seleccion importANTE INTRODUCCION Diseño Concreto Reforzado 4 Ed. [Jack C. McCormac]

Diseño de

CONCRETO REFORZADO 4aEdición

JackC.McCormac Ctemson Universrty

Alfaomcga

Contenido

Prefacio

................... ....... .....—............................................. - .........— •xm

Capítulo 1.1 1.2 1.3 1.4 15

1 Introducción .................... ....... ........................ .....................—............... * Concreto y Concreto reforzado................................................ ......—................ I Ventajas del concreto reforzado como malcría! estructural .............. 1 Desventajas del concreto reforzado como matcnal estructural .........................3 Antecedentes históricos........ -.......-.................................................— ..........4 Comparación del concreto reforzado con el acero estructural para edificios y puentes............................................................................................ 6 1.6 Compatibilidad del concreio y el a c e ro ............................................................ 7 1.7 Códigos de diseño.......... -.... —...................................................... -................ 7 1.8 Unidades S I y áreas sombreadas ....................................................................... 8 1.9 Tipos de cemento Portland .............................................................................. 8 1.10 Aditivos.................. -............ - ...................................................... — ........... 1.11 Propiedades del concreto reforzado......................... ......................— ........... 11 1.12 Agregados.......................... .......................................................... -.....-....... 19 1.13 Acero de refuerzo........ ....... ......................................................... — ............ 19 1.14 Grados del acero de refuerzo..... .................................................... -.............. 21 1.15 Tamaños de barras y resistencias de materiales en unidades S I ........ —........... 23 1.16 Ambientes corrosivos............. ...................................................... ................ 23 1.17 Identificación de las marcas en Las barTas de refuerzo.................... — .......... 24 1.18 Introducción a las cargas ...... ....... ................................................. ... .......... 24 1.19 Catgas muertas................................ ............................................... ................ 24 1.20 Cargas viva» ................. ............................................... ................ 26 1.21 Cargas ambientales................................................. ...................... ... ............ 28 >-22 Selección de las cargas de diseño.... ......................... ................... ................. 30 1.23 Exactitud de los cálculos........ ....................................................................... 32 1.24

Impacto de las computadoras en el diseño del concreto reforzado..................

C áp telo 2 Análitu de vigas sometidas a flexión ...................................................... 21 Introducción.............. .............. ...................... ...... 33

v» CONTENIDO

2.2 Momento de agrietamiento...................................................................... 2.3 Esfuerzos elásticos; Concreto agrietado.................................................... 2.4 Momentos últimos o nominales de flexión.............................................. 2.5 Ejemplo de problema usando unidades S I ................................................ 2.6 C O N C A D . . ......................................................................... Problemas .............................................................................

36 39

45 48 49 51

Capítulo 3 Diseño de vigas rectangulares y losas en una dirección ......................... 69 3.1 Métodos de diseño...... ................................................... ............. 69 7(1 3.2 Venujpi|$ei diseño por resistencia......................................... 3.3 Seguridad estructural.............................................................. 72 3.4 Factores de carga .................................................................... 72 3.5 Factores de reducción de capacidad....................................... 73 3.6 Vigas subceforaadas y sobrereforzadas......................................... 74 3.7 Obtención de expresiones para vigas........................................ 74 3.8 Porcentaje máximo permisible d acero........................................ . 77 3.9 Porcentaje mínimo de acero......................................................... 80 3.10 Ejemplo de resistencia a la flexión............................................................ Si 3.11 Diseño de vigas rectangulares....................................................... 85 3.12 Ejemplos de diseño de vigas.............................................................. 88 3.13 Algunas consideraciones en el diseño de vigas........................................ 92 3.14 Determinación del área de acero cuando las dimensiones de la viga están predeterminadas.................................................................... 94 3.15 Barras en racimo.................................................................................... 97 3.16 Losas en uña dirección.............................................................................97 3.17 Vigas en voladizo y vigas continuas........................................................ 102 3.18 Ejemplo con unidades S I........................................................................ 103 3.19 Ejemplo con computadora..................................................................... 1 04 Problemas...................................................................................................... 105 Capitulo 4 Análisis y diseño de vigas T y vigas doblemente reforzadas................... 4.1 Vigas T ................................................................................................. 4.2 Análisis de vigas T ............................................................................... 4.3 Otro método para analizar vigas T .......................................................... 4A DneJk* de vigas T ............................................................................ 4.5 Dbcfto de vigas T por momentos negativos.......................................... 4.6 Vigas L — ........................................................................................... 4.7 Atero de com presión................................................................... j4 J Dneflo de vigas doblemente reforzadas................................................... 43 maapfos con ttftidadet SI .................................. 4 10 Ejemplo? con computadora ................. ....... ........................... ..........

115 115 11S

122 124 132 H4 Iu 142 145 148

CONTENIDO vil

5.2 Importancia de las deflexiones.............................................................. 5.3 Control de las deflexiones..................................................................... 5.4 Cálculo de deflexiones............. ............................................................ 5.5 Momentos de inercia efectivos............................................................... 5.6 Deflexiones a largo plazo...................................................................... 5.7 Deflexiones en vigas simples................................................................. 5.8 Deflexiones en vigas continuas.............................................................. 5.9 Tipos de grietas.................................................................................... 5.10 Control de las grietas de flexión.............................................................. 5.11 Ejemplo con unidades S I ...................................................................... Problemas....... — ..........................................................................................

I fá 1 ¿x

170 \72 174 17 $ 1 82 1S3 187 18S

Capitulo 6 Adherencia, longitudes de des?rrollo y empalmes................................. 197 6.1 Corte y doblado de las barras de refuer/.o............................................... 197 6.2 Esfuerzos de adherencia........................................................................ 200 6.3 Longitudes de desarrollo para el refuerzo de tensión................................. 204 6.4 Longitudes de anclaje para barras en racimo............................................ 215 6.5 Canchos.............................................................................................. 215 6.6 Longitudes de desarrollo para malla de alambre soldado en tensión .. 220 6.7 Longitudes de anclaje para barras a compresión...................................... ?2 1 6.8 Secciones críticas para la longitud de anclaje.......................................... 223 6.9 Efecto del momento y el cortante combinados en las longitudes i í^ a n c lije . —.......................................................................................... 224 6.10 Efecto de la forma del diagrama de momento en las longitudes de anclaje...... ...................................................................................... 224 6.11 Corte o doblado de las barras (continuación)............................................ 225 6.12 Empalmes de barras en miembros a flexión..............................................229 6.13 Empalmes a tensión............................................................................... 231 6.14 Empalmes a compresión......................................................................... 232 6.15 Ejemplo con unidades S I........................................................................ 233 6.16 Ejemplo con computadora...................................................................... 234 Problemas........ ..............-.............................................................................. 235 Capítulo 7 Cortante y tensión diagonal................................................................. 245 7.1 Introducción......... ................................................................................ 24S 7JZ Esfuerzos cortantes en vigas de concreto.................................................. 24S 7.3 Resistencia al cortante del concreto....................................................... 247 7.4 Concreto de peso ligero......................................................................... 248 7.5 Agrietamiento por cortante en vigas de concreto reforzado 24U 7.6 Refuerzo del alma................................................................................. 250 ....... 252 77 Comportamiento de las vi>;as con refuerzo del nlmn 7.8 Disefto por cortante....................................................................... 2 54 7.9 Requisitos del código A C I........................................................... 25<< 7.10 Ejemplo* de problemas de diteAu por untóme I 7.11 Separación económica de lo» etlnhot ....................

CONTENIDO

7 11 7.14

R w s lC T O i^ ttrta n lc de miembros sometidos a fueras axiales................ 276 Requisitos para el d ise ñ o por cortante en vigas de gran peralte.................... -

7.15 Comentarios introductorios sobre torsión.................................................. 7.16 Ejemplo S I ............................ -......................................................... ^8j 7.17 Ejemplo con computadora-.-.........-............................................................. ^ Problemas...... ................ «.r *................................................................ Capitulo 8 Introducción a columnas...........................................................................- •• 8.1 Generalidades.......—................................................................................... ~9| 8.2 Tipos de columnas...................................................................................... 29*. 8.3 Capacidad por carga axial de columnas.................................................... 295 8.4 Fallas de columnas con estribos y con espirales............................... 8.5 Requisitos del código para columnas coladas en obra 8.6 Requisitos de seguridad para colum nas....................................................... .'00 8.7 Fórmulas de diseño...................................................................................... ?02 8.8 Comentarios sobre el diseño económico de columnas 8.9 Diseño de columnas cargadas axialmente................................................. 8.10 Ejemplo con unidades S I ......................................................................... 8.11 Diseño de columnas de concreto reforjado usando el método alternativo de diseño .................................................................................................... '09 8.12 Ejemplo con computadora..............................................................................509 Problemas ..........-.... ........................................................................................... '10 Capítulo 9 Diseño de columnas cortas sometidas a carga axial y flexión.....................31 3 9 .1 Carga axial y flexión.................................................................................. ..313 9.2 E l centroide plástico................................................................................... .310 9.3 Desarrollo de los diagramas de interacción................................................. .317 9.4 Uso de los diagramas de interacción.............................................................322 9.5 Modificaciones del código a los diagramas de interacción de colum nas........325 9.6 Análisis de columnas cargadas excéntricamente usando los diagramas de interacción..,...... .................................................................................... 328 9.7 Diseño de columnas cargadas excéntricamente usando los diagramas 332 de interacción............................................. 98 Fuerza cortante en columnas....................................................................... 3 3 $ 9.9 Flexión biaxial..... ................. ................................................................... 336 9.10 Ejemplo con computadora...................................... ................................... 343 9.1! Problem as................................................................................................. 345 C a p * * 10 Columnas esbeltas .... ........................................................................

10.1 Introducción........................................................................................... 102

Marco» con y sin detpla/imirnto laicral ......................

10 j - J_ B t o o idf e e ih c l ic /

....... ......................................... .................... ...........

Determinación de lo» facture» K con nomograma» Determinación de facióte» K mediante ecuaciones

355 w tss

..............

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ty j 3M

CONTENIDO

Ix

10 6 Análisis de primer orden usando propiedades especiales de los m.embros .... 363 10 7 Columnas esbeltas en marcos sin desplazamiento lateral o r.ostrados.......... 364 10.8 Amplificación de momentos de columnas en marcos s.n desplazamiento t ........................................... 367 lateral.................. — —•— .......—..........; ...... 10.9 Amplificación de los momentos en las columnas de marcos con ^ ^ desplazamiento lateral............................................................................... ' 10.10 Análisis de marcos con desplazamiento lateral........................................... Problemas........................... ...... ...................................................... Capítulo 11 Zapatas.......-.................. - ................................................................. ^ 1 1 . 1 In* «ducción....... ........................................................................... 11.2 Tipi s de zapatas.............................................................................. -....... 388 11.3 Pies iones reales del suelo...................................... -......................... 11.4 Presiones permisibles del suelo.......................................................... 11.5 Diseño de zapatas para muros.......................................................... 11.6 Diseño de zapatas cuadradas aisladas................................................. 11.7 Zapatas que soportan columnas circulares o en forma de polígono regular ........................................................................................... 11.8 Transmisión de la carga de las columnas a las zapatas............ 11.9 Zapatas rectangulares aisladas............................... tzZSZ**...... 11.10 Zapatas combinadas................................................................................ 415 421 11.11 Diseño de zapatas con asentamientos iguales.................................... 11.12 Zapatas sometidas a momentos laterales............................................ 423 11.13 Transmisión de fuerzas horizontales.......................................................... 426 11.14 Zapatas de concreto sim ple....................................................................... 427 11.15 Ejemplocon unidades S I- .......................................................................... 430 11.16 Ejemplos con computadora....................................................................... 432 Problemas ..................... ................ ................................................................... 436 Capítulo 12 Muros de retención........................................................................... .. 443 12.1 Introducción............... ....................................................................... ..... 443 12.2 Tipos de muros de retención...................................................................... 44 3 12.3 Drenaje.............— .................................................................................... 446 12.4 Fallas de muros de retención...................................................................... 44 $ 12.5 Presiones laterales sobre muros de retención............................................... 44 $ 12A Presiones del suelo sobre zapatas....................................................... 455 12.7 Dtsefto de muros de retención de semigravcdad.......................................... 456 12.8 Efectos de la sobrecarga.......... ........................... 459 ¡2.9

Estim a,ón de los tamaños de los muros de retención en voladizo

460

o ? £.roccdumcn,° <** diseftt) P " » muros de retención en voladizo................... 466 470 12 .11 Grietas y juntas en los muros.......... prob,crnas

..........................482

Capítulo 13 Estructuras continuas de concreto reforzado..... 489 1 1 1 Introducción .................................... . „ *****................................................................ 4,V>

x

CONTENIDO

13.2 Consideraciones generales sobre los métodos de análisis............................489 13.3 Líneas de influencia cualitativas............................................................... 490 13.4 Diseño al lím ite........................................................................................ 493 13.5 Diserto al límite según el código A C I.........................................................502 13.6 Diseño preliminar de miembros.............. ................................................. 505 13.7 Análisis aproximado de marcas continuos por cargas verticales..................506 13.8 Análisis aproximado de marcos continuos por cargas laterales................... 516 13.9 Análisis por computadora de marcos de edificios.......................................521 13.10 Arriosirnmiento lateral en edificios............................................................ 522 13.11 Requisitos de la longitud de anclaje en miembros continuos....................... 522 Problemas........................................................................................................... 529 Capítulo 14 Torsión................................................................................................. 535 14.1 Introducción.............................................................................................. 535 14.2 Refuerzo por torsión.................................................................................. 537 14.3 Momentos torsionaies que se han de considerar en el diseño.......................538 14.4 Esfuerzos de torsión.................................................................................. 541 14.5 Cuando se requiere refuerzo torsional según el A C I....................................542 14.6 Resistencia por momento torsionante.........................................................543 14.7 Diseño del refuerzo por torsión.................................................................. 541 14.8 Requisitos adicionales del A C I................................................................... 546 14.9 Problemas ejemplo usando unidades comunes en Estados Unidos............... 547 14.10 Ecuaciones S I y ejemplo de problema........................................................ 551 14.11 Ejemplo con computadora..........................................................................556 Problem as............................................................................................................ 557 Capítulo 15 Losas en dos direcciones; método directo de diseño............................... 563 15.1 Introducción...............................................................................................563 15.2 Análisis de losas en dos direcciones........................................................... 565 15.3 Diseño de losas en dos direcciones según el código A C I............................. 567 15.4 Franjas de columna y franja central............................................................567 15.5 Resistencia al corlante de losas.................................................................. 568 15.6 Limitaciones al espesor y requisitos de rigidez........................................... 572 15.7 Limitaciones del método directo de diseño................................................. 578 15.8 Distribución de momentos en losas.............................................................579 15-9 Diseño de una placa interior plana............................................................. 585 15.10 Colocación de las cargas vivas................................................................... 590 15.11 Análisis de losas en dos direcciones con vigas............................................ 591 15.12 Transmisión de momentos y cortantes entre losas y columnas 598 15.13 Aberturas en los sistemas de losas............................................................. 605 Capítulo 16 Loías en dos direcciones; método del marco equivalente........................607 16.1 Distribución de momentos para miembros no prismáticos........................... 607 16.2 Introducción al método del marco equivalente............................................608 16.3 Propiedades de las vigas losas................................................................... 61

CONTENIDO xl

16.4 Propiedades de columnas....................................................................... 611 16.5 Ejemplos de problemas..........................................................................615 16.6 Análisis con computadora...................................................................... 621 Problemas —............................................................................-.....................621 Capítulo 17 M uros.............................................................................................. 623 17.1 Introducción..-....................................................................................... 623 17.2 Muros no portantes................................................................................. 623 17.3 Muros de concreto de carga. Método empírico de diseño .......................... 624 17.4 Muros de concreto de carga. Diseño racional............................................ 62$ 17.5 Muros de cortante................................................................................... 628 17.6 Requisitos del AC I para muros de cortante................................................629 17.7 Aspectos económicos de la construcción con muros.................................. 635 Problemas........................................................................................................ 635 Capítulo 18 Concreto presforzado...................... — ............................................... 637 18.1 Introducción............................................................................ ............ - 637 18.2 Ventajas y desventajas del concreto presforzado....................................... 639 18.3 Preicnsado y postensado...........................................................................640 18.4 Materiales usados para el concreto presforzado........................................ 64 1 6-13 185 Cálculo de esfuerzos............................................................................ 18.6 Formas de las secciones presforzadas.................................................... . 648 18.7 Pérdidas de preesfuerzo......................... .................................................650 18.8 Resistencia última de secciones presforzadas.............................................654 18.9 Deflexiones............................................................................................. 659 18.10 Fuerza cortante en secciones presforzadas................................................ 664 18.11 Diseño del refuerzo por cortante............................................................... 666 18.12 Temas adicionales.................................................................................... 670 Problemas — ....... ..............................................................................................672 Capítulo 19 Cim bras..............................................................................................679 19.1 Introducción.....-.................................-...................................................679 19.2 Responsabilidad del diseño de las cimbras................................................ 680 19.3 Materiales usados en las cim bras.............................................................. 681 19.4 Abastecimiento de cim bras...................................................................... 682 19.5 Economía en las cimbras.......................................................................... 682 19.6 Mantenimiento de la cimbra..................................................................... 683 19.7 Definiciones............................................................................................ 6S5 19.8 Fuerzas aplicadas a las cimbras para concreto............................................687 19.9 Análisis de cimbras paro losas de pisos y techos........................................ 6^0 19.10 Diseño de cimbras para losas de pisos y techos..........................................702 19.11 Dnefto del apuntalamiento.......................................................................704 19.12 Esfuerzos de aplastamiento o apoyo....... ................................................ 708 19.13 DiseAo de cimbras para muros................................................................. 7 13 Problemas .........„ ............................................................................................. 718

bR

CONTENIDO

Apcndicc Apéndice Apéndice Apéndice

A B C D

T M k y gráficas • • • « • • • • « • • • • a .............................................. 719 Tablas en unidades S I .......................................................................... 755 Método alternativo de diseño.............................................................. 763 Vigas sobrerre forzadas........................................................................ 771

Glosario .................................................................................................................. 775 lodicc

.................................................................................................................. 779

Capítulo 8

Introducción a columnas

8.1 G E N E R A L ID A D E S En este capítulo se presenta un análisis introductorio sobre columnas de concreto reforzado con especial énfasis en las columnas cortas, robustas, sometidas a momentos flexionantes pequeños. Se suele decir que tales columnas están '‘cargadas axialm cnie". En el capítulo 9 se estudiarán las columnas cortas con momentos flexionantes grandes, mientras que las columnas largas o esbeltas se tratarán en el capítulo 10 . Las columnas de concreto pueden clasificarse en las tres siguientes categorías Pedestales cortos a com presión. S i la altura de un miembro a compresión es menor que 3 veces su dimensión lateral más pequeña, puede considerarse como un pedestal. E l A C I ( 2.1 y JO.17) establece que un pedestal puede diseñarse con concreto simple o sin refuerzo, con un esfuerzo perm isible de compresión igual a 0.85
Colum nas cortas de concreto reforzado. Si una columna de concreto reforzado falla debido a la falla inicial del material, se clasifica como columna corta. La carga que puede sopor tar está regida por las dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los malcríales de que está hecha. Una columna corta es un miembro robusto con poca flexibilidad. Colum nas la rcas o esbeltas de concreto reforzado. Conforme crecen las relaciones de esbeltez, las deform aciones por flexión también crecerán, así como los resultantes momen to» secundarios. S i esos momentos son de tal magnitud que reducen aprcciablcmcntc la capacidad a carga axial de la columna, ésta se denomina larg a o esbelta. Cuando una columna se encuentra sometida a momentos prim a/ios (aquellos causados p«r las caigas aplicadas, rotaciones de los nudos, etcétera.), el eje del miembro se deHexiona lateralmente, dando por resultado momentos adicionales iguales a la carga de la columna multiplicada por la deflexión lateral. Estos momentos se llaman momentos secundónos o ntomentot P á y se ilustran en la figura 8 . 1. Una columna que tiene grandes momentos secundarios se llam a columna esbelta y es necesario determinar su sección transversal en función de los momentos primarios y sccun

292

INTRODUCCIÓN A COLUM NAS

Momento secundario a PA.

