Konsep aliran fluida

BAB III KINEMATIKA FLUIDA U KONSEP ALIRAN DAN PERSAMAAN DASARNYA Tidak seperti gerak benda padat, gerak cairan cukup komplek dan tidak selalu dapat diselesaikan/dipecahkan dengan pasti dengan analisa matematis. matematis Hal ini karena elemen dari cairan yang mengalir dapat bergerak dengan kecepatan dan percepatan yang berbeda baik menurut tempat maupun menurut waktu. Namun demikian tidak berarti bahwa masalahnya tidak dapat dipecahkan. Ada tiga konsep yang penting d l dalam aliran li b d cair, benda i yaitu it : Mekanika Zat Alir - SIL 201

1

a. Hukum ketetapan massa, dimana dengan menggunakan hukum ini dapat diturunkan persamaan kontinuitas. b. Hukum ketetapan energi, dimana dengan prinsip ini dapat diturunkan persamaan energi dengan melibatkan energi kinetik, energi potensial dan energi internal dan persamaan-persamaan lainnya. l i c. Hukum H k momentum, t di dimana d dapatt dit diturunkan k persamaanpersamaan untuk gaya dinamis. Di dalam bab ini akan diuraikan konsep aliran dan persamaan dasar yang diperlukan untuk menganalisa gerak aliran yaitu persamaan-persamaan persamaan persamaan yang diturunkan dari hukum-hukum tersebut diatas untuk aliran satu dimensi, yaitu aliran yang mengalami perubahan di arah arus saja. Mekanika Zat Alir - SIL 201

2

Parameter aliran seperti kecepatan, kecepatan tekanan dan kerapatan yang akan memberi ciri pada gerak aliran atau karakteristik aliran, aliran pada dasarnya dapat kembali menurut tepat atau waktu, dari suatu titik ke titik yang lain, l i atau t d ri suatu dari t waktu kt ke k waktu kt yang lain, l i atau berubah menurut waktu dan tempat. Dengan adanya kemungkinan perubahan parameter terhadap waktu dan tempat tersebut, maka dapat dibedakan beberapa tipe aliran dengan definisi sebagai berikut : Mekanika Zat Alir - SIL 201 3

Aliran tetap adalah suatu aliran dimana parameter aliran tidak berubah menurut waktu. Dalam hal ini kedalaman aliran (h) dan kecepatan aliran (u) tidak berubah menurut waktu, atau dapat dianggap tetap dalam suatu interval waktu kt t t t tertentu. H l ini Hal i i dapat d t ditunjukkan dit j kk d dengan persamaan-persamaan sebagai berikut : δh =0 δt

(3.2.1)

δu =0 δt

(3 2 2) (3.2.2)

dan

Mekanika Zat Alir - SIL 201

4

Aliran tidak tetap adalah kebalikan dari aliran tetap. tetap Dalam hal ini parameter aliran berubah menurut waktu, yang y g dapat p ditunjukkan j dengan g p persamaan-persamaan p : δh ≠0 δt

(3 2 3) (3.2.3)

δu ≠0 δt

(3.2.4)

dan


5

Aliran seragam adalah aliran dimana parameter alirannya tidak berubah menurut tempat di sepanjang aliran. Hal ini dapat ditunjukkan dengan persamaan persamaan-persamaan persamaan : δh =0 δs

(3 2 5) (3.2.5)

δu =0 δs

(3 2 6) (3.2.6)

dan


6

Aliran tidak seragam adalah aliran dimana parameterparameter alirannya berubah menurut tempat. tempat Hal ini dapat ditunjukkan dengan persamaan-persamaan : δh ≠0 δs

(3.2.7)

dan δu δs

≠0

(3.2.8)

Aliran tidak seragam dapat dibagi dua yaitu “aliran “ berubah lambat laun (gradually varied flow) dan aliran berubah dengan cepat (rapidly varied flow ) Mekanika Zat Alir - SIL 201

7

Ketetapan dan keseragaman dari aliran tidak harus terjadi bersama bersama-sama. sama. Terdapat empat kombinasi ketetapan dan keseragaman yang mungkin terjadi dalam aliran, yaitu : a Aliran tetap seragam (steady uniform flow) a.

yaitu apabila :

∂u =0 ∂t

dan

∂u ∂u =0 ∂s

Tipe aliran ini juga disebut aliran beraturan.


8

b Aliran tetap tidak seragam (steady un uniform flow) b. yaitu apabila

∂u ∂u = 0 dan ≠0 ∂ ∂t ∂∂s

Tipe aliran ini banyak dijumpai di dalam praktek yaitu aliran berubah lambat laun atau aliran berubah dengan cepat. c Aliran seragam tidak tetap (unsteady uniform flow) c.

∂u ∂u ≠ 0 dan =0 yaitu apabila ∂t ∂t ∂∂ss Tipe ini hampir tidak pernah terjadi. Mekanika Zat Alir - SIL 201

9

d Aliran tidak seragam tidak tetap (unsteady un uniform d. flow) yaitu apabila

∂u ≠0 ∂t ∂t

dan

∂u ≠0 ∂s ∂s

Di dalam kuliah ini hanya y akan disajikan j tipe p y yang g pertama saja yaitu aliran tetap seragam. Kemudian, karena aliran tetap tidak seragam banyak dijumpai dalam aliran li saluran l terbuka b k maka k akan k di jik disajikan di dalam d l kuliah hidrolika saluran terbuka. Mekanika Zat Alir - SIL 201

10

Suatu pola aliran adalah suatu karakteristik dari garisgaris di dalam batas alirannya yang disebut garis-garis arus.

(b) garis arus

(c) pipa arus (a) Garis-garis arus

G b r3 Gambar 3.1.Suatu 1 S t pola l aliran, lir garis ri arus r d dan pipa i arus r Mekanika Zat Alir - SIL 201

11

Garis arus adalah suatu garis lurus atau melengkung yang dibentuk oleh gerak partikel cairan sedemikian sehingga garis singgung pada tiap-tiap titiknya merupakan vector kecepatan pada titik tersebut. Karena arah kecepatan menyinggung garis arus tersebut maka tidak akan ada aliran yang memotong garis tersebut. Hal ini dapat dit j kk ditunjukkan d dengan memisalkan i lk suatu t aliran li d i suatu dari t tanki melalui suatu lubang di salah satu sisinya seperti pada gambar 3.1.a. 31a Pada gambar tersebut ditunjukkan sket pada lima titik pada posisi yang berbeda-beda yaitu posisi a, b, c, d dan e. Mekanika Zat Alir - SIL 201

12

Karena tidak ada aliran yang akan menembus dinding dan dasar tanki yang kedap air, maka semua garis arus yang berada di dekat dinding harus sejajar dengan batas kedap air tersebut. Oleh karena itu vektor kecepatan d dan e pada gambar 3.1.a. sejajar dengan dasar dan dinding saluran Selama partikel cairan bergerak pada arah garis saluran. arus tersebut maka perpindahannya sejauh ds mempunyai komponen dx , dy dan dz dan mempunyai arah dari vektor → kecepatan V yang mempunyai komponen kecepatan u, v dan diarah x,, y, dan z. Dari gambar 3.1.b. dapat dilihat persamaan garis arus adalah :

dx dy dz = = u v w

(3.31) Mekanika Zat Alir - SIL 201

13

Pipa arus adalah sekumpulan garis-garis arus yang dia ali dan diakhiri dengan lengkung tertutup, diawali tertutup seperti tampak pada gambar 3.1.c.

Dalam hal ini

dapat

dinyatakan bahwa tidak terdapat aliran yang memasuki / memotong pipa arus tersebut kecuali yang masuk dari ujung-ujungnya

yang

merupakan

lengkung

tertutup

tersebut.


14

Lintasan arus adalah suatu garis yang menunjukkan lintasan dari gerak partikel-partikel cairan yang mengalir Karena partikel-partikel mengalir. partikel partikel cairan bergerak pada arah garis singgung garis arus maka di dalam aliran tetap dimana pada garis garis-garis garis arusnya tertentu, lintasan arus akan berimpit dengan garis arus. Di dalam suatu percobaan dengan menggunakan zat pewarna yang kerapatannya sama dengan kerapatan air tampak jelas garis-garis garis garis arus yang dimaksud diatas. diatas Garis-garis arus yang berwarna ini disebut garis tegas ( streak line ) dari garis arus. Mekanika Zat Alir - SIL 201

15

Gambar 3.2. menunjukkan suatu pola aliran dari aliran saliran terbuka (a) dan aliran diantara dua pelat (b).

(a)

(b)

Gambar 3.2. Pola aliran, (a) aliran saluran terbuka, (b) aliran diantara dua pelat Mekanika Zat Alir - SIL 201

16

Pada umumnya aliran adalah tiga dimensi dalam arti bahwa parameter-parameter aliran berubah dalam tiga arah koordinat x, y dan z. Untuk beberapa kondisi aliran tidak terdapat p perubahan dalam salah satu arah salib p sumbu. Dalam aliran dua dimensi parameter-parameter aliran merupakan p fungsi g dari waktu dan jjarak di dua koordinat ruang (misalnya x dan z) saja, misalnya aliran melalui suatu bendung atau dibawah bendung seperti pada gambar 3.3. Mekanika Zat Alir - SIL 201

17

z

V

v u

z (a) u

v

x (b)

Gambar 3.3.Aliran dua dimensi (a) aliran melalui bendung pelimpah dan (b) aliran dibawah bendung Aliran yang paling sederhana adalah aliran satu dimensi, d l dalam h l mana parameter-parameter hal t t aliran li d dapat t dinyatakan sebagai fungsi dari waktu dan tempat pada satu arah koordinat saja.Salah saja Salah satu contoh adalah suatu aliran melalui pipa tertutup (conduit), dimana kecepatan di tiap penampang adalah tetap, tetapi hanya berubah menurut jaraknya di sepanjang aliran. Mekanika Zat Alir - SIL 201

18

Kecepatan dan percepatan • v = ds / dt • Komponen K percepatan t sepanjang dan normal thd elemen l d ds : dv ⎞ dv ds dv = =v • a = ddt s = dtd ⎛⎜ ds ⎟= d d ds ⎝ dt ⎠ dt dt ds • Mekanika partikel : 2

s

2

v2 ar = − r

dimana r : jari-jari k kurvatur t ds d Mekanika Zat Alir - SIL 201

19

u = dx / dt dan v = dy / dt ; ax = du / dt dan ay = dv / dt Æ du = (δu / δx)dx + (δu / δy)dy dan Æ dv = (δv / δx)dx + (δv / δy)dy maka : ax = u(δu / δx) + v(δu / δy) dan ay = u(δv / δx) + v(δv / δy) Analisa yang sama dapat dilakukan untuk koordinat kutub dimana vr dan vt adalah fungsi g r dan θ Mekanika Zat Alir - SIL 201

