1. El área de un triángulo es de 200m 2 si la medida de su base es el cuadruplo de la medida de su altura, la medida de la base es: a) 30 b) 40 c) 44 d) 60 A = 200m2 ; b = 4h → h =
b b× h ; A= = 200 4 2
b b× 2 4 = 200→ b = 200→ b2 = 1600→ b = 1600 = 40m 2
2. !iete obreros ca"an en 2 horas una #an$a de 10m %&uántos metros ca"aran en el mismo tiempo 42 obreros' a) 6( b) 30 c) 60 d) 6 obreros horas ca"a ca"an*m) +−
2−
10
42+
2+
=
42× 2× 10 = 60m+× 2
3. .a suma del seto / octa"o trmino de la serie 0,; 0,(; 1,1; 1,2(; 1,40; -es: a) 1,( b) 3,2( c) 3,40 d) 3,(( 0,; 0,)(; 1,10; 1,2(; 1,40; t6 ; t+; t 1,40 − 1,2(= 0,1( ; 1,2(− 1,10= 0,1( t6 = 1,40+ 0,1(= 1,(( t+ = 1,((+ 0,1(= 1,+0 t = 1, t6 + t = 1,((+ 1,(= 3,40
4. El "alor de la uncin seno en el tercer cuadrante al hallar la solucin de tan+ sec2 = 3, es: a)
−
2 3 − 2 b) 2
c)
−
1 2
d) −1
tan tan+ sec2 = 3 sec2 = 1+ tan2 tan+ 1+ tan2 = 3→ tan2 + tan− 2= 0
( tan+ 2) ( tan− 1) = 0 tan = 1→ = tan−1 *1) = 4(o sen22(o = −
2 2
Lee el problema y responde la pregunta: 5. na empresa produce dos tipos de rerigeradoras, tipo A especial / tipo 5 general- .a primera necesita 10 horas de traba$o para su abricacin / 4 para los acabados, mientras ue la segunda reuiere horas en su abricacin / 2 en los acabados- !e dispone como máimo de 10 horas de traba$o en abricacin / 4( en los acabados por semana-
!elecciona el sistema de restricciones ue se a$usta a este modelo de programacin lineal de maimi#acin en la abricacin de cada modelo de rerigeradora-
4+ / ≤ 10 10+ 2/ ≤ 4( ≥ 0 a) / ≥ 0 10+ /≤ 10 4+ 2/ ≤ 4( ≥ 0 / ≥ 0
4+ 10/ ≤ 4( + 2/ ≤ 10 ≥ 0 b) / ≥ 0
10+ 2/ ≤ 4( 4+ / ≤ 10 ≥ 0 c) / ≥ 0
d)
Lee el problema y responde la pregunta: 6. .a elaboracin de la estructura de un escritorio tarda (0 horas de traba$o / el lacado 20 horas, mientras ue la elaboracin de una cama tarda 4( horas en la estructura / 10 en el lacado- !e dispone como máimo- 7e 00 horas de traba$o para reali#ar la estructura / 22( para el lacado%&uál es el sistema de restricciones ue se a$usta a este modelo de programacin lineal de maimacin en la elaboracin de estos muebles'
(0+ 4(/ ≤ 00 20+ 10/≤ 22( ≥ 0 a) / ≥ 0 (0+ 10/≤ 22( 20+ 4(/ ≤ 00 ≥ 0 / ≥ 0
20+ 4(/ ≤ 00 (0+ 10/≤ 22( ≥ 0 b) / ≥ 0
20+ (0/≤ 22( 4(+ 10/≤ 00 ≥ 0 c) / ≥ 0
d)
7. &on base en el gra8co, calcula el "alor máimo para la uncin ob$eti"o ( ,/) = 3+ 2/ − ( a) 2 b) 14 c) 21 d) 26 7 6
y A(3, 5)
5 4 3 2 1 -1
B(8, 1)
C(1, 2)
1
2 3
x
4
5
6 7
( ,/) = 3+ 2/− ( ( 3, 3,() = 3( 3) + 2( () − (= 14 ( , ,1) = 3( ) + 2( 1) − (= 21 ( 1,2) = 3( 1) + 2( 2) − (= 2
8
9 10
