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El origen y desarrollo de la relatividad

Alianza Universidad

José Manuel Sánchez Ron

El origen y desarrollo de la relatividad

Alianza Editorial

© José Manuel Sánchez Ron © Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1983 Calle Milán, 38; ® 2000045 ISBN: 84-206-2362-8 Depósito legal: M. 13.556-1983 Fotocomposidón EFCA Impreso en Closas-Orcoyen, S. L. Polígono Igarsa Paracuellos del Jarama (Madrid) Printed in Spain

Para Ana, Mireya y Amaya

INDICE

Agradecimientos ..................................................................................

13

Capítulo 1: A modo deintroducción................................................

15

1. Einstein y la cultura del siglo xx, 15.—2. Círculo de Viena, positivismo lógico, 16.—3. Operacionalismo, 18.—4. Karl Popper, 18.

Capítulo 2: El estado de la electrodinámica con anterioridad a Lorentz y E instein.........................................................................

20

1. Introducción, 20.—2. Orígenes: Problemas en la Optica, 20.—2.a. Bradley, 21.—2.b. Young, 22.—2.c. Arago y Fresnel, 23.—2.d. Stokes, 25.—2.e. Los experimentos de Michelson, 26.—3. Sobre el Desarrollo de la Electrodinámica, 27.—3.a. Weber, Riemann, Helmholtz y Maxwell, 27.—3.b. Algunos problemas todavía sin resolver, 29.

Capítulo 3: Lorentz y Poincaré ......................... ............. ..............

33

1. Lorentz, 33.—2. La teoría del electrón de Lorentz, 34.—3. Las teorías de Lorentz de 1892 y 1895, 35.—3.a. Origen de las transformaciones de Lo­ rentz, 37.—4. La teoría de Lorentz de 1904, 45.—5. Larmor y las transfor­ maciones de Lorentz, 49.—6. Poincaré y la Teoría de la Relatividad Espe­ cial, 49.—7. El Artículo del Rendiconti del Circolo Matematico di Paler­ mo, 53.

Capítulo 4: La teoria de la relatividad de E instein........................ 1. Introducción, 55.—2. Posibles influencias sobre Einstein, 56.—3. El Problema Fundamental para Einstein, 61.—4. El contenido de «Zur Elektrodynamik bewegter Körper», 66.

55

Capítulo 5: Aproximación histórico-crítica a la cuestión de la re­ cepción e interpretación dadas a la relatividad especial..........

75

1. Introducción, 75.—2. La respuesta a la relatividad especial en Francia, Es­ tados Unidos y Gran Bretaña, 76.—3. La respuesta de la relatividad especial en Alemania, 79·—3.a. Relatividad electromagnética, 81.—3-b. Relatividad mecánica, 86.—4. El verdadero significado de la teoría de la relatividad es­ pecial, 86.—5. Física y filosofía en el caso de la relatividad especial, 91.—6. Posdata: La opinión de Lorentz sobre la teoría de la relatividad especial, 93.

Capítulo 6: Minkowski: Del espacio al espacio-tiem po................

95

1. Introducción, 95.—2. El Sentido Geométrico de Minkowski, 96.—3. Del espacio al espacio-tiempo, 97.—4. La Teoría del Mundo Absoluto, 101.

Capítulo 7: De partículas (cuantos) a campos: El problema de la radiación y la teoría del electrón ...............................................

104

1. Introducción, 104.—2. Einstein y el problema de la radiación: La teoría cuántica de la radiación, 104.—3. La teoría del electrón, 112.

Capítulo 8: Las teorías de la gravitación en la generación ante­ rior a E instein..............................................................................

116

1. Introducción, 116.—2. Astronomía, astrofísica y la teoría de la gravita­ ción, 117.—2.a. Posibles explicaciones para el movimiento del perihelio de Mercurio, 118.—2.b. El movimiento del cometa de Encke, 118.—3. La ve­ locidad de propagación de la gravitación, 119.—4. La ley de gravitación, 121.—5. Masa inercial y masa gravitatoria, 122.—6. Electrodinámica y gra­ vitación, 124.

Capítulo 9: En busca de la relatividad general, I: El principio de equivalencia ...................................................................................

127

1. El artículo de 1907 en el Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 127.—l.a. Sistemas de referencia acelerados y campos gravitacionales: el principio de equivalencia, 128.—2. El valor heurístico del principio de equivalencia, 130.—3. Einstein en Praga, 131.—4. Einstein, Abraham y Nordstrom, 135.—4.a. Abraham, 135.—4.b. Nordstrom, 138.—5. Posdata: ¿Gravitación o principio de relatividad general?, 141.

Capítulo 10: En busca de la relatividad general, II: El problema del disco que gira (los espacios de R iem ann)............................

142

1. Introducción, 142.—2. Cronología, 142.—3. El problema de disco que gira, 145.—4. Otras fuentes, 151.—5. Sinopsis final, 153.

Capítulo 11: En busca de la relatividad general, III: Einstein y Grossmann .....................................................................................

154

1. Introducción, 154.—2. La teoría de Einstein y Grossman de 1913, 154.—3. Posdata: Las ecuaciones de movimiento, 161.

Capítulo 12: En busca de la relatividad general, IV: Las ecuaciones del campo .................................................................. 1. Noviembre de 1915, 163.—2. Génesis de la relatividad general vista des­ de el artículo de 1916 «Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie», 170.—3. Acerca del papel de las matemáticas en la física, 172.—4.a. La for­ mulación axiomática de Hilbert, 174.—4.b. Correspondencia entre Einstein

163

y Hilbert, 177.—4 c. Opinión de Einstein sobre la teoría de Hilbert, 179.—5. Apuntes acerca de la recepción dada a la relatividad general, 180.

Capítulo 13: Hacia una generalización de la relatividad general

.

191

1. Einstein, crítico de la relatividad general,191.—2. Tras los pasos de Mié, Hilbert y Weyl: 1918-1923, 194.—3. A modo de epílogos Apuntes acerca del desarrollo de las ideas de Einstein después de 1923, 196.—3.a. Notas generales, 196.—3.b. Sobre la noción de singularidad en el pensamiento de Einstein, 198.—3.c. La idea de Einstein y Rosen, 200.

Apéndice A: Einstein y M ach ............................................................

204

1. Introducción, 204.—2. Mach, 204.—3. Einstein y Mach, 1: La relatividad especial, 208.—4. Einstein y Mach, 2: La relatividad «general», 209.—4.a. Einstein venus Mach, 210.—4.b. Mach versus Einstein, 213.

Apéndice B: Gotinga, 1894-1905 .....................................................

215

1. Introducción, 215.—2. Gotinga, 1894-1905, 216.—}. Etccuodinímica (teoría del electrón) y relatividad en Gotinga, 218.

Bibliografía ...........................................................................................

221

1

Agradecimientos Deseo expresar en primer lugar mi agradecimiento a mis compañe­ ros del Departamento de Física Teórica de la Universidad Autónoma de Madrid, Cayetano López, José Luis Sánchez Gómez y Francisco Ynduráin, sin cuya am plitud de miras (en Física como en tantas otras co­ sas) y estímulo, todo me habría sido mucho más difícil. No puedo olvidar tampoco a Manuel García Doncel. Baste decir que sin su intervención, probablemente no habría llegado a escribir es­ te libro. Finalmente, quede aquí testimonio de lo mucho que debo a mi mujer. Y a mis hijas, que me enseñaron a cantar y a reír.

I I

I

Capítulo 1 A MODO DE INTRODUCCION

1.

Einstein y la cultura del siglo XX

Es evidente que, en innumerables sentidos, los trabajos de Einstein sobre las teorías especial y general de la relatividad han trascendido con mucho el mero contexto científico. Así, por ejemplo, a un nivel social se tiene que el impacto producido en el gran público por dichas teorías contribuyó en forma decisiva a configurar la imagen (el estereo­ tipo) de lo que todavía hoy en día la mayor parte de la sociedad con­ sidera es un científico. Por otra parte, la profunda impresión que estas teorías provocaron demostró que el ya entonces agonizante carácter eli­ tista de la llamada ciencia pura había muerto definitivamente. Era ob­ vio que las teorías científicas tenían un mercado en los diferentes m e­ dios de comunicación social1 (y tener un mercado era ya algo que —especialmente en Estados Unidos— no se pasaba por alto). Einstein y con él, tarde o tem prano y en mayor o menor grado, «el científico», pasaba a ser un personaje público con todas sus consecuencias. El por qué de todo esto es algo que todavía está por estudiar desde un punto de vista sociológico pero, como apunte, vaya aquí la suge1 Una primera aproximación al tema de Einstein, la relatividad y la prensa se halla en Crelinsten (1980 a,b).

rencia de la importancia que en este sentido tiene el momento en que Einstein hace su «entrada en sociedad»; precisamente cuando acababa de terminar la Primera Guerra Mundial. No es aventurado señalar que la postguerra fue un período particularmente propicio para recibir nuevos estímulos, mitos que prometiesen un futuro mejor, o que simplemen­ te contribuyesen a devolver la fe en la especie hum ana como capaz de producir algo más que guerras, depresiones o inflaciones. Se podrían desde luego mencionar y discutir otros campos en los que la influencia de las teorías de la relatividad de Einstein fue gran­ de; sin ir más lejos, ahí está el muy manido y discutido ejemplo de «E = me2» con toda su secuela de bombas, energía nuclear, política, etc., pero no es mi intención la de ser exhaustivo en estas cuestiones, ni siquiera el intentarlo. Sí quiero, sin embargo, referirme con cierto detalle, aunque tampoco de forma completa, a una disciplina cuya problemática y contenido han sido profundamente modificados a causa de las teorías de la relatividad de Einstein: la filosofía. Y dentro de ella, la filosofía de la ciencia. Cuando se piensa en la filosofía de la ciencia del siglo XX, inm e­ diatamente le vienen a uno a la mente nombres como positivismo ló­ gico, círculo de Viena, operacionalismo, metodologías y criterios de de­ marcación, por mencionar algunos. Pues bien, una parte esencial de todas las tendencias o subdisciplinas, que unidas forman lo que hoy denominamos «filosofía de la ciencia», se puede decir que nacieron o al menos que se vieron modificadas en forma esencial, a raíz de la for­ mulación por parte de Einstein de las teorías especial y general de la relatividad. Veamos algunos ejemplos que corroboran esta afirmación. 2.

Círculo de Viena, positivismo lógico2

En los alrededores de 1922, y con Moritz Schlick como cabeza vi­ sible, se agruparon bajo la denominación «Círculo de Viena» hombres como Rudolf Carnap, Herbert Feigl, Philipp Frank, Kurt Gódel, Víc­ tor Kraft, Otto Neurath y Friedrich W aismann, por citar sólo los prin­ cipales. En realidad la influencia del Círculo se extendía mucho más allá de Viena, por ejemplo a Berlín donde entonces se encontraba Hans Reichenbach, Se puede decir que existía un número creciente de filósofos y científicos —positivistas lógicos les llamaríamos hoy en

2 No es mi intención el precisar las nociones «Circulo de Viena» y «positivismo lógi­ co». Baste con decir que según Feigl (1969) el origen y espíritu del positivismo lógico se encuentra ya en Aílgemeine Erkenntnislehre (Teoría general del conocimiento) del líder del círculo de Viena Moritz Schlick, publicado en 1918, es decir, bastante antes que las más conocidas tesis de H. Reichenbach.

día— que aunque no formaban parte del Círculo estaban en contacto permanente con algunos de sus miembros, compartiendo plenamente las ideas básicas de estos y en especial la de despojar a la filosofía de toda afirmación de índole metafísica. Mi tesis es que en la base de la filosofía que caracteriza al Círculo de Viena se encuentran incluidas de forma esencial las enseñanzas epistemológicas o metodológicas derivadas de las dos teorías de la rela­ tividad, o, dicho de otra forma, que fueron los miembros del Círculo los primeros en darse cuenta que las lecciones o consecuencias que se derivaban de la relatividad obligaban a un reajuste de la filosofía de la ciencia predominante hasta entonces. En este sentido Reichenbach es muy claro cuando en 1932 escribía: «...en mi tiempo libre [circa 1918] estudié la teoría de la relatividad; asistí a las clases de Einstein en la universidad de Berlín... La teoría de la relatividad me impresionó inmensamente y me llevó a un conflicto con la filosofía de Kant. La crítica de Einstein al problema del espacio-tiempo me hizo darme cuenta de que el concepto de a priori de Kant no se puede mantener.»3. y de nuevo en 1936 «Al principio kantiano; después, bajo la influencia de la teoría de la relatividad de Einstein rompí con el sistema kantiano.»4. Otro detalle que refleja la importancia de la relatividad para los miembros del Círculo de Viena se hace manifiesto al ver algunas de sus publicaciones: En 1917, sólo dos años después de que Einstein formulara la teoría de la relatividad general, Schlick (1917) publica Raum u n d Zeit in der gegenwärtigen Physik (Espacio y tiem po en la física contemporánea). En 1920 aparece el Relativitätstheorie u n d Erkenntnis a priori (La teoría de la relatividad y el conocimiento a priori) de Reichenbach (1920), mientras que en 1922 Carnap (1922) publica su tesis doctoral Der Raum (El espacio)'’. Esta lista se podría alargar mucho más, pero a efectos ilustrativos es más que suficiente.

3 «Apuntes autobiográficos para propósitos académicos», Berlín 1932. Reproducido en Reichenbach (1978), pág. 2. 4 Estambul 1936. Reproducido en Reichenbach (1978), pág. 4. 5 Para más información ver «Critique of Reichenbach’s and Carnap’s Philosophy of Geometry», capítulo 3 de Grünbaum (1973), págs. 81-105.

3.

Operacionalismo

En el operacionalismo tenemos una de las partes de la filosofía de la ciencia en la que la influencia de los trabajos de Einstein es más evi­ dente. En efecto, el operacionalismo surgió cuando P. W . Bridgman se dio cuenta de que lo que hizo Einstein en su teoría de la relatividad especial fue «el llevar a cabo, con más detalle que lo hecho hasta en­ tonces, un análisis de las operaciones físicas que se utilizan en la m edi­ da de longitud y tiempo» (Bridgman 1949, pág. 336). Así, por ejemplo, el concepto «simultaneidad absoluta» no tiene ningún signi­ ficado empírico, es preciso incorporar —como hizo Einstein— a nuestras teorías el conjunto de operaciones que nos permiten medir, en diferentes sistemas inerciales, el parámetro tiempo. De todo esto, que está ligado a una «teoría» específica como es la relatividad espe­ cial, Bridgman extrajo el principio general de que todo concepto que no esté ligado a un proceso de medida debe de ser excluido de la física. 4.

Karl Popper

Hoy en día una de las ramas más importantes de la filosofía de la ciencia es la metodología; rama que se puede decir alcanzó su status actual con la publicación —primero en alemán, en 1934, y luego en inglés, en 1959— de La lógica de la investigación científica de K. R. Popper (1971). Pues bien, tam bién las ideas de Popper surgieron en gran parte como una reflexión filosófica ante los trabajos de Einstein. Dejemos que sea el propio Popper quien nos lo explique: «Volviendo la vista hacia aquel año [1919] me maravilla el que, en un período tan corto, le pueda ocurrir tanto al desarrollo intelectual de uno mismo. Puesto que fue en aquella época cuando supe acerca de Einstein; y esto llegó a ser una influencia dominante en mi pensamiento —a la larga tal vez la influencia más importante de todas... [Max Elstein] me llamó la atención ante el hecho de que el mismo Einstein consideraba como uno de los principales argumentos en favor de su teoría [de la relatividad general] el que condujese a la de Newton como una aproxi­ mación muy buena; también, el que Einstein, aunque convencido de que su teoría era una aproximación mejor que la de Newton, considerase su propia teoría como meramente un paso hacia una teoría todavía más general... Sin duda alguna, Einstein tenía todo esto, y especialmente su propia teoría en mente cuando, en otro contexto escribió: “No podría existir mejor destino para una teoría física que el que señalase el camino hacia una teoría más amplia, en la que continuase viviendo como un caso límite” . Pero lo que más me impresionó fue la clara afirmación de Einstein en el sentido de que consideraría su teoría insostenible si no pasase ciertas pruebas. Así escribió, por

ejemplo: “ Si el desplazamiento hacia el tojo de las líneas espectrales debido al potencial gravitatorio no existiese, entonces no se podría seguir manteniendo la teoría de la relatividad general’'. Aquí teníamos una actitud radicalmente diferente de la dogmática de Marx, Freud y Adler y más aún de la de los seguidores de estos. Einstein estaba buscando experimentos cruciales. Esta —sentí entonces— era la verdadera actitud científica. Radicalmente diferente de la actitud dogmática que constantemente anunciaba el hallazgo de “verificaciones” para sus teorías favoritas. Así es como llegué, hacia finales de 1919, a la conclusión de que la actitud científica era la actitud crítica, que no buscaba verificaciones sino pruebas cru­ ciales; pruebas que podrían refutar la teoría que se está cuestionando, pero que nunca la podrían establecer.» Poco puedo añadir. Debe de ser difícil encontrar otro pasaje en el que aparezca de forma más clara y definitiva el origen y significado de todos los temas que forman la filosofía popperiana que el que acaba­ mos de leer.

Capítulo 2 EL ESTADO DE LA ELECTRODINAMICA CON ANTERIORIDAD A LORENTZ Y EINSTEIN

1.

Introducción

El tema que da título al presente capítulo podría llenar perfecta­ m ente no sólo un libro sino también una enciclopedia de numerosos volúmenes. Es evidente, por consiguiente, que lo que yo mencione aquí no podrá ser considerado, en general, más que como un somero Indice. Pero no pido disculpas al lector por estas limitaciones, es algo que difícilmente podría haber evitado dado el tema real de este libro. Todo aquél que desee aprender más debe consultar los —no exhausti­ vos— trabajos de W hittaker (1951, 1953), Hirosige (1966, 1968, 1969, 1976), McCormmach (1970), Schaffner (1972), Berkson (1974) y Miller (1981).

2.

Orígenes: Problemas en la Optica

La investigación en electrodinámica (esto es, los esfuerzos por en­ contrar una teoría que diese cuenta de forma satisfactoria de los fenó­ menos eléctricos y magnéticos) empezó a alcanzar su auténtico clímax a partir del último cuarto del siglo XIX. Hasta entonces — y en lo que

a nosotros nos atañe ahora— eran los problemas ópticos los que recibían mayor atención. Las primeras teorías acerca de la estructura de la luz datan del si­ glo XVII. En aquella época surgieron las teorías ondulatorias de Robert Hooke (en su Mtcrographia de 1665) y Christiaan Huygens (en su Traite de la lum iere publicado en 1690), en las que la luz se interpre­ taba como una onda propagándose sobre algún medio —cuya estruc­ tura era uno de los problemas inmediatos a resolver— al que se le d e­ nominó «éter». Otra alternativa eran las teorías corpusculares, en las que la luz se consideraba como formada por minúsculos corpúsculos. El nombre de Newton con su Optica, publicada en 1704, está asociado a este tipo de teorías, pero en realidad Newton fue bastante precavido y evitó en lo posible comprometerse con respecto a la naturaleza últi­ ma de la luz. Es cierto, no obstante, que sus métodos de tratar los fe­ nómenos ópticos involucraban, de una u otra manera, corpúsculos. Es de destacar que Newton aceptaba tam bién —en lo referente a los fe­ nómenos ópticos— la existencia de un éter, pero no como un medio necesario para la propagación de la luz, sino como un medio que interaccionaba con los «corpúsculos de luz» para así producir los fenóme­ nos de refracción y los llamados anillos de Newton. 2.a.

Bradley

En esta situación, con dos esquemas teóricos radicalmente diferen­ tes, era acuciante el encontrar experiencias que permitiesen seleccionar uno de ellos. En este sentido hay que comenzar por señalar que el principal descubrimiento óptico de la primera m itad del siglo XVIII tendía a apoyar a la teoría corpuscular de la luz. Me estoy refiriendo al fenómeno de la aberración estelar, descubierto en 1728 por James Bradley, profesor de astronomía en Oxford. La aberración estelar es un efecto distinto —y de ahí su interés— al paralaje (diferencia entre las posiciones aparentes que en la bóveda celeste tiene un astro, según el punto desde donde se le observa). Brevemente se puede decir que es un fenómeno que depende tanto de los cambios en la posición de la Tierra, como del hecho de que la velocidad de la luz es finita. Para comprender cómo la aberración estelar apoyaba a la teoría corpuscular de la luz vamos a discutir someramente la explicación que Bradley dio a su descubrimiento, explicación que se basaba en la suposición de que la luz está formada por corpúsculos (a los que no afecta la atrac­ ción gravitatoria de la Tierra) que se mueven obedeciendo los princi­ pios de la mecánica newtoniana, en particular la ley de composición de velocidades. Tomemos cómo sistema de referencia aquél en que la Tierra se halla en reposo; la estrella («fija»), E, se moverá entonces en

ese sistema con velocidad — v (donde v = 30 km/seg es la velocidad con que se mueve la Tierra alrededor del Sol). Si c es la velocidad de la luz que emite la estrella en el sistema de referencia (que en princi­ pio y aproximadamente se puede tomar como «absoluto») en el que el Sol está en reposo, y c ' es la velocidad de la luz que mide un observa­ dor en la Tierra, se tendrá, según la mecánica de Newton, que

7 ' = c~ — v Gráficamente tenemos la siguiente situación:

de la que se deduce inmediatamente que sen a = —sen 6

c

(Como el ángulo a es muy pequeño, ya que v < < c, la expresión anterior es aproximadamente igual a tg a = -^-j, forma en que aparece en la mayoría de los libros de texto; — se denomina a menudo cons­

tante de aberración). 2.b.

0

Young

A pesar de estos obstáculos, la teoría ondulatoria de la luz cobraría nuevo ímpetu con Thomas Young, cuyas ideas determinarían, a la postre, la dirección a seguir. Young comenzó a desarrollar su teoría ondulatoria de la luz en 1800, año en el que en una sección de su artículo «Of the Analogy between Light and Sound» proponía una teoría en la que también jugaba un cierto papel el éter1: la diferente 1 Dada la pluralidad de modelos (jy funciones!) del éter sería más adecuado hablar de «un éter». Sobre la mencionada pluralidad ver Whittaker (19)1, págs. 99-100) e Illy (1981).

velocidad que la luz tiene en medios distintos la explicaba en base a la diferencia existente entre las densidades del éter en dichos medios. Durante los años siguientes Young continuó sus trabajos que culmina­ ron en 1807 cuando publicó su Course o f Lectures on Natural Philosophy, donde proponía y discutía el famoso experimento de interfe­ rencias en una pantalla con dos rendijas. G im o parte de su programa en defensa de una teoría ondulatoria de la luz, Young trató de encontrar una explicación, dentro de esa teoría, al fenómeno de la aberración estelar. En realidad si se considera que la luz se propaga como una onda, el que la trayectoria de la luz aparezca a lo largo de la dirección c ' parece indicar que el movimiento de la Tierra a través del éter no afecta a este medio («soporte» de las ondas luminosas), ni a su movimiento. Esto es, que la Tierra no arrastra consigo ai éter. Young (1804) presentó de hecho esta propues­ ta para explicar la aberración y lo hizo con las siguientes palabras: «Al considerar el fenómeno de la aberración de las estrellas estoy dispuesto a creer que el éter luminífero impregna la sustancia de todos los cuerpos materiáles con pequeña o nula resistencia...» Como veremos, la cuestión de si la Tierra arrastraba o no al éter se constituiría en uno de los problemas básicos no sólo para la óptica sino tam bién para el electromagnetismo.

2.c.

Arago y Fresnel

A pesar de la importancia —desde nuestra perspectiva actual— de las teorías de Young, no se puede decir que éstas atrajesen demasiados seguidores. La escuela newtoniana era todavía demasiado fuerte, como lo prueba el que aún después de que hubiesen aparecido los seminales trabajos de Young, Herschel y ¿aplace continuasen intentando de­ sarrollar la óptica a la manera corpuscular2. Fue de hecho en base a la teoría corpuscular como François Arago llegó a la conclusión de que' la aberración de la luz en un medio ópticamente denso (un prisma por ejemplo) sería diferente según que la luz procedente de una estrella pasase a través del prisma en la misma dirección y sentido que el m o­ vimiento de la Tierra o en sentido opuesto. En efecto, desde el punto de vista de la teoría corpuscular la velocidad, con respecto a la Tierra, de las «partículas de luz» emitidas por una estrella depende de la d i­ rección del movimiento de la Tierra. Así, en el caso de la luz atrave­

2 Para entender la racionalidad de este comportamiento, así como la compleja rela­ ción entre teorías corpusculares y ondulatorias, ver Worral (1976).

sando un prisma se debería observar una diferencia en el ángulo de desviación del orden de -f-). Sin embargo, los experimentos que en 1808-1809 Arago llevó a cabo para probar esta hipótesis dieron un re­ sultado nulo: no se observaba ninguna diferencia en los ángulos de desviación. Cuando, unos años más tarde Augustin Fresnel hizo sus contribuciones iniciales a la teoría ondulatoria de la luz, Arago le escri­ bió informándole de sus experimentos y de su incapacidad para en­ contrarles una explicación en base a la teoría corpuscular. En contesta­ ción Fresnel envió una carta a Arago —que sería publicada más tarde (1818) en los Armales de Chimie— en la que exponía los siguientes puntos: 1. La explicación corpuscular no parecía probable porque para ser compatible con los resultados experimentales de Arago habría que su­ poner (como ya el propio Arago indicó) «que los cuerpos luminosos transmiten a las partículas de luz un número infinito de velocidades diferentes, y que estas partículas únicamente afectan al órgano de la visión cuando viajan con una de estas velocidades, o al menos entre límites muy próximos, de manera que un aumento o disminución en una diezmilésima parte es más que suficiente para evitar su detección» (Fresnel 1918). 2. Si se utiliza la hipótesis de Young según la cual los cuerpos m a­ teriales atraviesan el éter sin arrastrarlo, entonces —pensaba Fresnel— ineludiblemente la velocidad de la luz medida en dos direcciones dife­ rentes debe de ser diferente. Existía para Fresnel, sin embargo, otra posibilidad que daba cuenta de los resultados obtenidos por Arago, y que consistía en que cuerpos con un índice de refracción mayor que el del vacío (el prisma de Arago, por ejemplo) arrastran parcialmente al éter. Como explicación de este, en principio, extraño fenómeno, Fres­ nel sugería que la densidad «etérea» de todo cuerpo es proporcional al cuadrado de su índice de refracción, n, y que cuando un cuerpo está en movimiento, transporta dentro de él parte del éter; más precisa­ m ente, aquella parte que constituye el exceso de su densidad con res­ pecto a la densidad del éter en el vacío. A partir de estas hipótesis de­ dujo el denominado «coeficiente de arrastre de Fresnel»

Una consecuencia de la existencia de este coeficiente es que ahora la velocidad, cP (tomamos en esta ocasión las velocidades con respecto * El valor de la velocidad de la luz en el vacío (éter) ya era conocido con bastante precisión a través de las medidas de Roemer en 1675, y también del mismo Bradiey uti­ lizando la aberración estelar.

al éter), de la luz en un medio en movimiento (por ejemplo, un pris­ ma colocado sobre la Tierra) viene dada por4

(si n = 1 entonces c„ = c tal como era de esperar en el éter vacío). La trascendencia del coeficiente de arrastre residió durante algunos años en el hecho de que permitía explicar los experimentos de Arago. En este sentido, aún siendo im portante, su alcance era limitado en tanto que había sido ideado por Fresnel para explicar de forma plausible pero esencialmente a d hoc, los resultados de los menciona­ dos experimentos. La situación cambió radicalmente cuando en 1851 Fizeau confirmó la utilidad del coeficiente de arrastre mediante un experimento independiente5. A partir de entonces y ya sin duda, el coeficiente de Fresnel era un factor que toda teoría debía de te­ ner en cuenta (¡explicándolo!). Este sería de hecho uno de los princi­ pales problemas que Lorentz intentaría resolver años más tarde, desde el punto de.vista de la teoría electromagnética de la luz. 2.d.

Stokes

Al llegar a este punto hay que señalar, aunque sea brevemente, que la explicación de Fresnel con un arrastre parcial del éter no era la única posible. Young, Arago y Fresnel creían que con la teoría ondula­ toria no se podría explicar el fenómeno de la aberración estelar si se suponía que la Tierra arrastraba completamente al éter. Sin embargo el físico británico C. G. Stokes no aceptó este punto de vista, publi­ cando en 1845 un trabajo (Stokes 1845) en el que suponía que el éter era arrastrado por la Tierra de la misma maneta que capas de un fluido son arrastradas, debido a la fricción, cuando un cuerpo pasa a través de él. Obviamente con esta suposición se obtienen los resultados experimentales nulos de Arago, ya que si el prisma está también en re­ poso con respecto al éter, no cabe esperar ningún efecto especial. En lo que se refiere a la aberración estelar, Stokes fue capaz de demostrar que si el movimiento del éter es irrotacional entonces los datos experi­ mentales observados se podían recuperar exactamente. Bastantes años más tarde, en 1886, Lorentz demostraría que la teoría de Stokes sufría de graves problemas, ya que la hipótesis de la irrotacionalidad del mo-

4 Para una discusión elemental, pero técnica, de estos puntos se puede consultar Born (1962, especialmente las págs. 134-137). 5 Ver Berkson (1974, pág. 264) y Born (1962, pág. 139).

vimiento era incompatible con el movimiento que debía tener lugar en las proximidades de la Tierra6. Hasta entonces, sin embargo, tanto la teoría de Fresnel como la de Stokes parecían posibles (aunque la pri­ mera fuese más popular), con lo que la cuestión de la naturaleza y es­ tado dinámico de éter permanecía abierta.

2.e.

lo s experimentos de Michelson

Lo dicho hasta el momento nos proporciona una perspectiva muy adecuada para discutir el significado de los experimentos ópticos que a partir de 1881 llevó a cabo el estadounidense A. A. Michelson. Cuan­ do Michelson planeó y realizó su primer experimento con un interferómetro, la explicación que Fresnel había dado para la aberración estelar era la aceptada generalmente. Ahora bien, como hemos visto, en la teoría de Fresnel, la Tierra no arrastra consigo al éter; existe un cierto arrastre, pero es parcial. En otras palabras, la Tierra se mueve con res­ pecto al éter (que en cierto sentido juega el papel del espacio absoluto de Newton). Pero si esto es así, el tiempo que tarda un rayo de luz en ir entre dos puntos de la superficie de la Tierra, debe de ser diferente según que éste se mueva en el sentido del movimiento de la Tierra o en sentido opuesto. Debido a los efectos de cancelación que surgen al ir y volver la luz por el mismo camino, el efecto del movimiento de la Tierra resulta ser extremadamente pequeño, del orden de (—)2. Sin

c

embargo, Michelson descubrió una forma de medir esta cantidad (del orden de una parte en 108) mediante sus famosos interferómetros, cu­ ya idea esencial aparece discutida en todo libro de texto de física gene­ ral, a los que remito al lector interesado. Como es bien sabido, los resultados nulos de los diferentes experi­ mentos que Michelson, solo o en colaboración con Morley (por ejemplo, Michelson y Morley, 1886), llevó a cabo generaron una crisis en la física clásica de la que sólo fueron capaces de salir, en primer lu­ gar Lorentz, aunque a duras penas y de una forma bastante oscura, y más tarde Einstein con su brillante y hoy aceptada solución de la rela­ tividad especial. Ahora bien, hay que procurar evitar que nuestra pers­ pectiva actual dé a los experimentos de Michelson una dimensión que en absoluto tuvieron cuando fueron planeados. En este sentido tengo que recordar que para Michelson —lo mismo que para su audiencia científica— la problemática no era en absoluto el preguntarse qué les

6 Los experimentos de Michelson y Morley de 1886 también acarreaban graves problemas para la teotía del arrastre total.

pasa a los fenómenos electromagnéticos, a las ecuaciones de Maxwell (que por cieno, todavía no he mencionado) cuando se está en un siste­ ma en movimiento con respecto al éter, y mucho menos, naturalmen­ te, el preocuparse por principios de relatividad; por el contrario, como he tratado de explicar, los experimentos de Michelson tenían su origen y su sentido dentro del marco de los fenómenos puramente ópticos, de donde surgió y en donde es posible entender la teoría del arrastre par­ cial del éter de Fresnel. De la misma manera, el éter que tan dramáti­ co papel jugaría más tarde en la teoría electromagnética de Maxwell, fue un éter que nació en y para la óptica. El que hoy en día veamos tanto al éter como a los experimentos de Michelson desde otra perspec­ tiva, es debido únicamente a la solución que en el discurrir histórico se dio a los problemas que su planteamiento inicial generó. 3.

3.a.

Sobre el Desarrollo de la Electrodinámica

Weber, Riemann, Helmholtz y Maxwell

Si en torno a 1850 los fenómenos ópticos ofrecían grandes dificul­ tades para ser explicados de forma consistente7, otro tanto ocurría con los fenómenos electromagnéticos. No se puede decir que existiese un acuerdo generalizado ni siquiera en cuáles deberían de ser los princi­ pios teóricos adecuados para poder desarrollar una electrodinámica. Como consecuencia de esto existían un gran número de teorías dife­ rentes. En Alemania, uno de los países donde se trabajaba más en es­ tos temas, las dos electrodinámicas más respetadas eran las de Wilhem Weber y Franz Neumann. Ambas teorías habían surgido a mediados de 1840 (Neumann 1845, Weber 1846, 1848) desarrollándose intensi­ vamente a partir de entonces. Aunque ambas ejercieron gran influen­ cia, fue la de Weber la que más se desarrolló y la que tuvo un mayor peso específico. Inmersa en la tradición newtoniana de fuerzas a dis­ tancia, esta teoría se basaba en dos hipótesis: 1) la corriente eléctrica

7 En la sección 2 apenas he mencionado algunos de los problemas existentes en ópti­ ca. De acuerdo con mi planteamiento inicial, sólo he considerado algunas cuestiones que adquirieron particular importancia en conexión con la relatividad especial. En conjunto se puede decir que hacia 1850 la óptica estaba dominada por la teoría del éter sólidoelástico, que había sido desarrollada por Fresnel, Cauchy, Neumann, Stokes y otros. Entre las dificultades de la teoría se encontraba, por ejemplo, la presencia en sólidos elásticos de ondas longitudinales junto con las transversales, mientras que en los fenóme­ nos ópticos sólo se conocían las transversales. Para evitar las dificultades de la teoría había que hacer, en cada caso, una hipótesis diferente (en el caso de las ondas longitudi­ nales suponer que su velocidad de propagación fuese infinita), lo que terminaba por ha­ cer a la teoría tremendamente complicada y poco plausible.

consiste en dos fluidos de partículas eléctricas moviéndose en sentidos opuestos, y 2) la fuerza entre dos partículas eléctricas es central, ins­ tantánea y de acción a distancia, viniendo dada por: F = - £ l£ l

r2

[ i - _ L

L

( ± f + JL J - L \

2c2 V

c2 ^

J

(2 l)

A

'

donde ^ y
(esta expresión difería de la correspondiente de la teoría de Weber únicamente en que la velocidad relativa de los dos electrones tomaba el lugar de las componentes de esta velocidad a lo largo del radio vec­ tor). Un aspecto también a mencionar de la formulación de Riemann, que de alguna forma presagiaba las inminentes contribuciones de Maxwell, es que postulaba una velocidad finita para la propagación de la acción eléctrica, para lo cual se introducían potenciales retardados. Mención aparte merecerían las contribuciones de Hermann von Helmholtz al desarrollo de la electrodinámica, pero análogamente a lo que ocurrirá con Maxwell, su propia importancia me impide discutir con brevedad sus trabajos sin deformar —o limitar demasiado— su auténtico significado8. Sí quiero señalar que a pesar de seguir una línea de pensamiento —newtoniana— completamente diferente a la de Maxwell y de tener su propia electrodinámica, von Helmholtz contribuyó en gran medida a que la electrodinámica maxwelliana fuese finalmente aceptada. Helmholtz hizo esto al menos de tres m a­ neras: la primera ayudando a socavar la privilegiada posición que ocu­ 8 Remito al lector a Whittaker (1951) y Berkson (1974).

paba la teoría de Weber, argumentando en contra de la suposición de éste de que los fenómenos eléctricos y magnéticos se propagan a través del espacio infinito con velocidad infinita. Así facilitó la introducción de la teoría de Maxwell en Alemania. El segundo servicio que Helmholtz prestó a la electrodinámica de Maxwell fue publicar, en 1870, un artículo en el que trataba de poner un poco de orden en la investigación teórica de los fenómenos electromagnéticos, examinando las diferentes teorías rivales para ver si eran compatibles con los princi­ pios más generales de la dinámica; asimismo exponía las diferentes consecuencias experimentales de dichas teorías. Esta labor de clarifica­ ción sistemática no podía sino ayudar al desarrollo de una teoría que como la de Maxwell, se presentaba de manera extraordinariamente confusa9. Por últim o, Helmholtz contribuyó al triunfo final de la electrodinámica maxwelliana sugiriendo a su discípulo Heinrich Hertz los famosos experimentos que terminaron por confirmar en 1887-88 la existencia de la radiación electromagnética. No es necesario recordar lo que estas experiencias significaron tanto para la teoría de Maxwell co­ mo para la Física en general. Llego así ajam es Clerk Maxwell, el famoso físico escocés cuyos tra­ bajos —inspirados fundamentalm ente en los de Michael Faraday— habrían de cambiar radicalmente el poco satisfactorio estado de la in ­ vestigación teórica de los fenómenos electromagnéticos. Maxwell —cuyos trabajos más importantes se pueden encontrar en A Treatise on Electricity and Magnetism (Maxwell 1873)— hizo posible a partir de 1864 la existencia de una teoría unificada de los fenómenos eléctri­ cos y magnéticos, sirviéndose para ello de un éter que llenaba todo el espacio y que constituía el medio común en el que tenían lugar tanto los fenómenos tradicionalmente denominados ópticos como los electromagnéticos. Un dato importante es que fue precisamente en la teoría de Maxwell donde se vio claramente algo que ya otras electrodi­ námicas habían entrevisto aunque de forma bastante oscura e incierta: la luz no es sino un fenómeno electromagnético más. La óptica se reducía a la electrodinámica y en consecuencia se podía empezar a con­ siderar los problemas ópticos a los que me he referido en la sección 2 desde una perspectiva electromagnética. 3.b.

Algunos problemas todavía po r resolver

Maxwell encontró las ecuaciones que describían la variación del campo (o éter) electromagnético (las famosas ecuaciones de Maxwell 9 Ehrenfest señalaba en cierta ocasión que el Treatise de Maxwell le pareció «una es­ pecie de bosque primitivo, prácticamente impenetrable en su todavía no clarificada fe­ cundidad».

que escribiré más adelante), pero no supo proponer ninguna teoría sa­ tisfactoria pata la electrodinámica de los cuerpos en movimiento. De hecho lo que hacía10 era tratar a la materia como si fiiera meramente una modificación del éter, que se distinguía de éste únicamente por los diferentes valores que tomaban una serie de constantes como, por ejemplo, la permeabilidad magnética. Esto equivalía a suponer que materia y éter se movían al unísono, lo que implicaba entrar en conflito con la explicación que Fresnel había dado a su coeficiente de arrastre parcial. Nos encontramos, por consiguiente, con que apenas formulada la teoría de Maxwell dos problemas se hacían evidentes: la necesidad de proponer una electrodinámica de los cuerpos en movi­ miento y además —un problema íntimamente ligado al anterior— de­ ducir los resultados de Fresnel. En este sentido Oliver Heaviside escribía a H. Hertz el 1 de abril de 188911· «...acerca de la aberración... la cuestión es explicar electromagnéticamente el resultado de Fresnel (confirmado por Michelson). He desarrollado, en términos de la teoría de Maxwell, la teoría del efecto del movimiento de un dieléctrico en una onda que se mueve a través suyo, pero no explica los resultados de Fresnel.» y de nuevo el 14 de agosto del mismo año11 «Existe la molesta cuestión del movimiento del éter. ¿Se mueve cuando se mueven cuerpos a través de él, o permanece en reposo? Sabemos que existe un éter; la pregunta es por consiguiente una cuestión física legítima que debe de ser contestada.» Para resolver estos problemas que la electrodinámica de Maxwell abría, surgieron lo que en una primera aproximación y sin pretender ser exhaustivo, se puede considerar como tres líneas de pensamiento. La primera de ellas estaba centrada en la teoría de Hertz y su característica más acusada era el no ocuparse de la estructura atómica de la materia o de la constitución del éter. Las razones que Hertz esgrimía para adoptar este punto de vista tenían su origen en la confu­ sión que rodeaba a la teoría de Maxwell, causada por el hecho de que Maxwell había preservado la antigua imagen de un ñuido eléctrico y basado su concepto de desplazamiento dieléctrico en la concepción de la carga eléctrica, y todo ello revestido de un ropaje eminentemente mecanicista (algo muy característico de los físicos británicos de aquella época).

10 Por ejemplo en su memoria de 1865 (Maxwell 1865). 11 Citadaen Schaffner (1972, päg. 101).

Eran estas oscuridades las que Hertz trataba de combatir con su fa­ moso d ictu m , «la teoría de Maxwell es el sistema de ecuaciones de Maxwell». Lo que realmente quería decir se puede comprender leyen­ do la siguiente cita (Hertz, 1962, pág. 201) «Una vez halladas estas ecuaciones, no parece necesario deducirlas (de acuerdo con el desarrollo histórico) a partir de conjeturas sobre la constitución eléctrica y magnética del éter y la naturaleza de las fuerzas que actúan —siendo como son todas estas cosas completamente desconocidas—. Por el contrario, lo ade­ cuado es partir de estas ecuaciones en busca de tales conjeturas adicionales res­ pecto a la constitución del éter.» La segunda línea de pensamiento se puede denominar «dinámica del éter» y tuvo su máximo representante en J. Larmor, aunque ya an­ tes que él Lord Kelvin había expresado —especialmente en sus B alti­ m ore Lectures (Kelvin 1884)— muchas de las ideas que caracterizan a esta corriente12. Por lo que se refiere a Larmor diré que publicó, entre 1893 y 1897 una serie de tres extensos artículos11 (Larmor 1894, 1895a, 1897a) titulados «A Dynamical Theory of the Electric and Luminiferous Médium», donde desarrolló su teoría. El objeto de ésta aparecía expresado sucintamente en las primeras líneas del primer artículo: «Intentar formular un método para desarrollar las propieda­ des dinámicas del éter a partir de una base analítica única», y de una forma todavía más clara en su artículo de 1893 (Larmor 1893) «[Se pueden] considerar todas las interacciones de las diferentes clases de agen­ tes físicos como manifestaciones de algún medio fundamental, [en este senti­ do] se han hecho esfuerzos para descubrir las propiedades de este medio. El método mis poderoso es el de Lagrange, cuya fuerza real reside en que nos permite ignorar los detalles del mecanismo que subyace a los fenómenos en discusión. Todo el problema se puede resolver inmediatamente si se determina adecuadamente el lagrangiano. Qué propiedades podrían asignarse de forma más sencilla y conveniente a este medio de forma que se obtenga el lagran­ giano [en cuestión] es algo que puede discutirse. Pero es más bien a modo de ilustración que de explicación.» Es decir, lo que Larmor intentaba era construir una dinámica del éter y no, necesariamente, formar un modelo mecánico a la manera de Lord Kelvin. En este sentido, al igual que Hertz, suponía la validez de las ecuaciones de Maxwell sin preguntarse acerca de su posible funda12 Lord Kelvin, sin embargo, prestaba atención casi exclusivamente a los fenómenos ópticos. 15 Para facilitar la difusión de sus ideas Larmor (1893, 1895b, 1897b) publicó en los Proceedings o f the Royal Society una serie de tres artículos donde resumía los aparecidos en las philosophical Transactions o f the Royal Society.

mentación mecanicista. Ahora bien, mientras que Hertz seguía un planteamiento más axiomático en el que el éter era poco más que un objeto —o referencial— matemático, Larmor —en esto es u n represen­ tante muy típico de la filosofía británica de la época14— consideraba al éter como una sustancia dinámica. (Existían por supuesto muchas dife­ rencias entre los planteamientos de Hertz y de Larmor15, pero siguien­ do la estrategia que me he trazado no voy a entrar en estos detalles. El lector interesado puede consultar Hirosige [ 1966]). La última de las tres líneas de pensamiento que mencioné al co­ mienzo de esta sección, está dominada por dos entidades: el éter y el electrón (de ahí que se la denomine «teoría del electrón»), y su figura más representativa e importante fue, sin dudg alguna, el holandés Hendrick Antoon Lorentz (aunque tam bién habría que mencionar a otros, como por ejemplo, Emil Wiechert). La importancia de Lorentz en lo que se refiere a la historia de la relatividad especial justifica el que se le estudie con cierto detalle, y esto es lo que haré en el próximo capítulo.

14 Ver Goldberg (1970) y también el capítulo 5 de este libto. 15 Volveré a referirme brevemente a Larmor en el próximo capítulo con ocasión de las transformaciones que dejan invariante la forma de las ecuaciones de Maxwell y que Larmor descubrió en 1900, es decir, antes que Lorentz.

Capítulo 3 LORENTZ Y POINCARE

1.

Lorentz

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) pertenece por derecho pro­ pio a ese pequeño grupo de físicos cuyos trabajos han dejado una huella indeleble en la Física. En un pequeño volumen (de HaasLorentz ed., 1957) publicado en memoria del genial físico holandés, Albert Einstein (1957, pág. 5) escribía: «A comienzos del siglo, H. A. Lorentz era considerado por los físicos teóricos de todas las naciones como su líder, y esto con plena justificación. Sin embargo, los físicos de la nueva generación en general ya no aprecian completamente el papel determinante que H. A. Lorentz desempeñó en la formación de los principios básicos de la física teórica. La razón de este curioso hecho es que han absorbido de manera tan completa las ideas fundamentales de Lorentz, que só­ lo con dificultad son capaces de apreciar en su totalidad la temeridad de estas ideas, y la simplificación que llevaron a los fundamentos de la ciencia física.» Pero la vida de Lorentz no fue sólo destacada por su trayectoria científica. Su gran personalidad y su hum anidad le llevaron a ocupar puestos tan significativos como la presidencia del comité Solvay, o —sucediendo al filósofo francés Henri Bergson— la presidencia de la «Commission Internationale de Coopération Intelectuelle» de la So-

ciedad de las Naciones. Es sorprendente, por consiguiente, la carencia —con la excepción de unas breves reminiscencias escritas por su hija (de Haas-Lorentz 1957)— de estudios biográficos que analizen la vida de este gran físico. 2.

La teoría del electrón de Lorentz

Desde el comienzo de su carrera Lorentz inició un programa cuyo propósito era unificar la estructura de la física. Su formación como físico se basaba en dos pilares: Maxwell y Fresnel. Según nos cuenta su hija (de Haas-Lorentz 1957, págs. 31-32), se familiarizó siendo estu­ diante con los trabajos de Maxwell, que se recibían regularmente en el laboratorio de física de Leiden, la pequeña ciudad holandesa en donde se desarrollaría toda la carrera académica de Lorentz. De esta manera se convirtió en uno de los pocos holandeses que leía y com prendía1 a Maxwell. El interés que Lorentz sentía por los trabajos del físico esco­ cés, se convertía en auténtico amor en el caso de Fresnel. Como prueba de ello citaré un pasaje de una conferencia que Lorentz pro­ nunció en 1927 con ocasión del centenario de la muerte de Fresnel (1788-1827): «En lo que a mí se refiere, debo decir que Fresnel ha sido uno de los maestros a quién más debo, y todavía me acuerdo que cuando, ya hace más de medio siglo, mis recursos me permitieron comprar un libro de física algo más extenso que los manuales ordinarios, conseguí la edición de Emile Verdet de las “ Obras completas” de Agustín Fresnel. Cuando leí la “ Introducción” de Ver­ det, mi admiración y mi respeto se mezclaron con amor y afecto; ¡y qué alegrías las que experimenté cuando pude leer al propio Fresnel y estudiar sus bellos trabajos, admirables por su simplicidad!» El primer producto de estos intereses de Lorentz fue su tesis docto­ ral titulada «Sobre la reflexión y refracción de la luz» y defendida en Leiden el 11 de diciembre de 1875. La tesis comienza con una discu­ sión crítica de la teoría de la luz de Fresnel, para pasar a continuación a la teoría de la luz según la electrodinámica de Maxwell y en concreto a la explicación que se podía dar dentro de esta teoría a los fenómenos de reflexión y refracción. Hay que señalar que por esta época ya se perfilaba también clara­ mente otro de los elementos básicos de la física lorentziana: la visión «atómica» de la electricidad (con el electrón como unidad funda­ mental) heredada de Weber y Clausius. 1 Con dificultad a veces. En cierta ocasión Lorentz manifestaría que «no siempre fue fácil comprender los pensamientos de Maxwell».

Algunos años después de completar su tesis, Lorentz (1886) publica­ ba un artículo2, titulado «De l ’influence du mouvement de la terre sur les phénomènes lumineux*, en donde ya comienzan a aparecer los te­ mas que le conducirían a descubrir las transformaciones que hoy deno­ minamos «transformaciones de Lorentz». El problema de fondo, a de­ bate en este trabajo, es el de «en qué grado el éter participa del movi­ miento de los cuerpos que lo atraviesan», o en otras palabras: el coefi­ ciente de arrastre parcial de Fresnel. La posición de Lorentz en este artículo es la de negar que exista arrastre en absoluto. Suponía que el éter era el mismo dentro y fuera de la materia, lo que significaba, na­ turalm ente, entrar en conflicto con la explicación que Fresnel había dado de su coeficiente de arrastre. Lorentz argumentaba que el cambio que experimentaba la velocidad de la luz en un medio activo óptica­ mente y en movimiento, era debido a la influencia que las moléculas que constituían ese medio ejercían sobre el éter en sus alrededores in­ mediatos. (Obviamente la posición atomista de Lorentz jugaba un p a­ pel importante en este cambio de interpretación con respecto a Fres­ nel). Más aún, para Lorentz las ondas de luz se movían a través del éter haciendo oscilar a los iones de la materia y creando de esta manera innumerables ondas más pequeñas que al interferir con ellas mismas y con la radiación incidente se veían modificadas, de forma que su velo­ cidad parecía depender de la frecuencia de la luz, causando así el fe­ nómeno llamado dispersión. 3.

Las teorías de Lorentz de 1892 y 1895

En 1892 Lorentz (1892a) publicaba un artículo titulado «La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants», en donde los problemas puramente ópticos se ven netamente transcen­ didos, abriéndose como una línea de investigación claramente diferen­ ciada la «electrodinámica de los cuerpos en movimiento», cuya culmi­ nación sería —como veremos más adelante— la teoría de la relatividad especial. Como en todos los trabajos de Lorentz, el éter era una pieza im ­ portante dentro de la estructura del artículo de 1892. En concreto —continuando en la línea marcada en 1886— suponía que el éter no es afectado por la materia, que no participa del movimiento de ésta y que está desprovisto de propiedades físicas. Para distinguir entre m ate­ ria y éter, Lorentz recurría a la siguiente definición: 2 Mi análisis de los trabajos de Lorentz no será en modo alguno completo. Todo aquel interesado en conocer más detalles puede consultar Hirosige (1969), Schaffner (1972) y Miller (1981).

«Llamaré materia a todo aquello que pueda ser asiento de corrientes eléctricas y de movimientos electromagnéticos. El nombre éter se aplicará a todo lo que no es materia ponderomotriz.» En lo referente a los fenómenos dinámicos lo que Lorentz pretendía era «...reducirlos a uno solo, el más simple de todos, y que no es otro que el movi­ miento de cuerpos eléctricos. Se verá que sin examinar a fondo la relación [existente] entre materia ponderomotriz y éter, se puede establecer un sistema de ecuaciones que describe adecuadamente sucesos en un sistema de tales partículas... Todos los cuerpos ponderomotrices contienen una multitud de pe­ queñas cargas, positivas y negativas, y los fenómenos eléctricos son producidos por el desplazamiento de estas partículas. De acuerdo con esta concepción, una carga eléctrica está constituida por un exceso de partículas que tienen un signo definido, una corriente eléctrica es una verdadera corriente de estos corpúsculos y en un aislante ponderomotriz existe un “ desplazamiento eléctrico” cuando las partículas eléctricas incluidas son desplazadas de su posición de equilibrio.» Como ya señalé antes, esta propuesta no era demasiado original. Weber y Clausius habían desarrollado teorías eléctricas basadas en la existencia de átomos eléctricos. Ahora bien, en estas teorías las fuerzas existentes entre dos partículas eléctricas eran el resultado de una inter­ acción entre ambas que no requería ningún medio para su propaga­ ción y que dependía solamente de posiciones, velocidades y acelera­ ciones relativas de las partículas. Por el contrario, Lorentz, que trataba de combinar la noción discreta de electricidad con las ecuaciones de Maxwell, proponía que las partículas eléctricas «interaccionaban» con el éter, creando perturbaciones que, a su vez, afectaban a otras partículas. «Las fórmulas... que expresamos nos proporcionan por una parte la fuerza que el éter ejerce sobre una de estas partículas. Si esta fuerza depende del movi­ miento de las otras partículas, es porque este movimiento ha modificado el es­ tado del éter; asimismo, el valor de la fuerza en un cierto instante, no está de­ terminado por las velocidades y aceleraciones que estos pequeños cuerpos tienen en aquel instante; en realidad se origina en movimientos que han teni­ do lugar antes.» Lorentz se estaba refiriendo aquí a lo que hoy día denominamos

fuerza de Lorentzi. F = e (£

+

L· x B )

c

3 Lorentz dedujo (3.1) utilizando métodos variacionales.

(3.1)

(e es J j densidad de carga eléctrica y f su velocidad con respecto al éter, E la fuerza eléctrica y B la m agnética4. Como sabemos (3.1) completa a las ecuaciones de Maxwell5. V ·E

4Te

V ·B

o 1 c

V x E V x B

- _L

c

(3-2)

dB dt

9

*

dt

+

4x

— —

—

QV

que por sí solas no son suficientes para describir todos los fenómenos electromagnéticos. Para Lorentz las ecuaciones (3.2) eran inseparables del éter: eran válidas únicamente en un sistema de referencia en repo­ so con respecto al éter. (De hecho se suponía que las ecuaciones de Maxwell eran el medio por el que se podía calcular el estado de dicha «sustancia» luminífera). 3.a.

O rigen de las transform aciones de L orentz

Conociendo los elementos básicos de la teoría un primer problema a resolver era el de calcular el campo debido a una densidad de carga en movimiento con respecto al éter. En principio era de esperar que si se utilizaban las ecuaciones de Maxwell (3.2), válidas en un sistema de referencia, S de coordenadas (x, y, z, t), en el que el éter está en repo­ so, se podría determinar el campo electromagnético una vez conocidas las cargas, posiciones y velocidades de los electrones. Este problema, en principio puramente matemático, sería tratado por Lorentz en su «La théorie electromagnétique de Maxwell...». El procedimiento utili­ zado es el siguiente: Manipulando las ecuaciones de Maxwell (3.2) se obtienen ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden (ecuaciones de onda) del tipo

- |Í H /= < * * · * z ’

(3-3>

4 U tilizoja notación moderna. Lorentz empleaba, por ejemplo, el desplazamiento dieléctrico, d , en lugar de ÍT. 5 V a ( - Í dx

8

- Í _ ’

dy

’

dz

).

don dj / escuna función de las componentes de E , o de las de B . Co­ m o E y B son por otra parte funciones, a determ inar, de x, y, z, t, tenemos que en (3 3) tanto / como G son funciones de x, y, z, t; G una función conocida y / l a función a determinar. Bajo el encabezado «Théoremes Mathématiques», Lorentz de­ mostraba que

fr , y

, , L

·

- -L í—J

<%,■, y \ x-, , · -

- 1 —

f f j

■1 ) d x' dy' d z'

'

(3.4)

( r = (x, y, z )) satisface (3.3). Ahora bien, no obstante su interés, estas ecuaciones y soluciones no le eran de mucha utilidad a Lorentz puesto que, evidentemente, eran válidas únicamente en S, pero nosotros m e­ dimos nuestras coordenadas con respecto a la Tierra, un cuerpo que es­ tá en movimiento con respecto al éter. A pesar de que el movimiento de la Tierra es acelerado, podemos tomar un intervalo de tiempo sufi­ cientemente pequeño como para suponer que su velocidad es constan­ te. Una vez hecha esta hipótesis, Lorentz abordó el problema de expresar las ecuaciones de Maxwell en un sistema de referencia inercial (el de la Tierra), Sr de coordenadas (xr, y,, z r, t r), que se mueve con velocidad (constante), v , con respecto al éter (S). Suponiendo, por simplicidad, que el movimiento es a lo largo del eje x, es decir que v = (v, o, o), Lorentz, que aceptaba como uno de los pilares de la física las transformaciones de Galileo propias de la mecánica newtoniana, escribía x r = x - vt

,

yr = y

,

z ,-z

,

t, - t

(3.5)

Utilizando ahora (3.5), Lorentz obtenía la forma que la ecuación de ondas (3.3), válida en S, tom a en Sr

( - ¿ - “ ’ -¿ r)’] 7

- 5 f e * · ’- ''»

<3·6»

Ahora bien, esta ecuación no es una de las ecuaciones de onda habi­ tuales; no tiene la forma de (3.3), lo que, entre otras cosas, implica que la solución (3.4) no sea válida en este caso. Para resolver esta si­ tuación Lorentz ( 1892a) efectuaba una transfdimación de coordenadas

adicional: de S, a un nuevo sistema de referencia, Q ', de coordenadas ( x \ y ', z ', t ') definidas de la manera siguiente x ' = yxr

y ' =yr z ' - *.

