KINEMATIKA FLUIDA
III-1
3. SOAL-SOAL DAN PENYELESAIAN
Soal 3.1
Suatu pipa mengalirkan minyak dengan “Specific gravity” S = 0,86 mempunyai diameter berubah lambat laun.
Pada penampang dimana diameter diameter pipa sama dengan 20 cm, kecepatan kecepatan aliran adalah adalah
u = 2 m / det . Berapa besarnya kecepatan rata-rata pada suatu penampang dimana diameternya adalah 5 cm? Hitung pula besarnya masa yang mengalir tersebut dalam satuan kilogram per detik.
Jawaban :
Persamaan kontinuitas kontinuitas : Q = A1u1 = A2u2 Apabila diameter penampang penampang 1 adalah 20 cm dan diameter penampang 2 adalah 5 cm, maka :
1 u 2 = u1
A1 A2
= 2 m / det × 4 1
4
π ( 0,20 ) m 2 2
π ( 0,05 ) m 2 2
u 2 = 32 m / det •
1 2 m = ρ Q = ρ u A =1000 kg / m 3 × 32 m / det × π ( 0,05 ) m 2 4 •
m = 62,83 kg / det •
dimana m = massa tiap satuan waktu
Soal 3.2
Suatu corot (nozzle) dengan diameter awalnya D 1 = 8 cm dan diameter akhirnya
D 2 = 2 cm
mengalirkan cairan sebesar 10 ℓ / det. Turunkan suatu persamaan untuk kecepatan aliran sepanjang sumbu corot tersebut dengan mengambil jarak x sepanjang sumbu diukur dari penampang awal dan panjang corot sama dengan L.
Jawaban :
Bentuk corot yang dimaksud dalam soal ini adalah seperti tampak pada Gambar 3.1.
D1
D2
D x
L
Gambar 3.1.Bentuk suatu corot
Persamaan kontinuitas :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-2
Q = u A u=
Q A 2
⎛ 0,06 ⎞ ⎛ D − D2 ⎞ ⎞ 1 ⎛ A = π D = π ⎜⎜ D1 − ⎜ 1 x ⎟ ⎟ x ⎟⎟ = π ⎜ 0,08 − 4 4 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎠ 4 ⎝ 1
u=
2
1
0,01 0,06 ⎞ ⎛ π ⎜ 0,08 − x ⎟ 4 ⎝ L ⎠
1
2
=
2
1,273 0,06 ⎞ ⎛ x ⎟ ⎜ 0,08 − L ⎠ ⎝
2
Soal 3.3
Berapakah besarnya debit aliran pada permukaan pelimpah seperti pada Gambar 3.2.
30 0
u = 15 m / det
60 0
Gambar 3.2.Permukaan hilir dari suatu pelimpah
Jawaban :
Apabila lebar pelimpah (tegak lurus bidang gambar) diambil satu satuan lebar maka debit tiap satuan lebar dapat dinyatakan sebagai :
q=
Q B
dalam hal ini q =
..............................................................................................(3.15.1)
Q
1
= Q = u A
A = 1,80 sin 30 o = 0,9 m 2 q = 15 × 0,9 = 13,5 m 2 / det
Soal 3.4
Suatu persamaan empiris untuk pembagian kecepatan aliran didalam suatu saluran terbuka horizontal dinyatakan sebagai sebagai berikut : u = 10 z
1/7
...........................(3.15.2)
dimana u adalah kecepatan pada jarak z m diatas dasar saluran. Apabila kedalaman aliran 0,9 m berapakah besarnya debit aliran tiap satuan lebar saluran (tegak lurus bidang gambar).
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-2
Q = u A u=
Q A 2
⎛ 0,06 ⎞ ⎛ D − D2 ⎞ ⎞ 1 ⎛ A = π D = π ⎜⎜ D1 − ⎜ 1 x ⎟ ⎟ x ⎟⎟ = π ⎜ 0,08 − 4 4 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎠ 4 ⎝ 1
u=
2
1
0,01 0,06 ⎞ ⎛ π ⎜ 0,08 − x ⎟ 4 ⎝ L ⎠
1
2
=
2
1,273 0,06 ⎞ ⎛ x ⎟ ⎜ 0,08 − L ⎠ ⎝
2
Soal 3.3
Berapakah besarnya debit aliran pada permukaan pelimpah seperti pada Gambar 3.2.
30 0
u = 15 m / det
60 0
Gambar 3.2.Permukaan hilir dari suatu pelimpah
Jawaban :
Apabila lebar pelimpah (tegak lurus bidang gambar) diambil satu satuan lebar maka debit tiap satuan lebar dapat dinyatakan sebagai :
q=
Q B
dalam hal ini q =
..............................................................................................(3.15.1)
Q
1
= Q = u A
A = 1,80 sin 30 o = 0,9 m 2 q = 15 × 0,9 = 13,5 m 2 / det
Soal 3.4
Suatu persamaan empiris untuk pembagian kecepatan aliran didalam suatu saluran terbuka horizontal dinyatakan sebagai sebagai berikut : u = 10 z
1/7
...........................(3.15.2)
dimana u adalah kecepatan pada jarak z m diatas dasar saluran. Apabila kedalaman aliran 0,9 m berapakah besarnya debit aliran tiap satuan lebar saluran (tegak lurus bidang gambar).
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-3
Jawaban :
Diagram kecepatan aliran dapat dinyatakan pada Gambar 3.3.berikut ini :
u
0,9 m z
Gambar 3.3.Diagram pembagian kecepatan aliran didalam saluran terbuka
Persamaan kontinuitas adalah :
q=
Q B
0, 9
= ∫ u dA = ∫ 10 z 1 / 7 ×1× dz 0
A
0,9
⎡7 8/ 7 ⎤ = 7,76 m 3 / det q = ⎢ ×10 z ⎥ ⎣8 ⎦0
per m lebar
Soal 3.5
Pembagian kecepatan aliran diantara dua bidang datar yang sejajar dengan jarak a adalah:
u = −10
z ⎛ z ⎞ + 20 ⎜ 1 − ⎟ a a ⎝ a ⎠
z
.............................................................(3.15.3)
dimana u adalah komponen kecepatan sejajar bidang dan z adalah jarak yang diukur dari bidang bawah dan tegak lurus lurus bidang tersebut. tersebut.
Tentukan besarnya debit dan kecepatan kecepatan rata-rata aliran tersebut.
Disamping itu tentukan pula besarnya energi kinetik aliran tiap satuan waktu dan ke arah mana energi kinetik mengalir.
Jawaban :
Diagram pembagian kecepatan aliran dapat digambar digambar seperti pada Gambar 3.4 berikut ini :
u ( z )
a
a
z
10
z
a
4
12,5
Gambar 3.4.Diagram pembagian kecepatan suatu aliran.
Persamaan pembagian kecepatan : u = −10
atau
10 ⎛ 2 z 2 u = ⎜⎜ z − a ⎝ a
z ⎛ z ⎞ + 20 ⎜ 1 − ⎟ a a ⎝ a ⎠
z
⎞ ⎟⎟ ⎠
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-4
∫
Q = u dA
Persamaan kontinuitas :
A
Apabila aliran ditinjau tiap satuan satu satuan lebar aliran (tegak lurus bidang gambar), maka luas penampang kecil sehingga dz adalah dA=dz. Dengan demikian, menurut hukum kontinuitas besarnya debit aliran dapat dinyatakan sebagai berikut :
2 z 2 10 ⎛ ⎜ z − Q= a ⎜⎝ a 0 a
∫
⎞ ⎟⎟ dz ⎠ a
⎡ 10 2 20 3 ⎤ 10 a 2 20 a 3 5 3 = − = − Q=⎢ z − z a m / det ⎥ 2 2 3 3a 3a ⎣ 2a ⎦0 2a 5
u=
Q A
− a
5 = 3 = − m / det 3
a
Tanda negatif disini menunjukkan bahwa arah aliran adalah ke kiri sementara sumbu s positif diambil ke arah kanan. Besarnya energi kinetik (e k ) adalah
1 2
2 mu .
Energi kinetik tiap satuan waktu didalam aliran ini adalah :
K E flume =
mu2
∫ 2 dt
a
1
= ∫ ρ u 3 dz 2
0
3
⎡ 10 ⎡ 2 z 2 ⎤ ⎤ = ∫ ρ ⎢ ⎢ z − ⎥ ⎥ dz 2 ⎣ a ⎣ a ⎦⎦ 0 a
1
⎡ 10 3 = ∫ ρ ⎢ 3 2 ⎣ a 0 a
1
⎡ 3 6 z 4 12 z 5 8 z 6 ⎤ ⎤ ⎢ z − a + 2 − 3 ⎥ ⎥ a a ⎦⎦ ⎣
1
10 3 ⎡ a 4
2
a3 ⎣ 4
= ρ ×
⎢
−
6 z 5 5a
+
12 z 6 6a2
−
8 z 7 ⎤
a
⎥
7 a3 ⎦0
= − 46,43 ρ a
Soal 3.6
a.
Gambarkan diagram kecepatan pada penampang aliran didalam pipa dan tentukan besarnya debit alirannya apabila pipa tersebut mempunyai diameter 0,30 m dan persamaan diagram kecepatannya adalah :
⎛ r 2 ⎞ u = 10 ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎜ r ⎟ o ⎠ ⎝
.............................................................(3.15.4)
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-5
r 0 = jari-jari pipa r = jarak radial dari titik pusat penampang (sumbu pipa) b.
Berapa besarnya kecepatan rata-rata pada aliran tersebut.
Jawaban :
Dari persamaan (3.15.4) dapat dihitung kecepatan aliran pada titik-titik pada jarak R dari sumbu saluran dengan hasil seperti pada Tabel 3.1. Dari hasil perhitungan pada Tabel 3.1 dapat digambar diagram kecepatannya seperti tampak pada Gambar 3.5 0
10 Sumbu pipa
r o 0,2 r o
0,4 r o
r o
0,6 r o
u=
0,8 r o
2 ⎞ 1 ⎛ ⎜ 1− r ⎟ 0 ⎜⎝ r 2 ⎠⎟ o
Gambar 3.5.Diagram kecepatan yang dimaksud dalam soal 3.6.
Tabel 3.1.Perhitungan kecepatan soal 3.6 r / r o
1-(r 2/r o2)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1,00 0,96 0,84 0,64 0,36 0,00
u (m/det) 10,00 9,6 8,4 6,4 3,6 0,0
⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ Q = ∫ 2 π r dr = 2π ∫ 10 ⎢ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ r ⎥ dr ⎢⎣ ⎝ r o ⎠ ⎥⎦ 0 0 ro
r o
r o
⎡ r 4 ⎤ 2 2 = 20 π ⎢1 / 2 r 2 − 2 ⎥ = 20 π (1 / 2 r o −1 / 4 r o ) 4 r o ⎦⎥ 0 ⎣⎢ = 20 π ×1 / 4 r o = 20 π ×1 / 4 × 0,15 2 = 0,35 m 3 / det 2
u=
0,35 1 / 4 π × 0,30 2
= 4,95 m / det
Soal 3.7
Pembagian kecepatan dari suatu aliran laminer didalam suatu pipa dinyatakan dalam Persamaan (3.15.5) berikut ini :
u = u max 1 − ( r / r o )
2
........................................................................(3.15.5)
Tentukan : a. besarnya kecepatan rata-rata aliran dan b.
faktor koreksi energi kinetik α
Jawaban :
Diagram kecepatan yang dinyatakan pada Persamaan (3.15.5) dapat digambar sebagai berikut :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-6
u max
r
r o
u
Gambar 3.6.Diagram pembagian kecepatan soal 3.7.
a)
Hukum kontinuitas :
∫
Q = u A = u dA A
⎡ ⎛ r ⎞ 2 u = ∫ u dA = ∫ umax ⎢ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ A A A ⎢⎣ ⎝ r o ⎠ 2 A = π r o dA = 2 π r dr 1
u=
1
r o
u max
π r o
=
2
∫ 0
⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ ⎢ 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ 2 π r dr ⎢⎣ ⎝ r o ⎠ ⎥⎦
2 u max ⎡ 1 r o
⎤ ⎥ dA ⎥⎦
r o
2 ⎤ 2 u max r o r ⎥ = ⎢ r − 2 2 4 r o 4 r o ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 0
2
2
1
4
1 u = u max 2 b)
Persamaan (3.11.1) menunjukkan besarnya koefisien energi kinetik α dalam hubungannya dengan pembagian kecepatan aliran, yaitu : 3
1 ⎛ 4 ⎞ α = ⎜ ⎟ dA A A ⎝ u ⎠
∫
.............................................................(3.11.1)
Dengan memasukkan Persamaan (3.15.5) ke dalam Persamaan (3.11.1) diperoleh:
⎡ ⎛ r ⎞2 3 ⎟⎟ umax ⎢ 1 − ⎜⎜ r r ⎢⎣ ⎝ o ⎠ 1 α = 2 ∫ 3 π r o 0 ⎛ 1 ⎞ ⎜ umax ⎟ ⎝ 2 ⎠ o
=
3 16 π u max ⎡ 1 2
π r o u max
3
⎤ ⎥ ⎥⎦
3
3 r 4
3 r 6
1 r 8 ⎤
r o
2 + − ⎢ r − ⎥ 2 4 2 4 6 8 r o 6 ⎦⎥ r r o o ⎣⎢ 0
α = 2
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-7
Soal 3.8
Apabila suatu aliran turbulen didalam suatu pipa mempunyai pembagian kecepatan yang dinyatakan dalam suatu persamaan seperti Persamaan (3.15.6), yaitu : 1/ n
⎛ z ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ r o ⎠
u u max a.
........................................................................(3.15.6)
Turunkan persamaan untuk menentukan besarnya kecepatan rata-rata u
dalam bentuk fungsi
n [ u = f (n )] apabila r 0 adalah jari-jari pipa dan z adalah suatu jarak diukur dari dinding pipa. b.
Apabila n=9, berapa besarnya kecepatan rata-rata tersebut dan berapa pula besarnya koefisien energi α.
