Bab-bab Bab-bab terdahulu terdahulu telah dibahas dibahas tentang tentang pembentuk pembentukan an konsep-kon konsep-konsep, sep, fung fungsi si
skem skemaa-sk skem emaa
(str (struk uktu turr-st stru rukt ktur ur
kons konsep eptu tual al))
dala dalam m
meny enyatuk atukan an
pengetahuan yang ada dan menyerap pengetahuan baru, dan kekuatan tambahan yang datang dari kemampuan untuk memikirkan skema-skema sendiri. Dalam setiap proses tersebut bagian bagian utama diperankan diperankan oleh simbol, yang juga memiliki fungsi lain. Fungsi-fungsi simbol dapat dibedakan sebagai berikut : 1. lat lat !omu !omuni nika kasi si.. ". #erekam #erekam (men$at (men$atat) at) %enget %engetahu ahuan. an. &. %emben %embentuk tukan an !onsep !onsep-ko -konsep nsep Baru Baru '. #embua #embuatt #a$am-ma$ #a$am-ma$am am !lasifi !lasifikas kasii dengan dengan elas elas . %enje enjellasan san *. #embuat #embuat !emun !emungkin gkinan an yang yang #en$erm #en$erminkan inkan ktifitas ktifitas +. #emban #embantu tu #enunj #enunjukk ukkan an truk truktur tur . #embua #embuatt %enger %engerjaan jaan rutin rutin se$ara se$ara otom otomatis atis . #engun #engungka gkap p !embal !embalii /nformas /nformasii dan pemaham pemahaman an 10. ktifitas ktifitas #ental yang yang !reatif !reatif
!ebany !ebanyaka akan n hal-hal hal-hal di atas atas saling saling berhu berhubun bungan gan terutam terutamaa pada pada point point pertama. #erekam (men$atat) pengetahuan berhubungan dengan memba$a, penjelasan adalah suatu jenis khusus dari komunikasi, memikirkan adalah berkomunikasi dengan diri sendiri, dan hubungan-hubungan lain yang. Fungsifungsi simbol dijelaskan sebagai berikut : 48
1. Alat komunikasi
!onsep merupakan objek, pola pikir yang murni, tidak dapat didengar dan tidak dapat dilihat. !arena tidak ada $ara untuk mengamati langsung pikiran seseorang, harus menggunakan alat-alat yang dapat didengar atau dilihat, seperti mengu$apkan kata atau bunyi lainnya, penulisan kata atau tanda lainnya yang ditulis diatas kertas ($ara penulisan) imbol adalah suara atau sesuatu yang dapat dilihat, yang se$ara mental berhubungan dengan suatu ide. /de inilah arti simbol itu. anpa ada ide yang melekat padanya, maka simbol tersebut tidak mempunyai arti.
imbol dan
maknanya harus diterima sebagai satu kesatuan. 2arus diingat bah3a simbol dikaitkan pada konsep yang sama dalam pikiran dan B, kemudian melahairkan simbol. dapat memanggil konsep dari memori B kedalam pengertiannya sendiri. ekali hubungan ini terbentuk, artinya diproyeksikan kepada simbol, maka simbol dan maknanya diterima sebagai suatu kesatuan. kan tetapi bisa jadi suatu makna yang dilekatkan pada suatu simbol oleh seseorang berbeda dengan
makna yang
diterima orang lain sekalipun
simbolnya sama. #isalnya kata 4bra$es5 bagi orang /nggris dapat berarti alat untuk menahan $elana (supaya tidak lepas) tetapi bagi orang merika diartikan sebagai 6 7. ika hal ini terjadi maka tidak sedang terjadi komunikasi. 2al inilah yang seringkali salah dipahami orang. 8ntuk itu kita perlu memperhatikan konsep a3al berikut ini, bah3a suatu simbol dan konsep yang berhubungan dengan simbol itu adalah dua hal yang berbeda9 perbedaan ini tidak sepele yaitu antara sebuah obyek dengan nama obyek. ika kita sebut suatu obyek dengan nama lain, tidak mengubah obyek itu sendiri, 2al ini tetap benar untuk obyek-obyek pikiran dalam konteks ide matematika. #isalnya : “lima”, “five”, “cink” “5”, “V” , “101” emuanya menyatakan bilangan yang sama, tetapi dalam simbol yang berbeda. Biasanya jika kita menyatakan suatu simbol, kita ingin minta perhatian penerima (re$eier) terhadap ide yang melekat pada simbol itu dari pada terhadap 48
simbol itu sendiri. !etelitian atau keseksamaan komunikasi perlu diperhatikan agar dapat menghasilkan ide yang sama dalam pikiran penerima gagasan dari komunikator.
