Solución de Problemas en Ingeniería Con Matlab

Solución de problemas en ingeniería con MATLAB Marco A. Montufar Benítez • Joselito Medina Marín

Solución de problemas en ingeniería con MATLAB Marco Antonio Montufar Benítez Centro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial Universidad Autónoma del estado de Hidalgo

Joselito Medina Marín Centro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial Universidad Autónoma del estado de Hidalgo

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA PATRIA

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info editorialpatria.com.mx

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Dirección editorial: Ing. Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Ing. Estela Delfín Ramírez Revisión técnica: Dr. José Job Flores Godoy Universidad Universid ad Iberoamérica Diseño de interiores: Trocas Diseño de portada: Factor02/Eleazar Maldonado Fotografías: Foto grafías: © 2007, Jupiter Images Corporation / Nemesis Solución de problemas en ingeniería con Matlab Derechos reservados respecto a la edición: © 2014, Marco A. Montufar Benítez / Joselito Medina Marín © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-43 978-607-438-937-1 8-937-1 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014


Dedicatoria A Paty, Trevor y Ayrton, inspiración en mi vida. MAMB

A Lupita, Iaina, Alan y Erick, por su existencia. JMM

Agradecimientos Queremos agradecer la ayuda y la retroalimentación que nos proporcionaron los profesores Ramón Corona Armenta, Aurora Pérez Rojas, Óscar Montaño Arango, Jaime Garnica González, Heriberto Niccolas Morales, Sergio Ramírez Reyna, Aarón Rodríguez Trejo y Rogelio Escorcia Hernández, revisores de la obra, quienes han usado parte o todos los materiales de este libro. Apreciamos, también, el apoyo que siempre nos brindo Octavio Castillo Acosta, Director del Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, así como a Estela Delfín Ramírez, editora de Grupo Editorial Patria para la culminación de este texto.


Presentación

El cambio continuo hace cada vez más necesario que aprendamos a usar la

tecnología en la solución de problemas de una manera rápida y efectiva. Este libro tiene el propósito de introducir a los lectores en el uso del software MATLAB en la solución de problemas en ingeniería, con ello no tratamos de reemplazar a las técnicas didácticas “tradicionales”, solamente es un apoyo más, que ha demostrado ser de gran ayuda en cursos impartidos por los autores y otros profesores. En esta obra el lector encontrará desde los conceptos fundamentales de cierto tema hasta cómo aplicar el software en aplicaciones relacionadas a dicho tema. El libro está dividido en cuatro capítulos: el capítulo 1 de Aplicaciones al Álgebra y Geometría analítica, el cual expone cómo aplicar el software a situaciones donde surge la necesidad de modelar con las cónicas: recta, circunferencia, hipérbola, parábola y elipse, así también se hace uso de las coordenadas polares. El capítulo 2 titulado Cálculo diferencial e integral trata principalmente de aplicaciones sobre derivación y optimización de funciones de una sola variable, incluyendo problemas donde la integración definida e indefinida es de utilidad para plantear modelos en ingeniería. En el capítulo 3 sobre Probabilidad y estadística nos enfocamos a situaciones donde es necesario usar variables aleatorias continuas y discretas, en particular hacemos uso del software para calcular valores esperados, varianzos y covarianzos. Por último en el capítulo 4 mostramos aplicaciones a la ingeniería económica, teoría de colas, programación lineal y teoría de inventarios. Esperamos que el material aquí presentado sirva de motivación para que el lector aprenda más acerca de este fascinante tema. Los comentarios y sugerencias a esta obra son bienvenidos al correo electrónico: [email protected].


Contenido

Capítulo 1. Aplicaciones al álgebra y geometría analítica . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1

Introducción a MATLAB y su uso como calculadora . . . . . . . . . . . . . .2

1.1.1 Ventanas principales en MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.2 Para trabajar en la ventana de comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.3 Operaciones aritméticas con escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Ejercicios para desarrollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.2

Uso de arreglos en problemas de línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.1 Creación de arreglos unidimensionales (vectores) . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.2 Acceso a los elementos de arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Ejercicios para desarrollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.3

Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico . . . . . . . .11

1.3.1 Archivos script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.3.2 Creación y almacenamiento de archivos script . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.3.3 Ejecución de un archivo script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.4 Entradas a un archivo script. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Ejercicios para desarrollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 1.4

Uso de gráficas bidimensionales relacionadas a problemas de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.4.2 El comando plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Ejercicios para desarrollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.5

Uso de gráficos bidimensionales en coordenadas polares relacionadas con problemas de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.5.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.5.2 Graficación múltiples curvas sobre la misma página . . . . . . . . . . . . . .20 Ejercicios para desarrollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 v


Contenido

1.6

Graficación de parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1 Parábolas con eje horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7

Graficación de elipses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8

Aplicación de la Matemática simbólica aplicada a la graficación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs . . . . . . . . . . 27 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.9

Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9.1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.10

Solución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.1 Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.11

Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11.1 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Capítulo 2.

Cálculo diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1

Aplicación de las funciones internas de MATLAB en la solución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Formatos de presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Funciones matemáticas elementales predefinidas . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Definición de variables escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2

38 39 39 40

Uso de arreglos en problemas de cálculo de límites . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Cálculo de valores meta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3

Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico . . . . . . . 48

2.3.1 El comando disp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 vi


Contenido

2.3.2 El comando fprintf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4

Comando fplot y graficación múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.1 El comando fplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.2 Trazos de diversos gráficos en el mismo dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5

Matemática simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5.1 Objetos simbólicos y expresiones simbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6

57 57 59 60

Simplificación con Matemática simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6.1 Derivación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.7

Matemática simbólica aplicada a problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs . . . . . . . . . . 65 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.8

Matemática simbólica aplicada a problemas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.8.1 Uso de los comandos int y subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.9

Cálculo de longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.9.1 Longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.10

Cálculo del trabajo realizado por una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.10.1 Trabajo de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Capítulo 3.

Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1

Cálculo del valor esperado para una distribución continúa. . . . . . 78

3.1.1 Variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 vii


Contenido

3.2

Distribución de probabilidad discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.1 Cálculo de la media para una distribución discreta . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.2 Valor esperado condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3

Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Capítulo 4.

Investigación de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.1

Ingeniería económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.1 Valor presente de una serie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.2 Serie uniforme de un valor presente neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.3 Valor futuro de una serie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.4 Anualidad de una suma futura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.5 Valor presente de una anualidad diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2

Valores equivalentes de una serie con gradiente . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 Gradiente aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Gradiente geomético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Factores económicos en MATLAB con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3

110 113 115 118

Teoría de colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.1 Modelos de colas basadas en el proceso nacimiento-muerte . . . . . 120 4.3.2 Modelos M/M/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4

Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4.1 Método simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5

Teoría de inventarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.1 Modelos determinísticos de revisión continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.2 Modelo EOQ básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 viii


Capítulo 1 Aplicaciones al álgebra y geometría analítica

Capítulo

1

Aplicaciones al álgebra y geometría analítica

Objetivo:

Conocer las características de las distintas ventanas de MATLAB y realizar operaciones matemáticas mediante la Ventana de Comando, como si se tratara de una calculadora. Aprender a utilizar los arreglos de MATLAB en los problemas relacionados con álgebra y geometría analítica. 1


Solución de problemas en ingeniería con MATLAB

1.1

Introducción a MATLAB y su uso como calculadora 1.1.1 Ventanas principales en MATLAB Existen tres ventanas básicas en MATLAB: 1) Ventana de Comandos, 2) Ventana de Directorio Actual y 3) Ventana de Historia de Comandos (véase figura 1.1).

Figura 1.1 Las tres ventanas básicas de MATLAB.

1.1.2 Para trabajar en la Ventana de Comandos La Ventana de Comandos en MATLAB es la principal y sirve para ejecutar comandos, abrir otras ventanas, correr programas escritos por el usuario y administrar el software.

Notas para trabajar en la Ventana de Comandos ❖

Para escribir un comando, se debe colocar el cursor después del prompt (>>).

❖

Una vez que se escribe el comando y se presiona la tecla Enter, el comando es ejecutado. Sin embargo, sólo se realiza la última indicación. Cualquier cosa anterior permanece marginada. Por ejemplo, observe lo que pasa en la serie de comandos mostrados en la figura 1.2.

2



Figura 1.2

Secuencia de comandos que muestran una asignación de valores.

❖

Se pueden anotar varios comandos en la misma línea. Para esto, se inserta una coma entre ellos. Cuando se oprime Enter, los comandos son ejecutados de izquierda a derecha.

❖

No es posible regresar a una línea previa en la Ventana de Comandos, efectuar correcciones y volver a ejecutar el comando.

❖

Un comando tecleado se puede llamar de nuevo con la tecla flecha hacia arriba (↑). Cuando aparece un comando en el prompt, se puede alterar antes de su ejecución.

❖

La flecha hacia abajo (↓) sirve para moverse hacia abajo hasta un comando tecleado con anterioridad.

❖

Si un comando es tan largo que no cabe en una línea, éste puede continuar en la próxima línea luego de teclear tres puntos y presionar Enter.

El punto y coma (;)

Cuando se escribe un comando en la Ventana de Comandos y se presiona Enter, el comando es ejecutado. Cualquier salida que el comando genere aparece en la Ventana de Comandos. Si se incluye un punto y coma (;) al final del comando, no se despliega su salida. 3



El símbolo de %

Cuando se anota el símbolo % al inicio de una línea, ésta se considera un comentario. Esto significa que cuando se oprime Enter el comando no es ejecutado. El símbolo de % seguido por un texto (comentario) también se puede escribir después de un comando (en la misma línea). Esto no afecta la ejecución del comando. El comando clc

El comando clc (escriba clc y presione Enter) limpia la Ventana de Comandos. El comando no cambia instrucción previa alguna; por ejemplo, si se definió una variable, ésta existe y puede ser usada de nuevo. La flecha hacia arriba también llama comandos escritos con anterioridad.

1.1.3 Operaciones aritméticas con escalares Los escalares son números, por lo que MATLAB permite efectuar operaciones con ellos. Estos números también se asignan a variables, las cuales se pueden usar más adelante en cálculos. Los símbolos de las operaciones aritméticas se citan en la ta bla 1.1. Tabla 1.1

Símbolos para las operaciones aritméticas en MATLAB.

Operación

Símbolo

Ejemplo

Suma

+

5+3

Resta

–

5–3

Multiplicación

*

5x3

División derecha

/

5/3

División izquierda

\

5\3 = 3/5

Exponenciación

^

5^3 = 125

Orden de precedencia

El orden de precedencia que MATLAB usa se presenta en la tabla 1.2. Este orden es el mismo que muchas calculadoras utilizan. 4



Tabla 1.2

Orden de precedencia.

Precedencia

Operación matemática

Primera

Paréntesis. En paréntesis anidados, el más interno se ejecuta primero

Segunda

Exponenciación

Tercera

Multiplicación, división (igual precedencia)

Cuarta

Suma y resta

Ejercicios para desarrollar El uso más simple de MATLAB es como calculadora. Para ello, se abre la Ventana de Comandos, se escribe la expresión matemática y se presiona Enter. MATLAB calcula la expresión y responde exhibiendo ans 5 y el resultado numérico de la expresión en la siguiente línea: ans 5 xxx Para cada una de las siguientes operaciones matemáticas, escriba el comando de MATLAB necesario para ejecutarlas y la respuesta que obtuvo: 1.

2.

71

8 2 >>

ans 5

>>

ans 5

7 18 2

5



3.

41

5 12 3

4.

>>

ans 5

>>

ans 5

53 2

1

5.

27 3 1 32 0.2

6.

7.

>>

ans 5

27 1 0.2 1 32 3 >>

ans 5

(3.1416)(3.5)(3.5)

8.

9.

>>

ans 5

(29.5) (12.35) 2 >>

ans 5

73 1 (35.2 1 4.5)2

10.

>> 124.7

ans 5

54 52 1 3 >>

ans 5

6



1.2

Uso de arreglos en problemas de línea recta 1.2.1 Creación de arreglos unidimensionales (vectores) Los arreglos en MATLAB son fundamentales para almacenar y manipular datos. Un arreglo es una lista de números ordenados en filas, columnas o ambas. El arreglo más simple (unidimensional) es una fila o una columna de números. Por ejemplo, suponga que los datos de la tabla 1.3 representan los años y la población respectiva para cierta ciudad. Tabla 1.3 Arreglo unidimensional.

Año

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

Población (en millones)

127

130

136

145

158

178

211

Los datos de años y población se pueden introducir como elementos de una fila o columna de un vector. En MATLAB un vector se crea asignando sus elementos a una variable. Para ello, hay varias maneras, dependiendo de la información disponible. Frecuentemente usaremos vectores con elementos que son una serie de números con un espaciamiento constante. En tales casos el vector se puede crear con los comandos de MATLAB. Creación de un vector a partir de una lista de números

El vector se crea escribiendo los elementos (números) separados por delimitadores que pueden ser espacio, coma, punto y coma, y/o Enter entre corchetes [ ]. Nombre de la variable

[ escriba los elementos del vector ]

5

Vector fila o renglón. Para crear un vector fila escriba los elementos con un espacio

o una coma entre los elementos dentro de los corchetes. Por ejemplo, para poner los años como un vector fila se debe hacer lo siguiente: >> anio 5 [ 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 ] NOTA:

Recuerde no usar “ñ” o acentos en los nombres de variables. 7



Otro ejemplo es formar un vector fila que represente las coordenadas de un punto A en el plano cartesiano. Para ello, primero debe escribirse A 5 [5 6], a fin de representar el punto cuyas coordenadas son (5, 6). Vector columna. Para crear un vector columna abra los corchetes ( [) e introduzca los elementos separados por un punto y coma, o presione la tecla Enter después de cada elemento. Por último, cierre los corchetes (]). Por ejemplo, para definir las pobla-

ciones de la tabla 1.3 como un vector columna se debe escribir lo siguiente: >> pob 5 [127; 130; 136; 145; 158; 178; 211] Creación de un vector con espaciamiento constante especificando el primer término, el espaciamiento y el último término

Se dice que un vector tiene espaciamiento constante cuando para cualesquiera dos elementos consecutivos la diferencia entre ellos es constante. Por ejemplo, suponga que tenemos el vector v 5 2 4 6 8; entonces, el espaciamiento es 2. Para crear un vector donde el primer elemento sea m, el espaciamiento sea q y el último elemento sea n, debemos escribir: Nombre de la variable

5

[m:q:n]

Nombre de la variable

5

o

m:q:n

Para el ejemplo previo, podemos escribir: >>

v =

2:2:8 % Observe que no son necesarios % los paréntesis % o v = [2:2:8]

Otro ejemplo es: >>

z =

[1:8] % El primer elemento es 1, el último es 8. % Si se omite el espaciamiento, el valor por % omisión es 1.

Si los números m, q y n son tales que el valor de n no se puede obtener agregando cierto número de veces la cantidad q a m, entonces, el último elemento en el vector es el mayor número en la secuencia que no excede a n. Creación de un vector con espaciamiento constante especificando el primer y último término y el número de términos

Para definir un vector cuyo primer elemento es xi, el último elemento es xf y el número de elementos es n, podemos usar el comando linspace. Un ejemplo es el siguiente: 8



>> v 5 linspace (2, 8, 4) % observe que daría el mismo resultado del ejemplo previo Este ejemplo daría como resultado lo siguiente: V 5 2 4 6 8

1.2.2 Acceso a los elementos de arreglos Para un vector fila o columna llamado ve, (k), se refiere al elemento en la posición k. Esta operación es útil cuando necesitamos asignar un nuevo valor a una posición en determinado elemento del vector, o cuando precisamos subgrupos de elementos para definir nuevos arreglos. Por ejemplo, la serie de comandos siguientes daría estos resultados: >> ve 5 [1, 3, 8] ve 5 1 3 8 >> ve(3) ans 5 8 >> ve(2) 5 5 ve 5 1 5 8 >> sqrt(ve(1)) 1 ve(2) 2 ve(3)* 4 % esto equivale a 1 1 3 2 8(4) ans 5 228

Ejercicios para desarrollar Para cada uno de los siguientes ejercicios, escriba los comandos de MATLAB necesarios para llegar a una solución: NOTA:

Use variables para descomponer expresiones complejas en otras más simples y arreglos para representar coordenadas de puntos.

1.

Dados dos puntos cuyas coordenadas son (2, 5) y (6, 1), calcule la distancia entre ellos.

2.

Calcule las coordenadas del punto medio entre los puntos (2, 23) y (3, 25).

3.

Dado el punto (4, 4) y la recta 2x 1 4 y 1 2 5 0, calcule la distancia del punto a la recta.

9



4.

Dados los tres puntos (3, 4), (1, 21) y (9, 8), calcule el área del triángulo formado.

5.

Calcule la pendiente de la recta formada por los puntos (8, 5) y (3, 22).

6.

Determine la ordenada al origen de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (5, 2).

7.

Calcule la pendiente de una línea que toca al eje x en 5 y al eje y en 4.

8. Halle la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos ( 23, 2) y

(7, 23). 9.

10.

Los vértices de un triángulo son los puntos (2, 2), (21, 4) y (4, 5). Calcule la pendiente de cada uno de sus lados. Calcule la distancia de los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) al origen.

11. Una

recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Halle su ordenada.

12.

Una recta de pendiente 22 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?

13.

Tres de los vértices de un paralelogramo son (21, 4), (1, 21) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es la abscisa?

14.

Halle los ángulos interiores del triángulo cuyo vértice son los puntos (22, 1), (3, 4) y (5, 22).

15. Calcule la distancia entre los puntos A y B; además, determine el punto medio del segmento AB para los siguientes casos:

a) A(6, 22), B(2, 1)

d) A(24, 21), B(2, 3)

b) A(0, 27), B(21, 22)

e) A(4, 5), B(4, 24)

c) A(23, 22), B(28, 22)

f ) A(11, 27), B(29, 0)

10



1.3

Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico 1.3.1 Archivos script Como hemos visto hasta el momento, todos los comandos corren en la Ventana de Comandos de MATLAB. En problemas más reales es necesario que estos comandos se encuentren relacionados (en forma de un programa) y que además se puedan guardar para volver a ejecutarlos después. En resumen, la Ventana de Comandos no es interactiva. Esto significa que cada vez que se presiona la tecla Enter sólo se ejecuta la última instrucción, sin afectar las que se hayan ejecutado antes. Si es necesario modificar un comando ya ejecutado y los resultados de éste se utilizan en operaciones siguientes, se deben escribir y ejecutar todos los comandos de nuevo. Por fortuna, MATLAB cuenta con una herramienta que nos permite tener una lista de comandos, que podemos grabar y volver a ejecutar de manera conjunta. Si fuera necesaria alguna corrección en uno o varios comandos, basta editar el archivo donde están escritos, guardarlo y volver a correrlo. En MATLAB estos archivos se conocen como scripts.

1.3.2 Creación y almacenamiento de archivos script Para crear y editar un archivo script se usa la Ventana de Edición/Depurado (véase figura 1.3). Esta ventana se abre desde la ventana principal de MATLAB, una vez abierta sitúese en el menú File, después abra la opción New y luego escoga M-file. Para correr un archivo script hay que guardarlo. El proceso de guardar un archivo consiste La ruta del archivo en elegir la opción Save As en el de trabajo se muestra aquí menú File, seleccionar una ruta de almacenamiento (puede ser en la unidad A o en un dispositivo Icono de Run USB) y dar un nombre al archivo (las reglas para los nombres de archivo son las mismas que para las Estos son ejemplos de Esta es la Ventana de variables en MATLAB).1 comandos Edición/Depuración escritos en el archivo

para archivos script

Figura 1.3 Ventana de Edición/ Depuración para archivos script.

Las líneas en formato de letra Courier New de aquí en adelante se sugiere escribirlas en un archivo script.

1

11



1.3.3 Ejecución de un archivo script Es posible correr un archivo ya editado de dos maneras: se escribe el nombre del archivo en la Ventana de Comandos y se presiona Enter; o desde el editor se da clic en el icono de Run (véase figura 1.3). A manera de ejemplo, escriba los comandos que aparecen abajo en un archivo script (también llamado archivo “m”, ya que ésta es la extensión que MATLAB le asigna de manera automática), grábelo en el directorio “work” con el nombre de “prueba” y ejecútelo por medio de alguna de las formas mencionadas previamente. % Este es mi primer programa en archivo script fprintf (‘todavía no sé mucho pero espérenme más y ya verán’)

Variables globales

Las variables globales son variables que, una vez creadas en MATLAB, se pueden usar y reconocer en otras partes del programa. Esto es para variables en la Ventana de Comandos y en los archivos script, ya que ambos operan en el escritorio de trabajo. Cuando se define una variable en la Ventana de Comandos, ésta es reconocida y se puede usar en un archivo script. A la inversa, si se define una variable en un archivo script, se puede utilizar en la Ventana de Comandos. Existen otros tipos de archivos en MATLAB: los archivos función. Éstos normalmente no comparten sus variables con otras funciones o scripts, es decir, todas las variables son locales a la función.

1.3.4 Entradas a un archivo script Para que un archivo script produzca una respuesta numérica, las variables deben tener valores asignados. Existen tres maneras de hacer esto, nosotros usaremos sólo la siguiente. Ejemplo

Supongamos que deseamos encontrar la pendiente de la línea definida por las coordenadas de dos de sus puntos. Concretamente, el programa deberá pedir las coordenadas de estos puntos, calcular la pendiente y exhibir el resultado en la pantalla. Con esto en mente el programa se vería así: % % % % % %

Cálculo de la pendiente de la recta definida por dos puntos Llamaremos a los puntos A y B, cuyas coordenadas respectivas serán definidas en forma de vectores como se indica en la línea de abajo: a = [a1,a2] y b = [b1, b2], de esta manera

12



% % % % a

podemos calcular la pendiente así: pendiente = (a(2)- b(2))/(a(1) –b(1)) Las siguientes dos líneas piden los valores de los vectores a y b = input (‘Introduce los valores del vector a, en la forma [a1, a2]’); b = input (‘Introduce los valores del vector b, en la forma [b1, b2]’); pendiente = (a(2)– b(2))/(a(1)– b(1))

Por último, sólo resta guardar el archivo con el nombre “pen_dos_puntos” en el directorio “work” y correrlo siguiendo alguna de las formas que se mencionaron.

