, resulta |/'(s)| < f , c . q . d .

•

1 4 0 . Sea f una funci6n dos veces derivable en ]-oo, +oof y sea Mk -

sup

|/(t>(®)| < +oo, fc = 072.

-so Demostrar la desigualdad M? ^ 2M(Mz. < Solucion. Segun la formula de Taylor tenemos +f"it){a>0~X)Z,

/o«q)=m+f'M*o de donde \f(x*)\ 4 |/(«)| I- \f'(x)\ |®o - 4 + l / ' O | a ? 0 ~

X|2

< Mo + M,y +

V - fro •

En virtud de que M„ + M\y + -jA'hy1 > 0 para todos los y, resulta que Mf < 2M t ) M 2 .

>

1 4 1 . Caicular aproximadamente el valor de a) sen 18"; b) arcig 0,8. < Soluci6n. a) Conforms a la formula de Maclaurin con termino complcmenlaiio en furnia de Lagrange se tiene 1EJo

donde |£U < 1 .

IT

7T

sen 18 - sen - - De este modo

1

T3

- - • ^

! 4- —

w'' •

I Ky,

\f.1

,.

*,,,,H " m O

MXI ' 12 - 10' / ™ >' ' ' ( ' ' „ ((() ' ' 2.l0, j cv 0 , 3 1 4 ( I 0,0!()449 I 0,000079) tt 0,309017

b) Aplicando la formula de Taylor, para xq

1 lenomos r arctg0,8 = arctg(x 0 - 0,2) w arctgx 0 - (arctg a*)'L=*„" 0,2 + - • 0,04{arctgxf\ ~ ~ • 0,008 (arctg

& - - 0,1 - 0,01 - 0,00066 as 0,67474,

= 24 1 < 12 para 0,8 < | < 1, a partir Dado que ( a r c t g = 0, (arctg xf5)| de la formula para el termino complementario en forma de Lagrange obtenemos la estimacion del error |fi| < ~=(0,2)5 < 3,2 • 10~5. 1 4 2 , Calcular: a) cos 9° con un error de 10 ;

•

b) V5 con un error de 10~4.

Solucion- a) Determinaremos el numero de los terminos del desarrollo de la funcion cos en la formula de Maclaurin que son necesarios para calcular dicha funcion con el error requerido. Este numero se puede obtener estimando el termino complementario en forma de Lagrange. Dado que 0 = < x = tenemos . I (cos xfn+2> IW / tt \ I K>2n-V2x = 1 ' — (2 n + 2)1 V 20 / f de donde n ^ 2. De este modo, cos9°«1-!(^)

2

<

1

?

202fl+2(2 n

+ 2)!

< i(r5

+ ! ( £ ) ' « 0,98769.

b) Desarrollemos la funcion f : x ^ >fxf x > 0, mediante la formula de Taylor en un entorno del punto Xq = 4; v ^ - 2 + ±(x - 4) - 1 (x - 4)2 4- ^

(® - 4 ) 3 + • • • +

donde B

-

M

(2»-X)n(-l)a(a?-4)"+1

~(n + I)! (4 + - 4))»+0.5> Tomando en el desarrollo x - 5 tenemos (

)

4

64

512

j

De la condicion

obtenemos que n ^ 4. Entonces, a partir de (1) se deduce

n

. . .

U

< " <

7 L

'j"

formula de liiyloi

N Hacicndo uso dc lim dcN.inollits l - V h.ill.ir I o h IfmilcH Mpjiicnlert:

143.

lim — >Sa i-ii

v.

•4 Solution. Aplicando los desarrollos I y 111 obtenemos lim ir-I

/ x2 cosx — e x p f — i , F V ^ sa lim - j ( 1 — X z-t> x V 2

i4

4 c / 3. + o(x5) - ( 1 - ~ + fe f ofaf')]} 24 \ 2 8 v 7/

/ l

144.

lim

(V^

6

-

«(x 5 )\

I

-!-^-^"-^).

< Soluci6n. Transform ando la expresidn que se encuentra bajo el signo de limite y aplicando el desarrollo IV tenemos lim (yx6 X— +TO

+ x3-Vz6-X5)

=

lim x ( (l + ' - fl X/ V st-i+oo \ V

iH+lo

145.

lim X--0

1

' 6i' ' ° ( i )

0

"1 = X/ ) fjx+C>(x)))

-fry*"', X*

< Solucion. Bacicndo uso de la reprcseutacidn u" — e" l n t ', u> hallamos -3/1 3(l — ^ ^ _l i mii a * " ^

_„_ ') = l-i m ,n

1

0, y de los desarrollos I, V,

~ (1 + s e n a : l n c o s x ^ o ( x 3 ) )

1 .. sen2 x + o(x2) .. In cos x .. ln(l - sen2 x) = - lim — 2 — — — urn - -i — = - lim ; jc —o x i-
146.

3'

w = lim x x—0

3

1 = ~•. 2

•

(sh (tg a:) - x ) .

Solucion. En este caso se empiea el desarrollo I, asi como sc utiliza el desarrollo t g x = x -1- j + o(x 4 ). Tenemos

w = lim x^a

x + ^ + of* 3 ) + j + tgx + |tg 3 x + o ( x 3 ) - x 1 -r- 2 r — - iim J x x—a x1

•

~*

1 = - . 2

Para valores infmitesimales de y cuando sc —*• 0, determinar en los desarrollos dc if el termino principal del fipo Cx11 (C es una constante): 147.

y — tg (sen x) - sen(tg x).

( ,i|>i(ulo'A ( Yileuln dilereiuial para iutnlom-ri tic iiim variable Soluci6n. Un primer lugar, nos cercioramos de quo x* :>

2 «> 15

17 7 M f o(x ), J15

tg X - X -I- — + —X1- f —"X

^ 0.

X

I in efecto, representando tg x en forma de sen #(cos #) y utilizando los desarrollos II—IV obtenemos 2 ^i 1 3 3 ^ 5 7 3 tg x - sen a?(l — sen x) ^ — sen x + - sen x •(• - sen x I — sen x + o(x ) = / JE^X® 5 7 s + + 5l7 " H * - a ) + 16* + > . X 2 5 17 7 , , X + — + —x + --x + o(x ), 3 15 315 fintpleando esta formula, asi como los desarrollos mencionados, obtenemos

x -

x^

X? 31 + 5! ~ 7 !

1/ X l { X - 3!

sen3

jj

2

y ^ tg (sen a?) - sen(tg x) = sen a? H

tg*x

tg 7a? a

86

^ x3

_

5

17

7

h — sen x + i

7 , 1 / xx''

xar5

x

0,

tgx

sen x - tg x + r

x J5\ . 2 / ,. a?

aT\ a 3 \D5 ,

5!

2

, 17 7 + rrzX — X — 315 3

2 S T^® 15

_

17 7 , 1 / x3 2 5\3 + - X + — + —X 315 6\ 3 15 /

x+ j) de donde Carfl ^

Por consiguiente, C —

5

+ ^ + o(xs)=~

n =-7.

+ o(x\

x

0,

•

148. y = (l + x f - l . Solucion. Empleando los desarrollos I y V obtenemos 2

V

hd-K) _ !

=

a- ]„(! + X) + 0(x2)

= x

(x _ ?L + 0(x2)j

Asi pues, Cxn = x . Por consiguiente, C — 1, n = 2. 149. -

+ 0(x

2)

=x2 + o(x2),

z-* 0.

•

j-

=

Solucion. Utilizando la formula «• = evbtu, u > 0, asf como los desarrollos V y I, hallamos

V

l - e x p { - j - l n ( l + x ) - l j - 1 - exp j - ( x - y + o(x 2 ))

1

l - e x p { - | + o(x)} = l - ( l - | + 0 ( x ) ) + 0 ( x ) = | + 0 (x), Cx"=

C=|, •

» = 1.

x —• 0;

•

• • • i •• i

1 5 0 . Elegir los coeficientes 4 y 1? de tal modo que para x ctg x — 6

1 + 4a; 2 . + CHa? ). 3 v 7 a? + Ftf

0 se verifique la igualdad

^

;i'J formula dv iayloi

Vl**

« Solucion. 'H*nemn*i cosx I ! AxA , son x x I IS x1 de donde fx + Bx v) cos x = a + Ax2) sen.i + 0(x7). Hmpleando los desarrollos II y III obtenemos - J

(x + Bx(l

= (1 + A x

+ ^ +

) +

2

»

+ 0(x 7 ),

de donde I

+

f

+

0(X7) + BX3 - B^- = x - ^ + ~

Pdr consiguiente,

IS — A -

+ 0(x7) + A^ -

^ ~ § = f^j ~ jt de donde A = ~

151.

Detenrunar ios cuatro coeficienles A, B,C x —+ 0 sea valida la formula asintotica

+ tf(x7). B —

•

y D de un modo tal cjue al tender

4 Solution. Tenemos e'(l +Cx + Dx2) = 1 + Ax + Bx2 + Ofx5). Como ex - 1 + X + ^ f ~

(1)

~ + 0(x 3 ), de (1) obtenemos

( l + x + ~ + ^ + ~ + 0 ( x 5 ) ) { l + Cx + Dx2) = \ + Ax + Bx2 -

0{xS).

Dejando en este desarrollo solamente los terminos hasta el orden x 4 inclusive hallamos 1 + Cx + Dx2 +X + Cx2 + Dx2 • [• ~ + L

+

L

+ ~ -| fx4

L

O

O

+ ~ = I + Ax + Bx2 +

I'I

0(x\

de donde, al igualar los coeficientes de los terminos con igual potencia de x, llegamos al sistema de ccuaciones c +1 ^ ,

+

f + f +

*>+c+\-B,

^ o ,

de donde obtenemos '

1

1

1

1

1 5 2 . Para \x\ pequenos hallar formulas aproximadas sencillas para las expresioncs siguientes: a) y i i f ' - ^ ;

b)

^

< Solucion. a) Utilizando el desarrollo IV obtenemos

f^f

- a Wa - - o - mi+«r4-

I

I

I '

i}.r;

\\ / I '? > )} I yi; I {)x' )

I I

j

| .j

3^ • ^

'\ o(x)J

i \ /

i-

)) (l

I

•>

r}

^

I [}x

•> \

|

)J

4

•

>

4

|- o(x ) » -ar

b) Aplicando el desarrollo V" llegamos a la formula aproximada In 2

In 2

^ v

100 In 2

r

v

70

>

1 5 3 . Desarrollar la funcion vectorial f : x

( arctgx), x £ K\{0, - 2 } , en \ 3? x£ + 2z / 2 serie de potencias enteras positivas del binomio x — 1 hasta el termino de (x — 1) inclusive, Solucion. EI desarrollo buscado puede obtenerse al aplicar la formula de Taylor para las funciones vectoriales (v. p. 9,4) f(«) = f(l) + fOX* - 1) + ~ f"(l)(* - l) 2 + R 3 . Como f(l) = (1, f, § ) ; f ( l ) = ( - 1 , I §); f"(l) = (2, - ± ,

i(x) = ( l ,

resulta

+ ( - 1 , f , I) (x - 1) + ( l ,

- J)

donde R 3 denota el termino complementario en cualquier forma, •

M

- D2 + »3. •

l

Ejercicios Desarrollar mediante la formula de Taylor las funciones siguientes: 330. f : x (sen xf*1 , x > 0, en el punto xa = 1 hasta el termino de {x — if inclusive. Tomar el termino complementario en forma de Pea no. 331. / : x f-+ tg (x H- x ) en el punto Xq = 1 hasta el termino de (x - 1) inclusive. Tomar el termino complementario en forma de Peano. x > 0, en el punto x0 ~ 1 hasta el termino de {x — l) 3 inclusive. Tomar el termino 332. / : a? f-> complementario en forma de Peano. 333. f i x ^ xe~x , x £ R, en el punto — 2 hasta el termino de (x — 2f inclusive. Tomar el termino complementario en forma de Lagrange. 334. / : x x arctg xf x 6 M, en el punto x0 = 1 hasta el termino de (x — I)2 indusive. Tomar el termino en forma de Cauchy. < 1, en el punto x0 = 0 hasta el termino de x5 inclusive, Tomar 335. f ' x i > v l ^ a ? arcsen xf el termino complementario en forma de Peano, 336. f : x ^ (cos(sen#), sen(cos a?), e**nx), x 6 337. f : x

en el punto xa — 0 hasta el termino de x4>

(/i(ar), f2{x\ ft(xj) en el punto x$ ~ 0 hasta el termino de x5, donde

fi(x) = Mx)

=

tez^l

s

e '

{

T, 1

a. ± 0,

5

/,(0) = 2; /2(0) = ~ I;

fox) = arsh ar.