0 -7 )

donde y s ( l - it/c 2) '1’2. De esta manera (3.6) volvía a cambiar, pa­ sando ahora a tomar la forma

es decir, una ecuación de onda standard. Hay que señalar que para Lo­ rentz esta últim a transformación, que introducta unas coordenadas (* ', y ’, z ’, / ') , no tenía ningún significado físico: era un instrumento puramente matemático que ayudaba en la solución de las ecuaciones. Entre otras propiedades aparentemente «no físicas» de (3.8) se en ­ cuentra el que en Q ’ la velocidad de la luz no es c. Una forma de de­ mostrar esta propiedad es como sigue6: De (3.5) y (3-7) se obtiene que las ecuaciones que relacionan S y Q ' son x = y x ' + v t' í : i·

»·»

Por otra parte en S tenemos que x2 + y 2 + z 2 = c2t2 , lo que quiere decir que la velocidad de la luz cuando introducimos (3 9) en (3.10) obtenemos

(3.10) esc. Por el contrario,

x '2 + y ’2 + z '2 = c*(l - t r ) t ’2 ; cr

6 M ili« (1974).

(3.11)

^2 i a esto es, en Q ' la velocidad de la luz es c{\ — ) , que coincide 2 (r con c si despreciamos términos de orden ( — ) y superiores. De hec cho, tras introducir las transformaciones (3.7) Lorentz indicaba que en el resto de su artículo todos los cálculos serían válidos únicamente has­ ta orden (v/c). Como argumentos citaba el que de esa manera los cál­ culos se simplificaban, y además que así podía demostrar un —para él muy im portante— «théorème général»: «en primer orden en (v/c) el campo electromagnético de las partículas que forman la materia tiene la misma forma en 5 que en un sistema de referencia relacionado con Sr a través de las ecuaciones x ' = x,

y' =yr » - i2 >

Estas ecuaciones son, naturalmente, las que se obtienen de (3.7) cuan­ do se toma la aproximación mencionada. Salta a la vista que, en orden (v/c) las coordenadas espaciales de Q ' coinciden con las (galileanas) de Sr, siendo el único cambio con respecto a este último sistema de refe­ rencia la sustitución del tiempo absoluto t por una nueva coordenada en la que se mezclan / y la coordenada xr. Sin embargo, en 1892 Lo­ rentz no prestaba ninguna atención a este hecho, al que otorgaba un significado puramente matemático. Hoy sabemos que ahí estaba prác­ ticamente el germen de la teoría de la relatividad especial que, como veremos más adelante, es más una teoría del tiempo que del espacio. Como colofón a su artículo Lorentz (1892a) dedujo teóricamente el coeficiente de arrastre de Fresnel. En realidad éste y no otro había sido el propósito principal de su investigación que, sin embargo, ya em pe­ zaba a superar claramente el marco en que había sido concebida. La teoría que Lorentz había desarrollado en «La théorie electromagnétique de Maxwell...» presentaba aspectos satisfactorios pero, no obs­ tante, existían problemas, y entre ellos el más im portante lo constituía el resultado negativo (hasta segundo orden en v/c) del experimento de Michelson y Morley de 1887. Así el 18 de Agosto de 1892 Lorentz escribía a Lord Rayleigh7:

7 Cicada en Schaffner (1972, pág. 103).

«La hipótesis de Fresnel [de un éter cuasi-inmóvil] tomada junto a su coeficien­ te (1-1 /n2), serviría admirablemente para dar cuenta de todos los fenómenos observados si no fuese por el experimento del interferómetro de Michelson... que parece decididamente contradecir las opiniones de Fresnel. Estoy total­ mente decidido a eliminar esta contradicción, pero aún así creo que si abando­ násemos la teoría de Fresnel, no tendríamos teoría adecuada en absoluto...» y concluía su carta anunciándole que había conseguido «aplicar la teoría electromagnética a un cuerpo que se mueve a través del éter sin arrastrar a este medio con él; mi artículo está ahora en prensa y espero po­ der ofrecerle una copia dentro de pocas semanas. Adoptando un enfoque que puede parecer algo chocante pero que creo puede servir como una hipótesis de trabajo, he encontrado el valor correcto (1-1/n2) del coeficiente /fresnel]. Es­ pero aplicar a otros fenómenos las ecuaciones que se obtienen, como [por ejemplo] al experimento de Fizeau sobre la rotación del plano de polarización debida a un grupo de placas de vidrio.» Los sentimientos («adoptando un enfoque que puede parecer algo chocante») que experimentaba Lorentz estaban justificados. El artículo en cuestión (Lorentz 1892b), titulado «The Relative Motion of the Earth and the Ether», apareció el 26 de noviembre de 1892 y en él Lo­ rentz proponía de forma independiente la misma hipótesis que tres años antes había propuesto el irlandés George Francis Fitzgerald (1889): el movimiento de un cuerpo a través del éter hace que la lon­ gitud del cuerpo en la dirección del movimiento disminuya en la i* proporción de ( 1 - ^ ). Por lo que sabemos Lorentz desconocía el trabajo de Fitzgerald, y de hecho este último no había dado ningu­ na ecuación; suponía únicamente que la contracción dependía de vl /c l % y que se debía a que las fuerzas interm oleculares se veían influenciadas por el movimiento de las moléculas con respecto al éter (una hipótesis que, como veremos a continuación, también considera.ba Lorentz en 1892). La carta a Lord Rayleigh así como algunos párrafos de «The Relati­ ve Motion of the Earth and the Ether» ya indican —en mi opinión claramente— que el propósito de Lorentz al introducir la hipótesis de la contracción era, por encima de todo, explicar los resultados obteni­ dos experimentalmente por Michelson y Morley; en este sentido se la puede considerar como una «hipótesis a d hoc». Este punto de vista ha sido combatido, sin embargo, por Elie Zahar (1973a,b) quien, utili­ zando y defendiendo la metodología de los programas de investigación científica de Lakatos (1970), afirma que la mencionada contracción constituyó un paso progresivo (negación del carácter a d hoc) en el programa de Lorentz. Según Zahar, tras concluir Lorentz su primer

artículo (1892a) en el que interpretaba las transformaciones (3.7) como un mero paso matemático, pasó a darlas una interpretación realista. Ahora bien, si se adopta tal punto de vista no se puede sino concluir —y esto es lo que, según Zahar, hizo Lorentz en 1892(b)— que existe una contracción real, física, puesto que tal fenómeno o propiedad se deduce inm ediatam ente de las ecuaciones (3.7). Como demostró Miller (1974) la realidad fue, sin embargo, muy diferente a la recons­ trucción presentada por el discípulo de Lakatos. En «The Relative Motion of thè Earth and the Ether» Lorentz (1892b) comenzaba discutiendo el experimento de Michelson y Morley de 1887, para pasar inmediatamente a demostrar, mediante un argu­ mento basado en la ley newtoniana de adición de velocidades, que se podía obtener el resultado nulo en segundo orden en (— ) si se supo-

c

nía que la longitud del brazo del interferòmetro dirigida en la direc-

v2

ción del movimiento se acortaba en un factor (1 — — —). Fue única 2c2 ’ m ente después de haber introducido la contracción de esta manera (es decir, para resolver el problema que planteaba el experimento de Michelson y Morley), cuando Lorentz pasaba a tratar de dar un carácter de plausibilidad a su hipótesis. Sus ideas en este sentido vienen clara­ m ente expresadas en el siguiente parráfo del artículo que estamos ana­ lizando «...tal cambio en la longitud de los brazos [del interferòmetro] en el primer experimento de Michelson y en las dimensiones de la tabla en el segundo no es, en mi opinión, inconcebible. ¿Qué es lo que determina el tamaño y la for­ ma de un cuerpo sólido? Evidentemente la intensidad de las fuerzas molecula­ res; cualquier causa que altere a estas influenciará también al tamaño y a las dimensiones. Anualmente podemos suponer sin riesgo que las fuerzas eléctri­ cas y magnéticas actúan mediante la intervención del éter. No es aventurado suponer que lo mismo puede ser cieno para las fuerzas moleculares.» Nos encontramos en definitiva ante lo que se ha denominado «Hi­ pótesis de las fuerzas moleculares». Es preciso señalar, sin embargo, que Lorentz era perfectamente consciente de lo aventurado de su suge­ rencia. Así, por ejemplo, en «The Relative M otion...» se pueden leer frases como: «es imposible someter a prueba esta hipótesis [la de la contracción], ya que la naturaleza de las fuerzas moleculares es completamente desconocida para nosotros», o «por supuesto no se de­ be dar mucha importancia a este resultado; la aplicación a las fuerzas moleculares de lo que se ha encontrado que se verifica en el caso de las fuerzas eléctricas es demasiado atrevida». Los artículos de 1892 constituyeron sólo uno de los primeros pasos

en la búsqueda de una electrodinámica de los cuerpos en movimiento. Tres años más tarde Lorentz (1895) publicaba su famoso Versuch einer

Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern (Tratado sobre la teoría de los fenómenos eléctricos y ópticos en cuerpos en movimiento). En este nuevo trabajo Lorentz se proponía simplificar su teoría de 1892 y aplicarla a la resolución de diferentes problemas electromagnéticos en cuerpos en movimiento. En este senti­ do se puede decir que conceptualmente el Versuch no contiene prácti­ camente ninguna novedad. En 1892 Lorentz habla basado su estrategia en tres sistemas de re­ ferencia S, Sr y Q ' , en el Versuch y con el fin de poder reducir proble­ mas electrodinámicos a problemas electrostáticos, Lorentz introduciría una pequeña variante: en lugar de Q \ relacionado con Sr mediante (3.7), aparecía un sistema, S ", definido a través de las ecuaciones si­ guientes -

> ' m*

1/2

(3.13)

Z* = Zr t " = tr.

Pero no era este el único sistema de transformaciones que Lorentz consideraba en el Versuch. Para tratar problemas ópticos tomó com o nexo entre S y Sr X, = X — v t

y' = y

(3.14)

Zr - Z h

= t~ (Jj)X ,

ecuaciones que, como es patente, se pueden obtener a partir de (3.5) y (3.12) quedándose en primer orden en
Maxwell (3.2), en el sistema de referencia J y en una región sin carga; es decir V ■E

= 0

V ·B

= 0

i V x E = - — c

v

x

= — c

b

BB --dt

(315)

!ÜL . at

Lo que Lorentz descubrió es que si transformaba estas ecuaciones utili­ zando (3.14) y definía como leyes de transformación para E y B

(3.16) B , - B - — x £ entonces las ecuaciones de Maxwell en Sr tenían, hasta p rim er orden en (vìe), la misma forma que en S; es decir V, · E

r

= 0

Vr· B

r

=

0

Vr X E r = -

1 c

3B , d tL

» - 17>

C

d 3 d donde V r = (------ , -------, -------). A esta propiedad (covariancia aprodxr ayr oZr. ximada) Lorentz la denominó «teorema de los estados correspondien­ tes». De esta manera se conseguían explicar los resultados de todos los experimentos ópticos a pryneuorden en (v /c ). Sin embargo, y al igual que en 1892, la teorja'Seguía sin "sfr-fompleta y Lorentz era consciente de ello. De hecho .<61 últim o capítulo''del Versuch se titula «Investiga­ ciones cuyos resultados no gjjeden expíkarse sin otras suposiciones» y allí Lorentz volví? a referirse'al experimento de Michelson y Morley de 1887 que daba resultados nulos hasta él'orden (v /c )2. Su respuesta a

esta dificultad era, esencialmente, la misma que en 1892 aunque en esta ocasión diese más detalles. En particular Lorentz volvía a señalar que la hipótesis de la contracción en la dirección d el m ovim iento no era la única posible. También se obtenía un resultado nulo si se supo­ nía que las dimensiones del objeto en cuestión (el interferómetro en el caso del experimento de Michelson y Morley) cambiaban en un fac­ tor — í— · en la dirección del movimiento y — i— en la dirección 1+6 1 1+ S perpendicular, si además se verificaba que 8 - ó = -1 — 2 .

4.

(3.18)

La teoría de Lorentz de 1904

En 1904 Lorentz (1904) publicó su versión final de la electrodiná­ mica para cuerpos en movimiento. El título del artículo es «Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity less than that of Light» («Fenómenos electromagnéticos en un sistema que se mueve con una velocidad arbitraria menor que la de la luz») y en él Lorentz se enfrentaba no sólo al reto que constituía la aparición de nuevos resultados experimentales válidos hasta segundo orden en v/c (por ejemplo, los de Rayleigh y Brace y los de Trounton y Noble) que se añadían a los de Michelson y Morley, sino también a críticas como las de Henri Poincaré, a las que Lorentz (1904, Einstein e t al. 1952, pág. 13) se refería diciendo «Poincaré ha objetado a la teoría de fenómenos eléctricos y ópticos existente, el que sea necesario introducir una nueva hipótesis para explicar los resultados negativos de Michelson y que la misma necesidad puede aparecer cada vez que se descubran nuevos hechos. Sin duda, que el procedimiento de inventar hipó­ tesis especiales para cada nuevo resultado experimental es bastante artificial. Sería más satisfactorio si fuese posible demostrar, por medio de alguna suposi­ ción fundamental y sin necesidad de despreciar términos de uno u otro orden de magnitud, que muchas acciones electromagnéticas son completamente in­ dependientes del movimiento del sistema... Creo que ahora es posible tratar este tema con un resultado mejor.» " **' El punto de partida de I» ^ h tz fge de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz (3.1) y (3 . a las se refería como «ecuaciones fundamentales de la teoría ¿váos electrófites». Tp mando como sistemas de referencia (en movimiento relativo .a ^ la ^ ^ o ^ d e l eje x; es decir

f = (r, o, o)) S y Sr, y un electrón (no puntual) tal que un punto sobre él tuviese de coordenadas en S (x, y, z, i) y se moviese con velo­ cidades « y vx con relación a S, y S, respectivamente (v, = u, + v, v, = uy, v« = »,), Lorentz encontraba (sección 3) la forma que toman (3.1) y (3-2) en S,. Inmediatamente (sección 4) pasaba a «transformar estas fórmulas [las transformaciones de Galileo] mediante un nuevo cambio de variables». Este cambio de variables es * ' = 7 gXr

y ’ =gyr

(3-19)

z ' - gZr

donde g aparecía como un coeficiente «a ser determinado mas adelan­ te». Es inmediato ver que si utilizamos (3.5), las ecuaciones (3.19) to ­ man la forma siguiente * '

=7 g ( x ~

y'

=

vt)

gy

(3.20)

z' = gz

*'

=

yg (t-4 C

X)·

El valor de g lo determinaba Lorentz en la sección 10, utilizando entre otras cosas el criterio de consistencia, para v = 0, con las transforma­ ciones de Galileo. Obtenía así g = 1, con lo que las ecuaciones (3.20) quedaban definitivamente como x — vt V i — v1¡c1

y' = y

(3.21)

z' = z t —( v / ^ x

.

es decir, lo que hoy en día denominamos transformaciones de Lorentz. En realidad lo que Lorentz había hecho era generalizar, encontrando una especie de síntesis, las transformaciones (3.13) y (3.14) que intro­

dujo en el Versuch. El sistema de referencia, £ ' , asociado a (x ', y ' , z ', / ') no tenía en principio —como tampoco lo tenía S" en el Versuch— ningún tipo de realidad física. Su principal virtud —y a es­ to dedicaría Lorentz la mayor parte de su trabajo de 1904— era la de que en E ' las ecuaciones de Maxwell-Lorentz conservaban su forma de m anera exacta (siempre, claro está, que se introdujesen definiciones adecuadas para la relación entre campos, velocidades y cargas en i 1y E ') . No es éste el lugar para analizar con detalle la teoría de 19048, se­ ñalemos, no obstante, que como ha indicado Holton (1960), ésta contenía muchas hipótesis particulares. Para demostrar la covariancia exacta de las ecuaciones de Maxwell-Lorentz y para tratar de anicular la. hipótesis de la contracción de longitudes en función del teorema de los estados correspondientes, Lorentz se veía obligado a suponer9, por ejemplo: la existencia de un éter estacionario; que el electrón esta­ cionario es esférico y que su carga está uniformemente distribuida; que toda la masa es electromagnética; que las fuerzas entre partículas sin carga y entre una cargada y otra sin carga tienen las mismas propieda­ des de transformación que tienen las fuerzas electrostáticas; que todas las cargas en los átomos se encuentran en un cierto número de «electrones»separados; que cada uno de éstos interacciona sólo con otros delmismoátomo, y que los átomos en movimiento sedeforman como los electrones. Por último, quiero referirme a uno de los temas que Lorentz trata­ ba en su artículo, y que como veremos más adelante tuvo consecuen­ cias de cierto interés histórico en lo que se refiere a la aceptación o no de las teorías de Lorentz y Einstein. He señalado anteriormente que el electrón de Lorentz en «Fenómenos electromagnéticos en un sistema...» no es puntual; de hecho en el sistema S su forma es la de una esfera de radio R , geometría que, debido al teorema delos esta­ dos correspondientes, mantiene en S '. Pues bien, la teoría que Lorentz desarrolló en 1904 le permitió calcular con bastante facilidad la depen­ dencia con la velocidad, de las masas «longitudinal», m ,., y «transver­ sal», m T, del electrón *°. Los resultados que obtuvo fueron tn = i - _ í L 1 3 Re2 2 ” r

S 3

Re1

1 (1 - v 2/c2)3'2 1 (1 - »’ / í ’)1'·

<3-22>

8 El lector interesado puede consultar Schaffner (1972) y Miller (1973, 1981). 9 Holton (1960) habla de once hipótesis ad hoc. 10 Estas masas se deñnen en función de las fuerzas externas según direcciones parale­ las o perpendiculares, respectivamente, a la trayectoria con que se mueve el electrón.

48

El origen y desarrollo de la relatividad

o, desarrollando en serie de potencias de (v/c)

"

t

[' *

t

('ir) * + t (ir) * *

] <3'23>

En realidad no fue Lorentz el primero en obtener resultados que demostraban la dependencia de la masa de los electrones con la veloci­ dad. En una época dominada por la «visión electromagnética de la na­ turaleza», que la masa se comportase de esta manera era una suposi­ ción perfectamente plausible. As!, en 1903 Max Abraham (1903) ob­ tuvo a partir de su propia teoría, configurada mucho más estrecha­ mente dentro de los límites de la electrodinámica de Maxwell, los si­ guientes resultados

(-£ £ )] í% )

- 2t ]

< 5 '2 4 >

que para v/c < < 1, pasan a ser

"T

~W

[ ’ * T ("ir) ' 1 "t" ("c") * * ' ] (3.25)

- ' - ¿

¿

[ ‘ ♦ í M

t

V - . M

t

)·*···]·

Comparando (3.23) y (3.25) se ve que para distinguir entre las teorías de Abraham y Lorentz, en lo que se refiere a la variación de la masa con la velocidad, había que ir al orden (-~-)2· Experimentalmente esto era difícil y ni siquiera Walter Kaufmann, un físico experimental de Gotinga que desde 1901 se ocupaba de estas cuestiones, se encontraba en disposición en 1904 de aportar datos experimentales que favore­ ciesen una u otra teoría. No obstante, aparentemente en 1904 parecía inclinarse por los resultados de Lorentz. Pero la importancia del problema y en particular la existencia de dos teorías que proporciona­

ban predicciones diferentes animaron a Kaufmann a repetir con más cuidado y precisión sus experimentos pasados. Los resultados no favorecerían en principio, como veremos más adelante, a Lorentz. 5.

Larmor y las transformaciones de Lorentz

Señalé en el capítulo anterior que una de las líneas de investiga­ ción que se abrieron a finales del siglo XIX para tratar de resolver los problemas que dejaba planteados la teoría electromagnética de Max­ well, estaba patrocinada por el irlandés Joseph Larmor. Es necesario ahora volver a esta teoría electrónica de la materia, para mencionar que con ella Larmor (1900) consiguió, en su conocido libro A ether and M atter, obtener las ecuaciones (3.21), ecuaciones que Lorentz descu­ briría cuatro años más tarde. Por consiguiente, hablando estrictamente Larmor fue el descubridor de las transformaciones de Lorentz. Hay que señalar, sin embargo, varios hechos. En primer lugar, tenemos que Larmor conocía, y se vio influenciado, por los sucesivos trabajos de Lorentz11; el recíproco, esto es, la influencia de Larmor sobre Lorentz es un tema todavía por estudiar con detalle, pero aparentemente fue muy reducida. Por otra parte, sabemos que aunque Larmor halló algu­ nas leyes de transformación (para las magnitudes del campo) correctas, también dio otras claramente falsas, lo que le condujo a pensar, erró­ neamente, que la invariancia funcional de las ecuaciones de Maxwell era exacta únicamente al orden {v/c)2. En este sentido, conceptual­ mente no fue mucho más allá que Lorentz en 1892-1895. En cualquier caso, comparada con la resonancia que encontró el trabajo de Lorentz de 1904, la influencia que tuvieron los resultados obtenidos por Lar­ mor en 1900 fue prácticamente nula.

6.

Poincaré y la Teoría de la Relatividad Especial

En múltiples sentidos el analizar las ideas de Henri Poincaré pre­ senta muchos más problemas que en el caso de Lorentz. Así como es­ tá claro que conceptos tales como «relatividad de la simultaneidad» o «principio de relatividad» no jugaron prácticamente ningún papel en el pensamiento de Lorentz antes de 1905, no se puede decir lo mismo de Poincaré, un matemático cuyas preocupaciones metodológicas afec­ taron profundamente a sus trabajos tanto en física como en matem áti­ cas. Cualquiera que lea, por ejemplo, E l valor de la ciencia (Poincaré 11 Sobre este punto, lo mismo que para conocer más detalles sobre la teoría de Lar­ mor, ver Schaffner (1972).

1905a, 1964) encontrará secciones con el título «el principio de relati­ vidad» o párrafos en los que se afirma que: «es difícil separar el problema cualitativo de la simultaneidad del problema cuantitativo de la medida del tiempo, se sirva uno de un cronómetro o deba tener en cuenta una velocidad de transmisión como la de la luz, pues no se podría medir una velocidad semejante sin m edir un tiempo», o «No tenemos la intuición directa de la simultaneidad, ni tampoco la de la igualdad de dos duraciones.» Es evidente que ante ejemplos como los precedentes no se puede evitar el plantear inmediatamente la pregunta de si Poincaré descubrió o no la teoría de la relatividad especial (independientemente de Einstein, naturalmente). Responder a esta pregunga no es todo lo sencillo que en principio pudiera parecer. De hecho en la literatura relativa a este tem a las posturas que hasta ahora se han mantenido son dos, clara­ mente antagónicas entre sí. Por un lado se encuentran aquellos que, como Born (1956), Holton (1960, 1964), Goldberg (1964) y Miller (1973), piensan que aunque Poincaré poseía «todos los requisitos con­ ceptuales para la teoría de la relatividad»12, sin embargo, su teoría «era inductiva, con las leyes del electromagnetismo como la base de toda la física». Ambos factores (inductivismo y visión electromagnética de la física) le impidieron —se añade— «comprender la aplicabilidad uni­ versal del principio de la relatividad, y por tanto, la importancia de la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia inerciales»13. En el otro extremo se hallan los que mantienen que no hay nada esencial de la teoría de la relatividad especial que desarrolló Einstein en 1905, que no hubiese comprendido, formulado y de­ sarrollado antes Poincaré. Representantes de esta opinión son Whitta-

12 Al llegar a este punto los requisitos que se enumeran son los siguientes (Miller 197}, págs. 319-320): discusión de los diferentes experimentos nulos a primer y segundo ordenes de aproximación en (v/c)\ análisis del papel de la velocidad de la luz en medi­ das de longitudes; ecuaciones de transformación relativista correctas para el campo electromagnético y la densidad de carga (hay que señalar que en su artículo de 1904 Lorcntz habla dado expresiones erróneas para las leyes de transformación de la velocidad y de la carga, lo que en la práctica implicaba que la invariancia de las ecuaciones de Max­ well no era exacta; no mencioné antes este detalle porque se trataba obviamente de un error marginal que tarde o temprano hubiese sido corregido); un principio variacional invariante relativista; la ecuación correcta para la composición relativista de velocidades; concepto de grupo de Lorentz; y por último la noción de formalismo cuadrivectorial y de espacio-tiempo cuadridimensional. 13 Miller (1973, págs. 319-320).

kcr (1953), Keswani (1965-66), Cuvaj (1970), Ten (1978) y Giedymin ( 1982).

La cuestión es, desde luego, bastante delicada y tratarla con todo detalle nos llevaría más lejos de lo que impone el tema de este libro. Me limitaré, por consiguiente, a discutir brevemente algunos puntos importantes. En primer lugar, hay que destacar que —como ha señalado Giedymin (1982)— no se puede comprender a Poincaré si no se tiene en cuenta su metodología científica. En este sentido se caracteriza habi­ tualm ente a Poincaré como convencionalista, algo que sin duda era, pero no se ha intentado —con la excepción de Giedymin— ver cuáles son las componentes, o tesis fundamentales de su convencionalismo. No se ha observado, por tanto, que una de estas tesis es la que él mis­ mo denominó (Poincaré 1905a, 1964, pág. 110) «la física de los princi­ pios», y que para él la esencia básica — no convencional— de la física se encontraba en aquellos «principios que son el resultado de experien­ cias sumamente generalizadas, pero [que] de su misma generalidad parecen adquirir un grado elevado de certeza..., cuanto más generales son, tanto más frecuentemente se tiene ocasión de comprobarlos, y multiplicándose las verificaciones... acaban por no dejar lugar a la d u ­ da» (Poincaré 1964, pág. 111). Entre los principios que Poincaré seña­ laba se encuentran el de conservación de la energía, el de Carnot (de degradación de la energía), el de la igualdad de la acción y la reacción, el de conservación de la masa, el de mínima acción y, finalmente y és­ te es importante para nosotros, el principio de la relatividad, «según el cual las leyes de los fenómenos físicos deben de ser las mismas para un observador fijo que para un observador arrastrado en movimiento u n i­ forme, de modo que no tenemos, y no podemos tener, medio alguno para discernir si somos transportados o no en un movimiento semejan­ te». Es difícil d udar14 sobre el carácter que Poincaré concedía al princi­ pio de relatividad. En Ciencia y m étodo (Poincaré 1908, 1963, pág. 169), por ejemplo, se lee: «...es imposible escapar a esta impresión de que el principio de relatividad es una ley general de la naturaleza, que no se podrá jamás por ningún medio imaginable poner en evidencia, sino mediante las velocidades relativas, y en­ tiendo por ello no solamente las velocidades de los cuerpos con relación al éter, sino también las velocidades de los cuerpos los unos con relación a los otros. Demasiadas y diversas experiencias han dado resultados concordantes para que no estemos tentados a atribuir a este principio de relatividad un valor compa­ rable al del principio de equivalencia por ejemplo.»

14 siguen.

Autores como Holton y Miller se oponen, no obstante, a las consideraciones que

Evidentemente en párrafos como el anterior se observa una clara com­ ponente inductivista en Poincaré, pero ¿es que Einstein, por ejemplo, no hacia referencia a los experimentos? Lo fundamental del principio de relatividad es reconocer su carácter universal, que va más allá del electromagnetismo. Esto Poincaré, al contrario que Lorentz, si lo hizo. Al dar este paso Poincaré era consistente además con su filosofía de la ciencia, en la que principios generales proporcionaban el esqueleto sobre el que se levantaban construcciones cuyos elementos (conven­ cionales) podían adoptar una y otra forma, dependiendo de las necesi­ dades o motivaciones del investigador. Se ha acusado (Holton, Goldberg, Miller) también a Poincaré de ser un adepto incondicional de la visión electromagnética de la natura­ leza, con lo que no podría haber reconocido en realidad el valor uni­ versal de la relatividad especial. En este punto hay que reconocer que, efectivamente, los escritos de Poincaré abundan en pasajes donde apa­ recen expresiones que pueden apoyar tales opiniones. Así, en Ciencia y m étodo y al referirse a las consecuencias del principio de relatividad para los electrones, Poincaré (1963, págs. 173-174) concluye que «to­ das las fuerzas [deben de ser] de origen electromagnético, o al menos [deben de variar] con la velocidad siguiendo las mismas leyes que las fuerzas de origen electromagnético», para pasar inmediatamente a se­ ñalar que «es necesario hallar una explicación electromagnética de to­ das las fuerzas conocidas, en particular de la gravitación, o al menos modificar la ley de la gravitación de la misma manera que las fuerzas electromagnéticas». Ahora bien, al analizar pasajes como los que acabo de citar hay que observar lo siguiente: Poincaré trata de extraer conse­ cuencias de un principio (el de relatividad) que, como acabamos de ver, consideraba universal; entre las consecuencias que encuentra algu­ nas parecen favorecer a la visión electromagnética, y a éstas —justo en reconocerlo— Poincaré las da, perceptible o imperceptiblemente, una cierta prioridad; se advierte por consiguiente, que se encontraba influenciado claramente por la física electromagnética. No obstante, junto a las posibilidades que favorecen a la visión electromagnética aparecen otras («modificar la ley de la gravitación de la misma manera que las fuerzas electromagnéticas») que Poincaré no ignora en absoluto. Probablemente, y a pesar de las influencias que acabo de señalar, Poincaré —como ha señalado Giedymin (1982)— consideraba a la «componente electromagnética» de la física como uno de los elementos convencionales (trasladables a otro «lenguaje») de los que se podía prescindir, al contrario de lo que ocurría con principios generales como el de relatividad. Este punto de vista se ve favorecido por lo siguiente: Uno de los elementos básicos de la visión electromagnética de la natu­ raleza es el éter, referencial absoluto en el que tienen lugar los dife­

rentes fenómenos físicos. Pues bien, como veremos más adelante, en 1906 Poincaré reconoció que las transformaciones de Lorentz forman grupo, es decir, son, entre otras cosas, invertibles, lo que significa, co­ mo veremos con más detalle en el próximo capítulo, que el éter deja por necesidad de ser el referencial absoluto que era para Lorentz. En resumen y para terminar, diré que en gran m edida la teoría de la relatividad especial fue desarrollada no sólo por Einstein, como se acepta habitualm ente, sino también por Poincaré, aunque, por diver­ sas razones, este último no la formulase con la claridad y brevedad del prim ero.

7.

El Artículo del Rendiconti del Circolo Matemático d i Palermo

En esta sección voy a discutir algunas de las contribuciones de Poincaré a la dinámica del electrón, que culminarían en su famoso artículo publicado por el Circolo Matemático d i Palermo (Poincaré 1906). Las contribuciones a este campo del matemático francés esta­ ban, naturalmente, estrechamente relacionadas con los trabajos de Lo­ rentz. Así, por ejemplo, en 1904 y durante una conferencia que pro­ nunció en el Congreso de Artes y Ciencia celebrado en San Louis, Mis­ souri, Poincaré (1905a, capítulos 7-9) elogiaba a la nueva teoría de Lo­ rentz de 1904, insistiendo en que la hipótesis de la contracción de lon­ gitudes, aunque inicialmente ideada para explicar un experimento, había dejado —en dicha teoría— de ser ad hoc ya que podía explicar varios experimentos con valores de hasta segundo orden, y además for­ maba parte integrante de la nueva teoría del electrón como una de va­ rias hipótesis complementarias. Ahora bien, Poincaré también se dio cuenta de que era necesario desarrollar más la teoría del electrón que Lorentz había presentado. Su contribución en esta dirección la forman dos artículos, ambos titulados «Sur la dynamique de l ’électron». Del primero (Poincaré 1905b), que apareció el 5 de junio de 1905, no diré nada ya que no es sino un pequeño resumen del segundo, el famoso artículo de Rendiconti15 que aparecería al año siguiente (Poincaré 1906) aunque fue enviado para su publicación a la revista italiana el 23 de julio de 1905 (es decir ambos artículos fueron escritos antes de que apareciese el trabajo de Einstein de la relatividad especial en el Annalen der Physik16. En el artículo del Rendiconti Poincaré comenzaba por corregir al­ 15 Este artículo ha sido analizado con todo detalle por Miller (1973). 16 El artículo de Einstein fue recibido en la redacción del Annalen der Physik el 30 de junio de 1905 y apareció el 26 de septiembre de ese mismo año.

gunos errores técnicos que Lorentz había cometido en su trabajo de 1904, para continuar demostrando que de todos los modelos de electrón cuya masa es producida exclusivamente por autocampos, sola­ mente el de Lorentz era compatible con el principio de relatividad. Pa­ ra obtener este resultado Poincare tuvo que añadir un térm ino suple­ mentario (el de los autocampos) al lagrangiano del electrón, interpre­ tándolo como debido a una tensión interna en el electrón de origen desconocido. Una función importante de esta tensión (que con el tiempo se denominaría «tensión de Poincaré») era impedir que el electrón deformable de Lorentz pudiese estallar (respondía así a una crítica de Abraham en 1903 a la teoría de Lorentz). Al margen de resultados concretos, en «Sur la dynamique de l ’électron» aparecen técnicas matemáticas que más tarde pasarían a for­ mar parte esencial de las presentaciones habituales de la relatividad es­ pecial, muchas de ellas adjudicándose a Minkowski. Por ejemplo —ya lo he señalado antes— Poincaré se dio cuenta de que las transforma­ ciones de Lorentz forman grupo, y —en plena armonía con su idea de un principio de relatividad— introdujo las nociones de invariancia y covariancia Lorentz para la formulación de teorías (dinámicas) físicas, en particular para la teoría del electrón y para la teoría de gravitación. Este últim o punto me lleva a señalar que Poincaré fue el primero que se planteó el problema de cómo generalizar las ecuaciones de la gravi­ tación de Newton de forma que fuesen invariantes bajo el grupo de Lorentz. Su solución a este problema aparece en la últim a sección del artículo, y se titula «Hipótesis relativas a la gravitación», donde no sólo se encuentra la primera teoría relativista (Lorentz) de la gravitación17 desarrollada en la física, sino que tam bién aparece la no­ tación cuadridimensional x, y, z, ict que Poincaré introdujo para ins­ peccionar todos los invariantes Lorentz que se pueden construir a par­ tir de las coordenadas, el tiempo, la velocidad y la fuerza18. Es decir, también aparecen en «Sur la dynamique de l ’électron» los gérmenes del formalismo espacio-temporal que años más tarde desarrollaría Min­ kowski19.

17 Un análisis de los resultados experimentales a que conduce la teoría de Poincaré se puede encontrar en Whitrow y Morduch (1965). 18 En este aspecto Poincaré se vio influenciado por la tradición matemática que va de Poncelet a Caylei, Lie y Klein, y que hacia hincapié en la búsqueda de los invariantes con respecto a grupos de transformaciones. 19 Ver capítulo 6. También en ese capítulo (sección }) volveré sobre Poincaré y sus ideas relativas al espacio tri- o cuadridimensional.

Capítulo 4 LA TEORIA DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN

1.

Introducción

En este capítulo analizaremos la teoría de la relatividad especial, la obra de un físico que era, al publicar la teoría en 1905, un completo desconocido en el m undo de la física: Albert Einstein. Pero Einstein no sólo era un desconocido, era tam bién lo que los anglosajones lla­ man un «outsider». Después de pasar sin pena ni gloria por el Institu­ to Politécnico de Zürich1 (1897-1900) e intentar trabajar bajo la direc­ ción de H. F. Weber y de Kamerlingh Onnes, tuvo que recurrir a la influencia de algunos de sus amigos para obtener un empleo en la ofi­ cina de patentes de Berna, donde permanecería hasta 1909. En este capítulo discutiré en primer lugar las posibles influencias que pudo sufrir el pensamiento de Einstein (en lo que a la teoría de la relatividad especial se refiere), para así poder entender la naturaleza de su solución a la crisis en que entonces se encontraba la física clásica, junto con el contenido y estructura de su famoso artículo «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento) donde Einstein (1905b) desarrolló la relativi­ dad especial. 1 Para este período ver, por ejemplo, Pyenson (1980).

2.

Posibles influencias sobre Einstein2

En lo que concierne a las posibles influencias sobre el pensamiento de Einstein hay que distinguir al menos dos apartados: Influencias de orden, digamos, «técnico», e influencias de orden «filosófico». Con res­ pecto a las primeras el mismo Einstein ofrecía una indicación im por­ tante cuando en sus «Autobiographical Notes» (Einstein 1949, pág. 15) escribía: «Entré en el Instituto Politécnico de Zurich como un estudiante de matemáti­ cas y física. Allí tenía excelentes maestros (por ejemplo, Hurwitz, Minkowski) de manera que podría ciertamente haber obtenido una esmerada educación matemática. Sin embargo, trabajé la mayor pane del tiempo en el laboratorio de física, fascinado por el contacto directo con la experiencia. El resto del tiempo lo dediqué a estudiar en casa los trabajos de Kirchhoff, Helmholtz, Hertz, etc.* (Las cursivas son mías.) Sin ser una referencia demasiado completa —hay un misterioso «etc.»— no hay duda que es una buena base de partida y lo es porque confirma, hasta cierto punto, algo bastante obvio: Einstein debió de aprender la teoría de Maxwell —que manifiestamente conocía en 1905— no en los trabajos de éste (no hay ninguna evidencia que indi­ que que fue así) sino, como la mayoría de los estudiantes de habla ale­ mana, a través délos libros y artículos de Helmholtz y Hertz, nombres a los que sin duda hay que añadir el de Boltzmann y —como ha seña­ lado Holton (1967-1968)— el de un expositor hoy prácticamente olvi­ dado, August Fóppl. Ahora bien, aunque diferentes entre sí, todas es­ tas presentaciones comparten un rasgo común, son bastante «a-maxwellianas». A cualquier físico inglés de la época que nos ocupa —Maxwell, por ejemplo— le habría parecido ciertamente aberrante el modo de pensar y la forma de introducir las teorías físicas de Helm holtz3, quien dedicaba la mitad del volumen introductorio de sus Lecciones de Física Teórica a temas como: filosofía y ciencia, crítica de la antigua lógica, conceptos y su expresión, hipótesis como bases para las leyes, etc., es decir, un enfoque de un marcado cariz episte­ mológico. Por otra parte, cuando presentaba, en el volumen 5, la teoría de Maxwell, lo hacía prestando muy poca atención a la experi­ mentación: sin prácticamente ninguna referencia a experimentos. Es­ tudiando a Helmholtz, Einstein pudo haber extraído un cierto gusto 2 Gerald Holton (1967-68, 1968) ha estudiado con cierto detalle las influencias sobre los primeros trabajos de Einstein. Remito al lector interesado en conocer más detalles que los que yo ofrezco a estos trabajos. 3 Sobre estas diferencias de idiosincrasia científica entre científicos de diferentes na­ ciones ver Mertz (1904) y Duhem (1974).

por un enfoque conscientemente epistemológico, así como una im pre­ sión de que los experimentos no cuentan de forma crucial. Por lo que se refiere a Hertz tenemos que sus obras completas se publicaron por primera vez en 1895 e incluyen trabajos como «Las ecuaciones fundamentales de la electrodinámica de Maxwell» (1884) y — ¡un título muy significativo!— «Sobre las ecuaciones fundamentales de la electrodinámica de los cuerpos en movimiento» (1890). Destaca el que en estos trabajos Hertz, posiblemente el mejor experimentador en el campo de los fenómenos electromagnéticos, no hace mención explícita a los experimentos del éter tan famosos hoy en día. Hay tam ­ bién en Hertz una cierta influencia machiana que él mismo reconoció en sus Principios de la mecánica (Hertz 1956) al afirmar: «En general debo mucho al excelente libro de Mach sobre el desarrollo de la mecá­ nica.» En cuanto a Lorentz y Poincaré y sin que esto signifique que con lo que ahora voy a señalar considere la cuestión zanjada sino que volveré a ella más adelante, diré que sin lugar a dudas Einstein no conocía el artículo de Lorentz de 1904 en el que aparecían por primera vez de forma exacta sus famosas transformaciones. Los Kon. Akademie van Wetenschappen, Amsterdam (Proceedings of the Amsterdam Academy en la edición de lengua inglesa) era una revista difícil de conseguir, más aún para un oscuro empleado de una oficina de patentes de una ciudad como Berna. Así, por ejemplo, M. von Laue entonces Assistent en el Instituto de Física Teórica de ¡Berlín! escribía a Lorentz el 30 de noviembre de 19054 «Como los Kon. Akademie van Wetenschappen, Amsterdam son aquí más diñeiles de conseguir que otras revistas —sólo existe uno en la Biblioteca Real y presta revistas recientes sólo por un día —me tomo la libertad de pedirle que, si es posible, me envíe una separata de su publicación «Fenómenos electromag­ néticos en un sistema que se mueve con una velocidad arbitraria menor que la velocidad de la luz...» Con respecto a otros trabajos de Lorentz, Einstein manifestó a R. S. Shankland (1963) que había leído algunos antes de 1905, pero sólo te­ nemos evidencia de que leyese dos de ellos. En efecto en una carta a su biógrafo Cari Seeling, Einstein m anifestaba5 «En lo que a mí se refiere, sólo conocía el importante trabajo de Lorentz de 1895, «La théorie électromagnétique de Maxwell» [se publicó en realidad en 1892] y el Versuch einer Theorie Élektrischen... [1895], pero no su trabajo pos4 Carta depositada en el Rijksarchief en La Haya. Citada en Holton (1967-68, 1973, pág. 205). 5 Citado en Holton (1969, 1973 pág. 300).

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terior, ni tampoco las investigaciones consecutivas de Poincaré. En este sentido mi trabajo de 1905 fue independiente.» Esta últim a cita nos lleva al caso de Poincaré. Einstcin dice que no conocía sus trabajos titulados «Sur la dynamique de l ’électron» y evi­ dentemente no podía ser de otra forma dadas las fechas en que apare­ cieron estos dos artículos, especialmente el más extenso y detallado que se publicó en los R endiconti del Circolo Matemático d i Palermo en 1906. No ocurrió lo mismo con los escritos filosóficos de Poincaré. Tanto Einstein como algunos de sus amigos de aquel período (Solovine, Besso) manifestaron en numerosas ocasiones6 que uno de los libros al que más atención dedicaron y que más les influyó fue La ciencia y la hipótesis (Poincaré 1902). Es muy probable que Einstein extrajese de la lectura de este libro valiosas enseñanzas metodológicas que le sir­ viesen más adelante a la hora de desarrollar la relatividad especial. Sin embargo, si aceptamos el testimonio de que Einstein —cuya honradez fue siempre manifiesta— , hay que concluir que no apreció, al menos no completamente, lo cercano que el pensamiento, análisis y plantea­ miento de Poincaré estaban al suyo propio. Paso ahora a considerar las influencias de orden «filosófico» sobre Einstein. Dejando aparte el caso de Poincaré al que me acabo de refe­ rir, hay que mencionar a Mach y a Hume. Un magnífico punto de partida lo constituye una carta que Einstein escribió a su amigo Michele Angelo Besso el 6 de enero de 1948 (Speziali, ed. 1979, págs. 230231). Decía allí: «Querido Michele, Tu carta es verdaderamente muy interesante, pero no es sencillo contes­ tarla. En lo referente a Mach, debo distinguir entre su influencia en general y el efecto que produjo en mí. Mach llevó a cabo importantes trabajos especiali­ zados (por ejemplo, el descubrimiento de las ondas de choque, que está basa­ do en un método óptico realmente genial). Sin embargo, no queremos hablar de esto sino de su influencia sobre la actitud general en relación a los funda­ mentos de la física. Mach intentó, demostrar, sobre todo en la mecánica y en la teoría del calor, cómo los conceptos surgen de la experiencia. Defendió con convicción el punto de vista según el cual estos conceptos —en especial los más fundamentales— no extraen su justificación más que de la experiencia, no siendo, en modo alguno, necesarios desde el punto de vista lógico. Su acción ha sido particularmente beneficiosa en tanto que ha demostrado claramente que los problemas más importantes de la física no son de naturaleza matemático-deductiva; los más importantes son los que se relacionan con los principios básicos. Yo veo su debilidad en el hecho de que él creía poco o mucho que la ciencia consistía únicamente en poner en orden el material expe-

6 Ver, por ejemplo, Solovine, ed. (1956) y Speziali, ed. (1979, pág. 272).

rimentai, es decir, que subvaloró el elemento constructivo libre en la elabora­ ción de un concepto. De alguna manera pensaba que las teorías son el resulta­ do de un descubrimiento y no de una invención. Iba tan lejos que consideraba a las «sensaciones» no únicamente como un material concebible, sino también, en cierta medida, como los materiales de construcción del mundo real; creía poder llenar así el foso que existe entre la psicología y la física. Si hubiese sido consecuente, debería haber rechazado no sólo el atomismo, sino también la idea de una realidad física. En lo que se refiere a la influencia de Mach sobre mi pensamiento, cierta­ mente que ha sido muy grande. Me acuerdo muy bien que fuiste tú quien me llamó la atención sobre su tratado de mecánica y su teoría del calor, durante mis primeros años de estudio, y estas dos obras me produjeron una gran impresión. Hasta qué punto han actuado sobre mi propio trabajo, es algo que, francamente, no veo claro. Por lo que recuerdo, D. Hume ejerció sobre mí una influencia directa más grande. Lo leí en Berna en compañía de Conrad Habicht y de Solovine. Pero, como te acabo de decir, no soy capaz de analizar lo que permanece anclado en mi subconsciente. Finalmente, es interesante seña­ lar que Mach rechazó con dureza la teoría de la relatividad especial. (No vivía ya en la época de la teoría de la relatividad general.) Le parecía que la teoría sobrepasaba en especulación todo lo permitido. No sabía que su carácter espe­ culativo también lo tiene la mecánica de Newton y, en general, toda teoría imaginable. No hay más que una diferencia de grado entre las teorías, en la medida en que los caminos [que sigue] el pensamiento desde los principios bá­ sicos hasta las consecuencias veriíicables mediante la experiencia, son de longi­ tud y complicación diferentes.» En esta carta, cuyo interés es evidente, Einstein señalaba algo que normalmente no se menciona demasiado7: Hume ejerció sobre él una influencia mayor que Mach. Para entender la naturaleza de esta influenciá hay que recurrir a la obra cumbre de Hume (1888), A Treatise o f H um an Nature. En este libro que según Solovine (1956), Eins­ tein y sus amigos discutieron durante semanas, se pueden encontrar no sólo las conocidas críticas de Hume a los conceptos de sustancia y causalidad8 (las únicas facetas de su pensamiento que suelen m en­ cionarse en los libros de filosofía general) y en base a las cuales es difícil —como señaló Hirosige (1976, págs. 57-58)— establecer una conexión directa con los trabajos de Einstein, sino tam bién ideas muy específicas acerca del espacio y del tiempo. Así, por ejemplo, Hume mantenía que *la idea de espacio o extensión no es sino la idea de puntos visibles o tangibles distribuidos en un cierto orden» (pág. 53) y 7 Existen notables excepciones, como, por ejemplo, Hirosige (1976) y García Doncel (1979). 8 Hume rechazaba la noción de «sustancia», reemplazándola por «conjuntos» (o gru­ pos) de ideas, y también el concepto de «causalidad» que para él sólo significaba que un objeto o suceso había ocurrido siempre en conjunción con otro objeto o suceso, sin que esto implicase relación necesaria o lógica.

—una suposición también bastante leibniziana9— «no tenemos idea de ninguna extensión real sin llenarla con objetos sensibles» (pag. 64). No menos radicales eran las opiniones de Hum e con respecto al tiem po10: «[el tiempo] se descubre siempre mediante alguna sucesión perceptible de objetos que cambian» (pag. 35) o no tendríamos «idea de tiempo sin una existencia cambiante...» (pág. 65). Basta con tener una idea general del contenido de la relatividad especial para, vistas las citas anteriores, admitir como m uy plausible el que efectivamente Hume ejerciese una gran influencia sobre Einstein. Pasando al caso de Ernst Mach, cuyas relaciones con Einstein trata­ ré con cierto detalle en el apéndice A, ya que involucran no sólo la re­ latividad especial sino tam bién la relatividad general, diré (simplifi­ cando dem asiado11 sin duda) que su filosofía nacía de una preocupa­ ción por eliminar todo concepto o idea metafísica de la ciencia. En es­ te sentido Mach señalaba que ya que toda la información que posee­ mos acerca del «mundo exterior» proviene de sensaciones, deben de ser éstas (en forma individual o como conjunto de sensaciones) los ele­ mentos básicos sobre los que se levanten las teorías científicas. Más aún, para Mach, en cierto sentido se podía decir que el conocimiento científico de la naturaleza debía consistir en encontrar las descripciones más simples posibles de las conexiones o relaciones existentes entre sensaciones (o «elementos» como él las denominaba). Lo que debemos pretender con la ciencia era, en su opinión, ordenar o sistematizar el mayor número posible de hechos (sensaciones) con el menor esfuerzo posible. Todas estas ideas, más o menos generales, se traducían en el caso de la mecánica newtoniana (cuyo desarrollo analizó Mach [1883] en su famoso D ie Mechanik irt ihrer EntwicUung bistorisch-kritisch dargestellt) en una profunda crítica al concepto del espacio absoluto de Newton que Mach (1949, pág. 194) consideraba «una mera abstracción sin

9 No voy a comentar aquí acerca de la posible influencia de Leibniz en Einstein, entre otras cosas porque creo que Einstein descubrió a Leibniz después de haber llegado a la mayor pane de sus ideas respecto al espacio y al tiempo. En este sentido habría que hablar de «confirmación» en lugar de «influencia». Sobre Einstein y Leibniz véase Lorente (1979). 10 En su autobiografía y refiriéndose a la casi inconsciente suposición de un tiempo absoluto, Einstein (1949) señalaba que «reconocer claramente este axioma y su arbitra­ riedad significa ya esencialmente la solución del problema. En mi caso el pensamiento crítico requerido para este punto central fue ayudado en especial por los escritos filosófi­ cos de Hume y Mach». Es decir, Einstein asociaba a Hume y a Mach con su crítica al con­ cepto de tiempo absoluto, más que al de espacio. En realidad, fue el tiempo realmente, y no el espacio el blanco principal de las críticas de Einstein en la teoría de la relatividad especial. Como diré en el capítulo 6, sección 4, de esto se dio perfecta cuenta Minkows­ ki. 11 Ver apéndice A.

manifestación posible en la experiencia»12. Lo que había que hacer era expresar los «enunciados fundamentales de la mecánica» en fun­ ción de las «posiciones y los movimientos relativos de los cuerpos» (ibíd. pág. 194). No hay duda de que desde este punto de vista existe un claro componente machiano en cómo Einstein abordaba en 1905 la teoría de la relatividad especial. Por ejemplo, la definición einsteiniana de simultaneidad no es sino una manifestación específica del requisito de Mach de que toda afirmación que se haga en física se re­ fiera a relaciones entre cantidades observables. Asimismo, cuando Einstein seleccionaba la noción de «suceso» como preeminente en toda su construcción, estaba identificando la «realidad» con lo que nos viene dado a través de las sensaciones —los sucesos— y no colocando la «realidad» en un plano más allá de la experiencia. Es en este sentido en el que se puede decir que el análisis epistemológico que Einstein sometió a los conceptos de espacio y tiempo tiene sus raíces en la filosofía —tal y cómo ésta es entendida habitualm ente— de Mach.

3.

Él Problema Fundamental para Einstein13

En esta sección voy a abordar la cuestión de cuál fue la problem áti­ ca en que Einstein estaba inmerso y a la que dio respuesta con la teoría de la relatividad especial. He dicho ya que el problema funda­ mental no era en absoluto el mismo para Lorentz que para Einstein y ahora tengo que justificar tal manifestación antes de pasar a discutir el contenido del artículo de 1905. Para empezar hay que señalar que Einstein no «entró» en el «mun­ do de la relatividad» forzado por la necesidad imperiosa de encontrar una explicación al resultado nulo que se obtenía en ciertos experimen­ tos Ópticos y electromagnéticos (notablemente, pero no únicamente, el experimento de Michelson y Morley), algo que sí ocurrió, como ya vi­ mos en el capítulo 3, en el caso de Lorentz. De hecho, la relación, o mejor dicho, el conocimiento que Einstein tenía del experimento de Michelson y Morley con anterioridad a la publicación de su artículo de 1905, es un tema sobre el que existen diversidad de opiniones, favore­ cidas por las, en ocasiones contradictorias, manifestaciones del propio Einstein. Así tenemos que el mismo estilo en el que está escrita la introducción al artículo de 1905 sugiere —aunque desde luego no im pone— que el interés y lo la información de Einstein por la cuestión

12 Volveré a esta cuestión con más detalle en el capítulo 8, sección 5. 13 Respecto a esta cuestión poco se puede añadir a lo dicho por Hirosige (1976, sec­ ción 8).

experimental eran bastante reducidos. Prácticamente todas las referen­ cias a estos temas están contenidas en el siguiente —bastante vago— párrafo (Einstein 1905b, 1952, pág. 37). «Ejemplos de esta especie junto a los intentos fracasados de descubrir un movi­ miento de la Tierra con respecto al “medio de la luz” [el éter], sugieren que los fenómenos electromagnéticos, lo mismo que los mecánicos, no poseen pro­ piedades que corresponden a la idea de reposo absoluto.» Por otra parte, en una conversación que mantuvo en febrero de 1950 con R. S. Shankland (1963), Einstein manifestó que no habla tenido noticia del experimento de Michelson y Morley más que a través de los escritos de Lorentz, y esto ¡sólo después de 1905! No obstante, recientemente han aparecido (Einstein 1982, Stachel 1982) evidencias que demuestran que la memoria le jugó una mala pasada a Einstein en su conversación con Shankland. Actualmente se tiende a pensar —ver Stachel (1982)— que Einstein sí tenía conoci­ miento del experimento de Michelson y Morley y que este tuvo un cierto papel en el hecho de que Einstein rechazase la teoría de Maxwell-Lorentz con su único y privilegiado sistema de referencia anclado en el éter. En este sentido, el mencionado experimento —y otros similares— favorecieron el que Einstein adoptase el principio de relatividad. Ahora bien, todavía no se puede decir que entendamos cuál fue la importancia que en realidad tuvo en este aspecto el experi­ mento de Michelson y Morley. Como se verá en el resto de esta sec­ ción, existieron líneas de argumentación, independientes del anterior experimento, que sin embargo muy bien pudieron llevar también a Einstein al principio de relatividad. Nos encontramos, por consi­ guiente, en un punto de extrema complicación en lo que a su in­ terpretación histórica se refiere (véase, no obstante, Stachel [1982], donde se ofrecen algunas interpretaciones bastante plausibles). Una diferencia entre Lorentz y Einstein que se hace patente desde la misma introducción al artículo de 1905, es que al contrario que para aquel, en la teoría de Einstein el principio de relatividad no se deduce de los principios fundamentales de la teoría (podría ser la electrodiná­ mica, por ejemplo), sino que es un postulado. Así en la mencionada introducción leemos (Einstein 1905b, 1952, pág. 38). «[Nos vemos conducidos] a la conjetura... de que... para todos los sistemas de coordenadas en los que las ecuaciones mecánicas son válidas [sistemas de refe­ rencia inerciales], también lo serán las mismas leyes de la electrodinámica y de la óptica... Elevaremos esta conjetura (cuya sustancia será llamada a partir de ahora “ principio de relatividad” ) a la categoría de un postulado...»

A partir de este principio y del (segundo) postulado de la constan­ cia de la velocidad de la luz, Einstein obtenía —de una manera pura­ mente lógica— toda su teoría. Obviamente, gran parte de los proble­ mas que la teoría de Lorentz trataba de resolver —y para los que fue, en parte, construida— se resolvían inm ediatam ente, o mejor dicho de­ jaban de existir, en la teoría de Einstein puesto que todos los resulta­ dos experimentales problemáticos no eran, en esencia, más que distin­ tas expresiones del postulado de relatividad. Tal vez alguno piense que de esta manera Einstein había resuelto el problema de Lorentz de for­ ma trivial, como una petición de principio. La realidad es otra, Eins­ tein había modificado radicalmente el planteamiento del problema, la suya era una forma de ver la física de una forma totalm ente nueva (una especie de visión a la Gestalt). La invariancia, el principio de re­ latividad, pasaba a ser un requisito de las teorías no una propiedad de ellas. Pero, ¿cómo surgió en Einstein esta forma de ver y entender la física? Según sus propias manifestaciones fue el resultado de un largo proceso, iniciado —como muy tarde— cuando Einstein era un estu­ diante de dieciséis años en la escuela cantonal de Aarau (Suiza) y se preguntaba qué ocurriría si persiguiese, «con una velocidad c (la velo­ cidad de la luz), un rayo de luz» (Einstein 1949, pág. 52). ¿Observaría entonces «tal rayo de luz como un campo espacial electromagnético en reposo»? La respuesta de Einstein era clara: «no parece que exista tal cosa, ya sea en base a la experiencia o de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell.» Le parecía «intuitivamente claro14 que, juzgando desde el punto de vista de tal observador, todo debería ocurrir de acuerdo a las mismas leyes que para un observador que estuviese en reposo con rela­ ción a la teoría. Ya que ¿cómo, de otra forma, podría saber, es decir, ser capaz de determinar el primer observador que está en un estado de movimiento uniforme rápido?» En otras palabras, ya a la edad de dieciséis años Einstein poseía los conceptos que al desarrollarse constituirían el principio de relatividad, como él mismo reconocía cuando escribía, en 1949: «uno ve que en esta paradoja ya está conte­ nido el germen de la teoría de la relatividad especial.» Ahora bien, del gérmen a la teoría hay una cierta distancia que a Einstein le llevó diez años el recorrer (en 1905 tenía veintiséis años). Durante estos años Einstein intentó primero realizar un experimento (que él mismo planeó15) para detectar cambios en la velocidad de la luz debidos al movimiento de la Tierra. No consiguió llevar adelante

14 Y así lo es en realidad, porque ¿cómo puede existir un rayo de luz en reposo, te­ niendo en cuenta que la luz se define en función de su frecuencia de m ovim iento? 15 Ver Hirosige (1976, pág. 54).

su proyecto debido «al escepticismo con que sus maestros» en el Insti­ tuto Tecnológico de Zurich recogieron la idea. Otra de las cuestiones que, como el propio Einstein señaló durante sus conversaciones con el psicólogo Max W ertheim er1*, le ocupó gran parte de su tiempo durante todos estos años anteriores a 1905, fue la relación existente entre las leyes que regían los fenómenos ópticos y electromagnéticos y el movimiento del observador. Se daba perfecta cuenta de que si las cuestiones de Maxwell eran válidas con respecto a un sistema no lo eran con relación a otro, y para él esto no era adm i­ sible. Por consiguiente se dedicó a intentar modificar estas ecuaciones... sin éxito (Wertheimer 1959, pág. 216). Lo que Einstein estaba intentando en realidad era modificar la teoría de Maxwell de forma que se tuviese una construcción teórica para los fenómenos ópti­ cos y electromagnéticos en la que sólo tuviese significado físico el m o­ vimiento relativo. Como ha señalado recientemente Hirosige (1976, pág. 55), Einstein «se habla planteado un problema conectado con la forma, más que con el contenido, de la teoría», pero siendo como era en aquel entonces un empirista «no se dio cuenta de esto hasta que se puso a reflexionar sobre las consecuencias de la fórmula de radiación de Planck.» En efecto, a partir de 1900 la tarea investigadora de Eins­ tein se centró esencialmente en lo que hoy llamaríamos teoría cuántica de la radiación17, encontrando que la radiación posee una especie de estructura discreta o «molecular» que contradecía a la teoría de Max­ well. «Reflexiones de este tipo —escribía Einstein (1949, págs. 51-53) en sus “ Notas autobiográficas” — me enseñaron tan pronto como po­ co después de 1900 —esto es, inmediatamente después del seminal trabajo de Planck— que ni la mecánica ni la electrodinámica podrían ser (excepto en casos límites) exactamente válidas. Periódicamente me desesperaba al no ser capaz de descubrir las verdaderas leyes mediante esfuerzos constructivos basados en hechos conocidos. Cuanto más de­ sesperadamente lo intentaba, más me convencía de que únicamente el descubrimiento de un principio formal universal podría conducirnos a resultados seguros. El ejemplo que veía delante de mí era la termodi­ námica. Allí el principio general se daba en el teorema: las leyes de la naturaleza son tales que es imposible construir un perpetuum mobile (de primera y segunda especie). ¿Cómo podría, entonces, encontrar tal principio universal? Después de reflexionar durante diez años, tal principio surgió de una paradoja que ya se me había ocurrido a la edad de dieciséis años: Si persigo...» Y aquí conectamos con lo dicho anteriormente.

