SCRIBD - Diseño de Estructuras de Acero

 DISEÑO  DE ESTRUCTURAS ESTRUCTURAS DE ACERO ACERO CAPÍTULO 6  TRABES ARMADAS  Oscar de Buen López de Heredia

Trabes Armadas

3

CAPÍTULO 6 TRABES ARMADAS

6.1

Introducción .................................................... ............................................................................... ...................................................... ............................. 7

6.2

Estados límite de resistencia .................................................... .............................................................................. ............................. ... 9

6.3

Criterios de diseño .................................................. ........................................................................... ............................................. .................... 10

6.4

Diseño basado en la resistencia resistencia al pandeo pandeo .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 11 6.4.1 Patines.......................... Patines .................................................... .................................................... ................................................... ......................... 11 6.4.2 Alma .............................. ........................................................ .................................................... .................................................. ........................ 11 6.4.2.1

6.5

Límites de la esbeltez del alma ................................................. ................................................... .. 13

Diseño basado en la la resisten resistencia cia posterior posterior al al pandeo pandeo .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... ....... .. 22 6.5.1 Patines.......................... Patines .................................................... .................................................... ................................................... ......................... 22 6.5.1.1 6.5.1.2

Patín en tensión .................................................... .......................................................................... ...................... 22 Patín comprimido ................................................. ........................................................................ ....................... 22 6.5.1.2.1 Pandeo en el plano del alma ....................................... ....................................... 23 6.5.1.2.2.Reducción del momento resistente por esbeltez del alma ................................................. ................................................... 26

6.5.2 Alma .............................. ........................................................ .................................................... .................................................. ........................ 30 6.5.2.1

Refuerzo del alma ............................................ ...................................................................... .......................... 30 6.5.2.1.1 Atiesadores transversales intermedios ....................... ....................... 30

6.6

Resistencia Resistencia bajo flexión flexión y cortante cortante combinado combinados s .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 37

6.7

Almas con cargas cargas en el borde borde .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 38 6.7.1 Resistencia última de almas con cargas parciales ................................... ................................... 39 6.7.1.1 6.7.1.2

Almas robustas ................................................. ........................................................................... .......................... 40 Almas esbeltas.............................................. esbeltas........................................................................ .............................. .... 41 6.7.1.2.1 Resistencia al abollamiento (“crippling”) ( “crippling”) ...................... 41 6.7.1.2.2 Pandeo del alma con desplazamiento lateral .............. 42

Trabes Armadas

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CAPÍTULO 6 TRABES ARMADAS

6.1

Introducción .................................................... ............................................................................... ...................................................... ............................. 7

6.2

Estados límite de resistencia .................................................... .............................................................................. ............................. ... 9

6.3

Criterios de diseño .................................................. ........................................................................... ............................................. .................... 10

6.4

Diseño basado en la resistencia resistencia al pandeo pandeo .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 11 6.4.1 Patines.......................... Patines .................................................... .................................................... ................................................... ......................... 11 6.4.2 Alma .............................. ........................................................ .................................................... .................................................. ........................ 11 6.4.2.1

6.5

Límites de la esbeltez del alma ................................................. ................................................... .. 13

Diseño basado en la la resisten resistencia cia posterior posterior al al pandeo pandeo .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... ....... .. 22 6.5.1 Patines.......................... Patines .................................................... .................................................... ................................................... ......................... 22 6.5.1.1 6.5.1.2

Patín en tensión .................................................... .......................................................................... ...................... 22 Patín comprimido ................................................. ........................................................................ ....................... 22 6.5.1.2.1 Pandeo en el plano del alma ....................................... ....................................... 23 6.5.1.2.2.Reducción del momento resistente por esbeltez del alma ................................................. ................................................... 26

6.5.2 Alma .............................. ........................................................ .................................................... .................................................. ........................ 30 6.5.2.1

Refuerzo del alma ............................................ ...................................................................... .......................... 30 6.5.2.1.1 Atiesadores transversales intermedios ....................... ....................... 30

6.6

Resistencia Resistencia bajo flexión flexión y cortante cortante combinado combinados s .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 37

6.7

Almas con cargas cargas en el borde borde .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 38 6.7.1 Resistencia última de almas con cargas parciales ................................... ................................... 39 6.7.1.1 6.7.1.2

Almas robustas ................................................. ........................................................................... .......................... 40 Almas esbeltas.............................................. esbeltas........................................................................ .............................. .... 41 6.7.1.2.1 Resistencia al abollamiento (“crippling”) ( “crippling”) ...................... 41 6.7.1.2.2 Pandeo del alma con desplazamiento lateral .............. 42

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Trabes Armadas

6.7.2 Cargas parciales en el borde combinadas con flexión o cortante globales ....................................................................... .................................................................................... ............. 43 6.8

Diseño de atiesadores .................................................. ............................................................................. ....................................... ............ 44 6.8.1 6.8.2

Atiesadores Atiesadores longitudinal longitudinales es ............ ................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 44 Atiesadores Atiesadores transversales........ transversales............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 44 6.8.2.1 Rigidez ............................................... ......................................................................... ............................ .. 45 6.8.2.2 Resistencia.......................... Resistencia.................................................... ............................................ .................. 46 6.8.2.3 Conexión con el alma ............................................... ..................................................... ...... 47

6.8.3 6.8.4 6.8.5 6.9

Atiesadores Atiesadores bajo cargas concentradas concentradas .......... ............... .......... .......... .......... .......... ........ ... 47 Requisitos Requisitos adicionales adicionales ............ ................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 49 Placas adosadas adosadas al alma ............. .................. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 49

Especificacio Especificaciones nes de diseño .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... .. 50 50 6.9.1 Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal ......................................... ......................................... 50 6.9.1.1 Resistencia de diseño en cortante ................................. ................................. 50 6.9.1.2 Relación peralte/grueso del alma.................................... 50 6.9.1.3 Refuerzo del alma ................................................ .......................................................... .......... 50 6.9.1.4 Atiesadores transversales intermedios .......................... .......................... 51 6.9.1.5 Reducción del momento resistente por esbeltez del alma ................................................... ............................................................................ ............................. .... 53

6.10

Trabes armadas con almas con dobleces trapezoidales ..................................... ..................................... 77 6.10.1 6.10.2 6.10.2

Aspectos generales.................................. generales........................................................... ................................... .......... 77 Resistencia Resistencia ante ante fuerza fuerza cortante...... cortante........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ ... 78 6.10.2.1 Resistencia basada en el pandeo local......................... 79 6.10.2.2 Resistencia basada en el pandeo global ...................... ...................... 80

6.10.3 6.10.3 6.10.4

Resistencia Resistencia en en flexión flexión .......... ............... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 81 Resistencia ante fuerzas de compresión parciales aplicadas en el borde ................................................ .................................................................. .................. 81 6.10.4.1 Abollamiento del alma ................................................. ................................................... .. 81 6.10.4.2 Flujo plástico del alma......................... alma ................................................. .......................... .. 82

6.10.5 6.10.5

Resistencia Resistencia ante fuerzas fuerzas de compresión compresión parciales parciales aplicad aplicadas as en el borde y flexión o cortante ................................................... ............................................................ ......... 83

Trabes Armadas

6.11

5

Agujeros en el alma......................... alma ................................................... .................................................... ........................................... ................. 89 6.11.1 6.11.2

Aspectos generales.................................. generales........................................................... ................................... .......... 89 Almas no atiesadas........................ atiesadas ................................................. ............................................. .................... 90 6.11.2.1 Resistencia última en cortante ...................................... ...................................... 90 6.11.2.2 Resistencia última en flexión...................... flexión ......................................... ................... 91

6.11.3

Almas atiesadas transversalmente ............................................. ............................................. 93 6.11.3.1 Resistencia última en cortante ...................................... ...................................... 94

Trabes Armadas

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CAPITULO 6. TRABES ARMADAS 6.1

INTRODUCCIÓN

Las trabes armadas se emplean cuando se tienen que salvar claros grandes, soportar  cargas intensas, o resistir una combinación de claros y cargas importantes, por lo que se requieren resistencias, o rigideces, que no pueden obtenerse, de manera económica, con perfiles I laminados. En general, pueden usarse trabes armadas o armaduras, pero las primeras son más convenientes si el claro no es excesivo, o si requisitos arquitectónicos, o de otro tipo, limitan el peralte utilizable; por ejemplo, cuando se suprime una columna de un edificio, lo que es frecuente en el primer nivel, para obtener, en planta baja, espacios libres mayores que en los pisos superiores. Se usan también en puentes de claros intermedios y, en estructuras fabriles, como trabes carril, sobre las que se coloca el riel por el que transitan las grúas viajeras. Una trabe armada puede definirse como un miembro en flexión, de sección I , que tiene un plano de simetría, en el que están situadas las cargas y los ejes del alma de las diversas secciones transversales, con patines iguales o desiguales, y un alma delgada, cuya resistencia está limitada por pandeo por flexión o cortante. De acuerdo con esta definición, los miembros en flexión se clasifican como vigas o trabes armadas según que estén a uno u otro lado de una relación límite entre el peralte y el grueso del alma. Son vigas I  de gran peralte, formadas por tres placas, dos horizontales, los patines, y una vertical, el alma, alma, que une las dos primeras. Cuando son remachadas o atornilladas, atornilladas, los patines y el alma se conectan por medio de ángulos (Fig. 6.1a); si son soldadas, la unión se hace directamente, casi siempre con soldaduras de filete filete (Fig. 6.1b). También se usan perfiles T en T en los patines (Fig. 6.1c), aunque con menos frecuencia.

(a)

(b)

(c)

Fig. 6.1 Ejemplos de trabes trabes armadas remachadas remachadas y soldadas. En este capítulo se tratan sólo trabes armadas soldadas, pues en la actualidad no se hacen remachadas o atornilladas, aunque los tornillos de alta resistencia se emplean, muchas veces, para empalmes de campo entre tramos soldados.

 

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Trabes Armadas

Como todas las vigas, las trabes armadas se diseñan para resistir los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes que se generan al transmitir a los apoyos cargas normales a su eje. Las diferencias entre su comportamiento y el de las vigas I  laminadas, o hechas con placas relativamente gruesas, provienen de que tienen como alma una placa delgada y de gran peralte, muy esbelta, en la que pueden presentarse varias formas de pandeo. Los momentos flexionantes son resistidos principalmente por los patines; el alma soporta la fuerza cortante. Desde el punto de vista del diseño por flexión conviene que el peralte de la trabe sea el mayor posible, pues así aumenta a un máximo el brazo del par  resistente. Determinado el peralte, se fija el grueso mínimo del alma, teniendo en cuenta las posibles disminuciones de resistencia por interacción con la flexión y, sobre todo, por  pandeo en flexión o cortante. Un diseño económico exige, con frecuencia, el uso de atiesadores transversales y/o longitudinales; sin embargo, no siempre conviene un peralte muy grande; puede ser preferible disminuirlo, ya que si bien aumenta el área de los patines, puede reducirse el grueso del alma y, sobre todo, el número de atiesadores. Dada la relación entre los costos del material y de la mano de obra, la solución de peso mínimo, que suele corresponder a almas muy delgadas con muchos atiesadores, no es necesariamente la más conveniente; el diseño implica encontrar una combinación del grueso del alma y el número de atiesadores que sea económica en material y fabricación, respetando, además, las condiciones impuestas por el transporte del taller a la obra y el montaje en ésta. Como se dijo arriba, la característica principal que distingue las trabes armadas de los perfiles laminados en caliente es la gran esbeltez del alma, dada por su relación peralte/grueso; se consideran trabes armadas las secciones I que tienen almas esbeltas, tipo 4 (en las que h/t a es mayor que 5.60   E/F  y  ), y patines de cualquiera de los tipos 1 a 3 (refs. 6.1 a 6.5).

Trabes Armadas

6.2

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ESTADOS LÍMITE DE RESISTENCIA

Los principales estados límite de resistencia de las trabes armadas son: a)

De los patines. Plastificación de uno u otro de ellos; pandeo local, o pandeo lateral por flexotorsión, del patín comprimido.

b)

Del alma. Por fuerza cortante: plastificación, pandeo elástico o inelástico, con campo de tensión diagonal o sin él. Arrugamiento producido por la presión que le transmite el patín comprimido de la trabe flexionada, plastificación bajo cargas concentradas, pandeo vertical bajo cargas concentradas o repartidas.

 Además, ha de considerarse el estado límite de flexión y cortante combinados. Después de revisar los estados límite anteriores, para completar el diseño se dimensionan los atiesadores de los apoyos y los que transmiten cargas concentradas al alma, los atiesadores transversales que la estabilizan en cortante y permiten, en su caso, que se forme el campo de tensión diagonal, y los longitudinales que aumentan la resistencia de la trabe a la flexión y al cortante; por último, se diseñan las soldaduras que unen las diferentes placas entre sí. Como en todas las vigas, también se revisan estados límite de servicio; el más usual es el de deformaciones verticales.

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6.3

Trabes Armadas

CRITERIOS DE DISEÑO

Las trabes armadas se diseñan con alguno de los dos criterios siguientes: (I) El estado límite de diseño es la iniciación del pandeo del alma; se emplean factores de seguridad relativamente bajos para incluir, de manera aproximada, la resistencia posterior al pandeo. (2) El diseño se basa en la resistencia “real” del alma, considerando explícitamente su comportamiento posterior al pandeo; los factores de seguridad son semejantes a los de otros miembros estructurales diseñados también con base en su resistencia última. Cuando las almas son poco esbeltas y la falla es por flujo plástico, antes de que se inicie el pandeo, los dos criterios coinciden. En el primer criterio se considera la resistencia posterior al pandeo de una manera semirracional, disminuyendo más o menos arbitrariamente los coeficientes de seguridad contra el pandeo del alma; con el segundo se determina la resistencia “real” de la trabe; se obtienen diseños con factores de carga contra el colapso más uniformes y, con frecuencia, más económicos.

Trabes Armadas

6.4

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DISEÑO BASADO EN LA RESISTENCIA AL PANDEO

6.4.1 Patines Los patines se diseñan como en cualquier perfil I  en flexión: después de escoger el peralte y el grueso del alma, se dimensionan para que la resistencia de diseño en flexión de la trabe, calculada con métodos ordinarios y reducida por pandeo lateral cuando sea necesario, no sea menor que la acción de diseño correspondiente. Este tema se trata con amplitud en los Capítulos 4 y 5 (ver, también, la ref. 6.6).

6.4.2 Alma Cuando el diseño se basa en la iniciación del pandeo, la fuerza cortante de diseño, calculada con la teoría convencional de las vigas, no debe exceder la resistencia al pandeo por cortante del alma (o, lo que es equivalente, el esfuerzo cortante máximo en el alma debe ser menor o igual que el esfuerzo crítico de pandeo dividido entre un coeficiente de seguridad adecuado). Los parámetros geométricos que determinan la resistencia del alma al pandeo son el grueso, t a, el peralte, h (distancia libre entre los bordes interiores de los patines), y la separación a entre atiesadores transversales, cuando los hay. En las fórmulas aparecen la relación de esbeltez del alma , h/t a, y la relación de aspecto, α = a/h. Se consideran tres condiciones de carga, que se han estudiado en el Capítulo 3 (Fig. 6.2): 1.

La fuerza cortante es la acción principal; un tramo de alma se trata como una placa rectangular sujeta a esfuerzo cortante uniforme (Fig. 6.2a). Esta situación se presenta cerca de los extremos de trabes libremente apoyadas y de los puntos de inflexión de vigas continuas.

2.

Predomina la flexión, como sucede, por ejemplo, en la zona central de trabes libremente apoyadas; el alma se considera en flexión pura (Fig. 6.2b).

3.

Se presentan, al mismo tiempo, fuerzas cortantes y normales elevadas, como en secciones intermedias de trabes libremente apoyadas, y en apoyos interiores de vigas continuas; debe tenerse en cuenta su interacción (Fig. 6.2c).

Si el alma se diseña para los casos 1 y 2, el 3 suele cumplirse también; sin embargo, en algunas ocasiones tiene que revisarse por separado.

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Trabes Armadas

(a)

τ τ

τ

h

τ  b

(b)

(c)

σ

τ h

b

σ

h

τ b

Figura 6.2 Condiciones de carga en el alma de una trabe armada. Para que se satisfagan los estados límite correspondientes a las tres condiciones de carga, han de establecerse límites de h/t a y del cociente a/t a, que eviten cuatro formas de pandeo (ref. 6.7): 1. 2. 3. 4.

Por flexión del alma, sin atiesadores longitudinales (valor de h/t a). Por flexión del alma, con un atiesador longitudinal (valor de h/t a). Por cortante del alma, sin atiesadores transversales (valor de h/t a). Por cortante del alma, con atiesadores transversales, o con una combinación de transversales y longitudinales (valor de a/t a).

Las relaciones h/t a se escogen buscando factores de seguridad pequeños contra la iniciación del pandeo. Suele suponerse, conservadoramente, que el alma está libremente apoyada en los patines y atiesadores que la rodean. Los atiesadores transversales son poco útiles para reforzar placas en flexión pura (Capitulo 3, art. 3.5.2), por lo que las almas se dimensionan, en general, para que resistan, sin pandearse, la parte de los momentos flexionantes de diseño que les corresponde: esta condición determina un límite superior de la relación peralte/grueso del alma, que sólo puede aumentarse con atiesadores longitudinales. El límite inferior lo establece la esbeltez necesaria para que el alma, sin reforzar, resista sin pandeo la

Trabes Armadas

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fuerza cortante en las zonas en que ésta predomina. Para elevar la resistencia al cortante entre los dos límites se utilizan atiesadores transversales. Hasta hace cuatro décadas, el diseño de las trabes armadas de edificios se basaba en la iniciación del pandeo; ese criterio se siguió empleando posteriormente en puentes carreteros, y se conserva todavía en las Especificaciones para Puentes de Acero para Ferrocarriles de la Asociación Americana de Ingeniería para Ferrocarriles (ref. 6.8). En edificios (ref. 6.9), no se permitían relaciones h/t a mayores que 170, y no se necesitaban atiesadores si esa relación era menor de 70 (Las normas de la ref. 6.9 se desarrollaron para acero A7 , con límite de fluencia de 2320 Kg/cm 2). El límite superior corresponde a la esbeltez máxima para la que todavía no es crítico el pandeo por flexión en un alma sin atiesadores longitudinales, y el inferior queda determinado por las condiciones necesarias para que el alma sin reforzar no se pandee en las zonas donde predomina la fuerza cortante; entre los dos límites se requerían atiesadores transversales cuando los esfuerzos cortantes excedían un cierto valor.

6.4.2.1 Límites de la esbeltez del alma a.

Pandeo por flexión del alma sin atiesadores. El esfuerzo crítico de pandeo elástico de una placa larga no atiesada en flexión, soportada libremente en los dos bordes longitudinales, es (Capítulo 3): 2 π 2 E   t a     k  σ1cr  = 12(1 - µ 2 )   b  

(3.5)

Si se llama h al ancho de la placa, que ahora es el peralte del alma de la trabe, y se recuerda que, en este caso, k = 23.9 (Tabla 3.2), la ec. 3.5 toma la forma

σ1cr  =

23.9π 2 E   t a   12(1 -

2

  µ 2 )   h  

(6.1)

Sustituyendo valores numéricos,

 t a 2 σ1cr  = 21.6E    h 

(6.1a)

El esfuerzo normal máximo permisible en una viga en flexión de sección no compacta, que no falla por pandeo lateral, es σ p = 0.60 F y  (ref. 6.10); como el grueso de los patines de las trabes armadas es pequeño, comparado con el peralte total, puede suponerse que ese mismo esfuerzo aparece en el borde del alma, que debe dimensionarse para que no se pandee antes.

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Trabes Armadas

Si se desea un factor de seguridad de 1.25, por ejemplo, contra la iniciación del pandeo, se tiene σ p = 0.60 F y  = σ1cr  /1.25 , luego σ1cr  = 1.25 x 0.6 F y  = 0.75 F y.  Llevando este valor  a la ec. 6.1a, y despejando h/t a, se llega a h t a

= 5.37 

 E   F  y

(6.2)

Los límites de h/t a para aceros  A36  (F y  = 2530 Kg/cm2 ) y grado 50 ( F y  = 3515 Kg/cm2 ) son, respectivamente, 152 y 129. Si el acero fuese  A7 , con F y  = 2320 Kg/cm2 , el límite sería h/t a = 159; en las normas  AISC de la ref. 6.9, escritas para ese acero, se fijaba un límite superior de 170. Como σ p = 0.6 F y  = σ1cr  /FS, σ1cr  = FS (0.6 F y )  ; con este valor, la ec 6.1a es σ1cr  = FS (0.6 F  y ) =  t a 2 21.6E    .  h  Despejando FS, para h/t a = 170, se obtiene 1.09. Las trabes armadas se diseñaron, durante muchos años, con este factor de seguridad tan bajo, respecto a la iniciación del pandeo por flexión, sin ningún problema.  Al utilizar la ec. 3.5 como se hizo arriba, se supone que el alma se pandea elásticamente para esfuerzos normales críticos no mayores que 0.60 F y , lo que no es rigurosamente cierto. En los incisos que siguen se hace la misma suposición. b.

Pandeo por flexión de almas con un atiesador longitudinal. Para determinar  el límite de h/t a se sigue el mismo camino que en a. Sin embargo, la resistencia de las placas largas en flexión crece considerablemente cuando se refuerzan con atiesadores longitudinales, lo que se refleja en aumentos importantes del valor del coeficiente k  de la ec. 3.5. Con un atiesador colocado a un quinto del peralte, medido desde el borde comprimido de la placa (ésta es la posición más eficiente), k  crece a 129, valor máximo en placas apoyadas libremente, con un atiesador  paralelo a los esfuerzos normales producidos por la flexión (art. 3.5.2).

En esas condiciones, las ecs. 6.1a y 6.2 se transforman en

 t a 2 σ1cr = 116.6E    h  h t a

= 12.47 

 E   F  y

Los límites de h/t a, para aceros A36 y grado 50, son 354 y 300.

(6.3)

(6.4)

Trabes Armadas

c.

