Cálculo Tomo 2
ROBERT T. SMITH Millersville University of Pennsylvania
ROLAND B. MINTON Roanoke College Traduceión HERNANDO ALFONSO CASTILLO
Prof esor honorario. Universidad PedagOgica Nacional
GERMAN ALBERTO VILLAMIZAR Licenciado en espanol y lenguas Catedrático en traducción Universidad Pedagógica Nacional Revision técnica
OSCAR ZARATE MURILLO Profesor Escuela Colombiana de Ingenierla SIMON FRIAS GOMEZ M.S. Tulane University
V
ru Bogota • Buenos Aires • Caracas • Guatemala Lisboa • Madrid Nueva York • Panama • San Juan • Santiago de Chile • Sao Auckland • Hamburgo' Londres • Milan • Montreal • Nueva Delhi' San Francisco • San Luis • Sidney • Singapur . Tokio • Toront
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Cálculo. Tomo 2 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS. Copyright © 2001, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S. A. Avenida de las Americas, 46-41. Bogota, D. C. Colombia.
Traducido de la primera edición en ingles de CALCULUS. PREMIERE EDITION Copyright © MM, por McGraw-Hill Companies, Inc. ISBN: 0-07-230474-X Editora: Lily Solano Arévalo Diagramación y armado: Yolanda Alarcón V. Jefe de producción: Consuelo E. Ruiz M. 1234567890
2134567890
ISBN: 958-41-0129-3. Vol. 2 ISBN: 958-41-0130-7. Vol. 1 (ISBN: 958-41-0128-5. Obra completa) Impreso en Colombia
Printed in Colombia
Se imprimieron 8.800 ejemplares en el mes denoviembre de 2000 Impresor: Editorial Nomos Ltda.
Sobre los autores Rober T. Smith es profesor de matemáticas y director del departamento de matemáticas en Millersville University of Pennsylvania, donde enseña desde 1987. Antes trabajaba en la facultad de matemátieas de Virginia Tech. En 1982 obtuvo el Ph. D. en matemáticas en la University of Delaware. Smith se interesa en la aplicación de las matemáticas a los problemas de la ingenierla y las ciencias fIsicas. Ha publicado varios artIculos de investigación sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales pardales, asI como de problemas de computación en la tomografla por los rayos X. Miembro de la American Mathematical Society, la Mathematical Association of America y la Society for Industrial and Applied Mathematics. Radicado en Lancaster, Pennsylvania, con su esposa Pam, su hija Katie y su hijo Michael, le gustajugar voleibol, tenis y sóftbol cuando el tiempo lo permite. Su objetivo extracurricular actual es aprender ajugar golf suficientemente bien para no terminar ültimo en el torneo anual de matemáticos y estadisticos. Roland Minton es profesor de matemáticas en Roanoke College, donde enseña desde 1986. Antes trabajaba en La facultad de matemáticas de Virginia Tech. En 1982 obtuvo el Ph.D en matemáticas en la Clemson University. En 1998 recibió el premio Roanoke College Exemplary Teaching. Minton ha asesorado numerosos proyectos de grado de estudiantes en temas como deportes, ciencias, teorla de la complejidad y fractales. Ha publicado varios artIculos sobre el uso de la tecnologIa y ejemplos torn ados de los deportes en las matemáticas, además de una monografIa sobre teorIa de control. Ha recibido subvenciones del Consejo estatal de alto nivel en Virginia para capacitar profesores. Es miembro de la Mathematical Association of America, La American Mathematical Society y otras sociedades de matemáticos. El profesor Minton vive en Salem, Virginia, con su esposa Jan, su hija Kelly y su hijo Greg. Le gustajugar golf y tenis (cuando el tiempo y la salud lo permiten) y ver deportes en television (aun cuando el tiempo no lo permita). Jan también enseña matemáticas en Roanoke College y es muy activa en la educaciOn matemática. El apretado horario familiar incluye participación en bandas musicales y coros, asI como partidos de fütbol. Entre sus diversiones favoritas se cuentan los hermanos Marx, el guitarrista Danny Gatton y Kinky Friedman, escritor de novelas de misterio. Los profesores Smith y Minton ya han publicado libros conjuntamente en McGraw-Hill.
A Pam, Katie y Michael, a Jan, Kelly y Greg, y a nuestros padres, gracias por su amor e inspiración.
Agradecimientos Primero, y ante todo, queremos expresar nuestro aprecio a nuestra editora responsable, Maggie Rogers, y a nuestro editor original, Jack Shira por el estimulo y guIa con los que nos acompañó a través de este grande y retador proyecto. Jack tuvo confianza en nosotros para poner en marcha el proyecto y no podrIamos haberlo terminado sin los esfuerzos incansables de Maggie, su profesionalismo y amistad. No creemos que haya mejor gente con la cual trabajar. Queremos agradecer también a nuestro impresor, JP Lenney, lo mismo que a nuestro impresor original, Denise Schank, por su sólido respaldo a través de Los ültimos cinco años. Up proyecto de esta rnagnitud requiere La colaboración de un ni'imero increible de personas talentosas. Nuestro equipo editor de desarrollo, Glenn y Meg Turner de Burrston House, desarroLLó el proyecto a través de un exigente programa de revisiones y reuniones. Nuestra comprensión del proyecto y nuestra habilidad para crear un libro de calidad mejoró enormemente mediante los esfuerzos de este equipo. Nuestro equipo de producción en McGraw-Hill, en particular nuestro gerentede producción, Jill Peter, mantuvo el proyecto bajo un programa estricto y nos ayudó a producir un texto bien disefiado. Los solucionarios de problemas en Laurel Technical Services, liderados por Carrie Mallery, hicieron numerosas sugerencias que mejoraron las secciones de ejercicios. Los expertos de TEX, una corporación de composición interactiva, proporcionaron una mejor apariencia al manuscrito final. Queremos agradecer de manera especial a nuestros revisores por sus muchos yjuiciosos comentarios: David Anderson, University of Tennessee Wilma Anderson, University of Nebraska-Omaha Robert Beezer, University of Puget Sound Neil Berger, University of Illinois Mike Bonnano, Suffolk Community College George Bradley, Duquesne University Moody Chu, North Carolina State University Raymont Clapsadle, University of Memphis Joe Diestel, Kent State University Dan Drucker, University of Puget Sound Eugene Enneking, Portland State University Ronald Grimmer, Southern Illinois University Mel Hausner, New York University Johnny Henderson, Auburn University Robert Horvath, El Camino College Gail Kaufmann, Tufts University Hadi Kharaghani, University of Lethbridge (Alberta) Masato Kimura, College of William and Mary Robert Knott, University of Evansville John Lee, University of Kentucky • John Maginnis, Kent State University Chris McCord, University of Cincinnati Remigijus Mikulevicius, University of Southern California Mike Montano, Riverside Community College Christina Pereyra, University of New Mexico
Linda Powers, Virginia Tech Joe Rody, Arizona State University Rod Smart, University of Wisconsin-Madison Jerry Stonewater, Miami University of Ohio Juan Tolosa, Richard Stockton College Paul Weichsel, University of Illinois Marvin Zeman, Southern Illinois University Por otra parte, varios colegas colaboraron arnablemente con parte de su tiempo y energIas para ayudarnos a crear o a mejorar partes del manuscrito. Queremos agradecer de manera especial a Bill Ergie, Ben Hudddle, Jack Steehier, Deana Carideo, Jan Minton, Richard Grant y Jeff Spielman de Roanoke College por compartir su experiencia en el cálculo y aplicaciones relacionadas; a Tom Burns de General Electric por la ayuda en aplicaciones industriales; a Dorothy Blum de Millersville University, quien ayudó en La puesta a prueba de una version inicial del manuscrito; a Chuck Denlinger y a Ron Umble de Millersville University por muchas conversaciones sobre el cálculo, y a Pam Vercellone-Smith, quien nos aporto su experiencia en muchas aplicaciones ala biologIa. Además, queremos agradecer a todos nuestros estudiantes a través de los años, que han puesto a prueba (a veces sin saberlo) innumerables ideas, de las cuales algunas funcionaron y el resto de las cuales no aparecerán en este libro. Finálmente, manifestamos nuestra gratitud al apoyo de Millersville University Faculty Grants Committee y de Millersville University Faculty Professional Development Committee pbr la concesión de tres periodos subvencionados y ala administración de la Universidad de Millersville por un periodo sabático. Estas concesiones en tiempo fueron indispensables para desarrollar este texto y los autorés están agradecidos por ello. Este libro fue digitado en TEX usando la version cientIfica. La mayor parte de las gráficas fueron generadas usando Maple V y revisadas mediante Corel Draw. Otras gráficas fueron generadas usando Mathemática. En ültima instancia, este libro es para nuestras familias. Queremos agradecerles por su amore inspiración durante los años en que hemos trabaj ado en este proyecto. Su comprensiOn en los sentidos técnico y personal fueron esenciales para nosotros. Escribir un libro de esta magnitud no habria sido posible sin el fuerte apoyo de nuestras familias; ellas nos proporcionan la razOn por la que hacemos lo que hacemos. De modo que, concretamente, agradecemos de manera especial a nuestras esposas, Pam Vercellone -Smith y Jan Minton; a nuestros hijos, Katie y Michael Smith, Kelly y Greg Minton; también a nuestros padres, Anne Smith, Pu! y Mary Frances Minton. Robert T. Smith Lancaster, Pennsylvania
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Roland B. Minton Salem, Virginia
Tabla de contenido Prefacio..................................................................................................... viii
CapItulo 10:
Vectores y geometrIa del espacio ...........................................................889 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6
CapItulo 11:
Funciones con valores vectoriales .........................................................957 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
CapItulo 12:
Funciones de varias variables .................................................1018 LImitesycontinuidad ..............................................................1031 Derivadas parciales ..................................................................1045 Pianos tangentes y aproxirnaciones lineales.........................1057 La regia de la cadena................................................................1068 El gradiente y las derivadas direccionales ............................1076 Extremos de funciones de varias variables ...........................1088 Optimización restringida y multipiicadores de Lagrange 1104
Integrales máltiples ..............................................................................1105 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8
CapItulo 14:
Funciones con valores vectoriales ............................................958 El cálculo de las funciones con valores vectoriales.................968 Movirniento en ci espacio ..........................................................980 Curvatura ....................................................................................991 Vectores tangentesy normales ...............................................1000
Funciones de varias variables y derivación parcial ..........................1017 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8
CapItulo 13:
Vectores en ci piano ...................................................................890 Vectores en ci espacio ................................................................901 El producto escalar o producto punto .....................................910 El producto vectorial o producto cruz .....................................919 Rectas y pianos en el espacio ....................................................933 Superficies en ci espacio ...........................................................943
Integraies dobles .....................................................................1117 Area, volumen y centro de masa ............................................1135 Integrales dobles en coordenadas polares ...........................1145 Arcade superficie ....................................................................1152 Integrales triples .....................................................................1159 Coordenadas cilIndricas .........................................................1172 Coordenadas esféricas ............................................................1179 Cambio de variables en integrales miltipies ......................1188
Cálculo vectorial ..................................................................................... 1204 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8
Campos vectoriales ..................................................................1205 Integrales de lInea ....................................................................1219 Independencia de la trayectoria y campos vectoriales conservativos.............................................................................1237 Teorema de Green ....................................................................1248 Rotacional y divergencia...........................................................1259 Integrales de superficie ...........................................................127 0 Teorema de la divergencia ......................................................128 5 Teorerna de Stokes ................................................................... 1295
Apéndice A:
Tabla de integrales ................................................................................ 1310
Apéndice B:
Respuestas a ejercicios seleccionados ................................................ 1317
Bibliografia . ........................................................................................................................... 1335 lndice. ..................................................................................................................................... 1337
Prefacio El amplio debate suscitado por el movimiento de reforma al cálculo ha producido un impacto significativo en el mercado de los textos de cálculo. En respuesta a muchas de las preguntas y preocupaciones que rodean este debate, hemos escrito un moderno texto de cálculo para estudiantes de matemáticas, fisica, quImica, ingenierIa y campos relacionados. Aunque sigue relativamente la tradicional tabla de contenido, hemos intentado abordar muchos de los temas propuestos por los reformadores del cálculo. Este libro está escrito para el promedio de los estudiantes, es decir, aquellos que todavIa no conocen La materia, cuya experiencia es de aLgtin modo poca en algunos temas, y requieren una alta motivación para dedicarse al estudio del cálculo. Nuestra intención es que los estudiantes puedan Leer nuestro libro, y no solo usarlo como enciclopedia ilena de datos de cálculo. El texto está escrito en estilo informal, casi conversacional, para que los estudiantes puedan leerlo con facilidad. Dada la amplia disponibilidad de calculadoras graficadoras y sistemas de áLgebra computarizados, se supone que los estudiantes que emplearán este texto tendrán uno de esos sistemas a su disposiciOn. Para garantizar que este libro enfoque con éxito nuestro punto de vista de la enseñanza efectiva del cálculo, asi como los de otros, continuamente pedimos a los instructores en toda Norteamérica sus opinionès sobre el currIculo del cálculo, las fortalezas y debilidades de los textos corrientes y de nuestros manuscritos e ideas. Al preparar esté producto terminado, nos beneficiamos de innumerables comentarios atinados procedentes de un panel de revisores seleccionado cuidadosamente para colaborarnos en este proyecto. Sus revisiones detalladas de nuestros materiales y sus opiniones acerca de La enseñanza del cálculo fueron invaluables para nosotros durante el desarrollo de este libro. A ellos les debemos mucho por su tiempo y dedicaciOn.
A I osofla Estamos de acuerdo con muchas de Las ideas surgidas del movimiento de reforma al cálculo; en particular, creemos en la regla de tres, segün la cual los conceptos deben presentarse gráfica, numérica y algebraicamente, cuando sea apropiado. De hecho, añadirIamos verbal y fIsicamente a esta lista, puesto que la comunicaciOn de ideas matemáticas y el modelo de problemas fisicos son habilidades importantes que los estudiantes necesitan desarrollar. También creemos que aunque el currIculo de cálculo necesita una reforma, no debemos desechar lo que ha funcionado bien. En consecuencia, nuestro libro representa un enfoque nuevo de los tmas tradicionales de cáLculo: seguimos un orden tradicional de presentaciOn, pero se integran tecnologIa y ejercicios de reflexión. Uno de los aspectos principales del movimiento de reforma al cálculo es el énfasis en La solución de problemas, la presentaciOn de aplicaciones más realistas a los estudiantés, asI como problemas de respuesta-abierta. Hemos incorporado eiercicios para escribir llenos de significado y problemas de tipo ensayo en cada conj unto de ejercicios. El lector encontrará una garna de aplicaciones mucho más amplia que en los textos tradicionales.
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Con frecuencia recurrimos a aplicaciones tomadas de la experiencia de los estudiantes para motivarlos a desarrollarnuevos temas e ilustrar conceptos que ya han sido presentados. En particular, se han incluido numerosos ejemplos de la fisica de deportes, para dar a los estudiantes un contexto familiar en que puedan reflexionar sobre varios conceptos. Creemos que el libro debe estar orientado hacia un desarrollo conceptual del cálculo. Aunque en el texto hemos integrado tecnologIa, ésta no es el eje del libro. Tampoco hemos caldo en la tentación de alardear de los alcances de la tecnologIa, excepto donde ésta tenga una incidencia directa en el aprendizaje del cálculo. Nuestra meta es utilizar la teenologIa disponible para ayudar a los estudiantes en la comprensión conceptual del cálculo como se utiliza en la actualidad. Quizá la tarea más dificil cuando se prepara un nuevo texto de cálculo es la escritura de éste. Nos hemos preparado para escribir este texto de manera que se combine un nivel apropiado de informalidad con un análisis honesto enfocado a las dificultades que Los estudiantes enfrenten corrientemente en su estudio del cálculo. Además de los conceptos y las aplicaciones de cálculo, también hemos incluido muchos análisis francos acerca de lo que es práctico y lo que no lo es, y lo que es difIcil y lo que no es tan dificil para los estudiantes de cálculo. Hemos procurado que sea clara la presentación de cada ejemplo, aplicación y ejercicio. El libro que hemos escrito representa un cambio sustancial, aunque todavia mantiene una lInea tradicional de la tabla de contenidos. Al integrar la tecnologfa en el textb, utilizar un estilo de presentación vivaz e incorporãr uná amplia variedad de ejercicios, creemos que satisfacemos muchos de los objetivos del movimiento de reforma al cálculo. Al mismo tiempo, nuestra linea relativamente tradicional mantiene las fortalezas de los temas más importantes del cálculo, lo cual permite a los inètructores enseñar material familiar integrado a la tecnologIa y las modernas aplicaciones.
Contenido Aunque no hemos revisado exhaustivamente la tabla de contenidos tradicional, hemos reconsiderado con mucho cuidado la mejor manera de presentar cada tema. Nuestro objetivo principal es mantener a los estudiantes centrados en losconceptos importantes de cálculo. Para este fin, hemos incrementado la presentación algebraica sencilla de ciertas ideas con metodos numéricos. For ejemplo, al introducir La noción de area se enfatiza en el cálculo de area como el limite de una suma de Riemann, Pero empleando particiones regulares exciusivamente. La noción de la norma de partición solo se presenta en el capItulo 13, Tomo 2, donde se desarrollan las integrales multiples; Dado que en ese momento y4 los estudiantes deben estar familiarizados con el concepto de integral definida como lImite de una suma, la norma de particiOn debe servir para ampliarla cornprensión. Somos cuidadosos de señalar que (sin el teorema fundamental del gálculo) el lImite de las sumas de Riemann puede calcularse directamente solo para un pequeño nümero de funciones. Además, permitimos a los estudiantes explorar las mismas ideas numéricamente. En este caso no nos limitamos a polinomios de grado bajo, y los estudiantes pueden observarvalores numéricosde las sumas de Riemann que se aproxirnan a un Ilmite. Con este método, los estudiantes abordan el problema desde
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diferentes puntos de vista, aumentando asI la probabilidad de que capten el concepto que subyace detrás. Además, los estudiantes disponen de una herramienta ütil (la integraciOn numérica) que pueden aplicar a una amplia variedad de problemas. Desde nuestra perspectiva, las técnicas de integración son de gran importancia. Enfatizamos en ayudar a Los estudiantes a desarrollar la habilidad para distinguir entre integrales que parecen semejantes e identificar la técnica de integración apropiada para aplicar a cada integral. La atención al detalle y la sofisticación matemáticas req ueridas en este proceso son habilidades invaluables. No intentamos abarcar todas las técnicas de integración, dado el amplio uso de los sistemas de algebra computarizados. Por iditimo, en la sección 7.5, Tomo 1, se incluye un análisis de las tablas de integración y el empleo de los sistemas algebraicos computarizados para llevar a cabo la integración simbólica.
Caracteristicas cave Empleo de gráficas y tablas. A lo largo del texto hemos presentado más de 1,500 gráficas generadas por computador. Debido a que las graficas son fáciles de obtener en la actualidad, enfatizamos en que los estudiantes deben emplearlas con frecuencia para ayudar a La solución de muchos problemas, aun si sólo se trata de verificar lo razonabie de una respuesta. Las graflcas y las tabias se emplean en el texto para proporcionar al lector mejor comprensiôii de la teorla subyacente presentada. Cada graflca y tabla se ha creado con mucho cuidado para garantizar que las ideas presentadas son claras y precisas. En muchos lugares, se han incluido multi-. pies perspectivas gráficas, como gráficas de perImetro y de densidad encontradas en el capItulo 12, Tomo 2. Durante el desarrollo del manuscrito pedimos consejo a nuestros revisores sobre el lugar donde debIan colocarse las ilustraciones y eltratamiento que deberla dárseles. Gracias a las sugerencias del panel de revisores, mejoramos rnuchIsimo el manuscrito. Uso de tecnologIa. Considerando la rapidez con que está avanzando la tec nologla de las calculadoras y de los computadores, creImos que no era apropiado relacionar el libro con determinada tecnologIa. En cambio, hemos empleado tecnologIa genérica para presentar aquellas caracterIsticas cornpartidas por casi todas las calculadoras graficadoras y los sistemas algebraicos computarizados (por ejemplo, integración numérica y caracterIsticas cornunes de graficacion). Además, se emplean sélo aquellas caracterIsticas de la tecnologIa que ayudan clararnente en la comprensión de los conceptos de cálculo. No consideramos que la tecnologIa sea una herramienta adherida artificialmente al mismo curso viejo de cálculo ni creemos que un curso de cálculo deba ser un curso sobre cómo emplear la tecnologIa, sino que la tecnologIa puede y debe presentarse como parte natural de un desarrollo coherente del cálculo. En nuestra presentación, la tecnólogia solo se emplea donde es.apropiada. Se espera que los usuarios tengan acceso a calculadoras graficadoras o a sistemas algebraicos computarizados y que puedan emplearlos. Nos preocupa mucho que el uso sustancial de la tecnologIa convierta a los estudiantes en meros pulsadores de botones. De esto nos cuidamos al hacer de La teenologia un apoyo para la comprensión y al mostrar los errores que se pueden derivar de una cohfianza excesiva en
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la tecnologIa. Empleamos la tecnologIa de modo que los estudiantes puedan enfocarse en la dificultad y algunas veces en las conexiones sutiles entre los diferentes conceptos del cálculo. Un estudiante que domina estas conexiones será un usuario mucho más efectivo del cálculo que un estudiante que solo se desempene bien en métodos algebraicos. Al comprometer a los estudiantes en diferentes niveles, empleando diferentes enfoques, esperamos mejorar su comprensiOn y capacitarlos para abordar por si mismos nuevos problernas. También hemos decidido no separar nuestros ejercicios de "tecnologIa" en los conjuntos de ejercicios que se encuentran al final de cada sección y capItulo. Esta decision, adoptada con mucho cuidado, debe servir como herramienta de enseñanza. En el texto se proporcionan consejos y gula sobre el uso apropiado de la tecnologIa, y se suministran herramientas que ayuden a los estudiantes a determinar el momento apropiado emplear La tecnoLogIa. Creemos que colocar un icono para señalar los ejercicios en que se emplee La tecnologIa, como lo hacen otros textos, impide a los estudiantes tomar sus propias decisiones a este respecto.
!ntroducción básica de funciones trigonométricas exponenciales y logarItmicas, Tomo 1. Nuestra tabla de contenido se caracteriza por presentar una introducción de las funciones logarItmicas, exponenciales y trigonométricas. Si los estudiantes ya conocen estas funciones antes de ponerun pie en una clase de cálculo, Z por qué no aprovechar esta familiaridad? En el capItulo 2 se introduce el cálculo de todas estas funciones, junto con las demás reglas de derivaciOn. Aunque no presentamos las deducciones completas de las derivadas de los logaritmos naturales y exponenciales en este momento, damos evidencia numérica muy importante y pruebas algebraicas casi completas. Continuamos esto en el capftulo 6 con la definición de logaritmo natural como una integral y se completan Las deducciones de las formulas de La derivada. En Los capItulos correspondientes, estas funciones se emplean para proporcionar más ejempbs interesantes en nuestro análisis de las aplicaciones de la derivación (incluida la graficación), integración y aplicaciones de La integración. Casi en la mitad del capItulo 6, se atan todos los cabos sueltos y se desarrolla el cálculo de las funciones logaritmicas y exponenciales sobre una base teó•rica firme. En consecuencia, al final no se sacrifica el rigor matemático, pero los estudiantes habrán ganado mucha perspicacia en el uso de un amplio conjuntO de funciones explicadas en los capItulos introductorios.
Enfasis en la soluciOn de problemas. Este texto fue escrito con énfasis en la solución de problemas, incluida La introducciOn de muchos temas desde puntos de vista gráficos, numéricos y algebraicos. En muchos ejemplos, el énfasis en los métodos graficos y numéricos para resolver problemas nos evita considerar problemas más complejos y realistas que se presentan usualmente en el cálculo. Como resultado, Los estudiantes deben tener una idea más completa de la utilidad del cálculo y ser capaces de resolver mayor variedad de problemas. Además, Los estudiantes sabrán que pueden abordar problemas realistas y desafiantes, y obtener soluciones lienas de significado. Aplicaciones. Hemos incluido una amplia variedad de aplicaciones superior ala de la mayor parte de los Libros tradicionales de cálculo. Por ejemplo, en el capItulo 5 (aplicaciones de La integral definida) Tomo 1, en una
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sección se combinan las aplicaciones tradicionales de fIsica sobre trabajo, fuerza y presión de fluidos, mientras se agrega un análisis del impulso, momentos y centros de masa. Aqul se enfatiza en el empleo de las sumas de Riemann y las integrales para calcular las cantidades que interesan. También se incluye una sección dedicada al movimiento de un proyectil y una sección opcional sobre teorIa de probabilidad. Este libro contiene numerosas aplicaciones diseñadas para atraer la atención y despertar la imaginación de los estudiantes, de acuerdo con sus experiencias e intereses. Nuestras aplicaciones son reales e incluso algunas son ünicas, y cubren un amplia gama de areas temáticas. Se presentan bastantes aplicaciones relacionadas con los deportes, que ayudan en el estudio del cálculo. Los estudiantes de ingenieria estarán particularmente interesados en el capItulo 14, Tomo 2, el cual está motivado en primer lugar por el empleo de ideas básicas sobre mecánica de fluidos. Nuestro panel de revisores nos dio muchas sugerencias para la inclusion de aplicaciones apropiadas y comentó con frecuencia la gran variedad que ofrece este texto.
Ejemplos. Cada capItulo contiene gran nümero de ejemplos resueltos que van desde lo más sencillo y concreto hasta lo más complejo y abstracto. La dificultad de los ejemplos varla, y algunos sirven para motivar un gran nümero de temas diferentes en un capItulo dado. Muchos temas del capitulo 9, Tomo 1, por ejemplo, se introducen empleando el scrambler de un parque de diversiones como base para cada ejemplo. Los revisores del manuscrito se interesaron particularmente en nuestra introducción a las funciones de valor vectorial que emplean las modernas naves de combate yen nuestros ejemplos que involucran mapas climatolOgicos. Cobertura flexible de los temas. Hemos incluido un gran nümero de secciones opcionales que nose encuentran generalmente en otros textos de cálculo, y hemos ampliado la cobertura de temas seleccionados. Estas secciones opcionales y ampliadas proporcionan flexibilidad a los instructores para adaptar sus cursos a los intereses y necesidades de cada clase. En la sección 1.6, Tomo 1, se exploran los errores por pérdidas significativas. En esta sección, se analiza cómo desarrollan operaciones matemáticas las calculadoras y los computadores, y cOmo pueden causar errores en el contexto de la aproximación nurnérica de lImites. En la sección 3.7, Tomo 1, presentamos diversas aplicaciones de derivaciOn, incluidas las velocidades de las reacciones quImicas y el ritmo de las frecuencias cardiacas. Los campos de direcciOn y los métodos de Euler para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se analizan en la secciOn 6.6, Tomo 1. En el capItulo 8, Tomo 1, seguimos nuestro análisis de las series de potencia ye! teorema de Taylor con una sección sobre las series de Fourier. En las secciones 9.1 a 9.3, Tomo 1, proporcionamos cobertura ampliada de ecuaciones paramétricas y, en la secciOn 10.4, Tomo 2, se incluye un análisis de la fuerza Manus. Conjuntos de ejercicios. Este texto contiene miles de ejercicios que se hallan al final de cada sección y ejercicios de repaso encontrados al final de cada capItulo. Cada conjunto ha sido diseflado cuidadosamente para proporcionar amplia variedad de ejercicios rutinarios, moderados y desaflantes, muchos de los cuáles se diferencian del conjunto de ejercicios tradicionales que traen muchos textos de cálculo. Henios intentado crear ejercicios originales e imaginativos que proporcionen Un adecuado repaso de los temas cubiertos en cada secciOn y capItulo.
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Además de los ejercicios rutinarios, cada conjunto contiene algunos ejercicios exploratorjos opcionales, especie de proyectos diseñados para que los estudiantes tengan idea de la naturaleza excitante y progresiva de La investigación matemática. Estos ejercicios, claramente marcados como exploratorios, ofrecen excelentes oportunidades para que el grupo trabaje o analice, dependiendo de la estructura de los cursos individuales de cálculo. Cada conj unto comienza con una variedad de ejercicios para escribir, claramente marcados como tales. Al igual que los ejercicios exploratorios, los ejercicios para escribir pueden emplearse como ayuda para el análisis y se proponen para dar a los estudiantes una oportunidad de considerar cuidadosamente importantes conceptos matemáticos e ideas y expresarlas con sus propias palabras.
Qué es diferente y por qué Formato. Cada capItulo se introduce con una breve aplicación sobre Los conceptos matemáticos desarrollados en el capItulo. Las introducciones motivan a los estudiantes preocupados por la utilidad del cálculo y pueden ayudar a situar cada capItulo en un gran contexto de. solución de problemas. Los temas de las introducciones van desde la aerodinámica y los deportes hasta el tamaño de las pupilas de un gato. El libro ha sido escrito en un estilo conversacional el cual los revisores han comparado a escuchar una buena conferencia. Nosotros explicamos cómo emplear tina técnica y cuándousarla. Nuestro sentido de qué funciona bien con los estudiantes ha sido afinado trabajando con ellos durante los ültimos veinte aflos en varios colegios y universidades, tanto püblicos como privados, que van desde escuelas de artes liberales hasta escuelas de ingenierla. Esperamos que los estudiantes acepten nuestro enfoque y, en consecuencia, vayan mucho más allá de Los detaLles básicos del manejo del cálculo. Los conjuntos de ejercicios han sido diseflados cuidadosamente para reforzar los detalles y conceptos de cálculo, aunque también estimulan Las exploraciones individuales de las matemáticas. Cada serie de ejercicios comienza con varios ejercicios significativos que exigen una respuesta escrita. Estos ejercicios se han diseñado para ayudar a los estudiantes a organizar su pensamiento sobre las ideas importantes de la sección y se espera que los estudiantes los replanteen con sus propias palabras. Estos ejercicios pueden emplearse como preguntas de discusión, apuntes para anotar en Los diarios y elaborar preguntas ensayo en las pruebas. Al final de cada serie de ejercicios están Los problemas que hemos denominado ejercicios "para explorar". Aunque éstos no son solo los ünicos ejercicios que estimulan a los estudiantes a explorar las matemáticas, cada uno de estos problemas puede emplearse en un grupo de trabajo, proyectos mdividuales o simplemente tareas de lectura para dar a los estudiantes una idea mejor del alcance de las matemáticas basadas en el cálculo. Contenido. La gran mayorIa de los temas encontrados en nuestro libro son parte del currIculo normal de cálculo que ha definido lo másimportante. durante los ültimos treinta años o más. Creemos que este currIculo todavIa es válido en términos de precision matemática y aprendizaje del estudiante. Sin embargo, se han introducido pequeños cambios significativos en la tabla de contenido. Después de revisar Las propiedades básicas de las funciones exponenciales y trigonométricas en el capItulo 0, Tomo 1,
XIV Pro facio
hacemos uso importante de estas funciones a medida que se desarrollan los conceptos de lImites, derivadas e integrales. La inclusion de estas funciones desde el comienzo, en el primer semestre de cálculo, incrementa •bastanteja capacidad para analizar aplicaciones interesantes, sin menguar La comprensiOn del estudiante. El tratamiento de las ecuaciones diferenciales varIa ampliamente entre textos corrientes de cálculo. Hemos encontrado que muchos estudiantes necesitan bases sólidas en integración para apreciar completamente el concepto de la solución de una ecuaciOn diferencial. Por otra parte, existen técnicas sendillas para resolver ecuaciones diferenciales que están al alcance de estudiantes de cálculo de segundo semestre, y son necesarias en los estudiantes de ingenierfa de segundo semestre. Por estas razones, analizamos las ecuaciones diferenciales separables en La secciOn 6.5, Tomo 1, junto con el crecimiento y decrecimiento exponencial, dos capItulos después de la introducción dé Ia integral. Para maximizar la flexibilidad en el uso de este texto, decidimos introducir este material antes del capItulo 7, Tomo 1, dedicado a técnicas de integraciOn. En todo el texto hemos supuesto que los estudiantes tienen acceso a graficas generadas por computador o por las calculadoras, lo cual nos permite emplear graficas rutinariamente como primer paso en la soluciOn de un problema o en la verificaciOn de lo razonable de una respuesta. La visualizaciOn de un problema es una ayuda invaluable para los estudiantes, y n'osotros intentamos aprovechar esto a! máximo. Uno de los beneficios de disponer. de las gráficas es la posibilidad de resolver problemas de aplicaciOn más reales. Las funciones asociadas a problemas reales con frecuencia no son matemáticamente sencillas, pero pueden aproximar ceros o extremos graflca y numéricamente. Además, conceptos como convergencia de la serie de Taylor adquieren más significado cuando se emplean gráficas para ilustrarla. Este enfoque gráfico beneficia nuestra presentación de las series de Fourier, la cual es una importante herramienta para comprender mucha parte del mundo digital. En el texto, hemos empleado la capacidad de las calculadoras y los computadores para resolver ecuaciones y completar con rapidez cálculos muy extensos. Limites, derivadas, integrales definidas y series infinitas se abordan empleando tablas de cálculo, donde los estudiantes pueden comprender con claridad qué representa la convergencia o La divergencia. Para evitar que los estudiantes permanezcan alejados del uso de la tecnologIa, se incluye una sección sobre errores por falta de significado en la que se presenta una introducción bastante accesible de errores de computación muy comunes y cOmo evitarlos. El análisis numérico también cumple un papel importante en nuestro desarrollo del método de Euler para aproximar soluciones de las ecuaciones diferenciales. El método de Euler se relaciona estrechamente con los campos de dirección y las gráficas de campos vectoriales, dos lugares en que se basan Las gráficas por computador. Tales conexiones son importantes para los objetivos trazados al emplear la tecnologIa: no añadir nuevos temas sino nuevas maneras de percibir y comprender los conceptos importantes de célculo.
Comentarios acerca de cada capItulo CapItu lo 10
Presenta una tercera dimension en construcción de gra fleas yen cálculos. También aquI son de gran ayuda los computadores. Un análisis de la fuerza de Magnus relaciona los vectores con diversas aplicaciones a los deportes, al tiempo que se proporciona a los estudiantes alguna práctica para pensar en términos del espacio tridimensional.
CapItulo 11
En este capItulo se desarrolla el cálculo delas funciones con valores vectoriales. Nuestra dependencia de las gráflcas computarizadas se incrementa a medida que las graflcas se complican. Para mantener a los estudiantes pensando y no simplemente oprimiendo botones, muchos de los ejemplos y ejercicios dados establecen relaciOn entre funciones y gráflcas; los estudiantes utilizan propiedades de las funciones para identificar las graflcas. El capItulo termina con una deducciOn de las leyes de Kepler, una de Las grandes realizaciones del cálculo y de la mente humana.
CapItulo 12
EL enfoque de este capItulo se dirige a las funciones de dos o más variables. Dado que es más dificil visualizar la matemática involucrada, es más importante que nunca seguir la ilarnada regla de tres. Muchas de las gráfleas generadas por computador tienen apariencia de alambres sin presentaciOn soflstjcada, con sombras. Hemos observado que los estudiantes pueden ver las trazas en una graflca alambrada, pero. a veces pierden algunos detalles en una gráflca más pulida, con sombras. Aumentamos también nuestras graflcas tridimensionales con representaciOn del contorno y de la densidad donde es apropiado. Numéricamente, presentamos un algoritmo muy eficiente de ascenso (descenso). Los cálculos correspondientes requieren ayuda del computador, pero el algoritmo refuerza convenientemente muchos conceptos del cálculo de funciones de varias variables.
CapItulo 13
Trata de integrales dobles y triples. Nuestro enfoque se dirige a ayudar a los estudiantes a desarrollar la comprensiOn acerca del sistema coordenado más conveniente y del orden de integraciOn más adecuado para simplificar una integral dada. Animamos el tópico tradicional del centro de masa y momentos, con cálculos que involucran el diseno de cohetes y bates de béisbol.
Capitulo 14
Presenta el cálculo vectorial que esesencial para la comprensiOn de La mecánica de fluidos y las aplicaciones en electricidad y M. agnetismo. Empleamos explicaciones razonablemente simples y motivantes de La mecánica de los fluidos. En este proceso generamos numerosas gráflcas de campos vectoriales, las analizamos e interpretamos.
xv'
SUPLEMENTOS* P'ra e! profesor
Web Site www.mhhe.com/smithminton El sitio de Smith/Minton en la red está a disposición del estudiante y del profesor y contiene vInculos con recursos relevantes relaçionados directamente con el libro, lo mismo que recursos instruccionales para el salon de clase y ayudas para el estudiante. • Manual de recursos para el profesor Este manual contiene soluciones completas y detalladas de la mayor parte de los ejercicios del texto, ejemplos de pruebas y un Indice de ejercicios que estimulan el uso de la tecnologIa.
Banco computarizado de pruebas El software ESATest generado algorItmicamente permite a los profesores seleccionar eficientemente, agregar y organizar preguntas al banco, usando criterios como tipo de pregunta o nivel de dificultad. Los cuestionarios se pueden imprimir, lo mismo que las claves de respuesta; se pueden editar las preguntas originales o agregar otras. ESATest está disponible en formato Windows y Macintosh. • Banco de pruebas impresas Contiene gran variedad de preguntas y respuestas que incluyen verdadero/falso, selecciOn multiple, respuesta corta y respuesta libre.
Para el estudante
. Manual derecursosparelestudiante Soluciones para problemas de nümero impar seleccionados en el texto. • GuIa electrónica de estudio Este CD-ROM interactivo y autorregulado permite a los estudiantes practicar sus habilidades de resoluciOn de problemas, mediante problemas y pruebas de diagnOstico algorItmicamente generados. • Comprensión del cálculo Estos libros de trabajo exploratorios en tecnologIa presentan actividades e instrucciones adecuadas al libro de Smith/Minton para que quienes usen una calculadora graficadora o sistema algebraico computarizado obtengan ayuda en la comprensiOn el cálculo. Comprensión del cálculo está disponible en los siguientes formatos • Insights into Calculus Using Maple • Insights into Calculus Using DERIVE • Insights into Calculus Using Mat hematica • Insights into Calculus Using the TI - 83183 +
• Calculus web Site www.mhe.com/smithminton El sitio de Smith/Minton en la red está a disposiciOn del estudiante y contiene vInculos con recursos relevantes relacionados directamente • cone! libro.
* Disponibles unicamente eningles.
ca so
I.1,
Vectores y geometrIa del espacio
Figura 10.1: plataforma marina.
El diseño de una plataforma marina para extracción de petróleo presenta un reto incluso para los mejores ingenieros. La construcción bajo el agua establece Un conjunto ünico de restricciones, y los fuertes vientos y olas que se presentan durante las tormentas en el mar pueden dañar o destruir aun las estructuras mejor diseñadas. Para construir una plataforma adecuada, los ingenieros deben tener un conocimiento sólido de la geometrIa en tres dimensiones y estar en capacidad de analizar las tensiones y los esfuerzos a través de toda la estructura. En este capItulo damos los primeros pasos hacia ci cálcuio tridimensional completo que se requiere para desarrollar tales análisis. Al disenar una plataforma petrolera, la tarea de un ingeniero consiste en hallar una estructura que no solamente soporte grandes fuerzas, sino que también proteja a un equipo de trabajadores, permaneciendo relativamente inmóvil durante las tormentas. La forma que imita la de un reloj de arena, que se muestra en la figura 10.1, minimiza el balanceo mediante la transmisión de las fuerzas laterales a través de una serie de puntales reforzados clavados en el fondo del mar. Para analizar un diseno tal, se necesita primero tin lenguaje matemático para describir ci tamaflo y dirección .de las fuerzas tridimensionales. Los vectores que se estudian en las primeras dos secciones de este capItulo nos proporcionan tal lenguaje. En la tercera y en la cuarta secciones de este capItuio, aprendemos a usar vectores para descomponer una fuerza lateral en un conjunto de fuerzas componentes que actüan en diferentes direcciones (por ejemplo, a lo largo de los puntalés de una plataforma de perforacion). Los ingenieros usan estos cálculos para determinar el refuerzo necesario para que una plataforma permanezca estable, incluso en ci tiempo rnás tormentoso. En las dos ültimas secciones de este capItulo presentamos algunas de las estructuras fuñdamentales de la geometrIa tridimensional. Una de éstas es la hiperboloide de una hoja. La piataforma de perforación que se muestra en la figura 10.1 tiene la forma de una hiperboloide cuyas secciones hiperbólicas transversales la habilitan para repartir eficientemente grandes fuerzas laterales. Esta propiedad geométrica hace de la hiperboloide una elección natural para soportar las fuerzas del mar. Las hiperboloides se usan también en otras situaciones que constituyen retos, como ci diseño de torres de enfriamiento para plantas nucleares. Este capItulo representa un cruce de caminos entre el mundo micialmente bidimensional del cáiculo del primer año y el mundo tridimensional de los muchos problemas importantes de la ciencia y de La ingenierI. El resto del cálculo que se desarroila en este libro se construye directamente sobre las ideas básicas que aquI se presentan.
890
CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
10.1 VECTORES EN EL PLANO
Q (punto pQ
final)
P (punto niciat)
Rgura 10.2a: segmento de recta dirigido.
Una de las primeras motivaciones para desarrollar las matemáticas contenidas en este capItulo es nuestra necesidad de describir cantidades fIsicas como velocidad, aceleración y fuerza. Aunque ya hemos considerado modelos muy sencillos de velocidad y aceleración en una dimensión, éstas no son en general can tidades unidimensionales y no podemos representarlas adecuadamente por medic , de funciones. En particular, obsérvese que si queremos describir la velocidad de un objeto móvil, debemos especificar tanto su rapidez como La dirección en la que se está moviendo. En efecto, las cantidades velocidad, aceleración y fuerza tienen tamaño (por ejemplo rapidez) y dirección. Representamos tal cantidad gráficamente como un segmento de recta dirigido, o sea un segmento de recta con una dirección especIfica. En esta sección nos lirnitamos a dos dimensiones y denotamos el segmento de recta dirigido que se extiende desde el punto P (punto inicial) hasta el punto Q (punto final) con PQ (véase la figura 10.2a). La longitud de un segmento de recta dirigido PQ es su magnitud, denotada con 11 PQ 11 Matemáticamente, se considera que todos los segmentos de recta dirigidos que tienen la misma magnitud y dirección son equivalentes, sin importar La ubicación de su punto inicial. Usamos un vector v para describir el conjunto de todos los segmentosde recta dingidos equivalentes a uno dado. En otras palabras, si PQ es el segmento de recta dirigido desde el punto inicial P hasta el punto final Q entonces el vector correspondiente v representa PQ tan bien como cualquier otro segmento de recta dirigido que tenga la misma magnitud y direcciOn que PQ. En la figura 10.2b se muestran tres vectores que se consideran equivalentes aun cuando sus puntos iniciales son diferentes. En este caso, escribimos .
,
a = b = c. Al considerar vectores, con frecuencia es ütil pensar que representan alguna cantidad fIsica especIfica. Por ejemplo, al ver un vector, se puede imaginar una fuerza. En este caso la magnitud del vector fuerza representarla la cantidad de fuerzä aplicada y la dirección del vector corresponderla a La dirección en la que la fuerza actüa.
Figura 10.2b: vectores equivalentes.
C
NOTACION: en este texto, usualmente denotamos los vectores media nte caracteres en negrilla, por ejemplo, a, b, c, como se ye en la figura 10.2b. En el caso en que los puntos inicial y final se especifican, respectivamente, como P y Q, denotamos el vector como PQ. Como al lector no le queda fácil escribir en negrilla, puede usar la notación con flecha (por ejemplo, ). Al hablar de vectores, nos referimos a los nümeros reales como escalares. Es muy importante comenzar ahora a distinguir cuidadosamente entre cantidades escalares y vectoriales. Esto evitará frustraciones ahora y mientras progresamos en lo que queda de este libro. -^
Figura 10.3: vector resultante.
Observe cuidadosamente los tres vectores que se muestran en la figura 10.3. Si usted cree que el vector AB representa la fuerza requerida para mover una partIcula desde el punto A hasta el punto B, observe que
Sección 10.1
o
891
Vectores en el piano
C
—4
el resultado final de ejercer la fuerza AB y enseguida la fuerza BC es lo —3.
mismo que el vector AC (ilamado fuerza resultante). LiamaremoS AC a la suma de AB y BC y escribimos
AC=AB ±BC
A
Figura 10.4: suma de dos vectores.
xu ^iu
Dc modo que, dados dos vectores que se quieren sumar, se colocan sus puntos iniciales en el mismo punto, se trasiada el punto inicial de uno al punto final del otro y se completa ci paralelogramo como en la figura 10.4. El vector situado sobre la diagonal, con punto inicial en A y punto final en C, es la suma ----3. —4 —.4
AC=AB +41) Una segunda operación aritmética básica para vectores es la mu!tiplicación por un escalar. Si multiplicamos Lin vector u por Lin escalar (un nitmero real) c> 0, el vector resultante tendrá la misma direcciOn que u, pero su magnitud será c flu 11 Por otra parte, multiplicar un vector u por un escalar c <0, dará como resuitado un vector de dirección opuesta a la de u y magnitud I c 11 1u II(vease la figura 10.5). Como la ubicación del punto inicial es irrelevante, de manera tIpica dibujamos vectores con su punto inicial ubicado en el origen. Tal vector se llama vector posición. Observe que el punto final de un vector posicion determinará completamente al vector; de modo que la especificación del punto final especiflcará también al vector. Para el vector posición a con punto inicial en ci origen y punto final en el punto A(ai, a2) (véase la figura 10.6), denotamos ci vector asI: .
3u
Figura 10.5: muitipiicaciOn por Un escalar.
a
=
OA
-
(ai, a2).
A(a 1 , a2)
IIaI,/"
J ai l
1121
0
S
Figura 10.6: vector posiciOn a = (al, a2).
al, a2 se Haman las componentes del vector a; al es la primera componente y a2 es la segunda componente. Debe distinguirse cuidadosamente entre ci punto (al, a2) y el vector posición (al, a2). En la figura 10.6 se puede observar que la magnitud del vector posición a se deduce directamerite del teorema de Pitágoras. Tenemos, Magnitud de un vector
jjai
=fa
=
V
(1.1)
892
C (ai+ b1, a + b2)
CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espaclo
Debe observarse, a partir de la definición, que.para dos vectores posi ción a = (ai, a2) y b = (bi, b2), a = b Si y solo si SUS puntos finales coinciden, es decir, si a = b1 y a2 = b2. En otras palabras, la igualdad entre dos vectores posiciOn se cumple Si y solo si tienen las mismas componentes. Hemos dicho antes que para sumar dos vectores, se ubican los puntos iniciales en el mismo punto; luego, se ubica el punto inicial de uno do los vectores en el punto final del otro vector y se completa el paralelogramo, como en la fIgura 10.4. Para ver lo quo esto quiere decir, -
acerca de dos vectoros posición, OA = (ai, a2) y OB = (b1, b2), dibujamos los vectores posición en la figura 10.7 y completamos ci paralelogramo como antes. Observe en la figura 10.7 que --* —+ —
Figura 10.7: suma de
vectores posición.
OA±OB=OC.
Al expresar los vectores posición en términos de sus componentes, tomamosla siguiente definición de la adición de vectores:
E
Adición de vectorès
(1.2)
ai,2) + (bi, b2) = (al + b, a + b2).
AsI que para sumar dos vectores, simplemente se suman las componentes correspondientes. Por esta razón, se dice que la adiciOn do veetores se realiza coinponente a componente. De modo similar, se define la sustracciOn de vectores, componente a componente; de modo que Sustracóión de vectores
(al, a2) - (bi,
C (caj, ca2)
b) = (ai
- b, a2 - b2).
I
(1.3)
Más adelante, en esta seceión, daremos una interpretaciOn geométrica de la sustracción de vectores. A continuaciOn, consideramos ci efecto do la multiplicación por un escalar sobre un vector posiciOn. Recuerde que si multiplicamos un vector a por un escalar c, el resultado do esta operación es un vector quo tiene la misma dirección que a (para c > 0) o la direcciOn opuesta a la de a (para c <0), en ambos casos con magnitud 11 En la figura 10.8 se indica el caso do un vector posición a = ( al, a2). Para el caso donde c > 0, se observa que un vector en la misma dirección de a, pero con magnitud I I all, es ci vector posición (Cal, ca2), ya que
I c a fi.
x
Figura 10.8: multiplicaciOn por un escatar
lI(cal,ca2)lI = /(cai)2 + (ca2) 2 =
= id Va2l +
= ci
V 2 a2 + C22. a
hail.
Dc modo similar, sic <0, se puede demostrar que (cai, ca2) es un vector en la dirección opuesta a la do a, con magnitud I 111 all Por esta razón, definimos la multiplicación de vectores posiciOn por un escalar mediante Multiplicacion por Un escalar
= = c (ai, a2)(CalM ),
para cualquier escalar c. Observe además que esto quiere decir lie all = Id
.
.
hail.
(1.4)
Sección 10.1 • Vectores en el piano
893
ARITMETICA VECTORIAL
Para los vectores a = (2, 1) y b = (3, -2), calcule a) a + b, b) 2a, c ) 2a + 3b, d) 2a - 3b, e) 11 2a - 3b SOLIJCJON a) For (1.2), tenemos a + b = (2,1) + (3,-2) = (2 + 3,1-2) =(5,-1). b) For (1.4), tenemos 2a = 2 (2, 1) = (2 2, 2 1) = (4, 2). c) For (1.2) y (1.4), tenemos 2a + 3b = 2(2, 1)+ 3(3,-2)=(4,2)+(9,-6) =(13,-4). d) For (1.3) y (1.4), tenemos 2a-3b=2(2,1)--.3(3,-2)=(4,2)-(9,-6) =(-5,8). e) Finalmente, por (1.1), tenemos
112a- 3b11 = I1 (-5,8)I1 =
V25+6=
Puede observarse que si se multiplica cualquier vector por el escalar c = 0, se obtiene un vector de longitud cero,
el vector cero:
o=(o,0). Se observa, además, que éste es el uinico vector de longitud cero. (Por qué?) Finalmente, definimos el inverso aditivo, -a, de un vector a de la manera esperada: -a = -(at, a2) = (- 1) (al,
a2) =
(-
at, -a2).
Observe que esto quiere decir que el vector -a es un vector que tiene la dirección opuesta a la do a; puesto que 11-all = J (-1) (at,
a2)11 = - ii liall = a
-a tiene la misma longitud que a.
DEFINICthN. Dos vectores quo tengan la misma dirección o direcciones opuestas, se Haman paralelos. Esto quiere decir que dos vectores posición (distintos del vector cero) a, b, son paralelos si y solo si b = ca, para alguin escalar c. I)ETERMINAR CUANDO DOS VECTORES SON PARALELOS Determine silos dos vectores dados, en cada caso, son o no paralelos: a) a = (2, 3) y b = (4, 5), b) a = (2, 3) y b = (-4,-6). SOLUGtUN a) For (1.4), tenemos quo si b = ca, entonces (4, 5) = c (2, 3) = (2c, -3c).
CapItulo 10 o Vectores y geometrIa del espaclo
894
Para que esto se cumpla, se requiere que ambas componentes coincidan. Esto es, 4 = 2c (de modo que c = 2) y 5 = 3c (de modo que c = 5/3). Esta es una contradicción; por tanto, a y b no son paralelos. b) De nuevo, por (1.4), teneinos (-4, -6) = c (2, 3) = (2c, 3c). Eneste caso, -4 = 2c (de modo quec = -2)y-6 = 3c (o sea quec = -2, también). Esto quiere decir que -2a = (-4, -6) = b; por tanto, en este caso, a y b son paralelos.
Mr
El conjunto de todos los vectores posición en el espacio de dos dimensiones se denota con V2 = {(x,y)jx,yER}. Se puede demostrar fácilmente que las reglas del algebra dadas en el siguiente teorema son válidas para los vectores de V2.
Para todo vector a, b, c en V2 y para escalares d, e en R, vale lo siguiente:
0 a+ b =b +a ii) a + (b + c) = (a + b) iii) a + 0= a iv) a + (-a) = 0 v) d (a + b) = d a + d b vi) (d + e) a = d a + e a vii) (1) a = a viii) (0) a = 0
(conmutatividad) (asociatividad) (vector cero) (inverso aditivo) (ley distributiva) (ley distributiva) (multiplicación por 1) (multiplicación por 0)
Demostración. Demostramos el primero de éstos y dejarnos el resto como ejercicios. For definición, Pues la adición do niimeros reales es conmutativa
a + b = (al,- a2) + (bi, b2) = (al + b1, a2 + b2) =(b1 +al,b2 + a2)= b + a. Obsérvese que al usar la conmutatividad y la asociatividad de La adición de vectores, se tiene
b + (a-b) = (a-b) + b = a + (-b + b) = a + 0 = a. -
Figura 10.9:
b + (a-b)= a.
A partir de nuestra interpretación gráfica de la adición de vectores, obtenemos la figura 10.9. Ella nos proporciona una interpretación geométrica de La sustracción de vectores. Para dos puntos cualesquiera A(xi, yi), y, -B(X2, y2), se observa en la figura 10.10 que el vector ABI corresponde al vector posición (x2 - X1 , Y2
SecciOn 10.1 • Vectores en el piano
895
B (x2, 1/2)
AB
i(xt, Xi
a:
Figura 10.10: vector desde A hasta B. VECTOR POSICION
inicial enA(2, 3) y punto final B(3, -1); yb) nal en A.
ra esto gráficamente. Observe que •2,-1-3) = (1,.-4).
Figura 10.1 1b: BA =(-1, 4).
)n punto inicial enB(3, -l)y punto final en = (2-3,3 + 1) = (-1,4), en la figura 10.11b. Ocasionalmente encontraremos conveniente escribir'los vectores en términos de algunos vectores canónicos. Definimos los vectores base canó-
nicos i,j, asI: i=(1,O)yj=(O,1)
I
896
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espaclo
(véase la figura 10.12). Observe que Ili 11 = hill = 1. Cualquier vector a para el cual fi a 11 = 1 se llama vector unitario. De modo que i, j son vectores unitarios. Finalmente, decimos que i,j forman una base para V2, ya que podemos expresar cualquier vector a E V2 en términos de i,j, como sigue: a = (al, a2) = al i + a-2 j.
Figura 10.12: base canónica.
al, a2 se liaman las componentes, horizontal y vertical, de a respectivamente. Para cualquier vector distinto de cero, podemos hallar siempre un vector unitario con la misma dirección, como en el siguiente teorema.
Para cualquier vector posición a = (ai, a2) # 0, un vector unitario que tiene la misma dirección de a está dado por 1
Vector unitario.
u= —.. hail a
El proceso de dividir un vector distinto de cero entre su magnitud se llama algunas veces normalización. Como Se vera, algunos problemas se simplifican usando vectores normalizados, ya que la magnitud de cualquier vector unitario es l.a Demostración. Observe en primer lugar que como a # 0, II all > 0, de modo que u es un miiltiplo escalar positivo de a. Esto quiere decir que u y a tienen la misma dirección. Para ver que u es un vector unitario, observe que como - es Un escalar positivo, fl
huh
-
=1TI
hail
1.
DETERMINACION DE UN VECTOR UNITARIO
Halle un vector unitario con la misma dirección de a = (3,A). SO LUC ION En primer lugar, se observa que
hail = 11(3, —4)11 = / 2 + (_ 4)2 =
= 5.
Un vector unitario con la misma dirección de a es entonces 1 1 13 4 0 \5 5/' iiah I, ... Cerramos esta sección con dos aplicaciones de la aritmética vectorial. Siempre que dos o más fuerzas actiien sobre un objeto, la fuerza neta que actüa sobre el objeto (a menudo Ramada fuerza resultante) es simplemente la suma de todos los vectores fuerza. Es decir, el efecto neto de dos o más fuerzas qué actiian sobre un objeto es el mismo que el de una sola fuerza (dada por la suma) aplicada al objeto.
SecciOn 10.1 • Vectores en el piano
897
DETERMINACION DE LA FUERZA NETA QUE ACTUA SOBRE UN PARACAIDISTA
En cierto punto durante un salto, existen dos fuerzas principales que actan sobre un paracaidista: La gravedad ejerce una fuerza de 180 iibras, directamente hacia abajo, y La resistencia del aire ejerce una fuerza de 180 libras hacia arriba y 30 libras hacia La derecha. 4CuAl es la fuerza neta que actCa sobre el paracaidista? I.
SOLUCION
4, Flgura 10.13: fuerzas sobre
un paracaidista.
Expresamos el vector de la fuerza de gravedad como g = (0, -180) y el vector de La fuerza de resistencia del aire como r = (30, 180). La fuerza neta sobre el paracaidista es la suma de las dos fuerzas, g + r = (30, 0). En La figura 10.13 se ilustran las fuerzas. Obsérvese que en este punto, las fuerzas verticales están balanceadas, produciendo una "caIda iibre" verticalmente, de modo que el paracaidista no está sujeto a aceLeración ni a desaceleración vertical. La fuerza neta es puramente horizontal y se opone al movimiento horizontal del paracaidista después que ha saltado del avión.
MANEJO DE UN AVION CON VJENTO FRONTAL Y VIENTO CRUZADO
Los motores de Un avión producen un empuje que en el airetranquilo da como resultado una rapidez de 400 millas por hora. Supongamos, por otra parte, que La velocidad del viento está dada por el vector w = (20, 30). 1En qué dirección deberla orientarse el avión para volar hacia el oeste (es decir, en la dirección del vector unitario -i = (-1, 0))? SOLUCION
Ficjura 10.14: fuérzas sobre un aviOn.
Nuestra tare a es hallar la velocidad del avión, v = (x, y) en a jre tranquilo. En La figura 10.14 se ilustran el avión y las fuerzas que actian sobre eL. La velocidad efectiva del avión es v + w, y quisiéramos. que fuera igual a (c, 0), para alguna constante negativa c. Como v + w = (x + 20, ,y + 30), queremos que y + 30 = 0, o sea y = -30. La rapidez del + 900 _ = 400. Elevando al cuaavión es igual a 11 fi = J2 +y2 = Vx 2 drado, se obtiene x 2 + 900 = 160,000, de modo que x =- V1691 100 (tomamos la raIz cuadrada negativa para que el avión se mueva hacia el oeste). Entonces, v = (- 159, _10U, -30) que apunta hacia la izquierda y hacia abajo, o sea hacia el suroeste, en un ángulo de tan-1 (30/\ (159, 100) 40 abajo hacia el oeste.
898
I
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espaclo
EJERCICIOS DE LASECCION 10.1 '.4
1 Analice si cada una de las siguientes es una cantidad vectorial o escalar: fuerza, area, peso, altura, temperatura, velocldad del viento. 2. Algunos atletas están dotados de "buena aceleración". En cálculo, definimos La aceleración como la razón de cambio de la velocidad. Teniendo en cuenta que el vector velocidad tiene magnitud (es decir, rapidez) y dirección, analice por qué la habilidad de acelerar rápidamente es benéfica. 3. Hemos hecho énfasis en la irrelevancia de la ubicaciOn del punto inicial de un vector. Mediante el ejemplo de un vector velociclad, explique por qué queremos enfocarnos en la magnitud de un vector y en su dirección, pero no en su punto inicial. 4. Describa los cambios que se producen cuando se multiplica un vector por un escalar c # 0. Considere escalares tanto positivos como negativos, analice los cambios tanto en las componentes del vector como en su representación gráfica, y considere el caso especIfico de un vector velocidad.
En los jercicios 5 a 8, dibu.je los vectores 2a, -3b, En los ejercicios 9 a 12, caleule a + b, a -. 2b, 3a a + b y 2a -. 31). y 5b - 2a . 5.
6,
9. a = (2, 4), b = (3, -1) 10.a(3,-2),b=(2,0) 11. a I + 2j, b = 31-j 12. a = -21 + j, b = 3i En los ejercicios 13 a 16, calcule a - b, -4b, 3a + b
04a11. 13. a = (-2, 3), b = ( 1, 0) 14.a=(-1,-2),b=(2,3) 15.a=i+2j,b=3i-j 16.a=-2i+j,b=3i
7.
8.
17. Para los ejercicios 9 y 10, ilustre gráficamente la suma a + b. 18. Para los ejercicios 13 y 14, ilustre graficamente la diferencia a - b. En los ejercicios 19 a 26, determine silos vectores a, b son paralelos. 19. a = (2, 1), b = (-4, 72) 20.a =(1,-2),b =(2, 1) 21.a= (-2,3), b= (4,6) 22.a =(1,-2),b =(-4,8) 23.a = i + 2j, b = 31 + 6j
SecciOn 10.1 Vectoies en el patio
24. a = -2i +j, b = 4i + 2j 25. a = -5i, b = 101 - 2.j 26.a = 21 +j, b = -i - - j
En los ejercicios 27 a 34, halle el vector con punto inicial A y punto final B.
28.A = (1,2),B = (6,4)
27.A = (2,3),B = (5,4)
29.A =(4,3),B =(1,0) 30.A =(4,2),B =(2,4)
31.A = (-1, 2), B = (1,-i) 32.A = (0, -2), B = (-3, 1)
33.A = (2,0),B = (0,-3)
34.A = (1, 1),B =(-2,4) En los ejercicios 35 a 44, balle un vector unitario en la misma dirección del vector dado. 35.(4,-3)
36.(3,6)
37.2i-4j
38.31 + 4j
39.4i
40.VTj
899
arriba y 40 libras hacia la derecha. Cuá1 es La fuerza neta que actüa sobre el paracaidista? 53. Supongamos que hay dos fuerzas que actüan sobre un paracaidista: gravedad de 200 libras hacia abajo, y resistencia del aire. Si la fuerza neta es de 10 Libras hacia abajo y 30 libras hacia la derecha, icuál es la fuerza de resistencia del aire que actüa sobre ci paracaidista? 54. Supongamos que hay dos fuerzas que acti:Ian sobre un paracaidista: gravedad de 180 libras hacia abajo, y resistencia del aire. Si la fuerza neta es de 20 libras hacia abajo y 20 libras hacia la izquierda, icuál es la fuerza de resistencia del aire que actUa sobre el paracaidista? 55. En la figura siguiente, dos cuerdas están atadas a una caja grande. Suponga que la cuerda A ejerce una fuerza de (-164, 115) libras sobre la caja, y La cuerda B ejerce una fuerza de (177,177) libras sobre la caja. Si ésta pesa 275 Libras, icuáL es la fuerza neta que actüa sobre ella? Con base en su respuesta, We qué manera se moverá la caja?
41.Desde (2, 1) hasta (5,2) 42.Desde (-2,0) hasta (1,4) 43. Desde (5, -1) hasta (2, 3) 44. Desde (3, -2) hasta (2, 0)
En los ejercicios 45 a 50, halle un vector con la magnitud dada, en la misma dirección del vector dado. 45. Magnitud 3, v = 31 + 4.j 46.Magnitud 4, v = 2i -j
47. Magnitud 29, v = (2, 5) 48.Magnitud 10, v = (3, 1) 49. Magnitud 4, v = (3, 0) 50. Magnitud 5, v = (0, -2) 51. Supongamos que hay dos fuerzas que actüan sobre un paracaidista: gravedad de 150 libras hacia abajo y resistencia del aire de 140 libras hacia arriba y 20 libras hacia la derecha. iCuál es la fuerza neta que actüa sobre el paracaidista? 52. Supongamos que hay dos fuerzas que actüan sobre un paracaidista: gravedad de 200 libras hacia abajo y resistencia del aire de 180 libras hacia
56. Repita el ejercicio 55 con fuerzas de (-131, 92) Iibras para La cuerda A y (92,92) para la cuerda B. 57. El empuje de los motores de un avión produce una rapidez de 300 millas por hora en aire tranquilo. La velocidad del viento esté dada por (30,-20). iEn qué dirección debe orientarse ci avión para volar hacia el oeste? 58. El empuje de Los motores de un avión produce una rapidez de 600 millas por hbra en aire tranquilo. La veLocidad del viento está dada por (-30, 60). iEn qué dirección debe orientarse ci avión para voLar hacia el oeste? 59. El empuje de Jos motores de un avión produce una rapidez de 400 millas por hora en aire tranquilo. La velocidad del viento está dada por (-20, 30). iEn qué dirección debe orientarse cl. avión para volar hacia ci norte?
900
Capitulo 10 • Vectores y geometrIa del espaclo
60. El empuje de los motores de unavión produce una rapidez de 300 millas por hora en aire tranquilo. La velocidad del viento está dada por (50, 0). ZEn qué dirección debe orientarse el avión para volar hacia el forte? 61. Un muchacho repartidor de periódicos conduce su bicicleta a 10 pies/s y lanza un periódico por arriba de su hombro izquierdo a 50 pies/S. Si el portal está a 50 pies de la calzada, Zqu6 tan alto de la calle deberla soltar el muchacho el periódico para que caiga en el portal? 62. Una muchacha repartidora de periódicos conduce su bicicleta a 12 pies/s y lanza un periódico por arriba de su hombro izquierdo a 48 pies/s. Si ci portal está a 40 pies de La calzada, lqu6 tan alto de la calle deberIa soltar la rnuchacha ci periódico para que caiga en ci portal? 63. El agua que sale de una manguera extintora de fuego ejerce una fuerza de 200 libras sobre la persona que la sostiene. La boquilla de la manguera pesa 20 libras. ZQu6 fuerza se requiere para mantener la manguera en posición horizontal? LQu6 angulo forma con la horizontal la fuerza aplicada? 64. Repita el ejercicio 63, Si la manguera debe sostenerse con un ángulo de 450 respecto a la horizontal. 65. Si ci vector a tiene magnitud I all = 3y el vector b tiene magnitud 1 b II = 4, !.cuál es la mayor magnitud posible para el vector a + b? XuAl es la menor mágnitud posible para el vector a + b? XuAl será la magnitud de a + b, Si a y son perpendiculares?
72. La figura siguiente muestra un pie que go!pea el piso, ejerciendo una fuerza de F iibras, con un angulo 0 respecto a la vertical. La fuerza se descompone en dos componentes: vertical y horizontal, F y Fh, respectivamente. La fuerza de rozamiento entre ci piso y ci pie es Ff, donde II Ff11 = p, fi Fv II para
..
..
66. Use vectores para demostrar que los siguientes puntos son vertices de un paralelogramo: (1, 2), (3, 1), (4, 3), (2, 4). 67. Demuestre la propiedad asociativa del teorema 1.1. 68. Demuestre las propiedades distributivas del teorema 1.1. 69. Para los vectores a = (2, 3) y b = (1, 4), compare a + b 11 y II all + 1 1 b II. Repita esta compáración con otras dos elecciones de a y b. Use ci dibujo de La figura 10.7 para expiicar por qué ha + b II If all + fib II para vectores cualesquiera a y b. 70. Para demostrar que1 a + b fi flail + 11 b II para a = (al, a2) y b = (bi, b2), comience por demostrar que 2a1 a2b1 b2 < ab + ( Sugerencia: calcule (alb2 - a2bl)2 ). Luego, demuestre que / aJb + b. (Sugerencia: aibi + a2b2 eleve al cuadrado a ambos lados y use el resultado anterior). Finalmente, calcule II a + b 11 2 (II all +11 b 11)2 y use la desigualdad anterior para demostrar que esta expresión es menor o igual que cero. 71.En los ejercicios 69 y 70, usted exploró La desigualdad II a + b If fj all + 11 b fi. Use La interpretación geométrica de la figura 10.7 para conjeturar las circunstancias bajo las cuaies lla+bll =hlahl+hlbhl.Demodo similar, use una interpretación geométrica para determinar las circunstancias bajo las cualesila + b 11 = hail 2 + IIbhl 2 . En general, LcuAl es la relación entre 11 + bhl 2 y 11 a112 +hlbll 2 Esdecir, Lcuil s mayor?) ? (
una constante positiva A liarnada coeficiente de rozamiento. Explique por qué ci pie resbalará sill Fh fi> I Ff11, y demuestre que esto ocurre si y solo si tan 0 > t. Compare los angulos 0 para los cuales ocurre resbalamiento para los coeficientes /h = 0.6, 0.2. = 0.4y
SecciOn 10.2 • Vectores en el espaclo
901
73. Los vectores i,j no son los ünicos que constituyen una base. De hecho, dos vectores cualesquiera no paralelos se pueden usar como base para el espacio bidimensional. Para ver esto, defina a = (1, 1) y = (1, -4). Para expresar el vector (5, 1) en términos de estos vectores, se j) necesitan constantes c, tales que (5, 1) = cia + CADemuestre C2 que esto requiere que cj + C2 = 5 y ci C2 = 1; resuelva respecto a C y c2. Demuestre que cualquier vector (x, Se puéde expresar en términos de a y b.
Ph
10.2 VECTORES EN EL ESPACIO tjno de los beneficios de la manera como se han definido los vectores en la sección anterior es la facilidad con la que se puede cambiar el nUmero de dimensiones. En esta sección, extendemos varias ideas del espacio euclidiano bidimensional R2 al espacio euclidiano tridimensional 1R 3. En R2 se describen los puntos mediante parejas ordenadas (a, b) de niiimeros reales, donde a representa la distancia (con signo) desde el origen a lo largo del eje x,y b representa la distancia (con signo) desde el origen a lo largo del eje ii. En gran parte, de la misma manera se puede especificar cada punto en tres dimensiones, mediante una tripla ordenada (a, b, c), donde las coordenadas a, b, c representan las distancias (con signo) desde el origen, a lo largo de cada uno de los tres ejes coordenados x, y, z. En este texto, adoptamos la convención de que el eje positivo x está dirigido hacia afuera de la página, el eje positivo y apunta hacia la derecha ye! eje positivo z apunta hacia arriba, coma se indica en la figura 10. 15a.
Figura 10.15a:ejes coordenados en R 3
.
Figura 10.15b: sistema dextrOgirO.
Esta orientación de los ejes es un ejemplo de un sistema coordenado dextrogiro (de mano derecha). Esto significa que si se alinean los dedos de la mano derecha a lo largo del eje positivo x, y luego los gira hacia el eje positivo y, el dedo pulgar apuntará en la dirección del eje positivo z
902
(a,O,c)•."
(0,b,o) Y (a, b,cc) 0)
Figura 10.16: localización del punto (a, b, c).
CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
(véase la figura 10.15b). Las formulas de este capItulo son válidas para sistemas coordenados dextrogiros (cualquier sistema dextrógiro lo cumplirá) pero no para sistemas levogiros (de mano izquierda). Para localizar el punto (a, b, c) E R3, donde a, b, c son todos positivos, primero hay que moverse a lo Largo del eje x, una distancia de a unidades a partir del origen. Esto lo sitüa a uno en el punto (a, 0, 0). A partir de este punto se debe avanzar paralelamente al eje y, una distancia de b unidades a partir de (a,, 0, 0). Esto lo sitüa a uno en el punto (a, b, 0). Finalmente, a partir de este punto, se debe avanzar c unidades paralelamente al eje z. Esta es La ubicación del punto (a, b, c) (véase La figura 10.16).
UBICACION DE PUNTOS EN TRES IMMENSIONES
Ubique los puntos (1, 2, 3), (3, -2, 4) y (-1, 3, -2). SOLUCIÔN Procediendo como Se indicó antes, vemos los puntos representados en las figuras 10.17a, 10.17b y 10.17c, respectivamente. fz 4z
T4 (3,-2,4)qF • ......
3
S
Figura 10.17a: el punto (1, 2, 3)
Figura 10.17b: el punto (3, 2, 4).
-2
.........
Figura 10.17c: el punto (-1, 3, -2).
Recuerde que en R2 , los ejes coordenados dividen al piano xy en cuatro cuadrantes. De modo similar, los tres pianos coordenados en R3 (el piano
Sección 10.2 • Vectores en el espaclo
903
xy, el piano yz ye! piano xz) dividen el espacio en ocho octantes (véase la figura 10.18). El
primer octante se caracteriza porque en éi, x > 0, y > 0,
z > 0. Usualmente no se hace distinción entre los otros siete octantes.
Figura 10.18: los pianos coordonados.
Una de las primeras preguntas que queremos responder es cOmo calcular la distancia entre dos puntos en R 3. Como puede verse, esto se puede resolver considerándoio como un problema esencialmente en dos dimensiones. Para dos puntos cuaiesquiera, Pi(xi, yi, zj), P2(x2, 3/2, z2), en R3, se localiza primero un tercer punto P3(x2, 3/2, zi). Hay varias cosas para observar aquI. En primer lugar, se ye que los tres puntos determinan un piano (en efecto, tres puntos no colineales determinan un piano) y hallar la distancia entre dos puntos en un piano es un problema bidimensionai conocido. En segundo iugar, se puede observar que ios tres puntos son vertices de un trianguio rectangulo, cuyo anguio recto está en el punto P3 (véase la figura 10.19).
Figura 10.19: distancia en Como Pi, P2, P2 son vertices de un trianguio rectangulo, el teorema de Pitágoras expresa que la distancia entre Pi y P2, denotada con.d{Pi, P2}, satisface a ( 2.1)
cI{Pi, P212 = d{Pi, P312 + d{P2, P312.
Observe que como P2 está ubicado directamente arriba de P3, se tiene d{P2, P31 = d{(x2, 3)2, Z2), (x2, 3/2, zi)} = Z2 - Zi
Observe también que P1 y P3 están ambos en el piano z = zi. Esto quiere decir que se pueden descartar las terceras coordenadas de estos puntos (ipues coinciden!) y emplear la formula usual para la distancia en dos dimensiones:
Por (2.1), se tiene
d{P1 ,P2 } 2 = d{P1,P3}2 +d{P2,P3}2 2
{\/(x2 - x) 2 +(312 _yi)2J + 1Z2 = (X2 - x 1 ) 2 + (3/2 - 3/i) 2 + (z2 - z1) 2 .
Z11 2
904
CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
Tomando raIz cuadrada a ambos lados, se obtiene la fOrmula de la dis-
tancia en R3 : Distancia en R3
ld{(xi , yi,zi),(x2,y2,z2)} = /(x2 - x1 ) 2 + (Y2 - Y1) 2 + (z2 - zi) 2 . 1(2.2) Puede observarse que (2.2) es una generalización directa de La formula conocida para la distancia entre dos puntos en el piano. CALCULO DE IMSTANCIA EN R3 Halle La distancia entre los puntos (1, -3, 5) y (5, 2,-3). SOLSUCthN Por (2.2), se tiene d {(1,-3, 5), (5,2, -3)} = /(5 - 1)2 + [2— (3)]2 + (-3 - 5)2 -
Vectores en
Figura 10.20a: vector
posición en R3. Magnitud de un vector
Ahora que podemos calcular distancias en R 3 , podemos generalizar la nocion de vector al espacio tridimensional. Como en el caso de dos dimensiones, los vectores tienen tanto dirección como magnitud. Visual izamos también estos vectores como segmentos de recta dirigidos, que unen dos puntos. Un vector v describe el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que tienen la misma magnitud y direcèión que un segmento de recta dirigido dado. El vector posición a conpunto final A(ai, a2, a) (y punto inicial en el origen) se denota por (al, a2, a3) y se muestra en La figura 10.20a. Denotamos ci conjunto de todos los vectores posición tridimensionales por V3 = {(x,y,z)Ix,y,zER}. La magnitud del vector posición a = ( al, a2, a3) se deduce directamente de La formula de La distancia (2.2). Se tiene
I hail
= ii (a i a2 , a3 ) =
Ja + a + a.
\
(2.3)
En gran parte, como se vio en R 2 , se puede observar en la figura 10.20b que el vector con punto inicial en P(ai, a, a3) y punto final en Q(bi, b2, b) corresponde al vector posición PQ = (bi -aj, b2—a2, b3 —a3). b2, 153) Ib3-a3i
Ib 0
x
I
(al, bl, a)
(bj,bi,a)
Figura 10.20b: vector desde P hasta Q.
Sección 10.2 • Vectores en el espacio
905
Definimos la adición de vectores en V3 como lo hicimos en V2, dibujando un paralelogramo, como se ye en la figura 10.20c.
3)
x
Figura 10.20c: adiciOn de vectores.
Observe que para los vectores a = (al, a2, a3) y b = (bi, b2, b3), tenemos
F
Adición de vectores
a + b = (al, a2,
03)
+ (bi, b2, b3)
= (ai
-
^
b1, a2-b2, a +b3)-
Es decir, como en V2, la adición de vectores en V3 se realiza componente a componente. La sustracción se efectüa de modo similar: Sustracción de vectores
a-b = (al,a2,a3) - (bl,b2,b3) = (al -bl,a2-b2, a3_b3).1 Como en V2, para cualquier escalar c E R, ca es un vector que tiene la misma dirección que a cuando c > 0 y la dirección opuesta a la de a cuando c <0. Esto nos da ca = c(al,a2,a3)=(c al, ca2,ca3).
Multiplicación por un escalar
Además, es fácil demostrar, usando (2.3), que
IIcaIJ=
id
hail.
Definimos el vector cero, 0, como el vector de V3 que tiene lorigitud 0:
0 = (0, 0, 0). Como se hizo en V2, se define el inverso aditivo de un vector a E V3, asI:
nu
-a = -ai, a2, a3) = (-al, -a2, -a3). Las reglas del algebra establecidas para vectores en V2 valen igualmente en V3, como se ye en el teorema siguiente. S
Para vectores a, b, c cualesquiera en V3 y escalares cualesquiera d, e en R, es válido lo siguiente: i) a + b = b + a
ii) a + (b + c) = (a + b) + c iii) a + 0 a iv) a + (-a) = 0 v) ci (a + b) = cia + ci b vi)(d +e)a = cia + ea vii) (1)a= a viii) (0) a = 0 .=
(conmutatividad). (asociatividad) (vector cero) (inverso aditivo) (ley distributiva) (ley distributiva) (multiplicación por 1) (multiplicación por 0)
906
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espaclo
La demostración del teorema 2.1 queda como ejercicio. Como V3 es tridimensional, la base canónica consta de tres vectores unitarios, cada uno de los cuales está sobre uno de los tres ejes coordenados. Los definimos como una generalización directa de la base canónica para. V2, as!: = (1,0,0),j = (0, 1,0)yk (0,0, 1), como Se muestra en la figura 10.21. Como en V2, estos vectores base son unitarios, pues Iii fi = Iii 11 = k 11 = 1. Como en V2, a veces es conveniente expresar los vectores posicion de V3 en términos de la base canónica. Esto se realiza fácilmente, pues para cualquier a E V3, se puede escribir Figura 10.21: base canOnica para V3.
a = (al, a2, a3) = au + azj + 03 k.
1
Si ci lector tiene la sensación de haber hecho esto antes, no es solo imaginaciOn. Como se ha visto, los vectores de V3 siguen las mismas reglas que los de V2. Estamos simplemente tomando el tiempo necesario para todo el desarrollo. Como observación final, para cualquier a = (al, a, a3) # 0, un vector unitario en la misma dirección que a está dado por u=La.
Vector unitario
(2.4)
hail
La demostraciOn de este resultado es idéntica a La demostraciOn del resultado correspondiente para vectores en V2, que se vio erx el teorema 1.2. La normalizaciOn de un vector para producir un vector en la misma direcciOn, pero de longitud 1, también es muy conveniente en V3. DE UN VECTOR UNITARIO
Halle un vector unitario en la misma dirección que (1, -2, 3. SOLUCION Se comienza por determinar la magnitud del vector:
1( 1 , -2 , 3 )ii = v'12+(-2)2+32 Por (2.4), se tiene que èl vector unitario que tiene la misma dirección que (1, -2, 3) está dado por U=
1
/1
( 1, -2,3) = \
=,
-2 v/-1-4 '
3\
7) .
Naturalmente, el paso de dos a tres dimensiones enriquece la geometrIa con ejemplos más interesantes. Por ejemplo, definirnos una esfera como el conjunto de todos los puntos cuya distancia a partir de un punto fijo (el centro) es constante. EJEMPLO 2.4
DETERMINACION DE LAECUACION DE UNAESFERA
Halle la ecuación de la esfera de radio r centrada en el punto (a, b, c).
Secck5n 10.2 s Vectores en el espaclo
907
SOLUCION La esfera consiste en todos los puntos (x, y, z) cuya distancia desde (a, b, c) es r, coma se ilustra en la figura 10.22. Esto quiere decir que
r=d{(x,y,z),(a,b,c)} = Jx_a)2+(y_b)2+(z_c)2. Al elevar al cuadrado a ambos lados, se obtiene Esfera de radio r, centrada en (a, b, C)
2 =
-
a)2 +
(y
-
b)2 + (z c)2 j -
la forma usual de la ecuación de una esfera.
Figura 10.22: esfera de radio r, centrada en (a., b, c).
Ocasionalmente es necesario reconocer cuándo una ecuación dada representa una forma geométrica comin, como en el siguiente ejemplo. DETERMINACION DEL CENTRO Y EL RADIO DE UNA ESFERA
Determine la forma geométrica descrita por la ecuación siguiente:
0 = x2 +y2 + z2 -4x + 8y-10z + 36. SOLUCION Al completar los cuadrados para cada variable, se tiene 0 = (x2 4x + 4) 4 + (y2 + 831 + 16) 16 + (z2 lOz + 25) —25 ± 36 -
= (x
-
—
2)2 + (y + 4)2 + (z
-
T
-
5)29
Al sumar 9 a ámbos lados, se obtiene 32 = (x-2) 2 + (j + 4)2 + (z-5) 2, que es la ecuación de una esfera de radio 3 centrada en el punto (2,-4,5).
Visualice la circunferencia x2 +,y2 = 1. Si los tres ejes coordenados están orientados como en la figura 10.15a, describa coma dibujar esta circunferencia en el piano z = 0. Describa luego cómo trazar la parabola y = x2 en el piano z = 0. En general, explique cómo convertir una curva bidimensional en un trazo tridimensional. 2. Es difIcil, si no imposible, para La mayorIa de la gente, visuaiizar puntos en cuatro dimensiones. No obstante, es fácil generalizar la formula de La distancia a cuatro dimensiones. D.escriba cOmo serla la formula de la distancia para la dimension general n, para n ^! 4. 3. Es muy importante ser capaz de visualizar rápida y correctamentelas relaciones tridimensionales. En tres dimensiones, describa cuántas rectas son perpendiculares al vector unitario i. Describa todas las rectas que son perpendiculares a I y que pasan por el origen. En tres dimensiones, describa cuántos pianos son perpendicularesal vector unitario i. Describa todos los pianos que sean perpendiculares a i y que contengan el origen.
Capitulo 10 o Vectores y geometrIa del espaclo
908
4. En tres dimensiones, describa todos los pianos que contienen un vector a dado. Describa todos los pianos que contienen dos vectores a, b dados (no paralelos). Describa todos los pianos que contienen un vector a y pasan por el origen. Describa todos los pianos quo contienen dos vectores (no paralelos) a, b dados y que pasan por ci origen.
5. a) (2, 1, 5)
b) (3, 1, -2)
c) (-4, 2, -4)
Ert Los ejercicios 15 a 20, calcule a + b, a - 3b y 11 4 a + 2b11. 15. a = (2, 1,-2),b = (1,3,0)
6. a) (-2, 1, 2)
b) (2, -3, -1)
c) (3, -2, 2)
16. a = (2,-1,2),b = (1,3,0)
En los (jercicios 5 y 6, represente los puntos mdicados.
En los ejercicios 7y 8, trace el tercer eje para que el sistema xyz sea dextrogiro (siga la regla de la mano derecha).
17. a =(-1,0,2),b =(4,3,2)
18. a = (5,-1,2),b = (-1,1,2) 19. a=3i-j+4k, b=5i+j
7
20. a=i-4j-2k, b=i-j+4k En los ejercicios 21 a 28, halle dos vectores unitarios paralelos al vector dado. 21. (3, 1, 2)
22. (2, 3,1)
23.(2,-4,6)
24.(4,-6,-2)
25.2i--j ± 2k
26.4i-j + 4k
27. Desde (1, 2, 3) hasta (3, 2, 1) 28. Desde (1, 4, 1) hasta (3, 2, 2) En los ejercicios 29 a 34, halle un vector con la magnitud dada y en la misma dirección que el vector dado.
29. Magnitud 6, v = (2, 2, -1) 30. iViagnitud 10, v = (3, 0, -4) 31. Magnitud 2, v = (2, 0, -1) 32.Magnitud 2, v = (2, -3, 1) 33. Magnitud 4, v = 2i -j + 3k En los e.jercicios 9 a 14, halle la distancia entre los puntos dados.
34. Magnitud 3, v = 3i + 3j - k
9. (2,1, 2) (5,5, 2)
10.(1, 2, 0) (7,10, 0)
En los ejercicios 35 a 40, halle una ecuación de la esfera con radio r y centro (a, b, c).
11. (-1, 0, 2) (1, 2, 3)
12. (3, 1, 0) (1, 3,A)
35.r = 2, (a,- b, c) = (3, 1, 4)
13. (0, 0, 0) (2, 3, 5)
14. (2, 1,-4) (0, 0, 0)
36.r = 3,(a,b,c) = (2,0,1)
Sección 10.2
37.r=3,(a,b,c)=(2,0,-3) 38.r = 4,(a,b,c) = (0,-3,-1) 39.r = ig, (a, b, c) = (Yt, 1, -3)
\Joctores en ci espaclo
909
57. Demuestre la propiedad conmutativa del teorema 2.1. 58. Demuestre la propiedad asociativa del teorexna 2.1.
40.r=',(a,b,c)=(1,3,4)
59. Demuestre las propiedades distributivas del teorema 2.1.
En los ejercicios 41 a 52, identifique la forma geométrica descrita por la ecuación dada.
60. Demuestre las propiedades multiplicatjvas del teorema 2.1.
41. (x-1)2 +y2 + (z + 2)2 _4 42. x2 +(y-1)2 + (z-4) 2 = 2 43. x2 +'y2 -2y + z 2 + 4z = 4 44. x2 + 4x + .y2 — 6y + z 2 = 3
--9
61. Halle los vectores de desplazamiento PQ y QR y determine silos puntos P = (2, 3, 1), Q = (4, 2, 2) y R = (8, 0, 4) son colineales (están sobre la misma recta). -4
45. x-2x + y 2 + z2 -4z = 0 46. x2 + x +y2 —y +z 2 =
47 .y
4
48.x=-2
49.z = -1
50.z = 3
51.x = 3
52.y = -2
En los ejercicios 53 a 56, dé una ecuación (por ejemplo, z = 0) para la figura dada. 53. Piano xz
54. Piano xy
55. Piano yz
56. Ejex
65. Halle una ecuación que describa todos los puntos equidistantes de A = (0, 1, 0) y B = (2, 4, 4) y dibuje una gráfica. Con base en esta gráfica, describa la reicion entre el vector de desplazamiento AB = (2, 3, 4) y su grafica. Simplifique su ecuación para la superficie tridimensional hasta que 2, 3, 4 aparezcan como coeficientes respeetivos de x, y, z. Use lo que ha aprendido para escribir rápidamente una ecuación para el conjunto de todos los puntos equidistantes de A = (0, 1,0)yC = (5,2,3).
-9
62. Halle los vectores de desplazamiento PQ y QR y determine silos puntos P = (2,3, 1), Q = (0, 4, 2) y R = (4, 1, 4) son colineales (están sobre la misma recta). 63. Halle la fuerza requerida para mantener un helicóptero suspendido en un lugar, si el helicóptero pesa 1,000 libras y un viento del nordeste ejerce sobre él una fuerza de 150 libras. 64. Halle -la fuerza requerida para mantener un helicóptero suspendido en Un lugar, si el helicóptero pesa 800 libras y un viento del noroeste ejerce sobre éi una fuerza de 100 libras.
66. En este ejercicio, se trata de identificar la superficie tridimensional definida por la ecuación a(x - 1) + b( - 2) + c(z - 3) = 0, para constantes a, b, c diferentes de cero. Comience por mostrar que (1, 2, 3) es Un punto de la superficie. Después, demuestre que cualquier punto que sea equidistante de los puntos (1 + a, 2 + b, 3 + c) y (1 - a, 2 - b, 3-c) está en la superficie. Use este hecho geométrico para identificar la superficie.
910
CapItulo 10 Vectores y çjeornetrIa del espaclo
10.3 EL PRODUCTO ESCALAR 0 PRODUCTO P UN TO En Las dos secciones anteriores, se definieron vectores en R 2 y en R3 y se examinaron muchas de las propiedades de los vectores, incluido cómo sumar y restar dos vectores. Ocurre que hay dos clases diferentes de productos entre vectores: el producto escalar o producto punto y el producto vectorial o producto cruz. El primero de estos productos se presenta en esta sección.
DEFINICION. El producto punto de dos vectores a = (al,
a2, a3) y
b = ( bi, b2, b3) se define en V3 como
a b = ( ai,
a2, 0.3) (bi, b2, b3) = al bi + 0.2 b2 + 0.3 b3.
(3.1)
De modo similar, se define el producto punto para dos vectores de V2 como
a b = (al,
Producto punto
[j
0.2) (bi, b2) = al bi + 0.2 b2.
Tenga en cuenta que el producto punto de dos vectores es un escalar (es decir, un nimero, no un vector). DE UN PRODUCTO PUNTO EN R3
Calcule el producto punto a b para a = (1,2, 3)y b = (5,-3, 4).
SOLUCION Tenemos ab=(1,2,3)(5,-.3,4)=(1)(5)+(2)(-3)+(3)(4)= 11. Sin duda, usted estará de acuerdo con que el producto punto es extremàdamente sencillo de usar, sea que los vectores se expresen en la forma de componentes o en términos de la base canónica, como en el siguiente ejemplo. DE UN PRODUCTO PUNTO EN
R2
Halle ci producto punto de los dos vectores a = 21- 5j y b = 31 + 6j. SOLUCION Tenemos
a b = (2) (3) + (-5) (6) = 6-30 = -24. El producto punto en V2 o en V3 satisface a las siguientes sencillas propiedades.
A partir do este punto, demostraremos resultados deproductos puntosolamonte para vectores de Va, on lugar do hacerto separadamente para V2 y V3. Como sepuede considerar que tos vectores do V2 son un caso especiaFde vectores de V3 (en donde la tercera components es cero), todos los resultados (It JO do mostromos paro. 'ioctorns dc T7 V1tOfl tqU-tIh1Ofl( 0 Jo) vcctoros do V'
SecciOn 10.3 El producto oscalar
0
producto punto
911
Para vectores cualesquiera a, b, c y para cualquier escalar d, vale lo siguiente: (conmutatividad) i) a . b = b a ii) a . (b + c) = a b + a c (ley distributiva) iii) (ci a) = ci (a . b) = a (d b) iv)Oa=O y v)a•a= hail 2 .
Demostración. Demostraremos 1) y v). Las otras partes quedan como ejercicio. i) Para a = (ai, a, a3) y b = ( b 1, ba, b3), se tiene, a partir de (3. 1), que a b = ( al,
a, a3) (bi, b2, b3) = aj. bi + ( L2 b2 + a3 b3 =blai+b2a2+b3a3 =ba,
ya que la multiplicación entre nümeros reales es conmutativa. v)Para a = ( al, CL2, a3), tenemos
aa
Figura 10.23a: ángulo entre
dos vectores.
=(al,a2, a3) (al, a2, CL3)=
4+ 4+ 4=
hall 2 .
Observe que las propiedades i) a iv) del teorema 3.1 son también propiedades de la multiplicación entre nümeros reales. For eso usamos la palabra producto en la operación producto punto. Sin embargo, hay algunas propiedades de la multiplicación entre nümeros reales que no cumple el producto punto. Por ejemplo, veremos que a i b =0 no implica necesariamente que a = 00 b = 0. Una de las unidades de información más valiosas que se pueden obtener de un producto punto es el angulo entre dos vectores. Esto se realiza como sigue. Para dos vectores distintos de cero, a, b en V3, si ubicamos los puntos iniciales en el mismo punto, se observa que los dos vectores forman un angulo 0, donde 0 :5 0 :5 r (como se ilustra en la figura 10.23a). El ángulo 0 es el ángulo entre los vectores a yb. Es decir, en el piano determinado por a, b, el angulo 0 entre los dos vectores es, por definición, el menor de los angulos formados entre a y b. Se observa que si a, b tienen la misma dirección, entonces 0 = 0. Si a, b tienen direcciones opuestas, entonces 0 = v. Se dice que a, b son ortogonales o perpéndiculares si 0 = r/2. El caso general se establece en el siguiente teorema.
Sean a, b dos vectores distintos del vector cero y sea 0 el angulo entre a y b. Entonces
ab =
hail
llbll cos 0.
(3.2)
Deinostración. Debemos demostrar el teorema para tres casos separados. i) Si a, .b tienen la inisma dirección, entonces b ca, para algün escalar c > 0 y el ángulo entre a, b es 0 0. Esto quiere decir que a'b= a(ca)=ca'a=C 1ail 2 .
912
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espacio
Además,
libil cosO= halt let hiatt cosO=c 11a11 2 =ab, yaqueparac > O,setiene I c = c. hail
a - hi
Hall Ijbil Figura 10.23b: ángulo entre dos vectores.
ii) Si a, b tienen dirección opuesta, La demostración es casi idéxitica a la del caso i), y se dejan los detalles como ejercicio. iii) Si a, b no son pàralelos, entonces se tiene 0 <9
(3.3)
Observe ahora que 2
Ila - bit = 11I(ai
- b 1 , a2 - b2, a3 - b3)11
2
b1 )2 + (a2 - b2) 2 + (a3 - b3) 2 = (4- 2a1 b1 + b) + (a - 2a2b2 + b) + (a - 2a3b3 + b) = (ai -
=
—2(a i bi +a2b2+asb3)
= tall 2
+
(3.4)
11b112 - 2 a b
Al igualar los miembros de la derecha de (3.3) y (3.4), se obtiene (3.2), como se querla demostrar. Se puede usar (3.2) para hallar el ángulo entre dos vectores, como en el siguiente ejemplo. DEL ANGULO ENTRE DOS VECTORES Halle el angulo entre los vectores
a = ( 2, 1, -3) y b = (1, 5, ).
SOLUCION A partir de (3.2), se tiene •
cosO=
ab
=
hail hJbiI
-11
v/i/•
Se deduce que
o = cos1 (
-11 '\
)= 1.953 (radianes)
(aproximadamente 112°). El siguiente resultado es una consecuencia importante e inmediata del teorema 3.2.
f
Corolario 3.1 Dos vectores a, b diferentes del vector cero son ortogonales si y solo si a b = Demostración. Si 0 es el ángulo entre a yb, se tiene, por el teorema 3.2, que a j hib Ii cos 0 = a b = 0 si y sOlo si cos 0 = 0 (pues ni a ni b son el vector cero). Esto es equivalente a decir que a y b son ortogonales, eon lo que se demuestra el corolario.
SecciOn 10.3 e El producto escalar o producto punto
913
DETERMINACION DE LA ORTOGONALIDAD DE DOS VECTORES Determine silas siguientes parejas de vectores son ortogonales: a)a = (1,3,-5)yb = (2,3, 10)yb)a = (4,2,-1)yb = (2,3, 14). SOLUCION
Para a), se tiene:
ab
=
2 + 9-50 =-39
^
0,
de modo que a, b no son ortogonales. Para b), se tiene:
ab
=
8 + 6-14 = 0,
de modo que a, b son ortogonales. Los dos siguientes resultados proporciorian algunas herramientas poderosas para comparar las magnitudes de los vectores.
Para dos vectores cualesquiera a, b,
a b
II all lIb Il.
(3.5)
Demostración. Si alguno de los vectores a, b es el vector cero (o ambos lo son), note que (3.5) expresa simplemente que 0 0, que es cierto. Por otra parte, si ninguno de los dos vectores es el vector cero, se tiene, por (3.2), que
labl=IlalI 11 1 )11 lcosOI:5lIall IlbIl, ya que I cos O 1 :5 1 para todos los valores de 0. Un beneficio de la desigualdad de Cauchy-Schwartz es que nos permite demostrar el siguiente resultado itii. Si usted tuviera que aprender en su vida una sola desigualdad, ésta es probablemente la que querrIa aprender.
Para vectores cualesquiera a, b, a + b
Figura 10.24: desigualdad
triangular.
a ± b II.
(3.6)
Antes de dernostrar este teorema, considere ci triánguio formado por los vectores a, b y a + b, que se muestran en la figura 10.24. La desigualdad triangular expresa que la longitud del vector a + b nurica excede la suxna de las longitudes individuales de a y b.
Demostración. Fore! teorema 3.1 ii) y v), tenemos
ja
+
b112
= (a + b) (a + b) = a a =11a112 + 2ab ±11b112.
± a-h ± b
-
a
+ b-h
For la desigualdad de Cauchy-Schwartz (3.5), tenemoS a b :5 11 all 1 1bll;asIque
j(a ( la 11+ jib
)2
+
blI 2 =IlaIlZ < IIalI
+ 2a b ± 11b11 2 blI2 = + 21Iall IlbII + II
Al extraer raIz cuadrada, se obtiene (3.6).
a b
914
Componentes y proyecclones
Capitulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
Una vez más, consideremos un vector como representante de una fuerza. Con frecuencia, es imposible o poco práctico ejercer una fuerza en La dirección que uno desea. Por ejemplo, al halar un cochecito, como el de La figura 10.25, se ejerce una fuerza en una dirección conveniente (la dirección determinada por la posición de La manija), en lugar de hacerlo en La dirección del movimiento. Una pregunta importante (en particular si se está halando el cochecito a través de alguna distancia) es si hay alguna fuerza de menor magnitud que se pueda ejercer en una dirección diferente y produzca, sin embargo, el mismo efecto. Fuerza
let to
Figura 10.25: halando un cochecito.
hail cos Figura 10.26a: compb 0 <0 <.
a para
Observe que es la porción horizontal de La fuerza La que contribuye más directamente al movimiento del cochecito. (La porción vertical de la fuerza solo actüa para reducir el rozamiento). A continuación se considera cOmo calcular tal coñiponente de una fuerza. Para dos vectores posicion cualesquiera a, b, sea 0 el ángulo entre ellos. Si trazamos un segmento de recta perpendicular desde el punto final de a hasta la recta que contiene al vector b, entonces, por trigonometrIa elemental, La base del triangulo (en el caso en que 0 <0
Ilil
Ilb{Icoso
= 11 ab. 0 sea
Componente de a a lo largo do b.
Dali cos0 Figura 10.26b: compb a, para <0
I compa
ab
iTii
(')
Asegi:irese de observar que COMPb a es un escaLar. Observe también que se divide el producto punto de (3.7) entre fi b II, pero no entre fi a fi. Una manera de recordar esto es reconocer que las componentes de las figuras 10.26a y 10.26b dependen de La longitud de a, pero no de la longitud de b. En (3.7) se tiene el producto punto del vector a y un vector unitario b en La dirección de b, dado por
Sección 10.3 • El producto escalar o producto punto
915
Consideremos de nuevo el caso en que el vector a representa una fuerza. En lugar de la componente de a a lo largo de b, podemos estar interesados en hallar un vector fuerza paralelo a b que tenga la misma componente a lo largo de b que a. A este vector lo liamamos la proyección de a sobre b, como se indica en Las figuras 10.27a y 10.27b.
I)1OYb
Figura 1 O.27a: proyt, a, para 0 <8 <
It
. Flgura 1 O.27b: proyb a, para
<0 <,r.
Como la proyección tiene magnitud I compi, a I y apunta en La dirección de b, para 0 <0 < M, en La dirección opuesta a La de b para <0 <'v, se tiene, por (3.7), que JbIl bfa•b\ b proy a = (compb a) = es decir,
1ir) i1Ti
Lp.0a a112 b b
Proyección de a sobre b
donde hemos usado
,1
(3.8)
para representar un vector unitario en La direc-
cióndeb.
[j
ADVERTENCIA: debe tenerse cuidado de distinguir eñtre la proyección de a sobre b (un vector) y La componente de a a lo largo de b (un escalar). Es muy comün caer en esta confusión.• En ci siguiente ejemplo, ilustramos el proceso de haliar componentes y proyecciones. TERMINACION DE COMPONENTES Y PROYECCIONES
Lra a = (2, 3) y b = (-1, 5), halle la componente de a a lo largo do b y la oyección de a sobre b. LUCION r (3.7), se tiene compba
a b = (2,3) . (-1,5) --
Ilbil
IR—1 5 )11 -
-2+15 _____ /j + 52
manera similar, por (3.8), se tiene fab'\ b proyba=
( 13 \ (-1,5)
%1Ti) Ei•iTi =
13 1 =(-1,5)= _15/_\-2 2 26
13
916
Capftulo 10 • Vectores y geometrIa del espaclo
Queda como ejercicio demostrar que compb a # compa b, y que proyij a # proya b. Una razón para querer considerar las componentes de un vector en una dirección dada es la de calcular el trabajo, como se ye en el siguiente ejemplo. J3IJ1K
40 libras
CALCULO DE TRABAJO Se ejerce uria fuerza constante de 40 libras en la dirección de La manija del cochecito dibuiado en La figura 10.28. Si la manija forma un angulo de 2E con la horizontal y se hala el cochocito sobre una superficie plana a lo largo de I milla (5,280 pies), halle ci trabajo realizado. SOJ1IJCION
,/
^direcci6n del novimiento
Figura 10.28: halando
En primer lugar; recuerde nuestro análisis del capItulo 5 acerca de que si se aplica una fuerza constante F a través de una distancia d, el trabaJo realizado está dado por W = Fd. Infortunadamente, la fuerza ejercida en la dirección del movirniento no se ha dado. Como la magnitud de la fuerza es 40, ci vector fuerza debe ser
un cochecito.
F = 40 (cos
ir
sen) = 40
= (20,5, 20,/2- ). (,
)
La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es simplemente La componente de la fuerza a lo largo del vector i (es decir, la componente horizontal de F), que es 20v'. El trabajo realizado es, entonces,
W = Fd = 20V/2- (5,280) 149,340.95 pies-libras.
EJERCICIOS DE LA SECCION 10.3 S..
1. Explique en palabras por qué es verdadera la desigualdad triangular. 2. El producto punto se llama "producto" porque las propiedades que Se describen en el teorema 3.1 se cumplen para La multiplicación entre nümeros reales. Hay otras dos propiedades de la rnuitiplicación entre reales que involucran factorización: 1) si ab = ac (a ;d 0), entonces b = 2) si ab = 0, entonces a = 0 b = 0. Analice en qué medida estas propiedades se cumplen para ci producto punto. 3. En varias oportunidades lo hemos pedido hallar vectores unitarios de direcciones dadas, pero no hemos analizado por qué son importantes. Muestre que es más fácii hallar la componente de un vector a lo largo de un vector unitario que a lo largo de uno que no sea unitario. Explique por qué los vectores unitarios se Ilaman a veces vectores de dirección (con lo que se indica que La magnitud es irrelevante). 4. Algunas personas se sienten intrigadas acerca del por qué la componénte vertical de una fuerza no contribuye al cálculo del trabajo del ejemplo 3.6. Para entender esto, explique por qué la
SecciOn 10.30 El producto escalar
0
producto punto
917
componente vertical de Ia fuerza no contribuye al movimiento horizontal del cochecito. En la práctica, la ftierza vertical es intil. Explique por qué es más fácil halar un cochecito liviano que uno pesado; explique per qué una pequeña fuerza vertical esencialmente hace que el cochecito sea más liviano.
En los ejercicios 5 a 18, calcule a b.
28. a = (4, 2), b = (-2, 3)
5. a = (3, 1), b = (2,4)
29.a = (4, -1, 1), b = (2, 4, 4)
6.a=(2,5),b(2,1)
30.a = (1, 5, 2), b = (-.4, 3, 5)
7. a = (0, -2), b = (-2, 4)
31.a=6i±2j, b = -i + 3j
8. a = (2, 0), b = (-2, 4)
32.a = .2i3j, b = 2i-3j
9.a=3i+j, b=-2i±3j
33.a = 2i-j + 2k, b = 4j + 2k
10.a=-2i-3•j, b=21•-3j 11.a = 2i-j, b = 4j
34.a=3i, b=6j-2k
12.a=3i, b = 6j
En los ejercicios 35 a 40, halle un vector perpendicular al vector dado.
13.a=(2,-1,3),b = (0,2,4)
35.(2,-l)
36. (4, 2)
14. a = (1, 4, 5), b= (-2, 3, 2)
37.(4,-1,1)
38.(-4,3,5)
15. a = (2, 0, -2), b = (0, -2, 4)
39.6i+2j-k
40.2i-3j
16.a= (3, 2,0),b=(-2, 4, 3)
En los ejercicios 41 a 48, halle comp 1, a y proy1, a.
17.a=2i-k, b=4j-k
41.a=(2,1),b=(3,4) 42.a=(4,4),b=(-3,4)
18.a=3i+3k, b=-2i+j
43.a = 3i
+ j, b =.4i - 3j
44.a=-2i-3j, b=2i-2j
En los ejercicios 19 a 26, calcule el angulo entre los vectores.
45.a = (2,-1,3),b = (1,2,2)
19.a=3i.-2j, b=i+j
46.a = (1, 4, 5), b = (-2, 1, 2)
20.a=i-2j, b=4i+2j
47.a = (2, 0, --2), b = (0, -3,4)
21.a = (-1,3), h
48.a = (3,2,0), b = (-2, 2,1)
(0,2)
22.a (1, 4),b = (-2,3) 23. a = (2, 0, ..2), b = (0, -2, 4) 24.a = (3,2,0), b = (2. 4,3) 25.a = 3i +j -- 4k, b = -2i + 2j + k 26.a=i+3j-2k, b2i-3k En los ejercicios 27 a 34, determine silos vectores Son ortogonales. 27,a = (2, -1), b = (2, 4)
49. Repita el ejemplo 3.6 con una fuerza de 60 iibras, a un ángulo de Z con la horizontal. 50.Repita el ejemplo 3.6 con una fuerza de 50 iibras, a un ánguio de con la horizontal. 51. Una fuerza de (30, 20) iibras mueve un objeto en lInea recta desde ci punto (0, 0) hasta el punto (24, 10). Calcule ci trabajo realizado. 52. Una fuerza de (60, -30) libras mueve un objeto en lInea recta desde el punto (0, 0) hasta ci punto (10, --10). Calcule el trabajo realizado.
918
Capitulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
53. Marque con verdadero o con falso cada enunciado. Si es verdadero, explique brevemente por qué; si es falso, dé un contraejemplo. a) Si a b = a c, entonces b = c. b) SI b = c, entonces a - b = a • c.
c)a a = ha 112 . d) SIll all
> II b1l, entonces a c > b c.
54. Para calcular a b donde a = (2, 5) y b = se puede calcular primero (2, 5) (4, 1) y luego dividir ci resultado (13) entre v'T. ZQu6 propiedad del teorema 3.1 se está usando? 55.Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz, a hi :5 II a tIll b II. 4 Que reiación debe existir entre a y b para tener I a bl=llaIlllblI? 56. For la desigualdad triangular, 11 a + b II hall + b ll, Zqu6 relación debe existir entre a y b para tenerlia + bhl=llall+ljbhl? 57. Use la desigualdad triangular para demostrar quela - bII >-hIahl-IIbil. 58. Demuestre las partes ii) y iii) del teorema 3.1. 59. En una molécula de metano (CH4), up átomo de carbono está rodeado de cuatro átomos de hidrogeno. Suponga que los átomos de hidrogeno están en (0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1) , (0, 1, 1) y el átomo de carbono está en (, , ). Calcule el Anvincular, es decir, el2quo forman los segmentos quo conectan un átomo de hidrogeno al de carbono y éste a otro do hidrógeno. 60.Examine el paralelogramo con vertices en (0, 0), (2, 0), (3, 2), (1, 2). Halle el anguio en el cual so intersecan las diagonales. 61.Demuestre que compe (a + b) = COmpc a +
65. Uno de los problemas básicos en ci cálculo es ci do calcular distancias. En este ejercicio, hallaremos la distancia entre un punto (xi, yi) y una recta ax + by + ci = 0. Para cornenzar con un ejemplo concreto, tome ci punto (5, 6) y la recta 2x + 3y + 4 = 0. Dcmuestre primero que los puntos de carte de Deia recta con los ejes son( -, O)y(O, _). 3 muestre que el vector b = (3,-2) es paralelo
comp,- b para vectores cualesquiera a, b, c, distintos del vector cero. 62. La proyección ortogonal de un vector a a lo largo del vector b so define como ortb a = a - proyb a. Haga un dibujo en el que se muestren los vectores a, b, proyi a, Ortb a y explique lo quo es ortogonal respecto a ortb a. 63. Suponga quo una tienda pequena vende tres productos. En un mes dado, si se venden 3,000 unidades del producto A, 2,000 unidades del producto B y 4,000 unidades del producto C, entonces el vector ventas para ese mes se define como s = (3,000, 2,000, 4,000). Si los precios respectivos do los productos A, B, C son US$20, US$15 y US$25, entonees ci vector precio se define como p = (20, 15,25). Calcule s p y analice cómo so relacioria con el ingreso mensual. 64. Suponga que en un expendio do helados de cier to condado las ventas (en miles de galones) durante un año están dadas por el vector s = (3, 5, 12,40,60, 100, 120, 160, 110, 50, 10, 2). Es decir, se vendieron 3,000 galones en enero, 5,000 en febrero, etc. En el mismo condado, suponga que los asesinatos en ci año están dados por ci vedtOr m = (2, 0, 1, 6, 4, 8, 10, 13, 8, 2, 0, 6). Demuestre que ci promedio de ventas mensuales de helado es 56,000 galones y quo ci promedio mensual de asesinatos es iF. = 5. Calcule Los vectores a y donde las componentes de a son iguales a las componentes des, restándoles el promedio 56 (de modo quo a = (-53,-51,-44 " ..)) y las componentes de b son iguales a las de m restándoles ci promedia 5. La correlacióri entre ventas de helado y asesinatos se define comop =
ab
tall Ilbhl
F'ecuen-
temente, una correlación positiva se interpreta como a "causa" b. Explique por qué esa conclusión serIa inválida en este caso.
al vector desplazamiento entre estos puntos y, por tanto, también a la recta. Haga un dibujo que muestre ci punto (5, 6), la recta, el vector (3, -2) y el vector despiazamiento, v, desde (-2,0) hasta (5, 6). Explique par qué la magnitud del vector v - proyb v es igual ala distancia buscada entre ci punto y la recta. Calcule esta distancia. Demuestre quo, en general, la distancia entre ci punto (xi, yi) y
Sección 10.4 • El producto vectorial o producto cruz
la recta ax ± by + d = 0 es igual a
919
De nuestro estudio del desplazamiento de un proyectil en la sección 5.5, recuerde que un objeto que se desplaza con aceleración constante a cubre una distancia ci en un tiempo igual a Demuestre que la cornponente de la gravedad en la dirección de la cuerda es a = g cos 0. Si la cuerda termina en ci punto (x, y). Demuestre que la longitud de la cuerda es d Demues% IL• tre también que cos 8 = Juntando todo esto, calcule el tiempo que se gasta para recórrer la cuerda. Explique por qué es sorprendente que la respuesta no dependa del valor de 0. Observe que cuando 0 crece, la distancia ci decrece pero la efectividad de la gravedad decrece. Analice el equiiibrio entre estos dos factores.
lax, +by1 +df 66. En la figura siguiente se muestra la circunferencia x2 + y2 = r2. En este ejercicio calcularemos ci tiempo requerido para que un objeto recorra la longitud de una cuerda desde la parte superior de la circunferencia hasta otro punto de ella, formando un ángulo 0 con la vertical y suponiendo que la gravedad es la Qnica fuerza que actüa (hacia abajo).
10.4 EL PRODUCTO VECTORIAL 0 PRODUCTO CRUZ Se puede observar que el produçto punto, definido en la seccion 10.3, es un producto inusual, en cuanto que el resultado no es un vector, sino un escalar. En esta sección definimos otro producto entre vectores que se llama producto cruz o producto vectorial. A diferencia del producto punto, el producto cruz de dos vectores es otro vector. El producto cruz tiene varias aplicaciones importantes en campos corno la fIsica, la ingenierIa mecánica y los viajes espaciales. Antes de definir ci producto cruz, necesitamos definir la noción de determinante.
DEFJNICION. El determinante de una rnatriz 2
X
2 de nümeros
reales Se define asI:
Ia
a2lbb b1 ' b2 I
Determinante 2 x 2
matriz2x2
DE UN DETERMINANTE 2 x 2
Calcule ci determ inante SOLUCION For (4.1), se tiene 12 34
12
I
(4.1)
920
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espacio
DEFINJICIION. El determinante de una matriz 3 x 3 de nümeros reales se define med jante una combinación de tres determinantes 2 x 2, como sigue: Determinante 3 x 3
b3
b2
: : = Cl C2 C3
b1 b3 +
--a2
C I C3
C2 C3
a3
I
b1 b2
CI C2
(4.2)
matriz3x3
Podemos dare algün sentido a esta forma de expresión algo confusa, como sigue. La ecuación (4.2) es un desarrollo del determinante por La primera lila. Observe que los coeficientes de cada determinante 2 x 2 son los elementos de la pnimera fila do la matriz 3 X 3. El determinante 2 x 2 correspondiente es el que se obtiene si se eliminan la fila y la columna en Ia que está el coeficiente réspectivo. Es decir, que para el primer término, el coefIciente es ai y ci determinante 2 x 2 se obtiene eliminando la primera fila y la primera columna de La matriz 3 x 3: b2 b3 C2 C3
=
L I11 U U3 'Fl C2 C3 •1
De la misma manera, el segundo determinante 2 x 2 se obtiene eliminando la primera lila y la segunda columna del determinante 3 X 3:
I4l ft lb1 b3 = CI 42 C3
I
1b1 b31
Id
C3
Finalmente, el ercer determinante se obtiene eliminando la primera lila y la tercera columna del determinante 3 x 3: L L
UlU2c3
=
Cj C
b1 b2 C-1 C2
CALCULO DE UN DETERMINANTE 3 x 3
24 Calcule ci determinante —2 3 1 3 —2 5 SOLUCLUN Al desarrollar por la primera flia, se tiene I1
2 41 I 1-2 3 1 l=(i)I 32
31 ! 25I(2)
13 —
l 35HI 3-21
= (1) [(3) (5) - (1) (-2)] - (2) [(-3) (5) - (1) (3)] + (4) [(-3)(--2) - (3) (3)] =41. Usamos la notaci6n de determinante como un instrumento conveniente para definir ci producto cruz como sigue.
SecciOn 10.4 • El producto vectorial o producto cruz
921
DEFINICION. Para dos vectores a = (ai, a, a3) yb = ( bi, b2, b3) en V3, definimos el producto cruz (o producto vectorial) entre a y b como: ijk a 2 a3 a1 a3 ala2 ax.b= ai a2 a3 k (43) b2 b3 b b b2
1,_
Producto cruz
123
Por la manera como se ha definido a x b, Se ye que es un vector en V3. Para calcular a x b, se deben escribir las componentes de a en la segunda fila y las de b en la tercera; lel orden es importante!Observe también que aunque hemos usado Ia notación de determinante, el determinante 3 x 3 indicado en (4.3) no es realmente un determinante, en el sentido de que no corresponde a la definición dada, pues los elementos de la primera fila no son escalares, sino vectores. No obstante, consideramos que este pequeflo abuso de notación es conveniente para calcular productos cruz, y Ia usaremos rutinariamente. CALCULO DE UN PRODUCTO CRUZ
Calcule (1, 2, 3) x (4, 5, 6).
SOLUCION Por (4.3), tenemos
*
ii k (1,2,3) x (4,5,6) = 123 456
El producto cruz se define solamente para vectores on V3. No hay una operación corrospondiente para vectores on V2.
13. 12 k 46 = —3i+6j-3k= (-3,6,-3).
RQ
23. 56 '
Para cualquier vector a E V3, a X a = 0 a X 0 = 0.
Demostración. D.emostramos el primero de estos dos resultados. El segundo queda como ejercicio. Para a = (at, a, as), tenemos, a partir de (4.3), que ki I axa=IiIj aia2as= 203 i_ 1 a3 a1a3 a2 a3 aa2 a3
Iala2!k aIa2
= (a2a3 - a3a2)i - (a i a3 - a3a1)j + (a l a2 - a2aj )k = 0. Volvamos brevemeute al resultado del ejemplo 4.3. AllI vimos que (1,2,3) x (4,5,6) =(-3,6,-3). Hay algo que el lector probablemente no observó en su momento, pero que es interesante observar ahora: (1, 2, 3) (-3, 6,•-3) =0
y (4,5,6)(-3,6,-3) = 0.
922
Capitulo 10 • Vectores y geometria del espaclo
Es decir, (1, 2, 3) y (4, 5, 6) son ambos ortogonales a su producto cruz. Esto resulta ser cierto en general. Tenemos el siguiente resultado.
Para vectores a, b cualesquiera en V3, a x b es ortogonal tanto a a como a b. Demostración. Recuerde que dos vectores son ortogoriales si y solamente si su produclo punto es cero. Ahora, usando (4.3), tenemos
a - (ax b) = ( al,a2,a3)
a2a3 I II,
1 a1a3
L1b2 b3 a2a3a1a3 —a2 L L +a3 L L b, b3 02Q3
b
+
a2 k] bi b2
1
ala2 L I b, b2
a 1 [a2b3 - a3b2] - a2 [ai b3 - a3bi ] + a3 1a i b2 - a2bj) = a1a2b3 - a1 a3b2 - a1 a2b3 + a2a3b1 + a1a3b2 - a2a3b1
=0, de modo que a y (a x b) son ortogonales. De modo similar, se puede demostrar que b (a x b) = 0. Esto queda como ejercicio. Observe que como a x b es ortogonal tanto a a como a b, es ortogonal a todo vector que esté en el piano que contiene a a y a b. (Se dice también, en este caso, que a x b es ortogonal al piano). Pero, dado Un piano, ?.hacia qué lado apunta el vector a x b? Podemos darnos una idea al calcular algunos productos vectoriales sencilios. Observe que Iij ki 100 ixj=l1001 0101 =k.o
1101 Ii 01 00p+101jk—k.
De modo similar, j x k = i. Estos resultados ilustran La regla de la mano derecha: si se alinean los dedos de la mano derecha a lo largo del vector a y luego se doblan, en la dirección de rotación de a hacia b (describiendo un ángulo menor que 180°), el dedo pulgar apuntará en la dirección de a x b (véase la figura 10.29a).
Figura 10.29a: a x b.
Figura 10.29b: b x a.
I
923
SecciOn 10.4 • El producto vectorial o producto cruz
Ahora, siguiendo la regla de La mano derecha, b x a apuntará en la dirección opuesta a La de a x b (véase La figura 10.29b). En particular, observe que ij k jxi= 010 =-k. 100 Queda como ejercicio demostrar que jxk=i, kxj= -i. kxij y ixk=-j. Se recomienda tomar el tiempo necesario para pensar en la regla de La mano derecha para cada uno de estos productos cruz. Hay otras cosas inusuales que deben tenerse en cuenta. Observe que i x j = k ;4 -k = j x i. Esto quiere decir que el producto cruz no es conmutativo. Observe además que (1 xj) x = k x = -i, mientras que i x (j xj) = I x 0 = 0, de modo que el producto cruz no es asociativo. Esto es, en general, (axb)xc;dax(bxc). Ya que el producto cruz o producto vectorial no satisface varias de las reglas que se esperarIa que cumplieran La mayorIa de los productos, el Lector podrIa preguntarse cuáLes reglas si satisface. Las resumimos en el teorema siguiente.
Para vectores a, b, c en V3, y para cualquier escalar d, vale lo siguiente: (anticonmutatividad) i) .a x b = - (b x a) ii) (da)xb=d(axb)=ax(db) (ley distributiva) iii) a x (b + c) = a x b + a X c Xc + Xc b (Leydistributiva) iv) (a + b) xc = a (producto escalar triple) vi) a (b X c) = (a x b) c (producto vectorial triple) vii) a x (b X c) = (a c) b - (a b) c Demostración. Demostramos solamente las partes i) y iii). Las restantes quedari como ejercicio. i) Para a = (al, a, a3) y b = (bi, b2, b3), tenemos, por (4.3), que
IijkI b1 b2 b.33
B3
1
1a1a3bi b1 b3 i + b2
k
b2bsI+bl b3. 1b, b2 k= -(b )< a), I a2 a3 a1 a ai a2
Capitulo 10 e Vectores y geometria del espacio
924
pues al intercambiar las posiciones de dos filas en una matriz 2 x 2 (o en una matriz 3 x 3) para este caso el signo de su determinante cambia. iii) Para c = (cj, C2, cs), tenemos
b+ c=(bi
+C1,b2+C2,b3+c3)
asI que ax(b+c)= al
j
k
a2
a3
b1 + Cl b2 +
C2
b3 + C3
Observando solamente la componente i de esto, tenemos a2
a3
3 b2+c2b+csI
=a2 =
(b3+c3)—a3 (b2 +c2)
(a2b3
-
a2 a3
b2 b3
-
a3b2) + +
(a2c3
-
a3c2)
a2 a3 C2 C3
que, como vemos, es también la componente i de a X b + a x c. De man j, k tanrasiml,epudotçfácilmnequasopt bién coinciden, lo que establece el resultado. ,
Debe tenerse siempre en cuenta que los vectores se especifican m diante dos caracterIsticas: magnitud y dirección. Hemos mostrado qi • la dirección de a x b es ortogonal tanto a a como a b. Pero, ZcuM es magnitud? Ciertamente, podrIamos calcularla en cada éaso, pero h • algo más general (y ütil) que podemos decir.•
[i
Para vectores a, b, distintos del vector cero, en V3, Si 0 es el angulo entre a y b (0 :5 0 :5 di), entonces
l axbll = l all Ij bIlsenO.
(4,4)
DemoStración. For (4.3) y (3.2), tenemos ax
bil
2
- a3 b2 1 2 + [a1 b3 a3bi j2 + [ai b2 a2bi ] 2 a222 b3 2a2 a3 b2 b3 + a322 3 u1 b2 + a122 b3 2a1 a3 b1 h3 + a2L2 +a b 2 a1 a2 b1 b2 + a b
= [a2 b3
--
-
-
-
-
11a112 11b H2 (a. b) 2 ]a112 11b11 2 lIaIJ I!b112 co82 9 11a112 11b11 2 (1 2 8) half2 hIbhl 2 sen2O. --
= = =
-
cos
Tomando raIz cuadrada a ambos lados, se obtiene
a x bll
'Il all IIbII sen 0,
=
puesto que sen 0 ^: 0, para 0 :5 0 :5 v.
I
•
-
•
• •
-
Sección 10.4 ° El producto vectorial o producto cruz
925
La siguiente caracterización de vectores paralelos es una consecuencia inmediata del teorema 4.4.
Corolario 4.1 Dos vectores a, b E
V3 son paralelos Si y solo si a x b = 0.
Demostración. Recuerde que a, b son paralelos si y solo si el ángulo 9 entre ellos es 0 o 7r. En cualquiera de estos casos, sen 9 = 0; asI que, por el teorema 4.4, ax b
1
=IIaD Ilbilsene =IIaII IIb1I(0) = 0.
El resultado se deduce entonces del hecho que el 1inico vector que tiene magnitud cero es el vector cero.
Z a
,
I a fl:enO
ri
Figura 10.30: paralelogramo.
El teorema 4.4 también proporciona la interesante interpretaciOn geométrica del producto cruz que se describe a continuación. Dos vectores cualesquiera, a, b, distintos del vector cero, Si no son paralelos, forman dos lados adyacentes de un paralelogramo, como se ye en la figura 10.30. Observe que el area de un paralelogramo está dada por el producto de la base y la altura. Se tiene,
Area = (base) (altura) = lIbIl IlallsenO = a x
b1l,
(4.5)
por el teorema 4.4. De modo que la magnitud del producto cruz de dos vectores da el area del paralelogramo, en el que dos de sus lados adyacentes están formados por los dos vectores. DETERMINACION DEL AREA DE UN PARALELOGRAMO, USANDO EL PRODUCTO CRUZ Halle ci area del paralelogramo con dos lados adyacentes formados por los vectores a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 8). SOLU{.IN
Se observa, en primer lugar, que ijk axb= 123 456 .1131 46
.123 1 56
45
For (4.5), el area del paralelogramo está dada por lax bII=ll(-3,6,--3)ll=./ llPQIIsenO
R
Figura 10.31: distancia desde
un punto hasta una recta.
=7.348.
Podemos usar también el teorema 4.4 para hallar la distancia desde un punto hasta una recta en R 3 , como sigue. Representemos con d la distancia desde ci punto Q hasta la recta que pasa por los puntos P y R. For trigonometrIa elemental, se tiene
d
= 1 PQMsen 0,
926
T
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espacio
-+
-4
donde 0 es ci ángulo entre PQ y PR (véase la flgura 10.31). Por (4.4) Se tiene -4
-.- ^
I
P Ri
PQ XPRIIIIPQII Al resolver respecto a d, se obtiene, +
-4
PR
I
d— (46)
II• PR
-
DETERMINACION DE LA DISTANCIA DESDE UN PUNTO HASTA UNA RECTA
-
I Halle la distancia desde el punto Q(1, 2, 1) hasta la recta que pasa por los puntos P(2, 1, —3) y R(2, —1, 3).
SOLUCION
En primer lugar, necesitamos vectores posición correspondientes a PQ y PR. Esto es bastante simple: —4
-
PQ = (-1, 1, 4) y PR = (0, —2, 6). Observe que
j k,j
1
(-1,1,4)x(0,-2,6)= —1 1 4 =(14,6,2). 0 —26 Se tiene entonces, por (4.6),
d=
iI PQ x PR1111 PRII
I comp
=
11(14,6, 2)11 11(0,-2,6)11 6)II
-
2.429.
-
Para tres vectores no coplanares a, b, c (es decir, vectores que no están en un mismo piano), examine el paralelepIpedo que se forma usando los vectores como tres ãristas adyacentes (véase la figura 10.32). Recuerde que el voiumen de tal sólido está dado por
x bC I
Volumen = (area de la base) (altura). Figura 10.32: paralelepipedo formado por los vectores
a, b, c.
Por otra parte, como dos lados adyacentes de la base están constituidos
por los vectores a, b, se puede recordar que el area de la base est6 dada
por ii a x b Ii Con referencia a la figura 10.32, observe que la aitura está dada por Icqmpaxbc I =
lc-(ax1)l lIaxbII
por (3.7). El volumen del paralelepIpedo es, entonces,
Voluinen =11a x bfl 1c (a x
IIaxbII
=
Ic-(axb)I.
I
SecciOn 10.4 • El producto vectorial o producto cruz
927
El escalar c (a x b) se llama producto escalar triple de los vectores a, b, C. Como puede verse enseguida, se puede calcular el producto escalar triple por medio del cálculo de un solo determinante. Observe que para a = ( al, a2, a3), b = ( bi, b2, b3), C = (Ci, C2, C3), se tiene ijk a1a2a3 b1 h2 b3
c(axb)=c
I
(. I
I
Q3 a2 a3 I ± kk' b:t b3 b2 b3 lbi b2 I 1 a3 IaIa2I a2 a3 a b2 ib3 I_C2 bl bs I+C3Ibl b2
(ci,c2,c3).
I
I)
I
(4.7)
C1 C2 C3 = aia2a3
b1 b2 b3 DETERMINACION DEL VOLUMEN DE UN PARALELEP!PEDO, USANDO EL PRODUCTO CRUZ
Halle el volumen del paralelepipedo para el cual tres aristas adyacentes están formadas por los vectores a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6), c = (7, 8, 0).
SOLUCION Obsérvese que volumen
= 1c (a x b) I. Por (4.7), se.tiene
1
456 = 7 (-3) - 8 (-6) = 27.
AsI que el volumen del paralelepIpedo es volumen = . (a x b) 1271 =27.
I=
Considere la acción de una have sobre un tornillo, como se muestra en la figura 10.33. Para apretar el tornihlo, se aplica una fuerza F en el extremo del mango, en la dirección que se indica en la figura. Esta fuerza crea una torsion r que actüa a lo largo del eje del tornillo, apretándolo. Se observa que la torsion actüa en dirección perpendicular, tanto a F como al vector posicion r en el extremo del mango. En efecto, usando ha regla de la mano derecha, la torsion acttia en la misma dirección quo F x r; los fIsicos definen asI el vector do torsion:
rFXr. En particular, esto expresa que
1 -rjj
F Figura 10.33: torsiOn, i
= F x r1l = IF 1111 r II sen 0,
(4.8)
por (4.4). Hay varias observaciones que se pueden hacer a partir de esto. Primera, esto quiere decir que cuanto más lejos del eje del tornihlo se aplique la fuerza (es decir, cuanto mayor sea II r II), mayor será La magnitud de la torsiOn. AsIque una have más larga produce una mayor torsiOn, para una cantidad dada de fuerza que se plique. Segunda, para ver cuál angulo 9 produce la mayor torsiOn, observe que sen 9 tiene valor máxiino cuando 0= I Tenemos entonces, por (4.8), que la magnitud de ha torsiOn es
928
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espaclo
maxima cuando 9 = 1E, es decir, cuando ci vector fuerza, F, es ortogonal al vector posición, r. Si usted ha usado una have, esto debe coincidir con su experiencia. DETERMINACION DE LA FUERZA DE TORSION APLICADA POE UNA LLAVE
Si se aplica una fuerza de magnitud 25 libras en ci extremo de una have de 15 pulgadas de largo, con un ángulo de E respecto a La have, hahle ha magnitud de La fuerza de torsiOn aplicada al tornillo. 4Cudl es La torsion máxima que puede produdir una fuerza de 25 libras aplicada en ese punto? SOLUCJON A partir de (4.8), se tiene
IFtil = IIFIJ
llrlI senO =
= 25j)-
15\ r (12 sen
27.1 pies-libras.
Por otra parte, la maxima torsion se obtiene cuando el ángulo entre La have y el vector fuerza es 2E. Esto producirla una fuerza de torsion maxima de
11th = IIFII firfi
Figura 10.34: pelota con efecto.
senO = 25()(1) = 31.25 pies-libras.
En casi todos los deportes, la acción es influida, al menos parcialmeñte, pore! movimiento de una bola o pelota con efecto. Por ejemplo, en ci béisbo!, los bateadores deben enfrentar Las bolas lanzadas en curva por los pitchers; en ci golf, los jugadores tratan de controlar el efcto. En ci tenis, Los jugadores golpean con un efecto hacia adelante; en baloncesto losjugadores mejoran sus lanzamientos usando un efecto hacia atrás. La hista sigue. Estos son ejernplos de una fuerza Ramada fuerza de Magnus, que desdribiremos a continuación. Supongamos que una bola está girando con velocidad angular cv, medida en radianes por segundo (es decir, cv es ha razón de cambio del anguio de rotación). La bola gira con respecto a un eje, como se muestra en la figura 10.34. Por definición, el vector de giro s tiene magnitud cv y es paralelo al eje de rotaciOn. Se puede usar la regla de ha mano derecha para distinguir entre las dos direcciones paralelas al eje de giro (sentidos): pliegue los dedos de su mano derecha airededor de La bola en La direcciOn del giro y su dedo pulgar apuntaré en La dirección correcta. A continuaciOn se muestran dos ejemplos.
Figura 10.35a: efecto haciaatrás.
Figura 10.35b: efecto hacia adelante.
Sección 10.4 • El producto vectorial o producto cruz
929
El movimiento de la bola agita el aire por el que se desplaza y crea una fuerza sobre la bola, que se llama fuerza de Magnus. La fuerza de Magnus, Fm, actüa sobre la bola que se mueve con velocjdad v y cuyo vector de giro s está dado por Fm= c (s X v)
1/
>s Figura 10.36a: fuerza de Magnus para una pelota con efecto hacia atrás.
Figura 10.36b: fuerza de Magnus para una pelota con efecto hacia adelante.
para alguna constante positiva c. Supongamos que las bolas de las figuras 10.35a y 10.35b se mueven dentro de la página, alejándose de usted. En terminologIa deportiva, la primera gira hacia atrás (backspin) y la segunda lo hace hacia adelante (topspin). Usando la regla de la mano derecha, vemos que la fuerza de Magnus que actCia sobre la primera bola, lo hace hacia arriba, coma se muestra en la figura 10.36a. Esto quiere decir que el giro hacia atrás (por ejemplo, en baloncesto o en golf) produce una fuerza hacia arriba que ayuda a la pelota a aterrizar más suavemente que la pelota no sometida a este efecto. Otra vez, usando La regla de la mano derecha, se puede ver que La fuerza de Magnus que actia sobre la segunda pelota, lo hace hacia abajo (véase la figura 10.36b). Esto indica que el giro hacia adelante (par ejemplo, en tenis a en béisbol) produce una fuerza dirigida hacia abajo, lo que causa una caIda de la pelota más rápida que la correspondiente a una pelota no sometida a este efecto. DETERMINACION DE LA DIRECCJON DE UNA FUERZA DE MAGNUS
Las pelotas que se muestran en las figuras 10.37a y 10.37b se mueven dentro de la página, alejándose de usted cone! tipo de giro indicado. La primera representa un lanzamiento en curia realizado por un lanzador (pitcher) de béisbol que usa la mano derecha, mientras que la segunda bola representa un golpe de un jugador de golf que también usa la mano derecha. Determine la dirección do la fuerza de Magnus y analice los efectos sobre la pelota.
Figura 10.37a: pelota lanzada en curva con la mano derecha.
Fig ura 10.37b: pelota de golf golpeada usando la mano derecha.
SOJUCION Para la primera pelota, se observa que el vector de giro apunta hacia arriba y ala izquierda, de modo que s x v apunta hacia abajo y hacia la izquierda, como se muestrà en La figura 10.38a. Esta pelota seguirá una trayectoria curva hacia la izquierda y caerá más rápido que una que no
930
CapItulo 10 • Vectores y gOometrIa del espacio
esté girando, con to que resulta más difIcil pegarle. Para la segunda pelota, el vector de giro apunta hacia abajo y a la derecha, de modo que S X v apunta hacia arriba y hacia la derecha. Esta pelota se moverá hacia la derecha (un slice) y estará más tiernpo en el aire quo una pelota que no esté girando (véase la figura 10.38b).
Figura 10.38a: fuerza de Magnus para una pelota Ianzada en curva con la mano derccha
POOC
Figura 10.38b: fuerza de Magnus para
una pelota de golf golpeada usando la mano derecha.
"
4€-iL'
1. En este capItulo, hemos desarrollado varias formas de examinar relaciones geométricas. Describa brevemente cómo determinar si dos vectores son a) paralelos; b) perpendiculares. Describa brevemente cómo determinar si c) tres puntos son colineales; d) cuatro puntos son coplanares. 2. La otra cara de los problemas del ejercicio 1 es construir vectores que tengan determinadas propiedades. Describa brevemente cómo construir un vector a) paralelo a un vector dado; b) perpendicular a un vector dado. Dado un vector, describa cómo construir otros dos vectores tales que los tres vectores sean mutuamente perpendiculares. 3. Recuerde que la fuerza de torsion se define como r = F X r, donde Fes la fuerza aplicada at extremo del mango y r es el vector posición del extremo del mango. En el ejemplo 4.7, Zc6mo cambia la torsion si la fuerza F se remplazara Con Ia fuerza —F? Responda a ambas preguntas en términos matemáticos y en térininos fIsicos. 4. Explique en términos geométricos por qué k x i. = j y k x j = —i.
T
SecciOn 10.4 El producto vectorial o producto cruz
En los ejercicios 5 a 8, calcule el determinante dado.
5.110 -2 -1 1 2 3-1 7. 0 1 0 -2--i 3
931
28.Q = (2, 0, 1), recta que pasa por (1, -2, 2) y (3, 0, 2)
0 2 -1 6.1-12 1 1 2
29.Q(3,-2,i), recta quepasapor(2,1,_i)y(i,i,i)
-22-1 8. 0 3-2
31. Si se aplica una fuerza de magnitud 20 libras en ci extrerno de una have de 8 pulgadas de largo, con LIfl angul() de respecto a la have, hialle Ia magnitud de la torsion aplicada sobre ci torniiio.
012
En los ejercicios 9 a 1.6, caicule ci producto cruz a x b. 9. a=(i,2,-i),
b=(1,0,2)
10.a = (3,0,-i),
b = (1,2,2)
11.a=(0,1,4),
b=(-i,2,-i)
12.a=(2,-2,0),
b=(3.0,1)
13. a = (-2,-i, 4), b = (1,0,0) 14.a=(2,2,1), b=(1,0,-3)
15.a 2i-k, b=4j+k
30.Q=(i,3,i), recta quepasapor(i,3,_2)y(i 3 O,_-2)
32. Si Sc aplica una fuerza de magnitud 40 libras en ci extremo de una Have de 18 puigadas de Iargo, con un angulo de respecto a la have, halie la magnitud de la torsion aplicada sobre ci toinillo. 33. Si se aplica una fuerza de magnitud 30 iibras en el extremo de una have de 8 pulgadas de largo, con un ánguio de respecto a la have, hahie la inagnitud de la torsion aplicada sobre ci torrijilo. 34. Si se aplica una fuerza de magnitud 30 libras on ci extremo de una have de 8 puigadas de largo, con un ánguio de respecto a la have, hahle la magnitud de la torsion apiicada sobre ci tornillo.
16.a = -2i + j -3k, b = 2j - k En los ejercicios 17 a 22, halle dos vectores unitarios ortogonales a ambos vectores dados. 17;a(1,0,4),
h=(1,-4,2)
18.a=(2,-2,i),
b=(0,0,-2)
19.a=(2,-1,0),
b=(i 3 O,3)
20.a=(0,2,1),
b=(1,0,-i)
En los ejercicios 35 a 42, suponga que las bolas se están moviendo dentro de la página (alejándose de usted) con el efecto indicado. Determine la dirección de ha fuerza de Magnus. 35
36.
37
38.
39.
40.
21.a = 3i-j, b = 4j + k 22.a =-2i -1- j-3k, b = 2i-k
En los ejercicios 23 a 26, use ci prod ucto cruz para determinar el ángulo entre los vectores. 23.a=(1,0,4),
b=(2,0,1)
24.a = (2, 2, 1),
b = (0,0,2)
25.a
3i 1-. k, I)
4j -I- k
26.a = i ± 3j + 3k, b = 2i -l-j En los ejercicios 27 a 30, halle la distancia desde ci punto Q hasta la recta dada. 27.Q = (1, 2, 0), recta que pasa por (0, 1,2) y (3, 1, 1)
932
41
T
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espacio
En los ejercicios 57 a 62, marque cada enunciado con verdadero o con falso. Si es verdadero, explique bre. vemente por qué. Si es falso, dé un contraejemplo.
42.
7
57. Si a X b = a x c entonces b = c 58.a x b = -b x a 59.axa=
hai1 2
60.a -(b Xc) = ( a- b) x En Los ejercicios 43 a 56, se describe una situación deportiva, con el giro tipico de La pelota que se muestra en el ejercicio anterior. Analice los efectos sobre la pelota, y de que manera se afecta eljuego. 43. Lanzamiento por encima del brazo de bola rápida en béisbol, giro del ejercicio 35.
61. Si la fuerza se duplica, la torsion se duplica. 62. Si se duplica la razón del giro, se duplica La fuerza do Magnus. En los ejercicios 63 a 68, halle el area o el volumen que se indican.
44.Lanzamiento por encima del brazo curvo on béisbol, giro del ejercicio 41.
63. Area del paralelogramo con dos lados adyacentes formados por (2,3) y (1, 4).
45. Lanzamiento "tres cuartos" de bola rápida con mano derecha en béisbol, giro del ejercicio 39.
64. Area del paralelogramo con dos lados adyacentes forrnados por (-2, 1) y (1, -3).
46. Lanzamiento. lateral zurdo de bola rápida en béisbol, giro del ejercicio 37.
65. Area del triángulo con vertices (0,0,0), (2,3,-i) y (3,-1,4)
47. Golpe rasante en tenis con efecto hacia adelanto, giro del ejercicio 41.
66. Area del triángulo con vertices (0, 0, 0), (0 ) -2,1) y (1,-3,0)
48. Golpe rasante en tenis con efecto hacia atrás, giro del ejercicio 35.
67. Volumen del paralelepipedo con tres aristas adyacentes formadas por (2, 1, 0), (-1,2,0) y (1, 1, 2).
49. Pase de ftitbol americano en espiral, giro del ejercicio42.
68. Volumen del paralelepIpedo con tres aristas adyacentes formadas por (0, -1,0), (0,2,-i) y (1,0,2).
50. Servicio en tenis con efecto slice, con la derecha, giro del ejercicio 39.
En los ejercicios 69 a 74, use geometrIa para identificar el producto cruz (mo haga cálculos!)
51. Golpe "puro" de golf, giro del ejercicio 35.
69.ix(jxk)
70. jx(jxk)
71.jx0xi)
52. Golpe de "gancho" en golf, con la derecha, giro del ejercicio 40.
72.0xi)Xk
73. ix(3k)
74.kx(2i)
53. Lanzamiento libre de baloncesto, giro del ejercicio35.
Eli los ejercicios 75 a 78, use la formula para el volumen de un paralelepIpedo, con elfin de deterniinar silos vectores son coplanares.
54. Lanzamiento de"giro con los dedos" en baloncesto giro del ejercicio 41.
75(2, 3, 1), (1, 0, 2), (0, 3, -3)
76.(1,--3,1), (2,4, 0),(0,.-5, 2) 55. Tiro de halompié, con la izquierda, con efecto de 77.(1,0,-2),(3,0,1),(2,1,0) "rizo", giro del ejercicio 36. 56. Tiro de balompié, con la derecha, con efecto de 78.(1, 1,2),(0,-i 3 O),(3,2,4) "rizo", giro del ejercicio 40. 79. Demuestre qUe 11 a X b 112 = 11 a 112 11 b
-
112'_ (a b)2
Sección 10.5 • Rectas y pianos en el espaclo
80. Use la formula de la torsiOn, r = F x r, para explicar la posición• de los pomos de las cerraduras de las puertas. En particular, explique por qué el porno está tan lejos como es posible de las bisagras y a una altura que posibilita a la mayorIa de la gente empujar o halar la puerta, formando un angulo recto con ella.
933
persona joven a aprender a montar en bicicleta, la mayor parte de La gente gira el pinOn de manera que el pedal quede directarnente hacia adelante. Explique por qué esto ayuda.
81. En el diagrama, un pie aplica una fuerza F, verticalmente, a un pedal de bicicleta. Calcule la fuerza de torsion sobre el piñon, en términos de 0 F. Determine el ángulo 6 para el cual la torsiOn es maxima. Al ayudar a una
10.5 RECTAS Y PLA NOS EN EL ESPA CIO
Pi
P(x, j, z)
)
1,
a2, a3)
(;1 0
2
:
' S
Figura 10.39; recta
Piense por un momento en la manera como Se. especifica una recta en el piano xy. Normaimente, se especifican dos puntos de la recta (dos puntos cualesquiera sirven), o se especifica un punto de la recta y la dirección. Naturalmente, en dos dimensiones, la direcciOn se indica mediante la pendiente de la recta. La situación en tres dimensiones no es muy diferente. Como puede suponerse, al especificar dos puntos de una recta, se determinaré dicha recta. Una alternativa es especificar un punto de la recta y su direcctón. Pero, 4c6mo se puede especificar la dirección de una recta en tres dimensiones? Sin duda, el lector pensó, correctamente, en vectores. Consideremos la recta que pasa por el punto Pi (xi, yi, z) y es paralela al vector posición a = (al, a, a) (véase La figura 10.39). Obsérvese que para cualquier otro punto P(x, y, z) de La recta, el vector .PI P debe ser paralelo al vector a. Por otra parte, debe recordarse que dos vectores son paralelos si y sOlo si uflO de ellos es mültiplo escalar del otro. Esto quiere decir que
en el espacio.