Jawaban :
a). Dengan menggunakan hukum kontinuitas :
∫
Q = u A = u dA A
dA = 2 π r dr = 2 π ( r o − z ) dz 1/ n
⎛ z ⎞ ⎜ ⎟⎟ × 2 π r dr u= u 2 ∫ max ⎜ π r o 0 ⎝ r o ⎠ r o
1
2 π u max
=
2
π r o r o
=
1/ n
r o
∫ z
1/ n
( r o − z ) dz
0
2 u max ⎡
r o
1
( 1+1 / n )
( 2+1 / n ) ⎤
z − ⎢ ( 1 + 1 / n ) z ( 2 +1 / n ) ⎣ 2u ⎡ 2 + 1/ n −1 −1/ n ( 2+1 / n ) ⎤ = ( 1 +max r o ⎥ 1/ n ) ⎢ r o ⎣ ( 2 + 1 / n )( 2 + 1 / n ) ⎦ r o
u=
( 1+1/ n )
2 n 2 u max
( n + 1 )( 2n + 1 )
= u max
2 n2
( n + 1 )( 2n + 1 )
b). Untuk n=9
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
r o
⎥ ⎦0
........................................(3.15.7)
KINEMATIKA FLUIDA
u = u max
III-8
2× 9 2
( 9 + 1 )( 2 × 9 + 1 ) 3
1 ⎛ u ⎞ 1 α = ⎜ ⎟ dA = 2 A ⎝ u ⎠ π r o
∫
=
81 95
u max 3
⎡ u max ( z / r o )1 / 9 ⎤ ∫0 ⎢⎢⎣ 81 / 95 × u max ⎥⎥⎦ 2π ( r o − z ) dz
r o
3/9
⎛ z ⎞ α = 3 2 ∫ ⎜⎜ ⎟⎟ ( r o − z ) dz 81 r o 0 ⎝ r o ⎠ 4/3 7/3 2 × 95 3 ⎡ 3 z o r o 3 z o α = 3 2 ⎢ − 1/ 3 7 r o 1 / 3 81 r o ⎢⎣ 4 r o 2 × 95 3
Jadi :
r o
⎤ ⎥ =1,037 ⎥⎦
α =1,037
Soal 3.9
Suatu pipa mengalirkan air dari suatu tandon (reservoir) ke tandon lain yang diletakkan lebih rendah. Selisih tinggi permukaan air antara dua tandon tersebut adalah 10 m. Apabila debit aliran Q=0,50 m 3/det, tentukan besarnya kehilangan tenaga dalam Newton meter per kilogram dan dalam kilowatt. Jawaban :
ρ = 1000 kg / m 3 Q = 0,50 m / det 3
Besarnya kehilangan tenaga dihitung dalam Nm/kg adalah :
Δ H =10
m N 9806 N / m 3
×
N
1000 kg / m
3
= 98,06
N m kg
ΔP = ρ × Q × Δ H
Jumlah kehilangan tenaga dalam kW adalah :
ΔP =1000
kg m
3
× 0,50
m3
det
× 98,06
N m kg
×
1 kW 1000 N m / det
ΔP = 49,03 kW
Soal 3.10
Suatu aliran dengan kecepatan tinggi melalui suatu bidang miring seperti pada Gambar 3.7. Apabila semua kehilangan energi diabaikan, hitung dua kemungkinan kedalaman aliran di penampang B.
9,806 m / det
0,50 m
2,50 m B A
Gambar 3.7.Penampang memanjang saluran lebar 2 m dengan kemiringan dasar.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-9
Jawaban :
Besarnya debit aliran tiap satuan lebar adalah :
q=
Q B
u . B . h
=
B
= u . h = 9,806 × 0,5
q = 4,903 m 2 / det Penerapan persamaan Bernoulli antara penampang A dan penampang B adalah :
u A
2
2g
+ h A + z A =
9,806 2
h B
2
2
2g
+ h B + z B
+ 0,5 + 0 =
2 × 9,806 1,22575
u B
4,9032 2 × 9,806 × h B
2
+ h B + 2,5
+ hB − 2,903 = 0
h B − 2,903 h B + 1,22575 = 0 3
2
h B 1 = 0,755 m h B 2 = 2,74 m harga yang ke tiga negatif, jadi tidak mungkin terjadi.
Soal 3.11
Apabila saluran pada Gambar 3.7 didalam soal 3.10 mengalami perubahan lebar dari B A=2m di penampang A sampai lebar BB=3m di penampang B, tentukan dua kemungkinan kedalaman air di
Δh = 0,3 m N / N .
penampang B kehilangan ketinggian energi
Jawaban :
Hukum energi antara A dan B
z A +
V A
γ
2
+
Hukum kontinuitas :
P A
γ
= z B +
V B
γ
Q A = Q B
2
+
PB
γ
+ Δh
...................................................(3.15.8)
.............................................................(3.15.9)
V A × B A × h A = V B × B B × h B
9,806 × 2 × 0,5 = V B × 3 × h B V B h B =
9,806 × 2 × 0,5 3
= 3,269
Apabila harga-harga tersebut dimasukkan kedalam Persamaan (3.15.8) di dapat :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
0+
9,806 2
+ 0,50 = 2,5 +
2 × 9,806
h B +
0,5449 h B
III-10
3,269 2 2 × 9,806 × h B
2
+ h B + 0,3
− 2,603 = 0
2
h B − 2,603 h B + 0,5449 = 0 3
2
h B 1 = 0,510 m h B 2 = 2,518 m h B 3 negatif
Soal 3.12
u1
2
Garis energi
2g
p u2
− u1 h1
ρ g
2
= x cos θ 2
2g 2
− u1
•
− u1
θ
− u1
θ
u2 Datum
x
p = ρ g x cos θ
Gambar 3.8.Aliran melalui suatu pelimpah
Suatu aliran melalui suatu pelimpah seperti pada Gambar 3.8 mempunyai kecepatan rata-rata hulu sama dengan u1 dan kecepatan rata-rata pada penampang 2 sama dengan u 2 . Pada penampang 2 elevasi permukaan air adalah + 30,5 m dan elevasi permukaan hilir pelimpah adalah + 30 m. Permukaan hilir pelimpah membentuk sudut θ=600 dengan horizontal. Kecepatan aliran dipermukaan air di penampang 2 adalah 6,1 m/det. Hitung tekanan dan kecepatan aliran pada permukaan pelimpah pada penampang 2. Apabila dasar saluran ( di hulu bendung ) pada elevasi +29 m, hitung kedalaman dan kecepatan aliran di saluran.
Jawaban :
Tebal dari lapisan diatas permukaan pelimpah di penampang 2 adalah : d 2
d 2 =
30,5 − 30 cos θ
=
30,5 − 30 cos 60 o
=1 m
p 2 = ρ × g × d × cos θ = γ × d × cos 60 o p 2 = 9,80 ×1× 0,5 = 4,90 kN / m 2 Tinggi energi di penampang 2 adalah :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
H 2 = z 2 +
p 2
γ
+
u2
III-11
2
2g
= 30,5 + 0 +
6,12 2 × 9,81
= 32,4 m
Perhitungan H2 tersebut dilakukan dengan mengambil titik 2 di permukaan air. Apabila perhitungan dilakukan dengan mengambil titik di dasar penampang 2 yaitu pada permukaan pelimpah maka :
H 2 = 32,4 = z 2 +
γ
+
u F 2
2
2g
= 30 m, p F 2 = 4,9 kN / m 2
dimana : z F 2 jadi
p F 2
⎛
4,9 ⎞
⎝
9,8 ⎠
u F 2 = 2 × 9,81× ⎜ 32,4 − 30 − 2
⎟ = 37,21
u F 2 = 6,1 m / det Ini berarti bahwa penampang 2 kecepatan di permukaan dan di dasar aliran sama besar. Untuk mendapatkan kecepatan aliran di hulu digunakan persamaan Bernoulli untuk penampang 1. :
H 1 = H 2 = 32, 4 H 1 = z1 + h1 +
u1
p1
γ
+
u1
2
2g
= 2 g + h1 +
u1
2
2g
= 32,4
2
2g
= 32,4 − 29 = 3,4 m
Dengan menggunakan hukum kontinuitas :
q1 = h1 u1 = h2 u 2 =1× 6,1 = 6,1 m 3 / det m u1 =
6,1 h1
( 6,1 )2
jadi :
h1 +
atau :
h1 − 3,4 h1 + 1,9 = 0 3
2 × 9,81× h1
2
= 3,4
2
Penyelesaian persamaan tersebut didapat tiga harga, yaitu :
h1 ,1 = 3,22 m h1 , 2 = 0,85 m h1 , 3 = negatif Dari tiga harga tersebut yang mungkin terjadi adalah h 1,1 sedang h1,2 dan h1,3 tidak mungkin terjadi. Dengan demikian kedalaman air di penampang 1 adalah :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-12
h1 = 3,22 m u1 =
6,1 h1
=
6,1 3,22
=1,9 m / det
Soal 3.13
Dalam suatu saluran tertutup yang mengalirkan air, pada titik A diameternya adalah
1 m, tekanannya 1
2
kgf/cm dan kecepatannya adalah 1 m / det. Pada titik B yang letaknya 2 m lebih tinggi dari pada A diameternya adalah 0,50 m dan tekanannya
0,2 kgf / cm 2. Tentukan arah alirannya.
Jawaban :
Aliran terjadi dari energi tinggi ke energi rendah :
H A =
V A
2
+
2g
p A
γ
+ z A =
12 2 × 9,806
+
9,806 ×10 4 Pa 9802 N / m3
+0
H A =10,055 m H B =
V B
2
2g
+
p B
γ
+ z B
V B A B = V A A A V B =
=
A A A B
V A =
12 0,5 2
H B =
1 / 4 π D A
2
1 / 4 π D B
2
V A
V A = 4 V A = 4 m / det
42 2 × 9,806
+
0,2 × 9,806 ×10 4 Pa 9802 N / m 3
+ 2 = 4,817 m
H A > H B Karena aliran terjadi dari energi tinggi ke energi yang lebih rendah, maka arah aliran adalah dari A ke B.
Soal 3.14
Pada suatu tanki air seperti tampak pada Gambar 3.9 terdapat suatu lubang berbentuk corot pada salah satu sisi samping bawah. Apabila tinggi air dari sumbu corot sampai ke permukaan air adalah 6 m dan diameter pancaran air dari corot adalah 15 cm, tentukan kecepatan air dan debit aliran yang keluar dari corot.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-13
Jawaban :
1 Diameter 15 cm
H=6m
• 2
Gambar 3.9.Aliran melalui suatu corot dari suatu tanki air
a)
Pancaran yang terjadi seperti silinder dengan tekanan atmosfer mengelilinginya untuk praktisnya. Tekanan sepanjang sumbu pancaran dianggap sama dengan tekanan atmosfer. Dengan asumsi ini penerapan hukum Bernoulli antara titik 1 pada permukaan air di dalam tanki dan titik 2 pada hilir corot, adalah :
u1
2
2g
+
p1
γ
+ z1 =
u2
2
2g
+
p 2
γ
+ z 2
Apabila bidang persamaan (datum) diambil poada garis horizontal melalui sumbu pancaran maka : z1=H ; z 2=0 Karena baik titik 1 maupun titik 2 berada pada tekanan atmosfer
maka: p 1=p2=0.
Kemudian, karena permukaan air di dalam tanki dijaga konstan maka kecepatan di titik 1 praktis sama dengan nol. Dengan demikian persamaan Bernoulli tersebut diatas dapat dinyatakan sebagai berikut :
0 + 0 + H =
α u 2 2g
2
+0+0
untuk harga α = 1 (penampang aliran kecil sekali)
u2 =
2 g H ......................................................................(3.15.10)
Persamaan (3.15.10) menunjukkan bahwa kecepatan pancaran pada corot sama dengan kecepatan aliran jatuh bebas dari permukaan tanki. Persamaan tersebut dikenal sebagai persamaan “TORRICELLI” jadi dalam soal ini :
u2 = b)
2 × 9,81× 6 =10,85 m / det
Debit aliran melalui corot adalah :
1 2 3 u 2 A2 =10,85 × π ( 0,15 ) = 0,192 m / det =192 l / det 4
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-14
Soal 3.15
Pada suatu tanki yang berisi air dan minyak minyak
seperti pada Gambar 3.10 terdapat suatu lubang
0,90 m
S = 0,75
1,20 m
φ 10 cm
berbentuk
corot.
Dengan
mengabaikan
kehilangan energi, tentukan debit aliran bila
air
tinggi masing-masing permukaan cairan dijaga tetap.
Gambar 3.10.Suatu tanki berisi air dan minyak mempunyai aliran melalui suatu corot
Jawaban :
Dengan menggunakan hukum Torricelli, yaitu :
u=
2g h
.................................................................................(3.15.10)
Q = C d A
dapat ditentukan debit aliran sebagai berikut :
2gh
Cd = koefisien debit Apabila C d diambil sama dengan 1, maka :
1 Q = 1× π × 0,102 4
2 × 9,81 ( 1,20 + 0,9 × 0,75 )
Q = 0,0476 m 3 / det = 47,6 l / det
Soal 3.16
Bila permukaan air dalam tanki s eperti pada Gambar 3.11 dijaga tetap dan kehilangan energi diperkirakan sama dengan 0,1 m.N / N, tentukan kecepatan aliran di titik A. Pembacaan barometer adalah 750 mmHg. 9 N/abs
1
•
air
4m datum
2
A Gambar 3.11.
Jawaban :
Bila digunakan hukum energi dari suatu titik di permukaan air titik 2 di penampang A, diperoleh persamaan sebagai berikut :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
−
α u1
2
+
2g
= u A
γ
+ z1 =
α u A 2g
2
+
p A
γ
+ z A + Δh
90000 N / m 2 − ( 750 / 760 )×101310 N / m 2
α = 0 + u A
p1
III-15
9802 N / m 3
+4 m
2
+ 0 + 0 + 0,1 m N / N
2g
2
2g
= −1,0179 m + 4 m − 0,1 m = 2,882 m
u A =
2 × 9,81× 2,882 = 7,52 m / det
2
Soal 3.17
Di dalam aliran seperti pada Gambar 3.12 diketahui kehilangan energi dari aliran sampai pada penampang
4 u1
A adalah
2
dan kehilangan energi pada corot adalah
2g
0,5 u 2
2
. Apabila α diambil sama dengan 1
2g
dan H=8 m, tentukan besarnya debit aliran dan tekanan pada penampang.