8ntuk itu kita dapat membedakan tiga kategori pendengar atau pemba$a. Pertama adalah orang-orang yang tidak mengetahui hal-hal yang kita bi$arakan
namun mereka ingin tahu. !epada mereka kita harus memilih simbol-simbol yang paling besar kemungkinannya untuk diperhatikan dan menggunakannya seteliti mungkin sesuai kemampuan kita dengan tujuan tidak mengkomunikasikan apapun selain kebenaran. Kedua adalah orang-orang yan; mengerti apa yang kita katakan se$ara umum.
Disinilah kita $oba untuk mengkomunikasikan beberapa hal yang khusus. Bila mereka menginginkan terus bersama kita
sudah semestinya kita menghemat
3aktu dan konsentrasi pada hal yang esensial. Ketiga dari pandengar atau pemba$a terdiri dari orang-orang yang mengerti
tentang apa yang kita katakan tetapi ingin menyalahkannya. eni dalam komunikasi adalah pertama-tama untuk menangkap maknanya. esudah itu suatu ide yang baru dapat dijadikan subjek sebagai penekanan dari analisis dan dikaji lebih $ermat sehingga kelemahan dapat ditemukan. !etika suatu skema dapat dibentuk dengan baik maka kritik yang menyerang akan merangsang manfaat perumusan yang lebih hati-hati, kesadaran refleksinya lebih besar dan memperkuat skema tersebut.
2. Merekam atau membentuk pengetahuan . /de tidak hanya sesuatu yang tidak dapat dilihat dan tidak dapat didengar tetapi juga bisa hilang. Bila seseorang meninggal maka pengetahuannya akan mati bersamanya ke$uali dia telah men$atatnya atau mengkomunikasikannya kepada orang lain. #erekam atau men$atat adalah suatu hal penting dalam
komunikasi.
ujuannya adalah agar ide dapat dilihat atau didengar oleh orang lain baik dalam 3aktu singkat maupun dalam 3aktu lama. !omunikasi dengan simbol berbeda dengan komunikasi lisan. !omunikasi lisan berlangsung dalam lingkup dimana pertanyaan dan penjelasan diberikan. eorang komunikator menggunakan simbol 48
menghadapi lebih banyak kesulitan dalam menyampaikan suatu ide atau konsep.
pengertian yang
dimaksud, tanpa adanya pengulangan dari sisi tertentu. api ada juga
keuntungannya karena penerima mempunyai $atatan tetap, untuk meriisi dan memeriksa pokok-pokok yang telah dikemukakan terdahulu. eperti telah diketahui bah3a struktur konseptual matematika itu adalah gudang akumulasi pengetahuan dari generasi-generasi sebelumnya yang ditulis dan di$etak dalam sistem simbol beserta penjelasannya yang memungkinkan dipelajari oleh generasi baru. 8ntuk
menghilangkan
pengertian
ganda
pada
mengkomunikasikan simbol adalah setiap simbol hanya
pemakaian
atau
berhubungan dengan
satu konsep dan satu konsep hanya menggunakan satu simbol. 2al ini tidak selalu dapat dilakukan. ika satu simbol berhubungan dengan banyak konsep maka ada tiga hal yang harus diperhatikan9 1. !ita harus yakin bah3a skema yag digunakan sudah dikenal oleh pendengar atau pemba$a ". Didalam skema, setiap simbol hanya sebuah ide &. angan menukar skema - skema tanpa diketahui pendengar atau pemba$a. !ita perhatikan hubungan antara simbol dan konsep : imbol
!onsep
eharusnya dalam bentuk >ontoh : imbol
=
menyatakan konsep 4persegi5 =
Bukan seperti bentuk
>ontoh : imbol table menyatakan konsep 4tabel5 dan 4mea5
etapi, barangkali mengherankan, yang ini bahkan kebih
48
>ontoh : imbol : lima, five, cink, 5, V , 101 menyatakan konsep 4lima5
= =
=
Dalam hal ini diijinkan menggunakan simbol yang sama dalam konteks yag berbeda. etapi dalam konteks yang sama satu simbol hanya memberikan satu pengertian saja.
