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Sintaxis de CTL

Ulises Martinez Araiza [email protected] www.ulisesmartinez.com

Sintaxis de CTL

Contenido Contenido ............................................................................................................................... 2 1. Sintaxis ............................................................................................................................... 3 2. Semántica ........................................................................................................................... 4 3. Equivalencia de fórmulas CTL ..................................................... ........................................................................................... ...................................... 8 4. Formas Normales para CTL ................................................ ............................................. 10 5. Referencias ....................................................................................................................... 12

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1. Sintaxis CTL tiene una sintaxis de dos etapas donde las formulas en CTL son clasificadas en fórmulas de estado y de camino. Las fórmulas de estado son aserciones sobre una proposición atómica en los estados y su estructura de enramado, mientras que las fórmulas de camino expresan propiedades temporales en los caminos. Definición 6.1 Sintaxis de CTL Las fórmulas de estado CTL sobre un conjunto  de proposiciones atómicas están formadas de acuerdo a la siguiente gramática:

Φ ∷=  |  | Φ ∧ Φ | ¬Φ | ∃ | ∀ Donde  ∈   y  es una fórmula de camino. Las fórmulas de camino CTL están formadas de acuerdo a la siguiente gramática:

 ∷=○ Φ | Φ  Φ Donde Φ, Φ , Φ son fórmulas de estado. Para diferenciar fórmulas de estado y fórmulas de camino, las primeras se escribirán con letras griegas mayúsculas y las segundas con letras griegas minúsculas. Las fórmulas de estado expresan propiedades de estado, mientras que las segundas expresan propiedades del camino. El operador temporal ○ representa que una propiedad Φ debe cumplirse en el siguiente estado del camino, mientras que el operador  representa que la Φ debe cumplirse hasta que la propiedad Φ se cumpla. Los operadores que cuantifican los cam inos preceden a los operadores temporales. El cuantificador ∃ nos indica que la fórmula de camino tiene que cumplirse en algún camino desde el estado actual, mientras que el cuantificador ∀ nos dice que cada camino debe cumplir la fórmula de camino. Los operadores Booleanos  ,  , ∨ , → y ⟺ se definen de la forma usual, mientras que las modalidades temporales se pueden derivar de la siguiente manera: Formula

∃ ◊ Φ = ∃  Φ ∀ ◊ Φ = ∀  Φ ∃□Φ = ¬ ∀ ◊ ¬ Φ ∀ □Φ = ¬ ∃ ◊ ¬ Φ

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Descripción Potencialmente se mantiene Φ Es inevitable que Φ Potencialmente siempre Φ Invariantemente Φ


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2. Semántica Las fórmulas de CTL son interpretadas sobre los estados y caminos de un sistema de transiciones  . Formalmente, dado un sistema de transiciones , las semánticas de las formulas CTL están definidas por dos relaciones de satisfacción: Una para las fórmulas de estado y otras para las fórmulas fórmulas de caminos. La primera relación es entre los estados en  y una formula de estado:  ⊨ Φ, esto es, Φ se mantiene en el estado . La segunda relación es entre un fragmento de camino máximo en  y una fórmula de camino:  ⊨ , esto es el camino  satisface la formula . Definición 6.4 Sea  ∈   una proposición atómica,  = , ,→,, , un sistema de transiciones sin estados terminales,  ∈  , Φ , Ψ formulas CTL de estados, y  una formula CTL de camino. La relación de satisfacción ⊨ está definida para fórmulas de estados por: Formula

⊨ ⊨¬Φ ⊨Φ∧Ψ ⊨∃ ⊨∀

Condición

⟺ ⟺ ⟺ ⟺ ⟺

 ∈ 

No se cumple  ⊨ Φ ⊨Φ y ⊨Ψ  ⊨  para algún  ∈ ℎ   ⊨  para todo  ∈ ℎ 

Para caminos , la relación de satisfacción ⊨ para caminos está definida por: Formula

⊨○Φ  ⊨ΦΨ

Condición

⟺ ⟺

[1] ⊨ Φ ∃ ≥ 0,  [ ] ⊨ Ψ ∧ ∀0 ≤  < ,  ,  [ ] ⊨ Φ  

Donde para el camino  =    … y enteros esimo de , es decir, [ ] =  .

 ≥ 0, [] denota

el estado   + 1 -

Definición 6.5 Dado un sistema de transiciones  , el conjunto de satisfacción Φ, para una formula CTL de estados Φ esta definido por:

Φ = {  ∈  |  ⊨ Φ } El sistema de transiciones  satisface la formula CTL Φ si y solo si Φ se mantiene en todos los estados iniciales de : 4


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  ⊨ Φ ⟺ ∀  ∈  ,  ⊨ Φ Esto es equivalente a 

⊆ Φ.