0
H
A D1 = 15 cm
u1 •1
air
u2 D
2 = 5 cm
Gambar 3.12.Aliran dari suatu tanki ke suatu corot pada ujung suatu pipa.
Soal 3.18
Apabila pada soal 3.17 diketahui bahwa tekanan di A adalah 25000 Pa, maka tentukan debit aliran dan tinggi H.
Jawaban :
Penerapan hukum energi antara penampang A dan penampang 2 :
z1 +
u1
2
2g
+
p A
γ
= z 2 +
u2
2
2g
+
p 2
γ
+ 0,05
u2
2
2g
u 2 = 9 u A
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
0+
u1
2
+
2g
III-16
25000 n / M 2
=0+
9802 n / M 3
u2
2
2g
+ 0 + 0,05
2,55 = ( 81 × 1,05 −1 ) 2 × 9,81 × 2,55
u1 = u A =
u1
u2
2
2g
2
2g
= 0,7715 m / det
84,05
1 Q = π × 0,152 × 0,7714 = 0,0136 m 3 / det 4 H =
u1
2
2g
+
25000
+
9802
4 u1
2
2g
= 2,55 +
5 × 0,7714 2 2 × 9,81
H = 2,702 m
Soal 3.19
Suatu aliran dari tanki melalui corot seperti pada Gambar 3.13, H
diketahui H = 6 m dan h = 5,75 m
h 2
dan α=1.
•
S = 1,05
Diameter 8 cm
Gambar 3.13.Aliran dari suatu tanki melalui suatu corot
Hitung debit dan kehilangan energinya dalam m dan dalam watt.
Jawaban :
Penerapan persamaan Bernoulli untuk aliran diantara titik 1 ke titik 2 :
z1 +
u1
2
= z 2 +
u2
H + 0 + 0 = 0 +
u2
2g
+
p1
γ
u2 =
2
+
2g
p 2
γ
2
+0
2g
2 g H
∴u teoritis = 2 g H = 2 × 9,806 × 6 = 10,850 m / s u actual =
2 g H =
2 × 9,806 × 5,75 =10,620 m / s
1 Q = π × 0,082 × 10,620 = 0,0534 m 3 / det 4 Kehilangan tinggi energi :
Δ H = H −
u actual
2g
2
=6−
10,620 2 2 × 9,81
= 925 m
Kehilangan energi :
γ × Q × Δ H =1,05 × 9,802 × 0,0534 × 0,25 =137,3 Watt KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-17
Soal 3.20
Diketahui suatu alirandari tanki melalui lubang di
Diameter 0,60 m
sisi bawah seperti pada Gambar 3.14, elevasi muka air menurun sesuai aliran. Berapa lama penurunan permukaan air pada tanki seperti pada gambar dari
h 1=2m ke h2=30cm ?
h
•
2
air Gambar 3.14.Aliran dari suatu tanki
Jawaban :
Dari gambar 3.14.dapat dilihat bahwa pada penampang 1 udara mengalir masuk ke dalam tanki. Sedang melalui penampang 2 air mengalir ke luar tanki. Untuk menurunkan persamaan aliran dalam kondisi ini digunakan penerapan persamaan kontinuitas antara penampang 1 dan penampang 2 dimulai dari persamaan volume kontrol sebagai berikut :
0=
atau :
∫
→ → ∂ + ρ ρ dV V d A ∫ ∫ ∂t CV CA →
→
ρ V d A = −
CA
d
............................................................(3.15.12)
∫ ρ dV
dt CV
............................................................(3.15.13)
dimana : →
V = vektor kecepatan V = volume ρ
= kerapatan cairan
Apabila kerapatan udara dinyatakan dalam
u
dan kerapatan air dinyatakan dalam ρ a , maka Persamaan
(3.15.13) dapat diuraikan sebagai berikut :
− ρ u u1 A1 + ρ a u 2 A2 = − atau
⎛ ⎝
ρ u ⎜ − u1 A1 +
d
d
ρ dV − ∫ ρ dt ∫ dt u
⎞
d
dV ⎟ + ρ u dt ∫ ⎠ u
a
2
u
d
A2 = −
Jumlah pertambahan udara di dalam tanki yaitu
d dt
dV a
a
dt
∫ ρ
a
dV a
∫ ρ dV u
melalui penampang 1 yaitu : u1 A1 . Dengan demikian harga
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
u
...........................(3.15.14)
sama dengan jumlah udara yang masuk
KINEMATIKA FLUIDA
− u1 A1 +
d dt
III-18
∫ dV = 0 u
Sehingga Persamaan (3.15.14) dapat disederhanakan menjadi :
d
ρ a u 2 A2 = −
dt d
u 2 A2 = −
dt
∫ ρ
a
dV a
[ AT ( h + z ) ]
............................................................(3.15.15)
dimana :
AT = luas penampang h
= tinggi air dari titik 2 di penampang 2 sampai ke permukaan air
z
= tinggi titik 2 dari dasar tanki (tetap)
A2 = luas lubang di penampang 2 Karena z tetap maka persamaan (3.15.15) dapat dinyatakan sebagai berikut :
dh
u 2 A2 = − AT
......................................................................(3.15.16)
dt
Menurut Hukum Toricelli :
u2 =
2gh
.................................................................................(3.15.17)
Sehinggga persamaan (3.15.16) dapat dinyatakan sebagai berikut :
2 g h = − AT
A2
dt = −
AT
dh
A2
2gh
dh dt AT
=− A2
2g
−
h
1 2
dh
......................................(3.15.18)
Integrasi persamaan (3.15.18) menghasilkan persamaan :
t = −
AT A2
1
2 g 1/ 2
1
h 2 + C
1
t = −
2 AT h 2 A2
+ C
2g
......................................................................(3.15.19)
Untuk mencari harga C digunakan kondisi batas, yaitu :
t = 0 → h = h0 C =
2 AT A2
2g
h0
1/ 2
Sehingga persamaan (3.15.19) menjadi :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
t = − t =
2 AT h1 / 2 2 AT
A2
+
2g
A2
2g
III-19
2 AT h0 A2
(h
1/ 2
0
1/ 2
2g
)
− h1
1/ 2
Untuk :
1 1 2 AT = π D1 = π × 0,60 2 = 0, 2827 m 2 4 4 1 1 2 2 2 A2 = π D2 = π × 0,05 = 0,0020 m 4 4 g = 9,81 m / det 2 h0 = 2,7 m h1 =1,2 m t =
2 × 0,2827 0,0020
2 × 9,81
(2
1/ 2
− 0,31 / 2 )= 55,30 det
Soal 3.21 Diameter = 60 cm 1 2 h
3
• φ = 5 cm
Gambar 3.15.Aliran masuk ke dalam dan ke luar dari suatu tanki
Suatu aliran air masuk ke dalam suatu tanki melalui penampang A dan keluar dari tanki melalui penampang B. Sementara di dalam tanki yang berbentuk silinder dengan diameter D=60 cm terdapat air setinggi h seperti tampak pada Gambar 3.15. Apabila debit air yang masuk ke dalam tanki adalah Q=2,83 ℓ / det, berapa lama permukaan air di dalam tanki turun dari h 0=2,7 m sampai h 1=1,2 m ?
Jawaban :
Seperti pada soal 3.20 untuk menjawab soal ini digunakan penerapan persamaan volume kontrol untuk persamaan kontinuitas seperti Persamaan (3.15.13), yaitu :
∫
→
→
ρ V d A = −
CA
d
∫
ρ dV dt CV
............................................................(3.15.13)
Untuk aliran seperti pada Gambar 3.15 terdapat tiga komponen aliran, yaitu : aliran air yang masuk dari sisi kiri melalui penampang 2, aliran udara yang masuk dari atas tanki melalui penampang 1 dan aliran air
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-20
keluar dari sisi kanan tanki melalui penampang 3. Dengan demikian Persamaan (3.15.13) dapat dijabarkan sebagai berikut :
− ρ u u1 A1 − ρ a u 2 A2 + ρ a u 3 A3 = − atau :
⎛ ⎝
⎞
d
ρ dV ⎟ − ρ u dt ∫ ⎠
ρ u ⎜ − u1 A1 +
u
⎛ ⎝
ρ u ⎜ − u1 A1 +
Apabila :
u
a
d
ρ dt ∫
u
2
d
d
ρ dV + ρ dt ∫ dt ∫ u
u
A2 + ρ a u 3 A3 +
⎞ ⎠
dV u ⎟ = 0
a
d dt
∫ ρ
a
dV a dV a
…...(3.15.20)
………………….…......(lihat soal 3.20)
ρ a u 2 A2 = Qin ρ a u 3 A3 = ρ a A3
−
d
ρ dt ∫
a
dV a = −
2gh d dt
………………………………....(Hukum Toricelly)
ρ a [ AT ( h + z ) ] .............................(lihat soal 3.20)
maka persamaan (3.15.20) dapat disederhanakan menjadi :
− Qin + A3 atau :
dh
AT
dt
dt AT
= A3
2 g h − Qin
A3
dt
2 g h − Qin dh
=
d ( h + z )
2 g h − AT
=0
............................................................(3.15.21)
......................................................................(3.15.22)
h = x 2
misalnya :
dh = 2 x dx maka Persamaan (3.15.22) dapat dinyatakan dalam fungsi x, yaitu :
dt AT
2 x dx
=
2 g x − Qin
A3
⎡ Qin t x ln ( A3 =⎢ + 2 AT ⎣⎢ A3 2 g 2 g A3 2 t = Untuk : h0
2 AT A3
2g
(h
0
1/ 2
− h1
1/ 2
)+ A
T
Qin
g A3
2
1/ 2
h0
⎤ 2 g x − Qin )⎥ ⎦⎥ h
1/ 2 1
⎡ A3
2 g h0 − Qin ⎤
⎣⎢ A3
2 g h1 − Qin ⎦⎥
ln ⎢
= 2,7 m dan h1 = 1,2 m
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
⎥
KINEMATIKA FLUIDA
III-21
1 AT = π × 0,60 2 = 0,2827 m 2 4 1 A3 = π × 0,05 2 = 0,0020 m 2 4 Qin = 0,00283 m 3 / det
2 AT A3
2g
AT Qin g A3
2
=
⎡ A3
(h
1/ 2 0
− h0
1/ 2
2 × 0,2827
)=
2 × 9,81
0,0020
0,2827 × 0,00283 9,81× 0,0020 2
( 2,7
1/ 2
− 1,21/ 2 )= 35
= 20,39
2 g h0 − Qin ⎤
⎡ 0,0020 2 × 9,81× 2,7 − 0,00283 ⎤ ln = ⎥ ⎢ ⎥ = 0,53 2 0 , 0020 2 9 , 81 1 , 2 0 , 00283 A g h Q − × × − ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ 3 1 in ⎥ ⎦ t = 35 + 20,39 × 0,53 = 45,76 det ln ⎢
Soal 3.22
Pada suatu tanki yang berisi minyak dengan S = 0,86 terdapat satu lubang dua dimensi di sisi kirinya dan suatu pintu bukaan bawah di sisi kanannya, seperti tampak pada Gambar 3.45 berikut ini : 0
tetap
h=3m 2
A
•1
0,60 m Minyak S=0,86
• B
Lantai / datum
Gambar 3.16.Suatu tanki minyak dengan satu lubang dan satu pintu bukaan bawah
Dalam kondisi tersebut minyak di dalam tanki mengalir keluar melalui lubang sisi kiri ke udara luar, sedangkan yang mengalir melalui pintu bukaan bawah di sisi kanan berada diatas suatu lantai. Apabila semua bentuk kehilangan energi diabaikan, hitung debit aliran melalui penampang A dan penampang B. Adakah perbedaan antara dua debit tersebut? Kalau ada, jelaskan mengapa berbeda.
Jawaban :
Debit aliran melalui penampang A dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Toricelly, yaitu :
Q A = A A
2 g h1
Apabila h dijaga tetap dan lebar diambil = 1 m, maka :
Q A = 0,60 ×1
2 × 9,81 ( 3 + 0,3 ) = 4,83 m 3 / det
Untuk menghitung debit aliran melalui penampang B digunakan persamaan Bernoulli antara O sampai titik 2 di penampang B, yaitu :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
uO
2
2g
+
p0
γ
+ Z 0 =
u B
0 + 0 + 3,6 = u B
III-22
2
2g u B
+
p 2
γ
+ Z 2
2
2g
+ 0 + 0,6
2
2g
= 3,6 − 0,6 = 3 m
u B =
2 × 9,81× 3 = 7,67 m / det
3 Q B = 0,6 ×1× 7,67 = 4,60 m / det
Ternyata terdapat perbedaan besarnya debit aliran di A dan di B. Hal ini disebabkan oleh pendekatan yang berbeda. Pada penampang A yang digunakan pendekatan satu dimensi dimana pada sumbu pancaran tekanan dianggap sama dengan nol diseluruh pancaran. Pada penampang B digunakan kondisi hidrostatik sehingga persamaan Bernoulli yang digunakan.
Soal 3.23
Suatu tanki air seperti pada Gambar 3.17 mempunyai lubang ada dasarnya dengan diameter D=15 cm. Apabila tinggi air H dijaga kostan, turunkan persamaan permukaan air pancaran r pada jarak z dari dasar saluran dalam bentuk z/H. Apabila H=6m dan
z=0,60 m, berapa diameter pancaran tersebut?
H D = 15 cm
air
A 2 r
B
Z
Gambar 3.17.Suatu tanki air yang berlubang pada dasarnya
Jawaban :
Jumlah debit aliran melalui penampang A adalah :
1 2 Q A = A A − u A = π D × 4 Q A =
π 177,78
Hukum kontinuitas :
1 2 2 g H = π ( 0,15 ) 4
2 g H Q A = Q B
Kecepatan aliran di penampang B adalah :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
2 g H
KINEMATIKA FLUIDA
2 g ( H + z )
u B =
A B = π r 2 =
r 2 = r = D B =
III-23
Q B u B
2 g H
π
=
2 g ( H + z )
177,78
1
1
177,78
( 1 + z / H )
=
π
1
177,78
1 + z / H
1 13,33 ( 1 + z / H )
0, 25
2 13,33 [1 + ( 0,6 / 6 ) ] 0 , 25
= 0,1465 m = 14,65 cm
Soal 3.24
Suatu siphon seperti tampak pada Gambar 3.18 penuh dengan air dan mengalirkan debit sebesar 7 ℓ/det. a. Tentukan besarnya kehilangan tinggi energi antara titik 1 sampai titik 3 dalam bentuk tinggi kecepatan u2/2g. b. Tentukan besarnya tekanan di titik 2 apabila dua pertiga dari kehilangan tinggi energi tersebut terjadi diantara titik 1 dan titik 2. c.