16 Consultar Wertheimer (1959), especialmente las páginas 213-226. 17 Volveré a estas cuestiones en el capítulo 7.

Planteado el problema en estos términos quedaba por superar un último escollo fundamental y era que es imposible reconcilar la teoría de Maxwell con el principio de relatividad sin modificar la noción tra­ dicional de tiempo. De nuevo utilizando las palabras de Einstein (1949, pág. 53) «Hoy todo el mundo sabe, por supuesto, que todos los intentos por clarificar satisfactoriamente esta paradoja [la del rayo de luz] estaban condenados al fra­ caso. Mientras el axioma del carácter absoluto del tiempo, es decir, de la si­ multaneidad, continuasen sin que uno se diese cuenta, anclados en el subcons­ ciente. Evidentemente reconocer este axioma y su carácter arbitrario implica ya realmente solucionar el problema. Este tipo de razonamiento crítico, necesario para el descubrimiento de este punto central, fue en mi caso decisivamente impulsado por las lecturas de los escritos filosóficos de David Hume y Ernst Mach.» Es decir, para superar el «último» escollo Einstein encontró la clave en las filosofías de Hume y de Mach, lo que no nos debe sorprender de­ masiado si recordamos alguna de las citas —especialmente de Hume— señaladas en la sección anterior. Como colofón a esta sección, quiero mencionar un tema que tuvo una enorme importancia para que Einstein se decidiese a «imponer» el principio de relatividad. Me estoy refiriendo a la cuestión de las asimetrías que surge, con todo rigor, ya desde la primera palabra del «Zur Elektrodynamik bewegter Körper». Escribía allí Einstein (1905b, 1952, pág. 37) «Es sabido que la electrodinámica de Maxwell —tal y como se entiende actualmente— conduce a asimetrías que no parecen inherentes a los fenóme­ nos, cuando se la aplica a cuerpos en movimiento. Tómese, por ejemplo, la ac­ ción electromagnética recíproca entre un imán y un conductor. El fenómeno que aquí se observa depende únicamente del movimiento relativo [18] entre el conductor y el imán, mientras que la visión habitual establece una aguda dis­ tinción entre los dos casos en que uno u otro de estos cuerpos está en movi­ miento. Ya que si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, en­ tonces aparece en los alrededores del imán un campo eléctrico con una cierta energía definida, que produce una corriente en aquellos lugares donde se en­ cuentran partes del conductor. Pero si el imán está estacionario y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en los alrededores del imán. Sin embargo, en el conductor encontramos una fuerza electromotriz, para la que no existe la energía correspondiente, pero que da lugar —suponiendo que el movimiento relativo es el mismo en los dos casos discutidos— a corrientes 18 Vemos aquí también una justificación al por qué Einstein buscó unas ecuaciones que sustituyesen a las de Maxwell en las que sólo tuviese significado físico el movimiento relativ o .

eléctricas del mismo camino e intensidad que las producidas por las fuerzas eléctricas en el caso anterior.» «Ejemplos de este tipo» —continuaba Einstein— «junto a los intentos que sin éxito se han realizado para descubrir cualquier movimiento de la Tierra con respecto al “ medio de la luz’’ sugieren que los fenóme­ nos de la electrodinámica lo mismo que los de la mecánica no poseen propiedades que corresponden a la idea de reposo absoluto.» Vemos, por consiguiente, que una de las motivaciones que lleva­ ron a Einstein a la relatividad especial podríamos decir que fue de or­ den casi estética. Era su creencia que las teorías físicas no debían con­ tener asimetrías formales. De hecho, esta creencia formaba parte de la estrategia —o método— con que Einstein reconocía y resolvía proble­ mas de la física teórica. Así el esquema de «Zur Elektrodynamik...» no hacía sino repetir el que Einstein había utilizado poco antes en otro de sus inmortales trabajos de 1905, «Un punto de vista heurístico acerca de la creación y transformación de la luz» (Einstein 1905a) que comen­ zaba de la siguiente manera «Existe una profunda distinción formal entre los conceptos teóricos que los físicos han construido con relación a los gases y otros cuerpos ponderomotrices y la teoría de Maxwell de los procesos electromagnéticos en el llamado espacio vacío.» para continuar refiriéndose al hecho de que mientras que en los gases y otros cuerpos ponderomotrices el estado de un sistema viene comple­ tam ente determinado por las posiciones y velocidades de un número grande, pero fin ito , de átomos y moléculas, en la electrodinámica de Maxwell esto no ocurre puesto que se utilizan funciones (campos) con­ tinuas, lo que implica la existencia de un número infinito de parám etros19. Un planteamiento exactamente análogo —de hecho otra manifestación del conflicto existente entre mecánica y electrodinámi­ ca— al de «Zur Elektrodynamik...». 4.

El contenido de «Zur Elektrodynamik bewegter Körper»20

El artículo de la relatividad especial (Einstein 1905b21) está estruc­ turado de la forma siguiente: una introducción sin título, una parte I 15 Discutiré este artículo con más detalle en el capítulo 7, sección 2. 20 Recientemente Arthur Miller (1981) ha analizado exhaustivamente el artículo de Einstein. También es útil Miller (1979). 21 Todas las referencias que haga serán a la traducción inglesa en Einstein et al. (1952). Para evitar repeticiones innecesarias en esta sección (pág. ) querrá decir (Eins­ tein et al. 1952, pág. )

titulada «Pane cinemática» y una parte II de título «Parte electrodiná­ mica». Cada parte está a su vez dividida en cinco secciones. Adviértase que la forma en que Einstein ordenó el contenido de su artículo es opuesta a la utilizada por los defensores de la visión electromagnética de la naturaleza que hacían especial hincapié en la dinámica del electrón; esto es, trataban de deducir la cinemática del electrón de su dinámica. Esta diferencia entre el significado que Einstein, por una parte, y los seguidores de la imagen electromagnética, por otra, otor­ gaban a la «cinemática» y a la «dinámica» tuvo enormes implicaciones en lo que se refiere a la interpretación dada a la relatividad especial. Pero volveré a esta cuestión con mucho más detalle en el próximo capítulo. En la sección precedente ya he comentado gran parte del contenido de la introducción a «Zur Elektrodynamik...». A lo que dije allí quiero añadir que además de introducir el principio de relatividad, «una con­ jetura» a la que elevó «a la categoría de postulado», Einstein incluyó en esa parte inicial de su artículo un segundo axioma: «a saber, que la luz se propaga siempre en el espacio vacío con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo que la emite» (pág. 38). Es importante destacar que en la teoría de Maxwell Lorentz esta afirmación sólo tenía carácter de axioma en sistemas de re­ ferencia en reposo con respecto al éter. En este punto, precisamente, se halla una de las mayores diferencias entre las teorías de Einstein y de Lorentz. Según la teoría de este últim o, dos sistemas de referencia (uno en reposo en el sistema del éter y otro en movimiento inercial) están relacionados por unas transformaciones (las de Lorentz, ecuaciones [3.21] del capítulo 3) que no form an grupo y no lo forman porque como el éter nunca se mueve, no tiene sentido la transforma­ ción inversa del sistema de referencia en movimiento al sistema en re­ poso con respecto al éter. Esto Einstein no lo podía admitir; el princi­ pio de relatividad exigía que no existiesen sistemas de referencia privi­ legiados, lo cual implicaba que el éter era supèrfluo. Utilizando la m a­ gistral expresión de Einstein que con una sola frase destruía décadas de duros esfuerzos «La introducción de un “éter luminífero” demostrará ser supèrflua en tanto que la visión desarrollada aquí no requiere un “ espacio absoluto estacionario ” .» (Pág. 38). En el lenguaje empleado antes tenemos que en la teoría de la relativi­ dad especial, las transformaciones forman grupo. Congruente con to ­ dos esto es que el axioma de la constancia de la velocidad de la luz es válido en todo sistema de referencia inercial: Einstein había eliminado otra asimetría de la teoría de Maxwell-Lorentz.

Consideremos ahora la sección 1 del artículo de la relatividad, titu ­ lada «Definición de simultaneidad». Einstein comienza por definir de forma operacional los conceptos sistema de referencia inercial y posi­ ción con respecto a un sistema de referencia inercial. Sus definiciones se basan en «el empleo de standards de medidas [con cuerpos rígidos] y en los métodos de la geometría euclídea» (pag. 38). A continuación explica que como las coordenadas de un punto material en movimien­ to son funciones del tiem po, debemos explicar qué entendemos por «tiempo». Es en este momento cuando Einstein argumenta que el concepto de simultaneidad no es absoluto: hay que distinguir entre simulta­ neidad «local» y «a distancia», buscando una definición operacional. En este sentido da una definición —libre de contradicciones— de «sincronización de relojes», y por consiguiente de «tiempo», para relo­ jes en reposo relativo en un sistema de referencia inercial. Para ello utiliza un procedimiento que se basa implícitamente en la homoge­ neidad e isotropía del espacio para la propagación de la luz. El proce­ dimiento que sigue Einstein es el siguiente: Considérense dos relojes en reposo relativo en las posiciones A y B en un sistema de referencia inercial. Se emite en A un rayo de luz cuando el reloj situado allí se­ ñala el instante tA, y ese rayo lo recibe un observador colocado en B cuando su reloj señala tB, reflejándolo instantáneamente de vuelta a A, a donde llega en el instante t'A. Einstein define tB de la forma (pág. 40) tñ

¿4 — Ía

ts 1

es decir, Íb ~

ÍA + tA (4.1.)

También supone explícitamente que «si el reloj situado en B se sincro­ niza con el de A, entonces el de A está también sincronizado con el de B», y que «si el reloj en A se sincroniza con uno en B y otro en C, en ­ tonces los relojes en B y en C están sincronizados entre sí». Se llega así a la sección 2 («Sobre la relatividad de longitudes y tiempos») en la que después de reformular los dos axiomas básicos se utiliza (4.1) para demostrar que tanto longitudes como tiempo son magnitudes relativas «Observadores que se mueven con la regla que está en movimiento encontra­ rán, por tanto, que los dos relojes no están sincronizados, mientras que obser­ vadores en el sistema estacionario declararán que sí lo están» (pág. 42).

Tenemos aquí otra diferencia que separa a Einstein de Lorentz, ya que, para este último existían magnitudes absolutas (en particular, longitud y tiem po), que se medían con el sistema de referencia en re­ poso con respecto al éter, mientras que para el primero, como hemos visto, no. A partir de este momento, Einstein obtiene todos los resultados de su artículo de una manera estrictamente lógica, utilizando los dos pos­ tulados y la definición de simultaneidad. En la sección 3 («Teoría de las transformaciones de coordenadas y tiempos de un sistema estacionario a otro sistema en movimiento de traslación relativo al anterior») Einstein deduce las ecuaciones para las transformaciones relativistas de las coordenadas espaciales y tempora­ les, es decir, las ecuaciones, (3.21), que Lorentz obtuvo en 1904. Hay que señalar que implícitamente se utilizaba la homogeneidad del es­ pacio y del tiem po, lo que hace que las transformaciones sean lineales. La sección 4 se titula «Significado físico de las ecuaciones obtenidas con respecto a cuerpos rígidos en movimiento y relojes que se mueven» y en ella Einstein obtiene la contracción aparente de cuerpos en m o­ vimiento inercial, tal y como son medidos por un observador en otro sistema de referencia inercial, así como la ecuación de la dilatación del tiempo. Como ha señalado Miller (1979) en la teoría de Lorentz la contracción de longitudes era en realidad una hipótesis adicional cu­ yo significado no estaba demasiado claro, entre otras cosas (y olvidán­ donos de la hipótesis de las fuerzas moleculares y del teorema de los estados correspondientes, que no resuelven nada en este sentido) por­ que al no ser posible medir experimentalmente las verdaderas longitu­ des y las verdaderas velocidades (las del cuerpo en un sistema en repo­ so con respecto al éter), no era posible disponer de métodos operacionales para medir cambios de longitudes (verdaderas). Por otra par­ te, la dilatación temporal era totalmente ajena a la teoría de Lorentz, donde el tiempo era una magnitud absoluta. La últim a sección de la parte I, la sección 5, se titula «La composi­ ción de velocidades», y en ella se deduce la ley relativista de suma de velocidades - v± y _ 1 + (vtu/c2)

(4.2)

que sustituye a la newtoniana (v + tu), a la que converge cuando c —· oo. También demuestra aquí Einstein que las transformaciones de Lorentz forman grupo. Ya he explicado que esto no ocurría en la teoría de Lorentz. En la parte II del artículo Einstein aplica la cinemática desarrollada en la parte I a la electrodinámica. Comienza con la sección 6, titulada

«Transformación de las ecuaciones de Maxwell-Hertz para el espacio vacío. Sobre la naturaleza de las fuerzas electromotrices que aparecen en un campo magnético durante el movimiento». El mismo título nos indica que Einstein no pierde un momento para, una vez en la discu­ sión propiamente electromagnética, tratar de eliminar la asimetría que había mencionado en la introducción. Para ello tom a las ecuaciones (3.15) —ecuaciones de Maxwell en el vacío— , y las considera axiomá­ ticas. Entonces exige que sean compatibles con los dos axiomas de la relatividad especial (requisito de covariancia). Esto le permite deducir nuevas leyes de la física: la relatividad de las cantidades del campo electromagnético, lo que, con otras palabras y fijándonos en un caso particular, quiere decir que no existe la distinción absoluta que la teoría de Maxwell-Lorentz imponía entre campo eléctrico y campo magnético; ambos campos son «intercambiables» dependiendo del es­ tado de movimiento. Quedaba claro para Einstein que «la asimetría mencionada en la introducción y que surgía cuando consideramos las corrientes producidas por el movimiento relativo entre un imán y un conductor, ahora desaparece» (pág. 55). En la sección 7 («Teoría del principio Doppler y de la aberración») Einstein utiliza los resultados de la sección anterior y de su cinemática para dar una teoría exacta del efecto Doppler óptico y de la aberración estelar, problemas, especialmente el último como ya vimos, que habían existido desde el siglo XVIII. Una de las virtudes (aparte de su carácter exacto) del planteamiento de Einstein es que no necesita, co­ mo ocurría en el caso de la teoría de Lorentz, recurrir a explicaciones dinámicas diferentes, según que el efecto se observe en un sistema geo­ céntrico o en uno anclado en el sistema del éter. La sección 8 se titula «Tranformación de la energía de los rayos de luz. Teoría de la presión que la radiación ejerce sobre reflectores per­ fectos» y en ella Einstein conecta —aún sin hacer referencia a ellos— con resultados que había obtenido poco antes en su artículo «Un pun­ to de vista heurístico...» (Einstein 1905a). Demuestra que el cociente entre la energía y la frecuencia de un «complejo de luz» (un pulso de luz) es invariante (una constante), señalando (pág. 58) que «es notable que la energía y la frecuencia de un complejo de luz varíen con el estado de movimiento del observador según la misma ley.» Y en efecto, era muy notable, como no ha podido dejar de exclamar Miller (1979, pág. 105), ya que lo que Einstein estaba haciendo era confirmar de una manera independiente uno de los principales resul­ tados de «Un punto de vista heurístico...», es decir, E = hv

(la constante a la que se refería Einstein es, pues, la constante de Planck). Este punto de contacto entre la relatividad especial y la teoría cuántica de la radiación no hace sino reafirmar la opinión que defen­ deré —aunque brevemente— en el capítulo 7, sección 2, según la cual ambas teorías formaban parte o respondían en la m ente de Einstein a un programa básico com ún. El resto de la sección 8 está dedicado a resolver en forma exacta dos viejos problemas·, la reflexión de la luz en un espejo perfectamente reflectante que está en movimiento y la presión que la luz ejerce sobre un espejo que se mueve. Ambos problemas eran fundamentales para la termodinámica de la radiación y Einstein, que estaba trabajando en este campo y que más adelante utilizaría dichos resultados en varias ocasiones, lo sabía muy bien. Hay que señalar, sin embargo, que estos problemas tam bién se podían resolver de forma exacta —como Abraham (1904) demostró en 1904— utilizando la teoría de Lorentz. El último párrafo de la sección 8 refleja la confianza de Einstein en sus ideas (pag. 59):

«Todos los problemas de la óptica de los cuerpos en movimiento se pueden re­ solver por el método empleado aquí. Lo que es esencial es transformar las fuer­ zas eléctricas y magnéticas de la luz que es inñuenciada por el cuerpo en movi­ miento, a un sistema de coordenadas en reposo con respecto a dicho cuerpo. Mediante este procedimiento todos los problemas de la óptica de cuerpos en movimiento se reducirán a una serie de problemas en la óptica de los cuerpos estacionarios.»

La sección 9 («Transformaciones de las ecuaciones de MaxwellHertz cuando se toman en cuenta corrientes de convección») analiza las ecuaciones de Maxwell en el caso en que existan fuentes —ecuaciones (3.2)— . La conclusión más importante es que (pág. 60): «Los fundamentos electrodinámicos de la teoría de Lorentz para la electrodiná­ mica de cuerpos en movimiento están de acuerdo con el principio de relativi­ dad». Llegamos así a la última sección, la 10, titulada «Dinámica del electrón acelerado débilmente», donde Einstein tom a la segunda ley de Newton en su forma habitual como axiomáticamente válida. El procedimiento que sigue Einstein es el siguiente: Sea un electrón de carga e en reposo en el sistema de referencia K, en el instante t^. Co­ mo está en reposo sólo le afectará un campo eléctrico exterior, E , así

que en un instante posterior, (peto cercano a t 0), el electrón estará en movimiento, siendo las ecuaciones de movimiento ¿i'2*

_

** ~dír

~

. p

f»o

= e Ey

(4.3)

m 0 —-rd t2 Es im portante destacar que Einstein se refiere (pág. 61) a m„ como a «la masa del electrón en tanto que su movimiento es lento». Era, ob­ viamente, consciente de que para velocidades grandes se hace aparente el que la dinámica relativista implica la no constancia de la masa. El siguiente paso es suponer que en el instante t = 0 el electrón se mueve con velocidad v con relación a K. Para encontrar las correspon­ dientes ecuaciones de movimiento lo mejor es entonces tomar un nuevo sistema de referencia, i , que se mueve con velocidad f con re­ lación a K; es decir, es un sistema en el que el electrón está m om entá­ neamente en reposo en / = 0. Utilizando las ecuaciones de transfor­ mación relativista obtenidas antes y exigiendo que (4.3) mantenga su forma en k, Einstein obtiene (pag. 62); 2x m0y* 3 -d-jy - e tpx a tc

tn
=ey

(Ey -

m,y2 É L ·

= «y

(E.

d t2

dr

— B,) c

(4.4)

+ -L By), c

donde y ■ ( l — i f l c 2) —1/2. Al llegar a este punto Einstein señala que (pág. 63) «si llamamos a esta fuerza simplemente “ la fuerza que actúa sobre el electrón” y mantenemos la ecuación —masa x aceleración = fuerza— y si además decidimos que las aceleraciones se deben medir en el sistema estacionario K, [entonces] obtenemos de las ecuaciones anteriores» la masa longitudinal, m L, y la transversal, m T = L

m° (l — t^/c2)3'2

T = ( l - v 2/ * )

No obstante, existía un punto delicado que afectaba a la definición de la fuerza que actúa sobre el electrón en el sistema K : en lugar de to ­ mar como fuerza | eEx, e y ( E y - ±

& ), n ( £ + JL £ y) J

(4.6)

como en (4.4), se podía tomar \e h L 7

± ( E y - 2 L & ), ± ( E . + - L b , ) 1 7 c 7 c J

,

(4.7)

posibilidad que el propio Einstein señalaba (pág. 62). En la práctica había infinitas posibilidades y cada una condicionaba la definición de la masa del electrón si se insiste en el esquema «masa x aceleración = fuerza». De hecho la elección de Einstein no había sido afortunada. Un año más tarde Max Planck (1906) demostraría que para establecer una mecánica correcta hay que tomar como fuerza [eE x, e (E, - -L B ,), e (£, + -L B ,)]

(4.8)

en lugar de (4.6) ó (4.7). De esta manera se sigue obteniendo la mis­ ma masa longitudinal que deducía Einstein (ec. (4.5)) pero la transver­ sal pasa a ser

(4-9^

m r = (1 —t'2/c2)1/2

Se tenían así resultados que coincidían con los que había obtenido Lorentz en 1904“ . 22 Ver las ecuaciones (3.22) del capítulo 3. Naturalmente, para que las predicciones

2 é1

de Einstein yde Lorentz coincidan hay que suponer en (3.22) que m„ = ■---------pero 3 Re2 esto es consistente con la visión electromagnética de la naturaleza que tenía Lorentz. En su artículo de 1906, Planck también observó que al tomar como fuerza (4.8) se podía escribir T t [ ( l - X ' ) 1'2] ’

(4 l0)

a la que corresponde el lagrangiano (de panícula libre) L » —m j? V l - r 2/ ^ (Comose sabe, estos son resultados que aparecen hoy en díaen todo libro de texto).

(4.11)

Continuando con el trabajo de Einstein, hay que señalar que en la sección 10, se calcula la única integral de todo el artículo para obtener así la energía cinética de un electrón en un campo electrostático exter­ no. El resultado al que se llega es (4.12) e implica ya la famosa equivalencia entre masa y energía, E = me1, pero de esto Einstein no se daría cuenta aparentem ente hasta poco después, cuando escribió su no menos famoso artículo «¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?» (Einstein 1905c). Como punto final a su artículo, Einstein enumeraba tres posibles experimentos relativos al movimiento de un electrón, detallando las fórmulas a que obedecían. En opinión de Miller (1979, pág. 107) estos experimentos superaban con mucho las posibilidades técnicas de los experimentalistas de entonces. Como en tantas cosas el creador de la relatividad se adelantaba a su época. Es interesante señalar que Eins­ tein podría muy bien haber añadido un cuarto experimento a su lista: su predicción para la masa transversal del electrón —ecuación (4.5)— . Si no lo hizo así pudo ser porque no estaba de acuerdo con los datos experimentales que conocía, los de K aufm ann23. La fe de Einstein en la sencillez y profundidad de su teoría era tal que podía muy bien so­ portar, e incluso ignorar, algunos resultados adversos. Einstein concluía su artículo agradeciendo' «la leal ayuda de mi amigo y colega M. Besso» al que tam bién debía «varias valiosas suge­ rencias» (pág. 65). Es reconfortante para todos aquellos que miran con suspicacia al poder establecido, encontrar ejemplos como éste en la historia de la ciencia, en el que un «outsider» ayudado por un «ama­ teur» escribe un artículo autocontenido sin referencia alguna a otros trabajos, y que a la postre cambiaría el rumbo de la física y hasta cier­ to punto también de la cultura del siglo XX.

25 Ver sección 4 del capítulo 3.

Capítulo 5 APROXIMACION HISTORICO-CRITICA A LA CUESTION DE LA RECEPCION E INTERPRETACION DADAS A LA RELATIVIDAD ESPECIAL

1.

Introducción

En este capítulo me voy a ocupar de dos temas que no sólo son im ­ portantes sino que, además, están interrelacionados en gran medida. Son la recepción que la comunidad científica dio a la relatividad espe­ cial y el cómo fue esta interpretada (fijándonos principalmente en los años inmediatamente posteriores a 1905). En lo que a la recepción se refiere será muy interesante comprobar las grandes diferencias que existieron entre diferentes países (por ejemplo, Gran Bretaña y Alema­ nia para citar dos casos extremos). Este hecho añade una dimensión «externalista» muy atractiva al estudio de la historia de la relatividad especial, en tanto que demuestra claramente que la opinión según la cual las ciencias —la física en particular— son unas construcciones h u ­ manas que no conocen fronteras (¡la verdad es Una y sólo Una!) es, si no se la matiza, totalmente falsa, uno de los muchos mitos que rodean su imagen. La ciencia no es un proceso interno, con unas reglas y una dinámica en donde únicamente intervienen los conceptos y entes que pueblan sus teorías; lo mismo que existen caracteres, tradiciones o ar­ quetipos que determinan la idiosincrasia de una nación o colectividad, existen muchas veces «modos o tradiciones de pensar» nacionales, co­ mo se demuestra con extrema claridad en el caso de Gran Bretaña.

En lo que se refiere al segundo de los temas que he mencionado veremos también cómo en la ciencia las interpretaciones que se dan a una teoría no sólo tienen que ver con ésta sino también con el conjun­ to de las teorías que existen en la época, más las expectativas o filosofías —en un sentido amplio— dominantes por entonces. 2. La respuesta a la relatividad especial en Francia, Estados Unidos y Gran Bretaña Aún siendo diferente en cada caso, la recepción que los físicos de Francia, Estados Unidos y Gran Bretaña dieron a la teoría de Einstein fue en general bastante negativa. Comencemos por Francia1, donde la respuesta fue muy pequeña, singular en realidad. Unicamente Paul Langevin apreció2, ya en 1906, el valor de la teoría de la relatividad especial, en la que reconocía además una extensión de algunos de sus propios trabajos sobre la dinámica del electrón. En su curso en el College de France, Langevin enseñó la relatividad especial. Entre los oyentes se encontraban3 Bauer, Jean Becquerel, Emile Borel, Jacques Hadamard y Elie Cartan, la mayoría de los cuales contribuirían4, años más tarde, al desarrollo o difusión de la relatividad. Por lo que se refiere al resto de los científicos franceses, tenemos que es extremadamente difícil encontrar mención alguna al nombre de Einstein. Sólo sería hacia 1919, y debido a la popularidad de la relati­ vidad general, cuando la situación comenzó a cambiar. Varias son las posibles explicaciones a este hecho. En primer lugar se encuentra el que durante el período de 1905 a 1912 la figura más destacada que trabajaba en electrodinámica en Francia era Henri Poincaré, quien nunca se refirió a Einstein en este contexto. Por lo que sabemos sólo cabe suponer que Poincaré —que sin duda leyó el artículo de 1905— debió de considerar el trabajo de Einstein como incluido en sus pro­ pias contribuciones. Aparentemente fue la influencia ejercida por Poincaré lo que justifica en parte la falta de atención que la relatividad especial encontró en Francia. Otro de los posibles motivos es de orden 1 Para conocer más detalles, consúltese Langevin y Paty (1979) y Biezunski (1982). 2 En realidad en aquella época Langevin no sabía alemán. Fue su asistente, Edmond Bauer, el que le tradujo el trabajo de Einstein. 3 Ver Biezunski (1982, pág. 593). 4 Becquerel sería más tarde el autor de uno de los primeros libros de texto franceses sobre la relatividad general; Borel escribiría un conocido libro sobre el espacio y el tiem­ po relativistas; Hadamard tendría una cierta relación con Einstein con motivo de su in­ vestigación sobre la psicología del descubrimiento en matemáticas; Cartan mantendría durante años una intensa correspondencia con Einstein sobre temas afines a la relativi­ dad general, siendo además uno de los principales artífices del desarrollo matemático de esta teoría.

político: los conflictos entre Alemania y Francia que desembocarían en 1914 en la Primera Guerra Mundial, con la subsiguiente ruptura total de relaciones entre ambos países5. De hecho, Langevin invitó a Einstein a visitar París en 1914, pero la declaración de guerra impidió que tal visita tuviese lugar. Por lo que se refiere a Estados Unidos la situación no fue muy dife­ rente a la de Francia. La excepción a la pauta general fue debida en el caso americano al trabajo del químico-físico Gilbert N . Lewis y del físico-matemático Richard C. Tolman, quienes en 1909 (Lewis y Tolman 1909) publicaron una exposición muy original de la teoría de Einstein a la que tendré ocasión de referirme más adelante. Ahora bien, Lewis y Tolman prestaron sobre todo atención a los aspectos prácticos de la teoría. La principal diferencia entre ellos y la mayoría de sus colegas en los Estados Unidos residía en que al contrario que estos últimos, consideraban a la relatividad especial como práctica y basada en postulados demostrados experimentalmente. Más mayoritaria era la opinión representada por W . F. Magie, profesor de física en la Universidad de Princeton, quien en su «Presidential Address» a la American Association fo r the Advancement o f Science pronunciada el 28 de diciembre de 1911, decía (Magie 1912): «El desarrollo del principio de la relatividad nos impulsa hoy a examinar de nuevo los fundamentos de nuestro pensamiento en relación a estos dos concep­ tos primarios [espacio y tiempo]... El principio de la relatividad, en esta su forma metafísica, pretende ser ca­ paz de abandonar la hipótesis de un éter... [M]e aventuro a decir que, en mi opinión, el abandono de la hipótesis de un éter en el momento presente cons­ tituye un importante y serio paso atrás en el desarrollo de la física especulativa... Una descripción de los fenómenos en función de cuatro dimensiones en el espacio sería, para mí, insatisfactoria como explicación, porque por mucho que estimulara mi imaginación nunca podría convencerme a mi mismo de la reali­ dad de una cuarta dimensión... No creo que exista algún hombre viviente que pueda afirmar justificadamen­ te que él puede concebir que el tiempo es una función de la velocidad o que quiera apostar por la convicción de que su “ ahora” es el “futuro” de otro hombre, o, más aún, el “pasado” de [un tercero].» Pasamos así al caso de Gran Bretaña, que ha sido estudiado con gran autoridad por Stanley Goldberg (1970). Sin entrar en los detalles que discute Goldberg diré que la respuesta británica se debe entender —cuando existió— como una reacción de defensa ante lo que conside5 Como ha demostrado Brigitte Schroeder-Gudehus (1978), los científicos franceses fueron especialmente beligerantes durante y después de la guerra, en lo que se refiere a la reanudación de intercambios con sus colegas alemanes.

raban —muy adecuadamente— como un ataque a un concepto sobre el que pivotaba toda la física británica: el éter. Para hacerse una idea del apego de los físicos británicos al concepto de éter basta con ofrecer una cita de un prom inente miembro de la co­ m unidad británica de físicos, Oliver Lodge, quien escribía unas dra­ máticas frases (que por su belleza transcribiré en inglés) en el prefacio de un libro en el que pretendía resumir su filosofía. Escribía allí Lodge (1933) «The Ether of Space has been my life study, and I have constantly urged its claims to attention. I have lived through the time of Lord Kelvin with his mechanical models of an ether, down to the day when the universe by some physicists seems resolved into mathematics, and the idea of an ether is by them considered superfluous, if not contemptible^. I always meant some day to write a scientific treatise about the Ether of Space; but when in my old age I came to write this book, I found that the Ether pervaded all my ideas, both of this world and the next. I could no longer keep my treatise within the propo­ sed scientific confines; it escaped in every direction, and now I find has grown into a comprehensive statement of my philosophy.» Tal vez alguien piense que estoy forzando demasiado la situación, que Lodge no puede ser representativo, que ningún científico «serio» puede escribir frases como las anteriores. Al que piense así, le reco­ miendo no ya el repasar la historia de la física en el Reino Unido (piénsese en Newton y su famosa carta a Richard Bentley, o en lo que significó el modelo óptico ondulatorio de Thomas Young, por no hablar de Lord Kelvin y sus modelos mecánicos) sino simplemente el leer la autobiografía — Recollections a n d Reflections1— de un físico tan respetado (premio Nobel) como J. J. Thomson. Verá allí el lector escéptico cómo los físicos británicos de finales del siglo XIX y princi­ pios del XX no sólo fueron educados dentro de una tradición que daba enorme importancia a la componente visual-mecanicista (y el éter para ellos tenía esas características) sino que también estaban enormemente preocupados por problemas como, por ejemplo, la percepción extrasensorial (m edium s, etc.) que encajaban —en el sentido de Lodge— perfectamente con el éter. Pero tampoco debe creerse que la física victoriana era esencialmente metafísica —en el sentido más dudoso de es­ ta acepción— todo lo contrario, no hay más que recordar lo que aquella física cimentada en el éter consiguió en las manos de Lord Kel­ vin, Larmor, Cunningham , Jeans o J. J. Thomson, por citar unos po­ cos. Dije antes que «la respuesta británica» a la relatividad especial «se 6 Una clara alusión a Einstein. 7 Thomson (1936).

debe entender —cuando existió— como una reacción de defensa» y no debe pasar desapercibido el «cuando existió» ya que, salvo alguna ex­ cepción aislada, los físicos británicos no conocían la teoría de Einstein, si acaso sabían de su existencia, pero en absoluto de sus detalles. Tan tarde como 1923, N. R. Campbell (1923) escribía que el físico británi­ co medio era «todavía ignorante del trabajo de Einstein y no dem a­ siado interesado en él. Físicos de gran habilidad que se avergonzarían de'adm itir que existiese alguna otra rama de la física que escapase a sus capacidades, confesaran alegremente su completa incapacidad para entender la relatividad». Lo que les interesaba era su éter al que J. J. Thomson en su «Presidential Address» a la British Association fo r the Advance o f Science reunida en W innipeg en 1909, se refería diciendo (Thomson 1909, pág. 778). «El éter no es una creación fantástica del filósofo especulativo; es tan esencial para nosotros como el aire que respiramos... [Es el] asiento de las fuerzas eléctricas y magnéticas... [y el] banco en el que podemos depositar energía y extraerla según nos convenga.» Además hay que tener en cuenta, para explicarse la postura británica, la dirección que Rutherford y su escuela experimental dieron a la física. Junto al éter, sería la física atómica la que llenaría las primeras décadas del siglo XX para los físicos V ic to ria n o s.

3-

La respuesta a la relatividad especial en Alemania

La recepción que la teoría de la relatividad especial encontró en Alemania fue totalm ente opuesta a la dada en Gran Bretaña, Francia y Estados Unidos. Así, entre 1905 y 1911, la teoría de Einstein fue, en mayor o menor grado, discutida, analizada y desarrollada por los físicos alemanes. Sin duda que no siempre fue aceptada o interpretada correctamente (discutiré estas cuestiones inmediatamente), pero no puede dudarse que se la prestó bastante atención. Más aún, sin el es­ fuerzo y colaboración de Max Planck, principalmente, y de Max von Laue y Jakob Laub es muy posible que el establecimiento definitivo de la relatividad especial se hubiese demorado un buen número de años. En efecto, Planck, ya entonces catedrático en Berlín y una figura pro­ m inente en la física alemana, fue posiblemente el primero en recono­ cer el alcance y profundo significado de la relatividad especial ya que era uno de los editores del Annalen der Physik a donde Einstein envió su trabajo. Por razones no sólo científicas sino tam bién de orden filo­ sófico (volveré a esto más adelante), Planck se convirtió en un ardiente defensor de las ideas de Einstein. En este sentido, cuando Kaufmann

(1906) sometió —en 1906— a la relatividad especial a la prueba de una comparación con sus resultados experimentales sobre los cambios que sufría la masa de un electrón acelerado, llegando a conclusiones que no favorecían a la teoría de Einstein, ni, en consecuencia a Lorentz, pero sí a la formulación de Max Abraham, Planck se aprestó in ­ mediatamente a su defensa. Poco después, en septiembre de 1906, presentaba una comunicación en la reunión de la Sociedad de científicos de la naturaleza y médicos alemanes, reunida en Stuttgart, donde demostraba (Planck 1906) que la relatividad especial también proporcionaba resultados consistentes con las medidas de Kaufmann si se corregía un error cometido por Einstein en su artículo de 1905 al ge­ neralizar la segunda ley de movimiento de Newton8. Otro servicio —aunque indirecto— que la relatividad especial debe a Planck fue el atraer para su «causa» a un joven y brillante físico, Max von Laue. Esto sucedió como consecuencia de una conferencia que Planck dio en Berlín durante el otoño de 1905, en la que exponía la teoría de Einstein (nótese la prontitud con que Planck «divulgaba» la relatividad especial). Asistía a la conferencia von Laue, entonces asis­ tente de Planck, y quedó tan impresionado9 por lo que allí oyó que empleó sus siguientes vacaciones en visitar al por aquella época todavía desconocido Einstein. Al margen de unas contribuciones específicas a la relatividad especial, se debe a von Laue el primer libro dedicado íntegramente a esta teoría — Das R elativitatsprinzip (von Laue 1911)— con lo que contribuyó de forma destacada a la difusión y comprensión de la teoría de Einstein. Por lo que se refiere a Laub10 sabemos que tomó contacto con la relatividad especial poco después de que fuese publicada y lo hizo a instancias de Wilhem Wien —su director de tesis en W ürzburg— , quien al tener noticia del trabajo de Einstein —era, como Planck, edi-

8 Para estas cuestiones ver Goldberg (1977, sección 2) y Cushing (1981). Hay que se­ ñalar que en la discusión que siguió a la lectura de su comunicación, Planck, aún siendo presionado por Kaufmann, Abraham y Bucherer, se negó a decidir a qué teoría —la de Einstein, la de Abraham o la de Bucherer— favorecían las medidas de Kaufmann. En su opinión, los resultados experimentales no permitían tal decisión. Sólo llegó a afirmar que consideraba la base electromagnética de la teoría de Abraham tan postulado como el axioma de Einstein sobre la imposibilidad de detectar el movimiento absoluto, añadien­ do que él prefería el postulado de relatividad. Finalmente, hacia 1908 Bucherer —que ya había abandonado entonces su propio modelo de electrón— comenzó a sospechar de ¡a fiabilidad de los trabajos de Kaufmann, y mediante una serie de cuidadosas medidas (Bucherer 1909) demostró que la experiencia favorecía a la teoría de Einstein-Lorentz. 9 Años más tarde, el 23 de octubre de 1959, von Laue escribía a Margot Einstein de­ ciéndola que, con la publicación en 1905 del artículo que contenía la relatividad espe­ cial, «lenta pero firmemente un nuevo mundo se abrió ante mí». 10 Sobre Laub y Einstein, ver Pyenson (1976).

tor de los Annalen— , advirtió su posible interés11, por lo que encargó a Laub que preparase un seminario sobre el tema. A partir de entonces Laub se concentró en investigar problemas relativistas, entrando ade­ más en contacto con Einstein con quien escribiría dos artículos (Einstein y Laub 1908a, 1908b) los primeros que Einstein escribió en cola­ boración. El punto culminante de la dedicación de Laub a la relativi­ dad especial fiie un largo artículo publicado en 1910 (Laub 1910) en el que discutía las bases experimentales de esta teoría. Fue este el primer artículo de recopilación publicado sobre el tema y, como en el caso del libro de von Laue aunque tal vez en menor grado, contribuyó sustan­ cialmente a la difusión de la teoría de Einstein. A pesar de que no fuese un físico de la talla de Planck o incluso de von Laue, no se debe minimizar el papel que desempeñó Laub en la difusión de la relativi­ dad especial. Como en el caso de Freundlich con la relatividad gene­ ral , Laub fue un luchador temprano e incansable defendiendo la rela­ tividad. Pero además, y como ha señalado Pyenson (1976, pág. 99), Laub tenía las relaciones suficientes como para servir de vehículo de transmisión de información de Einstein a la comunidad científica centroeuropea12 y viceversa. Con lo dicho hasta aquí he cubierto —de forma tremendamente esquemática— una faceta del tema de la recepción a la relatividad es­ pecial en Alemania, el que corresponde a sus máximos difusores y de­ fensores. Ahora bien, es evidente que algo tan complejo como la reac­ ción de una comunidad científica ante una teoría —más aún si ésta es radicalmente innovadora— no se puede restringir a sólo ese aspecto. Por consiguiente voy a intentar ampliar la visión de la susodicha recep­ ción y lo voy a hacer uniendo esta cuestión con la de cómo fue in ­ terpretada la teoría de Einstein. Distinguiremos tres apartados: los que captaron su significado de «teoría de principios» (utilizando la expre­ sión de Einstein), de cinemática previa a cualquier dinámica específica y aquí hay que citar sobre todo al propio Einstein, a Planck, Klein y Minkowski; los que la consideraron como una mera parte de la electro­ dinámica y, por último, los que creyeron que era una teoría que favorecía la visión mecanicista de la naturaleza. Empezaré discutiendo el segundo caso. 3.a.

Relatividad electromagnética

Se puede decir casi con seguridad absoluta que a finales del si­ glo XIX la rama de la física a la que se dedicaba un mayor esfuerzo era 11 No obstante Wien permaneció escéptico con respecto a la validez de la relatividad especial hasta 1909. 12 Mis tarde hacia Sudamérica, Argentina en particular, a donde Laub emigraría.

el electromagnetismo (o electrodinámica como ya se le empezaba a de­ nominar entonces). Las razones de que esto ocurriese así fueron no só­ lo de orden interno (los grandes avances de Faraday, Maxwell y Hertz, entre otros) sino también tecnológico (las evidentes aplicaciones prácti­ cas de esta disciplina; por ejemplo, la telegrafía sin hilos y la bombilla incandescente). La dinámica natural de estos esfuerzos condujo, como hemos visto, a principios del siglo XX, a lo que se denominó «visión electromagnética de la naturaleza». La influencia que esta «filosofía» ejerció en la comunidad científica (especialmente en Alemania) es algo que, por razones de espacio, no puedo discutir aquí, pero baste decir que fue muy grande13. Marcó una línea, un programa de investigación científica, que penetró gran parte del pensar científico en física durante —al menos— la primera década del siglo. Hasta entonces había sido la visión mecanicista —para la cual los constituyentes últimos de la reali­ dad eran partículas, o distribuciones continuas de materia, dotadas de masa inercial y que se movían de acuerdo con las leyes de la mecánica newtoniana— la que había dominado. Frente a ella, la visión electro­ magnética afirmaba que las únicas realidades físicas eran el éter electromagnético y las partículas cargadas, así como el que todas las le­ yes (mecánicas o no) eran reducibles a propiedades del éter, propieda­ des que venían definidas por las ecuaciones maxwellianas del campo electromagnético. Una versión más sencilla y al mismo tiempo más ra­ dical de la visión electromagnética defendía la idea de que las partículas eléctricas eran meras estructuras del éter, que así aparecía co­ mo la única realidad física. Es importante darse cuenta de que la visión electromagnética de la naturaleza representaba una declaración programática en física, pedía la concentración de esfuerzos en aquellos problemas (por ejemplo, la explicación de la masa inercial como puramente electromagnética) cuya solución contribuyese a consolidar una física basada únicamente en le­ yes y conceptos electromagnéticos. La electrodinámica de Maxwell, completada con la teoría del electrón de Lorentz, fue instrumental en el desarrollo de esta concepción de la naturaleza, en el sentido de que la originó, proporcionándola al mismo tiempo el necesario formalismo analítico. Fue en esta época, dominada en gran parte por la visión electro­ magnética, cuando Einstein desarrolló y presentó la teoría de la relati­ vidad especial. No nos debe extrañar, por consiguiente, que indepen­ dientemente de cual sea su significado intrínseco, este contexto históri­ co afectase profundamente la forma en que parte —una parte impor­ tante habría que añadir— de la comunidad científica recibió e in-

15 Ya hemos ido viendo en capítulos anteriores algunos aspectos de esta influencia.

terprctó la teoría. En este sentido dedicaré el resto de esta sección a presentar algunos de los argumentos utilizados durante los primeros años de existencia de la relatividad especial (¡y aún mucho después!) por un número significativo de físicos, para los cuales esta teoría era un mero capítulo de la electrodinámica. En primer lugar hay que señalar que durante varios años después de 1905, era muy común entre los físicos el no distinguir entre la teoría de Maxwell-Lorentz y la relatividad de Einstein. Este fue el caso —durante algunos años— de Lorentz14. El mismo Minkowski, aunque reconoció algunas de las contribuciones de Einstein, creía aparente­ mente que este no había sido capaz de emanciparse totalmente de Lo­ rentz. En este sentido se puede tomar la siguiente cita15 (Minkowski 1908) «H. A. Lorentz encontró el teorema de la relatividad y creó el postulado de re­ latividad como una hipótesis de que los electrones y la materia experimentan, como consecuencia del movimiento, contracciones de acuerdo a dicha ley. A. Einstein precisó la expresión en el sentido de que este postulado no es 'Una hipótesis arbitraria, sino que más bien constituye el fenómeno de un nuevo, más refinado entendimiento del tiempo. El principio de relatividad en mi sentido, no ha sido formulado hasta ahora para la electrodinámica de cuerpos en movimiento. En el presente trabajo, des­ pués de formular este principio, lo utilizo para obtener las ecuaciones funda­ mentales de los cuerpos en movimiento, en una forma completamente clara. Se demostrará así que ninguna de las formas que estas ecuaciones han tomado verifican en forma precisa este principio.» El origen de la incapacidad que experimentaban muchos físicos pa­ ra distinguir entre las teorías de Lorentz y de Einstein se puede captar claramente a través de unas palabras que, aunque con una intención muy distinta, Max Abraham escribió en 1914. Decía el polémico físico alemán (Abraham 1914) «[Al fin y al cabo, los enunciados] contenidos en ambas teorías son idénticos en líneas generales. Considerados desde el punto de vista de un observador que no participa del movimiento del sistema, las reglas de medir distancias de Einstein reflejan las contracciones de Lorentz y los relojes de aquel los tiempos locales de éste. La dinámica relativista coincide plenamente con la de Lorentz.» Un ejemplo extremo —en cuanto a número de años transcurridos desde 1905— fue E. W hittaker quien en el volumen segundo, publi-

14 Volveré al caso de Lorentz más adelante. 15 Nótese la distinción que hace Minkowski entre las expresiones «postulado» y «principio*.

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El origen y desarrollo de la relatividad

i cado en 1953, de su monumental A History o f the Theories o f A ether and Electricity (W hittaker 1953) puso por titulo a uno de sus capítulos (el segundo) «The Relativity Theory of Poincaré and Lorentz». Otro de los argumentos utilizados con mucha frecuencia para n e­ gar a la relatividad especial un status independiente de la electrodiná­ mica clásica hace referencia a uno de los dos postulados en que Einstein fundamentó su teoría. El argumento era el de que el segundo postulado (el de la constancia de la velocidad de la luz) sólo se podía entender en conexión con la teoría de Maxwell en tanto que elevaba a la categoría de postulado un resultado de aquella teoría. Así Abraham (1914) escribía «Muchos seguidores de la teoría de la relatividad concluyen a partir del primer postulado que un medio que llena el espacio, un “éter", no es necesario... E¿ segundo postulado, el de la constancia de la velocidad de la luz, no puede en­ tenderse propiamente sin referencia a la teoría ondulatoria... El segundo pos­ tulado da fe de cómo la relatividad desciende de la teoría de campos... Los re­ lativistas radicales, los enemigos del éter, querrían negar tal origen.» (Las cursi­ vas son mías). Nos enfrentamos aquí con una línea de argumentación que parece distinguir bastante bien entre Lorentz y Einstein pero que, en definiti­ va, niega la posibilidad de otorgar un sentido a la relatividad especial como una teoría al margen del electromagnetismo. No comprendían qifé la teoría de Einstein es una cinemática, una especie de requisito geométrico que debe satisfacer toda teoría (dinámica), independiente­ mente de su contenido específico (termodinámica, electromagnetismo, interacción fuerte, etc.). De hecho y esto es importante señalarlo, este argumento se ha venido repitiendo hasta el presente. Un magnífico ejemplo en este sentido es el del filósofo-físico Mario Bunge quien, al referirse a la electrodinámica de Wheeler-Feynman en la que utilizan­ do acciones a distancia en Tugar de campos se recuperan en principio toddS los resultados físicos de la electrodinámica de Maxwell-Lorentz, escribe (Bunge 1967). «Sin duda, la teoría hace uso de la relatividad especial... pero es inconsistente con ella ya que la relatividad especial toma prestada [del electromagnetismo clásico] la suposición de que las señales electromagnéticas se propagan en el vacío con una velocidad constante c y además llevan una existencia que, mientras dura, es independiente del emisor y del receptor. En otras palabras, al negar la existencia [ya que es una teoría de acción a distancia] de campos de radiación libres que se propagan en el espacio, la formulación de acción a dis­ tancia del [electromagnetismo clásico] contradice su propia base: es lógicamen­ te inconsistente.»

Aquí Bunge está diciendo mucho más que Abraham. No sólo une de forma prácticamente indisoluble relatividad y electrodinámica a través del segundo postulado, sino que además conecta esto con el hecho de que la electrodinámica de Maxwell es una teoría de campos. Sólo los campos son compatibles con la relatividad especial, está afirmando Bunge. En otro lugar (Sánchez Ron 1978, 1982), discutí lo erróneo y pernicioso de esta opinión, ahora sólo quiero decir que esta asociación de campos con la relatividad especial, en el sentido de que «toda teoría relativista es una teoría de campos» es una creencia extendida no sólo entre los físicos sino también entre filósofos, hasta el punto de que aún hoy en día es muy difícil encontrar escrito el que esta afirma­ ción es totalmente falsa. Para terminar esta subsección quiero mencionar, aunque sea breve­ m ente, los siguientes puntos: 1) La interpretación electromagnética dada a la relatividad especial se vio favorecida por la dirección que Klein imprimió a la investigación física en la universidad de Gotinga. Como se puede ver en el apéndice B, a partir de 1894 la organización institucional en Gotinga sufrió —impulsada por Klein— una serie de transformaciones en el sentido de prestar más atención a la física técnica. Naturalmente dentro de es­ te campo una rama muy destacada era el electromagnetismo que de esta manera vio su ya sólida posición tremendamente reforzada. En Gotinga se discutió continuamente la teoría del electrón de Lorentz y fue a través de ella, por ejemplo, como Minkowski elaboró su contri­ bución a la relatividad especial y como Hilbert llegó a las ecuaciones de campo de la relatividad general16. Todo esto independientemente de que hombres como Klein o incluso Minkowski no cometiesen el error de interpretar electromagnéticamente la relatividad. La influencia y prestigio de que gozaban en Alemania los matemáticos y físicos de Gotinga hizo que esta tendencia en principio local, se transmitiese a otros lugares. 2) A pesar de que se cometiese un error interpretando electromag­ néticamente la relatividad especial, hay que reconocer que los defenso­ res de esta opinión podían esgrimir algunos argumentos que si no defendían su postura sí, al menos, la justificaban un poco. Entre estos argumentos hay que señalar que durante muchos años todos los expe­ rimentos que se podían mencionar para apoyar la teoría de Eirtstein in ­ volucraban fenómenos electromagnéticos. Ni en el libro de von Laue (1911) ni en los trabajos de Planck, Laub u otros se podía encontrar un experimento puramente mecánico, por ejemplo. 3) Como último punto que demuestra lo extendido de la interpre­ tación electromagnética, mencionaré que, al menos hasta 1911, po16 Ver capítulo 12, sección 4.

siblemente la mayoría de los artículos referentes a la relatividad espe­ cial aparecían incluidos en el Fortschritte der Physik17 bajo la rúbrica «electrodinámica»18. 3- b.

Relatividad mecánica

Junto a aquellos que interpretaron electromagnéticamente la relati­ vidad especial, existió otro grupo importante que aún sin distinguirla claramente del programa de Lorentz vio en la teoría de Einstein una componente mecanicista que la ponía en oposición a la visión electro­ magnética de la naturaleza. Así, por ejemplo, durante la discusión que siguió a la comunicación que Planck presentó durante la reunión en 1906 de la Sociedad de científicos de la naturaleza y médicos ale­ manes, a la que ya me referí antes, Arnold Sommerfeld sugería que los físicos menores de cuarenta años preferirían el «postulado electrodi­ námico», mientras que los mayores de cuarenta se inclinarían por el «postulado mecánico-relativista»19. Es fácil ver el matiz un tanto des­ pectivo de la alusión de Sommerfeld, para quien la teoría de Einstein (y hasta cierto punto tam bién la de Lorentz, puesto que prefería la de Abraham) significaba un claro retroceso en el desarrollo de la física teó­ rica. Se daba cuenta de que la relatividad especial no estaba basada únicamente en conceptos electromagnéticos, como exigía la visión electromagnética de la naturaleza, y por este motivo pensaba que entraba dentro del contexto de la tradición mecanicista newtoniana20.

4.

El verdadero significado de la teoría de la relatividad especial

Para comenzar esta sección tengo que decir que no es cierto que la teoría de Maxwell-Lorentz y la relatividad especial sean indistinguibles. Creo que esta afirmación quedó totalmente probada en la última sec­ ción del capítulo 4 y por consiguiente no insistiré en ella salvo en el aspecto básico de que para Lorentz la invariancia (Lorentz) era una 17 Una revista en la que se comentaban los artículos aparecidos en distintas publica­ ciones científicas. 18 Como he indicado, no todos los artículos sobre la relatividad especial aparecían en este grupo. En 1906 se publicaban algunos bajo la rúbrica «mecánica general», mientras que en 1907 el Fortschritte ya incluía la categoría «relatividad», aunque en realidad sólo unos pocos de ios que verdaderamente hubiesen debido figurat en esta sección, eran incluidos en ella. 19 Para una discusión de la reunión de 1906, ver McCormmach (1970, pág. 489). 20 Más tarde Minkowski lograría convencer a Sommerfeld de la superioridad de la re­ latividad especial.

propiedad de la electrodinámica, mientras que para Einstein era un re­ quisito previo que toda teoría debe de satisfacer. Lo verdaderamente original en el artículo de Einstein de 1905 es la obtención de las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz a partir de considera­ ciones puramente cinemáticas y totalm ente independientes de conside­ raciones electromagnéticas. Esta independencia con respecto a la teoría de Maxwell se plasma claramente en que en el «Zur Elektrodynamik bewegter Kórper» la «parte cinemática» precede a y es autónoma de la «parte electromagnética». Einstein tenía desde luego bien claro cuál era el significado real de su teoría, a la que él denominaba «teoría de principios»21. Existen evidencias diversas que demuestran que para él no tenía sentido hablar ni de «relatividad electromagnética»22 ni de «relatividad mecánica» desde el punto de vista de la sección anterior. Un ejemplo está en sus «Autobiographical Notes» (Einstein 1949, págs. 45-53), especialmente en las págs. 51-53, donde escribía25 «Reflexiones de este tipo me enseñaron tan pronto como poco después de 1900, esto es, inmediatamente después del seminal trabajo de Planck, que ni la mecánica ni la electrodinámica podrían ser (excepto en casos límites) exacta­ mente válidas.» ¿Cómo podría Einstein pensar que la relatividad especial —una teoría en la que él creía— estaba íntim a y esencialmente ligada a la mecánica o al electromagnetismo, cuando consideraba a estas dos teorías co­ mo incorrectas?

21 En su libro De mis últimos años, Einstein (1969, págs. 63-64) expresaba clara­ mente lo que entendía por teoría de principios. Escribía allí: «Existen varias clases de teorías en la física. La mayor parte de ellas son constructivas. Intentan obte­ ner, partiendo de algunas proposiciones relativamente sencillas, una descripción de los fenómenos complejos... Cuando decimos que hemos comprendido un grupo de fenómenos naturales, queremos decir que hemos hallado una teoría constructiva que los abarca todos. Pero, además de este importantísimo grupo de teorías, existe otro formado por las que yo llamo teorías de principios. Emplean éstas el método analítico, no el sintético. Tanto su origen como su fundam ento no son elementos hipotéticos, sino propiedades generales de los fenómenos, observadas empíricamente. De estos principios se deducen fórmulas matemáticas aplicables a todo caso que se presente... La teoría de la relatividad es una teoría de principios.»

22 Como vimos, uno de los aspectos que distingue a la relatividad especial de la «re­ latividad electromagnética» de Lorentz es la propiedad de grupo de las transformaciones relativistas. Einstein tenía muy claro este punto, como se comprueba al leer (Einstein 1957, pág. 7): «H. A. Lorentz descubrió incluso la “ transformación de Lorentz1'... pero ignoró su cualidad de grupo. Para él, las ecuaciones de Maxwell en el vacío se aplicaban sólo a un sistema dado de coordenadas [el del éter].» 23 Ya me referí a esta cita en el capítulo 4, sección 3, donde se puede ver en un con­ texto más amplio.

Para demostrar que lo que Einstein escribía en 194924 era lo mismo que pensaba en 1905 basta con consultar algunos de sus artículos de aquella época25. Por ejemplo, la primera frase del artículo de marzo de 1906 sobre la teoría cuántica (Einstein 1906); la contestación a Ehrenfest de abril de 1907 (Einstein 1907a), especialmente el párrafo que comienza al final de la pág. 206 o la últim a frase del primer párrafo de la pág. 207 donde —como en las «Autobiographical Notes»— es­ tablece una analogía con la termodinámica. Todavía más claro es lo que decía en su artículo de mayo de 1907 (Einstein 1907b) donde discutía la necesidad de encontrar una demostración más general que la basada en las ecuaciones de Maxwell para la ecuación E = me2. Decía allí Einstein (págs. 371-372): «La respuesta general a la pregunta planteada es por ahora imposible puesto que por lo pronto no poseemos una visión completa del mundo correspon­ diente a la teoría de la relatividad [especial]. Debemos de limitarnos antes bien, a los casos especiales que podemos tratar actualmente sin arbitrariedad desde el punto de vista de la electrodinámica relativista.» Es decir, existía la cinemática adecuada, la relatividad especial, pero no la dinámica correcta que ajustándose a esta cinemática proporciona­ se «una visión completa del mundo». Por consiguiente había que con­ tentarse por el momento con parcelas de la realidad global y en ese sentido cabía utilizar en ocasiones las implicaciones de la electrodinámica relativista. La cita anterior continuaba con unas líneas donde se ve clara­ mente algo a lo que ya me referí en el capítulo 4 y a lo que volveré en el 7: relatividad especial y teoría cuántica de la radiación formaban, en más de un sentido, un programa común que permitió a Einstein en­ tender perfectamente el significado real de su teoría de la relatividad. Se lee allí (pág. 372): «En trabajos anteriores he mostrado que nuestra imagen electromecánica [las cursivas son mías] actual del mundo no es apropiada para explicar las pro­ piedades de entropía de la radiación así como [las leyes que obedecen] la emi­ sión y absorción de la radiación y el calor específico; más bien, según mi opi­ nión es necesario aceptar que la consistencia de un proceso periódico cual­ quiera es tal que la transformación de la energía sólo puede tener lugar en for­ ma de cuantos de valor finito (cuantos de luz) y que por lo tanto la variedad de procesos posibles en la realidad es más pequeña que la variedad de procesos

24 Otras manifestaciones tardías de Einstein en el mismo sentido que en sus «Auto­ biographical Notes» se encuentran en cartas que escribió a von Laue el 17 de enero de 1952 (citada en Holton 1967-68 y en Sánchez Ron 1978, pág. 156), y a Seeling el 19 de febrero de 1955. 25 Agradezco a John Stachel la información que sigue.

posibles según nuestras ideas teóricas actuales... Sin embargo, en tanto que no estemos en posesión de una imagen que comprenda las exigencias menciona­ das utilizaremos naturalmente la teoría actual en todas las cuestiones en que no aparezcan relaciones de entropía ni transformaciones de las pequeñas canti­ dades de energía elementales sin que nos deba atemorizar el alcanzar por ello resultados incorrectos126'.» De hecho no sólo fue Einstein el que tenías las ideas claras en la cuestión de la interpretación de la relatividad especial; Max Planck tenía pocas dudas al respecto. Así en sus R ight Lectures on Theoretical Physics pronunciadas en la universidad de Columbia en 1909 decía que «el significado del principio de relatividad se extiende, no sólo a fe­ nómenos ópticos y electromagnéticos, sino también a todos los proce­ sos de la mecánica ordinaria» (Planck 1909, pág. 125). En el mismo sentido habría que citar, como ya he dicho con anterioridad a F. Klein y a H. Minkowski. Un punto que merece una discusión aparte es el de si el postulado de la constancia de la velocidad de la luz es imprescindible para obte­ ner las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz. Su importancia reside en el hecho —que ya vimos en la sección 3.a— de que algunos de los defensores de la interpretación electromagnética de la relativi­ dad especial (p. ej. Abraham, Bunge) justificaban su postura en base al origen electromagnético del postulado de la constancia de la veloci­ dad de la luz. En este sentido, es obvio que tales posturas se veían descalificadas si se pudiese prescindir de tal postulado en la teoría de Einstein. Este es de hecho el caso, como demostró el matemático ruso Woldemar von Ignatowsky, primero durante una conferencia que pro­ nunció en Moscú en diciembre de 1909 y luego en un artículo en el que estudiaba el problema de «¿Qué transformaciones se pueden obte­ ner a partir del principio de relatividad únicamente?» (von Ignatowsky 1910), artículo basado en una comunicación que presentó en la 82 asamblea de científicos de la naturaleza y médicos alemanes celebrada en Kónisberg. Lo que von Ignatowsky demostró allí es que para obte­ ner las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz no es necesario hacer referencia a la propagación de la luz o a la teoría electromagnéti­ ca. Para ello partía del principio de relatividad que para él estaba defi­ nido de la forma siguiente:

26 Años más tarde, cuando pensaba que la relatividad general era sólo una «teoría preliminar», Einstein seguiría una táctica similar a la que empleó en el presente caso: utilizarla aunque ello implicase el que se pudiesen obtener resultados no demasiado fiables (en realidad lo que Einstein siempre intentó fue el explorar las situaciones menos conflictivas, aquellas donde los resultados obtenidos con la teoría «incorrecta» eran sin embargo fiables). Para el caso de la relatividad general ver el capítulo 13.