Otras semánticas útiles de CTL son las siguientes: Formula

 ⊨ ∃□Φ  ⊨ ∀□Φ ⊨∃◊Φ ⊨∀◊Φ

⟺ ⟺ ⟺ ⟺

Condición ∃ ∈ ℎ, [ ] ] ⊨ Φ para todo  ≥ 0. ∀ ∈ ℎ, [ ] ] ⊨ Φ para todo  ≥ 0. ∃ ∈ ℎ, [ ] ] ⊨ Φ para algún  ≥ 0. ∀ ∈ ℎ, [ ] ] ⊨ Φ para algún  ≥ 0.

Ilustración 1: Visualización de la semántica de algunas fórmulas básicas básicas de CTL1

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Ilustración tomada de [1].

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La ilustración 1 visualiza gráficamente en qué consisten varias de estas fórmulas, siendo de color negro los estados que satisfacen la proposición  y grises los que satisfacen la proposición . Observación 6.8 Frecuencia Infinita Es cuando un estado es visitado una cantidad de veces infinita dentro de un camino. Esto sirve para comprender la siguiente proposición y formula de CTL:

 ⊨ ∀□ ∀ ◊ 

si y solo si

∀ ∈ ℎ, [] ⊨  para una cantidad  infinita.

Observación 6.9 Weak Until Es un operador de camino denotado por  . La intuición en este operador es que un camino  satusface Φ  Ψ , para las fórmulas de estado Φ y Ψ , si se cumple cualquiera de Φ  Ψ o □Φ . La diferencia con el operador “ Until” (  ) es que Ψ no requiere ser alcanzada eventualmente. En lógica CTL, este operador se define de la siguiente manera:

∃Φ  Ψ Ψ = ¬∀Φ ∧ Ψ  ¬Φ ¬Φ ∧ ¬Ψ ¬Ψ ∀Φ  Ψ Ψ  = ¬∃Φ ∧ Ψ  ¬Φ ¬Φ ∧ ¬Ψ ¬Ψ Observación 6.10 La semántica de la negación Para un estado  , tenemos que  ⊭ Φ si y solo si  ⊨ ¬ Φ, sin embargo, esto no se mantiene en general para un sistema de transiciones. Podemos tener enunciados para los cuales se cumpla tanto que   ⊭ Φ como que   ⊭ ¬ Φ . Esto se debe a que podemos tener dos estados iniciales,  y ′ , tal que  ⊨ Φ y ′ ⊭ Φ. Por lo tanto:

 ⊭ ¬∃ si y solo si existe un camino  ∈ ℎ ℎ   con  ⊨ . Esta equivalencia es justificada por el hecho de que la interpretación de una formula CTL de estados sobre un sistema de transiciones está basada en una cuantificación universal sobre los estados iniciales. Por otro lado,   ⊨ ∃  requiere que  ⊨ ∃ sobre todos los  ∈ . Observación 6.11 Semántica CTL para Sistemas de Transiciones con estados Terminales Para un fragmento de camino máximo finito  =    …  de longitud  , con  como estado terminal, sea: Formula

 ⊨○ Φ π⊨Φ Ψ 6

⟺ ⟺

Condición  > 0 y  ⊨ Φ. Existe un índice  ∈ ℕ con   = 0,1,2 … ,  − 1 y  ⊨ Ψ

≤  y  ⊨ Φ, para


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Entonces, 

⊨ ∀ ○   si y solo si  es un estado terminal. Por los operadores derivados ◊

y □ obtenemos que

Formula

 ⊨◊ Φ  ⊨ □Φ

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⟺ ⟺

Condición Existe un índice  ≤  con  ⊨ Φ Para todo  ∈ ℕ con  ≤  tenemos que 

⊨Φ


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3. Equivalencia de fórmulas CTL

Ilustración 2: Algunas reglas de equivalencia para CTL 2

2

Ilustración tomada de [1].

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Las formulas CTL Φ y Ψ se dice que son equivalentes siempre que estas sean semánticamente idénticas, esto es, cualquier estado  mantendrá que  ⊨ Φ si y solo si  ⊨ Ψ. Definición 6.12 Equivalencia de fórmulas CTL Las formulas CTL Φ y Ψ (sobre ) se dice que son equivalentes, denotado por Φ Ψ, si  Φ =  Ψ Ψ para todos los sistemas de transición  sobre .