Apabila pada penampang 3 menempel sebuah corot dengan panjang 15 cm dan diameternya mengecil dari 20 cm menjadi 15 cm, hitung debit aliran serta tekanan pada titik 2 dan 3 dengan anggapan tidak terdapat kehilangan energi. 2•
φ = 20 cm
2,4 m
1
• 1,2 m
3
•
C air Gambar 3.18.Suatu siphon Jawaban :
a.
Penerapan persamaan energi pada volume kontrol antara titik 1 sampai titik 3 dengan elevasi datum pada titik 3 didapat persamaan :
u1
2
2g dimana : atau :
Δh
+
p1
γ
+ z1 =
u2
2
2g
+
p 2
γ
+ z 2 + Δh
= kehilangan tinggi energi
0 + 0 + 1,2 =
u3
2
2g
+0+0+
K u 3
2
2g
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
......................................(3.15.23)
KINEMATIKA FLUIDA
III-24
dimana kehilangan energi antara titik 1 sampai titik 3 dinyatakan sebagai
K u 3
2
2g
.
Dari besarnya debit aliran Q, kecepatan aliran di penampang 3 dapat ditentukan sebagai berikut :
0,076 m 3 / det u3 = = = 2,42 m / det 1 A3 2 π × 0,20 4 Q
u3
2
2g
=
2,42 2 2 × 9,81
= 0,30 m
Dari persamaan (3.15.23)
u3
2
2g K =
( 1 + K ) =1,2 1,2 0,30
−1 = 3
Jadi besarnya kehilangan tinggi energi adalah b.
3 u3
2
2g
atau
3 × 2,4 2 2 × 9,81
= 0,88 m .
Penerapan persamaan energi antara titik 1 dan titik 2 dengan kehilangan tinggi energi sebesar
2 3
× 0,88 = 0,59 m , adalah
(hal berikutnya tidak ada)
Soal 3.25
Di dalam suatu siphon seperti tampak pada Gambar 3.19 diketahui h 1=1, h2=3 m, D 1=3 m, D 2=5 m dan kehilangan energi sampai pada penampang 2 adalah 2,6 u 22/2g dengan 10% kehilangan terjadi sebelum penampang 1. Tentukan besarnya debit aliran dan tekanan pada penampang 1 serta tekanan pada titik A dalam kondisi tersebut.
•
4m
A
h1
D1
h2
air 2
•
water
D2
Gambar 3.19.Penampang suatu siphon
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-25
Jawaban :
Penerapan persamaan energi dari penampang D sampai penampang 2 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z0 +
p0
γ
+
u0
2
2g
p2
= z2 +
+
γ
u2
h1 + h2 + 0 + 0 = 0 + 0 +
3,6
u2
u2
2
2g
+ Δh
2
+ 2,6
2g
u2
2
2g
=4m
2
2g
=4
u2 =
4
2 × 9,81× 1
3,6
Q = π D2 u 2 = 4 2
= 4,669 m / det
π × 5 2 × 4,669 4
= 91,66 m 3 / det
Penerapan persamaan energi dari penampang 0 sampai penampang 1 :
z 0 +
p0
γ
+
u0
2
2g
= z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
+ Δh1
Dengan menggunakan Hukum Kontinuitas, yaitu :
Q = u1 A1 2
⎛ D ⎞ u1 = u 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ u 2 A1 ⎝ D1 ⎠ A2
Δh1 =10 % × 2,6
u2
2
2g
= 0,26
u2
2
2g
Apabila bidang persamaan (datar) diambil melalui penampang 1 maka persamaan energi tersebut diatas dapat dinyatakan sebagai berikut : 4
2 ⎛ D2 ⎞ u 2 2 u2 ⎟ h1 + 0 + 0 = 0 + + ⎜⎜ + 0,26 2g γ ⎝ D1 ⎠⎟ 2 g ⎡ ⎛ 5 ⎞ 4 ⎤ 4,669 2 p1 = 1 − ⎢ ⎜ ⎟ + 0,26 ⎥ = − 7,862 m γ 3 2 9 , 81 × ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥
p1
p1 = 9806 N / m 3 × ( − 7,862 m ) = − 77,09 kPa Untuk mencari tekanan di titik A digunakan persamaan energi antara titik O ke titik A.
z 0 +
p0
γ
+
u0
2
2g
= z A +
p A
γ
+
uA
2
2g
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-26
Titik A adalah titik stagnasi dimana u A = 0. Apabila bidang persamaan diletakkan di penampang O, persamaan tersebut menjadi :
0+0+0=4+ p A
γ
p A
+0
γ
=−4 m
p a = 9806 N / m × ( − 4 m ) = − 39,22 kPa 3
Soal 3.26
Untuk mengalirkan air dari kolom tandon 1 ke kolom tandon 2 diperlukan suatu pompa yang terletak seperti tampak pada Gambar 3.20 dibawah ini : Apabila diketahui H=16 m, debit aliran Q=30 ℓ/det, kehilangan tinggi energi di seluruh sistem kecuali pompa 80 persen maka hitung tenaga pompa yang diperlukan dalam satuan tenaga kuda (horse power).
B
•
2 H
A
•
φ =15 cm 1 P
Gambar 3.20.Suatu pompa air untuk menaikkan air dari satu tandon ke tandon lain yang terletak lebih tinggi
Soal 3.27
Apabila tenaga dari suatu sistem aliran seperti pada Gambar 3.21 di dalam soal 3.28 adalah 10 HP, dan H=18 m, serta kehilangan energi sama dengan
8u 2 2g
, tentukan besarnya debit aliran dan daya pompa
yang diperlukan.
Jawaban :
Dalam hal ini persamaan energi antara A dan B dapat dinyatakan sebagai berukut :
z A +
p A
γ
+
u A
2
2g
+ H P = z B +
p B
γ
+
uB
2
2g
+ Δh
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-27
0 + 0 + 0 + H P = H + 0 + 0 + 8 H P = H + 8 Q H Q =
P
γ
=
u2
2g
u2
2g 10 HP
9806 N / m
H P =
0,761
H P =
0,761
3
×
746 Watt 1 Hp
N m / det
Q N / m 3 × m 3 / det
Q
=18 +
=
8 ⎡
= 0,761
0,761 Q
N m / det N / m 3
m
⎤ ⎢ ⎥m 2 g ⎣ 1 / 4 π ( 0,15 )2 ⎦ Q2
0,761 =18 Q + 23,097 Q 3 Q + 0,78 Q − 0,033 = 0 3
Dengan cara coba-coba didapat :
Q = 0,042 m 3 / det = 42 l / det Tinggi tenaga pompa yang diperlukan adalah :
H P =
0,761 0,042
= 18,11 m
Soal 3.28
Suatu tandon air mengalirkan air ke suatu tempat yang lebih rendah melalui suatu pipa yang mempunyai corot diujungnya seperti tampak pada Gambar 3.21 berikut ini : tetap
1
•
2,10 m •
A φ = 150 mm
3,00 m
Q 2
Datum φ = 75 mm
Gambar 3.21.Suatu aliran dari tandon ke tempat yang lebih rendah
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-28
Apabila kehilangan energi di dalam sistem diabaikan, tentukan besarnya tekanan di dalam aliran pada titik A untuk kondisi : a.
Corot tetap menempel pada ujung pipa seperti pada Gambar 3.21.
b.
Corot dilepas dari ujung pipa (tanpa corot)
Jawaban :
a)
Karena kehilangan energi diabaikan maka persamaan Bernoulli dapat diterapkan antara penampang 1 sampai penampang 2, yaitu :
z1 +
p1
+
γ
α u 1
2
= z 2 +
2g
p 2
γ
+
α u 2
2
2g
untuk harga α=1 (penampang aliran kecil) maka dari persamaan tersebut didapat:
5,1 + 0 + 0 = 0 + 0 + u2 =
u2
2
2g
2 × 9,81× 5,1 = 10 m / det
Dengan menggunakan Hukum Kontinitas didapat :
Q = u A A A = u 2 A2
1
1 2 2 π ( 0,15 ) u A = π ( 0,075 ) u 2 4 4 2
⎛ 0,075 ⎞ u A = ⎜ ⎟ u 2 = 0,25 ×10 = 2,50 m / det ⎝ 0,15 ⎠ Penerapan persamaan Bernoulli dari titik A ke titik 2 didapat :
z A +
p A
3 +
p A
+
γ γ
u A
+
2
2g
2,5 2 2g p A
γ atau : p A b)
= z 2 +
p 2
γ
+
u2
2g
= 0+ 0 + =
10 2
2
10 2 2g
−
2,5 2
2 × 9,81 2 × 9,81
− 3 =1,78 m
= 1,78 m × 9806 N / m 3 = 17,45 kN / m 2
Apabila corot dilepas persamaan kontinuitas menjadi Q = A A u A
= A2 u 2
Karena AA = A2 maka uA = u2 = 10 m/det Sehingga dari persamaan Bernoulli didapat :
atau :
p A
γ
= −3 m
--- > p A
3+
p A
γ
+
10 2 2g
=0+0+
= − 3× 9806 = − 29,42 kN / m 2
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
10 2 2g
KINEMATIKA FLUIDA
III-29
Dari jawaban a dan b dapat dilihat bahwa apabila corot dilepas akan terjadi tekanan negatif di titik A yang menyebabkan terjadinya kavitasi.
Soal 3.29
Apabila debit aliran melalui corot pada Gambar 3.21 dari soal 3.28 perlu dinaikkan 50 persen, tentukan besarnya tinggi tenaga yang diperlukan. Kemudian apabila akan dipasang pompa air untuk menaikkan debit aliran tersebut berapa HP daya pompa yang diperlukan.
Jawaban : tetap
1
• 2,10 m
φ =150 mm 3,00 m
P 2
Datum φ = 75 mm
Gambar 3.22.Suatu pompa yang dipasang untuk menaikkan debit aliran Dari persamaan Bernoulli antara titik 1 dan titik 2 didapat kecepatan aliran di titik 2 seperti pada soal 3.28, yaitu : u 2 Debit aliran :
= 2 × 9,81× 5,1 =10 m / det 1 2 Q = π ( 0,075 ) ×10 = 44,2 l / det 4
Kenaikkan Q = 50 %
Q = 1,5 × 44,2 l / det = 0,0663 m / det 1
3
1 u = 15 m / det
Persamaan energi antara titik 1 ke titik 2 adalah :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
+ H P = z 2 +
p 2
γ
+
u2
2
2g
Tinggi tenaga aliran adalah :
H P = − z +
u2
2
2g
= − 5,1 +
15 2 2 × 9,81
= 6,37 m
Jumlah tenaga aliran adalah :
P = γ Q H P = 9806 N / m 3 × 0,0663 m 3 / det × 6,37 m P = 4141,38 N m / det = 4141,38 W Dengan efisiensi pompa sebesar η = 0,80 maka pompa yang diperlukan untuk menaikkan debit tersebut adalah pompa yang mempunyai daya sebesar :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
DP =
4141,38 W 0,80
×
III-30
1 HP 746 W
Untuk keperluan praktis diambil D P
= 6,94 HP
= 7 HP
Soal 3.30
Suatu aliran air di dalam pipa seperti tampak pada Gambar 3.23 mempunyai debit aliran sebesar 0,50 m3/det yang harus dinaikkan dari penampang 1 ke penampang 2 yang lebih tinggi.
2
P 1
Gambar 3.23.Suatu pompa di dalam suatu sistem aliran di dalam pipa
Apabila diketahui bahwa elevasi penampang 1 adalah z 1=30 m dan z 2=40 m dari datum, serta tekanan pada penampang 1 adalah p 1=70 kPa, maka berapa besarnya daya dalam satuan kW dan dalam satuan HP yang harus ditambahkan pada aliran dengan menggunakan pompa agar tekanan di penampang 2 sama dengan
p2=350 kPa. Kehilangan energi di seluruh sistem diperkirakan sama dengan Δh=3 m dan
koefisien energi α diambil sama dengan 1 ( α 1
= α 2 = 1 ).
Jawaban :
Penerapan persamaan energi antara penampang 1 dan penampang 2 didapat persamaan sebagai berikut :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
+ H P = z 2 +
H P = ( z 2 − z1 ) +
p 2 − p1
γ
p 2
γ
+
u2
2g
u1 − u 2 2
+
2
+ Δh 2
2g
+ Δh
Menurut Hukum Kontinuitas u 1=u2, sehingga persamaan tersebut dapat di sederhanakan menjadi :
H P = ( 40 m − 30 m ) +
( 350 − 70 ) kN / m 2 9806 N / m 3
+0+3 m
H P = 41,6 m DP = Q γ H P = 0,50 m 3 / det × 9806 N / m 3 × 41,6 m DP = 203965 N m / det = 203965 W = 203,965 kW atau :
DP = 203965 ×
1 HP 746 W
= 1273,3 HP
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-31
Soal 3.31
Di dalam suatu sistem aliran seperti tampak pada Gambar 3.24 dipasang suatu mesin yang disesuaikan dengan keperluan aliran sebesar Q=54 ℓ/det di dalam sistem tersebut. φ = 15 cm tetap
1
EL = 4,2 m
•
•A
3,0 m
B
φ = 15 cm
•
?
φ = 15 cm
1,20 m
2
Tandon air
DATUM
EL = 0
udara luar
Gambar 3.24.Suatu sistem aliran dari suatu tandon air
Dengan kondisi seperti pada Gambar 3.24 tersebut, tentukan : a)
Jenis mesin yang dipasang ( pompa atau turbin )
b)
Besarnyan tekanan di titik A dan titik B dengan ketentuan kehilangan energi diseluruh sistem diabaikan.