20

Sirkulasi ☞ Sirkulasi adalah sebuah integral garis g sebuah kurva tertentu yyang g sekeliling dekat dalam aliran dan dimodelkan dengan Γ(gamma) Γ(gamma). • Element sirkulasi : • dΓ= (V cos α) ds • Total elemen sirkulasi :

Γ = ∫ dΓ = ∫ (V cos α )ds Mekanika Zat Alir - SIL 201

21

Vortisi ☞ Vortisi, ξ(xi) adalah diferensial sirkulasi per satuan luasan yang tertutup tertutup.

dΓ ∂v ∂u = − ξ= dxdy ∂x ∂y untuk koordinat kutub :

∂vt vt ∂vr ξ= + − ∂r r r∂θ ☞ Aliran rotasional : bila aliran memiliki vortisi Æ ξ≠ 0 Mekanika Zat Alir - SIL 201

22

Persamaan kontinuitas – aliran satu dimensi

• menggunakan 2 prinsip : – kekekalan massa (massa tdk dapat diciptakan dan tdk dapat dihilangkan – kontinuitas


23

Berdasarkan hukum kekekalan massa : ρ1A1ds1 = ρ2A2ds2 Æ dibagi dt Æ ρ1A1 ds1/dt = ρ2A2 ds2 /dt menjadi ρ1A1V1 = ρ2A2V2 Å persamaan kontinuitas A ρ V = konstan k t Æ d(A ρ V) = 0 atau t dA/A + dρ/ρ + dV/V = 0 apabila bil persamaan : ρ1A1V1 = ρ2A2V2 Æ x g menjadi j di : G = γ1A1V1 = γ2A2V2 untuk fluida variasi γ dapat diabaikan, maka k Q = A1V1 = A2V2 Mekanika Zat Alir - SIL 201

24

Debit aliran dengan notasi Q adalah jumlah kuantitas cairan yang melalui suatu penampang tertentu dalam satu p aliran adalah variabel p pada satuan waktu. Kecepatan penampang dimana cairan mengalir. Misalnya pada suatu elemen cairan seperti pada gambar 3.4., jumlah aliran atau debit d bi aliran li melalui l l i suatu penampang kecil k il dA adalah V.dA, dan besarnya debit total adalah :

Q = ∫ u dA

(3 5 1) (3.5.1)

A


25

A

→

V

θ dA

u

X

Gambar 3.4.Kecepatan tidak tegak lurus

A

Pada gambar 3.4. ditunjukkan suatu aliran melalui penampang AA dengan kecepatan V yang arahnya tidak tegak lurus bidang AA, maka perlu diambil komponen kecepatan yang tegak lurus penampang. Dalam contoh ini adalah komponen kecepatan diarah x, x jumlah debit aliran adalah : →

Q = ∫ u dA = ∫ V cos θ dA A

A

(3.5.2)

dimana u adalah komponen kecepatan diarah x x. Mekanika Zat Alir - SIL 201

26

→

Q = ∫ u dA = ∫ V cos θ dA A

(3 5 2) (3.5.2)

A

di dimana u adalah d l hk komponen k kecepatan t di diarah h x.

Dari persamaan tersebut dapat dicari besarnya kecepatan rata-rata rata rata dengan cara sebagai berikut :

Q = u A = ∫ u dA A

1 u = ∫ u dA AA

(3.5.3)


27

Penurunan persamaan gerak cairan dengan menggunakan konsep volume kontrol digunakan atas dasar dua pertimbangan, yaitu : Pertama : menurunkan langsung persamaan dalam bentuk integral, g , dimana p persamaan dalam bentuk ini lebih mudah penggunaannya daripada persamaan diferensial dari persamaan gerak cairan. Kedua : menunjukkan penggunaan hukum ketetapan massa hukum ketetapan energi dan hukum ketetapan massa, momentum ( law of conservation of mass, conservation of energy gy and conservation of momentum ) untuk masalah aliran cairan. Mekanika Zat Alir - SIL 201 28

z

z

III

Volume kontrol II

II

I

y

y

Sistem Volume kontrol

Sistem x

(a) Volume control pada waktu t

x

(b) Volume kontrol pada waktu t + dt

Gambar 3.5.Suatu aliran dengan volume kontrol yang identik pada waktu t

Gambar 3.5.a menunjukkan suatu volume dari suatu sistem aliran yang didalamnya penuh cairan. Volume ini diambil tetap (diukur terhadap tiga salib sumbu) dan disebut “volume kontrol”. Permukaan (batas) dari volume ini disebut “permukaan permukaan kontrol (control surface). ).” Mekanika Zat Alir - SIL 201

29

Apabila H merupakan jumlah dari parameter aliran (masa, energi atau momentum) dari cairan yang berada di dalam suatu sistem, sedang h merupakan parameter tersebut tiap satuan masa (h = H / m) maka dapat ditulis persamaan :

H = h× m

( (3.6.1) )

H = ∫ ρ × h × dV

(3.6.2)

V

di dimana : V = volume cairan Mekanika Zat Alir - SIL 201

30

Misalkan :

H1

= H dari sistem pada waktu t

H2

= H dari sistem pada waktu t+Δt

1

H1

H2

1

= H dari volume kontrol pada waktu t = H dari volume kontrol pada waktu t+Δt

Jumlah dari H di dalam sistem pada waktu t+Δt adalah sama dengan H di dalam volume kontrol, ditambah H yang keluar dari volume kontrol (ΔH0) pada waktu Δt, dikurangi H yang masuk k ke k dalam d l volume l k t l (ΔHi) pada kontrol d waktu kt Δt. Mekanika Zat Alir - SIL 201

31

Jadi :

′

H 2 = H 2 + ΔH 0 − ΔH i

(3.6.3)

selama masa cairan yang sama yang terdapat pada waktu t, maka :

′ = H1 H1

(3 6 4) (3.6.4)

maka p perbedaan H dari sistem adalah :

′ ′ ΔH = H 2 − H 1 = H 2 + ΔH o − ΔH i − H 1

(3.6.5)

Apabila persamaan tersebut dibagi Δt ′

′ − ΔH H 2 H 1 ΔH o − ΔH i + = Δt Δt Δt Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.6.6) 32

Untuk Δt kecil sekali Æ 0 , maka persamaan (3.6.6) dapat dinyatakan dalam bentuk : dH dH ′ dH o − dH i = + dt dt dt (3 6 7) (3.6.7) dH o − dH i d d ρ × h × dV = ∫ ρ × h × dV + ∫ d V dt d dt d dt (3 6 8) (3.6.8) Karena volume dari masa cairan di dalam sistem berubah menurutt waktu kt maka k penurunan terhadap t h d waktu kt merupakan k penurunan dari integral parameter aliran, sedangkan masa cairan di dalam volume kontrol adalah tetap sehingga integral dari volume kontrol merupakan fungsi dari waktu, jadi persamaan (3.6.8) dapat ditulis sebagai berikut : dH o − dH i d d ρ h dV = ∫ ρ dV + (3.6.9) ∫ dt CV dt dt CV Mekanika Zat Alir - SIL 201

33

Permukaan keluar →

Permukaan masuk →

V →

α

dA

dA → θ V

dalam

dalam (a)

(b)

Gambar 3.6.Permukaan batas volume kontrol / permukaan kontrol

Dengan demikian jumlah H yang melalui seluruh permukaan volume kontrol adalah : dH o − dH i = ∫ ρ u cos θ dA dt CA


(3 6 10) (3.6.10) 34

Selama integrasi dari persamaan (3.6.10) diambil untuk permukaan kontrol dalam waktu tetap dt maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut : dH o − dH i = dt ∫ ρ h u cosθ dA CA

atau t

dH o − dH i = ∫ ρ h u cos θ dA dt CA

( (3.6.11) )

Apabila persamaan (3.6.11) dimasukkan ke dalam persamaan (3.6.9) didapat persamaan: dH δ = ∫ ρ h dV + ∫ ρ h u cos θ dA dt δ t CV CA

atau dH δ ⎛ → →⎞ = ∫ ρ h dV + ∫ ρ h ⎜ V d A ÷ ⎝ ⎠ dt δ t CV CA


(3.6.12)

(3.6.13) (3.6. 3) 35

Persamaan tersebut menyatakan y bahwa besarnya y tambahan H dalam suatu waktu di dalam sistem aliran sama dengan besarnya penambahan H dalam suatu waktu di dalam volume kontrol ditambah dengan penambahan H dari aliran melalui batas dari volume kontrol (permukaan kontrol). Untuk aliran tetap (steady flow) tidak terdapat perubahan menurut waktu sehingga persamaan (3.6.13) dapat y sebagai g berikut : dinyatakan

dH ⎛→ →⎞ = ∫ ρ h⎜ V d A ⎟ ⎠ dt CA ⎝

(3 6 14) (3.6.14)

Persamaan (3.6.13) merupakan persamaan dasar yang akan digunakan untuk penurunan persamaan kontinuitas, energi dan momentum. Mekanika Zat Alir - SIL 201

36

Salah satu penerapan konsep volume kontrol yang paling sederhana adalah penurunan persamaan kontinuitas, yaitu persamaan yang menyatakan bahwa di dalam aliran cairan termampatkan (compressible) jumlah aliran tiap satuan waktu kt adalah d l h sama di semua penampang di sepanjang j aliran. Penurunan persamaan kontinuitas dapat dilakukan dengan menerapkan “hukum hukum ketetapan masa masa” pada konsep volume kontrol. Hukum ketetapan masa menyatakan bahwa masa di dalam suatu sistem aliran akan tetap menurut waktu, yaitu : dm

= 0

( (3.7.1) )

dt

dimana m adalah jumlah masa di dalam sistem. Mekanika Zat Alir - SIL 201

37

Misalkan H adalah jumlah masa di dalam sistem dan h adalah dH dm d = =1 dm dm maka persamaan (3.6.13) dapat dinyatakan sebagai berikut : dH ∂ ⎛→ →⎞ = ∫ ρ h dV + ∫ ρ h ⎜ V d A ⎟ dt ∂t CV ⎝ ⎠ CA

dm ∂ ⎛→ →⎞ = ∫ ρ . 1. dV + ∫ ρ .1⎜ V d A ⎟ = 0 dt ∂t ⎝ ⎠ CA

(3 6 13) (3.6.13) (3 7 2) (3.7.2)