Ejercicios para desarrollar 1.

Modifique el archivo script del ejemplo anterior y calcule el ángulo de inclinación en grados de la recta definida por los dos puntos dados. Luego, determine el ángulo de inclinación de la recta definida por los puntos (2, 5) y (23, 210).

2.

Agregue las instrucciones que correspondan al archivo creado en la pregunta 1 para determinar la distancia entre los dos puntos dados. ¿Cuál es la distancia entre los puntos de la pregunta 1?

3.

Cree un archivo script que calcule la distancia perpendicular entre un punto y una línea recta. Ahora, estime la distancia entre el punto (2, 23) y la recta 5x 1 2 y 2 3 5 0.

4.

Genere un archivo script para mostrar que los puntos (1, 1), (5, 3), (8, 0) y (4, 22) son vértices de un paralelogramo; calcule además su ángulo obtuso.

13



5.

Programe un archivo script que muestre que los puntos (1, 1), (5, 3) y (6, 24) son vértices de un triángulo isósceles y que calcule uno de los ángulos iguales.

6.

Escriba un archivo script que calcule los ángulos del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (2, 5), (7, 3), (6, 1) y (0, 0).

7.

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Como la recta final tiene una pendiente de 23, desarrolle un archivo script que calcule la pendiente de la recta inicial.

8.

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (22, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por los puntos (3, 9) y A, cuya abscisa es 22. Escriba un archivo script para calcular la ordenada de A.

9.

Genere un archivo script para calcular los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (22, 1), (3, 4) y (5, 22).

10.

Escriba un archivo script que solicite las coordenadas de dos puntos y calcule la distancia entre ellos.

14



1.4

Uso de gráficas bidimensionales relacionadas con problemas de cónicas 1.4.1 Introducción Uno de los elementos que, como científicos o ingenieros, nos ayudan a comprender los fenómenos y las Matemáticas, son las gráficas. Alguien alguna vez dijo: “un dibujo vale más que mil palabras”, yo sólo agregaría que para que esto sea cierto, el dibujo debe ser el adecuado. En MATLAB existen varias maneras de crear gráficas bidimensionales y tridimensionales; algunas de estas herramientas y sus características se explicarán con algunos ejemplos.

1.4.2 Comando plot Este comando sirve para crear gráficas bidimensionales y su forma más simple es: plot(x ,y )

Los argumentos de este comando son los vectores x y y (arreglos unidimensionales). Ambos vectores deben tener el mismo número de elementos. Para ilustrar este comando, tomemos el siguiente ejemplo: Supongamos que queremos conocer y graficar con respecto al tiempo la distancia recorrida por un automóvil que viaja en línea recta a velocidad constante. Sabemos por la Física que la fórmula que calcula la distancia recorrida d está dada por la expresión d 5 d0 1 v*t. Donde d0 es la distancia inicial, v su velocidad y t el tiempo transcurrido. Observe que es la ecuación de una línea recta cuya ordenada al origen es d0 y tiene pendiente v. Concretamente supongamos que queremos crear un gráfica en el intervalo de 0 a 10 minutos para un automóvil que se encuentra a 10 metros del origen y viaja a una velocidad de 50 metros por minuto. La solución propuesta se muestra en las siguientes líneas (escriba este programa en un archivo script en MATLAB). % % % % %

ESTE PROGRAMA CALCULA Y GRAFICA LA DISTANCIA RECORRIDA POR UN CUERPO QUE SE MUEVE EN LÍNEA RECTA A VELOCIDAD CONSTANTE. Supondremos que todas las variables están en unidades congruentes, por ejemplo si la velocidad se da en

15



% metros por minuto, la distancia estará en metros y el % tiempo en minutos v = input (‘Introduce el valor de la velocidad > ‘); d0 =input (‘Introduce el valor de la distancia inicial > ‘); disp(‘Introduce los valores del tiempo, para los cuales quiere calcular la distancia recorrida’) t = input(‘se deben introducir en forma de vector [ a1 a2 ... an ] ‘); % t también pudo definirse de la siguiente manera: % t = [0:1:20] , % De este modo la distancia se puede calcular así: distancia = d0+v*t plot (t,distancia)

En la figura 1.4 se muestra el resultado generado.

Figura 1.4

Gráfica mediante comando plot.

16



El comando plot tiene el formato general que se muestra a continuación: plot(x,y, `line specifiers´, `PropertyName´,...`PropertyValue´)

Sin entrar en detalles, que sirva de ejemplo la siguiente situación, ya que en el apéndice A se muestran los comandos más utilizados en este libro y sus parámetros de entrada. Si quisiéramos crear una gráfica que conecte los puntos con una línea sólida de color magenta y círculos como marcas, que la línea tenga dos puntos de ancho y la marca del círculo sea de tamaño doce, con el contorno verde y el centro amarillo, tendríamos que agregar la siguiente instrucción al archivo anterior: plot(t,distancia,’m’,t,distancia,’mo’,’LineWidth’,2,’markersize’,12,’Mar kerEdgeColor’,’g’,’markerfacecolor’,’y’)

Observaríamos un gráfico similar al que se muestra en la figura 1.5 (esto dependerá de los datos de entrada que se hayan introducido).

Figura 1.5

Gráfica de comando plot. 17



Ejercicios para desarrollar Para cada uno de los siguientes incisos grafique las funciones respectivas: 1.

Grafique la función f (x) 5 0.6x5 2 5x3 1 9x 1 2 para 24 # x # 4 Sugerencia: puede utilizar los siguientes comandos % Definir al vector x x = [-4:0.1;4]; % Evaluar a la función de interes. Observe que se ha % utilizado el comando.^ para % obtener las potencias de cada uno de los elementos del % vector x f = 0.6*x .^5-5*x .^3+9*x +2; plot(x ,f )

x2 2 x 1 1 2. Grafique la función f ( x) 5 2 para 210 # x # 10. x 1x 11 x 21 en el intervalo 26 # x # 6. x 3 2 9x

3.

Grafique la función f ( x) 5

4.

Genere la gráfica de la función f (x) 5

5.

Grafique la función f (x) 5 2x 1 9 en el intervalo 210 # x # 10.

6.

Elabore la gráfica para f (x) 5

7.

Grafique la función f (x) 5 5 2 3x2 en el intervalo 26 # x # 6.

8.

Elabore la gráfica de la función f (x) 5 2x2 2 x 2 3 en el intervalo 210 # x # 10.

9.

Obtenga la gráfica para la función f (x) 5 x3 en el intervalo 215 # x # 15.

10.

1 7x 1 1

4x 2 7 en el intervalo 28 # x # 8. 6 x 2 13 x 2 5 2

en el intervalo 220 # x # 20.

Grafique la función f (x) 5 |x| en el intervalo 220 # x # 20.

18



1.5

Uso de gráficas bidimensionales en coordenadas polares relacionadas con problemas de cónicas 1.5.1 Coordenadas polares Las coordenadas polares son un sistema de referencia muy usado en aplicaciones de ingeniería. Para localizar un punto en este sistema son necesarias dos coordenadas: un ángulo y un radio (distancia del origen al punto) como se muestra en la figura 1.6.

r

θ

Figura 1.6

Coordenadas polares.

El comando polar se usa para graficar funciones en coordenadas polares y su forma es la siguiente: polar(theta,radio, ‘especificadores de línea’)

Donde theta y radio son vectores cuyos elementos definen los puntos que se van a graficar. Los grados deben expresarse en radianes. El comando polar grafica los puntos y pone una rejilla polar. Los especificadores de línea son los mismos que para el comando plot. A fin de graficar una función r 5 f (u ) en cierto dominio, primero se crea un vector de valores para u y a continuación se calcula un vector correspondiente. Ejemplo

Una muestra sencilla es la gráfica de un círculo con centro en el origen. Aquí u va de 0 a 360° (o 2p radianes, automáticamente MATLAB toma radianes) y r es igual a una constante dada por el radio del círculo. Así, la serie de comandos siguientes producirá un círculo de radio 5, como se muestra en la figura 1.7. % Barremos de 0 a 2pi radianes (360 grados) theta = linspace(0,2*pi,20); % creamos un vector con 20 valores igual a 5 radio = linspace(5,5,20); polar(theta,radio, ‘-r*’) 19



Figura 1.7

Gráfica de círculo con centro en el origen mediante MATLAB.

1.5.2 Graficación de múltiples curvas en la misma página Para que aparezcan varios gráficos en la misma página se usa el comando subplot, el cual tiene la siguiente sintaxis: subplot (m,n,p)

Este comando divide la Ventana de Figuras en m 3 n subgráficas rectangulares, desde donde se crearán las gráficas. Por ejemplo, el comando subplot(2,2,4) divide la ventana en cuatro regiones de graficación, ordenadas en dos renglones y dos columnas. La gráfica 1 ocupa la esquina superior izquierda, y la gráfica 4, la esquina inferior derecha. El comando subplot (m,n,p) actualiza el gráfico p. Ejemplificaremos esto a continuación: Ejemplo

Queremos crear dos gráficas en la misma ventana ordenadas en forma de dos renglones y una columna. Las curvas que se van a graficar son r1 5 2cos(u) y r2 5 3cos(u). La serie de comandos que podemos escribir es: 20



La ventana resultante se muestra en la figura 1.8. Observemos que se trata de dos círculos con centro en el eje x.

Figura 1.8

Graficación mediante el comando subplot.

% Barremos de 0 a 2pi radianes (360 grados) theta = linspace(0,2*pi,20); % Evaluando las funciones r1= 2* cos(theta); r2= 3*cos(theta) subplot (2,1,1) polar (theta,r1) subplot (2,1,2) polar(theta,r2)

Ejercicios para desarrollar 1. Ponga en la misma ventana las gráficas de las siguientes dos curvas en forma ordenada de un renglón y dos columnas: a) f ( x) 5 x para 2 2.7 # x # 2.7

 x 2 − x + 1  para 0 # x # 2π b) f ( x) 5 sen  2  x + x + 1  

21



2. Genere las gráficas para la función f (x) 5 10x2 1 9x 2 4 y su respectiva derivada en el intervalo de 0 # x # 10. 3. Grafique las funciones f (x) 210 # x # 10.

5

4. Grafique las ecuaciones f (t ) 215 # t # 15.

10x2

1

12

2

5

9x

2

3t4

4 y f (x)

5

6x3 2 5x2

1

x

9 en el intervalo de

1

4t5 y su segunda derivada en el intervalo de

1

5. Grafique las funciones g(x) 5 (x3 2 7)(2x2 1 3) y k(x) 5 (2x24x 1 1)(6x 2 5) en el intervalo de 25 # t # 5. 6. Grafique las funciones h(r) 210 # t # 10.

5

r2(3r4

2

7r

2) y h(r)

1

5

(3r4

2

7r

2) en el intervalo de

1

7. Grafique g(s) 5 (s3 2 5s 1 9)(2s 1 1) y su derivada en el intervalo de 215 # t # 15. 8. Grafique f ( x) 5

4x 2 5 y f (x) 5 3x 1 2 en el intervalo 225 # t # 25. 3x 1 2

8x 2 2 6 x 1 11 9. Genere las gráficas de las funciones h(x) 5 y h(x) 5 8x2 2 6x 1 11 en el intervalo x 21 225 # t # 25. 8 2 z 1 3 z 10. Obtenga las gráficas de las funciones h(z) 5 2 2 9 z 220 # t # 20. 11. Determine las gráficas de f (x) 230 # t # 30.

5

3x3

2

2x2

1

4x

2

y f (z) 5

z

z 3

2

7

en el intervalo

7 y su derivada en el intervalo de

12. Genere la gráfica de g( z) 5 5 z4 2 8 z2 1 6, así como la gráfica de la primera y segunda derivada de g( z) en el intervalo 225 # t # 25.

 1  13. Realice las gráficas de la función F(t) 5 t 2 2  2  , y de su primera y segunda derivada, en  t 1 1  el intervalo 220 # t # 20. 14. Grafique la función f (s) 5 15 2 s 1 4s2 2 5s4, así como las funciones resultantes en la primera, segunda, y tercer derivada, en el intervalo de 0 # x # 10.

22



1.6

Graficación de parábolas 1.6.1 Parábolas con eje horizontal Las parábolas cuyo eje es horizontal toman la forma: (y 2 k)2 5 4 p(x 2 h) o bien x 5 ay2 1 by 1 c Digamos que queremos graficar la parábola 2 x 5 y2 1 8 y 1 22. Al dejar los términos en y del lado izquierdo y completar cuadrados nos queda y2 1 8 y 1 16 5 2 x 2 22 1 16 5 2x 2 6; o en forma equivalente: ( y 1 4)2 5 2(x 2 3). Al despejar y queda y 52 4 6 2 ( x 2 3 ) . Observemos que esta expresión no es una función en sentido estricto, ya que asigna al mismo valor de x dos valores de y. La forma de graficar esta expresión con MATLAB es creando dos expresiones, una con el signo positivo y otra con el signo negativo. En este tipo de parábolas hay que tener cuidado de considerar el dominio de la variable x desde el vértice hacia infinito o menos infinito, dependiendo si la parábola abre hacia la derecha o a la izquierda. Para nuestro caso es fácil demostrar que el vértice esta en el punto (3, 24) y la parábola abre hacia la derecha. Entonces, podemos llevar a cabo lo siguiente en MATLAB: % Definir el vector de las abscisas X5linspace (3, 20,20) % Evaluando las funciones Y15 241sqrt(2*(X23)) Y25 242sqrt(2*(X23)) % Graficando el resultado plot (X,Y1,X,Y2)

La gráfica resultante se muestra en la figura 1.9.

gráfica de ( y 1 4)2 5 2(x 2 3)

y

x

Figura 1.9

Gráfica de parábola con eje horizontal.

23




Grafique cada una de las siguientes parábolas:

a) y 5 5x2 1 9x 1 2 b) x 5 y2 1 3 y 1 2 c) y2 2 4x 5 0 d) y2 1 4x 1 2 y 1 9 5 0 e) x2 2 6x 1 5 y 2 11 5 0 f ) y2 2 8x 5 0 g) x2 1 4x 1 12 y 2 8 5 0 h) y2 2 2 1 2 y 1 3 5 0 i) y2 2 3 2 8 y 1 10 5 0 j) y2 1 3x 1 6 y 1 9 5 0 k) y2 1 x 1 4 y 1 6 5 0 l) y2 2 2x 1 6 y 1 9 5 0 m) y2 5 2x n) y2 2 4 y 2 4 5 0 2.

Grafique las parábolas x2 2 4 y 1 8 y 2 20 5 0 y x2 2 4x 2 4 y 1 4 5 0 para ver si son ortogonales entre sí en cada uno de sus puntos de intersección.

24



1.7

Graficación de elipses 1.7.1 Elipses Las elipses con centro en el origen tienen ecuaciones de la forma: x2 a2

y 2 1 b2

5

1

o

x2 b2

y 2 1 a2

5

1

donde la longitud del eje mayor es 2a y la del eje menor 2 b. El procedimiento general para graficar las elipses es igualar y con 0 y despejar la variable x. Esto proporciona los valores extremos del domino. Veamos lo anterior con el siguiente ejemplo: Ejemplo

Para trazar la gráfica de la elipse 2 x2 1 9 y2 5 18, sustituimos y 5 0 y despejamos x. El resultado es x 5 63. El siguiente paso es despejar y de la ecuación original, con lo cual 18 2 2 x 2 y 56 . 9 Por tanto, nuestra serie de instrucciones para graficar sería la siguiente: % Definir el vector de las abscisas X5linspace (23, 3,200) % Evaluando las funciones Y15 2sqrt((1822*X.^2)/9) Y25 sqrt((1822*X.^2)/9) % Graficando el resultado plot (X,Y1, X,Y2)

La gráfica resultante se halla en la figura 1.10.

Gráfica de una elipse con centro en el origen. Figura 1.10

25



Ejercicios para desarrollar Grafique cada una de las siguientes elipses: ( x 2 3)2 ( y 1 2)2 1 51 a) 52 72 ( x 1 4)2 ( y 1 3)2 1 51 b) 82 22 c) 9x2 1 4 y2 5 36

d) 4x2 1 9 y2 5 36

e) 16x2 1 25 y2 5 400

f ) x2 1 3 y2 5 6

g) x2 1 4 y2 2 6x 1 16 y 1 21 5 0

h) 4x2 1 9 y2 1 32x 2 18 y 1 37 5 0

i) x2 1 4 y2 2 10x 2 40 y 1 109 5 0

j) 9x2 1 4 y2 2 8x 2 8 y 2 32 5 0

26



1.8

Aplicación de la Matemática simbólica a la graficación de hipérbolas 1.8.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs Las hipérbolas con centro en el origen tienen ecuaciones del tipo: x2 a2

y 2 2 b2

5

1

o

y 2 a2

2

x2 b2

5

1

En el primer caso los focos y vértices están sobre el eje x y en el segundo están sobre el eje y. Si los vértices están en las coordenadas (2a, 0) y (a, 0) y los focos en las coordenadas (2c, 0) y ( c, 0); entonces, se puede demostrar que b2 5 c2 2 a2 y (a , c). La constante b b tiene una función muy importante, ya que las rectas cuya ecuación son y 56 x son a asíntotas de la hipérbola. y x 1. Con la Matemática Supongamos que deseamos graficar la hipérbola 5 6 simbólica de MATLAB podemos graficar esta ecuación sin necesidad de despejar la variable y, usando el comando ezplot. Opcionalmente podemos definir el conjunto de valores de la variable independiente (x) donde queremos observar el gráfico (por omisión lo hace en el intervalo [22p , 2p ]). 2

2

2

2

2

5

El siguiente listado de comandos ejemplifica el procedimiento. % Define los símbolos algebraicos a utilizar syms x y % Definimos la ecuación de la hipérbola ecuacion 5 12(x^2/5^2)1(y^2/2^2) % Aquí observamos que a55 % La siguiente instrucción grafica la hipérbola, % los vértices están en ( 25,0 ) y (5,0) % graficamos en el intervalo de 220 a 20 ezplot(ecuacion,[220,20]) hold on % Este comando mantiene las gráficas previas grid on % Este comando dibuja una cuadrícula en la gráfica % Definiendo las coordenadas de los vertices xvrtice5[25 5 ] yvertice5[0 0] % Graficando los vértices plot(xvertice,yvertice, ‘2go’,’linewidth’,0.00001) hold off

El resultado de la gráfica se muestra en la figura 1.11. 27



Figura 1.11

Gráfica de una hipérbola mediante el comando ezplot.

Ejercicios para desarrollar Grafique cada una de las hipérbolas siguientes; dé los valores de los parámetros a, b y c, y grafique sus asíntotas. a)

b)

x2

32 y 2

42

y 2

2

2

52 x2

72

5

1

5

1

c) 9x2 2 4 y2 5 36

d) 4x2 2 9 y2 5 36

28



e) 9 y2 2 4x2 5 36

f ) x2 2 4 y2 5 4

g) 4x2 2 5 y2 5 7

h) 4x2 2 9 y2 5 11

i)

x2 2 9 y2 2 4x 1 36 y 2 41 5 0

j) 4x2 2 9 y2 1 32x 1 36 y 1 64 5 0

k) x2 2 4 y2 2 2x 1 1 5 0

l) 9x2 2 4 y2 1 54x 1 16 y 1 29 5 0

m) 3x2 2 y2 1 30x 1 78 5 0

29



1.9

Operaciones con números complejos 1.9.1 Números complejos Un ejemplo donde surgen números complejos es cuando se trata de resolver la ecuación x2 5 29. Evidentemente no hay un número real que elevado al cuadrado sea negativo, por lo que la solución de este tipo de ecuación cae en el campo de los números complejos. Al resolver para x obtendríamos algo así: x5

9

2 5

(21) (9) 5

1 9 53

2

1 3i 5 3 j donde i 5 j 5

2 5

1, también: i2 521.

2

Estos tipos de números se conocen como imaginarios puros. La forma general de los números complejos es a 1 bi, donde a y b son números reales. En MATLAB los números complejos se declaran de varias maneras; por ejemplo: 3 2 2i 5 3 2 2*sqrt(21) 5 complex(3, 22).