Lee el problema y responde la pregunta: 8. na persona labora en dos lugares- .a empresa A, en la ue traba$a de lunes a "iernes, le paga !7 ( por hora, mientras ue la compa9a 5, en la ue traba$a los 8nes de semana, paga !7 + la hora- El traba$ador puede colaborar en la empresa A hasta 120 horas al mes / en la 5 hasta (0 horas al mes, / eiste un lmite total mensual de 130 horas!i consideramos ue la uncin es ( ,/) = (+ +/ , cu/o gra8co representa a continuacin %&uál es el bene8cio máimo ue puede obtener en dlares' a) 3(0 b) 600 c) 6+0 d) +(0 .os puntos en los ue se corta la linea tras"ersal son: *120,10) / * 0,(0) luego se los rempla#a en la ormula *, /) (*120) < +*10) *, /) 6+0 *, /) (*0) < +*(0) *, /) +(0
9. A partir de la parábola, determina su ecuacin en la orma y
x
a) 2
b)
/ = ( − 3)
+2
2
c)
/ = ( + 3)
−2
2
d)
/ = ( + 3)
+2
10.
/ = ( − 3)
2
−2
!elecciona la ecuacin ue corresponda a la hiprbola:
/ = a( − h)
2
+=
y
6 5 4
F(0, 4)
3 2
V(0, 3)
1
x
-1 -2 -3
V(0, -3)
-4 -5
F(0, -4)
/2 2 − =1 a) +
-6
2 /2 − =1 b) + 2 /2 + =1 + c) /2 2 − =1 + d)
2 /2 + =1 7ada la ecuacin de la elipse, identi8ca su grá8co- 4
11. b)
y
3
(3, 0)
a)
4
2
3 2
1
(0, 2) x
(0, -2) -3
-2
-1
1
2
3
4
(0, 2)
1
(3, 0) -4
-1
y
(-3, 0)
-3
-2
-1
1
-1
-2
-2
-3
-3
2
3
4
0( 0;0) a= 3 b= 2
(0, -2)
(-3, 0)
c) d)
4 3
-7
-6 -6
-4
-3 -3
-2
-1 -1
2
(0, -3) (5, 0) x 1
2
3
4
5
6
7
1
-5 -4 -3 -2 --1 1
(0, 3) 1
2 3
-2 -3
-2
-4
-3 -4
(5, 0)
3
1 -5
y
4
(0, 3)
2
(-5, 0)
6 5
y
x
(0, -3)
-5
(-5, 0)
4 5 6
x
Lee el problema y responde la pregunta: 12. na empresa de teleona m"il orece un ser"icio con un abono 8$o mensual de !7 12 por ( horas de comunicacin /por cada minuto ue el cliente eceda, se le cobra !7 0,03- 7icha compa9a usa esta rmula: ( ) = 12+ 0,03 %?u representa en ella' a) .a cantidad de horas ue se ha utili#ado el ser"icio ser"icio en un mesb) .a cantidad de minutos ue se ha utili#ado el ser"icio en un mesc) .a cantidad de minutos ue se ha ecedido el uso del ser"iciod) .a cantidad de dinero a pagar por el uso del ser"icio en un mesLee el problema y responde la pregunta: 13. !e lan#a un ob$eto hacia arriba, si la altura máima ue alcan#a despues 2 de t segundos representa la uncin h = −6t + 120t , / sin considerar la resistencia sdel aire %&uál es la h = −6t2 + 120t altura máima / el tiempo en ese 2 punto' 600 = −6( 10) + 120( 10) a) h = 10m;t = 600s 600 = −6( 100) + 1200 = = h 1 0 m;t 1 1 4 s b) 600 = −600+ 120 1200 h 6 0 0 m ; t 1 0 s = = c) 600 = 600 = = h 1 1 4 0 m;t 1 0 s d)