1) Si en el sistema de referencia inercial S una cantidad física E es función de ciertos parámetros a¡, es decir, si E = a2, ...), enton­ ces en otro sistema de referencia inercial S ' , la cantidad correspon­ diente E ' viene dada por E ' = a{, ...) donde a¡ es la transfor­ mada de a¡. 2) Si E ' = f( a h a2 ...) entonces E = / ( a i , a{ ...). Suponiendo además la homogeneidad e isotropía del espacio y tá­ citamente, propiedades de grupo para las ecuaciones de transforma­ ción, von Ignatowsky obtenía como ecuaciones de transformación *' =

* ~ vt ( í - z é *2)1' 2

= ’

* ~ kvx

(5

( i - * * 2)»'2

v

n '

donde v es la velocidad de S' con respecto a S y k una constante. Es evidente que las ecuaciones (5.1) contienen tanto las transformaciones de Galileo (k = 0) como las de Lorentz (k = — ) y todo ello sin re­ currir para nada a la electrodinámica. ^ Inmediatamente después del trabajo de von Ignatowski, P. Frank (que se había carteado con el matemático ruso) y H . Rothe se dieron cuenta (Frank y Rothe 1911, 1912) de que el enfoque iniciado por von Ignatowski estaba basado en realidad en la teoría de grupos continuos desarrollada por Sophus Lie y que había comenzado a tener amplia d i­ fusión con la publicación en 1893 del libro de Lie y Scheffers, Vorlesungen über Kontinuierliche Gruppen. Esta línea de pensamiento en la que la relatividad especial se trata utilizando técnicas y conceptos propios de la teoría de grupos ha sido continuada por un cierto núm e­ ro de autores. Sin intentar ser exhaustivo mencionaré a L. A. Pars, E. Esclagon, M. Strauss, Y. P. Terlestskii y j . M. Lévy-Leblond27. Actual­ m ente es posible obtener la cinemática relativista a partir de diferentes conjuntos de axiomas; uno de ellos es el siguiente (Terletskii 1968): 1) El espacio es isótropo (esto es, todas las direcciones espaciales son equivalentes). 2) El espacio y el tiempo son homogéneos (esto es, las propiedades del espacio y del tiempo son independientes de la elección que haya­ mos hecho para los puntos iniciales de nuestras medidas). 3) Principio de relatividad (esto es, la dinámica no depende del sistema de referencia inercial utilizado). Por consiguiente, vemos que la teoría de la relatividad especial puede considerarse perfectamente como una consecuencia de la estruc­ tura geométrica del espacio-tiempo y que además esto había sido de­ mostrado, esencialmente, ya en 1909. Al llegar a este punto hay que 27 Para referencias y una discusión más detallada ver Jammer (1979).

señalar que existen también derivaciones «puramente electromagnéti­ cas» de las transformaciones de Lorentz28, «puramente mecánicas» (en el sentido de leyes de conservación para la masa, la energía y el m o­ m ento, más principio de relatividad)29 y basadas en la «propagación de la luz»30, pero si las discutiese aquí me extendería demasiado sin aña­ dir gran cosa a la cuestión del significado de la teoría de Einstein. Re­ mito al lector interesado al reciente artículo de Max Jammer (1979). 5.

Física y filosofía en el caso de la relatividad especial

Cuando se estudia o explica la historia de la ciencia es difícil esca­ par del círculo que constituyen los desarrollos o problemas internos de una determinada rama de la ciencia. Se tiende así a ver la historia de la ciencia como una secuencia de teorías, cuyo motor son los proble­ mas técnicos, conceptuales o experimentales que van surgiendo al u ti­ lizar o intentar desarrollar nuestros esquemas teóricos (si acaso, técni­ cos en lo que a su aplicación práctica se refiere). Ha quedado claro, principalmente gracias a los avances que ha experimentado la metodología de la ciencia, que tal visión intem alista de la ciencia es incorrecta; existe —en mayor o menor grado— una componente externalista que se sale de lo meramente técnico. En ningún caso se ve esto más fácil y claramente que en el papel que las creencias o hábitos filo­ sóficos juegan en la creación, desarrollo, interpretación y/o recepción dadas a las teorías científicas. En el tema que aquí nos ocupa ya hemos visto cómo filósofos (y filosofías) como Hume y Mach ayudaron a Eins­ tein en la creación de la relatividad especial, pero también es posible —sin por ello alargarse demasiado— ver otras consecuencias que las distintas creencias filosóficas tuvieron dentro del contexto de la teoría de Einstein. Así tenemos que realistas como Planck y Born o incluso la. I. Frenkel, destacaban la importancia del principio de la constancia de la velocidad de la luz. Consideraban las implicaciones «relativistas» de la teoría como algo secundario y sin significado epistemológico. De hecho, para ellos, el nombre que Einstein había dado a su teoría les parecía totalmente injustificado, tanto más cuanto que creían que el mayor mérito de la «relatividad especial» era el añadir una nueva cons­ tante a la física, no el hacer las cosas «más relativas». En ningún sitio se ven todas estas opiniones tan manifiestas como en la «Autobiografía 28 Ver, por ejemplo, Fock (1959). Fock desarrolló una idea que data de un curso que L. I. Mandelstam dio en 1950. 29 Lewis y Tolman (1909). 30 Ver, por ejemplo, Caratheodory (1924), Reichenbach (1928) y Milne (1935). Para una exposición más reciente remito al lector a Pirani (1973).

científica» que escribió Planck (1948). Decía allí el creador de la teoría cuántica (págs. 45-47) «Acabo de describir cómo la teoría cuántica vino gradualmente a ocupar el foco de mi interés en el campo de la física. Eventualmente tuvo que compartir esta posición prominente con otro principio, que me introdujo a una nueva esfera de ideas. En 1905 Albert Einstein publicó un artículo en el Annalen der Physik que contenías las ideas básicas de la Teoría de la Relatividad y que despertó inmediatamente en mí un vivo interés en su desarrollo. Para evitar un probable malentendido tengo que incluir aquí unas pocas observaciones explicativas de carácter general. En el párrafo inicial de este esbo­ zo autobiográfico he hecho énfasis en que yo siempre he considerado la bús­ queda de lo absoluto como la más noble y la más justificada de las tareas de la ciencia. El lector puede considerar que esto está en contradicción con mi inte­ rés declarado por la Teoría de la Relatividad. Pero sería fundamentalmente erróneo mirarlo de esta manera. Ya que todo lo que es relativo presupone la existencia de algo que es absoluto, teniendo sentido solamente cuando se yux­ tapone a algo absoluto. La a menudo oída frase, “Todo es relativo” no sólo conduce a confusión sino que además es gratuita. La Teoría de la Relatividad también está basada en algo absoluto, a saber, la determinación de la matriz del continuo espacio-tiempo [se está refiriendo ahora no sólo a la relatividad especial sino también a la general, J.M.S.R.]; y es especialmente estimulante dedicarse a descubrir el absoluto que da sentido —sólo él— a algo dado como relativo. Nuestro punto de partida debe .de ser necesariamente algo relativo. Todas las mediciones que hacemos son relativas. El material que forma nuestros ins­ trumentos varía de acuerdo a su origen geográfico; su construcción depende de la habilidad del que lo diseñó y de quién lo construyó; su manipulación de­ pende de los propósitos particulares que persigue el experimentador. Nuestra tarea es la de encontrar en todos estos factores y datos, lo absoluto, lo válido universalmente, lo invariante, lo que está escondido en ellos. Esto se aplica también a la Teoría de la Relatividad. Me atrajo el problema de deducir de sus proposiciones aquello que sirve como su fundamento inmu­ table y absoluto. La forma en que esto fue logrado, fue comparativamente simple. En primer lugar la Teoría de la Relatividad confiere un sentido absolu­ to a una magnitud que en la teoría clásica sólo tiene un significado relativo: la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es a la Teoría de la Relatividad lo que el cuanto de acción elemental es a la Teoría Cuántica: su núcleo absoluto.» Estos argumentos eran los que empleaban científicos, como Planck, para los que el realismo era su filosofía indiscutible. Por el contrario, los positivistas (y aquí se podría mencionar a P. Frank, J. Petzoldt, A. Lampa) aceptaban31 la relatividad especial por motivos radicalmente 31 Puede dar una idea del entusiasmo con que los positivistas recibían a la teoría de ia relatividad, las siguientes palabras de Joseph Petzoldt en la sesión inaugural de la Gesellschaft fürposittvische Philosophie, el 11 de noviembre de 1912 en Berlín: «[la teoría de la relatividad especial] es una victoria sobre la metafísica de los absolutos en las con­

diferentes: su compatibilidad (real o aparente) con la relatividad epistemológica32 de Mach. Creían que la teoría de Einstein era una continuación y realización de las críticas de Mach a las ideas de Newton sobre el espacio absoluto, tiempo y movimiento. En su opinión Einstein había conseguido basar la física en la epistemología fenomenalista y «relativista» de Mach. Dentro de este contexto se entiende perfectamente, por consiguiente, que tanto a Frank como a Petzoldt les molestase el principio de la constancia de la velocidad de la luz; había que eliminar, o trivializar al menos, este absoluto de la teoría (¿cabe encontrar un contraste mayor con las opiniones de realistas como Planck?). Esto lo consiguió, de hecho, Frank al obtener, en colabora­ ción con Rothe y en dos artículos que he mencionado en la sección an­ terior, las transformaciones de Lorentz sin utilizar el segundo postula­ do de Einstein. Llegamos de esta manera a un ejemplo perfecto de có­ mo la filosofía puede llegar a ser operativa en el desarrollo, aparente­ m ente interno, de las teorías físicas33. 6. Posdata: La opinión de Lorentz sobre la teoría de la relatividad especial Como complemento al presente capítulo voy a señalar cuál era la opinión de H. A. Lorentz sobre la contribución de Einstein. Para ello me voy a apoyar únicamente en su libro The Theory o f Electrons (Lo­ rentz 1909, segunda edición 1915) que contiene un famoso curso que Lorentz dio en la universidad de Columbia en 1906. Si uno lee The Theory o f Electrons llegará a la sección 194 (pág. 229 de la edición de Dover) en la que Lorentz escribía «Se verá claro por lo dicho que las impresiones recibidas por los dos observado­ res A. y A serán iguales en todos los respectos. Sería imposible decidir cuál de los dos se mueve o permanece en reposo con respecto al éter y no habría nin­ gún motivo para preferir los tiempos y longitudes medidos por uno a los deter­ minados por el otro, ni tampoco para decir que uno de los dos está en pose­ sión de los tiempos “verdaderos" o de las longitudes “ verdaderas” . Este es un punto en el que Einstein ha puesto especial hincapié en una teoría en la que parte de lo que £1 llama el principio de relatividad... No puedo hablar aquí de las muchas y muy interesantes aplicaciones que Einstein ha hecho de este principio. Sus resultados referentes a los fenómenos cepciones del espacio y del tiempo... un impulso poderoso para el desarrollo del punto de vista filosófico de nuestra época» (citado en Holton 1982, píg. 173). 32 Ver apéndice A. 33 Podría haber completado mis comentarios referentes a los positivistas y relativistas epistemológicos señalando que las opiniones filosóficas llegaron a ser para algunos tan importantes que les llevaron a oponerse a ciertas ideas de Einstein (sobre todo en el caso de la relatividad «proto»-general; p. ej. F. Adler y H. Dingler —ver apéndice A—).

electromagnéticos y ópticos... coinciden en lo principal con lo que yo he obte­ nido en las páginas precedentes, la diferencia principal está en que Einstein simplemente postula lo que yo he deducido, con alguna dificultad y no del to­ do satisfactoriamente, a partir de las ecuaciones fundamentales del campo electromagnético. Al hacer esto, [Einstein] puede sin duda tomar crédito por hacemos ver en los resultados negativos de experimentos como los de Michelson, Rayleigh y Brace, no una compensación fortuita de efectos contrapuestos, sino la manifestación de un principio general y fundamental. Sin embargo, creo que también se puede argumentar algo en favor de la forma en que yo he presentado la teoría. No puedo sino considerar el éter, que puede ser el asiento de un campo electromagnético con su energía y sus vibra­ ciones, como dotado de un cierto grado de sustancialidad, por muy diferente que ésta sea de toda la materia ordinaria. De acuerdo a esta línea de pensa­ miento, parece natural no suponer desde el comienzo que nunca puedan sur­ gir diferencias entre un cuerpo que se mueve a través del éter [y otro que esté en reposo]...» Todavía añadía Lorentz un aspecto que favorecía la presentación de Einstein sobre la suya, pero encontrando una cierta justificación para su propio punto de vista. En suma, se puede decir que en 1909 Lo­ rentz aún reconociendo algunos de los rasgos que hacían de la relativi­ dad especial una teoría tremendamente atractiva, no estaba dispuesto a abandonar sus propias ideas. Sin embargo, en algún momento entre 1909 y 1915, año en que se publicó la segunda edición de The Theory o f Electrons, Lorentz cam­ bió de opinión. Así leemos en una de las notas (la 72) añadida a la mencionada segunda edición, lo siguiente (pág. 321) «Si tuviese que escribir ahora el último capítulo, sin duda que daría un lugar más prominente a la teoría de la relatividad de Einstein, en la que la teoría de los fenómenos electromagnéticos en sistemas en movimiento gana una simpli­ cidad que yo no fui capaz de conseguir. La causa principal de mi fracaso estuvo en mi fijación en la idea de que sólo la variable t puede ser considerada como el tiempo verdadero y que mi tiempo local t ' no debía considerarse más que como una cantidad matemática auxiliar.» Lorentz había captado por fin las diferencias entre su planteamiento y solución del «problema electromagnético» y las ideas de Einstein34. 34 En su libro Problems o f Modem Physics (Lorentz 1967, primera edición 1927), que contiene un curso que dio en 1922 en el California Institute o f Technology, pode­ mos leer frases que demuestran que Lorentz ya estaba lejos de la «relatividad electromag­ nética», participando de las ideas de Einstein de «teoría de principios». Así, en la sección 34 («Relativity and the Electromagnetic Equations», Lorentz 1967, píg. 102) leemos: «El principio de relatividad es un principio físico, o hipótesis física, que pretende enseñarnos algo sobre la naturaleza de las cosas. Las consecuencias a que conduce deben de ser comprobadas experimentalmente, y cuando estas consecuencias conciernen a fenómenos que estamos acostumbrados a explicar mediante alguna teoría, el principio de relatividad puede implicar algún cambio en esta teoría.»

Capítulo 6 MINKOWSKI: DEL ESPACIO AL ESPACIO-TIEMPO

«A partir de ahora el espacio por sí mismo y el tiem ­ po por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solamente una especie de unión de los dos conservará la independencia.» (Minkowski 1908)

1.

Introducción

Hemos visto en capítulos anteriores cómo la teoría de la relatividad especial resolvió de forma magistral —por lo sencillo y profundo de su contenido— la crisis en que se encontraba la física a finales del si­ glo XIX. Sólo por este motivo está más que justificado el prestigio que la teoría de Einstein ha tenido y tiene en la física. Ahora bien, la rela­ tividad especial no sólo tiene prestigio, sino que tam bién está rodeada de una cierta aureola de excelencia que va mucho más allá de sus m e­ recimientos como sistema teórico, y que tiene sus raíces en una sensa­ ción de admiración — ¿impotencia?— frente a lo que va más allá de nuestras capacidades sensibles. Este aspecto de la relatividad especial —que yo considero bastante injustificado en un nivel puramente lógico— tiene mucho que ver con la formulación geométrica cuadridimensional que Hermann Minkowski dio a la teoría de Einstein a partir de 1908. Somos capaces de visualizar experiencias en tres dimensiones, y si se nos dice que el marco geométrico de una teoría requiere cuatro dimensiones —aunque esto no quiera decir necesariamente lo mismo que cuando nos referimos a nuestra forma de percibir objetos en el espacio— nuestro interés se aviva casi instantáneamente. De forma más o menos marcada, un fenómeno de este tipo es lo que yo creo

que ha sucedido con la teoría de la relatividad especial, que se ha visto así magnificada más allá de lo que su creador pudo entrever en 1905. Si a todo esto le unimos la importancia que para el desarrollo de la teoría de la relatividad general tuvo el espacio-tiempo minkowskiano (importancia a la que me referiré en capítulos sucesivos), tendremos que vale la pena estudiar con cierto detalle1 cómo Minkowski llegó a esta representación geométrica y lo que representaba para él. (No me para­ ré en discutir los diagramas espacio-tiempo ya que éstos son lo sufi­ cientemente conocidos, apareciendo en cualquier libro dedicado a la relatividad especial.) 2.

El Sentido Geométrico de Minkowski

No hay duda de que a pesar de que su interés por los problemas físicos fuera muy grande y de que hiciera contribuciones notables a la física, Minkowski era ante todo un matemático, un gran matemático de hecho. Es, por consiguiente, en el área de las matemáticas donde hay que tratar de descubrir las líneas maestras que guiaban su pensa­ miento (o razonar) geométrico en campos de la matemática alejados de la geometría propiamente dicha. Títulos como La geom etría de los números (1896) son característicos de la obra de Minkowski, cuyo extraordinario talento geométrico se hizo evidente cuando a la edad de diecisiete años ganó el gran premio de la academia francesa con un tratamiento geométrico y muy general de la teoría de las formas cuadráticas. Como Harris Hancock (1973) indicó recientemente «su comprensión de conceptos geométricos era casi sobrehumana». El propio Minkowski se refirió a cómo se servía de la «intuición» geométrica, en el manuscrito (fechado el 28 de octubre de 1897) de una conferencia que abría un curso sobre la teoría de los números. Allí se lee «En (la teoría de los números aplicada] uno puede hacer uso con frecuencia de la intuición geométrica para así descubrir teoremas con mayor facilidad, y en­ tonces surge un campo, áreas específicas del cual fueron creadas en primer lugar por Gauss, Dirichlet, Eisenstein y Hermite, y al que yo di el nombre de geometría de los números. Es, por consiguiente, esencialmente una cuestión de usar una intuición espacial para el descubrimiento de relaciones entre enteros.» Es decir, Minkowski visualizaba geométricamente (espacialmente) las matemáticas (la teoría de los números en particular). No nos debe 1 Se puede encontrar más información en Galison (1979) trabajo que yo he utilizado extensamente. También es útil Pyenson (1977).

extrañar, por tanto, que al pasar a investigar cuestiones propias de la física, esta intuición geométrica jugase un papel importante (por ejemplo, prestando particular atención al desarrollo del marco geométri­ co adecuado a la teoría en cuestión, como ocurrió en el caso de la rela­ tividad especial). Más aún, la intuición geométrica fue tan fuerte en Minkowski que al llegar a la física terminó constituyéndose en un ente —casi en objeto— de indudable realidad física. Intuición geométrica por un lado y su formación como matemático por otro, llevarían a Minkowski a mantener que debido a la «armonía preestablecida entre las matemáticas y la naturaleza» la geometría puede utilizarse como una llave para el descubrimiento físico. El círculo —vicioso en más de un sentido— se completaba cuando Minkowski argumentaba que la teoría de la relatividad hallaba su justificación en ser la teoría física de estructura geométrica más satisfactoria. La geometría se anteponía así a la física.

3.

Del Espado al Espacio-Tiempo

En lo que sigue me referiré esencialmente a dos trabajos en los que Minkowski presentó sus ideas relativas al espacio-tiempo. Son estos: las conferencias «Raum und Zeit» (Espacio y tiempo) y «Das Relativitäts­ prinzip» (El principio de relatividad). Sin embargo, sólo mencionaré brevemente, aunque tam bién es im portante, el artículo «Die G rund­ gleichungen für die elektromagnetische Vorgänge in bewegten Kör­ pern» (Las ecuaciones fundamentales para los fenómenos electromag­ néticos en cuerpos en movimiento). La conferencia «Espacio y tiempo» (Minkowski 1909) fue pronunciada el 21 de septiembre de 1908 en la octava reunión de la asamblea de científicos de la naturaleza y médicos celebrada en Colonia y publicada en 1909 en el Physikalische Zeits­ chrift. «El principio de relatividad» (Minkowski 1915) tuvo una audiencia más restringida: fue pronunciada el 5 de noviembre de 1907 y publicada por Arnold Sommerfeld en 1915, seis años después de la muerte de Minkowski. Finalmente las ideas sobre el espacio-tiempo que Minkowski presentó en estas conferencias las aplicó en su principal trabajo de electrodinámica «Las ecuaciones fundamentales...» (Min­ kowski 1908), donde al margen de resultados de carácter físico, d e­ sarrolló su formalismo matemático (el cálculo tensorial). (También existen un cierto número de manuscritos de Minkowski no publicados y que son relevantes para entender sus ideas relativas al espaciotiempo. Estos manuscritos han sido utilizados y descritos por Galison [1979].) Como ya se sugería en el capítulo 5, hay que dejar claro en primer lugar que Minkowski enfocó la teoría de la relatividad especial (que él de­

nominaba «principio de relatividad») desde el punto de vista de la vi­ sión electromagnética de la naturaleza. Consideraba que Einstein sólo había perfeccionado las ideas de Lorentz y Poincaré, algo muy natural por otra parte si se tiene en cuenta que Minkowski tomaba a las trans­ formaciones de Lorentz como la explicación (especialmente dentro del contexto del teorema de los estados correspondientes y de la hipótesis de las fuerzas intermoleculares) de los fenómenos. Aparentemente no se dio cuenta de que Einstein había modificado radicalmente la natu­ raleza del problema (y de la explicación) al demostrar que las m en­ cionadas transformaciones eran una consecuencia de nuestras medidas del espacio y del tiempo. Ahora bien, aún siendo importante la defor­ mación que la contribución de Einstein sufrió en la opinión de Minkowski, no lo es tanto para lo que aquí se pretende. Y no lo es por­ que, como iremos viendo, Minkowski terminó por adjudicar a su espa­ cio-tiempo (o «mundo absoluto») una posición absolutamente priorita­ ria. Para él primero era la geometría (una geometría —espaciotiempo— con realidad física, casi palpable se diría) y luego venía la física que «llenaba» —por decirlo así— un «mundo absoluto» ya físico de por sí. En lo que se refiere a cómo surgió en la mente de Minkowski el concepto de espacio-tiempo cuadridimensional, hay que decir que —como él mismo señaló en varias ocasiones en «El principio de rela­ tividad»— fue, esencialmente, una reflexión sobre los trabajos de Poincaré. Teniendo en cuenta el interés que Minkowski tenía por la teoría del electrón2 era muy natural que estudiase el famoso artículo que en 1906 Poincaré (1906) publicó en el Rendiconti d el Circulo Ma­ temático di Palermo\ Ahora bien, como ya indiqué en el capítulo 3, en la últim a sección de «Sur la dynamique de l'électron», Poincaré introdujo, para buscar de forma sistemática todos los invariantesLorentz, un espacio cuadridimensional, x, y, z, ict. Escribía Poincaré (1906), si (hacemos c = 1) «*, y, z, t Sx, óy, 6z, 5t V~ 1 ¿i*, S¡z, 6,/ se consideran como las coordenadas de tres puntos P, P’, P" en un espacio cuadridimensional, entonces vemos que las transformaciones de Lorentz son simplemente una rotación de este espacio en torno a un origen fijo. Los únicos invariantes independientes son por consiguiente las seis distancias de los pun­ 1 Interés que le llevó a organizar en Gotinga en 1905, junto a Hilbert, Wiechert y Herglotz, un seminario sobre la teoría del electrón (ver Pyenson 1979). ’ Ver capitulo 3.

tos P, P' , P", entre sí y con respecto al origen, o alternativamente Las dos expresiones x2 + y2 + z1 — i*, x ■ dx + y ■ óy + z -8z — t ■ &t y las cuatro expresiones de la misma forma que se obtienen al permutar de for­ ma arbitraria los puntos P, P ', P".* Vemos por consiguiente que Minkowski advirtió un detalle muy im ­ portante para su mente geométrica: los invariantes se pueden interpre­ tar como distancias y las transformaciones de Lorentz como rotaciones en el espacio (x, y, z, ict). Advirtamos de paso que al dar a la cuarta dimensión las dimensiones de ict, Poincaré —en contraste con Minkowski— no hacía hincapié en la naturaleza no euclidea de este es­ pacio. Como también dije en el capítulo 3, a partir de los menciona­ dos invariantes Poincaré fue capaz de construir una teoría de gravita­ ción consistente con la relatividad especial. Pero es importante señalar —y aquí radica una de las diferencias fundamentales entre Poincaré y Minkowski— que Poincaré no adjudicó ningún tipo de importancia de orden metafisico (ontològico) y/o físico a su representación cuadridimensional. De hecho, en 1908 afirmaba (Poincaré 1908, 1963, págs. 88-89) «Parece, en efecto, que sería posible traducir nuestra física al lenguaje de la geometría de cuatro dimensiones; tratar de hacer esta traducción sería tomarse demasiado trabajo para muy poco provecho; me limitaré a citar la mecánica de Hertz, en la que se ve algo análogo. Entretanto, parece que la traducción sería siempre menos simple que el texto, que tendría siempre el aire de una traduc­ ción, por tanto la lengua de tres dimensiones parece la más apropiada para la descripción de nuestro mundo, aunque esta descripción pueda hacerse en últi­ mo caso en otro idioma.» Hasta aquí lo que Poincaré pensaba acerca de la posibilidad de un espacio, o espacio-tiempo, cuadridimensional. Pasemos ahora a anali­ zar con más detalle el carácter y fundamento de las ideas de Minkows­ ki. Partimos, como ya se ha dicho, de que reconoció en los trabajos de Poincaré un aspecto de indudable y manifiesto significado geométrico. Pero a lo largo de toda su carrera como matemático, la intuición geo­ métrica le había servido a Minkowski —y él era consciente de ello (ver sección 2)— para llegar a la raíz de los problemas matemáticos con los que se enfrentaba. En cierto sentido podía considerar a la in­ tuición geométrica, a la geometría del problema, como lo auténtica­ mente «real» de las matemáticas. A través de Poincaré, Minkowski lle­ gaba ahora a una situación en la que una determinada propiedad geo­ métrica se manifestaba en la física. ¿Qué status ontològico debía otorgarla? ¿Tenía —como su experiencia matemática le parecía

indicar— «realidad», una realidad física en este caso o como pensaba Poincaré, se trataba de algo esencialmente semántico? Al llegar a este punto tengo que hacer referencia, con algo más de detalle que en la sección 2, a las ideas que Minkowski tenía acerca de la armonía prees­ tablecida entre matemáticas y física. Para no extenderme demasiado diré que creía que las matemáticas tienen el poder de descubrir la ver­ dad física; en otras palabras, pensaba que si en primer lugar aislaba e investigaba los elementos matemáticos de una teoría física, cuando regresase al nivel habitual de la realidad física, los resultados obtenidos en el «nivel matemático» serían válidos y fructíferos. Teniendo en cuenta lo que son en realidad las teorías físicas, no hay duda de que Minkowski estaba afirmando que el «nivel matemático» tenía realidad física y que, además, su estudio y desarrollo se imponía a cualquier otra consideración. Como prueba de que las ideas de Minkowski seguían este camino ofrezco de entre las muchas que se podrían selec­ cionar, una cita de su conferencia «Espacio y Tiempo» que Minkowski (1909, Einstein et al., 1952, pág. 91) concluía con las siguientes pa­ labras: «Al desarrollar sus consecuencias matemáticas surgirán amplias sugerencias para la verificación experimental del... [principio de relatividad], lo que bastará pa­ ra que incluso aquéllos a los que es desagradable o penoso el abandono de opi­ niones establecidas de antiguo, se reconcilien con la idea de una armonía pre­ establecida entre las matemáticas puras y la física.» Teniendo esto en cuenta no debe sorprender el que Minkowski ter­ minase por concluir que la propiedad geométrica desvelada por Poin­ caré iba más allá de lo puramente terminológico. Así en «El principio de relatividad» afirmaba que no es que las leyes físicas se pudiesen expresar de forma equivalente a través de una cierta construcción m a­ temática, sino que «en cierto sentido... el m undo es una variedad no euclideana cuadridimensional» (Minkowski 1915, pág. 927). Conse­ cuente con este punto de vista, Minkowski introducía en «El principio de relatividad» el espacio-tiempo cuadridimensional antes de discutir los requisitos de Einstein —e incluso los de Lorentz— acerca de las propiedades de simetría en la teoría que a él le preocupaba, la electro­ dinámica. Otro aspecto importante a señalar es que Minkowski (1915) cerraba lo que si se analiza con cuidado no es sino un círculo vicioso, argu­ mentando que «Por encima de todo, la nueva formulación sería, si de hecho refleja correcta­ mente los fenómenos, prácticamente el mayor triunfo que la matemática apli­ cada haya tenido nunca.»

Es decir, si la relatividad especial (o la teoría del electrón de Lorentz) resulta ser correcta, estará demostrando —confirmando para Minkows­ ki— el papel predominante que las matemáticas deben de tener en las ciencias naturales. Esta era la opinión auténtica de Minkowski; no se debe engañar el lector cuando se encuentre con que su famosa confe­ rencia «Espacio y tiempo» comienza con sus ya célebres palabras: «¡Señores! Las ideas de espacio y tiempo que quiero presentar ante ustedes han surgido del terreno de la física experimental y es ahí donde radica su fuerza. Son radicales. A partir de ahora el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mis­ mo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solamente una espe­ cie de unión de los dos conservará la independiencia.» (Las cursivas son mías). No era en absoluto en el terreno de la física experimental donde residía para Minkowski la fuerza del concepto de espacio-tiempo, sino en el m undo de las matemáticas, como se puede ver sin más que con­ tinuar leyendo la mencionada conferencia, donde no se vuelve a hacer referencia a experimento alguno.

4.

La Teoría del Mundo Absoluto

Las ideas que Minkowski tenía acerca de la realidad física del espacio-tiempo y a las que ya me he referido en la sección anterior, en­ contraron su expresión definitiva en lo que él denominó «teoría del m undo absoluto». El m undo absoluto minkowskiano es una variedad (espacio-tiempo) cuadridimensional que surgía —animada por el éxito con que Minkowski «trasladaba» algunas leyes de la física al formalismo cuadridimensional— para sustituir y desempeñar el mismo papel epis­ temológico que el espacio absoluto tridimensional newtoniano. Lo mismo que el espacio absoluto de Newton podía influenciar a los fe­ nómenos que ocurrían dentro de él (p. ej. a través de las fuerzas inerciales) no siendo, sin embargo, afectado por su contenido, el m undo absoluto de Minkowski era un m undo («espacio») independiente del observador. De hecho Minkowski consideraba al m undo absoluto tan im portante que se preguntaba cómo era posible que otros físicos (Einstein, Lorentz, Poincaré) no lo hubiesen descubierto antes. Esta pre­ gunta adquiría para Minkowski un cariz especialmente significativo en tanto que reconocía que Einstein había demostrado que el tiempo pro­ pio era algo más que un artificio matemático. En la relatividad —escribía Minkowski (1909)— no tiene sentido el «tiempo» como un concepto independiente del sistema de referencia. Nos quedan «tiem­ pos» en lugar de «tiempo». Ahora bien, en su opinión esto no llevaba los suficientemente lejos; había que efectuar una crítica análoga al

concepto de «espacio» y esto era algo que creía no habían hecho ni Einstein ni Lorentz. Para explicar por qué no lo habían hecho, Min­ kowski avanzaba la siguiente sugerencia: Si uno se concentra, por simplicidad, en una situación unidimensional, es posible encontrar so­ luciones relativistas correctas superponiendo x y x ' y rotando t ' . Es de­ cir, en un diagrama espacio-tiempo (que por cierto Minkowski dibujó por primera vez en 1908 durante su conferencia «Espacio y tiempo») se tiene

Por esta razón —sugería Minkowski— tanto Einstein como Lorentz despreciaron la estructura del espacio. Es dentro de este contexto que Minkowski consideró su crítica al concepto de espacio como un complemento lógico al análisis que Eins­ tein había hecho del tiempo. Así, lo mismo que este últim o otorgaba realidad física a los diferentes tiempos, Minkowski daba una realidad física similar a cada uno de ios diferentes espacios que en la relatividad especial van asociados a cada observador. «Por tanto, no deberíamos tener ya en el m undo espacio, sino un infinito número de espacios, de forma análoga a como en un espacio tridimensional existen un número infinito de planos. La geometría tridimensional se convierte en un capítulo de la física cuadridimensional. Ahora ya saben por qué dije al comienzo que el espacio y el tiempo se sumergirían en las sombras, subsistiendo únicamente el m undo en sí mismo» (Minkowski 1909, Einstein et al. 1952, págs. 79-80). Este «mundo en sí mismo» (el m un­ do absoluto) era lo que permitía entender de forma unitaria las infini­ tas físicas tridimensionales. Para reforzar su posición que favorecía a un m undo cuadridimen­ sional, Minkowski tam bién comparó la representación cuadridimen­ sional de la fuerza electromagnética que él mismo había desarrollado en «El principio de relatividad» y en «Las ecuaciones fundamentales...», con la formulación previa tridimensional de la mis­ m a idea, señalando que (Minkowski 1909, Einstein et al. 1952, pág. 83) «Estamos obligados a admitir que es solamente en cuatro dimensiones donde las relaciones que hemos tomado en consideración aquí revelan su ser interno

con completa sencillez, y que en un espacio tridimensional impuesto sobre no­ sotros a priori enseñan solamente una proyección muy complicada.» En resumen: el «principio del m undo absoluto» —como Minkowski lo denom inaba— era algo que sustituía a las nociones de espacio y tiempo newtonianos, pero era algo más que una noción revisada de es­ tos conceptos. El propio Minkowski lo expresaba muy claramente en uno de los borradores de su conferencia «Espacio y tiempo»4 «En realidad, estamos tratando aquí con algo más que meramente una nueva concepción de espacio y tiempo. Lo que se argumenta es que es más bien una ley natural muy específica que debido a su importancia —ya que por sí sola trata de los conceptos primitivos de todo el Conocimiento Natural, a saber espacio y tiempo— puede exigir el ser llamada la primera de todas las leyes de la natura­ leza. Esta es una ley... para la que he acuñado la expresión “ Principio del mundo absoluto ” .»

4 Citado en Galison (1979, pág. 115-116).

Capítulo 7 DE PARTICULAS (CUANTOS) A CAMPOS: EL PROBLEMA DE LA RADIACION Y LA TEORIA DEL ELECTRON

1.

Introducción

Cuando uno intenta entender la obra científica de Einstein se en­ cuentra con el siguiente problema: en la etapa inicial de su carrera —etapa que incluye un año tan importante como 1905— sus creencias iban en el sentido de «reducir» (habría que matizar el empleo de esta palabra) la física a la mecánica, al menos a una «mecánica-estadística». En este sentido, Einstein —como veremos más adelante— consideraba que el concepto de campo debía de ser eliminado de alguna forma de esta ciencia. Por el contrario sabemos que «el Einstein de la relatividad general» fue, y continuó siéndolo hasta el final de su vida, un ardiente defensor del concepto de campo al que llegó a considerar el «concepto fundamental de la Física» (Einstein 1954, pág. xv). ¿A qué se debió este cambio? Esta es la pregunta —de fundamental importancia desde mi punto de vista— que trataré de contestar en este capítulo. 2. Einstein y el problema de la radiación: La teoría cuántica de la radiación El problema de la radiación cuántica constituyó un tema clave en el desarrollo de las ideas de Einstein relativas a cómo se transmite la

interacción entre partículas. Por este motivo voy a estudiar a conti­ nuación las opiniones y contribuciones que realizó en este tema, con la esperanza de que al hacerlo seamos capaces de entender mejor su de­ fensa del concepto de campo. Se puede decir que la visión m ecanicista de la naturaleza que des­ de los tiempos de Newton ejerció una notoria hegemonía en la Física, fue superada o sustituida hacia finales del siglo XIX por la visión electrom agnética que eventualmente conduciría a la imagen de la na­ turaleza en cuya base se encuentran los cam pos. Einstein siguió esta se­ cuencia aunque, cronológicamente, su desarrollo fue bastante diferen­ te del de la mayoría de los físicos de la época: esto es, adoptó estas vi­ siones de la naturaleza cuando la popularidad de cada una estaba declinando seriamente entre la comunidad internacional de los físicos. En este sentido hay que empezar señalando que los primeros1 intereses científicos de Einstein estuvieron relacionados con la formulación de una teoría de la materia basada en fuerzas entre las partículas del tipo de las que aparecen en la teoría de la gravitación newtoniana, es decir, de acción a distancia. Esto demuestra que por aquel entonces se en­ contraba claramente inmerso dentro de la tradición mecanicista. En sus dos primeros artículos, Einstein (1901, 1902a) intentó distinguir las diferentes substancias químicas según la intensidad de sus fuerzas moleculares, de tipo análogo a las gravitacionales. Así, en 1901 escribía a su amigo Marcel Grossmann diciéndole que se sentía im pul­ sado a realizar estos intentos por «el maravilloso sentimiento de reco­ nocer la unidad existente en un complejo de fenómenos, [unidad esta] que parece estar bastante lejos de la verdad directamente visible», aña­ diendo además que tal vez estas investigaciones pudiesen convertirse en una tesis doctoral. Su entusiasmo fue tal que empezó a trabajar con la intención de extender su teoría para líquidos de forma que cubriese tam bién a las moléculas de un gas. Fue, sin embargo; durante este proceso cuando Einstein tomó contacto con los procedimientos estadísticos de Boltzmann. El programa de investigación de Boltzmann tenía que resultar muy atractivo para alguien que, como Einstein —utilizando una expresión de McCormmach— «estaba detrás de su tiempo [esto es, fuera de órbita] en 1901» (refiriéndose al apoyo de Einstein a la visión de la naturaleza mecanicista y no a la electromag­ nética entonces más de moda). En el tercer artículo publicado por Einstein (1902b) nos encontra­ mos que se estudia la teoría cinética del calor y que la principal conclusión que se obtiene en él es que la segunda ley de la termodiná­ mica «surge como una consecuencia necesaria de la visión de la natura-

leza mccanicista». Por lo que se refiere a los artículos que publicó en 1903 y 1904 (Einstein 1903, 1904) su importancia no está tanto en su contenido —están escritos desde el mismo punto de vista mecanicistamecánico-estadístico que los anteriores— sino porque abrieron el cami­ no para su famoso artículo de 1905 «Un punto de vista heurístico acer­ ca de la creación y transformación de la luz»2 (Einstein 1905a), donde se argumenta que la radiación se comporta no como un campo sino como partículas. Todo lo que hemos visto hasta ahora indica, sin lugar a dudas, que durante sus primeros años como físico y al menos hasta 1905, la idea de una visión de la naturaleza electromagnética o basada en campos era ajena a Einstein. Este dato no se debe olvidar al estudiar la evolu­ ción de su pensamiento. En la introducción a su artículo de 1905, Einstein señala que «las observaciones asociadas con la radiación del cuerpo negro, fluorescen­ cia, producción de rayos catódicos mediante luz ultravioleta y otros fe­ nómenos relacionados, todos ellos conectados con la emisión q trans­ formación de la luz, se entienden más fácilmente si uno supone que la energía de la luz está distribuida espacialmente de forma discontinua». De hecho las restantes secciones del artículo son la justificación de esta afirmación. En la sección I, titulada «Relativo a una dificultad con res­ pecto a la teoría de la radiación de un cuerpo negro», Einstein de­ mostró que, en el caso de longitudes de ondas cortas y densidades de radiación pequeñas, la teoría maxwelliana no conduce a la expresión correcta para la energía de radiación en un espacio rodeado de paredes completamente reflectantes, en el que están encerradas un número de moléculas de gas y de electrones que se mueven libremente y que a distancias pequeñas ejercen fuerzas conservativas entre sí. Una vez de­ mostrado esto, Einstein logró probar, utilizando la ley de la radiación de W ien en lugar de la de Planck, que la entropía de la radiación m o­ nocromática depende del volumen «como si la radiación fuese un m e­ dio discontinuo consistente de cuantos de energía independientes»3. Este resultado sugirió a Einstein la idea heurística de dar «el paso ob­ vio» de investigar «si las leyes para la emisión y transformación de la luz son también de tal naturaleza que se pueden interpretar o explicar suponiendo que la luz está formada por tales cuantos de energía». Fue solamente entonces cuando Einstein pasó a estudiar el efecto foto­ eléctrico, un fenómeno descubierto por Hertz y que no podía explicar­ se en base a la tradicional teoría ondulatoria de la luz. como Lenard 2 Existen varias traducciones ai inglés de este artículo, p. ej. Arons y Peppard (1965). 3 Los principales detalles técnicos del artículo de Einstein se discuten de manera muy clara en lüein (1977).

(1902) había señalado durante sus trabajos experimentales de 19024. En la actualidad este artículo de Einstein es habitualm ente menciona­ do como aquel en el que se proporciona una explicación cuántica del efecto fotoeléctrico, pero en realidad esto es algo muy marginal en el artículo donde, por cierto, también se estudian otros efectos. Lo real­ mente importante para Einstein fue la introducción de los cuantos de energía como sustitutos del campo en la teoría de Maxwell, que se de­ mostraba no ser correcta microscópicamente. Por otra parte, este era el punto importante dentro del contexto de la discusión científica de la época. Planck había introducido los cuantos en 1900 como «una supo­ sición formal» sobre la que no se paró a pensar demasiado (carta de Planck a R. W. Woods, octubre de 1931, citada en Hermann 1971). En particular Planck no creía que la radiación electromagnética estu­ viese constituida por partículas. La propuesta de Einstein implicaba un cambio total en las ideas aceptadas en la época y de hecho la mayoría de los físicos fueron contrarios durante mucho tiempo a ella. En reali­ dad esta reacción es comprensible porque lo que Einstein estaba pi­ diendo con su artículo es que se cambiasen radicalmente los conceptos básicos con que hasta entonces se habían estado interpretando los fe­ nómenos de radiación. Según la lógica de los argumentos de Einstein, había que abandonar (al menos en el dominio microscópico) el forma­ lismo de campos para adoptar el esquema de interacciones a través de partículas5. Y esto en un período durante el cual y a pesar de la intro­ ducción de la cuantificación de Planck, el programa de investigación de Lorentz basado en la teoría de campos de Maxwell, estaba en su apogeo de popularidad. No hay duda de que para la gran mayoría de los físicos la propuesta de Einstein debió de parecer retrógrada, algo así como la resurrección de la vieja teoría óptica de Newton. Obviamente, Einstein no podía evitar enfrentarse con cuestiones tales como: ¿por qué, sin embargo, la teoría ondulatoria del electro­ magnetismo ha tenido tanto éxito hasta ahora?, o ¿cómo se pueden incorporar al esquema de los cuantos fenómenos como la difracción? La respuesta de Einstein a estos interrogantes se haya ya contenida en la introducción a su artículo 1905 donde escribe: «la teoría ondulatoria de la luz... ha funcionado bien en la representación de fenómenos pu4 Es interesante señalar que aunque los experimentos de Lenard de 1902 tienen to­ das las características de lo que algunos filósofos llaman «experimentos cruciales», nadie antes de 1903 los consideró como tales. Mis aún, el artículo de Einstein de 1905 sobre los cuantos de energía no estuvo motivado por la intención de explicar este resultado ne­ gativo, como algunas metodologías de la ciencia en las que los experimentos cruciales juegan un destacado papel requerirían. 5 Yo asimilo cuantos con partículas; en realidad, Einstein fue mis cauto en su terminología (aunque las ideas subyacentes fuesen muy parecidas) utilizando expresiones como «cuantos de energía que están localizados en puntos del espacio».

ramente ópticos y probablemente nunca será reemplazada por otra teoría. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que las observaciones óp­ ticas se refieren a medias temporales más que a valores instantáneos» (las itálicas son mías). Por consiguiente —parecía estar afirmando Einstein— la teoría de Maxwell solamente es válida, en principio, para aplicaciones macroscópicas y en este sentido explica la difracción, por ejemplo. Por el contrario en el nivel microscópico, donde ocurren fe­ nómenos elementales como el efecto fotoeléctrico, se deben introducir cuantos de energía. Las palabras de Einstein parecen indicar también que debería ser posible recuperar los fenómenos que ocurren a gran es­ cala utilizando los cuantos de energía junto a consideraciones estadísticas. En este sentido el abandono de los campos sería completo y fenómenos tales como la difracción se podrían considerar como con­ secuencias estadísticas de los cuantos. La introducción de los cuantos de energía podría considerarse, jun­ to a su otro artículo de 1905 «Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento», como las bases de un programa que Einstein se h u ­ biese planteado para eliminar de la física el éter y lo los campos de una forma consistente. En efecto, con la relatividad especial Einstein fue capaz de eliminar el éter como una complicación innecesaria, pero de acuerdo a la problemática de la época quedaba aún por responder a la cuestión de qué entidad transportaba o mantenía las ondas de luz. El artículo de Einstein «Un punto de vista heurístico...» puede interpre­ tarse como la afirmación de que las ondas de luz ya no eran necesarias y que por consiguiente no había que preocuparse de éteres o campos. Un aspecto de la personalidad de Einstein que sugiere fuertemente que éste podría haber sido en realidad su propio programa, lo constituye la profunda repugnancia que sentía ante la presencia de dualidades en la descripción de entidades físicas, y la coexistencia de partículas y campos en la estructura formal de la física originaba una de estas dualidades. De hecho, Einstein comenzó su artículo de 1905 sobre la estructura de la radiación diciendo que «existe una profunda distinción formal entre los conceptos teóricos que la física ha de­ sarrollado en lo referente a los gases y otros cuerpos ponderables y la teoría maxwelliana de los procesos electromagnéticos en el llamado es­ pacio vacío»6. Einstein se estaba refiriendo aquí a la dualidad esencial existente al considerar por un lado partículas, cuyo estado viene completamente determinado por un número finito de magnitudes, y por otro campos, cuyas funciones continuas necesitan un número infi­ nito de datos para ser especificadas. En el artículo que estamos estu­ 6 Obsérvese la analogía existente entre el planteamiento o motivación, de que parte Einstein en este artículo y el que utilizó en su artículo de la relatividad especial (ver capítulo 4 de este libro).

diando, la respuesta de Einstein era esencialmente que esperaba que la dualidad desaparecería eliminando los campos. De esta forma estaba manteniendo vivo el espíritu de sus primeras investigaciones de 19001904. ¿A qué se debe entonces el que Einstein, como ya he indicado y como veremos con más detalle posteriormente7, fuese durante la m a­ yor parte de su vida (al menos después de 1909) un ardiente defensor del concepto de campo? En otras palabras, nos enfrentamos con la pre­ gunta, ¿por qué invirtió Einstein la tendencia general de sus investiga­ ciones? Para analizar esta cuestión desde una perspectiva más adecuada hemos de proseguir estudiando los trabajos de Einstein sobre la teoría de la radiación realizados después de 1905. El tratamiento que había dado Einstein a la radiación de un cuerpo negro en 1905 no había sido completamente satisfactorio y él mismo fue el primero en darse cuenta de ello. Había utilizado, por ejemplo, la ley de W ien8 u(p, D =

a'


(7.1)

en los cálculos que le condujeron a la hipótesis de los cuantos, cuando se sabía después de los trabajos experimentales de Lummer, Pringsheim, Rubens y Kurlbaum, llevados a cabo entre 1899 y 1900, que la ley de Wien era solamente una expresión aproximada que fallaba en el límite cuando v / T ~ o. Por consiguiente una de las muchas tareas que Einstein debía afrontar era el justificar su propuesta de los cuantos de energía de forma tal que involucrase a la ley de radiación de Planck. Dos artículos —ambos publicados en 1909— son importantes al respecto. El primero de ellos (Einstein 1909a) tiene por título «Estado actual del problema de la radiación»; el segundo (Einstein 1909b) constituyó la conferencia que Einstein pronunció ante el 81 congreso de científicos de la naturaleza alemanes que tuvo lugar en Salzburgo, del 19 al 25 de septiembre y se titula «Sobre el desarrollo de nuestras ideas relativas a la naturaleza y composición de la radiación». En ambos trabajos Einstein señalaba que si se acepta la validez de las ecuaciones de Maxwell en el dominio microscópico, como hacía por ejemplo Lorentz, entonces la teoría estadística del calor conducía inevi­ tablemente a la ley de Rayleigh-Jeans9 __________

«(», T) = ^

c3

kT,

(7.2)

7 Ver capitulo 13. 8 u (f, T) representa la energía electromagnética por unidad de volumen y para la frecuencia v\ T ía temperatura absoluta y a, a ' constantes. 9 i es la constante de Boltzmann.

ley repudiada por los hechos experimentales, y que este resultado no podía ser modificado ni siquiera utilizando los argumentos de Planck; o, en otras palabras, no bastaba con suponer solamente que la emisión y absorción de energía tenían lugar en múltiplos de h v I0. Einstein in­ dicó que era absolutam ente necesario suponer que la energía de ra­ diación existe solamente en múltiplos de hv (es decir, que la radiación es «transportada» por cuantos). Ahora bien, también se dio cuenta de que tampoco se obtienen los resultados correctos suponiendo simple­ m ente que la radiación está compuesta de cuantos que se mueven in­ dependientem ente los unos de los otros (más consideraciones estadísticas). Einstein llegó a esta conclusión estudiando las fluc­ tuaciones de energía < e 2> , que tienen lugar en una cavidad de volu­ men f ile n a de radiación. Tomando como modelo su trabajo de 1905 sobre la teoría del movimiento browniano y utilizando la termodiná­ mica, el principio de Boltzmann y la ley de radiación de Planck, Eins­ tein llegó a la siguiente expresión11 = Vdv [bvQ + ( _ f L ) e 2]

(7.3)

(Señalemos que dentro de la región de validez de la ley de distribu­ ción de W ien solamente se obtiene el primer término; mientras que el segundo aparece en el dominio en que es válida la ley de RayleighJeans.) Esta expresión tenía una gran importancia por las siguientes razo­ nes (que Einstein señalaba en su artículo): i) Si se supone que (a) la radiación está compuesta de (4 -) cuantos hv que se mueven independientem ente y dotados, cada uno, de una energía hv, y (b) que es válida la ley de los grandes números, entonces se obtiene una expresión donde sólo aparece el primer término del corchete de (7.3). ii) Por otra parte, si uno se basa en la teoría ondulatoria de la ra­ diación la expresión a la que se llega sólo contiene el segundo término de (7.3). En otras palabras, ni ondas —electrodinámica clásica— ni partículas —mecánica estadística— podrían, por separado, cubrir todo el espectro de frecuencias y energías de la radiación12. 10 Clásicamente, la ley de Rayleigh-Jeans era irrefutable y en este sentido Jeans, Lord Rayleigh y Lorentz —este último hasta 1908— adoptaron una postura totalmente consis­ tente desde un punto de vista clásico. 11 q representa la energía de radiación térmica con frecuencia v y a la temperatura T. 12 Einstein sacó conclusiones análogas al estudiar el caso de un recipiente contenien­ do radiación de cuerpo negro y un espejo que se mueve libremente perq que refleja úni­

En base a estos resultados parecía, por consiguiente, imposible no concluir que la radiación tenía sus orígenes en alguna especie de mezcla entre ondas y partículas, pero no existía ninguna teoría capaz de incorporar simultáneamente conceptos tan complementarios13. A esta «dualidad onda-partícula» se estaba refiriendo Einstein (1909b) cuando escribía14. «La dificultad principal reside en el hecho de que las propiedades de fluc­ tuación de la radiación... constituyen una base muy pequeña para establecer una teoría. Imaginar por ejemplo que se desconociesen todavía los fenómenos de difracción e interferencia, pero que supiésemos que el valor medio de las irregulares fluctuaciones de la presión de radiación viniese dado por el segundo término de [(7 .3 )], donde v fuese un parámetro de significado desconocido que determinase el color. ¿Quién tendría la suficiente imaginación como para construir sobre estos fundamentos toda la teoría ondulatoria de la luz?»

Lo verdaderamente importante para nosotros es que, en vista de todos estos resultados, el programa de Einstein encaminado a explicar todos los aspectos ondulatorios (o de campos) como consecuencias macroscópicas de movimientos á la Newton (entendiendo esta expre­ sión en un sentido muy amplio) aparecía como más que dudoso. Las mismas opiniones de Einstein, tal como las expresó en el congreso de Salzburgo, eran ya mucho más cautas que antes. Así decía, por ejemplo, que «en mi opinión... la próxima fase del desarrollo de la física teórica nos traerá una teoría de la luz que se pueda interpretar como una especie de fusión de las teorías ondulatorias y de emisión» (Einstein 1909b). En vista de esto nos surge como inevitable la si­ guiente pregunta: ¿estaba por entonces Einstein pensando en alguna forma específica de «fusión»? Parece que, en efecto, así era y en este sentido se dirigió a Planck en la discusión que siguió a su conferencia de Salzburgo (Einstein 1909b): camente radiación del intervalo (», v + dv). Las fluctuaciones, A, de la velocidad del espejo en una unidad de tiempo r corresponden a las fluctuaciones de la radiación en la cavidad. La expresión que se obtiene es

-

t

- ( -) c

\hQV

+

8ttv 1

]A

*

donde e es la densidad de radiación en el intervalo (v, v + dv) y A la superficie del es­ pejo. 13 Por supuesto, en las teorías de campos habituales, campos y panículas (el electrón, por ejemplo) coexisten en forma armónica, pero este tipo de coexistencia lo incluyo implícitamente al referirme a ondas como contraposición a partículas. Lo que es­ taba en discusión era otro tipo —todavía por vislumbrar— de coexistencia. 14 Citado en Klein (1964). Recomiendo al lector este artículo para una discusión bas­ tante completa sobre Einstein y la dualidad onda-corpúsculo.

«A ctualm ente m e parece qu e la concepción más n atu ral es la de q u e la existen­ cia del cam po electrom agnético de la luz está u n id a a u n p u n to singular exac­ tam ente com o lo está la existencia de u n cam po electrostático de acuerdo con la teoría del electrón. N o está descartado el q u e, en u n a teoría tal, toda la energía del cam po electrom agnético pudiese verse com o concentrada com pleta­ m ente en estas singularidades locales, precisam ente como en la vieja teoría de acción a distancia. Me im agino a cada uno de tales pu ntos singulares como ro­ deados por u n cam po de fuerzas qu e posee el carácter de u n a o n da y cuya am p litu d decrece con la distancia al p u n to singular. Si estuviesen presentes en u n espacio pequ eño m uchas de tales irregularidades, entonces los campos de fuerzas se solaparían y form arían u n cam po de fuerzas ondulatorias que diferiría m uy poco de u n cam po de ondas de la actual teoría electrom agnética.»

Vemos, por consiguiente, cómo de manera perfectamente perceptible Einstein iba modificando la, digamos, «metafísica» subyacente en sus ideas. Ya no esperaba poder reducir los aspectos ondulatorios del electromagnetismo a los cuantos considerados como partículas, sino a campos elementales asociados a singularidades. Los cuantos pasarían así a ser singularidades, cada una de las cuales «arrastraría» un campo propio. Se puede decir, por tanto, y en esto estoy totalm ente de acuer­ do con Russell McCormmach (1970, pág. 71) que hacia 1909 Einstein comenzó a argumentar que el único formalismo capaz de unificar la física teórica era el formado por las funciones espaciales continuas y las ecuaciones en derivadas parciales de la teoría de campos. Como dice McCormmach, «a partir de aquel momento el campo sería el concepto básico de su física». 3.

La teoría del electrón

En la sección anterior hemos visto las principales razones objetivas que impulsaron a Einstein a cambiar de programa, o si se quiere, a modificar su punto de vista heurístico. También hemos visto cómo Einstein se fue inclinando hacia el «camino de campos», y es precisa­ m ente al llegar a este punto cuando nos tenemos que formular la si­ guiente pregunta: ¿por qué, de entre todas las posibilidades existen­ tes, Einstein fue a seleccionar el concepto de campo? Está claro que, cualesquiera que fuesen sus razones, estas debieron surgir de conside­ raciones ajenas al camino mecánico-estadístico que hasta entonces había estado siguiendo, ya que allí el concepto de campo no es impor­ tante. En mi opinión, una de las razones que condicionaron este cambio de programa fue que Einstein comenzó — ¡al fin!— a ser influenciado por la entonces prevaleciente visión electromagnética de la naturaleza.

De hecho en 1934, y mirando retrospectivamente a sus trabajos en gra­ vitación (que en muchos sentidos se solapan, como veremos con más detalle en el capítulo 13, con su dedicación a la estructura de la ra­ diación), Einstein (1934) confesaba que «como la mayoría de los escri­ tores de aquella época, yo también intenté construir una ley de cam­ pos para la gravitación» (las cursivas son mías), palabras éstas que reve­ lan que a pesar de su independencia de carácter tam bién Einstein podía ser influenciado por opiniones mayoritarias. En realidad el interés de Einstein por el concepto de campo es prácticamente simultáneo —o incluso identifkable— con su interés por la teoría del electrón de Lorentz15. De hecho, llegó a la conclusión de que la mejor forma de resolver el problema básico de la relación entre cuantos de luz y campos electromagnéticos era a través de una revisión radical de la teoría de Lorentz. No es sorprendente que una vez aceptada la idea de que la clave estaba en el programa de Lorentz, Einstein pensase que había que modificar la teoría del electrón, ya que él mismo —como indicó en diferentes ocasiones16— sabía muy bien que la electrodinámica clásica no era correcta al menos al nivel macros­ cópico (la expresión (7.3), como ya dije, no se podía obtener utilizando sólo la electrodinámica; tam bién estaban los problemas a que se refirió en su artículo de 1905, «Un punto de vista heurístico...»). Sin embar­ go, sí es sorprendente hasta cierto punto el que llegase a la conclusión de que la clave para resolver el problema podía estar relacionada con la teoría de Lorentz. En la práctica el razonamiento que siguió Einstein es a la vez sencillo y profundo; consistía en suponer que el problema de cómo relacionar cuantos de luz discretos con un campo electromag­ nético continuo era, en esencia, de la misma naturaleza que el existen­ te en la teoría de Lorentz, donde electrones y campo electromagnético aparecen como dos entidades irreducibles, es decir, que es imposible deducir la existencia del punto de carga (masa) o electrón, junto con sus ecuaciones de movimiento, de las ecuaciones del campo. Debido a esta similitud Einstein supuso que ambos problemas debían de resol­ verse simultáneamente. Hasta cierto punto era una suposición natural ya que lo que se tenía en realidad era el «cuanto de luz» y el «cuanto de electricidad», y ambos, luz al igual que electricidad, significan «campo electromagnético» (tanto en las teorías predominantes enton­ ces como en las de ahora). Estas impresiones se vieron reforzadas cuan­ do Einstein advirtió —utilizando la ley de la radiación de Planck— la existencia de una relación de orden de magnitud entre la constante de 15 La referencia esencial para lo que sigue es McCormmach (1970). 16 Ver por ejemplo sus notas autobiográfica (Einstein 1949) o la carta que escribió a Laue el 17 de enero de 1952 (citada en Holton 1967-68 y en Sánchez Ron, 1978, pág. 156).