P1P=ta, para algcin escalar t. La recta consiste entonces en todos los puntos P(x, y, z) para los cuales se cumple (5.1). Además, corno pi p=
se tiene, a partir de (5.1), que (x -xi, y —yi,z -zi) = t a= t(ai, a2, as). Finahnente, como dos vectores son iguales si y sOlo si todas sus respectivas componentes son iguales, se obtiene Ecuaciones paramétricas de una recta
I
x-xi = ait,—yi = a2t,z — zl = a3t.
J
(5.2)
934
R
Cap Itulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
Las ecuaciones de (5.2) constituyen lo que se llama ecuaciones paramétricas de la recta, donde t es el parámetro. Lo mismo que en ci caso bidimensional, se debe reconocer que una recta en ci espacio se puede representar de muchas maneras mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas. Si ai, a2, d3 son todos distintos de cero, se puede resolver, con respecto al parámetro, cada una de las tres ecuaciones y obtener C—XL
Ecuaciofles sirnétricas de una recta
a1
(13
(12
(5.3)
Las ecuaciones de (5.3) constituyen Ia ciue se llama ecuaciones simétricas de la recta. DETERMINACthN DE UNA ECUACION DE UNA RECTA, DADOS UN I'UNTO Y UN VECTOR.
Halle una ecuación de la recta que pasa por ci punto (1, 5,2) yes paralela al vector (4, 3, 7). Determine también en dónde interseca la recta al piano yz. SOLUCION Las ecuaciones se pueden escribir de manera inmediata. Por (5.2), las ecuaciones paramétricas para la recta son x-1 = 4t,y-5 = 3t,z-2 = 7t. Por (5.3), las ecuaciones simétricas de la recta son
z-2
x-1 y-5
Fig ura 10.40: la recta x = 1 +4t,y = 5 + 3 t, z =2 + 7t.
La gráfica de la recta se muestra en la figura 10.40. Puede observarse que la recta interseca al piano yz, en donde x = 0. Al hacer x = 0 en (5.4), Se obtiene, resoiviendo respecto a y, z, y
=
17
=
Dc modo que la recta interseca al piano 'yz en ci punto (0, i, ). Dados dos puntos, se pueden haliar fácilmente las ecuaciones de La recta que pasa por elios, coma se ye en ci siguiente ejernplo. DETERMXNACION DE UNA ECUACION DE UNA RECTA, DADOS DOS PUNTOS
Halle una ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1, 2, —1) y Q(5,--3,4). SOL,UCION En primer lugar, necesitamos haliar un vector que sea paralelo a . la recta dada. La elección obvia es
PQ =(5-1,-3-2,4—(-1)) =(4,-5,5).
Sección 10.5 • Rectas y pianos en el espacio
935
Al seleccionar cualquiera de los puntos, se obtienen Las ecuaciones de La recta. AquI usamos P, de modo que las ecuaciones paramétricas para la recta son X-
1 = 4t, y - 2 = -5t,z + 1 = 5t.
De modo similar, las ecuaciones simétricas de La recta son x-1 - y-2 z+i 4 5 5 Figura 10.41: la recta 4
-5-5
Lagrafica de la recta se muestra en la figura 10.41. Habiendo especificado una recta mediante La eLección de uno de SUS puntos y un vector de la misma dirección, la siguiente definición debe ser suficientemente clara. DEFJNICION. Sean ii, 12 rectas de R 3 con vectores paralelos a, b, respectivamente; sea 0 el angulo entre a y b. i) Las rectas Ii, 12 son paralelas, siempre que a, b sean paraLelos. ii) Si Li, 12 se intersecan, entonces a) el angulo entre Li, 12 es 0 y b) las rectas Li, 12 son ortogonales, siempre que a, b sea n* ortogonales. ,
Recuerde que en dos dimensiones, dos rectas son paraLelas o se intersecan. Esto noes cierto en tres dimensiones, como veremos en el siguiente ejemplo. VERIFICACION DE QUE DOS RECTAS PUEDEN NO SER PARALELAS Y NO INTERSECARSE
Demuestre que las rectas
11:x-2 =-t,y-1 = 2t, z - 5 = 2t y
12:x-1 =s,y-2 =.-s,z-1 = 3s no son paraleLas y, sin embargo, no se intersecan. SOLUCION
Figura 10.42: rectas cruzadas.
Puede observarse, de manera inmediata, que hemos usado letras diferentes (t, s) como parárnetros para las dos rectas. En este contexto, el parámetro es una variable ficticia, o sea que la letra que se use es irrelevante. Sin embargo, al resolver la primera ecuación paramétrica de cada recta para el parámetro en términos de x, se obtiene t=2--x, y,s=x- . I, respectivamente. Esto quiere decir que el parámetro representa algo diferente para cada recta; de modo que deben usarSe diferentes letras. En la gráfica de la figura 10.42 se puede observar que las rectas ciertamente no son paralelas, pero no es claro si se intersecan o no. (Recuerde que La grafica es una representación bidimensional de rectas que están en tres dimensiones y, por tanto, aunque en dos dimensiones las rectas dibujadas se intersecan, no es claro silas rectas dadas (representadas por las anteriores), que están en tres dimensiones, se intersecan 0 no.
Mr 936
Capitulo 10 • Vectores y geometrIa del espacio
De las ecuaciones paramétricas se deduce que un vector paralelo a ii es ai = (-1,2, 2), mientras que un vector paralelo a iS es a2 = (1,-i, 3). Como al no es un müitiplo escalar de a2 (iconstátelo!) los vectores no son paralelos y, por tanto, las rectas 11, 12 no son paralelas. Se podrIa esperar que las rectas se cortaran, pero sea cuidadoso al observar esta situación. Las rectas se intersecan si hay alguna elección de los parámetros s, t que produzca el mismo punto, es decir, los mismos valores respectivos para x, y, z. Al igualar los valores de x, se obtiene 2-t =1+s, de modo quo = I t. Al igualar los valores de y, y tomar s = 1 - t, se obtiene 1 + 2t = 2-s = 2-(1-t)= 1 + t. Al resolver con respecto a t se obtiene t = 0, lo quo implica s = 1. Al igualarlas cornponentesz, so obtiene 5 ± 2t = 3s + 1, pero esto no se cumple cuando t = 0 y s = 1. Por tanto, ii, 12 no son paralelas, aunque no se intersecan.
DEFINICION. Las rectas no paralelas y que no se intersecan se Haman cruzadas.
Flgura 10.43: rectas cruzadas.
Es relativamente fácii visual izar rectas cruzadas. Dibuje dos pianos que sean paraleios y dibuje una recta en cada piano (de modo que esté completamente contenida en el piano). Silas rectas no son paralelas, son cruzadas (véczse la figura 10.43). en cómo Qué tipo de informaciOn será adecuada para esto? Como ejemplo sencillo, Zc6mo se podrIa describir el piano yz? Se puede observar que el piano yz es el conjunto de todos los puntos cuya coordenada x es cero. Infortunadamente, esta clase de descripción solo vale para pianos paralelos a alguno de los tres pianos coordenados. (c!.Por qué?) Alternativamente, se puede pensar que ci piano yz es un conj unto de puntos del espacio tales que todo vector que conecte dos puntos del conjunto, es ortogonai a i. Pero, obsérvese que hay muchos pianos con esta descripción. En efecto, cualquier piano paralelo al piano yz satisface este criterio (véase la figura 10.44). Para seleccionar el quo corresponde al piano yz, so requiere seleccionar un punto (cualquiera sirvo) por el quo paso dicho piano.
Figura 10.44: pIanos paralelos.
Figura 10.45: pIano en ll.
Sección 10.5 • Rectas y pianos en ci espacio
En general, un piano en ci espacio se determina especificando un vector a = (a1 , a2, a3) que sea normal at piano (es decir, ortogonal a cada vector del piano) y un punto Pi (xi, yi, zi) situado en ci piano (véase la figura 10.45). Para haliar una ecuación del piano, sea P(x, y, z) un punto cuaiquie.lel piano. Entonces, como F, Pi son ambos puntos del piano, ci vector P1 P (x -- x, y - yi, z - zi) está en el piano y, por tanto, debe ser ortogoriai al vector a. Fore! corolario 3.1, se tiene que
0=a PIP =(al,a2,a3)(x— x1,y — y1,z — zi) o sea,
1 0 = al(x—xl) + a2(y—yl) + a3(z-zi),I
Ecuación de Un piano
(5.5)
La ecuaciOn (5.5) es una ecuación para ci piano que pasa por ci punto (XI, y, zi), con vector normal (al, a2, a3). Como puede suponerse, es algo muy simple usar este resultado para hailar la eeuación de un determinado piano. Esto se muestra en ci ejempio siguiente. ECUACION DE UN PLANO, DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR NORMAL
Haile una ecuación del piano que contiene at punto (1, 2,3), con vector normal (4,5,6). SOLUCON For (5.5) se tiene la ecuación 0 = 4(x-1) + 5(y-2) + 6(z-3).
(5.6)
Para dibujar ci piano, localizamos tres puntos que estén en ci piano. En este caso, la manera más simple de hacerio es buscar las intersecciones del piano con cada uno de los ejes coordenados. Cuando y = z = 0, se obtiene de (5.6) que 0 = 4(x-1) + 5(0-2) + 6(0-3) = 4x-4-10--18,
Figura 10.46: ci piano quo pasa por (8, 0, 0), (0, , 0) y(0,0, 4 ).
de modo que 4x = 32, o, x = 8. La intersección del piano con ci eje x es entonces ci puñto (8, 0, 0). Dc modo similar, se pueden haliar las intersecciones del piano con los ejes y, z: (0,, 0) y (0, 0, J), respectivamente. Usando estos tres puntos, podemos dibujar ci piano que se ye en la. figura 10.46. Aunque hemos dibujado solamente un triangulo, se puede visualizar fci!mente ci piano en ci que estamos interesados, extendiendo los lados del triángu!o. Observe que como el piano interseca a los tres ejes coordenados, todo toque se ye en ci primer octante es un triánguio. Al desarroilar la expresión (5.5), se obtiene, 0 = aj.(x -xl) + a2(y - y1) + a3(z -zl). = al + a2y + a3 +
0i Xi a2 y1 - a3z1).
constante
938
Capitulo 10 Vectores y geometrIa del espacio
A esta ültima ecuación la ilamamos ecuación lineal en las variables x, y, z. En particular, esto quiere decir que toda ecuación lineal de la forma
0 = ax + b y + c z + d, donde a, b, c, d son constantes, es la ecuación de un piano con vector normal (a, b, c). Hemos observado antes que tres puntos determinan un piano. Pero, .cOmo haiiar una ecuación de un piano, dados tres puntos? Si Sc va a usar (5.5), primero se requiere hallar un vector normal. Esto se puede resolver fácilrnente, como se ye en ci ejomplo siguierite. I)ETERMINACION DE LA ECUACION DE UN I'LANO, DADOS TRES PUNTOS
Halle ci piano que contiene los tres puntos P(1, 2,2), Q(2,-1,4),R(3,5, -2).
so1ucthN Primero se requiere haiiar un vector normal al piano (cualquiera sirve). Observe que dos vectores que están en ci piano son
PQ = (1, -3,2) y
= (1, 6, -6).
En consecuencia, un vector ortogonal tanto a PQO , como a QR es el producto cruz ii k 16-6 =(6,8)9>.
Figura 10.47: piano quo contiene .tres puntos.
Como PQ y QR no son paralelos, PQ x QR debe ser ortogonal al piano, también. (Por qué?) Por (5.5), una ecuación para el piano es 0 = 6(x-1) + 8(y-2) + 9(z--2). En la figura 10.47 se muestra un triángulo con vertices en los tres pu,ntos en cuestión es el que contiene al triánguio indicado.
Figura 10.48: ángulo entre
pianos.
En tres dimensiones, dos pianos pueden ser paralelos, o intersecarse en una recta. (Piense un poco en esto). Supongamos que dos pianos que tienen vectores normales respectivos a y b, se intorsecan. Entonces, ci Cngulo entre los pianos es el mismo quo el ánguio entre a y b (véase la figura 10.48). Teniendo en cuenta esto, decimos que dos pianos son paralelos cuando sus vectores normales son paralelos. Los pianos son ortogonales cuando sus vectores normales son ortogonales. ECUACION DE UN PLANO, DADOS UN PUNTO Y UN PLANO PARALELO
Haile la ecuación del piano que pasa por ci punto (1,4, -5) y es paralelo al piano definido por 2x - 5y + 7z = 12. SOLUCION En primer lugar, observe que un vector normal al piano dado es (2, 7).
Sección 10.5 • Rectas y pianos en el espacio
939
Como los dos pianos son paralelos, este vector también es normal al nuevo piano. A partir de (5.5), podemos escribir la ecuación del piano: 0 = 2(x-1)-5(y-4)+ 7(z + 5).
, Es particularmente fácii ver que algunos pianos son paralelos a los pianos coordenados. u DIBUJO DE ALGUNOS PLANOS SIMPLES
Dibuje el piano y = 3; dibuje el piano y = 8.
soLuclON En primer lugar, observe que las dos ecuaciones representan pianos con el mismo vector normal, (0, 1, 0) = j. Esto quiere decir que ambos son pianos paraleios al piano xz; el primero pasa por el punto (0, 3, 0) y ci segundo pasa por el punto (0, 8, 0), como se ye en Ia figura 10.49.
Figura 10.49: los pianos y = 3, y = 8.
Debe reconocerse que la intersección de dos pianos no paralelos es una recta (iPiense un poco en esto!) En ci siguiente ejemplo, se ye cómo hallar una ecuación de la recta de intersección. DE LA INTERSECCION DE DOS PLANOS
Halle la recta de intersección de los pianos: x + 2y ± z = 3, x - 4y - 3z = 5. SOLUCION Al resolver las dos ecuaciones con respecto a x, se obtiene x=3-2y-z,x=5+4y-3z.
(5.7)
Al igualar las expresiones ciue son iguaies a x, se obtiene 3-2y-z = 5 + 4y-3z. Se resuelve con respecto a z, para obtener
2z=6y+2,oz3y± 1. Volviendo a cada una de ]as ecuaciones de (5.7), podemos resolver con respecto ax (también en términos de y). Se obtiene x = 3-2y-z = 3-2y--(3y + 1) = —5 y + 2. Si se considera ay como parámetro (si se quiere, sé toma y .= t), se obtienen ecuaciones paramétricas para la recta de intersección: x= --- 5t+2,y=t,z=3t±i. Figure 10.50: interseccjOn de pianos.
La recta de intersección se puede ver en la grafica de los dos pianos generada por computador, de La figura 10.50. Supongamos que se quiere hallar la distancia desde ci piano ax + by + cz + d = 0 hasta un punto Po(xo, yo; zo) que no está en ci piano. Obsérvese que La distancia se mide sobre un segmento de recta ortogonai al piano,
T CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espaclo
940
que conecta el punto cone! piano (véase la Ligura 10.51). Para calcular esta distancia, se escoge cuaiquier punto, Pi(xi, yi, zi) ubicándolo sobre el piano; sea a = áa, b, cn un vector normal al piano. A continuación se observa, en la figura 10.51, que la distancia desde Po hasta el piano es simplernente comp a ji. Se observa también que PO
PIPO = (xo—xi,yo---yl,zo—zl). A partir de (3.7), so puede expresar ahora la distancia como ^
compa
P1 PO
j=
P1 PO
lF aII
(a,b,c) = (X0_X 1 Y0__Y1 ZO_ Z1 )•II(a, b,c)I! Figura 10.51: distancia desde un punto hasta un piano.
_Ia(xo --- x i )+b (yo —yi )+e(zo —zi )I
'/ 2 +b2 +c2
-
-
-
axo +
by0
+CzO - (ax i -j-
by 1 + czi)I
v'a2 +b2 +c2 + dl Ia x 0 + by0 + c Va2 +b2 +c2
puesto que (xi, yi, zi) está en el piano y además ax + by + cz = todo punto (x, y, z) situado en el piano.
(5.8)
-
cl, para
DETERMINACION DE LA.DISTANCIA
Halle la distancia entre los pianos parale!os:
Pi: 2x 3y + z = 6 -
Y P2 : 4x 6y + 2z = 8. SOLUCJON Comencemos por observar que los pianos son paralelos, pues sus vectores normales, (2,-3, 1) y (4,-6, 2) son paralelos. Al ser paralelos estos pianos, la distancia desde el piano PI hasta cualquier punto del piano P2 es la misma. AsI que escogemos cualquier punto de P2, digamos (0,0,4). (Esta elección es conveniente). La distancia desde el punto (0, 0, 4) hasta el piano P1, dada por (5.8), es
/22+32±f
i
Sección 10.5 ° Rectas y pianos en el espacio
941
4
1. Explique cómo pasar de las ecuaciones paramétricas de una recta a Las simétricas, y viceversa. Describa una situación en la que sea preferible trabajar con ecuaciones paramétricas y una en la que las ecuaciones simétricas sean más convenientes. 2. Las rectas y Los pianos se pueden especificar mecliante un punto y un vector. Analice las diferencias entre los vectores que se usan y explique por qué ci vector normal al piano especifica todo Lin piano mientras que el vector de dirección de una recta especifica solamente una recta. 3. Observe que si c = 0 en la ecuación general de un piano, ax + by + cz + d = 0, se obtiene una ecuación que describirla una recta del piano xy. Describa CóITIO se relaciona esta recta con ci piano. 4. Nuestro recurso para visualizar dos rectas cruzadas consistió en colocarias en pianos paraielos. Analice si en cada pareja de rectas cruzadas debe haber necesariamente pianos paralelos ue las contengan. (Sugerencia: analice cOmo el producto cruz de los vectores de dirección de las rectas se reiaciona con Los pianos paralelos).
En los ejercicios 5 a 16, halle a) ecuaciones 15. Recta que pasa por (1, 2, -1) y es normal al plano paramétricas yb) ecuaciones simétricas de la recta. 2x -- y + 3z = 12. 5. Recta. que pasa por (1, 2, -3) yes paralela a (2,--1,4). 6. Recta que pasa por (3,-2,4) yes paralela a (3,2, -.1). 7. Recta que pasa por (2, 1,3) y (4,0,4). 8. Recta que pasa por (0,2, 1) y (2,0, 2). 9. Recta que pasa por (1, 4, 1) y es paralela a La rectax = 2-3t,y = 4,z = 6 + t. 10. Recta que pasa por (2, 0, -1) y es paraiela a - la recta x = - 3t, ,y = 2- 4t, z = -6. 11. Recta que pasa por (3, 1, -1) y es paralela a la recta
z x-2 y+1 3 = -4 = 2
16. Recta que pasa por (Q, --2, 1) yes normal al piano y + 3z = 4. En los ejercicios 17 a 22, establezca silas rectas son paralelas o perpendiculares o halle el angulo entre ias rectas.
17.(x 1-3t y = 2 + 4t z =-6+t
(x = 1 + 2s y2-2s z-6+s
18.fx=4-2t V = 3t z=-1+2t
Ix
19.1 x = 1 + 2t
(x 2-s y10+5s 3 + 2s
= -1 + t
4+s —1 + 3s
12. Recta que pasa por (-1, 0, 0) y es paraiela a la recta x+i y = z -2. 13. Recta que pasa por (2, 0, 1) y es perpendicular a (1, 0, 2) y también a (0, 2, 1). 14. Recta que pasa por (-3, 1,0) yes perpendicular a (0, -3, 1) y también a (4, 2,-i).
(x = 3 + 2s
20.(x = 2t = 5-t 21.(x = -1 + 2t y = 3 + 4t lz.= -6t
=6+s (x = 3-s .V=1-2s (z = 3s
'1 942
22.(x3-t
CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espaclo
tx=1±2s =7-3s =-3+s
z=-2+2t
En los ejercicios 23 a 26, determine silas rectas son paralelas, cruzadas, o se intersecan.
23.fx4+t
(x=2+2s yz2s [z=—i+4s
lz=3+2t 24.(x=3+t y=3+3t
(x=2-s y=1-2s
z=4—t
lz=G+2s
25.(x=1+2t
z=-1-4t x=1-.2t y=2t
38.Plano que contiene al punto (3, 1,0) yes paralelo al piano -3x 3y + 2z = 4. 39.Piano quo contiene al punto (1, 2, 1) y es perpendicular a los pianos x + y = 2, 2x + j -z = 1. 40.Piano que contiene al punto (3, 0, -1) y es perpendicular a los pianos x -z = 2; 2x -z = 1. En los ejercicios 41 a 52, dibuje ci piano dado.
41.x+y+z=4
42.2x-y+4z=4
(x2-s y=2 tz=3+2s
43.3x+6j-z=6
44.2x+y+3z=6
45.x=4
46.y=3
1x3+2s
47.z = 2
48..y = -3
z=3+2s
49.x + y = 1
50.2x-z=2
Sl.y = X + 2
52.z
,
26.jz =5—t
37.Piano que contiene al punto (0, -2, -1) yes paralelo al piano -2x +.'ly = 3.
Enlosejercicios27a4o,halleunaecuación del plano dado.
27.Piano que contiene al punto (1, 3, 2) con vector normal (2,-i, 5).
-2x + 1
Enlos ejercicios 53 a 56, halle la intersección de los pianos.
y
53.2x-y-z=4
28.Piano que contiene al punto (-2,0,3) con vector normal(4,3,-2).
3x-2 + Z -2x -Sy +z =-1
29.Piano que contiene al punto (-2, 1,0) con vector 55.3x+4y=1 3' normal (-3, 0, 2). 56.x -2y + z = 2 x + 3y-2z = 0 y 30.Plano que contiene al punto (0, -4, 1) con vector En los ejercicios 57 a 62, halle la distancia entre los normal (0, 4, 2). objetos dados. 31.Piano que contiene a los puntos (2,0, 3), (1, 1,0) ' 57. El punto (2, 0, 1) y ci piano 2x --y -I- 2z = 4. (3,2,-1). 32.Piano que contiene a los puntos (1, -2, 1), (2, -.1, 58.El punto (1, 3, O)y ci piano 3x + y - 5z = 2. 0)y(3,-2,2). 59.El punto (2, -1, -1) y ci piano x -y + z = 4. 33.Piano que contiene a los puntos (-2,2,0), (-2,3, 2)y (1, 2, 2). 34.Piano que contiene a los puntos (3, -2, 1), (1, -2, 2)y(3,2,2). 35.Piano quo contiene al punto (2, 1, -1) yes paralelo al piano 3x -y + 2z = 1. 36.Piano que contiene al punto (3,-2, 1) yes paraielo al piano x + 3y - 4z = 2.
..
.
..
60.El punto (0, -1,. 1) yel piano 2x - 3y = 2. 61.Los pianos 2x -y-z =1;2x- ,y-z=4. 62Losp1anosx
-F-
3y•--2z= 3;x
1-
3y-2z 1.
63. Demuestre que la distancia entre los pianos ax + by+cz=dlyax+by+cz=d2esiguaia 1d2—diI
943
Sección 10.6 Superficies en el espaclo
64. Suponga que (2, 1, 3) es un vector normal Para un piano que contiene al punto (2,-3,4). Demuestre que la ecuación del piano es 2x +3J + 3z = 13. Explique por qué otro vector normal Para este piano es (-4,-2,4). Use este vector normal Para hailar una ocuación del piano y demuestre que la ecuación se reduce a la misma ecuación 2x + y + 3z 13. 65. Haile una ecuación del piano que contiene a Las rectas
(x = 4 -I- t =2 lz = 3 + 2t
= 2 + 2s y = 2s = -1 + 4s
1x
68. Compare las ecuaciones c jue heinos desarroilado Para la distancia eritre un punto (bidimensional) y una recta, con la distancia entre un punto (tridimensional) y un piano. Con base en estas ecuaciones, establezca hipotéticamente una formula Para la distancia entre el punto (en cuatro dimensiones) (xl, yi, zj, Wi) ye! hiperplano ax +by+cz+dw +e=0. 69. En este ejercicio, expioraremos ci objeto geométrico determinado por las ecuaciones paramétricas
66. Halle una ecuación del piano que contiene a las rectas
(x = 1- t y = 2 + 3t lz = 2t
(x = 1- S =5 (.z = 4 - 2s
67. Suponga que dos aviones describen trayectorias de vueio mediante las ecuaciones paramétricas
(x= 1 + 2s y3+s lz 2 + 2s Describa la forma do las trayectorias. Determine silas trayectorjas se intersecan. Determine silos aviones colisionan. Pi:
3 y=6-2t x = 3t + 1
P2:
ix = 2s + 3t y = 3s + 2t. Dado que hay dos parámetros, lz = S + t quO dimension se espera que tenga el objeto? Dado que cada una de las ecuaciones paramétricas es lineal, Zqu6 forma tiene el objetö? Demuestre que los puntos (0 '0, 0), (2, 3, 1) y (3, 2, 1) están en ci objeto. Halle ' una ecuación del piano que contiene estos tres puntos. Sustituya en las ecuaciones por x, y, z; demuestre que el objeto está en él piano. Sustente que el objeto es en realidad todo ci piano. fi&A
10.6 SUPERFICIESENEL ESPACIO En ci capItulo 3 (Tomo I), se ernpleó un esfuerzo considerable Para aprender cómo usar ci cáiculo Para dibujar gráficas de una amplia gama de funciones en dos dimensiones. Ahora que hemos analizado rectas y pianos en R3 , parece un buen momento Para explorarel trazado de objetos más complicados en tres dimensiones, no espere una teorIa general como la desarrollada en graficas Para dos dimensiones. El dibujo de curvas y superficies en tres climensiones, a mano, o con una interpretaciOn correcta de las graficas generadas por computador es todo un arte. Después de todo, se debe dibujar una imagen bidimensional Para representar un objeto tridimensional. Nuestra meta aquI no es producir artistas, sino proporcionar al lector la habilidad de mànejar un pequeño grupo de superficies en tres dimensiones. Para nuestra presentaciOn de los capItulos que siguen, ci lector querrá tener a su disposiciOn un pequeño nümero de superficies conocidas. Será necesario reconocerias con sOlo verlas, y toner una facilidad razonabie Para dibujarlas. Acate nuestras sugerencias
944
CapItulo 10 • Vectores y geometrIa del espaclo
cuidadosamente y realice muchIsimos problemas. En los nurnerosos ejercicios de los capItulos que siguen, tomar algunos minutos extra para dibujar una buena gráfica, con frecuencia dará como resultado una gran economIa de tiempo y esfuerzo.
Superficies cUIndricas
Figura 10.52: cilindro
circular recto.
f
Comenzamos con una superficie tridimensional simple. Cuando usted ye Ia palabra cilindro, probabiemente piensa en un cilindro circular recto. Por ejemplo, considere la gráfica de x 2 + y2 = 9 en tres dimensiones. Su primera reacción podrIa ser decir que es la ecuación de una circunferen-. cia, pero esto es correcto solo parcialmente. La grafica de x2 + y2 = 9 en dos dimensiones es una circunferencia de radio 3 centrada en el origen; pero, 4 qué es esta gráfica en tres dimensiones? Considere la intersección de la superficie con ci piano z = k, para alguna constante k. Como en la ecuación no aparece z, la intersección con cada uno de estos pianos (llamada traza de ia supetficie en el piano = k) es Ia misma: una circunferencia de radio 3, centrada en el origen. Piense en ello: cualquier cosa que sea esta superficie tridimensional, su intersección con cada piano paraieio al piano sy es una circunferencia de radio 3, centrada en el origen. Esto describe un cilindro circular recto, en este caso de radio 3, cuyo eje es el eje z (vease ia figura 10.52). Más en general, ci término cilindro se usa con referencia a cualquier superficie cuyas trazas en todo piano paralelo a un piano dado sean las mismas. Con esta definición, muchas superficies caiifican como cilindros.i DIBUJO DE UNA SUPERFICIE
Dibuje una grafica de la superficie z = en R3 . SOIACION Observe que como en la ecuación no aparece x, la traza de la gráfica en el piano x = k es la misma para cada k. Este es entonces un cilindro cuya traza en cada piano paralelo al piano yz es la parabola z = y2. Para dibujar esto, primero dibujamos la traza en ci piano yz (véase la figura 10.53a) y luego hacemos varias copias de ia traza, localizando ci vértice en varios puntos a lo largo del eje x; finalmente, conectarnos las trazas con ilneas rectas paralelas al eje x para dare al dibujo un aspecto tridimensional (véase la figura 10.53b).
Figura 10.53a: traza
en el piano yz.
Figura 10.53b: z = y.
Figura 10.53c: enmallado de z =
T Sección 10.6 • Superhcies en el espaclo
945
En la figura 10.53c se ye una grafica enmaliada de la misrna superficie, generada por computador. Aunque la superficie se podrIa describir mas bien como una lámina en forma de canal, técnicamente es un cilindro, dada nuestrà definición.
DIBUJO DE UN CILINI)RO INUSUAL
Dibuje la grafica de la superficie z = sen x en l. SOLUCIUN Observe que, otra vez, faita una de las variables. En este caso no estáv; por tanto, las trazas de la superficie en cuaiquier piano paralelo a xz son las mismas. Todas son como la grafica bidimensional de z = Sen S. En el piano xz dibujamos una de éstas y luego hacemos copias en pianos paralelos al piano xz; finalmente, conectamos los extremos con ilneas rectas paraieias al eje y (véase la figura 10.54a). En la figura 10.54b, rnostramos una grafica enmaliada de la misma suporficie, generada por computador. En este caso, el cilindro parece un piano con ondulaciones.
Ficjura i0.54b: enmallado: z = senx.
Superficies euádricas
La grafica de la ecuación
ax2 +by2 +cz2 +dxy+eyz+fxz +.gx+h +jz +k0 en el espacio tridimensional (donde a, b, c, d, e,f, g, It, j, k son todas constan tes y por lo menos una entre a, b, c, d, e, f es distinta de cero) se i1am superficie cuádrica. La superficie cuádrica más conocicla es la esfera:
(x - a)2 -f (y - b)2 + (z 02 = 7 2 de radio r centrada en el punto (a, b, c). Para dibujar la esfera centrada ei (0, 0, 0), dibujamos primero una circunferencia de radio r, centrada en € origen, en el piano yz. Luego, para darle a la superficie su aspect
-1.
946
CapItulo 10 • Vectores y geometr(a del espacio
tridimensional, dibujarnoscircunferencias de radio r ceritradas en el ongen, tanto en el piano xz como en el piano xj, como en la figura 10.55. Observe que, debido a la perspectiva, estas dos üitimas circunferencias parecen elipses y son visibies solo parcialmente (indicamos con iIneas punteadas las partes ocuitas). Una generalizacion de la esfera es la elipsoide:
(j2
Aqura 10.55: esfera.
f2
(Observe qe cuauclo ci = e =f, [a superhcie es uria esfera). DJBUJO DE UNA ELIPSOH)E
Dibuje la elipsoide 2
x2
2
T" + T '
SOLUCJ()N Para tener una idea del aspecto do la gráfica, se dibujan pri!nero Sus trazas en los tres pianos coordenados. (En general, puede ser necesario buscar trazas en pianos paralelos a los tres pianos coordenados, pero las trazas en los tres pianos coordenados son suficientes por ahora). En el piano yz, s =0, de modo qué tenemos la elipse y2
z2 .
cuya gráfica aparece en la figura 10.56a. A continuación agregamos a la figura 10.56a las trazas en los pianos xy, xz. Ellas son x2
,2
z2 x2 1 +9
respectivamente, y ambas son eiipses (véase la figura 10.56b). En la figu-. ra 10.56c se muestra una representación enmallada. 'I
Figura 10.56a: elipse en el piano yz.
Figura 10.56b: elipsode
Figura 10.56c: representaciOn enmailada de una elipsoide.
ir SecciOn 10.6 • Superficies en el espaclo
947
DIBUJO DE UNA PARABOLOIDE
Dibuje la gráfica de la superficie cuádrica x2 +,y2 = Z. SOLUCION Para tener una idea del aspecto de La gráfica, dibuje primero sus trazas en los tres pianos coordenados. En el piano jz tenemos x = Oy, por tanto, y2 = z ( una parabola). En el piano xz, tenernos y = Qy, por tanto, x 2 = z (una parabola). En el piano xy tenembs z = Qy, por tanto, x2 ± y2 = 0 (un punto: el origen). En La figura 10.57a se dibujan las trazas. Finairnente, como la traza en ci piano xy es procisamente Un punto, considerarnos las trazas en los pianos z = k (para k> 0). Observe que éstas son las circunferencias x 2 + y 2 = k, en donde para valores más grandes de z, o sea vaiores mayores que k, se obtienen circunferencias de radios mavores. En La figura 10.57b se dibuja la superficie.
Figura 10.57b: paraboloide.
Figura 10.57a: trazas.
Estas superficies se Haman paraboloides; como las trazas en pianos paralelos al piano xy son circunferencias, esta superficie se llama una paraboloide circular. En la figura 10.57c se muestra una representación enmallada.
Figura 10.57c: representaciOn
enmallada de una paraboloide.
En Ia figura 10.57c se puede observar que ci borde superior del enmallado no se ha dibujado como una sección transversal circular, como se hizo en La figura 10.57b. Muchos programas graficadores tridirnensionales permiten solamente dominios rectangulares y, por tanto, distorsionan La gráfica de la superficie. For ahora pedimos a! Lector entender La geometria de Las superficies cuádricas, sin depender mucho de la tecnologIa. DIBUJO DE UN CONO ELIPTICO
Dibuje una gráfica de La superficie cuádrica x •'-I-
= z 2-.
SOLUCION Tenga cuidado de no precipitarse a formular conclusiones. Aunque esta ecuación puede parecerse mucho a lade una elipsoide, hay una diferencia significativa. (Mire dónde está ci térrnino z!) Como antes, comenza-
948
Cap Itulo 10 • Vectores y geometria del espacio
rnos por mirar las trazas en los pianos coordenados. Para el piano yz tenemos x = 0; por tanto, z2, oly2 = 4 z2 , de modo que y = ± 2z. Esto significa que la traza es la pareja de rectas: y = 2z, y = - 2z. Estas se muestran en la figura 10.58a. Del mismo rnodo, la traza en el piano xz es la pareja de rectas x = ± z. La traza en el piano xy es simplemente el origon. (.Por qué?) Finalmente, las trazas en los pianos z = k (k # 0), paraleios al piano xy, son las elipses x 2 + = k2 . Al agregarestas eiipses al dibujo, se obtiene el dohie cono de la figura 10.58b.
4=
4
z.
Figura 10.58a: traza en el piano
Figura 10.58c: cono en mallado.
Figura 10.58b: cono eliptco.
jz.
Como las trazas en los pianos paralelos al piano xy son e1ipss, nos referimos a esta supeflcie con el nombre de cono eliptico. En la figura 10.58c se muestra una representación enmaiiada
IMBUJO DE UNA HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
Dibuje una gráfica de la superficie cuádrica 1.
SOIJUCION Las trazas en los pianos coordenados son: 2
piano yz (x = 0): y 2--
1 (hipérbola)
(véase la figura 10.59a), 72
+ y2 1 (elipse)
piano xy (z = 0): y Plano xz (y = 0):
..
-
= 1 (hipérbola).
Observe además que la traza de la superficie en cada piano z = k (paraieio al piano xy) es una eiipse:
SecciOn 10.6 • Superficies en el espaclo
2
k2 + y2 = 4
949
+ 1.
Finalmente, obsérvese que cuanto mayor sea el valor de k, mayores son las longitudes de los ejes de las elipses. Al agregar esta información a la figura 10.59a, dibujamos la superficie que se ye en la figura 10.59b.
V
Figura 10.59a: traza en el piano yz.
Figura 10.59b: hiperboloide
de una hoja.
Figura 10.59c: hiperboloide enmallada.
A esta superficie la liamamos hiperboloide de Una hoja. En la figura 10.59c se muestra una representación enmallada de ésta superficie.
9 DTBU.JO DE UNA HIPERBOL()IDE DI! DOS HOJAS Dibuje una gráficade la superficie cuádrica 2- Z
T
---•
SOLUCIUN Observe, en primer lugar, que ésta es la misma ecuación del ejemplo 6.6, excepto por el signo del término en V. Como se ha hecho antes, se deter. minan primero las trazas en los tres planos coordenados. La traza en el piano yz (x = 0) se define mediante 2 —y2—
= 1.
Como es claramente imposibie que la suma de dos nümeros negativos sea un niimero positivo, esta situaci6n contradictoria irnplica que no hay traza en el piano yz. Esto es, la superficie no interseca al piano yz. Las trazas en los otros dos pianos coordenados son: _2
planoxy (z= 0):
= 1 (hipérboia)
y piano xz (y = 0):
x2
z2
-
- .-- = 1 (hipérboia)
r 950
CapItulo 10
s
Vectores y geometria del espacio
Estas trazas se muestran en la figura 10.60a. Finalmente, observe que para x = k, se tiene que
z2 k 2
2 + =
de modo que las trazas en el piano x = k son elipses para k2 > 4. Es importante observar aqul que si k2 < 4, la ecuación y2 + (z219) = (k2/4) -1 no tiene soiución. (i,Por qué ocurre esto?) Dc modo que si -2
Figura 1O.60a: trazas en el piano xy y en el piano Figura 10.60c: hiperboloido onmaflada.
Figura 10.60b: hiperboioide
xz.
de dos hojas.
• A esta superficie la ilamarnos hiperboloide de dos hojas. En la figura 10.60c se representa una superficie enmallada. Como ejemplo final, ofrecemos una de las más interesantes superficies cuádricas. También es una de las superficies más difIciles de dibujar. LHBUJO DE IJNA PARABOLOIDE *HPERBOLICA Dibi4e la gráfica de la superficie cuádrica definida por la ecuación
z = 2y2 -x2 . SOLUCION Comenzamos por considerar, como antes, las trazas en pianos paralelos a cada uno de los pianos coordenados: paralelo al piano sy (z = k): 2y 2 -
k
paralelo al piano xz(y = k):z = -x2 + 2k 2
(hipérbola para k -A 0), (parabola que abre hacia abajo),
y paralelo al piano yz(x = k): z = 2y2 -k 2
(parabola que abre hacia arriba).
Sección 10.6 • Superficies en eI espacio
951
Comenzamos por dibujar las trazas en los pianos xz, yz, como se ye en la figura 10.61a. Como la traza en el piano xy es la hipérboia degenerada 2y2 = x2 (dos rectas: x = ± V2- V), más bien dibujamos La traza en varios de los pianos z = k. Se observa que para k> 0 las trazas son hipérbolas que abren hacia las direcciones positiva y negativa del eje y; para k < 0, las trazas son hipérboias que abren hacia las direcciones positiva y negativa del eje x. En la figura 10.61b mostramos una de ellas para k> 0 otra para k < 0, en donde se muestra un bosquejo de la superficie.
Figura 10.61a: trazas en el planoxz, Figura 10.61b: la superficie y en ei piano yz
Figura 10.61c: representaciOn
enmailada de z
= 22 -
Una aplicación
z = 2y2 -x2.
Esta superficie se llama paraboloide hiperbólica. Más que cualquier otra cosa, esta superficie se asemeja a una silla de montar. De hecho, nos 'referimos al origen, en esta gráfica, como punto de silla. (En el capItulo 12 analizaremos el significado de los puntos de silla). En La figura 10.61c se muestra una representación enmallada de La superficie.
El lector puede haber notado el gran nümero de paraboloides que están a su alrededor. Por ejemplo, los radiotelescopios y las antenas para televisión casera por satélite tienen La forma de una porción de paraboLoide. Los telescopios reflectantes tienen espejos parabólicos que también son porciones de una paraboloide. Hay una.buena razón para esto. Resulta que en todos los casos, las ondas de iuz y las ondas de radio que incidan en cualquier punto sobre la antena parabólica o el espejo parabólico se reflejan hacia un punto: el foco de cada sección transversal parabólica que pase por el vértice de la paraboloide. Este hecho notable significa que todas las ondas de luz y de radio Regan a concentrarse en un puntQ. En el caso del radiotelescopio, al colocar un pequeño receptor precisamente en frente del foco se puede captar una señal muy débil e incrementar inmensamente su potencia efectiva (véase la figura 10.62). El mismo principio se usa en los telescopios ópticos para concentrar la luz de una fuente débil (por ejemplo, una estrella distante). En este caso, se instala Un pequeño espejo sobre una ilnea recta que va desde el espejo parabólico hasta el foco. El pequeño espejo refleja entonces la luz concentrada en un ocular para ver la imagen (vease la figura 10.63).
952
Cap Itulo 10 • Vectores y geometrIa del espaCiO
ocular
espejo parabálic,
Figura 10.62: radioteescopio.
Figura 10.63: telescoplo reflectante.
EJERCICIOS DE LA SECCION 10.6 S.'
1. En el texto, Se hicieron varias sugerencias para dibujar gráficas de cilindros, en contraste cone! casó de las superfIcies cuádricas. Explique cómo determinar, a partir de la ecuación, silo quo se tiene es un cilindro, una superficie cuádrica, un piano o cualquier otra superficie. 2. El primer paso para dibujar una superficie cuádrica es identificar trazas. Dadas las trazas, explique cómo decir si se trata de una elipsoide, un cono elIptico, una paraboloide o una hiperboloide. (Sugerencia: para una paraboloide, 4cuAntas. trazas son parábolas? 3. Suponga que ha identificado una ecuación dada como representante de una hiperboloide. Explique cómo determinar si es de una hoja o de dos hojas. 4. Las paraboloides circulares tienen forma de taza. Sin embargo, las paraboloides z = 2 + y2, z = 4-x 2 _y2, y =x2 + z2, x = v2 + z2 abren todas en diferentes direcciones. Explique por qué estas paraboloides son diferentes y cómo determinar en qué dirección abre una paraboloide.
En los ejercicios 5 a 44, dibuje las trazas apropiadas y luego bosqueje e identifIque la superficie. 5. z =
6. z=4—y 2
7. x2 + - + = 1
8.
9. z = 42 + 4y2
10.z = + 4y2
11.z2 = 42 +,y 2
13.z =x2 —y 2
14.z =
15.x2 —y 2 +z2 = 1
16. x 2+._ z 2=1
17. x 2__ z2
18. x22 _=1
y2
—x 2
2
12.z2 =+ç
1
19.z = cosx
20.z = .Jx2 +4y2
21.z = 4—x 2 —y 2
22.x = y2 + z2
Sección 10.6 • Superficies en el espacio
23.z -
24.z =
25.z=./ 2 +y 2
26.z = seny
27.y =
28.x = 2.-y2
29.y = x2 + z2
30.z = 9-x 2 -y 2
31.x2 +4y2 + 16z2 = 16 32.2x-z=4 33. 4x2 - y2 - z = 0
34. -x2 - y2 + 9z2 = 9
35.4x 2 +y2 -z = 4
36.x2 -y2 + 9z 2 = 9
37.-4x 2 ±y2 --z 2 = 4
38.x 2- 4.y2 + z = 0
39.x + ,y = 1
40.9x2 +y2 + 9z 2 = 9
41.x2 +'Y2 = 4
42.9x 2 + z2 = 9
43.x2 + y2 -z = 4
44.x + y 2 + z 2 = 2
En los ejercicios 45 a 48, dibuje las trazas dadas en un ünico sistema coordenado tridimensional.
45.z=x 2 +v 2 ;x=0,x
1,x=2
953
Un resultado práctico de esta forma es el drenaje del agua de un techo. Si el techo del Saddle Dome se describe mediante z = - y2, - 1 < 1, -1 :5 y :5 1, Zen qué dirección correrá el agua? Considere primero las trazas para las cuales y es constante. Demuestre que las trazas tienen un minimo en x = 0. Identifique el plano x = 0 en La fotografIa anterior. Demuestre luego que la traza en x = 0 tiene un máximo absoluto en y = 0. Use esta información para identificar Los dos puntos primarios por Los que el agua deberIa drenar. 50. Las torres de enfriamiento para. Los reactores nucLeares se construyen frecuentemente en forma de hiperboloides de una hoja, debido a La estabilidad estructuraL de esa superficie. (Véase La fotografla siguiente). Suponga que todas las secciones transversales horizontales son circuLares, con un radio mInimo de 200 pies. La torré vá a tener 800 pies de alto, con un radio seccional transversal horizontal máximo de 300 pies. Halle una ecuación para La estructura.
46.z=x2 +y2 ;y=0,y = l,y =2 47.z
x2 -y2 ;xQ,x=1,x2
48.z = x2 -y2 ;y = O,y = i,y = 2 49. Las paraboloides hiperbólicas se Raman, a yeces, gréficas de "silla de montar". El arquitecto del Saddle Dome en la ciudad canadiense de Calgary usó está forma para crear una estructura atractiva y simbólicamente significativa. 51. Se puede mejorar la apariencia de una grafica enmallada, escogiendo cuidadosamente La yentana de imagen. Hicimos un comentaio al respecto sobre elborde curvado de La figura 10.57c. ReaLice La grafIca de esta funcion con dominio -5:5 x :5 5y -5:5 y : 5 5, pero Limitando La variación dez a-i :5 z :5 20. iSe parece más a La figura 10.57b?
954
52. Los fabricantes de palos de golf usan elipsoides (liamados elipsoides de inercia) para visualizar caracterIsticas importantes de los pales de golf. En la figura se muestra
un sistema coordenado tridimensional, que se construye para el efecto. Los momentos (segundos) de inercia se calculan entonces para la cabeza del palo, respecto a cada eje coordenado. La elipsoide de inercia se define como I. + Iyy y2 + Iz 2 + 2Ithy + 21vzyz + 2Izxz = 1.
Capitulo 10 • Vectores y geornetria del espacio
La gráfica de la elipsoide proporciona informaci6n iitii para el diseñador del palo. Para propósitos de comparación, una concha esf& rica homogenea tendrIa una esfera perfecta corno su elipsoide de inercia. En Science and Golf II, se proporcionan los siguientes datos para un palo con cabeza de hierro 6 y un driver, respectivamente. Realice las graficas de elipsoides y compare las formas (recuerde que cuanto mayor sea el momento de inercia de un objeto, más dificil es hacerlo rotar). Para el palo con cabeza de hierro 6,89.4x' + 195.8y2 + 124.9z 2 - 48.6xy - 111.8xz + 0.4yz = 1,000,000 y para ci driver, 119.3x2 + 243.9y2 + 139.4z2 - 1.2xy - 71.4xz - 25.8yz = 1,000,000. 53. Dibuje las gráficas de x 2 + cy2 - z 2 = 1 para varias constantes c positivas y negativas. Si su CAS le permite animar una sucesión de gniificas, programe una anirnación que muestre una sucesión de hiperboloides de unahoja que se transforman en hiperboloides de doshojas.
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO En los ejercicios 1 a 4, calcule a + b, 4b, 11 2b - a 1. a=(-2,3),
b=(1,O)
2. a=(-1,-2),
b=(2,3)
3. a=lOi+2j-2k, b=-4i+j+2k 4. a = -i -j + 2k, b = -i + j - 2k
En los ejercicios 11 a 16, halle un vector unitario en la misma dirección del vector dado. 11.(3,6)
12. (-2,3)
13. 10i + 2j-2k
14.-i--j + 2k
15. Desde (4, 1, 2) hasta (1, 1, 6) 16. Desde (2, -1, 0) hasta (0, 3,-2)
En los ejercicios 5 a 8, determine si a, b son parale los, ortogonales, o ninguna de las dos cosas. 5. a=(2,3),b =(4,5)
6. b = i-2j,a = 2i-j
En los ejercicios 17y 18, halle la distancia entre los puntos dados. 17.(0,-2,2),(3,4,1)
7. a=(-2,3,1),
18. (3, 1, 0), (1, 4, 1)
b=(4,-6,--2)
8. a=2i.-j+2k,b4j_2j+k
En los ejercic los 9y 10, halle el vector de desplazamiento PQ.
En los ejercicios 19y 20, halle un vector con la magnitud dada yen la misma dirección del vector dado. 19. magnitud 2, v = 2i - 2j + 2k 20. magnitud , v = -i -j + k
9.
10.P = (3, 1), Q = ( 1,4)
21. El empuje que genera el motor de un avión produce una rapidez de 500 mph en el aire tranquilo.
ciit
Ejercicios do repaso del capItulo
La velocidad del viento está dada por (20, -80). ,En qué dirección debe apuntar la punta del avión para volar hacia ci este?
' I
I
22. Dos cuerdas están atadas a un cajón. Las cuerdas ejercen fuerzas de (-160, 120) y (160, 160), respectivamente. Si el cajón pesa 300 libras, .cuál es la fuerza neta sobre ci cajon? En los ejercicios 23 y 24, halle una ecuación de la esfera con radio r y centro (a, b, c).
40. Use vectores para hallar los ángulos del triángulo con vertices (0, 0), (3, 1) y (1, 4). En los ejercicios 41y 42, halle la distancia desde el punto Q hasta la recta dada. 41.Q = (1,-i 3 O),recta (x = t + 1 = 2t - 1 tz = 3 = 2t-1 y.=4t tz = 3t + 2
42.Q= (0, 1, 0), recta
23.r= 6,(a,b,c)(0,-2,0) 24.r= /,(a,b,c) = (-3,1,2)
En los ejercicios 43 y 44, halle el area o volumen indicados.
En los ejercicios 25 a 28, calcule a b.
43. Area del paralelogramo con lados ad yacentes formados por (2, 0, 1) y (0, 1, —3).
25.a=(2,-1), b=(2,4) 26.a=i-2j, b = 4i + 2j
44. Volumen del paralelepIpedo con tres aristas adyacentes formadas por (1,-i, 2), (0,0, 4) y (3, 0, 1).
27.a=3i+j-4k, b = -2i + 2j + k 28.a=i+3j-2k,b=2i-3k En los ejercicios 29y 30, halle el ángulo entre los vectores. 29. (3, 2, l)y(-1, 1,2)
30. (3, '1)y(2, -1)
31. a = 3i + j - 4k, b=i+2j+k
En los ejercicios 33 a 36, calcule el producto cruz a
x
En los ejercicios 47 a 50, halle a) ecuaciones paramétricas yb) ecuaciones shnétricas de la recta. b.
33.a=(1,-2, 1),b =(2,0, 1) l•.
45. Una fuerza de magnitud 50 libras se aplica en ci extremo de una have de 6 pulgadas de largo, formando un ánguio de x/6 con La have. Halle La magnitud de ha fuerza de torsion aphicada al torniilo. 46. Se goipea una bola con efecto de giro hacia atrás. Halle ha dirección de la fuerzade Magnus y describa ci efecto sobre La bola.
En los ejercicios 31y 32, halle compb a, y proyb a.
32. a = i + 3j - 2k, b = 2i -3k
955
34.a =(1,-2,0),b =(1,0,-2) 35.a=2j+k, b=4i+2j-k
47. La recta pasa por (2, -1, -3) y (0, 2,-3). 48. La recta pasa por (-1, 0, 2) y (-3, 0,-2). 49. La recta pasa por (2, -1, 1) yes paraleha a (x - 1)1 2 = = z + 2)/-3.
36.a = i-2j-3k, b = 2i -j
50. La recta pasa por (0, 2, 1) •y es normal al planc 2x-3y +z = 4.
En los ejercicios 37 y 38, halle dos vectores ortogonales unitarios a ambos vectores dados.
En los ejercicios 51 y 52, halle el angulo entre la rectas.
37.a=2i+k, b=-i+2j-k
51.(x4+t
y 36.a=3i+j-2k,b=2i-j 39. Una fuerza de (40, -30) libras mueve un objeto en lInea recta desde (1, 0) hasta (60, 22). Calcule ci trabajo realizado.
(..z=3+2t 52. Fx = 3 + t y = 3 + 3t 1.z = 4 - t
(x=4+2s y=2+2s z=3+4s
1x = 3 - S y
Y=3 - 2s I..z = 4 + 2s
956
CapItulo 10 • Vectores y geometria del espaclo
En los ejerciciOs 53 y 54, determine silas rectas son paralelas, cruzadas, o se intersecan. 53.(a; = 2t =3+t t.z = -i + 4i 54. (a; = 1 - t y = 2t 1.z = 5-t
58. El piano contiene los puntos (2,-1, 2), (1, -1, 4)y (3,-1,2).
(a; = 4 y
y=4+s
Iz = 3 + s = 3 + 3s j=2 I.z = 1 - 3s
1 y
En los ejercicios 55 a 58, halle una ecuación del piano dado. 55. El piano contiene el punto (-5, 0, 1) con vector normal (4, 1, -2).
En los ejercicios 59 a 72, dibuje e identifique la superficie. 59.9x2 + y2 + z = 9
60.x2 + y + z 2 = 1
61. y 2 +z2 = 1
62.x2 + 42 = 4
63.x 2 -2x+y2 +z2 =3 64.x2 +(y+2)2 +z2 =6 =2
66.z = 5
67.2x --y +z = 4
68.3x + 2,y -z = 6
56.E1 piano contiene el punto (2, -1, 2) con vector normal (3, -1, 0).
69. a;2 - ,2 + 4z 2 = 4
70.x 2 -y 2 -z = 1
57. El piano contiene los puntos (2, 1, 3), (2,-i, 2) y (3,3,2).
71.x2 -y2 -4z2 = 4
72.x 2 +y2 -z= 1
73. Al enfocarnos en geometrIa tridimensional, en los siguientes capItulos algunas proyecciones serán difIciles pero importantes de visualizar. En este ejercicio, contrastamos las curvas Cl y C2 definidas paramétricamente (XCOSt (XCOSt por y = cost y y = cost z=sent 1z=Isent respectivamente. Si usted tiene acceso a gráficas tridimensionales, trate de representar cada curva desde varias perspectivas. La pregunta será, si cada curva es una circunferencia. Para las dos curvas, se observa que a; y. Descrjba esto en palabras y dibuje una gráfica del piano a; = y. Observe luego que la proyección de Ci en el piano yz es una
circunferencia (v = cos t, z = sen t). Si Ci es realmente una circunferencia en el piano a; = ,y, analice cuál es la proyección (sombra) en el piano yz. Dado esto, explique si CI es realmente una circunferencia o es una elipse. Compare su descripción de la proyección de una circunferencia en el piano 'yz con la proyección de C2 en el piano yz. Para hacer que esto sea más cuantitativo, podemos usar la regla general, segün la cual, para una region bidimensional, el area de su proyección sobre un piano es igual al area de la region, multiplicada por cos 0, donde 0 es el angulo entre el piano en el cual está la region y el piano sobre el cual se proyecta. Dado esto, caicule el radio de la circunferencia C2.
CAPItule ii ...........................
Funciones con valores vectoriales Los photos de aviones de combate rnodernos deben realizar rutinariamente tareas que son literalmente sobrehumanas. Mientras se desplazan con rapidez supersónica, necesitan seguir el curso de misiles y de otras naves e identificar cuáles son amigables y cuáles no. En menos del tiempo que se gasta en parpadear, un piloto debe decidir si aumenta o disminuye la rapidez, lo mismo que hacia dónde girar. Estas decisiones deben tomarse aun si el jet está dando ya una vuelta tan forzada, que la mayor parte de la gente se desmayarIa debido a las fuerzas "g" que actüan sobre los pilotos. Como el lector puede haberlo descubierto en losjuegos de computador que simulan vuelos, los tiempos requeridos para la vision y la reacción están por encima de las habilidades humarias. Los pilotos de combate deben confiar en un equipo complejo de computadores para determinar de manera precisa las posiciones y las velocidades de todos los objetos que están en el-aire a su airededor. Los pilotos de las aerolIneas enfrentan retos similares. Claro que usualmente no necesitan realizar intrincadas màniobras para evitar el peligro. No obstante, los pilotos de las aerolIneas necesitan información acerca de numerosos objetos que están en el aire, y esta informaciOn debe datse en sus propios términos. Es decir, en lugar de informar a un piloto que otro aviOn está también a 340 millas de Los Angeles dirigiendose hacia St. Louis, el photo deberla iècibircotho mensaje que otro aviOn está a menos de una milla adelante y acercándose a él de frénte. Los pilotos necesitan posiciones y velocidades relativas a su propia posición, no relativas a algün punto arbitrariamente fijado en tierra. Una de nuestras metas en este capItulo es la construcciOn de un sistema coordenado tridimensional mOvil que proporcione este tipo de informaciOn. En este capitulo, damos otro paso hacia un cálculo totalmente tridimensional. Nuestro primer objetivo importante es describir la posición, velocidad y aceleraciOn de un objeto on movimiento. Sin embargo, como la localizaciOn de un objeto en el espacio es una cantidad tridimensional, no podemos describir su ubicación mediante una ünica función. Más bien, extenderemos la nociOn de función, a partir de la funciones escalares conocidas, de valores reales (aquellas cuyos valoreE son nUmeros reales individuales), hasta las funciones con valore5 vectoriales, o sea funciones cuyos valores son vectores. En las primera dos secciones de este capItulo, desarrollamos el cálculo de las funcione con valores vectoriales. Una buena parte del material es una extensiór directa, a tres dimensiones, del cálculo unidimensional conocido. En efecto, muchas de las definiciones, teoremas y cálculos serán familiares par. , elctor.Sinmbag,yhvistolemrIadinso nes puede ser mucho más interesante que la de dos dimensiones. Debi do a esto, dedicamoslasección 11.3 especIficamente al movimiento en e espacio tridimensional. En particular, veremos cómo Ia fuerza centripe ta se relaciona con la rapidez y con el radio de giro. Esta relacion e critica para los ingenieros aeronáuticos, que deben comprender las fuer zas que pueden actuar sobre la.aeronave que diseñan.
958
Figura 11.1: trayectoria de vuelo de un avióri de combate.
Capitulo 11 • Funciones con valores vectoriales
Los cálculos de las tres primeras secciones son apropiados para seguir el curso de un objeto desde un punto No de referencia. Como hemos observado ya, esta información es mucho menos ütil para Los piLotos que la información relativa a su propia posición y velocidad. En este sentido, los pilotos consideran su cabina como el origen, es decir, el puntodesde el cual deben tomarse Las medidas. Por otra parte, la velocidad de un avión determina una orientación especIfica del espacio, en términos de La cual se definan direcciones relativas como "detrés" y "arriba". En la sección 11.4 se define el vector unitario tangente como un vector unitario que tiene la dirección de La veLocidad. Luego, en la seedon 11.5, diseñamos un sistema coordenado tridimensional en el que un eje apunta a la direccióri del vector tangente unitario. La aceleración de un avión se puede descomponer en una componente tangencial que afecta la rapidez del avión y una componente normal que hace girar al avión. Como se vera en los muchos problemas y aplicaciones que se presentan, el anáLisis de las funciones con vaibres vectoriaLes es de interés, aun para quienes no vuelan en aviones jet.
11.1 FUNCIONES CON VAL ORES VECTOR/ALES
Figura 11.2: vectores quo indican la posiciOn del aviOn en varios instantes.
Considerenios La trayectoria intrincada del avión que se muestra en la figura 11.1. iCómo se podrIa describir su ubicación en cualquier instante dado? Se podria considerar un punto (x, j, z) en tres dimensiones, pero resulta más conveniente si se describe su ubicación en cualquier instante dado, mediante el extremo de un vector (ilamado vector posición). Esto significa que se requiere un vector diferente para cada instante (véase la figura 11.2, para Los vectores que indican la Localización del avión en varios instantes). Por otra parte, una función que nos diera un vector V3 para cada instante t, harIa el trabajo correctamente. Este es el concepto de función con valor vectorial. Más precisamente, tenemos la siguiente definición.
DEFINICION. Una función con valores vectoriales r(t) es una De manera rutinaria usa-. mos la variable tpara ropresentar la, variable independiente para funcionos con valores vectoriales. 1-Jacemos osto porque con frecuencia t representa tiempo. Aun on aquellos casos on los quo t no representa tiemp0, no es perjudicial consideranla corno tal.
MM
aplicación de su dominio D C R en su recorrido R C V3, de modo que para cada t en D, r(t) = a, para un ünico vector a E V3. Una función con valores vectoriaLes se puede escribir siempre como r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, (1.1) para algunas funciones escalaresj g, h (liamadas las funciones cornponentes de r). Observe que si r(t) está definido por (1. 1), su valor es un vector (diferente) en V3, para cada t en D. De modo similar, se puede definir una fun-. ción con vaLores vectoriales r(t) en V2 mediante r(t) =f(t)i ± g(t)j, para aLgunas funciones escaLaresj, g. ITRAZADO DE UNA CURVA DEFINIDA POR UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES
Dibuje una gráfica de la curva descrita por el extremo de la función bidimensional con valores vectoriales r(t) = (t + 1)i + (t2-2)j.
SecciOn 11.1
• Funciones con valores vectoriales
959
SOLUCION Dando algunos valores a t, tenemos r(0) = i 2j = (1, -2), r(2) = 31 + 2j = (3, 2), r(-2) = (-1, 2). Estos vectores se representan en La figura 11.3a. Los extremos de todos los vectores posición r(t) están sobre hi curva C, descrita paramétricamente por -
C:x=t+i,y=t2 -2,tER.
x
Podemos eliminar el parámetro resolviendo con respecto a t en términos de x: = x -1. La curva está dada entonces por
Figura 11.3a: algunos valores de r(t) = (t + 1)i + (t2 2)j.
y = t2 -2 =(x-i)2 -2. Se. observa que la gráfica es una parabola que abre hacia arriba, con vértice en el punto (1, -2), como se ye en la figura 11.3b. Las pequ?flas flechas marcadas en la gráfica indican la orientación, es decir, la dirección de los valores crecientes de t. Si la curva describe la trayectona de un objeto, entonces la orientación indica la dirección en la cual el objeto se desplaza por la trayectoria. En este caso, es fácil de determinar a partir de La representación paramétrica de la cürva. Aill se tiene, x = t + 1, de modo que cuando t crece, x también crece.
Figura 11.3b: curva definida por r(C) = (t + 1)1 + (0 2)j. -
El lector puede recordar, de su experiencia con ecuaciones paramétricas en el capItulo 9, tomo 1, que hi eliminación del parámetro en la representación paramétrica de una curva puede no ser siempre tan fácil como lo fue en el ejemplo Li; esto puede constatarse en el éjempló que sigue. -
UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES QUE DEFINE UNA ELIPSE
Dibuje una gráfica de la curva descrita por el extremo de la funcion con valores vectoriales r(t)= 4 cos ti-3sen ti, tER. SOLUCON
En este caso, la curva se puede representar paramétricamente por x = 4 cos t,y =-3sent,tER.
AquI, para eliminar el parámetro no conviene resolver con respecto al parámetro t. Más bien, debe buscarse alguna relación entre las variables. Debe observarse que (X\2
+ (
^D' /
Flgura 11.4: curva definida por
r(t)= 4 cos ti-3sentj.
x
= cos 2 t + sen2 t
1
2
( y)
que es la ecuaciôn de una elipse (véase la figura 11.4). La determinación de la orientación de la curva es un poco más difIcil que en el ejemplo 1.1. En este caso, se deben observar con cuidado ambas ecuacioneS
960
CapItuto 11
• Funciones con valores vectoriales
• paramétricas. Primero, fijar un punto de partida en la curva; por conveniencia, digámos (4, 0). Este punto corresponde a t = 0, ±2, ±4iv, Cuando t crece, se observa que cos t (y, por consiguiente, x) decrece inicialmente, mientras que sen t crece; de modo que y = -3sen t deerece (inicialmente). Con x, y decreciendo ambos inicialmente, obtenemos la orientación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, como se indica en la figura 11.4. De la misma manera que ci extremo de una función con valores vectoriales en dos dimensiones traza una curva, si fuéramos a representar ci valor de r(t) = f(t) i + g(t)j + h(t)k, para cada valor de t, los extremos de los vectores trazarIan también una curva en tres dimensiones. UNA EUNCION CON VALORES VECTORIALES QUE DEFINE UNA ESPIRAL ELIPTICA
Represente la curva trazada por la función con valores vectoriales r(t) = sen t i
-
3 cos t
+ 2t k, t ^t 0.
SOLUCIUN La curva está dada paramétricamente por x = sen t, y = -3 cos t, z = 2t, t 2! 0. Aunque la mayorIa de las curvas en tres dimensiones son difleiles de reconocer, hay algo que deberfa verse aqul. Se observa que hay una relación entre x y y,a saber, X
Figura 11.5a: espiral elIptica, cos tj + 2t k.
r(t) = sent i -3
Figura 11.5b: dibujo computarizado:
2 +()2 = sen2 t + cos2 t = 1.
(1.2)
En dos dimensiones, ésta es la ecuación de una elipse. En tres dimensiones, como La ecuación no involucra a z, (1.2) es la ecuación de un cilindro eliptico cuyo eje es el eje z. Esto quiere decir que cada punto de la curva definida por r(t) está en el cilindro. Observe, en las ecuaciones paramétricas para x y y, que (en dos dimensiones) La elipse se recorre en el sentido opuesto al movimiento de las manecilias del reloj. Esto expresa que La curva se enrolla airededor del cilindro (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, mirando hacia el origen, por el eje positivo z), mientras t crece. Finalmente, como z = 2t, z crecerá cuando t crezca, de modo que La curva ascenderá por el cilindro, a medida que t crece. En la figura 11.5a se muestran la curva y ci cilindro elIptico. A esta curva se le llama espiral elIptica. En la figura 11.5b se muestra una grafica de La misma espiral, generada por computador. AllI, en lugar de los ejes x, y, z usuales, se muestra una gráfica enmarcada en La que los valores de x, y, z se indican sobre tres aristas adyacentes de una caja que contiene a la grafica.
r(t) = sen t i —3 cos t j + 2t k.
Se pueden usar funciones con valores vectoriaies como representación conveniente de algunas curvas conocidas, como se ye en ci siguiente ejemplo.
J
FUNCION CON VALORES VECTORIALES QUE DEFINE UNA RECTA
Represente la curva trazada por la función con valores vectoriales r(t) = (3 + 2t, 5 3t, 2 4t), t E R. -
-
SecciOn 11.1 • Funciones con valores vectoriales
961
SOLIJCION Observe que la curva está dada paramétricamente por x=3 +2t,y=5-3t,z=2--4t,tER. En esta representación se reconocen las ecuaciones paramétricas de una recta paralela a! vector (2, -3, -4) que pasa por el punto (3, 5, 2), como se ye en la figura 11.6.
Figura 11.6: recta: r(t) = (3 + 2t, 5 - 3t, 2 - 4t).
La mayorIa de las gráficas tridimensionales constituyen un reto para trazarias a mano. El lector querrá probablemente usar gráficas generadas por computador en la mayorIa de los casos. Aun asI, deberá ser suficientemente reflexivo para saber cuándo hacer acercamientos o alejamientos, o cuándo rotar una gráfica para descubrir aiguna caracterIstica oculta. Debe ser capaz de dibujar a mano varias curvas básicas como las de los ejempios 1.3 y 1.4. Más importante ai.in es poder reconocer los efectos que las componentes tienen en la gráfica de una curva tridimensional. En ci siguiente ejemplo, lo conducimos a hacer corresponder cuatro funciones con valores vectoriales, con sus gráficas generadas por computador. CORRESPONDENCIA ENTRE UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES Y SU GRAFICA
Haga corresponder cada una de las funciones con valores vectoriales f(t) = (cos t, in t, sen t), f2(t) = (t cos t, t sen t, t), f3(t) = (t, 3 sen 2t, t), f4(t) = (5 sen 3 t, 5 cos3 t, t), con la gráfica respectiva generada por cornputador, que se presentan a continuación.
GráficaA
11
V
-
Grafica C
Gráfica B
S
Grafica D
962
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
SOLUCION
En primer lugar, hay que darse cuenta de que no hay un ünico procedimiento correcto para resolver este problema. Es necesario hacer corresponder funciones conocidas con propiedades de gráficas conocidas. Mediante el ejemplo 1.3, recuerde que ciertas combinaciones de senos y cosenos producirán curvas que están sobre un cilindro. Observe que para la función fi(t), se tiene x = cos t, z = sen t; de modo que
X2 + z2 = cos2 t + sen2 t = 1. Esto quiere decir que cada punto de la curva está en el cilindro x 2 + z2 = 1. (Este es un cilindro circular recto de radio 1 cuyo eje es el eje y). Por otra parte, la función y = In t tiende rápidamente hacia—oo cuando t - 0 y crece lentamente cuando t crece más allá de t = 1. Observe que la curva de La gráfica B parece estar en un cilindro circular recto y que Las espirales tienden a acercarse unas a otras, a medida que se avanza hacia la derecha (cuando y -* oo), y se apartan mucho cuando se avanza hacia Ia izquierda (cuando y -+ _ oo). A primera vista, podrIa esperarse que la curva trazada por f2(t) también estuviera en un cilindro circular recto, pero hay que mirar con más cuidado. Aqul se tiene, x= tcos t,?J= tsen t,.z t,de madO que
X2 + y2 = t2 cos2 t + t2 sen2 t = = z2
Figura 11.7: el ciundro
x = 5 sen3 t, y = 5 cos3 t.
Loriqil:ud dc, arco en
.
Esto expresa que la curva está sobre la superficie definida por x 2 + = z2 (un cono circular recto, con eje a lo largo del eje z). Se ye que solamente la curva que se muestra en Ia gráfica C se ajusta a esta descripción. Se observa a contmuacnquparaf3t,la&componentes.x, z son idénticas y, por tanto, la curva debe estar en el plano x = z. Remplazando t por x, tenemos y = 3 sen 2t =3 sen 2x, unacurvaseno en ellano x zC1àráthint, La curva de la grafica D se ajusta a esta descripción. Esto nos deja con la gráfica A para la función f4(t). Sin tener en cuenta que A es Ia ünica curva que falta por hacer corresponder, observe que si Los términos coseno y seno no estuvieran elevados al cubo, se tendrIa simplemente La espiral del ejemplo 1.3. Los cubos tienden a transformar en cuadràdos la apariencia suave de la espiral. Como z = t, cada punto de Ia curva es un punto del cilindro definido paramétricamente por x = 5 sen 3 t, y = 5 cos3 t. Se necesita solamente mirar la grafica de la seceión transversal del cilindro (que se halla haciendo la grafica de las ecuaciones paramétricas x = 5 sen 3 t, y = 5 cos3 t en dos dimensiones) para decidir si la gráfica A es la eLeccion obvia. En Ia figura 11.7 se muestra esta sección transversal.
R3 Una pregunta natural que se puede formular con respecto a una curva es: ".cuál es su longitud?" Ciertamente, hemos respondido a esta pregunta en el caso de curvas de dos dimensiones. Recuerde que en la sección 5.4, tomo 1, se vio que sif,f' son continuas en el intervalo [a, b], çntonces la longitud del arco de la curva y = J(x) en ese intervalo está dada por
jb y En La sección 9.3, tomo 1, extendimos esto al caso de una curva definida paramétricamente porx =fit),.y = g(t), dondef, f', g, g' son todas continuas para t E [a, bi. En este caso mostramos que si La curva se atraviesa
SoccOn 11.1 Funciones con valores vectoriales
963
exactamente una vez cuando t crece desde a hasta b, entonces la longi. tud de arco está dada por
f
(f(b), g(b))
7NI (f(a), g(a))
S
Figura 11.8a: longitud de arco aproximada en R 2
(1.3
ci {( f(ti_i), g(ti.i), h(t.i)), (f(ti), g(t), h(t1))} =
aproximada en i.
Viff(t)? + [g'(t)]2 dt.
Recuerde también que en ambos casos, se desarrolló la formula pars longitud de arco, partiendo primero la curva en porciones pequeñas (esc decir, partimos el intervalo [a, b]) y luego aproximando la longitud mediante la suma de las longitudes de pequeños segmentos de recta que conectan los puntos sucesivos (véase la figura 11.8a). Finalmente, se hizc la aproximaciOn exacta tomando el ilmite cuando el nümero de punto de la particiOn tiende a infinito. Esto quiere decir que si la curva C er. R2 se traza por, medio del extremo de los veàtores de la funciOn cor valores vectoriales r(t) = (f(t), g(t)), entonces la longitud de arco est dada por (1.3). La situación en tres dimensiones es una extensiOn directa del cast bidimensional. Supongamos que una curva se traza mediante el extre mo de la funciOn con valores vectoriales r(t) = (fit), g(t), h(t)), donde f g, g', h, h' son todas continuas para t E [a, b] y donde la curva se recorr exactamente una vez a. medida que t crece desde a hasta b. Como 1. hemos hecho incontables veces hasta ahora, comenzamos por aprox mar la cantidad que interesa, en este caso, la longitud de arco. Para h cerlo, partimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual tamañ( a = to < tj < ... < t, = bdonde t. - ti_i = At = (b - a)I'ii, para todos los i = 2,..., n. A continuaciOn, para cada i = 1,2, ..., n, aproximamos la longitu de arco si de la porciOn de curva que une los puntos (flti_i), g(4--I), h(ti.-i y (fiti), g(ti), h(t)) mediante la distancia en lInea recta entre los punt (véàse la figura 1 1.8b para ilustrar el caso en que n 4). Por la fOrmu de la distancia, se tiene Si
Figura 11.8b: longitud de arco
b
Of
- f(t_ 1 )]2 + [g(t) -
+ Eh(t) -
Aplicando el teorema del valor medio tres veces (por qué se puede Ii cer esto?), obtenemos
f(ti) -f(t-i) = f '(ct) (t - tj_) = f '() At, g(ti) - g(ti_i) = g'(d) (ti - ti-i) = g'(di) At,
y h(h) - h(t-i) = k'(e) (ti - ti-1) = h'(e) At, para algunos puntos ct, di, ei, en el intervalo (ti.-I, ti). Esto nos da /f(tj) f(t j1 )]2 + [g(t) - g(t_1 )12 ± fh(t) - h(t1)12 = /[f'(cj) At]2 + [g'(dj) At1 2 + [hl(e) At]2 = s/[f'(cj)]2 + [g'(d)}2 + [h'(e)1 2 At. Observe que si At es pequeño, entonces todos los cercanos y se puede hacer la aproximaciOn
C,
di, ei, están
fl
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
964
s
i
J[f'(c)J 2 + [i(.)]2 + [ W (c)] 2
it,
para cada i = 1, 2,..., n. La longitud de arco total es entonces, aproximadamente, + [g(c
S Al tomar el limite para n -+
00,
)12 + [h'(ci)]2 Lit.
se debe obtener la longitud de arco exacta:
n 8=
lim V aJ[fI(c)]2 + Eg'(c)12 + [ h' (c)) 2 Lit, i=1
n-,00
dado que el lImite exista. Esto se puede reconocer como la integral definida
Longitud de arco
s
=f
Ono
1 [h'(t)1 2 dt.
+
(1.4)
Debe obervarse que la formula de la longitud de arco en R 2 (1.3) es un _cspeeaLde (1.4),Infortunadamente,-la-integral-de-(.lA)-raravez se puede calcular exactamente y con frecuencia debemos contentarnos con una aproximación numérica. El siguiente ejernplo ilustra una dc las pocas longitudes de arco en 1R3 que se puede calcular exactamente. CALCULO DE LONGITUD DE ARCO EN R'
Halle la longitud de arco de la curva trazada-por-e1extremo de la funciOn con valores vectoriales r(t) = (2t, In t, t 2), para 1 :5 t e. SOLUCION En primer lugar, debe observarse que r'(t) = (2, , 2t). Por (1.4), se tiene 2 S
+ (2t) 2
= / 22 + J1
dt = /
+ 1 + 42 dt
()
/1+4t2+4t4e t2
V
C1+2t2 -.
L (In ItI+
2-
fe/i
V(1
2dt +2t2)2
\
-) =(In e+e2 )— (In l+i)=e 2 . Ji
No se preocupe sino puede calcular exactamente una integral de longitud de arco; la mayor parte de ellas !no pueden calcularse exactamente! Esta es la razOn por la que hemos desarrollado métodos numéricos de integraciOn. En cualquier caso, es más importante saber qué es la longitud de arco y cómo se calcüla, que ser capaz de realizar cualquier cálculo en particular.i
Seccián 11.1 o Funciones con valores vectoriales
965
DE LA LONGITUD DE ARCO EN R3 Halle la longitud de arco de la curva trazada por el extremo de la función con valores vectoriales r(t) = (eSt, sen t, t), para 0 :5 t :5 2. SOLUCION En primer lugar, observe que r'(t) = (2 e2t, cos t, 1). Por (1.4), se tiene S
=
f
--
2
I2e2t)2
+ (cos t) 2 + 12 dt
f2 4e4t
+ cos2 t + 1 dt.
Como no sabemos calcular esta integral exactamente (mo es cosa de avergonzarse!), se puede aproximar la integral usando la regla de Simpson o la rutina numérica de integracion incorporada en su calculadora o sistema algebraico computarizado para hallar que la longitud del arco es aproximadamente s = 53.8.
EJERCICIOS DE LA SECCION 11.1 S MS 1. Analice las diferencias, silas hay, entre la curva trazada por el punto extremo de la función con valores vectoriales r(t) = (fit), g(t)) y la curva definida paramétricamente por x = f(t), y = g(t). 2. En el ejemplo 1.3, describa la "sombra" de la espiral en el piano xy (la sombra producida por una luz dirigida desde la parte "superior" del eje z). De manera equivalente, si la espiral colapsa sobre el piano xy, describa La curva resultante. Compare esta curva con la elipse definida paramétricamente por x = sen t, y = —3 cos t. 3. Analice cómo calcularfa la longitud de arco de una curva en cuatro o más dimensiones. EspecIficamente, para la curva trazada por el punto extremo de la, función n-dimensional con valores vectoriales r(t) = (fi(t), f2(t), f,(t)) para n ^! 4, establezea la formula de longitud de arco y analice cOmo se relaciona con la fOrmula de la distancia para n dimensiones. ...,
4. La espiral de las figuras 11.5a y 11.5b se muestra desde un punto de vista estándar (por encima del plano xy, entre los ejes x y y). Describa lo que verfa un observador situado en el punto (0, 0, -1,000). Describa también lo que verIan los observadores situados en los puntos (1,000, 0, 0) y (0, 1,000, 0).
En los ejercicios 5 a 8, represente los valores de En los ejercicios 9 a 40, dibuje la curva trazada por la función con valores vectorriales dada. la funcion con valores vectoriales. 5. r(t) = (3t, t2, 2t 6. r(t) = (4 t =- 2
-
-
1), t = 0, t = 1, t = 2
t)i + (1
-
t2)j + (t3
1)k, t = -2, t = 0,
-
1)
10.r(t) = (sent -2, 4 cost) 11.r(t) = (2 cost + sen 2t, t 2 sent + cos 2t)
7. r(t) = (cos 3t, 2, sen 2t 8. r(t) = (e2-t, 1
-
9. r(t) = (2 cos t, sen t
-
-
1),t =
-
,
t = 0, t =
t, 3), t = —1, t = 0, t = 1
12. r(t) = (2 cos 3t + sen 5t, 2 sen 3t + cos 5t) 13.r(t) = (4 cos 4t
-
cos t, 4 sen4t- 6 sent)
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
14.r(t) = (8 cost + 2 cos 7t, 8 sent + 2 sen 7t)
c) r(t) = (sen 16 vft , cos 16
15.r(t) = (2 cos t, 2 sent, 3)
d) r(t) = (sen t 2 , cos t2 , t)
16.r(t) = (cos 2t. sen 2t, 1)
e) r(t) = (t, t, 6 - 4t 2 )
17.r(t)
(t, t2 + 1, -.1)
f) r(t) = (t3
-
t)
t, .5t2 , 2t— 4)
18. r(t) = (3, t, t 2 —1) 19.r(t) = (t, 1, 3t 2 ) 20.r(t) = (t, 1, t 2 —1) 21.r(t) = (4t - 1, 2t + 1, —fit) 22.r(t) = (t + 2, 2t —1, t + 2) 23. r(t) = (-2t, 2t, 3 - t)
Grática B
Gráfica A
24.r(t) = (t + 2, 1,3t-1) 25;r(t)
= 0 cos t, 3 sen t, t)
26.r(t) = (2 cos t, sen t, 3t) 27. r(t) = (2 cos t, 3 sen t, 2t) 28.r(t) = (3 cos 2t, 2 sen 2t, t)
S
29.r(t) = (1, cos t, sen t)
Gráfica 0
GráflcaC
30.r(t) = (-1, 2 cost, 2 sen t) 7
31.r(t) = (t cos 2t, t sen 2t, 2t) 32. r(t) = (t cos t, 2t, t sen t) 33.r(t) = (cos 5t, sen t, sen fit) 34.r(t) = (3 cos 2t, sen t, cos 3t) 35. r(t) = (t, t, 2t 2 36.r(t) = (t 3
-
-
1)
S
Gráfica F
Grfica E
t, t2 , 2t —4) t < 2X
37.r(t) = (20 sent, 20 cos t, t 2), —2
:5
38.r(t) = (20 sent, 20 cost, t 2), —4
:5 t :5 4
42.De las funciones del ejercicio 41, Zcuiles son periódicas? . Cuáles son acotadas?
39.r(t) = (tan t, sen t 2 , cos t)
En los ejercicios 43 a 48, dibuje la curva y halle la longitud de arco.
40. r(t) = (son t, --csc t, cot t)
43.r(t) = (cost, sent, cos 2t), 0
41.En los ejercicios a a f, establezca una correspondencia entre la función con valores vectoriales y su gráfica.
:5
2r
44.r(t) = (cost, sent, sent + cos t), 0
:5
:5
t
45. r(t) = (cos at, sen at, cos 16t), 0
t < 2x
t<2
a) r(t) = (cos t2 , t, t)
46. r(t) = (cos at, sen at, cos 16t), 0 5 t 4
b) r(t) = (cos t, sen t, sen t 2 )
47.r(t) = (t, t 2 —1, t3), 0
t
:5
2
SecciOn 11.2 • El cálculo de las funciones con valores vectorialeS
48.r(t) = (t 2 + 1, 2t, t2 — 1), 0 ::!:_ t :5 2 49. Demuestre que la curva del ejercicio 43 está en el paraboloide hiperbólico z = x 2 - y. Dibuje la superficie y la curva. 50. Demuestre que La curva del ejercicio 44 está en el piano z = x + y. Dibuje el piano y la curva. 51. Demuestre que la curva r(t) = (2t, 4t 2 - 1, 8t3), 0 < t:5 1 tiene La misma longitud de arco que la curia del ejercicio 47. 52. Demuestre que la curva r(t) = (t + 1, 2VT, t - 1), 0 :5 t :5 4 tiene la misma longitud de arco que la curva del ejercicio 48. 53. Compare las gráficas de r(t) = (t, t 2, ta), g(t) = (cos t, cos2 t, cos2 t), h(t) = ( v' , t, t). Explique las semejanzas y diferencias. 54. Compare las graficas de r(t) = (2t -1, t 2, t), g(t) = (2 sen t - 1, sen 2 t, sen t), h(t) = (2e t 1, e 2t, et). Explique las semejanzas y diferencias.
57. En contraste con los ejercicios 55 y 56, la grafica de r(t) = (cos t, cos t, v2 sen t) es una circunferencia. Para verificar esto, comience por demostrar que I I r( t) I I = ij para todo t. Observe luego que la curva está en el plano x = ,y. Explique por qué esto demuestra que la grafica es (una porción de) una circunferencia. Observando los vectores base se puede lograr una mejor comprensión. La circunferencia está en el piano x = y, que contiene al vector u = (1, 1, 0). El piano x = y contiene también al vector v = (0, 0, 1). Demuestre que cualquier vector w en el piano x = y se puede expresar como w = ciu + C2V, para ciertas constantes Cj, C2. Demuestre también que r(t) = (-s/ cos t)u + (V2- sen t)v. Recuerde que en dos dimensiones, una circunferencia de radio r centrada en el origen se puede expresar paramétricamente como
967
55. Use un dispositivo graficador para dibujar La gráfica de r(t) = (cos t, cos t, sen t) con 0 :5 t < 2iv. Explique por qué la graflea deberla ser identica con 0 :5 t s T para cualquier T 2 2v. Ensaye con varios dominios más grandes (0 < t :5 29, 0 :5 t 10v, 0 :5 t :5 50r, etc.) con su dispositivo graficador. Finalmente, la elipse deberla comenzar con Un aspecto más grueso y para dominios suficientemente grandes convertirse en un enredo de lIneas dentadas. Explique qué no ha funcionado con el dispositivo graficador. 56. Puede ser sorprendente que lit curva del ejercicio 55 no sea una circunferencja. Demuestre que Las trazas en el piano xz y en el piano yz son circunferencias. Demuestre que la curva está en el plano x = ,y. Dibuje una grafica en la que se muestre el piano x = y y una traza circular en el piano yz. Para dibujar una curva en el piano x = y con traza circular, explique por qué la curva debe ser más ancha en la dirección xy que en la dirección z. En otras palabras, la curva no es circular.
(r cos t) i + (r sen t)j. En general, suponga que U, v son vectores ortogonales unitarios cualesquiera. Si r(t) = (r cos t)u + (r sen t)v, demuestre que r(t) . r(t) = r2 . 58. Con referencia a los ejercicios 13 y 14, examine las gráficas de varias funciones con valo-res vectoriales de La forma r(t) = (a cos ct + b cos cit, a sen ct + b sen dt), donde a, b, c, d son constantes. Determine los vaiorës de estas constantes, que producen gráficas de diferentes tipos. For ejemplo, comenzndo con la grafica de (4 cos 4-6 cost, 4 sen 4t 6 sen t); cambie c = 4 pore = 3, c = 5, c = 2, etc. Conjeture una relación entre el nümero de rizos y la diferencia entre c d. Verifique esta conjetura con otras funciones de valores vectoriales. Volviendo a (4 cos 4t 6 cost, 4 sen 4t -6 sen t), cambie el valor a = 4 por otros valores. Conjeture una relación entre el tamaño de los rizos y el valor de a.
968
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
11.2 EL CAL CUL 0 DE LAS FUNCIONES CON VALORES VECTORIALES Ahora que hemos definido las funciones con valores vectoriales, necesitarnos algunas herrarnientas para exarninarlas. En esta sección, comenzamos por explorar. el cálculo de las funciones con valores vectoriales. Lo mismo que con las funciones de valor escalar, cornenzarnos con la noción de lImite y avanzamos hacia la continuidad, las derivadas y, finalmente, las integrates. Debe tomarse cuidadosa nota de córno nuestra presentación guarda paralelismo con la correspondiente a los capItulos 1, 2 y 4, torno 1. Continuamos con este mismo desarrollo cuando exarninamos funciones de varias variables en el capItulo 12. En esta sección definirnos todo en términos de funciones con valores vectoriales en tres dimensiones. Las definiciones se pueden interpretar para funciones con valoros vectoriales en dos dirnensiones, de la manera obvia: simplemente ornitiendo la tercera componente en todas partes. En el caso de una función de valores vectoriales r(t) = (f(t), g(t), h(t)), si escribirnos lIrn r(t) = t-+a
t estámás y-más cercanoal -valora,el vector-r-(t)-se ac-erea-rn-ás-y-més-al-vectr-u -Alexpresar - u-=-(w1-,- u2rw); esto quiere decir que urn r(t) = lirn (fit), g(t), h(t)) =
t--+a
t—a
ii = (ui, t2,
'ua).
Observe que para que esto ocurra, se debe tener que.f(t) se acerca a ui, h(t-)-se-acerca--a u3; -En-vistadeelludamsia siguie te definición. DEFINICION. Para una !ünción con valores vectoriales r(t) = g(t), h(t)), el ilmite de r(t) cuando t se acerca at valor a está dado por
lIrn r(t) = Urn (At), g(t), h(t)) = (Urn f(t), lirn g(t), Urn h(t)),
Limite de una función con valores vectoriales
t--+a
t—a
t--,, a
t--+a
(2.1)
dado que todos los lIrnites indicados existan. Si cualquiera de los lIrnites indicados en el lado derecho de (2.1) no existe, entonces lIm r(t) cuando t - a no existe. En el siguiente ejemplo, se ye que calcular un lImite de una función con valores vectoriales consiste simplemente en calcular tres lIrnites separados de funciones escalares. DETEKMINACION DEL L'MITE DE UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES
Halle urn (t2 + 1, 5 cos t, sen t). t--#O
SOLUtION Recuerde que cada una de Las funciones componentes es continua (para todo t) y, por tanto, se pueden calcular sus lirnites simplernente dando valores a t. Se tiene lIm (t2 + 1, 5 cos t, sen t) = (lIrn (t2 + 1), 5 urn cos t, Urn sen t) t-40
t—'O
= (1, 5, 0).
I
.
.
.
.
.
-.
t—O
t--#O
SecciOn 11.2. El cálculo de las funciones con valores vectoriales
969
UN L'MITE QUE NO EXISTE
Halle JIm (e St + 5 1 t2 + 2t - 3, lIt). t-40 SOLUCJON Observe que el lirnite de la tercera componente es urn (lit) cuando t que no existe. De modo que aunque los lIrnites de las prirneras dos cornponentes existan, el limite de la función con valores vectoriales no existe. Recuerde que para una función escalarf, se dice que es continua en a Si y solamente Si JIm (t) = f(a).
t-, aj
Es decir, una función escalar es continua en un punto, siempre que el lImite y el valor de la funcjón coincidan en ese punto. Definimos de la misma manera la continuidad de las funciones con valores vectoriales.
Continuidad para una función con valores vectoriales
DEFINICION. La función con valores vectoriales r(t) = f(t), g(t), h(t) es continua en t = a siempre que JIm r(t) = r(a)
t-a
(es decir, cuando el limite y el valor de la función con valores vectoriales coinciden). Observe que, en términos de las componentes der,esto significa que r(t) es continua en t = a siempre que Jim (f(t), g(t), h(t)) = (f(a), g(a), h(a)). Por otra parte, como Urn (f (t), g(t), h(t)) = (Urn fit), Urn g(t), Urn h(t)), t-a
t--+a
t-+a
se deduce que r es continua en t = a si y solamente si (lImf(t), lIm g(t), Urn h(t)) = (fta), g(a), h(a)). t-'a
t-+a
t-a
Finalmente, observe que esto ocurre si y solamente si lImf(t) = f(a), Urn g(t) = g(a) y urn h(t) = h(a).
t-
t-+a
t-a
Si se observa cuidadosamente lo que se acaba de expresar, se puede ver que se ha demostrado el teorema siguiente:
Una función con valores vectoriales r(t) = (At), g(t), h(t)) es continua en t = a si y solamente sif g, h son todas continuas en t = a. Observe que el teorerna 2.1 expresa que si se quiere determinar si una función con valores vectoriales es continua o no, se necesita solamente verificar la continuidad de cada componente (ialgo que ya sabe cómo hacer!) Mostramos esto en los dos ejemplos que siguen.
970
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
DETERMINACION DE DONDE ES CONTINUA UNA FUNCIÔN CON VALORES VECTORIALES
Determine para cuáles valores de t es continua la función con valores vectoriales r(t) = 5t, in (t + 1), cos t). (e
SOIIUCION Por el teorema 2.1, es necesario considerar solamente la continuidad de las funciones componentes; r(t) es continua siempre que todas sus componentes sean continuas. Se tiene: e 5 f es continua para todo t, In (t + 1) es continua para todo t > -1, cos t es continua para todo t. Esto quiere decir que r(t) es continua para t > -1.
UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES QUE TIENE INFINITAS DISCONTINUIDADES
Determine para cuáies valores de t es continua la función con valores vectoriales r(t) = (tan t, It + 3, 1/(t - 2)).
En primer lugar, observe que tan t es continua, excepto en t = (2n + n = 0, ± 1, ±2, ... (es decir, tan t es continua excepto en los mültiplos es continua para todo t (aunque no. es derivable en t -3). Finalmente, la tercera cornponente, 1/(t -2), es continua, excepto en t = 2. Como todas estas cornponentes deben ser continuas para que r(t) sea continua, se tiene que r(t)es continua, excepto ent = 2 yent=(2n± 1 ),v12, n = 0, ±1,±.2, Recuerde que en el capItulo 2, tomo 1, hemos definido la derivada de una función escalarfcomo (t) = lIm f(t + h) - f(t) fl h—'0 •h Al remplazar a h por At, se puede expresar esto como f(t+ At) -f(t) At El lector se puede preguntar por qué cambiar de una variable sencilla como h a algo menos usual como At. La inica razón es que queremos usar la notación para enfatizar en que At es un incremento de La variable t. En el capItulo 12 definiremos derivadas parciales de funciones de más de una variable, y allI utilizaremos este tipo de notación para adarar cuál variable se está incrementando. A continuación, definimos La derivada de una función con valores vectoriales, de la manera esperada. f l ( t) = lIm
DEFINICION. La derivada, r'(t) do la función de valores vectoriales r(t) se define mediante r(t + At) - r(t) (2.2) r '(t) = lIm At--+O
At
para valores cuaesquiera de t para los que el lIrnite exista. Cuando el lImite existe para. t = a, se dice que_r es derivable en t = a.
WVSección 11 .2 • El cálculo de las funciones
COfl
971
valores vectoriales
Afortunadamente, usted no tendrá que aprender nuevas reglas de denvación, ya que La derivada de una función con valores vectoriales se haha directamente a partir de las derivadas de Las componentes individuales, como se puede ver en el siguiente resuLtado.
Sea r(t) = (fit), g(t), h(t)); suponga que las componentesf g, ii son todas derivables para aLgün valor de t. Entonces r es derivable también en ese valor de t su derivada está dada por r'(t) = (f '(0, g'(t), h'(t)).
(2.3)
Demostración. Por la definición (2.2) de derivada de una función con valores vectoriales, tenemos r'(t) = lIm
r(t +
t) - r(t) At
= iIm- [(f(t+it),g(t+it), h(t+Lit)) - (1(t), g(t), h(t))] -c = lim
(f(t+At) -f(t), g(t-i-At) - g(t), h(t+At)) -
donde se ha usdo ha definición de sustracción entre vectores. Al distribuir el escalar para cada componente y al usar la definición de ilmite de una función con valores véctoriaLes, (2.1), tenemos
L t
(flt+it) -f(t), g(t+At) - g U), h(t+At) - h(t)) t—O
f(t + t) - 1(t) g(t + t) - g(t) h(t + 1t) - h(t) =lfmt/ At Ai At = / him
=
f(t + t) -f(t) Jim g(t + 't—c At
)
t) - g(t) him h(t + zt) - h(t) 't—o At
(f '(t), g'(t), h'(t)),
en donde, en el üLtimo paso, se reconoce la defmnición de las derivadas de cada una de las funciones componentesJ g, h. Debe observarse que, gracias al teorerna 2.2, para derivar una fundon con valores vectoriales, se requiere solamente derivar las funciones componentes individuales, mediante las reglas usuales de derivación. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. DETERMINACION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES
Halle la derivada de r(t) = (sen(t 2
),
e
cos t ,
tin t).
SOLUCJÔN Aphicando la regla de la cadena a las dos primeras componentes y ha regla del producto a la tercera, se tiene (pàra t > 0):
972
Capitulo 11 • Funciones con valores vectoriales
I
Id
r'(t) = (\
[sen (t 2
- ( COS ( 12)
I
-
d dt
d )] ,
(t2)
(cos (t2 ) ( 2t)
(ecost) ,
( tint))
eCOSt - ( cost),
dt
eC0St
(t) In t i t
(In t)
(—sen t) , (1) In t + t
- (2tcos(t 2 ),—sen ieCO 3 1flt+1) .
Casi siempre, al calcular derivadas de funciones con valores vectoriales, se necesita solamente usar Las reglas conocidas de derivación para fun-. ciones escalares. Sin embargo, hay varias regias especiales de derivación que se establecen en el siguiente teorema.
Supgaquij)-,_s(t) snJunciones_conva1ores vetoria1es derivables, quef(t) es una función escalar derivable y que c es cualquier constante escalar. Entonces I) Tt Lr(t) + s(t)] = r'(t) + s'(t) (cr(t)] = cr'(t) dt iv)
[f(t)r(t)i = f(t)r(t) + f(tr'(t'
Tt [r(t) s(t)] = r(t)
V) Tt
s(t) + r(t) s'(t)
[r(t) x s(t)] = r(t) x s(t) + r(t) x s'(t).
Se observa que las partes iii), iv) y v) son reglas del producto para los diferentes tipos de productos que podemos dofinir. En iii) tenemos la derivada del producto de una función escalar por una función con valores vectoriales; en iv) tenemos la derivada de un producto punto; en v), tenemos La derivada de un producto cruz. En cada uno de esos tres Casos, es importante reconocer que siguen el mismo patron que la regla del producto para la derivada del producto de dos funciones escalares.
Demostracjón. i) Para r(t) = (f1(t), gi(t), h1(t)) y s(t) = (f2(t), g(t), h2(t)), se tiene, por (2.3) y por las reglas de adición vectorial, que
Tt
[r(t) + s(t)] = =
[(fi(t), gi(t), hi(t)) + (f2(t), 92(t), h2(0)1
fs(t), gi(t) + g2(t), h1(t) + h2(0) = (f(t) + f(t), g(t) + g(t), 14(t) + h(t)) (f(t), (t), i4(t)) + ( f(t), g'2(t), h2(0) (fj(t) +
= r'(t) +
SecciOn 11.2 • El cálculo de [as funciones con valores vectoriales
973
iv) Por la definición del producto punto y la regla usual para el producto de dos funciones escalares, se tiene t
[r(t) s(t)]
= Tt [(f1(t), gi(t), hi(t))
(f2(t), g2(t), h2(t))i
[fi(t) f2(t) + gi(t) g2(t) + hi(t) h2(t)] = fç(t)f2t) + f1(t) f(t) + gç(t) gz(t) + g(t) g(t) + h(t) h2(t) + hi(t) h(t) = [f(t)f2(t) ± g(t) 92(t) + h(t) h2(t)] +. [fi(t) f(t) + gi(t) g(t) + hi(t) h(t)] = r'(t)s(t) ±r(t)s'(t). Las demostraciones de ii), iii) y v) quedan como ejercicios. A continuación exploramos una interpretación gráfica importante de la derivada de una función con valores vectoriales. En primer lugar, recuerde que una interpretación de la derivada de una función escalar consiste en que el valor de la derivada en un punto da la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Para el caso de la función con valores vectoriales r(t), se observa, a partir de (2.2), que la derivada de r(t) en t = a está dada por r'(a)
= lm r(a + At) — r(a) At-40 At
Recuerde de nuévo que el extremo de la función con valores vectoriales r(t) traza una curva C en R3 . En la. figura 11.9a, se muestran los vectores posición r(a), r(a + At), r(a + At) — r(a), para algün At> 0 fijado, usando la interpretación gráfica de la sustracción de vectores desarrollada en el capItulo 10. (2,C6mo cambia la figura si At < 0?) Observe que para At > 0, r(a+ At) —r(a) el vector apunta en la misma dirección que r(a + At) — r(a). At r(a + At) — r(a) Si se toman valores mas y mas pequenos de At, se At acercará a r'(a). En las figuras 11.9b y 11.9c se ilustra esto gráficainente.
f
x
S
Figura 11.9a
Figura 11.9b
974
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
r(a +
f r(a + Lt)
V
Figura i1.9c
Figura 11.9th el vector tangente r'(a).
r(a-F- A t) --r(a) se acerca al At vector tangente a la curva C en el punto extremo de r(a), como se ye en la figura 11.9d. El vector r'(a) se denomina vector tangente a la curva C en el punto correspondiente a t = a. Debe observarse además que r'(a) está-situado alo 1argodelarecta tailgentea la curva en t = a y apunta en 1diiëi6ñdia 6rientaci6n do C. (Puedverse que las figuras 11.9a, 11.9b y 11.9c están dibujadas todas con it> 0. Qué cambia en cada una de1asfigurassit<0?) Cuando At - 0, se observa que el vector
siguiente. DIIIUJO DE VECTORES POSICION Y VECTORES TANGENTES
Para r(t) = (-cos 2t, sen 2t), represente la curva trazada por ci extrerno der(t) y dibuje tanto el vector posición como el vector tangente en It
SOLUCION Observe en primer lugar que r'(t) = (2 sen 2t, 2 cos 2t). Además, la curva trazada por r(t) está dada paramétricamente por
C : x = -cos 2t, j = Sen 2t, t E R. Debe observarse que, en este caso, Figura 11.10: vectores posiciOn X2 + y2 = cos2 2t + sen2 2t = 1,
y vectores tangentes.
de modo que la curva es la circunferencia de radio 1, centrada en el origen. Por otra parte, a partir de la parametrización, so puede ver que la orientación es la misma do las manecillas del reloj. Los vectores posición y los vectores tangentes en t = están dados por r
(U = (- cos7r .,sen ) = (0,1)
y r' () = (2sen,2 cos
) = (2, 0),
Sección 11.2 • El cálculo de las funciones con valores veCtoriales
975
respectivamente. En La figura 11.10 se muestra la curva, junto con r() y rr/4). En particular debe observarse que
r().r'() = 0, de modo que r() y r'() son ortogonales. En efecto, r(t) y r'(t) son ortogonales para cada t, como sigue: r(t) r'(t) = (-cos 2t, sen 2t) . (2 sen 2t, 2 cos 2t) = -2 cos 2t sen 2t + 2 sen 2t cos 2t = 0. 4Puede ser sorprendente hallar en el ejemplo 2.6 que el vector posición y el vector tangente sean ortogonales en cada punto? Resulta que éste es un caso especial de un resultado más general que se establece en el teorema siguiente.
Ii r(t) fi
= constante si y solamente si r(t) y r'(t) son ortogonales para
todo t.
Demostración. i) Supongamos que Recuerde que
1 r(t) I = c, para alguna constante c.
r(t) r(t) = IIr(t)112= c 2 .
( 2.4)
Al derivar a ambos lados de (2.4), se obtiene -
[r(t) . r(t)J =
d
c 2 = 0.
Por el teorema 2.3 iv), tenemos ahora 0 =
[r(t) . r(t)] = r'(t) r(t) + r(t) . r'(t) = 2r(t) r'(t),
de modo que r(t) r'(t) = 0, como se querIa demostrar. ii) Dejamos La demostración del recIproco como ejercicio. Debe observarse que el teorema 2.4 tiene cierto significado geométrico. En primer lugar, observe que en dos dimensiones, si 11 r(t) II = c (donde c es una constante), entonces La trayectoria seguida por el vector posición r(t) debe estar en la circunferencia de radio c, centrada en el origen (iPiense un poco en esto!) Podemos interpretar entonces el teorerna 2.4 para decir que la trayectoria seguida por r(t) está en La circunferencia centrada en el origen si y solamente si el vector tangente es ortogonal al vector posición en cada punto de la trayectoria. Lo mismo que en tres dimensiones, si r(t) = c (donde c es una coristante), la trayectoria seguida por r(t) está sobre la esfera de radio é, centrada en el origen. En este caso, podemos interpretar el teorema 2.4, para decir que La trayectoria seguida por r(t) está sobre una esfera centrada en el ongen si y solamente Si el vector tangente es ortogonal al vector posición en cada punto de La trayectoria. Concluimos esta sección formulando unas pocas definiciones que se obtienen directamente. Recuerde que cuando se dice que La función
1
1
-
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
976
escalar F(t) es una antiderivada de la función escalarjt), se quiere significar que F es cualquier función tal que F(t) = f(t). Extendemos esta noción a funciones con valores vectoriales en la siguiente definición. DEFINJICION. La función con valores vectoriales R(t) es una antjderjvada de la función con valores vectoriales r(t), siempre y cuando R'(t) = r(t). Observe que si r(t) = (f(t), g(t), h(t)) yf, g, h tienen antiderivadas F, G, H, respectivamente, entonces Tt
(F(t), G(t), H(t)) = (F'(t), G'(t), H'(t)) = (fit), g(t), h(t))
Es decir, que (F(t), G(t), H(t)) es una antiderivada de r(t). En efecto, (F(t) + ci, G(t) + C2, H(t) + C3) también es una antiderivada de r(t) para cualquier elección de las constantes ci, C2, C3. Damos la siguiente definición. DEFINICION. Si R(t) es cualquier antiderivada de r(t), la integral indefinida de r(t) se define asI:
donde c es un vector constante arbitrario. Como en el caso escalar, R(t) + c es I antiderivada más general de r(t). (2,Por qué?) Observe que esto quiere decir que Integral indefinida de-una Funcion- con- valores vectoriales
jr(t) dt
= 1(f(t), gt), h(t)) dt = Yftt) dt, fg(t)dt, fh(Odt).
(2.5)
De modo quese integra una función con valores vectoriales integrando individualmente cada una de las componentes. CALCULO DE LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCION CON VALORES VECTORIALES
Calcule la integral indefinida /
( t2 + 2,sen 2t, 4tet2) dt.
sOLUCION Por (2.5), Se tiene
f
(t2 + 2,sen2t, 4tet2 ) dt = (f(t2 + 2) dt, fsen 2t dt,
f
4tet2dt)
=(t3+2t+cl,_ cos 2t+c2,2et2+c3) = (t3+2t,_
cos 2t,2et2)+c,
donde c = (Cl, C2, C3) es un vector constante arbitrario.
S
Scción 11.2 • El cálculo de las funciones con valores vectoriales
977
De modo semejante, se define la integral definida de una función con valores vectoriales de la manera obvia.
DEFINICION. Para la función con valores vectoriales r(t) = g(t), h(t)), se define la integral definida de r(t) as!: Integral definida de una funcion con valores voctoriales.
lb
b
f r(t) dt =i:
(1(t), g(t), h(t)) dt = (
f(t) dt,
Ia
b g(t) dt, I h(t) dt)(26)
Observe que esto significa que la integral definida de una función con valores vectoriales r(t) es simplemente el vector cuyas componentes son las integrales definidas de las componentes correspondientes de r(t). Teniendo presente esto, extendemos el teorema fundamental del cálculo a las funciones con valores vectoriales.
Supongamos que R(t) es una antiderivada de r(t) en el intervalo [a, b]. Entonces, çb
j
r(t) cit = R(b) - R(a).
a
Demostración. La demostración es directa y se deja como ejercicio. CALCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION CON VALOItES VECTORIALES pl Calcule
I (sen t, 6t2 + 4t) cit. Jo
SOLUCIUN Observe que una antiderivada para la integral es / 1 60 t2 1--- cosirt, - + 3 \ir
=
cos itt, 2t3 + 2t2)
(
Por el teorema 2.5, se tiene que
f
(sen itt, 6t 2 + 4t) dt
cositt, 2t + 2t2)
(
_!7F cos7r, 2 + 2) - (_!7r cos OO) 7r
w
) = ( 7r
-) .
978
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
I
EJERCICIOS DE LA SECCION 11.2
I. Suponga que r(t) = (f(t), g(t), h(t)), donde urn f(t) = lIrn g(i) = ilin h(t) = o • Describa lo que está t-+o t-0 t-.o pasando gráficarnente, cuando t -0 y explique por qué (aunque los lImites de dos de las funciones componentes existen) el ilmite de r(t) cuando t - 0 no existe. 2. En el ejemplo 23, describa lo que pasa gráficamente para t -1. Explique por qué no decimos que r(t) es continua para t < -1. 3. Suponga que r(t) es una función con valores vectoriales tal que r(0) = (a, b, c) y r'(0) existe. Imagine un acercamiento sobre la curva trazada por r(t) cerca del punto (a, b, c). Describa el aspecto de la curva y cómo se relaciona con el vector tangente r'(0). 4. Hay una regla para el cociente correspondiente a la regla del producto del teorema 2.3, parte iii). Enuncie esta regla y describa en palabras cómo puede demostrarla. Explique por qué no hay una regla del cociente que corresponda a las reglas del producto en las partes iv) y v) del teorema2.3. --
En los ejercicios 5 a 10, halle el ilmite, si existe. 5. urn (t2 - 1, e2t,sen t) to 6. urn (t2 , e2 t , yt2—+2t\
En los ejercicios 17 a 22, halle la derivada de la función con valores vectoriales 17. r(t) = 0,
/sent t+1 7.lim ç —,cost, t 1 8. urn
/t 3 \t+1
3)
t3
t2 +3, t +') 19. r(t) = (sen t,sent2 , cost)
9.lIm (hi t,' 2 +1,t-3) t-.o 10. urn(cost,t 2 + 3, tan t) En los ejercicios 11 a 16, determine todos los valores de t en los cuales es continua la función con valores vectoriales dada. 11.r(t) = 12.r(t) =
/J
20. r(t) = (cos 5t, tan t, 6 sen t) 21. r(t) = (et2,t2, sec 2t) 22. r(t) = ( V' 9 71, cost, e_' 3t) En los ejercicios 23 a 26, represente La curva y los vectores posición y tangente en los puntos indicados. 23.r(t) = (cos t, sen t), t = 0, t =
t,cost, 3)
13. r(t) = (tan t, sen t 2 , cos
f, t = gr
24.r(t) = (t, t 2 - 1), t = 0, t = 1, t = 2 25.r(t) = (cos t, t, sen t), t = 0, i =
M1
t=
26.r(t) = (t, t, t2 - 1), t = 0, t = 1, t = 2.
14. r(t) = (cos 5t, tan t, 6 sen 15.r(t) = (4 cos t, Vrt, 4 sen t)
En los ejercicios 27 a 36, calcule la integral mdcfinida o definida dada.
16.r(t) = (sen t, -csc t, cot t)
27.
f (3t' - 1, vrt) dt
28.
/ (, )
WWISecciOn 11.2 • El cálculo de las funciories con valores vectoriales
42. En cada üno de los ejercicios 39 y 40, demuestre que no hay valores de t tales que r(t) y r'(t) sean paralelos.
(cos 3t, sen t, e4t) dt
29. f
30. f
(e_, sen 5t, t3/2 ) dt
3t \ (tet2 ,3tsen t t2+i ) dt
31. f j
(e-3t, t2 Cos 0 t Cos t) dt
32
33.
f0
35. 1 Jo
/
--
1 et_ 2 ,tet) dt
2
43.r(t) = (t, t, t 3
-
3)
44.r(t) = (t2, t, sen t2)
46. r(t) =
(iTTT, cos t, t4
-
8t2)
47. Demuestre el teorema 2.3, parte iii).
\4
f
36.
34.J (J,5) dt
1, 3t) dt
En los ejercicios 43 a 46, halle todos los valores de t tales que r'(t) está en el piano xy.
45. r(t) = (cos t, sen t, sen 2t)
,
(t2
979
(2te4t,t2_1,
4t
\ 2+1/ dt
En los ejercicios 37 a 40, halle t tal que r(t) y r(t) sean perpendiculares. 37.r(t) = (cost, sent)
38.r(t) = (2 cos t,sen t)
39.r(t) = (t, t, t2
40.r(t) = (t2, t, t2 —5)
-
1)
48.Dernuestre el teorema 2.3, parte v). 49. En el teorema 2.3, parte ii), remplace el producto escalar cr(t) con el producto punto c r(t), para un vector constante c y demuestre el resultado. 50. Demuestre el teorema 2.3, parte ii). 51.Indique si es verdadero o falso y explique por 1 qué. Si u(t) y u(t) u'(t) = 0, enton= IIr(t)lI r(t) ces r(t) r'(t) = 0. .
41. En cada uno de los ejercicios 37 y 38, demuestre que no hay valores de t tales que r(t) y r'(t) sean paralelos.
53. Halle todos los valores de t tal que r'(t) = 0 para cada función: a) r(t) = (t, t2 - 1), b) r(t) = (2 cos t + sen 2t, 2 sen t + cos 2t), c) r(t) = (2 cos 3t + sen 5t, 2 sen 3t + cos 5t), d) r(t) = (t2) t4 1). Con base en sus resultados, con jetureel significado gráfico de tener la derivada de una función vectorial igual at vector cero. Si r(t) es la función posición de algCrn objeto en movimiento, explique el significado fisico de tener una derivada cero. Explique su interpretación geométrica, con base en su interpretación fIsica.
52.Indique si es verdadero o falso y explique por qué. Si r(to) r'(to) = 0, para algün to entonces r(t) 11 es constante.
función de valores vectoriales r(t), donde r'(t) es continua y r'(t) # 0 para todos los valores de t. Dibuje la grafica de r(t) = (t,
explique por qué se incluye el re-
-
54. Usted debe recordar que una función escalar tiene una discontinuidad o "esquina aguda" o purita en lugares en donde la derivada no existe. En este ejercicio, observamos la suavidad analoga de las gráficas de funciones con valores vectoriales. Se dice que una curva C es suave si es trazada mediànte una
quisito de que r'(t) sea continua. Dibuje la grafica de r(t) = (2 cos t + sen 2t, 2 sen t + cos 20 y demuestre que r'(0) = 0. Explique por qué se incluye el requisito de que r'(t) sea diferente de cero. Dibuje la gráfica de r(t) = (2 cos 3t + sen 5t, 2 sen 3t + cos 5t) y demuestre que r'(t) nunca es igual at vector cero. Realizando un acercamiento sobre los bordes de la grafica, demuestre que esta curva se describe de manera precisa como suave. Dibuje las gráficas de r(t) = (t,t2 1) y g(t) = (t2, t4 1) para t ^ 0 y observe que trazan la misma curva. Demuestre que g'(0) = 0, pero que la curva es suave en t = 0. Explique por qué esto indica que no es flecesario -
-
980
CapItulo 11 • Funciortes con valores vectoriales
r(t) # 0 para cada r(i) que traza la curva. (Este requisito es necesario solamente para uno de tales r(t)). Determine cuáles de las curvas siguientes son suáves. Si la curva no es suave, identifique Ia caracterIstica gráfi-
ca que "no es suave": r(t) = (cos t, sen t, t), r(t) = (tan t, sen t 2 r(t) =
,
11.3 MO VIM/EN TO EN EL ESPA!O Finalmerite, estamos en un punto en el que tenemos suficientes herramientas matemáticas para describir el movimiento de un objeto en un marco tridimensional. Estos problemas estuvieron entre las primeras y más importantes aplicaciones del cálculo y continüan siendo de gran importancia en la actualidad. Por ejemplo, si se lanza un cohete (por ejemplo, una nave espacial) probablemente se querrá saber adónde ira. Problemas como éste, relacionados con el movimiento, constituyeron uno de los intereses primordiales de Newton y de muchos de sus contemporáneos. Aunque Newton ciertamente no estaba pensando en poner naves espaciales en órbita, empleó su cálculo recién descubierto para explicar toda clase de movimientos, desde el desplazamiento de un proyectil (tal como una bala) lanzado a través del aire, hasta el movimiento los planetas. Sus sorprendentes resultados en este campo descifraron misterios que habIan sido esquivos para las mentes más grandes durante siglos, y constituyen la base de nuestra comprensión actual de la mecánica. En esta sección, utilizamos las funciones con valores VetMIalespara describir objetos entñOViWiiento. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una curva descrita paramétricamente por C :x = f(t),y = g(t),z = donde t representa el tiempo y donde t E [a, b]. Recuerde que podemos pensar en las curvas como trazadas por el extremo de la funci6n con valores vectoriales r(t) = (At), g(t), h(t)). Hemos observado on la seccion 11.2 que el valor de r'(t) para cualquier valor dado de t es un vector tangente que apunta en la dirección de la orientación de la curva. Ahora .podemos dar otra interpretación de esto. A partir de (2.3), se tiene r'(t) = (f '(t), g'(t), h'(t)) y la magnitud de esta función con valores vectoriales es Ilr'(t)II = /, j2+[gJ(t)J2 + [/il(t)] 2 . (,Dónde ha visto.antes esta expresión?) Observe que por (1.4), dado cualquier n(imero to E [a, b], la longitud de arco de la porción de la curva desde u = to hasta u = t está dada por (2 + [g/(u)12
S (t) =
+ [h'(u)]2 du.
(3.1)
Sección 11.3 • Movimiento en el espacio
981
La parte II del teorema fundamental del cálculo expresa clue si se deriva a ambos lados de (3.1), se obtiene s'(t)
x Figura 11.11: vectores veloci-
dad y aceleración.
= V[f I(t)1 2 + [g'(t)] 2 + h(t)1 2 [
Piense en la interpretacjón fIsica de s'(t). Como s(t) representa la longitud de arco, s'(t) da La razón de cambio instantánea en la longitud de arco respecto al tiempo, es decir, la rapidez del objeto mientras se mueye a lo largo de la curva. AsI que para cualquier valor dado de t, r'(t) es un vector tangente que apunta en la dirección de La orientación de C (es decir, en la dirección en la que se desplaza el objeto) y cuya magnitud da la rapidez del objeto. iCómo ilamar a r'(t)? La ilamaremos vector velocidad, usualmente simbolizado como v(t). Como en el caso del movimiento en una dimension, la derivada del vector velocidad, V(t) = r"(t) se llamará vector aceleración, simbolizado como a(t). Al dibujar los vectores velocidad y aceleraciOn, Localizamos sus puntos iniciales en el punto final de r(t), es decir, en un punto de la curva, como se muestra en La figura 11.11. DETERMINACION DE LOS VECTORES VELOCthAD V ACELERACION
Halle la velocidad y la aceleración, si la posicion de un objeto que se mueve en el piano xy está dada por r(t) = (0, 2t2).
SOLUCION Tenemos v(t) = r'(t) = (3t 2 , 4t), y, a(t) = r"(t) = (6t, 4). -0 x
Figura 11.12: vectores velocidad y aceleración.
En particular, esto expresa que en t = 1, se tiene r(1) = (1, 2), v(1) = r'(l) = (3, 4) y a(1) = e(l) = ( 6, 4). En la figura 11.12 se representan la curva y estos vectores. Al iguai que en el caso del movimiento unidimensional, la relación entre los vectores posicion, velocidad y aceleración, se da en ambos sentidos. Es decir, dado el vector aceleraciOn, podemos determinar los vectores velocidad y posiciOn, dado que tengamos alguna informaciOn adicional. DETERMINACION DE VELOCIDAD Y POSICION, A PARTIR DE ACELERACION
Si la aceleración de un objeto está dada por a(t) = (fit, 12t + 2, e t), halle su velocidad y posiciOn en cualquier instante t, si se sabe también que v(0) = (2, 0, 1) y r(0) = (0, 3, 5). (r(0) se llama posición inicial; v(0) se llama velocidad inicial).
sox1ucON Como a(t) = v'(t), podemos integrar una vez para obtener VW =
f
a(0 d' t = f[6t i + (12t + 2)j + e t k] dt
= 3t2 i + ( W+ 2t)j + e t k + ci,
982
Capitulo 11 • Funciones con valores vectoriales
donde cl es un vector constante. Para determinar el -valor de ci, usa mos la velocidad inicial: (2,0,1)v(0)=(0)i+(0)j +(1)k+ci, de modo que ci = (2, 0, 0). Esto nos da la velocidad VW = (30 + 2) i + (6t2 -I-- 20j + et k. Como v(t) = r'(t), integrarnos una vez rnás, para obtener
r(t) = fv(t) dt
=
f
[(32 + 2) j . (60
+ 2t) j + et ki dt
(t3 + 2t)i + (2t3 + t2 ) j + e t k + C2, donde C2 es un vector constante. Podemos usar la posicion inicial para determinar el valor de c2, como sigue: Figura 11.13: vectores v&ocidad y aceleraciOn.
(0,3,5)=r(0)(0)i+(0)j +(1)k+c2, de modo que C2 = ( 0, 3, 4). Esto nos da el vector posición r(t) = (t 3 + 2t)i + (2t3 + t2 + 3)j + (e t + 4)k. En la figura 11.13 se dibuja la curva y se indican vectores de muestra para r(t), v(t), a(t).
-- -----
Hemosvisto varias veces la segunda ley del movimiento de Newton. En el caso de un movimiento unidimenional, se-tenla que la fuerza neta que actüa sobre un objeto es igual a su-masa por su aceleración (F = ma). En el cao del movimiento en dos o más dirnensiones, tenemos la forma vectorial deiasegundaley deNewtori.: F= ma. Aqul, m es la masa, a es el vector aceleración y F es el vector que representa la fuerza neta que actüa sobre el objeto. DETERMINACION DE LA FUERZA QUE ACTUA SOBRE UN OBJETO
Halle la fuerza que actüa sobre un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio b centrada en el origen, con rapidez angular constante. SOIJUCION AquI, rapidez angular constante significa que si 0 es ci ángulo entre el vector posición ye! eje positivo x, y es el tiempo (véase la figura 11.14a, en donde la orientación indicada se refiere al caso en que w > 0), se tiene que
dO to (constante). - = Figura 11.14a: movimiento a lo largo de una circunferencia.
Esto quiere decir que 0 = wt + c, para alguna constante c. Además, podemos considerar la trayectoria circular como la curva trazada por el extremo de la función con yalores vectoriales r(t) = (b cos 0, sen 0) = (b cos (at + c), b sen (cot + c)).
Sección 11.3 Movimiento en ei espacio
983
Observe que esta trayectoria es la misma para cada valor de c. (Piense en lo que el valor de c afecta). Para hacerlo más sencillo, tomamos 0 = o cuando t = 0, de modo que 0 = cot, y r(t) = ( b cos cot, b sen cot). Ahora que conocemos La posición en cualquier .instante t, podemos derivar para hallar La velocidad y la aceieración. Tenemos, v(t) = r'(t) = (-bw sen c)t, bco cos cot) WA a(t) = v'(t) = r"(t) = (-bw 2 cos c)t, -bco 2 sen cot) =
2 (b cos cot, b sen cot) = -co 2 r(t).
For La segunda ley del movimiento de Newton, tenemos
F(t) = ma(t) = -rnco2 r(t).
Figura 11.14b: fuerza centrIpeta.
Observe que como mw 2 > 0, esto significa que la fuerza que actcIa sobre el objeto apunta en la dirección opuesta a la del vector posición. Esto es, en cualquier punto de la trayectoria apunta hacia ci origen (véase la figura 11.14b). A tal fuerza se le llama centrIpeta (que busca el centro). Finaimente, se observa que en esta trayectoria circular, fi r(t) fi = b, de modo que en cada punto de la trayectoria, el vector fuerza tiene magnitud constante: IIF(t)II = 1I_nco 2 r(t)II = ntw l
IIr(t)II = mco2b.
Una consecuencia del resultado F(t) = mco 2 r(t) del ejemplo 3.3 es que La magnitud de la fuerza se incrementa cuando La razón de rotación w se incrementa. Usted debe haber experimentado esto si ha estado en una montana rusa que gira o hace rizos muy cerrados. Cuanto más rápido vaya, mayor es la fuerza que la silla ejerce sobre usted. Como en el caso unidimensional, podemos usar la segunda ley del movimiento de Newton para hacer algo más que simplemente identificar la fuerza que actüa sobre un objeto con una función posición dada. Es mucho más importante poder determinar la posición de un objeto dado, conociendo solamente las fuerzas que actüan sobre él. Por ejemplo, uno de los problemas más significativos que encaran los militares es cómo dirigir un proyectil (por ejemplo, un misil), de manera que caiga en el blanco buscado. Este problema es más difIcil de lo que parece, aun si el blanco está inmóvil. Cuando el blanco es un aviOn que se mueve más rápido que el sonido, el problema presenta retos significativos. En cualquier caso, se puede usar ci cálcuio para liegar a una soiución significativa. Presentamos el caso más simple posible (en donde no se muevn ni el blanco ni el punto de donde parte el proyectiL) en ci ejemplo que sigue. -
ANALISIS DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
I
Un proyectil se lanza con una rapidez inicial de 140 pies por segundo desde el nivel del.piso, formando un angulo de ZE con la horizontal. Suponiendo que La ünica fuerza que actüa sobre el objeto es la gravedad (es decir, no hay resistencia del aire, etc.), halie La altura maxima, ci aicance horizontal y la rapidez del proyectil en ci momento del impacto.
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
984
SOLUCION
Par la segunda ley de Newton para ci movimiento, se tiene
F(t) = ma(t). Se observa aquI que el movimiento es en un solo piano (de modo que solamente se requiere considerar dos dimensiones) y La ünica fuerza que actüa sabre el objeto es la gravedad, que actcia directamente hacia abajo. En este caso, tenemos que a(t) es simpLemente la aceleración debida a La gravedad. Aunque ella no es constante, lo es aproximadamente en altitudes razonablemente cercanas al nivel del mar. Supondremos que a(t) = dond.e g es la aceleración constante debida a la gravedad, g pies/segundo2 . Dc modo que
32
v'(t) = a(t) = -32j. x
Al integrar una vez, obtenemos
V(t) 140 sen U
140 cosO --
L
Figura 11.15: vector velocidad •iici-i
f
(3.2)
a(t) cit = —32tj + ci,
donde ci es un vector constante arbitrario. Si conociéramos ci vector velocidad inicial, v(0), podrIamos usarlo para resolver respecto a ci, pero sölamente conocefii1a rapidez del vector velocidad). Con referencia ala figura 11.15, observe que se pueden determinar las componentes de v(0). A partir de las definiciones de Las funciones seno y coseno, tenemos V(0) =
140 cos140 sen) = (70v',70/).
Por (3.2), se tiene (70v', 7Ov) = v(0) = (-32) (0) j +c 1 = c1 . Sustituyendo de nuevo en (3.2), so tiene v(t) = -32t j + (70v 70v) (70v' 70v' - 32t).
(3.3)
Al integrar (3.3), se obtiene el vector posición r(t)
= J, v(t) cit = ( 70V'2-t, 70V2-t - 16t
2 ),
donde C2 es un vector constante arbitrario. Como La ubicación inicial no se especificó, escogernos el origen. (Esto es usualmente lo más conveniente). Se obtiene O=r(0)=c2, de manera que v(t) dt = K70V2-t, 70\/t - 16t2). (3.4) = J Ahora que hemos hallado expresiones para los vectores posición y ye•
r(t)= r(t)
locidad, para cuaLquier instante, podemos responder a las preguntas fIsicas. Observe que la altura maxima ocurre en ci instante en que el objeto deja do moverse hacia arriba (precisamente antes de que co-
SecciOn 11.3 • Movimiento en el espacio
985
mience a caer). Esto quieredecir. que la componente vertical (j) de la velocidad, debe ser cero. De (3.3) se obtiene, - 32t,
0 = 70
de modo que el valor del tiempo para La altura maxima es 70\/ 32 La altura maxima se determina entonces a partir de la componente vertical del vector posición en este instante: altv.ra maxima = 70 /t - 160 = 70v'2 0v'
('OV2 ) —16 ?
(1?)
1,225 8 = 153.125 pies. Para determinar el alcance horizontal, necesitamos determinar primero el instante en el que el objeto goipea el piso. Se observa que esto ocurre cuando La componente vertical del vector posición es cero (es decir, cuando la altura con respecto al piso es cero). Por (3.4), se tiene que esto ocurre cuando 0 = 70 /t - 16t2 = 2t(35' - 80. Hay dos soluciones para esta ecuación: t = 0 (el instante de lanzamiento del proyectii) y = (el instante del impacto). El alcance horizontal es entonces la componente horizontal de posición (i) en este instante:
alcance = 70 \/t7Ov)
,,1 \ (11
1,225 = 12.5 pies. 8 6 = 2
Finalmente, la rapidez en ci momento del impacto es la magnitud del vector velocidad en ci instante del impacto:
I
= 11 =H
(70v'2-,7OV2- — 32 (
8
1
'
= 140 pies/segundo.
Debe haberse notado que, en el ejemplo 3.4, la rapidez en el momento del impacto fue la misma que la rapidez inicial. No se espera que éste sea siempre ci caso. Generalmente, esto solamente es cierto para un proyectil de masa constante que se dispara desde ci nivel del piso y regresa a este nivel sin estar sujeto a la resistencia del aire ni a otras fuerzas.
Ecuaciones del movimiento
Ahora deducimos las ecuaciones del movimiento para un proyectil d manera ligeramente más general que la descrita en ci ejemplo 3.4. Con sidere un proyectil disparado desde una altura h sobre el nivel del piso con un angulo 0 sobre la horizontal y con rapidez inicial vo. Podemo usar la segunda icy del movimiento de Newton para determinar la posi ción del proyectil en cuaiquier instante t, y una vez que tengamos esto podemos responder cualquier pregunta sobre ci movimiento.
Capltulo 11 • Funciones con valores vectoriales
986
Comenzamos, como de costumbre, con la segunda ley de Newton y suponemos que la ünica fuerza que actüa sobre el objeto es la de gravedad. Tenemos F(t) = ma(t), donde F(t) = -mgi. EsLo nos da (como en el ejemplo 3.4), v'(t) = a(t) = -gj.
(3.5)
Al integrar (3.5), se obtiene VW =
sen 0
-1
vo Cos O
Figura
11.16a:
velocidad
f a(t) cit = -gtj
(3.6)
4. ci.
donde Ci es un vector constante arbitrario. Para resolver con respecto a c, se necesita el valor de v(t) para algün t, pero se nos ha dado solamente la rapidez inicial vo y el angulo en el que el proyectil ha sido disparado. A partir de las definiciones de seno y de coseno, podemos determinar las componentes de v(0) en la figura 11.16a. A partir de esto y de (3.6), tenemos (vo cos 0, vo sen 0) = v(0) = c. -- Esto-nos-da el-vector -velocidad
inicial.
v(t) = (vo cos 0, vo sen 9- gt). Como r'(t) = v(t), integramos (3.7) para obtener la posición: r(t)=fv(t)dt=((vo cos 8)t(vosen 9)t- gt2
c2.
Para resolver con respecto a C2, se necesitarIa usar la posicion inicial, r(0), pero thO ñhädidó. S61oensha dicho que el proyectil parte de una altura de It pies con respecto al piso. Si seleccionamos como origen el punto del piso que se halla directamente debajo del punto de lanzarniento, tenemos (0, h) = r(0) = C2,
y
de modo que r(t) = ((vo cos 0)t(vosen 9)t= ((vo cos 9)th+(vosen 0)t— 2_) Figura 11.16b: trayectoria del
proyectil.
(3.8)
Se observa que la trayectoria trazada por r(t) (desde t = 0 hasta el momento del impacto) es una porción de parabola (véase la figura 11.16b). Ahora que hemos deducido (3.7) y (3.8), tenemos todo lo necesario para responder preguntas sobre el movimiento. For ejemplo, si queremos saber la altura maxima, esto ocurre en el instante en que la cornponente vertical (j) de la velocidad es cero (es decir, en el instante en que el proyectil deja de subir). A partir de (3.7), resolvemos 0 = vo sen 0 de modo qüe el instante en el que alcanza La altura maxima está dado por vsen 0 9
987
SecciOn 11 .3 • Movimiento en el espacio
La altura maxima es la componente vertical del vector posición en este instante. A partir de (3.8), se tiene
altura máxiiia = h + (vo sen O)t -
= h + (vo sen 0)
(vosen8'\ 9 9
fVo sen
g )
1 vsen 2 O 2g Para hailar el alcance horizontal o la rapidez en el momento del irnpacto, debemos hallar primero el instante del irnpacto. Para olDtener esto, igualamos a cero La componente vertical de La posición. Por (3.8), se tiene - h+
0 = h + (vosenO)t-j-. Se observa que ésta es simplemente una ecuación cuadrática en t. Da dos vo, 0, h, podemos resolver con respecto a t, ci tiempo. En el transcurso del análisis, hemos mantenido constante La aceleración debida ala gravedad, con el valor g. Con frecuencia, se hará uso de aiguna de las dos aproximaciones: g = 32 pies/s2 , o bien, g 9.8 m/s 2 . Al usar cualesquiera otras unidades, simplemente se ajustan las unida des a pies o a metros y la escala del tiempo a segundos, o se hacen los ajustes correspondientes al valor de g. En el ejemplo siguiente, examinamos por primera vez un probiema de movimiento de un proyectil, totalmente tridimensional. ANALISIS DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL EN TRES DIMENSIONES Un proyectil de masa 1 se lanza desde ci nivel del piso hacia ci este, a 200 metros/segundo, con un ángulo de sobre la horizontal. Si un viento del norte apiica una fuerza constante de 2 newtons al proyectii, halie La ubicación de aterrizaje del proyectil y su rapidez en ci momento del impacto. SOLUCION
Norte t'ieno
0 este
F"guralljla: los vectores
v elocidad inicial y velocidad del viento.
Observe que, por razón del viento cruzado constante, ci movimiento es completamente tridimensional. Orientamos los ejes x, y, z, de modo que el eje positivo de y apunte hacia ci norte, ci eje positivo de x apunte al este, y el eje positivo de z apunte hacia arriba, como en lafigura 11.17a, en donde también se muestran el vector velocidad inicial y los vectores que indican La fuerza debida al viento. Las dos fuerzas que actiian sobre ci proyectil son La gravedad (en la dirección negativa del eje z, con xnagnitud 9.8m = 9.8 newtons) y ci viento (en La dirección del eje y, con magnitud 2 newtons). La segunda icy de Newton es F = ma = a. Tenemos, a(t) = V(t) = (0, 2, -9.8). Al integrar, obtenemos la función veiócidad v(t) = (0, 2t, -9.8t) + ti,
(3.9)
1*I
Capltulo 11 • Funciones con valores vectoriales
donde ci es Un vector constante arbitrario. Observe que la velocidad inicial es v(0) = ( 20Ocos.,O200sen 7,r )=(100,13- ,0,100 ). Por (3.9), tenemos (lO0v, 0,
ioo)
= v(0) = c 1 .
Esto nos da V(t) = ( iooJ, 2t, 100 - 9.8t). Integramos esto para obtener el vector posicióri: r(t) = (100vt,t 2 , lOOt - 4.9t2) + c 2. para un vector constante C2. Si La posición inicial es el origen, obtenemos I,
0 = r(0) =
C2,
demodoque
r(t) = ( ioovt,
t2 , lOOt - 4.9t2).
(3.10)
Se observa que el proyectil golpea el piso cuando la componente k del Pdr (3.10), tenernos que èto dëtiire cuando 0 = lOOt - 4.90 = t (100 - 4.9t). z
De modo que el proyectil está en tierra cuandot=0(instante del laniiiiiento) y cuando t 20.4segundos (tiempo de impacto). La
5001
ubicación del impacto es entonces el extremo del vector r(Q) (3,534.8, 416.5, 0) y la rapidez del impacto es 1 o
L
(') V
jOO2oo 300 400
20__ 3000 0
Figura 11.17b: trayectoria
20.4 rn/s.
En la figura 11.17b Se muestra una grafica de La trayectoria del proyec til, generada por computador.
del proyectil.
''S
1. Explique por qué tiene sentido, en el ejemplo 3.4, que la rapidez en el momento del impacto sea igual a La rapidez inicial. (Sugerencia: Zqu6 fuerza harIa que el objeto fuera más lento en el descenso?) Si el proyectil fuèra lanzado desde arriba del piso, analice y compare La rapidez en el momento del impacto con la rapidez inicial. 2. Para un proyectil real, tomando en cuenta la resistencia del aire, explique por qué la rapidez en el momento del impacto serla menor que la rapidez inicial.
..
.
.
.
.
SecciOn
3.
11.3 •
Movirniento en el espacio
989
En esta sección, hemos supuesto que la aceieración debida a la gravedad es constante. En contraSte, la resistencia del aire es una función de la velocidad (cuanto más rápido vaya el objeto, mayor es la resistencia del aire). Explique por qué ci incluir la resistencia del aire en nuestrO modelo de la icy de Newton del despiazamiento de un proyectii harIa más complicadas las matemátiCas que se usan.
4. En el ejemplO 3.5, use las componentes x y j de la función posición para explicar por qué la proyecCiófl de la trayectoria del proyectil sobre ci piano xy seria una parabola. La proyección sabre ci piano XZ CS también una parabola. Analice Si la trayectoria de la figura 11.17b es o no una parabola. Si usted estuviera observando el proyectil, .la trayectoria parecerIa ser parabóiica?
En J o s ejercicioS 5 a 10, halle las funciones velocidad y aceieración para la función posición dada.
21.r(t) = (6 cos 4t, 6 sen 4t) 22.r(t) = (2 cos 3t, 2 sen 3t)
5. r(t) = (5 cos 2t, 5 sen 2t) 6. r(t) = (2 cos t + sen 2t, 2 sen t + cos 2t) 7. r(t) = (25t, -16t 2 + 15t + 5)
En los ejercicios 23 a 26, halle la fuerza que actüa sobre un oJjeto de masa 10 con la función tie posición dada. 23.r(t) = (3 cos 2t, 5 sen 2t)
8. r(t) = (25t e 2 E, -16t2 + lOt + 20)
9. r(t)
= (4te_2 t, 2e-2t, -16t2)
10.r(t) = (3e -3t , sen 2t, t3 - 3t)
En los ejercicios 11 a 18, halle la función poside las funcioiies tie velocidad o tie aceleración dadas. ción a partir
11.v(t) = (10, -32t + 4), r(0) = (3, 8) 12.v(t) = (4t, t 2 - 1), r(0) = (10, -2) 13.a(t) = (0, -32), v(0) = (5, 0), r(0) = (0, 16) 14. a(t) = (t, sen t), v(0) = (2, -6), r(0) = (10, 4)
--
15.v(t)
(10, 3e, -32t + 4), r(0) = (0, -6, 20)
16. v(t)
(t + 2 ) t2 , e -t/3 ), r(0) = (4, 0, -3)
24.r(t) = (3 cos 4t, 2 sen 5t)
25.r(t) = (3t2 + t, 3t -1) 26.r(t) = (20t - 3, -16t ± 2t + 30) En Jos ejercicios 27 a 32, se dispara un proyectii con rap idez inicial vo pies por segundo desde una altura de At pies, con un anguio 0 arriba de la horizontal. Suponiendo que la ünica fuerza que actüa sobre el objeto es la gravedad, halle la altura maxima, el alcance horizontal y la rapidez en el momento del impacto. 27.vo = 100, It = 0, 0 = 28.vo = 100, It = 0, 0 = 29.vo = 160, It = 10, 0 = 30.vo = 120,
it
= 10, 0
17.a(t) = (t, 0, -16), v(0) = (12, -4, 0), r(0) = (5, 0,2)
31.vo = 320, it = 10, 0
18. a(t)
32.vo = 240, It = 10, 0
(e3t,
t, sen t), v(0) = (4, -2, 4), r(0) = (0, 4, -2)
En Jos ejercicios 19 a 22, halle la fuerza centrIpeta tie un objeto de masa 10 con la función posici6n dada. 19.r(t) = (4 cos 2t, 4 sen 2t) 20.r(t) = (3 cos 5t, 3 sen 5t)
= ZE
33. Con base en sus re.spuestas de los ejercicios 29 y 31, .qué efecto tiene duplicar la rapidez micial en ci alcance horizontal? 34. Los angulos 2 y son simétricos con respecto a; o sea que 1 - Con base en sus
990
CapItulo 11 • Funcones con valores vectoriales
respuestas de los ejercicios 27 y 28, compare los aicances horizontales correspondientes a ángulos simétricos. 35. Para la ecuación general relacionada con pro-. yectiles (3.8), con li. = 0, demuestre que ci a!cance horizontal es vsen2O 9 36. Dado el resultado del ejercicio 35, halie ci ángu-
lo que produce ci máximo alcance horizontal. En los ejercicios 37 a 44, descarte todas las fuerzas, excepto la gravedad. En todas estas situaclones, el efecto de la resistencia del aire es
realmente significativo, pero sus cálculos darán una aproximación inicial buena.
42.Repita ci ejercicio 41, si se golpea la bola con una rapidez inicial de a) 80 pies/s; b) 65 pies/s.
43.En un tiro de fiitboI americano (punt) se golpea la pelota en un angulo de 500, con una rapidez inicial de 55 mph. Suponiendo que ci tiro se hace desde ci nivel del piso, caicule ci tiempo que la pelota permanece en ci aire ("hang time").
44. Calcule ci tiernpo extra que la bola permanece en ci aire, para ci ejercicio 43, si la rapidez micial es de 60 mph. 45. Halle ci punto de aterrizaje, en ci ejercicio 27, si ci objeto tiene masa 1, se Ianza hacia ci este y hay un viento del norte con una fuerza de 8 libras.
46. Halle ci punto de aterrizaje, en el ejercicio 28, si ci objeto tiene masa 1, se lanza hacia ci este y 37. Una bola de béisbol se golpea desde una altura hay un viento del sur con una fuerza de 4 libras. de 3 pies, con rapidez inicial de 120 pies por Scgundo, aun ángu!o de 30 grados sobre la horizontal. Halle una funciOn con valores 47.Suponga que sobre un avión actüan tres fuerzas: la gravedad, ci viento ye! empuje del motor. vectoriales que describa la posic ion de La bola t Suponga que ci vector fuerza para la gravedad segundos después del golpe. Para ser un home = m es mg (0, 0, —32), ci vector fuerza del viento run ("jonrón"), la bola debe superar una pared - 0)para- 0- ^- t: ^ 1 w =(O2,0)para esw=(0, i de 6 pies de alto, sffiIda a385 piitant> 1, y ci vector fuerza del empuje del es cia. Determine si éste fue up home run. e = (2t, 0,24). La segunda icy del movimiento de Newton nos da ma = mg + w + e. Suponga que 38. Repita ci ejercicio 37, si la bola se lanzO con un rn=-1y-el-veétor veIocidad-inicia1-es-v(0)--1O0, águio iniciaide3tgtdos. 0, 10). Demuestre que ci vector velocidad para 0 :5 t :5 1 e s v(t) = (t2 + 100, t, 10 8t). Para t> 1, 39.Up lanzador de béisbol (pitcher) hace un lanzaintegre La ecuación a = g + w + e para obtener miento horizontal desde una altura de 6 pies, v(t) = 02 + a, 2t + b, —St + c) para a, b, c constancon una rapidez inicial de 130 pies por seguntes. Explique (sobre bases fIsicas) por qué la fundo. Halle una funciOn con valores vectoriales ción v(t) debe ser continua r haile los valores de que describa la posiciOn de la bola t segundos las constantes que hacen que lo sea. Demuestre después de ser lanzada. Si ci plato (home plate) que v(t) no es derivable. Dada la naturaieza de está a 60 pies, 4qu6 tan alta está la bola cuando Ia función fuerza, 1por qué esto tiene sentido? cruza ci plato? '
40. Si una persona deja caer una bola desde una altura de 6 pies, 4cudl es la aitura de la bola cuando la bola lanzada en ci ejercicio 39 cruza eiplato? 41.Se efectiia un servicio horizontal de tenis desde una altura de 8 pies, con rapidez inicial de 120 pies por segundo. Para que ci servicio sea válido (esté "in"), debe superar una red de 3 pies de alto, situada a 39 pies de distancia, y de be caer al piso antes de la iInea de' servicio, que está a 60 pies de distancia. Halle una funciOn vectorial para la posición de la bola y determine si este servicio está dentro (in) o fuera (out).
48. Halle la función posicion para ci aviOn del ejercicio 47. 49. Una montana rusa está diseñada para recorrer un rizo circular de 100 pies de radio. Si los pasajeros sienten la ingravidez en la parte superior del rizo, 4cuAl es la rapidez de la montana rusa? 50. Para un satéiite en órbita de la Tierra, la rapidez v, en millas por segundo, se reiaciona con la aitura h millas encima de la superficie de la Tierra, mediante v
Suponga que un
satélite está en órbita a 15,000 millas de altura encima de la superficie de la Tierra. Cuánto
SecciOn 11.3 • Movimiento en el espacio
debe incrementarse la rapidez para elevar La órbita a una altura de 20,000 millas? 51.Un piloto de jet, que realiza un giro circular, e xperimenta una aceleración de 5 g (es decir,
53. Una bola cae desde una mesa de 3 pies de altura. Su velocidad inicial es horizontal, con rapidez vo. Determine en dónde golpea i el piso La bola y el vector velocidad de La bola en el momento del impacto. Halle el angulo entre la horizontal y el vector de La velocidad del impacto. Luego, suponga que el rebote siguiente de la bola comienza cuando La bola es ianzada desde el piso, a partir de las condiciones iniciales determinadas por Al La velocidad de impacto. La rapidez del Ianzamiento es igual a 0.6 por la rapidez de impacto (de modo que la bola no rebotará indefinidamente) ye! angulo de lanzamiento es igual a! angulo (positivo) entre la horizontal y el vector velocidad del impacto. :1 Usando estas condiciones, determine en dónde golpeará la bola otra vez el piso. Continüe para hallar el tercer punto en donde La bola rebota.