Lee el problema y responde la pregunta: 14. En el curso de @ulián todos los alumnos escribieron el nombre de cada abuelo / su edad en un papel / lo colocaron en una ca$a, los nmeros registrados ueron: +0B1B1B0B6(B+0B1B6+B6(B0 7etermina la probabilidad, en porcenta$e, de ue al sacar un papelito la edad del abuelo sea ma/or ue 6( a9os / menor ue 0 a9osa) 0C b) +0C c) (0C d) 30C &asos posibles: 10&asos a"orables: 3D( 6(edad0)
=
3 = 0,30 ,30 → 30C 10
Lee el problema y responde la pregunta: 15. .a gra8ca representa la e"olucin del precio de un producto durante un a9o-
%&uál de las a8rmaciones es correcta' a) El precio más ba$o se mantu"o en el primer semestreb) El precio se mantu"o constante en el segundo semestrec) El descenso del precio ue menor en octubre ue en ebreroebrerod) El precio precio en $unio superaba los !7 13-
16. .a "arian#a ue corresponde a la distribucin de recuencias con datos agrupados es:
a) 20
Fnter"alo s ( B 10 10 B 1( 1( B 20 20 B 2(
i
i
i × i
i2
i ×i2
+,( 12,( 1+,( 22,(
4 2 3
60,0 (0,0 3(,0 6+,(
(6,2( 1(6,2( 306,2( (06,2(
2( B 30
2+,(
24+,(
+(6,2(
30 B 3(
32,(
2
6(,0
3( B40
3+,(
2
+(,0
30
600,0
10(6,2 ( 1406,2 ( 4243,+ (
4(0,00 62(,00 612,(0 1(1,+ ( 606,2 ( 2112,( 0 212,( 0 143+, (0
b) 30
c) +,2
2 σ n
d) 3+4,(
2 1 n 1n = i ×Gi2÷ ( Gi − G) = n i=1 n i=1
G=
∑
∑
−G2
600,0 1 = 20σ n2 = ( 143+,(0) 30 30
G
=i
− 202 = +,2
compa9eros como se interpreta en el grá8cográ8co17. @uan es halado por dos compa9eros Encuentra el "alor del ángulo teta, para ue @uan siga su tra/ectoria hori#ontala) o b) 23,6o c) 60o d) +2o
4 0 H I o
30
H 2 3
40se 0senI = 32se 2sen30 n30o 32sen30o senI= = 0,4 40 I = sen−1 ( 0,4) = 23,6o 18. n auto se despla#a 1(=m en direccin este, luego continua 1( 3=m hacia el norte %&uál es el "ector despla#amiento ue ha eperimentado el "ehculo' H a) 30=m *Horte *Horte 30L Este) b) 30=m *Horte 60L Este) " 1( 3=m 1(( 1+ 3) =m =m K c) *Horte 60L Este) E 1( Jm o 30 (=m( Horte3 Horte30 0 Este) d) 2 r " = 1(2 + ( 1( 3) = 22(+ 6+( = )00 = 30Jm tanI =
1( 3 = 3 → I= ta tan−1 ( 3) = 60o 1(
r
"e ctores a− b en trminos de de / / 19. Encuentra la dierencia de los "ectores a) 2+ / b) / − 2 c) 2/ d) −4
a− b = [ /− 2] − [ 2+ /] = / − 2 − 2 − / = −4
/
B2
/ b 2 a 7ado los "ectores a / b de la grá8ca, calcula 3aM2b a) − i − $ b) i + )$ c) i + 21$ d) 1+i + ) $
20.
&alcula −2a+ b a) −6i − 10 $ b) −4i − + $
21.
4
c) −2i − 2$
d) 2i + 2$
y
3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
-1 -2 -3 -4 -5
2
3
4
5
a = ( 3− 1) i + ( 4 − 1) $ = 2i + 3$ r r r r r −2a = −2( 2i + 3$ 3 $ ) = −4 i − 6 $ r r r r r b = ( −4 + 2) i + ( −(+ 1) $ = −2i − 4$ 4$ r r r r r r r r −2a+ b = −4i − 6 $ − 2i 2i − 4 $ = −6i − 10 $
7ado el sistema de tres ecuaciones, determina su con$unto solucin-
22.