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Pandeo por cortante de almas sin atiesadores. El esfuerzo crítico de pandeo elástico de una placa larga no atiesada en cortante puro, soportada libremente en los dos bordes longitudinales, se determina con la ec. 3.6 que, escrita en función del peralte del alma, es

π 2 E   t a 2   k  τ cr = 12(1 - µ 2 )  b 

(6.5)

Si la placa es muy larga, como todas las almas de vigas sin atiesadores transversales, la relación de aspecto α es elevada (art. 3.4.2) y puede tomarse, conservadoramente, k  = 5.0 (ec. 3.9).  Ahora debe lograrse que τcr  no sea mayor que el esfuerzo cortante permisible en placas que no fallan por pandeo, 0.4 F y  (ref. 6.10). Si se toma, de nuevo, un factor de seguridad de 1.25, se tiene τ p = 0.4 F y  = τcr  /1.25, τcr  = 1.25(0.4F y )  = 0.50 F y , y

 t a 2  t a 2   = 4.52E   0.50 F  y =  h  12(1 - µ 2 )  h  5.0π 2 E 

h t a

=

4.52E  0.50F   y

= 3.01

 E   F  y

(6.6)

Los límites para aceros A7 , A36 y grado 50 son 89, 85 y 73. En la ref. 6.9 se indicaba que para no necesitar atiesadores transversales, h/t a no debería exceder de 70 (para acero  A7 ). En esas condiciones, puesto que τ p = 0.4 F y  = τcr  /FS, se tiene

 t a 2 4.52E(1/70 )2   = 2.03 τ cr  = (0.4F  y )FS = 4.52E  , FS =  h  0.4X2320 La gran diferencia entre los dos factores de seguridad implícitos en la ref. 6.9 se debe a que las proporciones del alma recomendadas en ella provenían principalmente de reglas empíricas, desarrolladas a través del tiempo, con poca base teórica o experimental. d.

Pandeo por cortante de almas con atiesadores transversales. La ecuación de partida es ahora 5  π 2 E   t a 2    0.5F  = 5 +    y (a/h)2  12(1 - µ )2  h  

Entre paréntesis rectangulares está la expresión de k para placas largas con atiesadores transversales, en cortante puro (ec. 3.9).

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Trabes Armadas

Sustituyendo valores numéricos y haciendo algunas transformaciones algebraicas, la ecuación anterior se convierte en

 t  2  a 2     + 1 ,  a   h  

0.50F  y = 4.519E  

de donde a t a

= 3.006 

 a 2   +1  h 

 E   F  y

(6.7)

Con esta expresión se obtiene un límite de a/t a para cada valor de a/h; por ejemplo, si a/h = 1, a/t a = 4.25  E/F  y , y los límites son 121 y 102 para aceros  A36  y grado 50, respectivamente; si a/h = 0.5, a/t a = 3.36   E/F  y , con límites de 95 y 81 para los dos aceros. Cuando se juntan los atiesadores ( a/h disminuye) crece el esfuerzo crítico por lo que, para alcanzarlo sin pandeo prematuro por cortante, debe disminuir la relación a/t a. Los procedimientos para el control de la esbeltez del alma basados en la iniciación del pandeo, que no incluyen la resistencia posterior, son poco lógicos y en general conservadores, a veces excesivamente. Desde 1960, año en que se incluyó, por  primera vez, en las normas AISC (en estructuras para aviones, de aluminio, se consideró bastantes años antes), la resistencia posterior al pandeo se ha tomado en cuenta en casi todas las normas modernas de diseño de trabes armadas. Sin embargo, desde la primera edición de sus especificaciones de diseño por factores de carga y resistencia, en 1986, el AISC incluye en el cuerpo principal sólo el método basado en la iniciación del pandeo, y coloca el segundo método, que considera la resistencia posterior al pandeo, en un apéndice, indicando que las trabes armadas con almas relativamente gruesas, sin atiesadores, son frecuentemente más económicas que las de almas delgadas atiesadas, debido a los costos adicionales de fabricación que hay en el segundo caso (refs. 6.1 y 6.2). En las Normas Técnicas Complementarias para Diseño de Estructuras de Acero del Reglamento del D. F. (refs. 6.3 y 6.4) se conservan juntos los dos métodos, pero se presentan, por separado, los estados límite de falla por iniciación del pandeo del alma y por tensión diagonal, que aparece después de que empieza el pandeo, y se deja al ingeniero proyectista (lo mismo que en las normas AISC) la decisión, generalmente económica, de basar el diseño en uno u otro. Como la relación entre los costos de mano de obra y material es mucho menor en México que en Estados Unidos, es frecuente que diseños con almas relativamente gruesas, sin atiesadores, que son económicos en el país vecino, no lo sean en el nuestro.

Trabes Armadas

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EJEMPLO 6.1. Haga el diseño, basado en la resistencia al pandeo, de una trabe armada soldada de las dimensiones y con las cargas indicadas en la Fig. E6.1.1. El patín comprimido está soportado lateralmente en los puntos de aplicación de las cargas concentradas, y el acero es A36. El peralte total de la trabe no debe exceder de 2.50 m. Utilice un atiesador longitudinal. Las cargas mostradas son de diseño (ya están multiplicadas por el factor de carga). 28T

10m

28T

10m

10m

30m

   0  .    0    6    5

   0  .    5    9    5

   0  .    0    6    5

M(Tm)

70.0 42.0 V(Ton)

14.0 14.0 42.0 70.0

Fig E6.1-1 Dimensiones, cargas y diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes (nominales).

Elección de una sección preliminar  Si se utiliza un atiesador longitudinal colocado a una distancia del borde superior del  alma igual a h/5, la relación h/t puede llegar a 354 sin que el alma se pandee por flexión (art. 6.4.2.1b). h t 

≤ 354 ∴ t ≥

250 354

= 0.71 cm.

 

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Trabes Armadas

Se ensaya un alma de 2.44 m (8”) de peralte y 0.79 cm (5/16”) de grueso. b=50.8cm

2.22cm

t=0.79cm

  m   m   c   c    0  .    4    4    4    4  .    2    8    4   =    2    h

2.22cm

Fig E6.1- 2 Sección preliminar.

h/t = 244/0.79 = 309 < 354  Aa = 244 x 0.79 = 192.8 cm 2  En la sección de momento máximo, cada patín debe tener un área aproximada de 0.9 A p F y  h = 595 Tm ∴ A p =

595 x 10 5 0.9 x 244 F  y

= 107.1 cm2

Se ha supuesto que la distancia entre centroides de los patines es igual al peralte del  alma y no se ha tenido en cuenta, por ahora, la posible disminución de resistencia por   pandeo lateral. Tampoco se ha considerado la contribución del alma a la resistencia en flexión. Se consideran patines de 50.8 x 2.22 cm (20” x 7/8”), con área A p = 112.8 cm2 .

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Propiedades geométricas de la sección preliminar  Relaciones ancho/grueso Patines. b/2t  p = 50.8/(2 x 2.22) = 11.4 < 0.58 

E / Fy

= 16.47.

Los patines, y la sección completa, son tipo 3 (no compactos).  A p = 112.8 cm2 ; Aa = 192.8 cm2 ; Atot  = 418.3 cm2 ; I  x  = 4374900 cm4; S x  = 35219 cm3; Z  x  = 39526 cm3, I y  = 48516 cm4; J = 410.6 cm 4; C a = 7.35 x 10 8  cm6  REVISIÓN POR FLEXIÓN. h/t = 309 < 354, de manera que el alma, atiesada longitudinalmente, no se pandea por  flexión; por consiguiente, esta revisión se hace igual que para un perfil I cualquiera, de sección tipo 3. Se utilizan las recomendaciones de la ref. 6.4, reproducidas en el Capítulo 5. Ec. 5.50   M u =

π E  CL

  J   π  2   I Y  +   C a  ;  2.6    L  

 M  y = S  x = 35219 x 2530 x 10-5 = 891.0 Tm.

El tramo crítico es el central, en el que C = 1.0.  M u =

π E  1000

 410.6    π  2  2 8   x 7.35 x 10   x 10 -5 =1214.7 Tm > 48516  + 3  2.6   1000  

 M  y = 594.0 Tm

El pandeo se inicia en el intervalo inelástico. Ec. 5.60   

 M  R = 1.15 F  R M  y 1 −

 

0.28M  y   M u

0.28 x 891.0   = 1.15x0.9x891.0   1 −    1214.7     

= 732.8 Tm < F  R M  y = 801.9 Tm

M R = 732.8 Tm > M máx  = 595.0 Tm

La sección ensayada está bastante sobrada (732.8/595.0 = 1.23); conviene disminuir el  grueso de los patines. Las propiedades geométricas de la sección con patines de 50.8 x 1.905 cm (20” x 3/4”) son

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Trabes Armadas

 A p = 96.77 cm2 ; Aa = 192.76 cm2 ; Atot  = 386.3 cm2 ; I  x  = 3882 330 cm4; I y  = 41633 cm4; S x  = 31 333 cm 3; Z  x  = 35556 cm3; J = 274.2 cm 4; C a = 6.29 x 10 8 cm6  M u =

π E  1000

 274.2   π  2    x6.29x108  x10 -5 41633 +  2.6   1000  

= 1038.5Tm>

2 3

 M  y =

2 3

S  x F  y =

2 =  x 792.7 = 528.5 Tm 3

   

 M  R = 1.15x0.9x792.7  1 -

0.28x792.7   1098.5

  

= 654.7 Tm < F  R M  y = 713.5 Tm ∴ M  R = 654.7 Tm > M máx = 595.0 Tm

La sección sigue estando algo sobrada, pero puede aceptarse (654.7/595.0 = 1.10). En un problema real podría convenir disminuir el tamaño de los patines en los extremos de la trabe, recordando que para ello son necesarias soldaduras adicionales, por lo que  puede ser más económico conservar la misma placa en toda la longitud. Sin embargo, como una trabe de 30 m de largo tiene que transportarse del taller a la obra en varios tramos, se logra una solución económica haciendo coincidir, si es posible, las uniones entre placas de patín diferentes con las conexiones de campo entre los tramos. Además no se consiguen, en general, placas de más de 12 o 15 m de longitud. REVISIÓN POR CORTANTE. Como hay un atiesador longitudinal, se revisa la parte inferior del alma, cuyo peralte es h1 = 0.8h = 195 cm , h /t i  = 195/0.79 = 247 

La ec. 6.6 proporciona la relación h/t máxima para la que un alma sin atiesadores transversales resiste, sin pandearse, esfuerzos cortantes iguales al máximo permisible, 0.4 F y  = 1012 Kg/cm2 . Sin embargo, en este problema el esfuerzo máximo es mucho menor, lo que permite reducir el valor de h/t. τmáx = V máx /Aa = 70 x 10 3 /192.8 = 363 Kg/cm2

Procediendo como en 6.4.2.1c, pero tomando τmáx  = 363 = τcr  =/1.25, τcr  = 454 Kg/cm2 , se llega a  t  2 h h  ∴ = 142.5 < i =247   h  t  t 

454 = 4.52E  

 Aunque el límite de h/t se incrementó, sigue siendo menor que h /t, por lo que se i  requieren atiesadores transversales; su separación se determina por tanteos. Se toma h /t i  = 247, correspondiente a la parte inferior del alma.

Trabes Armadas

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Como ahora basta alcanzar un esfuerzo de 454 Kg/cm2  sin que el alma se pandee, la ec. 6.7 se reduce a a t a

= 0.100

 a 2 0.5  E   + 1  hi  

Suponiendo a/hi  = 0.7, a = 0.7 h i  = 136.5 cm, a/t a = 136.5/0.79 = 172.8 , se obtiene 0.100  E (0.7 2  + 1)0 0.5  = 174.3 ≈ a/t a = 172.8 

Se colocarán atiesadores a cada 136 cm, aproximadamente. Si, como una comprobación, se obtiene el esfuerzo crítico de pandeo con la ec. 3.71, se encuentra que vale 460 Kg/cm2 , casi igual a 454 Kg/cm 2 , luego el alma tiene la resistencia adecuada, antes de que se inicie el pandeo.

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6.5 DISEÑO BASADO EN LA RESISTENCIA POSTERIOR AL PANDEO La iniciación del pandeo del alma no proporciona un criterio racional para el diseño de las trabes armadas porque su resistencia adicional suele constituir un porcentaje importante de la resistencia total. En los artículos siguientes se determina la resistencia “real” de trabes en flexión, en cortante, y en flexión y cortante combinados, incluyendo la que proviene de fenómenos posteriores a la iniciación del pandeo.

6.5.1 Patines Los patines de las trabes armadas flexionadas alrededor del eje centroidal de mayor  momento de inercia están sujetos a esfuerzos normales, de tensión o compresión, uniformes en todo el ancho; como el peralte del alma es mucho mayor que el grueso de los patines, es común que se desprecie la variación de esfuerzos entre sus bordes horizontales, y que se use como referencia el esfuerzo en el centroide. El esfuerzo máximo posible, en cualquiera de los dos patines, es el límite de fluencia del material; sin embargo, la inestabilidad en el intervalo elástico o inelástico (pandeo lateral por flexotorsión, pandeo local del patín comprimido o del alma) puede evitar que se alcance ese esfuerzo en el patín en compresión.

6.5.1.1 Patín en tensión No puede haber inestabilidad de ningún tipo; la resistencia máxima corresponde a la aparición del esfuerzo de fluencia en el borde exterior. M u = F R  M n = S xt  F y 

(6.8)

S x t es el módulo de sección correspondiente al patín en tensión. No se considera el momento plástico de la sección porque la esbeltez del alma impide la redistribución de esfuerzos necesaria para alcanzarlo.

6.5.1.2 Patín comprimido La interacción con el alma restringe la rotación de este patín, e incrementa su resistencia al pandeo local, pero como la esbeltez de la primera es mucho mayor que la del segundo, el patín se trata, conservadoramente, como una placa articulada en su unión con el alma, y la restricción se toma en cuenta, de manera aproximada, aumentando los valores máximos permisibles de las relaciones ancho/grueso. Este es el criterio que se sigue para establecer los límites para los patines comprimidos de los distintos tipos de sección (Cap. 3). Como las trabes armadas no tienen capacidad de rotación ni pueden desarrollar el momento plástico, basta que el patín sea tipo 3 para que admita el esfuerzo de fluencia sin pandeo local prematuro.

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El patín comprimido trabaja como una columna, que puede fallar por flujo plástico o por  pandeo, lateral, por torsión, o en una dirección vertical (Fig. 6.3). El pandeo lateral se estudia en el Capítulo 5, y el pandeo por torsión se evita manteniendo dentro de límites adecuados la relación ancho/grueso de la placa que forma el patín; el pandeo vertical se trata en el artículo siguiente.

Fig 6.3 Posibles formas de pandeo del patín comprimido de una trabe armada esbelta. 6.5.1.2.1 Pandeo en el plano del alma Si el patín comprimido tiene resistencia y rigidez suficientes para resistir la compresión sin pandearse, junto con el patín en tensión forma el par de elementos que equilibran el momento flexionante exterior. Los patines de las trabes armadas soldadas tienen muy poca rigidez para flexión alrededor del eje principal horizontal, por lo que para que resistan la compresión sin pandearse verticalmente el alma debe proporcionarles un apoyo continuo; como las fuerzas necesarias para evitar el pandeo son reducidas, sólo las almas de gran esbeltez resultan incapaces de soportarlas. Esta condición permite fijar un límite superior de la relación peralte/grueso del alma. La curvatura de una trabe flexionada ocasiona fuerzas perpendiculares a los patines, repartidas uniformemente, que producen compresiones en el alma; ésta debe soportarlas sin pandearse, para proporcionar el soporte requerido al patín comprimido, y evitar que se pandee en el plano vertical. Se obtiene un límite superior de la relación de esbeltez del alma (peralte/grueso) igualando su resistencia a la compresión con la fuerza que ejercen sobre ella los patines (refs. 6.11 y 6.6). En la Fig. 6.4 se muestra un tramo de una trabe armada flexionada; se indican las fuerzas en los patines, producidas por la flexión, y las que aparecen entre ellos y el alma, como una consecuencia de la curvatura de la trabe. De la condición de que la resistencia al pandeo del alma comprimida no sea menor que la fuerza que le transmiten los patines, se llega a un límite de la relación h/t a (refs. 6.6 y 6.10):

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Trabes Armadas

h t a

π 2 E   Aa 1 ≤ 24(1 - µ 2 )  A p σ pε p

(6.9)

 Aa = ht a es el área del alma, y  A p, σp y εp son el área, el esfuerzo normal y la deformación unitaria del patín comprimido. Para deducir la ecuación anterior se considera que el peralte del alma es igual al total de la trabe; en trabes armadas, de gran peralte, es insignificante el error que se comete al hacer esa consideración. M

M h M

M (c)

a (a)

dφ dφ C

dx

C dφ 2

(b)

C Sen

dφ 2

dεp/2

dεp/2

dφ /2 dx dφ /2

h

(d)

Fig 6.4 Trabe armada en flexión. Comportamiento del patín comprimido. La ec. 6.9 proporciona un límite superior de la esbeltez del alma, h/t a, que depende del cociente entre las áreas del alma y del patín, del esfuerzo normal en éste y de su deformación unitaria; para que se alcance el esfuerzo de fluencia σy en todo el patín, antes de que falle la trabe, se requieren deformaciones unitarias mayores que εy = σy/E , puesto que han de eliminarse los esfuerzos residuales de tensión, lo que implica una deformación unitaria igual a ( σy + σrt)/E. Si la base del diseño fuese un esfuerzo normal reducido por pandeo lateral por  flexotorsión se podría aumentar la relación h/t a, puesto que la fuerza máxima en el patín comprimido sería A pσcr , menor que Ap σy. También se podría admitir una relación h/t a cualquiera, mayor que la dada por la ec. 6.9, basando el diseño en el estado límite de pandeo del patín alrededor de su eje de menor momento de inercia. Sin embargo, se obtendrían almas tan esbeltas que las trabes serían difíciles de fabricar, y de manejo complicado durante el transporte y montaje.

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Sustituyendo σp por  σy, operaciones, se obtiene h t a

≤

εp por (σy + σrt)/E  y µ por 0.3 en la ec. 6.9, y efectuando

0.672E 

 Aa

σ y (σ y + σrt )

 A p

(6.10)

En estudios de laboratorio en los que se ha observado el pandeo vertical, éste se presenta después de la plastificación del patín comprimido en el tablero en consideración. Por consiguiente, en trabes de dimensiones usuales la ec. 6.10 puede ser demasiado conservadora, y hasta innecesaria. Sin embargo, la esbeltez del alma debe limitarse para facilitar la fabricación y evitar grietas por fatiga bajo cargas repetidas, ocasionadas por flexión del alma fuera de su plano. La relación h/t a máxima admisible disminuye con el empleo de aceros de alta resistencia, pues al aumentar  σy crecen las fuerzas de los patines sobre el alma, mientras que su resistencia, que es función de E , no se modifica. Haciendo forma h t a

σrt = 1150 Kg/cm2, independientemente del tipo de acero, la ec. 6.10 toma la

≤

0.672E 

 Aa

σ y (σ y + 1150)

 A p

(6.11)

Como en trabes armadas de gran peralte  Aa /A p no suele ser menor de 0.5, se obtiene un límite superior de h/t a, válido en la mayoría de los casos, introduciendo ese valor en la ec. 6.11: h t a

≤

0.48E 

σ y ( σ y + 1150)

(6.12)

Esta es la fórmula que se recomienda en las refs. 6.1 a 6.4 y 6.12 para fijar la relación peralte libre entre grueso del alma máxima admisible en trabes armadas; sería conservadora si se aplicase a trabes remachadas o atornilladas cuyos patines, formados por ángulos y placas, tienen una rigidez vertical elevada. Cuando se colocan atiesadores transversales con separaciones no mayores que 1.5 veces el peralte del alma, la relación anterior puede aumentarse a 11.7  E/Fy , pues ensayes realizados con trabes rigidizadas de esa manera han demostrado que es conservadora (ref. 6.11). Los límites de h/t a para acero  A36  son 321 y 332; para grado 50, 242 y 282; los segundos son aplicables cuando hay atiesadores transversales con las separaciones indicadas arriba.

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Trabes Armadas

La ec. 6.12 es conservadora cuando  Aa /A p > 0.5 ; si se utiliza la ec. 6.10 para  Aa = A p, por  ejemplo, se obtiene

h t a

≤

0.672E 

σ y (σ y + σrt )

,

1.40 veces mayor que con la ec. 6.12.

6.5.1.2.2 Reducción del momento resistente por esbeltez del alma El diseño de vigas de acero ordinarias se hace con el módulo de sección, con lo que se incluye la contribución del alma a la resistencia en flexión. Si no hay pandeo local prematuro, esa contribución se conserva hasta la falla. Las trabes armadas de alma esbelta pueden tener un comportamiento diferente. En la Fig. 6.5b se muestran las deformaciones en la sección transversal de la trabe armada esbelta sometida a flexión de la Fig. 6.5a en distintos instantes del proceso de carga, y en la Fig. 6.5c los esfuerzos normales correspondientes. Los esfuerzos medidos experimentalmente se indican con línea interrumpida, y con línea llena los calculados con el módulo de sección completo, según la teoría ordinaria de las vigas. (refs. 6.6 y 6.12).

σ(ksl) ε103

30.9cm 1.9cm

+15

0

-15

-30

+0.5

0

-0.5

-1.0

Y (Pulg)

0.33cm

+21 +15 +9 +0

127cm

-15 1.9cm 30.9cm (a)

(b)

(c)

Fig 6.5 Esfuerzos normales y deformaciones transversales de una trabe armada esbelta bajo flexión creciente. Los dos tipos de esfuerzos coinciden en la parte de la trabe que trabaja en tensión, pero difieren apreciablemente en la zona comprimida; en ella, los esfuerzos normales reales en el alma son menores que los calculados, mientras que en los patines son mayores. Las diferencias se acentúan cuando crece el momento flexionante. Este fenómeno se debe a las deformaciones laterales del alma (Fig. 6.5b), que hacen que las fajas longitudinales comprimidas resistan una fuerza menor que la predicha por  la teoría ordinaria, y aumente la fuerza de compresión en el patín, que recibe parte de la que soportaba inicialmente el alma (ref. 6.11).