'I Figura 8.1 Momento secundario o momento PA.

dorios. E l A C I permite diseñar las columnas como columnas cortas si el efecto secundario o efecto PA no reduce sus resistencjasLxn_mi>ulg.5%. Las relaciones de esbeltez efectivas se describen y evalúan en el capítulo 10 y se usan para clasificar las columnas como cortas o como esbeltas. Cuando las relaciones son mayores que ciertos valores (dependiendo de que las columnas estén o no riostradas lateralmente), las columnas se clasifican como esbeltas. En 1970 el comité del A C I estimó que aproximadamente 40% de todas las columnas no riostradas y cerca del 9 0 % de las riostradas contra desplazamientos laterales tienen sus re sistencias reducidas en 5 % o menos debido al efecto PA y deben por tanto clasificarse como columnas cortas1. Sin embargo, esos porcentajes se reducen año con año debido al creciente uso de columnas más esbeltas diseñadas con el método de resistencia, usando materiales más resistentes y con un mejor entendimiento del comportamiento por pandeo de las columnas. 8.2 T IP O S D E C O L U M N A S Una columna de concreto simple no puede soportar mucha carga, pero su capacidad aumen ta si se le agregan barras longitudinales. Pueden lograrse considerables incrementos en la resistencia de la columna proporcionando restricción lateral a las barras longitudinales. Bajo cargas de compresión, las columnas no sólo tienden a acortarse longitudinalmente, sino también ad iJsiaryU atrm lrpcnlc ócbido al efecto de Poisson. La capacidad de tales miem bro* puede aumentar considerablemente si se les proporciona restricción lateral, en forma d* espírale* o estribos cerrados ligeramente separados en torno al refuerzo longitudinal.

1Anirnc*» Conueir InuHutc. 1972. N u ttt m A C I JIK-71 HulUtlnn Cmtr wiili DeiÍRH Applu-ammi. (Siok.c

« - «• i r*s 10-2.

I

82 TIPO S DE COLUM NAS

293

E l esfuerzo en las columnas de concreto puede ser con estribos o zunchadas (con espi rales). dependiendo del método usado para apuntalar lateralmente o mantener en posición las barras longitudinales. Si la columna tiene una serie de estribos cerrados, como se mues tra en la figura 8.2(a). se denomina columna con estribos. Los estribos son muy efectivos para incrementar la resistencia de la columna. E llo s impiden que las barras longitudinales se desplacen durante la construcción v resisten su tendencia a pandearse al estar sometidas a cargas de compresión; el pandeo de las barras causa que el recubrimiento exterior de con creto se quiebre o desconche. Las columnas con estribos son comúnmente cuadradas o rectan gulares. pero pueden construirse también con secciones octagonales, redondas, en L y muchas otras más. Las columnas cuadradas o rectangulares son las más comúnmente usadas debido a la sim plicidad de su cimbra. Sin embargo, cuando se usan en espacios abiertos, las columnas

Recubrimiento

Núcleo

\ Espiral

Columna zunchada o con espiral

(•>

Tubo de «cero cttructund

Columna compuetla

<0 F iju r» H-2 Tipo* de cnlumnav

«*>

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- N in o o o C C IÓ N * C O LU M N A S

Cimbras de columnas. (Cortesía de Economy Forms Corporation.)

circulares son muy atractivas. L a cimbra para las columnas circulares suele hacerse con tubos de cartón o de plástico que se desprenden y desechan una vez que el concreto ha fraguado. S i una espiral continua hecha con barras o alambrón grueso se enrrolla alrededor de la?, barras longitudinales, com o se muestra en la figura 8 .2 (b). la columna se denomina columna zunchada o con esp iral. La s espirales son más efectivas que los estribos para incrementar la resistencia de una colum na. Las espirales de paso estrecho cumplen muy bien su función de mantener en posición las barras longitudinales y de aislar el concreto interior, con lo que se aumenta considerablem ente la resistencia a la compresión axial. Conforme el concreto den tro de la espiral tiende a expanderse lateralmente bajo la carga de compresión, en la espiral em pieza a desarrollarse un esfuerzo de tensión de aro; la columna no fallará hasta que la espiral fluya o se rompa, permitiendo el resquebrajamiento del concreto interior. Las colum nas zunchadas suelen ser redondas pero también pueden fabricarse con secciones rectangu lares. octagonales y de otras forínas. En estas columnas, la disposición de las barras longitudinales sigue siendo circular. Las espirales, si bien aumentan la resistencia de las colum nas, debido al aumento en la elasticidad incrementan aprcciablcmente los costos; por e llo se usan sólo en colum nas fuertemente cargadas y en zonas sísmicas, debido a la gran resistencia que tienen frente a cargas dinámicas. Las espirales incrementan en forma muy efectiva la ductilidad y la tenacidad de las columnas pero resultan varias veces máscaras que las columnas con estribos La* colum nas com puestas, ilustradas en las figuras 8.2(c) y 8.2(d). son columnas de concreto reforzada* longitudinalmente por medio de perfiles de occro, que pueden o no estar rodeados por barras de acero estructural o que pueden consistir en perfiles tubulares de uí.cro estructural rellenos con concreto

8 4 FA LLA S DE COLUM NAS CON E S T R .B O S Y CON E S P IR A L E S

295

8.3 C A PA C ID A D P O R C A R G A A X IA L D E C O LU M N A S En la práctica no existen las columnas cargadas en forma axial, perfecta pero un examen de tales miembros es un excelente punió de partida para explicar la teoría del diseño de colum nas reales con cargas excéntricas. Varias ideas fundamentales pueden explicarse con base en las columnas cargadas axialmcnte, y las resistencias obtenidas señalan límites teóricos supe riores que pueden ser verificados por medio de pruebas Desde hace ya vanas décadas se sabe que los esfuerzos en el concreto y en las barras de refuerzo de una columna que soporta una carga a largo pla/.o no pueden calcularse con exactitud. Podría pensarse que tales esfuerzos se pueden determinar multiplicando las de formaciones unitarias por los módulos de elasticidad apropiados Sin embargo, esto no es factible porque el módulo de elasticidad del concreto varía con la carga, debido al flujo plástico y a la contracción. Puede verse entonces que las partes de la carga lomada por el concreto y por el acero varían con la magnitud y duración de las cargas. Por ejemplo, entre mayor es el porcentaje de carga muerta y mayor es el tiempo que está aplicada, mayor es el flujo plástico en el concreto y mayor es r| porcentaje de carga tomada por el refuerzo. Aunque los esfuerzos en columnas no pueden predecirse en el intervalo elistico con ningún grado de precisión, varias décadas de pruebas han mostrado que la resistencia última de las columnas sí puede estimarse bastante bien. Además, se ha hecho evidente que las proporciones de las cargas vivas y muertas, la duración de la carga y otros aspectos, tienen poca influencia en la resistencia última. N i siquiera importa si es el concreto o el acero el que primero alcanza su resistencia última. S i uno de los dos materiales se acerca a su resis tencia últim a, sus grandes deform aciones ocasionan que los esfuerzos en el otro se incrementen más rápidamente. Por estas razones sólo consideraremos aquí la resistencia última de las columnas En la falta, la resistencia últim a teórica o resistencia nominal de una columna corta cargada axialmcnte puede determinarse con bastante precisión mediante la siguiente expresión, en la que Ag es el área total del concreto y A it es el área total del acero de refuerzo longitudinal, incluyendo las barras y los perfiles estructurales: />„-0.85

* A F A L L A S D E C O L U M N A S C O N E S T R IB O S Y C O N E S P IR A L E S Si una columna corta con estribos se carga hasta que falle, parte del recubrimiento de con creto se desprenderá y a menos que los estribos estén poco separados entre sí. las barras longitudinales se pandearán inmediatamente al desaparecer su soporte (el recubrimiento de concreto; Tales fallas pueden ocurrir en forma repentina y por ¡o visto han ocurrido con frecuencia en estructuras sometidas a cargas sísmicas. Cuando las columnas zunchadas se cargan hasta fallar, la situación es muy diferente El recubrimiento de concreto se desconchará peroel núcleo permanecen! en pie y si el zunchado r\ dr pato pequeño, el núcleo será capaz de resistir una aprcciablc cantidad adicional de c*tu*. »n4t allá de la carga que origina el dcKConchamicnto. E l zunchado con paso reducido junto con b- burra t longitudinales formo» una jaula que confina en forma muy efectiva al

296

INTRODUCCIÓN A COLUMNAS

Columnas redondas zunchadas. (Cortesía de Economy Forms Corporation.) concreto. En consecuencia, el desconchamicnto del recubrimiento de una columna zunchada da aviso de que ocurrirá una falla si la carga se sigue incrementando. La práctica estadounidense no toma en cuenta ningún exceso de capacidad que pueda darse después del desconchamicnto. ya que considera que una vez que éste ocurre, la co lumna perderá su utilidad, por lo menos desde el punto de vista de los ocupantes del edificio. Por esta razón, el zunchado se diseña con un poco más de resistencia que el recubrimiento que te supone que va a desconcharse. E l desconchamicnto da a"iso de una falla inminente y posteriormente la columna tomará un poco más de carga antes de fallar. Diseñar el zunchado con un poco más de resistencia que el recubrimiento no incrementa mucho la resistencia útil de la columna, pero conduce a una falla dúctil o gradual. La resistencia del recubrimiento está dada por la siguiente expresión, donde /j, es ej áL'v' de'^núfilca cuyo diámetro se considera igual a la distancia entre los bordes exteriores de I b espiral :

8.4 FA LLA S O E CO LUM NAS CON E S T R IB O S Y E S P IR A L E S

297

X = paso

Figura 83 Resistencia de! recubrimiento = 0.85 f 'c (Ax - Ac) Puede demostrarse, al considerar la tensión de aro que se produce en las espirafcs debi do a la presión lateral del núcleo, por pruebas se coooce que el acero del zunchado es por lo menos dos veces tan efectivo para incrementar la capacidad última de la colum na eximo el acero longitudinal2*3. Por lo tanto, la resistencia de la espiral puede calcularse e » forma aproximada con la siguiente expresión, en donde es el porcentaje de acero espiral: Resistencia de la espiral = 2psA c /,■ Igualando esas expresiones y despejando el porcentaje requerido de acero esp iral, obte nemos 0.85f M ' - K )

0,425

2 P ^ Jy 0.425

te-)?; /

J Partí. A y Paulay. T . 1775, Rtinfnrctd Ctmcntt SrrutturrJ «Nueva York: Jota Wtley & Son»), pa*s ] 19-121 1Cenudere. A . 1902. “ Cornpreutvt: R e to rn e oí Concrete S*cel mi<] Hoopat Concreto. Pan I" E n a t ^ t n n s k tt t t t á . diciembre 70. pí*». 5XI -5B1; "P « t II", diciembre 27. (4 | i 605-606

I

298

IN TR O D U C C IO N A C O LU M N A S

p ' = 045 (5 f ” * ) f»

(Ecuación AC I 10-6)

Una ve/, que se ha determinado el porcentaje requerido de acero espiral, la espiral puc de seleccionarse con la expresión que sigue, en donde ps está dada en términos del volumen de acero en una vuelta: volumen de espiral en una vuelta P s --------- ----- — volumen del núcleo de concreto para ur» paso s -

^'e*P|,al ^núcleo

_ a,n(D< ~ db) _ 4 a ,(P , - d*) (k D c 2/ 4 ) s

“

sD l

En esta expresión. D c es el diámetro del núcleo, de fuera a fuera de la esp iral.^ es el área transversal de la barra espiral y dh es el diámetro de la barra espiral. Vea la figura 8.3 El groyeelista puede suponer un diámetro para lu espiral y despejar el paso requerido '<> los resultados no parecen razón Pib1--. p ind * tratar con otro diámetro. E l paso usado debe estas

ée la E«*>oa*jr Pntm\ C o tp r x * * * )

8 5 R E Q U IS IT O S D EL CÓDIGO PA RA COLUMNAS COLADAS EN O BRA

299

entre los Ifmitcs indicados en la próxima sección de csie capítulo. De hecho, la labia A 15 (véase el apéndice), que se basa en esta expresión, permite al proyectista seleccionar direc tamente las espirales.

8.5 R E Q U IS IT O S D E L C Ó D IG O P A R A C O LU M N A S C O L A D A S E N O B R A E l código A C I especifica relativamente pocas limitaciones en las dimensiones, el refuerzo la restricción lateral y otros aspectos de las columnas de concreto Algunas de las limitacio nes más imponantes se dan en los párrafos siguientes: ^ V J l . • ^ -r 1. E l porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser menor que el 1% del área tftin4 para b a riy

300

INTRODUCCIÓN A COLUMNAS

longitudinales p ^ o n ^ U t f Ji^ ^ Jp a n jJ^ a s en racimos. El alambre corrugado o la malln de olambre soldado, con un área equivalente, también pueden usarse (AC I 7.10.5.1) .

\|

5~ v ‘v • ' res que del #10 para barras tti longitudinales mayores.

I-a separación centro a centro de los estribos no deberá ser mayor q u ejó veces el diá metro de las barras longitudinales, que 48 veces el diámetro de los estribos, ni que la menor dimensión lateral de la columna. Los estribos deben arreglarse de manera que cada esquina y barra longitudinal alternada tengan soporte lateral proporcionado por la esquina de ur, estribo con un ángulo incluido no_ mayQtjJc 135°. Ninguna barra debe localizarse a una distancia mayor de 6 " libres* a cada lado de una barra soportada lateralmente de esta mane ra. Estos requisitos se 'daií'cn la sección 7.10.5 del código ACI La figura S.4 muestra los arreglos de estribos en varias secciones transversales de columnas *>*■*• UC'AJ t- •>!*-» t -y,. — . 1,42 : t v A' — MS» rU tV ^f'V '* -* '> v. .«• — LtiCIr .-í Cr> -■>í\ r V 'f it _ , ,

6" máx

< 1

Loc - ^ i '

_

f t*J ^ 1^7*

^ C/)V\.

- 1.5 3 - 1 » S ó*°<

6" mi*

Viy.nr* gA Arreglo* típico* de estribo*.

\ 0 ° v a iU U * U v ü 4 r/ 7 V ^ A C U i á g j . t u

(2 ,* ,* * )* * * ;

C *V> 0?kK\

r i

8.6 R E Q U IS IT O S O E SEG URID A D PA RA C O LU M N A S

301

Algunos de los arreglos con estribos interiores, tal como el último mostrado en la figu* /a. son algo caros. S i las barras longitudinales se colocan en un circuló, pueden ponerse estribos redondos alrededor de ellas y las barras no tienen que ligarse o restringirse in d ivi dualmente por cualquier otro medio (7 .10.5.3». E l A C I también establece (7 .10.3> que los requisitos para los estribos laterales pueden pasarse por alto si las pruebas y el análisis estructu ral muestran que las columnas son lo suficientemente resistentes sin ellos y q*Je tal construcción es factible. Existe poca evidencia acerca del comportamiento de las barras empalmadas y de las barras en racimos. Por esta razón, la sección R7.10.5 de los comentarios establece que es aconsejable proporcionar estribos en cada extremo de las barras traslapadas y da recom en daciones relativas a la colocación de los estribos en los lugares de empalmes a tope y de barras dobladas. Los estribos no deben rnlnrn«e. a más de medio espaciamiento arriba de la parte supc-

vigasa una columna aesac 4 direcciones, el ultim o esinoo en ia columna pucoe estar oeoajó del refuerzo inferior de cualquiera de las vigas conectadas. 6. E l código (7.10.4) establece que la separación libre entre las vueltas de las espirales no debe ser menor que 1" o mayor que 3 ".* Si se requieren empalmes en las espíralos, estos deberán estar provistos por soldaduras o por traslapes de las barras espirales con longitudes no menores de 48 diámetros ni de 12".t Se usan barras espadadoras especiales para mame ner las espirales en su lugar y con el paso deseado hasta que el concreto fragua. Estos espaciadores consisten en barras verticales con pequeños ganchos. Las espirales son sopor tadas por los espaciadores, no por las barras longitudinales. l.a sección R 7 .10.4 cte los C o mentarios A C I proporcionan los números mínim os de espaciadores requeridos para colum nas de diferentes tamaños.

8.6 R E Q U IS IT O S D E S E G U R ID A D P A R A C O L U M N A S Los valores de

302

IN TRO DUCCIO N A C O LUM N A S

f ftv. , ,

^

.J « 1 h i 1 ^ Un“ columnn 4UC C" una viga. 1:1 lector puede imaginar la dificulud de hacer pasar el c u ú u w ,r/.~ i « estrechas paredes .te la cimbra y a lo largo de. reuicrro longitudinal y transversal de una colunmna. t n c < * ,_ r - - -s probable que la cali dad resultante dcl concreto en las columnas no sea tan truena como la dcl concreto en vigas > •OSUN.

L a resistencia a la falla de una viga depende normalmente del esfuerzo de fluencia dcl acero de tensión, que es una propiedad controlada con mucha precisión en los molinos de lam inación. Por otra parte, la resistencia a la fallado una columna está íntimamente relacio nada con la resistencia última dcl concreto, valor que es muy variable. Los factores de longiiud también alcctan drásticamente la resistencia de las columnas, por lo que se hace necesario el uso de factores
otras cargas laterales ocasionan que las columnas se flexionen y las columnas en los ed ifi cios con marcos rígidos están sometidas a momentos aún cuando la estructura soporte sólo cargas de gravedad.

8.7 F Ó R M U L A S D E D IS E Ñ O E n las páginas siguientes la letra e se usa para representar la excentricdad de la carga El lector podría no entender este término. puesto que el ya ha analizado una estructura y h~ calculado una carga axial P u y un momento M u pero no una excentricidad e específica para una columna. E l térm ino e representa la distancia a la que la carga axial P u tendría que estar situada desde el centro de la columna para producir M u. Así,

Pue = Mu o

Mj l e ~

Pu

No obstante los hechos mencionados en el párrafo anterior, hay muchos casos en que no hay momentos calculados en las columnas de una estructura. Durante muchos años el código especificó que tales columnas debían ser diseñadas para ciertos momentos mínimos, aún cuando no existieran momentos no calculados. Esto se hizo requiriendo que los proyectistas supusieran ciertas excentricidades mínimas para las cargas en sus columnas E m >s valores mínim os fueron de I pulg o 0.05 h,_rigiendo el valor mayor, p au co lu n in as zunchada*, y de I pulg o jQ JO h para columnas con estribos (el término h se refiere al 'ífiíñ e u o 'c x ie rio r de columnas redondas o al ancho total de columnas cuadradas ,, u-, tangu laret) Se usó para el diserto un momento igual a la carga axial multiplicada por la cxccntri mínima E fl Cl Código actual no se especifican las cxcenti iculades mínimas peto el mismo fin SC i requiriendo que las capacidndei Icó ficw por carga axial «C m ultipliquen por un

8.8 COMENTARIOS SO B R E EL DISEÑO ECONOMICO DE COLUMNAS

303

Roya! Towcrs. Baltimore. Maryland. (Cortesía de la Sirapson Timber Company) factor a . que es igual a 0.85 en las columnas.zunchadas y a 0.80 en las columnas con csiri

6osvAsí, como se muestra en !a sección 10.3.5 del código. 1¿ capacidad de carga axial de las columnas no debe ser mayor que los valores siguientes Para columnas zunchadas (0 = 0.75) ¿P*(máx) = 0.85^(0.85/^04, - A „) + fyA u]

(Ecuación A C I 10-1)

Para columnas con estribos ($ = 0.70) */>(máx) = 0.80#[0.85f¿(Ag - Aa) + f,A a)


Debe quedar claro que las expresiones anteriores pueden usarse sólo cuando el mo mento es bastante pequeño o cuando no hay un momento calculado. Las ecuaciones presentadas aquí son aplicables sólo en situaciones en que el momento es suficientemente pequeño, de manera que e sea menor que O.IOh en las columnas con estribos o menor que 0.05h en las columnas zunchadas. Las columnas cortas pueden dise ñarte completamente con esas expresiones siempre que los valores e queden bajo los límites descritos. Si los valores e son mayores que los valores límite y/o las columnas se clasifican como largas, será necesario usar los procedimientos que se describirán en los siguientes dos capítulos.