⎛ → →⎞ Kemudian, untuk mencari harga ∫ ρ ⎜ V d A ⎟ ⎠ CA ⎝

dapat digunakan suatu volume kontrol yang berbentuk suatu pipa arus seperti pada gambar 3.7 3 7 berikut ini : Mekanika Zat Alir - SIL 201

38

→

V2 VK

dA2

→

V1 PK

VK = Volume kontrol (control volume/CV) PK = Permukaan kontrol (control area/CA)

dA1

Gambar 3 3.7.Aliran 7 Aliran tetap melalui suatu pipa arus Volume kontrol dari p pipa p arus tersebut adalah bagian g yang dibatasi oleh tepi pipa diantara penampang 1 dan penampang 2 yang ditunjukkan oleh garis putus-putus. L Luas penampang 1 adalah d l h dA1 dan d k kecepatan rata-rata penampang ini adalah V1, sedang luas penampang 2 adalah dA2 dengan kecepatan rata rata-rata rata V2. Mekanika Zat Alir - SIL 201

39

Oleh karena aliran merupakan aliran tetap atau tidak b berubah b h menurut waktu, k maka k penurunan terhadap h d waktu k adalah nol. Dengan demikian suku pertama dari ruas kanan persamaan 3.7.2 3 7 2 dapat dinyatakan sebagai berikut :

∂ ρ dV = 0 ∫ ∂t CA

(3.7.3)

Dengan demikian persamaan (3.7.2) dapat disederhanakan menjadi :

⎛→ →⎞ ∫CAρ ⎜⎝ V d A ⎟⎠ = 0

(3.7.4)

Dari persamaan tersebut dapat dilihat bahwa jumlah netto masa yang masuk kedalam dan keluar dari volume kontrol adalah sama. Mekanika Zat Alir - SIL 201 40

Pada penampang 1 inflow dari masa cairan adalah : →

→

ρ1 V1 d A1 = − ρ1 u1 dA1

(3 7 5) (3.7.5)

dan outflownya adalah : →

→

ρ 2 V2 d A2 = ρ 2 u 2 dA2

(3.7.6)

Selama tidak terdapat masa cairan yang masuk atau keluar melalui tepi pipa maka jumlah cairan yang mengalir melalui pipa arus diarah s (di arah arus) adalah :

− ρ u1 dA1 + ρ u 2 dA2 = 0 atau t

ρ u1 dA1 = ρ u 2 dA2

(3.7.7)

Persamaan (3.7.7) ( ) tersebut dikenal sebagai “persamaan “ kontinuitas” yang berlaku untuk dua penampang dari satu pipa arus pada aliran tetap (steady flow). ) Mekanika Zat Alir - SIL 201

41

Untuk sekumpulan pipa-pipa arus seperti pada gambar 3.8, apabila ρ1 adalah kerapatan rata rata-rata rata pada penampang 1 dan ρ2 adalah kerapatan rata-rata penampang 2, maka :

m = ρ1 u1 A1 = ρ 2 u 2 A2

(3 7 8) (3.7.8)

dimana u1 dan u 2 adalah kecepatan rata-rata pada penamS pang 1 dan penampang 2 A2

S A1

Gambar 3 3.8.Sekumpulan 8 Sekumpulan pipa arus dalam batas tertentu Mekanika Zat Alir - SIL 201

42

Dari persamaan (3.5.2) (3 5 2) diketahui bahwa besarnya debit aliran Q adalah : 1 dimana u = ∫ u dA Q = ∫ u dA atau : Q = u A AA A maka persamaan (3 (3.7.8) 7 8) dapat dinyatakan sebagai berikut :

ρ1 Q1 = ρ 2 Q2

(3.7.9)

untuk aliran cairan tak termampatkan (incompressible) ρ adalah tetap, dengan demikian persamaan (3.7.9) dapat disederhanakan menjadi : Q1 = Q2 = Q

atau

Q = u1 A1 = u 2 A2

((3.7.10)) Mekanika Zat Alir - SIL 201

43

z ∂ dx ⎞ ⎛ ⎜ρu− ( ρu ) ⎟ ∂x 2 ⎠ ⎝

dx 2

dx 2

P

∂ dx ⎞ ⎛ ⎜ρu+ (ρu ) ⎟ ∂x 2 ⎠ ⎝

ρ dx dy dz

dz

dy d dx

x y

G b 3 Gambar 3.9.Suatu 9S volume l k kontroll di d dalam l k koordinat di k kartesian i


44

Aliran yang masuk ke dalam volume kontrol melalui sisi kiri adalah : dx ∂ ⎡ ρ u ( ρ u ) − ⎢⎣ ∂x 2

⎤ ⎥⎦ dy dz

Sedang yang keluar dari volume kontrol melalui sisi kanan adalah : ∂ dx ⎤ ⎡ ⎢⎣ ρ u + ∂x ( ρ u ) 2 ⎥⎦ dy dz

Dengan demikian D d iki selisih li ih aliran li yang keluar k l d i dan dari d yang masuk ke volume kontrol adalah : dx ∂ ⎡ ρ u + ( ρ u ) ⎢⎣ ∂x 2

dx ∂ ⎤ ⎡ dy dz − ρ u − ( ρ u ) ⎢⎣ ⎥⎦ ∂x 2

∂ ⎤ dy dz = ( ρ u ) dx dy dz ⎥⎦ ∂x


45

Sehingga jumlah seluruh masa aliran keluar adalah : ⎡ ∂ ⎤ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ρ + ρ v + ρ w dx dy dz u ⎢ ∂x ⎥ ∂y ∂z ⎣ ⎦

dibagi dengan dx dy dz persamaan tersebut menjadi : ∂ ( ρ u ) + ∂ ( ρ v ) + ∂ ( ρ w ) = − ∂ρ ∂x ∂y ∂z ∂t

(3.7.11)

Persamaan (3.7.11) adalah persamaan kontinuitas yang berlaku umum baik untuk aliran tetap, tetap aliran tidak tetap, tetap dari cairan termampatkan maupun tidak termampatkan. Untuk aliran dua dimensi, misalnya aliran tidak berubah diarah y maka persamaan kontinuitas menjadi : ∂u ∂w + =0 ∂x ∂z

(3.7.12)) (3.7. Mekanika Zat Alir - SIL 201

46

Sedang untuk persamaan aliran tetap satu dimensi, persamaan kontinuitas menjadi : ∂u (3.7.13) =0 ∂x Karena di dalam aliran satu dimensi ini, aliran hanya berubah menurut x maka persamaan (3.7.13) dapat di dinyatakan k sebagai b i berikut b ik : du (3.7.14) dx untuk suatu pipa seperti pada gambar 3.9 dimana aliran merupakan p aliran satu dimensi diarah s,, p persamaan kontinuitas secara umum dapat dinyatakan : atau

∂( ρ A ) ∂ ( ρ u A )= − ∂s ∂t

∂ ( ρ A ) ∂ ( ρ Au ) + =0 ∂t ∂s Mekanika Zat Alir - SIL 201

( (3.7.15) ) 47

∂A ∂A k : = 0 maka untuk k aliran li tetap ∂t ∂ ( ρ Au ) =0 ∂s

(3.7.16)

Karena hanya berubah diarah s maka persamaan (3.7.16) dapat dinyatakan menjadi : d ( ρ Au ) =0 ds

(3.7.17)

Atau Au = tetap

Q = A u = A1 u1 = A2 u 2 Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.7.18) 48

Penurunan persamaan energi dapat dilakukan dengan menerapkan hukum ketetapan energi dalam konsep volume kontrol dengan bantuan hukum dari thermodinamika.

ΔE = Q − W

(3.8.1)

dimana :

ΔE = total energi QH = pemindahan i d h panas pada d sistem i W = kerja yang dilakukan pada atau oleh sistem

E = Ek + E p + Eu

(3.8.2)) (3.8. Mekanika Zat Alir - SIL 201

49

Kemudian apabila harga-harga tersebut dimasukkan ke d l dalam persamaan (3.6.12) (3 6 12) di dapat d t persamaan :

(

)

dE ∂ = ∫ ρ ( ek + e p + eu )dV + ∫ ρ ( ek + e p + eu ) v N dA dt ∂t CV CA

(3 8 3) (3.8.3)

Dengan e ga memasukkan e asu a persamaan pe sa aa (3.8.1)) kedalam (3.8. eda a persamaan (3.8.3) dan mengambil asumsi bahwa aliran adalah aliran tetap maka didapat persamaan : → → dE dQ H dW ⎞ ⎛ = − = ∫ ρ ( ek + e p + eu )⎜ V d A ⎟ dt dt dt CA ⎠ ⎝

dengan demikian maka persamaan dinyatakan sebagai berikut : ⎛ →2 ⎞ → → dQ H dW V ⎜ ⎟⎛ ⎞ − = ∫ρ⎜ + g z + eu ⎟ ⎜ V d A ⎟ dt dt CA ⎜ 2 ⎟⎝ ⎠ ⎝ Mekanika Zat Alir -⎠SIL 201

(3.8.4) (3.8.4)

dapat

(3.8.5) 50

Selanjutnya besarnya kerja yang dilakukan pada atau oleh sistem dapat dibagi menjadi tiga, yaitu : i. Kerja aliran (flow work) wf yaitu kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya gaya gaya tekan selama sistem bergerak di dalam ruang. Misalnya suatu sistem bergerak melalui suatu pipa tertutup seperti pada gambar 3.10. 2

→

N

1

V

2

2

→

V

1

N1

A2

A1

Gambar 3.10.Sistem aliran bergerak melalui suatu saluran l tertutup Mekanika Zat Alir - SIL 201

51

Pada penampang 2 gaya yang bekerja pada cairan adalah p2 A2 dan jarak yang ditempuh oleh penampang ini dalam waktu Δt adalah : →

ΔL = V2 Δt Dengan demikian kerja yang dilakukan oleh sistem pada cairan di dalam waktu Δt adalah : →

Δw f , 2 = p 2 A2 V2 Δt

→

w f , 2 = p 2 A2 V2

Jumlah kerja

(3 8 6 ) (3.8.6a)

Sama halnya y dengan g di p penampang p g 1. →

w f ,1 = − p1 A1 V1

(3.8.6b)

Di dalam bentuk vektor produk dari persamaan (3.8.6) adalah : ⎛→ →⎞ wf = p⎜ V d A ⎟ (3 8 7) (3.8.7)

