02OAKMN - Elementi di Costruzione e Disegno di Macchine a.a. 2014/2015 ESERCITAZIONE ESERCITAZIONE 4 CM: Solidi assialsimmetrici
E.1
Un tubo spesso in acciaio (E = 2105 MPa, = 7800 kg/m 3, = 0.3, = 1110-6 °C-1) con diametro interno Di = 300 mm e diametro esterno D esterno De = 400 mm, ha entrambe le estremità incastrate. Il tubo è soggetto a una pressione interna p interna pi = 100 MPa e a un riscaldamento uniforme T = T = 50 °C. Calcolare la tensione ideale al bordo interno secondo l’ipotesi l’ipotesi di cedimento di Von Mises. [ id = 427 MPa]
E.2
E.3
E.4
E.5
E.6
E.7
E.8
Un tubo radialmente sottile in acciaio ( E = = 2105 MPa, = 0.3) con raggio interno r i = 55 mm e raggio esterno r e = 60 mm è premuto dall’interno da una pressione pi 10 MPa. Considerando un tratto di tubo
libero, calcolare lo spostamento radiale al bordo interno. [ui =31.1 m] Un anello sottile in acciaio ( E = E = 2105 MPa, = 7800 kg/m3) con diametro interno D interno Di = 300 mm e spessore radiale s radiale s = 10 mm, ruota alla velocità = 15000 giri/min. Calcolare lo spostamento al bordo esterno. [ue = 394 m] Un albero pieno in acciaio ( E = E = 2105 MPa, = 0.3) con De = 300 mm è caricato al bordo esterno da una tensione radiale di trazione e quindi presenta uno spostamento radiale del bordo esterno ue = 70 m. L’albero è assialmente assialmente libero e quindi z = 0 MPa. Calcolare la tensione circonferenziale al centro dell’albero. [cc = 133 MPa] Un recipiente sottile in acciaio ( R p0,2 = 285 MPa), di raggio interno r i = 150 mm, deve contenere un fluido alla pressione pi = 4 MPa. Calcolare lo spessore necessario per garantire un fattore di sicurezza CS = 1.5 (adottare l’ipotesi di cedimento della tensione tangenziale massima o di Tresca). [s=3.23 mm] Un tubo spesso, cilindrico, in acciaio ( E = = 21011 Pa, = 0.3), con estremi incastrati e raggi r e = 130 mm, r i = 100 mm, è soggetto a una pressione interna di 8 MPa. Calcolare la tensione assiale. [z = 7 MPa] Calcolare la variazione di temperatura uniforme a cui deve essere sottoposto un tubo in acciaio ( E ( E = = 2105 MPa, = 0.3, = 1210-6 °C -1), con D con Di = 200 mm e D e De = 400 mm e le estremità non vincolate, affinché il diametro interno aumenti di 0.1 mm. [T = 42 °C] Un disco o un tubo abbiano: - d e diametro esterno costante, - d i diametro interno variabile, - d i / d e variabile tra 1 e 0.1 con intervalli di 0.1, - pe pressione applicata al bordo esterno. Su un unico diagramma tracciare gli andamenti di r e c adimensionalizzati rispetto al valore della tensione radiale re in funzione di d/d e. Detta c,m=-ped e /(d /(d e-d ) la i) la tensione circonferenziale media, tracciare gli andamenti di c / / c,m in un unico diagramma in funzione di d/d e. Tracciare l’inviluppo del valore c / / c,m al raggio interno in funzione di d/d e. E’ possibile trovare analogie con quanto visto in presenza di intaglio? intag lio?
