SISTEMA DIÉDRICO. DISTANCIAS, ÁNGULOS Y PENDIENTES

TEMA 9.

Sistema Diédrico. Distancias, ángulos y pendientes.

9.1. Distancia entre dos planos. La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio (por ejemplo A y B, Fig. 9.1), es la longitud del segmento que los une. Para medir este segmento, se proyectará sobre un plano cualquiera P, obteniendo así A1 y B 1. Si a continuación se traza por A el segmento AC, paralelo a A1 y B1, se formará el triángulo rectángulo ABC, en el que la hipotenusa es la longitud que se quiere determinar, y los catetos son conocidos puesto que AC= A1B1= longitud de la proyección del segmento AB sobre P, y BC= BB 1-CB1= BB1-AA1. Esto quiere decir que en el triángulo rectángulo en cuestión, un cateto es la proyección del segmento AB sobre P, y el otro la diferencia de longitud de los rayos proyectantes que pasan por A y B.

Figura 9.1 Trasladando lo explicado hasta ahora al sistema diédrico, se puede afirmar que la distancia D existente entre dos puntos A y B es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son: uno la proyección horizontal del segmento AB, y el otro la diferencia de cotas existente entre A y B (Fig. 9.2)

Expresión Gráfica en la Ingeniería

Figura 9.2 El mismo razonamiento se puede hacer tomando t omando como catetos del triángulo rectángulo la proyección del segmento AB sobre el plano vertical y la diferencia de alejamientos entre los puntos A y B respectivamente (Fig. 9.3).

Figura 9.3 Hay que tener en cuenta que si los puntos se encuentran en distintos cuadrantes habrá que considerar el signo de las cotas y los alejamientos a la hora de trazar el triángulo. El procedimiento visto, consistente en construir el triángulo ABC sobre el plano de proyección considerado, puede sustituirse aplicando los conocimientos adquiridos en los temas de abatimientos, giros y cambios de plano. Cálculo de la distancia entre dos puntos utilizando abatimientos . (Fig. 9.4). El segmento AB se contiene en un plano cualquiera, obteniéndose a continuación la posición abatida A0B0 de dicho segmento.

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F. Agüera, F.J. Aguilar, F. Carvajal, M.A. Aguilar, B. Navarro

En la Figura 9.4 las trazas del plano en el que se ha contenido AB no aparecen, y se ha abatido sobre el plano H, paralelo al horizontal de proyección. La recta horizontal de plano que se ha usado como charnela se corta con AB en el punto 1.

Figura 9.4 Cálculo de la distancia entre dos puntos utilizando giros. (Fig. 9.5). Mediante este método se dispondrá el segmento AB paralelo a alguno de los planos de proyección, obteniendo sobre éste la proyección en verdadera magnitud.

En la Figura 9.5 el segmento AB se ha dispuesto paralelo al plano vertical de proyección, tomando como eje de giro la recta E, perpendicular al horizontal. Por tanto, la longitud de la proyección vertical b’a’g del segmento girado coincidirá con la del segmento AB.

Figura 9.5 Cálculo de la distancia entre dos puntos utilizando cambios de planos . (Fig. 9.6). Al igual que en el caso anterior, el segmento AB, cuya longitud se pretende conocer, se dispone paralelo a cualquiera de los planos de proyección, utilizando ahora un cambio de plano.

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En la Figura 9.6 se ha realizado un cambio de plano vertical disponiendo así AB paralelo a él. La proyección vertical a’cb’c coincidirá con la longitud de AB.

Figura 9.6

9.2. Distancia de un punto a un plano. La distancia de un punto A a un plano P es la longitud D del segmento perpendicular a P que parte de A (Fig. 9.7).

Figura 9.7

Para resolver este problema se procederá de la siguiente forma (Fig. 9.8): - Por A se traza una recta S perpendicular a P. - Se halla el punto B, que es la intersección de la recta S con el plano P. - La distancia entre A y P será la que existe entre A y B.

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Figura 9.8

9.3. Distancia de un punto a una recta. La distancia de un punto A a una recta R es la longitud D del segmento perpendicular a la recta que parte desde dicho punto (Fig. 9.9).