991
J all = 5g). Si la rapidez del jet-es de 900 km/hora, .cuál es el radio del giro? 52. Para el piloto del ejerciciO 51, ?.cuántos g experimentarIa si la rapidez fuera de 1,800 km/h?
cc de un proyectil sobre una pendiente. Suponga que el piso pasa pot' el origen y forma una pendiente en un ángulo a con la horizontal. Demuestre que una ecuación del piso es y = -(tan a)x. Se lanza un objeto desde la altura It = 0, con rapidez inicial vo en un ángulo 0 de la horizontal. Observe que la ecuación (3.8) sigue siendo válida, pero La condición de aterrizaje es ahora y -(tan a)x. Halle la coordenada x del punto de aterrizaje y demuestre que el alcance (distancia a lo largo del piso) está dado por R =.eca cos 0(sen0 + tan a cos 0). Use identidades trigonométricas para expresar esto en La forma R = - v sec2 a [sen a + sen (a + 20)]. Use estafórmuLa para haliar el valor de 0 que maximiza el alcance. En el caso de un piso piano (a = 0), el ángulo optima es 45°. Establezca una manera fácii de tomar el valor de a (digamos a = 10 0 a = -8°) y haga el ajuste desde 45° hasta el ángulo Optimo. ,
54. En muchos deportes, como el golf y el saito en esquI, es importante determinar el alcan-
11.4 CUR VA TURA Imagine que usted está disenando una nueva autopista. Casi todas las carreteras tienen curvas, para evitar los obstáculos naturales o los construidos por el hombre. Para que los vehIculos puedan mantener una rapidez razonable en su nueva carretera, es necesario diseñarla de manera que se eviten las curvas demasiado forzadas. Para hacer esto, es necesario tener primero un concepto de cuan forzada es una curva. En esta sección, desarrollamos una medida de la torsion y Los giros en un punto dado. En primer lugar, debe darse cuenta de que una curva dada tiene infinidad de parametrizaciones. For ejemplo, las ecuaciones paramétricas X = t2 , y = t describen una parabola que se abre haciala dei'echa. En efecto, para cualquier nimero real a> 0, las ecuaciones x = (at) 2 , y = at describen La misma parabola. AsI que cualquier medida del ángulo de una curva debe ser independiente de La parametrización. La elección más simple de un parámetro (para propósitos conceptuales, no computacionales) es La longitud de arco. Además, observe que éste es el parámetro correcto para usarse, ya que para medir cuán aguda es una curva, se debe observar cuánto se tuerce y gira por unidad de longitud.
Capitulo 11
992
• Funciones con valores vectoriales
(Piense en esto asi un giro de 900 en un cuarto de milla no es particularmente forzado o agudo, en comparación con el mismo giro en una distancia de 30 pies). Para la curva trazada por el extremo de la función con valores vectoriales r(t) = (f(t), g(t), h(t)), para a :5 t 5 b, definitnos el parámetro de longitud de arco s(t) como la longitud de arco de la porción do curva que va desde u = a hasta u = t. Es decir, a partir de (1.4),
s(t)
=
(U)]2 du. + [g'(u)]2 + [h'
;(2
f
at
Debido a que J[fI(u))2 + [g'(u)]2 + [h' (U)]2 = esto de manera más simple como
fi r'(u) 11, se puede escribir
t
SW
= fa
II r'(u) 11
du.
(4.1)
Aunque hallar explIcitamente la parametrización de una curva en términos de longitud de arco no es el objetivo central de nuestro análisis aqul, hacemos una pausa breve para constrüir tal parametrizaciOn, con el unico propósito do ilustrar sobre ci tema
M 30 1 W KIMIM PARAMETRIZACION DE UNACUEVA EN TERMINOS DE LONGITUD DE ARCO -
-
Halle una parametrización, en términos de longitud de arco, de la cir-
Observe, en primer lugar, que una parametrización do esta circunferencia es C x = f(t) = 4 cos t, y = g(t) = 4 sen t, 0 :5 t :5 2. En este caso, la longitud de arco desde u = 0 hasta u = t está dada por S(t)
=
f f
/f/(11)12 + [9'(u)] 2
du
t
t
^ fi-4 sen u?+ (4cosuj 2 du = 4
j ldu =
Es decir, que t = s/4; por tanto, una parametrización de C en términos de longitud de arco es C:x=4 cos ()iJ=4sen()0:5-s :58,v.
Considere la curva C trazada por el extremo de la función do valores vectoriales r(t). Recuerde que para cada t, v(t) = r'(t), se puede considerar tanto vectorvelocidad como vector tangente, que apunta en la direcdon del movimiento (es decir, La orientación de Q. Observe que Vector tarigente unitario
'T(t)
-
-
r/ (t)
lIr'(t)lI
I
I
(4.2)
993
SecciOn 11.4 • Curvatura
es también un vector tangente, pero delongltud uno (IIT(t)f I = 1). AT(t) lo liamamos vector tangente unitario a la curva C. 0 sea que para cada t, T(t) es un vector tangente, de longitud uno, que apunta en la dirección de la orientación de C. DETERMINACIÔN DE UN VECTOR TANGENTE UNITARXO
Halle ci vector tangente unjtarjo a La curva determinada por r(t) = (t2 + 1, t).
soi.ucIUN Tenemos r'(t) = (2t, 1), de modo que !Ir'(t)II - V(2t) 2 + 1 = V4t 2 + 1 Por (4.2), ci vector tangente unitario está dado por T(t)
r'(t) = IIr'(t)!
Figura 11.18: vectores tangentes unitarios.
(2t , 1) 4t2 +1
/
2t 1 4t2 +1'4t2 +1)
En particular, tenemos T(0) = (0, 1), T(1)
= (g ,
*) Ambos se mues-
tran en la figura 11.18. En las figuras 11.19a y 11.19b, se muestran dos curvas que conectan ambas los puntos A y B. Piense en la conducción de un auto por carreteras que tengan las formas de estas dos curvas. La curva de La figura 11.19b muestra una curva más forzada a aguda que lade la figura 11.19a.
p.
1!
Fgura 11.19a: curva suave.
Figura 11.19b: curva forzada.
La pregunta que debemos resolver es cómo describir matemáticamente este grado de "angulosidad". Se puede obtener una idea de esto en las figuras 11.19c y 11.19d. Son las mismas curvas que se muestran en las ilguras 11. 19a y 11.19b, respectivamente, pero se han dibuj ado varios vectores tangentes unitarios en puntos igualmente espaciados de las curvas. Observe que los vectores tangentes unitarios cambian muy lentamente a lo largo de la curva suave de la figura 11.19c, pero se tuercen y giran de manera más rápida en la vecindad de La curva forzada de la figura 11.19d.
194
Capitulo 11 Funciones con valores vectoriaos
S
S
- - -
Figura 11.19c: vectores tangentes
Figura 11.19d: vectores tangentes
unitarios.
unitarios.
Con base en nuestro análisis de las figuras 11.19c y 11.19d, se observa que La razón de cambio de los vectores tangentes unitarios respecto a la longitud de arco sobre la curva, nos da la medida de la agudeza o angulosidad Con este fin, formulamos la definicion siguiente
DEFINICION. La curvatura K de una curva es La cantidad escalar K
.M
ds
(4.3)
Observe que, aun cuando la definición de curvatura tiene sentido intuitivamente, no es fácil calcular K directamente a partir de (4.3). Para hacerlo, necesitamos hallar primero el parámetro de longitud de arco y• el vector tangente unitario T(t), expresar T(t) en términos del parámetro s de longitud de arco y luego derivar con respecto a s. Esto no se hace usualmente; más bien, observe que por La regla de La cadena,
T, t _dT_dTds " ' - dt ds dt' de modo que (r/()j
K =
ds
TS
(4.4)
Ahora bien, por (4. 1), tenIarnos S(t)
= / II
r'(u)
du,
de modo que por la parte H del teorema fundamental del cálculo,
ds
Tt Por (4.4) y (4.5), tenemos ahora
= II r'(t) f.
(4.5)
Seccion 11.4Curvatura
- IIT'(t) 1[1 E IIr'(t)II I
Curvatura
(4.6)
Se observa que es comparativamente simple usar (4.6) para calcular la curvatura. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo sencillo. DETERMINACION DE LA CURVATURA DE UNA LINEA RECTA
Halle la curvatura de una lInea recta. SOLUCION Piense primero en lo que se le está pidiendo, las lIneas rectas son eso, rectas, de modo que su curvatura debe ser cero en todos los puntos. Veamos. Suponga que la recta se traza mediante la función con valores vectoriales r(t) = (at + b, Ct + d, et + f), para algunas constantes a, b, c, d, e, f. Entonces,
r'(t) = (a, c, e) asI que
r'(t)
fi = /a2 + c2 + e2 =
constante.
El vector tangente unitario es entonces
T(t) - r'(t) ( a,c,e) !lr'(t)II - ________ que es un vector constante. Esto nos da tenemos
IIE"(t) II II
T'(t) = 0, para todo t. For (4.6),
11011 2 +c2 +e2
=0 ,
r'(t)I-Va
como se esperaba. Bien, si una recta tiene curvatura cero, 4puede usted pensar en un objeto geométrico con mucha curvatura? Lo primero que viene a la mente es probablemente la circunferencia, de la que trataremos a continuación. DETERMINACION DE LA CURVATURA DE UNA CIRCUNFERENCIA
Halle la curvatura de una circunferencia de radio a. SOLUCION Dejamos como ejercicio demostrar que la curvatura no depende de la ubicación del centro de la circunferencia. (Intuitivamente, se acepta que no debe depender). Entonces, para simplificar, suponemos que la circunferencia está centrada en el origen. Se observa que la circunferencia de radio a centrada en el origen se traza mediante la función de valores vectoriales r(t) = (a cos t, a sen t). Derivando, se obtiene
r'(t) = (-a sen t,a cos t)
996
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
y
(acost)2 = a/sen2t + cos 2 t = a.
r'(0 =
El vector tangente unitario está dado entonces por
r'(t)
-asent,acost) a IIr'(t)lI -
(-sent,cost).
Derivando, se obtiene T'(t) = (-cos t, -sen t) y por (4.6), se tiene
IIT'(t)II = IIr'(t)II
-
-
.
11 (—cost, —sen t) = s/(_ cos t)2 + (—sen t) 2 1 a
a
- a
Observe que el resultado del ejemplo 4.4 es consistente con su intuición. Primero, usted puede conducir un auto airededor de una pista circular, mientras sostiene el timón en una posición fija. (De modo que La curvatura debe ser constante). Por otra parte, cuanto más pequeño sea el radio do una pista circular, rnás cerrado o agudo es el giro que tiene que dar (es decir, la curvatura es mayor). Por otra parte, en una pista circular de radio muy grande, parece que estuviera conduciendo en lInea recta (es decir, la curvatura se acerca a 0). El lector debe haberse dado cuenta de que el cálculo de la curvatura de las curvas de los ejemplos 4.3 y 4.4 fue un poco tedioso. Podemos simpitficar algo este proceso, medi t1iUiente resu1ld
La curvatura de La curva trazada por la función con valores vectoriales r(t) está dada por = IIr'(t) x r"(t)fl (4.7) K IIr'(t) II La demostración del teorema 4.1 es más bien larga y complicada; por tanto, la omitimos'por.ahora, por brevedad. Volveremos a esto en La seeción 11.5, en donde la demostración es una consecuencia sencilla de otro resultado significativo. Observe que es algo muy sencillo usar (4.7) para calcular la curvatura de casi cualquier curva tridimensional. DE LA CURVATURA DE UNA ESPIRAL Halle la curvatura de La espiral trazada por r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 4t). SOLUCION En la figura 11.20 se muestra la gráfica de la espiral. Se tiene, r'(t) = (2 cos t, -2 sen t, 4) y
r"(t) = (-2 sen t, -2 cos t, 0).
997
SecciOn 11.4 • Curvatura
Ahora, r'(t)
X
r"(t) = (2 cos t, -2 sen t, 4) x (-2 sen t, -2 cos t, 0)
i k j = 2cost -2sent4 -2sent -2 Cos t0 = (8 cos t, -8 sen t, -4 cos 2 t - 4 sen2 t) = (8 cos t, -8 sen t, -4). A partir de (4.7), obtenemos que la curvatura es Ilr'(t) x r " (t)II
IIr' ( t) i
Figura 11.20: espiral circular.
I(8 Cos t, -8 sent,
II( 2 Cos t,-2sen
-4)11
t,4)113 =3
10
Segin esto, la espiral tiene curvatura constante, como puede sospecharse a partir de la figura 11.20. En el caso de una curva plana que sea la grafica de una función y = podemos deducir una formula particularmente simple para la curvatura. Observe que tal curva está trazada por la función de valores vectoriales r(t) = (t ,f(t), 0), en donde la tercera componente es 0, porque la curva está contenida completamente en el piano xy. Además, r'(t) = (1 ,f'(t), 0) y r"(t) = (0 ,f"(t), 0). For (4.7), tenemos IIr(t) x r" (t) IIr'(t)113
- II(1 ,f'(t),0) -
x (0,f"(t),0)II
II(1,f'(t),0)113
If" (t)I {i + [fI(t)1 2 } 3/2 donde hemos dejado, como ejercicio sencillo, el cáiculo del producto cruz. Como el parámetro t es iguai a x, podemos expresar la curvatura como ___ __
Curvatura de la curva plana
y=fx)
(4.8)
{1+[f/(x)}2}3I2
DETERMJNACIöN DE LA CURVATURA DE UNA PARABOLA
Halle la curvatura de la parabola y = ax2 + bx + c. Halle también el valor lImite de la curvatura cuando x - . SOLUCION Tomandof(x) = ax2 + bx + c, tenemos quef'(x) = 2ax + b,y,f"(x) = 2a. For (4.8), tenemos que I 2a [1+(2ax+b)2 ]3/2
Capltulo 11 • Funcones con valores vectoriales
998
Tomando el lImite cuando x
.
inn ic= lim
- oo,
se tiene
12a1
=0.
[i + ( 2ax 4- b)2]' En otras palabras, cuando x -+ 00, la parabola se rectifica. Usted debe haber observado esto en las graficas de las parábolas alguna vez. Ahora hemos verificado que no es una especie de ilusión óptica; es realidad. Un ejercicio directo es demostrar que la curvatura maxima ocurre en el vértice de La parabola (x = -b/2a).
I
EJERCICOS DE LASECCION 11.4 9.'
1. Explique lo que significa que una curva tenga curvatura cero a) en un punto y b) en un intervalo de valores de t. 2. A través de nuestro estudio del cálculo, hemos considerado aproximaciones de rectas tangentesa curvas. Algunas rectas tangentes se aproximan bien a la curva sobre un intervalo más bien largo, mientras que otras lo hacen en intervalos muy cortos. Explique cómo se puede usar la curvatura para predecir si una curva se aproxima bien mediante su recta tangente. 3. Analice la relación entre curvatura y concavidad para una función y = fix). 4. Explique por qué la curvatura ic = IL. de la espiral del ejemplo 4.5 es menor que la curvatura de la circunferencia (2 sen t, 2 cos t), en dos dimensiones.
En los ejercicios 5 a 8, halle una parametrización con longitud de arco de la curva dada en dos dimensiones. 5. La circunferencia de radio 2 centrada en el origen
13.r(t) = (3t, cos 2t, sen 2t), t = 0, t = -, t = 14.r(t) = (4t, 2t, t2), t = -1, t =0, t = 1
6. La circunferencia de radio 5 centrada en el origen
15.Dibuje la curva del ejercicio 11, junto con los vectores r(0), T(0), r(!), T(2).
7. El segmento de recta desde el origen hasta el punto (3, 4)
16.Dibuje la curva del ejercicio 12, junto con los vectores r(0), T(0), r(), T().
8. El segmento de recta desde (1, 2) hasta el punto (5,-2)
17.Dibuje la curva del ejercicio 13, junto con los vectores r(0), T(0), r(iv), T(,r).
En los ejercicios 9 a 14, halle el vector taugente unitario a la curva en los puntos indicados.
18. Dibuje la curva del ejercicio 14, junto con los vectores r(0), T 0), r(1), T(1)
9. r(t) = (3t, t2), t = 0, t = -1, t = 1
En los ejercicios 19 a 26, halle la curvatura en el punto dado.
10.r(t) = (2t 3,/),t = 1,t = 2,t = 3 (3 cos t,2sent),t = O,t
19. r(t) = (e-2 t, 2t, 4), t = 0 2'
l2.r(t)=(4sent,2 cos t),t=_,tO,t=
2
20.r(t) = (2,sen at, lnt,t = 1
SecciOn 11.5 o Vectores tangentes y normales
41. Explique cómo se relacionan las respuestas de los ejercicios 37 a 40 con las graficas.
21.r(t) = (t, sen 2t, 3t), t = 0 22.r(t) = (t, t2 + t -1, t), t = 0
42. Halle la curvatura de la espiral circular (a cos t, a sen t, bt).
23.f(X) = 3x 2 1,X = 1 X3 + 2x-1,x = 2 24.f(X)
43.Indique Si es verdadero o falso y explique: en un extremo relativo de y = f(x), la curvatura es minima o maxima.
25.f(X) = senx,X = e_3x, = 0 26.1(X) 27. Paraf(x) = sen x (véase el ejercicio 25), demuestre que la curvatura es la misma en x = H y en x = . Use la grafica de y = sen x para predecir si la curvatura es mayor o menor en x = 28. Paraf(x) = e_3 x (véase el ejercicio 26), demuestre que la curvatura es mayor en x = 0, que en x = 2. Use la grafica de y = e _3x para predecir si la curvatura es mayor o menor en x = 4. En los ejercicios 29 a 32, dibuje la curva y calcule la curvatura en Los puntos indicados. 29. r(t) = (2 cos 2t, 2 sen 2t, 3t), t = 0, t =
44.Indique si es verdadero o falso y explique: en un punto de inflexión de y = f(x), la curvatura es cero. 45. Indique si es verdadero o falso y explique: la curvatura de la curva bidimensional y = f(x) es la misma que la curvatura de la curva tridimensional r(t) = (t, f(t), c), Para cualquier constante c. 46. Indique si es verdadero o falso y explique: la curvatura de la curva bidimensional j = f(x) es la misma que la curvatura de la curva tridimensional r(t) = (t, f(t), t). 47.Demuestre que la curvatura de la curva polar r =f(0) está dada por
30.r(t) = (cos 2t, 2 sen 2t, 4t), t = 0, t = 31.r(t) = (t, t, t2 - 1), i
999
12[f (0)J2 - f( 0) f"( 0 ) + [f(0)]2 [f,( 0 )j2 + '
0, t = 2
32.r(t) = (2t - 1, t + 2, t - 3), t = 0, t = 2 En los ejercicios 33 a 36, dibuje la curva y halle puntos de maxima y de minima curvatura.
I
1
48. Si f(0) = 0, demuestre que la curvatura de la curva polar r = f(0), en 0 = 0, está dada por 2 IC
IMOT
33.r(t) = (2 cos t, 3 sen t) 34. r(t) = (4 cos t, 3 sen t) 35.y=4x2 -3 36.j=senx En los ejercicios 37 a 40, halle el lImite de la curvatura cuando x - co.
=
= e2X 39.y =
cos
(u2 1-2
) du, j sen
50,r= 3 +2 cos 0,0=0,0=
52.r= 1-2sen0,0=0,0=
53. En este ejercicio exploramos una curva paramétrica bidimensional inusual que se conoce como espiral de Cornu. Defina la función con valores vectoriales r(t) = t
49.r= sen30,0= 0,0=
51.r = 3e 20, 0 = 0,0 = 1
40.y =
(f
En los ejercicios 49 a 52, use los ejercicios 47 y48 para hallar la curvatura de la curva polar en los puntos indicados.
(4) du). Use un
dispositivo graficador Para dibujar la grafica de r(t) Para -iv < t :5 r. Calcule la longitud de arco de la curva desde t 0 hasta t= c; calcule la curvatura en t = c. jQ u 6 propiedad notable encuentra?
1000
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
11.5 VECTORES TANGENTES Y NORMALES Hasta este punto, hemos usado un ünico sistema de referencia para todo nuestro trabajo con vectores. Esto es, hemos expresado los vectores en términos de los vectores base unitarios estándar, i, j, k. Sin embargo, éste no es siempre el sistema de referencia más conveniente para describir vectores. For ejemplo, imagine que usted necesita investigar Las fuerzas que actüan sobre un avión mientras vuela a través del espacio. Un sistema de referencia fijo serla particularmente inconveniente aquI. Mucho mejor serla un sistema de referencia que se moviera junto con el avión. Como se vera, tal sistema de referencia móvil aclara una amplia variedad de problemas. En esta sección construiremos este sistema de referencia móvil y veremos cómo esto nos proporciona inmediatamente información ütil respecto a las fuerzas que acbian sobre un objeto en movimiento. Considere un objeto que se mueve a lo largo de La trayectoria determinada por la función con valores vectoriales r(t) = (f(t), g(t), h(t)). Si vamos a definir un sistema de referencia que se mueva con el objeto, necesitamos tener (en cada punto de la curva) tres vectores unitarios mutuamente ortogonales. Uno de ellos debe apuntar en la dirección del _movimiento(es-decir; en-la-direceión de la orientaciónde la trayectoria). En la sección 11.4 se definió el vector tangente unitario T(t) mediante
T(t) - Ijr'(t)I[ Recurde,además,eLteorema 2.4,-segün-e1-cualcomo-T(t)-es--un-vectôr-unitario (y, por tanto, su magnitud constante es 1), T(t) debe ser ortogonal a T'(t), para cada t. Esto nos da un segundo vector unitario en nuestro sistema de referencia móvil, como sigue.
DEFINICION. Un vector unitario que tenga la misma dirección que T'(t) es el vector normal unitario principal, N(t), què se define asi:
N(t) - T'(t)
(5.1)
- IIT'(t)I[
El lector se puede preguntar hacia dónde apunta N(t). No es suficiente decir que es ortogonal a T(t). Después de todo, en tres dimensiones hay infinitas direcciones que son ortogonales a T(t). (En dos dimensiones hay solamente dos direcciones posibles). Podemos clarificar esto con la siguiente observación.
ds
Recuerde que por (4.5), se tiene que j
I l
II r(t) II
> 0. (Esto se
deduce de La definición de parámetro en términos de longitud de arco de (4.1)). En particular, esto significa que
ds ds dt = .
Por la regla de la cadena, se tiene
T' - dT - dT ds dsdt dt
.
..
SeccOn 11.5 • Vectores tangentes y normales
1001
Esto nos da
dTds T(t) __ __________ dt Ids l N(t) = IIT'(t)Ii =
ds Tt
1
dT ds dTII ds
o, de manera equivalente,
dT
(5.2)
N(t)=2. ic ' is— donde se ha usado la definición de curvatura de (4.3),'K= Figura 11.21: vectores norma-
les unitarioS principales.
dT
Puede observar que (5.2) no es particularmente ütil como formula para calcular N(t). (.Por qué no?) Sin embargo podemos usarlo para interpretar el significado de N(t). Como K > 0 para que (5.2) tenga sentido, N(t) va a tener la misma dirección que
dT -s---.
dT
Observe que -a-- es la
razón de cambio instantánea del vector tangente unitario, respecto a la
dT
longitud de arco. Esto significa quo -a-- (y, en consecuencia, N también) apunta en la dirección en la que T está girando cuando la longitud de arco crece. De modo que N(t) apunta siempre hacia el lado cóncavo de la curva (véase la figura 11.21). DETERMINACION DE VECTORES NORMALES UNITARIOS PRINCIPALES Y TANGENTES UNITARIOS
Halle ci vector unitario tangente y ci vector unitario normal principal a la curva definida por r(t) = (t 2) t). soLucION Observe que r'(t) = (2t, 1); por tanto, a partir de (4.2), se tiene T(t) - r'(t) - (2t, 1) - (2t, 1) 11 (2t, 1 11 1/4t2 +1 Ilr'(t)II -
)
2t
1
4t2 +1 Usando la regla del cociente, tenemos T/
(t) = 2y4t2 + 1 - 2t () (4t 2 -i- i) 4t2 + 1
(8t) - (4t' + i)
(4t2+1)-4t2 i—(4t2+1) 2. = 2(4t2+i) 2 4t2+1 -
= 2(4t2 +1)
(
4t)j
3
2 (1,-2t).
Además, —
= 2 (4t2 + 1)
= 2(4t2 +1)
i 2
11(1, —2t)JI
2 1+4t2=2(4t2+1)'
(8t) j
1002
Capitulo 11 • Funciones con valores vectoriales
Por (5. 1), el normal •unitario principal es entonces N(t)- T'(t) - 2 (4t2 + i)- (1, -2t) - lT'(t)II 2(4t2+1)' (1, -2t).
(42 + 1)
En particular, para t = 1 obtenemos T(1) =
(-k, -g).
y N(1) =
En la figura 11.22 se representan la curva y dos vectores
de muestra. Figura 11.22: vector tangente unitario y vector normal unitario principal.
Los cálculos son similares en tres dimensiones, como puede verse en el siguiente ejemplo. DETERMINACION DE LOS VECTORES TANGENTE UNITARIO Y NORMAL UNITARIO PRINCIPAL Halle los vectores tangente unitario y normal unitario principal a la curva determinada por r(t) = (Sen 2t, cos 2t, t).
SOLIJCION En primer lugar, observe que r'(t) = (2 cos 2t, -2 sen 2t, 1), y, por tanto, por (4.2), se tiene que T(t)
r1(t) - (2cos -2t--2-sen- 2t, 1) = IIr'(t)I - IR2 cos 2t, -2sen 2t,
(2 cos 2t, -2sen. 2t, 1).
Esto nos da TV)
1
= 75= (-4 sen 2t, -4 cos 2t, 0).
asi que, por (5.1), el normal unitario principal es
Figura 11.23: vector tangente
unitario y vector normal unitario principal.
T(t) 1 N(t) = IIT'tII = (-4 sen 2t, -4 cos 2t, 0) (-sen 2t, -cos 2t, 0). Se observa que esta curva es una espiral circular y que en cada punto N(t) apunta directamenteatrás hacia el eje z (véase la figura 11.23). Para obtener un tercer vector ortogonal tanto a T(t) como a N(t), simplemente tomamos el producto cruz.0
DEFINICION. Se define el vector binormal B(t), asI: B(t) = T(t) x N(t). Observe que, po.r definición, B(t) es ortogonal tanto a T(t) como a N(t); por el teorema 4.4 del capItulo 10, su magnitud está dada por J B(t) fi
= V T(t)
x N(t)
1
=
T(t) 110 N(t) 1 sen 0,
donde 8 es el angulo entre T(t) y N(t). Sin embargo, como T(t) y N(t) son ambos vectores ünitarios, II T(t) 1 = N(t) 11 = 1. Además, T(t) y N(t) son
.
.
...
..
..
.
.
....
.
S
Sección 11.5 • Vectores tangentes y normales
A
T)
Z
N(t)
(/
N(t)
BW
Figura 11.24: sistema de referenda TNB.
1003
ortogonales, de modo que sen 9 = 1, y en consecuencia, 1 B(t) fi = 1 también. Esta tripla de vectores unitarios, T(t), N(t), B(t) constituye Un sistema de referencia Ilamado sistema de referenda TNB (o también triedro móvil), que se mueve a lo largo de la curva defjnjda por r(t) (véase la figura 11.24). Este sistema de referencia móvil tiene particular importancia en una rama de las matemáticas Ramada geometria diferenCial, y se usa en aeronavegación. Como puede verse, la definición del vector binormal es directa. Ilustramos esto ahora para La curva del ejemplo 5.2. DETERMINACION DEL VECTOR BINORMAL
Halle el vector binormal cos 2t, t).
B(t) para la curva trazada por r(t) = (sen 2t,
SOLUC!ON Recuerde, del ejemplo 5.2, que el vector tangente unitario está dado por T(t) = (2 cos 2t, -2 sen 2t, 1) y que el vector normal unitario principal está dado por N(t) = (-sen 2t, -cos 2t, 0). Por la definición anterior, p. 1003, se tiene que el vector binormal está dado por
B(t) = T(t) x N(t) =
1
(2 cos 2t, -2 sen 2t, 1) x (-sen 2t, -cos 4t, 0)
k
•1. = - 2cos2t -2 sen 2t 1 -sen 2t - cos 2t 0
1 - Ii (cos 2t) - j (sen 2t) + k (-2cos 2 2t - 2 sen2 20] Figura 11.25: sistema de ref erencia TNB para
1 - (cos; 2t, -sen 2t, -2).
r(t) = (sen 2t, cos 2t, t). En la figura 11.25 se ilustra el sistema de referencia TNB para esta curva. Para cada valor de t, el plano determinado por N(t) y B(t) se llama piano normal. Por definición, el piano normal a una curva en un punto contiene todas Las rectas que son ortogonales al vector tangente en el punto dado de la curva. Para cada valor de t, el piano determinado pOr T(t) y N(t) se llama piano osculador. Para una curva bidimensional, el piano osculador es simplemente el piano xy. Para un valor dado de t, digamos t = to, Si la curvatura K de la curva en el punto P correspondiente a to no es cero, entonces la circunferencia de radio p = , contenida completamente en el piano oscuiador, y cuyo centro está a una distancia de P iguai a , sobre la normal N(t), se llama
1'
circunferencia osculadora (o circunferencia de curvatura). Recuerde,
Figura 11.26: circunferencia osculadora.
del ejemplo 4.4, que la curvatura de una circunferencia es el recIproco de su radio. Note que esto quiere decir que la circunferencia osculadora tiene La misma tangente y curvatura en P que la curva misma. Además, como el vector normal siempre apunta hacia. el lado cóncavo de La curva, la circunferencia osculadora está situada en el lado cóncavo de la curva. En este sentido, entonces, la circunferencia osculadora es la circunferencia
1004
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
que "Se ajusta mejor" a la curva en el punto P (véase La figura 11.26). El radio de La circunferencia osculadora se llama radio de curvatura, y el centro de dicha circunferencia se llama centro de curvatura. DETERMINACION DE LA CJRCUNFERENCA OSCULADORA
Halle la circunferencia osculadora de la parabola definida por (t2, t) en t = 0.
r(t) =
SOLUCION En el ejemplo 5.1, encontramos que el vector tangente unitario es
T(t) = (40 + 1)_1/2 (2t, 1), T'(t) = 2(4t2 + 1)3/2 (1, —2t) y el normal unitario principal es N(t) = (4t2 + 1)-.1/2(1, -2t). AsI que, por (4.6), La curvatura está dada por n(t)
- jr'(t)Il 2 (4t2 + 1)_312 (i +4t2)hI'2 = 2 (4t + 1)_3I2. 2 (4t2.+ 1)1/2
Figura 11.27: circunferencia osculadora,
Ahoratenemos ,c(0) =
2, de modo que el radio de curvatura parat = 0
de curvatura está ubicado a = unidad del origen en la dirección de N(0) (es decir, a lo largo del eje positivo x). En La figure 11.27 se muestran la curva y La circunferencia osculadora.
Componentes normal y tangencial de la aceleraciôn
Ahora que hemos definido los vectores tangente unitario y normal unitario principal, podemos hacer una observación importante respecto a! movimiento de un objeto. En particular, veremos cómo esta observación ayuda a explicar el comportamiento de un automóvil, cuando se desplaza por una curva pronunciada. Supongamos que La posición de un objeto en el instante t está dada por el punto extremo de La función con valores vectoriales r(t). Recuerde, de la definición de vector tangente unitario, que T(t) = r'(t)/IIr'(t)II, y por ds (4.5), IIr'(t)tI = , donde s representa la longitud de arco. Entonces, la dt velocidad del objeto está dada por ds
v(t) = r'(t) = IIr'(t)fl T(t) = —T(t). cit Usando La regLa del producto [teorema 2.3 iii)], se tiene que la aceleración está dada por d2S a(t) = v'(t) = . ( T(t)) T(t) + =
ds
T'(t).
(5.3)
Recuerde que hemos definido el vector normal unitario principal me-
T/(t)
diante N(t) = IIT'(t)II' de manera que '
SecciOn 11.5 Vectores tangentes y normales 0
(5.4)
T'(t) = IIT'(t)IIN(t). Además, por la regla de La cadena,
!IT'(t)II =
dTdTds dt - is— Tt ds d ds =k Tt Ti;
I 1
(5.5)
donde se ha usado también la definición de la curvatura K dada en (4.3) ds y el hecho de que T > 0. Combinando (5.4) y (5.5), tenemos ahora que T'(t) = ! IT'(t)IIN(t)
ds
Usando esto junto con (5.3), obtenemos a(t)
cTT(t)
J a(t)
aNN(t)
d
2
ds T(t)+() r.
2
N(t)i
(5.6)
La ecuación (5.6) nos proporciona una sorprendente riqueza de informacion acerca del movimiento de un objeto. Observemos en primer lugar que como a(t) se expresa como suma de un vector paralelo a T(t) con unvector paralelo a N(t), el vector aceieraciOn siempre está en el piano determinado por T(t) y N(t) (es decir, el piano osculador). En particular, esto expresa que la acéleraciOn es siempre ortogonal a! binormal B(t). Al coeficiente de T(t) de (5.6) se le llama componente tangencial de la aceleración, aT; al coeficiente de N(t) se le llama componeñte normal de la aceleración, a. Es decir,
Figura 11.28: componentes
ds"2
d2 s ar dt2 Y
tangencial y normal de la aceleraciOn.
.
(5.7)
En la figura 11.28 se describe gráficamente esta descomposiãión de a(t) en las componentes tangencial y normal. Sin duda, usted ha estado en un auto que toma una curva en la carretera. Podernos usar (5.6) para explorar una estrategia que permita mantener elveh.Iculó en la carretera(véase la figura 11.29). For La segunda ley del movimiento de Newton, La fuerza neta que actüa sobre su auto en un instante dado t es F(t) = ma(t), donde m es la masa del auto. For (5.6), se tiene j2
F(t) = ma(t) = -in
Flgura 11.29: conducciOn
en una curva.
Fl
2
T(t) + mic () N(t).
Como T(t) apunta en La dirección de La trayectoria del movimiento, se requiere que La componente de La fuerza que actüa en La dirección de T(t) sea tan grande como sea posible, comparada con La componente de La fuerza que actüa en La dirección de La normal, N(s). Si La curva es aguda o forzada (es decir, La curvatura IC es grande), observe que la ünica manera de minimizar La fuerza aplicada en esta direcciOn es hacer pequeño a
fds\2
ds
. Recuerde. que es La rapidez y, por tanto, reducir La
rapidez es La ünica manera de reducir La componente normal de La fuer-
1006
Capitulo 11 • Funciones con valores vectonales
za. Para maximizarla componente tangencial de la fuerza, se debe ha-. cer
tan grande como sea posible. Ciertamente, si
entonces,
es la rapidez,
es la.razón de cambio instantánea de la rapidez respecto
al tiempo. De modo que para maximizar la componente tangencial de la fuerza, se requiere acelerar a! tomar La curva. En particular, se requiere
d2 dt2
0. Probablemente usted habrá notado las señales de advertencia
en la autopista, cuando se acerca a una curva forzada. En ellas se aeonseja ir más despacio antes de entrar a la curva. Ahora puede ver que ésta es, en efecto, La estrategia optima para mantener suauto en la carretera. Si espera hasta estar en la curva para ir más despacio, entonces <0 en la curva y, por tanto, la componente tangencial de la fuerza es 2'pT(t)
negativa; esta fuerza, en efecto, dificulta tomar bien La curva. Observe
ds
que reducir la rapidez (es decir, reducir
0) una vez que se está -en la
acelerar suavemente (manteniendo
-..-_
44 •tt.
curva, ayuda a tomarla bien, manteniendo la fuerza resultante, F(t), apuntando en La dirección general en la que se quiere ir. Alternativamente, el d mantener
£.............. ___.-
riyuru I i.u; iur Field;
a2 s < dt2
--
antes de La curva y luego
.
de T(t). La fuerza neaF() api ntaráentonces.fuera-de-ia-direcciOn del iiovimiento, lo que actüa en contra de la conducción por La curva (véase la figura 11.30). DETERMINACION DE LAS COMPONENTES TANGENCIAL V NORMAL DE LA ACELERACION
Halle las componentes .tangencial y normal de la aceléraciOn para un objeto cuyo vectorposiciOn es r(t) = (2 sen t, 2 cos t, 4t). SOLUCION En el ejemplo 4.5, hallamos que la curvatura de esta curva es Tenemos tambjén r'(t) = (2 cos t, —2 sen t, 4), de modo que
K
4
ds - = IIr'(t)II = V20 dt y, por tanto, es
d2s
= 0, para todo t. Por (5.6), tenemos que la aceleración /
a(t) =
= (0)
T(t)
T(t)
AsI que tenemos aT = 0 y a N = 2.
+ K
+
2
() N(t)
j (v') N(t) 2N(t).
Seccián '11 .5 •
Observe que es razonablemente simple calcular aT cular solamente
1007
Vectores tangentes y normales
= d2S .
Se debe cal-.
= r'(t) U y luego derivar el resultado. Por otra parte,
caleular aN es Un POcO más Complicado, ya que requiere calcular primero la curvatura K. Podemos simplificar los cálculos de aN mediante la siguiente observación. Por (5.6), se tiene a(t) =
T(t) +
/ ds
N(t) = a 7.T(t) + a N N(t).
Esto quiere decir que a(t) es el vector resultante de surnar los vectores ortogonales aT T(t) y aN N(t). (Véase la figura 11.31, en la que se han dibujado los vectores de manera que el punto inicial de aN N(t) está ubicado en el punto final de aT T(t)). Por el teorema de Pitágoras, se tiene que
)I a(t) U 2 = II aT T(t) III + U aN N(t)11 2 (5.8) Figura 11.31: componentes de a(t).
ya que T(t), N(t) son vectores unitarios (es decir, T(t) resolver (5.8) respecto de ap,r, se obtiene, aN =
= If N) f
= 1). Al
/IIa(tYii2 —aT2,
(5.9)
en donde hemos tornado el signo positivo de la raiz, y que aN = > 0. Una vez conocidos a(t), at., se puede usar (5.9) para calcular rápidmente aN, sin calcular primero la curvatura. DETERMINACION DE LAS COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACION
Halle las componentes tangencial y normal de la aceleración para un objeto cuya trayectoria está definida por r(t) = (t, 2t, t2). En particular, halle estas componentes en t = 1. SOLUCION Prirnero, calculamos la velocidad v(t) = r'(t) = (1, 2, 2t) y la aceleración a(t) = (0, 0, 2). Esto nos da
ds
= IIr'(t)ll = 11(1,2,2t)fI
= V1 2 +22 +(2t) 2 = V'5+42
.
La componente tangencial de la aceleración es entonces
d2sd = = (5+4t2)"2 (8t) =
4t v15+4t2
Por (5.9), tènemos que la componente normal de la aceleración es
CapItulo 11 • Funciones con valores veotoriales
1008
aN
=
IIa(t)II2
_4
aNN(t)
z
5 0
arT(t)
x
1O
iy
-
22
16t2 - 5+ 42 _____2. _
16t2 -
v
5+4t2
/5+4t
Piense en calcular aN a partir de su definición en (5.7) y observe cuánto más sencillo fue usar (5.9). Finalmente, en t = 1, tenemos 4
ar = yaN =
Figura 11.32: componentes
tangencial y normal de la aceleración en t = 1.
=
En La figura 11.32, Se muestra una representación de la curva que traza r(t), junto con las componentes tangencial y normal de la aceleración en t = 1. La ecuación (5.6) se puede aplicar en muchas circunstancias. Entre otras, nos proporciona una demostración relativamente simple del teorema 4.1, que se habla diferido hasta ahora. Puede recordarse que el resultado expresa que la curvatura de una trayectoria trazada por la función de valores vectoriales r(t) está dada por K=
lIr'(t) x r"(t)II
(5.10)
1Ir'(t)11 3
Demostración. Por (5.6), tenemos = 2 + ( d)2 a(t) T(t) N(t). Tóthnoel " obtiene
druz,conT(t),aambos lados de estaecuación, se
dsd28 T(t) x a(t) = —T(t) x T(t) + K =
ds
x N(t)
T(t) x N(t),
K()
ya que el producto cruz de cualquier vector con él mismo es el vector. cero. Al tomar La magnitud a ambos lados, se obtiene
T(t) x a(t)
= K()
V T(t)
x N(t) V
= K(7) VT(t)II IIN(t)IIsenO,
(5.11)
donde 8 es el angulo entre T(t) y N(t). Pero T(t) y N(t) son vectores unitarios, de modo que II T(t) If = II N(t) 11 = 1; además, como T(t) y N(t) son ortogonales, sen 0 = 1. Entonces, la ecuación (5.11) se simplifica as!:
ds \2
jfT(t) x a(t)fl = K(Tt Recordando que
r' (t)
T(t) = fr' (t) 11 . a(t) = r"(t) y fr' (t) x r"(t)fj ffr' (t)ff
=K
ds
= II r'(t) II, se obtiene
IIr'(t)112.
Finalmente, al resolver respecto a K, obtenemós (5.10), como querlamos.
SecciOn 11.5 • Vectores tangentes y normales
LeyeS de Kepler.
1009
Ahora estamos en posición de presentar uno de los descubrimientos más profundos hechos por la humanidad. Durante cientos de años, la gente creIa que el Sol y las otras estrellas y planetas giraban todos airededor de La Tierra. El año 1543 presenció la publicación de la teorla del astrónomo Copérnico, segün la cual La Tierra y los otros planetas, efectivamente, giran airededor del Sol. Sesenta años más tarde, con base en Un cuidadoso análisis de un nümero masivo de observaciones astronómicas, el astrónomo alemán Johannes Kepler formuló tres leyes que, segün su razonamiento, deberIan cumplir todos Los planetas. Las presentamos a continuación.
Leyes de Kepler del movimiento planetario 1. Todo planeta sigue una órbita elIptica, con ci Sol en uno de los focos. 2. El segmento de recta que une a! Sol con un planeta barre areas iguaLes en tiempos iguales. 3. Si T es el tiempo requerido para que un planeta recorra una órbita del Sol y si la longitud del eje mayor de su órbita elIptica es 2a, entonces T2 = ka3 para alguna constante k (o sea que T2 es proporcionaL a 0). ,
El anáLisis exhaustivo de datos realizado por Kepler cambió La percepción de nuestro lugar en el universo. Aunque el trabajo de Kepler fue de naturaleza empirica, el tratamiento de Newton al mismo problema no lo fue. En 1687, en su libro "Prtncipia Matheinatica",Newton demostró cómo usar su cálculo para deducir las tres leyes de Kepler,. a partir de las dos leyes de Newton: su segunda ley del movimien-to y su ley de la gravitación universal. No debe subestimarse ci significado de este logro. Con su trabajo, Newton aclaró algunas de las leyes fIsicas que gobiernan nuestro universo. Para simplificar nuestro análisis, suponemos que estamos observando un sistema solar que consta de un sol y un planeta. Esta es una suposicion razonable, ya que Ia atracción gravitacional del sol es mucho mayor que La de cualquier otro cüerpo (planeta, luna, cometá, etc.), debido a que la masa del sol es muchIsimo mayor. (Resulta, sin embargo, que la atracción gravitacionaL de otros cuerpos, de hecho, tiene un efecto. AsI, una obs(-rvación de Las irreguLaridades en la órbita de Urano condujo a los astrónomos a la hipótesis de la existencia de Neptuno, antes de haberlo observado por un telescopio). Suponemos que ci centro de masa del sol está localizado en el ongen y que el centro de masa del planeta está localizado en el punto extremo de La función de valores vectoriales r(t). El vector velocidad para el planeta es entonces v(t) = r'(t), con la aceieración dada por a(t) = r"(t). Por la segunda ley del movimiento de Newton, se tiene que la fuerza neta (gravitacional) F(t) que actüa sobre el planeta es F(t) = ma(t), donde m es la masa del pianeta. Por la icy, de gravitación universal de Newton, tenemos que si M es la masa del so!, entonces la atracción gravitacional entre los dos cuerpos satisface a F(t)
r() = - IIr(t)11 2 IIr(t)IJ GmM
1010
CapItulo 11 • Funcones con valores vectoraIes
donde G es la constante gravitacional universal 1 . Hemos expresado a F(t) en esta forma para que se pueda ver que, en cada punto, la atracción gravitacional actüa en La dirección opuesta al vector posición, r(t). Por otra parte, La atracción gravitacional es proporcional tanto a la masa del sol como del pianeta e inversamente proporcional al cuadrado de La distancia entre el sol y ci planeta. Por simplificar, no indicaremos explIcitamente la variable t; sea r
= Dr 11. Si se toma u(t)
r(t) = IIr(t)II
(un vector
unitario en la dirección de r(t)), podemos expresar entonces las leyes de Newton en la forma simple
FmayF=-
GmM u. r2
Comenzamos por demostrar que La órbita de un planeta está contenida en un piano. Igualando las dos expresiones de F anteriores y cancelando el factor comtmn, m, se tiene
GM a=- —u.
(5.12)
Esto quiere decir que la aceleración, a, apunta siempre en la dirección opuesta a la de r, de modo que !a fuerza de gravedad acelera el p!aneta hacia el Sol en todo momento. Como a y r son paralelos, se tiene que
rxa=O.
(5.13)
A continuación, observe que por La regla del producto (teorerna 2.3 v)),
z
d
dv dr (rxv)=xv+rx Tt
v X v + r x a = 0, en vista de (5.13) y puesto que v X v = 0. Integrando a aibos lados de =
esta expresión, se obtiene planeta
x
rxv=c,
(5.14)
Figura 11.33: vectores posición para algün vector constante c. Esto significa, como puede observarse,
y velocidad para el movimiento que para cada t, r(t) es ortogonal al vector constante c. En particular, planetario. esto expresa que el.punto extremo de r(t) (y, por tanto, la órbita del pianeta) está en el piano ortogonal al vector c y contiene al origen. Ahora que hemos establecido que la órbita de un planeta esté contenida en un piano, podemos demostrar la primera ley de Kepler. Para simplificar, suponemos que el piano que contiene la órbita es el plano xy, de modo que c es paralelo al eje z (véase la figura 11.33). Ahora, observe que como r = ru, tenemos, por la regla del producto [teorema 2.3 iii), que
drd
dr
du
Si medimos la masa en kilogramos, la fuerza en newtons y la distancia en metros, G está dado aproximadamente por G 6.672 X 10"Nm2/kg2
SeccOn 11.5 • Vectores tangerites y normales
1011
Sustituyendo esto en (5.14), y remplazando r por ru, se tiene
dr (Tt
=rxv=rux
du
dr du =r'(uxu)+r27 ux-dt
=r27
du\ dt
debido a que u x u = 0. Teniendo en cuenta además (5.12), se obtiene du. GM axc=--- --uxr2"(uxdt r2 = –GMu x (u x du) =–GM
Ku
-) Tt
u — (u - U)J
(5.15)
en donde hemos reescrito ci producto vectorial triple usando el teorema 4.3 vi) del capItuio 10. Hay otras dos cosas que deben observarse aqul. Primera, como u es un vector unitario, u u = u 11 2 = 1. Por otra parte, por el teorema 2.4, como u es una función con valores vectoriales con du xnagnitud constante, u = 0. Como consecuencia, (5.15) se simplifica asI: du d ax c= GM = (GM u),
Tt
debido a que G, M son constantes. Usando la definición de a, podemos escribir d dv ax c=- xc =(v. xc),
pues c es un vector constante. Igualando las dos ültimas expresiones de a x c, se obtiene Tt (vxc)= (GM u). Al integrar a los dos lados, se obtiene v x c = GM u + b,
x m
Flgura 11.34: coordenadas polares para la posición del planeta.
(5.16'
para algün vector constante b. Observamos ahora que v x c debe se ortogonal a c y, por tanto, v x c debe estar en el piano xy. (Recuerde qu hablamos escogido la orientación del piano xv demanera que c fuera ui vector ortogonal al piano. Esto significa, además, que todo vecto ortogónai a c debe estar en el piano xy). Por (5.16), como U y v X c estái en ci piano xy, b debe estar también en ci mismo piano. (Piense en el po qué). A contjnuación se alinea el eje x, de manera que el eje positivo; apunte en la misma dirección que b (véase la figura 11.34). Además, se o ci angulo desde e eje positivo x hasta r(t), de modo que (r, 8) sean la
1012
Cap(tuto 11 • Funciones con valores vectoriales
coordenadas polares del extremo del vector posición r(t), como se indica en La figura 11.34. Sea ahora b = b 11 y c = c 11 Entonces, por (5.14), tenemos .
c2 =cc =(r x v)c=r(v Xc), donde hemos reescrito el producto escalar triple usando el teorema 4.3 v) del capItulo 10. Juntando todo esto con (5.16), y escribiendo r = ru, obtenemos C2 = r(v Xc) = ru (GM u + b)
=rGMuu+rub. Como u es un vector unitario, capItulo 10, ub =
UU
=
II U 11 2 =
II u Jib II cos 0
(5.17) 1 y por el teorema 3.2 del
b cos 0,
donde 0 es el ángulo entre b y u (es decir, el angulo entre el eje positivo x y el vector r). Junto con (5.17), esto da
C2 = rGM + rb cos 0 = r(GM + b cos 0). Al resolver esto con respecto a r, se obtiene
r— GM+bcos0 Dividiendo numerador y denominador entre GM, esto se reduce a ed 1 + e cos 0
(5.18)
(.2 b d= Por el teorema 7.2 del capItulo 9, tomo 1, recuer= ^M y de que (5.18) es una ecuación polar de una sección cónica con foco en el origen y excentricidad e. Finalmente, como la órbita de un planeta es una curva cerrada, ésta debe ser la ecuación de una elipse, ya que las otras seccioñes cónicas (parábolas e hipérbolas) no son curvas cerradas. Hemos demostrado que (suponiendo un sot y un planeta, sin otros cuerpos celestes), la órbita de un planeta es una elipse con un foco ubicado en el centro de masa del so!. El lector debe estar pensando, cuán larga fue esta deducción. (No to hemos verificado, pero probablemente es una de las deducciones más largas de este libro). Tómese un momento para darse cuenta de la enormidad que hemos realizado. Gracias at genio de Newton y a su segunda ley del movimiento, to mismo que a su ley de la gravitación universal, hemos usado el cálculo para fundamentar una de las preguntas más profundas de nuestra existencia: 4c6mo funciona la mecánica del sistema solar? Con la fuerza de La razón y el uso de una cantidad considerable de cálculo, hemos hallado una respuesta que es consistente con el movimiento observado de Los planetas, postulado primero por Kepler. Este magnIfico logro tiene más de 300 años y ha sido una de las primeras (y más profundas) historias exitosas para el cálculo. Desde esa época, el cálculo ha demostrado ser una herramienta invaluable para incontables ingenieros, fIsicos, matemáticos y otros.
donde e
--.
SecciOn 11 .5 • Vectores tangentes y normales
su ponga que usted está conduciendo un auto, ascendiendo ligeramente mientras la carretera se curva hacia la izquierda. Describa Las direcciones de los vectores tangente unitario, normal unitariO principal y binormal. ZQu6 cambia Si la carretera se curva hacia la derecha? Si las componentes de r(t) son funciones lineales, explique por qué no se puede calcular el vector normal unitario principal. Describa graficamente por qué es imposible definir una sola direcciófl para el normal unitario principal. Previamente, en su estudio del cálculo, usted ha aproximado curvas con rectas y con las graficas de otros polinomios (polinomios de Taylor). Analice circunstancias posibles en las que la circunferencia osculadora podria ser una mejor o peor aproximación de una curva que la gráfica de un polinomio. Suponga que usted está volando en un avión de combate y Un jet enemigo viene de frente hacia usted con vector velocidad paralelo a su vector normal unitario principal. Analice qué tanto peligro corre usted y qué maniobra o maniobras deberla realizar para evitarlo.
En los ejercicioS 5 a 12, halle los vectores tangente unitario y normal unitario principal en los puntos dados. 5. r(t) = (t, t 2 ) en t = 0, t = 1 6. r(t) = (t, t3 ) en t = 0, t = 1 7. r(t) = (cos 2t, sen 2t) en t = 0, t = ZE 8. r(t) = (2 cos t, 3 sen t) en t = 0, t = ZE
9. r(t) = (cos 2t, t, sen 20 en t 0, t = 10.r(t) = (cost, sent, sent) en t = 0, t = 11.r(t) = (t, t2 _ 1, t) en t = 0, t = 1 12.r(t) = (t, t, 3 sen 2t) en t = 0, t = -
En los ejercicios 13 a 16, halle la circunferencia osculadora en los puntos dados. 13.r(t) = (t, t2 en t = 0 )
14.r(t) = (t, t 3 ) eat = 0 15.r(t) = (cos 2t, sen 2t) en t = 16.r(t) = (2 cos t, 3 sen t) en t =
En los ejercicios 17 a 20, halle las componentes tangencial y normal de la aceleración en los puntos dados.
17.r(t) = (8t, 16t - 16t 2) en t = 0, t = 1 18.r(t) = (cos 2t, sen 2t) en t = 0, t = 2 19. r(t) = (cos 2t, t2 sen 20 en t = 0, t = ,
20.r(t) = (2 cost, 3 sent, t 2)en t = 0, t 21. En el ejercicio 19, determine si la rapidez del objeto es creciente o decreciente en los puntos dados. 22. En el ejercicio 20, determine si la rapidez del objeto es creciente o decreciente en los puntos dados. 23. Para la espiral circular r(t) = (a cos t, a sen t, bt), halle las componentes tangencial y normal de la aceleración. 24. Para la trayectoria lineal r(t) = (a + bt, c + dt, e + ft), halle las componentes tangencial y normal de La aceleración.
En los ejercicios 25 a 28, halle el vector binomial B(t) = T(t) x N(t) en t = 0, y en t = 1. Dibuje también la curva trazada por r(t) y los vectoreS T, N, B en estos puntos. 25. r(t) = (t, 2t, t2 )
26. r(t) = (t, 2t, t 3 )
27. r(t) = (4 cos art, 4 sen itt, t)
1014
28. r(t)
Capitulo 11
= (3 cos 2rt, t, sen 27vt)
En los ejercicios 29 a 32, indique Si el enunciado es verdadero (es decir, siempre verdadero) o falso y explique su respuesta. 29.T da I = 0
30.T
31.ds(T T) = 0
32.T (B x N) = 1
0
La fuerza de rozamiento requerida para evitar que un auto patine en una curva está dada por F8(t) = maNN(t). En los ejercicios 33 a 36, halle la fuerza de rozamiento requerida para evitar que patine un auto de masa m = 100 (slugs).
• Funciones con valores vectoraIes
41. En este ejercicio, demostramos là segunda ley de Kepler. Se denota la trayectoria (bidimensional) del planeta en coordenadas p0lares con r = (r cos O)i +(r sen 9)j. Demuestre que r X v = 'r2 k. Concluya que r2 = fir x vii. Recuerde que, en coordenadas polares, el area barrida por la curva r = r(0) está dada por A = fbr2 dO, y demuestre que A partir = de = fir x v 11, concluya que se barren iguales areas en tiempos iguales. 42. En este ejercicio demostramos là tercera ley de Kepler. Recuerde que el area de la elipse x +
33. r(t) = (100 cos z t, 100 sen vt)
= 1 es cab. Por el ejercicio 41, la razón a la cual
34. r(t) = (200 cos gr t, 200 sen Ytt) 35. r(t) = (100 cos 2rt, 100 sen 2t) 36. r(t) = (300 cos 2t, 300 sen 2t) 37. Con base en sus respuestas a los ejercicios 33 y 34, i.cómo cambia la fuerza de rozamiento requerida cuando se duplica el radio de giro?
se barre el area está dada porAAA = hr x vii. Concluyaque el periodo de la órbita es T = 7rab 4ir2a2b2 as! que, T2 fir x vii = hr x Use (5.18) para demostrar que el valor mInimo de r es rmfn
38.Conbaseensusrespuestasaios ejercicios 33-y--------35, J,cómo cambia la fuerza de rozamiento requerida cuando se duplica la rapidez de un auto en una curva?
es rmáx
ed = 1
y que el valor méximo de r
Explique por qué 2a = rrnin +
= 1
rillix y use esto para demostrar quo a =
b2
ed 1
-
39. Compare los radios de las circunferencias osculadoras para = cos x en x = 0 y en x = Calcule la concavidad de la curva en esos puntos, y use esta información para explicar por qué una circunferencia es más grande que la otra.
Dado que 1- e2 =
40. Compare las circunferencias osculadoras para y = cos x en x = 0 y en x = 21. Calcule la concavidad de la curva en esos puntos, y use esta información para explicar por qué las circunferencias tienen el misrno radio.
hr x v11 2 Fi nalmente, demuestre que T 2 ka 3 , GM
43. En este ejercicio, exploramos algunas ramificaciones de la forma precisa de la ley de la gravitacion universal de Newton. Supopga que la fuerza gravitacional entre objetos es GMm F = u, para algun entero n ^: 1 (la -
verdadera ley tiene n = 2). Demuestre que la trayectoria del planeta seguirIa siendo
b
partir de e = ed
hr x v1 GM
2
.
-,
a2
demuestre que
y de d =
2 -s-,
-
a
= ed. A
demuestre que
Se deduce entonces que
b2 = a
-
.
-
donde la constante k =
no depende de la
órbita especifica del planeta.
plana, y la segunda ley de Kepler se seguina cumpliendo. Demuestre también que la órbita circular r = cos kt, r sen kt) (donde r es una constante) satisface a la ecuación F = ma y, por tanto, es una trayectoria p0tencial para la órbita. Para esta trayectoria, halle la relación entre el periodo de la órbita y el radio de La misma.
Sección 11.5 • Vectores tangentes y normales
dibi.je la curva y represenEn los ejercicios1 y 2, COfl valores v alOres de la funcion te los veCtOr1es. 1,t=2
2. r(t) = (scm
y
1015
.
t, 2 cost, 3), t = —2i, t = 0, t =
En los ejerCiciOS 3 a 12, dibuje la curva trazada por la funCiófl con valoreS vectoriales dada. Gráfica C
3. r(t) = (3 coS t + 1, son t) 4. r(t) = (2 son t, cos t + 2)
Gráfica D
z
= (3 cos t + 2 son 3t, 3 son t + 2 cos 3t) 5. r(t) g. r(t)(3 Cos t+s3t,3 son t Cos 3t)
7. r(t) = (2 cos t, 3, 3 sen t) 8. r(t) = (3 cos t, -2, 2 sen t)
5X
9.(t)(4 Cos 3t+6 Cos t,6 son t,413t)
10r(t) = ( sen nt, v 2 + 0, cos 7rt)
Gráfica E
Gráflca F
1.•r(t) = (tan t, 4 cos t, 4 sen t) 12.r(t) = (cos 5t, tan t, 6 son t)
En los ejercicios 14 a 16, dibuje la curva y halle su longitud de. arco.
13.En las partos a) a 1), establezca la correspon-. dencia entre la función con valores vectoriales y su grafica.
14. r(t) = (cos art, sen .iit, cos 42rt), 0 :s: t < 2 15.r(t) = (cos t, sen t, 6t), 0 < t < 2v 16.r(t) = (t, 4t - 1,2 - 6t), 0 :5 t :5 2
a) r(t) = (Son t, t, son 2t) b) r(t) = (t, son t, son 2t)
En los ejercicios 17 y 18, halle el lImite, si existe.
c) r(t) = (6 Sen t,t, 6 cos vt)
17.lim (t 2 - 1, e2 ) cos itt)
d) r(t) = (sen5 t, sen2 t, cos t)
18.lIm(e 2t , csc itt,
e) r(t) = (cos t, 1 - cos 2 t, cos t) f) r(t) = (t2 + 1, t2 + 2, t --1)
0 - 5t)
En los ejercicios 19 y 20, determine todos los valores de t en los cuales la función con valores vectoriales dada es continua. 19. r(t) = (e4 t, in t2, 2t) 20.r(t) = (sen t, tan 2t,
En los ejercicios 21 y 22, halle la derivada de la función con valores vectoriales dada.
S
21.r(t) = (yt2 + 1, sen 4t, in 4t) Grf lea A
Grãfica B
22.r(t) = (te _2t, t 3, 5)
1016
CapItulo 11 • Funciones con valores vectoriales
En los ejercicios 23 a 26, calcule la integral inde- 35.vo = 80, h = 0, 0 = ' 36.vo = 80, h = 6, 0 finida o definida dada. En los ejercicios 37 y 38, halle el vector tangente unitario a la curva en los puntos indicados. (e-U, 2, 4t - i) dt
23..11
37.r(t) = (e-2 t, 2t, 4), t = 0, t = 1
t / 2t2
38.r(t) = (2, sen nt 2 In t), t = 1, t = 2
24. J I I \ta+2)dt
25.
,
1
/
2
(cos irt,4t,2) cIt
26.
f
(e _3 t,6t2 ) dt
En los ejercicios 39 a 42, halle la curvatura en los puntos indicados.
r(t) = (cos t, sen t, sen t), t 0, t = En los ejercicios 2'7y 28, halle los vectores veloci- 39. dad y aceleración para el vector posición dado. 40.r(t) = (4 cos 2t, 3 sen 2t), t = 0, t 4 27.r(t) = (4 cos 2t, 4 sen 2t, 4t)
41.r(t) = (4, 3t), t = 0, t = 1
28.r(t) = ( t2 + 2, 4, t3)
42.r(t) = (t2 , t3 , t), t = 0, t = 2
En los ejercicios 29 a 32, halle el vector posición a partir del vector velocidad o aceleración dados.
En los ejercicios 43 y 44, halle los vectores tangente unitario y normal unitario principal en los puntos dados.
,29.v(t) = (2t + 4, -32t), r(0) = (2, 1) 30. v(t) = (4, i2 - 1), r(0) = (--4, 2) 31. a(t) = (0, - 32), v(0) = (4, 3), r(0) = (2, 6)
43. r(t) = (cos t, sen t, sen t) en t = 0 44.r(t) = (cost, sen t, sen t) en t =
32. a(t) = (t, e2t), v(0) = (2, 0), r(0) = (4, 0)
En los ejercicios 45 y 46, halle las componentes tangencial y normal de la aceleración en los punEn los ejercicios 33 y 34, halle la fuerza queac- ts dados. tüa sdbiun ofijfetodeinasa 4 con el vector posi- 45. r(t) = (2t, t2, 2) en t = 0, t = 1 cion dado. = (r', i, zI) en 1. = u 33.r(t) = (12t, 12- 16t 2 --
34.r(t) = (3 cos 2t, 2 sen 2t) En los ejercicios 35y 36, se dispara un proyectil con rapidez inicial vo pies/s desde una altura de li pies eon un ángulo 0 arriba de la horizontal. Suponiendo que la (mica fuerza que actüa sobre el objeto es la gravedad, halle la altitud maxima, el alcance ho-. rizontal y la rapidez en el nioinento del impacto.
49. En un servicio de tenis, el golpe se da a un ángulo 0 por debajo de la horizontal, desde una altura de 8 pies, con rapidez inicial de 120 pies por segundo. Para que el servicio sea váiido (esté "in") debe superar una red que está a una distancia de 39 pies y tiene 3 pies de altura; además, debe aterrizar la bold antes de La ilnea de servicio situada a 60 pies. Halle el intervalo de variación de los ángulospara los cuales ci servicio sea válido.
-
En los ejercicios 'fly 48, la fuerza de rozamiento requerida para evitar que un auto patine en una curva está dada por F8(t) = maNN(t). Halle la fuerza de rozamiento necesaria para evitar que patine un auto de masa m = 120 (slugs). 47.r(t) = (80 cos 6t, 80 sen 6t) 48. r(t) = (80 cos 4t, 80 sen 4t)
50. Un lanzador (pitcher) de béisbol lanza La bola con un ángulo 0 por debajo de la horizontal, desde una altura de 6 pies, con rapidez inicial de 130 pies por segundo. El plato (home plate) está a 60 pies. Para qué ci lanzamiento sea un strike, la bola debe cruzar el plato entre 20 y 42 pulgadas arriba del piso. Halle ci intervalo devariacjón de los ángulos para los cuales ci Lanzamiento es
un strike.
Funciones de varias variables y derivación parciao Pocas cosas son tan emocionantes en ci béisbol como un jonrón (home run). En el verano de 1998, todo el mundo del béisbol quedó atrapado por la emoción, cuando los bateadores Mark McGwire de los Cardenales de St. Louis y Sammy Sosa de los Cachorros de Chicago se acercaron a La marca impuesta por Roger Mans, y finalmente la rompieron, en cuanto a cantidad dejonrones en una sola temporada. A cada golpe del bate, espectadores y jugadores seguIan La trayectoria de La bola, preguntándose si irIa suficientemente lejos como para rebasar la cerca y obtener otrojonrón, o se quedarIa corta y serla atrapada por un jardinero (fielder) atento. Usualmente es dificil determinar cuál de las dos situaciones se presentará. Es razonable, entonces, preguntar qué factores determinan cuaiquier resultado que ocurra. En las secciones 5.6 y 11.3 desarrollamos las ecuaciones correspondientes al vuelo de tal proyectil, aunque siempre bajo la suposición (no real) de que no hay resistencia del aire. Alil descubrimos que una bola, golpeada a un ángulo 0 sobre la horizontal, con velocidad inicial v, tendrá un alcance horizontal de R = !. v2 sen 2O Al usar las propiedades de la función seno, hemos podido sacar conclusiones interesantes de esta formula. Sin embargo, observe que La ecuacion para R difiere de la mayorIa de las funciones que hemos estudiado hasta ahora, en cuanto depende de dos variables independientes (no relacionadas) v, 8. Hasta ahora hemos desarrollado solamente el cálculo para funciones de una variable. El lector puede pensar que la situación es más complicada aün de lo que hemos descrito. El alcance depende ciertamentede La velocidad inicial y del ángulo de lanzamiento, pero también depende de los efectos del aire en la forma de resistencia al avance, velocidad del viento y fuerza de Magnus. La resistencia al avance depende a su vez de la temperatura, La humedad y Ia altitud, entre otros factores. Ocurre que La resistencia del aire al avance se reduce cuando cuaiquiera de estas tres cantidades se incrementa; incluso La humedad (el aire htImedo es menos denso). Debe ser claro que el alcarice de unfly ball no es particularmente fácil de predecir. En este capItulo introdücimos funciones de vanias variables y extendemos las ideas del cálculo a esas funciones. Con frecuencia obtenemos una valiosa comprensiOn si se considera el efecto de una variable a 20, podemos conLa vez. Por ejemplo, a partir de la formula R .= sen 32 cluir que para una velocidad inicial dada, el alcancLe máximo Se obtiene con 0 = E We modo que sen 20 = 1). Para otras funciones, la interacción
1018
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
entre las variables puede ser más sutil, de modo que aprenderemos a combinar información proveniente de las variables individuales, con información acerca de toda la función. En la práetica, para proyectiles reales, Ia presencia do La rcsistcncia del aire disminuye el anguio quo produce el alcance máximo. Por ejemplo, para tin ianzamiento de béisbol con un pequeno backspin, el angulo óptimo podrIa ser 300, mientras que para una pelota do golf con backspin considerable, ci ángulo óptimo p0dna ser de solo 11 °. Después de estudiar ci cálculo básico para funciones do varias variables, usted deberIa ser capaz de haliar los extremos do funciones relativamente simples. Lo más importante, quizas, es comprender suficientemente tales funciones, para poder aproximarse a los extremos de funciones más complicadas. Naturalmente, en problemas de aplicación reales, raramente se da una formula conveniente. Min asI, la cornprensión del cálcuio multivaniable que so desarrolia aqul ayudará a dar sentido a una amplia variedad de fenómenos complejos.
12.1 FUNCIONES DE VAR/AS VARIABLES Los primeros diez capItulos de este libro se han enfocado en las funcionesf(x) cuyo dominio y recorrido fueran subconjuntos de los nümeros reales. En el capItulo 11, estudiamos las funciones con valores vectoriaies f(t), cuyo dominio fuera un subconjunto de los nümeros reales, pero cuyo recorrido fuera un conjunto de vectores en dos o másdimensiones. En esta seccion, amphamos nuestro concepto fi*iion para incluir funcionëfüdéëridiiidé ma's de una variable, o sea funciones cuyo dominio es multidimensional. es una reg1a asigna un imer realf(x, y) a cada par de nürneros reales (x, y) del dorninio do la función. Para el caso de una funcionf definida en el dominio D C R2 , se escribe a vecesf: D C R2 -, R, para indicar quefaplica puntos en dos dimensiones, en nümeros reales. Puede considerarse que tal funciOn es una regla cuya entrada es una pareja de nImerosreales y cuya salida es un.iinico rnimero real. Por ejemplo, fix, y) = xy 2 g(x, y) = x 2 son ambas funciones de las dos variables x, y. De La misma manera, una función de tres variables es una regla que asigna un nümero realfix, j, z) a cada tripla de nümeros reales (x, y, z) del dominio D C R3 de la función. Se escribe a veces,f: D C R3 - R, para indicar que f aplica puntos en tres dirnensiones, en nümeros reales. Por ejemplo, f(x, y, z) = xy 2 cos z, g(x, y , z) = 3 zx 2 - ey son ambas funciones de las tres variables x, y, z. En principio, no hay dificuitad para definir funciones do cuatro (o cinco o más) variables. En la práctica, la notaciOn se vuelve difIcil de manejar y las graficas hogan a ser problemáticas. (cCOmo representarIa Un punto en cuatro c:hinensiones?) Nos enfocanios en funciones do dos y tres variables, aunque la mayor parte de los resultados se pueden extender fácihnente a otras dimensiones rnayores. A menos que se especifique de otro modö, se toma como dominio de una funciOn de varias variables el conjunto de todos los valores de las variables pana las cuales está definida la funciOn. Una complicación es que el dominio resultante es dé una dimension mayor que La usual. ,
SecciOn 12.1 Funciones de varias variables
1019
DETERMINACION DEL DOMINJO DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES
Halle y dibuje el dominio paraf(x, y) = x in y, y para g(x, y)
2x
=
SOLUCION
FigUra 12.1: el dominio de
j(x,y)=XlnY.
Paraflx, y) = x in y, recuerde que in j está definida solamente para y> 0. El dominio defes entonces el conjunto D = {(x, y)y> 01. En dos dimensiones, la grafica de esta region es el semiplano situado por encima del eje x (véase la figura 12.1). 2x Para g(x, y) observe que g está definida, a menos que haya = division entre cero, lo que ocurre cuando y = 0. El dominio de g es ^ xy con la parabola y = entonces {(x, y)y x2 }, que es todo el piano (véase la figura 12.2). y / / / , /
.----.-.------
---..----
Fiçjura 12.2: el dominio de g(x, y) =
2x
y
IDETERMINACION DEL DOMINXO DE UNA FUNCION DE TEES VARIABLES
Haile y describa, en términos graficos, los dominios de a)ftx, y, z) = Cos (x+z) b)g(x,y,z)= —1/ 2 —z 2 . xl' SOLUCthN
z) hay una division entre cero si a) Paraf(x, y, z) = Cos (x +
Xl'
= 0, lo
xl'
cual ocurre Si x = 0, 0 Si y = 0. El dominio es entonces {(x, y) x 0 0) y y * O}, que es todo el espacio tridimensional s in el piano yz (x y sin el piano xz (y = 0). q b) Observe que para que g(x, l' z) = - 7- z2 esté definida, Z2. < 9. El > 0, es decir, x 2 + y 2 + se requiere tener 9 - dominio de g es entonces el interior y la fronterade la esfera de radio 3, çentrada en el origen.
V
-
-
La grafica de una función de dos variables es la grafica de la ecuación z = f(x, y). Esto no es nuevo, pues ya se han hecho graficas de superficies cuádricas que representan funciones de dos variables.
1020
Cap(tulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
GRAFICAS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES -
Haga las graficas de a)f(x, y) = x 2 + y2, b) g(x, y) =
/
•.
21 Figura 12.3:
z
....
--
Figurai2.4:z
j,
/4—s2 +y2 .
+ y2 .
a) Paraf(x, y) = x 2 + y2, se puede reconocer que la superficie z = + es una paz aboloide circular. Observe que las trazas en los pianos z k > 0 son circunferencias, mientras que las trazas en los pianos x k, j = k son paráboias. En la figura 12.3 se muestra una grafica. b) Para g(x, y) =
= +
S2
V 4 - x2 + y2 se observa que la superficie
z =
X2 + y2 es la mitad superior de la superficie z 2 = 4— x2 + v2 - + = 4. Se observa aquI que las trazas en los pianos x = kson htperboias, mientras que ias trazas en los pianos y = k son circunferencia,. Esto nos da una hiperboloide de una hoja, envuelta airededor del eje y La gráfica de z = g(x, y) es la mLtad superior de la hiperboioide, corno se muestra en la figui a 12.4.
Recuerde, de su experiencia anterior en el dibujo de superficies en tres dimensiones, que un anáiisis de las trazas es ütii al dibujar muchas de estas gráficas. m
REPRESENTACION GRAFCA Elabore la gráfica de a)f(x, y) = sen x cos y, b) g(x, y) = e_ 2(y 2 + 1). SOLUCION a) Paraf(x, y) = sen x cos y, observe que las trazas en los pianos i = k son las curvas sen z = sen x cos k, mientras que las trazas en los planos x = k son las curvas cos z = sen k cos V. Las trazas en los pianos z = k son las curvas k = sen x cos y. Estas son algo más inusuales como se ye en la figura 12.5a (generada por coinputador) para k = 0.5. La superficie deberIa verse como una onda seno en todas las direcciones, como se muestra en la figura 12.5b. A 11
0--4
0 -6
)-4- -.2 1
0-2
0
Figura 12.5a: las trazas de la superficie en el piano z = 0.5.
66
Figura 12.5b: z = sen x cos y.
b) Para gx, y) = e 2 y2 + 1), se observa que las trazas de la superficie en los pianos x = k son parabólicas, mientras que las trazas en los
I
Sección 12.1 • Funciones de varias variables
1021
pianos y = k son proporcionales a z = e 2 , que son curvas acampanadas. Las trazas en los pianos z = k no son particularmente iltiles aqul. En la figura 12.6 se muestra un bosquejo de la superficie.
Figura 12.6: z = e x2(y 2 + 1).
NOTA: Usted querrá usar probablemente graficas generadas por cornputador en todo este capItulo. Sin embargo, debemos enfatizar en que nuestra meta es la comprensión de las graficas tridimensionales, lo cual se puede obtener de mejor manera dibujando a mano muchas graficas. El hacer esto le ayudará a saber si una grafica generada por computador es precisa o engañosa. La mayor parte de las indicaciones para producir buenas graficas tridimensionales son las mismas que para las bidimensionales. Observe que en la figura 12.6 hemos ajustado La yentana de graficas a -4 x < 4, -4 :5 y :5 4, 0 :5 z :5 8 para mostrar mejor las propiedades importantes de la gráfica. Elaborar graficas de funciones de más de una variable, no es algo sencillo. Para la mayor parte de las funciones de dos variables, deben buscarse indicaciones en las ecuaciones y tratar de juntar las pistas para identificar la superficie. Su conocimiento de las funciones de una variable es indispensable aquI. Necesitará remitirse con frecuencia a su conocimiento de las gráficas de Las funciones básicas de una variable. CORRESPONDENCIA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES CON SU GRAFICA
Establezca la correspondencia de las funcionesfi(x, y) = cos (x 2 + y2), f3(x, y) = In (x2 + y2 ),f4(x, y) = con las superficies que se muestran en las figuras 12.7a a 12.7d.
f2(x, y) = cos (es + eY),
J.
ox
Figura 12.7h
12
0
0-
Figura 12.7d
1022
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
SOLUCION. Hay dos propiedades defj(x, y) que deberlan notarse inmediatamente.
Primera, que como el coseno de cualquier angulo está entre -1 y 1, z la expresión x 2 + y2 es significativa. Dado cualquier valor de r, y cualquier punto (x, 'y) en la circunferencia x2 + y2 = r2, la altura de la superficie en ci punto (x, y) es una constante dada porz =fi(x, y) = cos (r2). Busque una superficie que sea acotada (lo que no cumple la figura 12.7a), que tenga secciones transversales circulares (lo que no cumplen las figuras 12.7b y 12.7d). Esto deja a la figura 12.7c, como la grafica de z = fi(x, y). Se debe observar que j = f3(x, y) también tiene secciones transversales circulares, debido también a la expresión x 2 + y2 (piense en coordenadas polares). Otra propiedad importante de f3(x, y) que se puede reconocer es que ci logaritmo tiende a - oo cuando su argumento (en este caso x 2 + y2) se acerca a 0. Esto parece ser lo que se indica en la figura 12.7a, en donde la superficie se precipita hacia el centro de la grafica. De modo que z = f3(x, y) corresponde a la figura 12.7a. Las dos funciones restantes involucran exponenciales. La distinción más importante entre ellas es quef2(x, y) está entre -ly 1, debido al término del coseno. Esto sugiere que la gráfica def2(x, y) está dada en la. figura 12.7b. Para evitar precipitarse en una decision prematura (después de todo, los dominios usados para producir estas figuras son ligeramente diferentes y podrIan conducir a error) hay que asegurarse de que Isis propiedades de f4(x, y) corresponden a La figura 12.7d. Observe que e' -' 0 cuando xy - 00 y - 00 cuando xy - - 00 • Al-aiejarse-del-origen-en-iasregiones entioTnde x tieên el mismo signo, la superficie deberfa acercarse al piano xy (z = 0). En las regionesen las quex, y tienen sign pusL se intensarnente. Observe que éste es el comportamiento exacto que se observa en la figura 12.7d.
fi(x, y) debe estar siempre entre -1 y 1. Segunda,
El anállsisroalizado on el :ejomplo 1.5 puode parecer unpoco lento, poro le aconsojamos quo lo practi quo por su cuenta. Cuarito mae plense (cuidadosamento)en cOmo las4ropiedades do las funciones corresponden a las estructuras do las superflcies tridimensionateè, más fácil srá esto capitulo.
7C i
Para dos de las superficies del ejemplo 1.5, fue importante reconocer que la superficie tenla secciones transversales circulares, pues x y j aparecIan solamente en la combinación x 2 + y2. Dos nuevos tipos de gréficas, la representación de contorno y la representación de densidad ayudarán a identificar caracterIsticas como ésta. Una curva de nivel de la funciónf(x, j) es la gráfica (bidimensional) de la ecuacionf(x, y) = c, para alguna constante c. Una gráfica de contorno de f(x, y) es una gráfica de nun-zerosas curvas de nivel de fix, y) para valores representativos de c. a IMBUJO DE REPESENTACIONES DE CONTORNO
Dibuje las representaciones de contorno para a) f(x, y) = -x 2 + y, b) g(x, y) = x 2 + Y 2 , .SOLUC1ON S
Fgura 12.8a: representacjOn de contorno deftx, y) = —x2 + y.
a) En primer lugar, observe que las curvas de nivel.de f(x, y) estén definidas por -x 2 + y = c, donde c es una constante. Al resolver respecto. a y, se pueden identificar las curvas de nivel como las parábolas y = x2 + c. Una representación de contorno, con c = -4,-2, 0, 2, 4, se muestra en la figura 12.8a.
Sección 12.1 • Funciones de varias variables
1023
b) Las curvas de nivel para g(x, v) son las circunferncjas x 2 + y2 = C. En este caso, observe que hay curvas de nivel solanlente para c < o. Una representación de contorno con c = 1, 4, 7, 10 se muestra en la figura 12.8b.
1..
FigUra 12.8b: represefltaciOn
de contorno de + q(x, y) =
Observe que en ci ejomplo 1.6, hemos usado valores de igualnen te espaciados. No es necesario que sea asI, pero puede ayudar a enten-der cómo las curvas de nivel se "apilan" para producir uria grafica tridimensional. En la figura 12.9a se muestra una representación de contomb más extensa para g(x, y) = x 2 + y2 . En la figura 12.9h, se rnuestra una representación de la superficie, para dam una idea de las relacines entre la representación de contorno y la de la superficie.
S
Figura 12.9a: representación de contorno de g(x, y) = x2 + y2 .
Figura 12.9b: z = x2 +
Observe cuidadosamente la flgura 12.9a y yea que La representación de contorno indica que el incremento en los radios de las circunferencias no es constante mientras se incrementa z. Como es de esperarse, para funciones más complicadas, ci proceso de hacer corresponder representaciones de contorno con .superficies se vuelve un reto mayor. CORRESPONDENCIA ENTRE SUPERFICIES Y REPRESENTACIONES DE CONTORNO
Establezca la correspondencia entre las superficies del ejemplo 1.5 y las representaciones de contorno de las figuras 12.10a a 12.10d.
Figura 12.10a
Figura 12.10b
1024
Cap Itulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
Figura 12.10c
Figura 12.10d
SOLUCION
Si las curvas de nivet do una ropresentacron do contorno están trazadas para valores içjualrnente espaciados .de z, observe quo una region do trazado más compacto de la representaciOn do contorno corresponderá a una re gión de carnbio rápido en la funciOn. Alternativamente, un espacio en blanco en la ropresentacián do contorno corresponde a una regiOn do cambio onto en la funciOn.
En las figuras 12.7a y 12.7c, las curvas de nivel son circulares, de manera que estas superficies corresponden a las representaciones de contomb de las figuras 12.10a y 12.10b. Pero, Zcu.Al es cuál? La caracterIstica principal de la superficie de la. figura 12.7a es la asintota vertical en el origen. Debido al cambio rápido de la función cerca del origen, habrá un gran nümero de curvas de nivel cerca del origen (ipiense en esto!) En contraste, Las oscilaciones de la figura 12.7c producirian curvas de nivel que alternadamente se acercarian y se apartarlan. Podemos concluir que La figura 12.7a corresponde a La figura 12.10a, mientraquejafjgra 12.7ccorrespondeaJa-figura--1-2AOb-Considereahora las dos superficies y las curvas de nivel restantes. La representacion de contorno de la figura 12.10c consiste en ilneas rectas d.ep theiitc poitivLas curvas denivol do la figura 12.7b no parecen ser lineales, pero aun silo fueran tendrIan pendiente negativa (piense en esto: cuando usted mira al primer octante con su orientación usual en el espacio tridimensional, el frente de la izquierda correspondeal cuarto cuadrante y la parte posterior de la derecha corresponde al segundo cuadrante). Las curvas de nivel de la figura 12.7d, por otraparte, parecon ser lineales con pendiente positiva. La correspondencia final de la figura 12.10d con la figura 12.7b es difIcil de ver, pero observe cómo Las curvas de la figur.a 12.10d corresponden a la curva de los picos do la figura 12.7b. (Para ver esto, so requiere un ajuste para el eje y que apunta hacia arriba en la f'igura 12.10d y hacia la derecha en la figura 12.7b).
Una representacion de densidad está Intimamente relacionada con una representación de contorno, en cuanto ambas son representaciones bidimensionales de una superficie en tres dimensiones. Para una repre.. sentación de densidad, la ventaria (x-y) de graficas está dividida en rectángulos (como pixeles, aunque usualmente mucho más grandes). Cada rectangulo estásombreado de acuerdo con el tamaflo del valor de La función de un punto representativo del rectángulo, que varIa desde el blanco (valor máximo de La función) hasta el negro (valor mInimo de la función). En una representación de densidad, se observa que las curvas de nivel se pueden considerar como curvas formadas por un sombreado especIfico de gris.
Secci6n 12.1 Funciones de varias variables
1025
COItRESPONDENCIA ENTRE FUNCIONES Y REPRESENTACIONES .DE DENSIDAD
Establezca la correspondencia entre las representaciones de densj dad de las figuras 12.11a a 12.11c con las funcionesfi(x,
2x f2(x, y) = -
2
y f(x,
v)
y) = cos(x2 + y2).
SOLUCIUN
1
2
Como hicimos con las representaciones de contorno, comenzamos con las propiedades más obvias de las funciones y tratamos de identificar las propiedades correspondientes en las representaciones de densidad. Tantofi(x, y) comof2(x, y) tienen brechas en sus dominios, debido a divisiones entre cero. Cerca de las discontinuidades deberIan esperarse valores grandes de la función. Observe que la figura 12.11b muestra una banda blanca en forma de hipérbola (como y 2 - = c para un valor pequeño de c) y la fIgura 12.11c muestra una banda blanca en la forma de una parabola (como y - = 0). Esto expresa que la representación de densidad paraji(x, y) es la figura 12.11b y la representación de densidad paraf2(x, y) es la figura 12.11c. Queda la figura 12.1 la paraf3(x, y). Usted debe ser capaz de ver las bandas circulares en la representación de derisidad que surge del térrnino x 2 + y2 en f3(x, y).
Eigura 12.11a
Figura 12.11 b
-2
x
Figura 12.11c
Hay muchos ejemplos de representaciones de contorno y de densidad quese yen a diario. Los mapag climáticos muestran con frecuencia curvas de nivel de la presión atmosférica(véase la figura 12.12a). En esta presentación, las curvas se Raman isobaras (es decir, curvas a lo largo de las cuales la presión barométrica Cs constante). Otros mapas climáticos representan la temperatura o ci grado de humedad con codigos de cobres (véase la figura 12.12b), que son esencialmente representaciones de densidad en cobores.
Figura 12.12a: mapaclimático que muestra
presión barométrica.
Figüra 12.12b: mapas climáticos que muestran bandas detemperatura y precipitaCiOfl.
(Fuente: Proyecto WW2010, Deparamento de Ciencias Atmosféricas, Universidad de Illinois en Urbafla-ChamPaigli URL: http://ww2010.atmos.uiuc.edu )
Los cientIficos también usan representaciones de densidad al estudiar otros fenómenos climáticos. Por.ejempio, en las figuras 12.12c y 12.12d, se muestran dos representaciones de densidad que indican altu-
1026
Capitulo12.
Funciones do varias variables y derivación parcial
ra en la superficie del mar (que se correlacionan con el contenido de calor del mar), indicando cambios en el fenómeno de El Niño durante un periodo de varias semanas.
Figura 12.12c: contenido de calor en el mar.
Figura 12.12d: contenido de calor en el mar.
(Irnagen cortesia del Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology). Cerramos esta seccion con una mirada breve a las graficas de funciones de tres variables fix, y, z). No queremos en realidad representar gráficamente estas funciones, ya quo una gráfica adecuadarequerirIa cuatro dimensiones (tres variables independientes más una dependiente), que no se puede visualizar en dos dimensiones. Podemos, sin embargo, obtener informaclón importante a partir de la observación de las superficies de nivel de una funeionf. Estas son las gráficas de la ecuacióp 4(x,y,z)= c, para-diferentes -elecciones de la contáñtiEn gran medida, de-la- misma manera que lo hacen las curvas de nivel para funciones de dos variables, ls sj:flcics y regiones de cambio rápido o lento en una ftinción de tres variables. TRAZADO DE SUPERFICIES DE NIVEL Dibuje varias superficies de nivel def(x, y, z) = x2 + v2 + z 2.
soiucthN Las superficies de nivel se describen mediante la ecuación x 2 + y2 + z2 = C. Naturalmente, son esferas de radio '/3 para c > 0. En las figuras 12.13a y 12.13b so muestran superficies con c = 1 y c = 2, respectivamente.
Figura 12j3a: x2 -I• y2 +
z2 = 1
Figura 12.13b: x2 +,y2
+ z2 =
2.
SecciOn 12.1 • Funciones de varias variables
1027
Observe que La función del ejemplo 1.9 mide el cuadrado de La distancia desde el origen. Si no reconoció esto desde el principio, las super.. ficies de nivel le muestran clararnente la simetrIa yet crecimiento gradual de la función.
''4
1. En el ejemplo 1.3 hemos dibujado una paraboloide y La mitad superior do una hiperboloide como ejemplos de gráficas de funciones de dos variables. Explique por qué ni una hiperboloido completa ni una elipsoide cornpleta serlan gráficas de una función de dos variables. Desarrolle un "criterio de la vertical" para determinar si una superficie dada es la gráfica de uria función de dos variables. 2. En el ejempLo 1.3, hemos usado trazas como ayuda para dibujar La superficie, pero en el ejem-• PLO 1.4 Las trazas fueron menos ütiles. Analice las diferencias en las funciones involucradas y cómo se puede determinar silas trazas serán o no itiles. • 3. En los ejemplos 1.6 y 1.7 hemos analizado cómo identificar una representacióñ de contorno, dada la formula correspondiente a una función. En este ejercicio, se analizará el problema inverso. Es decir, dada una representaciOn de contorno, Zqu6 se puede decir respecto a la funciOn? Por ejemplo, explique por qué una representación de contorno sin indicaciones (que identifiquen el valor de z) podrIa corresponder a más de una funciOn. Si la representaciOn de contorno muestra un conjunto de circunferencias concéntricas airededor de un punto, explique por qué deberla esperarse que el punto fuera la ubicaciOn de un extremo Local. Explique por qué, sin indicaciones, no se podrIa distinguir un maxima local de un minimo local. 4. Para este ejercicio, imagine una representación de contorno que muestra curvas de niveL para valores de z igualmente espaciados (por ejemplo, z = 0, z = 2, z = 4). Cerca del punto.A, las curvas de nivel están muy juntas, pero cerca del punto B no se muestra curva de niveL alguna. Analice el comportamiento de la funciOn cerca de los puntos A y B, comentando de manera especial sobre el camhio rápido o lento do la función.
En los ejercicios 5 a 8, describa y dibuje el dominio de la funciOn. 5 .f(x,y)= x+y
6. f(x,y) =
7. f(x,y) =ln(2+x+y) 8. f(x,y)= /1—x 2 —y 2
En los ejercicios 15 a 18, calcule los valores de la función en los puntos indicados. 15. f(x, y) = x2 -I- y; 1(1,2), f(O, 3) 16. f(s, y) = x + 3x2y; f(2, 0), 1(1,2) 17. f(x,y) 18. f(x. y)
En los ejercicios 9 a 14, describa ci recorrido do la función.
_2_2
f(21)f(3,0) f( 1), 1(4,0)
En los ejercicioS 19 a 22, dibje las trazas indica9. f(x, y) = - - y 2 das y haga Ia grafica de z = f(x, y). -- y 10. f(x, y) = 19. f(x,y)— x2 +y2; z = 1,z = 4,z = 9,x = 0 11. f(x,y) = cos(x2 +y 2) 12. f(x,y) = e1' 20.f(x,y)=X 2— Y 2 z=O,z=1,y=0,y2 13.f(x,y)=x 2 +y2 -1 14.f(x,y)=4—x 2 —y 2
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
1028
21. f(x,j,)= s/x2+y2; z=1,z=2,z=3,y=O 6
z = O,z = 1,x O,'y = 0
22. f(x,y) x -
En los ejercicios 23 a 38, dibuje la gráfica de
z -f(x,y). 23. f(x,y)
= x 1 -- y3
25. f(x,y)
-
'\y'
I't
."
2f
4
24. f(x,y) =X2 +y4
0
:
12 4X Superficie B
Superficie A
s4
-
12
26. f(x,y) =
_-42
27 f(',y) -
1
zv
to
122
28. f(xy) =
-
- -.
If
122
Superficie D
Superficie C
29. f(x,y) =sen x+seny
E
0.6
33. f(x, y) xye
.
2
34. f(x, y) =
LSfI!!Y
—2
11 0
35. f(x, y) = ln(x2 + y2 - 1)
1 2 2
1
-4
X
0 1 2 2
Superficie F
Superflcle E
52. En las partes a) ad), establezca correspondencia entre las superficies y las represeritaciones dectrzio.
37. f(x, j) 2xsen xylny
38. f(x,y) =x2 see y cos 5xy
b4
46, dibujie una
ITy2 42. f(x,y) 41. f(x,y) =cosV' 44. f(x, y) = - 2x 43. f(x, y) = y - 42
L!!!1 2 •-1 0
12
y
2 1
I ;
-2 -i
i0 x yO 1 22
d)
c).
ey III 1:: eje;cicios 47 a 50, use un CAS par: dibu..
2
i
jar una representación de contorno.
47.
i
48.f(x,y)=x3-3xy+y2
49-Ax, y) sen x sen ?J 50.f(x, y)
sen( --
x2)
51. Establezca la correspondencia entre funciones y superficies en las partes a) a f). b)f(x,
e)f(x, y) = sen(x2 -F 2)
f) f(x, y) = e
.
. . . .
2
21
1
2f 1
0
v) = x2 - y3
a)f(x, y) = x2 + 3x7 c)flx, y) = cos2 x +,y2
..
0 —2
2
d)flx, y) = cos(x2 + .y2) .2
2
V2
1
0
1
Contorno A
Contorno B
22
1029
Sección 12.1 Funciones de varias variables
58. La gráfica def(x, y) = x 2 y2 - y4 + x3 se muestra desde dos puntos de vista diferentes. Identifique cuál se ye desde a) el eje positivo x; b) el eje positivo i.
Contorno D
53.n las partes a) a d), haga corresponder las represeritaciones de densidad con las de contor.no del ejercicio 52. V___________ 1 a) 2r
b)
2
0 -1 X
d)
-2 -2--i 2
0
1
2
V
1 0
;J x 2
Vista B
59. Para las graficas de los ejercicios 57 y 58, la mayor parte de Los software que producen graficas enmalladas mostrarán la vista desde el eje z como una red cuadriculada. Explique por qué ésta es una presentación precisa (aunque no muy (Itil).
1
2
Vista
.11
-2 -2 -1
0
1
2
60. Suponga que está alumbrando a una superficie, con una linterna, hacia abajo, desde el eje. positivo z. Explique por qué el resultado será similar a una representación de densidad. 61. Suponga que la siguiente representación de contorno corresponde a là densidad de población en una ciudad, en un momento particular de la tarde. Si hay un gran concierto de rock esa tarde, localice el estadio. Especule sobre lo que podrIa decirse de otras curvas de nivel cir- culares y de las curvas de nivel lineales.
En los ejerciciós 54 a 56, dibuje varias superfides de nivel de la función dada. 54.f(x, y, z) = x 2 -y 2 55.f(x, /, z) = x 2
+ z2 —Q-2jJ9
+ y 2 -z
56.f(x, y,z) =
se muestra desde 57. La grafica def(x, y) = diferentes puntos de vista. Identifique cuál se ye desde a) el eje positivo x; b) el eje positivo y.
Vista B
62. Suponga que la siguiente representación de contorno representa la temperatura de una habitación. Si se está en invierno, identifique las posiciones probables de una rejilla de calefacción y de una ventana. Especule sobre lo que p0drIan representar las curvas de nivel circulares.
1030
Cap itulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
63.Suponga que la siguiente representación de contorno corresponde al coeficiente de restitución ("capacidad de rebote") en varios sitios de una raqueta de tenis. Localice el punto de maxima potencia de la raqueta y expliq.ue por qué sabe que es maxima y no minima. Los Iabricantes de raquetás ilaman a veces "sweet spot" ("punto suave") de Ia raqueta a una de las curvas de nivel. Explique por qué esto es razonable
a.
64.Suponga que la siguiente representación de contorno corresponde a la elevación en un putting green (espacio de césped que circunda al hoyo de golf). Suponga que la elevaciOn crece mientras se recorre hacia arriba la representación de contorno. Si el hoyo está en el punto H, describa cómo serian los putts (golpes suayes) desde los puntosA, B, C.
66. Explore graflcamente los resultados de las transformaciones gi(x, y) = f(x, 0 + c, 92(x, y) = f(x, y + c), 93(x, y) = f(x + c, y). (Sugerencia: tome una función especIfica como fix, y) = x2 + y2, y observe las gráficas de las funciones transformadas x 2 + y2 + 2, x2 + (y + 2) 2 , ( x + 2) 2 +,y2. Determine qué cambios ocurren cuando se agrega la constante. Ponga a prueba SUS hipOtesis para otras constantes (ensaye también con constantes negativas). Explore luego las transformaciones 94(x, y) = cf(x, y), 95(x, y) =
ficix, C23J). 67. Uno de los usos comunes de las funciones de dos o más variables es el de procesamiento de imágenes. Por ejemplo, para digitalizar
65.Un conocido centro educativo superior usa la siguiente formula para predecir la calificación promedio de los futuros estudiantes: PGA = 0.708 * HS + 0.0018 * SATV + 0.001 * SATM - 1.13 AquI, PGA es la predicción de calificación promedio (predicted grade average), HS es el promedio de calilicación del estudiante en bachillerato (high school), (en los cursos académicos obligatorios sobre una escala de 4 puntos), SATV es el puntje verbal SAT (Scholastic Aptitude Test, examen de aptitud escolar) del estudiante y SATM es el puntaje SAT en matemáticas. Use sus propios puntajes para calcular la predicción de sus calificaciones promedio. Determine si es posible obtener una predicción promedio dé 4.0, o una predicción negativa. En esta formula, lapredicciOn del promedio de calificaciOn es una funciOn de tres variables. Establezca qué variable cree usted que es la más importante y fundamente su respuesta.
una fotografia en blanco y negro, se puede superponer una cuadrIcula rectangular y codificar cada subrectangulo con un nümero que representa la brillantez de esa porcion de la fotografia. La cuadrIcula define los valores x, y, y los nümeros de brillantez son los valores de la función. Describa brevemente en qué difiere esta función de otras funciones de esta sección. (Sugerencia: .cuántos valores de x, y hay?) Describa cómo so comporta la funciOn de brillantez cerca de la camiseta en la fotografla que se muestra a continuación. Para "afinar" la fotografIa incrementando el contraste, deberIan transformarse los valores de la función, de modo que Se acerquen, o que se alejen unos de otros?
Sección 12.2' Limites y continuidad
Fotograf ía
en blarico y negro
Fotografia con cuadricula
1031
Fotograf ía digitalizada
(Foto cortesia de Roland Minton)
122 LIMITES Y CONTINUIDAD La secuericia de los temas que hernos desarrollado varias veces (al comienzo de nuestro estudio del cálculo y de nuevo al introducir funciones con valores vectoriales) ha consistido on mirar primero grafIcas de funciones. Luego, desarrollar ilmites, continuidad, derivadas e integrales. Seguimos este mismo orden ahora, extendiendo el concepto de lImite a funciones de dos (y de tres) variables. Como se vera, el incremento en el nümero de dimensiones causa algunas áomplicaciones interesantes.. Primero, debemos recordarle que el concepto de lImite es relativamente simple. Para una función de una sola variable, al eseribir urn f(x) = se quiere significar que cuando x se acerca más y mas al valor a,f(x) se acerca rnás y rnás a! nthnero L. Recuerde que cuando decimos que x se acerca más y más al valor a, queremos decir que x se acerca arbitrariamente al valor a y se puede aproximar a ese valor desde cualquier lado de a (x
a). Además, el If mite debe ser el mismo cuando x se acerca al valor a desde cualquier lado. Para las funciones de varias variables, la idea es muy parecida. Cuando escribimos Jim
(a:, y)-'(a, I')
f(x) = L,
queremos decir que cuando (x, y) se acerca mós y más a (a, b),f(x, y) se acerca más y más al nülflerO L. En este caso, (x, y) se puede aproximar a (a, b) por cualquier trayectoria que pase por (a, b). Observe que, a diferencia de lo que ocurre con las funciones de una sola variable, hay muchas (de hecho infinitas) trayectorias diferentes que pasan por un punto dado (a, b). For ejemplo, urn (xy - 2) nos pide identificar qué pasa con la (a:, y)---.(2. :3'
funciónxj -2 cuando x se acerca a 2 y y se acerca a 3. Clararnente, xy .- 2 se acerca a 2 (3) - 2 = 4; escrihirnos, Jim (xy-2)4. (a:, y) -.( 2, 3)
De manera similar, se puede razonar que Jim
(senx/-x 2y) = sen.(-2r)- = -sr.
1032
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
En otras palabras, para muchas funciones (sencillas), podemos calcular Ilmites mediante simple sustitución. Infortunadamente, como sucede con las funciones de una sola variable, los ilmites en los que estamos rnás interesados no se pueden calcular por simple sustitución de los valores x, y. Por ejemplo, para lIm X
Y +11-1
-s-.
Para calcular la sustitución x = 1, y = 0 da la forma indeterminada este !Inuite dehemos investigar inás. Se puede recorciar, de nuestro análisis en la sección 1.5, que para una Euncionfde una sola variable definida en un intervalo abierto que contenga al valor a (pero no necesariamente en a), decimos que limJ(x) = L, si dado cualquier raimero c > 0, existe otro ni.imero 6 > 0 < r siempre que 0 p existe U1 1 -0Til quo
(T
fl y) = L si iTL< , slempreque h)
0
us,
j)
L Figura 12.14: la definición de Ilmite.
Observe que la definición expresa que dado cualquier grado de cercanIa
e > 0, as posible hallar otro nümero 6 > 0; tal que todos los puntos que
Sección 12.2 • LImites y continuidad
1033
estén a una distancia 6 de (a, b) se aplican, mediantef, en puntos cuya distancia a L no supera a e sobre la recta real. USO DE LA DEFINICION DE LIMITE
= b.
Verifique que lIm x = a y que lIm (x, )-*(a, b
(x, )-.(a, b)
SOLUCthN
Ciertarnente, los dos ilmites son intuitivamente muy claros. Sin embargo, podemos usar la definición de la página anterior para verificarlos. Dado cualquier niimero > 0 sobre la recta real, debemos hallar otro n(imeroô
>
Otaique I x — al < e siempre que 0 <
V(x — a
)2
+
b^
<6. Observe que (xa)2+(y_b)2 >2
Ix - al
y, por tanto, tomando 6 = s, tenemos que
I x _ a I= 1/_ a)2 < i/(x siempre que 0 <../(r
-
a)2 + (y
-
a)2+(y.b) 2 <
b)2 <6. Dé la misma manera, pode.
mos mostrar que lIm y = b.
Con esta definición de lImite, podemos demostrar los resultados usuales para lImites de sumas, productos y cocientes. Es decir, que si f(x, y), g(x, y) tienen ambas ilmites cuando (x, y) tiende hacia (a, b), tenemos lIm
(a,, g)-(a, b)
Iflx, y) ± g(x, y) I =
lIm
(x, y)-4(a, b)
Ax, y)
lIm g(x, y)
±
(x, y)-(a, b)
(es decir, el limite de una suma o diferenciaes la suma o diferencia de los lImites),
urn
(x,y)-.+(a,b)
1
If (x,
lIm
(x'V)—(a,b)
f(x)]
I
urn
(es decir, el ilmite de un producto es el producto de los lImites) y
lIm (x,).-(ab)
I (x, Y) g(x,y)
-
-
urn
f(x,y)
lIm
g(x,y)
(.,V)—(-,b) ,b) (c,y)-+(a,b)
(es decir, el lImite de un cociente es el cociente de los ilmites), dado que lIm g(x, y) # 0.
(a, j)--(a,
#
b)
Un polinomio en las dos variables x, j es cualquier surna de términos de la forma cx1ym, donde c es una constante n, son enteros no negativos. Usando los resultados anteriores y el éjemplo 2.1, podemos demostrar que el ilmite de un polinomio siemprè existe y se halla senciliamente mediante sustitución. 0
1034
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
DETERMINACION DE UN LIMITE SENCILLO Calcule
11M
2x2y+3xy
(v,y)-'(2,i)
5xy + 3y
SOLUCION Primero, observe que éste es el ilmite de una función racional (es decir, el cociente de dos polinomios). Como el Ilmite del denominador es
_ (2l) (5X3J + 3y) = 10 + 3
lIm
().
tenemos lIm
(x,i,) -.(2 , 1 )
Sif(x, y) so acerca a L4 cuando (x, y) so acercaa (a, b) a to largo do una trayectoria Pi yf(x, y) so acerca a L2 L1 cuanclo (x, y) sqacorcaa (a,b) a. to largd déiha trèyentoria P2, entonces IImf'(x, y), cuando (x, y) - (a, ;4
.exlste.
13 # 0,
(2x2y + 3xy) HM M - 14 + 3xy - ( x,y)-+(2,i) Jim (5xy2 + 3y) -- 13 5xy2 -- 3y -
2x2 y
Piense en Las implicaciones de la definición presentada en la página 1033 (aun si no tiene completa seguridad del papel de e y de 6). Si existe cualquier manera de acercarse al punto (a, b) sin que Los valores de La función se acerquen a L (par ejemplo, en virtud de que los valores de la función se disparen, oscilen o se acerquen a algün otro valor), entonces el ilmite no es igual a L. Desde luego, comO estamos en dos dimensiones, hay una infinidad de trayectorias a lo largo de Las cuales nos podemos acercar a cualquier punto dado (a, b), incluidas rectas de diferentes pendientes y curvas de diferentes tipos. Para que el ilmite sea iguaL a L, la función tiene q apimarse a L por cualguier tray na posible. Esto nos proporciona un método senciLlo para determinar que un lImite no existe. No se preocupe; esto puede parecer muy complicado al principio, pero con la práctica se vuelve fácil. Es similar a examinar los lImites a La izquierda y a la derecha de una función con una sola variable. La diferencia principal está en que, para dos dimensiones, no hay sólo dos maneras de acercarse a un punto dado, sinoque hay infinitas (y, naturalmente, no se pueden ensayar todas). En La práctica, cuando se sospecha que un lImite no existe, se examina el limite primero a Lo largo de las trayectorias rnás sencilLas. Usaremos Las indicaciones siguientes.
Las trayectorias rnás simples para énsayar Son (rectas vorticatos); 2) y = b, x -* a (rectas horizontales); 1) x = (,,, y -> b
3) y = g(x), x [donde b =
a
(a, b)
4) x = g(), y -> b [donde a
Variasde estas tràyectorias so if ustran on lafigura 12.15.
(4) (1)
SecciOn 12.2 Limites y continuidaci
1035
UN LIMITE QUE NO EXISTE
Calcule urn
(x,y)-'(1,0)X+--
1
SOLUCION En primer lugar, considere la trayectoria recta vertical a lo largo de la recta x = 1, y calcule el lImite cuando j tiende hacia 0. Si (x, ii) - (1, 0) a lo largo de la recta x = 1, se tiene y =lIml=1. 1+y-1 y- O
lIm
(l,y)-*(i 3 O)
Considere ahora la recta horizontal y = 0; calcule el lImite cuando x tiende a 1. AquI se tiene, lIm
(x,0)-(1,0)
0 =lImO=O. x-,0 x+0-1
Como La función se acerca a dos valores diferentes a Ia largo de dos trayectorias diferentes al punto (1, 0), el lImite no existe. Muchos de nuestros ejemplos y ejercicios tienen a (x, ii) tendiendo hacia (0, 0). En este caso, observe que otra trayectoria simple que pasa a través de (0, 0) es la recta y = x. UN L'MJTE QUE ES IGUAL A LO LARGO DE DOS TRAYECTORIAS DtSTINTAS, PERO NO EXISTE
Calcule
urn
XJ
(x,y)-(O,0) X 2 +
SOLUCIóN Primero, considere el ilmite a lo largo de la trayectoria x = 0. Tenemos urn (0,y)-(0,O)
0
5—+7
lImO=0. =
De modo similar, para la trayectoria y = 0, tenemos lIrn
(x,O)-(0,0)
U74
x2 + 0
=lImO=0. v-0
Debe tenerse cuidado; el hecho de que los lImites a lo largo de las dos trayectorias ensayadas primero coincidan, no significa que el lImite exista. Tenga en cuenta que para que un lImite exista debe ser el mismo a lo largo de todas las trayectorias que pasen por (0,0) (no solamente dos de ellas). Necesitamos simplemente mirar otras trayectoriaS. S Para la trayectoria y = x, se tiene 1 x2 x(x) =lIm--2 x-40 2x2 (x,x)—(0,0) x2 + x2 urn
Como el ilmite a lo largo de esta trayectoria no coincide con el lImite a lo largo de las dos primeras, el lImite no existe.
I 1036
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
'Como se ha visto en los ejemplos 23 y 2.4, las sustituciones para trayectorias particulares a menudo dan como resultado que la función se reduce a una constante. Al escoger trayectorias, debe buscarse que las sustituciones simplifiquen Ia función significativamente. # UN L'MITE QUE REQUIERE UNA ELECCION MAS COMPLICADA DE UNA TRAYECTORIA
Calcule
urn
xy2
(x,y)-4(O,O) X •+• /
sOLUCION Primero, consideramos la trayectoria x = 0, y obtenernos 0
urn
(O,y)-(0,O)
0 + y4
= urn 0 = 0. y-+o
Luego, tomamos la trayectoria y = 0, y obtenemos 0 = urn 0 = 0. x-'O (v,0)-.(O.0) x2 + 0 hrn
Como el ilmite a lo .largo de esas dos trayectorias es el mismo, ensayamos otra trayectoria. Como en el ejemplO 2.4, la siguiente elección más obvia de la trayectoria a través de (0, 0) es la recta y = x. Resulta que este Ilmite es también
-
lirn
(x,x)-.(O,O)
c2
+..7,.4
=hm
+ X2
=0
asI que debemos ensayar otra trayectoria. Pronto se cansará usted de buscar limites a lo largo de trayectorias rectas que pasen por el origen. Dejamos como ejercicio demostrar que el lImite a lo largo de toda recta que pase por el origen es 0. (Sea ii = kx ; tome x - 0 para verificar esto). Sin embargo, esto no es suficiente para concluir que el lImite es 0. Para que esto ocurra, el ilmite debe ser 0 a lo largo de todas las trayectorias (no solo de las trayectorias rectas). En este punto, hay dos posibilidades: o el lImite existe (y es 0)o no existe, en cuyo caso debemos hallar alguna trayectoria que pase por (0, 0) a lo largo de la cual el limite no sea 0. (SI, hay una caritidad de cosas por considerar aqui; pero sea paciente). Finalmente, observe que a lo largo de la trayectona x = y2 , los términos x2 , y4 son iguales. Tenernos entonces lIrn
('2.v)—'(°°)
2 (p2) (p2)2 + y
1 = urny4-= 2 v-.O 2y4 4
Como estc lImite no coincide con los lirnites tornados ante a lo largo de otras trayectorias, el lImite no existe. Antes de analizar cómo demostrar qué un limite sI existe, hacenios una pausa para explorar graficamente el ejemplo 2.5. Primero, trate de imaginar cómo podrIa verse La graficá de f(x, y) = 24 La funciOn está definida, con excepciOn del origen; se écerca a 0 por cada uno de los
.4
Sección 12.2
•
Limites y continuidad
1037
ejes x, y, lo mismo que sobre la recta ai = x. De hecho, se puede demostrar que se acerca a 0 a 10 largo de cualquier recta y = kx que pase por el origen. No obstante,f(x, y) tiende a sobre la parabola x = Y. .Cuá1 es el aspecto de la superficie? Un dibujo estándar de la superficie z = fix, y) con -5 x :5 5 y -5 ^5 y :5 5 no revela mucho, que sea de interés (véase la figura 12.16a). Un acercamiento, con -0.5 :5 x :5 0.5 y -0.5 :5 y :5 0.5 pro-5 porciona una imagen algo más clara, pero se necesita saber qué se está x buscando. (En la figura 12.16b se puede ver parte de la cresta en z = 0.5, -4 -2 lo mismo que al atravesar hasta z = -0.5 que corresponde ax = -y2). Una pigura 12.16a: z representación de densidad muestra ciaramente la, parabola de vaiores = grandes de la función en blanco y una parabola de valores pequeños de Para 5x :55,-5 y :5 5. la función en negro (véase la figura 12.16e). Cercadel origen, la superfique cae rápidamente hacia una cie tiene una cresta en x = y 2, z = superficie suave que se acerca al origen. La cresta está en dos partes (y <0, y > 0) separadas por ci origen. Queremos advertirie que el procedimiento seguido en los üitimos tres ejemplos se usó para demostrar que un lImite no existe. LQu6 pasa Si Ufl lImite existe? Puede darse cuenta de que nunca podrá establecer que un lImite existe, tomando lImites sobre trayectorias especIficas. Hay °402 o2 04 o20 infinitas trayectorias a través de un punto dado y no se pueden agotar YO todas las posibilidades. Sin embargo, después de obtener el mismo lImiFigura 12.16b: z te con varias trayectorias, se puede cornenzar a suponer que el ilmite = + puede existir. Hasta ahora no hemos desarrollado una estrategia para -o.5:5 x :5 0.5, -0.5 :5 y :5 0.5 calcular lImites que existen efectivamènte. Una herramienta que podemos usar es la siguiente generalización del teorema del emparedado de Iasección 1.2. '
,
'H: ll
C
Suponga que Jfix, y) L I < g(x, y) para todos los (x, y) en el interior de alguna circunferencia centráda en (a, b), con la posible excepción urn urn g(x, y) = 0, entonces fix, v) = L. en (a, b). Si (x, y)-+(a, b) (5, j)—(a, b) -
-0.2 -0.4 S
Figura 12.16c: representación de densidad de f(x,
y) =
Demostración. Para cualquier e > 0, sabemos por la definición de lIm g(x, y) = 0, que existe un nümero 6 > 0 tal que 0 < v)—(a, b)
Cl2 -
a)2 -+ (y - 6) 2 <6 garantiza que I g(x, y) -0 1
(x, y), tenemos jfix,y)
-
LI g(x,y)
f(x, y) = L. b) En otras palabras, el teorema establece simplemente que si una función está atrapada entre 0 (porque ci valor absoluto nurica es negativo) y una función que tiende hacia 0, entonces debe tener como lImite a 0. En la pr.áctica, se comienza con una conjetura para el limite L (obtenida por ejemplo al caicular ci ilmite a lo largo devarias trayectorias simples). Luego, se busca una función más sencilla que sea mayor que (f(x, y) LI. Se puede encontrar tal función descartando términos en If(x, y) L para obtener una funciOn g(x, y) "mayor". Si g(x, y) tiende a cero cuando (x, y) tiende hacia (a, b), se puede usar el teorema 2.1.
Se deduce de la definición de lIrnite que urn
(r, y)—.(i,
-
-
Cap Itulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
1038
DEMOSTRACION DE QUE UN Lf.MITE EXISTE
Calcule
X2
urn
(x,y)-'(O,O)
x 2 + 2'
SOLUCON Como hicirnos en ejemplos anteriores, cornenzamos por examinar el lImite a lo largo do varias trayectorias que pasan por (0, 0). (Si esos ilmites no coinciden, entonces el ilmite no existe y mo hay nada que hacer! Si coinciden, nos proporcionan una conjetura para el valor del iIrnite). A lo largo de la trayectoria x = 0, tenemos 0 IIm =0. (o,v)-.(o,o) 0 + y2 A lo largo de Ia trayectoria y = 0, tenemos 0
lIm
=0.
(x,O)-.(O,O) X 2 + 0
Además, a iolargode la trayectoria y = x, tenemos JIm
X3
(x,x)-(O,O) X 2 + X 2
=lim-=0. x-.O 2
Enesta etapa, sabemós que si el ilmite existe, debe ser igual a 0. Podemos ensayar otras trayectorias, pero nuestro ültimo cálculo proporciona una cave importante de ciue el ilmite existefc1iyamcnie..En ese cálculo, después de simplificar la expresión quedó una potencia extra de x en ci numerador que fuerza el iImite hacia 0. Para demostrar que ci iImité es L = 0, considefe
x 2y IJ(x,y)-LI.= If(x,y)-01 Se observa que si no hay término y2 en el denominador, podemos cancelar los términos x 2. Como x2 + y2 > x2, tenemos X2
If(x,y) - LI - 1x2+y21 Y2 Ciertamerite, urn
- I x2 I =IyI.
lIm(OO)lVI = 0 y, por tanto, el teorema 2.1 nos da
( Ty
(x,y)-.(O,O) x2 + y2
0, también.
Cuando (x, y) tiende hacia un punto distinto de (0, 0), la idea es la misma quo en el ejemplo 2.6, pero el algebra puede voiverse más confusa, como se ye en el siguienle ejemplo.
lNum-wolA
DETERMINACION DEL LIMITE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES
Calcule
urn
(x-1) 2 lnx
(x,y)-.(1,O) (x -- 1)2 + y2
SecciOn 12.2 s LImites y continuidad
1039
SOLIJCION A lo largo de la trayectoria x = 1, tenemos 0 tIm —=0.
(ly)—(1,o) 2
A lo largo de la trayectoria y = 0, tenernos lim (2,0)-.(1,0)
(s--i) 2 Ins (x - 1)2
lim mx = 0.
Una tercera trayectoria a través de (1, 0) es la recta y = x - 1 (observe que en este caso, debemos tener y 0, cuando x 1). Entonces (x-1) 2 lnx
jim
11(x–i) 2 lnx- ins Inn --2(x - 1)2
(x-1)--(I,O) (x - 1)2 + ( x - 1)2
x—'l
0.
En este punto usted podrIa comenzar a sospechar que el limite podrIa ser precisamente 0. Nunca to sabrá, hasta hallar otra trayectoria a lo largo de la cual ci limite sea diferente, o hasta que usted demuestre que realmente es 0. Para demostrar esto, consideramos
I
(x - 1)2 In x
f(x,y)—LI= (x_1)2+y2
1.
Observe que si el término y2 no estuviera presente en el denorninador, podrIamos cancelar los términos (x - 1)2. Tenemos f(x.y) Como tim
lIm
(x,y)—(1,O)
= ( x-1)2lnx <(x1)2lnx )2 +y2 -
un
(x _1) 2
jln:rl I
xI= 0, se deduce del teorema 2.1 que
(x - 1) 2 in x = 0, también. -. 1)2 +y2
Lo mismo que con las funciones de una variable y (más recientemente) con las fu.nci6nes de valores vectoriales, el concepto de continuidad está Intimarnente conectado a los lImites. Recuerde que en estos casos una función (o función con valores vectoriales) es continua en un punto, siempre que el limite y el valor de la función coincidan. En particular, observe que esto significa que los lImites de funciones continuas We una sola variable o con valores vectoriales) se hallan por simple sustitución. Esta misma caracterización se aplica a las funciones continuas de varias variables, como se ye en la definición siguiente.
DEFINICJON. Suponga quef(x, y) está definida en el interior de una circunferencia centrada en el punto (a, b). Decixnos que f es continua en (a, b) si tim f(x, y) =f(a, b). (x, y)—(a, b) Si f(x, y) no es continua, en (a, b), entonces (a, b) se llama una discontinuidad def.
Cap itulo 12' Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
1040
/
T Figura 12.17a: disco abierto.
Observe que esta definición escompletamente análoga a nuestras definiciones anteriores de continuidad para los casos de funciones de una variable y de funciones con valores vectoriales. La interpretación gráfica es similar, aunque ya hemos visto que las graficas tridimensionales pueden sei más complicadas. Permanece la idea de que para una funcion continuaf(x, y), si (x, y) cambia ligeramente, entoncesftx, y) también cambia ligeramente. Antes de definir el concepto de continuidad en una region R C R 2 necesitamos definir primero regiones abiertas y cerradas en dos dimensiones. Nos referimos al interior de una circunferencia (es decir, al conjunto de los puntos que están en el interior pero no en La circunferencia) como a un disco abierto (véase la figura 12.17a). Un disco cerrado está constituido por la circunferencia y su interior (véase la. figura 12.17b). Estos son los analogos bidirnensionales de los intervalos abiertos y cerrados, respectivamente, en la recta real. Para una region bidimensional R dada, un punto (a, b) en R se llama un punto interior de R, si hay un disco abierto centrado en (a, b) que está completamente dentro de R (véase la figura 12.18a). ,
y
(a
W - )
Figura 12.17b: disco cerrado
a,
x
Figura 12.18a: punto interior.
Figura 12.18b: punto de frontera.
Un punto (a, b) en R se llama punto de frontera de R, si todo disco abierto centrado en (a, b) contiene puntos en R y puntos fuera de R (véase la figura 12.18b). Un conjunto R es cerrado si contiene todos sus puntos de frontera. Alternativamente, R es abierto si no contiene ni uno de sus puntos de frontera. Observe que éstos son los análogos de los intervalos cerrados y abiertos de la recta real: los intervalos cerrados incluyen todos (dos, en este caso) sus puntos de frontera (los extremos), mientras que los intervalos abiertos no incluyen a ninguno de sus puntos de frontera. Si el dominio de una función contiene a alguno de SUS puntos de frontera, necesitamos modificar nuestra definición de continuidad ligeramente, para asegurar que el lInuite se ha calculado sobre trayectorias que estén en el dominio solamente. (Recuerde que esto es esenciálmente lo que hicimos para definir la continuidad de una función de una sola variable en un extremo de un intervalo cerrado). Si (a, b) es un punto de fróntera del dominio D de una funcionf, decimos quefes continua en (a, b) si Urn
(x,Y)-+(a,b) (x,y)ED
f(x,y) = f(a,b).
1041
Secck5n 12.2 • Limites y continuidad
Esta notación indica que el lImite se toma a lo -largo de todas las trayectorias contenidas completamente en el interior de D. (Esto corresponde a un lImite lateral para las funciones de una sola variable). Observe que este lImite requiere una ligera modificacjón de la definición de la página 1033, como sigue. Decimos que lIm f(x,y)=L (x,y)ED
si para cada e > 0 existe Un ô > 0 tal que lf(x) -- LI < e, siempre que (x,y)ED,yque0
I
Halle todos los puntos en Los que La función dada es continua:
a)ftx,y)= 2
x
yb)g(x,y)=
si(x,y) (0,0)
x4
x (x 2+ y 2) 0
Si (x, 3)) = (0, 0)
SOLUCION Para a), observe quo fix, y). es un cociente de dos polinomios (es decir, una función racional), por tanto, es continua en cualquier punto en el. que no haya division entre 0. Como la divisiOn entre cero ocurre solamente cuando y = x2 se tiene quo f es continua en todos Los puntos (x, y), con y # x2 Para b), La función g es también un cociente de polinomios, excepto en el origen. Se observa que hay una division entre 0 cuando x = 0. Debemos considerar, sin embargo, separadamente al punto (0, 0), ya que La funciOn no está definida allI por la expresión g(x, y) = 0 usando La siguienracional. Puede verificarse que lIm ,
.
(x,y)—.(O,O)
to cadena, en la que intervienen igualdad y desigualdad. Observe que para. (x, y) (0, 0),
Jg(x,y) =
x(x2±y2)
, I=
lxi.
y que I i 0 cuando (x, y) - (0, 0). Por el teorema 2.1 1 tenemos que urn
(x, y)-.(O, 0)
g(x, y) = 0 = g(0, 0).
1042
CapItulo 12 • Funciones do varias variables y derivación parcial
de modo que g es continua en (0, 0). Al juntar todo esto, obtenemos que g es continua en el origen y también en los puntos (x, y), con x # 0. El siguiente teorema demuestra que podeinos usar todos nuestros resultados establecidos para La continuidad en funciones de una sola variable, al considerar funciones de varias variables.
Supongamos qief(x, y) es continua en (a, b) y quo g(x) es continua en el puntof(a, b). Entonces,
h(x, y) = (g
o
f) (x, y) = g(f(x, y))
es continua en (a, b).
Demostración. Dejamos La demostración como ejercicio, pero es algo como lo siguiente. Se observa que si (x, v) está cerca de (a, b), entonces, por la continuidad def en (a, h),f(x, y) está cerca def(a, b). For la continuidad de g en el punto f(a, b), se deduce que g(f(x, y)) estará cerca de g(fta, b)), de modo que g of es continua también en (a, b). DETERMINACION DE DONDE ES CONTINUA LA COMPUESTA DE DOS FUNCIONES
Determine SOLUCJON Observe quef(x, y) = g(h(x, y)), donde g(t) = et, h(x, i) = x 2y. Como g es continua para todos los valores de t, y como h es un polinomio en x, y (y, por consiguiente, continuo para todos los x, y), se deduce del teorema 2.2 quefes continua para todos los x, y.
TodOslos análisis quo siguen so extiondon a funciones do tres (o más) variables, do la manera obvia.
DEFINICION. Seaf(x, y, z) una función definida en el interior de una esfera, centrada en el punto (a, b, c), con La posible excepción en (a, b, c). Decimos que (r, V, b, ) f(x, y, z) = L, si para cada C > 0 existe un 6 > 0 taL que ff(x, j, z) - L < e, siempre que
0<(x _ a)2+(y _ b)2 +(z _ c )2 <5.
V
Observe quo, lo mismo que con los lImites de funciones de dos variables, la definición anterior expresa que para que se cumpla lfm (x, y, z)—(a, b, c) f(x, y, z) = L, debemos toner que fix, y, z) Se acerca a L por cualquier posible trayectoria que pase por (a, b, c). Lo mismo que para una función de dos variables, se observa que si una función de tres variables se acerca a diferentes ilmites por dos trayectorias particulares, entonces el lImite no existe.l.
SecciOn 12.2 • Limites y continuidad
1043
UN LIMITE EN TRES DIMENSIONES, QUE NO EXSTE
Calcule
X2 + y 2 - z 2 (x,,z)-(0,00) x2 + ,2 + z2
hill
SOLUCJON Primero, consideramos la trayectoria x = V = 0 (el eje z). AllI se tiene, lIm
02 +02 -z 2 02 + 02 z 2 -
1
-z 2 z2 =
A lo largo de la trayectoria x = z = 0 (el eje y), se tiene, Inn
(O,y,O)—(O,O,O) 02 + y2 + 02
v—O 9J2 -
Como los ilmites a lo largo de esas dos trayectorias especIficas no coinciden, el limite no existe. Extendemos la definición de continuidad a funciones de tres variables, de la manera obvia, como sigue.
DEFINICION. Supongamos quef(x, y, z) está definida en ci interior de una esfera centrada en (a, b, c). Decimos quefes continua en (a, b, C) Si (x, y, z)_(a, b, c)f' y, z) fla, b, c). Sif(x, y, z) no es continua en (a, b, c), entonces llámamos a (a, b, c) una discontinuidad def.0
Como puede verse, los lImites y la continuidad para funciones de tres variables se comportan esencialmente de la misma manera que para las funciones de dos variables. Se;examinará esto con más detalle en los ejercicios.
EJERCCIOSDELASECCiON12.2:
A4€4:44 I. Al escoger entre las trayectorias I, = X, x 132 explique por qué y = x es La mejor elección en el ejernplo 2.4, pero x = 132 es la mejor elección en el ejemplo 2.5. ,
2. Explique, en términos de la definición que aparece en La página 1033, por qué el lImite del ejernplo 2.5 no existe, es decir, explique por qué el hacer (x, y) cercano a (0, 0) no garantiza que Ax, ) sea cercano a 0. 3. Explique por qué elegimos descartar a 9)2, y no a x2 , en el denominador del ejemplo 2.6. 4. Explique por qué La trayectoria.y = x no es una trayectoria válida para ci ilmite del ejemplo 2.7.
1044
Cap itulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
En los ejercicios 5 a 10, calcule el Ilinite indicado. 5. 7.
9.
X2
Jim
6.
(x,y)-.(1,3) 4x2 - y
cosxy 2+1
lim
8.
4xz
hiri
(xy,z)-.(1,0,2) y2 + z2
10.
Jim
- 2xy e xy x 2 + y2
(x,y)-(2,-l) x 2
urn
(,y)-'(-3,O)
e+V
Tim
(x,y,)-(1,1,2)
X- Z
3.2 Jim (z,y)-(O,O)
13. 15. 17.
19.
12.
± y2
x2
4xy
Jim
14.
(,,y)-+(o,o) 3,2
16.
(x,y)-.(OO) 2:2 + y 4
Jim (x,y)-(O,O)x+y. 3
18.
Ysen x
Jim
(x,y)-*(O,O) 2:2
+ Y2
3x Jim (x,y,z)-.(O,O,O) 2:2 + y2 + z 2 x2y2z2
Jim
(x,,z)-.(0,0,O) x2
+ y2 + z2
En los ejercicios 35 a 38, use gráficas y representaciones de densidad para explicar por qué el Iimite no existe en el ejercicio indicado. 35. Ejercicio 11
36.Ejercicio 12
37. Ejercicio 13
38.Ejercicio 14
2x2
En los ejercicios 39 a 48, determine todos los punlos en los cuales la función dada es continua.
2xy
Jim
(x,y)-(O,O) x2 + 2y2
39. f(x,y) = 4xy +sen 3x2 y
2xy2
Jim
urn
(,y)-*(O,O)
2V 2
x2
(,',7,y)-(0,O)
33. 34.
- • x2
Jim
X+y
En los ejercicios 11 a 26, muestre que el limite indicado no existe. ii.
32.
urn
(x,y)-(O,O)
40. f(x,y) = e34 +x2 -y
x 4 + y2
41. f(x,y) = ./9 - x 2 y 2
2xy3
JI Jim
(x,y)-(o,o) 2:2 + 8y6
+ y2
/ 2
42. f(x,y) =
.. x(cosy-1) 20. Jim (x,y)-+(O,0) x + Y3
_y 2
_1
43.f(x,y)=ln(3_x2 +y)
44.f(x,y)=tan(x+y) 21. 22. 23.
nm
(,y)-.(i2) T 2
-
(x,ij,z)-+(0,0,0)
2:2 + y 2 + z2
urn
x2+y2+z2 ,,2 + z2 x2
(y,z)-.(O,O,O) X
(,y,z)-.(0,0,0)
+ Y3 + Z 3
49.
x 4 +,y4 + z
Jim
xy2
(,y)-.(O,O) x2 + y 2
2x2sen 29. Jim (x,i,)-(O,o) 2x2 + y2
31.
lIrn
(x,Y)-.(oo)
28. 30.
x3+4x2+2y2 2x2 + y2 -
-
lIrn
1 - cosxy
(y)-.(0,O) x 2 y2
+ X2 y 3 50.
Jim
3sen xy 2 __________
(',v)-(O,0) X 2 y2
+ XtJ2
En los ejercicios 51 a 54, indique si el enunciado es verdadero o falso y explique.
En los ejercicios 27 a 34, demuestre que el lImite indicado existe. 27.
47.f(x,y,z)=jx2+y2+z2-_4
En los ejercicios 49y 50, estime numéricámente el lImite indicado.
x 2Vz
urn
= 4xe
48. f(x, y, z) =- x2 -
xyz
Tim
26.
46. f(x, y, z)
- 2)2 + y2 3x2
(x,y,z)-4(0,00)
25.
---. ----- 2; - ---------------------45. f(x,y,z) = -+ sen z
2y2
urn
(x,y)-(2,O) (x
urn
24.
-2x+y 2 -4y+5
(x,y)-.(O,O) x2 + y 2
urn
(x,y)-.(O,O)
X
JIm (x, y)-(a, b) fix,
y) = L, entonces Jim fix, b) = L.
52.Si Jim fix, b) = L, entonces
x2y
lIm
51. Si
+X
x2 + ,2
fix, y)
= L.
53-Si Jim f(x, b)
= lirn f(a, y) = " L, entonces lImf(x,y) =L.. (x,y)-+(a,b)
54. Si
-
urn
(x,y)-.(a.b)
lIm
(x, y)-(O, 0) y). = 0 para
fix, y) 0, entonces Jim ftcx,
(x, y)-s(0, 0)
cualquier constante c.
SecciOn 12.3 • Derivadas parciales
Jos ejercicioS 55 a 60, use coordenadas polares para ballar el Ilmite indicado, si existe. Ob- 0 es equivalente a r -* 0. serve que (x, ). +I 1 56. urn Urn +y2 (x,y)-.(0,0) X2 +Y2 (x,y)(0'0) sen i/X2 -
En este ejercicio se explorará cómo se relacionan los patrones de representación de contorno con la existencia de los lImites. Co..
57.
xy2
lIm
(x,y)-(O,O) x2 + y 2
59. lIm
1045
Lx2
(x,y)-.(O,O)
/q2
58. 60.
x2 y
lIm
.
(x,y)-(O,O) X 2 + y 2
x 3 y+Xy 3
urn
(x,y)-(O,O) X + Y
2
un acercamiento al punto (a, b)? Explique córno aparece esto en las representacionés de contorno para
mience por demostrar que lIm no existe y lIm
2
(x,y)-*(0,O)X +y 2
0)
= 0. Luego di-
buje varias representaciones de contorno para cada función mientras realiza acercamientos a! punto (0, 0). Para una funcion cuyo lImite exista cuando (x, y) tiende hacia (a, b), L qu6 debe pasar con el recorrido de valores de la función cuando se hace
' . For contraste, x2 + 2 !.qué pasarIa con el recorrido de valores de la función cuando se hace un acercarniento a un punto en el cual el ilmite no existe? Explique cómo aparece esto en las represen-taciones de contorno de
3T2 +-
Use repre-
sentaciones de contorno paraconjeturar si los siguientes IImites existen o no: xy xseny (z,y).-(0,0) X 2 + y
0) X2 + y2
.01,RI VA VA S PARCIALES Recuerde que para una funcionf de una sola variable, definimos la fundon derivada como f' (X) =
Figura 12.19a: temperatura promedio en un segmento de recta horizontal
gm I
h-.0
(x + h) - f (x) h
para valores cualesquiera de x, para Los cuales el lImite exjste. En un valor particular, x = a, interpretamos f '(a) como la razón de cámbio instantánea de lafunción, respecto ax, en ese punto. For ejemplo, siftt) representa la temperatura de un objeto en el instante t, entoncesf'(t) da la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo. Considere una Lámina plana de metal que tiene la forma de La region R C R 2 . Supongamos que La temperatura en cualquier punto (x, y) E R está dada porf(x, y). (Como La temperatura depende solo de la ubicaciOn de (x, y), quiere decir que la temperatura es independiente del tiempo). SerIa razonabLe preguntar qué razOn de cambio defse encuentra en la dirección de x en el punto (a, b) E R. Piense de esta manera: al moverse sobre el segmento de recta horizontal desde (a, b) hasta (a + h, b), /,cuál es La razón de cambio promedio de La temperatura respecto a la distancia horizontalx (véase la figura 12.19a)? Observe que sobre este segmento de recta, y es constante (y = b). De modo que la razOn de cambio promedio deseada está dada por f(a+h,b) —f(a,b) h
1046
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
Para obtener Ia razón de cambio instantánea de f en la dirección de x, tomamos el lImite cuando h - 0: f (a + h, b) - f (a, b) h-+0 h En este lImite se reconoce La derivada. Como f es una función do dos variables y se ha dejado fija una de ellas (y = b), liamamos a esta la denvada parcial def con respecto ax, denotada por urn
af Ox Esto expresa que
liiii f(a+h,b)-f(a,b) h-.0 h
ax (a,
b) da la razón de cambio instantánea de con
respecto ax (es decir, en La dirección de x) en el punto (a, b). Do la misma manera, Si flOS movemos sobre tin segmento de recta vertical desde (a, b) hasta (a, b + h) (véase la figura 12.19b), la razón de cambio promedio def a lo largo de este segmento está dada por f(a,b+h) - f(a,b) ii La razón instantánea de cambio def en la dirección y, en el punto (a, está dada por
b)
S
Figura 12,19b: temperattra promedlo en un segmento do recta vertical.
lim f(a,b+h) -f(a,b) h qt e se reconoce también comouna derivada. En este caso, sin embargo, hemos fijado el valor de x (x = a); nos referimos a ella como la derivada parcial de f con respecto a y;thdenota, h-*0
lIm f (a, b + h) — f (a, b) L( a ,b) = Dy h
--
h--O
Más en general, definimos las funciones derivadas parciales como sigue.
DEFINICION.La derivada parcial de fix, y) con respecto a x, expresada con Lf se define mediante Ox Of (x,y) = Urn f(x+h,y)-f(x,y) h-40 TX h para valores cualesquiera de x, y para los cuales el lImite existe. La derivada defix, y) con respecto a y, expresada con
Of
se define
mediante
of
9f h-0 h Dy para valores cualesquiera do x, y para los cuales el lImite existe. 19Y
Notación: observe que cuando estamos trabajando con funciones de varias variables, no podemos usar más la vieja "notación prima" para denotar derivadas parciales. (.Que denotara la derivada parcialf'(x, y)?) AquI introduciremos vaHos tipos de notación. Para z = fix, y), escnibimos Oz 0 Of = - [f.(x)y)]. = Mx, = 49X O.T
SecciOn 12.3 • Derivadas parciales
La expresión
1047
es un operadorde derivación parcial. Indica que se
debe tomar la derivada parcial (respecto a x) de cualquier expresión que le siga. De manera similar tenemos,
az a Of = -[ f(x,y)J. = 1xii = 09Y 19Y 19Y Mire cuidadosamente cómo hemos definido estas derivadas y vera que podemos calcular las derivadas parciales usando las reglas conocidas para calcular las derivadas ordinarias. Observe que en la definición de Of , el valor de y se mantiene constante, digamos en
j
= b. Si defini-
mos g(x) = f(x, b), entonces, q(x+h)-g(x) =g'(x) f(x+h,b)-f(x,b) Of= =lIm h-0 h h ax h-0
—
simplemente se toma Ox la derivada ordinaria respecto ax, tratando a y como una constante. Dc
Es decir, que para calcular la derivada parcial
manera similar, se puede calcular.
Of
tomando una derivada ordinaria
respecto ay, tratando a x como una constante. DE DEIUVADAS PARCIALES
:.
of (x, y), f(1, 0), Para fx, y) = 3x2 + x3y + 4y2 , calcule - (x, y), Lf Oy Ox f(2, -1).
SOLUCION
I
Calcule , tratando a V como una constante (como los coeficientes 3 Ox y 4). Se tiene Of 0 = (3x2 + x 3y + 4y2 ) = 6x + (3x2 ) y + 0 = 6x + 3x2 y. Observe que la derivada parcial de 4y 2, con respecto a x, es 0, pues 43/2 se trata como si fuera una constante al derivar respecto a x. A continuación, calculamos -, tratando a x como a una constante. Se tiene
a Of (3x2 + x 3ij + 4y2) = 0 + x3(1) + 8y = x 3 + 8y. 09Y 7 a y Sustituyendo los valores para x, y, se obtiene 6+0=6
y
Of f(2,_1)=(2,_1)=8-8=0.
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
1048
• 'Como se mantiene fija una-de las variables al calcular una derivada parcial, se pueden usar las reglas conocidas para calcular derivadas. Por ejemplo, podemos usar las reglas del producto:
a
aav V + U -
- (u v) = ' Ox Ox 5_x_
dx
y
8 au Ov - (u v) = v-Fu Oy Oy dy y también la regla del cociente: -
Ox v) -
con una regla correspondiente del cociente.que vale para ().
CA1cu!.o DE DERIVADAS PARCIALES Paraf(x, y)
=
of Of + , cicule -Ox '
SOLUCI6N Recuërde que si g(x) = Ox +
entonces g !(x) = 4e 4ar +
de la cadena. Remplazando ci 4 por y, y tratándola como se tratarla a cualquier otra constante, tenernos
aat x\ 1 = -- (e+ – J=ye'+– . Ox Ox yj y
—
4. Para la derivada parcial y, recuerde que si h(y) = , entonces h'(y) = ly -4.
Remplazando el 4 por x, y tratándola como a cualquier otra cons-
y
tante, .tenemos L=(ev+
ay aJ\
[j
yJ
y
Interpretamos las derivadas parciales como razones de cambio, de la misma manera que interpretamos las derivadas comunes de funcio• nes de una sola variable. a APLICACION DE DERIVADAS PARCIALES A LA DINAMICA DE LOS GASES Para un gas real, la ecuación de Van der Waal establece que / n2a (P +W) (V–nb)=nRT
Sección 12.3 • Derivadas parciales
1049
Aqul P es la presión del gas, V, el volumen del gas, T, la temperatura (en grados Kelvin), n el iiimero de moles de gas, R es la constante universal de los gases, a, b son constantes. Calcule e interprete
,
.
SOLUCION Resolvemos primero respecto a P, para obtener nRT n 2a V2 y calculamos OP - 8
nRT n2a'\ -
(
nRT
n2a
Se observa que esto da la razón de earnbio de la presión, en relaeión con un cambio en volumen (con temperatura constarite). A continuación, al resolver la ecuación de Van der Waal respecto a T, se obtiene (P
T
(T
-- nb)
±
y se calcula e,,-,
/
2\
1
mR \
V2 j
j
ri
c9
1 nR
Esto da la razón de cambio de la temperatura, en relación con un cambio en la presión (con voluinen constante). Usted descubrirá en los ejercicios un hecho interesante respecto a esLas derivadas parciales. Se observa que las derivadas parciales halladas en los ejemplos anteriores son funãiones de dos variables. Hemos visto que las segundas derivadas, y las de orden superior, para funciones de una sola variable, proporcionan información significativa. No es sorprendente que las derivadas parciales de orden superior sean también muy importantes en sus aplicaciones. Para las funciones de dos variables hay cuatro diferentes deriva• dasparciales dé segundo orden. Respectoax, la derivada parcial de es
-(
,
JX \J
Lf
Ox
o consDe manera simi-
abreviada usualmente como dx
ar, a!^a^ oar ^ dos derivadas parciales sucesivas respecto a y se obtienen
= j,. Para las derivadas parciales mixtas de segundo () orden, se torna una derivada respecto a cada variable. Si se toma la p.ri-i (Of abreviado mera derivada parcial con respecto a x, tenernOS jj
-
comoo
•
(J
respecto a j, tenemos
fxy.
Si la primera derivada parcial se tome con
oaf —
(s),
aireviaclo como
82f ---, o
(
=
1050
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
CALCULO DE DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Halle todas las derivadas parciales de segundo orden de Ax, y)-x2y-v3 +lnx. SOLUCION Comenzamos por calcular las derivadas parciales de primer orden: Of Of = - 3y 2 . Tenemos entonces, = 2xy + --- y x 19-1. 82 f aX 2
0/'Of'\ 19X
ax
0(
1
1)
X2)
X
09X
02 1 8(Of\ 0 - I = - (2xy +— I =2x, Oydx = 9y- \0xJ Oy xj J ., J _(Jf(/J
—I1
'-'12
OxOy Ox \OyJ Ox yfinalmente,
82 f Oy 2
-f
-
2\
(X—.)1
= -- ( x2
8ykOyJ 09Y
/
X
- 3y2) = -6y.
2 / = 02/ Se observa en el ejemplo 3.4, que 0 Resulta que esto es OyOx OxOy verdadero ]ara la mayorIà, pero no para todas las funciones que usted encuentre. I stración del siguiente resultado se puede hallar en la ma.yorla de los textos de cálculo avanzado.
•Si f(x, y) y f(x, y) son continuas en un conj unto abierto que contiene a (a, b), entoncesf(a, b) = fx(a, b). Naturalmente, podemos seguir calculando derivadas; podemos calcular las derivadas parciales de orden tres, cuatro, y de órdenes aun superiores. El teorema 3.1 se puede extender para demostrar que mientras las derivadas parciales sean todas continuas, ci orden de derivación no importa. Con derivadas parciales de orden superior, notaciones como C93 f se vuelven algo incómodas; por tanto, se usa más bienf. OxOyOx CALCULO DL DERIVADAS PARCIALES DL ORDEN SUPERIOR
Paraf(x, y) = cos(xy) - x 3 + y4, calculef,, SOLLJCION Tenemos
fX
[cos(xy) - x 3 + y4 ] -y sen(xy) - 3x2.
1051
SecciOn 12.3 • Derivadas parciales
Derivandofa respecto a y, se obtiéne
[-y sen(xy) - 3x 21 = -sen(xy) - xy cos(xy)
fx y = WA
fxyy =
a -
[-
sen(xy) - xy cos(xy)i = -2x cos(xy) + x2y sen(xy).