Planck, h, y la carga del electrón, e. Esta relación era b — e2l c 17 y en ella Einstein veía la indicación de que «la misma modificación de la teoría [de Maxwell-Lorentz] que lleve como una consecuencia al cuan­ to elemental e, llevará también como una consecuencia a la estructura cuántica de la radiación»18. En otras palabras, Einstein quería una teoría de campos con soluciones cuánticas, un tema este que nos volve­ rá a aparecer cuando estudiemos, en el capítulo 13, los primeros pasos de Einstein en busca de una teoría unificada de campos. Una de las ventajas (o propiedades) de este «campo primordial» debería de ser el permitir comprender la, en principio, diferente naturaleza de los dos términos que aparecen en las expresiones de las fluctuaciones de energía en una cavidad llena de radiación. Einstein no llegó nunca a publicar ninguna de las diferentes teorías que construyó con la intención de que reemplazasen a la electrodiná­ mica de Maxwell-Lorentz. Sabemos, sin embargo, de su existencia e incluso bastantes detalles de sus respectivos contenidos a través de la correspondencia que mantuvo con Lorentz. Esta correspondencia, de­ positada en su mayoría en el Algem een Rijksarchief de La Haya, no ha sido publicada todavía pero ha sido estudiada y comentada por McCormmach (1970), a través de cuyo trabajo podemos ver con qué in­ tensidad Einstein intentó resolver este problema, solución que final­ mente se le escaparía. No voy a comentar aquí detalles de las alternati­ vas propuestas de Einstein, como puede ser, por ejemplo, ecuaciones de ondas sustitutas de la ecuación de ondas clásica, etc., porque para nosotros lo importante no son los detalles sino el concepto primordial de la teoría y su motivación, y estos puntos ya los he aclarado en el texto precedente. Sin embargo quiero terminar mencionando un pun­ to de entre todos los que surgen al leer la correspondencia entre Eins­ tein y Lorentz, que por así decir, anuncia otra de las características esenciales de la relatividad general, que es una teoría de campos no li­ neal. En una carta que escribía a Lorentz el 23 de mayo de 1909, Einstein afirmaba que la ecuación que sustituyese a la clásica 1

c2dt2

d 2_

/

( dx*

d 24>

(

d 2

dy2

+

d 2 v

n

dz*

además de contener e2 (para así incorporar de alguna forma el resulta­ do de que hablé antes) debería de ser no lineal ni homogénea, «de otra forma la radiación no tendría las propiedades estadísticas ade­ 17 Existía una diferencia de tres órdenes de magnitud (h = 6 x 10"27 y e*lc = 7 x l
cuadas». En esta carta, Einstein no hace explícitas sus razones pero es muy probable que éstas fueran las mismas que muchos años más tarde mencionaba en sus notas autobiográficas (Einstein 1949): i) sólo ecuaciones no lineales pueden dar cuenta de la estabilidad del electrón, y ii) si las ecuaciones son lineales y homogéneas la suma de dos solu­ ciones es también una solución, siendo así, por consiguiente, im po­ sible deducir la interacción entre partículas. Aunque un año más tarde cambiase de opinión en lo que a la no linealidad y no homogeneidad se refiere, vemos que ya en 1909 aparecía el segundo de los grandes temas que dominan la relatividad general: la idea de que la interacción no sólo debía de ser «transporta­ da» mediante campos, sino que además éstos debían de ser descritos por una teoría no lineal.

Capítulo 8 LAS TEORIAS DE LA GRAVITACION EN LA GENERACION ANTERIOR A EINSTEIN

1.

Introducción

Desafortunadamente está bastante extendida la creencia de que el estudio de la gravitación fue un tema al que los físicos, una vez acep­ tada la teoría newtoniana y salvo desarrollos de índole matemático, no prestaron ninguna atención hasta que, en 1915, Einstein formuló la teoría de la relatividad general, una teoría del campo gravitacional que, como sabemos, supera a la de Newton. En este sentido se consi­ dera a la relatividad general como un producto completamente extra­ ño a todas las corrientes de investigación existentes en la física en la época, hecho que, por supuesto, contribuye a realzar aún más, dentro del folklore popular, la figura de Einstein con sus atributos de origina­ lidad e independencia. La historia real1 no confirma estas creencias. Existió en el período aproximado entre 18802 y 1911, una gran actividad —en términos 1 Todo aquíl que quieta profundizar mis en el tema de este capítulo debe consul­ tar: Whewell (1857), «Additions to the Third Edition», especialmente págs. 456-473; Zenneck (1901); Oppenheim (1920); Chazy (1928); Whittaker (1953), capítulo 5; North (1965); Woodward (1972) y Pyenson (1974), págs. 3-58. 2 También antes, pero tomo 1880 como cota inferior para mi discusión.

relativos— en torno a los problemas suscitados por el tratamiento cuantitativo de los fenómenos gravitacionales, actividad encaminada incluso hacia la reformulación de la ley de la gravitación universal de Newton, uno de los pilares de la llamada física clásica. En este capítulo, y de forma muy sucinta, discutiré parte de la acti­ vidad desplegada por físicos y matemáticos durante la generación ante­ rior a Einstein en torno a los fenómenos gravitacionales. 2.

Astronomía, astrofísica y la teoría de la gravitación

En 1895, Simón Newcomb (1895) pasaba revista a los problemas que las observaciones realizadas de los movimientos de los cuerpos ce­ lestes presentaban a la ley de gravitación y dinámica newtonianas. Su lista incluía esencialmente seis puntos: 1) La precesión del perihelio de Mercurio era, aproximadamente, 40 segundos de arco mayor que la prevista por la teoría newtoniana (y esto era 30 veces el error probable de cálculo). 2) Los nodos de la órbita de Venus eran 5 veces más grandes que los errores probables de cálculo. 3) El desplazamiento del perihelio de Marte era 3 veces mayor que los posibles errores de cálculo. 4) La excentricidad de la órbita de Mercurio era doble que los erro­ res de cálculo. 5) La existencia de una anomalía en el movimiento del cometa de Encke. 6 ) Una pequeña irregularidad en el movimiento de la Luna. Entre todos estos puntos, los que atraían más la atención era el pri­ mero y el quinto. (El primero era conocido desde 1850, cuando Le Verrier estudió las perturbaciones producidas por otros planetas en Mercurio5). Ahora bien, no es el reconocimiento de la existencia de unas ciertas anomalías lo que demuestra la vitalidad real de un campo de investi­ gación, sino más bien la variedad de hipótesis que se manejan para eliminar dichas anomalías. Así tenemos que, en la época que nos inte­ resa, se consideraban como posibles razones que explicasen los movi­ mientos del perihelio de Mercurio y del cometa de Encke las siguien­ tes:

5 Le Verrier encontró que, debido a la atracción de los planetas conocidos hasta en­ tonces, el perihelio de Mercurio deberla girar 527" por siglo, mientras que lo que se ob­ servaba era superior a este valor en 38".

2 .a. Posibles explicaciones para el movimiento del perihelio de Mercurio i) La hipótesis más utilizada normalmente era la de suponer la existencia de masas no descubiertas todavía en los alrededores de Mercurio4. ii) Un caso particular de i) consistía en suponer la existencia de un planeta no descubierto todavía, cuya órbita estuviese entre las de Mer­ curio y el Sol. Sin embargo, Newcomb demostró teóricamente que aunque, en efecto, así se podrían explicar los valores que se observa­ ban para el desplazamiento del perihelio de Mercurio, se tendría por otra parte que las perturbaciones que este nuevo planeta introduciría en las órbitas de otros planetas serían irreparables. De cualquier modo este hipotético planeta (denominado Vulcano) nunca fue observado a pesar de los repetidos esfuerzos realizados. iii) Una segunda variante de i) era suponer que la masa no obser­ vada se encontraba en bandas de polvo interestelar. Hugo von Seeliger (1906), un muy influyente astrónomo de Munich, propuso en 1906 es­ ta hipótesis, sobre la que ya había especulado varios años antes. A pe­ sar de la falta de corroboración experimental, Seeliger no abandonó su teoría, considerándola, después de 1915, como una alternativa a la teoría de la relatividad de Einstein. iv) Otra hipótesis utilizada consistía en suponer que el Sol no era perfectamente esférico. Esta posibilidad fue rechazada en 1895 por F. F. Tisserand y por Newcomb, aunque sería resucitada periódica­ m ente después de 19005. 2.b.

El movimiento del cometa ele Encke

Este cometa fue descubierto en 1786 por Pierre Méchain y observa­ do sistemáticamente, entre 1829 y 1854, por Johann Franz Encke quien, además, calculó que su período era de 3,3 años. Ahora bien, después de observar el cometa durante varios años Encke llegó a la conclusión de que su período y su órbita se iban haciendo cada vez menores6. Como hipótesis para subsanar esta anomalía, Encke y T.

4 Fue, de hecho, Le Verrier el primero que, en 1850, sugirió esta posibilidad. 5 Es importante señalar que, debido al trabajo llevado a cabo en relación con esta hi­ pótesis, cuando hubo que comprobar si la predicción de Einstein relativa a la desviación de los rayos de luz era correcta, los astrónomos ya tenían a su disposición datos y cálculos relativos a las densidades de la corona solar y a su relación con la gravedad. 6 Ver Encke, «Ueber den Kometen von Pons», Berlín A bh. (1829, 1831, 1833, 1842, 1845, 1851, 1854), artículos reproducidos en Encke (1888-1889).

von Oppolzer, en 1880, y —con una variante— J. O. Backlund, en 1910, propusieron la existencia de un medio a lo largo de la órbita re­ corrida por el cometa. Este medio produciría un efecto de «frenado» en el cometa con lo que se podrían explicar los valores observados7. Se su­ girió incluso que tal medio podía ser el «éter luminífero».

3.

La velocidad de propagación de la gravitación

A pesar del prestigio acumulado por la teoría de la gravitación uni­ versal de Newton, el hecho de que ésta fuese una teoría de acción (ins­ tantánea) a distancia; es decir, que no necesitase de ningún medio pa­ ra que la interacción gravitatoria se propagase, fue algo que nunca p u ­ do ser aceptado totalm ente por los estudiosos de la gravitación8. De hecho el que la ley de fuerzas newtoniana dependiese de la distancia relativa entre los cuerpos en interacción, parecía indicar que, en algún nivel de explicación más profundo, debería aparecer un medio «sobre el que» se pudiese propagar —con velocidad fin ita — la interacción gravitatoria. En efecto, una fuerza realmente a distancia e instantánea se concibe, tal vez, de una forma mucho más natural como debida a una especie de conexión rígida entre cuerpos, algo que implica una fuerza independiente de la distancia relativa. Una característica común de todas estas posibles teorías de gravita­ ción en las que la interacción sería por contacto es la de que en ellas la gravitación se propaga con velocidad finita. Un intento notable en este sentido fue el llevado a cabo en 1805 por P. S. de Laplace, quien en uno de los libros de su Mécanique Celeste9 comentó acerca de la posi­ bilidad de que la gravitación fuese en realidad producida por el im ­ pulso que un «fluido gravitacional» —fluyendo con una velocidad diri­ gida hacia el centro de atracción— imprimiese en el «cuerpo atraído». Así, según Laplace, en una situación como la representada en la figura adjunta,

7 Despufs de 1915 el estudio del cometa de Hncke fue importante para aquellos que no aceptaban la relatividad general, ya que esta teoría tampoco explicaba las anomalías observadas en su órbita. El estado actual de este problema se discute en Whipple (1980). 8 Para estas cuestiones véase Sánchez Ron (1978), parte I. 9 Libro X, cap. vii, § 22.

la fuerza gravitatoria, Fc , producida por una masa, m t , en otra, m 2, que se mueve con velocidad sería ( 8 . 1 a)

Fc = Fi + Fz donde

r _ Gm^ntz ( iTz\ h ---------— ·<*->

. ·

( 8 . 1 b)

(es decir, F2 es una corrección a la ley de Newton) siendo h la veloci­ dad de propagación de la gravitación. Para determinar h, Laplace utili­ zó el valor conocido de la aceleración secular de la Luna (una de las anomalías de la teoría newtoniana). De esta forma obtuvo una cota in­ ferior para h, igual a 50 millones de veces el valor de la velocidad de la lu z 10, por lo que concluyó que, en la práctica, se podía considerar co­ mo infinita. Es únicamente a partir de los alrededores de 1880, cuando se puede decir que prácticamente ningún científico argumentaba a priori que la gravitación se debía propagar con velocidad infinita. No tiene en realidad nada de extraño que, en una época en la que ya se habían contemplado los trabajos de Faraday (1775-1836) y Maxwell (1831-1879) y en la que los fenómenos electromagnéticos eran objeto

10 En realidad el cómputo de Laplace sobre la velocidad de la gravitación se basaba en hipótesis erróneas. VerCapek (1965), págs. 109 y 183.

de atención preferente, se considerase como natural el que la velocidad de propagación de la interacción gravitatoria fuese, al menos, igual a la velocidad de la luz. En este sentido no se puede decir que todo el contenido de la relatividad general constituyese una sorprendente no­ vedad para la mayoría de los físicos de la época. Una breve lista de científicos que utilizaron la hipótesis de una ve­ locidad finita de propagación de la interacción gravitatoria, incluye a: Th. von Oppolzer en 1883 para estudiar las anomalías del cometa de Encke. J. von Hepperger, en 1889, se sirvió de las anomalías existentes en ciertas órbitas planetarias para calcular —suponiendo que la ley de la gravitación universal de Newton era exacta— que la gravitación se pro­ pagaba con una velocidad de, al menos, 500 veces la velocidad de la luz. Por otra parte, utilizando los datos que se tenían de! movimiento de la Luna, R. Lehmann-Filhés estableció, entre 1894 y 1896, que un límite inferior para h era 106 veces la velocidad de la luz. Por el contrario, K. Schwarzschild, en 1900, y H. Minkowski, en 1908, hi­ cieron cálculos suponiendo que la gravitación se propagaba con la misma velocidad que la luz. No estaban de acuerdo con esto ni H. Poincaré ni W. Ritz, siendo la estimación del primero (en cálculos realizados en 1908) de 24 x 1017 veces la velocidad de la luz, mientras que el se­ gundo aceptaba, en 1909, los valores dados por Laplace11. Para concluir este apartado debo de señalar que pese a que, como hemos visto, la idea de una velocidad finita para la propagación de la interacción gravitatoria estaba ya bastante extendida con anterioridad a 1 9 1 0 , el interés que dicha idea suscitó aumentó muy considerablemen­ te después de 1911, dentro del contexto de la respuesta a la teoría de la relatividad especial. 4.

La Ley de Gravitación

Otra posibilidad, diferente de las que ya hemos mencionado, para resolver los problemas que ocasionaban a la teoría newtoniana las anomalías existentes, era la de estudiar posibles alternativas a la ley de la gravitación universal de Newton. Esto fue algo que, a pesar de to­ do, se intentó relativamente poco, especialmente en lo que se refiere a buscar leyes de fuerzas radicalmente diferentes a la newtoniana, y no simples correcciones como vimos hizo Laplace [término F2 en la ec. (8.1)]. Entre los pocos que realizaron estudios en esta dirección se en­ cuentran Hugo von Seeliger (1895, 1896) y Cari Neum ann (1896). El 11 Para referencias completas ver Pyenson (1974) y North (1965).

punto de partida de ambos fue el reconocer que si se supone que el universo newtoniano (que se consideraba además estítico) tiene una extensión infinita y no esta vacío (densidad de materia, q , finita), en­ tonces la fuerza gravitatoria en cada punto no está definida (aparecen infinitos). Para evitar este problema Seeliger y Neumann propusieron que se sustituyese el potencial newtoniano, N = — ——■, por 4, = -

r

e- ^

(8 . 2 )

(k = constante ~ 0), cuya integral permanece finita. Una consecuen­ cia de esto es que la ecuación de Poisson del campo gravitatorio, V 2 = 4ir G q, pasa a ser entonces V 20 - \ = 4 ttG q ,

(8.3)

(Es interesante señalar que (8.3) es muy parecida a la ecuación (12.30) que se obtiene como límite no relativista de las ecuaciones, (12.31), del campo gravitatorio con término cosmológico). De hecho, la expresión ( 8 .2 ) del potencial había sido tomada con anterioridad por Asaph Hall, quien demostró que con ella se podían explicar las anomalías existentes en las medidas del movimiento del perihelio de Mercurio. S.

Masa inercial y masa gravitatoria

Una de las bases sobre las que se levanta la teoría de la relatividad general es —como veremos en el capítulo 9— el principio de equiva­ lencia que expresado en forma grosera, «explica» el sorprendente hecho de que en la teoría newtoniana, la masa inercial, m¡, sea exacta­ m ente igual a la masa gravitatoria, m G. Pues bien, no fue Einstein si­ no Ernst Mach el primero en darse cuenta que m, = m c representaba un problema más que una coincidencia fortuita; en este sentido, las lecturas que Einstein hizo de Mach fueron decisivas —como veremos más tard e12— para el desarrollo de la relatividad general. Las ideas de Mach sobre esta cuestión se encuentran fundam ental­ m ente en su libro Desarrollo histórko-crítico de la mecánica (Mach 1883). En realidad, el problema para Mach surgió cuando se dio cuen­ ta de que existe una grave inconsistencia en la base de la mecánica newtoniana. Así escribe (Mach 1949, pág. 194) 12 Ver apéndice A.

«Nadie puede decir algo sobre el espacio absoluto o sobre el movimiento ab­ soluto, que no sean metas abstracciones sin manifestación posible en la expe­ riencia. Todos nuestros enunciados fundamentales de la mecánica, como he­ mos mostrado detalladamente, son experiencias sobre posiciones y movimien­ tos relativos de los cuerpos.» Entre otras cosas esto nos dice que (Mach 1949, págs. 196-197) «La experiencia de Newton con el vaso de agua que gira[1}], nos enseña simple­ mente que la rotación relativa del agua respecto de las paredes del vaso no des­ pierta ninguna fuerza centrífuga efectiva, pero que ésta es, en cambio, provo­ cada por la rotación relativa respecto de la masa de la tierra y de los demás astros.» Llegamos, por consiguiente, al punto esencial (Mach 1949, págs. 197198) «El comportamiento de los cuerpos terrestres respecto de la tierra, se puede re­ ducir a su comportamiento respecto de los lejanos cuerpos celestes. Querer afir­ mar que de los cuerpos móviles conocemos algo más de lo que denuncia la ex­ periencia respecto de su hipotético comportamiento frente a los cuerpos celes­ tes, es hacernos culpables de una falsedad. Cuando decimos que un cuerpo mantiene su dirección y su velocidad en el espacio, con eso simplemente expre­ samos, en una forma abreviada, una observación sobre todo el universo.» En definitiva, lo que Mach intentó fue definir, en una forma que tiene mucho de cosmológica, la noción de m¡. Rechazaba la idea de que 'masa' era sinónimo de ‘cantidad de m ateria’. Para él la pro­ piedad llamada 'inercia' se definía como una ‘relación funcional' entre un par arbitrario de partes de un sistema material. En particular, si eran las fuerzas gravitatorias las que producían inercia, entonces (y ya que toda mc del universo interacciona con toda otra m c) la inercia de una masa particular —esto es, m ¡— se puede considerar como una mera manifestación de la forma en que está distribuida el resto de la materia del universo. Las ideas de Mach relativas a la masa inercial, influyeron de forma considerable no sólo a Einstein, sino tam bién en a) Círculos positivistas (filósofos especialmente); y b) algunos físicos como, por ejemplo, René de Saussure, quien en 1904 desarrolló una teoría en la que, introduciendo un campo gravitatorio de intensi­ dad F, se obtenía a partir del teorema de Gauss la expresión (8.4) 13 Para una discusión muy pedagógica de la experiencia de Newton con el vaso de agua que gira ver Sciama (1961).

siendo d T el elemento de superficie de una superficie que encierra al cuerpo en cuestión. Como características positivas de (8.4) estaban el que, obviamente, proporcionaba la masa inercial en función del cam­ po gravitatorio, pero tam bién el que conducía a la ley de la gravitación universal de Newton. Diré, por últim o, que esta línea de investigación «machiana» se vio muy favorecida por los resultados de los experimentos realizados por Roland von Eotvos en 1910. 6.

Electrodinámica y gravitación

Como ya dije en la sección 3, el campo de investigación que dom i­ nó el período que nos ocupa en este capítulo fue el electromagnetis­ mo. No tiene, por consiguiente, nada de sorprendente que la mayor parte de los intentos realizados para resolver los problemas con que se encontraba la teoría newtoniana de la gravitación, se basasen, explícitamente, en las distintas teorías electromagnéticas que —con el triunfo final de la de Maxwell— pugnaron por describir correctamente los fenómenos electromagnéticos. En lo que se refiere a la génesis de la relatividad general, un aspec­ to importante de esta asociación entre gravitación y electrodinámica es que, al aceptarse finalmente que la teoría que describía correctamente los fenómenos electromagnéticos era una teoría de campos (la de Max­ well), se preparaba el camino hacia una explicación de los fenómenos gravitacionales basada en una formulación de campos, como ocurre con la relatividad general14. Pero pasemos ya a comentar los principa­ les desarrollos que tuvieron lugar. Bajo la influencia de las ideas que, en electrodinámica, defendía W . W eber1’ los astrónomos comenzaron a pensar 16 en modificar la ley de Newton añadiendo términos que dependiesen de las velocidades de los cuerpos involucrados (Weber había hecho lo propio con la ley de Coulomb). Así, en 1870 F. G. Holzmueller hizo algo muy natural te­ niendo en cuenta la analogía formal que existe entre las leyes de New­ ton y de Coulomb: suponer que la ley de gravitación tenía la misma forma que la ley de Weber para la electrodinámica; se tenía así enton­ ces como fuerza gravitacional

D_ F —

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f, _ 1 , dr ^ L

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2 r b2 r d f \ '

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14 Véase capítulo 7 donde también discutí, desde otra perspectiva, este tipo de cues­ tiones. 15 Ver capítulo 2. 16 Whittaker (1953, págs. 207-208).

(se mantiene la notación introducida en la sección 3). Más tarde F. Tisserand utilizaría (8.5) para estudiar los movimientos de algunos plane­ tas (así explicaba 14" de arco por siglo de la anomalía en el movimien­ to del perihelio de Mercurio17). Algo parecido hicieron O. Liman y M. Lévi en 1886 y 1890, res­ pectivamente. La única diferencia real es que ellos partieron de una ley electromagnética que había sugerido Riemann, con lo que tenían, en lugar de (8.5),

-

di , A

-

<8 6 >

donde r\ y rj denotan los radios vectores de m x y m 2. La ley de Riemann-Liman-Lévi explicaba 28" de la anomalía en el perihelio de Mercurio; es decir, 3/4 del valor observado frente a los 3/8 que se obtenían con (8.5). Fue, finalmente, Lévi quien, combinando m edian­ te un desarrollo puramente formal (8.5) y (8.6), encontró una ley de fuerzas que conducía al valor exacto observado para el movimiento del perihelio de Mercurio. En realidad el primer intento de formular una teoría gravitacional de cam pos —basándose en ideas o analogías electromagnéticas— fue realizado por el propio J. C. Maxwell (1864) quien, después de des­ cubrir qué atracciones y repulsiones eléctricas y magnéticas eran debi­ das a la acción de un éter (o campo) «electromagnético» y que además eran proporcionales al inverso del cuadrado de la distancia, se pregun­ tó si la gravitación, que depende de la distancia en la misma forma, no se debería a la acción de , donde = — ------ es el potencial r gravitacional en el punto en cuestión. Ahora bien, existe una diferen­ cia fundamental entre la interacción electromagnética y la gravitatoria: en la última los cuerpos involucrados son de la misma clase, existe sólo atracción, mientras que en la primera existen dos tipos o signos y por consiguiente repulsión además de atracción. Para incorporar este hecho a su teoría de gravitación, Maxwell tenía que sustituir su conocida expresión para la densidad de energía del campo, - y e„ E2, por a — @ £&, donde la constante a es la densidad de energía para

17 Más detalles en Whittaker (1953, pág. 208).

Eo = 0, y 0 ■ — G. Si se supone (como todo el m undo admitía 811 en los tiempos de Maxwell) que la energía es esencialmente positiva, entonces a > /3 Efe, con Ec el valor más grande para la fuerza gravitacional en cualquier punto del universo. Como consecuencia, en un lu­ gar donde la fuerza gravitacional se anule se tendrá que la energía intrínseca del medio deberá tener un valor enormemente grande. «Co­ m o soy incapaz de comprender en qué forma puede poseer un medio tales propiedades», escribía Maxwell, «no puedo ir más lejos en esta di­ rección de buscar la causa de la gravitación». En 1897, A. Foppl, que evidentemente no compartía la repulsión jue sentía Maxwell por grandes energías intrínsecas en el éter, intentó ormular una teoría en la que masas positivas y negativas tomasen el lugar de cargas positivas y negativas. Fdppl fue capaz de demostrar que la fuerza que actúa entre dos masas puntuales era la exigida por la ley de la gravitación universal de Newton. No obstante, sus ideas no atrajeron muchos seguidores debido, es de suponer, a las masas negati­ vas involucradas18. Otros y muy influyentes, aunque no los discutiré apenas para no extenderme demasiado, intentos de construir una teoría de gravitación basada en el electromagnetismo, fueron llevados a cabo por H. A. Lorentz y W . W ien, ambos en 1900 y por F. Wacker y A. Wilkens en 1906. Lorentz suponía que la fuerza eléctrica de atracción entre cargas de signo distinto era ligeramente superior a la de repulsión entre car­ gas de igual signo; así podía recuperar la ley de Newton pero no expli­ car el desplazamiento del perihelio de Mercurio. Wien discutió lo plausible de la idea de Lorentz, dentro del contexto de la teoría del electrón, donde la masa inercial se consideraba de origen totalmente electromagnético. Seguían también las líneas marcadas por la teoría del electrón los trabajos de Wacker y W ilkens19. Con esto llego al final de este capítulo. No he mencionado, por­ que, a mi juicio, su incidencia en la línea de trabajo seguida por Einstein es prácticamente nula, intentos de desarrollar nuevas teorías de gravitación basándose en ideas mecanicistas. Digamos simplemente que fueron éstos esencialmente de dos tipos: i) teorías en las que la in­ teracción gravitatoria se transmitía mediante partículas, y a las que hay que asociar los nombres de W . Thomson (Lord Kelvin), S. T. Preston y A. Jarolimek, por citar algunos, y ii) teorías que incluían partículas y un continuo; trabajaron en esta dirección, por ejemplo, G. Helm, G ., Kirchhoff y C. A. Bjerknes.

Í

18 Se puede obtener más información acerca de las teorías de Maxwell y Föppl en Whittaker (1953), Jammer (1961, págs. 128-131), Woodward (1972, págs. 168-169) y Havas (1979, págs. 83-84). 19 Para los trabajos de Lorentz, Wien, Wacker y Wilkens, ver Pyenson (1974).

Capítulo 9 EN BUSCA DE LA RELATIVIDAD GENERAL, I: EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

«En cuanto a la búsqueda de la verdad, sé de mi propia y dolorosa búsqueda, con sus muchos cami­ nos sin salida, qué difícil es dar un paso certero, por muy pequeño que sea, que lleve al conocimiento de lo verdaderamente importante.» (Einstein 1934)

1. El articulo de 1907 en el «Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik» En 1907 Johannes Stark pedía a Einstein que escribiese un artículo para la revista Jahrbuch der R adioaktivität u n d E lektronik de la que Stark era editor, en el que recopilase todo lo referente al «principio de relatividad». Este artículo (Einstein 1907'), titulado «El principio de relatividad y sus consecuencias», es im portante no sólo por su valor pe­ dagógico y de síntesis, sino también —y sobre todo— porque en él Einstein publicaba por primera vez2 sus reflexiones sobre el principio

1 Existe una traducción al inglés de este articulo, Schwartz (1977 a,b,c). 2 Stachel (1979b, pág. 430) señala que aunque efectivamente en el articulo de 1907 se encuentra lo primero que Einstein publicó en esta dirección, sin embargo ya antes habla tratado de establecer una teoría de gravitación dentro del contexto de la relativi­ dad especial, generalizando la teoría de Newton mediante el procedimiento de sustituir la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio newtoniano por su correspondiente relativista, la ecuación de d ’Alembert. Ahora bien, Einstein se encontró con que tal teoría violaba la equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria, motivo por el cual abandonó estos intentos. De hecho sólo después de 1914, y dentro del contexto de su discusión de la teoría de G. Nordstrom, se dio cuenta de que una teoría escalar es per­ fectamente compatible con el principio de equivalencia.

de la relatividad y la gravitación5. Creo que, para comenzar, la forma mejor —y más concisa— de captar el profundo alcance de estas refle­ xiones es reproducir lo que el mismo Einstein escribía en la sección 17 de dicho artículo, titulada «Sistemas de referencia acelerados y campos gravitacionales» (Einstein 1907, pág. 454, Schwartz 1977c, pág. 899). 1.a. Sistem as de referencia acelerados y cam pos gravitacionales: el principio de equivalencia «Hasta ahora» —escribía Einstein— «hemos aplicado el principio de relatividad —es decir, la suposición de que las leyes de la naturaleza son independientes del estado de movimiento del sistema de referencia— solamente a sistemas de referencia no acelerados. ¿Es concebible que el principio de relatividad sea váli­ do también para sistemas acelerados entre sí? Este no es realmente el lugar para un tratamiento exhaustivo de este tema. Sin embargo, y puesto que por sí mismo se impone en la mente dé cualquiera que haya seguido las anteriores aplicaciones del principio de relatividad, no me abstendré aquí de tomar posición en esta cuestión. Consideremos dos sistemas en movimiento, E, y £ 2. Supongamos que Ej está acelerado en la dirección de su eje X , y que 7 es el valor (constante en el tiempo) de esta aceleración. Supongamos que £ 2 está en reposo, pero situado en un campo gravitacional homogéneo, que imparte una aceleración — 7 en la dirección del eje X a todos los objetos. Por lo que sabemos, las leyes físicas con respecto a no difieren de aquellas con respecto a £ ¡ ; esto proviene del hecho de que todos los cuerpos son acelerados de la misma forma en un campo gravitacional. Por consiguien­ te, en base a nuestra experiencia actual, no tenemos ninguna razón para supo­ ner que los sistemas Ej y E¡2 puedan ser distinguidos entre sí de alguna mane­ ra, y por tanto supondremos que existe una equivalencia física completa enrre el campo gravitacional y la correspondiente aceleración del sistema de referen­ cia. Esta suposición extiende el principio de relatividad al caso de un movi­ miento de traslación uniformemente acelerado del sistema de referencia. El va­ lor heurístico de esta suposición se encuentra en que hace posible la sustitución de un campo gravitacional homogéneo por un sistema de referencia uniforme­ mente acelerado, siendo este último caso susceptible de tratamiento teórico hasta cierto grado.» En estos párrafos vemos cómo Einstein, de una forma magistral, conecta con la interacción gravitatoria su deseo de generalizar el princi­ pio de relatividad (especial) de manera que englobase una clase más amplia de sistemas de referencia que los inerciales. El vínculo de unión 5 «Principio de relatividad y gravitación» es de hecho el titulo de la pane V de Eins­ tein (1907) —Schwartz (1977c)— donde se tocan los temas que nos interesan en este capítulo.

es un dato que —como ya dije en el capítulo 8 , sección 5— aparece como una no explicada coincidencia en mecánica newtoniana: la pro­ porcionalidad (igualdad si se elige una definición adecuada) entre la masa inercial (que resiste a la aceleración) y la masa gravitatoria (que produce y responde a la gravitación)4. No hay duda de que esta igual­ dad produjo una honda impresión en Einstein; de hecho en su artículo de 1907 y en una sección anterior a las dedicadas a la gravitación, escribía (Einstein 1907, sección 1 1 , Schwartz 1977b, pág. 814): «La proporcionalidad entre las masas inercial y gravitatoria es válida para todos los cuerpos sin excepción, con la precisión [experimental] alcanzada por el mo­ mento, por tanto podemos suponer su validez general hasta que se demuestre lo contrario.» Lo que Einstein observó es que esta proporcionalidad tiene como consecuencia el que, al menos en un campo gravitacional homogéneo y para fenómenos mecánicos, no podamos distinguir entre un sistema de referencia que —en ausencia de cualquier tipo de campo— se mueve con una aceleración y y otro en reposo pero dentro de la zona de influencia de un campo gravitacional de magnitud y . He dicho fe­ nómenos mecánicos y, en efecto, esto es lo que se desprende de la m e­ cánica newtoniana, pero Einstein fue —ya en 1907— más allá y supu­ so que no sólo las leyes mecánicas sino todas las leyes de la física debían de ser las mismas en los dos sistemas de referencia. En realidad lo que de esta manera estaba formulando —todavía de una forma pri­ mitiva puesto que sólo se aplicaba a campos gravitacionales homogéneos— era lo que él mismo denominó principio de equivalencia' , principio que en nuestra formulación actual (esencial­ mente la misma que la de la teoría definitiva de Einstein) se puede enunciar de la siguiente forma (Weinberg 1972, pág. 6 8 ): «En un campo gravitacional arbitrario es posible elegir, en todo punto del espacio-tiempo, un “ sistema de coordenadas localmente inercial” tal que, dentro de una región suficientemente pequeña del punto en cuestión, las leyes de la naturaleza tomen la misma forma que en un sistema de coordenadas car­ tesiano no acelerado en ausencia de gravitación.» El principio de equivalencia fue la única pieza de todas las que for­ maban su «rompecabezas gravitacional» que en ningún momento 4 La mejor discusión que conozco donde se distingue entre m i y mc (activa y pasiva), conectando con el principio de equivalencia es de Pirani (1964, págs. 254-256). 5 Si se toma el principio de equivalencia como un elemento básico de la correspon­ diente teoría del campo gravitatorio, entonces la proporcionalidad entre m , y ma se puede considerar con una consecuencia necesaria de dicho principio. En este sentido se dice que el principio de equivalencia «explica» la proporcionalidad entre m , y mc

abandonó Einstein durante los ochos años que mediaron entre 1907 y 1915, cuando llegó a la formulación definitiva de la teoría de la relati­ vidad general. Estaba absolutamente convencido de que en él se en ­ contraba la clave para poder entender la interacción gravitatoria. 2.

El valor heurístico del principio de equivalencia

La principal ventaja de la forma en que Einstein se planteaba en 1907 el problema gravitacional no era sólo el que se descubría, por así decirlo, un principio general de la naturaleza, sino tam bién su valor heurístico ya que como, hasta cierto punto, se puede estudiar la diná­ mica relativista de un sistema acelerado, el principio de equivalencia hacía posible analizar el efecto de un campo gravitacional6 en el proce­ so correspondiente. De esta forma Einstein (1907, Schwartz 1977c) ob­ tuvo el resultado de que, en el caso de un campo gravitacional estático y espacialmente uniforme, la frecuencia de relojes situados en puntos de potencial gravitatorio pequeño es menor que la correspondiente a potenciales gravitatorios grandes. En sus palabras (Einstein 1907, sec­ ción 19; Schwartz 1977c, pág. 900): «Si en un punto P del campo gravitatorio $ está situado un reloj que indica el tiempo local, entonces... lo que marca es 1 + («Wc2) veces mayor que el tiem­ po t, es decir, corre 1 + («fc/t2) más deprisa que un reloj construido idéntica­ mente pero situado en el origen de coordenadas. Supongamos que un observa­ dor situado en un punto arbitrario del espacio observa de alguna manera las indicaciones de los dos relojes, p. ej., por medios ópticos. Como el intervalo temporal, Ar, que transcurre entre el instante de una indicación en uno de los relojes y el momento en que ésta es percibida por el observador es indepen­ diente de r, el reloj en P marcha —para un observador situado en un punto arbitrario del espacio— 1 + (4 >/c2) veces más deprisa que el reloj en el origen de coordenadas. Es en este sentido que podemos decir que el proceso que tiene lugar dentro del reloj —y de forma general todo proceso físico— ocurre con una frecuencia tanto más rápida cuanto más grande sea el potencial gravi­ tatorio del lugar donde se desarrolla. Ahora bien existen “relojes” que se encuentran en lugares con diferentes potenciales gravitatorios y cuyas frecuencias se pueden controlar en forma muy precisa; estos son los generadores de las rayas espectrales. Se sigue de la discu­ sión anteriorp] que la luz que viene de la superficie del Sol... tiene una longi­ tud de onda que es mayor en una dos millonésima parte que la de la luz gene­ 6 Homogéneo, aunque de hecho Einstein hace en más de un lugar la suposición explícita de que relaciones obtenidas en el caso de campos homogéneos son válidas tam­ bién para campos no homogéneos. 7 Aquí Einstein hace, en fotma de nota al pie de página, la suposición a la que nos referimos en la nota 6.

rada por un material idéntico [al que, en el Sol, produce dicha luz] en la su­ perficie de la Tierra.» Otro resultado obtenido por Einstein, esta vez al estudiar la «influencia de la gravitación en procesos electromagnéticos» (Einstein 1907, sección 20, Schwartz 1977c, págs. 901-902), fue el de que la ve­ locidad de la luz no es constante en un campo gravitacional, sino: c(*) m c [ 1 + ( 1 ) ]

(9.1)

La consecuencia inmediata de este resultado era —en palabras de Einstein— que «los rayos de luz... son curvados por el campo gravita­ cional», siendo «el valor del cambio de dirección por centímetro de ca­ mino recorrido por la luz igual a (y le 2) sen<£, donde denota el án­ gulo entre la dirección de la fuerza gravitacional y la del rayo de luz». Este resultado tenía evidentemente un gran contenido experimental, pero en 1907 a Einstein no se le ocurría ninguna posible experiencia que pudiese confirmar su predicción. 3.

Einstein en Praga

Lo dicho en las páginas anteriores refleja, esencialmente, cuáles eran las ideas de Einstein relativas a la interacción gravitatoria hasta 1907. Pues bien, la situación no cambió en modo alguno hasta cuatro años después, cuando Einstein ya era profesor de Física Teórica —su primera cátedra— en la universidad alemana de Praga8, ciudad ésta a la que llegó a primeros de abril de 19119. La razón principal de que Einstein abandonara,' durante un período tan largo como cuatro años, sus investigaciones encaminadas a construir una teoría «relativista» de la gravitación, fue la intensidad con que entonces estaba trabajando en los problemas relacionados con los cuantos de luz. Durante las dos pri­ meras décadas del siglo XX estos problemas, de fundamental im por­ tancia para el desarrollo de la Física Teórica, constituían la principal incógnita con la que se enfrentaban los físicos; esto generaba una com­ petencia y presión (tanto de orden científico como de prestigio) que hada muy difícil el abandonar, total o al menos parcialmente, este 8 Se da la circunstancia de que en esta misma universidad Mach había sido —durante veintiocho años— profesor de Física Experimental. Asimismo fue durante este período cuando Mach escribió su Desarrollo histórico-crítico de la mecánica, que tanto influenció a Einstein, y su Teoría del calor. 9 Esta parte de la biografía de Einstein se expone con detalle en Illy (1979).

campo de investigación. Fue —según nos cuenta el propio Einstein en el prefacio a la edición checa de su libro Relatividad— en las tran­ quilas salas del Instituto de Física Teórica de Praga donde encontró la ecuanimidad suficiente para, pausadamente, dar una forma más defi­ nida a sus ideas anteriores sobre la interacción gravitatoria (Stachel 1979b, pág. 432). El primer y más importante producto de su «época de Praga» (que sólo durarla hasta 1 9 1 2 ) fue un artículo titulado «Sobre la influencia de la gravitación en la propagación de la luz», que en junio de 1 9 1 1 Einstein enviaba para publicar al Annalen der Physik (Einstein 191110). El primer párrafo de este trabajo nos aclara cuáles eran, para Einstein, los puntos principales: «En una memoria publicada hace cuatro años [Einstein 1907]» —escribía— «traté de contestar a la pregunta de si la propagación de la luz se ve influen­ ciada por la gravitación. Vuelvo a este tema porque mi presentación anterior de estacuestión no me satisface, y por una razón más poderosa, porque me doy cuenta ahora de que una de las más importantes consecuencias de mi tra­ tamiento anterior se puede poner a prueba experimentalmente. En efecto, se sigue de la teoría que presento aquí, que los rayos de luz que pasan cerca del Sol son desviados por el campo gravitacional de éste, de forma que la distancia angular entre el Sol y una estrella fija que aparezca cerca de él se ve aumenta­ da aparentemente en cerca de un segundo de arco» (Las cursivas son mías). Vemos, por consiguiente, que lo que realmente atraía a Einstein en 1911 era que entonces —al contrario de lo que ocurría en 1907— veía una forma de comprobar experimentalmente esa sorprendente conse­ cuencia de su (proto) teoría que hacía referencia a la curvatura de los rayos de luz: todo lo que había que hacer era comprobar si, durante un eclipse solar, tiene lugar un desplazamiento en la posición de una estrella cercana al «borde» del Sol, comparada con su posición en una noche ordinaria. Para solucionar el aspecto experimental de esta cues­ tión un colega suyo en Praga, Leo Wenzel Pollak, puso a Einstein en contacto con el joven astrónomo berlinés Erwin Finlay Freundlich quien acogió con gran entusiasmo el proyecto, convirtiéndose a la postre en un ardiente defensor de la teoría de la relatividad general, otras de cuyas consecuencias experimentales (p. ej., el desplazamiento gravitacional hacia el rojo) trató tam bién de comprobar experimental­ mente. No es este el lugar de discutir el desarrollo de los trabajos de Freundlich, para ello remito al lector interesado a los artículos de

10 Existen dos traducciones al inglés de este artículo: Einstein et al. (1952), págs. 99108 y Kilmister (197Î), págs. 129-139.

Pyenson (1974, 1976)11, sí diré, sin embargo, que el mal tiempo y el comienzo de la Primera Guerra M undial12 conspiraron por dos veces para que Freundlich fracasara en sus intentos de conseguir las fotos del eclipse solar. En este sentido es interesante preguntarse, como hace, entre otros, Stachel (1979b), qué habría ocurrido si Freundlich hubiese podido llevar a cabo sus observaciones. En ese caso, y suponiendo que no se hubiese equivocado, habría obtenido el doble del valor dado por Einstein en su artículo de 1911 (que era 0,83 segundos de arco). En efecto, sólo teorías posteriores (ya riemannianias) y desde luego la for­ mulación definitiva de la relatividad general en 1915, proporcionaban el valor correcto de 1,61 segundos de arco. Desde un punto de vista metodológico nos habríamos encontrado entonces en una situación un tanto extraña (sobre todo si uno adopta la óptica de metodologías científicas como la de Popper) ya que la relatividad general habría apa­ recido después de que un experimento hubiese demostrado que la des­ viación de los rayos de la luz era doble de la que se obtenía con la teoría de 1907-1911. Se podría, por consiguiente, haber argumentado (y es de suponer que algunos adversarios de la teoría no hubiesen des­ perdiciado esta ocasión) que la relatividad general tenía un carácter ad hoc; esto es, que estaba «cocinada», construida, de forma que se ajus­ tase a los resultados (ya conocidos) experimentales. Teniendo en cuen­ ta nuestro conocimiento actual de la relatividad general, este «razona­ miento ideal o posible» demuestra que las modernas metodologías de la ciencia deben de ser mucho más cuidadosas y precisar con detalle la noción de a d hoc, algo que ya ha intentado Zahar dentro del contexto de la metodología de Lakatos (Zahar 1973). Volviendo al artículo de 1911 diré que en lo que a su contenido teó­ rico se refiere, no añadió demasiado a lo que Einstein ya había m ani­ festado en 1907. En particular continuaba teniéndose que la velocidad de la luz no es la misma en un sistema de referencia acelerado que en uno que no lo está. La expresión (9.1), que denota la dependencia de c de la intensidad del campo gravitatorio, sigue apareciendo en el tra­ bajo de 1911. Es cierto que Einstein aprovechó esto para construir una teoría escalar de gravitación en la que la velocidad de la luz juega el papel de potencial gravitatorio, pero era evidente que existía un problema: si la velocidad de la luz no es constante, entonces la defini­ ción de simultaneidad con la que Einstein construyó la teoría de la re-

11 Se pueden encontrar en estos trabajos —Pyenson (1974, págs. 313-338; 1976, págs. 104-110)— detalles de la carrera de Freundlich, así como su relación con Einstein. 12 Cuando ésta empezó, Freundlich se encontraba en Rusia esperando un eclipse. Todo su material fue confiscado y él mismo encarcelado durante cierto tiempo, hasta ser canjeado por algunos rusos detenidos en Alemania. Freundlich estaba de nuevo en Berlín a primeros de septiembre de 1914.

latividad especial, no se puede seguir utilizando y la transformación de Lorentz deja de tener sentido. Es decir, la teoría de la relatividad espe­ cial sólo podría ser válida en ausencia de campos gravitacionales, o, por decirlo de otra forma, en 1911 el principio de relatividad (especial) y el principio de equivalencia se manifestaban como claramente in­ compatibles. Se puede pensar que esta incompatibilidad sólo reforzaría la creencia de Einstein en el sentido de que era preciso gene­ ralizar el principio de relatividad especial, algo que ya he comentado antes. Creo que, en efecto, esto ocurrió así; ahora bien, tendremos ocasión de comprobar en los capítulos 11 y 12 que las ideas de Eins­ tein sobre hasta qué punto era preciso generalizar el principio de rela­ tividad especial fueron confusas y hasta contradictorias. En cierto senti­ do se puede decir que en su largo camino en busca de una teoría rela­ tivista de la gravitación, Einstein se comportó —en lo que al principio de relatividad se refiere, que no en absoluto con respecto al principio de equivalencia— como un «oportunista» (algo que, por cierto, él creía eran —y debían de ser— todos los científicos). No hay duda de que quería generalizarlo, pero no tenía las ideas claras13 y era lo suficien­ tem ente buen científico como para no dejarse dominar completamente por ideas preconcebidas. Por consiguiente hay que tener mucho cuida­ do con afirmar, sin matizarlo, que Einstein estaba seguro de que cier­ tos tipos de incompatibilidades desaparecerían generalizando el princi­ pio de relatividad. Es interesante señalar que Einstein veía en la variación de la veloci­ dad de la luz un argumento que despojaba al espacio-tiempo de Min­ kowski de todo viso de realidad física u ontològica14. Es bien sabido que, durante mucho tiem po, la opinión que Einstein tenía acerca de las matemáticas era muy pobre. Veía con suspicacia cualquier de­ sarrollo esencialmente matemático en las ciencias físicas, ya que, según él, debían de existir siempre justificaciones físicas y éstas no las en­ contraba en ninguna parte en la formulación cuadridimensional (espacio-temporal) de Minkowski (lo mismo que tampoco las encontraría más tarde en los intentos de H. Weyl para lograr una teoría del campo unificada15). Por consiguiente, y en lo que a este as­ pecto se refiere vio con buenos ojos la expresión (9.1) ya que si c no era constante entonces desaparecía, por así decirlo, el vínculo que unía las coordenadas espaciales con la temporal para formar el «espacio tiempo». Sería algo después, poco antes de llegar a la conclusión de que el campo gravitatorio modificaba la estructura euclideana del es­

1} Llegó a dar argumentos físicos —como veremos más tarde— en ambos sentidos. 14 Agradezco a John Stachel esta información. 15 Ver capítulo 13.

pació transformándola en riem anniana16, cuando Einstein pasó a con­ siderar el espacio-tiempo i la Minkowski (que no minkowskiano) como un rasgo esencial en la estructura geométrica de la naturaleza. 4.

Einstein, Abraham y Nordstrom

No hay duda de que la teoría de la relatividad general fue el pro­ ducto del trabajo de un solo hombre: Albert Einstein. Ahora bien, existieron unos pocos físicos que de una u otra forma, contribuyeron al desarrollo de las investigaciones de Einstein. En esta sección quiero re­ ferirme a dos de ellos: Max Abraham y Gunnar Nordstrom, dejando para los próximos capítulos el analizar el papel que jugaron Grossm ann y Hilbert. En 1912 y de forma independiente y diferente, Abraham y Nords­ trom desarrollaron sendas teorías de gravitación en las que reacciona­ ban ante la «proto-teoría» que en 1907 y 1911 había presentado Eins­ tein. Estas teorías nos interesan no tanto por su contenido, que apenas mencionaré17, sino porque a su vez Einstein reaccionó frente a las críticas que en ellas se le hacían, lo que contribuyó a: 1 ) que precisase sus propias ideas y 2 ) reafirmarle en su interés por descubrir una teoría relativista del campo gravitatorio. 4.a.

Abraham

Por lo que se refiere a Abraham —por entonces (1912) profesor de Física en Milán pese a ser alemán— diré que en una serie de artículos (Abraham, 1912a) formuló una teoría de gravitación que partía de la consideración (similar a la de Einstein) de que la velocidad de la luz dependía del campo gravitatorio18. Era en realidad este punto —la no constancia de la velocidad de la luz— el que servía a Abraham de artillería pesada en sus ataques a los trabajos de Einstein; ataques que por otra parte, no se limitaban —ni siquiera iban fundamentalm ente dirigidos— a la teoría de gravitación sino que tam bién y muy especial­ m ente, afectaban a la teoría de la relatividad especial, teoría que 16 Ver capítulo 10. 17 El lector interesado en las teorías de Abraham y Nordstrom puede consultar Mehra (1974, págs. 4-8) y Pyenson (1974, capítulo VI). 18 Los cálculos de Abraham le conducían a una expresión:

f l _ É. = $ _ $ 2

2

·

que coincide con la de Einstein (9.1) sólo en primer orden.

Abraham —un resuelto «absolutista» en lo que a la existencia de un sistema de referencia privilegiado se refiere— rechazaba de plano en favor, en este caso, de su propia dinámica del electrón. Así Abraham (1912b, pág. 1056) escribía: «La teoría de la relatividad [especial] de Einstein ha ejercido un efecto fascina­ dor —particularmente sobre los físicos matemáticos más jóvenes— que amena­ za con detener el saludable desarrollo de la física teórica. Era perfectamente evidente a un observador de mente despejada que dicha teoría no podría nun­ ca conducir a una imagen completa del universo en tanto en cuanto que no sería capaz de incluir a la gravitación —la más importante, por omnipresente, fuerza de la Naturaleza— en su sistema. No es de extrañar, por tanto, que el fracaso de este propósito haya llevado a esta crisis de la teoría de la relatividad [especial].» No hay duda —al margen de cuáles fueran los méritos y defectos de su propia teoría de gravitación— de que Abraham estaba poniendo el dedo en la llaga. En 1 9 1 2 «teoría de la relatividad» era sinónimo de «teoría de la relatividad especial» y, debido a la no constancia dé la ve­ locidad de la luz, el «programa de investigación científica relativista» (adoptando la terminología de Lakatos) se manifestaba totalmente in­ suficiente. La respuesta de Einstein ante las críticas de Abraham tocaba dos puntos importantes. En el primero de ellos reconocía explícitamente que si se adoptaba la relatividad especial para describir la interacción gravitatoria, entonces se entraba en conflicto con el antiguo descubri­ miento de Galileo según el cual «todos los cuerpos próximos a la su­ perficie de la Tierra caen libremente con la misma aceleración». El ra­ zonamiento empleado por Einstein aparece claramente en los siguien­ tes párrafos de su artículo (Einstein 1912): «Uno de los resultados más importantes de la teoría de la relatividad es el co­ nocimiento de que toda forma de energía E posee inercia E/c2 proporcional a E. Como, por lo que se refiere a nuestra experiencia, toda masa inercial es al mismo tiempo una masa gravitacional, no podemos sino atribuir a toda forma de energía E una masa gravitacional igual a E/c2. De esto sigue inmediatamen­ te que la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es mayor cuando éste está en movimiento que cuando está en reposo. Si se pudiese describir el campo gravitacional con la actual teoría de la rela­ tividad [es decir, la especial] esto se podría hacer solamente de una de las dos maneras siguientes. Se puede considerar el campo gravitacional bien como un cuadrivector o como un tensor antisimétrico de segundo orden... De esta for­ ma se obtienen resultados que contradicen las consecuencias mencionadas an­ teriormente relativas a la masa gravitacional de la energía. Por consiguiente pa­ rece como si el vector gravitacional no pudiese ser amoldado consistentemente en el esquema relativista tal y como está en el momento actual.»

Veamos —siguiendo a Zahar (1980)— cuál es el significado de la frase clave «la fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es mayor cuando éste está en movimiento que cuando está en reposo», en el ca­ so de que el campo gravitacional sea un cuadrivector. Denotemos con g~al campo (tridimensional) gravitacional en un cierto sistema de refe­ rencia. Tomemos un cuerpo P de masa en reposo m„, que se mueve, con velocidad v~, bajo la influencia de g~. Su masa inercial (y por consi­ guiente también su masa gravitacional) es m„ (\-v 2lc2)~l/2. La ecuación del movimiento será

— <— m °V-......-’> = ------m ° dt

y f l —i f l c 2

V l —v 2l c 2

que desarrollada se puede escribir como (
dt

f

(9.2)

) :

1/ >J l —iP lc2

J v~ = g'.

(9.3)

Una de las consecuencias de (9.3) es que g depende de v~, y esto aun­ que m 0 sea constante. Es decir, g ~no es un campo puro de acelera­ ciones. Cuerpos con igual masa pueden caer con aceleraciones diferen­ tes. El segundo punto, al que antes me refería, de la respuesta de Einstein ante las críticas de Abraham revela que aunque no podía todavía dotar de un contenido específico a sus ideas, éstas iban en la dirección correcta. Así, Einstein se daba cuenta de que dentro del contexto de una teoría de gravitación, la teoría de la relatividad especial sólo podría tener una validez rigurosa en una región infinitesimal del espacio-tiempo. Ahora bien, cómo se podía conectar esto con su ru p ­ tura a un nivel global era algo a lo que Einstein no sabía contestar aún. Por supuesto Abraham, hombre de carácter difícil, no daba n in ­ gún crédito a los argumentos de Einstein. En su opinión (Abraham 1912b, pág. 1064) «Einstein invoca la fata morgana de una nueva definición de espacio-tiempo gravitacional en el horizonte. Solicita crédito para su teoría de la relatividad «de mañana», y pide a sus colegas que lo garanticen. Sin embargo, mientras no pague su factura esta entrada [la hipótesis de un espacio-tiempo propio para la gravitación] pertenece n la sección de deudas en la cuenta de la teoría de la re­ latividad.»

Para terminar con el debate entre Abraham y Einstein diré que el menosprecio por sus respectivas teorías era recíproco. Así, por ejemplo, Einstein escribía a Sommerfeld en octubre de 1 9 1 2 (Hermann 1968) diciéndole que: «Por lo que puedo ver, la teoría de Abraham es desde luego lógicamente correcta, pero solamente monstruosamente engorrosa.» 4.b.

Nordstrom

Hemos visto que a pesar de sus radicales diferencias las teorías de Abraham y Einstein tenían algo en común: una velocidad de la luz va­ riable. Gunnar Nordstrom no aceptaba esto ; para él (Nordstrom 1912, pág. 1126) «la hipótesis de Einstein de la dependencia de la velocidad de la luz c del potencial gravitatorio conduce, como se puede ver por las discusiones entre Einstein y Abraham, a considerables dificultades en conexión con el principio de relatividad»., Como creía en la validez absoluta de la relatividad especial su problema era, por consiguiente, preguntarse «si podría ser posible reemplazar la hipótesis de Einstein por otra que dejase c constante y así modificar la teoría de gravitación de tal forma que, de acuerdo con el principio de relatividad, las masas gravitacionales e inerciales fuesen idénticas». En otras palabras, el problema al que se dedicó Nordstrom fue el de construir una teoría de gravitación invariante bajo el grupo de Lorentz y que satisfaciese el principio de equivalencia. Al márgen de otras consideraciones existe un motivo que hace que las teorías de Nordstrom sean particularmente interesantes para no­ sotros. El motivo aparece en el apéndice a su primer artículo sobre te­ mas gravitacionales. Dice allí Nordstrom ( 1 9 1 2 , pág. 1129): «He sabido a través de una cana del Profesor Einstein que él ya había conside­ rado con anterioridad la posibilidad [propuesta por mí (G. N.) en este artícuo] de tratar los fenómenos gravitacionales de una forma simple.» Es decir, a través de Nordstrom-podemos conocer parte de la prehisto­ ria de la relatividad general, de las teorías que Einstein desechó. Más aún, en este caso incluso podemos averiguar los motivos que llevaron a Einstein a desechar esta teoría. El propio Nordstrom nos lo aclara en el apéndice mencionado: «Sin embargo, [Einstein] llegó a la conclusión de que existían consecuencias de tal teoría que no correspondían a la realidad. Con la ayuda de un simple ejemplo demostró que de acuerdo con esta teoría, la aceleración experimentada por un sistema que gira en un campo gravitacional será menor que la de uno

que no gira... esta conclusión demuestra que mi teoría no es consistente con la hipótesis de equivalencia de Einstein. Según ésta, un sistema inercial no acele­ rado en un campo gravitational homogéneo es equivalente a un sistema iner­ cial acelerado en un espacio «libre de gravedad». En otras palabras: Einstein consideró a la que llamaremos «primera teoría escalar de Nordstrom» como una posibilidad para describir los fenómenos gravitacionales, pero encontró que entraba en conflicto con algo que para él era irrenunciable: el principio de equivalencia19, y op­ tó por abandonarla, abandono éste que implicaba en buena medida el renunciar a la invariancia Lorentz, al menos en tanto en cuanto no se demostrase que la teoría invariante Lorentz más lógica y natural era sostenible. Este era el punto de vista de Einstein pero, ¿qué pensaba Nords­ trom de estos problemas?, ¿consideraba él también que el principio de equivalencia era algo fundamental? La respuesta es: no. Para él «esta circunstancia [el conflicto con el principio de equivalencia] no [era] su­ ficiente para abandonar la teoría», más aún teniendo en cuenta que la diferencia predicha entre ambas aceleraciones era tan pequeña que la cuestión no se podía dilucidar experimentalmente. Además Nordstrom creía que aunque la hipótesis (principio de equivalencia) de Einstein era muy ingeniosa, «conducía», sin embargo, «a grandes dificultades». Una primera lección a extraer de la postura de Nordstrom es que el papel preponderante que Einstein asignaba al principio de equivalen­ cia estaba lejos de ser aceptado en general (algo parecido se podría de­ cir acerca del principio de relatividad general). De hecho fue la influencia (o el prestigio si se quiere) ejercida por Einstein lo que contribuyó, al menos en el caso de Nordstrom, a que la situación cam­ biase. Así tenemos que Nordstrom (1913) modificó, en julio de 1913, su teoría de tal forma que, aún manteniendo la invariancia Lorentz, se satisfacía el principio de equivalencia equivalencia. Para Einstein esta «segunda teoría escalar de Nordstrom» verificaba todos los requisitos que cabía imponer en una teoría de gravitación; era, por consiguiente, y así lo atestiguó en su conferencia titulada «El estado actual de problema del gravitación» (Einstein 1913), el primer intento en el que se desarrollaba una teoría de la gravitación realmente consistente. Ahora bien, también advertía la existencia de varios problemas: 19 En realidad, lo que esta teoría violaba era «el principio de equivalencia fuerte» y no el débil al que sí satisfacía (ver Guth 1970, págs. 174, 180). El principio de equiva­ lencia fuerte es exactamente igual que el que he definido en la sección 1.a, con «leyes de la naturaleza» significando todas las leyes de la naturaleza. El principio débil es el mis­ mo pero con la expresión «leyes de la naturaleza» sustituida por «leyes de movimiento de las partículas en caída libre» (ver Weinberg 1972, pág. 69).

i) La teoría de Nordstrom no predecía la curvatura de los rayos de luz en presencia de un campo gravitacional y esto contradecía un resulta­ do al que Einstein había llegado mediante consideraciones bastante gene­ rales. Además la teoría proporcionaba un retraso del perihelio de Mer­ curio en lugar de un adelanto como se observa experimentalmente. En este sentido Einstein escribía a Erwin Freundlich 20 diciéndole que la teoría de Nordstrom «es bastante razonable... Nordstrom insiste, como hago yo, en el desplazamiento hacia el rojo de las líneas del espectro solar, pero ¡para él] no [existe] una curvatura de los rayos de luz en un campo gravitacional. El examen del próximo eclipse solar debe de­ mostrar a cuál de las dos interpretaciones corresponden los hechos». Tras lo cual Einstein —y esto es im portante— concluye: «[Esta cues­ tión] no se puede dilucidar sólo por caminos teóricos». Frase ésta que nos muestra que en 1913 Einstein todavía estaba lejos de sentir la se­ guridad (de orden estético, casi metafísico) en sus ideas que sentiría años más tarde. - ii) En 1913 Einstein sabía (ver capítulo 10) que era necesario aban­ donar el espacio-tiempo minkowskiano y plano en favor de uno riemanniano de curvatura no nula. En este sentido no podía mirar con buenos ojos una teoría como la de Nordstrom construida sobre un espacio-tiempo del primer tipo. De hecho en 1914 Einstein se dedicaría, en colaboración con A. Fokker, a clarificar la relación que la teoría de Nordstrom guardaba con la teoría riemanniana que él mis­ m o, junto a Grossmann, había desarrollado en 1913 (ver capitulo 1 1 ). En este artículo Einstein y Fokker (1914, pág. 324) afirmaban que: «El campo gravitacional viene determinado por diez cantidades g^. En la teoría de Einstein-Grossmann, se especifican diez ecuaciones formalmente similares para estas diez cantidades. Por otra pane, la teoría de Nordstrom se basa en la suposición de que es posible verificar el principio de constancia de la velocidad de la luz eligiendo adecuadamente un sistema de referencia. Veremos [en este artículo] que esta [suposición de Nordstrom] es equivalente a reducir las diez cantidades g* a una sola cantidad Φ 2 mediante una elección apropiada del sis­ tema de referencia.» La teoría de Nordstrom aparecía así, desde el punto de vista del cálculo diferencial absoluto, como una situación altamente degenerada —en opinión de Einstein— del mucho más general planteamiento de­ bido a él y a Grossmann. Por lo que a Nordstrom se refiere diré que en marzo de 1914, un mes después del artículo de Einstein y Fokker, admitía la insuficiencia de sus resultados. Aun así no siguió la dirección que Einstein señalaba sino la de la electrodinámica de Mié, a la que consideraba dentro de la 20 Citada en Pyenson (1974). Fotocopia en los Einstein Archives, Princeton.

tradición de los trabajos de Minkowski, tradición en la que Nords­ trom, durante un cierto tiempo estudiante en Gotinga, se había edu­ cado. Fue finalmente en 1916, cuando Nordstrom aceptó la teoría de la relatividad general. 5.