Haciendo uso de la formula de Maclaurin en forma local obtener los desarrollos en serie de potencias enteras positivas de x hasta los terminos o bien de orden maximo o bien del orden que se indica (inclusive), de las funciones siguientes;

ji 1 ' IVnmuIa tlr Ciylor

Z' I

( J>'' Hfll !, r / ( I , t), .it 0.

338. / : j : > > ^ *

\

339. / : i h h ' 'I't, I'ompiftlxtr .si es vnlido el desarttillt) e* J M - 1 + a V I + £ 4

340. / : * i - » - |

'

e

\

! K j £ 0

0,

'

1-

+

(hasta el termino de i 1 " } .

i = 0

Comprobar si es valido el desarrollo

L 341.

1

O

s*.=-aH— : W \

/ JT

1

, „„

1

/ 1 \

 W ( h a s t a el termino de

342. I

X — K , a; = 2( I - s e n t , y — ie ( (hasta el termino de x3). y — — l* (hasta el termino dc X s ). 343. / X—>Y,x — t-t*, 344. / A' —>• Y, y7 f y — x ~ 0 (hasta el termino de i6). Utilizando la fdrmula d e M a c l a u t i n con t e r m i n o c o m p l e m e n t a r i o en f o r m a d e Lagmftgr, o b t c n e r los d e s a r r o l l o s en s e r i e de p o t e n c i a s e n t e r a s p o s l t i v a s d e X hasta los tiftniiHW del orden i n d i c a d o (inclusive) de las f u n c i o n e s siguientes: j.

f qf 345<. f \ x >-> <

I

1,

j. Q

'

'

346. / ; X —* Y, a;4 + 347. Para / ; i h

348. Sea / : x desarrollo

(hasta el termino dea 2 }.

4- sen xy = 1 (hasta el termino de x3 en el segmento [—1,1]).

C**1,

X > 0, comprobar si se verifica el desarrollo siguiente:

cos (/>(«)), donde D es la funcidn de Dirichlet. Comprobar si es valido el

c

o

-

1

-

+ ^

-

H r

+

Hallar la cxpresion piira K2n+2(®|> Elegir los coeficienles .4, B, C d e un m o d o tal q u e para x —* 0 se verifiquen las s i g u i e n t e s igualdades asintoticas con u n error m i n i m a p o s i b l e ( d e t e n n i n a r cl ordeil d e d i c h o error respecto a x): 349. a r c t g a = 352.

350. arcsen % — f ^ g p 4- O'ix*1).

=

^ 0>

n

).

353. (1 t z : ) 1 «

351. ln(1 + a ) =• ^

•l-O'^").

I f/(x").

354. arsh X = f j £ r 4- « ' ( : « " ) .

Estimar el error a b s o l u t o dc las f o r m u l a s aproximadas: 355. c o s * w l - f

^ para |®| < 1.

356.

« 1 4- £

Para I1!

357. a r c t g x ss § - ~ para |ar| > It) 2 . 358. sen(
359. f(x)

„ liE^M

361.

^

|A| ^ o,l.

ffl^/yHW para

360. / » ~

para

<0,1.

para |A| ^ 0,1. — F (/(.t*)) , siendo F una funcidn dada qui*

fix +ft)-

fte+k)

^

^ 0,1.

362. Sea / una funcion que satisface la ecuacion f(x) es derivable un numero suficiente de veces. Sea

Entonces, f(x + A) - f(x) w

>

f(x)

hF(f{x)) . Estimar j f { x ) — f'(x)\,

- rw=«^£rw)-

donde f

satisface la ecuacion

222

( 'api'Iulo 2.

t ' i i l c u l o J i l c i v i u iiif p a r a l u n c i o n o s d e u n a v a r i a b l e

363. Su|M)tij»iinuiH que /

snlisfacr la m i u d o n

' ' ' ( / ( # ) ) , siendo F

f'(x)

derivable un nrimcm sufiriente de veces. listimar I / M ~~/* (#) | > donde

fix +ft)+ Af{x) - 5f(x - h) - 2h (2F(f(x))

+F(f(x

tin.) Iitndon dada

/+

salisface la ecuacion

- A))) .

Haciendo uso de los desarrollos I—V hallar los limites siguientes:

1

364, lim 367.

* c.

.

2

366. lim (xze * - y/x2 + ax + 1 )

365, hm-

lim T

.

368. lim

r j-B i f r

.

§ 10. Extremos de una funcion* Valores maximo y minimo de una funcion 10.1, Extremos de una funcion Definicion. Sea una funcion / definida en cierto entorno de un punto c. Se dice que en el punto c la funcion / tiene un maximo (minimo) local, si existe un entorno del punto c, dentro del cual el valor /(c) sea maximo (minimo) entre todos los demas valores de dicha funcion.. El maximo local y el minimo local reciben el nombre comun de extremo. 10.2, Condicion necesaria de extreme Si una funcion es derivable en el punto c y tiene extremo en este punto, entonces / ' ( c ) = 0-

.

Definicion 1* Las raices de la ecuacion f(x) — 0 se denominan puntos estacionarios de la funcion /. Entre los puntos candidates a extremo figuran tambien aquellos en los que la derivada de la funcion / no existe. Definicion 2. Los puntos estacionarios y los puntos, donde la derivada de la funcion no existe, se denominan puntos criticos de dicha funcion. 10.3, Condiciones sufirientes de extremo Primera regla, Sea una funcion / continua en un punto c y derivable en cierto entorno de cf a excepcion, quizas, del mismo punto c. Entonces si en el interior del entorno citado la derivada f es positiva (negativa) por la izquierda del punto c y negativa (positiva) por Ia derecha del punto c, la funcion / tendra un maximo (minimo) local en el punto c. Si la derivada /' tiene igual signo tanto por la izquierda como.por la derecha del punto c, la funcion no tiene extremo en el punto dado. Segunda regla. Sea finita la derivada segunda de una funcion / en un punto c candidate a extremo. Entonces, en el punto c la funcion / tiene un maximo si /"(c) < 0, y un minimo si /"(c) > 0. Tercera regla, Supongamos que en cierto entorno del punto x = c la funcion y — f(x) tiene derivada n ™ 1-esima, y en el mismo punto c, derivada n-esima (siendo n un numero entero positivo). Supongamos que sean validas, ademas, en el punto x — c las igualdades siguientes:

Ac) -

/ " ( c ) = ••• =

fin-%)

= 0,

/ " " ( c ) - / 0.

Entonces, si n es un numero par, el punto c es un extremo local de la funcion V — fi^), a saber, un maximo, si fn\c) < 0, y un mmimo, si / (c) > 0.

jj III KxttVJlllM ill- (lll
Hallar los extremes de las funciones siguientes y clasificailos:

154. /

fa, n £ N>

: x -» Xm{\ - x f ,

< SoluciiSn. Calculamos la derivada de la funcifin / y la igualamos a 0. f(x)

- xf'1

=
. - * )

=0.

Las rafces de esta ecuacion X\ — 0 (m > 1), = t (n > 1), x3 — son puntos istacionarios. Comprobemos que s« verifiquen las condiciones suficicntcs. Sea 0 < £ < Para m par se tiene f'(-e) < 0, /'(f) > 0, por consiguiente, en el punto = 0 la funcion / tiene un minimo igual a cero. An^logamonte, para el punto x-i ~ 1: st n cs par, sc dene /'{I —e) < 0, / * ( ! + $ ) > 0, por to cual la funci6n / tiene en este punto un rmnimo igual A ccro; si n cs impai1, se verifica /'(I — e) > fl, /'{I 4- e) > 0, es decir, cl punto dado no es un punto de extremo. Finalmente, para el punto a:3 — tenemos f fV -mv+ n—

/ > Qs

f (\ m ~ +r n + ^)< /

0.

Dc este modo, en el punto x$ la funcion / tiene un maximo f

f ™ A„ ™mn" \ m +n) ~ (tn + ft)m+"'

Proponemos al Icctor examinar el caso m — 1

155. / : x ^ ac' (1 -

x)\ x €

{n = ]).

•

K.

4 Solucion. Igualando a cero la derivada de ia funcion en cuestion, hallamos cl punto estadonarto X\ = 0< s <

tin ios puntos X2 = 0 y Xj — I la derivada finite no existe. Sea

entonces /' Q - e ) > 0>

/'

+ e ) < 0,

f'(l ~
/ ' ( - e ) > 0,

f'a +

/'(e) > 0,

e)>0.

Por consiguiente, si x\ — | la funcion tiene un maximo igual a i\/'4. Si X2 — 0 no hay extremo, y si ~ 1 la funcion tiene un minimo igual a cero.

156. / : x

( V 2 + sen

/(0) = 0,

99/1

( j | ill u lo

(Tiltulo liilVrrnclal para ImuionoH J c una \mimMc

M Sol u ci 6 ii. Aiuilitvmos el signo tic I incremnilo do la f unci An / en e! piinld x A/(0)

0. 'Ibnemos

c ͌  (\/2 -f- sen i j > 0 0. Si x £ 0

Vx ^ 0. Por consiguiente, para x = 0 la funcion tiene un minimo igual a /(0) examinemos la ecuacion f\x) — 0. Evidentemente,

f 'X

x

e % ^ ^ V2 + sen

1 sgn x — cos —

x

^ 0.

Dado que sen ~ -fcos ^ V2r la derivada no cambia de signo al pasar por los puntos donde esta se anula, por lo cual la funcion no tiene otros valores extremales salvo /mm = /(0) - 0. • if Hallar los extremos de las funciones siguientes: 157. / : X

arctg x - - ln(l + x2), x G l .