Finalmente, tenemos
a
= - [-2x cos(xy) .f. xZy sen(xy)i - 2 sen(xy)
+ x2 sen(xy) + x 3y cos(xy) = 3x 2 sen(xy) + x 3y cosxy).
Hasta ahora hemos trabajado con derivadas parciales de funciones de dos variables. Las extensiones a funciones de tres o más variables son compietamente sirnilares a lo que hemos analizado aquI. En los ejercicios se pedirá escribir las definiciones para derivadas parciales de funciones de tres variables. En el siguiente ejemplo, se puede ver que los cálculos se realizan de la manera esperada. DRIVADAS PARCIALES DE FUN ClONES DE TRES. VARIABLES
Paraf(x, y, z) = fx yz.
+ 4x2y, definida para x, y, z
0, calculef,f21,
SOLUCION Para mantener a x, y, z tan separadas corno es posihie, expresamos de flUOVO f como fix, y, z) = xv 3 z'
+ 4x2y.
Para calcular.la derivada parcial respecto a x, trátamos ay, z corno constantes y obtenemos
(9 2 y ) = (!_hI2 ) / 2 Z 1/2 + 8xy. Is = 7— (x"23i'2zh"2 + 4x dx A conIinuación, tratainos a x, z como constantes, y obtenemos
fxjI
=
a
(1X
3/2 3/7 1/2
4- 8xy)
(!_ 1/2) (h/2) z" 2 +8x•
Finalmente, tratando a x, y como constantes, obtenemos
fx.
= ?- [(
x_h/2)(u'2)z1/2-
I- 8x]
==(:[X-112) '3
y
1 /2
1
Z
.1/2
Observe que esta derivada está definida para x, z > 0 para ,' > 0. Además, se puede dernostrar que la primera, segunda y tercera derivadas parciales son continuas pára x, z> 0, y para y 2: 0, de modo que el orden en el que tomemos las derivadas parciales es irrelevante en este caso.
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
1052
APLICACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES A LA COMBADURA DE UNA VIGA
La cornbadura de una viga de longitud L, ancho w, y altura It (véase la figura 12.20)
Figura 12.20: viga horizontal.
está dada por S(L, to, h.) = que
OS 4
S,
para alguna constante
C.
Demuestre
OS 1 OS 3 -.- = ---S y = --1 S. Use este resultado para de-
terminar cuál variable tiene el efecto proporcional mayor sobre la cornbadura. SOLUCION Comenzamos por calcular
OS01 L 4 \ = I C
C
4L 3
Neccsitamosmaiijpttlar estaexpresi6n-para-expresa•r1aen de S. Multiplicando arriba y abajo por L, se obtiene
4L 3 OS 4L4 TL _C_Ch3L
= i4e L
4 =S.
Los otros cálculos son semêjantes y se dejan como ejercicio. Para in-• terpretar los resultados, supongamos que un pequeño cambio en longitud, AL, produce un pequeño cambio AS en La combadura. Ahora tenemos que
OL
=
Disponiendo los términos de otra ma-
nera, tenemos
AS AL S Es decir, ci cambio proporcional en S es aproximadamente cuatro yeces el cambio proporcional en L. De manera similar, tenemos que, en valor absoluto, el cambio proporcional en S es aproximadamente ci cambio proporcional en to, y tres veces el cambio proporcional en h. Proporcionalmente, entonces, un cambio en La longitud tiene el mayor efecto sobre La magnitud de la combadura. En este sentido, la iongitud es la más i mporta.nte de las tres dimensiones. Habiendo desarrollado simbólicamente las derivadas parciales, Cerramos esta sección interpretando graficamnte las derivadas parcia-
1053
Socción 12.3 • Dervadas parcialeS
les. Supongamos quo tenemos una funcionfx, y) cuya g.ráfica z = J(x, y) es suave cerca del punto (a, b, f(a, b)). Para calcular
M.
(a, b), mantene-
mos a y fija en = b. Gráficamente, esto es equivalente a mirar solo en los puntos del piano y = b. La intersecc jon entre z = f(x, y) yy = b es una curva, como se muestra en las figuras 12.21a y 12.21b. I-
IL
Figura 12.21b: la curva z =ftx, b).
Figura 12.21 a: intersecciOn de Ia
superficie z = f(x, y) con el piano =b.
Observe que la derivada parcial
.8x
(a, b) da la pendiente de la recta
tangente a la curva en x = a, como se indica en la figura 12.21b. Recuerde que al calcular
af
(a, b), mantenemos x fijo en x = a.
Gráficamente, esto equivale a mirar solarnente en los punios del piano x = a. La intersecciOn entre z = f(x, y) y x = a es una curva, como se muestra en las figuras 12.22a y 12.22b.
V
V
Figura 12.22a: La intersección de la
Figura 12.22b: la curva z = f(a, y).
supetlicie z = f(x, y) con el piano x = a.
En este caso, observe que la derivada parcial
81
(a, b) da la pendiente de
la recta tangente a la curva en y = b, como se muestra en la figura 12.22b. Las interpretaciones gráficas de las derivadas parciales de segundo orden se explorarán en los ejercicios.
CapItulo 12' Funciones de varias variables y derivación parcial
1054•
EJERCICIOS DE LA SECCION 12.3 ..
.
1. Suponga que la funciónf(x, y) es una suma de términos en la que cada término contiene x a y, Pero no ambos. Explique por qué fzry = 0. 2. En.la definición de la pgina 1047. explique cómo recordar cuál derivada parcial involucra el término f(x + Ii, j), y cuál involucra el terniinof(x, y + h). 3. En la secciOn 2.8 calculamos derivadas implIcitamente, usando la regla de La cadena y derivando a ambos lados de una ecuación respecto a x. En este proceso hicimos cálculos como (x2 j2 )' 2xy 2 + 2x2yy'. Explique por qué esta derivada se calcula de manera difererite que las derivadas 'parciales de esta sección. 4. Paraf(x, y, z) = x3 e 4x .env + y 2 sen xy + 4xyz, puede calcularf. yz en varios órdenes. Analice cuántos órdenes distintos son posibles y cuál a cuáles son los más fáciles.
En los ejercicios 5 a 16, halle Las dos derivadas parcialés de primer orden.
21.f(x, y, z) = x 3v2 —señ -
23.f(x, y, z) = e2 xY_
6.f(x, y) = x 2y 3 - 3x th2 &' y sen 9 .f(x, y) =
p
sen xy - 3lJ
'1
24f(a., y, z) = ln(xyz 2 ),j,fljgz,fxxijzz ry w, x, y,.._ a..,, , - w2xy - e wz., c .,,,
26.f(w, x, y, z) = /i-x3 senw;,f,J
10.flx, y) = 3ex2Y - '- 1 11.f(x, y) = 4e ' - x 3 +x tan y 12.flx,y)=
'
–
13.f(x, y, z) = 3x sen y + 4x 3y 2z
L.16.flx,y,z)=
28. f(x,y) = /-::-;,
j+2 + Z2
En los ejercicios 17 a 26, halle las derivadas parciales que se indican.
30.f(x,y) 31. f(x,y)
17.ftx, ii)
32 f 82 f 0 2 f - 4xy 2 + 3y; ----,
=
x2 +y2,
4
20.f(x,y) =
ax
ay ay
.2
---
ay
a2 f 821 18.f(x, y) = x 2y - 4x + 3 sony; T2f X 21 W'
19.f(x, j) = X4 — 3x2y 3 + 5y;ff,f y
af
L(1,13) ax 2
29. f(x,y)=4–x2
y
XYZ
los ejercicios 27 a 32, dibuje la traza bidimenional apropiada e interprete la derivada parcial como una pendiente. 27. f(x,) =4–x2 –y 2 ,
14.f(x, y, z) = 4y sen z - 3x 2z 2 15.f(x, y,.z) 2— + Z2
3JZ
33. Calcule e interprete
OV
Para la ecuación de Van
der Waal (véase el ejernplo 3.3).
1055
Seccjón 12.3 • Derivadas parciales
34- Para La ecuacion .e Van der Waal, demuestre
0T0P9V
= -1. Sique usted interpreto mal La
regla de la cadena, 4por qué podrIa esperar que este producto fuera 1? 35. En el ejemplO 3.7, demuestre que 36.Efl el ejeinplo 3.7, demuestre que
OS c9w OS
1— __5. w 3= —S
37. Si la combadura de la viga del ejemplo 3.7 estuL3 viera dada por S(L, w, Ii.) = —, determine cu ál cwh4
variable tendrIa el mayor efecto proporcional. 38. Con base en el ejemplo 3.7 y en su resultado del ejercicio 37, enuncie una regla simple para determinar cuál variable tiene el mayor efecto proporcional.
En los ejercicios 39 a 42, halle todos los puntos = 0 e interprete gráficaen los cuales of = niente el significado de los puntos. 40.flx,y) = x 2 + y2 -x 4 39.f(x,y) =
Of
41.f(x, y) = sen x sen y 42.f(x, y) = e_x2_VS En los ejercicios 43 a 46, use representación de
1
contorno para estimar
01 01 en el origen.
43.
44.
-,
47. La tabla muestra el viento frIo (cuánto frIo se "siente" afuera) como función de la temperatura (en grados Fahrenheit) y La rapidez del viento (en mph). Podemos considerar esto como una función w(t, s). Estime las derivadas parciales
Lw (10, 10) y TS (10, 10). Interprete cada
derivada parcial y explique por qué es sorprendente que
(10, 10) # 1.
Temp. 10 20 - 30 Rapidez -10 30 20 0 10 5 27 -15 16 6 -5 10 16 -9 -24-33 4 15 9 -5 -18 -32 -45 20 4 -10 -25 -39 -53 25 0 -29 -44 -59 30 -2 1 -18 -33 -48 -63
1
48.Rehaga el ejercicio 47 usando el punto (10, 20). Explique el significado de la desigualdad >•
J(1
O 20).
49. Escriba cuidadosamente una definición para las tres derivadas parciales de primer orden de una función de tres variablesf(x, , z). 50. Determine cuántas derivadas parciales de Segundoorden hay paraflx, y, z). Suponiendo un resultado analogo al teorema 3.1, 2.cuántas de estas derivadas parciales de segundo.orden son realmente diferentes? 51. Demuestre que Las funcionesfn(x, t) = sen nrcx cos n,rct satisfacen a la ecuación de onda 02 1 02! C2 ----- =— para cualquier entero positivo n, Ox 2 at2 y para cualquier constante c.
45.
46.
52. Demuestre que si f(x) es ui-ia función con una segunda derivada continua, entonces f(x — Ct) es una solución de La ecuación de onda del ejercicio 51. Six representa posición y representa tiempo, explique por qué c se .puede interpretar como la velocidad de la onda. 53. El valor de una inversion de US$1,000 con una tasa constante del 10% por 5 años es V =
IM I.
i,0001
f1+0.1(1-T)'\5
±
),
donde T es la tasa de
1056
Cap itulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
impuesto e I es la tasa de inflacion. Caicule
DV
oi
la' entaipla de una reacciOn midiendo esta razón de cambio.
l
Y analice si la tasade impuesto o La de infla ción tiene una mayor influencia sobre el valor de la inversiOn. 54.Ei valor de una inversion de US$1,000 a una tasa r por 5 años con una tása de impuesto de
59. Suponga que tres resistores están en paralelo en un circuito eléctrico. Si las resistencias son Ri, R2, RB ohrnios, respéctivamente, entonces la resistencia neta en ci circuito es iguai a
R 1 R2R3 Caicule e interprete R = R 1 R2 ± R, R:3 + R2R
28% es V = 1,000 (._!-) , doncle I es La
la derivada parcial -. Dada esta derivada parcial, exphque cómo escribir rápidamente las de-
tasa de inflacjón. Calcule
y
Dr DI
, Y analice
Si
la tasa de inversion o la cle jnflación tiene mayor influericia on ci valor de La inversion.
rivadas parciaies.!! ,
DR2 DR.3 69. La Icy para un gas ideal, que relaciona presión,
55. Suponga que la posición de una cuerda de guitarra de longitud L varla deacuerdo con p(x, t) = sen x cos t, donde x representa la distancia sobre la cuerda, 0 :5 x < L, y t represen-
DpOp
ta ci tiempo. Calcule e interprete -,
aR CT
temperatura y volumen es P = 7 para alguna constante c. Dem uestre quo T
, DPOV
c.
61. Para la funciOn ,...L..2
''
\ =
.2"tJi.2j,,.2\,:f.,.\...fnA\
- i )f
i
m Y /
''' !3J ' W,
'1/
56.Suponga que la concentraciOn de algiiin contaminante en un rio,-conio funcion de laposiciOn x, y del tiempo t, está dada por p(x, t) = po(x — ct)e_!t Para las constantes po, c, p. Demuestre Dp t9p = -.c'-p-I'nterprete , , y expli-
six,y) (0,0) 0:. use ldftniciones de ilmite para derivadas parciales, a fin de demöstrar qüef(O, 0)' = -1, pero teorerna 3.1 no se cumpie
que córno relaciona esta ëCuacióir ci carnbio en la contaminación en un lugar especIhco de la corriente del rio, con la razOn a La cual decae ci contaminante.
Suponga quef(x, y) es una función con derivadas parciales continuas de segundo orden. Considere la curva obtenida a! intersecar La superficie z = f(x, j) con el piano y = yo. Explique cómo se relaciona la pendiente de esta cur-
57.En una reacción qu'Imica, la tehiperatura T, la eritrpIa S, la enrgIa iibe de Gibbs G, la entalpIa H, se relacionan mediante G = H - TS.
D(G/T)
Dom uestre que ' = -
(xo, yo). Reiàcione Ox la concavidad de esta curva en ci punto x = xo
H
58.Para la reacción quirnica del ejei'cicio 57, doc9(G17) H Los quimicos miden uesti e que (9(1/T)=
PA- 111
va eel n punto x = xo con
con
(xo, yo).
63. Como en ci ejercicio 62, desarrolle una inter.. 02f pretación grafica de ( x0" YO).
VA-
1-
En Los- ejercicios 62 y 63, se interpretaron las derivadas parciales de segundo orden, como concavidad. En este ejercicio usted desarrollará una interpretacióñ geométrica do la derivada parcial mixtaf. y. (Se puede
encontrar más informaciOn en ci artIculo "What isf,,?" de Brian McCartin en la cdiciOn de rnarzO de 1998 de la revistaPRlMUS). Comience usando elteorema de Taylor (yease la sección 8.7) para demostrar que
iIrn.lIm - f (x,y)—f (x + h,y)-f (x,y-fhk
k)+f(x+h,y+ k) = f(x, y).
Sección 12.4 • Pianos tangentes y aproximaciones lineales
(Sugerencia: tratando a y como constante, se tienef(x + h, y) = f(x, j) + h.f(x, j) +h2g(x, y) para aiguna función g(x, y). De manera similar, desarroile los otros términos del numerador). Por consiguiente, para valores pequeños de h, k, f(x, y)
fO_f1_f2+f3 ,dondefO=flx,y),
fi=
uk (x + h, y), f2 = f(x, j + k) yfi = (x + h, Y + k). Los cuatro puntos Po = (x, y,.fo), P.t = (x + h, i,fi), P2 = (x, y + k, f2) y P3 = (x + h, y + k, f) determinan un paralelepIpedo, como se muestra en la figura.
1057
Recordando que el volumen de unparalelepipedo formado por los vectores a, b, c está dado por a - (b x c), demuestre que el volumen de esta caja es igual a 1(10 -fi -f + f3 )hk I. Es decir, el volumen es aproximadamente igual a Ify(x, v) I (hk) 2. Concluya que cuanto mayor seafx(x, y),mayor será el volumen de la caja y, por tanto, más lejos estará ci punto P3 del piano determinado por los puntos Po, P1, P2. Para ver to que esto signiflea gréficamente, comience con la funión Ax, y) = x 2 + y2 en ci punto (1, .1, 2). Con h = k = 0.1, demuestre que los puntos (1, 1, 2), (1. 1, 1, 2.21), (1, 1.1, 2.21), (1.1, 1.1, 2.42) están en el mismo piano. La derivadaf y (1, 1) = 0 indica que en ci punto (1.1, 1.1, 2.42), la greflea no se curva fuera del piano de los puntos (1, 1, 2), (1.1, 1, 2.21), (1, 1.1, 2.21). Contraste esto con ci comportamiento de la funciónflx, y) = x2 + xy en ci punto(1, 1, 2). Esto expresa ciuef mide la cantidad de curvatura de la superficie cuando se cambian sucesivamente x, ,y en pequeñas cantidades.
12.4 PIANOS TANGENTES YAPROXIMA C/ONES LINEALES y=AX)
+f(aXx-a) Y1
. ........... v )
Recuerde que una de las caracteristicas de la recta tangente a la curva V =f(x) en x = a es que permanece próxima ala curva en la cercanla del punto de tangencia. Esto nos permite usar la recta tangente paraaproximar valores de la función cercanos at punto de tangencia véase la figura 12.23). Recuerde que la ecuación de la recta tangente está dada por y-f(a) =f'(a)(x-a)
x
y =f(a) +f'(a)(x-a). Figura 12.23: aproximaciOn lineal.
(4.1)
Observe que la función de (4.1) en la página anterior es una función lineal en x. Al analizar esto en la sécción 3.1, la ilamamos aproximación lineal af(x) en x = a. En gran parte, de la misma manera, la información sobre ci corn• 8 poitarniento de una funuon de dos variables cerca de un punto dado se 6 I puedf obtencr del piano tangente a la superficie en ee punto Poi ejern plo, la grafia dc - 6 c 7 y2 , y ck su piano tang€nte on elpunto (1, 2, 1) 2 so muestran en la figura 12.24. Observe que cerca del punto (1, 2, 1), la o superfiue y el.piano tangente estan muy proxirnos Desarrollaremos y ...2 aprovecharemos la aproxirnacion mencionada, en esta seccion. . : -4 0 2 Nuestro desarrollo del piano tangente ira paralelo con el desarro73 -2 -i 0 1 2 Y Ito de la recta tangente en la sección 2.1. Para funciones de dos variables, veremos que ci piano tangente está determinado por dos pendientes, Fig ura 12.24: z = 6- x2 y ci piano tangente en (1, 2, 1). dadas por las derivadas parciales.
1058
•
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
Queremos hallar una ecuación generalpara el piano tangente a z = • fix, y) en el punto (a, b, f(a, b)). Observe las figuras 12.25a y 12.25b para visualizar el proceso. Comenzando con una ventana de graficas estándar (lafigura 12.25a muestra z = 6-x 2 -y2 ,con-3 x 15 3y-3 :5y :5- 3),haga un acercamiento sobre el punto (a, b,fia, b)), como en la figura 12.25b (que muestraz = 6-x 2 -y2, con 0.9:5 x :5 1.1y 1.9 :5;y :5 2.1). La superficie de la figura 12.25b parece un piano. Lo que ha pasado es que Se ha hecho un gran acercamiento quo no permite distinguir visualmente, con facilidad, entre la superficie y su piano tangente. Esto sugiere que para puntos (x, y) próximos at punto de tangencia, podemos usar ci valor correspondiente do z en el piano tangente, como una aproximación at valor de la función en ese punto. Primero debomos hallar una ecuación del piano tangente.
Figura 12.25a: z = 6 con --3
Figura 12.26a: la interseccióri de la superficie z = f(x, y) con • • el piano y=.b.
x
Figure 12.25b: z = 6— x2 - y2, con O.9xS 1.1y1.9:5y:52.1.
-
3y-3 y 3.
Recuerde que una ecuación de un piano se puede construir a partir de puatodel piano y cualquier vector-normal-a-éste. Un punto quo está on el piano tangente es, desde luego, ci punto de tangencia (a, b,f(a, b)). EJi.-vector-norrnai, hallarernos- dos-vectores quo estén en ci piano y tomaremos su producto cruz, para hallar un vector ortogonal a ambos (y, por consiguiente, también ortogonal at piano). Imagine que interseca la superficie z = f(x, y) con el piano y = çomd se muestra en la figura 12.26a. Como se observó at final dé la sección 12.3, el resultado es una curva en el piano y = b, cuya pendiente en
Lf (a, b). Sobre la recta tangente en x = a, Un cambio de una unidad en x corresponde a un cambio de Lf (a, b) en z. Como
x = a está dada por
estamos mirando una curva que está en ci piano y = b, el valor do j no cambia a to largo do la curva. .Un vector con la misma dirección de la I \ Of recta tangente es entonces, 1 0 -(a, b) Ia manera como to heax
c\
mos construido, este vector debe estar en el piano tangente (piense un poco en esto). Ahora, at intersecar la superficie z = f(x, y) con el piano x = a, como se muestra en la figura 12.26b, obtenemos una curva que está en el piano x = a, cuya pendiente en j
Of b está dada por (a, b). Un
vector con la misma dirección de La recta tangente en j Figura 12.26b: la intersección de Ia superficie z =f(x, y) con el piano x = a.
0, 1
b es entonces
(a, b)).
Hemos hallado ahora dos vectores en el piano tangente,
(iO(ab)) y (
o 1.L(a,b)). Un vector normal at piano está dado
SecciOn 12.4 • Pianos tangentes y aproximaciones lineales
1059
entonces por el producto cruz:
K
=(
0, 1,(ab))
L(a b) Li(a,b), _i), by
en donde Los detalles del cálculo quedan como ejercicio. Hemos deducido ahora el siguiente resultado.
Suponga quef(x, y) tiene derivadas parciales continuas en (a, b). Un vector normal al piano tangente a z = f(x, y) en (a, b) es
lof (a, b), ax
gy
(a, b), _i). Una ecuación del piano tangente está dada
por
af (a,b)(x-a)
+ - (a,b)(y-b)-[z-f(a,b)J=O
ay
Of Of z=f(a,b)+—(a,b)(x-a)+ ay (a,b)(y-b). Ox
(4.2)
Ahora es cuestión de usar el teorema 4.1 para. construir la ecuaciOn de un piano tangente a casi cuaiquier superficie, como se ilustra en los ejemplos siguientes. DETERMINACION DE UNA ECUACION DEL PLANO TANGENTE
Halle una ecuación del piano tangente a z = 6—x'-y2 en el punto (1, 2, 1). SOLUUON 2
Paraf(x,'y)=6-x - y ,tenemos r=_2x,y Esto nos da
'
=-2y.
f (1, 2) = —2, y - (1, 2) = -4 Un, vector normal es
entonces (-2, -4, -1), y por (4.2), una ecuación del piano tangente es -L -1
U
x
Figura 12.27: superlicie y piano tangente en el punto (1,2, 1).
z•-1 = -2(x-1)-4(y-2). En la figura 12.27 se muestra un dibujo de la superficie y el piano tangente.
I)ETEItMJNACION DE UNA ECUACION DEL PLANt) TANGENTE 20
Halle una ecuación del piano tangente a z = x 3 + y 3 +
15
en (2, 1, 13).
10
SOLUCION
5 0
Primero, observe que aqul, Figura 12.28: superficie y piano tangente en el punto (2, 1, 13).
que (2, 1) = 12 + 4 = 16, y
Ox
= 3x2 ±
2x
Of y j, ay
3y2 - , 2de modo
Of (2, 1) = 3-4 = -1. Un vector normal es
entonces (16, -1, -.1), y por (4.2), una ecuación del piano tangente es
1060
CapItulo 12' Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
z-13= 16(x-2)-(y-l). En La figura 12.28 se muestra un dibujo de la superficie y el piano tan-
Observe que en cada una de las figuras 12.27 y 12.28, el piano tangente parece estar próximo a La superficie, en la cercanIa del punto de tangencia. Esto indica que los valores de z en el piano tangente deben estar próximos a los valores correspondientes de z en Ia superficie, dados por Los valores de La funciónfix, y), al menos para (x, y) próximoal punto de tangencia. Por otra parte, la forma simple de la ecuación del piano tangente lo hace ideal para aproximar ci valor de funciones complicadas. For el teorema 4.1, tenemos que el piano tangente a z = fix, j) en el punto (a, b) está dado por
of z -f(a,b) +-(a,b)(x-a) + Of (a,b)(y-b). Oy Definimos La aproximación lineal L(x, y) de f(x, y) en ci punto (a, b) como la función que define los valores z en el piano tangente, a saber, L(x, y) =f(a, b)+
Lf (a, b) (x- a) -Ft (a, b) (y- b).
(4.3)
Ilustramos esto con el siguiente ejemplo. JD4kIJJ[IZWDETERMINACI6N DE UNAAPROXIMACION LINEAL
Caicuiëla aproimacion lineal def(x, y) = 2x + e112 - Y en (0, 0). Compare la apioximacion lineal con los vaioxes de la funcion efectivos para a)x = 0, con ycercadeO;h)y = O, con xcercadeo;c)y = x, con x,y - ièrca de cero; d) y con x, y ambos cerca de cero. '
-
SOLUCION Observe primero, que Of = 2 + 2x e xi_11, y
Of
= - ex'- Y, de modo que
Of 0) = 2, y -(O, 0) =.-1. Además,f(0, 0) = 1. For (4.3), la aproxima-
ción lineal está dada entonces por
L(x,y)= 1 + 2(x-0)--(i,-0) = 1 + 2x-y. La siguiente tabla compara los valores de L(x, y) y de f(x, y) para varios puntos de La forma (0, y), (x, 0), (x, x), (x, 2x).
Sección 12.4 •
Ej Incrementos y diferenciales y =j(x)
f(xi).
PV
Pianos tangentes y aproximaciofleS lineales
1061
Observe que cuanto rnás.próximo esté un puntb al punto de tangencia, más precisa es la .aproximacion lineal en ese punto. Esto es tipico de esta clase de aproximación y asI lo fue para las aproximaciones lineales de funciones con una sola variable. Exploraremos más esto en los ejercicios.. Ahora que hemos examinado aproximacjones lineales desde una perspectiva gráfica, las examinarernos de una manera simbólica. Naturalmente, al hacerlo lograremos una mejor comprensión del comportamiento de las funciones de varias variables. Primero, debemos recordar la notación y algün lenguaje alternativo que se ha usado ya en la sección 3.1 para funciones de una sola variable. Definimos el incremento Ay coma Ay = fla ± Ax) --fla).
f
En la figura 12.29, se observa que para Ax pequeño, /
X0 XI
Figure 12.29: incrementos y diferenCialeS para una función de una variable.
Ay dy = f(a) Ax, donde nos referimos a dy como el diferencial de y. Por otra parte, sifes = - dy derivable en x = a, y se tiene entonces tenemos Ay - dy - f (a -F Ax) . f (a) -- f (a) Ax Ax Ax = f(a+ Ax) -f(a) -f'(a)-O, Lx
cuando Ax -+ 0. (iDebe reconocer aquI la definición de derivada!) Finalmente, resolviendo respecto a Ay en términos de E, Se Liene
Ay = dy + SAx, donde e -, 0 cuando Ax . 0. Podemos hacer una ohservación similar para funciones de varias variables, coma sigue. Para z = f(x, y), definimos el incremento defcomo Az =f(a + Ax,b + Ay)-f(a,b). De modo que Az es el cambio en z que ocurre cuando a se iricrementa en A x, y cuando b se incrementa en Ay, como se ilustra en la figura 12.30.
no tan gente
Eff
(a + Ax, b + Ay, 0)
Figura 12.30: aproximaciOn lineal.
1062
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
Observe que comofes continua en alguna región abierta que contiene a (a, b), y comoftiene primeras derivadas parciales en esa region, se puede escribir Az =f(a + Ax,b + AV) -f(a,b) = [fta + Ax, b + Ay) -fla, b + Ay)} + [f(a, b + Liy) - f(a, b)} =f-(u,b+ AV) [(a+Ax) - a]+f(a,v)[(b+Ly)- b] =f(u,b +Ay)Lx ±fy ( a,v)Ay,
Se suma y se restaf(a, b + ay). Se aplica ci Leorema del valor
rnedio a ambos términos.
por ci teorema del valor medio. Aqul, u es algün valor entre a y a + Ax; v es algün valor entre h y b + Ay (véase la figura 12.31). Esto nos da Az = f(u, b + AV) Ax +fy ( a,v)Ay = {f(a,b) +fx(u, b + AV) - fx(a,b)]}Ax + {f, (a, b) + [fq (a, v) .-f (a, b)I} Ay.
(u, b 1• AV) y
(4.4)
Observe que podemos expresar a (4.4) como
Az=f(a,b)Ax+f(a,b)Ay+elAx+e2Ay, (
I)
t
"
N
H
I (
donde
:
I
01
U
Figura 12.31: puntos intermedios del teorema del valor medio.
x
=j.,(u,b + AV) - f(a,b)yE2 =J'(a,v)-f,(a,b). Finalmente, observe que sif,j, son ambas continuas on alguna region abierta que contenga a (a, b), entonces, C I , E2 tenderán ambos a 0 cuando (Ax, Ay) (0, 0). En efecto, se debe reconocer que como El, e - 0 cuando (Ax, Ay) (0, 0), los productos E Ax, C2 /Xy tienden ambos hacia 0, más rápido aimn que lo que tienden individualmente 61, e2, Ax, Ay. (iPiense en esto!) Hemos establecido el siguiente resultado.
el recténgulo R = {(x, )I xo
Az=f(a,b)Ax+f2 1 (a,b)Ay+6iAx+e2Ay, (4.5) dondeei, 82 son funciones de Ax, A, y ambas tienden a cero, cuando (Ax, Ay) - (0, 0). Para algunas funciones muy simples, podemos caicular Az a mano, como se ilustra en el ejemplo siguiente. CALCULO DEL INCREMENTO Az Paraz =f(x, y) = x 2 - 5xy, halle Az, y escrIbalo en la forma indicada en el teorema 4.2.
soi.ucION Tenemos
4z = f (x
+ L\X, y +
LXy) - f (x, y)
= [(x + Ax) 2 - 5(x + Ax)(y + A y )] - ( x 2 5xy)
+ 2xAr ± (Ax)2 - 5 (xy + xy + y/x + AxAy) - x2 + 5xy = (2x - 5y) ix+ (-5x) Ay+ (x) Ex+ (-5x) zy f.
fV
Cl
(X, Y) Li.x+f,(x,y) Ay+6iAx+C2AY,
€2
Sección 12.4 • Pianos tangentes y aproximaciones lineales
L
1063
donde ei = Ax y € 2 = -5Ax tIenden ambos a cero, cuanclo (Ax, Ay) °' 0), como se indica en el teorema 4.2.
Observe con cuidado los dos primeros términos del desarrollo del meremenLo Az dado en (4.5). Si tomamos Ax = x - a, Ay = ,y - b, entonces ellos corresponden a La aproximación lineal de fix, y). En este contexto, damos a esto un nombre especial. Si incrementamos x con la cantidad dx = Ax, e. incrementamos y con la cantidad dy = Ay, entonces definimos el diferencial de z como dz = fx(x, y)dx +f;,(x, y)dyl. Este se llama a veces diferencial total. Observe que para dx, dy pequenos, tenemos por (4.5) que Az - dz. Debe reconocerse que ésta es la misma aproximación que La aproximación lineal desarrollada al comienzo de esta seceión. En este caso, sin embargo, hemos desarrollado esto a partir de una perspectiva analItica, en lugar de la geométrica usada al comienzo de la sección. A las funciones que pueden aproximarse linealmente de la manera descrita les damos un nombre especial en la definición que sigue.
DEFJNICION. Sea =fix, y). Decimos quefes diferenciable en (a, b) si podemos escribir
Az=f(a,b)Ax+ fy ( a,b)Ay+ciAx+s2Ay, donde 81,82 son funciones de Ax, Ay, y ei, 82 - 0, cuando (Ax, Ay) (0, 0). Decimos quef es diferenciable en una region R C R2, siem pre quef sea diferenciable en cada punto en R. Se observa que por el teorema 4.2, sifx ,f1, se definen sobre alguna regiOn rectangular abierta R que contiene al punto (a, b), y si fc,f1, Son continuas en (a, b), entoncesf sera diferenciable en (a, b). Lo mismo que con las funciones de una sola variable, se puede demostrar que sifes diferenciable en un punto (a, b), entonces también es continua en (a, b). Además, debido al teorema 4.2, si una función es diferenciable en un punto, entonces la aproximaciOn lineal (diferencial) en ese punto proporciona una buena aproximaciOn a la funciOn cerca de ese punto. Debe tenerse cuidado, sin embargo, de lo que esto no quiere decir. Si una funcióri tiene derivadas parciales en un punto, no necesariamente es diferenciable ni aiTh continua en ese punto. (En los ejercicios encontrará un ejemplo de una función con derivadas parciales definidas en todas partes, que no es continua en un punto). La idea de aproximación lineal se extiende fácilmente a tres o más dimensiones. Perdemos la iriterpretación gráfica de un plano tangente que aproxima una superficie, pero la definiciOn deberIa tener sentido.
1
DEFINICION. La aproximación lineal a f(x, y, z) en ci punto (a, b, c) está dada por Of Of Of Lx,y,z) =fta,b,c) +---a,b,cx-a) + 19Y a,b,c)(y-b) +._ä-. o., b, c) z-c). 8-T
1064
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcia
Podemos escribir la aproximación lineal, en el contexto de merementos y diferenciales, como sigue. Si incrementamos a x en Ax, a y en a z en Az, entonces, el incremento de w = f(x, y, z) está dado por Aw = f (x + Ax,y + Ay,z + Az) -j'(x,y,z) - dw = J'x(x, y, z) Ex + f(x, y, z) Ay + f(x, y, z) Az. Una buena manera de interpretar (iy recordar!) La aproximación lineal es clue cada derivada parcial representa ci carnbio on La ftinción, relativo al cambio en esa variable. La aproximación lineal comienza con el valor de [a función en ci punto conocido y se Ic agregan los cambios aproximados que corresponden a cada una.de las variables independientes. APROXIMACION 1W LA COMBADURA 1W UNA VIGA
E7MVzV Figura 12.32: unavigatIpica.
Suponga que [a combadura en una viga de longitud L, ancho w, y altura h está dada por S = 0.0004 (L 4Iwh. 3), con todas las longitudes mcdidas en pulgadas. Se ilustra La viga en la figura 12.32. Se supone que una viga mide L = 36, w = 2, h = 6, con una combadura correspondiente de 1.5552 pulgadas. Debido al china y a otros factores, el fabricante garantiza solamente medidas con tolerancia de error L = 36 ± 1, w = 2 ± 0.4, h = 6 ± 0.8. Use una aproximación lineal para estirnar la posible variación de combaduras en la viga. SOLUCION
Calculamos primero 0 0012
OS
Fu l_
(36, 2, 6) = -0.7776 y
L3 OS L4 OS = 0.0016 -p, - = —0.0004 '
te776,
as
2,T7=
0
w
(36, 2, 6) = -0.7776. Con base en la definición
anterior La aproximación lineal de La combadura está dada por
S = 1.5552 + 0.1728(L -36) - 0.7776(w - 2) - 0.7776(h - 6). A partir de las tolerancias establecidas, L - 36 debe estar entre -1 y 1, w - 2 debe estar entre -0.4 y 0.4 y h - 6 debe estar entre -0.8 y 0.8. Observe que la combadura mxima ocurre con L -36 = 1, w -2 = -0.4 y h -6 = -0.8. La aproximación lineal predice que
S.- 1.5552 0.1728 + 0.31104 + 0.62208 = 1.10592. De.modo similar, la combadura minima ocurre con L -36 = -1, w -2 = 0.4 y h -6 = 0.8. La aproximación lineal predice que
S - 1.5552 0.1728 + 0.31104 - 0.62208 = -1.10592. Con base en la aproximación lineal, La combaclura es 1.5552 ± 1.10592, o entre 0.44928 y 2.66112. Como puede verse, en este.caso, la incertidumbre respecto a [a combadura es sustancial.
j
En muchas situaciones del mundo real, no tenemos Una formula para la cantidad que estamos interesados en calcular. AunasI, dada la suficiente información, podemos usar todavia aproximaciones lineales para estimar la cantidad buscada. u
I 4 .
SecciOn 12.4. Pianos tangentes y aproXimaciofles lineales
1065
DEL CALIBRE DE UNA LAMINA DE METAL Las plantas de manufactura crean rollos de metal de un calibre deseado (espesor) introduciendo el metal a través de rodillos muy grandes. El espesor resultante del metal depende del espacio entre los rodillos, de la rapidez a la cual giran los rodillos y de la temperatura del metal. Supongamos que para cierto metal un calibre de 4 mm se produce mediante un espacio de 4 mm, una rapidez de 10 m/s y una temperatura de 9000. Los experimentos muestran que al incrementar la rapidez en 0.2 m/s el calibre se incrementa en 0.06 mm y que un incremento de 100 en la temperatura disminuye el calibre en 0.04 mm. Use una aproximacion lineal para estimar el calibre en 10.1 rn/s y 880°. SOLUCUiN Sin cambiar el espacio, se supone que el calibre es una función g(s, t) de la rapidez s y de la temperatura t. Con base en nuestros datos ô9 0.06 9g -0.04 - - = 0.3; = -0.004. Con base en la defrnicion anteOs 0.2 Ot 10 nor la aproximación lineal de g(s, t) está dada por
g(s, t) = 4 + 0.3(s - 10) - 0.004(t - 900). Con s = 10.1 y t = 880, obtenemos el estimado g(10.1, 880) - 4 + 0.3(0.1) - 0.004(-20) = 4.11.
EJERCICIOSpELASECCjONi2.4 4..
1. Describa cuáles propiedades gráficas de la superficie z =f(x, y) causarlan que la aproximación lineal de f(x, y) en (a, b) fuera particularmente precisa o no. 2. La temperatura varIa con la longitud (x), la latitud (j) y la altitud (z). Especule si la función temperatura es o no diferenciable y qué significado tendrIa la respuesta para la predicción del tiempo. 3. Imagine una superficie z = f(x, ) con una cadena de discontinuidad a lo largo de la recta y = x. Explique en términos graficos por qué fix, y) no es diferenciable en (0, 0) o en cua1quierotro punto de la recta y = x. La funciOn del ejercicio 3 podrIa tener primeras derivadas parcia1esf(0, 0), fy( 0, 0). Explique por qué las pendientes a lo largo de x = 0, y = 0 podrIan tener lImites cuando x, .se acercan a 0. Si el término diferenciable describe funciones con gráficas suaves, explique por qué la diferenciabilidad no se define en términos de la existencia de derivadas parciales.
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
1066
En los ejercicios 5 a 16, encuentre una ecuación del piano tangente a la superficie en el punto dado. 5. z = x2 + V2- 1 en (2, 1, 4) 6.z = x 2 + 1/ 2 _ len (0, 2, 3)
32. Use una aproximación lineal para estimar los Valores que puede tomar la variación de la combadura de la viga del ejemplo 4.5, silas tolerancias de error son L = 32 ± 0.4, w = 2 ± 0.3, h = 8 ± 0.4.
7. z = e 2 _Y 2 en (0, 0, 1) 8. z = e
31. Use una aproximación lineal para estimarlos valores que puede tomar la variación de la combadura en la viga del ejemplo 4.5, silas tolerancias de error son L = 36 ± 0.5, w = 2 ± 0.2, h = 6 ± 0.5.
en (1, 1, e 2 )
9. z = sen x cos y en (0, n, 0)
33.Use aproximación lineal para estimar ci calibre de la lámina del ejemplo 4.6 a 9.9 rn/s y 930°.
10.z = sen x cos y en (21,7r, -1) 2. 11.z = x 3 -2xy en (-2, 3, 4)
34. Use aproximación lineal para estimar el calibre de la iámina del ejemplo 4.6 a 10.2 rn/s y 910°. 35. Suponga que para una lámina similar a la del ejemplo 4.6, un incremento de 0.3 m/s en la rapidez incrementa el.calibre en 0.03 mm y tin aumento de 20° en la temperatura disminuye el calibre en 0.02 mm. Use una aproximaciOn lineal para estimar el calibre a 10.2 m/s y 890°.
12.z = x 3 - 2xy en (1, -1, 3)
13.z
x2 .1 V 2 en (-3, 4, 5)
14.z = 42 + y2 en (8,-6, 10) 4x 15.z = - en (1, 2, 2) 4x
En los ejercicios 17 a 26, calcule la aproximación lineal de la tuncionen el punto dado
36. Suponga que para la iámina del ejemplo 4.6, una disminución de 0.05 mm en el espacio entre los rodillos disminuye el calibre en 0.04 mm. Use una aproximación lineal en tres variables para estimar el calibre a 10.15 m/s, 905° y un espacio de 3.98 mm.
-----
18.f(x, y) = x 2+ _ V2 en (0, -3)
.Enlosejercicios37a4O,halleelincrementoAzy escrIbalo en la torma dada en el teorerna 4.2. 37.f(x, = 2xy +,y2 38.f(x, y) = (x + y)2
19.ftx,y) = sen x cos y en (0, )
39.f(x, y) = x2 +.y2
20.f(x, j) = sen x cosy en (, v)
41. Determine si f(x, y) = x 2 + 3xy es diferenciable o no.
V
21.f(x, ,) = xe 2- 4x en (2, 0) 22.f(x, y) = xex y'+ 3y2 en (0, 1) 23.f(x, 1/, z) = Sen. yZ2 + x3z en (-2,0, 1) 24.f(x, y, z) = xeYz/x - y 2 en (4, 1,0) 25.A-w, x, y, z) = w2xy - ewYz en (-2, 3, 1, 0)
v)
40.flx,
v)
= V2 - 3xy
42. Determine Si f(x, y) = xy 2 es diferenciable o no. En los ejercicios 43 y 44, halle el diferencial total de f(x, y). 43.f(x, y) = ye s + sen x 44.f(x, 31) = ./x— +y
26.flw, x, y, z) = cos xyz - w 3x2 en (2, -1, 4, 0) En los ejercicios 27 a 30, compare la aproximación lineal del ejercicio indicado con el valor exacto de la función en los puntos dados. 27.Ejercicio 17 en (3, -0.1), (3.1, 0), (3.1, -0.1)
En los ejercicios 45y 46, demuestre que las denvadas parciales f(0, 0), f,(0, 0) existen ambás, pero la función f(x, y) no es continua en (0, 0). 45.f(x,y)
=
( 2xy si(x,y) (0,0) I 2 X +y2 si(x,y)=(0,0) 0
28.Ejercjcio 18 en (0.1, -3), (0; -3.1), (0.1, 3.1).
1
29.Ejercjcjo 19 e* n (0, 3), (01, 'i), (0. 1, 3).
(
30.Ejercicio 21 en (2.1, 0), (2, 0.2), (1, 1).
46.f(x,y)=
X312
si(x,y)#(0,0) x2 +y2 0 1. Si (x, y) = (0, 0)
1067
SecciOn 12.4 • Pianos tangentes y aproximaciones lineales
n este ejerdiCiO visualizamos la aproxitnación lineal del ejemplO 4.3. Comience con una representaciófl de contorno de fix, y) = 2x + ex 2 -11 con _ X :5 1,-1 !5 y :5 1. Luego haga un acercamiento al punto (0,0) de la representación de contorno hasta que las curvas de nivel parezcan rectas e igualmente espaciadas. (Las curvas de nivel para los valoreS de z entre 0.937 1.1 con una ventana de graficas de -0.1 :5 x :5 0. 1, -0.1 ::-: y 5 0.1 podrIan servir). Necesitará los valores de z para las curvas de five!. Observe que para moverse desde la curva de nivel para z = 1 hasta la curva de nivel para z 1.05, debe moverse 0.025 unidades hacia ladeôf Az 0.05 0.025 = 2. VerifIque recha. Entonces -
at
graficamente que = -1. Explique cómo usar la repreSefltaCiófl de contorno para reproducir la aprOXirflaCiófl lineal 1 + 2x 48. Use el método grafico del ejercicio 47 para ha.. liar la aproximación lineal de f(x, y) = sen (x2 + 2xy) en el punto (1, 3).
En los ejercicios 49 a 52, utiice el'metodografico de los ejercicios 47 y 48 para estimar la aproximacion lineal def(x, y) en (0, 0). 50.
de w(t, s) en (10, 10). Use la aprOxifllaciOhiifleal para estimar el viento frIo en (12, 13).
-10 0 Temp. 10 20 30 Rapidez ____ 0 _- --10 0 10 5 -15 _____ 27 Ti 6 10 _-9 -24 15 -18 -32 -45 9 ) 20 i 25 30 -18 -33 -48 54.Haga un estimativo de la apróximación lineal del viento frIo en (10, 15) y i.iselo para estiinar el viento frIo en (12, 13). Explique las diferencias entre esta respuesta y la que se dio en el ejercicio 53. 55. En el ejercicio 47, especificamos que se hiciera un acercamiento en la representación del con• tomb hasta que las curvas de nivel parecieran lineales y estuvieran igualmente espaciadas. Para ver por qué es necesaria la segunda condición, haga un bosquejo de la representación de contorno defx, j) = e- 1 con -1 :5 x < 1, -1 <_ y 5 1. Use esta representación para esti0j Of • mar -.(0, 0), - (0, 0) y compare con los valores exactos. Haga un acercamiento .hasta que las curvas de nivel estén igualmente espaciadas y estime nuevamente. Explique por qué esta estimaciOn es mucho mejor.
x
56.Demuestre que (o 1, 10
52.
ex
L(a,b).
ax
(a,b))XK1,0, (ab)) =
_1).
Para los ejercicios 57 y 58, tenemos que usar notaciOn del algebra de matrices. Primero definimos la matriz, A, 2 X 2, como un arreglo zt b bidimensional de numeros reales, A = c d definimos un vector columna x corno un arreglo I unidiniensional de nümeros reales, x = x y de-
I
finimos el producto de una matriz por un vector 53. La tabla muestra el viento frIo (cuánto frIo se "siente" afuera) como una función de la temperatura (grados Fahrenheit) y la rapidez del viento (mph). Se puede considerar esto como una funciOn w(t, s). Estime las derivadas parciales Ow 011W 10) y -a-- (10, 10) y la aproximacion lineal
I l[l
(ifi a b xi a) (axl + d j [x2 bx2, cxi + dx2). Usted puede aprender mucho más acerca del algebra de matrices consultando alguno de los muchos textos sobre el tema, incluj. dos los que ilevan por tItulo algebra lineal.
columna como el vector
1068
Cap itulo 12. Funciones de varias variables y derivación parcial
57. Podemos extender la aproximacjón lineal de esta sección a aproximacjones cuadráticas.
Ofi
4'
el vector gradiente Vf(xo, yo) fy (so, yo)), el vector columna x xo
=
[]
=
,
c
Jyx Jijy
012
(f (xo, vo)
[J
ax
-
xo)
^
_Oh5V'911_ (so,
o) (y - yo)
of2
(so, o) (x - xo) + --- (xo, o) (y OY
-
yo) =
f2(xo, yo)
el vector
—
Recuerde que hay varias maneras (La sustitucion y la eliminación son muy conocidas) de resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. La manera más simple simbólicamente es usar matrices.
y el vector transpuesto xT = [x, y].
La aproximación cuadrática de f(x, y) en el punto (so, yo) está definida por
Si definimos La matrizjacobiana
yo) + .Vftxo, yo) (x xo) + (x xo)T H(xo, yo) (x - xo)
Q(x, y) = flxo,
(x
-fi(xo, yo)
JxxJx
Definimos la niatriz hessiana H =
(so, yo)
-
•
-
Of i —(XO) Ox
Of i (xO)
—
ay Halle la aproximación cuadrática deflx, y) = (x0) donde xo repreJ(xo) = 012 ex21 W2 y calcule Q(x, y) Para los puntos 2x + -- (xO) -de La tabla del ejemplo 4.3. __________ sen taa l punto (so, yo), las ecuaciones ante58 Una aphcación riores se pueden esci ibir en la forma .)(xo) ciones lineales de funcionesil:x) es el méto-(x xO) = -f(xo), que tiene como solución x do de Newton Para hallar soluciones de = -J4(xo) f(xo) o x = xo J'(xo)f(xo). ecuaciones de la formaf(x) = 0. En este ejerAqul la matriz J 1 (x0) so llama la inversa de .cicio extendemos el m6t odo de Newton aftn-la matriz J(xo). La inversa A' de la inatriz ciones do vii-ias variables. Papifica A (cuando está definida) es lamatriz para-supongamos quefi(x, y),fz(x, y) son funcioLa cual a = Ab si y solo si b = Aa, Para nes de dos variables con derivadas parciales todos los vectores columna a, b. En genecontinuas. Para resolver simultáneamente ral, el método de Newton sedefine medianlas ecuaciones fi(x, y) = 0, f2(x, y) = 0, cote la iteración menzamos. con la conjetura x = so, Xn+1 = XnJ -1 (Xn)ItXn y = yo. La idea es remplazar fi(x, y), f2(x, v) por sus aproximaciones Lineales Li(x, y) = 0, Use el método de Newton con una conjetuL2(x, y) = 0 y resolver estas ecuaciones (más ra inicial de xo = (-1, 0.5) Para aproximar simples)simultáneamente. EscribalasaprOxi. una solución de las ecuaciones x 2 = 0, macjones lineales y demuestre que queremos x2-y sen y = 0. -
-
-
-
12.5 LA REGLA DE LA CADENA Ya conoce muy bien La regla de la cadena Para funciones de una sola variable; Aunque no recuerde el nombre, usted recordará ciertamente cómo se usa. Por ejemplo, Para derivar la función esen (x2), tenemos d dx
[esen
(-)j = e
sen
(2) --
dx
[sen (x 2)]
la derivada inter,uz = e se =
(a)
(x2) 6, en
COS (x2 )
-( x 2) dx '
cos (x 2) (2x).
1069
Sección 12.5 • La regla de la cadena
Usted ha usado esta regla cientos de veces, pero puede serle menos familiar la forma general de la regla de la cadena. Para funciones derivables A g se tiene
=f'(g(x)). la derivada inter,uz
Hacemos una pausa para extender la regla de la cadena a funciones de varias variables. Esta toma varias formas ligerarnente diferentes, dependiendo del nümero de variables independientes. Tenga en cuenta que éstas son variaciones de la ya conocida regla de la cadena para funciones de una sola variable. Considere primero una función diferenciable f(x, y) en donde los argumentos x, y son a su vez funciones derivables de una sola variable t. Si queremos hallar la derivada def(x, j) respecto a t, podemos escribir primero g(t) = f(x(t), y(t)). Entonces, por la definición de derivada (ordinaria), tenemos _ g'(t) =lIrn q(t+ At) - g(t) — At
If Wt), y(t))j -
= lim
f(x(t + At), y(t + At)) - f(x(t), 11(t)) At
Por sencillez, escribimos Ax = x(t + At) - x(t), Ay = y(t + At) - y(t), Az = f(x(t + At), (t + At)) —flx(t), y(t)) Tenemos - [f(x(),y())] t t
. Az lim —. At
Comofes una función diferenciable de x, y, tenemos (por la definición de diferenciabilidad) que
AZ
!Of(9.T
Ax+
Of
Ay+e1Ax+s2Ay,
donde e, e tienden ambos hacia 0 cuando (Ax, Ay) -' (0,0). Al dividir por At se obtiene Ax
AzOfAx c9fAy
Ay
At Al tornar el lImite cuando At - 0 se obtiene ahora, = llrn Az it-t0 At
Tt
Of Of .. Ay Urn —+— U rn rim Ox At-.0 At Oy t At 4()
+ Urn
Ax
El
lim - + Urn
At-0 at-0 At
.. Ay
E2
Observe que Urn
Ax
At-0 At
y que
Urn
At-0
x (t + At) - x (t) - dx At
Urn -. (5.1)
At-0 At-0 At
1070
Capitulo 12 • Funciones
urn
t-o
Además, corno x(t),
AV At
y(t)
de varias variables y derivaciOn parcial
tt—o
y (t + it) y (t) - dy - dt At
son derivables, tarnbién son continuas; por tanto,
t AO Ax =jm0 [x(
+ At) - x(t)J = 0.
De la misma manera, lim Ay = 0, también. En consecuencia, corno (Ax, Ay) - (0, 0) cuando At - 0, so tierie lím
At-0
61
= Urn
t-0
62
= 0.
Por (5.1) se tiene ahora,
[f(x(t),y(t))J
Of -urn Ox
At—O
Lt +
- Ay urn —
At—.O
Ax + urn e hm - -IAt-0 t-o At
At
u rn
t-o 62
Inn -
At-0
A.t
OfdxOfdy + Ox dt Oy dt En el siguiente resultado resumimos la regla de la cadena parà la denvada def(x(t), y(t)).
Si g(t) = f(x(t), y(t)), donde x(t), y(t) son diferenciables y f(x, y) es una función diferenciable de x, y, entonces
-dt
If (1, ( t) ,j WA
Of
y(L)) - - - 5--( (t), ij(t)) -
(X
En el siguiente ejemplo ilustrarnos el uso de esta nueva regla de la cadena. USO DE LA REGLA DE LA CADENA
Para f(x, 1/) = x2e, x(t) = t2 - 1, y(t) = sen t, halle la derivada de g(t) = f(x(t), y(t)). soIuc1ON
of
Calculamos prirnero las derivadas .- = 2xe',
Of = x 2eV, x'(t) = 2t, -ay
y'(t) = cos t. La regla de la cadena (teorerna 5.1) nos da entonces,
g'(t) = = 2(t2 -
+
Of dy
2seY (2t) + x 2 eY cost
l) esen t (2t) + ( t2 - 1) 2e
t
cost.
En el ejemplo 5.1, se observa que se podrIa haber sustituido primero a x, y, calculando luego la derivada de g(t) = ( t2 - 1)2ese, 4, usando las reglas conocidas de derivación. En efecto, cuando es posible la sustitución directa,-usualmente es preferible. En el ejemplo siguiente no hay otra alternativa que usar la regla de la. cadéna.
1071
SecciOn 12.5 • La regla de la cadena
UN CASO EN QUE SE REQUIERE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que la producción de una empresa se modela mediante la función de producción de Cobb-Douglas, P(k, 1) = 200141314, donde k mide el capital (en millones de dólares) y 1 mide la fuerza laboral (en miles de trabajadores). Suponga que 1 = 2, y k = 6; la fuerza laboral está decreciendo a razón de 20 trabajadores por año y ci capital está creciendo a razón de US$400,000 por año. Determine la razón de cambio de la producción. SOLUCIUN Suponga que g(t) = P(k(t), 1(t)). Pot, hi regla de la cadena tenemos,
g'(t) = Observe que
LP (6, 2)
= 5k-3141314,
op
k'(t)
+
1'(t).
= 150141 -114 Con 1 = 2, k = 6, esto nos .
( 6, 2) 19.7411. al Como k se mide en millones de dólares y 1 se mide en miles de trabajadores, tenemos, k'(t) = 0.4, V(t) = -0.02. Por la regla de la cadena, tenemos ahora, da
.1935, y
g'(t) =
ap
k'(t) +l'(t)
- 2.1935 (0.4) + 19.7411 (-0.02) = 0.48258. El teorema 5.1 se puede extender fácilmente al caso de una funciOn
f(x, y) en la que x, y son ambas funciones de las dos variables indepenclientess, t: x = x(s, t), y = y(s, t). Observe que al derivar respecto as, tratamos a tcomo constante. Al aplicar el teorema 5.1 (manteniendo fijo t), se tiene
ax Of ay ax , OxOsOyas
Of
TS
De modo similar, podemos hallaruna regla de la cadena para .-
at
fix, y)].
Esto nos da la siguiente forma, más general, de la regla de la cadena.
Suponga que z = f(x, y), dondefes una función diferenciabie de x, V, y donde x = x(s, t), j = y(s, t) tienen ambas derivadas parciales de primer orden. Entonces tenemos las reglas de la cadena:
Oz y
a.", ax (9z ay Ox as + ay Os
Oz OzOx + OzOV
Tt ox at
Oil at
La reglade la cadena se extiende fácilmente a funciones de tres o más variables. Esto se explorará en los ejercicios.
1072
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
USO DE LA REGLA DE LA CADENA
Suponga que f(x, y) = exy, x(u, v) = 3u sen v, t,c(u, v) = 4v 2u. Para Ogg 9g g(u, v) = f(x(u, v), jj(u , v)), halle las derivadas parciales -, -.
c9u Ov
sol4ucJON Of ay
Of Primero calculamos las derivadas parciales --- = ye.. J, --- = Ox
(9x
19U
= 3 sen v,
i9y = 4 v2. La regla de la cadena (teorema 5.2) nos da Ou
ag - 49f 9x af 19Y = ye + 8xOu OyOu
(3 sen v) + xe' (4v 2 ).
Al sustituir a x, If, se obtiene
TU
- 4vueu2v2 senv (3 sen v) -- 3u sen ve12142v2se (4v2)
Dx Para la derivada parcial de g respecto a v, calculamos - = 3u cos v,
Dy
ay Dv
Svu. La regla de la cadena nos da aquI,
c9v
= yen (3t4 cos v) + xexY (8vu). j
Al sustitun a x, y se obtiene, -
av
4vu 122v 2seth1(M
COS v )
+ 3u senve 1se1(8vu )
En este caso también es más sencillo sustituir primero las expresiones x, y. Se deja como ejercicio para verificar que se obtienen las mismas derivadas por cualquiera de los dos métodos. For otra parte, hay suficientes ocàsiones en Las que las reglas de la cadena, establecidas en los teoremas 5.1 y 5.2, son indispensables. Algunas de ellas las encontrará en los ejercicios; a continuación se presenta una aplicacion importante.
Diferenciación impilcita
Suponga que la ecuación F(x, y) = 0 define a y impilcitamente como función de x, digamos y =f(x). En La sección 2.8, vimos cómo calcular
dx
en tal caso. Podemos usar la regla de La cadena para funciones de varias variables para obtener un método alterno de calcularlo. Más aün, esto nos proporciona mayor comprensión sobre cuándo puede hacerse, y lo que es más importante aün, se generaliza para funciones de varias variables definidas impilcitamente mediante una ecuación. Tomamos z = F(x, y), donde x = t, y = f(t). For el teorema 5.1, tenemos
dz
dx
Pero, corno z = F(x, y) = 0, tenemos
dz
dy
= 0 también. Además,
1073
Sección 12.5 • La regla de la cadena
dx como x = t, tenemos = 1
' . Esto nos da x 0 = F + F, dy dx -
-
d
Observe que podemos resolver esto respecto a este caso, tenemos
L y , dado que Fy # 0. En dx
dyp' dx Debe reconocerse que ya sabIamos cómo calcular implicitamente
dx por tanto, esto no parece aportar nada nuevo. Sin embargo, resulta que el teorema de función impilcita (que se demuestra en un curso de cAlculo avanzado) expresa que Si Fx, F son continuas en un disco abierto que contiene al punto (a, b), donde F(a, b) = 0 y F (a, b) # 0, entonces la ecuación F(x, y) = 0 define impilcitamente a y como función de x, en las cercanIas del punto (a, b). Lo mas significativo es que podemos extender esta noción a funciones de varias variables definidas impilcitamente, como sigue. Suponga que La ecuación F(x, y, z) = 0 define implIcitamente una función z = f(x, y), dondefes diferenciable. Entonces podemos hallar las derivadas parcia1esf,fy usando La regla de la cadena, como sigue. Primero tomamos w = F(x, y, z). Por la regla de la cadena, tenemos Ow Ox
—
Ox F•---+F11 ----+F2—• ay Ox Ox Ox —
Observe que como w = F(x, j, z) = 0,
Ow
., Ox = 0. Tambien, - = I
Oy
= 0,
puesto que x, y son variables independientes. Esto nos da 0 =.F + FV
8z
Podemos resolver esto respecto asiempre que F2 # 0, para obtener - = Ox F
-
.
(5.2)
De La misma manera, al derivar w respecto a y, se liega a
Oz
F's,
(53 .)
también, siempre que F2 ;& 0. En gran parte, como en el caso de dos variables, el teorema de la función implIcita para funciones de tres variables expresa que si F, F, F2 son continuas en el interior de una esfera que contenga al punto (a, b, c), donde F(a, b, c) = 0 y F'z ( a, b, c) ;4 0, entonces la ecuación F(x, y, z) = 0 define implIciiamente a z como una función de x, y en la cercanla del punto (a, b, c). rnIDETERMINAC1ON IMPLICITA DE I)ERIVADAS PARCIALES EJEMPLO
Oz 09Z , dado que F (x, y, z) = xy 2 + z3 + sen (xyz) = 0. Halle -,
1074
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
SOLUCION
Observe primero que al emplear la regla de la cadena usual, se obtiene -I yz cos (xyz), Fy = 2xy + xz cos (xyz) y
Fz = 3z 2 + Xy cos (xyz).
Por (5.2), tenemos COS (xyz) - y 2 + yz
-- 3z2+xy COS (xyz)
8x -
De la misma manera, por (5.3), tenemos Oz 8y -
2xy+xz COS (xyz) F - 3z2+xy COS (xyz)
Observe que, en gran parte, como con la diferenciación impilcita con dos variables, la diferenciación implIcita con tres variables conduce a expresiones para las derivadas que dependen de las tres variables.
SM.
menc1onaLnos.que aire-cva-sguTaaau diferenciación (véanse los ejercicios 3y 4, acontinuación), y con frecuericia es préféfbI.Aialice las ventajas y desventajas de La sustitución directa, comparada con el método del ejemplo 5.1. 2. En el ejemplo 5.4, tratamos a z como una funcion de x, y. Explique cómo modificar nuestros resultados a partir del teorema de la función impilcita para tratar a x como una función de y, z.
7.
4. Repita el ejemplo 5.3 sustituyendo primero x = 3u sen v, ,y = 4 v 2 u, y calculando después
89 8. 09- y .--- dondeg(u,v) -f(x(u, v),v(u,v),f(x,y)
199 8g
En los ejercicios 5 a 8, use la regla de la cadena para hallar las derivadas indicadas. 5. g'(t) donde g(t) = f(x(t), y(t)),f(x, y) = x 2v y, x() = + 1, y(t) = e t
6. g'(t) donde g(t) =f(x(t), y(t)),f(x, x(t) = sent,y(t) = t 2 + 2
.
I
= 4x 2y 2 , x(u, v) = u3 - v sen u, y(u, v) = 4u 2
= xy3
ôu' 0v
-
Og 5g donde g(u, v) =f(x(u, v), y(u, v),f(x, y) y
3. Repita el ejemplo 5.1 sustituyendo primero X = t2 - 1,,y = sen i, y calculando después g'(t).
— sen
v) = /+v2,
4x, x(u, v) = eu2 , y(u, v) = v1v 2 + 1 sen u
En los ejercicios 9 a. 12, establezca la regla de la cadena para la función conipuesta general. 9. g(t) = f (x(t), (t), z(t)) 10.9(u, 1)) = f(x(u, v), v(u, v), z(u, v)) 11. g(u, v, to) = f(x(u, v, to), y(u, v, to)) 12.g(u,v,w)= f(x(t1,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))
SecciOn 12.5 • La regla de Ia cadena
el ejemplo 5.2, suponga que 1 = 4, k = 6, la fuerza laboral está decreciendo a razón de 60 trabajb0I'es por año y el capital está creciendo a raZófl de US$100, 00 0 por año. Determine la raZófl de cambio de Ia producción. 14 n el ejemPlo 5.2, suponga que 1 = 3, k = 4, la fuerZa laboral está creciendo a razón de 80 trabaiadol'es por año Y el capital está decreciendo a raz6n de US$200,000 por año. Determine la raz6n de cambio de La producción. poflga que la producción de una empresa se 15. Su xnodela mediante P(k, 1) = 16013 1213, conk, 1 definidos como en el ejemplo 5.2. Suponga que 3, Ic = 4, la fuerza laboral está creciendo a razófl de 80 trabaj adores por año y el capital está decreciendo a razón de US$200,000 por año. Determine la razón de cambio de la producción. 16. Suponga que la producción de una empresa se modela mediante P(k, 1) = 160131213, con k, I definidos como en el ejemplo 5.2. Suponga que 1 = 2, k = 5, la fuerza laboral está decreciendo a razôn de 40 trabajadores por aflo y el capital está decreciendo a razón de US$100,000 por año. Determine la razón de cambio de la producción 17. Para un producto comercial, el ingreso es el producto de la cantidad vendida por el precio, lo que se puede escribir como I = qp. Si la cantidad vendida crece a razón de 5% y el precio se incrementa a razón de 3%, demuestre que el iñgreso se incrementa a razón de 8%. 18. Suponga que I = qp como en el ejercicio 17. Si la cantidad vendida decrece a razón de 3% y el precio Se incrementa a razón de 5%, determine la razon de crecimiento o decrecimiento del ingreso. En los. ejercicios 19 a 22, use la regla de la cadena dos veces Para hallar la derivada indicada.
19.g(t) = f(x(t), y(t)), halle g"(t)
29. Anteriormente hemos hecho cálculos de la cantidad de trabajo realizado por alguna fuerza. Recuerde que si se aplica una fuerza F(x), donde x crece desde x = a hasta b, entonces el trabajo realizado es W = f.F(x)dx. Si la posicion x es una función diferenciable del tiempo, entonces podemos
x
20. g(t)
1075
= f (x(t), y(t), z(t)), halle g"(t)
21.g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), halle 82g
22.g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), halle
8zu9v
En los ejercicios 23 a 26, use diferenciación implIcita Para hallar 8z 0z 23.3x27, + 2z3 -3yz = 0
24.xyz - 4y 2Z 2 + cos xy = 0 25.3e YZ_4 xz 2 + xcosy = 2 26.3yz2 _e4 s cos 4z-3y 2 4 27. Un jugador de béisbol que tiene h "hits" en b yeces al bate tiene un promedio de bateo de a Por ejemplo, 100 hits en 400 veces al • bate darIa un promedio de 0.250. Es tradicional que se usen Lres decimales y se escriba este promedio como de "250 puntos". Para usar la regla de la cadena, con el fin de estimar el cambio en el promedio de bateo lüego que un jugador obtiene un hit, suponga que h, b son funciones del tiempo y que obtener un hit significa h' = b' = 1. Dernuestre = b - h Al que a' comienzo de una temporada, un bateador tipico podrIa tener 50 hits en 200 yeces al bate. Demuestre que el obtener un hit incrementará el promedio de bateo en 4 puntos aproximadamente. Halle el incremento aproximado en el promedio de bateo en un tiempo posterior de la témporada para un jugador con 100 hits en 400 veces al bate. En general, si b, h se duplican ambos, Zc6mo cambia a'? 28. Para los jugadores de béisbol del ejercicio 27, aproxime el niimero de puntos en que decrecerá el promedio de hateo por un fuera de juego.
escribir w :z jF(x(t))x'(t)dt, donde x(0) = a, x(T) = b. La potencia se define como la derivada del trabajo respecto al tiempo. El trabajo se mide a veces en pies-libras, de modo que la potencia se podrIa medir en pies-libras por segundo (pies-libras/s). Un caballo de potencia equivale a 130 pies-li-
1076
CapItulo 12' Funciones de varias variables y derivación parcial
• bras/s. Demuestre que si la fuerzay la velocidad son constantes, entonces la potencia es el producto de la fuerza y la velocidad. Determine cuántas libras de fuerza se requieren para mantener 400 lip a 80 mph. Para una fuerza y velocidad variables, use la regla de la cadena para calcular La potencia.
30. Los ingenieros y los fIsicos (y, por consiguiente, los matomáticos) gastan incontables horas estudiando las propiedades de
osciladores sujetós a fuerzas. Dos situaciones fIsicas que quedan bien modeladas por las mismas ecuaciones matemáticas son: un resorte que oscila debido a alguna fuerza y un circuito eléctrico básico con una fuente de voltaje. Una solución general para un oscilador sujeto a fuerzas se presenta como (t) = g (t)_fg(u)e_(t_ 2 [COS$(t - u) + §sen .(t - u)] du. Si g(0) = 1 y g'(0)
2,
calcule u(0) y u'(0).
12.6 EL GRADIENTE YLAS DERIVADAS DIRECCIONALES Suponga que usted está en una caminata sobre un terreno escarpado. Puede considerar que su altitud en el punto dado por la longitud x y la latitud y define una funcionf(x, y). Obviamente, ésta no es una función para la cual sea probable tener a mano una formula, pero sepuedeaprender do esta funcion más de lo que se podrIa esperar. Observe que si usted mira hacia el este, la pendiente del terreno (clue usted Podria. i4ir) está dada por la derivada parcial
y). De manera similar, si mira
hacia el norte, La pendiente del terreno está dada por
(x, y). Sin em-
alguna otra direcciOn, digamos närtenOroeste?En esta eción desarrollaremos la nociOn de derivada direccional, que responderá a esta pregunta. Suponga que se desea encontrar la razón de cambio instantánea def(x, y) en el punto P(a, b) y en la dirección dada por el vector unitario U = (UI, u2). Sea Q(x, y) cualquier punto de La recta que pasa por P(a, b) Q (a+hui, b+hu2)
en la direcciOn de u. Observe que el vector PQ es entonces paralelo a u. Sabemos que dos vectores son paralelos Si y sOlo si UflO es un mültiplo escalar del otro, en cuyo caso, PQ= hu, para algün escalar h. Esto expresa que
PQ = (x - a, ,y - b) = hu = h (Ui, U2) = (hui, h U2). //u (ui,
Recuerde que dos vectores son iguales solamente cuando todas sus cornponentes coinciden. Debemos tener entonces
P(a, b)
x = a + hu1,y = b + hu2.
I
x
de modo que el punto Q se describe mediante (a + hui, b + hu2), como se indica en la figura 12.33. Observe que podernos escribir la razón de camFigura 12.33: el vector PQ.bio promedio de z = fix, y) a lo largo de la recta que va de P a Q, como Az - f(a+hui,b+hu2)—f(a,b) h
Sección 12.6' El gradiente y las derivadas direccionales
1077
La razón de cambio instantánea deftx, y) en el punto.P(a,.b), en la dirección del vector unitario u, se halla entonces tomando el limite cuando h - 0. Este Ilmite recibe un nombre especial en la definición siguiente.
DEFINICION. La derivada direccional deftx, y) en el punto (a, en la dirección del vector unitario u = (ui, U2) está dada por i ,b+hu2) - f(a,b) Duf(a,b) = Jim f(a+hu h-sO h dado que el lImite exista. Observe que este lImite se parece a la definición de derivada parcial, excepto que en este caso, ambas variables pueclen cambiar. Ademas, se debe observar que la derivada direccional en la direccion del eje positivo x (es decir, en la dirección del vector unitario u = (0, 1)) es Df(a, b) = 1m
f(a+h,b)—f(a,b) h
que debe reconocerse como la derivadaparcial
L axf . De la misma manera,
la derivada direccional en la dirección del eje positivo y (es decir, en la 9f En efecto, resulta que cualdireccion del vector unitario u = (0, 1)) es quier derivada direccional se puede calcular simplemente en términos de las primeras derivadas parciales, como se ye enel teorema siguiente.
Supongamos quefes diferenciable en (a, b), y que u = ( U1, cualquier vector unitario. Entonces, se puede escribir
u2)
es
Duf(a, b) = fx(a, b)ui + fy( a, b) U2.
Demostración. Sea g(h) = f (a + hui, b + hu2). Entonces g(0) = f(a, b); por tanto, por la definición, se tiene lIm g(_g(0) = '(0) It Si definimos x = a ± hui, y = b +hu2, tenemos g(h) —f(x, y). Por la regla de la caderia (teorema 5.1), tenemos Duf(a,b) = lIm
f(a+hui,bFhv2)f(a,b) h
h-0
Of
Ofdx Of dy Of Finalmente, tomando h = 0, se obtiene, Of
Duf(a,b)=g'(0)'(a,b)ui +
Of —(a, b) U2, ,,
como se querIa. o j
CALCULO DE DERIVADAS DIRECCIONALES Para f(x, y) = x 2 y - 4 y 3 , calcule Df( 2 , 1) para las direcejones a) u = ($ ); b) u en la dirección desde (2, 1) hasta (4, 0).
1078
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivaci6n parcial
SOLIJCION Sin toner en cuenta La dirección, se necesita calcular primero las primeras derivadas parciales = 2xy, = - 12..y2. Para a), el vector unitario está dado por ii = (
4
); de modo que por el teorema 6. 1, se
tiene, Df( 2 , 1) =f.(2, 1)ui +f(2, 1)u2 = 4_8()= 2v-4 = -0.5 En particular, se observa que esto significa que Ia función es decreciente en esta dirección. Para b), debemos hallar primero el vector unitario u en La dirección indicada. Observe que el vector que va desde (2, 1) hasta (4, 0) corres•ponde al vector posición (2,-i); de modo que el vector unitario en esa dirección es u = (r5-, Entonces, por ci teorerna 6.1, tenemos -). 16 -1 D11f( 2 , 1 )=f( 2 , 1 )tt1I . fl, (2)1)u2=4-8 V07 V75 =. Observe que esto significa que la función crece rapidamente en esta dirección.
j
Por conveniencia, définimos el gradiente de una función como la función con valores vectoriales cuyas componentes son las derivadas parciales de primer orden def. Dcnoiamo&eLgradientede-unafuneionf con gradf, o con \7 f (lease "deif').0 • Jul11 uN IUJ
def(x,
v)
es la funciOn de valores
vectoriales
/9f f\ Of. of. Vf(x,y)= \Th/ .-.- 1+ .- J, ay dado que ambas derivadas parciales existan. Observe que, usando gradiente, La derivada direccionaL se puede escribir como el producto puntoentre ci gradiente y el vector unitario en la direcciOn de interés, como sigue. Para cualquier vector unitario u = (ui, u2),
Duf(x,y) = f(x,v)ui+fy(x,v)u2 = (f (x, y),fy (x, y)).
(U 1, u2)
= Vf(x,v).u. En el siguiente teorema establecemos este resultado.
Sifes una función diferenciable de x, y, y si ii es cuaLquier vector unitario, entonces
Duf(X, y) = Vftx, y). u. El teorema 6.2 facilita ci cálculo de derivadas direccionales. Por otra parte, escribir las derivadas direccionaLes como un producto punto
Sección 12.6 • El gradiente y las derivadas direccionaleS
1079
tiene muchas consecuencias importantes, una de las cuales puede verse en e1ejemplo siguiente. DETERMINACION DE DERIVADAS DIRECCIONALES Paraf(x, y) = x 2 + y2, halle Df(1, -1) para a) u en la dirección de v (-3, 4), b) u en la dirección de v = (3, -4). sol,ucthN
Observe, en primer lugar, que
(2x, 2y) .
Ox Oy
En el punto (1, -1), tenemos Vf(1, -1) (2, -2). Para a), un vector unitario en la misma dirección de V es U = (- . ). La derivada direccional en esta dirección es entonces,
= -6--8= 14 Df( 1 , -1) = (2,-2) . (-' 5o/ 5
(, .-
Para b), el vector unitario es u en esta dirección es
as! quo Ia derivada direccional
6+8
Df( 1 , -1) = (2, _).
-)
A continuación se da una interpretación grafica de las derivadas direccionales del ejemplo 6.2. Supongmos que se interseca la superficie z = f(x, y) con un piano que pasa por el punto (1, -1, 2) y que es perpendicular al piano xy, y paralelo al vector u (véase la figura 12.34a).
1 .
• •
—x
Figura 12.34a: intersección de una superficie con un piano.
V
S
Figura 12.34b: u = (-, ).
Figura 12.34c: u = (, -
i).
1080
Figura 12.35: representación
de contorno de z = x 2
+ y2.
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
Observe que la intersección es una curva en dos dimensiones. Dibuje esta curva en un nuevo conjunto de ejes coordenados, escogido de tal manera que el nuevo origen corresponda a! punto (1, -1, 2), el nuevo eje vertical esté en la dirección del eje z y el nuevo eje positivo horizontal apunte en la dirección del vector u. En la figura 12.34b, mostramos el caso para u = (-3/5,4/5); en La figura 12.34c, mostramos el caso para u = (3/5, -4/5). En cada caso, la derivada direccional da la pendiente de la curva en el origen (en el nuevo sistema coordenado). Observe que los vectores de dirección del ejemplo 6.2, partes a) y b), difieren solamente por ci signo y las curvas resultantes de las figuras 12.34b y 12.34c son imágenes de espejo exactas una de la otra. Otra manera de ver graficamente La derivada direccional es con curvas de nivel. Una representación de contorno de z = x2 +,y2 es la que se muestra en La figura 12.35 con el vector de dirección u = -3/5, 4/5) que se ha dibujado con su punto inicial locaLizado en (1, -1). Las curvas de nivel que Se muestran corresponden a z = 0.2, 0.5, 1, 2, 3. A partir de Az La grafica, se puede aproximar la derivada direccional estimando donde Au es IA distancia recorrida a Lo largo del vector un jtario u. Para ci vector unitario que se muestra, Au = 1. For otra parte, ci vector pare.cc extenderse desde la curva de nivel correspondiente a z = 2, hasta La correspondiente az = 0.2. En este caso, Az = 0.2-2 = 1.8 y nüestro estimativo de La derivada direccional es-1.8. Comparada con La derivada direccional efectiva, -14/5 = -2.8 (haliada en ci ejemplo 6.2), sta no es muy precisa. Se puede obtener un mejor estimativo con un Au más pequenoPj 1o,paraoEner desde la curva de nivel para z = 2 hasta lacorrespondiente a z = 1, parece que recorremos 40% del 1-2 vector unitario. Entonces, =
_
proceso dibujando más curvas de nivel correspondientes a valores de z cercanos a z = 2. Tenga en cuenta que la derivada direccional da la razón de cambio de una función en una dirección dada. En este caso, es razonable preguntar en cuál dirección tiene una función dada su maxima o minima razón de crecimiento. Para responder a tales preguntas, se debe recordar primero, por el teorema 3.2 del capItulo 10, que para dos vectores a, b, Se tiene a . b = a U II b (I cos 0, donde 0 es ci ánguio entre los vectores a, b. Aplicando esto a la forma de la derivada direccional dada en ci teorema 6.2, se tiene Duf(a,b)=Vfla,b).0 = Vf(a, b) 11 11 u 11 cos 0 =
Vf(à, b) II cos 8,
donde 0 es ci ángulo entre ci vector gradiente en (a, b) y ci vector de dirección u. Observe que el valor máximo de 11 Vfla, b) II cos 0 ocurre çuando 0 = 0, es decir, cuando cos 0 = 1. La derivada direccional es entonces I Vf(a, b) 11. Observe, además, que ci ánguio 8 = 0 cuando Vf(a, b) y u están en La misma dirección, de modo que u=
ii
. De manera similar, ci
valor mInimo de La derivada direccional ocurre cuando 8 = t, de modo que cos 0 = -1. En este caso, Vfla, b) y u tienen direcciones opuestas, de
SecciOn 12.6 • El grad iente y las derivadas direcciOfla6S
1081
Vf(a, b) Finairnente, observe que'cuando 8 = iv/2, u es = Vf (a, b)fl perpendicular a Vfla, b) y la derivada direccional en esta dirección es cero. Como las curvas de nivel son curvas del piano xy sobre las cualesf es constante, una derivada direccional cero en un punto indica que u es tangente a una curva de nivel. Resumimos estas observaciones en el teorema siguiente. -
modociue U
Suponga que f es una función diferencjable de x, y en el punto (a, b). Entonces i) la razón de cambio maxima def en (a, b) es I!Vf(a, b)f , y ocurre en la dirección del gradiente, u = Vf(a, b)/IIVf(a, b) 11; ii) la razón de cambio minima def en (a, b) es-fl Vf(a, b) 11, y ocurre en la dirección opuesta del gradiente, u = -Vf(a, b)/II Vf(a, b) II; iii) el gradiente Vf(a, b) es ortogonal a la curva de nivelf(x, y) = c en ci punto (a, b), conde c =f(a, b). Al usar el teorema 6.3, recuerde que la derivada direccional corresponde a la razón de cambio de la funciónf(x, y) en la dirección dada. DETERMINACION DE RAZONES DE CAMBIO MAXIMA Y MINIMA
Halle las razones de cambio'máxima y minima de la funciónf(x, y) = X2 + y2 en el punto (1, 3). SOLUCION Calculamos primero el gradiente, Vf = (2x, 2y); calculamos en ci punto (1, 3): Vf1, 3) = (2, 6). Por el teorema 6.3, la razón de cambio máxiy ocurre en la dirección ma de f en (1,3) es fi Vfll, 3 )11 11(2,6)11 = - Vf(1,3) IlVf(1,3)lI Figura 12.36: representaciOn de contorno de z = x 2 +
De manera similar, la razón de cambio minima es - IIVf( 1 , 3 )11= y ocurre en la dirección - 11( 2 , 6) fi = Vf(1,3) - -(2,6) u_ - lIVf(13)lI v'i Observe que la dirección de máximo crecimiento en el ejemplo 6.3 apunta aiejándose del origen, ya que el vector desplazamiento que va desde (0, 0) hasta (1, 3) es paralelo a u = (2, 6)/ v/4--0. Esto deberIa tener sentido, dada la forma conocida de La paraboloide. La representación de contorno de f(x, y), que se muestra en la figura 12.36, indica que ci gradiente es perpendicular a las curvas de nivel. En ci siguiente ejemplo desarrollamo.s esta idea. DETERMINACION DE LA DIRECCION DEL ASCENSO MAS EMPINADO
La represeñtación de contorno def(x, y) = 3x - - 3xy 2 que se mues-
1082
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
tra en la figura 12.37 indica varias curvas de nivel cercanas a un máximo relativo en (1, 0). Halle la dirección de máximo crecimiento desde ci punto A(0.6, -0.7), y dibuje la trayectoria de ascenso más empinada.
1. y
SOLUCION
Figura 12.37:
representaciOn
do contorno de z = 3x - - 3xy2.
For el teorema 6.3, la dirección de máximo crecimiento en (0.6, -0.7) está dada por el gradiente Vf (0.6,-0.7). Tenemos Vf = (3- 3x 2 - 3y2 , -6xy); asI que Vf(0.6, -0.7) = (0.45, 2.52). El vector unitario en esta dirección es entonces u = (0.176, 0.984). Un vector en esta dirección (no dibujado a escala) en ci punto (0.6, -0.7) so muestra en la figura 12.38a. Observe que este vector no apunta hacia ci rnáxirno en (1, 0). (For analogIa, en una montana, la trayectoria más empinada desde tin punto dado no siempre apunta al pico real). La trayectoria del ascenso más empinado es una curva quo permanece perpendicular a cada curva de nivel por la que pasa. Observe que en la punta del vector dibujado en la figura 12.38a, ci vector no es ya perpendicular a la curva de nivel. La determinación de una ecuación para la trayectoria del ascenso más empinado es difIcii. En la figura 12.38b, se dibuja una =--- -----curva empinada aceptable.
S
Flgura 12.38a: dirección del ascenso
Figura 12.38b: trayectoria del
más empinado en (0.6, —0.7).
ascenso más ompinado.
La mayorIa de los resultados de esta sección se extienclen fácilmente a funciones de cualquier nümero do variables.
DEFINICION. La derivada direccional de f(x, y, z) en ci punto (a, b, c) en la dirección del vector unitario u = (U I, U2, u3) está dada por f(a, b, c) = inn
f(a± hv,1 ,b+ hu2,c+hu3) Ii
dado que ci ilmite exista. El gradiente def(x, y, z) en ci punto (a, b, c) está dado por
Vf(a, b, c) =
b, c) , .
L (a, b, c),
19Y
19Z
dado que las derivadas parciales estén definidas.
1083
SecciOn 12.6 • El gradiente y las derivadas direcCioflaleS
Como en el caso de las funciones de dos variables, ci gradiente nos da una representación simple de las derivadas direccionales en tres dimensiones.
Sifes una función diferenciable de x, y, z, y si ii es cualquier vector unitario, entonces
(6.1)
Duf(x,y,z) = Vf(x,y,z).0 Como en dos dimensiones, tenemos que
1 1 Vf(x, y, z ) 11 hull
Df(x,y,z) = Vf(x,y,z).u=z
cos8
= hlVf(x,y,z)hl Cos 0, donde 0 es ci angulo entre los vectores Vf(x, y, z), u. Precisamente por las mismas razones que en dos dimensiones, se puede ver ahora que ci gradiente da, como antes, la dirección de crecimiento máximo en cualquier punto dado. DETERMINAC!ON DE LA I)1RECCI6N DE CRECIMIENT() MAXIMO
Si la temperatura en un punto (x, y, z) está dada por T (x, y, z) = 85 + (1 - z1100)e2 + v2), halle la dirección desde ci punto (2, 0, 99) en la que la temperatura crece más rápidamente. SOLUCJON Primero caiculamos ci gradiente
Vic /8! of ôí
2 = (-2x(1 - z 110O)e_(x + v2), -2y(I .- z1100)e_(x2 +.y2)' _(11i00)e2 + y Vf(2, 0, 99) = (- 25 0, -the4). Para hallar un vector unitario en esta dirección, se puede simplificar ci algebra canceiando ci factor comün e 4 (piense por qué esto tiene sentido) y se multiplica por 100. Un vector unitario en la dirección de (-4, 0, -1), y también en la dirección de_Vf(2, 0, 99), es entonces
-
Recuerde que para cualquier constante k, la ecuaciónf(x, y, z) = k define una superficie de nivel de la funciónf(x, y, z). Suponga ahora que u es cuaiquier vector unitario situado en el piano tangente a la superficie de nivelf(x, y, z) = k en un punto (a, b, c) sobre la superficie de nivel. Entonces, se deduce que la razón de cambio def en la dirección de u en (a, b, c) (dada por la derivada direccional Duf(a, b, c)) es cero, ya quefes constante sobre una superficie de nivel. For (6.1), tenemos ahora que
0=Dufla,b,c) =Vf(a,b,c).u. Esto ocurre s.olamente cuando los vectores Vf(a, b, c), u son ortogonales.
1084
Cap itulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
Como u es cualquier vector situado en el piano tangente, tenemos que Vf(a, b, c) es ortogonal a cada vector que esté en el piano tangente pore! punto (a, b, c). Esto expresa que Vf(a, b, c) es un vector normal al piano tangente a la superficief(x, y, z) = k en el punto (a, b, c). Como se ilustra en el ejemplo siguiente, se puede usar el gradiente en un punto para haliar el piano tangente a una superficie on cse punto. USO DE GRADIENTE PARA HALLAR UN PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE
Halle la, ecuación del piano tangente a x3 (1, 2, 3).
--
v2 +
z2 = 7 en el punto
SOLUCION Si interpretamos la superficie como una superficie de nivel de la funcionf(x, y, z) = x 3 y y2 + z2, un vector normal al piano tangente en el punto (1, 2, 3) está dado por Vf(1, 2, 3). Tenemos V = (3x 2y, x3 2z), Vf(1, 2, 3) = (6, -3, 6). Dado el vector normal (6, -3, 6) y el punto
6(x-1)-3(-2) + 6(z)= 0. Reôuerde que en la sección 12.4, hernos hallado que un-vector normal al piano tangente a la superficie z = fx, y) en el punto (a, b, f(a, b)) está
(a, b)j(a b), _1).
un
caso especial de la formula del gradiente del ejernplo 6.6, como sigue. obéTvesequepodéinosiccsciib1rlaecuacionz =f(a, j)cn Ia formaflx, y) - z = 0. Podemosentonces considerar esta superficie como una superficie de nivel de !a función g(x, y, z) = f(x, y) - z, la cual, en el pimto (a, b, f(a, b)), tiene como vector normal
Vg (a, b, f (a, b)) =
(a,b) ,
(a, b)
De La misma manera que es importante pensar en las derivadas ordinarias como pendientes de rectas tangentes y como razones de cambio instantáneas, es crucial tener en cuenta siernpre las interpretaciones de los gradientes. Piense siempre en los gradientes como funciones de Valores vectoria!es, cuyos valores especifican la dirección de crecimiento máximo de una función y cuyos valores proporcionan vectores normales (para las curvas de nivel en dos dimensiones y para las superficies de nivel en tres dimensiones). USO DE UN GRAD JENTE PARA HALLAR UN PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE
Halle una ecuación del piano tangente a z = sen (x ± y) en el punto
SOLUCION Expresamos la ecuación de la superficie en la forma g(x, y, z)
1085
SecciOn 12.6 • El gradiente y las derivadas direccionaleS
sen (x + y) - z = 0, y calculamos V g(x, y, z) = (cos (x + y), cos (x En el punto (iv, a , 0), la normal a la superficie está dada por Vg(v, v, 0) = (1, 1, -1). Una ecuación del piano tangente es entonces, (x - + (y - yr) - z = 0.
EJERCICIOSDELASECCION 12.6
I
:
Oil
1. Escoja un terreno fuera de su salon de clase, que tenga una pequeña colina. Comenzando por la parte baja de la colina, describa cómo seguir la trayectoria del gradiente hasta la cima. En particular, describa cOmo determinar la dirección en la que el gradiente apunta a un determinado punto de la colina. En general, Lusted deberIa mirar hacia adelante, o hacia el piso? Deben tenerse en cuenta las hojas de hierba individuales? ZQu6 pasa si encuentra una barrera? 2. Analice si la trayectoria del gradiente descrita en el ejercicio 1 garantiza que usted alcance la cima de la colina. Analice si la trayectoria del gradiente es el camino más corto o el más rápido o el más fácil. 3. Use el dibujo de la figura 12.34a para explicar por qué las curvas de las figuras 1234b y 12.34c son diferentes. 4. Suponga que la funcionf(x, y) representa la altitud en varios puntos de una pendiente de esquI. Explique, en términos fisicos, por qué la dirección de crecimiento máximo está 1800 opuesta a la dirección de decrecimiento máximo, con la dirección de cambio cero a rnitad de camino entre ellas. Sif(x, j) representa altitud en una montana escarpada, en lugar de una pendiente de esquI, explique por qué los resultados (que siguen siendo válidos) son más difIciles de visualizar.
En los ejercicios 5 a 8, halle el gradiente de la función dada. 5 .f(x, j) = x 2 + 4xy 2 -y 5 6.f(x, y) = x 3e3 -y 4 7 .f(x, y) = xe xY 2 + cos y 2 8.f(x, ,) = e31J - x 2y 3
En los ejercicios 15 a 30, calcule las derivadas direccionales de f en el punto dado, en la dirección del vector indicado. 15. f(x,y) = x2 y + 43/25 (2) 1). u = 2' VIN 2
16. f(x, y) = x 3 - 4y2 , ( 2,-2), u = ( 2 2 ) '
En los ejercicios 9 a 14, halle el gradiente de la función dada en el punto indicado.
17. f(x,y)=x2y+4y2,(2,1),u=(12
2 )
9.f(x, j) = 2e 4 - 2x, (2, -1)
18.f(x,y)=x3y_4y2,(2,_1),.u( \;7i /
lO.flr, j) = sen 3xy + 3/2 (ar, 1)
19.f(x,) = .,/ + ,2, (3, -4), u en La dirección de
11-Ax,
v) =
v+ y2, (4, _3)
12.f(x, y) = x 2 V,-YT-+I, (2, 0)
13 .f(x, y, z) = 3x2y - z cos x, (0, 2, -1) 14.f(x, y, z) = z 2e2xY_ 4xz 2, ( 1, 2, 2)
1
(3,- - .2) y 2, ( 1,4), u en la dirección de (1, 4)
20.f(x, ) = 21.f(x, y)
e4x 2
; (
1, 4), u en la dirección de (-2, -1)
22.f(x, y) = y 2e4 , ( 0, -2), u en la dirección de (3,-i) 23.f(x, y) cos(2x -y), (v, 0), U en la direcejOn desde (iv, 0) hasta (2n, - n )
1086
CapItulo 12 • Funciones do varias variables y derivaciOn parcial
U en la dirección des24.f(x, y) = x 2 sen 4y, (-2, de (-2, ) hasta (0, 0) + ,y2, (-2,-i), U en la dirección 25.f(x, y) = - 2xy desde (-2, -1) hasta (2, - 3) 26.f(x, y) = y2 2ye4X, (0, -2), u en la dirección desde (0, -2) hasta (-4, 4) 27.flx, y, z) = x 3yz 2 - 4xy, (1, -1, 2), u en la direcci6nde(2,0,-1) 28.f(x, v, z) = x2 ± y2 ± z 2 , ( 1, -4, 8), u en la dirección de (1, 1, -2) 29.f(x, j, z) = eY+z, (1, -1, 1), u en la dirección de (4,-2,3) 30.f(x, y, z) = cos xy +z, (0, -2, 4), u en la dirección de (0, 3,-4)
46.z2 = X2 - y 2 en (5, -3, -4) En los ejercicios 47 a 50, halle todos los puntos en los cuales el piano tangente a la superficie es paralelo a! piano xy. Analice el significado gráfiCo de cada punto.
47.z = 2x2 -4xy + y4 48.z = sen x cosy 49.x 2 -y 2 +z2 = 1 50.x2 .. ,2 - 2yz ± z3 = 0 En Los ejercicios 51 a 54, dibuje la trayectoria del ascenso más empinado, a partir del punto que se indica. 51.
52.
4y
mbiomáxinio-y--ml.ninio-defenel punto dado y los valores de maxima y minima razón de carnbio 31.f(x, j) =
- l!, (2, 1) 32.f(x, ii) = x2 - y3,(-1,-2),
34.f(x,y)
53.
54.
V
y 2e4 x,(3,_1)
x 3 6.f(x, j) = x cos 3y, (-2, v) 37.1(x, ii) = /2x2 - y, (3, 2)
3 8.f(x, v) = /x 2 +_ V2 , ( 3, -4)
En los ejercicios 55 y 56, use la representación de contorno para estiinar Vf(O, 0).
39.f(x, y, z) = 4x 2yz 3, (1, 2, 1)
55.
40.f(x, y, z)
56.
V.
•V'x2' + y2 + z 2 , ( 1, 2, -2)
41. En los ejercicios 38 y 40, compare la dirección del gradiente con la del vector posición desde el ongen hasta el punto dado. Explique, en términos de la gráfica def, por qué es válida esta relación. 42.Suponga quo g(x) es una función derivable y quef(x, y) = g(x 2 + y2 ). Demuestre que Vf(a, b) es parle10 a (a, b). Explique esto on términos gráfIcos. En los ejercjcjos 43 a 46, halle una ecuación del Plano tangente a la superficie en el punto dado. +.y3 en (1, -1, 0) 43.z =
44.z=Jj en (3, _4, 5) 45.x2 + ,Y 2 + z 2 = 6 en (-1, 2, 1)
4
En los ejercicios 57 y 58, use la tabia para estimar Vf(0, 0). 57.
x 11 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
1
-0.2
2.1 1.9 - 1.6 - 1.3 1.1
1
-0.1
0
0.1
0.2
2.5 2.2 1.8 1.4 1.2
2.8 2.4 2.0 1.6 1.1
3.1 2.6 2.2 1.8 1.4
3.4 2.9 2.5 2.1 1.7
SecciOn 12.6 • El gradiento y las derjvadas direccionaics 1067
63. Si la temperatura en el punto (x, y, .z) por Tx, y, z) 80 + 5e-(x-2 + ir1 ), éstá dada halle la djrección desde ci punto (1, 4, 8) en La que lateni peratura decrece más rápidamente.
ciertO punto, en una montana, Un agridirige la mira hacia el este y mide una flSOt luego la dirige hacia el forte y mide c aIda de 10 0 Ievaci61 de 6° Halle la direcciOn del asuna e censO más empinado y calcule La elevación en grados en esa dirección. ;
60..En tin cierto pUntO, en una montana, un agrin iensor dirige La mira hacia el este y inide una e1evac1 de 4°; Luego La dirige hacia el norte y mide una elevación de 3°. Halle la dirección del ascenSo más ernpinado y calcule La elevación en grados en esa dirección.
64. Si La temperatura en el punto (x, y, z) está dada por T(x, y, z) = 80 + 5 e_0(x_2 + y'), halle la dirección desde ci punto (1, 4, 8) en la que La ternperatura crece más rápidamente. 65. En el ejemplo 4.6 de este capItulo, nos referimos a tin proceso do manufactura. Supongamos que un calibre de 4 mm resulta do un espacio (entre Los cilindros) de 4 mm, una rápidez de 10 rn/s y una tomperatura de 900°. Suponga además, que un incrernento en el espacio de 0.05 mm, incrementa ci calibre en 0.04 mm, tin incremento en la rapidez de 0.2 m/s, incrementa el calibre en 0.06 mm y un incremento en la tempera tura de 10° decrece el calibre en 0.04 mm. Considerando el calibre como función del espacio, La rapidez y La temperatura, halle La dirección do crecimiento máximo del calibre.
j.Su ponga que La elevación de una colina está dada porf(x, y) = 200 -. - 4x 2 . Desde el lugar situado en (1, 2), Len qué dirección correrá el tD a gua liuvia?
66. En ci ejercicio65, halle la dirección de máximo decrecimjento del calibre.
.Para La montana del ejercicio 61, si se va a cons truir una via de nivel a La altura 100, haLle la forma de La via.
67. La lapiaciana de una funciónflx,y) se define mediante V 2f(x, j) = f(x, y) + fy(x, y). Calcule V 2f(X) v) paraf(x, y) = - 2xy + I.Y 2 .
Con la revolución del computador en Los años noventa (1990) llegó una nueva necesidad de generar graficas de aspecto real. En este ejercicio, nos referimos a uno de los principios básicos de las gráflcas tridimenSionales. Hemos usado con frecuencia gráfleas de malla como La de La figura A que aparece a continuación, para visualizar superficies en tres djmensiones.
mativo para nosotros, pues podemos ver cLaramente tin máximo local. Haciendo que el computador represente más puntos, corno en la figura B, se suavizan algunas asperezas.
0. 2 ^(0 -1 -0.5 0
0.5
1
Figura B
-1 -0.5 0 0.5
V Figura A
Ciertamente, La graflca de La figura A es burda, pero aun asi este dibujo es bastante infor-
TodavIa hay algo que so pierde, verdad? Casi todo lo que vemos en la vida real proyecta una sombra, debido ala luz quo le vieno de arriba. Esta sombra nos da claves importantes sobre la estructura tridiménsional de la superficie.
1088
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
En la figura C, hemds agrégado simplemente algo de sombra a la figura B. Hay más trabajo por hacer para suavizar La figura C, pero por ahora queremos entender cómo trabaja el sombreado.
1_05 0 0.5
de' la imagen con base en el tamaño del angulo formado por la normal a la superficie y la recta a la fuente de luz. Cuanto mayor sea el ángulo, más oscura debe ser la porción de la imagen. Explique por cue esto funciona. Para La superficie z =e - 12 (que Se muestra en las figuras A, B, C, con -1
1
Figura C
En particular, analizar ern os un tipo básico de sombreado que se llama sombreado de Lambert. La idea es somb rear una porción
I27EXTREIWOSDEFUNc!ONESDE VAR/AS VARIABLES Uno de los usos rnás importantes del cálculo está en la optimización. En efecto, usted - ha- visto reaparecer problemas de optimización en vari partes, desdequese-introdujo la-idea en-la-sección16 — .Siwduda,reconocerá queen estaépoca, las-plantas-de manufactui*debenmaximizar_____ la calidad de sus productoslimizando los defectos Para diseñar naves ms y rnás eficientes, los ingenieros deben minimizar elpoduna_ - estiuctura, al ticrnpo quo maxmllzan SU iesistencia La list ontinu -2 continia. En esta secciOn introducimos la base matemática para optimizar funciones de varias variables. Examine cuidadosamente la superficie z = xe_x2 j13/'3+Y, que se muestra en la figura 12.39a para -2 :5 x :5 4, -1 :5 y :5 4. En la grafica se puede observar que se pueden identificar tanto un pico, corno una depresión. Podemos hacer un acercamiento para tener una vista mejor del pico (véase la figura 12.39b,para 0.9 :5 x 15 Li, 0.9 :5 ,y :5 1.1). Con referencia ala figura 12.39a, podemos hacer un acercamiento para obtener una mejor vista de la depresión (véa.se la figura 12.39c para. -1.1 :5 x :5 -0.9, 0.9 y :5 1.1). Tales puntos se denorninan extremos locales y se definen a continuación.
a
-1
'J
2
1
V
3 44
Figura 12.39a: = xe
212--.,j3/3 +,y
-1.15
1.18
1.17
-1.16
1.16
- -1.17 0.9
1.15
ó9
S
1
1.11.1
V
Figura 12.39b: rnáximo local
-1
-1.18
0.9 0.95 1 1.05 1.1-0.9 1J
Figura 12.39c: mInimo local.
SecciOn 12.7 Extremos de funciones de varias variables
1089
DEFINI[C][ON. Se dice quef(a,.b) es un máximo local def, si hay un disco abierto R, centrado en (a, b), para el cualf(a, b)> f(x, y), para todos los (x, y) ER. De modo similar, se dice quef(a, b) es un mInimo local def, si hay un disco abierto R centrado en (a, b), para el cualf(a, b) :5 f(x, y), para todos los (x, y) E R. En cualquiera de estos casos, (a, b) se llama un extrenio local def Observe la semejanza entre la definicjón anterior y la definición de extrernos locales dada en la sección 3.2 (Tomo 1, pág. 273). La idea aquI es la misma que en el capItulo 3. Esto es, sif(a, b) f(x, y), para todos los (x, j) "cercanos" a (a, b), llamamos afia, b) un máximo local. Observe cuidadosamente las figuras 12.39b y 12.39c; parece que en ambos extremos locales el piano tangente es horizontal. Piense en esto por un momento y convénzase de que si el plano tangente esLuviera inclinado, la función estarIa creciendo en una direccjón y decreciendo en otra, lo que no puede pasar en un extremo local (máximo o rnInimo). En gran parte, como en ci caso de las funciones de una variable, resulta que los extremos locales pueden ocurrir solamente en donde las prirneras derivadas (parciales) son cero o no existen. Sin embargo, como veremos, ci tener primeras derivadas parciales iguales a cero en un punto, no garantiza que haya un extremo local. DEFINICJION. El punto (a, b) es un punto crItico de la función
Of (a, b) =Of- (a, b) = f(x, y), si (a, b) está en el dominio def, y o bien 0, o hien
Of y Of - no existen. ax &y
Recuerde que para una funóiónfix) de una sola variable, siftiene un extremo local en x = a, entonces a debe ser un puntocrItico def(es decir, f '(a) = 0, of '(a) no está definida). Como demostramos en seguida, cl mismo comportamiento se observa en funciones de varias variables. En este caso, tenemos que sif(a, b) es un extremo local (rnáxirno local o mInimo local), entonces (a, b) debe ser un punto crItico def. Debe tenerse cuidado, sin embargo; aunque los extremos locales pueden ocurrir solamente en los puntos crIticos, todo punto crItico no corresponde necesariamente a un extremo local. Por esta razón decimos que los puntos crIticos son candidatos a extrémos locales.
Sif(x, y) tiene un extremo local en (a, b), entonces (a, b) debe ser un punto crItico def.
Demostración. Suponga que fix, y) tiene un máximo local en (a, b). Al mantener ay con stante en y = b, se observa que la función g(x) = fix, b) tiene un máximo local en x = a. Por ci teorema de Fermat (teorema 2.2 del capItulo 3), se cumple que g'(a) = 0, o g'(a) no existe. Observe que g'(a) =
b). Dc la misma manera, al mantener a x constante en x = a, se
Capftulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
1090
observa que la funcióti h()
= fla, y) tiene un máximo local en y =
deduce que h (b) = 0, o h'(b) no existe. Observe que h (b) =
Of
b. Se
(a, b).
Combinando estas dos observaciones, se tiene que cada una de las den-
Of -
Of-
-
vadas parciales r(a, b), - (a, b) es igual a cero, o no existe. Podemos concluir entonces que (a, b) debe ser un punto crItico def. Un argumento casi idéntico demuestra que sif(x, j) tiene Un mInimo local en (a, b), entonces (a, b) debe ser un punto crItico def. Al buscar extremos locales, se deben hallar primero todos los puntos crIticos, pues los extremos locales solamente pueden ocurrir en los puntos crIticos. Entonces, analice cada punto crItico para determinar si es la--ubicación de un máximo local, un rnInimo local, o ninguno de ellos. Volvemos ahora a là funcionf(x, j) = xe_ 2 _V 3 1 quo se analizó en la introducción de esta sección. a DETERMINACION GRAFICA DE EXTREMOS LOCALES
Halle todos los puntos crIticos def(x, y) camente cada punto crItico.
xr.t21213hl3+V y analice gráfi-
SOLUCION Comience.'porcalcular las primeras denivadas parciales: 0.312.0.311
TT
-x2/2- j3/3+y x(-x)
Y
0-f
e 2
Y 3 V
=(1 x2ye2/2l3'3+Y
--
-
-1.1 -1.05 -1-0.95-0.9
-
x
Como los exponenciales son siempre positivos, tenemos
Figura 12.40a: punto de silla
en (1,-i). solamente Si 1- x2 = 0, es decir, cuando x = ±1. Tenemos
of T Of.
= 0 Si y = 0 Si y
solamente Si x(-y 2 + 1) = 0, es decir, cuando x = 0 o cuando y Observe que las. dosderivadas parciales existen para todos los (x,
v),
asI que los ünicos puntos crIticos son soluciones de
= = 0. Para (9x 19Y quo esto ocurra, observe quo necesitamos x = ± 1 y, bien sea, x = 0 o = ± 1. Sin embargo, six 0, entonces --1.1 -J.. 1
-1.05 --1 -0.95
Figura 12.40b: punto de silla
en (-1,-i).
x
:;A-
0; asI que no hay puntos
crIticos con x = 0. Esto deja como puntos crIticos todas las combinaciones de x = ± 1, y = ± 1: (1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1). Realizamos un acercarniento sobre cada punto crItico para identificar gráficamente cualesquiera extremos locales. Ya hemos visto (véanse lasfiguras 12.39b y 12.39c) que f(x, y) tiene un máximo local en (1, 1) y un mInimo local en (-1, 1). Las figuras 12.40a y 12.40b muestran a z = f(x, y) con acercamientos a (1, -1) y (-1, -1), respectivamente. En la figura 12.40a, observe que en el plano x = 1 (que se extiende de izquierda a derecha), el punto (1, -1) es un minimo local. Sin embargo, en el piano V = -1 (que se extiende desde atrás hacia el frente), el punto (1, -1) es un máximo local. Este punto, desde luego, no es un extremo local. Nos
1091
SecciOn 12.7 • Extremos de funciones de varias variables
L
a
6 como punto de silla. (Parece una silla de montar, no es cierto?) De manera similar, en la figura 12.40b se observa que en el piano x = -1 (que se extiende de izquierda a derecha), el punto (-1, -1) es un máximo local. Sin embargo, en el piano y = -1 (que se extiende desde atrás hácia el frerite), el punto (-1, -1) es un mInimo local. De nuevo, en (-1, -1) tenemos Un punto de silla. eriremos
Los puntos de silla que se yen en ci ejemplo 7.1 son bastante comunes. La mayor parte, pero no todos, los puntos crIticos que se consideren son extremos locales o punt.os de silla. Para corilinuar explorando graficamente el ejemplo 7.1, mostrarnos una reprcsenLación de contor2 no deft x, y) = xe S 12 013 1 11 en la hgura 12.41.
U
2
ZV
Figura 12.41: representación de contorno def(x, v) = xe 2
'113/ FY.
Observe que cerca del máximo local en (1, 1) y del mInimo local en (-1, 1) las curvas de nivel se parecen a circunferencias concéntricas. Esto corresponde a la forma de paraboloide que tiene hi superficie cerca de estos puntos (véanse las figuras 12.39by 12.39c). Los óvalos concéntricos son caracteristicos de extremos locales. Observe que sin las curvas de nivel marcadas no hay manera de saber, a partir de la representación do contorno, cuál es el máximo y cuál es ci mInimo. Los puntos de silia se caracterizan tIpicàmente por las curvas de aspecto hiperbólico que se yen cerca de (-1, -1) y (1, -1). Desde luegO, no podemos confiar en la interpretación de gráficas tridijnensionales para hallar extremos locales. Recuerde que para funciones de una sola variable, teniamos dos criterios (ci de la primera derivada y el de la seguncla derivada) que nos proporcionaron a su vez varios criterios para determinar cuándo un nümero crItico corresponde •a un máximo local, a ui inInimo local, o a ninguno de éstos. El siguiente resultado, quo se demuestra al final de la sección, es sorprendentemente simple y es una generalización del criterio do la segunda derivada pará funciones de una sola variable.
Capitulo 12 Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
1092
Suponga que fix, y) tiene segundas derivadas parciales continuas en algün disco abierto que contiene al punto (a, b) y quefx (a, b) = A (a, b) = 0. Se define el discriminante D para el punto (a, b) mediante
= f, (a, b)f11 (a, b) - [f
D (a, b)
(a, b)]2
.
1) Si D (a, b)> 0 yf
(a, b) > 0, entoncesftiene un mínimo local en(a,b). ii) Si D (a, b)> 0 yJx (a, b) < 0, entoncesftiene un máximo local en(a,b). iii) Si D (a, b) <0, entoncesftiene un punto de silla en (a, b). iv) Si D (a, b) = 0, entonces no se puede sacar conclusion aiguna.
-
-
Es importante dare algün sentido a este resultado (en otras palabras, comprenderlo y no solamente memorizanlo). Observe que para tener D(a, b)> 0, se deben tener simu1táneamentef (a, b)> 0 fyy (a, b)> 0,0 simultáneamente f (a, b) < 0 y f (a, b) < 0. En el primer caso, se obseiva que la up.r1icie J(t y) sera concava hacia airiba en ci piano y = b, y cOncava hacia arriba en el plano x = a. En este caso, la superficie parece tener la forma de paraboloide vuelto hacia arriba cerca del punto (a, b). En consecuencia, el punto critico (a, b) debe ser la ubicacion de un mInimo local. En el-segundocaso,fxxa, b) < 0 y f (a, b) < 0. Esto quiere decir que la superficie z = f(x, y) será cóncava hacia abajo en el piano y = b, y cOncava hacia abajo en el piano .x = a. AsI que, en este caso, la superficie parece tener la formade paraboloidevueltoha-----cia abajo cerca del punto (a, b), que debe ser entonces la ubicación de un rnaximo local. Ob D(b) < 0 e q (a, b), JYY (a, - b)- tengan signos - opuestos (una positiva y una negativa). Tener concavidades opuestas en los pianos x = a, V = b significa que hay un punto de silla en (a, b), como en las figuras 12.408L y 12.40b. USO DEL DISCIUMINANTE PARA HALLAR EXTREMOS LOCALES
Halle y clasifique todos los puntos crIticos de f(x, y) = 2x2 - - 2xy. SOLUCION Calculamos pnimero las primeras derivadas parciales: f = 4x f,=-3y2 -2x. Como ambas derivadas parciales están definidas para todos los (x, y), los puntos crIticos son soluciones de las dos ecuaciones: f u = 4x - 2y = 0
.J;I= —3q2....2x=0. Al resolver la primera ecuación respecto a y, so obtiene y = 2x. Al sustituir esto en la segunda ecuación, se obtiene 0= -3(4x2)-2x=-12x2 -2x = -2x(6x + 1). asI que x = 0, o, x = -1/6. Los correspondientes valores de y son y = 0, = -1/3. Los ünicos dos puntos crIticos son entonces (0, 0) y (-1/6,-1/3).
SecciOn 12.7 ' Extremos de funciones de, varias variables
1093
Parà clasificar estos puntos, debemos calcular primero las segtindas derivadas parciales: f,, = 4, f, y = -. 6y, fx y = - 2, y luego examinar el discriminante. Tenemos
D (0, 0) = (4) (0) - (_ 2)2 = y
= (4) (2)- (_2)2 =4.
D (- -1,
Ot x 0.5 -0.8 -0.4 U
Por el teorerna 7.2, concluimos que (0, 0) es un punto de silla def, ya que D(0, 0) < 0. Además, hay un mfnimo local en (-i, _) pues D(_, -i)> 0 yJ(--, _))> 0. La superficie Se muestra en la figura 12.42.
Figura12.42:
z = 2x 2 - - 2xy
Como so ye en el siguiente ejemplo, el criterio de las segundas derivadas no ayuda siempre a clasificar un punto crItico. CLASIFICACION DE PUNTOSCRITICOS Halle y clasifique todos los püntos crIticos de
.f(x, y)
=x
- 2y2 - 2y4 + 3x2y.
soI,ucION AquI tenemosf 3x2 +. 6xy,fy = -4y - 8y3 + 3x2 . Comof,fy existen ambas para todos los (x, y); los puntos crIticos son soluciones de las dos ecuaciones
fx = 3x2 4. 6xy = 0 y
= -4y - 8y3 + 3x2 = 0. A partir de la primera ecuación, tenemos
o = 3x2 + 6xy
= 3x(x + 2y),
de modo que en un punto crItico, x = 0 la segunda ecuación, tenemos
X = -2y. Al sustituir x = 0 en
0 = -4y - 8y3 = - 4y(l + 2y2). La ünica solución (real) de esta ecuación es y = 0. Esto expresa .que para x = 0, s61 se tiene un punto crItico: (0, 0). Al sustituir x = -2y en la segunda ecuación, se tiene 0 = -4y - 8y3 + 3(4y2 ) = . 4y(l + 2y2 - 3j) = -4y(2y - l)(y - 1). Las soluciones de esta ecuación son y = 0, y = 4 y = 1, con los correspondientes püntos èrIticos (0, 0), (-1, 2 ) y (-.2, 1). Para clasificar los puntos crIticos, calculamos las segundas derivadas parciales: fxx = 6x + 6y -4 -- 24y 2, J y = 6x y calculamos el discrirninante en cada puntocrItico. Tenemos
D(0,0) = (0)(4)_(0) 2 = 0, -0.&.040j74-#.--_ff 0.5
D (-1 , ) = (4)(40) _(_6) 2 = - 6 Flgura 12.43a:
z -f(x, y) cerca de (0, 0).
D (-2, 1) = (4)(48) - (12) 2 = 24.
1094
-2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 if
Figura 12.43b:
z = f(x, -y) cerca de (-2,1) y (-1,1/2).
x
Capitulo 120 Furiciones do varias variables y derivaciOn parcial
For el teorema 7.2, conclulmos queftiene un punto de silla en (-1, ), puesto que D(-1, ) < 0. Además, f tiene un máximo local en (-2, 1), puesto que D(.-2, 1) > 0 f (-2, 1) < 0. Infortunadamente, el teorema 7.2 no proporciona información acerca del punto crItico (0, 0), ya que D(0, 0) 0. Sin embargo, observe que en el piano 1/ = 0 se tiene que f(x, y) = x3 . En dos dimensiones, la curva z = x3 tiene un punto de inflexión en x = 0. Esto demuestra que (0, 0) no es un extremo local y es, de hecho, un punto de sifla. En la figura 12.43a se muestra la super•ficie cerca de (0, 0). En la figura 12.43b se muestra la superficie cerca de (-2, -1-) y- de-(41/2); Como lag gr6ficas no son éciälinèñte claras, les bueno haber hecho el ànálisis!
Una aplicación de la teorIa de extromos locales que se usa comünmente es la técnica estadIstica de los mInimos cuadrados. Esta técnica (o, más precisamente, este criterio) es esencial en muchos procedimientôs usados comünrnente para ajuste de curvas y análisis de datos. El siguiente ejemplo iiustra el uso de los mInimos cuadrados en regresión lineal. REGItESION LINEAL
Los datos de población tomados del censo de los Estados Unidos, se muestran on la siguiente tabla.
Halle la recta que "mejor" se ajuste a los datos. SOLUCION
Figura 12.44: población de los
Estados Unidos desde 1960 (en millones).
Para hacer más manejables los datos, transformamos primero los datos no elaborados en las variables x (el nümero de décadas desde 1960), y (población en millones de personas, redondeada al nümero entero más cercano). Se prese.ntan estos datos en la tabla del margen. En la figura, 12.44, se muestra una representación de x, y. A partir de esta representación, podrIa parecer que los datos de pobiación están sobre una recta. Nuestra meta es hallar la recta que "mejor" se ajuste a los datos. (Esta se llama la recta de regresion). El criterio de "mejor" ajuste es el de los mInimos cuadrados, como se define a continuación. La ecuación do la recta será y = ax + b, donde las constantes, a, b deben determinarse. Para un valor de x representado en los datos, el error (o residuo) está dado por la diferencia entre el valor efectivo de y yel valor de la predicción ax + b. El criterio de los mInimos cuadrados consiste en escoger a, b para minimizar la suma de los cuadrados de todos los residuos. (En cierto sentido, esto minimiza el error total). Para nuestros datos, los residuos se dan en la siguiente tabla:
SecciOn 12.7 •
Extremos de funciones de varias variables ax + b b a+b 2a + b 3a + b
179 1 203 227 2 249 3 20 S
jIG 178 180 182 184 ° V f(x) y).
FigUra 12.45:
z -_
1095
residuo b-179 a+b-203 2a+b-227 I 3a + b - 249
La suma de los cuadrados de los residuos está dada entonces por la función f(a, b) = (b 179)2 + (a + b - 203)2 + (2a + b - 227)2 + (3a + b 249)2 . f Lf = Por el teorem a 7.1, debemos tener -= en el punto mInimo, Oa 5b ya quefa yfb están definidas en todos los casos. Tenemos 0=
= 2(a + b - 203) + 4(2a + b - 227) + 6(3a + b - 249)
y
0=
= 2(b - 179) + 2(a + b - 203) + 2(2a + b - 227) + 2(3a + b - 249).
Después de multiplicar todos los términos, tenemos 28a + 12b = 2808 y
la recta de regresión. Figura 12.46:
12a + 8b = 1716.
La segunda ecuación se reduce a 3a + 2b = 429, de modo que a 143 - (2/3)b. Al sustituir esto en la primera ecuación, so tiene 28 (143
H U
b) + 12b = 2808.
In 4004-2808 =/56- 12)b Esto nos da b =
= 179.4, de modo que a = 143 -
2 (897) 117 = -g- = 23.4.
La recta de regresión con estos coeficientes es y = 23.4x + 179.4.
U
Dese cuenta de que todo lo quo hemos determinado hasta ahora es que (a, b) es un punto crItico. Para verificar quo nuestra elección de a, b da el mInimo valor do la función, observe que la superficie z = flx, y) es un paraboloide que abre hacia el eje positive, z (véase la figura 12.45), y el mnico punto crItico de un paraboloide quo abre hacia arriba es un minimo absoluto. En la figura 12.46 se muestra una representación de la recta de regresión y = 23.4x + 179.4, con los puntos correspondientes a los datos. Mire cuidadosamente y observe quo Ia recta coincide bastante bien con los datos. Esto también nos proporciona confiariza do quo hemos hallado la suma minima de los cuadrados de los rosiduos.
r
1096
Capitulo 12' Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
Como Se descubrirá rápidamente en los ejercicios, hallar los puntos cr1ticos aun de funciónes de aspecto simple o de varias variables, puede ser un reto bast ante grande. Para las funciones complicadas que aparecen con frecuencia en aplicaciones, el hallar puntos criticos a mano puede ser casi imposible. Debido a esto, son esenciales los procedimientos numéricos para estimar máxiznos y mInimos. Introduciremos aqul brevemente uno de tales métodos. Dada una funciónf(x, j), haga su mejor conjetura (so, yo) sobre la localizaciónde un máximo (o mInimo) local. A esto lo llamarnos conjetura-'inicial; - yquereinos usaria paraobtenèr un estimativo más preciso de la localizacjón del méximo (o minimo). 4C6mo se harfa esto? Recuerde que la dirección del máximo crecimiento de la función desde el punto (xo, yo) está dada por el gradiente Vfixo, yo). AsI que, partiendo de (so, yo), • si fl05 movemos en Ia dirección de Vf(xo, yo),fdebe ser creciente, pero .qué tanto debemos movernos en esta dirección? Una estrategia (el método del ascenso más einpinado) es continuar moviéndose en la di• rección del gradiente hasta que la función cese de crecer. Este punto se llamará de parada (xi, VI). Comenzando de nuevo desde (xi, yi), repeti- mos el proceso calculando un nuevo gradiente Vf(xi, iii) y siguiendoloii hasta quef(x, y) pare de crecer,en algün punto (x2, y2). Entonces continuamos este proceso hasta que el cambio en los valores de la función desdef(x,, y,) hastaf (Xn+1, y.i•i) sea insignificante -Del mismo modo, para hallar un mInimo local, seguimos el método del descenso más empi-nado moviérdonos en Ia dirección opuesta a la del gradiente, -Vfixo, o) (la direcciOn de máximo decrecimiento de la función). En el siguiente ejemplo, se ilustra el algoritmo del ascenso rnás empinado.i-TOOE1ASCENSO MAS EMPINADO
'
Use el algoritmo del ascenso más empinado para estimar el máximo def(x,v)= 4xy—x 4 —y 4 + 4. SOLUCION
•
-.) ••
-
J I•
1
y
Figura 12.47: x - 4xy --- - ± 4.
4
En la figura 12.47 se muestra un dibujo de la superficie. Observe que en la grafica parece que la función tuviera dos máximos locales, pero es difIcil decir cuál es realmente más alto (si es que alguno lo es). Esti-. maremos el.rnáximo a la derecha comenzando con una conjetura micial de (2, 3), dondef(2, 3) = -69. (Observe que este, obviamente no es el máximo, pero será suficiente para una conjetura inicial algo burda). A partir de este punto, queremos seguir la trayectoria de ascenso más empinaday movernos en la dirección de Vf(2, 3). Tenemos Vf(x, .y) = (4y - 43, 4 - 4y3 ) asI que Vf(2, 3) =-(-20, -100). Observe que todo puntoque está en la recta que pasa por (2,3), en la dirección de (-20, -100), tendrá la forma (2— 20h, 3 - lOOh), para algün valor de h> 0. (iPiense en esto!) Nuestra meta es movernos en esta dirección hasta que fix, j) pare de crecer. Observe que esto nos pone en un punto crItico para valores de la función sobre la recta de puntos (2 - 20h, 3 lOOh). Como los valores de La función a lo largo de esta recta están dados por g(h) =f(2 - 20k, 3-100k), hallamos elk positivo más pequeno tal que g'(h) 0. Por la regla de la cadena, tenemos
SecciOn 12.7 • Extremos de funciones do varias variables
g'(h.) = -20 = -20[4(3
(2 -
-
20k, 3- 100k)
100k)
-
4(2
-
-
100
20k)3]
-
(2
-
100[4(2
20k, 3
-
-
1097
100k)
20k) 4(3 100k)3 ]. -
-
Al resolver la ecuación g'(h) = 0 (lo hicimos numéricamente), obtenemos h 0.02. Esto nos mueve al punto (Xi, yi) = (2- 20h, 3 100k) (1.6, 1), con valor de Ia funciónf (xi, Yi) = 2.846. En la figura 12.48a se muestra una representación de contorno de f(x, y), con este primer paso. Observe que comof(xi, yi) >f(xo, yo), hemos hallado una aproximacion mejorada del máximo local. Para mejorar esto aün más, repetimos el proceso comenzando con el nuevo punto. En este caso, tenemos Vfil.6, 1) = (-12.384, 2.4) y buscamos un punto crItico para la nueva funciOn g(h) = fi1.6 12.384k, 1 + 2.4k), para h > 0. De nuevo, por la regla de la cadena, tenemos -
-
Figura 12.48a: primer paso del ascenSO más empinado.
g'(h) = -12.384 Lf (1.6- 12.384k, 1 + 2.4k) + 2.4 (1.6- 12.384k, 1 + 2.4k). Al resolver g(h) = 0 numéricàmente, se obtiene Ii 0.044. Esto nos mueve al punto (x2, y2) = (1.6-12.384k, 1 + 2.4k) = (1.055, 1.106), con valor de la funciónf (x2, y) = 5.932. Observe que hemos mejorado otra vez nuestra aproximación del máximo local. En la figura 12.48b se muestra una representaciOn de contorno def(x, j) con los dos primeros pasos. En la representación de contorno, parece que estamos muy cerca de un máximo local. En la práctica, se continua este proceso hasta que no haya mejora significativa en la aproximación. (Esto se implementa fácilmente en un computador). En La tabla siguiente se muestran los primeros siete pasos del ascenso más empinado. Dejamos como ejercicio demostrar que el máximo local está realmente en (1, 1), con valor de la funciOnfil, 1) = 6. -
n Figura 12.48b: segundo paso del ascenso más empinado.
Xn
0 2 3 1 1.6 1 1.106 2 1.055 3 1.0315 1.0035 4 1.0049 1.0094 1.0029 1.0003 5 1.0005 1 1.0009 _6_ 1.0003 1.0003 7
f(x, Vn)
-69 2.846 5.932 5.994 5.9995 5.99995 5999995 5.9999993
Definimos extremos absolutos cle manera similar a la definición de extremos locales. DEFINICION. Llamamos af(a, b) el máximo absoluto def en la region R, si f(a, b) ^: fix, y) para todos los (x, y) E R De modo similar, ilamamos afia, b) el mInimó absoluto def en la region R, si f(a, b) f(x, y) para todos Jos (x, y) E R. En tales casos, (a, b) se llama un extremo absoluto def. Recuerde que para una funciónf de una sola variable, observamos que siempre qüef sea continua en el intervalo cerrado [a, b], se supon-
CapItulo 12. Funciones de varias variables y derivación parcial
1098
drán un valor máximo y un valor minimo sobre [a, b]. Además demos tramos que los extremos absolutos deben ocurrir en los nümeros crIticos de f o en los extremos del intervalo [a, b]. La situaciOn para los extremos absolutos de funciones de dos variables es muy similar. Primero necesitamos alguna terminologla. Decimos que una regiOn ft C R2 acotada si existe un disco que contenga completamente a R. Tenemos es el siguiente resultado (cuya demostración se puede hallar en textos más avanzados):
Suponga quefx, y) es continua sobre la region cerrada y acotada
R C R2. Entonces,ftiene tanto un máximo absoluto cömo un mInimo absoluto en R. Además, los extremos absolutos deben ocurrir en un punto crItico de R o en la frontera de R. Observe que sifta, b) es un extremo absoluto def en R, y (a, b) está en el interior de R, entonces (a, b) es también un extremo local def, en cuyo caso, (a,b)debe ser unpunto crItico. Esto expresa que todos los extremos absolutos de una funciOn f en una regiOn R ocurren en puntps crIticos (que ya sabernos cómo hallar) o en la frontera de-la region. Observe:que esto tambiOn nos proporciona un método paraIoclizar extremos absolutos de funciones continuas sobre regiones cerradas y acotadas. Esto es, hallamos los extremos sobre la frontera y los comparamos con los extreinos locales. En ci ejemplo siguiente examinamos esto. DETERMINACION DE EXTREMOSABSOLUTOS
Halle los region R lirnitada por las rectas = 2, j = x, y = -x. z
SOLUCION
-4 -8 2
u7 1.5
22
Figura 12.49a: la superticie z = 5 + 4x-2x2 + 3y-y2
En la figura 12.49a se muestra un dibujo de la superficie; en la figura 12.49b se muestra un dibujo de la regiOn R. En el dibujo de La superficie, se observa que el rnInimo absoluto parece ocurrir sobre la recta x = -2 y que el máximo absoluto parece ocurrir en alguna parte cercana a la recta x 1. (Tenga cuid ado. Como hemos observado ya, es difIcil determinar de manera precisa la ubicación de los extremos en una gráfica tridimensional. Se puede usar como una guIa de lo que se espera, solamente). Comenzamos por revisar para ver si hay puntos crIticos interiores. Tenemos,f = 4- 4x = 0 para x = 1, yf, = 3- 0 para y = A De modo que hay soLamente un punto crItico (1, ) y está Localizado en el interior de R. En seguida, buscamos los valores máximo y mInimo def en la frontera de R. En este easo, la frontera de R consta de tres partes o porciones separadas: la porción de la recta y = 2, para -2 :5 x :5 2, La porción de la recta y = x, para0 x :5 2, yla porciOn de la recta y -x, para -2 <— x < 0. Buscamos separadamente el máximo valor def en cada una de estas porciones. En La porciOn de la recta y = 2, para -2 :!^- x :5 2, tenemos, .
Figura 12.49b: region R.
,f(x, y) = f(x, 2) = 5 + 4x
-
2x2 + 6-4 = 7 + 4x
-
2x2 = g(x).
SecciOn 12.7 • Extremos de funciones de varias variables
1099
Para hallar los valores máximo y mInimo de f en esta porción de la frontera, necesitamos hallar solamente los valores máximo y mInimo de g en el intervalo [-2, 2]. Tenemos g'(x) = 4- 4x = 0, solamente Para x = 1. Comparando el valor de g en los extremos y en el dnico n(Imero. critico del intervalo, tenemos: g(-2) = -9, g(2) = 7, g(l) = 9. AsI que el máximo valor def en esta porción de La frontera es 9; el mInimo es -9.. Sobre la porción de La recta y = x, Para 0 :5 x :5 2, tenemos ftx,y) =flx,x) = 5 + 7x-3x 2 = h(x). Se tiene h'(x) = 7- 6x = 0, solamente Para x = , que está en el inter6 valo. Comparando los valores de h en los extremos y el nümero crItico, tenemos: h(0) = 5, h(2) = 7, h () = 9.08. AsI que el valor máximo def en esta porción de la frontera es aproximadamente 9.08, y su valor minimo es 5. Sobre La porción de la, recta y = -x, Para -2 :5 x :5 0, tenemos f(x,y)=f(x,-x)= 5 + x - 3X 2 = k(x). Se tiene k'(x) = 1 - 6x = 0, solamente Para x = , que no está en el intervalo [-2, 01, que es el que Se considera. Comparando los valores de k en los extremos, se tiene k(-2) = -9, k(0) = 5, de modo que el valor máximo def en esta porción de frontera es 5 y su valor mInimo es -9. Finalmente, calculamos el valor de f en el ünico punto crItico de R: flu, ) = = 9:25. El mayor de estos valores que hemos calculado es el máximo absoluto de R y el menor es el mInimo absoluto. De modo que el máximo absoluto esfll, 3/2) = 9.25 y el minimo absoluto esf(-2, 2) = -9. Observe que estos valores son consistentes con lo que se observa en 'la, figura 12.49a. Cerramos esta sección con una demostración del criterio de las Segundas derivadas (teorema 7.2). Para mantener en un mInimo la notación, supondremos que el punto crItico que se va a examinar es (Q, 0). La demostración se puede extender a cualquier punto crItico mediante un cambio de variables.
ostración del criterlo de las segundas derivadas
Suponga que (0,0) es un punto crItico deflx, y), confx(0, 0) f,(0, 0) = 0. Observaremos el carnbio enf(x, y) desde (0, 0) en La dirección del vector (1 )- k) ad se obpara alguna constante k. En estirección, unitario U =+k2 _
serva que y = kx. Si definimos g(x) =f(x, kx), entonces, por la regla de la cadena, tenemos g'(x) =fx(x, kx) + kfy(x, kx)
(7.1)
y
g"(x) = f(x, kx) + kf(x, kx) + kfy x(x, kx) + k 2 f(x, kx). En x = 0, esto da (7.2) g"(0) =fxx(0, 0) + 2kf(O, 0)+ k 2 f(O, 0), donde se tienef =f, ya que se supuso quef tiene segundas derivadas parciales continuas. Comofs(0, 0) = fy(0, 0) = 0, tenemos, por (7. 1), que g'(0)
fx(0, 0) + kf(0, 0) = 0.
1100
Cap Itulo 12 • Funciories de varias variables y derivación parcial
Por el criterio de la segunda derivada para funciones de una sola variable, el signo de g"(0) puede decirnos si hay un máximo local o un mInimo local de g en x = 0. Para determinar si g"(0) es positiva o negativa, observe que al usar (7.2), podemos escribir g"(0) como g"(0) = ak2 + 2bk + C = p(k), donde a = f,(0, 0), b = f. y(O, 0), c = f(0, 0). Naturalmente, la gráfica de p(k) es una parabola. Recuerde que para cualquier parabola, si a> 0, entonces p(k) tiene un mInimo en k = dado por = + c. .-.,
-(Suerncia: compl
-
mos que el discriminante satisface 0
-
ç
et e -^d cuadd)En el caso i)di teorema, supne-
[f(O, 0)32 = ac
-
b2,
+ c > 0. En este caso,
(_ , ) = _
2
+ C >0.
Hemos demostrado que, en el caso i), cuando D(0, 0) > 0 yf(0, 0) > 0, g"(0) = p(k) > 0 para todo k. De modo que g tiene tin rnInimo local en 0; on consecuencia, on todas direcciones, el punto on (0, 0) es un mInimo local def Para ci caso ii), donde D(O, 0) > 0 yf(0, 0) < 0, consideramos p(k) con a < 0. De manera similar, podemos demostrar que aquI p(k) ^ FO1Do que tenemos k, concluimos que el punto en (0, 0) es un máximo local def. Para el caso iii), donde el discriminante D(0, 0) <0, la parábolap(k) asumiré valores tanto positivos como negativos. Para -a•igunos-valores dc-k-, tenemos-g(0)--0-y--el---punto (0, 0) es tin mInimo local a lo largo de la trayectoria y = kx, mien tras para otros valores de k, tenemos g"(0) < 0 y ci punto (0, 0) es un máximo local a lo largo de la trayectoria y = kx. Todo esto quiere decir que el punto en (0, 0) debe ser..un punto de silla def.
-
-
1. Sif(x, y) tiene un mInimo local en (a, b), explique por qué el punto (a, b, f(a, b)) es un mInimo local en la intersección de z = f (x, y) con cualquier piano vertical. Explique por qué la condicionf(a, b) = j(a, b) = 0 garantiza que (a, b) es un punto crItico en cualquiera de tales pianos. 2. Suponga que f(a, b) .76 0. Explique por qué el piano tangente a z = f (x, y) en (a, b) debe "ladearse" para que no haya un extremo local en (a, b). 3. Suponga que f(a, b) —f,(a, b) = 0 f(a, b)f,(a, b) < 0. Expiique por qué debe haber un punto de silla en (a, b). 4. Explique por qué el centro de un conjunto de circunferencias concéntricas en una representación de contorno representará con frecuencia un extremo local..
1101
SecciOn 12.7 • Extremos de funciones de varias variables
jos ejercicios 5 a 16, halle todos los puntos cr1ticoS y use el teorema 7.2 (si es aplicable) para
c1aSi 105 5.f(X, Y) = - 3xy + y 3 = 4xy - x4 - - 1 6. fix, ii) y 2 + x2y + S2 .f(x, Y) g.f(x, y) = 2x2 + v3 - x2yY) = xy2 -x 2 -y
4
10.flx,V)=x 3 _ 35Y+y 2 - 4xy + 2y2 il.f(x , y)
Fecha (# dIas)j 0 2 6 Promedio de Dow Jones 81910 8,800 9,040 9,040
iz.f(x, y) = y 3 + 4y 2 - 2xy + 13J(x, y) = xy 2 - 2x2 - y2
26. Los siguientes datos muestran ci precio promedio de un galon de gasolina regular en California. Use el modelo lineal para predecir el precio en 1990 y 1995. Los precios reales eran US$1.09 y US$1.23. Explique por qué sus predicciones no fueron acertadas.
14.f(x,Y) =xsenv 15.flx, y) = 6xy 2 - 2x3y + y2
16.f(x, y) = xy 2 - 2x3y + x3 En los ejerciCios 17 a 22, halle todos los puntos cr1ticos y analice gráficamente cada punto. Si tiene un CAS, use el teorema 7.2 para clasificar cada punt o. 4xy x+y 17.f(xy)x2_2+i 18.f(x,y)=
19.f-(x, y) =
IN
e
2 112
•21.ftx, y) = xye' 21I2
20.flx, y) = xe_x2_Y2 22.flx, y) = xye
4J
En los ejercicios 23 a 29, use minimos cuadrados como en el ejemplo 7.4 para hallar un modelo lineal de los datos. 23. En 1894 se registró el tiempo empleado por un famoso prodigio del cálculo mental, liamado Jacques Inaudi, en la solución de varios problemas aritméticos. En la tabla siguiente se registran algunos de esos datos. (iPiense en cuáles podrIan ser sus tiempos!) Los datos se han tornado de The Number Sense, de Stanislas Dehaene. Considere el nümero de operaciones como la variable independiente (x) y el tiempo como la variable dependiente (j).
J
iIeraciones çmpo (s) L_jemplo ..
1 0;6 37
25. Los indices industriales de Dow Jones correspondiente a varios dIas, que comienZan en junio de 1998, se muestran en la tabla que sigue. Use su modelo lineal para predecir el promedio del dia 12. Los modelos lineales de datos semejantes se pueden encontrar en la información suministrada por firmas financieras Consultoras, con la advertencia tipica de no usar el modelo lineal para predecir. Explique por qué esta advertencia es apropiada.
4 16 9 21 2.0 6.4 6358 638823 7,2865,397
1
24. Repita el ejercicio 23 agregando los siguientes datos: 36 operaciones en 240 segundos (un ejemplo es 729,856 x 297,143). i.Qué tanto efecto tiene este ültimo punto en el modelo lineal?'
1970 - 1975 1985 ] 1980 Precio US$0,34 US$0,59 US$1,23 US$1,1j Año
27. Los siguientes datos muestran la estatura y peso de un pequeño nümero de personas. Use ci modelo lineal para predecir ci peso de una persona de 6 pies y- 8 pulgadas, y de otra persona de 5 pies. Exprese qué tan preciso considera usted que es el modelo.
1
1
1
1
68 70 70 71 Estatura (pulgadas) Peso (libras) 160 172 184 1J
28. Los siguientes datos. muestran la edad y ci ingreso de un pequeño nümero de personas. Use el modelo lineal para predecir ci ingreso de una persona de 45 años y de otra de80 años. Exprese qué tan preciso considera usted que es ci modelo. Edad (años) Ingreso ($)
24 30,000
1
32 34,000
1
40 52,000
1
56 82,000
29. Los siguientes datos muestran el promedio del nümero de puntos obtenidos por equipos de fütbol americano profesional cuando parten de diferentes distancias respecto a la lInea de meta del oponente. (Para más informäción, véase"A Statistician Reads the Sports Pages", de Hal Stern en Chance, verano de 1998. El nümero de puntos se determina mediante ci puntaje siguiente, de modo que si ci oponente anota enseguida, ci nümero de puntos es negativo). Use ci modelo lineal para predecir el nümero de
1102
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivaciOn parcial
puntos promedio, comenzando a) a 60 yardas
de la ilnea de meta y b) a 40 yardas de la lInea de meta. das desde la meta 15 35 55 75 95 ^Y^a r: Puntaje promedio 14.57 13.17 11.54 10.24 -1.25
42. Repita el ejercicio 41 paraf(x, y) = X2/3y2. 43. Complete el cuadrado para identificar todos los extremos locales deftx, y) = x2 + 2x +,y2 4y + 1. ,
-
:
[
44. Complete el cuadrado para identificar todos los extremos locales de f(x, y) = x4 6x2 + y4 + 2y2 1. -
30.En The Hidden Game of Pro Football, los autores Carroll, Palmer y Thorn afirman que los datos anteriores respaldan la conclusion de que cuando un equipo pierde laposesiOn deibalOn, pierde ün promedio de 4 puntos, independienternente de la ubicación que tenga en el campo. Es decir, una pérdida en la lInea de 50 yardas cuesta el mismo nümero de puntos que una pérdida en la lInea de 10 yardas del oponente. Use su resultado del ejercicio 29 para verificar esta afirmación. En los ejercicios 31 a 34, calcule los dos primeros pasosiletalgoriLmo del ascenso más empinado, a partir del punto dado.
-
En los ejercicios 45 a 48, marque el enunciado con verdadero o con-falso.y-expliquepor qué. 45. Si fix, v) tiene un máximo local en (a, b) entonces,L(a,b) (a, b) = 0. ax 46. Si (a, b) = Of ey (a, b) = 0, entonces,f(x, y) tiene un máximo local en (a, b). 47.Entre dos máximos locales cualesquiera de f(x, y) debe haber por lo menos un mInimo lo- cal def(x, j).
-
• 48. Sif(x, y) tiene exactamente dos puntos crIticos, no pueden ser ambos máximos locales.
31.f(x, y) = 2xy - 2x2 + y3, (0, -1)
33.fix, y) = x
-
x2 j4 + y 2 , (1, 1)
34.f(x,y)=xy 2 -x2 --v,(1,0) del algoritmo del a&censomás empinado para f(x, y) = 2xy - 2x 2 +-, comenzando en (0, 0). Explique en términos gráficos qué está mal.
—3-,57ealcule-un-paso
36.Defina un algoritmo del descenso más empinado, para hallar mInimos locales. En los ejercicios 37 a 40, halle los extremos abso lutos de la funciOn en la region. 37.f(x, y) = x2 + 3y x, y = 0, x = 2.
-
49. En la representación de contorno son visiblés las ubicaci ones de cuatro extremos locales y nueve puntos de silla. Identifique estos-puntos crIticos.
-1 -2 -3 -4
-2
0
2
4
3x, region limitada por y =
38.f(x, y) x 2 + v2 4xy, regiOn limitada por y = x, y = 3, x = 3. -
50. En la representación de contorno son visibles las. ubicaciones de un extremo local y un punto de silla. Identifique cada punto crItico.
-
39.fix, y) = x2 + y2 , region limitada por (x =4 40.f(x, y) = x2 + y2 2x V = x, y = 3, x = 0. -
-
-
1)2 +
4y, region limitada por
41. Halle todos los puntos crIticos defix, y) = XIYII y demuestre que el teorema 7.2 falla para identificarlos. Use la forma de la funciOn para.determinar qué representa cada punto crItico.
y
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.4 -0.2 0
S
0.2 0.4
Sección 12.7 • Extremos de funciones de varias variables
VO los ejerCiCios 51 a 54, use la representación de contornbo para conjeturar las ubicaciones de todos Los extreinos locales y puntos de silla. 52. 51.
______1 V 2
11
1103
_ al puiflO más cercano del cono z = /x2+y2 punto (2,-3, 0). 57. Use el método del ejercicio 55 para hallar el punto más cercano de la esfera x2 + ,y2 + z2 = 9 al punto (2, 1, -3). 58. Use el método del ejercicio 55 para hallar el punto más cercano en el plano 3x - 'ly + 32 = 12 a! origen.
-2
59.Demuestre que la funciónf(x, y) = 5xe - e5y tiene exactamente un punto crItico, que es un máxirno local pero no un máximo absoluto.
54.
60.Demuestre que la funciónf(x, y) = 2x 4 + e 4x2e11 tiene exactamente dos puntos crIticos, ambQs de mInimo local.
-1
2
V
61. Dernuestre que la situación del ejercicio 60 (dos. mInimos locales sin un máximo local) nunca puede ocurrir para funciones diferenciables de una variable.
0
-1 -0.3---
Is
-0.3-0.2 -0.1 0 0.10.2 ; 0.3
-2 -2
-1
2
x
55. Construya la función d(x, y) dando la distancia desde un punto (x, y, z) del paraboloide z = 4- y 2 hasta el punto (3, -2, 1). Luego determine el punto que minimiza d(x, y). 56. Use el método del ejercicio 55 para hallar el
En el ejemplo 7.4 hallamos el "mejor" ajuste lineal a los datos de población usando el criterio de mInimos cuadrados. Use este enterio para hallar el mejor ajuste cuadrático a los datos; esto es, para funciones de la forma ax2 + bx + c, halle los valores de las constantes a, b, c que minimizan la, suma de los cuadrados de los residuos. Para los datos suministrados, demuestre que la suma de los cuadrados de los residuos para el modelo cuadrático es menor que para el modelo lineal. Explique matemáticamente por qué esto tiene que ser cierto.. A pesar de esto, explique por qué el modelo lineal
62. La ley de Hardy-Weinberg de la genética describe la relación entre. las proporciones de diferentesgenes en las poblaciones. Suponga que cierto gen tiene trés tipos porejemp1o, tipos sánguIneos A, Bj 0). Si los tres tipos tienen proporciones respectivas p, q, r en la población, entonces la ley de. Hardy-Weinberg establece que la proporción de personas que llevan dos tipos diferentes de genes se expresa medianteftp, q, r) = 2pq + 2pr + 2qr. Explique por qué p + q + r = 1, y luegO demuestre que èl valor máximo deflp, q, r) es 2/3.
podria ser preferible al cuadrático. (Sugerencia: use los dos modelos para una predicción de cieli años en el futuro, y cien años atrás en el pasado). 64. Use el criterio de los mInimos cuadrados para hallar el mejor ajuste exponencial (y = ae) a los datos del ejemplo 7.4; Compare los residuos efectivos de. este modelo con los residuos efectivos del modelo lineal. Explique por qué hay alguna justificación teórica para usar el modelo exponencial y analice las ventajas y desventajas de los modelos exponencial y lineal.