Las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y potencia se ejemplifican enseguida: % OPERACIONES ELEMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS A5415i % Definimos un número complejo B5627i % Definimos otro número complejo C5A1B % Calculamos su suma CC5A2B % Calculamos su diferencia D5 A*B % Calculamos sus producto E5A/B % Calculamos su cociente % Comprobación de la división, multiplicando numerador y % Denominador por el conjugado del denominador: DIV5A*conj(B)/(B*conj(B)) % También es fácil elevar a una potencia, ejemplos % interesantes son los siguientes: M5 i*(A^2) N5i^51

También, es posible encontrar el módulo y el ángulo de un número complejo utilizados en la forma polar. Por ejemplo, las instrucciones: R 5 abs(A) theta 5 angle(A) % da el ángulo entre

2pi

y pi

obtienen el módulo y el ángulo de un número complejo, respectivamente. Para regresar al número complejo original podemos escribir: Z

5 R.*exp(i*theta)

30



Ejercicios para desarrollar Con los números complejos A, B y C ya definidos realice las siguientes operaciones: a) A * 2B

b) D/( A * C)

c) D 1 B(D 1 A)

d) (B 1 D) ^ 4

e) A * C/D

f ) A 2 D/4

g) B * (D 1 A)

h) A 2 (C 2 1)

i)

A 1 B C 2D

j)

AB CD

31



1.10

Solución de sistemas de ecuaciones 1.10.1 Sistema de ecuaciones lineales Empezaremos esta sección sección con el planteamiento de una situación que da lugar a un sistema de ecuaciones lineales: Un granjero sabe que tiene tantas vacas como el triple de gallinas; además, entre vacas y gallinas tiene 100 animales. ¿Cuántas vacas y gallinas tiene el granjero? Podemos hacer lo siguiente para resolver el problema: sea X el el número de vacas y Z el número de gallinas. Con la información del problema podemos formar la primera expresión X 5 3 Z y con la última parte del enunciado formamos la expresión X 1 Z 5 100. Al ordenar estas dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones lineales: X − 3Z = 0 X + Z = 100

Resolver este sistema equivale a encontrar los valores de X y y Z que satisfacen al mismo tiempo ambas ecuaciones. Este sistema de ecuaciones equivale a una ecuación matricial de la forma Ax 5 B, donde la matriz A está formada por los coeficientes de las variables, el vector x está constituido por las variables y el vector B tiene términos constantes. Por consiguiente, el sistema quedaría definido como sigue: A



1 1 

 X   0  3 ; x  ; B    1 Z 100







Es posible demostrar, basados en los cursos de Álgebra lineal, que la solución a este sistema se puede escribir como x 5 A 1B, donde A 1 es la matriz inversa de A. En MATLAB, MATLAB, la última expresión se puede calcular mediante el símbolo de división por la izquierda: x 5 A\B. Esto da: 2

2

x 5 75 25


a)

Encuentre las soluciones soluciones de los siguientes siguientes sistemas:

2 x 1 3 y 5 2     x 2 2 y 5 8 

32



 4x 1 5 y 5 13    3 x 1 y 524  2 x 1 3 y 5 2  c)    x 2 2 y 5 8  7 x 2 8 y 5 9  d)    4x 1 3 y 5210   3r 1 4 s 5 3  e)   r 2 2 s 524  b) 

2.

Hoy, Hoy, la edad de un padre es tres veces la edad de su hijo y hace 10 diez años fue 12 años mayor que su hijo. Encuentre las edades de ambos hace cinco años.

3.

Resuelva el siguiente sistema de de cuatro ecuaciones con cuatro cuatro incógnitas: incógnitas: 5x 1 4y 2 2z 1 6w 5 4 3 x 1 6 y 1 6z 1 4.5w 5 13.5 6 x 1 12 y 2 2 z 1 16w 5 20 4x 2 2y 1 2z 2 4w 5 6

4.

El precio del boleto para un evento es de $2.25 para no estudiante y $1.50 para estudiante. Si se vendieron 450 boletos por un total de $777.75, ¿cuántos boletos de cada ti po se compraron?

5.

Una línea aérea vuela vuela de Los Ángeles Ángeles a Albuquerque Albuquerque con una una escala en Phoenix. La tarifa a Phoenix es de 45 dólares, mientras que el pasaje a Alburquerque cuesta 60 dólares. En Los Ángeles abordaron el avión 185 pasajeros y la compañía recibió en total 10 500 dólares. ¿Cuántos pasajeros viajaron a Phoenix?

6.

Un hombre rema rema en un bote 500 pies (ft) contra una una corriente constante constante en 10 minutos. Después rema a favor de la misma corriente y cubre 300 ft en 5 min. Encuentre la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la que puede remar en aguas tranquilas.

7.

Una mesa grande grande para una sala sala de conferencias conferencias debe tener la forma forma de un rectángulo rectángulo con dos semicírculos en los extremos (véase la figura). Encuentre la longitud y el ancho de la parte rectangular, rectangular, suponiendo que el perímetro de la mesa es de 400 ft y que el área de la parte rectangular debe ser el doble de la suma de las áreas de los dos extremos.

y

x

33



1.11

Raíces de polinomios 1.11.1 Raíces de polinomios En muchas aplicaciones de ingeniería surgen ecuaciones en forma de polinomios del tipo: f ( x) 5 a0 x n 1 a1 x n

1

2

1

... 1 an 1 x 1 an a0 ≠ 0 2

Veamos el siguiente ejemplo. Las dimensiones de una caja rectangular son 6 3 8 3 12 cm. Si se reduce cada una de las dimensiones la misma cantidad, el volumen disminuye 441 centímetros cúbicos. Calcule esa cantidad con MATLAB. Solución: el volumen original es (6)(8)(12) 5 576 cm3. Si cada longitud se reduce la misma cantidad x; entonces, el nuevo volumen es (6 2 x)(8 2 x)(12 2 x) 5 576 2 441 5 135. El siguiente conjunto de instrucciones en MATLAB plantea la solución a este pro blema: % Definimos el polinomio (62x) P15 [21 6] % Definimos el polinomio (82x) P25 [21 8] % Definimos el polinomio (122x) P35 [21 12] % Multiplicamos los dos primeros polinomios C 5 conv(P1, P2) % Es la multiplicación de los tres polinomios mpol5 conv(C,P3) % obtenemos el polinomio igualado a cero polino5 mpol2[0 0 0 135] % Definimos un intervalo de x para graficar el polinomio x525:1:5 % Evaluamos el polinomio en el intervalo de x y5polyval(polino,x) % Graficamos el polinomio plot(x,y) % Encontramos las raíces del polinomio r5 roots(polino)

Las raíces del polinomio resultante son: r

5

11.5000 11.5000 3.0000

1 3.8406i 2 3.8406i

Por lo que nos quedamos con la única solución real: x 5 3. 34



Ejercicios para desarrollar 1. Encuentre las raíces de los siguientes polinomios: a) f (x) 5 (x 1 4)3 (3x 2 4)

b) f (x) 5 (x 2 5)2 ( 4 x 2 7 )3

c) f (x) 5 2 x 5 2 8x 4 2 10 x 3

d) f (x) 5 (4 x 2 2 5)2

e) f (x) 5 (9x 2 2 25)4 (x 2 1 16)

f ) f (x) 5 (2 x 2 1 13 x 2 7 )3

g) f (x) 5 (x 2 1 x 2 2)2 ( x 2 2 4)

h) f (x) 5 4x 6 1 x 4

35



2.

Las dimensiones de una caja rectangular son 3 3 5 3 7 cm. Si cada una de las dimensiones se aumenta en la misma cantidad, el volumen se triplica. Calcule esa cantidad.

3.

Se cortan cuadrados iguales en las esquinas de un cartón rectangular de 70 cm de longitud y 60 cm de ancho, doblando los rectángulos laterales y formando así una caja abierta cuyo volumen es de 15 000 cm3. Calcule la longitud del lado de los cuadrados cortados (dos soluciones).

4.

Un armazón para una caja de mudanza se construirá con 24 ft de madera de 2 3 2 pulgadas (in). Suponiendo que la caja debe tener extremos cuadrados de longitud x pies, halle el (los) valor(es) de x que darán un volumen de 4 ft3.

5.

Un meteorólogo encuentra que la temperatura T (en ºF) en cierto día frío de invierno, está dada por T 5 0.05t (t 2 12) (t 2 24) para 0 # t # 24, donde t es el tiempo en horas y t 5 0 corresponde a las 6:00 a. m. ¿A qué hora(s) del día la temperatura fue de 32 ºF?

6.

En una isla pequeña se introdujo una manada de 100 venados. Suponiendo que el número de animales N (t ) después de t años está dado por N ( t ) 5 2t 1 21t 1 100 (para t . 0), encuentre cuándo hay más de 180 miembros en la manada.

7.

Se construirá un tanque de almacenamiento de gas propano en forma de un cilindro circular recto de altura 10 ft, con una semiesfera unida a cada extremo. Determine el radio x que se necesita para que el volumen resultante sea de 27 p ft3.

36


Capítulo 2

Cálculo diferencial e integral

Capítulo

2


Objetivo:

Aprender a usar algunas de las funciones internas de MATLAB y los formatos de presentación de resultados numéricos en la solución de problemas de Cálculo diferencial e integral. 37



2.1

Aplicación de las funciones internas de MATLAB en la solución de problemas Conviene recordar que el uso más simple de MATLAB es como calculadora. Para ello, se activa la Ventana de Comandos, se escribe la expresión matemática y se presiona Enter. El programa calcula la expresión y responde exhibiendo ans 5, con el resultado numérico de la expresión en la siguiente línea: ans 5 xxx

2.1.1 Formatos de presentación MATLAB ofrece diferentes formatos para la visualización o exhibición (“despliegue”) de los resultados obtenidos en las operaciones efectuadas. La selección de los diferentes formatos de salida se realiza por medio del comando format, que establece por omisión (“default”) cuatro dígitos decimales (llamado short). Varios de los formatos existentes se dan en la tabla 2.1. Tabla 2.1

Formatos de salida de resultados.

Comando

Descripción

Ejemplo

format short

Para números entre .001 y 1 000 inclusive, con 4 dígitos decimales. De cualquier otra manera, la visualización es con el formato short e

>> format short >> 290/7 ans 5 41.4286

format short e

Notación científica con 4 dígitos decimales

>> format short e >> 290/7 ans 5 4.1429e1001

format long

Para números entre .001 y 100 inclusive, con 14 dígitos decimales. De cualquier otra manera, la visualización es con el formato long e

>> format long >> 290/7 ans 5 41.42857142857143

format long e

Notación científica con 15 dígitos decimales

>> format long e >> 290/7 ans 5 4.142857142857143e001

format bank

Dos dígitos decimales

format bank >>290/7 ans 5 41.43

38


Capítulo 2


2.1.2 Funciones matemáticas elementales predefinidas MATLAB posee la capacidad de incluir una gran variedad de funciones predefinidas. Una función predefinida es aquella que no requiere especificar las operaciones que debe llevar a cabo; además, posee un nombre y uno o más argumentos entre paréntesis. Por ejemplo, la función que calcula la raíz cuadrada de un número es sqrt (x). El nombre de la función es sqrt, y el argumento es x. El argumento de la función puede ser un número, una variable a la que se le ha asignado un valor o una expresión matemática construida con números, variables o ambos. Algunas de las funciones elementales disponibles en MATLAB son: sqrt(x), exp(x), abs(x), log(x), log10(x), factorial(x), sen(x), cos(x), tan(x), cot(x), asen(x), acos(x), atan(x), round(x), fix(x), ceil(x) [esta función redondea hacia infinito, por ejemplo, ceil(3.4)54 o ceil(3.8)54], floor(x) [redondea al entero menor más cercano] rem(x,y) [da el residuo de la división entera de x/ y], sign(x) [da el signo de x]. En las fun-

ciones trigonométricas directas e inversas, el ángulo siempre se toma en radianes.

2.1.3 Definición de variables escalares Una variable es un identificador formado por letras y dígitos, con la restricción de que el primer carácter debe ser una letra a la que se asigna un valor numérico. Una vez que se ha asignado un valor numérico a una variable, ésta puede usarse en expresiones matemáticas, funciones y en cualquier comando o instrucción de MATLAB. Operador de asignación

En MATLAB, el signo de igualdad ( 5) se denomina operador de asignación. Éste asigna un valor a una variable. La sintaxis es: Nombre_de _variable 5 Valor numérico o expresión calculable Por ejemplo: >>x 5 25 >>y 5 2 * 3

Reglas acerca de los nombres de variables

• Deben empezar con una letra. • Pueden contener letras, números y guión bajo (underscore ). • MATLAB reconoce mayúsculas y minúsculas. • Hasta 63 caracteres en la versión 7 y 31 en la versión 6.0. • Evitar usar nombres de funciones predefinidas. 39



Variables predefinidas

Desde el momento en que se inicia, MATLAB cuenta con ciertas variables definidas cuyo valor puede utilizar en las operaciones que realiza. Algunas de las variables predefinidas son pi (3.1415....), eps (2.2204e2016), inf (`), i o j ( 21 ), NaN [asigna la representación aritmética definida por la IEEE para representar una indefinición numérica del tipo 0/0, inf/inf, 0*inf,(1inf)1(2inf)]. Comandos útiles para manejar variables

Existen comandos para borrar variables u obtener información de las que se han creado: el comando clear (borra todas las variables del área de trabajo), clear x y z (borra las variables x y z del área de trabajo), el comando who (muestra las variable activas hasta el momento), el comando whos (presenta información detallada de las variables). Ahora bien, cuando se teclean y se presiona la tecla Enter, brindan información o ejecutan una tarea específica. Ejemplo

La variable x tiene el valor 15, ¿cuánto valdrá la expresión 3 * x 2 12? >> x 5 15 >> 3 * x 2 12 ans 5 33

Ejercicios para desarrollar Para cada uno de los siguientes ejercicios, escriba el (los) comando(s) de MATLAB necesario(s) para resolver la situación planteada, así como la respuesta que obtuvo: 1.

Se asigna el valor de 12 a la variable a y el valor 4 a la variable B. ¿Cuánto vale la expresión C 5 (a 2 b) 1 40 2 a/B*10?

2.

Un estudiante escribió el siguiente comando >> a 5 12, B 5 4; C 5 (a 2 B) 1 40 (recuerde dar Enter). Explique lo que apareció en la pantalla.

40


2 a/B*10

Capítulo 2


3.

A la variable x se asigna el valor 0.75. Escriba el o los comandos necesarios para calcular el valor numérico de la expresión sen2(x) 1 cos2(x).

4.

Verifique la identidad trigonométrica cos2

5.

Calcule cada una de las siguientes expresiones con MATLAB:

p tan x 1 sen x , usando como valor de x y 2 2 2 tan x sustitúyalo en ambos lados de la igualdad. ¿Se comprueba la identidad?

a)

x

5

−

35.7 • 64 2 7 3 2 3

273 552 b) ( 2 1 7 ) 1 1 2 3 7 3 log(76) 3 c) 1 910 7 3 + 546 3

 ln 8  tan   6    5   7  d) cos   sen 2   1 5  6   8  7• 2 p

2

p

6.

p

La distancia d desde un punto (x0 , y0 ) a la línea Ax 1 By 1 C 5 0 está dada por: d5

Ax0 1 By0 1 C A2 1 B2

Determine la distancia del punto (2, 23) hasta la línea 3 x 1 5 y 2 6 5 0 .

7.

Ciertas flores son empacadas en cajas donde cabe una docena de ellas. Determine cuántas cajas serán necesarias para empacar 751 flores. Use la función ceil.

41



8.

En el triángulo rectángulo anexo, a 5 11 cm y c 5 21 cm. Defina a, b y c como variables; luego: a)

Use el teorema de Pitágoras y calcule b en la Ventana de Comandos.

b)

Con la b obtenida en el inciso a) escriba sólo una línea en la Ventana de Comandos para calcular el ángulo ~ en grados. Use la función acos(x). c

a

~ b

9.

La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit ( f ) y Celsius (C) está dada por C 5 5 9 ( f 2 32). Encuentre los valores de C correspondientes al intervalo de 60 # f # 80 en incrementos de 2.

10.

Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, la ley de ohm afirma que I 5 V /R, donde R es la resistencia (en ohms, Ω), V es la diferencia de potencial (en volts, V) e I es la corriente (en amperes, A). Si la tensión es de 110 V, ¿qué valores de la resistencia producen una corriente que no excede de 10 A? R

I

V

11.

Si en un circuito eléctrico se conectan dos resistores R1 y R2 en paralelo, la igualdad 1   1    1  proporciona la resistencia neta R (vea la figura siguiente). Si R  R1   R 2  R1 5 10 ohms ( Ω), ¿qué valores de R2 dan por resultado una resistencia neta de menos de 5 Ω.

R 1

R2

42



Capítulo 2

2.2

Uso de arreglos en problemas de cálculo de límites 2.2.1 Cálculo de valores meta Una aplicación interesante de los arreglos en MATLAB es calcular el valor de una función cuando la variable independiente tiende a cierto valor. Matemáticamente, este concepto es conocido como “límite”. El objetivo de la presente sección es que el estudiante comprenda mejor este concepto matemático usando MATLAB. Suponga que desea saber a qué valor se acerca la función x − 1 , cuando x se aproxima a 5. Para ello, puede dividir el problema en dos partes: primero, qué pasa cuando nos acercamos por la izquierda al valor 5; segundo, qué ocurre cuando nos aproximamos por la derecha al mismo valor 5. Cuando un vector se multiplica por un número, cada elemento en el arreglo es multiplicado por esa cifra; por ejemplo, si tenemos el vector ve 5 [1, 3, 8] y escribimos 5* ve o ve *5, el resultado es el vector [5, 15, 40]. También podemos sumar o restar vectores; por ejemplo, si x 5 [1, 2, 3] y y 5 [1, 2, 1], la operación x 2 y da el vector [0, 0, 2], y x 1 y el vector [2, 4, 4]. .*y Si queremos multiplicar elemento a elemento los vectores x y y, escribimos x y el resultado es el vector [1, 4, 3]. ./y La división elemento a elemento se escribe: x Los dos ejemplos de abajo muestran este tipo de operación. 5[2 2 6]; x 5[2,2,2]; y

x./y ans 5 1

1

3

y./x ans 5

1.0000

1.0000

0.3333

Para resolver el problema original de encontrar el límite de la expresión cuando x se acerca a 5, se procede de la siguiente manera: 1.

x−1,

Se crea un vector con 10 números entre 4 y 5, de este modo: x 5 linspace (4, 5, 10). En pantalla aparece lo siguiente: x 5

43



Columns 1 through 5 4.0000

4.1111

4.2222

4.3333

4.4444

4.7778

4.8889

5.0000

Columns 6 through 10 4.5556 2.

4.6667

Ahora, se resta 1 a cada número de este vector. Para lo cual se crea el vector unos 5 ones(1,10). En la pantalla aparece lo siguiente: unos 5 Columns 1 through 9 1

1

1

1

1

1

1

1

1

Column 10 1

Para llevar a cabo la resta de los vectores x y unos, se escribe x2unos, con lo cual obtenemos en pantalla: ans 5 Columns 1 through 5 3.0000

3.1111

3.2222

3.3333

3.4444

3.7778

3.8889

4.0000

Columns 6 through 10 3.5556 NOTA: 3.

3.6667

el mismo resultado puede obtenerse escribiendo simplemente x21.

Ahora, falta obtener la raíz cuadrada de cada elemento de este vector. Esto se obtiene escribiendo (x2unos). ^ (0.5) o sqrt(x21). Es importante hacer notar el punto antes del signo de exponente. En pantalla se vería lo siguiente: ans 5 Columns 1 through 5 1.7321 1.7638 1.7951

1.8257

44


1.8559

Capítulo 2


Columns 6 through 10 1.8856

1.9149

1.9437

1.9720

2.0000

Con lo cual se concluye que conforme el valor de x se acerca a 5, el valor de la expresión x − 1 se aproxima a 2.


a)

b)

x2

11 x

Encuentre el límite de cada una de las siguientes expresiones. Escriba las instrucciones de MATLAB y sus respectivos resultados:

, cuando x tiende a cero.

x 1 1 x 2 2 3 , cuando x tiende a 1.

n

 1 c)  1   , cuando n tiende a infinito.  n

La respuesta a este ejercicio es el número e 5 2.717...... 2.

Encuentre el límite de los siguientes incisos aplicando los comandos de MATLAB. a)

lím ( 3 x3 2 x + 7) x -2 −

→

b) lím ( 5x 2 x -4

−

9 x 8) −

→

45



c)

lím lím( x 2 + 3)( x 4) −

x

→

2

d) lím (3 t + 4)(7 t 9) −

t -3 →

e)

3 2 lím x x 4

−

5x 4 −

→

x4

f ) lím

x -2

−

4x + 1

→

g)

4x 2 6 x + 3 3 2 16 x + 8 x 7 −

lím1

x

→

−

2x 2 + 5 x 3 h) lím x 1 6x2 7x + 2 2 −

−

→

i)

lím3 x →−

j)

lím x 2 →

x+3

( 1x) ( 13 ) +

x22 x3 8 −

46


Capítulo 2

k )

lím x 2 →

l)

lím x 16 →


x2 2 x 2 2

( x 2 2 )2 x 2 16 x 24

x3 1 8 22 x 4 2 16

m) lím x

→

n) lím s

3.

4.

4

→

6s 2 1 2s 2 9

La ley de Charles para los gases afirma que si la presión permanece constante, la relación entre el volumen V que un gas ocupa y su temperatura T (en grados °C) está dada por  1  V = V0  1 1 T . La temperatura T 5 2273 °C es el cero absoluto.  273   a)

Calcule lím V

b)

¿Por qué se necesita un límite por la derecha?

T →−273

Según la teoría de la relatividad, la longitud de un objeto depende de su velocidad v. Einstein demostró también que la masa m de un objeto depende de v según la fórmula

( c ) , donde m es la masa del objeto en reposo. Encuentre lím m.

2 m = m0 1 2 v

2

0

v→c

47



2.3

Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico 2.3.1 Comando disp Este comando sirve para visualizar los elementos de una variable sin desplegar el nombre de la variable o para exhibir algún texto. La sintaxis para este comando se muestra a continuación: disp (nombre de la variable) o disp (texto), donde texto es una cadena de caracteres, por ejemplo texto5’una cadena de caracteres’

Cada vez que se ejecuta el comando, la información aparece en una nueva línea. Un ejemplo es el siguiente: >> A5 [7 1] >> disp (A) 7 1

Note que los valores del vector se presentan sin el nombre de la variable.

Para indicar la variable que contiene estos datos, se digitan los comandos que aparecen abajo en un archivo script: A5 [7 1] disp (‘Los valores del vector disp (A)

A son ‘)

A manera de otro ejemplo, veamos cómo presentar hacia dónde tiende la expren  1  sión  1 +  cuando n tiende a infinito.  n  • Se abre un nuevo archivo script y se escriben los siguientes comandos: % Definimos un vector con valores tendiendo a infinito N 5 [1 100 1000 10000 50000] Y 5 (1 1 1./N).^N; disp (‘Los valores de la expresión (111/n)^n cuando n tiende a infinito son’) disp (Y) disp (‘Este es el famosísimo número e, base de los logaritmos naturales o neperianos’)

• Se guarda el archivo y se ejecuta. 48


Capítulo 2


2.3.2 Comando fprintf Este comando tiene la característica de exhibir texto y valores numéricos de variables, además permite el formateo de la salida de datos. Su sintaxis es: fprintf(formato, A,...)