Posdata: ¿Gravitación o principio de relatividad general?

Para cerrar este capítulo quiero mencionar el siguiente problema: ¿de qué embrión surgió la teoría de la relatividad general? Fue —como piensan Earman y Glymour (1978, pág. 252)— el interés de Einstein en generalizar el principio de relatividad especial el que m oti­ vó su búsqueda de una teoría de gravitación, o por el contrario —opinión ésta defendida por Stachel (1979a, pág. 14)— fueron sus intentos por introducir de alguna forma la teoría de la gravitación newtoniana en el marco de la relatividad especial los que le conven­ cieron de que debía generalizar el principio de relatividad de manera que incluyese también sistemas de referencia acelerados? Evidente­ mente el interés de esta pregunta es extraordinario pero, al contrario de lo que opinan Earman, Glymour y Stachel, no creo que, al menos por el momento (y a falta del posible descubrimiento de cartas y docu­ mentos de Einstein en este sentido), existan datos que permitan dilu­ cidarla sin ambigüedad. De hecho el mismo Einstein cuando aborda públicamente por vez primera estos temas, en 1907, lo hace bajo el título de (ver nota 3) «Principio de relatividad y gravitación», con lo que coloca al mismo nivel ambos aspectos. De todas maneras uno podría pensar, apoyándose en algunas citas del propio Einstein, que «fue primero» el principio de relatividad. Podría ser así, no hay duda, pero a uno le queda cierta insatisfacción con esta respuesta, especial­ mente si se tiene en cuenta la falta de claridad de las ideas de Einstein en lo referente a la generalización del principio de relatividad, llegan­ do, como veremos en los capítulos 11 y 12, a mantener opiniones contradictorias. Tenía mucha mayor seguridad, como ya he dicho re­ petidas veces, en la cuestión del principio de equivalencia que, «gravitacionalmente», enlaza con el principio de relatividad.

Capítulo 10 EN BUSCA DE LA RELATIVIDAD GENERAL, II: EL PROBLEMA DEL DISCO QUE GIRA (LOS ESPACIOS DE RIEMANN)

1.

Introducción

En el capítulo anterior hemos visto cómo dos de los elementos esenciales de la teoría de la relatividad general, el principio de equiva­ lencia y el de relatividad, estuvieron presentes en la mente de Einstein desde el mismo momento en que, en una publicación, se planteó el problema de encontrar una teoría relativista que diese cuenta de los fe­ nómenos gravitacionales. Ahora bien, existe una característica de la re­ latividad general —el que su substrato geométrico; el espacio-tiempo, no es plano y además que es un objeto dinámico (esto es, su estructura no está fijada de antemano sino que viene determinada por su conte­ nido energético)— que en absoluto estaba entre las ideas de Einstein cuando éste inició su larga marcha. ¿Cuándo y por qué —nos pode­ mos preguntar— llegó Einstein a la conclusión de que la gravitación modificaba necesariamente (al menos dentro de su estrategia al abor­ dar el problema) la estructura euclideana (o pseudo-euclideana) del espacio-tiempo? Esta es la pregunta que trataré de contestar en este capítulo. 2.

Cronología1

El primer problema, de orden histórico, con el que uno se enfrenta surge al advertir que en los artículos que Einstein publicó hasta 1912 1 La referencia esencial para lo que sigue es Stachel (1980).

inclusive (con una matización que indicaré más adelante), no existe ninguna mención sobre la necesidad de un espacio-tiempo no plano y menos aún de la necesidad de un tensor métrico para representar m a­ temáticamente el campo gravitacional. Por el contrario su primer artículo de 19132 contiene una elaborada argumentación en lo que se refiere a la descripción del campo gravitacional mediante el tensor métrico junto a la presentación de un compendio de análisis tensorial cuadridimensional sobre una variedad riemanniana, tensor de Riemann, etc. Por supuesto, el-problema de encontrar cuáles eran las ecuaciones del campo correctas no fue resuelto en el artículo de 1913, pero una vez en el «camino verdadero» esto era algo secundario que cabía esperar se solucionaría tarde o temprano. Se había logrado lo fundamental: identificar el formalismo matemático adecuado para describir la interacción gravitatoria. Ahora bien, de nuevo nos pode­ mos plantear la misma pregunta, aunque ahora más localizada en el tiempo: ¿qué ocurrió antes de 1913 para que Einstein diese este paso? Mi contestación a esta pregunta —siguiendo al propio Einstein y a Stachel (1980)— será que fue el estudio de la descripción relativista de un disco rígido que gira de manera uniforme lo que condujo a Eins­ tein a la conclusión de que la gravitación «curva» el espacio-tiempo. Vamos, a continuación, a estudiar la secuencia de sucesos que llevaron a Einstein a estudiar el disco que gira, dejando a un lado por el m o­ mento la cuestión de cómo llegó a la antes mencionada conclusión. Sabemos que el interés de Einstein por el disco que gira uniforme­ m ente (o por un sistema de referencia en rotación uniforme que es prácticamente lo mismo) data, al menos, de 1909. Así el 29 de sep­ tiembre de aquel año escribía a Sommerfeld (Hermann 1968): «El tratamiento de un cuerpo rígido en rotación uniforme me parece que tiene una gran importancia en base a extender el principio de relatividad a sistemas que están en rotación uniforme, según líneas de pensamiento análogas a aquellas que traté de desarrollar para traslaciones uniformemente aceleradas en el último apartado de mi artículo publicado en el Zeitschrift für Radioaktivi­ tät.* Einstein se está refiriendo aquí a su primer intento, publicado en de desarrollar una teoría relativista de la gravitación basada en el principio de equivalencia, intento que según vimos en el capítulo an­ terior apareció como pane de su artículo en el Jahrbuch der Radioakti­ vität u n d Elektronik de Johannes Stark. Pero ¿por qué le parecía a Einstein que «el tratamiento de un cuerpo rígido en rotación unifor­ 1907,

2 Me estoy refiriendo aquí a la pane física, escrita por Einstein, del artículo de Eins· tein y Grossmann (1913).

me» tenía «una gran importancia» para sus propósitos? La respuesta —en una primera aproximación— es bastante inmediata y el mismo Einstein la hizo explícita en un artículo (Einstein 1912a) que data de febrero de 1912. Al referirse allí a su trabajo previo sobre sistemas de coordenadas con aceleración uniforme Einstein señalaba que «de acuer­ do con el principio de equivalencia tal sistema K es estrictamente equivalente a un sistema en reposo en el que existe un campo gravitacional de un cierto tipo». En otras palabras, éste era en principio un caso más a estudiar dentro de la estrategia general de Einstein de explotar al máximo el valor heurístico del principio de equivalencia. Al llegar a este punto uno se puede preguntar: ¿a qué conclusiones llegó Einstein cuando, en las ocasiones, que acabo de mepcionar, se planteó el problema de un disco (o sistema de referencia) que gira uniformemente? Por el momento y hasta la próxima sección, quiero dejar al margen esta cuestión; sólo diré que Einstein tenía graves problemas (ligados especialmente con la relación entre coordenadas y medidas con reglas y relojes) para entender el significado de las conclusiones que, de forma preliminar, extraía de sus trabajos. En ab­ soluto se puede decir que a esas alturas Einstein ya tuviese las ideas claras. Hasta ahora hemos visto, por consiguiente, que Einstein estaba in­ teresado en el tratamiento de un cuerpo rígido en rotación uniforme porque, de acuerdo con el principo de equivalencia, este caso se podía relacionar con un campo gravitacional; ahora bien, ¿es posible articu­ lar de forma más precisa por qué de todos los casos con interés heurístico Einstein seleccionó precisamente éste? Una respuesta posible es: por su sencillez; y, en efecto, así fue en parte, pero todavía se puede ahondar bastante más en las motivaciones que llevaron a Eins­ tein a persistir hasta entender el significado profundo de las conclu­ siones que se extraían de dicho caso. Para ello señalaré los siguientes pasos: a) Finales de marzo de 1912: Einstein completa su trabajo sobre el campo gravitatorio estático, en el que introduce —como ya vimos— una velocidad de la luz dependiente del potencial gravitatorio, c(*)-c(

1

+ J

)

Llega tam bién a la conclusión de que su formulación previa del princi­ pio de equivalencia es válida sólo localmente. b) 7 de julio de 1912: Einstein escribe a P. Ehrenfest diciéndole que su discusión de los campos gravitacionales estáticos corresponde al caso electrostático en la teoría electromagnética, mientras que lo que él llama el «caso estático general» incluiría el análogo de los campos mag-

netostáticos. Menciona también el «anillo rotante» como un ejemplo de un sistema que generará tales campos no estáticos pero sí indepen­ dientes del tiempo. Es decir, después de haber estudiado el caso estáti­ co, Einstein se disponía a atacar (y esto era también a lo que en buena lógica estaba obligado) lo que nosotros llamamos caso estacionario. Es­ to le llevó (ahora con una necesidad prácticamente ineludible) al problema del disco que gira, el caso más sencillo de campo gravitacional estacionario. 3.

El problema del disco que gira

Al comienzo de la sección 2 dije que en los artículos que Einstein publicó hasta 1 9 1 2 (inclusive) no existe ninguna mención sobre la ne­ cesidad de un espacio-tiempo no plano; esto es cierto estrictamente si uno se atiene a las palabras que entonces emplee, pero hay que señalar que en una ocasión, en uno de los artículos que escribió durante su es­ tancia en Praga y al que ya me he referido en la sección anterior, Eintein ( 1 9 1 2 a) tocó esencialmente todos los temas que poco después le llevarían de forma definitiva a la idea de un espacio-tiempo riemanniano y dependiente de su contenido energético. En dicho artículo y después de señalar que un sistema de referencia K en rotación unifor­ me es equivalente, de acuerdo al principio de equivalencia, a un siste­ m a en reposo pero en el que existe un campo gravitacional, Einstein escribía: «Supongamos que las medidas espaciales en K se realizan con reglas de medir que tienen —cuando se comparan entre sí en reposo en algún punto de K — la misma longitud; supongamos también que los teoremas de la geometría [euclideana] son válidos para longitudes que se miden de esta forma y por consi­ guiente también para las relaciones existentes entre las coordenadas, x, y, z, y para otras longitudes. Esta estipulación no es permisible automáticamente, si­ no que contiene suposiciones físicas que en último caso pueden no ser válidas. Por ejemplo, muy probablemente no se pueden mantener para un sistema que gira de forma uniforme en el cual, de acuerdo con la contracción de Lorentz, el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro debe diferir de jt si se usa nuestra definición de longitud. La regla de medir, lo mismo que los ejes de coordenadas se deben de tratar como cuerpos rígidos. Esto se puede hacer a pesar del hecho de que, de acuerdo con la teoría de la relatividad [especial], los cuerpos rígidos no pueden existir en realidad. Uno puede, sin embargo, imaginar el cuerpo rígido que utilizamos para medir sustituido por un gran número de pequeños cuerpos no rígidos alineados uno a continuación del otro de forma que ninguno de ellos ejerce ningún tipo de fuerza de presión sobre otro ya que cada uno es mantenido en su lugar por separado.» Oscuridades aparte, es evidente que en este texto, Einstein da vueltas alrededor de un problema muy concreto pero sin lograr dar

una respuesta ambigua y definitiva. De hecho si uno lee con cuidado lo escrito se da cuenta de que en la base de todas las dificultades con que Einstein se enfrentaba (no sólo en este artículo sino durante todo este período de tiem po) se encontraba la cuestión de clarificar la rela­ ción existente entre coordenadas por un lado y medidas con reglas y relojes por otro. Que yo sepa, no existe ningún artículo o carta escrito antes de 1916 t n los que Einstein volviese a discutir el problema del disco (o sistema de referencia) que gira. Cuando por fin lo hizo fue después de haber llegado a la formulación definitiva de las ecuaciones del campo gravitatorio; la ocasión fue el artículo titulado «Los fundamentos de la teoría general de la relatividad» (Einstein 19163) donde Einstein pre­ sentó de forma coherente y global la teoría. Los párrafos que nos inte­ resan son los siguientes (Einstein et al. 1952, págs. 115-117): «En un espacio libre de campos gravitacionales introducimos un sistema galileano de referencia K (x, y, z, t) y también un sistema de coordenadas K ' (x', y ', z ' , t') en rotación uniforme con relación a K. Hagamos que los orígenes de ambos sistemas, lo mismo que sus ejes z, coincidan permanentemente. De­ mostraremos que para una medida espacio-temporal en el sistema K ' no se puede mantener la anterior definición [dentro del contexto de la relatividad especial] para el significado físico de longitudes y tiempos. Por razones de simetría es evidente que a un círculo centrado en el origen del plano x, y en K, se le puede considerar al mismo tiempo como un círculo en el plano x ', y ' de K ’. Supongamos que la circunferencia y el diámetro de este círculo se miden con una unidad de medida infinitamente pequeña comparada con el radio y que tenemos el cociente de los dos resultados. Si este experimento se realizara con una regla de medir que estuviese en reposo con respecto al sistema galileano K, el cociente sería t . Con una regla de medir en reposo con respecto a K ’, el cociente sería mayor que ir. Esto se entiende fácilmente si consideramos el proceso completo de medir desde el sistema «estacionario» K, y tomamos en cuenta que la regla de medir que colocamos en el perímetro experimenta una contracción lorentziana, mientras que la colocada sobre el radio no. Por consi­ guiente, la geometría euclideana no vale para K ' . Por tanto, la noción de co­ ordenadas definida con anterioridad, que presupone la validez de la geometría euclideana, deja de ser correcta en relación al sistema K'.» Hasta aquí las consideraciones de Einstein afectan únicamente a medidas espaciales, pero no sólo son estas las que sufren modifica­ ciones en presencia de campos gravitacionales, otro tanto ocurre con las medidas temporales, como se apresura a indicar Einstein en el artículo que venimos citando:

5 Existe traducción al inglés de este artículo en Einstein, Lorentz et al. (1952, págs. 111-164).

«De la misma forma somos incapaces de introducir un tiempo que corresponda a requisitos físicos en K ', y que se mida en relojes en reposo con respecto a K ‘. Para convencernos a nosotros mismos de esta imposibilidad imaginemos dos re­ lojes de construcción idéntica colocados, uno en el origen de coordenadas y el otro en la circunferencia del círculo, y ambos considerados desde el sistema «es­ tacionario» K. Debido a un resultado familiar de la teoría de la relatividad es­ pecial, el reloj en la circunferencia va —juzgado desde K— más despacio que el otro, ya que el primero está en movimiento y el último en reposo. Un obser­ vador situado en el origen de coordenadas común y que sea capaz de observar el reloj de la circunferencia mediante luz, le vería, por consiguiente, retrasado con respecto al reloj colocado al lado suyo. Como [este observador] no se deci­ dirá a dejar que la velocidad de la luz dependa explícitamente del tiempo a lo largo del camino en cuestión, interpretará sus observaciones en el sentido de que el reloj de la circunferencia va «realmente» más despacio que el reloj si­ tuado en el origen. Por tanto se verá obligado a definir el tiempo de forma que el pulso del reloj dependa del lugar donde esté.» l a consecuencia que de todo esto extraía Einstein era muy clara: «Alcanzamos por consiguiente este resultado: en la teoría de la relatividad ge­ neral, el espacio y el tiempo no se pueden definir de forma que las diferencias de las coordenadas espaciales se mida directamente con la regla de medir uni­ dad, o las diferencias en las coordenadas temporales con un reloj standard.» Obsérvese que en estas líneas no se utiliza la expresión «disco rígido que gira», ahora bien, como ha señalado Stachel, no parece ha­ ber ninguna duda de que éste estaba en la mente de Einstein al escri­ birlo. Para confirmar esta impresión basta con echar un vistazo a su libro Relatividad que escribió tam bién en 1916. En él Einstein afirma que «para fijar nuestras ideas, imaginaremos que K ' tiene la forma de un disco circular plano, que gira de forma uniforme y en su propio plano, alrededor de su centro» (esto es, «disco que gira» y «sistema de referencia en rotación» pueden utilizarse como términos sinónimos). Además concluye que «las proposiciones de la geometría eudideana, no pueden mantenerse en forma exacta en el disco que gira, ni en general en un campo gravitacional, al menos si atribuimos la longitud 1 a la regla [de medir] en todas las posiciones y para cualquier orientación». Todos estos temas que vengo mencionando aparecen juntos, de hecho, en The Meantng ofR elativity (Einstein 1921), libro basado en las conferencias que Einstein pronunció durante 1921 en la universi­ dad de Princeton. Por su claridad, y aun a riesgo de ser repetitivo en ocasiones, voy a citar algunos párrafos (Einstein 1967, págs. 59-60): «Por consiguiente, espacio y tiempo no se pueden definir con respecto a K ' tal y como se hacía en la teoría de la relatividad especial con respecto a sistemas inerciales. Pero, de acuerdo al principio de equivalencia, se puede también

considerar a K ' como un sistema en reposo, en el que existe un campo gravitatorio (campo de fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis). Llegamos, por tanto, al siguiente resultado: el campo gravitacional influye e incluso determina las leyes métricas del continuo espacio-temporal. Si las leyes de configuración de cuer­ pos rígidos ideales se tienen que expresar geométricamente, entonces en pre­ sencia de un campo gravitacional la geometría no es euclideana. El caso que hemos estado considerando es análogo al que se presenta en el tratamiento bidimensional de superficies. Es también imposible en este ultimo caso introducir coordenadas sobre una superficie (p. ej., la superficie de un elipsoide) que tengan un significado métrico simple, mientras que en un plano las coordenadas canesianas, xlt x2 representan directamente longitudes medi­ das con una regla de medir unidad. Gauss superó, en su teoría de las superfi­ cies, esta dificultad introduciendo coordenadas curvilíneas que apañe de satis­ facer condiciones de continuidad eran totalmente arbitrarias, y únicamente después fueron estas coordenadas relacionadas con las propiedades métricas de la superficie. De forma análoga introduciremos en la teoría general de la relati­ vidad coordenadas arbitrarias X\, x2, X3, que caractericen unívocamente los puntos del espacio-tiempo de forma que sucesos próximos se vean asociados con valores próximos de las coordenadas; aparte de esto, la elección de las coor­ denadas es arbitraria. Seremos coherentes con el principio de relatividad en su forma más general, si damos a las leyes una forma tal que sean válidas en to­ dos estos sistemas de coordenadas cuadridimensionales; esto es, si las ecuaciones que expresan las leyes son covariantes con respecto a transforma­ ciones arbitrarias. El punto de contacto más importante entre la teoría de superficies de Gauss y la teoría de la relatividad general se encuentra en las propiedades métricas sobre las que se basan, en lo principal, los conceptos de ambas teorías.» Creo que queda claro, a través de las citas que he venido presen­ tando, que el hecho de que consideraciones propias de relatividad es­ pecial llevasen a Einstein a la conclusión de que en un disco que gira la geometría no es euclideana, unido al principio de equivalencia, constituyeron el primer estadio en el proceso de determinar cuál debía de ser el marco geométrico sobre el que se construiría más tarde la re­ latividad general. Ahora bien, para llegar a la idea básica sobre la que se levanta esta teoría, y que es que la interacción gravitatoria se geometriza, o en otras palabras que la estructura métrica del espaciotiempo es lo que matemáticamente describe a la gravitación, para lle­ gar a esto, digo, hacía falta cubrir una nueva etapa —un segundo estadio— cualitativamente muy diferente al anterior. En este segundo estadio se pueden distinguir tres niveles. El primero es, hasta cierto punto, razonable: si el estado dinámico del sistema de referencia (o cuerpo) en cuestión modifica la estructura geométrica del espaciotiempo, entonces, ¿por qué no asimilar ambos de forma que esta últi­ ma sirva también para describir el estado dinámico del sistema o, lo que es lo mismo, el correspondiente campo gravitacional? El segundo

nivel es menos inmediato en tanto en cuanto que ya involucra una estructura matemática perfectamente definida como son los espacios de Riemann o, si se quiere llamarlos de otra forma, la teoría de super­ ficies de Gauss. ¿Cómo consiguió Einstein alcanzar dicho nivel? En primer lugar, es de suponer que preguntándose ¿qué es lo que nos da de forma intrínseca la estructura geométrica de una superficie (va­ riedad) como es el espacio-tiempo? La respuesta es: la métrica. A par­ tir de este momento, o simultáneamente con él, Einstein se dio cuenta —como él mismo nos dice en la últim a cita— de que su problema físico era en realidad formalmente «análogo al que se presenta en el tratamiento bidimensional de superficies». Algo que le ayudaría debió de ser la idea de que el principio de equivalencia es válido sólo infini­ tesimalmente, ya que esto le pudo hacer recordar que en la descripción m ediante coordenadas gaussianas del elemento de línea de una super­ ficie curva, la geometría euclideana —que corresponde a la situación descrita por la relatividad especial— es correcta infinitesimalmente. Es­ tas conjeturas se apoyan también en la evidencia que se tiene de que Einstein se había familiarizado, durante las clases de Geiser sobre geometría infinitesimal en el Instituto Politécnico de Zurich, con la fórmula gaussiana del elemento de línea. Las clases de Geiser 4 perm a­ necieron en la memoria de Einstein que, cincuenta años más tarde, las describía como «verdaderas obras maestras del arte pedagógico que me ayudaron mucho al bregar con la relatividad general» (Einstein 1955). Estos conocimientos, bastante rudimentarios teniendo en cuenta la ri­ queza matemática de la relatividad general, bastaron a Einstein según él mismo indicaba en el prólogo a la edición checoslovaca de su libro Relatividad, la teoría especial y la general: Una exposición popular. En él se lee: «Tuve en primer lugar la idea decisiva de la analogía existen­ te entre los problemas matemáticos relacionados con la teoría y la teoría de superficies de Gauss en 1912, después de mi vuelta a Zurich [que tuvo lugar en agosto de 1 9 1 2 ), sin que p o r entonces conociera los trabajos de Riemann y Ricci o Levi-Civita*. El tercer y último nivel de este segundo estadio lo habría consti­ tuido —como de nuevo el propio Einstein (1955) nos cuenta— el reco­ nocer que la formulación cuadridimensional de Minkowski era real­ m ente importante. En efecto, durante algunos años Einstein fue muy crítico de la presentación que Minkowski hizo de la relatividad espe­ cial, presentación que consideraba como un mero formalismo despro­ visto de interés físico. Sin embargo, su actitud cambió hacia 1911, año 4 Se acepta generalmente que Einstein utilizó precisamente las notas que Marcel Grossmann tomó de las clases de Geiser. De hecho el mismo Einstein (1955) mencionó haberlas utilizado. Estas notas se encuentran en la actualidad en la biblioteca del Institu­ to Politécnico de Zurich.

en el que durante una conferencia titulada «La teoría de la relatividad» y pronunciada en la reunión de científicos de la naturaleza celebrada en Zurich, expresaba lo siguiente (Einstein 1911): «Finalmente, unas pocas palabras acerca de la extremadamente interesante di­ rección matemática que ha sido dada a la teoría [de la relatividad especial] principalmente a cargo del matemático Minkowski, que desgraciadamente mu­ rió muy prematuramente... El uso continuado de esta igualdad formal [de las coordenadas espaciales con la coordenada temporal] ha conducido a una expo­ sición extremadamente perspicaz de la teoría de la relatividad, que facilita grandemente sus aplicaciones. Los sucesos físicos se representan en un mundo de cuatro dimensiones, y las relaciones espacio-temporales entre ellos vienen representadas en este mundo cuadridimensional por teoremas geométricos.» El motivo de este cambio de actitud por parte de Einstein residió en el descubrimiento, durante 1912 (Einstein 1912b), de que la for­ mulación cuadridimensional variacional de las ecuaciones de movi­ miento de una partícula libre en la teoría de la relatividad especial, que Planck (1906) había encontrado en 1906

J

6 f ds =

( 1 0 . 1)

0

(donde ds2 « c2d t2 dx? dy2 dz2 es el intervalo minkowskiano), sigue siendo válida en la teoría de los campos gravitacionales estáticos —que como ya vimos estaba tratando de desarrollar de forma heurística— si se considera a la velocidad de la luz como una función de las coordenadas espaciales, c(x, y, z). Si esto es así se tiene como intervalo ds2 =
( 1 0 .2 )

Es interesante señalar que la métrica ( 1 0 . 2 ) implica de hecho un espa­ cio con curvatura y tensor de Ricci distintos de cero R i» - ~ c

dx,d)¿

(i, j = 1,

2

, 3) (10.3)

Ríj = — , Rio = o, IL o = - c V 2c c dXdd No obstante,-en el caso de que la velocidad de la luz únicamente depen­ da linealmente de las coordenadas (como ocurre para un campo hom o­ géneo), el tensor de curvatura se anula y el espacio-tiempo continúa siendo plano. De hecho, a estas alturas del desarrollo de su teoría

Einstein no utilizó ningún tipo de consideración que implicase, de una manera operativa, la noción de curvatura. Se limitó a señalar que la «ecuación hamiltoniana escrita [las ecuaciones ( 1 0 . 1 ) y ( 1 0 . 2 )] pro­ porciona una indicación de cómo se pueden construir las ecuaciones del movimiento de un punto material en un campo gravitacional diná­ mico». La indicación era clara ya que ( 1 0 . 1 ) con la métrica (10.2) no es sino la ecuación de las geodésicas en un espacio cuadridimensional con una métrica —( 1 0 . 2 )— más general que la minkowskiana. Quedaba así abierto el camino para, en un paso siguiente, considerar como métrica la de Riemann ds2 = ga8 d x fd if,

(10.4)

que con ( 1 0 . 1 ) conduce a geodésicas —como ecuaciones de movimiento— en espacios de Riemann. En este punto, con las ideas y los problemas ya formulados, fue cuando Einstein debió de acudir en busca de ayuda a su viejo amigo y compañero de estudios, el matemático Marcel Grossmann5, que ade­ más de ser su colega en el Instituto Politécnico de Zurich era un exper­ to en esta rama (geometría diferencial o cálculo absoluto) de las m ate­ máticas. La elección no podía estar más justificada. Empezaba una nueva etapa de esta larga historia que Einstein en una carta que en oc­ tubre de 1912 escribía a Sommerfeíd, describía de la siguiente forma: «Ahora me estoy ocupando exclusivamente del problema de la gravitación y creo que, con la ayuda de un matemático local que es amigo mío, seré capaz de dominar todas las dificultades. ¡Pero una cosa es segura y es que nunca en toda mi vida he luchado tan duramente y que me ha sido imbuido un gran respeto por las matemáticas cuyas partes más sutiles yo había, en mi estrechez de miras, considerado hasta ahora como puro lujo! Comparado con este problema la teoría de la relatividad original [es decir, la relatividad especial] es un juego de niños.» 4.

Otras fuentes

En la sección anterior he manejado los trabajos publicados 6 en los que Einstein hacía referencia al problema del disco que gira. Existen además otras fuentes, cartas que Stachel ha desenterrado de los archi­ vos de Princeton y donde Einstein se refiere también al problema de 5 Conviene señalar también que fue por mediación del padre de Grossmann como Einstein consiguió su empleo en la oficina de patentes de Berna. 6 No me he referido al conocido libro de Einstein e Infeld (1938, págs. 226-234), The Evolution ofPhysics, donde también se discuten estas cuestiones.

un disco rígido que gira. Voy a mencionarlas brevemente por su inte­ rés histórico. En julio de 1919 Einstein contestaba a unas preguntas y comenta­ rios, relativos al disco que gira, que le había formulado el conocido fi­ lósofo positivista J. Petzoldt7. Para precisar lo más posible su posición, frente a las críticas de Petzoldt8, Einstein presentaba una detallada dis­ cusión del disco que gira, discusión de la que extraigo los siguientes párrafos: «... El tratamiento de la métrica de un disco circular es como sigue. Sean U„ la circunferencia y r» el radio del disco que gira, considerados desde el punto de vista de K, [sistema de referencia en reposo]; entonces, debido a la geometría euclídea ordinaria t/„ = 27rr„

(1)

Se supone, naturalmente, que £/„ y r„ se miden con reglas que no giran, esto es, que están en reposo en K,. Imaginemos ahora, puestas sobre el disco que gira, reglas co-rotantes de longitud en reposo 1 , y coloquémoslas tanto a lo largo del radio como sobre la circunferencia. ¿Cuáles son sus longitudes, consideradas desde K,? Imagine­ mos, para entenderlo mejor, que tomamos desde K, (y en el instante /„) una «instantánea». En esta instantánea las reglas radiales tendrán una longitud igual a 1 ; sin embargo, las tangenciales medirán Vi — (v*l
1

— (j^/c2)

(2 )

Por otra pane obviamente, r = r„

(3)

...Por consiguiente de (2) y (3)

Vi - (j¿/c2) o teniendo en cuenta ( 1 ) U r

Vi — (*>2/c2)

7 Petzoldt defendía la opinión de que la relatividad especial debía considerarse como un triunfo de la filosofía positivista. 8 Ver Stachel (1980).

Es decir í / > 2 irr, (vi^O), en contra de la opinión de Petzoldt. Otras cartas donde Einstein se expresó en términos parecidos son las que escribió al conocido matemático marxista Hyman Levy, en el invierno de 1939, y al estudiante australiano Leonard Champion. Estas cartas tienen además el interés de que en ellas Einstein llegó a m ani­ festar explícitamente que fue justamente el reconocer que la geometría apropiada en el caso del disco que gira es la no euclideana lo que le convenció de que la geometría euclideana no podía ser válida para cuerpos rígidos en presencia de campos gravitacionales. 5.

Sinopsis final

Para resumir, presento el siguiente cuadro donde se engloban y re­ lacionan los diferentes elementos que Einstein manejó para llegar a las conclusiones que hemos estado tratando en este capítulo.

Capítulo 11 EN BUSCA DE LA RELATIVIDAD GENERAL, III: EINSTEIN Y GROSSMANN

1.

Introducción

Entramos con este capítulo en algo que constituye una auténtica comedia de errores, aciertos, argumentos y contraargumentos. Es muy agradable coger un libro de texto 1 y ver cómo, con una limpieza adm i­ rable surgen de unas cuantas suposiciones las ecuaciones del campo de la relatividad general. Históricamente, sin embargo, el proceso a través del cual Einstein llegó a su teoría fue largo y complicado, con muchas ideas equivocadas y pseudoargumentos junto a brillantes razonamien­ tos. Esta característica del desarrollo de la relatividad general se acen­ túa en el momento en que Einstein llegó a la conclusión de la necesi­ dad de utilizar espacios riemannianos como soporte gométrico para su teoría. A partir de entonces, en la búsqueda de las ecuaciones del cam­ po correctas, las dudas y errores de Einstein se multiplicaron. Es difícil suponer que pudiese haber sido de otra forma. 2.

La teoría de Einstein y Grossmann de 19132

Hemos visto en el capítulo anterior el origen real de la colabora­ ción entre Einstein y Grossmann, por consiguiente no volveré aquí 1 Por ejemplo, Weinberg (1972). 2 Referencias útiles para complementar la información que presento en esta sección son Mehra (1974), Earman y Glymour (1978a,b).

sobre esta cuestión. Sí diré, sin embargo, que esta colaboración dio co­ mo fruto tres artículos de los cuales el más interesante sea posiblemen­ te el primero (Einstein y Grossmann 1913) que en realidad se compo­ ne de dos partes: la física, escrita por Einstein, y la matemática, a car­ go de Grossmann. En este artículo, Einstein comienza por introducir el elemento de línea en un espacio de Riemann ds2 = gcedyfdxí3, (a , |8 . . .

=

0 , 1,

2

, 3),

(11.1)

(donde se utiliza el convenio de Einstein de suma sobre los índices re­ petidos) indicando que el tensor (simétrico) métrico g ag(xy) caracteriza no sólo el espacio-tiempo sino tam bién el campo gravitacional (es de­ cir, las diez cantidades g af¡ reemplazan al potencial escalar $ de la teoría newtoniana). Como consecuencia del papel que juegan los g ag, las ecuaciones que determinan la dinámica del campo gravitacional (ecuaciones del campo) deben de ser ecuaciones en derivadas parciales con los ga0 como incógnitas. El problema que se abría ante Einstein y Grossmann era el de encontrar tales ecuaciones. Para poder resolver este problema, lo primero que había que estu­ diar era el álgebra apropiada a los nuevos potenciales gravitatorios, el tensor g a0, es decir, el álgebra (o análisis) tensorial. Esto lo hizo Gross­ mann en la parte matemática del artículo en la que introdujo, entre otras, las nociones de tensor (de cualquier rango) covariante y contra­ variante (siguiendo para ello a Levi-Civita), así como los símbolos de Christoffel 1 / dgi* 2 v 3^

dgiu, _ dg„ dx* dx* ( 11.2)

y el tensor de cuarto orden de Riemann-Christoffel Rtea _ ^ dx"

-

íp i dx*

+ r s J X - T s,r»

(11.3)

Para Grossmann no había duda de que «el significado decisivo de estas estructuras [tensores] para la geometría diferencial de una variedad, definida por su elemento de línea, hace a priori probable, que estos tensores generales puedan ser importantes también para el problema de las ecuaciones diferenciales de un campo gravitacional».

De hecho Einstein y Grossmann buscaban ecuaciones del campo de la forma A * = kTaa

(11.4)

donde Taf¡ son los componentes del tensor de energía (que representan el contenido energético —y por tanto tam bién material— del sistema en cuestión) y donde el tensor —todavía por encontrar— AaB debería satisfacer los siguientes requisitos: i) Ser tal que (11.4) sea covariante (esto es, mantener la misma forma en todo sistema de referencia [de coordenadas]); ii) que se pueda construir a partir de g aB y de sus derivadas de pri­ mer y segundo orden; iii) en el límite newtoniano —bajas velocidades y campos gravitatorios débiles— (11.4) debe pasar a ser V2# = (constante) ·

q

(11.5)

donde q representa la densidad de materia; esto es, reducirse a la ecuación de Poisson de la teoría de Newton. Hay que señalar que Einstein y Grossmann estaban suponiendo explícitamente que Aofl debía de ser un tensor de segundó orden. La única razón que podían aducir para ello estaba relacionada precisa­ mente conel límite newtoniano, pero en realidad,como veremos más tarde en una cita,Einstein se daba perfecta cuenta deque esta suposi­ ción no estaba totalm ente justificada. En lo que a candidatos para A„fl se refiere, Grossmann tenía uno y así lo señalaba al escribir; «De hecho, es posible especificar un tensor diferencial covariante R de se­ gundo orden y rango dos, que podría formar parte de aquellas ecuaciones R?, = Ric ·»

( 1 1 -6 )

En principio esta relación era particularmente atractiva para Eins­ tein y Grossmann ya que aparecía el tensor de Ricci, R*,j, definido en función del de Riemann, y por aquel entonces ya se habían da­ do cuenta del papel fundamental que en el campo gravitacional juega este últim o tensor puesto que se anula si y sólo si la métrica es pseudoeuclídea3 (espacio-tiempo plano) con lo que en cierta forma se asocian matemáticamente espacio-tiempo «vacío de gravitación» y rela­ tividad especial. Ahora bien, para Grossmann —y para Einstein— esta elección presentaba problemas: 3 Ver para esta cuestión Adler, Bazin y Schiffer (1965, secciones 5.5 y 5.6).

«Esta misma expresión demuestra que este tensor no se reducirá, en el caso de un campo gravitacional infinitamente débil, a la expresión V24> [ver (11.5)]. Debemos dejar abierta, por consiguiente, la cuestión de hasta qué punto está relacionada con el problema de las ecuaciones de la gravitación la teoría gene­ ral de los tensores diferenciales asociados al campo gravitacional. Tal conexión debe existir, en tanto en cuanto las ecuaciones de la gravitación permitan susti­ tuciones arbitrarias, pero parece que en este caso no se pueden obtener ecuaciones diferenciales de segundo orden. Por otra parte si se pudiese estable­ cer que las ecuaciones de la gravitación admiten solamente un cierto grupo de transformaciones entonces se podría entender por qué no serían aceptables los tensores diferenciales que proporciona la teoría general. Como se indica en la parte física [escrita por Einstein], no estamos todavía en posición de discutir es­ ta cuestión.» En definitiva Einstein y Grossman estaban rechazando la posibilidad de tener RaB = kTo.g

(11.7)

como ecuaciones del campo gravitatorio. Antes de discutir si sus razones fueron correctas o no, quiero seña­ lar que al descartar (11.7) abandonaban la posibilidad de obtener unas ecuaciones del campo bastante próximas a las definitivas4 ecuaciones de la relatividad general. Más aún, en el caso de un sistema vacío (Ta$ = 0), las ecuaciones (11.7) pasan a ser RaB =

0

( 1 1 .8 )

es decir, las mismas ecuaciones que se obtienen para el vacío en relati­ vidad general. En otras palabras, que la solución de Schwarzschild (simetría esférica) que durante mucho tiempo fue el único soporte ex­ perimental de la relatividad general al deducirse de ella los tres tesis clásicos, es también —en la misma situación física— solución de la teoría que en su artículo de 1913 Einstein y Grossmann descartaron. Sería interesante preguntarse qué hubiera ocurrido si no hubieran rechazado dicha teoría, pero esto se sale de las intenciones de este tra­ bajo. Pasando ahora a la cuestión de la validez de los argumentos em plea­ dos por Einstein y Grossmann para rechazar (11.7), diré que, como Earman y Glymour (1978b, pág. 257) han señalado, éstos son in ­ correctos. Si se hacen las siguientes hipótesis: (Ai): Unicamente partículas con masa son fuentes del campo gra­ vitacional. 4 Pata las ecuaciones definitivas ver capítulo 12.

(A2): Las partículas se mueven con velocidades pequeñas compara­ das con la de la luz. (A3): g„ff = r¡a„ + e/3„„; con r¡«e la métrica de Minkowski y € un infinitesimal. (A4): La métrica es estacionaria (esto es, existe un sistema de coor­ denadas en el que se verifica (A3) y -jf — = 0), dx0 se tiene que (Aj), (A2) y (11.7) implican que IL· *

;

(11.9)

por otra parte de (A3), (A4) se sigue = — Í 2, - i

W,

hasta primer orden en e,

con lo que, utilizando (11.9) se obtiene ¿

jStt

= (constante) · e

(11.10)

i- 1

que es todo lo próxima a (11.5) —ecuación de Poisson— que se puede esperar. Por consiguiente a primera vista parece que Einstein y Grossmann cometieron un error de cálculo elemental. Sin embargo no es éste el caso, como Stachel5 ha señalado recientemente. Lo que ocurrió en rea­ lidad fue que se apoyaron en los resultados que de forma heurística habían obtenido para el caso estático, en el que se tenía una velocidad de la luz variable. Con estos resultados = c1 (x1, x2, x 3) y como cl = 1 — 2 $ , se llegaba, como vimos en el capítulo 10, a que Roo m — V2<í>, Ru * (i, j, ... = 1, 2, 3) y por consiguiente en el caso del vacío —ecs. (11.8)— se obtenía que $ = 0 en todo el espacio, es decir, una teoría gravitacional sin campo gravitatoño. Einstein y Grossmann se encontraban, por tanto, ante un proble­

5 Stachcl (para publicar), comunicación privada a) autor.

ma frente al que cabía tomar varias opciones, a las que el propio Einstein se refería de la forma siguiente: «Se debe señalar, sin embargo, que bajo esta suposición [que las ecuaciones sean de segundo orden] parece ser imposible encontrar expresiones diferenciales Abs que sean una generalización de V2$ y que resulten ser un tensor bajo transformaciones arbitrarias. No obstante no se puede negar a priori que las ecuaciones exactas finales de la gravitación puedan ser de orden superior al se­ gundo. Por tanto existe siempre la posibilidad de que ecuaciones de la gravita­ ción perfectamente exactas puedan ser covariantes con respecto a sustituciones arbitrarias. Intentar una discusión de tales posibilidades sería, sin embargo, prematuro en vista del nivel actual de nuestro conocimiento acerca de las pro­ piedades físicas del campo gravitacional. Por tanto estamos restringidos a [ecuaciones de] segundo orden, y en consecuencia nos debemos abstener de es­ tablecer ecuaciones de gravitación que resulten ser covariantes con respecto a transformaciones arbitrarias. Más aún, se debe señalar que no disponemos de ningún indicio con respecto a la covariancia general de las ecuaciones de la gra­ vitación.» En otras palabras, Einstein optaba por abandonar el principio de rela­ tividad general. Era muy deseable el tener una teoría que no privile­ giase ningún sistema de referencia o de coordenadas, pero no existía en realidad ningún indicio experimental que condujese a dicho princi­ pio, al contrario de lo que ocurría con el principio de equivalencia que se apoyaba en la igualdad observada experimentalmente entre masa inercial y masa gravitatoria. El principio de relatividad general (cova­ riancia de la teoría) era casi una necesidad de orden estético para Eins­ tein, pero como ya he dicho en alguna ocasión, era demasiado buen físico como para no estar dispuesto a abandonar opiniones que podrían resultar ser simples prejuicios. Ahora bien, Einstein no sólo se dispuso a abandonar la covariancia general sino que con su imagina­ ción desbordante— lo que en ocasiones, y esta era una de ellas, consti­ tuyó un aspecto negativo de su talento científico— tam bién intentó justificarlo en función de una especie de primeros principios. Sus argu­ mentos eran los siguientes: a) El principio de causalidad exige que a una distribución dada de materia y energía (esto es, a un determinado T„n) le corresponda un único campo gravitacional. b) A un campo gravitacional único le debe corresponder un único tensor métrico. (Einstein entendía que «único» no sólo quiere decir «físicamente único» sino también «función matemática de las coorde­ nadas única»). De estas dos premisas se obtenía la conclusión —argumentaba Einstein— de que ninguna ecuación que sea covariante bajo una trans­ formación arbitraria puede tener la propiedad (b). Precisamente poc-

que la teoría es covariante bajo transformaciones arbitrarias, soluciones con diferente forma matemática y correspondiendo a las mismas fuen­ tes podrían ser físicamente idénticas. Aparentemente, y aunque nunca se sintió satisfecho con el abandono del principio de relatividad gene­ ral, Einstein no se dio cuenta de lo erróneo de sus razonamientos hasta finales de 1915, es decir, hasta muy poco antes de llegar a la formula­ ción definitiva de la relatividad general. De hecho, Einstein y Grossmann propusieron en 1913 unas ecuaciones de campo que no eran covariantes generales. Estas eran las ecuaciones (11.4) con a ·* * — — (¿ r y T T y / ^ T f Bxr * v g

^ d*

) -rg r, ^ ’ 8 g p d*

d*

+ (íi.m

±

«~a* M i -

2 * &

bxr

_L , 4 * *

dx*

d*

'

donde g = determinante de g aB. Existía una razón al menos por la que estas ecuaciones no desagra­ daban del todo a Einstein, como se vería en 1914 en un nuevo artículo escrito en colaboración con Grossmann (Einstein y Grossmann 1914). En este trabajo se afirma que aunque las ecuaciones (11.4) y (11.11) no son válidas para todo sistema de coordenadas, sí lo son, sin embar­ go, para cualquier sistema que satisfaga la condición6 .

0 1 . 12)

6 Einstein y Grossmann demuestran que de (11.11) y de la condición 7^1 = 0 (para campos de materia) se sigue (11.12). (Señalemos de paso que ya desde sus primeros artículos «riemannianos» Einstein utilizaba como condición suplementaria, que generali­ zaba a la conservación de energía, el que la derivada covariante del tensor energíaimpulso fuese igual a cero). En el mencionado artículo se señala tam bién que las ecuaciones de campo (11.4), ( l l . l l ) s e pueden obtener del principio variacional 6 \ \ H - lksf~-g

- 0

(5: variación con respecto a los potenciales métricos

H

2

a *"

g a0)

(A)

siendo

í r

av

(hamiltoniano del campo gravitacional). Asimismo se indica que los sistemas de coorde­ nadas permitidos [(11.12)] «se han escogido de forma que la integral [que aparece en (A)] tienda a un máximo para valores de contorno fijados de las coordenadas y de sus deri­ vadas primeras (consideradas en un sistema de coordenadas arbitrarias)».

Ahora bien, para Einstein esto representaba un importante avance ya que: 1) Las transformaciones permisibles podrían ser no lineales, y por consiguiente 2) la teoría permitía la equivalencia entre (algunos) siste­ mas de referencia acelerados (por ejemplo —pensaba Einstein— entre sistemas estacionarios y en rotación). Podía, pues, considerarse que las nuevas ecuaciones del campo daban un alcance bastante amplio al principio de equivalencia. En este sentido Einstein escribía a Besso en marzo de 1914 (Speziali, ed. 1979, pág. 32) «... las ecuaciones de la gravitación son válidas para todos los sistemas de coor­ denadas que satisfacen estas condiciones [ecs. (11.12)]. De esto se sigue el que existen transformaciones que representan aceleraciones de una naturaleza muy variada (rotaciones, por ejemplo) y que transforman las ecuaciones en ellas mismas, de forma que la hipótesis de equivalencia se mantiene en su forma primitiva.» A pesar de estas opiniones tan entusiastas, Einstein —que nunca se había sentido realmente a gusto abandonando el requisito de covarian­ cia general— no tardaría en relegar esta teoría. Esto ocurrió en el período comprendido entre mediados de 1914 y principios de 1915, después de haber escrito algunos trabajos que no añadían nada nuevo, salvo alguna que otra clarificación matemática. Así, el 28 de no­ viembre de 1915, Einstein, ya por entonces miembro de la academia prusiana de Berlín (desde la primavera de 1914) y director del instituto de investigaciones físicas en el Kaiser- Wilhelm-Gesellschaft, escribía a Sommerfeld (Hermann, ed. 1968, pág. 32) diciéndole: «1 ) He probado que el campo gravitacional para un sistema girando uniforme­ mente no satisface las ecuaciones del campo [de la teoría de EinsteinGrossmann]. 2) El movimiento del perihelio de Mercurio proporciona 18" en lugar de 45" por siglo. 3) El requisito de covariancia en mi artículo del año pasado no proporciona la función hamiltoniana H. Permite, si se generaliza adecuadamente, una H ar­ bitraria.» La teoría de Einstein-Grossmann había m uerto y Einstein, que ya do­ m inaba el cálculo diferencial absoluto y que por consiguiente no nece­ sitaba más a Grossmann, se disponía a dar los últimos pasos en su bús­ queda de una teoría relativista de la interacción gravitatoria.

3·

Posdata: Las ecuaciones de movimiento

En una teoría de campos no totalm ente pura (entendiéndolo como aquélla en la que no se pueden reducir todos sus elementos básicos

—las fuentes, por ejemplo— al concepto de campo) es necesario tener, junto a las ecuaciones del campo, ecuaciones de mpvimiento para las fuentes que «generan» la interacción. En la teoría de la relatividad ge­ neral ésta es una cuestión bastante delicada puesto que las ecuaciones de movimiento se derivan —debido esencialmente a las identidades de Bianchi— de las ecuaciones del campo. Sin embargo, esta propiedad se hizo aparente únicamente después de haber quedado establecida la teoría en su forma definitiva. Desde el comienzo de su búsqueda de teorías riemannianas, Einstein consideró la cuestión de las ecuaciones de movimiento como algo ajeno en principio a las ecuaciones del cam­ po. Así en su teoría de 1913 derivaba —y esto se puede aplicar tam ­ bién a sus teorías posteriores— el movimiento de una partícula m ate­ rial en un campo gravitatorio a partir del principio variacional ó J ds = 0 ,

(ll.b)

con ds dado por (11.1), de donde se obtenían las ecuaciones de movi­ miento (geodésicas de la variedad riemanniana definida por gae)

Capítulo 12 EN BUSCA DE LA RELATIVIDAD GENERAL, IV: LAS ECUACIONES DEL CAMPO

1.

Noviembre de 19151

Noviembre de 1915 fue el mes decisivo en el desarrollo de la relati­ vidad general. Hasta entonces Einstein se había conformado con la teoría que junto a Grossmann había desarrollado en 1913, aunque desde luego no se puede decir que llegase a estar plenamente satis­ fecho con ella. Fue en tres sesiones consecutivas de la Academia Pru­ siana de Ciencias —el 4, 11 y 18 de noviembre— cuando Einstein pre­ sentó dos nuevas teorías, todavía no la definitiva, que le conducirían casi inmediatamente a la relatividad general, teoría que comunicaba a la academia en la sesión del 25 de noviembre. Algunos de los motivos que explican la evolución de las ideas de Einstein se encuentran en la introducción a su primera comunicación. Allí Einstein (1915a) escribía: «Durante estos últimos años; me he esforzado mucho por tratar de construir una teoría de la relatividad general basada en la suposición de la relatividad de los movimientos no uniformes. Incluso llegué a pensar que había descubierto 1 Esta sección se apoya principalmente en Earman y Glymour (1978a,b), Einstein (1916) y Mehra (1974).

la única ley de gravitación que correspondía análogamente al postulado de la relatividad general y quise demostrar la necesidad de que fuese precisamente esta la solución en un artículo publicado en esta misma revista el año pasado [Sitzungsberichte, 1066-1077 (1914)]. Un nuevo examen [de esta cuestión] me demostró que la necesidad [de esta solución] no se puede probar en absoluto por el método allí propuesto; fue de­ bido a un error el que pareciese ser así. El postulado de relatividad, en el senti­ do implicado [en aquel artículo] se satisface siempre si uno toma como base el principio de Hamilton; sin embargo [el postulado de relatividad] no propor­ ciona en realidad ningún medio de determinar la función hamiltoniana H del campo gravitacional. En la práctica sólo afecta a la ecuación [(11.12)] que restringe la elección de H, en el sentido de que H debería ser invariante con respecto a transformaciones lineales, un requisito que no tiene ninguna utili­ dad para lograr la relatividad de [los movimientos] acelerados. Además la elec­ ción del hamiltoniano indicado no viene determinado en forma alguna [por la ec. (11.12)]. Debido a estas razones perdí toda fe en las ecuaciones que había estableci­ do y comencé a buscar un camino que restringiese las posibilidades en una for­ ma natural. Así volví al requisito de covariancia general para las ecuaciones del campo [las itálicas son mías], requisito del que por primera vez y con gran pe­ sar me había apañado hace tres años cuando trabajé junto a mi amigo Marcel Grossmann. De hecho, en aquel entonces llegamos ya muy cerca de la solución que en lo que sigue doy al problema. Lo mismo que la teoría de la relatividad especial está basada en el postula­ do de que las ecuaciones deben ser covariantes con respecto a transformaciones lineales y ortogonales, la teoría desarrollada aquí está basada en el postulado de la covariancia de todos los sistemas de ecuaciones con respecto a las transfor­ maciones cuyo determinante es 1. La fascinación de esta teoría a duras penas abandonará a todo aquel que la haya manejado. Representa un auténtico triunfo del cálculo diferencial absolu­ to fundado por Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci y Levi-Civita.» Vemos, por consiguiente, que Einstein se encaminaba de nuevo hacia una teoría que satisficiera el requisito de covariancia general. De hecho la primera teoría de noviembre de 1915 sólo era covariante —como Einstein señala en la cita anterior— para transformaciones de jacobiano igual a la unidad. Ahora bien, para Einstein (19162, 1952, pág. 130) «sería erróneo creer [que esto] indica un abandono parcial del postulado general de relatividad. Nosotros no nos preguntamos ¿cuáles son las leyes de la naturaleza que son covariantes frente a todas las sustituciones cuyo determinante [jacobiano] es la unidad?, sino que nuestra pregunta es «¿cuáles son las leyes de la naturaleza covariantes generales?».

2 Las citas del artículo de 1916 están tomadas de la traducción inglesa publicada por Dover, Einstein e t a l. (1952).

El exigir que d (*■>'......... * ?') i = j d (x„, ... , x 3) tenía comoprincipal motivo el que «con esa elección las leyes de transformación de los tensores experimentan una importante simplifi­ cación» (Einstein 1952, pág. 148). Vamos ahora a comentar los principales puntos de las teorías que Einstein presentó en sus comunicaciones del 4, 11 y 17 de noviembre. Las ecuaciones de campo que Einstein proponía eran RLg = k TaB ,

(12.1)

RaB = Ru& "*■ RaB ’

(12.2a)

donde

siendo Rag el tensor de Ricci5 y RU = ~

,

ox* dxr

- r “« r -

(12.2b) ·

( 12-2c)

Como Rág no es un tensor, las ecuaciones de campo (12.1) no son co­ variantes. Sí lo son para transformaciones que verifican I d < * ' ........*■;> I - 1 3 (x>, ... , x3)

.

(12.3)

ya que entonces RU se transforma como un tensor. ParaEinstein una ventaja de imponer la condición (12.3) era el que alser de esta forma g un invariante, desaparecía la distinción entre tensores y densidades tensoriales. Así si se utilizaba como ley pa­ ra TaB Pg = Ka donde «;» denota la derivada covariante

3 Ver capítulo 11.

,

(12.4)

y Ka los componentes de la fuerza exterior4, y se reescribía en la forma Tj!„ = j n

-

f j - 4 = 1 TJ

,

fs + £.

,

( 1 2 .5 )

con fL =

Ka

;

(12.6)

entonces la desaparición de la distinción entre tensores y densidades tensoriales implica que (12.5) se puede escribir como T J, = j n - í -

T3» + Ka .

(12.7)

El siguiente paso que Einstein daba era argumentar que cuando T J representa el tensor de energía-impulso para el campo de materia completo, se tiene que Ka = 0, con lo que (12.7) se reduce a T J, =

TJ -

- T»B T J

.

(12.8)

A continuación Einstein demostraba que tam bién se satisface una ley ordinaria (no covariante) de conservación para el conjunto de cam­ pos de materia y gravitación (T J + t j ) . e - 0

,

(12.9)

donde t J * - y k [ b jg “T iaT% -

( 1 2 .1 0 )

es el denominado «tensor de energía» del campo gravitacional, que surge debido a la curvatura del espacio que impide la existencia de una ley de conservación para T J únicamente. Como Einstein sabía muy bien, t J no es en realidad un tensor —sólo se comporta como tal bajo transformaciones lineales— ya que eligiendo un sistema de coor­ denadas apropiado siempre se puede hacer que V “. se anule en un punto, con lo que t J se anulará para dichas coordenadas. Ahora bien, un tensor igual a cero en un cierto sistema de coordenadas es igual a cero en todos. 4 El mismo Einstein había introducido (12.4) en uno de sus artículos de 1914.

Utilizando (12.8) y (12.9) Einstein obtenía la siguiente expresión: [ f*

- * £ a -0

Ts

;

(1 2 .11)

de la que surgían los problemas que afectaban —según el propio Einstein— a la teoría. Para comprender la naturaleza de estos proble­ mas hay que darse cuenta de que si se elige un sistema de coordenadas en el que V —g = constante, entonces obviamente (/»V —g ),8 - 0, lo que de acuerdo con (12.11) implica que para los campos de materia T * E T aa = 0. Pero exigir que r » 0 es algo demasiado fuerte pues­ to que las ecuaciones del campo gravitatorio deben de ser aplicables para cualquier distribución de materia, y es evidente que bajo estas condiciones T no será, en general, igual a cero. Ahora bien, Einstein había exigido desde el principio (12.3) y esto implica que V —g = 1; por consiguiente no podía evitar concluir que su teoría del 4 de no­ viembre conducía a T = 0. En resumen, Einstein se enfrentaba con la siguiente disyuntiva: o bien su teoría no era correcta o, si lo era, en­ tonces, T * O5. Por esta u otras razones, el caso es que Einstein no permaneció contento con esta teoría durante mucho tiem po. El 11 de noviembre presentaba a la academia otro nuevo trabajo (Einstein 1915b) en el que las ecuaciones del campo resultaban ser Ra0 = k T ae .

(12.12)

Al día siguiente (12 de noviembre) Einstein escribió a Hilbert anunciándole que p o r fin había encontrado unas ecuaciones de campo totalm ente covariantes (RaB es el tensor de Ricci). Lo primero que destaca de estas ecuaciones es que son las mismas —(11.7)— que Einstein y Grossmann habían descartado en 19136. Entonces creyeron que no tenían el límite newtoniano adecuado, aho­ ra Einstein no sólo se da cuenta de que esto no es así, sino que además en algún momento entre el 11 y el 18 de noviembre,cuand (Einstein 1915c) su resultado a la academia,consiguedemostrar que correspondiente ecuación para el vacío Ra» = 0

,

(12.13)

5 Earman y Glymour (1978a, pág. 299) han argumentado que en realidad el proce­ dim iento seguido por Einstein era inconsistente ya que (12.7) es equivalente a la condi­ ción T/ ig ~ 0 con K , = (in y j —£ ),ST*„. Pero para f ¿ ‘ arbitrarios, K , se anula si y sólo si ->J —g - constante. 6 Ver capítulo 11, sección 2 donde discutí los motivos que llevaron a Einstein y a Grossmann a rechazar esta posibilidad.

explica el movimiento anómalo del perihelio de Mercurio. De nuevo escribe a Hilbert (el 18) «...hasta ahora ninguna teoría de la gravita­ ción había logrado esto». A pesar de todo, su nueva teoría tenía gran parte de los problemas que afectaban a la anterior. Como la teoría era totalm ente covariante se podía elegir libremente el sistema de coordenadas, pero si se tom a­ ba uno para el que 'J~ ~ g = constante, entonces Rüg = 0, y por tanto (12.12) se reducían las ecuaciones previas (12.1). Más aún la ecuación (12.7) y sus consecuencias seguían siendo válidas para las coordenadas elegidas, de forma que debido a (12.11) se obtenía de nuevo el apa­ rentem ente absurdo resultado T = 0. Como ha señalado recientemente Stachel (1977, pág. 439), la pri­ mera reacción de Einstein fue la de «hacer una virtud de la necesidad» y argumentar (Einstein 1915b) diciendo que «Hay bastantes [científicos] que esperan que la materia se pueda reducir a un fenómeno puramente electromagnético que, sin embargo, tendría que obede­ cer a una teoría más general que la electrodinámica de Maxwell. ¡Ahora bien, supongamos por el momento aue en tal electrodinámica general el escalar de la energía se anulase también1.·71. ¿Demostraría este resultado que la materia no se puede construir con la ayuda de esta teoría? Yo creo que esta pregunta se puede contestar negativamente, ya que.es enteramente posible que los campos gravitacionales sean un ingrediente esencial de la «materia»... Entonces, £ Tí puede parecer ser positivo, mientras que en realidad solamente E(T„“ + /„“) es positivo con E T„“ anulándose en todas partes.» En otras palabras, tal vez existiese una teoría de la materia ordinaria más fundamental que fuese básicamente electromagnética en su n atu ­ raleza —y recordemos que tales creencias eran comunes (p . ej. Mié) en aquella época— y que demostrase que a un nivel más básico la traza del tensor de energía-impulso se debería anular. Poco después de publicar estas justificaciones para sus ecuaciones, Einstein se daba cuenta de que su teoría del 11 de noviembre podía modificarse, ligera pero al mismo tiempo dramáticamente, de forma que siguiese siendo totalm ente covariante pero sin imponer ninguna condición en la traza del tensor de energía-impulso. Así el 25 de no­ viembre de 1915 Einstein (1915d) presentaba a la Academia Prusiana de Ciencias su cuarta comunicación titulada «Die Feldgleichungen der

7 En la electrodinámica de Maxwell

£

a =0

---------- F " ‘F " ril.. , tj * métrica de Minkowski.