1104
CapItulo 12 • Furiciories de varias variables y derivaciOfl parcial
12.8 OPflMIZAION RESTR!NGIDA Y MULT!PL!ADORES DE LA GRANGE Los extremos locales que hallamos en la sección 12.7 constituyen una pieza del rompecabezas de la optimización. En muchas aplicaciones, Ia meta no es identificar valores teóricos máximo o mInimo, sino obtener ci mejor producto posible dado un gran conj unto de restricciones como recursos o tecnologIa limitados. Por ejemplo, el objetivo de un ingeniero de automóviies podrIa ser minimizar la resistencia del viento en el diseno de un vehIculo. Sin embargo, los nuevos diseños están severamente limitados por las dêmandasdel ôiiént pètóaTkijó y al atractivoy en particular, por las restricciones de manufactura, de las cuales el costo no es la menos importante. En esta sección desarrollamos una técnica para hailar el máximo o el mInimo deuna función, dada alguna restricción sobre el dominio de la función. 1"
3
34
11. \ 3x
2 -1 2
Figura 12.50b: y = 3 2x y la circunferencia do radio 1,
centrada en (0, 0).
Figura 12.50c: y = 3- 2x
y la circunferencia de radio 2 centrada en (0, 0).
Figura 12.50d: y = 3- 2x y una circunferencja tangente a la recta.
Consideramos primero el problema geométrico bidimensional de hailar el punto más cercano de la recta y = 3- 2x al origen. Como ocurre con frecuencia, hay varias maneras de resolyer este problema, Usamos una técnica aitamente geométrica, que luego extendemos a un resultado general importante. En la figura 12.50a se muestra una gráfica de la recta. Observe que el conjunto de puntos que están a 1 unidad del ongen forman la circunferencia x 2 + = 1. En la figura 12.50b se puede ver que la recta y = 3 - 2x esté completarnente en el exterior de esta circunferencia. Esto nos dice que cada punto de la recta y = 3 - 2x está a más de 1 unidad del origen. Al observar la circunferencia x2 +.y2 = 4 en la figura 12.50c, se puede ver ciaramente que hay varios puntos de la recta y = 3- 2x que están a menos de 2 unidades del origen. Si cotnprimimos la circunferencia de la figura 12.50c o dilatamos la circunferencia de la figura 12.50b, finalmente liegaremos a un tamaño en el cual la recta es tangente a la circunferencia (véase Ia figura 12.50d). Debe reconocerse que el punto de tangencia es el punto más cercno de la recta al origen, pues todos los otros puntos de la recta están en el exterior de la circunferencia y, por consiguiente, están más lejos del origen.. Ahora traducimos el argumento geométrico anterior al lenguaje del cálculo. Queremos minimizar la distancia desde el punto (x, y) a! origen. Emplando la formula usual de distancia, esta distancia está dada por i/x2 +y2 - . Antes de continuar, debemosseñalar que la distancia se
Sección 12.8 Optimización restringida y multiplicadores de Lagrange
1105
minimiza exactamente en el mismo punto en el cual el cuadrado de La distancia se minimiza. Observe que si minimizamos el cuadrado de La distancia, dado por x 2 + y2, evitamos Ia confusion que se crea por la presencia de la raIz cuadrada en Ia fOrmula de la distancia. AsI que mlnimizamos f(x, y) = x2 + y2, sujeto a la restricción de que el punto esté en la recta (es decir, y = 3 - 2x) o g(x, y) = 2x + y - 3 = 0. Ya hemos afirmado que en ci punto más cercano, La recta y Ia circunferencia son tangentes. Recuerde que el vector gradiente para una funciOn dada es ortogonal a sus curvas de nivel en cuaiquier punto dado. Entonces, para que las curvas sean tangentes, los gradientes defy de g deben ser paralelos. Esto es, debemos tener Vf(x, y) = A V g(x, y) para alguna constante A. Resolvemos esta ecuación para hallar el punto más cercano al origen en el ejemplo que sigue. DETERMINACION DE UNA IMSTANCIA M'NIMA
Use la relación Vf(x, v) = A V g(x, y) y la restricejón y = 3 - 2x para haliar ci punto más cercano de Ia recta y = 3 - 2x a! origen. SOLIJCION Paraf(x, y) = x 2 + y2 tenemos Vf(x, y) = ( 2x, 2y); para g(x, y) = 2x + y -3 tenemos V g(x, y) = (2, 1). La ecuaciOn vectorial Vf(x, y) = A Vg(x, y), se transforma en (2x, 2y) = A (2, 1), de lo cual se deduce que 2x = 2A, 2y = A.
Al resolver La segunda ecuación respecto a A, se tiene A = 2y. La primera ecuaciOn da entonces x = A = 2y. Al sustituir esto en Ia ecuación de restricción y =. 3 - 2x, se tiene y = 3 - 2(2y), o 5y = 3. La soluciOn es = . El punto más cercano es entonces (, ). y = , lo que da x = Observe cuidadosamente la figüra 12.50d y reconozca que esto es consistente con nuestra soLución grafica. Se puede ver que la técnica ilustrada en ci ejemplo 8.1 se puede aplicar a una amplia variedad de probiemas de optimizaciOn con restricciOn. A continuación desarrollamos este método, ilamado método de multiplicadores de Lagrange. Supongamos que queremos hallar valores máximos o minimos de la función f(x, y, z), con Ia restricciOn g(x, y, z) = 0. Suponemos que tanto f como g tienen primeras derivadas parciales continuas. Supongamos ahora queftiene un extremo (xo, yo, zo) situado en la superficie de nivel S definida por g(x, y, z) = 0. Sea C cualquier curva contenida en la superficie de nivel que pasa por ci punto (xo, yo, zo). Suponga que C ha sido trazada por el punto terminal de la función, con valoresvectoriales r(t) = (x(t), y(t), z(t)) y que r(to) = (xo, yo, zo). Se define una funciOn de Ia variable t por medio de
h(t) = f(x(t),. y(t), z(t)). Observe que si (xo, yo, zo) es un extremo def(x, y, z), entonces to debe ser un extremo de h(t) y, por tanto, h'(to) = 0. Por la regla de La cadena, tenemos
1106
o
Cap Itulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
= h.' (to) = f x(xo, yo, zo) x'(to) + fy (xo, yo, zo) y' (to) + f(xo, yo, zo) z' (to) = (fx(xo, o, zo),f(xo, un, zo),fz(xo, yo, zo)) (x'(to), '(to), z'(to)) = Vflxo, yo, zo) r'(to).
Es decir, en tin extremo, el gradiente defes ortogortal al vector tangent-, r'(to). Como C es una curva arbitraria situada en la superficie de nivel S, se deduce que en un extremo Vfdebe ser ortogonal a toda curva situada en la superficie de nivel S y, por tanto, también es ortogonal a S. Recuerde, del teorema 6.2, que Vg es también ortogonal a la superficie de nivel g(x, y, z) = 0, de modo que Vf(xo, 3)0, zo) y V g(xo, yo, zo) deben ser paralelos. Esto demuestra ci siguiente resultado.
Suponga que fix, y, z) y g(x, y, z) son funciones con primeras denvadas parciales continuas y V g(x, y, z) # 0 sobre la superficie g(x, y, z) = 0. Suponga que so cumple una de las siguientes situaciones: i) el valor mInimo def(x, y, z) sujeto a la restricción g(x, t,, z) = 0 ocurre en (xo, yo, zo); ii) ci valor máxirno def(x, y, z) sujeto a la restricción g(x, y, z) = 0 ocurre en (xo, yo, zo). Entonces, Vfo,y.o, zo) = )V g(xo, yo, zo) para_alg.unaconstante A (ilamada multiplicador de Lagrange).
-
-
Observe que el teorema 8.1 expresa que en cualguier extremo de en:lwsuparfl(xj, 0,tn&áf(x, y, z) = Ag y (x,j, z),
J(x, y, z) = Agz (x, y, z), g(x, y, z) = 0. La determinación de tales extremos Se reduce entonces a resolver estas cuatro ecuaciones respecto a las cuatro incógnitas x, y, z,A. (En realidad, solamente se necesitari los valores de x, j, z). Es importante reconocer que, de la misma manera que cuando hailamos puntos crIticos en La optimización sin restricciones, este método produce solamento candidatos a extremos. Junto con la determinación do soluciones de las cuatro ecuaciones anteriores, se necesita verificar (graficaménte, como se hizo en el ejemplo 8.1, o por algün otro medio) que la solución hallada representa, en efecto, el punto óptimo deseado. Observe que el método do los multiplicadores de Lagrange quo acabamos de desarrollar Se puede aplicar también a funciones de dos variables, descartando la tercera variable en el teorema 8.1. Es decir, si f(x, j) y g(x, y) tienen pnimeras derivadas parciales continuas y (xo, yo) es un extrenio defque está en la curva de nivel g(x, y) = 0, se débe toner Vf(xo, tio) = A V g(xo, yo), para alguna constante A. En este caso, terminamos con lastres ecuaciones
fx(x, y) = A gx(x, y),f(x, y) = A gy(x, 3/) y g(x, y) = 0 con las tres incógnitas x, j, A. Ilustramos esto. en el siguiente ejemplo.
SecciOn 12.8 • OptimizaciOn restringida y multiplicadoreS de Lagrange
1107
DETERMINACION BE LA FUERZA PItOPULSORA OPTIMA DEUN COIIETE
Se lanza un cohete con una fuerza propulsora constante correspondiente a una aceleración do u pies/s2 . Descartando la resistencia del aire, la altura del cohete después de t segundos está dada porft, u) = - 32)t2 pies. El gasto de combustible para t seguridos es proporcional a u2t, de modo que la capacidad ljmjtada de combustible del cohete se puede expresar mediante una ecuación de la forma u2t = 10,000. Halle el valor de u que maximiza la altura alcanzada por el cohete. SOLUCJON For el teorema 8. 1, buscamos soluciones de Vftt, u) = A V g(t, u) donde g(t, u) = u2 t - 10,000 = 0 es la ecuación de restricción. Tenernos Vf(t, u) ((u - 32)t, t 2); V g(t, u) = (u2 2ut). For el teorema 8.1, se debe tener
K
(u - 32)t, 1 t2) = A (u2 ,
para alguna constante A. Se deduce que (u - 32)t = Au2, It 2 = .X2ut. Al resolver ambas ecuaciones respecto a A, se obtiene A- (u-32)t - t 2 2. - 2ut T Esto da 2u (u - 32)t 2 = t2u2 . Las soluciones incluyen t = 0, u. = 0. En términos fIsicos, podemos argumentar que estas soluciOnes representan alturas mInimas, ya que la fuerza propulsora cero oil tiempo cero corresponderla a la altura cero. Al cancelar los factores de 0 y de it, tenemos 4(u - 32) = u. La solución a esto es u =Con este valor de u, los motores pueden funcionar durante t-
.10,000
10,000 = (128/3)2 = 5.5 segundos,
donde la altura que alcanza el cohete es z
( 128 - 32) (5.5)2 = 161 pies.
No hemos terminado el ejemplo 8.2. (Puede decir qué falta?) Es muy difIcil argumentar que nuestra solución representa en realidad una altura maxima. (.PodrIa ser un punto de silla?) Lo que sabemos es que, por el teorema 8. 1, si hay un máximo, lo hemos encontrdo. Volviendo al análisis del problema fIsico, serla completamente razonable que con una cantidad limitada de combustible hubiera una altura maxima correspondiente y, por tanto, en efevto, hemos hallado La altura maxima. El teorema 8.1, proporciona otra pieza importante del rompecabezas de optimización. Resolvemos ahora un problema donde la meta es optimizar una función con una desigualdad como restricción, en la forma g(x, y) :5 c. Para comprender nuestra técnica, recuerde cómo resolvj-
1108
OapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
mos,en la secciOn 12.7, lo correspondiente a extremos absolutos de funciones de varias variables, en una regiOn cerrada y acotada. Hallamos puntos crIticos en el interior de la regiOn y comparamos los valores de la funciOn en los puntos crIticos con los valores máximo y mInimo de la funciOn en la frontera de la region. Para hallar los extremos de f(x, y) con una restricciOn de la forma g(x, y) < c, hallamos primero los puntos crIticos def(x, y) que satisfacen la restricciOn, luego hallamos los extremos de Ia función sobre Ia frontera g(x, y) = c (la curva de restricción) y, finalmente, comparamos los valores de la funciOn. Esto Se ilustra en ci ejemplo siguiente. OPTJMIZACION CON UNA DESIGUALDAD COMO RESTEICCION
Suponga que la temperatura de una lámina de metal está dada por T(x, y) = x2 + 2x + y2 para. puntos (x, y) de la lámina elIptica definida por X2 + 4y2 <_ 24. Halle las temperaturas maxima y minima de la lámina. SOLUCthN La lámina corresponde a la region sombreada R que so muestra en la figura 12.51. Primerobuscamos puntos crIticos de T(x, y) dentro de la region R. Tenemos V T(x, y) = (2x + 2, 2y) = (0, 0), SiX = - 1, y = 0. En .estep.unto, T(-1, 0) = -1. A eontinuación-buscamos los extremos do T(x, y) en la elipse x2 + 4y2 = 24. Primero expresamos la ecuaciOn de restricciOn como g(x, y) = x 2 + 4y2 — 24 = 0. Por ci teorema 8.1, los extremos satisfacen a La ecuaciOñ de multipiicador de Lagrange: V T(x, y) (2x + 2,2y) =A(2x,8y)= (2Ax,8y). PSto odurre cuandO 2x + 2 = 2Ax, 2y = My. Observe que la segunda ecuación vale cuando y = 00 cuando A . Si y = 0, la restricción x 2 + 4y2 = 24 da x = ± V'.4. Si A = , la primera ecuaciOn se transforma en 2x + 2 = x, de modo que x - La resFigura 12.51: lárnina do metal.
tricción x2 + 4y2 = 24 da ahora y= ±$. Necesitamos solamente cornparar los valores de La funciOn en todos estos puntos (el punto crItico interior y los candidatos a extremos que están en la frontera), como sigue:
T(-1, 0) = -1, T(/A, 0) = 24 + 2v'A
33.8,
T(-'/, 0) = 24- 2V2_414.2, T(_,) = 4 50
)
4.7y
=
A partir.de esta lista, es fácil identificar el valor mInimo, -1, en el punto (-1, 0) y ej valor máximo, 24 + 2 v', en el punto (v', 0).
SecciOn 12.6 • Optimizacion restringida y multiplicadores do Lagrange
1109
En el siguiente ejemplo ilustramos el uso de los multipiieadores de Lagrange para funciones do tres variables. Al realizar esto, desarroliamos una interpretación del muitiplicador A de Lagrange.
DETERMINACION DE UN NIVEL OPTIMO DE PRODUCCION Para un negocio que fabrica tres productos, suponga que al fabricar x, y, z miles de unidades de los productos, la utilidad de la compañIa (en miles de dólares) so puede modelar mediante P(x, j, z) = 4x + 8J + 6z. Las restricciones de manufactura exigen x 2 + 4y2 + 2z 2 <— 800. Halle la utilidad maxima de la, compañIa. Trabaje de nuevo en ci problema, con la restricción x 2 + 4y2 + 2z2 —< 801, y use el resuitado para interpretar el significado de A. SOLUCION Comenzamos con V P(x, y, z) = (4, 8, 6) y observamos que no hay puntos crIticos. Esto expresa qué los extremos deben estar en la frontera de la region de restricciOn. Es decir, deben satisfacer la ecuaciOn do restricciOn g(x, y, z) = x2 + 4y2 +2z2 - 800 = 0. Por ci teorema 8.1, la ecuación del multiplicador de Lagrange es V P(x, y, z) = AV.g(x, y, z), o
(4, 8, 6) = A (2x, 8y, 4z) = (2A x, 8A y, 4A z) Esto ocurre cuando 4 = 2Ax, 8.8Ay, 6 = 4A z. A partir de la prime ra. ecuaciOn, Se obtiene x = . La segunda ecuación da y = finalmente, la tercera ecuación da z
. For la. ecua-
cion de restricciOn x 2 + 4y2 +. 2z2 = 800, tenemos 2 2 800=&) de modo que A2
=
32 12 25 &) +2() =.
25 y A
=
8
(Por qué escogimos el signo positivo para A? Sugerencia: piense cii lo que rep resentan x, j, z). El ünico candidato para extremo es entonces
r 12,
3 1 2 X = = l6,y == 8 , z = donde la utilidad correspondiente es
P(16, 8, 9) = 4(16) + 8 (8) + 6 (12) = 200. Observe que ésta es la, utilidad maxima, mientras que A = - da ci valor mInimo de la funciOn de utilidad. Observe quo si la constante del lado derecho do la ecuaciOn de restricciOn se cambia por.801, la primera diferencia ocurre al resolver respecto a A, donde se obtiene ahora 801 =
25
11:10* ..
CapItulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
de modo. que A 0.12492, x =
16.009997, y =
8.004998, z =
12.007498. En este caso, la utilidad maxima es P(16.009997, 8.004998, 12.007498) 200.12496. Es interesante observar que el incremento en la utilidad es P(16.009997, 8.004998, 12.007498)-P(16, 8,9) 200.12496 -200 = 0.12496 A. Como podrIasospecharse a partir de esta observación, el multiplicador A de Lagrange realmente da la razón de cambio instantánea de la utilidad con respecto al cambio en la restricción de producción.
j
Se observa qüe los multiplicadores de Lagrange son muy versátiles. En particular, el teorema 8.1 se puede extender para incluir más de una restricción. Exploraremos esto en los ejercicios.R
'.9
1. Explique .por qué el punto de. tangenciade la figura 12.50d debe ser el punto más cercano al origen. 2. Explique por qué se sabe en el ejemplo 8.1 que el punto crItico.hallado corresponde a la distancia mInima v no a la distañcia maxima o a unnunto de sill. 3. En el ejemplo 8.2, explique en términos fIsicos por qué debe haber un valor de u que maximice la altura que alcanza el cohete. En particular, explique por qué un mayor valor de u no produce siempre una altura mayor. 4. En el ejemplo 8.4 demostraniOs que el multiplicador de Lagrange, A, corresponde a la raz6n de cambio de la utilidad respecto a un cambio en el nivel de producciOn. Explique cómo el cônocimiento de este valor (positivo, negativo, pequeño, grande) podrIa ser ütil para un gerente de planta.
En los ejercicios 5 a 12, use multiplicadores de Lagrange para hallar el punto más cercano de la curva dada al punto indicado. 5. i = 3x -4, origen
6. y = 2x + 1, origen
7. y = 3 - 2x, (4, 0)
8. y=x-2,(0,2)
9.
v
= x 2 , (3, 0) x2, (2,
14.f(x, i,') = 4xy sujeta a 4x 2 + 312 = 8 15.f(x, 3,) = 4x 2ysujeta a x 2 + 2 = 16.f(x, y) = 2x 3 j sujeta a x2 + y2 = 4
17.f(x, y) = xeV sujeta a x2 + q2 = 2 18.ftx, y) = 2x "Y suj eta a x 2 + y2 =
10.y = x2, (0, 2)
19.f(x, y) = x 2 &1 sujeta a x2 + y2 = 3.
lZ.y =
20.f(x, y) = x 2y 2 sujeta a x 2 + 42 = 24
- 1, (1, 2)
En los ejercicjos 13 a 20, use multiplicadores de Lagrange para hallar el máximo y el minimo de la funciónf(x, y), con La restriccjón g(x, y) C.
En los ejercicios 21 a 24, halle el máximo y el mlnimo de La función f(x, y), con La restricción g(x, y) < c.
13.f(x, 31) = 4xj sujeta a x 2 + 3/2 = 8
21.f(x, y) = 4xy sujeta a x 2 + 2 _< 8
Secc5n 12.8 • OptimizadOn restringiday multiphcadores de Lagrange
22.f(X, y) = 4xy sujeta a 4x 2 + y2 <_ 8 23f(X, y) = 4x 2y sujeta a x 2 + y2 <_ 3 24f(X, Y) - 2x 3y sujeta a x2 + Y2 <_ 4 2 5.Trabaje de nuevo en el ejemplo 8.2, con combustible extra tal que u2 t = 11,000. 26. En el ejercicio 25 calcule A. Comparando las soluciones del ejemplo 8.2 y del ejercicio 25, calcule el cambio en z, dividido por el cambio en u2t.
este del norte y a un angulo /9 al forte del casco del bote. El casco, a su vez, está a un angulo Gal forte del este. Explique por qué a +13 + 8 = 42. Si el viento sopla con rapidez w, entonces la componente hacia el norte, de La fuerza del viento sobre el bote, está dada por w sen a sen ,3 sen 0. Si esta componente es positiva, el bote puede desplazarse "contra el viento". Tomando w = 1, por conveniencia, maximice sen a, sen /3 sen 0, con La restrjccjón a + /3 + 0 = 42.
7. Suponga que el negocio del ejemplo 8.4 tiene como función de utilidad P(x, y, z) = 3x + 6y + 6z, con restricción de manufactura de 2x 2 Y 2 + 4z2 _< 8,800. Maximice las utilidades.
+
28. Suponga que el negocio del ejemplo 8.4 tiene como funci6n de utilidad P(x, y, z) = 3xz + 6y, con .restricción de manufactura de x 2 + 2y2 + Z2 <_ 6. Maximice las utilidades. 29. En el ejercicio 27 demuestre que el multiplicador de Lagrange da la razón de cambio de la utilidad relativa, con relación a un cambio en la restricción de la producción. 30. Use el valor de A (sin resolver ecuaciones) para determinàr la cantidad de utilidad, si la restricción del ejercicio 28 se cambia por x 2 +
2y2 + z2 5 7. 31. Minimice 2x + 2j, con la restricción xy = c para alguna constante c > 0, y concluya que para Un Area dada el rectangulo con menor perImetro es el cuadrado. 32. Como en el ejercicio 31, halle la caja rectangular de volumen dado que tiene area de superficie minima.
+ y2 = 1 con la restricción x 2 + y2 = 2.
33. Max imice y - x, con la restricción x 2 34. Maximice
35. En la figura siguiente se representa un velero que navega con viento de costado. El viento sopla hacia el norte, la vela está a un ángulo a al
36. Suponga que una compañIa de equipos de sonido vende dos tipos de parlantes. La utilidad por vender.x parlantes de estilo A y y parlantes de estilo B Se modela porfx, y) = x 3 + y3 - 5xy. La compañIa no puede manufacturar más de k. parlantes en total, en un mes dado, para alguna constante k > 5. Demuestre quo la utilidad
k 2 (k-5) df -. maxima es ; demuestre que A = 37. Considere el problema de hallar valores extremos de xy 2, con la restricción x + y = 0. Demuestre que el método de multiplicador de Lagrange identifica a (0, 0) como punto crItico. Demuestre que este punto no es ni minimo local ni méximo local. 38. Haga La sustitución y = -x en La función fix, y) = xy 2. Demuestre que x = 0 es un punto crItico y determine qué tipo de punto es en x = 0. Explique por qué el método de multiplicador de Lagrange falla en el ejercicio 37.
Cap(tulo 12 • Funciones de varias variables y derivación parcial
1112
Resuelva estas ecuaciones eliminando variables.
Comience con el ejemplo def(x, y, z) = 9x + 3yz, con Las restricciones x + y + z = 6, 3x +2y + 4z = 14. Establezca las tres ecuaciones que representan Vf(a, b, c) = AV g(a, b, c) + p. V h(a, b, c). Junto con las dos ecuaciones de restricción, se tienen cinco ecuaciones con cinco incógnitas.
40. Use el método del ejercicio 39 para hallar los puntos que están en la intersección de X2 + V2 = , x2 + Z2 = 1, que estén mas lejos del origen. Dibuje una gráfica para verificar qué tan razonables son sus respuestas.
En los ejercicios 1 a 10, dibuje la grafica de 1 0.5 z 0
z=flx,y).
1.flx,y)=x 2 -y 2
2. f(x,v) = / x24 y 2
3fj)=2-x 2 --y
4. fix,y)=/2-x 2 -y 2
5.flx, y>
=4+
o i IV
______-.
6. f(x,
N. 2 4
v) =
Superficie C
7.flx,-y)=sen(x 2 y)
8. f(x,y)=sen(y-x 2
Superficie D
)
15
9 J(x,v)= 3 ae' -
x 3-- e3
11
z
i\
I
11. En las partes a) a 1), establezca correspondencia entre funciones y superficies.
!
a) f(x, y) = sen xy
Superficie E
b) fix, y) = sen (x/y) C)
101
Superficie F
12. En las partes a) a d), establezca correspondencia entre superficies y representaciones de contorno.
fix, v) = sen \/'x 2+V-2
d)f(x,y) = xseny
a)
b)
4 e) fix, ti) = 2x2 + 3y2 - 1
1 05
4
- -1 2
f) fix, y) = 2x2 + 3y2 - 1
:I:
y
-3-2-1 0 Superficie B
V0 1 2
4 2 z0 -2 -4
1 2 -6-4-2
Superfjcje A
!f2::::
d)
C)
-0.5 -1 -2 0 x2 -
zob
- - 0 1 22 V
I 0.5
4 2 z0 -2 -4
is 0
Y
-
O 2466 V
-
1113
Ejercicios de repaso del cap Itulo
Lf'AI
c )1
Y?
2
UI
En los ejercicios 15 a 18, muestre que el ilmite inthcado no existe. 15.
17.
,
18.
2
X4 + y2
Iim
(,y)-*(O,O)
lIm
urn
2xy312
(,y)-'(O. 0)
+ x2 + xy + y2 2
± sy + V 2
En los ejercicios l9 .y 20, demuestre que el ilmite indicado, existe.
______
20
-2
-b 4 -2 0 2
16.
Contorno B
Contorno A
.
3x21
tim
A
•
2 4
-6 -4 -2 0
4 6
6
Contorno D
Contorno C
31) j
O 0)
En los ejercicios 21y 22, halle todas las regioneS enlascualeslafunciónescontinua. 21.f(x,
3
y) = 3x2e4 - -
.
u-
22.flx, y) = V/4 - 4x 2 y 2
S
13.En las partes a) a d), establezca correspondenlos ejercici os 23 a 26, halle las dos derivadas cia entre representacionesde densidad y répre- En parciales de primer orden. sentaciones de contorno del ejercicio 12. a)
25 f(x,y)=3x2y
4
24 .f(xy)=xe'+ 3Y 2
23.f(x,y)=+xe
b)
1
:
2
26.
COS Y-V
f(x,y)\/y+ 3x
5
0
0
27.Demuestre que la funciónf(x, y)
2
e x sen y sa-
02
-2 _______________________
+ tisface la ecuación de Laplace --iOx2
v2
= 0.
_66 -4 -2 0 2 4 6 c)
2
28. Demuestre que la fünciónflx, y) = e x cosy satisface la ecuación de Laplace (véase ci ejercicio 27).
d) 6 4
En Los ejercicioS 29 y 30, use la tabla para estimar las derivadas parciales. Of Of Of 30.(10, 0), Oy (10, 0) 29. (0, 0), (0, 0)
2
Lf
0 -2 -4
[11f
-6
14. Calcule el lImite indicado. 3x b. a. lIrn (x,y)-4(0,2) y2 + 1
urn
xy- 1
(x,y)-'(i,i) COSX/
-20 -40 0 10 20
a412.1 2.f 2.2 2.4 2.7 2.5 2.9 - 2.7 3.1
.0
1.4 2.0 2.6 3.0
10
2Q
0.5 1.0 1.6 2.2 2.9
1.0 1.2 1.2 1.8 2.7
1114
Capitulo 12 • Funciones de varias variables y derivacióri parcial
Enlos ejercicioS 31 a 34, calcule la aproximación lineal de la función en ci punto dado.
En los ejercicios 49 a 52, calcule la derivada direccional def en ci punto dado, en la dirección del vector indicado.
31.f(x,y) = 3yjThen( -2 ,5) 49 .f(x, y)
x+2
32.f(x, =- 2 en (2, 3)
50.fix, y) = x 2 (3,-2)
33.f(x, y) = tan(x + 2y) en (, )
(- 2, 3), U = ( ) xy2 , ( 2, 1), u en Ia direceión de
51.f(x, y) e3xY y2 , ( 0, -1), u en la dirección que va desde (2, 3) hasta (3, 1)
34.f(x, y) = in(x 2 + 31]) on (4, 2) En los ejercicios 35 y 36, halie las derivadas mdicadas.
35 .f(x, y) = 2x4y ± 3x2 y2 ;jXx,fyy,fry 36 .f(x, y) = x 2 e 3 - sen En los ejercicios 37 a 40, halle una ecuación del piano tangente. 37.z = x 2y + 2x -y 2 en (1, -1,0) 38.z =
= x3y
52.f(x, y) = /x 2 .-j- y 2 (2, 1), u en la dirección do
En los ejercicios 53 a 56, halie las direcciones de cambio máximo y mInimo def en ci punto dado y los valores de las razones de cambio maxima y minima. 53.Jtx, y) = x 3y - 4y2 , (- 2, 3) 54.f(x, y) = x2 + xj2 , ( 2, 1)
en (3, -4, 5)
55.f(x, y) = \/x+ y4, (2, 0)
39.x2 + 2xj + y2 + z 2 = 5 en (0, 2, 1)
56.f(x, y) = x2 + xy2 , ( 1, 2)
40.x 2z-y 2x + 3y-z=--4en(1,-1,2)
57. Suponga que la elevación de unacolinaestádada . En.1s ejeroiio4ty42use4aegla de4a-eadena---==- p6i' f, --2y. Desde ci sitio do para hallar las derivadas indicadas. (2, 1), Zen qué dirección correrá ci agua iluvia? - 0', -
sent
42. Lg y Lg donde g(u, v) =f(x(u, v), y(u, v)), fix, y)
=
i la temperatura en eFnto (x, y, z) está dada 2 por T(x, y, z) = 70 + 5e_2 (4x + 3y'), halie la dirección desde ci punto (1, 2, 1) en ci cual la temperatura decrece más rápidamente.
4x2 -y, x(u, v) = u3v -4- sen u, ij(u, v) = 4v 2 En los ejercicios 43 y 44, establezca la regla de la cadena para la función compuesta general.
En los ejercicios 59 a 62, halie todos los puntos crIticos y use ci teorema 7.2 (si es aplicable) para clasificarlos.
43. g(t) = j'(x(t), j(t), z(t), w(t))
59.f(x, y) = 2x 4 -- xy 2 + 2y2
44. g(u, v) :. f(x(u, v), ij(u, v))
60.j(x, y) = 2x 4 + y3 -x 2y
En los ejercicios 45 y 46, use diferenciación imôz Oz piIcita para haliar
61.f(x,y) = 4xy-x 3 -2y 2
45.x2 + 2xij + y 2 -F z = 1 46.x2z - -y 2x ± 3y-z = -4 En los ejerciejos 47 y 48, halle ci gradiente de la función dada, en ci punto indicado.
47.fix,y) = 48.f(x, y, z) = 4xz 2 --3 cos x + 4y 2 , ( 0, 1, -1)
62.f(x,y) = 3xy-x 3V + y2 -y 63. Los siguientes datos muestran la estatura y peso do un pequeño nümero de personas. Use el modeio lineal para predecir ci peso. de una persona do 6 pies y 2 pulgadas, y de una de 5 pies. Exprese qué tan preciso considera usted el modelo. Estatura (pulgadas) 64 140 Peso (libras)
66 156
70 184
71 190
Ejercicjos de repaso dot capItulo
Los siguie1t datos muestran la edad y el ingres° Para un pequeno numero de personas. Use el modebo lineal Para predecir el ingreso de una persona do 20 años, y do una de 60. Exprese qué tan preCiso considera usted el modelo.
1115
En los ejercjcjos 67 a 70, use inultiplicadores de Lagrange para hallar el máximo y el mmnimo de la funciónf(x, y) sujeta a la restricciOn gx, y) = c. 67.J'(x, y) = x + 2y sujeta a x 2 + V2 = 5 68.ftx, j) = 2x 2y sujeta a x 2 + y2 = 4
69.f(x, y) = xy sujeta a x 2 + y2 = 1 los ejercicios 65 y 66, halle los extremos absolutos de la función en la region dada. = 2x4 -- xy 2 + 2y2, 0 < x < 4, 0 < j :5 2 65.j(X, y) 6e,.f(x, y) = 2x4 + ?J -- x 2y, region limitada por
= 0, ,y x, x = 2
70.flx,y) = x 2 + 2y 2 -2xsujetaa x 2 + Y 2 1 En los ejercicios 71 y 72, use multiplicadores de Lagrange para hallar el punto más cercano SObre la curva dada al punto indicado. 71.3J = x3 , ( 4, 0)
72.y = x3 , ( 2, 1)
cook"
.113
Integrales multiples
Lanzamiento del transbordador espacial. Aire
.I
En La actualidad, poner en órbita una nave espacial es un suceso comün para. nosotros. En efecto, es tan familiar que fácilmente se pasa por alto lo importante que es. Incontables innovaciones y cálculos complejos constituyen la base del diseño moderno de cohetes. Un aspecto sencillo de la coheterIa, ya estudiado en la presentación del cáiculo, es ci desplazamiento de un proyectil. Aunque las poderosas máquinas de un cohete pueden liamar bastante La atención, las propiedades aerodinámicas de los cohetes también son absolutamente importantes. Una propiedad muy.evidente del diseño de cohetes, incluso para ci • ojo no entrenado, es el perfil delgado del cohete en La dirección del movimiento. Intuitivamente, debe descubrirse que cuanto más ancho sea el cohete, encontrará mayor resistencia del aire. Aunque el area total de la superficie deuti ohete cumple un papel important on esto, es mas sig rnfrctwo del Area de superficie es normal a la di rección del movirniento, puesto que es lo qioduceiarnayor-resistencia • del aire. Este tipo de cálcuio del area de superficie requerirá el conocimiento de nuevasherramientas de-integración. En estecapitulo, seampliará la noción de integración a integralesdobles y triples de funciones amin devarias iiad as. En la sección 13.4, las integrlisdoles se emplean para calcular Areas de superficie, y en ci cpnItnln 1 -
Centro de presión
LA Cohete inctinado
Cohete modelo.
los pueden emplearse para simular por computador la aerodinámica de los cohetes y otras naves espaciales, e incluso de objetos tan familiares corno los automóviles. La reducción de La resistencia del aire no es ci ünico aspecto de diseflo en coheterIa. Para descubrir un reto diferente, tome un lápiz 0 Ufl bolIgrafo en forma de cohete y láncelo al aire. Rápidamente deberá darse cuenta de que ésta no es una forma de proyectil muy estable. En un cohete real, esto es aün más complicado porque los motores generan un empuje muy fuerte desde la base del cohete y porque su centro de masa cambia mientras vuela, a medida que quema el combustible. En este capitulo, ci cálculo puede ayudar con un principio básico de diseño: si un cohete comienza a inclinarse durante su vuelo, tenderá a girar sobre su centro de masa (potencialmente, dando vueltas de cabeza). En las secciones 13.2 y 13.5, se analiza ci concepto de centro de masa de sólidos tridimensionales. Además, en esta posicion inclinada, el costado del cohete (que tiene mayor area de superficie que en la punta del fuselaje) experimenta resistencia del aire. La fuerza del aire afecta el cohete como Si estuviera enfocado a un punto tinico (véase cohete inclinado). Este punto foco, denominado centro de presión, se localiza en la misma posición del centro de masa de un cohete con la misma forma pero densidad constante. Si el centro de presión está por debajo del céntro de masa, la resistencia del aire tenderá a alinear ci cohete empujándolo hacia atrás. Si el centro de presión está por encima del centro de masa, el cohete tenderá a girar de cabeza.
1117
SOjón 13.1 • Integrales dobles
Usted quizá haya descubierto .q4e los cohetes estándar usualmente tienen largas aletas livianas en la base. Uno de los propósitos de estas aletas es garantizar que el centro de presión permanezca por debajo del centro de masa del cohete (véase el libro The Handbook of Model Rocketry, de G. Harry Stine). Los conceptos de cálculo desarrollados en este capitulo pueden emplearse para profundizar más en el diseño de cohetes y en varias situaciones que se explorarán en el capitulo.
INTEGRALES DOBLES Antes de presentar La idea de una integral para una función de dos variables, es necesario recordar brevemente la definición de integral definida para una función de una sola variable, y luego generalizarla un poco. Recuerde que fuimos conducidos a definir La integral mientras se buscaba el áreaA bajo la grafica de una función continuafdefinida en el intervalo [a, b], dondef(x) ;2: 0 en [a, b]. Para solucionar este problema primero se efectuó una partición del intervalo [a, b] en n subintervalos - b—a [xi - 1, xi], pra i = 1, 2,..., n, de igual ancho Ax donde 12 -
Figura 13.1 a: aproximacion del Area en el subintervalo {x-1, Xe].
a = xo < xj < ... < xv = b. En cada subintervalo [X —1, xd, para 1 = 1, 2,..., n, se aproxima el area bajo la curva mediante el area del rectángubo de alturaf(c) para algün punto cj E [xi , xi], como se indica en la figura 13. la. Sumando las areas de estos rectángulos, se halla una aproximación.del area, como se indica en la figura 13.1b: A
1(c1) Ax
.
Por ültimo, tomando el limite cuando n -, 00 (lo cual también significa que & - 0), se obtiene el area exacta (suponiendo que el Ilmite existe y es igual para tOda.elección de los puntosde evaluación ci): Figura 13.1b: area bajo la
A En el capItulo 4 (Tomo 1) se observó que este lImite puede existir aun cuandof tome algunos valores negativos. La integral definida se definió como este lImite: jb
f(x) dx =n ! o
f(c)
Ax.
Siguiendo esta definición, se hizo en ese momento lo que hubiera podido parecer un comentario crIptico: que aunque esta definición se cumplIa para casi todas las funciones que encontrarla, era necesario generalizarla más adelante. Bien; ha ilegado el momento de generalizarla un poco antes de definir las integrales de funciones de varias variables. En general, se considera .que las particiones son irregulares (es decir, que no todos los sub jntervabos tienen igual ancho). Usted puede
1118
Capitulo 13° Integrales mUltiples
estar preguntandose por qué es necesaria esta clase de generalización. Entre otras razones, se necesita para emplearla en niétodos numéricos más complejos de aproximación de integrales definidas. También se requiere para propósitos teóricos, en cursos más avanzados. Esencialmente se procede como antes, excepto que a diferentes subintervalos se asignan anchos .diferentes y el ancho del i-ésimo subintervalo [x -i, XI] se define como Lx = x1 - ii (véase la figura 13.2 para el caso donde n = 7). [
-
H II I II I 55
X3 54
U SO SI X2
b =
LO
Figura 13.2: partición irregular de [a, b]. Entonces, una aproximación del area es (esencialmente, como antes)
A
> f(c)
para cualquier eleccion de lospuntos de. evaluación ci EE-(xi -1, xi], para i = 1, 2,..., n. Para obtener el area exacta, es necesario quen -* 00, pero - puesto que la particion es no egular, esta sola no garantizara que todos los Axi se aproximarén a cero, a menos que se ponga mayor cuidado dfiniendo flP (Ia norma de la partición) como el más grandé de los Ax. Entonces se tiene que el area exactaestá dada .por -
-
A = lion
-
f(e
suponiendo que el lImite existe y es igual para todas las elecciones de los puntos de evaluación ci, C2,..., C. Aqul, al señalar qiie, estos limites son iguales a A, se quiere decir que
f(c) Ax1 puede hacerse tan cercano a
A como se necesite,sólo con hacer 11 ii suficientemente pequeño. iQué tan cerca de A debe estar la suma? La suma debe estar a una distancia especificada de A no mayor que e > 0. Más precisamente, dado cualquier e > 0, debe existir un 6 > 0, tal que
1 119
Secc iOn 13.1 I nteçjrales clobles
DEFINICION. Para cualquier función f definida en el intervalo [a, b], la integral definida def en [a, b] es
I
ab
n
f(x)dx=
_,
lIm V' IIPO
Ax,
dado que el lImite existe y es igual en todas las elecciones de los puntos de evaluación c2 E [Xi- 1, xi, Para i = 1,2,..., n. En este caso, se dice quef es integrable en [a, b]. Para casi todas las furiciones que usted ha encontrado en este iibro, esta nueva definición es equivalente a La original de (1.1).
ntegraIeS dobles sobre un rectángulo
Figura 13.3: volumen bajo la superficie z =f(x, y).
La integral definida se desarrolló como una consecuencia natural de nuestro método Para hallar el.área bajo una curva en el plano xy. AsI mismo, en el desarrollo de La integral doble nos guiamos por un problema correspondiente. Para una función f(x, y), donde f es continua y f(x, y) 2! 0 Para todo a :5 x -^5 b y c y :5 d, se desea hallar el volumen del sólido situado debajo de La superficie z = f(x, y) y sobre el rectangulo R = ((x, V) fa 5 x ::s: bye :5y :!^-d} en el planoxy (véase lafigura 13.3). Se procede esencialmente de la misma manera como se procedió Para hallar el area bajo La curva. Primero, se hace la partición del rectángulo R trazando una cuadrIcula en laparte superior de R, La cual consta de n rectángulos pequeños (véase la figura 13.4a). (Nota: no es necesario que los rectánguios de la cuadricula sean del mismo tamaño). Denomine los rectángulos pequeños Ri, R2,..., R. (El orden en que los numera no es importante). Para cada rectángulo Ri (i = 1, 2,..., n) de la partición, se desea hallar una aproximación a! volumen Vj situado debajo de La superficie z =ftx, y) y sobre ci rectángulo Ri. La suma de estos vokmenes aproximados es La aproximación al volumen total. Sobre cada rectángulo de La partición, construya una caja rectangular cuya aitura seaftui, Vi) Para algun punto (ui, VI) E Ri (véase la figura 13.4b). Observe que el volumen V bajo La superficie se aproxima al volumen de la caja.
Vi = Altura x Area de La base = f(ui,
vi)
A A1,
donde A A1 denota el area del rectángulo Ri.
a
1,
Figura 13.4a: particiOn de R.
a;
Figura 13.4b: aproximación del volumeri sobro Ri medanto una caja rectangular.
1120
CapItuto 13
• Integrales miItipIes
El volumen total es aproximadamente
f(u 1 , vi) L1A 1
Vc
(1.3)
Como en el desarrollo de la integral definida del capItulo 4 (Tomo 1), la suma en (1.3) se denomina sunia de Riemann. En la figura 13.4c, se ilustra la aproximación del volumen bajo una superficie mediante una suma de Riemann.
V
S
Figura 13.4c: volumen aproximado.
PROXIMACION DEL VOLUMEN 1I:ITIiiiIiTTTIi ITUADO DEBAJO DE UNA SUPERFICIE
I
•
Aproxime el volumen situadodebajo de la superficie z = sobreelrectanguloR={x,yO
30 20
z10
-
-
sen lry y
0
Flgura 13.5a: z = x 2 sen
0 en R • (véase la figura 13.5a); enseguida, la partición más sencilla de R es una partición en cuatro cuadrados de igual tamaflo, como se indica en la figura 13.5b. Se escogen los puntos de evaluación (UI, VI), de modo que En primer lugar, note quefes continua y f(x, y) =
66 Vy
sen 7ry
^
• sean los centros de cada uno de los cuatro cuadrados, es decir, (,
(93'(39•\ 9 (9
2' 2)' '2' 2)
"
'2' V. V
Fgura 13.5b: partición de R cuatro cuadrados iguales. .
en
Figura 13.5c: partición de R en nueve cuadrados iguales.
),
SecciOn '13. -1 Intograles dobes
1121
Puesto que los cuatro cuadrados tienen igual tamaño, se tiene A A1 = 9, para cada
t.
Paraf(x, j)
= X2
sen iry-, de (1.3), se tiene que -h
Vrif(u 1 ,vi ) tA1
=f 9
sen
(3, 3
(9)+f )
[(
2
ir
(1 , 3
(9 9\ ) (9)±f () (9)+f) (9)
f9\2
sen ()) sen 4 2 3-2)
(7,)
13ir\ 3 +() sen
/9\2
(3ir
= ç v'286.3s. Esta aproximación puede mejorarse aumentando el nümero de rectangulos de la partición. Por ejemplo, si ci rectángulo R se divide en nueve cuadrados de igual tarnaño (véase la figura 13.5c) y de nuevo se emplea el centro de cada cuadrado como punto de evaluación, se tiene AA1 = 4 para cada i, y V
f (ul ,vl) £4 _4
1f( 1 , 1 )+f(3, 1 )+f(5,1)+f(1,3)+f(3,3)
I. +f (5,3) + f (1, 5) + f (3,5) + f (5,5) () + 32sen () + 5 2 sen () + l2sen (*) + 32sen () - 1 2 sen + 52sen (L) + l 2 sen (j) + 32sen (L) -I- 5.2sen ()
- [ =280.
Continuando de este modo para dividir R en más y más rectángulos de igual tamaño y empleando ci centro de cada cuadrado como punto de evaluación, se coñstruyen aproximaciories cada vez mejores (véase la tabla al margen). En la tabla se observa que 275.07 es una aproximación razonabie. El volumen exacto es 275.02. (Le mostraremos córno hallar esto brevemente). Observe que la elección del centro de cada cuadrado como punto de evaluación, como se utilizó en el ejemplo 1.1, corresponde a la regla del punto medio para aproximar el valor de una integral definida para. una función de una sola variable. Esta elección de los puntos de evaluación generalmente produce una buena aproximación. Se puede convertir (1.3) en una formula exacta para el volumen? Note que es preciso algo más que simplemente hacer que n - 00 • Es necesario que todos los rectangulos de la partición tiendan a area cero. Una manerá apropiada de lograrlo es definir la norma de la partición lIP 11 como la diagonal más larga de cualquier rectángulo de la partición.
Capitulo 13 • Integrates mUltiples
1122
Observe que si 11 Ii 0, entonces todos los rectangulos deben tender a area cero. Ahora, se puede hacer la aproximación exacta del volumen (1.3): -
fl
V'f(u, v i ) /.A V= urn L. lIPll—o i=]
suponiendo que el ilmite existe y es igual para cada elección de los puntos de evaluación. AquI, al indicar que este lIrnite equivale a V, E flui , v) AAj puede estar tan cercano a V como se necesite, haciendo II P11 suficientemente pequeño. Más precisamente, esto indica que dado cualquier 6 > 0, existe un 6 > 0, tal que
-
para toda partición Peon VPH <6. En general, se establece la siguiente definición, aplicable aun cuando la función tome valores negativos. DEFINICIÔN. Para cualquier funciónf(x, y) definida en un rectánguioR del plano-xy,'la integral doble def sobre 11 sédefine por
Puede demosttrqc
Os continua on R tarnbién es Integrable an H EIa d'emostra i6
-ff
nile q i
f(x, y)dA
=
lIPII-0
(u, v)
dado que el ilmite existe y es igual para cada eleccióndclos
-
avanzados.
se dice quefes integrable en R.
Existe una dificultad con esta nueva integral doble: itodavIa no sabemos córno calcularla!, como ocurrió cuando se definió la integral- definida de una función de una variable. Para regiones R más generales, existe una pequeña dificultad, pero para un rectangulo es más Mcii, como se observa enseguida. Considere primero el caso especial donde fix, y) ^ ! 0 en el rectán-
gulo R = {(x, y) I S
Figura 13.6a: corte en capas del sólido paralelo at piano yz.
< x :5 by c !^-
j
d}. Observe que aquI, ffffx, y) dA
representa el volumen situado bajo la superficie z = fix, y) y sobre la regiónR. Recuerde que ya sabe córno calcular este volumen, gracias a lo desarrollado en La sección 5.2 (Tomo 1, pig. 437). Esto puede lievarse a cabo cortando el sólido en capas paralelas al piano yz, como se indica en la figura 13.6a. Si el area de la sección transversal del sólido, para un valor dado x, se denota comoA(x), de la ecuación (2.1) en la sección 5.2 (Tomo 1, pág. 440), se tiene que el volumen está dado por
a V=f A(x)dx.
Sección 13.1 a integrales dobies
1123
Ahora observe que, para cada valor fijo de x, el area de la sección transversal es simpiemente el area bajo la curva z = f(x, y), la cual está dada por la integral d
A(x)=f f(x,y)dy. Esta integración se denomina integracion parcial respecto de y, puesto que x se mantiene constante yfix, v) Se integra respecto de y. Esto produce
Zb
V = fbA(x)dx
[ff(x 3 v)d] dx.
=
(1.4)
AsI mismo, si en cambio se corta el sólido en capas paralelas al piano xz, como se indica en la figura 13.6b, Se tiene que el volumen está dado por =
1d [fbf(x )dx] dy.
Figura 13.6b: corte en capas del sOiido paralelo al piano xz.
Las integrales que aparecen en (1.4) y (1.5) se denominan integrales
iteradas. Observe que cada una de éstas indica una integración parcial respecto a la variable interna (es decir, primero se integra respecto a la variable interna,. y la variable externa se trata como una constante) y luego se integra respecto a la variable externa. Por simplicidad, las integrales iteradas comünmente se escriben sin corchetes:
1.b d f
[J ' f(xt)dY] dx
[f"
=
çfdf(xy)dd dtb
f(x,y)dx a
d=J
j
f(x,y)dxdy.
a
Como se indicó, estas integrales se evalüan desde el interior hacia afuera empleando los métodos de integración ya estabiecidos para funciones de una sola variable. Esto establece el siguiente resultado para el caso en que fix, y) ^ : 0. La demostración del resultado para el caso general es bastante larga, y se omite.
Suponga quefes integrable sobre el rectangulo R = {(x, y) I a :s x b y c :5 y :5 d}. En consecuencia, la integral dobie defsobre R puede escribirse como cuaiquiera de las integrales iteradas:
ff
f (x, y) dA = fbfdf(x,y)dpdx f
d ff(x)dxdy.
(1.6)
El teorema de F\ibini simplemente afirma que la integraldoble sobre un rectángulo siempre puede escribirse como un par de integrales iteradas. Ilustramos esto en el siguiente ejemplo.
Capitulo 13
1124
Integrates rnCtiples
INTEGRAL DOBLE SOME UN RECTANGULO
Si R = {(x, y) 0:5x :5 2y1
ff (6x 2 +4xy3) dA.
SOUJCION De (1.6), se tiene
ff
= i; 4 j,1 (6x 2 .f 4xy 3) dA
(6T 2 + 4xy3 ) dx dy
+ 4XY3 dx] dy )
:6x2
=': =
f
J1
dy
6-+4--y \
')
h
J
=o
=f(16+8 3 ) dy = (1671
+1)
[16(4)+Z(4) 4}_ [16(
Observe que La primera integración anterior se calculó integrando respecto de x y manteniendo y como una constante. Se deja como ejercicio
+ 4xy3) dA
j =
J
(6x 2 + 4xy3 ) dy dx = 558,
también.
Integrales dobles sobre regiones generales
FA
Figura 13.7a: regiOn no rectangular.
.Qué ocurrirIa si quisiéramos extender la noción de integral doble a regiones no rectangulares como la mostrada en la figura 13.7a? Como se hizo en el caso de las regiones rectangulares, se comienza por encontrar el volumen situado bajo la superficiez =flx, y)y sobre la region R, dondeflx, y) 2^ 0 y es continua en R. En primer lugai; observe que la cuadrIcula empleada originalmente para la partición de una region rectangular debe modificarse de alguna manera, puesto que tal cuadrIcula rectangular no "concordará" con una region no rectangular como la mostrada en la figura 13.7b. Este problema se resuelve considerando sOlo aquellas subregiones rectangulares situadas completamente en el interior de la region R (vease la figura 13.7c, donde se destacan estos rectángulos). El conjunto de estos rectángulos se denomina partición interna de R. For ejemplo, en la particiOn interna indicada en la figura 13.7c hay nueve subregiones. A partir de aqul se procede esencialmente como se hizo en el caso de una regiOn rectangular, es decir, en cada subregiOn rectangular Ri (i = 1, 2,..., n), en una particiOn interna; se construye una caja rectangular de alturafej, Vj) para algün punto (ui, Vi) E Ri (v&zse la muestra en la figura 13.7d).
SecciOn 13.1
o
1125
Integrates dobles
S
S
Figura 13.7b: cuadrIcula de una regiOn general.
Figura 13.7c: particiOn interna.
Figura 13.7d: muestra del volumen de una caja.
Entonces, el volumen Vi bajo la superficie y sobre Ri es aproximadamente Altura x Area de la base =flu, V) AA, donde de nuevo el area de R se denota por A A. En consecuencia, el volumen total V situado bajo la superficie y sobre la region R es aproximadamente
V
(1.7)
La norma de la partieión interna II? II se define como la longitud de la diagonal rnás larga de cualquiera de los rectángulos Ri, R2,..., R,. Note que a medida que 11 II se hace cada vez más pequeflo, la partición interna liena R con precision (véase la, figura 13.8) ye! volumen aproximado dado por (1.7) debe estar cada vez más cercano al volumen real. Entonces, se tiene n V' f(u, v) V = IIurn PII- 'O L--' i=1
Figura 13.8: cuadricula refinada.
suponiendo que el limite existe y es igual para cualquier elecciOn de los puntos de evaluación. Más generalmente, se tiene la siguiente definición.
DEFINICION. Para cualquier funcionf (x, y) definida en la region .R C R2, la integral doble defsobre R se define mediante
ff R
n
f(x, y) dA = urn
f(u, v)
(1.8)
IIPII-40 i=1
dado que el !Imite existe y es igual para cualquier elección de los puntos de evaluaciOn (Ui, vi) en Ri, para L = 1,2,..., n. En este caso, se dice quefes integrable en R. La pregunta que subsiste es cOmo calcular una integral doble sobre una regiOn no rectangular. La respuesta es Un poco más.complicada que para el caso deuna region rectangular y depende de la forma exacta de R.
1126
a
Do nuovo puedo demos trarse quo si f es continua an R, entonceS Os inteqrable sobre R. aunque Pa domostraciOn estO más allá del AI rs n. re do este Hbro.--:-.-
CapItuo 13 0 Integrales miltipIes
Se presentan dos casos por separado. Caso 1: R tiene la forma R = {(x,y) a !:-: x < bygi(x) :Sy :5 g2(x)l. Caso 2: R tiene la forma R = {(x,y) Ic :5 j < dyhi(1j) :5 x < h2(y)l. Note que estos casos son iguales a los empleados para calcular las areas entre curvas en la secciOn 5.1 (Tomo 1). Se comenzará por analizar regiones que tienen bien definidas las partes superior e inferior. Suponga que la region R tiene la forma R — {(x,y) Ia:5x:5bygl(x):sy_
--
z=f(x,
y)
Figura 13.9: regiOn R.
x
Figura 13.10: volumen por capas.
Primero, dela figura 13.10, observe que para cadax Eta, b] fijo, elárea de la capa situada sobre ci segmento de recta indicado y debajo de La superfi.. cie z = fix, y) está dada por
p92(1")
A(x)=
I Jg(x)
f(x,y)dy
No olvide que si conoce ci áreaA(x) de cada sección transversal, entonces ci volumen del sólido está dado por la ecuaciOn (2.1) de La secciOn 5.2 (Tomo 1, pág. 440): V= A(x)dx== j fa
I
f(x,y)dydx. L(c)
Al reconocer el volu men como V = fff(x, y) dA se demuestra el siguiente teorema, para el caso especial dondef(x, y) ^: 0 en R.
Sección 13.1 • Integrales dobles
1127
Suponga que f(x, y) es continua en la region R definida por R {(x,y) I a < x :5 bygi(x) :5y 5 gz(x)}.Entonces f(x)dA
f
' fg2lXl
f(x,tj)dydx
Aunque la demostración general del teorema 1.2 está rnás allá del nivel de este libro, la deducción anterior del caso especial dondef(x, y) > 0 debe contribuir a comprender por qué esto es verdadero. Observe que de nuevo nos hemos ingeniado la manera de escribir una integral doble como una integral iterada, lo cual permite emplear todas las técnicas de integración para funciones de una variable en la evaluación de integrales dobles. ADVERTENCIA: asegürese de lograr una representación razonable de la region R antes de escribir las integrales iteradas. Si no hace esto, será bastante afortunado (o suficienternente ingenioso) si logra resolver los primeros ejercicios, pero en ültimas estará condenado al fracaso. Es esencial que tenga una idea clara de la regiOn, para plantear las integrales correctamente. En el siguiente ejemplo, se ilustra el proceso de escribir una integral doble como una integral iterada. EVALUACJON DE UNA INTEGRAL DOBLE Sea
la region limitada por las gráficas de y = x, = 0 y x = 4. Evahie
ff
(4ex - 5sen
SOLUCIóN Primero se dibuja una gráfica de la regiOn, como lade la figura 13.11. Para ayudar a determinar los lImites de integración, observe que se ha dibujado un segmento de recta que ilustra los Ilmites internos de integración. La recta indica que para cada valor fijo de x, los valores de y van desde 0 hasta x. Sin especificar el integrando, del teorema 1.2 se tiene que
JJ R
Figura 13.11: regiOn R.
p4 px
f(x, y) dA
=
JJ
f(x, y) dy dx.
(1.9)
00
Sea muy cuidadoso aquI porque existen xnuchas trampas en que puede caer. El error más comün es mirar simpleinente los valores minirno y rnáximo de x y y, y escribir erróneamente p4
ft
f(xv)dA= /
f
f(x,y)dydx.
Compare esta ültima integral iterada con la expresión correcta en (1.9). Observe que en vez de integrar sobre la regiOn R mostrada en la figura 13.11, corresponde integrar sobre el rectangulo: 0 :5 x :5 4,0:5 Y :5 4. (iFalta poco, pero no ha Ilegado!) Sustituyendo fix, y) = 4e x2 -5 sen y, de (1.9) se tiene que
1128
ff
Capitulo 13 Integrales mtItipes
2 (4eX 5 sen
dA
-- ':
f
dy dx
(4ex2 - 5 sen
dx
= f (e 2 + 5cosy)l + 5 cos x) .- (0 + 5 cos 0)] dx [( fe" =
=f
(4xe
2
+5cosx - 5) dx 4
= (2e"2 + Ssen x - 5x
A0
= 2e'6 + Ssen 4 - 22 1.78 x No olvide que la integración interna anterior (con respecto a y) es una integración parcial respecto de y, de modo que x se inantiene constante. Como sucede a cuaLquier otra integral, con frecuencia las integrales iteradas no pueden evaluarse slmbólicamente (incluso con un buen sistema algebraico computarizado). En-tales casos, debe recurrirse a métodos aproximados. AquI la regla empIrica indica que debe evaluarse simbólicamente La integral interna, si es posible, y emplear luego un método numéricQ(pr Jmplo, Sithpiñ)paia aproximar La integral externa.
M
APROXIMAR LOS LIMITES DE INTEGRACION "
va1ue
If (x2 +) dA, donde R es la iegion hrnitada pm lasgxaflcasdc
SOLUCION Como siempre, primero se 1ibuja una grafica de la region R vease La figura 13.12). Note que los lImites internos de integración son fáciles de distinguir en La figura: para cada x fijo, y va desde x 2 hasta cos x.-Pero los lImites externos de integraciOn no son tan cLaros. Para encontrarlos, deben hallarse las intersecciones de las dos curvas resolviendo La ecuacion cos x = x2. Por supuésto, ésta no puede resoLverse con exactitud, pero utiLizando un procedimiento numérico (por ejempLo, el método de Newton o uno incorporado en la calculadora o en el sisterna algebraico computarizado), pueden obtenerse intersecciones aproximadas des ±0.82413. A partir del teorema 1.2, se tiene -0.824...
0.824...
0.82413 x2
(x2 +6y)dA
Figura 13.12: regiOn R.
f 0.82413jcos
R
82413 / =
(x 2 +6y)dydx
2\ V x2y+6)
f0o* .82413 ,0.82413
j—0.82413 [(x4 + 3x4 ) - ( —3.659765588,
dx
2/ x2
coax +3 Cos 2 x)] dx
Sección 13.1 • Integrales dobles
1129
donde se ha ëvaluado la ültirna integral aproximadamente, aunque p0drIa evaluarse con exactitud, empleando la integración por partes y una identidad trigonométrica. No todas las integrales dobles pueden calcularse utilizando la técnica de los ejemplos 1.3 y 1.4. Con frecuencia es necesario (o, por lo menos, cdnveniente) pensar en la geometrIa de la region R de una manera diferente. Suponga que la region R tiene la forma R={(x,y)Ic:53jdyh1(y):5x:Sh2(1j)}.
Para observar una region tipica de esta forma, véase la figura 13.13. Luego, de modo similar al primer caso, sirnplernente se escriben las integrales dobles como integrales iteradas, como en el teorema siguiente. FigUra 13.13: regiOn
tIpica. Suponga que f (x, y) es continua en La region R definida por R = {(x, y) Ic :5 y :5 d y h1(y) :5 x:5 h2(V)I. Entonces
=I L •d
h2(a)
f(x,y)axdy.
C
R
De nuevo la demostraciOn general de este teorema está más allá del nivel de este curso, aunque la razonabilidad de este resultado es evidente a partir del teorema 1.2 y el análisis que precede a ese teorema, para el caso especial dondefx, y) > 0 sobre R. INTEGRAR PRIMERO RESPECTO DE x
Escriba Jjf(x, y) dA como una integral iterada donde R es la region limitadaorlasgráficasdex = y2yx = SOLUCION Primero se dibuja una gráfica de la region (véase La figura 13.14a). Observe que integrar primero respecto de y no es una buena opción, puesto que la frontera superior de la region es y = para 0 :5 x :5 1 y = 2- x, para 1 :5 x 4. Una elección més razonable es utilizar el teorema 1.3 e integrar primero respecto de x. En la figura 13.14b, observe que se ha incluido un segmento de recta horizontal para indicar los limites dc integración internos: para caday fijo, x va desdex = y2 hasta x = 2 -y. En consecuencia, el valor de y está entre los valores de las intersecciones de las dos curvas. Para hallar éstos, se resuelve y 2 = 2 -y. 02 +y-2 =(y + 2)(y-l), de modo que Las intersecciones son = --2 y y = 1. Del teorema 1.3, ahora se tiene
/f 1
fff(x,Y)dA= R
Figura i3.14b: regiOn R.
J-2
2-. y
f(x,y)dxdy. 2
Con frecuencia tendrá que escoger respecto de qué variable va a integrar primero. En ocàsiones, La elección dependerá de La regiOn. A menudo una integral doble puede plantearse de dos maneras, pero una de éstas presenta menos dificultad que La otra. Este es ci caso en el siguiente ejemplo.
1130
CapItulo 13 • Integrates mtItipIes
DE UNA INTEGRAL DOBLE
Sea la region limitada por las graficas de y = ...,/i, x = 0 y = 3. Evaiiie
I
SOLUCIUN
ff
(2xy2+2Y cos x) dA
En ci ejemplo 1.6, se observó que ci orden de integración puede ayudar a que la integral doble sea más fácil de calcular. Como se nota en el ejemplo siguiente, en aigunas ocasiones deberá cambiar ci orden de integraciOn para evaluar una integral dobie. CASO EN QUE DEBE CAMBIARSE EL ORDEN DE INTEGRACION
Evahie la integral iterada
J
l
l
I
e
X2
dx cty•
Jy
SOLUCIUN En primer lugar, observe que la integral no puede eva1iarse como está escrita, puesto que no se conoce una antiderivada de ex . Por otra parte, si se cambia el orden de integraciOn,.la integral se hace bastante senciha, como sigue. Primero reconozca que para cada y fijo en el intervalo [0, 1], x varIa desde y hasta 1. En la figüra 13.16, se observa ha region
1131
Secciôn 13.1 • Integrales dobles
triangular de integraciôn. Al cambiar el orden de integración, observe que para cada x fijo en el intervalo [0, 1j, ,y varIa desde 0 hasta x, y se obtiene La integral doble iterada
I' f'
f
= e 2
dx dy
0
/
eX2 dy dx
0
FIR
f
ex
'2
C)
y
0
£1
x
dx
e, , ..r dx.
./0
Note que esta ültima integral puede evaluarse mediante sustituciOfl portm. x2 , puesto que du = 2xdx y La primera integración proporciona convenientemente el factor necesario de x. Se tiene
Figura 13.16: regiOn R.
(2x) dx e
• = —e 2'
L.................
cm
X=I
1
/ I
2'
--
ADVERTENCIA: estudie cuidadosamente los pasos seguidos en el cambio de los limites de integración en el ejemplo 1.7. Observe que no es un simple trueque de las dos integrales ni un simple cambio de y por x en los 11 mites internos. Cuando se cambia el orden de integraciOn, es muy importantedibujar una grafica como lade la figura 13.16, de modo que pueda observar la orientación de las diferentes partes del ilmite do La regiOn. Dejar de hacer esto es ci error más comcin cometido por los estudiantes en este punto. Esta es una habilidad que necesita práctica, a medida que la utilice durante el curso. (Dibujar La grafica sOlo requiere unos segundos e impedirá que cometa muchos errores graves. iHagalo por rutina!) La sección se completa enunciando algunas propiedades sencillas de las integrales dobles.
Sean fix, y) y g(x, y) integrables sobre La region R C R 2 y sea c cualquier constante. Entonces se cumple lo siguiente: 1)
ff
e f(x. y) (i/i = c
f(x. y) (IA,
// [f (x, y) + g(x, y)j dA
=
ff f(x, y)dA 'i- ff g(x, y) dA
Si R = H1 U .R2, donde Hi y R2 no son regiones superpuestas x
Figura 13.17: R = Ri U .R2.
(véase Ia figura 13.17), entonces
ff
f (x, y) dA = if f(x,y)dA +
LJ• f( xY ) dA.
Cada una de éstas se deducen de La definiciOn de integral doble dada en (1.8) y su demostración se deja como ejercicio.
1132
CapItulo 13' Integrates multiples
EJERCICIOS DE LA SECCION 13.1
1. Sif(x, y) 2: 0 en una region R. en tonces fff(x, y) dA dA el volurnen del sólido sobre la region R en R
el piano xy y bajo la superficiez =fx, y). Sifts, y) 2: 0 en una region Ri, yf(x, y) 5 0 en una region R2, anaiice el significado geométrico do
2. La definición de
f(x, y) cIA /7' I?
ff fix, y) dAy fff(x,
y) cIA. donde R = Ri U 112.
requiere que la norma do la particiOn 11 P 1
1
tienda unificar a 0.
Explique por qué no basta simplernente que el nümero do rectángulos n de La partición tienda a oO•
3. Cuando so calcularon areas entre curvas en la sección 5.1 (Tomo 1, pág. 429), se analizaron estrategias para decidir si integrar respecto des o de y. Compare esas estrategias con las estudiadas en esta secciOn para decidir qué variable Se toma como variable interna de una integral doble. -
4. Suponga que usted (o su software) emplea sumas de Riemann para aproximar una integral doble Jj fix, y) cIA particularmente dificil. Además, suponga que 11 = Ri U R2 y quo la funciónf(x, Y) es
-
casi constante en R1 pero oscila ampliamente en R2. Expliquc por qué necesitarIa más rectánguios en R2.que en-Ri-para obtener-aproximaciones iguaimente precisas. Pueden emplearse particiones irregulares para mejorar la eficiencia de las rutinas de integración numérica.
ejercicios 5 a 10, calcule la suma de Riemann -
rtángu!os do igual taman() y Iaiadeeva1ua-
ción dada. 1
5.ftx,y)=x + 2y2,0 :5 x :5 2,-1:5y :5 1,n = 4,
evalüe en el punto medio. 6. fix, y) = 42 + I , 1 :5 x:5 5,0 :5 y :5 2, n = 4, evalüe en el punto medio.
1
j
4
= 16,
En los ejercicios 13 a 18, evalie la integral doble.
:s' 2, n
= 16,
13.
evah:ie en ci punto medio. :5
3
1,n
7.f(x,y)= x + 2y2,0 5 x :5 2,-1 y :5
8. fix, y) = 42 + y, .1 :!^ x <5, 0 evahie en el punto medio.
2
9.f(x,y) = 3x-y, -1 x :5 1,0 :^:- y < 4, n = 4, eval(le
en el ext remo superior derecho. 10,f(x,y) = 3x—y,-1 :5 x< 1,0 :5 y:5 4,n = 4, evaiüe en ci extremo inferior izquierdo. En los ejercicios 11 12, calcule la suina de Rieniann
para la funcion dada, la partición irregular mostraday la evaluacjon en el punto medio. li.fix, v) = 3x - ,y 12.f(x, y) = 2x + v
If (2
14.11
-
2y) cIA donde R = {0 x ::!:- 2,-i
::E^ 1 }
(2xy + y 3 ) cIA donde R = {-1 :5 x
2,
0 ::-: y !^- 21
15.fj' 4xe2'y dA donde R =
{2 < x :f ^-4, 0 :5 y 11
it
16.1! (3 + 2x 0 :5 ,y :5 41
-
32) dA donde R
= {-3 :s x :!^- 2,
1133
SecciOn 13.1 • Integrales dobles
33. Demuestre que 17ff(l_yeJ)dAdondeR{O
1
^X^20^Y^ 3}
ff
2x
I
x2yx
/
f
2i,
x2dxdy..
,o
x :5 4,
34. Dibuje los sólidos cuyos voh1menes están dados en el ejercicjo 33 y explique por qué no son iguales los VOlümenes.
jos ejercicios 19 a 22, dibuje el sólido cuyo volunien está dado por la integral iterada.
En los ejercicios 35 a 42, halle una integral igual al volumen del sólido limitado por las superficies dadas y evalüe la integral.
18.1! (3x
-
) dA donde R = {0
4x
:5
Iz
o:5v
9}
j
19 20
.
1 2 !-
2x-3y)dydx
.12 1 (2 + x +
'
L
22.f
(4
-
x2
-
y 2 ) dy dx
Enlos ejerciciös 23 a 32, evalüe la integral iterada.
I
(x+211)dydx
Jo 2
2
= 0,11 = 1,y = 4, x = 0, x = 3 36.z = 3x2 + 2y,z = 0, y = 0, y = 1,x = 1,x 3
39.z = 6-x-y,z = 0,x = 4-y 2,x = 0 40.z = 4-2y,z = 0,x = ,y 4, x = 1
41.z=y2,z=0,y=0,y=x,x=2 42.z = x 2 ,z = O,y = x,y = 4,x =0 En los ejercicios 43 a 46, aproxime la integral doble.
fl p2
23.
43. jf (2x -y) dA donde R está limitada por v = senxyy = i-x2
I IJo (x+3)dydx
24. Jo
p2f 4 V
25. / Jo
(x+2y)dxdy
44. ff (2x -y) dA donde R está limitada por 11= ex y y=2-x2
2
py
/ (x 3 -1)dxdy
26.
jJ2, z
37.z = x2 + y2, z = 0, y x2, y 1 38.z = 3x2 + 2y,z = O, y = 1-x 2,y = 0
f (X 2 + y2) dy dx
21.
35.z = x2 +
f 2J0
45. ff e 2 dA donde R está limitada or y = x2 y
p1 p2js
27.)
J
(4x\/V+y)dxdy
00 p?r (2
28. / / (y sen xy)d.rd:ti Jo Jo p2 f2y 2 29. / &' d xdy Jo 30.
f, 1^
dA donde R está limitada por x =4
46. f
dlJ dx
(
yx = 0 En los ejercicios 47 a 52, cambie el orden de integración. pl
,2x
p.I p2
f(x.y)dydx
47.] / o JO
48.)
2 p4
31.1
32.
1
f
f
cos xydydx
49.
/ f(x,y)dxdy
50.
I J2y
3 -7
11n4 dx dy
51.
J
f(x.y)thjd
f(x,y)dydx52.
f(x,y)dxc
0
p
p4
ex
J )
21: 0 fl '.2y
y
f(x.,y)dx
1134
Gap(tulo 13 - Integrales mCiltiples
En Jos ejercicioS 53 a 56, evalüe la integral iterada cambiando priniero el orden de integración.
j2 2e .0 f2
_4
2 dydx
54
/1/1 3X
55•
dx dy
56.
.0 •y
fo f
dyds
/1f 1 cos x3 dx dy
.0
"171 57. Determine si su CAS puede evaluar las integrales
2/
61.f/(4..x 2 _ y2 )dy dz p1 ,vrL
62.Jo/ /JO
(x2 ± y2 ) dy dx j']
.J(J
58. Explique por qué tin CAS no puede evaluar la primera integral del ejercicio 57. Basado en ci resultado del ejercicio 57, Zpuede su CAS cambiar el orden de integración para evaluar una integral dobie?
I/
f(x, 'y) dx dy.
.10 . (,
f12eY2 dy dx
y
fix, y) dy dx en general
1
no es igual a f2&12 dy
p2x
I JoI
63. Explique por qué
,
64. Dé el ejemplo do una funciOn en quo las integra• les del ejercicio 63 sean iguales. Do la manera ms general posihie, clescriba qu(' propiedad debe tenor tat funciOn. 65. Demuestre el teorema 1.4, parte i). 66. Demuestre el teorema 1.4, parte ii).
--
En Jos ejercicios 59 a 62, dibi.je ci sóiido cuyo volu6.. Demuestre ci teorema 1.4, parte iii). nien es decmtn R or inLgi al iterda dada.68.Galcuie la integral iterada dibujando unagráfi .3 rG2 ca ernpleancio una formula geornetricabasica: (6 -2x- y)dy dx Jo.Jo ,1 ________ ____ /1_ x 2 _y 2 dydx. I I x y) dydx
59./ i
-
60.
-
-
-
69. Plantee una integral doble para el volumon del sóiido limitado por las gráficas de z = 4y2 y z = x 2 + y2. Note que realmente tiene dos problemas. En primer lugar, Ia regla general para hallar el volumen entre dos superficies es análoga ala regla general para encontrar ci area entre dos curvas. AquI Ia mayor dificultad radica en hailar los lImites do integraciOn. -
70. Como so mencionó en el texto, los métodos numéricos para aproximar integrales dobles pueden no ser confiablos. El método deMonte Carlo permite aplicar Ia teorIa de la probabilidad para aproximar Jff(x, y) dA, para una region acotada R. Por ejemplo, suponga que R está contenida en el rectangulo 0 x :5 1, 0 :5 y :5 1. Genere dos nümeros
i—i
aleatorios a y b de la distribución uniforme en [0, 11; esto significa que cuaiquier nümero entre 0 y 1 es igualmente probable de algi.mn modo. Determine si el punto (a, b) se halia o no en La region R, y luego repita el proceso rnuchas veces. Pot' eJemplo, si 64 de 100 puntos generados estuvieran dentro do R, expiique por qué 0.64 veces ci area del rectánguio 0 ^ x :5 1, 0
y) dA es (0.64) (13.6) = ilfix, 8.704. Aplique ci método de Monte Carlo para 2
estimar
/ 11, Jinx
sen (xy) dy dx. (Sugerencia:
demuestre que y está entre in 1 = 0 y <2).
1135
SecciOn 13.2 Area, volumen y centro de masa
3,2 AREA, VOL UMEN Y CENTRO DE MASA Al emplear integrales dobles para resolver problemas, es importante tener una idea clara de lo que representa cada uno de los componentes de la integral. Por esta razón, se hard una breve pausa para plantear una integral doble iterada como una suma dobie, de modo que sean más claros los componentes de la integral iterada. Considere ci caso de una función continuaf(x, y) > 0 en alguna region R c R 2 SiR tiene la forma R = {(x,y)
V
(J:
)
I a
como se indica en la figura 13.18, de lo estudjado en la sección 13. 1, se tiene que el volumen V situado bajo la superficie z = f(x, y) y sobre la region R está dado por pb
V
1. !J=i()
I Ja
1b
A(x)dx=
g(x)
/ I Ja Jgi(x)
f(x,y)clydx,
(2.1)
donde para cada x, A(x) es el area de la seccjón transversal del sólido correspondiente a ese valor particular de x. El objetivo consiste en escribir la integral del volumen precedente, de manera un poco diferente de la deducida en la sección 13.1. En primer lugar, observe que, de la definición de la integral definida, se tiene que b
Figure 13.18: region R.
f
A(x) dx
lIm IIPLIHO i
A(cj)
&C
(2.2)
donde Pi representa una partición del intervalo [a, b], c, es algün punto del .-ésimo subintervalo [X - i, x] y Ax1 = x - i, (el ancho del i-ésimo subintervalo). Para cada x E [a, b] fijo, observe que A(x) es ci area de Ia sección transversal, dada por g2 (x)
lIm
=
f(x, v3 ) AV3,
(43)
donde P2 representa una partición del intervalo [gi(x), g2(x)], Vj es algtin punto del j-ésimo subintervalo j] de la partición P2 y Ay 3 yj-i (el ancho delj-ésimo subintervalo). Reuniendo (2.1), (2.2) y (2.3), se obtiene
V = lIm
11.1-11 11-0 •...
A(c1) Ax1. M
=[
)Ayjl Axi
m .fl
In
j(c.1, v) Ajj Ax2
.
(
2.4)
iiit'o iiAf-o La doble sumatoria en (2.4) se denomina suma doble de Riemann. Observe que cada término corresponde al volumen de una caja de longitud Ax1, ancho Ay3 y alturaflc2 , V3). (Véase la figura 13.19).
Capitulo 13 • Integrales móltiples
1136
1!
S
Figura 13.19: volumen de una caja tIpica.
Observe que al superponer las dos particiones, se produce unapartición intiiade1aiegionR Sitap rticiorfi -ft sc&epresentaporPyla norma de la partición P se representa por JP, la longitud de la mayor diagonal de cualquier rectangulo de la partición, (2.4) puede escribirse con un solo limite, como f(c. v)
()
Alflbir una integral itr id a q e rprsent e1 sigue:
in
V= urn >>f(cj,vj) i=i j=i a1tura b
f92(x) j
(,)
dy
f(x,y)
ix
yj ancho
largo
dx .
. (2.6
'-'V-,
akura ancho
largo
Por lo menos debe hacer una representación mental de los componentes de la integral en (2.6), teniendo en cuonta los componentes correspondientes de la suma de Riemann. Se deja como ejercicio demostrar que para una region de la forma
R = {(x,y)
I c :5 y :5 dyhi(j) 5 x :5 h.2(y)},
se obtiene una interpretación correspondiente de la integral iterada M.
It
V = lIrn f(c, v 1 ) IJ !I _0 j=L i I ' '••' alra
•=
I C
•
Ax. "' tat-go
'" ancho
d fh2(Y)
f(x,y)
dx
dy .
(2.7)
1 (y)
largo ancho
aAtura
Observe que para cualquier region R C R 2 , ocasiones, se escribe simplemente corno
ffi cIA, la cual, en algunas
ffdA, da el volumen bajo La suR
.
.
.
—
1137
Seceión 13.2 . Area volumen y centro de masa
perficie z = 1 y sobre La region B en el piano xy. Puesto quo todas las secciones transversales paralelas al piano xy son iguales, el sólido es un cilindro y, por consiguiente, su volumen es el productO de la aitura (1) por el area transversal. Es décir,
V
(2.8)
dA = (1) (Area de R) = Area de R
R
tiene la opción do emplear una integral doble para hallar el area de una region plana.
AsI, se
EMPLEO DE UNA INTEGRAL DOBLE PARA HALLAR EL AREA
Halle el area de la region piana limitada por las gráficas de x = y - x = 3, y = -3 y y = 2 (véase la figura 13.20).
y=x+3 y2
y2,
I SOLUCION Observe quo on la figura so seflaló un pequeño rectangulo cuyos lados son dx y dy, respectivamente. Esto sirve do ayuda para indicar los lImites de la integral iterada. De (2.8), se tieno
'-3
A= // dA= Figura 13.20: region H.
f
[Y 2
f
2
J-2,
p?
/ dxdy=
3•Jy-3
_(y _.3)]dY
Y3 = (ç
dy
x 3
_c
x=y-3
+3v)
23
175
Piense un poco más en ci ejemplo 2.1. Recuerde que hemos resuelto problemas semejantes en la sección 5.1 utilizando integrales simples. Do hecho, pod na establecer directamente ci area buscada como p2
A
I
J -3
[2 - ( y
- 3)jdy,
como Se observa en Ia segunda iInea del pLanteamiento precedente. Aunque algunas veces usaremos integrales dobbs para resolver problemas conocidos, las integIales dobles tarnbién permiten resolver muchos problemas nuevos. Ya so han desarroilado formulas para calcular ci volumen do un sOlido situado bajo una superficie de Ia forma z = f(x, y) y sobre la region H (de varias formas), situada en ci piano xy. Entonces, ?.dOnde está la dificultad? Como observará en los próximos ejempios, la dificultad de planteir integrales iteradas radica en observar La region H de modo que el sóiido esté situado encima y determinar luego los lImites de integración para Las integrales iteradas. EJEMPLO1*
EMPLEO DE UNA INTEGRAL DOBLE PARA HALLAR EL VOLUMEN
Haile el voiumen del tetraedro limitado por ci piano 2x + y + z = 2 y los tres planos cbordenados.
1138
Cap itulo 13 • Integrates multiples
SOLUCION
Primero se dibuja el sólido. En este caso es fácil de dibujar porque el piano 2x + y + z = 2 interseca los ejes coordenados en los puntos (1,0,0), (0, 2, 0) y (0, 0, 2). Simpiemente una los tres puntos de intersección con lOS ejes coordenados y obtendrá la gráfica del tetraedro (un objeto de cuatro lados, con todos los lados triangulares) que Se observa en La figui-a 13.21a. Sin embargo para aplicar Ia fórmula de volumen, primero es necesar.jo visuaiizar ci tetraedro como ci sólido situado bajo una superlicie de La forma z = f(x, y) y situado encima de alguna region R en ci piano xy. Note que ci sólido está situado debajo del = 2 2x -y y sobre ia region triangular R en ci piano xy, como Se indica en Ia figura 13.2 Ia. Aunque no se trata simplemente de R, puede observarse que R es la region triangular limitada por los ejes x y y, y Ia proyección del piano 2x + y 4 z = 2 en ci piano sy. Esta proyección Sc encuentra simplemente estableciencto z = 0 2x + y = 2 (véase Ia figura 13.21b). Dc (2.6), se obtiene que ci volumen es
piano
Figura 13.21 a: tetraedro.
=
f
[z._ 2x) - 2x(2- 2x) (2 _2x)2] dx
-
j
Debe enfatizarse siempre en la necesidad de dibujar representaciones razonables del sólido y, particularmente, de la base del sOlido en el piano xy. Quizá tenga la fortuna de encontrar los iImites de integraciOn para aigunos de estos problemas, pero no se ilusione: necesita dibujar buenas representaciones y observar cuidadosamente para determinar correctamente los lImites de integración.a HALLAR EL VOLUMEN DE UN SOLIDO
z
Halle ci volumen de un sóiido situado en ci primer octante y iirnitado porlasgráficasdez=4.-x 2 ,x +y= 2,x = 0,y = Oyz = 0.
x+i,=2
SOLUCION
F
x Figura 13.22a: sOlido en el
primer octante.
Primero dibuje una gráfica del sólido. Debe fijarse en que z = 4-s2 Cs un cilindro (recuerde que ci término 11 no existe), x + y =2 es un piano y X = 0. y = 0 z = 0 son los pianos coordenados (véase Ia figüra 13.22a). Note quc ci sóiido está situado bajo la superficie z = 4 - 2 y sobre la region triangular R en el piano xy formado por ci eje x, ci ejey, y la proyección del piano x + y =2 en el piano xy (es decir, la recta x .+ y = 2). Esto se muestra en La figura 13.22b. Aunque primero podria integrarse respecto des cry, primero se integra respecto des. .De (2.7), se tiene
1139
SecciOr 13.2 Area, volumen y contro do rnasa
2 2—
Jo v=(f
, (4r2 ) i altura
=L
(4x) 4.(2--•
() /[
dx
dy
largo
anc!io
dy
-.
20 Figura 13.22b: regiOn
3
R.
HALLAR EL VOLUMEN DE UN SOLIDO
Halle el volumen del sólido situado en el primer octante y lirnitado por lasgráficasdez = 4-x2 -y2,y = 2-2x2,x = O, y = Oyz = 0. 0LUCU)N
I"
Figura 13.23a: sólido en el
Observe que z = 4y2 es un paraboloide que abre haeia abajo, con vértice en ci punto (0, 0, 4), y = 2-- 2x2 es un cilindro cuyo eje es paralelo alejezyx = O,y = Oyz = O son los pianos yz,xzyxij,respectivamente. En la figura 13.23a se dibuja este sóiido. En la figura, observe que este sólido está situado debajo del paraboloide y sobre la region R en el primer cuadrante del piano xy lirnitado por la. parábolay = 2- 2x2 y los ejes x yy, como se observa en la figura 13.23b. De (2.6) se obtiene.el volumen
primer octante.
v=f I 1
(4_x 2
2
altura
y=2--2x 2
pl /
v _ x2Y =j ç4 2x2)
404
Figura 13.23b: base del sOlido.
Momentos y centros de masa
IP
ri
largo oncho
y=2-2s2
_)
dx
i.
=
x
y 2)
10
_2
2 2z2) - (
._ 2x2)3
I dx
3.848,
donde, de nuevo, so dejan at estudiante los detalics del cálculo final. Esta sección se cierra analizando brevemente una aplicación fisica do las integrates dobles. Considere una piaca plana delgada (una lámina), euva forina corresponde a la region R C:. j2, y cuya densidad (masa por unidad de area) no es constante (es decir, algunas areas de la placa son más densas que otras). -Desde el punto de vista de la ingenierIa, con frecuencia es importante determinar dóndo podrIa ponerse un soporte Para eqUilibrarla. Este punto se denomina centro de masa de la lámina. Aqul la primera tarea consiste en hallar la masa total de la placa. En el caso de una placa real, simpiemente se colocarIa en una baianza, Pero, Para una placa teOriCa, es necesario ser más ingenioso. Suponga que la placa tiene la forma do
1140
f
CapItulo 13 utogralos mORiptes
la region R mostrada en la figura 13.24a y la densidad de masa (masa por unidad de area) está dada por la funciónp(x, y). Construya una partición interna de R, como la de la figura 13.24b. Note que si la norma de la particion 1 P 11 es pequeña, la densidad será casi constante en cada rectángulo de la partición interna. En consecuencia, para eada i = 1,2, ..., n, elija algün punto (ui, v) E R. Entonces, la masa mi de la porción de la iámina correspondiente al rectángulo Ri está dada aproximadamente por
V
m,
p('U j ,Vj ) tna.
a .nldad drea Ide area
donde AAj representa el area de R. Por tanto, la masa total de la iámina está dada aproximadamente por
Figura 1324a: lámina.
rn Note que si 11 fl es pequeña, ésta será una aproximación razonable de la masa total. Para obtener la masa con exactitud, se torna el lImite cuando I P 1 Uende a cero, elcual-debereconocer como una-integral-doble
V
----------
' p(u,
M = Iiin
v) AA j -
(2.9)
Ahora, si desea balancear una iámina como la mostrada en la figura 13.24a, -
i—
X
Figura 13.24b: partición interna de R.
--
previo del centro de masa en in èha (es-tbse=denôrnina momeuto respecto al eje y) y dé arrib15 (momento respecto al eje x). Primero se aproxirna el momento M, respecto al eje V. Suponiendo que la masa del t-ésimo rectángulo de la partición está concentrada en el punto (ui, vi), so tiene Up(Uj,Vi)
(es decir, la suma del producto de la masa y La distancia dirigida desde el eje y hasta la màsa). Tomando el lImite cuando 1 PI 1 tiende a cero, se obtiene lIm MY == "P11-so
(2.10)
R
de manera semejante, observando ci producto de las masas y sus distancias dirigidas desde el eje x, se obtiene ci momento Mx respecto al eje x,
M,, = Jim >vP(vi)v)=ffYP(x)Y)dA. IlPli—,o R
El centro de masa es el punto (, ) definido por
M x=— m
y
- M. y= — m.
(2.11)
-
SecciOn 13.2 . Area, volumen y centro de masa
1141
IIALLAR EL CENTRO DE MASA DE UNA LAMINA
Halle el centro de masa de la lámina cuya forma corresponde a la region limitada por las gráficas de y = x 2 y y = 4, la densidad de masa está dada porp(x,y) = 1 + 2y + 6x. SOLIJC ION En la figura 13.25, se dibuja la regiOn. De (2.9), se tiene que la masa total de la lámina está dada por
ff p(x,y)dA= J-2 f f
24
m
=
R
2
I
(1+2y+6x2 )dydx
.2
2
/
\V4
(y+2+6x2y) J-2 \ J FigUra 13.25:
dx
Imina. [(4 + 16+ 24x2) (x2 + x 4 ± 6x4 )] dx
=f
= 1,696
113.1.
De manera semejante, a partir de (2.10) y (2.11), se caictilan los momentos:
= JfxP(x,Y)dA = ff:x (1 + 2y + 6x2) dydx
M
f
=
2
f.2 (x2xy+6x3)dydx
= 112 (x 112 0.
dx 6xy) + x?+ y=x2
[(4x + 16x + 24x3 ) - ( x 3 + x 5 + 6x 5)] dx
Esto indica que la coordenada x del centro de masa es =0. rn 113.1 Esto no debe sorprenderlo, puesto que la region y la densidad de masa son simétricas respecto al eje y. (Observe quep(-x, y) = p(x, y)). Enseguida se tiene: + 2y+6x2) (it dx
= ffvp(xv)dA =
=
fL
+ 2y 2
± 6x y ) 2dydx
2
f-2
!2L+6x2_) 3 2 2
Ex
dx
=11[(8+48x2) - (+x6+3x6)] dx - 11,136 3182 36 -
1142
Capitulo 13 Integralos multiples
- M m
318.2
y, en consecuencia, se tieno y = -113.1 2.813. Entonces, el centro do masa está localizado aproximadamente en (0,2.813).
4?
4vllv.
'W"noO
1. La suma doble de Riemann en (2.5) encubre el heeho do que ci ordon do integración es iinportan-
;
to. Explique como afecta ci orden de integración Los detalles de la suma doble de Riemann. 2. Muchas integrales dobbs pueden plantearse en dos pasos: primero se identifica la funcionf(x, y) yluego so identifica la region bidimensional R y se esl.abbecen los ilmites do integración. Explique cOmo están separados estos dos pasos en los ejemplos 2.2, 2.3 y 2.4. 2
3.zzEh los ejemplos2.2, 2.3 y 2.4, l bujos son esencia1es.pero difleiles delograr. Explique dibujo, incluso que sup.ificie debt dibujdl n 11 inieijugai, segundo lugar-y-asi--sueesivan éii1mitád por un piano, expiique cómo identificar cuál de las dos mitades so mantiene.
-----------
T
4. El momento M es el momento respecto del eje y, pero so utiliza para hallar Ia coordenada x del centro demasa.Expque p qiéseuti1izaMy no M para calcular-la coordenada x de1 -centro-demasa.
z para calcular el area de La region limitada por las
curvas. 5.11 = x 2 ,y = 8-x2
6. y = x 2 ,y = x + 2 7.y=2x,y3-x,y=0 = 3x,y = 5 - 2x, y = 0
9• y = x2 , x = 112 lO.y
= X 3 , -Y
=
17.z = x + 2,z = 0,x =y2 —2,x =y 18.z = 2x +y + 1,z = 0,x =y2,x = I
En los ejercicios 19 a 22, plantee una integral doble para el volumen limitado por las superficies dadas, y estImela numéricamente. 19.z
Tj,11 = 4-x2 , primer octante
20.z = /i x 2 -y2 , x2 + y2 = 1, primer octante 21.z
= CXiI,
x ± 2y = 4y los tres pianos coordenados
En los ejercicios 11 a 18, caicule el volumen del soildo liniitado per las superficies dadas.
22.z=ex2 4112 ,z=Oyx2+y2=4
ii. 2x 4• 3'y + z = 6 y los tres pianos coordenados
En los ejercicios 23a 28, halle la masa y el centre de
12. x i
masa de la Iámina con la densidad dada. 23. Lárnina iirnitada pory = x 3 yy = x 2,p(x, y) = 4
-. 3z = 6 los tres pianos coordenados.
13.z = 1- y2 , x +,y = I los tres pianos coordenados (primer octarite). 14.z = 1 - x2 - y 2, x + j = 1, y los tres pianos coordenados
24.Láminalimitadapory = x 4 yy x 2,p(x,y) = 4 25. Lámina limitada por x = y x = 1, p(x, y) = 2 +x+1 26. Lámina limitada por x'= y x = 4,p(x, y) = j + 3
1143
Sección 13:2° Area, vollimen y centro de maca
. 4y x = 0, 21. Lámina limitada por Y ' = x2 (x > 0), y = = distancia desde ci eje y p(x, y) 28.Láminamit&aporY = x2 -4yy = 5,p(x,y)
41. Su.ponga que la funciOnflx, y) da.el total de liüvia qüe ha caldo en ci punto (x, y) en una regiOn R. Enuncie con palabras qué representan
cuadrado de La distancia desde el eje y 29. Las láminaS de los ejercicios 25 y 26 son ambas s irnCtricas respecto del eje x. Explique por qué no es cierto en ambos ejercicios que ci centro de inasa se halla en el eje x. 30. S upOnga que una lemma es sirnétrica respecto del eje x. Establezca una condición sobre La funci6ri de densidadp(x, y) que garantice que ci centro de masa está localizado en el eje x. 31. Suponga que la lámina es simétrica respecto del eje y. Establezca una condición sobre la funcióri de densidadp(x, y) que garantice que el centro cle masa se localiza en el eje y. 32. Dé un ejemplo de una lámina simétrica respecto del eje y pero queno tiene su centro de rnasa eneiejej. En los ejercicios 33 a 40, defina el valor medio de Ax, y) sobre una region R de area a mediante
d A. 33. Calcule el valor medio def(x, y) = y sobre La region1imitadapor y = x 2 y y = 4. 34. Calcule el valor medio de f(x, y) region limitada.por y = x 2 y y = 4.
y 2 sobre Ia
35. En el ejercicio 33, compare ci valor medio deflx, y) con la coordenada y del centro de masa de una lámina con la misma forma y densidad constante. 36. En ci ejercicio 34, fl se extiende desdey = 0 hasta y = 4. Explique por qué el valor medio de f(x, y) corresponde a un valor de y mayor que 2. 37. Calcule ci valor medio def(x, y) = / Ty2 en la regiOn limitada por y = x 2- 4y y = 3x. 38. Interprete el significado geométrico del valor medio en ci ejercicio 37. (Sugerencia: .qué representa /x 2+ _ V2 geometric amente?)
if f(x, y) dA
a) 'ftx,y)dA
y
b) R ______
fJldA R
42. Suponga quo la funciOnp(x, ) da Ia densidad de pohlación en ci punto (x, y) en una region R. Enuncte con palabras qué representan
a) .i:fp(x, y) dA
y
R
ffp(x,y)dA b) R ff idA
.
43. Los vertices de una lemma triangular son (0,0), (0, 1) y (c, 0) para alguna constante positiva C. Demuestre que la coordenada y del centro de masa de la lCrnina cc independiente de la constante C. 44. El momento de inercia respecto del eje y de una lámina que tieñe la forma de la region R con densidadp(x, y) es ci segundo momento I, definido por ly = J.f x2p(x, y) dA. El momento de inercia mide con qué dificultad gira la lámina alrededor del ejey. Conp(x,j)= 1, ca1culeI para. e1rectán•-
guloa :5x
39. Suponga que la temperatura del punto (x, j) en una region R está dada por Tx, ) =50 + cos(2x + W, donde R está limitada por y = y y = 8 7 x2 . Estime la temperatura media en R.
I:.
40. Suponga que la elevaciOn en ci punto (x, y) en Una region R está dada por hx, y) = 2300 + 50 sen x cosy, donde R está limitada por y y Y = 2x. Estime la elevaciOn media en R.
S
1144
46. 8 s time el momento de inercia respecto del eje
Capitulo 13° Iiitegraes mtItipIes
tas raquetas de tenis, una rotación airededor del éje y corresponderIa a un giro de la raqueta en la mano, el cual es indeseable. Compare la tendencia de cada raqueta a girar. Como se relata en What Makes a Boomerang Come Back, de Blandig y Monteleone, el mayor momento de inercia fue lo que motivó a Howard Head, que se habIa lesionado un coda, a construir raquetas de tenis con encordado más grande, en los años de 1970.
j
(véase el ejerciCiO 44) de las dos elipses I, limi-
tada por X2 + 4y2 = 16, y R2, limitada por x 2 + 4y2 = 36. Se puede pensar que RI R2 son los modelos del marco del encordado de dos raquetas de tenis. Las raquetas tienen la misma forma pero la segunda raquela es mucho más grande que la primera (la diferencia en tamaño es casi igual a la diferencia entre las raquetas de los años de 1960 y las de los aflos de 1990). Para es-
47. Una funcionf(x, y) es una función de densidad conjunta en una region R sif(x, y) ^!i 0 para todo (x, y) en R y i'f(x, y) dA = 1. Suponga que una pgrspn A aiie.ug los dardos da en ci blanco pero no es muy precisa. origen y que el tablero es la region R limitada por x 2 + y2 = 64 (las unidades son pulgadas), y la función de densidad conjunta para la posición resultante del dardo esf(x, y) = Para alguna consfantinnE. Estine
region U contenida en R, la probabilidad de que el dardo dé en U está dada por JJf(x, y) dA. Estime la probabilidad de que el dardo caiga en el interior del cIrculd del blanco x 2 + y2 = Estime la probabilidad de que accidentalmente el dardo dé en la banda "triple 20" limitada por x 2 + y2 = 16, x2 + y 2 = 14, ,y = 6.3x yy = -6.3x. Explique por qué todas las regiones de este e jercicio podrian calcularse con facilidad en coordenadas polaràs. (Luego, empiece a leer la próxirna sección). .
.
M 48. En este ejercicio, se exploran los aspectos del diseño de cohetes analizados en la introclucción del captulo. Se trabajará con ci bos-
quejo del modelo mostrado, donde la estructura principal del cohete mide 1 unidad por 8 unidades y cada aleta triangular mide 1 unidad de altura y w unidades de ancho. Pride masa, suponiendo una densidad constante p(x, y)LLuego la coordenada y del centro de masa suponiendo la siguiente estructura de densidad: la densidad de la mitad superior de la estructura principal es p = 1JensidaddeJamitad-ifi4.eJ. ----estr-uta principal es p = 2 y la disid -
dew, tal que satisfaga el criterio de estabilidadyi
SecciOn 13.3 Integrales dobles en coordenadas polares
1145
133 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Las coordenadas polares son muy ütiles, en especial al estudiar las integrales dobles. Esto se debe a varias razones, de las cuales la más importante es que si La region sobre La que está integrando es de alguna manera circular las coordenadas polares quizá sean lo que necesita para abordar un problema de integraciOn difi cii de abordar por otros medios. Por ejemplo, quizá necesite evaluar
ff
(x +y 2 +3) dA
Esta integral parece suficientemente sencilla, puesto que todo lo que necesita efectuar es la integraciOn de un poiinomio. Nada podria ser más fácil hasta conocer que R es la regiOn circular de radio 2 centrada en el origen. LPensaria aün que es muy sencilla? Observe la region en la figura 13.26. Es necesario escribir la mitad superior de la circunferencia como la gráfIca de y = /4 - x2 y La mitad inferior como y = - - x2 . La Integral doble en cuestión ahora se convierte en
7
2 jj
R
(x2 + y2 +3) dA
ff
(x 2 + y2 +3) dy dx
2 (x2y+L+3y) 4 3 / = 2f[(x 2+3)V4_ x 3
/
FIgura 13.26: regiOn circular.
dx 2 +
( 4_
x 2) 3/2 ]dx. (3. 1)
Es probable que no hecesitemos convencerlo de que la integral en (3.1) es menos sencilla. La razOn es que estamos hallando el equivalente matemático de tratar de casar una clavija cuadrada en un agujero redondo, lo cual noes fácil usualmente. Por otra parte, como se estudiará en seguida, esta integral doble es sencilla cuando se escribe en coordenadas polares. Se considerarán varios tipos de regiones polares. Suponga que la regiOn R puede escribirse en la forma R = {( r,8)Ia :5 0:5 #,y g 1(0) :5 r :5 g2(0)},
como se representa en la figura 13.27a. Por supuesto, el primer paso es realizar una particiOn en R pero, en vez de emplear una cuadricula rectangular, como en las coordenadas rectangulares, se utilizará una particiOn en sectores circulares (de la forma r = constante) y rayos (de la forma 0= constante). En la figura 13.27b aparece tal partición de la region.
9) x
Figura 13.27a: region polar R.
Figura 13.27b: partición de R.
Capitulo 13 • Iritegrales mItipIes
1146
•
A
/
/
I'
Observe que, en este caso, la"cuadrIcula" no está conformada por rectángulos, sino por regiones polares elementales limitadas por dos arcos con0=02 secutivos y dos rayos consecutivos (como se observa en la figura 13.27c). En una partición interna, solo se incluyen aquellas regiones polares eleinentales situadas pbr completo en el interior de R. Ahora nos detendremos brevemente para calcular el area AA de la region polar elemental indicada en la figura 13.27c. Sea ; F fri + r2) el r adio promedio de los dos arcos circulares concentricos r = ri y r = r2 12 Recuerde .que el Area de un sector circular está dada porA = Or y, en Ar consecuencia, se tiene que .
A0
= Area del sector externo - Area del sctor interno
-
=—Or--LOr
Figura 13.27c: region polar elemental.
2
2 1
=(r—r)IO (r2 ± r1) (r2 - r1 ) M (3.2) L.rL\O, Como puntode partida conocido, primero se aborda el problema dehallar el vo1u men 'itu i( o dcbajo de una supeilicie z = fi 0), dondefes continua yflr, 0) ^ !: 0 (•st'i en R. Empleando (3.2), so halla quo el volumen Vi situado debajo de la superficie z =flr, 0) y sobre la i-ésima region polar elemental de la partición es entonces, aproximadamente, el volumen del cilindro: f(r, O) AAj = f(r, 0) i tri =
,
•
•.•
•
.
aI&ra areade la base
vri.
elr
n interna: f(r, O) ri Ari M.
V
Como se ha hecho varias veces, se puede medir exactamente el volumen tox4ndo el If mite cuando la norma de la particiOn flP fi tiende a cero, y reciociendo la integral iterada:
V
lIm 1111H0 i=:t
f(r, O) ri
An zO
p$
=/ f1(6) Jc
f(r,0)rdrdO.
En este caso, lIP II es Ia diagonal más larga de toda region polar elemental en la partición interna. En general, se tiene el resultado siguiente, que se cumple independientemente de siflr, 0) 0 en R o no.
Suponga quéf(r, 0) es continua en la regiOn R = {(r, 0)1 a 5 0 < /3 y gi(0) :5 r :5 92(0)1. Entonces •
•
.j.
/g1 f(r,t9)dA= R
•
I3 pg(6)
//
JaJgi(0)
f(r,0)rdrd0.
(3.3)
Sección 13.3
e
1147
Integrates dobles en coordenadas potares
De nuevo, la demostración de este resultado está más allá del fivel de este texto. No obstante, el resultado debe parecer razonable a partir del desarroLlo del caso dondeflr, 0) 2: 0.
CALCULAR EL AREA EN COORDENADAS POLARES Halle el area al interior de La curva definida por r = 2 —2 sen 9. SOLUCION Primero se dibuja una gráfica de la region, como la de la figura 13.28. A partir de (3.3), se obtiene 27r 2-2sen 0 dAf rdrdO AJJ rdrdO j
f0R 27r r2 jr=2-2sen 0
dO
ir=O = 1 127r [(2 - 2sen 9)2
Figura 13.28:r = 2-2sen0.
-0] dO = 67r,
donde los detalles del cálcuLo final se dejan con ejercicio. Ahora se retoma el ejemplo introductorio y se demuestra cOmo la introducción de coordenadas polares puede simplificar drásticamente una integral doble en coordenadas rectangulares.
EVALUACION DE UNA INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES Evalüe AX 2 + y2
3) dA, donde R es la regiOn circular de radio 2
centrada en el origen.
V
x
Figura 13.29: region R.
+
SOLUCIÔN Primero recuerde que, a partir de la introducción a esta secciOn, es muy complicado expresar esta integral ei coordenadas rectangulares, como en (3.1). En la regiOn de integraciOimostrada en la figura 13.29, es fácil comprender que para cada 0 fijo, V varIa desde 0 (correspondiente al origen) hasta 2 (correspondiente a un punto sobre la circunferencia). En consecuencia, para girar airededor de la circunferencia exactamente una vez, 0 varia desde 0 hasta 27r. Por ültimo, observe que el integrando contiene La cantidad x 2 + y2 , que equivale a r2 en coordenadas polares. De (3.3), ahora se tiene 2,r 2 (2 + 2 +3) (r2 + 3) r dr dO dA
If R
r2+3
rdrd9
= f027r / f2f
(r3 +3r)drdO
12*N (r4 =
=
r2\i2
f21T [( T+31) 1±31)1 22 24
f
21T
=10dO=2Oir.
o
dO
0j dO
Capitiilo i3.lntegraIesm6ItipIes
1148
Observe qué tan senc.illá es esta integral iterada, si se compara eon la integral correspondiente expresada en coordenadas rectangulares en (3.1). Cuando se abordan integrales dobles, debe tener en cuenta si la region sobre la que está integrando es de algcin modo circular. Es decir, si es una region circular o una porción de ella. HALLAR EL VOI.UMEN EMPLEANDO COORDENADAS POLARES
Halle el volumen al interior de la paraboloide z = 9- x2 - y 2, al exterior del cilindro x2 + y2 = 4y sobre de ci piano xy.
Observe que ci vértice de la paraboloide está en (0, 0, 9) y el eje del cilindro corresponde al eje z (véase La figura 13.30a). Debe observar que el sólido se sitüa bajo La paraboloide y sobre la region del piano xy situada entre las trazas del cilindro y la paraboloide en el piano xy, es decir entre las regiones circulares de radios 2y 3, ambas centradas en ci ongen. For consiguiente, Para cada 0 E [0, 2v] tijo, r varIa desde 2 hasta 3. Ialregión se denomina corona circular (vease Ia figura Fiqura 13.30a: volumen at exterior del cilindro y at interior de la paraboloide.
fo2lrf3
ff(9_X2_y2)
/2
13
rdrdO
rdrdO (9r
)d
9-idO—ir. 2 2 ) r=2
Figura 13.30b: corona circular:
Existen dos elementos que debe buscar cuando vaya a emplear coordenadaspoiares Para abordar una integral doble. La primera es muy obvia: ,es circular la geometrIa de La region? La otra es: Lcontiene la integral la expresión x 2 + y2 (particularmente, en el interior dé otras funciones, come, ralces cuadradas, exponenciales, etc.)? Puesto que r 2 = x2 + y2, cambiar a coordenadas polares con frecuencia simpiificará .términos de esta forma. XPRES1ON DE UNA INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
Evaiie la integral iterada
I
J.-L
I
x 2 (x 2
+ y2)2 fj dx.
SOLUCION
Prirnero debe reconocer que evaluar esta integral en coordenadas nectangulares es casi imposible. (ilnténtelo y comprenda por qué!) Por otra parte, tiene un término de la forma x 2 + y2, la cual se analizó antes. Pero aün más significativo es que laregion sobre la que está integrando resulta ser un semidisco, como sigue. Leyendo primero los ilmites inter-
1149
SecciOn 13.3 • Integrales dobles en coordenadas polares
nos de integraëión, debe observar que para cada x fijo situado entre 4 y 1,11 varIa de y = 0 hasta y -x2 (la mitad superior del disco circular de radio 1 centrado en el origen). En la figura 13.31 se dibuja la regiOn. De (3.3) se tiene
x
II
x2(x2+Y2)2dydx=ff R
Fura 13.31: regóflR.
7 .2
Puesto quo x = r cos 0. fo,r
2
112 ) 2 dA (x 2 +y2
x2
fo
c:0s 2 £1
r dr dO
(r2)2
r7cos26?drdO
fr L8
Cos 2 ocw
f
(1 + cos 29) 9
1
Puesto quo cos2 9 = (1 + cos 20).
==
(o +
sen 28)
=
ir
HALLAR EL VOLUMEN EMPLEANDO COORDENADAS POLARES = Halle el volumen cortado de la esfera x 2 + 2 + z2 por el cilindro x2 + = 2y.
SQLUCION En la figura 13.32a se muestia un dibujo del sólido. (Si completa el cuadrado en la ecuación del cilindro, observará que es un cilindro circular de radio 1, cuyo eje está en larectax = 0, y = 1, z = t). Note que sobre, y debajo de la region circular de radio 1 centrada.en (0, 1), se sitüan iguales porciones del volumen, como se indica en la figura 13.32b. En consecuencia, se calcula el volumen situado debajo del hemisferio superior - -, 2 y encima de la region R indicada en la figura 13.32b, y se z= duplica. Se tiene
V=2ff\/1_x 2 _Y 2 dA. Figura 13.32a: volumen al interior de la esfera y al interior del cilindro.
Puesto que R es un cIrculo y el integrando incluye un término de la forma x2 +,y2, se introducen coordenadas polares. Observe que como y = r sen 0, el cIrculo x2 + 2 =211 se convierte en r2 = 2r sen 0 r = 2 sen 0. Esto produce 71
V=2f
f
2scnO _____ \/4—rrdrd9,
puesto que para cada 0 E [0, r} fijo, r varIa desde r= 0 hasta r = 2 sen 0. Note además que por simetrIa se obtiene Figura 13.32b: region R.
1150
Capitulo 13° Integrales rnüfliptes
ir/2
V=4[ Jo
2 sen 0
\/.T
fo
U
r dr d9 r=2 Sen 0
[(4_r2)31'2l
=_2j --4 - -
4
2 312
- 4 sen 0)
I/2[( 32 7r/2 [(co820)3/2_1]
1
32
r b
-43 /2] dO dO
ir/2
=---L
64 16
(cos30-1)dO
--- + -r
Figura 13.33: region R.
dO
J r=O
0
O=h2(r)
9.644.
AquI deben observarse varios aspectos. En primer lugar, el uso de la simetrIa fue determinante. Al restringir la integral al intervalo [0, 2H, podria escribirse (cos 2 O) = cos3 0. Esto nose cumple en todo el intervalo [0, ]. (Por qué no?) Segundo, si piensa que esta integral era confusa, piense en cómo serIa en coordenãs rectangulares. (lEs hastante complicado!)
______-
Por 61timo observe quepuede evaluar integrales dobles en coordenadas polares integrando primero con respecto a 0. Aunque (por la manera de cambiar las variables de coordenadas rectangulares a coordenadas polares) tales integrales no son muy comunes. R= {(r,O)la:5r :5byhi(r) Os 112(r)}, como se representa en la figura 13.33. Por consiguiente, puede demostrarse que sif(r, 0) es continua en R, se tiene
Jf I
f(r, 0) dA
b
=JaI
f(r, 0) r dO dr.
(3.4)
Jhj
EJERCICIOS DE LA SECCION 13.3 4,'
1. Si dy dx representa el area dA de un rectángulo peqüeño, explique en términos geométricos por quédA # drdO. 2. En todos los ejemplos de esta sección, primero se integró respecto der. También es legItimo integrar primero respecto de 0. Explique por qué es improbable que sea necesario hacerlo. (Sugerencia: si 0 está en el interior, necesita funciones de la forma 0(r) para los lImites de integracióñ). 3. Dada una integral doble en coordenadas rectangulares, como en el ejemplo 3.2o 3.4, identifique al menos dos indicios de que es más fácil evaluarla en coordenadaspolares.
SecciOn 13.3. Integrales dobles en coordenadas polares
4. En la sección 9.5 se dedujo La fórmulaA =
I
Ja
1151
1f(0)]2 dO para el area limitada por La curva polar
r = f(8) y rayos 0 = a y 0 = b. Analice qué relación existe entre esta formula y la utjlizada en el ejemplo 3.1. Analice cuál formula es más fácii de recordar y cuál es generalmente más ütil.
E. n Jos ejercicios 5 a 12, halle el area de la region jirnitada por las curvas dadas. 5.r3+2Sefl0
6. 7=2-2cos0
7.r=2sen0
8. r3cos0
9. Una hoja de r = sen 30
21. jj(X2 + y 2) ciA donde R estd limitada por y = Y = Oyx = 2
22. If
cos
x2 +y2
10. Una hoja de r = cos 20 11. Interior a r = 2 sen 30, exterior a r = 1, primer cuadrante 12. Interior a r = 1 y exterior a r = 2-2 cos 0 En los ejercicios 13 a 18, use coordenadas polares para evaluar la integral doble.
dA donde R está limitada por
13.
ciA donde R está limitada por =9
En los ejercicios 23 a 32, use un sistema de coordenadas apropiado para calcular el volumen del sOlido indicado. 23. Debajo de z = x2 + ij2 , sobre z = 0, dentro de x 2 + t,2 _9 24. Debajo de z = x2 + y2 -4, sbre z = 0, dentro de x2 -I-y2 =9 25. Debajo de z = x2 +y 2 =4
i4ff
... y 2 + 1 dA donde R está limitada por
it X2 + Y 2 = 16
2 15. ff e7-,Ic -Y 2 ciA donde R está limitada porx2 + y2 = 4 16.ffev2+Y2 dA donde R está limitada por x2 + 2 =1
17. fly ciA 18. ffx dA
sobre z = 0, dentro de
+ 112, sobre z = 0, dentro de 26. Debajo de z = \/2,2x2 +(y-1) 2 = .1
27. Debajo do z = -- - y 2 ., sobre el piano xy, dentrodex 2 +y2 = 28. DebajO de z = 8- x2 - y2, sobre eL piano xy 29. Debajo de z :.r 6- x - y, en ci primer octante 30.Debajodez=4-x 2 --y2,entrey =x,y=Oyx= 1
donde R está limitada por r = 2- sen 0
31. Debajo de z = 4- x2 y2 , sobre ci piano xy, entre V = OYY
donde R está limitada por r = 1- cos 0
32. Debajo de z = /x 2A Y-2, dehajo de z = 4, sobre el piano xy, entre y = x y y = 2x
En los ejercicios 19 a 22, use el sistema de coordenadas más apropiado para evaluar la integral doble.
En los ejercicios 33 a 38, evalüe la integral iterada empleando coordenadas polares.
19.If (x2 + y2 ) dA donde R está limitada por X 2 +,y2 = 9 20. ff2xy ciA donde R está limitada por y =4 - x 2 y y=O
2vx
33 f f,j
2f_v 2 V•
34•
\/T..Fy2dydx
sen (x 2 +y2 )dydx
Capitulo 13 • Integrales m&ItipIes
1152
2 pV'1
41. Una triple 20, R limitada por r = 3, r = 4,0 =
X,2 2 el- ' dydx 35. / / V4--= T' Jo p2 36. /ydydx Jo ./
.1 0 f J8f
37.j p1
9
42. Una doble 20, R limitada por r o=
43. Halle el area do La region triple 20 descrita en el ejercicio 41.
______ 1/.,/2 + y2
38. / /
44. Halle el area de la region doble 20 descrita en el ejercicio 42.
dx dy
.10 J1j
En los ejercicios 39 a 42, calcule la probabilidad do que un dardo caiga en la regiónR, suponiendo que la probabilidad está dada por
Jf4 e_x2 112 dA.
39. Blanco dobie, R limitada por r = (pulgada) 40. Blanco sencillo, R limitada por r = y =
-
6, r = 6 1 0 =
20
(x 2 +y2 ) 312 dydx
/ 2
- 11r 20
Supongaqtwlos siguientes datos dan La densidad de una lámina en diferentes sitios. Estime la masa de la lámina.
p(r,O)
45. Halle el centro de masa de una lámina cuya forma es x2 + (y - 1)2 = 1 y su densidad esp(x, y) = 1//x 2 F 46. Halle el centro do masa de una lámina cuya forma es r = 2-2 cos 0 y su densidad esp(x, j) = X 2 +,Y 2.
puede evaluarse directamente. Se necesita un uso ingenioso de coordenadas polares. Comience por dar un nombre a La integral.
L:c 2 dx =i
2 1.0 1.4 11.4 1.2
1
1
0.8 1.2 1.0 1.0 0.8
3 2
1.0 1.3 1.4 1.3 1.2
2
1.2 1.6 1.6
1.4
j..00
1.0
1.2
48. Una de las integrales más importantes en la teorla de La probabilidad es fe2 dx. Puesto que no hay an t iderivada de e 2 entre las funciones elementales, esta integral no
e 2 dx
f
e
_y2
= f.f00
e22
dx = 12. Convierta La integral iterada a coordenadas polares y evalüela. La integral buscada I es simplemente la raIz cuadrada de la integral itorada. Explique por qué no puede emplearse el mismo procedimiento para evaluar
c
2 dx.
13.4 AREA DESUPERFI!E Quizá recuerde que en La sección 5.4 se desarrollO un método para hallar el area de superficie de una superficie de revolución. En esta sección, se considerará el problema en un marco más general. Suponga queftx, y) 0 yftiene primeras derivadas parciales continuas en alguna regiOn R del piano xy. Nos gustarl a hallar un método para calcular el area de superficie de la porción do superficie z = f(x, y) situ ada encima de R. Como se ha
• Area do superficie
SecciOn 13.4
1153
hecho en varias ocasiones, se comienza por formar una partición interna de R que consta de rectánguios Ri, R2, ..., R. La estrategia consiste en aproximar el area de superficje situada sobre cada Ri, para i = 1,2, ..., n luego sumar las aproximaciones individuales para obtener una aproximacion del area total de superficie. Se procede como sigue. Para cada i = 1, 2, ..., n, sea (XI, y, 0) la representación de la esquina del Ri más cercano al origen, y se construye el piano tangente ala superficiez =f(x, y) en el punto (XI, yi,f(xi, ye)). Puesto que el piano tangente se encuentra cerca de la superilciejunto al punto de tangencia, el area uT2 de esa porción del piano tangente situado sobre R1 es una aproximaCiófl al Area de superficie sobre R (vease la. figura 13.34). Observe también que esa porción del piano tangente situado sobre R1 eg un paraieiogramo, Ti, cuya area u1 debe calcularse con facilidad. Sumando estas aproximaciones, se tiene quo el area de superficie total S es aproximadamente S
A
;c
L LxTj
AsI rnismo, note que cuando Ia norma do partición 11 11 tiende a cero, las aproximaciones deben acorcarse al area de superficie exacta y, en consecuencia, so tiene
yi
Fiqura 13.34: area de superficie.
5
lIrn
(4.1)
AT,.
IIPII-.O.1=1
suponiendo que el lImite existe. La inica pregunta que resta es cómo hallar los valores de AT 2, para t = 1,2, ..., fl. Sean Ax 2 y Ayj las dimensiones de Ri, y sean los vectores ai y bi dos lados adyacentes del paralelogramo Ti, como se indica en la figura 13.3.. Recuerde, del análisis de pianos tangentes en la sección 12.4, que ci piano tangent.e está dado por (xi, Vi, f(x, yt))
z f(x 2, y2) =f(x1, y 1)(x--xi) +f(x1, y) (y -
ai
-
(4.2)
y).
Observe con detenimiento la figura 13.35. El vector ai tiene su punto micial en (x2, y,f(x2, ye)). Su punto final es el punto del piano tangente que corresponde ax = Xj + Axi y y = y. De (4.2), se tiene quo la coordenada z del punto final satisface z -ftx, y 2) = f(xt, y) (Xi + =f(x, yi)
AX1
-
Xi)
+ j(xi, v) (Vt 311) -
AXI.
Esto indica que el vector ai está dado por
X^; i .4 Ayi
Figure 13.35: porción del piano tangente sobre R.
ai = (Ax, 0,f(x,
111)
ux1).
Asi mismo, b2 tiene su punto inicial en (XI, yi,f(xj, yi)), pero tiene su punto final en el punto del piano tangente correspondiente a x = XI 3731= Yl + Aye . Dc nuevo, empleando (4.2), se tiene quo la coordenada z de este punto está dada por Z — f(Xi,
y) = fx(Xi, yl)
(Xj
-
Xi)
+ f(x, yi) (j +
fv(x1, 311) A311. Esto indica que bj está dado por bi
= (0, Ayi, f(x1, Vi) A1i1).
ij
-
y)
Capitulo 13 Integrales mUltiples
1154
Note que ATj es el area del paralelogramo mostrado en la figura 13.36, el cual debe reconocer como AT i = haul hibull senA = llau X b i ll,
donde 0 indica el anguio entre au yb. Se tienc k
ij xj 0 0 Ayi
L.xj Ayj I
= f r.
f1 (zvu,y) LX1 Lyj + Axi f.\yj k.
Esto nos da ATZ = hlauxb2Il
-
ILf( xu , vu )]2 + [f(x,y 2 )] 2 + 1 AAi
donde AAi = Axi Ayi es el area del rectángulo que el area de superficie total está dada por
&. De (4. 1), ahora se tiene
S= lIm >L\T. a
Figura 13.36: el paralelogramo Ti.
yj) 2 .4 - [f(x, y
)] 2
+1
Debe reconocer eëTIñiité como la integral doble
ff
-
Of" (X
'^ )12
+ [f(x,y)] 2 + idA.
(4.3deI area de super
trar Con
(4.3)
brCawes-
vAlida para el caso en queflx, y) :5 0 en R. (Esto se deja como ejercicio). En segundo lugar, debe notar la semejanza con la formula de longitud de arco deducida en la secciOn 5.4. Además, recuerde que n = (fx(x, y), f,(x, y), -1) es un vector normal para el piano tangente a la superficie z =f(x, j) en (x, y). Teniendo esto en cuenta, reconozca que el integrando de (4.3) puede ser 11 n 11 , una idea que se desarroiiará más completamente en el capItuio 14.
HALLAR EL AREA DE SUPERFICIE Halle el area de superficie de la porción de la superficie z = y2 + 4x situada sobre la region triangularR en el piano xy, y cuyos vertices están en (0, 0), (0, 2) y (2, 2). SOIUCLON En la figura 13.37a se muestra un dibujo de la superficie generado por computador y en la figura 13.37b aparece la region R. Si se tomaftx, y) + 4x, entonces se tienef(x, y) = 4 yj,(x, j) = 2 j. De (4.3), se tiene
Figura 13.37a: superficie Z = 'Y 2 + 4x.
=
ff
/[fz (x,y)] + [f(x,y)] 2 + idA
•=ff \/42 +.4v2 +ldA
1155
SecciOn 13.4 Area de superficie
Observandocon detenimiento la figura13.37b, puede deducir los ilmites de integración, para obtener,
f V4v2 s=I Jo
______ +l7dxdy
p2
p2
=
I
'4y2+17x
f
y"4y 2 +17dy
Jo __________
dy x=O
1(42+17)3/2 (2) Figura 13.37b: regiOn R.
3/21 [[4 (2 2 ) +17]3'2_ [4(0)2+171 j
=
j
Para calcular el area de superficie se requiere alga más que aplicar la formula (4.3), puesto que necesitará determinar cuidadosamente la regiOn sobre la que está integrando y el mejor sistema de coordenadas que debe emplear, coma en el siguiente ejemplo. t IIALLAR EL AREA DE SUPERFICIE EMPLEANDO COORDENADAS POLARES Halle el area de superficiè de la porciOn de la paraboloide z = 1 -1- x 2 + situado bajo el piano z =5. SOLUCIÔN En primer lugar, note que nose conoce la region de integraciOn; par tanto, deberá determinarla mediante un análisis detenido de la grafica (vewe la figura 13.38a). Observe que el piano z = 5 interseca la paraboioide en una circunferencia de radio 2, paraielo al piano xy y centrado en el punto (0,0,5) sabre el ejez. (Simplemente remplacez =5 en la ecuaciOn de la paraboloide para comprender por que). AsI, el area de superficie bjo el piano z =5 se sitüa sobre la region circular en el piano xy, de radio 2, centrada en el origen. En la figura 13.38b aparece la region de integración R. Tomando AX, 'Y) = 1 + x2 + y2 , se tienefx(x, y) = 2x yj,(x, y) = 2y, do modo que de (4.3), se tiene
s= HE
ff f
y)?
+ [ f,1 (x,y)] 2 +
idA
x
Figura 11138a: intersección de la paraboloide con el piano z = 5.
Figura 13.38b: regiOn R.
CapItlilo 13 Integrales mUItpk?s
1156
Note que como la regiOn dé integraciOn es circular ye! integrando contiene el término x 2 + v 2 el uso de coordenadas polares es el indicado. Se tiene
s=If\/+)+i dA R
=f
rdr(W
v'4r2+1
2i ,2
j /4r2 1 1rdrd9
1f2(2)
=L
(4r2
F
)
3/2
Ir2
..
1
(173/2 i/) dO 12J0 \
=
I-
(i - 13/2) 12 \
36.1.8.
Es necesario seña!ar que (como sucede a la longitud de arco) la mayor parte de las integrales del area do superficie no pueden calcularse con exactitud. En la mayorIa de las ocasiones, dehe conilar en las aproximaciones numéricas de las integrates. Aunque, sin duda, su sistema algebraico computarizado puede aproximar numéricamente, incluso, integrales iteradas, tales aproximaciones quizáno sean fidedignas. Los métodos de integraciOn numérica para integrales iteradas son bastante complicados, y no es el momento de analizarlos. Cuatido sea posible, intente evaluar al menos una de las integrales iteradas y luego aproxime numéricamente la segunda integral (por ejemplo, empleando la re-gla Simpson). Esta es la situación en el siguiente ejemplo. --
AREA DE SUPERFICIE QUE DEBE APROXIMARSE NUMERICAMENTE
Halle el area de superficie de 'la porción de la paraboloide z = 4-s2 situada sobre la region triangular R, en el piano xy, cuyos vertices están en(O,O),(1, l)y(l,O). z
SOLUCIÔN En la figura 13.39a aparecen la region R y la gráfica de la paraboloide. Tomandof(x, y) = 4-. •-. se tienef(x, y) = -2x y fy( x, y) = -2y. De (4.3) se tiene
S
= ff V' - ff
Figura 13.39a: superficie
z=
4-x2-y2.
x,y)] 2 + [f(x,y)] 2
+ 1 dA
/4x + 4y 2 + 1 dA.
Note que tiene pocas posibilidades de evaluar esta integral doble en coordenadas rectangulares. (iPiénselo!)Aun cuando la regiOn de integración no es circular, intentaremos con coordenadas polares, puesto que el integrando contiene el térnino x 2 + y2 . En la figura 13.39b se indica la regiOn R. AquI la dificultad está en describir la regiOn R en términos de coordenadas polares. Observe con detenimiento la figura
1157
SocciOn 13.4 . Area de superticie
13.39b y fijese en que para cada angulo 9 fijo, el radio r varla desde 0 hasta un punto de la recta x'= 1. Puesto que en coordenadas polares x = r cos 9, la recta x = 1 corresponde a r cos 0 = 1 o r = sec 0, en coordenadas polares. Además, 0 varIa desde 0 = 0 (el eje x) hasta 0 (la recta y = x). La integral del area de superficie ahora se convierte en
S=ff \/TE4Y 2+i R
f
FicUra 13.39b: region R.
dA p Jr CIO
ii/4
d7.
fec
1r ir/4
!f
(2
dO
1)3/2 r=secO
) (4r2 ±
(10
/4 1 [(4 SeC 2 0 + .1) 3/2 _ 1] dO 12 .93078,
f
donde se aproximó el valor de la integral, puesto que no se dispone de medios exactos para integrar. A esta aproxirnación puede ilegar empleando la regla de Simpson o el sistema algebraico computarizado.
ON 0
1. Empezando por la ecuación (4.1), existen varias maneras de estimar AT1. Explique por qué es importante hallar una aproximación de la forma fix2, y1) Ax Ay. 2. En el ejemplo 4.3, se evaluó la integral interior antes. 4e estimar numéricamente la integral restante. Analice el nümero de cáiculos necesarios para emplear una regla como I de Simpson para estimar una integral iterada. Explique por qué es importante evaluar primero la integral interior.
En los ejercicios 3 a 20, evaluie o estime el area de
superficje.
10.La porción de z = e X2 +y2 = 1
t 22
al interior de
3. Laporcióndez =x2 +2entrey =x,y = Oyx =4 11.Laporci6ndex + 3y +z = 6 en el primer octante 4. La porción de z = 4y + 3x2 entre y = 2x, 'y = 0 y x=2 5. La porción de z = 4- x2 - y2 sobre el piano xy 6. La porción de z = x2 + ij 2 debajo de z = 4 7. La porción de z = /x2 +Y2 debajo de z = 2 - entre y = x yy = 4 8. La porción de z = /x2 +y2 Y al interior de x 2 + j 2 = 4 '.Laporciondez=e
12. La porción de 2x + y + z = 8e1 primer octante 13.Laporci6n dex-y--2z = 4 con z :5 y
1158
17..La prciófl de z = x = -2, x = 2
y2_dehajo:de z
Capituio 13
= 0 y entre
18. La porción de z = 4- x2 encima de z = 0 y entre y=0,y=4 19. La porción de z = /4 20. La porción de z = /9
-
x2
-
--
y2 sobre z = 0 y2 encima de z = 0
21. En los ejercicios 7 y 8, determine el area de superficie del cono como una función del Area de la base del sólido. 22. Use la soiución del ejercicio 21 para hallar rápidamente el area de superficie de la porción de z = /x2 + y2 encima del rectángulo 0 s x 5 2, 1 y < 4.
27. Un viejo chiste dice que un matemático.teórico contratado para mejorar la produccióñ lechera empieza su irifrme con la hipótesis siguiente: "c --a-vaea esférieaEin i un anhinil Se aproximará mediante elipsoides. Estime el volumen y el area de superficie de las elipsoides 16x2 + v2 + 4z2 = 16y 16x2 +,y2 + 4z2 = 36. Observe que la segunda elipsoide mantiene las proporciones de la primera, pero la longitud de cada dimension está multiplicada por 2 Demuestre que el volumen se incrementa en una proporción mucho mayor que el area de superficie. En general el volumen se incrementa como el eubo de la longitud (en este caso, ()3 = 3.375) y el area de superficie se incrementa como el cuadrado de la longitud (en este caso, = 2.25). Esto tiene implicaciones para el tamaño de los animales, puesto que el volumen tiende a ser proporcional al peso ye! area de superficie tiende a ser proporcional a la fuerza. Explique por qué una vaca que incrementa el tamaño proporcionalmente en un factor de 2 podria desplomarse a causa de su peso. .
(
• I ntegrales mUltiples
23.Enlosejer4icios43 y 14 r deterrnine-el-Irea-de superficie de la porción del piano, indicada como una función del áreaA de la base del sólido ye! ángulo 9 entre el piano dado ye! piano xy. 24. Emplee la soiución del ejercicio 23 para hallar rápidamente el area de superficie de la porción de z = 1 + y encima del rectánguio -1
28. Para una superficie z =f(x, y), recuerde que un vector normal al plano tangente en (a, b, •fta, b)) es (f-(a, b),j,(a, b), -1). Demuestre que 1af6±1Ieieade suprfiieprI
if donde n es el vector normal unitario a la superficie. Emplee esta fOrmula para plantear una integral doble para el area de la mitad superior de la esfera x 2 + y2 + z2 = 4 y cornpárela con la dificultad para plantear la misma integral en el ejercicio 19. (Sugerencia: use el gradiente para calcular el vector normal y sustituya z = J4 y2 para escribir la integral en términos de x y y). Para una superficie como y =4- x 2 z2, es conveniente pensar en y como la variable dependiente, y calcu!ar la integral doble e integrar doble respecto de x y de z. Escriba la fórmula del area de superficie en términos del vector normal para esta orientación y utilicela para calcu!ar el area de superficie de la porciOn de y = 4- x 2 z 2 al interior de x2 + Z2 = 1 y a la derecha del piano xz. -
-
-
-
Sección 13.5 . Integrales triples
1159
' IIVTEGRALES TRIPLES
0
Figura 13.40a: particiOn de a
cajaQ.
0
Al comienzo, la integral definjda de una función de una variablefix) se desarrolló para caléular el area bajo la curva y = fix). De manera semejante, se planteó La integral doble de una función de dos variablesfix, v) como medio para caicular el volumen situado debajo de La superficie z = f(x, y). No tenemos motivación geometrica comparable para definir La integral triple de una función de tres variablesf(x, j, z), puesto que la grafica de It =f(x, j, z) es una hipersuperfieje de cuatro dimensiones. No se puede visualizar una gráfica en cuatro dimensiones, puesto que nuestro mundo es tridimensional. Entonces podria preguntarse con razón si una integral de una función de tres o más variables tiene algün significado o importancia. Brevemente, ha respuesta es sI! Las integrales de funciones de tres variables tienen muchas aplicaciones muy importantes en el estudio del mundo tridimensional en que vivimos. Al final de esta sección se considerará una de estas aplicaciortes (hallar el centro de masa de un sólido). Puesto que no existe motivación geométrica obvia para desarroliar la integral triple de una función de tres variables, planteamos su desarrollo después del de La integral doble de una función de dos variables. Primero se considera el caso relativamente sencillo de una funciónfix, y, z) definida en La region Q del espacio definido por
Q={(x,y)Iaxb,c:5y:5dyr5z:5s}. Es decir, Q es una caja rectangular en up espacio tridimensional. Como se ha hecho en innurnerables.ocasiones, se empieza por una particiOn de La region Q. Esto se lieva a cabo cortando Q en planos paralelos al piano sy, planos paralelos al piano xz y pianos paralelos al plano yz. Observe qué Q se divide en un ni.imero de pequeñas cajas (véase la figura 13.40a). Numere las cajas más pequeñas en cualquier orden: Qi, Q2,..., Q. Para cada caja Q (i = 1,2,..., n), denornine Las dimensiones x, ,y y z de la caja como Axe , Ay y Azi, respectivamente (vease la figura 13.40b). Note que esto implica que el volumen de la caja Qes AVj = Ax i Ayj Azi. Como se hizo con una y dos dimensiones, se escoge cualquier punto U4, V, Wi) en La caja Qj y se forma la suma de Riemann Vi, Wi)
iVi.
Figura 13.40b: caja tIpica Q.
En este caso de tres dimensiones, la norma de la particiOn 11 P 11 se define como la diagonal más larga de cualquiera de las cajas Q, i = 1, 2, ..., n. Ahora se define la integral triple def(x, y, z) sobre Q, como sigue. DEFINICION. Para cualquier funciOnfix, y, z) definida en la caja rectangular Q, se define la integral triple defsobre Q por
jjj*
f(x, y, z) dV = ii).o
f(u, v i , w) LW
dado que el lImite existe y es igual para cada elección de los puntos de evaluaciOn (ui, V, W) con i = 1,2, ..., n. Cuando esto sucede, se dice quef es: integrable sobre Q.
1160
Puede demostrarso quo mientras f es continua sobre Q, .f será integrable sobre Q. Ahora quo so ha definido esta integral triple, ,cOmo puede calcularse el valor do una do ellas? La rospuesta debe probar quo no es una sorpresa. Puosto quo una integral doble puedo escribirso como dos integrales iteradas, una integral triple es equivalente a tres integrales iteradas.
Capitulo 13 • Integrales mUltiples
Suponga que f(x, y, z) es continua en La caja Q definida por Q = {(x, y,z)la :5 x :5 b, c :5 y:5 dyr :5 z :5 s}, entonces, la integral triple puede escribirse como la integral triple iterada
f(x, y, z) dV =
f
j
d
fb
f(x, y, z) dx dy dz.
.1
(5.2)
Corno en ci caso de las integrales dobles, las tres integrales iteradas de (5.2) seevaiüan de adentro hacia afuera usando integraciones parciales. Es .decir, en La integral más interna se niantienen fijas y y z y se integra con respecto de x, en l.a segunda integración se mantiene fija z y se integra respecto de V. Observe también que en este caso sencillo (donde Q es una caja rectangular) ci orden de las integraciones en (5.2) es irrelevante, de modo que podrIamos escribir fácilmente la integral triple como
f fdf, b
N
f(x, y, z) dV
=
f(x, y, z) dzdy dx,
o en cualquiera de los otros cuatro Ordenes.
I
INTEGRAL TRIPLE SOME UNA CAJA RECTANGULAR
Evalüe La integral triple
2xeY sen z dV, donde Q es el rectángulo
Q
definidopor
SOLOCION Dc (5.2), se tiene
Ill
.
1 2
2xe sen z dV
= fo fo I sn i sen 2x22 fo f 2xe'
e1
z dx dy dz
z
.
dydz
7r
11=1
f7r
3
senze
dz y=0
= 3 (e' - 1) (— cos z) cos ir± cos O) =3(e-1)(--
L
=6(e—i). Debe escoger entre otros cinco órdenes posibles de integración y deostrar que obtiene el mismo resultado.
Como se hizo en las integrales dobles, las integrales triples pueden deflnirse para regiones tridimensionales más generales utilizando una partición interna de la región. Para cualquier sólido tridimensional Q, la partición
±1
Sección 13.5 • Integrales triples
1161
de Q se lieva a cabo cortándolo en pianos paralelos a los tres pianos coordenados. Al igual que en el caso en que Q era una caja, estos pianos forman un nümero de cajas (véanse las figuras 13.41a y 13.41b). En este caso, se tienen en cuenta solo aquellas cajas Qi, Q2,..., Q situadas enteramente en Q, y a ésta se denornina una partición interna del sólido Q. Para cada i = 1,2, ..., n, se elige cualquier punto (UI, VI, WI) E Qi y se forma la surna de Riernann
f(u, v, w.) tV1, donde AV1 = 1Xj Ayi Azi representa el volurnen de Q. En consecuencia, la integral triple puede definirse sobre una region general Q corno el lIrnite de sum as de Riemann, como sigue.
Figura 13.41a: particiOn de un sOIido.
DEFINICION. Para una funcionf(x, y, z) definida en ci sólido Q, la integral triple def(x, y, z) sobre Q se define por
N
f(u. v, w1)
f(x,y, z) dv. = Urn
(53)
v=1
dado que el lImite existe y es igual para cualquier elección.de los puntos de evaluación (ui, v, Wj) en QI, para i = 1,2, ..., n. Cuando esto ocurre, se dice quefes integrable sobre Q.
1J X
Figura 13.41b: rectángulo tIpico en Ia partición interna de un sOUdo. z
z=g 2 (x, ii)
Debe notar que (5.3) es precisamente igual a (5. 1), excepto que en la primera se suman sobreuna partición interna de Q. La (gran) pregunta que queda es cOrno evaluar integrales triples sobre regiones más generales. Como observO en las integrales triples sobre una caja, hay seis Orden es diferentes de integración posibles en una integral triple iterada, lo cual dificuita escribir un solo resultado que permita evaluar todas las integrales triples. Por consiguiente, en vez de escribir una lista exhaUstiva, se indicará la Idea general observando varios casos especIficos. For ejemplo, si la regiOn Q puede escribirse en la forma
Q={(x,y,z)J(x,J)ERyg1(x,y):5z:5g2(x,y)}, X, y)
donde R es alguna regiOn en ci piano xy (véase Ia figura 13.42), puede dernostrarse que (5.4)
y , z) dv = Figura 13.42: sOlido con SUPerficies superior e inferior definidas,
(x. y, z) dzdA.
Como se estudió antes, la integración más interna en (5.4) es una integracion parcial donde x y y se mantienen fijas y se integran respecto de z, y la integral doble exterior se evalüa empleando métodos ya desarrollados en laseccion 13.1. INTEGRAL TRIPLE SOBRE UN TETRAEDRO
I
Evalfje Nfty dV, donde Q es el ietraedro lirnitado por los pianos x = 0, y =•0,z =Oy2x+y+z=4(veaselafigura13.43a).
1162
+
Capitulo 13 • tntegrales mUItipes
Z
-14
Observe que cada punto del sólido se sitüa sobre la region triangular R en el piano xy indicado en las figuras 13.43a y 13.43b. Puede imaginar que R forma la base del sólido. Note que para cada punto (x, y) E R fijo, z varla desde z = 0 hasta z = 4 - 2x - V. Esto ayuda a trazar una recta vertical desde la base hacia la superficie superior del sólido, como se indica en La figura 13.43a. La recta primero penetra el sóiido en el piano xy (z = 0) y sale del sólido en el piano z = 4- 2x - ,y. Esto indica que los iImites de integración más internos (dado que La primera integración es respecto de z) son z = 0 y z = 4- 2x -- y. De (5.4), ahora se tiene
2x+y+z4
/
Figura 13.43a: tetraedro.
6xy dV
=
Jf ii:
4
'—"—y
Gxy dz dA =14-22-y
/ (6xyz) z
-
dA
If 6a;,(4 - 2-- v )dA. R
-.-.---------
--.----
-
.-.
Es.toperm4te-caIcular la d 51flñta[sobre la region triangular mostrada en la figura 13.43b. Oberve que para cada x E [0,2] fijo, y varIa desdeOhastay=4-2x.Ahorasetiene -
6xydV= //6xy(42z--
E"'- ' ---
---
f2 f4-2x
Ftgura 13.43b: la base del sOlido en el piano xy.
6xy(4-2-y)dydx
=
=/6(4xç_2x 2
=
x Y)d x
2
1
[12x(4 - 2x) 2 - 6x 2 (4 - 2x) 2 - 2x(4 - 2x) 3] dx
donde se dejan al estudiante los detalles de La ültima integración. El mayor reto de piantear una integral triple es obtener los lImites correctos de integración. Para mejorar la oportunidad de lograrlo, necesita tiempo para dibujar una buena grafica del sOlido y tratar de identificar la base del sólido en uno de los pianos coordenados (como se hizo en el ejémplo 5.2) o los ilmites superior e inferior del sólido cuando ambos están por encima o por debajo de la misma region R en uno de los pianos coordenados.. Como esto puede parecer dificil de recordar, estas ideas se ilustran ampliamente en los ejemplos que siguen yen los ejercicios. Esté seguro de que no se basa en suposiciones. Estas pueden funcionar en los primeros ejercicios, pero no en general.•
El
Sección 13.5 Integrales triples
1163
Para ayudar a determinar los ilmites de integracjon, después de identificar la base o la superficie de las partes inferior y superior de un sólido, dibuje una recta desde un punto representativo de la. base (o la superficie de La parte inferior) hacia la superficie de la parte superior del sólido, como se muestra en la figura 13.43a. Esto indicará los ilmites para la integral más interna. Para ilustrar esto, se examinan varias perspectivas del ejemplo 5.2. INTEGRAL TRIPLE DONI)E LA PRIMERA INTEGRACION ES RESPECTO DE x Evakie
fff6xy dv,
donde Q es el tetraedro limitado por los pianos x
=
y = 0, z = 0 2x + y + z = 4, como en el ejemplo 5.2, pero en este caso se integra primero respecto de x. SOLUCION
Figura 13.44a: tetraedro visto con base en el piano yz.