1
Soluzioni esercizi Un tubo spesso in acciaio (E = 2105 MPa, = 7800 kg/m 3, = 0.3, = 1110-6 °C-1) con diametro interno Di = 300 mm e diametro esterno De = 400 mm, ha entrambe le estremità incastrate. Il tubo è soggetto a una pressione interna pi = 100 MPa e a un riscaldamento uniforme T = 50 °C. Calcolare la tensione ideale al bordo interno secondo l’ipotesi di cedimento di Von Mises. Soluzione:
Per un tubo spesso B A r r i A B c r i
2
2
Imponendo le condizioni al contorno (sul bordo interno e sul bordo esterno) B p 100 A ri i r i 2 E.1
0 A B re r e2
Dalla seconda – la prima si ricava B = 5,143 10 6 MN e poi per sostituzione si ricava A = 129 MPa
ri pi 100 MPa Al bordo interno quindi: B A 358 MPa ci 2 r i Dalla condizione di vincolo (tubo incastrato) si ha
z 0
1 E
z
c r T
da cui si calcola
z 2 A E T 33 MPa
Le tre tensioni principali al raggio interno sono quindi:
ci 1
zi 2
ri 3
La tensione ideale di Von Mises vale, al bordo interno, id
1 2
ci
ri
2
ci
zi
2
ri
zi
2
427 MPa
Un tubo radialmente sottile in acciaio ( E = 2105 MPa, = 0.3) con raggio interno r i = 55 mm e raggio esterno r e = 60 mm è premuto dall’interno da una pressione pi 10 MPa. Considerando un tratto di tubo
libero, calcolare lo spostamento radiale al bordo interno. r pi 10 MPa
c E.2
p i r i
110 MPa
s z 0 MPa
ui
c
1 p r p r r z i i pi i i E E E s E s r r r i c i pi i 31.1m E s
c
2
Un anello sottile in acciaio ( E = 2105 MPa, = 7800 kg/m3) con diametro interno Di = 300 mm e spessore radiale s = 10 mm, ruota alla velocità = 15000 giri/min. Calcolare lo spostamento al bordo esterno. Soluzione:
Al bordo esterno si ha re
r e
0
150 10 160mm
Attenzione: per il calcolo della E.3
ce
dovuta al carico centrifugo occorre stare attenti alle unità di misura,
occorre utilizzare tutte le unità di misura nel SI, inoltre la velocità di rotazione fornita in giri/min va convertita in rad/s: 2
0
2
ce
r
2 15000 2 7800 160 103 493 106 Pa 493 MPa 60
2
e
C
C
E
2,46 103
Lo spostamento radiale risulta quindi ue
ce
r e
ce
E
r e
394 m
Un albero pieno in acciaio ( E = 2105 MPa, = 0.3) con De = 300 mm è caricato al bordo esterno da una tensione radiale di trazione e quindi presenta uno spostamento radiale del bordo esterno ue = 70 m. L’albero è assialmente libero e quindi z = 0 MPa. Calcolare la tensione circonferenziale al centro dell’albero. Soluzione:
L’albero è pieno, quindi la costante di integrazione riducono a E.4
r A c A
B
0
e le tensioni radiale e circonferenziale si
in tutto l’albero e in particolare al centro
Lo spostamento al bordo esterno è ue
r e
A u e
ce
r e
E
r e 1
ce
E 133
re
r e
A E
(1 ) da cui si ricava:
MPa e quindi si calcola
cc
3
c
A 133 MPa
Un recipiente sottile in acciaio ( R p0,2 = 285 MPa), di raggio interno r i = 150 mm, deve contenere un fluido alla pressione pi = 4 MPa. Calcolare lo spessore necessario per garantire un fattore di sicurezza CS = 1.5 (adottare l’ipotesi di cedimento della tensione tangenziale massima o di Tresca). Soluzione:
Al bordo interno (bordo maggiormente sollecitato) del tubo sottile le tensioni principali valgono , 2 zi pi r i /2 s ci / 2 , 3 ri pi 1 ci pi r i / s E.5
Dalla definizione di coefficiente di sicurezza R p 0, 2 R p 0, 2 CS (utilizzando l’ipotesi di cedimento di Tresca)
id
1
3
si ricava R p 0, 2 R p 0, 2 e quindi si calcola CS pi r i r i s pi pi s s pi CS s r i 3.23 mm R p 0, 2 pi CS
Un tubo spesso, cilindrico, in acciaio ( E = 21011 Pa, = 0.3), con estremi incastrati e raggi r e = 130 mm, r i = 100 mm, è soggetto a una pressione interna di 8 MPa. Calcolare la tensione assiale. Soluzione:
E.6
2 e 0 A B / r e 2 r i r c.c. A p 11,6 MPa 2 2 2 r e r i r i p A B / r i z ( r c ) 2 A 7 MPa
Calcolare la variazione di temperatura uniforme a cui deve essere sottoposto un tubo in acciaio ( E = 2105 MPa, = 0.3, = 1210-6 °C -1), con Di = 200 mm e De = 400 mm e le estremità non vincolate, affinché il diametro interno aumenti di 0.1 mm. Soluzione:
E.7
Dai dati si ricava la deformazione circonferenziale c: 2 Di , finale 2 Di ,iniziale Di , finale Di ,iniziale Di c
2 Di ,iniziale
Di ,iniziale
Di
Dato che non ci sono altri carichi tipo pressioni: c T
Da cui si ricava: T
c
0.0005i 12 10
6
42 C
4
0.1 200
0.0005
0
-2
Di/De
-4
-6
-8
-10
-12 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.9
1
D/De
E.8
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
D/De
5
0.7
0.8