Formato es la cadena de salida y establece el formato con que se visualizarán los valores de la matriz A (y de las matrices adicionales que funjan como argumentos). El argumento formato es una cadena de texto (escrita entre apóstrofes) que utiliza las especificaciones de conversión del lenguaje C. Las especificaciones de conversión inician con el carácter %, seguido de una letra que denota el tipo de dato que aparecerá en pantalla. De forma opcional puede especificarse la longitud del campo donde se mostrará el valor y la cantidad de dígitos decimales, los cuales se definen entre el carácter % y la letra del tipo de dato. La longitud del campo y la precisión de posiciones decimales se establecen así: Longitud del campo:

se coloca la cantidad mínima de dígitos que será impresa.

Por ejemplo, %4f. Precisión: para especificar la cantidad de fracciones decimales que se mostrarán

en la impresión del resultado, se agrega un punto seguido de la cantidad de decimales que saldrán impresos. Por ejemplo, %.3f. Los caracteres más utilizados en la conversión de datos se muestran en la tabla 2.2, así como el tipo de formato que se imprime. Tabla 2.2

Caracteres más comunes en la conversión de datos.

Especificados

Descripción

%c

Un solo carácter

%i

Notación decimal

%f

Notación de punto fijo

%s

Cadena de caracteres

%e

Notación exponencial

A continuación se muestra un ejemplo sencillo, relacionado con el ejemplo anterior. 49



% Definimos un vector con valores tendiendo a infinito N 5 [1 100 1000 10000 50000] Y 5 (1 1 1./N).^N; % Se crea un matriz de 2 renglones y 5 columnas, % el primer renglón es N y el segundo es Y Z5 [N;Y]; fprintf (‘Los valores de la expresión (111/n)^n \n cuando n tiende a infinito son \n’) disp(‘–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––’) % Imprime los valores de z columna por columna fprintf (‘ Cuando n es %i, la expresión vale %8.4f\n ‘ ,Z)

Donde aparece el símbolo %i se imprimirá el primer valor del primer renglón de Z en formato de enteros; donde aparece %8.4f se imprimirá el primer valor del segundo renglón de Z en formato f (notación de punto fijo) reservando ocho dígitos y cuatro decimales. Esto ocurre en todas las columnas del vector Z.

Ejercicios para desarrollar 1. Calcule el límite de cada uno de los siguientes incisos, escribiendo un programa en archivo script. Muestre los resultados como se hizo en el ejemplo previo, con operaciones, arreglos y los comandos disp y fprintf. (x 2 2 1) a) lím cuando x tiende a 21. x 11 (x 2 2 2 x 1 1) cuando x tiende a 1. b) lím ( x – 1)

2.

Determine cuáles de los siguientes límites existen y calcule aquellos que existan. a)

lím (1 2 6x) x→1

b) lím x→2

x

x22

50


Capítulo 2

c)


lím x 2 1 16 x→3

d) lím ( x 2 7 ) x→ 4

e)

x2 1 1 lím x→ 5 5 2 x



1 

f ) lím  6x 1 3 x 2  ( x 2 2 4) x→6  x 

(

)

g) lím x 1 x 2 6 ( x 2 2 2 x 1 1) x→7

h) lím x→8

5x 2 4 2 1 3x 2 1 2

i)

x 2 2 5x 2 36 lím x→9 8 2 3x

j)

lím ( 2 x 2 2 15x 2 50)20 x→10

x2 1 3x k ) lím x→0 x

l) lím x→1

x2 2 1 x 21

51



m) lím x→2

22x 2 1 4 x

x22

x2 2 x 2 6 n) lím x→3 x23

x 2 2 16 ñ) lím x→ 4 4 2 x

o)

lím x→ 5

2 x 2 10 x 2 2 25

x2 2 6x p) lím x→6 x 2 2 5 x 2 6

q) lím

x 3 2 2 x2 1 3x x2

x→7

r)

x 2 1 64 lím x→8 x 2 8

s)

lím x→9

t)

lím x→0

u) lím x→0

1 ( x 2 9) 2 22

x 1 16 1 7

4x x( x 2 1 3 x 1 5)

52


Capítulo 2

2.4


Comando fplot y grafi cación múltiple 2.4.1 Comando fplot Este comando sirve para graficar una función del tipo y 5 f (x) entre ciertos límites especificados. Dicho comando tiene la forma: fplot(‘función’, límites, especificadores de línea)

Donde: especificadores de línea: determinan características con que se mostrarán las

lí-

neas de la gráfica, como el tipo de línea, color, etcétera. función: expresión que se

graficará; debe especificarse entre apóstrofes.

límites: fronteras entre las cuales se

graficará una función.

Un ejemplo sencillo aclarará el uso de este comando: Por el momento supongamos que deseamos graficar la función siguiente: f ( x) 5 5x 3 1 9x 1 2 para 24 # x # 4 ; entonces, nuestra instrucción puede ser: fplot(‘5*x^319*x12’,[ 24 4 ] )

La gráfica resultante sería la que se muestra en la figura 2.1.

Figura 2.1

Gráfica producida por el comando fplot. 53



2.4.2 Trazo de diversos gráfi cos en el mismo dibujo En algunas situaciones es necesario colocar múltiples gráficas en el mismo dibujo. Pongamos el ejemplo de graficar la distancia recorrida por dos automóviles que se mueven en línea recta a una velocidad constante. Si el primer automóvil se encuentra a 100 metros del origen y viaja a una velocidad de 20 m/s. El segundo está a 50 metros del origen y se desplaza a 25 m/s. Encuentre en qué momento y a qué distancia del origen el segundo automóvil rebasa al primero. Con el siguiente código se ilustra la manera de resolver la pregunta con el comando plot: % Este programa grafica la distancia recorrida por dos % cuerpos que se mueven en línea recta a velocidad % constante. Supondremos que todas las variables están en % unidades congruentes; por ejemplo, si la velocidad se da % en % metros por minuto, la distancia estará en metros y el % tiempo en minutos v1 5 input (‘Introduce el valor de la velocidad del primer cuerpo > ‘); d01 5 input (‘Introduce el valor de la distancia inicial del primer cuerpo > ‘); v2 5 input (‘Introduce el valor de la velocidad del segundo cuerpo > ‘); d02 5 input (‘Introduce el valor de la distancia inicial del segundo cuerpo > ‘); disp(‘Introduce los valores del tiempo para los cuales quiere calcular la distancia recorrida’) t 5 input(‘se deben introducir como vector [ a1 a2 .... an ] ‘); % t también puede definirse de la siguiente manera: % t 5 [ 0: 1: 20 ] , % Así, podemos calcular la distancia de este modo: distancia1 5 d011v1*t; distancia2 5 d021v2*t; plot (t,distancia1, ‘2mo’,t,distancia2, ‘:g*’) grid on

El comando grid on después del comando plot tiene la finalidad de poner una cuadrícula paralela a los ejes. Una salida posible en forma gráfica se ilustra en la figura 2.2, aunque esto dependerá del vector de tiempos introducido.

54


Capítulo 2


Figura 2.2

Gráfica producida con el comando grid on.

Con esta gráfica, nuestra respuesta es que aproximadamente a 1 minuto de iniciado el movimiento y a una distancia aproximada de 21 metros del origen, el pri mer automóvil rebasa al segundo. Para ver valores más exactos, dé clic en el símbolo de la lupa con el signo más y coloque el apuntador del ratón cerca de este punto. Después, se le solicita al estudiante reproducir la siguiente gráfica de la figura 2.3 con el editor de gráficos.

Figura 2.3

Edición de gráficas.

55



Ejercicios para desarrollar Cree un archivo script (archivo .m) para cada uno de los siguientes problemas. 1.

2.

Grafique las siguientes funciones en sus intervalos respectivos: x23

a)

lím x→3

b)

lím x→22

x 12

en el intervalo

24 # x # 0.

c)

lím x→−1

3x 1 3 en el intervalo x 11

23 # x # 1.

d)

lím x→ 5

2x 2 10 en el intervalo 0 # x # 10. x25

e)

lím x→0

f )

líxí→m4


x23 x12

1 x2

en el intervalo

7 x24

25 # x # 5.


1.5 x para 210 # x # 10 . Note que la función tiene una asíntota Grafique la función f ( x) = x24 vertical en x 5 4. Grafique la función creando dos vectores para el dominio de x. Sea x1 el primer vector y asígnele valores de 210 a 3.7; sea x2 el segundo vector y póngale valores de 4.3 a 10. Para cada uno de los vectores de x cree un vector y ( y1 y y2) con los valores de y acordes a la función. Para graficar trace dos curvas en el mismo dibujo.

x 2 2 5x 1 10 3. Grafique la función f ( x) = 2 para 210 # x # 10 . Note que la función tiene dos asín2 2 2 3 x x totas verticales.

Grafique dividiendo el dominio de x en tres partes; uno de 210 hasta cerca del valor de la asíntota de la izquierda, otro entre las dos asíntotas y uno más desde un valor cercano por la derecha a la segunda asíntota hasta 10. ¿Qué puede decir de los límites y la continuidad en x 5 21 y x 5 3?

56


Capítulo 2

2.5


Matemática simbólica 2.5.1 Introducción Hasta el momento, se ha mencionado cómo MATLAB es capaz de ejecutar operaciones con números y variables a las que se han asignado valores numéricos. Por ejemplo, al escribir 1/2 en la Ventana de Comandos el resultado sería 0.5 —un valor exacto— o si tenemos la expresión 5* a, donde a 5 2 y el resultado sería 10. En aplicaciones de ingeniería es frecuente trabajar con expresiones simbólicas cuyas variables no tienen valores asignados previamente. Con el poder de la Matemática simbólica de MATLAB podemos resolver la ecuación cuadrática ax2 1 bx 1 c 5 0 en términos de cualquiera de sus variables. También, podemos derivar con respecto a una variable una expresión simbólica; es decir, la derivada de ax2 1 bx 1 c con respecto a x daría en MATLAB 2ax 1 b. Las operaciones simbólicas en MATLAB se pueden ejecutar cuando se tiene instalado el Symbolic Math Toolbox (Caja de herramientas de matemáticas simbólicas), que es una colección de funciones que sirven para ejecutar las operaciones simbólicas. En esencia, MAPLE —un software matemático diseñado para este propósito— ejecuta las operaciones simbólicas en MATLAB. MATLAB puede llevar a cabo operaciones simbólicas, ya que es posible definir lo que se conoce como objetos simbólicos. Los objetos simbólicos son construidos a partir de variables y números que cuando se usan en expresiones matemáticas indican a MATLAB cómo ejecutar simbólicamente las expresiones.

2.5.2 Objetos y expresiones simbólicas Un objeto simbólico puede ser una variable —sin un valor numérico preasignado—, un número o una expresión construida con variables simbólicas y números. Una expresión simbólica es una expresión matemática que contiene uno o más objetos sim bólicos. Creación de objetos simbólicos

Los objetos simbólicos pueden ser números o variables. Se pueden crear con los comandos sym, syms o ambos. Un solo objeto se puede crear con el comando sym de la siguiente forma: nombre_del_objeto 5 sym (string)

donde “string” (cadena) es el objeto simbólico que tiene asignado un nombre. Ejemplos de cadenas o strings son: ‘a’, ‘altura ‘, ‘x’,’x1’, ‘15’. Ejemplos de definición de objetos simbólicos son: 57



>>a 5 sym(‘a’) a 5 a >>bb 5 sym(‘bb’) bb 5 bb >>x 5 sym(‘x’); >>g 5 sym(‘gamma’) % El objeto simbólico es gamma y su nombre es g g 5 gamma

Para crear objetos simbólicos que sean números no es necesario escribirlos como cadenas. Por ejemplo, para crear objetos simbólicos de los números, 5 y 10 escribimos: >>c 5 sym(5) c 5 5 >>d 5 sym(10) d 5 10

Cabe mencionar que al exhibir un objeto simbólico, MATLAB lo hace en las dos líneas siguientes sin usar tabulación. Una manera compacta de definir varias variables simbólicas es mediante el comando syms. Por ejemplo, el comando: >>syms x y z , y define como variables simbólicas a x y z. Cuando se usa este comando, las varia bles creadas no se presentan en pantalla automáticamente.

Creación de expresiones simbólicas

Las expresiones simbólicas se generan en MATLAB mediante la siguiente redacción: nombre_de_la_expresión 5 expresión matemática El siguiente ejemplo ilustra cómo definir la ecuación cuadrática ax2 1 bx 1 c: >>syms a b c x >>f 5 a*x^2 1b*x 1c f 5 a*x^2 1b*x 1c

58


Capítulo 2


Para ver como un ejemplo más completo el uso de esta herramienta, escriba el siguiente archivo script: syms x a h 5 5*x/31x/411.522/3

En la visualización del resultado de MATLAB tendría: h 5 23/12*x15/6

5 x x 23x y Aquí se advierte que MATLAB ejecuta las operaciones: 1 5 3 4 12 2 3 2 5 1.5 2 5 2 5 sin llevar a cabo aproximación alguna. 3 2 3 6

2.5.3 Diferenciación La diferenciación simbólica puede efectuarse en MATLAB mediante el comando diff. El formato para esto es: diff(S) o diff(S,var)

Es importante recalcar lo siguiente: •

S puede ser el nombre de una expresión simbólica creada previamente o una expresión escrita para S .

• Si la expresión S contiene una variable simbólica, la diferenciación se realiza según ella. Si la expresión contiene más de una variable, la diferenciación se lleva a cabo con respecto a la variable simbólica automáticamente. He aquí algunos ejemplos. Como práctica, escriba las instrucciones en un archivo script: >>syms x y t >>S5 exp(x ^ 2) >>z5diff(S) >>pretty(z) % Observe que este comando escribe la salida de una manera más amigable

Usted observaría la siguiente salida: >>z5diff(S) z 5 2*x*exp(x^2) >>pretty(z) 2 x exp(x2) 59




Derive cada una de las siguientes funciones con respecto a x y use el comando pretty para ver los resultados de la manera más adecuada.

a) y 5 (x 1 2)( x 3 2 1)

b) y 5 x 2 1 3 tan(t) 1 2

c)

d)

e)

2.

x13 x4 2 3

2 x 2 v 1 20

( x 2 c 1 e x 1 h 2 30)2/3

Derive cada una de las siguientes funciones con respecto a su variable dependiente y use el comando pretty para ver los resultados de manera más adecuada. a) f ( x) 5 10 x 2 1 4 s2 2 5 s 4 (variable dependiente: x)

b) f ( x) 5 6 x 3 2 5x 2 1 x 1 9

c) f ( s) 5 15 2 s 1 4 s2 2 5 s 4

d) f (t) 5 12 2 3t 4 1 4t6

60


Capítulo 2


e) g( x) 5 ( x 3 2 7 )(2 x 2 1 3)

f ) k( x) 5 (2 x 2 2 4x 1 1)(6 x 2 5)

g) h(r ) 5 r 2 (3r 4 2 7 r 1 2)

h) g( s) 5 ( s 3 − 6s + 9)(2 s 1 1)

4x 2 5 3x 1 2

i)

f (x) 5

j)

8x 2 2 6x 1 11 h(x) 5 x−1

k )

8 2 z 1 3 z2 h(z) 5 2 2 9 z

l)

f (w) 5

2w w3 2 7

m) f (x) 5 3 x 3 2 2 x 2 1 4 x 2 7

n) y(z) 5 5z 4 2 8 z2 1 z

o)

 1   t 2  

F(t) 5 t 2 1 

61



2.6

Simplificación con Matemática simbólica 2.6.1 Derivación de funciones En esta parte daremos una propuesta de solución a los ejercicios del tema anterior y mostraremos el uso de algunos comandos interesantes de la matemática simbólica de MATLAB. Empecemos resolviendo el primer ejercicio, donde se pide la derivada de la función y 5 (x 1 2)(x3 21). Escribamos las siguientes instrucciones en un archivo script: syms x v t c h % Definimos la expresión simbólica y15 (x12)*(x^321) % Definimos una región de 3 por 2 para colocar 6 gráficos subplot(3,2,1) % Graficamos la función dada en la primera región fplot(‘(x12)*(x^321)’,[210,10]) % Calculamos la derivada de la función dy15diff(y1) % El comando “collect” tiene la función de agrupar todos los % términos que poseen la variable con el mismo exponente. sol15collect(dy1) % Presentamos la respuesta dada en “sol1” de manera más % amigable pretty(sol1)

De manera semejante, pueden agregarse las siguientes instrucciones para generar la derivada y la gráfica de segunda función dada al archivo creado con anterioridad. y25x^213*tan(t)12 subplot(3,2,2) fplot(‘x^213*tan(10)12’,[210,10]) dy25diff(y2) % Observe que aquí no usamos el comando collect, ya que la % derivada solo tiene términos en x pretty(dy2)

La salida del programa sin incluir las gráficas se encuentra a continuación: y1 5 (x12)*(x^321) dy1 5 x^32113*(x12)*x^2 sol1 5 2114*x^316*x^2 62


Capítulo 2


3 2 2114x 16x

y2 5 x^213*tan(t)12 dy2 5 2*x 2 x

Ejercicios para desarrollar Use los comandos collect y plot para exhibir en pantalla la derivada y la gráfica de la derivada, respectivamente, de las siguientes funciones. a) y 5 sen((x 1 2)(x3 2 1))

b) y 5 cos( x 2 ) + 3 tan(t) + 2

 x 1 3  c) y 5 tan  4  x 2 3  

d) y 5 csc

(

2 x − v 1 20 )

e) y 5 cot (( x − c 1 e x 1 h − 30)2/3 )

f ) f (x) 5 cos 3 x 2

63



 3 x 1 1   x  

g) f ( x) 5 cos 

x h) f ( x) 5 x cos 3

i)

f ( x) 5 e tan x

j)

f ( x ) 5 3 tan 2 x

3 k ) f ( x) 5 tan (2 x)

l)

f ( x) 5 2 3 cot x

2 m) f ( x) 5 cot( 5 x 1 5 ln x)

n) f ( x) 5

3x sec 4x

64


Capítulo 2

2.7


Matemática simbólica aplicada en problemas de optimización 2.7.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs Se presenta el uso de estos comandos mediante un ejemplo práctico de optimización aplicado al área de la Física. Supongamos que un automóvil se mueve en línea recta y que su posición en función del tiempo está determinada por la ecuación x 5 (t 1 2)(t2 2 1), donde t $ 0. (Se recomienda que el alumno grafique esta función en MATLAB.) La gráfica de esta función en el intervalo de 0 a 20 se muestra en la figura 2.4.

Figura 2.4

Gráfica de una función en MATLAB.

La gráfica se trazó en dos partes con el fin de observar a detalle lo que pasa en el intervalo de 0 a 1 y de 1 a 20. En esta representación podemos concluir lo siguiente: a) El automóvil en t 5 0 se encuentra en x 5 22. b) Después se mueve en dirección negativa del eje x hasta que en aproximadamente t 5 0.25 cambia de dirección y llega a x 5 0 en el tiempo t 5 1. c) Posteriormente se aleja cada vez más en el sentido positivo de x.

Un observador está interesado en conocer si la posición y velocidad del automóvil alcanzan un valor mínimo o máximo y en qué tiempo ocurre esto. Para contestar podemos recurrir al Cálculo diferencial; así, sabemos que la primera derivada de la función posición con respecto al tiempo nos da la velocidad del automóvil en función del tiempo. El siguiente programa tiene como objetivo mostrar cómo se hace esto. 65



syms t x5 (t12)*(t^221) subplot(1,3,1) fplot(‘(t12)*(t^221)’,[0,1]) subplot(1,3,2) fplot(‘(t12)*(t^221)’,[1,20]) % Obtenemos la velocidad del automóvil en función del tiempo dx5diff(x) % Buscamos una expresión en términos de potencias % decrecientes de x sol15collect(dx) fdx5factor(dx) pretty(sol1) subplot(1,3,3) % Este comando tiene la capacidad de graficar % expresiones simbólicas ezplot(dx,[0,2]) % Con el siguiente comando encontramos las solución de la % ecuación dx50, la cual sirve para hallar los puntos % donde posiblemente hay máximos o mínimos de la función x. % Resuelve la ecuación dx50 x15solve(dx) % Exhibimos en forma amigable pretty(x1) % Convertimos en valor numérico la expresión x1 Nx15double(x1) % Obtenemos la segunda derivada de función x, sdx5diff(dx) % Ahora sustituimos las raíces de la ecuación dx 50 en % la segunda derivada para saber si existen mínimos % o máximos ssdx5subs(sdx,{t},{Nx1})

Al observar el comportamiento de la función que determina la posición, vemos que existe un punto en el tiempo donde la función alcanza un mínimo. En el programa anterior esto queda determinado cuando la derivada de la función es cero (dx 5 0), lo que equivale a decir que la velocidad del cuerpo es cero. La expre), encuentre las raíces de la ecuación dx 5 0, que tienen la sión x1 5 solve (dx forma numérica: 0.2153 y 21.5486. De forma evidente nos quedamos con la primera raíz, ya que el tiempo es positivo. Cuando sustituimos este valor por medio de la instrucción ssdx5subs(sdx,{t}, {Nx1}), vemos que la segunda derivada es positiva, por lo cual podemos concluir que la función tiene un mínimo en t 5 0.2153. 66


Capítulo 2



Escriba un archivo script para resolver el problema de construir una caja a partir de una lámina de 30 cm 3 20 cm. Se cortarán cuadrados de tamaño x en cada esquina y se doblarán los lados resultantes, de tal manera que el volumen sea máximo.