!. Membentuk "onsep#konsep $aru
ika konsep yang baru merupakan konsep primer (dasar). misalnya merah, ini memungkinkan untuk dilakukan tanpa menggunakan simbol. !ata-kata ini adalah se$ara sederhena membantu menarik perhatian. !arena merupakan kata erbal. ?Dasi merah@, buku merah@, ?pen$il merah@, lampu merah@ se$ara simultan menyatakan ariasi dan $ontoh-$ontoh dan konstanta dari suatu konsep. e$ara intuitif, pelajar menggabungkan sifat yang tidak seragam dengan ketidakseragaman kata-kata, dan kemudian belajar membuat nama bagi konsep tersebut sambil membentuknya. ika suatu konsep merupakan suatu konsep sekunder seperti semua konsep-konsep matematika, maka $ara untuk menyatukan rangkaian $ontoh$ontoh yang sesuai dengan pikiran orang yang belajar adalah memba3a seluruhnya pada kata yang bersesuaian. ?merah. biru, hijau, kuning@ , kesemuanya merupakan 3arna. >ara lain untuk mengkomunikasikan konsep-konsep baru adalah dengan menghubungkan se$ara bensama-sama kelas-kelas yang sudah dikenal oleh pendengar. ika pendengar telah mempunyai kelas-kelas konsep yang dbi$arakan ini berarti dia telah mengetahui $ontoh-$ontoh tersebut sehingga ia juga akan mampu memberikan $ontoh-$ontoh tentang konsep-konsep baru. Bahkan ini sering menjadi respon pertamanya, sebagian menyatakan bah3a dia telah mengerti. etapi respon tersebut juga nampak memenuhi kebutuhan yang lebih dalam. Bagaimanapun, konsep yang diperoleh itu dirasa belum lengkap sampai dia mempunyai $ontoh. 48
>ontoh-$ontoh dari konsep baru tidak selalu berasal dan pengalaman masa lampau. Arang dapat membayangkan suatu poligon bersisi 100 tanpa
pernah
melihatnya dan tidak menggambarnya. #alahan pengadaan metode generalisasi
dalam matematika adalah untuk mengadakan kelas baru, dan kemudian men$oba menemukan beberapa anggotanya. ebagai $ontoh : kita telah mempunyai konsep akar kuadrat, bilangan negatif, dan mengkombinasikannya untuk membentuk konsep baru yaitu akar kuadrat dari bilangan negatif. %enemuan dari $ontoh-$ontoh kelas baru ini serta meneliti sifat-sifatnya
akan menuju
kepada rangkaian susunan ide-ide baru
dimana meskipun berbentuk bilangan imajiner namun digunakan dalam fisika misalnya dalam teori arus bolak balik dan rangkaian osilator.
%. Membuat bermacam klasifikasi &engan elas
uatu objek tunggal dapat dikklasifikasikan dalam beberapa $ara dengan menggunakan atau memberikan nama-nama yang berbeda untuk objek tersebut. !ita dapat menunjukkan bah3a bagian klasifikasi mana yang sedang digunakan. eorang laki-laki dapat disebut
sebagai %ak Bro3n
4pak5 @Arang laki-laki
terhormat@ 4%aman Delit5 , 4yah5 . Bilangan yang sama dapat dipandang sebagai kuadrat dari , ' pangkat &, atau 10 kuadrat dikurangi * kuadrat, disimbolkan dengan " , '& , 10" *" ebagairnana disebutkan terdahulu kita tunjukkan bah3a kita masih menga$u pada objek yang sama dengan rnanggunakan simbol 4C4, dan dengan penamaan kembali menurut kebiasaan yang ada kita dapat men$ari sifat-sif at yang pada mulanya tidak jelas. >ontoh '" - 1"y E y " dimana dan y keduanya merupakan peubah (ariabel) !ita tahu bah3a kumpulan simbol ini mempresentasikan beberapa bilangan. etapi dengan menuliskan, ' " - l"y E y" C(" - &y) " kita mengetahui sesuatu yang baru bah3a simbol-simbol itu menggambarkan suatu bilangan positif #eskipun prinsipnya sederhana namun berakibat pada penemuan yang jauh. uatu kali kita mempunyai klasifikasi sesuatu se$ara tepat kita mempunyai banyak $ara untuk mengetahui ketepatannya. 2al ini dapat membantu kita 48
meme$ahkan problem yang kita hadapi, sehingga lebih banyak $ara lagi untuk mengklasifikasi, sehingga kita dapat meme$ahkan problem yang lebih berariasi.