Figura 9.9 En la Figura 9.10 se indica el método general para calcular la distancia del punto A a la recta R: - Por A se traza un plano P perpendicular a R. - Se halla el punto B, intersección de la recta R y el plano P. - La distancia entre A y R será la que exista entre A y B. En la Figura 9.11 se ha resuelto el problema usando el sistema de representación diédrico.

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Figura 9.10

Figura 9.11

9.4. Distancia entre dos rectas paralelas. La distancia D existente entre dos rectas paralelas R y S es la longitud del segmento AB que las une, siendo este segmento perpendicular a ambas (Fig. 9.12). El procedimiento general para realizar este cálculo es el que se expone a continuación, y está reflejado en la figura 9.13: - Se traza un plano P perpendicular a las rectas paralelas R y S. - Se calcula la intersección del plano P con las rectas, obteniendo así los puntos A y B. - La distancia D entre R y S es la que existe entre A y B.

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Figura 9.12

Figura 9.13 En la Figura 9.14 se ha resuelto el problema utilizando el sistema diédrico de representación y siguiendo el método expuesto. Otra posibilidad sería obtener el abatimiento de las rectas R y S, una vez abatido el plano que definen. La distancia entre ambas vendría dada como la longitud del segmento perpendicular a R0 y S0 (Fig. 9.15). El problema también se puede resolver acudiendo al cambio de plano, como se ha hecho en la Figura 9.16. En ella se han realizado dos cambios de plano: el primero (cambio de plano vertical) ha dispuesto al plano que determinan las dos rectas como un proyectante vertical, mientras que el segundo (cambio de plano horizontal) ha dispuesto dicho plano

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paralelo al horizontal de proyección, pudiendo medir, por tanto, la distancia entre ambas rectas directamente en la proyección horizontal. Para llevar a cabo el proceso se han tomado los puntos 1, 2, 3 y 4, situados en las horizontales de plano H1 y H2 del plano definido por R y S.

Figura 9.14

Figura 9.15

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Figura 9.16 En la Figura 9.17 se ha llegado al mismo resultado usando como herramienta de trabajo los giros. Mediante dos giros, se ha dispuesto el plano definido por R y S paralelo al horizontal de proyección. Al igual que en el caso anterior, se ha trabajado con cuatro puntos situados en dos horizontales del plano definido por las rectas R y S. El primer giro ha tomado como eje la recta vertical E, de manera que el plano en cuestión ha quedado como proyectante vertical. El segundo ha tomado como eje de giro la recta perpendicular al plano vertical E1, quedando el plano que definen R y S, al final del giro, paralelo al horizontal de proyección. La distancia entre R y S se podrá medir directamente sobre la proyección horizontal y será igual a la longitud del segmento perpendicular a rg1 y sg1 (D). En este problema geométrico hemos observado como cualquiera de los métodos descriptivos auxiliares estudiados en anteriores temas puede servirnos para encontrar la solución correcta. El que uno u otro sea más o menos adecuado dependerá del problema concreto a que nos enfrentemos y de la situación relativa de los elementos que intervengan en el mismo. Por otra parte, no debemos olvidar nunca que la aplicación de los métodos auxiliares sólo representa la utilización de un procedimiento técnico con el que obtener las condiciones proyectivas más apropiadas para la resolución de un determinado problema. La visualización tridimensional del ingeniero es, en definitiva, la que debe conducir y dirigir el procedimiento a emplear.

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Figura 9.17

9.5. Distancia entre dos planos paralelos. La distancia entre dos planos paralelos P y Q es la longitud del segmento AB, que parte de P y llega a Q, siendo perpendicular a ambos planos (Fig. 9.18). Los pasos a seguir se explican a continuación: - Se traza una recta R perpendicular a los planos P y Q, cuya distancia se quiere conocer. - Se halla la intersección de R con los planos Q y Q, obteniendo así A y B respectivamente. - La distancia entre P y Q será la que existe entre A y B En la Figura 9.19 se sigue el procedimiento anterior, utilizando el sistema diédrico.