2.

Determine el rectángulo con lados paralelos a los ejes coordenados inscrito en la elipse de

x 2 y 2 ecuación 2 1 2 5 1 que tenga área máxima. a b

3.

Calcule la distancia mínima del punto (6, 3) a la parábola de ecuación y 5 x2.

4.

Se quiere construir una caja sin tapa con una lámina metálica rectangular cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes. Halle las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse, de tal manera que los lados de la lámina rectangular miden: a) 10 cm y 10 cm, b) 12 cm y 18 cm.

5.

Se necesita construir un depósito de acero de 500 m3, de forma rectangular con base cuadrada y sin tapa. Su trabajo, como ingeniero de producción, es hallar las dimensiones del depósito para que el costo de producción sea mínimo.

6.

Una empresa tiene 100 casas para alquilar. Cuando la renta es de 80 libras al mes, todas están ocupadas. Por cada 4 libras de incremento en renta se desocupa una casa. Cada casa alquilada supone a la empresa un costo de 8 libras para reparaciones diversas. ¿Cuál es la renta mensual que permite obtener mayor beneficio?

7.

Una empresa produce semanalmente 300 bicicletas de montaña que vende a $6 000 cada una. Tras un análisis de mercados se ha visto que si altera el precio, también varían sus ventas (de forma continua), según la siguiente proporción: por cada $70 que aumente o disminuya el precio de las bicicletas, la venta disminuye o aumenta tres unidades. a) ¿Puede aumentar el precio y obtener mayores ingresos? b) ¿A qué precio los ingresos serán máximos?

8.

En la orilla de un río de 100 metros de ancho se halla una planta eléctrica; en la orilla opuesta, a 500 metros río arriba, se construye una fábrica. El río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, y el tendido de cables a lo largo de la orilla y sobre el agua cuesta, respectivamente $90 y $150 por metro. ¿Cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?

67



2.8

Matemática simbólica aplicada en problemas de integración 2.8.1 Uso de los comandos int y subs Empezaremos esta sección resolviendo el siguiente problema: La temperatura en grados Fahrenheit de cierto día se comportó de la siguiente manera: T(t) 5 70 1 8 sen ( /12*(t29)), donde t es el número de horas después de la media noche. p

Encuentre la temperatura promedio entre las 6:00 a.m. y las 18:00 p.m. Para resolver este problema es útil apoyarnos en el cálculo integral, donde se define b el valor promedio de una función f (x) en el intervalo de  a b  como ∫ a f (x)dx /(b 2 a) . La gráfica de la temperatura se muestra en la figura 2.5.

Figura 2.5

Gráfica de temperaturas en °F.

Como se observa en esta figura, las temperaturas van desde 62 hasta 78 grados durante el día, lo cual es muy representativo de lo que sucede en cualquier día normal. ¿Podría sugerir un valor promedio? Veamos qué resultado arroja la aplicación de 68


Capítulo 2


la fórmula dada con anterioridad usando MATLAB. El siguiente listado muestra las instrucciones necesarias. syms t % APLICACIONES DEL CÁLCULO DE INTEGRALES % DEFINIDAS E INDEFINIDAS % La temperatura de cierto día se comportó de la siguiente % manera: T(t)57018sen(pi/12*(t29)), donde t es el número % de % horas después de la media noche. Encuentre la temperatura % promedio entre las 6:00 a.m. y las 18:00 p.m. T5 7018*sin(pi/12*(t29)) ezplot(T,0,24) % El comando “int (f,a,b)” calcula la integral % de la función % f en el intervalo [a b] Temp_prom5int(7018*sin(pi/12*(t29)),6,18)/(1826) % Convertimos en un valor numérico el resultado sol5double(Temp_prom)

Ejemplo 1.

Encuentre el área por arriba de la función f 5 k * cos(k * x) y debajo de la recta tangente a esta curva en el punto x 5 /(2 * k ), entre x 5 0 y x 5 /(2 * k ). Un ejemplo del área que se calculará es la figura 2.6, con k 5 2. Los comandos utilizados para generar la figura 2.6 fueron los siguientes: p

p

Solución con Matlab

% Generar vector de 2pi/4 a pi/4 x5linspace(2pi/4,pi/4,500); % Generar vector de 0 a pi/4 x15linspace(0,pi/4,500); % Graficar las curvas involucradas plot(x,2*cos(2*x),’b’,x,24*x1pi,’b’,[0,0],[0,7],’b’) % Ajustar los ejes Axis tight % Fijar la gráfica anterior hold on % Llenar el área de interés fill([0,x1],[pi,2*cos(2*x1)],’r’)

69



Figura 2.6

Gráfica del problema 1.

Ejercicios para desarrollar 1. 5 −x

a)

∫ e

b)

6

∫

c)

∫ (3x

d)

∫ (2x 1 3) dx

0

6

3

0

4

Calcule las siguientes integrales:

2 dx

5 x 27

4

dx

2 4x 3 )dx

7

1

70


Capítulo 2

e)

3

 5

∫  x 23

6

f )

∫

g)

4

1

1

2

h)

i)

∫ x

dx

6 2 2 (x 3 )

∫ e 3

∫ (5 0

 dx 5   x

2

4 2 x dx

2

5


dx

21

1 3x )

dx

2.

Halle el área bajo la curva y 5 1 1 x desde x 5 1 hasta x 5 9.

3.

Determine el área bajo la curva y = (3x − 2)−3 desde x 5 1 hasta x 5 2.

71



4.

Calcule el área de la región limitada por las curvas y = 16 − x 2 y y = 10 − x.

5.

Halle el área de la región limitada por las curvas y = x 3 − 3 x + 1 y y = x + 1 .

6.

Encuentre el área de la región entre las curvas y = 2 x 2 + xy y y = x 2 + 2 desde x 5 0 hasta x 5 2.

7.

Suponga que la función de ingreso marginal para una compañía es 400 − 3 x 2 . Encuentre el ingreso adicional que se obtiene al duplicar la producción si actualmente se producen 10 unidades.

8.

Se inyecta un fármaco a un paciente a razón de f (x) cm3/min en un tiempo t. ¿Qué representa el área bajo la curva de y 5 f (t) desde t 5 0 hasta t 5 4?

9.

Determine la ganancia de los consumidores para la curva de demanda p 5 25 2 0.04x en el nivel de ventas x 5 400.

10.

Se depositan 3 000 dólares en un banco al 6% de interés compuesto continuamente. ¿Cuál será el valor promedio del dinero en la cuenta durante los próximos 10 años?

72


Capítulo 2

2.9


Cálculo de longitud de curvas 2.9.1 Longitud de curvas En la teoría del cálculo es conocido el siguiente teorema para calcular la longitud de una curva en el intervalo: TEOREMA 1: Si

la función f y su derivada f 9 son continuas en el intervalo cerrado [a b]; entonces, la longitud de arco de la curva y 5 f (x) del punto (a, f (a)) al punto (b, f (b)) está dada por: L=

b

∫ a

2

1 1  f '(x) dx

Supongamos que deseamos calcular la longitud de arco de un semicírculo. Sa bemos que la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio r es x 2 1 y 2 5 r 2 . El siguiente conjunto de instrucciones en MATLAB permite realizar dicho cálculo. % APLICACIONES DEL CÁLCULO DE INTEGRALES % DEFINIDAS E INDEFINIDAS % Encuentre la longitud de una semicircunferencia en el % semiplano superior del eje x de radio 5. syms x y % Resolvemos para y la ecuación h5 solve(x^21y^225^2,y) pretty(h) % Calculamos la derivada de y df5diff(h); pretty(df) % La segunda componente de df es la expresión % para la derivada % de la parte positiva de la curva df(2) L5int(sqrt(11df(2)^2),x,25,5) pretty(L)


Determine la longitud especificada de cada una de las curvas entre los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)), (a, f (a)) y (b, f (b)).

73



a) f ( x) 5 4 2 x 2

b) f ( x) 5 x 3

Para ambos cálculos tome a 5 0 y b 5 2. 2.

Calcule la longitud de arco entre A y B, según la gráfica de cada ecuación. a)

 2  8 x 2 5 27 y 3 ; A  1,  ,  3 

 8 

B  8,   3 

b) ( y + 1)2 5 ( x 2 4)3 ; A( 5, 0), B( 8, 7 )

c) y 5 5 2 x 3 ; A(1, 4), B(4, 23)

d) y 5 6 3 x 2 1 1; A(21, 7 ), B(28, 25)

3.

Calcule la longitud de arco entre A y B, según la gráfica de cada ecuación. a) y 5

x3

12

1

 13   7  ; A  1,  , B  2,  x  12   6  1

 67   109  1 x3 1 5 0 ; A  2, , B 3, b) y + 4x 3  24    12   c)

 8 30xy 3 2 y 8 5 15 ;  ,  15 y 4

d) x 5

16

1

  271 1 B  ,   240

 2  

 9   9  ; , 2 2 , 2 1 A B     16  2 y 2  8 1

74


Capítulo 2

2.10


Cálculo del trabajo realizado por una fuerza 2.10.1 Trabajo de una fuerza En Física una de las formas más simples de expresar el trabajo realizado por una b fuerza, f (x), es W 5 ∫ a f (x) dx. Veamos el siguiente problema para ejemplificar esta ecuación. Supongamos que se desea subir una cadena de 28 m de longitud y una masa de 20 kg que cuelga de un edificio. En particular se desea calcular el trabajo necesario para llevarla hasta la azotea. Solución

Dado que 28 metros de cadena tienen un peso de (20 kg)(9.8 m/s2) 5 196 newtons; entonces, una diferencial dx de longitud tiene un peso de 7 dx newtons (de acuerdo con una regla de tres). Esta fuerza es la que actúa durante toda la distancia x y sube esta diferencial de 28 28 7 2  longitud. Por tanto, el trabajo realizado es W 5 ∫ 0 7 x dx 5  x  5 2744 joules.  2 0 Este cálculo en MATLAB se resolvería con la siguiente instrucción: W5int(7x,x, 0,28), siempre que se haya definido x. Observe la diferencia si alguien equivocadamente hubiera pensado que el peso de 196 N sube 28 metros; en cuyo caso la respuesta sería (196)(28) 5 5 488 joules.


2.

Se dice que la gran pirámide de Egipto fue construida en 20 años. Si la piedra que la forma tiene una densidad de 200 libras por pie cúbico (lb/ft3), calcule la cantidad de trabajo total efectuado al construir esa pirámide. Suponga que la pirámide tiene 410 ft de altura y una base rectangular de 755 por 755 ft.

Un resorte con una longitud natural de 10 pulgadas (in) se alarga 1.5 in bajo un peso de 8 lb. Calcule el trabajo afectado al estirar el resorte: a) de su longitud natural a una longitud de 14 in y b) de una longitud de 11 in a una de 13 in.

75



3.

Para comprimir un resorte de longitud natural 0.80 m a 0.75 m se requiere una fuerza de 25 N. Calcule el trabajo realizado al comprimir el resorte desde su longitud natural a 0.70 m.

4.

Para estirar un resorte desde una longitud de 6 cm hasta 7 cm se requiere un trabajo de 60 ergs, y para deformarlo de 7 a 8 cm se necesitan 120 ergs. Calcule la constante de fuerza del resorte y su longitud natural.

5.

Una pecera tiene una base rectangular de 2 ft de ancho y 4 ft de largo, y sus lados rectangulares tienen una altura de 3 ft. Si el recipiente está lleno de agua, ¿cuánto trabajo se requiere para extraer toda el agua desde arriba del tanque?

6.

Un elevador de carga (montacargas) que tiene una masa de 1 500 kg de masa está sostenido por un cable de 4 m de largo y una masa de 7 kg por metro lineal. Estime el trabajo necesario que se requiere para hacer subir el ascensor 3 m enrollando el cable en un torno o malacate.

7.

Una persona de 75 kgf de peso escala un poste vertical de 15 m de alto. Calcule el trabajo que por unidad de tiempo realiza si llega al tope en a) 10 s (segundos) y b) 5 s.

8.

Un tanque cilíndrico vertical de 3 ft de diámetro y 6 ft de altura está lleno de agua. Calcule el trabajo de bombeo que se requiere para extraer toda el agua: a) por la parte superior del tanque, y b) a través de un tubo que sube 4 ft por arriba de la citada parte superior del tanque.

9.

Un canalón de 8 ft de largo cuyos extremos son triángulos equiláteros de 2 ft de ancho, está lleno de agua. Calcule el trabajo que se precisa para extraer toda el agua por encima del borde del canalón.

10.

Una cisterna en forma de media esfera de 1.80 m de radio está llena de agua. Calcule el trabajo necesario para bombear el agua hasta un punto que se encuentra 1.2 m arriba de la parte superior de la cisterna.

76


Capítulo 3

Probabilidad y estadística

Capítulo

3


Objetivo:

Aprender a aplicar arreglos y matemática simbólica de MATLAB en pro blemas relacionados con cálculo de media, variancia, valores esperados condicionales y covariancias. 77



3.1

Cálculo del valor esperado para una distribución continua Media o valor esperado de x. Para calcular la media de una distribución de probabilidad continua se utiliza la siguiente fórmula: µ 5 E( x ) 5

∞

∫ xf (x)dx −∞

Donde: m 5

E(x) 5 media o valor esperado de la distribución

x 5 variable aleatoria continua F(x) 5 función de densidad de la distribución de probabilidad Varianza de una variable aleatoria. Es una constante que representa una medida de la dispersión media de una variable aleatoria x, respecto a su valor medio o esperado. Puede interpretarse como medida de “variabilidad” de la variable.

La varianza o variancia de una variable aleatoria x se define como:

 ∑ (x 2 µ x )2 f ( x) si x es discreta  Var(X ) 5 u(X ) 5 σ x2 5 σ 2 5  x∈X ( Ω )  ∫ ∞ (x 2 µ )2 f (x) si x es continua  −∞ La raíz cuadrada positiva de la varianza recibe el nombre de desviación típica o estándar. La desviación estándar, también conocida como desviación típica, es una medida de dispersión usada en Estadística que indica cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. De hecho, la desviación estándar es “el promedio ponderado de la distancia al cuadrado de cada punto respecto del promedio”. Se suele representar por una S o con la letra sigma, s . La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se apartan los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido o intervalo y toma en consideración el valor de cada dato. Es posible calcular la desviación estándar como la raíz cuadrada de s 2.

3.1.1 Variables continuas Ejemplo

Para la siguiente función de probabilidad, determine su media, desviación estándar y variancia.

78


Capítulo 3


1 f (x) 5 x2 , x ∈[0, 3] y 9

f ( x) 5 0, x ∉[0, 3]

Solución en MATLAB

% Variable aleatoria simbólica syms x % La función de densidad de probabilidad fx5(1/9)*x^2 % Producto de x por la función de densidad de probabilidad f(x) fxx5x*fx % Fórmula que da la media media5int(fxx,x,0,3) double(media) % Fórmula para calcular la variancia para una variable % continua var5int((x2media)^2*fx,x,0,3) double(var) % desviación estándar (raíz cuadrada de la variancia) des_est5sqrt(var) double(des_est) Al ejecutar el programa tenemos como solución: media 5 2.25, variancia 5 0. 3375 y desviación estándar 5 0. 5809. Ejemplo

Supongamos que el error en la temperatura de reacción en °C, para un experimento controlado de laboratorio, es una variable aleatoria continua x que tiene la función de densidad de probabilidad: x2 f (x) 5 , x ∈[21, 2] y 3

f ( x) 5 0, x ∉[21, 2]

Determine la media o el valor esperado de la distribución de probabilidad. Solución en MATLAB

% Variable aleatoria simbólica syms x % La función de densidad de probabilidad fx5(x^2)/3 % Producto de x por la función de densidad de probabilidad f(x)

79



fxx5 x*fx % Fórmula que genera la media media 5int (fxx,x,21,2) double(media) % Fórmula para calcular la variancia para % una variable continua var5int((x2media)^2*fx,x,21,2) double(var) % Desviación estándar % (raíz cuadrada de la variancia) des_est5sqrt(var) double(des_est) La solución al ejecutar el programa debe ser: media 5 1.25, variancia 50.6375 y desviación estándar 5 0.7984.

Ejercicios para desarrollar En los ejercicios 1 al 11, suponga que k es una constante. 1. Sea x una variable aleatoria con función densidad.

f ( x) 5

k (2 x 1 1) , x ∈[0, 4] y 12

f (x) 5 0, x ∉[0, 4]

encuentre el valor esperado. 2. Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria x que tiene la densidad de probabilidad.

x 2 1 1 f ( x) 5 k , x ∈[0, 2] y 4

f ( x) 5 0, x ∉[0, 2]

3. Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria x cuya densidad de probabilidad está dada por

f (x) 5

x12 , x ∈[1, 7 ] y 36

f ( x) 5 0, x ∉[1, 7 ]

4. Si x tiene la densidad de probabilidad, encuentre el valor esperado.

f ( x) 5 kx( x 1 1), x ∈[22 , 3] y

f ( x) 5 0, x ∉[22 , 3]

80


Capítulo 3

5.

Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria x cuya densidad de probabilidad está dada por f (x) 5

6.


16 ( x 1 5), x ∈[3, 6] y 456

Una variable aleatoria continúa x tiene la función de densidad. Encuentre el valor esperado. 1 1 2x ( x 1 5), x ∈[0, 5] y f ( x) 5 k 30

7.

f ( x) 5 0, x ∉[0, 5]

Indique la utilidad promedio por casa para una agente de ventas si la ganancia por cada casa es g( x) 5 3x 2, donde x es una variable aleatoria que tiene la función de densidad siguiente: f (x) 5

8.

f (x) 5 0, x ∉[3 , 6]

2x 1 5 , x ∈[0, 8] y 104

f ( x) 5 0, x ∉[0, 8]

Si la densidad de probabilidad de x está dada por: x f (x) 5 , x ∈[0, 4] y 8

f ( x) 5 0, x ∉[0, 4]

encuentre el valor esperado de g(x) 5 5x2 1 4. 9. Sea x una variable aleatoria con función de densidad. Calcule el valor esperado.

3x 2 1 4 , x ∈[3, 5] y f ( x) 5 106

f ( x) 5 0, x ∉[3, 5]

10. Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria x cuya densidad de probabilidad está dada por: 10( x 1 3) f ( x) 5 , x ∈[0, 3] y f ( x) 5 0, x ∉[0, 3] 135 11. Si la utilidad diaria de un contador se puede considerar como una variable aleatoria continua que tiene una densidad de probabilidad:

f ( x) 5 k( x2 1 9), x ∈[24 , 2] y

f ( x) 5 0, x ∉[24 , 2]

donde las unidades están en miles de pesos, ¿cuál es la ganancia esperada?

81



3.2

Distribución de probabilidad discreta 3.2.1 Cálculo de la media para una distribución discreta Ejemplo

Dada la siguiente distribución de probabilidad calcule el valor esperado.

1  4 para x 5 0  1 f ( x) 5  para x 5 1 4  1 para x 5 3 2  Solución en MATLAB

% Se declara un vector con los valores de x x5[0,1,3] % Función de probabilidad f(x) y5 [1/4, 1/4, 1/2] % Función que realiza la multiplicación elemento a % elemento de los vectores utilizados m5 x.*y % Se calcula la media utilizando el comando sum, % el cual suma los elementos del vector m % resultante de la multiplicación anterior. media 5 sum(m) % Se calcula la variancia var 5 sum((x2media).^2.*y) % Desviación estándar (raíz cuadrada de la variancia) des_est5sqrt(var) Al correr el programa, el resultado es: media 5 1.75, variancia 5 1.6875 y desviación estándar 5 1.2990. Ejemplo

Si la distribución de probabilidad x está dada por x

 1  f ( x) 5   , x 5 1, 2 , 3,...  2  calcule el valor esperado. 82


Capítulo 3


Solución en MATLAB

% Se declara la variable simbólica x syms x % Función distribución de probabilidad f(x) f5 (1/2) ^x % Se realiza el producto de la función f(x) por x Prod5 x*f % Se calcula la media utilizando el comando symsum % para variables simbólicas media 5 symsum (Prod, 1, inf) % Fórmula para calcular la variancia de una variable discreta var 5 symsum ((x2media)^2*f,1,inf) % Desviación estándar (raíz cuadrada de la variancia) des_est5 sqrt (var) Al ejecutar el programa tenemos: media 5 2, variancia 5 2 y desviación estándar 5 2.

