16.10.2012
MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol Sistem Dinamiği ve Matematiksel Matematiksel Model Blok Diyagramı Prof. Dr. Dr. Recep Rece p Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Dr. Recep Kozan
Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMA MATEMATİKS TİKSEL EL MODEL Fiziksel bir sistemi, örneğin endüstriyel bir tesisi, bir kaynak robotunu, bir uçağı deneme yanılma yoluyla kontrol etmeye çalışmak, bozup tekrar tasarlamak oldukça maliyetli ve uzun bir süreç olurdu. Bunun yerine sistemin davranışlarını temsil eden matematiksel bir eşdeğer model üzerinde hesaplamaları yapmak işimizi oldukça kolaylaştırır. Bir sistemin dinamik karakteristiğinin matematiksel tanımına ‘Matematiksel Model’ denir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
1
16.10.2012
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMATİKSEL MODEL MÜHENDİSLİK SİSTEMİ Sistem Bileşenlerinin Tanımlanması Uygun Kabuller
FİZİKSEL MODEL Basitleştirici kabuller yaparak, basit elemanlardan meydana gelmiş modelin kurulması Fiziksel Yasalar
MODELİN İYİLEŞTİRİLMESİ Yapılan
MATEMATİKSEL MODEL İlgili fiziksel yasalar yazılarak, modeli tanımlayan diferansiyel denklemin elde edilmesi
incelemenin,
yapılan düzeltmelerle tekrarlanması
Çeşitli Hesaplama Yöntemleri
ÇÖZÜM Sistemin dinamik davranışını kestirmek için ilgili matematiksel denklemlerin çözümü Çözümün gözden geçirilmesi
SINAMA
Bulunan çözümün ve başlangıçta yapılan Sakarya Üniversitesi kabullerin irdelenmesi Prof. Dr. Recep Kozan Mühendislik Fakültesi Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki Makine Mühendisliği Bölümü UYGUN
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMATİKSEL MODEL
Bir yol üzerinde V hızıyla hareket eden bir otomobil. Otomobilin süspansiyon sisteminin fiziksel modeli incelenecektir.
Modelin kurulmasının amacı arabanın ve yolcuların düşey hareketlerinin önceden bilinmesi ve ayrıca yay ve amartisör sisteminin optimum tasarımı. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
2
16.10.2012
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMATİKSEL MODEL
(a) Süspansiyon sisteminin en basit modeli. Otomobil m kütlesine indirgenmiş, k otomobil yay ve makaslarının eşdeğer yaylanma katsayısı, b amortisörlerin eşdeğer sönüm katsayısı. Arabanın düşey hareketi Xa ve yay ile amortisördeki kuvvetler tayin edilebilir.
(b) Tekerlek ve aksların toplam kütlesi m2 ve tekerlek lastiklerinin yaylanması k1 de gözönüne alınmıştır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMATİKSEL MODEL
(c) Otomobilin sarsılması da incelenmiş. Otomobilin
gövdesi m kütlesinde ve kütle merkezine göre atalet momenti J olan bir rijit cisim olarak alınmıştır. Arabanın ön ve arka kısımlarındaki eşdeğer yay ve amortisörler gösterilmiş ve 2 yay, 2 amortisör, 2 tekerlek ve aks takımı ile 2 lastik takımı bulunmaktadır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
3
16.10.2012
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMATİKSEL MODEL
Son model her tekerlekte bağımsız bir süspansiyon sistemini göstermekte olup daha karmaşık fakat pratikteki uygulamaya en fazla uyan fiziksel modeldir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
SİSTEM DİNAMİĞİ VE MATEMATİKSEL MODEL Fiziksel Sistemler Her birinin matematiksel davranışı biliniyor ol an ideal fiziksel elemanlardan oluşan bir fiziksel model ve onun toplam davranışının matematiksel karşılığı
Matematiksel Model
Trigonometrik, diferansiyel vs. matematiksel denklemler (Zaman düzlemi)
Doğrusallaştırma Adi diferansiyel denklemler L
dönüşümü F dönüşümü veya
1. Modelleme Aşaması Transfer Fonksiyonu Modeli G(s) (Karmaşık veya frekans düzlemi)
Modeller arasında dönüşüm a ılabilir
Durum Değişkeni Modeli ( t ) durum geçiş matrisi, Durum ve çıkış denklemleri (Zaman düzlemi)
(Frekans veya karmaşık düzlemde çözüm) Modelin bir test girişine yanıtının frekans düzleminde bulunması
(Zaman düzleminde iteratif çözüm) dX/dt=AX(t)+B u(t) y=CX(t)+Du(t)
F -1 dönüşümü dönüşümü L -1 veya
2. Çözüm y(t)=……. Aşaması Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Çözüm
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
4
16.10.2012
TRANSFER FONKSİYONU Başlangıç koşulları sıfır kabul edilerek çıkış değişkeninin Laplace dönüşümünün giriş değişkeninin Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlanır. C(s) çıkış ve R(s) giriş fonksiyonu ise, transfer fonksiyonu;
olur. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
TRANSFER FONKSİYONUNUN TEMEL ÖZELLİKLERİ •
•
•
•
•
Transfer fonksiyonu sadece doğrusal, zamanla değişmeyen sistemler için tanımlanmıştır. Transfer fonksiyonu sistemin İmpuls cevabının Laplace dönüşümüdür. Sistemin tüm başlangıç koşulları sıfıra eşittir. Transfer fonksiyonu sisteme uygulanan giriş f onksiyonundan bağımsızdır. Sürekli sistemlerde transfer fonksiyonu sadece s karmaşık değişkeninin bir fonksiyonudur. Gerçek bir değişkenin, zamanın ya da herhangi bağımsız bir değişkenin fonksiyonu değildir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
5
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Kontrol sistemini oluşturan dinamik elemanların davranış özelliklerini ve bu elemanların arasındaki fonksiyonel bağıntıyı göstermek için ‘Blok Diyagramları’ kullanılır. Her bir dinamik eleman blok adı verilen dikdörtgen bir şekil ile gösterilir ve içine o elemanın dinamik davranışını temsil eden transfer fonksiyonu yazılır. X(s)
Giriş
Y(s)
Transfer Fonksiyonu G(s)
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Çıkış
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Blok diyagramları indirgenerek sistemin bütününe ait transfer fonksiyonu elde edilebilir. Böylece bir çok alt sistemden oluşan karmaşık sistemi tek bir transfer fonksiyonuna indirgeyerek tüm sistemi analitik olarak daha kolay inceleyebiliriz. Bir sistemin blok diyagramı sistemin dinamik davranışını temsil eder, sistemin fiziksel yapısı hakkında bilgi vermez.