4ir

( T EM)%

» 0,

TEM“'

= —-— F„F"°t)‘·'

l 6 ir

Gravitation» que contiene las familiares ecuaciones de la relatividad general Rat = K T a9 - -1 g aBT)

,

(12.14a)

o bien, Ral3 — — gagR —kT al3

(I2 .l4 b )

La primera pregunta que uno se hace es obvia; ¿por qué de las ecuaciones (12.12) Einstein pasó a las (12.14)? Esto es, ¿a qué se debió el introducir el té rm in o ---- j g a&k T (ó — -i- ga6R en la otra fotma equivalente)? Desde luego, y en contra de lo que se induce a creer en las presentaciones que de la teoría hacen los libros de texto, no para tener de esta forma que T$ = 0

.

(12-15)

En la época en que escribió el artículo Einstein, que desconocía las identidades de Bianchi, pensaba que la «ley de conservación» (12.15) no tenía nada que ver con las ecuaciones del campo. En el artículo del 25 dé noviembre el único lugar en el que el término — — gaSk T parece jugar un papel esencial es en la obtención de la ecuación r* .«.* * H T + /)

,

(12.16)

que se deduce de (12.14) junto a la condición - f —g = 1. Einstein se­ ñalaba que en (12.16) los tensores de energía para la materia y para la gravitación aparecen en form a sim étrica algo que no ocurría en sus teoríasanteriores [verp. ej. (12.11)]. Esta simetría es laúnica referen­ cia explícita que Einstein dio como motivo para pasar de (12.12) a (12.14): «Las consideraciones que me han inducido a introducir el segundo término en el miembro de la derecha [de la ecuación (12.14a)] aparecen claras a partir de la siguiente reflexión...» y entonces obtiene (12.16). ¡Un anticlimax bastante críptico realmen­ te!

2. Génesis de la relatividad general vista desde el articulo de 1916 «Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie» El articulo titulado «Los fundamentos de la teoría de la relatividad general» que Einstein (1916) publicó en 1916 y en el que presentaba su reciente teoría de una forma completa, nos sirve para ver más de­ talladamente que en el artículo del 25 de noviembre, los motivos que le llevaron de (12.12) a (12.14). En la sección 14 de «Die Grundlage...», Einstein aborda el tema de las ecuaciones del campo gravitatorio en ausencia de materia. Por las razones que ya indiqué en la sección anterior, Einstein elegía un siste­ ma de coordenadas en el que V —g = 1, con lo que las ecuaciones del campo toman la siguiente forma8 ^

= 0

ox“

.

(12.17)

A continuación demuestra que una expresión equivalente a (12.17) es9 9 ( r ^ s O = k (n - 1 * ? ) dx" 2

,

(1 2 .1 8 )

donde t°B —definido por (12.10)— le había surgido como una m agni­ tud que verifica la ley de conservación ordinaria. *¿‘ - 0

.

(12.19)

El siguiente paso a dar era, por supuesto, el de buscar las ecuaciones del campo en presencia de m ateria10. Para conseguir encontrarlas, Einstein (1916; sección 16, 1952, pág. 148) comenzaba recordando que, «La teoría de la relatividad especial ha conducido a la conclusión de que la ma­ sa inerte no es nada más que energía, que encuentra su expresión matemática 8 Es en este momento cuando Einstein afirma que (12.17) en conjunción con las ecuaciones de movimiento,

# * · r „ dxr d x ds1 ” " ds

ds

'

proporcionan en primer orden de aproximación la ley de Newton de la gravitación u n i­ versal, y en segundo orden, la explicación del movimiento del petihelio de Mercurio. 9 Einstein habla introducido un coeficiente 2k por razones que —en sus palabras— «se verían más tarde». 10 Einstein denom inaba «materia» todo lo que no fuese el campo gravitacional. El campo electromagnético entraba, por consiguiente, dentro de la categoría de materia.

completa en un tensor simétrico de segundo rango, el tensor de energía. Por consiguiente en la teoría, de la relatividad general debemos introducir el corres­ pondiente tensor de energía para la materia 75, que como los componentes de energía [ecuación (12.10)] del campo gravitacional tendrá un carácter mixto, pero pertenecerá a un tensor simétrico covariante.» La necesidad estaba clara, pero ¿cómo darla expresión analítica? Aquí, una vez más, razones de simetría formal fueron las que guiaron a Einstein. «El sistema de ecuaciones [(12.17) junto a V —g = 1] demuestra cómo se puede introducir este tensor (que corresponde a la densidad q en la ecuación de Poisson) en las ecuaciones del campo gravitatorio. [Hay que tener en cuen­ ta] que si consideramos un sistema completo (p. ej. el sistema solar) la masa total del sistema y por consiguiente también su acción gravitatoria total, de­ penderán de la energía total del sistema y por tanto de la energía ponderable junto con la energía gravitacional. Esto se puede expresar introduciendo en [(12.18)] en lugar de los componentes de energía del campo gravitacional úni­ camente , las sumas + 7J de los componentes de energía de la materia y del .campo gravitacional.» Haciendo esto se tiene ( ¿ t t s , ) = k k c + TX) -

>J ~ -g =

U : ( / + r>]

,

(12.20)

1

en lugar de (12.18). Recorriendo en sentido inverso el camino que le había llevado de (12.17) a (12.18), Einstein obtenía de (12.20) i l í

a Xa

+ ra ra , = k (r„ -

=

\

2

g „ 7)

.

(12.21)

1

Ahora bien (12.21) es equivalente a RLa = k (T a9 - i - g J T )

,

( 12.22)

\T -g = i que es a lo que se reduce (12.14) cuando \f~ - g = 1. El proceso de de­ ducción de las ecuaciones del campo de la relatividad general quedaba así completado.

Por lo que acabamos de ver, el planteamiento seguido por Einstein se asentaba en una auténtica piedra angular: que T¡¡ apareciese en for­ ma simétrica a tg. Aunque la razón inicial de exigir esto fuese pro­ bablemente de orden puramente formal, Einstein tenía también otras justificaciones: «Se debe admitir que esta introducción del tensor de energía de la materia no está justificada por el postulado de relatividad únicamente. Por esta razón lo hemos deducido aquí a partir del requisito de que la energía del campo gravitacional actúe gravitacionalmente de la misma forma que cualquier otro tipo de energía. Pero la razón más fuerte para la elección de estas ecuaciones [(1 2 .2 0 )] está en su consecuencia, que las ecuaciones de conservación del mo­ mento y de la energía, correspondiendo exactamente a [(1 2 .1 9 )], son válidas para los componentes de la energía total.» (Las itálicas son mías). Einstein se estaba refiriendo aquí a la ley de conservación (12.9) que deducía de (12.20) en la sección 17. Vemos, por consiguiente, que las leyes de conservación tam bién jugaron un importante papel en la ob­ tención de las ecuaciones de campo de la relatividad general. 3-

Acerca del papel de las matemáticas en la física

De los cuatro capítulos que he dedicado al desarrollo de la relativi­ dad general, en dos de ellos (los primeros) no hay duda de que lo que impera por encima de todo son las consideraciones físicas: principio de equivalencia, por qué en un disco que gira la geometría no es euclideana, etc. No ocurre esto en los dos últimos capítulos. En ellos aparecen y juegan un papel esencial, sin la menor duda, argumentos de orden físico, pero existe una dinámica, una heurística matemática, que es la que dirige o establece, en la mayor parte de las ocasiones, cuál es el si­ guiente paso a dar. Existían motivos físicos para buscar un tensor de segundo orden, pero ¿por qué seleccionar precisamente el tensor de Ricci? La respuesta es obvia, porque existía un aparato matemático, previam ente desarrollado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita, con algunas de las características desdadas por Einstein, y en el que el ten ­ sor de Ricci jugaba un papel im portante. Cuando Einstein y Grossmann escribían R ag = 0 (ó R ag = kT„g) estaban imponiendo una estructura suplementaria a sus principios físicos, y este suplemento no tenía otra justificación que la de viabilidad de un aparato matemático preexistente (llamaré a esto «heurística matemática»). No es necesario buscar mucho para encontrar ejemplos similares en los trabajos de Einstein a partir de 1913; así, sustituir la derivada ordinaria por la co­ variante e interpretar T $ = 0 «como una ley de conservación»; o los mismos argumentos físico-formales que le llevaron a las ecuaciones del

campo definitivas. No abusaría del lenguaje aquél que denominase al programa de Einstein de «relativizar» la gravitación como «el programa de Riemann». En vista de esto, y como ha señalado Zahar (1979, pág. 372) no es del todo una sorpresa la armonía existente entre m ate­ máticas y física, «el físico fuerza, o imprime, sus principios en un es­ quema matemático [previamente] existente». En este sentido se puede decir que no existe una armonía preestablecida entre física y matemá­ ticas, aunque por supuesto estas últimas deben de ser de tal naturaleza que se puedan «acoplar» a la teoría física en cuestión. De esta forma, tenemos que la historia de la relatividad general nos proporciona un ejemplo importante de un aspecto —la heurística matemática— de la relación entre física y matemática que no se m en­ ciona habitualmente. En efecto, los ejemplos que se manejan normal­ mente son aquellos en que la física juega el papel director; así se m en­ ciona como muestra típica el que Newton construyese (en su teoría de «fluxiones») el «cálculo» con el propósito específico de estudiar los m o­ vimientos diferenciales (la variable «fluente» era el tiempo y el «flu­ xión» la velocidad instantánea). Esto es, el «análisis», que es la discipli. na que ha dominado el pensamiento matemático durante más de dos siglos, debe su origen a la física. Otro ejemplo que se suele utilizar es el del desarrollo de las «ecuaciones diferenciales» y de lo que ahora se conoce como «cálculo avanzado», ambos íntimamente unidos a la arti­ culación del programa newtoniano durante el siglo XVIII. La historia de la ciencia real es, sin embargo, mucho más compleja de lo que es­ tos casos, importantes pero no exclusivos, pueden hacer creer. El de­ sarrollo de la relatividad general así lo demuestra. 4.

Einstein, Hilbcrt y las ecuaciones del campo gravitatorio

David Hilbert no fue únicamente un eminente matemático, sino que también se interesó vivamente por el desarrollo de la física. Así, durante 1905, dirigió junto a Minkowski, Wiechert y Herglotz el fa­ moso seminario que acerca de la teoría del electrón11 se desarrolló en Gotinga. Más tarde, durante la primera guerra m undial, Hilbert estu­ vo plenamente dedicado a la física. A P. Debye, que era desde el vera­ no de 1914 miembro de la facultad de Gotinga, le pidió que organiza­ se un seminario donde se discutía la estructura de la materia. Otro da­ to que revela este interés de Hilbert es que escogió como asistente a A. Landé para que le informara de cómo evolucionaba la teoría cuántica. Fue durante este período cuando Hilbert se convirtió en un ferviente admirador de las ideas que Gustav Mié y Einstein estaban introducien-

do en electrodinámica y gravitación, respectivamente. El resultado fi­ nal de esta admiración surge el 20 de noviembre de 1915, fecha en la que Hilbeit leía, en la Real Academia de Ciencias de Gotinga, una co­ municación en la que obtenía, con un matiz que discutiré más tarde, las ecuaciones del campo gravitacional [ecs. (12.14)] de la relatividad general12. Mi propósito en esta sección es el de analizar las relaciones existentes entre Einstein y Hilbert y las posibles influencias entre am bos15. 4.a.

La formulación axiomática de Hilbert

El trabajo de Hilbert que a nosotros nos interesa, aquél en el que aparecen las ecuaciones (12.14), se titula «Die Gundlagen der Physik. I» (Fundamentos de Física. I ) 14 y su contenido está enraizado en dos líneas de pensamiento: la de Mié y la de Einstein. Del primero, Hilbert tomó su enfoque axiomático de la física (M ié15 trataba de plas­ mar analíticamente la visión electromagnética de la naturaleza explo­ tando las posibilidades formales que dentro del contexto del principio de mínima acción, le ofrecían lo que él llamaba funciones de universo, «Weltfunktion»), mientras que de Einstein adoptó su tratamiento geo­ métrico de la gravitación. Utilizando sus propias palabras (Hilbert 1915, pág. 395) «La poderosa problemática de Einstein... los agudos métodos de sus soluciones, los profundos pensamientos y las originales representaciones conceptuales... que permitieron a Mié desarrollar su electrodinámica, han abierto un nuevo ca­ mino para examinar los fundamentos de la física. En lo que sigue quiero establecer... en el sentido del método axiomático... un nuevo sistema de ecuaciones fundamentales de la física basándome en dos axiomas simples [y] de belleza ideal [con] los que, creo, se obtienen [al mismo tiempo] la solución a los problemas de Einstein y Mié». Los dos axiomas que se mencionan en la cita precedente reflejan de forma magnífica la manera en que H ilbert asumía los planteamientos de Einstein y Mié:

12 La comunicación de Hilbert (1915) aparecería publicada poco después, en el n ú ­ mero tercero de la revista de la academia. 13 Para esto me apoyaré especialmente en Earman y Glymour (1978a, secciones 4 y 5), Mehra (1974) y Pyenson (1974, págs. 352-360). Algún comentario, pero de menor categoría desde un punto de vista histórico se puede encontrar tam bién en G uth (1970, págs. 183-184). 14 Hilbert (1917) publicó una secuela a este articulo con el mismo titulo. 15 Para m is detalles acerca de las teorías de Mié véase Mehra (1974, sección 3.4).

Axiom a I: «Las leyes de la física vienen determ inadas por la fun­ ción de universo H , que contiene como argumentos p »I w «

i

y

(A„: cuadripotencial electromagnético), y tal que la variación de la integral \H \[gd*x

(d4x = í&VxWxVx3)

(12.23)

se anula para cualquiera de los 14 potenciales g„, y A M». Es decir, con el primer axioma se seleccionaba la función de u n i­ verso de Mié como auténtica piedra angular de toda teoría que preten­ diese describir la naturaleza física. La influencia de Einstein se m ani­ festaba en que la métrica «gravitacional» era, junto a sus derivadas, parte de la dependencia funcional de H . A xiom a II: «La función de universo H es un invariante con respecto a una transformación de coordenadas arbitrarias.» Evidentemente este axioma incorporaba el principio de covariancia general de Einstein como el propio Hilbert (1915, pág. 396) reconocía, con ciertos matices, al afirmar que con él «la idea básica y fundamental de Einstein de la invariancia general encuentra su expre­ sión más simple, aunque con Einstein el principio de Hamilton juega únicamente un papel auxiliar». De hecho, Hilbert no desaprovechaba la ocasión de señalar que la primera teoría propuesta por Einstein el 4 de noviembre «no es en modo alguno invariante general, ni tampoco contiene los potenciales eléctricos» (este último aspecto tampoco sería modificado, como sabemos, por la teoría final). Los axiomas I y II constituyen el esqueleto vital de la teoría de Hil­ bert, pero para llegar a donde él quería necesitaba otra suposición que de hecho se puede considerar como Axiom a III: *H debe de ser de la forma H = R + L donde

,

(12.24)

Tomando la variación de H con respecto a los potenciales gravitacionales g„y y utilizando el ansatz (12.24), Hilbert obtenía ^

\2 Kgr

“

- (

7= = =

V ~g

)

à g"

)

( 12·25)

para inmediatamente pasar a definir T„ -

- ( ---- -— V -£

) d^ E l L )

(12.26)

con lo que (12.25) se escribía de la forma - y Rg~ = ^

(12·27)

que son las ecuaciones de la relatividad general, (12.14), con k = 1. Es decir, bajo la condición de que el tensor de energía-momento de la materia venga com pletam ente dado por la función *electrodinám ica» L, las ecuaciones de Hilbert y de Einstein son idénticas. (Hay que se­ ñalar que la hipótesis de una materia puramente electromagnética, era perfectamente natural para Hilbert, que estaba tratando de unificar la teoría de Mie —visión electromagnética de la naturaleza— con los planteamientos de Einstein. De hecho, como vimos en la sección 1, el mismo Einstein no fue ajeno a este tipo de hipótesis). Otro aspecto importante de la teoría de Hilbert es que también contenía las ecuaciones de la electrodinámica tomando la variación H con respecto a los potenciales electrom agnéticos. Como Hilbert señala­ ba: «Esta es la expresión matemática precisa de la afirmación general realizada anteriormente acerca [de que] la electrodinámica es una con­ secuencia de la gravitación». Era en este sentido en el que Hilbert pen­ saba que había unificado electromagnetismo y gravitación. La teoría de Hilbert, que pretendía describir toda la realidad física (electromagnetismo, teoría del electrón, gravitación), no hacía referen­ cia alguna a la física. Era el producto de una filosofía (idealista) m ate­ mática, que, aparte de Hilbert, tenía como principales representantes a Minkowski16 y a Weyl, y según la cual el puro razonar matemático era suficiente para descubrir todas las leyes físicas de la naturaleza. Co­ mo es bien sabido, en aquella época esta filosofía era ajena a Einstein quien, en mayo de 1916, escribía a Paul Ehrenfest17 16 Ver capitulo 6 . 17 Copia en microfilm en los Archives fo r the History o f Quantum Physics, Ameri­

can Philosophical Society, Philadelphia.

«No me agrada la representación de Hilbert. Está indebidamente especializada en lo concerniente a la “materia” , indebidamente complicada, no es honesta (= gaussiana) en su propósito, [y refleja] la pretensión de un superhombre mediante un camuflage de técnicas.» De nuevo volvía al mismo tema unos meses más tarde (noviembre de 1916) cuando en una carta a Weyl afirm aba18 «La suposición (Ansatz) hilbertiana sobre la materia me parece infantil, en el sentido de niños que no conocen malicia en el mundo exterior. En vano busco yo una clave física en él [el mundo exterior], que permita construir la función hamiltoniana a partir de , sin derivación. De cualquier manera, no se puede estar de acuerdo [con que] las firmes consideraciones que se derivan del postu­ lado de relatividad se asocien con tales hipótesis infundadas acerca de la estruc­ tura de los electrones en su relación con la materia. Estoy dispuesto a admitir que la búsqueda de una hipótesis adecuada, o función hamiltoniana para la construcción de los electrones, comprende una de las tareas más inmediatas de la teoría. Pero el "método axiomático” poco puede ayudar en esto.» (Itálicas añadidas). Creo que con lo dicho acerca de la teoría y métodos de Hilbert es suficiente para nuestros propósitos. El lector interesado en conocer más detalles puede consultar el artículo de Hilbert (1915) o bien el libro de Mehra (1974, págs. 26-30). Déjeseme únicamente añadir que en «Die Grundlagen...» se encuentran no sólo las ecuaciones de la relatividad general (con los matices que indiqué antes), sino también algunas de las características de esta teoría que se mencionan habitualm ente en los libros de texto tradicionales y que Einstein no fue capaz de reconocer inmediatamente (p. ej. el que la solución general de las ecuaciones del campo deben contener cuatro funciones arbitrarias y que por consi­ guiente se pueden seleccionar libremente cuatro identidades entre las diez ecuaciones19).

4 .b .

Correspondencia entre E instein y H ilb ert20

El artículo del 25 de noviembre en el que Einstein presentaba las ecuaciones (12.14) no contiene ninguna referencia a Hilbert cuando, como hemos visto, éste había obtenido las mencionadas ecuaciones

18 Copia en los Einstein Archives, Princeton. 19 No obstante Hilbert no supo conectar esto con las identidades de Bianchi (ver Mehra 1974, sección 7.3). 20 Ver Earman y Glymour (1978a, sección 4). Como poco puedo añadir a lo que es­ tos autores han expuesto, mi discusión sigue prácticamente verbatim su trabajo.

cinco días antes. ¿A qué se debe esto? No ciertamente a que Ginstein y Hilbert no estuvieron en contacto. Como vamos a ver a continuación, durante el período que ahora nos ocupa ambos mantenían estrechas relaciones. Tampoco —y con esto me adelanto a los acontecimientos— se debe la ausencia de mención alguna de Hilbert a un acto de mala fe por parte de Einstein. En realidad el intercambio de ideas entre Hilbeit y Einstein fue un proceso relativamente complejo que no se puede decir entendamos completamente todavía. Nuestro conocimien­ to de la relación entre ambos se basa principalmente en lo que ha sobrevivido de la correspondencia que mantuvieron y que ahora paso a comentar. Para los propósitos de la relatividad general, la correspondencia co­ menzó el 7 de noviembre de 1915 con una postal en la que Einstein anunciaba a Hilbert que había abandonado la teoría de EinsteinGrossmann, mencionando también su nuevo planteamiento del problema que había presentado en su comunicación del 4 de n o ­ viembre a la academia de Berlín. Cinco días más tarde, Einstein escribía de nuevo a Hilbert diciéndole que por fin había encontrado una teoría totalmente covariante —las ecuaciones (12.12)— . Sin em ­ bargo estas ecuaciones no aparecen en la postal21. En esta postal del día 12, Einstein también agradece a Hilbert su «amable carta» pero és­ ta no se encuentra entre los papeles de los E instein Archives de Princeton. El 14, Hilbert contestaba describiendo algo de su nueva teoría, haciendo especial hincapié en que las ecuaciones del campo electro­ magnético eran una consecuencia de las ecuaciones de la gravitación y añadiendo como posdata que su teoría era «completamente distinta» de la de Einstein. No sabemos muy bien si se refería a la teoría del 4 o a la del 11 de noviembre, o a ambas. Hilbert tam bién invitaba a Eins­ tein a asistir a una conferencia que iba a dar sobre estas cuestiones el 23 de noviembre en la M athem atische G essellschaft de Gotinga (pare­ ce que ambos estaban en buenas relaciones pues Hilbert ofrecía a Eins­ tein su casa para pernoctar). Resalta el que Hilbert no escribe sus ecuaciones del campo y que cuando utiliza alguna expresión matem áti­ ca no la explica. Tal vez existiese una correspondencia paralela más técnica pero esto lo desconocemos. La siguiente cana (una postal en realidad) de que disponemos es de Einstein y aunque no tiene fecha es, muy probablemente, del 15 de noviembre. En ella Einstein demuestra gran interés por las investi­ gaciones de Hilbert sobre el «puente entre gravitación y electromagne­ 21 Hay que recordar que una comunicación presentada a una academia en una fecha determinada no aparecía publicada hasta varias semanas después. Por consiguiente, en principio sólo los asistentes a ia correspondiente sesión de la academia podían conocer el contenido de la comunicación.

tismo». Asimismo declina la invitación de asistir a la conferencia de Hilbert en base a fatiga y problemas estomacales (probablemente una excusa pues durante los siguientes tres días completaba sus cálculos sobre el perihelio de Mercurio) y le pide que le envíe las pruebas de su conferencia. Suponemos que poco después Hilbert le suministró más detalles acerca de su conferencia, puesto que el 18 Einstein escribía de nuevo a Hilbert diciéndole que, por lo que cree entender, su sistema está de acuerdo con el que él mismo había encontrado y comunicado a la aca­ demia prusiana la semana anterior (esto es, la teoría del 11 de no­ viembre, ecuaciones (12.12)). Ahora bien, las ecuaciones de Hilbert, según aparecen en la versión publicada de su conferencia, son formal­ mente equivalentes a las ecuaciones (12.14) del 25 de noviembre y no a las (12.12) del 11. Por consiguiente, o bien Einstein estaba equivoca­ do al argumentar la equivalencia de ambos sistemas, o bien las ecuaciones que Hilbert envió a Einstein eran diferentes de las que apa­ recieron en la versión publicada. Siguiendo a Earman y Glymour (1978a, sección 5) vamos a ver que no tiene por qué ser ninguna de estas dos explicaciones la correcta. Existe una tercera posibilidad, auténtico nudo gordiano que nos explica bastante de lo que ambos es­ peraban de (o buscaban con) sus teorías. Por el mom ento, y antes de pasar a esta tercera posibilidad, creo que es sensato desestimar la se­ gunda explicación, especialmente teniendo en cuenta la habilidad de Hilbert y las técnicas matemáticas que formaban su planteamiento del problema.

4.c.

O pinión de E instein sobre la teoría de H ilbert

En esta sección trataré la cuestión de cómo pudo interpretar Eins­ tein las ecuaciones de Hilbert. El único dato objetivo de que dispone­ mos es la afirmación que Einstein hacía en su carta del 18 de no­ viembre , en el sentido de que consideraba que la teoría de Hilbert era equivalente a la suya del 11 de noviembre. Como vamos a ver a conti­ nuación es posible construir una interpretación —como han hecho Earman y Glymour (1978a)— plausible y muy sólida, en la que se en­ tiende la afirmación de Einstein. Hemos visto en la sección 4.a que si se define en la forma (12.26) las ecuaciones de Hilbert (12.25) tenían la misma forma que las de Einstein [(12.27) y (12.14), respectivamente]. Ahora bien, (12.27) es una forma bastante engañosa de escribir las ecuaciones, (12.25), de Hilbert en el sentido en que el !T„„ —puramente electro­ magnético— que éste utilizaba no era el que Einstein quería para sus

ecuaciones. Para resaltar esta diferencia escribamos las ecuaciones de Hilbert en la forma (12.28) Si ahora uno supone, como hacía Einstein cuando defendía las ecuaciones (12.12) que el escalar asociado a TJ,M (es decir 7™ ) se anu­ la, entonces contrayendo (12.28) con g1“1 se obtiene que R = 0 y por consiguiente (12.28) se reduce a (12.29) Pero (12.29) es equivalente a (12.12) con la elección de unidades k = y la suposición de que 7^„M es el tensor de energía-impulso to ­ tal, una suposición en armonía con la especulación de Einstein de que la «materia puede reducirse a fenómenos puramente electromagnéti­ cos» 22. Por consiguiente vemos cómo existe una cierta racionalidad detrás de la afirmación de Einstein de que su teoría del 11 de noviembre y la de Hilbert eran equivalentes. Por supuesto Einstein no tenía completa­ m ente razón puesto que aunque las ecuaciones (12.28) se reducían a las (12.29), quienes bajo las condiciones mencionadas son equivalentes a las (12.12), las ecuaciones (12.28) no son ellas mismas equivalentes a las (12.12). Todavía más, las ecuaciones (12.28) im plican la ley de conservación covariante (12.15), mientras que esto no ocurre con las (12.12). Pero esto no contradice esta posible explicación puesto que, como ya he dicho con anterioridad, Einstein todavía no se había dado cuenta de que la derivada covariante de R ^ — — g ^R se anula idénti­ camente. 2 En resumen, podemos decir que las ecuaciones del campo gravitacional (que tal vez sería justo llamar de Hilbert-Einstein, o de Einstein-Hilbert) fueron el fruto, prácticamente simultáneo, de dos planteamientos independientes y bastante diferentes sobre la realidad física23. 5.

Apuntes acerca de la recepción dada a la relatividad general

Al llegar a este punto no puedo sino experimentar una profunda sensación de desaliento. El tema de la recepción dada a la relatividad 22 Ver sección 1 de este capítulo. 23 Para información adicional, secundaria pero pertinente, recomiendo al lector la sección 7 de Earman y Glymour (1978a).

general es tan amplio que podría justificar — ¡y llevar!— al menos un libro dedicado sólo a él. Las conexiones científicas y sociológicas son tantas y tan variadas que difícilmente podrían tener cabida en este tra­ bajo . En vista de esto he optado por referirme a algunos temas aislados que pueden dar idea de cómo fue recibida y difundida la relatividad general. Si la relatividad especial tardó un cierto tiempo en ser reconocida y difundida, todo lo contrario ocurrió con la relatividad general. Su im ­ pacto fue poco menos que instantáneo. Bien es verdad que en 1915 el nombre de Einstein significaba mucho, siendo sus trabajos seguidos casi con religiosa atención por sus colegas científicos; pero por otra pai­ te, y a diferencia con el caso de la relatividad especial, en 1915 el estu­ dio de la gravitación no estaba demasiado extendido24. La investiga­ ción en candelero era la concerniente a los fenómenos cuánticos y de hecho gran parte de los físicos contemplaban con desesperación cómo su líder se ocupaba de otras cuestiones. Así, en 1912, Sommerfeld escribía a Hilbert (Hermann 1968; pág. 27): «Mi carta a Einstein fue en vano... Einstein está evidentemente tan inmerso en la gravitación que está sordo a cualquier otra cosa.» A pesar de todo, la original y profunda solución que Einstein dio al problema de la gravitación (el mismo tem a que había coronado a Newton) no podía pasar desapercibida. Y no pasó. La casi totalidad de los físicos de élite de la época aceptaron y admiraron la teoría de Einstein25, y a la cabeza de ellos Lorentz, auténtico patriarca de la física de las dos primeras décadas de nuestro siglo cuyas opiniones eran profundamente respetadas por sus colegas. Como es bien sabido, Lo­ rentz tardó en aceptar la relatividad especial26 pero no ocurrió lo mis­ mo con la relatividad general, como podemos ver por el siguiente párrafo de una carta que su discípulo el también holandés Fokker, escribía en 1916 (esto es, muy poco después de que Einstein llegase a su solución definitiva) a Niels Bohr «Recientemente Einstein ha acabado su teoría de la gravitación. Encontró la manera de poner sus ecuaciones en una forma absolutamente covariante y de explicar el movimiento secular del perihelio de Mercurio. Lorentz se ha entu­ siasmado mucho [con la teoría de Einstein] después de un período de duda y cálculos de prueba. Ehrenfest cree que tal vez después de cien años se de­ mostrará que el descubrimiento de Einstein ha tenido, con mucho, más impor­ 24 Aunque tampoco eran una rareza. Ver capítulo 8 . 25 Bastante se podría decir también de los filósofos. Ver capítulo 1. 26 Ver capítulo 5.

tancia que esta guerra [la primera guerra mundial] sin final.» (Itálicas añadi­ das). Desde un punto de vista más amplio se pueden distinguir, en una pri­ mera aproximación, dos centros importantes de recepción a la relativi­ dad general: Leiden y Gotinga. Pasemos a mencionar brevemente al­ gunos detalles relativos a estas instituciones. a)

Leiden

En Leiden se encuentra la que entonces era más prestigiosa univer­ sidad holandesa. Esta posición preminente era debida en gran parte —especialmente en lo que a física se refiere— al hecho de que entre los miembros de su claustro se encontraba H. A. Lorentz (sin olvidar la presencia de Kamerlingh-Onnes con su laboratorio de bajas tem pe­ raturas). En los años en que se desarrolló la relatividad general, Lo­ rentz ya se había retirado (voluntariamente en 1912) de su cátedra —en la que a recomendación suya le sucedió Paul Ehrenfest27— aunque de una forma muy relativa. Siguió activo científicamente (de hecho se re­ tiró para poder tener más tiempo libre para trabajar) y ligado a la uni­ versidad en donde continuó dando clase todos los lunes. Como acabo de decir, Lorentz aceptó la relatividad general muy pronto y lo hizo no de una fqrma pasiva sino que colaboró de manera importante a su de­ sarrollo, un aspecto éste de la actividad de Lorentz que, como ha re­ cordado Havas (1978), se olvida frecuentemente. Entre sus trabajos posteriores a 1915 figuran un buen número de artículos28 dedicados a la relatividad general que constituyen importantes contribuciones a la teoría (p. ej. el formalismo variacional, no sólo de la teoría final, sino también de la de 19132S>, lo que demuestra además que seguía con atención los trabajos de Einstein). Existe otro aspecto de la personalidad de Lorentz que es importan­ te en lo que a la difusión de la relatividad general se refiere: la influencia que ejerció en dos estudiantes suyos que efectuaron contri­ buciones notables a la teoría30. Se trata de Adriaan Daniel Fokker y Johannes Droste. El primero completó su tesis (sobre temas relaciona­ dos con la física cuántica) en 1913, y poco después marchaba —con el asentimiento y la ayuda de Lorentz— a trabajar con Einstein, con 27 Ver Klein (1971). 28 Estos artículos aparecían normalmente en la revista de la academia de Amster-

dam, Koninklijke Akademte van Wetenschappen te Amsterdam. 29 Lorentz (1915, 1916 a y b). 30 Hay que señalar que Lorentz fue un científico bastante solitario que tuvo muy po­ cos discípulos.

quien publicó un artículo relativo a la teoría de Nordstrom31 (Einstein y Fokker 1914). Más tarde, Fokker (1917) extendía el tratamiento variacional de Lorentz, completando después sus contribuciones a la rela­ tividad general con un importante trabajo (Fokker 1920) titulado «La precesión geodésica: una consecuencia de la teoría de la gravitación de Einstein» donde desarrollaba, como el propio Fokker reconocía en la introducción, una idea de su compatriota el matemático y también no­ table relativista, Schouten. Más importantes todavía fueron los trabajos de Droste, que escri­ bió su tesis sobre un tem a de relatividad general en 1915 (Droste 1915, 1916a, 1917). Droste no sólo fue dirigid o e influenciado por Lo­ rentz sino que además colaboró con él. De hecho, como ha señalado | Havas (1978), fueron Lorentz y Droste (1917) los primeros en / desarrollar32 de forma implícita lo que hoy llamamos fo rm alism o de Einstein-Infeld-Hoffmann (1938). Incluso el mismo Einstein estudió y elogió los trabajos de Fokker y Droste33; y es un problema que investi­ ga en la actualidad Havas34, el por qué, aparentemente, Einstein olvi­ dó parte de (o todas) las contribuciones de Droste y Lorentz, tratándo­ las años más tarde como problemas todavía sin resolver. Por último d i­ ré que en 1916 Droste (1916b) también obtuvo, simultáneamente con Schwarzschild, la solución con simetría- esférica de las ecuaciones de Einstein en el vacío. En lo que precede he mencionado a Ehrenfest —el sucesor de Lorentz— quien, pese a contribuir prácticamente nada al desarrollo de la relatividad general, es importante por su estrecha amistad con Eins­ tein y por su capacidad didáctica e interés por la formación de los estu­ diantes de Leiden. La amistad existente entre Ehrenfest y Einstein tenía como consecuencia el que este último visitase periódicamente Leiden. De hecho, a instancias de Ehrenfest, y con el apoyo de Lo­ rentz, Einstein fue nombrado catedrático supernumerario de h univer­ sidad de Leiden en los alrededores de 1920. Ehrenfest, lo mismo que lo ren tz, reconoció inmediatamente el alcance c importancia de la rela­ tividad general, atrayendo hacia ésta la atención de sus alumnos. Un ejemplo destacado en este sentido lo constituye H. A. Kramers, famo­ so por sus contribuciones a la mecánica cuántica. Kramers, estudiante en Leiden donde bajo la dirección de Ehrenfest se doctoró en 1919, se 31 Ver capitulo 9, sección 4. 2 Excepto por un error trivial corregido más tarde por Eddington y Clífk ( 1938). Droste y Lorentz se basaron en su trabajo en los resultados de la tesis de D roste. Ver dos postales de Einstein a Ehrenfest, 17 de noviembre de 1916 y 25 de mayo

de 1917 (Archives fo r the Hútory o f Quantum Physics). El trabajo de Havas (ver 1978 para un informe preliminar) toca no sólo los trabajos de Lorentz y Droste sino también los de de Sítter. Fock, Levi*Civita y un 1^8° etcéte­ ra.

ocupó con intensidad de la relatividad general y no sólo en Leiden si­ no también más tarde en Copenhague35. Es interesante señalar al llegar a este punto, y aunque esto signifi­ que que por un momento me salga del presente tema, que gran parte de los físicos teóricos que más tarde desarrollarían la mecánica cuántica —p. ej. Born, Sommerfeld, Weyl, Pauli, Schrödinger— intervinieron de una forma u otra en la consolidación de la relatividad general. Se puede decir que hasta cierto p u n to la teoría de Einstein facilitó el ca­ mino a la mecánica cuántica, en tanto que entrenó a algunos de sus principales artífices en el uso de técnicas matemáticas tales como matrices, análisis tensorial, álgebra de operadores, principios variacionales y sistemas con propiedades no clásicas (p. ej. variedades riemannianas) que juegan un importante papel en la teoría cuántica de 192536. El tercer catedrático de Leiden involucrado en el desarrollo de la re­ latividad general fue Willen de Sitter, titular de la cátedra de astronomía teórica. De Sitter había sido uno de los primeros astróno­ mos en interesarse por los problemas astronómicos que se derivaban de la relatividad especial. En 1913 escribió una nota en la que intentaba demostrar que la teoría de emisión de Walther Ritz (en la que la velo­ cidad de la luz dependía del movimiento de la fuente) conducía a re­ sultados contradictorios con las observaciones realizadas en sistemas de estrellas dobles (de Sitter 1913). En lo que al desarrollo de la relativi­ dad general se refiere, la importancia de de Sitter radica en una serie de tres artículos que publicó entre 1916 y 1917 en la revista inglesa M onthly N otices o f th e R oyalA stronom ical Society, donde pasaba revis­ ta de forma completa y detallada a la teoría de Einstein (de· Sitter 1916a, 1916b, 1917). 1915-1916 eran años en los que la primera guerra mundial se encontraba en todo su apogeo, no era trivial en ab­ soluto el que científicos de países beligerantes como Alemania e Ingla­ terra pudieran mantener relaciones; Holanda, como país neutral, podía servir de puente de unión entre ambos países. Los tres artículos de de Sitter —con quien Einstein mantenía relaciones frecuentes— sir­ vieron para introducir la relatividad general en Inglaterra. Así lo afir­ mó el mismo Eddington al manifestar que dichos artículos «influencia­ ron grandemente la forma en que la teoría general de la relatividad se llegó a entender en Inglaterra» (Eddington 1934, pág. 924). El que se evitase de esta forma un retraso de varios años en la introducción de la teoría de Einstein en Inglaterra, tuvo como consecuencia el que fueran 55 Ver los cuadernos inéditos de Kramers, Archives fo r the History o f Quantum Phy­ sics (American Philosophical Society, Philadelphia). 36 Es este un tema que está todavía por desarrollar. Que yo conozca solo Pyenson (1974) ha mencionado estas cuestiones.

precisamente astrónomos ingleses (bajo la dirección del propio Eddington y de Dyson, el astrónomo real) los que en mayo de 1919 organiza­ sen dos expediciones para observar desde la isla Príncipe y desde Sobral al norte de Brasil un eclipse solar con el que se demostró que la predicción de la relatividad general concerniente a la curvatura de los rayos de luz por el Sol era correcta37. El tremendo impacto de la expe­ dición de Eddington, no sólo entre la comunidad científica sino tam ­ bién de forma popular, engrandece el papel que jugó de Sitter en el desarrollo de la relatividad general. Hay otro aspecto por el que de Sitter es importante: su contribu­ ción a la cosmología relativista. Para entenderlo es preciso hablar antes de cómo afrontó Einstein el problema de construir un modelo de un i­ verso compatible con las ecuaciones de la relatividad general. En 1917, Einstein (1917) publicaba un trabajo en el que aplicaba la relatividad general a la construcción de un modelo de universo ho­ mogéneo e isótropo. Einstein suponía desde el principio (apoyándose en diversos argumentos) que la densidad media del universo q , era distinta de cero e igual en todas partes; asimismo, y basándose en las experiencias normales en su época, consideraba que el universo era globalmente estático. Un primer problema lo constituía el que un uni­ verso de este tipo no era posible en la teoría de la gravitación de Newton (conduce a un campo gravitacional infinito en todo punto del es­ pacio, «paradoja de Seeliger»38). Esto era grave pero no definitivo pues­ to que, al fin y al cabo, la teoría newtoniana no era compatible con todas las propiedades del universo considerado desde un punto global. El problema real era saber si tal universo era posible dentro del contex­ to de la relatividad general. Pero Einstein encontró que las ecuaciones del campo de esta teoría no podían producir un universo estático con q i-- 0 que fuese satisfactorio. Para escapar de este dilema, Einstein volvió al modelo newtoniano y se planteó el problema de cómo habría de modificarlo para que en él tuviese cabida un universo del tipo mencionado. Encontró que se requería escribir V2 — A = — 4 ttG q

(12.30)

en lugar de la ecuación de Poisson habitual (con A una nueva constante «cosmológica»). Ahora bien la relatividad general contenía, en el límite correspondiente, la ecuación de Poisson habitual, no la (12.30), así que Einstein pensó que lo que tenía que hacer era modificar las ecuaciones del campo de la relatividad general de manera que en ellas 37 De hecho, en su tercer artículo de Sitter se concentró especialmente en las conse­ cuencias astronómicas y cosmológicas de la relatividad general. 38 Ver p. ej. Whitrow (1978, pág. 577).

tam bién existiese una constante cosmológica que hiciese a su teoría compatible con (12.30). Así propuso ~

+ A&»’ = k l ~

(12.31)

Utilizando estas ecuaciones encontró una solución al problema cosmo­ lógico. El modelo de universo resultante tenía un radio finito R y una masa M , relacionados con A por las fórmulas A =

cl

e * -L· , M * 2w2qR3 , R2

y por consiguiente GM = — 2

ttc*R

.

De estas ecuaciones se deduce que A debe de ser positiva y que A = 0 corresponde a un universo de densidad nula. A grandes rasgos, esto es lo que hizo Einstein, pero ¿cuál fue el papel de de Sitter? En los tres artículos que publicó en los M onthly N otices, de Sitter no se limitó únicamente a presentar para la audien­ cia británica lo que ya había expuesto Einstein, efectuó además con­ tribuciones originales, en particular en cl tercer artículo de la serie (de Sitter 1917) está su contribución al desarrollo de la cosmología teó­ rica. De Sitter presentaba su propio modelo cosmológico basado en las mismas ecuaciones, con constante cosmológica A incluida, que había utilizado Einstein (ecuaciones (12.31)). En el modelo de Eins­ tein, cuanto menor fuese la densidad q mayor era el radio. En el de de Sitter, el espacio-tiempo tenía una estructura propia independiente de la densidad de la materia. De hecho, e l m odelo de de S itter era vacío. Como, por consiguiente, sus propiedades no dependían de la presencia de materia, estaba en conflicto patente con el llamado «prin­ cipio de Mach» que tan importante papel jugó en el pensamiento de Einstein (obviamente, este problema no se tenía con el modelo no vacío de Einstein). Este descubrimiento de de Sitter molestaba noto­ riamente a Einstein, como lo prueba la correspondencia que m antu­ vieron ambos científicos39. Es más, en su afán de descartar la solución de de Sitter, Einstein llegó a cometer errores de cálculo elementales. Un último punto a comentar con respecto al modelo de de Sitter 39 Ver C. Kahn y F. Kahn (1973).

es que fue en realidad y aunque en su momento resultase un tema muy confuso40, el primer y más simple modelo de un universo en ex­ pansión. En efecto, visto desde una perspectiva newtoniana, los térmi­ nos adicionales que contienen la constante positiva A, corresponden a una fuerza de repulsión cósmica. En el modelo estático de Einstein es­ ta fuerza compensaba de manera exacta a la gravitación. Por el contra­ rio, en el modelo de de Sitter donde la gravitación es cero en todas partes, la repulsión no se anula. Por consiguiente, una partícula de prueba permanecerá en reposo en el universo de Einstein (si no tenía un movimiento inicial) mientras que una partícula similar introducida en el modelo de de Sitter adquirirá automáticamente una velocidad de recesión (que aum enta siempre) con respecto al observador. Así de Sit­ ter sugería que en el universo real tal vez sucediese que los objetos ce­ lestes más distantes se alejasen de nosotros. Inicialmente el universo de de Sitter se consideró como una solu­ ción estática de las ecuaciones de Einstein con término cosmológico y así aparece tratada todavía en textos tan clásicos como Tolman (1934). Este error fue debido en realidad al intrincado papel que juegan las co­ ordenadas en la relatividad general (el universo de de Sitter fue expre­ sado inicialmente en un sistema de coordenadas donde los coeficientes de la métrica son todos independientes del tiempo). Una mayor clari­ dad sólo se obtendría años más tarde cuando Lemaltre (1924), prim e­ ro, y Robertson (1928), después, demostraron que el universo de de Sitter es de hecho estacionario, pudiéndose escribir su métrica en un cierto sistema de coordenadas como ds2 = d t2 — [


] (di2 + t^d d2 + ¿ s e n ^ d b 2)

,(12.32)

donde R (t) * exp [ n/A/3 ct ] b)

G otinga

En varias partes de este libro me he referido a la actividad de los físicos y matemáticos de la universidad de Gotinga y a la trascendencia de sus trabajos. No voy por consiguiente a repetir lo dicho. Sí quiero, sin embargo, señalar que en lo que a la relatividad general se refiere y excepción hecha de algunos casos aislados (p. ej. Freundlich que trata­

40 Ver los comentarios que hace Whitrow (1978, pág. 582).

ba la teoría i la Einstein41), ésta fue recibida en Gotinga con gran in­ terés pero siempre con dos puntos de referencia en el horizonte: la in­ terpretación electromagnética de la naturaleza (que ya había jugado un papel importante en cómo se recibió e interpretó allí la relatividad especial42) y la axiomática matemática. Ambos referenciales son paten­ tes por ejemplo en los trabajos de Hilbert que ya he discutido en este mismo capítulo. Hilbert, lo mismo que otros miembros de la élite de Gotinga, Minkowski (hasta su muerte), Wiechert, Weyl, Born y Nords­ trom, deseaban inicialmente una relatividad general «electromagnética», lo que a veces —no en el caso de Hilbert— quería decir una teoría de gravitación expresada dentro del marco de la relatividad especial, que se entendía como un apéndice de la electrodinámica, y por esta ra­ zón el recibimiento que dieron a la teoría de Einstein fue ambiguo y hasta hostil. Por otra parte estaba el planteamiento axiomático (en el sen­ tido de explotar las diferentes técnicas matemáticas sin preocuparse ape­ nas de consideraciones físicas) tan querido por científicos como Hilbert y Weyl, e incluso, y a pesar de su defensa de la intuición (matemáticageométrica a lo sumo, que no física, como señaló el propio Einstein), Klein» A la postre «el tinte electromagnético» con el que se pretendió teñir o reinterpretar a la relatividad general cedió paso al «tratamiento axiomático» o simplemente «puramente matemático». El prestigio y la capacidad técnica de los matemáticos de Gotinga contribuyeron de forma decisiva43 en el que la teoría de Einstein, después de finalizar la primera guerra mundial, fuese bastante «abandonada» en manos de los matemáticos44. En este sentido se pueden citar, como ejemplos sig­ nificativos, a Emmy Noether, Tullio Levi-Civita, Johannes Schouten, Oscar Veblen y Elie Cartan45. Un capítulo importante de este «aspecto matemático» de la relatividad general lo constituye el apoyo que ésta encontró entre los matemáticos, merced al famoso programa de Erlangen de Klein (1872). Este programa, en realidad la conferencia inaugural de Félix Klein al tomar posesión de su cátedra en la univer­ sidad de Erlangen, ejerció desde el principio —y ejerce todavía— una gran influencia en el desarrollo de la matemática. Ahora bien, su tesis principal según la cual la geometría se reduce al estudio de aquellos objetos que se mantienen invariantes bajo un determinado grupo de transformación, y que, por consiguiente existen tantas geometrías como 41 Es decir, dando primacía a las consideraciones físicas. 42 Ver capítulo 5. 43 Fueron importantes también, por supuesto, las peculiares características matemáticas

de la relatividad general. 44 En Inglaterra todavía hoy en día los relativistas se encuentran generalmente en de­ partamentos de matemáticas, siendo en muchas ocasiones ellos mismos matemáticos. 45 Recientemente ha sido publicada la correspondencia que mantuvieron Einstein y Cañan (Debever 1979).

grupos de transformación, se ajustaba muy bien a lo que constituye la esencia tanto de la relatividad especial como de la general, con sus no­ ciones de invariancia Lorentz e invariancia general. El propio Klein consideraba que lo que Einstein había hecho en realidad había sido aplicar la filosofía de su programa; y en este sentido recibió ambas teorías con gran entusiasmo, considerándolas como un triunfo de los planteamientos esencialmente matemáticos (geométricos en este caso) en la física. Este punto de vista de Klein fue adoptado, en mayor o m e­ nor grado, por la casi totalidad de los matemáticos que desde 1916 trabajaron en desarrollar la relatividad general. En lo que precede he discutido algunos aspectos de la recepción dada a la relatividad general en las universidades de Leiden y Gotinga. Aunque en lo que se refiere al desarrollo de la teoría de Einstein la tras­ cendencia de estas instituciones supera con mucho a la de cualquier otra, podría haberme referido también a otros centros que jugaron un cierto papel en su recibimiento y desarrollo. Por ejemplo Viena, donde bajo el liderazgo de Friedrich Hasenöhrl —un discípulo de Boltzmann— se agruparon y formaron físicos de la talla de Hans Thirring, Erwin Schrödinger, Ludwing Flamm y Friedrich Kottier, que más tarde contribuyeron a desarrollar la relatividad general46. Me extendería demasiado, sin embargo, si intentase analizar —aunque fuese someramente— como fue recibida la teoría de Einstein en centros que considero, para estos fines, secundarios. Quiero terminar este ya largo capítulo recordando algo que mencioné en el capítulo 1: la relatividad general es —consideraciones científicas aparte— un caso casi47 único en la historia de la ciencia. No sólo encontró una respuesta inmediata, favorable y extendida entre los científicos e intelectuales, sino que también —y especialmente después de la expedición inglesa de 1919— fue acogida con un, tal vez, desmedido entusiasmo popu­ lar. Como ejemplo citaré un par de cartas48 que Eddington escribió a Einstein el 1 de diciembre de 1919 y el 11 de febrero de 1929. En la primera Eddington decía «Me he mantenido muy ocupado dando conferencias y escribiendo sobre su teoría. Mi Report on Relativity se ha agotado y ahora se está volviendo a impri­ mir. Esto demuestra un ansia de conocer el tema, ya que no es un libro fácil de digerir. Hace unos pocos días tuve una enorme audiencia en la Cambridge Philo­ sophical Society y cientos fueron rechazados incapaces de acercarse a la habitación.» 46 Ver Pyenson (1974, capítulo II, sección 3, 1975). 47 Para encontrar otro habría que hacer referencia a la teoría de la evolución de las

especies de Darwin. 48 Copias de ambas canas se encuentran en los Archives fo r the Sources o f the His­ tory o f Quantum Physics, American Philosophical Society (Philadelphia).

Y todavía más llamativo en la segunda cana (1929) «Le divertirá saber que uno de nuestros grandes almacenes de Londres (Selfridges) ha pegado en el escaparate su trabajo (las seis páginas pegadas lado a la­ do) de forma que los transeúntes puedan leerlo al pasar. ¡Grandes multitudes se agrupan para leerlo!» (El artículo en cuestión se refería a la teoría del campo unitario). Espero que alguien estudie con detalle en el futuro las razones so­ ciológicas de este sorprendente fenómeno.

Capítulo 13 HACIA UNA GENERALIZACIÓN DE LA RELATIVI­ DAD GENERAL

1.

Einstein, crítico de la relatividad general

La relatividad general es una teoría dual, necesita a las partículas como fuentes del campo. Este aspecto viene indicado por la presencia del tensor de energía-momento en el miembro de la derecha de las ecuaciones de Einstein Raa — — g„aR - k. Tag

,

(13.1)

ya que para especificar Tag se necesita algo más que las variables del campo. De hecho, este aspecto de la teoría era algo que Einstein no podía soportar. El tener una teoría dual significaba para él que, en cierto sentido, era muy poco lo que se había avanzado con respecto a la electrodinámica de Maxwell-Lorentz y que no había sido capaz de penetrar niveles de conocimiento más profundos. Lejos estaban los años en que Einstein había mantenido una filosofía mecano-atomista1; desde 1909 el campo era para él el único concepto realmente significa-

tivo de la Física2 y «una teoría de campos consistente requiere conti­ nuidad en todos los elementos de la teoría... Por consiguiente, la partícula material no tiene cabida en una teoría de campos como un concepto fundamental» (Einstein 1950). El anterior no era el único aspecto poco satisfactorio de la teoría de Einstein, existía todavía otro: la relatividad general era únicam ente una teoría de gravitación. Permitía comprender los «misteriosos» fenó­ menos físicos gravitacionales en función de la estructura puramente geométrica de la variedad espacio-tiempo; sin embargo, la gravitación no era la única fuerza o interacción cuya existencia era conocida en los tiempos de Einstein. Las fuerzas electromagnéticas eran tan universales y tan importantes como las gravitacionales, pero su agente, el campo electromagnético, no era explicado por la relatividad general. A pesar de no ser una teoría de campos pura y de no incluir el campo electromagnético, la relatividad general tenía un contenido empírico superior a cualquiera de las teorías de gravitación que le habían precedido, en este sentido era evidente que representaba un paso adelante hacia la «campo-ización» de la Física que Einstein perseguía. De hecho para él no era nada sorprendente el status de la relatividad general con respecto al concepto de campo, simplemente porque consideraba a ésta como una teoría preliminar. En este senti­ do, Einstein (1949, págs. 73-75) escribía lo siguiente en sus notas autobiográficas. «En aquel tiempo [circa 1915] me parecía imposible el aventurarse a intentar representar el campo total... y averiguar las leyes del campo que le correspondían. Por consiguiente preferí establecer un marco formal preliminar para la representación de la completa realidad física... ...El miembro de la derecha [de las ecuaciones (13.1)] es una consideración formal de todas las cosas cuya comprehensión en el sentido de una teoría de campos es todavía problemática. Ni por un momento, por supuesto, dudé que esta formulación era meramente un esbozo con la intención de proporcionar al principio general de relatividad de una expresión preliminar acabada. Ya que esencialmente no era nada más que una teoría del campo gravitacional, bas­ tante artificialmente aislada de un campo total de una estructura todavía des­ conocida.» Aunque, sin duda, los anteriores párrafos expresan los sentimientos de Einstein durante 1915-1916, éstos fueron escritos mucho después de la época a que se refieren. De hecho, de una forma pública Einstein no comenzó a considerar la cuestión de cómo podría superarse la relativi­ dad general hasta 1919. En ese período intermedio de 1916-1919, había estado involucrado en problemas de la teoría cuántica de la ra-

diación y en desarrollar las consecuencias cosmológicas de la relatividad general (Einstein 1917). Fue el 10 de abril de 1919 cuando Einstein (1919) presentó a la Academia Prusiana un artículo, titulado «Juegan los campos gravitacionales un papel esencial en la estructura de las partículas elementa­ les?», que contiene el primer desafío serio a la relatividad general tal y como fue formulada en 1915. Einstein comenzaba este artículo reco­ nociendo que «hasta el momento, ni la teoría.newtoniana de la gravi­ tación ni la relativista han conducido a algún avance en la teoría de la constitución de la materia», y proseguía señalando las principales difi­ cultades que él veía en anteriores intentos, a cargo de Mié, Hilbert y Weyl, de elaborar «una teoría que diese cuenta del equilibrio de la electricidad que constituye el electrón». Una vez hecho esto, Einstein proponía el reemplazar las ecuaciones (13.1) p o r3 Raí¡ - -J gaeR = k Tag

,

(13.2)

donde TaB = -j4

,

(13.3)

siendo el tensor electromagnético. Asimismo Einstein exigía que se verificasen las siguientes ecuaciones (segundo grupo de las ecuaciones de Maxwell)

dxr

+ drf'vp + dx»

_ q dxr

(13 4} K ’

Lo que Einstein estaba investigando era «la posibilidad de construir teó­ ricamente la materia a partir únicamente de los campos gravitacional y electromagnético, sin introducir términos hipotéticos suplementarios a la manera de lo que ocurre en la teoría de Mié». De esta forma Eins­ tein obtuvo el resultado de que «de la energía que constituye la m ate­ ria, tres cuartos se deben al campo electromagnético y un cuarto al campo gravitacional». Sin embargo, Einstein también se daba cuenta de que existía una dificultad sería en su teoría, y así escribía

miembro de la izquierda de las ecuaciones de campo fuese cero, lo que hacía a la teoría consistente de alguna forma con la interpretación electromagnética de la materia (en electrodinámica T = 0).

«si particularizamos [las ecuaciones (13.2)] para el caso estático esféricamente simétrico obtenemos una ecuación menos [de las necesarias] para definir los g», y con el resultado de que cualquier distribución de electricidad esférica­ m ente simétrica aparece como capaz de permanecer en equilibrio. Por tanto el problema de la constitución de los cuantos elementales no se puede resolver todavía en base a las ecuaciones dadas.» A pesar de su fracaso final, la teoría de 1919 demuestra, más clara­ m ente que nunca, que para Einstein el problema de fondo era como explicar la m ateria en fu n ció n de cam pos4. Esto es fácil de ver ya que, al contrario de la formulación de 1915-16, la teoría de 1919 estaba construida de forma que no apareciesen fuentes materiales fenomenológicas en el miembro de la derecha de las ecuaciones (13.2), sino ún i­ camente el tensor métrico y el tensor electromagnético Sin em ­ bargo, hay que señalar que, a pesar de todo, la teoría de 1919 no era todavía una teoría unificada de campos (o de campos pura) en tanto en cuanto que los campos gravitacional y electromagnético no se deri­ vaban de una entidad común, la métrica. En cierto sentido era una teoría n a ïf porque intentaba la unificación de ambos campos mediante el simple procedimiento de introducir en la ley de gravitación un ele­ mento ajeno a la propia teoría, el tensor de energía —momento de Maxwell. Por este motivo las siguientes palabras críticas que Einstein (1940) dedicaba en 1940 a la relatividad general tradicional se podrían haber aplicado también a la versión de 1919: «... no se puede argumentar que aquellas partes de la teoría de la relatividad general que pueden considerarse hoy en día como finales han proporcionado a la física un fundamento completo y satisfactorio. En primer lugar, el campo to­ tal aparece en ella como compuesto de dos partes lógicamente desconectadas, la gravitacional y la electromagnética.» 2.

Tras los pasos de Mie, Hilbert y Weyl: 1918-1923

En la sección anterior he mencionado que Einstein no fue en reali­ dad el primero en intentar dar una explicación electromagnética —gravitacional y a la manera de los campos— de la materia, sino que fue precedido por Mié, Hilbert y Weyl. De hecho, Mié (1912, 1913), que fue el primero que trató de construir una teoría de campos que diese cuenta de la existencia de partículas elementales cargadas eléctri­ camente, trabajó exclusivamente dentro de la tradición de la visión electromagnética de la naturaleza. Afirmaba, por ejemplo, que (Mié 1912, pág. 513) 4 Ya argumenté en este sentido en el capítulo 6 .

«Los hasta ahora conocidos estados del éter, po magnético, la carga eléctrica y la comente cientes para describir todos los fenómenos del tí^

^ material.»