Jawaban :
Persamaan energi dari titik 1 sampai titik 2 adalah :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
+ H M = z2 +
p2
γ
+
u2
2g
4,2 m + 0 + 0 + H M = 0 + 0 + H M =
u2
4 u2
2
2g
=
u2
2
2g
+0
m − 4,2 m
Q
1
+ Δh
2
2g
u2 =
2
= 2
π φ
3,06 2 × 9,81
0,054 1 4
π × 0,15
= 3,06 m / det 2
= 0,48 m
H M = 0,48 m − 4, 20 m = − 3,72 m Tanda negatif untuk harga H M menunjukkan bahwa mesin yang dipasang adalah suatu Turbin.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-32
Kemudian, penerapan persamaan energi dari titik 1 sampai titik A menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
− H T = z A +
2g
p A
4,2 + 0 + 0 − 3,72 = 4,2 + p A
γ
=−
+
γ
u A
p A
γ
u A
2
2g
+
u A
2
2g
2
2g
− 3,72
Karena diameter pipa tidak berubah maka :
u A
2
2g p A
γ
=
u2
2
2g
= 0,48 m
, sehingga
= − 0,48 − 3,72 = − 4,2 m
p A = − 4,2 m × 9806 N / m = − 41,185 kN / m 3
2
p A = − 41,185 kPa Penerapan persamaan energi dari titik B sampai titik 2 menghasilkan persamaan :
z B +
p B
γ
+
uB
Karena uB = u2 maka :
2
2g
= z 2 +
u B
2
2g
−
u2
p 2
γ
+
u2
2
2g
2
2g
=0
Jadi :
p B
γ
= z 2 − z B = 0 − 1,2 = −1,2 m
p B = −1,20 m × 9806 N / m = −11,767 k N / m 3
2
p B = −11,767 kPa
Soal 3.32
Suatu sistem pembangkit listrik tenaga air (PLTA) seperti tampak pada Gambar 3.25 dibuat untuk memanfaatkan selisih tinggi permukaan air sebesar 610 m.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-33
tetap EL = 610 m
• 1
Q EL = 0 2 tetap
•
T
Turbin
Gambar 3.25. Skema dari suatu PLTA Pada kapasitas maksimum generator diperlukan debit aliran sebesar 141 m 3/det. Apabila kehilangan energi pada intake, penstock dan outlet diperkirakan sebesar Δh=1,52 m tentukan besarnya tenaga yang dihasilkan.
Jawaban :
Penerapan persamaan energi dari titik 1 sampai titik 2 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
− H T = z 2 +
p 2
γ
+
u2
2
2g
+ Δ H
610 m + 0 + 0 − H T = 0 + 0 + 0 + 1,52 m H T = 610 m −1,52 m = 608,48 m 3 3 DT = γ Q H T = 9806 N / m ×141 m / det × 608,48 m
DT = 8413124381 N m / det = 841 MW DT =
841312438 W 746 W
= 1127765 HP
Soal 3.33
Suatu turbin dipasang pada suatu sistem aliran untuk memanfaatkan tenaga aliran dari suatu reservoir yang terletak setinggi H diatas suatu permukaan air di reservoir yang lain seperti tampak pada Gambar 3.26 berikut ini :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-34
1
• φ = 3 cm H
T
2
•
tetap
Gambar 3.26.Suatu turbin di dalam suatu sistem aliran
Kehilangan tinggi energi di seluruh system aliran kecuali pada turbin adalah sebesar
4u 2 2g
. Turbin yang
dipilih mempunyai efisiensi sebesar 90 persen dan putaran sebesar 240 rpm. Untuk menghasilkan 1000 HP pada beda tinggi H=91,44 m, tentukan besarnya debit aliran dan kopel ( T ) di dalam poros penggerak turbin.
Jawaban :
Daya yang dihasilkan adalah 1000 HP, atau
DT =1000 HP =1000 × 746 W = 746000 W DT = 746000 N m / det DT = γ Q H T ×η Q H T = u=
746000 N m / det 9806 N / m × 0,9 3
Q
1 4
=
π D
2
Q
1 4
π 3
= 84,53 m 4 / det
= 0,141 Q 2
Persamaan energi yang diterapkan pada sistem aliran Dari titik 1 sampai titik 2 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
− H T = z2 +
p2
γ
+
u2
2
2g
+ Δh
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-35
H T = 91,44 −
84,53 Q
u1
2
2g
= 91,44 −
4 ( 0,141Q )
2
2 × 9,81
0,00405 Q 3 − 91,44 Q + 84,53 = 0 Q 3 − 22560 Q + 20872 = 0 Dengan cara coba-coba di dapat :
Q = 0,925 m 3 / det T =
746 ×1000 N m / det 2 π × 240 / 60 det
= 29682 N m
Soal 3.34
Suatu turbin terletak di dalam suatu system aliran seperti tampak pada Gambar 3.27 berikut ini : 1
•
EL = + 75 m
3 2
φ =10 cm
φ =10cm T
30
•
o
•
u x = 15 m / det
EL = + 30 m
φ = 5 cm
Gambar 3.27.Suatu turbin di dalam suatu sistem aliran
Tentukan besarnya daya yang dikeluarkan dari turbin tersebut, apabila kehilangan energi di seluruh sistem diabaikan.
Jawaban :
Kecepatan pada corot :
u x =15 m / det u y =15 tan 30 = 8,67 m / det 0
u2 = 152 + 8,67 2 =17,33 m / det u2
2
2g
=
17,33 2 2 × 9,81
=15,3 m
1 2 Q = π ( 0,05 ) ×17,33 = 0,034 m 3 / det 4 Penerapan persamaan energi antara titik 1 dan titik 2 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
z1 +
p1
+
γ
u1
III-36
2
2g
− H T = z 2 +
p 2
γ
+
u2
2
2g
75 + 0 + 0 − H T = 30 + 0 + 15,3 H T = 75 − 30 −15,3 = 29,70 m DT = γ Q H T = 9806 N / m 3 × 0,034 m 3 / det × 29,70 m DT = 9902 N m / det = 9,902 kW
Soal 3.35
Pada suatu aliran di dalam pipa dipasang suatu alat ukur venturi ( Venturi meter ) seperti tampak pada Gambar 3.28 berikut ini : udara
20 cm • K 1
φ = 30 cm
2
•
φ =15 cm
air
Gambar 3.28. Venturi meter
Apabila diameter pipa, D=30 cm sedang diameter tenggorokan, d=15 cm maka hitung besarnya debit aliran melalui venturi meter tersebut dengan anggapan tidak terdapat kehilangan energi.
Jawaban :
Karena kehilangan energi di dalam sistem diabaikan maka persamaan Bernoulli dapat diterapkan antara titik 1 sampai titik 2 sebagai berikut :
z1 +
atau :
p1
γ
+
p1 − p 2
γ
u1
2
2g
= z2 +
p2
γ
u2
+
2
2g
u 2 − u1 2
+ ( z1 − z 2 ) =
2
2g
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas diperoleh :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-37
Q = u1 A1 = u 2 A2 u1 = u 2 − u1 2
1 u2 = u2 4 0,30 2
u2 − 2
2
=
2g
0,15 2
1
16 2g
u2
2
2
⎛ 1 ⎞ u = ⎜ 1− ⎟ 2 ⎝ 16 ⎠ 2 g
Dengan menggunakan bacaan pada manometer dapat dinyatakan sebagai berikut :
p1
− ( K + 0,20 ) + ( z1 − z 2 + K ) =
γ atau :
p1 − p 2
γ
p2
γ
+ ( z1 − z 2 ) = + 0,20
Kembali ke persamaan Bernoulli tersebut diatas didapat persamaan : 2
⎛ 1 ⎞ u + 0,20 = ⎜ 1 − ⎟ 2 ⎝ 16 ⎠ 2 g u2 =
2 × 9,81× 0,20 ×16 = 2,046 m / det
1 Q = π × 0,15 2 × 2,046 = 0,036 m 3 / det = 36 l / det 4 Soal 3.36
Apabila di dalam sistem aliran seperti soal 3.35 kehilangan energi antara titik 1 sampai titik 2 diperhitungkan dan diketahui besarnya adalah
Δh =
0,2 u1 2g
2
maka berapa besarnya debit aliran.
Jawaban :
Karena kehilangan energi diperhitungkan maka yang digunakan adalah persamaan energi antara titik 1 sampai titik 2, yaitu :
z1 +
p1
γ
p1 − p 2
γ
+
u1
2
2g
= z 2 +
p 2
γ
+ ( z1 − z 2 ) =
+
u2
u2
2g
2
2g
2
−
+ Δh
u1
2
2g
+
0,2 u1 2g
Dari Hukum Kontinuitas telah diperoleh :
u1
2
2g
=
1 u2
2
16 2 g
Dari bacaan manometer juga telah diperoleh :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
2
KINEMATIKA FLUIDA
p1 − p 2
γ
III-38
+ ( z1 − z 2 ) = 0,20
maka persamaan energi tersebut diatas dapat dinyatakan sebagai berikut :
0,20 =
u2
2
2g
−
1 u2
2
+
16 2 g
0,2 u 2
2
16 2 g
2
u 2 ⎛ 1 0,2 ⎞ ⎜ 1− + ⎟ = 0,20 2 g ⎝ 16 16 ⎠
2 × 9,81× 0,20 ×16
u2 =
15,2
= 2,032 m / det
1 1 2 Q = π D2 × u 2 = π × 0,15 2 × 2,03 = 0,0359 m 3 / det 4 4 atau :
Q = 35,9 l / det
Soal 3.37
Suatu manometer
dipasang pada suatu pipa yang mengalirkan air dengan maksud untuk mengukur
kecepatan aliran dari perbedaan tinggi tekanan antara dua titik seperti tampak pada Gambar 3.29. berikut ini : S = 0,8 R
K u
D = 30 cm
•
1
•
2
air
Gambar 3.29.Pengukuran kecepatan suatu aliran Apabila bacaan pada manometer menunjukkan tinggi R=30 cm, tentukan besarnya kecepatan aliran di dalam pipa.
Jawaban :
Karena dianggap tidak terdapat kehilangan energi maka persamaan Bernoulli dapat diterapkan dari titik 1 sampai titik 2 yang berada pada sumbu aliran. Persamaan tersebut adalah :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
= z 2 +
p 2
γ
+
u2
2
2g
z1 = z 2 , sehingga z1 – z2 = 0 u 2 = 0 karena titik 2 merupakan titik stagnan.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-39
Dengan ketentuan-ketentuan tersebut maka persamaan Bernoulli tersebut diatas dapat disederhanakan menjadi :
u1
2
=
2g
p 2 − p1
γ
Kemudian, dari pembacaan manometer didapat persamaan :
p1
− 1 K − 0,8 R + 1( K + R ) =
γ
p 2 − p1
γ
p2
γ
= 0,2 R = 0,2 × 0,30 m = 0,06 m
Dengan demikian :
u1
2
2g
= 0,06 m
u1 =
2 × 9,81× 0,06 =1,085 m / det
u1 = 1,085 m / det
Soal 3.38
Dalam suatu aliran di dalam pipa seperti tampak pada Gambar 3.30, diketahui bahwa debit aliran sebesar 100 ℓ/det mengalir dari penampang 1 ke penampang 2 dengan kehilangan tinggi energi sebesar 0,4 ( u 1 – u2 )2 / 2g, dan tekanan di titik 1 sebesar p 1=75.000 Pa. Hitung besarnya p 2 dan gambar garis energi serta garis tekanan atau garis piezometrik sepanjang perlebaran pipa, dengan anggapan kecepatan aliran merata diseluruh penampang sehingga α = 1. 2 1
D = 30 cm
20
0
D = 45 cm
Gambar 3.30.Aliran melalui suatu pipa yang melebar lambat laun
Soal 3.39
Suatu pancaran air dibelokkan oleh suatu baling-baling dalam keadaaan diam dengan bentuk seperti 3
tampak pada Gambar 3.32. Apabila debit dari pancaran air adalah 0,060 m /det pada kecepatan sebesar 45 m/det dan dibelokkan dengan sudut θ = 450, berapa besarnya komponen-komponen gaya yang dikerjakan oleh pancaran air pada baling-baling.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-40
2
V 2 v2
y
u2 1
A1
CA
F x
V 1
θ x
F y
Gambar 3.32.Suatu pancaran air dibelokkan oleh suatu baling-baling yang diam
Jawaban :
Dengan menerapkan persamaan momentum di arah x yaitu Persamaan (3.13.1) dan di arah y yaitu Persamaan (3.13.2) pada kontrol permukaan CA didapat hasil sebagai berikut:
− F x = ρ V 1 ( − V 1 A1 ) + ρ V 2 ( V 2 A2 ) cos θ Dengan memasukkan hukum kontinuitas :
Q = V 1 A1 = V 2 A2 dan karena V 1 = V 2 F x = − ρ Q V 1 + ρ Q V 2 cos θ = + ρ Q V 1 ( cos θ − 1 ) maka :
(
)
3 3 0 F x = 1000 kg / m × 0,06 m / det × 45 m / det × cos 45 − 1
F x = − 790,81 N F y = − ρ Q ( V 2 − V 1 ) = ρ Q V 1 ( sin θ )
(
F y = −1000 kg / m 3 × 0,06 m 3 / det × 45 m / det × sin 45 0
)
F y = + 1909,19 N Dengan demikian komponen gaya pada baling-baling adalah :
F x = + 790,81 N dan F y = − 1909,19 N
Soal 3.40
Suatu pancaran air dibelokkan oleh suatu baling-baling dalam keadaan diam seperti tampak pada Gambar 3.33. Apabila pancaran air tersebut mempunyai diameter →
D=25 mm dan kecepatan sebesar
V 1 = 30 m / det serta sudut belokan θ=600, berapa besarnya komponen-komponen gaya yang dikerjakan oleh pancaran air pada baling-baling tersebut.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-41
F y →
V 1
60 0
y
F x
u2 x →
v2
V 2
Gambar 3.33.Suatu pancaran yang dibelokkan oleh suatu baling-baling dalam keadaan diam Jawaban :
Seperti jawaban soal 3.40, dalam perhitungan gaya-gaya yang bekerja digunakan Persamaan (3.13.1) di arah x dan Persamaan (3.13.2) di arah y.