1y < Solucion. La derivada / ' : x I "m,1+x 2

0 para x = L Dado que /'(1-e) > 0 y /'(l+s) < 0, 0 < e < 1, entonces la funcion tiene en el punto x 1 un maximo igual a j — \ In 2. •

1 5 8 , / : x ^ \x\e f®'11, xeR. Solucion. A partir de la expresion de la derivada /': x — i > e ^ l'sgna; x ^ 0, x ^ 1, vemos que los puntos x^ — —1, x2—0 y x$ 1 son candidatos a extremo. Calculando el signo de la derivada al pasar por los puntos X{ (i — 1,2,3), determinaremos si estos son puntos de extremo y, en caso afirmativo, el tipo de extremo. Tenemos f ( - l +€) < 0, /'(—1 -€)>0 (maximo igual a e~2); f(-e) < 0, f(s) > 0 (minimo igual a 0); /'(1 - e) > 0, /'(1 + e) < 0 (maximo igual a 1) {e cs un numero positivo lo suficientemente pequeno), ^

x

1 5 9 . Hallar los valores minimo y maximo de la funcion f i x segmento [^10,10].

3x + 2| en el

M Solucion, Hallamos la derivada

f : x ^ (2x - 3) sgn (x2-3x+2),

x^l,

de la cual obtenemos los puntos candidatos a extremo: x-y — | (/' (|) = 0); x
/(®2) = 0,

/ ( a 3 ) = 0>

/(—10) = 132,

/(10) = 72

vemos que el valor maximo de la funcion es 132, y el valor minimo es 0. 1 6 0 . Hallar el infimo (inf) y el supremo (sup) de la funcion f : x intervalo ]—oo, +oo[.

> e

x

cos x1 en el

I \xl tenuis do una lumion •4 Solution. I{it vii 1ml do que la funcidn f oh par oxamim'nuisLi on el wm intervalo x • 0. Do Tii exprcsion /' : a; —2v2xe~* cos(* x/} Vemos que los puntos I) y xk —

+ 2fcjr, k £ 7,o, son los puntos candidatos a extremo. Al comparar los minieruH /(0) = 1,

/(**) = J = e " * " 2 * 1/2

lim /(*) = <) .T-l+OO

obtenemos que I inf f(x)=—-=e. -»<»<+oo V2

',

sup f(x) = t #a
•

1 6 1 . Determinar inf /(£) y sup /(f) de la funcion / : £ t-» - — - j en el intervalo 3 -I- £ ]x, +oo[. a Solucion. Calculnndo la derivada /' : £ <-•> 'f^)'

hallamos los puntos candidate a

extremo: & = -3, & = U entre los numeros /(—3) = - g , /(l) - ~r lim / ( 0 lim /(£) = 0 seleccionamos el numero mayor y el menor. Sea x < 1, entonces sup /(£) — Kj<(<-H»

y

sup /(£) = /(l) = |. Si X > 1, resulta que X<(<+rXl

P ° r consiguiente,

sup i <£<+00 Sea x ^ -3,entonces

^

Sea - 3 < x < - 1 , entonces

m I 3+if> —

r

e

'"f

<

® > 1.

fit) — ~7-

< 0 e

inf

/(0 =

> /(l-oo) — 0 e

Finalmente, si X ^ —1, obtenemos

inf

/(£) ~ 0,

Por consiguiente. inf

/(£)== £

Hi o,

-3

-l.

1 6 2 . Hallar el termino mayor de la sucesion («„) si &n = M Solucidn. Suponiendo n — x podemos considerar los elementos de la sucesion (a„) como valores dc la funcion derivable f : x x", x > 0, es decir, «„ /(«). Supongamos que el punto estacionario xy dc la funcion / satisface la desigualdad It • u; i Analizando la derivada / : x i-» x'; ' (1 In af), kill.unos ol punlo estas'iontirio = e, en el que, nbviamente, la funcidn f aleanza su miivimu. I'or consign ion to, k, 2. At comparar los tres numeros U[ — 1, % y «i v'd i>l)lnu'i)W«i cl lesult.ido mdx «„ = v^ a* 1,44. •

?.'?.()

(apilulo 2. l a k u l o di To re lie iii t para hmilnntv*
1 6 3 . I )cnu>slrar la desigualdades J__ <;•; xl> -j. ( I

xf ^ 1

S|

0

. I

x

p > I.

y

<4 Solucion. Veamos la funcion f xp 4- (1 — as)''. Su derivada /' ; x i-> p(xp~ - { l - i c ) ^ " 1 ) se anula en el punto x = Al camparar los numeros /(0) = 1, / (~) f(l) = 1, deducimos que max f(x) — 1, mm f(x) — i - . De aqui se obtiene la desigualdad que se demuestra.

^m• •••• • • • n i

-i f A 2 x -j-1 1 6 4 . Demostrar la desigualdad - ^ — ^ 2 para - o o < x < +oo. J 3? ~~ -31 ""f- "1 M Solucion. La demostracion se basa en la comparacion de cuatro numeros: lim f(x)t

lim /(ar),

X — ± — C £ }

X

—

donde f(x) = (:x1 4- l)(ff2 + x + l)" 1 For consiguiente, pgra x = 1 se alcanza el valor minimo de la funcion / igual a ~, y para x = — 1 el valor maximo igual a 2. • •

II

165.

•

"

I • ••• •

HI I I II I I I

T

Determinar la "desviacion respecto a cero'" del polinomio

P(x) = x(x - lf{x + 2) en el segmento [—2,1], es decir, hallar Ep =

sup

-2
Solucion. Tenemos P'(x) = (x-

l)2(x + 2) + 2(x - l)ar(ar + 2} + x(x - 1)2

A partir de la ecuacion P'(x) = 0 obtenemos ®1=1>

2-2,3 =

2

*

Comparando los valores de f(xi), f{x2), f(x3) y /(-2), vemos que Hj • • • • •••

p

—

4

,

W

• ! •

1 6 6 . ^Cual debe ser el coeficiente q para que la "desviacion respecto a cero" del polinomio — x -h q sea minima en el segmento [ - 1 , 1 ] , es decir, para que EP = sup |P(#)| tome un valor minimo? < Solucion. Al comparar los numeros P(0) — g, P ( ± l ) ~= q+ 1, obtenemos que « j , | ipmi P(.)l = es decir, sup ji^a;)! —

- f\ i U_lii\

j

Iflrl ss. i

m a x { | g | , | f f + l | } = | I ? + 1| 1

•

+

lf>|9||

1

r

-

+

+ 5 - Ahora, tenemos

minEp = mfnmix{|g|, \q + 1|} - mm i q if K para 9 =

te

1

Z

1 1 1 L} z

+

Ii IH. Jixtremo* de ttit.* liitirloii

'.!.'7

1 6 7 . St: denomilM t/iwj'rjiwit ulnointa do dos ftinnniuw / y
x2 y g ; x »-+

en el segment"

Solucion. La funcion

((J) —
168.

^

Determinar el minimo de la funci6n /

max{2f®|, |1 + «|}.

A Solucion. Si 2b: | ^ |1 + a'|, tenemos ni
— 2\x\. For tanto, fix*-*

2\x\

- o o < a ^ — j , o bien x > 1. Si 2\x\ < jl +x\, entonces m.ix{2[a;|] |1 + a | } = [1 + ®|. For consiguicnte, / : a; *-> \x f-1] para - J- < x < 1. De este modo,

f

I 1| si


2\x\ si Analizando la derivada 1 /' • z W / [ 2 sgn x

^ " 3< si x £

X

< ,

vemos que los puntos X! = —j y x2 = 1 son candidates a extremo. Al comparar los numeros / ( - 5 ) = | y /fl) = 2, obtenemos que /„,<„ = y

>

^ Ejercicios Determiner los extremos de las funciones siguientes: 369. / : i h

7 3—JT> [l "*!#<-T|

donde

•1>

»=f-

370. 371. f&p Hi: \ + £ i-.i

*!*<»

i+<+t + f = a

0, 1 = 1 V 1 = - 1 . O^x^z.

372.

^ coslw * + c h " V 373. /:»«-» 374. /• x 1-. j j t l ^ l f e atj 1 "^. 375. / J itn t¥ 376. f :x >-> ^(cosx + |cosx|). 377. / ; X — Y, x = 3t - t3, y = it - t\ (J ^ ( ^ 1. 378. / : I f c o s ^ , « < $ < f . 379. fiX-* Y. sT1 + +a?y +1 =. 0. Hallar los mi'nimne de las funciones siguientes: 380. / — max { c h s + k 4 - c h ^ l . 381. / : x irulxft - \x t- 3j, 1 - (a? - 2 ) 2 } .

( '.iptlulo

(7dm I o

tlili1

it1 mi ill

|mi,i

hnuiones de una variable

llallur los m j x i m o u dc las funciones si^uifiiUvs: 3H2.

J : a: i • n u n ( x

I 5 , In x , J

a;}.

383. / : x i m u n i

{

a:, (x

I i f

--

,

ljl

}.

HaJlar los vatores indximos d c las funciones siguientes:

384. / : a; ^^ 386. f

{x - l)2(a; - 2)1, - 3 ^ x ^ 4, 385. f : x • 21 ^ r InV" i 0 <£ ~ 4, ® = 0 .

^ TT,

387. f : x ^

I V C 1-1 J!- 1 ^ a? ^ 1. cos x2 cos ~... cos X

.!•

2 - c o s a; cos ^ . . . cos —

'

Hallar los valores muiimos de las funciones siguientes:

388. / ; z h

4

+

- ^-a;2 -

h 1, - 3 ^ x ^ 2. 389. / : x

I*]

sen kitx, 1 ^ x ^ 4,

390. / : X —* Y", a?3 -h y3 - 4,5a:y = 0 (0,5 ^ ar ^ 1,5; 0 < y < a), / es una funcion continua. 391. fix*-* — sen(tt sen x)T 0 ^ x ^ |, a > 0. En los problemas que siguen a continuacion, para las funciones dadas / determinar sus | sea mmimo (la funcion f* asi aproximaciones / * de modo que sup |/(x) — definida se denomina aproxtmacion de Chebtehev de la funcion dada):

392. / : x

x2; f : x

a^ + a}x2 + a2x4, 0 < r? ^ 1.

393. f i x h€ hT ; /* : ^ a0 + t^ar -f a^x2, 0 ^ x ^ 1. 394. fix^ ex; f : x ^ g g , 0 < or ^ 1. 395. / : a?

- 6a?2 -f 6a; -f 1; /* : %

1 ^ a? ^ 5,

Determinar los valores nunimos y maximos de las funciones siguientes:

396. / : x

e ^ ( V2 + sen ^ J ,

^ 0, x G [ - i t , tt].

^rr /* : i h |f — Inlsenarl, j ^ ^x1 ^ &7T. A:. 6^ ^ 397.

. . r . 4tt]. en el, segmento [-4tt,

Hallar inf / t e ) , sup f(x) de las funciones siguientes:

398, / : ar

e~7 ^

4-genajJ,

399, f : x h-> sen x — |aj —

gs|

f ( f ) = - 1 en el intervalo ]0, H-oo[. j a ]—1,

En los problemas que siguen a continuation^ para las funciones indicadas / hallar las aproximaciones f* € { / * } que satisfagan

sup | fix) - /* (a) I - inf sup | fix) - f* (X) |, donde - s

/

ao + a^x + a2x2 A x ^ xGi : x *-r ^ (6q H- b^x 2\-i a;0 < x < fcx).

