Yangki Sulaeman 10209014
FISIKA STATISTIK SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi.
a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan! b. Tentukan banyaknya keadaan kuantum dalam selang energi dan c. Jika persamaan untuk kerapatan energi ( dituliskan sebagai berikut :
∫
maka tentukanlah f( )! d. Tentukan kebergantungan energi sistem ( ) terhadap temperature ( )! e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah ! (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan! Potensial dari gas foton akan bernilai nol, hal ini diakibatkan akibat jumlah foton setelah mengalami interaksi tidaklah sama seperti jumlah sebelum mengalami interaksi (pada kasus radiasi benda hitam). Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_gas http://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_potential
b. Banyaknya keadaan kuantum dalam selang energi ditentukan dengan menggunakan
dan
dapat
Yangki Sulaeman 10209014
dengan
|| | maka
mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka
maka dengan menggunakan
|| | maka
Yangki Sulaeman 10209014
dengan
|| | maka
mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka
maka dengan menggunakan
|| | maka
Yangki Sulaeman 10209014
c. Jika persamaan untuk kerapatan energi (
∫
dituliskan sebagai berikut :
maka tentukanlah f( )! dari soal 1b didapatkan
maka bentuk dari kerapatan energi pada selang bentuk
dan
dengan
yang merupakan fungsi probabilistik Bose-Einstein untuk gas foton maka didapatkan
maka
mempunyai
Yangki Sulaeman 10209014
d. Tentukan kebergantungan energi sistem ( ) terhadap temperature ( )!
∫
∫ ∫ e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah ! Didapatkan
maka
sehingga
Yangki Sulaeman 10209014
2. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukan
a. Temperature permukaan matahari. b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari. c. Intensitas radiasi cahaya matahari. (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu
dengan mengganti
maka didapatkan
dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap untuk mendapatkan maka didapatkan
yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka
Yangki Sulaeman 10209014
a. Temperature permukaan matahari.
dengan
didapatkan
b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka
c. Intensitas radiasi cahaya matahari. Total energi yang berada pada benda tersebut adalah
∫ ∫ ∫ ∫ Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan
| |
Yangki Sulaeman 10209014
maka
∫ sehingga
dengan
maka
3. Tinjau sistem gas elektron dalam volume pada temperature
a. Turunkan ungkapan antara dan ! b. Turunkan ungkapan dan ! c. Buat sketsa kurva
, yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan , yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara
terhadap
pada temperature nol mutlak!
(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab
a. Turunkan ungkapan antara dan !
, yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan
Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga
Yangki Sulaeman 10209014
maka dapat dibentuk suatu bola yang mempunyai jari-jari,
dengan volume
dan element volume yang dimiliki oleh bola tersebut, adalah
maka
, mengingat bahwa nilai hanya diambil
, dan
merupakan bilangan bulat positif, maka
bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai
dua keadaan spin, maka
atau
Yangki Sulaeman 10209014
yang merupakan rapat keadaan elektron pada selang energi dan per satuan volume, untuk mendapatkan ungkapan rapat keadaan elektron dengan kelajuan antara dan dapat digunakan hubungan
sehingga
b. Turunkan ungkapan dan !
, yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara
Dari point (a) didapatkan bahwa rapat keadaan elektron sebagai fungsi dari kecepatan adalah
Untuk elektron, statistik yang berkaitan adalah statistik Fermi-Dirac, yang mempunyai fungsi probabilitas statistik sebagai berikut
Yangki Sulaeman 10209014
dengan
merupakan energi elektron bebas dan
apabila mengganti ungkapan
dengan
merupakan energi Fermi maka didapatkan
maka
c. Buat sketsa kurva
terhadap
pada temperature nol mutlak!
Mempunyai nilai khusus untuk beberapa keadaan, salah satunya ketika T = 0 K, fungsi probabilitas FD akan bernilai
{ dengan mengambil energi elektron yang dibawah energi Fermi maka
dengan
Yangki Sulaeman 10209014
maka
yang akan memberikan kurva sebagai berikut
) v ( N
v^2
4. Menurut mekanika kuantum, energi osilator harmonic satu dimensi bernilai diskrit, yaitu
, dengan adalah bilangan bulat dan adalah frekuensi osilator.
Energi terendah suatu osilator kuantum adalah sebesar
yang dinamakan zero-
point energy. Dengan statistic Maxwell-Boltzmann, fungsi partisi Z sistem ini adalah
∑ a. Buktikan bahwa energi rata-rata sebuah osilator kuantum adalah
b. Pada
temperature
tinggi
sehingga
, tunjukkan bahwa nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic
Yangki Sulaeman 10209014
kuantum pada temperature tinggi mendekati hasil yang diperoleh untuk osilator harmonic klasik! (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab a. Energi rata-rata mempunyai bentuk persamaan
dengan
( ) () [ ] [ ]
Yangki Sulaeman 10209014
[ ] sehingga
(terbukti) b. nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic kuantum pada temperature tinggi
(terbukti) 5. Gas elektron dalam sodium memiliki energi Fermi sebesar temperature nol mutlak. Hitunglah :
a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak! b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini! c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini
√ (Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012) Jawab a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan
pada
Yangki Sulaeman 10209014
Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga
Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang
dengan
Maka
, mengingat bahwa nilai hanya diambil
, dan
merupakan bilangan bulat positif, maka
bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai
dua keadaan spin, maka
atau
kerapatan elektron dapat ditentukan melalui
Yangki Sulaeman 10209014
dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, se hingga
maka
∫ yang merupakan kerapatan gas elektron pada sodium pada temperature 0 K. b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini! Temperature Fermi didapatkan dari persamaan
dengan
maka
c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini
Yangki Sulaeman 10209014
√ dengan
maka
√ ⁄
6. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( )
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan , adalah
Dengan adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum. b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah ! d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!
