En los ejercicios 1 al 4, utilizar una herramienta de graficación para representar la función y estimar los límites de manera visual. 1.
h(x) = -x2 + 4x a.
b.
= -(4)2 + 4(4) = - 16 + 16 = 0
2.
g(x) = a.
√
√ √ = 12 √ = 12 = 12 = 12 = 12 =
= -(-1)2 + 4(-1) = - (1) - 4 = -5
√ √ = 12 √ = 12 = 12 = 12 = 12
b.
=
=4
3.
f(x) = x Cos x a.
= 0 (Cos 0 = 0 1
b.
= π3 Cos π3 ≈ 0,52
=0
4.
–
f(t) = t | t 4 | a. f(t)
=4|4–4| =4|0|
b.
f(t)
= -1 -1 -4 = -1 5
=0
= -1 (5) = -5
En los ejercicios 5 al 22, calcular el límite 5.
x
3
6.
= (2) 3 =8
7.
(2x – 1) = 2 (0) – 1 =0–1
= (-2)4 = 16
8.
( 3 = 3 + 3(-3) =9–6
10.
1 = - 1 + 1 =-1+1 =0
=3 11.
(2 + 4x + 1) = 23 + 4(-3) + 1 = 2 (9) – 12 + 1 = 18 – 1x
12.
=7 13.
1 √ = √ 3 1
(3x + 2)
= 3(-3) + 2 =-9+2 =-7
= -1 9.
x4
(3 - 2 + 4) = 3 1 - 21 + 4 = 3(1) – 2(1) + 4 =3–2+4
=5 14.
√ = √
= =2
√
√
= =2 15.
3
16.
= (3 + 3) 2 = (6)2 = 36
17.
3
3
= (-1) 3 = -1
=
21 = (2(0) – 1) = (0 – 1)
18.
= =
=-2 19.
20.
= =
= =
21.
=
√
22.
√ = √ =
√
√ √ = =
=
=
=7
=-1
En los ejercicios 23 al 26, encontrar los límites 23.
f(x) = 5 a.
– x,
g(x) =
f(x)
=
b.
–
5 x
= 5 -1 = 4
= 64
c.
()
g (5-x)
– –
= (5 x)3 = (5 1)3 = (4)3 = 64
24.
f(x) = x + 7, g(x) = a.
f(x)
b.
x+7
= -3 + 7 =4
25.
f(x) = 4 - , g(x) = a. f(x)
4 - = 4 - 1 =4–1
=3
=
c.
( )
g (x + 7)
= (-3 + 7) 2 = (4)2 = 16
= 16
√ 1 b.
g(x) 1 √ = √ 3 1 = √
c.
=2
g (4 - ) √ 1 = 5 1 = √ 5 1 = √
=2 26.
3 1, g(x) = √ b. g(x) 2 3 1 √ = 2 – 3(4) + 1 = √ 2 1 = 2(16) – 12 + 1 = √ 2 = 32 – 11 =3
f(x) = 2 a. f(x)
= 21
c.
2 31 = √ 2 3 1 = 2 3 = 21 1 2 = √ 32 5 = √ 2
=3 En los ejercicios 27 a 36, encontrar el límite de la función trigonométrica 27.
Sen x
= Sen
=1 29.
= -1
Cos = Cos
Tan x = Tan π
28.
30.
Sen
= Sen
= Cos = 31.
= Sen
=0
Sec 2x
Cos 3x = Cos 3π 32.
= = = =
= -1
=1 33.
Sen x
= Sen =
35.
34.
Tan = = =-1
Cos x
= Cos =
36.
Sec = , =
≈ -1,15
En los ejercicios 37 a 40, utilizar la información que se expone para evaluar los límites 37.
a.
f(x) = 3,
[ 5 g(x) ]
g(x) = 2
b.
[ 5(2) ] = 10
38.
f(x) = , a.
[4 f(x)]
[f(x) + g(x)] [3 + 2]
[f(x) . g(x)] 3 · 2 ]
c.
=5
d.
=
=6
g(x) = b.
[f(x) + g(x)]
c.
[f(x) . g(x)]
d.
4 ]
[ ] =
=6 39.
=
=2
f(x) = 4
=3
[ f(x)] [ 4 ]
a.
3
3
b. √ b.
= 64 40.
[ ] =
[3 f(x)] c. [3 (4)] c.
=2
= 12
⁄ d. ⁄ = √ d.
=8
f(x) = 27
a.
2 √
b.
=3
=
[ 27 ]
c.
2
= 729
⁄ √2 = √ 2
d.
=9 En los ejercicios 41 a 44 utilizar la gráfica para determinar el límite (si existe) de manera visual. Escribir una función más simple que coincida con la dada, salvo en un punto. g(x) =
41.
a.
g(x)
=x 1
– =0–1 = -1
= -2
g(x) =
h(x) = a.
g(x)
= =
=
42.
b.
y f(x) = x
h(x)
=
b.
– 1, no coinciden en x = 0
h(x)
= = =
= =-x+3 =3
=1
g(x) =
43.
g(x) = a.
y f(x) = - x + 3, no coinciden en x = 0
g(x) x (x + 1)
b.
= 1 (2) =2 g(x) = 44.
g(x)
= = = =0
y f(x) =
+ x, coinciden excepto en x = 1
f(x) = a. f(x)
f(x)
= =
=∞ El
b.
no existe
=
=-1
En los ejercicios 45 a 48, encontrar el límite de la función (si existe). Escribir una función más simple que coincida con la dada salvo en un punto. Utilizar una herramienta de graficación para verificar el resultado. 45.
x – 1 =-1–1 =-2
f(x) =
46.
y g(x) = x – 1, coinciden excepto en x = -1
23 1 1 2x – 3 = 2( -1) – 3 =-2–3 = -5 f(x) =
47.
y g(x) = 2x
– 3, coinciden excepto en x = -1
2 = 2 22 =4+4+4 = 12 F(x) =
y g(x) = 2 , coinciden excepto en x = 2
48. 1 = 1 11 =1+1+1 =3
f(x) = y g(x) =
1, coinciden excepto en x = -1
En los ejercicios 49 a 64, encontrar el límite (si existe) 49.
=
50.
=
=-1 51.
=
52.
=
=
53.
= = =
=
54.
= = =
55.
√ √ ·√ √ √ √ √ √ √
56.
√ = √ = =
√ √ · √ √ √ √ √ √ √ √ = √ = =
=
57.
=
√ √ √ √ · √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
58.
√ √ √ = √ · √ √ = √ √ = =
59.
√ √ √ √ · √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ · √ √ = √ √ = =
60.
· = = 61.
·
= =
·
62.
2x + = 2x + 0 = 2x
= = =
= 2x 63.
= 2x + 0 – 2 = 2x – 2
3 3 = 3 + 3x(0) + (0) = 3
64.
2
En los ejercicios 65 a 76, determinar el límite (si existe) de la función trigonométrica. 65.
·
66.
= 3
= (1) =
=
67.
= 3 (0) =0
68.
· · = (1) · 0 =0 69.
=1
70.
· Senx
· · = (1) · = (1) ·
= 1 · Sen 0 = 1 (0) =0
=0 71.
· 1 – Cos h · 1 – Cos h = (0) · 1 – Cos 0 =0·1–1
72.
· =· =· =-
=0 73.
74.
Cos x · = Sen =1
2
·
√ = √ 2 =