400. 401. / : a; — i ^ (1 + x ) e~x. 402. / : x ^ (1 - x1) 403, fix Vl + x + x2 e~x

§ 11. Construccion de la grafica de una funcion a partir de sus puntos caracteristicos Para analizar y construir la grafica de una funcion y — f(x) dada es conveniente utilizar el esquema sigutente:

L Determinar el dominio de la funcion, su periodo, los puntos de interseccion con el eje Ox, los intervalos de signo constants, la simetria de la grafica de la funcion, los puntos de discontinuidad y los intervalos de continuidad.

!) 11 < iHiufniKmn ili' l,i grtfllea lie uii.i tuiicimi 2. Vmjhw nl tti gnijirit licnc asftttotas. 3. Ihilhir b:i iuli'ftifilos de monotonia tie lafiun'htii;/ ha* fi/wlo* cxtivinite. 4. Ik'teriniuitr hts intervalos da cimcavidud ij amwxidtid !/ los pmitm de hlflrxioti dc la grafica. 5. Cansimir la grafica de la funcion. Construir las graftcas de las funciones siguientes:

Solucion. 1. La funcion est3 definida y es continua para todos los x, positiva para x y negativa para a; < 2; y(2) — 0. 2. De lim y i l se deduce que y 1 es J—,±CX> V, 1 una asmtota de la gnlfica para x —» -foo, e j - —1 es la olra para x —> - o o . 3. Dado que la derivada 2x + \

,=

<0

si

\ >0

si

f

" vix^rT?

-1/2

x > — j,

entonces la funckm decrece para x < — i5 Y crece x > — e n

T

f i

0

x<

*2

N^

i -2

para

Fig- 22.

el punto X = - j se tiene un minimo

igual a -sfS & -2,24. 4. Al determinar los signos de la derivada segunda

<0

> fl si

y V + lf

. <0 deducimos que para x < —

x < - 3lV41 8 '

si

-

3

- ^ < x <

3

'

si

—1,18 y x >

X 0,42 la grafica es convex.i y

41 la grafica es concava; los puntos de inflexion son X\ « - I, I fi; para — < x < & - 2 , 0 6 y x2 » 0,42; y2 » - 1 , 4 6 . 5. La grafica de la fu no lull se da en ia fig. 22. •

170.

y = V ^ - < / x 2 + i.

Solucion, 1. La funcion esta definida, es continua y negativa para todos los x; su gr.'ilint es si metrica rcspcctci al eje Oy, pues y(x) = y( a;), 2, Dado que el limite lim y es igual a cero, entonces y = 0 es la unica asintote no j? -.no bay olras asfntotas, 3. A partir de los signos de la derivada

, 2((®a] + l)'

y =

3x'(x2 -fl)i

—

f <0 si x < 0,

< [ > 0

si

x>0,

deducimos que la funcion decrece para X < 0 y crecc para x > 0; en e) punto X ?= 1) se alcanza un mmimo iuual a —1.

Z M)

i -ipilulo 2. t.diufo if i fore ni'iii I |mi.i iuiiiioncs de una variable 4, Dado qui -r • i i • i iii

i—nil

1

i•

Ii

11

F 1 1 1 1 • 11111iBi

x

y

2 x 9

tt

\

5

4

M

x' - f l ) 3 +3E* - xn

ar + 1

\

<0

  \x\ < +00), Fig. 23.

entonces la grafica de la funcion es convexa y no hay puntos de inflexion. 5. A partir de los datos obtenidos construimos la grafica de la funcion (fig. 23). >

171.

y

|1 + x yfx ii•

-nw~n

^ Solucion. 1. La funcion viene definida, es continua y positiva para todos los x > 0. 2. Es evidente que lim y — +oo, por tanto x — 0 es la asintota vertical de la grafica af—++o para x lim +0, Existe tambien una asintota oblicua y -- kx + 6, siendo k 1, a;-»-W) x b = lim (y — x) = es decir, y ac—»-|-oo ^ 3. La derivada primera j/ satisface las desigualdades i

5*('l +

-x

y

•

x) i(2x - 1)

ͭ͡

si

*<5

ͯ͡

SI

X>\,

i y crece paral x > ^; en ell punto x — por consiguiente, la funcion decrece para 0 < x < ^ la funcion tiene un minimo igual a \y/3 & 2,60. 4. Dado que y

tt

>0

la grafica de la funcion es concava. 5. La grafica se da en la fig, 24, • ••IB II • I I I I I I I -

•

•

•

•

i •— - •••

•

•

B M

I • •

I.• •

••• • • •

(0 < x < +oo),

• ••••• •

• • • ••

i

•

vi

o Fig. 24.

172

*

y

x Fig. 25,

sen x 2 + cos x

1•

nnilTTTI^BHV

Solucion. 1, La funcion esta definida y es continua para todos los x; su periodo es igual a 27r; el centro de simetria es el origen de coordenadas; y = 0 para x = kir ik -- 0. + 2 , . . E s obvio one sen v — sen sen x.

fi 11 t 'i)iiHlniii i(in de !,i gniliea dt1 (lilt) lliiltiriii

Z,ti

2. No Ijiiy .ti.inliil.ir>. Tomando on considcr.icldn cl hcilio do ijiiu la ftincidn oft periodica, ttnalirfiuosla oil ol .segmento [0, 2tt]. 3. Al dclerminar los signos de la derivada primera > 0 y

i

1 I- 2 cos x (2 1- cos a:)2

vemos que para 0 < X < y;

si

0 0 ! <

<0

si

f < ®< f,

>0

Siy

<

3

x sS 2tt,

y < x ii 2v !a funcion crece, para ~ < x < y

y para j ) - | y i 2 = y tiene un maximo igual a ^ -55 ~

?f,

doom*

« 0,58 y un minimo igual a

4. Dado que „ y

2 sen a; (cos x - i) ~~ ~ (2 4- cos xf

f <0 \ > 0

si

0
tt

entonces para 0 < x < -a la grafica es convexa y para v < x < lit es concava; ademas, •£\ — tt, yL — 0 es el punto de inflexion, 5. La grafica esla presentada en la fig. 25, >

173.

=

•4 Solucion. I. La funcion esta determinada para todos ios i > l y « < —1; en diction intervalos la funcion es continua y positiva, verificandose, ademas, y > 1; 1a grafica o h si metrica respecto al eje Oy; t/(-l - 0) = j/(l + 0) = 2 ^ . 2. Dado que lim y =% entonces v = 1 es la asintota para x —• oo. 3. Tenemos > 0

si

x < -1,

< 0

si

« > 1,

por consiguiente, la funcion crece para x < —1, decrece para r > 1 y en los puntos x

II

\ tiene un maximo dr frontemigual a 4. A partir de la desigualdad evidente 2V

y"-=y Inif

—J==

- ~4=+x1U2(^4==

-

A'

V y V - If

V^Tl

v^-1

*

V +

Vt^+lp

V.

v ^t2 -I-1) 3 }

s/(x2-lf - y [ •

— +

I' +

sr deduce que la grafica es concava. 5. La grafica estd presentada en la fig. 26,

1

v V - i

] In 2 > 0

?}

K

unn Itmchin f(x), « J » < .1 {fl < x S t>), se dico que on el pun In o (Ii) esU) hone un mAx dt-fivntera,si (xlstc un semientorno ]u,i[ C (n,irf (M, c ]/Mi) tal qtie f{n) > f(x) (/(/j) > fU)} P
IJ D.iiln

') il

('.lpihilo 2. ( Vilt ulo ilifvivnt i.il para liiiuioin's do

-1 0

y-x

vaiMbli

1

X

+1

Fig. 27.

Fig. 26.

174.

him

.r

Solucion. 1. La funcion esta definida, es continua (como superposicion de funciones 1

It

elementales y = x * ) y es positiva para x > 0. llli 2. lim y = lim e = 1 , por tanto y — 1 es la asintota para x

-foo.

X—»-+co X—>-+OC 3. A partir de las desigualdades 2/ (1 — In x) a;

/

£

> 0

0 < x < e,

si si

< 0

e
se deduce que para 0 < x < e la funcion crece, para e < x < -j-oo decrece y para x = e 1 tiene un maximo igual a e~; ademas, y(+0) = 0. 4. Omltimos el analisis de la convexidad y de los puntos de inflexion. 5. La grafica se da en la fig. 27. •

175- y =

(l+x)K

Solucion. 1. La funcion esta definida para x > — 1, # ^ 0; es positiva y continua en esta e, entonces x — 0 es un punto de discontinuidad region. Debido a que lim(l 4- x)

evi table. 2. De las expresiones

lim

y — -foo; lim y = 1 se deduce que las asintotas son:

• £ — > — 1 + 0

• 4 - 0 0

x = —1 para a? —* —1 + 0, e y = 1 para x —+oo. 3. La derivada OQO  x) r I 0) I + a? que es vaJida tambien para - 1 < x < 0. Utilizando dicha desigualdad obtenemos /

y = y

1 x(l + x)

ln(l + a:)

x

l


x(l f x)

X X ++ r2 2

\ se 3

/

0

De este modo, Ja funcion decrece para todos los x del dominio. 4. Demostremos que la derivada segunda

y

n

y

i

x(l + ar)

ln(l + x) a?

+

es positiva. Para eso, consideraremos la funcion

1

x3

2 ln(l + x) -

2% + 3x (I + x)

J) M ( i>ii.'*lMU'i'j()ii J c l.i gi'.iltia di' llii.i liiiii'iou V{ 2x -i- yy 0; -I 0 si 0 < x < +oo. En este caso, £i 0 para - 1 < x <0, 0 < x < -l-co. Para estos mismos valores de a,* ia derivada segunda y" > 0. Por eso la grafica do fa -1 funcion cs concava, 5. Basandose en eslos datos construimos la grafica (fig. 28). • 176.

I

(X >

Vl Fig. 28.

0).

I Solucion. I. La funcion eslrt definida, es continua y positiva para lodos los a: > if; t/{+0) = lim xexp { s i n ( 1 + M } = 0 . 2. Hay una asintota oblicua y = kx + b, siendo k=

lim - = X

lim f l

a -t+wj \

b — lim (y — ex) — lim x fexp ja; In

XJ

} ~

= =

=js&* M* (I - 2?+> t (?))} -e)e(4+o(i)) 3. Tenemos

por lo tanto la fund6n creee para x > 0. 4. La derivada segunda =

y ( 2 , „ ( ] + ! ) + In" f t + -1 ) - \ x(l + x) \ x) \ x) :c(l +

) x)2)

es positiva. Para cerciorarse de esto, de/inamos una nueva variable t ~ 'r y apliquemos t>J teorema del ejemplo 104 tomando (t) = {(1 -I-1) In(l + 1 ) + tz) \

i>{t) = tA +

+ f,

ln = 0,

k — 4.

Vemos que todas las condiciones del teorema 104 qucdan cum pi id as. Por consiguiente, si x > tl, entonces y" > 0 y la grafica de ia funcion es concava. 5. La grafica de la funcion esta presentada en la fig. 29. p-

177.

y -

f-''

Kg. 29.