⎝

⎠


52

ii. Kerja pada mesin (shaft work) ws yaitu kerja yang dilakukan oleh cairan pada mesin (turbine) dimana energi dikeluarkan dari sistem, atau kerja j y yang g dilakukan p pada cairan oleh mesin (p (pompa) p ) dimana energi diberikan pada sistem. iii. Kerja geseran (shear work) yaitu kerja yang dilakukan oleh gaya geser. Karena gaya g y g geser bekerja j p pada dinding g dimana kecepatan p gerak cairan sama dengan nol maka kerja geseran ini juga sama dengan nol. Dengan ketentuan-ketentuan tersebut maka persamaan (3.8.5) dapat dinyatakan sebagai berikut : → ⎛ ⎞ → → 2 dw dQ H ⎜ p V ⎟⎛ ⎞ − s = ∫ρ⎜ + + g z + eu ⎟ ⎜ V d A ⎟ (3.8.8) dt dt CA ⎜ ρ 2 ⎠ ⎟⎝ ⎝ ⎠ Mekanika Zat Alir - SIL 201

53

Apabila persamaan (3.8.8) diterapkan untuk suatu sistem aliran li di dimana t d terdapat t satu t pompa dan d satu t turbin t bi seperti ti pada gambar 3.11 akan didapat : τs

N 3 p3

V1 N1 p1

V3

Turbbin

→

Pom mpa

→ →

V2 N2 p2

τs Z1

Z2 datum

Gambar 3 3.11.Suatu 11 Suatu sistem aliran melalui satu pompa dan satu turbin Mekanika Zat Alir - SIL 201

54

⎛ dQH dw p dwT ⎜ + − = ∫ ρ1 ⎜ dt CA 1 ⎜ dt dt ⎝ ⎛ ⎜ ρ 2⎜ ∫ ⎜ CA 2 ⎝ ⎛ ⎜ ∫CA ρ 3 ⎜⎜ 3 ⎝

2 ⎞ → → V1 ⎞ ⎟⎛ + + g z1 + eu ⎟ ⎜ V d A1 ⎟ + ρ1 2 ⎟⎝ ⎠ ⎠ → 2 ⎞ → → p V2 ⎛ ⎞ (3 8 9) + + g z 2 + eu ⎟⎟ ⎜ V d A 2 ⎟ + (3.8.9) ρ2 2 ⎟⎝ ⎠ ⎠ → 2 ⎞ → → p V3 ⎛ ⎞ ⎟ + + g z 3 + eu ⎟ ⎜ V d A 3 ⎟ ρ3 2 ⎟⎝ ⎠ ⎠ →

p


55

Apabila diambil asumsi bahwa ρ, z p dan eu konstan diseluruh penampang maka suku pertama ruas kanan persamaan (3.8.9) dapat diuraikan sebagai berikut :

∫( CA 1

→

3

→ → V2 ) = − ρ1 ∫ V1 dA1 − ρ1 ∫ dA1 − ρ1 g z1 ∫ V 1 dA1 − ρ1 eu 1 ∫ V 1 dA1 ((3.8.10)) ρ1 2

p1

→

untuk selanjutnya diambil : →

2

→

2 V V α ρV 3 A= ρ ∫ dA = dQm 2 2 A

(3 8 11) (3.8.11)

dimana α = faktor koreksi pembagian kecepatan (akan dijelaskan kemudian) pada suatu penampang yang ditambahkan pada penggunaan kecepatan rata-rata pangkat pa g at 3 ( V 3 ) Mekanika Zat Alir - SIL 201

56

Sedangkan →

Qm = ρ A u = ρ ∫ V dA

(3.8.12)

A

Analog untuk penampang 2 dan 3 maka persamaan (3.8.9) dapat disederhanakan menjadi: ⎞ ⎛ αu2 p dQ H dw p dwT ⎛ α u 2 p + − = ⎜⎜ + + g z ⎟⎟ Qm 2 − ⎜⎜ + +gz dt dt dt ρ ρ ⎝ 2 ⎠2 ⎝ 2

+ eu 2 Qm 2 − eu 1 Qm 1 Mekanika Zat Alir - SIL 201

⎞ ⎟⎟ Qm 1 + ⎠1

(3.8.13) 57

Apabila : i. Jumlah panas yang disebabkan oleh geseran dan menyebabkan kehilangan tinggi energi sebesar kf dQH + eu 1 Q m 1 − eu 2 Q m 2 = g Q m k f (3.8.14) dt ii. Jumlah kerja yang dilakukan oleh pompa pada sistem aliran yang menyebabkan tambahan tinggi energi sebesar kP dw p (3.8.15) = g Qm k p dt iii. Jumlah kerja yang dilakukan oleh sistem aliran pada turbin yang menyebabkan kehilangan energi sebesar kT

dwT = g Qm k T dt

( (3.8.16) ) Mekanika Zat Alir - SIL 201

58

Maka persamaan (3.8.12) dapat dinyatakan sebagai berikut : ⎛ αu2 p ⎞ g Qm k f + g Qm kT − g Qm k p = ⎜⎜ + + g z ⎟⎟ Qm 2 + ρ ⎠2 ⎝ 2 (3 8 17) (3.8.17) ⎛ αu2 p ⎞ − ⎜⎜ + + g z ⎟⎟ Qm 1 ρ ⎠1 ⎝ 2 Karena debit aliran konstan maka apabila persamaan (3.8.17) dibagi dengan g Qm dimana Qm = Qm1 = Qm2, akan di dapat : ⎛α u 2 ⎞ p ⎜ − k f + k p − kT = ⎜ + + z ⎟⎟ − ⎝ 2g ρ g ⎠2

⎛α u 2 p ⎜⎜ + +z ⎝ 2g ρ g

atau t : α u1 2 p1 α u 2 2 p2 + + z1 + k p = + + z 2 + k f + kT 2g ρ 2g ρ Mekanika Zat Alir - SIL 201

⎞ ⎟⎟ ⎠1

(3 8 18) (3.8.18)

(3.8.19) 59

Persamaan ((3.8.18)) atau Persamaan ((3.8.19)) dikenal sebagai bentuk umum persamaan energi (mechanical energy balance) dalam dimensi tinggi energi ⎛ LF ⎞ =L ⎟ ⎜ ⎝ F ⎠

dimana : αu2 2g

p ρg

z

= tinggi kecepatan dalam m = tinggi tekanan dalam m = tinggi letak dalam m Mekanika Zat Alir - SIL 201

60

Pada gambar 3.12 berikut ini ditunjukkan suatu bentuk prismatis dari partikel cairan dengan masa m = ρ dA ds , yang bergerak sepanjang garis arus dalam arah s. ⎛ dp ⎞ ⎜ p + ds ⎟ dA ds ⎝ ⎠

S

ds

dz

p dA

ρ g dA ds

Gambar 3.12.Komponen gaya-gaya yang bekerja pada suatu partikel cairan di arah aliran Mekanika Zat Alir - SIL 201

61

Komponen gaya berat diarah s adalah :

− G sin θ = − ρ g dA ds cos θ

(3.9.1)

D Dengan menggunakan k h hukum k N Newton t k kedua d :

∑f

s

= dm a s

(3.9.2)) (3.9.

∂p ⎞ ⎛ p dA − ⎜ p + ds ⎟ dA − ρ g dA ds cos θ = ρ dA ds a s ∂s ⎠ ⎝ ∂p − ds dA − ρ g ds dA cos θ = ρ dA ds a s ∂s

(3 9 3) (3.9.3)

Dib i d Dibagi dengan ρ dA d ds persamaan (3 (3.9.3) 9 3) menjadi :

1 ∂p + g cos θ + a s = 0 ρ ∂s Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3 9 4) (3.9.4) 62

Apabila dz adalah selisih tinggi titik berat penampang hilir dan penampang hulu : dz ∂z = cos θ = (3.9.5) ds ∂s Kemudian percepatan aliran dapat dinyatakan :

du as = dt

(3.9.6)

dimana u = kecepatan aliran diarah s. Karena u merupakan fungsi tempat (s) dan waktu (t), (t) atau u = f (s,t) (s t)

∂u ∂u du = ds + dt ∂s ∂t du ∂u ds ∂u dt = + dt ∂s dt ∂t dt

du ∂u ∂u =u + dt ∂s ∂t Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.9.7) 63

Dengan memasukkan persamaan (3.9.5), (3.9.6) dan persamaan (3.9.7) (3 9 7) ke dalam persamaan (3 (3.9.4) 9 4) akan didapat : 1 ∂p ∂z ∂u ∂u + g +u + =0 (3 9 8) (3.9.8) ρ ∂s ∂s ∂s ∂t Untuk U tu a aliran a tetap

∂u a a pe persamaan sa aa (3.9.8) menjadi e jad : = 0 , maka ∂t

∂z ∂u 1 ∂p + g +u =0 ρ ∂s ∂s ∂s

(3.9.9)

Oleh karena parameter aliran hanya berubah di arah s saja maka k persamaan (3.9.9) (3 9 9) dapat d t dinyatakan di t k dalam d l b t k: bentuk

dz du 1 dp + g +u =0 ρ ds d d ds d ds


(3.9.10)

64

atau : dp

ρ

+ g dz + u du = 0

(3.9.11)

Persamaan (3.9.10) atau persamaan (3.9.11) dikenal dengan persamaan gerak dari Euler dengan asumsi : i. g gerak cairan hanya y sepanjang p j gg garis arus. ii. cairan tidak berkekentalan (non viscous). iii. tipe p aliran adalah aliran tetap. p


65

Integrasi dari persamaan Euler untuk aliran tetap tak termampatkan dan bebas rotasi menghasilkan suatu persamaan yang dikenal dengan “persamaan Bernoulli”. Persamaan ini menghubungkan perubahan tinggi kecepatan, tinggi tekanan dan tinggi letak dari aliran cairan tak berkekentalan. berkekentalan Persamaan Euler untuk aliran tetap diarah x adalah Persamaan (3.9.11). Integrasi dari persamaan tersebut menghasilkan persamaan sebagai berikut :

u2 p + +gz 2 ρ

= konstan Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.10.1) 66

u2 p + + z = H = konstan atau t : k t 2g ρ g

(3.10.2)

di dimana :

u2 2g

= tinggi kecepatan dalam m

p ρg

= tinggi tekanan dalam m

z

= tinggi letak dalam m

H

= tinggi energi dalam m

Persamaan (3.10.2) disebut “persamaan Bernoulli” (1700-1782) (1700 1782). Mekanika Zat Alir - SIL 201