Trabes Armadas

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Para determinar el momento resistente máximo de la trabe puede considerarse que la sección efectiva en el instante del colapso se obtiene ignorando la contribución de la parte comprimida del alma, que se pandea antes de que el momento alcance su intensidad máxima, con excepción de una faja inmediata al patín; se utiliza el concepto de ancho efectivo (ref. 6.6 y 6.14). El ancho de esa faja, en el instante del colapso, es aproximadamente igual a 30 veces su grueso (ref. 6.11). El colapso se presenta cuando el patín comprimido no puede resistir la fuerza directa ocasionada por la flexión más la que recibe del alma pandeada. En la Fig. 6.6 se muestra la variación del momento resistente último M u en función de la relación de esbeltez del alma, β = h/t a, suponiendo que el pandeo lateral por flexotorsión está impedido. M u incluye efectos de endurecimiento por deformación; se ha dividido entre M y,  que corresponde a la aparición del esfuerzo de fluencia en los bordes de la trabe, para obtenerlo en forma no dimensional. Si el alma es muy esbelta el patín comprimido se pandea en el plano vertical cuando el momento flexionante es menor que M y  (curva a, Fig. 6.6); si la esbeltez es menor (320 o menos, para acero  A36 ) se alcanza el esfuerzo σy en el patín, con lo que aumenta el momento resistente de la trabe; la curva b indica la resistencia en esas condiciones (corresponde a la suposición de que una porción del alma, de ancho 30t a, forma parte del patín comprimido). Cuando disminuye la esbeltez del alma el momento máximo tiende hacia el de plastificación de la sección completa, que se alcanza cuando β es igual a 53, aproximadamente (punto B); para esbelteces todavía menores M u es mayor que M  p, a causa del endurecimiento por deformación (refs. 6.6 y 6.13); por consiguiente, M u > M  p para β < 53 (curva d , Fig. 6.6). Los puntos A y B se determinan analíticamente, pues se conocen sus abscisas y la distribución de esfuerzos normales correspondiente a cada uno (Fig. 6.6), con la que se calcula el momento resistente. La variación de éste entre los dos puntos se representa, con buena precisión, con un haz de rectas, de ecuación  M u  M  y

=1-

ar  1200 + 300 ar 

( β -

βo)

(6.13a)

ar  = Aa /A p es el cociente de las áreas del alma y del patín comprimido; no debe exceder  de 10. Suponiendo que el intervalo de interés corresponde a 0.5  ≤  Aa /A p ≤ 3.0 , la ec. 6.13a puede sustituirse, de manera conservadora y con buena precisión, por   M u  M  y

= 1 - 0.0005

 Aa  A p

( β -

βo)

(6.14a)

 

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Trabes Armadas

Mu My

σy σy

f  1.0

c

d B

σy

σy

σy  A b El pandeo lateral y el pandeo por  torsión están impedidos

0

30t

βo

53

σy

a

320

β= ht

Los valores de β anotados en la figura corresponden a acero A36

σy

Fig 6.6 Relación entre el momento resistente último y la esbeltez h/t del alma de una trabe armada. Las ecs. 6.13a y 6.14a proporcionan el mismo valor cuando  Aa /A p = 2.67; la segunda es conservadora para  Aa /A p mayor que ese límite. Como están escritas, las ecs. 6.13a y 6.14a presuponen que ninguna forma de inestabilidad del patín comprimido influye en la resistencia de la trabe. Para incorporar la posibilidad de pandeo lateral por flexotorsión, M y  se sustituye por el momento crítico correspondiente:

 

 M u =  M cr  1 -



ar  1200 + 300 ar 

 M u = M cr  1 - 0.0005



 Aa  A p

( β -

( β -

 β o ) 

 β o ) 

(6.13b)

(6.14b)

Estas ecuaciones proporcionan valores de M u mayores que M cr  cuando β < βo; sin embargo, el incremento no suele presentarse en las trabes armadas, cuyas dimensiones no permiten redistribuciones de esfuerzos fuera del intervalo elástico, por lo que se

Trabes Armadas

29

utilizan sólo para esbelteces β mayores que M y , cuando no hay pandeo lateral).

βo, y para β ≤ βo se toma M u = M cr  (o M u =

βo separa las relaciones h/t a para las que el alma resiste, sin pandearse, el esfuerzo σcr  (o σy) en el patín comprimido, de aquellas para las que se pandea con esfuerzos menores. Se determina como sigue:

π 2 E   t a 2 h   k ∴ = En una placa en flexión, σcr  = 2 t a 12(1 - µ )  h 

π 2 E  k   Ek  = 0.951 2 σcr  12(1 - µ ) σcr 

Los factores k  mínimos para bordes longitudinales libremente apoyados y empotrados son 23.9 y 39.6 (Cap. 3, art. 3.4.1); tomando k  = 39.1, valor cercano al segundo, puesto que la condición de apoyo del alma de las trabes armadas se acerca al empotramiento, por la rigidez, mucho mayor, de los patines, se obtiene β o = 5.95Ek cr  . Esto indica que M u /M cr  vale 1.0, para todas las relaciones  Aa /A p, cuando h/t a es aproximadamente igual a 5.95  E/ σcr  , que es la esbeltez máxima del alma para la que puede soportar, sin pandearse, la aparición del esfuerzo

σcr  en los bordes de los patines.

Cuando la trabe falla por pandeo lateral bajo un momento M R  menor que M y,  basta con retrasar el pandeo del alma hasta entonces, es decir, hasta que el esfuerzo normal máximo en ella sea σcr  = M R /S   , donde M R  es el momento resistente de diseño y S el módulo de sección de la trabe armada. En esas condiciones, y disminuyendo, conservadoramente, de 5.95 a 5.60 el coeficiente de la expresión que proporciona βO, se llega a las recomendaciones de las refs. 6.1 a 6.4 y 6.10. Si la relación h/t  excede de 5.60   ES/M  R y el patín comprimido es tipo 1, 2 ó 3 (art. 3.10.2.1) la resistencia de diseño en flexión, reducida por esbeltez del alma, se calcula con la expresión 1

 

 M  R'  = M  R 1 - 0.0005

 

 h   A p  t a  Aa

- 5.60

(6.15)

 ES   



 M  R   

M R  es igual a σcr S. Esta es la ecuación que se recomienda en la ref. 6.3 y, escrita en términos de esfuerzos permisibles, en la 6.10. Es aplicable cuando h/t a > 5.60  ES/M  R ; en caso contrario, M R' = M R. 

1

En las refs. 6.3 se pide que el modulo de sección S se multiplique por 0.9, lo que lleva a resultados innecesariamente conservadores. Esto se ha corregido en la ref. 6.4.

30

Trabes Armadas

En las refs. 6.1, 6.2 y 6.4 se recomienda sustituir  0.0005 Aa /A p por  a /(1200 + 300 a )r  , r  donde ar  no debe exceder de 10.

6.5.2 Alma En el art. 3.10.4 del Capitulo 3 se evalúa la resistencia a la fuerza cortante del alma de vigas y trabes armadas, teniendo en cuenta los estados límite de flujo por cortante y de iniciación del pandeo, y la contribución del campo de tensión diagonal a la resistencia máxima; además, se incluyen las normas de diseño de las refs. 6.1 a 6.3. La teoría desarrollada en ese capítulo para determinar la resistencia posterior al pandeo de almas con atiesadores transversales, proviene de los estudios reportados en las refs. 6.12, 6.15 y 6.16; sus resultados se incorporaron en las especificaciones AISC en 1961. Desde entonces se han realizado numerosas investigaciones para mejorar la evaluación de la resistencia posterior al pandeo, y se han obtenido modelos más exactos, pero se ha conservado el original porque es más sencillo y fácil de aplicar, y proporciona resultados muy cercanos a los de los modelos más precisos y complicados (refs. 6.7, 6.14).

6.5.2.1 Refuerzo del alma Un alma no atiesada de esbeltez h/t a no mayor que 2.19  E/F  y falla por cortante en el intervalo de endurecimiento por deformación, y si 2.19  E/F  y

≤ h/t a ≤

2.50  E/F  y

la falla es

por plastificación del alma por cortante; a h/t a = 2.50  E/F  y le corresponde un esfuerzo de falla τ = 0.65 5EF y /(2.50  E/F y ) = 0.581F  y = τ y ≈ F  y / 

3 = 0.577 F  y.

Estos valores provienen de las

ecuaciones del art. 3.10.4.2.1, teniendo en cuenta que el factor de placa k  vale aproximadamente 5.0 en almas sin atiesadores. Por consiguiente, los atiesadores transversales no aumentan la resistencia al cortante de almas con h/t a ≤ 2.50  E/F  y , que fallan por plastificación bajo un esfuerzo cortante comprendido entre 0.577  y 0.66 F y . En esas condiciones, la resistencia al cortante sólo puede incrementarse aumentando el grueso del alma o adosándole un conjunto de placas verticales e inclinadas que trabajen como una armadura.

6.5.2.1.1 Atiesadores transversales intermedios Si h/t a es mayor que 2.50  E/F  y la falla puede presentarse por pandeo del alma: debe revisarse si es necesario reforzarla con atiesadores transversales. (Véase la Fig. 3.35, recordando que k  = 5.0  en almas no atiesadas; la falla por pandeo sólo se presenta si h/t a es mayor que 1600 5/F  y ≈ 3600/  F  y = 2.50  E/F  y ).

Trabes Armadas

31

La posibilidad de que se forme el campo de tensión diagonal en un tablero de una trabe armada provista de atiesadores transversales depende de las condiciones de sus bordes, que han de resistir las fuerzas de membrana que se generan en el alma. Las condiciones en los tableros extremos no son las mismas que en los intermedios, pues carecen en uno de sus bordes verticales del tablero adyacente, en el que se anclan las fuerzas de membrana mencionadas (Fig. 6.7). Los atiesadores que se colocan en los apoyos permiten, trabajando en conjunto con la porción inmediata del alma, desarrollar  una cierta tensión diagonal, pero su grado de utilidad es incierto; de hecho, se ha comprobado experimentalmente que son insuficientes (refs. 6.12 y 6.15). El anclaje de las fuerzas de tensión diagonal en los extremos de la trabe puede lograrse de dos maneras: colocando una placa vertical que, junto con los atiesadores del apoyo, forme un poste de resistencia suficiente (Fig. 6.7b y ref. 6.6), o limitando el ancho del tablero extremo para que no se forme en él el campo de tensión, y solamente se desarrolle la acción de viga, sin que se inicie el pandeo; así, los tableros extremos no requieren anclaje, y se lo proporcionan a los contiguos (Fig. 6.7c); el mismo requisito debe satisfacerse en los tableros adyacentes a agujeros grandes que se necesitan, a veces, para el paso de ductos (Fig. 6.7d). El segundo procedimiento es el que se recomienda en las refs. 6.1 a 6.4. Cuando la trabe armada está conectada directamente a una columna de resistencia y rigidez adecuadas no se requiere ninguna medida especial (Fig. 6.7c).

a) Los atiesadores extremos no tienen rigidez suficiente para que se forme el campo de tensión

b) Se forma un “poste” vertical en el que se anclan las tensiones

c) En el tablero extremo no se forma campo de tensión diagonal

    a     n     m     u      l     o      C

d) En los tableros adyacentes al agujero no se forma campo de tensión diagonal

e) Puede formarse el campo de tensión diagonal en el tablero extremo

Fig 6.7 Tableros extremos y tableros adyacentes a agujeros grandes. Para que pueda utilizarse la resistencia del campo de tensión diagonal, la relación de aspecto a/h no debe exceder de [260 /(h / t a )]2 ni de 3.0; esta condición es arbitraria; tiene por objeto facilitar el manejo de las trabes durante su fabricación y montaje.

32

Trabes Armadas

En el ejemplo 6.2 se ilustra el diseño de tableros extremos.

EJEMPLO 6.2. En la Fig. E6.2.1 se muestra el extremo de una trabe armada, apoyada libremente, y la reacción en el apoyo, correspondiente a cargas de diseño. a) Determine la distancia entre el atiesador del apoyo y el siguiente atiesador transversal, de manera que no se forme campo de tensión diagonal en el primer tablero del alma. Diseñe los atiesadores de apoyo. b) Suponiendo que la fuerza cortante se mantiene constante, determine la separación entre atiesadores en el segundo tablero, teniendo en cuenta la contribución del campo de tensión diagonal. El acero es A36 2 40cm ta 18.0

ta=0.79

18.0

h=250c 18.0 18.0

0.79c X Eje de flexión

1.5 12x0.79=9.48cm 150T a

a1 b

a2 c

Atiesadores extremos

Fig E6.2.1 Trabe armada del ejemplo 6.2. Revisión de la esbeltez del alma (Ec. 6.12). h t a

=

250 0.79

= 316 <

0.48E   F  y (F  y + 1150)

= 321

Si se colocan atiesadores a distancias a menores que 1.5h, la relación h/t a máxima  permisible aumenta ligeramente. La dimensión a del primer tablero se escoge para que el estado límite del alma sea la iniciación del pandeo. Para ello, en el intervalo elástico, la resistencia al cortante del  alma, calculada con la ec. 3.71, ha de ser mayor o igual que la fuerza cortante de diseño. El límite de aplicación de la ec. 3.71 está dado por la condición 2

En este problema se hacen muchas referencias al Capitulo 3, en el que se estudia la estabilidad de placas.

Trabes Armadas

h t a

33

kE  ;  F  y

= 316 = 1.40

El valor de k correspondiente es 2

316   F  y kE  316  = 1.40  , k = = 63.2  F  y 1.40 2 E  2

2

De la ec. 3.73, 5.0

k = 5.0 +

a h

 a 2    h 

= 63.2,

2

(a/h)

=

5.0 63.2 - 5.0

= 0.086,

= 0.293, a = 0.293 x 250 = 73.3 cm

Resistencia del alma al cortante. (Estado límite de iniciación del pandeo) Ec. 3.71

∴ V  N  =

V  N  =

0.905Ek  (h/t a  )

0.905E  x 63.2 2

316 

Ec. 3.66 .

2

Aa; Aa = (250 + 2.22 x 2) 0.79 = 201.0 cm2

 x 201.0 x 10 - 3 = 234.7 Ton

V  R = F  RV  N  = 0.9 x 234.7 = 211.2 Ton > 150 Ton

Puesto que, con la separación entre atiesadores calculada, el tablero extremo está sobrado, puede aumentarse la distancia entre el apoyo y el primer atiesador intermedio de manera que se obtenga una resistencia, dada por las ecs. 3.66 y 3.71, igual a la fuerza cortante de diseño. V  R = F  RV  N  = 0.9 x

a h

=

5.0 44.9 - 5.0

0.905E k   Aa = 150 Ton; (h/t)2

= 0.354,

Comprobación. 1.40

kE   F  y

= 1.40

0.9 x 0.905E k  (316) 2

 x 201.0 = 150 000, k = 44.9

a = 88.5 cm

a1 = 88.5 cm, k = 5.0 + 5.0/(88.5/250)2 = 44.9

44.9E  2530

= 266 <

h t 

= 323

Ecs. 3.66 y 3.71. V  R = F  N V  N  = 0.9 x

0.905E  x 44.9 2

316 

x 201.0 x 10-3 = 150.0 ton

34

Trabes Armadas

Colocando el primer atiesador intermedio a 88.5 cm del apoyo la resistencia de diseño del alma, correspondiente al estado límite de pandeo, es igual a la fuerza cortante de diseño; no se forma campo de tensión diagonal en el primer tablero, que proporciona el  anclaje necesario a las fuerzas inclinadas que aparecen en el segundo, si en el diseño de éste se incluye la resistencia posterior a la iniciación de pandeo.  ATIESADOR DE APOYO Se coloca un par de atiesadores, simétricos respecto al alma, que den apoyo a los  patines de la trabe hasta sus bordes exteriores, o lo más cerca de ellos que sea posible. Se harán de 18 cm, y se diseñarán como columnas, con la sección transversal que se muestra en la Fig. E6.2.1c. La relación ancho/grueso de los atiesadores no debe exceder de 3.6). h t at 

=

18 t at 

≤ 15.9 ∴ t at  ≥

18.0 15.9

0.56   E/F  y = 15.9

(Tabla

= 1.13 cm.

Se considerarán atiesadores de 1.27 cm (1/2”) de grueso.  I  x = (9.48 - 1.27) x

0.793 12

+

1.27 (18.0 x 2 + 0.79)3 12

= 5270 cm3

 A = 9.48 x 0.79 + 2 x 18.0 x 1.27 = 53.2 cm2

r  x =

5270 / 53.2 = 9.95 cm;

 KL r 

=

0.75 x 250 9.95

= 19 < (KL/r)c = 126.0

De la Tabla 2.2 del Capítulo 2, 2  -3 R c /A   = 2226 Kg/cm , R c  = 2226 x 53.2 x 10  = 118.4 Ton < 150.0 Ton. Los atiesadores están escasos; se harían de 1.75 cm (11/16”) de grueso, en vez de 1.27  cm. Revisión del aplastamiento (Art. 6.8.3)

 Área de contacto. Los atiesadores se recortan 1.5 cm para permitir el paso de los cordones de soldadura que unen el alma con los patines (Fig. E6.2.1a). El área de contacto entre ellos y un patín de la trabe es 2(18 - 1.5) 1.75 = 57.75 cm 2 . Resistencia al aplastamiento = 1.8 F y FR    x Área de contacto = 1.8 x 2530 x 0.75 x 57.75 x  10 -3 = 197.2 Ton.

Trabes Armadas

35

La resistencia al aplastamiento entre el patín inferior y los atiesadores extremos (197.2  Ton) es mayor que la reacción (150 Ton). Dimensión del segundo tablero. La fuerza cortante es igual que en el primero, de manera que si el diseño se basáse en la iniciación del pandeo se obtendría la misma separación entre atiesadores que en él.  Ahora se determinará la dimensión a 2  considerando el estado límite de falla por tensión diagonal. Para que pueda formarse el campo de tensión diagonal debe satisfacerse la condición   260   2  260  2  =  = 0.677 < 3.0 ≤  316   h  (h/t a  ) 

a

Por consiguiente, la separación máxima entre atiesadores en el segundo tablero es (a2 )máx = 0.677 x 250 = 169 cm

Se hará un primer tanteo con a2  = 169 cm; a/h = 169/250 = 0.677  k = 5.0 +

h t a

5.0 (a/h)2

= 316 > 1.40

V  N  =

kE   F  y

    0.905Ek 1  (h/t)2  

 Aa = 201.0 cm2;

V  N  =

= 5.0 +

5.0 0.677 2

= 1.40

= 15.91

15.91E  2530

  +  1 + (a/h)2   0.870

= 1.59

∴

Se utiliza la ec. 3.72.

  A 2  a 1 + (a/h)  0.50 F  y

1+ (a/h)2 = 1 + 0.677 2 = 1.208

 0.905E  x 15.91   0.870  0.50 x 2530  1 +     1.208  1.208  316 2

201.0 x 10-3 = 227.0 Ton

V  R = F  RV  N  = 0.9 x 227.0 = 204.3 Ton > 150.0

El alma está sobrada; sin embargo, no puede aumentarse la separación entre atiesadores, porque a/h resultaría mayor que 0.677, lo que violaría una condición necesaria para que pueda formarse el campo de tensión diagonal; por consiguiente, a 2  = 169 cm.

Trabes Armadas

6.6

36

RESISTENCIA BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE COMBINADOS

Nunca hay fuerza cortante sin flexión, y ésta está acompañada, casi siempre, por  aquella. Sin embargo, en muchos tramos de las trabes armadas una de las dos acciones es pequeña comparada con la otra y el diseño puede hacerse, sin afectar los resultados, considerando sólo la más importante; así sucede, por ejemplo, en las zonas centrales de trabes apoyadas libremente, donde el momento es grande y la fuerza cortante pequeña o nula, y en los apoyos, en los que la situación es la inversa. En otros casos, menos frecuentes, las dos solicitaciones son elevadas, y debe considerarse su interacción; por ejemplo en las zonas de los apoyos intermedios de trabes contínuas. La interacción flexión-fuerza cortante se estudia en el art. 3.10.5 del Capítulo 3. Las reglas para considerar el efecto simultáneo de flexión y cortante en trabes armadas provistas de atiesadores transversales, diseñadas incluyendo la resistencia debida a la formación del campo de tensión diagonal (refs. 6.1 a 6.4, y art. 3.10.5) son las siguientes: Cuando V D y M D están comprendidos entre los límites 0.6 V R  ≤   V D M R,  debe cumplirse la condición 0.727

 M  D  M  R

+ 0.455

V   D V   R

≤ 1.0

≤   V R  y

0.75 M R  ≤   M D

≤  

(6.16)

M R  y V R  son las resistencias de diseño en flexión y cortante, y M D y V D el momento flexionante y la fuerza cortante de diseño. En vigas con almas no reforzadas, la condición es  M  D  M  R

+

V   D V   R

≤ 1.0

(6.17)

 

Trabes Armadas

6.7

37

ALMAS CON CARGAS EN EL BORDE

Las cargas aplicadas en el patín superior de las trabes armadas comprimen el borde longitudinal del alma. Cuando están distribuidas en longitudes relativamente pequeñas, se les llama cargas parciales (“patch loads”). Cuando las cargas concentradas (aplicadas en una longitud muy pequeña) son grandes, suelen colocarse atiesadores transversales bajo ellas, pero si el alma, sin reforzar, puede soportarlas, los atiesadores no son necesarios, ni convenientes, por razones prácticas y económicas; además, no pueden utilizarse para cargas móviles, como en las trabes carril. Por ello, debe revisarse el alma, sin atiesadores, con fuerzas de compresión en el borde, para tener la seguridad de que no se presentarán fallas localizadas bajo ellas. Los tipos de cargas en consideración se muestran en las Figs. 6.8 y 6.9. La longitud c  del tramo cargado puede variar desde muy pequeña (la fuerza puede considerarse concentrada), hasta la longitud completa de la trabe, o de un tablero de alma entre atiesadores (en este caso, la carga de borde es distribuida). Los esfuerzos localizados producidos por las cargas en el borde se combinan, en general, con esfuerzos globales producidos por flexión, cortante, o ambas solicitaciones. C P t

a t p

d

B bp Fig 6.8 Carga parcial y dimensiones de la trabe.

c

Fig 6.9 Aplastamiento del alma en un apoyo.

Las cargas parciales se distribuyen a través de la placa de apoyo del elemento que las aplica, el patín de la trabe armada, y las soldaduras de filete entre patín y alma. En el intervalo elástico, una fuerza concentrada produce en el alma esfuerzos transversales distribuidos (Fig. 6.10), que suelen sustituirse por esfuerzos uniformes en la longitud L.

 

38

Trabes Armadas

F

σy máx L Fig 6.10 Esfuerzos transversales en el alma bajo una carga parcial.

La iniciación del flujo plástico en la parte superior del alma, en la zona adyacente a las soldaduras de filete longitudinales, acompañada, con frecuencia, por flujo plástico del patín, gobierna la resistencia última, ante cargas parciales, de trabes robustas. Si las almas son esbeltas, es su inestabilidad la que suele gobernar la resistencia: el colapso se presenta por pandeo o abollamiento (“crippling”) del alma (Fig. 6.11). F

a) Pandeo F b) Abollamiento

Fig 6.11 Formas de colapso del alma bajo una carga parcial.