ZM

('apilulo 2. (Viltulo dilm'iK'iiil para luuciorio.s do una variable

Solucion. I. La Iunci6n esta dofimda, es continua y positiva para todos los valores do x, a oxcepcion de los puntos x ~~ ± \, en Jos que la funcion presents una discontinuidad y, ademas, 2/(1 - 0) - 0, + 0) = +oo, 0) = +oo, 1/(1 + 0) = 0. y {\ La grafica de la funcion es simetrica respecto al eje Oy. 2. Las asfntotas de la grafica son: x = para x —* -1 + 0; x — 1 para x —> 1 — 0; y = 0 para a; —* oo. 3. Hallamos la derivada y

i

2x ei7?

3-x

(1 +x 2 ) 2 (1

X

)

2*

Debido a que y* > 0 para —oo < x < — V3; 0 < £ < l y l < a ; < y/3, entonces para estos valores de x la funcion crece. Dado que y1 < 0 para —V3 < x < -1; 1 < x <  n/3 < x < -f oo, por consiguiente, en estos intervalos la funcion decrece. En el punto x = 0 hay un minimo igual a e, en Ios puntos x — x — se alcanza un maximo igual a Ayfc 0,15. 4. Calculando la derivada segunda 

tt

V

2y

[ 

x2)2 + x2 (1- x2) (9 + x2 + (1

7x*-x6)

a 2 ) (1 + x1)

vemos que y" > 0 para \x\ < 1. Ademas, yr,(y/T^) > 0; y"(V3) < 0 e y"(x) +0 para x —+ +oo. Por consiguiente, en cada uno de los intervalos ]1, V3[, ]V3; +oo[ y ]-•oo, —1[ (dado que la funcion es par) existe al menos un punto de inflexion. 5. La grafica esta presentada en la fig. 30- • Construir las curvas dadas en forma parametrica:

"178. x = 2t - t2, y=3t-

t\

Solucion. 1. Las funciones £•(£) e y(t) estan definidas y son continuas para oo < t < -foe Para estos valores de t se tiene ™oo < a; 1; — oo K y < +cc. Por consiguiente, la funcion y = y(x) considerada en funcion de la variable x esta definida para los valores —oo < x < L . ±00 2. Dado que x(t) oo, y(t) +oo m x\t) para t —» _Loo, la grafica de la funcion no tiene asfntotas. c 3. La derivada

dy dx

=

se anula para ti — (a?i tinuidad evitable para ti tenemos

31

2

-i2 1- t

—3) y presenta una discon1 (X2 = 1). En este punto Um ?

= 3.

Fig, 3D.

Jl I! t H»Filriiivi<)ti de lit gr.Wini tit' mill Itim'UVn

Z'S.'i

4. Ln dcriVmlu nt'|')in(l;i A2V dx2

fl

3,(1 - i f 4 (1 -v ip

tiene discontinuidad en el punto t = 1. Organicemos estos do los en forma de labia; (

-no < i < -I

-t < (< i

1
X

-OO < X < - 3 - 3
-00 < s < 1

y

- 2 < y < 4-oc

-oo < y < 2

dy dx

dij -f<0 dx

d2v dx2

d2y d >

-2 < y < 2 dy •~>o dx

0

dy

dx-

0

De la tabla vemos que para - o o < X < —3 la funcion y(x) decrece; para - 3 < x < 1 la funcidn crece; para a' — - 3 tiene un minimo igual a —2, y para x ^ 1 tiem* tin maximo igual a 2. Si x crece de -oo a 1, la grafica de la funci6n y — y(x) es concava; si x decreee de 1 a - c o , es convexa; (1,-2) es un punto de inflexion. 5. Utilizando los datos obtenidos construimos la grafica (fig. 31), *

179. M Solucion. La funcion x(t) esta definida y es continua para —OO < t < I; 1 < f < I cc, I,a recta x = 1 es una nsintota verLical ppra < —»1, De la igualdad x(t) — f-t 1 f vemos que x — I + } es una asfntOta oblkua. Hallamos la derivada x'(t.) — ^p-jrr. Es obvio que on los intervalos ]-oo, 0[, \2, I oc[ la funei6n crece y en los intervalos JO, 1[, ]1, 2[ decrece; xmal( = 0 para — 0; %nvm — 4 para t — 2.

I,a funcion y(t) esta definida y es, continua para todos los valores de t, excepto t = ±1; ademas, ( = y t — 1 son asm to las. Dado que y'(t) — ~ jjj-^h < •jif/.l Herreer. nam hvlrwi l*\e t Hel (inrmmn Hifl t;i fimeinn fflc 33^

la funcion

('npihilo 2. C'.ilciilo dilcivmial para I unci ones de una variable Nuoslm analisis mueslra quo la luni/inn // y(x) esta definida para oo < x ^ 0; i 4 ^ x < | (X), Dado que x(t) —> ±oo, y(l.) y | 0 para t —• ±oo; x(t) 2 - j , ty(i) —• ± son asfntotas de la funcion y — y{x), Adenitis, para t --> - 1 d: 0, entonces y 0 y x — lL — ..). l •xJ'i ~ para £ —• 1, por consiguiente, y = j — - cs una asintota oblicua. 2* & 2 x Hallamos las derivadas i

dy dx

i2

I 11 11 I I •

t(t ™

+1

2)0 + 1)2

1

d2 y

2(t - l) 3 (i 3 + 3i + 1 ) ^(f - 2f{t +1)3

da;2

0,07, de donde obtenemos que y^'z = 0 para tG ~ -0,32, t-\ =1; ademas, y(tn) & 0,37, Construyamos primeramente las graficas de la funcion en los intervalos por separado. Si - o o < t < - 1 , entonces -oo < x < -oo < y < 0; ylx < 0, y"z < 0 (fig,34), rsy

Si - 1 < t ^ 0, entonces +oo. La derivada segunda y%2 > 0 para -1 < t < to e y!J?. < 0 para 10 < t < 0; por consiguiente, para t — tQ obtenemos un punto de inflexion yo), donde Xq -0,07, Vo ^ 0,37 (fig. 35). t.

vi yk

H

0

x

0

X

3 4

Fig, 34.

Fig. 36.

Fig. 35.

Fig. 37.

Fig. 38

Sea 0 ^ t < 1. Entonces -oo < x ^ 0, -oo < y < 0, y'x > 0, > 0 (fig. 36). Si > 0, y,< 0 (fig, 37). Finalmente, si 1 < t ^ 2., entonces 4 ^ x < Loo, ~ ^ y < +oo/ 2 2 ^ t < +oo, entonces x > 4, 0 < y ^ 3 < 0, > 0 (fig.38). El resultado se da en la fig. 39, • • i• im

180.

X

t+e

y

•

i i

2 t + e-21

M Solucion. Las funcioncs x(t) e y(t) estan definidas y son continuas para todos Ios t. Aplicando la definicion dc asintota vemos que para t —• +oo las rectas x = t y y — 2t son asintotas de las graficas dc las funciones #(£) e y{i)f respectivamente, Tenemos x'(f) = 1 - e ; x\0) = 0; xf\t) = c _< > 0 para todos los t; y\t) = 2 (l - e~2t), y'(0) = 0; ?/'(£) — -2t > 0 para todos los f, De este modo, xmfn = 1 para t = 0; ?ymm -- 1 para t — 0. T^s graficas de las funciones #(£) e son concavas ffie. 40, a, b).

ft 11 < 'iiitHtrmvkni de I.) gnHleji de una ftiticlAii

Fig. 39.

Fig. 40.

Si - o o < t < 0, entonces 1 < x < +oo, 1 < y < +oo, y't = 2 ( 1 + > 0; y"i = -2 (V - 1) > fl. Si 0 < t < -l-oc, se tiene 1 < x < H oc; 1 < y < 4oo; > 0; < 0. I'or consiguiente, la funcion y — y(x) crece, y su grafica es concava para t < 0 y convexa para t > 0. En el punto x •= I la funcion y(x) tiene un minimo igual a 1. Si t —• +oo, vemos que | 2, y - 2x —> 0, por eso la recta y ~ 2x e s la asmtota d e la gTatica d e la funcion para t —• + o o

(fig. 41).

• fig. 41,

181. x ^ ^ . y - . a ^ t cos J t

(a>D).

Solucion. Para determinar la funcion y(x) a partir de las funciones conocidas x(t) e y(t), estudiemos primeramente su simetria, los extremos, los intervalos de concavidad y convexidad de la grAfica de la funcion y(x) y la existcncia de asmtota s. Dado que x(t) — x(—t); y(i) — ~y(~t), la grafica dc la funci6n y = y(x) es simetrica respecto al eje Ox, Ademas, x(t) - -x(x + I); y{t.) ~ y(ir + t) y x 4* () = ~x ( y 1 i ) ; y ( f fy = $ ( y -t *) (0 < t < |), por lo tanto la grafica de la funcion y(x) es simetrica tambien respecto al eje Oy. Por consiguiente, para construir toda la grafica es suficiente determinar solo una parte de la grafica de la funcion y(x) para x > 0 e y ^ 0, o sea, para 0 i < |. St! tiene y'x = sen t > 0 para G < t < j , por consiguiente, la fuuri6n y - y(x) crece en este intervalo, y, ademas, x —* +oo; y —* l-oo para ( —* ^ — 0. La derivada segunda es y"? = cos^ t sen" 1 1 > 0 (0 < t < por lo tanto, si 0 < * < § la grafica de la funcion y(x) es c6ncava. Notese que la grafica no tiene asfntotas verticals, en ^ - 0 e y —* +oo solo para virtud de que x —• -fco solo para ( Para determinar si existe una asmtota oblicua y = hx 4- b hallaremos los limites Fig. 42.

k = lim m = lim = 1. 3 t, i - f - a x{t) t-|-u cos=-3

( '.ipilulo 2. (YiUulo dilriTiH'iii] p.11,1 fmiciones de una variable

xw

Jim |?/{/) -

b

ft lim ( V / / >'! o \

t -'! u

) co!) / /

- OO

'or consiguiente, no hay asfntotas.

La grafica dc la curva para todos los t (cos t ^ 0) esta rep re son tad a en la fig. 42. L _l LL J

LU_ I

I •II •I

•

•

•

••

Construir las curvas siguientes, expresando las ecuaciones de las curvas en forma paramelrica:

1 8 2 . x2+i?

= x4 + yA.

Solucion. Obviamente, la grafica de la funcion es simetrica respecto a los ejes de coordenadas. Para x > 0 e y ^ 0 representemos la curva en forma parametrica, tomando y = tx (t ^ 0): 1 +t2 1

x

y=t

\ + i2 l + t4

Calculando las derivadas xf e yf determinemos los extremos x de las funciones e y(t): (l - 2t2 — f 4 ) t

x'(t)=±

Fig. 43..

:

x(t) (1 +

i 4)

y\t)

1 + 2r - 1 • • I Mil

x(t) {1 + i4)

\

Por lo tanto, si t = 0 la funcion a?(£) alcanza un minimo igual a 1 (y = 0); si t la funcion a;(£) alcanza un maximo igual a J ^ ^ - (y —

. Para t — \W2 + l se alcanza

un maximo de la funcion y(t)f igual a y ^ ^ ( x M Es facil comprobar que en los puntos de interseccion de la curva con los ejes de coordenadas existen las tangentes a la curva (v. fig. 43). •

183.

2 2

x y

3 3 x - y .