+ / = 10 + # = 1 /+ # = 23 a) ( −2);3);16)
c) ( 3;13;22)
b) ( 3;+;16)
d) ( 1+;+;30)
23. El departamento de personal de una empresa compro los regalos de 8n de a9o; se in"ertieron !7 200 en la compra de (00 regalos- El regalo para cada una de las mu$eres costo !7 / para cada uno de los "arones !7 (Al 8nali#ar el dia se habian entregado todos los regalos %&uántas mu$eres / cuantos "arones recibieron el su/o' a) 400 "arones / 100mu$eres100mu$eres" + m= (00 b) 100 "arones / 400mu$eres("+ m= 200 c) 300 "arones "arones / 200mu$eres d) 2(0 "arones / 2(0mu$eres24. 7etermina el sistema de desigualdades representado en el grá8co4
y
3 2 1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 10
11
a)
− 3> 0 /− 2≥ 0 + 3> 0 / − 2≥ 0 b) − 3 > 0 / + 2≥ 0
c)
− 3≥ 0 / − 2 > 0 d) 25. n automo"il nue"o cuesta !7 30 000, sabiendo ue su depresiacin anual es del 10C %&uál será su "alor al 8nal del uinto a9o' a) 0,03 b) 1( 000,00 c) 1+ +14,+0 d) 1 63,00
1 a9o : 30 3000× 0-) = 2+00 2 a9o : 30 3000× 0-)N = 2430 3 a9o : 30 3000× 0-)O = 21+ 4 --------------------------------------------------------------------( a9o : 3000× 0-)( = 1++1,4+ "alor 8nal
Patiana debe pagar su prstamo en cuotas ue aumentan a ra#n de de 26. Patiana !7 6 cada mes- !i la cuota inicial es de !7 6 %&uánto pagara en total' a) 1(6 b) 10 c) 216 d) 432 6 + 12 + 1 + 24 + 30+ 36+ 42+ 4 = 216
>alde#, las tres cuartas partes de los libros li bros son 27. En la biblioteca del se9or >alde#, de medicina, la uinta parte del resto son de biologia / completan la coleccin 20 libros de historia %&uántos libros de medicina medicina = 3 / 4 ; biología = ( 1 / 5 ) ( 1 / 4 ) = 1 / / biologa tiene' 3 1 20 − 15 − 1 1 a) ( medicina / +( biologa hist histor oria ia = 1 − − = = 4 20 20 5 b) 300 medicina / 0 Total = 5 × 20 = 100 biologa c) 0 medicina / 300 3 1 Medicina = 100 × = 75 ; i iología = 100 × biologa 4 20 d) +( medicina / ( biologa
28. Encuentre el "alor de en la ecuacin eponencial: 2 = 32 a) 3 b) 4 c) ( d) 6
2 = 32 ⇒ 2 = 2(
⇒ = (
3 = ( )+1 ) ( 2+1−2 )
29. En la ecuacin a) 2Q( b) 1
%&uál es el "alor de ' c) (Q2 d) 4
⇒ 3 = 32( +1) 33( 1−2) = 32( +1) +3( 3 = 32+2+3− 6 = 3(− 4 ⇒ = (− 4 ⇒ + 4 = ( 3 = ( +1 ) ( 2+1−2 )
( = ( ⇒ =
( =1 (
30. %&uál es el "alor de en la ecuacin eponencial' 3 = 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) (
x
3
= 81 ⇒
3
x
= 34 ⇒ x = 4
2cos= cot en el inter"alo [ 0;2R] ' 31. %?u "alores satisacen la ecuacin 2cos a) 1(o / +(o b) 30 o / 1(0o c) 30o / 210o d) 60o / 300o 2cos = cot ⇒ 2cos = 2sen = 1 ⇒ sen = = 1 10o − 30o = 1(0o
cos sen
⇒
2sen =
cos cos
1 ⇒ = arcsen = 30o ÷ 2 ;1(0o ) ⇒ !ol-:( 30o;1(
1 2
1 sen2 − cos2 − = 0 2 32. En el inter"alo 0 ≤ ≤ 10 , determina la solucin de: 30o ;60o ) 30o ;60o ) 30o ;60o ) 60o ;12 ;120o ) ( ( ( ( a) b) c) d) o
o
1 sen2 − cos2 − = 0 ⇒ sen2 − ( 1− sen2 ) − 2 1 3 sen2 − 1+ sen2 − = 0 ⇒ 2sen2 = ⇒ se 2 2 3 = arcsen ÷÷ = 60o ; = 10o − 60o = 120o 2 22(− /2 ≥ 0
7etermina el con$unto solucin para: a) { /∈ S Q / ≥ 1(} 2 2 225 − y ≥ 0 ⇒ y ≤ 225 b) { /∈ S Q / ≤ 1(}
33.