3.2.2 Valor esperado condicional Definición

Si X es una variable aleatoria discreta y f (x| y) es la distribución de probabilidad condicional de X dado Y 5 y en x, la esperanza condicional de u(X ) dado Y 5 y es: E  u(X )|y  5

∑ u(x) * f ( x|y) x

Si X es una variable aleatoria continua y f (x| y) es la densidad de probabilidad condicional de X dado Y 5 y en x, la esperanza condicional de u(X ) dado Y 5 y es: E  u(X )|y  5

∞

∫ u(x) * f (x|y)dx −∞

Expresiones similares basadas en la distribución o densidad de probabilidad condicional de Y dado X 5 x, definen la esperanza condicional de u(Y ) dado X 5 x. Con u(X ) 5 X , se obtiene la media condicional de la variable aleatoria x dado Y 5 y, la cual denotamos con: µ X|y 5 E(X | y ) La variancia condicional de x dado Y 5 y es: 2

σ X|y

5 E (X 2 µ X|y )2 |y  2 2 5 E(X |y ) 2 µ X|y

donde: E(X 2 | y) está dado por u(X ) 5 X 2. 83



Ejemplo

Se seleccionan dos cápsulas al azar de un frasco que contiene tres aspirinas, dos sedantes y cuatro laxantes. Si X y Y son, respectivamente, la cantidad de cápsulas de aspirina y sedantes incluidas entre las dos cápsulas que se sacaron del frasco, encuentre las probabilidades asociadas con todos los pares posibles de valores de X y Y . Tabla 3.1

x

0

1

2

0

1/6

1/3

1/12

1

2/9

1/6

2

1/36

Encuentre la media condicional de X dado Y 5 1. Solución

Los resultados de la tabla 3.1 se muestran en la tabla 3.2, junto con el total marginal; es decir, el total de las filas y de las columnas respectivas. Tabla 3.2

x

0

1

2

0

1/6

1/3

1/12

1

2/9

1/6

2

1/36 5/12

7/12 7/18 1/36

1/2

84


1/12

Capítulo 3


De esta tabla se obtiene que: 2 4 f (0|1) 5 9 5 7 7 18 1 3 f (1|1) 5 6 5 7 7 18 0 f (2|1) 5 50 7 18 Con los resultados anteriores, conseguimos: 3 3 4 E(X |1) 5 0 * 1 1 * 1 2 * 0 5 7 7 7 Solución en MATLAB

format rat

% Comando que conserva los valores % en forma de fracción a 5 [ 1/6 1/3 1/12; 2/9 1/6 0; 1/36 0 0 ]% Se declara la % distribución conjunta % de X y Y en forma de matriz x5[0:2] % Se declaran los valores de x y5[0:2]’ % Se declaran los valores de y sx5sum(a’) % Fórmula que calcula la distribución % marginal de X f5a(2,:)./sx(2) % Cálculo de los valores de f(X|Y) ex5sum(x.*f) % Se calcula el valor esperado de % (X| Y51) Ejemplo

Si la densidad de probabilidad conjunta de X y Y está dada por:

2  (x 1 2 y) f ( x, y) 5  3  0

paraa 0 , x , 1, 0 , y , 1

encuentre la media condicional y la variancia condicional de x dado Y 5 1/2.

85



Solución

Para las variables aleatorias de densidad condicional de X dado Y 5 y:

 2x 1 4y , 0 , x , 1, 0 , yy , 1  f ( x|y) 5  1 1 4 y  0, x ∉(0, 1), y ∉(0, 1)  de manera que:

  1   2 (x 1 1), 0 , x , 1 f  x|  5  3  2   0, ∉(0, 1) x  Así,

2

σ X |

1 está dada por: 2

 

E  X |

1  5 2  

1

∫ 0

2 5 x( x 1 1)dx 5 3 9

Encontramos después, que:

 

E  X2|

1  5 2  

1

∫ 0

2 2 7 x ( x 1 1)dx 5 3 18

y finalmente: σ

2

x|

1 7  5  13 2   2 5 5 2 18  9  162

Solución en MATLAB

% Se declaran las variables simbólicas x, y syms x y % Se declara la funcion f_xy f_xy5(2/3)*(x12*y) % Se calcula fx_y con rangos de 0 a 1 fx_y5f_xy/int(f_xy,x,0,1) % Se sustituye en la función fx_y con y 51/2 fx_y15subs(fx_y,y,1/2) % Valor esperado de x dado y 51/2 Ex_y15int(x*fx_y1,x,0,1) % Valor esperado de x^2 dado y 51/2 variancia_X Ex2_y15int(x^2*fx_y1, x, 0,1) % Se calcula la variancia de x dado y 51/2 y15Ex2_y12Ex_y1^2

86


Capítulo 3


Ejercicios para desarrollar Donde sea necesario suponga que k es una constante. 1.

Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria discreta x que tiene la distribución de pro babilidad. x25 para x 5 21, 0, 3 f (x) 5 13

2.

Encuentre el valor esperado. Sea x una variable aleatoria con la siguiente distribución de pro babilidad: X

4

8

12

F(X)

.3

.2

.5

Determine m g ( X ) , donde g( x) 5 6x 2 28. 3.

4.

Encuentre el valor esperado de la variable aleatoria g(X ) 5 x 1 3 , donde x tiene la distribución de probabilidad siguiente:

X

2

4

6

F(X)

.4

.3

.3

Sea x una variable aleatoria definida por la función de densidad. f f ( x) 5

5x 2 1 , x 5 2 , 5, 7 67

encuentre el valor esperado. 5.

Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria discreta x que tiene la distribución de pro babilidad. x2 2 1 f ( x) 5 , x 522, 3 5

87



6.

Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria x cuya densidad de probabilidad está dada por 466( x 2 1 3) , x 523,22, 21 f ( x) 5 23

7.

Sea x una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

Encuentre 8.

9.

µ g X

( )

X

1

2

3

F(X)

1 8

5 8

2 8

, donde g(x) 5 3 x 1 7.

Establezca el valor esperado de la variable aleatoria g(X ) 5 x 2 , donde x tiene la distribución de probabilidad siguiente:

X

2

4

6

F(X)

2 15

7 15

6 15

Encuentre el valor esperado de la variable aleatoria g(X ) 5 de probabilidad siguiente:

2x 1 4 , donde x tiene la distribución 3

X

2

4

6

F(X)

.25

.45

.3

10. En un lote de nueve máquinas cortadoras hay tres defectuosas. Si se escogen al azar dos máquinas para enviarlas a un taller de manufactura y no se reemplazan, ¿cuántas máquinas cortadoras defectuosas en promedio se pueden enviar al taller?

88


Capítulo 3


11. Se va a rifar una motocicleta con valor de $9 000, para lo cual se venden 500 boletos con un costo de $30 cada uno. ¿Cuál es el beneficio esperado si se compran 5 boletos?

12. La probabilidad de que un productor de quesos venda un queso con una ganancia de $30 es 4 2 1 ; con una ganancia de $25.00, , y que quede a mano, . ¿Cuál será la ganancia esperada? 7 7 7

13. Un embarque de automóviles incluye cinco defectuosos. Una agencia adquiere al azar 100 de ellos. Si x es el número de unidades defectuosas compradas por la agencia, encuentre la media de X .

14. Con la venta de bicicletas, una persona tiene una probabilidad de 0.4 de obtener ganancias de $8 000, o una probabilidad de 0.6 de perder $2 000. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona?

15. Un lote de tornillos incluye 30 defectuosos. Una persona adquiere de manera aleatoria 200 de ellos. Si x es la cantidad de piezas defectuosas adquiridas por el comprador, encuentre la media de X .

16. Con la venta de computadoras una persona tiene una probabilidad de 0.8 de obtener ganancias de $4 000, o una probabilidad de 0.2 de perder $500. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona?

89



17. Se realizará un sorteo por $10 000, para lo cual se venden 1 000 boletos con un costo unitario de $100. ¿Cuál es el beneficio por cada boleto vendido?

18. Obtenga el valor esperado condicional de X dado que Y 5 20 para la siguiente distribución.

f ( x , y) 5 k( x 2 1 y 2 ), x ∈(15, 25), y ∈(15, 25), f ( x, y) 5 0 de otra forma

19. Obtenga el valor esperado condicional de X con Y 5 1 para la siguiente distribución.

f (x , y) 5 kx( x 1 1), x ∈(22, 3), y ∈(22 , 3), f ( x, y) 5 0 de otra forma 20. Obtenga el valor esperado condicional de Y con X 5 2 para la siguiente distribución.

2x 1 1 f ( x, y) 5 k , x ∈(0, 5 ), y ∈(0, 5 ), f ( x, y) 5 0 de otra form ma 15 21. Obtenga el valor esperado condicional de X con Y 5 1 para la siguiente distribución.

y

0

1

2

3

0

.08

.07

.04

.00

1

.06

.15

.05

.04

2

.05

.04

.10

.06

3

.00

.03

.04

.07

4

.00

.01

.05

.06

22. Obtenga el valor esperado condicional de X dado que Y 5 1 para la siguiente distribución:

f ( x , y) 5 k exp(2x(1 1 y)), x ∈(0, 2), y ∈(0, 2), f ( x, y) 5 0 de otra forma

90


Capítulo 3

3.3


Covarianza 3.3.1 Defi nición Se llama covarianza de X y Y , y se denota con sxy , cov(X , Y ) o C(X , Y ). Observe que si existe una probabilidad alta de que los valores grandes de x vayan con valores grandes de Y y valores pequeños de x con valores pequeños de Y , la covarianza será positiva; si hay una alta probabilidad de que los valores grandes de x vayan con valores pequeños de Y y viceversa, la covarianza será negativa; en este sentido puede decirse que la covarianza mide la relación, o asociación, entre los valores de x y Y . Al usar los diversos teoremas sobre los valores esperados, podemos escribir: σ XY

5 E (X 2 µ X )(Y 2 µ Y ) 

5 E (XY 2 XµY 2 Yµ X 1 µ X µ Y )

5 E (X XY ) 2 µY E(X ) 2 µX E(Y) 1 µX µY

5 E (XY ) 2 µY µX 2 µ X µY 1 µ X µ Y σ XY

5

'

µ `1 ,1 2 µ X µ Y

Ejemplo

Dos cápsulas se seleccionan al azar de un frasco que contiene tres aspirinas, dos sedantes y cuatro laxantes. Si X y Y son, respectivamente, las cápsulas de aspirina y sedantes incluidas entre las dos cápsulas que se sacaron del frasco y las probabilidades son:

x

0

1

2

f (y )

0

1/6

1/3

1/12

7/12

1

2/9

1/6

2

1/36

f (x )

5/12

7/18 7/36

1/2

1/12

encuentre la covarianza de X y Y .

91



Con las probabilidades conjuntas dadas, tenemos que: 9

µ 1 ,1 5

E(XY )

5 0 * 0 * 1/6 1 0 * 1 * 2/9 1 0 * 2 * 1/36 1 1 * 0 * 1/3 1 1 * 1 * 1/6 1 2 *

0 *1/12 5 1/6 y usando las probabilidades marginales, obtenemos: µ x

5 E(X ) 5 0 * 5 / 12 1 1 * 1/ 2 1 2 * 1 / 12 5 2 / 3

µ Y 5

E(Y ) 5 0 * 7 / 12 1 1 * 7 / 18 1 2 * 1 / 36 5 4 / 9

Por tanto: s xy 5 1 / 6 2 2 / 3 * 4 / 9 527 / 54

Solución en MATLAB

% Comando para mostrar los resultados en fracciones format rat % Definimos la distribución conjunta como una matriz prob_aso5 [1/6 1/3 1/12; 2/9 1/6 0; 1/36 0 0] % Valores de x x5 [0 1 2] % Valores de y y5 [0 ;1 ;2] % Distribución marginal de x total_x5 sum(prob_aso) % Distribución marginal de y total_y5 sum(prob_aso’) % Iniciamos la sumatoria para calcular el valor esperado de XY suma50; for j50:2 for i50:2, suma 5 suma1j*i*prob_aso(j11,i11); % Valor esperado de XY end % Termina el ciclo for i end % Termina el ciclo for j % media 1,1 media_1_15suma % media de x 92


Capítulo 3


mediaX5 sum(x.*total_x) % media de y mediaY5 sum(x.*total_y) % Determina la covarianza de x y Y. cov5 sum(suma2mediax.*mediaY) Los resultados son: σ XY 527 / 54 .

9

µ 1 ,1 5

1/ 6 ,

µ x

5 2/3 ,

µ y

5 4 / 9 y la covarianza es:

Ejemplo

Encuentre la covarianza de las variables aleatorias cuya densidad de probabilidad conjunta está dada por: f (x , y) 5 2 , x > 0, y > 0, x 1 y < 1, f ( x, y) 5 0 de otra forma

Se evalúan: µ x µ Y

1

1− x

0

0

∫ ∫ 5 ∫∫ ∫

5

1

1− x

0

0

2 xdydx 5 1 / 3 2 y dy dx 5 1 / 3

y '

µ 1 ,1 5

1

1− x

0

0

∫ ∫

2 xydydx 5 1 / 12

Se sigue que: σ xy

5 1 / 2 2 1 / 3 * 1 / 3 521 / 36

Solución en MATLAB

% Identificación de variables X y Y syms x y % Cálculo de la media de X m15int (int (2*x, y, 0,1 2x),x, 0,1) % Cálculo de la media de Y m25int (int (2*y, y,0 ,1 2x),x,0,1) % valor esperado de XY val_esp 5int (int (2*x*y,y,0,1 2x),x,0,1) % Determina la covarianza de x y Y cov 5(val_esp2(m1*m2)) El resultado es:

µ X 5

1 / 3,

µ Y 5

1/ 3,

'

σ 1 ,1 5

1 / 12 y la covarianza es: σ XY 521 / 36.

93



Ejercicios para desarrollar Suponga que k es una constante donde sea necesario. 1. Suponga que X y Y son variables aleatorias independientes que tienen una distribución de probabilidad conjunta. Calcule la covarianza.

f (x , y )

x

0

1

0

0.10

0.15

1

0.20

0.30

2

0.10

0.15

2. Obtenga la covarianza de las variables aleatorias X y Y cuya densidad de probabilidad está dada por:

f f (x, y) 5 k( x 2 1 y 2 ), x ∈(15, 25), y ∈(15, 25), f ( x, y ) 5 0 de otra forma

calcule la covarianza.

3. Si X y Y tienen la densidad de probabilidad

f (x, y) 5 kx( x 1 1), x ∈(22 , 3), y ∈(22, 3), f ( x, y) 5 0 de otra forma


4. Una variable aleatoria continua X y Y tiene la función de densidad siguiente. Encuentre el valor esperado.

2x 1 1 f (x, y) 5 k , x ∈(0, 5), y ∈(0, 5), f ( x, y) 5 0 de otra forma 15 Calcule la covarianza.

94


Capítulo 3


5. Suponga que X y Y son variables aleatorias independientes que tienen una distribución de probabilidad conjunta. Calcule la covarianza.

y

0

1

2

3

0

.08

.07

.04

.00

1

.06

.15

.05

.04

2

.05

.04

.10

.06

3

.00

.03

.04

.07

4

.00

.01

.05

.06

6. Dos componentes tienen la siguiente distribución de probabilidad:

f (x, y) 5 k exp(2x(1 1 y)), x ∈(0, 2), y ∈(0, 2), ff ( x, y) 5 0 de otra forma


7. Suponga que X y Y son variables aleatorias independientes que tienen una distribución de probabilidad conjunta. Calcule la covarianza.

y

0

100

200

100

.20

.10

.20

250

.05

.15

.30

95




x 2 1 8x f ( x, y) 5 k , x ∈(21, 4), y ∈(21, 4), f ( x, y) 5 0 de otra forma 3



forma f ( x, y) 5 k k( x 1 5), x ∈(22 , 2), y ∈(22, 2), f ( x, y) 5 0 de otra f calcule la covarianza.

96


Capítulo 4

Investigación de operaciones

Capítulo

4


Objetivo:

Presentar algunas de las aplicaciones más comunes en el área de investigación de operaciones, como la ingeniería económica, la programación lineal, la teoría de colas y la teoría de inventarios, con base en la mayoría de los conceptos de MATLAB vistos hasta el momento. 97



4.1

Ingeniería económica En esta sección mostraremos cómo usar las funciones construidas por el usuario en la aplicación de problemas de ingeniería económica. Particularmente ejemplificaremos cómo desarrollar funciones capaces de calcular la mayoría de los factores económicos.

4.1.1 Valor presente de una serie uniforme Considere el problema de encontrar el valor actual equivalente de una serie uniforme de efectivo, al final de periodo, A1, A2, . . . , AN . Mediante las relaciones pertinentes podemos establecer que: P 5 A1 (1 1 i)21 1 A2 (1 1 i)22 1 ......... 1 AN (1 1 i)2N N

P 5 A

∑ (1 1 i )

2 j

j51

 (1 1 i)N 2 1  5 A( P / A, i , N ) N  ( 1 ) i i 1  

P5A

El término entre paréntesis es conocido como la serie del factor de valor presente, porque se utiliza para encontrar el valor actual equivalente de una serie uniforme de flujo de efectivo. Para generar una función en MATLAB que pueda ser llamada por el usuario y calcule el factor (P/ A, i, N ), podemos escribir el siguiente script. % Se utiliza el comando function, el cual crea la % función. Para poder utilizarla se guarda % como archivo.m con el nombre de pa.m function f5pa(i,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor % (P/A, i, N) f5((11i)^n21)/(i*(11i)^n)

Una forma alternativa es utilizar a funciones anónimas definidas directamente en la ventana de comando, para este caso pa5@(i,n)((11i)^n21)/(i*(11i)^n)

Ejemplo

Se piensa que la adquisición de un dispositivo economizador de trabajo producirá ahorros de $2 000 mensuales durante 30 meses. ¿Cuánto podemos ahorrar para comprarlo? Asuma que todos los ahorros ocurren al final de mes y nuestro costo de oportunidad, el tipo de descuento es del 2% por mes. 98


Capítulo 4


Solución P 5 $2 000(P/A, 2%, 30) 5 $2 000(22.396) 5 $44 792 Solución en MATLAB % % % %

Fórmula que calcula el valor presente de una serie uniforme utilizando la función pa. Para ejecutar pa es necesario introducir los argumentos de entrada que son el interés(i) y el número de periodos(n). % En este caso i50.02 y n530 p52000*pa(0.02,30)

4.1.2 Serie uniforme de un valor presente neto De la ecuación anterior se deduce que:

 i(1 1 i)N  A 5 P   5 P( A / P, i, N ) N ( 1 ) 1 1 2 i   El término entre paréntesis es el factor de la recuperación de capital. Se usa para convertir un flujo de efectivo inicial en una serie uniforme. La serie uniforme recupera la inversión inicial, P, más un costo de oportunidad reflejado por la tasa de interés, i. La función que calcula ( A/P, i, N ) es: % Se utiliza el comando function, el cual % crea la función. Para poder usarla % se guarda como archivo.m con el nombre % de ap.m function f5ap(i,n) % Se declara la fórmula que calcula el % factor (A/P, i, N ) f5 (i*(11i) ^n)/ ((11i) ^n21)

Ejemplo

Una suma de $100 000 debe basarse en cierto programa de costo-reducción, cuyos efectos se experimentarán durante 10 años. Si la tasa de interés de la empresa, es decir, la tasa de descuento, es de 15% por año, determine los ahorros anuales mínimos que permitirían la autorización de esta inversión. Suponga que todos los ahorros se presentan al final de año.

99



Solución A 5 $100 000(A/P, 15%, 10) 5 $100 000(0,1993) 5 $19 930 Solución en MATLAB % Fórmula que calcula la recuperación de capital % utilizando la función ap. Para declarar % ap es necesario introducir los rangos, % que son el interés(i)y el número de % periodos(n). A5100000*ap(0.15,10)

4.1.3 Valor futuro de una serie uniforme En ciertos problemas puede ser útil calcular el valor futuro equivalente, F, dada una serie uniforme de los flujos de efectivo fin de periodo, A. Para esto primero se convierte N

 1  A en P mediante la fórmula P 5 F 5  1 1 i  (1 1 i)N  F

N 5 F(1 1 i) 2 . Con el factor com-

puesto de la cantidad para un solo pago, F 5 P(1 1 i)N , convertimos P en F. Desarrollando lo anterior, se obtiene: : : F 5 { P} (1 + i)N

  (1 1 i)N 2 1    (1 1 i)N F 5 A  N     i(1 1 i)    (1 1 i)N 2 1  F5A  5 A(F / A, i , N ) i   El script que responde al usuario y calcula (F/ A, i, N ) es: % Se utiliza el comando % crea la función. Para % usarla se guarda como % con el nombre de fa.m function f5fa(i,n) % Se declara la fórmula % factor (F/A, i, N) f5 ((11i) ^n21)/i

function, el cual poder archivo.m

que calcula el

Ejemplo

Durante seis años se ha depositado una suma de $800 en un fondo al principio de cada año. Si el capital gana interés a un índice de 10% por año, determine el valor del fondo al final del sexto año. 100


Capítulo 4

Investigació Investigació n de operaciones

Solución F 5 $800(F/A, 10%, 6)(F/P, 10%, 1) F 5 $800(7,716)(1,10) Solución en MATLAB % Fórmula que calcula el valor futuro de % una serie uniforme utilizando la % función fa y fp. Para declarar fa y fp % es necesario introducir los argumentos, % que son el interés(i)y el número % de periodos(n). F5800*fa(0.10,6)*fp(0.10,1)

4.1.4 Anualidad de una suma futura futura  (1 1 i)N 2 1  A partir de la ecuación F 5 A   5 A(F / A, i , N ) podemos inferir que: i     i  5 F( A / F , i, N ) N ( 1 ) 1 i 1 2  

A 5 F 

El término entre paréntesis se conoce como factor de fondo hundido. Se utiliza para encontrar la serie uniforme equivalente a una cantidad F al final de la serie. % Se utiliza el comando function, el cual % crea la función. Para poder usarla % se guarda como archivo.m % con el nombre de af.m function f5af(i,n) % Se declara la fórmula que calcula el % factor (A/F, i, N) f5 i/((11i) ^n21)

Ejemplo

Un ingeniero asesor desea comprar cierto material informático que tiene un precio de $4 000. ¿Cuánto debe depositar en un fondo al final de cada mes durante dos años si espera que el fondo gane 1% por mes? Solución A 5 $4000(A/F,1%, 24) A 5 $4000(0,371) 5 $148 101



Solución en MATLAB % Fórmula que calcula la anualidad de una % suma futura utilizando la función af. % Para declarar af es necesario introducir % los rangos, que son el interés(i) y el % número de periodos(n). A54000*af(0.01,24)

4.1.5 Valor presente de una anualidad diferida Una anualidad diferida es una serie uniforme que comienza a finales del periodo n y continúa hasta finales del periodo N . El valor presente equivalente, P, de la serie de flujos de efectivo de N -n se obtiene mediante la ecuación: P 5 A(P / A,i ,N 2 n 1 1)( P / F ,i,n 2 1) Una formulación alternativa es: P 5 A ( P / A , i, N ) 2 ( P / A , i, n 2 1)  La función que calcula (P (P/ A, (P/ A, A, i, N ) 2 (P A, i, n 2 1) es: % Se utiliza el comando function, el cual % crea la función. Para poder usarla % se guarda como archivo.m con % el nombre de vp.m function f5vp(i,N,n) % Se declara la fórmula que calcula el % factor (P/A, i, N) 2 (P/A, i, n 2 1). Anualidad con el % principio de los flujos de liquidez del periodo f5((11i)^N21)/(i*(11i)^N)2((11i)^n21)/(i*(11i)^n)

Ejemplo

Si un fondo genera 12% de interés al año, ¿cuánto se debe invertir ahora para proporcionar retiros de $10 000 anuales al final de los l os años 5 a 10? Aquí, n 5 5 y N 5 10. Solución P 5 $10 000 [(P/A, 12%, 10) 2 (P/A, 12%, 5 2 1)] P 5 $10 000(5,650 2 3,03)

102


Capítulo 4


Solución en MATLAB % Fórmula que calcula el valor actual % de una anualidad diferida utilizando la % función vp P510000*vp(0.12,10,4)

Ejercicios para desarrollar 1. Determine el valor de los siguientes factores:

a) (P/A, 10%, 5)

b) (P/A, 15%, 8)

c) (P/A, 12%, 7)

d) (P/A, 5%, 9)

e) (P/A, 20%, 30)

(A/P, 12%, 8) f ) f ) (A/P,

(A/P, 25%, 17) g) g) (A/P,

103



h) (A/P, 13%, 7)

i) (A/P, 11%, 6)

j) (A/P, 15%, 3)

k ) (F/A, 25%, 30)

l)

(F/A, 4%, 16)

m) (F/A, 16%, 19)

n) (F/A, 12%, 4)

o) (F/A, 6%, 10)

p) (A/F, 9%, 3)

q) (A/F, 30%, 10)

104


Capítulo 4


r) (A/F, 14%, 22)

s) (A/F, 19%, 2)

t) (A/F, 30%, 7)

2. ¿Cuánto dinero debe destinarse ahora para pagar $500 garantizados cada año durante cinco años, a una tasa de rendimiento de 15% anual?