El abollamiento es un pandeo localizado en la zona cercana a la carga; ocasiona desplazamientos apreciables, normales al plano original, en un área reducida del alma, sin deformaciones significativas en el resto. En cambio, el pandeo del alma abarca todo el peralte, y está acompañado por una distorsión pronunciada de la sección transversal. Las almas muy esbeltas fallan por abollamiento, sobre todo cuando las fuerzas actúan en longitudes pequeñas, y las de esbeltez media suelen fallar por pandeo. La resistencia ante cargas parciales depende de la geometría de la trabe, los esfuerzos de fluencia del material de alma y patines, la longitud en que está aplicada la carga, y los esfuerzos globales en el alma. 6.7.1 Resistencia última de almas con cargas parciales En los últimos sesenta o setenta años se han realizado muchos estudios experimentales y teóricos para determinar la resistencia de almas no atiesadas con cargas parciales, en los que se ha establecido que la correlación entre las fuerzas de pandeo teóricas y experimentales es muy pequeña, o nula, debido, sobre todo, a que las placas de alma

Trabes Armadas

39

no son nunca planas inicialmente, ni siquiera en condiciones de laboratorio (ref. 6.17). Por ello, las fórmulas que se proponen más adelante son semiempíricas, basadas, principalmente, en resultados de laboratorio. 6.7.1.1 Almas robustas La falla es por flujo plástico en la zona de terminación de las soldaduras que unen el alma con el patín en el que actúan las cargas (o, en vigas laminadas, donde se termina la curva de unión entre alma y patín). En la Fig. 6.12 se muestra la longitud de alma en la que se revisa este estado límite. Se obtiene considerando una dispersión de la fuerza con pendiente 1:1 a través de la placa de asiento del elemento que la transmite, cuando la hay, y de 1:2.5 en el patín más la soldadura con el alma.

t

1:1

1:2.5 t

p

p k

k

S t

0,5Sy a

S

s

r 

s +S

0,5Sy

t

a

y

Fig 6.12 Dispersión de carga concentrada.

La resistencia última se determina con las expresiones (refs. 6.1 a 6.4): a) Cuando la carga está aplicada a una distancia del extremo del miembro mayor que su peralte, R u = F R  R n = F R  (5k + N) F yat a ………. (6.18)

b) Cuando la carga está aplicada a una distancia del extremo del miembro menor o igual que su peralte, R u = F R  R n = F R  (2.5k + N) F yat a ………. (6.19)

F ya es el esfuerzo de fluencia mínimo especificado del acero del alma, N la longitud de aplicación de la carga parcial (no menor que k para reacciones en los apoyos de la viga), k la distancia de la cara exterior del patín a la terminación de los cordones de soldadura (o a la terminación de las curvas de unión con el alma), y t a el grueso del alma. El factor  de reducción de la resistencia, F R,  se toma igual a 1.0.

40

Trabes Armadas

 A diferencia de la Fig. 6.12, en las ecuaciones anteriores se supone que la fuerza se distribuye con pendiente 1:2.5 también en la placa de asiento. Se cuenta con expresiones que son, en teoría, más precisas que las ecs. 6.18 y 6.19, en las que se incluye la contribución del patín a la resistencia; se han obtenido estudiando el mecanismo que se forma cuando se agota la resistencia (Fig. 6.13); las características de ese mecanismo se han observado en estudios experimentales (refs. 6.7, 6.14 y 6.17). a

β

l

β

 Articulaciones plásticas

α α

θ θ

δ

θ- δθ θ- δθ

Líneas de flujo

Fig 6.13 Formación de un mecanismo en el patín que soporta una carga parcial.

6.7.1.2

Almas esbeltas

6.7.1.2.1 Resistencia al abollamiento (“crippling”) La resistencia al abollamiento de almas esbeltas sin atiesadores se evalúa con expresiones semiempiricas. De acuerdo con las refs. 6.1 a 6.4, la resistencia última R u es F RR    n, y la resistencia nominal R n se determina como sigue. a) Cuando la fuerza concentrada de compresión está aplicada a una distancia del extremo del miembro mayor o igual que d/2 ,

 Rn =

0.80t 2a

1.5   t a    N     1 + 3        d   t  p    

(

 EF  y t  p /t a

)

………. (6.20)

b) Cuando la fuerza concentrada de compresión está aplicada a una distancia del extremo del miembro menor que d/2 , Para N/d ≤   0.2 ,

 Rn =

0.40t 2a

  t a   1.5       N  1 + 3      d   t  p     

(

 EF  y t  p /t a

)

………. (6.21a)

Trabes Armadas

41

Para N/d > 0.2 ,

  t a   1.5      4N   Rn = 0.40t 2a 1 +  - 0.2     t  p       d 

(

 EF  y t  p /t a

)

……….(6.21b)

d es el peralte total del miembro, y t   p el grueso del patín. El factor de resistencia F R  se toma igual a 0.75. Las ecs. 6.20 y 6.21 están basadas en resultados reportados en la ref. 6.17, con los coeficientes modificados para obtener un índice de confiabilidad semejante al de otras recomendaciones de las normas (ref. 6.18). 6.7.1.2.2 Pandeo del alma con desplazamiento lateral Si el desplazamiento lateral relativo entre el patín cargado, en compresión, y el patín en tensión, no está restringido en el punto de aplicación de la carga concentrada, por medio de atiesadores o de contraventeo lateral, la resistencia del alma bajo cargas concentradas de compresión es F R  R N,  donde F R  = 0.85  y la resistencia nominal R N  se determina como sigue: a)

Cuando la rotación del patín cargado, en compresión, está restringida,

Para (d c /t a )/(L/b) ≤ 2.3,

 R N  =

C r t a3 t  p d c2

  d c /t a  3    ……….(6.22) 1 + 0.4     L/b    

Para (d c /t a )/(L/b) > 2.3 , no es necesario revisar este estado límite. Si se requiere una resistencia del alma mayor que F RR    N,  el patín inferior debe soportarse lateralmente, o colocarse, frente a la fuerza concentrada de compresión, un par de atiesadores o una placa adosada al alma, que ocupen, cuando menos, la mitad de su peralte. Los atiesadores estarán en contacto con el patín que recibe la carga, para resistirla por  aplastamiento, o soldados a él para desarrollar la fuerza exterior completa; la soldadura que los conecta con el alma se dimensiona para transmitir la fuerza en los atiesadores. Las placas adosadas al alma deben dimensionarse para resistir la fuerza aplicada total. b)

Cuando la rotación del patín cargado, en compresión, no está restringida,

Para (d c /t a )/(L/b) ≤  1.7  ,

 R N  =

C r t a3 t  p d c2

  d c /t a   3    ………. (6.23) 0.4      L/b   

42

Trabes Armadas

Para (d c /t a )/(L/b) > 1.7  no es necesario revisar este estado límite. ,

Si se requiere una resistencia del alma mayor que F R  R N,  los dos patines se soportan lateralmente en la sección en que está aplicada la carga concentrada. En las ecuaciones anteriores, L es la mayor longitud no contraventeada lateralmente en la zona donde está aplicada la carga, medida a lo largo de cualquiera de los patines, b y t  p el ancho y grueso del patín, t a el grueso del alma, y d c  el peralte del alma entre las regiones críticas, definidas por la terminación de la soldadura entre alma y patines. C r  = 67 500 000 Kg/cm2  cuando M u < M y  en el punto de aplicación de la carga. = 33 750 000 Kg/cm 2  cuando M u ≥  M y  en el punto de aplicación de la carga. 6.7.2 Cargas parciales en el borde combinadas con flexión o cortante globales La resistencia de las trabes armadas disminuye cuando actúan sobre ellas, simultáneamente, flexión o cortante y cargas concentradas en el borde. Se recomienda que la interacción se tome en cuenta con las ecuaciones siguientes (refs. 6.17 y 6.23): Flexión

  P   2   M   2   +  = 1 ………. (6.24)  P   M    u     u  

Cortante

  P  1.8  V  1.8   +   = 1 ………. (6.25)   P u   V u   M u y V u son las resistencias últimas de la trabe, en flexión y cortante, sin cargas en el borde, P u la resistencia última ante cargas parciales en el borde, sin flexión ni cortante, M y V las resistencias en flexión y cortante reducidas por la presencia de cargas en el borde, y P la resistencia ante cargas parciales en el borde, con momento o cortante simultáneos.

Trabes Armadas

43

6.8 DISEÑO DE ATIESADORES Para aumentar la resistencia de las trabes armadas se emplean atiesadores de dos tipos, longitudinales y transversales. Con los primeros se incrementa, principalmente, la resistencia en flexión; con los segundos, la resistencia al corte (En el art. 3.5.2 del Capítulo 3 se estudia la influencia de los atiesadores longitudinales en la resistencia de las placas largas en flexión, y en el 3.5.3, la de los transversales, cuando las placas soportan fuerzas cortantes en los bordes). Los atiesadores transversales se utilizan solos, con mucha frecuencia (son los únicos que se mencionan en las refs. 6.1 a 6.4), mientras que los longitudinales se emplean, casi siempre, combinados con transversales: su uso es más común en estructuras para puentes (ref. 6.20) que para edificios.

6.8.1Atiesadores longitudinales Deben tener rigidez adecuada para que cuando se inicia el pandeo del alma se forme una línea nodal a lo largo de ellos, y la placa se pandee subdividida en varios tableros de altura menor que la total (arts. 3.5.1 y 3.5.2); además, como se colocan en la región comprimida, han de resistir la compresión que les corresponde. Por consiguiente, en la determinación de su tamaño intervienen tanto el momento de inercia como el área de sus secciones transversales. En la ref. 6.20 se propone la expresión 6.26 para determinar el momento de inercia de un atiesador longitudinal colocado a una distancia h/5 del borde comprimido del alma. I at  = ht 3 (2.4α2  - 0.13)

(6.26)

I at  es el momento de inercia del atiesador respecto al borde en contacto con el alma. Esta ecuación proviene de un estudio del pandeo elástico de la placa atiesada, y sólo garantiza que se podrá alcanzar la carga crítica correspondiente. Si se quiere desarrollar la resistencia última, el momento de inercia debe aumentarse apreciablemente (refs. 6.6, 6.7, 6.11).

6.8.2Atiesadores transversales Son de dos tipos: los que se colocan en secciones de la trabe que reciben fuerzas concentradas importantes, sean reacciones o cargas, y los intermedios. Los primeros transmiten fuerzas exteriores al alma evitando, al mismo tiempo, que se arrugue o se pandee. En cambio, en los del segundo tipo no se introducen fuerzas en la trabe. Sus funciones son otras: conservar la forma de las secciones transversales, asegurar la aparición de líneas nodales cuando se inicia el pandeo del alma, dividiéndola en tableros de dimensiones adecuadas (para lo que deben tener una cierta rigidez), y garantizar la

44

Trabes Armadas

resistencia posterior al pandeo, cuando ésta se incluye en el diseño (para lo que, además de rigidez, han de poseer la capacidad de carga necesaria para resistir las fuerzas que se generan en ellos cuando se forma el campo de tensión diagonal). Dividiendo la resistencia de la trabe a la fuerza cortante en dos partes, acción de viga hasta que el esfuerzo τ = V/ht a alcanza el valor crítico, y tensión diagonal desde ese instante hasta que se inicia el flujo plástico del alma en el campo de tensión diagonal, pueden determinarse por separado las condiciones necesarias para cumplir las funciones mencionadas arriba. La fuerza normal en los atiesadores es nula hasta que se inicia el pandeo al alma, por lo que hasta entonces basta con que posean rigidez lateral suficiente para que se formen líneas nodales a lo largo de sus intersecciones con el alma, y ésta se pandee en semiondas de longitud igual a la separación entre ellos; éste es el requisito que ha de cumplirse en las almas de trabes armadas diseñadas con base en la resistencia al pandeo. En cambio, al formarse el campo de tensión diagonal los atiesadores tienen que soportar las componentes verticales de las fuerzas inclinadas que aparecen en el alma y transmitirlas de uno a otro de los patines, conservándose rectos durante todo el proceso; su trabajo es semejante al de los montantes de una armadura. Por consiguiente, si no se utiliza la resistencia posterior al pandeo, los atiesadores transversales sólo tienen que satisfacer un requisito, de rigidez lateral; si se utiliza deben, además, cumplir una segunda condición, de resistencia.

6.8.2.1 Rigidez El momento de inercia de un atiesador transversal, respecto al eje de la placa de alma cuando el atiesador es doble, y a la cara que está en contacto con el alma cuando es sencillo, se determina con la expresión (refs. 6.1 a 6.4)  I at 

 2.5 ≥ at a3   (a/h)2



- 2  ≥ 0.5 at a3

(6.27)



La relación γo entre la rigidez del atiesador y la de un tablero de alma de longitud a puede calcularse con la fórmula teórica (ref. 6.6)

γo

[ (

 EI at   EI at  12 1 = =  Da  Et a3 a

µ 2 )]

=

1092I at  t a3 a

(6.28)

I at  es el momento de inercia óptimo del atiesador (el mínimo para el que se forma una línea nodal en su intersección con el alma), y D = Et 3a / [12(1 - µ 2 )] es la rigidez en flexión, por unidad de longitud, de la placa de alma. De la ec. 6.28 se despeja el momento de inercia requerido:

Trabes Armadas

 I at  =

45

3 γ o t  a

a 10.92

Sustituyendo en esta ecuación el valor de refs. 6.6 y 6.20)

 7  γ o =4  (a/h)2

γo propuesto en la ref. 6.21 (ver, también, las



- 5



se llega a



 I at  = 

2.56 

 (a/h)2



- 1.83 at a3



Esta ecuación, con pequeños ajustes en los coeficientes, es la 6.27. La expresión 6.29 se utilizó durante muchos años para determinar el momento de inercia de los atiesadores; todavía se conserva en la ref. 6.10.

 h 4  50 

 I at  ≥ 

(6.29)

6.8.2.2 Resistencia La fuerza axial que ha de resistir el atiesador cuando se forma el campo de tensión diagonal se obtiene del equilibrio de fuerzas verticales de la porción de trabe aislada que se muestra en la Fig. 3.27 (art. 3.9.2, Capítulo 3):

σ y (1 - τ cr  / τ  y )  a   P at  = 2  h

(a/h)2 1+ (a/h)2

 σ (1 - C v )at a   ht a =  y 1 2  

(a/h) 1+ (a/h)2

  

(6.30)

Investigaciones recientes (ref. 6.7) han mostrado que la ec. 6.30 puede simplificarse, sin pérdida apreciable de precisión, haciendo en ella a/h = 1, con lo que se reduce a P at  = 0.15 σy  (1 - C v )at    a

Finalmente, dividiendo P at  entre el esfuerzo de fluencia del acero del atiesador, se obtiene el área de su sección transversal:  Aat  =

 P at 

σ y

at 

=

0.15σ ya (1 - C v  )at a

σ yat 

(6.31)

46

Trabes Armadas

Esta ecuación proporciona el área de atiesadores dobles, hechos con acero igual que el del alma, colocados simétricamente respecto a ella;  Aat  es la suma de áreas de los dos. Si se emplean atiesadores sencillos, colocados en un sólo lado del alma, actúa en ellos una compresión excéntrica, que reciben a lo largo de su cara en contacto con el alma; como trabajan en flexocompresión, su eficiencia disminuye, y debe aumentarse su área.  Además, cuando el alma tiene una resistencia F R  V n mayor que la necesaria para soportar la fuerza cortante de diseño V u, el área del atiesador puede reducirse multiplicándola por  V u /F RV    n, y la parte del alma que trabaja con el atiesador, de ancho 18t a, puede descontarse de Aat . Con las modificaciones anteriores, y llamando a los esfuerzos de fluencia F y , se obtiene la expresión propuesta en las ref. 6.1 a 6.4 para los casos en que se incluye en el diseño el aumento de resistencia debido al campo de tensión diagonal:

 

 Aat  = Y 0.15Dht a (1 - C v )

V u  F  RV n

 

- 18t a2  ≥ 0

(6.32)

Y es el cociente de los esfuerzos de fluencia del alma y de los atiesadores (F ya /F yat   ), y D es un factor que tiene en cuenta la configuración de éstos (Fig. 6.14); vale 1.0 para dos placas simétricas, colocadas en los dos lados del alma. 1.8 para un solo ángulo, con una de sus caras adosada al alma. 2.4 para una sola placa. 3.0 para un solo ángulo, con una de sus caras paralela al alma.

6.8.2.3 Conexión con el alma Si se utiliza el campo de tensión diagonal, la conexión entre atiesadores y alma se diseña para que transmita una fuerza, en kilogramos por centímetro lineal de cada atiesador o par de atiesadores, no menor que 0.054F  Rh  F  y3 /E  (ref. 6.15).

6.8.3Atiesadores bajo cargas concentradas Se colocarán atiesadores en pares, en los dos lados del alma, en los apoyos extremos e intermedios (en el caso de trabes continuas) de las trabes armadas, excepto en los extremos que estén conectados a otros elementos de la estructura (columnas, en general) de manera que se evite la deformación de su sección transversal. Su diseño se hará como se indica en los párrafos siguientes. También se colocarán pares de atiesadores o placas adosadas al alma en puntos intermedios de las trabes en los que actúen cargas concentradas cuyo valor de diseño sea mayor que la resistencia de diseño F R  R N  dada en los artículos 6.6.1.2.1 y 6.6.1.2.2.

Trabes Armadas

47

Los atiesadores deben ser simétricos respecto al alma, y dar apoyo a los patines de la trabe hasta sus bordes exteriores, o lo más cerca de ellos que sea posible. Se diseñan como columnas de sección transversal formada por el par de atiesadores y una faja de alma de ancho no mayor que 25 veces su grueso, colocada simétricamente respecto al atiesador, cuando éste es intermedio, y de ancho no mayor que 12 veces su grueso cuando está en el extremo del alma.  Al obtener la relación L/r para diseñar los atiesadores, el radio de giro se toma alrededor  del eje del alma de la trabe, y la longitud L se considera igual a tres cuartos de la longitud del atiesador. Los bordes horizontales de cada par de atiesadores en los que se apoya el patín de la trabe armada se dimensionan de manera que en el área de contacto no se sobrepase la resistencia al aplastamiento, calculada multiplicando el área de contacto por  1.8  F y  F R;  F R  es igual a 0.75. Además, debe colocarse el número adecuado de remaches o tornillos, o la cantidad necesaria de soldadura, para transmitir al alma de la trabe la totalidad de la reacción o de la carga concentrada. Si se usan aceros diferentes en patín y atiesadores, la resistencia al aplastamiento se calcula con el esfuerzo de fluencia menor. Los atiesadores deben estar en contacto directo con el patín o patines de los que reciben la carga y ajustados a ellos, a menos que la transmisión se haga por medio de soldadura. Los atiesadores pueden soldarse al patín en tensión o en compresión. En trabes sujetas a cargas dinámicas, deben revisarse las condiciones de fatiga en las uniones con el patín en tensión y con las porciones del alma en tensión. Pueden usarse soldaduras de filete transversales para unir los atiesadores con los patines. D

 Aat

Iat

 Atiesador  b’

 Alma

ta tat

(A,I ) x

2b’tat

(2b’+ta)

3

12

b’

ta

y

x

1.0

x Centro de gravedad del ángulo

1.8

A

2.4

b’tat

I x +A(y+0.5ta)

ta b’

tat

t(b’+0.5ta)

2

3

3 ta y x

x

3.0

A

x +A(y+0.5ta)

(A,I ) x

Fig 6.14 Atiesadores transversales.

2

 

48

Trabes Armadas

6.8.4 Requisitos adicionales a)

Los atiesadores que trabajan en compresión se dimensionan para que no fallen por pandeo local. Para ello deben satisfacer los requisitos de la Tabla 3.6 (Capítulo 3).

b)

La suma del ancho de cada atiesador más la mitad del grueso del alma del miembro sobre el que actúa la carga concentrada no será menor que un tercio del ancho del patín o de la placa de conexión a través de los que se aplica esa carga.

c)

El grueso de los atiesadores no será menor que la mitad del grueso del patín o placa a través de la que se aplica la carga concentrada.

d)

Cuando la carga concentrada actúa en un solo patín del elemento que la recibe, basta con que los atiesadores lleguen a la mitad del peralte del alma.

e)

La soldadura que une los atiesadores con el alma del elemento sobre el que actúan cargas concentradas se dimensiona para que transmita la fuerza en los atiesadores ocasionada por los momentos diferentes que obran en los lados opuestos del elemento atiesado.

f)

Cuando la carga normal al patín es de tensión, los atiesadores deben soldarse al patín cargado; cuando la carga es de compresión, pueden soldarse o ajustarse al patín cargado; en el segundo caso la carga se transmite por contacto directo entre el patín y los atiesadores. Cuando se utiliza soldadura, se dimensiona para que transmita al atiesador la totalidad de la fuerza aplicada en el patín.

6.8.5 Placas adosadas al alma Cuando se empleen placas adosadas al alma, deberán satisfacer los requisitos siguientes: a)

El grueso y tamaño de la placa, o placas, serán los necesarios para proporcionar  el material requerido para igualar, o exceder, la demanda de resistencia.

b)

Las soldaduras de las placas trasmitirán la parte de la fuerza total que les corresponda.

Pueden colocarse dos placas, a uno y otro lado del alma, o una sola. Esta solución suele ser más económica.

Trabes Armadas

49

6.9 ESPECIFICACIONES DE DISEÑO 6.9.1 Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal Las recomendaciones para el diseño de trabes armadas, contenidas en la revisión de las Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras metálicas del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal (ref. 6.4) son prácticamente iguales a las de las normas en vigor a la fecha (julio de 2002 ; ref. 6.3). La diferencia principal está en la presentación de las ecuaciones, que en la ref. 6.4 se han escrito en forma adimensional3. Además, se han hecho pequeñas modificaciones.  A continuación se presentan los aspectos más importantes de las recomendaciones de diseño de la ref. 6.4; las ecuaciones tienen los números de este libro.

6.9.1.1 Resistencia de diseño en cortante Esta parte de las especificaciones está en el artículo 3.10.4.2.1 del Capítulo 3, donde se presentan las ecuaciones en las dos formas mencionadas arriba (refs. 6.3 y 6.4).

6.9.1.2 Relación peralte/grueso del alma La relación h/t a del peralte al grueso del alma no debe ser mayor que 0.48E /  F t (Fy + 1150)

(6.12)

pero puede aumentarse hasta 11.7   E/F  y cuando hay atiesadores transversales con separaciones no mayores de una y media veces el peralte del alma de la trabe. En trabes sin atiesadores la relación h/t a no debe exceder de 260. En secciones laminadas, h es la distancia libre entre patines menos las curvas de unión con el alma; en secciones formadas por placas, la distancia entre líneas adyacentes de sujetadores, o la libre entre patines cuando se utiliza soldadura.

6.9.1.3 Refuerzo del alma Si h/t a no es mayor que 2.45   E/F  y y la fuerza cortante en la trabe no es mayor que su resistencia dada por las ecuaciones 3.66 y 3.67 o 3.68, art. 3.10.4.2.1, no se necesita reforzar el alma, excepto en las secciones en que reciba fuerzas exteriores concentradas y se requieran atiesadores de acuerdo con el artículo 6.8.3. 3

Cuando no pueden escribirse así, las ecuaciones aparecen en los sistemas métrico decimal usual e internacional (SI).