5. 'enelasan
%enjelasan adalah suatu bentuk komunikasi yang disengaja, yang memungkinkan seseorang dapat memahami sasuatu yang sebelumnya tidak dipahami. #emahami adalah hasil dari asimilasi terhadap skema yang ada, sehingga bila terdapat kegagalan, ada tiga kemungkinan penyebabnya, yaitu: a) %enggunaan skema yang salah. Dalam keadaan ini dipe-lukan penjelasan yang sederhana untuk mengaktifkan skema yang tepat. Di dalam buku ini, kata-kata seperti: fungsi, bayangan, grup, dan lain-lain digunakan dalam pengertian sehari-hari, uga dalam pengertian matematik. !egagalan dalam memahaminya dapat disebabkan karena pemberian arti yang berbeda dari yarg diharapkan. /ni adalah semata-mata soal konteks. b) !esenjangan antara ide-ide baru dengan skema yang sudah ada
terlalu besar.
ebagai $ontoh : #isalkan mulai dengan menunjukkan notasi notasi berikut: a
"
= a x a
a
&
= a x a x a
dan kemudian langsung m
a x a
n
= a
m+n
Besar kemungkinan pelajar mengatakan dia tidak memahami, mungkin juga mengatakan 4nda terlalu $epat5. Dalam hal ini penjelasan diperlukan untuk memperbaiki tahap-tahap yang digunakan. Dengan $ara demikian jaraknya dapat dijembatani. Dalam istilah psikologi, pemberi penjelasan akan mengemukakan simbol-simbol yang $o$ok untuk membangkitkan konsepkonsep yang berhubungan dengan skema yang ada dengan ide-ide baru. $) kema yang sudah ada mungkin tidak mampu menyerap ide-ide baru tanpa pemberian akomodasi, khususnya dalam kasus generalisasi matematika. Dalam 48
keadaan ini fungsi penjelasan adalah membantu pelajar untuk menggambarkan skema yang dipikirkannya, untuk melepaskan $ontoh-$ontoh atau ide-ide murni yang mempunyai pengaruh penyempitan dan untuk memodifikasikan
ide-ide tersebut se$ara tepat. %erluasan notasi bilangan nol, negatif dan pe$ahan merupakan $ontoh kasus ini, jika ide baru disajikan dalam komunikasi lebih lanjut diperlukan untuk memahaminya. ampaknya $ara ini dapat digunakan dalam pengajaran. idak diinginkan menempatkan para pelajar pada sesuatu yang tidak sesuai dengan tingkatan yang sudah dimilikinya. %rogram ini tidak mena3arkan suatu tantangan dan tidak banyak ariasi. eringkali bermanfaat untuk memperhatikan permasalahannya dulu, misalnya penemuan sesaat
tentang
ke$epatan
dan
seseorang
penerjun bebas. Berikutnya
mendefinisikan dengan tepat tentang 4ke$epatan sesaat5 dan modifikasi pengembangan dengan proses proses deskripsi konsep-konsep baru (misalnya limit) yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.
(. Membuat "emungkinan )ang Mencerminkan Aktifitas
/ni meliputi kesadaran seseorang terhadap konsep-konsep dan skemaskema sendiri, menangkap hubungan dan strukturnya dan memanipulasi dengan berbagai $ara. !etiga sistem berpikir ini dilukiskan pada gambar diba3ah ini oleh persegi panjang yang ditandai 4%enerima4 proses pikiran perantara5 dan 4pelaksana5. %roses-
%enerima
%roses-
proses
proses
pikiran
pikiran
peranta
peranta
ra
%elaksana
ra
%enerima
Dalam konteks ini 4proses pemikiran4 adalah pengetahuan dan segala aktiitasnya dan disebut sebagai intelegensi refleksi. 48
%roses untuk menjadi sadar terhadap
konsep miliknya pertama sekali
nampak sangat sulit. /tu terjadi beberapa tahun pada masa kanak-kanak. #eskipun
demikian
bagi orang-orang yang mempunyai
pengembangan
kemampuan
reflektif yang tinggi masih perlu berusaha dalam men$ari bentuk baru 8ntuk
membangun
suatu
ide-ide
dengan
sengaja
nampak
erat
hubungannya dengan mengasosiasikan simbolnya, tapi hal ini nampak belum banyak diketahui . !onsep-konsep merupakan objek-objek yang sukar difahami dan tidak diperoleh begitu saja dan mungkin bah3a simbol-simbol (yang berupa konsep dasar) sebagian besar merupakan jenis konsep yang abstrak yang dapat diketahui dengan jelas. entu saja beberapa proses pengetahuan dapat meningkatkan kekuatan berpikir. %ada akhirnya assosiasi telah membentuk sampai tampak sebagai label dan handel sehingga kita dapat memilih ( dari memori kita ) dan memanipulasikan konsep-konsep kita. 2al ini akan lebih leluasa
dengan
menggunakan simbol-simbol yang dapat dikontrol oleh pikiran kita. >ontoh simbol yang men$erminkan aktifitas adalah simbol
menya-
takan dilarang masuk. Berpikir erbal ( yang se$ara luas dapat meliputi aljabar dan simbolsimbol lain
yang dapat diu$apkan) merupakan ke$epatan internal, dapat
dikonfirmasikan dengan mengamati tingkat perubahan
pada anak-anak.
