SISTEMAS HIPERESTATICOS Y ESFUERZOS TERMICOS Un sistema hiperestático Es aquel en el cual los nudos giran, es decir que las deformaciones se transmiten a las barras colindantes. Tal como se hizo en el ejemplo anterior, coloquemos los libros y la regla; dispongamos dos libros más, uno de cada extremo sobre la regla. Realizando la misma presión vemos el modo en que se ha deformado la regla. Comprobamos que en los extremos de la regla, ha cambiado el signo de la deformada y la flecha en el centro de la regla es menor. En ambos casos, la distancia entre apoyos no ha cambiado. En el caso hiperestático, la fuerza aplicada es la misma que en el isostático, pero la flecha es menor. Para obtener igual flecha, en el caso hiperestático, la fuerza exterior debe ser mayor. En un sistema hiperestático, la deformación de los extremos de una jácena hace girar las cabezas del pilar, trasladándole la deformación con su signo. Por ello se dice que el nudo gira. En un sistema isostático, la jácena se deforma libremente. Los pilares no acompañan la deformación. La deformación del pilar es exclusivamente derivada del axil de compresión que recibe. Esfuerzo térmico Se denomina esfuerzo o tensión a la fuerza por unidad de área a la que se somete un sólido cuando se somete a una tracción o a una compresión. Un esfuerzo es térmico cuando varía la temperatura del material. Al presentarse un cambio de temperatura en un elemento, éste experimentará una deformación axial, denominada deformación térmica. Si la deformación es controlada, entonces no se presenta la deformación, pero si un esfuerzo, llamado esfuerzo térmico. Los casos más generales de deformación y esfuerzo térmico son : * Puentes y elementos estructurales, donde se puede pasar de temperaturas iniciales de – 30 °F a 110 °F . * Vehículos y maquinaria. * Piezas de máquinas con calentamiento excesivo, como motores, hornos, cortadores de metal, trenes de laminación, equipo de moldeo y extrusión de plástico, equipo procesador de alimentos, compresores de aire, y mecanismos industriales.
SOLUCION DE SISTEMAS HIPERESTATICOS SUJETOS A CARGAS Para la resolucion de problemas hiperestaticos se necesita tener claro el concepto y fórmula de esfuerzo y deformación ya que son esenciales en este tipo de problemas: * ESFUERZO *donde N= F ….Fuerza A= Area DEFORMACION=(PL)/(AE) P=fuerza L=longitud (del elemento al cual deseamos saber su deformacion) en este caso analizaremos el siguiente problema Sabemos las áreas de las varillas, sus modulos de elasticidad, sus longitudes, ademas sabemos la masa de la barra que es 18Mg .habrá que pasar esta masa a Newtons * 1 Kg = 1,000 g * x = 18×106g x=18000kg para pasarlo a Newtons lo multiplicaremos por g (gravedad 9.81 m/s2 * x=176.52KN ,nota que X=Pm=176.52KN( la fuerza de la barra de masa 18Mg) * Lo primero que haremos sera un D.C.L(diagrama de cuerpo libre) del sistema..tomando en cuenta que tenemos dos varillas de acero les llamaremos 2Pa y una de bronce Pbr.. y un peso de la barra Pm .. la ecuación 1 nos quedará 2Pa+Pbr=Pm * teniendo ya Pm=176.52KN ..sustituímos * 2Pa+Pb=176.52KN ,,, * teniendo en cuenta la fórmula del esfuerzo vamos a poner la ecuacion anterior en terminos de esfuerzos esto es cambiar !P! por (esfuerzo)(Area) nos quedará * pondremos esfuerzo = б * (2бA)acero+(бA)bronce=176.52KN * 2(бac)(600mm2+(бbr)(900mm2=176.52KN * [1200mm2бac]+[бbr(900mm2]=176.52KN * obtenemos una ecuación solida donde ya tenemos a los dos esfuerzos бac y бbr relacionados. buscaremos otra ecuación en terminos también de esfuerzos (б) para resolver el sistema de ecuaciones. * Debido a que las varillas se deformarán por el peso de la barra, la deformación de la varilla de acero y la deformacion de la varilla de bronce sera la misma * esto es: * ac = br * ahora pondremos la ecuación en terminos de esfuerzos: * sustituyendo todos los datos nos queda: * бac = 3.85542 бbr * metiendo este valor en [1200mm2бac]+[бbr(900mm2]=176.52KN * no darán los esfuerzos * бac = 124 Mpa * бbr = 32 Mpa
METODO DE IGUALACION DE LAS DEFORMACIONES La compatibilidad de deformaciones te permite calcular las reacciones en un sistema hiperestatico. Para aclarar lo anterior es necesario definir algunos conceptos. Se sabe que existen solo dos ecuaciones de equilibrio, las cuales son : Sumatoria de fuerzas =0 sumatoria de momentos =0 la diferencia entre un sistema isostatico e hiperestatico es que el primero se puede resolver utilizando las ecuaciones de equilibrio y el segundo no, debido a que existen mas incognitas que ecuaciones. Por ejemplo una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro es un sistema hiperestatico de primer orden, es decir, se requiere de una ecuacion adicional para resolver y encontrar las reacciones. Una viga doblemente empotrada es un sistema hiperestatico de segundo orden, debido a que requiere 2 ecuaciones a parte de las de equilibrio para resolver el problema. Para conseguir esa o esas ecuaciones basta aplicar la compatibilidad de deformaciones y asi encontrar las ecuaciones que faltan para resolver el sistema . Un ejemplo: viga doblemente empotrada con una carga puntual P en medio de la luz ( L/2) llamare al extremo izquierdo A y al derecho B. 1era ecuacion Fa+Fb = P 2 da ecuacion (momentando en A ) -Ma+P*L/2+Mb-Fb*L=0 Aplicando superposicion (liberando extremo b) se tiene: Viga empotrada en un extremo y libre en el otro con una carga puntual en la mitad de la luz, se determina su flecha y angulo en elextremo libre,es decir: tetab =P*L^2/(8*EI) deltab = 5*P*L^3/(48*EI) Viga empotrada en un extremo (A) y en el otro con una carga vertical hacia arriba igual a fb tetab = fb*L^2/(2*EI) delta b = fb*L^3/(3*EI) Viga empotrada en un extremo (A) y en el otro con un momento mb tetab = mb*L/(EI) deltab = mb*L^2/(2*EI) Compatibilidad de deformaciones La suma de los angulos es igual a cero ( el giro en un empotramiento es cero) P*L^2/(8*EI)- fb*L^2/(2*EI)-mb*L/(EI) = 0 La suma de los desplazamientos es igual acero ( el desplazamiento en el empotramiento es cero) 5*P*L^3/(48*EI) - fb*L^3/(3*EI)- mb*L^2/(2*EI) =0 con estos dos ecuaciones sepuede encontrar Mb y Fb Mb =PL/8 y Fb = P/2
METODO DE COMPARACION GEOMETRICA DE LAS DEFORMACIONES METODO DE RIGIDEZ El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan elástica y linealmente. El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación: (1) Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y el número de grados de libertad de la estructura. MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O DE LA RIGIDEZ En este método se trabaja con los tres tipos de ecuaciones mencionados aplicadas a los nudos de la estructura dejando como incógnitas los desplazamientos de los grados de libertad libres. Notamos que es una forma completamente distinta de trabajar, pero que analizando mas detenidamente es simplemente el método de los nudos. Veamos en una estructura simple como se plantean las ecuaciones en los nudos. Para esto representaremos cada elemento como un resorte susceptible de deformarse axialmente. RIGIDEZ En ingeniería, la rigidez es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos. Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.