F x = ρ V 1 ( − V 1 A1 ) + V 2 ( V 2 A2 ) cos θ F x = ρ Q V 1 − ρ Q V 2 cos θ = − ρ Q V 1 ( cos θ −1 )
1 2 F x =1000 kg / m 3 × π 0,025 2 m 2 × ( 30 m / det ) ( 0,5 −1) 4 F x = − 220,89 N
(
)
F y = − ρ Q V 1 sin θ
1 2 F y = −1000 kg / m 3 × π 0,025 2 m 2 × ( 30 m / det ) ( 0,866) 4 F y = − 382,59 N
(
)
Dengan demikian komponen gaya pada baling-baling adalah :
F x = + 220,89 N dan F y = + 382,59 N Soal 3.41
Suatu pancaran air membentur suatu baling-baling dalam keadaaan diam berbentuk seperti tampak pada Gambar 3.34 berikut ini : Q1 = 0,60 Q0 y
60 0
V 0 Q0
F x
F y
x
Q2 Gambar 3.34.Suatu bentuk baling-baling yang membagi pancaran air
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-42
Apabila Q0=80 ℓ/det, ρ=1000 kg/m3 dan V0=100 m/det maka hitung komponen-komponen gaya F x dan Fy yang diperlukan untuk menahan baling-baling tersebut tetap diam.
Jawaban :
Dengan menggunakan persamaan momentum di arah x, yaitu :
⎛ → ⎝
∫
→
⎞ ⎠
F x = ρ u ⎜ V 0 d A ⎟ = − ρ V 0 Q0 + ρ V 0 cos 60 0 × 0,6 Q0 + − ρ V 0 cos 60 0 × 0,4 Q0 CA
(
0 F x = ρ V 0 Q0 −1 + ( 0,6 − 0,4 ) cos 60
)
F x =1000 × 0,080 ×100 [−1 + ( 0,6 − 0,4 ) 0,5 ] = − 7200 N F y = 0 + ρ V 0 sin 60 0 × 0,6 Q0 − ρ V 0 sin 60 0 × 0,4 Q0 F y = ρ V 0 Q0 ( 0,6 − 0,4 ) sin θ F y =1000 × 0,08 ×100 ( 0,6 − 0,4 ) 0,866 = 1386 N
Soal 3.42
Suatu aliran air dibawah suatu struktur bangunan seperti tampak pada Gambar 3.35. mempunyai lebar 1,20 m (tegak lurus bidang gambar). Berapa besar komponen-komponen gaya yang dikerjakan oleh aliran pada struktur bangunan tersebut ? α = 1. 1
F 2
1,50 m
F 1
0,6 m
0,9 m
F 2
Gambar 3.35.Suatu aliran air dibawah suatu struktur bangunan
Jawaban :
Penerapan persamaan Bernoulli dari titik 1 sampai titik 2 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z1 +
p1
γ
+
α u 1
1,5 + 0 +
2
= z 2 +
2g u1
p 2
γ
+
α u 2 2g
2
= 0,9 + 0 +
2g u1
2
2g
= − 0,60 +
2
u2
u2
2
2g 2
2g
Dengan menggunakan hukum kontinuitas :
q = u1 ×1,5 = u 2 × 0,9
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-43
5 u 2 = u1 3 u1
2
2g
= − 0,60 +
52 u1
2
92 2 g
= − 0,60 +
u1
2
2g
u1 = 2,57 m / det
5 u 2 = × 2,57 = 4,29 m / det 3 1 F 1 = × 9806 ×1,5 2 =11032 N / m 2 1 F 2 = × 9806 × 0,9 2 = 3971 N / m 2 Dengan menggunakan persamaan momentum di arah x didapat :
F 1 − F − F 2 = ρ Q (u 2 − u1 ) F = 11032 − 3971 − 1000 × ( 2,57 ×1,5 )( 4,29 − 2,57 ) F = 430 N / m Besarnya seluruh gaya yang dikerjakan oleh cairan pada struktur bangunan adalah : − − − − −→
F total = 1,20 m × 430 N / m = 516,48 N
Soal 3.43
Suatu aliran air yang melalui pipa outflow dibawah struktur bangunan seperti tampak pada Gambar 3.36 mempunyai pembagian kecepatan seragam dimana garis-garis arusnya lurus dan sejajar. Dengan dimensi seperti yang tercantum pada Gambar 3.36, hitung besar dan arah garis komponen gaya horizontal yang dikerjakan oleh aliran pada struktur ”outflow”.
1
F 1
tetap F x
0,942 m (x 0,60 m) 4,5 m 0 ,4 5 m
30 0
F 2 x
2
F 2 y
Gambar 3.36.Suatu struktur outflow
Jawaban :
Lebar penampang 1 = 0,60 m (tegak lurus bidang gambar) A1 = 0,942 x 0,6 = 0,565 m 2
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
F 2 = 0
KINEMATIKA FLUIDA
III-44
A2 = ¼ π x 0,452 = 0,160 m2 Penerapan persamaan Bernoulli antara penampang 1 dan penampang 2 (tidak terdapat kehilangan energi) di dapat persamaan :
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
4,5 + 0 +
u1
= z 2 +
γ
+
V 2
=0+ 0 +
2
2g
=
V 2
2
2g
2
2g u1
p 2
V 2
2
2g
2
2g
− 4,5
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas didapat :
Q = u1 A1 = V 2 A2 V 2 = u1 Jadi :
2
2g
=
A1 A2
u1 =
( 3,53 u1 )2
u1 =
2g
0,160
u1 = 3,53 u1
− 4,5
2 × 9,81× 4,5 11,461
0,565
= 2,78 m / det
V 2 = 3,53 × 2,78 = 9,80 m / det u 2 = V 2 cos 30 0 = 8,49 m / det
1 1 2 2 F 1 = ρ g h1 × 0,6 = ×1000 × 9,81× 0,942 × 0,6 2 2 F 1 = 2611 N F 2 = 0 Persamaan momentum di arah x menghasilkan
F 1 − F x − F 2 = ρ Q ( u 2 − u1
)
2611 − F x − 0 =1000 ( 2,78 × 0,942 × 0,6 )( 8,49 − 2,78 ) F x = 2611 − 8972 = − 6361 N Dari hasil perhitungan tersebut dapat dilihat bahwa gaya yang bekerja pada cairan sebesar F x adalah ke arah hilir, sedang gaya yang bekerja pada struktur mengarah ke hulu ( ). Soal 3.44
Sejumlah air mengalir melalui suatu kolam golak atau kolam peredam energi yang berbentuk seperti tampak pada Gambar 3.37. Di ujung hilir kolam yaitu di penampang B aliran dianggap berbentuk pancaran bebas. Apabila berat air di antara penampang A dan penampang B diperkirakan sebesar 2,69 kN maka tentukan besar dan arah komponen horizontal dan komponen vertikal dari resultante gaya yang dikerjakan oleh aliran pada permukaan kolam golak AB. α= 1.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-45
2,1 m
0,6 m
450 B 0,9 m
1
2
A
3
Gambar 3.37.Suatu aliran melalui kolam golak (peredam energi)
Jawaban :
Penerapan persamaan Bernoulli dari penampang 1 sampai penampang 2 dengan α = 1 menghasilkan persamaan sebagai berikut : 2
+
V 1
2,1 + 0 +
V 1
z1 +
p1
γ
= z 2 +
2g
γ
+
V 2
= 0,6 + 0 +
V 2
2
2g
2
2g
2
2g
2
2g
V 1
p 2
= − 2,1 + 0,6 +
2
V 2
2g
Menurut hukum kontinuitas :
q=
Q
= V 1 h1 = V 2 h2 B 2,1 V 2 = V 1 0,6 Apabila harga V2 dimasukkan ke dalam persamaan energi tersebut diatas didapat : 2
2 ⎛ 2,1 ⎞ V 12 V 1 ⎜ ⎟ = − 2,1 + 0,6 + ⎜ = −1,5 + 12,25 ⎟ 2g 2g ⎝ 0,6 ⎠ 2 g
V 1
2
2 × 9,81×1,5
V 1 =
11,25
V 2 =
2,1 0,6
=1,62 m / det
×1,62 = 5,66 m / det
q = 5,66 × 0,6 = 3,40 m 3 / det m Persamaan Bernoulli antara penampang 2 dan penampang 3 adalah :
z 2 +
p2
γ
+
V 2
0,6 + 0 +
2
2g
= z3 +
5,66 2 2 × 9,81
p3
γ
+
V 3
2
2g
= 0,9 + 0 +
V 3
2
2g
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
V 3
III-46
2
2g V 3 =
= 0,6 + 1,633 − 0,9 =1,33 2 × 9,81×1,33 = 5,11 m / det
V 3 x = u 3 = 5,11 cos 45 0 = 3,61 m / det V 3 y = v3 = 5,11 sin 45 = 3,61 m / det 0
Penerapan persamaan momentum antara penampang 1 dan penampang 3 dapat dilakukan dengan melihat susunan gaya-gaya seperti pada Gambar 3.38.
F 3 = 0
G
3
F 2
F x 2
F y
Gambar 3.38.Susunan gaya-gaya yang bekerja pada penampang volume kontrol antara penampang 1 dan 3.
Di arah x :
1 2
ρ g h2 − F x = ρ Q ( u 3 − u 2 2
)
1 2 F x = ×1000 × 9,81× 0,6 −1000 × 3,40 ( 3,61 − 5,66 ) 2 F x =1765,8 + 6970 = 8736 N / m
Di arah y :
F y − G =1000 × 3, 40 ( 3,61 − 0 ) F y = 2690 + 12274 F y = + 14964 N / m Dari hasil perhitungan tersebut dapat dilihat bahwa komponen horizontal
gaya yang bekerja pada
permukaan kolam golak adalah Fx=8736 N/m ke arah hilir ( → ) dan komponen vertikalnya adalah sebesar Fy=14964 N/m ke arah bawah ( ↓ ).
Soal 3.45
Suatu aliran minyak membentur suatu bidang datar yang tegak lurus arah aliran, seperti tampak pada Gambar 3.39 berikut ini :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-47
bidang datar Diameter D = 5 cm F x
u0
y
x Gambar 3.39.Suatu aliran yang membentur suatu bidang datar
Apabila kecepatan aliran minyak tersebut sebesar u o=20 m/det, berapa besarnya gaya f yang diperlukan untuk menahan bidang datar tersebut pada posisi seperti pada Gambar 3.39. ”Specific gravity” minyak adalah S=0,83.
Jawaban :
Penerapan hukum Newton II diarah sumbu x menghasilkan harga F x sebagai berikut :
F x = m a x = ρ Q t ×
u x t
= ρ Q u x = ρ A u x
2
1 2 2 F x = 0,83 ×1000 kg / m 3 × π ( 0,05 m ) × ( 20 m / det ) 4 F x = 651,88 kg m / det 2 = 651,9 N Karena gaya-gaya yang bekerja diarah y simetri maka F y=0.
F =
F x + F y 2
2
= 651,9 N
Soal 3.46
Suatu pancaran air dengan kecepatan 30 m/det membentur suatu bidang datar A yang mempunyai diameter sebesar 0,30 m dan mempunyai lubang tajam di tengah-tengahnya (oriface). Benturan tersebut tepat di tengah-tengah bidang sehingga bentuk aliran seperti tampak pada Gambar 3.40 berikut ini :
φ = 7,5 cm
F x
φ = 2,50 cm
u1 = 30 m / det
u 2 = 30 m / det
Bidang A Gambar 3.40.Suatu pancaran air membentur suatu bidang yang berlubang
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-48
Berapa besarnya gaya yang diperlukan untuk menahan bidang A tetap pada posisinya dan dalam keadaan diam.
Jawaban :
Penerapan persamaan momentum dalam hal ini menghasilkan persamaan :
F x = − u1 u1 A1 + F x = ρ u1
2
u 2 u 2 A2
( A2 − A1 )
1 F x =1000 × 30 2 × π 0,025 2 − 0,075 2 = − 3534 N 4
(
)
jadi gaya yang diperlukan adalah :
F x = − 3534 N = − 3,534 kN ( ke kiri)
Soal 3.47
Suatu pancaran air dengan debit konstan sebesar 0,027 m 3/det keluar dari lubang pada sisi suatu tanki dan di tampung oleh tanki lain yang terletak lebih rendah seperti tampak pada Gambar 3.41 berikut ini :
d = 10 cm 1 1
2,70 m 3 2
B
F B
0,30 m 2 A F A Gambar 3.41.Pengukuran gaya yang dikerjakan oleh suatu pancaran air
Diameter pancaran di penampang 1 adalah 10 cm. Apabila luas penampang tanki 2 adalah 0,36 m
2
dan
berat tanki kosong diperkirakan sama dengan Gk =890 N, berapa besarnya komponen-komponen gaya yang akan terukur oleh alat ukur di A dan di B?
Jawaban :
u1 =
Q A
=
0,027 1 4
(
π 0,10
2
)
= 3,44 m / det
Penerapan persamaan momentum antara penampang 1 dan penamapang 2 menghasilkan persamaan :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-49
∑ F = ρ Q ( u − u ) ∑ F =1000 kg / m × 0,027 m 2
x
1
3
x
3
/ det ( 0 − 3,44 m / det )
F x = − 92,88 kg m / det 2 = − 92,88 N Jadi besarnya gaya yang akan diukur oleh alat ukur di B adalah F B
= − 92,88 N .
Penerapan persamaan Bernoulli antara penampang 1 dan penampang 3 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z1 +
p1
γ
+
V 1
2g
2,7 + 0 + V 3
2
2g
=
2
V 1
= z2 +
p3
γ
+
V 3
2g
2
2g
3,44 2 2 × 9,81
2
=0+ 0 +
V 3
2
2g
+ 2,7 = 3,30 m
V 3 = 3,30 × 2 × 9,81 = 64,81 2
u3 = u1 sehingga : V 3 = u 3 + v3 = 3,44 2 + v3 2
2
2
2
dimana u3 = komponen V3 di arah x Dan v3 = komponen V3 di arah y
v3 =
64,81 − 3,44 2 = 7,28 m / det
Penerapan persamaan momentum antara penampang 3 sampai dasar tanki menghasilkan harga F y sebagai berikut :
∑ F = ρ Q ( V − v ) y
y
3
F A − 890 − ( 0,36 × 0,3 )× 9806 = 1000 × 0,027 { 0 − ( − 7,28 ) } F A = 890 + 1059,05 + 196,56 = 2145,6 N Jadi besarnya gaya yang akan diukur oleh alat ukur di A adalah sebesar
F A = 2145,6 N .