8.8 C O M E N T A R IO S S O B R E E L D IS E Ñ O EC O N Ó M IC O D E C O LU M N A S 1 .j-. barra» de refuerzo son bastante caras, por lo que el porcentaje de refuerzo longitudinal uiuido en la-, columnat de concreto reforzado resulla un factor principal en el costo total de

304

INTRODUCCION A C O LU M N A S

éstas. lisio significa que bajo condiciones normales, debe usarse un porcentaje pequeño de acero (tal ve/, entre 1.5% y 3 % ). Eslo puede lograrse usando columnas de mayor tamaño y/ o concretos de resistencia superior. Además, si el porcentaje de las barras se mantiene aproxima damente en estos rangos, se tendrá suficiente espacio para colocarlas denla) de la columna. Los concretos de resistencia superior pueden usarse más económicamente en las co lumnas que en las viga*. B ajo cargas ordinarias, sólo 30** a 4 0 % de la sección transversal do una viga está en compresión, mientras que el restante 6 0 % a 7 0% está en tensión y supues tamente agrietado. Esto significa que si se usa un concreto de alta resistencia para una viga. 6 0 % a 7 0% del concreto se desperdicia. Sin embargo, para una columna usual, la situación es muy diferente porque un porcentaje mucho mayor de su sección transversal está en com presión. Por ello, es muy económ ico usar concretos de alia resistencia en columnas. Aunque algunos proyectistas han usado concretos con resistencias últim as de hasta 19 (XX) lb/pulg(com o en Union Squarc Tw o. en Seattle), en el diseño de columnas el uso de concretos de 5 000 a 6 000 Ih/pulg- es lo normal cuando se especifican resistencias superiores en las columnas. Las barras de refuerzo de grado 60 son generalmente las más económicas para colum nas en la mayoría de las estructuras. Sin embargo, las barras de grado 75 pueden resultar más económicas en estructuras altas, particularmente cuando se usan en com binación on concretos de resistencias superiores. En general, las columnas con estribos son más económicas que las columnas zunchadas, particularmente si van a usarse secciones transversales cuadradas o rectangulares Por û puesto, las columnas zunchadas, los concretos de alta resistencia y los altos porcentajes de acero ahorran espacio de piso. Debe usarse el n en o r número posible de diferentes tamaños de columnas en un edifi cio. A este respecto, es muy poco económ ico variar el tamaño de una columna de piso a piso para satisfacer las diferentes cargas que debe soportar. Esto significa que el proyectista pue de seleccionar un tamaño de colum na para el piso superior de un edificio de múltiples nive les (usando el menor porcentaje de acero posible) y continuar usando ese mismo tamaño hacia abajo en tantos pisos com o sea posible, incrementando el porceniaje de acero piso a piso según sea requerido. Adem ás, es conveniente usar el mismo tamaño de columna tanto como sea posible en cada nivel. Esta consistencia en los tamaños conducirá a ahorros consi derables en los costos de mano de obra. La práctica usual en las colum nas de los edificios de concreto reforzado de niveles múltiples es usar barras verticales de un piso de altura unidas entre sí en jaulas prearmadas. Este es el procedimiento preferido cuando se usan barras #11* o menores, donde todas las barras pueden empalmarse en una sección justo arriba de la línea de piso. Pitra las columnas donde *e requieren empalmes escalonados (como cuando se tienen barras de mayor diámetro), el número de empalmes puede reducirse usando jaulas de refuerzo prearmadas de dos pisos de altura. A menos que las dimensiones mínimas de las columnas o los diámetros de las barras longitudinales controlen la separación entre los estribos, la selección de los tamaños mayo-

■ t f f f t—

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8 9 D IS EÑ O D E CO LUM N A S CARGA D AS A X IA lM r V T E

305

res que sean prácticos para usarse en estribos incrementara su separación y reducirá su número. Esto puede ahorrar algo de dinero. También puede ahorrarse evitando estribos inte riores como las mostrados en las dos últimas filas de la figura K.4. Sin estribos interiores, el concreto puede colarse más fácilmente y se pueden usar revenimientos más bajo* (con m e nos costos de concreto). En edificios de poca altura, las losas de piso suelen ser algo delgadas, por io que l is deflexiones pueden resultar problemáticas. En consecuencia, delwn usarse ciar -' cortos \ por ende separaciones pequeñas entre las columnas. Conforme los edificios son :r.3 S altos, las losas de piso son más gruesas, lo que ayuda a proporcionar estabilidad lateral Para tale' edificios, las deflexiones en las losas no presentarán ningún problema y las colum nas pue den colocarse con separaciones mayores entre ellas. Aunque las columnas en los edificios alto-? pueden colocarse a intervalos bastante gran des. no dejan de ocupar valioso espacio de piso. Por esta razón, muchos proyectistas tratan de colocar tantas columnas como sea posible en la periferia dcl edificio, con la lOca de que no ocupen el valioso espacio interior. Además, la om isión de columnas interiores rc^ pprcio na más flexibilidad a los usuarios en la colocación de muros divisorios y tam rvén hace posible la utiliz i5ñ de grandes espacios abiertos.

8.9 D IS E Ñ O D E C O L U M N A S C A R G A D A S A X IA L M E N T E Como una breve introducción al diseño de columnas, se presenta en esta sección e ; diseño de tres columnas cortas cargadas axialmente. Lo s efectos de momento y longi no se toman en cuenta para nada. Los ejemplos 8 . 1 y 8.3 presentan el diseño de columnas cuadra das con estribos cargadas axialmente; el ejem plo S-2 ilustra el diseño de una coi._*nna re donda zunchada, cargada en forma sim ilar. La tabla A . 16 del apéndice da varias propiedades de las columnas circulares que son particularmente útiles para el diseño de tales colum nas □ E JE M P L O 8.1 Diseñe una columna cuadrada con estribos para soportar una carga muerta D de I bO klb v una carga viva axial L de 180 klb. Suponga inicialm ente 2 % de acero longitudinal f = 4000 Ib/pulg2 y / y = 60 000 Ib/pulg2. S O L U C IÓ N

P u - (1 .4 X I3 0 ) + (1.7)< I8 0 ) = 488 klb Seicccióa de las dimensiones de la colum na

Pu = ^0.80(0.85/ '¿A , - A „ ) + f yA m]

(Ecuación AC- 10-2)

488 - <0.70X0.80)K0.85X4)M, - 0 .0 2 4 ,) 4 (ÓOXO.OIU,)]

306

INTRODUCCION A COLUMNAS

Selección de las barras longitudinales. Sustituyendo en la ecuación de la columna con Ay conocida y despejando A st, obtenemos 488 = (0.70X0.80)1(0.85X4X196 - A „) * 60A„]

A » = 3.62 pulg2

Use 6 #7 (3.61 pulg2)

Diseño de los estribos (suponiendo barras #3) Separación: (a ) 48 x í = 18" ib ) 16 x % = 14" < —

L'-> do T/Ii T

I

/

m ín.= i t

v- Use es-»'ribos #3 a 14"

En la figura 8.5 se muestra un croquis de la sección transversal de la columna. Revisión de los requisitos del Código En ia lista dada a continuación vienen las limitaciones del código AC I para columnas. En futuros ejemplos no se mostrarán todas esas revisiones esenciales que. sin embargo, deben

Separación libre entre barras longitudinales = | - g = 1.625 pulg > 1 pulg y db de 7 pulg. (10.8.4. 10.9.1) Porcentaje de acero 0.01 < p = (10.9.2) Número de barras = 6 > mín No. de 4

#3 euhbot # J4 pulg

6 b vni

r7

2y

T7

qr

|i» I*

-L| l*-r —*j U< - -„

*

Vtjux» n s

14'

2J

QK = 0.0184 < 0.08 OK

8.9 D ISEÑ O D E COLUMNAS CARGADAS AXIALM EN TE

(7.10.5.1) Tamaño mínimo de estribo = #3 para barras #7 (7.10.5.2) Separación entre estribos

307 q

.

(7.10.5.3) Arreglo de estribos

K

qk

q

K

■ □ E JE M P L O 8.2 Diseñe una columna redonda zunchada para soportar una carga muerta axial O de 180 klb y una carga viva axial L de 300 klb. Suponga inicialm cnte 2 % do acero longitudinal. / = 4 000 lb/pulg2 y f y * 60 000 Ib/pulg2. S O L U C IÓ N

Pu = (1 4)< 180) + ( 1.7X300) = 762 k!b Selección de las dim ensiones de la colum na y del tamaño de las barras

P „ = *0.85(0.85/;(A* - A „) + f yA „]

(E cu a ció n A C I 10-2)

762 = (0.75X0.85)[(0.85X4X<4, - 0.02¿,) + (60X0.02/*,)!

Ag - 263.7 pulg 2

Use columna de 18" de diámetro (255 pulg2)

762 = (0.75X0.85)1(0.85X4X255 - A m) + 604J

A j, = 5.80 pulg 2

Use 6 #9 (6.00 pulg2)

Revise los requerimientos dcl código, como en el ejemplo 8 .1. En la figura 8.6 se mues tra un croquis de la sección transversal de la columna.

308

INTRODUCCION A CO I UMNAS

Diseño dcl zunchado

Mínimo p, = (0 .4 5 )^ * - l j y = <^-**5)(y^ ~ * )(f¡o ) * <}-UI32

~ c H

Suponga un espiral de #3 ^

4 a . i f ) , - ,i h )

75f

P. 00132 = í

(4 )(0.11 m15 - 0.375) ( 0 ( I5 )2 Dsgari

= 2.17“

(Revisada con la tabla A. 15 dcl apéndice) - —.

•'’/ v 'T J/

’ &

*-

•

8.10 E JE M P L O C O N U N ID A D E S S I □ E JE M P L O 8.3 Diseñe una columna corta cuadrada con estribos con carga axial para P „ = 2800 lcN si £ = 28 M Pa y /v = 350 M Pa. Suponga inicialm entcp = 0.02. * ' '«*j t p f ?

•*

S O L U C IÓ N Selección d e las dimensiones de la colum na = *0-80(0.85 f'tA g - A J+ fy A * ] r* |

2 800 x 1 0 3 « (0.70K0.80)[(0.85K28)(A
A * « 164 886 mm2

mKKmmix \ ?

Selección de las b arras longitudinales

Usc400m m x400m iriC
......... ■•

2 800 x !0> • (0.70X0.80)((0.85)<28X160 000 - A „) + 35^1*1 A*» * 3 654 mm1

i

" i— ’

U*e 6 #29 (3879 mm2)

S :2 E JE M P L O CON COMPUTADO*14

309

So de los istriboa (Suponiendo b erras #10) ■4

.7- 459.2 «m

.

. .<•« - V . . * •>& •

>.5^ 456mm

) Mínima dimensión de la columna = 400 xnm

Use estribos #10 & 400 m n

\los requisitos del codigo, como en el ejem plo 8.1. En la figura 8.7 se ranestra lis de la sección transversal de la columna. 6 borres #29 ™ --- 1 - --------(---------

S í 1j *

.

*

3

,Q .

0

'

260 rora-'400

LiVitU.iV vA ’' 8.11 D IS E Ñ O D E C O LU M N A S D E C O N C R E T O R E F O R Z A D O U S A N D O E L M É T O D O A LT ER N A T IV O D E D IS E Ñ O S i las columnas van a diseñarse empleando ya sea el método alternativo o el mee *¿o de esfuerzos de trabajo, deberá usarse el procedimiento de resistencia. La capacidad de ñevión y de carga axial combinadas de una columna dada se debe lomar igual al 40% de L» cap aci dad calculada con el procedimiento de resistencia (Apéndice A 6 .l del A C I). L j e>ócltc7 debe considerarse con el mismo método usado en el diseño por resistencia, con d o rm in o P* reemplazado por 2.5 veces la carga axial de diseño. Además. U> ecuaciones I0-10 s 1019 (que serán descritas en el capítulo 10) se han revisado ligeramente tal y como m.-
310

IN T R O D U C C IO N A C O LU M N A S

S O L U C IÓ N S i d usuario introduce los dalos rcqucndos en la pantalla y luego selecciona "Show Column Inreruction D iag ram . el valor de Pu será el valor superior en la curva mostrada, como se Ice en la colum na izquierda. En este caso, la lectura es de aproximadamente 488 klb. E l uso ■ detallado de esta curva se describe en el capítulo 9 .

PROBLEMAS En los problem as 8.1 al 8.4, calcule la capacidad de carga axial concéntrica de las columnas cortas indicadas./v = 60 000 Ib/pulg2 y = 4 000 Ib/pulg2. 8.1 Columna cuadrada de 24" reforzada con 8 barras del #11. (Resp.. I 492.9 klb) Problem a 8.2 • 9 4 barra •9 • •

i 1 11" 'i

\

r

•— 12

ProUem a 83 (Resp.: 610.3 klb) •

•

•

• t barr»

•

•

•

•

I 1

12'

----------18"----------

Fj i le* problema* 8.5 al 8.10. ditefte la» columnas para carga axial solamente Incluya el - - 9 de U * cttfib m o el zunchado y un cr«»quis de la lección transversal seleccionada. a%. I* colocación de la* barras de refuerzo. Todas las columnas se suponen cortas y no a la intemperie

P R O B L E M A S CON U N ID A D ES S I

311

8.5 Columna cuadrada con estribos; /’/>=350 klh. /*/ = 400 klb. f, = 4 000 Ib/pulg- y/» = 60 000 Ib/ pulg*. S u p o n g a = 2efr. (Una respuesta: columna de 22” x 22" con 8 #9).

8.6 Repita el problema 8.5 conpK = 4%. 8.7 Columna redonda zunchada; Pn = 180 klb. P ¡. = 300 klb. f f - 3 500 lb/pulg: y f y - 60 000 Ib/ pulg*. Supongap g = 3*fc (Una respuesta: columna de 18“ de diámetro con X #<)>. 8.8 Columna redonda zunchada; Pn = 250 klb. /'/ = 350 klb. f ( - 5 (XX) Ih/pulg-. f v - 60 tXX) Ib/ pulg- yp g = 3 * . 8.9 Columna cuadrada lo más pequeña posible con estribos: r n = 300 klb. /’/ = 375 klb. /K. = 4 000 Ih/pulg2 y/* = 60 000 Ih/pulg2. (Una respuesta columna de 16" x 16" con 8 014), 8.10 Diseñe una columna rectangular con estribos con el lado largo igual a dos veces la longitud del lado corto. P D - 500 klb. PL = 400 klh. fc = 4 000 Ib/pulg*. /v = 60 000 Ih/pulg- y pK = 2 *

P R O B L E M A S C O N U N ID A D E S S I •*r¿ '•iíífe't rJttjrfC ■■’ '.E n W p ro b lc m as &.11 a 8.13 diseñe columnas para carga axial solamente bajo las .‘condiciones descritas. Incluya el diseño de estribos o espirales y un croquis ds la ; sección transversal elegida, incluyendo la colocación de las barras. S e debe su p o “ ner que todas las columnas son cortas y que no están expuestas a ia intemperie. / '

.

i Columna cuadrada con estribos. P D = 600 kN, P l= 800 kN. ¿ = 24 M Pa >fy = 420 . M Pa. Svponga p t = 0.02. (Una respuesta: 400 mm x 400 mm con 6 #19). .12 Columna cuadrada lo más pequeña posible con estribos; P D = 700 kN. PL - 300 kN. f c = 28 M Pa y f y «3 0 0 MPa.

«.1^ Columna redonda zunchada; PD = 500 kN. PL = 650 kN. fc = 35 MPa. fy = 420 M Pa -. y pg = (103. (Una *espucsta: diámetro de 300 mm. 6 #22.)

..... Para los problemas 8.14 al 8.16 use el programa C O N C A D . Suponga d ' = 2.5 pulg para cada columna. 8.14 Repita el problema 8.2. 8.15 Repita el problema 8.5. ( Una respuesta: columna de 22 pulg x 22 pulg con banas 8 #9) 8.1é Repita el problema 8.9.

Capítulo 9

Diseño de columnas cortas sometidas a carga axial y flexión 9.1 C A RG fA A X IA L Y F L E X IÓ N Todas las columnas se ven sometidas a cierta flexión y fuerza axial y es necesario diseñarlas para que resistan ambas solicitaciones, l-as llamadas fórmulas de "carga axial ”, presenta*’ % en el capítulo 8 , toman en cuenta algún momento porque incluyen el efecto de pequeñas excentricidades con los factores 0.80 y 0.85. Esos valores son aproximadamente equivalen tes a suponer excentricidades de 0 . 10 /» para columnas con estribos y de 0.05h para columnas zunchadas. Las columnas se flexionarán bajo la acción de los momentos y estos tienden a producir compresión en un lado de las columnas y tensión en el otro. Según sean las magnitudes relativas de los momentos y las cargas axiales, existen varias maneras en que las secciones puedan fallar. L a figura 9.1 muestra una columna que soporta una carga P „. En las diversa*, partes de la figura, la carga se coloca cada vez con mayor excentricidad (produciendo asi •momentos cada vez mayores) hasta que finalmente en la parte (0 la columna se ve sometida a un momento flexionante de tal magnitud que el efecto de la carga axial se vuelve tkspre dable. Cada uno de los seis casos mostrados se analiza brevemente en los párrafos que sigueji, donde las letras (a) a la (0 corresponden a las mismas letras en la figura. Se supone que la falla de la columna ocurre cuando la deformación unitaria a compresión en cualquier punto alcanza el valor 0.003, o cuando el esfuerzo de tensión en el acero llegue a />. (» ) Carga ax ial grande con momento despreciable. Para esta situación, la falla ocurre por aplastamiento del concreto habiendo alcanzado todas las barras en la columna su esfuerzo de fluencia en compresión. (b ) Carga ax ial grande y momento pequeño, ta l que toda la sección transversal está n i compresión. Cuando una columna está sometida a un momento flexionante peque fto (ewo es. cuando la excentricidad es pequeña), la columna entera estara en con. presión, pero la compresión será más grande en un lado que en el otro E l esfuerzo compresión máximo en la columna será de 0.85 /, y la falla ocurrirá por aplas tamiento del concreto, con todas las barras trabajando a compresión

a

S "

r

i í Uu,° d

^ t

^ r l Ca5° (h l ,>0r 10 iiU f rn'/,,rza a desarrollarse ,en Sí la excentricidad incrementa un poco respecto

314

D IS EÑ O D E C O LU M N A S CORTAS SO M ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

(b) Carga axial grande y un momento pequeño pero loda la sección transversal a compresión La falla ocurre por aplastamiento del concreto y todas las barras trabajan a compresión

fu I «f »I y "

i i

r. (d) Condición de carga balanceada tas barras a tensión alcanzan su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el concreto en el lado a compresión que falla a 0 85 / c por aplastamiento.

h írJ r.

(e) Un momento grande coo carga axial relativamente menor; la falla se inicia por fluencia de las ban-as a tensión

M. -T>

(fi Momento At fleiión mande 1.a fulla ocarre tonto en un» vign

9 .Í Colum na u>rr«etidj .»u u fl» con ciiccn lriad ftd rt <.ida v iv m ayoría

9 1 C A R G A AXIAL Y FLEXIÓ N

315

Autopista Pennsylvania Southern, Philadclphia. Pennsylvania. (Concsía de la Economy Forms Corporation.)

al caso anlcrior, empezará a desarrollarse tensión en un lado de la columna y el acero en ese lado estará en tensión, pero con un valor menor al correspondiente al esfuerzo de fluencia. En el lado opuesto el acero estará en compresión. La falla ocurre por aplastamiento del concreto en el lado de compresión, id ) Condición de carga balanceada. A l crecer la excentricidad se llega a una condi ción en que las barras de refuerzo en el lado de tensión alcanzan sus esfuerzos de fluencia al mismo tiempo que el concreto en el lado opuesto alcanza so compresión máxima de 0.85 f 'c . Esta situación se llam a condición de carga balanceada.
316 DISEÑO DE COLUM NAS CORTAS SO M ETID AS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

9 J2 E L C EN T R O ID E P L Á S T IC O La excentricidad de la carga de una columna es la distancia de la carga al centroide plástico de la columna. E l centroide plástico representa la posición de la fuerza resultante producida por el acero y el concreto. Es el punto en la sección transversal de la columna a través del cual la carga resultante en la columna debe pasar para producir una deformación unitaria uniforme en el momento de la falla. Para localizar el centroide plástico se supone que todo el concreto está trabajando a un esfuerzo de compresión de 0.85 f c y todo el acero a f y en compresión. En secciones simétricas, el centroide plástico coincide con el centroide de la sección transversal de la columna, mientras que en secciones no simétricas, el centroide plástico puede localizarse tomando momentos. El ejemplo 9.1 ilustra los cálculos implicados en la localización del centroide plástico de una sección transversal no simétrica. La carga última P „ se determina calculando las fuerzas totales de compresión en el concreto y el acero y sumándolas. Luego se supone que P „ actúa hacia abajo en el centroide plástico a una distancia x desde un lado de la columna y se toman momentos en ese lado de las fuerzas de compresión hacia arriba que actúan en sus centroides y de la P „ que actúa hacia abajo.