Podria objetar que el resultado de la nica evaluación para integrales triples (5.4) es para la integración primero respecto de z. Aunque esto es cierto, necesita darse cuenta de que x, y y z son simplemente variables que representamos con las letras del alfabeto. .A quién le interesa saber qué representa cada letra? Observe que puede imaginar el tetraedro como un sólido cuya base está en la region triangular R' del piano yz, como se indica en la figura 13.44a. En este caso se dibuja una recta ortogonai al piano yz. Note que ésta penetra el sólido en el piano yz (x = 0) y sale en el piano x = (4 - y - z). Adaptando (5.4) a esta situación (es decir, intercambiando los papeles de x y z), se tiene (4_y)
N Q
6xy dV
= ff f If
6xy dx dA
RI
(6 =-y RI
ff
3(4
dA
I'1 x=0
VZ)
v
dA
RI
Para evaluar la integral doble restante, observe la region W en el piano
yz, mostrada en la figura 13.44b. Ahora se tiene
N
'.4
6xydV=— I 4j0
f
4—v
(4—y—z)2ydzdy=
64
Q
Fgura 13.44b: regiOn R'.
donde el estudiante debe verificar los detalles derutina. Por iltimo, el estudiante debe demostrar que la integral triple también puede escribirse como una integral triple iterada donde se integra primero respecto de V, como en 2 4-2x 4-2m—z Oxy dy dz dx. 6xy dV
N Q
=f
f f
1164
CapItulo 13 • Integrales-mültiples
Es necesario enfatizar otra vez en que lo difIcil aqul es obtenerloslImites correctos de integración, puesto que caicular las integrales individuales ya es un proceso conocido. Además, siempre puede utilizar un sistema algebraico computarizado para evaluar las integrales, por lo menos aproximadaniente. Sin embargo, iningün sistema algebraico computarizado establecerá los ilmites de integración por usted! Lo que usted debe recordar siempre es que los ilmites más internos de integracion corresponden siempre a dos superficies dimensionales. (Puede imaginar éstas como las partes superior e inferior del sólido, si se orienta apropiadamente). Estos lImites pueden incluir una o las dos variables externas de integración (o no incluirias). Los lImites de integración de la integral del medio siempre representarán dos curvas en uno de los pianos coordenados y solo pueden incluir La variable más externa de integración. Note que esto indica que una vez se integra respecto de una variable dada, ésta se elimina de las integraciones subsiguientes (puesto que se evaluó el resultado de La integraciOn entre dos valores especIficos de esa variable). Recuerde estas ideas cuando resuelva Los ejemplos y ejercicios y asegärese de resolver muchos problemas. Las integrales triples pueden intimidar a primera vista y ha - -. --
-
..-
unica manera de volverse eficiente ala hora de enfrentarlas es resolver muchos problemas! Las integrales multiples son la base de-la-mayor parsus esfiierzo&ahora TodavIa no so ha dado ningün significado geoiétrico a La integral triple. Para-eierta1•ase-especial de integral trip1&es muyütiUasiguiente interpretaciOn. No ovideque para las integrales dobles, se hallO que ffdA
•1
da el area de la region R. De manera semejant, debéobservar qué si _____ se tiene - .-
-__fffrdv1iAv ______________________ _____________ ______
.
..(5•5)
donde V es el volumen del sOiido Q. EMPLEO DE UNA INTEGRAL TRIPLE PARA LIALLAR EL VOLUMEN
Use una integral triple para hallar el volumen del sOlido Q limit-ado por la grafica dey 4-x2 -z 2 yelplanoxz. SOJJUC!ON
Observe que la grafica de y = 4- x 2 z2 es una paraboloide cuyo vértice está en (0,4,0), el eje corresponde al eje y y abre hacia el eje y negativo. En La figura 13.45a aparece el sólido. Ahora la pregunta es cOmo establecer los lImites de integración. Sin pensar demasiado en esto, podrIa considerar primero la integraciOn respecto de z. En este caso, La proyecciOn del sOlido en el piano xy es la parabola formad4 por la intersección de la paraboloide con el piano. xy (véase la figura 13.45b). En la figura 13.45b, observe qu para cada x y y Nos, la recta que pasa por el punto (x, y, 0), la cual es perpendicular al piano xy, entre al sOlido por La mitéd inferior de la paraboloide (z = - %/4 - - ,y) y sale por la parte superior -
Figura 13.45a: sólido Q
de La paraboloide (z =/- x 2 y). Esto da Los Ilmites más internos de integración. El resto se obtiene al observar la proyección de La paraboloide -
1165
Sección 13.5 • Integrales triples
en ci piano xy (véase la figura 13.45c).
Z=
Figura 13.45b: sOlido que muestra a proyección en ci piano X?J.
S
Figura 13.45c: proyección en el pianoxy.
Debe descubrir los lImites externos de integración en la figura 13.45c. De (5.5), se obtiene 2 4-x 2 V=ffJdV=fj
f
4x2
dydx
•z
1
L2 J-2
f
dzdydx i4x2y
Q
z
t1v '4_x 2 _Y
z=_1J4_x2 _y
2 4-x 2 ___________ 2L 2/4_x2_ydydx
= f (-2) 2
=
Figura 13.46a: paraboloide con base en el piano xz.
2
'f
() (4- x2 - ,)
(4 -x 2)3/2
3/21
y=4-a 2
dx
dx = 87r.
Note que estas integraciones son difIciles. (Se empieó un CAS para efectuarlas). En estas situaciones, podria preguntarse si existe un método más fácil; asi que Se examina otro punto de vista. Si observa la figura 13.45a y gira un poco la cabeza, debe ver una paraboloide de base-circular en el piano xz. Esto indica que quiz& deberIa integrar primero respecto de y. Remitiéndose a la figura 13.46a, se observa que para cada punto de la base del sólido en el piano xz, v varIa desde 0 hasta 4- x 2 -z 2. En este caso, la base está formada por la intersección de la paraboloide con el piano xz (y = 0): 0 = 4- x 2 - z2 0 X + z2 = 4 (esto es, la circunferencia de radio 2 centrada en el origen; véase la figura 13.46b). A partir de (5.5), el volumen puede escribirse corno 4-x2-z 2
V=ff/dV=
= ff
fff
(4 x 2 - z 2) dA,
dydA
1166
Capitulo 13 • Integrales miltipIes
dondeR eseldiscoindicadoen-la figura-13.46b. Ahora, siempre-le queda el recurso de plantear la integral doble restante en coordenadas rectangulares (de hecho, obtendrá el mismo resultado anterior). Por otra parto, vale la pena observar algo aquI primero. Note que la region R es circular y el integrando contiene la cornbinación de !as variables x 2 + z2. ,Le indica esto algo? Sin duda, reconocerá que ambas observaciones sugieren coordenadas polares. Puesto que aquI las variables son x yz, se define x = r cos 0 y = r sen 0. En la figura 13.46b, observe que para cada ángulo 0 fijo, r varIa desde 0 hasta 2. Esto produce
v= Figura 13.46b: base del sOlido.
ff(4_ 2 _z2 ) dA R
2
27r
10
=10
1
ç2ir
JO 4
rdrdO
4—r2
(4-r2)rdrd0
(4_ r 2) 2_2 2
dO
do
Compare este método con la primera manera de abordar el problema. En este sentido, note que es más natural visualizar el sólido como si tuviera la base en el piano xz. Además, compare el nivel de dificultad de las integraciones requeridas en cada método. El primer método exigió sustitución trigonométrica a el empleo de un sistema algebraico computarizadopara Ia integral final. Lodnadaspolare&danventajas obvias a! sëgundo inétodo. — Como puede observar en el ejemplo 5.4, existen claras ventajas al considerar métodos aiternativos para calcular las integrales triples. Con frecuencia, existen varios métodos alternativos para abordarlas. El ejemplo 5.4 enseña que debe dedicarse un poco de tiempo a considerar alternativas, antes de meterse en el problema (es decir, mirar antes de saltar). Dedicar tiempo extra a observar el dibujo del sóiido con frecuencia proporciona mej ores medios pará encontrar una solución. EMPLEO DE UNA INTEGRAL TRIPLE PARA HALLAR 1!L VOLUMEN
{
Halle el volumen del sólido limitado porlas gráflcas de z =4- y2 , x + z = 4, x=Oyz=0. OLUCION
Figura 13.47a: sólido Q.
En la figura 13.47a aparece un dibujo del sólido. Primero observe que puede considerarse como base del sólido la region R formadapor la proyección del sólido sobre el piano yz (x = 0), la cual corresponde a la regiOn limitada por la parábolaz = 4-y 2 y el eje y (véase la figura 13.47b). Entonces, por cada y y z fijos,Ios valores correspondientes de x varIan desde 0 hasta 4-z. For tantO, el volumen del sOiido está dado por
1167
Seccián 13.5 Integrales triples
V =fffdV =JJfdxdA 4—z
24
I —2 Jo — fo
dxdzdy
f2
FigUra 13.47b: 1 sólido.
=j—2 IJo
(4—z)dzdy
=1
z2\
2
(4z
= f-2
z=4—y2dy
I4(4_y2)(42)2]
I
- 128
donde los detalles de La ültima integración se dejan a! estudiante. NOTA. Para integrar primero respecto de z, debe identificar superficies que formen las partes superior e inferior del sólido. Para integrar.primero respecto de y (desde el punto de vista normal), debe hallar superficies que formen los lados izquierdo y derecho del sólido. Para integrar respecto de x, debe hallar superficies que formen las caras frontal y posterior del sólido. Con frecuencia, el par de superficies más Wiles de identificar inchcan la mejor elección de La variable para la integración más interna. u
Masa y centro de masa
En la sección 13.2, se analizó La manera de hallar la masa y el centro de masa de una lámina (una placa plana delgada). Ahora se hace una breve pausa para ampliar estos resultados a tres dimensiones. Suponga que La densidad de la masa de un sólido Q está dada porp(x, y, z) (en unidades de masa por unidad de volumen). Para hallar La masa total de un sólido, se procede (como se hizo en el caso de la lámina) a efectuar una partición interna del sólido: Qi, Q2,..., Qn. Observe que si cada caja Qi es pequeña, la densidad debe ser casi constante en Qi y, en consecuencia, es rázonabje aproximar la masa mi de Qj mediante
mj ip(uj , vi, w j) LW masa/unidad votumen' de votumen
para cualquier punto (UI, v, WI) E Q, donde AVi es el volumen de Q. La masa m total de Q está dada aproximadamente por Figura 13.48: caja Qi de la particiOn interna de Q.
M
p(ui, v, w) iXV
Dejando que la norma de la partición 11 If tienda a cero, se obtiène la masa exacta, reconocida como una integral triple: n
m = urn IIPlI—,
V' p(ui, vi, wj) 1V1
N
p(x, y, z) dv. .
(5.6)
o Recuerde que el centro de masa de una lámina es el punto en que la lámina se balanceaba. Para Un objeto tridimensional, puede imaginar que éste se balancea de izquierda a derecha (es dècir, a lo largo del eje y), de
1168
Capituo 13 - Integrales mUltiples
atrás hacia adelante (es decir, a lo largo del eje x) y de abajo hacia arriba (es decir, a lo largo del eje z). Para hacer esto, es necesario hallar primero los momentos respecto de cada uno de los tres pianos coordenados. Estos momentos se definen como
-
fff Q
j/J y
xp(x, y, z) dV, AJ..=
p(x, y , z) d
(57)
Q
=
zp(x
i z)dv
(5.8)
Los primeros momentos respecto al piano yz, al piano xz y al piano xy, respectivamente. El centro de masa está dado por el punto (, , ), donde
Muz -.-A'I x=—, y=—, z= —.
(5.9)
rn
m
M
Observe que éstas son generalizaciones de las formulas correspondientes para el centro de masa de una iámina.
CENT10 1)E MASA _______________ -
LS.OLHhO---
Halle el centro de madf lidode dcnsidad dq-1a5a constantph mitado por las graficas del cono circular recto = /x2 + y2 y el piano ::::se la figura 13.49a).
X.'2)
Figura 13.49a: sólido Q.
Note que la proyeccion R del solido en el piano xy es el disco de radio WIAáird cada (x, y) c R, V':v2 y 2 hasta ci planoz 4. Dc (5.6), la masa total del sólido está dada por
in
fffp(x.
z)dV
= of/f
dzdA
P/f(4vfX 2 +Y 2 )dA donde R es ci disco de radio 4 en ci piano xy, centrado en el origen, como se indica en la figura 13.49h. Puesto que la regiOn R es circular y el integrando contiene un término de la forma s/x 2 + y2 se emplean coordenadas polares para La integral doblé restante. Se tiene M
=P
f/(4vx+y 2
), rdrdO
Figura 13.49b: proyección del sOlido en el piano xy.
2 lr p4 P
I
(4-r)rdrdO
/
r2 r3r=4
JJo
f
27r
(4——) 2
=P 32 -
( 27r) 3)
dO
Jr=
=
', irp.
p
.....,
1169
Sección 13.5 • Integrales triples
De (5.8), se tiene que el momento respecto al piano xy es 4
zdA
NzP(xYz)dv=PfJJ Q R
Iff
^-
Z2 1 4 2
R
___
y2
dA
V+V2
=ff[16. (x2+y2)] dA. R
Por Las mismas razones expuestas cuando se calcuió La masa, se cambia a coordenadas polares en la integral doble, para obtener
=
ff
(x2+y2)
2
dA
4
(16_ r2) rdrdO
-
.10
-f 2 Jo
27r
r2
r"I4
( 16
do
= 32p(2ir) = 647rp.
Observe que el sóiido es simétrico respecto delos pianos xz y yz y, por tanto, los momentos respecto de' estos pianos son cero, puesto que La dènsidad es constante. (.Qué importancia tiene que la densidad sea constante?) Esto es, Mxz = Myz = 0. A partir de (5.9), el centro de masa está dado por 647rp \ (M M,\ I 10,0, (0,0,3). rn mj 647rp/3J \ -
-
-
-
-
-
, -,
-
-
-
EJERCICJOS DE LA SECCION 13.5 4,.
1. Anaiice la importancia de tener un dibujo razonabiemente preciso para ayudar a determinar los lImites (y el orden) de integraciôn. Identifique qué caracterIsticas de un dibujo son esenciales y cuáles no. Analice si en el dibujo es importante distinguir eritre dos superficies como z = 4 x2 - v2 yz/4-x 2 -y 2 .
2. En el ejemplo 5.2, explique por qué los seis órdenes de integración son igualmente sencilios. Dada esta eiección, la mayorIa de las personas prefieren integrar en el orden del ejemplo 5.2 (dzdy clx). Analice las ventajas visuales de seguir este orden. 3. En el ejemplo 5.4, identifique aigunas pistas en el planteamiento del problema que podrian indicar que y debe ser la variable más interna de integraCión. En ei .ejemplo 5.5, identifique
CapItulo 13' Integrates mCiltiples
1170
algunas pistas en el planteamiento del problema que podrIan indicar que z no debe ser la variable más interna de integración. (Sugerencia: ,a cuántas superficies esté asociada cada variable?) 4. En el ejemplo 5.4 se emplearon coordenadas polares en x y z. Explique por qué esto es iIcito y cuándo es probable que sea conveniente hacerlo. Dé un ejemplo en que emplearIa coordenadas polares en j y z.
En los ejercicios 5 a 8, evalüe la integral triple
20. Deinuestre que f /ffz x) dV = 0, donde Q está limitada por z = 6 y y los pianos x coordenados. Expiique geométricamente por qué esto es correcto. -
liff(X, y, z) dv. 5.f(x,y,z) = 2x +y -z, Q = {(x,y,z)0 :!^ x:5 2,-2 :5 y:5 2,0 :5 z :5 21
-
En los ejercicios 21 a 32, calcule el voluinen del selldo limitado por las superficies dadas.
6.f(x,y,z) = 2x2 +
21.z = x2,z = l,y = Oyy = 2
Q={(x,y,z)(0 5x:53,-2:5y:51,1:5z:52} ^
22.z= 1-x 2,z=0,y=2,y=14
7 .fix,y,z)/V -3z2,
0, z =4- 2x,x= 4 24 z =
Q-{(x,y,z)I0:5x:52,-1:5v:51,0:5z:52} 9. fix, y, z) = 4yz, Q es el tetraedro limitado por x+ 2y+z=2ylos pianos coordenados
z = 1, 2x + z 4, a. = 0
25.x=y2+z2,x=4
T 26.x=9-y 2 -Z 2 , elplanoyz
-2y, Q es el tetraedro limitado po r 27;y\/x2 +z2 , y = 3
= 4x + y +
10.f(x,y,z) -
____________
.
11.f(x, y, z) = 3y2 2z, Q es el tetraedro limitado por 3x + 2y -z = 6 y los pianos coordenados
;e1 plan5xz
-
12.f(x, y, z) = 6xz 2, Q es el tetraedro limitado por -2x + y + z = 4y los pianos coordenados 1 3.ftx,y,z)=
y
2xy,Qostálimitadoporz = 1-.
29.y = 4-x 2,y = 0,z = 0, -y + z = 6 30.x
= y2, x = 4,x + z = 6,x + z = 8
31.y
= 3 - x, y = 0,z =x2,z = 1
'
x2 -j2
32.x = y 2,x = 4,z = 2 + x,z = 0
=0
14.f(x; y, z) = x ,y, Q está limitado por z = x 2 + y2 y -
z=4 15.f(x, y, z) = (x 2 + z?-)y 2, Q está limitado por x 2 + z2 = 4,y = -2 y y = 2 1 6.f(x, y, z) = x3e1Jz, Q está iimitado por z = 1 z = 0, x = -1 y x = 1 -
17.fix, y, z) = 15, Q está limitado por 2x + y + z = 4, x = 4-- y2 y x = 0 18.fix, y, z) = x 2 + y2, Q está limitado por z = 6- x y,x2 +y2 = lyz=0
-
19. Dibuje la region Q del ejercicio 13y explique por qué la integral triple es igual a cero. LSerla la integral igual a 0 sif(x, y, z) = 2x2y?
En log ejercicios 33 a 36, halle la masa y el centro de masa del sólido cuya densidad espx, y, z) y tiene la forma dada.
33.p(x, y, z) =4, sólido limitado porz = x2 +,y2 z = 4 34.p(x, y, z) = 2 + x, sóiido limitado porz = x2 + ,Y2, z4 ,
35.p(x, y, z) = 10 + x, tetraèdro limitado por x ± 3y + z = 6y los pianos coordenados 36.p(x, y, z) = 1 + x, tetraedro limitado por 2x + y + 4z = 4y los pianos coordenados 37. Explique por qué en el ejercicio 33 la coordenada x del centro de masa es cero, pero en el ejercicio 34 no es cero.
1171
Sección 13.5 • Integrales triples
A En el ejercicio 33, sip(x, y, z) = 2 + x2 , 4es cero La c oordenada x del centro de masa? Explique La
39. En el ejercicio 9, evalüe la integral de tres maneras diferentes empleando cada variable como variable más interna una vez.
p2
p4
41. /,1 JoJo 42.
I
En Jos ejercicios 41 a 46, dibje el sólido cuyo volumen está dado y reescriba la integral iterada empleando una variable más interna diferente.
En este ejercicio examinará varios modelos de bates de béisbol. Dibuje la region que varla desde y = 0 hasta y = 32 y está a una distancia deleje y dada porr = + y. La region deberá parecer vagamente un bate de béisbol, y32 representa las 32 pulgadas de longitud de un bate. Suponga que ladensidad por peso es una constantep = 0.39 on zas por pulgada. CalcuLe el peso y el centro de masa del bate. (Sugerencia: calcule la coordenada y, y demuestre que las coordenadas x y z son cero). Dibuje cada una de las siguientes regiones, explique qué significa el nombre y calcule la masa y el centro de masa. a) Bate largo: igual al original, excepto que y varIa desde y = 0 hasta y = 34. b) Recortado: y varIa desde —2 hasta 30 con r + y. c) Bate acorchado: igual al original, 9_ 4 128 con el cilindro 28 :5 y :5 32 y 0 :5 r 5 removido. d) Bate de aluminio: igual al original, con la secciOn desde r = 0 hasta r = 8 +128 0 :5 y :5 32 removida y densidad p = 1.56. Explique por qué es razonable que el bate recortado tenga el centro de masa 2 pulgadas a la izquierda del bate original. Uno de
44.
f
2— x -2y
dzdxdy
/
f pV'iS
:j f2—x
00 ]
40. En el ejercicio 10, evalUe la integral de tres maneras diferentes empleando cada variable como variable más interna una vez.
dxdzdy
l p2 —2i
Jo c i p /T
43.]
f4-2v---
fj_X2
2/
45.
11
f
j0 j0
46.
f .io
dzdydx
j0
2
dydzdx
4
[
I
dydxdz
2
JVcc 2
dx dy dz
Los "mitos" del béisbol afIrma que, con el bate de aluminio, los bateadores pueden conectar lanzamientos "hacia adentro" mucho mejor que con el bate tradicional de madera. Si hacia "adentro" indica valores más pequeños de y, ye! centro de masa representa el "area ideal para golpear con el bate", analice si SUS cálculos apoyan La sabidurla popular respecto a! béisbol. 48. En este ejerôicio, continuamos con los bates de béisbol del ejercicio 47. Esta vez se desea calcular el momento de inercia
Jffy2 p dV de
cada uno de los bates. Cuanto más pequeño sea el momento de inercia, más fácil es batear con e! bate. Emplee los cálculos para responder a las siguientes preguntas. LQu6 tanto más difIcil es batear con un bate que sea !igeramente más largo? ZQu6 tanto más fácil es batear con un bate que ha sido recortado dos pulgadas? LExiste diferencia notona en la facilidad para batear con un bate acorchado? 4Qu6 tanto més fáciL es batear con un bate hueco de aluminio, incluso si pesa igual que un bate normal?
1172
Capitulo 13 - Integrales multiples
13.6 COORDENADAS GIL INDRICAS En varios ejemplos de la sección 13.5 fue conveniente introducir coordenadas polares para evaluar la integral doble externa en problemas de una integral triple. En algunas ocasiones esto no se hace solo por conveniencia, como so obscrva on el ejemplo siguiente. INTEGRAL TRIPLE QUE REQUIERE COORDENADAS POLARES
Evalüe
IffeX2+
V2
dv, donde Q es el sOlido lirnitado
poP el cilindro
= 9,elplanoxy,yelplanoz = 5. SOLIJ(JON En La figura 13.50a aparece un dibujo del sólido, que parece bastante sencillo. En realidad noes muy complicado pero, por desgracia, la integral es un poco dificil. Observe que la base del sólido es la region R circular de radio 3 centrada en el origen y situada en el piano xy. Además, para cada (x, y) en R, z varla desde 0 hasta 5. En consecuencia setiene
JI
x
110
Figura-15O5sólido Q.-=
I____U
2 +Y 2 dA
5ff
V
La dificultad está en evaluar La in.tgr4ciphle rest te. a:fTigiraj 13.50b, observe que parac -ada- x E[-3,3]fijo,yvuudesde—/9 - r 2 nor). A,}101 no liw o
Nff dV = 5
I
eX 2
2.
dA
5
pS
I
eX212
dydx.
CV9 --
R
Sin las coordenadas polares, estarlamos en unall2ejOn sin salida, puesto que no se conoce una antiderivada para ex . Incluso, el sistetna algebraico computarizado de los autores tiene dificultad con esto, y da una respuesta casi indescifrable en términos de una integral de la funciOn error, que probablemente usted no ha visto antes. Aun asI, nuestro sistema algebraico computarizado quizá no realice la segunda integración, excepto de rnanera aproximada. For otra parte, si se introducen coordenadas polares: x = r cos 9 y y = r sen 9, se obtiene que para cada 9 E [0, 2jvi, r varla desde 0 hasta 3. Ahora se tiene una integral que requiere solo una sustitución sencilla:
Figura 13.50b: regiOn R.
N
dV = 5
11 2+2
dA rdrdO -
j
f27r
3 je'rdrdO
5 =-
= Ii
p2ir
r=3
f e 1'
quees una respuesta mueho más aceptable.
.-
dO
2 Jo r=O 1.27 x 10, 57r(e9 --1)
I
1173
SecciOn 13.6 • Coordonadas cilIndricas
El proceso de remplazar con coo rdenadas polares dos de las variables de un sistema de coordenadas tridimensional, como se ilustra en ci ejemplo 6.1, es tan comCin que hasta recibe el nombre de sistema de coordenadas ciiIndricas. i Se especifica un puntof(x, y, z) E R3 especificando las coordenadas polares para el punto (x, y). E=- R2: x = r cos 0 yv = r sen 0, donde r2 = x2 + y2 y es el ángulo forrnado pore! segmento de recta que une el origen con el punto (x, y, 0) cone! eje x positivo, coma se indica en la figura 13.5 1, de modo que tan 0= . Nos refer imos a (r, 0, z) como las coordenadas cilIndricas del punto P.
Figura 13.51: coordenadas cIindricas.
ECUACION DE UN CILINDRO EN COORDENADAS CILINDRICAS
Escriba la ecuación del cilindro x 2 ± y 2 = 16 (véase la figura 13.52) en coordenadas cilIndricas. 16
SOLUCON
1!
En coordenadas cilIndricas, r2 = + y 2, do modo que ci cilindro se convierte en r2 = 16o r = ± 4. No obstante, observe que como 0 no está especificado, la ecuación r = 4 describe ci mismo cilindro.
Figura 13.52: cilindro r = 4.
ECUACION DE UN CONO EN COORDENADAS CILINDRICAS
Escriba la ecuación del cono z 2 = x 2 + y 2 (véase La figura 13.53) en coordenadas ciiIndricas. SOLUOJON Puesto que x 2 + y2 = r2, ci cono se convierte en z2 = r2 0 z = ± r. Dado que r puede ser positiva 0 negativa, esto se áimplifica cbmo z = r. Como se hizo caso por caso en varios ejemplos de la sección 13.5 y en ci ejemplo 6.1, las cOordenadas cilIndricas pueden emplearse para simplificar ciertas integraies triples. For ejemplo, suponga que ci sólido Q puede escribirse como
Q={(r,0,z)I(r,0)ERyk1(r,0)z: 5 k2(r,0)}, Figura 13.53: conoz = r
donde R es la region del piano xy definida por
R={(r,0)a :50:5f3yg1(0):5rSg2(0)}, coma se muestra en la figura 13.54. For tanto, a partir de (5.4); puede escribirse k(r,9)
ff/ Q
Figura 13.54: regiOn R.
f(r, 0, z) dV
=
f/ R
1
f, 0, z) dz]
[f&,O)
La integral dobie externa está expresada en coordenadas polares, pero ya se conoce cómo escribirla como una integral iterada. Se tiene
CapItulo 13 - Integrales mUItpIes
1174
N
f(r, 0, z) dV
Q
=
ff R
/
k2(r,6 ) f(r, U, [ Ikl(?-,O)
I3
N V-11
k2(r,9)
92(0)
fol(o)
k
f- 1 (7.,O)
[
f(r,O,z)dzrdrd6.
Esto da una formula de evaluación para las integrales triples en coorderiadas dilIndricas: k2(r,O)
92(0)
Nf(l.oz)dv
L
=
ff f
f(r,9,z)rdzdrdU1
(6.1)
Al plantear integrales triples en coordenadas cilIndricas, con frecuencia es ñtil visualizar el elemento de volumen dV = r dz dr dO (véase la figura 13.55)..
j
rdo
V
Figura 13.55:. elemento de volurnen para coordcnadas cUIndilcas.
INTEGRAL TRIPLE EN COORDE NAI)AS CILiNDRICAS
Escriba fili(r, 0, z) dV como una integral triple iterada en coordenadas Q cilIndricas si
Q
= {(xvz)I s/2
y2 ^ z
18
y -
-
2}.
SOLUCION 72
La primera tarea para plantear cualquier integral m(tltiple iterada es dibujar la region sobre la cual está integrando. AquI, observe que z = y2 es la mitad superior de un cono circular recto cüyo vértice se halla en el origen y su eje se sitüa a lolargo del eje z. También se tiene quez = es el hemisferio superior de radio /ii, centrado en el origen. En consecuencia, se está buscando el conjünto de puntos situados encima del cono y debajo de el hemisferio (véase la figura 13.56a). Debe recoñocer que, en coordenadas cilIndricas, el cono se escribe z = r ye! hemisferio se convierte en = i/T— r2 , puesto quex 2 +y2 = r2. -
Figura 13.56a: sólido Q.
-
Seccion 13.6 • Coordenadas cilindriCaS
1176
Esto indica que para cada ry6, z varIa desde r hasta vf18- r 2 . Observe que el cono y el hemisferio se cortan cuando =r 0 cuando
18 - = r2
,
de modoque 18 = 2r2 0 r = 3. IgUra 13.56b: proyecciOn de Q sobre el piano xy.
Es decir, las dos superficies se cortan en una circunferencia de radio 3 situada en el piano z = 3. La proyeccjón del sóljdo sobre el piano xy es la region circular de radio 3 centrada en el origen (vease la figura 13.56b), y se tiene: ff27r
N Q
(r,O,z)dV
3
=/ff
f(r,O,z)rdzdrd6.
JO
Con mucha frecuencia necesitará reconocer que una integral triple es más sencilla si se escribe en coordenadas cilIndricas que en coordenadas rectangulares. Entonces debe saber cómo escribir el sóliclo en coordenadas cilIndricas y cómo reescribir la integral. m DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS CILINDRICAS ,
Evalüe la integral triple iterada
i3T
2-x 2 -tj 2
I IJ'T:J+ I
-
(x 2 +y2)3 dz dy dx. V
SOLUCION AsI como está escrita, es casi imposible evaluar con exactitud esta integral. (Por lo menos nuestro sistema algebraico computarizado tuvo dificuitades con ella). Debe descubrir con rapidez que el integrando incluye X2 + y 2 , que equivale at 2 en las coordenadas cilIndricas. También debe tratar de visualizar la region sobre la que está integrando. Primero, de es un los Ilmites de integración más internos, note que z = 2 - x2 paraboloide que abre hacia abajo con vértice en el punto (0,0,2), y z X2 + y 2 es un paraboloide que abre hacia arriba, con su vértice en el origen. En consecuencia, el sólido es alguna porción del sóiido limitado por los dos paraboloides. Estos se cortan cuando 2-x2 -y 2 = a; 2 +ii2, 0
1 = x2 + j2 . Figura 13.57: sOlido Q
Es decir, la intersección forma una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Observando las dos integrales externas, note que para cada (semicircunferencia inferiorde radio 1 x E [-1, 11, y varIa desde -JT centrada en el origen) hasta v"f - x2 Cia semicircunferencia superior de radio 1 centrada en el origen). Puesto que esto corresponde a la Lircunferencia de intersección, la integral triple está sobre el sólido completo
1176
Capitulo 13 Integrales mItipIes
debajo de uno de los paraboloides y encima del otro (véase la figura 13.57). En coordenadas cilindricas, el paraboloide de arriba se convierte enz = 2 -x 2 -y 2 = 2-r2, y el paraboloide de abajo, en = x 2 + V2 = ?.2 . En consecuencia, para cada valor fijo de r y 0, z varIa desde r2 hasta 2- r2 . Adernás, puesto que la proyección del sólido en el piano xy es la region circular de radio 1 centrada en el origen, r varla desde 0 hasta lyO varIa desde 0 hasta 2. Ahora La integral triple puede escribirse en coordenadas cilIndricas como c
f
I .
2--:22
(x2 + 24lJ2
.fo
2i
dz dy dx =
i J 12.. r 2
(r2)3'2 rdzdrdO
i
-27r
il f2-
r2
=r4dzdrd0
2
Ir'To
(2 ._2r2 ) clr d0
Observe que éste fte un ejercicio fácil, comparado con las posibilidades de evaluar directamente La integral original. - --
-
Cuando se convierte uxia integral iteracia do coordèadas rectangulares cleton1uh1knt(*e1-sOI1do —jbreetcual estii uitegraudo. Esto iiiplica mirar cuidadosarnente to(]() los Ilmites de integración (y no solo los lImites en la integral más interna), como se observa en el ejemplo siguiente.0 CONVERSION DE COORDENADAS RECTANGULARES EN COORJJENAJ)AS CILINDRICAS
2-v2 ---y 2 Evalüe la integral triple iterada
./0
I
(x 2 + y 2)312
dz dy dx. SOLI!UI()N
Figura 13.58a: sófldo Q.
Note que ésta es casi idéntica a la integral del ejemplo 6.5, excepto que dos dc los seis ilmites de integración son diferentes. Esta integral presenta extrema dificuitad, escrita norrnalmente en coordenadas rectangulares. Al igual que en el ejemplo 6.5, los lIrnites más internos de integración indican que ci sólido está lirnitado abajo por La paraboloide z = x2 +,y2 y arriba por la paraboloidez = 2 -x 2-y 2. En consecuencia, de nuevo La region de integraciOn es alguna porción del sOlido limitado por las dos paraboloides y, como se vio en ci ejemplo 6.5, éstos se intersecan en una circunferencia de radio 1, centrada en el origen (véase la figura 13.58a). En este Caso, de los lImites de integración de las dos integrales externas, observe que para cada x fijo en el intervalo [0, 1], y varla desde
Sección 13.6 • 000rdenadas cilIndricas
1177
o (correspondiente al eje x) hasta
(correspondiente a la mitad superior de la circunferencia de radio 1 centrada en el origen). Es decir, las dos integrales externas corresponden a La integración sobre el cuarto de region circular R mostrado en la figura 13.58b. De nuevo, en coordenadas cilIndricas, la paraboloide superior se convierte en z = 2- X2 = 2- r2 y la paraboloide inferior se convierte en z = x2 + = r2 . En consecuencia, para cada valor fijo de r yO, z varIa desde r2 hasta 2- r2 . Además, puesto que la proyección del sólido en el piano xy es la porción de La region circular de radio 1 centrada en el origen y situada en el primer cuadrante, r varIa desde 0 hasta 1 y 0 varfa desde 0 hasta /2. Ahora la integral triple se escribe en coordenadas cilIndricas como
f Iiff 1
2-zv2---y2 (x2+y2)3/2dzdydxJff
2-x2-y2 (x2+y2)S/2
2+ v
ir/2
Figura 13.58b: region
2_ r 2
1
3/2
= L i: x2
R.
r dz dr dO
r5 =2
V f
5 (
1'=O
do-
35
donde se dejan al estudiante los detalles del cálculo
EJERCICIOS DE LA SECCION 13.6
Empleando como guIa los ejemplos de esta sección, elabore una lista breve de figuras que puedan describirse con facilidad en coordenadas cilindricas. El sólido tridimensional limitado porx = a, x = b, y = c, y = d, z = e yz =f es una caja rectangular. Dado esto, reflexione sobre por qué las coordenadas cilIndricas se denominan as!. Especificamente, identifique qué tipo de cilindro es la figura básica de las coordenadas cilIndricas. En el ejemplo 6.4, explique por qué los Ilmites extrnos de la integración doble están determinados por la intersección del cono y el hemisferiO (y no, por ejemplo, por la proyección del hemisferio en el piano xy). Examine con detenimiento los lImites de integración rectanguiares y cilIndricos del ejemplo 6.5. Note que en ambas integrales, z es la variable de integración n-iás interna. En este caso, explique por qué los lImites de integración más internos para la integral triple expresada en coordenadas cilIndricas pueden obtenerse al sustituir por coordenadas polares en los lImites de integracion más internos de la integral triple en coordenadas rectangulares. Explique por qué éste no serIa el caso si se hubiera cambiado el orden de integración.
E1 'OS ejercicios 5 a 14, escriba en coordenadas CIImnfricas la ecuación dada. 5 .x2 +y- 16 X2 + y2 = 1 2 7. (x - 2)2 +,y = 4 X2 + ( y-3)2 = 9
9. z = x2 + y 2
10.z=Vx 2+ y2
11. z = cos(x 2 + y2)
12. z = e 2 1i2
13.z = X
l4 .y = 2x
1178
CapItulo 13• Integrales mUltiples
En los ejerciCiOS 15 a 24, exprese la integral triple 30. flfyx
fff f(X, U, z) dV en coordenadas cilIndrieas.
2 + y2dV donde Q es la region entre
+ Y2 y z = 0, e interior ax2 + z Jx2
= 4.
+ y 2 y hajo z 15. Q es la region sobre z = /2 -
31.ff
-
16.Q es La region sobre z = -
x2
x2 + y2 y bajo z =
por x + 2y + z = 4yios pianos coordenados..
-
17.Q es la region sobre el piano xy y bajo z = 9-x 2 -y 2 . es La region sobre el piano xy y b 4-x2 -- 2 ene1 primer octante.
32.
z =
2
f
= 9 y situada entre z = x 2 + y2 y z = 0.
[f - 34
2 Q es la region liiiuitadapory= /x 2 + yj = 9 =
-
[f
21.Q-es-la-reg.iOn1im.itada pony =4-x 2 -z2 yy = 0.
23. Q es la region limitada por 2-y2-z2:
(2x y) dV donde Q es el tetraedro limitado Q por 3x + ,y + 2z = 6 y los pianos coordenados.
33• JJJ edV donde Q es la region interior a x 2 +
19.Q es la regiOn sobre z = x2 + y2 y bajo = 4. 20.Q es la region sobrez = x2 + v2 y bajoz =8 -x2 -y 2.
f_-/2
y 2 e'dVdritfdQ
JJ/
es la rcgion nterioi
= 1 y situda entre z (x 2 + 2)2
a x2 + z=0.
+2
-2 y x = 4. 24. Q es la regiOn limitada por x = -/y2 +Z -
(x + y) dV donde Q es el tetraedro limitado
If I
35.])) 2x dV donde Q es la region entre Q
En los ejercicios:25a..36,4 antee en el sisiiade cooi de4d, ap r opIdo paijjntcgral triple indicada, yevalüela.
+y2-Y-Z-= 0 interior 36. jjj'2y^ W donde Q es la regiOn entre z = x 2 + 1,2 y Q -
25. fffex2+ 'V2
dV donde Q es la regiOn interior a
z = 0 e interior a (x
X 2 +y2 = 4 y situada entre z = lyz = 2.
x2+y2
37. / /
X2 + y2 = 4y situada entre z = 0 y z = 3.
38.
+z)dVdondeQeslaregiOnbajox + 2y +
f
l
-
x2 y 2 .
________
t2-2-V2
/
./x2+y2dzdydx
J-/IJo
,.i
40. j
= I y = 2. =
41. /
/
yz
_______
/2
fl-x2-y 2
pyP X'
J-3 J-
x-2+ y2
2dzdxdy
4
/ o Jo f .)
= y'4
3z2 dzdydx
I
r2 39. 1 I I Jo J/4Jx2 +j,2
28 .fff(y + 2)dVdondeQeslaregi6nbajox +z = 4,
29 .fffzdVdondeQeslaregi6nentrez
'r /I
,J8_x2_v2
3z = 6 en el primer octante.
situada en el primer octante entre
2)2 + ,y 2 = 4
En los ejercicios 37 a 42, evalüe la integral iterada después de cambiar el sistema de coordenadas.
26.fffze2±2 dVdonde Q es la region interior a
27 .fff(x
-
X
2
+Z
+ y2 dz dy dx
2
(x 2 +z2 )dydzdx
/
Jo
2
42.J_.2J._/2Jy2 / / /
(y2 + z2)3/2
+z2
-
dx dy dz
I
1179
SecciOn 13.7 • CoordefladaS esféricas
in los ejercicios 43 a 50, dibuje las gráficas de las ecUacb0es cilIndricas.
FI1
51.p(x, y, z) = / yz = 4.
44.z = 46.z = v'4 - r2 48. r = 2 sen 0
45-z 4 - r2 47r2seC0
50.7- = 4 n los ejercicios 51 a 54, halle la masa y el centro de niasa del sólido con la densidad dada y limitado por las graficas de las ecuaciofles indicadas.
Ty2 , limitado porz = x 2T Y2
52.p(x,y,z) = e y el piano xy.
22. 1/ , limitadoporz =
J4 -
53.p(x, y, z) = 4, entre z = x 2 + V 2 y z= 4 e interior ax2+ (y._ 1)2
1.
54.p(x, y, z) = Y = J8 - X2-..2•
55. Muchos paquetes de graficacion por cornputador dibjan gráficas en coordenadas cilIndricas, y una de las opciones es tener r como función de z y O. En algunos casos, las graficas son muy conocidas. Dibuje las siguientes gráfleas y despeje z para escribir la ecuación en la notación de esta sección: a) r = fl, b) r = z2 , c)r = lnz,d)r = /4 - 2, e)r =z2 cos O.Exclu-
lirnitado pori = / 2+ z2
yendo z por completo, algunas viejas curvas polares adquieren una extension tridimensional interesante: f) r = sen2 0, 0 z 4, g) r = 2-2 cos 0, 0 :5 z :5 4. Muchas gráficas simplemente son nuevas. Explore las siguientes graficas y otras de su propia creación:h)r = cos 0-lnz, i)r =z2 in (9 + 1), j)r =zeW 8 ,k)r = Oe _z.
13.7 COORDENADAS ESFERICAS
0, ) P(x, y, z)
(/)
AsI como es más conveniente describir algunas superficies en coordenadas cilindricas y no en coordenadas rectangulares, existe otro sistema comün de coordenadas denominado coordenadas esféricas, con frecuencia mucho más adecuado que los sistemas rectangulares o cilIndricos. Además, algunas integrales triples que no pueden calcularse con exactitud en coordenadas rectangulares o cilIndricas pueden resolverse con facilidad empleando coordenadas esféricas. Un punto P representado por coordenadas rectangulares (x, y, z) puede determinarse mediante las coordenadas esféricas correspondientes (p, q5, 0). AquI,p se define como la distancia desde el origen,
p=/+y2 +z2 . y, Figura 13.59: coordenadas esféricas.
( 7.1)
Note que al especificar la distancia desde ci origen a un punto, se especifica una esfera que debe con tener el punto (es decir, La ecuación p = po> 0 representa la esfera de radiopo centrada en el origen). Para nombrar el punto especIfico en La esfera., se especifican además dos ángulos, 0 y 0, como se muestra en La figura 13.59. Observe que 0 es el ángulo formado desde el eje positivo z al vector ö, y es el ángulo formado desde el eje positivo x hasta el vector
ö, donde R es el punto situado en el piano x
CapItulo 13 o Integrales mUltiples
1180
coordenadas rectangulares con (x, y, 0) (es decir, R es la proyección de Pen el piano xy). En esta descripción, debe observar que
P ^: OyO
15 q
Si observa con detenimiento la figura 13.59, puede comprender cómo se relacionan las coordenadas rectangulares con las esféricas. Note que x
ORM
cosO =
i9 Cos o.
Al observar ci trianguio OQP, se halla quej jQP = p sen q, de modo que
x=psen5 cos O.
(7.2)
De modo semejante, se tiene
I°II
sen 0 = p sen q sen 0.
(7.3)
For itimo, centrando de nuevo en ci triángulo OQP, se tiene
z = P cos 0
(7.4)
.
Halle las coordenadas rectangulares del punto descrito por (8, 2V/4, x/3) en coordenadas esféricas.
A
SOLUCION
--
En la figura 13.60 se muestra tin dibujo del punto.Apartir de(7.2), (73) x=8sen
-cosj'
r3
2/2, ()
()
y=8sen —sen =8 Figura 13.60: ci punto 3).
(--)
=2v
()
y
z=8cos-=8
=4V2.
Con frecuencia es muy 6til (en especial cuando se trata de integrales triples) expresar superficies comunes en coordenadas esféricas.0
ECUACION DE UN CONO EN COORDENADAS ESFERIcAS Reescriba en coordenadas esféricas la ecuación del cono z 2 = x2 + y2. SOLUCION Empleando (7.2), (7.3) y (7.4), la ecuación del cono se convierte en
p22q = p2 sen2 Øcos2 0 +p2 sen2 gsen2 0 = p2 sen2 (cos2 0+sen2 0) = p2 sen2 .
1181
Sección 13.7 • Coordenadas esféricas
Observe que para tenerp 2 cos2 çb = p 2 sen2 4,, debe tenersep = 0 (esto corresponde al origen) o cos 2 4, = sen2 4,. Observe que para que esto ocurra, se debe tener 4, = o 4, = I!. (Recuerde que 0 :5 4, n)4 Observe que si se toma4' = y permitiendo quep y varIen, se describe la mitad superior del cono, como Se rnuestra en la figura 13.61a.
Figura 13.61a: mitad superior
del cono 0 =
Figura 1361b: mitad inferior del
cono ('/) =
Puede imaginar que toma un solo rayo (por ejemplo en el piano yz) con 4' =y lo gira airededor del eje z. (Este es el efecto de permitir que 0 vane desde 0 hasta 2ir). Del modo semejante, 4, = Lff describe la mitad inferior del cono, como se observa en la figura 13.61b; En general, observe que La ecuaciónp = k, para cualquier constante k> 0 representa la esfera de radio k centrada en el origen (véase La figura 13.62a). La ecuación 0 = k, para cualquier constante k, representa un semiplano vertical cuyo borde coincide con el eje z (véase la figura 13.62b).0
x
Figura 13.62a: la esferap = k.
Figura 13.62b: el semiplano 0 = k.
Además, la ecuaciOn 4, = k, para cualquier constante 0 < k <7v/2 representa La mitad superior de un cono (véase la figura 13.63a), y si 3'r/2
1182
CapItulo 13 • Integrales mUltiples
Ill
:r
Figura 13.63b: semicono inferior
Figura 13.63a: semicono superior k, donde 0 < Ic <
0= k, donde E
<.7v.
For ültimo, note que = r/2 describe el piano xy. ,Que representan las ecuaciones 0 = 0 0=
gales-dobles-en -regiones_circulaienciaLcuartbeI integi ;iuye Ia combinación particular de- variables x 2 + v2 las coordcnad esféricas son ayuda indispensable al abordar integrales triples en regiones esféricas, en particular cuando ci integrando incluye la combinación X2 + ,y 2 + z2 . En muchas aplicaciones, se encuentran con frecuencia inte-
Q donde Q es la esfera unitaria: x 2 + y2 + z2 <— 1. Sin importar el orden elegido para las integraciones, usted llegara a una integral triple iterada como la siguiente: VfZ
f /
—1. Vi
J1_s2_y2
f
cos(x2+y2+z2)312dzdydx.
_y'I_a2_y2
En coordenadas rectangulares(o coordenadas ciiIndricas, para ese caso), existe poca posibilidad de calcular esta integral con exactitud. No obstante, en coordenadas esféricas, esta integral es sencilia. Primero necesita saber cómo escribir integrales triples en coordenadas esféricas. Para la integral
1ff ffp , 4), 0) dV, como se ha hecho much as veces, se
empieza pot, realizar una partición interna en el sólido Q. Pero en vez de cortar ci sohdo Q en capas empleando pianos paralelos a los tres pianos coordenados, ci sólido Q se corta en esferas de la formap = Pk, serniplanos de la forma 0 = (1i y serniconos de la forma 4) = 4)i. Observe que en vez de subdividir Q en un nümero de cajas rectangulares, se divide en un nümero de cuñas esféricas de la forma: Qk = {(p, 4), 0 )!pk-1 15 p :5 Pk, 4)k-1
0:5 4),, Ok-i :5 0:5 Ok},
Sección 13.7 • Coordenadas esféricas
1183
como se observa en la fIgura 13.64. AquI, se tiene LIpk == Pk -Pk-1, A 95k = çbk - Jk-1 Y A Ok = Ok Ok-i.
LPKtA ; \ PKA(PK
C L2/H PK
H H
0
PKSCfl
OKAOK
Figura 13.64: cuña esférica Qk.
Observe que Qk es casi una caja rectangular y, en consecuencia, su volumen AVk es aproximadamente igual al de una caja rectangular con las mismas dimensiones: AVk
= 40k (OkAk) (Pk sen 95k iXOk) = p sen qk•4ok Aq5k AOk.
Solo se consideran aquellas cuñas que se sitüan completamente en el interior de Q, para formar una particiOn interna Qi, Q2,..., Q del sOlido Q. Efectuando la sumatoria sobre la particiOn interna y dejando que la norma de La partición 11 Ii (aquI, la diagonal más larga de las cuñas de la partición interna) tienda a cero, se obtiene n 0) dV = urn (pk, Ok, Oi) AVIV k=1 Q n = urn (pk, k, Ok) pk sen cbk 40k Açbk AOi k=1
fffflp,5,
Ef
>f
f(p,,0,0) joIsenPdp4d0, ffj Q
( 7.5)
donde los lImites de integraciOn para cada una de Las tres integrales iteradas se hallan de la misma manera como se hizo antes en varias ocasiones. En (7.5), observe que el elemento de volumen en coordenadas esféricas está dado por
dV = p2 sen 0 dp do dO. Ahora se puede retomar el ejemplo introductorio.
—
J
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFERICAS
Evalüe la integral triple fffèos(X2 +,y 2 + z)3 dV, donde Q es la esfera unitariax2 +•y2 +z2 <
1184
Capitulo 13. Integrates mUltiples
SOLUCION
Observe que como Q es la esfera unitaria,p (La distancia radial desde el origen) varIa desde 0 hasta 1. Además, el ángulo 0 varIa desde 0 hasta ir (donde 0 = 0 nos sittla en la parte superior de la esfei'a, 0 E [0, t/2] corresponde al hemisferio superior y 0 E [0, /2, r} corresponde al hemisferio inferior). Por tlltimo (para con -ipletar toda la esfera), el ángulo 0 varIa desde 0 hasta 2iv). A partir de (7.5), se tiene que como x2 +,Y2 + z2
N
cos(x2 + + z 2) 3"2 dV —, '1
Q
j62
2ir
ir
1
f fo fo cos(p2 ) 3"2 p2 sen q5dpdd9 f,fl cos(p3)(3p2)sendpdq5dO 1 p=l 1j sen.(p) sen bd/)dO = f sen 1 = — j fo senq5ddO
= p2 .-en 0dpd4'dO
2,r
2,r
2-H
I
tul
= _-
(cos it - cos 0) dO
= (sen 1) (27r) Fs 3.525.
las cooi du iddas esfét iea on utiles enlas integrates triples ,---ruando ci sóiido sobie ci cual está intcgrándoso es de a1guna wanerc esférico, y particularmente cuando el integrando contiene el término x 2 + Y 2 + z2 . En el ejemplo siguiente, se emplean coordenadas esféricas para simplificar el cálculo del volumen.• !7
IK z
HALLAR EL VOLUMEN EMPLEANDO COORDENADAS ESFERICAS Haile el volumen situado al interior de la esfera x 2 y + z2 = 2z y al interior del cono z 2 = + j2 . SOLUtION
Observe que cov - pletando el cuadrado en la ecuación de la esfera, se tiene + y2 +
(z2 -2z + 1) = 1
x2 +11 2 +(7-1)2 = 1.
Figura 13.65: el cono p = y la esferap = 2 cos çb.
Usted debe reconocer esta figura como una esfera de radio 1, centrada on el punto (0, 0, 1). Observe también que como la esfera se sittla cornpletamente encirna del piano xy, solo La mitad superior del cono z = /x 2 +y2 - corta la esfera. En la figura 13.65 se presenta un dibujo del sOlido. Se sugiere que intente haliar el volumen en cuestión empleando coordenadas rectangulares (pero no invierta demasiado tiempo en ello). Debido a La geornetrIa esférica, el problema se considéra en coordena-
1185
Sección 13.7 • Coordenadas esféricas
das esféricas (no olvide que los conos tienen una representación muy sencilla en coordenadas esféricas). A partir de (7.1) y (7. 44y La ecuación original de La esfera, se obtiene
x 2 +y2 +z2 =2 p2
z pcoscb
CS
2p cos . Esta ecuación se satisface cuando p = 0 (correspondiente al origen) o cuandop = 2 cos 0 (la ecuacióri do la esfera en coordenadas esféricas). Para la mitad superior del cono, se tiene z = V 2 ±y2 o, en coordenadas esféricas, = r/4, como se analizó en el ejemplo 7.2. Remitiéndose de nuevo a la figura 13.65, observe que para permanecer en el interior del cono y de la esfera, para cada 0 yOfijos,p puede variar desde 0 hasta 2 cos q. Para cada 0 No, pare permanecer en el interior del cono, 4 debe variar desde 0 hasta E . For ültimo, para completar el volumen del sólido, 0 varIa desde 0 hasta 2jv. Entonces, el volumen del sólido está dado por
v=fff p2 f2w f =f f Q
dV sen
q dp d dO
7r/4
ir/4
8f21 -3
0
8
p2 sen çbdpdçbd0
i:
=
27r
2cos
f
IP
ir/4
cos3
f2 cos4 qS
_Jo
sen çbdçbd9 =O
4
I
sen q5dq5d0 =ir/4
d9=_
8 f 27,
1) do
(
IO
4 ir l6ir =_-(cos ..
4ir(1
\
7r.
CAMBJO DE UNA INTEGRAL DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS ESFERICAS
Evalüe la integral triple iterada 2 vi'
.,/4_2_y2
f_ 2L SOLUCION Aunque a prmera vista esta integral podrIa parecer fácil de evaluar, puesto que el integrando es simplemente un polinomio, debe observarla con mayor detenimiento. Los lImites de integración hacen que la Segunda y tercera integraciones sean muy confusas. Aqul deben destacarse varios aspectos. Primero, el integrando contiene la combinación de variables x 2 + y2 + z2, lo cual es igual ap 2 en coordenadas esféricas. Segun-
CapItulo 130 Integrales mCtltiples
1186
do, el sólido sobre el cual está integrándose es una porción de una esfera, como sigue. Observe que paracada x en el intervalo [-2,2] indicado por los lImites más externos de integración, y varla desde 0 (correspondiente al eje x) hasta y =J4 x2 (sexnicircunferencia superior de radio 2 centrada en el origen). Por Ciltimo z varla desde 0 (correspondiente al piano xy) hasta z =V4 y2 (el hemisferio superior de radio 2 centrado en ci origen). El sóiido Q sobre ci cual se integra es entonces la mitad del hemisferio situado sobre ci prirnero y segundo cuadrantes del piano xy, corno se ilustra en la figura 13.66. Observe que en coordenadas esféricas, esta porción de la esfera se obtiene sip varIa desde 0 hasta 2, y varIa desde 0 hasta 21 y U varla desde 0 hasta v. La integral entonces se convierte en -
_
2
//
Figura 13.66: sOlido Q.
•v'
N
-
f
-
J4_x2_v2 (x2±y2+z2)
( 2 + y2 + z2 ) P sen O dpdOdO
çI2 ç2
= donde los detalles de esta integración relativamente sencilla se dejan al lector.
EJERCIC
U. 1. Analice la reiación entre los ánguios q5 y n de coordenadas esféricas y los ángulos de longitud y latitud en tin mapa de la Tierra. La órbita de un satélite geoestacionario permanece a una distancia constante sobre un punto fijo de la Tierra. Analice cómo podrIan emplearse las coordenadas esféricas para representar la posición del satélite. 2. Explique por qué cualquier punto en l[ puede representarse en coordenadas esféricas conp _> 0, <. En particular, explique por qué no es necesario dejar quep <00 t 0 :5 0 :5 2y0 0 :5 2ir. t, 0 :5 :5 2r bastarlan para describir todos los puntos. Analice silos rangosp ^! 0 y 0 <0 3. Explique por qué en coordenadas esféricas la ecuación U = k representa un semiplano (véase la figura 13.62b) y no un piano completo. 4. Ernpicando como guIa los ejemplos cle esta sección, elabore una lista breve de superficies que se pueden describir fácilmente en coordenadas esféricas. En los ejercicios 5 a 12, convierta el punto esférico (p, q5 0) en coordenadas rectangulares. ,
5. (4, 0, r) 6. (4, , v) 9.(2, , 0)
10. (2 '4' 3!!)
7. (4, 11.
,
0)
8. (4, , )
,)
12.
:,
En los ejercicios 13 a 20, exprese la ecuaci6n en coordenadas esféricas. 13.x2 + y2 + Z2 = 9 14.x2 + y2 + z2 =1 6 15.y =
S
16.z = 0
Secci6n
18.x2 + .2 + (z- 1)2
2
En los ejercicios 21 a 28, dibuje la gráfica de la ecuacjOfl esférica. 21.P
42. fff(x + y + z) dV donde Q es el tetraedro limi-
20.Z=_./2+y2
19.Z\/12)
22.p= 4
2
1187
13.7 • Coordenadas esféricas
tado por x + 2y + z = 4 y los pianos coordenados.
43.111 4-
(x2 + -
y2) dV donde Q está limitada porz =
y2 y el piano xy.
24.0 = 26.0-4
25.00
44.11/e24Y2
28.0= In
Lir
= Oyz = 2.
En Jos ejercicios 29 a 36, dibuje la region definida per los rangos dados. ,005n
29.O:-=P <4,0:5 q5
30.0 :5 p :54,0
:!!^ '
33.0 :5p 3,0 :5 0 < n
36.2:5p 53,0:5 q5 :5,0 :50:52 En los ejercicios 37 a 46, plantee la integral triple indicada y evalüela en un sistema de coordenadas apropiado.
el hemisferio z =
cIV donde Q está limitada por
V4
-
-
=
/r2
.4. y2 yz =
/- X2
-
y2.
En los ejercicios 47 a 56, use un sistenta de coordenadas apropiado para hallar elvolumen del sOlido dado.
35.2
)3"
72
interior de
34.0:5p:53,0:5Ø,0:50:527v
37.
.jjf 2 _ + y2 + dVdonde Q estálimitadapor
46. fff(X2 + y 2 + z 2)312 dV donde Q es la region al
32.0 p :52,O :5q :57:50:52'r
e(x2 + y l+z 2
5
z=
:5,0<0:52
31.0p:52,0:50:5,00:5W
fff
dV clonde Q está limitada por x 2 +
y2 y el piano xy.
47.La regiOn bajo x 2 + v 2 + z 2 = 4z y sobre z=Vx2.+y2 48. La region sobre z = iJx2 + y2 y bajo x2 + y2 + z2 =4 49. La regional interior de z = ./x2 + y2 y bajo z = 4. 50. La region al interior de z /x 2 + v2 y bajo z = 6.
2
38.11/
+ y2 + z2 dV donde
pore! hemisferio z = 39 -
N
-
-
Q
está limitada
0 y el piano xy.
fife
2+y22
donde Q está limitada por
+ Z 2 = 2, z 2: 0 y el piano xy. 41 -
N 0
y sobre ci cuadrado
-i :! -x :5 1,-i :5y 15 1 ^
52.La region limitada por X + 2y + z = 4 y los pia(x2 + y2 + z 2)512 dV donde Q está lirnitada
por x2 + y2 + z 2 = 2, z 2! 0 el piano xy. 40.
51.La regiOn bajo z
(x2 + y2 + z 2) dV donde Q es el cubo con
x ::-: 1,1 :5y < 2 y 3 :5z 4.
nos coordenados 53.La region bajo X 2 ± y + z 2 = 4, sobre z = y2 en el primer octante. 54.La regiOn bajo X 2 + y2 + z 2 = 4, sobre z = = xyx = 0, cony ^ 0. 2 et VIYY 55. La region bajo z interior dex 2 +y2
sobre el piano xy al 4
56. La region entre Z = 4- x 2 - y2 ye! piano xy.
Capitulo 13 • Integrates miItipIes
1188
f jI 4
v'r
57.
fo
I 1
/x2 + 2 + z 2 (1Z dy dx
I
1+ji_2_ç,2
v'i
(x2 +ij2 ±z2)3'2 dzthidx
58. 2
59. / /
J-2 JO
/
(x 2 q2 +
z 2 ) 3 / 2 dz dydx
./j_____ 2 ± ,2 + z 2 dz dy dx
r4
En Jos ejercicioS 57 a 60, evaltie la integral iterada 60. o cainbiando los sistemas de coordenadas.
Jx2 +y2
61. Halle ci centro de masa del sólido con densidad constante y limitado por z = /x2 + v2 Y z = V/4- - ,T2 62. Halle ci centro do masa del sólido con densidad constante en el primer cuadrante y limitado por Z = /x2 . y 2 y z = -- x2
JT 2 +t, 2
63. Si tiene una calculadora graficadora que grafique superficies de la forma ft, 6), .4nUceIasime-grafiup--p--=
mueve airededor desde 0 = 0 hasta 0 = 2. Empleando lo que ha aprendido, intente elabQrarmano la gráfi sigwente, luego corn-
graficadora: a)p = son? 0, h)p =sen2 e- y
en la ecuación. Analice loscainbios enp rmeaicta que ustect se mueve ciesue (p = hasta 0 = n. Empleando 10 que ha aprendido, intente elaborár la gráfica siguiente a mano, luego compare sus dibujos con los que produce la calculadora graficadora: a) p = ç)p =sen2 çl'yd)p sen- ).
65. Emplee una calculadora graficadora para representar cada una de las siguientes figuras. Ajuste la ventana graficadora tanto como sea necesario;arineruna buena idea de
Eniplee una cal('.iiadora g aficadoru pam elaborar la grafica dep = 5 cos 0 y = Analice la simetrIa que resulta, porque la variable 0 no aparece en la ecuación. Analice los cambios en p a medida que usted' se
—p= (/)sen0,c)p= sehd)p=4co +2sen-3sen0ye)p = 4cos 0sen50 + 3 cos2 0. Existen innumerables graficas insólitas e interesantes en coordenadas esféricas. Experimente y háilelas usted mismo.
13.8 CAMBIODE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES Recuerde que la sustitución es una de las herramientas más básicas para evaluar una integral definida sencilla. Por ejemplo, para evaluar la integralf2xex2+3 dx, debe hacer la sustitución u = x 2 + 3. Por ahora, probablemente haga esto mentalmente, pero consideremos los detalles una vez más. Cuando se hace tal sustitución, también es necesario observar que dv. = 2x dx. Sin embargo, existe otro aspecto: cuando cambia variables en una integral definida, también dehe cambiar los lImites de integración para quo concuerden con la nueva variable. En este caso, cuando x = 0, se tiene v. = 02 + 3 = 3 y cuando x = 2, v. = 22 + 3 = 7. Esto da comoresultado
1
2
x2t-3 2xe x2 (IX = / (2x) dx Jo ' "'---' du
=
f 3
7 eU
du
=e
= e7 - e3.
Secciôn 13.8 • Camhjo de variables en integrales multiples
1189
La razón principal para hacer el anterior cambio de variables fue simpli.ficar el integrando, de modo que fuera más fácil hallar una antiderivada. Observe que no solo se transformó el integrando, sino que también cambió ci intervalo sobre ci cual estábamos integrando. Podria descubrir que ya se han implementado cambios de variables en integrales multiples en los casos muy especiales de las coordenadas polares (para integrales dobles) y cilIndricas y esféricas (para integrales triples). HabIa varias razones para hacerlo. En el caso de las integrales dobles en coordenadas rectangulares, si ci integrando contiene el término x2 + y2 o la region sobre la cual está integrando es de algün modo circulax; entonces las coordenadas polares quizá sean apropiadas. For ejem plo, considere la integral iterada /r:;;7
3 0
fo
c0s(x2 + dy dx
En realidad no hay manera de evaluar esta integral tal como está escrita en coordenadas rectangulares. (Inténtelo). Sin embargo, debe descubrir con rapidez que la region de integraciOn R es la porción de La region circular de radio 3 centrada en ci origen y situada en ci primer cuadrante (véase la figura 13.67a). Puesto que el integrando también inciuye ci término x2 + y 2 , sin duda las coordenadas polares serán de mucha ayuda. En efecto, se tiene
fo
cos(x2 + y2 ) dy dx = ':
(1 cos(x2 + y2 ) R
=f
I
Figura 13.67a: la region de
integraciOn en el piano xy.
0
r2
dA rdrd8
ii]2 3
f
Cos (r2) r dr dO,
integral fácii de evaluar. Observe que aqul sucedieron dos cosas. En primer lugar, se simplificO el integrando (Se convirtiO en uno con una antiderivada conocida) y, en segundo lugar, se transformO la regiOn sobre La cual se integra, como sigue. En el piano xy, Se integró sobre ci sector circular indicado en La figura 13.67a. En ci piano rO se integró sobre una region (més sencilla): ci rectangulo S definido por S = {(r, 0) 1 0
Figure 13.67b: Ia region de integracion en ci piano rO.
T(v,v) = (x, V), dondo x=g(u,v)yY=h(u,V), para algunas funciones g y h. A.hora considere los cambios de variables en las Integrales dobles, definidos por una transfotmación T de una region S
CapItulo 13 Integrates mLItipIes
1190
del piano uv sobre una region R del piano xy (véase la figura 13.68). Se hace referencia a R como la imagen de S bajo La transformaciOn T.
Figura 13.68: la transformación Taplicando S sobre R. •
--•-
ue-
j-si
oxactamente un punto (u, v) on Stal que T(u,v) c, ). Observe queesto Jndia que (porTenoKFincipio) se puedeso1ver Para u y v on términos de x y y. Además, sOlo se consideran las transformaciones Para las cuales g y h tienen primeras derivadas parciales continuas en la regions. La razOn principal Para introducir un cambio de variables en una intaI multiple es simp1ificaeLcá1cuio de la integral, lo cual se logra siifillficando ci intogi indo,i.aiegion sobre la cual so integi a, o ambos tes do exploi ai el etecto de ransformacion sob e una integr a1-m tipic, so oxaminan varios ejemplos do cómo una transfoinución puecle simplificar una region en dos dimensiones.
-
.TRANSFORMACION DE UNA REGION SIMPLE
11
L
Sea RlaregiOnlimitadaporlasrectasy = 2x + 3,y = 2x + l,y = 5-x.y y = 2- x. Halle una transformaciOn T que aplique una region S del piano ttv sobre R, donde S es una region rectangular con lados paralelos a los ejeSuyv.
y2x+3
/
y=2x4-i
/
OLUC1ON
,
/ /
-
=2-s
Figura 13.69a: la region R en el piano xy.
En primer lugar, observe que la region R es un paralelogramo en el piano xy (véaAse la figura 13.69a). Las ecuaciones de las rectas que forman loslImites de R pueden reescribirse como y - 2x = 3, y - 2x = 1, y + x = 5 y j + x = 2. Esto sugiere el cambio de variables u. =ty - 2x y v -= y -I- x.
(8.1)
Observe que las rectas que forman la frontera do R corresponden a Las rectas u = 3, v. = 1, v = 5 y v = 2, respectivamente, formando la frontera de la region S correspondiente en el piano uv (véase la figura 13.69b). Resolviendo las ecuaciones (8.1) Para x y y, se tiene La transformación T definida por x=(v-u)y y=(2v+u).
SecciOn 13.8 • Camblo de variables en integrales mCiltipies
1191
Debe observar que La transformación aplica las cuatro esquinas del rectángulo S en ios vertices del paralelogramO R, como sigue:
T(1, 2) - (-' (2— 1), [2 (2) + i) = (1,5)
T(3,2)
( (2-3) , 12 (2) +3)) =
= ( (5—i). [2 (5) +Ii) = (
3
I.
U
)
y Fgura 13.69b: la region S en el piano wv.
T(3, 5) = ( (5 —3), 12 (5) + 3)) = (2 ,
\
-13- ) Dejamos como ejercicio verificar que los cuatro puntos hallados son los vertices del paralelogramo R. (Simplemente resuelva el sistema de ecuaciones para los puntos de intersección). En el siguiente ejemplo, vemos cómo se emplean las coordenadas polares para transformar un rectangulo del plano rO en un sector de una corona circular. TRANSFORMACIÔN QUE INVOLUCRA COORDENADAS POLARES
Sea R la, region interior a la circunferencia x2 + y2 = 9 y exterior a la circunferencia x2 .+ y2 = 4, situada en el primer cuadrante entre las rectas j = 0 y y = x. Haile una transformaciOn T de una regiOn rectangular S del piano rO en la regiOn R. S
SOLUCIóN
Figura 13.70a: la region 1?. en ci piano xv.
Observe la regiOn R en La figura.13.70a y note que es un sector de una corona circular. La transformación obvia se Ileva a cabo con coordenadas polares. Sea x = r cos 0 y y = r sen 0, de modo que x 2 + y 2 = r2. Las circunferencias interior y exterior que forman una porción de la frontera de R corresponden a r = 2 y.r = 3, respectivamente. Además, la recta y = x corresponde a la. recta 0 = y la recta y = 0 corresponde a La recta 0 = 0. En la figura 13.70b, se muestra la regiOn S. Ahora que se han introducido transformaciones en dos dimensiones, puedeconsiderarse el objetivo principal para esta sección: determinar cOmo afecta a la integral el cambio de variables en una integral multiple. Considere la integral doble f(x, y) dA.
4
Pigura 13.70b: la regiOn S en el piano iSO.
dondefes continua en R. Además, se supone que R es la imagen de una region S en el piano uv bajo la transformación T, de modo que para cada punto (x, y) en R, existe un punto correspondiente (u, v) en S para el cual T('u, v) = (x, y). Recuerde que originalmente la doble integral se construyó
CapItulo 13 - Integrales multiples
1192
formando una partición interna de R y tomando un lImite de las correspondientes sumas de Riemann. Ahora se considera una partición interna de la region S en ci piano uv, que consta den rectánguios Si, 52..... como se observa en la figura 13.71a 1)
d.v
+ A V ...
..... AV
Au CU,
a
ul-Au
U
U
M -
Figura 13.71a: particón intema deiare-giUrrS- en el-piano U!).
Figura 13J1b: rectánguo S.
La esquina inferior izquierda do cada rectángulo 5i so denotapor (ui,vi) = 1, 2, ..., n) y se toman todos los rectángulos que tengan las mismas dimensiones Au por Av, como se indica en la figura 13.71b. Sean R1,R2, ..., R las imágenes de Si, S2,..., Sn respectivamente, bajo la transformación T, .,(U,
• Figura 13.72: particiOn curviiInea interna de la region R en ci piano xy.
vn) respectivamen OJ5rve quo RI, R2,..., R formarán una parti-
consará de rectinguios), conioselndicaen la figura 13.72. En particular, p. la imagen del rectangulo Sibajo T es la region curvilInea Ri. Del desarrollo de La integral doble, se sabe que
ff Ax y)dA ,
f(xj,yj)
AA
(8.2)
R
donde A Ai es ci area de R para i = 1, 2, ..., n. La ünica dificuitad que presenta esta aproximación es que se desconoce cómo hallar AA, puesto que las regiones Rno son rectángulos generalmente. Sin embargo, puede hailarse una aproximación razonable como sigue. Observe que las cuatro esquinas de Si.: (Ui, vi), (u + Au, Vi), (Ui + Au, V + Av) y ( Ui, Vj + AV) son transfoi-madas en cuatro puntos denotados A, B, C y D en la frontera de Ri, como se indica enseguida: (n.j. j.) .
.1
_4 (g (v i , v) Ii (u.1 t;)) = A (xi, yj) ,
(u + Au. v)
(u 1.. Au, y
Vi
+ AV)
>.0 (g (u ± Au, vi + AV) , h (u.s + Au, v1 + Av)) .
T r., (u,v +Av) - L, (g (u 2 ,V -I- AV) ,h(u1,v + Av)).
SecciOn 13.8 • Cambio de variables en integrales multiples
1193
En la figura 13.73a aparecen estos cuatro puntos y una region curvilInea R1 tIpicá. Observe que siempre y cuando Au y At' sean pequeños, el area de
Ri puede aproximarse mediante el area del paralelogramo determinado -> ---4
por los vectores AB y AD, corno se indica en la figura 13.73b. y
y
A(I & ,
y)
S
S
Figura 13.73a: region R;.
Figura 13.73b: el paralelogramo
determinado por los vectores AB y AD. ---)
.----
Si se considera que Los vectores AB y AD son tridimensionales (con cornponentes k igual a cero), del análisis de la secciOn 10.4, recuerde que el Area del paralelogramo es simplemente AB x
ADJJ. Esto se tomará corno
una aproximación del area AAi. Primero, observe que AD = (gtti + Au, vi)-- g(ui,
h(u + Au, v) - htti,
VI))
(8.3)
AD = (g(uI, vi + At') - g(uI, VI), h(ui, Vj + At') - h('ui,
VI)).
(8.4)
VI),
y
De la definiciOn de derivada parcial, se tiene (u, v1) = urn
g(uj + AU,
Vi) —g(u1,v1)
Au
Esto indica que para Au pequeña, g(ui + Au, v) - g(ui, Vi) AsI mismo, se tiene
-
h(u1 + Au, vi) --h(u, vi) :z--
g(u, v1)Au. v)Au.
De manera sernejante, para. Av pequeño, se tiene g(u,, Vj + At') - g(ui, v0 g, )(Uj, v 1)Av
y VI + At,) - h.(u1, VI)
h(wi, v)Av.
Junto con (8.3) y (8.4), osto nos da guui, v1) Au, h(u, v)Au) = Au (guui,
VI),
hu1, Vi))
y (gy(uI, VI) Av, h(ui,
vj)Av) =
Av (gvuI, VI), h4,(-ti, Vj)).
Capitulo 13 • Integrates mItipIes
1194
Una aproximación del area de Rj está dada por (8.5)
AiI. donde
kT
j
AB x ADIL\Uga(Ut,vi) Auh(u,vi) 0! ATI . (?Li , v.) LS.v h,, (ui, v) 0 9u (u i , v) h (tt, v) — 9t (u,,, v) h (u i , v)
k
(8.6)
Para hacerlo más sencillo, ci determinante se escribe como Ox Ox I g (nj, v) h, (u i , v) I — I g, (ui , v) g (ui, v) I - ( au .9v (ui, v) h (ui, v) — h (tj, v) h (ui, v) — (Oy
au
09V
09V
se intronueva noiaei due---Iguria "
DEFIMCION. I
I
IOxOxI Ouovt
está referida corno el jacobiano de la trans-
El deterrninante U?!.
I1.I
•, O(x,y) formacion Ty se escribe utilizando la notacion 8 (v v)
A partir de (8.5) y (8.6), se tiene (puesto que k es un vector unitario) —s
----4
AB x AD
Ov v = . " Au AV, O(u,v)
donde ci determinante se evalüa en ci punto (ui, tiene
I!
f(x,y) AA j
f(x, y) dA
Vi).
A partir de (8.2), se
f(x,y t )
- >21 (q (ui, vj) , h(u, vi))
Au AV. :
Debe reconocer que esta 61tima expresión es una suma de Riemann para la integral doble
ff
f(9(uv)h(uv))
dudv.
El análisis precedentees un bosquejo de la demostración más amplia del siguiente teorema
Ak
Sección 13.8 • Cambjo de variables en integrales mtltiples
1195
Suponga que la region s del piano ev se aplica en la region R en el piano xy mediante la transforrnaciOn T uno a uno definida por x = g(u, v) y y = h(u, v), donde g y h tienen primeras derivadas parciales 0(x,y) continuas en S. Sifes continua en R y eljacobiano es dife0 v) rente de cero en S, entonces
fff(xv)
dA =
if
f(g(u,v) ,h(u,v))
S
R
Ia(x,y)J
I9(u,v)I
du dv
En primer lugar, observe que el cambio de variables a coordenadas polares en una integral dobie es solo un caso especial del teorema 8.1. CAMBIO DE VARIABLES A COORDENADAS POLARES
Emplee ci teorema 8.1 para deducir la formula para calcular en coordenadas polares:
ffAx,
y) dA = ffAr cos 0, r sen 0) r dr dO.
SOLUCION Primero reconozca que un cambio de variables a coordenadas polares consiste en la transforinaciOn del piano rO al piano xy definida por x = r cos 0 y = r sen 8. Esto nos da eljacobiano
.9(x,y) 0(r,9) -
Ox Ox Or 09 -. I cos 0 -rsen 01 = Cos2 0 + r sen2 0 = r. lseno r cos 0l 0y Oy Or 80
For ci teorema 8. 1, se tiene la formula conocida
ff
f(xY)dA =
Pq
ff LI
s9(x,y) f (r cos 0, r sen 0) dr dO (1 (9 7-,0)1 f(r cos 0, rsên 0) r dr dO.
En el siguiente ejemplo, se demuestra cOmo puede emplearse un cambio de variables para simplificar la region de integración (y, por tanto, para simplificar la integral). CAMBIO DE VARIABLES PA'RA TRANSFORMAR UNA REGION
Evalüe la integral
ff
(X2 + 2xy) dA, donde R es la, region limitada por las
rectasy = 2x + 3, y =2x + l,y = 5-xyy = 2 - x.
CapItulo 13 - Integrates multiples
1196
SOLUCION
La dificultad al evaluar esta integral se debe a que la region de integración (véase la figura 13.74) requiere la descomposición de la integral en tres partes. (Piense en esto). Una alternativa es hallar un cambio de variables colTespondiente a la transformación de un rectangulo del piano vv en R del piano xy. No olvide que esto se iievó a cabo en el ejemplo 8. 1, donde se hailó que el cambio de variables x=(v-u)yy = (2v+'u). j=2x+3 j
=ax+ i
transformó el rectángulo S = {(u, v) 11 :5 u :5 3 y 2:5 v :5 51 a R. Observe que el jacobiano de esta transformación es Ox Ox -
,g (X V=5--x
O(u,v) Ou Ov
Hgura 13.74: regiOn R.
fJ(x2+ 2xy)
dA =
ji. [f (v I 1
f 5f
- 1 H
+(v t u
3[)2i 2(2V2 uv - u2)}dudv =
rioii In deJajntral iterada final (ruti-
j
Recuerde que para ikitegrales definidas sencillas, con frecuencia debe introducir un cambio de variable para hailar una antiderivada del integrando. Este también es el caso de las integrales dobles, como se observa en el siguiente ejemplo. R CAMBIO DE VARIABLES REQUERID() PA RA HALLAR ANTIDE RIVADAS
VA
Evalüe la integral doble ffedA, donde R es el rectangulo limitado porias rectasy = x,y = x + 5,3J = 2-xyy = 4 - x. SOLUCH)N
Figura 13.75a: region R.
En primer lugax; observe que aunque la region sobre la coal so integra es un rectángulo en el piano xy, sus iados no son paralelos a los ejes x y j (véase la figura 13.75a). Ahora, éste es el menor de los problemas. Si observa cuidadosamente el integrando, descubrirá que no conoce una antiderivada para este integrando (no importa respecto de que variable integre primero). Un cambio inmediato de variables es hacer u = x - j y v = x + y. Resol-. viendo estas ecuaciones para x y y, se obtiene
1197
Sección 13.8 • Cambic do variables en integrates multiples
(8.7)
X =(u ±v)yy
Eljacobiano de esta transforrnación es entonces
O(x,y) 0(u,v)
Ox Ox OtL O 7 -
11 22
-
1 2
11 22
Oil Ou Ov
El próxirno paso es hallar la region Sen ci piano v.v, que se convierte on la region R del piano xy mediante esta transformación. Recuerde que las curvas frontera de la region S se transforrnan en las curvas frontera de R. A partir de (8.7), so tiene que y = x corresponde a
+v)o
0.
AsI mismo, y = x + 5 corresponde a (v-1L) = ( u
+ v) + 5ou = -5,
= 2- x corresponde a 1
1
(v-u)=2--(u+v)ov =2
y y = 4- x corresponde a
.(v.....u)= 4-(u ± v) o v = 4. Esto indica que la region S del piano ut' correspondiente a la region R del piano xy es el rectangulo S = {(u,v)1-5 :5 u :5 0 y 2 :5 v 5 41,
Figura 13.75b: regiOn S.
como se indica en la figura 13.75b. Ahora pueden descubrirse con facilidad los IImites de integración en el piano uv. Por el teorema 8. 1, se tiene
I t e (Y) dA = x+y
R
"P el' 0 (x, y)
I., S
=
v O(u,v)I
2
i,=0
1"
I
1 t4 dudv = - /
ul --
2 J2 V
i
dv = - (e° 2
J2
0 f
dudv
5 4 -I
e 5 ) / .. j; J2 -'
v'4
= (i-e 5 )1nIvI
= (i - e 5 ) ( 1n4 - 1n2) v=:2
0. 34424. Como se ha hecho hasta ahora en dos dimensiories, se puede desarrollar una formula para el cambio de variables en ]as integrales triples. La demostraciOn del siguiente resultado puede encontrarse en muchostextos de cálculo avanzado. Primero se define ci jacobiano do una trans forma.. ciOn en tres dimensiones. Si T es la transformación de la regiOn S del espacio uvw sobre una region R del espacio xyz, definida por x = g(.u, v, w), ,y = h(u, v, w) y
Capitulo 13 - Integrales mtiItipIes
1198
9( x,y,z) z = i(u, v, ii,) el jacobiano de la transformaciOn es el d6terminante 8 (u v, w) definida por
ax Ox ax Ou O Dv Tw0wt9(x,y,z) 49 (X, Y, Z) — Oy Oy Dy 8u Dv 13w
8(u,v,IV)
Dz Dz Oz Dv OZ w -
th
Suponga que la region S del espacio iL.vW se transforma sobre la region R del espacio xyz mediante la transformaciOn uno a uno, T definidaporx = g(u,v,w),y = h(u,v,w)yz = l(u,v,w),dondeg,hyl tienen primeras derivadas parciales continuas en S. Sifes continua
______ es diferente de cero enS, en
en R y eljacobiano
9__
11"
If f
D( x,y,z)
JJJ f(x, y, z) dV = jJJ f(g(u, v, w), h(u, v, w), l(u, v, w))•, S
---------------------------------------
ductvdw.
j
En una integral triple se realiza un eambin de variablesor la misina razón que sizo en las integi'ales dobles: simplificar cltcgrando, la region de integraciOn, o ambos. En el ejemplo siguiente, se emplea el teorema 8.2 para deducir la formula del cambio de variables para la conversión de coordenadas rectangulares en esféricas, y observar que éste es simplemente un caso especial del proceso general de cambio de variables dado en el teorema 8.2. a DEDUCCION DE LA FORMULA DE EVALUACION PARA COORDENADAS ESFERICAS
Ernplee ci teorema 8.2 para deducir la formula de evaluación para las integrales triples en coordenadas esfOricas:
fff f(X, YAN = fffjtoseno cosO,p seno sen O,p cos q)
p2 sençb dp d dO.
SOLUCION Suponga que la regiOn R del espacio xyz es la imagen de la regions en el espaciopçbO bajo la transformaciOn T definida por ci carnbio a coordenadas esféricas. Recuerde que se tiene
x =p sen. 0 cos 0, y = p sen 0 sen 0 y = p cos q'. El jacobiano de esta transformación es
SecciOn 13.8 • Camblo do variables en integraLes multiples
1199
Ox Ox Ox 09 Op
ao
sen 0 cos 0p cos cos O —psensen.0 t9(x,y,z) - Oil Oil Oil = sen Osen 9 p cos 0 sen 0 p sen 0 cos 9 Op 0b 30 0 _pSeflq cost -
Oz 9z Oz Op F(k 30 Por conveniencia, se desarrolla este determinante por la tercera fila, en vez de hacerlo por la prirnera. Esto nos da 0(x,y, z) - cos lp cos 4 cos 0 —psenbsen0 I 'sen COSO —pSen sen 9 I pcoscbsen9 psenqScos + psen sen0senO psen0cosO = cos 0 (p2 sen 0 cos ç cos 2 0 + p 2 sen cos q5 sen 2 0)
+ p sen (p sen 2 q cos2 0 + p sen2 0 sen2 0) =p2 sencos 2
+ sen2 Ø)
=p2 sençb.
Del teorema 8.2, observe que se tiene que
IffAx, y, z) cIV = Aff (p
sen 0 cos 9,p sen 0 sen 0, p cos
O(x,y,z)
dpdçbd0
= fjff(p sen q5 cos O,p sen 0 sen 0,p cos
)p2 sen O dp 4 dO,
donde se utiliza el hecho de que 0 :5 v para escribir I sen 0 1 = sen /. Observe que ésta es la misma fórmulade evaluación desarrollada en la sección 13.7, y ahora puede darse cuenta de que es solo un caso especial del resultado más general en el teorema 8.2.
L
EJERCICIOS DE LASECcION 13.8
1. Explique qué se quiere indicar con "region rectangular" en el piano uv. En particular, explique r 15 2y0 :5 0:5 r. qué es rectangular respecto de la región polar 1 (O(x,y) = &(x, y) 2. Elorden de las variables en el jacobiano noes importante, en el sentido que 0(u, 0(, x y) pero el orden es muy importante, en el sentido que 0(x, v)) . De una explicación I O(x,y) (u, v) I_ 1 geométrica de por quo , O(u v) j OF y)
1 ()
11 0
J_
1200
Capitulo 13 - Integrales multiples
En los ejerciciOS 3 a i;, naue una ranslurmawOn de una region rectangular S del planouv en la regiónR. 3 R.estáiimitadapory = 4x -I- 2,j = 4x± 5, y : 3 2xv = 1-2x 4. R está limitada por ij = 2r 1 3x y y = -1 3x.
-
1
,
= 2x + 5.
u
2LJf+2dAdondeR.est. dada ene1eJerc1c1o3
=
--
-
= 3 .--3.y =
5. ft. está lirnitada pory = 1-3x
22. If
y-2x
dA, donde R está dada en el ejerciclo 4.
x-iyyx3.
6. ft estálirnitada pory = 2x
= 2x
1,31
3yy=l.
23.ff(x_31)dA,dondeResta dada ene1ciercicio3.
7. R está al interior de x 2 ± y2 = 4, al exterior de x 2 •. = 1 yen el primer cuaclrante.
24.
8. ft está al interior de x 2 +y2 = 4, al exterior de 2 +.y2 = lyen ci primer cuadrante entre y = x X yx = 0. _9..Reat&aLm1.eriorde.x 2
•.,
9, al exterior
+
/J(x ± 2y) dA, donde ft está dada en ci ejercicio 4.
En los ejercicios 25 a 28, halle el jacobiano de la VIWI iUidL&UH AI1 UdUU.
-
10. ft. está al int e rio r d
x+y2 =9ctn:x
11.Restáiimitadapory = x 2,y = x 2 + 2,y = 3 x2 YY = 1 -X2 COflX ^: 0.
27.x =
/v,y - v
28.x
4u + v 2,= 2uv -
-
12.R estáiirnitada pory
=
2±
2,31 = 3
y3J=1-x-eenx:50. 13 Resta Iimxtda pox y=
et,ij
- ex + l,y
.._
Enlosejercicios29y30,halle la. transformaciOnde , unaregiOnrectanguiartridiniensional Sdelespa.
ciouvwenelsOlidoQ..
3' 29 Qesta limitada pox i+ y + z = 1,
+y+
= 2,
-
14.Restálimitadapory = 2x2 + l,y = 2x2 + 3,j = 2 x2 yy = 4 x 2 conx :2: 0.
30.Qestáiimitadaporx + z = 1,x + z = 2, 2y + 3z =0,2y +3z= l,y +2z =2y V +2z =4.
En los ejercicios 15 a 24, evalüe la integral doble
En los ejercicios 31 y 32, halle el voluinen del sólido dado.
-
-
-
4x) dA, donde ft está dada en ci ejercicio 3.
15.
ff ,y + 3x) dA, donde ft está dada en el ejercicio 4. 17. ff(y + 3x)2 dA, donde ft está dada en ci ejercicio 5. lii.
(
31. Q en ci ejercicio 29 32. Q en ci ejercicio 30
33.En ci teorema 8.1, se requiere que eljacobiano sea diferente de 0. Para comprender por qué es necesario, considere una transformación donde x = u v y y = 2v 2u. Demuestre que el jacobiano es 0. Luego intente resolver para u y v. -
18. ffey --1 dA, donde ft esté dada en el ejercicio 6.
19.ff X
dA, donde R está dada en el ejercicio 7.
-
34. Caicule el jacobiano para iatransformación casi esféricax =psen,y =p cos cos Oyz = pcos sen 0.
Ejercicios de repaso del capitulo
Para un conj unto de constantes diferentes C12, C22,..., C82 Y d12, d22 y d32. Las constantes son determinadas mediante una serie de mediciones de pelotas en reposo, Para calibrar el modelo. Dado que el modelo Para cada cámara consta de 11 constantes, explique por qué, en teoria, seis mediciones diferentes serán más que suficie.ntes Para determinar las constantes. En realidad, se toman más mediciones y se emplea el criterio de los ml nimos cuadrados Para hallar la mejor aproxi macion del modelo a los datos. Suponga quo este procedimiento produce el modelo
35. Las transformaciones están presentes en muchas aplicaciones matemáticas importantes. La transforniación lineal directa analizada en este ejercicio. fue utilizada por los investigadores de golf Gobush, Pelletier y Days Para estudiar el movimiento de las pelotas de golf (véase Science and Golf II, 1996). En las pelotas de golf se dibujan puntos briilantes, rastreados por un par de cámaras cuando la pelota es golpeada. El reto consiste en emplear esta información Para reconstruir la posición exacta de la pelota en varios momentos, lo que permite a los investigadores estimar la rapidez, la tasa de rotación y el angulo de lanzamiento de la pelota. En el modelo de transformación lineal directa desarrollado por Abdel-Aziz y Karara, un punto en la posición real (x, y, z) aparecerá en el pixel (ui, vi) por una imagen digitalizada de una cámara donde U1
3x + z 2x+y+z±1 V1 = x+y+2z+l x+y+2z+1' 4x+y+3 x+z+6 U2 = V2=2x+z+l 2x+3z+1 •
'
Silas coordenadas de un punto en la pantaha son (ui, vi) = (0, -3) y ( u2, v2) = (5, 0), resuelva Para la posiciOn real (x, y, z) del punto. Un punto no aparecerá como un pixel aislado, sino como una imagen borrosa sobre varios pixeles. El punto se localiza en el.pixel más cercano al centro de masa de los pixeles involucrados. Suponga que la imagen de un punto activa los siguientes pixeles: (34, 42), (35, 42), (32,41), (33, 41), (34, 41), (35, 41), (36, 41), (34,40), (35,40), (36,40) y (36,39). Halle el çentro de masa de estos pixeles y redondee Para determinar la "localización" del punto.
- clix + Cly + C31Z + Cj diix+d2iy+d3iz+1 c51X + C7J + C71Z + C81
yv1— d1ix+d2iy+d3iz+1'
Para constantes cii, C21,. .., C81 y dii, d21 y d31. De manera semejante, la cámara 2 "ye" este punto en el pixel (u2, v2) donde - C12X + C22y + C32Z + C42 U2di2x+d22y+d32z+1 • c5 2x + CJ + C72Z + C5
3' ?) =
1201
d12x + d22y + d32 z + 1
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPITULO En los ejercicios 1 y 2, calcule la suma de Riemann Para la funciOn y region dadas, una partición con n lectánlos de igual tamaño y Ia regla dada. Ax, y) = 5x-2y, 1 :5 x
3,0 :5 j :5 1,n = 4; enel
Punto medio.
2 .f(x,y)=4x 2 +y,0:5xf:-:1,1:5y:5- 3,n=4;enel Punto medio.
En los ejercicios 3 a 10, evahue la integral doble. 3.
ff (4x + 9x2 v2
)
dA donde R = 10 < x < 3,
1 :5 ,y:5 21 4. ff2e
2hIdAdOfldeR = 10 5 x !5 1,0
y 5 11
5
1
CapItulo 13 Integralos multiples
1202
. ff, -i2Lf2-,U dond eR = -f j .:5 -X2 + y2 - <— 4}
En los ejercicios 25y 26, cambie el or den de integración.
^
6. ff2xv d.A doride R está limitada por y = x,
p2 pz 2
=
J
p2 p4
26. / / f(t, y) dy dw
f(x, y) dy dx
j
25. 0 0 2-xyy = 0
En los ejercicios 27 y 28, convierta a coordenadas polares y evaltie la integral
r2X
I
(2xy - 1) dy dx f j J2 0 8. L(3y2x +4) dy dx
7,
9.
f 27.Jo / fi? 2xdydx p2
ffxy dA donde R está limitada por r = 2 cos 0
_ 2/x2 + y 2 dy dx
24
28.
f
f
10.Jfsen (x2 + y 2) dA donde R está limitada por Enlos e.iercicios 29 a 32, halle la masa ye! centro de masa R
29.Lámina lirnitadapor y = p(x,y)2x. -
11. ff4xy dA donde R está limitada por y = x2 -4 y
2x4
x y x 2,
-
. . 30.Lam na1 mtada pory=x, v = 4 '°(x, y) = 2y.
y
= O,
31.Eis6lidoiimitadoporz = 1 x2,z = O,y = O,y + z=2,p(x,y,z)2 -
T
=lflX
32
f-f
p(x,.y,z) X2
3.
E n Ins e rci ci os 33 v 34 use una integral doble tara
En los ejercicios 13 a 22, calcule el volumen del sólido. 13. Limitado por z = 1 - x2, z = 0, y = 0, y 1 14. Limitadoporz = 4--x 2 -y 2,z = 0,x = 0,x + y = 1 15. Entre z = x2 + y2 y z
8-- x2 -
16. Bajo z = ev"'-`- +Y 2 y al interior do x 2 + y 2 = 4
17.Limitado por x
+
2
+
z = 8 y los pianos
coordenados
18.Limitado por x coordenados
+
19. Lirnitado por
\/'2± y2 7
5y + 7z = 1 y los pianos
33. Limitada por y = x 2 y = 2- x y y = 0 ,
34. Una hoja de r = sen 40 En los ejercicios 35y 36, halle el valor promedio de la función en la region indicada. 35.f(x, y) = x2 , region limitada por y = 2x, y = x y x=1 + y2, region limitada por x2 +,y2 = 36.f(x, ii) =VFx21,x = O,y = 0
4
En los ejercicios 37 a 42, evaltie o estime el area de superficie
20. Lirnitado por x = /2 + 2 y x = 2
37. Laporcióndez = 2x + 4y entre y = x,y = 2yx = 0
21,Entrez
Vx2i2yx2
+
Z
y2 + Z2 = 4
22. Interior a x 2 + y2 + Z2 = 4z y bajo z = 1 23.Bajoz =.6-x2 -y 2, interior ax 2 + y 2 = 1 24. Bajo z = x, interior a r = cos o
I.
38. La porciOn de z = x 2 + Gy entre y = x 2 y y = 4 39.La porción de z = xy, interior a x 2 + y 2 = 8, primer octante 40. La porciOn de z = sen(x2 + y 2) interior a x 2 +
1203
Ejorcicios do repaso del caPf t ulO
- bajo z = 4 41. La porción de z = /x 2 +y2
42. La porción de x + 2y + 3z = 6 one! primer octante En los ejercicios 43 a 50, plantee la integral triple
N f(
l
/J2_2
p\/T2
53.f 1 JOI p2
54.J.2JO I I
/^
/x + y2 + z2 dx dy dx
';
/
dzdydx
JO
x, ij, z) dVen un sistema de coordenadas apro-
piado. Sif(x, y, z) está dado, evalüe la integral.
En los ejercicios 55 a 60, escriba la ecuaciOn dada en a) coordenadas ciindricas yb) coordenadas esféricas. 56.x2 -l-ij 2
43.f(x,y,z) z(x -F y), Q {(x,y,z)I0:5x:52,--1y:5 1,-1z: ^- 11
57.x 2 +!J2 lz 2 =4
58.yx
44.f(x, y, z) = 2xlJeYz,
59.z =
60.z = 4
45.f(x, j, z) \/x2 •1- y2 +.' Q está encima de z = V.72 + Y 2 ybajox2 +y2 +z2 4. 46,f(x, y, z) = 3x, Q está en la region bajo
z = 1x2 + y2 encima de z = 0, al interior de + y2 = 4 47. Q está limitada por x + y + z = 6, z = 0, j = y = 2 yx = 0. 48. Q es la region bajoz = ..J4 . ,2 y 2 , encima de z = 0 ai interior de x 2 + y2 = 1. -
49.Q es la region bajo z = y'4 z = 0.
-
-
,v2 - y 2 y encima de -
/;-+-;
9
En los ejercjcjos 61 a 66, dibuje la grafica. 61.r=4
62.p4
63.O= f
65.r=2 cos O
66.p=2 see çb
En los ejercicios 67y 68, halle una transformación de una region rectangular S en ci piano uv a la re-
giOnR. 67.R limitada por y = 2x — 1, y = 2x + 1, y = 2- 2x y y = 4 - 2x 68.R interior a x 2 + y 2 = 9, exterior a X 2 + y 2 = 4 en el segundo cuadrante En los ejercicios 69y 70, evalüe La integral doble.
50.Q es la region bajo z = 6 - x — y, encima de = 8. z = 0 y al interior de x 2 + En los ejercicios 51 a 54, evalüe la integral después do camb jar los sistemas de coordenadas. /2Tr
I
L
\/ 2
Y2
J.
I
Jo
ff(?j 70.
-F 2x) 3 ciA donde R está dada en ci ejo1cicio 67.
it CZ
dx (IV dx
/•V'1 p2 •JO
69. ffey -2x dA donde R está dada en ci ejercicio 67.
4zdzclxdy
En los ejercicios 71 a 72, halle eljacobiano de la transforinacion dada. 71.x =u2v,y 4u +v2 72.x 4u-5v,y
2'a -l- 3,,
14 pffi Ca'Iculo vectorial El escarabajo de Volkswagen fue uno de los automóviles más queridos y reconocibies durante las décadas de los años 1950, 1960 y 1970. El anuncio de Volkswagen que lanzarIa un nuevo diseflo del escarabajo on 1998 origino agitación en ci mundo del autornóvil. El nuevo escarabajo tiene un aspecto sernej ante al clásico, pero ha sido modernizado para mejorar el promedio depor mill as recorridas galón de m combustible, la seguridad, el manejo y ci desempeno general. El cálculo que Se introduce en este capItulo proporcionará algunas herramientas básicas necesarias para diseflary analizar automóviles, aeronaves y otros tipos de maquinarias complejas.
El antiguo escarabajo (cortesla de Volkswagen).
-
El nuevo escarabajo (cortesIa-de Volkswagen).
Piense en como podia-rediseñax un autom6vil pai a mejorar su fiodcyj.ento Aunuitingcniews han &dentilicaduchosrin ------ cip earorr ,elxsenoeunn ostructura compleja como un automóvil todavIa está sujeto a elementos de ensayo y error. Antes del desarrollo de computadores de gran velocidad, la opciOn de un ingeniero era construir un pequeño modelo a escala o de tamaflo natural dc un nuevo diseño y luego probarlo en un tünel de viento. Por desgracia, los pequeflos modelos no siempre son suficientemente fieles a! diseflo original para proporcionar info rmaciOn titil. Aunque los modelos de tamano natural dan irxforrnación más confiable, su construcción es demasiado costosa, en especial si tienen 20030 nuevas ideas que le gustarIa probar. Con los nuevds computadores, las pruebas del tunel de viento pue• den simularse con precision mediante programas sofisticados. Los disenadores pueden analizar numerosas ideas sin ningOn costo, incluidas innovaciones inusuales que no han sido consideradas antes. Los modelos matemáticos dan a los ingenieros la oportunidad de probar todo minuciosamente, desde modificaciones pequeflas hasta cambios radicales. El cálculo requerido para la simulaciOn de un tünel de viento por computador está rnás allá de lo estudiado hasta ahora. Tales simulaciones pueden rastrear la velocidad del aire en cada punto del autômóvil y alrededor de éste. Una funciOn que asigna un vector (por ejemplo, un vector velocidad) a cadá punto del espacio se denornina campo vectorial, tema que se presenta en la sección 14.1. Para determinar dónde ocurren remolinos y turbulencias en el flujo de un fluido, debe calcülar integrales de lInea, las cuales se ana!izan en las secciones 14.2 y 14.3. El rotacional y la divergencia, introducidos en la sección 14.5, permiten ana!izar las propiese
SecciOn 14.1
o
Campos vectoriales
1205
dades rotacionales y lineales del flujo de un fluido. Otras propiedades de objetos tridimensionales, como masa y momentos de inercia, requieren el cálculo de integrales de superficie, que se desarrolla en la seccjón 14.6. Las relaciones entre integrales de lInea, integrales de superficie, integrales dobles e integrales triples se exploran en las secciones restantes del capItulo. En el caso del rediseño del escarabajo de Volkswagen, las simulaciones por computador permitieron realizar muchos mejoramientos a! original. Una medida de La eficiencia aerodinámica de un vehIculo es el coeficiente de resistencia aerodiriámica. Sin adentrarse en tecnicismos, cuanto menor sea el coeficiente de resistencia aerodinámica, será menor la velocidad del auto, por La resistencia del aire. El escarabajo original tenIa un coeficiente de resistencia aerodinámica de 0.46 (seg(in informan Robertson y Crowe en Engineering Fluid Mechanics). En cambio, un Chevrolet Corvette de 1985, de suspension baja (y bastante de viento), tiene un coeficiente de 0.34. La hoja de especificaciOn de Volkswagen para el nuevo escarabajo presenta un coeficiente de 0.38, lo cual representa una reducciOn considerable de La resistencia del aire respecto del escarabajo original. Gracias a un cuidadoso análisis matemático, Volkswagen mejorO con éxito el desempeño del escarabajo y mantuvo la forma distintiva del automOvil original.
14.1 CAMPOS VECTORIALES Para analizar las caracterIsticas de vuelo de un avión, los ingenieros realizan pruebas en el tunel de viento, las cuales proporcionan información vital acerca del flujo de aire sobre las alas y alrededor del fuselaje de la nave. Como puede imaginar, para modelar tal prueba matemáticamente, es necesario describir la velocidad del aire en varios puntos del tünel, el ünico problema con esto es que la velocidad es un vector. En consecuencia, es necesario definir una función que asigne un vector a cada punto del espacio. Tal función tendrIa un dominio multidimensional (comolas funciones de los capItulos 12 y 13) y un rango multidimensional (como las funciones con valores vectoriales introducidas en el capItulo 11). Dicha función se denomina campo vectorial. Aunque los campós vectoriales en grandes dimensiones pueden ser muy ütiles, en esta sección se estudiaran los campos vectoriales en dos y tres dimensiones. DEFINICION. Un campo vectorial en el plano es una función F(x, y) que aplica puntos en R2 en el conjunto de vectores bidimensionales. Se escribe F(x, y) = (fi(x, y) ,f2(x, y)) =fi(x, y)i +f2(x, y)j, para funciones escalaresfi(x, y) yf2(x, y). En el espacio, un campo vectorial es una funciOn F(x, y, z) que aplica puntos en R 3 en el conjunto de vectores tridimensionales. En este caso, se escribe F(x, y, z) = fi(x, y, z),f2(x, j, z),f3(x, ji, z)) = fi(x, y, z)i + fz(x, y, z)j + f3(x, y, z)k,.para funciones escalarésfi(x, y, z),f2(x, y, z) yf3(x, y, z). (
Para describir graficamente un campo vectorial bidimensional, se representa un conjunto de los vectores F(x, y) para varios puntos (x, y) del dominio; en cada caso, el vector se dibuja de modo que su punto inicial esté localizado en (x, y), lo cual se ilustra en el siguiente ejemplo.
I CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1206
REPRESENTACION GRAFICA DE UN CAMPO VECTORIAL
Para el campo vectorial F(x, y) = (x + y, 3y - x), eval(le a) F(1, 0), b) F(0, 1) y c) F(-2, 1). Represente cada vector F(x, y) empleando el punto (x, v) como punto inicial. SOLUCION
Figura 14.1: valores de F(x, v).
a) Tomandox = lyy = 0, se tiene F(1, 0) = (1 + 0,0-1) = (1,-1).Enla figura 14.1 se ha representado el vector (1, -1) cuyo punto inicial está localizado en el punto (1,0) y su punto final se localiza en (2, -1). b) Tomandox = 0 y = 1,setieneF(0, 1) =(0 + 1,3-0) = (1, 3). En la figura 14.1, también se indica el vector (1,3) cuyo punto inicial está en (0, 1) y su punto final se localiza en (1, 4). C) Con x = -2 y y = 1, setieneF(-2, 1) = (-2 + 1,3 + 2) = (-1, 5). En la. figura 14.1, el vector (-1,5) se representa colocando su punto inicial en (-2, 1) y su punto final en (-3,6).
La representación gráfica de campos vectoriales presenta algunas dificul__________________ cuatrodirnensiones(esdecir, dos variab1e&independientesmás-dosdimen- -- siones para losëtores). AsI rnisrno,iagrahca de un campo vectorial tridimensional serIa en seis dimensiones. A pesar de esto, muchas de las propiedades importantes de un campo vectorial pueden visualizarse representando un niniero de valores del campo vectorial, como se comenzó a_ hacer en la figurà 14.1. En general, se entiende por grafica de un campo -- -- ectoria1 F(x, y) una gráflca bidirnensional con vectores F(x, y) representa-- ------ dos con supunto inicial localizado en (x, y), para una variedad depuntos(x, n flnectoresareprentan:amano, son por cuadrante. Muchas calculadoras graficadoras y sistemas algebraicos computarizados tienen comandos para graficar campos vectoriales.. En el siguienté ejemplo, observe que en las graficas generadas por computador, los vectores no tienen la longitud correcta. Algunos paquetes de software acortan o alargan automáticamente todos los vectores proporcionalmente a un tamaño que impide ilenar desordenadamente la gráflca general. GRAFICAS DE CAMPOS VECTORIALES
Elabore las gráficas de los campos vectoriales F(x, y) = (x, y), G(x, y) =
(x,
y H(x, y) = (y, -x) e identifique algunos patrones.
SOJ4UCION
La tarea consiste en escoger varios puntos (x, y), evaluar el campo vectorial en estos puntos y dibujar los vectores empleando (x, y) como punto inicial. Observe que en la siguierite tabla se han elegido puntos sobre los ejes en cada uno de los cuatro cuadrantes.
(x, Y) (x,y)
(x,y) (x,y)
1 1 (2,0)
(1,2) (2,1) (0,2) (2,0) (1,2) (2,1) 1
r)
= (-2,1) (-2,0) (-1,-i) (0,-2) (1,-i) - (-2,1) (-2,0) (-1,'--1) (0,-2) (1,-i)
1207
Sección 14.1 • Campos vectoriales
Los vectores indicados en la tabla están dibujados en la figura 14.2a. Una representación del campo vectorial generada por computador se muestra en la figura 14.2b.
12 N\ \ v-
I
•:- -
-
1 / 7---
/
'1 '
-
1 1
-
-
F
I
r ,
1
-11
---
-
-
S
-
-
-
\
I -12
---..N ---
-
...
Figura 14.2a: F(x,y) = (x,j).
\ 1 -"--------.---------
/ \ N----.--.
x
En ambos dibujos, observe que los vectores apuntan hacia afuera del origen y aumentan su longitud a medida que los puntos se alejan del V2 del origen. En efecto, el punto inicial (x, y) está a una distancia 1 r 2+ _ origen y la longitud del vector (x, y) es VIx2 - . En consecuencia, la +y2 longitud de cada vector corresponde a la distancia desde su punto micial hasta el origen. Esto proporciona importante inform ación ace rca de la grafica de G(x, y). Aunque la formula puede parecer confusa, observe que G(x, y) es igual a F(x, y), excepto por la division entre /x2 + y2 , la cual es la magnitud del vector (x, y). Recuerde que al dividir un vector entre su magnitud, se obtiene un vector unitario en la misma direcciOn. AsI, G(x, y) siempre tiene la misma dirección que F(x, y), pero produce vectores unitarios. Una grafica de G(x, y) generada por computador se muestra en la figura 14.2c. Note que aunque H(x, y) se parece de alg(in modo a F(x, y), es necesario calcular de nuevo los vectores para. representarlos. Se tiehe
Figura 142c:
(x,y)
(y,-x) Figura 14.3a: H
(x, y) = (y, —x).
(x, y)
(y, —x)
II
M= \ \ .,' - —I— •- •- / / N -
--
f-- - -
Figura 14.3b: H(x,y)
Figura 14.2b: F(x, y) = (x, y).
V
= (y, —x).
(2,0) (1,2) (2,1) (0,2) (-1,2)(j, (0,-2) (2,-1) (1,-2) (2,0) (2,1) (-2,1) (-2,0) (-1,-i) (0,-2) (1,-i) (1,2) ( 0 ,) (-1,1) -2,0) (-1,1)
Los vectores indicados en la tabla se dibujan en la figura 14.3a; en la, figura 14.3b se muestra una grafica de H(x, y) generada por computador. Observe que si H(x, y) representa el campo de velocidad de un fluido en movimiento, los vectores indican una rotación circular del fluido. Recuerde que las rectas tangentes a una circunferencia son perpendiculares al radio de ésta. El vector radio desde el origen hasta el punto (x, y) es (x, y), el cual es perpendicular al vector (y, -x), puesto que (x, y) (y, -x) = 0. AsI mismo, observe que el tamaño de los vectores no es constante. En lo que reSpecta a F(x, y), se calcula la longitud del vector -x) como /x2 + y 2 , igual a la distancia desde el origen hasta el punto inicial (x, y).
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1208
j
Aunque las ideas del ejemplo 1.2 son muy importantes, debe admitirse que muchos campos vectoriales son demasiado complejos para dibujarlos a mano efectivamente. El siguiente ejemplo proporcionará más práctica para relacionar las funciones coniponexites de un campo vectorial con su grafica. u
CORRESPONDENCIA ENTRE LOS CAMPOS VECTORIALES Y GRAFICAS Relacione las gráficas mostradas con los campos vectoriales F(x, y) = (p2, x — 1), G(x, y) = (I! + 1, ex/6 ) y H(x, y) = .(y3, x2 - 1). S(II1UCIÔN No existe un procedimiento general para relacionar campos vectoriales con sus gráficas. Debe buscar caracteristicas especiales de las componentes de los campos vectoriales e intentar localizarlas en las graficas. Por ejemplo, la primera componente de F(x, y) es 1, 2 >_ 0, de modo que los vectores F(x, y) nunca apuntarán hacia la izquierda. Los cuartos corn-ponentes son vnegativas,:demodo quela gráfica B- debe-ser-la:gráfica de F(x, y). Observe que los vectores de la. gráfica B se hacen muy pequenos cerca de x = 1, donde la segunda componente de F(x,.y.) es-igual a 0. De manera semej ante, la segunda componentede G(x, y) es e 6 > 0, de modo que los vector es G(x, 'y) siempre apunran hacia ai i iba La grafica A es la ünica de estas gráficas que tiene esta propiedad. Note tam--biénaue-losvectores de la eráficaA-se hacenmás neauenos-cerca-de ala grafica C para H(x, y), aunque es necesario verificar para asegurarse de que esto sea razonable. Observe que la primera componente de H(x, 1,) es y3 , la cual es negativa para Il <0 y positiva para y> 0 Los vectores apuntarán a la izquierda para y <0 y hacia la derecha para. 1, > 0, como se observa en la gráfica C. Además, los vectores de la gráfica C se hacen más pequeños cerca de x = I x = —1, donde la segunda componente de H(x, 1,) es igual 0. -V
V
—----- - — — —
—. —. —
—
— —
— —
-
—
-
-
—
— —
-
— —
I
I
-2 S'
-
I
I
•s. -
•',
I
N
Gráfica A
'
"
.-
,
1
N N
—. - - — — ---- -,- -
-
Gráfica B
1209
SecciOn 14.1 • Campos vectoriales
------ --------
HH
Ii
T:.2
Gráfica C
Como podrIa imaginar, los campos vectoriales en el espacio son tIpicamente más difIciles de dibujar que campos vectoriales en ci piano, aunque la idea es la misma. Es decir, escoger una variedad de puntos represent ativos y dibujar ci vector F(x, y, z) cuyo punto inicial está beauzado en (x, y, z). Por desgracia, las dificultades asociadas a la representacion de vectores tridimensionales en un papel bidimensional reducen La utilidad de estas graficas. GRAFICA DE UN CAMPO VECTORIAL EN EL ESPACIO
Elabore La gráfica del campo vectorial F(x,y,z) = (r
(—x, --y, —z) 2 f. 2 -f 7 2 ) 3/2
SOLUCION En la figura 14.4 aparece una representación del eampo vectorial F(x, y, z) generada por computador.
z .5.
.5..-.'.
.14
,'.
\..•
.-..-.-..\
/•
Figura 14.4: campo de la fuerza de gravedad.
CapitLilo 14 ° Cáloulo vectorial
1210
Observe que los vectores apuntan hacia el origen y se tornan más grandes a medida que se acercan a éste (donde el campo no está realmente definido). Debe figurarse una atracción hacia el origen que se fortalece a medida que usted se acorca. En efecto, podrIa reconocer que F(x, y, z) es el campo de la fuerza de gravedad para un objeto localizado en el origen. El campo de fuerza mostrado en la figura 14.4 indica que un objeto sometido a este campo de fuerza debe ser atraldo hacia el origen. No obstante, esto puede ser engañoso, ya que un objeto dado no necesariamente se moverá en una trayectoria recta hacia el origen. For ejemplo, un objeto cuya posicion inicial es (2,0,0) y su velocidad inicial es (0,2,0) se moverá en espiral hacia el origen. Para dibujar con mayor precisión.la trayectoria Seguida por un objeto, se requiere información adicional. En muchos casos, se piensa que la velocidad no depende explIcitamente del tiempo, sino de la localización. Por ejemplo, imagine que observa un rio que baja por la montafla con caIdas de agua y remolinos que no cambian (significativamente) con el tiempo. En este caso, el movimiento de una hoja que cae en el rio dependeria de dónde se deja caer la hoja y node cuándo se deja caer la hoja. Esto indica que debe considerarse la velocidad de la corriente como una función de localización. Es decir, la velocidad de cualquier partIcula locali________________________ vectorial F(x y) = Ti (x ti) f(x tj)), denommado campo de velocidad La trayectoria de cualquier particula dada en el flujo, partiendo del puntoxo,yo),es la curva representada por (x(t), y(t)), donde x(t) y y(t) son las soluciones de las ecuaciones diferenciales x'(t) =fi(x(t), y(t)), y'(t) =f2(x(t), y(t)) con condicionesiniciales-x(to) =.xo yy(to) = jo. En eatcasos, el campo de velocidad -puede-emplearseparaeonstruirlineasde'flujoque indicari latryçtorj__ seguida por una partloula que conuenza-enunpunto determmado en el flujSestudiarábrevernente corno se hace esto). ______ En4apetica, una manera-diiiiaIizar nos procesos es representar un nCimero do vectores velocidad en un ünico instante. La figura 14.5 muestra el campo de velocidad de las corrientes del oceano PacIfico en marzo de 1998. La fotografIa esta codificada por colores para la temperatura (indicada aqul por tonos de gris), con una capa de agua que va desde Suramérica hasta el Pacifico noroeste, la cual representa el fenómeno de El Niño. El campo de velocidad proporciona información acerca de cómo cambian probablemente las areas més cálidas y frIas del agua del océano. Puesto que El Niño se asocia a cambios significativos en la temperaturay las iluvias, la posibilidad de predecir su movimiento puede ser muy importante. 55'N 45'N 35'N 25'N 15'N 5'N 5'S 15'S 25'S 35'S 160 B
Figura 145: campo de velocidad de las corrientes del océano PacIfico (marzo de 1998). (CortesIa de JPL/Caltech/NASA).
1211
SecciOn 14.1 • Campos vectoriales
GRAFICA DE CAMPOS VECTORIALES Y LfNEAS DE FLUJO ) y (2,1 + 2xy) y, para Elabore las gráficas de los campos vectoriales , cada uno de ellos, dibuje ilneas de flujo hacia los puntos (0, 1), (0,-i) y (1, 1). SOLUCION En el ejemplo 1.2, se grafico el campo vectorial (y, -x) y, en la figura 14.6a, se muestra una gráfica del campo vectorial generada por computador. ALY
N\ //
N\\
/71l 1/1 1!'
-
it 127x
/11
Figura 14.6a: (ii, -x).
Figura 14.6b: Ilneas de flujo (y, —x).
Observe que en la figura 14.6a, los vectores dibujdos casi sejuntàn como cIrculos concéntricos. En la figura 14.6b, se han superpuesto las trayectorias circulares que permanecen tangentes al campo de velocidad y pasan a través de los puntos (0, 1), (0, -1) y (1, 1). (Observe que las dos primeras de estas trayectorias son iguales). No es difIcil comprobar que las lIneas de flujo son circunferencias, como sigue. Observe que una circunferencia de radio a centrada en el origen, orientada en el séntido de rotación de las manecillas del reloj (como se indica), puede describirse mediante el extremo de la función con valores vectorialès r(t) (a sen t, a cos t). El vector velocidad r'(t) = (a cost, - a sen t) es un vector tangente a la curva. Si se elimina el parámetro, el campo de velocidad para el vector posición r = (x, y) está dado porT = (y, -x), campo vectorial que estamos dibujando. El campo vectorial (2, 1 + 2xy) es un poco más complicado. En la. figura 14.7a se muestra una gráfica del campo generada por computador, donde los vectores siguen algunas trayectorias casi parabólicas; y en La figura 14.7b se dibujan dos de estas trayectorias a través de los puntos (0, 1) y (0, -1). No obstante, en la figura 14.6b, los vectores también indican algunas trayectorias que parecen más bien una c(ibica, como Ia trayectoria a través de (0,0) dibujada en la figura 14.7b. En este caso, sin embargo, es más dificil determinar ecuaciones para las lIneas de flujo. Como resultado, no son parabólicas ni cilbicas. En los ejercicios se explorara esto con más detenimiento.
1212
Capftulo 14 • Cálculo vectorial
\
-2,
-2' ' --1-
.
- - 1- - 2
;r
-'2 Figura 14.7a: (2,1 + 2xy).
Figura 14.7b: Ilneas de flujo (2, 1 + 2xy).
Un buen dibujo de un campo vectorial puede facilitar la visualizacion, por lo menos, de algunas de las lIneas de flujo. Sin embargo, m Si_______________________________ oieraunbuendibujopuede remplazar La información disponible en una compréñdér cöIare solverse 1aecuac ne una lInea de flujo, observe que si F(x, y) = i(x, y), f2(x, v)) es un campo de velocidad y (x(t), y(t)) es la función posición, entonces x'(t) = fi(x, y) y y'(t) =f2(x, y). Por la regla de la càdena, se tiene dy dy/dty'(t) dx - dx/dt -
=
f2 (x,) - fi(x,y)
(11
La ecuación (1.1)es una ecuación diferencial de primer orden para la fun________________ La 1, pag=542), donde 'e desarrolló una técnica para resolver un grupo de ecuacionesdiferenciales denominadas ecuaciones diferenciales separables. En la sección 6.6 (Tomo 1, pág. 551), se presentó el método de Euler para aproximar La solución de cualquier ecuación diferencial de primer orden que pasa por un punto dado. EMPLEO DE UNA ECIJACION DIFERENCIAL PARA CONSTRUIR ÜNEAS DE FLUJO Construya las lIneas de flujo para el campo vectorial (y, -x). SOLUCION A partir de (1.1), se sabe que Las lineas de flujo son soluciones de la ecuación diferencial
dy dx
x y
Quizá recuerde, del análisis realizado en La sección 6.5 (Toino 1), que esta ecuación diferencial es separable y puede resolverse como sigue. Primero se reescribe la ecuación como
dy
y2=-x. Integrando ambos miembros respecto de x, so obtiene
:1.
SecciOn 14.1 'Campos vectoriales
1213
f yLdx _fxdx, de modo que = —x2 + C i] X2 + ,Y 2 = C.
Es decir, para cualquier elección de la constante c > 0, la solución corresponde a una circunferencia centrada en el origen. El campo vectorial y las lineas de flujo son entonces exactamente los que se dibujaron en las figuras 14.6a y 14.6b. En el siguiente ejemplo, se ilustra el empleo del método de Eider Para construir una lInea de flujo aproximada. EMPLEO DEL METODO DE EULER PARA APROXIMAR LINEAS DE FLUJO
Emplee el método de Eider con h = 0.05 para aproximar la lInea de flujo en el campo vectorial (2,1 + 2xy) que pasa pore! punto (0, 1), para. 0 x :5 1. SOLUC!ON Recuerde que para la ecuación diferencial V'= J(x, y), para un valor dado de h, el método de Eider produce una sucesiónde valores aproximados de la función soluci6ny = y(x) correspondiente a los puntos xi = xo + i h, Para = 1, 2,... EspecIficamente, comenzando desde un punto inicial xo, vo), donde y = y(xo), se construyen los valores aproximados y y(x,), donde las ,yi se determinan iterativamente a partir do la ecuacjón
y+i = y + hf(x, y), i = 0, 1,2,... Puesto que la linea de flujo debe pasar por el punto (0, 1), so empieza por xo = Oyyo = 1. Además, aquI se tiene la ecuación diferencial
dy
1+2xy 1 +xy=f(x,y). 2
Observe que en este caso (a diferencia del ejemplo 1.6), esta ecuación diferencial no es separable y no sabe cómo resolverla exactamente. For el xnétodo de Eider, se tiene lJi+1
= y + hf(x, yi) = Yi + 0.05( +
con xo = 0,110 = 1. Para los primeros dos pasos, se tiene (1 111 110 + 0.05
+ xoYo)
1 + 0.05 (0.5) = 1.025,
xi = 0.05, Y2 = 11' + 0.05(
+
= 1.025 + 0.05 (0.5 + 0.05125) = 1.0525625
Y X2 = 0.1. Continuando do este modo, se obtiene la sucesión do valores aproximados indicados en la siguiente tabla..
Cap (tub 14 • Cálcubo vectorial
xi Xj
0.25 0.30 0.15 - 020 0.10 0.05 1.025 1.0526 1.0828 1.1159 1.1521 1.1915
0 1
= 0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
Yi - 1.2344 1.2810 1.3316 1.3866 1.4462 1.5110 1.5813
Vi
0.2
0.4
O.fj 0.8
1
Figura 14.8: linea de flujo aproxiznada en el punto (0, 1).
1.00 0.95 = 0.70 0.75 0.80 0.85 1 0.90 1.6577 1.7404 1.8310 1.9293 2.0363 2.1529 2.2801
Una representación de estos puntos se muestra en la figura 14.8. Compare esta trayectoria con La curva de la figura 14.7b (que también pasa por el punto (0, 1)). Un tipo importante de campo vectorial, del cual tenemos alguna experiencia, es el campo gradiente, donde el campo vectorial es ci gradiente de alguna función escalar. Debido a la importancia de Los campos gradiente, existen varios términos asociados a ellos. Observe que la siguiente definición no especifica la cantidad de variables independientes, puesto que Los términos pueden aplicarse a funciones de 2,3 o más variables.
--
- -
Es importante anotar que si lee sobre campos vetoriales conservativos y potenciales en algunas areas aplicadas (como fIsica e inge_niei1a),gunas veces vera la I uncion -J ieferida a la luncion potencial Esto solo-es une tradicional en rnatemáticas), nos referiremos consistentemente la finción potencial. Esté seguro de que cuanto aqul se afirme sobre campos vectoriales conservativos se cumple también en estas areas de aplicación. La ünica ligera diferencia puede ser que nosotros denominamos fa la función potencial, en tanto que otros se referirán a -fcomo la funcion potencial. Como usted comprenderá, es un asunto sencillo hallar el campo gradiente correspondiente a una función escalar dada. HALLAR CAMPOS GRADIENTE
Halle los campos gradiente correspondientes a las funcionesf(x, j) = Aky
x2y-eyg(x,y,z)
=2 +2
campos.
+
IX
--2/
-+-----4-+ .........1 '
Primero se calculan las derivadas parciales modoque
Fiqura 14.9a: V(x 2 yeiJ).
- ell, de
= -
Vflx, y) = (
2+
2xy y
L, L) = ( 2x, x2 -
(9x
Una gréfica de Vf(x, y) generada por computador se muestra en'la figura 14.9a.
1215
Sección 14.1 Campos vectoriafos
Para g(x, y, z) = (x2 +.y2 + z 2)-', se tiene La derivada parcial S
* II
•'\ •S
\
t
\ \
,
1,1
I
••
,,
I
Og ---(x 2 Ox
-
''. '
i''• '1 '. '
-
2x
Puede emplearse la simetrIa (piense en esto) Para concluir que
N
Og =
TY
2V 2z L9 x2+y2+z2'Oz"x2+y2 + z2 .Esto nos da /Og Og Og\ Vg(x,y,z)= \;'';/
Figura 14.9b:
2(x,y,z) x2 ±y2 +z2
Una grafica de Vg(x, y, z) generada por computador se muestra en la figura 14.9b.
1 V (2+2+2 /
j
Usted descubrirá que muchos cálculos que involucran los campos vectoriales se simplifican notablemente si el campo vectorial es un campo gradiente (es decir, si el campo vectorial es conservativo). Para aprovechar al máximo estas simplificaciones, será necesario con struir una funciOn potencial que genere un campo conservativo dado. La técnica introducida en el siguiente ejemplo funcionará Para la mayor parte de los ejemplos de este capItulo. u HALIAR FUNCIONES POTENCIALES Determine si cada uno de los siguientes campos vectoriales es conservativo. Si es asI, halle la función potencial correspondiente f(x, y): a) F(x, v) = ( 2xy -3, x2 + cos y) yb) G(x, y) = (3x22 - 2y, x2y - 2x). SOLUCION Se trata de construir una función potencial. En el proceso de construedon, quizá pueda reconocer que no existe funciOn potencial Para el campo vectorial dado. Para a), sif(x, y) es una función potencial Para F(x, y), debe tenerse que Vf(x, y) = F(x, y) = (2xy -3, x 2 + cos
En este caso, se tiene Of -= –3y — x2 +cosy. Of 2xy (1.2) Oy Ox Integrando la primera de estas dos ecuaciones respecto de x y tomando V como una constante, se obtiene f(x, y)
= f(2xy
—3) dx = x2j - 3x + g(y).
(1.3)
Aqul, se ha sumado una función arbitraria solamente do y, g(y), en lugar de una constante de integraciOn, debido a que cualquier función de j se trata como una constante cuando se integra respecto de x. Derivando la expresión paraf(x, y) respecto de y, se obtiene
Of
(x, y) = x2 + g'(y) = x2 + Cosy,
a partir de (1.2). Esto nos da g'(y) = cos y, de modo que
1216
CapItulo 14' Cálculo vectorial
g(y)
= fcos V dj = sen y + c.
A partir de (1.3), ahora se tiene
f(x, v) = x2y - 3x + sen y + c, donde c es una constante arbitraria. Puesto que se construyó una funcion potencial, el campo vectorial F(x, y) es conservativo. b) De nuevo, suponga que existe una función potencialfpara G(x, y) o intente construirla. En este caso, se tiene Vf(x, y) G(x, y) = ( 3x2y2 - 2y, x2y - 2x), de modo que r=3
Of 2 2 _2vY=x 2 - 2x.
(1.4)
Integrando la primera ecuación en (1.4) respecto de x, se tiene
f(x,y) =p3x2Y2_2Y)dx = x3y2 -2yx + g(y), 1Para halar una función
ôtericial, puede [ttegrar
MM
y)
-,
----
ax
grar Of respecto de y. rs
t
2 X3 2x
x 2y-2x
de (1.4). Resoiviendo para g'(y), se tiene
g'('y) = x2y-2x-2x3y + 2x = x2y-2x 3y,
I
to de cual integrar, piense en qué 4ntegral sarA mAs
Entonces, so concluye que no existe función potencial para G(x, y) y, en consecucncia el camno vectorial no es conseivativo_____________________
EJERCICIOS DE LA SECCION 14.1
1. Compare los dibujos de los campos vectoriales (j, .-x) y (lOy, -lOx), hechos a mano. En particular, describa cuál de las graficas es más fácil do interpretar. Las graficas de estos campos vectoriales generadas por computador son idénticas cuando ci software "gradüa" el campo vectorial al dividir en 10. Quizá parezca extraño que los computadores no dibujen graficas precisas, pero esto explica por qué Los programadores de software eligen graduar los campos vectoriales. 2. El campo de fuerza gravitacional es un ejemplo de una "ley de La inversa de los cuadrados". Es decir, la magnitud de La fuerza de gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de La distancia desde el origen. Explique por qué ci exponente 2 en el denominador del ejempio 1.4 es. correcto para una icy inversa de los cuadrados. 3. Explique por qué cada vector de una grafica de un campo vectorial es tangente a la ilnea de flujo. Explique por qué esto significa que una ilnea de flujo es esencialmente la reunion de una gran cantidad de pequeños campos vectoriaLes (graduados). 4. En el ejemplo 1.9b, explique por qué La presencia de Las x en la expresión para g'(y) demuestra que no existe funciOn potencial.
SecciOn 14.1 •
jn J os ejercicios 5 a 14, dibje a mano varios vectores ell el campo vectorial y verifique su dibujo con un CAS. a) 6. F(x, ') = 2 5. F(x, y) = (-y, x) .j 2
9. F, (x,
22.f(x, y) = y sen x
26.flx, y, z) = (x ....y) 2 + z
2 + y2 22
27. (y, x)
28. (2, y)
29.(y,-x)
30.(y,1)
31.(x--2xy,y 2 -x2)
32.(x2 —y,x—y)
15.Relacione los campos vectoriales con las gráficas. \/X
21.f(x, y) = xe 1!
(x,y,z)
12.F(x,y,z) = (2,0,0)
) y,z) - x(x 2 + y 2 + 22
Fj(x,y) = (x,y)
20.f(x, y) = sen (x 2 +'y 2 )
y, z) = x 2y -i yz
-
14.F(x,y,z)
19.flx, y) = /22 y 2
En los ejercicios 27 a 38, determine si el campo vectorial es conservativo o no. Si lo es, halle una función potencial.
il.F(x,y,z) =(0,z, 1) 13.F(x,y,Z) -
1217
24.flx,y,z) = xyz
10.F(x,y) = (-.-1,y 2)
= (2y, 1)
vectorialeS
23.f(x,y,z) =
8. F(x, y) = (2x, 0)
7. F(x, y) = (0, x 2)
Campos
2'
son xy, x sen xy) 34.(y cos x, sen x -y)
F2(x,y) = (X, Y),
35.(4x-z, 3y + z,y -x) 36.(z 2 + 2xy,x 2 -z,2xz-1) F3(x, y) = (en, x), F4(x, y) = (eY, y) 1. r
ir -----
)
---.--
37. (y 2z 2 - 1, 2xyz 2, 4z 3 )
1
N \ \ •t 1 1 / /
38.(z 2 + 2xy, x 2 + 1, 2xz -3) En los ejercicios 39 a 46, halle ecuaciones para las lIneas de flujo.
/_115 Gráfica A 1.5
ky
\ \ N
Gráfica B
1.5 v N \ \ \• 1
/
/ /
- -------'---.-N I-
-1.5
-1.5
Gráfica C
Gráfica D
39. (2, cos x)
40. (X2 ,2)
41.(2y,3x2)
42.(+,2x)
43. (y, x&')
44. (e, 2x)
45.(y,y 2 + 1)
46.(2,y 2 + 1)
*.
47. Suponga quef(x), g(y) y h(z) son funciones continuas. Demuestre que J(x), g(y), h(z)) es conservativo hallando una función potencial. 48. Demuestre quo (ki, k2) es conservativo para constantes lcj y k2.
r = ---- es conServa 16.Denauestre que -f-r" (22 + y2 )72/A tivo para cualquier entero ii.
En Jos ejercicios 49 a 54, utilice la notación r = (x, y) y = firil = yy2.
En Jos ejercicios 17 a 26, halle el campo gradiente Correspondiente af. Emplee un CAS para graflcarlo. 17.f(x, y) = x 2 + y2 18.f(x, y) = x 1 -
49. Demuestre que V(r) = 50. Demuestre quo V(r 2 ) = 2r
1218
51. Halle V(r3 ). 52. Utilice los ejercicioS 49 a 51 para conjeturar V(r) para cualquier entero positivo n. Demuestre que Ia respuesta es correcta. 53. Demuestre que
(1,1)
no es conservativo
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
do una función potencial. Dernuestre que lã función potencial puede pensarse como el ángulo polar 0. 55. En un alambre, Ia corriente produce un campo k . La constante k es Ia magnético B =
interisidad de la corriente. Elabore un dibujo que 54. Demuestre que
es conservativo, halian-
56. Demuestre que el campo vectorial F(x, y) = (y, x) tiene función potencialftx, y) = xy. Las curvasf(x, y) = c para constantes c se denominan curvas eciuwotenciales. Dibuie cur(positivas yn tt HaHlasiIneas de flujo ldëñüestre que -para este campo vect las imneas de flujo y las curvas Esta-situaciónescomün. Para desarrollar un funciónpotencialylafunción flujog(x, y) =
Laplace V2u =Odonde V2u=uss + Uyy. 57. En el ejemplo 1.5, se graficaron las lIneas de flujo para el campo vectorial (2,1 + 2 xy) y se mencionó que hallar ecuaciones para las 11neas do flujo estaba fuera de lo quo se habIa presentado en el texto. AquI se desarrolla un método para hallar las lineas de flujo resolviendo las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Esto se ilustrará para un campo vectorial más fácil, (x, 2x - y). En primerlugar, note que six'(t) = x yy'(t) = 2x -y, entonces
muestre un alambre y su campo magnético.
dy2x-y x dx
2 V x
er rniemro d. lácuiicion 'e parec un poco a una regla del producto. El principal objetivoes muttiplicar por un término denominado factor integrante par'a que el primer miembro sea exactamente la derivadx
(Se ha escogido la constante de integraciOn 0 para mantener sencillo el factor integrante). Multiplique toda la ecuación por x y demuestre que xy' + y = 2x. Demuestre que xy' +y = (xy)'. A partir de (xy)' = 2x,integre para obtener xy = x2 + c, o y = x + . Para encontrar una ilnea de flujo que pase por el punto (1, 2), demuestre que c = ly, en consecuencia, y = x + .. Para hallar una lInea de flujo quo pase por el punto (1, 1) demuestre que c = 0 y, en consecuencia j = x. Dibuje el campo vectorial y destaque las curvas y = x + -1 y'y = X.
.1
Sección 14.2 • Integrales de tInea
1219
14,2 INTEGRALES DE LINEA
Figura 14.10: resorte he I icoi dat
Recuerde que en la seccjón 5.6 (Tomo 1) se empleó la integración para hallar La masa de una varilla delgada con densidad de masa variable. Alli se observó quo si la varjlla se extjende desde x = a hasta x = b y tiene función de densidad de masap(x), entonces la masa de la varilla está dada por Lb p(x) dx. Esta definicion es apropiada para objetos que sean esencialmente unidimensionales. Pero, Lqu6 sucederla si se quiere hallar la masa de un resorte helicoidal (véase la figura 14.10)? El calculo es notable porque la misma técnica puede resolver una gran variedad de problemas. Como deberla esperar hasta ahora, se deducirá una solución aproximando primero La curva con segmentos de recta y luego pasando a un lImite. En esta situación tridimensional, la funciOn densidad tiene La forma p(x, y, z). Se supone que el objeto es una curva C en tres dimensiones con extremos (a, b, c) y (d, e,f). Además, se supone quo la curva está orientada, lo cual significa que existe una direccjón hacia la curva. Por ejemplo, la curva C podrIa empezar en (a, b, c) y terminar en (d, e,f). En primer lugar, so lieva a cabo una partición de la curva en i-i partes, cuyos extrernos son (a,b,c) = (xo,yo,zo),(x1,y1,z1),(x2,yszs), ...,(xn,n,Zn) =(d,e,f),comose indica en La figura 14.11. (So,
yo, zo)
(Xn,Yn,
z)
(Si, yj, zj)
(52, J2,
z2)
Flgura 14.11: curva particionada.
Se emplea la notación abreviada Pi para denotar el punto (xi, vi z), y C1 para la sección de la curva C que se extiènde desde P1_i hasta P1, para cada = 1, 2, ..., n. El objetivo inicial es aproximar la masa de la porciOn del objeto a lo largo do C1. Note que si el segmento C1 es suficienternente pequeño, puede considerarse que La densidad en Ci es constante. En este caso, la masa de este segmento simplemente será el producto de La densidad por La longitud de C1. Para algin punto (xi, y, zfl situado en C, se aproxima la densidad en C2 por p(x, y, zfl. La masa de La sección C2 es entonces aproximadamente ,
p(x, y', zflLsi, donde Asi representa la longitud de arco de C1. La masa in del objeto es entonces aproximadamente la suma de las masas de las secciones, M
p(4,yZ,zflAs 1 .
Usted debe esperar quo esta aproximación mej ore a medida quo la curva se divide cada vez en más segmentos, cuya longitud es más corta. En particular, si se toma de la norma de particiOn II Pit como el máximo do las longitudes de arco As 1(i = 1, 2, ..., n), entonces se tiene Ti
p(x,y,zflL1si,
M= lIm 1=1
(2.1)
Capitulo 14 • CácuIo vectorial
1220
dado que el lImite existe y es igual para cualquier elección de los puntos de evaluación(x, y, zT)(i = 1,2,..., n). Usted podrIa reconocer que (2.1) parece el lImite de una suma de Riemann (una integral). Este ilmite surge naturalmente en numerosas aplicaciones. Ahora nos detendremos para dare un nombre a este ilmite e identificar algunas propiedades ütiles.
DEFINICION. La integral de lInea def(x, y, z) respecto a la longitud de arco a lo largo de la curva orientada C en an espacio tridimensional, escrita
JCftx, y, z) ds, está definida por fl
fc
f(x,j,z)ds= lIm p(x,y,4)tXsi, i=1
dado que el lImite existe y es igual para todas las elecciones de los puntos de evaluación.
-
-
De rnaneraernejane,sedeflinestas (1 plgig iicsJ(, y) dc dos väEil1da 10 largo de uriacur orient ty. Con frecuenc1d, Ia eu'a C -e ej çifica zed'ante ecua ione paramétricas, o pueden emplearse las habilidades desarrolladas en lo cap1tu1(Tmoi)y 11 para construir ecuaciones paramétricas de La curva. En estos casos, el siguiente resultado permite evaluar La integral de hnea corno una integral definida de ua funcion deunavariable.
Suponga quef(x, y, z) es continua en una regiOn D que contiene la curva C y que C es descrita paramétricamente por (x(t), j(t), z(t)), para a 15 t :5 b, donde x(t), y(t) y z(t) tienen primeras derivadas continuas. Entonces,
fe
f(x, 3j, z) ds =/ f(x(t), y(t),z(t)) /[x'(t)] 2 + [y'(t)]2 + [z'(t)]2 dt.
J.
Suponga que f(x, y) es continua en una regiOn D que contiene La curva C y que C está descrita paramétnicamente por (x(t), tj(t)), para a :5 t :5 b, donde x(t) y y(t) tienen primeras derivadas continuas. Entonces
_________________
Ic
f(x,y)ds
= Ja
f(x(t),y(t))/[x'(t)] 2 + [y'(t)J2 dt.
Demostración. Se demuestra el resultado para el caso de una curva en dos dimensiones; el caso tridimensional se deja como ejercicio. A partir de la definición anterior (adaptada para el cãso bidimensional), se tiene n
J f(x, y) d.
= lIm Ejq, ye?) Ask, IIPIHO
(2.2)
1221
SecciOn 14.2 - Integrales de IInea
donde Asi representa la longitud de arco de la sección de la curva Centre (Xj_1, yi_i) y ( xi, y). Elija to, ti, :..,t, de modo que x(t) = xi yy(t 2 ) = y, Para = 0, 1, .. ., n. Observe que la longitud de arco de tal pequeña sección de la curva puede aproximarse mediante la distancia de La recta ASj
; v( x7
x— i- 1— ? + ( Vi - Vi- I
Además, puesto que x(t) y y(t) tienen prirneras derivadas continuas, del teorema del valor medjo (Como en la deducción de la formula de longitud de arco en la sección 9.3), se tiene que i/(x - x_ 1 ) 2 + (y -
( t)1 2 + [y' (t)12
Para aigün V E (ti_i, ti). Junto con (2.2), esto nos da
I
C
f(x, y) ds = IIm
f(x
IIPII—O.
+[y'(t)]2
(tfl , y
= jb ,y(t))
+ [y' (t)J2dt.
Cualquier curva C que satisfaga la hipótesis del teorema 2.1 se denomina suave. Es decir, C es suave si puede ser descrita paramétricamente por x = x(t), y = y(t) y z = z(t), Para a t :5 b, donde x(t), y(t) y z(t) tienen primeras derivadàs continuas en el intervalo [a, b]. De manera semejnte, una curva Plana es suave si puede expresarse pararnétricamente por x = x(t) y y = y(t), Para a < t < b, donde x(t) y y(t) tienen primeras derivadas continuas en el intervalo [a, b]. Observe que Para curvas en el espacio, el teorema 2.1 establece esencialmente què el elemento de La longitud de arco ds puede remplazarse por ds = ./[x'(t)]2
+ [y'(t)1 2 + [z'(t)] 2 cit.
(2.3)
El término /fx'(t)1 2 + [y'(t)]2 + [z'(t)]2 en La integral debe ser corocido, por haber estado presente en las representaciones de integrales de longitud de arco y area de superficie. AsI mismo, para curvas en el piano, el elemento de longitud de arco es
ds =
+ [y"(t)1 2 dt.
(2.4)
HALLAR LA MASA DE UN RESORTE HELICOIDAL
Halle la masa de un resorte cuya densidad esp(x, y, z) = 21, y tiene forma de espiral definida paramétricamente por x = 2 cos t, ,y = t, z = 2 sen t, para 0 5 t :5 67v. .SOLUCION En La figura 14.12 se muestra una grafica de la espiral. La densidad es
p(x,y,z)=2y=2t y a partir de (2.3), el elementode longitud de arco ds está dado por
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1222
ds = /[x'(t)]2 + [y'(t)] 2 + [z'(t)] 2 dt = /(-2 sen t) 2 ± (1)2 ± ( 2 cos t) 2 dt = V/5 dt, donde se emplcó la identidad 4 sen 2 t + 4 cos2 t 2.1, Se tiene
4. A partir del teorema (i?r
13 7T
masa=fp(x,vz)ds=f 2t/gdt=2/f tdt=2\/ 6 o o Figura 14.12: la espiral x = 2 cos t, y = t, z = 2 sen t, 0 :5 t :5 6.
= 367r 2,j5.
Es necesario señalar que el ejemplo 2.1 es poco usual, por lo menos en cuanto a que se pudo calcular la integral con exactitud. La mayor parte de las integrales de lInea del tipo definido en La definición de la página 1222 son demasiado complejas para evaluar con exactitud y necesitaránaproximarseT mediante I 11 101 1 1 3711J.W
EVALUACION (CALCULO) DE UNA INTEGRAL 1E L1NEEESPECTOXLKLONGITUD DE ARCO
es la curadefini-da
Jc nfTörx costièñt z = cost con
t 2n
SOLUCION En la figura 14.13, se muestra una gráfica de C. El integrando es f(x, y, z) = 2x 2 - 3yz = 2 cos2 t -3 sent cost. A partir de (2.3), el elemento de longitud de arco está dado por
ds =
dt
= /ent) 2 + (COS t) 2 +(-sent) 2 dt = Figura 14.13: la curva x = cos t, y = sen t, z = cos t con 0 :5.t :s 2n.
fi+ sen2 t dt,
donde se empleó la identidad sen 2 t + cos2 t = 1. A partir del teorema 2.1 ahora se tiene
fc(2x2 - 3yz) ds = f
(2cos2 t --3 sen t Cos t)1 + sen2 tdt 6.9922,
donde la ültima integral se aproximó numéricamente. En el siguiente ejemplo (bidimensional), debe encontrar ecuaciones paramétricas para La curva, antes de calcular la integral de LInea. También descubrirá un hecho importante acerca de la orientación de la curva C.