Soal 3.48
Suatu pancaran air yang mempunyai diameter D=6 cm dan kecepatan aliran V 1=15m/det dibelokkan oleh suatu baling-baling yang mempunyai bentuk seperti tampak pada Gambar 3.42.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-50
v2
V 2
2
u2
V k 1
V B
V 1
x
45 0
Gambar 3.42.Suatu pancaran air yang dibelokkan oleh suatu baling-baling bergerak
Apabila baling-baling tersebut bergerak di arah x dengan kecepatan V B=4 m/det, hitung besarnya komponen-komponen gaya di arah x dan y yang dikerjakan oleh pancaran air pada baling-baling tersebut.
Jawaban :
Untuk menerapkan persamaan momentum diambil suatu volume kontrol yang bergerak bersama sama dengan gerak baling-baling sehingga kecepatan relatif pada volume kontrol adalah :
V rel = 15 − 4 = 11 m / det
1 1 2 2 3 Qrel = π D V rel = × π × 0,06 ×11 = 0,0311 m / det 4 4 Persamaan momentum di arah x adalah :
F x = Q ( u 2 − u1
)
(
)
(
)
F x = 1000 kg / m 3 × 0,0311 m 3 / det 11 cos135 0 − 11 m / det F x = − 584 kg m / det 2 = − 584 N Persamaan momentum di arah y adalah :
F y = Q ( v 2 − v1
)
F y =1000 kg / m 3 × 0,0311 m 3 / det 11 sin 135 0 − 0 m / det F y = 241,9 kg m / det 2 = 241,9 N Dengan demikian maka besarnya komponen-komponen gaya yang dikerjakan oleh cairan pada baling baling adalah :
F x = 584 N ( ke arah x positif / ke kanan ) F y = − 241,9 N ( ke arah y negatif / ke bawah )
Soal 3.49
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-51
Suatu pelat berbentuk sekop seperti tampak pada Gambar 3.43 dengan lebar 20 cm (tegak lurus bidang gambar) digunakan sebagai alat pemisah aliran untuk menyelidiki pengaruh perlambatan.
60 0
h1 7,5 cm
V S
Sekop Lebar = 20 cm
Air Gambar 3.43.Suatu sekop sebagai alat pemisah
Apabila sekop tersebut ditempelkan pada suatu kereta luncur sebesar 8896 N yang bergerak dalam arah horizontal dengan kecepatan awal 90 m/det, tentukan besarnya perlambatan awal dari kereta luncur tersebut.
Jawaban :
Untuk menentukan besarnya gaya yang dikerjakan oleh sekop pada air digunakan persamaan momentum sebagai berikut :
∑ F = ρ Q ( u x
2
− u1 )
(
F x = 1000 × 0,075 × 0,20 × 90 90 cos 60 0 − 90
) kg m / det
F x = − 60750 kg m / det = − 60750 N 2
Dengan menggunakan gaya yang bekerja pada kereta adalah F=60750 N. Dengan menggunakan Hukum Newton II :
F = m ⋅ a a=
F m
=
60750 8896 / 9,81
= 67 m / det 2 atau 6,8 g
Jadi perlambatan awal adalah sebesar 6,8 g .
Soal 3.50
Suatu skop berbentuk baji digerakkan pada suatu aliran air setebal 0,30 m seperti tampak pada Gambar 3.44 berikut ini :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-52
3 2
1
45
0,30 m
1,8 m
0
3m
F
Gambar 3.44.Suatu skop berbentuk baji yang digerakkan pada suatu aliran air.
Lebar sekop ditentukan sama dengan lebar aliran, yaitu 1,5 m (tegak lurus bidang gambar). Tentukan besarnya gaya F yang diperlukan untuk menggerakkan sekop tersebut pada suatu kecepatan sedemikian sehingga puncak dari garis tengah/sumbu pancaran berada pada suatu ketinggian 3 m diatas dasar saluran.
Jawaban :
Apabila sekop bergerak ke kiri pada kecepatan sama dengan V 1, penerapan persamaan Bernoulli di daerah aliran dari penampang 1 ke penampang 2 dan ke penampang 3 di dapat p ersamaan :
z1 +
p1
ρ g
+
V 1
0,3 + 0 +
2
= z 2 +
2g V 1
p 2
ρ g
+
V 2
2
2g
=1,8 + 0 +
2
2g V 2
= z3 +
2
2g
=3+
p3
ρ g
V 3
2
2g
V3 = u3 = u2 ( komponen kecepatan di arah x ) u3 = u2 = V2 cos θ = V2 cos 450 = 0,707 V2
V 3
2
=
2g
0,707 2 V 2
0,5
V 2
V 2
2
2g
2
2g
= 3 + 0,5
V 2
2
2g
2
2g
V 2 =
= 0,5
2g 1,8 +
V 2
2
= 3 −1,8 =1,2 2 × 9,81×1,2 0,5
= 6,86 m / det
V 3 = 0,707 V 2 = 0,707 × 6,86 = 4,85 m / det V 1
2
2g V 1 =
=1,8 − 0,3 +
6,86 2 2 × 9,81
= 3,90 m
2 × 9,81× 3,90 = 8,74 m
u1 = 8,74 m ( komponen V1 di arah x ) 3 Q = 0,3 ×1,5 × 8,74 = 3,93 m / det
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
+
V 3
2
2g
KINEMATIKA FLUIDA
III-53
Penerapan persamaan momentum di arah x :
F 1 − F = ρ Q ( u3 − u1 )
1 2 ρ g h1 ×1,5 = × 9806 × 0,3 2 ×1,5 = 661,9 N 2 2 − F = − 661,9 + 1000 × 3,93 ( 4,85 − 8,74 ) = − 15949,6 N F 1 =
1
F = 15949,6 N
Soal 3.51
Suatu pancaran air dengan kecepatan 45 m/det dan dengan diameter 75 mm menggerakkan suatu turbin impuls seperti tampak pada Gambar 3.45 berikut ini : V 2 = 15 m / det
d=75 mm 60 0
V 1
D = 0,9 m
60 0
V 2 = 15 m / det
d=75 mm
(a)
(b)
Gambar 3.45.Suatu turbin impuls
Sesudah membentur baling-baling pancaran meninggalkan baling-baling dengan kecepatan yang sudah berkurang menjadi 15 m/det dan berbelok pada arah 600 dari arah pancaran semula. Dalam kondisi tersebut tentukan besarnya gaya tangensial rata-rata yang dikerjakan oleh pancaran air pada roda turbin yang mempunyai diameter 0,9 m tersebut. Disamping itu hitung pula kecepatan sudut putaran roda (dalam rpm).
Jawaban :
Debit aliran adalah :
1 1 Q = π d 2 ×V 1 = π × 0,075 2 × 45 = 0,199 m 3 / det 4 4
Besarnya daya yang dihasilkan adalah :
⎛ V 1 2 V 2 2 ⎞ ⎟ p = γ Q Δ H = 9806 × 0,199 × ⎜ ⎜ 2g − 2g ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 45 2 15 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ =179027 W 9806 0 , 199 p = × − 2 2 g g ⎝ ⎠ p =179,03 kW Penerapan persamaan momentum di arah x menghasilkan persamaan sebagai berikut :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-54
(
F x = ρ Q ( V 2 − V 1 ) = ρ Q V cos 60 0 − V 1
)
⎛ 1 ⎞ ×15 − 45 ⎟ = − 7462,5 N ⎝ 2 ⎠
F x =1000 × 0,199 × ⎜
F x = 7,463 kN ( Kerja yang dikerjakan oleh cairan pada turbin ). p = F x u
179030 = 7463 × u u=
179030
ω =
u
7463 u = ω r r
Kecepatan sudut N =
=
= 24 m / det
24 m / det 0,45 m
53,3 × 60 2 π
= 53,3 rad / det
= 509 rpm
Soal 3.52
Suatu bidang datar yang terletak miring sebesar θ terhadap sumbu horizontal menempel pada suatu kereta luncur yang bergerak dengan kecepatan u k ke arah suatu pancaran air seperti tampak pada Gambar 3.46 berikut ini :
u k = kecepatan kereta
q 0 m 3 / det m
luncur
V 0
u k
F x
θ
Gambar 3.46.Suatu bidang datar yang menempel pada suatu kereta luncur.
Dari kondisi yang diketahui tersebut : turunkan a)
Turunkan suatu persamaan untuk menentukan besarnya kerja tiap satuan waktu untuk mendorong bidang datar terserbut.
b)
Pada kecepatan berapa kereta tersebut bergerak menjauhi pancaran agar dapat dihasilkan tenaga maksimum dari pancaran.
Jawaban :
a)
Kecepatan relatif adalah ( V 0 + uk ).
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-55
Penerapan persamaan momentum di arah x menghasilkan persamaan sebagai berikut :
− F x = − ρ ( V 0 + u k ) Q0 + ρ ( V 0 + u k ) cos Q1 − ρ ( V 0 + u k ) cos Q2 Dari Persamaan (3.13.11) dan Persamaan (3.13.12) diketahui :
Q0
Q1 = Q2 =
2 Q0 2
( 1 + cos θ ) ( 1 − cos θ )
Apabila persamaan-persamaan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan momentum diatas akan di dapat persamaan :
Q Q ⎧ ⎫ − F x = ρ ( V 0 + u k ) ⎨ − Q0 + 0 ( 1 + cos θ ) cos θ − ( 1 − cos θ ) cos θ ⎬ 2 2 ⎩ ⎭
⎛ cos θ cos 2 θ cos θ cos 2 θ ⎞ ⎟ − F x = ρ ( V 0 + u k ) Q0 ⎜⎜ − 1 + + − + 2 2 2 2 ⎠⎟ ⎝ F x = ρ ( V 0 + u k ) Q0 (1 − cos 2 θ )= ρ ( V 0 + u k )Q0 sin 2 θ Untuk aliran tetap :
Q0 = ( V 0 + u k ) q 0 / V 0 F x =
ρ ( V 0 + u k )
2
V 0
p = ρ
u k V 0
q0 sin 2 θ ( Newton )
q0 ( V 0 + u k ) sin 2 θ ( N .m ) 2
p = kerja yang dilakukan oleh cairan b)
Kerja maksimum apabila
dp du
=0
ρ q0 sin 2 θ d ( V 0 + u k ) u k 2
dp du k
=
ρ q sin 2 θ V 0
V 0
du k
[ 2 ( V + u 0
k
=0
)u k + ( V 0 + u k )2 ]= 0
2 ( V 0 + u k ) u k + ( V 0 + u k ) = 0 2
2 u k = − ( V 0 + u k ) → u k = −
V 0
3
Soal 3.53
Suatu pancaran air dengan diameter d=7,5 cm mengalir dengan kecepatan 30 m/det ke arah sumbu x positif ( ke kanan ). Pancaran tersebut dihadang oleh suatu kerucut yang bergerak berlawanan ( ke kiri )
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-56
dengan kecepatan 12 m/det. Dengan benturan pada kerucut tersebut aliran terpisah ke dua arah seperti tampak pada Gambar 3.76, dimana arah aliran menjadi masing-masing membentuk sudut 60 0 terhadap sumbu x. Tentukan gaya eksternal horizontal yang diperlukan untuk menggerakkan kerucut tersebut. V 2 u2
60 0 u 0 =V 0
V k
u3 V 3
Gambar 3.47.Pancaran air dibelokkan oleh suatu kerucut bergerak melawan arus / pancaran. Jawaban :
V 1 = V 0 + V k = ( 30 + 12 ) m / det = 42 m / det
Kecepatan relatif : Debit aliran :
1 1 2 Q1 = π d 2 V 1 = π ( 0,075 ) × 42 = 0,186 m 3 / det 4 4 Q Q2 = 1 2 Q Q3 = 1 2 Persamaan momentum di arah x :
∑ F = − ρ Q V + ρ Q V + ρ Q V Q Q ∑ F = − ρ Q V + ρ 2 V cosθ + ρ 2 x
1
1
x
1
1
2
2
3
3
1
1
1
V 1 cos θ
F x = ρ Q1 V 1 ( cos θ − 1 ) 3 3 F x = 1000 kg / m × 0,186 m / det × 42 m / det × ( − 0,5 )
F x = − 3906 kgm / det = − 3906 N
Soal 3.54
Suatu piringan digantung dengan sebuah kawat dalam posisi stabil dan dapat dengan bebas bergerak di arah vertikal karena pancaran air dari bawah. Berat piringan tersebut adalah 15 N.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-57
Kawat untuk stabilitas V k 3
2
d
pancaran air
h=?
1
Gambar 3.48.Suatu piringan yang disangga oleh suatu pancaran air
Apabila kecepatan awal dari pancaran air tersebut adalah V 0=10 m/det dan diameter awal dari pancaran air adalah d=3 cm, tentukan tinggi h dimana piringan naik dan tinggal diam atau berhenti. Dalam hal ini kawat hanya berfungsi sebagai alat untuk menjaga stabilitas dan tidak perlu dimasukkan di dalam perhitungan. Jawaban :
Untuk mencari tinggi h digunakan persamaan Bernoulli antara penampang 1 sampai penampang 2 :
z1 +
p 2
ρ g
+
V 1
2
2g
0 + 0 +
V 1
= z 2 +
p 2
ρ g
+
V 2
2
2g
=h+ 0 +
2
2g V 2
2
2g
V 2 = V 1 − 2 g h = 10 − 2 × 9,81× h 2
2
2
1 2 Q = V 1 A1 =10 × π ( 0,03 ) = 0,0071 m / det 4 Persamaan momentum :
− F = Q ( v3 − v 2 ) dimana : v 2 = komponen V2 di arah y (vertikal) = V 2 v3 = komponen V2 di arah y (vertikal) = 0
− 15 =1000 × 0,0071( 0 − V 2 ) 2
⎛ ⎞ 4,463 −100 15 ⎟⎟ → h = − V 2 =10 − 2 × 9,81 h = ⎜⎜ = 4,87 m 2 × 9,81 ⎝ 1000 × 0,0071 ⎠ 2
Soal 3.55
Suatu turbin terdiri dari empat corot seperti tampak pada Gambar 3.49. Setiap corot mempunyai diameter 25 mm dan mengalirkan air sebesar 7 ℓ/det. Apabila turbin tersebut berputar dengan kecepatan sudut ω=100 rpm, hitung besarnya daya yang dihasilkan.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-58
R = 0,6 m u2
u1 u2 u1
u3
m 6 0 ,
(a)
(b)
Gambar 3.49.Suatu roda dari suatu turbin
Jawaban :
Misalnya
u1 = kecepatan arus keluar dari corot u2 = kecepatan dari putaran u3 = ut = kecepatan turbin
u1 =
Q A1
=
0,007 1 4
π ( 0,025 )
u 2 = 2 π R × ω =
=14,3 m / det 2
2 π × 0,6 ×100
= 6,28 m / det 60 u 3 = uT = u1 − u 2 =14,3 − 6,28 = 8,02 m / det Dengan menggunakan Persamaan (3.12.18) dapat dihitung besarnya :
T 2 = ρ Q ( V T × R ) T 2 =1000 × 0,007 × 4 × ( 8,02 × 0,6 ) =134,74 Joule p = T 2 ω
⎛ 2 π ×100 ⎞ ⎟ = 1411 W 60 ⎝ ⎠
p =134,74 × ⎜
Soal 3.56
Di dalam suatu pompa centrifugal sejumlah 25 ℓ/det air meninggalkan impeller yang berdiameter 0,20 cm dengan kecepatan tangensial sebesar 9 m/det. Air tersebut memasuki impeller dalam arah radial. Untuk kecepatan putar pompa sebesar 1200 rpm dan semua kehilangan energi diabaikan, tentukan besarnya koppel (torque) di dalam poros penggerak, input tenaga (dalam HP), dan energi yang dapat ditambahkan pada aliran.