□ E JE M P L O 9.1 Determine el centroide plástico de la columna T mostrada en la figura 9.2; f[ - 4 000 IK' pulg2 y fy = 60 000 lb/pulg2.

SO LU C IÓ N E l centroide plástico cae sobre el ejex, como se muestra en la figura 9.2, debido a la sime fría. La columna se divide en dos rectángulos, el izquierdo de 16” x 6 " y el derecho de 8 " x 8". Se supone que C\ es la compresión total en el rectángulo izquierdo de concreto, que C ; es la compresión total en el rectángulo derecho y que de refuerzo.

es la compresión total en las barras

C , = (16X6X0.85X4) = 326.4 klb C i = (8X8X0.85X4) = 217.6 klb A l calcular -

*e considera el cortcreio en que las barras están localizadas; esto es.

0 ,% S C = (4.00X60 - 0.85 x 4) = 226.4 klb Compresión total */> „« 326.4 + 217.6 + 226 4 = 770 4 klb Momento» rr'tptcto al borde izquierdo de In columna: -<326.4X3) - (217.6X10) - (226.4X7) ♦ (770.4X*) » 0

9.3 D ESA RR O LLO D E L O S DIAGRAM AS DE INTERACCIÓ N

317

y

9.3 D E S A R R O L L O D E L O S D IA G R A M A S D E IN T E R A C C IÓ N S i una carga axial de compresión se aplica a un miembro corto de concreto, éste quedará sometido a una deformación unitaria uniforme o acortamiento, como se muestra en la figura 9.3(a). S i se aplica un momento sin ninguna carga axial al mismo miembro, éste tendrá una flexión respecto al eje neutro dcl miembro, tal que la deformación unitaria será proporcional a la distancia al eje neutro. Esta variación lineal de la deformación unitaria se muestra en la figura 9.3{b). S i se aplican al mismo tiempo un momento y una carga axial, el diagrama resultante de deformación unitaria será una com binación de dos diagramas lineales que también será lineal, como se ilustra en la figura 9.3(c). Como resultado de este carácter lineal, podemos suponer ciertos valores numéricos para la deformación unitaria en una parte de una columna y determinar las deformaciones unitarias en otras partes por medio de la interpolación lineal. ^ A l cam biar la carga axial aplicada a una columna, el momento que la columna puede resistir también cambiará. En esta sección el autor.mucstra cómo puede desarrollarse un3 curva de interacción para los valores nominales de la carga axial y dcl momento en una columna dada. Suponiendo que el concreto en el borde de compresión de la columna falla a una defor mación unitaria de 0.003, se puede suponer una deformación unitaria en el borde alejado de b columna y calcular por estática los valores de P n y M ñ. Luego, manteniendo la deforma ción unitaria de compresión de 0.003 en el borde extremo, podemos suponer una serie de diferentes deformaciones unitarias en el otro borde y calcular /*„ y Af„ pan» cada «alor difc reme' f inalmente se obtendrá un número de valores suficiente pare trazar una curva de ' Irn .

m i.M tfo n e é OwKttit Ottlun. U rd (Nueva York McGrnw Hi»>.

1|6 T|7

° ' S £ Ñ O D £ C O ,-UM N A S

Í 2 Ü T 6 k lb ** " 5 , 2 6 2 k " > S

SO M ETID A S A CARGA A XIAL Y FLEX IÓ N

" '» * »

D e esta m anera se pueden determinar una serie de valores de P n y M „ con-cspondientcs a una deform ación unitaria de - 0.003 en el borde de compresión y a deformaciones unita rias variables en el borde alejado de la columna. Los valores resultantes están marcados sobre una curva, com o se muestra en la figura 9.8. Veam os algunas observaciones sobre los puntos extremos en esta curva. Un rxtremo de la curva corresponde al caso en que P n alcanza su valor m áxim o y M „ es nulo. En este caso, P „ se determ ina com o en el capítulo 8 para la colum na cargada axialm ente del ejem p lo 9.2

Pn = O .S5fA A g - A t) + A J y = (0.85X4.0X14 x 24 - 6.00) + (6.00X60) = 1482 klb

E n el otro extremo de la curva, M n se determina en el caso en que P n es igual a cero. E tte es el procedim iento usado para un miembro doblemente reforzado, que se vio en el capítulo 4. Para la colum na del ejem plo 9.2, M „ es igual a 297 pic-klb. ’ U na colum na normalmente falla por tensión o por com presión. Entre los dos extremos te encuentra la llam ada condición de carga balanceada, donde se tiene una falla por tensión

y com presión sim ultánea E n el capítulo 3. el término "sección balanceada" se usó para una sección cuya deform ación unitaria a compresión del concreto alcanza el valor 0.003, al m ism o tiem po que el acero de tensión alcan/a su deform ación unitaria de fl\jf^cia/y/£t. E.« ana viga, c ita situación ocurre teóricamente cuando el porcentaje de acerqfc» igual a p i„ P tté colum nas, la definición de carga balanceada es la misma que para vigas, esto es. una colum na que tiene una deform ación unitaria de 0 003 en su lado de compresión, al Atom o tiempo que tu acero de tensión en el otro ludo tiene una deform ución unitaria á c jy /

9.3 DESARROLLO D E LOS DIAGRAMAS DE INTERACCION

321

Fig u ra 9.7

E t. Aunque no es difícil prevenir una condición balanceada en vigas limitando el porcentaje máximo de acero a 0.75p/„ no es así en columnas. En columnas no es posible prevenir fallas repentinas a compresión o fallas balanceadas. En toda columna existe una situación de carga balanceada en la que una carga última Pt,„ colocada con excentricidad et, producirá un mo mentó Mhn donde las deformaciones unitarias se alcanzarán simultáneamente En la condición balanceada tenemos una deformación unitaria de -0.003 en c i borde a compresión de la columna y una deformación unitaria de /> /29 x 10* = 60/L’V* x 10' 0.00207 erTc! acero de tensión.-Esta información se muestra en la figura 9.7 Se empica el mismo procedimiento que en el ejemplo 9.2 para obtener P „ = 504.4 klb y = 559 7 picklb. La curva para P „ y M „ de una columna dada puede extenderse al rango en que P r es una carga de tensión. Se puede proceder exactamente de la misma manera que en el c*>* en que P „ es de compresión. Se puede suponer un conjunto de deformaciones unitarias, escribir las ecuaciones usuales de la estática y despejar P n \ M „. Se consideraron varias parejas
Fig u ra 9 M C urva de interacción para la columna de la figura 9 4 Note que te traía de valores nomínale»

318

DISCÑO DE COLUM NAS CORTAS SO M ETID AS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

Condición de carga

Deformaciones

(a) Caiga axial

(b) Momento

(c) Carga axial y momento

Fig u ra 9.3 Deformaciones unitarias en la columna

interacción como la mostrada en la figura 9.8. E l ejemplo 9.2 ilustra el cálculo de P „ y M „ en una columna para un conjunto de deformaciones unitarias supuestas. □ E JE M P L O 9.2 Se supone que la columna en la figura 9.4 tiene una deformación unitaria en su borde a compresión igual a - 0.00300 y una deformación unitaria en su borde a tensión de + 0.00200 Determine los valores de P n y M n que generan esta distribución de la deformación; f y = 60 klb/pulg2 y f'c = 4 klb/pulg2.

SO L U C IÓ N

Ocurmtnc Im valores de c y de las deformaciones unitarias en el acero r, y r, por propor * COB r*f«re*»cia al diagrama de deformaciones unitarias mostrado en la figura 9.5: c m

" 14 40 P u,8

" ( t t S ^ 0 -00300^ " 000 24 8 > 0.00207

por lo que el acero fluye

9.3 D ESARRO LLO DE L O S DIAGRAM AS DE IN TERAC CIÓ N

319

0.00200) = 0.0014b En los siguientes cálculos. C( es la compresión lotal en el concreto. C, es la compre sión total en el acero a compresión y T, es la tensión total en el acero a tensión. Cada uno de estos valores se calcula a continuación. E l lector debe observar que C , se reduce 0.85/, A, para tomar en cuenta los agujeros en el concreto. o

= (0.85X14.40)= 12.24 pulg

Cc = (0.85X 12.24X 14)(4.0) = - 582.62 klb C , = (60)(3.0) - (0.85X3.0)(4.0) = - 169.8 klb 7, = (0.00148)(29 000X3.0) = + 128.76 klb Por estática. Pn y M „ se determinan con ayuda de la figura 9.6. donde se muestran los valores de Cc, C% y 7*.

IV =0; - Pn + 169.8 + 582.62 - 128.76 = 0 Pn = 623.7 klb I M = 0, respecto a) acero de tensión: (623.7)(9.50) + M n - (582.62)( 15.38) - (169.8X19.00) = 0 M „ = 6 261.3 pulg-klb = 521.8 pie-klb +0.00200

ttftB ra 9.5

■

JM

D ISEÑ O OE CO LUM NAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

Figura 9.11 Interacción de curvas para una columna rectangular con diferentes combinaciones de esfuerzo (b ) La segunda modificación se refiere también a los factores 0 . E l código especifica valores de 0.70 y de 0.75 para columnas con estribos y zunchadas, respectivamente. Si una columna tiene un momento muy grande y una carga axial muy pequeña, de modo que se ubica en la nsrte inferior de la cuna entre ios puntos tí y C (véase la figura 9 .10), el uso de esos pequeños valores de 0 es poco razonable. Por ejemplo, para un miembro en flexión pura (punto C en la misma curva) la 0 requerida es de 0.90. pero si el mismo miembro tiene una muy pequeña carga axial añadida, Qse reduce inmediatamente a 0.70 o a 0.7S. Por esto, el código (9.3.2.2) establece que para miembros con fy menor o igual que 60 000 Ih/pulg2, con refuerzo simétrico y con (h- t f ■ds)!h no menor que 0.7 (véase la figura 9.13). el valor de ^ puede incrementarse linealmente de 0.70 o 0.75 a 0.90, conforme # P„ disminuye de 0.10 f t' At a cero. Para otros miembros 0 puede incrementarse linealmente de 0.70 o 0.75 a 0.90, conforme +P* disminuye de 0.10 /f Ag o 0 Pt (el que sea menor) a cero. El efecto de

9 £ M ODIFICACIONES D EL CÓDIGO A L O S DIAGRAM AS DE INTERACCIÓN

•

327

•

d ,\ h - d - d ,\ d ' * ----- h

■-■»

Fig u ra 9.13

esta modificación es producir un rompimiento en la parte inferior de una curva de interacción de diseño, como se ve en la figura 9.14. Si se tiene una carga axial de tensión, 0 será siempre igual a 0.9. (c) Como se vio en el capítulo 8 . las cargas permisibles máximas de las columnas se especificaron sin importar cuán pequeños fuesen sus valores e. Fn consecuencia, la pane superior de cada curva de interacción de diseño se muestra como una línea horizontal que representa el valor apropiado de

P u = QPn máx para columnas con estribos = O.SOflO.SS/^/t* - Asl) + / y A J(E c . ACI 10-2) P»-+ Pn máx para columnas zunchadas = 0.S5
F » K w r * 9 .l4 F o rm a d e la c u rv a d e in tern e ció n p ara dl*eAo d e co lu m n a *.

328

D ISEÑ O D E CO LUM NAS CORTAS SOM ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXION

9.6 A N Á L IS IS D E C O L U M N A S C A R G A D A S E X C É N T R IC A M E N T E U SA N D O L O S D IA G R A M A S D E IN T E R A C C IÓ N S i los diagramas de interacción se prepararan como se describió en las secciones anteriores, sería necesario lener un diagrama para cada sección transversal diferente de una columna, para cada conjunto de grados dcl concreto y dcl acero y para cada colocación diferente de las barras de refuerzo. E l resultado sería un número astronómico de diagramas. Sin embar go. el número puede reducirse considerablemente si los diagramas se trazan con ordenadas de +P*/Ak (en vez de P „) y con abscisas de +P„e/AKh (en vez de M „). Entonces, cada diagra ma de interacción puede usarse para secciones transversales con dimensiones ampliamente variables. E l A C I ha preparado curvas de interacción de este tipo para las diferentes seccio nes transversales y para la colocación de barras mostradas en la figura 9.15 y para diferentes grados de acero y concreto*. Dos de los diagramas dcl A C I se reproducen en las figuras 9.16 y 9 .17; y en el apéndice A (gráficas 2-21) se presentan otros para las situaciones dadas en las partes (a), (b) y (d) de la figura 9.15. E l ejemplo 9.3 muestra el uso de las curvas de interacción para determinar el valor de P r en la columna dcl problema 9.2. Para analizar una columna dada, puede calcularse el valor de e/h. así como el de p. Como se muestra en las figuras 9.16 y 9.17 es necesario calcular el valor de y(gam a), el cual es igual a la distancia dcl centro de las barras en un lado de la columna al centro de las barras en el otro lado de la columna, dividida entre h, que t ' la altura de la sección de la columna (ambos valores se loman en la dirección de la flexión)

(a) Columna con estribos coo barras eo las

redonda

(b) Columna coo estribos. con barras en dos caras frontales

(c ) Columna con estribos con barras en dos caras laterales

(e) Columna zunchada cuadrada

W |» ri >.13 1990, Vol 2,
9.6 ANALISIS DE C O LU M N A S CARGADAS EX C É N T R IC A M E N T E

329

*Fn , klb/pulg* ---^-

0

ü./u

0.40 ’J 0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

i-SO

Figura 9.16 Diagrama de interacción del ACI para columna con barras a lo largo de dos caras frontales Usualmenie. el valor de /obtenido cae entre un par de curvas interpolación numérica entre ambas.

se tiene que efectu ar una

Las curvas del A C I contienen una pequeña tabla que da los valores de p., v A* ¡h Esos valores, que se usan con otras tablas del A C I para verificar lo* factores de lonem ad en columnas. no se usan en este libro. □ E JE M P L O 9.3 U iM d o

curvas de interacción del apéndice A . determine el salor de /> en U -olumna

0“ S O L U C IÓ N

(a) t , m | V :

, * '*

9 ,8

1*• ' " »

■ »•"

- - 0 00 1™

|

«SE N O DE COLUMNAS CORTAS SOM ET.OAS A CARGA AXIAL V H E X O N

330

* Pn

e

1 7 X Í- v

k,bíN lr

Figura 9.17 Diagrama de interacción del ACI para columna con barras a lo largo de las cuatro

>f

= 0.75

A

P “ (14X24) H24) ) ' Y -

0.0179

r = £2 = 0.792 Por lo tanto, tenemos que interpolar entre los valores obtenidos en las gráficas 16 y 17

dcl »pénd:zcA

o.

,------ ,------ ,------ ,------ , 0.792 0.901 0.75 • .y

T ,h

0.550

0.558

0 580

*

9.6 ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGADAS EXCÉNTRICAM ENTE

331

2V ,1 »9 (.TOO p u l r )

----------------- x

19'

24'

3 * 9 <3 0 0 pulg*')

•

•

•

■14" Fig u ra 9.18

*P H e

Se puede leer A

en el lado izquierdo de estas gráficas, en vez de ^

■

£ en la pane de

abajo. Aunque este no es un asunto de importancia, el autor lee los valores de abajo porque siente que puede leer los números con un poco más de precisión. $ f - u »

^ 1142^5582=357 (b )

=r :

i ■ a

= 0333

p = n S jS i) = 00179 y = g

y c

77Í

= 0.792

0.75

0.792

0.90

0.490

0.500

0.525

H1 ejemplo 9.4 mucura la aplicación de la* curvas de interacción de columnas a una columna zunchada redonda.

332

o

D ISEÑ O DE CO LUM NAS CORTAS SO M ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

E JE M P L O 9.4

Usando lus curvas de interacción para columnas dcl apéndice, determine el valor de f’„ para la columna corta zunchada mostrada en la figura 9.19; f = 4 (XX) lh/pulg: y/y = 60000 Ib/ pulg2. S O L U C IÓ N ¡¡ = ¿

p = ^

= 0 .3 ° = 0.0153

7 = £1 = 0.75 ^ = 0.39 de la gráfica 20 dcl apéndice A

=

(075 X0)

5443M b

.

Es pertinente otro comentario respecto al uso de esas curvas, aunque no influye en la solución de los ejemplos anteriores. En las fallas a tensión abajo de los puntos balanceados en las curvas, una reducción de la carga axial reduce la capacidad por momento. En conse cuencia, el proyectista teóricamente debe revisar dos situaciones de carga para las columnas en este rango. Tendrá que revisar los valores máximos de P „ y M n de la columna y también la carga axial mínima que puede presentarse al mismo tiempo que el M n máximo. 9.7 D IS E Ñ O D E C O L U M N A S C A R G A D A S E X C É N T R IC A M E N T E U SA N D O L O S D IA G R A M A S D E IN T E R A C C IÓ N Los ejemplos 9.5 y 9.6 ilustran la aplicación de los diagramas de interacción en columnas, al diseño de columnas cortas sometidas a carga axial y a flexión respecto a un eje. E l tamaño de la columna se estima como se describe en los siguientes dos párrafos, los valores de rlh y + P*elA,Jt se calculan y el valor de p se determina en el diagrama apropiado.

(41

---- h m V f --- -

9.7 D ISEÑ O DE C O LU M N A S C ARG A D AS E X C É N T R IC A M E K T E

333

Aunque existen varios métodos para seleccionar tamaños de columnas, el m étodo de tanteos es tan bueno como cualquier otro. Con este procedimiento, el proyectista estim a lo que considera ser un tamaño razonable y luego determina el porcentaje de acero requerido para esc (amaño de columna con ayuda del diagrama de interacción. Si se piensa que la p determinada es muy grande o muy pequeña, se puede seleccionar otro tamaño de colum na y volver a determ inar la nueva p requerida, etc. Un procedim iento un poco diferente se usa en el ejemplo 9.6, donde el esfuerzo m edio de compresión bajo carga última en la sección transversal de la columna se supone igual a cierto valor, digamos entre 0.5 f c y 0.6y^.. Este valor se divide entre P n para determ inar el área requerida para la columna. Luego se seleccionan dimensiones para la sección transver sal y se determ ina el valor de p en las curvas de interacción. Nuevamente, si el porcentaje obtenido no parece ser razonable, el tamaño de la colum na puede revisarse para obtener un nuevo porcentaje de acero.

□ E JE M P L O 9.5 La columna con estribos de 12" x 20" en la figura 9_20 va a •• arse para soportar las >¿2 uien tes cargas: P D = 100 klb. P L = 110 klb. M D = 60 pie-klb y S1L = 80 pie-klb. Con ; [ = 4 000 lh/pulg2 y fy = 60 000 lb/pulg2, seleccione las barras de refuerzo en dos caras trem íales usando las curvas de interacción.

S O L U C IÓ N

Pu = (1.4X100) + (1.7X110) = 327 klb Pn =

467.1 klb

M u = (1.4X60) + (1.7X80) = 220 pie-klb

Phe»»» 9 20

3M

D .SEÑ O D£ C O LU M N A S CO RTAS SO M ETID A S A CARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

=

h ~

= 314.3 pie-klb

¿0

= 0.404

_ (0-70X467. 1) /8.07\

\ h -

„

y w ) * 0550

550

r = ^ = 0.75 p = 0.020 de la figura 9,16, o gráfica 16 dcl apéndice A A , = (0.020X20 x 12) = 4.80 pulg2 Use 8 #7 = 4.81 pulg 2 Revise los requisitos dcl código, como en el ejemplo 8 . 1 .