%enggunaan simbol-simbol yang dapat diu$apkan dalam berpikir berhubungan erat dengan komunikasi salah satunya dinyatakan dengan komunikasi dengan diri sendiri. adi membangun pikiran seseorang tampak seperti sirkuit pendek dari proses mendengar dirinya sendiri kemudian men$eritakannya pada orang lain. %andangan ini didukung oleh obserasi umum bah3a sesungguhnya berlaku sebagai pendengar yang baik (pemikir keras) hampir selalu membantu ketika orang lain sedang menyelesaikan masalah G problem .
*. Membantu Menunukkan +truktur
%ada bagian ini akan dijelaskan bagaimana hubungan ide-ide dan bagaimana $ara mengintegrasikannya. angkauan memory untuk mengingat 48
informasi yang diberikan dengan sekilas hanya sedikit, sebagai $ontoh : banyaknya informasi yang dapat ditangkap oleh seseorang dalam suatu saat pada keadaan sadar sangat terbatas. opik yang lebih sulit, lebih banyak memerlukan
konsentrasi dan perhatian dalam berpikir dalam suatu saat, tapi juga memerlukan ketepatan dalam mengarahkan dengan $epat sebelum bekerja. adi, satu $atatan, satu pikiran pada kertas sebagai $atatan kemajuan. /ni bentuk yang lebih permanen dari 4berpikir keras5 yang telah didiskusikan pada bagian sebelumnya, dengan mengurangi ketegangan pengetahuan dalam menjaga informasi yang relean yang dapat diterima se$ara menyeluruh. >ara lain dalam mengurangi ketegangan pengetahuan dan kelebihannya, adalah dengan penjelasan notasi matematika. Bandingkan :
( x + a) "
"
"ax + a "
Df
!uadrat jumlah dua bilangan sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan tersebut ditambah dua kali perkalian bilangan tersebut. urunan (fungsi) f
D −1 f
nti turunan f
"+)1
Dua ribu tujuh ratus lima puluh satu
δ > Ο
= x
+
9 ∃ N
n ≥ N , xn − x < δ
Diketahui bilangan (positif) δ , dimana bilangan sehingga untuk semua nilai n yang lebih besar atau sama dengan , adalah selisih bilangan ke n dengan urutan x1 , x" , x& , dan x adalah lebih ke$il dari δ
%emilihan
simbol yang sesuai dapat menjadi sangat membantu dalam
menarik konsep yang $o$ok dalam hubungan-hubungan yang sesuai9 jika pemilihan dengan $eroboh. Disini beberapa $ontoh-$ontoh. (!arena selalu pada bagian , tidak selalu pemba$a matematika menasehati untuk menghilangkan itu yang mana tidak padanya.) otasi yang biasa untuk logaritma sebuah bilangan pada basis a adalah log a x
(ba$a : logaritma dengan basis a dari ). Dari definisi logaritma, yang tidak
butuh perhatian kita disini (dijelaskan pada Bab 1'), jika logaritma itu dinotasikan 48
dengan n, !emudian
C an.
otasi
loga C n
#empengaruhi untuk menuliskan
a C n,
yang salah
ika bagaimanapun menuliskan
(log )a C n
(log untuk basis a)
/ni membantu untuk mengingat bah3a C a n.
B
> >ara konensional untuk menyebut sudut ini adalah
∠B>.
/ni
membayangkan bah3a erte dari sudut ini adalah , yang tidak benar. !alau tidak ada arti ganda, kita maksudkan
∠ B,
bukan
∠ .
H !ebiasaan penggantiannya A BC adalah lebih baik dilihat dari segi pandang ini, biarpun kurang umum dikalangan pen$etak-pen$etak. etapi marilah kita pikirkan, ide-ide yang kita lambangkan.