Birbiriyle alakasız iki ayrı sistemin blok diyagramları aynı olabilir. Bir sistemin blok diyagram gösterimi tek değildir. Yapılacak analize göre bir sistem farklı blok diyagramlar şeklinde gösterilebilir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
6
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Blok diyagramda elemanlar arasında ilişkilenmeyi sağlayan temel operatörler vardır: Sinyaller Blok (Sistem)
Ayrılma Noktası
Toplama (Karşılaştırma) Elemanı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Kapalı Çevrim Blok Diyagramı Karşılaştırma elemanında cebrik toplanacak B(s) ve R(s) nin fiziksel cinsleri aynı olmak zorundadır. Geri besleme kolu üzerinde B(s)=H(s).C(s) olur. H(s)=1 ise birim dönüşlü kapalı çevrim elde edilir.
B(s)
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
7
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Açık Çevrim Transfer Fonksiyonu Geri besleme sinyali B(s) nin hata sinyali E(s) ye oranıdır.
=
= , = ()
C(s) yerine konarak
Açık çevrim transfer fonksiyonu;
() ()
= ()
B(s)
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI İleri Besleme Transfer Fonksiyonu R(s) den C(s) ye kadar ileri giden yoldur.
=
İleri besleme transfer fonksiyonu;
= ()
B(s) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
8
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Kapalı Çevrim Transfer Fonksiyonu Kapalı çevrimli bir sistemde C(s) yi R(s) ye bağlayan transfer fonksiyonudur.
=
= −
= , yerlerine yazılarak = [ − ()] = − ()() buradan
Kapalı çevrim transfer fonksiyonu;
() ()
=
() + ()
B(s) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Ardışık bağlı blokların indirgenmesi
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
9
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Paralel bağlı blokların indirgenmesi
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Geri besleme döngüsünün indirgenmesi
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
10
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Toplama elemanını bloğun arkasına kaydırmak
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Toplama elemanını bloğun önüne kaydırmak
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
11
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Ayrılma noktasını bir blok önüne kaydırmak
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Ayrılma noktasını bir blok arkasına kaydırmak
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
12
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Toplama noktalarının yeniden düzenlenmesi
+
+
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Toplama noktalarının yeniden düzenlenmesi + + -
+ -
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
+
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
13
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Geri besleme yolu üzerinden bir bloğun kaldırılması
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI İki ayrı geri besleme yolunun birleştirilmesi
Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
14
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Bozucu Girişten Doğan Transfer Fonksiyonu Referans değer bir kontrol sisteminin giriş değeridir; ancak tek giriş değeri değildir. Kontrol sistemlerinde, kontrol edilen sistem çıkışını referans değerinden saptırmaya çalışan (kontrol işlemini olumsuz yönde etkileyen) ve sisteme çeşitli yerlerden etkiyebilen bozucu büyüklükler bulunabilir. Bozucu büyüklük de kontrol sisteminin bir giriş değeridir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI Bozucu Girişten Doğan Transfer Fonksiyonu Bozucu giriş etkisini gösteren kapalı çevrimde; G1(s) kontrol organı ,
G2(s) kontrol edilen sistem,
H(s) ölçme elemanı,
R(s) referans giriş,
D(s) bozucu giriş R(s)
E(s)
+ _
D(s)
G1(s)
G2(s)
+
+
C(s)
B(s) H(s) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
15
16.10.2012
BLOK DİYAGRAMI Bozucu Girişten Doğan Transfer Fonksiyonu Bozucu giriş etkisini gösteren kapalı çevrime blok diyagramı cebri uygulanırsa R(s) ve D(s) nin etkilerine bağlı C(s) elde edilir. D(s) R(s)
E(s)
+ G1(s)
+ _
+
C(s)
G2(s)
B(s) H(s) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
BLOK DİYAGRAMI ozucu Girişten Doğan Transfer Fonksiyonu = − 2 = 2 − 2 =
2 1 2
1 1 2
(
D(s) R(s)
E(s)
+ _
G1(s)
G2(s)
+
+
C(s)
B(s) H(s) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü
Prof. Dr. Recep Kozan Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
16