c) { /∈ S Q −1(≤ /≤ 1(} d) { /∈ S Q −1(< /< 1(}
y ≤ ± 225
⇒ y ≤ ± 15 { y ∈ S / −15 ≤ y ≤ 15}
y 70 60 50 40
(90;30)
30
(100;20)
20
(100;10)
(30;10)
10
x 10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 0 0 11 0
&on base al grá8co, 34. identi8ca el par ordenado en el ue se produce la maimi#acin de la uncin ob$eti"o T( ;/) = 3(+ 60/ a) ( 30;10) b) ( )0;30) c) ( 100;10) d) ( 100;20)
35. na persona puede elegir 2 rutas de entre 10 disponibles para hacer un batido %&uántas ormas tiene para me#clarlas' a) 2 b) 12 c) 20 d) 4( m= 10 ; n= 2 ; &nm =
mU 10U 10U → &120 = = = 4( nU( m− n) U 2U( 10− 2) U 2U×U
36. !i a una reunin asisten ( hombres / ( mu$eres, %&uántos comites de 4 personas pueden ormarse con igual nmero de hombres / mu$eres' a) 20 b) 24 c) 100 d) 240 n Vombres: m= ( ; n = 2 ; &m =
n Wu$eres: m= ( ; n = 2 ; &m =
mU nU( m− n) U
mU nU( m− n) U
→ →
&2( = &2( =
(U = 2U( ( − 2) U 2U 2U
(U ( = 2U( ( − 2) U 2U 2U×
Dosibil Dosibilida idade des s totales: 10×10 =10 100 0
37. na urna contiene 2 bolas a#ules / 4 bolas blancas- !i se puede etraer 2 bolas a la "e# %de cuantas maneras se puede etraer solo bolas blancas' a) 2 b) 6 c) 12 d) 1( m= 4 ; n= 2 ; >mn =
mU 4U 4U → >42 = = = 12 2U ( m− n) U ( 4− 2) U 2U
38. %&uántos nmeros de 3 ciras pueden ormarse con los ( dgitos: 1, 2, 3, 4 / (, sin ue se repita uno de ellos en el nmero ormado' a) 1( b) 60 c) 120 d) 20 m= ( ; n= 3; >mn =
mU (U (U → >(3 = = = 60 2U ( m− n) U ( (− 3) U 2U
Pres "ia$eros llegan a una ciudad en la ue ha/ 6 hoteles- %7e cuántas 39. Pres maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel dierente' a) 1 b) 240 c) 120 d) 112 El 1o "ia$ero tiene tiene 6 posibil posibilidade idadess para para escog escogerer- El 2o "ia$er ia$ero o tiene tiene ( pos posibilida ibilidades des pa para es esccoger oger-- ⇒ Xde man El 3o "ia$ero tiene tiene 4 posibil posibilidade idadess para para escog escogerer- "ia$ an entre Y.as DalmerasZ / el paradero de Y2 de 40. Va/ 4 mnibus ue "ia$an Wa/oZ- %7e cuántas maneras una persona puede ir a las Dalmeras / regresar en mnibus dierente' a) b) 6 c) 10 d) 12