Jawaban :
Dengan menggunakan Persamaan (3.13.18) dapat dihitung harga T sebagai berikut :
T z = Q [ r 2 V t 2 − r 1 V t 1
]
............................................................(3.13.18)
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-59
Karena air memasuki impeller dalam arah radial maka V t1 = 0. Dengan demikian maka Persamaan (3.13.18) dapat disederhanakan menjadi :
T z = Q r 2 V t 2 T z =1000 kg / m 3 × 0,025 m 3 / det × 0,10 m × 9 m / det T z = 22,5 Nm
ω =
1200 × 2 π
=125,7 rad / det 60 T × ω 22,5 ×125,7 = = 3,79 HP p = z 746 746 T × ω 22,5 ×125,7 Nm E = z = = 11,54 γ Q 9806 × 0,025 N Soal 3.57
Suatu debit aliran sebesar 40 m 3/det keluar dari suatu turbin pada putaran 240 rpm untuk menghasillkan daya sebesar 40.000 kW, berapa seharusnya komponen tangensial dari kecepatan air pada waktu memasuki impeller yang mempunyai diameter 3,2 m ? Kemudian, apabila kehilangan energi di dalam turbin diabaikan, berapa besar tinggi energi yang diperlukan agar turbin mampu menghasilkan daya tersebut diatas.
Jawaban :
Dengan menggunakan persamaan koppel seperti di dalam soal 3.56 dapat ditentukan harga V t sebagai berikut :
T z = Q r V t T z =1000 × 40 ×
3,2 2
×V t = 64000V t Nm
p = T z × ω
⎛ 240 × 2 π ⎞ ⎟ ⎝ 60 ⎠ 40 ×10 6 × 60 V t = = 24,87 m / det 64000 × 240 × 2 π
40 ×10 6 = 64000 V t × ⎜
p = γ Q H = 9806 × 40 × H = 40 ×10 W 6
H =
40000000 kg m / det 9806 kg / m 3 × 40 m 3 / det
= 102 m
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-60
Soal 3.58
Didalam suatu saluran terbuka berpenampang persegi empat terdapat suatu perubahan aliran dari superkritis menjadi subkritis sehingga terjadi suatu loncatan air (hydraulic jump) seperti tampak pada Gambar 3.50 berikut ini : 2
1
h1
h2
p 2
V k
p1
Gambar 3.50.Suatu loncatan air
a)
Tentukan persamaan kehilangan energi akibat loncatan air tersebut.
b)
Tentukan persamaan hubungan antara h 1 dan h2.
Jawaban :
a)
Dengan menggunakan persamaan momentum untuk tiap satuan lebar (tegak lurus bidang gambar) dan persamaan kontinuitas didapat persamaan sebagai berikut : Persamaan momentum dari penampang 1 ke penampang 2 :
∑ F = p
1
− p 2 = ρ Q ( u 2 − u1 )
1
1 ρ g h1 B 2 − ρ g h2 B 2 = ρ Q ( u 2 − u1 ) 2 2
...............................................(1)
Hukum kontinuitas menunjukkan :
Q = u1 A1 = u 2 A2 atau u2 =
A1 A2
u1 =
h1 B h2 B
u1 =
h1 h2
u1
.....................................................................(2)
Dengan menggabungkan Persamaan (1) dan (2) didapat :
1
1 ρ g h1 B 2 − ρ g h2 B 2 = ρ u1 h1 B 2 2 h1 − h2 2
2
4 u1
2
=
u1
=
h2 ( h1 − h2
2
2g
⎛ h1 ⎞ ⎜⎜ u1 − u1 ⎟⎟ ⎝ h2 ⎠
2g
( h1 − h2 )
h1 h2
)( h1 + h2 ) 1 h = ( h1 + h2 ) 2 4 ( h1 − h2 ) h1 4 h1
...............(3)
Penerapan persamaan energi dari penampang 1 sampai penampang 2 menghasilkan persamaan :
z1 +
p1
ρ g
+
u1
2
2g
= z2 +
p2
ρ g
+
u2
2
2g
+ Δh
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
h1 + 0 +
u1
III-61
2
2g
= h2 + 0 + 2
Δh =
u1
Δh =
u1
2g
−
u2
2
2g
+ Δh
2
2g
2
u2
+ ( h1 − h2 ) 2
u 2 ⎛ h1 ⎞ 2
−
2g
⎜ ⎟ + ( h1 − h2 ) 2 g ⎜⎝ h2 ⎠⎟
2 2 u1 ⎛ h1 ⎜ 1− Δh = 2 g ⎜⎝ h2 2
⎞ ⎟ + ( h1 − h2 ) ⎟ ⎠
...............................................(4)
dengan memasukkan Persamaan (3) ke dalam Persamaan (4) di dapat :
( h1 + h2 ) h2 ⎛ ⎜ h2 2 − h12 ⎞⎟
Δh =
⎜ ⎝
4 h1
Δh =
1 4 h1 h2
{( h h 1
2
2
⎟ + ( h1 − h2 ) ⎠
2
3 3 2 2 2 + h2 − h1 − h2 h1 )+ 4 h1 h2 − 4 h1h2 }
h2 + 3 h1 h2 − 3 h1 h2 − h1 3
Δh =
h2
2
2
4 h1 h2
3
=
( h2 − h1 )3 4 h1 h2
Jadi persamaan kehilangan energi yang dimaksud adalah :
Δh = b)
( h2 − h1 )3 4 h1 h2
Kembali ke persamaan momentum dari penampang 1 sampai penampang 2 dan persamaan kontinuitas dapat diturunkan persamaan sebagai berikut :
⎛ 1 1 ⎞ 1 2 2 ρ g h1 B − ρ g h2 B = ρ B q ( u 2 − u1 ) = ρ B q 2 ⎜⎜ − ⎟⎟ h 2 2 ⎝ 2 h1 ⎠
1
dibagi dengan B didapat :
q2 g h1
+
h1
2
2
q2 g h1
= −
q2 g h2 q2
g h2
+
=
h2
2
2
h2
2
2
−
h1
2
2
2 2 q ⎛ 1
1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = ( h2 − h1 ) + ( h2 + h1 ) g ⎝ h1 h2 ⎠ 2q2 g
=
h1 h2 ( h2 − h1 ) + ( h2 + h1
( h2 − h1 ) 2q2 g h1
3
=
h2
2
h1
2
+
)
= h1 h2 ( h2 + h1 )
h2 h1
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
III-62
2
⎛ h2 ⎞ h2 2 q 2 ⎜⎜ ⎟⎟ + − =0 3 h ⎝ 1 ⎠ h1 g h1 ⎛ h2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ h1 ⎠1, 2
−1 ± 1 +
8q2 g h1
3
2
Karena harga negatif tidak mungkin terjadi maka persamaan hubungan antara h 1 dan h2 dapat dinyatakan sebagai berikut :
8q2 1⎡ = ⎢ − 1+ 1 + 3 h1 2 ⎢ g h1 ⎣
h2
⎤ ⎥ ⎥⎦
Soal 3.59
Di dalam suatu aliran melalui suatu pintu air bukaan bawah (under sluice) seperti tampak pada Gambar 3.51, kehilangan energi diabaikan. Apabila kedalaman air tepat pada vena kontrakta adalah h c=45 cm dan kedalam air dihilir adalah h 2=200 cm, tentukan kedalaman air tepat di hulu pintu (h 1). Pada penerapan hukum energi besarnya
u1
2
dianggap sama dengan nol untuk memindahkan / menyederhanakan
2g
perhitungan . Beri alasan pengambilan asumsi atau anggapan tersebut. 1
2
C
h1
h2
ho
hc
Gambar 3.51.Aliran melalui pintu air bukaan bawah
Jawaban :
Penerapan persamaan energi dari penampang 1 ke penampang c.
z1 +
p1
γ
+
u1
2
2g
= z c +
p c
γ
+
uc
2
2g
Karena u1 kecil sekali dibanding u c maka biasanya harga
u1
2g
sehingga persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
2
dianggap sama dengan nol atau diabaikan
KINEMATIKA FLUIDA
h1 + 0 + 0 = hc + 0 + uc
III-63
uc
2
2g
2
2g
= h1 − hc
Dari jawaban soal 3.59 yaitu penurunan persamaan dari penggabungan persamaan momentum dan persamaan kontinuitas diketahui bahwa :
uc
2g
1
h2
4
hc
= ( hc + h2 )
Dengan demikian maka :
h1 − hc =
1 4
( hc + h2 )
h1 = hc +
1 4
h1 = 0,45 +
h2 hc
( hc + h2 ) 1 4
h2 hc
( 0,45 + 2 )
2 0,45
= 3,172 m
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas diketahui bahwa :
h1 B u1 = hc B u c
dimana B adalah lebar saluran, dan dengan demikian :
hc
u1 =
h1
uc =
uc
2 g ( h1 − hc ) =
2 × 9,81( 3,172 − 0,45 )
u c = 7,308 m / det u1 = u1
0,45 3,172
2
2g
=
× 7,308 = 1,036 m / det
1,036 2 2 × 9,81
= 0,055 m
Harga tersebut jauh lebih kecil daripada h 1 sehingga dapat diabaikan. Soal 3.60
Suatu aliran melalui bendung pelimpah (weir) seperti tampak pada Gambar 3.52 mempunyai debit tiap satuan lebar (tegak lurus bidang gambar) sebesar q=10 m3/det m. Apabila dikehendaki bahwa kehilangan energi di kaki pelimpah adalah sebesar 2 mN/N, tentukan elevasi lantai dasar saluran dimana terjadi loncatan air.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
KINEMATIKA FLUIDA
0
III-64
EL + 50 m
2
ho
EL + 30 m
1
h2 h1
EL. z
Gambar 3.52.Suatu loncatan air di bawah pelimpah
Jawaban :
Misalnya elevasi yang dimaksud adalah z maka h 2 = 30 – z. Penerapan persamaan energi dari penampang 0 sampai penampang 1 menghasilkan persamaan sebagai berikut :
z 0 +
p 0
ρ g
+
u0
2
= z1 +
2g
p1
ρ g
+
u1
2
2g
50 + 0 + 0 = ( z + h1 ) + 0 + u1
+ Δh
u1
2
2g
+2
2
2g
= 50 − 2 − z − h1 = 48 − z − h1
…………………….……………………...(1) Dari jawaban soal 3.58 diketahui bahwa pada loncatan air berlaku persamaan sebagai berikut :
u1
2
2g
1
h2
4
h1
= ( h1 + h2 ) 2
h1 + h2 =
2 u1 h1 g
h2
2 u1 ⎛ h1
⎞ ⎜⎜ ⎟ g ⎝ 30 − z ⎠⎟ 2
h1 + 30 − z =
……………………………………………………….………...(2) Karena hanya terdapat dua persamaan yaitu (1) dan (2) untuk tiga harga yang tidak diketahui yaitu h 1, u 1 dan z maka penyelesaian dilakukan dengan cara coba-coba dengan langkah sebagai berikut : 1.
Perkirakan dulu harga h1.
2.
Dengan harga tersebut pada butir 1 dihitung harga u1 =
3.
Hitung harga z dari persamaan energi.
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
q1 h1
=
10 h1
m / det .
KINEMATIKA FLUIDA
III-65
4.
Periksa apakah harga tersebut memenuhi persamaan momentum untuk loncatan air.
5.
Ulang perhitungan sampai semua ketentuan yang berlaku terpenuhi.
Dengan cara tersebut didapat :
h1 = 0,461 m z = 23,546 m h2 = 6,454 m u1 = 21,692 m / det u 2 =1,55 m Maka elevasi lantai atau dasar saluran pada lokasi loncatan air adalah z
= 23,546 m .
Soal 3.61
Suatu tanjakan berombak seperti tampak pada Gambar 3.53 digunakan sebagai peredam energi di dalam suatu aliran saluran terbuka berpenampang persegi empat. Apabila debit aliran tiap satuan lebar adalah q=5,40 m3/det m, hitung a) besarnya kehilangan energi, b) besarnya daya yang dapat diredam, dan c) komponen horizontal gaya yang dikerjakan oleh aliran pada tanjakan tersebut.
Δ H 2
u1
2g
h1 = 0,60 m
F 1
u2 / 2 g
2
h2 = 0,9 m
F
F 2
0,60 m
Gambar 3.53.Suatu bentuk peredam energi Jawaban :
a)
q=5,4 m3/det m.
u1 = u1
q h1
2
2g
u2
0,6
= 9 m / det = 4,13 m / det
2 × 9,81 q
h2
2
2g
5,4
92
=
u2 =
=
=
=
5,4 0,9
= 6 m / det
62 2 × 9,81
=1,83 m / det
Penerapan persamaan energi antara penampang 1 sampai penampang 2 menghasilkan persamaan :
KUMPULAN SOAL MEKANIKA FLUIDA