67

Penggunaan persamaan tersebut dapat dijelaskan dengan gambar b 3.13 3 13 berikut b ik t ini i i: uA 2 2g

uA A

u12 2g

1

u2 2 2g

H

p2 Permukaan air ρg

Z1

ZA 2

Z2 Z = 0 = Datum

Gambar 3.13.Hukum Bernoulli untuk aliran saluran terbuka 2

2

u1 p2 u2 = z2 + + H = z1 + 2g ρ g 2g Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.10.3) 68

Tiap-tiap suku dari ruas kiri persamaan (3.10.2) di dinyatakan t k sebagai b i tinggi ti i energii kinetik, ki tik tinggi ti i tekanan t k dan tinggi energi potensial yang masing-masing dapat dij l k sebagai dijelaskan b i berikut b ik t : i.. Tinggi gg e energi e g kinetik et Tinggi energi kinetik atau tinggi kecepatan diartikan sebagai energi kinetik tiap satuan berat. berat Apabila jumlah energi kinetik cairan yang melalui suatu penampang aliran li seluas l ΔA adalah d l h

γ u 3 ΔA

maka tinggi kecepatan adalah :

2g γ u 3 ΔA u 2 = 2 g γ u ΔA 2 g

dalam (m) Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3 10 4) (3.10.4) 69

ii. Tinggi tekanan Tinggi tekanan diartikan sebagai jumlah kerja aliran tiap satuan berat. Kerja aliran adalah suatu kerja yang dilakukan oleh elemen cairan pada sekitarnya selama cairan tersebut mengalir. Seperti telah ditunjukkan pada d persamaan (3.8.6), (3 8 6) besarnya b k j aliran kerja li d i suatu dari masa cairan yang bergerak adalah :

w f = p × A× u

(3.8.6)

Dengan d D demikian iki tinggi i i tekanan k adalah d l h sama d dengan wf / G atau :

wf

p Au p dalam (m) = = G ρ g Au ρ g Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.10.5) 70

iii. Tinggi energi potensial Tinggi energi potensial atau tinggi letak diartikan sebagai energi potensial tiap satuan berat. Hal ini dapat dijelaskan dengan mengambil contoh perhitungan jumlah kerja yang diperlukan untuk mengangkat suatu elemen cair i seberat b G ke k suatu posisi i i setinggi i i z. Besarnya B energi potensial tersebut adalah :

wp = m g z dengan g demikian tinggi gg energi g p potensial adalah : wp m g z = = z dalam (m) (3.10.6) G mg Ruas kanan dari persamaan (3.10.2) adalah “tinggi energi r i total t t l” (total t t l head h d) H. H Mekanika Zat Alir - SIL 201

71

Selanjutnya untuk menunjukkan penerapan hukum Bernoulli pada suatu sistem aliran digunakan contoh pada gambar 3.14 berikut ini : Penampang 1

Penampang 2 2

u1 2g

1

p1 ρg

2

u2 2g p2 2 ρg

Z = 0 Datum

Gambar 3.14.Penerapan Hukum Bernoulli untuk suatu garis arus dari aliran di dalam saluran terbuka Mekanika Zat Alir - SIL 201

72

Untuk suatu garis arus diantara penampang 1 dan penampang 2 seperti pada gambar 3.14 3 14 dapat diterapkan persamaan Bernoulli antara penampang 1 dan penampang pa g 2. 2 2 p1 u1 p2 u 2 + = z2 + + H = z1 + (3.10.7) ρ g 2g ρ g 2g atau t : 2 2

p1 − p 2 u1 − u 2 z1 − z 2 + + =0 ρg 2g

(3.10.8)

dimana :

z1 − z 2 = selisih li ih ti tinggii lletak t k antara t titik 1 d dan titik 2

p1 − p 2 = selisih tinggi tekanan antara titik 1 dan titik 2 ρg 2 u1 − u 2 = selisih tinggi kecepatan antara titik 1 dan titik 2 2g

semua diukur dari dataran


73

Seperti dijelaskan dimuka bahwa Hukum Bernoulli diturunkan dengan beberapa asumsi yang dalam keadaan sebenarnya jarang terjadi. Oleh karena itu penggunaan Hukum Bernoulli mempunyai p y batas-batas y yang g disebut “batas berlakunya Hukum Bernoulli”, yaitu : 1.. Hukum u u Bernoulli e ou d diturunkan tu u a de dengan ga asu asumsi s ba bahwa wa kecepatan aliran pada suatu penampang adalah sama karena yang diambil adalah penampang kecil sekali yaitu ΔA. Dalam persoalan sesungguhnya kecepatan aliran di tiap titik di suatu penampang tidak sama, oleh karena itu dalam penggunaan persamaan Bernoulli yang dicantumkan adalah kecepatan rata-rata 1 u = ∫ u dA A Kemudian, karena besarnya energi kinetik tergantung 3 3 3 u ≠ u pada u dimana Mekanika Zat Alir - SIL 201

74

maka apabila yang digunakan di dalam persamaan Bernoulli adalah u besarnya energi kinetik harus dikalikan dengan suatu koefisien yaitu “koefisien energi” α (Penjelasan mengenai α akan disajikan di dalam sub bab tersendiri). 2. Hukum Bernoulli diasumsikan dengan asumsi bahwa tidak terdapat p g gaya-gaya y g y luar y yang g bekerja j p pada aliran kecuali gaya berat. Di dalam kenyataan aliran selalu terdapat p g gaya y g geser,, baik g gaya y g geser antara lapisanp lapisan cairan itu sendiri, maupun antara cairan dan dinding saluran. Dengan demikian, persamaan Bernoulli dapat digunakan apabila gaya-gaya geser tersebut dan gaya-gaya gaya gaya luar lainnya kecil sekali dan dapat diabaikan. diabaikan Mekanika Zat Alir - SIL 201

75

3. Hukum Bernoulli diturunkan dengan asumsi bahwa tidak t d terdapat t kehilangan k hil energii di dalam d l aliran. li Di dalam d l kenyataan aliran akan terjadi kehilangan energi akibat geseran, apabila bil yang mengalir li adalah d l h cairan i berkekentalan. Dengan demikian persamaan Bernoulli baru dapat digunakan apabila cairan yang mengalir dianggap tidak berkekentalan sehingga kehilangan energi karena geseran dapat diabaikan. 4 Hukum Bernoulli diturunkan dengan asumsi bahwa 4. kerapatan cairan di dalam aliran adalah konstan (ρ = konstan). konstan) Dengan demikian persamaan Bernoulli dapat digunakan apabila kerapatan cairan ρ dianggap konstan konstan. Mekanika Zat Alir - SIL 201

76

FAKTOR KOREKSI ENERGI KINETIK ( α ) Analisa suatu aliran di dalam saluran terbuka atau di d l dalam saluran l t t t tertutup seringkali i k li dilakukan dil k k d dengan menganggap bahwa aliran adalah aliran satu dimensi. D l Dalam h l ini hal i i aliran li di dianggap sebagai b i suatu t pipa i arus besar dengan kecepatan rata-rata u m / det pada setiap penampang melintangnya. melintangnya Namun demikian perlu di perhatikan bahwa besarnya energi kinetik tiap satuan berat atau tinggi kecepatan, berat, kecepatan yang diambil dari harga u 2 / 2 g bukan merupakan harga rata-rata dari u2/2g yang diambil dari seluruh luas penampang tersebut. tersebut Mekanika Zat Alir - SIL 201

77

Hal ini dapat dijelaskan dengan gambar dan persamaan sebagai berikut :

γ u dA

u u

Gambar 3.15.Pembagian kecepatan dan kecepatan ratarata suatu aliran Gambar 3.15 menunjukkan suatu pembagian kecepatan pada suatu penampang aliran i dimana i kecepatan aliran i dii tiap-tiap titiknya adalah u, dan kecepatan rata-rata penampang adalah d l h u Mekanika Zat Alir - SIL 201

78

Besarnya energi kinetik melalui penampang aliran tiap satuan t waktu kt adalah d l h: u2 γ∫ u dA A 2g dengan γ u dA adalah berat cairan tiap satuan waktu yang mengalir melalui penampang seluas dA, dan u2/2g adalah energi e e g kinetik et ttiap ap satua satuan be berat. at. Dengan e ga menyamakan e ya a a harga tersebut pada jumlah energi kinetik melalui suatu penampang p p g dalam bentuk α u 2 / 2 g γ u A Sehingga gg didapat p p persamaan : u2 u2 α γ u A=γ ∫ u dA 2g 2g Mekanika Zat Alir - SIL 201

79

atau :

3

1 ⎛u⎞ α = ∫ ⎜ ⎟ dA A A⎝ u ⎠

(3.11.1)

Dengan harga α tersebut persamaan Bernoulli menjadi : 2 2 p1 α 1u1 p2 α 2u2 + = z2 + + z1 + (3.11.2) ρ g 2g ρg 2g Harga α selalu lebih besar daripada satu dimana untuk aliran li l i laminer di dalam d l suatu pipa i bi biasanya di bil α=2, diambil 2 sedang untuk aliran turbulen di dalam suatu pipa diambil h harga α berkisar b ki antara 1,01 1 01 sampaii 1,10 1 10 atau seringkali i k li diambil α=1 kecuali untuk perhitungan yang teliti. Mekanika Zat Alir - SIL 201

80

FAKTOR KOREKSI MOMENTUM ( β ) Apabila pembagian kecepatan aliran di suatu penampang adalah seperti pada gambar 3.16, maka besarnya momentum yang diambil dari harga kecepatan rata-rata u juga perlu diberi faktor koreksi. Faktor koreksi untuk momentum adalah β yang besarnya dapat ditentukan dari persamaan berikut ini : 2 2 ρ u dA = β ρ u A ∫

sehingga hi : 2

1 ⎛u⎞ β = ∫ ⎜ ⎟ dA A ⎝u ⎠

(3 11 3) (3.11.3)

Seperti halnya faktor koreksi α, harga faktor koreksi β juga selalu lebih besar daripada satu satu. Mekanika Zat Alir - SIL 201

81

Penerapan hukum ketetapan momentum dalam penggunaan konsep volume kontrol akan menghasilkan persamaan momentum. Apabila H adalah besarnya momentum di dalam suatu sistem aliran maka : →

→

dH dm V = dt dt

H mV h= = m m

(3.12.1)

dan

(3.12.2)

Dengan memasukkan Persamaan (3.12.1) dan Persamaan (3.12.2) kedalam persamaan (3.6.12) didapat :

⎛ →⎞ d ⎜ mV ⎟ ⎞ ⎝ ⎠ = ∂ ρ V→ dV + ρ V→ ⎛ V→ d → A⎟ ⎜ ∫ ∫ dt ∂t CV ⎝ ⎠ CA Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.12.3) 82