1223
SecciOn 14.2 • Integrales de Ifnea
CALCULO DE UNA INTEGRAL DE LINEA RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO
2x2y ds donde C es a) la porción de la fc parabola y = x 2 desde (-1, 1) hasta (2,4) yb) es la pOrCión de la parabola y = x2 desde (2, 4) hasta (-1, 1). Evalüe la integral de lInea
SOLUCION
Figura 14.14a: y = x2 desde
(-1, 1) hasta (2, 4).
a) En la figura 14.14a se muestra un dibujo de la curva. Observe que puede ernplear x = t como parámetro en este caso, puesto que la curva ya está escrita explIcitamente en términos de x. La curva pue.. de describirse paramétricamente por x = t y = t2 con 4 :5 t :5 2. Empleando esto, ci integrando se convierte en 2x 2y = 2t2t2 = 2t4 y, a partir de (2.4), el elernento de longitud de arco es ds = /[x/(t)j2 + [y'(t)] 2 dt = /it 2 dt.
Ahora, la integral se escribe como
p 2x 2 J
b) Figura 14i4b: y = x2 desde (2,4) hasta (-1, 1).
fi
yds =2t 4 V1 + 4t 2 cit
45.391,
donde la integral se ha evaluado de nuevo numéricamente (aunque en este caso un buen CAS puede proporcionar una respuesta exacta). En la figura 14.14b, aparece un dibujo de la curva. Observe que la curva es igual a lade! literal a), excepto que la orientación es inversa. En este caso, la curva se represeñta con las ecuaciones paramétricas X = —t y y = t2, donde t va desde t = -2 hasta t = 1. Observe que todo to demás de la integral permanece igual, y se tiene p
/ 2x 2 y ds=
f-
2
2t 4 v'T+ 4t2 dt
45.391,
como antes. Observe que en ci ejemplo 2.3, la integral de lInea era igual, sin importar la orientación que tomara la curva. Esto se cumple en general para todas las integrates de lIneadefinidas mediante la definición de la página 1222 (es decir, integrates de lInea respecto a la iongitud de arco). Lea cuidadosamente la hipótesis del teorerna 2.1. Observe que puede emplear este teorema de evaluación para reescribir una integral de iInea solo cuando la. curva C es suave. For desgracia, en la práctica esto no es muy frecuente porque muchas curvas de interés no son suaves. For fortuna, el resultado del teorema 2.1 puede extenderse at caso en.que C es la uniOn de un nümero finito de curvas suaves:
C= Ci U C2 U ... U donde cada una de las Ci, C2, ..., Cn son suaves. Tal curva C se denomina
suave a trozos. Aqul, si Ci y C2 son curvas orientadas y ci punto final de Ci
1
Figura 14.15: C = Ci U C2.
es igual at punto inicial de C2, entonces la curva C1 E C2 es una curva orientada cuyo punto inicial es igual at de Ci ye! punto finales igual at de C2 (véase la figura 14.15). Los siguientes resuitados no deben parecer sorprendentes. AquI, para una curva orientada C en dos o tres dimensiones, la curva -C denota la misma curva C, pero con orientación opuesta.
1224
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
Suponga queflx, y, z) es una ftrnción continua en alguna region D que contiene la curva orientada C. Entonces, si C es suave a trozos, con C, son todas suaves, se tiene C = C U C2 U U C, donde Ci, C2, i) ...
...,
f e f (x, y , z) ds=f f(x,y,z) ds V
J
ii)
f (x, V, z) d8 = fC1 f (x, y, z) ds +
C
Z) ds
f (X'
f (x, y, z) ds.
+ fcl^
IC2
La demostración del teorema se deja como ejercicio. Observe que el resultado correspondiente también se cumple en dos dimensiones. En el siguiente ejemplo se emplea La parte ii) del teorema 2.2. EVALUACthN DE UNA INTEGRAL DE LfNEA 'EN UNA .R-AEe1ORIA SUAVE A TROZOS EvaLüe la integral de lInea
J
(3x y) ds donde C es el segmento de recta -
queva desde( 1a)-has a. 3)3 6guide per la porei6n4e laeireunfereneiax2±y2 = 18 queva desde (3,3) hasta-(3, .-3)enel-sentido dela-rotaciónde lasmanedillasdel reloj.- -
-
-
-
-
-
-
I/ 3
SOLUCION
2
I
C2
S
En la figura 14.16 aparece una gráfica de la curva. Observe que es necesario evaluar la integral de ilnea por separado sobre el segmento de recta C1 ye! cuarto de circunferencia C2. Además, aunque C noes suave, es suave a trozos, puesto que Ci y C2 son suaves. Ahora observe que Ci puede escribirse paramétricamente como x = 1 + (3 1)t = 1 + 2t y y =2 + (3- 2)t =2 + t, para 0 :5 t < 1. Además, sobre Ci el integrandO está dado por -
1
2
3
4
--1
3x--y = 3(1 + 2t)-(2 + t)= 1 + St y a partir de (2.4), el elemento de longitud de arco es a Figura 14.16: trayectoria suave a trozos.
ds = \/i-l-(1)2 dt =
dt.
Reuniendo todo esto, se tiene
j
f(x,y)ds= 1
.
/
(1
1
(1+5t) vf5- dt= v'.
(25)
Ahora, para C2, las ecuaciones paramétricas usuales para una circunferencia de radio r orientado en sentido contrario de la rotación de las manecillas del reLoj son x(t) = r cos t y y(t) r sen t. En el presente caso, el radio es y la curva está orientada en el sentido de rotación de las manecillas del reloj, lo cual indica que el signo de y(t) es opuesto al signo de la orientación usual. En consecuencia, las ecuaciones paraméti'icas para C2 son x(t) = cos ty .y(t) = -'/i sen t. Observe también que el
Secck5n
14.2 • Integrales de linea
1225
punto inicial (3,3) corresponde a! angulo -a 14 ye! punto final (3, ...3) corresponde al ángulo /4. Por ültimo, sobre C2, el integrando está dado por 3x-y = 3v'T cos t + v'Tsent y el e!emento de longitud de arco
J1 /Th
= %
es 2
sent)2
(_ /I
cost) dt = v'i
con sen2 t + cos2 t = 1. Esto nos da
f
f (z,y)ds
=
j
(3/i cos t+ V18sent)Vidt
54V.
(2.6)
Combinando las integrales sobre las dos curvas, a partir de (2.5) y (2.6), se tiene que
fe
f(x,y)ds=
I
f(x,y)ds+
k2
f(x,y)ds=/+54V.
Hasta aqul, se analizó cómo calcular integrales de lInea para curvas descritas paramétricamente y se presentó una aplicación de integrales de ilnea (cáicuio de la. masa). En los ejercicios, se anaiizan más aplicaciones. Ahora se desarrolia una interpretación geométriea de la integral de ilnea. La (ibservación cave aqul es que la integral de ilnea fc fix, y) ds tiene mucho en comiin con la integral definida f.f(x) dx. Mientras fflx) dx corresponde a un ilmite de sumas de las aituras de la funciónfix) sobre o debajo del eje x para un intervalo [a, b] del eje x, la integral de lInea fix, y) ds corresponde a un lImite de las sumas de las alturas de la funciOnf(x, y) sobre o debajo del piano xy para una curva C situada en el piano xy. Considere la representación de ésta interpretación que aparece en las figuras 14.17a y 14.17b.
Figura 14.17a: fflx) dx.
Figura 14.17b:
f0f(x,y)ds.
Debe recordar que parafix) ^?: 0, ff(x) dx mide el area bajo la curva y =fix) en el intervalo [a, b], sombreado en la figura 14.17a. AsI mismo, sifi, y) > 0,
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1226
f0 f(x,j) ds mide el area de superficie de la region sombreada en La figura 14.17b. En general, f'fix)dx mide el area con signo (positiva sif(x) > 0 y negativa sifix) <0) y la integral de lInea fc fix, j) ds mide el area de superficie (con signo) de La region formada por los segmentos verticales desde el piano xy hasta la grafica de =fix, y). El siguiente resultado, cuya demostración se deja como ejercicio directo, da algin significado geométrico a las integrales de ilnea en dos y tres dimensiones.
Para cualquier curva C suave a trozos (en dos o tres dimensiones), ds da la longitud de arco de La curva C. Ahora se extienden La geometrIa y ciertas aplicaciones de las integrales definidas a las integrales de linea de la forma fc f(x, y) ds. Sin embargo, no todas las propiedades de las integrales definidas pueden ser extendidasa las integralesde?linea, comose handefinido hast-aaquI.Gomo sc observara, una consideracion cwdadosa de1T1Zi10 del ti abajo obhga -,________ -- -----•-----
----
-----------
Recuerde que si se ejerce una fuerza constantefpara mover un objeto a-una4istanciadeninearecta,eLtrabajareallz&lo_está dado por W = f d. En-1a-secci6n-56 (-Tomo 1) esto se ampliO.auna-fuerzavariableftx)aplicada -------a un objo"e se mucv --en linea rectaAesde-x--=-ahastaff = b. En este caso, el trabajo realizado por la fuerza está dado por -
-
-
-
^
-
-
-
-
TV_j f(x)dx. Ahóra se amplia esta idea para hallar el trabajo realizado cuando un objeto se mueve a lo largo de una curva en tres dimensiones. Recuerde que en• tres dimensiones, los vectores fuerza están dados por el valor de campos vectoriales (campos de fuerza no constantes). AquI se desea calcular el trabajo realizado sobre un objeto por un campo de fuerza F(x, y, z), a medida que el objeto se mueve a lo largo de una curva C. Por desgracia, La noción actual de integralde lInea (la integral de iInea respecto ala longitud de arco) no ayuda en este caso. Como se hizo a! hallar la masa, es necesario comenzar desde el principio y, en consecuencia, ilevar a cabo una partición de la curva C en n segmentos C1, C2, C. Observe que en cada segmento Ci i = 1, 2, n), si el segmento es pequeño y F es continua, entonces F será casi constante sobre Ci y, por tanto, F puede aproximarse a su valor en algün punto (4, y, 4) sobre C. El trabajo realizado a lo largo de Ci (denorninado W) es aproximadamente igual al producto de la cornponente de iafuerzaF(4,y, zT)en dirección del vector tangente unitario) T(x, y, z) a C en (4, y, 4) y la distancia recorrida. Es decir, ...,
. . .,
* WiF(x,V
*,
z * \• ) T(4,yr,zr)Asj,
donde A st es la longitud de arco del segmento C. Ahora, si Ci puede representarse paramétricamente porx =x(t), y = y(t) yz = z(t), para a 5 t < b, y suponiendo que Ci es suave, se tiene
.
1227
SecciOn 14.2 Integrates do lInea
F(x,y,z) T(x,y,z)As F (xi', y, zfl (x' (t) , y' (t:) Z 4) [x' (t)1 2 + (y' (t7)] 2 + [ z' (t)] 2
W
= F (4,y,4)
+ [y' (t!)12 + [z' (t)]2 At
(x' (t) ,y' (t') , z' (t)) At,
donde(x7, y', zfl= (x(t), y(t)y z(t)). Luego, Si F(x, y, z) = (Fi(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, tenemos W
(Fi(x, y, z), F2(x:, y, zfl, F3(x, y,
zr))
(x'(t7), y'(t), z'(t)) At.
Sumando las aproximaciones para el trabajo sobre los diversos segmentos de C, se tiene que el trabajo total realizado es aproximadamente n
(Fi(x, y, zfl, F2(x,
W j=1
zfl,Fs(x, y 1 , z)) (x'(t),y'(t),z'(t)) At.
Por ültimo, tomando el ilmite cuando'la norma de la partición de C se aproxima a 0, se ilega a n
W = lIm F (xZ, y, z) (a? (t), y' (tfl, z' (t')) At IIPII—,o i=1 = lIm
+F3 (xi, y,', zZ) z' (ti) At
b
=JaI F (x (t), y (t), z (t)) a? (t) dt + JoI b +f F3(x(t), y(t),
F2 (x (t),
v (t), z (t)) y'(t) cit (2.7)
Ahora Se definen las integrales de lInea correspondientes a cada una de las tres integrales de (2.7). En la siguiente definición, la notación es igual ala de la definición de la página 1222, con los términos agregados Ax1 = xi - Xjl, Ay2 =yj - Yi-1 y Azi = Zj-Z-1.
DEFJNICION. La integral de imnea defix, y, z) respecto de x a lo largo de la curva orientada C en un espacio tridimensional se escribe como f fix, y, z) dx y se define por
f
fix,y,z)dx =lImfixy7.z7)Ax,
dado que el lImite existe yes igual para todas las elecciones de puntos de evaluación. AsI mismo, la integral de ilnea defix, y, z) respecto de y a lo largo de Cse define por n
f(x,Y,z)dlJ= lim C i=1
J
1228
Cap(tulo 14 • Cálculo vectorial
y la integral de linea deflx, y, z) respecto de za lo largo deC se define por
,y, = fc ,dz
ftx, y, z.t)zj.
En cada caso, las integraies de iInea se definen cuando el lImite correspondiente existe y es igual para todas las elecciones de puntos de evaluación. Si se tiene una representación paramétrica para la curva C, entonces cada integral de imnea puede reescribirse como una integral definida. La demostración del siguiente resuitado es muy semejante a la del teorema 2.1 y se deja como ejercicio.
Suponga quejlx, y, z) es continua en una region D que contiene la curva C y que C se describe paramétricament por x = x(t), j = y(t) y z =z(t),paraa :5 t
f(x, y, z) dx = / f(x(t), y(t), z(t)) x' (t Ja
C
f(x,y,z)dy = / f(x(t),y(t),z(t))y'(t)dt C
i
f(x, y, z) dz =/f(x(t), y(t), z(t)) z'(t) dt.
C
f
Ja
Antes de retornar al cálculo del trabajo, se examinarán algunos ejempbs más sencifios. No olvide que la integral de lInea a lo largo de una curva dada respecto a la longitud de arco no cambiará si la curva se recorre en dirección opuesta. For otra parte, como puede observarse, las integrales de lInea respecto de x, 'y o z cambian de signo cuando cambia Ia orientación de ia curva. Esta propiedad Se observará en el siguiente ejempbo.i CALCULO DE UNA INTEGRAL DL LINEA EN EL ESPACIO
Caicule la integral de lInea
L (4xz +
2v) dx donde C es el segmento de
recta a) desde (2, 1,0) hasta (4, 0, 2) y b) desde (4,0,2) hasta (2, 1, 0). S0E,UCIÔN Primero se hallan ecuaciones paramétricas para C. Para ci literal a), observe que puede emplear x = 2 + (4-2)t = 2 + 2t,
y=1+(0-1)t=1-ty z=0+(2--0)t2t,
.4
-•-
..-
-
Seccion 14.20 Integrales de Imnea
1229
para 0 :5 t :5 1. El integrando es entonces
4xz + 2y = 4(2 + 2t)(2t) + 2(1 —t) = 16t 2 + At + 2 y el elemento dx está dado por
dx = x'(t)dt = 2dt. Del teorema de evaluación, la integral de lInea está dada ahora poi'
J
(4xz ± 2y)dx
JO (16t2 1 14t + 2)(2) dt =
Para el literal b), puede utilizar ci hecho de que ci segmento de recta une los mismos dos puntos que en el literal a), pero en dirección opuesta. Entonces funcionan las mismas ecuaciones paramétricas, pero t ira desde t = 1 hasta t = 0. Esto produce
/ (4xz + 2y)dx = [(16t2 + 14t + 2)(2) dt = 86 11 ic donde debe recordar que, invirtiendo el orden de integracion, cambia el signo de la integral. El siguiente resultado corresponde al teorema 2.2 para integrales de lInea respecto a la longitud de arco, pero ponga atenciOn especial al signo menos en la parte i). El teorema se enuncia para las integrales de lInea respecto de x, pero los resultados correspondientes también se cumplen para las integrales de Ilnea respecto de yo z.
Suponga queflx, y, z) es una función continua en alguna region D que contiene la curva orientada C. Entonces, se cumple lo siguiente. i) Si C es suave a trozos, entonces
f
C
ftx,y,z)dx=-
fC f(x,y,z)dx.
ii) Si C = Cj U .C2 U ... U Cn, donde Ci, C2, ..., C, son todas suaves, entonces
f
e
f (X,Y)Z) dx = jC1 f (X, Y, Z) dx +
f (x, y, z) dx
JC2
+ - - - + 1'
f (x, y, z) dx. 71
Las integraies de ilnea respecto de x, y, z pueden ser muy sencillas cuando la curia C consta de segmentos de recta paralelos a los ejes coordenados. El siguiente ejemplo explora este caso. CALCULO DE UNA INTEGRAL DE LINEA EN EL ESPACI()
4x d1j + 2y dz donde C es el segmento de recta que va desde (0,1,0) 1C hasta (0, 1, 1), seguido por el segmento de recta que va desde (0, 1, 1) hasta (2, 1, 1) y seguido por el segmento de recta queva desde (2,1,1) hasta (2,4, 1). Calcule
CapitUlo 14 • Cálculo vectorial
1230
SOLUCION
Agura 14.18: trayectoria C.
La curva consta de tres segmentos de recta. (En La figura 14.18 se muestra un dibujo de las curvas). Observe que las ecuaciones paramétricas parael primer segmentoCj son x = 0, -y = lyz = t, con O < t:5 1.Eneste segmento, se tiene dy = 0 dt y dz = 1 dt. En el segundo segmento C2, las ecuacionesparamétricas son x = 2t,y = lyz = 1, con 0 :5 t :5 1.Eneste segmento, se tiene dy = dz = 0 dt. En el tercer segmento, las ecuaciones paramétricas son x = 2,y = 3t + lyz = 1, con 0 < t:5 1. En este segmento, se tiene dy = 3 dt y dz = 0 dt. Reuniendo esto, se tiene
J
C 4x dy + 2y dz
=
=
f 0
4x dy + 2y dz +
[4(0)(0) +2(1)(1dt 1
[4(2t) (0) +2(1)(0)] dt [4(2)(3)
1
Jo
4x dy + 2y dz
C3
+f --
fc 4z dy + 2y dz + f
26 dt =
t(!t
1)(0)dt
26.
-
)será0 -eriesaurva. No olvide que nuestra motivación para introducir integrales de 11nea respecto a Las tres variables coordenadas fue calcular el trabajo realizado por un campo de fuerza que mueve un objeto a lo largo de una curva. A partir de (2.7) se tiene que el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x, y, z) = (Fj.(x, 11, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) a lo largo de la curva definida paramétricamente por x = x(t), y = y(t) y z = z(t), para a :5 t :! ^-: b está dado por fb
fb
J + JF (x(t), y(t), z(i)) z'(t) di.
=
a
Fi(x(t), y(t), z(t)) x'(t) dt + / F2(x(t), y(t), z(t)) y'(t) dt Ja
a
Ahora debe reconocer que puede reescribir cada uno de los tres términos de esta expresión para el trabajo empleando el teorema 2.4, para obtener
W = JF1(x, y, z)dx +
F2(x, y, z)dy +
f F(x,y, z)dz.
Ahora se introduce alguna notación para escribir tal combinación de integrales de ilnea en una forma más sencilla. Suponga que un campo vectorial F(x, y, z) = (Fi(x, V, -z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) Se define
dr = dx i + dyj + dz k o dr= (dx, dy, dz).
SecciOn 14.2 • Integrales de Ilnea
1231
Ahora se define la integral de lInea
L F(x, y, z) dr = cf F1(x, , z) dx + cf F2(X y, z)dy + f F3(x, y,
En el caso en que F(x, j, z) es un campo de fuerza, el trabajo realizado por F para mover una particula a lo largo de la curva C puede escribirse simplemente como
W=JF(x,y,z).dr.
(2.8)
Observe que las diversas partes de fc F(x, j, z) dr corresponden a lo que conocemos como trabajo. La componente x de la fuerza afecta el trabajo realizado sólo cuando el objeto Se mueve en dirección de x (es decir, cuando dx 0 0). De manera semejante, la componente y de la fuerza s6Io contribuye al trabajo cuando dy ;4 0 la componentez de la fuerza solo contribuye al trabajo cuando dz # 0. CALCULO DEL TRABAJO
Calcule el trabajo realizado pore! campo de fuerza F(x, y, z) = (4y, 2xz, 3y) que actüa sobre un objeto que se niueve a lo largo de la espiral definida paramétricamente por x = 2 cos t, y = 2 sen t z = 3t, desde el punto (2,0,0) hasta el punto (-2,0,3,-r). SOLUCION A partir de (2.8), el trabajo está dado por
w=fC F(x,y,z)dr = fc 4ydx + 2xzdy + 3ydz. Ya se han establecido ecuaciones paramétricas para la curva, pero no el rango de valores de t. Observe que a partir de z = 3t, puede determinar que (2,0,0) corresponde at = 0 y (-2,0, 3) corresponde at = v. Sustituyendo por x, y, z y dx = -2 sent dt, dy = 2 cost dt y dz = 3dt, se tiene
w= fC 'ly dx + 2xz dy + 3y dz
fo fo
[4(2 sen t) (-2 sent) + 2(2 cost) (3t) (2 cost) + 3(2 sen t) (3)] dt (-16sen 2 t + 24tcos2 t + 18sent)dt = 36-8w + 6n 2 ,
donde se utilizO un sistema algebraico computarizado para evaluar la integral final. El trabajo realizado por un campo vectorial bidimensional se calcula de la misma manera que el trabajo realizado en un campo tridimensional, como se ilustra en el siguiente ejemplO. DJ*JI[SJff1.CALCULO DEL TRABAJO
Calcule el trabajo reàlizado por el campo de fuerza F(x, y) = (y, -x) que actüa sobre un objeto que se mueve a lo largo de la parabola y = x2 -1 desde (1,0) hastá (-2, 3).
Capitulo 14 0 Cálculo vectorial
1232
SOLUCIÔN /\
/
I
1
I
/
\.4\_2\
2
•'
A partir de (2.8), el trabajo está dado por
f F(x, Y) - dr =Jydx_xdy.
\. S
I
C
Observe que puede emplear x = t y y = t2 - 1 como ecuaciones paramétricas para La curva, con t variando desde t = 1 hasta t = -2. En este caso, dx = 1 dt y dy = 2t dt y el trabajo está dado por
/2141
W=
f ydx-xdy
= j[(t 2 _ 1)(1)-(t)(2t)]dt
=
Figura 14.19: F(x,y) = y,-x).
24 2
2
4
j
f
(-t-1)dt = 6.
Una mirada cuidadosa al ejemplo 2.8 mostrará graficamente una interpretación geométrica importante del trabajo como la integral de lmnea. Primero, represente graficamente el campo vectorial F(x, y) = (y, -x). En La figura 14.19, se muestra una grafica generada por computador. Si se piensa que Fx, ii) describe el campo velocidad para un fluido en movimiento, observe que este campo vectorial describe una rotación del fluido en el sentido de rotaciOn de las manecillas del reloj. En la figura 14.20, se superpuso lamwva x :t,y = t2-1 Coll -2 :5 t :5 lsobreel Campo vectorial F(x,y). Observe que tin objeto que se rnueve a lo largo de La curva que va desde (1,0) hasta (-2,3) generalmente se mueve en la misma dirección que La indicada-por--los-veetores-del-eampo-vectoriaLSLF(x,y)xepresentaiui..carnpo.de fuerza, entonces la fuerza empuja unobjeto que se mueve a lo largo de C, le -anadeenergIay,enconsecuencia,realizaubjpositivo. Si la. curva estu- -
del
realizarlauntrabajo negativo. Aunque este análisis no
guraJ4.u:Ix, y) = çy, x
X = t,y - -1, -2 t 1.
plearse para determinar si el trabajo es positivo o negativo. DETERMINAR GRAFICAMENTE EL SIGNO DE UNA INTEGRAL DE LINEA
-
En cada una de las siguientes gráficas, una curva orientada C Se super pone sobre un campo vectorial F(x, y). Determine si f F(x, y) dr es positiva 0 negativa.. V
\\ \ 4,
1
2.
2
". I -
/
I
__>
-
-2 I
\
Figura A
S
-4 h
-'S-
-
1/
-2
-2 V / £ FiguraB
I
\
'
2 -.-.-
N
1233
SocciOn 14.2 • Integrales de Ilnea
FiguraC
FiguraD
SOLUCIóN
En la figura A, La curva está orientada en la misma dirección que los vectores; en consecuencia, la fuerza es una contribución positivá al movimiento del objeto. Entonces el trabajo realizado por la fuerza es positivo. En la figura B, la curia está orientada en la dirección opuesta de Los vectores, de modo que la fuerza es una contribución negativa al movimiento del objeto; por consiguiente, el trabajo realizado por la fuerza es negativo. En. la flgura C, los vectores del campo de fuerza son puramente horizontales. Puesto que tanto lacurva como los vectores fuerza apuntan hacia la derecha, el trabajo es positivo. Por ültimo, en La figura D, el campo de fuerza es igual al campo de la figura C, pero La curva es más compleja. Es importante notar aqul que los vectores fuerza son horizontales. En consecuencia, el trabajo realizado a medida que el objeto se mueve hacia La derecha se cancela exactamente cuando el objeto retorna hacia la izquierda. Comparando los puntos inicial y final, el objeto realizó un movimiento neto hacia la derecha (la misma dirección del campo vectorial), de manera que el trabajo realizado es de nuevo positivo.
EJERCCJOS DE LA SECCION 14.2
1. Es importante comprender por qué f, fds = f 0 fds. Piense quefes una función de densidad y que la integral de lInea da la masa de un objeto. Explique por qué las integrales deben ser iguales.
)
2. Para el ejemplo 2.3, literal a), un conjunto diferente de ecuaciones paramétricas es X = —t y = t2 con t variando desde t = 1 hästa t = —2. A la luz del teorema de èvaluación, explique por qué no pueden utilizarse estas ecuaciones paramétricas. 3. Explique en palabras por qué se cumple el teorema 2.5i). En particular, explique en términos de aproximación de sumas por qué las integrales en el teorema 2.50 tienen signos opuestos pero las integrales en el teorema 2.2i) son iguales.
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1234
4. En el ejemplo 2.9 d), se observó que los vectores fuerza son horizontales. Explique por qué esto permite ignorar la componente vertical de la curva. Asi mismo, explique por qué el trabajo serla igual para cualquier curva que tenga los mismos puntos iniciales y finales.
En los ejercicios 5 a 28, calcule la integral de ilnea. 5.
15.f 3y dx donde C es la mitad de la elipse x 2 + 4112 = 4 que va de (0, 1) a (0, -1) con x
1 2x ds donde C es el segmento de recta que va
^
t0
Jo
de (1, 2) a (3, 5)
6.IC
16.f x2dy donde C es la elipse 4x 2 + y2 = 4 orientada en sentido contrario ala rotación de las manecillas del reloj
(x -,y ds donde C es el segmento de recta que )
va de (1, 0) a (3, 1)
7.f (3x + y) ds donde C es el segmento de recta 2xy ds donde C es el segmento de recta que
17.f 3y ds donde C es la porción de y = x 2 que va de (0, 0) a (2, 4) 2x ds donde C es la porción de y = x 2 que va 18. fCde (-2, 4) a (2, 4)
va de (1, 2) a (-1,0) 9. / 2x dx donde C es el se
19. f 2x dx donde C es la porcion de y = x 20.
io.j 3y2 dy donde C es el segmento de recta que va
Jo 3y 2dy donde C es la porción y =
que va
que va de
(2, 4) a (0, 0)
de (2, 0) a (1, 3)
21.j 3y dx donde C es la porción de x = ,y 2 que va 11.
12.
1
de (1, 1)a(4,2)
3x ds donde C es el cuarto de circunferencia Jo X2 + y2 = 4 que va de (2, 0) a (0,2)
1 (3x
Jc
22.1 (x + y) dy donde C es la porción de x = -
y) ds donde C es el cuarto de circunfe-
que
va de (1, 1) a (1, -1)
rencia x2 + y 2 = 9 que va de (0,3) a (3,0)
23. 13.
1
2x dx donde C es el cuarto de circunferencia Jc X2 + y 2 = 4 que va de (2, 0) a (0, 2)
14.f 3y2 dy donde C es el cuarto de circunferencia X2 + y 2 = 4 que va de (0,2) a (-2, 0)
3x ds donde C es el segmento de recta que va /de (0,0) a (1,0) seguido por el cuarto de circunferencia que va hasta (0, 1)
24./ 2y ds donde C es la porción de y = x2 que va de (0,0) a (2,4) seguido por el segmento. de recta que va hasta (3,0)
1235
SecciOn 14.2 Integrates de Ilnea
25. / 4z ds donde C es ci segmento de recta que va Jc de(1,O, 1)a(2,-2,2)
En los ejercicios 41 a 46, eniplee la gráfica para determinar si el trabajo realizado es positivo, negativo 0 igual a 0.
j./ xz ds donde C es el segmento de recta que va 41.
42.
Jc de (2, 1,0)a(2,0,2)
y
/11 1 V/I I
/11 1 V/I I
\ \N
27.1 4(x - z)z dx donde C es la porciOn de y = x 2 , en
\ \ \
.
\
\ \\ \.
ci planoz = 2 que va de (1, 1,2) a (2,4,2) "
4 donde C es la intersección de x 2 28. fy z z=ds0 (orientada en ci sentido de la rotación de + y2 =
las manecillas del reioj vista por encima)
N\ \ I \\ \
N\ \
\\ \ 43.
I /
1/7 /
44. 11
V
En los ejercicios 29 a 40, calcule el trabajo realizado poE la fuerza F a lo largo de la curva C. 29. F(x, y) = (2x, 2y), C es el segmento de recta que vade(3, 1)a(5,4)
-
-
.--
-
- .
-
30. F(x, y) = ( 2y, -2x), C es el segmento de recta que va de (4, 2) a (0, 4) 31. F(x, y) = (2x, 2y), C es ei cuarto de circunferencia quevade(4,O)a(O,4) 32. F(x, y) = (2y, -2x), C es la semicircunferencia superior que va de (-3, 0) a (3, 0)
45.
46. V
V/Il
\ \\ I \ \N
---
33. F(x, y) = (2, x), C es la porción de = x 2 que va desde (0, 0) hasta (1, 1) "_\ \
34. F(x, y) = (0, xy), C es la porción de y = x3 que va de (0, 0) a (1, 1) 35. F(x, y) = (3x, 2), C es el segmento de recta que va de (0, 0) a (0, 1), seguido por ci segmento de recta que va hasta (4, 1) 36. F(x, y) = (y, x), C es el cuadrado que va de (0,0) a (1,0)a(1, 1)a(0, 1)a(0,0) 37. F(x, y, z) = (y, 0, z), C es ci triangulo que va de (0, 0,0)a(2, 1, 2) a (2, 1, 0) a (0, 0, 0) 38. F(x, y, z) = (z, y, 0), C es ci segmento de recta quo va de (1, 0, 2) a (2, 4, 2) 39. F(x, y, z) = (xy, 3z, 1), C es la espiral x = cost, y = Sent, z = 2t que va de (1, 0, 0) a (0, 1,,,r) 40. E(x, y, z) = z, 0, 3x2), C es ci cuarto de elipse x = 2 COS t, y = 3 sent, z = 1 que va de (2, 0, 1) a (0, 3, 1)
/1/ 1 ti\ \ V/Il
/
I
"I-..
-
/ I
N\ \
I I/V
\\\ I 1 11/
\\ \
En los ejercicios 47 a 56, use las formulas m =
fp
,
fcxP
, Y =fypd,I= f't'2i 1s.
47. Caicuie la masa m de una variiia cuya densidad esp(x, y) = x y tiene la forma y = x 2 , 0 :5 x :5 3. 48. Calcuie la masa m de una varilla cuya densidad esp(x,y)y y tiene la formay = 4-x 2,0 :5x :5 2. 49. Calcule ci centro de masa (, j) de la varilla del ejercicio 47. 50. Calcule ci centro de masa (5, V) de la varilla del ejercicio 48. 51. Caicule ci momento de inercia I para girar la varilla del ejercicio 47 alrededor del eje y. AquI, W es la distancia del punto (x, y) al eje y.
1236
Cap Itulo 14 • Cálculo vectorial
52. Calcule el momento de inercia I para girar la varilla del ejereicio 48 alrededor del eje x. Aqul, W es la distancia del punto (s, y) al eje x. 53. Calcule el momento de inercia I para girar la varilla del ejercicio 47 alrededor de la recta j = 9. AquI, W es la distancia del punto (x, y) ay = 9. 54. Calcule el rnomento de inercia I para girar la varilla del ejercicio 48 airededor de la recta x = 2. AquI, W es la distancia desde el punto (x, y) hastax = 2. 55.Calcule la masa m del resorte helicoidal x = cos 2t, y = sen 2t, z = t, 0 :5 t :5 x, con densidad P = z2 .
56. Calcule la masa m de la elipse x = 4 cos t, y = 4 sent,z=4 cos t,O
-ue en
dQ
50
]
En los ejercicios 59 a 64, halle el area de superficie que se extiende desde la curva dada hasta la superficie dada. 59. Sobre el cuarto de circunferencia que va de (2,0,0) a (0,2,0) hasta la superficie z = 2 + y2. 60. Sobre la porción de y = x 2 que va de (0, 0, 0) a (2,4,0) hasta la superficie z = x 2 + y2. 61. Sobre el segmento de recta que va de (2, 0, 0) a (-2,0,0) hasta la superficie z = 4_2_ y2. 62. Sobre el segmento de recta que va de (1, 1, 0) a (-1, 1,0) hasta la superficie z = Jx2 + y2 . 63. Sobre el cuadrado unitario x E [0, 1], y E [0, lii hasta el piano z = 4-s - V. 64. Sobre la elipse x 2 + 4y2 = 4 hasta el piano
z=4-x. Fri hlu
y 66, estime las integi lmnea a) f6, fds h) J I dx y c) j. fdy..
de la varilla. Explique por qué esto indica que 65. nuestrainterpretación previade_centro de masa como punto de equilibrio ya no es válida. Además, e1centrodemasae&e1puntoalrede dodeLcua1.gra.eLobjetociandn splicaiina torsion. 58. Suponga que se aplica una torsion a la varilla del ejercicio 47 para que gire sin realizar ningün otro movimiento. Halle ecuaciones paramétricas para la posiciOn de la parte de la varilla que comienza en el punto (1, 1).
67. Observe cuidadosamente las soluciones a los ejercicios 9 y 10, 13 y 14y 19y 20. Compare las soluciones con las integrales de la forma b d 2 fa 2x dx y f 3y dv. Establezca una regla para evaluar integrales de lInea de la forma
(XI V) f(x, y)
(0,0) 1
Lv)
(4,0) 1.5
I flx,v) 1
(1,-i) 0
1
(2,0) -1.2
(3,1) 0.4
(3,-1) (2,-2) 2.4 1 2
fc f(s) dx y fc g(y) dy. Si la curva C es una curva cerrada (por ejemplo, un cuadrado o un circulo), evalte las integrales de lInea fc f(x)dx yf g(y)dy.
SecciOn 14.3. Independenoja de Ia trayectoria y campos vectoriales consorvativos 1237
14.3 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTOR/ALES CONSERVATIVOS
Ficjura 14.21a: trayectoria Cj.
Ahora que ha calculado cierta cantidad de integrales de lInea, probablemente esté pensando en que éstas se encuentran entre las.integrales más complicadas que usted haya resuelto. Aunque no sean técnicamente difIcues, presentan gran nümero de pasos que deben Ilevarse a cabo para evaluarlas. Primero necesita parametrizar la curva y luego reescribir la integral de lInea como una integral definida. Después de hacer esto, aün debe evaluar la integral definida resultante empleando los métodos necesarios. Por desgracia, este proceso es inevitable para muchas integrales de ilnea. Además, cuanto rnás complicada sea La curva a lo largo de la cual esté integrando, más difIcil tiende a ser el cálculo. Pero también hay algunas buenas noticias. En esta sección, se estudiará un grupo de integrales de ilnea que son iguales a lo largo de cualquier curva que conecta dos extremos dados. Se deterrninarán las circunstancias en que esto ocurre y se observará que cuando ello sucede, existe una manera particularmente sencilla de evaluar la integral. Se comienza por una simple observación. Considere la integral de ilnea J1 F ctr, donde F(x, y) = (2x, 3y2) y Ci es el segmento de recta que une los dos puntos (0, 0) y (1, 2) (véase la figura 14.21a). Con el fin de parametrizar La curva, se toma x t y = 2t, para 0 :5 t :5 1. Entonces se tiene F•dr CI
=f
(2x, 3y2). (dx,dy)
=j2xdx+3y2dy
=
10 1 [2t+12t2 (2)J
donde los détalles del cálculo final (rutina) se dejan al estudiante. Para el mismo campo vectorial F(x, y), considere ahora fc., F . dr, donde C2 está conformada por el segmento de recta horizontal que va desde (0,0) hasta (1, 0) seguido por el segmento de recta vertical que va desde (1, 0) hasta (1,2) (véase la figura 14.21b). En este caso, se tiene
f
F dr =
=f gura 14.21b: trayectoria C2.
(2x, 3Y2) . 2xdx
+f 3y 2 dy =9,
donde de nuevo los detalles finales se dejan al estudiante. Observe con detenimiento estas dos integrales de LInea. Aunque Los integrandos son iguales y los extremos de las dos curvas son iguales, las c.urvas recorridas son bastante diferentes. Debe tratar de calcular las integrales de ilnea sobre varias curvas adicionales que van. desde (0, 0) hasta (1, 2). En cada caso, hallará que las integrales de lInea tienen el mismo valor: 9. De ahI resulta que esta integral es un ejemplo de integral igual a lo largo de cualquier curva que va desde (0,0) hasta (1, 2). Usualmente, en este contexto, una curva que conecta dos puntos dados se conoce como üna trayectoria.
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1238
Sea C cualquier curva suave a trozos trazada por el extremo de La función con valores vectoriales r(t), para a :5 t b. Se dice que La integral do lInea F dr es independiente de la trayectoria si La integral es igual en toda trayectoria que conecta los dos extremos. Antes de observar cuándo sucede esto, necesitamos la siguiente definición.
fc
DEFINICION. Una region D C R (para n 2t 2) se denomina conexa si cada par de puntos en D pueden conectarse mediante una curva suave a trozos situ ada compietamente en D. Figura 14.22a: regiOn conexa.
en La figura En la figura 14.22a, se muestra una region conexa en 14.22b, se indica una regiOn que no es conexa. Ahora estamos en capacidad de demostrar el siguiente resuitado relacionado con las integrales que son independientes de la trayectoria. Aunque se estabiece y demuestra el resultado para integrales de lInea en el piano, el resultado es váLido para cuaLquier ntImero de dimensiones.
______
pgulcatnpovectoria1 F(x, y) M(x, j), N(x, y)) es continuo __________________________ en la region conexa y abierta D C R. Entonces, la integral de lInea F(x, y) dr es independiente de la trayectoria si y sOlo si el campo ______ vectOrial F es conservativo,
J'
Figurai4.22b:.no.conexa. --
Demostraci6n-No do F Vf, praalguna-funcionescalai f(denomrnada funcion potencial ------ pr que Ihy vri asjetos por dstrai Primero suponga queF es conservativo, con F(x, y) . \f(x, y). Entonces F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) = Vftx, y) = (fx(x, y),f11(x, y)) y, en consecuencia, debe tenerse
M(x,y) =fx (x,y)yN(x,y) =f y(x,y). Sean A(xj, yi) y .B(x2, y2) dos puntos en D y sea C cualquier trayectoria suave de a B, definida paramétricamente por C: x = g(t), y = h(t), donde t :5 t t2. (Usted puede obviamente extender esta demostraciOn a cualquier trayectoria suave a trozos). Entonces, se tiene
jr,
F(x, V) - dr
IC = =
M(x, y) dx +N(x,)dy
f f
X y) dx
t2
+f(x, y) dy
[f (g(t), h(t)) g'(t) +j (g(t), h(t)) h'(01 dt.
Observe que como se supuso quefx cadena se tiene que
(3.1)
yfy son continuas, por la regla de la
dt (ftg(t),.h(t))J =f (g(t), h(t)) g'(t) +j (g(t), h(t)) h.'(t),
-
SecciOn 14.3 Indopendencia do a trayectoria y canipOS voctoriales conservativos 1239
lo cual es el integrando en (3.1). Por el teorema fundamental del cálculo, ahora se tiene 2
fo
F(x, j) dr
=11 I V. (g(t), h(t)) g'(t) +f (g(t), h(t)) h'(0) dt d l
2
1
[fg(t), h(t))} dt
dt
=fl942), h(W) —ftg(ti), h(ti)) f(x2,
y2) -f(xi,
yi). En particular, esto indica que el valor de la integral depende solo del valor de La funciOn potencial en Los dos extremos de la curva y node la trayectona particular seguida. Es decir, la integral de lInea es independiente de la trayectonia, como se esperaba. En segundo lugar, es necesario demostrar que si La integral es independiente de la trayectoria, entonces el campo vectorial debe ser conservativo. En consecuencia, suponga que f0 F(x, y) dr es independiente de La trayectonia en D. Para cualesquier puntos (u, v), (xo, yo) E D, la funciOn se define:
1
(u,v)
F(x,j)dr.
.0,yo)
/
Fgura 14.23: prirnera trayectoria.
)
(Estamos empleando las variables u, v, puesto que las variables x y y en el interior de la integral son variables ficticias y no pueden emplearse simultáneamente en el interior yen el exterior dela integral de lInea). Observe que como la integral de linea es independiente de la trayectoria en D, no es necesario especificar una trayectoriã sobre la cual intégrar; es igual sobre toda trayectoria en D. Además, puesto que D es abierto, existe un disco centrado en (u, v) situado completamente en el interior de D. Seleccione cualquier punto (xi, v) en el disco con xi
(xi,v)
F(x,y)dr.
F(x,y).dr+ f
f(u,v)= /
(3.2)
(xj,v)
Observe que la primera integral en (3.2) es independiente de u. Por consiguiente, tomando La derivada parcial en ambos miembros de (3.2) respec to de u se obtiene
-
a
(u,v)
F(x,y).dr+—f
(U, V) U
ko,yo)
a
=0+—
F(x,y).dr
(,,v)
(u,v)
f
F(x,y)dr
(XI,V)
9 19U
.(u,v)
M(x,y) dx+N(x,y) dy.
(XIM
Observe que en la segunda porciOn de la trayectoria indicada, y es constante y, por consiguiente, dy = 0. Esto nos da
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1240
(u
9 p(u,v) (U, V)
=dx+N(x,y) dy
=
V)
dx. 8Uix,V)
Por ültimo, de la, segunda forma del teorema fundamental del cálculo, se tiene (n,v)
f(u,v)
-
--
(3.3)
M(x,y) dx=M(u,v).
9f i,v)
De manera semejante, seleccione cualquier punto (u, yl) en el disco centrado en (u, v) con yj
f(uv)=J
F(x,y).dr+
(xo,yo)
f(
(uv)
F(x,y).dr.
(3.4)
UNI)
* En este caso, la primera integral es independiente de v. En consecuencia, al derivar ambos miembros de (3.4) respecto de v, se tiene -
-
F(x,y
dr,
o,vo)
(9
=0+—
(7t V)
I
(U V) -
-
J(xF(xv).dr+
Figura 14.24: segunda trayectoria.
.
F(x ) y).dr --
M(x) dx N(x,j,)dy
-
(9 Ju,yi)
por la segunda forma del teorema fundamental del cálculo, donde se empleó el hecho de que en la segunda parte de La trayectoria indicada, x es constante, de modo que dx =0. Remplazando u y v por x y y, respectivamente, en (3.3) y (3.5), se establece que F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) = (fx(x, y),f(x, y)) = Vf(x, y), de modo que F es conservativo en D. Observe que en el curso de la primera parte de La demostración del teorema 3.1 se demostró el siguiente resultado, que corresponde al teorema fundamental del cáLculo para integrales definidas.
Suponga que F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) es continua en la region conexa y abierta D C R2 y que C es cualquier curva suave a trozos situada en D, cuyo punto inicial es(xi, vi) y su punto finales (x2, y2). Entonces, si F es conservativo, con F(x, y) = Vftx, y), se tiene (x2,y2)
f
C
F (x, y) dr=f(x,y)
Sección 14.3 • Independencia de la trayectoria y campos vectorialos conservativos 1241
.4
Debe reconocer rápidamente las ventajas del teorerna 3.2. Para un campo vectorial COnServativo, no necesita parametrizar la trayectoria para calcular una integral de Ilnea; solo necesita hallar una función potencial y luego evaluar Simplemente la función potencial entre los extremos de la curva. Este procedirniento se ilustra en el ejemplo siguiente. INTEGRAL DE LINEA QUE ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA
Demuestre que para. F(x, y) = (2xy -3, x 2 + 4y 3 + 5), la integral de lInea F(x, ii) dr es independiente de la trayectoia. Luego, evakie la integral de lInea para cualquier curva C cuyo punto inicial está en (-1,2) y su punto final está en (2, 3).
SOLUCION A partir del teorema 3.1, la integral de lInea es independiente de la trayectoria si y s6lo si el campo vectorial F(x, y) es conservativo; por consiguiente, se busca una función potencial para F, es decir, una función f(x, y) para la cual F(x, y) = (2xy -3, x2 + 4y 3 + 5) = Vf(x, y) = (f(x, y),f,(x, y)). Por supuesto, esto ocurre cuando
fx=2xy3yfy =x2 +4y3 +5.
(3.6)
Integrando la primera de estas dos ecuaciones respecto de x (observe que podria integrar con facilidad la segunda reSpecto de y), se obtiene Ax, y) =
J
(2xj -3) dx = x 2y - 3x + g(y),
(3.7)
donde g (y) es alguna función arbitrariaünicamente de y. (No olvide que se obtiene unafunción arbitraria de y, en vez de una constante de ntegraciOn, puesto que estamos integrando una función de x y y respecto de x). Derivando ésta respecto de y, se obtiene j(x,y) = x2 + g, (y), Observe que, a partirde (3.6), se tiene ya una expresión para fly. Igualando estas dos expresiones, se obtiene
x2 +g'(y)x2 +4y3 +5, donde al restar x 2 en ambos miembros, se obtiene g'(y) = 4y 3 + 5. Por ültimo, al integrar esta iIltima expresión con respecto a y nos da g(y) =,y4 + 5y +
C.
A partir de (3.7), ahora se tiene que f(x,y) = x 2y-3x +
3J4
+ 5y + c
es una función potencial para F(x, y), para cualquier constante c. Ahora que se halló una función potencial, a partir del teorema 3.2 se tiene que para cualquier trayectoria desde (-1,2) hasta (2, 3),
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1242
(2,3)
fc
F(x,y).dr=f(x,y) 1(-1,2)
={22(3)-3(2)+3 4 + 5(3)+cj-[2 + 3 +2 4 +5(2)+c] = 71.
Observe que cuando se evaluó la integral de lInea en el ejemplo 3.1, des-. apareció la constante c en la expresión Para la función potencial. Por esta razón, la constante no aparece usualmente cuando se escribe una función potencial. Se considera que una curva C es cerrada si SUS dos extremos son iguales. Es decir, Para una curva Plana C defiriida paramétricamente por
x = g(t), y = h(t), a :5t:5b}, C es cei-rada si (g(a), h(a)) = (g(b), h(b)). El siguiente resultado proporciona una impornt.&pnexión entre campos vectoriales conservativos e integrales deAea alo largo de curvas cerradas. a
I
..,
•
Suponga que F(x, y) es continuo en lái'éi6n one a, -y a4iertDR Eñtöncês F es corrservativcrsiy s610-si-j F(x, y)-r = 0, para-cuah aozos&situada-en-D-- -- --- quier curva cerra
H.. CI
Figura
...
14.25a:
/
curvas C1yC2.
1I
_
Demostración. Suponga que fc F(x, y) dr = 0 Para toda curva cerrada suave a trozos C situada en D. Tome dos puntos cualesquiera P y Q situados en D sean Ci y C2 dos curvas cerradas suaves a trozos desde P hasta Q, que están situadas en D, como se indica en la figura 14.25a. (Observe que como D es conexo, tales curvas siempre existen). Entonces, la curva C que consta de Ci seguida por -C2 es una curva cerrada suave a trozos situada en D, como se indica en la, figura 14.25b. Entonces,
o = fF(xy). dr
F (x, y) .dr+f
F(x,y) dr C2
L
= L F(xY).dr-fF(xv).dr de modo que
f
F(x,y) .dr
=IC F(xy).dr.
Puesto que CI y C2 son dos curvas cualesquiera que van desde P hasta Q, f, F(x, y) dr es independiente de la trayectoria y, en corisecuencia, F es conservativo. La segunda mitad del teorema (que F conservativo implica fc F(x, y) dr = 0 Para toda curva cerrada suave a trozos C situada en .D) es una simple consecuencia del teorema 3.2 y se deja como ejercicio.
Figura 14.25b: la curva cerrada se tiene que
formada por Ci U (-C2).
=f
-
-
Ft•.
Sección 14.3. Independencia de la trayectoria y canipos vectoriales conservativos 1243
Ya ha observado que las integrales de ilnea no son siempre independientes de La trayectorja. Dicho de otra manera, no todos los campos vectoriales son conservativos. A partir de este hecho, serIa ütil encontrar una manera sencilla de decidir si una integral de lInea es independiente o no de la trayectoria, antes de realizar el proceso de construir una función potencial. Esto se parece un poco a perforar pozos para buscar petroleo; serla atractivo tenter alguna razón para creer que realmente hay petróleo allI, antes de enfrentar toda la dificultad de perforar un pozo petrolIfero. For fortuna, existe una manera sencilla de determinar cuándo una integral de linea es independiente de la trayectoria. Fore! teorema 3. 1, observe que si F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) es continuo en la region conexa y abierta D y La integral de Tmne f F(x, y) dr es independiente de la trayectoria, entonces F debe ser conservativo. Es decir, existe una funciOn F(x, ) para la cual F(x, y) = Vflx, y)o M(x,y) = fx(x, y) y N(x, y) =f(x,y). Derivando respecto de y La primera ecuación, y La segunda ecuación respecto de x, se tiene
M(x, y) =f(x,
) y N(x, y)
y).
Ahora observe que Si My y Nrc son contlnuas en D, entonces las segundas derivadas parciaLes mixtasf(x, .) yf(x, 3j) deben ser iguales en D, pore! teorema 3.1, capItulo 12. Entonces debe tenerse que
M(x, y) = N(x, y),
Figura 14.26a: simplemente
conexa
Figura 14.26b: no simplernento conexa.
para. todo (x, y) en D. Si además se supone que D es simplemente conexa (està significaque cada curia cerrada señcilla en encierra solo puntos en D), entonces el recIproco de este resultado también se .cumple (es decir, f0 F(x, y) dr es independiente de la trayectoria cuando My = Nx en D). Antes de enunciar el resultado, en la figura 14.26a se ilustra una region simplemente conexa, y en la figura 14.26b se iLustra una region no simplemente conexa. Para imaginar regiones simplemente conexas piense en regiones que no tienen agujeros. Ahora puede enunciarse el siguiente resultado.
Suponga que M(x, j) y N(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas en una regiOn simplemerite conéxa D. Entonces, fc M(x, 31) dx + N(x, y) dy es independiente de la trayectoria si y solo si M,(x, y) = N(x, y) para todo (x, y) en D. Ya se ha demostrado que la independencia de La trayectoria implica que My(x, y) = N(x, y) para todo (x, 31) en D. La demostración de La segunda mitad del teorema debe posponerse hasta La presentación del teorema de Green en la secci6n.14.4. DETERMINACION DE LA INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTO1UA PARA UNA INTEGRAL DE LINEA
f independiente o no de la trayectoria. Determine si la iptegral de lIn
(e 2
x
+ x sen y) dx + (x2 cos 31) dy es
1244
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
SOLUCJON En este caso, se tiene
= (e2x + x sen y) = x cos 'y y
= (x2 cos y) = 2x cos y. Ox Aunque My y Nx son parecidas, no son iguales. En consecuencia, por el teorema 3.4, La integral de ilnea no es independiente de la trayectoria.
Antes de estudiar los campôs vectoriales tridimensionales, so hace una breve pausa para resumir los resultados desarrollados para campos vectoriales bidimensionalos F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)), donde so supone qua M(x, y) y N(x, y) tienon prirneras derivadas parciates continuas en uria regiOn simptemente conexa y abierta D C JI 2 . En oste caso, los cuico Gfl1ifl ciados siguientes son oquivatentes y significari qua para un campo vectorial dado todos los cinco onunciados son ciertos o iodos los cinco son falsos. 1.F(x, y) as conservaUvo on D. 2.fc F . dv Os independiente de Ia trayectoria an D 3.f.. F dv = 0 para toda curva corrada suave a trozos C situada on 1): 4.F(x, y) as Un campo gradiente (1" Vf para alguna funciónpotoncialj) 5.M(x,y) = Na:(x,y)paratodo(x,y) D. .; Gran parte del análisis precedente puede extderse a dimensiones mayores, aunque el criterio para determinar cuándo una integral de lInea es independiente de La trayectoria se torna un poco más complicado. Para un campo vectorial tridimensional F(x, y, z), se dice que F es conservativo en unaregión D cuando existe una función escalarftx, y, z) para la cual F(x,y,z) = Vftx,y,z). Como en dos dimensiones,fse denomina función potencial para el campo vectorial F. AsI como an dos dirnensiones, an tres dimensiones también existen muchas rnaneras d? construir una función potencial para un campo vectorial conservativo. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. DEMOSTRAR QUE UN CAMPO VECTORIAL TRIDIMENSIONAL ES CONSERVATIVO
Demuestre que el cainpo vectorial F(x, y, z) = (4xe z, cos y, 2x2ez) as conservativo. SOLUCION Es necesario hallar uña función potencialfix, y, z) para la cual
(x, y, z) = (4xez, cos y, 2x2ez) = Vftx, j, z) = (fs(X, y, z),f(x, y, z),f(x, y, z)). Por supuesto, esto ocurrirá si y solo si
= 4xez , fv = cos y y .fz = 2x 2ez.
(3.8)
Sección 14.3. Independencia de la trayectoria y campos vectoriales conservativos 1245
Integrando la primera de estas ecuaciOfleS respecto de x, se tiene
f(x,y,z)
4xezdx = 2x 2e, + g(y,z),
donde g(y, z) es una funcjón arbitraria ünicamente de j y z. (Puesto que se llevó a cabo una integracion parcial de una función de x, i yz respecto de x, se obtiene una funcjón arbitraria de j y z, en vez de una constante arbitraria de integracion, puesto que y y z se tratan como constantes cuando se integra o deriva respecto de x). Al derivar esta expresión respecto de y, se tiene
f(x,v,z) = gy(,z) = cosy, de la segunda ecuación en (3.8). Intégrando gy(y, z) respecto de y, se obtiene
g(y, z)
= f cos y dy = sen y + h(z),
donde h(z) es una función arbitraria ünicarnente de, z. Observe que aquI se obtiene una función arbitraria ünicamente de z, en vez de obtener una función de x y z puesto que se está integrando g(y, z) (una función solamente de y y z) respecto de y. Esto produce ahora
f(x, y, z) = 2x2ez + g(y, z) = 2x 2ez + sen y + h(z). Derivando esta ültima expresión respecto de z, se obtiene
fz(x, y, z) = 2x 2e + h'(z) = 2x2ez, de la tercera ecuación en (3.8). Esto nos da h'(z) = 0, de modo que h(z) es constante (se elegira que sea 0). Ahora se tiene que una función potencia! para F(x, y, z) es fix, y, z) = 2x2ez + sen v y, en consecuencia, F es conservativo. La mayor parte de lo presentàdo antes en dos dimensiones se generaliza directamente para tres dimensiones. Los resultados principales se resumen en el siguiente teorema.
Suponga que el campo vectorial F(x, v,.z) es continuo en la region conexa y abierta DC R 3. Entonces, la, integral de lInea fc F(x, y, z) dr es independiente de la trayectoria si y solo si el campo vectorial F es conservativo, es decir, F(x, y, z) = Vf(x, y, z) para alguna función escalarf(una funciOn potencial para F). Además, para cualquier curva suave a trozos C situada en D, cuyo punto inicial es (xi,yi, zi) y su punto final es (x2, y2, z2), se tiene •
fc
(x2,y,z)
F(x,y,z).dr=f(x,y,z) (x1,i,i,zi)
1246
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1*[[s[e1iD E L A S E W[s]I 1
1. Usted ha estudiado dos métodos diferentes para determinar si una integral de lInea es independiente de la trayectoria, uno en el ejemplo 3.1 y otro en el ejemplo 3.2. Si tiene razón para creer quo una integral de linea será independiente de la trayectoria, explique que método preferirIa emplear.
4
2. En La situaciOn del ejercicio 1, si duda de que una integral de lInea es indepndiente de La trayectoria, explique que método preferirIa utilizar. Si no tiene evidencia para decir si Ia integral de lInea es o no independiente de la trayectoria, explique que método preferirla usar. 3. En la sección 14.1, se introdujeron los campos vectoriales conservativos y se estableció quo algunos cálculos se simplificaban cuando el campo vectorial es conservativo. Analice un ejemplo importante en este tema. 4. Nuestra definición de independencia de La trayectoria solo se aplica a integrales de ilnea de La Irma dr. Ex c por qué unTñégraI de Ilnea delongitud de arco f(;fds no serIa indeperidiente dela-trayectoria(a menos quef= 0).
Enlos ejercicios5 a6,.detenninesLFesconservativo.Enios-ejeroieios-1-7a22demuestre-que-1aintegra1-5. F(x, y) = (2xy -. 1, x2 6. F(x, y) = (3x 2y 2 , 2x3y - y) 7. Fx,y)=(
-2x,y--
laintegraL 17.f2xydx +(x2 -1)clydondeCvade(1,0)a(3,1)
18.j3x 2y 2 dx + (2x3y - 4)ciy donde C va de (1, 2) a (-1, 1)
8. F(x, y) = (sen y - x,x cos y) 9. F(x,y) = (eq'— 1,xe')
19.
10.F(x,y) = (eY_.2x,xell_x 2y) ii. F(x, y) = (yëeY,xexY+ cosy)
12. F(x, y) = (y cos xy - 2xy, x cos xy - x2) 13.F(x,y,)=z 2 + 2xy,x2 + 1,2xz--3) 14. F(x, y, z) = (y2 - x, 2xy + sen z, ,y cos z) 15. F(x, y, z) = (y 2z 2 + X , ,y + 2xyz 2, 2xy 2z)
16. F(x, y, z) = (2xeYz - 1, x 2 ± eYz, x 2ye)
20.
1
yexY dx + (xe' -
.jc (0,4)
2y) dy donde C va de (1,0) a
fc(1, 2)(2xexa (-1,2-1)2y) dx + (2y - 2x) dy donde C va de
zi.f
(z 2 + 2xy) dx + x 2dy + 2xz dz donde C va do
(2,1,3)a(4,-1,0) 22.J(2 x cos z _ x2)dx + (z.-2y)dy + (y-x 2 senz)dz donde C va de (3,-2, 0) a (1, 0, v)
SecciOn 14.3. Independericia de la trayectoria y campos vectoriales conservativos 1247
VII los
ejercicios 23 a 34, evalüe F dr.
38.
37
23. F(x, y) = (x2 + 1, y3 - 3y + 2), C es la semicircunferenCia superior que va de (-.4, 0) a (4, 0)
my
Ii
2, seny), C es la porcion de la
24. f(x, ) parabola y = x 2 que Va de (-2, 4) a (2, 4)
25. F(x, y, z) = (x, y 2 , z 2 ), C es la semicircunferencia superior que va de (1, 4,-3) a (1, 4, 3)
I''
1
/ 39.
40.
+ 1, 4z 3), C es el cuarto de circunferencia quo va de (2, 0, 3) a (2, 3, 0) (x, y, z) C va de (1, 3, 2) a 2 + z2' vI-
I -
. F(x, y, z) = (cos x,
7.F(x, y, z)
\\
y
V
\ N
/
S
S
(2,1,5) 28. F(x,y,z)
r2 +
j2
2'
Cva de (2,0,0) a (0,1,-i)
29. F(x, y) = (3x2y + 1, 3xy 2), C es la semicircunferencia inferior que và de (1, 0) a (-1, 0) 30. F(x, y) = (4xy - 2x, 2x2 - x), C es la porción de la parabola y = x 2 que va de (-2,4) a (2,4)
2 . 2 31.F(x,y) = ( y2 e Y _ y , 2xye xJ -x-1),Ceseisegmento de recta que va de (2, 3) a (3, 0)
En los ejercicios 41 a 44, demuestre que la integral de lInea no es independiente de la trayectoria, haliando dos trayectorias que den diferentes valores de la integral.
41. Ic
y dx -x dy donde Cva de(-2, 0)a(2, 0)
42. /
2 dx + x dy donde C va de (1,4) a (2,-2)
32. F(x, y) = (2?Je2 + y3, e2 + 3xy 2), C es el segmen- 43.I y dx -3 dy donde C va de (-2, 2) a (0, 0) c to de recta que va de (4, 3) a (1, -3) 33.F(x,i)=( - e2x.2y - :), ceslacircunferen . ciax2+y2=16 34. P(x, y) = (3y 4(x .. 4)2 + 9(y
3x - \//Y), C es la elipse
4)2 = :36
En los ejercicios 35 a 40, use la grafica para deterIflinar si ci campo vectorial es o no conservativo. 35.
36.
44.f y 2 dx +x2 dydondeCvade(O,O)a(j, 1) En los ejercicios 45 a 48, indique si cada enunciado es verdadero o falso, y explique brevemente. 45. Si F es conservativo, entonces
f
.Jc
F dr = 0.
I
F dr es independiente de la tra3iectoria, ic entonces F es conservativo.
46. Si
ALY
47. Si F es conservativo, entonces / F . dr 0 para JC
cualquier curva cerrada C. 48. Si F es conservativo, entonces / F . dr es independiente de la trayectoria.
fP
1248
49. Sea F(x, y) =
2
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
(- ,y, x). Halle una función
potencial f para F y observe cuidadosamente cualquier restricción en el dominio def. Sea Cia circunferencia unitaria y demuestre que fu F dr = 2ir. Explique por qué el teorema fundamental para integrales de ilnea no se aplica en este cálculo. Explique con rapidez como cal-
51. Para curvas cerradas, podemos aprovechar porciones de una integral de lInea que sean iguales a cero. For ejemplo, si C es una curva cerrada, explique por qué puede simplificar
E En general, expli4We por qué los términos f(x) y g(y) pueden eliminarse en la integral de lInea fc(ftx) +'Y 2 ) dx + (x + g(y)) dy. Diga qué otros términos pueden eliminarse en la integral de Ilnea en una curvacerrada. Utilice el ejemplo ic + (11 2 + 2xy - x sen y + x3y) dy-para organ izar su pensamiento. 52. En este ejercicio, se explora un principio basico de la fisica denominado conservación de
r,
cular F dr en la circunferencia (x - 2) 2 + (y-3)2 = 1. 50. Termine la demostración del teorema 3.3 demostrando que si F es conservativo en una region conexa y abierta D - C R2 , entonces fc F dr = 0 para todas las curvas cerradas C suaves a trozos situadas en D.
energIa. Comience por la integral de trabajo
fc F dr donde la funciOn posiciOn r(t) es una funcion de tiempo continuamente derivable. Sustituya la segunda ley de Newton: F = dv m y dr = r'(t) dt = v dtydèthstreRüé dt fc .F-dr = AK.AquI, Krepresenta la-energia cinética definida porK = m liv 11 2 y AK es el carnbio deenergia cinética-del -puntoinicial de Cal punto final de C. Enseguida, suponga queFesconservativocon-F---.Vf, donde -la muestre que fc F dr = - Afdonde Afes igual al carnbio en la energIa potencial del punto inicial de Cal punto final de C. Concluya que con estas hipOtesis (fuerza conservativa, aceleración continua), el cambio neto en energla AK + Afes igual a 0.
14.4 TEOREMA DE GREEN En esta sección, se desarrolla una conexión entre ciertas integrales de iInea airededor de una curva cerrada e integrales dobles sobre la region encerrada por la curva. A primera vista, podrIa pensarse que ésta es una conexión extraña y abstracta que solo interesarla a un matemático. En realidad, el recIproco es verdadero; el teorema de Green es un resultado significativo con implicaciones muy importantes; por ejemplo,en el análisis de flujos de fiuidos y en las teorIas de electricidad y magnetismo. Antes de enunciar el resultado principal, es necesario definir brevemente alguna terminologIa. No olvide que una curva plana C definida paramétricamente por
C ={(x, y)jx = g(t),y
= h(t),a :5 t :5
1249
SecciOn 14.4 • Teorema de Green
C es cerrada si sus dos extremos son iguales, es decir, (g(a), h(a)) = (g(b), h(b)). Una curva C es simple si nose corta a sí misma, excepto en los extremos. En la figura 14.27a se ilustra un ejemplo de una curva cerrada simple, yen la figura 14.27b se ilustra un ejemplo de una curva cerrada que no es simple.
Figura 14.27a: curva cerrada simple. Figura 14.27b: curva cerrada no simple.
Se afirma.que una curva cerrada simple C tiene orientación positiva si la region R encerrada por C permanece a la izquierda de C al recorrer la curia; una curia tiene orientaciOn negativa si la region R permanece ala derecha de C. En las figuras 14.28a y 14.28b, se ilustra una curva cerrada simple con orientación positiva y otra con orientaciOn negativa, respectivamente. Se emplea la notaciOn S
Figura 14.28a:
orientación
positiva.
i
c
F(x, ,y) - dr
para denotar una integral de linea a lo largo de una curia cerrada simple C orientada en la direcciOn positiva. Ahora podemos enunciar el resultado principal de la sección.
Sea C una curia del piano cerrada, simple, suave a trozos y con orientaciOn positiva, y sea la region encerrada por C, junto con C. Suponga que M(x, y) y N(x, v) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna regiOn abierta D, con R C D. Entonces, Figura 14.28b: orientación
negatva.
(ON- OM
dx+N(x,y) dy
09X
R
ay --)
dA.
En un texto más avanzado, puede hallar una demostraciOn general del teorema de Green. AquI se demuestra solo un caso especial.. Demostración. AquI se supone que Ia regiOn R puede escribirse en Ia forma R={(x,y)fa:5X:5b ygi(x)syg2(x)},
Capitulo 14 • Cálcu!o vectorial
1250
como se ilustra en la figura 14.29a. Observe que C puede dividirse en las dos partes indicadas en la figura 14.29a: CC1UC2. C2 y =
g2(X)
donde Ci es la porción inferior de la curva, definida por Ci = {(x,y)Ia :s: x :5 b, y = gi(x)}
A
=
Y C2 es la porciOn superior de la curva, definida por C2 =
cji(.r)
x
{(X,/)a :! ^ x :5
b,y = g2(x)l,
donde la orientación es La que se indica en la figura. Del teorema de evaluación para integrales de ilnea (teorema 2.4), se tiene entonces
Figura 14.29a: region R.
dx
f M(x,y) dx±f M(x,y) dx =1 M(x,gi(x))dx_.f =
-
I (x, 92 (x))j dx, _
donde el signomenos frente ala snda integral proviene do recorrer C2 en sentido contrario (es decir, de derecha a izquierda). Por otra parte, observe que-puede escribir
-
92(X) a gi(s)
=ja
=f
OM
ôii dx
M(x,y)
b.[M(x92(x))—M(x9i (x))]dx
donde el segundo paso se sigue del teorema fundamental del cálculo. Junto con (4.1), esto produce M(x,y)dx =
S
7ji, dA.
(4.2)
Ahora se supone que la region R también puede escribirse en la forma
R={(x,y)Icyd y hl(y):5 x:5 h2(y)}. AquI, se escribe C = C3 U C4, como se ilustra en la figura 14.29b. En este caso, puede escribir Chi(y)
C
x Figura 14.29b: region R.
ic
N(x,y)•dy
=f N(x,y) d+f N(x,y) dy = f N(h 1 (y), y) dy + f N(h2 (y) ,y) dy N(h1 (y) ,y)] dy, [N(h2(y),y) =f -
-
(4.3)
1251
Seccjón 14.4 • Teorema de Green
donde el signo menos frente a la primera integral indica que C3 se recorre en sentido contrario (en este caso, de arriba hacia abajo). Además, observe que
f dA=Id j
ax
h2(Y)
c9x
11
f
d
[N(h2(y),y) - N(h j (ii) y)1 dy.
Junto cOn (4.3), esto nos da
ycN(xv)dYffdA
(4.4)
Sumando (4.2) y (4.4), se tiene
ff-a--- .) dA, (,9A' 5M
iVt(x, y ) dx+ N(x,y) dy=
ay
C
R
como se esperaba. Aunque la importancia del teorema do Green radica en La conexión que proporCiofla entre integrales de lInea e integrales dobles en planteamientos más teóricos, el resultado se ilustra aquf empleándolo para simplificar el calculo de una integral de lInea. EMPLE0 DEL TEOREMA DE GREEN
Use el teorema de Green para reescribirYovaluar ic (x2 +,y3) dx + 3xy 2 dy, donde C consta de la porción de V = x2 de (2,4) a (0, 0), seguido por los segmentOs de rectas desde (0,0) a (2,0) y de (2,0) a (2,4). SOLUCION En la figura 14.30, se muestran La curva C y la region encerrada R. Observe que C es una curva cerrada, simple, suave a trozos. Además, para M(x, y) = x2 + y3 yN(x, y) = 3xy2 , My N son continuas y tienen primeras derivadaS parciales continuas en todas partes. El teorema do Green establece que
=JJ
fr
,c(X2+Y3)dX+3XY2dY
(8N
\ 5Jl/f)
'.
c9y
dA
R
Figura 14.30: region E.
=
ff
(3y2 -- 3y2 )
dA =0.
R
En el ejemPlo 4. 1, observe que como el integrando de la integral doble era cero, era más Mcii calcular la integral doble que calcular directamente la integral de lInea. Existe otra manera sencilla de pensar en la integral de lInea del ejemplo 4.1. Observe que usted puede escribir esto como
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1252
ic F(x, y) dr donde F(x, y) = (x2 +
V3 , 3xy2). Note además que F es conservativo (con función potencialftx, y) = x 3 + xy 3 ) y, en consecuencia, por el teorema 3.3 de La sección 14.3, La integral de lInea de F sobre cualquier curva cerrada, suave, a trozos, debe ser cero.
CALCULAR UNA INTEGRAL DE LINEA COMPLICADA MEDIANTE EL TEOREMA DE GREEN
Calcule la integral de lmnea
Ii
ic (7y
- ese)
dx + [15x - sen(j 3 + 8y)] dy,
donde C es la circunferencia de radio 3 centrada en el punto (5,-7), como se muestra en la figura 14.31. 5
SOLUCION Primero observe que será virtualmente imposible evaluar la integral de lInea directamente. (Piense en esto pero no invierta demasiado tiempo). Sin embargo, tomando M(x, y) = 7y - e y N(x, y) = 15x - sen(y 3 + 8ij), observe que My N son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas on toda parte. En consecuencia, puede aplicarse ci t eorema flOS
Figura 14.31: regiOn R.
f
(7y -- een
X)
deGrn,lcua --
da
dx+[45—sen (y3 + 8y)]
dy = // ( ON
am
=ff(157)dA = 8ff (IA 72k.
donde
ff
dA es simplemente el area en el interior de la regiónR,
fi'
ciA =
r (3)2 = 9g. Si observa crIticamente el ejemplo 4.2, podrIa sospechar que el integrando se escogiO cuidadosainente, de modo que la. integral de lInea fuera imposible de evaluar directamente, pero de modo que el integrando de La integral doble fuera sencilla. Esto es cierto; nosotros inventamos el problema simplemente para. ilustrar La importancia del teorema de Green. Más aUn, el teorema de Green proporciona muchas observaciones interesantes como La siguiente: suponga que C es una curva cerrada, simple, suave a trozos, que encierra la region R. Entonces, tomando M(x, y) = 0 y N(x, y) = x, se tiene
i
x dy
C
Zf(
Ox ay
dA=ffdA )
lo cual es simplemente el area de la region R. Alternativamente, observe que si se toma M(x, = -y y N(x, y) = 0, se tiene
v)
ff
ydx- (ON OM) O_wA= . fJdA R
R
1253
Secciôn 14.4 • Teorema de Green
to cual es nuevamente ci area de R. Reuniendo estos dos resuitados, también se tiene
ff dA = I j , dy - ,y dx.
(4.5)
EMPLEO DEL TEOREMA DE GREEN PARA HALLAR EL AREA Halle el area encerrada por la elipse -x2. +v2= 1. T2 SOLUCION Primero observe que la elipse corresponde a la curva cerrada simple C definida paramétricamente por
C= {(x,i,)Ix =a. Cos t,y = bsent,0:5 t:5 2v}, donde a, b > 0. Debe observar también que C es suave y está orientada positivamente (véase la figura 14.32). A partir de (4.5), se tiene que ci de la elipse está dada por
Area
A = - / x dv - y dx
•
Figura 14.32: region elIptica R.
=
f
j27r
[(a cos t) (b cos t) - (b sent) (-a sen t)] dt
21r
(abcos2 t+absen2 t)dt=ab.
EMPLEO DEL TEOREMA DE GREEN PARA EVALUAR LA INTEGRAL DE LINEA
EvalCte la integral de IInea ic(ex + 6xy) dx + (8x2 + sen v2 ) dy, .donde C es La frontera de la region limitada por las circunferencias de radios I 3, centradas en el origen y situadas en ci primer cuadrante, como se indica en la figura 14.33. SOLUCION Observe que como C consta de cuatro porcioneS distintas, evaluar la integral de lInea directamente parametrizando la curva, probablemente no sea una buena eleccjón. Por otra parte, puesto que C es una curva cerrada, simple, suave a trozos, se tiene, mediante ci teorema de Green, que Figura 14.33: region R.
H
(?+6xy) dx +
2 +seny2 ) dy
+sen y2 ) - -- e" + 6xY)J dA LOX y ff F--ff (16x - 6x) dA =,i!lOx dA, (8x2
=
(
t9
R
R
•
R
donde R es la region comprendida entre las dos circunferencias, situa-
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1254
das en el primer cuadrante. Observe que esta integral es fácil de calcular empleando coordenadas polares, como sigue:
(ex+6xy )dx +(8x2 isen ic.
y2
) dy= f10 x dA f r cos 8rdrdO R
çir/2
3
/ (l0r cos O) rdrdO Ji
= / Jo
10r3 / cosO3 Jo
r=3
dO T=
10 = -..(3 3 _1 3)senO 0
260 --
s-- .
y
x
4.4, el teoremadeGreen no..seutiliza só!o por conveniencia, sino casi por necesidad. Al evaluar directamente la integral de linea, se compi obai Ia un i eto muy 'ignificativo (Hglo c in tente averiguar de qué se trata). - Por_simplicidad, con frecuencia se empleará la notacion a R para referirse a la frontera de la region R, orientada en dirección positiva. Empleando Osta notaciOn, la conclusion del teorema de Green se escribe como dx+N(x,y) dy
Figura-14.34a: region con un agujero
I.
v
=jf ( j1Y –)
dA.
-
El teorema de Green puede extenderse at caso en que la region no es simplemente conexa (es decir, cuando la region tiene uno o más agujeros). Debemos enfatizar en que cuando se estudian tales regiones, la integradon se toma sobre la frontera completa de la region (no sOlo sobre la parte exterior de la frontera) y que la curva frontera se recorre en sentido positivo, manteniendo siempre la region a la izquierda. Por ejemplo, para la region R con un solo agujero, ilustrada en la figura 14.34a, observe que la frontera de R, a R consta de dos curvas separadas, Ci y C2, donde C2 se recorre en el sentido de las manecillas del reloj, para mantenerla orientacion positiva en toda la frontera. Puesto que la region no es simplemente conexa, no puede aplicarse directamente el teorema de Green. En vez de eso, primero se ma roan dos rayas horizoritales en la region, como se indica en La figura 14.34b, que dividen R en dos regiones simplemente conexas RI y R2. Observe que el teorema de Green puede aplicarse en cada regiOn Ri y R2 por separado. Sumando las integrales dobles sobre Ri y R2 nos da la integral doble sobre toda la regiOn R. Se tiene
Fiqura 14.34b:,[? = Ri U
ON- i) dA
-f/ ( -) dA ff ( -f) =
M(x,y)dx+N(x,y)dy J0R1
+f M(x,y) dx+N(x,y) dy. OR2
dA
1255
Sección 14.4 • Teorema de Green
Además, puesto que las integrales de lInea sobre las partes comunes de a Ri y a R2 (es decir, las rayas horizontales) se recorren en la dirección opuesta (de una manera en a Ri y de otra manera en a R2), las integrales de lInea sobre estas porciones se cancelarán, dejando solo las integrales de lInea sobre C1 y C2. Esto nos da
(ONOM )
II R
dAr5/ M(x,y)dx+N(X,Y)'Y M(x,y) dx+N(X,y) dy
+ OR2
=
M (x, y) dx + N(x, y) dy +j M(s,y) dx+N(x,y) dy
i
c
M(x,y) dx+N(x,y) dy.
Esto indica que el teorema de Green también se cumple para regiones con un solo agujero. For supuesto, puede repetirse el argumento anterior para extender el teorema de Green a regiones que tengan cualquier nLImero finito de agujeros. DEL TEOREMA DE GREEN
ParaF(x, y)
(-y, x), demuestre que
=2
F(x, y) . dr = 27r, para
cada curva cerrada simple C que encierra el origen. SOLUCION Sea C cualquier curva cerrada simple que encierra el origen y sea C1 la circunferencia de radio a >0 centrada en el origen (y orientada positivamente), donde a se toma suficientemente pequeña para que Ci esté cornpletamente encerrada por C, como se ilustra en la figura 14.35. Además, sea la region limitada entre las curvas C y Ci (incluidas las curvas mismas). Aplicando en R Ia version ampliada del teorema de Green, se tiene,
i
Figura 14.35: regiónR.
F(x,y).dr = i F (x, y) dr m
F(x,y) .dr
c
= jC
OR
ff
F(x,y)dr
(ON Ox
R
ff
-
am) '9y
dA
(1) (X 2 + y 2) - X
(
2z
(X 2 + y 2) + y ( )
(x2+y2)2
(x2+y2)2
R
=0. Esto nos da
ic
F(x,y)dr=, F(x,y.)dr.
Cl
2y) dA
1256
CapItulo 14° Cálculo vectorial
Ahora, se necesita que Cj sea una circunferencia porque podemos parametrizarla con facilidad yluego evaluar explIcitamente la integral de' ilnea alrededor de Ci. Observe que Ci puede expresarse paramétricamente por x = a cos t, y = a sen t, para 0 t :5 2r. Esto nos deja una integral que puede evaluarse con facilidad, como sigue:
i
c F (x, y) dr =
F (x,y) dr
i
1 =
fo
X 21r
2
+y2
dxi —
x 2 +y
dy
(-asent) ( —asent) + (a cos t) (a cos t)d a2 c092 t -F a2sen2 t
21T
dt = 21r.
Observe que sin el teorema de Green, probar un resultado como el desarto11adoeneLejemplc4,5pod.r4a-resutt-ar--difIcii. on c probar la segunda mitad del teorema 3.4. Por conveniencia, se enuncia-de nuevo el teorema. --
Suponga que M(x, y)yN(x, y) tienen primeras derivadasparcialeseontinuas on una regiónsimplementeconexa D. Entonces, M(x, y) dx -F- N(x, y) dy es independiente de la trayectoria si y solo si JMy (x, y) = N(x, y) para todo (x, y) en D.
J.
Demostración. Recuerde que en la sección 14.3 se demostré la primera parte del teorema, que si f0 M(x, y) dx + N(x, y) dy es independiente de la trayectoria, entonces se sigue que M(x, y) = N(x, y) para todo (x, y) en D. Ahora se demuestra que si M(x, y) = N(x, y) para todo (x, ,y) en D, entonces Se sigue que la integral de Imnea es independiente de la trayectoria. Sea cualquier curva cerrada, simple, suave a trozos, con orientación positiva y situada en D. Puesto que D es simplemente conexa, observe que la region R encerrada por S está completamente contenida en D, de modo que M(x, y) = N(x, y) para todo (x, y) en R. Del teorema de Green, se tiene que
faN 9M\
Es decir, para toda curva cerrada simple, suave a trozos, S, situada en D, se tiene
M(x, y) dx + N(x, y) dy =0. Ahora se sigue, del teorema 3.3, que F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) debe ser conservativo en D. Por iltimo, del teorema 3.1 se sigue queJ' 0 M(x, y) dx + N(x, 'y) dy es independiente de la trayectoria. -
r
Sección 14.4 • Teorema de Green
1257
EJERCICIOS DE LA SECCION 14.4 ... 1. Dada una integral de lInea para evaluar, describa brevemente en qué circunstancias utilizarla ci teorerna de Green para remplazar la integral de ilnea por una integral doble. Comente acerca de las propiedades de la curva C y Las funciones involucradas. 2. En el ejemplo 4.1, el teorema de Green permitió demostrar con rapidez que la integral de lInea es igual a 0. Siguiendo el ejemplo, se observó que esta es la integral de lInea para un campo de fuerza conservativo. Analice qué rnétodo (teorema de Green, campo conservativo) recomendarla primero para determinar si uria integral de ilnea es igual a 0. 3. La ecuación (4.5) muestra cómo caicular el area como una integral de iInea. Empleando como gula el ejemplo 4.3, explique por qué se escribió el area como x cI'y - y dx, en vez de escribiria como
3cxdyo
- ydx.
4. Suponga que va de compras en automóvil a varios lugares y luego regresa a casa. Si la trayectoria seguida forma una curva cerrada simple, explique cómo emplearIa (4.5) para estimar el area encerrada por La trayectoria. (Sugerencia: si (x, y) representa la posicion, diga qué representa (x', y')).
los ejercicios 5 a 8, evalüe la integral de ilnea licada a) directamente y b) empleando el teore-
10. j ye2x dx + x2y 2 dy donde C es el rectangulo quevade(-2, 0)a(3,0)a(3,2)a(-2,2)a(-2,0)
de Green.
i
2 -y) dx + ii2 dy donde C es la circunferencia c (x X2 + y2 = 1 orientada en sentido con trario de Las
Y dx +(3x-4tany)dydondeCesia ic(X2 + 1 porción de y = x2 que va de (-1, 1) a (1, 1) seguida
manecillas del reloj.
i
c
(v2 +
x) dx + (3x + 2xy) dy donde C es la
porlaporcióndey = 2 -x 2 que va de (1, 1)a(-1, 1)
12.
circunfereneja x 2 + y 2 = 4 orientada en el sentido de las manecillas del reloj.
i
x 2 dx - x 3 dy donde C es ci cuadrado que va de c (0, 0) a (0, 2) a (2, 2) a (2, 0) hasta (0, 0)
i
c
(xy - e2x)
ax + (2x2 - 4y2) dy donde C está
formada por y = x 2 y y = 8- x2 orientada en ci sentido de las manecillas del reloj (tan x - ,y 3 ) dx + (x3 - sen y) dy donde C es La 13. ic circunferencia x 2 + y2 = 2 orientada en ci sentido contrario de las manecillas del reloj
(y2 - 2x) dx + x2 dy donde C es el cuadrado
queva de (0,0) a(1, 0) a(1, 1)a(0, 1) hasta (0, 0)
LOS ejercicios 9 a 24, use el teorema de Green ra evajuar La integral de ilnea indicada. Xe 2x dx - 3X 2-ydy donde C es el rectánguio que
i
c
"a de (0, 0) a (3,0) a (3, 2) a (0, 2) a (0, 0)
14.
(J2 ± 1- x 2y)
dx + (xy2 - y 513) dy donde C es
la circunferencia x 2 +'Y2 = 4 orientada en ci sentido de las manecillas del reioj 15.I'F dr donde F
(x 3 -y, x + y 3)y C está forma-
da por y. = x 2 y y = x orientada positivamente
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1258
16.j F dr donde F = (y2 + 3x2y, xy + x) y C está formada por y = x y 1/ = 2x orientada positivarnente 17.j F Jr doride F =
(e X2
formada por y = I x2 y mente
j
-
28. La region limitada por x 2"5 + v2"5 = 1 29. La region limitada por y = x2 y
)y C
está
= 0 orientada positiva-
F - dr donde F = (xe' + y, formada por y = mente
x2
je 1
+ 2x)y C está
y y = 4 orientada positiva-
19.y(Y3 _lnx)dx + (Jy2 +1 — + 3x)dydondeCestá formada por x = mente
y x = 4 orientada positiva-
31. Emplee el teorema de Green para demostrar quo el centro de masa de la region limitada por la curva C con densidad constante está dado por y 2 dx dondeA es el dyyy = Area de la regiOn. 0
32. Emplee el resultado del ejercicio 31 para hallar el centro de masa de Ia region del ejercicio 30. 33. Emplee el resultado del ejercicio 31 para hallar el centro de masa de la region limitada por la curva representada por (t3 t, 1 t2), para -1 —< t 5 1. -
20.1 (ii sec 2x -2) dx + (tan x
-
4
30. La regiOn limitada por y = x 2 y y = 2x
2 v e +
-
18.
j =
4y2 ) dy donde
C estci
2 formadaporx _=_1- yx = 0orientdapiti s vamente
. .
-
niiir erU centro de masa de la region lirnitadOrla curvã representada por t, t3 t) , para 0 ^ i ^ 1.
34 .Empleeultd
-
-
------
-
- ---------------
35. Emplee el teorema de Green parademostrar la formula del cambio de variables____
21.y x2 dx+ 2xdy+(z2)dzdondeC es-el triángulo que-va do (0, 0,a(2, 0,2) a (2,2,2) a (0,0,2)
I
f dA
R
22.j 4y dx + y 3 dy
+ z4
=
S
dz donde C es x2 + v2 = 4
orientada en el sentido de las manecillas del reloj en el pIano z = 0
donde x = x(u, v) y v = v (u, v) son funciones con derivadas parciales continuas.
23. i F dr donde F = (x3 y4, e' 2 +Z2, x2 16y 2z2) y C c es x2 + z2 = 1 orientada positivamente en el pla-
36. Para F =2 1+ .y 2 y x y c cualquier circunfeX rencia de radio r> 0 que no contiene el origen,
-
-
noy = 0
24.FdrdondeF
demuestre que
+ z2 , 4xy z4)
Jc
F dr = 0.
-
y C está formada por z = 1- x2 y z = 0 orientada positivamente en el piano y = 2 En los ejercicios 25 a 30, emplee una integral de Imnea para calcular el area de la regiOn dada. 25. La elipse 4x 2 + y 2 16 26. La elipse 4x2 + y2 = 4 27. La region limitada porx 2"3 + ,y 2/3 = 1. (Sugerencia: sea x = cos 3 ty v = sen3 t)
En los ejercicios 37 a 40, emplee la técnica del ejem-
plo 4.5 para evaluar la integral de ilnea. 37.F dr, donde F
ic
.
=
X
,
\x2+y2 X 2 + .Y.2
y C es
cualquier curva cerrada simple orientada positivamente que contiene el origen y2 -x2
38.fF.drdondeF=((2
-2xy )
+y2)2'(x2 +y2)2
YC
es cualquier curva cerrada simple orientada pcsitivamente que contiene el origen
AL
1259
Sección 14.5 • Rotaciotlat y divergencia
I
39.7 F dr, donde F
I
y3
\
y C es
+ + v4 ' = cuaiquier curva cerrada simple orieritada positivamente que contiene ci origen
v2x —x2 \ /_ F dr, donde F =\ x4 +y4) x4 +y4/Ys
ic cualquier curva cerrada simple orientada positivamente que contiefle el origen
pv"'5"PA "ftovp""'
I.I
^
y el teorema de Green para demostrar que
x —y \ p2)2 ) y C es la circunfe(x2 y2 )2 ' (x2 + + \ rencia x2 -I- y 2 = a2. Emplee este resultado
I
fj* (x 2 +-2,y it
2)2
dA diverge, donde R es el
disco x2 + v2 < 1.
ROTA CIONAL Y DIVERGENCIA Ya.se ha estudiado que el teorema de Green relaciona la integral de lInea de una función sobre la frontera de una region plana .R con la integral doble de una funciOn relacionada sobre la region R. Como se ha visto, en algunos casos la integral de ilnea es más fácil de evaluar, en tanto que en otroscasos es más fácil evaluar la integral dobie. La flexibilidad que proporciona el teorema de Green es invaluable cuando se evalüan integrales dificiles que surgen en las ciencias y la ingenierla. Mn más, ci teorema do Green proporciona una conexiOn entre las cantidades fisicas medidas en la frontera de una regiOn plana con las cantidades relacionadas en el inte•rior de la regiOn. El objetivo del resto del capItulo es ampliar el teorema de Green a resultados que relacionen integrales triples, integrales dobles e integrales de ilnea. El primer paso es comprender las operaciones vectoriales de rotacional y divergencia introducidas en esta secciOn. El rotacional y la divergencia son generalizaciones de la noción de denvada aplicadas a los campos vectoriales. Ambas miden directamente cantida.des fisicas importantesi relacionadas con ci campo vectorial F(x, y, z).
DEFINICION. El rotacional del campo vectorial F(x, y, z) = KFix, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) es ci campo vectorial rotacionalF=
(OF3 OF2 \.
(OF1 OF3 \.
_)J+
(OF2 OF1 ax 19Y )
k,
definido en todos Jos puntos en que existan todas las derivadas parciales indicadas.
Una manera Mcii de recordar el rotacional F es emplear la notaciOn de producto cruz, como sigue. Observe que al emplear un determirrante, puede escribirse
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1260
Ii
VxF=I
=
01
--
TX Oy F1 F2 F31 (9Fq 8F2 \ '9y
=
Ii
kI
j
-
az
I
( ^ F3 OF1 az 9x
-
j
(OF2OF1 \lk '9y j 0
+
OF3 OF2 OF1 \ -b--
/ OF3 OF2 OF1 (\__ jy
--
-
rotacionaiF, (5.1)
-,
-
siempre y cuando existan todas las derivadas parciales indicadas. cALCULO DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
Calcule el rotacional F para a) F(x, y, z) = (x 2y, 3x yz, z 3) y b) F(x, y, z) = -
(x3 y, VI, ez). -
SOLUCION Ernp1eanclo1a notación de prod ucto cruz en(5.1), se tiene que para a): i
oz
3x
&(3x
,9(z 3 )
(8(3x
-
yz)
-.
Ox -
--
yz z 3 ((9(z)
-
[9z
Oy
(0 + y)i
0
(9 x 2 ij
\
k
j
rotacional F V x F
) O(x2y\ yJ
(0
-
0(x 2 y)
Ox (
k
I
0)j + (3- X2 )k = (y, 0,3- x2 ).
De manera semej ante, para b) se tiene
F=VxF= (,9(e-) -
-
i j. k 0 08 Ox OyOz x3-yY5 CZ
---
0(v5Y\ Oz )
-
(,g() e' Ox
-
8(x3-y)'\ Oz
.
(O(v5 ) Ox
-
O(xy)k Oy
}
= (0-0)i-(0-0)j+(0+1)k= (0,0,1).
Observe que en el literal b) del ejemplo 5.1, el inico término importante para el rotacional es el término -y de la componente i de F(x, y, z). Esto ilustra una propiedad importante del rotacional. Los términos de la cornponente i del campo vectorial que contienen solo ax no son importantes para el rotacional ni los términos de la cornponentej que contienen sólo a Y ni los términos de la componente k que contienen sOlo a z. Usted puede
1261
Sección 14.5 Rotacional y divergenCia
emplear estas observaciones para simplificar algunos cálculos del rotacional. Por ejemplo, observe que rotacional(x 3 , sen2 y,
v'z
+ 1 + x2 ) = rotacional(O, 0, x 2 )
=VX(O,O,x 2 ) =( O,-2x,0). La simplificación analizada antes brinda una importante pista para saber qué rnide el rotacional, puesto que las variables deben "mezclarse" para producir un rotacional diferente de cero. En el siguiente ejemplo, se dan algunas pistas importantes para comprender el significado del rotacional de un campo vectorial. INTERPRETACION DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
Calcule el rotacional de a) F(x, y, z) = xi + yj y b) F(x, y, z) = - xi e interprete cada uno gráficamente. SOLUCION Para a), se tiene ijk V
=
ax ay az
=(0-0,-(0-0),0-0)=(0,O,0).
xyO
I
Para b), se tiene ijk 49 49 a
j- = ( 0-0, -(0 - 0), -1 - 1) = (0, 0, -2).
VxF=
1/ -x 0 En las figuras 14.36a y 14.36b, se muestran las graficas de estos campos vectoriales en dos dimensiones, respectivamente.
2 I
I
2 I
/
2
-.--. 4--.
H
\_4 \-2
/ -2
2
/1 Figura 14.36a: gráfica de (x, y).
Figura 14.36b: çjráfica de -y, -x).
Es ütil pensar en cada uno de estos campos vectoriales como campos de velocidad para un fluido en movimiento. En este caso, los vectores mdicados en la grafica del campo de velocidad se denominan lmneas de flujo y señalan la dirección de flujo del fluido. Para el campo vectorial (x, y),
1262
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
observe que las lIneas de flujo son rectas, no tienen rotación y en a) se halló que el rotacional F = 0. En cambio, las lIneas de flujo para el campo vectorial (y, -x) son circulares y presentan rotación en el sentido de las manecillas del rcloj, y en b) se calculó un rotacional diferente de 0. En particular, observe que si dobla los dedos do Ia mano derecha a Jo largo de las lIneas de flujo y las puntas de los dedos señalan la dirección del flujo, el pulgar apuntará hacia Ia página en La dirección de -k, el cual tiene La misrna dirección que rotacional (y, -x) = V x (y, -x) = -2k.
Como se vera en el análisis del teorema de Stokes en La sección 14.8, el rotacional de un campo vectorial en un punto siempre produce un vector paralelo al eje de rotación de las ilneas de flujo cercanas al punto, y su dirección está determinada por la regla de la mano derecha. Si V x F = 0, se dice que el campo vectorial es irrotacional en ese punto. (Es decir, ci fluido no tiende a rotar cerca del punto). Ya se habIa anotado antes que no existe contribución al rotacional de un eampo vet$oria1-F(ey, z) de parte de lçsierminos -de la-componefitt cie Ms trrninos en la componentcj de Fque contierie a ii solaxnenle y tafripocode los términos-dela componente kde Fque contiene a üniite,Ejcambioestos térmi-- nos son importantes para la divergenciade_un campo. vectorial, la otra operación vectorial importante presentada en esta sección. DEFINICION. La divergencia del campo vectorial F(x, y, z) = F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) es la función-esealar-----
divF(c,y,z)
8F2
Oh OF2 'y
ax
definida en todos los puntos en que existen todas las derivadas parciales indicadas.
No obstante que el rotacional se escribió empleando la notación de producto cruz, observe que la divergencia de un campo vectorial puede escribirse empleando La notaciOn de producto punto, como sigue:
( 19X
T,,V 57Z ) \
'9x
19Y
(9 z
Observe que mientras el rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial, Ia divergencia de un campo vectorial es una función escalar. I CALCULAR LA I)IVERGENCIA !)E UN CAMP() VECTORIAL Calcule div F para a) Fx, y,z) =(x 2y, 3x —yz, z 3 yb) F(x, y, z) =(x3 :-y,z 5 , eY). )
SOLUCION Para a), a partir de (5.2), se tiene que div F = V F'=
0(x2y)
ax
yz) 0(z 3 = 2xy —z + 3z 2 + + "('x 8z 61Y )
.
1263
Sección 14.5 • Rotacional y divergencia
Para b), a partir de (5.2) se tiene que divF=VF=
Ox
0(z5) + 1)3x2+0+0_3x2 Oz ay
L._. Observe que en el literal b) del ejemplo 5.3, el unico término ixnportante para la divergencia es el término x 3 de la componente i de F. Además, observe que, en general, la divergencja de F(x, y, z) no es afectada por los términos de la componente i de F que no contengan x ni los términos de la componentej de F que no contengan y ni los términos de la componente k de F que no contengan z. Retornando a los campos vectoriales de dos dimensiones del ejemplo 5.2, puede desarrollarse una interpretaCión geométrica de la divergencia. INTERPRETACION DE LA INVERGENCIA I DE UN CAMPO VECTORIAL
Calcule la divergencia de a) F(x, ii) = xi + yj y b) F(x, y) = yi - xi e interprete cada una graficamente. SOLUCION
0(x) 0(y) Para a),setieneVF=---- + —=2. ox Oy + Para b), se tiene V F = 09(y) Ox ay En las figuras 14.37a y 14.37b, respectivamente, se muestran las graficas de los caxnpos vectoriales en a) yb).
-' -r•
.—' Z2
<-
\ •-_-p
\ 'I
S
-,2
/
Figura 14.37a: gráfica de , >.
Figura 14.37b: grafica de (y, —x).
Observe las cajas superpuestas en La grafica de cada campo. vectorial. Si F(x, y) representa el campo de velocidad de un fluido en movimiento, emplee las gráficas para estimar el flujo neto del fluido adentro o afuera de cada caja. Para y, -x), el fluido está rotando en trayectorias circulares, de modo que la velocidad de cualquier partIcula en una region circular dada centrada en el origen es constante. Esto indica que el flujo adentro de la caja debe ser igual al flujo afuera de la caja, y el flujo neto es 0, que también es igual al valor de La divergencia de este campo de
1264
L
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
velocidad. En cambio, para el campo vectorial (x, y), observe que las flechas que vienen hacia la caja son más cortas que las que salen de la caja. Esto indica que el flujo neto afuera. de La caja es positivo (es decir, hay más fluido saliendo de La caja, que entrando). Observe que, en este caso, la divergencia es positiva.
Empleando el teorema de La divergencia, en la sección 14.7 se demostrará que la divergencia de un campo vectorial en un punto (x, y, z) corresponde al flujo neto del fluido afuera de una caja pequeña centrada en (x, y, z). Si V F(x, , z) > 0, La cantidad de fluido que sale de la caja es mayor que la cantidad que entra (como se ilustra en la figura 14.37a) y el punto (x, y, z) puede ilamarse fuente. Si V - F(x, y, z) <0, La cantidad de flujo que entra en La caja es mayor que el que sale y el punto (x, y, z) puede denominarse sumidero. Si V F(x, y, z) = 0, en alguna region D, entonces se dice que el campo vectorial F es una fuente fibre o incompresible. Se ha empleado el operador "del" V en tres operaciones diferentes semejantes a la derivada. El gradiente de una función escalarfes ci earnpo vectorial Vf, el rotacional de un campo vectorial F es el cainpo vectorial V F y la divergencia de un cppyctoriaiFesJafunciónescaIarV_. -
ciones posibles de etásö áf5iis permitirá una mayor comprensión de las propiedades deis CAMPOMECTORIALESYFUNCJONES ESCALARES QUE INVOLUCEAN EL GRADIENTE
Si f(x, y, z) es una función escalar y F(x, y, z) es tin eampo vectorial, determine si cada.operación es una función escalar, un eampo vectorial o no está definida: a) V x (Vf), b) V x (V F), c) V (Vf).
SOLUCION Examine cada una de estas fOrmulas, un paso ala vez, analizando desde el interior hacia el exterior. En a), Vfes un campo vectorial, de modo que ci rotacional de Vfestá definido y da un campo vectorial. En b), V F es una función escalar, de modo que el rotaciona.i de V F no está definido. En c), Vfes un campo vectorial, de modo que La divergencia de Vfesta definida y da una funcion escalar. Fuede añadirse algo más acerca de las dos operaciones definidas en ci ejemplo 5.5, literales a) ye). Siftiene derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces Vf = f3,fv,fz) y La divergencia del gradiente es La funciOn escalar (
V (VJ) =(
). (f,j,f) =f +
+ . 22.
Esta combinación de segundas derivadas parciales surge en muchas aplicaciones importantes en fisica e ingenierIa. V (Vf) se denomina el laplaciano defy tIpicamente Se emplea La notación abreviada V(Vf) = V 2 f=f + fyy + fz
SecciOn 14.5 Rotacional y divorgenCia
1265
o A f= V2 f. Empleando la misma notacjón, el rotacional del gradiente de una funciónfes uk Vx(Vf)=
(I -f11,
fzx, fyx - f) = ( 0, 0, 0),
A fV f suponiendo que las derivadas parciales mixtas son iguales. (Esto ocurre cuando todas las derivadas parciales de segundo orden Son continuas en alguna region abierta). Recuerde que si F = Vf, entonces F se denomina un campo conservativo. El resultado V x (Vf) = 0 demuestra el siguiente teorema, el cual proporciona un método sencilld para determinar cuándo un campo vectorial tridimensional no es conservativo.
Suponga que F(x, j, z) = (Fi(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) es un campo vectorial cuyas componentes F1, F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de primer orden en una region abierta D C R3. Si F es conservativo, entonces V x F = 0. Con frecuencia, se emplea el teorema 5.1 para determinar que un campo vectorial dado no es conservativo, como se ilustra en el ejemplo siguiente. DETERMINAR CUANDO UN CAMPO VECTORIAL ES CONSERVATIVO
Emplee el teorema 5.1 para deterrninar silos siguientes campos vectoriales son conservativos: a) F = (cos x —z, y2, xz) yb) F = (2xz, 3z 2 , x 2 + 6yz). SOLUCION
Para a), se tiene
j VxF=
8(9 = (0-0,-i -z, 0-0) ;4 0 Ov Oz cos a: - z 1/2 xz
y, en consecuencia, por el teorema 5.1, F no es conservativo. Para b), se tiene
V XI
ii 0(9 OxOy 2xz3z 2 x 2
k
8
-
8z +6yz
= (67- -. 6z,
2x - 2x, 0-0) = 0.
Observe que, en este caso, el teorema 5.1 no indica si F es o no conservativo. Sin embargo, podrIa observar que F(x, y, z) = (2xz, 3z 2 , x 2 + 6yz) = V (x 2z + 3yz 2).
L
Puesto que se halló una funciOn potencial para F, ahora se comprende '- en verdad es un campo conservativo.
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1266
Siguiendo el ejemplo 5.6, podrIa preguntarse si el recIproco del teorema 5.1 es verdadero o no. Es decir, si V x F = 0, Ldebe concluir que F es conservativo? La respuesta a esto es "NO". En el ejemplo 4.5 se dio una importante pista, puesto que alil se dijo que para ci campo vectorial bidimensional F(x, y) =
(-
x), fc F(x, y) . dr = 2r, para toda curva
cerrada simple C que encierra el origen. En el siguiente ejemplo se continuará esta idea. CAMPO VECTORIAL IRROTACIONAL QUI' NO ES CONSERVATIVO
x, 0), demuestre que V x F = 0, pero que F no
Para F(x, y, z) = 2 2 es conservativo. SOLUCION Primero observe -
-
.-l---i----
a
VxF= Ox y —
2
-j
a
k
a
O Oz x y2 x 2 +y2
a a, o -.3
ax Dz -- y0 -r 0 c 2.
k
-
=k [
Ox
\ Of ( X2+y2) + x2+y2)j X
7T 2 + i,2 31 2
ayx ?12
1
_ [(x+y) —2x 2 (x2 +v2 )_2v 2 = 0, + + y2)2 ( x 2 ± y2)2 j {
1
de modo que F es irrotacional en cualquier punto en el cual está definido (es decir, en todos, menos en ci origen). Sin embargo, en el ejemplo 4.5, ya se demostró que fc, F(x, y, z) dr = 2, para toda curva cerrada simple C situada en el piano xy y que encierra el origen. Dado esto, del teorema 3.3 se concluye que F no puede ser conservativo, puesto que Si lofuera, serla necesario tener .rc F(x, y, z) dr = 0.
La dificultad del ejemplo 5.7 consistIa en quo ci campo vectorial en cuestión tenIa una singularidad (es decir, un punto donde una o más de las componentes del campo vectorial tienden a oo). Aun cuando las curvas consideradas no pasaban a través de la singularidad (el origen), en algün sentido "encerraban" ci origen. Esto es suficiente para-que ci recIproco del teorema 5.1 sea faiso. Comose deduce, el recIproco sóio es verdadero con algunas hjpótesis adicionales. EspecIficamente, puede afirmarse lo siguiente.
1267
SecciOn 14.5 ' Rotacional y divergenCia
Suponga quo F(x, y, z) Fix, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) es un campo vectorial cuyas componentes F1, F2 y F3 tienen primeras derivadas parciales continuas en todo R 3 . Luego, F es conservativo Si y solo si VxF=O. Observe que la mitad de este teorerna ya se conocIa del teorema 5.1. AsI mismo, observe que fue necesario que las componentes de F tuvieran primeras derivadas parciales continuas en todo R3 ( Observe que este requisito no lo cumplIa el carnpo vectorial del ejemplo°5.7). La otra mitad del teorema requiere la sofisticación adicional del teorema de Stokes; en la sección 14,8, se demostrará una version miss general. Se cierra esta sección reescrjbiendo el teorema do Green en términos de rotacional y divergencia. En las secciones 14.7 y 14.8, estas formulas se extienden a regiones tridimensionales. Primero, suponga que F(x, ,) = (M(x, y), N(x, j), 0) es un campo vectorial para algunas funciones M(x, y) y N(x, y). Suponga que R es una region en el plano xy cuya curva frontera C es suave a trozos, que está orientada positivamente, que es simple y cerrada, y que My N son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas on alguna regiOn abierta D, donde E C D. Luego, a partir del teorema de Green, se tiene .
Mora SO pueden resumir ciertas propiedacles. equivalentes para campos vectoriales tridimensionales. Suponga que F(x, y, z) =;(Fi(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) es un campo vectorial cuyas compoflentes Fi, F2 y F3 tienen primeras derivadas parciales continuas en todo R3 . Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: 1.F(x,y,z)es conservativo. 2.fc F dr es independiento do la trayectoria F dr = 0 para toda curva cerrada, suave, a trozos, C. 4.V x F = 0.
5.F(x, y, z) es Ufl campo gradiente (F = Vfpara alguna funciOn potencialf).
ff R
ON xOy
dA = £ M dx + N dy.
ÔN8M Observe que el integrando de la integral doble - v--- - -'----, es la componen(i.! te k de V X F. Además, puesto que dz = 0 en cualquier curva situada en el piano xj, se tiene
i
c Mdx + Ndy =
ic F - dr.
As!, el teorema de Green puede escribirse en la forma
dr=//(VXF) kdA. Esto se generaliza en ci teorema de Stokes, sección 14.8. Para tomar el teorema de Green en otra direcciOn, suponga que F y R son definidos como antes, y suponga que C está trazada por el extremo de la función con valores vectoriales r (t) = (x(t), y(t)), para a :5 t b, donde t b. Recuerde x(t) y y(t) tienen primeras derivadas continuas para a que ci vector tangente unitario a la curva está dado por Tt
/ x' (t)
y' (t.)
Entonces es fácil verificar que el vector normal unitario exterior a C en aigün punto (es decir, el vector normal unitario que apunta hacia afuera de R) está dado por
fp
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1268
n (t)
/y'(t)
—X'
\ lir' (t)II' lir'
(t)
(T) 1-1
(véase la figura 14.38). Ahoi'a, a partir del teorema 2.1, se tiene I"
p
F
ds= / (F.n)(t) !Ir'(t)II dt - 1b
Ur' (t)II
[
Ja
,1
(..r (t), y (t)) y' (t)
N(x (t), y (t)) x' lr' (t)II
(t)
r t
dt
b
=f
[M (x (t), y (t)) y' (t) dt N (x (t), y (t)) x' (t) dt]
=)M(x.y)dy—N(x,y)dx
cc (OM+3Jr\ = JJ
Figura 14.38: vectores tangen-
te unitario y normal unitarlo exteriores a R. -
-_
teorema de Green:
Till
dA
-
-- -.
i
c
F
= V F(x, y) dA
Esta formad1éiiade Green es generalizada en el teored1a ... divergencia de la sección 14.7. .....
j
EJERCICIOS DE LA SEW6N 14.5
1. Suponga que V x F = (2,0,0). Describa a qué se pareco la grafica del campo vectorial F. Explique cómo se compara V x G = (20, 0,0) con la gráfica del campo vectorial G. 2. Si V F> 0 en ci punto P y F es el campo de velocidad de un fluido, explique por qué la palabra fuente es una buena elección para expresar lo que sucede en P. Explique por qué sumidero es una buena palabra si V F < 0. 3. Ahora tiene dos maneras de determinar si un campo vectorial es conservativo o no: hallar el potencial o ver si ci rotacional es igual a 0. Si tiene razones para creer que el campo vectorial es Conservat.ivo, explique qué criterio prefiere. 4. En ci texto, se analizaron interpretaciones geométricas de la divergencia y ci rotacional. Analice hasta qué punto la divergencia y ci rotacional son análogos a las componentes tangencial y normal de la aceleración.
b
1269
Sección 145 • RotaconaI y divergenCia
En Jos ejercicios 5 a 16, halle el rotational y La divergencia del campo vectorial dado.
5.x2 i-3XYi
6. y2 i+4x2yj
7.2x7-i-3Yk
8. x2 i-3yxj+xk
9. (xy, Vz, x2)
10. (xez, yz 2, x
32. Marque cada expresión como cantidad escalar, como cantidad vectorial o como no defjnjda, sif es una función escalar y F es un campo vectorial. a)V(VJ)
c)V(VxF)
b)V(VF)
d)VX(VF) e)VX(VX(VXF))
+ v)
x r = OyV-r = 3.
11.(x2;y-z,xe)
12.(y,x2 ,3z +y)
33.Sir= (x,y,z),dernuestrequeV
13. (3yz, x 2, x cos y)
14. (y 2 , x 2ez, cos xy)
34. Sir =(x,y,z)yr= I j.j ,demuestrequeV .() = 4r.
16. (xv2, 3y 2z 2, 2x - z-y 3 )
En los ejercicios 35 a 40, conjeture Si la divergencia en el punto P es positiva, negativa o cero.
5. (2xz, y + z2, zy 2)
En Jos ejercicios 17 a 30, determine si el campo vectorial dado es conservativo o incompresible.
35.
36. \\
17.(2x, 2yz 2, 2y 2z)
1
-2'' - - 1
-.
18.(2xy, x 2 - 3y2z 2 , 1- 2zy 3 )
.-
---r
I
-2-- - 1 --1--2 .--- '-1
- 1- 2
1
19.(3yz, x 2 , x cos v)
/1
20. (y2, x 2ez, cos xy)
'
/1
37.
..
38.
21. (sen z, z2eYz2 , x cos z + 2vzeY z2)
1211
22. (2xy cos z, x 2 cos z - 3y2z, - X 2 ,y sen z -,y 3 )
2: ' y
11
/1 1
---- ..x
1 S
23. (z2 - 3ye 3x, z2 - e3r, 2z'ij)
-2
24.(2xz, 3y, x 2 -y)
-- -2
40.
39.
25.(xy 2, 3xz, 4 -zV 2) 26. (x, y, 1- 3z)
_.-_S
27.(4x, 3y 3, ez)
----- S
12 -2- -- -1-- .......
28.(sen x, 2y 2 , iT)
.
:2.
29.(-2xy, z 2 cos yz 2 - x 2, 2vz cos yz 2 ) 30.(eY, xe 1 + z2, 2yz -1) 31.Marque cada expresión corno cantidad escalar, como cantidad vectorial o como no definida, sif es una función escalar y F es un campo vectorial. a) V (VP
b) V x (V F)
d)V(V.F)
e)Vx(Vf)
c) V (V x F)
8F1 OF3 41. Si la componentej, - - —, del rotacional de Ox 8z F es positiva, demuestre que existe una curva cerrada C tal que f F dr :96 0.
O1 (9r", del rotacional 42. Si la componen te k, Ox Oy de F es positiva, demuestre que existe una curvacerradaCta1quefF.dr;4O.
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1270
43.De muestrelaPrimeraidentidadde Green: Para C = 0R, f V2 g dA =
J'
f(V g). n ds _ff(Vf.
46. Si f es una función escalar y F un campo vectorial, demuestre que vx(fF)=VfxF+f(Vx F).
Vg) dA.
Ff
(Stx.gererx.cia: emplee la forma vectorial del Leorema de Green on (5.3) aplicada a F =f Vg).
47. Si V F = 0, se dice que F es solenoidal. Si V2 f =0, demuestre que Vf es tanto solenoidal como irrotacional.
44. Dernuestre la segunda ick'ntidad de Green: para 48. Si F y G son irrotacionales, demuestre que F x G es solenoidal. (RemItase al ejercicio 47). C = 3R, 49. Sif es una función escalar, r = (x ) y) y r = ri, demuestre que
fc (Sugerencia: emplee la primera identidad de Green del ejercicio 43). —45.Si I es ima fiinción escalar y F Un Carnp() vectorial, demuestrc quc
Vf(r) =f'(r). 50. Sifes una función escalax; r demuestre-que. .
=.L(x, y) y
-- ----
= hr lh --
-
V 2f(r) f"(r) + f'(r).
V(f F) = Vf F + j(V F).
51 En algunos tixtos de cakulo v di ingeniex ia, hallará la identidad vectorial V x (F x G) =
(GV)F—G(VF)—(FV)G+F(VG) Cuáles dos términos de los cuatro del segundo miembro parccen indefinidos? Escriba el primer miembro lo más completamento posible, agrtipelo en cuatro términos, iden tifique los dos términos conocidos en el segundo miembro y luego defina los términos inusuales del segundo miembro. (Sugerencia: la notación tiene sentido como generalización de las definiciones de esta sección).
I
52 I)crnu sti e la formula vectorial '-,..
/'-..
V?V?cr)=VtV) —
Vi'.
Como en el ejercicio 51, la parte principal del problema consiste en descifrar una notación desconocida. 53. Las leyes de Maxwell relacionan un campo eléctrico E(t) con tin campo magnético 11(t). En una region que no posee cargas ni corriente, las byes establecen que V E = 0, V H = 0, V x E = - ,uHt y V x H = uEj. A partir do estas leyes, demuestre que V
X
(V X E) =
y
V x (V x H) = ---/ L 2 Ht.
..
Y_.V
14.6 INTEGRALES DE SUPERFICIE Pocas estructuras arquitectónicas son tan impresionantes como las cüpulas. Obser'ar un techo abovedado puede causar admiración, ya sea el techo de la Capilla Sixtina, la ctIpula de la biblioteca de una universidad 0 el techo rnacizo del Toronto SkyDome. Uno de los aspectos impresionan-
1271
Sección 14.6 • Integrales de superficie
tes de una cüpula es la auseneja de apoyo visible. Como puede imaginar, esta caracterIstica de las cüpulas también preocUpa a los arquitectos, que deben estar seguros de que el peso de La cüpula es sostenido adecuadamente. Una parte importante del cálculo de un arquitectO es La masa de la cüpula. Cómo calcularIa la masa de una cüpula? Usted ya ha estudiado cómo emplear las integrales dobles para calcular la masa de una lárnina bidimensional, pero una cüpula es una estructura tridimensional. Se espe-ra que usted vaya un paso adelante en esto: si no sabe cómo hallar La masa de La citpula con exactitud, puede tratar de aproxirnar su masa cortándola en un ni.imero de pequefias secciones y calculando La inasa de cada sección. En la figura 14.39, so muestra una superficie curva dividida en cierto niimero de porciones. Si éstas son suficientemente pequeflas, observe que La densidad de cada una de ellas será aproximadamente constante. En consecuencia, priniero se subdivide (se efect(ia una partición) La superficie en n porciones más pequeflas, S1, S2,..., S. En seguida se toma p(x, y, z) como La función de densidad (medida en unidades de masa por unidad de area), y para cada i = 1, 2, ..., n, sea(xi, yj, zi) un punto de La sección Siy sea ASj el area de superficie de S. La masa la sección Siestá dada entonces aproximadamente porp(xi, y, z)LS. La masa total in de la superficie está dada aproximadamente por La suma de estas masas aproximadas, ?fl -
p(x, y, z)A&.
Debe esperar que la masa exacta esté dada por el ilmite de estas sumas cuando el tamaflo de las porciones es cada vez más pequeño. EL diámetro de una sección Sise define como la distancia maxima entre dos puntos de S, y la norma de la partición 11 11 como el máximo de los diámetros de los Si. Entonces, se tiene que n M = lIm
IIPll—O .
p(x1, yi,
z)AS.
Este lImite es un ejemplo de un nuevo tipo de integral, superficie, que se estudia en esta sección.
la integral de
DEFINICION. La integral de superficie de una función g(x, y, z) sobre una superficie S C R3, escrita
ff
If
g(x, y, z) dS está dada por
LIm g(x,y,z)dS = IIPU-4O...1
dado que el lImite existe y es igual para todas las elecciones de Los puntos de evaluación (x i, yj, ZI). Observe quo el desarrollo de La integral de superficie va pa.ralelo al desarrollo de la integral de lInea. Mientras La integral de lInea extendjó una integral - simple sobre un intervalo hasta una integral sobre una curva en tres dimensiones, la integral de superficie extiende una integral doble sobre una region bidimensional hasta una integral sobre una superficie
1272
(x1
,
y, fis t y)) ,
—
W3
Figura 14.40: porción del piano
tangente sobre Ri.
IF-
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
bidimensional en tres dimensiones. En ambos casos, se está "curvando" el dominio en tres dimensiones. Ahora que Se ha definido la integral de superficie, Zc6mo se calcula? La idea básica es reescribir una integral de superficie corno una integral doble y luego evaluar la integral doble empleando técnicas conocidas. Para convertir una integral de superficie dada en una integral doble, debe ejecutar dos tareas: 1) Escriba ci integrando g(x, 'g, z) corno una función de dos variables. 2) Escriba el elemento de area de superficie dS en términos del elemento de area dA. Antes de considerar ejemplos especIficos, se desarrolia una regla general para el paso 2). Considere una superficie como la representada en la figura 14.39. Para simplificar, se supone que la superficie es la grafica do la ecuación z =f(x, ii), dondef tiene primeras derivadas parciales continuas en alguna region R del piano xy. Observe que para una partición interna RI, R2,. Rn de R, Si se toma el punto (xi, Vj, 0) como el punto en Ri más cercano al origen, entonces la porcióri de la superficie Si situada sobre Ri diferirá muy poco de la porción T1 del pIano tangente a la superficie en (xi, y,f(x1, idntë itia1 al iroa dip ie1gi'ario T. in La figura 1440 so ha indicado Ia porción Tj del piano tangente situado sobre 14. Sean los vectores Uj = ( 0, a, b) y vi = (c., 0, d) que forman.dos.iados adyacentes del paralelogramo Ti, como se indica en la figura 14.40. Observe que como ui y v, se sitüan en el piano tangente, ni = ui x v (ad, bc, -ac) es un vector normal al piano tangente. En el capItulo 10, se estudió quo ci area del paralelogramo puede escribirse como xvijl=IInjll. Además, se observa quo ci area de R es dada por -ac, de modo que I k I = lao I. Ahora puede escribir Asi -
lcI lindi - lk'iIl lad - In . k
LA
= ac I y nj k =
'
puesto que ac # 0. La expresión corresporidiente que reiaciona el elemento de area de superficie dS y el elemento de area cIA es [(IS
(l.
En los ejercicios, se pide que deduzca formulas semejantes para los casos en que la superficie S está escrita como una función de x yzo una función de y y z. Se considerarán dos casos principales de integrales de superficie. En ci primero, la superficie so define mecliante una funciónz =f(x, y); en ci segundo, Ia superficie se define inediante ecuaciones paramétricas x = x(u, v), ,y = y(u, v) y z = z(u, v). En cada caso, la tarea principal será determinar un vector normal para emplear en là fOrmula general de conversion para. dS. Si S es la superficie z =f(x, y), del análisis en la secciOn 12.4, no olvide que un vector normal a S está dado por n = (fx,f,, –1). Este es un vector normal conveniente anuestros propósitos, puesto que I n . = 1. Con. Ilnil
/(f) 2 +
(f11) 2
± 1, se tiene ci siguiente resultado.
1273
Sección 14.6• IntegraleS de superficie
Si la superficie S está dada por z = flx, y) para (x, y) en is region R C 1R2, dondeftiene primeras derivadas parciales coritiflUaS, entonces
ff
g(x, y, z) dS
S
Xx, YJ (X, y))
V(f x )2 +
(
f,0 )2 + J.dA.
It
Demostración. A partir de la definición de integral de superficie, definicion de la página 1272, se tiene
ff
n
g(x,y,z)dS=
lIm
V'g( x , y , ; ) /S,., i=1 n
S
= lIm flPIL-0
g(xj,y j ,zj)_ i1
n
= urn >g(xi ,yj ,zj) 4J(fx )2 +(fy)2 + IIPII-40
= fJ9(xYf(XY))
AAj (xy)
v'?)'
(f11)2+ldA,
como se esperaba. Piense detenidamente en este teorema. Este afirma que una integral de superficie puede evaluarse mediante una integral doble reiacionada. Para convertir la integral de superficie en una integral doble, primero debe sustituir z en la función 9(x, ,y, z). Esto se hace sustituyendo en la ecuación de la superficie z = ftx, y).AsI mismo, debe remplazar el elemento de area de superficie dS con nil dA que, para la superficie z = f(x, y), está dado por dS = jjnjj dA =
+ (f)2 +1 dA.
(6.1)
CALCULO DE UNA. INTEGRAL DE SUPERFICIE Calcule
ff 3z dS, donde la superficie S es la porción del piano 2x + y + z
2 situado en el primer octante. SOIAJCION Sobre 5, se tiene z = 2- 2x - y, por tanto, se debe calcular
ff S
Pigura 14.41a:z = 2-2s-ij.
3(2 - 2x - ',y) dS.
Observe que un vector normal a! piano 2x + y + z = 2 es n = (2, 1, 1), de modo que en este caso el elernento de area de superficie está dado por (6.1),yes
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1274
dS= IInhIdA=V'dA. A partir del teorema de evaivación, entonces se tiene
ff 3(2-2 x -,) dS =ff 3(2-2x - y)
/ dA ,
donde R es la proyección de la superficie sobre el piano xy. En la figura 14.41a, se muestra una gráfica de la superficie S. En este caso, observe que R es el triángulo indicado en la figura 14.41b. El triangulo está limitado por x = 0, y = 0 y la recta 2x ± y = 2 (la intersección del piano 2x + y + z = 2 con el piano z = 0). Si se integra primero respecto de y, se tienen ilmites interiores de integración y = 0 y = 2- 2x, con x que varIa desde 0 hasta 1. Esto nos da
Figura 14.41b: proyección R
de la superficie S sobre el piano xy.
ff 3(2 - 2x - y)dS =Jf3(2_2x_)/dA ,1 p2-2z
-2x-y)dydx
En el ejempio siguiente, será necesario reescribir la, integral dobie empleando coordenadas polares. ULO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE ;EANIYO COORDENADAS POLARES
Caicule
If z dS donde la. superficie S es la, porción de la paraboloide
z = 4-x 2_ v2 situada sobre el piano xy. SOLUCION Sustituyendo z =
4- x2 - y2, se tiene ff z dS =ff(4_ x2 _ y2 )dS.
En este caso, un vector normal a la superficie z = 4 - - es n (-2x, -2y, -1), de modo que
LS= IInhIdA=/4x 2 +4y2 +ldA. Esto da,
ff ( 4 -
- y 2 )dS =
ff ( 4 --
AquI La regióh R es La proyección de la paraboioide sobre el piano xy, es decir, la circunferencia x2 -+.,y2 = (véase la figura 14.42). Con una region circular de integración y el término x 2 + que aparece (dos veces) en el integrando,debe pensar mejor en coordenadas polares. Se tiene 4-s2 = 4 -r2, 4x2 + 4y2 + 1 = V'4r2 + ly dA = rdrdO. Para la, circunferencia x2 + y 2 = 4, -r varla desde 0 hasta 2 y 0 varIa desde cero hasta 271.
4
Figura 14.42: z = 4-x2-y2.
1275
Sección 14.6. Integrales do superfiCie
Entonces, se tiene
if
f(4 - - y2)
(4 - - y 2 )dS = /
S
y2+1dA
R 2,r
f
2
_r2 )./TirdrdO =fo(4 - 41 —ir, --gadonde los detalles de la integracion final se dejan al estudiante. En lo que resta de esta secciOn, se estudiarán representaciones paramétricas de integrales de superficie. Antes de aplicar ecuaciones paramétricas al cálculo de integrales de superficie, es necesario comprender mejor las superficies que han sido definidas paramétricamente. Usted ya ha estudiado muchas superficies paramétricas, aun cuando no pensó en ellas en términos paramétricos. Por ejernplo, puede pensar la ecuaciOn z = .,/x 2 + y2 como una representación paramétrica de un cono con parámetros x y y. No olvide que este cono puede escribirse en coordenadas cilIndricas como z = r, 0:5 0:5'27r, donde los parámetros son ryO. De manera semejante, la ecuación p = 4, 0 0 :5 2v y 0 :5 4> ,r es una representación paramétrica de la esfera x 2 + y2 + z2 = 16, con parámetros 0 y 4>. Será ütil repasarestas graficas y observar algunas nuevas. DIBUJO DE UNA SUPEEFICIEDEFINIDA PARAMETRICAMENTE
Dibuje la superficie definida paramétricamente por x = 2 cos u cosh v, y 2senu cosh vyz =2senhv,0 :5u :5 2y—oo v < oo SOLUCION Un dibujo como el que aparece en la figura 14.43 puede obteñerse a partir de un sistema algebraico computarizado (CAS). • 555
'
•
4z
101-
10
/1 S•;•
.
S.
Figura 14.43: x2 + y 2 -Z 2 = 4
Observe quo esto parece una hiperboloide do una hoja enrollada alrededor del eje z. Para comprobar que esto es correcto, observe que
x 2 +y2 —z 2 = 4cos2 u + cosh2 v + 4sen2 ucosh2 v_4senh2 v =4(cos2 tl.+.sen2 v)cosh2 v_4senh2 v =4cosh 2 v-4senh 2 v =4,
1276
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
donde se emplearon las identidades cos 2 u + sen2 u = 1 y cosh2 v senh2 v = 1. Noolvide que la gráfica de x2 + ,y 2 _ Z2 = 4 corresponde a una hiperboloide de una hoja. En la mayorIa de las ocasiones, cuando se emplean representaciones paramétricas de superficies, el trabajo consiste en hacer lo opuesto del ejemplo 6.3. Dada una superficie particular, quizá sea necesario hallar una representaeión paramétrica conveniente de la superficie. La forma 5Y general para ecuaciones paramétricas que representan una superficie en tres dimensiones es x = x(u, v), ,y = y(u, v) y z = z(, v) para ni :5 u :5 U2 y vj 15 v :5 V2. Los parámetros u y 2, pueden corresponder a coordenadas conocidas (x e y, 6 r y 0, por ejemplo), o expresiones menos conocidas. Recuerde que para describir compietamente una superficie, será necesario definir dos parámetros. R HALLAR REPRESENTACIONES PARAMETIUCAS DE UNA SUPERFICIE
Halle las i ept esentaciones pat amcti icas s1ra)Japoi cdL= OflO =
e
l'isfeia x 2 + y2 ± z 2 = 16 en ci interior del ono z = / x2 .4= y2
Ila
SOLUCIUN
Figura 14.44a: el cono
z = /2 ± y2 y cilindro X2 + V2 = 4
Figura 14.44b: porciOn de la
esfera en el interior del cono.
Es importante darse cuenta de quo los literales a) y b) tienen numerosas solucioñes. (De hecho, cada superficie puede representarse paramétricamente mediante uninfinito ni:imero demétodos). Las solucion( que sc p1 cscnti ens(-,guidastan untre Iamcillas y utile, Pero no son ias Cinicas soluciones razonables. En a), la aparición repetida del término x2 + ,y2 sugiere que serIa conveniente emplear las coo rdenadas cilIndricas (r, 0, z). Un dibujo de la superficie se muestra en la - se convierte en z = r en figura 14.44a. Observe que el cono z = /x2 +y2. coordenadas cilIndricas. No olvide que en coordenadas cilIndricas, x = r cos 0 y y = r sen 0. Observe que los parámetros r y 9 tienen rangos determinados por el cilindro x 2 + y2 = 4, de modo que 0 r :5 2y0 :5 0 <2,i. Las ecuaciones paramétricas para el cono son entonces x = r cos 0, y=rsen0,z=r con O
sen 0 y z = 4 cos dondeO!5O< 2ty0
Ir
.
MM
SecciOn 14.6. Integrales de superficie
1277
Suponga que Se tiene una representación paramétrica de la superficie S: x = x(u, v), y = y(u, v) yz = z('u, v), definida en ci recténgulo R = {(u, v) I a :5 u < b y c
V
ff
f(x, y, z) dS. For supuesto, para efectuar esto, debe sustituir X, y Z,
S
reescribir el integrando en términos de los parámetrOS u y v, como
g(u, v) = f(x(u, v), ij(u, v), z(u, v)). u Figura 14.45a: particiOn del
dominlo del parámetro (piano uv).
Sin embargo, ésta es solo una pequena parte del acertijo, puesto que también debemos escribir ci elemento de area superficie dS en términos del elemento de area dA para ci piano tv. Por desgracia, no podemos emplear (6.1) aquI, puesto que ésta solo se cumpie en ci caso de una superficie escrita en la forma =ftx, y). En vez de eso, seré necesario retroceder un poco. Primero, observe que ci vector posición para puntos de la superficie S es r(u, v) = (Wu, v), y(u, v), z(u, v)). Los vectores r y rv (los subIndices indican derivadas parciales) se definen por
ru(ii, v) = (( Xu(U, v), y u(u, v), Z(U, v)) y rv(u, v) = ((X(U, v), ijv(U, v), Z(U, v)).
r(P) x r,,(P)
r(P€)
ru(P4 -Pi
Figura 14.45b: region
curvilInea S.
P.
Observe que para cualquier (u, v) fijo, los vectores ru(u, v) y r,,(, v) están en el piano tangente a S en ci punto Wu, v), j(u, v), z(u, v)). En consecuencia, a menos que estos dos vectores sean paralelos, puede hallarse un vector normal al piano tangente calculandosu producto cruz. Es deOir, n = ru X rv es un vector normal ala superficie en ci punto (x(ü,v), y(u, v), z(u, v)). Se dice que la superficie S es suave si ry rt, son continuos y ru x rv # Q, para. todo (u, v) E R. (Esto indica que la superficie no tendrá esquinas). Se dice que S es suave a trozos si puede escribirse S = Si U Sz U,..., U S,, para algunas superficies suaves Si, S2,..., Como se ha hecho hasta ahora en muchas ocasiones, so efectüa una partición del rectanguio R en el piano uv. Para cada rectánguio Ri en la particiOn, sea (ti, vi) el punto más cercano en Ri al origen, como se indica en la figura 14.45a. Observe que cada uno de los iados de & se aplica a una curva en ci espacio xyz; de mOdo que Ri Se aplica a una region curvilInea S en el espacio xyz, como se indica en la figura 14.45b. Observe que silos puntos iniciaies se localizan en ci punto P(x(u, VI), y(ui, vi), z(ui, vi)). Los vectores r14(ui, VI) y r(u, VI) SOfl tangentes a los dos lados curvos adyacentes de S. For tant, ci area AS.1 de Si puede aproximarse rnediante ci area del paralelogramo T1 cuyos lados están formados por ios vectores Aujr 1 (uj, VI) y Avr(u, v) (véase la figura 14.45c). Como se sabe, el area del paraieiográmo está dada por la magnitud del producto cruz
I I Aur(u, v)
X Av1r(ui, vi)
II
ru(ui, Vi) x rv(U.j, VI) I AujAuj
= II ru(wi, VI) x ruui, vi) II A-41, clonde AA1 es ci area del recténgulo R1 . Entonces se tiene que IIru(uj,vi) X rv(ui, vi) IIAAi y se sigue que el elemento de area de superficie puede escribirse como AS
0
Figura 14.45c: paralelograrno '1'
(6.2) dS= IIrnXrvIIdA. Observe que esto corresponde casi a (6.1) cuando ru x rv es un vector normal aS. For i'iltimo, se clesarroliO (6.2) en el caso comparativamente simple donde ci dominio del parámetro r (es decir, ci dominio en ci piano uv) era un
1278
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
rectángulo. Si el dóminio del parámetro no es un rectangulo, puede realizar el mismo procedimiento mediante una partición interna de la region. Ahora puede evaluar integrales de superficie empleando ecuaciones paramétricas, como en ci ejemplo siguiente. CALCULO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE EMPLEANDO COORDENADAS ESFERICAS
Calcule
ff
(3x2 + 32 + 3z 2) dS donde S es La esfera x 2 + y2 + z 2 = 4.
SOLUCION Puesto que La superficie es una esfera y el integrando contiene el término x2 + y2 + z2, las coordenadas esféricas son apropiadas. Observe que la esfera se describe mediantep = 2y, en consecuencia, sobre.la superficie de La esfera, el integrando se convierte en 3(x 2 + y2 + z 2) = 12. -Además,la- esferap -=- 2puede descrihirse nedintias ecuaciónes para métricasx = 2senos0,ij = 2sensen0yz = 2 cos çpUF r0:5 :5r}stonidica 4icies tiarada por ci extren2o dji función con val5res vectoriales r(, 0) = (2 sen 0 cos 0,2 sen 0 senO, 2 cos. Entonces, se tienen las derivadas parciaies r=(2sensen0,2sencos0,O)
I
II
______
Se deja como ejercicio demostrar que tin vector normal a la superficie está dado por n = rg Xr =(-4sen2
cos O,-4sen2
senO,-4sen cos p),
demodoque II nil = 4 lsen#I. Ahora la ecuación (6.2) nos dadS = 4 1 sen ol dA, de rnodo que
if
(3x + 3y?- + 3Z 2) dS 1j (12) (4) 1 sen dA ?
,
p2ir pr
=10 J0
48sençbdçbd0
= 192.ir,
donde se empLeO el hecho de que para 0 5 0:5.7 r, sen 0 ^! 0 para remplazar son jporsen. Si realizó el cálculo de dS on el ejemplo 6.5, quizá no piense que las ecuaciones paramétricas conducen a soluciones sencillas. (Por esta razón no se mostraron todos los detaiies). Sin embargo, recuerde que para cambiar una integral triple de coordenadas rectangulares a ctordenadas esféricas, se remplaza dx dy dz porp2 sen 0 dp 4 dO. En el ejemplo 6.5, se tiene p2 = 4 y dS = 4sen dA. Ahora parece más familiar, .?,no es cierto? Este procedimjento abreviado es valioso, puesto que las integraies de superficie sobre esferas son razonablemente comunes.
d
1279
SecciOn 14.6 Integrales de superficie
En consecuencia, cuando calcula una integral de superficie, 4qu6 ha calculado? La sección se cierra con dos ejemploS. El primero es conocido: observe que la integral de superfjcie de la funciónf(x, y, z) = 1 sobre La superficie S es simplemente ci area de superficie de S. Es decir,
if
I dS = Area de superficie de S.
La demostración de esto se sigue directamente de la definición de la integral de superficie y se deja como ejercicio. EMPLEO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE PARA CALCULAR EL AREA DE SUPERFICIE Calcule el area de superficie de La porción de Ia hiperboloide x2 + y 2 -z 2 = 4 situado entre z = 0 y z = 2. SOLUCION Es necesario calcular if 1 dS. A partir del ejemplo 6.3, recuerde que la hiperboloide puede escribirse paramétricamente mediante x = 2 cos u cosh v, y = 2 senu cosh v Z = 2 senh v. (Si no lo recuerda, siempre podrIa deducir ecuaciones paramétricas del siguiente modo. Para obtener una sección transversal circular de.radio2 en ci piano xy, empiece porx = 2 cos u y y 2 sen u. Para obtener una hipérbola en el piano xz o en el z, multiplique x y y por cosh v y haga z = senh v). Se tieno 0 :5 u :5 2'v para obtener Las secciànes transversales circulares y 0 :5 v :5 senh 1 1( 0.88). La hiperboloide se traza por medio del extremo de la función con valores vectoriales r(u, v) = (2 cos u cosh v, 2 sen u cosh v, 2 senh v), demodoque r=(-2senucoshv,2cosucoshv,0) y
rv = (2 cos u senh v, 2 sen u senh v, 2 cosh v).
Esto da ci vector normal n = ru x ry = (4 cos it cosh 2 v, 4 sen U cosh2 v, -4 cosh v senh v), donde
11 n 11 = 4 cosh v sJsh 2 v +senh2 v. Ahora se tiene
ff
ldS =fJ4 cosh v\/sh2v+senh2vdA
f
senh—'
I 2n
f
4 cosh v
o
I
donde La integral final se calculó numéricamente.
v +serih2 v chit clv
1280
Capitulo 14 • Cãlculo vectorial
El ejemplo final de una integral de superficie requiere algün anáiisis preliminar. Primero debe definirse una superficie orientada (de dos Caras). Se dice que una superficie S es orientada (u orientable) si tiene un vector normal unitario n en cada punto (x, y, z) no situado sobre la frontera de La superficie y si n es una función continua de (x, y, z). Además, se supone que S tiene dos caras identificables (una superior y otra inferior o una interior y otra exterior). Para orientar taL superficie, se escoge una dirección consistente para todos los vectores normales al punto. Por ejemplo,.una esfera es una superficie de dos caras; Las dos caras de La superficie son ci interior y el exterior de La esfera. Observe que no puede ir del interior al exterior sin atravesar la esfera. La orientación positiva de La esfera (o de cuaiquier otra superficie cerrada) requiere escoger vectores normales exteriores (vectores normales que apuntan hacia el exterior). Todas Las superficies estudiadas hasta aqul en este curso son de dos caras, pero no es dificil construir una superficie de una cara. Quiza el ejemplo más famoso de una superficie de una sola cara es la banda de Möbius, liamada asI en honor del matemático alemán A. F Möbius (1790 - 1868). Usted pudconstruircrrfacf1fdduna banda deTMo5ius tomandouna banda reetangular de papel idi go, dándole un semigiroy pegando luego los ëiti ernos 01 tos, como se ilustra en las figui as 14 46a-c -
Al B
-
C
--
Figura 14.46a: una banda larga y delgada.-
Figura 14.46b: haga un semigiro.
Figura 14.46c: una banda do Möbius.
Observe que si usted comienza a pintar La banda, al final retornará al punto de partida y habrá pintado ambas "caras" de La banda sin haber cruzado ninguno de los bordes. Esto indica que La banda de Möbius no tiene interior ni exterior y, en consecuencia, no es orientable. Un aspecto necesario para orientar una superficie es el cálculo del ±lujo de un campo vectorial. Es más fáciL visualizar el flujo de un campo vectorial representando ci campo de velocidad de un fluido en movimiento. En este contexto, el.flujo mide la tasa de flujo neto del fluido a través de La superficie, es dccii', desde ci interior hacia el exterior. (Observe que para que esto tenga sentido la superficie debe tener dos caras identificables. Es decir, la superficie debe ser orientable). La orientación de a superficie pern-tite distinguir una dirección de la otra. En general, se tiene la siguiente definición.
1281
SecciOn 14.6. Integrales de superfiCie
DEFINICJON. Sea F(x, j, z) un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada S con vector normal unitario n. La integral de superficie de F sobre S (o el flu.jo de F sobre 5) esté dada porff F - nctS. Piense detenidamente en el papel que curnple el vector normal unitario en esta definición. Observe que como n es un vector unitario, ci integrando F ii da (en cualquier punto dado sobre S) Ia componente de F en Ia dirección de n. En consecuencia, si F representa el campo de velocidad de un fluido en movimiento, F n corresponde a Ja componente de la veiocidad que mueve ci flujo a través de la superficie (de un lado a! otro). AsI mismo, observe que F n puede ser positiva o negativa, dependiendo del vector normal elegido. (No olvide que en cada punto de la superficie existen dos vectores normales unitarios que apuntan a cada lado de la superficie). Debe reconocer que esto explica por qué es necesario tener una superficie orientada. CALCULO DEL FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL Calcule el flujo del campo vectorial F(x, iJ, z) = (s, y, 0) sobre la porción del paraboloide z = x2 + y2 bajo z 4 (orientado con vectores normales que apuntan hacia arriba). SOLUCIÔN Primero observe que en cuaiquier puntodado, los vectores normales para ci paraboloide z = x 2 + y2 son ± (2x, 2y, -1). Para que ci vector normal apunte hacia arriba, es necesaria una componente z positiva. En este caso, m = -2x, 2y, -1) = (-2x, -2y, 1), es tal vector normal. Sin embargo, Ia definición de flujo requiere un vector normal unitario. Un vector unitario que apunta en la misma dirección de m es (-2x, -2y, 1) - /4+4!I2+i Antes de calcular F n, se emplea el vector normal m para escribir ci incremento de area de superficie dS en términos de dA. A partir de (6. 1), se tiene
dS=
Jim IIdAV+
4Y 2 +dA.
Reuniendo esto resulta
A..
Jo S
(-2x, 2y, 1)
/ 2 +4y2 +l
= ff(x,y,0) .(-2x, -2y, 1)dA
4x2 +4y2+ldA
CapItulo 14 Cálculo vectorial
1282
- 4j2 ) dA,
=
/
dônde la region R es la proyección del paraboloide sobre ci piano xy. FIjese en que las raIces cuadradas que surgen all caicular fin fly dS se cancelan entre si. Observe la grafica de la figura 14.47 y reconozea que esta proyección está limitada por La circunferencia x 2 + y2 = 4. Tiene que reconocer con rapidez que la integral doble debe piantearse en coordenadas polares. Se tiene
If
F n dS
= If f
Figura 14.47: z = x 2 +
LiJ4.4%J
IJL 1.J4
(-4x2 - 4y 2) dA
It
2lr
f2
(-4r2)r dr dO = -32r.
L,IV
1. Con base en la definición de la página 1272, so definió la partición do una superficie y so tomó el lImite como la norma do la partición quo tiende a 0. Explique por qué no es suficiente tenor el la. no tienen que ser del mismo tamaño). 2. En ci ejemplo 6.2 pudo comenzar alternativamente con coordenadas cilIndricas y emplear una representación paramétrica, como se hizo en el ejemplo 6.5. Analice cuál de los métodos serIa más sencillo. 3. Explique en palabras por qué
ff 1 dS es igual al area de superficie de S. (Sugerencia: aunque se
supone que debe explicarlo en palabras, necesitara utilizar las sumas de Riemann). 4. Para ci ejemplo 6.7, dibuje una grafiea que muestre la superficie S y varios vectores normales a la superficie. AsI mismo, señalo varios vectores en la grafica del campo vectorial F. Explique por qué el flujo es negativo.
En los ejercicios 5 a 12, halle una representación paramétrica de la superficie.
8. z 2 = x2 + y 2 9. La porción de x 2 + ,y 2 4 de z = 0 a z = 2
5. z = 3x + 4y
10. La porción de v2 + z2 9 de x = -1 ax = 1
6. x2 +,y2 + z2 = 4
11. La porción de z = 4- x2 - v2 sobre el plano xy
7.x2+y2_z2 = 1
12.Laporci6ndez=x 2 +y2 bajoz=4
I I
1283
Sección 14.6 • ntegraJeS de superficie
En los ejercicios 13 al 20, dibuje una gráfica dc la
22. En el ejempio 6.5, demuestre que
superficie paramétrica. ro x ro = (-4 sen2 -4sen Cos )
13.x = 'a, y = v, z = u + 2v 2 14.x =u,y = v,z = 4•-u2 -v 2
0
yluegodemuestreque
15.x=ucosv,yusenv,z=u 2 16.x = u cos v, y = 'a sen v, z = 'a
19.x = 2 sen u cos v, y = 2 sen 'a sen v, z = 2 cos 'a 20.x = u Cos v,v = usonv,z = v
IIn1I= 4 Isen1.