3. ¿Cuánto dinero debe invertir una compañía de seguridad industrial para financiar un proyecto, si espera ingresos de $160 000 anuales durante cinco años? Suponga que la tasa de interés es de 14% anual.

4. ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar una compañía de zapatos para el diseño de una maquinaria que costará $67 850 dentro de cuatro años, si la tasa de rendimiento de la compañía es de 12.5% anual?

5. Para acumular UM 10 000.00 en 90 días, efectuaremos tres depósitos mensuales iguales en un banco que paga el 22.58% de tasa anual. Si el primer abono lo hacemos hoy, ¿cuál será el valor de dicho depósito?

6. ¿Qué monto habré acumulado si efectúo cinco depósitos mensuales iguales de 150 dólares en mi cuenta de ahorros, la cual me paga una tasa mensual de 0.56% con capitalización mensual?

105



7.

Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por cinco años, con la condición que el inquilino pague $9 000 por trimestre vencido. Esta cantidad será depositada en una cuenta de ahorros que paga 8 % nominal anual. Halle el monto en los cinco años y el valor actual del contrato de alquiler.

8.

¿Cuál tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos semestrales que deberán hacerse en una cuenta de ahorros que paga 13% anual, durante 10 años, para que el monto sea de $25 000 después del último depósito?

9.

Calcule los pagos por año vencidos necesarios para cancelar el valor de $100 000 de una propiedad comprada a ocho años, con un interés de 18% anual.

10. Cierta empresa gasta $40 000 cada año en gastos de consultoría. ¿Cuánto podría gastar en la adquisición de nueva tecnología si los servicios de consultoría ya no serán necesarios? Suponga que la empresa usa una tasa de interés de 20% anual y quiere recuperar su inversión en cuatro años.

11. ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar una empresa azulejera por una maquinaria que costará $85 500 dentro de tres años, si la tasa de interés es de 12.5% anual?

12. Una institución tiene programado llevar a cabo campañas de venta entre sus afiliados y considera como monto contado el valor de UM 1 200 para su pago en 36 mensualidades constantes pospagables, con un interés de 2.87% mensual. Calcule el valor de las cuotas mensuales.

106


Capítulo 4


13. ¿Cuál es la cuota mensual que deberé pagar si en lugar de efectuar depósitos en mi cuenta de ahorros para retirarlo después, solicito ahora un crédito de $75 580 para pagar a 12 meses a una tasa efectiva anual de 22% y capitalización mensual?

14. Una compañía maderera necesita ahorrar $95 000 para posibles reemplazos de maquinaria. Si el reemplazo no es necesario durante tres años, ¿cuánto tendrá la compañía en la cuenta si ésta gana un interés de 8% anual?

15. Cierta empresa de calzado desea saber cuánto recuperará de una inversión de $78 000 que efectuó. Estime un periodo de cuatro años con un interés de 14%.

16. Si una empresa deposita $60 000 en un banco que paga 18% de interés anual. ¿Qué monto habrá acumulado después de efectuar 48 abonos?

17. ¿Cuál tiene que ser el importe de cada depósito que deberá hacerse en una cuenta de ahorros que paga 17 % anual, durante 10 años, para que el monto sea de $ 25 000 después del último depósito?

18. El presidente de cierta empresa constructora desea saber el valor futuro equivalente de una inversión de capital de $2 millones anuales durante cuatro años. El capital gana una tasa de 13% anual.

19. El costo de los seguros de vida para cierta empresa es de $30 000. Si espera que el costo del seguro aumente 6% cada año, ¿cuál será el costo dentro de 10 años?

107



20. ¿Cuál es el valor futuro de un costo de almacenaje de $21 500, a ocho años a partir de ahora, con una tasa de interés de 7.5%?

21. ¿Cuál será el costo de mantenimiento de cierta maquinaria que tiene un valor de $15 000, dentro de cinco años, con una tasa de interés de 9%?

22. El dueño de un club de golf quiere saber el valor futuro equivalente de una inversión de $5 millones cada año durante cinco años. El capital se incrementa a una tasa de interés del 8.5% anual.

23. Con objeto de acumular $100 000 en tres años, efectuaremos depósitos mensuales iguales en un banco que paga 22.58% de tasa anual. Si el primer abono lo hacemos hoy, ¿cuál será el valor de dicho depósito?

24. ¿Cuánto dinero necesita depositar Luis cada año, empezando a partir de ahora, a 6% por año, para que pueda acumular $8 000 en siete años?

25. Un fabricante de balatas necesita comprar un camión dentro de tres años. Si la unidad costará $230 000, ¿cuánto debe ahorrar anualmente la compañía si la cuenta gana 18% al año?

108


Capítulo 4


26. Suponga que un conocido consigue un préstamo de $10 000 que liquidará con 10 pagos mensuales iguales y recargos de 24% nominal mensual. ¿De qué monto son los pagos mensuales?

27. La empresa Transportes Ocampo determina que los costos de reparación de sus unidades han disminuido $15 000 mensuales. ¿Cuál es el valor futuro de estos ahorros durante 24 meses a una tasa de interés mensual de 12%?

28. SIMSA desea acumular $50 000 en tres años. ¿Cuánto necesita depositar cada año?

29. ¿Qué cantidad de dinero necesita depositar un contador para poder acumular $300 000 a una tasa de interés de 20% en nueve años?

30. Si se desea acumular $22 933 efectuando una serie de seis pagos anuales, más 7% de interés anual, ¿cuál es el monto requerido de cada pago?

31. Me tracé la meta de comprarme un automóvil usado de $60 000 en 15 meses. ¿Cuánto tendré que depositar mensualmente en mi cuenta de ahorros si la tasa de interés es de 6.5%?

109



4.2

Valores equivalentes de una serie con gradiente 4.2.1 Gradiente aritmético Una condición relativamente común es que los flujos de efectivo aumentan una cantidad uniforme de periodo a periodo. Como se trata de una progresión aritmética, los factores de interés compuesto son útiles para derivar este factor. Se denota la cantidad G o el gradiente aritmético por el cual aumentan los flujos de efectivo uniformemente de un periodo al siguiente (véase figura 4.1). Esto es A j 5 ( j 2 1)G para j 5 1, 2, . . , N , genera una secuencia de los flujos de efectivo 0, G, 2G . . . , (n 2 1)G a finales del periodo 1. 2 . . . , N , respectivamente. Según lo demostrado en la figura 4.2, esta serie aritmética del gradiente se puede describir con N 2 1 series uniformes donde cada una tiene valor futuro equi (1 1 i)N 2 1  valente dado por F 5 A   5 A(F / A, i , N ) . Por tanto, el valor equivalente a i   finales del periodo N de la serie aritmética entera con gradiente es:

 (1 1 i) j 2 1  ∑  i  j51   G G  N 21 F 5  ∑ (1 1 i) j  1 (2N ) i  j50  i N 21

F 5G

1

2

3

…

1

N

2

3

4

…

0 G 2G ( N 1)G

Figura 4.1

Serie aritmética del gradiente.

Figura 4.2

Simplificando:

 1  (1 1 i)N 2 1  N  F 5G   2 i  i i     Para convertir a valor presente P multiplicamos F por (1 1 i)^(2N )

 (1 1 i)N 2 iN 2 1  P 5G   5 G(P / G, i, N) 2 N ( 1 ) 1 i i  

110


N

Capítulo 4


Para convertir una serie con gradiente aritmético en una serie uniforme equivalente A también se puede utilizar la relación:

 (1 1 i)N 2 iN 2 1   5 G( A / G, i, N) N ( 1 ) i i i 1 2  

A 5 G 

Gradiente aritmético positivo Considere una serie de flujos de efectivo como el que se esquematiza en la figura.4.3. Añada un interés de 10% por periodo y determine el valor actual equivalente. La solución depende de reconocer que hay dos series: una serie uniforme de $100 por periodo y una serie con gradiente, donde G 5 $10. i 5 10%

1

2

3

5

4

$100 $110 $120 $130 $140

Figura 4.3

Finales del periodo

Flujo de efectivo

1

$1005$10010($10)

2

$1105$10011($10)

3

$1205$10012($10)

4

$1305$10013($10)

5

$1405$10014($10)

La solución es: P 5 $100( P / A, 10%, 5) 1 $10( P / G, 10%, 5) P 5 $100(3.7911) 1 $ 10(6.862) 5 $ 448 111



Solución en MATLAB Para resolver el problema anterior, es necesario crear una función que sea capaz de calcular el factor de P/G. La función se crea de la siguiente manera: function f5pg(i,N) %Se utiliza el comando function, el cual crea la función. %Para poder usarla se guarda %como archivo.m con el nombre de pg.m f5((11i)^N2(i*N)21)/(i^2*(11i)^N) %Se declara la fórmula que calcula el factor P/G

Una vez creada la función, se realiza el cálculo utilizando la función pg. %Fórmula que calcula el valor %actual equivalente utilizando la %función pa y pg %Para declarar pa y pg es necesario introducir los %rangos, que son el interés(i) y el %número de periodos(n). p5100*pa(0.10,5)110*pg(0.10,5)

Gradiente aritmético negativo Considere la serie de flujos de efectivo mostrados en la figura 4.4, suponga un tipo de interés de 10% por periodo y determine la serie uniforme equivalente. Ahora, observamos que hay dos series encajadas la serie uniforme de $700 por periodo y una serie con gradiente, donde G 5 2$100, es decir, con un valor negativo i 5 10%

1

2

3

4

5 $300 $400

$500 $600 $700

Figura 4.4

112


Capítulo 4


Finales del periodo

Flujo de efectivo

1

$7005$70010(2$100)

2

$6005$70011(2$100)

3

$5005$70012(2$100)

4

$4005$70013(2$100)

5

$3005$70014(2$100)

La solución es: A 5 $700 2 $100( A / G, 10%, 5) A 5 $700 2 $100( 1.810) 5 $5119 Solución en MATLAB Para solucionar el problema anterior, se requiere una función capaz de calcular el factor de A/G. La función se crea de la siguiente forma: % Se utiliza el comando function, el %cual crea la función. Para poder usarla %se guarda como archivo.m con el nombre de ag.m function f5ag(i,N) %Se declara la fórmula que calcula el factor A/G f5((11i)^N2(i*N)21)/((i*(11i)^N)2i)

Luego, se realiza el cálculo utilizando la función ag. %Fórmula que calcula el valor actual %equivalente utilizando la función ag %Para declarar ag es necesario %introducir los rangos que son el interés(i) %y el número de periodos(n). A57002100*ag(0.10,5)

4.2.2 Gradiente geométrico Otro tipo de secuencia del flujo de efectivo es el gradiente geométrico (véase figura 4.5). En este caso, el flujo de efectivo aumenta a finales del periodo una tarifa constante g, tal que para un valor de A1 dado A j1i 5 A j(1 1 g) para j 5 1, 2, . . . . . , N 2 1 113



1

2

3

…

N

A1 A2 A3

A N

Figura 4.5

Serie del gradiente geométrico.

Con el efectivo descontado en la tasa i por periodo, se puede demostrar que el valor actual equivalente de la serie entera de flujos de efectivo está dado por:

 1 2 (1 1 g)N (1 1 i)2N    iZg i g 2   21 i5g 5 A1 N (1 + i)  1 2 (1 1 g)N (1 1 i)2N  El parentesis   genera el factor (P / A1 , i, g , N ). i g 2  

Tablas para este factor —que se basa en valores seleccionados de i, g y N — se  1 2 (1 1 g)N (1 1 i)2N  pueden generar usando la expresión:   i Z g . Este factor también i2g   se puede calcular con los factores (F/P), y (P/F). Resultando así:

 1 2 ( F / P, g , N )( P / F , i, N )   i2g  

( P / A1 , i , g , N ) 5  Ejemplo

Se espera que el costo de fabricación de cierto producto sea $1 00 000 el primer año. Dicho costo aumenta 5% anual en periodos de siete años. Calcule año el valor actual equivalente de estos flujos de efectivo considerando un descuento de 10% y finales de flujos de efectivo anuales. Aquí A1 5 $100 000, i 5 10%, g 5 5% y N 5 7. Solución P 5 $100 000 (P/ A1, 10%, % 7) 5 $100 000 (5.5587) 5 $555 870

i  10% 1

Figura 4.6

Representación de los flujos de efectivo.

2

3

4

$100k g  5% p  ?

114


5

6

7

Capítulo 4


Solución en MATLAB Para resolver el problema anterior, se crea una función que pueda calcular el factor de P/ A1. Dicha función se genera de la siguiente manera: %Se utiliza el comando function, %el cual crea la función. %Para usarla se guarda como archivo.m %con el nombre de pa1.m function f5pa1(i,g,n) %se declara la fórmula que calcula el factor P/A1 f5(12((11g)^n)*(1/(11i)^n))/(i2g)

Una vez creada la función se realiza el cálculo con la función pag. %Fórmula que calcula el valor actual equivalente utilizando la función pag %Para declarar pag es necesario %introducir los rangos, que son el interés(i), %el gradiente (g) y el número de periodos(n). p51000.0000*pa1(0.1,0.05,7)

4.2.3 Factores económicos en MATLAB con vectores Estos factores son los mismos que los anteriores; la diferencia es que permiten evaluar arreglos del mismo tamaño y se introducen como vector. De este modo resulta factible analizar más de un valor de cada factor. o P/A % Se utiliza el comando function el cual crea la % función, para usarla se guarda como % archivo.m con el nombre de pav.m function f5pav(interes,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor P/A f5((11interes).^n21)./(interes.*(11interes).^n) o A/P % Se utiliza el comando function, el cual crea la % función. Para emplearla se guarda como % archivo.m con el nombre de apv.m function f5apv(interes,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor A/P f5(interes.*(11interes).^n)./((11interes).^n21) 115



o F/A % Se utiliza el comando function, el cual crea la % función. Para utilizarla se guarda como % archivo.m con el nombre de fav.m function f5fav(interes,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor F/A f5((11interes).^n21)./interes o F/P % Se utiliza el comando function, el cual crea la % función. Para aplicarla se guarda como % archivo.m con el nombre de fpv.m function f5fpv(interes,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor F/P f5(11interes).^n o A/F % Se utiliza el comando function, el cual crea la % función. Para utilizarla se guarda como % archivo.m con el nombre de afv.m function f5afv(interes,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor A/F f5interes./((11interes).^n21) o P/F % Se utiliza el comando function, el cual crea la % función. Para utilizarla se guarda como % archivo.m con el nombre de pfv.m function f5pfv(interes,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor P/F f5(1./(11interes).^n)

Factores de gradientes Gradientes aritméticos o P/G % Se emplea el comando function, el cual crea la % función. Para utilizarla se guarda como % archivo.m con el nombre de pgv.m function f5pgv(interes,N) % Se declara la fórmula que calcula el factor P/G f5((1.1interes).^N2(interes.*N)21)./... (interes.^2.*(1.1interes).^N)

116


Capítulo 4


o A/G % Se usa el comando function, el cual crea la % función. Para utilizarla se guarda como % archivo.m con el nombre de agv.m function f5agv(interes,N) % Se declara la fórmula que calcula el factor A/G f5((11interes).^N2(interes.*N)21)./... ((interes.*(11interes).^N)2interes)

Gradiente geométrico o P/A1 % Se usa el comando function, el cual crea la % función. Para utilizarla se guarda como % archivo.m con el nombre de pa1v.m function f5pa1v(interes,g,n) % Se declara la fórmula que calcula el factor P/A1 f512((11g).^n).*(1./(1.1interes).^n)./(interes2g) Ejemplo

Supongamos que se quiere calcular P/ A con varias tasas de interés (10%, 11% y 12%) durante un quinquenio. Solución en MATLAB % Para calcular el valor del factor P/A % se utiliza la funcion pav y se % introducen los valores del % interés en forma de vector % [.10,.11,.12] y el valor de n55 pav([.10,.11,.12],5)

Se quiere conocer el valor del factor P/ A para diferentes tasas de interés y diversos periodos. Aquí i 5 9%, 12% y 15%, y n 5 7, 9 y 12. % Para calcular el valor del factor P/A % se utiliza la funcion pav y se % introducen los valores del interés % como %[.09,.12,.15] y los valores de n % en forma de vector [7,9,12] pav([.09,.12,.15],[7,9,12])

117



Ejercicios para desarrollar 1. Una compañía que fabrica carpetas ha invertido $ 30 30 000 por año para pagar una nueva maquinaria que tendrá que pagar durante los siguientes 5 años. Si la compañía espera pagar $12 000 en el año, año, ¿cuánto espera la compañía de aumento uniforme (constante), por año, en el costo de esta maquinaria? Suponga que la compañía usa una tasa de interés de 10% anual.

refacciones para bicicletas compra un sistema de cómputo cómputo 2. Una compañía distribuidora de refacciones para llevar un control de sus inventarios. Esto beneficia logrando un ahorro de $12 000 el primer año, $13 000 el segundo y cantidades crecientes en $1 000 cada año, durante los siguientes 9 años, ¿cuáles son a) el valor presente, b) el valor anual uniforme del sistema a una tasa de interés de 15% anual?

3. Un vendedor de partes automotrices automotrices espera espera gastar $1 000 000 000 en publicidad el primer año, con cantidades decrecientes de $100 000 cada año. Se espera que el ingreso sea de $4 000 000 el primer año. Determine el valor presente del flujo de efectivo neto de la compañía durante 5 años a una tasa de interés de 15% anual.

algunos de sus sus equipos. La La compañía 4. Una fábrica de equipo de cómputo considera reemplazar algunos espera lograr ahorros en el costo de $4 000 el primer año y cantidades crecientes de $850 cada año, durante los siguientes 5 años, a una tasa de interés de 12% anual, ¿cuál es el valor presente total de los ahorros?

118


Capítulo 4


5. Encuentre el valor valor futuro de una serie de inversiones que comienza en $1 000 en el año 1 y auaumenta 10% cada año durante los 20 años siguientes. Suponga que la tasa de interés es de 15% anual.

geométrico de pagos pagos donde la cantidad en el año 6. Calcule el valor futuro de una serie gradiente geométrico 1 sea $2 000 y cada cantidad siguiente aumente 10% anual. anual. Utilice una tasa de interés anual de 15% y un periodo de 7 años.

7. Encuentre el valor futuro de una serie de inversiones que comienza en $10 000 en el año 1 y aumenta 12% cada año durante 15 años, asumiendo que la tasa de interés es del 18%.

ingeniero industrial planea ahorrar para su retiro. Si su primer depósito es de $2 000 y éstos 8. Un ingeniero aumentan $500 cada año, ¿cuánto tendrá ahorrado después de 9 años, si la tasa de rendimiento anual es de 14%?

planea realizar depósitos de tal modo que que cada uno sea 5% 9. Una compañía administradora planea mayor que el anterior. ¿De cuánto debe ser el segundo depósito si se extiende hasta el año 10 y el cuarto depósito es de es de $1 250? La tasa de interés es de 10% anual.

119



4.3

Teoría de colas 4.3.1 Modelos de colas colas basados en el proceso nacimiento-muerte Varios de los modelos de colas se pueden representar con el proceso nacimiento-muerte esquematizado en la figura 4.7. Como se puede asignar cualquier valor no negativo a cada una de las tasas medias λ0 , λ1 , ..... y µ1 , µ2 . ..... , el proceso nacimiento-muerte cuenta con una gran flexibilidad para modelar un sistema de colas. Los modelos difieren sólo en los supuestos sobre cómo cambian las λ i y las µ i , según el estado n.

λ 0

0

λ 1

1

µ0

λ 2

2

λ n

3

µ2

...



n1

µ3

λ n

1

n

µn

n1

µn



1

Representación del proceso nacimiento-muerte.

Figura 4.7

En la figura 4.8 se muestra el diagrama de tasas para un sistema de espera donde las llegadas son de tipo Poisson con media λ, los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con media (1/m) y hay s servidores idénticos en paralelo. Este modelo se conoce por su notación como M como M/ / M/ M/S.