A la postre, la teoría de M ié no sobrevivió; “ n a . J ^ cu' ltad muJ tia de ella era el hecho de que una f¡£ o ^ existir en un campo externo de potencial co 9 ) ·. Por lo que se refiere a Hilbert (1915, 1917)¿ te - que qUe inten­ taba era unir los planteamientos de Mié y de Einste," ^ r a construir ¿ S e una base axbmática una teoría de la C°u ? {

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sobre la que reposa la teoría de la relatividad ° .d e,a libertad suficiente para introducir, «geometrizándolo»- el c.a"*p? lectromagnétk d por este motivo desarrolló una g e m a c i ó n de ] , geometría riemanniana extremadamente sofisticada. P cs /, c VÍS^a , gKO. U nuev, propias palabras de Weyl (1952, pág. 102)··

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«Inducido por las sólidas inferencias de la teo** de E®**“ a examinar de r o 1« por erradicar el último elemento de geometría nncihlr rn». i i pasado eudideano. Riemann supone que tambi¿? cs P°s b * mparar las lon­ gitudes de dos elementos de línea en puntos en u”“ geometría "délo infinitam ente cerca” n o divls¡6n es ¿ distancia. Sólo se tolera un principio, por es¡ a él.» transferible de un punto a aquel infinitamente £

5 Para más información acerca de la teoría de H '^ eIt v^ase Mehr^ ( 1974 , capítulo 3), y el capítulo 12 de este libro.

El único comentario que haré acerca de la teoría de Weyl es que así como en la teoría de Einstein los efectos gravitacionales están íntimamente unidos con el comportamiento de las reglas y relojes que se utilizan para medir, otro tanto ocurre con los efectos electromagné­ ticos en la teoría de Weyl. En este sentido se puede decir (Pauli 1921) que en esta teoría tanto gravitación como electromagnetismo aparecen como consecuencias de la estructura métrica del universo. Por consiguiente, y en vista de la evidencia que proporcionan los artículos publicados durante el período 1915-1918, se debe concluir que la idea com pletam ente articulada de una teoría que reuniese geo­ m étricam ente los campos gravitatorio y electromagnético se debe en primer lugar a Hilbert y Weyl. Aunque la idea de asociar dichos cam­ pos había estado presente en el pensamiento de Einstein desde al m e­ nos 1909, no existe ninguna razón para creer que los planteamientos matemáticos desarrollados por Hilbert6 y especialmente por Weyl, h u ­ biesen sido concebidos antes por Einstein. Esto se ve reforzado por el hecho de que, como he señalado antes, el primer intento de Einstein de generalizar la relatividad general no era todavía una teoría de cam­ pos pura. De hecho, el punto de partida de Einstein en su búsqueda de una teoría unificada de campos lo constituyó su reacción crítica ante la teoría de Weyl. Así, señalaré que lo primero que Einstein publicó en estas cuestiones no fue el artículo de 1919 al que me he referido en la sección 1 de este capítulo, sino que antes, en 1918, había publicado otro artículo (Einstein 1918) en el que señalaba algunas de las dificul­ tades que obligaban, a su juicio, a descartar 1a teoría de Weyl. A pesar de esto, cuando después de 1919 Einstein retornó a estos problemas lo hizo siguiendo el planteamiento adoptado por Weyl; esto es, utilizan­ do geometrías que generalizaban la de Riemann (Einstein 1923 a,b,c). Es, por tanto, razonable concluir que la atmósfera científica que rodea­ ba a Einstein fue un factor positivo muy influyente en la determina­ ción de la orientación que más tarde daría a sus intentos de generalizar la teoría de la relatividad general. 3. A modo de epílogo: Apuntes acerca del desarrollo de las ideas de Einstein después de 1923 3 a.

N otas generales

Seguir con detalle los diferentes intentos que Einstein llevó a cabo después de 1923 para establecer una teoría unitaria de campos es algo 6 Einstein era muy crítico con respecto a la forma en que Hilbert enfocaba el proble­ ma de la gravitación y el electromagnetismo, como se vio en el capítulo anterior.

que se sale de los propósitos del presente trabajo, pero puede resultar útil, sin embargo, el esbozar sus principales trabajos. A partir de 1923, Einstein intentó con una dedicación creciente, el ir más allá de la relatividad general. Su principal preocupación fue describir los campos gravitacionales y electromagnéticos en términos de un único tensor métrico; conseguir esto —pensaba Einstein— significaría conocer lo que es la materia o, en otras palabras, tener una explicación continua (de campos) de los efectos cuánticos. Einstein intentó diferentes teorías encontrando que, en general, las más satisfactorias eran las basadas en conexiones afines y tensores métricos no simétricos. Esta vía tampoco fue realmente abierta por Einstein sino por Eddington (1923, capítulo 7), quien introdujo la idea de basar una teoría unitaria de campos en la conexión afín rg„ (que él suponía sim étrica) y no en la métrica7. De esta forma Edding­ ton obtenía que tanto la métrica como el campo electromagnético aparecían como magnitudes derivadas. Sin embargo, no postuló nin­ guna ecuación del campo específica. Esto fue hecho poco después —también en 1923— por Einstein (1923 a,b,c) quien derivó las ecuaciones del campo a partir de un lagrangiano que dependía única­ mente de Ra$ y de R 7. No obstante, Einstein abandonó esta teoría al poco tiempo por considerar que las ecuaciones que se obtenían para el campo electromagnético conducían a consecuencias inadmisibles. D u­ rante muchos años este tipo de teorías no volvieron a utilizarse, siendo resucitadas por Einstein junto con algunos de sus colaboradores (Eins­ tein 1943, Einstein y Straus 1946, etc.) y por Schrödinger8. La princi­ pal modificación introducida entonces fue la utilización de una cone­ xión afín y un tensor métrico no sim étricos. Se pensaba que de esta forma se ampliaban los grados de libertad existentes en la teoría, gra­ dos que podían emplearse para introducir el campo electromagnético en la estructura geométrica de la variedad espacio-tiempo. Al llegar a este punto es conveniente tratar de realizar una mirada de conjunto a las diversas teorías que Einstein propuso para generalizar la relatividad general. Así, lo primero que destaca es que a pesar de su aparente diversidad existen rasgos comunes a todas ellas, rasgos que re­ velan la visión que Einstein tenía de la naturaleza. El más sobresalien­ te de todos ellos es el de que Einstein identificaba la tarea de reunir gravitación y electromagnetismo en un mismo formalismo con la tarea de encontrar una teoría de campos pura. Aparentemente nunca se le ocurrió pensar que tal vez fuese más conveniente otro tipo de estructu­ ra matemática. La razón pudiera ser el que Einstein consideraba al 7 Para estas cuestiones se puede consultar Tonnelat (1965, pág. 290 y sucesivas). 8 Ver los artículos que durante el período comprendido entre 1943 y 1948 Schrödin­

ger publicó en los Proceedings o f the Royal Irish Academy.

campo, cuya estructura matemática quería descubrir, como una autén­ tica entidad física; más aún, para él el campo era la entidad física (Na­ turaleza = Campo). Utilizando sus propias palabras (Einstein 1954) «Es común a todos estos intentos [de generalizar la relatividad general] el con­ cebir la realidad física como un campo.» Hay que reconocer que en esta ocasión el comportamiento de Eins­ tein (buscar una teoría unitaria de cam pos) estaba plenamente justifi­ cado. Si bien es cierto que su decidida toma de posición en favor del concepto de campo en 19099 puede ser hasta cierto p u n to criticada co­ mo carente de una base firmemente establecida (especialmente sii se tiene en cuenta la orientación de sus trabajos previos), tal crítica no es posible con relación a su actuación a partir de 1916. En efecto, desde entonces la relatividad general estaba allí, y en esta teoría la importan­ cia del concepto de campo no tiene paralelo con la que hasta entonces había tenido en física, porque el campo no está superpuesto al espa­ cio, é l m ism o es e l espacio. Dicho de otra forma: el campo (gravitatorio) está descrito por las funciones g„a que también determinan la estructura del espacio (-tiempo) de la teoría. Si se quitaran las fun­ ciones g aa no quedaría nada, ni siquiera un «espacio topològico», por­ que estas funciones restringen las estructuras métrica y topològica de la variedad. Por consiguiente se debe admitir que el propósito de geometrizar al mismo tiempo gravitación y electromagnetismo con vistas a explicar, entre otras cosas, la existencia de materia discreta en fun­ ción de campos continuos, era el siguiente paso natural a tomar por Einstein. Era perfectamente racional y estaba plenamente justificado, lo que no quita que dada la intensidad de su apego al concepto de campo, este propósito fuese en gran parte de carácter marcadamente metafisico. 3 .b .

Sobre la noción de singularidad en e l pensam iento de Einstein

Es posible obtener una información muy valiosa con respecto a los trabajos y a las ideas (post-1923) de Einstein analizando la forma en que trataba la noción de singularidad. Aunque la presencia de una singularidad se considera habitual­ mente como desagradable en física, no es cierto que no se pueda utili­ zar en el desarrollo de una teoría. Precisamente porque una singulari­ dad representa nuestra completa ignorancia de un determinado aspec­ to de la realidad física se la puede considerar como una ayuda esti-

tnable (recuérdese, por ejemplo, la teoría de Dirac del electrón de 1938). Así, durante la búsqueda de una teoría unitaria de campos, Einstein encontró lugares donde las singularidades podían jugar un cierto papel. Por ejemplo, su teoría relativista del campo no simétrico (Einstein 1967, especialmente págs. 156-57) no quedaba completa­ mente determinada mediante las ecuaciones del campo y una posible salida a este problema era admitir la aparición de singularidades. Sin embargo, Einstein no aceptó esta posibilidad. Admitir singularidades en una teoría continua significaba el introducir puntos o líneas, etc., en los que las ecuaciones de campos no se verificarían. Con singulari­ dades, Einstein tal vez hubiese sabido cómo se m ueve la materia, pero desde luego no lo que es, porque las ecuaciones del campo no serían válidas precisamente allí donde se encontrase la materia. Utilizando las propias palabras de Einstein (1967, pág. 48) *Se ha intentado remediar esta falta de conocimiento considerando las partículas cargadas como auténticas singularidades. Pero, en mi opinión, esto significa el abandonar [la posibilidad] de un entendimiento real de la estructu­ ra de la materia. Me parece mucho mejor admitir nuestra incapacidad actual antes que permanecer satisfechos con una solución que sólo es aparente.» Esto es, Einstein ya no estaba buscando ningún tipo de teoría p relim i­ nar. A pesar de todo se puede argüir que Einstein sí hizo uso de singu­ laridades mientras trabajaba en el problema del movimiento en relati­ vidad general. Aunque esto es cierto, debemos de examinar más de cerca cuál fue la situación real en aquella ocasión ya que refleja bastan­ te bien las opiniones de Einstein. Esencialmente lo que hizo (primero en colaboración con Grom m er10 y después con Infeld y H offm ann" fue considerar las ecuaciones del campo de la relatividad general en e l vacío y representar a la materia por singularidades de tal campo. El procedimiento que se seguía para obtener las ecuaciones de movimien­ to de la n-ésima singularidad consistía en utilizar cuatro integrales de superficie alrededor de dicha singularidad12. A la vista de esto nos hacemos la pregunta ¿fue Einstein consistente con sus propias ideas 10 Lo que Einstein y Grommer (1927) hicieron fue demostrar que las ecuaciones de movimiento para partículas de prueba se deducen de las propias ecuaciones del campo. 11 Einstein, Infeld y Hoffmann (1938) obtuvieron las ecuaciones del movimiento en órdenes de aproximación más allá del newtoniano. Más tarde Einstein e Infeld (1940, 1949) simplificarían todo el procedimiento utilizado en el artículo de EIH. Una detalla­ da historia del problema del movimiento en relatividad general será publicada en un fu­ turo próximo por P. Havas. Poco después del artículo de EIH, Fock (1939) demostró utilizando un método in­ dependiente, que era posible obtener los mismos resultados que EIH utilizando distri­ buciones continuas de materia sin singularidades.

acerca de las singularidades? La respuesta es que no existió ninguna in­ consistencia y la clave para entender los motivos que le llevaron a ser­ virse de singularidades nos la proporciona su colaborador Infeld que en su libro autobiográfico Q uest (Infeld 1942, pág. 207) escribe «A Einstein le desagradaba mucho el matrimonio ilegal entre el artificial tensor energía-momento de la materia y el tensor de curvatura. Por esta razón preferi­ mos considerar el espacio vacío con la materia como sus singularidades.» Es decir, el uso que Einstein hacía de las singularidades para represen­ tar la materia estaba justificado en tanto que de esta forma evitaba te­ ner que utilizar el poco satisfactorio «término de la derecha»13 de las ecuaciones del campo de la relatividad general [ecs. (13.1)]. Utilizar singularidades constituía un desarrollo interno de una «teoría prelimi­ nar»13, la relatividad general, y por consiguiente no tenía nada que ver —al menos en principio— con una teoría unificada de campos. 3.c.

La idea de E instein y Rosen

^

Incluso limitándose a la «preliminar» relatividad general, Einstein fue capaz de imaginar una forma de tratar el problema de las partículas (la «constitución» de la materia) sin tener que recurrir a la noción de singularidad. Este método apareció en un artículo titulado «El problema de las partículas en la teoría de la relatividad general», que Einstein escribió en colaboración con Nathan Rosen (Einstein y Rosen 1935). De hecho, este artículo era, en palabras de Einstein (1936), «el prim er intento hacia una elaboración consistente de una teoría de cam pos, que presenta la posibilidad de explicar las propieda­ des de la materia» (las cursivas son mías). Por consiguiente se trataba de un proyecto muy ambicioso y sin duda más satisfactorio para Eintein que cualquier otro basado en singularidades14. La idea del artículo de Einstein y Rosen era la siguiente: Primero reescribían la solución de Schwarzschild15 ds* - — ( 1 —

r

y 'd r 2 — t2 (dB2 + sen2ddct)2)

+ ( 1 - J * ) ¿p ,

(13.5)

13 Ver sección 1 de este capítulo. 14 El artículo de Einstein y Rosen precedió en tres años al de Einstein, Infeld y Hoff-

mann. 15 En esta forma la métrica de Schwarzschild tiene una singularidad en r = 2m. Es­ to no sucede en la expresión (13.6) utilizada por Einstein y Rosen.

de las ecuaciones del campo en el vacío16 (ILe - 0) en la forma

ds2 = - 4 (2m + q2) do1 — (2m + g2)2 (dd2 + sen^ífa2) 0z 2m +

(13-6) q2

para así interpretar q = 0 (esto es r = 2ni) como una partícula m ate­ rial. Argumentaban que de esta forma la solución de Schwarzschild representaba al espacio físico como formado por dos «hojas» idénticas que entraban en contacto a lo largo de la hipersuperficie q = 0 sobre la que el determinante g se anula. Einstein y Rosen llamaban «puente» a esta conexión entre las dos hojas, e interpretaban su aparición como correspondiente a la existencia de una partícula material neutra que se describía así de una manera libre de singularidades. Más aún, para Einstein (1936) esta concepción de la materia correspondía «a priori a la estructura atomística de la materia en tanto que el “ puente” es por su naturaleza un elemento discreto». No hay duda de que la idea de Einstein y Rosen era muy atractiva, pero como el mismo Einstein (1936) reconoció «solamente el examen del problema de varios puentes puede demostrar si este método teóri­ co proporciona o no una explicación de la igualdad, demostrada empíricamente, de las masas de las partículas que se encuentran en la naturaleza y si da cuenta de los hechos que la mecánica cuántica tan maravillosamente ha comprendido»17. A la postre ni este intento —que sería resucitado muchos años des­ pués por J. A. Wheeler y sus colaboradores con la noción de «wormho­ le» (literalmente, agujero de gusano)— ni ninguna de las diferentes teorías unificadas del campo que Einstein construyó han sobrevivido. Debemos concluir, por tanto, que el programa de Einstein basado en el concepto de campo fue un fracaso científico18. Sin embargo, y de­ jando al margen conclusiones más generales debemos admitir que si­ guiendo el «programa de campos» Einstein se comportó siempre de forma auténticamente científica, en el sentido de que la experiencia era para él el último y definitivo juez de sus construcciones mentales.

16 Nótese que Einstein, de nuevo, evitaba manejar el «término de la derecha» de las ecuaciones (13.1) por el procedimiento de suponer campos en el espacio vacío. 17 En esta cita nos encontramos de nuevo con la idea de Einstein de que una teoría de campos pura debe de tener «soluciones cuánticas». 18 No está claro que se pueda decir lo mismo de los diferentes programas (por ejemplo el de las teorías gauge) que están siendo desarrollados actualmente y en los que el concepto de campo juega un papel primordial.

Como ya dije antes, es cierto que el apego de Einstein al concepto de campo tenía un marcado carácter metafísico, pero si por metafísica entendemos una firme adhesión a una visión general de naturaleza en la que se acepta, sin embargo, que las teorías formuladas desde tal punto de vista deben de ser confrontadas con los datos experimentales19, entonces yo creo que, a n ivel individual, no existen motivos para criticar el índole metafísico de una cierta postura. Existen tantas formas diferentes de combinar un número fijo de entidades teó­ ricas, que es prácticamente imposible demostrar que no se puede construir una teoría satisfactoria a partir de un determinado número de elementos previamente fijados. Nadie ha demostrado, por ejemplo, que el ideal de Einstein de una teoría unificada de campos no se pueda construir. De hecho, hubiese sido muy difícil para Einstein continuar su tra­ bajo (que al margen de no proporcionar resultados positivos era impo­ pular entre sus colegas) de no haber sido por el carácter metafísico de su adhesión al concepto de campo. Vista desde una perspectiva histo ñ ca, la física es una empresa colectiva en la que resulta muy arduo el perseguir una meta que no esté de moda (y esto significa casi siempre el ser capaz de producir resultados) o que no sea mayoritariamente aceptada (tolerada) por la comunidad científica. Por supuesto no es acientífico para un individuo o para un pequeño grupo de profesiona­ les el adoptar un programa de investigación científica (en el sentido de Lakatos) que aún siendo lógicamente coherente, no proporcione nin­ gún resultado positivo después de repetidos intentos. Por esto nunca se podrá calificar el comportamiento que siguió Einstein a partir de 1923 como acientífico. Ahora bien, las ciencias y la física en particular, son instituciones, o si se quiere funciones, dentro de la sociedad y por tanto no podrían sobrevivir «socialmente» si la mayoría de los científicos se adhirieran a un programa de investigación que condujese sistemáticamente a fracasos. Esto es cierto especialmente hoy día20 en que la ciencia es fuertemente competitiva y debe de conducir a avances en una forma «suficientemente» rápida21, pero también se aplica a tiempos pasados. Las ciencias no habrían sobrevivido, no se habrían enraizado en absoluto en la soejedad, de no haber producido «resulta­ dos» positivos. La persistencia en el fracaso hubiese conducido a su muerte. La ciencia sólo puede tolerar unos pocos Einstein empeñados en encontrar teorías unitarias. Tal vez además de tolerarlos los necesi­ 19 Acepto —y tengo en cuenta— pot supuesto todas las limitaciones que la filosofía de la ciencia ha demostrado existen entre «teorías» y «comprobación experimental». w Pero no sólo para la ciencia del siglo xx, como demuestra la historia de la ciencia. 21 «Suficientemente» es un término deliberadamente vago. Cuantificarlo creo que es una tarea muy difícil que aguarda, especialmente, a la sociología de la ciencia.

te, pero sólo si no son mayoría. Este aspecto demuestra, en mi opi­ nión, que la ciencia tiene, p o r necesidad y bajo un camuflage raciona­ lista, un componente intrínsecamente ilógico (p. ej. ¿qué significa «rá­ pido»?). En otras palabras: la ciencia no se puede reducir únicamente a la lógica; se necesita también un componente sociológico.

Apéndice A EINSTEIN Y MACH

1.

Introducción

En este apéndice pasaré revista de forma no muy detallada a las relaciones que mantuvieron Einstein y Mach, haciendo especial hinca­ pié en la evolución de las opiniones con que cada uno de ellos juzgaba las ideas del otro. El contenido del apéndice añade y a la vez se completa con la sección 2 del capítulo 4; sección 5, capítulo 8; así co­ mo con ciertos comentarios que aparecen en los capítulos 5 y 6. 2.

Mach

Sobre Ernst Mach (1838-1916), figura importante si se quiere e n ­ tender una parte sustancial de la física y filosofía de la primera m itad de nuestro siglo, se ha escrito bastante pero en mi opinión, salvo alg u ­ nas excepciones1, la mayoría de los ensayos dedicados a analizar su pensamiento y su obra no hacen justificia a la motivación esencial q u e guió sus trabajos. Así uno se encuentra con que a pesar de que el

1 Principalmente Blackmore (1970, 1972) y Hieben (1976).

nombre de Mach es cita obligada en todo tratado que se ocupa de la filosofía o de la historia de la física, lo que allí se menciona son una serie de tópicos, como el reflejado en la cita siguiente: «las críticas de Mach constituyeron una reacción contra el fácil dogmatismo de muchos físicos de su tiem po... que aceptaban sin demasiada oposición como axiomas, suposiciones de gran alcance que hacían la vida fácil pe­ ro que realmente no podían justificar... Mach quería llamar la atención acerca de la falta de una base segura para muchas de las nociones habi­ tuales. Algunas de ellas eran en principio inaccesibles a pruebas expe­ rimentales. Por consiguiente las rechazó como metafísicas y como obs­ táculos para un entendimiento de la física en profundidad»2. Al llegar a este punto de la discusión se suele completar la «panorámica» de Mach diciendo que éste encontró en la noción de sensación (los datos primarios y directos que nos proporcionan nuestros sentidos), el ele­ mento que le permitía escapar de las nociones metafísicas, basando en él, por consiguiente, toda su filosofía según la cual las teorías científicas deben ser «relaciones» entre sensaciones. Ahora bien, sin que todo esto sea falso, limitarse a ello constituye tai simplificación que toda la peculiaridad, interés y ambición del programa de Mach desaparece completamente. Para entender realmente a Mach —y en particular para compren­ der sus posturas, que veremos más adelante, frente a las teorías de la relatividad— hay que tener en cuenta que sus intereses científicos abarcaban de form a unitaria tanto la física como la psicología de las sensaciones, la psicofísica y la psicofisiología. Era el suyo un programa de investigación diferente y mucho más ambicioso y amplio que el que caracteriza a la disciplina que llamamos Física, como muy bien señala­ ba Arnold Sommerfeld (1917) cuando se refería a Mach como un brillante experimentalista, pero un teórico peculiar que buscando englobar lo «fisiológico» y lo «psíquico» en su física, tuvo que relegar lo «físico» a un nivel menos pretencioso que lo que los demás físicos estaban acostumbrados a esperar de un colega. Mach, como en buena medida también Hermann von Helm holtz5, por citar un nombre de probada importancia en la historia de la física, buscaba un conoci­ miento y descripción de la naturaleza más completo que el que, en su opinión, proporcionaba la física. Reconociendo el papel que en el co­ nocimiento de la naturaleza jugamos nosotros mismos con nuestros sentidos, con nuestra «maquinaria humana», trató de asociar en pie de igualdad, física, psicología y fisiología. No es fácil explicar en qué consistía este «pie de igualdad», e intentar hacerlo superaría con creces 2 Broda (1981), pág. 4. 3 Víase, pata comprender lo que digo, la biografía de von Helmholtz debida a Koenigsberger (1965).

los límites de este trabajo. Permítaseme ofrecer como sucedáneo de explicación, no siempre totalmente clara ni completa, las palabras del propio Mach, primero con una cita extraída del prefacio a la cuarta edición (1902, la primera apareció en 1886) de su A nálisis de las sen­ saciones. Escribía allí Mach4: «La opinión, que viene abriéndose paso gradualmente, de que la ciencia debe limitarse a la representación global [compendious representation] de lo actual, involucra necesariamente como consecuencia la eliminación de todas las suposi­ ciones superfluas que no pueden ser controladas por la experiencia y, sobre to­ do, de todas las suposiciones que son metafísicas en el sentido de Kant. Si se tiene en mente firmemente este punto de vista en ese amplio campo de inves­ tigaciones que incluye lo físico y lo psíquico, obtenemos, como nuestro primer y más obvio paso, la concepción de las sensaciones como los elementos comu­ nes de todas las experiencias físicas y psíquicas posibles, que consisten [así] me­ ramente en las diferentes maneras en que se combinan estos elementos, o en su dependencia entre sí. Una serie completa de engorrosos pseudo-problemas desaparecen inmediatamente. El propósito de este libro no es presentar algún sistema filosófico, o alguna teoría comprensible del universo. Son únicamente las consecuencias de éste simple paso... las examinadas aquí. Se hace un inten­ to, no de resolver todos los problemas, sino de alcanzar una posición epistemo­ lógica que prepare el camino para la comparación de compartimentos específicos de investigación, que se encuentran ampliamente distanciadbs entre sí, para la solución detallada de problemas importantes. Es desde este punto de vista desde el que deben considerarse las descrip­ ciones de investigaciones especiales dadas aquí. Si no existe una diferencia esencial entre lo físico y lo psíquico, podemos esperar establecer la misma co­ nexión exacta que buscamos en todo lo que es físico, también en las ecuaciones entre lo físico y lo psíquico. Esperamos encontrar entonces, correspondiendo a todos los detalles que el análisis psicológico puede descubrir en las sensaciones, otros tantos detalles en los procesos nerviosos físicos. He tratado de describir esta relación tanto como he sido capaz.» (Las cursivas son mías). También ilustrativo es el siguiente párrafo extraído de su D e­ sarrollo histórico-crítico de la mecánica (Mach 1949, publicado inicial­ mente en 1883): «Toda ciencia sólo puede reproducir o representar conjuntos de aquellos elementos que ordinariamente llamamos sensaciones. Se trata de la conexión de esos elementos. Un elemento tal como el calor de un cuerpo A, no sólo está conexo con otros elementos, como por ejemplo con aquellos cuya reunión de­ signamos como llama B, sino también con la totalidad de los elementos de nuestro cuerpo, por ejemplo, con los de un nervio N. Como objeto y elemen­ to, N no se diferencia esencialmente sino sólo convencionalmente de A y B. La conexión entre A y B pertenece a la física, aquella entre A y N a la fisiología. 4 Yo he utilizado Mach (1914).

Ninguna de ellas se presenta sola, ambas son simultáneas. Sólo circunstancial­ mente podemos prescindir de una o de otra. Hasta los fenómenos que en apa­ riencia son puramente mecánicos, son siempre también fisiológicos, así como también eléctricos, químicos, etc. La mecánica no abarca los fundam entos del universo, ni los de una de sus partes, sino un aspecto del mismo.» Consecuente consigo mismo, Mach trató de llevar a la práctica sus ideas, y lo hizo con bastante éxito. En este sentido se pueden m en­ cionar, por una parte, investigaciones de talante claramente psicofísico, como por ejemplo sus estudios acerca de los cambios en la sen­ sación de equilibrio debidos al movimiento físico (aceleración y cam­ bio de orientación en el cuerpo humano), experimentos relativos a la reacción de la retina frente a estímulos distribuidos espacialmente (bandas de Mach), percepción auditiva, etc. Pero no fue sólo en este tipo de problemas, cuyo sentido interdisciplinario está claro, en donde Mach intentó aplicar las ideas que hemos visto. Para él eran problemá­ ticos, en el sentido de su fundamentación psico-fisiológica, conceptos físicos tan básicos como el espacio y la geometría5, por citar un ejemplo pertinente a la cuestión que nos ocupa aquí. Incluso sus cono­ cidas críticas a la mecánica de Newton deben de entenderse desde una perspectiva cognoscitiva más completa que la puramente física. Fue, de hecho, el propio Einstein quien dijo, como ya señalé en el capítulo 4: «creía [Mach] poder llenar así el foso que existe entre la psicología y la física». En esta breve panorámica de las ideas de Mach no he incluido en realidad a la filosofía, lo que habitualmente se llama «filosofía de Mach», pero es que si nos atenemos a las intenciones de su autor, no existe tal cosa. Ya vimos en una cita anterior que el mismo Mach decía que su propósito no era presentar «algún sistema filosófico». De la misma manera, en otro lugar del A nálisis de las sensaciones Mach (1914) escribía: «No pretendo que se me adjudique el título de filóso­ fo. Lo único que busco es adoptar en física un punto de vista que no tenga que cambiarse inmediatamente al pasar al dominio de otra cien­ cia; ya que, a la postre, todo debe formar una unidad». Mach era un físico, peculiar si se quiere como decía Sommerfeld, pero físico, no filó­ sofo. Ahora bien, es evidente y así hay que reconocerlo que —salvo excepciones— su influencia en otros —y en particular en Einstein— se debe a que se le consideró como filósofo, con un sistema filosófico propio. Pero tal «sistema», aunque interesante de por sí, no es en rea­ 5 Véase el libro de Mach (I960) Space and Geometry (publicado inicialmente en 1906). Es notoria también la similitud que existe en éste —y en otros— campos entre Mach y von Helmholtz (véanse los siguientes trabajos de este último: «On the Origin and Significance of the Axioms of Geometry» y «On the Facts Underlying Geometry», reproducidos en von Helmholtz (1977, pigs. 1-26 y 39-58.respectivamente).

lidad sino un producto desnaturalizado, aje*, al conjunto dc sus ideas; un sistema en donde la noción de «sensación» aparece como Una es­ pecie de célula, unidad básica fenomenológ¡ca no problemática, cuan­ do para Mach si algo era, era precisamente problemática. A esto se de­ be el que Mach terminase rechazando no sólo las contribuciones de Einstein, sino también incluso el que se le pudicse considerar como precursor de ellas. Antes de terminar esta sección quiero Señaiar que a ia postrc las ideas de Mach han demostrado ser demasiado limitadas para poder ser aplicadas a la física, hecho que el mismo Ei„stcin term in aría advirtien­ do claramente. Su tan conocida (¡y tan exagerada!) oposición a los áto­ mos no es sino un ejemplo más de esto. No es éste, sin embargo, el lugar de entrar en profundidad en estas cuestiones, salvo naturalmen­ te, en lo referente a Einstein.

3. Einstein y Mach, 1: La relatividad espec¡ai - EnJ / ° . 9 Ernf Mf h Uti,i2aba ,a s,e«un^a edición de su H istoria y TatCes ^ e l principio de conservación de la energías para intcntar rcla. cionar la formulación que de la re atividad eSpcc*ial h£ ía Mmkówski con u propia teoría epistem ológica A t la relatividad. (Hay que decir que la teoría epistemológica de la relatividad de Mach tiene su núcleo bási­ co en la afirmación de que todas las apariencias dependen entre sí - u n a s de o tr a s - y que estas dependencia toman la forma de rda. ciones funcionales Es decir, la relatividad machtana indica la depen­ dencia funcional de todas las sensaciones. P0r cl contrario la relatividad fa c a señala a equivalencia de todos los sistcmas físic0s, y todavía cabe hablar te relatividad fa c a einsteim ana que se refiere a la equivalencia de todos los sistemas físicos con respecto a Ja velocídad (constante) de la luz en el vacío.) Entre las notas que Mach añadió a su libro (del que envió una copág a95EmSte

SC cncuentra una en ,a que se lee (Mach

1911,

I

trÍemP° n.° s.on concebidos aquí como entidades independientes, si"°nrC° m° Jo^ as de la dependencia de los fenómcnos entre sí M<- suscnbo, por , ^ ees ta™bién fltmemcnte mantenido en m i

Mechanik und Wärmelehre.. Cf. Zeit und Rau»* P h y ^ i ^ h betrachtet” , en Erkenntnis und Irrtum Conocimiento y error], U ip tig, 1905 ( 2 .* ed., 1906, págs. 434-448), H . Minkowski, Raum und Zeit, Leipzig, 1909 .»

6 Yo he utilizado la traducción inglesa de esta obr^ j^ach (1911)

Puede sorprender en esta cita el que Mach se refiera a Minkowski y no a Einstein. Ahora bien, en mi opinión, esto no tiene nada de sorprendente si se tiene en cuenta el trasfondo real de las ideas de Mach que acabo de discutir. Fue Minkowski y no Einstein el que dio a su presentación cuadridim ensional de la relatividad especial un conte­ nido y significado «visual», «sustancial» de alguna manera, mucho más acorde con las ideas machianas sobre la percepción (psico-física), el es­ pacio y la geometría, frente a la formulación, cinemática y probable­ mente un tanto «abstracta» (esto es, divorciada de nuestros procesos, psico-físicos, perceptivos y cognitivos) que para Mach tenía la presenta­ ción de Einstein. Aparentemente Mach no sólo envió a Eintein una copia de su libro, sino también una carta puesto que el 17 de agosto de 1909 Eins­ tein le escribía (citada en Blackmore 1970, pág. 921). «Su amable carta me ha agradado mucho, lo mismo que su tratado [Historia y raíces...] ...adm iro su gran energía... Me agrada enormemente que encuentre placer en la teoría de la relatividad.»

Ahora bien, la naturaleza del «placer» de Mach no está nada clara. Esto se puede ver en la cita de H istoria y raíces... que acabo de presen­ tar y también en dos artículos que publicó en 1910 donde se expresa en forma bastante oscura (Mach 1919a), «... De forma análoga, uno tendrá que distinguir entre espacio métrico y físico [contiene el tiempo] como ya sugería en mis Conservación de la energía y Co­ nocimiento y error... Un progreso esencial en esta dirección ha sido cimentado y desarrollado por A . Einstein y H . Minkowski.»

y (Mach 1919b) «Yo no consideraría la variedad del mundo agotada ni aún en el caso de que la versión cinética del modelo del universo físico — que yo en cualquier caso con­ sidero hipotética, sin que ello quiera decir que la intento degradar— «explica­ se» todas las apariencias físicas, [y no la consideraría agotada] puesto que para m í la materia, el tiempo y el espacio serían problemas todavía, una visión ésta a la que los físicos (Lorentz, Einstein, Minkowski) se van acercando gradual­ mente.»

4.

Einstein y Mach, 2: La relatividad «general»

Como punto de partida general y antes de pasar a detalles concre­ tos, hay que señalar que en muchos sentidos (pero no en todos) la crítica que Mach hizo del espacio absoluto de Newton, encontró su

culminación en la teoría de la relatividad general, donde el espacio (-tiempo) deja no sólo de ser absoluto sino que se hace también de­ pendiente de su contenido energético. Sin entrar en profundidades se puede decir que Einstein compartía el deseo de Mach de eliminar la noción —bastante «metafísica» no hay duda— de fuerza de la física. Quería resolver problemas dinámicos utilizando conceptos cinemáticos únicamente. Si la gravitación pudiese entenderse completamente en términos geométricos7, entonces —pensaba Einstein— tal vez se p u ­ diese comprender la inercia —ese concepto tan problemático en la m e­ cánica clásica— sin necesidad de recurrir a la explicación tradicional basada en la noción de fuerza. En particular, si se pudiese hacer a la masa inercial dependiente de la atracción gravitacional de la totalidad de las estrellas del universo, dependencia, expresada mediante una re­ lación funcional, entonces se podría decir que se habría conseguido una explicación «machiana» de la inercia. A esto era a lo que Einstein denominaba, de una forma un tanto ambigua, «principio de Mach», principio que sin duda jugó un papel importante en la genesis de la relatividad general (por ejemplo al formular —una vez clarificada la sustancia geométrica de la-gravitación— la ecuación simbólica «GEO­ METRIA «* CONTENIDO ENERGETICO DEL SISTEMA») y que hoy, como es bien sabido8, presenta grandes dificultades9 de interpre­ tación, dificultades que en sus últimos años Einstein comprendió (vol­ veré a este punto más adelante). 4.a

E instein versus Mach

Pasando a detalles más concretos tenemos que el 25 de junio de 1913, Einstein, entonces en plena colaboración con M. Grossmann10, escribía a Mach (citada en Herneck 1966). «Probablemente haya Vd. recibido recientemente mi nueva publicación sobre relatividad y gravitación que por fin terminé después de un trabajo inacabable y penosas dudas. El próximo año se verá en el eclipse solar si los rayoi de luz son curvados por el Sol, o en otras palabras si la suposición básica y fundamen­ tal de la equivalencia entre la aceleración de un sistema de referencia y un campo gravitacional es realmente válida. Si es así, sus inspiradas investiga7 Lo que ahora estoy diciendo no se debe entender en un sentido (cronológico) estrictamente histórico, como es patente sin más que recordar lo dicho en los capítulos 9-12. 8 Ver Dicke (1964) Goenner (1970), Reinhardt (1973) y Rosen (1979). 9 Por ejemplo, en la relatividad general un cuerpo en un universo vacío poseería, sin embargo, inercia (gravitación), caso, por ejemplo, del universo de de Sitter (ver capítulo 12, sección 5). 10 Ver capítulo 1 1.

cioncs sobre los fundamentos de la mecánica recibirán —a pesar de las injustas criticas de Planck— una espléndida confirmación. Ya que es una consecuencia necesaria [de la relatividad general en el sentido, entonces, de EinsteinGrossmann] el que la inercia tiene su origen en una especie de interacción mu­ tua entre cuerpos, totalmente en el sentido de su crítica al experimento del cu­ bo de Newton.» En esta cita se ve claramente que Einstein se consideraba por aquel en­ tonces dentro de la tradición machiana, casi un continuador de su filosofía. Ideas similares aparecen en otros artículos, por ejemplo en el titulado «Bases physiques d ’une théorie de la gravitation» (Einstein, 1914, pág. 12). El punto álgido de la admiración que Einstein sentía por Mach se hace patente en el obituario que escribió poco después de la muerte de Mach (el 19 de febrero de 1916). Allí Einstein (1916) escribía «... no es improbable que Mach hubiera llegado a la teoría de la relatividad si, cuando su mente estaba todavía joven y fresca, la cuestión de la constancia de la velocidad de la luz hubiese atraído a los físicos... Sus pensamientos relativos al experimento del cubo de Newton demuestran lo cerca que estuvo su espíritu de exigir la relatividad en general (relatividad de aceleraciones).» A partir de entonces y dentro del contexto de una creciente hostili­ dad a la relatividad general por parte de seguidores de Mach como F. Adler y H. Dingier, que argumentaban que esta teoría era demasiado especulativa alejándose de la experiencia sensible, Einstein comienza a evidenciar que ya no está de acuerdo con los puntos básicos de la filosofía machiana. En este sentido es revelador el siguiente intercam­ bio de cartas entre Einstein y Besso11. «[Adler] cabalga al pobre caballito de Mach hasta el agotamiento.» Besso a Einstein (5 de mayo de 1917), «En lo que se refiere al caballito de Mach, no deberíamos insultarlo, puesto que ¿no hizo él posible la infernal jornada a través de las relatividades? ¡Y quién sabe si —en el caso de los desagradables cuantos— no llevará también a don Quijote de la Einsta a través de todo!» Einstein a Besso (13 de mayo de 1917), «Yo no prorrumpo en invectivas contra el caballito de Mach, pero sabes lo que pienso de él. No puede engendrar nada viviente, sólo puede exterminar parási­ tos dañinos.»

Pero, ¿por qué este cambio de actitud tan radical por parte de Eins­ tein? Obviamente refleja una profunda modificación en las ideas filo­ sóficas del creador de la relatividad. Del Einstein de las «sensaciones machianas» —si es que existió realmente— pasamos al Einstein de la «libre invención de teorías», al Einstein que el 7 de mayo de 1952 escribía a Solovine12 «En lo relativo a la cuestión epistemológica no me has comprendido en absolu­ to; probablemente me expresé mal. Esquemáticamente veo el asunto de la for­ ma siguiente A — Sistema de axiomas

(1) Las £ (experiencias inmediatas) nos son dadas. (2) A son los axiomas, de donde extraemos conclusiones. Psicológicamente los A reposan sobte las E. Peto no existe ningún camino lógico que lleve de las £ a los A, sino únicamente una conexión intuitiva (psicológica) que es siempre «hasta nueva orden». (3) De los A se deducen por vía lógica afirmaciones particulares S que pueden pretender ser exactas. (4) Las 5 se ponen en relación con las E (verificaciones mediante la experien­ cia). Este procedimiento, si se mira de cerca, pertenece igualmente a la es­ fera extralógica (intuitiva), puesto que la relación [que existe] entre las no­ ciones que se presentan en S y las experiencias inmediatas E no son de na­ turaleza lógica. Pero esta relación entre las S y las E es (pragmáticamente) mucho menos incierta que la relación entre los A y las E. (Por ejemplo, lanociónperro y las experiencias inmediatas correspondientes). Si no se pudieseobtener conuna gran seguridad tal correspondencia (y a pesar de que no se pueda obtener lógi­ camente), la máquinaria lógica no tendría ningún valor para la «comprensión de la realidad» (por ejemplo, la teología). La quinta esencia de todo esto es la conexión eternamente problemática entre el mundo de las ideas y [todo] lo que puede set experimental (experien­ cias inmediatas de los sentidos).» 12 Solovine, ed. (1956, pág. 119).

Einstcin se había dado cuenta claramente de que no se podía reducir todo a las experiencias sensibles y es muy revelador, en mi opinión, que esto ocurriese de forma prácticamente simultánea, o ligeramente posterior a la formulación de la relatividad general. En efecto, tal y co­ mo algunos discípulos de Mach habían señalado, es muy difícil, im po­ sible realmente hacer que (principios de Mach aparte) las ideas de Mach y la teoría de Einstein sean compatibles13. No hay que buscar demasiado para encontrar elementos básicos de la relatividad general (por ejemplo, la variedad —el campo— cuadridimensional espaciotiempo) a los que les separa una profunda sima de los datos de la ex­ periencia. Y Einstein, que creía en su teoría (con los matices que discutí en el capítulo 13), tenía que reaccionar ante este hecho. Como consideraba que la relatividad general era una teoría científicamente válida, que se acerca a «la verdad» más que la de Newton, no estaba dispuesto a descartarla en aras a una pretendida coherencia con la filosofía de Mach. Todo lo contrario, modificó sus creencias filosóficas y lo hizo —si es que no lo había hecho antes, que no está claro14— de una manera profunda y consistente. El propio Einstein fue categórico en este sentido cuando, un año antes de su muerte, escribía (el 2 de febrero de 1954) a Félix Pirani15 «En mi opinión no se debería hablar más acerca del principio de Mach. Este data de una época en la que se pensaba que los «cuerpos ponderomotrices» eran la única realidad física, y que todos aquellos elementos de una teoría que no viniesen determinados completamente por ellos debían de ser evitados conscientemente. (Me doy perfecta cuenta del hecho de que yo también estuve influenciado durante mucho tiempo por esta idea fija).»1 . 4 .b .

Mach versus E instein

Acabamos de ver, teniendo como telón de fondo la teoría de la re­ latividad general, la reacción de Einstein ante las ideas de Mach. Llega 13 Algunos filósofos «no machianos» también han advenido este hecho. Ernst Cassirer, por ejemplo, escribe en su libro Eim tein's Theory o f Relativity que «no existe ningu­ na conexión necesaria entre la teoría de la relatividad y la filosofía de Mach» (Cassirer 1953. píg. 429). Ver en este sentido la nota pie de página número 16 del capítulo 3 (pág. 128) de Sánchez Ron (1978). 15 Einstein Archives, Prmceton. 16 También es relevante en este sentido el siguiente párrafo de una carta que Eins­ tein escribió a Cornelius Lanczos el 24 de febrero de 1938 (Dukas y Hoffmann, eds. 1979, pág. 67): «Comencé con un empiricismo escéptico más o menos parecido al de Mach. Pero el problema de la gravitación me convirtió en un convencido racionalista; esto es, en alguien que toma como la única fuente segura de Verdad la simplicidad matemática.» (Las cursivas son mías).

ahora el momento de saber qué pensaba por su parte Mach acerca de los logros de Ginstein. Desgraciadamente las cartas que Mach escribió a Einstein se han perdido, de manera que aparentemente sólo existe un documento que permite conocer las opiniones de Mach. Este es el pre­ facio, escrito en julio de 1913, a su obra Principios de óptica física , publicada póstumamente en 1921. Escribía allí Mach (1921): «Me veo obligado, en lo que puede tal vez ser mi última oportunidad, a retirar mis opiniones sobre la teoría de la relatividad. Me doy cuenta por las publicaciones que me llegan, y especialmente por mi correspondencia, que gradualmente se me empieza a considerar como el pre­ cursor de la relatividad. Soy capaz incluso de, aproximadamente, imaginarme qué nuevas exposiciones e interpretaciones recibirán, desde este punto de vista, en el futuro, muchas de las ideas expresadas en mi libro de mecánica... Debo, sin embargo, rechazar el ser el precursor de la relatividad tan firmemente como rechazo la doctrina atomista de la actual escuela o iglesia. La razón por la que, y el grado en que, rechazo la actual teoría de la relatividad, que encuentro va siendo cada vez más dogmática, junto a las razones que me han conducido a tal opinión —consideraciones basadas en la fisiología de los sentidos, dudas epistemológicas, y sobre todo las enseñanzas resultantes de mis expe­ rimentos— deben esperar pata ser tratadas en la continuación [de este tra­ tado].» Tal continuación nunca llegó a escribirse, pero aunque esto nos prive del detalle de la argumentación de Mach, al menos una de las razones básicas está clara: como ya he dicho con anterioridad, Mach quería unir física, psicología y filosofía de los sentidos y por este motivo aspi­ raba a más que los simples «sucesos» de la relatividad especial, quería conectarlos con nuestra estructura cognitiva. Todo esto sin mencionar la, por 1913 ya clara, tendencia especulativa de la relatividad einsteiniana en su camino hacia una teoría de la interacción gravitatoria*.

* Después de haber completado este apéndice he descubierto que con anterioridad G. Holton («Mach, Hinstein y la búsqueda de la realidad» en Ensayos sobre el pensa­ miento científico en la época de Einstein, Alianza Universidad, Madrid 1982) había lle­ gado a conclusiones similares a las mías en algunos de los puntos aquí tratados.

Apéndice B GOTINGA, 1894-1905

1.

Introducción

La universidad de Gotinga ha sido siempre una de las más presti­ giosas no sólo de Alemania sino también de toda Europa. Escribir una lista de todas las figuras (científicos, filósofos, humanistas, etc.) que enseñaron e investigaron en ella sería una tarea poco menos que inaca­ bable. Pero no pretendo tal cosa. Mi única intención es explicar cómo estaba organizada —institucionalmente— la física en Gotinga a finales del siglo XIX y principios del XX. El motivo por el que me ocupo de esta cuestión en un libro dedicado a la historia de las teorías especial y general de la relatividad es el de ofrecer una información que sirva pa­ ra apoyar y completar la tesis que defendí en el capítulo 5, de que la interpretación que, especialmente, en Alemania, se dio a la relatividad especial estuvo muy condicionada por los intereses y las opiniones de los matemáticos y físicos de Gotinga con respecto a cuáles eran los te­ mas prioritarios de investigación en física y qué metodología había que emplear.

2.

Gotinga, 1894-1905'

En 1894 la investigación en física en Gotinga se hacía en: a) El In s­ titu to de Física, dividido en dos secciones, la de Física Experimental cuyo director era E. Riecke y la de Física Matemática o Física Teórica, dirigida por W. Voigt y b) el O bservatorio Astronóm ico del que era director E. Schering. Por aquella época Félix Klein, al que me referiré más adelante, dirigía un seminario de física matemática junto a Rie­ cke, Voigt, Schering, W. Weber y W. Schur, encargado este último de la división de astronomía aplicada dentro del observatorio astronómi­ co. Entre 1895 y 1898 la configuración institucional de la física en Go­ tinga sufrió algunos cambios notables. En 1895 se creaba el In stitu to de Q uím ica Física con W . Nernst, hasta entonces profesor asociado de física matemática, como director. En 1897 se añadía una D ivisión de Física Técnica al Instituto de Física (por física técnica se entendía m e­ cánica y electricidad aplicadas). Como director de esta nueva división se nombró a R. Moller. Asimismo se aprovechó la muerte de Schering en 1898 para reorganizar el Observatorio Astronómico. Se dejó vacante el cargo de director del observatorio colocándose —con la categoría de profesores asociados— a M. Brendl y a E. Wiechert a la cabeza de las divisiones de A stronom ía y G eofísica, respectivamente. La estructura anterior permaneció inmutable hasta 1905, año en que tuvo lugar la últim a reorganización institucional de la física en el período que nos interesa aquí. Las principales novedades fueron las si­ guientes: i) Se dio categoría de instituto independiente a la sección de Física Técnica del Instituto de Física. Se creaba así el In stitu to de M ecánica y M atem áticas Aplicadas bajo la dirección conjunta de C. Runge (profe­ sor de matemáticas aplicadas) y de L. Prandtl (profesor de mecánica aplicada). ii) Se creó un In stitu to de G eofísica (rama que hasta entonces había estado incluida en el Observatorio Astronómico) con E. Wiechert como director. iii) Se reorganizó una vez más el Observatorio Astronómico, te­ niendo en cuenta especialmente las consecuencias que tenía la creación de un Instituto de Geofísica, nombrándose a K. Schwarzschild máxi­ mo y único responsable. iv) Se creó una nueva división del Instituto de Física, la D ivisión de E lectricidad Aplicada, con H. T. Simón como director. 1 Mucha más información de la que yo proporciono aquí se puede encontrar en Pyenson (1974, capítulo III). También es útil Born (1978, especialmente el capítulo VI).

No hay que meditar mucho para observar una tendencia evidente en todas estas transformaciones: promocionar los estudios interdiscipli­ narios, prestando además cierta atención a las aplicaciones técnicas. El motor indudable de estos cambios fue una figura que todavía está por estudiar en toda su am plitud y complejidad2, el matemático Felix Christian Klein (Dusseldorf 1849-Gotinga 1925). Klein, al que ya me he referido en diferentes ocasiones a lo largo de este libro, creía que los estudios interdisciplinarios impulsaban las aplicaciones industriales de la ciencia y que, además, jugaban un papel esencial en el desarrollo de nuevas ideas científicas (y en particular matemáticas). Pero la im­ portancia de Klein no se limita al dominio de las ideas generales; fue sin duda alguna un hombre de acción, con excelentes relaciones con el m undo industrial alem án3 —dotado de recursos financieros de primerísimo orden— y con influencias que le aseguraban ser oído a ni­ veles ministeriales (tan importantes en la organización académica en la Alemania de aquella época). Todas estas conexiones 4 permitieron a Klein orientar en una dirección muy determinada, una parte sustancial de la investigación científica que se hacía no sólo en Gotinga sino tam ­ bién en toda Alemania5, antes y durante la República de Weimar. En particular, bajo su «dirección» matemáticas y matemáticos llegaron a ocupar una posición central en la física desarrollada en Gotinga. Ahora bien, hay que matizar el papel que matemáticas y matemáticos desem­ peñaron en la física bajo la influencia de Klein ya que se podría pen­ sar, por ejemplo, que consistía en otorgar a las matemáticas preponde­ rancia sobre la física, hasta casi reducir ésta a aquélla (el caso, esencial­ mente, de Minkowski como vimos en el capítulo 6, sección 3). Nada más lejos de la realidad; para Klein tanto matemáticas como física se debían beneficiar de un contacto m utuo (en este sentido su relación 2 De Klein decía Max Botn en su My Life (Born 1978)·. «La figura dominante en matemáticas en Alemania durante aquella época [ctrca 1903] era Félix Klein que ocupaba una cátedra en Gotinga» (pag. 80).

y «[Hoy en día] cuando tengo tiempo para leer matemáticas por mero placer, tomo uno de los libros de Klein, por ejemplo, su Desarrollo de las matemáticas durante el siglo X IX o su Geometría no eucltdea. De hecho, algunos de estos libros de Klein son parte integral de la civilización en que crecí y que ahora se está desintegrando.»

Evidentemente, estas citas de Born sólo se refieren a algunas de las parcelas en que Klein ejerció su influencia. 3 Ciertos aspectos de las relaciones existentes entre el mundo académico y la in­ dustria alemana han sido investigados por Forman (1967). 4 Ver Pyenson (1974, capítulo IV) donde se discuten con cierto detalle las opiniones y actividades de Klein. 5 A través de su participación en diferentes fundaciones que apoyaban, financiándo­ los, proyectos de investigación científica.

era una relación de igualdad). Así, por ejemplo, era de esperar que avances físicos o técnicos sugiriesen nuevas ideas matemáticas. Por este motivo Klein estimuló de diversas formas a un buen número de sus colegas matemáticos para que aplicasen —reorientándolas en parte— sus indudables capacidades técnicas (en el sentido matemático) al estu­ dio e investigación de temas propios de las ciencias naturales, o si se prefiere emplear otro nombre, de las matemáticas aplicadas. En parti­ cular, de entre todos estos temas, el autor del programa de Erlangen favorecía a aquellos que de una forma u otra tenían un cierto interés técnico, como es patente al ver las reformas institucionales que.bajo su liderazgo ocurrieron en Gotinga. Resultado —muy importante para nosotros— de todo esto es que muchos matemáticos de esa universi­ dad utilizaron la m ecánica d el sólido rígido y la electrodinám ica cuan­ do investigaban otros problemas de física. En el tema que a nosotros nos preocupa tenemos como ejemplos a: i) David Hilbert, Emil Wiechert, Gunnar Nordstrom y Hermán Minkowski que utilizaron con frecuencia la electrodinámica de Maxwell-Lorentz para interpretar y desarrollar las teorías especial y ge­ neral de la relatividad. ii) Max Born y Gustav Herglotz quienes trataron durante cierto tiempo de reconciliar la noción clásica del movimiento de un sólido rígido con la relatividad especial. 3·

Electrodinámica (teoría del electrón) y relatividad en Gotinga

Entre 1900 y 1909 el mayor número de físicos matemáticos traba­ jando en la teoría del electrón se encontraba en Gotinga. Hay que ci­ tar en este sentido a W. Kaufmann, K. Schwarzschild, A. Wilkens, M. Abraham, E. Wiechert y E. Bose. Además P. Drude y A. Sommerfeld que habían sido P ñvatdozents en Gotinga pedían habitualmente a W. Voigt (director de la división de física matemática del Instituto de Física) que presentase sus trabajos sobre la teoría del electrón a la Academia de Ciencias de Gotinga. Debido a toda esta actividad que rodeaba a la teoría del electrón, G. Herglotz y G. Nordstrom se interesaron por la electrodinámica. Se­ gún Born (1978, pág. 98), Minkowski comenzó a desarrollar sus ideas sobre un espacio-tiempo cuadridimensional, o lo que en su caso es casi lo mismo, sus ideas sobre la electrodinámica de los cuerpos en movi­ miento, durante un seminario sobre la teoría del electrón6 que duran­ te 1905 dirigió junto a Hilbert, Herglotz y Wiechert.

6 Ver Py^nson (1979).

Por lo que se refiere a la aceptación que las teorías especial y gene­ ral de la relatividad tuvieron en Gotinga hay que distinguir dos casos. En primer lugar la facultad de Física. Se puede decir que en esa facul­ tad no se aceptaron las teorías de Einstein. A destacar además el que ninguno de los seis físicos que consideraron (con detalle) las dos teorías de la relatividad eian senior m em bers de la facultad: M. Abraham nunca aceptó ni la relatividad especial ni la general; M. Born tuvo di­ ficultades —a pesar de lo que él manifestase con posterioridad en dife­ rentes ocasiones— para entender ambas teorías; en particular y en lo referente a la relatividad especial su visión estuvo al principio dom ina­ da por la problemática de Minkowski (tratar de construir una teoría de la materia); E. Wiechert trabajó en ambas teorías pero nunca llegó a entenderlas; J. Stark nunca aceptó la relatividad especial; W. Kaufmann rechazó inicialmente la relatividad especial —en favor de la teoría de Abraham— en base a sus propios resultados experimentales aunque más adelante la aceptó; W . Ritz consideró la relatividad espe­ cial pero la rechazó en favor de su teoría de emisión. Hay que señalar también que estuvieron asociados a la facultad de Física por períodos diferentes y en calidad de estudiantes, hombres que años más tarde tuvieron importancia para el desarrollo de las teorías de Einstein. Fueron estos: M. Schlick, M. von Laue, P. Ehrenfest, J. Droste y A. A. Robb (este últim o graduado en Cambridge en 1897). Da una medida no tanto de la influencia que sobre ellos ejer­ cieron sus maestros en la facultad de física, sino del paso del tiempo (como en cierta cita célebre señalaba Max Planck) el que todos estos entonces estudiantes, aceptasen y desarrollasen las teorías de Einstein. Tremendamente más importantes en el desarrollo de las teorías es­ pecial y general de la relatividad fueron los miembros (o asociados a) de la Facultad de Matemáticas. Hay que mencionar en este sentido a: D. Hilbert, H. Minkowski, H. Weyl, el propio F. Klein, M. Born7, G. Nordstrom, J. Laub, E. F. Freundlich y G. Herglotz. Algunas de las características del modo en que estos matemáticos o físicos-matemáticos abordaron las teorías de Einstein se pueden resu­ mir de la siguiente manera. a) Como ya he dicho antes, la mayor parte de ellos (excepciones notables fueron Laub, Freundlich y Klein) entendían las dos teorías de la relatividad desde la perspectiva de la electrodinámica de MaxwellLorentz. b) En contraposición a las ideas que mantenía Klein y que no siempre seguía; algunos matemáticos de Gotinga resaltaron más los as­ pectos formales matemáticos de la relatividad especial y general que su

1 Born estuvo asociado, en diferentes épocas, a ambas facultades.

contenido intuitivo o físico. El mismo Klein —aunque como acabamos de ver no era esta su filosofía— se limitó prácticamente a las propieda­ des de transformación del espacio de Minkowski cuando, en 1910, escribió un artículo (Klein 1910) sobre la relatividad especial. De for­ ma parecida, al ocuparse en 1918 de la relatividad general, su interés fue, básicamente, el estudiar las implicaciones de la cosmología relati­ vista para la geometría del universo. Para Klein habría que hablar no de relatividad especial sino de teoría invariante con respecto al grupo de Lorentz. Estas ideas geométricas de Klein influenciaron sin duda al­ guna a Weyl quien, como ya vimos en el capítulo 13, generalizó en 1918 la geometría riemanniana. En la misma dirección de marcado in­ terés por un enfoque formal al problema físico, aunque en esta oca­ sión los conceptos geométricos no fuesen tan importantes como para Klein y Weyl, hay que mencionar a Hilbert del que ya me ocupé ex­ tensamente en el capítulo 12. Hilbert uniría de forma magistral en sus trabajos sobre la relatividad tanto la tradición electromagnética como la formal matemática, con los magníficos resultados que ya conoce­ mos.

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Capitulo 3

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Renate Mayntz, Kurt Holm, Peter Hübner: Introducción a los mé­

todos de la sociologia empírica 132 B. J. McCormick, P. D. Kitchin, G. P. Marshall, A. A. Sampson, R. Sedgwick: Introducción a la eco­

nomía, 1 133 B. J. McCormick, P. D. Kitchin, G. P. Marshall, A. A. Sampson, R. Sedgwick: introducción a la

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La teoría de la relatividad, a d e m á s de rev o lu cio n ar la ciencia dei sigio XX, h a ejercido u n a e n o rm e influencia so bre el p e n s a m ie n to filosófico c o n te m p o r á n e o , desde el po sitivism o lógico del C írc u lo de V iena h a s ta la escuela de K arl P opper. JO S E M A N U E L S A N C H E Z R O N estudia la situación de la e le c tro d in á m ic a an te s de Einstein, las teo rías de L o re n tz y P oincaré, la p u b í'c a c ió n en 190.' de la teo ría de la relatividad especial, la f·: m u la c ió n geom étrica del esp a c io -tie m p o c u a d rid im e n sio n a l intrc :ucida p o r H. M m k ow sk i. ¡a co n v e rsió n de Einstein al c o n c e p to de c a m p o c o m o f u n d a m e n to de la física, la fo rm u la c ió n de la teoría de la relatividad general corno te o ría del c a m p o g ravitacion al, etc. T ra s este re c o rrid o h istó rico, E L O R I G E N Y D E S A R R O L L O D E LA R E L A T I V I D A D ex p o n e los in tento s de generalizar ia teo ría e instein ian a a fin de establecer u n a teoría u n ita ria de c a m p o s . El v o lu m e n se cierra con do s apéndices acerca de las relacione-, e n tre E in stein y M a c h y sobre la influencia de la u n iv ersidad de G o tin g a en el d e sa rro llo de la relatividad. O tr a s o b ra s E d ito ria l: «L a te o ría de la re la tiv id a d » (A U 62).

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