■

□ E JE M P L O 9.6 Di.señe una colum na corla cuadrada con estribos para las siguientes condiciones: P u = 600 klb. M „- 140pie-klb. = 4 000 Ib/pulg2 y fy = 60 000 lh/pulg2. Coloque las barras unifor memente alrededor de las caras de la columna. S O L U C IÓ N Suponga un esfuerzo de com presión m edio = 0.6 f e = 2 400 lb/pulg2 600 Ag requerida = — = 250 Pu,2‘

Ensaye una colum na de 16“ x 16" (A * = 256 pulg2) con las barras colocadas como se mueMra en la figura 9.21 Seleccione p de los diagram as de interacción para columnas r =

= 0.6875

í -2lf'-0175

9 8 F U E R Z A CO RTAN TE EN COLUM NAS

335

2 i*

_L II'

l¿"

*r - ir*

— 2Í

16'Figura 9.21

^

<>Pn ^ ^

= 7 = 0 7 = 857 14 k,b (07X857.14) ^ • . ^ ( 0 , 7 5 ) , 0.410

Por interpolación entre las gráficas 11 y 12 del apéndice A . p = 0.0312

A , = (0.0312)(256) = 7.99 pulg 2 Use 8 #9 = 8.00 pulg-

9-8 F U E R Z A C O R T A N T E E N C O L U M N A S I-a sección 113.1.2 del código da el siguiente valor para la resistencia por cortante de m iem bros sometidos a compresión axial:

Vc“ 2(‘+200lU

(E c u a c ió n A C I 1 1 -4)

336

D íSEÑ O O E C O LU M N A S C O RTAS SO M ETID A S A C ARGA AXIAL Y FLEXIÓ N

E n cmc expresión. N u es igunl a la carga axial factorizada sobre el miembro que actúa simultáneamente con Vu. E l valor N J A X debe expresarse en Ib/pulg2. S i la fuerza córtame real V, es m ayor que 0V«-/2. será necesario sclcccionai la separación entre estribos usando los procedimientos descritos en el capítulo 7. Los resultados darán una separación más esIrcchu que la requerida al usar las reglas usuales para columnas. Aunque las fuerzas cortan tes en las columnas son usuulmcntc pequeñas en las columnas interiores, pueden ser bastan te grandes en las columnas exteriores, particularmente aquellas flexionadas con curvatura doble.

9 .9 F L E X I Ó N B I A X I A L M uchas columnas están sometidas a flexión biaxial, esto es. a flexión respecto a dos ejes Las columnas en las esquinas de los edificios, donde las vigas y las trabes concurren con las columnas desde dos direcciones, son los casos más comunes, pero existen otros, tales como aquéllos donde las colum nas se cuelan monolíticamente, com o si fueran panes de marcos o donde las colum nas soportan vigas de fachada muy pesadas Los estriben de puentes casi siempre están sometidos a flexión biaxial. L a s columnas circulares tienen sim etría polar y por ende la misma capacidad última en todas las direcciones. P o r lo tanto, e l proceso de diseño es el mismo, indepcndientemenie el momento biaxial puede calcularse com binando los dos momentos o sus excentricidades, com o sigue

9 9 FL E X IÓ N B IA X IA L

337

o bien. <* = V (< \ )2 ♦ (<*y)2

Para formas distintas a la circular, es necesario considerar los efectos de la interacción tridimensional. Siem pre que sea posible, conviene diseñar las columnas som etida* a flexión biaxial con sección circular. S i es necesario usar columnas cuadradas o rectangulares. el refuerzo debe colocarse en forma uniforme a lo largo del perímetro. Lógicam ente, usted podría pensar que serie posible determinar P n para u ru columna

cargada biaxialm cntc mediante ecuaciones de estática, tal como se hizo en el ejem p lo 9.2 Tal procedimiento conduce a la respuesta correcta, pero las operaciones m atem áticas son tan com plejas debido a la forma del lado com prim ido de la columna, que el método no resulta práctico. N o obstante, haremos algunos comentarios respecto a este tipo <4e solución refiriéndonos a la figura 9.22. S e escoge una posición supuesta para el eje neutro y se dibujan los triángulos apropia

dos de deformaciones unitarias, com o se muestra en la figura. Se escriben las ecuaciones usuales con Q = 0.85 f'c veces el área rayada A c y con las fuerzas en cada barra iguales al área de sus secciones transversales, m ultiplicadas por sus esfuerzos respectivos L * soIuck r*

»•

D IS E Ñ O D E C O LU M N A S C O RTA S SO M ETID A S A CARGA

AXIAL Y FLEXIÓN

curvas tridimensionales de interacción como la de la figura 9.23. Un esta figura, la curva m arcada M HU, representa la curva de interacción para el caso en que la flexión ocurra sólo respecto al eje a y la marcada Mnyo es la curva de interacción para el caso en que la flexión ocurra sólo respecto al eje y. E n esta figura, para una P „ constante, el plano sombreado représenla el contorno de M „ para la flexión respecto a cualquier eje. Actualm ente, e l análisis de las columnas sometidas a flexión biaxial se hace principal mente con computadoras. U n o de los métodos aproximados que es útil en el análisis y que puede llevarse a cabo con calculadoras de bolsillo, es aquel que im plica el uso de !a ecua ció n de interacción recíproca Jesa!Tn||?da por el Profesor Boris Brer.ler de la Universidad de C a lifo rn ia en Berk eley.4 E s ta ecuación, que se mucsüa en la sección R10.3.6 dcl Comenta rio A C I . es com o sigue:

en la que

P m = capacidad nom inal de la sección por carga axial cuando la carga se coloca con una excentricidad dada a lo largo de ambos ejes

Pnx = capacidad nom inal de la sección por carga axial cuando la carga se coloca con una excentricidad ex

r „ y = capacidad nom ina] ác la sección pe i carga axial cuando la carga se coloca con una excentricidad ey

P o = capacidad nom inal de la sección por carga axial cuando la carga se coloca con excentricidad cero. S e toma usualmente igual a 0.85 f c A x + fy A s

L a ecuación de B r e s le r funciona bastante bien en tanto que P „ ¡ es por lo menos tan p and e como 0. JO P „ . S i P n es m enor que 0.10 P a. es válido despreciar la fuerza axial por com plejo y diseñar la sección com o un m iem bro sometido sólo a flexión biaxial. Este proce dim iento es algo conservador. Para esta parte inferior de la curva de interacción, debe recordarse que una carga axial pequeña incrementa la capacidad por momento de la sección. L a ecuación de Bresler no se aplica a cargas axiales de tensión III profesor Bresler encontró que las cargas últimas que se predicen mediante su ecuación para las condiciones descritas i»o varían respecto a los resultados de las pruebas en más de 10%.

* SKtVit. B

1V60. D ctign C rile m toi Keinforced Concrcic Cbluinm Uodcr A xial Load und B ia x ia l Bcndlng' hmmmt ACI. 97. pé* 4CI

9.9 FLEXIÓ N BIAXIAL

339

E l ejemplo 9.7 ¡lustra el uso del teorema recíproco para el análisis de una columna sometida a flexión biaxial, b l procedimiento para calcular P ,IX y P ny Cs el mismo que el usado en los ejemplos anteriores de este capítulo.

□ E JE M P L O 9.7 Determine la capacidad de diseño P „, de la columna corta con estribos de la figura 9.24. sometida a flexión biaxial; f '< - A 000 lb/pulg: ./y = 60 000 Ib/pulg2. eA = 16 pulg y <•* = 8 pulg

SO L U C IÓ N P a ra flexión respecto al eje x :

y

0.80

í h

0.64

Por interpolación en los diagramas de interacción con barras en los cuatro lados iAP

Para flexión respecto al eje y : ■y = |^ = 0.667

Í =

0533

P-

( il'x ^ S ) = 00213

Por interpolación.

D rUrnim ocíón de I» capacidad por carga axial de la sección: P , • (0.85X4.0X13 x 25) ♦ (8.00X60) = 1755 klb

340 O S E ÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

f

_L «#9 ■*

1

70"

25"

■io'—■ ir

PtCura 9J A

Uso de la expresión de Bresler para determ inar P n¡:

¿

= 4318 ■*" 4 8 9 a " T7SS

Multiplicando todo por 1755 = 4.01 + 3.59 - 1

P * = 265.9 klb

■

Si los momentos en la dirección débil (el eje >■aquí) son pequeños en comparación con la flexión ea la dirección fuerte (eje x). es bastante común despreciar el momento menor. Esta manen de proceder es probablemente razonable en tanto que ey sea menor que aproxi madamente 2 0 % de ex, ya que la ecuación de Bresler mostrará poca reducción para P ni. En el ejemplo recién resuelto, una cy igual a 5 0 % de et ocasionó que la capacidad por carga axial ae redujese en 40%. F.1ejemplo 9.8 ilustra el diseAo de una columna sometida a flexión biaxial l,a ecuación de Bresler. que es de poca utilidad en el proporcionamiento de tales miembros, se emplea pan reviur capacidades de las secciones escogidas por medio Je algún otro procedí ■MtatO. U » diseftos teóricos exactos de columnas sometidas a flexión biaxial son muy com Meados y po» ello rara vez >e usan en los talleres de disefto Se proporcionan ya sea con ítv' -'-'lo» aproximados o con programas de computadora pasada» se han ideado varios métodos aproximados para el diserto olumna* con momentos biaxiales. Por ejemplo, existen numerosos diagramas de diserto

9.9 FLEXIO N BIAXIAL

341

con ln ayuda de los cuales pueden lograrse diseñes satisfactorios. Los problemas se reducen a cálculos muy sencillos en los que se toman coeficientes de los diagramas y se usan para amplificar los momentos respecto a un solo eje. Los dise fio» se hacen entonces con los diagramas usuales de diseño uniaxial5'7. Algunos proyectistas también usan reglas empíricas para los diseños preliminares. Un método que es muy sencillo pero no muy bueno, consta de lo* siguientes pasos: (1 ) selec ción del refuerzo requerido en la dirección x considerando P n y M nj, (2 ) selección dcl re fuerzo requerido en la dirección y considerando P n y M ny y (3) determinación dcl arca total de acero requerida sumando las áreas obtenidas en los pasos ( I >y (2). Este método conduce en algunos casos a grandes errores de diseño inseguro porque la resistencia del concreto se toma en cuenta dos veces, una para la dirección x y otra para la dirección y* Otro procedimiento aproximado que funciona bastante bien en los cálculos hechos en los talleres de diseño se usa en el ejemplo 9.8. S i este método simple se aplica a columnas cuadradas, se supone que los valores de Mnx y vf«»\ actúan respecto a ambos ejes x y y (esto es. M x = A/y = Mnx + M ny). E l acero se selecciona respecto a uno de los ejes > se distribuye alrededor de la columna, y la ecuación de Bresler se usa para revisar la capacidad última de carga de la columna cargada excéntricamente. S i se emplea una sección rectangular donde el eje y es la dirección débil, parecería lógico calcular M y = M M + M ny y usar esc momento para seleccionar el acero requerido respecto al eje y y distribuir el área de acero así calculada en toda la sección transversal de !.t columna. S i bien este procedimiento conduce a diseños seguros, las columnas resultamos pueden ser muy poco económicas ya que serán demasiado resistentes en tomo al eje fuerte Una aproximación bastante satisfactoria es suponer M y = M ^ - M nyy m ultiplicarlo por b/h y con este momento diseñar la columna en tomo al eje débil9. E l ejemplo 9.8 ilustra el diseño de una colum na cuadrada corta sometida a flexión biaxial Se usa el método aproximado descrito en los dos últimos párrafos y la ecuación de Bresler se emplea para revisar los resultados. S i ésta hubiese sido una columna larga, hubiese sido necesario am plificar los momentos de diseño para obtener efectos de esbeltez, independien temente del método de diseño usado.

□ E JE M P L O 9.8 Seleccione el refuerzo necesario para la colum na corta cuadrada con estribos de la figura 9-25 si P d - 100 klb. = 140 klb, M q x = 50 pie-ldb. M lx = 70 pie-klb. M DY = 40 pie-klb M i. = 60 pie-klb. / ; =4 000 Ib/pulg2 y f y = 60 000 Ib/pulg2.

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ACI M a c i. o.i

’ Kow. D.G y Paulay. T . 1973. ~ B u » a l Flexura and A xial Load Inlcrart».^ m Shorl R c in fcrie d Concrete O rtum nt". BulU/in o/ N e* Ztolatid Soclfiy/tir Eunhquakr E în eetin n . 6 C>. p4j>j 110 121 * V*tV K y PM U y. T . 1975. K'énJ.mtd C m in U S ir u ,,* ,,, v Ftaial, M . cditw , 1985.

York kam W ilcy A So o iK

Cúnente Engtneeri*K i Nueva Y«>rk

I 5 S-IS 9

Noiiinod). 2a « á p á *. 37.39

342

D IS E Ñ O D E C O LU M N A S C O RTA S SO M ET ID A S A C A RG A AXIAL Y FLEX IÓ N

S O L U C IÓ N C álculo de los valores de diseño />„ *

(1 .4 X 1 0 0 ) + (1 .7 X 1 4 0 ) = 378 klh

jp c . = Ñ x S j j “ 0195 > 0 10

(V é a s e ecu ación A C I 9.3.2.2J

P o r lo la m o . < *■= 0.7 0.

P" =

0%

= 540 k,b

= (1.4X50) + (1.7X70) = 189 pie-klb s

= 270 pie-klb

M *y = (L 4 X 4 0 ) + ('.7 X 6 0 ) = 158 pje-klb M *y =

= 225.7 pie-klb

C o m o re s u lta d o d e la fle x ió n biaxial, el momento de diseño respecto al eje x o al eje se su p o n e q u e e s ig u a l a M nx + M ny = 270 + 225.7 = 495.7 pie-klb.

D eterm inación del acero requerido

=

02H g

9.10 EJE M PL O CON COMPUTADORA

343

Por interpolación de los diagramas de interacción, con barras en los cuatro lados. p = 0.0123

A . = (0.0123X22X22) = 5.95 pulg2 Use 8 #8 (6.28 pulg-)

■

S i se revisa la columna con la ecuación de Bresler se obtiene. P „, = 706 klb > 540 klb. y ey

que es satisfactorio. A l emplear la ecuación de Bresler recuerde calcular los valores correctos para su uso con los diagramas de interacción. Por ejemplo.

Cuando una viga está sometida a flexión biaxial, la siguiente ecuación aproximada de interacción puede usarse para fines de diseño:

E n esta ecuación M x y M y son los momentos de diseño. M

es la capacidad por mo

mento de diseño de la sección si la flexión ocurre sólo respecto al eje x y M uy es la capacidad por momento de diseño si la flexión ocurre sólo respecto al eje y. Esta misma ecuación puede usarse satisfactoriamente para miembros cargados axialmentc si la carga axial de diseño es aproximadamente 15 % o menor que la capacidad por carga axial de la sección. Un análisis detallado de este tema puede encontrarse en el Handbook o f Concrete En g in eerin g l0. Existen numerosos otros métodos para el diseño de columnas cargadas biaxialmentc U n m é to d o que es particularmente útil para los profesionales de diseño es el método del c o n to rn o d e la carga d e la P C A , recomendado en el A C I Design Handbook 11.

9.10 E JE M P L O C O N C O M P U T A D O R A G E JE M P L O 9.9 Dibuje el diagrama de interacción para la columna del ejemplo 9.2.

^ F iw r l, M . frltior. IV#3, tUnHbofk n¡ Comrtle F.nginrtrinf; (Nueva Yotk Van N oitran d j. 2a ed pág

HanjIhnM, I9f0, Vol J . Colum m . PuM icaim iu 5 M 7 » (VOj AC'I. tV i rol»

344

D IS EÑ O D E C O LU M N A S C O RTA S SO M ET ID A S A C A R G A A XIA L Y FLEX IÓ N

S O L U C IÓ N Diagrama de Interacción para una columna corta rectangular fy . 60 klb/pulg2

fe’ = 4 klb/pulg2

b « 14 pulg

h e 24 pulg

d * 21.5 pulg

d1 = 2.5 pulg

As1 = 3 pulg2

As2 = 3 pulg2

C om p resión axial d e d ise ñ o , P u (klb)

PR O B L E M A S

345

PRO BLEM A S En los problema 9.1 y 9.2 localice los centroides plásticos. fr - 4 000 lb/pulg2 y/> = 60 000 lb/pulg2Problema 9.1 [Rcsfi

10.17 pulg dcvdc el borde izquierdo).

9 3 Usando las ecuaciones de estática determine los valores de P „ y Mn para la columna suponiendo que tiene una deformación unitaria de - 0.00300 en el borde derecho y una deformaoáo unitaria de ♦0.00200 en el borde izquierdo; ¿.= 4 000 !b/pulg2,/v = 60 000 lb/pulg2. {Resp.: P a = 485.S klb. M „ m335.9 pie-klb).

M

d P»o*>lcma 9.3 conuderando que la dcfonnacédn umuna en el borde izquierdo e% de ♦

346

D ISEÑ O DE CO LU M N A S CORTAS SOM ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

9.5 Repitn el problema 9..3 considerando que la deformación unitaria en el borde izquierdo es de 0.1100. Utrrp.: Pm«- 902.9 klh. M „ b 164 5 pie-klb). 9.6 Repita el problema 9.3 considerando que la deformación unitaria en el borde izquierdo es de 0 001. 9.7 Repita el problema 9.3 considerando que el acero de tensión en el lado izquierdo fluye, esto es. se tiene una situación de carga balanceada (Resp.: P n = 3*0.6 klb. M „ = 368.2 pie-klb). En los problemas 9.8 al 9.13 use los diagramas de interacción dcl apéndice para determinar valores de P „ para las columnas cortas mostradas si f ( = 4 000 lb/pulg2 y f y - 60 000 Ib/ pulg2. Problema 9.8

4' 4 «10

—|------ h *

13"

18"

4 «10

• ••

3 « 3‘ = 9* — 14*—

Probkm a 9.9 Repita el problema 9.8 con €x = 8 pulg. (Resp.: 5953 klb). Problema 9.10

* ,- 6 '

PRO BLEM AS

Problem a 9.11 (Re.t/>.: 206.2 klb)

y

. 1. 1 2 «II Xm.. ti _ •x 18' 2 «II * i *

_ L - 2f

"•— 12"—

Problema 9.12

Problema 9.13 (R tsp .: 397 klb)

347

348

D ISEÑ O OE COLUM NAS CORTAS SO M ETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXIÓN

En las problemas 9.14 al 9.16 use las curvas de interacción del apéndice para seleccionar el refuerzo de las columnas corlas mostradas; f r = 4 000 lb/pulg2 y f y = 60 000 lb/pulg2. P ro b le m a 9.14

3’

•

i •

•

•t •

U4

T " í*

-

t 1 u 1 8 l o*

M

*

Problema 9.15 ( Una posible respuesta: 6 #10)

2Y

±

\ - 600 klb

Problema 9.16

PRO BLEM A S

T 'rr,:r,v 7?•9?™Tin?t

/ r = 6 0 0 0 0 Ih /p u lg 2 y / , = 4 0 0 0 lb / p u lg 2. P ro b le m a 9 .1 7

va,ores'*■«",m

221 k lb )

• 8 #10#

er - 6 «

Problema 9.18

12 #9 •

•

• • • •

•r

r:

349

««»— «i»:

350 DISEÑO DE COLUMNAS CORTAS SOMETIDAS A CARGA AXIAL Y FLEXION Problema 9.19 (R rsp .: 268 klb)

-----------

20 '

Problem a 9.20

9.21 Repita el problema 9.20 con ex = 12" y ey = 6". (Resp.: 302.6 klb) E n los problem as 9.22 y 9.23 seleccione el refuerzo para las columnas cortas m ostradas; f y = 60 000 lb/pulg2 y f c = 4 000 lb/pulg2. R e v is e los resultados con la ecuación de Bresler. Problem a 9.22

Barros en las cuatro taras P „ m 140 klb e, = 8’ •

•rm4“

PRO BLEM AS CON UNIDADES SI

351

Pro b lem a 9.23 (Unapotitos rrsput-sta: 8 #7>

2~

17’

•

■ ir —

22*

•

■**

16--

Barras en las cuatro caras PH= 300 klb

<•.,= 10* • *■, * 3* •

Para los problemas 9.24 al 9.26 utilice el disquctc. 9JA Si la columna dcl problema 9.8 soporta una carga P u = 225 klb. ¿qué un grande puede ser Mu, 9.25 Si la columna del problema 9.14 soporta una carga P u = 400 klb. ¿qué lan grande puede ser W u si se usan t>#9? (Resp.: 167 pie-klb). 9.26 Si la columna del problema 9.14 soporta una carga axial P u = 375 klb. ¿.cuántas barras «10 son necesarias para resistir un momento de diseño Max = 180 pie-klb? 9-27 Prepare un diagrama de flujo para la elaboración de una curva de inleracción para cargas axiales de compresión y flexión en una columna corta rectangular con estribos.