-4 Solucion. Haciertdo y = tx obtenemos

x

1_ t2

y

(t? 0).

j^t1

Si el parametro t varia dentro de los limites ]—oo, 0[ y ]0, H-oo[, la variable x puede tomar cualquier valor comprendido entre -oo y -| -oo; por consiguiente, la funcion y = y(x) esta definida para todos los valores de x, A partir de la representacion parametrica de la curva se obtienen las igualdades

y

X

1

.

1

i + t^

-

X

t +1

y

de las cuales se deducen directamente las formulas asintoticas: y ~ x para i +0 (siendo x —> -f-oo, y —> ±oo); y ~ x para t —> ±oo (siendo x —> ±oo, y oo). Tomando en la igualdad inicial x-y—uyx+y-v obtenemos la igualdad

( n

T

V

v - u )

2.

— I2v u t-

que re vela la simetria de la grafica de la curva respecto al eje

ij 11 (oiiHtriiinon tie l,i ^nlHea de unit luitrii'tu

23''

Cilll'llltllllllt IiL't lll'l'iv.lll.is

dy

I

dx

2 + f3

vemos que para t0 = ~\/l derivadas y'x e

'

dx1

& -1,26

21'(I"

I 71" I I)

' ~

, , i\1

(afo =

* '

1,tW; Jfo =

no existen e y'x = 0 para t2 -

~yf\

h

-2,38)

~ "0,79

-

amkis » 2,.1M;

Jb=r-|v^fSJ -1,89). Ademas, =

0 para tx = - V m Z

_ i t 9 o (®t jy 2,18; ft « - 4 , 1 4 ) y para

W - 0 , 5 3 fe s» 4,14; ¥3 « - 2 , 1 8 ) . Utilizando dichos resulta dos y tambien la tabla siguiente:

t

—00 < t < t\

X

i j < 1 < +00

y

-00 < j/ < si

y\
u'x < 0

y'<
£
#>0

&

it < I < *ft < £

ta
h
Xt) < X < X2 £•> < X < Xj

<

yu. v%
construimos la grafica d c la funcion y — y(x)

Ks < JJ < lb

/j < i < 0 < a: < f oo UD


y'*
y'*< 0

y", < 0

$

0< t< l-oc -OO < X < 1 'Hi — OO < IJ < 1 OL> sri > I)

>0

(fig.41).

1 8 4 . Construir la grafica de la funcion ch" x - ch y = 1. * Solucion. La grafica de la curva es simetrica respecto a los ejes dc coordenadas, puesto que a! sustUurr x por -x e y por —y la ecuacion de la curva no cambia de forma. Si X > (J; y > 0, la ecuacion de la rama correspondiente N yi de la curva tiene la forma sh x = ch y, de donde x —

Infch y + \ f \ + ch2 y \ I lay una asmtota x = ky I it, siendo

jfc= Iim ^ = % jp-• too y

b=

lim Ms) ~ y) = 0II—+nc

Hallamos la derivada sh y

0

Fig. 44.

+ ch 2 y

de donde se deduce que la funcion x — x{y) crece para y > 0, y en el punto y — 0 alcan/.a su minimo igual a In (I + \/l). Dado que

„ 2chg r > t), xsi = — (l + c h 3 J/)5 vemos que la curva es concava para y > 0. Teniendo en cuenta la simetria respecto a tos ejes de coordenadas construimos la grafica dc la funcion (fig. 45).

2
( it| H111(o 2. (\iltulo iii iVri'tiriiil \>,\i .\ luiuiones de una variable

i] ConalTtMi' las gr<1lic.is do las (unciones dofinidas en el sistema polar de coordenadas (tp, p) • (»: 1 8 5 * /) — a — d o n d e 93 > 1 (a > 0),

ip — 1

-1 + Vs Fig. 45.

Fig. 47.

Fig, 46.

M Solucion* La funcion p(
lim p(tp) — +00, la funcion tiene asintota tp = 1; lim p(tp) = 0, es decir, la curva se 5P —^ 1 -t-0 tp^+QQ aproxima as into tic a men te al polo describiendo una espiral. Calculemos la derivada 1 thy? / P9 a ch2 1) (
III!

•

•j

Dado que tp — 1 < ^ sh2ip para

1, entonces p9 < 0; por consiguiente, la funcion p(tp) decrece (fig, 46). •

186.

p-1

(p — arccos p2

M Solucion. El dominio de la funcion se determina a partir de la desigualdad

IP-1| ^ P de donde se obtiene que 1 +V5 ^ p < +00 2 Los valores limites de (p en los puntos de frontera son:

Pi

•

1

8UQ ~> pA͌^

x;

lim ip{p) p — r

t-QU

7r 2

Como p—\^p , la funcion (p(p) no tiene ceros y es positiva, A partir de la derivada de dicha funcion

t
II I I

p~ 2 • I • • !••••

• I •• I

MS"*)2 "I

vemos que en ei punto p = 2 se alcanza un minimo igual a arccos En el punto p — p\ la derivada no existe; en este punto la funcion toma un maximo de frontera igual a 7r. Para 3? < p <2 la funcion decrecc y para p > 2, crece.

Ji I I < 'iHUill lli'rioil iii1 1.1 gi.tlica ill' llll.l filll«'i1111

\

Coll Hi yit lli'imifi Mt'li.ililtlo (veanse los valores liltlllt'S < It*tyim ios jntlllos tit' (ioiilci.t), la funcidn time iiDii intuitu la vortical. Ha Ik'mew su dtstaucfil ft do! polo. 'lonemo.s a = lim p cos tp(p) /J —OO La grafica se da en la fig. 47.

I im p p "Xl

••••, '• • I. P"

•

1 Construir las graficas para las familias de curvas siguientes (a es tin par&netrn variable): 187.

y^x±yja(\-x2).

4 Solucion. txaminemos dos casos: a) a > 0 y b) a < 0. a) a > 0. El dominio de la funcion es: 1 - x~ > la funcion son:

?

es positiva y para — 1 < x < -\j x^ y —x

o sea, |a;| ^ 1. Los ceros tie

para - y j \ t i < £ < 1 la funci6n y = x + ^Jti {I -- x7-)

88

es negativa; para — 1 < x < yjjf^

yja ( l - x 2 ) es negativa y para yj^fj

la funcion

< x < 1 es positiva.

Calculemos la derivada ax

de donde se deduce que para x —

la funcidn y = X 4-

maximo igual a v'a + 1, y para x — — \ J l a

(I — :e 2 ) alcanza un

funci6n y — x ~ ^Ja (I — x2) alcanza un

minimo igual a voTl. Los puntos X = ± 1 son puntos de "contacto" de dichas ramas. De la expresion dc la derivada segunda

( i - ^ )

\ja

(t-

«*)

vemos que la grafica de la rama superior de la funcion es convexa y la grafica dc la rama inferior es concava (fig. 48). Al variar a clcsdc 0 hasta I oo obtenemos una familia dc clipscs que pasan por los puntos (—1, I) y (L I) (fig.49); b) a < 0. El dominio de la funcidn es jxj > T. f,as asintotas sou y = k\j: j />; y — k2X + b, donde fci 2 =

lim

La grafica se da en la fig. 50. 188.

— = 1 ± V—a; 6 = 0. •

y~xe.~".

t Solucion. Examinemos dos casos: a > 0 y a < 0. 1, a > 0. La funcion es positiva para X > 0 y negativa para x < 0. Calculemos la derivada

( .ijululo ?. (Yilaih) ililiMriu'iikl | m i j luncioncs de un
x

Fig. 49.

Fig, 48.

Vk \

/

5

V

fi

Cf 1

(a = -1)

-1

. 0 .

A 4

/

//

Fig. 50.

H

a> o «<0

B CTOpuny

yiLA ' HMCtlHa a Fie. 51

x

^ !'.' I'ntliji-tit.ri «U* cjikulo lit* illiixlmil* y tiiiiuimiH de una funcion de donde result,! que p;irn x

a sv alcanza lin m;1ximo i^u.iI a „

( x

Atletfulti,

2X

de donde se deduce que x = 2a es un punto de inflexion de In Funcion y: para ar < 2u la grafica es convexa y para x > 2a es cdncava. Como .re '« U pitra x —> l oo, fa reel.i y — 0 es la asmtota de la grafica de la funcion para x —> ,-oo. 2. Si a < 0, vemos facilmenle que este caso se reduce al caso anterior sin mas que sustituir y por — y y x por —x. La gnifica de ia familia se da en las figs. 51, 52. • fjjl Ejercicios Construir las gr.ifkas dc las funcioncs siguientes: 'UM. a) /(a-) = sup {sonar, cos a:, tgrc}; b) f(x) — inf {sen x, cos x, tg r } . 405, x = (cost, y ~ t sen t, z — t. 406. x -•• a cost, y — a cos2t, z cos31, Hallar cl lugar gcometrico de los puntos cuyas coordcnnd.is satisfacen fas ecu a dunes siguientes: 407. ( l - x 2 - |l - * * ) ) * + y- - 0. 408. |1 - j s ? j - 1 1 ~y\- |y|) ( 2 - y s - | l - y ? | - H - » l - W ) = 0 . 2 + 3| - \x\ - |5 - x\ - t). 409. ir + y -1-9 - l ^ + y4 1| - |2 410. 2 - l l - x - i f | |l + :n-yj - |y|«0.

§12. Problemas de calculo de maximos y mfnimos de una funcion

189.

Demostrar que si la funcion f{x) es no negativa, la funcion Fix) — cf2(x) (r. > I)) tiene los mismos extremos que la funcion f(x), < Solucion. Para concretar, supongamos que la funci6n f(x) alcanza un maximo en el punto art). Entonces existe un 6 > t) tal que para todos los x de) entorno 0 < Ja: i c j • t) se verifica la desigualdad /(x) < f(x{)). Como f(x) >• 0 y c > 0, de la ultima desigualdad se oh tiene que cf\x)

< c/'teo), es decir, l<\x) < F(x;)).

Lo ultimo quiere decir que en el punto x<) la funcion F(x) alcanza su maximo. Eti el uiso del minimo la demostracion es analoga. •

190.

Demostrar que si una funcion (/) <
/'I'I

191.

(.'ii|H'tulo 2. (MUulo tlilViviu i.il paiii luruioniH de una variable jJ'ai'u que valour de la base de una funcion loganlniica puede existir un numero

(aI que sea j la vcz cf argumento y cl valor do la funcion en dicho punto? <4

Solucion. Sea y la base do la funcion iogantmica. Segun las condiciones del problema debe verifica rse logy a; = x

(x > 0, y > 0, y ^ 1), ^

i de donde y = x •, La funcion y ya fue examinada en el ejemplo 174, de donde, en particular, se ve que y no supera a ymCiX = e<-, es decir, en todos los sistemas logarfti micos de base y (0 < y < e7, 3/ / 1) estos numeros existen. •

X

\\

'

\

' ^

/

r v

i

\

/

t

C R

\

i

/

/

J

/

O Fig. 53.