Dara ir a las palmeras palmeras tiene 4 posibilidades posibilidades-- ⇒ Xde maner Dara regresar tiene 3 posibilidades 41. %7e cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6 asientos, 4 personas' a) 60 b) 24 c) 120 d) 360
.a 2oD puede puede ocupar ocupar cualuiera cualuiera de los ( res restantes tantes-- tintas = 3× 4× (× 6 = 360 ⇒ Xde ormas distintas .a 3oD puede puede ocupa ocuparr cualuiera cualuiera de los 4 restantes res tantes-- .a 4oD puede ocupar ocupar cualuiera cualuiera de los 3 restantesrestantes- .a 1oD puede puede ocupar ocupar cualuiera cualuiera de los 6 asientos asientos--
D[\ >A\FA&F]H: m= 6 ; n= 4; >mn =
mU 6U 6U → >64 = = = 360 2U ( m− n) U ( 6− 4) U 2U
42. El producto de las races de la ecuacin ( − 3) ( + () = 0 es: a) b) 2 c) B1( d) 1( 43. !e lan#a un ob$eto hacia arriba, si la altura máima despus de t segundos representa la uncin ue se da a continuacin- %cuál es la altura máima / el tiempo en ese punto' h( t) = −6t2 + 120t a) h10 metros, t600 segb) h h 10 metros, t114 segc) h600 metros, t10 segd) h1140 metros, t10 seg-
44. En una clase de 3( alumnos se uiere elegir un comit ormado por tres alumnos- %&uántos comits dierentes se pueden ormar' a) 1+ b) 130 c) 32+ d) 6(4( m= 3( ; n= 3⇒ &33( =
3(U 3(U 3(× 34× 33× 32U = = =6 3U( 3(− 3) U 3U32U 3U32U
45. na persona posee 3 anillos distintos- %7e cuántas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano derecha, colocando slo un anillo por dedo, sin contar el pulgar' a) 12 b) 24 c) 36 d) 120 m= 4 ; n= 3; >mn =
mU 4U 4U → >(3 = = = 24 1U ( m− n) U ( 4− 3) U 1U
46. n estudiante tiene ue resol"er 10 preguntas de 13 en un eámen%&uántas maneras de escoger las preguntas tiene' a) 26 b) 1 03+ 36 c) 6( d) 130 m= 13 ; n= 10⇒ &1103 =
13U 13U = = 26 10U( 13− 10) U 10U3U
&alcular el nmero de triángulos ue se pueden tra#ar por YmZ puntos no colinealesm( m− 1) ( m− 2) m( m+ 1) ( 2m− 1) 6 6 a) b) m( m+ 1) ( m+ 2) m( m+ 1) 6 6 c) d)
m= m ; n= 3⇒ &m3 =
m( m−1) ( m− 2) ( m− 3) U m( mU = = 3U( m− 3) U 3U ( m− 3) U
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F7EHPF7A7E! P\F^[H[W_P\F&A! TH7AWEHPA.E!