≡

Incluyendo todas las reglas de equivalencia estándar para la los fragmentos de lógica proposicional en CTL, también existen reglas de equivalencia para reglas con modalidades temporales en CTL, descritas varias en la ilustración 2. En CTL, tenemos reglas de expansión para ∃Φ  Ψ y para ∀Φ  Ψ. En el caso de ∃Φ  Ψ, esta expresión es equivalente al hecho de que el estado actual satisface Ψ, o este satisface Φ, y para algún estado sucesor directo, ∃Φ  Ψ se mantiene. La regla de expansión para ∃ ◊ Φ y ∃□Φ puede ser simplemente derivadas de las reglas de expansión para ∃. La idea básica detrás de estas reglas es expresar la valides de una formula por med io de un predicado sobre el estado actual y un predicado sobre los sucesores directos de este estado. Por ejemplo, ∃□Φ es valida en el estado  si Φ es valido en  (un predicado sobre el estado actual) y se mantiene por todos los caminos a través de un camino que empiece de  (un predicado sobre los estados sucesores). La expresión ∃ ◊  Φ ∨ Ψ  es equivalente a ∃ ◊ Φ ∨ ∃ ◊ Ψ , sin embargo las expresiones ∀ ◊  Φ ∨ Ψ  y ∀ ◊ Φ ∨ ∀ ◊ Ψ no son equivalentes. Esto debido a que qu e la primera expresión obliga a que alguna de las dos, Φ o Ψ, se cumplan dentro del mismo camino, mientras que la segunda solo obliga a que se cumpla alguna de esas dos fórmulas CTL, no importa si están en caminos diferentes.

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4. Formas Normales para CTL Las reglas de dualidad para ∀ ○ Φ muestran que ∀ ○ puede ser tratado como un operador derivado de ∃ ○. Esto nos dice que, los operadores básicos ∃ ○, ∃ , y ∀ podrían ser suficientes para definir la sintaxis de CTL. Se puede omitir el cuantificador universal de caminos y definir todas las modalidades temporales en CTL. Definición 6.13 Forma Normal Existencial para CTL (ENF) Para  ∈   , un conjunto de fórmulas de estado CTL en ENF es dado por:

Φ ∷=  |  | Φ ∧ Φ | ¬Φ | ∃ ○ Φ | ∃ Φ Φ  | ∃□Φ Teorema 6.14 Existencia de Formulas Equivalentes en ENF Para cada formula CTL existe una formula CTL equivalente en ENF.

Las equivalencias de las formulas con cuantificadores universales de camino están dadas en la siguiente tabla: Formula con Cuantificador Universal

∀○Φ ∀Φ  Ψ ∀◊Φ ∀□Φ

Formula en ENF

≡ ≡ ≡ ≡

¬∃ ○ ¬Φ ¬∃( ¬∃(¬Ψ  ¬Φ∧¬Ψ) ∧ ¬∃□¬Ψ ¬∃□¬Φ ¬∃ ◊ ¬Φ = ¬∃ ¬∃    Φ 

Debido a que la regla ∀ triplica las ocurrencias de Ψ en la fórmula de la derecha, la traducción de fórmulas CTL en forma ENF puede causar una explosión exponencial en el tamaño de la fórmula. Otra forma normal con importancia dentro de CTL es la forma normal positiva. Una formula CTL se dice que está en forma normal positiva (o PNF) siempre que las negaciones solo aparezcan adyacentes a proposiciones atómicas. Para asegurar que cad a formula CTL es equivalente a una formula formula en PNF, por cada operador se requiere un operador dual. En el caso de la conjunción y la disyunción, estos son duales entre ellos, mientras que el operador ○ es dual consigo mismo, y el operador  es el dual de . Definición 6.15 Forma Normal Positiva para CTL C TL (PNF) El conjunto de fórmulas de estado de CTL en PNF está dado por:

Φ ∷=  |  |  | ¬ | Φ ∧ Φ | Φ ∨ Φ | ∃ | ∀ Donde  ∈   y las formulas de camino  están dadas por: 10


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 ∷= ○ Φ | Φ Φ | Φ  Φ Teorema 6.16 Existencia de Formulas equivalentes en PNF Por cada formula CTL existe una formula equivalente CTL en PNF. Formula con Negaciones en Formulas no Atómicas

¬ ¬¬Φ ¬Φ∧Ψ ¬∀○Φ ¬∃○Φ ¬∀Φ  Ψ ¬∃Φ  Ψ

Formula en PNF

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

 Φ ¬Φ∨¬Ψ ∃○¬Φ ∀○¬Φ ∃ ∃Φ ∧ ¬ Ψ Ψ  ¬Φ∧¬Ψ ¬Φ∧¬Ψ ∀Φ ∧ ¬ Ψ  ¬Φ∧¬Ψ

Debido a que las reglas para ∀ y ∃ duplican el numero de ocurrencias para Ψ y Φ, la longitud de la formula CTL equivalente en PNF puede llegar a ser exponencialmente más grande que la fórmula original.

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5. Referencias [1] Christel Baier and Joost-Pieter Katoen. 2008. Principles of Model C hecking (Representation and Mind Series). The MIT Press.

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