50

Trabes Armadas

Si h/t a no es mayor que 2.45  E/F  y , pero la fuerza cortante en la trabe es mayor que su resistencia dada por las ecuaciones 3.66 y 3.67 o 3.68, el exceso debe tomarse mediante placas adosadas al alma o atiesadores verticales y en diagonal que trabajen en forma semejante a los montantes y diagonales de una armadura. Al aplicar las ecuaciones 3.67 y 3.68 debe tenerse en cuenta que en almas no atiesadas k = 5.0.

6.9.1.4 Atiesadores transversales intermedios Cuando h/t a es mayor que 2.45  E/F  y debe revisarse si es necesario reforzar el alma por  medio de atiesadores transversales, perpendiculares al eje de la trabe. No se necesitan atiesadores transversales en los tramos de las trabes en los que la fuerza cortante de diseño, V D, es menor o igual que la resistencia de diseño al cortante, V R,  calculada con la ecuación 3.66, y la que sea aplicable de las ecuaciones 3.69 y 3.71 del art. 3.10.4.2.1, haciendo en ellas k = 5.0. Cuando se necesitan atiesadores intermedios, la separación entre ellos será tal que la fuerza cortante de diseño en el alma no sobrepase su resistencia de diseño, calculada con la ecuación 3.66 y alguna de las ecuaciones 3.69 a 3.72. Si la relación a/h es mayor  que 3.0 o que [260/(h/t)]2 no se permite que se forme campo de tensión diagonal, y la resistencia nominal se calcula con la ecuación 3.69 o 3.71; además, k  se toma igual a 5.0. En trabes diseñadas con la ecuación 3.70 o 3.72, la separación entre los atiesadores que limitan los tableros extremos, o tableros contiguos a agujeros de grandes dimensiones, debe ser tal que la resistencia de diseño al cortante de la trabe, calculada con la ecuación 3.69 o 3.71 y la ecuación 3.66, no sea menor que la fuerza cortante de diseño existente en el tablero. Este requisito no es necesario cuando las secciones extremas del alma están ligadas directamente a una columna u otro elemento de rigidez adecuada. Los atiesadores intermedios pueden colocarse por pares, a uno y otro lado del alma, o pueden alternarse en lados opuestos de la misma. Las dimensiones de la sección transversal de los atiesadores intermedios deben ser tales que se cumplan las condiciones que se indican a continuación. a)

Cuando el diseño del alma se hace con alguna de las ecuaciones 3.70 ó 3.72, tomando como base el estado límite de falla por tensión diagonal, deben satisfacerse las condiciones siguientes:

1.

El área total de cada atiesador o par de atiesadores será igual o mayor que  

 Aat  = Y   0.15 D a ht a (1 - C v )

V  D V  R

 

- 18 t a2  ≥ 0

(6.32)

Trabes Armadas

51

Y es el cociente de los esfuerzos de fluencia de los aceros del alma y de los atiesadores. C v  es igual a [1.12/(h/t a  )]  Ek/F  y cuando el diseño del alma se hace con la ecuación 3.70, e igual a 1.57  Ek  /  F  y (h/t a )2 cuando se utiliza la ecuación 3.72. En ambos casos, F y  corresponde al acero del alma. Da = 1.0  para atiesadores colocados en pares, 1.8 para atiesadores formados por un solo ángulo, y 2.4 para los formados por una sola placa. V D y V R  son la fuerza cortante de diseño y la resistencia de diseño al cortante en el punto de colocación del atiesador. V R  se calcula con las ecuaciones 3.66 y 3.70 o 3.72. 2.

El momento de inercia de cada par de atiesadores, o de cada atiesador sencillo, con respecto a un eje en el plano del alma, debe ser igual o mayor que:  2.5  2  ≥ 0.5 at a3 2  (a/h) 

(6.27)

at a3 

donde t a es el grueso del alma. b)

Cuando el diseño del alma se hace con alguna de las ecuaciones 3.69 ó 3.71, tomando como base el estado límite de iniciación del pandeo, basta con que se satisfaga la segunda condición del caso a).

No es necesario que los atiesadores intermedios lleguen hasta el patín de tensión, excepto cuando se necesite un apoyo directo para transmisión de una carga concentrada o reacción. La soldadura que los liga con el alma puede cortarse a una distancia de la soldadura entre el patín de tensión y el alma no menor de 4 ni mayor de 6 veces del grueso del alma. Cuando se emplean atiesadores en un solo lado del alma, deben ligarse al patín de compresión. Si se conecta contraventeo lateral en un atiesador o par de atiesadores, las uniones entre ellos y el patín de compresión deben ser capaces de transmitir uno por ciento de la fuerza total en el patín. Los atiesadores intermedios diseñados de acuerdo con el caso a) deben conectarse al alma de manera que puedan transmitir una fuerza, en kilogramos por centímetro lineal de cada atiesador o par de atiesadores, no menor que 0.054 F  Rh

 F  y3  E 

52

Trabes Armadas

F y  corresponde al acero del alma, h es el peralte de la misma, en cm, y F c  es el factor de carga que se utilice en el diseño. Esta fuerza puede reducirse en la misma proporción que el área de los atiesadores cuando la fuerza cortante de diseño mayor de las existentes en los dos tableros situados a uno y otro lado del atiesador en estudio es menor que la resistencia de diseño calculada con las ecuaciones 3.66 y 3.70 o 3.72. Esta condición no tiene que revisarse en el caso b). Los elementos de liga de atiesadores intermedios que transmiten al alma una carga concentrada o reacción deben tener como capacidad mínima la correspondiente a esa carga o reacción.

6.9.1.5 Reducción del momento resistente por esbeltez del alma Si la relación h/t a del peralte al grueso del ama de secciones I o H excede de 5.30  ES/M  R

4

y el patín comprimido cumple las relaciones ancho/grueso de las secciones tipo 1, 2 ó 3 de la Tabla 3.6, la resistencia de diseño en flexión, reducida por esbeltez del alma, M’ R,  se calcula con la ecuación   h a r   ES     M’  R= M  R 1  - 5.60  M   ≤ M  R  1200 + 300 a r   t   R   

(6.15 modificada)

donde ar  es el cociente de las áreas del alma y del patín comprimido ( ≤ 10), h y t a el peralte y el grueso del alma, S el módulo de sección de la sección completa, respecto al patín comprimido, y M R  la resistencia de diseño en flexión, que no debe exceder de F R  M y . Cuando actúa sobre la trabe armada una fuerza de compresión, P u, además de la flexión, la constante 5.60 de la ecuación 6.15 se multiplica por  1 - 0.65 P u /P y .  Al calcular el momento reducido de secciones en cajón, se tiene en cuenta la existencia de dos o más almas.

EJEMPLO 6.3. Diseñe una trabe armada soldada de las dimensiones y con las cargas indicadas en la Fig. E6.3.1, utilizando el proyecto de Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el D. F.(ref. 6.4). El patín comprimido está soportado lateralmente en los apoyos y en los puntos de aplicación de las cargas

Si MR = FR SFy , esta expresión se convierte en 5.30  E / F  R Fy y, para  F R = 0.9 en 5.60 para valores h/ t a mayores que este límite, el alma es tipo 4 (Tabla 3.6) 4

 E / Fy

;

Trabes Armadas

53

concentradas. El acero es A36 . Las cargas mostradas en la figura son de trabajo; utilice un factor de carga F R  = 1.4. T

T 4.5T/m

 A 5m

M(TM)

C

     5      7  .      5      8      1      7  .      3      2      7

(E)

1m 4m

10m 20m

     9  .      0      6      3

D

B 5m

     0  .      5      7      3     =     x      á     m      M

(C) (F) 2.50m

V (Ton)

52.5 70.5 75.0 22.5 (E) (C) (F) 11.25 1m

22.5 52.5

75.0

Fig E6.3.1 Dimensiones, cargas y diagramas de momentos flexionantes y  fuerzas cortantes nominales.

TRAMO CENTRAL CD M máx  = 30 x 5 + 4.5 x 20 2  /8 = 150 + 225 = 375.0 Tm V máx  = 30 + 4.5 x 20/2 = 75.0 Ton M D = 375 x 1.4 = 525.0 Tm V D = 75 x 1.4 = 105.0 Ton Elección de una sección preliminar  El peralte total no debe ser mayor de 2.50 m. La relación h/t a no debe exceder de 0.48E  /   F  y (F  y + 1150) = 0.48E/

2530(2530 + 1150) = 321,

pero

 puede aumentar hasta 11.7   E/F  y = 332 si se colocan atiesadores transversales con separaciones no mayores de 1.5 veces el peralte del alma. Se ensaya un alma de 2.44 m (8’) de peralte y 0.79 cm (5/16”) de grueso. h/t a = 244/0.79 = 309 < 327

Aa = 244 x 0.79 = 192.8 cm 2

54

Trabes Armadas

En la sección de momento máximo debe satisfacerse la condición aproximada siguiente: M u ≈ F R  A p F y h ∴ A p ≈ M u /F R F y h = 525.0 x 10 5  /(0.9 x 2530 x 244) = 94.5 cm2 

Se consideran, por ahora, patines de 45 cm x 2.22 cm (7/8”), con área A p = 99.9 cm2  Relaciones ancho/grueso. (Fig. E6.3.2) Patines.

b/2t  p = 45.0/2 x 2.22 = 10.1 < 0.38  E/F  y = 10.8

 Alma.

h/t a = 244.0/0.79 = 308.9 > 5.60  E/F  y = 159

Los patines son tipo 2 y el ama es tipo 4 (Tabla 3.6). 2.22cm 45.0cm t=0.79cm

    m     m     c     c      4      4      7  .      4      8      2      4     =      2      h

    m     c      2      2  .      6      4      2     =      1      h

2.22cm Fig E6.3.2 Sección preliminar; tramo central.

Propiedades geométricas de la sección preliminar   A p = 99.cm2 ; Aa = 192.8 cm2; At  = 392.6 cm2

 I  x =

0.79 x 244 3

I y  = 2 x 

12

+ 2 x

2.22 x 45.0 3 12

+

45.0 x 2.22 3 12 244x0.793 2

+ 2 x 99.9 x 123.112 = 3984 612 cm 4

= 33726 cm 4

S  x = 32077 cm3 ; Z  x = 36358 cm3  J = ∑ t 3b/3 =

1 3

(2 x 2.223 x 45.0 + 0.793 x 244) = 368.3 cm4

Trabes Armadas

55

C a = I  y h 12 /4 = (33726 x 246.222 /4) = 511 x 106  cm6 

REVISIÓN POR FLEXIÓN  σ MAX  =

 M  D S  x

=

525.0 x 10 5 32077 

= 1637  Kg/cm 2 < 0.9 F  y = 2277  Kg/cm 2

Revisión por pandeo lateral  El momento máximo se presenta en el centro del tramo ∴ C = 1.0. Ec. 5.50b

  J   π   2   368.3   π   2  π E   511x10 6    x10 -5 = 847.1 Tm  M u =  I  y  +   C a  = 33726  + CL  2.6    L   1 x 1000  2.6   1000   π E 

El primer término dentro del paréntesis rectangular representa la contribución de la resistencia a la torsión de Saint Venant, y el segundo la resistencia al alabeo; conservando sólo el primer término se obtiene M u1 = 140.0 Tm, y conservando el  segundo, M u2  = 835.4 Tm; la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de ambos momentos es M u = 847.1 Tm. Se comprueba que en secciones transversales como la de este ejemplo casi toda la resistencia al pandeo lateral proviene de la oposición de la sección a alabearse. M y  = S x F y  = 32077 x 2530 x 10 -5  = 811.5 Tm ∴ M u = 847.1 Tm >

2 3

M y  = 541.0 Tm

Las longitudes Lu y Lr  se determinan con las ecs. 5.54 y 5.55, pero como la sección es tipo 4 el cálculo de X u y X r  se hace sustituyendo el módulo de sección plástico, Z, por el  elástico, S.  X r  =

4 3

C 

S  F  y

Ca

GJ 

 I  y

4

32077  x 2530

=  x 1 x  x 3 784000 x 368.3

511 x 10 6  33726 

= 46.13 ; X u = 3.220

 X r  = 148.54

Ec. 5.54  Lu =

2π

 ECa

 X u

GJ 

2π

 ECa

 X r 

GJ 

1+

2 1+ X U 

1+

1 + X r 2

=

2π

511x10 6  E 

148.54

784000x368.3

2π

511 x 10 6  E 

46.13

784000 x 368.3

1 + 1 + 148.54 2 = 694.8 cm

Ec. 5.55   Lr  =

=

1 + 1 + 46.13 2 = 1256.1 cm

Lu = 694.8 cm < L = 1000 cm < L r  = 1256.1 cm ∴ El pandeo se inicia en el intervalo inelástico.

56

Trabes Armadas

El momento resistente se calcula con la ec. 5.60.   0.28M  y   0.28 x 811.5   = 1.15 x 0.9 x 811.5   1  = 614.6 Tm < 0.9 M  y = 790.4 Tm.   847.1      M u  

 M  R = 1.15 F  R M  y 1 -

Para calcular el momento resistente no se necesita determinar las longitudes L u y Lr ;  puede obtenerse aplicando directamente las ecs. 5.50 y 5.60. Como el alma de la sección es tipo 4, y en su diseño se utilizará la resistencia que  proviene del campo de tensión diagonal, el momento resistente se reduce de acuerdo con la ec. 6.15 modificada. ar  =

192.8 99.9



= 1.93 < 10.0

 M  R'  = M  R 1 -



  h       1.93  - 5.6   ES   = 614.6 1 308.9 − 5.6  32077E   = 1200 + 300a r   t   M  R   614.6  x 10 5    1200 + 300x1.93   a r 

= 614.6 x 0.863 = 530.4 Tm.

El momento resistente disminuye en 16 por ciento, aproximadamente, por la esbeltez del  alma. M ’ R  = 530.4 Tm > M D = 525.0 Tm

∴ La sección propuesta está correcta por flexión.

TRAMOS LATERALES AC Y DB Se conservan las dimensiones generales de la sección; sólo disminuye el grueso de los  patines. M D = 318.75 x 1.4 = 446.3 Tm.

C = 0.60 ;

L = 5.00 m.

Se ensayará la sección de la Fig. E6.3.3. Relaciones ancho/grueso Patines.  Alma.

b/2t  p = 45.0/2 x 1.69 = 14.2 < 0.58  E/F y = 16.5 h/t a = 244/0.79 = 308.9 > 5.60  E/F y = 159.0

Los patines son tipo 3 y el alma tipo 4 (Tabla 3.6).

Trabes Armadas

57

Propiedades geométricas de la sección preliminar   A p = 71.55 cm2 ; Aa = 192.8 cm2 ;  I  x = 3 114 302 cm 4 ; S  x = 25 199 cm 3  I  y =

24 159 cm 4 ; J = 160.7 cm4 ; C a = 364 x 106  cm6 

REVISIÓN POR FLEXIÓN  σmáx  = M u /S x  = 490.0 x 10 5  /25199 = 1945 Kg/cm2  < 0.9F y  = 2277 Kg/cm2 

Revisión por pandeo lateral   M  y = S  x F  y = 25199 x 2530 x 10-5 =637.5 Tm.

Ec. 5.50b.  160.7    π   2  2 6      M u = 24159 + 364x10  x10 -5 = 3987.0 Tm >  M  y = 425.0 Tm 0.6x500 3  2.6   500     0.28M  y   0.28x637.5   = 1.15x0.9x6 37.5  1  = 601.1 Tm > F  R M  y =  M  R = 1.15 F  R M  y 1 Ec. 5.60   2006.3      M u   π E 

= 573.8 Tm

∴ M  R = 573.8 Tm

Reducción por pandeo del alma ar  = 192.8/71.55 = 2.69 < 10

Ec. 6.15 modificada 

    308.9 - 5.6  25199 E   = 573.8x0.811 = 465.1 Tm 573.8x10 5    1200 + 300x2.69  

 M ’  R = 573.8 1 -

2.69

M ’ R  = 465.1 Tm > M D = 446.3 Tm.Se acepta la sección propuesta (está sobrada en 4 por  ciento, aproximadamente).

 

58

Trabes Armadas

1.59 cm 45.0cm t=0.79cm

    m     m     c     c      8      4      1  .      4      3      2      4     =      2      h

    m     c      9      5  .      5      4      2     =      1      h

1.59

Fig E6.3.3 Sección preliminar, tramos laterales.

 ATIESADORES En los apoyos La reacción en un apoyo es de 75.0 Ton ; x 1.4 = 105.0 Ton. De acuerdo con el art. 6.7.1.1, la resistencia de diseño al flujo plástico local del alma es: Ec. 6.19

 Ru = F  R Rn = (2.5 K + N) F  y t a.

F R  se toma igual a 1.0.

Se considera, conservadoramente, N = 0; se supone que alma y patines están unidos entre sí con soldaduras de filete de 0.63 cm (1/4”), luego K = 1.59 + 0.63 = 2.22 cm. R u = (2.5 x 2.22 + 0) 2530 x 0.79 x 10 -3 = 11.1 Ton << 105.0 

Deben colocarse atiesadores en los apoyos. (Si se hubiese satisfecho la condición que se acaba de revisar, se revisarían también los criterios señalados en el art. 6.7.1.2). Bajo cargas concentradas P u = 30 x 1.4 = 42.0 Ton.

 Aquí el grueso del patín es de 2.22 cm, y por especificación la soldadura mínima entre alma y patines debe ser de 0.79 cm (5/16”); por consiguiente, K = 2.22 + 0.79 = 3.01 cm. Ec. 6.18.  F u = F  R Rn = F  R (5K + N) F  y t a = 1.0 (5 x 3.01 + 0) 2530 x 0.79 x 10 -3 = 30.1 Ton < 42.0

Trabes Armadas

59

También deben colocarse atiesadores bajo las cargas concentradas. Resistencia al corte de los tramos laterales de 5 m Si no se colocasen atiesadores transversales en estos tramos, se tendría a = 5.00 m, a/h = 500/244 = 2.05. No se permite tensión diagonal en los tableros extremos,cuando a/h excede de 3.0 o de

[260/(h/t a  )]2 = (260/308.9 )2

= 0.708 < 2.05.

Como a/h > [260/(h/t a  )] 2 , k se toma igual a 5.0. h t a

= 308.9 > 1.4

 Ek   F  y

= 1.4

5.0E   F  y

= 88.9 ∴V  N 

se calcula con la ec. 3.71.

Ec. 3.71 V  R = F  R V  N  = F  R

0.905Ek  (h/t a  )

2

 Aa = 0.9 x

0.905 x 5.0E  308.9

2

 x 195.3x10-3 = 17.0 Ton < V  D = 105.0 Ton.

El área del alma Aa es igual al producto de su grueso por el peralte total de la trabe (incluyendo los patines). Se necesitan atiesadores intermedios. Tablero extremo Debe dimensionarse de manera que no se forme campo de tensión diagonal en él. Ec. 3.71 V  R = V  N  F  R = 0.9 x

0.905Ek  5.0  x192.8x10-3 = 3.356 k = 105.0 ∴ k = 5.0 + 2 308.9 (a/h)2

= 31.29,

a/h = 0.436 

La distancia entre el apoyo y el primer atiesador no debe exceder de a = 0.436 x 244 = 106 cm. El primer atiesador se colocará a 100 cm del apoyo.  Atiesadores adicionales La fuerza cortante de diseño a 100 cm del apoyo es (Fig. E6.3.1): V D = 70.5 x 1.4 = 98.7  Ton.

60

Trabes Armadas

Si no hubiese atiesadores adicionales, a = 4.00 m, a/h = 400/244 = 1.64 > [260/(h/t a  )] 2 = 0.708 ∴ k = 5.0  La resistencia de diseño, calculada arriba, es V R  = 17.0 Ton < 98.7  ∴ Se necesitan atiesadores adicionales. Poniendo un atiesador a la mitad de la distancia entre el primero y la carga concentrada, a se reduce a 2 m. a/h = 200/244 = 0.820 sigue siendo mayor que [260/(h/t a  )] 2 , de manera que no puede desarrollarse el campo de tensión diagonal; k = 5.0, V R  = 17.0  Ton < 98.7. Dos atiesadores adicionales.

a = 400/3 = 133 cm, a/h = 133/244 = 0.545 < [260/(h/t a  )] 2 = 0.708.

k = 5.0 + 5.0/0.545 2  = 21.83

La resistencia al corte, incluyendo el campo de tensión diagonal, se determina con las ecs. 3.66 y 3.72.      0.50F  y 0.905Ek  0.870   V  R = F  R 1 +  (h/t a  ) 2   1 + (a/h)2   1 + (a/h)2 

= 0.9

  A =  a 

 0.905E  x 21.83      1 - 0.870  + 0.50 x 2530  192.8 x 10-2 = 210.0 Ton > V  = 98.7    D    308.9 2   1 + 0.545 2   1 + 0.545 2 

Se colocarán tres atiesadores separados 133 cm entre sí, entre el primer atiesador y la carga concentrada. Tramo central de 10 m V D = 22.5 X 1.4 = 31.5 Ton > 17.0  ∴ Se requieren atiesadores.

Si se colocan dos entre la carga concentrada y el centro del claro, a = 5.00/3 = 167 cm, a/h = 167/244 = 0.684 < [260/(h/t a  )] 2 = 0.708 k = 5.0 + 5.0/0.6842 = 15.69

 0.905E  x 15.69     0.870   0.50 x 2530    V  R = 0.9  1+ 195.3 x 10 -3 =   2    1 + 0.684 2   1 + 0.684 2     208.9 198.6 Ton >> 31.5

Trabes Armadas

61

Se pondrán dos atiesadores entre las cargas concentradas y el centro de la trabe, separados 1.60 m. En el centro de la trabe no se necesita atiesador, pues la fuerza cortante en el tablero central es menor que la que resiste el alma sin refuerzo. INTERACCIÓN FLEXION-FUERZA CORTANTE Sólo se revisa cuando en el diseño del alma se ha considerado el efecto del campo de tensión diagonal. Se revisan la sección inmediata al atiesador que limita el tablero extremo, la adyacente a la carga concentrada y una intermedia del tramo central de la viga, utilizando el criterio de la ref. 6.2. (Secciones E, C y F, Fig. E6.3.1).

SECCIÓN

VD (Ton)

VR (Ton)

VD /VR

MD (Tm)

MR (Tm)

MD /MR

E C F

98.7 73.5 15.8

210.0 210.0 192.8

0.470 0.350 0.082

101.9 446.3 505.3

464.6 539.8 539.8

0.219 0.827 0.936

Como VD/VR es siempre menor que 0.6, no es necesario revisar ninguna sección por  interacción. Tampoco habría que hacer la revisión aunque VD/VR fuese mayor que 0.6 en alguna sección, si MD no excediese de 0.75 MR en ella. En la Fig. E6.3.4 se muestran los atiesadores transversales. Los de los apoyos o bajo cargas concentradas llegan hasta el patín inferior de la trabe; los intermedios se cortan antes.

1m 3@ 1.33m 2@ 1.60m 5m

3.60m

2@ 1.60m 3@ 1.33m 1m

10m Fig E6.3.4 Colocación de atiesadores.