.as identidades trigonomtricas son ormas simpli8cadas ue permiten reali#ar / conocer las dierentes unciones de la trigonometraFdentidades trigonomtricas 5ásicas
D\[5A5F.F7A7 &álculo &álculo matemático de las posibilidades posibilidades ue eisten de ue una cosa se cumpla o suceda al a#ar!uceso: Es cada uno de los resultados posibles de una eperiencia aleatoriaEspacio muestral: Es el con$unto de todos los posibles resultados de una eperiencia aleatoria, lo representaremos por E *o bien por la letra griega `)-
E$emplos:
B Espaci Espacio o muestr muestral al de una una moned moneda: a: E &, &, !!- *&car *&cara; a; !sel !sello) lo) B Espaci Espacio o muest muestral ral de un un dado: dado: E 1, 2, 3, 4, 4, (, 6!uceso aleatorio: Es cualuier subcon$unto del espacio muestral-
E$emplo: na bolsa contiene bolas blancas / negras- !e etraen sucesi"amente tres bolas- &alcular: 1- El esp espac acio io mues muestr tral al-E *b,b,b); *b,b,n); *b,n,b); *n,b,b); *b,n,n); *n,b,n); *n,n ,b); *n, n,n) 2- El suceso suceso A etraer etraer tres tres bolas del del mismo mismo colorcolorA *b,b,b); *n, n,n) 3- El suceso suceso 5 etraer etraer al menos una bola bola blancablanca5 *b,b,b); *b,b,n); *b,n,b); *n,b,b); *b,n,n); *n,b,n); *n,n ,b) 4- El suceso suceso & etra etraer er una sola bola negranegra& *b,b,n); *b,n,b); *n,b,b)
\egla de .aplace
!i reali#amos un eperimento aleatorio en el ue ha/ n sucesos elementales, todos todos igualme igualmente nte proba probable bles, s, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de ue ocurra el suceso A es: D( A) =
nmero de casos a"orables a A nmero nmero de casos posibles
E$emplos
1- Vallar Vallar la probabi probabilid lidad ad de ue al lan#ar lan#ar dos moneda monedass al aire aire salgan salgan dos caras&asos posibles: cc, cs, sc, ss&asos a"orables: 1D( 2 caras ras) =
1 4
2- En una bara$a de 40 cartas, cartas, hallar la D*as) D*as) / D*copas D*copas))&asos posibles: 40&asos a"orables de ases: 4D( as as)
=
4 1 = 40 10
&asos a"orables de copas: 10D( copas)
=
10 1 = 40 4
3- &alcular &alcular la probabil probabilidad idad de ue ue al echar echar un dado al al aire, salga: salga: a) n nmer nmero o par par-&asos posibles: 1, 2, 3, 4, (, 6&asos a"orables: 2, 4, 6D( par)
3 1 6 2
= =
b) n ml mlti tipl plo o de tre tress&asos a"orables: 3, 6D( 3)
2 1 6 3
= =
c) Wa/or a/or ue 4&asos a"orables: (, 6D( > 4)
2 1 6 3
= =
https:QQ-goconr https:QQ -goconr-comQenQpQ21241MmatemMticasMui##es -comQenQpQ21241MmatemMticasMui##es
VFDE\5[.A A2 + 5/2 + &+ 7/+ E = 0 ; ( A
( − h)
2
−
a2
( / − =) a2
2
−
( / − =)
b2
5 deben ben ten tener sign igno distin istinto to)
2
= 1 ; Viperbola iperbola hori#on hori#ontal tal
b2
( − h)
≠
2
iperbola "ertica "erticall = 1 ; Viperbola
!"#$%&"&$!'
E&A&F[H 7E .A &F\&HTE\EH&FA 7E &EHP\[ \A7F[ r
C ( h; k )
2
2
E&A&F]H ^EHE\A.
( x − h ) + ( y − k ) = r
x 2
2
C −
+ y 2 + Dx + Ey + F = 0 r
E&A&F[H 7E .A &F\&HTE\EH&FA 7E &EHP\[
=
1 2
D2
+ E 2 − 4F
D 2
;−
E
÷
2
2 2 !i D + E − 4 F > 0 , la circunerencia es real-
C ( 0; 0)
2 2 \A7F[ !i D + E − 4 F < 0 , la circunerencia es imaginaria-
r
2 2 !i D + E − 4 F = 0 , el radio es cero / la circunerencia circunerencia es el
x 2 + y 2
= r 2 punto
C −
D 2
;−
E
÷
2
L' ('")*+L' E&A&F[H 7E .A DA\5[.A &[H >E\PF&E E. [\F^EH
E&A&F[H 7E .A DA\5[.A &[H >E\PF&E E. [\F^EH y 2
x 2
= ±4ax
E@E E.
x
E@E E.