En los ejercicios 23 al 30, halle el area de superficie de la superticie dada. bajo ci piano 23. La porción del COflO z =
z=4
17.x = 'a, y = sen 'a cos v, z = sen 'a sen v 18.x = cos 'a cos v, y = 'a, z = cos 'a sen v
cos 0, -4 sen2 o sen 0,
24. La porción de la paraboloide z = x2 +.y2 hajo ci pianoz = 4 25. La porción del piano 3x + 2y + z = 6 en el interior del cilindro x 2 +V 2 = 4
21.Estabiezca la correspondencia entre las 26. La porción del piano x + 2y + z = 4 sobre la region limitada por y = y y = 1 ecuaciones paramétricas con la superficie. a)x =u Cos v,y ='asenv,z = v2
27. La porción del COnO z V/T sobre ci triángulo cuyos vertices son (0, 0), (1,0) y (1, 1)
b)x=v,y =u Cos v,z ='asenv c)x = 'a, y = 'a cos v,z = 'a senv
28. La pórciOn del paraboloide z = x2 + v2 en el interior del cilindro x 2 + y2 =4 29. La porciOn del hernisferio z = \/4 -sobre ci piano z = 1 30.Laporci6ndey = 4-x 2 cony 2:.0yentréz = 0
yz2 En los ejercicios 31 al 40, plantee una integral doble
y calcule fa integral de superficie
Supeicie B
Superticie A
31.
Jf
If
g(x, y, z) dS.
x dS, S es la porción del piano z = 2x + 3
sobre el rectangulo 1
:5
x
2, 1
3.
32. If
(x + y) dS, S es La porciOn del piano z = 4x +
'Y sobre La region limitada pony = x 2 y j = 1
33. ff
y dS, S es la, porción de.1a paraboloide z
x2 +y2 bajoz = 4 Superficie C
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1284
34.
(X + y) dS, S es la porción de la paraboloide Z= 4 y2 sobre el piano xy
48. F = (1, 0, y), S es la frontera de la region limitada arriba por z = 1 y debajo por z = 0 (n hacia el exterior)
JJ (x2 + y2) dS, S es la porción de La paraboloide
49.F =(yx, 1,x),Ses la, porción de = 2-x-ysobre el cuadrado 0 :5 x ^ 1,0 :5 y :5 1, (n hacia arriba)
-
5.
4
--
-
y2 sobre ci piano xy
dS,
36.11 z=
37.
-
-
S es ci hemisferio
y2
ff z dS, S es la porción del cono z =
x2 _+y2
bajo el piano z = 4
38.11 z2 dS, S es la porción del cono z = yx2 + 39.41
(x2+ y 2 +
-
-
50. F y, 3, z), S es la porción de z = x2 + y2 sohre ci triángulo con vertices (0, 0), (0, 1), (1, 1) (n hacia abajo) 51. F = (y, 0, 2), S es la frontera de la region limitada y abajo por arriba por z = V'V2 (n hacia ci exterior) z -
52. F = (3, z, y), S es la frontera de la region entre z- 8-2x-Vyz= Jx2iy2en el interior de
masa de la:
z 2 ) dS, S
53. La porción del piano 3x +2y + z = 6 en el interior del cilindro x 2 + y2 = 4,p(x, y, z) = x2 + 1
z=\/4—x2 ---y 2
40.ffVx2+y2+z2dS,Seslaesferax2+?+z2=9 54.La porcion del piano x ± 2 ± z = 4 sobrela
yy= 11p(x,jz)j
En los ejercicios 41 a! 52, calcule la integral de flujo
ff F-ndS. 41. F = (x,y,z),S e§ la. porción de = 4 -x 2 -y 2 sobre el piano xy (n hacia arriba) 42. F = (y, -x, 1),;5 es la porciOn de z = x2 + y2 bajo z 4 (ii hacia abajo) 43. F (y, -x,.z), S es la porción de z y'x 2 -T ,— y 2 bajo z = 3 (n hacia abajo)
_
/x2 + V2 en ci 44. F = (0, 1, y), S es la porción de z interior de x 2 + y2 = 4 (n hacia abajo) 45. F = (xv, y2. z), S es Ia frontera del cubo unitario con 0 :5 x s 1,.0 :5 1, 0 :5 z 1, (n hacia el exterior) 46. F = (y, z, 0), S es la frontera de la caja con 0 :5 x 2, 0 < y 3,0 :5 z .5 1, (n hacia el exterior) 47. F = (1, 0, z), S es La frontera de la region Lirnitada encima por z = 1 y abajo por z = 0 (11 hacia el exterior) -
55.EI hcinisferioz =
..
x2 y 2 ,p(x,,z) :1 ±x
56.La poreión de la paraboloide z = x2 + y2 en el interior del cilindro x 2 + = 4, p(x, j, z) = z 57. Estabiezca la formula que convierte una integral de superficie en una integral dobie para una proyección en ci piano z. 58. Establezca la formula que convierte una integral de superficie en una integral dobie para una proyecciOn on ci piano xz. En los ejercicios 59 al 66, emplee las formulas de los ejercicios 57y 58 para calcular la integral de superficie.
59.41 z dS donde S es la porción de x 2 + y2 = 1 con xL>Oyzentrez=lyz=2
60. ff yz dS donde S es La porción de x2 + ,.y2 =1 con
-
x
^
a0yzentrez = 1yz
1285
SecciOn 14.7 • Teorema de la divergencia
+ z 2 ) dS donde S es la porci6n de la
61 .!! (y 2
paraboloide x = 9-2 z 2 frente al piano yz -
62 .1! (y 2 + z 2)
x = /4
-
dS donde S es el hemisferio
y = x2 + z 2 a La izquierda del piano y = 1 64.11 (x 2 = V4
-
z 2) dS donde S es el hernisferio -
Y ^! Oyentrez = Oyz = 2 66 .ff (x 2
+
z 2 ) dS donde S es la porción de
Y =,/-4-T2 entrez = lyz = 4
-
63. 11 X2 dS donde S esia porción do la paraboloide
+
65 .11 4 dS donde S es La porción de y = 1 x2 con
z2
Six = 3senu cos v,y = 3cosuyz = 3senu sen v, demuestre que x 2 + y2 + z2 =9. Explique por qué esta ecuación no garantiza que la superficie paramétrica definida es la esfera completa, pero si garantiza que todos los puntos sobre la superficie también pertenecen a La esfera. En este caso, la superficie paramétrica es la esfera completa. Para cornprobar esto en términos gráficos, dibuje una grafica que muestre las interpretaciones geornétricas de las coordenadas esféricas" u y v. Para saber qué problemas pueden ocurrir, dibuje La superficie definida por x = 3 1 sen- 2 1 cosv,y = 3 cos _ 1 yz = 3sen "
67. Explique ci siguiente resultado geométricamente. La integral do fiujo de F(x, y, z) = (x, y, z) a través del es 0. z 68. En términos geométricos, determine si la integral do flujo de F(x, ij, z) (x, y, z) a través del hemisferjo z es 0. /TT_ x2
sen v. Explique por qué no obtiene La esfera completa. Para ver un ejemplo más sutil del mismo problema, dibuje la superficie definida por x = cos ti. cosh v, ,y = senh v, z = sen IL cosh v. Emplee identidades para demostrar que x2 -y2 + Z2 = 1 e identifique la superficie. Luego dibuje la superficie x = cos u cosh v, V = cos .0 senh v, z = sen u y emplee identidades para dernostrar que x2 y2 + z 2 = L Explique por qué la segunda superficie no es el hiperboloide completo. Explique en palabras y de manera grafica qué representa exactamente la segunda superfici. -
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Recuerde que al final de la sección 14.5, el teorema de Green se reescribió en términos de la divergencia de un campo vectorial bidimensional. AllI se halió que (véase la ecuación 5.3) para una region R en ci piano xij, encerrada por una curva cerrada simple, orientada positivamente, suave a trozos C, si F(x, y) = (M(x, y), N(x, y), 0), donde (M(x, y) y N(x, y)) son continuas y tienen primeras derivadas parciales ontinuas en aiguna region abierta D en el piano xv, con R C D, entonces F-nds=f/VF(x,)c1A.
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1286
Ahora que se han estudiado integrales de superficie sobre la frontera de -una superficie en ii, deberIa preguntarse si este resultado bidiinensional podrIa extenderse a tres dimensiones. En efecto, se extiende exactamente do la mancra quo usted esperarIa. Es decir, para una region sOlida Q C R 3 limitada por la superficie 3Q, resulta
if
=JJ1VF(x,y,z)dV.
IIF.nds Este resuitado es liarnado el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss), de gran irnport.ancia en una variedad de planteamientos. Un contexto adecuado para pensar ci teorema de la divergencia es el caso en que F representa el campo de velocidad de un fluido en movirniento. En este caso, se dice que el flujo total del campo do velocidad a través do la frontera del sólido es igual a La integral triple de la divergencia del campo do velocidad sobre ci sólido. Ahora se enuncia el resultado.
_uponga que Q táIimitadapor laie radaILQy que n(x, j, z) denota ci vector normal unitario exterior a 8Q. Entonces, si las componentes do F(x, y, z) tienen primeras derivadas paiciales continuas en Q, se tiene
f1
FndS= ///VF(x, y, z) (IV.
Aunque se enunciO el caso general del teorema, el resultado solo se demuestra para el caso en que el sOlido Q es bastante simple. Una demostraciOn del caso general puede hallarse en un texto más avanzado.
Demostración. Para F(x, y, z) = (M(x, y ) z), N(x, y, z), P(x, y, z)), la divergencia deFes
WtI ON OP Yl Z)
Entonces se tiene quo
N
dv A
if "
"ay
N
"(iv
(7.1)
Además, IA integral do fiujo puede escrihirse como
ff
F - n dS
M(x, y, z) i - n dS + ff N(x, y, z)j - n dS
+JJP(x,y,z)k . ndS.
(7.2)
r 1287
Secciôn 14.7 • Teorema de la divergenCia
Observando cuidadosamente (7.1) y (7.2), note que el teorema quedarIa demostrado si puede probar que (7.3)
N
!dV
ifM(x,y,z) i - n dS (7.4)
= h(x, y)
f//ON dV .j .j N (x,y,
•rzdS (7.5)
y
N
z = g(x, j)
ap dV
Oz
Q
Figura 14.48a: sólido Q
= ffP(xY,z)k.n dS. 8Q
Como podrIa imaginar, las dernostraciones de (7.3), (7.4) y (7.5) Son casi idénticas (y bastante largas). En consecuencia, aqul se demuestra solo una de estas tres ecuaciones. Para demostrar (7.5), se supone que el sólido Q puede describirse como sigue: Q = {(x,,z)Ig(x,y):5z
h(x,y),para(x,y)ER},
donde .R es alguna regiOn en el piano xv, como se ilustra en la figura .14.48a. (Pueden demostrarse (7.3) y (7.4) estableciendo hipOtesis correspondientes respecto de Q). Ahora, en la figura14.48a, observe que hay tres superficiesdistintas que conforman la frontera de Q. En la figura 14.48b, estas tres superficies se han denotado como S (superficie inferior), 82 (superficie superior) y S3 (superficie lateral) .y Se han indicado también los vectores normales exteriores a cada una de ellas. ' Observe que en La superficie lateral S:3, La componente k de la normal unitaria exterior ii es cero y, en consecuencia, la integral do flujo de P(x, y, z) k sobre S3 es cero. Esto nos da Figura 14.48b: superficies S1, S y S:3 y varios vectores normales exteriores.
f
P(x,y, z) k n dS
= ff P(x,y, z) k. n dS .1- ff P(x,y, z) Ic. n dS (7.6)
Para demostrar ci resultado, es necesario reescribir las dos integrales del segundo miembro de (7.6) como integrales dobLes sobre la region R del piano xy. Primero debe notar que en la superficie Si (superficie inferior), la normal unitaria exterior n apunta hacia abajo (es decir, tiene una cornponente k negativa). Ahora, Si está definida por S1 = {(x,v,z)Iz=g(x,y),para(x,y)ERI, Si se define ki(x, j, z) = z - g(x, ti), entonces La normal unitaria exterior en Si esth dada por y(x,y)i1-g(x,y)ik
- !IVkiiI - /( Xy)]2 +
[gV(X, Y)12 +
y
+ (gy
(X,
Y)]2 + 1
1.
Capitulo 14 ° Clculo vectorial
1288
puesto que los vectores unitarjos i, j y k son mutuamente ortogonales. Ahora se tiene
f/P(,Y,z) kn dS= -
[f ii
[gs(X,)J + (gy (XI
dS
ifig(xy)i2Fg(Ty)i2l
P(x,y,g(x,y))
fj' P (x,
=
ff
P(x,y,z)
[g(x,+[gy(x,y) y)J 2
2 +idA
y)] 2 ± i•
y g (x, y)) dA,
gracias a las dos ralces cuadradas que Se cancelan entre si. De manera semejante, observe que en S2 (superficie superior), la normal unitaria exterior n apunta hacia arriba (es decir, tiene una componente k positiva). Puesto qüe S2 corresponde a laporción de la superficie z = h(x, y) para (x, y) E R si se tóma k2(x, y) = z -h(x, y), se tienen que en S2
-
--
--
Vk2
-h(x.,y)j+k IIViII/ih(xy )] 2 + ih. (x;y )]2 ± 1 y, por tanto, k•n=
[h (x, y)} 2 + [h (x,
)12 + 1
- -. Ahorasetiene
if
P(x,y,z) _____________________ dS (X, Y)1 2 +I s2 /[h (x,y)] 2 + [ h1, P(x,y,h(x,y)) (X, Y)12 +1 dA (X, Y)12 + [ [h (xy)] -2 + [h (x, y)?
P(x,y,z)k•ñdS=
11
ff ff P (x, y, h (x, y)) dA. .''
R.
(7.8)
Uniendo (7.6), (7.7) y (7.8), tenemos
ff P (x, V, z) k
dS
=ffP(x;
z)k.nds+ffP(xYz)k.n dS
aQ
(xY/t(xY)) dA_ffP(xvg(xv)) dA
fJ [P (x, y, h (x, y)) - P(x,y,g (x, y))] dA h(x,) fJIg(x,y) TdzdA =ffjav
=
11
Q
Sección 14.7 • Teorema de la clivergencia
1289
lo cual demuestra (7.5). Estableciendo hip6tesis apropiadas sobre Q, de manera Semejante pueden den-zostrarse (7.3) y (7.4). Esto demuestra ci teorema para ci caso especial en que ci sólido Q puede describirse como se indica. APLICACION DEL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Sea Q ci sólido limitado por Ia paraboloide z 4— - 31 i piano X3j. Haile el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (x3 , y 3 , z 3) sobre la superficie ÔQ. SOLUCI()N En la figura 14.49, se muestra Un dibujo del sólido. La divergencia do F está dada por
V.F(x,y,z)=V.(x 3 , VI, z3)3x2+3y2+3z2. A partir del teorema de la divergencia, ahora se tiene que ci flujo de F sobre 3Q está dado por
Figura 14.49: sólido Q.
ffF.ndS=Jffv.F(xyz)dV 8Q
Q
= JfJ
(3. 2 + 3y2 + 3z2 ) W.
Si la integral triple se reescribe en coordenadas cilIndricas, se tiene
fJFndS:ff!(3x2+3y2+3Z2) dV 21r
=3] 0
J
(r2-i-z2)rdzdrdO
0
f27r
=
r2 j4-r 2
2
(r 2Z.+
---4? -)
z=' . rdrdO
2r2
=967,
L
[r3 (4_r2 ) ± (4_r2)3r] drdO
donde los detalles de las integraciones finales se dejan al estudiante como ejercicio. Observe quo en ci ejemplo 7.1, so einpleó ci teorema de la divergencia para remplazar ci cálculo de una integral de superficie muy confusa por una integral doble relativamente sencilla. En ci siguiente ejemplo, ci teorema de la divergencia se emplea para demostrar un resultado general relacionado con el flujo de cierto campo vectorial sobre cualquier superficie. Observe que no podrIa demostrar tal resultado calculando directamente la integral de superficie sobre una superficie no especificada.
1290
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
APLIcACION DEL TEOREMA.DE LA DIVERGENCIA
Demuestre que el flujo del campo vectorial Fx, j, z) = (3 cos z, x 2e z, x sen y) es cerO sobre cualquier superficie cerrada t3Q que encierra una region sóllda Q. SOLUCION En este caso, la divergencia de F es V F(x, y , z) = V . (3y cos z, x2ez, x sen U = a (3y cos z) + (x 2e z) -I-
a
(x sen y) = 0.
A partir del teorema de la divergencia, se tiene que el flujo de F sobre Q está dado por
if F-ndS /ffv .F(xy,z) dV F7 para cualquier regiOn sólida Q C 1R 3 . Del análisis de la secciOn 4.4 (Tomo 1) recuerde que para una funciónf(x) de una sola variable, sifescontinua en el intervglo [a, b], el va1orpromedio def en [a, b] esta dado por .
prom 1.
= fj
Ia
f(x) dx.
No ès difIcil extender este resultado al caso en queflx, y, z) es una función continua en la region Q C R3. En este caso, el valor promedio def en Q está dadopor fprom
V.11f y, z) dv, Q
donde V es el volumen de Q. Además, observe que sifprom representa el valor promedio def en Q, entonces, por continuidad, debe existir un punto P(a, b, c) E Q en quef es igual a su valor promedio, es decir, donde
AP) = /Jjf(x, y , z) dv. Esto indica que si F(x, j, z) tiene primeras derivadas parciales continuas en Q, entonces div F es continua en Q y, en consecuencia, existe un punto P(a, b, c) E Q para el cual
(v.F)J p 4fffv.F(x,v,z)dv
=ffF(x,y,z).ndS,
Sección 14.7 • Teorerna de la divergencia
1291
por el teorema de la divergencia. Por ültimo, observe que como la integral de superficie representa el flujo de F sobre la superficie 3Q, entonces (V F) I p representa el flujo por unidad de volumer' sobre aQ. En particular, para cualquier punto Po(xo, yo, zo) en el interior de Q (es decir, en Q, pero no en SQ), sea Sa la superficie de la esfera de radio a, centrada en Po, donde a es suficientemente pequeña para que Sa esté completamente en ci interior de Q. Dc lo deducido anteriormente, debe existir algün punto Pa en el interior de 5a para el cual (V. F)
I =
TY 7 )
i-;
ndS,
donde Va es el volumen de la esfera (Va = ra3 ). For ültimo, tomando el ilmite cuando a - 0, por continujdad do V F se tiene que
' ff F (x, y, z) - n dS
(V'. F) P0 = Ifm a-0 Ta
S.
vF(Po) =lImffF(xY.Z).fl.
(7.9)
S.
En otras palabras, la divergencia de un campo vectorial en un punto Po es el valor ilmite del flujo por unidad de volumen sobre una esfera centrada en Po, cuando el radio de la esfera tiende .a cero. En el caso en que F representa ci campo de velocidad para un fluido en movimiento, (7.9) proporciona una interesante (e importante) interpretación de la divergencia de un campo vectorial. En oste case, observe que si div F(Po) > 0, esto indica que ci flujo por unidad de volumen en Po es positivo. A partir de (7.9), esto significa .que para una esfera Sa de radio suficientemente pequeño centrada en Po, el flujo neto (hacia el exterior) a través de la superficie Sc, es positivo. Pära un fluido incompresible (piense en un liquido), esto indica que hay más flujo hacia el exterior que hacia el interior a través de la superficie Sa. Para un fluido incompresible, esto sólo puede suceder si existe una fuente en alguna parte de Sa de donde Ilega fluido adicionalal flujo. AsI mismo, si div F(Po) <0, debe existir una esfera Sa para la cual el flujo neto (hacia ci exterior) a través de la superficie de S,,. es negativo. Esto indica que pasa más fluido hacia ci interior de la superficie que hacia afuera. De nuevo, para un fluido incompresible, esto solo puede ocurrir si existe un sumidero en algiin lugar de Sa donde ci fluido está dejañdo ci flujo. For esta razón, en Un fiujo de fluido incompresibie, un punto en que div F(P)> 0 se denornina fuente y un p unto donde div F(P) < 0 se denomina sumidero. Observe que en un flujo de fluido incompresihie en que no haya fuentes nz sumideros, debe t.enerse div F(P) = 0 a travOs del flujo.
BHALLAR EL FLUJO DE UN CAMPO CON INVERSO CUADitATICO Deniuestre que ci flujo de un campo cuadrático inverso sobre toda superficie cerrada que encierra el origen es una constante.
1292
CapItulo 14 Càlculo vectorial
SOLUCION
Suponga que S es una superficie cerrada quo forma La frontera de la region sólida Q, donde el origen se sitüa en el interior de Q y se supone que F es un campo cuadrático inverso. Es decir, C
F(x, y, z)
r,
=
Figura 14.50: regiOn
Qa.
donde r = (x, y, z), ri = 1x2.± y 2 I- z2 y c es una constante. Antes de aplicar ci teorema dc la divergencia, observe que F no es continua en puesto que F no está definida en ci origen y, en corisecuencia, no puede aplicarse el teorema en Q. Sin embargo, observe que si de a1guna manera se puede excluir ci origen de la region, entonces puede aplicarse el teorema. Un método muy comün de hacer esto es "perforar" una esfera Sa de radio a centrada en el origen, donde a es tan pequeño que Sa está completamente contenida en ci interior de Q (véase La figura 14.50). Es decir, si Qa se define como el conjunto do todos los puntos en el interior de Q, pero en el exterior de Sa (de modo que Qa corresponde a Q donde . en .Q,. Antes de-hacer1o,observeque la ssuperficies -SSAhora -se-tiene
fffV.FdV =ffF.ndS+
ff- F - ndS. Sa
Se deja como ejercicio demostrar que para cualquier campo con inverso cuad: atico, V F = 0 Esto da ahox a
F...n.dS=Jf.r.rLdS. La integral del segundo miembro de (7.10) puede calcularse con facilidad si se toma sobre la superficie de una esfera centrada en el origen. Sin embargo, necesita ser cuidadoso y observar que aquI las normales exteriores apuntan hacia fuera de Q; en consecuencia, la normal eriel. segundomiembro de(7.10) debe apuntarhacia el origen. Es decir, —1
IirI puesto que
—i r a r
11r1l = a en S,,. A partir de (7.10), ahora se tiene que
/fF. n ds=ff T3 r
.(L! r)ds a
= ff r - rdS 11 r112 dS a ff if dS= - ( 4
SQ
47ra2 )
=
4irc,
S. ,
puesto que
If dS simplemente da el area do superficie de la esfera,
42ra2.
1293
SecciOn 14.7 • Teorema do la divergencia
j
El principio deducido en el ejemplo 7.3 se denomina ley de Gauss para campos cuadráticos inversos y tiene muchas aplicaciones importantes, en • especial en la teorIa de electricidad y magnetismo. El método empleado para deducir la ley de Gauss: perforar un disco que rodea la 4iscontinui• dad del integrando, es una técnica comtin empleada en la aplicacion del teorema de la divergencia para una variedad de casos importantes donde el integrando es discontinuo. En particular, tales aplicaciones a campos vectoriales discontinuos son bastante importantes en el campo de las ecuaciones diferenciales. R
EJRCICIOS•DELA SEC CION 147
1. Si F es el campo de velocidad de un fluido, explique qué representa F fly luego qué representa ff F - ndS. iqQ
2. Si F es el campo de velocidad de un fluido, explique qué representa V F y luego qué representa
!/V.FIV. 3. Emplee las respuestas de los ejercicios 1 y 2 para explicar en términos fIsicos por qué el teorema de la divergencia tiene sentido. 4. Para un fluido que fluye a través de un ducto, dé un ejemplo de fuente y de sumidero.
E n los ejercicios 5 a 8, verifique el teorema de la divergencia calculando ambas integrales 5. F = (2xz, y2, —xz), 1,0
Q es el cubo 0
:5 x :5 1,0
v
octante) y los pianos coordenados, F = (X2 —y2z, r sen z, 42)
.5 x :5 1, -1 y 5 1,.-1:5 z :5 1, 3z cos x, z 3 x).
11.Q es el cubo -1
Q es la bola x 2 + 2 ±
F=
<1
7. F = (xz, zy, 2z 2), Q está limitada porz = 1 y =0
-
-
y2
8. F = (x 2, 2y, -x2), Q es el tetraedro lirnitado por X + 2y + z = 'ly los pianos coordenados En Los ejercicios 9 a 20, einplee el teorerna de la
OQ
9.Q está limitada por x + y + 2z = 2 (primer Octante) y los pianos coordenados F = (2x 4xz 2y, xy 3).
(42,
-
-
-
12.Q es la caja rectangular 0 x
^
2,1
:5 2,
—1 :!E ^-z2,F=(y3 -2x,e,4z). 13.Q está limitada por z = x 2 + Y 2 y z = 4, F = (x 3,313 —z,xy 2). 14. Q está limitada por z = 4
F = (z 3, x2y, y 2z).
15.Q está limitadaporz (313, x + z2, z + 2)
divergencia para . calcular ff F n dS.
-
10.Q está lirnitada por 4x + 2y ± z = 4 (primer
-
-'
Y 2 y el piano xy,
Jx2 +y2 y
4, F =
16. Q está limitada por z = /x2 + y2 , z = ly z = 2, F = (x3, x 2z 2 , 3y2z).
CapItulo 14
1294
17.Q está limitada por X 2 + y2 = 1, z = 0 y F = (x - y3,x2 senz, 3z). '
• Cálculo vectorial
= 1, 32.Q está limitada por z = 1 x 2, z = 0, x ± y = 4, F = (y 3 ,x 2 - z,z 2). -
j =
0y
18. Q está limitada por x 2 + 112 = 4 z = 1 y z = 8 y, 33. Demuestre Ia ecuación (7.4). F = ('y2z, 2y el, sen x). 34. Dibuje una figura análoga a la figura 14.48a, que 19.Q está limitada porz = /fx 2 - y 2 y z = 0, muestre Las superficies empleadas en la demosF = (x 3 ,y 3,z 3). tración do La ecuación (7.4). -
/4 - -- x2_.y2 y z
0.Q está limitada por z F = (x 3, y 3, z 3).
0,
En Los ejercicios 21 a! 32, halle el flujo de F sóbre .'
)Q
1.Q está limitadà por z = 2 z = F = (x 2 , z 2 x, 2.Q ('sta limitada por z
/x 2 +y2 , y
=
35. La ley de Coulomb para un campo electrostático aplicada a una carga puntual q en ci origen da E(r) = q
-
donde r =
r 11 Sea Q limitada por la .
esfera x 2 + y2 + z2 = a2 para alguna constante a> 0. Demuestre que ci flujo de E sobre 8Q es igual a 4q. Analice el hecho de que el flujo no depende del valor de a.
1F-,y 36.De SOJ
Cia 3.Q estálimitadaporz = V^x2 + y2 , x2 ± y2 = 1 y 2X2 2 z 0, F -
-
-
.
.
.
.
4. Q está limitada po rzTx 2 + 312 y z
-
Q estalirnitada porx 2 Lz2 K zj,.2y-senz,x 2 -z).
.
.
8
-
y2,
-y-—y--y--j.,--
.
27.Q está limitada por x = y2 ± z2 y x = .4, F = (x 3, y 3. z, Z3 y2). -
[If
If
FF1 Q
26.Qestalimitadapory 2 + z2 = 4,x = lyx 8-y, F = (x 2z, .2y ez, sen x). -
37. Demuestre La primera identidad de Green en tresdime ns iones (véas el ejercicio 43lsección 14.5 path la primera identidad de Green en dosdiniensiones):
ciV (Sugerencia: emplee ci teorema de La divergencia aplicado a F =fVg).
-
28.Q está lirnitada por y = 4 F =(7 2x, x 2y, y 2x).
.-
-
z 2 y el piano xz,
29.Q está lirnitada por 3x + 2y ± z = 6 y.los pianos coordenados, F ' = y 2x, 4x 2 son z, 3).
38. Demuestre La segunda identidad de Green en tres dimeñsiones (véase ci ejercicio 44 do la sec666 14.5 para la segunda identidad de Green en dos dimensiônes):
=fl
30. Q está limitada porx ± 23j + 3z = 12 los pianos coordenados, F = (x2y, 3x, 4y -x2).
If!
31.Q está limitada porz = 1 -x2 , z = -3, y = -2 y = 2, F (x2 , x 3tj2)
(Sugerencia: emplee la primera identidad do Green del QjCrCicio 37).
f V2 g gV2f) dV
Vg
-
gV
ii
D
1295
Sección 14.8 • Teorema de Stokes
En este ejercicio, se desarrolla la ecuación de continuidad, uno de los resultados más importantes en el calculo vectorial. Suponga que un fluido tiene densidadp (una funcion escalar de espacio y tiempo), y velocidad v y no tiene fuentes ni sumideros. Demuestre quo la razOn de cambio de Ia masa m del fluido contenido en una regiOn Q puede escomo
dm
=N
cIV. En seguida,
explique por qué Ia cinica manera de que La masa pueda cambiar es que el fluido cruce la frontera de Q (3Q). Demuestre que
dm
-.-Jf (pv) n dS. En particular, exphque at por qué es necesario el signo menos puesto frente a La integral de superficie. Emplee el teorema de la divergencia para reescribir esta expresión como una integral triple sobre Q. Explique por qué las dos integrales triples tienen quo ser iguales. Puesto que la integracion se toma sóbre sólidos arbitrarios Q, los integrandos deben ser iguales entre si. Concluya que se cumple Ia ecuación de continuidad: V(pv)+=O.
at
TEOREMA DE STOKES Recuerde que después de introducir el rotacional en la sección 14.5, se observó que para uia curva cerrada simple C, suave a trozos, orientada positivamente, situada en el piano xy que encierra la region R, el teorema de Green puede reescribirse en la forma vectorial (V x F)kdA,
ic F - dr
(8.1)
R.
Figura 14.51a: orientaciOn
positiva.
donde F(x, y) es un campo vectorial de la forma F(x, y) = (M(x, y), N(x, y), 0). En esta sección, este resultado se generaliza para el caso de un campo vectorial definido en una superficie en tres dimensiones. Primero es necesario introducir la nociOn de orientaciOn de una curva cerrada en tres dimensiones. Suponga que S es una superficie orientada (es decir, S puede verse como una superficie do dos caras, es decir, una cara superior definida por los vectores normales exteriores a y una cara inferior). Si S está limitada por Ia curva simple cerrada C, Ia orientación de C se determina mediante La regla de la mano derecha como la empleada para determinar Ia dirección de un producto cruz de dos vectores. Alinee el pulgar de Ia mano derecha de modo quo apunte en dirección al exterior de los vectores unitarios normales aS. Luego, si gira los dedos, estos indicarán la orientación positiva en C, como se muestra en la figura 14.51a. Si Ia orientación do C es opuesta a Ia indicada per Ia rotaciOn do los dedos de Ia mano derecha, como se muestra en Ia figura 14.51b, so dice que C tiene orientaciOn negativa. La forma vectorial del teorema de Green en (8.1) se generaliza comb sigue.
1296
CapItulo 14 • Cálcuto vectorial
Supongaque S es una superfiçie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple cerrada as, suave a trozos, con orientación positiva. Sea F(x, y, z) un campo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en aiguna region abierta que contiene aS. Entonces
fa3 F(xY,d Figura 14.51b: orientación
negativa.
z
o
Figura 14.52: la superficie S y
su proyeccióri R sobre el piano xj.
•
J(v
x F).ndS.
(8.2)
Observe de inmediato que la forma vectorial del teorema de Green (8.1) es un caso especial de (8.2), como sigue. Si S es simplemente una region del piano xy, entonces k es un vector normal unitario a la superficie en cada punto de S. Además, si t9S tiene orientación positiva, el vector normal unitario exterior a 0S es n = k, en cada punto de la region. Además, dS = dA (esdecir,-el-área de-superficie de la-region plana es simplementeci area) y(9.2) sesimplifica.en(8.1).Lademostracióndel caso-especial-del -teorema--deStokes-considerado-mOs-adelante-se basa en--elteoremade Green y la regla de la cadena. Una interpretación importante del teorema de Stokes surge cuando F representa un campo de fuerza. Observe queen ese caso, la integral del primer miembro de (8.2) corresponde al trabajo realizado pore! campo de fuerza F, a medida que el punto de aplicación se desp!aza a lo largo de la frontera de S. AsI mismo, el segundo miembro de (8.2) representa el flujo neto del rotacional de F sobre la superficie S. Una demostración general del teoreina de Stokes-puede-encontrarse-en-tetos--més-avanzados Aqul---solo so demuestra para un caso especial de la superficie S. Dernostración. (Caso especial) Se considera aquI el caso especial donde S es una superficie de la forma S = {( x,y,z)Iz =f(x,y),para(x,y) E R}, donde R es la region del piano xy con frontera suave a trozos äR, donde f(x, y)tiene primeras derivadas parciales continuas y para la cual 3R es la proyecciOn de la frontera de la superficie 0S sobre el piano xy (vease la figura 14,52). Sea F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z)). Entonces, se tiene ijk 080 VxF= Ox ay 8z MNP (OP 8N\, (OAf OP'\ . (8V 8M" dz j 49X Ox ay.. j \ ay \ 49Z Observe que un vector normal exterior a cualquier punto en S está dado por M = (-j(x,y),-f11(x,y), 1)
y, en consecuenciá, la normal unitaria exterior es
1297
Sección 14.8 • Teorema de Stokes
n= (-f(x,y),-f(x,y)l) (x, )]2 + [f" (x, y)}2 + 1 • Puesto que dS = /[f (x, ,)J2 + [fr, (x, y)] 2 + 1 dA, ahora se tiene
f/(v
xF)ndS
- JJR k Oy
OT
9z)
('Lc\
if 1 Ox)
O
Oy)
dA. f(c y )
La ecuación (8.2) ahora equivale a
fjf as
Mdx + Ndy ± Pdz
(8.3) (OM OP\
/OP ON\
/ ON OM\1dA.
R
Ahora se demostrará que
f
R
tiM + tiM --—a f1\sM(x,yz)dx=— Z,/ (x,y)
(8.4)
Suponga que la frontera de R está descrita paramétricámente por aR = {(x,y)x = x(t),y = y(t),a :5 t:5 b}. Entonces, la frontera de está descrita paramétricamente por = {(x,y,z)x = x(t),y = y(t),z =f(x(t),y(t)), a :5 t :5 b} y se tiene x'( fas M(x, y, z) dx = fa M(x(t) v(t),flx(t), y(t))) x'(0 Observe que para n(x, ) = M(x, ,f(x, y)) esto da / M(x,y,z)dx
=
fb m(x(t),y(t))x'(t)dt = /a
(8.5)
,R
Del teorema de Green, se tiene que
I
m(x,y)dx=--
J8R
. 22 dA.
(8.6)
0Y ff R
Pero de la regla de la cadena
Oj
(x, y, f (x, ii)) =
(am
+
tiM
\
fv ) tiy
Capitu!o 14 • Cáiculo vectorial
1298
Reuniendo esto con (8.5) y.(8.6), da fM(xvz)dx
= ff
= ._ff(
+
f f)dA
locual es (8.4). De modo semejante, puede demostrar que fr(x.Yz)dY
J
-f
P(x,y,z)dz=—
S
ff
ON ON
( \8x
dA
OP f,, dA. - 8V )z=f(ry)
(8.7)
(8.8)
Reuniendo (8.4),(8.7)'y (8.8), se obtiene (8.3), lo cual demuestra el teorema de Stokes para este caso especial de superficie. EMPLE() DEL TEOREMA DE STOKES PARA CALCULAR UNA INTEGRAL DE
Calcule
F dr, para F(x, y, z) = (-ay, x2 , z3), donde C es la interseccióndel i cilindro circular x 2 + y2 = 4y ci piano x + z = 3, orientada de modo que se recorre en el sentido de rotación contrario al de las manecillas del reloj, cuando se observa d6-9-d-6 el eje positivo z SOLUCIOL Primero, observe que C es una elipse, como se indica en la figura 14.53. Infortunadamente, C es bastante difIcii de parametrizar, lo cual dificulta de aigün mod6 el cálculo directo de la integral de lInea. En cambio, puede emplearse el teorema dé Stokes para evaluaria. En primer lugar, Se calcula ci rotacional de F: ijk Figura 14.63: intersección del piano y el cilindro, que produce
la curva C.
V x F — . -09X - -ay=az(2x +1) k. y a: 2 ,
---
Observe que en la superficie S, que consta de la porción del piano a: + z =3 encerrada por C,se tiene la normal unitaria exterior n=(.-1,O,i). A partir del teoreina de Stokes, so tierie
f F.dr=ff(VxF).ndS_—pff(2x+1)dA, donde R es la circunferencia de radio 2, centrada en ci origen (es decir, la proyección de en el piano xy). Introduciendo coordenadas polares, se tiene
1,
SecciOn 14.8 • Teorema do Stokes
2ir
1299
1'2
[F.dr= i-ff(2s+1)dA=7f Jo (2r cos 0+l)rdrd0
Jc
I
21T 2
1 Jo
1 1
J2
(2r2cosO+r)drdO
(2
71
2\ 17-=2
3
dO 2/
p2ir
(1602) do :=
72
3
donde los detalles finales del cálculo se dejan a! estudiante.
EMPLEO DEL TEOREMA 1)E STOKES PARA EVALUAR UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE
Evalüe
ff.
(V
X
F) n dS, donde F(x, y, z) =
4z -y, 8xsen Vy y donde S
es la porción del paraboloide z = 4- x2 _y2 situado encima del piano xy. SOLUCION En la figura 14.54, se muestra La paraboloide S. Observe que la curva frontera es simpiemente La circunferencia x 2 + y2 = 4 situada en el piano xy. Por el téorema de Stokes, setiene
ff s
Fi;ura 14.54:z = 4x2-y2.
/
F(x,y,z)dr (VxF).ndS=/ .85 ez2 dx + (4z - y) dj + 8x sen y
Ahora, puede parametrizar 3S mediante x = 2 cost, y = 2 sen t, z = 0,0 < 2t. Estoindica queen 0S, se tiene dx = -2 sent, dv = 2 cost y dz = 0. En vista do esto se tiene
(V
X
F) n dS =
i8s
ez2
dx + (4z y) dv + 8x sen y dz
r2'
I Jo
{e0 (-2sen0 +[4(0)-2sentl(2 Cos t)}dt=0,
donde Los detalles (directos) del calculo se dejan al estudiante. En el siguiente ejemplo, se considera la misina integral de superficie del ejemplo 8.2, pero sobre una superficie diferente. Aunque las superficies sean diferentes, tienen la misma curva frontera, de modo que deben tener el mismo valor.
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
1300
EMPLEO DEL TEOREMA DE STOKES PARAEVALUAR UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE
Evalüe
ff (V x F) ndS, donde F(x, y, z) = (, -
S es el hernisferio z
z
2,
4z y, 8x sen ) y donde
-- y2
SOL(JC(ON En Ia figura 14.55 so muestra un dihujo de la superficie S. Observe que aunque ésta no es igual a la del ejemplo 8.2, las dos superficies tienen la mirna curva frontera: la circunferencia x2 + y2 = 4 situada en el piano xy. Como en ci ejemplo 8.2, entonces se tiene
if
Figura 14.55:
= V 4 -- x 2 :
(V x
AsI como en Ia sección 14.7 Se empleó ci teorema de la divergencia para daiundil itei pi etacion_dcl significado de la diver genc.ia-de-un-ampo--vectorial, el teoremadeStokespuedeemp1earse-para -daralggnthca do del rotacional de un campo vectorial (quizá haya estado preguntandoso por que liamarIamos V x F at rotacionai de F; ahorapodemos-darle una respuesta.) Suponga una vez más que F(x, y, z) representa ci campo de velocidad para un fluido en movimiento. Sea S una superficie orientada localizada en ci flujo del fluido, con una curva frontera C orientada positivarn& Sup-mTgadeTnás CêstátThãda p ofe1etrthoR1 Iafrn don con valoresvectoriales r(t) para a t b. Observe que cuanto más dr cerca esté la dirección de F de la dirección de , su componente mayor estará en la dirección de
dr
(véase la figura 14.56). En otras palabras, cuan-
to.más cerca esté la dirección de F de la dirección de Tt , mayor será F Figura 14.56: la superficie S en el flujo de un fluido.
dr Ahora, recuerde que apunta en la dirccción del vector tangente unita rio a lo largo de C. Entonces, püesto que 1b
f
Fdi= fa
dr
dt,
so sigue que cuanto rnás cerca sea la dirección de F de la dirección de a
fc
Ca
Figura 14.57: disco S.
to largo de C, mayor será F dr. Esto indica que fc F di- mide la tendencia del fluido a luir o circular alredcdor de C. Por esta razón, nos referimos a F dr corno la circulación de F airededor de C. Para cualquier punto (x, j, z) en ci flujo del Eluido, sea Sa un disco de radio a centrado en (x, , z), con vector normal unitario exterior n, como se indica en la figura 14.57, y sea Ca la frontera de Sa. Entonces, por ci teorema de Stokes, Se. tiene /F.dr=f!(V x F)ndS.
S.
(8.9)
-- -.=
-
1301
Sección 14.8 • Teorerna do Stokes
Observe que el valor promedio de una funciónfSObre La superficie Sa está dadopor fpr(>m
7ra2
Jff(x ) y, z) dS. S.
Adernás, sifes continua en 5a., debe existir algin punto Pa sobre S0 en que f sea igual al valor promedio, es dech; donde
f(P0)
=
fix, y, z) dS.
;
U
En particular, si el campo de velocidad F tiene primeras derivadas parcia-les continuas en Sa, entonces se sigue, de la ecuación (8.9), que para algün punto P,, en S0, (V x F)(Pa)
fl
=
f
f
x
F).ndS=JjF. ctr.
(8.10)
ira
Observe que La expresiOn más a la derecha de (8.10) corresponde a la circulación de F airededor de Ca por unidad de area. Tomando el lImite cuando a. 0, por la continuidad del rotacional F, se tierie quo -
Figura 14.58: rueda do paletas.
Fig ura 14.59a: conexa y sirnplemente conexa.
(VXF)(x,y,z).n= lim
a-0
_L
7ra2
I a Fdr.
(8.11)
i.-.
Lea cuidadosamente la ecuación (8.11). Observe que ésta indica que en óualquier punto dado, la componente del rotacional F en la dirección de n es el valor ilmite de la circulación por unidad de area aLrededor de circunferencias de radio a centradas en ese punto (y normales a n), cuando el radio a tiende a cero. En este sentido, (V x F) n rnide la tendencia del fluido a girar airededor de un eje alineado con el vector n. Esto puede visualizarse pensando en una pequeña rueda de paletas cuyoe3e seaparalelo an, la cual está inmersa en el flujo del fluido (véasela figura 14.58). Observe que la circulación por unidadde area es maxima (de modo que la rueda de paletas se mueve con más rapidez) cuando n apunta en la dirección de (V .x F). Si V x F = 0 en cuaLquier punto del flujo de un fluido, so dice que ci flujo es irrotacional, puesto que la circulación airededor de cada punto es cero. En particular observe que si ci campo de velocidad F es un vector constante en todo ci flujo del fluido, entonces ,
Rotacional F = V x F = 0, en todas partes del flujo del fluido y, en consecuencia, el flujo es irrotacional. FIsicamente, esto indica que no existen remolinos en tal flujo. Observe, también por ci teorema de Stokes, que si el rot F = 0 en todos lo pimtos de algund region D, entoxic-s de be t( OE 'E ({U(
K3^ Figura 14.59b: conexa pero no SImpemente conexa.
F•dr=O, para toda curva simple cerrada contenida en la region D. En otras palabras, la circulación airededor de tal curva C situada en la región D es cero. Dc aquI resuita que al restringir adecuadamente el tipo de regiones D C R3 dr = 0,considera,Iptmbiénesvrdao.Ec,ifjF
1302
Figura 14.59c: simplemente conexa pero no conexa.
CapItulo 14 • Cálculo vectorial
Para toda curva simple cerrada C contenida en la regiOn D, entonces debe tenerse ese rot F = 0 en todos los puntos de D. Este resultado es verdadero para regiones del espacio que sean simplemente conexas. Recuerde que una regiOn es simplemente conexa on ci piano cuando cada curva simple cerrada contenida en Ia region encierra sOlo puntos de la regiOn (es decir, la region no contiene agujeros). En tres dimensiones, la situación es ligeramente más complicada. Una region D on R3 se denornina simplemente conexa siempre que cada curva simple cerrada C situada en D pueda ser contraIda con tinuarnente hasta un punto, sin cruzar La frontera de D. Observe que ci interior de una esfera o una caja rectangular es simplemente conexo, pero alguna region con una o niás cavidades no es simplernente conexa. Sea cuidadoso de no confundir conexa con simplemente conexa. No olvide que una regiOn conexa es aquelia donde cada dos puntos contenidos en la region pueden unirse mediante uiia trayectoria completamente contenida en la region. En las figuras 14.59a-c, se ilustran regiones bidimensionales conexas y simplemente conexas. Ahora puede enunciarse el teorema completo.
Suponga que F(x, y, z) es un cainpo vectorial cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en la region simplèiëáDiI 3 Entonces, ci rot F = 0 en D si y solo si fc F dr = 0, para toda curva simple cerrada C contenida en la regiOnD.
DemostãëiOii.Yáiha demotadó que cuando el rot F = 0 en D, tarnbién se tiene F - dr = 0, Para toda curva simple cerrada C contenida en la. region D. RecIprocamente, suponga ahora que F dr = 0, Para toda curva simple cerrada C contenida en La regiOn D. Suponga además que rot F # 0 en algün punto (x, y, z) E D. Puesto que las componentes de F tienen primeras derivadas parciales continuas, rot F debe ser continuo en Dy, en consecuencia, debe existir una esfera de radio ao> 0 centrada en (x, y, z), en cuyo interior S, rot F # 0. Sea Sa el disco de radio a
f.
f.
IC
0
Fdr=ff(VxF)ndS> 0 , S0
puesto que n se escogió paralelo a V x F. Esto contradice Ia suposición de que F dr = 0, Para toda curva simple cerrada C contenida en la region D. Ahora se sigue que rot F = 0 en toda D. No olvide que antes se habIa observado que un campo vectorial es conservativo en una region dada si y solo si . F dr = 0, Para toda curva simple cerrada C contenida en la regiOn. El teorema 8.2 estableciO entonces el siguiente resultado.
f
Sección 14.8 • Teorema de Stokes
1303
Suponga que F(x, y, z) tiene primeras derivadas parciales continuas en una region simplemente conexa D. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes. i) F es conservativo en D. Es decir, para alguna función escalar f(x,y,z),FVf. ii) fc F dr es independiente de la trayectoria en D. iii) F es irrotacional (es decir, rot F = 0) en D. iv) . F dr = 0, para toda curva cerrada simple C contenida en D.
EJERCICIOSDELA$E.ociONi4.8 ii C,
1. Describa las circünstancias (tome como referencia el ejemplo 8.1) en que la integral de superficie del teorema de Stokes será más sencilia que la integral de lInea. 2. Describa las circunstancias (tome como referencia el ejemplo 8.2) en que la integral de lInea del teorema de Stokes será más sencilia que la integral de superficie. 3.* Las superficies de los ejempios 8.2 y8.3 tienen la misma curva frontera C. Explique por qué todas las superficies sobre el piano xy con frontera C compartirán el mismo valor de
if
(V x F)ndS.
?,Que cambiarIa si la superficie estuviera debajo del piano xy? 4. Explique por qué la parte iv) del teorema 8.3 se sigue inmediatamente de la parte ii). Explique por qué las partes ii) y iii) se siguen inmediatamente de la parte i).
En los ejercicios 5 al 8, verifique ci teoreina de Stokes calculando ambas integrales.
En Jos ejercicios 9 al 20, utilice ci teorema de Stokes para calcular
5. S es la porción de z = 4 -x2 - y2 sobre el piano xj, F = (zx,2y,z 3). 6. S es la porción de z = 1- x2 -j2 sobre ci piano xy, F = (x 2z, xy, xz 2).
if
(V x F) n dS.
S
9. S es la porción del tetraedro limitado por x + y + 2z = 2 y los pianos coordenados, con z > 0, ii -- x 3 , z2 ). hacia arriba, F = (zy4 -.
- y2 sobre el pla-
10. S es la porción del tetraedro limitado por x + y + 4z = 8 y los pianos coordenados, con z> 0, ii haciaarriba, F = (y 2, ,y + 2x, z).
8. S es la porción de z = /f- x2 y2 sobre el planoxy,F =(2x,z2 -x,xz 2).
11.8 es ia porción de Z = 1- x2 -y2 sobre ci piano xtj, 2 con n hacia arriba, F = ZX2,zexy - x, xiny2). (
7. S es la porción de z = VT noxy, F = (2x-y,yz 2 ,y 2z).
1304
12. S es la porción de Z =
- S2 - y 2 sobre el piano xy, con nhaciaarriba,F __(zx2 , zc2 - x, x lny2 ).
13. S es la posición del tetraedro del ejercicio 9, con y > 0, ii hacia la derecha, F = zy 4 _y 2, y - x 3 , z2). 14.Ses la, porción de y = x 2 + z2, Cony 2, nhacia la izquierda, F = (xy, 4x&2 ,yz + i).
Capitulo 14 Cálculo vectorial
23.Ces la, interseccióndez = x 2 + y 2 ,yz = orientada desde arriba en el sentido de rotación de las manecillas del reloj, F = (2X 2 , 4y2, e8z9). 24. Ceslainterseceióndex 5 + = 1,yz = x-y orientada desde arriba en el sentido de rotación de las manecillas del reloj, F = (cos x2, seny2 , tan z2). 25. C es ci triángulo que va de (0,1,0) a (0,0,4) a (2,0,0), F =(2 4. 2xy3 z , 3x2 y2 z_v,x2Y3).
15.S es la, porción del cubo unitario 0 x 1, 0 :5 y :5 1, 0 :5 z 1, con z> 0, n hacia arriba, F = (xyz, 4x2y3 - z, 8 cos xz 2).
26. C es el cuadrado que va de(0,2,2) a (2,2,2) a (2,2, 0) a (0, 2, 0), F = (x 2 , y3 + x, 3y2 cos z).
16.5 es la porción del cubo unitarjo 0 s x 5 1, 0 :5 y :5 1, 0 z :5 1 con z 1, n hacia abajo, F = (xyz, 4x 2-y' —z, 8 cos xz 2 ).
27. Demuestre que i (fVJ) dr =0 Para cualquier c curva cerrada C y Ia función f tiene segundas derivadas.
17.Seslaporcion del conoz/2bJoIa 1 (f V g + g Vf) dr = 0 par- ara + y 2 + Z2 2, n hacia abajo, 28.Demuestre que F = ( x2.+ y2 , Z& ±2, e.2+.Z2 cualquiercurvacerrada C y la, funcionf tiene 18.5 es la porción del cono z = x2 + y 2 situado en 29. Sea F(x, y) = (M(x, y), N(x, y)) un campo vectorial el interior del cilindro x 2 + j2 = 2,11 hacia abajo,cuyas componentes My N tleneiiprLmel as denadas parciales continuas en todb 2 . Demues________ F = Osiysólo si J0 F nds-= Opara = 4-x 2 -z 2 COfl todas las curvas cerradas C. (Sugerencia: Emy > 0, n hacia la derecha, F = (yx 2 Z, COS Y X). plee una forma vectorial del teorema de Green). 20.5 es la porción del paraboloide x = y 2 + z2 con x s: 4, n hacia atrás, F = (j 2 z, x -4, y). En los ejercicios 21 a! 26, emplee el teorema de Stokes Para evaluar
I F . dr.
Jo
30. Bajo las hipótesis del ejercicio 29, demuestre que fc F n cls = 0 Para todas las curvas cerradas C si y solo si fc F n cts es independiente de la trayectoria.
21. C es la frontera de la porción de z = 4 -:sobreel Plano xyF=(52ex -y, ./y 2 + 1,z3 ).
31. Bajo las hipótesis del ejercieio 29, demuestre que V F = 0 si y solo si F tiene una función de corriente g(x, y) tal que M(x, y) = g1 (x, v) y N(x, y) = - gx (x, W.
22. C es la frontera de la porción de z = x2 + ,y2 bajo z = 4, F = (x2, y' - x, z 2 sen y).
32. Combine los resultados de los ejercicios 29 a 31 Para establecer un teorema análogo al teorema 8.3.
1305
Ejercicios de repaso del capItulo
•
33. La circulación del campo vectorial F alredeF dr. dor de la curva C está definida por Demuestre que el rotacional V x F(0, 0,0) está en la misma dirección de la normal al plano en que la circulación airededor del origen es maxima. Relacione esto con la interpretación del rotacional dada en la sección 14.5.
res de la función en la frontera de una region (intervalo) y la suma de los valores de la derivada de la función en la region. Explique qué significa este enunciado y luego explique por qué el mismo enunciado puede apli- j carse al teorema 3.2, al teorema de Green, al . teorema de la clivergencia y al teorema de Stokes. En cada caso, establezca cuidadosamente cuál es La "regiOn", cuál es su frontera y qué tipo de derivada sehalla involucrada.
fc
34. El teorema fundamental del cálculo puede pensarse como una relación entre los valo-
1
EJERCICIOSDE REPASO DEL CAPITULO En los ejercicios 1 y 2, dibuje a mano varios vectores en el cainpo de velocidad y verifique los dibujos con un CAS.
4. Encuentre ci campo gradiente correspondiente af. Emplee CAS para elaborar la grafica de este campo.
2. (0, 2y)
I. (x, -Y)
a)J(x,y) = 1n
3. Establezca la correspondencia entre los campos vectoriales con sus gráficas. Fi(x, y) = ( sen x, y), F2(x, y) = ( sen v x), F3(x, ii) = (v2 , 2x), F4(x, y) = (3,x2)
x 2 + y2 b)
f(x,y)= e
2112
En los ejercicios 5 a! 8, determine si el campo vectorial es conservativo o no. Si es asi, halle una función potencial.
5.(y-2xj 2,x-2yx 2 + 1) 6. (y2 + 2e211, 2xy + 4xe 2 ') 7. (2xy -1, x2 + 2xy)
Z4
LLU
/
1
1
8. (y Cos xy-y,x Cos xy-x) En los ejercicios 9 y 10, halle ecuaciones para las lIneas de fhjo. 9.
Grãfica A
y
Gráfica B
y
-----',---
10. (tj)
En los ejercicios 11 y 12, emplee la notaciOn r = (x, y) y r= lint V/xI 11. Demuestre que V (in r) = -. 12.Demuestre que v() = En los ejercicios 13 al 18, evalüe la integral de Ilnea.
Gráfica C
Grfica D
13.13V dx donde de (2, 3) a (4, 3)
C es el segmento de recta que va
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
1306
14.
f
(x2 + y2) ds donde C es la semicircunferencia
X2 +y2 = l6quevade(4,0)a(-4,0)cony > 0
cis donde C es la circunferencia
15.f
x2 +,y2 = 9 orientada en ci sentido de rotación
de las manecillas del reloj
iG.f(x_)ds donde Ces Ia porciOn dey = xque vade(1, 1)a(-1, -1) 17.
1 2x dx donde C es la semieircunferericia supe-
En los ejercicios 25 y 26, halle la masa del objeto indicado. 25. Un resorte de forma (cos 3, sen 3t, 4t), 0 :f- t 2, p(x,y,z) = 4 26.Laporci6ndez = x 2 + y2 bajoz = 4 con p(x,-y) = 12 En los ejercicios 27y 28, demuestre que la integral es independiente de la trayectoria y evaJie la integral. 27.f (3x 2y - x) dx + x 3 dy donde C va de (2, -1) a
Jc
nor que va de (2, 0) a (--2, 0) seguida por ci segmento de recta que va hasta (2, 0) (y2 1.
J
±± )4u
va de (3,2)
3y (Ly dondeC es la porciOn de y = x que va 28.
de (1u(i;1)guicIa pore1 segmento do recta que va hasta (-1, 1) En los ejercicios 19 al 22, calcule ci trabjo realizado por la fuerza F a lo largo de la curva C. 19. F(x, y) = (x, -. y), C es la circunferencia x2 ± v2 = oiitIa-en-senfiJô-contrarro cie1a rotacion do las manecillas del rcloJ
En los ejercicios 29 a 32, evalüe 29. F(x, y) = (2xy + y sen x + Ces ci ( 3 , 0) — —
1
Jc F ex
dr.
- cos x + x2),
30. F(x, y) = (2y + y 3 ±'*j7xThj2 ± 20. F(x, y) = (y, - x) C es La circunferencia x2 +.y2 = 4 orientada en sentido contrario de la rotación de las manecillas del reloj 21. F(x, y) = (2,3x), C es el cuarto de circunferencia que va de (2,0) a (0, 2) seguida por el segmento de recta que va hasta (0, 0) 22. F(x) y) = y, - x), C es ci cuadrado que va de (-2, 0) a (2, 0) a (2, 4) a (-2, 4) a (-2, 0) En los ejercicios 23y 24, emplee las gráficas para deterinjnar si el trabajo realizado es negativo, positivo o igual a cero 23. 24.
es la semicircunferencia superior que va de (1, 3) a (3, 3) 31. Fx, y, z) = (2xy, x 2 - ,y, 2z), C va de (1 3, 2) a 2,1,-3). 32.F(x;y,z)=(yz-x,xz--y,xy-z),Cvade(2,0,0)a
En los ejercicios 33 y 34 emplee las gráficas para deterniinar si el campo vectorial es conservativo 0 no. 34.
33.
A
L/
//
II
I
/. 7),c
\ •\\
N\
1/
y
1307
Ejercicios de repaso del capitulo
En los ejercicios 35 a 40, einplee el teorema de Green para evaluar la integral de lInea señalada. 35jF. drdondeF = (x 3 -?J,x + -y3)yCestáforma-
En los ejercicios 51 y 52, conjeture Si la divergencia en el punto P es positiva, negativa o cero. 51. V
da por y = x 2 y y = x, orientadas positivamente.
/
OP
,
36. ic F dr donde F = ( y2 + 3x2y, xy + x3) y C está
S
formada pory = x 2 y-y = 2x, orientadas positivamente.
/ /
1 1111111 37. j tan x2 dx + x2 dy do
C es el triángulo que 52.
vade(O,0)a(1, 1) a (2, 0) a (0, 0). /
/
/
38.J x2y dx + lnJi 4— Y2 dy don deCeseltriángulo que va de (0,0) a (2,2) a (0,2) a (0, 0). F dr donde F = (3x 2 , 4y 3 - z, z 2) y C está
39. ic formada por z = y 2 y z = 4, orientadas positivamente en el piano yz. F dr donde F = (4y 2, 3x2 , 8z) y C es x2 + v2 40. ic orientada positivamente en el planoz = 3. En los ejercicios 41 42, utilice una integral de 11neà para calcular el area de la region dada. 41. La elipse 4x2 + 9y2 = 36
/
/
/
/
1 771771 1 En los ejercicios 53 y 54, dibjc una gráfica de la superficie paramétrica.
53.x = u2,y = v 2 ,z = u + 2v 54.x = (3 + 2 cos u) cos v,y = (3+ 2 cos u)senv, z = 2 cos IL 55.Establecer la correspondencia entre las ecuaciones paramétricas con las superficies.
42. La region limitada por y = sen x y el eje x para
0:5x:5t
a)x =u2,y =u + v,z
En los ejercicios 43 a 46, halle el rotacional y la divergencia del campo vectorial dado. 43.x3 1-y 3 j
b)x=-u2,y=u+v,z=v c)x = u,y = u + v,z
44.y3 i-x 3 .j
45.(2x, 2yz 2, 2y 2 z)
25t z
46. (2xy, x 2 - 3y 2z2, 1- 2zy 3)
20 151-
En los e.jercicios 47 a 50, determine Si el campo Vectorial dado es conservativo y/o incompresible.
-10
Superficie A
/1
LIII
-
47.(2x y 2 , z2 - 2xy, xy 2) 48. (y 2z, x 2 - 3z2-y, z 3 - y)
49.(4x - y, 3-x,2-4z) 50. (4, 2xy3 , z4 - x)
25 20 15
&rSuperficie B
1308
Capitulo 14 • Cálculo vectorial
En Los ejercicios '65 y 66, halle La masa ye! centro de - 'àSa del sólido. 65. La porción de La paraboloide z = x2 + v2 bajo el pianoz = 4,p(x,y,z) = 2 66. 'La porción del cono z = /x2 ± y 2 bajo ci piano z = 4,p(x, y, z) = z Superficie C
En Jos ejercicios 67 a 70, emplee el teorema de La
56.HalLe una representaciOn paramétrica do divergencia para calcular ff F n dS. Q
X2 + y2 ± z2 = 9.
En los ejercicios 57 y 58, halie el area de superficie. 57. La porcion de La paraboloide z = x2 + y 2 entre Ioscilindrosx2 +'y 2 = lyx2 +y2 4.
67.Q esLá limitada por x + 2y + z = 4 (primer octante) y los pianos coordenados, F = y 2z, y 2 sen z, 4y 2).
58.-La.porci6n de La paraboloidez = 9-x 2 -j2 entre 68. Q es el cubo -1 < x < 1 -1 :5
v
1+ - i :5 z
Enlos ejercicios 59 a 64, evale Ia integral do super- 69. Q estáiimitada porz 1 -y 2 ,Z = O,x = Oyx + z F = (2xv,z 3 + 7yx, 4xy).
fiiëJff(jlS"
4,
70.Qestálimitadaporz = v'4'- x2,z = O,y = Oy
59ff
En ls ejercicios 71'72 halle ci fljode
3±,'v_±_z=12eneLprimer_octante
11. ( esta lin'utacta por z Z = 0, F = (xz, yz, x 2 -z).
I_r
-
sob
ô Q.
, yT' .''•) ± y =-4y
+ y) dS, donde S es la porción de y = 4-
60i
x2 sobre el piano xv y 61.
1,
/f
0, bajo z = 2
(4x + y + 3) dS, donde S es la porcion del piano
4x 1-j 1- 3z = 12 en ci interior de x 2 + y2 = 1
72.Q estáiimitadaporz = x2 + y 2 yz = 2-x2 -y2 , F= Ox, x2 -2y,3z+x2). En los ejercicios 73 a 76, emplee el teorema de Stokes, si es apropiado, para calcular
AV x F) n dS. S
+ z 2 = 1 sobre ci planoxy entrey = 1 y = 2
73.5 es La porcion del tetraedro limitado por x + y + 2z = 2 y Los pianos coordenados frente al planoyz, F = (zy 4 -y 2 ,y-x 3 ,z 2),
yz (IS. donde S es La porciOn del cono 11
74.S es la porción de z = x2 + y2 bajo z = 4, F=(z2 --- x,2y,z 3 xy).
62./I (x-z) ctS, donde S es la porción del cilindro
63.
•T
ala izquierda do y = 3
75.S es la porción del cono x + 2y + 3z = 24, F = (4x2 , 2ye2 , \/z2 + 1).
64.1f (x 2 + z 2) dS, donde S es la porción del paraboiojde x =,y2 + z 2 detrás del piano x = 4
76.5 es la porción de la paraboloide v = x2 + 4z2 ala izquierda de y = 8 -z, F = (xe3 , 4y 213 , Z2 '+ 2).
Ejercicios de repaso del capilulo
En los ejercicios 77 y 78, eznplee el teorema de Stokes para evaluar
I
F dr. Jc 77. C es ci triángulo que va de (0, 1, 0) a (1, 0, 0) a
1309
(0,0,20), F =(2xy cos z,y 2 + x2 cosz,z-x 2 y senz). 78. C es el cuadrado que va de (0, 0, 2) a (1, 0, 2) a (1, 1,2)a(0, 1,2),F =(x 3 +yz,y 2,z 2 ).
P41 En el ejercicio 57 de la secciOn 14.1, se desarroiió una técnica para haliar ecuaciones para lIneas de flujo de ciertos campos vectoriales. El campo (2,1 + 2xy) del ejemplo 1.5 es un campo vectorial, pero el cálculo es más difIcil. Primero, demuestre que la ecuación diferencial es y' - xy = y luego demuestre que un factor integrante es e_x2/2. Las iIneas de flujo provienen de las e-x2 ecuaciories de la forma y = e x 2 ± c e 212 . Por desgracia, no existe una función elemental igual a .1 e -X212 dx. Puede
f1
f
serütilescribirlo en la -forma y = e 12 1'c_ En esta forma, demuestre que c = y(0). En ci ejemplo 1.5, la curva que pasa a través de (0, 1) es y = e 2 J 11 e_012 di. + ex22. Elabore la gráfIca de esta función y cornpáre!a con la trayectoria mostrada en la figura 14.71). Halle una ecuación y represente la curva que pasa a través de (0, -.1). Para hallar la curva que pasa por (1, 1), cambie los ilmites de integración y reescriba la solución. Represente esta curva y compárela con la figura 14.7b.
u'/2 du+ cec212.
1310
Apéndice A • Tabla de integrales
Ap.éndice A Tak a ,jic
4 ø%
aa
L
0rmas que incluyen a +
•
a -I-bu du = in If,+ luI
2. j *
(a + bu - ainla + bul) + c
du
du
[(a + b-a) 2 -- 4a(a ± bu) + 2a2 In a + bu] + c
fa
I --
=
I +c
u(a ± bu) du = in a 1
1 •
+C
h
j u(a2 -F- b-u)
a+hu
du=—in
1
— +- C au-----
U
(1
..fFo.rmasqueincluyen(a_+bu)2
-
I-
-- r --1 –1 -- -=--1 6 j (a I hi,)2 dii– b(a)_--_-----
__---j
(a + ba) 2
(I1/
--(---h2 \a +
8.f ( U bu)2 du 9.
f
Fbu) 2du= a(abu) 2b
14.f
ult
1 ±1fl
a±bul
+C a+2bu
v7'
11. f uRi'i du = 172 (3b 13.
+c
= - in -- I - +c u a2u(a + bu)
Formas que incluyen
12.f u 2 y'a -F- frudu
r)
a
(a
10.f22 du
z+
bu+
-
it
---
= 1ob (15b
2a) (a •1- b-u) 3/2 -f- C
2u2 -. 12abu +
8a2)(a F- bu) 3 / ± c -
budu = b(2n+3)U (a + bu)3/2 - b(2n+ 3)v/a fun-'Tdu du=2Va+bu+af.1du.
--
1311
Apéndice A • Tabla de integrales
I
15
–1 (a+bu) 3/2 a(n 1) u 1
iLd
2a(n - 1)
—du----1n 1 fubU
16a
f
17.
._2
U I
—+In
I
20.
L
du -
a(rt_l) _ u'
--
2a(n-1)
UT1\/r&
(bu---2a)fa±bu-Fc
150 n-1
u
j
/ i i-bu
du= —2u'Ja+bu– 2na (2n±1)b (2n+1)b
Formas que incluven
f
u2 \/Ri?du
/2 + 7, a > 9
24.j
U
Udu
- 112
26J
27.f
+
l +C
1 2
I 2\
L
Formas que incluyen
u2'/a2 - 2 du
a4 1nIu+\/a2
nIu+vu2H U
28.
f
du
+C
U du_1n a 1 a+'/T _uVa _dU
-
_aln
25.1 v2 dumfl± U2
j v':i:i -
J
= u(a2 ±2u2)v/aiU2
23. fdu= V
30.
U2
f
22.
bu –a
a - bu (2n - 3)b f ___..!:-_-_. du,n. 1
d...1
—du
18
L-
tali-- I
1-du
16b. [
_
=
I+c
a2u
U2 ,= a Ea2 – >O=
8.U(2U2
- a2 )v' 2 - U2 ± a4 serf- ' +
+c
1312
Apéndico A • labia de integrales
1
a + Va2 - 142 Va2 — u2 du = Va 2 — — a In + u 74
31. f
-
u dv, = -- ________ - sen-1- + e a
I Va2 -32. I , j2 j I I
In
du = sen - 4- c a
33. I
V? 1 1 1 du = -- in a+ 34. 1 u a j u'Ja2—u2 35.
f
(IV = — uV 2
1
ç
du
36. jU2
u
- asec_ 1
Iv"u2— a2 40.] 2 du=InIu+V?Ta 2
1
a
a2 + c
c
I_ v' ? — a2 +c
1 du=inIu+Vu2_a21+c Vu2 - a2
42. f 43.
sen 1 ± c a
2
v'a 2 —n 2 a2u +c
.
39.[ j
41.f
c
= u',/u2 - a2 — !a 2 in u +
37. /
•
=
-u2 +
u2 +
/2
I
J 1I./V, 2\
du -
u/2 - a2
+ a2 In u 1-
1 lu du -sec1 +C a a a2
I _ du = u 2 \ /u 2 a2 u a2 J [ .b'o'rni.as que incluyen /j'T.u2
I
45. fV2au_112 dn= (u_a) v'2au_u2+ a 2 Cos-' (i) + 46. fuV2a.u_u2 dn= (2u2 _au_3a2)Vu_n2+a3 47
I
V2au - u2 du= V2 an _ u2 +acos_1( a. u
+c
( a -u ) a
Apéndice A
V2au- u2
48
U2
f
49.f
du
V2— au- 2
= cos 1
—COS
U
-
t
_i_1 "\ ( (I )
( a
a
j
u
- it) + c du = -v 2au-' u2 + a cos-I a V2—au- -u- ^ ( a
50.
f 51. f
f
52.
-
d=----u .
1313
• Tabla de integrates
U2
a - u) 4. c
du = - (u + 3 a) v'2-au ---u-'^ + 3 2
_____ du=-
t
au
u[2au-u2
For'inas que incluyen sen u o cos u
53. f
senudu
= -cosu+c
54. fcos udu=senu+c
ss.
f
sen 2 udu lu- I senu cos u+
56. /cos2 udu
=
57. J' sen 3UdU
=
u + I senu cos u + c
-
cosu
-
*sen2ucosu + c
58. f cos3 = senu + senu cos2 59. f sen = -sen' 1 u cos u + f sen 2 -2 60. J cosnudu = cos 1 usenu + n- f Cos' u du u dtt
u+c
udu
udu
= senu ucosu + c
61. fu senudu
62. / f 63.
ucosudu
--
= cosu + u senu + c
utsenudu
64. f
ucosudu
1
= -ucosu + m f u 1 cosudu + c =
senu
.-
nfu m_ 1 senudu + c
du=tanu - secu+c j 1+senu 1 66 / du=tanu+secu+C -senu 1 ,j
65.
(
Apéndice A • labia de integrates
1314
67.
68.
f
1 du =- cot u + csc u + e I+ cosu
f
du = - cot mu + c cosu
1
sen(ln - n)u sen(rn i69. fsen(mu)sen(nu) du = _ 2(m+n) 2(m — ,n,)
f
70.
sen(m - n)u sen(m + n)u ±c 42(rri+n) 2(in—n)
cos(mnu) cos(nu) du
71. fsen(mu) cos(riu)du =
cos(n - m)u cos(rn + n)u +c - 2(n-7n) 2(m+n)
senml serP'u cos u du = -
f
72.
fl
rn+n
u ?n- 1 r -II sen" 2 u cos u du rn-En]
Formas que incluyen otrasfuncones trigonométricas 73
f
tan it du - - lnlcosnl + c =ii Isocuj_+c
74.] cot u du =In Isenul + 75.fsecudu=lnlsecu+tanul+c
77. ftan 2 u du =tanu_u+c
fco 78.
t2 u du =_cotu_u+c
fsec2u 79. 80.
du=tanu+c
/ csc2 u du = - cot u F- c
81. f
ta,1 3 udu = tan'
it±
in Icosu -I -c
82. /cot 3 udu=_eot2 u_1nIsenuI+c 83./sec 3 uclv. =2secu tan u + 2 lnI see u -I- tan l + c f csc 3 11, du = - - cscucotn + 1nIcscu - coi.0 +c 84. f tan' udu 85.
= n1
tan''u
-f
tan
2 udu,n 1
86.fcotnudu=_Licotn_1u_fcotn2udu,n1
I
1315
Apéndice A labia de integrales
87.
fsecnudu =
-j sec
2 iitanu + n— I
csc
88. fcscf udu =
f
secudu
zf csc
2 ucotii +
n
1
2 u du, n 54 1
1 du=u±inIcosn±senuI+c 89.jf l±tanu
90.
fi ± otu duu
91 /
j
1
1±secu
lnIsenu ± COS U) + c
du=u+cotucscu+.c
1 du=u—tanu±secu+c 92.j11±cscu
r
iFonnas que inchujen otrasfunciones trigonométricas
fsen 93.
_ 1 u du = u se n_ 1 u +i/i. u2 +c
94. f cos— '
ii
du = u cos— 1 ii - V1---u7 ± c
95.J tan— 1udu=u tan— 1 uInv'1+u 2 +c
96. fcot_ h udu=ucot_ 1 u+lnvhl+u2 +c 97.
f
98.
f csc' u du = u csc
sec
udu = usec 1
1
Iu + /
2-i+c
ii
- in
ii
- 1.1 + C + in ju + v"u2-
99.f us en_h u du =.(2u2 _1)sen_ 1 u +.uVf_u2+c
100. f
ucosudu = (2u2 - 1)cos'u -
1
Forrnas que incluyen eu
f eavdu = 101. ue atLdu = 102. f 103. f u2 e'" dii 104. J u1 e° du
+c +
f 105.
C
(I
=
-112
uV'1
(t 2
-
u (1,
f
)
du
eau sen bu du = __1 —(asenbu - b cos bU)C'
i0.fea4cosbudu
a2085C
+C
I
S
Apéndice A • labia de integrales
1316
Formas que incluyen in u 107.flnudu=u1nu
—
u+c
10$.] u1iiud'u=.u2 h1u—*u+c fun
109.
In u
lnudu
+C
(n ^ l)2U
110. f 1 du=lnIlnuI+c Julnu 111. f ( Inu ) 'du =u(lnu)2 — 2ulnu+2u+c 112.f
(In u)"du = u(ln'u)Th
--
n
(In u)_' dv
Formas que incluyenfunciones htperbólicas 113.fsenhudu=coshu+c
A.M.
f
coshudu = senhu -i-c
I
f 116 f cothu du
tanhudu = inicoshul -i -c
115.
-
117. f sech u (lit = tan '- 1 senhul 4-c 118. fcschudu = in jtanh uI + c
J sech2udu = 119.
tahu + c
120. f csch 2 u du =
--
cothu ± c
121.f sech it tanh u du
—sechu + c
122. f csch u coth it du = — cschu + c
123. 124.
f f
125.f
1
dx =senh 1 x + c
X2I dx=coskx.ic
2 c1xrtanh 1 x+c 1
126. f Ixk/x2 + 1
127.
f xf11—
dx = — csch 1 x + c
dx
=
—sech'x ±
C
--
-
-
-
-
-
.
1317
Apéndice B Respuestas a ejercicios seleccionados
Apéndice B Respuestas a ejercicios seleccionados CAPITULO 10
23. paralelos
25. no
19. paralelos
21. no
27. (3, 1)
29.(-3,-3)
31.(2,-3)
33.(-2,-3)
35. (,-)
37.
39. i
53 75"
_J-> 'vThVrO
43.
47. (2V2, 5V)
49. (4, 0)
41.(
45. 2 I + i j
(-
)
51. 10 libras hacia abajo, 20 libras a la derecha
5.
53-190 libras hacia arriba, 30 libras ala derecha 55. (13, 17); derecha y arriba
a1
57. (-80 V14, 20), 3.8° at norte del oeste
h 'It
I *
S
b's / 5S
59. (20, 20 V9), 2.9° at este del norte 61. 10 pies
SI
2a-3b
63. 20 V11 libras a 5.7°
65. 7, 1,5
7 69. Ila+bIf =V
71. a=cb(c> 0);a-Lb; ha + bit 2 > hla0 2 + Ilbhl 2 cuando el triángulo formado por a, b, y a + b es obtusangulo, ha + bit 2 < halt' + 11b11 2 cuando el triángulo es acutángulo, Ha + b 11 2 = 11 a 11 2 + 11 b 11 2 cuando el triángulo es rectángulo
-3b
w
S
S
S
bs
5 S *
*
*
S
z
2
a
2.
9. (5, 3), (-4, 6), (6, 12), V 11. 4i + j, -5i + 43, 31 + 6j, 5\/10 13. (-3, 3), (-4, 0), (-5, 9), 4V1 15. -2i + 3j, -121 + 43, 6i + 5j, 4V 17.
9.5
11.3
13. V
15. (3, 4, -2), (-1, -8, -2), 2'/ 17. (3,3,4),(-13,-9,-4),14 contini.ia
19. 8i + 4k,-12i-4.j +4k,2vi
contin(a
Apéndice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
1318
jjeI1 ii
23.
_21.±j.(3 1, 2)
5. 1 27. ±
25. ± - (2i -j + 2k) 29. (4,4,-2)
(1'0'-I) 33.
31. T:(2,0,-l)
(2i -j+ 3k)
9. (4,-3,-2)
7. 4
15. (4, -2,8)
13. (0, 4, 1)
11. -9,-4,1) 17. ±(8,1,-2)
19. ±----(--.3,-6,1)
21. ±(-1,-3,12)
37. (x - 2) 2 + y2 + ( z + 3)2 = 9
23. sen4 _2= 0.86 V IE
r sen-I ______ 2.>.
39. (x-r) 2 + (y-1) 2 + (z + 3)2 = 5
27.\/
29.
41. esfera, centro (1, 0, -2), radio 2
31. 9.4 pies-libras
33. 10 pies.-libras
43. esfera, centro (0, 1, -2), radio 3
35. hacia arriba
37. hacia la izquierda
45. esfera, centro (1,0,2), radio NF5
39. hacia abajo, izquierda 41. hacia abajo
35. (x
3)2 + (y - 1) 2 + (z - 4)2 = 4
-...
----41; piano paralelo-a! planoxz
1.87
43.--!a-bol-a-sube--
--
--
-
47.Ia-bola-cae- 49.-ningán-efeeto 61. (2,-i, 1), (4, -2,2), si
55. x = 0
libras hacia el oeste,
63. 1,000 libras hacia arriba, . libx-ashaciaelstir
17. 1
-
55. la bola sube, se curva hacia la derecha 57. falso 59. falso 61.verdadero
11. -4 11.10 - 15. -8 9. -3 1 1 _ - 1.37 21. cos-' 0.32 19. cos -
69.0
71. -i
73-3j
75. si
77. no
7. -8
23. cos- ' -- 2.25 10 29. no 27. si
25. cos' _L_. 2.12
VD-4
31. si
33. si
35. respuesta posible: (1,2) 37. respuesta posibie: (1, 4, 0) 41. 2, (, )
39. respuesta posible:j + 2k 43.
-
-51-4a-bola suhe
53. la bola sube, aterriza suavemente
67. 10
5. 10
3.49
. ----- ----- ----- 5- la bola cae, se mueve hacia la izquierdaJ
49. piano-paraieio al piano-xy-
53. y = 0
1.49
(4i --3)
49. 158,400 pies-libras 53. (a) falso (b) verdadero 55. a = cb
47.
45. 2, (1, 2,2)
51. 920 pies-libras (C) verdadero (d) falso 59. cos 1
63. $190,000 ingreso roensual
(-
- 109.5°
5.(a) x 1 + 2t,y = 2- t,z = -3 + 4t
x-1-y-2-z+3 '' 2 - -1 - 4 7.(a) x = 2 + 2t,y = I - t,z = 3 + t -2 y 71 - z --3 '' 2 9.(a) x = 1 - 31,y = 4,z = 1 + t x z - 1 -3 1 11. (a) x = 3 + 3t,y = I - 4t,z = -1 + 2t x-3-y-1-z+1 k) - - 4 -. 2 13.(a) x = 2- 4t,y -t,z = 1 + 2t x - 2yz-1 ' -4 -1 2 15. (a) x = 1 + 2t,y 2- t,z= -1 + 3t xl _Y2_z+1 '' 2 - -1 - 3 17. cos-'
-13.
2.58*
19. perpendiculares conttntta
-
Apénd ice B
21. paralelos
23. se intersecan
e
Respuestas a ejercicios seleccionados
1319
25. paralelos
27. 2(x - l) - (y 3) + 5(z -2) = 0
7.
5
29.-3(x+2)+2z0
2
ITrflhTn-rm 2
tO
31. 2(x - 2) - 7y - 3(z - 3) = 0
y
75
33. 2(x + 2) + G(y -2) - 3z = 0
x
/2
..:
35. 3(x-2)-(- 1) + 2(z + 1) = 0 37. -2x + 4 (i, + 2) = 0
cilindro
elipsoide
39. (x- l)-(y-2)+ (z-- 1) + 0
11.
9. 43.
41.
20 1
'SI to! 0 1 2
paraboloide circular
hr -
-2
ww"m Rol
-4
1•
C.
y
4
IU.UuUR 'U...... 1UUU•UU 'UUUUu 1..U•u _IU.UI.
0
'3.
47. I.uu....
• I
2
.4
0
__
•
IL
51.
.mI11f1jjjff
-4 -2 0 2 4
-
cilindro
hiperboloide de dos hojas
i3.x- t,y = t--,z =It
55.
X
S
= 4t + ll, -y =-3t--8,z = t
2.5
0
572
---.
61._ ?
65. -4(x -4) + 2(z -3) = 0 67. (3,4,4), chocan
—2.5 -
—2
0
2 1
paraboloide circular
0 I
2
cilindro
1320
Apéndice B - Respuestas a ejercicios seleccionados
27.
25.
45.
47. z
X=I
/
x=2z
29.
"jill,
X=2 Ix=I /
21 01
I\
y
-4 -2 0 2 4
1
cilindro 31.
-2 0 2 4
49. (0, 1,-i) y (0,-i, -1)
-
p
OL
Q /-2
.:'
_-2
io
0 2.5 5 7.5
1.(.-1,3),(4,0),5
3. 7. paralelos
5 ninguno
9. (-1,-2,3)
2
- -
/1\
paaloioide cip-
(5i + j - k)
13.
17. V4--619. S
80), 9.20 al norte del este
21. (20 y
7,
25. 0 :-
:
o 1• _..
(i-jk)
-4 -2 0 2
2
4
1
29. cos
1.46
^ 84
27W 1
31.
+ 2j + k)
paraboloide hiperboliea hiperboloide de una hoja 33. (-2,1,4)
39.
37.
35.-4i+4j-8k 43. V'4T
39. 1,700 pies-libras 41. 3
--5
0^
-JO -5
37. 45. pies-libras
47. (a) x = 2- 2t, y = -i + 3t, z = -3 4
-10
(b)
0 5 JO
43.
cilindro
3
=
-
3
49. (a)x = 2 + 2t,y = -1 + t,z = 1 -3t
hiperboloide de dos hojas 41.
=
-2
(b)X -2
itgi'i
paraboloide circular
51. cos'
5 -
z-1
= 2(y + 1)
0.42
53. no coplanaies
55. 4(x + 5) + y-2(z-1) = 0
57. 4(x-2)-(y-1) + 2(z-3)= 0
contintki
1321
Apéndice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
CAPITULO 11
61.
59.
"nil," "Inn"
i ma
I':\
IIIU%
5. 5' 2.5
o
cilindro
paraboloido elIptica
1
/(0.0-I)
65.
63.
-5
-2.5 0 2.5 5
7. 2
o '2
*
L
2
Para I .--/ OIo -2L -20i2
9. piano
esfera 67.
7:72
69.
•z.
15.
ID 5
y
0
0 •
2
ivy
-2I U I 2
piano
z
hiperboloide de una hoja
71.
19.-4 -2 0 2 z I
4 2 0 -2
0
y
-4 •-2 0 i - 4
-4-20244
23.
21.
*z'
44
5 2.5 x'J \
IiperboJojde de dos hojas
-5-2.5 0 2.5
25.
5
27.
I0 0
-1
X
w--- 0
l0
contniia
27. (t2_t,t) + c
31.
29
Ir
Apéndice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
1322
29.(sen3t, -cos t,e) + c
z
Jo'
31.( et2,3 sen t_3t cos t,
of
33. —'1 0
- 100i0 0
35. 4 In 3, 1- e 2, e + 1
/10 0
101 1
—2,3)
ln (t2 + 1)+c
39.t=0
37. para todo t
fliT
43. t= 0
45. t = -- (mimpar)
51. falso
1
33.
35.
MA
c;)
z
k
5. (-10 Sen 2t, 10 cos 2t), (-20 cos 2t, -20 sen 2t) Ol
7. (25, -32t + 15), (0,-32)
12
9. ((4
—— —, 21012
—
8t)e 2L, -4e, -32t), ((-16 + 16t)e 21 , 8 e 2 t, -32)
11. (lOt + 3. 16t2 + 4t + 8)
13. (5t, -16t2 + 16)
-
37.
39.
3, • it2 + 4t + 20)
15. (lOt, -3e -
t
-
t2 + 5, At, .8t+2)
-40
,,
_______
---020O2O4o
2
-
-2
(b) C
41 (a) F
(d) A
(c) E
(e) B
(f) D
•
4 3. 10.54
45. 21.56 45.21.56
19. -160 (cos 2t, sen2t)
21. --960 (cos 4t, sen4t)
23. (-l2O cos 2t,-200sen2t)
25; (60, 0)
27 iz
ai pies,JMOpies/s
47. 9.57 29. 2lO pies, 40() ± 40\/1810pics,8V10 162pies/s
49.cos 2t = cos2t- s— en 2 t 53. lo mismo, excepto - oo
co,
-1 :: ^- x :5 1,0 x
31. 810 pies, 1,600 + 720V
3,210 pies, 8\/i31
5. (-1,1,0) 11. t # 1
7. (1,1,-l)
13. t
9. no existe
(n impar)
pies/s
41. (120t, 8- 16t2), no
39. (130t, 6- 16t 2), 2.59 pies 43.3.86s
-
37. (60Vt, 3 + 60t — 16t2), no
33. cuádruplas
55. periódica, no hay suficientes puntos
-
45.(271,117,0) 47. a = 100,b = -1,c = 10 '
49. 56.57 pies/s
51. 1,275.5 in
iS. t > 0
19. (cos t, 2t cos t 2, -sen t) 7.x=s,y= is, 0:Ss:55 21. (2te, 2t sec 2t tan 2t)
23.
25.
9. (I ' 0),
-
(3,-2),
(3,2)
z
Yl
4
11. (0, 1), (1, 0), (-1,0)
2
0
13.
-2 -4 -4 -2
0
2 44
1
(3, 0, 2), ç
1
(3, 0, 2),
ç
1
(3, 0, 2) continja
L
I
1323
Apéndice B. Respuestas a ejercicios seleccionados
17.
15.
35. 40,000i0 (-cos 2t, -sen 2jnt) 1
F-lI>
39. 1
37. seduplica
Y .
L0 •
19.
0.3536
23. 6(37)2 v= 0.0266
21. 0
01(4-2.1)
25. 1
31. 1,
29., 25 25
27. menor
-
33. max. en (0, ±3), mm. en (±2,0)
-4-20 244
:39. 0
37.0
35. max. en (0, -3), no bay min.
7.
5.
43. falso
41. la curva tiende a rectificarse 49. 2 10
45. verdadero
.
51. 7w
lI\
2 0
4= 5 e-2
'
N
-4-2 02 44
L 4
10
(-2,1)
(1,2)y
5.(1,0)y(0,1),
7. (0, 1)y(-1,0),(-.1,0)y(0,-1) 9.
(0,1,2)y(--1,0,0),(0,1,-2)y(1,0,0)
9., 11.
-3
(1, 0, 1) y (0, 1, 0),
"3
13. x 2 +(y _)2 17. aT =
=
32
64 'Eq
=-
--y a. =4,.I---" V16+i-2
0ya1., =a
29. verdadero
15. 2iA/
17,..
(0, e2 , - 1) 19.
(e)D
(f)TI,
t 0
,4 cos 4t,i) 25. (0,2,2)
(0,-i, 4,,
33. (0,-128)
31. (4t 4 2, -16t? + 3t + 6)
35. 25(2 -- v's) = 6.70 pies, 100 pies, 80 pies/s,
21. ninguna; creciente
1
(c)A
29, (t' + 4t + 2,.-.16t' . j)
r 2o+
1' Vii1T
27.
(b)C
27. (-8 sen 2t, 8 cos 2t, 4),(--.16 cos 2t, .-16 sen 2t, 0)
___
23. a...
(d)F
13.(a)B
23. (.-.e , -t, 20 - t) + c
19. a.r 0 y a N a. --
•.4-2 0 =4
2i(
15.x2 +y2 = 1
32 64 fYaN =
--
F (-1, 1,-i)
(1, 2, 1)
L
1
25.
V'l
37,
1 + 16ir2 (0, 1, 4r)
31. verdadero
1
1 -•l, 1, O)ç,
' 3V'
41.0, -0
45. a.,- 0, aN = 2; aT = \/ yaN
33. 10,000 (-cos ant, -sen ant) continil,a
47. 345,600 (-cos 6t, -sen 6t)
43. T(0, 1, 1), (-1, 0, 0)
v' cont'inaa
1324
CAPITULO
12
39
5.
7. x+y+2>o
11.
0
13.f -1
19.
1-
Apéndice B. Respuestas a ejercjcos seleccjonados
'I.
9..f O 15. 3,3
17. 2,1
21.
loL -4 -2024
-2
23.
* 0
2
2
25.
-2 -1
o
1221
29.
-
-[
/r
[%'
51. (a) 'B (b) D
(c) A
(d) F (e) C
53. (a) A (b) D
(c) C
(d) B
-2 .-
31.
33.
(0 E
55. 7_5
--
2. 2.'
-2.
57. (a) B 5.
37.
2
10
-4 0 2 4
--d
COfltina
(b) A
59. altura no visible
61. arriba ala izquierda, restaurantes, ca lies 63. izquieida del centro, la fuerza aumenta al alejarse del marco 65. max. = 3.942, mIn. = -0.57, MS
1325
Apéndice B • Respuestas a ejercicios seleccionadOS
a2f af 17. - = 6x, - = ax2
9.2
7.-i
5.3
a2f ayax
8x, - - -
ay2
11. a Jo largo des = 0, L 1 = 0; a lo largo de y = 0, L 2 = 3, por consiguiente L no existe.
19.1
1252 - t3y3, I = 18xy2 ,fXYY = - 36xy
21. f
6xy2 , f= - cos yz + yz sen yz,f,, =
13.alo largo dex=O,L 1 =0;alo largo dey=x,L L. =2 por consiguiente L no existe.
2 2 23.f.., = 4y2e2 , f = 4x2e2 _ -I - xz sen y'
15. a Jo largo des = 0, L 1 = 0; a Jo largo des = 'y2, 1, 2 = 1, por consiguiente L no existe.
25. f.
-
XX
X
2xj -.z 2e''-,f= 2wj
7.
= x, L2 =
4
0
29.
27.
z
17. a lo largo des = 0, L 1 = 0; a Jo largo de y 3 = x, L2 = por consiguient.e L no existe. 19. a 10 largo des = 0, L 1 = 0; a Jo largo do por consiguiente L no existe.
= -- -
4
21. alo largo de x = 1, L1 = 0; a lo largo de y = x + 1, = por consiguiente L no existe.
4
7nc 31.
23. a lo largo des = 0, L 1 = 0; a Jo largo de 2 = 2 + z2, L2 = 1, por consiguiente L no existe. 25. a lo largo de j = -x, L 1 no existe, por consiguiente L no existe. ;
27.0
31.2
29.0
33.0
39. Para todos loss, y 41. x + y2 <- 9 43. x _,y2 <3 45. y ;40
47.x 2 +y2 +z2
4 49. 1
51.verdadero
53. falso
55.1
57.0
59. no existe
33.
41.
PV 3
-
nRV3 n2aV + 2n3ab
\ 2'2' (mlrnlT
= max. para m, n impares; \
7. f = 2xe Y,J = =
9.1 = 2x sen xj + xy cos 4y = -em' + x y
11
13.f = 3seny
15. f
-
cos xy - 9y2
at2
S
53.
+ I2xuij2z. f = 3x cos i + 8x3yz,f. = 4x 3y 2 -2x
(x 2 + y2 + z2)u/2'
-(x 2 ±
= -- c2n2iv2 sen nivx cos nivct
---
0.5
1+1' l+0.1(1-T)
55. cos x cost, -sen x sent
--2y
47. 1.4,-2.4
51. ---- = - n 2 70 sen nivx cos nivct, ax
I ._ --
-. 4x = _-j.e y
= nun. param, n impares
45. 1,-2
43. 4,2
+ 411
39. (0, 0, 0) = mm.
I
--,- 2 5 f = 32 - 42,f = -8.'T,j
37. h
V,inflación
59. (.
+ z2)312'
63. concavidad de La intersección dez =f(x, y) cons = x. eny=y0
-2z Jz --. (x2 +y2 +z2)
contiivücv
Apndice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
1326
jr 7.z=1
5.4(x_2)+2(Y_1)(Z-4)0
5. (2x
+ 4y2 , 8xy - 5y')
7. (e' 2 + xy2e
9. x z'0 11. &x 2) + 4(y-3)--(z-4) = 0
, 2x2yecY2 -. 1J sen y2)
9. (-8e -- 2, -16e 8)
1:3.(x-l-3)+-(y--4)--(Z-5)O
i7.2--6V3
15.2+6V
LS. 2( • - l--':y--:.i) - (z2) = 0 19.
17. .x
21. -3x
23. -8 + 12x -I- 2 + y--8(z-- 1)
23.0
)
13. (0,0,-i)
19. - 1?..5V13
21. --3V'
11.( .
27.--
25.------
12
3 V29
31. (4, -3), (-4, 3), 5, -5
25.1) •.12(w 12) ;-4.(x-3)f12(j--1)+2z
33. (16,--.4),(-16,4),
27. 3 vs. :3.0016, 3.1 vs. 3.i, 3.1 vs. 3.1016.
35. (1,0),(--i 3 O), 1,-i
29. 0 vs. 0,-0.1 vs. -0.0998, -0.1 vs. -0.0988 -
33. 3.85
3L 1.5552 0:6307 7. 2yAx1- (2x -1- 2,) A7 --
35. 4.03
(2 37.(2
8)'
- 3 - - .-VF45-------- '.44s
x+ 4l.paralelos
45.f(0, 0) =f(0, 0) = 0
43.2( -:
43. (yes + cos x) dx + e' dy
45.-2(x + 1)+4(y-2)+ 2(z-1) = 0
49. 6 + 4x +
47. (0,0,0),(1 ) 1,-1),(-1 ) -1,-1 -- 10); -13.4
-
---.
49.(0,0,1),(0,0,-1) 51.
S. (2t+t2 +1 - cose')et 7.
L
au
= 512u6(3u2
-. v cos u)(u3 - vsenu)
H11
+ 1,536u5(u3 - vsenu) 2 ;
og
elI)
Sl2u6 senu(vsenu- u 3 )
af
9. "(t) = ---.v'(t) 1---- ---y'(t) o
x
11
ay
au ax au ay au' 3v dg af ax af ay 3W 3x 3w 3y 3w 13. -0.627 15. 0.0587 a2f
19. - :-''(' +
i
-
3Z
59. (-tan 100, tan 6°) (--0.176,0.105), 11.6'
ax av
2:--T-x'(t)y'(f) 4-
57. (2,--2)
55.. respuestaposibk:(--4-.2)
d3yäv'
af (fly-
63. (10e,
8,
8)
61. (8,4)
65. (0.8,0.3,-0.004)
KID
ZRIJ
67. 6x + 2
IN
5. (0, 0) silla, (1, 1) min. relativo
-x"(t) -I
z3z 3z ax 3x2 + 6z 2 - 3y' ay 3x2 + 6z2 -3.. = 3yze - 4z 2 + cos y 3z 3xzeIY4 - xseny 25 8xz - 3xyexYz ax 'äy - 8xz - 3xyexYz 27. 2 puntos; se reduce a 'a mitad
7. (0, 1) min. relativo, (±2,-i) silla
9. (, 1) silla
11. (0, 0) silla, (1, 1) y (-1, -1) mm. relativo 13. (0, 0) max. relativo, (1, 2) silla, (1, -2) silIa 15. (0, 0) silla, (- -i-, ) silla
con tini.a
1327
Apéridice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
/ '..,/
17. (0, 0) silla, (1, 1)y(-i,-1) min. relativo 31.x=3j 19. (0, 0) max. \/) max. relativo, ± (\/, -\/)
21. (0, 0) silla, ± min. relativo
25. 9,176
23. 1.37x-.2.80
8
6 6, 6
27. 248,104
(b) 2.75
29. (a) 1.29
35 a = ,8 = 0 = 6
.,,..,
31. (--0.3209..-0.5185),(--•0.1833,•-0.4266) 33. (0.9044,0.8088),(3.2838, -0.3856)
.
41. f(0, y)
--2.5w
39.ft3, 0) 9,flO, 0) = 0
/O
0
2.5
3 5 (0 0)tsunpuntodesilla 37. J(2, 0) 4,f(2, 2) = .2
2
,2
-2
11/1 ft
.
L(
k
'
-.. ................. '2' I 2
f(x, 0) = 0 mIn.
47. falso
45. falso
43.-fl--i, 2) = -4 min.
7.
'
49.- extremos en (± ±), silas en (±nit, ±n,)
.
.
51. extremos en ±(1, 1), silla (0,0) 53. extremos (±0.1, 0.1), silla (0, 0) 55.cZ(x,y)=V(x _3) 2 (1.5,-1.03)
0i'
/1
/2
.2 L.......................... -2 -I 0 I 2
-
-2----.-..9----. -
+ (y+2)2+(3-x2--y?,
.
9•
.
59. (1, 0),fli, 0)
57. (1.6,0.8,-2.4)
2. ---
-2.
5.x=,y=-* -
7. x=2,y-1
9. x=i,y=i
11.32 = l,y = -i
11. (a) D
(b) B
(c) C
(d) A
(e) F
13. max. =f(2, 2) =j'(-2, -2) = 16, ruin. =ft2, ...2) =..f(--2,2) = .46
13. (a) C
(h) A
(e) D
(d) B
21.
15. max. =f(±V, 1) = 8, min. j(±V2,-1) = -8
23.f
4
+ (1 + xy)e,f.
y
25.f=
33. (x - it) + 2
23. max. -ft±v', 1) - 8, mm. -- f(±V', 1) --- --8 25. -u
z = 195 pies
1 29. P(\/, 4 \/,V') 660 + A = 666.0375
6X3jCO5y---
27. P(20, 80,20) 660 . continia
.:,
f
3x2 cosy--3x 2 yseriy 2 ) + C)(j ...
y -. 2
f = 24x2y + 6 2 ,f; 0
6322 ,1 = 8x3 + 12xy
39. 4x + 4(y-2) + 2(z- 1) = 0 41. 8e81 sen t + (e81 + 2 sen t) cos t eontina
37.3(y -!- 1)- z 666.047498,
+
31. 45--- 10(x
29. -.0.04,0.06
21. max. =fi2,2)f(-2,-2) = 16, -_
0
.
17. max. =Jtl, 1) = e, min. = f(-I, 1) = -e 19. max. =fl±v', 1) = 2e, min. =flO, ±V) = 0
4x
(f) F
I
Apéndice B - Respuestas a ejercicios seleccionados
1328
of
of
Of
43. g'(t) = - x'(t) + -y'(t) +
45 ,
OZ
- xt z
Ox
N/5
Of
.
47. If y/2
=-X+ Y
ay
51. - -
49. .-4
Z'(0+
47• <_! 12.7 -
z
ff
51.
53. t-=(9,-8), ±4v'i5
V145
f(x,v)dxdy
fx/2
49.f4
fix, - y)dydx
fix, j) dxd-y
fy
(2
53.J / 2e 2 dydx = e'- I 0 JO
57. (16,2)
55. ±(J., 0), ±4
L
ff
59. (0, 0) inInimo relativo, (2, ±8) sillas 61.
(,
) mdx. relativo, (0, 0) silla
63. 212,112
dydx = e - 1
61.
59.
65.f( 4 , 0) = 512,ftO, 0) = 0 67.f(1,2) = 5,f(-1,-2) = -5 69.f
('/ V) = f(-\/, -\/) = ,
6
I
i4"fiTi)! 2 0
-
6
CAPTULO 13
-
---
63. dominios diferentes
-
5.6
7.
IS. 12(e 2
_________________
17
1)
19.
.f
21.
22 8---
21.
/)I
33. 1
#
29. e4 - 1 35.
§
f3f
31. 2 in 2 sen 1
2-
f[
1dxdy3
11. 6
exYdydx = 9.003
23
25. m =
4, i
=
0
16
29. En el ejercico 26,p(x, y) noes simétrico con respecto alejex.
x2 + y2) dydx = 90
31.p(-x,y) =p(x,y) 7• 3392
37.Jj (x 2 + y2)dydx =
33.
35. ci mismo
39. 50.113
41. (a) precipitación total en la region (b) precipitaciOn promedio por unidad de area en la región
2 fyz L
41.
1 dydx = 13
0 0
27. in 27.
7.
13. 12-15. 0 2 f4-x' __ V'x2 + y2 dydx = 10.275 19. f •/4p2 x/2
I17.
to
25.i_8
_____
(1
I j JOJx'
9.
23.2
-
=
43. 1.5945
43 .5=
.
45. 1.6697 contin-ia
45. 1
, ; razón de giro 13.6 veces más rápido
Apéndice B
•
0,i=
33. m= 322r,=j=
5 . 11r
7. .'r
9.
1.1.
+
-
1329
Respuestas a ejercicios seleccionados
=
35. m
= f,
138,
-
=
,
1
37. el lado derecho es más denso en # 34 15. x -ire'
13. 18n
17.0
I
19.
2--x-2y
y L L.L f / f
4yz (lZdXdY
2--.2
21. L6
P7r
33.
/2 2
41.
I f/4'7/2 J0 20
r4 drd0
=
12f2
r2 drdO
=
45. 3 = 0, 5
2-2.7
4yz dxdzdy
I 61T
4yz dydzdx J2 f4-2.
f4-2y-x
/o
(1 -e 4 )
dzdxdy
Jo .j:'::;5
•\'.
'"
167rV
39. 1 -
5
0.06
.L .L .L /f/ E
- 0.000000033
43..
clydzdx
4
'2
45.
dzdydx
x.0
.0
e225116 - e'6)
2j
41. II
ir
re 2 drd8 = 35./ J-17/2 fo
37.
12
3
31. a
29.36
2-
25.!
23.
LIP
J
=
5. r
=4
7. r
= 4 cos 9
11.z=cos(r2)
5. 36.177
7. 4\/
9. 583.77
11. 6-\/fl
13. 4V6-
15. 0.931
17. 37.17
17.
19. 25.13
21. V2A
23. _.
25. 4L
19. f J
Icos
°I
15.
-2
23. 7.
--
f/J 2 -2
27,
/
--I I)
f
xV
29.
2 --z/2
dxdzd-y=8v
f
/J p1
z
3.1,
33. djdzdx
= 9.iv
35.
x-I
29.fffdzdJdx
/' 31./
ddxdy
rf(rcoso,rseno,.z)dzdrde rz
=
'2 ii
/
+
vi
J /
-
1)
c.-2y--3z
3 - 37/2
dzdrdO 2; 4-
// f /// j / f J-2w
z)dxdydz
=
12
= 2-n
s..: (x + y)dzdxdy = 8
re7dzdrd0 = -n-(e9
2,r3
ddzdx=4
4
2r cos 0 dzdrd0
-
10) 0
=
ff f'-^r 2rdzdrd0-(\/-l) 32-
f3-x
I I .1--i ix' JO
cos 9. rsen0, z)dzdrd0
fL 3 z2, dzdrd0
= 1216
sen0, z)dzdrd0
L271L11: .7.7rf(r cos 9,y, r sen0)dydrd0 /frff f f rf(x, r cos 0, r sen 0)dxdrdO 2
4
V'4--y
25. 27,
23. J f J
dzdxdy
x
0.-I
25./
1 28 ir 15. --.-
13. 0
19. simetrIa, Si
17. 128 21.
11. 11
9. 1.
rf(r cos 0, r
2
0
21.
5. 16
•L271 J-
contnia
41.
=
13.O=
f 2,r f2 f
3. 46.83
9. z
I II Jo Jo
-
r
r3dydrdO = 243-n-
con.t.n(a
1330
45.
43.
I
Apénd ice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
31.
Oil
47
J
49.
2 10-12
33. TM
.- — # . __-3e4
128ir - - 16 5l.m= ----- , x=y=0,z =--;- 53.m=10r,x
38 4— =-
NNW-
5.(0,0,4)
9. . ( V, 0 ,V'2)
7. (4,0,0)
5ir
IT
15. (3 = --
13. p = 3
0 -- -437.
17.p =cos'p=2
19.4 6
21.
39.
/
Jo1
23.
rirlz P2
p 2ir
-FeP sèn4
I I /
41.
/
p7 sençbdpd4do
(x2
+ ) 2 + z2 )dzdydx
Jo
2
-
3
fff f
= 28_
dpdçbdO
f --
= 41T
= 15
j
i
43.
j'
o
his. -2
25.
0
oj
.--------.
--14 2
f
4 cos q
-2
0
dzdydx = 3.061 i/2
2
2
8ir
49. fffr dzdrdO =
29.
v/4
2
f
p2 sen
4 dpdçbd8
4 - 2V IT
=
2ir
6
•4
p2 sençbdpddO
1.
-2 -4 -2 0 2 4
ir/4
21r•
47.7
f
JjJL
1
2f4fp3sencbdpdcbdo = (2 —
2
-
27.
ffr3dzdrdo = 2!.
Aff ff
r dzdrdO -
-
---
2
o —4 •-2 0 2 4 2
.
irjir - I
57.
p3sen4dpdddO
ir
.
-
2
- 59• fofff'fps:sen didpdçbdO = 256 —128V continia 61. .x= y = 0, z = + 4 8
1331
Apéndice B IRespuestas a ejercicios seleccionados
1199J + 2v),2 :5 u :5 5,1 :5 v :5 3
3. x = (v -u),y =
5.x(u-v),y=(u+3v),1 :5u:53,-3:5v:5-1 7.x=r cos O,y=rsenO, 1 9. x = r cos 49, y =
i
sen 49, 2 :5- r :5 3,
Iff
<
4
31r
11. x =\/--u),y =(u +v),() u 15 2.1
4 ^
63.
61.
65.
U
-4 -2 0 F-4
v 153
13.x =1n((v-u),y =(u +v),0!5u 5 1,3 :5v 5 5
1j
15. Z 17. 19. Z 21. Rel -e5)1n3 23. 2
-2
27. 2
25. 4uw
(u - v + w),
u •-w,y=(-u +v + w),z 2,0 v 1,2 ^5 w < 4
29. x 1
0
67. x =
69. Re
- u), y -
-
v, --1
'u :51, 2
v 4
71. 4uv 2 Au2
e')
31. 1
EJERCICIOS DE REPAS9 PAGINA 1201 3. 207
1.18 11. -19.92
5. (e' - e 4)r 15. 167v
13. 1
9. 0
7. Z
17. 111
19. 7.
5.
21.(i6
27. i.
Jir/2
23.
8V)ir
-
25. fff(x, y)dxdy ovj =2 = 29. m =
2
J2r2cos 0 drd0 =
0 _64 -
rn-
v, .y-_23 t
-
I
/7- --. 2
//4L
-_$ -
= f(2
-
y
•••
::•:
\\'
/)dy =
-
--:
•,
'
41. 16irV
37. 2Vi
35.
43. jffz(x + y)dzdydx
0
f
p3senc/dpdçbd8 =
53.
'ir2
f14 f
2
6--x-yf(X' y, z)dzdydx
49.
.
(8 4V)17
2f2f
f 2w 'jw/2.j 2
51.
- ..... S.
2
f27, fr/4f 45.
11.
9.
\ \\
f(p sen 0 cos 0, psendsen 0, p cos b) D.
p2sencb dpdcbd9 e"(V f' 1'
/
Jo
flf,,14
/ erdzdrd0 = .io
-
1)ir
4
v2
f p
3seriçbdpdd0
55. (a)rsenO=3 57. (a) r' + z2 = 4 (b)= 59.zr
(i
(b)psensen8=3 (b) p = 2
)1T
-
conttniia
eontina
I Apéndice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
1332
17. (2x, 2y)
15. F =0, F 2 = B, F3 :A F4 =C 19.
21. (e - Y , xe')
23.-
-
V/'x2 + V2
(x, y, Z)
Wl,
5. f(x, y) = x 2y - x + c
\/x2 + y2 + z2 +c
7.f(xy) = ----x2 + 27 f(x..v)
+ z.v
12-rv
31.f(x,y) = 1x2- r2 q +
29. noes
.xij ± C
lLf(x,y) = e
9. noloes
+
32 + yz 35.f(x,y,z)= 2s 2 -xz +
37. noes
+c
1.5.
.t,y,z) - xy2
• f 1x +
+ 19.f(x,y) = e x3 y 2 ;- 16
x 2y-y; 8
17.f(x,-y) 41. y = x + c
F
21.f(x,?j,z) = xz2 +x2y;-38 45. y2 + 1 =
+c
43. (ij ± j)gY
=
f J(u)du + f g(u)du + f
25.18
23. 15-
CC2 X
27. V 47. f(x, y, z)
+ seny + c
xz 2 + . e2 y + j -3z + c
I.I. J'(x, 11, Z)
33. f(x. y) = -cos .ry + c
39. ,y = sen x + c
2q
h( u )du + c
51.3rr
35. si
- v' 4 37. no
31. 10-c 18
29. -2 39. no
33.0
45. falso 47. verdadero
49. tan\) +e, a-
55.
-
Lai; IS aIarnbe
-. -.
.4----- - - /
15. a
7. 16
27,
29.
9. 54
11._ -13.67-15.
39.
-.
7. L21 vT7 9. 4
5. 4VT
5.
17. 25.41
11. 12 21. 1
19.4
5. (0, 0, -3y), -x
7. (-3, 2x, 0), 2z
9. (-y,---2x, -x),y + z
11. xe + 1,-e, 0), 2x + 1
11-4 23. 13. (-x Sen y, 3y - cos y, 2x - 3z), 0
25. av'6 35.26
49.
39. 4jr45. negativo
47. 18.67
2.227, = 5.324
55. VS
33. 41. positivo
37.0
43. cero
31. 0
29. 31
274
51. 99.41
51. 4a
61.
53. 359.9
15. (2z - 2z, 2x, 0), 2z + 1 + y2 19. incompresible
(b) 15.35 (c) 3.65
21. conservativo
23. ninguno
25. incompresible 27. conservativo 29. conservativo 31. (a) escalar (d) vectorial
(b) no definido (e) vectorial
(c) no definido
63. 12 35. positiva
65. (a) 22.1
17. conservativo
37. cero
39. negativa
.
F
1333
Apéndice B • Respuestas a ejercicios seleccionados
5. x = y, v =
1
z = 3x + 4y
7. x = cos u cosh v, y
=
53. m = 8\/f4,, 3E == 0, 1
51.0
son u cosh v, z
=
seth v, 0 :5 u :5 2
49.
47.
45.1
43. -1&v
41. 24,r
1
1 55.m=2,x=,y=0,Z -
-.
6
-
9.x=2 cos O,y=2senO,z=z,0:!:-O:52r,0 : 5 z:5 2 11.x=rcosO.=rsenO,z=4-r 2,00:!^_2,0:5r:52
57.
f
fg(x,y,z) dS
ff
g (f ( .y z), y. z)\I'.) 2 4- (f+1 dA ,
R
T1fl
donde S esté dado porx =jy,z) para (j, z) en la region a '1
61. 198.8r
59. 0
23.66
65.
67. Las IIneas de flujo no cruzan la frontera el
U
15.
I
63, 0.474
Kr
17.
2
01 -ii
7. x
.
11 x-
11. 8
9. 0
13. 32 r
64 r 15. -i5 -
Y
'T
-2L.._-----2--I 0 15
17. 4 r
19 .
6ir
•ir
21. 0
-
31.
29.
27. 224v
25.
23. 512
19. 5.0
17.0
21
7 47r
9 _4
jj
:.
21. 4r
19. --4i
15. 1
13.0 23. 0
25. 0
x
21. (a) A (b) C
25. 4V'14
23. l6jr\/
(c) B
1.
f X
33.
31.
29. 4r
27. V2
Vi4dxdY
/ f r2 sen oV+i
3V14
/
drdO = 0
17 A
37. 39.
•
f Vr2drdO = f0
0
3. F 1 =D,F2 =C,F3 =B,F4 =A
3
2ir fir/2
/ 1 Jo
7. noes
5.flx,y)=xi-x 2y 2 +y+c
4(4send)d4d0 -
9.y=3x2 +c contnuia
13.18
15. 18v
17.0
19.0 contin'Ca
1334
23. cero
21. 3,-4
35.
33. si
31. 10
43.(0.0,03x 2 -3y 2
25. 40n 37. -2
ApOndice B - Respuestas a ejercicios seleccionados
27.66 39.
29.3 41
55. (a)B (b) C (c) A 59. -81/-1-4-
49. ambos
- -
0
2.5
5
7.5 1 0
7
69
53i2)
63. 0 1 + 391 VT
-
=
51. positivc, 67 '
-
61. 4tV
4S.(0,00,2+2z 2 +2y2
-31(17 47. ninguno
57
71
73 0
75 0
77.0
Bibliograf ía
1335
Bibliografla Estasección es en parte bibliografIa y en parte agradecimientos. No intentamos dar una lista amplia de los libros relacionados que vale la pena leer. Queremos más bien dar crédito a muchas de las fuentes que nos inspiraron. Esta lista no es ni cercanamente completa, ya que no pudimos incluir todos los libros ni agradecer a todos los profesores y a todos los estudiantes de quienes hemos aprendido rnatemáticas. Hemos organizado la lista segün capItulos y LOpicos.
Capitulo 10
Fricción al caminar: véase [531. Helicóptero con la hélice en movimento: véase el escenario interesante descrito en [82] Krauss, Lawrence, Beyond Star Trek, Basic Books, 1997. Torque: véase [1010 Ufl texto de básica introducción ala fisica Fuerzas de Magnus: véase [10], [20] y [541. Elipsoide en golf: tornado de "Experimental Determination of Inertia Ellipsoids" de S.H. Johnson en [8].
CapItulo 11
Movimiento vectorial de un proyectil: véase [54]. Leyes de Kepler: véase [78].
CapItulo 12
Efectos de la humedad en un proyectil: véase [10]. Diagramas de densidad: creados utilizando las matemáticas. Gráficas de tenis: véase [49]. Predicciones acerca de promedio de calificaciones: agradecimientos a Dan Larsen, Roanoke College.
Sombreado de Lambert, fotograflas digitales: véase [33]. Interpretación de las derivadas parciales mixtas: adaptado de este artIcub [83] McCartin, Brian, "What isf?" PRIMUS, March 1998. Gráficas de béisbol: véase [20]. Hoyos de golf: véase [10] y [26]. Calibración de metal manufacturado: agradecimientos a Tom Burns of General Electric. Cálculos mentales: UflO de los varios ejemplos interosantes en la exploracion de cómo procesa las matemáticas el cerebro humano. Estrategia futbolisficat el ft'tbol se analiza con tanto cuidado como el béisbol. [84] Dehaene, Stanislas, The Number Sense, Oxford University Press, 1997. [85] Carroll, Bob et al., The Hidden game of Pro Football, Warner Books, 1998. [86] Stern Hal, "A Statistician Reads the Sports Page," Chance, Summer 1998. Empuje óptinlo de un cohete: adaptado de este texto para ci cálculo de variables, un curso de nivel avanzado, estrechamente relacjonado con la teorIa de control. [87] Smith, Donald, Variational Methods in Optimization, Prentice-Hall, 1974. Timén de barcos de vela: el diseño de los yates de carreras se ha convertido en uno de los problemas de ingenierla sobre deportes. [88] Stein, Sherman and Anthony Barcellos, Calculus, 5th edition, McGrawHill, 1992.
1336
CapItulo 13
BibliografIa
Cohetes modelo: véase [59]. Simulación de Monte Carlo: la interacción de proc.esos aleatorios y no aleator!os puede ser sorprendente. [89] Ripley, Brian D., Stochastic Simulation, John Wiley and Sons, 1987. Momento de inercia: el principio que subyace tras muchos de los fenómenos deportivos. Véanse 10J, [20], [26] y lOS siguiontes libros cientIficos de interés general. [901 Bland ing, Sharon y John Monteleone, What Makes a Boomerang Come Back, Longmeadow Press, 1992. Bates tie beisbol: véase [101y 120]. Transl.ormaciones lineales directas: véase ci documento "Video Monitoring System to Measure Initial Launch Characteristics of Golf Balls", par N. Gobush, D. Pelletier y C. Days en [8]. La técnica en sí misma se deriva de Abclel-Aziz, Y.I. y H.M. Karara, "Direct Linear Transformation into object Space Coordinates in Close-Range Photogrammetry", Simposio sobre fotogrametrIa en rango cerrado, University of Illinois en Urbana-Champagin, 1971.
Capitulo 14
_____
Escarabajo Volkswagen: la información sabre ci nuevo escarabajo se ongino en el sitio dc Volkswagen on la Web Lo.&eoeficientesaerodrnpmicos--li1d an se Ildilan en cstc -= Roberson John y Clayton yton Ci owe, Engineering Fluid mechanics 3 Edi ........... eioHtigton-Miffhin, 1985,
_-
de otra manera en algunos libros sobre cálculo vectorial, como S.chey,.H.M.,.Div, Grad-Curl-andAJl That, 3. Edición, WW Norton, 1997.
----------
.-
-.
.-
.-
1337
,
Indice A Acción do una have sobre un tornub, 927 Aceleración: buena, 898 definición de, 898 dirección de la, 890 Adición: componente a componente, 892 de vectores, 892, 905 Alcance: deunflyball, 1017 de un proyectil, 991 de una bola de béisbol, 1017 Altura maxima, 985,987 Angulo: de lanzamiento, 1017 de un servicio de tenis, 1016 entre dos vectores, 911, 912 entre pianos, 938 vincular, 918 Anguiosidad de una curva, 993 Anticonmutatividad, 923 Antiderivadas, 1196 de una función con valores vectoriales, 976 Aproximación(es): cuadrática, 1068 do La combadura de una viga, 1064 lineal, definición do, 1060, 1063 lineal, deterrninación dc uria, 1060 lineales, 1057 Arco, 1146 longitud de, 1222, 1223 Area: bajo una curva, 1117 cálcubo del, mediante el teorema de Green, 1253 de superficie, 1152 de superficie aproximada numéricamente, 1156 do superficie en coordenadas polares, 1155 de una sección transversal, 1135
en coordenadas polares, 1147 en el subintervalo, 1117, 1118 Aritmética vectorial, 893,896 Ascenso más empinado, 1096 Asociatividad, 905 de la adición de vectores, 894 Atomo de carbono, 918 Atracción gravitacional, 1009 Aviones de combate, 957 B Backspin, 929 Bandas: de Möbius, 1280 de temperatura y precipitación, 1025 Base canOnica, 896,906 Bate: acorchado, 1171 de aluminio, 1171 largo, 1171 recortado, 1171 Bateador, 928 tIpico, 1075 Bicicleta, 933 Bisagras, 933 Bola: de béisboi con efecto, 928 lanzada en curva, 928 C Cálculo: de la distancia en R 3, 904 vectorial, 1204 Calibre de una lámina de metal, 1065 Calificación promedio, 1030 Cambio: de los lImites de integracion, 1131 de variables a coordenadas polares, 1195 do variables en integrales multiples, 1188 de variables para transformar una region, 1195 Campo: con inverso cuadrático, 1291 de la fuerza de gravedad, 1209
de vebocidad, 1210 de vebocidad de las corrientes del océano PacIfico, 1210 de velocidad de un fluido, 1207 gradiente, 1214 vectorial, 1204, 1205, 1208 vectorial conservativo, 1.214, 1.265 vectorial irrotacional, 1262 vectorial no conservativo, 1266 vectorial tridimensional conservativo, 1244 Cantidad: escalar, 890, 898 vectorial, 890,898 Capacidad de rebote, 1030 Capilla Sixtina, techo de la, 1270 Cardenabes de St. Louis, 1017 Centro: de curvatura, 1004 de masa, 1116, 1139 de masa de un sólido, 1167, 1168 de màsa de una lámina, 1141 depresión, 1116 de una esfera, 906 Cilindro, 944 circular recto, 944,962 inusual, 945 Circulación de un .campo vectorial, 1305 Circunferencia, 907 de curvatura, 1003 osculadora, 1003, 1004 Cobb--Douglas, función de producciónde, 1071 Cochecito, movimiento do un, 914 Coeficiente: de restitución de una raqueta de tenis, 1030 do rozamiento, 900 Cohete(s): diseño de, 1116 estándar, 1117 inclinado, 1116 modelo, 1116 Combadura de una viga, 1052 Componente(s): -
1338
Iridice
riables con su gráfica, 1021 parciales de funciones de tres do un vector, 891 entre funciones y representa-variables, 1051 de una fuerza, 914 cionos de densidad, 1025 parciales de- orden superior, horizöñthl, 896 normal de la aceleraciOn, 1004, entre superficies y represen1049, 1050 taciones de contorno, 1023 parciales do segundo orden, 1005, 1006, 1007 Corte en capas de un sólido, 1123 1050 primera, 891 parciales, definición de, 1045 Criterio de las segundas derivasegunda, 891 angeriial de la aceleración, das, 1092, 1099 parciales, determinación im1004, 1005, 1006, 1007 Cuerda, longitud de una, 919 plIcita de, 1073 Cuña esférica, 1183 parciales mixtas do segundo vertical, 896 Comportarnient.o de tin automó- Curvas: orden, 1049 vilenunacurva, 1004 cerradas, 1242 Desigualdad do Cauchy• Cornpuesta de dos funciones, de nivel circulares, 1024 Schwartz, 913 1042 donivel de una función, 1022 Desplazarniento do un proyectil, ConcenLraciOn de un contarnido nivel lineales, 1024 980, 1116 nante, 1056 definidas por una función con Determinante: Concierto de rock, 1029 valores vectoriales, 958 cálculo de un, 919,920 Conducción on una curva, 1005 equipotenciales, 1218 coeficientes do un, 920 Conjetura inicial, 1096 forzadas, 993 definición do, 919,920 Conjunto oricntadas, 1219, 1224, 1232 d€sarrollo de Un, 920 abier1okL paxametric-is bidimensip______iiotacionde 920 cei- radoJD4O nales, 999 Disco: planas, 997 abierto=1040 Conmutatividàd, 1249 _____ jrnpj, c-emdo.. 1 04 0 suaves, 993 Dibujo de representaciones de Cono: contorno, 1022 ,esatrozos, 1223, 1224 i elIptico, 947,948 Curvatura: Diferencia entre proyección y componente, 91-5 Constante do una en cun! ei encia, 995, Difcrenciacion imp licita, 1072 gravitacional universal, 101.0 10O3 I)iièrenciales, 1061 universal de los gases, 1049 de una curva, 991,994 para unafunción, : Contenido de calor en el mar, deunacurvapiana,997 de una variable, 1061 1026 de una espiral, 996 totales, 1063 Continuidad, 1031 de una ilnea recta, 995 Dinámica de los gases, 1048 para unà función con valores de una parabola, 997 Dirección: vectoriales, 969 CuadrIcula: de crecimiento máximo, 1083 Conversion: deunaregiongeneral, 1125 del ascenso más empinado, do coordenadas esféricas en refinada, 1125. 1081 rectangulares, 11.80 opuesta, 892, 912 du coorderiadas rectangulares D Disco ntinuidad do una función, encilIndricas, 1175,1176 Demostración do quo un lImite 1039, 1043 do coordenadas rectangulares existe, 1038 Discriminante para hallar extreen esférjcas, 1185 Densidad, 1139 mos locales, 1092 Coordenadas: de masa, 1140, 1141 Diseño de cohetes, 1144 cilIndricas. 1172,1173, 11.75 Derivaciónparcial, 1017 Distancia: ti 1)erivadas: desc,Ie tin pt.tnto hasta no pla polares, 1.145,1.172 do una función con valores no, 940 polares en una transformavectoriales, 970, 971 desde un punto hasta una recciOn, 1191 . direccioñales, 1076, 1077, 1079, ta, 925, 926 rectangulares, 1175 1082 en R3, 903, 904 Corona circular, 1148 . parciales, 1045 entre pianos parlelos, 940 Correspondencia: parciaies, cálculo de, 1047; formula de la, 904,907 de una funcjOn de dos Va1048 minima, determinación de
-
-
delaicónvtors,894
I
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una, 1105 Divergencia de un campo vectorial, 1259, 1263 Dominio: de una función de dos variables, 1019 de una función de tres variables, 1019 Multidimensional, 1.018 Dow Jones, Indices industriales de. 1101 E Ecuacion(es): de continuidad, 1295 de Laplace, 1113, 1218 de onda, 1055 de uncilindro en coordenadas cilIndricas, 1173 de un cono en coordenadas ciIIndricas, 1173 de un cono en coordenadas esféricas, 1180 de un piano, 937,938 de una elipse, 960 de una esfera, 906 • de una recta, determinación de la, 934 de Van der Waal, 1048, 1049 del cilindro, 1149 del movimiento, 985 del piso, 991 del piano tangente, determinación de una, 1059 diferenciales separables, 1212 general para el piano tangente, 1058 general relacionada con proyectiles, 990 lineal, 938 pararnétricas de una recta, 933,934 sirnétricas de una recta, 934 Efecto: de rizo, 932 E11 bi1oneesto. 928 en golf, 928 en tenis, 928 hacia adelante, 928 hacia atrés, 928 slice, 932 Ejes coordenados en R3, 901 Elipse, 946
definida por una función con valores vectoriales, 959 Elipsoide, 946 de inercia, 954 Empuje de los motores de tin avión, 899,900 EnergIa: cinética, 1248 coriservación de la, 1248 pOter)cial, 1248 Enniallado, 944 EntalpIa, 1056 Escalar, 890,910 Esfera, 945 centro de una, 906, 907 definición de, 906 radio de una, 907 unitari, 1182 Espacio: euclidiano bidiinensional, 901 euclidiano tridimensional, 901 Espejo parabólico, 951, 952 Espiral: circular, 997 de Cornu, 999 elIptica, 960 Esquina aguda, 979 Extremos: absolutos, 1097 absolutos, doterminación de, 1098 de funciones de varias variables, 1088 locales, 1089 locales, determinación grafica de, 1090 F Factor integrante, 1218 Fenórneno de El Niño, 1026 Fielder, 1017 Flujo:
de tin campo vectorial, 1281 irrotacional, 1301 Fly ball, 1017 Foco, 951
FOrmula: ck evaluación pira coord on a das esféricas, 1198 de la distancia, 904, 907 de la torsion, 933 Fotografla: con cuadrIcula, 1031
digitalizada, 1031 en blanco y negro, 1031 F\Aente, 1264, 1291 incompresible, 1264 libre, 1264 punto, 1264 Fuerza(s): centripeta, 957, 983 do compresion, 889 (IC Magrms. 928. 929, 1017 do Magnus, direcciOn de wni. 929 do torsiOn, 928 .le torsiOn, definición de, 930 direccion do la, 890 lateral, 889 neta, 896, 897, 1006 para mantener suspendiclo un helicóptero, 909 propulsora optima de tin cohete, 1107 resultante, 891,896 sobre un avión, 897, 990 sobre una caja, 899 sobre un objeto, 982 sobre un paracaidista, 897,899 tamaño de una, 890 tridimensionales, 889 FunciOn(es): corn)oner1tes, 938 con valores vectoriales, 957, 968 continuas, 1039, 1041, 1043, 1117 de densidad conjurta, 1144 do dos variables, 1018 do 1rs variables, 1018 de una sola variable, 1117 de varias variables, 1017, 1018 definida dentro do una esfera. 1042 diferenciable, 1063 integrable. 1119, 1122, 1125, 1159 noción de, 957 potencial, 12 11, 1215. 1238. 1244
G Gas real, 1048 GeometrIa: del espacio, 889 diferencial, 1003
1340
Giro circular, 991 Golpe: degancho en golf, 932 "puro" de golf, 932 rasante en tenis, 932 suave de golf, 1030 Gradiente, 1076, 1078 para hallar un piano tangente a uria superficie, 1084 Grãfica(s): de Campos vect.oriales, 1211 de contorno, 1022 de funciones de dos variables, 1020 de Ia derivada direccional, 1080 de imneas de flujo, 1211 de sillade montar, 953 do un campo vectorial, 1206 deuncampo vectorial enelespaclo, 1209 d-inafunción con valores vectot nit s, 961 do una función de dos variaenmalladas, 1029 tridimensionales, 1021, 1087 LLgraggi
trayectoria, 1241 J • de iInea, signo de una, 1232 Jacobiano de una transformade superficie, 1270, 1271, 1273, cion, 1194,1197 1274, 1278, 1300 Jacques Inaudi, 1101 • definida, 1119 Jardinero, 1017 definida de una función con Jonrón, 990, 1017 valores vectoriales, 977 Juego de dardos, 1144 dobies, 1116 dobles, definición de, 1122, K 1125 Kelvin, grados, 1049 dobbs en coordenadas poia• Kepler, by de, 1009 res, 1145, 1147, 1148 dobles, evaluación do, 1127, L 1130 Lagrange, muitiplicadores de, dobies para haliar ci area, 1105, 1106 1137 Lanzador de béisbol, 929, 990 dobles para haliar ci volumen, Lanzamiento: 1137 de giro con los dedos, 932 dobles sobre regiones generadel transbordador espacial, les4124 1116 clobles sobre en roctéiTg klcral7urdo -932 - 1124 ' libre do baloncesto, 932 dohle&sobi e uinn triangu1o,===-por encima del bra7o932 1119 Lres in=en= ias de una función con Laplaciana, 1087, 1264 valores vectorial es, 976 Ley •iteradai, 1123, 1127 de Coulomb, 1294 multip1esI6— -==-=- do Gau1:29S triples, 1116, 1159 d. Haidy Weinb,1103 do bosiiadrados, dricas, 1174 1216 triples en coordenadas esféride Kepler, 1009 cas, 1182, 1183 del movimiento de Newton, triples iteradas, 1176 1009 triples para haliar ci volumen, distributiva, 894, 905 1164, 1166 para un gas ideal, 1056 triples sobre un tetraedro, LImite(s), 1033 1161 a lo large de dos trayectorias, triples sobre una eaja rectan1035 gular, 1160 de integraciOn, 1128 Interpretación: do funciones de dos variables, geométrica de la sustracción 1031, 1032 de vectores, 894 de una función de dos variagrafica de la adición de bles, determinación del, vectores, 894 1038 lnt.crsección: Co una función con valores de dos planos, 939 vectoriales, 968 do una superficie con un pIadefinición formal do, 1032 no, 1058, 1079 en tres.dimensiones, 1043 Inverso aditivo, 893,894 que no existe, 1035 definición de, 905 sencillo, determinación de un, Isobaras, 1025 1034 definición de, 1025 uso de la definición do, 1033 ---.
Hang time, 990
Hiperboboide: de dos hójas, 950 de una hoja, 889,948,949,1020 Hipersuperficie, 1159 Hits, 1075 Home plate, 990 Home run, 990, 1017 Humedad, 1017 Incremento, 1061 cáleuio del, 1062 Para una función de una variable, 1061 Integracion parcial, 1123 lntegral(es): componentes de una, 1135 de FInea, 1219, 1220, 1227 de ilnea complicada, 1252 de Ilnea en el espacio, 1228, 1229 de ilnea. independiente de la
Indice
•
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y continuidad, 1031 LIneas de flujo, 1210, 1211, 1212 Longitud: de arco, 992 de arco en R3, 962, 964 Locaiización de un objeto en movimiento, 957
I'
ivi Manejo de un avión, 897 Manguera extintora, 900 Mapa climático, 1025 Mark McGuire, elbateadoi; 1017 Masa: centro de, 1167 de un sólido, 1167 de una placa, 1139 Matriz: hessiana, 1068 inversa, 1068 jacobiana, 1068 Máximo: absoluto, 1097 local, 1088, 1089 Mecánica del sistema solar, 1012 Método: de Euler, 1212, 1213 de Monte Carlo, 1134 de Newton, 1068 del ascenso más empinado, 1096 del descenso niás empinado, 1096 MInimo: absoluto, 1097 local, 1088, 1089 Molécula de metano, 918 Momento(s): angular, 1143 de inercia, 1144 primeros, 1168 respeôto alosejesxyj, 1140 Montana rusa, 990 Movimiento: a lo largo de una circunferencia, 982 de un objeto en un marco tridimensional, 980 de un proyoctil, 983 de un proyectil en tres dimensiones, 987 de una bola con efecto, 928 de una pelota de golf, 1201
dirección del, 916 en el espacio, 980 planetario, 1010 Multiplicacion por un escalar, 891, 892,905 Multiplicadores de Lagrange, 1104,1105,1106 Mi'iltiplo escalar positivo. 896 N Nivel óptimo de producción, 1109 Norma de la partición, 1121, 1125, 1132 Norxnalización, 396 Notación: para derivadas parciales, 1046 prima, 1046 0 Octantes, 903 Ocular, 951, 952 Operador de derivacióri parcial, 1047 Optimización, 1088 con dos restricciones, 1111 con una desigualdad como restricción, 1108 restringida, 1104 Orbita de un planeta, 1010 Orden de integración, 1130 Orientación: de una curva, 959 negativa, 1249, 1296 positiva, 1249, 1280, 1295 Ortogonalidad de dos vectores, 913 P Palos de golf, 954 Parabola, 947 Paraboloide: circular, 947, 1020 hiperbólica, 950, 951, 953 Paracaidista, fuerza neta sobre un,897 T.'aral elep Ipeclo: forxnado por vectores, 926 volumen de Un, 926,927 Paralelogramo, 925, 1154 area de un, 925 en un plano, 1190 Parametrización de una curva, 992
Parámetro, 934 Parejas ordenadas, 901 Partición: curvilInea interna, 1192 de un intervalo, 1117 de tin sólido, 1161 en cuadrados iguales, 1120 en sectores circulares, 1145 interna, 1124, 1125 interna de un sólido, 1161 irrguiar, 1117, 1118 norma de la, 1118 Pase de fótbol americano, 932 Pat inadores artIsticos, 1143 Pedal de bicicleta, 933 Pelota: con efecto, 928 ianzada en curva con la mano derecha, 929 Pendiente de Una recta, 933 Pie que goipea ci piso, 900 Pilotos: de aerolIneas, 957 de combate, 957 Piñon del pedal, 933 Pista circular, 996 Pitchers, 928,929 Planos: coordenados, 903 en ci espacio, 933 en R3, 936 intersección de, 939 normales, 1003 ortogonales, 938 osculadores, 1003 paralelos, 936, 938 que contienen tres puntos, 938 simples, 934 tangentes, 1057, 1153 Plataforma: de perforacion, 889 marina, 889 petrolera, 889 Plato, 990 Polinomio, 1033 limite de tin, 1033 Pomos de las cerraduras, 933 Posición: de un objeto en movimiento, 957 de un planeta, 1011 de un proyectil en un-instante t,985
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Indice
angular, 982 Rotacional de un carnpo vectorial, de una bola de béisbol en un de-un satélite en•órbita, 990 1259, 1260,1261 instantet, 990 do una montana rusa, 990 de una cuerda do guitarra, S Rayos, 1146 1056 Razón: Sammy Sosa, el bateador, 1017 inicial, 981 de cambio maxima, 1081 Segmento de recta dirigido, 890 Potencia, 1075 maxima de utia raqueta do tede cambio minima, 1081 Segunda icy del movimiento de Recta(s): Newton, 982 nis, 1030 Semiplano vertical, 1.181 cruzada.;, 935,936 Producto, 916 cruz, 910,919, 921 ck intorsecciOn. 939 Servicio horizontal do tenis, 990 escalar; 910, 923, 927 de regresión, 1094 Sistema(s): escalar triple, 923, 927 definicia por una furtción con coordenado dextrogiro, 901 punto. 910,916 valores vectoriales, 960 de coordenadas, variedad de, en ci espacio, 933 vectorial, 910,919 1116 vectorial triple, 923 ortogonales, 935 do referencia móvii, 1000 Prornedio: paralelas, 935 de referenda TNB, 1003 de bateo, 1075 tangente a una curva, 1057 triedro móvil, 1003 do puntos do equipos do fiit- Region: Solenoidal, ciampo, 1270 ho! americanos, 1101 Sólido: acotada, 1098 - centro do niasa do Un, 11.68 . Presi6n . . .. Pt OyCcClOfl - - situido n el prime. conox 128 deuflaIuiLd,914 C11ti(.ct 1253 1138 ortogonal, 918 polar, 1145 Sombra de la espiral, 965 . Punt, 990 Puntal, 889 simplemente conexa,_1243, Strike, 1016 Punto(s) TO2 Suavidad xiá1ogade Jas graficas 1093 Regla('3) do funciones voqocs crIticos do una función. 1089, do La cadena, 1068, 1070, 1072 . vectoriales, 979 1' I 692 2 - Suma: de frontera, 1040 del algebra para. vectores, 894, de dos vectores, 891 de impacto de un proyectil, 905 de Riemann, 1120, 1132, 1.135, 990 del producto cruz, 923 1142, 1159 de silla, 951, 1090, 1091 Regresion linèal,,1094 de vectores posicion, 892 detangencia, 1104 Rejillade calefacción, 1029 doble de Riemann, 1135 en tres dimensiones. 902 Reloj do arena, 889 Sumidero, 1264, 1291 final, 890 Repartidot' de periOdicos, 900 Superficie(s): fuente, 1264, 1291 RepresentaciOn: cilIndricas, 944 inicial. 890 do contorno, 1022 cuádricas, 945,952 interior. [040 do densidad, 1022, 1024 do nivel do una función, 1026 interniedios del teorema del do un só!ido, 1138 de nivel, trazado de, 1026 valor medio, 1062 - enmallada, 946 dibujo de una, 944 óptimo, 1106 grafica do funciones en tres en el espacio, 943 suave, 1030 dimensiones, 1020 orientada, 1280 sumidero. 1264, .1291 Resistencia: paramétrica, 1275, 1276 1>u I ti.iu; qrce:t 1031 al avafl(C dc non bola (10 tridimensional, 909 Putts, 1030 béishol, 1017 Sweet spot, 1030 del aire, 897 SustracciOn: R Resorte: componente a componente, Radio: helicoidal, 1219, 1221 892 de curvatura, 1004 de vectores, 892,905 helicoidal, masa de un, 1221 de giro, 957 Rizo circular de una montana Radiotelescopio, 951, 952 rusa, 990 T Rapidez, 981 Roger Mans, 1017 Tasa de inflaciOn, 1056
=
1343
Techo del Saddle Dome, 953 Telescopio: óptico, 951 reflectante, 952 Temperatura: de una habitación, 1029 en una reacción quImica, 1056 proxnedio en un segrnento de recta horizontal. 1045 prornedio en un segrneiito dc recta vertical, 1046 Teorerna: de evaluación, 1220, 1228, 1273 de Fubini, 1123, 1127, 1129, 1146, 1160 de función implIcita, 1073 de Gauss, 1286 de Green, 1248, 1249,1251, 1252, 1255 de la desigualdad de Cauchy. Schwartz, 913 de la desigualdad. triangular, 913 de la divergencia, 1285, 1286, 1289, 1290 dé la regla de la cadena, 1070, 1071 de las reglas del algebra para vectores, 894 de Stokes, 1262, 1295, 1296, 1298, 1299 del áambio de variables en integrales dobles, 1195 del cambio de variables en integrales triples, 1.198 del valor ektremo, 1098 fundamental p.ara integralés de lInea, 1240 TeorIa doCopé'nico, 1009 Tetraedro, 1138, 1162, 1163 Tiempo, 958 Tiro: de balompié, 932 de fütbol americano, 990 Topspin, 929 Toronto Sky Dome, teeiio del, 1270 Torre de enfriamiento, 889,953 Torsion, 927 maxima, 928 Trabajo: cálculo del, 916, 1231 cantidad de, 1075
TransformaciOn: de una region simple, 1190 lineal directa, 1201 Trayectoria: circular, 982 de un proyectil, 986, 988 de vuelo, 943 de vuelo de un avi6n de cornbate, 958 dcl ascenso rnás empinado, .1082 y campos vectoriales conser-• vativos, 1237 r1 ra7a(s): de la superficie, 944 de una superficie en un piano, 1020 en los pianos, 1020 Tripla ordenada, 901 Tünel de viento; 1204 U UbicciOn de puntos en tres dimensiones, 902 Unitario, vector, 896, 906, 1001, 1002 V Vector(es): aceleración, 981 base canOnicos, 895 binormal, determinación del, .1003. canónicos, 895 cero, 893 cero, definiciOn del, 905 de direccin, 916 de giro, 928, 929 de désplazarnionto, 909 on la dirección opuesta, 892, 893 en ci espacio, 901 on ci pIano, 890 en R, 904 equivalentes, 890 fuerza, 896, 1226 gradiente, 1068 magnitud de Un, 890, 891, 904 no coplartares, 926 normal, 937, 1000 normal unitario principal, 1001, 1002 normalizados, 896
ortogonales, 911 paralelos, 893 perpendiculares, 911, 912 posiciOn, 891, 958 posicion, determinaciOn de un, 895 posicion, dibujo de un, 974 precio, 918 resultante, 890 tangente, 974, 1000 tangente unitario, 992, 993, 994, 1002 unitaric, 896 unitario, (ieterminaclón de un, 896,906 unitario principal, 1000 vj 890,904 velocidad, 898,981 velocidad inicial, 984 ventas, 918 Velero con viento de costado, 1111 Velocidad, 890 angular, 928 de un avión, 897 del viento, 897,899, 955,987 inicial, 981 Viento: cruzado, 897 frIo como función de la temperatura, 1055, 1067 - frontal, 897 Viga: combadura de una, 1064 tIpica, 1064 Volkswagen, escarabajo de, 1204 Volumen: de un para!elepIpedo, 1057 de un sólido, 1138, 1139 de un sólido bajo una superfi-dc, 1119, 1120 de una caja tIpica, 1136 dentro de una paraboloide, 1148 en coordenadas esféricas, 1184 mediante coordenadas polares, 1148 Vuelo de tin proyectil, 1017
w Weinberg, ley de Hardy-, 1103
z Zurdo, lanzamiento lateral, 932
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nLCULO TOMO 2 Con un enfoque tradicional y actual, tecnologIa y énfasis en pedagogIa00. El enfoque di libro Cá)culo de Smith y Minton está orientado a estudiantes de matemáticas, fIsica, qulmica, ingenierIa y areas afines En el desarrollo de los temas se hace un fuerte énfasis en la soluciOn de problemas, con lo cual se dan oportunidades variadas para el uso de tecnologIa y tècnicas exploratorias, asi como la aplicación de éstas en situaciones del mundo real. Las extraordiriarias caracterIsticas pedagOgicas del texto se fortalecen con el uso de unaar>nplia variedad de recursos que facilitan la comprensiOn del cálculo. Entre losaspectos.clveque hacen de esta obra el texto ideal para la enseñanza del cálculo se destacan:
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La aplicaciOn de dispositivos como calculadora graficadora y sistemas algebraicos cornputari±ados Una sOtida estructura pedagOgica que ha sido reforzada con el uso de la tecnologIa para mantener fresco el conocimiento Una introducción básica al -- estudio Mas de 7,000 ejercicios de forrqato flexible qie rrçluyn escntura, exploraclonr análisis de las ventajas y desventajas de'las t 6 cnsca4ihzads
uo ,ntsy6 lca más de grfLy 1as nrpéricas p adQsarMar oønotea -. • Un enfoque amigable hacla Øtestudiante • Deducciones cuidadosas, epIicaciones claras, comeritarios y advertencias ttiles qUe ayudan a prevenir los errores comunes a. UP sitio, web en el que Se puede ampliar de manera amena el estudio de los conceptos enseñados Wwwftdihe com/smlthmintQn .•
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