dinyatakan dalam kerapatan energinya
(Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012 )
Yangki Sulaeman 10209014
Jawab
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan , adalah
dengan
dengan hubungan antara momentum dengan panjang
gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka
| | | | sehingga didapatkan,
melalui hubungan
maka, didapatkan
Yangki Sulaeman 10209014
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,
sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan per satuan volume adalah
(terbukti)
b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya
Dengan merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk untuk gas Foton
dan
∫ dengan
Yangki Sulaeman 10209014
maka
∫ ∫ c. tentukanlah !
maka
d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!
dinyatakan dalam kerapatan energinya
dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic
∫
7. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( )
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan , adalah
Yangki Sulaeman 10209014
Dengan adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum. b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah ! d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!
dinyatakan dalam kerapatan energinya
(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan , adalah
dengan
dengan hubungan antara momentum dengan panjang
gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka
| | sehingga didapatkan,
Yangki Sulaeman 10209014
| | melalui hubungan
maka, didapatkan
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,
sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan per satuan volume adalah
(terbukti)
b. Jika menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya
Dengan merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk untuk gas Foton
Yangki Sulaeman 10209014
dan
∫ dengan
maka
∫ ∫ c. tentukanlah !
maka
d. Tentukan tekanan sistem gas foton ( ( )!
dinyatakan dalam kerapatan energinya
Yangki Sulaeman 10209014
dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic
∫ .
8. Tijau sistem gas elektron bebas dalam logam tembaga. Diketahui energi Fermi untuk elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak adalah
a. Tentukan kerapatan elektron bebas dalam logam tersebut! b. Hitunglah energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak! c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi dan temperature Fermi sistem ini! d. Tentukan laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak!
(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga
Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang
dengan
Yangki Sulaeman 10209014
Maka
, mengingat bahwa nilai hanya diambil
, dan
merupakan bilangan bulat positif, maka
bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai
dua keadaan spin, maka
atau
kerapatan elektron dapat ditentukan melalui
dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, se hingga
maka
Yangki Sulaeman 10209014
∫ yang merupakan kerapatan gas elektron pada tembaga pada temperature 0 K.
b. energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak
karena pada suhu 0 K dan energi bebas elektron kurang dari energi Fermi , akan bernilai 1.
F(
maka
∫ ∫ ∫ ∫
c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi Untuk temperature Fermi
dengan
maka
dan temperature Fermi
sistem ini!
Yangki Sulaeman 10209014
Untuk kecepatan Fermi
√ √ d. laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak! Ga dapet mohon bantuannya …
9. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang . Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukan
a. Temperature permukaan matahari! b. Kerapatan energi radiasi matahari! (Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu
dengan mengganti
maka didapatkan
Yangki Sulaeman 10209014
dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap untuk mendapatkan maka didapatkan
yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka a. Temperature permukaan matahari.
dengan
didapatkan
b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka
10. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( . Diberikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi dan , adalah
Dengan adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.
a. Tuliskan yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara dan ! b. Tuliskan yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam variable frequensi! c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!
Yangki Sulaeman 10209014
d. Jika menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature maka buktikan bahwa : dan tentukanlah !
(Pekerjaan Rumah 3 FI3202 Fisika Statistik) Jawab
Radiasi EM dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan sebagai sistem gas foton yang menggunakan statistk Bose-Einstein,
dengan fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi energi, yaitu
untuk gas foton maka nilai
,
, dan
, maka didapatkan
bentuk lain dari fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi frequensi
Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan ditentukan melalui
dapat
dengan hubungan antara momentum dengan panjang
gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka
| | sehingga didapatkan,
melalui hubungan
Yangki Sulaeman 10209014
| | maka, didapatkan
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,
sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan per satuan volume adalah
Sehingga
a. Tuliskan dan
yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara
!
b. Tuliskan yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam variable frequensi!
Yangki Sulaeman 10209014
c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!
Persamaan untuk jumlah foton yang terpancar keluar melaui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu, adalah
Maka untuk energi yang terpancarnya adalah
d. Jika menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature maka buktikan bahwa : dan tentukanlah ! Total energi yang berada pada benda tersebut adalah
∫ ∫ ∫ ∫ Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan
Yangki Sulaeman 10209014
maka
∫ sehingga
dengan
11. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume pada temperature keseimbangan dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton ( ) dapat dinyatakan dalam variable frequensi ( atau panjang gelombang ( )
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelo mbang dan adalah
〈 〉
b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang dan . Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk menurunkan
c. Tentukan ungkapan yang menyatakan energi sistem gas foton. Jika pada saat itu sedang terdapat buah foton maka tentukan energi rata-rata sebuah foton pada saat tersebut dalam variable
(Quiz 2 FI3202 Fisika Statistik) Jawab
Yangki Sulaeman 10209014
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelombang dan adalah
Fungsi probabilitas statistik BE adalah
untuk gas foton,
Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara ditentukan melalui
dan
dapat
dengan hubungan antara momentum dengan panjang
gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan maka
| | sehingga didapatkan, maka
Yangki Sulaeman 10209014
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
〈 〉
,
sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara dan per satuan volume adalah
b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang dan . Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk menurunkan
Jumlah foton dalam selang panjang gelombang adalah
dan
〈〉 ∫ 〈 〉 ∫ ∫ Maka untuk mendapatkan
per satuan volume
