Universidad Nacional de Catamarca - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Dpto. de Física – Cátedra: Electromagnetismo I – Seminario Teoría microscópica de la conducción
SEMINARIO TEORIA MICROSCOPICA DE LA CONDUCCION ELECTRICA
Basado en el modelo microscópico de la conducción eléctrica, es posible entender el comportamiento lineal del enunciado de la Ley de Ohm de materiales que se comportan linealmente a condiciones de temperaturas constantes, en la cual la densidad de corriente (J), es proporcional al campo eléctrico como así también de otras características experimentales de la conducción. También hemos supuesto que las partículas cargadas se mueven con velocidad (v) aunque no nos hemos preocupado cuales eran las causas de su movimiento. Con este fin analizaremos ahora la dinámica de los portadores de carga cuando se establece una corriente eléctrica en un conductor metálico debido a un campo eléctrico aplicado.
Consideremos una partícula libre del medio conductor con carga (q) y de masa (m). Supongamos también, que existe un campo eléctrico ( ) dirigido a lo largo del conductor. Sobre la carga (q) actuará una fuerza local
=(
) debido al campo
eléctrico externo, de forma que adquirirá una aceleración según la segunda ley de
Newton.
=(
),
O que es lo mismo la velocidad de arrastre aumentará de acuerdo con. =
(1)
Si la partícula cargada se encontrara en el vacío, continuara acelerándose. Este modelo no es válido para explicar una corriente estacionaria, pues como en (1)
la velocidad de las cargas aumentaría con el tiempo, y por lo tanto la intensidad de corriente
=
, también seria cada vez mayor. Por lo tanto es necesaria otra
fuerza que equilibre la fuerza provocada por el campo eléctrico de forma que la aceleración sea cero.. Analizando Analizando el origen de esta fuerza, el movimiento real de los portadores portadores de carga en el conductor es muy complicado. Supongamos que no existe campo
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eléctrico, entonces los portadores se mueven en direcciones aleatorias y a velocidades relativamente grandes debido a su energía térmica que dado por
=
− 3
En donde k es la constante de Boltmann ( = 1,381 10
23
/ ), que relaciona
la temperatura absoluta (kelvin) con la energía (Joule).
Por ejemplo para tener una idea de la magnitud de esta velocidad calcularemos su valor para una temperatura de 300K (25° C aproximadamente) y m es la masa de un electrón es:
− − 3 1,381 10
=
23
9.11 10
. (300 )
31
= 1.17 105
( )
Ahora calcularemos la velocidad de arrastre de una partícula portadora con ) (2)
( =
Por ejemplo supongamos un conductor de cobre con un diámetro de 10 mm que circula una corriente de 20 A y una densidad de portadores calcular la velocidad de arrastre.
= 8.47 1023
/
3
,
Aplicando la ecuación (2) tenemos.
− − =
=
20
1,609 10
19
8.47 1023
Si comparamos la velocidad de (A)
/
3
(0,5)2 .
= 1,9
10
3
( )
es muy alta en comparación con la
velocidad de arrastre en (B). Teniendo en cuenta que en un conductor hay un número muy alto de portadores de cargas libres del orden de (10)23 moviéndose de forma aleatorias y que los vectores velocidad de la distintas partículas están orientados al azar, la velocidad media debida a la energía térmica es nula. Es decir que por cada partícula que se mueve en un determinado sentido, siempre será posible encontrar otra que se mueva en sentido opuesto, de forma que el
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desplazamiento de carga neto es nulo y no existirá ninguna intensidad de corriente debida a los efectos térmicos.
Cuando se aplica un campo eléctrico, los portadores adquieren una aceleración instantánea debido a la fuerza
=(
), lo que hacen que alcancen una
pequeña velocidad en la dirección del campo eléctrico aumentando su energía cinética. Pero debido al movimiento de agitación térmica, existe una gran probabilidad de que el electrón acelerado choque con un ion de la red del medio, de forma que la energía cinética que adquieren es disipado rápidamente por los choques con los iones fijos del conductor. El resultado neto de esta aceleración y disipación de energía repetidas, (además de provocar un calentamiento en el conductor), es que los portadores de cargas adquieren una pequeña velocidad de desplazamiento en la dirección del campo eléctrico que se superpone a su velocidad grande, pero aleatoria de origen térmico. Podemos relacionar la velocidad de desplazamiento con el campo eléctrico ignorando las velocidades térmicas aleatorias de los electrones y admitiendo que el electrón parte de reposo después de un choque. A continuación plantearemos las ecuaciones de la dinámica de un electrón para lo que hemos de hacer un balance de fuerzas. En primer lugar, la fuerza que actúa sobre un portador de carga en un conductor en que se ha establecido un campo eléctrico es.
=
(3)
En segundo lugar, la disipación de energía por los choques con los iones de la
red podemos describirla, en forma matemática, suponiendo que sobre cada portador actúa, además de la fuerza ( ) debida al campo, una fuerza ( ) que se opone al movimiento de forma proporcional a la velocidad del portador.
−
( )=
(4)
Siendo (G) una constante que depende de la estructura atómica del conductor y que representa la dificultad con la que el electrón se desplaza a través de la red.
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Para calcular la velocidad de los portadores, aplicamos la segunda Ley de Newton
−
sumando (3) y (4).
=
=
+
=
Se puede ver que cuando
(5)
= 0,
=
(6)
Es la solución de estado estacionario para la velocidad de arrastre, sin embargo analizaremos la solución completa de (5) que nos queda una ecuación diferencial lineal de primer orden, no homogénea de coeficientes contantes del la forma
′ −ℎ ℎ ℎ + ( ) = ( )
Aplicando la formula
=
Donde
.
.
=
+
(6)
.
Nuestra ecuación nos queda de la forma
+
=
Normalizando para dejar el diferencial de orden más alto dividimos por (m)
+
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=
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ℎ =
=
.
=
.
=
.
0
Aplicando la formula
− − − − −− −− =
.
.
.
.
=
.
0
0
=
=
. 1
.
.
.
=
1
. 1
=
Si hacemos tender t al infinito veremos que la velocidad parte desde cero y
alcanza el valor asintótico constante que lo denominamos por
→∞ =
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=
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La rapidez con que alcanza esta velocidad depende de la constante de tiempo
llamado también tiempo de relajación
=
−
(9)
Experimentalmente se sabe que, en un buen conductor, esta constante suele ser del orden de 10
12
,
. Por lo tanto, prácticamente de forma instantánea se
desplazan los portadores de carga por el conductor con una velocidad constante.
Eliminando G de (6) y (9), encontramos la velocidad de arrastre en el estado estacionario
=
Encontrando la densidad de corriente para un solo tipo de portador de carga obtenemos.
=
=
2
=
Que es proporcional al campo de acuerdo a la ley de Ohm =
(10)
Por lo tanto podemos obtener (g) la conductividad
2
=
=
2
=
Y en el caso que haya varios tipos de portadores de cargas tenemos 2
=
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