IL E M A S C O N U N ID A D E S S i «5o para .columnas no se dan para las resistencias S I ■>«MPa. «Lió» etc.) o para la resistencia a . Ooeocia dcl >(21 MPa. 24 MPa, 28 de

■■ -

•v ,

■

unidades S I <27.6 MPa y 413.7 MPa). tal como se puede i JoíErtndos Unidor pero « necesario usar on factor de . 1 va lo» dr / „ para un:, o.t'jinn.i .'mb. don,ir entramos .1 los

+ r jA f o + P ¿fA j¿i, debemos dividir los resollados entre 1 moltíp! icario» por 145 033. Si catamos usando unidades SI y qui temos usar los *na*t4Muubik* d Vdlor requerido á c p para una oólamna, éntranos n kw diagrama* o $ P jA t dividido entre 0.006 895 o bien multiplicado por 145 033. ímas 9J2H al 9 3 0 use lo j diagramas de interacción de columnas en determinar los valore* Vn cu las columnas a n t a s ntosiradas si J f ” i m

1

¿Sáfe

3S7

D IS E Ñ O OF CO LUM N A S CO M IAS SO M I ÍID A S A C A R G A AXIAl Y FLEXIÓN

70 mm

O -XO i

9.29 (Resp.: 1 850 M Pa)

ji_

6#32

I'IUMH f V A S CON UN Z A D E S S I

353

Problema 9.30

6-

f e *»27.6 MPa

tx - 150 aun ty~ 200 mra

E n los problemas 9.31 al 9 J 3 seleccione el rcfi

./ .o p aralasco lu m n ascn rcrs'rK :

iradas; f c = 27.6 M P a y f 7 = 413.7 M P a . N o o lv id e aplicar ei factor de c w rv r. -k-m dado antes del problema 9.28 al usar las curvas de interacción. Problem a 9.31 (U na posible respuesta: 4 #29)

300 mm

r*

1200 kN 900

>* ffc ¡Jt.

«

K

C O L U M N A S C O RT A S S O M E T ID A S A C A „O A AXIAL V F l E X IO *

Problem a 9.32

Prob lem a 9 J 3 (U n a posible respuesta: 8 #32)

Capítulo 10

Columnas esbeltas

10.1 IN T R O D U C C IÓ N Cuando una columna se flcxiona o deflexiona lateralmente en una cantidad A. mu carga axial genera un momento adicional igual a P A . Este momento, se sobrepone a cualquier momento que exista y a en la columna. S i este momento P A es de tal magnitud que reduce Lonstderablemente la capacidad por carga axial de la colum na, esta se denomina colum na esbelta L a sección 10.10.1 del C ódigo establece que el diseño deseable de un m iem bro a com presión debe basarse en un análisis teórico de la csiruciura que tome en cuenta los electos de las cargas axiales, los momentos, las deflexiones, la duración de las cargas, las dimensiones variables de los miembros, las condiciones en los extremos, etcétera S i no se usa tal procc dim icnto teórico, el C ódigo proporciona un método aproximado para determ inar los efectos de esbeltez. Este método, que se basa en los factores antes mencionados para realizar un análisis «exacto», supone un am plificad or de momento ¿q u e debe m ultiplicarse por el mayor momcnto^cn eêxtremo de la colum n a y ese_yalor.dg.be usarse en el_diseño. S i ocurre flexión en ambos ejes.

6

debe c alcularse por separado para cada dirección y los valores

obtenidos deben m ultiplicarse por los valores de los momentos respectivos^

10.2 M A R C O S C O N Y S I N D E S P L A Z A M I E N T O L A T E R A L Para este análisis es necesario distinguir entre los marcos sin desplazamiento lateral y los marcos con desplazamiento lateral. E n el código A C I estos marcos son identificados de esa forma, es dccir nútreos con impedimento p ara desplazarse y m arcos sin impedimento. La s columnas de marcos sin desplazamiento lateral deben diseñarse de acuerdo con la sección 10.12 del código, mientras que las columnas de marcos con desplazamiento lateral deben diseñarse de acuerdo con la sección 10 .13. E n consecuencia, primen;» es necesario decidir *i tenernos un marco con o sin desplazamiento lateral. Debem os entender que ra ra i rz encontrarem os un m arro que este com pletam ente

'¡o ,ira d o contra desplazam ientos la te ra le s o uno que esté totalmente despon isto de riostras contra e l deipluztim irntn la te ra l P o r lo tanto, tenemos que dei id ir cómo mane ja r e l asunto l-.l asunto posiblemente pueda resolverse examinando la rigidez lateral de los elementos de apuntalamiento en ch piso en consideración. Se puede observar que una columna en

356

COLUMNAS ESB ELT A S

particular se encuentro en un piso donde hay tama rigidez lateral, causada por los miembros de apuntalamiento, los muros de cortante, las armadura’)- demás, que cualquier deflexión lateral que ocurra será demasiado pequeña para afectar on forma apreciablc la resistencia de la columna. A l examinar una estructura particular es necesario darse cuenta de que puede haber algunos pisos sin desplazamiento lateral y otros pisos con desplazamiento lateral. Sj_nn pedemos decidir mediante una inspección si se trata de un marco_sin dcspla/amiento lateral o de un marco con desplazamiento lateral, el código proporciona dos maneras de h a cerla Prim ero, en la sección 10.11.4.1 del A C I. se dice que el piso de un m arca se cfm sfrW a sin desplazamiento lateral si el incrcmenjo en los momentos de c,xlicmt¿_c_Q_Uis columnas debido a los electos de segundo orden equivale a 5 % o menos de los m om entos de extremo de primer orden. E l secundo método que e l código da para determinar si un m arco dado se debe conside rar ricfctrado o no rioslrado. está en la sección 10.11.4.2. S i el valor dcl así llam ado índice de

estabilidad que se ve a continuación es de < 0.05. el comentario dcl A C I establece que c! marco puede clasificarse com o un marco sin desplazamiento lateral. L/> A

^ = ~V~(~

(E c u a c ió n A C I 10-71 )

donde t J >u = carga vertical total factorizada de todas las columnas en el piso considerado A,,= deflexión lateral de prim er orden determinada clásticamente, debido a Vu cu le parte superior del piso respecto de la parte inferior de esc m ism o piso

Vu = fuerza cortante horizontal total factorizada del piso considerado

0 ^

£> o

l c =. altura de un m iem bro a compresión en un marco, medida de centro a centro .ir los nudos dcl marco 02-5Y\ i A pesar de estas sugerencias dcl A C I. el ingeniero encargado dcl diseño tendrá que

tomar decisiones sobre lo que es un apuntalamiento adecuado y el que no lo es, basándose « la Presencia de muros estructurales y de otros elementos de apuntalamiento. lin un edifid o de concreto reforzado de tamaño promedio, las excentricidades de carga y los valores de /í^ y/^ e»b eliez ion pequeños y se considera que los marcos están riostrados. S in em bargo, en los

0O

r-0 *0S dudosos es p referib le o p ta r p o r la seguridad y con sid erar que lo s m arcos no están riostrados f s ^ u r iP o

10.3 EFECTOS DE ESBELTEZ L * e tb cU cz ó t las columnas se basa en su geometría y en su riostram icnto lateral Conform e -

esfüerM n

flexión también crecen, por lo que puede presentarse el

esbeltez P ib» ” ** *** COncrc,° ^ fo rz ad o generalmente tienen pequeñas relaciones de retttitiw -.»'!!' f ** r>UCíIrn u* u* ,m««»e diseñar como columnas cortas sin reducciones de r- •ivieiKia por efectos de esbeltez. relaciones ik*ethr|f " ** analizan diversos aspectos im plicados en el cá lcu lo de las longitud r f f n i _ a '*IOt * c*Myei*. longitudes no soportadas «le colum nas, factores de v», radios de g iro y los requisitos dcl C ódigo A C I.

10 3 E F E C T O S OE E S B E L T E Z

357

Biblioteca de la Clemson University, Carolina del Sur. (Cortesía de Clemson University Communications Center.)

Longitudes no soportadas L a longitud ¿u usada para calcular la relación de esbeltez de una colum na es su longitud no soportada lateralmente. Esta longitud se considera igual a la distancia libre entre las losas las vigas o los otros miembros que proporcionan soporte lateral a la colum na. S i la colum na tiene capiteles o cartelas, la distancia libre se mide desde el fondo de las capiteles o de las canelas.

Factores d e longitud efectiva Para calcular la relación de esbeltez de una columna, es necesario estim ar su longitud efec tiva. Esta es la distancia entre los puntos de momento nulo en la colum na. E n este análisis inicial se supone que no es posible ni el desplazamiento lateral ni la traslación de los nudos. Desplazam iento lateral o traslación de nudo significa que un extremo o ambos extrem os d e j w a colum na pueden moverse lateralmente e l uno respecto del otKx_ S i existiese una colum na con extremos perfectamente articulados, su longitud efectiva sería su longitud no soportada, com o se muestra en la figura 10.1 (a). E l fa c to r k de Ion g itu d

efectiva es e l número por e l que debe m ultiplicarse la longitud no soportada de la colum na

£ara obtener su longitud efectiva. P a ra una colum na con extrem os pe rfe ctam e n te articu1

;—

Las colum nas con diferentes condiciones de extremo tienen longitudes e fectivas ente ramente diferentes. Por ejemplo, en una colum na con extremos perfectamente empotrados, sus puntos de inflexión (o puntos con momento nulo) se presentan en los cuartos de su altura y su longitud efectiva es L j l , com o se muestra en la figura 10.1(b). P o r tanto. * = 0.5. Obviam ente, entre menor sea la longitud efectiva de una columna, menor será e l peligro

de pandeo y m ayor su capacidad de carga. E n la figura 10.1(c) se muestra una co lu m n a con un extremo empotrado y el otro articulado E l factor k para esta colum na es teóricam ente igual a 0.70. E l concepto de longitud efectiva es meramente un método matemático para reemplazar una colum na, sea cual sea su condición en los extremos y sujección lateral, por otra colum na

3St»

CCH U M NA S E SB E LT A S

Punios •!<■mili'

c

FiRura 10.1 Longitudes efectivas do columnas en marcos riourado» (desplazamiento lateral impedido)

equivalente, articulada \ mostrada. Podría haccrsc un complejo análisis de pandeo en un marco para determ inar el esfuerzo crítico en una columna dada. E l factor k se determina al delim itar una colum na con extremos articulados con una longitud equivalente que propor cione el m ism o esfuerzo crítico. E l procedimiento del factor k es un método para lograr soluciones sencillas en problemas complicados de pandeo en marcos. La s colum nas de concreto reforzado sirven como partes de marcos y estos a veces están riostrados y a veces no. U n marco riostrado es uno en el que el desplazamiento lateral o la traslación de nudos está impedido por medio de las riostras, los muros de cortante o el soporte lateral de las estructuras adyacentes. U n marco no riostrado carece de cualquiera de esos upos de riosiramiento y debe depender de la rigidez de sus propios miembros para resistir el pandeo lateral. E n un marco riostrado los valores k nunca pueden ser mayores que 1.0. pero en marcos no riostrados los valores k siempre son mayores que 1.0 debido al desplazamiento lateral E n la figura 10.2(a) se da un ejemplo de una columna no riostrada. L a base de esta

colum na se supone empotrada mientras que su extremo superior se supone completamente libre para girar y trasladarse. I-a curva elástica de tal columna tomará la forma de la curva elástica de una colum na con extremos articulados y de longitud doble. Su longitud efectiva verá entonces igual a 2 ¿v. como se muestra en la figura. En la figura I0.2(b) se muestra el cato de otra colum na no riostrada. E l código (\Q .\ 2 .\ ) establece que c) factor de longitud efectiva debe tomarse igual a L O en lo% miembros ti com presión de múreos riostrados, a menos que un análisis teórico ju stifi que puede usar-ve u rT v ííó r menor, S i el miembro no está en un marco riostrado. el código etiablece que el valor de k deberá « r mayor que 1.0 y que se determinará considerando los cíecu>\ del agrietam iento y del refuerzo en la rigidez de la columna. E l cómitc A C I A S C E 441 vugiere a u c ^ l o práctico suponei valotet pata i menino que^f 2 en tales columnas > pn» e llo parece lógico efectuar diieAo» preliminares con A igual y o mayor que ese valor

10 4 DETERMINACIÓN DE LO S FACTO RES KCO N NOMOGRAMAS

Extremo superior libre para girar y desplazarse. «trem o inferior empotrado

359

Extremo superior libre para girar y dejpla/arse. extremo inferior libre para girar

tb)

Figura 10.2 (5)lumnas para marcos no riostrados.

10.4 D E T E R M IN A C IÓ N D E L O S F A C T O R E S K C O N N O M O G R A M A S E l procedimiento principal para estimar las longitudes efectivas es mediante el u aplicable a marcos riostrados y el de la parte (b l es aplicable a marcos no riostrados Para usar los nomogramas para una columna, se calculan los factores vy en cada extre mo de la columna. E l factor en un extremo de la columna es igual a la suma de las rigide ces ( I (E/l£ )] de las columnas que concurren en esc nudo, incluyendo la columna en conside ración. dividida entre la suma de todas las rigideces de las vigas que concurren en el nudo. S i un extremo de la columna está articulado, y e s teóricamente jgual a «>y si está empotrado U = 0. Com o es prácticamente imposible iograr un empotramiento perfecto, y se toma usual mente igual a LO en vez de 0 en los empotramientos supuestos. Cuando el extremo de la columna está soportado por una zapata pero no está rígidamente conectado a ella, es teóricamente igual a

pero usualmente se toma igual a 10 en los diseños prácticos.

U n o de los dos valores y se denomina \|»¿ y el otro vj/g. Después de calcular esos valo res. se obtiene el factor Jt de longitud efectiva trazando una línea recta por

y »ya E l punto

de intersección de esta recta con el eje medio del nomograma nos da el valor de k. Puede verse que los factores V usados para entrar a los nomogramas y por tanto los

factores de longitud efectiva, dependen de las rigideces relativas de los miembros a compre sión y a flexión. S i tenemos una columna muy ligera y flexible y trabes muy rígidas, la rotación y el movimiento lateral de los extremos de la columna se aminoraran considerable mente Los extremos de la columna tendrán una condición cercana a la de empotramiento

1 Siructural '¿'i.' ility Research Counol, Cunte lo Slubihtf Pe.tifi» CritfiM fnr fitrial Simantes. Calim bos, « lito t «Nueva Yort Wifcy. I9S8)

1 iuliir., O. C . y Lawrrnce. I.

c
S . 1959. «Note» on J uiul I. Nixiwijroms íor Dete/mliution uf EíTcsme Lenj{ih» *» poWinu Vmm nomograma! tumban se llamo» Nomogramas Jackson and Moreland. por la empresa con

)60

COLUMNAS ESBELTAS *8

M

sao ±

-r

1.0

10.0 -z 5. 0

i —

50.0 10.0 5.0

“

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3 .0 -

3.0

2.0

2-0 — 0.8

1.0

1.0

a9 a8

0.9

0.7-

0.7

0.8

0.6

0.6

0.7

0.5

as

0.4

0.4

0.3 —

0.6

a2 —

ai —

§ — *

—

0.5

—

0.3

—

0.2

—

0.1

0

¿a) Marcos honrados

Figura 103 Factores de longitud efectiva, y = razón de K £//£.) de los miembros a compresión 3 K E 11Q de k » miembros a flexión en un plano en un extremo de un miembro a compresión k = factor de longitud efectiva.

por lo que los valores y y los valores k resultantes serán pequeños. E n el caso opuesto, es decir, eo columnas muy rígidas con trabes flexibles, obviamente los extremos de las colum nas caá girarán libremente, acercándose a la condición de una articu la ció n E n conse cuencia. tendremos grandes valores de y y Para calcular los valores y es necesario usar valores realistas para los momentos de inercia. Las trabes suelen estar bastante agrietadas en sus lados de tensión en tanto que las columnas probablemente tienen sólo unas cuantas grietas. S i los valores / para las trabes se subestiman un poco, los factores k serán un poco mayores, quedando así del lado de la seguridad. Viñas reglas ton usadas para eslimar aproximadamente lasxm deccs de vigas > volum ¿S ^ U n a práctica común del pasado para [elacicm «decsbcltei del orden de hasta 60 o 70; uv^ rnon*nios de inercia totales para las columnas y 50* de~os momentos de inercia tóales para la» vig,» --------------- ------ — -------------- ------—

10.5 D ETERM INA CIÓ N D E FA C TO RES K MEDÍANTE E C U A C IO N E S

361

+A

20.0 10.0

100.0

30.0

5.0

50.0 30.0

20.0

4.0

20.0

10.0 —

3.0

10.0

100.0 50.0

9.0

8.0

8.0

7.0

7.0

6.0

6.0 5.0 4.0

3.0

—

2.0

—

—

5.0

—

4.0

—

3.0

—

2.0

—

1.0

1.5

1.0 —

0—

1.0

—

0

(b) Marcos no riostrados Figura 103 continuación. E n el Comentario dcl A C I (R .1 0 .1 1.1), se establece que para determinar valo re s y que han de usarse en la evaluación de los factores k, la rigidez de las vigas se puede c a lc u la r con base en 0.357* para tomar en cuenta e l agrietamiento y el refuerzo, mientra» que 0.70/* '-puede usarse para miembros a compresión. E s ta recomendación se sigue en lo s ejem p lo s de i capítulo.

10.5 D E T E R M IN A C IÓ N D E F A C T O R E S K M E D IA N T E E C U A C IO N E S En vez de usar nomogramas para determinar los valores k, el Comentario dcl A C J ( R 1 0.12.1) proporciona un método alternativo que im p lica usar ecuaciones relativamente sim ples. Es ta* ecuaciones, que fueron tomadas del B ritis h Standard Code of Practice\ s e a particular mente útilei con programas de computadora. 1 (Urtlt of Prar.ilt* fot tht Situciurul Utf />/ Concrtte < C PII0 ; pan I). Hni.Ui Standard* Iiw m u*K » Londicv 1972, 154 p ifjtu n

362

C O LU M N A S E SB E LT A S

Columnas de concreto reforzado. (Cortesía de R S M Advertising representando a Molded Fiber Glass Products Company.)

Para miembros a compresión riostrados. un límite superior para el factor de longitud e fectiva puede tomarse com o el menor valor determinado de las dos ecuaciones que siguen, en dor.de Y a y Y B son los valores antes descritos para los nomogramas de Jackson y Moreland y i/min es el menor de los dos: * = 0.7 + QjOSCft + Y b ) £ 1.0

k - 0.85 + 0.05 \Kmin £ 1.0 E l valo r de k para los miembros a compresión no riostrados que están restringidos en am bo* extremos puede determinarse con el valor apropiado dado por las siguientes dos ecuaciones, en donde y m es el promedio de Ya y YBS i Y~ < 2

km* L ^ Vrrvm s.

22 k * 0.9VI ♦ Ym

10 6 A N A LISIS DE P R W E R O R D EN USANDO PR O P IE D A D ES E S P E C IA L E S

363

E l valor dcl factor de longitud efectiva para los miembros a compresión no riostrados que eslán articulados en un extremo, puede determinarse con la siguiente expresión, en donde \ffCS el valor en el extremo restringido

A = 2.0 «• 0.3 y E l código A C I en su sección 10 12.1 establece que k debe tomarse igual a 1 0 para los miembros a compresión en marcos apuntalados contra desplazamientos laterales, a menos que un análisis teórico muestre que puede usarse un valor más pequeño En el últim o p árra

fo de !a sección R IO . 12 de los C om entarios d c l A C I. se dice que el uso de los nom ogram as o de la s ecuaciones recién presentad*:*, es satisfacto rio pura ju stifica i i a ló n í de k menores que I

0 en

m arcos riostrados.