DISEÑO DE LOS ATIESADORES Intermedios Se utilizan dos placas, colocadas en los dos lados del alma.  Área necesaria (ec. 6.32):

5m

62

Trabes Armadas

 

 Aat  = Y   0.15 D ht a (1 - C v )

V  D V  R

 

- 18t a2  ≥ 0

Tanto el alma como los atiesadores son de acero A36 ∴ Y = 1.0. D = 1.0, para atiesadores colocados en pares, simétricos respecto al alma. TRAMO EC (Fig. E6.3.1) Como el diseño del alma se hizo con la ec. 3.72,

[

]

C v = 1.57Ek /  F  y (h/t a  ) 2 =

1.57E  x 21.83 2530 x 308.9 2

= 0.289 .

 Aat  = 0.15 x 244 x 0.79 (1 - 0.289) 0.470 - 18 x 0.79 2  = 9.7 - 11.2 = -1.57 cm 2 

El signo negativo indica que basta colocar atiesadores de rigidez adecuada; el requisito relativo al área se satisface necesariamente. Momento de inercia mínimo de cada par de atiesadores (ec. 6.27)

= at a3

 2.5  2  =  (a/h)2 

 2.5  = 133 x 0.79 3  2 = 420.8 cm4 > 0.5 at a3 = 0.5 x 133 x 0.793 = 32.8 cm4  2  0.545 

Se utilizará un par de atiesadores de 10 x 0.95 cm, que tiene un momento de inercia respecto al eje del alma de 0.95 x 20.793 /12 = 711.4 cm4 > 420.8, y una relación b/t = 10/0.95 = 10.5 < 0.56   E/F y = 15.9.

Todos los atiesadores intermedios estarán formados por dos placas de 10 x 0.95 cm.  Atiesadores en los apoyos Ya se ha determinado que son necesarios. Se revisarán los atiesadores de la Fig. E6.3.5. Relación ancho/grueso: 20.0/1.27 = 15.75 = 0.56   E/F  y = 15.9  Aat  = 2 x 1.27 x 20.0 + 0.79 x 9.48 = 58.3 cm 2  I =

1 12

[( 9.48 - 1.27 ) 0.79 3 + 1.27  x 40.79 3 ]= 7182 cm 4 .

r = 11.1 cm.

Trabes Armadas

63

KL/r = 0.75 X 244/11.1 = 16  2  De la tabla 2.2 : R c /A   at  = 2255 Kg/cm

R c  = 2255 x 58.3 x 10 -3 = 131.5 Ton > 75 x 1.4 = 105.0 Ton

Revisión por aplastamiento (Art. 6.8.3) R D = 1.8 F y  F R  Ac  = 1.8 x 2530 x 0.75 x 2 (20.0 - 1.5) 1.27 x 10 -3 = 160.5 Ton > 105.0 

 Al calcular el área de contacto Ac  se ha restado 1.5 cm en cada atiesador, para tener en cuenta el corte necesario para que pase la soldadura entre alma y patín. Se aceptan los atiesadores de la Fig. E6.3.5. 1.27cm

20.0cm 0.79cm

20.0cm

12X0.79=9.48cm

Fig E6.3.5 Atiesadores extremos.

 Atiesadores bajo cargas concentradas Serán iguales a los de los apoyos, pues deben llegar hasta los bordes de los patines, y con esa condición no puede disminuirse el grueso sin exceder la relación (b/t a )t  máx  admisible.

EJEMPLO 6.4. Diseñe una trabe carril de 18 m de claro, libremente apoyada, para soportar una grúa viajera cuyas características se dan abajo. La trabe será de sección I, formada por tres placas soldadas (trabe armada) de acero A36. Su patín superior estará ligado en forma continua a una armadura de acompañamiento, de manera que no puede haber pandeo lateral. No se revisará el estado límite de fatiga (como debe hacerse en un problema real). El diseño seguirá las recomendaciones de la ref. 6.4, con las combinaciones y los factores de carga de la ref. 6.1. Pueden utilizarse atiesadores transversales, pero no longitudinales.

64

Trabes Armadas

CARGAS DE DISEÑO Capacidad de la grúa. Peso del puente Peso del “Trolley” Descarga por rueda(sin impacto)

20 Ton 60 “   20 “   35 “ 

Factores de carga. Peso propio de la trabe + peso del puente. Peso del “Trolley” y de la carga.

1.2 Ton 1.6 “  

Peso del puente 60/4 = 15 Ton/rueda Peso del “Trolley” + carga. 35.0 - 15.0 = 20 Ton/rueda Carga de diseño, por rueda P u = 1.2 (peso del puente) + 1.6 (peso del “trolley” + carga) 1.25 = 1.2 x 15.0 + 1.6 x 20 x  1.25 = 58.0 Ton. El factor 1.25 corresponde al impacto (ref. 6.1); se aplica sólo a las cargas vivas. El tren de cargas de diseño es el de la Fig. 6.4-1. 58.0Ton

58.0Ton

4.50m Fig E6.4.1 Tren de cargas de diseño del ejemplo 6.4.

En la Fig. E6.4.2 se muestran las envolventes de momentos flexionantes y de fuerzas cortantes; incluyen el peso propio de la trabe de la Fig. E6.4.5. Se obtuvieron con un análisis con computadora (ref. 6.29).

Trabes Armadas

65

     6  .      0      4      1

M(Tm)

     6  .      1      5      2

     1  .      3      3      3

     2  .      5      8      3

     7  .      7      0      4

     7  .      0      0      4

     7  .      7      0      4

     2  .      5      8      3

     1  .      3      3      3

     6  .      1      5      2

     6  .      0      4      1

12 tramos de 1.50m c/u=18.00m

     6  .      3      0 V(Ton) 1

(1)

     5  .      3      9

     5  .      3      8

     5  .      3      7

     5  .      3      6

     5  .      3      5

     5  .      3      4

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

     8  .      3      4

(9) (10) (11) (12)      9  .      3      5

     9  .      3      6

     9  .      3      7

     9  .      3      8

(13)      6  .      3      0      1

Fig E6.4.2 Envolventes de momentos flexionantes y fuerzas cortantes máximas de diseño.

El peso propio no está factorizado (le corresponde F c  = 1.2), pero su importancia es tan  pequeña que los resultados no se modifican. Las envolventes corresponden a la grúa que transita de izquierda a derecha, pero en el  diseño debe tenerse en cuenta que también puede moverse de derecha a izquierda. Comprobación de algunos de los valores de la Fig. E6.4-2  Cuando el análisis se hace con computadora, deben hacerse comprobaciones de este tipo para evitar errores que pueden cometerse al aplicar el programa. Peso propio de la trabe Se determina el de la sección de la Fig. E6.4-5, sin incluir el pequeño aumento debido al  alma más gruesa en los extremos de la trabe. El peso volumétrico del acero es de 7.9 Ton/m3. 0.0291 x 1.0 x 7.9 = 0.23 T/m M máx  = 0.23 x 18 2  /8 = 9.3 Tm ; V máx  = 0.23 x 18/2 = 2.1 Ton.

Cargas móviles Fuerza cortante máxima. Se presenta en un apoyo, cuando una de las ruedas está sobre él, y las demás en la viga (Fig. E6.4-3); es igual a la reacción máxima.

66

Trabes Armadas

58Ton 58Ton

4.5m

13.5m 18m

Fig E6.4.3 Posición del tren de cargas que produce la fuerza cortante máxima. V máx = 58 + 58 x 13.5/18 = 101.5 Ton.

Incluyendo el peso propio de la trabe, la fuerza cortante máxima es V máx = 2.1 + 101.5 = 103.6 Ton,

que es idéntico al valor obtenido con la computadora (Fig. E6.4.2). Momento flexionante máximo. Aparece bajo una de las cargas cuando ésta y la resultante de las dos equidistan del centro de la trabe (Fig. E6.4-4). El momento máximo se presenta en el punto A.  Ri =

58 18

(5.625 + 10.125) = 50.75 Ton.

 M máx = M  A = 50.75 x 7.875 = 399.7 Tm

Incluyendo el peso propio de la trabe,  M máx = 399.7 + 9.3 = 409.0 Tm

cL 1.125

58T

58T

 A

7.875m 4.50m 5.625m

Ri Fig E6.4.4Posición del tren de cargas que produce el momento flexionante máximo.

Los dos momentos máximos, de peso propio y producido por las ruedas, no se  presentan, con todo rigor, en la misma sección, pero el error que se comete al sumarlos es prácticamente nulo.

Trabes Armadas

67

Este momento es un poco mayor que el máximo de la Fig. E6.4.2, debido a que al dividir  la trabe en 12 tramos de 1.5 m, ningún extremo de tramo coincide exactamente con el   punto donde el momento es máximo; sin embargo, la diferencia es muy pequeña (409.0  contra 407.7 Tm ; 409.0/407.7 = 1.003). ELECCIÓN DE UNA SECCIÓN PRELIMINAR  Cuando la trabe no tiene atiesadores transversales, la relación peralte /grueso del alma (h/t a ) debe satisfacer la condición dada por la fórmula 6.12: h t a

≤

0.48E   F  y (F  y

+ 1150)

=

0.48E  2530(2530 + 1150)

= 321

Si se colocan atiesadores intermedios con separaciones no mayores que 1.5 h, la relación anterior puede aumentarse a h t a

≤ 11.7 

 E   F  y

= 332

Se supone, por ahora, un alma de 200 cm x 0.79 cm (5/16”), con h/t a = 200/0.79 = 253 < 321. Para obtener un tamaño aproximado de los patines en la sección de momento máximo,  puede emplearse la condición    

 M u ≈  A p +

 Aa    F  h = (M u  ) máx 6     y

Con el término Aa /6 se incluye, aproximadamente, la contribución del alma a la resistencia de la sección a la flexión.  Aa /6 = 200 x 0.79/6 = 26.3 cm2 ; (A p + 26.3) F  yh = (M u )máx , A p F  y h = (M u )máx - 26.3 F  yh

 A p =

 M u

máx

 F  y h

- 26.3 =

407.7  x 10 5 200 F  y

- 26.3 = 54.3 cm 2

Se proponen patines de 30 cm x 2.22 cm (7/8”), con área A p = 66.6 cm2. En la Fig. E6.4.5 se muestran la sección propuesta y sus propiedades geométricas.

 

68

Trabes Armadas

Fig E6.4.5 Sección preliminar, tramo central.

Revisión de la sección propuesta Relaciones ancho(grueso (art. 3.10.2.2 y Tabla 3.6). b

Patines.

2t  p h

 Alma.

t a

=

=

30 2 x 2.22

200 0.79

= 6.8 < 0.32

= 253 > 5.60

 E   F  y

 E   F  y

= 9.1

= 159

Los patines son tipo 1 y el alma tipo 4 (esbelta); el momento resistente se determina de acuerdo con el art. 6.5.1.2.2. Revisión de la resistencia en flexión Si h/t a ≥ 5.60  ES/M  R , el momento resistente, reducido por esbeltez del alma, se calcula con la ec. 6.15 modificada.  M  R = F  R M  y = 0.9 x 18474.4 F  y x 10-5 = 420.7 Tm > M u = 407.7 Tm

Ec. 6.20 

h t a

= 253 > 5.60

Ec. 6.15 modificada.

 ES   M  R

= 5.60

 M  R' 

ar  = Aa /A p = 158.0/66.6 = 2.372 < 10

18474.4E  407.7  x 10 5

= 170.2

   h a r   ES     = M  R 1  - 5.60  M   ≤ M  R  1200 + 300 a r   t a  R   

Trabes Armadas

 

 M  R'  = 421.2 1 -

69

2.372 1200 + 300 x 2.372

 

( 253 - 170)  = 377.8 Tm < M u = 407.7 

Sin embargo, como la diferencia entre M u y M ’ R  es pequeña, se acepta la sección  propuesta, Fig. E6.4.5 (M u /M’ R  = 407.7/377.8 = 1.079). Podría disminuirse la sección en los extremos de la trabe, en unos cuatro metros de cada lado; sin embargo, en este problema se conserva la misma sección en toda la longitud. Revisión del alma bajo las ruedas Como las cargas son móviles, no pueden colocarse atiesadores bajo ellas; debe revisarse que el alma, sin reforzar, las resista adecuadamente. La carga de diseño por rueda, incluyendo impacto, es de 58.0 Ton. Flujo plástico local del alma (Art. 6.7.1.1) La carga es puntual (N = 0); el riel sobre el que transita el puente de la grúa tiene un  peralte de 5” (12.7 cm). Se supone que la fuerza se transmite a través del riel y hasta la zona crítica del alma como se muestra en la Fig. E6.4.6 (ref. 6.30). La longitud del alma afectada por la carga es 2 (12.7 + 2.22 + 0.6)/tan 30º = 53.8 cm

≈ 54 cm

Se utiliza una ecuación semejante a la 6.18, en la que 5k + N se sustituye por 54 cm.  Ru = F  R Rn = 1.0 x 54.0 x 0.79 F  y = 107.9 Ton > 58.0

En general, la resistencia es adecuada. Cuando la rueda está en un extremo, la longitud  crítica del alma se reduce a la mitad, y se tiene R u = 107.9/2 = 54.0 Ton ≈ 58.0 (58/54 = 1.074); puede aceptarse.

70

Trabes Armadas

Riel (12.7cm) 30°

30°

Longitud afectada= 54cm

Patín (2.22cm) Soldadura alma-patín (0.6cm)

Fig E 6.4.6 Transmisión de la carga de una rueda.

ESTABILIDAD DEL ALMA La longitud de aplicación de la carga parcial es N = 2 x 12.7/tan30º = 44.0 cm. Cuando la rueda está a una distancia del extremo de la trabe mayor o igual que d/2, se tiene: Ec. 6.20.

 Rn = 0.80

t ae

  t a  1.5  t   N  1 + 3     E  F  y  p = d   t  p    t a  

 3 x 44.0  0.79  1.5  2.22    = 0.80 x 0.79 1 +  E  F  y = 68.35 Ton     204.44 2.22   0.79 2

 F  R Rn = 0.75 x 68.35 = 51.3 Ton < 58.0.

 Aunque el alma está un poco escasa (58.0/51.3 = 1.131), podría aceptarse. Si la rueda está a menos de medio peralte de la trabe, como N/d = 22.0/204.44 = 0.108 < 0.2, se aplica la ec. 6.21 a (N = 22.0 cm corresponde a la rueda muy cercana al  atiesador del apoyo). 1.5    3 x 22  0.79 1.5  2.22     t  p t   N  a 2 2        Rn = 0.40 t a 1 + 3    EF  y = 0.4 x 0.79 1 +  EF  y = 32.12 Ton.  D  t  p    t a 204.44  2.22   0.79   

 F  R Rn = 0.75 x 32.12 x 24.1 Ton < 58.0

La resistencia del alma es mucho menor que la requerida, por lo que en una longitud de 1 m, aproximadamente, medida desde cada uno de los extremos, debe aumentarse su grueso Haciendo t a = 1.27 cm (1/2”), se tiene:

Trabes Armadas

71

≈ 159. El alma está en el límite entre los tipos 3 y 4.

h/t a = 200/1.27 = 157.5

 3 x 22  1.27  1.5  2.22     Rn = 0.4 x 1.27  1+  E  F  y = 69.8 Ton.  204.44  2.22   1.27 2

 F  R Rn = 0.75 x 69.8 = 52.4 Ton < 58.0

Se acepta el resultado (58.0/52.4 = 1.107). Los dos extremos del alma, en una longitud de 1.10 m cada uno, como mínimo, se harán con placa de 1.27 cm (t a = 1.27 cm, 1/2”). t a = REFUERZO DEL ALMA

 Atiesadores intermedios h

Tableros extremos 1.27 cm,

t a

= 157.5

No debe formarse campo de tensión diagonal. La resistencia al cortante del alma, sin tensión diagonal, debe ser igual o mayor que la fuerza cortante de diseño, V u = 103.6 Ton. Si el primer atiesador se coloca a 1.10 m del extremo, a/h = 110/200 = 0.550. Ec. 3.73

1.40

 Ek   F  y

k = 5.0 +

21.53E 

= 1.40

 F  y

 

kE 

 

 F  y

Como 1.12

5.0 (a/h)2

= 5.0 +

= 184.3 >

 

= 147.5 <

h

  t a

h t a

5.0 0.55 2

= 21.53

= 157.5

 

kE 

 

 F  y

= 157.5 < 1.40

 

= 184.3

 

, la resistencia al corte se calcula con

las ecs. 3.66 y 3.69. 922  F  y k 

922 21.53F  y

Ec. 3.69

V  N  =

Ec. 3.66 

V  R = V  N  F  R = 0.9 x 355.4 = 319.9 Ton >> 103.6 

h/t a

 Aa =

157.3

(204.44 x 1.27) = 355.4 Ton

72

Trabes Armadas

El primer atiesador podría alejarse del extremo de la trabe; sin embargo, como se va a utilizar un tramo de alma más grueso que el resto, de 1.10 m de longitud, conviene colocarlo donde termina ese tramo. Tableros intermedios En el resto de la trabe puede utilizarse la resistencia que proviene del campo de tensión diagonal, si se cumple la condición de que a/h no exceda de 3.0 ni de [260/ (h/t a )] 2 .  260  2  260  2 a   =  = 1.06 < 3.0 ∴ = 1.06, amáx = 1.06  x 200 = 212 cm h  h/t a    253 

El alma es ahora de 0.79 cm (t a = 0.79 cm)

h/t a = 253.

Revisión de la resistencia del alma en un tablero con a = 210 cm. a/h = 210/200 = 1.05  Fuerza cortante de diseño a 1.10 + 2.10 = 3.20 m del extremo. V u ≈ 83 Ton (Fig. E6.42). Ec. 3.73 h t a

k=5+

= 253 > 1.40

 Ek   F  y

5 1.05

2

= 9.54

= 123.

La resistencia se calcula con las ecuaciones 3.66, 3.71 y 3.72. Estado límite de iniciación del pandeo del alma  Aa = 204.44 x 0.79 = 161.5 cm 2

Ec. 3.7.1 V  N  =

0.905Ek  (h/t a  )

2

 Aa =

0.905x9.54 E   x 161.5 = 44.4 Ton ; V  R = 0.9 x 44.4 = 40.0 Ton 2 253

Estado límite de falla por tensión diagonal  Ec. 3.72 

     0.50F  y .905Ek   0.870   V  N  = 1 +  (h/t a  ) 2   1 + ( a/h) 2   1 + (a/h)2

  Aa 

 0.905x9.54 E   0.50F  y  0.870      161.5 = 158.8 Ton + = 1 2  2   253 2   1 + 105   1 + 105 

Trabes Armadas

Ec. 3.66 

73

V  R = 0.9 x 158.8 = 142.9 Ton > 83.0

Considerando el campo de tensión diagonal, el alma está sobrada; sin embargo, no  puede aumentarse la separación entre atiesadores porque se violaría la condición necesaria para que se forme, y sin tensión diagonal V R  se reduce a 40.0 Ton, menos que V u = 83.0 Ton (La contribución de la tensión diagonal hace que la resistencia al corte suba de 40.0 a 142.9 Ton, es decir, se multiplica por 3.58). La separación entre atiesadores, a = 2.10 m, se conserva en toda la trabe, pues la fuerza cortante de diseño es menor que 40.0 Ton sólo en un tramo central de menos de 1.50 m. Las separaciones anteriores se ajustan en función de la longitud total de la trabe. INTERACCIÓN FLEXIÓN - FUERZA CORTANTE Se revisan una sección de los extremos de la trabe, donde la fuerza cortante es elevada, dos centrales, con momentos máximos, y una intermedia, en la que fuerza cortante y momento flexionante son relativamente altos. No se revisan las secciones 1 y 13, porque en ellas no se forma campo de tensión diagonal. SECCIÓN

Vu (Ton)

VR (Ton)

Vu /VR

Mu (Tm)

M’R (Tm)

Mu /M’R

0.6VR (Ton)

0.75M’R (Tm)

2 4 5 6

93.5 73.4 63.5 53.5

142.9 142.9 142.9 142.9

0.654 0.514 0.444 0.374

140.6 333.1 385.2 407.7

378.3 378.3 378.3 378.3

0.372 0.881 1.016 1.078

85.7 85.7 85.7 85.7

283.7 283.7 283.7 283.7

La condición 0.6 V R ≤ Vu ≤ VR se cumple sólo en la sección 2, y 0.75 M R ≤ Mu ≤ MR en las secciones 4, 5 y 6; las dos condiciones no se cumplen simultáneamente en ninguna sección. Sin embargo, se revisa la condición 3.95. Sección 2. Sección 4. Sección 5. Sección 6.

0.727 M u /M ’ R  + 0.455 V u /V R  = 0.727 x 0.372 + 0.455 x 0.654 = 0.568 < 1.00  0.727 x 0.881 + 0.455 x 0.514 = 0.874 < 1.00  0.727 x 1.016 + 0.455 x 0.444 = 0.941 < 1.00  0.727 x 1.078 + 0.455 x 0.374 = 0.954 < 1.00 

La interacción flexión-fuerza cortante no es crítica en ninguna sección. DISEÑO DE LOS ATIESADORES Intermedios Los atiesadores estarán formados por dos placas, soldadas a los dos lados del alma.

74

Trabes Armadas

 

 Aat  = Y   0.15 Dht a (1 - C υ )

Ec. 6.32

V  D V  R

 

- 18 t a2  ≥ 0

El acero es A36 en alma y atiesadores, y éstos son dos placas simétricas, luego Y y D valen 1.0. Los atiesadores más grandes se necesitan en la sección 2, en la que V u/VR = VD/VR = 0.654 es máximo (Vu y VD, son, ambas, la fuerza cortante de diseño). Como el diseño se hizo con la ec. 3.72 , C V  =

1.57Ek   F  y (h/t a  ) 2

=

1.57x9.54E  2530x2532

= 0.189

 Aat  = 0.15 x 200 x 0.79 (1 - 0.189) 0.654 - 18 x 0.79 2 = 12.57 - 11.23 = 1.34 cm 2

 2.5  2 =  (a/h)2 

Ec. 6.27

Momento de inercia mínima de cada par de atiesadores = at 3a 

 2.5  4 - 2  = 27.7 cm 4 < 0.5 at a3 = 0.5 x 210 x 0.79 3 = 51.8 cm4 ∴ (I a ) t  mín = 51.8 cm 2  1.05 

= 210 x 0.79 3 

Se utilizará un par de atiesadores de 10 x 0.63 cm, que tienen un momento de inercia respecto al eje del alma de 0.63 (2 x 10 + 0.79) 3 /12 = 471.8 cm4 >> 51.8

Su área es 0.63 x 20.79 = 13.1 cm 2 > 2.40, y tienen una relación b/ t at = 10/0.63 = 15.87 ≈ 0.56/ E / F y = 15.89. Todos los atiesadores serán dos placas de 10 x 0.63 cm.  Aunque están sobrados, en área y en momento de inercia, no se pueden reducir, porque conviene que lleguen cerca del borde de los patines, y si se hacen más delgados se excede la relación b/t máxima permitida para atiesadores en la Tabla 3.6. En los apoyos Reacción de diseño = 103.6 Ton Se requieren atiesadores en los extremos si la reacción es mayor que la resistencia del alma al flujo plástico, que se calcula con la ec. 6.19:  Ru = F  R Rn = 1.0 (2.5k + N) F  ya t a

k = 2.82 cm (Figs. E6.4.5 y E6.4.6) y N = 10 cm; éste es un valor seguramente conservador para una trabe de 18 m de claro.