h; k >_\PF&E ( ) 2 ( y − k ) = ±4a ( x − h ) E@E DA\A.E.[ A x
y
h; k >_\PF&E ( ) 2 ( x − h ) = ±4a ( y − k )
E@E DA\A.E.[ A
y
E&A&F]H 7E .A 7F\E&P\Ff
E&A&F]H 7E .A 7F\E&P\Ff x ± a
= ±4ay
=0
.A7[ \E&P[
x − h ± a = 0
y ± a
=0 y − k ± a = 0
4a
E&A&F]H ^EHE\A. y
2
+ Dx + Ey + F = 0 ; x 2 + Dx + Ey + F = 0
L' &L!(,& E&A&F]H 7E .A E.FD!E &[H &EHP\[ EH E. [\F^EH, E@E WA[\ EH x x 2 a2
+
y2 b2
x
a2
+
P(x, y) (-a, 0)
h; k
2
D
(0, b)
x 2
=1
), &[H &EHP\[ ( E@E WA[\ DA\A.E.[ A ( x − h )
y
D'
( y − k ) b2
(a, 0) F'(-c, 0)
0
F(c, 0)
(0, -b)
2
x
b2
= 2a
a2
=1 h; k
y
b2 F " P + PF
+
y2
), &[H &EHP\[ ( E@E WA[\ DA\A.E.[ A ( x − h)
=1
E&A&F[HE! 7E .A! 7F\E&P\F&E!
E&A&F]H 7E .A E.FD!E &[H &EHP\[ EH E. [\F^EH, E@E WA[\ EH y
2
+
( y − k ) a2
2
=1
E&A&F[HE! 7E .A! 7F\E&P\F&E!
a
x +
=0
e a
x − h +
/
=0
e
x −
a e
a e
2b
=0
2
/ a
y − k +
2
2
e
=0
e
a
=0
/
=0
e
EG&EHP\F&F7A7
E&A&F]H ^EHE\A. Ax
a
y −
y − k −
a# b $ c
=b +c
2
=0
.A7[ \E&P[ a
\E.A&F]H 7E a2
e
=0
x − h −
/
a
y +
− b2
a2
c
+ By 2 + Dx + Ey + F = 0
e= = a
a
L' -!("*+L' E&A&F]H 7E .A VFD_\5[.A &[H &EHP\[ EH E. [\F^EH, E@E \EA. EH y
E&A&F]H 7E .A VFD_\5[.A &[H &EHP\[ EH E. [\F^EH, E@E \EA. EH x x 2 a
−
2
y2 b
2
y 2
=1
a
−
2
( y − k ) b
h; k
y
2
2
( y − k )
=1
x +
e
F " P − PF
=0
x −
a e
x − h +
e
=0
x − h −
/
a e
=0
2
Ax
2
2
E&A&F[HE! 7E .A! A!FHP[PA! E@E \EA. x :
b a
x
E@E \EA. DA\A.E.[ A x : y − k
b
= ± ( x − h) a
e
=0
b2
a
y −
y − k +
=1
=0
a
=0
e
a e
/
=0
EG&EHP\F&F7A7
E&A&F]H ^EHE\A.
y = ±
a
y − k −
a# b $ c
=a +b
2
.A7[ \E&P[ a
\E.A&F]H 7E c2
+
2
e / E@E \EA. DA\A.E.[ A y
=0
2b
( x − h)
E&A&F[HE! 7E .A! 7F\E&P\F&E! E@E \EA. y
= 2a
y +
/ E@E \EA. DA\A.E.[ A x a
2
a2
E&A&F[HE! 7E .A! 7F\E&P\F&E! E@E \EA. x a
=1
a2
), &[H &EHP\[ ( E@E WA[\ DA\A.E.[ A
E@E \EA. DA\A.E.[ A x
( x − h )
−
b2
h; k ) &[H &EHP\[ ( ,
2
x2
− By + Dx + Ey + F = 0 2
e=
c a
=
+ b2
a2
a
E&A&F[HE! 7E .A! A!FHP[PA! E@E \EA. y :
y = ±
a b
x
E@E \EA. DA\A.E.[ A y : y − k
a
= ± ( x − h) b