λ

0

λ

1

µ

λ

2

2µ Figura 4.8

λ

3

...

3µ

S1

λ

S

Sµ

S 1

Sµ

Diagrama de tasas con varios servidores.

4.3.2 Modelos M / M M / S S Es fácil ver que para este sistema se tiene mn 5 nm cuando n # s, mientras que mn 5 sm cuando n cuando n $ s, ya que los s servidores están ocupados.

120


Capítulo 4


λ y ρ , 1, es sµ posible llegar a las expresiones exactas de ciertas medidas de desempeño del sistema, como longitud promedio de la fila Lq, tiempo promedio de espera en el sistema W , probabilidad de estado estable Pn, etcétera. Algunos resultados para este sistema M/ M/S son:

Cuando sm excede la tasa media de llegadas λ, es decir, cuando p 5

n s    λ   λ   s21       µ   µ  1   P0 5 1 / 1 + ∑ 1 λ  n! s! n21  12  sµ   

Por tanto:

 (λ / µ )n  n ! P0  Pn 5   (λ / µ )n  n 2 s P0  s ! s

si

0#n# s

si n $ s

También: P0 (λ / µ )s p

∞

Lq 5

∑ (n 2 s)P 5 s !(1 2 p) n

n5s

2

En consecuencia: W q 5

Lq λ

1 µ λ L 5 Lq 1 µ

W 5 W q 1

A continuación mostramos las funciones en MATLAB que calculan algunas de las medidas de desempeño mostradas para este sistema de espera. 1. La función en MATLAB para el cálculo de P0 es: % % % %

Se utiliza el comando function, el cual crea la función. Para usarla posteriormente, se guarda como archivo m con el nombre de pcero.m A continuación, se expresa la ecuación para

121



% calcular la probabilidad de que el sistema esté vacío. function f5pcero(lamda,miu,numser) suma50; for i50:numser21, suma 5 suma1(lamda/miu)î/factorial(i); end f51/(suma 1 ((lamda/miu)^numser) / factorial(numser) *... (1 / (12lamda/ (numser*miu) )))

2. La función en MATLAB para el cálculo de Lq es: % Se utiliza el comando function, el cual crea % La función para calcular el número % promedio de entidades en espera en la fila function f5Lq(lamda,miu,numser) % Observe que se está llamando a la función % que calcula la probabilidad de que el % sistema se encuentre vacío pcerop5pcero(lamda,miu,numser) f5(pcerop*(lamda/miu)^numser* lamda / (numser*miu)) /... (factorial (numser) * (12lamda/(numser*miu))^2)

Ejercicios para desarrollar 1. Genere los scripts necesarios para calcular W q, W y L en un modelo M/ M/S.

2. Un sistema de espera consta de cinco servidores en paralelo con un tiempo promedio de servicio de 2 minutos, las llegadas son a razón de 2 cada minuto. Calcule W q, W , L y Lq.

122


Capítulo 4


3. Los clientes de un centro comercial llegan a las ventanillas de cobro, según la distribución Poisson, entran a las 9:00 a.m. y las 12:00 p.m. a un ritmo medio de 35 por hora. Durante el periodo de 9:00 a.m. a las 12:00 p.m., el centro tiene 4 cajas trabajando. El tiempo promedio para atender a un cliente es de 2.5 minutos, este tiempo de servicio sigue una distribución exponencial. ¿Cuánto tiempo promedio un cliente pasará en la fila de espera antes de llegar a la caja?

4. En cierto salón de belleza se cuenta con una cámara de bronceado, los usuarios pasan 8 minutos en promedio en el aparato, siguiendo una distribución exponencial y entran en la cabina de acuerdo con un proceso de Poisson a un ritmo de cinco por hora.

a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente debe de esperar en la fila para usar la cabina de bronceado?

b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera para usar la cabina?

5. Los clientes llegan al azar a una pizzería entre las 4:00 p.m. y las 7:00 p.m., con un ritmo promedio de 14 por hora de acuerdo con la distribución Poisson. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial y el tiempo promedio de servicio depende del empleado contratado. La tienda tiene tres prospectos que pueden contratar en ese turno. Si la compañía valora en $5 cada hora que un cliente pasa haciendo cola o cuando recibe atención, ¿cuál de los siguientes solicitantes debe ser contratado como empleado nocturno?

Salario (pesos)

Tiempo promedio de servicio (minutos)

Juan

8/hr

4

Luis

13/hr

2.5

Brenda

18/hr

1

Empleado

123



6. Una patrulla de caminos de la autopista México-Querétaro inspecciona al azar los camiones. En un día en particular, cinco patrullas han formado una estación de inspección para compro bar el tonelaje de cada camión. Siempre que una de las cinco patrullas se encuentra libre, se hace salir de circulación al siguiente camión que pase por el punto de inspección. Cuando las cinco unidades están ocupadas no se detiene a ningún camión. Los camiones circulan de acuerdo con un proceso Poisson. En promedio, un camión se aproxima a la estación de inspección cada 20 segundos, la cual dura 9 minutos en promedio.

a) ¿Qué proporción de camiones se revisará?

b) En promedio, ¿a cuántos camiones se les revisa la carga?

7. Una compañía procesadora de tarjetas emplea tres trabajadores en su departamento de procesamiento de pedidos. Cada uno procesa pedidos de acuerdo con una distribución exponencial con una media de 8 minutos. Las llegadas de los clientes siguen un proceso Poisson con una media de 21 usuarios por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los trabajadores estén ocupados?

b) En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar un pedido antes que empiece un procesamiento?

124


Capítulo 4

4.4


Programación lineal El uso de operaciones con los elementos de una matriz es particularmente útil para ejemplificar el método simplex de programación lineal. En este tipo de solución mediante MATLAB es necesario tomar decisiones conforme se efectúan ciertas operaciones; es decir, no se trata de un programa capaz de sólo pedir información del modelo matemático y resolverlo de manera automática. El estudiante debe pensar y recapacitar en el algoritmo simplex en cada iteración.

4.4.1 Método simplex Suponga que deseamos resolver el siguiente modelo de PL con el método simplex tabular: máx(60 x1 1 30 x2

+ 20 x3 )

s.a. 8 x1 1 6 x2 1 x3 # 48 4 x1 1 2 x2 1 1.5 x3 # 20 2 x1 1 1.5 x2 1 0.5 x3 # 8 x2 # 5 x1 , x 2 , x 3 $ 0 Donde:

s.a. 5 Sujeto A

Este problema se resuelve con la siguiente serie de pasos establecidos por el método simplex: Forma canónica 0

Renglón

Variable básica

0

z 2 60x1

230x2

1

8x1

16x2

2

4x1

12x2

11.5x3

3

2x1

1.5x2

0.5x3

4

220x3

x3

1s1 1s2 1s3

x2

1s4

5 0

z 5 0

5 48

s1 5 48

5 20

s2 5 20

5 8

s3 5 8

5 5

s4 5 5

125



Forma canónica 1

Renglón

09

Variable básica

z

115x2

25x3

19

2x3

29 39

x1

49

2x2

10.5x3

1.75x2

10.25x3

1s1 1s2

x2

130s3

5 240

z 5 240

24s3

5 16

s1 5 16

22s3

5 4

s2 5 4

10.5s3

5 4

s1 5 4

1s4

5 5

s4 5 5

Forma canónica 2

Renglón

00

Variable básica

z

15x2

110s2

110s3

5 280

z 5 280

10

22x

1s1

12s2

28s3

5 24

s1 5 24

20

22x2

1x3

12s2

24s3

5 8

x3 5 8

20.5s2

11.5s3

5 2

x1 5 2

1s4

5 5

s4 5 5

30

x1

40

11.25x2

x2

Solución en MATLAB %Se declara la matriz representada en el %ejemplo por la forma canónica 0 X5 [ 1 260 230 220 0 0 0 0 0 0 8 6 1 1 0 0 0 48 0 4 2 1.5 0 1 0 0 20 0 2 1.5 0.5 0 0 1 0 8 0 0 1 0 0 0 0 1 5] % % % %

Para obtener los cocientes se divide el lado derecho entre la segunda columna. Así vemos que el valor menor está en el renglón 4 (Por tanto, aquí está

126


Capítulo 4


% la variable que sale de la base) cociente_15X(:,9)./X(:,2) % El renglón 4 se multiplica por 0.5 para % tener 1 en la posición del renglón 4 % columna 2 x (4,:)50.5*X(4,:) % El renglón 4 se multiplica por 60 y se % suma al renglón 1 para dejar en % cero la posición del renglón 1, columna 2. x (1,:)560*X(4,:)1X(1,:) % El renglón 4 se multiplica por 28 y se % suma el renglón 2 para dejar en cero % la posición del renglón 2, columna 2 x (2,:)528*X(4,:)1X(2,:) % El renglón 4 se multiplica por 24 y se % suma el renglón 3 para dejar en cero % la posición del renglón 3, columna 2 x (3,:)5 24*X(4,:)1X(3,:) % Para obtener los cocientes se divide el % lado derecho entre la columna 3 y así % obtenemos que el valor menor está en % el renglón 3 (Por tanto, aquí está % la variable que sale de la base) cociente_25X(:,9)./X(:,3) % El renglón 3 se multiplica por 2 para % dejar 1 en la posición del renglón 3, % columna 2 x (3,:)52*X(3,:) % El renglón 3 se multiplica por 5 y se % suma el renglón 1 para dejar en cero % la posición del renglón 1, columna 4 x (1,:)55*X(3,:)1X(1,:) % El renglón 3 se multiplica por 1 y se suma % el renglón 2 para dejar en cero la posición % del renglón 2, columna 4 X(2,:)51*X(3,:)1X(2,:) % El renglón 3 se multiplica por 2.25 y se % suma el renglón 4 para dejar en cero la % posición del renglón 4, columna 4 X(4,:)52.25*X (3,:)1X(4,:)

127



Ejercicios para desarrollar Resuelva por método simplex tabular con MATLAB 1. Maximice Z 5 2x1 1 x2

Sujeta a: # 2 X 2 # 2 X 1 1 X 2 # 2

X 1

y X 1 $ 0

X 2 $ 0

2. Maximice Z 5 6x1 1 4x2

Sujeta a: 4X 1 1 X 2 # 12 x1 1 4X 2 $ 30 y X 1 $ 0

X 2 $ 0

3. Maximice Z 5 x1 1 2x2 1 4x3

Sujeta a: 3x1 1 x2 1 5x3 # 10 X 1 1 4x2 1 x3 # 8 2X 1 1X 3 # 7 y X 1 $ 0

X 2 $ 0

X 3 $ 0

128


Capítulo 4


4. Maximice Z 5 4x1 1 3x2 1 6x3

Sujeta a: 3X 1 1 x2 1 3x3 # 30 2X 1 1 2x2 1 3x3 $ 8 X 1 $ 0

X 2 $ 0

X 3 $ 0

5. Maximice Z 5 2x1 2 x2 1 x3

Sujeta a: 3X 1 1 x2 1 x3 # 6 X 1 2 x2 1 2x3 # 1 x1 1 x2 2 X 3 # 2 X 1 $ 0

X 2 $ 0

X 3 $ 0


Sujeta a: 23X 1 1 x2 X 1 1 2x2 x1 2 x2 2X 1 1 2x2

# 1 # 20 # 10 # 5

y X 1 $ 0

X 2 $ 0


Sujeta a: 3X 1 1 2x2 $ 42 4X 1 1 3x2 # 60 x1 1 x2 # 18 y X 1 $ 0

X 2 $ 0

129



8. Maximice Z 5 3x1 1 x2 1 4x3

Sujeta a: 2X 1 1 x2 1 3x3 # 60 3X 1 13x2 1 5x3 # 120 y X 1 $ 0

9.

X 2 $ 0

X 3 $ 0

Maximice Z 5 3x1 1 2x2 1 7x3 Sujeta a: 2X 1 1 x2 5 10 2X 1 2 x2 1 x3 # 10

y X 1 $ 0

X 2 $ 0

X 3 $ 0

10. Maximice Z 5 5x1 1 4x2 2 x3 1 3x4

Sujeta a: 3X 1 1 2x2 2 3x3 1 x4 # 24 3X 1 1 3x2 1 x3 1 3x4 5 36 2X 1 1 X 3 # 7 y X 1 $ 0

X 2 $ 0

X 3 $ 0

X 4 $ 0

130


Capítulo 4

4.5


Teoría de inventarios Los problemas de inventario consisten en fincar y recibir pedidos de cierto volumen, repetidas veces y a intervalos determinados. Para saber cuándo se debe ordenar un pedido, se calcula el lote económico (EOQ, por sus siglas en inglés de economic order quantity) minimizando el siguiente modelo de costo: Costo total del inventario 5 Costo de compra 1 Costo de reparación 1 Costo de almacenamiento 1 Costo faltante Por otro lado, la colocación de los pedidos depende del tipo de sistema de inventarios con que se cuente. Si el sistema requiere una revisión periódica, el momento para efectuar el nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. Si el sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el nivel de inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado punto de reorden.

4.5.1 Modelos determinísticos de revisión continua La situación de inventarios más común que enfrentan fabricantes, distribuidores y comerciantes es que los niveles de inventario se reducen con el tiempo y después se reabastecen con la llegada de nuevas unidades. Una representación de esta situación es el modelo del lote económico o modelo EOQ. Se supone que los artículos considerados (existencias) saldrán en forma continua a una tasa constante conocida y denotada por a; es decir, la demanda es de a unidades por unidad de tiempo. Se supone también que el inventario se reabastece al producir u ordenar un lote de tamaño fijo (Q unidades), donde las Q unidades llegan juntas en el tiempo deseado. Para el modelo EOQ básico los únicos costos son: K 5 costo de preparación para producir u ordenar un lote. c 5 costo de producir o comprar cada unidad. h 5 costo de mantener el inventario por unidad y por unidad de tiempo. El objetivo es determinar con qué frecuencia y en qué cantidad reabastecer el inventario de manera que se minimice la suma de estos costos por unidad de tiempo. En este caso se supondrá revisión continua, por lo que el inventario se puede reabastecer cuando el nivel baje lo suficiente; asimismo, se supondrá que no se admiten faltantes. Con la tasa de demanda fija, se pueden evitar los faltantes reabasteciendo los inventarios cada vez que el nivel baje a cero y esto también minimizará el costo de mantener el inventario. En la figura 4.9 se describe el patrón de los niveles de inventario que resulta al comenzar en el tiempo 0 si se produce u ordena un lote de Q unidades, con el fin de aumentar el inventario inicial de 0 a Q y repetir el proceso cada vez que el inventario desciende a 0.

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Nivel de inventario Q

Q

2

a t

Tamaño de lote Q 0 Figura 4.9

Q a

2Q a

Tiempo t

Nivel de inventario como función del tiempo para el modelo básico EOQ.

4.5.2 Modelo EOQ básico Además de los costos especificados, el modelo EOQ básico permite plantear las siguientes suposiciones.

Suposiciones (modelo EOQ básico) 1. Se conoce la tasa de demanda de a unidades por unidad de tiempo. 2. La cantidad ordenada (Q) para reabastecer el inventario llega junta cuando se desea; es decir, cuando el nivel de inventario baja a cero. 3. No se permite planear faltantes.

En cuanto a la suposición 2, es común que transcurra un lapso desde que se coloca una orden hasta el momento en que se recibe. Como ya se mencionó, el tiempo entre colocar una orden y recibirla se conoce como tiempo de entrega. El nivel de inventario en que se ubica la orden se llama punto de reorden para satisfacer la suposición 2. Este punto de reorden debe ser el producto de la tasa de demanda por el tiempo de entrega. Así, en la suposición 2 se asume un tiempo de entrega constante. El tiempo entre reabastecimientos consecutivos del inventario (los segmentos de recta verticales en la figura 4.9) es conocido como ciclo. En general, la longitud del ciclo es Q/a. El costo total por unidad de tiempo, T , se obtiene a partir de los siguientes componentes: Costo por ciclo de producir u ordenar 5 K 1 cQ El nivel de inventario promedio durante un ciclo es (Q 1 0)/2 5 Q/2 unidades y el costo correspondiente es hQ/2 por unidad de tiempo. Como la longitud del silo es Q/a, el costo de mantener inventario por ciclo es igual a ((hQ2)/(2a)). Por tanto, el costo total por ciclo resulta: K 1 cQ 1 ((hQ2)/(2a)) Entonces, el costo total por unidad de tiempo es: T 5 ((K 1 cQ 1 hQ2/(2a))/(Q/a)) 5 ((aK )/Q)1ac 1 ((hQ)/2) 132


Capítulo 4


El valor de Q, digamos Q*, que minimiza a T se encuentra igualando a cero la primera derivada (siempre que la segunda derivada sea positiva). ((dT )/(dQ)) 5 2((aK )/(Q2)) 1 (h/2)50 de manera que: Q* 5

2aK h

que es la fórmula EOQ (o fórmula de la raíz cuadrada). El tiempo de ciclo correspondiente, llámese t*, está dado por: t* 5 ((Q*)/a) 5

2K ah

Es interesante observar que Q* y t* cambian de manera intuitivamente aceptable cuando se altera K , h o a. Cuando el costo fijo K crece, tanto Q* como t* aumentan (esto significa menos preparaciones). Si el costo unitario de mantener h sube, Q* y t* disminuyen (los niveles de inventario son menores). Conforme la tasa de demanda, a, crece, Q* se incrementa (lotes más grandes), pero t* disminuye (preparaciones más frecuentes). En MATLAB estas operaciones se pueden aplicar de la siguiente manera: % MODELO DE INVENTARIO SIN FALTANTES Y ABSTECIMIENTO INMEDIATO % a 5 demanda, c 5 costo del artículo, % Q 5 cantidad por ordenar, % h 5 costo por faltante, K5 costo de ordenar, % ct5costo total ($/u.t) % Se definen las variables que se utilizarán syms a c Q h K t % Comando para mostrar % los resultados de las operaciones echo on % Fórmula para calcular el costo total ct5a*c1Q*h/21a*K/Q; % Se calcula la derivada con respecto a Q de la % ecuación del costo total. fp5diff(ct,Q) % Se resuelve la ecuación obtenida en la % derivada para encontrar el valor de Q Q5solve(fp,Q) % Se escoge la solución positiva % alojada en el índice 1 Q 5 Q(1) % Se simplifica la ecuación obtenida en Q z5simple(simple(Q)) 133



% Se obtiene la ecuación de t t 5 z / a % Se da una buena presentación a z pretty(z) % Se da una buena presentación a t pretty(t) % Se solicitan los datos necesarios: AI5input(‘valor de la demanda > ‘); cI5input(‘valor del costo unitario por articulo > ‘) hI5input(‘valor del costo por mantener el inventario > ‘) KI5input(‘valor del costo de ordenar > ‘) % Se sustituyen todos los valores en Q q5subs(Q,{a,c,h,K},{AI,cI,hI,KI}) % Se visualiza el valor de q como un valor real. double(q) % Se reemplazan los valores en partes. % Primero sustituimos el valor para la demanda D q5subs(Q,a,AI) % Se cambia el costo de mantener el inventario q5subs(q,h,hI) % Se sustituye el costo de ordenar un lote q5subs(q,K,KI) % Cálculo del tiempo de ciclo correspondiente tc 5 subs(t,{a,c,h,K},{AI,cI,hI,KI}) double(tc)

Se aplicarán estas fórmulas para Q* y t*, utilizando los datos del siguiente caso: Una compañía que produce televisores elabora sus propias bocinas para usarlas en la fabricación de los aparatos. Los televisores se ensamblan en una línea de producción continua a una tasa de 8 000 unidades por mes y cada televisor necesita una bocina. Las bocinas se producen por lotes, pues no justifican toda una línea de producción, y se pueden elaborar cantidades relativamente grandes en un tiempo corto. Por tanto, estas bocinas se colocan en inventario hasta que se necesitan para ensamblarlas en los televisores en la línea de producción. La compañía está interesada en determinar cuándo producir un lote de bocinas y cuántas producir en cada lote. Es necesario tomar en cuenta varios costos: 1. Cada vez que se genera un lote, se incurre en un costo de preparación de $12 000. Esta cantidad incluye el costo de preparar máquinas y herramientas, los costos administrativos y los de registros, entre otros. 2. El costo unitario de producción de una bocina (excluye el costo de preparación) es $ 10, sea cual sea el tamaño del lote fabricado.

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Capítulo 4


3. La producción de bocinas en grandes lotes lleva a un inventario grande. El costo mensual de almacenamiento por bocina es de $0.30.

Los valores apropiados de los parámetros dados son: K 5 12 000.00, h 5 0.30, a 5 8 000 de manera que si ejecutamos el script que se desarrolló en MATLAB y lo alimentamos con estos datos, el resultado es: Q* 5 25 298 y t* 5 3.1623 Como consecuencia, la solución óptima es preparar la línea de producción de bocinas cada 3.2 meses y producir 25 298 unidades cada vez.

Ejercicios para desarrollar 1. Suponga que la demanda mensual de un producto es de 30 unidades y que los artículos se retiran a una tasa constante. Si el costo de preparación de cada corrida de producción para reabastecer el inventario es de $15, el costo de producción es de $1 por artículo y el costo mensual de mantener el inventario es de $0.35 por artículo.

a) Suponga que no se permiten faltantes y determine cada cuándo realizar corridas de producción y el número de artículos que se deben producir.

b) Sí se permiten faltantes, pero se tiene un cargo extra de $2.50 mensual por artículo, determine cada cuántos días debe efectuarse la corrida de producción y el volumen de producción.

2. La demanda semanal de un producto es de 600 unidades y los artículos se retiran a una tasa constante. El costo de colocar una orden para reabastecer el inventario es de $25, el costo unitario es de $4 y el costo semanal de mantener el inventario es de $0.10 por artículo a la semana.

a) Suponga que no se permiten faltantes. Determine cuándo y cuánto debe ordenarse.

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Solución de Problemas en Ingeniería Con Matlab

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