B
>
>
B
>
B
ebuah sudut ditentukan oleh dua arah le3at sebuah titik. iap arah dapat digambarkan oleh satu sinar le3at titik itu pada sebuah sudut dilukiskan oleh dua sinar, BA dan BC , kalau kita berurusan dengan satu putaran dari satu arah ke arah lain, digambarkan dengan sudut yang ditandai (konensinya adalah memakai putaran la3an jarum jam) sebagai positif, hal ini dilukiskan oleh sepasang sinar C yang teratur ( BA , BC ) yang dapat diangkat jadi B A dan dimana tidak ada
timbul arti ganda pada B. %enambahan
dengan
pengurangan
sudur-sudut
pada
suatu
titik
dapat
disederhanakan menjadi aljabar sederhana saja, sekali 4aturan penghapusannya5 C
telah dilihat dan diingat. 48
D
D
B A + BC = B A
%engurangan dengan
sebuah
penambahan
sudut
sama
D B
kebalikannya
> B
(inersinya) ialah sudut yang sesuai dengan putaran ke arah yang berla3anan. adi: D
D
D
C
B B
C
B A − BC = B A + B D = B A
pakah yang terjadi kalau kita men$oba mengurangi sudut yang lebih besar dan sudut yang lebih ke$il I #ari kita $oba se$ara aljabar :
D
D
D
A
A
BC − B A = B A + B D = BC
dikurangi sudut ini
udut ini
ditambah sudut ini
ama dengan sudut ini
Jang sama dengan sudut ini, yang masuk akal
C
!embali persamaan pertama : dengan 48
> + >D
=
D ,
D
D
B A + BC = B A
dan dibandingkan
bagi anda yang terbiasa menggunakan penambahan pada
sektor bebas akan mengakui bah3a pengerjaan penambahan dan pengurangan sudut se$ara aljabar tersebut, isomorf dengan penambahan dan pengurangan ektor bebas.
%ada sembarang kasus, anda boleh tidak yakin terhadap argumen yang diberikan, tetapi diharapkan ada sedikit persetujuan bah3a pemilihan notasi perlu dilakukan se$ara berhati-hati, dan memperhatikan efektiitas penggunaan notasi untuk suatu ide yang sangat tergantung kepadanya.
⊕
mod ' 0 1 " &
⊗
0 0 1 " &
1 1 " & 0
" " & 0 1
& & 0 1 "
mod 1 " ' &
1 1 " ' &
" " ' & 1
' ' & 1 "
& & 1 " '
/tu dapat dilihat dari tabel ini bah3a kedua group itu isomorfik9 keduanya menjadi group siklik order '. etapi jika tabel sebelah kanan itu ditulis kembali dalam dua berpangkat, sifat isomorfiknya dinyatakan lebih bagus.
⊗
mod "
0
"1 "
0
"
0
"1
"
"
"
&
"
0
"1
"
"
"
& 0
"1
"
"
"
&
"
"
"
&
"
0
"1
"
" " "1 %emba$a juga akan mengamati bagaimana dengan lembut notasi petunjuk umum pada konteks baru. /ni, tentunya, adalah patokan untuk notasi yang bagus.
"
&
"
&
"
0
. Membuat manipulasi rutin secara otomatis Berfikir merupakan suatu pekerjaan yang berat. ekali kita mempunyai pemahaman tentang
proses
matematika maka hal itu merupakan suatu
keuntungan besar karena kita dapat bekerja dengan $epat pada kesempatan berikutnya, tanpa harus
mengulang-ulang setiap 3aktu konsep-konsep yang
rumit. ika telah mendapat kemajuan dalam proseas matematika itu, tentu saja sifat-sifat dasar dalam proses-proses matematika yang mendasar menjadi otomatis. %ada berbagai tingkatan kita juga dapat membedakan antara manipulasimanipulasi rutin dan aktiitas peme$ahan masalah, ke$uali kalau yang dikerjakan 48
dengan perhatian minimal, tidak mungkin akan men$urahkan perhatian se$ara penuh pada beberapa kesulitan yang dihadapi. !ondisi ini juga dijumpai pada berbagai ketrampilan yang dipelajari. idak seorangpun dapat mengendara yang
baik sampai ia dapat memindah persneling tanpa berpikir. eorang ahli ioling tidak dapat menafsirkan suatu teknik bermain musik tanpa mengalami suatu kesulitan. Dalam matematika hal ini dikerjakan dengan melepaskan simbol-simbol dari konsepnya dan memanipulasi menurut bentuk-bentuk yang biasa dipakai tanpa menghiraukan artinya. !egitan otomatis dari tugas-tugas rutin harus jelas perbedaannya dari simbol-simbol tak berarti dari manipulasi mekanik, yang bukan matematika. eorang matematika3an bekerja ser$ara otomatis, setiap saat dapat menunda kehendaknya dan memanggil kembali artinya dari simbol-simbol, dan dia harus dapat dengan mudah dari suatu bentuk aktiitas kelain aktiitas sesuai dengan syarat-syarat dan tugas-tugas yang dikerjakan. 2asil karya ekonomi merupakan $ontoh yang bagus. %ertama kita belajar memanipulasi konsep-konsep sebagai ganti obyek real, kemudian memberikan nama konsep selanjutnya memanipulasi nama tersebut. (Dan jika manipulasi dapat disederhanakan menjadi proses mekanik kita dapat menggunakan komputer untuk mengerjakannya). khirnya kita dapat menarik kembali proses dengan $ara mengambil kembali konsep-konsep pada simbol-simbol, kemudian me3ujudkan konsep itu dalam tindakan nyata dengan objek nyata yang telah diabstraksikan pada saat a3al. !ekuatan matematika adalah sangat luas dan pada semua tingkatan, simbol simbol memberikan sumbangan yang $ukup besar di dalamnya. api tanpa kemampuan dari matematika3an untuk menanamkan pengertian, semua tak ada gunanya.
