Semi Anillo

Problemas Propuestos 1.2

1) Una esfera esfera de radio radio a con centro en el origen posee una densidad de carga dada por 2 entrica con la ρ = Ar , donde A es una constante. Otra esfera de radio 2 a es concéntrica primera. primera . Encontrar En contrar el flujo flu jo eléctrico ectrico a través es de la superfic su perficie ie de la esfera es fera de radio ra dio mayor. m ayor. Soluci´ on

ΦE =

4πAa 5 5ε0

2) Sobre una una esfera esfera de radio R se tiene una distribución on volum´ vol umétrica etrica de carga c arga con densidad densid ad ρ0 . Por un cilindro diametral que atraviesa dicha esfera pasando por su centro y con radio lo suficientemente pequeño no como para que no perturbe la distribución on de carga de la esfera, se puede mover una carga puntual ( q ) de masa m .

−

a) Obtene Obtenerr la ecuaci ecuaci´ón o n de movimiento que sigue la carga ( q ) moviéndose endose dentro del cilindro.

−

b) Resolver Resolver la ecuaci´ ecuación on de movimiento y dar el valor de los puntos en el recorrido de la carga ( q ) donde la velocidad y la aceleración on son máximas. aximas.

−

Soluci´ on 1

d2 r qρ 0 2 2 a) + = 0; 0 ; = ω r con ω 3ε0 m dt2 a) V max en r = 0 (centro de la esfera);





amax en r =

±R (superficie de la esfera).

3) Determinar Determinar el flujo del del campo electrost´ electrost´ atico atico creado creado por un cubo de lado L cuya densidad de carga es proporcional proporcional a la distancia distancia a una cualquiera de sus caras, a trav´ trav´ es es de una esfera esf era tambi´ tamb ién en de d e radio ra dio R=L, siendo el centro de la esfera coincidente con el centro del cubo. Soluci´ on

q int aL4 int ΦE = = ; 2ε0 ε0

1

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4) Calcular el campo camp o eléctrico ectrico y el potencial creados por p or un hilo rectil´ rectil´ıneo de longitud long itud L en un punto cualquiera a la derecha del hilo y en su eje. El hilo está cargado de forma no homog´ ho mogénea enea tal que la densidad de carga lineal es λ = ax, siendo a una constante y x la distancia de un punto cualquiera del hilo al extremo izquierdo del mismo. Soluci´ on

a E = 4πε 0

L



− L + ln

x

x

− L  ux;

a V = 4πε0

x



x ln

x

x

−L −L



5) Determinar Determinar el campo y el potencial en un punto cualquiera cualquiera del espacio para: a) Una bola de goma de radio

R

cargada con una densidad de carga uniforme ρ.

b) Una bola de metal de radio R cargada con una densidad superficial de carga uniforme σ . Soluci´ on

 Q r ρr  4π R = 3 , si r ≤ R a) =  Q ρR = , si r ≥ R 4π r 3 r  Q 3R − r ρr  8π R = 6 (3R − r ), V =  Q ρR = , 4π r 3 r  0, si r < R  b) =  Q = σR , si r > R 4π r  r  Q σR  4π R =  , si r < R V =  Q σR = , si r ≥ R 4π r  r 3

0

ur

ur

0

E

3

0

2

ur

2

0

2

ur

2

2

3

0

2

si r < R

0

3

0

0

E

2

0

0

2

ur

0

0

2

0

0

2

ur

si r

≥R



6) Dos hilos muy largos largos y paralelos, uno de densidad densidad lineal de carga λ y otro de densidad 2λ, ambos ambo s uniformes, unifo rmes, est´ est án an separados sepa rados a una distanci di stanciaa d . Determin D eterminar ar el lugar geométrico etrico de los puntos para los cuales el campo electrostático atico es nulo. Soluci´ on

r=

d

3

7) Calcular Calcular el campo y el potenci p otencial al eléctricos ectricos creados por un hilo en forma de semianillo de radio R y carga Q homogénea enea en el punto P , situado en la perpendicular al plano del anillo por su centro, a una distancia z del plano del mismo.

 





Soluci´ on E

=

Q

4π 2 ε0 (R2 + z 2 )

3 2

( 2Ruy + πz uz );

−

V =

√ Q

4π 2 ε0 R2 + z 2

Semi Anillo

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