Menurut hukum Newton II, jumlah gaya-gaya yang bekerja pada aliran adalah : → ⎛ ⎞ → d ⎜ mV ⎟ dV ⎠ F = m.a = m. = ⎝ dt dt

(3 12 4) (3.12.4)

atau

⎛ →⎞ d ⎜ mV ⎟ → → → → ∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + = ρ V dV ρ V V d A = F ⎟ ⎜ ∑ ∫ ∫ dt ∂t CV ⎝ ⎠ CA

(3.12.5)

Persamaan (3.12.5) (3 12 5) tersebut menunjukkan bahwa resultante gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol sama dengan g pertambahan ((linier)) dari besarnya p y momentum di dalam volume kontrol dalam suatu waktu tertentu dengan jumlah netto momentum dari aliran yang keluar dari volume. Mekanika Zat Alir - SIL 201

83

→

d A2 y

→

V2 →

u2 Fx

Untuk aliran tetap persamaan (3.12.5) (3 12 5) d dapatt disederhanakan menjadi :

2

u1

⎛→ →⎞ ∑ F = ∫ ρ V ⎜⎝V d A ⎟⎠ CA →

→

V1 x

→

(3.12.6)

d A1

1

Gambar 3.16.Aliran tetap melalui suatu volume kontrol

Apabila u dalah komponen kecepatan di arah x maka jumlah gaya-gaya yang bekerja di arah x adalah :

∑F

x

= ρ 2 A2 V2 u 2 − ρ1 A1 V1 u1 Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3 12 7) (3.12.7) 84

Dengan menggunakan hukum kontinuitas yaitu V1 A1 = V2 A2 = Q, maka untuk aliran cairan dengan kerapatan konstan adalah : (3.12.8) ∑ F x = ρ Q ( u 2 − u1 ) Persamaan (3.12.8) menjadi : ∑ Fx = ρ Q β ( u 2 − u1 )

(3.12.9) (3. .9)

y

= ρ Q β ( v 2 − v1 )

(3.12.10)

z

= ρ Q β ( w2 − w1 )

(3.12.11)

∑F

∑F

u, v dan w adalah komponen-komponen kecepatan di arah x, y dan z (seperti ( urutan). ) Adapun resultante gaya-gaya tersebut adalah :

∑F =

2

2

Fx + Fy + Fz

2

(3.12.12)

Selanjutnya Persamaan (3.12.9) s/d (3.12.11) disebut “ persamaan momentum “. Mekanika Zat Alir - SIL 201

85

PANCARAN YANG DIPANTULKAN OLEH SUATU PELAT ATAU BALING-BALING TETAP Teori turbomachine didasarkan pada hubungan antara pancaran dan d b li baling-baling. b li M k ik pemindahan Mekanika i d h k j kerja dan energi dari suatu pancaran cairan dipelajari sebagai suatu t penerapan hukum h k momentum. t Apabila suatu pancaran cairan bebas melanggar atau mengenai suatu plat licin yang melengkung atau balingbaling seperti pada Gambar 3.17, pancaran tersebut akan dipantulkan oleh plat. Pantulan tersebut menyebabkan momentumnya berubah dan suatu gaya akan bekerja pada baling-baling. Mekanika Zat Alir - SIL 201

86

Pancaran dianggap mengalir pada baling-baling dalam arah tangensial tanpa kejut, dan geseran antara pancaran dengan baling-baling diabaikan. Kecepatan dianggap seragam di seluruh pancaran di hulu maupun di hilir baling-baling. Karena pancaran terbuka di udara maka tekanan pada ujung-ujung baling-baling adalah sama. y V0

Baling-baling

A1

θ

→

V1

Fy

Fx

x u2 v2

→

V2

V0

Gambar 3.17.Pancaran air pada suatu pelat atau baling-baling melengkung l k h horizontal i l Mekanika Zat Alir - SIL 201

87

Dengan asumsi-asumsi tersebut diatas komponen gayagaya yang dikerjakan oleh baling baling-baling baling pada pancaran yaitu Fx dan Fy dapat dicari dengan menerapkan persamaan momentum berikut ini : ⎛ → →⎞ Fx = ∫ ρ u ⎜ V0 . d A ⎟ = ρ u1 (− V0 A1 ) + ρ u 2 ( V0 A2 ) ⎝ ⎠ CA

dengan menggunakan hukum kontinuitas, yaitu : Q = V0 A1 = V0 A2 didapat : Fx = ρ Q ( u 2 − u1 ) = ρ Q V0 ( cos θ − 1 ) Fy = ρ Q ( v 2 − v1 ) = ρ Q V0 (− sin i θ

)

(3.13.1) (3.13.2)

Untuk mendapatkan besarnya gaya-gaya yang dikerjakan oleh pancaran pada baling-baling adalah sama tetapi dengan tanda minus atau plus kebalikan dari tanda pada Fx d dan Fy dari d i Persamaan P (3 13 1) dan (3.13.1) d P Persamaan (3 13 2) (3.13.2) Mekanika Zat Alir - SIL 201 88 tersebut.

PANCARAN YANG DIPANTULKAN OLEH SUATU PELAT ATAU BALING-BALING BALING BALING YANG BERGERAK Pancaran yang dipantulkan oleh suatu baling-baling yang bergerak dilihat pada pancaran pada baling-baling turbin. Tipe analisa seperti yang telah diuraikan di dalam sub bab 3.13.1 dapat digunakan disini, namun akan lebih mudah apabila volume kontrol dianggap bergerak bersama baling-baling. Apabila baling-baling dapat dipindah kerja dapat dilakukan baik oleh pancaran pada baling baling-baling baling atau oleh baling-baling pada cairan. Pada Gambar ((3.17.a)) ditunjukkan j suatu baling-baling g g yang bergerak dengan cairan mengalir padanya dalam arah tangensial. Gaya-gaya tekan yang dilakukan oleh b li baling-baling b li pada d cairan i adalah d l h Fx dan d F y. Mekanika Zat Alir - SIL 201

89

y CA 2

x

V0 − u Fx

→

A0

Fy

θ

Fy (a)

θ

1

u

V0 →

A2

CV

Fx

(b) →

V2 →

→

V0 − u u

(c)

→

V0

Gambar G b 3 3.18.Baling-baling 18 B li b li b bergerak k ((a), ) ttampak k aliran li baling-baling sebagai aliran tetap dengan superposisi dari kecepatan u ke kiri (b) (b), diagram vektor pola (c) (c). Mekanika Zat Alir - SIL 201

90

Penerapan persamaan (3 12 6) diarah x : (3.12.6)

momentum

atau

persamaan

⎛→ →⎞ ∑ Fx = ∫ ρ Vx ⎜⎝V 0 d A ⎟⎠ = − Tx = ρ ( V0 − u )cos θ [( V0 − u ) A0 ]+ CA + ρ ( V0 − u )[− ( V0 − u ) A0 ]

atau : Fx = ρ ( V0 − u ) A0 ( 1 − cos θ 2

)

⎛→ →⎞ diarah y : ∑ Fy = ∫ ρ V y ⎜V d A ⎟ = Fy = ρ ( V0 − u ) sin θ ⎝ ⎠ 2 atau : Fy = ρ ( V0 − u ) A0 sin θ

(3 13 3) (3.13.3)

[( V0 − u ) A0 ] (3.13.4)

untuk suatu seri baling-baling persamaan-persamaan tersebut dinyatakan dalam hubungannya dengan debit aliran, li yaitu i : Fx = ρ Q0 ( V0 − u )( 1 − cos θ ) (3.13.5) dan

Fy = ρ Q0 ( V0 − u ) sin θ


( (3.13.6) ) 91

PANCARAN MEMBENTUR SUATU PERMUKAAN Untuk menjelaskan lebih lanjut penerapan persamaan momentum pada panjaran yang membentur suatu bidang, dimisalkan suatu pancaran yang membentur suatu permukaan datar yang lebar dan terletak pada k i i kemiringan θo terhadap t h d h i horizontal t l seperti ti pada d Gambar G b 3.19 berikut ini :


92

S −→

A1 −→ V0

−→

u = V cos θ 0 θ

A0

−→

V0

θ

V0 sinθ

m F

−→

V0 −→ A 2

Gambar 3.19.Pancaran membentur suatu bidang Mekanika Zat Alir - SIL 201

93

Persamaan momentum di arah s untuk aliran tetap dapat dinyatakan sebagai berikut : →

→

∑ F = ∫ ρ uV d A = 0 S

(3 13 7) (3.13.7)

CS

dimana u = komponen kecepatan di arah s. atau :

ρ V0 V0 A1 + ρ V0 cos ( − V0 A0 ) + ρ ( − V0 )V0 A2 = 0 Q1 − Q2 = Q0 cos θ

(3.13.8) (3.13.9)

Kemudian dengan penerapan persamaan kontinuitas dimana:

Q0 = Q1 + Q2


94

didapat harga-harga Q1 dan Q2 sebagai berikut : Q0 Q1 = ( 1 + cos θ 2

)

(3.13.11)

Q0 ( 1 − cos θ 2

)

(3.13.12)

Q2 =

Gaya-gaya yang bekerja pada bidang datar tersebut harus tegak lurus padanya, padanya yaitu di aarah n. n Persamaan momentum di arah n adalah : →

→

∑ F = ∫ ρ vV d A = − F = ρ V n

0

sin θ ( − V0 A0 )

CA

(3.13.13) (3. 3. 3)

Fn = ρ Q0 V0 sin θ Mekanika Zat Alir - SIL 201

95

PENDAHULUAN A A Kehilangan energi sepanjang aliran dapat disebabkan oleh geseran atau perubahan b h penampang aliran li oleh l h gangguan lokal. Dibanding dengan kehilangan energi akibat geseran, k hil kehilangan energii akibat kib perubahan b h penampang atau arah h aliran adalah kecil oleh karena itu disebut kehilangan energii minor i ( i (minor l losses). ) Akan Ak t t i apabila tetapi bil kehilangan minor ini berjumlah banyak di sepanjang aliran maka k akan k mengakibatkan kib tk k hil kehilangan yang berarti b ti bagi b i sistem aliran. Oleh karena itu tetap perlu dipertimbangkan di dalam analisa aliran. aliran Di dalam sub bab ini akan disajikan beberapa bentuk kehilangan energi minor dan persamaan dasar yang digunakan. digunakan Mekanika Zat Alir - SIL 201