10.6 A N Á L I S I S D E P R I M E R O R D E N U S A N D O P R O P I E D A D E S E S P E C I A L E S D E L O S M IE M B R O S Dcspuifs de esta sección, el resto del capítulo está dedicado a un procedimiento de diseño aproximado en el que el efecto de la esbeltez se toma en cuenta, calculando los amplificadores de momento que son multiplicados por los momentos de las columnas. U n am plificador para una colum na es una función de su carca axial factorizada P u y de so carga de pandeo crítica P c. A ntes de poder calcular los am plificadores para una estructura dada, es necesario efec tuar un análisis de primer orden de

estructura. Las propiedades de ia sección del miembro

usadas para tal análisis deben tomar en cuenta la influencia de las cargas axiales, la presen cia de lugares agrietados en los m iem bros y el efecto de la duración de las cargas. E n vez de efectuar tal análisis, la sección I0.1 l . l de’, código A C I permite el uso de las siguientes propiedades para los miembros de la estructura. Estas propiedades pueden usarse para mar cos con o sin desplazamiento lateral ( a ) M ód ulo de elasticid ad . determinado con la siguiente expresión dada en la sección

8.5.1 dcl código. E c = w j 533 - {fc para valores de wy entre 90 y 155 Ib/pie o 57 000 ^ f

en el con

creto de peso normal.

ib)

M om entos de in ercia, donde /* = el momento de inercia de la sección total de con creto respecto dcl eje centroidal despreciando el refuerzo Vigr.s

0.35/*

Colum nas

0.70 /*

M uro*, no «grietados agrietados

0.70/* 0.35/*

Placa?, plana» y losas planas f c ) Á rea

0.25/*

364


10.7 C O L U M N A S E S B E L T A S E N M A R C O S S I N D E S P L A Z A M I E N T O L A T E R A L O R IO S T R A D O S Existe una gran diferencia en el comportamiento de las columnas de marcos sin desplaza miento lateral o riostrados y en e l de aquellas de marcos con desplazamiento lateral o no riostrados. E n efecto, cada colum na en un m arco riostrado actúa por si m ism a. E n otras palabras, su resistencia individual puede determinarse y compararse con sus cargas y mo mentos factorizados calculados. E n un m arco no riostrado o con desplazam iento la te ra C una colum na probablemente no se pandea en forma individual, sino simultáneamente con todas las otras colum nas en el m ism o nivel. E n consecuencia es necesario en un m arco asi, ctrns. rfrrar la resistencia por pandeo de todas las columnas en el nivel considerado com o una

um d2T“------------------------------------ —

----------------------------

Para un m iembro a compresión en un marco sin desplazamiento lateral, la relación de esbeltez efectiva ~

se usa para determ inar si el m iembro es corto o esbeíto. E n este cálcu

lo. 4 , es la longitud no soportada del miembro. E l factor k de longitud efectiva puede tomar se igual a 1.0. a menos que e l análisis proporcione un valor menor. E l radio de giro r e s igual a 0.25 veces el diámetro de una colum na redonda y 0.289 veces la dim ensión de una co lu m na rectangular en la dirección en que la estabilidad está siendo considerada. L a sección 10.11.2 del código A C I permite usar el valor aproximado de 0.30 en vez de 0.289 y esto !•■ haremos aquí. Para otras secciones, el valor de r tendrá que calcularse partiendo de las propiedades de las secciones totales. Para los marcos sin desplazamiento lateral, los efectos de esbeltez pueden ignorarse si se satisface la siguiente expresión

— £ 34 -

(Ecuación ACI 10-8)

E n esta expresión, M \ es el m enor momento de extremo factorizado en un m iem bro a compresión. Se usa el signo más si el m iem bro está fiexionado en forma de curvatura simple (en forma de C ) y se usa e l signo menos si e l m iembro está fiexionado en form a de curvatura doble (en forma de S ). A#2 es el m ayor momento de extremo factorizado en un m iem bro a compresión y siempre tiene el signo más. — no debe ser menor que -0.5. S i H J r de una columna es m ayor q u e 'la relación aplicable, se tendrá una columna esbeha. E n una columna así, el efecto de esbeltez debe ser considerado. E s to se hace usando métodos aproximados o por medio de un análisis teórico de segundo orden que tome en cuenta el efecto de las deflexiones. S i t í j r > 100, deberá efectuarse el análisis teórico de « fim d o orden (Código 10.11S ) . ,

*********** «««undo orden es aquel que toma en cuenta el efecto de las deflexiones y ice uto de ua módulo reducido tangente La s ecuaciones necesarias para diseñar una co :«e intervalo ton extremadamente com plicadas y en la práctica se recurre a gráfiPfog***>»a« de computadora. Afortunadamente, la m ayoría de las columnas reforzado tienen relaciones de esbeltez menores que 100.

10.7 CO LUM NAS E S B E L T A S EN M A R C O S SIN D ESPLA ZA M IEN TO LA T E R A L

365

Cómo ©vitar las columnas esbeltas E l diseño de las columna’; esbeltas es considerablemente más complicado que el diseño de las columnas cortas. Por esto, es apropiado considerar el uso de ciertas dimensiones míni mas. de manera que las columnas no resulten esbeltas. De esta manera, tales colum nas pue den evitarse casi por completo en los edificios de tamaño medio. S i se supone k = 1.0. la esbeltez puede usualmente despreciarse en columnas de marcos riostrados cuandol^/i se mantiene igual a 10 o menos en la planta baja y a 14 o menos en los pisos arriba de la planta baja. Para determinar esos valores, se supone que hay poca resisten cia al momento en la conexión de la zapata a la colum na y que las columnas de la planta baj3 están flexionadas en forma de curvatura simple. S i la conexión zapata-columna se diseña con una resistencia aprcciablc al momento, el valor máximo indicado d cí- Jh de 10 debe aumentarse aproximadamente a 14 o al mismo valor usado en los pisos superiores. S i se tiene un marco no riostrado y se supone k = 1.2. probablemente será necesario tomar ¿,,/h igual a 6 o un valor menor. A sí. para una altura libre de piso de 10 pies, es necesario usar una h mínima de aproximadamente 10 pies/6 = 1.67’ = 20" en la dirección ¡le la fle x il

para evitar columnas esbeltas4. E l ejemplo 10.1 ilustra la obtención dcl factor k y la determinación de la relación de

esbeltez para una columna en un marco no riostrado. A l calcular los valores l/L, e l autor usó 0.70 veces los momentos de inercia totales para las columnas. 0.35 veces los m om entos de inercia total para las trabes, y las longitudes completas entre los centros de los soportes en todos los miembros. □ E J E M P L O 10.1 ( a ) C on ayuda de los nomogramas en la figura I0.3. calcule el factor de longitud efec tiva para la columna A B del marco no riostrado mostrado en la figura 10.4. C o n s i dere sólo flexión en el plano del marco. (b ) C alcu le la relación de esbeltez de la colum na A B . ¿ S e trata de una colum na corta o esbelta? S O L U C IÓ N (a ) F a c to r de longitud real p a ra la co lu m n a A B

'V '.

•

4 N rviiU . G II.. cdiior. I9 M , SimpUftrd Dr.u/in R rtn fo n n l C unarte HuitdinRi ,tf MinUrutr Si;e mxif Heighi (SkoV.r. III

Po n lu xl Ccmeirt AvvKtoiion), p ig t 5-10 a la 5-12

366

C O LU M N A S ES B E LT A S

I V la figura 10.4.

k

MU

( = 1.74

F ig u ra 10.4

(b ) ¿ S e tra ta de u n a colum na esbelta?

9+12

lu = 10 pies

12

m r

0 .3 x 2 0

8.25 pies

z 28.71 > máximo — JL para una columna con.i r en un marco no riostrado = 22

f\GX io„w*

Se trata «le una columna ob clt. v fe í

10 6 AMPLIFICACIÓN DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN MAPCOS 367

r

P Fig u ra 10.5 Amplificación Je momento* en una columiu con impedimento pata desplazamiento lateral.

10.8 A M P L IF IC A C IÓ N D E M O M E N T O S D E C O L U M N A S E N M A R C O S S IN D E S P L A Z A M IE N T O L A T E R A L Cuando una columna está sometida a momentos a lo largo de su longitud no apuntalada. >.c desplaza lateralmente en el plano de flexión. Como resultado habrá un momento incrementado o momento secundario igual a la carga axial multiplicada por el desplazamiento lateral o excentricidad. En la figura IO S. la carga P ocasiona que el momento de la columna se incremente una cantidad PA . Este momento ocasionará que A se incremente un poco más. con el consiguiente aumento en el momento PA. el cual a su vez ocasiona olro incremento en A. etc., hasta que se alcanza el equilibrio. Podríamos tomar los momentos en la columna, calcular la deflexión lateral, incrementar el momento en PA . recalcular la deflexión lateral y el momento incrementado, sucesivamente Si bien unos 2 ciclos son suficientes, este procedimiento sería muy tedioso y poco práctico Puede demostrarse5 que el momento incrementado puede estimarse muy bien multipli cando el momento primario por l/( I - P/Pt ). donde P es la carga axial y P ( es la carga de pandeo de Euler igual a n 2£ JI(k lu )2. En el ejemplo 10.2 se usa esta expresión para estimar el momento amplificado en una columna cargada lateralmente. Puede verse que en este problema el momento prima.no de 75 pie-klb ic incrementa 7.4 pie-klb. S i calculamos la deflexión debida a la carga lateral, obtenerme 0.445* Para este valor, P A = <150)<0.445) = 66.75 pie-klb = 5.6 pies-klb Este momento ocasiona una deflexión mayor que a su ve/ incrementa el momento, sucesivamen te.

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SU

C O LU M N A S E S B E LT A S

□ E JE M P L O 10.2 (a ) C a lcu le el momento primario en la columna mostrada en la figura 10 6 debido a la carga lateral de 20 klb. (b ) Determ ine el momento total, incluyendo el momento secundario debulo a la deflexión lateral, empleando el factor de amplificación aproximado E - 3 16 x lO'klh/pulg2. Suponga k = 1.0 y ¿ * = 15 pie. V / tS U 3 9

S O L U C IÓ N (a ) Mom ento primurio debido a la carga lateral.

* .- g ^ - 7 3 p i..H h

(b ) M om ento total incluyendo el momento secundario:

P c = carga de pandeo de Eu ler = («•2X3160X1728) (1.0X12x15)J

ISO klb

I

r 7S

4/ í

/ / é 20 klb

i

L

i

» » k»

1*4

?

i 4

l

s ?

i

n 'E l r~ i

= 1663.4 klb

(E c u a c ió n A C I 10-11:

I 10 8 AMPLIFICACIÓN DE M OM ENTOS DE COLUMNAS EN M A R C O S

369

Momento amplificado = 75

= 82.4 pie-klb

= 75

Com o hemos visto, es posible calcular aproximadamente el momento incrementado debido a deflexión lateral usando la expresión (1 - P/Pc). En el código A C I 10.12-3) el momento de diseño factorizado para columnas esbeltas sin desplazamiento, se increm enta usando la siguiente expresión, en la cual M,- es el momento incrementado o am p lificad o y

M i = el momento factorizado final mayor en un miembro ? compresión (E c u a c ió n A C I 10-9)

M e = ó n< -A i 2

S i nuestros cálculos dan momentos muy pequeños en ambos extremos de la colum na r ! código proporciona un valor mínimo absoluto de M-> para usarse en el diseño. E n efecto, requiere el cálculo de un momento con y 'se en una excentricidad mínima de 0.6 - 0.03 donde h es el espesor total del miembro peipendicular al eje de flexión.

M 2jmn = / V 0 .6 + 0.03/»)

(E c u a c ió n A C I 10-15)

5nj = am plificador del momento que se usa para estimar el efecto de la c u o a r u r a del miembro o de la deflexión lateral en una colum na con un marco sin desplazamiento lateral. Im p lica un término Cm que se define luego en esta sección.

ü

—

£ 1.0

(Ecuación A C 1 10-10)

1 -á75T> L a determinación del amplificador del m omento d ns consiste en las siguientes cá lcu lo s: I . E c « 57 000 2• /* - momento de inercia total de la sección transversal de la columna rcspecso a l eje centroidal bajo consideración. 3. E , - 29 x I0 6 lb/pulg2. 4. a momento de inercia del refuerzo respecto al eje centroidal de la se cció s = 2 de e*da área de barra multiplicada por el cuadrado óe su distancia al eje centroidal.

5. VA term ino/?
370


«W ., , n ' 0n CS nCCCSan° CakU,3r H' , il> A " « r r c w m c * dada, para E l cn el l M m i,,a ¡ rt" ,0' ,u ndo c" ‘ • *"'» el flujo plástico, las *r,ctas y demás. S. el lamaA m ^ K ¿ a colum na y do las h u ras y a j^ < , e s c o g , d o „ estimado. E j pt,c
JCS

«n/-/. 4 E .U I + A/

(E c u a c ió n A C I 10-12)

L a expresión alternativa dada .i continuación para E l. es probablemente la mejor expre sión que se puede usar cuando los porcentajes de acero son baios Observe umbién que esta expresión es la que se usa cuando el refuerzo no se lu seleccionado previamente.

El =

(E c u a c ió n A C I 10-13)

7. Se calcula la carga de pandeo de Euler:

P< =

*^ 2

(Ecu a ctó n A C I 10-11)

8. Para algunas situaciones de momentos en columnas, la expresión para la amplifica ción conduce a momentos demasiado grandes. Una de esas situaciones ocurre cuando el momento en un extremo del miembro es cero. I*n esta situación, la deflexión lateral es cn realidad aproximadamente la mitad de la deflexión obtenida con el factor de amplificación S i se tienen momentos aproximadamente iguales cn los extremos que generan una curvatura doble, la deflexión y los momentos a media altura son ahí cercanos a cero. Como resultado de éstas y de otras situaciones, el código proporciona factores de modificación para usarse cn la expresión del momento, lo cual dará una amplificación más real de éste. E n lo s marcos riostrados sin cargas transversales^ ™ puede variar entre 0.4 v l .0 y debe determinarse con la expresión al final de este párrafo. Para todos los demás casos de'Bc tomarse íguaUa I.Ó. (Recuerde la convención de los signos: A/| es positivo para curvatura simple y negativo para curvatura doble; M 2 es siempre positivo.)

C „ = 0.6 + 0.4— > 0.4

(E c u a c ió n A C I 10-14)

S i M 2 min' calculado con la ecuación I0-I5 del A C I. resulta mayor que .*Y2. el valor anterior de C „, se tomará igual a 1.0 o se basara cn la relación de los momentos extremos cal culador ^

(Sección 10.12.3.2 dcl A C I).

E l siguiente ejemplo 10.3 ilustra el diseño de una columna cn un marco sin desplaza miento lateral.

□ E JE M P L O 10.3 Iî columna to n c-.trib
10 8 AMPLIFICACION DE MOMENTOS DE COLUMNAS EN M ARCOS

371

do 16 pies. Con A = 0.83./, = 60 000 lh/pulg; y /. = 4 000 lb/pulg3. dciemnnc el re fuer/,o requerido. Considere sólo la flexión en el plano del marco Note que la carga muerta axial no factor izada P n c$ de 30 klb.

S O L U C IÓ N I. ¿ S e trata de una columna esbelta?

Máx

r

para columnas cortas = 34-12

R ca , ^ , ^ (083X12x16)

= 35.41 >22.56

.'.P o r consiguiente, se trata de una columna esbelta y como es < l'X). el método de amplificación de momentos debe usarse. 2. E c = 57 000

= 57 000 ^4000 = 3 605 000 lb/pulg^ = 3.605 * 10* klh/Pulg:

3./# = ( — K1 2 K15 )3 = 3 375 pulg4

carga muerta axial factorizada _ (1.4)(30)

~

carga axial total factorizada

110

r a * 110 klb

y

X

x

i

rm V

Sección I I 10.7

12"

372

CO LU M N A S E SB E LT A S

5. Com o el refuerzo no se ha seleccionado, debemos usar la segunda expresión para E l

E/ m T T f l J ■ (0 4 |<^ &

¿

p m J¿£ L , rr

7.

cm*

(k t j*

3/ ~

( * ‘ X3.52 x l(g ) (0.83 x 12 x 16)

0.6 ♦ 0 .4 ^ = 0.6

“ 3 52 * « ^ k lb - p u lg 2 (E c u a c ió n A C I 10-13)

_ |368 klb

0 . 4 ^ ) = 0.981

C 0 981 *• Su * ---- = ---------- “ FIÓ--- = 110 1 - 57m

9.

(Ecuación A C M 0-1 1 )

(Ecuación ACI 10-14) (Ecuación AC« 10-10)

1 ■ ( 0 . W K 1568)

W 2.«É» * P J0 - 6 + 0.03h ) = 110(0.6 ♦ 0.03 x 15) = 115.5 pulg-klb = 9.6 pie klb

(Ecuación ACI 10-15) 10.

Mc = SuM 2 « (1.10X86) = 94.6 pie-klb

11. e real =


— = 10.32 pulg.

12. Selección del refuerzo usando las gráficas 15 y 16 en el apéndice A . obtenemos.

í m 1 2 Í 2 = 0.688

r

Por interpolación, de las gráficas 15 y 16 del apéndice A p g = 0.0158 A , = (0.0158)(12 x 15) = 2.84 pulg2 U se 4 barras #8

■

En este ejemplo el autor supuso que el marco estaba riostrado y sin em bargo hemos dicho que los marcos suelen estar en esa zona de indeterminación entre el total riostramicnto y ningún Honramiento. Sup on er que un m arco está totalm ente rio stra d o puede se r m uy poco conservador.

10.9 A M P L IF IC A C IÓ N D E L O S M O M E N T O S E N L A S C O L U M N A S D E M A R C O S C O N D E S P L A Z A M IE N T O L A T E R A L LM pnicfaa« han mostrado que aunque las deflexiones laterales en marcos no Mostrados son ^ °C '* * * caíga* de pandeo um mucho menores que lo que serían si los marco* estuvie o*. En consecuencia, la* resistencia* por pandeo de lus colum nas de un m ap o

10.9 AMPLIFICACIÓN OE LO S M OM ENTOS EN LA S C O LU M N A S

373

sin riostrnr pueden incrementarse (tal vez. por un factor de 2 o 3) proporcionando un apuntalamiento adecuado. S i un marco no está riostrado contra desplazamientos laterales, primero es necesario calcular su relación de esbeltez. S i — es menor que 22. la esbeltez, puede despreciarse (10.13.2 dcl A C I). Para nuestro análisis supondremos que se obtienen valores > 22. Cuando se tienen marcos con desplazamientos laterales, es necesario decidir para cada combinación de carga'cuál causa un desplazamiento lateral aprcciable (probablemente la carga lateral) y cuál no. Lo s momentos de extremo faclorizados que causan desplazamientos laterales se designan M \t y M is y deben amplificarse debido al efecto PA . Los otros m om en tos de extremo, que no causan un desplazamiento lateral aprcciable. se designan M |M, y

M 2m- Estos se determinan mediante un análisis de primer orden y no tienen que ser am pli fícados. E l código (10.13.4) establece que el momento amplificado S ,M , puede determinarse mediante cualquiera de los siguientes tres métodos. 1. Este puede obtenerse usando un análisis clástico de segundo o'dcn basado en los valores dcl momento de inercia reducido que se dieron previamente cn la sección 10.6 de este capítulo, tomados de la sección 10.1I . I dcl A C I. Los factores k deben determinarse con esos valores reducidos y deben ser > I 0. 2. L o s momentos por desplazamientos laterales amplificados pueden calcularse con ¡a ecuación dada al final de este párrafo, cn donde Q es el índice de estabilidad previa mente presentado cn la sección 10.2 de este capítulo. Si el valor calculado de 5* c> > 1.5. será necesario calcular S ,M , por medio de alguno de los otros d o s métodos descritos aquf (10.13.4.2 del A C I).