Trabes Armadas

75

 Ru = (2.5 x 2.82 + 10) 1.27 F  ya = 54.8 Ton < 103.6 

Se necesitan atiesadores en los apoyos. Se ensayarán dos placas de 14 cm x 1.27 cm (1/2”); la sección se muestra en la Fig. E6.4.7.

14cm ta=1.27 cm 14cm

12ta=15.2cm 1.27cm

Fig E6.4.7 Atiesadores extremos. h/ t at  = 14.0/1.27 = 11.0 < 0.56   E/F y = 15.9 (Tabla 3.6)  A = 2 x 14 x 1.27 + 15.2 x 1.27 = 54.9 cm2  I = [1.27(2 x 14 + 1.27)3 + (15.2 - 1.27) 1.27 3] /12 = 2656 cm4 r = 7.0 cm;

KL/r = 0.75 x 200/7.0 = 21.6 

De la Tabla 2.2 (Capítulo 2).- Rc/At = 2197 Kg/cm2, Rc = 2197 x 54.9 x 10 -3 = 120.6 Ton  P u /Rc = reacción/Rc = 103.6/120.6 = 0.859 < 1.00

Revisión por aplastamiento El ancho de cada atiesador se disminuye en 1.5 cm, corte necesario para que pase la soldadura entre alma y patines.  F  R Rn = 0.75 (1.8 F  y Aa ) = 0.75 x 1.8 F  y x 2 (14.0 - 1.5) 1.27 = 108.4 Ton > 103.6.

Se aceptan los atiesadores extremos de la Fig. E6.4.7.

76

Trabes Armadas

REVISIÓN DE LAS DEFORMACIONES VERTICALES Con el análisis con computadora se obtiene una flecha máxima ∆máx = 3.40 cm, producida por cargas de 58 Ton en cada rueda, que incluyen impacto y factores de carga. Sin embargo, la flecha de interés es la que se presenta en condiciones de servicio y sin impacto (ref. 6.4), o sea la producida por cargas de 35 Ton por rueda. En esas condiciones, ∆máx = 3.40 x 35/58 = 2.05 cm = L/877 

Los desplazamientos máximos permisibles dependen del tipo de servicio que vaya a prestar la grúa; el valor calculado es admisible en la mayoría de los casos (ref. 6.4).

Trabes Armadas

77

6.10 TRABES ARMADAS CON ALMAS CON DOBLECES TRAPEZOIDALES 6.10.1 Aspectos generales

El diseño económico de trabes armadas usuales obliga, casi siempre, a utilizar almas delgadas reforzadas con atiesadores transversales, lo que tiene dos desventajas: alto costo de fabricación, y posible reducción de la vida útil bajo cargas repetidas, al formarse grietas por fatiga, que suelen iniciarse en la soldadura de los atiesadores. Ambos inconvenientes pueden eliminarse empleando en el alma placas con dobleces (ref. 6.23). Las almas con dobleces trapezoidales verticales trabajan, en general, como placas provistas de atiesadores verticales muy cercanos. La lámina doblada se une a los patines con soldadura continua, que suele depositarse de un solo lado. Los dobleces del alma mejoran el comportamiento de las trabes por las razones siguientes (ref. 6.14):

• Los dobleces reducen la posibilidad del pandeo como placa del patín comprimido. • Mejora la estabilidad lateral de la trabe (sin embargo, este efecto no suele ser  significativo, y no se toma en cuenta en el diseño). • Los dobleces de las almas de esbeltez normal evitan el pandeo vertical del patín comprimido. Las trabes armadas con alma de lámina doblada pueden resultar mucho más económicas que las de alma plana atiesada convencionalmente. Dos trabes armadas del mismo peralte y con patines iguales, una con alma doblada y la otra con alma plana, tienen resistencias en flexión diferentes, porque la contribución del alma doblada al momento de inercia y módulo de sección es muy pequeña, por lo que no suele tomarse en cuenta, y se considera que la resistencia en flexión es proporcionada únicamente por los patines, y es menor que la de la trabe con alma plana. De manera análoga, si en la trabe actúa una fuerza normal, los patines la resisten por sí sólos. El alma resiste únicamente la fuerza cortante. Como alma y patines desempeñan funciones diferentes, no hay interacción; la resistencia en cortante y en flexión (combinada con fuerza normal, si es distinta de cero), se revisan por separado. Pueden utilizarse dobleces con otras geometrías, pero en esta sección se tratan sólo trabes de peralte constante con almas provistas de dobleces trapezoidales normales al eje longitudinal, que son las que más se han estudiado (Fig. 6.15).

 

78

Trabes Armadas

Patín

 Alma doblada      b 1

hr 

θ

ta d

b

d t pc

d

tpt

Fig 6.15 Alma con dobleces trapezoidales. 6.10.2 Resistencia ante fuerza cortante

Los dobleces del alma elevan la fuerza crítica de pandeo por cortante, e incrementan significativamente la resistencia de la trabe ante esa solicitación. Se ha demostrado experimentalmente que pueden presentarse dos modos diferentes de pandeo por cortante (refs. 6.14 y 6.23), que se muestran en la Fig. 6.16.

Fig 6.16 Pandeo local y global del alma, producidos por fuerza cortante.

Pandeo local. El alma trabaja como una serie de segmentos planos, que se soportan

mutuamente a lo largo de los bordes longitudinales (verticales) de los dobleces, y se

Trabes Armadas

79

apoyan en los patines de la trabe en los horizontales; el pandeo por cortante se presenta en el segmento plano más ancho, y se limita a él. Pandeo global. Abarca, generalmente, varios dobleces, y ocasiona líneas de flujo que

los atraviesan; produce cambios apreciables en la configuración del alma. 6.10.2.1 Resistencia basada en el pandeo local

El esfuerzo crítico elástico de los segmentos planos se calcula con la ec. 3.6 del art. 3.4.2, para placas con fuerzas cortantes en los bordes (refs. 6.23 y 6.24): 2 π 2 E   t a     k  τ cre = 12(1 - µ 2 )   a  

(6.33)

k es el coeficiente de pandeo, función de la relación de aspecto h/a del segmento plano y de sus condiciones de apoyo, h y t a son el peralte y el grueso del alma, y a la dimensión horizontal del segmento más ancho, paralelo al eje de la trabe o inclinado ( a1 o a2 , en la Fig. 6.15). E y µ son el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson. k se determina con las ecuaciones siguientes: Bordes largos (verticales) libremente apoyados y bordes cortos (horizontales) empotrados, k = 5.34 + 2.31

 a   a  2  a 3   - 3.44   + 8.39   h   h   h 

(6.34)

Los cuatro bordes empotrados,  a  2 k = 8.98 + 5.6     h 

(6.35)

Si τ cre > 0.8 τ  y , el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, y el esfuerzo crítico se determina con la ec. 6.36 (ecs. 3.30 y 3.31, art. 3.9.2):

τcri =

0.8τ  y τ cre

≤ τ  y

(6.36)

Comparando los resultados de un análisis de elemento finito, en el que se tiene en cuenta la no linealidad geométrica y del material, con los obtenidos experimentalmente, se encontró que los resultados mejoran haciendo el esfuerzo crítico igual al promedio de los correspondientes a las dos condiciones de borde consideradas: τ prom = 0.5 ( τle + τee )

(6.37)

80

Trabes Armadas

τle y τee son, respectivamente, los esfuerzos críticos del segmento con los bordes largos libremente apoyados y los cortos empotrados, y con los cuatro bordes empotrados. 6.10.2.2 Resistencia basada en el pandeo global

El pandeo global rige la resistencia del alma cuando los dobleces de la lámina son pequeños y poco profundos. En este caso, el esfuerzo crítico elástico se calcula para cada tablero completo, utilizando la teoría del pandeo de placas ortotrópicas. De acuerdo con ella, el esfuerzo crítico elástico de pandeo global está dado por (ref. 6.25) τ cre = [( D x )0.25 ( D y )0.75 ]

k 

(6.38)

t a hr 2

donde

D x  = (q/s)Et a 3 /12  Dy  = EI y /q   2  I y  = 2bt a(h /2) + (t ah 3r  /6 senθ ) r  k  (coeficiente de pandeo) = 31.6 para bordes libremente apoyados y 59.2 para bordes empotrados t a = grueso de la placa de alma doblada b, hr , q, s y θ se indican en la Fig. 6.17. s h

θ b

r 

d q

Fig 6.17 Geometría de un alma con dobleces trapezoidales.

Cuando τcre > 0.8 τy, el pandeo comienza en el intervalo inelástico, y el esfuerzo crítico se calcula con la ec. 6.36. Los resultados obtenidos haciendo k = 59 en la ec. 6.38 coinciden, muy aceptablemente, con los experimentales (refs. 6.23 y 6.24). En aplicaciones prácticas se recomienda que se calculen los dos esfuerzos críticos, de pandeo local y global, y que se utilice en el diseño el menor de los dos. Si el esfuerzo crítico elástico es mayor que el 80 por ciento del de fluencia, los resultados se corrigen con la ecuación semiempírica 6.36. La fuerza cortante resistente de diseño es F R  V N , donde V N  = τcri ht a, y F R  = 0.9.

Trabes Armadas

81

6.10.3 Resistencia en flexión

Como la contribución del alma de lámina doblada a la resistencia en flexión es insignificante, el momento máximo resistente es el que corresponde a la aparición del esfuerzo de fluencia en los patines; la flexión sólo ocasiona esfuerzos en las zonas del alma muy cercanas a ellos (refs. 6.23 y 6.26). 6.10.4 Resistencia ante fuerzas de compresión parciales aplicadas en el borde

Igual que las trabes armadas ordinarias, las de alma de lámina doblada soportan fuerzas locales de compresión, en los apoyos, bajo vigas o columnas que descansan en su patín superior, o producidas por cargas móviles que transitan sobre ellas. En los dos primeros casos pueden colocarse atiesadores transversales, pero resultan costosos, y no son factibles cuando las cargas se mueven. Por ello, es necesario determinar la resistencia de almas de lámina doblada bajo fuerzas de compresión aplicadas en longitudes reducidas de sus bordes. La longitud cargada puede variar desde cero hasta varios dobleces de la lámina, y la carga puede actuar en un doblez horizontal o inclinado, o en la intersección de dos dobleces. En estudios analíticos y experimentales (refs. 6.23 y 6.27) se han identificado dos modos de falla diferentes: 1.

Modo I (abollamiento (“crippling”) del alma); incluye un mecanismo de colapso que se forma en el patín cargado, y el pandeo local o abollamiento del alma, y

2.

Modo II (flujo plástico del alma); la falla se produce por flujo plástico, seguido por  abollamiento del alma, sin mecanismo en el patín.

Las cargas de falla se calculan con ecuaciones desarrolladas partiendo de los modos de falla observados experimentalmente. 6.10.4.1 Abollamiento del alma

La resistencia última, P u, para este modo de falla, está compuesta por dos partes; una representa la resistencia, P  p, que desarrolla el patín cuando se forma en él el mecanismo de colapso, y la otra, P a, corresponde a la capacidad del alma; ésta se calcula con fórmulas empíricas deducidas para trabes armadas de alma plana. La resistencia ultima del patín puede calcularse con la ec. 6.39, que se ha deducido ajustando la posición de las tres articulaciones del mecanismo, para obtener una buena correlación con los resultados de un análisis de elemento finito calibrado, a su vez, con resultados experimentales.

82

 P  p =

Trabes Armadas

4M  pp a-

 N 

(6.39)

4

Los significados de las literales son:

M  pp, momento plástico resistente de los patines = b pF ypt 3 p /4 b p y t  p, ancho y grueso de los patines. F yp, esfuerzo de fluencia del acero de los patines. N , longitud de la carga parcial a, distancia entre las articulaciones plásticas correspondientes a momento positivo y negativo = [(Fypbpt2p)/(2Fyata)]0.5 + N/4 ≥ N/2. F ya es el esfuerzo de fluencia del acero del alma. La capacidad del alma se obtiene con la ecuación  P a = t a 2  EF  ya

(6.40)

La resistencia total al abollamiento es  P u = P ab = P  p + P a

(6.41)

6.10.4.2 Flujo plástico del alma

La resistencia última se calcula considerando el flujo plástico de un ancho efectivo del alma, determinado para obtener buena correlación con los resultados del análisis con elementos finitos.  P u = P  y = (bc + ba )t a F  ya

(6.42)

bc  = bi  o (d + b)/2 , para la carga aplicada en un doblez inclinado o en la intersección vertical entre un tramo horizontal y otro inclinado. bi  = ancho de un doblez inclinado. d = longitud de la proyección horizontal de un doblez inclinado. b = ancho de un doblez horizontal. Estas dimensiones están indicadas en la Fig. 6.15.

ba = αt  p (F yp /F ya )0.5  α = 14 + 3.5 β - 37 β2  ≥ 5.5  β = h /b r   p hr  = profundidad del doblez  b p = ancho de los patines.

Trabes Armadas

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Cuando la carga se aplica en un doblez inclinado, o en la intersección de dos dobleces, el modo de falla es el I, el II o, en algunos casos, una combinación de ambos. Por ello, se sugiere que se calculen las resistencias del alma al abollamiento y al flujo plástico, con las ecs. 6.41 y 6.42, y se tome la menor de las dos como resistencia de diseño. 6.10.5 Resistencia ante fuerzas de compresión parciales aplicadas en el borde y flexión o cortante

La resistencia de las trabes de alma de lámina doblada, como la de las de alma plana, disminuye cuando actúan en ellas, al mismo tiempo, flexión o cortante y cargas concentradas en el borde. Aunque los estudios realizados acerca de este problema son escasos, se ha recomendado que la interacción se tome en cuenta con las ecuaciones (refs. 6.23 y 6.27): Flexión   P  1.25   M   1.25   +  = 1.0   P u     M u  

(6.43)

Cortante   P  1.25   V  1.25   +   = 1.0   P u    V u  

(6.44)

Las literales tienen los mismos significados que en las ecuaciones 6.24 y 6.25 del art. 6.7.2. EJEMPLO 6.5. Repetir el ejemplo 6.3, utilizando en el alma una lámina con dobleces

trapezoidales.

DISEÑO POR FLEXIÓN  Tramo central CD La resistencia en flexión corresponde a la aparición del esfuerzo F y  en los patines; como el grueso de éstos es pequeño, comparado con el peralte de la trabe, puede escribirse M y  = A p F y  h1 donde h1 es la distancia entre los centros de gravedad de los patines. Si la sección es la de la Fig. E6.3-2, se tiene M y  = 99.9 x 246.22 F y  = 622.3 Tm

84

Trabes Armadas

S hr =3.3 cm b1=4.7cm

θ=45° b=3.2cm

d=3.3cm q=2(3.2+3.3)=13.0cm

S=2(3.2+4.7)=15.8cm, Grueso t=0.121cm(Cal.18) Fig E6.5.1 Geometría del alma.

Revisión por pandeo lateral El momento crítico de pandeo elástico se determina con la ec. 5.50b, suponiendo que el alma no interviene en los valores de I y y J. (Más adelante se calcula el Iy del alma, que vale 3.13 cm4).  I  y = 2 x 2.22 x 453 /12 = 33716 cm4 3

 J = ∑t p b p /3 = 2 x 2.223 x 45/3 = 328.2 cm4 2

C a = I  yh 1  /4 = 33716 x 246.222 /4 = 511 x 106  cm6 

Ec. 5.50b

 M u =

π E  1 x 1000

 328.2   π   2   511 x 10 6    x 10 -5 = 33716  +  2.6   1000  

2 = 845.7 Tm >  M  y = 414.9 Tm 3

Ec. 5.60

   

 M  R = 1.15 x 0.9 x 622.3 1 -

0.28 x 622.3  845.7

  

= 511.4 Tm < 0.9 M  y = 560.1 Tm

 M  R = 511.4 Tm < M  D = 525.0 Tm.

 Aunque está ligeramente escasa, se acepta la sección propuesta (525.0/511.4 = 1.027). Tramos laterales AC y DB Se supone, sin revisarla, que la sección de la Fig. E6.3.3 es adecuada. DISEÑO POR CORTANTE La geometría del alma se muestra en la Fig. E6.5-1. Pandeo local (Art. 6.10.2.1)

a = 4.7 cm ; a/h = 4.7/244 = 0.019

Trabes Armadas

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Bordes verticales libremente apoyados Ec. 6.34

k = 5.34 + 2.31 (a/h) - 3.44 (a/h)2 + 8.39 (a/h)3 = = 5.34 + 2.31 x 0.019 - 3.44 x 0.0192+ 8.39 x 0.0193 = 5.38

π 2 E   t a     τ cre = 12(1 - µ 2  )   a  

Ec. 6.33

2

 0.121  2   5.39 = 6584 Kg/cm 2 k = 2   4.7    12(1 - 0.3  ) π 2 E 

Los cuatro bordes empotrados Ec. 6.35 

k = 8.98 + 5.6 (a/h) 2 = 8.98 + 5.6 x 0.019 2 = 8.98

Ec. 6.33

τcre =

Ec. 6.37 

τ prom = 0.5 ( τle + τcre ) = 0.5 (6584 + 10968) = 8776 Kg/cm2

 0.121 2   8.98 = 10 968 Kg/cm2 2     12( 1 - 0.3  ) 4.7  π 2 E 

Como este esfuerzo es mucho mayor que 0.8 τy , debe corregirse por inelasticidad. Ec. 6.36  τ cri =

0.8τ  y τ cre = 0.8 x 8776  x

∴τ cri = τ  y = F  y /

 F  y 3

= 3202 Kg/cm 2 > τ  y = F  y / 3 = 1460 Kg/cm 2

3 = 1460 Kg/cm 2

Pandeo global (Art. 6.10.2.2)

(  y )0.75 ] τ cre = [( D x )0.25  D

Ec. 6.38 

 D x =

q  Et a 3  s

12

=

13.0 15.8

 x

0.1213 E 

 hr   2 t a hr 3  I  y = 2bt   +   2   6senθ

12

k  t a hr 2

= 247.7  Kgcm

 3.3  2 0.121 x 3.3 3  + = 2 x 3.2 x 0.121    2   6sen45º 

 D y = EI  y /q = 3.13E/13.0 = 490928 Kgcm

b, hr , q, s, t a y θ se indican en la Fig. E6.5-1.

= 3.13 cm 4

86

Trabes Armadas

τ cre = (247.7 0.25  x 490 928 0,.75 )

Ec. 6.36 

59 0.121 x 3.3 2

= 3 294 455 Kg/cm 2 >> 0.8τ  y

τ cri = 0.8 x 3294455 x F  y / ∴ τcri = τ y = 1460 Kg/cm2

3 = 62 046  Kg/cm 2 >> τ  y = 1460 Kg/cm 2

Los dos esfuerzos críticos, para pandeo local y global, son iguales, de manera que el  esfuerzo crítico de pandeo del alma, corregido por inelasticidad, es τcri = τ y = 1460 Kg/cm2

La fuerza cortante resistente de diseño F R  V N  vale  F  R V  N  = F  R τcriht a = 0.9 x 1460 x 244 x 0.121 x 10-3 = 38.8 Ton < V  D = 105.0 Ton (Ejemplo 6.3).

Debe aumentarse el grueso del alma; τcri  se conserva (no puede ser mayor que τy  ), de manera que el nuevo grueso ha de ser 0.121 x 105.0/38.8 = 0.33 cm. Se usaría lámina con t a = 0.342 cm (cal. 10). El grueso del alma baja de 0.79 cm, necesario cuando es una lámina plana, a 0.342 cm (0.342/0.79 = 0.43). Revisión del alma en las secciones que reciben las cargas concentradas (Art. 6.10.4) Resistencia al abollamiento Contribución de los patines Ec. 6.39

 P   p =

4M  pp a - N/4

3

 M  pp = b p F  yp t p  /4 = 45.0 x 2.223 F  yp /4 = 3.11 Tm

N se toma, conservadoramente, igual a cero, como en el ejemplo 6.3.   F  yp b p t  p2  0.5  N   45 x 2.22 2  0.5  + = α =   2 x 0.342  + 0 = 18.0 cm  2F  t  4      ya a    

En este problema, F yp = F ya.  P  p = 4 x 3.11/0.18 = 69.1 Ton

Trabes Armadas

87

Contribución del alma Ec. 6.40 

 P a = t a2

Ec. 6.41

Resistencia total  P u = P ab = P  p + P a = 77.5 Ton

 EF  ya = 0.342 2  EF  ya = 8.40 Ton

Flujo plástico del alma Ec. 6.42.

 P u = P  y = (bc + ba ) t a F  ya

bi  = ancho de un doblez inclinado = 4.7 cm (d + b)/2 = (3.3 + 3.2)/2 = 3.25 cm

bc  es el menor de los dos valores anteriores: bc  = 3.25 cm β = h /b r   p = 3.3/45 = 0.073 α = 14 + 3.5β - 37 β2 = 14 + 3.5 x 0.073 - 37 x 0.0732 = 14.06 > 5.5 ba = αt  p (F  yp /F  ya )0.5 = 14.06 x 2.22 = 31.21 cm  P u = P  y = (3.25 + 31.21) 0.121 F  ya = 10.5 Ton

Rige el flujo plástico del alma: P u = 10.5 Ton

Las fuerzas concentradas de diseño son mucho mayores (42.0 Ton), de manera que se necesitan atiesadores bajo ellas. No se ha encontrado en la literatura como diseñar  estos atiesadores, por lo que se recomienda que se haga como en trabes armadas ordinarias de alma plana, pero calculando el área y el momento de inercia de los atiesadores sólos. Las recomendaciones anteriores son aplicables también a los atiesadores en los apoyos. Resistencia ante fuerzas parciales aplicadas en el borde y flexión y cortante No es necesario revisarla, puesto que bajo las fuerzas parciales se colocan atiesadores.