-. Mengungkap kembali informasi &an pemahaman Dalam bagian ini kita menekankan pada penggunaan simbol mengungkap kembali konsep konsep dan skema yang tersimpan dalam memori seseorang. #eskipun konsep yang digunakan merupakan obyek yang dihindari yaitu sudah tidak dikerjakan untuk beberapa lama atau mungkin sama sekali tak dapat di$apai 48
tanpa menggunakan beberapa $ara untuk mengungkap kembali. >ontoh berkaitan
dengan pengetahuan tentang persamaan kuadrat.
pakah persamaan kuadrat berikut mempunyai akar nyataI.
&" - ' E " C 0 %ada kebanyakan kasus istilah 4deskriminan5
atau
simbol: 5b"-'a$5 perlu
diperhatikan terlebih dahulu. etelah itu dasar-dasar metode untuk menyelesaikan kasus itu perlu diingat kembali. uatu $ontoh lagi, sudah pernakah anda ketemu seorang teman sekolah lama yang sudah tidak anda kenal. etapi setelah ia berkata 4 saya KK..5 anda bukan hanya mengenalnya, tetapi bahkan teringat segala sesuatu tentang dia. %roses mengingat kembali informasi dengan bantuan simbol-simbol itu ditunjukkan oleh kemampuan mengahafal terlepas dari konsep. >ontoh :
in
ll
an
>os
2ai ini bermaksud baik untuk mengingat tanda dari pembagian sudut trigonometri dari 0o sampai &*0o. Diagram di atas menunjuikkan perbandingan sudut-sudut positif. %erbedaan
menghafal
dengan
sebuah
formula
mengorganisikan struktur yang harus diingat kembali. sebuah formula
adalah
formula
Aleh karena itu dari
pemahaman dapat dikonstruksikan, meskipun tidak dengan
segera dapat diingat kembali simbol- simbol yang dimaksud. Dengan melihat atau V mendengar istilah hukum ohm, formula
I
= R
8ntuk kebanyakan orang hal itu dapat dibangkitkan kembali dengan sengaja dari ruang penyimpanan memori. elanjutnya dari formula mudah untuk mengkonstruksi pengertiannya. ika diberikan sebuah medan listrik maka arus yang mengalir dengan oltase ganda juga akan meningkatkan ampere sebesar 48
dua kali lipat. 8rutan-urutan untuk mengingat kembali: pertama simbol-simbol, kemudian makna
simbol tanpa ke$uali. %ada saat mengingat kembali sebuah
per$akapan
atau sesuatu yang diba$a
sebagian orang dapat mengingatnya
kembali artinya tetapi dalam ba hasanya sendiri. Dalam matematika, yang kita simpan adalah kombinasi struktur konsep yang diasosiasikan dengan simbol, karena itu lebih baik untuk mengingat se$ara total. %ertanyaannya adalah bagian dari kombinasi simbol dan konsep mana yang lebih mudah dikuasai, ketika kita men$oba mengingat kembali materi-materi yang tersimpan pada ruang penyimpanan memori. Bukti mengingat kembali simbolsimbol lebih mudah di$apai itu ada, tetapi seberapa besar, masih perlu penelitian lebih lanjut.