1 9 2 . En un segmento circular no mayor que un semiclrculo, inscribtr el rectangulo de area maxima. Solution. Sea la altura del rectangulo buscado igual a x y el ancho igual a 2y. Designemos mediante 2a el arco del segmento y mediante 2

cos a: + Vcos2 a + 8 , 4

cos tp2 ~

cos a - Vcos2 a -f 8 4

Notese que segun el sentido misrno del problema, el arco (p2 no nos satisface. Dado que S'((pi — 0; S'((pi + £) < 0 (para e > 0 lo suficientemcnte pequeno), entonces para cos a + Vcos2 a -b 8 COS ip\ 4 la funcion S(
-f fe" = 1 inscribtr un rectangulo con los lados paralelos a los ejes al de coordenadas y de area maxima. i

Solucion. Sean 2a? y 2y las longitudes de Ios lados del rectangulo, entonces S = 4xyr donde x e y son las coordenadas de uno de los cuatro puntos comunes al rectangulo y a la elipse. Para simplificar, escribiremos la ecuacion de la elipse en forma parametrica

x -- a cos t, Entonces 5 — 2ab sen 2tr de donde Smax

y = b sen t.

2ab para t = \ y x ~

y

h

vT

•

|j

,"

,'hi, ,piuik ' (

 )7 1/,} 7,(

194. llailar Iii liilif.rulc a la elipse

iiulxlniiiN

| \„

9

(iii'iilnuw

7,( 87)77

fiiiit inn

'.M.^

f rn cl punto /Wft;,/;} queformoun

trianguio do area minima con los ejes He coordenadas. •4 Solucion. La ecuacion dc la tangente a in elipse cn el punto do coordenadas f:n(). la forma xx0 , yy0 = 1, +

lit'iir

b2

de donde se deduce que la tangente define en los ejes de coordenadas los segmentos tic longitudes ~ y —. Por consiguiente, el area del trianguio es S = Al parametdzar la ecuacion dc la ciipsc, rcsulta S — j *, „ a h t ~ p m = yo *•

. dc donde 5mj|, — ah pam

1 9 5 . La seccion transversal de un canal abierto tiene la forma de un trapecio isiV;cclrs. jCuil debe see la pendiente

2h

͙͚͒

sen ip

t l area de la seccion de la corriente de agua es S — h(a

+

h

ctg



ip).

A partir de las formulas (1) y (2) hallamos P-f-fcc:tg*> + — . h ° sen tp La derivada de la funcion P, igual a ' j __ ICQSlp \ sen2 ip sen2

•

1 9 6 . Denominaremos "simwsidad" de un contorno cerrado que limita un area >ST al cociente que resulta al dividir cl periinebfp dc este contorno entre la longitud de la circiurtferencia que iimita el circulo de igual area S. Determinar la forma de un trapecio isosceles ABC'D jj (< (AD\';BC) de minima "sinuosidad", si su base An es igual a 2a y el angulo agudo BAD es igual a or? 4 Solucion. Sea Tl la "sinuosidad" del trapecio. Entonces, por definicion, se tiene (fig. 55)

n: donde S -

'Jid^AB

sen

I)

Fig. 55. 2\ZtyS'

L = 2AB + BC + 2a.

2'U)

( \ipilulo 2r Cjiltuilo dilVtvncitil

I'imt'tonoN Jo una varLihlc

Como

2a - DC • •••2 A Ii cos a,

0)

entonces, designando AB ™ x, obtenemos

Il(x)

2a + x(l - cos a) Vtt\J\2a - x cos a)x sen a

Analizando los extremos de la funcion U.(x) obtenemos que la ultima tiene un minimo para

x — a sec'2 a 2 A partir de (1) se obtiene BC = 2a tg2 f . Debido a que la mitad de la altura del trapecio r = | sen a es igual a la distancia desde el punto 0(ay r) hasta el lado AB, entonces en el trapecio obtenido se puede inscribir una circunferencia de radio r. • •

in 11—11 II

••

•••

• ••

•

•••

••••• ••••• ^ i M i M i m i i

1 9 7 , ^Que sector se debe cortar de un circulo de radio R, para que de la parte restante se pueda hacer un embudo de maxima capacidad?

L Solution* Si mediante ot designamos el angulo central del sector restante, el volumen del cono V es igual a r~ R xtt yiic2 — a2. 2

24tt

El analisis de los extremos de dicha funcion de a muestra que su maximo se alcanza para

a = 2tt

•

1 9 8 , Dos barcos navegan con velocidades coristantes it y v a lo largo de Ifneas rectas que form rin un angulo B entre si. Determinar la minima distancia entre los barcos, si en un instante dado las distancias desde los barcos hasta del punto de interseccion de los caminos eran a y b, respectivamente, i Solucion. Segun el teorema de los cosenos tenemos

r2 = (a + ut)2 -f (b + vt)2 - 2(a + ut)(b + vt) (fig. 56)7 donde r es la distancia entre los barcos en un instante arbitrario t. Analizando los extremos de la funcion r2(t) obtenemos que r'(to) - 0; Sustituyendo

(bu + av) cos 0 - an — bv u2 — 2uv cos 8 + v2

to

ry

en r (t) hallamos min

0

jub - va\ sen 8 Vu2 — 2uv cos 0 -f v2

Fig. 56.

Si u se sustituye por —u, en virtud de las identidades sen(?r

se obtiene r mm iiit

— 8) — sen 0 y

| »6 {-va] sen 0

Vu2 -2uv cosO + v•2 '

cos(tt -

6)

cos 8

H I.!. I'l'tilili'itiiin di' c.ift'tilo ilc m.fximo>< y mlnimim de una fuiu'ilm

1 encueiilra en 199. Un punto Inn In dc ei'iilrus dc dos las tlmjunUw dc radios II y r {// • r) lucra dc dichas bolas, Determinar la pnsicidn del punto luniinoso pam quo l.i suma de Lis .iieus iliuninadas de las superficies de las bolas sea maxima?

l.i km

hi

fits

I Solucion. Halfemns In suma de las partes iluminadas de las superficies en funcion tie la distancia x. Tenemos (fig. 57) S - 2 x R { R - xa) = 2TTR2 ( l Si - 2nr? ( l

—")

v

a —xJ

;

(ft ^ r + x),

donde <1. es la distancia entre los centros de las bolas. Analizando los extremos de la luncion S + — f determinants el valor de j:, para cl cual la funci6n alcanza su maximo. Tiene que verificarse, ademas, que a ^r +

de donde

x~ri-

+ Ryf^-.

Si ia derivada j\x) < 0, el maximo valor de la funrion /(x) se alcanza par,) x\ = a — T; en este caso se cumple la desigualdad a < r

R^j

7 Fig. 57.

%

a 58.

b Pig- 59.

2 0 0 . lA que altura sobre el centra de una mesa redonda de radio a se debe colocar una bombilla para que la ill i mi nation del borde de la mesa sea maxima? Solucion. Por iluminacion I se entiende la magnitud I = k

sen
donde r es la distancia entre la fuente dc la luz y el punto de observad6n (vease la fig.5H), k .. const, el angulo

kx (fi3 4-

*

de donde hallamos la altura x,\ para la cual se alcanza un maximo de la funcion I(x}-. x<

>=

*

< ; 11 nil j lo '?_. C/iltulo difViviicial p.ir.i funcioncs de iin.i variable

IK

2 0 1 . • IJn canal dc anrho h esta construido pcTpendicularmente a un no tit1 ancho a. ^Cual es la longilud maxima de Ios barcow quo puodon ontrar en este canal?

< Solucion, Como se ve a partir dc la fig. 59, la longitud del barco I puede ser expresada mediante la formula

b

sen
1

a

, cos
Analizando los extremes de la funcion I obtenemos que el valor minimo se alcanza para

V De este modo, la longitud maxima posible del barco es igual a .1

•

+ b

2 0 2 . Los gastos diarios de un barco en navegacion estan compuestos de dos partes: una constante (a rublos) y una variable que es proporcional al cubo de la velocidad,
Ta + kTv3, n

donde k es el coeficiente de proporcionalidad. Dado que T — ™, se tiene

G — — \ kSv\ V

de donde hallamos la velocidad para la cual los gastos son minimos

v

a 2k'

•

2 0 3 . En un piano rugoso horizontal esta colocada una carga de peso P . Hay que desplazarla por medio de una fuerza aplicada. ^Que angulo deben formar la fuerza y la linea del horizonte para que la fuerza sea minima, si el coeficiente de rozamiento de la carga es igual a k? Solucion, Proyectando las fuerzas aplicadas a la carga sobre la direccion horizontal, a partir de la condicion de su equilibrio obtenemos (fig. 60)

T

T = FPk = (P - F sen
kf

Fig. 60.

k sen (p fcos

2 0 4 . En una taza en forma de semiesfera de radio a se encuentra una varilla de longitud

I > 2a, Hallar la posicion de equilibrio de la varilla.

I','. I'llili
:m 'J

M SoluCidn. t'alniU'muiH l.t energia potenciai I' do lit Viiiilla tvs|Hvln al londo do la la/a. 'Ifcnemos /' m
=

obte-

nemos x ~ —a cos 2tp. UsandO la ecuacion de la semicircunferencia hallamos y

= ,2(1 - son

lip).

Asi pues, P — mg sen tp + tt(l — sen 2 4a el equilibrio es imposible. •

Respuestas Capitulo 1

A U B - {x : - 4 < x < 4 } , A n B - {x ; 0 < x < 1 } , A\B = {ar : - 4 < ar ^ 0 } , B\A {x : 1 < x < 4 } , A A B = {a?: ( - 4 < x ^ 0) V (1 ^ x < 4 ) } ; b) A U B {a; : < a; < 6 } , ,4 fl B = {a; : 0 ^ x < 2}, A\B = {x : - 1 < x < 0 } , B\A - { a ; : 2 ^ a? ^ 6 } , A A B - { a ; : ( - 1 < x < 0) V (2 < a; < 6 ) } ; c) A U B = A, A n B = B, A\B - {x : x = 2n, n G Z } , B\j4 = 0 , -A A B = { a : : a = 2n, n G Z } . 10. a) A U B = B f i n fl = i , 4\B = 0 , B\j4 j4 A B = : < x < 1, 9. a)

v T ^ s * < |g| ^ 1 - |a?|}; b) i U 5 - 4, i n B » B, B\A = 0, j|\B = 4 A B =

{(as, y): - 1 ^ ar ^ 1, 1 - M < |y| ^ 1}; c) A U B = {(x, y) : (|x| + \y\ < 2) V ((x - if - x2 < y< 2-x}, A\B - {(sc, Jf): {y- 2f < 4 ) } , A n B = {(as, y): 0 < a? < 2, 2 -

  x ^ 0, 2-x
+ x)\f (Q < x <27-2

+ x
- VteT^l?)},

B\A -

{(a?, y) : (0 < x 2-x ^ y <2 + \/4x - x2) V (2 < x < 4, ly - 2| < >/ic - a? 3 )}, 4 A B - (A\B)U (B\A). 11. a) Conjunto de puntos del rectangulo limitado por las rectas x = —2f x = 1, y = - 3 , y = l. Notese que los lados situados.en las rectas a: — —2, y — - 3 no pertenecen al conjunto Ax B. b) Paraleleplpedo limitado por los pianos x — 0, x — 1, y = 0, y = 2, z — 0, z — 3. c) Rectas paralelas al eje Ox que pasan por los puntos (0, n), donde n G Z. d) Rectas paralelas al eje Oy que pasan por los puntos (n, 0), n € Z. 24. a), b), c) funciones sobreyectivas; d) biyectiva; e), f) inyectivas. 25. a) /lj.^0]' /||0,+oo[; b) f [2mr-K/2amr+n/2]'

71

^

f \ [2njr+jr/2,2njr+3ff/2]' 71 ^

27. a) a? = \/2oy - J/2, 0 ^ y < 2a; b) a: = — \f2ay^^r 28. p = -ar + y . c)

29. y = ar - §.

n2(n + l) 2 (2n 2 4- 2n +1).