 

88

6.11

Trabes Armadas

AGUJEROS EN EL ALMA

6.11.1 Aspectos generales El alma de las trabes armadas requiere, con frecuencia, perforaciones que permitan el paso de ductos y de personal de inspección y mantenimiento (refs. 6.14 y 6.28). Los agujeros grandes reducen significativamente las fuerzas cortantes para las que se inicia el pandeo y se alcanza la resistencia última de las almas esbeltas, pero influyen poco en la capacidad de la trabe para soportar flexión, pues ésta proviene, principalmente, de los patines. Sin embargo, ha de limitarse el tamaño de loa agujeros para evitar el pandeo torsional, lateral, o hacia arriba o abajo, del patín comprimido, en la zona situada sobre ellos. Después de que se inicia el pandeo, en las almas esbeltas perforadas se forma un campo de tensión diagonal, pero su ancho se reduce cuando los agujeros están en la zona central del alma (Fig. 6.18) de manera que, idealmente, las perforaciones deberían hacerse fuera de esa zona, para minimizar la pérdida de resistencia. c c

  D

a o

        d

      o         b

θ ct

c c

θ ct

a

a

Fig 6.18 Campo de tensión diagonal en un alma con agujeros La posición de los agujeros influye también en la fuerza cortante critica: cuando están en la diagonal en tensión, disminuye respecto a la que corresponde a un agujero en el centro; aumenta, en cambio, si la perforación se hace en la diagonal comprimida. Cuando los agujeros están en una esquina se obtienen, pues, dos ventajas: aumenta la fuerza crítica de pandeo elástico, y crecen el ancho de la diagonal en tensión y la resistencia posterior al pandeo. Las perforaciones suelen ser circulares o rectangulares. Para recuperar la resistencia del alma sin agujeros puede reforzarse la zona de la abertura, soldando en su perímetro un anillo circular o rectangular o, cuando las perforaciones son rectangulares, un par de placas adosadas al alma, arriba y debajo de ellas (ref. 6.28). En los artículos siguientes se estudia la resistencia de trabes armadas con perforaciones circulares o rectangulares en el alma, situadas en la zona central o fuera de ella.

Trabes Armadas

89

6.11.2 Almas no atiesadas En cubiertas de edificios industriales y, en ocasiones, en construcciones urbanas, se usan trabes armadas con almas no atiesadas que, por límites en la altura de la construcción, son atravesadas por tubos o ductos. Hasta hace pocos años, todos los agujeros en el alma se reforzaban, pero en muchos casos puede evitarse el refuerzo, utilizando la resistencia posterior al pandeo. Los agujeros deben satisfacer, en posición y tamaño, las restricciones siguientes (Fig. 6.19), que provienen, principalmente, de la observación de resultados experimentales. Diámetro de los agujeros circulares: D

≤ 0.75 h.

 Altura de los agujeros rectangulares: bo ≤ 0.75 h Distancia entre el borde de una apertura y el patín más cercano: m ≥ 0.1 h. Relación de aspecto de los agujeros rectangulares: ao /bo ≤ 3. Distancia entre un atiesador extremo y el borde más cercano de un agujero: ar  ≥ 0.5 h. Radio de las esquinas redondeadas de los agujeros rectangulares: menor que 1.5 cm.

R  ≥ 2t a, pero no

6.11.2.1 Resistencia última en cortante Para determinar la resistencia última en cortante de trabes armadas de alma delgada con agujeros se recomiendan las expresiones 6.45a y 6.45b, que provienen de consideraciones teóricas y experimentales:  Agujeros circulares: V u,a = (1 -D/h)V u ≤ V  p,a

(6.45a)

 Agujeros rectangulares: V u,a = [1 - (bo + 0.3ao )/h]V u

≤ V  p,a

(6.45b)

V u es la resistencia última en cortante del alma sin perforaciones (art. 3.10.4 del Capítulo 3), y V  pa la fuerza correspondiente a la plastificación del alma. En trabes armadas de alma delgada, sin atiesadores, la resistencia última no depende de la excentricidad e de los agujeros.

90

Trabes Armadas

Las expresiones 6.45 sólo son válidas para almas esbeltas que se pandean por cortante, de manera que proporcionan valores que deben ser menores que la fuerza V  p,a. V  p,a =(1 - Do /h)

β

/(1 +

β ) V  p

(6.46)

En la ecuación anterior, (6.47)

V  p = ht a F  ya /  3

Do = bo para agujeros rectangulares

(6.48a)

= 0.9 D para agujeros circulares

(6.48b)

β = 0.75 {[(h - Do ) 2 + 4e 2 ] / D1 (h - Do )}

(6.49)

D1 = ao para agujeros rectangulares

(6.50)

= 0.45D para agujeros circulares

(6.51)

2

e es la excentricidad del agujero con respecto al eje longitudinal de la trabe (Fig. 6.19). La ec. 6.46, que es conservadora, rige en trabes armadas de alma gruesa, y con las ecs. 6.45 se calcula la resistencia última en cortante de las de alma delgada; cuando el grueso del alma es intermedio gobierna la que proporciona valores más bajos. Si los agujeros debilitan demasiado la zona comprimida del alma, el patín se pandea verticalmente dentro de ella; para evitarlo, cuando se requieren agujeros que no están centrados, conviene hacerlos cerca del patín en tensión o, cuando menos, alejarlos lo más posible del comprimido. R ar 

θo ao

bo

e m

D

e

h

m

Fig 6.19 Tamaños y posiciones posibles de los agujeros en el alma.

6.11.2.2 Resistencia última en flexión La resistencia última en flexión de una trabe armada de alma esbelta agujereada está dada por: M R, a = 1 - t a (Do + 2e)3 /12I  x - K 1V  D /V u,a  K 2 M  R

(6.52)

Trabes Armadas

91

M R  es la resistencia en flexión de la trabe sin perforaciones. El primer factor correctivo tiene en cuenta la pérdida de material en el alma y la fuerza cortante, y con K 2  se incluye la tendencia del patín comprimido a pandearse en el plano vertical. Cuando la perforación no está en el eje, la resistencia última en flexión se determina, de manera conservadora, considerando una abertura centrada que circunscribe a la excéntrica. K 1 y K 2  valen, aproximadamente,  K 1 = 1 + 3 ( D1 /h 0.7 − Do /h  /  1 + 2  A pc + A pt   /Aa

(6.53)

K2 = 1 para aberturas circulares = 1.13 - 0.03 (D 1/ta)(Fya/E) > 1 para aberturas rectangulares

D1 se calcula con la ec. 6.50 o 6.51;  A pc  y  A pt  son, respectivamente, las áreas de los patines en compresión y tensión. Si el agujero rectangular es largo se revisa el pandeo vertical de la te comprimida adyacente a él, para lo que se considera una longitud libre de pandeo de 0.7 ao. El efecto desfavorable del agujero en la resistencia de la trabe a la flexión se extiende una distancia a p a cada lado de la abertura (Fig. 6.20): a p = 0.33Do (h/t a  )  F  ya /E  ,

 Do

ap

≤ a p ≤ h

(6.54) ap

ap

ap

Fig 6.20 Zonas de influencia de un agujero en el alma en la resistencia en flexión.

Los esfuerzos verticales en el alma producidos por la curvatura en flexión de la trabe crecen localmente por efecto de los agujeros, y aumenta el peligro de que los patines se pandeen verticalmente; ésto hace que deba ajustarse la esbeltez límite del alma, para lo que se recomienda multiplicar los segundos miembros de las expresiones 6.11 y 6.12 por 1-0.5 D1 /h.

92

Trabes Armadas

Si la relación h/t a excede la que se indica en el párrafo anterior, el alma se refuerza con atiesadores transversales, dobles o sencillos, con sección transversal de área no menor  que 0.1Aa, colocados en los dos extremos de la perforación. 6.11.3 Almas atiesadas transversalmente Los agujeros rectangulares se tratan como circulares equivalentes, de diámetro  D = ao2 + bo2  sen ( θ + θ o )

(6.55)

θo es el ángulo entre la diagonal geométrica del agujero y una horizontal. θo = atan(bo/ ao )

(6.56)

θ es el ángulo entre la banda de tensión diagonal y la horizontal; debería elegirse para que la resistencia última en cortante fuese máxima, pero se evita un proceso iterativo estimándola, de acuerdo con observaciones experimentales, como

θ ≈ 2/(3θd (1 - D/h))

(6.57)

θd = atan (h/a) es el ángulo que forma la diagonal geométrica del tablero de alma con el eje de la trabe. Las reglas de diseño que se recomiendan más adelante son válidas para aberturas típicas, que satisfacen los requisitos:  D ≤ h cosθ - a sen θ bo ≤ h - (a + ao )tan θ

 Agujeros circulares:  Agujeros rectangulares:

(6.58) (6.59)

Estas dos expresiones corresponden, aproximadamente, a D

≤ h/3.

Los agujeros pueden estar fuera del centro del alma, pero dentro de la región permisible de la Fig. 6.21.     x      5      3  .      0

M

V

Región permisible M

V

θ 0.1x

    x      1  .      0

h x=d cuando a d x=a cuando a d

0.35x a

Fig 6.21 Región del alma en la que pueden hacerse agujeros.

Trabes Armadas

93

6.11.3.1 Resistencia última en cortante Sigue siendo igual a la suma de dos contribuciones: a)

La fuerza crítica elástica, V cre.

b)

La acción de membrana del campo de tensión diagonal, V t,  que incluye la contribución eventual de los patines al anclaje de las bandas en tensión, y la parte de éstas que se pierde por el agujero.

La resistencia última al cortante es: (6.60)

V u = V cre + V t 

Como el esfuerzo cortante crítico elástico suele ser pequeño en comparación con σt o F ya, los errores que se cometen al evaluarlo con fórmulas aproximadas influyen poco en la resistencia última. Su valor aproximado es (ec. 3.6, Capítulo 3):

π 2 E   t a  2   k t,a τ cre = 12(1 - µ 2 )   h  

(6.61)

El coeficiente de pandeo, k τ,a, vale  Agujeros circulares:  Agujeros rectangulares:

k τ ,a = k τ (1 - αc D/ h 2 + a 2 )

(6.62a)

k τ ,a = k τ (1 - αr 

(6.62b)

k τ se determina con la ec. (3.9) o (3.10), y

Bordes libremente apoyados: Bordes empotrados:

(a o / a)(bo / h) )

αc y αr  valen αc = 1.8, αr  = 1.5 αc = 1.5, αr  = 1.25

Las expresiones 6.62 se utilizan para calcular, con fines de diseño, los esfuerzos cortantes críticos de pandeo elástico; deben satisfacerse los límites D/h ≤ 0.5  para agujeros circulares y bo /h ≤ 0.5ao /a ≤ 0.5 , para los rectangulares. Cuando las aberturas son más grandes, el esfuerzo crítico se estima, conservadoramente, haciendo k τ,a igual a  Agujeros circulares:  Agujeros rectangulares: el valor menor de

k τ ,a , = k τ (1 - D/h) k τ (1 - bo /h) y k τ (1 – ao /a)

(6.63a) (6.63b)

94

Trabes Armadas

Si el pandeo se inicia en el intervalo inelástico, se hacen las correcciones del art. 3.9.2. La fuerza crítica de pandeo es V cr  = ht aτcr 

(6.64)

El cálculo de la fuerza cortante que corresponde al campo de tensión diagonal se sigue basando en la ec. 3.33, pero como una parte de la faja en tensión no es efectiva, se convierte en V t  = στ ht a

1 2 1 + (a/h)2

- Dt aστ  sen θ

(6.65a)

Siguiendo el mismo camino que en el art. 3.9.2, el término negativo se escribe

 

 Dt a 1 -

 

3τ cr  

σ  sen θ σ y    y

(6.65b)

La resistencia nominal al corte, incluyendo la contribución de la tensión diagonal, se determina con las ecs. 3.70 y 3.72, a las que se les resta el término anterior. Los resultados experimentales muestran que la resistencia de las trabes armadas con un agujero central puede obtenerse por interpolación lineal entre V u y V v , resistencias del alma sin perforar,y de un tablero con un agujero circular central de diámetro igual al peralte del alma (D = h). Esta, que es la resistencia al corte de una trabe Vierendeel formada por los patines y los atiesadores transversales, se obtiene aplicando el principio del trabajo virtual al mecanismo de colapso plástico del tablero:  Agujero circular:  Agujero rectangular:

V v = ∑ M* p /a V v = ∑ M* p /0.5ª 

(6.66a) (6.66b)

∑M*  p es la suma de los momentos plásticos (reducidos, en su caso, por fuerza normal) de las articulaciones plásticas asociadas con el mecanismo de colapso que se forma en los elementos de borde. La fuerza cortante última de una trabe armada con un agujero central de diámetro D es V u ,a = V v + (V u - V v )(1 - D/h)

(6.67)

Trabes Armadas

95

Se ha demostrado experimentalmente que cuando el agujero está en la diagonal comprimida, fuera del centro del alma, la resistencia al corte es mayor que la calculada con la ec. 6.67; un agujero de dimensiones normales situado en la esquina de la diagonal comprimida ocasiona una disminución de resistencia que no excede nunca del 10% de la del alma sin perforar; en esas condiciones, la resistencia última al corte, V ou ,a , es o

V u ,a

≈ 0.9V u

(6.68)

De acuerdo con lo anterior, la resistencia última V ur ,a de un alma con un agujero circular  con centro en la diagonal comprimida, situado a una distancia r  del centro del tablero (Fig. 6.22), puede estimarse por interpolación lineal entre V u ,a y V ou ,a . r 

(6.69)

V u ,a = V u ,a + (0.9 V u - V u,a )(r/r máx )

La distancia r máx  (Fig. 6.22), es r máx =

0.25(a 2 + h 2  ) - (D/  2)

(6.70)

Las expresiones anteriores se utilizan también para agujeros rectangulares, tomando D igual al diámetro del círculo equivalente. Como el procedimiento simplificado descrito se basa en resultados experimentales, su aplicación se limita a los valores de la relación de aspecto α = a/h que se han investigado; por ello, debe cumplirse la condición 0.8 ≤ a/h ≤ 1.25 

Diagonal en tensión

Diagonal en compresión

h

x r má r 

a

Fig 6.22 Agujero en el alma situado excéntricamente en la diagonal comprimida.

96

Trabes Armadas

EJEMPLO 6.6. Se desea hacer un agujero circular, de 50 cm de diámetro, en el cuarto tablero, medido a partir del apoyo, del alma de la trabe armada del Ejemplo 6.3 (Fig. E6.3.4). Determine si se necesita reforzar el alma. Resistencia del alma sin agujero M’ R  = 530.4 Tm (Ejemplo 6.3)  Al ajustar el tamaño de los tableros a la longitud total de la trabe, a disminuyó de 167 a 160 cm, por lo que la resistencia al corte aumenta ligeramente. a/h = 160/244 = 0.656  2 

k = 5.0 + 5.0/0.656  = 16.63

V  R = 0.9

 0.905 x 16.63E   1   2  308.9  

  +  1 + 0.656 2   0.870

0.50F  y 1 + 0.656 2

  195.3 = 201.5 Ton 

t =2.22 p t =0.79cm a

M = D 525.0Tm

m VD =31.5T c 4 4 2 M = = D h 525.0Tm

V =31.5T D

=

Fig E6.6.1 Tablero de alma que se desea agujerar y acciones internas en él.

En la Fig. E6.6.2 se muestra la zona en que puede hacerse el agujero (ver Fig. 6.21), y  la posición propuesta.

θd  = atan (244/160) = 0.990 rad. Ec. 6.57 

θ = 2/(3θd  (1 - D/h)) = 2/(3 x 0.990 (1 - 40/244)) = 0.805

Ec. 6.58 

 D = 40 cm < hcosθ - asenθ = 244 cos 0.805 - 160 sen 0.805 = 53.8 cm

Trabes Armadas

97

Inclinación de la tensión diagonal 56.0 Zona permitida

    m     c      4      4      2     =      h

e=52.0

132.20cm

D=40cm  Agujero

50 16.0

0.1x160=16.0

88.0cm

0.35x160=56.0

a=160cm a h x=a=160cm Fig E6.6.2 Zona donde se pueden hacer agujeros, posición y dimensiones de la perforación.

Resistencia última en cortante Suponiendo, conservadoramente, que los bordes del tablero de alma están libremente apoyados,

αc  = 1.8 ; k τ = 5.00 + 5.00/(160/244)2  = 16.63 Ec. 6.62a. h t a

=

244 0.79

k τ ,a = k τ (1 - αc D / h 2 + a 2  ) = 16.63 (1 - 1.8 x 4.0/  244 2 + 160 2 ) = 12.53

≈ 309 > 1.40

 Ek τ  F  y

= 1.40

16.63E   F  y

= 162

La resistencia nominal en cortante, incluyendo el campo de tensión diagonal, es igual a la proporcionada por la ec. 3.72 menos el término 6.65 b. El esfuerzo crítico τcr  que aparece en éste se calcula con la ec. 3.71. De la ec. 3.71,

τr  =

V  N   Aa

=

0.905Ek τ (h/t a  )

2

=

0.905 x 12.53 E  309

2

= 242 Kg/cm 2

Resistencia nominal:           0.50F  0.905Ek  0.870   y   A - Dt  1 - 3 τ r   F  sen θ  V  N  = 1 +   y a  (h/t a )2   1 + (a/h)2   1 + (a/h)2  a    F  y    

 

98

Trabes Armadas

h/t a = 309;

V u

1 + (a/h) 2 = 1 + (160/244)2 = 1.196; Aa = (244 + 2 x 2.22) 0.79 = 196.3 cm2

   0.905 x 12.53E   0.870  0.50F  y  -3 1   1 + 196.3  x 10 40  x 0.79 =   2     1.196  1.196  309    

3  x 242   F  sen 0.805 x 10 - 3  F  y    y

= 220.6 - 48.1 = 172.5 Ton.

Resistencia de diseño: V R  = 0.9 x 172.5 = 155.3 Ton >> V D = 31.5 Ton.

El agujero reduce significativamente la resistencia al corte (22%); sin embargo, puede hacerse sin ningún refuerzo; el alma sigue muy sobrada. Resistencia última en flexión Se determina con las ecuaciones del art. 6.11.2.2. Para que la disminución sea mínima, convendría subir el agujero, haciendo que su centro coincida con el eje de la trabe. Si se deja el agujero en la posición indicada en la Fig. E6.6.2, se tiene: Do = 0.9D = 36.0 cm ; D 1 = 0.45 D = 18.0 cm ; A pc  = A pt  = 99.9 cm2  ; A a = 192.8 cm2  (Del  ejemplo 6.3). Ec. 6.53

 

 K 1 = 1 + 3

18.0   36.0  0.7  244   244  

[1+ 2 x 2 x 99.9/192.2] = 0.365

 K 2 = 1.0

Ec. 6.52 

 M  R,a = { 1 - [0.79 (36 + 2 x 52)3  /( 12 x 3984 612)] - 0.365 x

31.5 155.3

} 1.0 x 530.4 =

= 0.881 x 530.4 = 467.3 Tm < M  D = 525.0 Tm.

I  x , momento de inercia de la sección sin agujero, se ha tomado del ejemplo 6.3. El agujero en el alma disminuye el momento resistente en 12%, aproximadamente; la sección no es adecuada (M D /M R,a = 525.0/467.3 = 1.124). Colocando el centro del agujero en el eje longitudinal de la viga, e se reduce a cero, y se tiene

Trabes Armadas

 M  R,a = { 1 - [0.79 x 36 3 /(2 x 3984 612)] - 0.365 x

99

31.5 155.3

}

530.4 = 0.925 x 530.4 = 490.7 Tm < 525.0

Con esta posición el momento resistente disminuye sólo en 7.5%; sin embargo, la sección sigue ligeramente escasa (525.0/490.7 = 1.070).

Trabes Armadas

100

6.12

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Trabes Armadas

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Trabes Armadas

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Fundación ICA es una Asociación Civil constituida conforme a las leyes mexicanas el 26 de octubre de 1986, como se hace constar en la escritura pública número 21,127, pasada ante la fe del Lic. Eduardo Flores Castro Altamirano, Notario Público número 33 del Distrito Federal, inscrita en el Registro Público de la Propiedad en la sección de Personas Morales Civiles bajo folio 12,847. A fin de adecuar a las disposiciones legales vigentes los estatutos sociales, estos fueron modificados el 17 de octubre de 1994, como se hace constar en la escritura pública número 52,025 pasada ante la fe del Lic. Jorge A. Domínguez Martínez, Notario Público número 140 del Distrito Federal. Fundación ICA es una institución científica y tecnológica inscrita en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, con el número 2001/213 del 29 de agosto de 2001. Esta edición de " Diseño de estructuras de acero. Trabes armadas " se termino de grabar en agosto del 2002 se grabaron 500 ejemplares en disco compacto, fue grabado en Av. del Parque 91 col. Nápoles C.P. 03810 México DF. la edición estuvo al cuidado de Fernando Oscar Luna Rojas, César Arteaga y Carolina Zempoalteca Durán.

Otras publicaciones del Ing. Oscar de Buen López de Heredia

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"Un método para el trazo de líneas de influencia de estructuras hiperestáticas". Ingeniería. Julio 1959.

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"Diseño de columnas de acero cargada axialmente". Ingeniería. Abril 1963.

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"Pandeo lateral de vigas de acero". Ingeniería. Octubre 1963.

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"Diseño de piezas flexocomprimidas de acero estructural". Ingeniería. Abril 1964.

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"Pandeo de placas comprimidas". Ingeniería. Julio 1964.

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Consejo Directivo de Fundación ICA Presidente Ing. Bernardo Quintana Vicepresidentes Dr. Francisco Barnés de Castro Dr. Daniel Resendiz Nuñez Dr. Julio Rubio Oca Ing. Luis Zárate Rocha Director Ejecutivo M. en C. Fernando O. Luna Rojas Cuerpos Colegiados de los Programas Operativos Comité de Becas Dr. Juan Casillas García de León Dr. Sergio Gallegos Cazares Ing. Miguel Angel Parra Mena Comité de Premios Dr. Luis Esteva Maraboto Ing. Gregorio Farias Longoria M.I. José Antonio González Fajardo Comité de Publicaciones Dr. Oscar González Cuevas Dr. Horacio Ramírez de Alba M.I. Gabriel Moreno Pecero Ing. Gilberto García Santamaría González Comité de Investigación Dr. José Luis Fernández Zayas Dr. Bonifacio Peña Pardo Dr. Ramón Padilla Mora Dr. Roberto Meli Piralla

Universidad Autónoma del Estado de México Directorio Dr. en Q. Rafael López Castañares Rector 

Lic. en T. Maricruz Moreno Zagal Secretaria de Docencia

M. en A.P. José Martínez Vilchis Secretario de Administración

M. en E.S. Gustavo A. Segura Lazcano Coordinador General de Difusión Cultural

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y DISEÑO

Directorio Lic. en D.I. Enrique Aguirre Hall Dirección

M. en Arq. Ma. de Lourdes Ortega Terrón Subdirección Académica

Arq. Ricardo Rolando Cruz Jiménez Subdirección Administrativa