M 5 ,M S = \ - Q

¿

(E cu a ció n A C i 10-18)

3. C on el tercer método, que es el usado en este capítulo, los momentos por desplaza miento lateral amplificados pueden calcularse con la siguiente expresión:

M,

6,M, =

¿ p — t M,


1 ~<£75B> E n esta ecuación &>„ es la suma de todas las cargas verticales cn el piso cn considera ción y &>t es la suma de todas las cargas de pandeo de Euler ( P c =

) p «

todas las

columnas en el piso con valores k determinados como se describe cn la sección 1 0 .13 .1 de! A C I. Esta fórmula refleja el hecho de que las deflexiones laterales de todas las co lu m n as cn un piso son iguales, por lo cual las columnas obran recíprocamente. Con cualquiera de lo* métodos precedentes que sea usado paia determinar ios valores los momentos de diseño deben calcularse con las expresiones que siguen

M\ *= A/U l -f b,M \,

(E c u a c ió n A C I 10-16)

M i *s M Jn, + S tM ¿ ,

(E c u a c ió n A C I 10-17)

37«


A veces. el pumo lie momento máximo en una column i esbelta con una fuerte carga ux.al estaia entre sus extremos, litio puede suce«ler inclusive s. la columna esta lo suficienteniente apuntalada contra deflexiones laterales en los extremos por las otras columnas de esc nivel l’ara un m iem bro a compresión que tiene

(E c u a c ió n A C I 10-20)

el momento m áxim o ocurrirá en un punto entre los extremos del miembro y excederá el momento m áxim o de extremo en más de 5 % . En tal caso, el momento máximo debe deter minarse am plificando los momentos de extremo por m edio de las ecuaciones 10-16 y 10-17 del A C I prcv lamente presentadas. En estas ecuaciones

debe determinarse para la com bi

nación de carga bajo consideración. E l factor de longitud eficaz k será igual a 1.0 a menos que un análisis muestre que se puede usar un valor menor. E n este caso, el momento de diseño debe determinarse con la siguiente expresión

M f = SnSMzn, ♦ E l lector debe entender que es posible que los marcos con desplazamientos laterales resulten inestables bajo cargas de gravedad solamente. Cualquiera de los tres métodos ante riores descritos en esta sección que sea usado el usado para determinar los momentos ampli ficados. debe efectuarse una revisión de la inestabilidad debida a la carga de la gravedad tal com o se indica en la sección 10.13.6 del A C I. Estas revisiones son: 1. S i

6SM ,

se determina con un análisis de segundo orden, la relación de la deflexión

lateral de segundo orden a la deflexión lateral de primer orden (para 1.4 I ) + 1.7 /. más la carga lateral aplicada a la estructura) no deberá ser mayor que 2.5. 2. S i 5 ,M , se calcula con la ecuación 10-18 del A C I. el valor Q del índice de estabilidad, calculado con 1.4 D + 1.7 L no debe exceder 0.60. Este valor es equivalente a 5t = 2.5. 3. S i

8%M t se determina con

la ecuación 10-19 del A C I. la

6f obtenida usando Z P U y

LP(

que corresponde a las cargas muerta y viva factorizadas. debe ser positiva y no debe exceder 2.5. ( S i Ss es > 2.5. será necesario hacer el marco más rígido.) E l ejem plo 10.4 ilustra el diseño de una columna esbelta sometida a desplazamiento lateral.

0

E JE M P L O 10.4

Seleccione la* barras de refuerzo usando el método de am plificación del momento para la columna no riostrada de 18 pulg. x 18 pulg. mostrada en la figura I O H si A»

I7.5 pie. k -

1 3./, - 60 klb/pulg2 y ft - 4 klh/pulg? Un análisis de primer orden ha dado las siguientes cargas axiales y momentos: 600 klb para cargas que no ocasionan desplazamiento lateral /'* *» I25 klb debido a viento

10 9 AMPLIFICACION OE LO S M OM ENTOS EN LA S COLUM NA?

375

Figura 10.8

M\ns = s 0 pie-klb M2ns = 130 pie-klb

M u = 120 pie-klb debido a viento £ P „ = 16 000 klb para todas las columnas del piso 1 P , = 4S 000 klb para todas las columnas dcl piso

S O L U C IÓ N

¿S e trata de una colum na esbelta? (10.13.2 del A C I) k (u

(1.3X12X17.5) = 50.55 > 22 (0.3X18)

Sí

¿Ex ced e e l momento flexionante entre tos extremos de la colum na a l máximo m or:-uro de extremo en más de 5 % ? (E c . 10-20 del A C I)

v (4 )(i8 r e 51.44

-i£

Nótese que las carg as ax iale s y los momentos han sido factorizados Apliqúese - i el factor d r reducción de 0 .75 p a ra las com binaciones de carg a que im plican e ' viento. P . * 0.75(600 4 125) = 544 klb A#2*j - 0.75(130) «= 97.5 pie-klb

M j, m (0.75X120) = ‘X) pie-klb

378

CO LUM N A S ESB E LT A S

C álcu lo d cl facto r de am p lificació n 5, r _ ____ LQ_


1 1 " ( T 7 5 I P€

. .¿jPOO 1 " (0.75X48 000)

a 1.80 < 2.5

no hay peligro de que el marco se vuelva inestable bajo cargas de gravedad solamente 110.13.6(c) dcl A C IJ

C álcu lo del momento am plificado

= M i», +

(Ecu ació n A C I 10-17)

= 97.5 + (1.80X90) = 259.5 pie-klb

¿ E s M c > va lo r m ínim o perm itido en la sección 10.12.3.2 d e l A C I? Af^mín = P J. 0.6 + 0.03 h )

(Ecu ació n A C 1 10-15)

= (544X0.6 + 0.03 x 18) = 620.2 pulg-klb = 51.7 pie-klb <259.5 pie-klb y =

A, " A ,

= 0.722 con referencia a la figura 10.8

1.68

H’D = I klb/pic. WL = 2 klb/pic

10.10 A N Á L IS IS D E M A R C O S CON D E S P LA Z A M IE N T O L A T E R A L

377

(1 2X 2 5 9 .5 ) , _ , e = -— 5-44--- = 5.72. pulg

i-

-03,8

S elecció n d e los p o rce n taje s de re fu e rz o de las g rá fic a s 15 y 16 en el a p é n d ic e A p por interpolación entre gráficas = 0.026 A s = (0.026X18 x 18) = 8.42 pulg2 U s e 8 #10

■

10.10 A N Á U S IS D E M A R C O S C O N D E S P L A Z A M IE N T O L A T E R A L Se supone que el m arco en la figura 10.9 no está apuntalado en el plano del m arco. S o p o r¡3 una carga wu de gravedad y una carga lateral P u de corta duración. P o r tanto, es ncccsiirio considerar tanto los momentos de las cargas que no causan un desplazam iento latera! aprc ciable, com o las cargas que s í lo hacen. A s í pues, será necesario calcular los dos valores 3n, y Ss si la colum na resulta ser esbelta. L o s valores M s son claramente causados en este caso por la carga lateral S in em baí i\o. el lector debe darse cuenta de que si las cargas de gravedad y/o el m arco son asim étricos, ocurrirán momentos M s adicionales o momentos debidos a desplazam iento la te r a l S i tenemos un m arco no riostrado sometido a cargas laterales de viento o sism o de corta duración, las colum nas no tendrán un flujo plástico apreciable (que increm entarían las deflexiones laterales y por ende los momentos P A ). E l efecto del flujo plástico se tom a en cuenta en e l diseño reduciendo la rigidez E l usada para calcu la r P c y 1+

8S, d ivid ie n d o

E l entre

Tanto el término de concreto com o e l término de acero en la ecuación 10 - 12 del A C I

se dividen por este valor. Para ilustrar el cálculo de los momentos am plificados necesarios para el d ise ñ o de una colum na esbelta en un marco no riostrado, el autor ha escogido el mism o m a rco de la figura 10.89, con la esperanza de que el estudiante no se pierda en un cúm ulo de núm eros com o los

que se generarían en un m arco más com plicado. L a vig a y columnas del m arco se han determinado tentativamente com o se m uestra en

la figura. E n el ejem plo 10.5, el m arco es analizado para cada una de las siguientes c o n d ic io nes de carga:

U = 1.4D + I.7L U = 0.75(1.40 + 1.7L+ 1.7H0 U - 0.9D ♦ 0.75 (I.7W) En el ejem plo se calculan los factores de am plificación y para cada una de las condiciones de carga, y se usan para calcular los momentos amplificados. Nó
378

C O LU M N A S ESBELTAS

n E J E M P L O 10.5 D ctcninnai los momentos y fuer/as axiales necesarias para el diseño tic la columna C D *Jcl maiv'o sin nostrar cn la figura 10.*) Considere la flexión sólo cn el plano dcl mareo Los tamaños supuestos mostrado* en la figura se usaron pura los análisis dados cn el problema. /, = * 0 000 Ib/pulg-' > f\ * 4 000 lh/pulg2S O L U C IÓ N 1. D eterm ine e l fa cto r J e longitud efectiva puro el a n o ,1, desplazamiento k usando 0.35 /,. p ara la trabe y 0.70 lg para las columnas.

I K para las columnas = (0.70) (¿)(I2 )< 12)* = 1 2 1 0 pulg4 l K para la irabe = (0.35)

I2 H IX )’ = 2 041 pulg4

Va = O S E - I M “W i 30

V g = « para extremo articulado

En la práctica, usar 10

k =.1.95 de la figura 10.3 (b) S i esta k es > 2.00. el proyectista ensayará una columna más grande

2. ¿ S e trata de una colum na esbelta?

/ . « 1 2 - — = 11-25 pie

Máx —

para que sea corta = 22 en marcos no riostrados

«7 3 .1 2 > 2 2 /. Se trata pues de una columna esbelto

3. C o n s id e r e e l caso de carga U * I M ) + 1.71.. s ea la figura 10.10

u. c Son los momentos en las columnas ¿q u e los mínimos del AC I
M 7 mtl,

(7 2 X 0 9 6 ; = 69.12 pulg-Ub = 5.7í»pie-klb< IX9 3pie-klb

()K

10 10 ANALISIS DE MARCOS CON DESPLAZAM IENTO LATERAL H.

379

( M H l W t l7 n : » « 4 S Ub/ptc

72 klh

72 klh

F ig u ra 10.10

b. C alcu le el fa c to r de am plificación

E c = 57 0 0 0 \ 4000 = 3 605 000 lb/pulg- = 3605 klb/pulg-

A

- ( M X l ' ^ ' í - W ) = 0 292

£ / . . ( 0 ± X.^

2 ' 0 > . , . 3 5 x , o « k lb

W

Considerando prudentemente k = 1.0 para calcular P c, obtenemos

_ ( * . ?)< 1.35 x 10») '

_

(1.0 x 12 x 1 1 .2 5 )*“ 731 kU>

C m = 0.6 + ( 0 4 ) ( ; T^ 3 ) = 0.6

8«,

= ----- ^ 1 "

----= 0.69 < 1.0 Use 1.0

(Ó .7 § 7 3 1 )

c. C alcule r l fa c to r de am plificación <5,: Ur.:md<* * = 1.95 para determinar /\, obtenemos f>r ,

- < rfü

(1.95 x 12 x II.25P

i 92.3 k»b

380

C O LU M N A S E S B E L T A S 0 75 ( t 4 X I * 1.7 X 2) = 3.6 klb/pic

54 0 klb

(a)

t

I

54.0 klb

4.1 klb

Cargando 0 75(14/) ♦ I 7¿)

-> I klb (b ) Cargando 0.75(1 7 W)

Figura 10.11

Ss = .

(2 X 7 2 ) 1 “ (0 .7 5 )(2 x 192.3)

= 2.00

d. C a lcu le e l m om ento a m p lifica d o :

M c = (1 .0 X 1 8 9 .3 ) + (2 .0 0 X 0 ) = ,189.3j>ie-klb 4. C onsidere e l caso de c a rg a U = 0 .7 5 (1 .4 D + J.7 L + 1 .7 W ); vea la fig u r a 10.11. a. ¿S o n los m om entos en ¡a s colum n as 2 que los m ínim os d e l A C I? *mfn = 0.6 + 0.03 x 12 = 0.96 pulg.

M i mín = (5 4 X 0 .9 6 ) = 51.84 pulg-klb = 4.32 pie klb

OK

b. C a lcu le JW , E l. P , son los mismos de antes

C „ » 0.6 +

K , = 7----* 0.67 I -

= 0.6

Use I 0

10 10 A N A LISIS D E M A R C O S CON D ESPLAZAM IENTO L A T E R A L

381

(0 .9 X 1 )-0 9 klK/pic

I

I

13.5 klb

I ? 5 klb

4.1 Ub

(a ) Carga: 0.9í)

(b) Caíga : 0.75
Figura 10.12

c. C a lcu le

8t: $d = 0. ya que no hay carga muerta en este caso E l = ^ H y 0 5 X » 2 10 ) = 1 ? 4 x 1Q6

= c

8.

( n * ) ( l:74 x _10*) (1.95 x 12 x 11.25)2

_L . (2 )(5 4 ) + 4.1 - 4.1 • " T O ' x í x ¿4 7 .*

1.41

d. C a lcu le e l momento am plificad o: M r = (1.0X142) + (1 .4 1 X 6 1 2 )^ / 2 2 8 .3 pie-klb

5. Considere el caso de carga 0.9 D + á j 5 l ) ( 1.7 W)\ vea la figura 10.12. a ¿S o n toa momentos en tas colum nas 2 que los mínimos del A C I? ?mtn - 0.6 ♦ (0.03X 12; = 0.96 pulg

M i mía »(1 3 .5 X 0 .9 6 ) » 12.96 pulg-klb * 1.08 pie-klb

OK

3M

C O LU M N A S ESBELTAS

*»• ( W . M/r

= 1.0 va que solo actúa /> r# _

r

m

(0 4 K 3 6 0 5 H I2 I0 ) TT1 = «-724 x 10' klb/pulg* U : )(«.724 x 10^ (1 .0 0 x 12 x n . 25)* * 4724 k,b

C , - - 0 . 6 + 0 . 4 | ^ | = o.6

c . C a lc u le 6,

01

= 0 y a que no hay carga muerta

£/ = 8.724 x 103 klb/pulg* P , = 247.8 klb

S‘ = T

(2 X 1 3 .5 ) + 4 . 1 - 4 . 1 1---- O T x 2 x 247.ó

= 108

d. C a lc u le e l m om ento:

K

* ( 1 0 X 3 5 J ) + (1.08X01.2) *

101.6 pie-klb

6. Resum en de la s c a rc a s axiales y momentos necesarios p ara el diseño: C a so ¿ c carga 1:

Pu - 72 klb. Af, = 189.3 pie-klb

C a s o de carga II:

Pu — 54.0 + 4 .1 = 5 8 .1 klb, AY, - 228.3 pie-klb

C a to de carga I I I : P * = 13.5 + 4 . 1 » 17.6 klb. A/, = 101.6 pie-klb

■

Ñ o la : S i el lector defcca calcular ahora el refuerzo necesario para la* cargas y momentos ftntem *e«. encontrará que el porcentaje de acero es demasiado alto. Com o resultado. \c i/r / ,1 • que u v una colum na miyor*

PRO BLEM AS

383

PRO BLEM A S 10.1 Usando kW nomogramas J e b figura 10.3. determ ine los factores de longitud [%ira las colum nas CI> y DE Suponga que las vigas .son tic 12" x IX* y que las colum nas son de 12" * 12" Para las columnas use 0.70 de los momentos de inercia totales y para las vig as Ü. *5 de los mom entos de inercia totales Suponga > Vc= 10. {Rrsp 0.92 y 0.8 2)

10.2 Repita el problema 10.1 considerando que las columnas están empotrada> en la ha>e 10.3 Usando los nomogramas de la figura 10.3. determine los factores de longitud para las columnas A B y B C del marco rostrado. Suponga que todas las vigas son de 12" x 18" y que todas las columnas son de 12“ x 12". Par3 las columnas use 0.70 de los momentos de inercia totales y para las vigas 0.35 de los momentos de inercia totales. Suponga que los extremos alejados de las vigas están articulados y use v * = 10. (Resp. 0.92 y 0.83)

384

COLUM NAS ESB ELT A S

10.4 K rp ila el p«»M cinn 10..' con sid eiand o que el m ateo no c%l;\ riostrado 10.5 I j i columnn con estribos

mostrada vn « usarse cn un marco riostrado. I,a flexión es altedednr «le su e je y con los momento» faetónrados indicados. I„ es de 15 pie Con * = 10./, = 60 (KM» lh/ pulg* y f t. ■ 4 000 Ih/pulg2. seleccione el rehierro requerido. Suponga /’/> = 40 klb (lin a respuesta p«*stblc: 6 barras «X )

\ - 120 klb

10.6 Repita el problema 10.5 con la E l basada cn d tamaño de las barras encontradas en ese problema 10.7 Repila el problema 10.5 considerando que la columna se flexiona en forma de curvatura doble y que su longitud es de 18 pies. Use la segunda expresión para E l (lina respuesta posible -J barras #8) En los problemas 10.8 al 10.12 seleccione las barras de refuerzo para las columnas con estribos riostradas, si la distancia del borde de la columna al c.g. de las barras es de 2.5 pulg.;

f y « 60 Ib/pulg2 y /c = 4 Ib/pulg2 en todos los problemas. Coloque las barras cn sólo dos caras.

frofe No

Tamaflo de columna

u

k

r .ik )

(pie)

No faetonndo

P o ( k) (pie klb)

b* 4

Faetón-

Faetón-

tado A i, a (pie klb)

jado

. 15

Curva tura

M ja

104

1 4 * |4

12

10

400

100

75

M I

16» 10

14

10

500

120

90

110

líoN e

N lM

16 * IB

15

0 85

250

40

100

120

Single

10.11

12» 16

16

080

540

IW

90

110

Single

10.11

14 n I I

18

o vo

MM)

150

100

IV )

Dobla

Surplc (U n o rtsputsht

4 barra» *8)

((/*t»i ttsputua 8 barras #11)

I PROOLE MAS CON UNIDADr S SI

385

En los problemas 10.13 al 10.17. seleccione las barras de refuerzo (colocadas er. dos caras) para las colum nas con estribos sin riostras si la distancia del borde tic la columna al centroide de las barras es de 2.5 pulg./y = 60 klb/pulg-. y = 4 klb/pulg2

Prob No.

TaniaAo de colum iu

lu

F . »k> M i,, ra canta* de Sido a (pie klb» viento sin considcnr desplazamienio lateral

k

<|»tc >

hxd

SI„ de lpiCklb)

I>I<1<1 o viento (pieklp)

i/ v k i para Unías las co lumnas del piso

yj\ ik i para todas las (Oluniua.% del ptvo

10.13

12 x 14

12

1.4

350

80

M»

75

Wl

10 000

V ) 000

10.14

14 x 14

15

IJ

420

110

70

SO

10(1

1»iifir»

U <*«'

10.15

14 x 16

12

1.5

450

125

00

120

110

14 000

v , :<< 1

10.16

10 x 16

16

1.65

500

140

110

140

120

16 5oo

58 000 1

10.17

18 x IS

tx

1.70

600

150

120

150

140

ix OX)

45 0(i(t ¡

P R O B L E M A S C O N U N ID A D E S S I Piara los problemas 10.18 al 10.20 seleccione las barras de refuerzo (colocadas en . dos caras) para las columnas riostradas con estribos. Suponga que la distancia del : de la columna al centro de la s barras es de 75 mni en cada caso. Para p f * W ¡ usar las gráficas del apéndice u s e ^ = 413.7 M P a y f ¿ = 27.6 M Pa. N o o lv id e •e l factor de conversión. Tamaño «Je columna

m

í

U

r. (k N )

bx¿r .(iw n )

"Á 'i

300 x 400 K ÍO xJO O

No. M facto ii.'jd o

Po (kH)

|

450 k 450

M

k

(m )

6.

1.0

1800

400

0.9?.

2200

500

08*

2400

sso;

Faciorizado

Factori zado

: m» (kN-m ) : 80 *

-*ío 120

¿

?v

Curva tura

X » .

•(VN' a1)

- 100

Simple

125

Doble

140

Simple

v

I lo* problemas 10.21 al 10.22 seleccione las barras de refuerzo (colocada* cu cara») para las columnas sin riosfrar con estribos dadas, si la distancia d d fc o r : al centroide de las barras « de 75 n . m = 4 13.7 M P a y / ' = 27.6 M Pa. a ----. c | factor do coovenión

I

386

CC* UMNAS « SB* LIAS

Pro b . No.

Tkm aAo 4c colum na

Ué

k

(m )

b *d

/>.(k N ) P .(k N ) A#. par* car debido a (kN m ) (kN m ) debido gas sin vien to • conside viento ra r des (k N m ) plaza m iento lateral

TPm (k N ) para todas las co lum nas del piso

(k N ) para todas las co lumnas del piso

10.21 300 x 400

5

1.2

1 600

1200

40

50

60

40 000

110 000

lt-2 2 300 x 500

4

1.3

2 000

1 800

50

60

70

44 000

125 000

10-23 350 x 600

6

1.35

2 25 0

2 500

65

90

110

50 000

156 000

[Umai 6 barras *29)

seleccion importANTE INTRODUCCION Diseño Concreto Reforzado 4 Ed. [Jack C. McCormac]

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