1. Contoh yang yang menggambark menggambarkan an keadaan keadaan mikro mikro dan keadaan keadaan makro makro suatu suatu partikel partikel : Dalam mekanika statistik masalah utamanya adalah menentukan sebaran yang mungkin dari partikel-partikel kedalam tingkat-tingkat energi dan keadaan-keadaan atau status energi. Rincian sebaran partikel ini sangat tergantung pada apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak terbedakan. Spesifikasi jumlah partikel keadaan tingkat-tingkat energi dengan tidak menghiraukan apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak, keadaan ini disebut keadaan makro dari suatu sistem. Contoh :
Suatu sistem terdiri dari tingkat energi , ! 1 dengan " buah status, status, berisi buah boson, sedangkan ! dengan dua buah status , berisi # buah boson. $eadaan mikro yang manakah yang mungkin untuk sistem tersebut % Solusi : 4!
untuk tingkat !1 diperoleh &1 '
2!2!
'(
5!
)ntuk untuk tingkat ! diperoleh & '
1!4 !
'*
$eadaan makro yang mungkin mungkin dapat diperoleh diperoleh dengan menggabungkan menggabungkan tiap cara mengisi tingkat pertama dengan * cara mangisi tingkat ke , sehingga diperoleh : ( + * ' " , yang merupakan jumlah keadaan mikro.
Selanjutnya dapatlah disimpulkan baha jika ada n tingkat energi , misalnya !1, !, .., !n masing-masing dengan g1, g,, gn diisi dengan / 1, /, .., /n, maka jumlah keadaan mikro yang mungkin untuk suatu keadaan makro adalah :
. 0erbedaan Distribusi a+ell-2olt3man , Distribusi 4ermi-Dirac dan Distribusi 2ose5instein : -
Distribusi Maxwell- Boltzman :
0artikel dapat dibedakan6 )kuran ruang sel dapat lebih kecil dari yang kita butuhkan6 7ika n menjadi banyak sel, kemudian g 88 n maka n9g 88 1. )ntuk itu jumlah sel dapat dibuat lebih besar jika mungkin6
asih menggunakan prinsip klasik6 )kuran dari ruang sel dapat lebih dari yang ditentukan6 Satu sel dapat diisi lebih dari satu partikel6 idak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua pa rtikel ditukar. -
Distribusi Fermi- Dirac :
0artikel dianggap identik dan tak dapat dibedakan satu terhadap lainnya6 $eadaan energi hanya boleh diisi oleh satu partikel6 ematuhi aturan pauli6 2erlaku untuk fermion atau partikel dengan spin pecahan6 Distribusi 4ermi-Dirac pada suhu adalah: satu keadaan energi hanya boleh diisi oleh satu partikel , degenerasi tingkat energi bergantung dari ;olume6
5nergi total sistem bergantung pada temperature sistem6 7umlah keadaan energi dalam 1 tingkat energi ditunjukkan dengan nilai degenerasi tingkat energi6
erdapat * partikel dalam suatu sistem6 erdapat # tingkat energi yang diperhitungkan.
-
Distribusi Bose - Einstein :
0artikel tidak dapat dibedakan 6 )kuran dari ruang sel tidak dapat lebih sedikit dari h"6 2anyaknya sel adalah kurang dari banyaknya partikel atau perbandingannya n9g.
". a=. 5nergi bebas
5nergi bebas 4= sebagai fungsi untuk ϵ ' , adalah F = 0 – TS = TS
5nergi bebas 4= sebagai fungsi untuk ϵ , adalah F =
ϵ
– TS
b=. Dari energi bebas, ekspresi dari energy dan entropi sistem :
5ntropi Sistem Dari hukum pertama dan kedua termodinamika dapat dituliskan baha : TdS = d ϵ + dW /ilai dS ini menunjukkan baha temperature berubah , persamaan perubahan energi bebas 4 : dF = dϵ - TdS – SdT dF = dϵ - ( d ϵ + dW) – SdT dF = -pdV – SdT dari persamaan ini dapat diperoleh entropi sistem fungsi dari energi bebas :
( )
S =−
∂ F ∂ T
V
5nergi dari fungsi energi bebas : Subtitusi persamaan :
( )
S =−
∂ F ∂ T
V
$e dalam persamaan berikut : F =
– TS
ϵ
?kan memberikan : F =
ϵ
+ T
( ) ∂ F ∂ T
V
Selanjutnya dapat diperoleh baha :
= F - T
ϵ
( ) ∂ F ∂ T
=
ϵ
V
[
= -T 2
∂ ( βF ) ∂ ( β )
]
( ) F ∂ ( ) T ∂ T
V
V
dengan : @ ' - 19k >dimana
∂ ( β )=
∂ T 2
k T
¿
#. Dengan menggunakan dA ' B >m="9!19d!, gj dA9h", @ ' E19k dan F ' !4 9k, /4D>!= d! untuk gas elektron yang memiliki dua kemungkinan spin, yaitu G19 dan -19 adalah : Jawab :
Dapat dituliskan baha :
g j
/ j, 4D '
−(α + β j+1)
e
ϵ
= g j
1 −(α + β j + 1)
e
ϵ
(
2 πV 2 m
H
/4D>ϵ=dϵ ' (
H
/4D>ϵ=dϵ '
/4D>ϵ=dϵ '
/
3 2
∈
/
1 2
d∈
1 −(α + β j + 1)
h3 4 πV 2 m
H
)
)
/
3 2
h
e /
1 2
∈
d∈ e
[ ( ) ] V 4 π
1
3 2
2
h
∈
d∈
ϵ
1 −(α + β j +1 ) d ∈
/
1 2
∈
/
1 2
−(α + β j + 1)
3
2m
ϵ
e
ϵ
$husus untuk distribusi 4ermi-Dirac, distribusi partikel >dalam hal ini elektron= dapat dituliskan dalam bentuk :
/4D>ϵ=dϵ ' g>ϵ= f>ϵ=dϵ,
Dimana g>ϵ=
'
[ ( ) ] V 4 π
2m
h
2
3 2
/
1 2
∈
Dan f>ϵ= '
1 −(α + β j+1)
e
ϵ
yang dikenal sebagai fungsi 4ermi, ϵ4 disebut sebagai energi 4ermi.
0erbedaan antara Sta
tistik a+ell-2olt3man, 2ose-5instein, 4ermi-Dirac
?. Dapat diterapkan daam sistem
a+ell-2olt3man: identik, partikel terbedakan 2ose-5instein: identik, partikel tak terbedakan, tidak memenuhi prinsip pauli 4ermi-Dirac: identik, partikel tak terbedakan, memenuhi prinsip pauli 2. $ategori partikel
a+ell-2olt3man: klasik 2ose-5instein: boson 4ermi-Dirac: fermion
C. Sifat partikel
a+ell-2olt3man: setiap spin, partikel berjarak cukuo berjauhan sehingga fungsi gelombang tidak bertumpang 2ose-5instein: spin , 1, , ... fungsi gelombangn ya simetrik terhadap pertukaran label partikel 4ermi-Dirac: spin 19, "9, *9,... fungsi gelombang anti simetri terhadap pertukaran label partikel D. Contoh
a+ell-2olt3man: molekul gas 2ose-5instein: foton dalam rongga, fonon dalam 3at padat, helium cair pada temperatur rendah 4ermi-Dirac: elektron bebas dalam logam 5. Sifat distribusi
a+ell-2olt3man: tidak ada batas pada jumlah partikel per keaadaan 2ose-5instein: tidak ada batas pada jumlah partikel per ke aadaan 4ermi-Dirac: tidak lebih dari satu partikel per keadaan