96

PELEBARAN TIBA TIBA-TIBA TIBA Kehilangan energi pada aliran di dalam saluran yang melebar tiba-tiba dapat dihitung dengan menggunakan persamaan energi dan persamaan momentum. a) ALIRAN SALURAN TERTUTUP Aliran saluran Ali l tertutup adalah d l h aliran li di dalam d l saluran l tertutup yang terisi penuh dan tidak berhubungan dengan udara d l luar ( t (atmosfer), f ) atau t tid k mempunyaii permukaan tidak k cairan yang berbatasan dengan udara luar. Misalnya di d l dalam suatu t saluran l t t t tertutup d dengan penampang memanjang seperti pada Gambar 3.20 melebar tiba-tiba d i luas dari l penampang A1 menjadi j di A2. Mekanika Zat Alir - SIL 201

97

1

2 −→ −→

u1

u2

1

2

A2

A1

V1

−→

V2 P2

P1

(a)

−→

(b)

Gambar 3.20.Saluran tertutup p melebar tiba-tiba Dengan mengambil asumsi bahwa kecepatan aliran adalah seragam di seluruh penampang dan besarnya sama dengan kecepatan rata-rata, rata-rata serta dengan menganggap bahwa kehilangan energi akibat geseran dapat diabaikan, penerapan persamaan momentum adalah sebagai berikut : Mekanika Zat Alir - SIL 201

98

⎛ → →⎞ ∑ F = ∫ ρ u ⎝⎜ V d A ⎟⎠ CA

atau :

p1 A1 − p 2 A1 = ρ u 2 ( u 2 A2 ) + ρ u1 (− u1 A1 A2 ( p1 − p 2 ) = ρ Q ( u 2 − u1 ) p1 − p 2

γ

atau :

((3.14.1))

p1 − p 2

γ

=

=

)

1 Q ( u 2 − u1 ) g A2

u 2 ( u 2 − u1 ) g

(3.14.2)

Penerapan persamaan energi antara penampang 1 dan penampang 2, 2 dengan α = 1 adalah : 2

2

p2 u2 p1 u1 z1 + + = z2 + + + he ρ g 2g ρ g 2g Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3 14 3) (3.14.3) 99

atau : 2

2

p1 − p 2 u 2 − u1 = + z 2 − z1 + he ρg 2g

karena z1=z2, maka : 2

2

p1 − p 2 u 2 − u1 = + he 2g ρg

(3 14 4) (3.14.4)

Dengan menggabungkan D b k P Persamaan (3 (3.14.2) 14 2) d dan (3 (3.14.4) 14 4) didapat 2 2 2 ( ) u − u 2 1 u2 ( u2 − u1 ) u2 − u1 h = e = + he 2g g 2g atau : 2

2

2

− u2 + u1 + 2 u2 − 2 u2u1 he = 2g he = kehilangan k hil ti tinggii energi r i (d (dalam l m)) Mekanika Zat Alir - SIL 201

(3.14.5)

100

b) ALIRAN SALURAN TERBUKA Aliran saluran terbuka adalah aliran di dalam saluran terbuka sehingga terdapat udara luar (atmosfer). Penurunan persamaan energi di dalam saluran terbuka yang mengalami l i perlebaran l b tiba-tiba ib ib dapat d dil k k dilakukan dengan contoh aliran seperti pada Gambar 3.21. berikut ini : ΔH

2

2

u1 α 2g

ΔH

u2 α 2g

h1 ρ g h1

z1 datum

ρ g ( h1 + z1

h2

)

ρ g h2

G b 3 Gambar 3.21.Perlebaran 21 P l b tiba-tiba ib ib (di arah h vertikal) ik l) aliran li saluran l terbuka b k Mekanika Zat Alir - SIL 201

101

Penerapan hukum energi antara penampang 1 dan 2 : α u1 2 α u2 2 (3.14.6) z1 + h1 + = h2 + + ΔH 2g

2g

2

2

u1 − u 2 H Δ = + z1 + h1 − h2 apabila α = 1 : L 2g 2

2

u1 − u 2 ΔH L = − Δh 2g

(3.14.7)

dimana : ΔH L = kehilangan tinggi energi Δh

= perbedaan tinggi permukaan air antara penamapang 1 dan penampang 2 Mekanika Zat Alir - SIL 201

102

Penerapan persamaan momentum : ⎛ → →⎞ ∑ F = ∫ ρ u ⎜⎝ V d A ⎟⎠ CA 1 1 1 ρ g h1 2 + ρ g ( h1 + h2 + z1 ) z1 − ρ g h2 2 = ρ q ( u 2 − u1 ) 2 2 2

untuk saluran lebar sekali q = Q /B 1 1 2 2 ρ g ( h1 + z1 ) − ρ g h2 = ρ u 2 h2 ( u 2 − u1 ) 2 2 1 ρ g ( h1 + z1 )2 − h2 2 = ρ u 2 h2 ( u 2 − u1 ) 2 1 g { ( h1 + z1 ) − h2 }{ ( h1 + z1 ) + h2 }= u 2 h2 ( u 2 − u1 ) 2 1 g { ( h1 + z1 ) − h2 }{ ( h1 + z1 ) − h2 + 2 h2 }= u 2 h2 ( u 2 − u1 ) 2 1 g { ( − Δh ) }{ ( − Δh ) + 2 h2 }= u 2 h2 ( u 2 − u1 ) 2 Mekanika Zat Alir - SIL 201

{

}

(3 14 8) (3.14.8) 103

sehingga menjadi :

Persamaan

(3.14.8)

dapat

disederhanakan

1 g ( − Δh )( 2 h2 ) = u 2 h2 ( u 2 − u1 ) 2 Δh =

− u 2 ( u 2 − u1 ) g

(3.14.9)

dengan menggabungkan Persamaan Persamaan (3.14.7) didapat :

( (3.14.9) )

u1 − u 2 2 u 2 ( u 2 − u1 ) u1 − 2 u1 u 2 + u 2 = ΔH L = + 2g 2g 2g 2

ΔH L

2

2

2 ( u1 − u 2 ) =

dan

2

(3.14.10)

2g

Persamaan (3.14.10) dikenal dengan nama “Persamaan C Carnot d Borda”. dan B d ” Mekanika Zat Alir - SIL 201

104

Persamaan kehilangan tinggi energi tersebut dinyatakan dalam beberapa bentuk lain, lain yaitu :

dapat

2

⎛ u 2 ⎞ u1 2 ⎟⎟ ΔH L = ⎜⎜ 1 − u1 ⎠ 2 g ⎝ 2 ⎞ u2 2 ⎛ u1 − 1 ⎟⎟ atau : ΔH L = ⎜⎜ ⎝ u2 ⎠ 2g

(3.14.11) (3.14.12) (3. . )

Kemudian dengan menggunakan persamaan kontinuitas : Q = A1 u1 = A2 u 2

kehilangan g tinggi gg energi g jjuga g dapat p dinyatakan y sebagai g berikut : 2 ⎛ Q / A2 ΔH L = ⎜⎜ 1 − Q / A1 ⎝

⎞ u1 2 ⎟⎟ ⎠ 2g

2

2 ⎛ A1 ⎞ u1 ΔH L = ⎜⎜ 1 − ⎟⎟ A2 ⎠ 2 g ⎝


105

2

⎛ A2 ⎞ u 2 2 − 1⎟⎟ atau : ΔH L = ⎜⎜ ⎝ A1 ⎠ 2 g

(3.14.14)

Apabila aliran cairan melalui suatu saluran tertutup berbentuk pipa berdiameter D1 yang melebar tiba-tiba menjadi diameter D2 maka Persamaan (3.14.13) dan P Persamaan (3 14 14) dapat (3.14.14) d t dinyatakan di t k sebagai b i berikut b ik t :

⎛ D1 ⎜ ΔH L = ⎜ 1 − 2 D2 ⎝ 2

2

⎞ u1 2 ⎟ ⎟ 2g ⎠

(3 14 15) (3.14.15) 2

⎛ D2 ⎞ u2 2 atau : ΔH L = ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ (3.14.16) 2 g ⎝ D1 ⎠ P Persamaan-persamaan k hil kehilangan ti tinggi i energii tersebut t b t menunjukkan bahwa kehilangan tinggi energi di dalam aliran turbulen adalah proporsional pada kecepatan aliran. Mekanika Zat Alir - SIL 201 106 2

Apabila besaran Δh tidak diabaikan terhadap 2h2 (lihat Persamaan 3.14.9) 3 14 9) maka persamaan kehilangan tinggi energi dapat dinyatakan sebagai berikut : u1 − u 2 4 h2 u 2 ( u 2 − u1 ) ΔH L = − 2g ( Δh − 2 h2 ) 2 g 2

ΔH L =

2

( u1 − u 2 )2 2g

2 u 2 ( u1 − u 2 ) ( h1 + z1 − h2 ) + 2g ( h1 + z1 + h2 )

(3.14.17) (3.14.18)

Dalam hal aliran mempunyai diagram kecepatan sedemikian sehingga harga koefisien momentum β tidak sama dengan satu, maka Persamaan (3.14.10) ( ) harus dikoreksi dengan memasukkan harga β sehingga menjadi : ΔH L

( β 1 u1 − β 2 u 2 )2 = 2g

(3 14 19) (3.14.19) Mekanika Zat Alir - SIL 201

107

PERUBAHAN DARI PIPA KE SUATU TANDON (RESERVOIR) Perlebaran P l b tib tib dapat tiba-tiba d t terjadi t j di pada d perubahan b h aliran li dari suatu satu pipa ke suatu tandon. Misalnya aliran tersebut seperti pada Gambar (3.22) (3 22) dibawah ini : 2

u1 ΔH L = 2g D1

(3.14.20) Gambar 3.22.Perubahan penampang aliran dari suatu pipa ke suatu tandon Kehilangan K hil ti tinggi i energi r i ini i i juga j dik dikenal l dengan d sebutan b t Mekanika Zat Alir - SIL 201 108 “Erit Loss”.

PELEBARAN LAMBAT LAUN (DIFFUSER) Di dalam praktek sering dijumpai aliran di dalam suatu pipa i yang melebar l b t t i tidak tetapi tid k tiba-tiba. tib tib P l b Perlebaran tersebut melalui suatu transisi sehingga aliran melebar secara lambat laun, seperti tampak pada Gambar 3.23 dibawah ini.