10. Aktvitas mental )ang kreatif
%embentukan konsep yang terdiri dari formasi ide-ide baru dari ingatan masing masing indiidu merupakan faktor faktor kreatif. Aleh karena itu mempelajari dengan $ara ini matematika adalah suatu pen$arian yang menantang. api penjelasan yang digunakan lebih mengutamakan pada kreasi ide-ide, dimana tidak seorangpun yang dapat mengerjakan sebelumnya, baik untuk memulai sesuatu atau untuk menyelidiki keberadaan sesuatu. ekali pemahaman
baru
diperoleh hal itu dapat dikomunikasikan dalam $ara-$ara yang siap didiskusikan satu sama lain, dimana skema-skema sudah $ukup jauh dikembangkan dalam arah yang benar untuk dapat diasimilasikan. Lisellin dalam karya klasiknya 4proses kreatif5 telah dikoleksi bersamasama dengan laporan hasil karya $ipta pada beberapa bidang: musik, jurnal, ilmuan, matematika3an. bah3a
proses ini akan
Dari ini, apa yang
mun$ul barangkali dengan jelas
tidak melaksanakan untuk memerintahkan. Bagian
penting dari aktiitas ini adalah bah3a keduanya merupakan ketidaksadaran dan tidak sengaja. Bagaimanapun diakui bah3a sebuah proses aktiitas memerlukan permulaan yaitu diperlukan untuk berkonsentrasi 48
dengan sunggunh-sungguh
pada suatu masalah. #aksudnya ada suatu priode tertentu dimana suatu problem dikesampingkan, jadi sejauh ini kesadaran ingatan yang diperhatikan adalah saat pelemasan, situasi releks, kegiatan mental atau
kegiatan jasmani lain atau
istirahat. ampaknya selama periode ini, tanpa sadar kegiatan mental konsen dengan problem
yang
berkelanjutan, se$ara tiba-tiba
pemahaman yang
berhubungan dengan problem, mungkin merupakan penyelesaian yang komplit, men$uat dalam kesadaran, suatu saat ketika tidak ada ketenangan kerja problem ini dalam kemajuan. %emahaman ini disertai dengan perasaan yang senang dan yang menarik, penting untuk dikomunikasikan. elama pada tingkat pusat dimana keberadaan ide-ide se$ara tiba-tiba $o$ok dengan $ara baru untuk menghasilkan ide baru. idak mungkin untuk mengatakan berapa besar simbol-simbol memainkan peran yang penting atau mempunyai andil disini. %ada bagian terdahulu dan pada tingkatan berikutnya bagaimanapun juga fungsi mereka $ukup penting. ahap pertama adalah kuatnya konsentrasi pada problem dimana semua ide yang relean diba3a bersama dan dipertimbangkan dari beberapa aspek
dan dalam kombinasi-kombinasi yang
berbeda dan hubungannya satu sama lain. elama periode dari refleksi ini simbol memainkan suatu bagian
dasar, untuk itu kita mengontrol se$ara sengaja
pemikiran kita. 2al ini bisa terjadi dengan baik jika pada tahap ini
kontribusi
konsep dimun$ulkan pada tingkatan yang lebih tinggi dari aktiitas untuk sintesa berikut pada leel ba3ah sadar. ika pemahaman telah terjadi, hal itu memungkinkan mengingat simbolsimbol yang sesuai se$ara spontan untuk menunjukan adanya assosiasi dengan proses membuat kesadaran. etapi hal ini mun$ul tidak komplit, dan simbolsimbol diteruskan dengan sengaja sadar, membuat kemungkinan komunikasi dan rekaman terhadap hasil-hasil dari proses kreatif. Formulasi dan rekaman yang dengan se$ara teliti diasosiasikan proses sadar se$ara penuh, sering dideskripsikan sebagai usaha yang susah payah. >elakanya tidak semua ide-ide diperoleh dengan $ara-$ara demikian dapat memenuhi kesanggupan mereka. etelah pemahaman seharusnya diikuti dengan pemeriksaan atas kebenarannya. Dalam sains ini berarti menguji ide dengan eksperimen. Dalam matematika ini berarti analisa logika, menguji konsistensi 48
internal, dan menerima pengetahuan. ekali lagi bah3a sebuah proses refleksif untuk simbol-simbol adalah hal yang essensial. ika pemilihannya dengan hatihati berkontribusi se$ara langsung untuk menyatakan sebuah struktur baru.
ML!8# lat komunikasi
%enjelasan
#embuat kemungkinan yang men$erminkan akti:itas
48
#erekam pengetahuan
%embentukan konsep konsep baru
kti:itas mental yang kreatif
Fungsi Simbol
#embantu menunjukan struktur
#embuat berma$am klasifikasi dengan jelas
#embuat manipulasi rutin se$ara otomatis
#enggali informasi dan pemahaman