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Figura 9.18

Figura 9.19

9.6. Distancia entre dos rectas que se cruzan. La distancia entre dos rectas R y S que se cruzan viene determinada por la longitud del segmento MN, que es perpendicular a ambas rectas (Fig. 9.20). Si sólo se pide la distancia entre las rectas y no se pide la perpendicular común, el problema se puede simplificar resolviéndolo de la siguiente forma (Fig. 9.21): - Trazar por una de las rectas, por ejemplo S, un plano P paralelo a la otra - Hallar la distancia D desde cualquier punto de R al plano P.

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Figura 9.20

Figura 9.21

9.7. Ángulo que forman dos rectas. Pueden aparecer dos casos: que las rectas se corten o se crucen. Las rectas se cortan. Si las rectas R y S se cortan en un punto A (Fig. 9.22) determinan un plano P.

Si este plano se abate sobre uno de los planos de proyección o alguno paralelo a ellos, el ángulo que forman las rectas se podrá medir directamente. En la Figura 9.23 el plano P se ha abatido sobre un plano horizontal de proyección, obteniendo así la posición abatida de R y S: R 0 y S0 respectivamente. El ángulo α comprendido entre R0 y S0 es el que forman las rectas en el espacio.

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Figura 9.22

Figura 9.23 Igual que se hizo al calcular la distancia entre dos rectas paralelas (apartado 9.4), se pueden utilizar aquí los métodos auxiliares de cambios de plano o giros para medir el ángulo formado por dos rectas que se cortan. A modo de ejemplo, en la Figura 9.24 se ha calculado el ángulo que forman las rectas R y S utilizando dos cambios de plano.

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El primero ha dispuesto el plano que determinan las rectas como proyectante vertical, mientras que el segundo lo ha dispuesto paralelo al plano horizontal de proyección. De esta forma, el ángulo α se puede medir directamente en la proyección horizontal. Las rectas se cruzan. En este caso se traza por un punto cualquiera de una de las rectas, una recta paralela a la otra, y se opera como en el caso anterior.

Figura 9.24

9.8. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección. En general, para hallar el ángulo que una recta forma con un plano cualquiera, habrá que determinar la proyección cilíndrico-ortogonal de la recta sobre el plano. El ángulo buscado será el que forman la recta en el espacio y su proyección. Según lo que se acaba de exponer, el ángulo α que una recta R forma con el plano horizontal es el que forma con su proyección horizontal. Análogamente, el ángulo β que una recta R forma con el plano vertical de proyección es el que forma con su proyección vertical (Fig. 9.25).

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Figura 9.25 Se pueden utilizar diferentes técnicas para calcular estos ángulos. Supongamos que se quiere determinar el ángulo formado por la recta R y el plano horizontal de proyección. Estas técnicas pueden ser: Abatimiento. (Fig. 9.26). La recta R se ha contenido en un plano P, proyectante horizontal, y después se ha abatido sobre el horizontal de proyección. El ángulo α que forman R0 y P es el que forma R con el horizontal de proyección.

Figura 9.26 Giros. (Fig. 9.27). Si la recta se dispone paralela al plano vertical de proyección, el ángulo que ella forma con el horizontal de proyección se medirá directamente como el que forma su proyección vertical con la línea de tierra.

Para llevar a cabo esto, se toma un eje de giro perpendicular al plano horizontal. En la Figura 9.27 el eje E que se ha tomado está contenido en el plano vertical de proyección, y R al final del giro también queda contenida en el mismo plano.

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Figura 9.27 Cambios de plano . (Fig. 9.28). Se efectúa un cambio de plano para que R quede paralela o contenida en alguno de los planos de proyección. En la Figura 9.28 la recta se ha dispuesto paralela al plano vertical de proyección tras el cambio de plano.

Figura 9.28 De igual forma se podría haber determinado el ángulo β que la recta R forma con el plano vertical de proyección.

9.9. Ángulo formado por una recta y un plano. Como se dijo al principio del apartado anterior, el ángulo que una recta forma con un plano cualquiera viene determinado por el ángulo entre la recta y su proyección cilídricoortogonal sobre el plano. De acuerdo con esto, los pasos a seguir para hallar el ángulo formado por la recta R y el plano P son los siguientes (Fig. 9.29):

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- Se encuentra el punto A, intersección de l a recta R y el plano P. - Se proyecta cilíndrico-ortogonalmente R sobre P. Para ello: - se toma un punto cualquiera de la recta (punto B) - se traza una recta T que pase por B y sea perpendicular a P - se halla el punto de intersección de T y P (punto C) - la recta AC será la proyección buscada (recta S). El ángulo α entre R y P será el formado por las rectas R y S, el cual se podrá calcular con cualquiera de los métodos vistos en el apartado 9.7.