0 ^ y < 2a,

34. a) (n 4- 1)! - 1; b) ±n(n + l)(6n3 + 9n 2 - 1);

37, a) ± 2 ; b) 0 < a; < l oo.

39. a) 2 6 ; b)

c)

•

c) Re z = 2, Im 2 = 0. 42. a) \z\ = 125, 40. a) Re z - - 1 , lm z - 0; b) Re z = 2, 1m 2 = arg2 = 4-3arctg b) = 0,25, arg2 - 0; c) \z\ - >/2cos arg2 - f . 43. ^ . 44. v^2(cos 45° + i sen 4 5 ° \ ^ ( c o s 165" + i sen 165°), >/2(cos 285° 4 i sen 285°). 45. 2(cos tp 4 i sen 180°, 240°y 300°. 47. zt - - 2 4- i, z2 ^ -3 4 i. 48. 1. 55. a), b), d). 57. a), c), d). 73. 0. 81. (e, e 2 , . . . , em). 49. zk = ctg fc 84. (3,4,6). 85. (2, x/c)82, (e, v/e,,.. , v^e). 83. (In 23 In 3 , . . , , ln(m 4 1)). 86. (e«)-

87. I J

inf{/} - /(1) = 1. 108.2.

109.

115, -T^-TT. r»(pfl)

125. L = 1. tinua.

3 L 3

' ^ ^

91. sup{/} = / M ) = - J ,

92. sup{/} - +oo, inf{/} - -oo. 1

1

n

2

i-h/^r

lmf^a.

116. —^T*

126. \/2.

88. ^

I h

i

111.

117. e ^ .

c t

1

120. i2

127. J — -2, 1 - 2 .

- t - i r i

112.

t *

121.

93. sup{/} - 4, inf{/} - 0. '

H

j

i

h i / ^ z — ^ — ^

•

113. y/a{a2 • - -

-1

s

jt

^

114,4«i

123.

124. e _ l .

128. / = 0, L - 1 4- b2.

129. I = - 2 ,

2

122. 12

r

130. I — Qf L = e. 131. I = c, L - e f L 132. i — L = 133. Con134. Continua. 135- Continua, 136. Continua. 137. Continua. 138. La

Kl'HpUt'KlilN funcion piVHonfa una di-roidinuidad evitable en el jHiillo •>' t) 1,1V, Ui liinciun pre sonta disconti unidades rn Ins puntos x -- ~ -f- ftjr, k c //',. 14(1. I ,a I'uncKin pivsonla discontuuiidades en Ins puntos x — ^ + kic, k £ 141. Continua, 142. I.a funcidn cs continua solo on Ios puntos x -- kir, k t X. 143. Continua. 144. Continua. 145. Continua. 146. Continua. 147. Continua. 148. Continua por la dcrccha en los puntos a; = n, n g 'L. 14V. Continua. 150. Continua. 151. Continua. 152. X 0 ch un punto dc discontinuidad dc segunda espede. 154. a: = (2N -f 1)t, II £ Z, son puntos de discontinuidad evitable, 155. x = ±1 son puntos de discontinuidad de segunda espccie. 156. x ~ + kir, I: £ Z son puntos de discontinuidad evitable. 157. x — | + kn, k t '£, son puntos de discontinuidad de tipo polo. 158. x -- tin, n t TL, son puntos de discontinuidad evitable. 159. z — 0 son puntos de discontinuidad de segunda especie. 160. x = n € 2>, son puntos de discontinuidad de segunda espccic. 161, Continua. 162. Continua. 163. Continua. 164. Continua. 165. Continua. 166. Continua, 167. £ j — 1, n, i = 1, m, k 6 %, son puntos de discontinuidad. 168. x = 0 es un punto de discontinuidad. 169. x = fl cs un punto de discontinuidad evitable. 170. x =• 0 es un punto dc discontinuidad. 171. Uniformemente continua. 172. Uniformemente continua. 173. Uniformemente continua. 174. Uniformemente continua, 175. Uniformemente continua. 176. No es uniformemente continua. 177. Uniformemente continua. 178. Uniformemente continua. 179. Uniformemente continua. 180. Uniformemente continua. 181. No es uniformemente continue. 182. No es uniformemente continua. 183. Uniformemente continua. 184. No cs uniformemente continua. 185. No es uniformemente continua. Capitulo 2

12-

ff^jS-

13"

20.

+

U (z)

24. ((a cos t - son t)er,i, (a sen t + cos t j f * ,

= {ln x f .

( } ) , a'fsen t) cos i ) .

25. (p'if) sen

-^'{cos 2 x) sen2x).

sen2s, f(sen2x)sen2x,

30. a) I( *t' ' . fMf'ktel . 11 \ ; b) ( 4 f ( 2 sen a; + X cosx, 2 c o s x - x sen x)x.

V

32. a) 1.

)

(

" 43. 0. 51. a) m

31. a) (3, 0. ()}.

33. a) t = 0, x es arbitrario; b) i = 1, x = ±4.

35. a) 39

x2),

1; b) !|(« Z -H), t = 1. M

(insen(xy) + J L ) scn'(xy) \

44. 2 cos 2; 2. = {

^

/

hMjco^(xy) J' ' \-*>wn«* 1 48. a) 0; b) 0. 50. /'(ft) = 0 si ft t S ; no existe si x £ k.

'"""I]

•

73. a) x'ny„+i + x„y'H, /'(•) - 0. 75. a)' x\2y < •>+ 3z - 6.

36. c) - s e n 2 ( ® + iat s )(l -h 3iaf2).

81. a)' 0;

4i 3

X * 0:

54. f'{x) =

72. No.

74. a) rc = ^ ( 1 + 1 ) , y = f (1

= * I 41.

+ 1.

f l isr. IxI ;

82. a)' arccos 4^7• tf'-H

83. a)' [j-.-a; . I•

i ..»

J

I >) f

KfHIHIt'sLlS

.

-%-Zi \ l.'ur I

2.x' )

2ia dx,

84. b)* f(x) j \

94.

115. f .

119. 0.

dx

~

c o s 2 f

sen 2f

•

A cos 2t J

2u'

2

iU in-Jy

87. a)' df(x) J v '

ir(a:)

92. ( J * * ^

96. a) 0,275 . . . .

) (W. *P) +

1

107. a) dt2; 5 dt2.

100. 3 dx,

109. 3.

127. f'(x) = (cos t, - sen t. l) 3(1 1 _ Jjj .

2

s e n 2 f

(
,

i / WH^VC 2 ))'

'

+ (x—2)n+l ~ (a:—3)"*1 ) *

156. 2{A-\x)A'{x)fA~\x) 1

') dx.

126. df{0) - f .

137. ( — 1) n!

1/0'

t

88. n) (0, 1, 2 a , . . . ,

(dip,
I1

i>' (y " W )J t

(x) -

1 ( ^ 5 d V

197. vl = const.

-

A-\x)A"{x)A~\x). 2rS-(x) + 2v(x)v"(x)

2u(x)u"{x)

(4i3 +

e

-it3

(| + 8i3) |-8r

254, Para \x\ >

e~3i (12*3 + f) \ - 12i

es concava.

<
.

,

t

255. Para a: < 0 es convexa; para

x > | es concava. 256* En ]0,1[ U ]3, +oo[ es convexa; para 1 < x < 3 es concava. 257. Para x > - 1 es concava. 258. Concava para t > — 1. 259. Convexa. 260, Para 0<£ e e s convexa. 261. Concava. 262* Convexa. 264. A la izquierda del punto x — —1 es concava. 265. No hay flexion. 295. 0. 296. \. 297. 0. 298. \. 299.

301. 0 para a = bt c = 0.

305. 0.

306. L

n = 0.

314, 0, n ^ 2.

323, ( - 1 , 0 , 1 ) .

307. 0.

309. 1. 315. 1.

324. f ~ 2*

en serie de potencias de /a.

364. 0.

tg x,

para a = 96 In3.

-

310. 316. 1.

°J ,

cos x, / ( a : ) = ^ s e n as,

302, b

312, 318. 0.

» = 2. 320. e " * .

304.

313. - 2 s h \t

321. e~ ri .

322, 0.

359. Indication. Desarrollar la funcion /

325. §. 404. a)

- 1 ^ x ^ arcsen ^y^; | ^ a: ^ 7r; arcsen

^ a: <

?r < x < y .

La funcion /(a?) es de perfodo 2ir. b) tgx, /(«)=-{

- § < as ^ 0,

senar, cos a?,

| < a: < | + arccos 5f

f ^ X ^ f,

^ x ^ 3f;

f + arccos ^

405, Curva en forma de espiral definida en el cono x

x < f.

y2 — z1 ~ Q. A

406. Curva doble de

A

perfodo 27r (respecto a t) definida en el cilindro parabolico y = -a; —fl.Proyectada sobre el piano es una curva con lazos simetrica respecto al eje OY. 407. Segmento |a?| ^ 1. 408, La parte interior de los ^ del cuadrado. 409, La parte interior del rectangulo 0 ^ x < 5, - 3 < y < 2 menos la semicircunferencia {\/x) + y2 < 1. 410, Piano del triangulo de vertices My{-1, 0), M2{0,1) y Af,(l, 0).

fndice C a p i t u l o 1 . Lntrodnccion al analisis §1.

Elementos de la teorfa de conjunto® - ,

§2.

Funciones. Aplicaciones

§3.

Numeros reales

r>

J(>

§4.

Numeros complejos

§5.

Espacios vectoriales y metricos

§6.

Limite de una sucesion

HO

§7.

Limite de una funcion

HO

§8.

Continuidad de una funcion

§9.

Continuidad uniforme de una funcidn

42

114 . . .

I ll

Capitulo 2. Calculo difejrencial para funciones dt- una variable §1.

Derivada de una funcidn explfcita

Pi>

§2.

Diferencial de una funcidn

Ifi.'i

§3.

Derivada de la funcidn inversa. Derivada de una funcion definida en forma parametrica. I til

Derivada de una funcion definida en forma implfcita § 4.

Derivadas y diferencialcs de ordenes supcriores

H>H

§5.

Teorema de Rolle, teorema de Lagrange y teorema de Cauchy

IHU

§6.

Crecimiento y decrecimiento de una funcion. Dcsigualdifdcs

I'M

§ 7.

Convexidad y concavidad de la grafica de una funcion. Puntos de inflexidn

I'f/

§8.

Calculo de limites indeterminados

','(!,t

§9.

Formula de Taylor

.'Id

§10. Extremes de una funcion. Valores maximo y minimo tli' I ma lum inn §11. Construction de la grafica de una funcidn a jmitir dc. .mi.m puntos caractcrislicos

.' 'tl

§12. Problemas dc calculo de maximos y minimus dt* una lum Ion

'I t

Respuestas

.'Mi

I

^