D1

θ

D2

u2

Gambar 3.23.Aliran di dalam pipa yang mengalami perubahan diameter secara lambat laun Mekanika Zat Alir - SIL 201

109

Perlebaran secara lambat laun ini dibuat untuk menurunkan k k hil kehilangan enegii karena k perlebaran l b aliran, li dengan cara mengurangi pusaran-pusaran arus yang terjadi terjadi. Perlebaran semacam ini dikenal sebagai penyebaran arus (diffuser). Dengan perlebaran lambat laun ini menyebabkan timbulnya kehilangan tinggi energi akibat geseran dinding yang besarnya dapat berkurang apabila sudut θ bertambah. Besarnya kehilangan energi k karena perlebaran l b l b t laun lambat l i i dapat ini d t dicari di i dengan d cara “Gibson” dengan menggunakan persamaan :

ΔH L = K

( u 2 − u1 )

2

(3.14.21)

2g

dimana K adalah suatu koefisien yang besarnya dapat dicari diagram seperti pada Gambar 3.24 3 24 berikut ini : Mekanika Zat Alir - SIL 201

110

1,2 D2 = 1,5 D1

1,0

D2 =3 D1

0,8 0,6 0,4

V1 0,2 0

V2

2 V2 − V1 ) ( HL = K

2g

0o

20 o

40 o

60 o

80 o

100 o 120 o

140 o 160 o

180 o

G b 3 Gambar 3.24.Koefisien 24 K fi i k kehilangan hil energii untuk t k perlebaran lambat laun Mekanika Zat Alir - SIL 201

111

Selain dengan menggunakan perumusan Gibson, kehilangan tinggi energi pada perlebaran aliran lambat laun juga dapat ditentukan dengan cara lain yaitu dengan menggunakan Persamaan ((3.14.22)) berikut ini : ⎛ u1 2 ⎞ ⎟ ΔH L = K E ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2g ⎠

(3.14.22)

dimana KE adalah koefisien kehilangan tinggi energi karena perlebaran lambat laun yang dapat ditentukan dengan menggunakan tabel 3.1. Bentuk perlebaran

D1 / D2 KE θ = 100 KE θ = 1800 0

D1

θ

D2

1,00

0,2

0,13

0,92

0 40 0,40

0 11 0,11

0 72 0,72

0,60 0 80 0,80

0,06 0 03 0,03

0,42


0 16 0,16 112

Cara lain untuk menentukan harga g kehilangan g tinggi gg energi karena perlebaran lambat laun adalah dengan menggunakan Persamaan (3.14.21), yaitu :

ΔH L

( u =K

2

1

− u2 2g

2

)

(3 14 21) (3.14.21)

dimana harga K dapat ditentukan menurut harga θ sebagai berikut : Tabel 3.2.Harga K menurut besarnya θ0 θ0 =

20

K=

0,20 0, 0

40

60

80

0,28 0, 8

0,32 0,3

0,35


113

PENYEMPITAN TIBA-TIBA Pada aliran yang mengalami penyempitan tiba-tiba akan mengalami kontraksi. Gambar 3.26 menunjukkan bahwa tepat di hilir penyempitan terjadi suatu vena kontrakta, yaitu suatu penampang tersempit dimana garis-garis arusnya lurus. Sesudah vena kontrakta aliran melebar lagi untuk memenuhi penampang pipa. Perlebaran ini menyebabkan b bk t j di terjadinya pusaran-pusaran arus diantara di t vena kontrakta sampai ke dinding pipa. 1

2 AC

D1

D2

Gambar 3.25.Penyempitan tiba-tiba Mekanika Zat Alir - SIL 201

114

Dari Gambar 3.25 dapat dilihat bahwa diantara vena kontrakta dan penampang 2 dimana aliran kembali seragam, pada aliran adalah sama dengan pola aliran yang y g melebar tiba-tiba. Dengan g demikian p persamaan kehilangan tinggi energi karena pelebaran tiba-tiba dapat digunakan disini yang pertama adalah Persamaan (3 14 14) yaitu (3.14.14), i : 2 2 ⎛ A2 ⎞ u2 ΔH L = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎝ AC ⎠ 2g

(3.14.22)

dimana AC= penampang penyempitan atau (vena kontrakta). Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi : 2

u ΔH L = K C 2 2g

(3.14.23)

dimana KC disebut koefisien kehilangan tinggi energi akibat penyempitan yang besarnya dapat ditentukan d dengan menggunakan k tabel b l sebagai b i berikut b ik : Mekanika Zat Alir - SIL 201

115

Tabel 3.3.Koefisien kehilangan tinggi energi akibat penyempitan tiba-tiba tiba tiba D1 / D2 KC

4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,10 1,00 0,45 0,43 0,42 0,40 0,37 0,28 0,01

0

Disamping itu, seorang bernama “Weisback” menggunakan koefisien kontraksi CC untuk menentukan besarnya kehilangan tinggi energi pada penyempitan tiba-tiba. Persamaan yang digunakan juga Persamaan (3.14.22) d dengan mengambil bil harga h

AC CC = A2

sehingga Persamaan (3 (3.14.22) 14 22) berubah menjadi :


116

2

⎛ AC ⎞ u2 2 ΔH L = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ C C AC ⎠ 2 g 2

atau :

⎛ 1 ⎞ u2 2 ΔH L = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ⎝ CC ⎠ 2 g

(3.14.25)

dimana harga CC dapat ditentukan dari harga harga-harga harga di dalam tabel 3.4 berikut ini :

Tabel 3.4.Harga-harga koefisien kontraksi CC A2/A1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

CC

0 624 0,624

0 632 0,632

0 643 0,643

0 659 0,659

0 681 0,681

0 712 0,712

0 755 0,755

0 813 0,813

0 892 0,892

1 000 1,000


117

PERUBAHAN ALIRAN DARI TANDON KE SUATU PIPA Suatu hal khusus dari kehilangan tinggi energi akibat penyempitan it tib tib adalah tiba-tiba d l h kehilangan k hil ti tinggi i energii pada masuknya aliran dari suatu tandon (reservoir) ke dalam suatu pipa yang dikenal dengan “entry loss” (lihat Gambar 3.27). Karena luas basah dari penampang melintang tandon jauh lebih besar daripada luas penampang pipa maka perbandingannya D2 / D1 ≈ 0 atau A2 / A1 ≈ 0.


118

1

2 Vena kontratta

Q

D2

G b 3 Gambar 3.26.Perubahan 26 P b h aliran li d darii suatu t ttandon d k ke suatu t pipa i (3 14 26) (3.14.26) 2

ΔH L = K C

Besarnya kehilangan tinggi energi menggunakan Persamaan (3.14.26), yaitu :

u2 2g

ditentukan

dengan

dimana harga KC tergantung pada bentuk hubungan antara tandon dan p pipa p (bentuk inlet ke p pipa) p y yang g ditunjukkan j pada Gambar 3.27 p berikut ini : Mekanika Zat Alir - SIL 201

119

D/2

Tandon

Tandon

D

(a)

D K C = 0,8 −1,0

K C = 0,40 − 0,50

(b) R

θ

Tandon

D

Tandon

D

K C = 0,10 − 0,30 untuk :30 0 < θ < 60 0 ( ) K = 0,18 (c) C

R / d 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 (d) K C 0,25 0,17 0,08 0,05 0,04

α Tandon K C = 0,50 + 0,3 cos α + 0,2 cos 2 α (e)

Gambar 3.27.Bentuk pemasukan ke dalam pipa dan koefisien kehilangan tinggi energi Mekanika Zat Alir - SIL 201

120

PENYEMPITAN LAMBAT LAUN (CONFUSOR) Seperti halnya perlebaran, aliran yang menyempit juga dapat terjadi secara lambat laun seperti tampak pada Gambar 3.28 berikut ini : U1

D1

θ

D2

U2

Gambar 3.28.Aliran pada penyempitan lambat laun Besarnya kehilangan tinggi energi pada penyempitan lambat laun dapat ditentukan dengan menggunakan Persamaan (3.14.27), (3 14 27) yaitu :

ΔH L

( u =K

1

2

− u2 2g

2

)


(3 14 27) (3.14.27) 121

dimana K dapat diambil dari harga-harga di dalam tabel 3 5 berikut ini : 3.5 Tabel 3.5.Koefisien kehilangan tinggi energi K untuk penyempitan lambat laun θ

6

10

20

40

60

80

K untuk D1 = 3 D2

0,12

0,16

0,39

0,80

1,00

1,06

1,04 1,04 1,04

K untuk D1 = 1,5 D2

0,12

0,16

0,39

0,96

1,22

1,16

1,10 1,06 1,04

o


100

120

140

122

BELOKAN DAN SAMBUNGAN PADA BELOKAN Apabila aliran membelok pada suatu lintasan arus yang melingkar, akan terdapat gaya gaya-gaya gaya yang bekerja di arah radial ke dalam yang menyebabkan percepatan ke dalam. Dengan demikian akan terdapat peningkatan tekanan di dekat dinding belokan luar mulai dari titik A dan naik sampai harga maksimum di titik B (lihat Gambar 3.29) B

A

C

D

(a)

Gambar 3 3.29.Aliran 29 Aliran di dalam belokan Mekanika Zat Alir - SIL 201

123

Bersamaan dengan itu terjadi pula pengurangan tekanan di dekat d k t dinding di di b l k dalam belokan d l d dengan t k tekanan maximum i pada C dan diukur suatu kenaikan dari C sampai D. Oleh k karena it cairan itu i akan k mengalami l i suatu t gradien di t k tekanan terbalik yang menyebabkan pemisahan aliran dari dinding d dan akibatnya kib t t j di kehilangan terjadi k hil energi. i Disamping Di i it itu, kehilangan energi juga diakibatkan oleh aliran sekunder (secondary flow) yang terjadi pada belokan. belokan Untuk keperluan praktis kehilangan energi tinggi energi pada aliran di dalam belokan dapat ditentukan dengan menggunakan Persamaan (3.14.28), yaitu : u2 (3 14 28) (3.14.28) H L = Kb 2g dimana d a a harga a ga K dapat d diambil a b da dari harga-harga a ga a ga d di da dalam a tabel 3.6 berikut ini : Mekanika Zat Alir - SIL 201 124

Tabel 3.6.Harga koefisien kehilangan tinggi energi pada belokan p Bentuk belokan α

(a) Belokan tajam

D

R

Harga koefisien kehilangan tinggi energi

α 50 100 150 300 450 600 900 Kb 0,02 0,04 0,05 0,15 0,28 0,55 1,20

R/D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kb 0,30 0,16 0,12 0,11 0,09 0,09 0,08 0,08 0,08

α (b)

Pembuatan belokan tidak tajam seperti tampak pada Gambar b di dalam Tabel 3.6 biasanya dilakukan dengan sambungan. sambungan. Harga Kb tersebut telah mempertimbangkan adanya sambungan tersebut tersebut.. Mekanika Zat Alir - SIL 201

125

Konsep aliran fluida

Recommend Documents