Figura 9.29

9.10. Ángulo formado por dos planos. Para hallar el ángulo que forman dos planos cualesquiera se pueden seguir dos métodos diferentes: Con este primer método se determina la magnitud del ángulo, pero no la posición. Por tanto, no será útil si se pretende trazar, por ejemplo, el plano bisector de los dos dados. La ventaja es su simplicidad respecto al siguiente método que se verá. Los pasos a seguir para hallar el ángulo existente entre dos planos P y Q dados son los siguientes (Fig. 9.30): - Se toma un punto A cualquiera, exterior tanto a P como a Q. - Por A se traza una recta R perpendicular a P, y otra recta S perpendicular a Q. - Se determina el ángulo γ formado por R y S. - El ángulo α formado por P y Q es el suplementario de γ , es decir, α=180-γ .

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Figura 9.30 Para hallar el ángulo formado por dos planos P y Q en posición y magnitud, se ha de determinar el ángulo rectilíneo correspondiente del diedro que forman ambos planos (Fig. 9.31). Los pasos a seguir son los siguientes: - Se halla la recta intersección I de los planos P y Q. - Se traza un plano M perpendicular a I. - Se halla la recta intersección del plano P y el plano M (recta R), y la del plano Q con el plano M (recta S). - El ángulo α formado por P y Q es el que forman R y S.

Figura 9.31

9.11. Ángulo que forma un plano con los de proyección. La suma de los ángulos que un plano cualquiera forma con los de proyección está comprendida entre 90º y 180º. Los casos extremos que se presentan son los siguientes: un plano paralelo al vertical de proyección formará con éste 0º, y 90º con el horizontal de proyección. Un plano paralelo al horizontal de proyección formará con éste 0º, y 90º con

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el vertical de proyección. Un plano de perfil formará 90º con ambos planos de proyección.

Figura 9.32

Figura 9.33 El ángulo que un plano cualquiera P forma con el horizontal de proyección se puede calcular acudiendo a cualquiera de los métodos vistos en el apartado anterior. Si se aplica el segundo procedimiento, la recta intersección entre ambos planos será la traza horizontal de P. El plano M, que será un proyectante horizontal, cortará a P según una línea de máxima pendiente (R), y al plano horizontal de proyección lo cortará según la recta S (Fig 9.32). El ángulo α que el plano P forma con el horizontal de proyección es el que forman R y S. Abatiendo M se verá dicho ángulo en verdadera magnitud. En realidad, lo que se ha hecho es calcular el ángulo que una línea de máxima pendiente de P forma con el plano horizontal de proyección. El mismo razonamiento se puede aplicar al ángulo formado por el plano P con el plano vertical de proyección (Fig. 9.33). En este caso M será un proyectante vertical, siendo la intersección con P una línea de máxima inclinación. El ángulo β formado por P y el vertical de proyección es el que una línea de máxima inclinación forma con este último.

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9.12. Pendiente de una recta. La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que forma con el plano horizontal. Normalmente, la pendiente se expresa en porcentaje, para lo cual simplemente se multiplica por 100 el valor de la tangente. La forma de calcular dicho ángulo puede ser cualquiera de las expuestas en apartados anteriores. En la Figura 9.34 la pendiente de la recta R se podrá calcular a partir de la proyección horizontal ab de un segmento AB y de la diferencia de cotas entre A y B.

Figura 9.34

Figura 9.35 Del triángulo ABC, en el que α es el ángulo que R forma con el plano horizontal, conocemos AC (igual a la proyección horizontal ab), y la diferencia de cotas entre A y B, con lo que dicho triángulo queda totalmente definido. El valor de la tangente será el cociente de ∆ cota AB entre la longitud de ab. Por último, la pendiente de un plano coincide con la pendiente de cualquiera de sus infinitas rectas de máxima pendiente.

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